Descripción del comportamiento mecánico de enrocamientos mediante un modelo de ductilidad Description of mechanical behavior of rockfill using a ductility model Carmelino ZEA1, Rigoberto RIVERA1, Jorge B. GUILLÉN2 y Humberto MARENGO3 Facultad de Ingeniería, UNAM del Programa de Posgrado en Ingeniería, UNAM 3Subdirector de Proyectos y Construcción, CFE 1Profesores, 2Graduado RESUMEN: El Principio de Proporcionalidad Natural (PPN) de Juárez-Badillo (1985), establece una relación entre la deformación natural y el esfuerzo desviador, sin embargo, en este trabajo se aplica dicho principio de una manera un poco diferente, ya que la deformación unitaria se asocia con el módulo secante con lo que, al resolver la ecuación diferencial correspondiente, se logra unificar los dos tramos de la curva esfuerzo-deformación pre-pico y pos-pico en una sola ecuación que depende de tres parámetros; los dos primeros (incluidos también en el modelo de Duncan y Chan, 1970) son: el módulo tangente inicial y el esfuerzo desviador de falla en la rama del pos-pico y el tercero, denominado por los autores “exponente de ductilidad”, controla la “forma” y permite describir el “descenso” (pospico) de la curva esfuerzo-deformación. El modelo propuesto permitió ajustar las curvas experimentales esfuerzo-deformación y módulo secante contra deformación axial, de diferentes enrocamientos que fueron empleados en la construcción de la presa “La Yesca”. En todos los materiales ensayados se encontró que el parámetro de ductilidad es del orden de 2.0, por lo que ese valor puede ser representativo de los enrocamientos ensayados y probablemente pudiera extenderse a otros enrocamientos de características similares. ABSTRACT: The Juarez-Badillo’s Principle of Natural Proportionality (PNP,1985) establishes a relationship between the natural strain and deviator stress however in this work that principle is applied in slightly different way, since the strain is associated with the secant module so that, by solving the corresponding differential equation, it manages to unify the two branches of the stress-strain pre-peak and post-peak curves in a single equation which depends on three parameters; the first two (also included in the Duncan and Chan’s model, 1970) are the initial tangent modulus and the deviator stress failure in post-peak branch and the third, called by the authors "ductility exponent," controls "form" and allows to describe the "fall" (post-peak) of the stress-strain curve. Proposed model has allowed fitting the experimental stress-strain curves and secant modulus against axial deformation of different rockfills that were employed in the construction of the rockfill dam "La Yesca". In all tested materials it was found that the parameter of ductility had a value around 2.0, so that value may be representative of the tested rockfills and probably could be extended to other similar characteristics rockfills. 1 INTRODUCCIÓN Actualmente para describir el comportamiento esfuerzo-deformación de los suelos granulares (arenas y gravas) se dispone de varios modelos de comportamiento, la mayoría de ellos basados en conceptos de elasticidad y plasticidad cuando las deformaciones son independientes del tiempo y adicionando la viscosidad en caso contrario. Uno de los modelos de comportamiento más utilizados en la práctica profesional por su sencillez y de fácil implementación en las modelaciones numéricas empleando el método del elemento finito es el de Duncan y Chan (1970) que es una extensión del modelo hiperbólico de Kondner (1963). Una manera totalmente diferente de estudiar el comportamiento esfuerzo-deformación-tiempo de los geomateriales es la que propone el Profesor Eulalio Juárez Badillo desde hace décadas (Juarez-Badillo, 1985) bajo la premisa de que todos los fenómenos de la naturaleza deben ser ordenados y simples, principio que el propio autor ha denominado de proporcionalidad natural (PPN). La cualidad de orden significa que se pueden describir mediante ecuaciones matemáticas en un dominio completo (desde cero hasta infinito), para lo cual resulta conveniente manejar deformaciones naturales (Hencky) en lugar de las deformaciones de Cauchy, en tanto que la cualidad de la simplicidad significa que dichas ecuaciones deben ser lo más simples posibles. Este principio ha dado origen a varias ecuaciones teóricas que permiten describir el comportamiento mecánico de los geomateriales, en dos tramos de la curva esfuerzo-deformación denominados, pre-pico y pos-pico, respectivamente, ecuaciones que han sido aplicadas con éxito en el caso de arenas y arcillas sometidas a pruebas SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C. 2 Descripción del comportamiento mecánico de enrocamientos mediante un modelo de ductilidad triaxiales de compresión, extensión y de corte directo (Juárez-Badillo, 1997). En el caso de los enrocamientos se cuenta con relativamente poca información experimental sobre su comportamiento esfuerzo-deformación, sobre todo para deformaciones mayores a las asociadas a la resistencia pico (>5%), en la rama pos-pico, debido principalmente a limitaciones experimentales y a la generación de deformaciones no homogéneas en las probetas ensayadas. En este trabajo se aplica el PPN a la descripción del comportamiento esfuerzo-deformación de los enrocamientos de una manera un poco diferente a como lo estableció su autor, buscando con ello unificar los dos tramos de la curva esfuerzodeformación denominados pre-pico y pos-pico, respectivamente, mediante una sola ecuación de comportamiento. 2 PLANTEAMIENTO DEL MODELO El principio de proporcionalidad natural permite establecer una relación entre los esfuerzos desviadores y las deformaciones naturales en una probeta de suelo sometida a una prueba de compresión triaxial. Sin embargo, si en lugar de escoger como variable independiente al esfuerzo desviador, se escoge el módulo secante (que es igual a la relación entre el esfuerzo desviador y la defomación natural axial correspondiente), se llega a una relación que puede ser extendida de manera unificada tanto a la rama pre-pico como pos-pico. Se postula que cuando la deformación natural vale cero el módulo secante de la curva esfuerzodeformación es igual al Módulo tangente inicial, Eo, asimismo cuando la deformación es muy grande (infinita) el módulo secante es igual a cero (que es el momento en que el material alcanza su resistencia residual, qr). Bajo este postulado el módulo secante no tiene un dominio completo en el campo de los números reales, esto es de cero hasta infinito, como lo exige el PPN para poder ser aplicado, por lo que se tiene que plantear un cambio de variable; llamando a x(Es), la función con dominio de cero a infinito, correspondiente a Es, se tiene que: 1 1 x E s Eo (1) La ecuación diferencial a resolver será entonces: dx d x ln 1 C donde H deformación unitaria de Cauchy; Ho C Ho = altura inicial de la muestra; H = Variación de la altura debida a la aplicación de un esfuerzo desviador, q = 1 -3. La solución de la anterior ecuación diferencial es: x x50 * (4) Siendo * la deformación característica para la cual x=x50, donde x50 el valor de x cuando el módulo secante vale la mitad del módulo tangente inicial, E0, así de la ecuación (1) se obtiene: x50 1 Eo (5) Reemplazando las ecuaciones (1) y (5) en la ecuación (4) y ordenando términos se obtiene: 1 1 1 E s Eo * (6) De donde: E s Eo 1 * 1 (7) Dado que Es es igual al esfuerzo desviador entre la deformación, de la ecuación (6) se obtiene: q 1 1 Eo Eo * (8) En este trabajo se postula que el esfuerzo desviador residual se puede evaluar como: qr Eo * (9) Sustituyendo (9) en (8) queda: q (2) siendo y un parámetro adimensional que en lo sucesivo se denominará “exponente de ductilidad”; = deformación natural, definida como: (3) 1 Eo qr (10) Recordando que la ecuación de Kondner es: q a b SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C. (11) 3 ZEA C. et al. Ahora bien, tomando en cuenta la ecuación (10), el módulo secante Es se puede expresar como: 1 Es E0 qr 1 (12) Esta última ecuación permite hacer el ajuste de las curvas módulo secante-deformación natural axial. 3 APLICACIÓN AL CASO DE ARENAS De los resultados experimentales obtenidos por Jerónimo (2003) se retomó un ensaye triaxial llevado a cabo a diferentes esfuerzos de confinamiento en un marco de carga con velocidad de deformación controlada, en arena de Ottawa, del tipo consolidado drenado (CD) con medición de cambios volumétricos, con densidad de sólidos de 2.64 y compacidades relativas desde media a densa, en material que pasa la malla No. 60. En las figuras 1 y 2 se presentan las curvas esfuerzo-deformación natural y módulos secantes contra deformación natural, experimentales y teóricas, para cada una de las pruebas realizadas. 1200 Dr = 55.63% 1000 3 (kPa) q (kPa) 800 100 300 500 Ajuste Dr = 55.94% 600 400 Dr = 56.56% 200 0 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 Figura 1. Curvas esfuerzo-deformación natural axial, ajustadas con el modelo de ductilidad para las arenas. 2.E+05 2.E+05 3 (kPa) 100 300 500 Ajuste Dr = 55.63% 1.E+05 1.E+05 Es (kPa) Donde: 1/a = E0 (módulo tangente inicial); 1/b = qa (resistencia máxima teórica) Se observa que para = 1 (material totalmente dúctil), lsegregaa ecuación (10) degenera en la ecuación (11) de Kondner. Valores de mayores a uno pueden representar una falla frágil. Para ajustar las curvas esfuerzo-deformación se debe considerar primero la ecuación (8) y proceder como sigue: 1. Con los primeros puntos de la curva esfuerzodeformación estímese un valor para el módulo tangente inicial, E0. 2. Con los últimos puntos y la tendencia de la rama pos-pico de la curva esfuerzodeformación propóngase un valor del esfuerzo residual, qr. 3. Con la mitad del valor de qr ubíquese el punto sobre la curva esfuerzo-deformación cuya proyección sobre el eje de las abscisas se debe tomar como una primera aproximación de la deformación característica ε*. 4. Con la tendencia de la rama pos-pico propóngase un valor del exponente de ductilidad, . Tómese en cuenta que a mayor ductilidad del material, menor es el valor de . 5. Con los parámetros estimados anteriormente se construye la curva esfuerzo–deformación teórica con la ecuación (8). 6. Verifíquese la calidad del ajuste de los puntos experimentales y si la dispersión es considerable modifíquense los valores de los parámetros propuestos hasta lograr el mejor ajuste. Con cierta intuición y práctica es posible identificar la sensibilidad de los parámetros involucrados en la ecuación (10). 7. Calcúlese mediante la ecuación (9) y el ajuste final el valor de qr. 1.E+05 8.E+04 Dr = 55.94% 6.E+04 4.E+04 2.E+04 Dr = 56.56% 0.E+00 0.001 0.010 0.100 1.000 Figura 2. Módulos secantes ajustados con el modelo de ductilidad para el caso de arenas. En la figura 1 se observa que el modelo de ductilidad predice bastante bien el comportamiento del material hasta deformaciones del orden de 20%, pero para deformaciones mayores se pierde precisión en la predicción, sin embargo, esto puede atribuirse a los problemas experimentales que existen para mantener las deformaciones homogéneas. Los parámetros de la ecuación (10) que permitieron el mejor ajuste de los datos experimentales se muestran en la siguiente tabla: SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C. Descripción del comportamiento mecánico de enrocamientos mediante un modelo de ductilidad 4 Tabla 1. Parámetros de ajuste obtenidos con la ecuación 10 para el caso de arenas. _____________________________________________________ s3 (kPa) E0 (kPa) ε* qr (kPa) _____________________________________________________ 100 51,000 0.00575 1.13 150.0 300 85,000 0.01040 1.13 488.3 500 168,000 0.00910 1.13 829.9 _____________________________________________________ Si bien el exponente de ductilidad, ψ, varía en función del esfuerzo de confinamiento inicial, s3, para el rango de esfuerzos de confinamiento empleado en las pruebas (entre 100 y 500 kPa) fue posible llevar a cabo los ajustes manejando un valor medio igual a 1.13. Los parámetros E0 y qr se grafican en función del esfuerzo de confinamiento en la figura 3, para estimar las leyes fenomenológicas correspondientes. 1.8E+05 Módulo inicial, Eo Resistencia residual, qr (Multiplicada por 100) 1.4E+05 3000 1.2E+05 e0=0.31 y = 0.6125x2 - 75x + 52375 1.0E+05 2500 8.0E+04 6.0E+04 y = 164.71x 4.0E+04 2.0E+04 0.0E+00 0 100 200 300 400 e0=0.31 2000 500 600 Esfuerzo de confinamiento inicial, 3 (kPa) q (kPa) Valor del Parámetro (kPa) 1.6E+05 Usando una cámara triaxial de gran tamaño (Marsal, 1975) se llevaron a cabo series de ensayes triaxiales de compresión consolidados drenados (CD), en muestras de enrocamiento de 30 cm de diámetro y 70 cm de altura. El tamaño máximo de partículas fue de 38 mm, densidad de sólidos de 2.63 y relación de vacíos alrededor de 0.30, este último valor corresponde a un estado denso del material. Mediante la ecuación (10) se ajustaron las curvas esfuerzo – deformación de los enrocamientos siguiendo el proceso indicado en el inciso 2. En la figura 4, puede apreciarse el ajuste obtenido con el modelo de ductilidad para el material aluvión para esfuerzos de confinamiento de 490.5, 1471.5 y 1962 kPa, respectivamente. De las curvas esfuerzo – deformación natural axial experimentales se puede observar que los esfuerzos máximos se alcanzan para pequeños niveles de deformación, entre 2.0 y 3.5%. La figura 5 muestra el ajuste del módulo secante obtenido para el material aluvión. 1500 1000 98.1 294.3 490.5 Ajuste 500 4 DESCRIPCIÓN DE LOS ENROCAMIENTOS DE LA CENTRAL HIDROELÉCTRICA “LA YESCA” 0 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045 0.050 Figura 4. Curvas esfuerzo–deformación natural axial para el aluvión, ajustadas con el modelo de Ductilidad. 2.5E+05 2.0E+05 Es (kPa) La información experimental disponible de pruebas triaxiales sobre enrocamientos es escasa en comparación con la de las arcillas y arenas, debido principalmente al tamaño de las probetas que se requieren para garantizar la representatividad de las mismas, lo que demanda a su vez un equipo de pruebas no convencional y costoso, lo cual sólo se justifica en obras de gran magnitud como fue el caso de la Central Hidroeléctrica La Yesca, una presa de enrocamiento con cara de concreto de 207 m de altura, una de las más grandes de su tipo en el continente americano, ubicada en el occidente de la república mexicana. De los resultados experimentales de este proyecto, se seleccionaron tres ensayes de compresión triaxial llevados a cabo a diferentes esfuerzos de confinamiento y compacidad relativa. Los materiales ensayados fueron gravas de aluvión, enrocamiento de dacita fluidal y enrocamiento de dacita porfídica. 3 (kPa) e0=0.30 Figura 3. Parámetros E0 y qr graficados en función del esfuerzo de confinamiento inicial σ3 (arenas). 1.5E+05 3 (kPa) 98.1 294.3 490.5 Ajuste e0=0.31 e0=0.31 1.0E+05 e0=0.30 5.0E+04 0.0E+00 0.0010 0.0100 0.1000 Figura 5. Curvas módulo secante–deformación natural axial para el aluvión, ajustadas con el modelo de ductilidad. SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C. 5 ZEA C. et al. En la figura 5 se aprecia que para el esfuerzo de confinamiento mayor, 1962 kPa, se tienen problemas de ajuste. Esto se puede atribuir al cambio en la relación de vacíos que sufre la probeta debido a la magnitud del esfuerzo de confinamiento aplicado, pues este fenómeno es menos notorio para esfuerzos de confinamiento menores a 500 kPa, lo que se traduce en un mejor ajuste. Los parámetros de ajuste obtenidos para el material aluvión, se muestran en la tabla 2: aluvión, con valores de 98.1, 294.3 y 490.5 kPa, menores a 500 kPa, por lo que los ajustes del módulo secante no presentan una dispersión considerable. Se observa en la figura 7 que para el confinamiento de 294.3 kPa, la falla de alcanzó para un nivel de deformación máxima de 4.5%, en tanto que para los otros esfuerzos de confinamiento empleados la falla se presentó para niveles de deformación menores (entre 2 y 3%). 3000 e0=0.31 Tabla 2. Parámetros de ajuste del aluvión 2500 _____________________________________________________ s3 (kPa) E0 (kPa) ε* qr (kPa) _____________________________________________________ 300,000 0.0168 2.0 85.0 1471.5 600,000 0.0238 2.0 340.0 1962.0 920,000 0.0228 2.0 480.0 _____________________________________________________ 3 (kPa) e0=0.30 98.1 294.3 490.5 Ajuste 500 0 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045 0.050 Figura 7. Curvas esfuerzo desviador – deformación natural axial para la dacita fluidal ajustadas con el modelo de ductilidad. 2.5E+05 2.0E+05 1.5E+05 3 (kPa) 98.1 294.3 490.5 Ajuste e0=0.31 e0=0.31 1.0E+05 e0=0.30 1.0E+06 Valor del Parámetro (kPa) 1500 1000 Es (kPa) Como ya se mencionó para el caso de las arenas el exponente de ductilidad, ψ, varía en función del esfuerzo de confinamiento inicial, s3, lo cual también se pudo observar en el caso de los enrocamientos, sin embargo, para el rango de esfuerzos de confinamiento empleado en las pruebas (entre 100 y 2000 kPa) nuevamente fue posible llevar a cabo los ajustes manejando un valor medio de este parámetro, en este caso igual a 2.0. Los parámetros E0 y qr se grafican en la figura 6 en función el esfuerzo de confinamiento para estimar las leyes fenomenológicas. El módulo tangente inicial E0 y la resistencia residual qr, se graficaron en una escala doble logarítmica lo que condujo a una línea recta en ambos casos (ajuste potencial). La resistencia residual se graficó multiplicada por 100 para poder apreciar ambos parámetros en la misma gráfica. e0=0.31 2000 q (kPa) 490.5 5.0E+04 y = 2655.1x0.7591 0.0E+00 0.0010 0.0100 0.1000 1.0E+05 Figura 8. Curvas módulo secante–deformación natural axial para la dacita fluidal ajustadas con el modelo de ductilidad. y = 23.72x 1.0E+04 Módulo inicial Eo Resistencia residual qr, (Multiplicada por 100) 1.0E+03 100 1000 10000 Esfuerzo de confinamiento inicial, σ3 (kPa) Figura 6. Parámetros E0 y qr graficados vs el esfuerzo de confinamiento inicial σ3 (aluvión). A continuación se presentan los ajustes de las curvas esfuerzo–deformación natural axial y módulo secante – deformación natural axial, para el material dacita fluidal (Figuras 7 y 8). Los esfuerzos de confinamiento aplicados fueron menores que en el Los parámetros de ajuste del modelo de ductilidad para la dacita fluidal, se presentan en la tabla 3; y las gráficas de E0 y qr contra el esfuerzo de confinamiento inicial, se presentan en la Figura 9. Tabla 3. Parámetros de ajuste de dacita fluidal _____________________________________________________ s3 (kPa) E0 (kPa) ε* qr (kPa) _____________________________________________________ 98.1 56,000 0.0267 2.0 40.0 294.3 130,000 0.0291 2.0 110.0 490.5 190,000 0.0281 2.0 150.0 _____________________________________________________ SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C. Descripción del comportamiento mecánico de enrocamientos mediante un modelo de ductilidad 6 Nuevamente para el esfuerzo de confinamiento mayor, 1962 kPa, se observan problemas con el ajuste del módulo secante al inicio de la prueba, sin embargo, como en el caso de los otros materiales, los ajustes son muy buenos para el resto de los esfuerzos de confinamiento utilizados. Los parámetros de ajuste del modelo de ductilidad para la dacita porfídica, se presentan en la tabla 4; y la gráfica de E0 y qr contra el esfuerzo de confinamiento inicial, se presenta en la figura 12. 1.0E+06 Valor del Parámetro, (kPa) Módulo inicial Eo y = 1716.8x0.7603 Resistencia residual qr (Multiplicada por 100) 1.0E+05 1.0E+04 y = 32.62x 1.0E+03 10 100 1000 Esfuerzo de confinamiento inicial, σ3 (kPa) Figura 9. Parámetros E0 y qr en función del esfuerzo de confinamiento inicial σ3 (dacita fluidal). Se manejó nuevamente un valor para el parámetro igual a 2.0. Para el caso de la dacita porfídica, se obtuvieron los ajustes presentados en las figuras 10 y 11. Tabla 4. Parámetros de ajuste de dacita porfídica _____________________________________________________ s3 (kPa) E0 (kPa) ε* qr (kPa) _____________________________________________________ 490.5 200,000 0.0267 2.0 165.0 1471.5 380,000 0.0355 2.0 480.0 1962.0 430,000 0.0398 2.0 680.0 _____________________________________________________ Una vez más, se usa un valor de igual a 2.0 para el caso de la dacita porfídica, y al igual que los casos anteriores, se maneja independiente del esfuerzo de confinamiento inicial σ3. 9000 e0=0.317 8000 e0=0.322 7000 1.0E+06 Módulo inicial Eo 5000 Valor del Parámetro, (kPa) q (kPa) 6000 4000 e0=0.322 3000 3 (kPa) 2000 490.5 1471.5 1962 Ajuste 1000 0 0.000 0.020 0.030 0.040 0.050 0.060 y = 33.914x 100 1000 10000 3 (kPa) 490.5 1471.5 1962 Ajuste e0=0.317 5.0E+05 e0=0.322 4.0E+05 3.0E+05 e0=0.322 2.0E+05 1.0E+05 0.0100 Figura 12. Parámetros E0 y qr en función del esfuerzo de confinamiento inicial, σ3 (dacita porfídica). 5 CONCLUSIONES 7.0E+05 Es (kPa) 1.0E+05 Esfuerzo de confinamiento inicial, σ3 (kPa) Figura 10. Curvas esfuerzo–deformación natural axial para la dacita porfídica ajustadas con el modelo de ductilidad. 0.0E+00 0.0010 y = 6213.1x0.5611 1.0E+04 0.010 6.0E+05 Resistencia residual, qr (Multiplicada por 100) 0.1000 Figura 11. Curvas módulo secante – deformación natural axial para la dacita porfídica ajustadas con el modelo de ductilidad. El modelo de ductilidad propuesto permitió ajustar las curvas experimentales esfuerzo-deformación axial y módulo de deformación-deformación axial, para los enrocamientos ensayados, usando las ecuaciones 10 y 12, respectivamente. En todos los materiales se encontró que el parámetro de ductilidad se manejó independiente del esfuerzo de confinamiento inicial con un valor de =2.0, por lo que el valor encontrado para dicho parámetro puede ser representativo de los enrocamientos ensayados, y probablemente pudiera extenderse dicho valor a otros enrocamientos de características similares a los ensayados; nótese que el parámetro controla la forma y el descenso de la curva esfuerzo– deformación. SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C. ZEA C. et al. Los ajustes de las curvas esfuerzo desviador– deformación axial y módulo secante–deformación natural axial con el modelo de ductilidad, son bastante buenos tomando en cuenta el escaso número de puntos experimentales con los que se contó para algunas pruebas, presentando sólo algunas dispersiones iniciales en el ajuste de módulos secantes para altos esfuerzos de confinamiento, lo que fue más notorio para el esfuerzo de confinamiento mayor utilizado en los ensayes, de 1962 kPa. Al analizar los parámetros obtenidos del modelo de ductilidad, se observó claramente que mientras mayor fue el esfuerzo de confinamiento inicial (σ3), mayor fue el módulo de elasticidad inicial E0 presentando una ley de variación lineal con el esfuerzo de confinamiento en una escala doble logarítmica El esfuerzo desviador residual, qr, presentó un comportamiento similar al módulo de deformación en función del esfuerzo de confinamiento. Estos primeros resultados relativos a la ley de variación de algunos parámetros del modelo de ductilidad pueden ser de utilidad para futuros análisis numéricos del comportamiento de presas de tierra y enrocamiento. El comportamiento elástico en los enrocamientos se mantuvo hasta un nivel de la deformación axial del orden de 0.5%, lo cual se puede apreciar en las figuras 5, 8 y 11, en donde el módulo secante teórico se mantiene aproximadamente constante hasta el nivel de deformación referido. En estas mismas figuras puede notarse que la deformación natural axial correspondiente a la resistencia máxima del material (valor pico en las curvas de las figuras 4, 7 y 10) coincide aproximadamente con el punto de inflexión, lo cual refleja el cambio en el comportamiento del material, pasando de una zona pre-pico a una zona pos-pico. En conclusión el modelo propuesto reproduce razonablemente bien muchos de los aspectos del comportamiento de los materiales ensayados bajo pruebas de compresión triaxial, tomando en cuenta el número reducido de parámetros que utiliza, y, que por otra parte, son relativamente fáciles de determinar en el laboratorio a diferencia de otros modelos, por lo que puede ser utilizado en la ingeniería práctica para llevar a cabo análisis de deformaciones en obras de ingeniería constituidas o apoyadas en materiales granulares, como es el caso de las presas de tierra y enrocamiento. 7 REFERENCIAS Alemán J., Marengo H., Rivera R., Pantoja A. and Díaz A. (2011). “Relevant aspects of the geotechnical design for ´La Yesca´ Hydroelectric Project and of its behavior during the construction stage: The mexican experience in concrete face rockfill dams”, 2º International symposium of concrete face rockfill dams. Río de Janeiro, Brazil. Duncan J.M. y Chang C.Y. 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