Potenciación I
Ecuaciones de hace 4000 años
Los babilónicos vivieron hace unos
4000 años, en lo que ahora es Irak.
Era n un pue bl o m uy cu l t o y
organizado, im agínense que hasta
po día n res olv er ec uac io nes . E n la
u n i v e r s i d a d d e C o l u m b i a (N u e v a
Yor k ) s e co n s e r v a n ta bl i l l a s c on
inscripciones babilónicas. En una de
ellas aparece este problema:
Los movimientos sísmicos, cuya aparición es por ahora imposible de predecir, son de diversa magnitud e intensidad.
La escala de Richter nos da idea
de la magnitud del terremoto. Esta
escala tiene una graduación del 1 al 9
e indica la energía liberada que se mide
en ERGIOS.
El ERGIO, equivale a la energía
que necesita una fuerza para mover
un centímetro una masa de un gramo.
Los terremotos son, casi siempre,
de efectos devastadores cuando su
Terremoto de Alaska en 1964. Uno de los mas fuertes ocurridos en ese país.
intensidad es superior a los 6 grados.
EQUIVALENCIA ENTRE LA ENERGÍA LIBERADA
Y LA MAGNITUD DEL TERREMOTO
Energía liberada en ergios
Magnitud
8,3 El terremoto más intenso (Japón, 1923)
8,1 Terremoto de San Francisco (EE.UU., 1906)
7,8 Terremoto de Ancash (Perú, 1970)
7,5 Terremoto de Lima (Perú, 1974)
3,0 Movimiento de terremoto al explotar 200 kg de dinamita
2,0 Un movimiento sísmico leve
1,0 Un camión de 2 toneladas a una velocidad de 120 km/h
1
AÑO
Ahora:
1. Expresa en notación abreviada (potencias de 10) lo
siguiente:
La energía equivalente a la magnitud 2:
2. Escribe mediante potencias de 10 la energía de:
El terremoto de Lima - 1974:
.............................................................................
............................................................................
La energía equivalente a la magnitud 4:
El terremoto de Ancash - 1970:
............................................................................
............................................................................
La energía equivalente a la magnitud 7:
El terremoto más intenso :
............................................................................
............................................................................
Marco teórico
Potencia es el resultado obtenido al multiplicar un
número, llamado BASE, cierta cantidad de veces; esta
cantidad es el EXPONENTE.
Exponente natural:
a. a
. ...
. a an ; n lN, a lR
"n" veces
Ejemplos:
Exponente
5 v
ece
s
Potencia
2 2 2 2 2 2 5 32
·
Propiedades
1. am . an = am+n
base
2.
Exponente
4
Potencia
3 3 3 3 3 81
4 veces
·
; m,n lN
am
= am-n
an
; m, n lN; a =
/0
3. a 0 = 1
; a 0
4. 0n = 0
; n 0
base
Problemas para la clase
Bloque I
3. Efectuar:
x 221
x 121
1. Efectuar en cada caso:
a)
b)
c)
d)
x5 . x7 . x9 . x11 =
m10 . m12. m14. m16 =
a . a3 . a5 . a7 =
x . x2 . x3 . x4 ... x9 =
a) x50
d) x200
b) x100
e) x250
c) x150
4. Calcular:
2. Reducir cada expresión:
3 3 3 ... 3
30 factores
12
10
15
25
a)
a .b
=
a8 . b6
b)
m .n
=
m10 . n 20
c)
2 4m
=
2 2m
d)
m2002
=
m2001
a) 320
d) 310
b) 330
e) 30
c) 90
5. Calcular:
a) 1 024
d) 128
6. Reducir:
a) x20
d) x210
7. Reducir:
a) x-15
d) x-14
8. Reducir:
a) x4
d) x1
9. Efectuar:
x12y15
a)
d) x18y15
10.Efectuar:
x12y10
a)
d) x12y14
4. Efectuar:
21 . 22 . 23 . 24
b) 512
e) 64
c) 256
x . x2 . x3 . x4 . ... .x19 . x20
b) x200
e) x180
c) x400
c) x3
x3 y4 x5 y6 x7 y8
b)
e) x12y18
(x2y)(x3y2)(x4y3)(x5y4)
x14y12
b)
e) x14y14
c)
x14y10
a) 8
d) 64
b) 16
e) 128
b) 9
e) 27
c) 5
c) 32
2x . x2 . x3 + 3x3 . x2 . x + 6x6
a) 12x18
d) 11x6
b) 11x18
e) 6x11
b) 12
e) 72
9. Multiplicar:
a) -9x9
d) 9x9
a) -6x5
d) -5x5
c) 81
c) 12x6
(25 . 34 . 43) (24 . 33 . 42)
c) 24
(-5x4) por (-4x5)
b) -20x5
e) -9x20
10.Multiplicar:
3 8.36.3 4
37.35.33
c) 20x9
(-3x2) por [-(-2x3)]
b) -6x2
e) -5x6
c) 5x5
Bloque III
1. Efectuar:
2. Reducir:
x 6 . x 5 . x 4 . x 3 . x 2
x 5 . x 4 . x 3 . x 2 . x
c) x2
b) x
e) x4
(a2b3c4)(a-5b-6c-7)(a8b9c10)
a) a2b3c4
d) a5b6c7
b) a3b4c5
e) a6b7c8
c) a4b5c6
2. Reducir
(5
5 5 ... 5) (125
125 ... 125)
3. Reducir:
55 factores
4 3
b) 2ab
e) 2a2b2
625 veces
3 4
a b a b
a2b
ab 2
a) ab
d) a + b
b) 3a
e) 1
a) 6
d) 36
1. Efectuar:
a) x0
d) x3
a) 3
d) 5a
x15y18
Bloque II
a) 3
d) 243
(3a + 5a + 7a) (3a - 5a + 7a)
8. Calcular:
c)
c) 36x6
7. Efectuar y reducir:
x1 . x-2 . x3 . x-4 . x5
x15y12
5. Efectuar:
b) 16x6
e) 60x6
{2-1 . 2-3} {2-4 . 2-5}
c) x-12
b) x2
e) x5
a) 6x6
d) 66x6
6. Calcular:
x-1 . x-2 . x-3 . x-4 .x-5
b) x-11
e) x-16
(5x3)(4x2)(3x)
a) 539
d) 548
c) a2b2
b) 62558
e) 52
c) 2548
3.
5 -1
R
e
a)
d)
d
u
c
i r
:
y
x
x30y2
x15y3
. x4y- 2 . x3y- 3 . x2y - 4
b)
e)
x20y- 10
x6y2
7. Hallar el resultado final: (a 3b 2c 2)(a 4b 3c 2)(a - 6b - 4c - 4)
c) x14y- 10
a 30 b10 c 5
a10b 10 c 15
b) a5b6
e) (abc)20
5. Calcular:
x2
a) x- 2
d) x- 8
.
x- 4
.
x6
.
x- 8
a) - 1
d) - 4
c) a2b4
.
x10
b) x- 4
e) x- 10
.
b) x- 40
e) x- 24
b) - 2
e) - 5
c) 3ab
c) x- 6
c) x- 42
c) - 3
9. Efectuar:
227 . 320 . 517
x- 12
6. Efectuar: x- 2 . x- 4 . x- 6 . x- 8 . x- 10 . x- 12
a) x- 38
d) x- 22
b) ab
e) abc
8. Indicar el exponente final de:
x2 . x- 3 . x4 . x- 5 . x6 . x- 7 . x8 . x- 9
4. Efectuar:
a) abc
d) a15b15c15
a) ab- 1
d) a2b2
517 . 318 . 225
a) 26
d) 56
b) 36
e) 66
c) 46
10.Hallar: 5x2 . x3 . x4 + 7x2 . x3 . x4 - 6 . x2 . x3 . x4
a) 6x6
d) x9
b) 6x4
e) 6x9
c) 6x8
Autoevaluación
1. Reducir:
a) ab
d) a4b4
4. Reducir:
(a2b5)(a8b7)(a-9b-11)
b) a2b2
e) a5b5
c) a3b3
a7 a17 a 8
a2 a12 a3
a)
d) 3a5
a5
b)
e) 3a3
c)
a15
x . x2 . x3 . x4 . ... x9 . x10
b) 55
e) 25
c) x3
5. Reducir:
3. Hallar el exponente final al efectuar:
a) 20
d) x20
b) x2
e) x8
a) x
d) x4
2. Simplificar:
a3
x . x 3. x 5. x 7
x2. x 4 . x 8
c) x55
(3a8 + 5a8 + 7a8) (8a3 + 2a3 - 5a3)
a) 3a8
d) 3a
b) 3a3
e) 3
c) 3a5
LA SERENIDAD
3 . Su voz es clara y firme. No se atropella para
h a bl a r n i ta mp oc o l o h a ce d ema s ia d o
La serenidad es la emoción sosegada que te
p ro d u ce e l s a be r qu e ha s as i mil a d o l o q u e
estudiaste. La serenidad es una emoción, pero cosa
curiosa, provisionalmente puedes entenderla como
una emoción caracterizada por la ausencia de
emociones. Sobre todo, de emociones negativas.
Existe una serie de síntomas que indican que un
pausadamente.
4 . El ritmo de su respiración, los latidos de su
corazón y la sudoración, son las normales. No
aparenta estar agitado.
5 . Duerme normalmente, no despierta antes de la
hora habitual y cuando se levanta no refleja
signos de cansancio.
estudiante procede con serenidad. Por ejemplo:
Pero ten cuidado de llamar serenidad a lo que
1 . Sus movimientos son armoniosos y seguros, no
demuestra impaciencia ni intranquilidad.
def ectos y a vece s hay jóve nes q ue e n vez de
2 . Sus músculos se encuentran relajados y no
evidencian ninguna tensión innecesaria. No
aprietan la mandíbula.
n o e s : l a p re oc u p ac i ó n y la i nd i f ere n ci a so n
ocuparse en corregir lo negativo que hay en ellos,
encuentran más cómodo rebautizar el vicio con el
nombre de una virtud.
Álgebra, el arte de la cosa
Como casi todas las palabras actuales que
empiezan con "al", el término álgebra tiene
origen árabe. Se lo debemos al matemático
Al-Khwarizmi.
Escribió una obra que ha servido a los
matemáticos occidentales durante años.
Su título: "Al - jabr - wa'l muqäbala". De
la primera palabra 'Al - jabr' proviene
'álgebra'.
Este mismo matemático designaba a la
incógnita de sus ecuaciones con el nombre de
'SAHY' (que significa 'la cosa').
Los algebristas italianos usaban la palabra 'COSA' y los alemanes llamaban a la incógnita
'COSS'. Con esos orígenes, durante una época el “álgebra”, fue conocida en Europa
como "El arte de la cosa".
Variables y constantes
El valor de la velocidad de la luz
siempre es el mismo: aproximadamente 300 000 km por
segundo, o sea, que es
una constante. En cambio, el valor de la velocidad de un automóvil
cambia con el tiempo,
aumenta o disminuye
según la aceleración que
Tren experimental que
l le ve , es d ec ir e s un a
logra velocidades increibles variable.
En consecuencia, se define como constantes a las
cantidades cuyos valores no se modifican. Por otra
parte, se denominan variables aquellas cantidades cuyo
valor puede cambiar en el tiempo y en el espacio. Para
representar las constantes se utilizan las primeras letras
del abecedario: a, b, c, d; mientras que para las
variables se emplean la últimas: x, y, z.
Normalmente, los distintos valores que toma una
variable dependen de los de otra variable, denominada
variable independiente. Por ejemplo, el tiempo que
demora un automóvil en recorrer una distancia es
función de su velocidad. La velocidad es la variable
independiente, mientras que el tiempo es la variable
dependiente o función.
Este tipo de funciones se llama funciones empíricas,
ya que sus valores se calculan por la simple observación.
La relación de dependencia entre las variables puede
estar determinada por operaciones matemáticas; en
ese caso la función se llama analítica.
La manera de simbolizar una función es: y = f(x)
(se lee "y igual a f de x"), es decir “y” es función de
otra variable “x”:
y = 5x - 4
f(x) = 5x - 4
Los valores de la variable dependiente “y”, dependen
de los que toma “x”, si:
x=2
y = 5 . 2 - 4 = 10 - 4 = 6
La importancia de las notaciones
La utlización y escogencia de símbolos para denotar
conceptos o procesos matemáticos ha resultado de
mucha importancia. Antes del siglo XVI el único hombre
que introdujo conscientemente el simbolismo para el
Álgebra fue Diofanto (alrededor del 250 d.C.). Otros
c am bi os d e no ta ci ón f ue ro n es en ci al me nt e
abreviaciones de palabras. Alrededor del siglo XV, por
ejemplo, se usaba "m" para menos y "p" para más. “+”
y “-” se supone fueron introducidos por los alemanes
en ese mismo siglo. El “=” fue introducido por el inglés
Robert Recorde (1510 - 1550). Viète usó “~” para la
igualdad, y Descartes usó “u” para ésta misma.
Descartes usó para la raíz cuadrada.
Para que se tenga una idea de la importancia de la
notación, mencionemos que el matemático italiano
Jerónimo Cardano en su libro Ars Magna (1545)
escribía "x2 = 4x + 32" como "quadratu aeqtur 4 rebus
p: 32"
Fue el francés Viète quien realizó cambios decisivos
en el uso de símbolos en el Álgebra. Fue el primero en
usar sistemáticamente letras para las variables o
potencias de la variable, y también las usaba como
coeficientes.
Otro ejemplo para que se perciba que todas las
dimensiones de las mateméticas son históricas,
elaboradas por personas de carne y hueso en algún
momento: la notación “x2” para x . x (tan natural) se
estandarizó hasta que la introdujo Gauss en el siglo
XIX.
Potenciación II
"Las leyes de la naturaleza están
escritas en matemáticas".
Johannes Kepler
Matemático alemán del siglo XVII
... y aquí una historia ...
El fin del mundo
Cuenta una leyenda que en un templo de religión hindú, ubicado en la ciudad de Benares (India), se apareció el
dios BRAHMA ante el sacerdote mayor y le encomendó una tarea, que aunque parecía insignificante, "podría indicar
la fecha del fin del mundo".
Esta tarea, estaba basada en tres barras (como en el gráfico) y tres discos. Los discos insertados en la barra de
la izquierda deberían ser trasladados a la barra derecha. Algo fácil ... ¿no creen?
Sin embargo, aquí está el detalle indicado por el dios Brahma:
"La tarea será cumplida siguiendo estas tres reglas:
· Los discos pueden ser trasladados uno a uno.
· Se prohíbe colocar un disco grande sobre otro pequeño.
· Los discos pueden ser colocados provisionalmente en la barra intermedia
pero respetendo las reglas anteriores".
Y aunque el sacerdote tuvo que pensar durante varias horas obtuvo el
resultado de la siguiente manera:
ÁLGEBRA
1
AÑO
Inicio de la tarea
1er movimiento
2do movimiento
3 er movimiento
4to movimiento
5 to movimiento
6 to movimiento
7 mo movimiento
Este es el resultado,
observa cuantos
movimientos se
realizaron.
Pasó un año desde su aparición y el dios Brahma reapareció ante el sacerdote y le dijo:
"Llegó el momento, la tarea de hoy podrá determinar la fecha del fin del mundo".
El sacerdote asustado por tal anuncio, pero manteniendo la fe en su dios, aceptó el reto y de pronto aparecieron
frente al altar tres barras y 64 discos dispuestos de manera similar al anterior caso.
"Cuando estos 64 discos sean trasladados totalmente al lado derecho, el fin del mundo ... habrá llegado" dijo
Brahma, y el sacerdote dio inicio a su trabajo de inmediato.
Pasaron siglos y siglos, pero hasta ahora la tarea no ha sido culminada.
¿Sabes qué es lo curioso de esta tarea? ... pues que para poder trasladar los 64 discos serían necesarios unos
¡¡¡500 mil millones de años ... !!!
¿Y por qué tanto tiempo?... quizás sea una pregunta tuya. Pues presta atención al siguiente cuadro:
Número de discos en las
barras
1 disco
2
3
4
.
.
.
64
Número de movimientos
para el traslado
1 movimiento
3
7
15
.
.
.
18 446 744 073 709 551 615
¡¡ Lo notaste!! ... se necesitan 18 446 ... movimientos, y sacando cuentas, si consideramos realizar un movimiento
en 1 segundo, entonces en una hora se pueden hacer 3 600 traslados; en un día cerca a 100 mil; en diez días, un
millón, etc. Por este motivo "el fin del mundo" está muy lejano aún.
Nota: Esa inmensa cantidad de movimientos, puede ser escrita de otro manera:
18 446 744 073 709 551 615 = 264 -1
¿Te atreves a comprobarlo?
Marco teórico
e)
En el capítulo anterior se dio la definición de "POTENCIA"
y de manera intuitiva la definición de exponente "NATURAL".
3
a15 .b 21 =
f)
5
a5m
=
b10m
2. Calcular:
Ahora definiremos al resultado obtenido mediante un
exponente "RACIONAL".
1 3 8
9
27
Exponente racional
a)
Se define:
m
n
a n am
; m, n lN, a lR
2
3
b) 1
d) 2
4
3
16 2 4 2 2 2 2 4
a) 2
d) 8
4
·
4
·
4
1
8 81 8 3 4 3 8 3 2
4
625 5 4 5 4 5
1)
2)
b) 4
e) 10
3
n
a.b
a
b
n
n
n
c) 6
25 49
3
27
a) 1
d) 7
n
125 4 81
8
16
4. Efectuar:
Propiedades
b) 2
e) 4
c) 5
5. Calcular:
a .n b
10
a
b
a) 4
d) 240
Ejemplos:
·
1
3
e)
3. Calcular:
Ejemplos:
·
c) 3
2120
2 80
b) 16
e) 216
c) 28
6. Efectuar:
3
2 025 81 25 81 25 9 5 45
8 25
49
4
81 5 32
4
3
·
3
8 3 2 3 2 3 2
3 3
27
3
33
3
Problemas para la clase
a)
1
2
b) 1
d)
3
2
e)
c) 3
5
2
7. Hallar el valor de:
Bloque I
5
1. Efectuar en cada caso:
a)
16 19 =
b)
c)
49
=
36
d)
3
125 64 =
a)
81
=
16
d) 7
5
7
b) 75
e)
7 2003
71998
c) 1
7
8. Reducir:
6. Reducir:
51 4 2 3 3 2 4
a) 6
d) 9
b) 7
e) 10
c) 8
14 3 3 6 2
a) 6
d) 9
b) 7
e) 10
7. Calcular:
9. Calcular:
717 515 616
715 513 616
21 3 2 5 2
a) 2
d) 8
b) 4
e) 10
c) 6
a) 3
d) 6
b) 4
e) 7
72 62 22
b) 2
e) 5
333 4 44
331 4 42
c) 3
a) 3
d) 6
Bloque II
b) 4
e) 7
J 4 16 15
1 24 43
b) 3
e) 9
c) 5
34 1 4 3
b) 11
e) 14
c) 12
b) 2 000
e) 2 002
c) 4
2
0
2
b) 6
e) 10
2
c) 8
b) 17
e) 12
c) 13
b) 9
e) 5
c) 3
1. Si: 3 64 =2x
hallar "x + 7"
a) 2
d) 10
5. Reducir:
14
32 4 3 2 3
b) 6
e) 9
a) 5
d) 30
Bloque III
2 3 4 5 1
a) 4
d) 8
25 3 4 22 33
hallar "A + B"
4. Calcular:
5
c) 3
797
428
A 3
2
795
424
3
2
B
2 2002 2 2001
2 2001 2 2000
a) 4
d) 9
b) 2
e) 5
10.Si:
3. Calcular:
a) 2
d) 2 001
327
312
hallar: J 1
a) 1
d) 4
2. Efectuar:
a) 10
d) 13
c) 5
9. Sabiendo que:
1. Calcular:
a) 1
d) 7
c) 5
8. Calcular el valor de:
10.Calcular:
a) 1
d) 4
c) 8
b
2. Si: 3 a 9; 5 3 5 2
c) 7
hallar: a b
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
3. Calcular:
140
20 5
100
7. Hallar el valor de:
5
a) 25
d) 1
b) 5
e) 55
c) 125
a) 1
d) 4
20 791
5 9
20 781
4. Hallar el valor de:
a) 31
d) 34
b) 32
e) 35
c) 33
9. Efectuar:
5. Calcular el valor de “J + S”, sabiendo que:
J=
a) 16
d) 30
3710
2513
2509
; S=
b) 21
e) 1
2125
c) 25
c) 3
9
8
3
16
27
a)
13
17
b)
12
17
d)
4
7
e)
7
5
b) 4
e) 10
c) 6
a) 2
d) 8
x4 .
b) 4
e) 1
10.Hallar “x”, siendo: 32x =
23 7 2 52 22
6. Hallar el valor de:
a) 2
d) 8
2129
c) 3
32 = 2x - 4 ; hallar:
a) 5
d) 2
9
3712
b) 2
e) 5
5
8. Si:
3 3
1 23 33 4 3 52
c)
17
12
38
b) 4
e) 10
c) 6
Autoevaluación
1. Indicar V (verdadero) o F (falso) según sea el caso:
2
2
2
I.
3 4 3
II.
a 2m
a
b
b 2m
m
4
13 2 12 2
2
a) 5
d) 13
m
n
III. a n a
a) V F F
d) V V V
b) 25
e) 1
4. Calcular el valor de:
b) F V V
e) F F F
c) F F V
a) 1
d) 4
c) 3
n 5 , si se sabe que:
b) 2
e) 5
c) 3
5. Hallar:
2. Calcular:
5
a) 10
d) 49
3. Hallar el valor de:
1257 2 3 4 3 3 2
7 20791
7 20781
b) 7
e) 343
c) 75
a) 2
d) 5
b) 4
e) 9
c) 8
n
16 2
Potenciación III
"El avance y perfeccionamiento de las
matemáticas están estrechamente
relacionados con la prosperidad de la nación".
Napoleón Bonaparte
Emperador francés
Problemas para la clase
Bloque I
5. Cuál será el exponente de "x" al reducir:
1. Calcular:
0
3
2 4 2
a) 2
d) 6
/ 0
[ x
. x . x.
x . ... .
x ] [x 4 . x 4 . x 4 . x 4 ] ; x =
4
b) 3
e) 7
38 factores
c) 4
a) 60
d) 22
a 3x a 9x
/ 0
x 8x ; a =
a a
92 33 23
b) 8
e) 2
c) 6
3. Calcular:
3
2
2 4 5
a) 9
d) 3
c) 32
6. Reducir:
2. Calcular:
a) 10
d) 4
b) 16
e) 42
b) 7
e) 10
a) a2x
d) a-2x
b) ax
e) 1
c) a-x
7. Simplificar:
2
2 277 325 6115
2275 322 6113
c) 5
a) 16
d) -6
b) 8
e) -5
c) -8
4. Determinar el exponente final de "x":
x 2 . x 4 . x 6 . x 8 . x 10
;x=
/ 0
x 10 . x 20
a) 1
d) 5
b) -1
e) 2
8. Calcular:
355 387
34 68
3 3
c) 0
a) 2
d) 81
b) 27
e) 1
c) 9
1
AÑO
9. Si se cumple que:
6. Calcular:
x 5. x11. x 40
x n3 ; x =
/ 0
12
36
x .x
entonces "n - 10" será igual a:
a) 5
d) -5
b) 8
e) 12
c) -8
51
a) 23
d) 37
b) 53
e) 62
7. Calcular:
es "2n" ; x =
/ 0
a) 1
d) 4
64
b) 2
e) 5
c) 3
8. Calcular:
entonces el valor de "n" es:
b) 5
e) 12
4 9 16
c) 10
Bloque II
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
9. Calcular:
1. La edad de Claudia es el cuadrado de 7 disminuido en
el cubo de tres; señalar su edad.
a) 21 años
d) 24
3
78
49
63
105
x .x
a) 2
d) 6
c) 41
25
10.Si el exponente de "x", al reducir:
x . x .x
16 . 64 49 . 9
b) 22
e) 25
c) 23
3
49 81 125
a) 1
d) 7
b) 3
e) 9
c) 5
10.Calcular:
2. La edad de Carlos es el cuadrado de siete disminuido
en la cuarta potencia de 2. Indicar la edad de Carlos
dentro de dos años.
a) 32 años
d) 35
b) 33
e) 36
c) 34
b) 55
e) 67
b) 20
e) 35
x . x2 . x3 . x4 . x5 = xa
x2 . x4 . x6 ... xb = x42
c) 25
b) 42
e) 32
1 1
4
36
b)
1
6
x . x2 . x3 ... xm = x28
entonces el valor de "m" es:
d)
5
6
e)
1
3
3. Efectuar:
c)
2
3
c) 15
2. Sabiendo que:
a) 1
d) 4
1
2
c) 5
1. Hallar "a + b", si se sabe que:
a) 27
d) 47
5. Calcular el valor de:
a)
3
16 125
8
b) 4
e) 8
c) 57
4. La edad de Pepucho es igual a la sexta potencia de 2,
disminuida en el cuadrado de seis. ¿Qué edad tendrá
dentro de dos años?
a) 15 años
d) 30
a) 2
d) 6
3
Bloque III
3. ¿Cuál es la edad de una tortuga sabiendo que es igual
al cuadrado de cinco, aumentando en la quinta potencia
de 2?
a) 52 años
d) 62
49
a) 2
d) 8
b) 7
e) 5
3
27
6
64
b) 4
e) 10
c) 6
3
125
c) 6
4. Si: x2 . x4 . x6 . x8 = xn + 7 ;
a) 2
d) 8
hallar:
b) 4
e) 10
4
n 3
c) 6
a) 50
d) 32
5. Si: 2x + 5 = 64 ; hallar “x”.
a) 5
d) 2
b) 4
e) 1
c) 3
6. Si: 4m = 16 ; 23n + 2 = 32 ; hallar “m + n”.
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
7. Hallar “2a”, sabiendo que: 2 . 4 . 8 = 2a - 2.
a) 8
d) 64
8. María Elizabeth tiene tantos años como el cuadrado de
7, aumentado en el cubo de 2, disminuido en el cuadrado
de 5. ¿Cuántos años tiene?
b) 16
e) 7
c) 32
b) 27
e) 47
c) 25
9. Daysi es una alumna cuya nota en Álgebra es equivalente
al cuadrado de 6 disminuido en el cuadrado de 4.
¿Cuánto de nota tiene?
a) 15
d) 14
b) 10
e) 20
c) 18
10.Mi gato tiene muchas pulgas. Las conté y obtuve un
número equivalente al cuadrado de 5 aumentado en el
cubo de 4 disminuido en el cuadrado de 3. ¿Cuántas
pulgas tiene mi gato?
a) 40
d) 64
b) 80
e) 50
c) 48
Autoevaluación
1. Calcular:
4. Reducir:
34
a) 36
d) 50
3
46
b) 40
e) 64
4
58
c) 45
a) 1
d) 4
2. Graciela tiene tantos caramelos como suman la raíz
cuadrada de 16, más la raíz cúbica de 64. Señalar
cuántos caramelos tiene Graciela.
a) 6
d) 12
2 715 5 315
2 713 5 314
b) 8
e) 16
b) 2
e) 5
c) 3
5. Sabiendo que:
d) 10
x . x2 . x3 ... xn = x21
hallar "n"
3. Calcular:
81
a) 9
d) 12
b) 10
e) 13
3
a) 2
d) 5
8
c) 11
b) 3
e) 6
c) 4
Mategalería de sabios
Arquímedes: ¡¡Eureka!! ... ¡¡Eureka!!
Eso es lo que dicen que gritó un día
el sabio Arquímedes mientras daba saltos
desnudo en la bañera. No era para menos.
Acababa de tener una idea genial, que le
ayudaría (a él y a todos nosotros después) a
medir el volumen de los cuerpos por
irregulares que fueran sus formas.
podía medir el volumen del agua derramada
habría hallado el volumen de su propio
cuerpo.
Arquímedes nació en Siracusa, una
colonia griega en Italia, aproximadamente
a inicios del siglo III a.C. y murió el año
212 a.C. al ser tomada su ciudad por tropas
M ed ir v ol úmen es d e cu er po s romanas.
regulares (un cubo, por ejemplo) era algo
que ya se sabía hacer en la época de
Arquímedes, tres siglos antes de Cristo.
Pero con volúmenes de formas irregulares
(una corona, una joya, el cuerpo humano)
Arquímedes realizó
nadie lo había conseguido.
Hasta que Arquímedes se dio cuenta
de que cuando entraba en una bañera llena
de agua hasta el mismo tope, se derramaba
una cantidad de agua. Y tuvo la idea: si
grandes contribuciones
a la matemática
teórica. Además, es
famoso por aplicar la
ciencia a la vida diaria.
UN POCO DE ÁLGEBRA
¿Sabías que el Álgebra que se estudia en secundaria es
muy antigua?
Aquí encontrarás algunos pasajes de su historia.
Desde el siglo XVII a.C. los matemáticos de Mesopotamia y
de Babilonia ya sabían resolver ecuaciones de primer y
segundo grado. Además resolvían también, algunos
sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos
incógnitas.
En el siglo XVI a.C. los egipcios desarrollaron un álgebra muy
elemental que usaron para resolver problemas cotidianos
que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y
de materiales. Ya para entonces tenían un método para
resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el
"método de la falsa posición". No tenían notación simbólica pero
utilizaron el jeroglífico hau (que quiere decir montón o pila)
para designar la incógnita.
Alrededor del siglo I d.C. los matemáticos chinos escribieron el
libro Jiu zhang suan shu (que significa El arte del cálculo), en el
que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones
de primer y segundo grado, así como sistemas de dos
ecuaciones con dos incógnitas. Con su ábaco (suan zí) tenían
la posibilidad de representar números positivos y negativos.
En el siglo II, el matemático griego Nicómaco de Gerasa
publicó su Introducción a la Aritmética y en ella expuso
varias reglas para el buen uso de los números.
En el siglo III el matemático griego Diofanto de Alejandría
publicó su Aritmética en la cual, por primera vez en la
historia de las matemáticas griegas, se trataron de una
forma rigurosa no sólo las ecuaciones de primer grado, sino
también las de segundo. Introdujo un simbolismo algebraico
muy elemental al designar la incógnita con un signo que es la
primera sílaba de la palabra griega arithmos, que significa
número. Los problemas de álgebra que propuso prepararon el
terreno de lo que siglos más tarde sería "la teoría de
ecuaciones". A pesar de lo rudimentario de su notación
simbólica y de lo poco elegantes que eran los métodos que
usaba, se le puede considerar como uno de los precursores
del álgebra moderna.
En el siglo VII los hindúes habían desarrollado ya las reglas
algebraicas fundamentales para manejar números positivos y
negativos.
Siglo IX. Época en la que trabajó el matemático y
astrónomo musulmán Al-Jwarizmi, cuyas obras fueron
fundamentales para el conocimiento y el desarrollo del
álgebra. Al-Jwarizmi investigó y escribió acerca de los
números, de los métodos de cálculo y de los procedimientos
algebraicos para resolver ecuaciones y sistemas de
ecuaciones. Su nombre latinizado dio origen a la palabra
algoritmo que, usaba primero para referirse a los métodos de
cálculos numéricos en oposición a los métodos de cálculo con
ábaco, adquirió finalmente su sentido actual de
Guillermo Leguía. En 1947 obtuvo el Premio Nacional
por las investigaciones científicas que realizó en el
mundo de las ciencias matemáticas y por sus ecuaciones
y soluciones exactas del movimiento y de las tensiones
de los fluidos viscosos. Su amplia labor de investigación
fue resaltada y publicada fundamentalmente en la
Revista de Ciencias, órgano de la Facultad de Ciencias
de San Marcos, la cual fundó Federico Villarreal. Si bien
García dejó como herencia numerosos libros, "Lecciones
de Mecánica Racional" es considerada como su obra
principal. Su trabajo científico traspasó las fronteras
del país. Varias academias y sociedades científicas de
Sudamérica y del mundo lo incorporaron en su seno y
publicaron sus trabajos, entre ellas la Real Academia
de Ciencias de Madrid y The American Philosophical
Society de Filadelphia.
Vida y trayectoria
En San Marcos experimentó los años más fecundos
de su actividad científica y académica; primero como
Jefe de Práctica, luego Catedrático Adjunto, Catedrático
Principal, Decano, Vicerrector y Rector Honorario de la
Decana de América. Al final de su rectorado en San
Marcos, el Gobierno lo designó Embajador Científico
ante los gobiernos de Estados Unidos y varios países
de Europa, y en esa condición realizó una extensa pero
prolífica gira dictando conferencias sobre diversos
tópicos o materias de incuestionable trascendencia
científica. La labor académica y científica de Godofredo
García ha sido reconocida reiteradamente. Las
facultades de Ciencias y Química de San Marcos y las
universidades de Arequipa y de La Libertad le otorgaron
títulos honorificos. En la década del 30 fundó la Academia
Nacional de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, que
presidió hasta 1960, fecha en que se convirtió en su
Presidente Honorario. El gobierno peruano siempre
mantuvo interés por la vida de este sanmarquino ilustre
y lo condecoró así como también lo hicieron Francia y
Polonia.
