Maxwell cremona explicado.

Física
Curso: otoño de 2002
(grupos M13 y M14)
Celosías ideales
por A. Paz
Departamento de Física Aplicada
E.T.S.A.B.
U.P.C.
2
Celosías ideales.
Las celosías ideales son unas estructuras formadas por barras rígidas, rectas y
articuladas entre sí por sus extremos formando, “nudos” en los mismos. Las articulaciones
deben ser lisas (sin que transmitan fuerzas de rozamiento). Las ligaduras al igual que las
fuerzas aplicadas estarán ubicadas exclusivamente en los nudos de la celosía. Los tipos de
ligaduras se reducen a: articulaciones lisas, apoyos lisos (unilaterales y bilaterales)y bielas.
En las figuras 1 se muestra cuatro ejemplos de celosías ideales. En este caso se
muestran con las ligaduras exteriores y las fuerzas aplicadas. El símbolo correspondiente a
una articulación lisa es el que se representa en el nudo inferior de la izquierda de la celosía
para los cuatro ejemplos mostrados. El otro símbolo en el que aparecen unos pequeños
círculos representa a un apoyo liso bilateral. El plano del apoyo está orientado según la recta
en contacto con los rodillos.
P1
P
P
P
P2
P
P
apoyo vertical liso.
P
articulación lisa
P3
P
P
apoyo horizontal liso
Figura 1
Ejemplos de celosías ideales
En las celosías ideales el estado de tensión de las barras sólo puede ser de tracción o
bien de compresión, luego una única incógnita escalar se asociará a la fuerza de tensión de
cada barra.
Celosías ideales
pág 3
Celosías simples.
Tres barras qu e se conectan entre sí de dos en dos, tal como se muestra en el
primer dibujo de la figura 2.1, definen un cuerpo rígido que es a su vez una celosía ideal
con tres nudos y una “malla”. Si, partiendo de los nudos de esta celosía, vamos añadiendo
pares de barras no paralelas, pero coplanarias con esta estructura, que estén conectadas
entre sí por el otro extremo definiendo de esta manera un nuevo nudo, generamos lo que
denominamos una celosía simple.
En la figura 2 mostramos como se generan las dos celosías simples dibujadas en
último lugar de las respectivas series..
1
1
1
3
5
3
5
3
4
2
2
1
4
2
3
6
4
2
1
1
5
5
3
7
3
7
4
6
8
4
2
6
2
1
1
5
5
3
7
9
3
7
8
9
8
2
6
Figura 2.1
1
5
6
1
3
2
4
5
2
6
5
1
5
3
4
2
6
10
4
1
3
4
2
3
4
2
7
8
6
Figura 2.2
Figura 2
Generación de dos celosías simples la primera con diez nudos y la
segunda con ocho.
4
7
4
6
Figura 3.1
Para la celosía representada el número de nudos
es: n=8, el número de barras: b=10, y el
número componentes independientes de las
fuerzas de ligadura: e=6
7
5
8
4
2n=16, b+e=16
1
3
2
7
5
4
5
4
1
2
6
4
1
2
1
3
2
6
7
5
7
5
4
8
4
1
3
2
1
3
2
Figura 3.2
Cuando en el procedimiento seguido para la construcción de una celosía ideal simple
sustituimos una de las barras, de las dos que utilizamos para generar un nuevo nudo,
por una articulación que vincula al extremo de la barra restante con el sólido al que se
fija la celosía de la figura 3.1, dicho sólido es el suelo, la estructura que obtenemos
permite el mismo tratamiento de cálculo para sus tensiones que la celosía simple.
6
6
7
5
8
4
1
7
5
2
3
8
4
1
2
3
Figura 3.3
En la izquierda de esta figura se muestra la celosía simple convencional equivlente a
la celosía de la figura 3.1. y a la derecha esta celosía simple se completa con un
sistema de liigaduras estrictas. La celosía de la figura 3.1 también está estrictamente
ligada.
Celosías ideales
pág 5
La figura 3 muestra una celosía que no es simple. Para esta celosía es imposible
aplicar la generación descrita en la figura anterior.
Figura 3
Ejemplo de celosía ideal que
no es una celosía simple.
Ligaduras en las celosías.
Las ligaduras son vínculos que limitan el movimiento de la celosía. El conjunto de
ligaduras que actúa sobre una celosía decimos que es “total” cuando la inmoviliza
totalmente (figuras 5.2 y 5.5) y es parcial cuando éstas no restringen toda su movilidad
(figuras 5.1 y 5.4). Un cuerpo está propiamente ligado cuando verifica las ecuaciones de
equilibrio para cualquier sistema de cargas (Figuras 5.2 y 5.5) y está estrictamente ligado
(figura 5.2) cuando las ligaduras son, a su vez, las necesarias y las suficientes para ligar
propiamente al cuerpo. Si todas las ligaduras que actúan sobre el cuerpo no son
imprescindibles para conseguir su inmovilidad decimos que son superabundantes (figura
5.4). Existen sistemas de ligaduras impropias para las celosías, éstas corresponden a los
casos en los que aunque impiden cualquier movimiento “finito” de los puntos de la
estructura, existen desplazamientos infinitesimales de la misma compatibles con el sistema
de ligaduras. Con el sistema de ligaduras representado en la figura 5.3 se impide todo
movimiento finito de la celosía, sin embargo podemos observar que las posibles
trayectorias del nudo de la derecha compatibles con cada una de estas ligaduras tienen
tangente común. Esta inmovilización no asegura el equilibrio del cuerpo, en la derecha de
la figura 5.3 se muestra que las componentes de las fuerzas de ligadura, para este sistema,
dan momento nulo respecto del nudo de la izquierda y que, por lo tanto, este sistema de
ligaduras no puede equilibrar a un sistema de fuerzas aplicadas que tenga momento no nulo
respecto del punto en el que está ubicado este último nudo
Las únicas ligaduras que incluiremos en estudio de las celosías son: los apoyos
lisos (tanto los unilaterales como bilaterales), las uniones mediante “ bielas”, y las
6
rótulas lisas (“articulaciones lisas”). Los apoyos lisos bilaterales obligan a que el nudo en
el que se sitúan permanezca siempre sobre un determinado plano (plano de deslizamiento)
que contiene al nudo en cuestión. Si el apoyo es unilateral la restricción en el
desplazamiento del nudo se refiere a que no puede desplazarse a uno de los semiespacios
definidos por el correspondiente plano de deslizamiento. Las bielas conectan un nudo a un
punto fijo de tal forma que el único movimiento compatible con esta ligadura del
mencionado nudo es esférico alrededor del mencionado punto fijo y con radio la distancia
entre las articulaciones de la biela. Las rótulas inmovilizan al nudo sobre el que está
aplicada dicha ligadura. La acción del sistema de fuerzas aplicadas sobre la celosía
provoca los torsores de reacción de las mismas que en las celosías simples se reducirán a
fuerzas ubicadas en los nudos en los que se colocan dichas ligaduras. A su vez estas fuerzas
pueden estar sometidas a restricciones. En el caso de las fuerzas de reacción de los apoyos
su dirección debe ser perpendicular al plano de deslizamiento correspondiente; si el apoyo
es simple el sentido de dicha fuerza de reacción está orientado desde el nudo hacia el
semiespacio de desplazamiento libre. Para las bielas, si estas son rectas, la fuerza de
ligadura tiene la dirección de la biela, de no ser recta, como se trata de una barra
biarticulada, la fuerza de reacción de la ligadura tendrá la dirección de la recta que pasa por
ambas articulaciones. Para las rótulas la fuerza de reacción de esta ligadura sólo tiene la
restricción que su punto de aplicación sea el correspondiente al nudo que la incluye.
Cuando estudiamos las celosías bidimensionales en equilibrio todas las fuerzas (aplicadas y
de ligadura) estarán orientadas paralelamente al plano que contiene a la celosía.
Celosías ideales
pág 7
C
C
C
C'
A
B
B
A
A
B
Ha
Va
Figura 5.1. Sólo una articulación en A no
inmoviliza a la celosía (ligaduras parciales) .
Vc
C
C
A
Hc
B
A
B
Figura 5.2. Una articulación en C y un apoyo horizontal en B constituyen un sistema de
ligaduras estrictas.La inmovilización es total.
C
C
B
A
Vb
C
A
B
B
A
Ha
Figura 5.3. Una articulación en A y un apoyo vertical en B
constituyen un sistema de ligaduras impropias.
Hb
Va
C
C
C'
A
B
A'
C
A
B
B
A
B'
Va
Figura 5.4. Un apoyo horizontal en A y una biela vertical en
B no inmovilizan a la celosía (inmovilización parcial).
C
A
C
B
A
Vb
C
B
B
A
Ha
Va
Hb
Vb
Figura 5.5 Dos articulaciones (una en B y otra en A) inmovilizan total y propiamente a la celosía pero no lo
hacen estrictamente. La determinación de las fuerzas de ligadura es un problema hiperestático.
Figura 5
La primera columna muestra el sistema de ligaduras, la segunda los posibles
movimientos y la tercera muestra las componentes de las fuerzas de ligadura que
definen el sistema de incógnitas. No se han dibujado las fuerzas aplicadas.
8
Ejemplos de celosías empleadas en la construcción
Figura 6.2
Celosía Baltimore
Figura 6.1
Celosía Warren
Figura 6.3
Celosía Howe
Figura 6.4
Celosía Pratt
Figura 6.5
Celosía en "K".
Figura 6.6
Celosía hiperestática "cruz de
S. Andrés"
Figura 6.7
Armadura hiperestática de
cordón superior curvo
Figura 6.8
Cercha inglesa
Figura 6.9
Cercha americana
Figura 6.10
Cercha Swan
Figura 6.11
Cercha Polonceau compuesta
Figura 6.12
Armadura mansarda
Figura 6.13
Marquesina
Figura 6.14
Medio cuchillo
P
P
Figura 6.15
Viga Fink.
P
Celosías ideales
pág 9
Existe un amplio abanico de estructuras utilizadas en la construcción que pueden analizarse
términos de celosías (simples o compuestas): vigas, cerchas, marquesinas, etc. Aunque cabe
una infinidad de diseños de celosías simples, se conocen unos modelos que por sus
cualidades ampliamente contrastadas son o han sido muy utilizados en la construcción en la
figura 6 se muestran las más conocidas
Diagrama de Maxwell-Cremona (D.M.C.).
Es un método gráfico para determinar el estado de tensión de las barras de una
celosía. Las celosías ideales y simples siempre permiten dibujar de manera muy directa su
D. M. C. Para ilustrar el desarrollo de este método utilizaremos la celosía simple
representada en la figura 7.1 (celosía Warren). Las ligaduras que actúan sobre la misma
son un apoyo horizontal liso en el nudo 5, al que corresponderá una fuerza de ligadura
vertical que representamos por la magnitud escalar V5 (componente vertical de esta fuerza),
y una articulación lisa en el nudo 1 a la que corresponderá una fuerza cuyas componentes
representamos por H1 (horizontal) y V1 (vertical)..
La figura 7.2 representa el diagrama de sólido libre de la celosía con las cargas
indicadas, en este diagrama figuran todas las fuerzas que se ejercen sobre esta celosía y que
no son internas a la misma (fuerzas ejercidas entre las partes que la componen) A partir de
las ecuaciones de equilibrio se deduce que es nula la componente horizontal de la fuerza de
ligadura que actúa sobre el nudo 1 (las restantes fuerzas no tienen componente horizontal) y
que las dos componentes verticales de las fuerzas de ligadura son iguales y valen 1.5 P (ello
se deduce de la anulación de los respectivos momentos resultantes respecto de los nudos 1
y 5).
P
P
P
3
4
P
Figura 7.1
Celosía simple que utilizaremos para
describir el método de Maxwell-Cremona
V1=1.5P
H1=0
1
2
P
V5=1.5P
P
5
Figura 7.2
Diagrama de sólido libre (D.S.L.) de la
celosía representada en la figura 7.1
Para comprobar que la celosía representada en la figura 7.1 es una celosía simple
partimos del rígido definido por las barras que definen el triángulo de nudos 5,2,4. A partir
de este triángulo definimos el nudo 3 por medio de la barra 2-3 que se articula al nudo 2 y
la barra 4-3 que se articula al nudo 4. A partir de este nuevo rígido (en el plano de la figura)
se genera el nudo 1 utilizando las barras 2-1 y 3-1. La secuencia seguida en la generación
10
de los nudos de esta celosía ha sido 5-2-4-3-1. Una vez calculadas las fuerzas de ligadura,
para resolver esta celosía (hallar los valores de las tensiones en las barras de la misma)
mediante grupos de dos ecuaciones con dos incógnitas procede emplear las ecuaciones de
equilibrio en los nudos de la misma ordenando dichos nudos en orden inversa a la
secuencia utilizada en su generación. Al tratarse de barras ligeras y rectas que sólo
soportan tracciones o compresiones las fuerzas que éstas ejercen sobre los nudos tienen la
dirección de las mismas. La figura 7.11 muestra los diagramas de sólido libre de todos los
nudos de esta celosía. Para que se equilibren estos nudos basta que las resultantes de las
fuerzas que actúan sobre cada uno de ellos tengan resultante nula, o lo que es lo mismo que
los correspondientes polígonos de fuerza sean cerrados
4
3
4
3
4
1
5
2
5
2
5
2
Figura 7.3
Generación de esta celosía simple. La secuencia inverza en la generación de los nudos es: 1-3-4-2-5
Esta secuencia es la que podemos emplear para dibujar el diagrama de Maxwell-Cremona de esta celosía.
Dado que las barras de la celosía están en equilibrio, las fuerzas que éstas ejercen
sobre los dos nudos en los que están articuladas deben ser opuestas, luego conocida una de
ellas queda determinada la otra. Si empezamos por el equilibrio del nudo 1 disponemos de
dos ecuaciones de equilibrio con dos incógnitas que son las fuerzas (T15 y T12) que las
barras 1-5 y 1-2 ejercen, respectivamente, sobre este nudo. En el D.S.L. del nudo 3
además de la fuerza T51 ejercida por la barra 1-5 y que corresponde a un sentido opuesto a
la ejercida por la misma barra en el nudo 1 pero de igual intensidad y por tanto despejada a
partir del equilibrio del nudo 1, intervienen la fuerza aplicada y las dos fuerzas incógnitas
que le ejercen las barras 3-2 y 3-4 . Estas dos incógnitas se pueden determinar a partir de
las ecuaciones de equilibrio de este nudo. A continuación podríamos formular el equilibrio
del nudo 4 y para finalizar el del nudo 2 ( o bien el nudo 5). Este procedimiento numérico
se denomina método de los nudos. El método de Maxwell-Cremona sigue la misma
secuencia pero se trata de un método gráfico donde la resolución ordenada de las dos
ecuaciones de equilibrio por nudo se reduce a hallar el punto de intersección de dos rectas.
Para sistematizar la construcción del diagrama de Maxwell-Cremona se recurre a la
nomenclatura de Bow que consiste en lo siguiente. En un plano se dibuja la celosía más las
semirrectas soporte asociadas a las fuerzas exteriores (aplicadas y de ligadura). Dichas
semirrectas, si ello es posible, se dibujan de tal forma que no corten a la celosía, en el caso
de que esto sea inevitable, más adelante se indicará la forma de proceder. Los segmentos de
recta que representan a las barras y las semirrectas asociadas a las fuerzas forman una red
que divide al plano en zonas poligonales. Cuando en los límites de la zona sólo intervienen
los segmentos asociados a las barras la zona es un polígono de superficie finita. Si en la
delimitación de la zona intervienen también las semirrectas asociadas a las fuerzas
Celosías ideales
pág 11
aplicadas, estas zonas pueden tener superficie infinita. En la figura 7.4 se muestran con
distinto sombreado las zonas asociadas a la celosía de la figura 7.1. A cada una de estas
zonas la nomenclatura de Bow le asocia una letra minúscula. En la figura 7.4 el número de
zonas es 8 y las letras asignadas son: b, c, d, e, f, g, h, i.. Observamos que cada nudo está
rodeado de un cierto número de zonas, por ejemplo: al nudo 1 lo envuelven las zonas f, g y
e. El nudo 2 está rodeado por las zonas g, h, i, d y e. A las fuerzas que actúan sobre cada
nudo se las representará por un segmento paralelo a la misma y cuyos extremos se
representan por las letras en mayúscula de las dos zonas que delimitan a dichas fuerzas. El
orden de las letras en este segmento es el definido por una lectura cíclica de las zonas que
rodean cada nudo. El orden cíclico adoptado en este capítulo es el horario. Por ejemplo la
fuerza aplicada en el nudo 3 vendrá representada por el segmento FB ( en este orden) y
dado que dicha fuerza es vertical y descendente, el punto B estará situado por debajo del
punto F y a una distancia del mismo que represente a la intensidad P de esta fuerza en la
escala elegida. La fuerza ejercida por la barra 3-4 sobre el nudo 3 estará representada por el
segmento ordenado BH, mientras que la fuerza que la misma barra ejerce sobre el nudo 4
estará representada por el segmento HB, pues al leer de forma consecutiva y en sentido
horario las zonas que rodean al nudo 4 la zona h antecede a la zona b.
b
c
f
c
h
Figura 7.4
Distribución en zonas
g
e
i
d
Una vez calculadas las fuerzas de ligadura, bien mediante cálculo gráfico como
utilizando el cálculo numérico y en el supuesto de que todas las fuerzas aplicadas lo estén
sobre los nudos que definen el contorno exterior de la celosía ( los otros casos se analizarán
en un apartado específico). Procederemos a dibujar secuencialmente el polígono de estas
fuerzas. En este caso podemos empezar por la fuerza aplicada al nudo 3 (segmento FB)
seguir con la aplicada al nudo 4 (segmento BC) seguir con la fuerza de ligadura en el nudo
5 (segmento CD), se sigue con la fuerza aplicada al nudo 2 (segmento DE) y se finaliza
con la fuerza de ligadura en el nudo 1 (segmento EF). El conjunto de estos segmentos
define un polígono cerrado ( en este caso degenerado ya que todos los vértices están sobre
la misma recta), tal como se muestra en la parte derecha de la figura 5.5 donde se muestra
la secuencia seguida en el dibujo del mismo.
12
Para seguir con el dibujo del diagrama de Maxwell-Cremona nos situamos en el
último nudo generado en la secuencia representada en la figura 5.3. Se trata en este caso del
nudo 1. Las zonas que envuelven este nudo son tres ( f, g y e) y sólo una de ellas (g) no
tiene asignado un punto en la parte dibujada del diagrama de Maxwell-Cremona (la
correspondiente al polígono de fuerzas exteriores). La mencionada zona “g” tiene frontera
común con las zonas “f” y “e”. Desde el punto F del diagrama de M-C trazamos una recta
paralela al segmento de recta que separa las zonas “f” y “g”, y análogamente trazamos
desde el punto E, del mismo diagrama, una recta paralela al segmento que separa las zonas
“e” y “g”, en el polígono dibujado en la parte derecha de la figura 7.7 se muestra la
intersección de ambas rectas a las que le asignamos la letra G que corresponde a la
mayúscula de la letra asignada a la zona “g” cuya representación buscamos. Una vez
ubicado el punto G el diagrama M-C nos muestra las intensidades y los sentidos de las
fuerzas ejercidas por las dos barras que se articulan en ese nudo. La barra 1-2 ejerce sobre
el nudo 1 una fuerza que está representada por el segmento GE en el mencionado diagrama
M-C. (Figura 7.7). Dicha fuerza tiene una intensidad aproximada de 0.87 P y está orientada
hacia la derecha del nudo.
F
b
f
3
4
2
1
1.5P
e
F
P
p
P
F
F
P
⇒
c
B
⇒
B
D
B
5
d
1.5P
⇒
D
B
E
C
C
C
Figura 7.5
Construcción del polígono de las fuerzas exteriores (P.F.E.) que actúan sobre la celosía. La fuerza de
ligadura que actúa sobre el nudo 5 cuyas intensidad es 1.5P está representada por el segmento CD
(nomenclatura de Bow) ya que la semirrecta asociada a esta fuerza está delimitada por las zonas "c" y "d".
Siendo el sentido de esta fuerza ascendente, el punto D quedará encima del punto C. Al tratarse de un
conjunto de fuerzas paralelas en equilibrio el polígono de fuerzas será un polígono cerrado degenerado cuyos
lados están sobre una misma recta paralela a la dirección de las fuerzas experiores.
Celosías ideales
pág 13
F
f
g
e
1.5P
G
E
Figura 7.6
El polígono de fuerzas correspondiente al nudo 1 es el triángulo de
vértices EGF.
b
P
4
1,7
3
3
c
h
f
g
1
e
2
i
5
D
B
1,50 P
F
E
G
0,87 P
C
d
Figura 7.7
Partiendo del polígono delas fuerzas exteriores (derecha) completamos sobre el mismo el polígono de
las fuerzas que actúan sobre el nudo 1 para ello trazamos una recta paralela a la barra 1-2 desde el punto
E y otra paralela a la barra 1-3 desde el punto F. Ambas rectas se cortan en el punto G. El segmento
GE representa la fuerza que la barra 1-2 ejerce sob re el nudo 1 y el segmento FG a la que ejerce sobre el
mismo nudo la barra 1-3.
14
F
P
b
f
D
h
g
1.5P
H
B
G
e
E
C
Figura 7.8
El nudo 3 es el siguiente en la secuencia indicada en la figura 2 . En la superposición
de los polígonos de fuerza (diagrama de Maxwell-Cremona) representado a la
derecha de la figura 7.7 trazamos desde el Punto B una recta paralela a la barra 3-4 y
desde el punto G otra paralela a la barra 3-2.. Ambas rectas se cortan en el punto H.
El arco nos indica la secuencia circular en la lectira de las zonas que rodean al nudo
3, por ejemplo la fuerza ejercida por la barra 2-3 sobre el nudo 3 es la representada
por el segmento HG (en este orden)
P
f
g
1.5P
h
F
P
b
I l. cierre
c
i
H
D
B
G
E
C
Figura 7.9
Ahora, en la secuencia indicada en la figura 7.2, el siguiente nudo es el 4 . En la parte
dibujada del diagrama de Maxwell-Cremona representado a la derecha de la figura 7.8
trazamos desde el Punto H una recta paralela a la barra 2-4 y desde el punto C otra
paralela a la barra 5-4.. Ambas rectas se cortan en el punto I. Podemos apreciar que en el
diagrama obtenido en el que no utilizamos para su construcción las fuerzas ejercidas por
la barra 2-5 que separa las zonas {i , d}, los puntos I D forman un segmento paralelo a
esta barra.
Celosías ideales
pág 15
P
P
I
0,58
I
F
0,87
F
D
D
H
B
1,73
H
E
G
B
E
G
C
0,50
C
1,15
Figura 7.10
Diagrama de Maxwell-Cremona con nomenclatura de Bow; la secuencia seguida ha sido
F,B,C,D,E,I,H,G . Las medidas en el diagrma de MaxWell-Cremona se dan en unidades
"P". En este caso se trata de un diagrama con simetría especular siendo su eje de
simetría el definido por el segmento HB. Esta simetría se corresponde a la simetría
vertical de la figura que representa a la celosía con las fuerzas exteriores que actúan
sobre la misma.
P
(0.87P)
(0.87P)
T32
1.5P
Figura 7.11
D.S.L.correspondientes a todos los nudos
1.5P
)
.7 P
P
(-1
T23
P)
T21
T34
87
T25 T24
( 0.
T15
T12
1.5P
T43
.7 P
)
T42
P
(-1.2P)
P)
T52
P
(-1
T51
T45
87
T54
( 0.
P
P
1.5P
Figura 7.12
Tensiones en las barras. El signo (-) indica
que la barra sufre una compresión.
16
En las figuras 8 se muestran dos celosías simples con nombre propio sometidas con
cargas iguales en el cordón superior de las mismas y en la que se han sustituido las
ligaduras (un apoyo liso y en el nudo inferior de la derecha, y una articulación en el nudo
inferior de la izquierda), por las fuerzas que estas ejercen sobre la celosía y cuyo cálculo
resulta inmediato al aplicar las ecuaciones de equilibrio al conjunto de sus fuerzas
exteriores. Los diagramas de sólido libre representados en la columna izquierda de la figura
gozan de simetría respecto d un plano vertical central, eso hace que sus correspondientes
D.M.C. sean simétricos respecto de la recta horizontal intermedia. Para las dos primeras
celosías representadas la parte inferior de estos diagramas se dibuja a trazos y para la
tercera no se ha dibujado por innecesario. Ya que el estado de tensión de las barras debe
responder a esta simetría Debajo de cada D.S.L se ha representado otro similar en el que
se diferencian las barras que soportan compresiones (trazo contínuo) de las que soportan
tracciones (líneas a trazos). Cuando las barras no soportan tensión en la figura inferior no se
ha dibujado. Para la celosía Warren que se ha dibujado en primer lugar la máxima tensión
considerada en valor absoluto corresponde a la que separa las zonas l y g, es decir la del
centro del cordón interior. En este caso la tensión es de tracción. Las intensidades de las
tensiones en las barras horizontales son tanto mayores cuanto más cerca están del centro de
la estructura, mientras que las barras verticales y las oblicuas son tanto más intensas cuanto
más cerca están de uno de los extremos de la viga. En la viga en celosía Pratt (la segunda)
las barras más largas (las oblicuas) soportan tracciones.
Celosías ideales
pág 17
P
a
P
b
i
h
P
c
k
j
P
h
P
b
i
j
c
k
P
l
g
2,5P
P
e
o
A
f
n
l
g
2,5P
a
P
d
m
I
p
2,5P
P
d
m
P
e
o
n
B
K
L
f
J
C
G
H
D
p
E
2,5P
Figura 8.1
Estado de tensión de una viga Warren. A una celosía con simetría respecto a una
vecta vertical (en su geometría y en su distribución de carga le corresponde un
D.M.C con simetría respecto de una recta horizontal.
P P
b c
a m o q
l n p
4,5P
P P
b c
a m o q
l n p
4,5P
P P P P P P P
d e f g h i
s u v
r t
k
j
A
O
B
Q
4,5P
P P P P P P P
d e f g h i
s u v
r t
k
M
4,5P
C
S
j
D
U
T
V
F
R
P
N
E
L=K
F
G
H
I
Figura 8.2
Estado de tensión de una viga Pratt.
J
Las barras que no aparecen en el duplicado de la celosía no soportan tensión, si aparecen
en trazo discontínuo es que soportan tracciones y en tramo contínuo y grueso son las
sometidas a compresión
18
Cálculo de las fuerzas exteriores de ligadura de una celosía con el
diagrama de Maxwell-Cremona
g
P
3
Figura 9.1
Celosía con dos articulaciones exteriores:
n=7, b=10 y e=4 ⇒ 2n=b+e
n≡ nº de nudos; b ≡nº de barras; e ≡ componentes
independientes de las ligaduras exteriores
4
b
c
P
a
2
5
7
d
f
e
h
1
F
G
F=B
A
6
F=B
G
G
A
(a)
A
(b)
H
(c)
E
C
C
F=B
F=B
G
A
C
G
A
H
(d)
D
(e)
D
F=B
G
A
H
H
(f)
Figura 9.2
Construcción secuencial del diagrama M-C; secuencia de los nudos: 2, 3, 4, 5, 6, 7.
P
g
R9
E
C
G
F=B
3
b
D
c
a
2
d
f
H
Figura 9.3.
Fuerzas exteriores de ligadura: R1 y R6.
5
7
R6
A
4
e
h
1
6
R1
R6
Celosías ideales
pág 19
b
6
7
5
h
g
4
a
i
j
f
e
1
8
d
c
3
2
Figura 10.1
Celosía que puede tratarse como una celosía simple.
D
D
A
A
J
H
B
H
J
C
B
C
E
G
I
F
Figura 10.1
Podemos dibujar el D.M.C. de la celosía 10.1 sin
conocer previamente los valores de las fuerzas de
ligadura. Los puntos representados C, D, E y A
definen a las fuerzas ejercidas por las ligaduras tal
como se muestra en la figura siguiente.
E
G
I
F
Figura 10.2
Fuerzas exteriores de ligadura: CD, DE y EA
Los puntos donde se cruzan parejas de barras
se interpretan como nudos ("ficticios"). lo
cual trae consigo el desdoblamiento de los
correspondientes segmentos en el D.M.C.
(Hd, GJ, FE entre otros desdobles)
Figuras 10.
Empleo del diagrama de Maxwell-Cremona para el cálculo de las
fuerzas debidas a las ligadura exteriores para esta celosía simple no
convencional.
20
P
P
P
P
a
P
b
f
g
P
c
h
d
n
l
j k
i
o
m
1.5P
1.5P
e
Figura 11.1
Viga Fink (compleja)
Figura 11.2
Zonas de Bow y fuerzas exteriores
P
Figura 11.3
Clave para su resolución por el método
de Maxwell-Cremona: del nudo f-a-b-h
se deduce que la fuerza h-f vale "P" ,
luego el segmento GI tiene altura P y la
ubicación del punto E es la indicada en
la parte del D.M.C. dibujada a la
derecha.
F
A
G=M B
E
I=0
C
2,50
P
F
2,00P
L
G=M B
2,24P
N
2,50
P
1,00
P
E
1,00
P
I=0
K
D
2,24
P
C
A
J
H
K
N
h
I
E
L
B
b
f
0,71
P
J
H
a
G
0,50
P
C
0,71
P 1,00
P
D
Figura 11.4.
Diagrama de Maxwell-Cremona de la viga Fink representada en la figura 1
Celosías ideales
pág 21
Relación de los diagramas Q[x] y
M[x] con las tensiones en las barras
de la viga en "K".
Q[x]
X
Diagrama de fuerzas cortantes
M[x]
Diagrama de momentos flectores
Figura 12
Para la celosía en "K" de la parte superior se muestra la relación
entre su D.M.C. y su diagrama de fuerzas cortantes (parte
superior). En la parte inferior se muestra la relación entre el
mencionado D.M.C. y el diagrama de momentos flectores. Estos
últimos rigen las tensiones en las barras horizontales de la celosía,
mientras que las fuerzas cortantes quedan vinculadas a las
tensiones en las barras verticales y oblicuas, las cuales son
mayores en los extremos de la viga que en el centro de la misma.
Lo contrario ocurre con las tensiones en las barras horizontales.
22
Figura 13
Otros ejemplos de celosias compuestas. En la columna de la derecha aparecen sombreadas, con
somreado distinto, las dos celosías simples que forman la celosía compuesta. Para poder dibujar
los D.M.C. de estas celosías previamente calculamos las tensiones en algunas de las las barras
que conectan entre sí a las dos celosías simples que las componen, tal como mostramos en las
figuras que siguen.
Celosías ideales
pág 23
Celosía compuestas resueltas.
P/2
P/2
P/2
P/2
P
tensiones nulas
P
Figura 14.1
Celosía compuesta y su descomposición en dos celosias simples. Del equilibrio de la
celosía simple de la derecha se deduce que la barra inclinada que la conecta con la otra
celosía simple, no tiene tensión; utilizando este resultado en el D.S.L de la otra celosía
simple se deduce que tampoco tiene tensión la barra de conexión vertical indicada con
línea discontínua.
P
P
Figura 14.2
En este diagrama se aprecian, a simple vista, otras barras que no están
sometidas a tensión (líneas con trazo discontínuo).
b
P/2
C
P/2
d
a
c
P
D
B
P
A
Figura 14.4
El diagrama de Maxwell-Cremona de la celosía compuesta representada en la figura 14.1
queda reducido a la figura de la derecha.
24
Las líneas a trazos discontínuos indican por donde se debe "seccionar" la celosía para
poder calcular la tensión en alguna barra que nos permita a continuación resolverla
mediante un diagrama de Maxwell-Crermona. Las barras , cuando el caso sea dudoso,
consideren que se cruzan.
L2
fuerza nula
L1
P1
Figura
15a
L1
fuerza nula
P2
P2
L2
Figura 15c
En esta figura se mantienen
las ligaduras. Las fuerzas
representadas son las
ejercidas por las barras
seccionadas
Figura 15b
De esta sección se deduce que la
barra horizontal, que es una de
las tres que conectan a las dos
celosías simples,no tiene
tensión
P
P1
F1
P
paralela
s
F1
Fuerza de
ligadura
F2
F2
Figura 16
Una vez deducida la dirección de la fuerza de ligadura en el nudo de la derecha se puede deibujar el
D.M.C P
I
dirección de la fuerza de ligadura
Figura 17
La fuerza de ligadura de la articulación situada a la derecha pasa por el punto intersección "I".
P1
L3
P2
L3=0
P1
P2
=
L1
+
L2
Figura 18.
Las barras diagonales se cruzan y para evitar confusiones no dibujamos la línea de corte y si las dos
secciones resultantes
Celosías ideales
pág 25
ui
v
al
e
nt
e
Resolución de la celosía compuesta de la figura 18 por el método de las secciones.
ga
eq
F2
L2
F2
ca
r
F1
F1
L1
L1
L2
Figura 18.1
Por tratarse de una celosía intrínsecamente rígida, para el cálculo de las fuerzas de ligadura podremos sustituir las
dos fuerzas aplicadas ( de la misma intensidad en este caso) por una fuerza equivalente. El diagrama de la derecha
es el polígono de fuerzas exteriores.
tensión nula
tensión nula
+
L1
L2
Figura18.2
Al aplicar el método de las secciones se observa (figura de la derecha) que la barra horizontal, que conecta a
las dos celosías simples, no tiene tensión, y por tanto tampoco tienen tensión las otras barras
representadas con trazo discontínuo.
F
E
A
J
c
F1
C
b
e
h
i
j
k
a
L1
G
K
F2
g
D
I
f
d
H
L2
Figura 18.3
B
Una vez suprimidas las barras que sabemos que no tienen tensión, dibujamos el diagrama de M-C. En este
caso hemos utilizado un sentido antihorario en la ordenación de las zonas que rodean a los nudos. Los
segmentos que representan las tensiones en las barras que se cruzan aparecen desdoblados en el diagrama
M-C; por ejemplo: a la diagonal inferior de pendiente positiva le corresponden tres segmentos (JA, KG y
EF).
26
Cerchas definidas por celosías compuestas por dos celosías simples.
celosía simple
celosía simple
nudo común
Figura 19.1
Armadura mansarda. La parte sombreada ha sido
generada a la manera de una celosía simple.
barra
Figura 19.2
Esta armadura de mansarda es una celosía compuesta
por las dos celosías simples con sombreado distinto
barras
Figura 19.3
Armadura Polonceau. Está formada por dos
celosías simples con una articulación común; se
completa la unión mediante una barra (la de trazo
grueso).
Figura 19.5
Otras tres barras, esta vez con disposición simétrica,
conectan a las dos celosía simples que forman la
celosía compuesta.
Figura 19.4
En esta armadura tres barras (dibujadas con trazo grueso)
conectan a las dos celosías simples; dos de estas barras
son paralelas pero no lo es la tercera.
Figura 19.6
Las dos celosías simples que componen esta celosía
compuesta se cruzan
nudo común
barra
Figura 19.7
Celosía compuesta de dos simples unidas entre sí mediante una articulación común y una barra. Esta celosía
admite otra descomposición simétrica de la representada en el dibujo de la derecha.
Tm
.3 Tm
T=22
20Tm
8Tm
8Tm
8Tm
7
23.
20Tm
24Tm
20Tm
8Tm
8Tm
8Tm
pág 27
8Tm
8Tm
H
H
T
22.3
20Tm
V
T
24Tm
V
4Tm
20Tm
Celosías ideales
m
7T
23.
m
Figura 19.8
Determinación gráfica de las fuerzas ejercidas por la barra y el nudo común en la descomposición
comentada en la figura 19.7, sobre la celosía simple de la derecha . La fuerza equivalente al conjunto de las
cargas soportadas por esta sección en forma de celosía simple y la de la ligadura en el apoyo en el nudo de la
derecha es la fuerza de 4Tm ubicada sobre la recta indicada.
b
c
d
jk
h i
l
m n
e f
op r
g
s
m
7T
n
23.
q
B
C
B
M
D
.3 Tm A
2
2
=
T
E
M
O
N
Q
N
M
8Tm
20Tm
C
D
A
E
O
N
F
F
G
G
G
B
B
B
C
D
A
E
F
M
O
P N
Q
C
D
A
E
F
M
O
P NQ
R
G
C
D
A
E
F
G
C
D
A
E
F
G
B
O
P NQ
R
S
s
B
C
D
A
E
F
G
M
op r
q
.3 Tm
T=22
a
N
8Tm
8Tm
20Tm
8Tm
8Tm
8Tm
8Tm
8Tm
20Tm
28
B
M
O
P NQ
R
S
C
D
A
E
F
G
Figura 19.9
Dibujo del D.M.C. de la celosía compleja representada en la figura 19.7 con las cargas indicadas en
esta figura. Una vez dibujado el polígono de las fuerzas exteriores, en este caso degenerado en forma de
la colección de segmentos verticales: A-B-C-D-E-F-G-A, proseguimos dibujando la fuerza conocida de
22.3 Tm, paralela a la barra a-n, a partir del punto A y en el sentido descendente, tal como figura en el
D.S.L. de la celosía simple de la derecha (parte superior derecha de esta figura). Esta fuerza define la
ubicación del punto N. Los puntos del D.M.C. asociados a esta celosía simple se obtienen siguiendo
la secuencia señalada. Una vez completado el D.M.C. de esta celosía simple, el correspondiente a la
parte izquierda de la celosía debe ser simétrico en relación a la horizontal que pasa por A.
Celosías ideales
pág 29
Resolución de las celosías complejas por el método de Henneberg.
A partir de una celosía compleja isostática estrictamente ligada, es fácil encontrar
una celosía simple que tenga los mismos nudos, en número y posición, y las mismas
ligaduras exteriores, que la celosía compleja que queremos estudiar. Las barras de ambas
celosías coincidirán en número pero los dos conjuntos de barras que definen ambas celosías
deben mostrar, obviamente, alguna diferencia.
Las figuras 20.1 y 20.2 muestran sendas celosías, la primera compleja y la segunda
simple. Ambas tienen los mismos nudos, el mismo número de barras, las mismas ligaduras
exteriores. Su diferencia estriba en que la celosía compleja contiene a la barra que une los
nudos 5 y 9 mientras que la celosía simple, en lugar de dicha barra, contiene a la que une
los nudos 4 y 8.
10
11
8
5
2
11
6
7
4
1
10
9
8
6
12
3
Figura 20.1
Celosía compleja: n=12; b=21; e=3
2n=b+e. Las ligaduras exteriores son
una articulación lisa en el nudo 1 y
un apoyo horizontal liso en el nudo 3.
9
7
5
4
1
12
2
3
Figura 20.2
Celosía simple: n=12; b=21; e=3
2n=b+e
Que la celosía de la figura 2 es una celosía simple se puede comprobar en la figura
20.3 en la que se muestra su generación. Se parte del triángulo con vértices en los nudos 12-4 y se van añadiendo de manera sucesiva los pares de barras que generan los nudos:
6,8,7,5,3,10,11,9 y 12. Estos son los nudos de la celosía compleja.
30
Figura 20.3
Generacion de la celosía simple por triangulación.
La celosía simple mostrada no es la única que se puede diseñar a partir de la celosía
compleja y con los requisitos mencionados, en la figura 20.4 se muestran otras
posibilidades.
Figura 20.4
Celosías simples con los mismos nudos y el mismo número de barras que la
celosía compleja representada en la figura 20.1.
Para la resolución de la celosía compleja con las cargas indicadas en la figura 20.5
recurriremos a la superposición de cargas sobre la celosía simple mostrada en la figura
20.6. El valor de la intensidad y los sentidos de las fuerzas “Q” se determinan por la
condición de que anulen la tensión en la barra situada entre los nudos 4 y 8 de la celosía
simple, la cual no aparece en la celosía compleja.
Celosías ideales
10
pág 31
11
12
h
6
10
11
h
8
j
8
g
P
9
i
f
o 6
a
7
e 4
d
g
e
5
c
2
7
1
P
a
5
b
2
3
m
n
P¦2
9
c
4
d
b 3
1
i
f
P
12
j
2P
P
Figura 20.5
Celosía compleja con su estado de carga y su correspondiente "diagrama de sólido libre"
o
o
P
h
j
g
h
i
e
⇔
c
n
d
2
P
j
g
a a'
k
i
f
k
e
b
m
1
d
Q
b
P
⇔
a
m
j
h
i
f
o
P
h
g
Q
c
n
o
P
k
e
a
+Q
c
b
P
i
f
k
e
d
n
j
g
1
a
1
c
d
b
m
Figura 20.6.
El valor que Q es el que hace nula la tensión en la barra f-k y
en este caso el valor de Q representará la tensión en la barra
Las tensiones en las barras de la celosía simple sometida a los dos sistemas de carga
que se muestran en las dos celosías de la derecha en la figura 20.6 pueden calcularse
mediante los correspondientes diagramas de Maxwell-Cremona ( figuras 20.7 y 20.8) y a
partir de ellos calcularemos las correspondientes tensiones en la barra f-k (la situada entre
los nudos 4 y 8), barra que no está presente en la celosía compleja..
El valor de Q que hace que sea nula la tensión en la barra 4-8 de la celosía simple
con las cargas indicadas en la segunda celosía (empezando por la izquierda) de las
representadas en la figura 20.6 es Q = - T1fk / T2fk = 0. En este caso el estado de
32
tensión de las barras de la celosía compleja es el mismo que tienen las barras coincidentes
en la celosía simple y la tensión en la barra 5-9 es nula ya que Q = 0.
Celosías ideales
pág 33
10
11
h
M=B
P
12
j
8
o
g
6
i
f
1,41 P
9
k
1,00 P
a
N
7
G=C=D=E=F=K
e
c
4
5
d
1
b
3
1,00 P
2
m
n
P¦2
2P
P
O
A=J=I=H
1,00 P
Figura 20.7
Con ayuda del Diagrama de Maxwell-Cremona (derecha) de la celosía simple con sus
corrspondientes cargas y ligaduras (izquierda) se calcula la tensión en la barra 4-8 que
es nula dado que coinciden en el correspondiente diagreama de Maxwell-Cremona los
puntos F y K: T1fk= 0
h
j
g
G=F
i
1
o
f
k
1,41
9
1,00
a
O=B=J=K
1
e
c
d
5
b
I
C
0,71
H
A
Figura 20.8
Diagrama de Maxwell-Cremona de la celosía simple sometida a dos fuerzas unita
opuestas en los nudos 5 y 9 tal como se indica en la figura de la izquierda. Para
cargas las fuerzas de ligadura son nulas. En este caso la tensión en la barra 4-8
T2(f-k) = -1
34
Cálculo gráfico de las fuerzas de ligadura exteriores en la celosìa compleja
representada en la figura 21.1.
P
b
11
10
9
8
Figura 21.1
Celosía compleja
a
16
17
13
14
18
6
c
12
1
15
g
2
e
3
d
5
4
P
e al
ent
val o
d
qui
R e aplica
rz a
a
F u e is te m
s
P
7
u
P
D
P
F1
E
F4
G
R
f1
A
P
U
B
f4
Figura 21.2
Determinación gráfica de la dirección de la fuerza
ejercida por la ligadura exterior en el nudo 1
Figura 21.3
Diagramas de las fuerzas exteriores
,aplicadas y de ligadura. En el de la izquierda
aparece la resultante R de las fuerzas
C
aplicadas y en el de la derecha figuran todas
las fuerzas aplicadas en el orden
correspondiente al D.M.C. nEn este último
también aparecen los polígonos de fuerza de
los nudos 1 y 7
Celosías ideales
pág 35
Resolución de la celosía representada en la figura 1 por el método de las secciones
P
Figura 21.4
Las líneas onduladas representan las secciones utilizadas
en el cálculo de las tensiones de las barras horizontales
afectadas
P
P
P
T3
T4
P
P
T12
T7
T13
T8
P
T5
2P/3
P
P
P
3P
figura 21.5
Fuerzas exteriores: aplicadas y de
ligadura
i
P
P
b
j
P
T9
P/3
n
k
q
p
T14
P/3
Figura 21.6
Tensiones en las barras horizontales seccionadas
P
P
P
P
P/3
P/3
2P/3
P
D
O
u
R
G
t
E
L
a
h
m
r
H P=M
v
K
I
P
g
f
l
e
P
(2P/3)
o
s
(P/3)
P
A
(P/3)
J
c
N
B=U=F
Q
T
D.M.C. completo
d
V
3P
C
Figura 21.7
En la celosía se han sustituido tres de las barras inferiores por las fuerzas que estas ejercen sobre
los correspondientes nudos y que han sido previamente calculadas por el método de las secciones
S
36
Resolución de la celosía representada en la figura 21.1 por el método de
Henneberg
P
P
P
P
Q
P
Figura 21.8
Celosía compleja
R
Q R
S
S
P
Figura 21.9
El estado de tensión de la celosía compleja representada
en la figura 21.8 es equivalente al de esta celosía simple,
siempre y cuando los valores de las fuerzas Q,R y S sean
tales que las tensiones en las barras, representadas con
líneas discontínuas, resulten nulas.
P
P
+Q
+R
1
+S
1
1
1
1
1
P
Figura 21.10
Descomposición del estado de carga de la celosía simple representada en
la figura 21.9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Figura 21.11
Diagramas de sólido libre de tres de los sistemas de carga en la celosia simple que
aparecen en la descomposición anterior. Las líneas discontínuas de las figuras inferiores
corresponden a barras para las que se aprecia a simple vista que su tensión es nula.
1
Celosías ideales
pág 37
Columna con las celosías simples con parejas
de cargas unitarias
Columna con los correspondientes
D.M.C.
A
E
a
b
c
h
B
H
F
d
1,0
g
e
G
1
1
f
Tensiones T1
C
D
T11=-3; T12=0;
T13=0
T11=-3,0
T21=-3,0
A
b
a
c
i
h
E
j
k
e
G
l
g
I=C=B
H
1,0
1
1
L
K
T21=-3; T22= -3; T23=0
Tensiones T2
J
T22=-3,0
A
a
b
c
i
j
E
m
n
h
o
e
l
1
L
H
M=J=I=C=B
T31=T32=-3,0
p
P
1
T31=T32=T33=-3
Tensiones T3
O
T33=-3,0
N
Figura 21.12
Diagramas de M.C. de la celosía simple sometida a las parejas de cargas
unitarias representadas en la figura anterior. Las líneas a trazos
corresponden a barras que a primera vista se aprecia que no soportan
tensiones.
38
P
Figura 21.13
Diagrama de Maxwell-Cremona de la celosía
simple con las cargas y ligaduras exteriores de la
celosía compleja medidas en la unidad "P".
r
P
b
a
h
c
d
P
w
n
k
t
q
s
P
G
m
f
u
D
j
g
e
A
i
P
3P
4,0
C
S
E
F
T1=-4P ; T2=-8P; T3=-P
W
T
H
U=R
B
M
Q
I
N
1,0
K
J
8,0
Sistema de ecuaciones para determinar las tensiones Q R y S
-3Q - 3R -3S - 4P = 0
-3R -3S - 8P = 0
-3S - P = 0
⇒ Q= 4P/3 ; R= -7P/3; S= -P/3
Ta=Q T1a + R T2a + S T3a
Celosías ideales
pág 39
0,33
O
D
1,00
1,33
0,67
R
L
G
E
H
P=M
3,00
K
I
2,33
N
J
A
Q
B=U=F
1,00
T
1,00
P
b
P
j
n
i
a
g
P
p
k
h
m
l
P
u
t
v c
r
o
s
0,33
C
S
0,33
d
e
f
q
V
P
3P
Figura 21.14.
Diagrama de Maxwell-Cremona de la celosía compleja referido a la unidad "P".
40
Celosía compleja resuelta con ayuda del método de las
secciones.
P
P
P
P
P
P
P
P
g
P
2P
Figura 22.1
Celosía compleja en la que se indica
la sección utilizada para su cálculo.
P
2,5P
0,5P
P
v
Figura 22.1
Diagrama de sólido libre de la
celosía compleja
P
P
P
0,8P
v
g
2,2P
polo de momentos
Figura 22.3
Anulando el momento resultante respecto del
polo señalado de este D.S.L se callcula el
valor 2.2P de la tensión de la barra vertical
g-v
escala
r
d
k
q
0,5P
2P
t
a
h
0
P
b
f
l
i
m
o
S
Q
P
u
e
P
R
A
v
c
g
j
n
2,2P
P
L
K
E
F
D
H
M
J
G=I
O=N
0
T
B
w
2,5P
P
s
P
Figura 22.4
En la celosía , la barra vertical g-v se ha
sustituido por las dos fuerzas opuestas
representadas de intensidad aproximada 2,2P cada
una.
C
escala
P
U
V
W
Figura 22.5
Diagrama de Maxwell-Cremona de la
celosía estudiada.
Celosías ideales
pág 41
Figura 23.1
Celosías ideales y simples.
En las tres celosías representadas a
la izuierda, el número de ecuaciones
independientes (2n=16) coincide
con el de sus incógnitas b+e=13+3.
En ausencia de fuerzas exteriores las
tensiones en las barras son
necesariamente nulas. Dos barras
cuyas rectas se cortan pueden
sustituirse por las cuatro definidas
por el nudo ficticio de su
intersección sin que se modifique el
estado de tensión de las barras (las
barras alineadas debidas al desdoble
que se articulan en el nudo añadido
tienen la misma tensión que la
barra que sustituyen.
Figura 23.2
Celosía hiperestática
n=9, b=16, e=3
El número de ecuaciones independientes (2n=18) es inferior al de
incógnitas: b+e=19
f
g
e
b
d
c
a
Figura 23.3
n=8, b=13, e=3 ⇒ 2 n = b + e.
Esta celosía en ausencia de fuerzas
exteriores no puede tener tensiones en
sus barras. Se trata de una celosía
compleja no crítica ya que no admite
tensiones en las barras en ausencia de
fuerzas aplicadas
f
f
g
e
b
d
g
e
b
d
c
c
a
a
a
d
Figura 24.1.
Celosía no rígida (Crítica)
n=16, b=39, e=3 ⇒ 2 n = b + e
En ausencia de fuerzas aplicadas las fuerzas de ligadura serán nulas.
Sustituimos una de sus barras por sendas fuerzas opuestas (BA y AB)
con la dirección de esta y aplicadas en los nudos en los que se
articulaba la barra suprimida (D.S.L. de la derecha). Mediante un
D.M.C. se comprueba que en este caso la celosía analizada puede
soportar tensiones en ausencia de fuerzas exteriores, luego la
celosía es crítica.
k
e
l
f
g
c
m
j
h
b
i
M
C
B=L
I
E=H
A=K
J
F
G
Diagrama de Maxwell-Cremona
42
Figura 24.2
Otra demostración del carácter crítico de la
celosía representada.
F
-F
Figura 24.3
Celosía simple que sólo difiere de la eanterior
en una barra añadida y en otra eliminada
Figura 24.4
Se han colocado sendas fuerzas opuestas en
los extremos de la barra suprimida
G
a
k
e
d
f
c
c'
J
K=A
E=H
L=B
-F
g
b
m
j
F
F
l
h
i
C=C'
I
M=D
Figura 24.5
En este caso las fuerzas de ligadura son nulas.
Figura 24.6
La tensión (CC´) en la barra añadida es nula,
luego la celosía original es crítica.
Celosías ideales
pág 43
T
A=C
f
a
e
c
b
F
D
T
d
B=E
T
Figura 25.
La celosía hexagonal con diagonales cruzadas es crítica , Si sustituimos una de sus
barras, en este caso la diagonal vertical, por sendas fuerzas opuestas de intensidad T,
mediante un D.M.C. comprobamos que dicha tensión no es necesariamente nula.
a
a
d
d
c
c
b
e
f
b
e
f
Figura 26
Esta celosía con nueve barras, siendo sus diagonales cruzadas. En esta celosía
ausencia de fuerzas exteriores las tensiones en las barras son necesariamente nulas.
Para comprobar esto último se puede empezar por el equilibrio del nudo central
inferior del que se deriva la anulación de la tensión de la barra vertical central, (en el
concurren tres barras dos alineadas y la tercera vertical). Si ahora pasamos al
equilibrio del nudo superior se ve que no pueden tener tensión las barras superiores
inclinadas. De forma sucesiva se deduce que ltodas las barras tendrán tensión nula.
44
a
T
T
C
b
e
c
d
T
A=E
L1
L2
L3
L4
B
D
Figura 27.
Esta celosía es crítica ya que, sin ser hiperéstática, en ausencia de fuerzas aplicadas admite
tensiones internas
a
b
C
d
c
e
D
A
B
E
Figura 28.
Con el mismo argumento deducimos que esta celosía también es crítica.
a
D
b
e
d
A
f
C
E
B
c
F
Figura 29.
Mostramos una nueva celosía crítica. Aprecien que las tres celosías representadas en esta
página son simétricas.
Celosías ideales
pág 45
Otros ejemplos de celosías críticas
nudo
Figura 30.2
Laelosía con siete barras, por tener las
dos superiores alineadas es una celosía
crítica.
Figura 30.1
Celosía en forma de hexágono regular en la
que las barras diagonales se cruzan
a
b
C
d
c
E
e
A
B
D
Figura 30.3
Esta celosía es crítica ya que, no siendo hiperestática, en ausencia de fuerzas
exteriores admite tensiones en sus barras
l
j
i
k
m
f
e
d
E=H
h
F
g
c
b
a
D
G
C
B
Figura 30.4
Comprobamos quees crítica esta celosía ya que también admite un estado de tensión no
nulo en ausencia de fuerzas exteriores sin ser una estructura hiperestática. En esta
comprobación se ha sustituido una barra vertical de esta celosía presuntamente crítica por
dos fuerzas opuestas aplicadas a los nudos en los que se articulaba dicha barra. En esta
situación, las fuerzas debidas a las ligaduras exteriores son nulas.
46
C
b
e
c
D
A
B
d
a
Figura 30.5
Celosía no rígida (crítica)
E
a
C
b
d
c
incompatibilidad
E
e
A
B
E
Figura 31.1
Esta celosía no es crítica. En ausencia de fuerzas exteriores no atmite tensiones internas.
Hemos supuesto un valor no nulo para la tensión en la barra horizontal superior y al dibujar
el correspondiente D.M.C. han aparecido incompatibilidades.
C
b
d
c
e'
e
a
A
E
0, 5
3P
B
E'
D
1,00 P
Figura 31.2
Analizamos ahora por el método de Henneberg
la celosía representada en la figura 31.1.
Vemos que no es nula la tensión en la barra
añadida EE´ de la celosía simple equivalente,
luego la celosía estudiada no es crítica.