1 Borde recto y brújula PREVIEW Durante más de 2000 años, las matemáticas fueron casi sinónimo de la geometría de los Elementos de Euclides, un libro escrito alrededor del 300 a. C. y utilizado en la enseñanza de matemáticas escolares hasta el siglo XX. Geometría euclidiana, ya que esahorallamado, se pensó que era la fundación de todos los exactosla ciencia. La geometría euclidiana juega un papel diferente hoy en día, porque ya no se espera que support todo lo demás."No euclideosgeomeintenta"fuerondescubiertoeneltemprano19osiglo,yquefueronque se consideró más útil queEuclidesen ciertas situaciones. Sin embargo, las geometrías no euclidianas surgieron como desviaciones de los euclides, por lo que primero hay que saber de qué se desvían. Una forma ingenua de describir la geometría euclidiana es decir que se refiere a las figuras geométricas que se pueden dibujar (o construido como decimos) por la línea recta y la brújula.Euclidesasume quequequeesposibleadibujar una línea recta entre dosdadopuntos, y para dibujar un círculo condadocentro y radio. Todas las proposiciones que demuestra son sobre figurasconstruidas con líneas rectasy círculos. Por lo tanto, para entender la geometría euclidiana, uno necesita alguna idea del alcance de las construcciones de borde recto y brújula. Este capítulo revisa algunas construcciones básicas, para dar una rápida impresión de la extensión de la geometría euclidiana, y para sugerir por qué los ángulos rectos y las líneas paralelas desempeñar un papel especial en ella. Las construcciones también ayudan a exponer el papel de la longitud, el área y el ángulo en la geometría.El significado más profundo de estos conceptos, uny el papel relacionado denúmerosengeometría,es un hilo que perseguiremos a lo largo de lalibro. 1 1.1 Axiomas de construcción de Euclides Euclides asume que ciertas construcciones se pueden hacer y él afirma estas suposiciones en una lista llamada sus axiomas (tradicionalmente llamados postulados). Supone que es posible: 1. Dibuje un segmento de línea recta entre dos puntos cualquiera. 2. Extienda un segmento de línea recta indefinidamente. 3. Dibuje un círculo con el centro y el radio dados. Axiomas 1 y 2 dicen que tenemos una recta, un instrumento para dibujar segmentos de líneaarbitrariamente larga. Euclidesysucontemporáneosprobadoaevitar el infinito,por lo que trabajaron con segmentos de línea en lugar de con líneas enteras. Esto no es una restricción real, pero implica la molestia de tener que extender segmentos de línea (o " producir", como dicen en los viejos libros de geometría). Hoy reemplazamos Axioms 1 y 2 por el único axioma que una línea se puede dibujar a través de dos puntos cualquiera. La recta (a diferencia de una regla) no tiene ninguna escala marcada en ella y, por lo tanto, solo sepuederealizar u para dibujar líneas, no para la medición.Euclidessepara la función de medición de la función de dibujar líneas rectas dandomediciónfuncionalidadsóloaelbrújula— elinstrumento asumido en Axioma 3. La brújula se utiliza para dibujar el círculo a través de un punto dado B, con un punto A dado como centro (Figura 1.1). B Figura 1.1: Dibujar un círculo 21.1 Axiomasde construcción de Euclides 1 Borde recto y Brújula 3 Para hacer este trabajo, la brújula debe girar rígidamente alrededor de A después de establecerse inicialmente en los dos puntos A y B. Por lo tanto, "almacena" la longitud del radio AB y permite que esta longitud se transfiera a otro lugar. Figura 1.2 es una vista clásica de la brújula como unrasgueo de la medida. Es la pintura de William Blake de Isaac Newton como el medidor del universo. Figura 1.2: La pintura de Blake de Newton el medidor La brújula también nos permite Añadir Y Restar la longitud Off | | De Off De el Longitud | Cd | De Otro Línea Segmento Cd Por Recogiendo hacia arriba el Brújula Con Establecer Para Off Y Describir a | Radio | circunferencia Con Centro D (Figura 1.3, también Elementos, Proposiciones 2 y 3 del Libro I). Por Agregar a Fijo Longitud Repetidamente Una enlatar Construir a "escala" En a Dado Línea efetively Crear a Regla. éste Proceso Ilustra Cómo el Poder De Medición Longitudes Reside En el Brújula. Exactamente Que Longitudes enlatar Ser Medido En éste sentido Es a Profundo Pregunta Que Pertenece Para Álgebra Y Análisis. el Completo Historia Es Más allá el Alcance De éste Libro Pero Nosotros Decir Más acerca de eso Abajo. Separación el Conceptos De "La desencomita" Y "longitud", Como el recta- borde y la brújula lo hacen, resulta ser importante para entender la fundamentos de Geometría. La misma separación de conceptos reaparece En diferentes enfoques de la geometría desarrollados en los capítulos 3 y 5. -CD-A - A ?AB| |Cd| + |Off| Figura 1.3: Adición y resta de longitudes 1.2 La construcción de Euclides del triánguloequilátero La construcción de un triángulo equilátero en un lado dado AB es la primera proposi- ción de los Elementos,y tomatres pasos: 1. Dibuje el círculo con el centro A y el radio AB. 2. Dibuje el círculo con el centro B y el radio AB. 3. Dibuje los segmentos de línea de A y B a la intersección C de los dos círculos que acaba de construir. El resultado es el triángulo ABC con los lados AB,BCy CA en la Figura 1.4. Figura 1.4: Construcción de un triángulo equilátero Los lados AB y CA tienen la misma longitud porque ambos son radios del primer círculo.LadosAByBCtieneniguallongitudporquequesontantoradios del segundo círculo. Por lo tanto, los tres lados del triángulo ABC are igual.Q 41.2 La construcción de Euclides del triángulo equilátero 1 Borde recto y Brújula 5 Este ejemplo muestra muy bien la interacción entre • Construcción Axiomas, Que Garantizar el Existencia De el Construcción Líneas Y Círculos (inicialmente el Dos Círculos En Radio Off Y más tarde los segmentos de línea Bc Y acerca de), • axiomas geométricos, que garantizan la existencia de puntos necesarios para pasos posteriores en la construcción (la intersección C de los dos círculos), • Y Lógica, lo que garantiza que determinadas conclusiones Seguir. En este caso, estamos usando un principio de lógica que dice queen cosas iguales a la misma cosa (tanto |Bc| Y |acerca de| Igual |Off|) son iguales entre sí (por lo que |Bc| =|acerca de|). Todavía no hemos discutido los axiomas o la lógica geométricas de Euclides. Nosotrosutilizar la misma lógica para todas las ramas de las matemáticas, por lo que se puede asumir"conocido",but axiomas geométricos son menosclaro.Euclides llamó la atención sobre uno y usó a otros inconscientemente(o, en todo caso, sin indicarlos). La historia ha demostrado que Euclides identificó correctamente el axioma ge- ométrico más significativo, a saber, el axioma paralelo. Nosotrosen la siguiente sección se aplicarán algunas razones para su importancia. La razón última es que hay geometrías importantes en las que el axioma paralelo es falso. Los otros axiomas no son significativos en este sense, pero también deben ser identificados para integridad, y lo haremos en el Capítulo 2.Enparticu-lar,cabe mencionar que Euclides no afirma ningún axioma sobre la intersección de los círculos, por lo que no ha justificado la existencia del puntoCutilizado en sumuy primeroproposición! Una pregunta derivada de la construcción de Euclides El triángulo equilátero es un ejemplo de un polígonoregular:una figura geométrica delimitada por segmentos de línea iguales que se encuentran en ángulos iguales. Otro ejemplo es el hexágono regular en el Ejercicio 1.2.1. Si el polígono tiene n lados, lo llamamos n-gon, por lo que el regular3-gon y el regular 6-gon son constructibles.Para lo cualn es el ngon regular constructible? No responderemos completamente a esta pregunta, aunque mostraremos que los 4 gon y 5 gon regulares son constructibles.Elpreguntaparageneralnvueltashacia fueraaperteneceraálgebraynúmeroteoría,yacompletarespuesta depende de un problema sobre los números primos que aún no se ha m resuelto: Para qué m es 22 + 1 un número primo? 1 Borde recto y Brújula 6 Ejercicios Al extender la construcción de Euclides del triángulo equilátero, construir: 1.2.1 Un hexágono normal. 1.2.2 Un mosaico del plano por triángulos equiláteros (líneas sólidas en la Figura 1.5). 1.2.3 Un mosaico del plano por hexágonos regulares (líneas discontinuas en la Figura 1.5). Figura 1.5: Mosaicos triangulares y hexagonales del plano 1.3 Algunas construcciones básicas La construcción del triángulo equilátero es lo primero en los Elementos porque varias otras construcciones se derivan de ella. Entre ellos se encuentran construcciones para bisecar un segmento de línea y bisecar un ángulo. ("Bisect" es del latín para "corte en dos"). Bisecting a line segment Para bisecar un segmento de línea determinado AB,dibuje los dos círculos con el radio AB como se indica arriba, pero ahora considere ambos puntos de intersección, C y D . El CD de línea que conecta estos puntos biseca el segmento de línea AB (Figura 1.6). 1.3 Algunos aspectos básicos Edificios 7 C D Figura 1.6: Bisecting a line segment AB Observe también que BC es perpendicular a AB,por lo que esta construcción se puede adaptar para construirperpendiculares. • Para construir la perpendicular a una línea L en un punto e en la línea, primero Dibujar a circunferencia Con Centro E, Corte L En A Y B. Entonces el Línea Cd Construido En Figura 1.6 Es el Perpendicular a través de E. • Para Construir el Perpendicular Para a Línea L a través de a Punto E No En L , De el lo mismo; solamente Hacer Seguro ese el circunferencia Con Centro E Es lo suficientemente grande Para Cortar el Línea L En Dos diferente Puntos. Bisecting an angle Para bisecar un POQ angular (Figura 1.7), dibuje primero un círculo con el OP de corte O central enAyOQenB.EntonceselperpendicularCDquebisectoselsegmento de líneaABtambién biseca el ánguloPOQ. P Un C D La B Q Figura 1.7: Bisecting an angle POQ 1 Borde recto y Brújula 8 Parece de estas dos construcciones que bisecar un segmento de línea y bisecar un ángulo son prácticamente el mismo problema.Euclidesbisectosel ángulo antes del segmento de línea, pero utiliza dos construcciones similares (Elementos, Proposiciones 9 y 10 del Libro I).Sin embargo,adistinciónentrelíneaseg- mentos y ángulos emerge cuando intentamos la división en tres o más partes. Hay una herramienta simple quedivide un segmento de línea en cualquier número de partesiguales, líneasparalelas,pero no hay una herramienta correspondiente para dividir ángulos. Construir el paralelo a una línea a través de un punto dado Utilizamos las dos construcciones de perpendiculares mencionadas anteriormente, para un punto fuera de la línea y un punto en la línea.DadoalíneaLyapuntoPfueraL, primeroconstruirelperpendicularlíneaMaLa través deP.Entoncesconstruir elperpendicularaMa través deP,queeselparaleloaLa través deP. Dividir un segmento de línea en n partes iguales Dado un segmento de línea AB,dibuje cualquier otra línea L a A y marque n puntos sucesivos, igualmente espaciados A1, A2, A 3 ,..., Ana lo largoLutilizando la brújula establecida en cualquier radio fijo. La Figura 1.8 muestra el caso n.o 5. A continuación, conecte An a B, y dibuje los paralelos a BAn a A 1, A 2 ,..., A n. Estos paralelos dividen AB en n partes iguales. L A5 A4 A3 A2 A1 A B Figura 1.8: Dividir un segmento de línea en partes iguales Esta construcción depende de una propiedad de líneas paralelas a veces en tributo a Thales (matemático griegoalrededor de 600 a. C.): los paralelos cortan las líneas que cruzan en segmentos proporcionales. La instancia más utilizada de este teorema se muestra en la Figura 1.9, donde 1.3 Algunos aspectos 9 un básicos paralelo Edificios a un lado de un triángulo corta los otros dos lados proporcionalmente. 1 Borde recto y Brújula 10 La línea L paralela al lado BC corta el lado AB en lossegmentos AP y PB, ac lateral en AQ y QC,y AP|/|PB| = |AQ|/|QC|. Un B C Figura 1.9: El teorema Thales en un triángulo Este teorema de Thales es la clave para usar el álgebra en la geometría.En la siguiente sección vemoscómose puede utilizar para multiplicar y dividir segmentos de línea, y en el Capítulo 2 investigamos cómopuede derivarse de geometríafundamentalprincipios. Ejercicios 1.3.1 Compruebe por sí mismo las construcciones de perpendiculares yparalelos s escrito en palabras arriba. 1.3.2 ¿Puede encontrar una construcción más directa de paralelismos? Las perpendiculares dan otro polígono importante: el cuadrado. 1.3.3 Proporcione una construcción del cuadrado en un segmento de líneadeterminado. 1.3.4 Dar una construcción del mosaico cuadrado del avión. Uno podría intentar utilizar la división de un segmento de línea en n partes iguales para dividir un ángulo en n partes iguales como se muestra en la Figura 1.10.NosotrosmarcaAenOPyBen igualdistanciaenOQcomoantes,yentoncestratar deadividiránguloPOQpordividiendosegmento de líneaAB. Sin embargo,, este método es defectuosoinclusopara la división en trespartes. P A B Q el Figura 1.10: Trisección defectuosa de un ángulo 1.3.5 Explicar por qué la división de AB en tres partes iguales (trisección) no divide el ángulo POQ en tres partes iguales. (Pista: Considere el caso en el quePOQes casi una rectalínea.) 1.3 Algunos aspectos básicos Edificios 1 1 La versión del teorema de Thales dada anteriormente (refiriéndose a la Figura 1.9) tiene una forma equivalente que a menudo es útil. 1.3.6 Si A, B,C, P, Q son como en la Figura 1.9, de modo que el valor de la aplicación .AP|/|PB| = |AQ|/|QC|, mostrar que esta ecuación es equivalente a|AP|/|AB| = |AQ|/|AC|. Multiplicación y división 1.4 No sólo se pueden sumar y restar segmentos de línea (Sección 1.1);unopuedetambién multiplicarlos y dividirlos. El producto ab y cociente a/b de la línea seg- ments a y b se obtienen por elrectaybrújulaconstrucciones Abajo. Elclaveingredientes son paralelismos, y elclavepropiedad geométricaimplicadoseselThalesteoremaenelproporcionalidaddelíneaseg mentoscortefuerapor paralelolíneas. Para empezar, es necesario elegir un segmento de línea como la unidad de longitud, 1, que tiene la propiedad que 1a a para cualquier longitud a. Producto de segmentos de línea Para MultiCapas Línea Segmento b Por Línea Segmento a, Nosotros Primero Construir Cualquier Triángulo | | | | U OA Con Dónde = 1 y OA = a. Nosotros a continuación, extender Dónde por longitud B Para B1 y construir el paralelo a Ua a través de B1. Supongamos que este paralelo cumple con la extensión de OA En C (Figura 1.11). Por el teorema de Thales,AC| =ab. B1 b Multiplicar por un U 1 O ab A C Figura 1.11: El producto de segmentos de línea 1.4 12 Multiplicación y división 1 Borde recto y Brújula 11 Cociente de segmentos de línea Para Dividir Línea Segmento b Por Línea Segmento a, Nosotros Comenzar Con el Mismo | |Triángulo | U OA | Con Dónde = 1 y OA = a. Luego ampliamos OA por distancia B Para B2 y construir el paralelo a Ua a través de B2. Supongamos que este paralelo cumple con la extensión de Dónde En D (Figura 1.12). Por el teorema de Thales, U D| = b/a. D b/ a Dividir por un U 1 O ab Un b2 Figura 1.12: El cociente de los segmentos de línea La operación de suma de la Sección 1.1 nos permite construir un segmento n unidades de longitud, para cualquier número natural n,simplemente agregando el segmento 1 a sí mismo n veces.Elcocienteoperaciónentoncespermitenosotrosainterpretarcta Ƒ Y N = 0. Estos Son segmento de longitud m/n, para cualquier número natural M lo que llamamos las longitudes racionales. Un gran descubrimiento de los Pitagóricos era que algunas longitudes no son racionales, y que algunas de estas longitudes "irracionales" se pueden construir de forma recta y Brújula. No se sabe cómo los pitagóricos hicieron este descubrimiento, pero tiene una conexión con los Thales teorema, como veremos en la siguiente sección. Ejercicios El ejercicio 1.3.6 mostró que si por qué es paralela a Bc en la Figura 1.9, |entonces | | y Ap /Off = Aq / Ca . Es decir, un paralelo implica lados proporcionales|(izquierda derecha). El siguiente ejercicio muestra la Conversar: proporcional implican un | || | paralelo, o (equivalentemente), un no paralelo implica lados no proporcionales. 1.4.1 Usando la Figura 1.13, o de otra manera, muestra nasear que si PR no es paralelo a BC, entonces | Aplicación|/|AB|•= |En el|/|Y elC|. 1 Borde recto y Brújula 12 Un B C Figura 1.13: Converso del teorema de Thales 1.4.2 Concluya del Ejercicio 1.4.1 que si P es cualquier punto en AB y Q es cualquier punto en AC , entonces PQ es paralelo a BC si y sólo si y sólo si - AP|/|AB| = |AQ|/|AC|. La dirección "sólo si" del Ejercicio 1.4.2 conduce a dos teoremas famosos, los teoremas Pappus y Desargues,que desempeñan un papel importante en los cimientos de la geometría. Nos reuniremos con ellos en forma más general más tarde. En su forma más simple, son losteoremas de seguirg sobre los paralelos. 1.4.3 (Pappus de Alejandría, alrededor del 300 d.C.)Supongamos quequeA,B,C,D,E,Fmentiraal- ternately en las líneasLyMcomo se muestra en la Figura1.14. O Figura 1.14: La configuración paralela de Pappus Utilice el teorema de Thales para mostrar que si AB es paralelo a ED y FE es paralelo a BC, | OA| |OC| = . | DE| |OD| Deducir del Ejercicio 1.4.2 que AF es paralelo al CD. 1.5 Similar Triángulos 13 1.4.4 (Girard Desargues, 1648)Supongamos quequepuntosA,B,C,Aj,Bj,Cj mentiraencon-actuallíneasL ,M ,NcomomostradoenFigura1.15. (Los triángulos ABC y AjBjCj se dice que es "en perspectiva de O.") L Aj Bj el CJ Figura 1.15: La configuración paralela de Desargues Utilice el teorema Thales para mostrar que si AB es paralelo a AjBj y BC es paralelo a BjCj, | OA| |OAj| = . | OC| |OCj| Deducir del Ejercicio 1.4.2 que ac es paralelo a AjCj. 1.5 Triángulos similares Triángulos ABC y AjBjJj se llaman similares si sus ángulos correspondientes son iguales, es decir, si ángulo en el ángulo A - en Aj (aj , digamos), ángulo en B - ángulo en Bj ( s d.) , ángulo en el ángulo de C en Cj (decir). Resulta que los ángulos iguales implican que todos los lados son proporcionales,por lo que podemos decir que un triángulo es unaumento del otro, o que tienen la misma "forma".Este importante resultado extiende el teorema de Thales, y en realidad se deriva de él. 14 1 Borde recto y Brújula Por qué triángulos similares tienen lados proporcionales Imagine moving triángulo ABC para que el vértice A coincida con Aj y los lados AB y AC se encuentran en los lados AjBj y AjCj, respectivamente. Luego obtenemos el situación mostrada en la Figura 1.16. En esta figura, b y c denotan las longitudes laterales del triángulo ABC vértices opuestos B y C, respectivamente, y bj y cj denotan las longitudes laterales del triángulo AjBjC j(ABjCj) vértices opuestos Bj y Cj, respectivamente. Bj CJ A a a aj Figura 1.16: Triángulos similares Debido a que BC y BjCj ambos se encuentran con ABj en ángulo , son paralelos, y así se desprendedel teorema thales (Sección 1.3) que b bj a b á . c cjc c La multiplicación de ambos lados por c(cj a c) da b(cj a c)a c(bj•b),es decir, bcj á bc á cbj - cb, y por lo tanto bcj á cbj. Finalmente, dividiendo ambos lados por ccj, obtenemos b bj a . c cj Es decir, los lados correspondientes delos triángulos ABC y AjBjCj opuestos a los ángulos y - son proporcionales. 1.5 Similar Triángulos 15 Hemos conseguido este resultado haciendo que los ángulos en los dos triángulos coincidan. Si hacemos que los ángulos coincidan en su lugar, también encontramos que los lados opuestos a los de los mismos son proporcionales.Por lo tanto,enhecho,todoscorrespondientelados de triángulos similaressonproporcional. Q Esta consecuencia del teorema de Thales tiene muchas implicaciones. En la vida cotidiana, subyace a la existencia de mapas a escala, planos de casas, dibujos engi- neering, etc. En geometría pura, sus implications son aún más variadas.Aquíessólouno,quemuestrapor quécuadradoraícesynúmeros irracionales agrandar engeometría. La diagonal del cuadrado de la unidad es de 2 Las diagonales del cuadrado de la unidad lo cortan en cuatro cuartos, cada uno de los cuales es un triángulo similar al medio cuadrado cortado por una diagonal (Figura 1.17). Figura 1.17: Cuartos y mitades de la plaza Cada uno de los triángulos en cuestión tiene un ángulo recto y dos ángulos rectos medios, por lo que se desprende del teorema anterior que los lados correspondientes de cualquiera de estos dos triángulos son proporcionales.Enen particular,siquetomarelmedio cuadrado, con lado corto 1 y lado largod, y compararlo con el cuarto cuadrado, con el lado corto d/2y lado largo 1, nosotrosobtener corto 1 d/2 - - . largo d 1 Multiplicar ambos lados de la ecuación por 2d da 2 á d2, porlo que d á 2.Q 1 Borde recto y Brújula 16 The great, but disturbing, discovery ofe Pythagoreans isth at 2 es irracional.Quees,nosonnonaturalnúmerosmyntales 2=m/n. Si hay tales m y n quecan asumir que no tienen ningún tipo común divisor, y luego la suposiciónde 2 2 2 -m /n por lo tanto, por lo tanto por lo tanto por lo tanto por lo tanto, por lo tanto m2-2n2 m2 es par m es parejo m -2l 2 m /n implica cuadrando ambos lados multiplicando ambos lados por n2 ya que el cuadrado de un número impar es impar para algún número natural l m2-4l2-2n2 n2-2l2 n2 es par n es par ya que el cuadrado de un número impar es impar. Por lo tanto, m y n tienen el divisor común 2, contrario a la suposición. Nuestro original assumption á is allí parae false, sotherearenonaturalnúmerosm y n tal que 2 m/n. Q Longitudes, productos y área La geometría obviamente tiene que incluir la diagonal del cuadrado de la unidad, por lo tanto la geometría incluye el estudio de longitudes irracionales.Este descubrimiento troubledelantiguoGriegos,porquequehizonocreerqueirracionallongitudes podrían tratarse como números. En particular, la idea de interpretar el producto de los segmentos de línea como otro segmento de línea no está en Euclides. En primer lugar apareces in Descartes' Ge'ome'trie of 1637, where algebra is utilizard systemat- ically in geometry for the first time. Los griegos vieron el producto de los segmentos de línea a y b como el rectan- gle con lados perpendiculares a y b. Si las longitudes no son necesariamente num- bers, entonces el producto de dos longitudes se interpreta mejor como un área,yel productodetreslongitudescomoavolumen, peroentonceselproductodecuatrolongitudes parecetienenningún significado en absoluto. Esta dificultad tal vez explica por qué al- gebra apareció comparativamente tarde en el desarrollo de la geometría.Onpor 1.5 Similar 17 otro Triángulos lado, interpretar el producto de las longitudescomo áreadaalgunas perspectivas que se pueden volver a marcar, como veremos en el Capítulo 2. Así que también es posible que el álgebra tuviera que esperar hasta que el concepto griego de producto hubiera agotado su utilidad. 1.6 Discusión 17 Ejercicios En General Dos Geométrica Figuras Son Llamado Similar Si Una Es a Ampliación lado largo De el Otro. Por lo tanto, dos rectángulos son similares es ladosi la relación lo mismo para Ambos. corto N.o 2+1 N.o 2x 1 1 1 Figura 1.18: Un par de rectángulos similares 2 1.5.1 Mostrar que 1 +1 y por lo tanto que los dos rectángulos en la Figura 1.18 ? 2x1 son similares. 1.5.2 Deducir que si un rectángulo with lado largo a y lado corto b tiene la misma forma como los dos anteriores, entonces también tiene el rectángulo con lado largo b y lado corto a 2b. n.o Esta simple observación da otra prueba de que el 2 es irracional: a 1.5.3 Suppose that 2 + 1 á m/n, where m and n arenaturalnúmeros• wquehmcomo pequeño como sea posible. Deducir del Ejercicio 1.5.2 que también tenemos 2 + 1o n/(m a 2n). Esto es una contradicción. ¿Por qué? • 1.5.4 It follo ws from Exercise 1.5.3that 2 +1isirracional.Why ydoesthisimplican que 2 es irracional? 1.6 Debate Euclid's Elements es el libro más influyente en la historia del matema- ics, y cualquier persona interesada en la geometría debe poseer un copia.No es fácil leer,peroquevoluntadencontrarusted mismoregresandoaqueañodespués deañoynot- ing algonuevo.Tque la edición estándar en inglés esHeath'straducción, que esahoradisponible como una reimpresión de Dover de la Cambridge 1925Univer-sity Edición de prensa. Esta reimpresión es llevada por muchas librerías; ¡Incluso lohe 18 1 Borde recto y Brújula visto a la venta en el aeropuerto Angeles!Suprincipalinconvenienteessutamaño: tresvoluminosovolúmenes—debidoaelhechoquemásquela mitadelcontenidoconsiste ende de Los 1.6 Discusión 19 Comentario de Heath. Túpuede encontrar la traducción de Heathsinel commentario en el Britannica Grandes Libros de laMundo Occidental,Volumen11. Estos libros a menudo se pueden encontrar en librerías usadas.Otro,másreciente, de un solo volumenedicióndeelHeathtraducciónesEuclidesElementos,editadopor Dana Densmore y publicado por Green Lion Press en2003. Un segundo (ligero) inconveniente de la edición Heath es que tiene unos 80 años y comienza a sonar un poco anticuado. Heath'sEl inglés es a vecespintoresco,ysucomentariohacenodibujarenmodernoinvestigación engeometría.Elhacenoinclusomenciónalgunosimportanteavancesquefuero n conocidos por los expertos en 1925. Por esta razón, una versión moderna de los El- ements es deseable. Una versión perfecta para el siglo XXI todavía no existe, pero hay una buena versión web concisa de David Joyce en http://aleph0.clarkeu.edu/~djoyce/java/elements/elements.html Este Elemento tiene una pequeña cantidad de comentarios, pero principalmente lo renecesito para pruebas en inglés moderno simple y diagramas agradables. Los diagramas son "variables" arrastrando puntos en la pantalla, por lo que cada diagrama representa todas las situaciones posibles cubiertas por un teorema. Para comentarios modernos sobre Euclides, repasodos libros: Euclides: la Creación de Matemáticas por Benno Artmann y Geometría: Euclides y Más allá de Robin Hartshorne, publicado por Springer-Verlag en 1999 y 2000, respectivamente.AmboslibrostomarEuclidescomosucomenzandopunto. Artmann rellena principalmente el fondo griego, aunque también se encarga de hacerlo comprensible para los lectores modernos. Hartshorne está más preocupado por lo que vino después de Euclides, y da un análisis muy exhaustivo de las lagunas en Euclides y las formas en que fueronllenados porlos ematicianos matemáticos modernos. Túencontrará Hartshorne lectura suplementaria útil para los capítulos 2 y 3, donde examinamos la estructura lógica de los Elementos y algunas de sus lagunas. El clímax de los Elementos es la teoría de la poliedra regular en el Libro Xiii. Sólocincoregularpolyhedraexisten,yquesonmostradoenFigura1.19. Observe que tres de ellos están construidos a partir de triángulos equiláteros, uno de cuadrados y uno de pentágonos regulares. Este notable fenómeno subraya la importancia de los triángulos y cuadrados equiláteros, y llama la atención sobre el pentágono regular. En el capítulo 2, mostramos cómo construirlo. Algunos geómetros creen que el material de los Elementos fue elegido mucho con la teoría de la poliedros regular en mente. Por ejemplo, Euclides quiere construct el triángulo equilátero, 20 1 Borde recto y Brújula el cuadrado y el pentágono para construir la poliedrosa regular. 1.6 Discusión 21 Cubo Dodecahedron Tetraedro Octaedro Icosaedro Figura 1.19: La polieda regular Es una suerte que Euclides no necesitara polígonos regulares más complejos que el pentágono, porque ninguno fueron construidos hasta los tiempos modernos. El regular de 17 gon fue construido por Carl Friedrich Gauss, de 19 años, en 1796, y su descubrimiento fue elclavea la "pregunta que surge" de la construcción del triángulo equilátero en la Sección 1.2: para la cualnes el regularn-gon constructible? Gauss demostró (con algunos pasos rellenados por Pierre Wantzel en 1837) que un polígono m regular con un número primo p de lados escasopesdeelformulario22 +1. Este resultado da tres p-gons constructibles no conocidos por los griegos, porque 24 + 1 x 17, 28 + 1 x 257, 216 + 1 a 65537 son todos números primos.Peronomás m grandeprimonúmerosdeelformulario22 +1sonconocido!Por lo tanto,quehacernosabersiamás grandeconstructiblep-gonexiste.Estos resultados muestran que los Elementos no songeometría, inclusosiunoaceptaelmismosujetomateriacomoEuclides.ParaverdondeEuc lidesencajaenel panorama general degeometría,Recomiendo ellibrosGeometríay la Imaginación de D. Hilbert y S.CohnVossen,yIntroducción a Geometría por H. S. M. Coxeter (Wiley, 1969).
