métodos matemáticos para físicos II 8

Métodos Matemáticos para Físicos II
CICLO 2018-2
Material de Estudio No 8
(CF391-A)
Teoría del potencial
1.
Hallar el potencial volumétrico:
a)
de las masas distribuidas, con densidad constante
b)
de las masas distribuidas dentro de la esfera de radio
capa esférica
c)
2.
b < r < c (b > a),
ρ0 ,
a
con densidad constante
de las masas distribuidas dentro de la esfera de radio
el problema interno de Dirichlet para el círculo,
b)
el problema externo de Dirichlet para el círculo,
c)
el problema interno de Neumann para el círculo,
d)
el problema interno de Neumann para el círculo,
e)
el problema interno de Dirichlet para el semiespacio.
con densidad contante
r=c
y dentro de la
con densidad variable
Halle el potencial de capa simple
ρ = ρ(r).
V (x, y)
de una masa que se encuentra distribuida por la circunferencia
b)
de una masa que se encuentra distribuida por la esfera
Halle el potencial de capa doble
cunferencia
5.
ρ1
ρ2 ;
a)
4.
a ≤ r ≤ b;
Utilizando la teoría de potenciales resolver:
a)
3.
en la capa esférica
2
2
x +y =R
2
con
W (x, y) de
densidad ν = x;
x2 +y 2 = R2
x2 + y 2 + z 2 = 1
con densidad
con densidad
µ = 1;
µ = 1.
una masa que se encuentra distribuida por la cir-
Halle las ecuaciones integrales de Fredholm de segundo género a las cuales se reducen los pro-
blemas de Dirichlet y Neumann (tanto interno como externo) para las funciones armónicas.
Ecuaciones integrales
Ecuaciones homogéneas
6.
Determinar las funciones propias y los valores propios de las siguientes ecuaciones integrales
Z1
a)
y(x) = λ
Zπ
(xs + x2 s2 )y(s)ds + f (x)
f)
sen x cos s, 0 ≤ x ≤ s
k(x, s) =
sen s cos x, s ≤ x ≤ π.
Z2π
y(x) = λ
sin(x + s)y(s)ds + f (x)
0
Z1
g)
y(x) = λ
donde
0
(x cosh s−s sinh x)y(s)ds+f (x)
s(x − 1), 0 ≤ x ≤ s
k(x, s) =
x(s − 1), s ≤ x ≤ 1.
−1
Z2π
d)
K(x, s)y(s)ds,
y(x) = λ
Z1
c)
donde
0
−1
b)
K(x, s)y(s)ds,
y(x) = λ
y(x) = λ
Z1
sin x cos sy(s)ds + f (x)
h)
0
y(x) = λ
e−(x+s) y(s)ds + f (x)
0
Z2
Z2π
e)
sin(x − s)y(s)ds + f (x)
y(x) = λ
i)
y(x) = λ
√
xsy(s)ds + f (x)
1
0
Ecuaciones no homogéneas
7.
Construir la resolvente para la ecuación
Zb
y(x) = λ
K(x, s)y(s)ds + f (x),
a
en los siguientes casos:
a)
K(x, s) = xes , a = 0, b = 1, |λ| < 1;
b)
−(x
K(x,
r s) = e
8
;
π
c)
8.
, a = 0, b = ∞, |λ| <
K(x, s) = x+sen s, a = −π, b = π, |λ| <
1
(x + s)y(s)ds + ax + b;
y(s) = λ
−1
Z
b)
d)
K(x, s) = cos2 (x − s), a = −π, b = π;
e)
K(x, s) = xs2 + x2 s, a = −1, b = 1;
f)
K(x, s) = 1 + cos(x − s), a = −π, b = π;
Resolver las siguientes ecuaciones integrales para diferentes valores de los parámetros:
Z
a)
2 +s2 )
1
;
2π
1
y(s) = λ
−1
(x2 s + xs2 )y(s)ds + ax + bx3 ;
Z
c)
1
(1 + x)(1 − s)y(s)ds + aex + b;
y(s) = λ
−1
Z
d)
2π
sen(2x − s)(1 − s)y(s)ds + a(sen x − sen3 x) + b cos x;
y(s) = λ
0
Z
e)
1
((i + 1)x + (i − 1)s)y(s)ds + aeix + b;
y(s) = λ
−1
Z
f)
1
y(s) = λ
0
Z
g)
1
Z
1/2
(x2 + y 2 )(ξ 2 + η 2 )
u(ξ, η)dξdη + f (x, y);
0
1
Z
1
Z
1
xyzξηχdξdηdχ + f (x, y, z);
y(s) = λ
−1
−1
−1
Los profesores