Universidad de la Frontera
Facultad de Ingeniería y Ciencias
Departamento de Obras Civiles
Proyecto Final de Curso
Diseño de vigas y columnas
AUTORES:
Sebastian Bernal
Bruno Olave
Moisés Sandoval
Pablo Valdés
CARRERA:
Ingeniería Civil
ASIGNATURA:
Hormigón Armado I
DOCENTE:
Camila Parodi
TEMUCO, 2 de julio de 2019
Universidad de la Frontera – Facultad de Ingeniería y Ciencias – Departamento de Obras Civiles
HORMIGÓN ARMADO I, IIO320-1
Resumen
El proyecto consta de un edificio habitacional de 3 niveles de hormigón armado. Para el análisis y
diseño de este edificio se han utilizado los softwares AutoCAD, Excel y SAP2000. Las normas que
rigen el diseño son las normas NCh, así como también las especificadas en el código ACI.
Se realiza una modelación en 3D en SAP2000 de la estructura en cuestión con el propósito de obtener
los esfuerzos últimos para el diseño del acero de refuerzo. La tributación de cargas sobre cada
elemento se realiza de manera interna por el software. Tras la obtención de esfuerzos de diseña
manualmente el acero requerido por cada uno de los elementos y es comparado con los aceros
requeridos por el software.
En la tabla 0.1 se presenta el resumen de los resultados en conjunto con las cargas finales que
tributaron en los elementos diseñados.
Tabla 0.1. Especificaciones utilizadas en vigas y columnas.
VIGAS
Dimensiones Vigas
Cargas ingresadas
Armadura Longitudinal:
Armadura Transversal:
COLUMNAS
Dimensiones Vigas
Cargas ingresadas
Armadura Longitudinal:
Ancho: 40 cm
Alto: 60 cm
Carga Muerta (D): 3.893 T/m
Carga Viva (L): 4.054 T/m (en vigas de entre
piso), 3 T/m (en vigas de techo + 0.527 T/m por
carga de techo)
4Φ25 superior y 4Φ25 inferior.
EΦ10@20 en zona crítica. EΦ10@20 en zonas
no críticas
Ancho:40 cm
Alto:40 cm
Carga Muerta (D): Peso propio de 0.4 T/m.
Carga Viva (L): 0 T/m
8Φ36 uniformemente distribuidos a lo largo de
las 4 caras.
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Índice
1.
2.
Introducción ................................................................................................................................. 3
1.1.
Descripción general del proyecto ......................................................................................... 3
1.2.
Normativa:............................................................................................................................ 3
Descripción de la estructura......................................................................................................... 3
2.1.
Materiales ............................................................................................................................ 3
2.1.1.
Hormigón ..................................................................................................................... 3
2.1.2.
Acero ........................................................................................................................... 4
2.2.
Cargas de diseño ................................................................................................................. 4
2.2.1.
Cargas permanentes o muertas ................................................................................... 4
2.2.2.
Carga de uso o vivas ................................................................................................... 4
2.2.3.
Sobrecarga adicional ................................................................................................... 4
2.3.
Método de análisis y diseño ................................................................................................. 4
2.4.
Combinaciones de carga ..................................................................................................... 5
3.
Modelación en SAP2000 ............................................................................................................. 5
4.
Diseños de elementos ............................................................................................................... 10
4.1.
4.1.1.
Corte .......................................................................................................................... 10
4.1.2.
Flexión ....................................................................................................................... 12
4.1.3.
Anclajes y empalmes ................................................................................................. 15
4.2.
5.
Vigas .................................................................................................................................. 10
Columnas ........................................................................................................................... 16
4.2.1.
Flexocompresión........................................................................................................ 16
4.2.2.
Anclaje y empalmes ................................................................................................... 23
Análisis ...................................................................................................................................... 23
5.1.1.
Vigas .......................................................................................................................... 23
5.1.2.
Columnas ................................................................................................................... 25
6.
Anexos A: .................................................................................................................................. 26
7.
Anexos B: .................................................................................................................................. 27
8.
Referencias ................................................................................................................................ 28
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1. Introducción
1.1.
Descripción general del proyecto
El proyecto corresponde a un edificio con fines habitacionales construido en hormigón armado. Este
cuenta con 3 pisos cuyas dimensiones se presentan en la figura 1.1. Cada piso consta de una losa
también de hormigón armado de 25 centímetros de espesor que es soportada por las vigas.
Figura 1.1. Vistas en planta y elevación de la edificación diseñada, donde H = 3 metros y L = 5.5
metros.
1.2.
Normativa:
El diseño y análisis fueron realizados acorde a los métodos, fórmulas y restricciones que aparecen en
las normas chilenas y en el código ACI 318-08.
2. Descripción de la estructura
2.1.
Materiales
2.1.1. Hormigón
Todos los elementos estructurales están compuestos por hormigón de tipo G25, lo cual indica una
resistencia a compresión cilíndrica de 𝑓𝑐′ = 25 [𝑀𝑃𝑎].
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2.1.2. Acero
En todos los elementos estructurales, se incluirá acero de refuerzo cuya tensión de fluencia es de
𝑓𝑦 = 420 [𝑀𝑃𝑎].
2.2.
Cargas de diseño
2.2.1. Cargas permanentes o muertas
Para la carga muerta, se considera hormigón armado de peso específico corriente correspondiente a
𝑘𝑔
𝛾 = 2500 [𝑚3 ]. La carga muerta fue calculada de acuerdo al programa SAP2000. Los detalles están
incluidos en la sección 3 del presente informe.
2.2.2. Carga de uso o vivas
Las cargas vivas a las que está sometida la estructura se encuentran en la NCH1537Of.09 en la cual
se especifica que, para edificios de vivienda, la carga de uso para áreas de uso general, dormitorios y
buhardillas habitables es de 𝐿1 = 2[𝑘𝑝𝑎]. Esta carga se especifica que es de uso uniformemente
distribuida para pisos y techos. Por lo tanto, debe ser distribuida y tributada para calcular la carga que
soportan las vigas y columnas respectivamente. Por otro lado, la carga indicada para techos accesibles
solo para mantención es de 𝐿2 = 1 [𝑘𝑝𝑎]
2.2.3. Sobrecarga adicional
𝑇
Adicional a la carga de uso se considerará una sobrecarga de 𝐿3 = 3 [𝑚] en todas las vigas de la
estructura.
2.3.
Método de análisis y diseño
El método de análisis está basado en las Normas Chilenas de construcción en hormigón armado y en
el código ACI. El método utilizado para el diseño de los elementos de hormigón armado es el método
por rotura. El análisis estructural se realiza mediante el programa SAP2000.
Para una correcta aplicación de la teoría del diseño, se considera una serie de supuestos que se
presentan de manera resumida en las líneas siguientes.
a. Las fuerzas internas en una sección cualquiera del elemento, están en equilibrio con los
efectos de las cargas externas en esta sección, debido a que cualquier cuerpo o parte de este
estará en reposo sólo si todas las fuerzas que actúan sobre él están en equilibrio.
b. La deformación unitaria en una barra de refuerzo embebida es la misma que la del concreto
circundante. Se supone adherencia perfecta en la interface concreto-acero, de manera que
no ocurre deslizamiento entre los dos materiales.
c. Las secciones transversales planas antes de la aplicación de la carga siguen siendo planas
para el elemento cargado.
d. Se supone que el hormigón fisurado producto de las grietas de tensión es incapaz de resistir
ningún esfuerzo de este tipo.
e. La teoría se basa en relaciones esfuerzo-deformaciones reales pequeñas y en las
propiedades de resistencia de los dos materiales constituyentes o en alguna simplificación
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razonable relacionada, por ejemplo, tensiones de fluencia como límite para los esfuerzos de
las secciones.
2.4.
Combinaciones de carga
Las combinaciones de carga se utilizarán para calcular la carga última a la que la estructura estará
sometida. La Nch3171Of.2010, especifica las combinaciones de carga para el método a la rotura. Se
utilizaron las combinaciones de carga de la tabla 2.1 y se diseñó para la más desfavorable de ellas.
Adicionalmente se consideró el caso en que la carga de techo es considerada como carga viva y no
es reducida por coeficientes de reducción para cargas de techo (tercera combinación en la tabla).
Tabla 2.1. Combinaciones de carga
Donde:
𝑞𝑢 :
𝐷:
𝐿:
𝐿𝑟 :
COMB1
𝑞𝑢 = 1.2𝐷 + 1.6𝐿 + 0.5𝐿𝑟
COMB2
𝑞𝑢 = 1.2𝐷 + 1.6𝐿𝑟 + 𝐿
COMB3
𝑞𝑢 = 1.2𝐷 + 1.6𝐿 + 1.6𝐿𝑟
carga última de diseño
carga muerta
carga viva
carga de techo
3. Modelación en SAP2000
Las características de la estructura mencionadas en la tabla 1.1 se incorporan en el software SAP2000.
En la figura 3.1 se muestra la configuración de los distintos elementos.
Figura 3.1. Modelo de la estructura.
La mecánica trata acerca del diseño de la sección de la estructura que se encuentre más solicitada.
En la figura 3.2 se presenta el marco seleccionado para diseño y nomenclatura de los elementos, tras
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haber corroborado los esfuerzos en el software. El marco seleccionado corresponde a la sección del
eje 2 con todos sus niveles.
Figura 3.2. Marco seleccionado para el diseño.
Para la modelación en SAP se ingresaron parámetros solicitados por este. En la tabla 3.1 se
presentan los principales parámetros considerados para el cálculo de solicitaciones y diseño del acero.
Tabla 3.1. Parámetros principales del modelo.
Módulo de Elasticidad del Material
Dimensiones Vigas
Dimensiones Columnas
Cargas ingresadas en vigas
Cargas ingresadas en losas
Cargas ingresadas en columnas
Hormigón
2.396E+09 kg/m2
Acero de refuerzo
2.100E+10 kg/m2
Ancho
40 cm
Alto
60 cm
Ancho
40 cm
Alto
40 cm
Carga Muerta (D)
Peso propio
Carga Viva (L)
3000 kg/m
Carga Muerta (D)
Peso propio
Carga Viva (L)
200 kg/m2 (100 kg/m2 en losa
de techo del eje 3)
Carga Muerta (D)
Peso propio
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Las cargas establecidas en la normativa para edificaciones de viviendas se ingresan como cargas de
área en las losas y estas a su vez, son tributadas o distribuidas en cada uno de los elementos tipo
Frame (vigas y columnas). A continuación, se presentan los resultados obtenidos para los esfuerzos
de corte, axial y momento. Se determinó que la carga más desfavorable es el caso en que 𝑞𝑢 =
1.2𝐷 + 1.6𝐿 + 1.6𝐿𝑟 , por lo que se presentan los esfuerzos para cada uno de los elementos de
acuerdo a esa combinación y sus respectivos diagramas (ver figuras 3.3). Se presenta además la
comparación de las magnitudes de las solicitaciones en los elementos más cargados del pórtico para
cada combinación de carga.
En la siguiente tabla se presentan los esfuerzos máximos encontrados tras el análisis de las distintas
combinaciones de carga. Dichos resultados justifican la elección de la combinación COMB3 para el
diseño.
Tabla 3.2. Resultados del análisis estructural para las distintas combinaciones de carga.
COMB1
COMB2
COMB3
Elemento
Momento positivo 13.90531
en vigas [T*m]
16.50904
17.36363
V7, eje 2
Momento negativo -18.45679
en vigas [T*m]
-23.2719
-24.18286
V5, eje 2
Esfuerzo de corte 17.9224
en vigas [T]
24.0169
24.02
V1, eje 2
Carga axial
columnas [T]
-311.0375
-314.4524
C2, eje 2
Momento Y en 9.13644
columnas [T*m]
11.12835
11.48874
C5, eje 2
Momento X en 7.95522
columnas [T*m]
9.98841
10.23176
C9, eje 1
en -251.0802
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Figura 3.3a. Diagramas de carga axial.
Figura 3.3b. Diagramas de corte.
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Figura 3.3c. Diagramas de momento.
Tabla 3.3a. Esfuerzos obtenidos para las vigas del Eje 2
Elemento
Momento máximo
positivo [T*m]
Momento máximo negativo
[T*m]
Corte máximo [T]
V1
13.49019
-23.92324
24.002
V2
11.4342
-23.9714
23.2719
V3
13.49019
-23.92324
24.002
V4
13.98082
-21.1134
22.747
V5
11.22274
-24.18286
23.2719
V6
13.98082
-21.1134
22.747
V7
17.36363
-15.84662
22.0619
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Tabla 3.3b. Esfuerzos obtenidos para las columnas del Eje 2
Elemento
Momento máximo Mx
[T*m]
Momento máximo My [T*m]
Carga axial [T]
C1
-5.145 E-15
5.27313
-151.9151
C2
-1.741 E-15
0.07432
-314.4524
C3
1.741 E-15
-0.07432
-314.4524
C4
5.145 E-15
-5.27313
-151.9151
C5
-1.037 E-15
11.48874
-75.2667
C6
-5.928 E-15
-0.22488
-191.6265
C7
5.928 E-15
0.22488
-191.6265
C8
1.037 E-15
-11.48874
-75.2667
C9
-5.010 E-15
8.68639
-74.5097
C10
5.010 E-15
-8.68639
-74.5097
Considerando que se diseña para la columna y la viga más cargada y que estas, a su vez, deben ser
capaces de satisfacer las demandas existentes en cada uno de los elementos, se optó por considerar
en el diseño el 𝑀𝑥 máximo encontrado en las columnas C9 y C10 del pórtico del eje 1. Si bien estos
elementos no se encuentran en el pórtico de diseño, la columna diseñada debe ser capaz de resistir
todas las solicitaciones, ya que su sección será aplicada a todas y cada una de las demás columnas
de la estructura.
Tabla 3.4. Esfuerzos máximos de momento obtenidos para las columnas del Eje 1.
Elemento
Momento máximo Mx [T*m]
C9
10.23176
C10
-10.23176
4. Diseños de elementos
4.1.
Vigas
4.1.1. Corte
De los resultados obtenidos mediante el análisis en software, se tiene a las vigas V1 y V3 con mayor
solicitación de corte. El corte máximo en las vigas tiene una magnitud de 24.02 [𝑇], y a una distancia
“𝑑 + 𝑎/2” desde la columna, el corte tiene una magnitud de 19.24 [𝑇]. Se utiliza este valor como
Corte último para el diseño. Como se verá más adelante en la sección de Diseño de Flexión y de
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Anclaje, es necesario contar con una mayor capacidad para satisfacer 𝑀𝑢 con barras que no se logran
desarrollar por completo en los extremos de la viga. Por lo mismo, se cambiaron las secciones de la
viga de 35/55 [cm] a 40/60 [cm].
Se determina 𝛷𝑉𝑐 con la expresión aproximada,
𝛷𝑉𝑐 = 0.17 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏 ∙ 𝑑
𝛷𝑉𝑐 = 14.025 [𝑇]
Donde 𝑏 = 40 [𝑐𝑚] es el ancho de la columna, 𝑑 = 55 [𝑐𝑚] la altura útil, 𝑓𝑐′ la resistencia a la
compresión cilíndrica del hormigón y 𝜆 = 1 por utilizarse un hormigón de peso normal.
Como se dijo, se utiliza como corte último para el diseño un 𝑉𝑢 de:
𝑉𝑢 = 19.2253 [𝑇]
Se calculan los valores de 𝑚𝑖𝑛𝛷𝑉𝑠, 𝛷𝑉𝑠1 y 𝑚𝑎𝑥𝛷𝑉𝑠,
1
′
𝑚𝑖𝑛𝛷𝑉𝑠 = 𝑚á𝑥 {𝛷 16 ∙ √𝑓𝑐 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑 = 5.775 [𝑇]
𝛷0.35 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑
1
𝛷𝑉𝑠1 = 𝛷 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏 ∙ 𝑑 = 27.5 [𝑇]
3
2
𝑚𝑎𝑥𝛷𝑉𝑠 = 𝛷 ∙ √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏 ∙ 𝑑 = 55.0 [𝑇]
3
Se determina que 𝑉𝑢 se encuentra en categoría 3, por lo que 𝛷𝑉𝑠 = 𝑚𝑖𝑛𝛷𝑉𝑠 y 𝑆𝑚𝑎𝑥 =
27.5 [𝑐𝑚].
𝑑
2
=
Se calcula la cantidad mínima de acero de corte mediante la expresión:
𝐴𝑣𝑚𝑖𝑛
1 √𝑓𝑐′ ∙ 𝑏 ∙ 𝑠
∙
16
𝑓𝑦
= 𝑚á𝑥
= 0.9167 [𝑐𝑚2 ]
𝑏∙𝑠
0.35 ∙
𝑓𝑦
{
Y se propone un área de 𝐴𝑣 = 2𝛷10 = 1.5708 [𝑐𝑚2 ]. Con tal área se determina el espaciamiento
máximo en la zona crítica,
𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑
= 47.124 [𝑐𝑚]
𝑉𝑠
Sin embargo, el espaciamiento en la zona crítica se rige por el máximo admitido en categoría 3. Para
determinar el cambio de espaciamiento entre estribos se calcula 𝑉𝑠 mediante:
𝑆𝑚𝑎𝑥 =
𝛷𝑉𝑠 =
𝛷𝐴𝑣 ∙ 𝑓𝑦 ∙ 𝑑
𝑆
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De esta manera se obtiene lo siguiente,
𝛷𝑉𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸𝛷10@20 = 𝛷𝑉𝑠 + 𝛷𝑉𝑐 = 27.632 [𝑇]
𝛷𝑉𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸𝛷10@40 = 𝛷𝑉𝑠 + 𝛷𝑉𝑐 = 20.828 [𝑇]
Los resultados se ilustran de manera gráfica en la figura 4.1.
Figura 4.1. Diagrama Capacidad vs Demanda para el Cortante de la viga diseñada.
Espaciamiento de estribos.
4.1.2. Flexión
Para el diseño de flexión de las vigas, se obtuvo que la viga V7 presenta el mayor momento positivo
(en el centro de la luz) y la V5 presenta el mayor momento negativo (en los extremos). En base a esto
y con el fin de simplificar los cálculos, se supone una viga simplemente armada para cada una de las
solicitaciones y se compone en base a estas, una viga doblemente armada (figura 4.2.c). En otras
palabras, el acero calculado para el momento positivo corresponde al acero ubicado en la parte inferior
de la viga (figura 4.2.a), mientras que el acero calculado para el momento negativo corresponde al
acero ubicado en la parte superior (figura 4.2.b). Esto pensando en que la sección calculada, al ser
aplicada a todas las vigas de la estructura, debe cumplir ante las solicitaciones que se le presentan,
ya sean a momentos máximos positivos o momentos máximos negativos. Luego se verifica la
capacidad de la viga doblemente armada y se compara con los requerimientos de momento último y
anclaje.
Para el momento positivo se diseña para satisfacer un 𝑀𝑢 = 1736362.75 [𝑘𝑔 ∙ 𝑐𝑚]. Se
considera un recubrimiento de 4 [𝑐𝑚] y estribos 𝛷10 previamente calculados. Como se mencionó
en la sección anterior, se debe cumplir con las condiciones de anclaje y desarrollo de las barras de
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refuerzo (cálculos en la sección siguiente), por lo que se utilizan dimensiones de 𝑏 = 40 [𝑐𝑚] y 𝑑 =
55 [𝑐𝑚] para el diseño. Se utiliza 𝛽1 = 0.85 debido a que 𝑓𝑐′ = 250 [𝑘𝑔/𝑐𝑚2 ].
Se determina el área de acero en tracción y la posición del eje neutro mediante equilibrio de fuerzas y
sumatoria de momentos con respecto al esfuerzo del acero. Se verifican las suposiciones de acero en
fluencia mediante compatibilidad de deformaciones. Por lo tanto, se tiene:
𝐶=𝑇
(4.1)
0.85𝑓𝑐′ ∙ 𝑏 ∙ 𝛽1 ∙ 𝑥 = 𝐴𝑠1 ∙ 𝑓𝑦
𝑀𝑛 = ∑ 𝑀𝑑
𝑀𝑛 =
𝑀𝑢
𝛷
=
1736362.75
0.9
= 𝐴𝑠1 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 −
𝛽1 ∙ 𝑥⁄
2)
(4.2)
Resolviendo de forma simultánea (1) y (2) para 𝑥 y para 𝐴𝑠1 , se tiene
𝑥 = 5.05219 [𝑐𝑚]
𝐴𝑠1 = 8.69122 [𝑐𝑚2 ]
Se verifica el supuesto de acero en tracción fluyendo.
0.003
∙ (𝑑 − 𝑥) = 0.02965 > 𝜀𝑦
𝑥
Para el momento negativo se realizan los mismos cálculos para satisfacer un momento último de
magnitud 𝑀𝑢 = 2418286.17 [𝑘𝑔 ∙ 𝑐𝑚]. Se consideran los mismos valores de recubrimiento y
estribo, las mismas dimensiones de la sección y un mismo 𝛽1 = 0.85.
𝜀𝑠 =
𝐶=𝑇
0.85𝑓𝑐′ ∙ 𝑏 ∙ 𝛽1 ∙ 𝑥 = 𝐴𝑠2 ∙ 𝑓𝑦
(4.3)
𝑀𝑛 = ∑ 𝑀𝑑
𝑀𝑢 2418286.17
𝛽 ∙𝑥
=
= 𝐴𝑠2 ∙ 𝑓𝑦 ∙ (𝑑 − 1 ⁄2)
𝛷
0.9
Resolviendo de forma simultánea (3) y (4) para 𝑥 y para 𝐴𝑠2 , se tiene
𝑀𝑛 =
(4.4)
𝑥 = 7.157872 [𝑐𝑚]
𝐴𝑠2 = 12.313 [𝑐𝑚2 ]
Se verifica el supuesto de acero en tracción fluyendo.
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0.003
∙ (𝑑 − 𝑥) = 0.02005 > 𝜀𝑦
𝑥
Así, se establecen las siguientes áreas de acero para la viga doblemente armada resultante (figura
4.2d).
𝜀𝑠 =
𝐴𝑠1 = 4𝛷25 = 19.635 [𝑐𝑚2 ]
𝐴𝑠2 = 4𝛷25 = 19.635 [𝑐𝑚2 ]
Figura 4.2. Procedimiento de cálculo de flexión.
Se verifica capacidad para la viga diseñada asumiendo 𝜀𝑠 > 𝜀𝑦 y 𝜀𝑠′ < 𝜀𝑦 . Se tiene de los cálculos
𝐴𝑠 = 𝐴𝑠 ′ = 4𝛷25, 𝑑 = 53.75 [𝑐𝑚] y 𝑑 ′ = 6.25 [𝑐𝑚].
Se resuelve mediante equilibrio y sumatoria de momentos. Los esfuerzos del acero se obtienen por
compatibilidad de deformaciones.
0.85𝑓𝑐′ ∙ 𝑏 ∙ 𝛽1 ∙ 𝑥 + 𝐴𝑠′ ∙ 𝑓𝑠′ = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦
(4.5)
𝛽1 ∙ 𝑥⁄
′
2) + 𝐴𝑠′ ∙ 𝑓𝑠 ∙ (𝑑 − 𝑑′)
(4.6)
6300
∙ (𝑥 − 𝑑′)
𝑥
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (5), (6) y (7) para 𝑀𝑛 y 𝑥, se tiene:
(4.7)
𝑀𝑛 = 0.85𝑓𝑐′ ∙ 𝑏 ∙ 𝛽1 ∙ 𝑥 ∙ (𝑑 −
𝑓𝑠′ =
𝑥 = 7.8372 [𝑐𝑚]
𝛷𝑀𝑛 = 3625751.711 [kg ∙ cm]
0.003
∙ (𝑥 − 𝑑 ′ ) = 0.0006075 < 𝜀𝑦
𝑥
0.003
𝜀𝑠 =
∙ (𝑑 − 𝑥) = 0.017574 > 𝜀𝑦
𝑥
La viga, al ser simétrica, posee la misma capacidad tanto si se enfrenta a momentos máximos
negativos como a momentos máximos positivos. Si bien con el área de acero definida se excede en
𝜀𝑠′ =
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gran cantidad la demanda de 𝑀𝑢, su justificación se basa en el anclaje de las barras y la longitud
necesaria para desarrollar toda su capacidad. Esto se detalla en la siguiente sección en conjunto con
la gráfica Demanda vs Capacidad de momento de la viga (figura 4.3).
Bajo esta configuración, las barras longitudinales quedan distanciadas a 6.66 [cm] entre sí. En
contraste con las verificaciones de espaciamientos y área de refuerzo mínima y máxima, se tienen los
siguientes resultados.
Tabla 4.1. Espaciamiento y armaduras utilizadas
Mínimo
Utilizado
Máximo
S [cm]
2.5
6.667
30
As [cm2]
7.147
19.635
34.577
4.1.3. Anclajes y empalmes
Se calcula la longitud de desarrollo para barras de 25 mm de diámetro.
𝐿𝑑 =
𝑓𝑦 ∙ 𝜓𝑡 ∙ 𝜓𝑒
1.7 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
∙ 𝑑𝑏 = 1605.88 [𝑚𝑚] = 1.60588 [𝑚]
Donde 𝜓𝑡 = 1.3 debido a que bajo las barras hay más de 30 cm de hormigón. No se considera ningún
tipo de recubrimiento epóxico, por lo tanto, 𝜓𝑒 = 1. Como se mencionó en secciones anteriores, 𝜆 =
1 para hormigones de peso normal.
Se calcula la longitud de desarrollo para ganchos.
𝑙𝑑ℎ =
0.24 ∙ 𝜓𝑒 ∙ 𝑓𝑦
𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
∙ 𝑑𝑏 = 504 [𝑚𝑚] = 0.504 [𝑚]
Considerando el ancho de los muros a los cuales se anclan las barras de las vigas, se establecen
ganchos a 90° como método de anclaje. Se calcula el extremo del gancho como 12 ∙ 𝑑𝑏 = 30 [𝑐𝑚].
Se determina el empalme de las barras longitudinales como 1.0 𝐿𝑑 = 1.61 [𝑚] por ser clase A. Se
cumple con los requisitos de espaciamiento libre entre barras que están siendo desarrolladas o
empalmadas mayor a 𝑑𝑏 = 25 [𝑚𝑚], estribos diseñados de acuerdo al código ACI 318-08, barras
empalmadas una longitud mayor a 2𝑑𝑏 , y recubrimiento libre mayor a 𝑑𝑏 .
Estas disposiciones de anclaje, longitudes de desarrollo, empalmes, largos de las barras utilizadas,
demanda y capacidad de momento se muestran de manera gráfica en la figura 4.3. La línea roja
continua corresponde a la capacidad de la viga, mientras que la línea roja punteada representa el
desarrollo desde el extremo donde culminan las barras empalmadas. Se verifica una capacidad de
𝛷𝑀𝑛 = 25.89 > 𝑀𝑢 = 24.182 [𝑇 ∙ 𝑚] para la zona de intersección del desarrollo de las barras
y el comienzo de la viga. Las barras se encuentran completamente desarrolladas a partir de 𝑥 =
0.144 [𝑚] y culminan en 𝑥 = 3.65 [𝑚], considerando su largo de 4 metros y la distancia requerida
para el extremo del gancho.
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Figura 4.3. Diagrama Capacidad vs Demanda para el Momento de la viga diseñada. Verificación
de anclajes y empalmes.
4.2.
Columnas
4.2.1. Flexocompresión
Del modelo en SAP2000, se encontró que la carga última 𝑃𝑢 = 314.4524[𝑇], mientras que el
momento último 𝑀𝑢𝑦 = 11.48874 [𝑇 ∙ 𝑚], 𝑀𝑢𝑥 = 10.23176 [𝑇 ∙ 𝑚]. Teniendo estos datos se
encuentra la excentricidad para la cual esa carga produce dicho momento:
𝑒𝑥 =
𝑀𝑢𝑦 11.48874
=
= 3.654 [𝑐𝑚]
𝑃𝑢
314.4524
𝑒𝑦 =
𝑀𝑢𝑥 10.23176
=
= 3.254[𝑐𝑚]
𝑃𝑢
314.4524
Las columnas se calcularán tomando en consideración los datos de la figura 4.4 y la tabla 4.2
Tabla 4.2 Datos de diseño
b (cm)
40
h (cm)
40
fc' (MPa)
25
fy (MPa)
420
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Es (MPa)
210000
Φe (mm)
12
Rec (cm)
4
𝜀𝑦
0.002
β1
0.85
Φ
0.65
Figura 4.4 Dimensiones de la columna y áreas de
acero sin calcular.
Para calcular las áreas de acero se realiza la suposición de que la columna es cuadrada como se
muestra en la figura 4.4. Se procede a realizar un sistema de ecuaciones donde la primera ecuación
corresponde a una igualdad de fuerzas:
(4.8)
𝑃𝑦 = 𝐶 + ∑ 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑠
Y la segunda ecuación corresponde a una ecuación de momentos.
0.85∙𝑦
𝑃𝑦 (𝑒𝑦 + 𝑑′′ ) = 𝐶 ∙ (𝑑 −
) + ∑ 𝐴𝑠𝑖 ∙ 𝑓𝑠𝑖 ∙ (𝑑 − 𝑑𝑖)
(4.9)
2
De esta forma se encuentra que el área de acero requerida en el eje 𝑥 es de 72.01 [𝑐𝑚2 ], lo cual
se consigue utilizando 4𝜙36 como acero en este eje. Mientras que en el eje 𝑦, se requiere
68.28 [𝑐𝑚2 ], lo que es alcanzado colocando 3𝜙36 en dicho eje.
En la figura 4.5, se observa el detalle de las armaduras y distancias desde la parte superior, luego del
cálculo del acero requerido. La información detallada, se encuentra en la tabla 4.3.
Luego se procede a calcular la columna bajo la aproximación de βresler para columnas biaxiales.
1
𝑃𝑢
1
1
1
𝑥
𝑦
0
(4.10)
=𝑃 +𝑃 −𝑃
Donde:
𝑃𝑢 :
𝑃𝑥 :
𝑃𝑦 :
𝑃0 :
carga última de diseño.
carga última eje 𝑥.
carga última eje 𝑦.
carga última para estado de compresión pura.
En primer lugar, se procede a calcular 𝑃0 . Para esto se asume que todos los aceros están comprimidos
y fluyendo. De esta manera:
𝑃0 =
0.85∙𝑓𝑐′ ∙(𝐴𝑔−𝐴𝑠𝑡)+𝐴𝑠𝑡∙𝑓𝑦
100
=
0.85∙25∙(1600−101.788)+101.788∙420
100
= 745.87965 [𝑇]
(4.11)
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Donde:
𝐴𝑔:
𝐴𝑠𝑡:
𝑓𝑐′ :
𝑓𝑦:
área de hormigón bruta.
área de acero total.
resistencia a compresión cilíndrica del hormigón.
tensión de fluencia del acero.
Posteriormente, se calculará la carga para el eje 𝑦. Para esto se han realizado los supuestos de la
tabla 4.3a.
Figura 4.5a. Esquema de la distribución de armaduras y distancias al extremo superior en el eje 𝑦.
Tabla 4.3a. Áreas y distancias de la sección eje 𝑦.
Área (cm2)
d (cm)
Supuesto
As1
30.536
d1
7
Fluye – Compresión
As2
20.358
d2
15.66666667
No fluye – Compresión
As3
20.358
d3
24.33333333
No fluye – Compresión
As4
30.536
d4
33
No fluye – Compresión
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El eje neutro 𝑦 se calcula a partir de la ecuación
𝑃𝑦 (𝑒𝑦 + 𝑑 ′′ ) = 𝐶 ∙ (𝑑 −
0.85∙𝑦
2
(4.12)
) + ∑ 𝐴𝑠𝑖 ∙ 𝑓𝑠𝑖 ∙ (𝑑 − 𝑑𝑖)
Donde:
𝐶:
fuerzas de compresión calculadas como:
𝐶 = 0.85 ∙ 𝑓𝑐′ ∙ (0.85 ∙ 𝑦 ∙ 𝑏 − 𝐴𝑠𝑡)
𝑃𝑦 :
carga última del eje 𝑦 calculada como:
𝑃𝑦 = 𝐶 + ∑ 𝐴𝑠𝑖 ∙ 𝑓𝑠𝑖
𝐴𝑔:
𝐴𝑠𝑡:
𝑓𝑠:
𝑦:
𝑑:
𝑑𝑖:
𝑑′′:
área de hormigón bruta.
área de acero total.
tensión del acero.
eje neutro.
distancia desde el extremo superior hasta la armadura inferior.
distancia desde el extremo superior hasta la armadura 𝑖.
centroide plástico (distancia desde la armadura más extrema hasta el centro de la sección).
Resolviendo las ecuaciones 4.2.4 con 𝑦 como incógnita se encuentra el valor de 41.7289882 [𝑐𝑚].
Luego 𝑃𝑦 =581.924616 [T].
Ya que el eje neutro está a un nivel inferior que las áreas de acero, se comprueba que todas están en
compresión, como se había supuesto.
Al calcular las deformaciones de fluencia de cada acero y el eje neutro 𝑦, se comprueba la veracidad
de los supuestos.
εs1
εs2
εs3
εs4
0.00252107 > 𝜀𝑦
0.0019281 < 𝜀𝑦
0.00133513 < 𝜀𝑦
0.00074217 < 𝜀𝑦
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De manera similar, se calcula 𝑃𝑥 .
Figura 4.5b. Esquema de la distribución de armaduras y distancias al extremo derecho.
Tabla 4.3b. Áreas y distancias de la sección eje 𝑥.
Área (cm2)
d (cm)
Supuesto
As1
40.715
d1
7
Fluye – Compresión
As2
20.358
d2
20
No fluye – Compresión
As3
40.715
d3
33
No fluye – Compresión
Resolviendo la ecuación para 𝑃𝑥 , se encuentra que 𝑥 = 42.06350025 [𝑐𝑚] y 𝑃𝑥 =
575.8249377 [𝑇].
Ya que 𝑥 es mayor que las distancias de las áreas de acero, se comprueba que todos los aceros están
en compresión.
εs1
εs2
εs3
0.002500755 > 𝜀𝑦
0.001573585 < 𝜀𝑦
0.000646416 < 𝜀𝑦
Al calcular las deformaciones unitarias de las armaduras, se comprueban además los supuestos.
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Finalmente, por aproximación de βresler:
1
1
1
1
=
+
−
𝑃𝑢 575.8249377 581.924616 745.87965
Con lo cual se encuentra:
𝑃𝑢 = 472.9528438 [𝑇]
La cual es mayor que la carga última solicitada de 314.4524 [𝑇].
Así mismo los momentos 𝑀𝑢𝑦 = 𝑃𝑢 ∙ 𝑒𝑥 = 17.2796654 [𝑇 ∙ 𝑚] y 𝑀𝑢𝑥 = 𝑃𝑢 ∙ 𝑒𝑦 =
15.38910178 [𝑇 ∙ 𝑚]. Los cuales son mayores que los momentos últimos solicitados.
De esta manera se concluye que el diseño cumple satisfactoriamente. Sin embargo, la columna
cumple por una diferencia muy considerable por lo que se entiende que está sobredimensionada. Por
lo tanto, se ha considerado una redistribución de la armadura quedando como lo muestra la figura 4.6,
con 3𝜙36 en todas las caras. Las capacidades de esta sección corresponden a:
𝑃𝑢 = 425.6968839 [𝑇]
𝑀𝑢𝑦 = 𝑃𝑢 ∙ 𝑒𝑥 = 15.5531356 [𝑇 ∙ 𝑚]
𝑀𝑢𝑥 = 𝑃𝑢 ∙ 𝑒𝑦 = 13.8521766 [𝑇 ∙ 𝑚]
Este diseño cumple satisfactoriamente los requisitos de acero y solicitaciones, y es menos costosa su
fabricación.
Figura 4.6. Diseño definitivo de columnas. 3𝜙36 por cara.
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En la tabla 4.3c se muestra la verificación de la cuantía máxima permitida por las dimensiones de la
sección.
Tabla 4.3c. Límites de cuantía y área de acero.
Cuantía mínima
Cuantía utilizada
Cuantía máxima
0.01
0.050894
0.08
Refuerzo mínimo [cm2]
Refuerzo utilizado [cm2]
Refuerzo máximo [cm2]
16
81.4301
128
Los diagramas de interacción reducidos se presentan en las siguientes figuras. Como la columna es
simétrica, estos diagramas son idénticos en ambas direcciones. Sin embargo, la demanda estimada
varía en las dos direcciones para las columnas del eje 2 (𝑀𝑦) y del eje 1 (𝑀𝑥). Se incluye además
en los diagramas los puntos de control; tales como compresión pura, flexión pura, condición de balance
y tensión máxima. Se grafican los puntos de demanda, que acorde a un diseño satisfactorio, caen
dentro del diagrama.
Figura 4.7. Diagrama de interacción para 𝑃𝑢 y 𝑀𝑢𝑥 de la columna diseñada.
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Figura 4.8. Diagrama de interacción para 𝑃𝑢 y 𝑀𝑢𝑦 de la columna diseñada.
4.2.2. Anclaje y empalmes
Se calcula la longitud de desarrollo para barras de 36 mm de diámetro.
𝐿𝑑 =
𝑓𝑦 ∙ 𝜓𝑡 ∙ 𝜓𝑒
1.7 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓𝑐′
∙ 𝑑𝑏 = 2312.47 [𝑚𝑚] = 2.31247 [𝑚]
Donde 𝜓𝑡 = 1.3 debido a que bajo las barras hay más de 30 cm de hormigón. No se considera ningún
tipo de recubrimiento epóxico, por lo tanto, 𝜓𝑒 = 1. Como se mencionó en secciones anteriores, 𝜆 =
1 para hormigones de peso normal. De esta manera, los empalmes se realizarán cada 2.5 [𝑚].
Por las mismas condiciones que la viga de diseño, la columna cumple los requerimientos para ser
clasificada como clase A. Por lo tanto, la longitud de empalme de las barras de refuerzo es
𝐸𝑚𝑝𝑎𝑙𝑚𝑒 = 𝐿𝑑 = 2.31247 [𝑚]
5. Análisis
5.1.1. Vigas
En la tabla 5.1 se presenta el contraste de las cantidades de acero requeridas por SAP y por cálculo.
Se presenta la cantidad necesaria en la parte inferior de la viga para el momento positivo, y la cantidad
de acero de la parte superior de la viga para el momento negativo.
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Tabla 5.1. Comparación entre el cálculo de SAP vs cálculo propio.
Acero requerido por SAP
[cm2]
Acero requerido por cálculo
[cm2]
Momento negativo Viga V5
10.140
12.313
Momento positivo Viga V7
10.319
8.6912
Los resultados obtenidos a través de los dos métodos de cálculo difieren en una magnitud pequeña.
A pesar de que el momento con que se calculó el acero superior es mayor que el momento positivo,
las áreas resultantes obtenidas del software muestran un comportamiento inverso. Se requiere menor
cantidad de acero para el momento negativo. Esto se debe principalmente a que el software diseñó el
acero superior utilizando un 𝑀𝑢 = −19.642 [𝑇 ∙ 𝑚], mientras que se utilizó un momento último
𝑀𝑢 = 19.971 [𝑇 ∙ 𝑚] para el cálculo del acero inferior. Esto no concuerda con los resultados
obtenidos de las solicitaciones internas de momento de la tabla 5.1, donde se presenta un momento
último negativo mayor al momento último positivo. Si bien se determinó manualmente una cantidad de
acero inferior menor a la cantidad entregada por el software, la utilización de 4𝛷25 = 19.635 [𝑐𝑚2 ]
con el objetivo de lograr el desarrollo de las barras permite suplir esta deficiencia. Finalmente, la viga
doblemente armada diseñada mediante el cálculo manual satisface la demanda de momento obtenida
de los diagramas del marco seleccionado.
En cuanto al diseño de corte, la cantidad de acero de corte requerida de acuerdo al modelo en SAP
es expresada como una relación de Área sobre distancia, la cual representa la cantidad de acero por
cada unidad de longitud en términos del espaciamiento de los estribos. A partir de esto, se calcula
dicha relación con los valores obtenidos a través del cálculo escrito con el propósito de comparar los
resultados. Se muestra de forma acotada los resultados expulsados por el software y los del diseño
manual en la tabla 5.2.
𝐴𝑣 0.00015708
=
= 0.000785
𝑆1
0.2
𝐴𝑣 0.00015708
=
= 0.000393
𝑆2
0.4
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Tabla 5.2. Comparación entre acero requerido para estribos por SAP vs cálculo.
x [m]
Av/s [m] requerido
por SAP
[0.20 ; 0.66]
0.000465
[0.66 ; 1.59]
0.000335
[2.05 ; 2.98]
0
[3.44 ; 4.86]
0.000335
[5.30 ; 5.50]
0.000551
x [m]
Av/s [m] requerido por
cálculo
[0.00 ; 1.50]
0.000785
[1.50 ; 3.00]
0.000393
[3.00 ; 5.50]
0.000785
El cálculo manual considerando solo dos espaciamientos distintos arroja resultados más
conservadores que los obtenidos con la modelación. Esto se debe principalmente a que se utiliza el
diámetro mínimo permitido, 𝛷𝑒 = 10 [𝑚𝑚], además de los espaciamientos máximos admitidos por
la categoría en la que se encuentra el 𝑉𝑢 de diseño. Por ejemplo, si se seleccionase la relación de
0.000465 y el área que resulta de utilizar estribos de 10 mm de diámetro, se obtendría el siguiente
espaciamiento:
𝑆=
1.5708 ∙ 10−4 [𝑚2 ]
= 0.337 [𝑚]
0.000465 [𝑚]
Un espaciamiento de 33.7 [cm] excede el máximo espaciamiento permitido en categoría 3 de 27.5 cm.
Por otro lado, si se considera el espaciamiento de 20 [cm] como el establecido en la sección de diseño,
se obtiene la siguiente área:
𝐴𝑣 = 0.2 [𝑚] ∙ 0.000465[𝑚] = 0.000093 [𝑐𝑚2 ] = 0.93 [𝑐𝑚2 ]
El área recién calculada se logra con dos estribos de 8 [mm] de diámetro, sin embargo, es inferior al
diámetro máximo admitido.
5.1.2. Columnas
Según SAP el área requerida total de la columna corresponde a 80.052 [𝑐𝑚2 ], mientras que por
cálculo se obtuvo que el área total es 72.01[𝑐𝑚2 ], para la columna con acero solamente en el eje 𝑦,
y 68.28 [𝑐𝑚2 ] para la columna con acero solamente en el eje 𝑥. Ya que la columna elegida
corresponde a un área de 3𝜙36 en todas las caras el área total corresponde a 81.43[𝑐𝑚2 ], el cual
es un número superior a los requeridos tanto por SAP como por cálculo. Con estas áreas calculadas
la capacidad de la columna es muy superior a las solicitaciones.
Además, si se configura para que SAP verifique la capacidad de la columna, se tiene que la razón
Demanda/Capacidad toma un valor de 0.938. A partir de nuestros cálculos para la capacidad del
diseño, se tiene una razón de 0.738677 para la columna más cargada.
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6. Anexos A:
Figura 6.1. Planilla de diseño a corte.
Figura 6.2. Planilla de diseño a flexión.
Figura 6.3. Planilla para cálculo de armadura requerida en columnas.
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Figura 6.4. Planilla de diseño a flexo compresión biaxial en columnas.
7. Anexos B:
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Figura 7.1. Planos estructurales.
8. Referencias
American Concrete Institute. (2014). Requisitos de Reglamento para Concreto Estructural (ACI 318S14).
Gerdau AZA. (2001). Manual de cálculo de hormigón armado. Basado en el código ACI 318-99.
Santiago de Chile.
Gerdau AZA. (2005). Manual de Armaduras de Refuerzo para Hormigón. Fabricación, Instalación,
Protección. Santiago de Chile: M y M Servicios Gráficos S.A.
Hernández, E. (s.f.). Manual de Aplicación del Programa SAP2000 v14. CSI Computes & Sctructures,
Inc.
INGENIEROS, C. (2014). DISEÑO DE CONCRETO ARMADA CON SAP 2000 V16. Obtenido de
Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=rAMalyT3Yns
Instituto Nacional de Normalización. (1986). NCh1537.Of86. Diseño estructural de edificios - Cargas
permanentes y sobrecargas de uso. Santiago de Chile.
Instituto Nacional de Normalización. (2010). NCh3171.Of2010. Diseño estructural - Disposiciones
generales y combinaciones de carga.
JDR Ingenieria. (20 de Septiembre de 2018). Parte 27 SAP2000 Tras Analisis Estructural. Obtenido
de Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=P9Fmv2laRbE
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JDR Ingenieria. (13 de Agosto de 2018). Parte 4 SAP2000 Columnas. Obtenido de Youtube:
https://www.youtube.com/watch?v=708D07urwzg
JDR Ingenieria. (13 de Agosto de 2018). Parte 5 SAP2000 Vigas. Obtenido de Youtube:
https://www.youtube.com/watch?v=EJk37tazYpw
Microsoft. (s.f.). Solver Options Functions. Obtenido de Microsoft: https://docs.microsoft.com/enus/office/vba/excel/concepts/functions/solveroptions-function
Nilson, A. (1999). Diseño de estructuras de concreto. Santa fé de Bogotá: McGraw-Hill Interamericana
S.A.
STRUCTUREPOINT LLC. (2016). spColumn Manual version v5.5.
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