Departament de Matemàtica ETSEA-UdL Fonaments de Matemàtica I 11 de Gener de 2006 Segona Part 1.- Calculeu els lı́mits: arctg(sin(x − 1)) a) lim x→1 x2 − 1 b) lim x→π/2 1 x − π/2 . (sin x) Solució: a) Utitzant les equivalències sin a → a, arctg a → a quan a → 0, es pot escriure lim x→1 b) Fent L = lim x→π/2 arctg(sin(x − 1)) x−1 1 1 = lim 2 = lim = . x→1 x − 1 x→1 x + 1 x2 − 1 2 1 x − π/2 i prenent logaritmes es pot escriure (sin x) ln L = lim x→π/2 ln(sin x) cos x = lim = 0, x − π/2 x→π/2 sin x on, a l’últim pas, s’ha aplicat la regla de L’Hôpital. Per acabar, només resta calcular l’exponencial del resultat L = e0 = 1. 2.- Digueu si la recta y = −x i la funció y = x3 − x2 − 2x + 1 són tangents en algun punt. En cas afirmatiu digueu en quin punt. Solució: En primer lloc, es busquen els punts d’intersecció de la recta amb la corba. x3 − x2 − 2x + 1 = −x −→ x3 − x2 − x + 1 = 0 −→ x = ±1. De fet, es comprova que la solució x = 1 és doble. A continuació es mira si la derivada de la funció f (x) = x3 − x2 − 2x + 1 és igual a −1 en alguna de les solucions trobades. f " (x) = 3x2 − 2x − 2 −→ f " (1) = −1, f " (−1) = 3. Per tant, la recta i la corba són tangents quan x = 1, és a dir, en el punt (1, −1). 3.- Estudieu els extrems relatius de la funció f (x) = ax2 + x en funció del paràmetre a. 3ax + 4 Solució: Es comença resolent f " (x) = 0. f " (x) = 3a2 x2 + 8ax + 4 =0 (3ax + 4)2 −→ 3a2 x2 + 8ax + 4 = 0 −→ x1 = − 2 2 , x2 = − . 3a a Aquesta resolució només té sentit quan a #= 0. Ara es calcula i simplifica la derivada segona f "" (x) = 8a . (3ax + 4)3 2 2 Operant i simplificant, f "" (− ) = a i f "" (− ) = −a. Aixı́, si a > 0, x1 és un mı́nim relatiu i x2 és un 3a a màxim. Si a < 0 la situació s’inverteix. x Finalment, si a = 0, f (x) = i la funció no té extrems relatius. 4 4.- Calculeu el polinomi de Taylor de grau 4 de la funció g(x) = ln(sin x) entorn de x = Solució: g(x) = ln(sin x), g " (x) = cos x , sin x 1 , sin2 x cos x g """ (x) = 2 3 , sin x g "" (x) = − g IV (x) = − 2 + cos2 x , sin4 x Llavors, P4 (x) = − g(π/2) = 0. g " (π/2) = 0. g "" (π/2) = −1. g """ (π/2) = 0. g IV (π/2) = −2. 1 ! 2 ! π "2 π "4 x− − x− . 2! 2 4! 2 π . 2 5.- Calculeu el polinomi de Taylor de grau 4 de la funció F (x, y) = sin(x + y 2 ) entorn del punt (π, 0). Solució: F (x, y) = sin(x + y 2 ), F (π, 0) = 0. ∂F = cos(x + y 2 ), ∂x ∂F (π, 0) = −1. ∂x ∂F = 2y cos(x + y 2 ), ∂y ∂F (π, 0) = 0. ∂y ∂2F = − sin(x + y 2 ), ∂x2 ∂2F (π, 0) = 0. ∂x2 ∂2F = −2y sin(x + y 2 ), ∂x∂y ∂2F (π, 0) = 0. ∂x∂y ∂2F = 2 cos(x + y 2 ) − 4y 2 sin(x + y 2 ), ∂y 2 ∂2F (π, 0) = −2. ∂y 2 ∂3F = − cos(x + y 2 ), ∂x3 ∂3F (π, 0) = 1. ∂x3 ∂3F = −2y cos(x + y 2 ), ∂x2 ∂y ∂3F (π, 0) = 0. ∂x2 ∂y ∂3F = −2 sin(x + y 2 ) − 4y 2 cos(x + y 2 ), ∂x∂y 2 ∂3F (π, 0) = 0. ∂x∂y 2 ∂3F = −12y sin(x + y 2 ) − 8y 3 cos(x + y 2 ), ∂y 3 ∂3F (π, 0) = 0. ∂y 3 ∂4F = sin(x + y 2 ), ∂x4 ∂4F (π, 0) = 0. ∂x4 ∂4F = 2y sin(x + y 2 ), ∂x3 ∂y ∂4F (π, 0) = 0. ∂x3 ∂y ∂4F = −2 cos(x + y 2 ) + 4y 2 sin(x + y 2 ), ∂x2 ∂y 2 ∂4F (π, 0) = 2. ∂x2 ∂y 2 ∂4F = −12y cos(x + y 2 ) + 8y 3 sin(x + y 2 ), ∂x∂y 3 ∂4F (π, 0) = 0. ∂x∂y 3 ∂4F = −48y 2 cos(x + y 2 ) − 12 sin(x + y 2 ) + 16y 4 sin(x + y 2 ), ∂y 4 ∂4F (π, 0) = 0. ∂y 4 P (x, y) = −(x − π) + 1 1 1 1 1 (−2y 2 ) + (x − π)3 + (6 · 2 · (x − π)2 y 2 ) = π − x − y 2 + (x − π)3 + (x − π)2 y 2 . 2! 3! 4! 6 2