Funciones derivables

DERIVADAS I
FUNCIONES DERIVABLES
Definición: Dados f : D ⊆ ℜ → ℜ y a∈Int(D), diremos que f es derivable en a si existe
lim
x→a
f ( x) − f (a )
f ( a + h) − f ( a )
= lim
h →0
x−a
h
En este caso llamamos derivada de f en a, denotado por f'(a), al valor del anterior límite.
Nota: En las condiciones anteriores, si f es derivable en x=a definimos la recta tangente
a la curva y=f(x) en el pto. (a,f(a)) como la recta de ecuación y − f (a ) = f ' (a )( x − a )
Definición: Una función f : D ⊆ ℜ → ℜ se dirá derivable si es derivable en todos los
ptos de su dominio (así, D debe ser abierto). Se define entonces de manera obvia la
función derivada de f, denotada por f'.
Nota: Observemos que en las condiciones anteriores cabe preguntarse por la
continuidad y/o derivabilidad de f', pudiéndose definir entonces la noción de derivada
segunda y, más generalmente, de derivada k-esima.
Nota: Observemos que podemos definir el concepto de derivada lateral en puntos del
dominio más generales que los interiores. Así, por ejemplo, dada f:[a,b]→ℜ diremos
que f es derivable en x=a si existe la correspondiente derivada lateral.
Teorema: Si una función es derivable en x=a entonces es continua en x=a.
Teorema: Sean f,g derivables en x=a, se tiene:
i) f±g es derivable en x=a y (f±g)'(a)=f'(a)+g'(a)
ii) λf es derivable en x=a y (λf)'(a)=λf'(a)
iii) fg es derivable en x=a y (fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)
f ' (a) g (a ) − f (a) g ' (a)
iv) Si g(a)≠0 entonces f/g es derivable en x=a y ( f / g )' (a ) =
g 2 (a)
Teorema: (REGLA DE LA CADENA)
Sean f derivable en x=a y g derivable en x=f(a), entonces gof es derivable en x=a y
(gof)'(a)=g'(f(a))f'(a)
Teorema: (TEOREMA DE LA FUNCIÓN INVERSA)
Sea D⊆ℜ abierto y f : D ⊆ ℜ → ℜ continua e inyectiva, si f es derivable en a∈D y
1
f'(a)≠0 entonces f-1 es derivable en f(a) y ( f −1 )' ( f (a )) =
f ' (a)
TEOREMAS DE VALOR MEDIO
Teorema: Sean f : D ⊆ ℜ → ℜ y a∈Int(D) máximo (mínimo) relativo de f, si f es
derivable en x=a entonces f'(a)=0.
Definición: Dada f : D ⊆ ℜ → ℜ y a∈D, decimos que a es pto. singular de f si f'(a)=0
Teorema: (TEOREMA DE ROLLE)
Sea f continua en [a,b] y derivable en (a,b) con f(a)=f(b), existe c∈(a,b) tal que f'(c)=0
Teorema: (TEOREMA DEL VALOR MEDIO)
Sea f continua en [a,b] y derivable en (a,b), existe c∈(a,b) tal que f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)
Teorema: Como corolario, si f tiene derivada nula en un intervalo, es constante en dicho
intervalo.
Teorema: (TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE CAUCHY)
Sean f,g continuas en [a,b] y derivables en (a,b), existe c∈(a,b) tal que
(f(b)-f(a))g'(c)=f'(a)(g(b)-g(a))
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DERIVADAS I
Teorema: Sea f continua en x=a y derivable en un entorno de a salvo quizas en el propio
a, si existe lim f ' ( x) entonces f es derivable en a y lim f ' ( x) = f (a ) (es decir una
x→a
x→ a
derivada no puede tener discontinuidades evitables)
Teorema: Sea f derivable en un intervalo abierto, entonces f' cumple la propiedad del
valor intermedio (es decir, una derivada no puede tener discontinuidades de salto)
Teorema: (REGLA DE L'HOPITAL)
Supongamos que
lim f ( x) = lim g ( x) = $ y que lim
x →*
x →*
f ( x)
=@
g ( x)
( * puede ser a, a+, a-, ∞ o -∞
x →*
f ' ( x)
=@
g ' ( x)
entonces lim
x →*
$ puede ser 0,∞ o -∞
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@ puede ser l, ∞ o -∞ )
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