Texto de apoyo para C
al ulo IV
Juan R. Bobenrieth Ho hf
arber
Jaime H. Ortega Palma
Mayo, 2003
1
Finan iado por Proye tos de Do en ia odigos FDD00E-T01 y FDD99T-01
1
Carlos H. Pi arte Figueroa
Indi e general
Agrade imientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introdu ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
iv
1. Integrales de Lnea
1.1. Campos Ve toriales y Campos Es alares . . . . . . . . . . . . .
1.2. Curvas en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Curvas suaves y Curvas se ionalmente suaves . . . . . . . . . .
1.4. Longitud de Ar o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Integrales de Lnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. El Con epto de Trabajo omo Integral de Lnea . . . . . . . . .
1.7. Integrales de Lnea a lo Largo de Curvas Cerradas . . . . . . .
1.8. Integrales de Lnea independientes del amino . . . . . . . . . .
1.9. Regiones Simplemente Conexas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10. Bus ando fun iones poten iales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11. Teorema de Green para regiones planas simplemente onexas .
1.12. Teorema de Green para regiones planas multiplemente onexas
1.13. Integrales de Lnea on respe to a la Longitud de Ar o . . . . .
1.14. Otras apli a iones de las integrales de lnea . . . . . . . . . . .
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19
20
24
24
26
27
2. Integrales de Super ie
2.1. Representa ion Parametri a de una Super ie . . . .
2.2. Produ to Ve torial Fundamental . . . . . . . . . . .
2.3. Super ies Suaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Area de Super ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Borde de una Super ie . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Super ies Se ionalmente Suaves . . . . . . . . . .
2.7. Integral de Super ie de un Campo Es alar . . . . .
2.8. Super ies Orientables y Orienta ion de Super ies .
2.9. Orienta ion de super ies se ionalmente suaves . .
2.10. Integral de Super ie de un Campo Ve torial . . . .
2.11. El Teorema de la Divergen ia (o de Gauss) . . . . .
2.12. El Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13. Algunas Apli a iones de las Integrales de Super ie .
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41
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i
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INDICE GENERAL
ii
3. Series de Fourier
3.1. Introdu ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Convergen ia puntual de una serie de fun iones
3.2.2. Fun iones ontinuas por tramos . . . . . . . . .
3.2.3. Fun iones Pares e Impares . . . . . . . . . . . .
3.2.4. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Series de Senos y de Cosenos . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Cambio de Invervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Integra ion de Series de Fourier . . . . . . . . . . . . .
3.6. Problemas de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . .
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54
58
63
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67
4. E ua iones en Derivadas Par iales
69
4.1. Modelo de la Cuerda vibrante. E ua ion unidimensional de onda. . . . . . . . . . . . 70
4.2. Solu ion de D'Alembert de la E ua ion de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3. Flujo Unidimensional del Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5. Variable Compleja
83
5.1. Lmite y Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.2. Derivadas y Fun iones Analti as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3. Integrales Complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.4. Teorema de la Integral de Cau hy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.5. Formula de la Integral de Cau hy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.6. Valor medio de una fun ion analti a sobre una ir unferen ia . . . . . . . . . . . . . 90
5.7. Formula de la Integral de Cau hy para la derivada de una fun ion analti a . . . . . 90
5.8. Existen ia de las derivadas superiores de una fun ion analti a . . . . . . . . . . . . 90
5.9. Series de poten ias omplejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.10. Desarrollo en serie de poten ias para fun iones analti as . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.11. Ceros de las fun iones analti as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.12. Teorema de identidad para fun iones analti as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.13. Desarrollo de Laurent para fun iones analti as en un anillo . . . . . . . . . . . . . . 94
5.14. Singularidades aisladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.15. Residuo de una fun ion en un punto singular aislado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.16. Teorema del Residuo (Cau hy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.17. Diferen ia entre el numero de eros y el numero de polos en el interior de un ontorno
errado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.18. Cal ulo de integrales reales mediante los residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6. Ejer i ios Resueltos
105
7. Ejer i ios Propuestos
137
Agrade imientos
El presente apunte, titulado \ Texto de Apoyo para Cal ulo IV ", fue nan iado por el Fondo
de Desarrollo de la Do en ia (Proye tos de Do en ia FDD99T-01 y FDD00E-T01) dependiente de
la Vi erre tora A ademi a de la Universidad del Bo-Bo.
En primer lugar, queremos agrade er al Se~nor Manuel Arriagada Mu~noz, Dire tor de Pregrado,
quien mediante su gestion y apoyo onstante en tiempos y fa ilidades administrativas, nos permitio lograr un buen n en la onfe ion de este trabajo. Tambien queremos dejar por es rito nuestros
sin eros agrade imientos a la Se~nora Ginette Rivas Velasquez, a tual se retaria de la De anatura de
la Fa ultad de Cien ias, por la da tilografa de los dos primeros borradores de este texto.
Agrade emos a nuestros olegas Se~nores Gabriel Carras o, Juan Carlos Ceballos, V tor Chavez,
Gabriel Sanhueza, Humberto Valenzuela, y Juan Carlos Vega, por su tiempo dedi ado a las le turas
y revision de los borradores ; sus omentarios y observa iones permitieron orregir errores y mejorar la exposi ion. Queremos desta ar nuestro espe ial agrade imiento al profesor He tor Fernando
Miranda, por su valioso aporte en la motiva ion de los on eptos de integral de lnea y de area de
super ie.
Esperamos al anzar en parte los objetivos que dieron na imiento a este texto, y agrade emos de
antemano los omentarios y futuros aportes por quienes haran uso de este.
LOS AUTORES
iii
Introdu ion
La ini iativa de este trabajo na e en parte de onversa iones y omentarios entre olegas, sobre la
falta de apoyos bibliogra os al anzables por los alumnos, en los temas de ontenidos y espe ialmente
de ejer i ios, en las asignaturas que ontemplan Cal ulo Ve torial, Series de Fourier, E ua iones
en derivadas par iales, y Cal ulo omplejo .
El texto aqu presente toma omo base el programa urri ular de la asignatura de Cal ulo IV
para Ingeniera Civil, ontemplando teoremas y algunas demostra iones importantes que ayudan al
entendimiento intuitivo, sin quitar la posibilidad a estudiantes de otras arreras y de otras asignaturas
a ha er uso de este apunte, omo un apoyo en los temas de interes parti ular de sus espe ialidades.
Es as que el texto se ompone de in o aptulos referentes a Integrales de Lnea, Integrales de
Super ie, Series de Fourier, E ua iones diferen iales par iales y Variable ompleja, ada uno de
los uales en una estru tura basi a de motiva ion, de ni ion, teorema, onse uen ia, ejemplo o
ejer i io a laratorio, y apli a iones. Todo lo anterior omplementando on un aptulo de Ejer i ios
resueltos y otro de Ejer i ios propuestos, on la inten ion de motivar a los alumnos en el desarrollo
de su habilidad.
LOS AUTORES
iv
Cap
tulo 1
Integrales de Lnea
1.1. Campos Ve toriales y Campos Es alares
De ni ion 1.1 1. Si se asigna un ve tor F~ (~x) a ada punto ~x de un ierto onjunto de puntos en
el espa io (por ejemplo los puntos de una urva, una super ie o una region tridimensional),
enton es se di e que en esos puntos existe un ampo ve torial.
1
j
:
Rj
℄
℄
6
O
K
O
M
℄
Figura 1.2: Campo de ve tores normales a una
super ie
Figura 1.1: Campo de ve tores tangen iales a
una urva
Mas generalmente: un ampo ve torial en Rn es una fun ion F~ : D Rn ! Rn que aso ia
a ada punto ~x de su dominio D un ve tor F~ (~x). El ampo ve torial se dibuja gra amente
\pegando" una e ha F~ (~x) a ada punto ~x de su dominio.
1
CAPITULO 1. INTEGRALES DE LINEA
2
6
6 1 ~x
U
~ (~x)
F1
-
Figura 1.3: Campo ve torial.
2. Una fun ion f : D Rn ! R que aso ia un numero real a ada punto ~x de su dominio D es
llamado un ampo es alar. Por ejemplo, un ampo ve torial F~ (x1 ; x2 ; :::; xn ) en Rn tiene n
ampo es alares omponentes f1 ; f2 ; :::; fn de modo que:
F~ (x1 ; x2 ; :::; xn ) = (f1 (x1 ; x2 ; :::; xn ); f2 (x1 ; x2 ; :::; xn ); :::; fn (x1 ; x2 ; :::; xn ))
Ejemplo 1.1 1. Consideremos una pieza de material D, D R3 . La temperatura en ada punto
dentro de di ho uerpo de ne un ampo es alar T : D R3 ! R; (x; y; z ) 7! T (x; y; z ) =
temperatura en el punto de oordenadas (x; y; z ).
(x; y; z )
Figura 1.4: Campo es alar temperatura.
2. Segun la ley de gravita ion de Newton, la fuerza gravita ional F~ (x; y; z ) ejer ida por una
part ula de masa m ubi ada en el origen (0; 0; 0) sobre una part ula de masa 1 ubi ada en el
punto (x; y; z ) 6= (0; 0; 0) esta dada por:
F~ (x; y; z ) =
Gm
(x; y; z );
(x2 + y2 + z 2)3=2
donde G es la onstante gravita ional universal. El ampo ve torial F~ es un ejemplo de un
Campo de Fuerzas (G = 6;67 10
11 metro
kg seg):
1.2. CURVAS EN RN
3
6
R1
-
I
=
Figura 1.5: Campo de Fuerzas
1.2. Curvas en R n
En Cal ulos I y II, una urva en R2 ha sido de nida omo el lugar geometri o de aquellos
puntos que satisfa en una ierta propiedad que rela iona a x e y. Por ejemplo, la urva de nida por:
x2 + y 2 = 1
6
x2 + y 2 = 1
-
es la ir unferen ia de entro (0; 0) y radio 1, mientras que la urva de nida por :
y = x2 ; 0 x 2
es parte de una parabola.
y
4
6
y = x2
1
1
2
-x
Esta forma de de nir una urva no es ade uada para el estudio de las integrales de lnea, en donde
una urva debe ser vista no solamente omo un onjunto de puntos, sino omo un onjunto
de puntos que son re orridos en un ierto orden. Por esta razon, onsideremos en adelante
las urvas parametri as.
CAPITULO 1. INTEGRALES DE LINEA
4
De ni ion 1.2 Una urva parametri a C en Rn es un onjunto dirigido de puntos de la forma:
~x = ~ (t) = ( 1 (t); 2 (t); :::; n (t)) ; a t b
(1.1)
donde 1 ; 2 ; :::; n son fun iones ontinuas en [a; b℄; de imos que el onjunto es dirigido porque ~
di ta un orden (o sentido) en el ual los puntos de C son re orridos uando t vara desde a ha ia b.
La fun ion ~ : [a; b℄ ! Rn es una representa i
on parametri a de C .
Si la fun ion
~x = ~ ( ) = ( 1 ( ); 2 ( ); ; n ( ));
d
(1.2)
es ontinua en [ ; d℄, y existe una fun ion estri tamente re iente la ual apli a [ ; d℄ sobre [a; b℄
(esto es, ([ ; d℄) = [a; b℄) y es tal que:
~ ( ) = ~ (( )); 8
2 [ ; d℄;
enton es (1.1) y (1.2) representan la misma urva parametri a C ; esto es, ~(t) y ~ ( ) re orren
el mismo onjunto de puntos, en el mismo orden, uando t vara de a ha ia b y vara de a d.
Diremos en este aso que ~ y ~ son representa iones parametri as equivalentes de C , y que
~ es obtenida de ~ por el ambio de parametro t = ( ).
Ejemplo 1.2 Las fun iones parametri as:
p
~ (t) = (t2 ; t4 ) ; 0 t 2
~ ( ) = ((1 + ); (1 + )2 )
1
0 x 2, re orrido desde (0; 0) hasta (2; 4).
ambos representan el ar o paraboli o y = x2 ;
y
4
6
(2; 4)
(0; 0)
1
-
2
x
Notar que ~ es obtenida de ~ mediante el ambio de parametro:
p
t = ( ) = 1 + y a su vez ~ es obtenida de ~ por el ambio de parametro inverso: = 1 (t) = t2
1.
Observa ion 1.1 De aqu en adelante, nos referiremos a las urvas parametri as simplemente omo
urvas.
1.2. CURVAS EN RN
5
De ni ion 1.3 Diremos que un punto ~x0 esta sobre la urva C (o en la urva C ) de nida por (1.1)
si existe un t0 2 [a; b℄ tal que ~x0 = ~ (t0 ). La ole ion de todos aquellos puntos es la traza de C , y
es denotado por tr(C ).
El siguiente ejemplo muestra que urvas distintas pueden tener la misma traza.
Ejemplo 1.3 Las fun iones parametri as:
~ (t) = ( os t; sen t) ; 0 t 2
~ ( ) = ( os(3 ); sen(3 )) ; 0 2
~ (r) = (sen r; os r) ; 0 r 2
tienen la misma traza: la ir unferen ia unitaria x2 + y 2 = 1. Sin embargo, ada una de ellas representa una urva parametri a distinta, dado
que: ~ (t) re orre una vez la ir unferen ia, en sentido ontrario al de
6(0 1)
las
agujas del reloj, omenzando y terminando en (1; 0), uanto t re orre
2+ 2 =1
[0
;
2
℄.
~ ( ) re orre tres ve es la ir unferen ia, en sentido ontrario al de las
(1 0)
agujas del reloj, omenzando y terminando en (1; 0), uando re orre
[0; 2℄.
~ (r) re orre una vez la ir unferen ia, en el sentido de las agujas del
1.6:
ir unferen ia reloj, omenzando y terminando en (0; 1), uando r re orre [0; 2 ℄.
y
;
x
y
;
Figura
unitaria
x
C la urva de nida por (1.1). Enton es ~ (a) y ~ (b) son el punto ini ial y el
punto terminal de C , respe tivamente. Si ~ (a) = ~ (b) , C se di e una urva errada. Si ~ (t1 ) 6= ~ (t2 )
siempre que a t1 < t2 < b o a < t1 < t2 b; enton es C se di e una urva simple.
De ni ion 1.4 Sea
De ni ion 1.5 Una urva (parametri a) se llama una urva errada simple (o urva de Jordan) si ella es errada y es simple.
Ejemplo 1.4 1. La urva de nida por: ~x = ~ (t) = (t2 ; t4 ) ,
simple.
y
4
6
t
p
2, es una urva
(2; 4)
(0; 0)
0
2
-
x
2. La urva de nida por:
~x = ~ (t) = ( os t; sen t); 0 t 2;
es una urva errada simple, mientras que la urva de nida por: ~x = (~ ) = ( os(3 ); sen(3 )),
0 2, es errada pero no simple.
CAPITULO 1. INTEGRALES DE LINEA
6
3. Si la tr(C ) es omo en la siguiente gura, enton es
y
C no es simple:
6
tr(C )
-x
Si C y C1 onsisten de los mismo puntos, pero re orridos en sentidos opuestos, diremos que C1 es
la urva negativa de C , y es ribimos: C1 = C y C = C1 . Mas pre isamente:
De ni ion 1.6 Sean C y C1 las urvas de nidas por:
C : ~x = ~ (t) = ( 1 (t); :::; n (t)) , a t b.
C1 : ~x = ~ ( ) = ( 1 ( ); :::; n ( )) , d.
Si existe una fun ion estri tamente de re iente la ual apli a [ ; d℄ sobre [a; b℄ y es tal que:
~ ( ) = ~ (( )); 8 2 [ ; d℄, enton es diremos que C1 es la urva negativa de C , C1 = C .
Ejemplo 1.5 La fun ion parametri a ~ (t) = (2 os t; sen t), 0 t , representa la mitad
2
superior de la elipse x4 + y 2 = 1 re orrida desde (2; 0) a ( 2; 0). Si esta urva es C , enton es
la fun ion parametri a: ~ ( ) = ~ ( ) = (2 os( ); sen( )) = (2 os ; sen ),
0.
representa a
C.
6
y
(
2; 0)
-6
y
(0; 1)
I -
(2; 0)
Figura 1.7: Curva C
x
(
(0; 1)
2; 0)
Figura 1.8: Curva
R
(2; 0)
-
x
C
Observa ion 1.2 Si C1 , C2 , ... , Ck son urvas parametri as en Rn tal que el punto terminal de Ci
oin ide on el punto ini ial de Ci+1 , 8i 2 f1; 2; :::; k 1g, enton es es ribiremos C = C1 + C2 + ...
+ Ck , para denotar a la urva obtenida re orriendo C1 , C2 , ... , Ck en este orden.
7
1.3. CURVAS SUAVES Y CURVAS SECCIONALMENTE SUAVES
C4
j
q
C1
|
C2
1
1
1
C3
{z
}
C1 + C2 + C3 + C4
1.3. Curvas suaves y Curvas se ionalmente suaves
La derivada de una fun ion parametri a ~ : [a; b℄ ! Rn es ~0 (t) = ( 01 (t); 02 (t); :::; 0n (t)) para ada
t 2 [a; b℄ en el ual ( 01 (t); 02 (t); :::; 0n (t)) exista. Aqu 0i (a) y 0i (b) deben ser interpretados omo
derivada a la dere ha y a la izquierda, respe tivamente.
De ni ion 1.7 1. Una urva C se di e ser suave si puede ser representada por ~x = ~ (t),
a t b, donde ~ tiene derivada ontinua en [a; b℄ y ~0 (t) 6= (0; 0; :::; 0) 8t 2℄a; b[.
2. Una urva C se di e ser se ionalmente suave si
son suaves.
C = C1 + C2 + ::: + Ck , donde C1 ; C2 ; :::; Ck
Ejemplo 1.6 1. La ir unferen ia unitaria es una urva suave. En efe to, ella puede ser representada por:
~ (t) = ( os t; sen t); 0 t 2.
Claramente ~ tiene derivada ~0 (t) = ( sen t; os t), la ual es ontinua en [0; 2 ℄, y ademas:
~0 (t) 6= (0; 0); 8t 2℄0; 2[. (Notar que ~0 (t) ~ (t) = 0 8 t, es de ir el ve tor tangente es
perpendi ular al ve tor radio en todo punto.)
2. La urva ~r(t) = (t sen t; 1 os t); 2 t 2 , la ual representa dos ar os de un i loide,
es se ionalmente suave. En efe to:
r~0 (t) = (1 os t; sen t):
r~0 (t) = (0; 0) () t = 2; 0; 2
y
C-1
2
Figura 1.9:
^
6
-C
2
~r(t) = (t sen t; 1
^ -x
2
0
os t);
2 t 2
CAPITULO 1. INTEGRALES DE LINEA
8
1.4. Longitud de Ar o
Por de ni ion, la longitud del segmento de re ta de ~x1 a ~x2 en Rn
es k~x2 ~x1 k. La siguiente de ni ion extiende la no ion de longitud a
urvas mas ompli adas.
y
6
~x2 ℄
~x2
:
Figura 1.10:
y ~x2
~x2
~x1
-
x
Distan ia entre ~x1
De ni ion 1.8 Supongamos que C es una urva representado por ~ : [a; b℄ ! Rn . Sea P : a = t0 <
t1 < ::: < tk = b una parti ion de [a; b℄, y de namos:
LP (C ) =
k
X
k~ (tj ) ~ (tj 1 )k
j =1
Enton es C se di e ser re ti able si el onjunto fLP (C ) : P es una parti ion de [a; b℄g es
a otado superiormente, en uyo aso la longitud de ar o de C se de ne omo:
L(C ) = supfLP (C ) : P
(En palabras simples, una urva es re ti
es una parti ion de [a; b℄g
able si es de longitud nita).
~ (t4 )
~ (t1 )
~ (t0 )
~ (t2 )
~ (t3 )
Teorema 1.1 Si C = C1 + C2 + + Ck , enton es C es re ti able si y solo si C1 ; C2 ; :::; Ck son
re ti ables, en uyo aso L(C ) = L(C1 ) + L(C2 ) + + L(Ck )
1.5. INTEGRALES DE LINEA
9
Teorema 1.2 Si C es una urva suave on la representa ion parametri a suave ~x = ~ (t); a t b,
enton es
C es re ti
able y
L(C ) =
Z b
a
k ~0 (t)kdt
Ejemplo 1.7 1. La longitud de ar o de la ir unferen ia de entro (0; 0) y radio r > 0 es:
C
L(C ) =
Z 2
0
: ~ (t) = (r os t; r sen t) ; 0 t 2
k( r sen t; r
os t)kdt =
Z 2
p
0
(r sen t)2 + (r os t)2 dt =
Z 2
0
rdt = 2r
2. La longitud del segmento de heli e ir ular parametrizado por ~ (t) = ( os t; sen t; t);
2 es:
Z 2
Z 2
p
p
L(C ) =
0
k(
sen; os t; 1)kdt =
0
0t
1 + 1dt = 2 2
1.5. Integrales de Lnea
Supongamos que una part ula se mueve en el espa io a lo largo de una urva C bajo la a ion
de un ampo de fuerzas F~ : Uno de los on eptos fundamentales en fsi a es el trabajo realizado
por el ampo de fuerzas sobre la part ula uando esta des ribe la urva. Si C es un desplazamiento
re tilneo dado por un ve tor d~ y F~ es una fuerza onstante, enton es por fsi a elemental se sabe
que el trabajo realizado por F~ al mover la part ula es \fuerza por desplazamiento," esto es,
trabajo = F~ d~
Ahora, en el aso general, esto es si la traye toria C es no ne esariamente re ta y la fuerza es no ne esariamente onstante, podemos aproximar la urva por un numero nito de desplazamientos re tos,
y enton es llegar a una formula para el trabajo realizado por el ampo de fuerzas F~ : Pre isaremos
esto a ontinua ion.
Supongamos que C es una urva representado por ~ : [a; b℄ ! R3 . Si t vara en un intervalo
peque~no de ti a ti +t; la part ula se movera desde ~ (ti ) a ~ (ti +t); en un desplazamiento ve torial
d~ = ~ (ti + t) ~ (ti ): Por la de ni ion de derivada tenemos la aproxima ion d~ ~0 (ti ) t:
Por lo tanto, el trabajo realizado al ir desde ~ (ti ) a ~ (ti + t) es aproximadamente :
F~ (~ (ti )) d~
F~ (~ (ti )) ~0 (ti ) t
Si dividimos el intervalo [a; b℄ en n partes iguales a = t0 < t1 < ::: < tn = b on t = ti+1 ti ;
enton es el trabajo realizado por F~ es aproximadamente :
nX1
i=0
F~ (~ (ti )) ~0 (ti ) t
CAPITULO 1. INTEGRALES DE LINEA
10
Cuando n ! 1 esta aproxima ion es ada vez mejor, por lo ual es razonable tomar omo
de ni ion de trabajo al lmite de la suma anterior ( uando n ! 1). Pero, por lo visto en el urso
de Cal ulo II, este lmite es pre isamente la integral :
Z b
a
F~ (~ (t)) ~0 (t)dt:
Este on epto fsi o nos ondu e a la siguiente de ni ion matemati a :
De ni ion 1.9 Supongamos que C es una urva suave en Rn y que F~ es un ampo ve torial de nido
y ontinuo sobre la tr(C ). Enton es la integral de lnea de F~ a lo largo de C esta de nida por:
Z
C
donde ~ : [a; b℄
ve tores)
! Rn
F~ d~x =
Z b
a
F~ (~ (t)) ~0 (t)dt
es una representa ion suave de C . (aqu \" denota el produ to es alar de
Observa ion 1.3 1. La de ni ion anterior tambien se puede dar si C es una urva on representa ion parametri a ~ de lase C 1 y F~ es un ampo ve torial ontinuo sobre la tr(C ).
2. Para que la de ni ion anterior tenga sentido, se debe probar que
Z
C
F~ d~x
es independiente de la representa ion suave es ogida para C . Para esto, supongamos que ~ :
[a; b℄ ! Rn y ~ : [ ; d℄ ! Rn son representa iones equivalentes de C , on:
~ ( ) = ~ (( )) ;
d
donde tiene derivada ontinua y apli a [ ; d℄ sobre [a; b℄. Si F~ = (F1 ; :::; Fn ) enton es tenemos
que:
Z b
a
F~ (~ (t)) ~0 (t)dt =
=
()
=
3
2
Z b X
n
4
Fj (~ (t)) 0j (t)5 dt
a j =1
n Z b
X
j =1 a
n Z d
X
Fj (~ (t)) 0j (t)dt
j =1
((): Apli amos el ambio de variables t = ( )).
Fj (~ (( ))) 0j (( ))0 ( )d
1.5. INTEGRALES DE LINEA
11
Como j ( ( )) = j ( ), enton es la regla de la adena di e que:
0 (( ))0 ( ) = 0 ( )
j
j
Luego :
n Z d
X
j =1
Fj (~ (( ))) 0j (( ))0 ( )d =
=
=
n Z d
X
j =1
Fj ( ~ ( )) j0 ( )d
2
3
Z d X
n
4
Fj ( ~ ( )) j0 ( )5 d
Z d
j =1
F~ ( ~ ( )) ~0 ( )d
Por lo tanto,
Z
C
F~ d~x
no depende de la representa ion suave es ogida para C .
De ni ion 1.10 Si C = C1 + C2 + ::: + Ck es una urvaR se ionalmente suave, y F~ es una ampo
ve torial de nido y ontinuo sobre la tr(C ), enton es la C F~ d~x se de ne omo:
Z
C
F~ d~x =
k Z
X
i=1
Ci
F~ d~x
Teorema 1.3 Si C es una urva se ionalmente suave y F~ es un ampo ve torial de nido y ontinuo
sobre la tr(C ), enton es:
Z
C
F~ d~x =
Z
C
F~ d~x
R
Ejer i io 1.1 Cal ular C F~ d~x, donde n = 2, F~ (x; y) = (x2 + y2 ; 2xy), y C es el ar o de la
ir unferen ia x2 + y 2 = 1 desde (1,0) hasta (0,1), seguido por el segmento de re ta desde (0,1) a
(1,1).
Solu ion :
C = C1 + C2 , donde
C1 es el ar o de ir unferen ia y C2 es el
segmento de re Zta.
Z
Z
~
~
F d~x + F~ d~x
Por de ni ion, F d~x =
C
Parametrizando C1
C2
C1
por ~ (t) = ( os t; sen t); 0 t 2 , tenemos:
y
(0; 1)
6
-C
2
IC
1
(1; 0)
Figura 1.11:
x
C = C1 + C2
CAPITULO 1. INTEGRALES DE LINEA
12
Z
C1
Z 2
F~ d~x =
0
Z =
0
Z =
Parametrizando C2
2
0
2
F~ ( os t; sen t) ( sen t; os t)dt
(1; 2 os t sen t) ( sen t; os t)dt
( sen t + 2 os2 t sent)dt
2 3 2
os tj0 ℄
= [ os t
3
1
=
3
omo ~ (t) = (t; 1); 0 t 1; tenemos:
Z
C2
F~ d~x =
=
=
=
Por lo tanto,
Z 1
0
Z 1
0
Z 1
0
t3
3
F~ (t; 1) (1; 0)dt
(t2 + 1; 2t)(1; 0)dt
(t2 + 1)dt
1
4
+ tj10 = + 1 =
3
3
Z
1 4
+ =1
F~ d~x =
3 3
C
Observa ion 1.4 Resulta onveniente es ribir las integrales de lnea menos formalmente. Si n = 2,
usualmente
es ribiremos: Z
Z
Z
P dx + Qdy o bien P (x; y)dx + Q(x; y)dy para referirnos a F~ d~x on F~ = (P; Q).
C
la
C
C
on se usa para n arbitrario. Por ejemplo si n = 3 y F~ = (P; Q; R) enton es
ZUna similar nota i
ZC
F~ d~x se es ribe usualmente en la forma:
C
P (x; y; z )dx + Q(x; y; z )dy + R(x; y; z )dz
Ejemplo 1.8 La integral de lnea del ejer i io anterior se es ribe omo
Z
C
(x2 + y2)dx + 2xydy
El siguiente Teorema nos habla sobre la propiedad de linealidad de las integrale de lnea, y se
sigue dire tamente de la de ni ion.
1.6. EL CONCEPTO DE TRABAJO COMO INTEGRAL DE LINEA
13
~ son ampos ve toriales ontinuos
Teorema 1.4 Si C es una urva se ionalmente suave, F~ y G
sobre la tr(C ), y a; b son onstantes, enton es:
Z
C
~ ) d~x = a
(aF~ + bG
Z
C
F~ d~x + b
Z
C
G~ d~x
1.6. El Con epto de Trabajo omo Integral de Lnea
Consideremos una part ula que se mueve a lo largo de una urva C bajo la a ion de un ampo
de fuerzas F~ . El trabajo W realizado por F~ se de ne omo:
W=
Z
C
F~ d~x
Los ejemplos siguientes ponen de mani esto algunas de las propiedades fundamentales del trabajo.
Ejemplo 1.9 (Trabajo realizado por una fuerza onstante). Si F~ es una fuerza onstante,
a saber F~ = ~k , puede demostrarse que el trabajo realizado por F~ al mover una part ula desde un
punto ~a a un punto ~b a lo largo de ualquier amino se ionalmente suave que une ~a y ~b es ~k (~b ~a),
es de ir el produ to es alar de la fuerza ~k por el desplazamiento (~b ~a). Lo demostraremos en el
aso parti ular que el amino sea suave.
Sea C un amino suave que une ~a y ~b, on parametriza ion suave ~ = ( 1 ; :::; n ) : [a; b℄ ! Rn .
Luego ~ (a) = ~a, ~ (b) = ~b, ~k = (k1 ; :::; kn ). Se tiene enton es que:
W=
Z
C
F~ d~x =
=
=
Z b
a
Z b
a
Z b
a
=k1
F~ (~ (t)) ~0 (t)dt
(k1 ; :::; kn ) ( 01 (t); :::; 0n (t))dt
[k1 01 (t) + ::: + kn 0n (t)℄dt
Z b
0 (t)dt + ::: + kn
Z b
0
1
n (t)dt
a
a
=k1 [ 1 (b) 1 (a)℄ + ::: + kn [ n (b) n (a)℄
=(k1 ; :::; kn ) ( 1 (b) 1 (a); :::; n (b) n (a))
=(k1 ; :::; kn ) [( 1 (b); :::; n (b)) ( 1 (a):::; n (a))℄
=(k1 ; :::; kn ) [~b ~a℄
=~k (~b ~a)
Para este ampo de fuerzas onstantes, el trabajo depende solamente de los puntos extremos ~a
y ~b y no de la urva que los une. No todos los ampos de fuerza tienen esta propiedad. Los que la
tienen se llaman Conservativos.
CAPITULO 1. INTEGRALES DE LINEA
14
Ejemplo 1.10 (Prin ipio del trabajo y la energa) Una part ula de masa m se mueve a lo
largo de una urva bajo la a ion de un ampo de fuerzas F~ . Si la rapidez de la part ula en el
instante t es v (t), su energa ineti a esta de nida por 21 mv 2 (t). Demostrar que la varia ion de la
energa ineti a en ualquier intervalo de tiempo es igual al trabajo realizado por F~ durante di ho
intervalo de tiempo.
Solu ion:
Designemos por ~r(t) a la posi ion de la part ula en el instante t. El trabajo realizado por F~
durante un intervalo de tiempo [a; b℄ es
W=
Z b
a
F~ (~r(t)) r~0 (t)dt:
Queremos demostrar que:
Z b
1
F~ (~r(t)) r~0 (t)dt = mv2 (b)
2
a
Segun la segunda ley del movimiento de Newton tenemos:
1 2
mv (a)
2
F~ (~r(t)) = mr~00 (t) = mv~0 (t);
donde ~v (t) designa el ve tor velo idad en el instante t. La rapidez es la longitud del ve tor veloidad, v (t) = jj~v (t)jj. Por lo tanto,
F~ (~r(t)) r~0 (t) = F~ (~r(t)) ~v (t) = m v~0 (t) ~v(t)
1 d
1 d
= m (~v (t) ~v(t)) = m (v2 (t))
2 dt
2 dt
Por lo tanto:
Z b
a
F~ (~r(t)) r~0 (t)dt =
omo queramos probar.
Z b
b
1
1
1 d 2
m (v (t))dt = mv2 (t) = mv2 (b)
2
a 2 dt
a 2
1 2
mv (a);
2
1.7. Integrales de Lnea a lo Largo de Curvas Cerradas
El punto ini ial y terminal de una urva errada pare e espeial simplemente porque este es el punto en el ual el re orrido
de la urva omienza y termina. Sin embargo, si ambiamos el
parametro de tal forma que otro punto juegue este rol, entones no ambiara el valor de la integral de lnea a lo largo de la
urva. Para ha er pre iso lo anterior, sea ~ : [a; b℄ ! Rn una
parametriza ion de C , supongamos que a < < b, y sea C1 la
urva parametrizada por ~ : [ ; + b a℄ ! Rn ,
K
~x0
?
=
>
Figura 1.12:
~
~x1
Curva errada
1.8. INTEGRALES DE LINEA INDEPENDIENTES DEL CAMINO
~( ) =
~ ( ); si b
~ ( b + a); si b 15
+b a
As, ~x1 = ~ ( ) = ~ ( ) es el punto ini ial y terminal de C1 (notar que tr(C ) = tr(C1 )).
Notemos que si F~ es un ampo ve torial ontinuo sobre la tr(C ) y C es suave, enton es:
Z
C1
F~ d~x =
=
Z +b a
Z b
F~ ( ~ ( )) ~ 0 ( )d
F~ (~ ( )) ~ 0 ( )d +
Z +b a
b
F~ (~ (
b + a)) ~ 0 (
b + a)d
Reemplazando por t en la primera integral, y ha iendo el ambio de variable t = la segunda integral, obtenemos:
Z
C1
F~ d~x =
=
=
Z b
Z b
Za
C
F~ (~ (t)) ~ 0 (t)dt +
Z
a
b + a en
F~ (~ (t)) ~ 0 (t)dt
F~ (~ (t)) ~ 0 (t)dt
F~ d~x
Si C es se ionalmente suave, enton es tambien se umple que:
Z
F~ d~x =
Z
F~ d~x
C
C1
Por lo tanto, uando hablemos de una integral de lnea a lo largo de una urva errada, no
sera ne esario espe i ar el punto ini ial. (Observar que lo que s ha e ambiar el valor de la integral
a lo largo de una urva errada, es uando uno ambia el numero de ve es en que re orre la urva,
y tambien uando uno ambia el sentido de re orrido).
1.8. Integrales de Lnea independientes del amino
Ejer i io 1.2 Considerar las siguientes urvas que unen (0; 0) on (1; 1)
C1 : la parte de la parabola y = x2 desde (0; 0) hasta (1; 1).
C2 : el segmento de re ta que va desde (0; 0) hasta (1; 1).
R
R
1. Si F~ es el ampo ve torial F~ (x; y ) = (x + y 2 ; x2 ), al ular C1 F~ d~x y C2 F~ d~x
R
R
2. Si F~ es el ampo ve torial F~ (x; y ) = (2xy 2 + 1; 2x2 y ), al ular C1 F~ d~x y C 2 F~ d~x.
CAPITULO 1. INTEGRALES DE LINEA
16
Solu ion:
C1 : ~ 1 (t) = (t; t2 ); 0 t 1
C2 : ~ 2 (t) = (t; t);
0t1
6
(1; 1)
C2
C1
-
(0; 0)
1.
Z
C1
F~ d~x =
Z 1
0
Z
C2
Z 1
0
(t + t4 + 2t3 )dt =
F~ d~x =
=
F~ ( ~1 (t)) ~01 (t)dt =
Z 1
0
Z 1
0
F~ d~x =
=
Z
C2
Z 1
0
0
Z 1
0
1 1 1 6
= + + =
2 0 2 5 2 5
Z 1
0
(t + t2 ; t2 ) (1; 1)dt
(t + 2t2)dt =
Z 1
0
F~ d~x 6=
Z 1
0
Z
C2
F~ ( 1 (t)) 01 (t)dt =
(2t5 + 1 + 4t5 )dt =
F~ d~x =
Z 1
5
+
0
4
t 1
(t + t4 ; t2 ) (1; 2t)dt =
1 2 3+4 7 6
+ =
= (6= )
2 3
6
6 5
C1
C1
+
t5
F~ ( ~2 (t)) ~02 (t)dt =
Z
Z
2
(t + t2 + t2 )dt =
Por lo tanto,
2.
t2
Z 1
Z 1
0
Z 1
0
F~ d~x
Z 1
0
(2t5 + 1; 2t4) (1; 2t)dt
(6t5 + 1)dt = t6 + tj10 = 2:
F~ ( 2 (t)) 02 (t)dt =
(2t3 + 1 + 2t3 )dt =
t2 2 3 1
+ t =
2 3 0
Z 1
0
(2t3 + 1; 2t3)(1; 1)dt =
(4t3 + 1)dt = t4 + tj10 = 2:
1.8. INTEGRALES DE LINEA INDEPENDIENTES DEL CAMINO
Por lo tanto,
Z
17
Z
F~ d~x:
C2
R
R
Se observa que para el ampo ve torial F~ (x; y ) = (x + y 2 ; x2 ); C1 F~ d~x 6= C2 F~ d~x, a pesar de
C1
F~ d~x =
que C1 y C2 tienen el mismo punto ini ial y el mismo punto terminal; es de ir las integrales de lnea
de este ampo s dependen del amino a lo largo del ual se integre.
R
Por otro lado, para el ampo ve torial F~ (x; y ) = (2xy 2 + 1; 2x2 y ) se observa que C1 F~ d~x =
R
2
C2 F~ d~x; aun mas, en este aso se puede probar que para todo par de urvas C1 ; C2 en R on el
mismo punto ini ial (x0 ; y0 ) y el mismo punto terminal (x1 ; y1 ) se umple la igualdad.
Z
F~ d~x =
Z
C2
~
Es de ir, que las integrales de lnea de F (x; y ) =
(2xy2 + 1; 2x2 y) = (P; Q) son independientes del aC1
mino a lo largo del ual se integre, solo dependen del
punto ini ial y del punto terminal del amino. Notar
P
2
que Q
x (x; y ) = 4xy = y (x; y ); 8 (x; y ) 2 R ; ondiion que no umple el ampo ve torial dado en 1. Mas
adelante veremos que esta es una ondi ion ne esaria
(pero no su iente) para que las integrales de lnea de
un ampo sean independientes del amino.
F~ d~x
C1
(x0 ; y0 )
Figura 1.13:
(x1 ; y1 )
1
C2
Independen ia del amino
De Zni ion 1.11Z Si F~ es un ampo ve torial ontinuo en un abierto D Rn y
F~ d~x = F~ d~x
C2
C1
para todo par de urvas se ionalmente suaves C1 ; C2 ontenidas en D on el mismo punto ini ial y
el mismo punto terminal, enton es se di e que las integrales de lnea de F~ son independientes del
amino
Z x~1 en D. En este aso es ribimos:
F~ d~x; para denotar la integral de lnea de F~ a lo largo de ualquier urva se ionalmente
x~0
suave en D desde x~0 hasta x~1 .
Se tiene la siguiente equivalen ia:
Teorema 1.5 Supongamos que F~ es un ampo ve torial ontinuo en un abierto
D. Enton es: Las
R
integrales de lnea de F~ son independientes del amino en D si y solo si C F~ d~x = 0 para toda
urva errada C (se ionalmente suave) ontenida en D.
Demostra ion:
CAPITULO 1. INTEGRALES DE LINEA
18
En primer lugar,Rsupongamos que las integrales de lnea de F~ son independientes del amino en D
y probemos que C F~ d~x = 0 para toda urva errada C ontenida en D.
Sea C D una urva errada. Si jamos dos puntos ~x0 ; ~x1 en C , enton es ellos dividen a C en
dos urvas C1 ; C2 ; que mantienen el mismo sentido de C ; y C = C1 + C2 . Dado que C1 y C2 tienen
el mismo punto ini ial y el mismo punto terminal, enton es por hipotesis se tiene que:
Z
C1
de donde
Z
C
F~ d~x =
F~ d~x =
Z
C2
Z
C1
F~ d~x =
F~ d~x +
Z
C2
Z
C2
F~ d~x;
F~ d~x = 0
R
Re pro amente, supongamos que C F~ d~x = 0 para toda urva errada ontenida en D y
probemos que las integrales de lnea de F~ son independientes del
amino en D.
C1
Sean C1 ; C2 dos urvas ontenidas en D on el mismo punto ini ial
3
~x1
y el mismo punto terminal. Consideremos la urva C = C1 + ( C2 ).
Claramente
C es una urva errada ontenida en D. Por hipotesis,
R
~
~x0
F
d~
x
=
0.
Pero o urre que:
C
:
Z
C
F~ d~x =
C2
Z
F~ d~x
C
+( C2 )
1
Z
Z
~
F~ d~x
F d~x +
=
C
C
2
1
Z
Z
~
F~ d~x;
F d~x
=
C2
C1
Figura 1.16:
C = C1 + ( C2 )
y luego:
Z
F~ d~x
Z
F~ d~x =
C2
C1
de
Z donde: Z
F~ d~x = F~ d~x
C2
C1
Z
C
F~ d~x = 0,
C1 3
~x0
~x1
IC
2
Figura 1.17:
Antes de enun iar el siguiente resultado, ne esitamos dar dos de ni iones:
C = C1 + ( C2 )
1.8. INTEGRALES DE LINEA INDEPENDIENTES DEL CAMINO
19
De ni ion 1.12 Se di e que un ampo ve torial F~ : D Rn ! Rn es onservativo si existe un
ampo es alar diferen iable f : D Rn ! R tal que F~ (x) = rf (x); 8x 2 D. En este aso, a f se le
llama un poten ial de F~ .
(Re ordar que rf (x) =
f
f
(x); :::;
(x) ).
x1
xn
De ni ion 1.13 Sea D un sub onjunto abierto de Rn . El onjunto D se llama onexo si todo par
de puntos de D puede unirse mediante un amino se ionalmente suave ontenido en D
D4
D1
D2
D3
=
:
R
R
:
Figura 1.18: D1 ; D2 y D3 son abiertos onexos de R2
Figura 1.19: D4 (union de dos abiertos disjuntos) no es onexo
Consideremos ahora el siguiente importante:
Teorema 1.6 Supongamos que F~ es un ampo ve torial ontinuo en el abierto onexo D. Enton es,
las integrales de lnea de F~ son independientes del amino en D si y solo si existe un ampo es alar
f de nido en D tal que F~ = rf , esto es, si y solo si F~ es onservativo en D.
Observa ion 1.5 En el aso que F~ = rf , se umple que si C es ualquier urva se ionalmente
suave ontenida en D, on punto ini ial x~0 y punto terminal x~1 , enton es:
Z
C
F~ d~x = f (~x1 ) f (~x0 );
es de ir que :
Z ~x1
~x0
r~f d~x = f (x~1 ) f (x~0 ).
Observa ion 1.6 De los dos ultimos teoremas podemos on luir lo siguiente: Si F~ : D Rn ! Rn
es un ampo ve torial ontinuo en un abierto onexo D, enton es las tres siguientes a rma iones
son equivalentes:
1. Las integrales de lnea de F~ son independientes del amino en D.
2.
Z
C
F~ d~x = 0 para toda urva errada C (se ionalmente suave) ontenida en D.
CAPITULO 1. INTEGRALES DE LINEA
20
~x1
C
~x0
Figura 1.20: Curva que une x~0 on x~1
3. Existe un ampo es alar f : D Rn
! R tal que F~ = rf .
Sin un metodo para determinar si un ampo ve torial F~ es onservativo o no, el Teorema anterior
es de po o valor pra ti o para al ular integrales de lnea. El siguiente Teorema nos dara ondi iones
ne esarias para que F~ sea onservativo.
Teorema 1.7 Si F~ = (F1 ; :::; Fn ) es un ampo ve torial onservativo de lase
onexo D de Rn , enton es:
F
Fi
(x) = j (x); 8x 2 D y
xj
xi
Demostra ion: Si F~ = rf =
es de ir:
Luego:
Por otro lado,
8 i; j 2 f1; :::; ng
f
f
, enton es:
; :::;
x1
xn
f
f
; :::;
(F1 ; :::; Fn ) =
x1
xn
Fi =
f
xi
8 i 2 f1; :::ng
2f
f
Fi
(x) =
(x) =
(x)
xj
xj xi
xj xi
Fj
2f
f
(x) =
(x) =
(x)
xi
xi xj
xi xj
y omo F~ es de lase C 1 en D, enton es f es de lase C 2 en D; de donde:
2f
2f
(x) =
(x)
xj xi
xi xj
es de ir que
F
Fi
(x) = j (x)
xj
xi
8x 2 D
y
8x 2 D;
8 i; j 2 f1; :::; ng
C1
en un abierto
(1.3)
21
1.9. REGIONES SIMPLEMENTE CONEXAS
Observa ion 1.7 1. Si n = 2 y F~ = (P; Q), enton es las ondi iones (1.3) se redu en a: P
y =
Q .
x
Q Q
2. Si n = 3 y F~ = (P; Q; R), enton es las ondi iones (1.3) se redu en a: P
y = x ; z =
R ; R = P : Para este aso, existe una formula ion equivalente del Teorema anterior, en
y x
z
terminos del llamado Rota ional de F~ : Mas pre isamente tenemos la siguiente de ni ion:
Si F~ = (P; Q; R) es un ampo ve torial de nido en un abierto onexo D de R3 , enton es
se de ne el rota ional de F~ ; rotF~ , omo el ampo ve torial rotF~ : D R3 ! R3 ; rotF~ =
Q ; P R ; Q P ): Esta de ni ion es fa il de re ordar si es ribimos formalmente:
( R
y
z Z x x y
^i
rotF~ =
^j
k^
x y z
P
Q
(= r F~ )
R
El teorema anterior nos di e que: \si F~ = (P; Q; R) es un ampo ve torial onservativo de
lase C 1 en un abierto onexo D de R3 , enton es rotF~ (x) = (0; 0; 0) 8 x 2 D "
3. Las ondi iones (1.3) son ne esarias pero no su ientes para que F~ sea onservativo en un
abierto onexo D.
Por ejemplo el ampo ve torial F~ : R2 n(0; 0) ! R2 F~ (x; y ) = ( x2 +yy2 ; x2 +x y2 ) es de lase C 1 , y
y 2 x2
Q
R2 n(0; 0)
satisfa e (1.3), ya que P
y (x; y ) = (x2 +y2 )2 = x (x; y ); 8(x; y ) 2
R
Sin embargo, F~ no es onservativo en R2 n(0; 0) ya que C F~ d~x = 2 6= 0, donde C es la
ir unferen ia de entro (0; 0) y radio 1, x2 + y 2 = 1, re orrida en sentido ontrario al de las agujas
del reloj.
1.9. Regiones Simplemente Conexas
Para poder a rmar que las integrales de lnea de F~ son independientes del amino en D siempre
que F~ es de Clase C 1 y satisfa e (1.3) en D, nosotros ne esitamos una suposi ion adi ional sobre D:
que sea simplemente onexo. Intuitivamente esto signi a que toda urva errada C ontenida en
D puede ser deformada, sin quebrarse y sin salirse de D, hasta redu irse a un punto.
Un abierto onexo en R2 es simplemente onexo si no tiene hoyos. A ontinua ion veremos la
de ni ion pre isa de este on epto, pero antes de ello observaremos lo siguiente:
C es una urva de Jordan (= urva errada simple) en el plano, enton es C
divide a R2 C en dos onjuntos abiertos onexos y disjuntos que tienen a la urva C omo frontera
omun. Una de esas regiones es a otada y se llama la regi
on interior a C . La otra es no-a otada
y se llama la regi
on exterior a C .
Observa ion 1.8 Si
CAPITULO 1. INTEGRALES DE LINEA
22
9
Regi
on interior
aC
C
Figura 1.21: Region interior a C
De ni ion 1.14 Sea D un sub onjunto abierto y onexo de R2 . Se di e que D es simplemente
onexo si, para toda urva de Jordan C ontenida en D, la region interior a C es tambien un
sub onjunto de D. En la siguiente gura, D1 es simplemente onexo, y D2 y D3 no lo son.
D1
D2
D3
C
En R3 , la region entre dos esferas on entri as es simplemente onexa, pero la region entre
ilindros: D = f(x; y; z ) : 1 < x2 + y2 < 4; 0 < z < 1g no es
6
simplemente onexa, debido a que la urva errada C mostrada en
la gura, es imposible deformarla (sin quebrarse y sin salirse de D)
hasta redu irla a un punto.
Existe una de ni ion pre isa y general para el on epto de onjunto
- C
simplemente onexo en Rn (8n). Antes de darla, ne esitamos ver el
on epto de urvas erradas homotopi as.
-
=
1.22: Regi
on no simplemente onexa en R3
Figura
De ni ion 1.15 Sea D Rn y C1 ; C2 dos urvas erradas ontenidas en D on parametriza iones
~ ; ~ : [a; b℄ ! Rn , respe tivamente, tales que ~ (a) = ~ (b) = ~ (a) = ~ (b). Se di e que C1 es
homotopi a a C2 si existe una fun ion ontinua H : [a; b℄ [0; 1℄ ! D tal que :
8
>
<H (t; 0)
= ~ (t); 8 t 2 [a; b℄
H (t; 1) = ~ (t); 8 t 2 [a; b℄
>
:
H (a; s) = H (b; s) = ~ (a) = ~ (b);
8 s 2 [0; 1℄
23
1.10. BUSCANDO FUNCIONES POTENCIALES
De ni ion 1.16 Sea D un sub onjunto abierto y onexo de Rn . Se di e que D es simplemente
onexo si toda urva errada se ionalmente suave C ontenida en D es homotopi a a una urva
onstante, esto es si toda urva errada ~ : [a; b℄ ! Rn es homotopi a a una urva ~ : [a; b℄ ! Rn
tal que ~ (t) = ~ (a) 8 t 2 [a; b℄.
~ (a) = ~ (a)
Hs
-
C
Figura 1.23: Curvas homotopi as
Observa ion 1.9 1. Re ordemos que un sub onjunto D Rn se llama onvexo si 8 x0 ; x1 2 D, el segmento de re ta que une a x0 on x1 esta ontenido en D. Es fa il probar que todo onjunto onvexo es simplemente onexo.
2. Rn es simplemente onexo, 8n.
R2
3.
2.
(0; 0) no es simplemente onexo.
4. Un onjunto abierto y onexo D
mente onexo.
x1
x0
Figura 1.24:
Convexo
Rn , que no es simplemente onexo, se llama
Conjunto
multiple-
A ontinua ion, se enun iara un importante resultado.
Teorema 1.8 Si D es un sub onjunto simplemente onexo de Rn y F~ = (F1 ; F2 ; Fn ) : D
Rn
! Rn
es un ampo ve torial de lase C 1 que satisfa e las igualdades:
F
Fi
(x) = j (x); 8x 2 D y 8i; j 2 f1; :::; ng;
xj
xi
enton es F~ es onservativo en D (es de ir, F~ = rf para ierto f : D Rn
las integrales de lnea de F~ son independientes del amino en D.
1.10. Bus ando fun iones poten iales
Si
F~ = rf
! R); y por lo tanto
CAPITULO 1. INTEGRALES DE LINEA
24
en un abierto onexo D, enton es el smbolo
F~ d~x
puede ser interpretado omo df(=diferen ial de f), dado que en este aso:
F~ d~x = F1 dx1 + F2 dx2 + + Fn dxn
f
f
f
dx + +
dx
= dx1 +
x
x2 2
xn n
= df
Nosotros de imos en este aso que
F~ d~x
es una diferen ial exa ta, y es ribimos:
Z
C
F~ d~x =
Z
C
df
La pregunta es :
>Como en ontrar f ?
Una manera es es ogiendo un punto onveniente x~0 2 D; y evaluando
f (~x) =
Z ~x
~x0
F~ d~y
omo una fun ion de ~x; a lo largo de ualquier urva onveniente en D que una ~x0 on ~x:
Si D es onvexo, enton es la integral de lnea anterior puede ser tomada a lo largo del segmento
de re ta que une ~x0 on ~x que, omo bien sabemos, esta parametrizada por :
~(t) = t~x + (1 t)x~0 ; 0 t 1; y as nos queda :
f (~x) =
Z 1
0
F~ (t~x + (1 t)x~0 ) (~x x~0 )dt
Ejemplo 1.11 Si F~ : R2 ! R2 es el ampo ve torial F~ (x; y) = (ex + y; x +2y) = (P (x; y); Q(x; y));
enton es F~ es de lase C 1 en R2 ; su dominio R2 es simplemente onexo, y ademas
Q
P
(x; y) = 1 =
(x; y);
y
x
8 (x; y) 2 R2 :
Por lo tanto, F~ es onservativo en R2 ; es de ir existe un ampo es alar f : R2
F~ = rf:
!R
tal que
25
1.10. BUSCANDO FUNCIONES POTENCIALES
Como R2 es onvexo enton es tomando x~0 = (0; 0) tenemos que un poten ial f viene dado por:
f (x; y) =
Cal ulando se obtiene
Z 1
0
F~ (t(x; y) + (1 t)(0; 0)) ((x; y) (0; 0))dt
f (x; y) = ex + xy + y2
1
Ahora podemos usar f para al ular las integrales de lnea de F~ : Por ejemplo :
Z (2;4)
(0;0)
(ex + y)dx + (x + 2y)dy = f (2; 4) f (0; 0) = e2 + 23:
Otro metodo para en ontrar poten iales se muestra en los siguientes ejer i ios :
Z
Ejer i io 1.3 Cal ular (2xey + y)dx + (x2 ey + x 2y)dy; donde C es la por ion de la parabola
C
y = x2 desde (0; 0) a (1; 1), sin parametrizar la urva C .
Solu ion:
F~ (x; y) = (2xey + y; x2 ey + x 2y) = (P (x; y); Q(x; y)) es de lase C 1 en R2 ; R2 es simplemente
onexo y ademas:
P
Q
(x; y) = 2xey + 1 = (x; y); 8(x; y) 2 R2
x
y
Por lo tanto, F~ es onservativo en R2 , es de ir existe f : R2 ! R tal que F~ = rf:
Para en ontrar un poten ial f de F~ pro edemos omo sigue:
(
f (x; y ) = 2xey + y (i)
x
f (x; y ) = x2 ey + x 2y (ii)
y
Integrando ambos lados de (i) on respe to a x; obtenemos: f (x; y ) = x2 ey + xy + g (y ):
Tomando derivadas par iales on respe to a y; y omparando on (ii); en ontramos que:
x2 ey + x + g0 (y) = x2 ey + x 2y; de donde g0 (y) = 2y; es de ir, g(y) = y2 + :
Dando ualquier valor real a obtenemos un poten ial f de F~ : En parti ular tomando = 0;
obtenemos f (x; y ) = x2 ey + xy y 2
Por lo tanto :
Z
C
(2xey + y)dx + (x2 ey + x 2y)dy = f (1; 1) f (0; 0) = e:
Ejer i io 1.4 Probar que la integral de lnea :
Z (1;1; 1)
(1; 1;2)
(2x + 2yz )dx + (2y + 2xz )dy + (2xy)dz
es independiente del amino en R3 ; y luego al ulela.
CAPITULO 1. INTEGRALES DE LINEA
26
Solu ion :
F~ (x; y; z ) = (2x + 2yz; 2y + 2xz; 2xy) = (P (x; y; z ); Q(x; y; z ); R(x; y; z )) es de lase C 1 en R3 ;
R3
es simplemente onexo y ademas:
8 Q
>
< x (x; y; z )
= 2z = P
y (x; y; z );
P (x; y; z ) = 2y = R (x; y; z );
z
x
>
: Q
R
z (x; y; z ) = 2x = y (x; y; z );
8(x; y; z ) 2 R3
Por lo tanto, F~ es onservativo en R3 , es de ir existe un ampo es alar f : R3 ! R tal que
~
F = rf (y en onse uen ia las integrales de lnea de F~ son independientes del amino en R3 ): En
parti ular, la integral dada en el enun iado es independiente del amino en R3 : Para al ular esta
integral basta on en ontrar un poten ial f de F~ y luego evaluar.
Para en ontrar un poten ial f de F~ pro edemos omo sigue:
8
f
>
< x (x; y; z )
= 2x + 2yz (i)
f (x; y; z ) = 2y + 2xz (ii)
y
>
: f
z (x; y; z ) = 2xy (iii)
Integrando ambos lados de (i) on respe to a x; obtenemos: f (x; y; z ) = x2 + 2yzx + g (y; z ):
Tomando derivadas par iales on respe to a y; y omparando on (ii); en ontramos que:
2zx +
g
(y; z ) = 2y + 2xz;
y
de donde
g
= 2y:
y
Integrando on respe to a y on lumos que g (y; z ) = y 2 + h(z ): Por lo tanto
f (x; y; z ) = x2 + 2yzx + y2 + h(z ):
Ahora tomando derivadas par iales on respe to a z y omparando on (iii); obtenemos
2yx + h0 (z ) = 2xy; de donde h0 (z ) = 0; es de ir h(z ) = ( onstante). Por lo tanto
f (x; y; z ) = x2 + 2yzx + y2 +
nos entrega la familia de poten iales del ampo ve torial F~ :
Por lo tanto, la integral del enun iado vale :
Z (1;1; 1)
(1; 1;2)
(2x + 2yz )dx + (2y + 2xz )dy + (2xy)dz = f (1; 1; 1) f (1; 1; 2) = 2:
27
1.11. TEOREMA DE GREEN PARA REGIONES PLANAS SIMPLEMENTE CONEXAS
1.11. Teorema de Green para regiones planas simplemente
onexas
Teorema 1.9 (1ra. forma del Teorema de Green)
Sean P; Q : D R2 ! R ampos es alares de lase C 1 en un sub onjunto abierto D de R2 . Sea
C una urva de Jordan se ionalmente suave, y representemos por R a la union de C y de la region
interior a C . Supongamos que R esta ontenida en D. Se tiene enton es la igualdad:
ZZ R
I
P
d(x; y) = P dx + Qdy
y
C
Q
x
en la que la integral de lnea se toma a lo largo de
al de las agujas del reloj.
C en sentido
ontrario
C
}
Ejer i io 1.5 Utilizando el Teorema de Green al ular
1.
2.
3.
I
C
es el uadrado de verti es (0; 0); (2; 0); (2; 2); (0; 2).
C
C es el
C es la
R
y2 dx + xdy, donde
U
uadrado de verti es (1; 1).
-
Figura 1.25:
de Green
ir unferen ia de entro (0; 0) y radio 2:
Teorema
Corolario 1.1 Si C es una urva de Jordan se ionalmente suave en R2 y R es la union de C y de
la region interior a C (R es llamada omunmente la regi
on a otada por C o la region en errada
por C ), enton es:
Area de R =
donde
C esta re orrida en sentido
I
C
xdy =
I
I
1
ydx =
ydx + xdy;
2 C
C
ontrario al de las agujas del reloj.
2
2
Ejer i io 1.6 En ontrar el area de la region en errada por la elipse xa2 + yb2 = 1, siendo a; b ons-
tantes positivas.
1.12. Teorema de Green para regiones planas multiplemente
onexas
Observa ion 1.10 En primer lugar, re ordemos que si C es una urva de Jordan en el plano,
enton es C divide a R2 C en dos onjuntos abiertos onexos y disjuntos que tienen a la urva C
omo frontera omun. Una de esas regiones es a otada y se llama la regi
on interior de C . La otra
es no-a otada y se llama la regi
on exterior de C
CAPITULO 1. INTEGRALES DE LINEA
28
La gura de la dere ha orresponde al Teorema 1.10 :
9
C
}
?
R
?
C2
}
R
:
-
C3
^
}
N
C4
y
3
U
-
j
3
C1
Teorema 1.10 (2da forma del Teorema de Green)
Sean C1 ; C2 ; :::; Ck ; k urvas de Jordan se ionalmente suaves, ontenidas en R2 , que tienen las
siguientes propiedades:
1. Dos ualesquiera de esas urvas no se interse tan.
2. Todas las urvas C2 ; :::; Ck estan situadas en la region interior de C1 .
3. Para ada i 6= j;
i > 1; j > 1, la urva Ci esta situada en la region exterior de la urva Cj .
Designemos on R la region que onsiste en la union de C1 on la por ion de la region interior
de C1 que no esta en la region interior de ualquiera de las urvas C2 ; C3 ; :::; Ck .
R.
Sean P; Q : D R2
!R
ampos es alares de lase C 1 en un onjunto abierto D que ontiene a
Se tiene enton es la siguiente igualdad:
ZZ Q
R x
I
P
d(x; y) = (P dx + Qdy)
y
C1
k I
X
Ci
i=2
(P dx + Qdy)
en la que C1 ; C2 ; :::; Ck son re orridas en sentido ontrario al de las agujas del reloj.
Ejer i io 1.7 Cal ule
I
ydx (x 1)dy
, donde C es la ir unferen ia x2 + y 2 = 4.
C (x 1)2 + y2
Observa ion 1.11 1. Si C es una urva de Jordan en R2 , pre isemos a ontinua ion que signia que C es re orrida en sentido ontrario al de las agujas del
reloj.
Diremos que C es re orrida en sentido ontrario al de
las agujas del reloj, si un hombre de pie sobre el plano xy
que vaya aminando a lo largo de C tiene siempre a la region
interior de C a su izquierda.
9
U
7
=
C
6
Figura 1.26:
re orrido
Sentido positivo de
1.13. INTEGRALES DE LINEA CON RESPECTO A LA LONGITUD DE ARCO
29
Q
2. Para una region simplemente onexa, la ondi ion P
y = x impli a que las integrales de
R
lnea C P dx + Qdy son independientes del amino. Como ya hemos observado, si el dominio
Q
no es simplemente onexo, la ondi ion P
y = x no impli a ne esariamente la independen ia
del amino. No obstante, para este aso existe una ondi ion de independen ia que se dedu e
del Teorema anterior, y que enun iaremos a ontinua ion.
Teorema 1.11 (invarian ia de una integral de lnea al deformar el amino)
Sean D un onjunto abierto onexo del plano R2 ; P; Q : D R2 ! R ampos es alares de lase
Q
1
C , y supongamos que P
y = x en todo D. Sean C1 y C2 dos urvas de Jordan se ionalmente suaves
situadas en D y que satisfa en las siguientes ondi iones:
1.
C2 esta en la region interior de C1 .
2. Los puntos de la region interior de C1 que estan en la region exterior de C2 pertene en a D.
Se tiene enton es que:
D
I
C1
P dx + Qdy =
I
C2
P dx + Qdy
C1
ZZ I
I
y )
R
?
IM
C
>
1
q
:
2
re orriendose ambas urvas en el mismo sentido.
Demostra ion: De la 2a forma del Teorema de Green, tenemos que:
?
Figura
1.27:
una integral
Invarian ia de
Q P
(P dx + Qdy);
d(x; y) = (P dx + Qdy)
y
C2
C1
R x
donde R es la region que onsiste de los puntos situados entre las dos urvas C1 ; C2 y las propias
Q
urvas. Como P
y = x en todo R, obtenemos de la igualdad anterior que:
I
C1
P dx + Qdy =
I
C2
P dx + Qdy
Q
Observa ion 1.12 Algunas ve es el Teorema anterior se expresa di iendo que si P
y = x en D,
enton es el valor de una integral de lnea a lo largo de una urva errada simple en D no vara
si el amino se ambia por deforma ion en otra urva errada simple ualquiera de D, on tal que
todas las urvas intermedias que se van obteniendo en la deforma ion permanez an dentro de D. Se
supone que el onjunto D es onexo y abierto, pero no es ne esario que sea simplemente onexo.
1.13. Integrales de Lnea on respe to a la Longitud de Ar o
De ni ion 1.17 Sea C una urva suave en Rn , f un ampo es alar ontinuo sobre la tr(C ), y sea
~ : [a; b℄ ! Rn una representa ion suave de C . Enton es la integral
de lnea de f on respe to a la
R
longitud de ar o, a lo largo de C , se representa on el smbolo C fds y se de ne omo:
CAPITULO 1. INTEGRALES DE LINEA
30
Z
C
fds =
Z b
a
f (~ (t))jj ~0 (t)jjdt
Si C = CR1 + C2 + ::: + Ck donde C1 ; C2 ; :::; Ck son suaves (es de ir si
enton es la C fds se de ne omo.
Z
C es se
ionalmente suave),
Z
Z
fds + ::: + fds
Ck
C1
R
En parti ular, C ds, obtenida tomando f 1, es la longitud de ar o de C , omo fue de nido
C
fds =
anteriormente.
Ejer
i io 1.8 Sea C el segmento de re ta que va desde (0; 0; 0) hasta (1; 3; 2). Cal ular la :
R
(
x
+
y2 2z )ds.
C
Solu ion: f (x; y; z ) = x + y2 2z
~ (t) = (0; 0; 0) + t((1; 3; 2) (0; 0; 0)); 0 t 1
~ (t)Z= (t; 3t; 2t); 0 t 1, parametriza a C Z
Z 1
1
2
(x + y 2z )ds =
f (~ (t)) k ~0 (t)kdt = f (t; 3t; 2t)k(1; 3; 2)kdt =
0
0
Z 1 C
Z 1
p 3 3t2 1 p 3 3 p
p
p
2
2
j = 14 3 2 = 2 14
(t +9t 4t) 1 + 9 + 4dt =
14 (9t 3t)dt = 14 3t
2 0
0
0
R
Observa ion 1.13 1. La C fds es independiente de la representa ion ~ es ogida para C .
2. Es fa il probar que :
Z
C
fds =
Z
C
fds.
Notar que el signo menos que apare e en la orrespondiente igualdad para integrales de lnea
de ampos ve toriales, aqu no apare e.
Observa ion 1.14
R
Toda integral de lnea C F~ d~x puede ser es rita omo una integral de lnea on respe to a la longitud
de ar o. En efe to:
Z
C
F~ d~x =
Z b
a
F~ (~ (t)) ~0 (t)dt
Z b
~0 (t)
F~ (~ (t)) ~0 k ~0 (t)kdt
k (t)k
a
Z b
=
F~ (~ (t)) T~ (~ (t))k ~0 (t)kdt
=
=
Za
C
F~ T~ ds;
1.14. OTRAS APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DE LINEA
31
donde
~0 (t)
T~ (~ (t)) = ~0
k (t)k
es el ve tor tangente unitario a
C en ~ (t), en la dire
ion de C .
T~ (~ (t))
~ (t)
q
C
1.28: Ve tor
tangente unitario a C
Figura
1.14. Otras apli a iones de las integrales de lnea
Las integrales de lnea on respe to a la longitud de ar o se presentan en problemas relativos a la
distribu ion de la masa a lo largo de una urva. Por ejemplo, imaginemos una urva C en el espa io
R3 omo un delgado alambre de densidad variable. Supongamos que la densidad se expresa mediante
un ampo es alar f , siendo f (x; y; z ) la masa por unidad de longitud en el punto (x; y; z ) de
C . La masa total M del alambre esta de nida omo la integral de lnea de f on respe to a la
longitud de ar o:
M=
Z
C
f (x; y; z )ds
El entro de gravedad se de ne omo el punto (x; y; z) uyas oordenadas estan determinadas
por las e ua iones:
Z
Z
Z
1
1
1
x =
xf (x; y; z )ds; y =
yf (x; y; z )ds; z =
zf (x; y; z )ds
M C
M C
M C
Un alambre de densidad onstante se llama uniforme. En este aso el entro de gravedad tambien
se llama entroide.
Ejer i io 1.9 Cal ular la masa M de un alambre que tiene la forma de una heli e uya e ua ion
ve torial es: ~ (t) = (a ost; asent; bt) ; 0 t 2 (a y b son onstantes positivas), si la densidad
en (x; y; z ) es f (x; y; z ) = x2 + y 2 + z 2 :
Solu ion :
M =
Z
C
f (x; y; z )ds =
=
Z 2
0
Z 2
0
f (~ (t))k ~0 (t)kdt =
p
Z 2
0
(a2 + b2 t2 ) a2 + b2 dt =
(a2 os2 t + a2 sen2t + b2 t2 )k( asent; a ost; b)kdt
p
a2 + b2 2a2 + b2
83
:
3
CAPITULO 1. INTEGRALES DE LINEA
32
En este aso, la oordenada z del entro de gravedad viene dada por:
Z
Z
1
1
1
zf (x; y; z )ds =
z (x2 + y2 + z 2 )ds =
z =
M C
M C
M
=
p
b a2 + b2
M
Z 2
0
(ta2 + b2 t3 )dt =
Z 2
p
0
p
bt(a2 + b2t2 ) a2 + b2dt
b a2 + b2 2 2
2 a + 44 b2 :
M
Las integrales de lnea se pueden utilizar tambien para de nir el Momento de Iner ia de un
alambre o hilo on respe to a un eje. Si Æ(x; y; z ) representa la distan ia desde un punto (x; y; z ) de
C a un eje L, enton es el momento de iner ia IL esta de nido por la integral de lnea:
IL =
Z
C
Æ2 (x; y; z )f (x; y; z )ds
en donde f (x; y; z ) es la densidad en (x; y; z ). Los momentos de iner ia respe to a los ejes oordenados se representan por Ix ; Iy e Iz :
Ejer i io 1.10 Cal ular el momento de iner ia Iz del alambre del ejer i io anterior.
Solu Zion: En este aso Æ2 (x; y;Zz ) = x2 + y2 = a2 y f (x; y; z ) = x2 + y2 + z 2 , por lo tanto,
Iz = a2 (x2 + y2 + z 2 )ds = a2 (x2 + y2 + z 2 )ds = a2 M , donde M es la masa que se al ulo en
C
C
el ejer i io anterior.
Cap
tulo 2
Integrales de Super ie
2.1. Representa ion Parametri a de una Super ie
Una super ie es el lugar geometri o de un punto que se mueve en el espa io R3 on dos grados
de libertad.
Existen tres metodos para representar analti amente una super ie. Uno es la:
Representa ion impl ita: S = f(x; y; z ) 2 R3 : F (x; y; z ) = 0g
Ejemplo 2.1 S = f(x; y; z ) 2 R3 : x2 + y2 + z 2
4 = 0g = f(x; y; z ) 2 R3 : x2 + y2 + z 2 = 4g es
una representa ion impl ita de la esfera de entro (0; 0; 0) y radio 2.
Observa ion 2.1 En este texto, uando se hable de \el punto (x; y; z )00 ; nos estaremos re riendo
a \el punto de oordenadas (x; y; z )00 :
Algunas ve es podemos despejar en la e ua ion una de las oordenadas en fun ion de las otras
dos, por ejemplo z en fun ion de x e y. Cuando esto es posible obtenemos una Representa ion
expl ita dada por una o varias e ua iones de la forma z = f (x; y).
Ejemplo 2.2 Una esfera de entro (0; 0; 0) y radio 2ptiene la representa iop
n impl ita x2 + y 2 + z 2
2
2
4 = 0. Al despejar z se obtienen dos solu iones z = 4 x y y z =
4 x2 y2 ; la primera
es la representa ion expl ita de la semiesfera superior y la segunda es la representa ion expl ita de
la semiesfera inferior.
Existe un ter er metodo lamado la Representa ion parametri a que veremos a ontinua ion.
De ni ion 2.1 Sean T un sub onjunto onexo del plano
ontinuas. El sub onjunto de R3 :
R2
y X; Y; Z : T
S = f(X (u; v); Y (u; v); Z (u; v)) : (u; v) 2 T g
se llama una Super
ie Parametri a.
33
R2 ! R
fun iones
CAPITULO 2. INTEGRALES DE SUPERFICIE
34
Las e ua iones:
8
<
:
x = X (u; v)
y = Y (u; v) ; (u; v) 2 T
z = Z (u; v)
son las E ua iones parametri as de la super ie S .
Si introdu imos el radio ve tor ~r que une el origen a un punto (x; y; z ) de la super ie, podemos
ombinar las tres e ua iones parametri as anteriores en una e ua ion ve torial de la forma:
~r(u; v) = (X (u; v); Y (u; v); Z (u; v)) ; (u; v) 2 T
Esta es la llamada E ua ion ve torial de S .
Observa ion 2.2 Notar que S = ~r(T )
v
~r
6
z
T
6
j
* i
-
u
S
-y
x
Ejemplo 2.3 Si una super ie S viene dada expl itamente por:
z = f (x; y);
(x; y) 2 D
Enton es una representa ion parametri a de S se obtiene tomando X (u; v) = u; Y (u; v) = v; Z (u; v) =
f (u; v). Es de ir que una e ua ion ve torial de S es:
~r(u; v) = (u; v; f (u; v)); (u; v) 2 D
o lo que es lo mismo: ~r(x; y) = (x; y; f (x; y)); (x; y) 2 D.
Ejemplo 2.4 La representa ion parametri a de una esfera de radio a > 0.
35
2.2. PRODUCTO VECTORIAL FUNDAMENTAL
z
6
S
a
v
u
y
~r
6
o
2
-
*
T
y
0
2
-
x
2
x
Las tres e ua iones
8
<
x = a os u os v
y = a sen u os v
(2.1)
:
z = a sen v
parametrizan una esfera de radio a > 0 y entro (0; 0; 0). Los parametros u y v pueden interpretarse omo los angulos que apare en en la gura. Si ha emos que (u; v) vare en el re tangulo
T = [0; 2℄ [ 2 ; 2 ℄, los puntos determinados por (2.1) des riben toda la esfera. El hemisferio
superior es la imagen de [0; 2℄ [0; 2 ℄ y el inferior es imagen de [0; 2℄ [ 2 ; 0℄.
2.2. Produ to Ve torial Fundamental
Consideremos una super ie representada por la e ua ion ve torial
~r(u; v) = (X (u; v); Y (u; v); Z (u; v)) ; (u; v) 2 T .
Si X; Y y Z son derivables en T; podemos onsiderar los dos ve tores:
~r
~r
X Y Z
X Y Z
y
=
; ;
=
; ;
u
u u u
v
v v v
~r ~r
El produ to ve torial se denomina produ to ve torial fundamental de la represenu v
ta ion ~r. Sus omponentes pueden expresarse omo determinantes ja obianos. En efe to, tenemos:
^
^
k^
~r ~r
= X
u
u v
Y
u
Z
u
Y
v
Z
v
X
v
(Y; Z ) (Z; X ) (X; Y )
=
;
;
(u; v) (u; v) (u; v)
(2.2)
~r ~r
si (u; v) es un punto en T en el ual
y
son ontinuas y el produ to ve torial fundamental
u v
es no-nulo, enton es el punto imagen ~r(u; v) se llama punto regular de ~r. Los puntos que no son
CAPITULO 2. INTEGRALES DE SUPERFICIE
36
regulares se llaman puntos singulares de ~r. Una super ie S = ~r(T ) se llama regular si todos
sus puntos son regulares.
~r ~r
~r ~r
y
determinan un plano que tiene al ve tor
En ada punto regular, los ve tores
u v
u v
~r ~r
y
se llama Plano tangente a la
omo normal(perpendi ular); el plano determinado por
u v
super ie. Mas pre isamente: Si ~r(u0 ; v0 ) es un punto regular de la super ie S = ~r(T ), enton es el
~r
~r
plano que pasa por ~r(u0 ; v0 ) y tiene a (u0 ; v0 ) (u0 ; v0 ) omo ve tor normal se llama Plano
u
v
~r
~r
tangente a S en ~r(u0 ; v0 ). Al ve tor (u0 ; v0 ) (u0 ; v0 ) se le llama ve tor normal a S en
u
v
~r(u0 ; v0 ).
z
v
6
~r
u (u0 ; v0 )
6
u
=
z
~
r
T
u0
6
v0
-
v
u0
= v0
~r (
v
6
u0 ; v0 )
S
* v~r
z
~r
(u0 ; v0 )
u (u0 ; v0 )
-
u
x
=
-
y
Si onsideramos en T un segmento re tilneo horizontal (tal omo en la gura), su imagen por
~r es una urva situada en la super ie S: Si pensamos al parametro u omo el tiempo, enton es
~r
el ve tor
es el ve tor velo idad de esta urva. Cuando u se in rementa en u; un punto
u
situado al omienzo en ~r(u0 ; v0 ) se desplaza a lo largo de la urva men ionada una distan ia que
~r
es aproximadamente igual a
(u ; v ) u: Analogamente, si onsideramos en T un segmento
u 0 0
re tilneo verti al, su imagen por ~r es tambien una urva situada en la super ie S y un punto
se desplaza a lo largo de esta urva, en el tiempo v; una distan ia aproximadamente igual a
~r
(u ; v ) v: Un re tangulo en T que tenga un area uv se transforma bajo la a ion de ~r
v 0 0
en una por ion de la super ie S que se puede aproximar por un paralelogramo determinado por
~r
~r
los ve tores
u y v: Se sabe que el area del paralelogramo determinado por dos ve tores
u
v
es igual a la longitud de su produ to ve torial. Por lo tanto, el area del paralelogramo determinado
~r
~r
u y v es igual a :
por
u
v
~r
~r ~r
~r
u v =
u v
u
v
u v
37
2.3. SUPERFICIES SUAVES
2.3. Super ies Suaves
De ni ion 2.2 Una fun ion ~r(u; v) = (X (u; v); Y (u; v); Z (u; v)); (u; v) 2 T , se llama una fun ion
parametri a suave de R2 en R3 si:
su dominio T es un onexo errado y a otado en R2 , uya frontera onsiste de una antidad
nita de urvas de Jordan se ionalmente suaves y mutuamente disjuntas.
Æ
~r(u; v) 6= ~r(u1 ; v1 ); siempre que (u; v) 2 T ; (u1 ; v1 ) 2 T y (u; v) 6= (u1 ; v1 ).
~r es de lase C 1 , y el ve tor:
Æ
~r
~r
N~ (u; v) = (u; v) (u; v) es no-nulo, 8 (u; v) 2 T
u
v
En este aso, a la super ie S = ~r(T ) se le llama una Super ie suave.
Æ
Observa ion 2.3 En la de ni ion anterior, T simboliza el interior del onjunto T:
2.4. Area de Super ie
Sea S = ~r(T ) una super ie suave. Al nal de la Se ion 2.2 observamos que un re tangulo
en T de area uv es transformado por ~r en un paralelogramo urvilneo en S uya area es
aproximadamente igual a:
~r
~r
u v =
u
v
~r ~r
u v
u v
Esto sugiere la siguiente :
De ni ion 2.3 El Area de super ie de la super ie suave S de la De ni ion 2.2, se de ne
omo:
A(S ) =
ZZ
~r
~r
(u; v) (u; v) d(u; v)
v
T u
Ejer i io 2.1 Cal ular el area de la super ie S de nida por ~r(u; v) = (a os u; a sen u; v) (a te.
positiva), (u; v ) 2 T = f(u; v ) : 0 u 2; jv j bg (b te. positiva)
(Respuesta : 4ab): (S es la parte del ilindro x2 + y2 = a2 a otado por los planos z = b y z = b):
Ejer i io 2.2 Cal ular el area de la esfera S de nida por: ~r(u; v) = (a os u os v; a sen u os v; a sen v)
v g
(a te > 0), (u; v ) 2 T = f(u; v ) : 0 u 2;
2
2
CAPITULO 2. INTEGRALES DE SUPERFICIE
38
(Respuesta : 4a2 ): (S orresponde a la esfera de entro (0; 0; 0) y radio a).
Observa ion 2.4 Si una super ie S esta de nida expl itamente por z = f (x; y) ; (x; y)
enton es sabemos que puede ser representada parametri amente por:
2 T,
~r(x; y) = (x; y; f (x; y)) ; (x; y) 2 T
En este aso ,
k^
^i ^j
~r ~r
= 1 0 f
x =
x y
0 1 f
y
f f
;
;1
x y
El area de S es enton es:
A(S ) =
ZZ
T
s
1+
f
x
2
+
f
y
2
d(x; y)
Ejer i io 2.3 Cal ular el area de la parte del paraboloide z = 9 x2 y2 que queda por en ima del
plano z = 5.
(Respuesta : 6 (173=2
1)):
De ni iones 2.1 1. Una fun ion G : T Rn ! Rn se di e que es una Transforma ion
regular si G es inye tiva, es de lase C 1 , y det JG(x) 6= 0; 8x 2 T .
2. Dos fun iones parametri as suaves ~r1 : T1
ellas estan rela ionadas por:
! R3
y ~r2 : T2
! R3
se di en equivalentes si
~r2 (s(u; v); t(u; v)) = ~r1 (u; v); 8(u; v) 2 T1
donde G(u; v ) = (s(u; v ); t(u; v )) es una transforma ion regular on G(T1 ) = T2 . (~r1 (u; v ) =
~r2 (G(u; v)); 8(u; v) 2 T1 ).
En este aso se di e que ~r1 y ~r2 son representa iones parametri as equivalentes de la super ie
S = ~r1 (T1 ) = ~r2 (T2 ).
39
2.5. BORDE DE UNA SUPERFICIE
z6
-
~r1
v
S = ~r1 (T1 ) = ~r2 (T2 )
-y
6
x
~r2
t6
-
G
T2
-s
T1
u
Observa ion 2.5 En la de ni ion anterior, det JG(x) denota el determinante de la matriz Ja obiana de G en el punto x:
Para que la de ni ion de area de super ie tenga sentido, el area de una super ie suave debe ser
independiente de ual de la in nidad de representa iones parametri as equivalentes se es oja para
representarla. El siguiente teorema nos di e que esto es as.
Teorema 2.1 Si r~1 : T1
enton es:
! R3 y r~2 : T2 ! R3
ZZ
son fun iones parametri as suaves equivalentes,
r~1
r~
(u; v) 1 (u; v) d(u; v) =
u
v
T1
ZZ
r~2
r~
(s; t) 2 (s; t) d(s; t)
s
t
T2
2.5. Borde de una Super ie
Aun sin una de ni ion formal, la idea de Borde de una Super ie suave es intuitivamente lara.
As por ejemplo,
1. El borde de la semiesfera f(x; y; z ) : x2 + y2 + z 2 = a2 ; z 0g es
la ir unferen ia f(x; y; z ) : x2 + y2 = a2 ; z = 0g
z
6
(0; 0; a)
semiesfera
jborde
=x
Figura
y
2.1:
semi-esfera
Borde de una
40
CAPITULO 2. INTEGRALES DE SUPERFICIE
2. El borde del ilindro f(x; y; z ) : x2 + y2 = a2 ; jz j 1g onsiste de
las dos ir unferen ias f(x; y; z ) : x2 + y2 = a2 ; z = 1g y
f(x; y; z ); x2 + y2 = a2 ; z = 1g
6z
-y
x
Figura 2.2:
dro
Borde de un ilin-
3. La esfera f(x; y; z ) : x2 + y2 + z 2 = a2 g no tiene borde.
De ni ion 2.4 El Borde de una super ie suave S , denotado por S , es el onjunto de puntos ~x0
en S para los uales todos los onjuntos de la forma:
U(~x0 ) = f~x 2 R3 : k~x ~x0 k < y ~x 2= S g ( > 0)
son onexos.
S
S
Figura 2.3: Borde de una super ie
Observa ion 2.6 1. Todo punto del borde de una super ie S = ~r(T ) debe ser de la forma
~x0 = ~r(u0 ; v0 ) on (uo ; v0 ) en la frontera de T . Sin embargo un punto en la frontera de T no
ne esariamente se apli a en el borde de S .
2. Diremos que una super ie S es errada si no tiene borde, esto es si S = . As por
ejemplo, una esfera es una super ie errada.
3. El omplemento de una super ie errada S; R3 S , onsiste de dos onjuntos abiertos, uno
a otado y uno no-a otado. El a otado es el interior y el no-a otado es el exterior de la
super ie. Un ve tor normal a una super ie errada S es una normal exterior a S si
apunta ha ia el exterior de S , y es una normal interior a S si apunta ha ia el interior de
S.
41
2.6. SUPERFICIES SECCIONALMENTE SUAVES
2.6. Super ies Se ionalmente Suaves
Si S1 ; S2 ; :::; Sk son super ies suaves, que satisfa en:
1. Cada uno de los bordes S1; S2 ; ; Sk interse ta al a menos uno de los otros bordes en
una urva se ionalmente suave.
2. Ningun par de entre las super ies S1 ; S2 ; ; Sk tienen puntos en omun que no son borde,
enton es de imos que S1 ; S2 ; Sk , forman una super ie se ionalmente suave S on
se iones suaves S1 ; S2 ; ; Sk y es ribimos
S = S1 + S2 + + Sk
Ejemplo 2.5 1. La super ie del ubo [0; 1℄ [0; 1℄ [0; 1℄ es una
6
z
super ie se ionalmente suave, on seis se iones suaves. Esta es
una super ie errada.
1
-y
1
1
x
Figura 2.4:
ubo
2. La super ie omprendida del hemisferio x2 + y 2 + z 2 = 1; z 0
y del ilindro x2 + y 2 = 1;
2 z 0, es se ionalmente suave.
Esta no es errada.
Super ie de un
61
-
1
2
6
S
Super ie se ionalmente suave
Figura 2.5:
De ni ion 2.5 Se de ne el area de super ie de una super ie se ionalmente suave S = S1 + S2 +
+ Sk
omo:
A(S ) = A(S1 ) + A(S2 ) + + A(Sk )
CAPITULO 2. INTEGRALES DE SUPERFICIE
42
2.7. Integral de Super ie de un Campo Es alar
De ni ion 2.6 Sea S una super ie suave representada por ~r : T ! R3 , y supongamos que f es una
fun ion real-valorada
y ontinua en S . Enton es la integral de super ie de f sobre S se representa
ZZ
on el smbolo
f (x; y; z )dS y esta de nida omo:
S
ZZ
S
f (x; y; z )dS =
ZZ
T
f (~r(u; v)) ~r
~r
(u; v) (u; v) d(u; v)
u
v
Si S = S1 + S2 + ::: + Sk es una super ie se ionalmente suave, enton es:
ZZ
S
f (x; y; z )dS =
Observa ion 2.7 1. La
ZZ
S1
f (x; y; z )dS +
ZZ
S2
f (x; y; z )dS + ::: +
ZZ
Sk
f (x; y; z )dS
ZZ
f (x; y; z )dS es independiente de ual de la in nidad de representaiones parametri as equivalentes se es oge para representar a S .
2. Si f
1, enton es
S
ZZ
S
f (x; y; z )dS =
ZZ
S
dS = A(S )
ZZ
p
(1 + z )dS , donde S es el hemisferio z = 1 x2
Ejer i io 2.4 Cal ular
S
Solu ion
S orresponde a la semiesfera superior de entro (0; 0; 0) y radio 1,
y puede ser parametrizada por:
~r(u; v) = ( os u os v; sen u os v; sen v);
(u; v) 2 T = [0; 2℄ h
y2
z
i
0;
2
6
(0; 0; 1)
S
=
y
(1; 0; 0)
x
Figura 2.6:
semiesfera
^i
^j
k^
sen os v
os u os v
0
os u sen v
sen u sen v os v
= ^i( os u os2 v) ^j ( sen u os2 v) + k^( os v sen v)
= ( osu os2 v; senu os2v; osvsenv)
= osv ~r(u; v)
~r ~r
=
u v
Por lo tanto:
Super ie de una
DE SUPERFICIES
2.8. SUPERFICIES ORIENTABLES Y ORIENTACION
43
~r ~r
= k osv ~r(u; v)k = j osvj k~r(u; v)k = j osvj = osv; para 0 v u v
2
Luego:
ZZ
S
(1 + z )dS =
=
=
ZZ
Z ZT
f (~r(u; v))
(1 + senv) osvd(u; v)
T
Z 2 Z 2
0
~r
~r
(u; v) (u; v) d(u; v)
u
v
Z 2 0
( osv + senv osv)dvdu
sen2 v 2
j du
2 0
0
Z 2
3
3
=
= 3
du = 2
2
2
0
=
senv +
2.8. Super ies Orientables y Orienta ion de Super ies
La idea intuitiva de super ie orientable es la de una super ie tal que se pueda de nir en todo
punto de ella un ve tor normal unitario de modo que di ho ve tor vare en forma ontinua sobre la
super ie. Un modelo en papel de una super ie orientable siempre presenta dos aras que pueden
distinguirse pintandolas on dos olores diferentes. Las super ies no-orientables tienen tan solo 1
ara.
Mas pre isamente se tiene la siguiente:
De ni ion 2.7 Una super ie suave S se di e orientable si tiene una representa ion
~r : T ! R3 tal que si:
~r
~r
N~ (u; v) = (u; v) (u; v);
u
v
enton es:
1.
2.
N~ (u; v)
lm
~ (u; v)jj existe, 8 (u0 ; v0 ) 2 T; y
(u;v)!(u0 ;v0 ) jjN
N~ (u; v)
N~ (u; v)
= lim(u;v)!(u1 ;v1 ) ~
lim(u;v)!(u0 ;v0 ) ~
kN (u; v)k
kN (u; v)k
siempre que (u0 ; v0 ) y (u1 ; v1 ) son puntos en T tal que ~r(u0 ; v0 ) = ~r(u1 ; v1 ):
Nota ion: En la de ni ion anterior, T simboliza la frontera del onjunto T:
CAPITULO 2. INTEGRALES DE SUPERFICIE
44
Ejemplo 2.6 El ilindro, la esfera, el plano, el elipsoide, el paraboloide elpti o, y en general
todas las super ies on las uales trabajaremos, son orientables.
Observa ion 2.8 1. El lasi o ejemplo de super ie no-orientable es la Banda de Mobius.
2. Si S es una super ie orientable y ~r : T ! R3 representa a S y satisfa e la De ni i
on 2.7,
enton es podemos de nir un ampo ve torial n^ = n^ (~x) sobre S omo sigue:
Si ~x = ~r(u; v ), donde (u; v ) pertene e al interior de
enton es:
~r (u; v ) ~r (u; v )
T; y N~ (u; v) = u
v
N~ (u; v)
;
n^ (~x) = ~
kN (u; v)k
mientras que si ~x = ~r(u0 ; v0 ), para algun (u0 ; v0 ) 2 T , enton es:
N~ (u; v)
n^ (~x) = lim(u;v)!(u0 ;v0 ) ~
kN (u; v)k
El ampo ve torial n^ es llamado la orienta ion de S indu ida por ~r
Claramente, n^ (~x) es un ve tor unitario para ada ~x 2 S , y es normal a la super ie S en ~x. La
orienta ion puede ser visualizada dibujando una e ha de longitud 1 en la dire ion de n^ (~x),
en ada punto ~x de S .
3. Una super ie orientable puede tener solo 2 orienta iones. Rela ionado on esto, tenemos el
siguiente resultado.
Teorema 2.2 Sean r~1 : T1 ! R3 y r~2 : T2 ! R3 representa iones parametri as equivalentes de
una super ie orientable S; las uales satisfa en la De ni i
on 2.7, y supongamos que ellas estan
rela ionadas por r~2 (s(u; v ); t(u; v )) = r~1 (u; v ) donde G(u; v ) = (s(u; v ); t(u; v )) es una transformaion regular de T1 sobre T2 .
Sean n^ 1 y n^ 2 las orienta iones indu idas en S por r~1 y r~2 , respe tivamente. Enton es:
s;t) =
1. n^ 1 = n^ 2 si ((u;v
)
s
u
t
u
s
v
t
v
>0
s;t) < 0.
2. n^ 1 = n^ 2 si ((u;v
)
2.9. Orienta ion de super ies se ionalmente suaves
Para dis utir la orientabilidad de una super ie se ionalmente suave, debemos introdu ir la
no ion de Borde positivamente dirigido de una super ie suave.
DE SUPERFICIES SECCIONALMENTE SUAVES
2.9. ORIENTACION
45
De ni ion 2.8 Si n^ es una orienta ion de una super ie suave S y C es una urva suave del
borde S de S; de imos que C esta positivamente dirigida on respe to a n^ si una persona
aminando a lo largo de C on su abeza en la dire ion de n^ (~x) siempre tiene a S a su izquierda.
De imos que S est
a positivamente dirigido on respe to a n^ si toda urva suave en S lo
esta.
Si S es la se ion del paraboloide z = 4 x2 y 2 a otada por los
planos z = 0 y z = 1, y n^ es la orienta ion indi ada en la gura,
enton es S esta positivamente dirigido on respe to a n^ , si es re orrido
en el sentido mostrado en la gura:
6
i z : n ~x
y
z
^( )
x
Figura
2.7:
mente dirigido
Si tomamos omo orienta ion a n^ , enton es S estara positivamente dirigida on respe to a n^ , si es re orrida en el sentido mostrado
en la Figura 2.8
z
y
Borde positiva-
6
-
n^ (~x)
y
-
x
n^ o-
Figura 2.8: Tomando
mo orienta ion
De ni ion 2.9 Una super ie se ionalmente suave S = S1 + S2 + + Sk se di e orientable si
sus se iones suaves S1 ; S2 : ; Sk son orientables, y es posible es oger orienta iones n^ 1 ; n^ 2 ; ; n^ k
sobre ellas de tal modo que si C es ualquier urva omun de Si y Sj (i 6= j ) enton es la dire ion
positiva de C on respe to a n^ i oin ide on la dire ion negativa de C on respe to a n^ j . Si las
orienta iones son es ogidas de esta manera, enton es S se di e orientada.
La super ie se ionalmente suave de la siguiente gura
esta orientada. Notar que la dire ion positiva del borde omun
on respe to a n^ 1 oin ide on la dire ion negativa de di ho borde on respe to a n^ 2 , y vi e-versa.
S2 : semiesfera superior
S1 : ilindro
61 n^
*q
9q
Y 1
- n^
:
S2
S1
2
1
Orienta ion de una superie se ionalmente suave
Figura 2.9:
CAPITULO 2. INTEGRALES DE SUPERFICIE
46
Observa ion 2.9 Una super ie se ionalmente suave orientable tiene exa tamente dos orientaiones posibles.
2.10. Integral de Super ie de un Campo Ve torial
De ni ion 2.10 Sea F~ = (P; Q; R) un ampo ve torial ontinuo en la super ie suave orientable
S , y supongamos que n^ es una orienta ion de S . Enton es la integral de super ie de F~ sobre
la super ie orientada S esta de nida omo la integral de super ie del ampo es alar F~ n^, esto
es omo :
ZZ
S
F~ n^ dS
Observa ion 2.10 Si n^ es indu ida sobre S por la representa ion parametri a
Æ
~x = ~r(u; v); (u; v) 2 T ;
enton es:
(u; v) v (u; v)
n^(~r(u; v)) = u
~r (u; v )k ;
~
r
k u (u; v) v
~r
~r
y por lo tanto, de a uerdo a la de ni ion de integral de super ie de ampos es alares, se tiene
que:
ZZ
S
=
F~ n^ dS =
ZZ
~r
~r
F~ (~r(u; v)) n^ (~r(u; v)) (u; v) (u; v) d(u; v)
u
v
T
ZZ
~r (u; v ) ~r (u; v )
~r
~r
v
(u; v) (u; v) d(u; v);
F~ (~r(u; v)) u
~
r
~
r
u
v
k u (u; v) v (u; v)k
T
es de ir que:
ZZ
S
F~ n^ dS =
Ejer i io 2.5 Cal ular
RR
^
S F n
~
ZZ
dS , donde F~ (x; y; z ) = ( y; x; z 4) y S es la esfera x2 + y2 + z 2 = 4
orientada on la normal ha ia afuera.
(Respuesta : 0):
~r
~r
(u; v) (u; v) d(u; v)
F~ (~r(u; v)) u
v
T
2.11. EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (O DE GAUSS)
47
RR
Ejer i io 2.6 Cal ular S (x^i + y2^j + z k^) n^ (~x) dS , donde S es el triangulo determinado por el
plano x + y + z = 1 y los planos oordenados, y n^ (~x) tiene omponente z positiva.
(Respuesta :
5
12 ):
De ni ion 2.11 Sea S = S1 + S2 + + Sk una super ie se ionalmente suave y orientable,
orientada on n^ 1 ; n^ 2 ; ; n^ k tal omo en la De ni i
on 2.9. Si F~ es un ampo ve torial ontinuo
sobre S , enton es se de ne la integral de super ie de F~ sobre la super ie orientada S , omo:
ZZ
S
F~ n^ dS =
k ZZ
X
i=1
Si
F~ n^ i dS
Ejer i io 2.7 Sea S la super ie se ionalmente suave errada, que onsiste de:
S1 = f(x; y; z ) : z = 1 x2 y2 0g
S2 = f(x; y; z ) : x2 + y2 = 1; 1 z 0g; y
S3 = f(x; y; z ) : x2 + y2 1; z = 1g;
on la orienta ion ha ia afuera.
Cal ular
ZZ
S
F~ n^ dS; donde F~ (x; y; z ) = (x; y; z )
(Respuesta : 92 ):
A ontinua ion veremos una forma mas simple de al ular una integral omo la anterior.
2.11. El Teorema de la Divergen ia (o de Gauss)
De ni ion 2.12 La divergen ia de un ampo ve torial diferen iable F~ = (P; Q; R) esta de nida
omo:
divF~ =
P Q R
+
+
x y z
Teorema 2.3 (de la Divergen ia)
Sea D una region solida a otada en R3 ; limitada por una super ie se ionalmente suave orientable y errada S; y supongamos que F~ es un ampo ve torial de lase C 1 en D y n^ es la
orienta ion de S que apunta ha ia el exterior. Enton es:
ZZ
S
F~ n^ dS =
ZZZ
D
divF~ (x; y; z ) d(x; y; z )
CAPITULO 2. INTEGRALES DE SUPERFICIE
48
RR
Ejer i io 2.8 Utilizando el Teorema de la divergen ia al ular S F~ n^ dS donde F~ (x; y; z ) =
(0; y; z ) y S es la esfera x2 + y2 + z 2 = 4 orientada on la normal ha ia afuera.
(Respuesta : 64=3):
RR
Ejer i io 2.9 Use el Teorema de la divergen ia para al ular S F~ n^ dS , donde F~ (x; y; z ) =
(2x; xy; xz ) y S es la esfera x2 + y2 + z 2 = 1 orientada on la normal ha ia afuera
(Respuesta : 83 ):
Ejer i io 2.10 Ha er el Ejer i io 2.7, utilizando el Teorema de la divergen ia.
Observa ion 2.11 1. Notar que el Teorema de la divergen ia expresa una rela ion entre una
integral triple extendida a un solido y una integral de super ie tomada sobre la frontera de
ese solido.
2. La divergen ia deun ampo ve torial F~ = (P; Q; R) a ve es se denota
oli amente usando
simb
; ; , omo el produ to es alar r F~ = ; ; (P; Q; R) =
el smbolo r = x
y z
x y z
P + Q + R .
x
y
z
2.12. El Teorema de Stokes
En primer lugar, re ordaremos el on epto de rota ional de un ampo ve torial en R3 , y haremos
algunas observa iones.
1. Si F~ : D R3 ! R3 ; F~ = (P; Q; R), es un ampo ve torial diferen iable en un abierto D de R3 ,
enton es se de ne el Rota ional de F~ , rotF~ , omo el ampo ve torial rotF~ : D R3 ! R3 ,
R Q P R Q P
;
;
y z z x x y
Esta de ni ion es fa il de re ordar si es ribimos simboli amente:
rotF~ =
^i
rotF~ = x
P
Por ejemplo, si F~ : R3
^j k^
y
z
Q R
= r F~
! R3 ; F~ (x; y; z ) = (xy2 z 2; z 2 seny; x2ey );
rotF~ =
es de ir, rotF~ (x; y; z ) = (x2 ey
enton es
^i ^j k^
x y z
2
2
2
xy z z seny x2 ey
2zseny; 2xy2z
2xey ; 2xyz 2);
8 (x; y; z ) 2 R3 .
49
2.12. EL TEOREMA DE STOKES
2. Combinando los Teorema 1.7 y Teorema 1.8 que vimos en el Captulo 1, podemos on luir
en terminos del Rota ional, que en el aso tridimensional (R3 ) se tiene :
\ Si F~ : D R3 ! R3 es un ampo ve torial de lase C 1 en un abierto simplemente onexo D
de R3 , enton es:
F~ es onservativo en D () rotF~ (x; y; z ) = (0; 0; 0); 8 (x; y; z ) 2 D "
(Re ordar, que por de ni ion: F~ es onservativo en D () F~ = rf , para algun ampo es alar
f diferen iable en D).
De lo anterior, on lumos en parti ular que :
3. Si f : D R3 ! R es un ampo es alar de lase C 2 en un abierto D de
rot(rf )(x; y; z ) = (0; 0; 0); 8 (x; y; z ) 2 D o es rito simboli amente:
R3 ,
enton es
r (rf ) = ~0
4. Si F~ : A R3 ! R3 es un ampo ve torial de lase C 2 en un abierto A de R3 ; enton es
div(rotF~ ) = 0 en A: Por lo tanto, el Teorema de la divergen ia impli a que si una super ie
orientable errada S y la region solida D en errada para S estan ontenidas en A; enton es:
ZZ
S
(rotF~ ) n^ dS = ZZZ
D
(div(rotF~ ))d(x; y; z ) = 0
donde n^ es ualquier orienta ion de S .
A ontinua ion enun iaremos el Teorema de Stokes. En primer lugar, daremos una version restringida, para luego dar la forma general.
Teorema 2.4 (Forma restringida del Teorema de Stokes)
Supongamos que S es una super ie orientable suave de nida por ~x = ~r(u; v ); (u; v ) 2 T , donde
T es un onexo errado en el plano uv a otado por una urva de Jordan . Supongamos tambien
que ~r es de lase C 2 en T , y que el ampo ve torial F~ = (P; Q; R) es de lase C 1 en S . Sea n^
la orienta ion de S indu ida por ~r y nalmente supongamos que ~r(u; v ) re orre el borde de S; S ,
exa tamente una vez uando (u; v ) re orre . Enton es:
ZZ
S
(rotF~ ) n^ dS =
Z
S
F~ d~x
donde el sentido de re orrido del S es aquel en el ual ~r(u; v ) lo re orre uando (u; v ) re orre a
en el sentido antihorario.
Observa ion 2.12 .
Notar que en el aso espe ial en que S es una region del plano xy
a otada por una urva de Jordan S , y onsideramos la parametriza ion
natural de S : ~r(x; y ) = (x; y; 0); (x; y ) 2 S; enton es n^ = (0; 0; 1) y la
formula del Teorema anterior se redu e a:
y
6
9 S
S
-x
Figura
2.10:
Green en R2
Teorema
de
CAPITULO 2. INTEGRALES DE SUPERFICIE
50
ZZ I
P
d(x; y) = (P dx + Qdy);
y
S
Q
S x
es de ir se re upera la igualdad del Teorema de Green.
La siguiente gura orresponde al Teorema 2.4 :
v
6
~r
z
k
T
*
6
j
S
*S i
-
u
~n
6
-y
x
A ontinua ion, se enun iara la forma general del Teorema de Stokes para super ies en
R3 .
Teorema 2.5 (de Stokes)
Sea S una super ie se ionalmente suave orientable y a otada, on borde onsistente de urvas
se ionalmente suaves C1 ; C2 ; ; Ck , ada una de las uales positivamente dirigida on respe to a la
orienta ion n^ de S , y supongamos que el ampo ve torial F~ es de lase C 1 en S . Enton es:
ZZ
S
(rotF~ ) n^ dS =
k Z
X
j =1
Cj
F~ d~x
Observa ion 2.13 1. Algunos asos parti ulares muy omunes son:
a) Si S es omo en la gura, on borde onsistente de 1 sola
urva se ionalmente suave C1 , positivamente dirigida on
respe to a la orienta ion n^ de S , enton es el Teorema de
Stokes di e que:
ZZ
S
(rotF~ ) n^ dS =
Z
C1
~n
6
S
F~ d~x
*C i
1
2.11: Borde
on una
sola urva se ionalmente suave
Figura
51
2.12. EL TEOREMA DE STOKES
b) Si S es omo en la gura, on borde onsistente de 2 urvas
se ionalmente suaves C1 ; C2 ada una de las uales positivamente dirigidas on respe to a la orienta ion n^ de S , enton es
el Teorema de Stokes di e que:
ZZ
S
(rotF~ ) n^ dS =
Z
C1
F~ d~x +
Z
C2
i z : n^
S
C
C1
F~ d~x
2
2.12: Borde
on dos
urvas se ionalmente suave
Figura
2. El Teorema de Stokes expresa una rela ion entre una integral extendida a una super ie y una
integral de lnea tomada sobre la urva o urvas que onstituyen el borde de tal super ie.
La siguiente gura orresponde al Ejer i io 2.11 :
z
S
x
2
=
6
n^
)K
w
*=x + y = 2
C
2
-y
Ejer i io 2.11 Sea C el borde orientado del triagulo des rito en la gura anterior, el ual esta ontenido en el plano z = y2 .
Z
2
~
Si F (x; y; z ) = ( 3y ; 4z; 6x), al ular la F~ d~x
Solu ion
C
R
El al ulo dire to de C F~ d~x requerira la evalua ion de 3 integrales de lnea, una sobre ada
uno de los segmentos de re ta que omponen C . Sin embargo, si apli amos el Teorema de Stokes,
obtenemos:
Z
C
F~ d~x =
ZZ
S
(rotF~ ) n^ dS;
donde n^ es la orienta ion que apunta ha ia arriba.
rotF~ (x; y; z ) = ( 4; 6; 6y)
y
S : ~r(x; y) = x; y; ; (x; y) 2 R
2
^i ^j k^
r r
= 1 0 0 = (0; 21 ; 1)
x y
0 1 12
CAPITULO 2. INTEGRALES DE SUPERFICIE
52
que nos da la orienta ion requerida.
Por lo tanto,
ZZ
S
ZZ
Luego,
R
(rotF~ ) n^ dS =
( 4; 6; 6y) ZZ
rotF~ (~r(x; y)) R
1
0; ; 1 d(x; y) =
2
Z
C
Z 2Z 2 x
0
~r ~r
d(x; y) =
x y
0
(3 + 6y)dydx = 14:
F~ d~x = 14
La siguiente gura orresponde al Ejer i io 2.12 :
z
6
C R
S
-y
x
Ejer i io 2.12 Sea C la urva interse ion del paraboloide z = x2 + y2 on el plano z = y, re orrida
de tal forma
Z que mirando desde el eje z positivo, el sentido es el ontrario al de las agujas del reloj.
xydx + x2 dy + z 2 dz .
Cal ular:
C
Solu ion: Sea F~ (x; y; z ) = (xy; x2 ; z 2 ), y S la por ion del plano z = y que queda en la region interior
al paraboloide z = x2 + y 2 (esto es, que queda en la region z x2 + y 2 ).
Por el Teorema de Stokes, tenemos que:
Z
C
F~ d~x =
ZZ
S
(rotF~ ) n^ dS
donde n^ es la orienta ion que apunta ha ia arriba.
2C
enton es x2 + y 2 = y , y esta es la e ua ion de la ir unferen ia en el plano
xy; r = sen . Por lo tanto, la proye ion de S sobre el plano xy es el r ulo R a otado por la
ir unferen ia r = sen . As, S se puede parametrizar omo:
Si (x; y; z )
S : ~r(x; y) = (x; y; y); (x; y) 2 R
^i
~r ~r
= 1
x y
0
^j
0
1
k^
0 = (0; 1; 1)
1
53
2.12. EL TEOREMA DE STOKES
que nos da la orienta ion n^ :
rotF~ (x; y; z ) = (0; 0; x)
Por lo tanto:
ZZ
S
(rotF~ ) n^ dS =
1
3
Z 0
ZZ
R
xd(x; y) =
sen3 osd =
Z Z sen
0
0
(r os)rdrd =
1
sen4 j0 = 0
12
Observa ion 2.14 Si dos super ies orientadas S1 y S2 tienen a una misma urva C omo borde
omun, y C esta positivamente dirigida tanto on respe to a la orienta ion n^ 1 de S1 omo on respe to
a la orienta ion n^ 2 de S2 ; enton es por el Teorema de Stokes se umple que:
ZZ
S1
(rotF~ ) n^ 1 dS =
Z
C
F~ d~x =
ZZ
S2
(rotF~ ) n^ 2 dS
para todo ampo ve torial F~ de lase C 1 en S1 y S2 : Lo anterior sirve para asos en los uales
es di il integrar sobre S1 , y sin embargo es fa il integrar sobre S2 .
p
Ejemplo 2.7 Sea S1 el semielipsoide z = 2 1 x2
arriba, y sea F~ (x; y; z ) = (x2 ; y 2 ; z 2 tan xy ).
Cal ular:
ZZ
S1
y2 orientado on la normal apuntando ha ia
(rotF~ ) n^ 1 dS
Solu ion: rotF~ (x; y; z ) = (xz 2 se 2 xy; yz 2se 2 xy; 0)
Sea S2 el dis o unitario f(x; y ) : x2 + y 2 1g orientado on la
normal apuntando ha ia arriba. Notar que la ir unferen ia unitaria
C : x2 + y2 = 1 es el borde omun de S1 y S2 ; y si se re orre en sentido
antihorario, enton es esta positivamente dirigida on respe to a n^ 1 y
on respe to a n^ 2 : Luego :
ZZ
S1
(rotF~ ) n^ 1 dS =
ZZ
S2
z
2
6S
1
* n^
1
n^2
6 i
C
1
S2
(rotF~ ) n^ 2 dS = 0
1
~r2
x
r2
~
= (0; 0; 1);
y
rotF~ (~r2 (x; y)) = rotF~ (x; y; 0) = (0; 0; 0)
y
x
Cal ulo sobre un
semi-elipsoide
= (x; y) : x2 + y2 1
Figura 2.13:
La segunda integral es ero porque S2 : ~r2 (x; y ) = (x; y; 0); (x; y ) 2 R2
-
f
g
CAPITULO 2. INTEGRALES DE SUPERFICIE
54
2.13. Algunas Apli a iones de las Integrales de Super ie
1.- Area de una super ie
Area(S ) =
ZZ
S
dS =
ZZ
T
~r ~r
d(u; v)
u v
2.- Centro de gravedad. Momento de iner ia Si un ampo es alar f representa la densidad
(masa por unidad de area) de una lamina delgada adaptada a la super ie S , enton es la masa
total m de la super ie se de ne por la formula:
m=
ZZ
S
f (x; y; z )dS
Su entro de gravedad es el punto (x; y; z) determinado por las formulas:
x =
1
m
ZZ
y =
1
m
ZZ
z =
1
m
ZZ
S
S
S
xf (x; y; z )dS
yf (x; y; z )dS
zf (x; y; z )dS
El momento de iner ia IL de S alrededor de un eje L viene dado por:
IL =
ZZ
S
Æ2 (x; y; z )f (x; y; z )dS
donde Æ(x; y; z ) representa la distan ia de un punto ualquiera (x; y; z ) de S a la re ta L.
Ejer i io 2.13 a) Determinar el entro de gravedad de la super ie de una esfera uniforme (=densidad onstante) de radio a.
b) Determinar el entro de gravedad de la super ie de una semiesfera uniforme de radio a.
Solu ion (a):
~r(u; v) = (a os(u) os(v); a sen(hu) os(vi); a sen(v));
;
(u; v) 2 T = [0; 2℄ 2 2
~r
~r
(u; v) (u; v) = a2 os(v)
u
v
z
6
(0; 0; a)
S
-
y
(0; a; 0)
x
2.14: Centro de
gravedad de una esfera
Figura
2.13. ALGUNAS APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DE SUPERFICIE
55
Como S es uniforme enton es la densidad es onstante, esto es,
f (x; y; z ) = k para alguna onstante k.
m=
ZZ
f (x; y; z )dS =
ZZ
S
kdS = k
S
ZZ
S
dS = k Area(S ) = k (4a2 ):
Por lo tanto, m = 4a2 k
x =
=
=
=
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
1
1
xf (x; y; z )dS =
xkdS
2k
m ZS Z
4
a
S
ZZ
1
1
xdS =
a os u os v (a2 os v)d(u; v)
4a2 S
4a2 T
Z
Z
Z
a 2 =2
a 2
v 1
=2
2
os u + sen 2vj =2 du
os u os vdvdu =
4 0
4 0
2 4
=2
Z 2
a
a
os udu = senuj20 = 0
4 0 2
8
1
1
yf (x; y; z )dS =
ykdS
m ZS Z
4a2 k S
ZZ
1
1
=
ydS =
asenu osv (a2 osv)d(u; v)
4a2 S
4a2 T
Z
Z
Z
a 2 =2
a 2 senudu
senu os2vdvdu =
=
4 0
4 0 2
=2
a
osuj20 = 0
=
8
y =
ZZ
ZZ
ZZ
1
1
1
zf (x; y; z )dS =
zkdS =
zdS
m S
4a2 S
4a2 S
Z
ZZ
Z
1
a 2 =2
2
=
asenv(a osv)d(u; v) =
senv osvdvdu
4a2 T
4 0
=2
Z
Z
a 2
a 2 sen2v =2
du
=
j
0du = 0
=
=2
4 0
2
4 0
z =
Por lo tanto, el entro de gravedad es: (0; 0; 0).
Por lo tanto, el entro de gravedad de la super ie de una esfera uniforme es el entro de la
esfera.
CAPITULO 2. INTEGRALES DE SUPERFICIE
56
Solu ion (b): ~r(u; v) =
h (a ios(u) os(v ); a sen(u) os(v ); a sen(v ))
(u; v) 2 T = [0; 2℄ 0;
2
~r
~r
(u; v) (u; v) = a2 os v
u
v
Como S es uniforme enton es la densidad es onstante, esto es,
f (x; y; z ) = k para alguna onstante k.
z
6
a
=x
S
a
-y
Figura 2.15: Centro de gravedad de una semi-esfera
m =
ZZ
S
f (x; y; z )dS =
ZZ
S
kdS = k
ZZ
= k Area(S ) = k(2a2 ) = 2a2 k
ZZ
S
dS
ZZ
1
1
xf (x; y; z )dS =
xkdS
m ZS Z
2a2 k S
1
a osu osv:a2 osv d(u; v)
=
2a2 T
Z
Z
Z
v 1
a 2
a 2 =2
2
osu os2 vdvdu =
osu + sen2vj=
du
=
0
2 0 0
2 0
2 4
Z
a 2 a
=
osudu = senuj20 = 0
2 0 4
8
x =
y = 0
ZZ
ZZ
1
k
z kdS =
asenv(a2 osv)d(u; v)
m S
m T
Z
Z
Z
a3 k 2 =2
a3 k 2 sen2 v =2
du
j
=
senv osvdvdu =
m 0 0
2a2 k 0
2 0
1
a
a
2 =
=
2
2
2
z =
Por lo tanto, el entro de gravedad es 0; 0; a2 :
2.13. ALGUNAS APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DE SUPERFICIE
57
3.- Flujo de uido a traves de una super ie
Imaginemos que un uido es una ole ion de puntos llamadas part ulas. A ada part ula
de oordenadas (x; y; z ) le asignamos un ve tor V~ (x; y; z ) que representa su velo idad. Este es
el ampo de velo idad de la orriente. El ampo de velo idad puede o no ambiar on el tiempo.
Consideraremos tan solo orrientes esta ionarias, esto es, orrientes para las que la velo idad
V~ (x; y; z ) depende uni amente de la posi ion de la part ula y no del tiempo.
Designemos on (x; y; z ) a la densidad (masa por unidad de volumen) del uido en el punto
(x; y; z ): Si el uido es in ompresible, la densidad sera onstante en todo el uido. Para un uido
ompresible, tal omo un gas, la densidad puede variar de un punto a otro. En ualquier aso, la
densidad es un ampo es alar aso iado a la orriente. El produ to de la densidad por la velo idad
lo representaremos por F~ ; esto es,
F~ (x; y; z ) = (x; y; z ) V~ (x; y; z ):
Este es un ampo ve torial llamado densidad de ujo de la orriente. El ve tor F~ (x; y; z ) tiene
la misma dire ion que la velo idad, y su longitud tiene las dimensiones :
masa
unidad de volumen
distan ia
unidad
de tiempo
=
masa
(unidad de area) (unidad de tiempo)
Di ho de otro modo, el ve tor densidad de ujo F~ (x; y; z ) nos di e uanta masa de uido ir ula
por el punto (x; y; z ) en la dire ion de V~ (x; y; z ); por unidad de area y de tiempo.
Sea S = ~r(T ) una super ie parametri a. En ada punto regular de S designemos on n^ al
ve tor unitario normal que tiene la misma dire ion que el produ to ve torial fundamental, es de ir:
(u; v) v (u; v)
n^ (~r(u; v)) = u
~
r
~r (u; v )k ;
k u (u; v) v
~r
~r
El produ to es alar F~ n^ es la omponente del ve tor densidad de ujo en la dire ion de n^ :
La masa de uido que pasa a traves de la super ie S en la unidad de tiempo en la
dire ion de n^ es enton es igual al valor de la integral de super ie :
ZZ
S
F~ n^ dS:
58
CAPITULO 2. INTEGRALES DE SUPERFICIE
Cap
tulo 3
Series de Fourier
En este aptulo estudiaremos uno de los on eptos de mayor importan ia en la matemati a, las
llamadas Series de Fourier.
3.1. Introdu ion
Es bien sabido que bajo iertos supuestos de regularidad, podemos des ribir algunas fun iones
en terminos de series de fun iones, por ejemplo re ordemos que
x2 x3
+ + : : : ; 8 x 2 R:
2! 3!
Este es el desarrollo en Serie de Taylor de la fun ion exponen ial. Pero en este aso es ne esario
que nuestra fun ion tenga in nitas derivadas y que ademas la serie de la derivadas sea onvergente
para un ierto onjunto de valores, es de ir, el intervalo de onvergen ia no sea un punto.
Una pregunta es >podemos expresar en terminos de series de fun iones algunas apli a iones que
no sean tan regulares?
La respuesta la daremos a lo largo de este aptulo.
La mayora de los on eptos de este aptulo fueron generados a nes del siglo XVIII y omienzos
del siglo XIX y llevan aso iados los nombres de grandes matemati os de la epo a, omo por ejemplo
Fourier, Lapla e, Bernoulli, D'Alembert, Green, Poisson, Diri hlet, Neumann, Lagrange, Gauss, por
nombrar algunos. Estos on eptos han mar ado el ini io de importantes lneas de investiga ion en
la a tualidad, on una amplia apli a ion, omo son por ejemplo el estudio de la teora de se~nales o
la gran area rela ionada on las EDP, en donde hay una gran antidad de investigadores en todo el
mundo trabajando en una amplia gama de problemas, entre los que podemos nombrar por ejemplo,
el analisis no lineal, la teora de ontrol, la teora de s attering, la teora de los elementos nitos, el
dise~no optimal, por itar algunas lneas de trabajo.
ex = 1 + x +
59
CAPITULO 3. SERIES DE FOURIER
60
3.2. Series de Fourier
Como se ha visto en los ursos de Cal ulo, las series de fun iones mas omunes orresponden
a los desarrollos de Taylor y Ma laurin. En lo que sigue analizaremos otro tipo de desarrollo para
fun iones, el ual sera util en una gran antidad de apli a iones.
Re ordemos que para obtener desarrollos en Series de Taylor y Ma Laurin de una fun ion, es
ne esaria una gran regularidad de la fun ion, sin embargo, existe una serie de fenomenos des ritos
por fun iones no regulares, en parti ular, al estudiar las se~nales, podemos en ontrar mu hos puntos
de dis ontinuidad o no diferen iabilidad.
Las Series de Fourier apare en en 1822, uando Jean Baptiste Fourier resolvio por primera vez
la e ua ion del ujo del alor a traves de series trigonometri as. Luego el mismo metodo ha sido
utilizado para estudiar una amplia lase de problemas.
En primer lugar veamos algunas de ni iones y resultados previos.
3.2.1.
Convergen ia puntual de una serie de fun iones
S
De P
ni ion 3.1 Para ada k 2 N f0g; sea fk : R ! R una fun ion. Se di e que la serie de fun ioon de numeros
nes 1
k=0 fk (x) onverge puntualmente
P en I R si para ada x 2 I la su esi
reales (Sn (x))n2N de nida por Sn (x) = nk=0 fk (x) es onvergente. La su esion (Sn (x))n2N se
llama su esion de sumas par iales.
P
Si S (x) = lmn!1
Sn (x); enton es S (x) se llama el valor (o la suma) de la serie 1
k=0 fk (x)
P1
y se es ribe S (x) = k=0 fk (x):
3.2.2.
Fun iones
ontinuas por tramos
De ni ion 3.2 Se di e que una fun ion f de valor real es ontinua por tramos en un intervalo
[a; b℄ si:
1. f esta de nida y es ontinua en todos, ex epto un numero nito de puntos de [a; b℄; y
2. Los lmites f (x+
umeros
0 ) = lmh!0+ f (x0 + h) y f (x0 ) = lmh!0 f (x0 + h) existen y son n
reales, para ada punto x0 de [a; b℄. (Observar que solo uno de estos lmites es apropiado si x0
es un punto extremo de [a; b℄).
Observa ion 3.1 1. Una fun ion que es ontinua por tramos en [a; b℄ no ne esariamente esta denida en todos los puntos de [a; b℄. Por ejemplo, la fun ion:
f (x) =
x + ; si < x < 0
x ; si 0 < x < es ontinua por tramos en el intervalo [ ; ℄.
2. Por de ni ion, toda fun ion ontinua f : [a; b℄ ! R es ontinua por tramos en [a; b℄.
61
3.2. SERIES DE FOURIER
3. El onjunto de todas las fun iones ontinuas por tramos en un intervalo jo [a; b℄ se denotara por P C [a; b℄. As, si denotamos por C [a; b℄ el onjunto de todas las fun iones ontinuas
de [a; b℄ ! R, enton es por lo anterior, C [a; b℄ P C [a; b℄.
4. En el espa io P C [a; b℄, onsideraremos omo iguales a 2 fun iones que di eran solamente en
un numero nito de puntos.
y
6
a
x0
x1
x2
b
-x
Figura 3.1: Ejemplo de una fun ion ontinua por tramos en [a; b℄.
y
6
0
x
Figura 3.2: Gra a de f de la Observa ion 3.1, 1.
3.2.3.
Fun iones Pares e Impares
De ni ion 3.3 Se di e que una fun ion f ontinua por tramos en un intervalo de la forma [ a; a℄
es
1. par si f ( x) = f (x), para toda x en el dominio de f .
CAPITULO 3. SERIES DE FOURIER
62
2. impar si f ( x) = f (x), para toda x en el dominio de f .
Observa ion 3.2 La importan ia de las fun iones pares e impares para lo que nos interesa es que:
f par
)
Z a
a
f impar
f (x)dx = 2
Z a
)
a
Z a
0
f (x)dx;
y
f (x)dx = 0:
Una observa ion elemental es que el produ to de una fun ion par on una impar es una fun ion
impar, y que el produ to de dos fun iones pares es una fun ion par, y que el produ to de dos fun iones
impares es una fun ion par. En po as palabras, la multipli a ion de fun iones pares e impares obede e
a las reglas:
(Par).(Par)=(Impar)(Impar)=Par
(Par).(Impar)=(Impar).(Par)=Impar
Ejemplo 3.1 Las fun iones 1; osx; os2x; , son pares en P C [ a; a℄ y senx; sen2x; , son impares.
As:
f impar
f par
3.2.4.
)
)
Z a
a
Z a
a
f (x) oskxdx = 0
y
f (x)senkxdx = 0:
Series de Fourier
De ni ion 3.4 Sea f una fun ion ontinua por tramos en [ ; ℄ y onsideremos la serie de funiones :
1
a0 X
+ (ak oskx + bk senkx)
2 k=1
ak =
1
Z bk =
1
Z donde
f (x) oskxdx para k = 0; 1; 2; y
f (x)senkxdx para k = 1; 2; :
Esta serie es llamada la Serie de Fourier de f y los oe ientes ak ; bk son llamados los Coe-
ientes de Fourier de f:
63
3.2. SERIES DE FOURIER
Ejemplo 3.2 En ontrar el desarrollo en serie de Fourier de la fun ion
f (x) =
1 ; si < x < 0
1 ; si 0 < x < 6
y
1
-
1
x
Solu ion
f es una fun ion impar. En onse uen ia:
ak =
1
Z f (x) oskxdx = 0;
8 k:
Por otro lado, f (x)senkx es par y por lo tanto:
bk =
2
Z 0
f (x)senkxdx =
2
Z 0
senkxdx =
2
(1
k
osk) =
4
; si k = 1; 3; 5 0 ; si k = 2; 4; 6; k
En onse uen ia, el desarrollo en serie de Fourier de f es:
sen3x sen5x
4
senx +
+
+
3
5
=
1 sen(2k 1)x
4X
k=1 (2k 1)
Teorema 3.1 Sea f una fun ion tal que f y su primera derivada f 0 son ontinuas por tramos en
[ ; ℄. Enton es el desarrollo en serie de Fourier para f onverge puntualmente en [ ; ℄ y tiene
el valor:
f (x+0 ) + f (x0 )
2
en ada punto x0 en el interior del intervalo, y
f ( + ) + f ( )
en
2
CAPITULO 3. SERIES DE FOURIER
64
+
Observa ion 3.3 1. Notar que la expresion f (x0 )+2 f (x0 ) es el promedio de los lmites por la
dere ha y por la izquierda de f en x0 y es igual a f (x0 ) siempre que x0 sea un punto de
ontinuidad de f . En onse uen ia:
\El desarrollo en serie de Fourier de una fun ion f tal que f y f 0 son ontinuas por tramos
en [ ; ℄; onverge a f (x0 ) siempre que x0 sea un punto de ontinuidad de f , x0 2℄ ; [.
Por otra parte, si f tiene una dis ontinuidad en x0 ; x0 2℄ ; [; enton es la serie de
Fourier de f onverge en x0 al valor lo alizado en el punto medio del \salto"que se produ e en
la dis ontinuidad x0 ".
1
2
f (x+
0 ) + f (x0 )
x0
2. Otra forma equivalente de enun iar el Teorema anterior es :
\Si f y f 0 2 P C [ ; ℄; enton es la serie de Fourier de f onverge puntualmente en ada
+
punto x0 de [ ; ℄ y tiene el valor f (x0 )+2 f (x0 ) 8 x0 2℄ ; [; y para los extremos + f ( )
:"
toma el valor f ( )+
2
3. Si apli amos el Teorema anterior
al Ejemplo 3.2, on luimos que la serie :
4 senx + sen3x + sen5x + onverge puntualmente en el intervalo [ ; ℄ a:
3
5
8
<
1 ; si < x < 0
0 ; si x = ; 0; 1 ; si 0 < x < :
As, por ejemplo, uando x = 2 , el valor de esta serie es 1; y por lo tanto:
4
1= 1
1 1
+
3 5
1
+
7
=1
4
1 1
+
3 5
1
+
7
o lo que es equivalente:
Analogamente, uando x = 4 se obtiene:
4
1=
"
p
p
2
2
+
2 23
p
2
25
#
p
2
+
27
65
3.2. SERIES DE FOURIER
y se tiene una segunda representa ion de 4 omo:
p
1
2
1+
=
4
2
3
1
+ :
7
P
4. Observemos que si una serie trigonometri a a20 + 1
k=1 (ak oskx + bk senkx) onverge a un
valor A uando x = x0 ; enton es tambien onvergera a A en todos los puntos de la forma
x0 + 2n; siendo n 2 Z un entero ualquiera. Esto es una onse uen ia del he ho de que las
fun iones senkx
y oskx son periodi as de un perodo que divide a 2: Por lo tanto: \ Si
P
la serie a20 + 1
k=1 (ak oskx + bk senkx) onverge puntualmente en [ ; [ a una fun ion f;
enton es realmente onverge en todo R a la fun ion F obtenida por la repeti ion su esiva de
f a lo largo de R; en intervalos de longitud 2:"
Es laro que la fun ion F obtenida en esta forma, es periodi a de un perodo que divide a
2; (y por lo tanto F (x + 2) = F (x); para todo x): F es ono ida omo la Extension
Periodi a de f .
3
2
6
f
1
5
-
F
2
3
-
-
Combinando las ideas anteriores obtenemos el siguiente:
Teorema 3.2 Si f y f 0 son ontinuas por tramos en [ ; ℄, enton es la serie de Fourier de f
onverge puntualmente en todo R. Mas aun, si F denota la extension periodi a de f , enton es el
+
valor de la serie es F (x0 ) uando x0 es un punto de ontinuidad de F , y es F (x0 )+2 F (x0 ) uando x0
es una dis ontinudad de F .
Observa ion 3.4 El Teorema anterior puede usarse para trazar la gra a de la serie de Fourier
(esto es, la gra a del valor de la suma de la serie) de ualquier fun ion f tal que f y f 0 2
P C [ ; ℄: El pro edimiento es omo sigue: Primero, se traza la gra a de la extension periodi a
F ; luego se lo aliza el punto medio del salto de ada dis ontinuidad de F: El dibujo resultante,
in luyendo estos puntos aislados, sera la gra a de la serie en uestion. As por ejemplo, la gra a
de la serie de Fourier
del ejemplo 3.2 es la siguiente :
sen3x
4
senx +
+
3
CAPITULO 3. SERIES DE FOURIER
66
y
3
6
2
2
3
-x
Ejemplo 3.3 En ontrar el desarrollo en serie de Fourier de la fun ion f (x) = jxj;
y trazar la gra a de la serie.
< x < ;
Solu ion: Como f es una fun ion par, enton es :
Z 1
bk =
Z
1
Por otro lado : ak =
k = 0 : a0 =
2
k 6= 0 : ak =
ak =
Z 2
0
Z 0
f (x)senkxdx = 0 para k = 1; 2; jxj oskxdx = 2
Z 0
x oskxdx
xdx = 2 xsenkx j
x oskxdx =
k 0
1
k
Z 0
senkxdx ; de donde
; si k = 1; 3; 5; 0 ; si k = 2; 4; 6; 4
k2
En onse uen ia, el desarrollo en serie de Fourier de f es:
2
R.
Como f y f 0
4
os3x os5x
osx + 2 + 2 + 3
5
2 P C [ ; ℄ enton es la serie de Fourier anterior
La gra a de la serie de Fourier de f es:
onverge puntualmente en todo
67
3.2. SERIES DE FOURIER
y
6
3
2
2
3
-
x
En parti ular se tiene que uando x = 0;
0=
2
4
1
1+ 2 +
3
2
de donde: 8 = 1 + 312 + 512 + Ejemplo 3.4 1. En ontrar el desarrollo en serie de Fourier de la fun ion:
< x 0 y trazar la gra a de la serie obtenida.
f (x) = x0 ;; si
si 0 x < 2. Usar la serie obtenida en 1. para probar que:
2
1
1
1
= 1+ 2 + 2 + 2 +
8
3
5
7
Ejemplo 3.5 Sea g la fun ion en P C [ ; ℄ de nida por:
g(x) =
0 ; si < x < 0
1 ; si 0 < x < Notar que si f es la fun ion del Ejemplo 3.2, enton es g =
De lo anterior y del desarrollo en ontrado en el Ejemplo 3.2, se
de Fourier de g es:
1
2
+ 21 f:
on luye que el desarrollo en serie
sen3x sen5x
1 2
senx +
+
+
+
2 3
5
La gra a de la serie de g es:
CAPITULO 3. SERIES DE FOURIER
68
y
6
1
3
2
2
3
-x
3.3. Series de Senos y de Cosenos
Si f es una fun ion par en P C [ ; ℄, enton es, para todos los valores de k; f (x) oskx es par, y
f (x)senkx es impar. Por lo tanto:
Z y
f (x) oskxdx = 2
Z Z 0
f (x) oskxdx;
f (x)senkxdx = 0;
de donde on luimos que:
\El desarrollo en serie de Fourier de una fun ion par en P C [ ; ℄ in luye solamente terminos
osenos, y viene dado por:
Z
1
2 a0 X
+ a oskx; donde ak =
f (x) oskxdx"
2 k=1 k
0
Un argumento similar al anterior muestra que:
\El desarrollo en serie de Fourier de una fun ion impar en P C [ ; ℄ in luye solamente terminos
senos, y viene dado por:
Z
1
X
2 bk senkx; donde bk =
f (x)senkxdx":
0
k=1
En las apli a iones de la teora de las series de Fourier, fre uentemente se ne esita obtener el
desarrollo en serie para una fun ion f ontinua por tramos, que esta de nida solamente en el intervalo
[0; ℄. Una forma de obtener di ho desarrollo en serie, es extendiendo f al intervalo [ ; ℄ (donde
on esto quiere de irse que se de ne una fun ion F en [ ; ℄ de tal modo que F oin ide on f
en [0; ℄), y enton es F se desarrolla en serie de Fourier. En aquellos asos donde f se omporte
razonablemente bien (por ejemplo de tal forma que F y F 0 2 P C [ ; ℄); ) el desarrollo en serie
de Fourier de F sera una buena aproxima ion de f en [0; ℄.
69
3.3. SERIES DE SENOS Y DE COSENOS
Lo esen ial de este metodo tiene rela ion on la forma en que f es extendida a [ ; ℄. Esto,
por supuesto puede ha erse de mu has formas, pero las siguientes dos extensiones son las mas
onvenientes e importantes. La primera es llamada extension par de f; denotada por Pf , y de nida
por:
Pf (x) =
f ( x) ; si x < 0
f (x) ; si 0 x mientras que la segunda es llamada la extension impar de f; denotada por If , y de nida por:
If (x) =
f ( x) ; si x < 0
f (x) ; si 0 < x y
6
f
y
y
6
6
If
Pf
-x
-x
-x
Es laro que Pf es una fun ion par, y que If es una fun ion impar, para ualquier f . Por lo
tanto:
1. El desarrollo en serie de Fourier de Pf es:
Z
1
a0 X
2 + ak oskx; donde ak =
f (x) oskxdx;
2 k=1
0
k = 0; 1; Esta serie es llamada el desarrollo en serie de Fourier de oseno de f:
2. El desarrollo en serie de Fourier de If es:
Z
1
X
2 bk senkx; donde bk =
f (x)senkxdx;
0
k=1
k = 1; 2; Esta serie es llamada el desarrollo en serie de Fourier de seno de f.
CAPITULO 3. SERIES DE FOURIER
70
Ejer i io 3.1 Sea f la fun ion de nida por f (x) = x2 ; 0 x .
1. En ontrar las extensiones par e impar de f .
2. Cal ular las series de Fourier de oseno y de seno de f .
Solu ion:
1.
Pf (x) =
( x)2 ; si x < 0
x2 ; si 0 x =
es de ir, la extension par de f es: Pf (x) = x2 ;
x2 ; si x < 0
x2 ; si 0 x 8 x 2 [ ; ℄.
Por su parte, la extension impar de f es:
If (x) =
( x)2 ; si x < 0
x2 ; si 0 < x =
x2 ; si x < 0
x2 ; si 0 < x Los gra os de f; Pf e If vienen dados por:
y
2
6
6
2
2
6
Pf
-x
If
-
-
2
2. El desarrollo en serie de Fourier de oseno de f es:
donde
1
a0 X
+ ak oskx;
2 k=1
Z
2 f (x) oskxdx =
0
Z
Z
2 2
2 2 x2
senkxj0
x oskxdx =
xsenkxdx
0
k
k 0
Z
Z
1 4 x
4 oskxj0 +
xsenkxdx =
oskxdx
=
k 0
k k
k 0
ak =
71
3.3. SERIES DE SENOS Y DE COSENOS
=
Por lo tanto,
1 senkx ( 1)k +
j
k
k
k 0
4 4
k
=
( 1) = ( 1)k 2
k k
k
4
k
4
; para k = 1; 2; k2
Z
2 2
2
a0 =
x dx = 2 ;
0
3
ak = ( 1)k
y luego el desarrollo en serie de oseno es:
2
3
4
osx
os2x os3x
+ 2
22
3
os4x
+
42
Como f y f 0 son ontinuas por tramos en [0; ℄; enton es la serie anterior onverge puntualmente en todo R: Su gra a se muestra a ontinua ion.
Por su parte, el desarrollo en serie de Fourier de seno de f es :
1
X
k=1
donde
bk =
2
bk senkx;
Z 0
f (x)senkxdx
de donde,
bk =
8 2
< k
:
8
k3 ; si k = 1; 3; 5; 2
k
; si k = 2; 4; 6; de donde el desarrollo en serie de Fourier de seno de f (x) = x2 ; x 2 [0; ℄; es :
2 senx
sen2x sen3x
+
2
3
sen3x sen5x
8
senx + 3 + 3 + 3
5
Tal omo antes, la serie anterior onverge puntualmente en todo R; y su gra a tambien se
muestra a ontinua ion.
CAPITULO 3. SERIES DE FOURIER
72
y
6
2
4
3
2
2
3
-x
4
Figura 3.3: Gra a de la serie de Fourier de oseno de f .
y
6
2
4
3
2
2
3
-x
4
Figura 3.4: Gra a de la serie de Fourier de seno de f .
.
3.4. Cambio de Invervalo
Hasta ahora se ha tratado ex lusivamente on fun iones de nidas en los intervalos [ ; ℄ y [0; ℄.
Sin embargo, esto es demasiado restri tivo, y ahora generalizaremos los resulados a un intervalo
arbitrario [a; b℄.
Antes de ver el aso general, primero onsideremos intervalos de la forma [ p; p℄.
De ni ion 3.5 Sea f una fun ion ontinua por tramos en [ p; p℄ (donde p es una onstante positiva). Llamaremos Serie de Fourier de f a la serie :
1
kx
kx
a0 X
+ bk sen
+
a os
2 k=1 k
p
p
ak =
1
p
Z p
p
f (x) os
kx
dx;
p
para
donde
k = 0; 1; 2; y
73
3.4. CAMBIO DE INVERVALO
bk =
1
p
Z p
p
f (x)sen
kx
dx;
p
k = 1; 2; :
para
Observa ion 3.5 1. Los resultados anteriores referentes a onvergen ia, son tambien validos en
este aso. As por ejemplo se tiene que: \ Si f y f 0 2 P C [ p; p℄, enton es la Serie de Fourier
de f onverge puntualmente en todo R; mas aun, si F denota la extension periodi a de f (esto
es, F oin ide on f en [ p; p℄ y fuera de [ p; p℄ esta de nida por F (x +2p) = F (x)), enton es
+
el valor de la serie es F (x0 ) si x0 es un punto de ontinuidad de F , y es F (x0 )+2 F (x0 ) si x0 es
una dis ontinuidad de F "
2. Notar que si p = , enton es tenemos la Serie de Fourier que onsideramos en la se ion
3.2.4.
3. La dis usion anterior puede adaptarse fa ilmente al aso general de una fun ion f 2 P C [a; b℄,
siendo [a; b℄ un intervalo arbitrario. De he ho, el desarrollo en Serie de Fourier de una f 2
P C [a; b℄ es:
1
a0 X
2kx
2kx
+ bk sen
+
ak os
2 k=1
b a
b a
donde
y
Z b
Z b
2kx
ak =
dx;
f (x) os
b a a
b a
2
k = 0; 1; para
k = 1; 2; 2kx
dx;
f (x)sen
bk =
b a a
b a
2
para
Ejer i io 3.2 En ontrar el desarrollo en serie de Fourier, en P C [0; 1℄, de la fun ion f (x) = x.
Solu ion: En este aso, [a; b℄ = [0; 1℄, y luego el desarrollo en Serie de Fourier de f es:
1
a0 X
+ (ak os(2kx) + bk sen(2kx))
2 k=1
donde
ak = 2
Z 1
0
x os(2kx)dx; y bk = 2
Z 1
0
xsen(2kx)dx
Integrando por partes se obtiene que: a0 = 1; ak = 0 para k 6= 0, y bk = k1 para k = 1; 2; .
Por lo tanto, la serie de Fourier de la fun ion f (x) = x en P C [0; 1℄ es:
1
2
La gra a de esta serie es:
sen4x sen6x
1
sen2x +
+
+
2
3
CAPITULO 3. SERIES DE FOURIER
74
y
3
2
6
0
1
1
2
-x
3
Ejer i io 3.3 En ontrar el desarrollo en serie de Fourier de la fun ion f
es:
2 P C [2; 4℄
uya gra a
6
y
f
1
2
3
x
4
Solu ion: Del gra o de f dedu imos que [a; b℄ = [2; 4℄; y :
f (x) =
x 2 ; si 2 x 3
4 x ; si 3 x 4
El desarrollo en serie de Fourier de f es
1
a0 X
+ (ak os(kx) + bk sen(kx));
2 k=1
ak =
Z 4
bk =
2
f (x) os(kx)dx =
Z 4
2
Z 3
f (x)sen(kx)dx =
2
(x 2) os(kx)dx +
Z 3
2
donde:
Z 4
(x 2)sen(kx)dx +
3
(4 x) oskxdx
Z 4
3
y
(4 x)sen(kx)dx
Aunque estas integrales pueden al ularse dire tamente, los al ulos pueden simpli arse onsiderablemente al tomar en uenta el siguiente argumento :
75
3.4. CAMBIO DE INVERVALO
y
6
F
1
0
1
1
2
3
5
4
-
6
x
Si F es la extension periodi a de f a todo R; (F (x + 2) = F (x); 8 x) enton es las fun iones
F (x) os(kx) y F (x)sen(kx) son periodi as de perodo 2 y luego se umple que:
Z x0 +2
x0
Z 4
F (x) os(kx)dx =
Z x0 +2
x0
2
F (x)sen(kx)dx =
F (x) os(kx)dx =
Z 4
2
Z 4
2
F (x)sen(kx)dx =
f (x) os(kx)dx;
Z 4
2
f (x)sen(kx)dx
para todo numero real x0 .
En parti ular, si x0 = 1 tenemos:
ak =
bk =
Z 4
2
Z 4
2
Z 1
f (x) os(kx)dx =
f (x)sen(kx)dx =
1
Z 1
1
F (x) os(kx)dx =
F (x)sen(kx)dx =
Z 1
1
Z 1
1
jxj os(kx)dx
jxjsen(kx)dx
Pero la fun ion valor absoluto x 7! jxj es una fun ion par en [ 1; 1℄, de donde:
8 k;
bk = 0;
ak = 2
Cal ulando se obtiene :
a0 = 1;
ak =
4
2
0
8
4
< k2 2
:
As, el desarrollo en serie de Fourier de f
1
2
Z 1
y
x os(kx)dx
; si k es impar
0 ; si k es par; k 6= 0
2 P C [2; 4℄ es:
os3x os5x
osx + 2 + 2 + 3
5
y
CAPITULO 3. SERIES DE FOURIER
76
Observa ion 3.6 Sea f una fun ion ontinua por tramos en R (esto es, tal que f restringida a
ualquier intervalo a otado [a; b℄, es ontinua por tramos en [a; b℄). Se di e que f es peri
odi a si
existe una onstante real T > 0 tal que f (x + T ) = f (x) para todo x en el dominio de f . La onstante
real positiva mas peque~na T on esta propiedad se llama el perodo de f .
Se tiene la siguiente propiedad importante:
\ Si f es una fun ion ontinua por tramos en R que es periodi a de perodo 2p, enton es:
Z x0 +2p
x0
f (x)dx =
Z y0 +2p
y0
f (x)dx
para todo par de numeros reales
x0 ; y 0 "
3.5. Integra ion de Series de Fourier
Teorema 3.3 Sea f una fun ion ontinua por tramos en R; periodi a de perodo 2, y sea:
1
a0 X
+ (ak os(kx) + bk sen(kx));
2 k=1
la serie de Fourier de f . Si a; b 2 R on a < b, enton es se umple que:
Z b
a
f (x)dx =
1 a (senkb senka) b ( oskb
X
a0
k
k
(b a) +
2
k
k=1
oska)
En otras palabras, la integral de nida de f de a a b puede al ularse por la integra ion, termino a
termino, de la serie de Fourier de f .
Teorema 3.4 (Teorema de Integra ion)
Sea f una fun ion ualquiera en P C [ ; ℄, uya serie de Fourier es :
1
a0 X
+ (ak oskx + bk senkx):
2 k=1
Enton es la fun ion x
7!
Z x
0
f (t)dt;
x 2℄
; [; tiene una serie de Fourier que onverge pun-
; [, y
Z x
1 b X
1 b oskx + a + ( 1)k+1 a senkx
X
k
k
0
k
f (t)dt =
+
;
k
k
0
k=1
k=1
tualmente en ℄
8 x 2 ℄ ; [:
77
3.6. PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE
3.6. Problemas de Sturm-Liouville
Consideremos la e ua ion diferen ial en el intervalo [a; b℄:
dy
d
p(x)
+ [q(x) + r(x)℄y = 0; a x b;
dx
dx
donde p 2 C 1 [a; b℄; p(x) 6= 0 8 x 2℄a; b[; q; r 2 C [a; b℄; r(x) 6= 0; 8 x 2℄a; b[, y es un parametro
independiente de x. Esta e ua ion es ono ida omo una E ua ion de Sturm-Liouville.
Si a di ha e ua ion diferen ial le agregamos las ondi iones en la frontera:
8
< 1 y (a) + 2 y 0 (a) = 0
:
1 y (b) + 2 y
0 (b) = 0;
donde 1 ; 2 ; son onstantes reales no ambas ero, y 1 ;
enton es obtenemos el problema on valores en la frontera :
()
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
2
son onstantes reales no ambas ero,
d
dy
p(x)
+ [q(x) + r(x)℄y = 0; a x b
dx
dx
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
8
<
1 y (a) + 2 y
:
1 y (b) + 2 y
0 (a) = 0
0 (b) = 0
() es llamado un Problema de Sturm-Liouville.
Estos problemas se presentan en la pra ti a al usar el metodo de separa ion de variables en la
resolu ion de e ua iones diferen iales par iales.
Es laro que para todo numero , el problema () tiene la solu ion trivial y 0, es de ir
y(x) = 0; 8x 2 [a; b℄. Las solu iones no-triviales (si es que existen) se llaman fun iones propias del
problema, y los valores de para los que esas solu iones no triviales existen son los valores propios
del problema ():
Ejemplo 3.6 En ontrar los valores propios y las fun iones propias del siguiente problema de Sturm-
Liouville:
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
y00 + y = 0
y(0) = 0
y() = 0
Solu ion: Si < 0 enton es la solu ion general de la e ua ion y" + y = 0 es:
CAPITULO 3. SERIES DE FOURIER
78
p
p
y(x) = 1 e x + 2 e x
De las ondi iones y (0) = y ( ) = 0 se obtiene 1 = 2 = 0, de donde y 0 la ual no es una
fun ion propia.
Si = 0, enton es la solu ion general de la e ua ion y 00 = 0 es: y (x) = 1 + 2 x. De las ondiiones y (0) = y ( ) = 0 se obtiene 1 = 2 = 0; de donde y 0 la ual no es una fun ion propia.
p
Si p
> 0; enton es la solu ion general de la e ua ion y00 + y = 0 es y(x) = 1 os( x) +
2 sen(
x):
y(0) = 0 =) 1 =p0
p
y() = 0 =) 2 sen( ) = 0, de donde sen( ) = 0 (bus amos solu iones no-triviales), es de ir:
p
Por lo tanto:
= n;
n2N
= n2 ;
n2N
Por lo tanto, = 1; 4; 9; 16; , son los valores propios del problema planteado, y las fun iones
propias orrespondientes son y (x) = 2 sen(nx)( 2 6= 0); n 2 N : Tomando 2 = 1 se obtiene que:
y(x) = sen(nx); n 2 N es un onjunto ompleto de fun iones propias.
En resumen:
Valores propios: = 1; 4; 9; 16; Fun iones propias: y (x) = senx; sen2x; sen3x; sen4x; Cap
tulo 4
E ua iones en Derivadas Par iales
Una e ua ion diferen ial par ial (E.D.P.) es una e ua ion que ontiene una fun ion in ognita de
dos o mas variables independientes y una o mas derivadas par iales de di ha fun ion in ognita.
El orden de una e ua ion diferen ial par ial es el orden de la derivada de mas alto orden que
apare e.
Ejemplo 4.1 La e ua ion
2u 2 2u
=
t2
x2
onstante) es una E.D.P. de orden 2 (o de segundo orden). Aqu u es la fun ion in ognita, y
x; t son las variables independientes. Esta e ua ion es ono ida omo la e ua ion unidimensional
de onda.
(
Notemos que la e ua ion anterior se puede es ribir omo L(u) = 0 donde
2u 2 2u
;
t2
x2
este operador tiene una propiedad muy espe ial: observemos que si u(x; t) y v(x; t) son fun iones
ualesquiera dos ve es derivables y ; son onstantes, enton es:
L(u) =
L( u + v) = L(u) + L(v);
es de ir, L es un operador lineal.
Una E.D.P. de la forma L(u) = f donde f es una fun ion dada y L es un operador lineal, es
llamada una e ua ion diferen ial par ial lineal. La e ua ion unidimensional de onda
2u
t2
es una E.D.P. lineal. Por otro lado, la E.D.P.:
u
x
2
+
2u
x2
2
79
u
t
=0
2
=1
80
CAPITULO 4. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
no es lineal.
Una E.D.P. lineal L(u) = f donde f = 0 (es de ir una E.D.P. lineal de la forma L(u) = 0) se
llama e ua ion homogenea.
Una E.D.P. lineal general de orden dos en dos variables independientes tiene la forma:
2u
u
2u
u
2u
+ C 2 + D + E + Fu = G
() A 2 + B
x
xy
y
x
y
donde A; B; ; G pueden depender de x; y, pero no de u.
La e ua ion () es llamada:
1. elpti a si B 2 4AC < 0
2. paraboli a si B 2 4AC = 0
3. hiperboli a si B 2 4AC > 0:
Algunos ejemplos de E.D.P. lineales de orden dos importantes son:
2u 2 2u
=
E ua ion unidimensional de onda.
t2
x2
u 2 2 u
E ua ion unidimensional del alor.
=
t
x2
2u 2u
+
= 0 E ua ion bidimensional de Lapla e.
x2 y2
2 u 2u
+
= f (x; y) E ua ion bidimensional de Poisson.
x2 y2
Una solu ion de una E.D.P. en alguna region R del espa io de las variables independientes es
una fun ion u que tiene todas las derivadas par iales que apare en en la e ua ion, en algun dominio
que ontiene a R, y que satisfa e la e ua ion, en todo punto de R.
En general, la totalidad de las solu iones de una E.D.P. es muy grande. Por ejemplo, las fun iones:
u1 (x; y) = x2 y2 ; u2 (x; y) = ex osy; u3(x; y) = ln(x2 + y2 )
que son totalmente diferentes entre s, son solu iones de la e ua ion bidimensional de Lapla e
2u 2u
+
=0
x2 y2
Mas adelante se vera que la solu ion uni a de una E.D.P. orrespondiente a un problema fsi o
dado se obtiene mediante la apli a ion de informa ion adi ional derivada de la situa ion fsi a. Por
ejemplo, en algunos asos, se dan los valores de la solu ion requerida del problema sobre la frontera
de algun dominio ( ondi iones en la frontera); en otros asos, uando el tiempo t es una de las
variables, se indi an los valores de la solu ion en t = 0 ( ondi iones ini iales).
Teorema 4.1 (superposi ion) Si u1 y u2 son solu iones ualesquiera de una e ua ion diferen ial
par ial lineal y homogenea Lu = 0 en alguna region R, enton es u = 1 u1 + 2 u2 (donde 1 ; 2 son
onstantes ualesquiera) tambien es una solu ion de esa e ua ion, en R:
UNIDIMENSIONAL DE ONDA.
4.1. MODELO DE LA CUERDA VIBRANTE. ECUACION
81
4.1. Modelo de la Cuerda vibrante. E ua ion unidimensional
de onda.
Como una primera E.D.P. importante, onsideraremos la e ua ion que rige las peque~nas vibra iones transversales de una uerda vibrante, la ual se estira hasta tener la longitud L y a ontinua ion
se ja en los puntos extremos. Supongase que la uerda se deforma y enton es, en un determinado momento onsiderado omo t = 0, se suelta y se le deja vibrar. El problema es determinar las
vibra iones de la uerda.
Al dedu ir una e ua ion diferen ial orrespondiente a un problema fsi o dado, normalmente tienen que efe tuarse simpli a iones para que la e ua ion resultante no quede demasiado ompli ada.
En este aso se ha en las siguientes suposi iones :
1.- La masa de la uerda por unidad de longitud es onstante ( uerda homogenea). Ademas, la
uerda es perfe tamente elasti a y no ofre e resisten ia alguna a la exion.
2.- La tension ausada al estirar la uerda antes de jarla en sus puntos extremos es tan grande que puede despre iarse la a ion de la fuerza gravita ional sobre la uerda.
3.- La uerda realiza un movimiento transversal peque~no en un plano verti al, es de ir, toda part ula
de la uerda se mueve estri tamente en la dire ion verti al, de modo que la de exion y la pendiente
en todo punto de la uerda se mantienen on valor absoluto peque~no.
Ahora, introdu imos un sistema de oordenadas re tangulares (x; u) de modo que un extremo
de la uerda este en (0; 0) y el otro extremo en (L; 0):
Con las suposi iones anteriores se tiene que si u(x; t) representa el desplazamiento verti al de la
uerda en el punto x en el instante t; enton es la fun ion u(x; t) des ribira de manera razonable
las vibra iones de la uerda vibrante.
6
u
P
T1
0
Q
:T
2
x
x + x
L
x
Para obtener la e ua ion diferen ial se onsideran las fuerzas que a tuan sobre una peque~na
por ion de la uerda (ver gura anterior). Como la uerda no ofre e resisten ia a la exion, la
tension es tangen ial a la urva de la uerda en ada punto. Sean T1 y T2 las tensiones en los
CAPITULO 4. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
82
puntos extremos P y Q de esa por ion. Debido a que no hay movimento en la dire ion horizontal,
las omponentes horizontales de la tension deben ser onstantes. Usando la nota ion mostrada en la
gura anterior, se obtiene :
(i) T1 os( ) = T2 os( ) = T = onstante
En la dire ion verti al se tienen dos fuerzas : las omponentes verti ales T1 sen( ) y T2 sen( )
de T1 y T2 respe tivamente. De a uerdo a la segunda ley de Newton, la resultante de esas dos
2u
fuerzas es igual a la masa s de la por ion por la a elera ion 2 ; evaluada en algun punto entre
t
x y x + x; ( es la masa de la uerda por unidad de longitud (densidad) y s es la longitud de
la por ion). As tenemos por lo anterior que :
T2sen( )
T1 sen( ) = s
2u
t2
Apli ando (i) a lo anterior obtenemos :
T1 sen( ) s 2 u
=
T1 os( )
T t2
T2sen( )
T2 os( )
Como la pendiente de la urva de la uerda es peque~na, puede sustituirse s por x: Por lo
tanto la e ua ion anterior queda omo :
(ii) tan( )
tan( ) =
x 2 u
T t2
Pero su ede que tan( ) y tan( ) son las pendientes de la urva de la uerda en x y en x + x;
respe tivamente, es de ir :
tan( ) =
u
;
x x
tan( ) =
u
x x+x
Dividiendo (ii) por x; obtenemos :
1
x
"
u
x x+x
#
2u
u
=
x x
T t2
Por ultimo, si ahora ha emos tender x a ero, se obtiene la e ua ion :
2u
2u
=
x2
T t2
Si
2
T
= (> 0); enton es la E.D.P. anterior queda omo :
2u
2u
(1) 2 = 2 2
t
x
UNIDIMENSIONAL DE ONDA.
4.1. MODELO DE LA CUERDA VIBRANTE. ECUACION
83
6
u
u(x; t)
-
(0; 0)
x
x
(L; 0)
Figura 4.1: Cuerda en el instante t
Tal omo men ionamos antes, esta e ua ion es ono ida omo la e ua ion unidimensional de
onda.
Para determinar omo se mueve la uerda, se bus a una solu ion u de (1) que tambien satisfaga
las ondi iones impuestas por el sistema fsi o.
Como la uerda se ja en los extremos x = 0 y x = L; se tienen las dos ondi iones en la
frontera:
(2) u(0; t) = 0; u(L; t) = 0;
8t
0
La forma del movimiento de la uerda dependera de la posi ion ini ial de la uerda u(x; 0) y de
la velo idad ini ial ut (x; 0): Si se denota la posi ion ini ial por f (x) y la velo idad ini ial por g(x);
se obtienen enton es las dos ondi iones ini iales:
(3) u(x; 0) = f (x); 0 x L
y
(4) ut(x; 0) = g(x); 0 x L:
(Notar que para que las ondi iones ini iales sean ompatibles on las ondi iones en la frontera,
ne esariamente f (0) = f (L) = g(0) = g(L) = 0).
As, el problema a resolver es:
8
(1)
>
>
>
<
utt = 2 uxx; 0 < x < L; t > 0
(2) u(0; t) = u(L; t) = 0; t 0
>
(3)
u(x; 0) = f (x); 0 x L
>
>
:
(4) ut (x; 0) = g(x); 0 x L
Para solu ionar este problema, lo haremos en 3 etapas:
CAPITULO 4. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
84
Primer paso: Apli ar el llamado Metodo de separa ion de variables, de donde se obtendran
dos e ua iones diferen iales ordinarias.
Segundo paso: Se determinaran solu iones de esas dos e ua iones, que satisfagan las ondi iones
en la frontera.
Ter er paso: Se sumaran esas solu iones de modo que el resultado sea una solu ion de la
e ua ion de onda (1), que satisfaga tambien las ondi iones ini iales dadas.
Primer paso : Suponemos que u(x; t) = F (x)G(t) (5), es de ir que u es el produ to de dos
fun iones, una que depende solo de x y otra que depende solo de t. Reemplazando en (1), obtenemos:
F (x)G00 (t) = 2 F 00 (x)G(t); de donde dividiendo por 2 F (x)G(t) se tiene:
G00 (t) F 00 (x)
siempre que F (x)G(t) 6= 0;
2 G(t) = F (x) ;
y luego omo x y t son variables independientes, on lumos que :
G00 (t) F 00 (x)
siendo k una onstante.
2 G(t) = F (x) = k;
Lo anterior produ e las siguientes dos e ua iones diferen iales lineales ordinarias :
(6) F 00 (x) kF (x) = 0; y
(7) G00 (t)
Aqu, k es una onstante arbitraria.
2 kG(t) = 0
Segundo paso: A ontinua ion, se determinan solu iones F y G de (6) y (7) tales que u(x; t) =
F (x)G(t) satisfaga las ondi iones en la frontera (2); es de ir tales que:
u(0; t) = F (0)G(t) = 0 y u(L; t) = F (L)G(t) = 0;
8t:
Es laro que si G 0 enton es u 0, lo ual no tiene interes alguno (ya que no nos ayudara a
resolver nuestro problema de la uerda vibrante). Por lo tanto, G 6 0, de donde se obtiene:
F (0) = F (L) = 0 (8)
Pasamos ahora a resolver:
(9) (
F 00 (x) kF (x) = 0
F (0) = F (L) = 0
p
p
Si k > 0 enton es la solu ion general de F 00 (x) kF (x) = 0 es F (x) = Ae kx + Be kx; y apli ando
las ondi iones F (0) = F (L) = 0; obtenemos F 0 lo ual no tiene interes alguno porque enton es
u 0.
UNIDIMENSIONAL DE ONDA.
4.1. MODELO DE LA CUERDA VIBRANTE. ECUACION
85
Si k = 0 enton es la solu ion general de F 00 (x) kF (x) = 0 (() F 00 (x) = 0) es F (x) = Ax + B;
y apli ando las ondi iones F (0) = F (L) = 0 se obtiene A = B = 0, de donde F 0; omo antes.
Por lo tanto, k 0 =) la uni a solu ion de (9) es F 0; la ual no tiene interes alguno.
Por ultimo, si k < 0 enton es la solu ion general de F 00 (x) kF (x) = 0 es:
F (x) = A os(
p
p
kx) + Bsen(
kx);
y apli ando las ondi iones F (0) = F (L) = 0 obtenemos:
F (0) = 0 =) A = 0
F (L) = 0 =) Bsen(
=)
p
p
p
kL) = 0 =) sen( kL) = 0
p
n
kL = n; n 2 N =) k = ; n 2 N :
L
As, se ha obtenido las siguientes solu iones no-triviales de (9):
(10) Fn (x) = Bn sen
n L
x ; n = 1; 2; (Bn 6= 0)
Ahora, onsideramos la e ua ion diferen ial G00 (t)
N ) que a aban de obtenerse. Es de ir, se onsidera:
G00 (t) +
2
n 2
L
G(t) = 0;
G00 (t) + 2n G(t) = 0;
2 kG(t) = 0
(una in nidad de solu iones).
para los valores k =
n 2 (n 2
L
o es rito mas brevemente:
donde
n =
n
:
L
Una solu ion general de esta e ua ion es:
Gn (t) = Cn os(n t) + Dn sen(n t) (n = 1; 2; )
Por lo tanto: las fun iones
n un(x; t) = Fn (x)Gn (t) = (Cn Bn os(n t) + Dn Bn sen(n t))sen
x =
L
n x ; n = 1; 2; = ( n os(n t) + n sen(n t))sen
L
son solu iones de (1) que satisfa en las ondi iones en la frontera (2) (siendo n = n
L ; y siendo
n ; n onstantes arbitrarias).
Ter er paso:
En general, una solu ion :
n x (11)
un(x; t) = ( n os(n t) + n sen(n t))sen
L
CAPITULO 4. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
86
no satisfa e las ondi iones ini iales (3) y (4):
Pero omo la e ua ion (1) es lineal y homogenea, y las ondi iones (2) son u(0; t) = u(L; t) = 0;
enton es la suma de una numero nito (por grande que sea) de solu iones un ; es tambien una solu ion
de (1) que satisfa e las ondi iones (2):
Para obtener una solu ion que satisfaga (3) y (4); se onsidera la serie in nita (que en prin ipio
no sabemos si es o no onvergente):
1
1
n X
X
(12) u(x; t) =
x :
un (x; t) =
( n os(n t) + n sen(n t))sen
L
n=1
n=1
A partir de esto y la ondi ion ini ial (3) se on luye que:
1
n X
(13) u(x; 0) =
x = f (x);
n sen
L
n=1
0xL
de donde, para que (12) satisfaga (3) deben elegirse los oe ientes n de modo que u(x; 0) sea el
desarrollo en serie de Fourier de seno de f 2 P C [0; L℄, es de ir:
2
(14) n =
L
Z L
0
f (x)sen
nx L
dx; n = 1; 2; Analogamente, si obtenemos ut(x; t) derivando la serie dada en (12) termino a termino (pro ediendo formalmente), y apli amos la segunda ondi ion ini ial (4); se en uentra que:
"
ut (x; 0) =
=
#
1
X
n=1
nx
n n senn t + n n osn t)sen
L t=0
(
1
X
n n sen
n=1
nx
= g(x); 0 x L
L
de donde para que (12) satisfaga (4) deben elegirse las oe ientes n de modo que ut(x; 0) sea el
desarrollo en serie de Fourier de seno de g(x); es de ir:
n n
=
2
L
Z L
0
g(x)sen
nx
dx;
L
de donde omo n = n
L , se obtiene:
(15) 2
n=
n
Z L
0
g(x)sen
nx
dx; n = 1; 2; L
En prin ipio, u(x; t) dada por (12); on oe ientes dados por (14) y (15); suministra solo una
solu ion formal del problema (1) (2) (3) (4)(de imos \formal" ya que no sabemos, al menos
por ahora, si la serie dada en (12) es o no onvergente).
UNIDIMENSIONAL DE ONDA.
4.1. MODELO DE LA CUERDA VIBRANTE. ECUACION
87
Existen resultados que garantizan que bajo iertas ondi iones sobre las fun iones f y g; la
serie dada en (12) on oe ientes n ; n dados por (14) y (15); no solo es onvergente, sino
que de ne una fun ion u(x; t) que es de lase C 2 ; que satisfa e la e ua ion unidimensional de onda
(1); satisfa e las ondi iones de ontorno (2) y las ondi iones ini iales (3) y (4): A ontinua ion,
entregamos uno de estos resultados :
Teorema 4.2 Supongamos que f y g son fun iones reales de nidas en [0; L℄ tales que f; f 0 ; f 00 ; g;
g0 son ontinuas, y f 000 y g00 son ontinuas por tramos. Ademas, supongamos que f (0) = f (L) =
f 00 (0) = f 00 (L) = g(0) = g(L) = 0: Enton es, la serie dada en (12) on oe ientes dados
por (14) y (15); es una serie onvergente, de ne una fun ion u(x; t) que es ontinua en R
f(x; t) : 0 x L; t 0g; que es de lase C 2 en R f(x; t) : 0 < x < L; t > 0g;
que satisfa e la e ua ion (1) en R; y satisfa e las ondi iones (2); (3); y (4):
En los aptulos 6 y 7 apare eran varios problemas del tipo (1) (2) (3) (4); en los que las
fun iones f y g satisfa eran las ondi iones requeridas en el teorema anterior.
Sin embargo, las ondi iones exigidas en el Teorema anterior son demasiado restri tivas, y en la
pra ti a se presenta una gran antidad de problemas en los uales f y g no satisfa en tales hipotesis.
En este tipo de asos, tambien se habla de una solu ion del problema (1) (2) (3) (4) en un
sentido mas amplio. Un aso omo el re ien men ionado es el de una de exion ini ial triangular, que
se muestra a ontinua ion :
Ejemplo 4.2 En ontrar la solu ion de la e ua ion de onda (1) orrespondiente a la de exion ini ial
triangular (k sera aqu una onstante positiva) :
(
f (x) =
2k x;
L
2k (L
L
0 < x < L2
L <x<L
2
si
x); si
y velo idad ini ial 0.
6
k
f (x)
L
0
2
Solu ion: Como g(x) 0, se tiene que n = 0;
2
n=
L
Z L
0
2
nx
dx =
f (x)sen
L
L
4k
= 2
L
"Z
0
L=2
"Z
0
L=2
L
8 n. Por otro lado,
#
Z L
nx
nx
2k
2k
xsen
dx +
(L x)sen
dx
L
L
L
L=2 L
#
Z L
nx
nx
(L x)sen
dx +
dx
xsen
L
L
L=2
CAPITULO 4. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
88
n n 8k
L2
4k
=
:
2
sen
sen
L2
n2 2
L
n2 2
2
Por lo tanto, la solu ion u(x; t) bus ada viene dada por:
1
1 8k
n nx n X
X
nt
u(x; t) =
os
(
t
)
sen
os
sen
sen
x
=
n
n
2
2
L
2
L
L
n=1
n=1 n =
8k
= 2 : os
t
sen x
L
L
1
3
3
os
t sen
x +
32
L
L
4.2. Solu ion de D'Alembert de la E ua ion de onda
Es importante ha er notar que la solu ion (17) de la e ua ion de onda:
2 u 2 2u
=
t2
x2
puede obtenerse de otra forma, transformando ade uadamente (1). Mas pre isamente, si se introduen las nuevas variables independientes:
(1) v = x + t; z = x
t
Enton es, u se transforma en una fun ion de v y z; y es posible expresar las derivadas que apareen en (1) desde el punto de vista de derivadas on respe to a v y z; apli ando la regla de la adena.
La situa ion es:
u = u(v; z ) = u(v(x; t); z (x; t))
Por la regla de la adena:
u u v u z u u
=
+
=
+ :
x v x z x v z
Por lo tanto:
u
u
u v
2 u u
=
+
=
=
+
x2 x x
x v
x z
v v x
u z u v u z
+
+
z v x v z x z z x
2u 2u
2u 2u
;
+
+
= 2+
v
zv vz z 2
y si suponemos que u es de lase C 2 enton es on lumos:
2u 2u
2u 2u
=
+
2
+
x2 v2
zv z 2
DE D'ALEMBERT DE LA ECUACION
DE ONDA
4.2. SOLUCION
89
Analogamente se obtiene que:
2u
=
t2
2
Reemplazando en (1), tenemos:
2
u
2
v2
2u 2u
+
zv z 2
2u
= 0:
zv
Esta laro enton es que el punto entral del presente enfoque es que la e ua ion anterior puede
resolverse on fa ilidad mediante dos integra iones su esivas. En efe to :
Al integrar on respe to a z; se obtiene que:
u
= h(v);
v
donde
h(v)
es una fun ion arbitraria de v:
A ontinua ion, integrando on respe to a v; obtenemos:
u =
Z
h(v)dv +
(z );
donde
(z )
es una fun ion arbitraria de z:
Z
Como la h(v)dv es una fun ion de v; enton es llamandole (v); obtenemos que la solu ion
u es de la forma:
u = (v) + (z ):
Ahora, omo v = x + t; z = x
t; enton es:
u(x; t) = (x + t) + (x
t) (I ):
Esta expresion (I ) se ono e omo solu ion de d'Alembert de la e ua ion de onda (1):
Es posible determinar las fun iones y a partir de las ondi iones ini iales. Para simpli ar,
onsideremos el aso de velo idad ini ial g(x) 0 y de exion ini ial u(x; 0) = f (x):
Al derivar (I ) on respe to a t obtenemos:
u
= 0 (x + t)
t
Luego:
0(x
t):
u(x; 0) = (x) + (x) = f (x)
0 (x) = 0
ut (x; 0) = 0 (x)
CAPITULO 4. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
90
De la ultima e ua ion tenemos: 0 = 0 ; de donde: = + k; k onstante; de esto ultimo y
de la primera e ua ion tenemos: 2 + k = f , es de ir: = f 2 k .
Por lo tanto:
1
u(x; t) = [f (x + t) + f (x
2
t)℄ (II )
Como u(x; t) debe estar de nido para todo 0 x L y para todo t 0; de la e ua ion
(II ) anterior vemos que la fun ion f debe extenderse a todo R: De las ondi iones de frontera
u(0; t) = u(L; t) = 0 se observa que di ha extension debe ser impar y periodi a, de perodo 2L:
No olvidemos que tambien se requiere que di ha extension debe resultar ser de lase C 2 : As, si
llamamos f a la extension periodi a impar de f; on perodo 2L; enton es :
1
u(x; t) = [f (x + t) + f (x
2
t)℄
6
f
L
f
L
2L
-
3L
4.3. Flujo Unidimensional del Calor
El ujo de alor en un uerpo de material homogeneo lo rige la llamada e ua ion del alor:
u 2 2
= 5 u;
( 2 = K=)
t
donde u(x; y; z; t) es la temperatura en el uerpo (en el punto (x; y; z ) y en el instante t), K es la
ondu tividad termi a, es el alor espe o y es la densidad del material del uerpo. 52u es el
lapla iano de u on respe to a las oordenadas x; y; z ,
2
2
2
52u = xu2 + yu2 + zu2 :
Como una apli a ion importante, se onsidera la temperatura en una varilla delgada, o alambre,
de se ion transversal onstante y material homogeneo, la ual esta orientada a lo largo del eje x y
se en uentra perfe tamente aislada en toda su super ie lateral, de modo que el alor solo uye en
la dire ion x.
91
4.3. FLUJO UNIDIMENSIONAL DEL CALOR
-x
L
0
Por lo tanto, u solo depende de x, y del tiempo t, y la e ua ion se onvierte en:
u 2 2 u
=
t
x2
la ual es ono ida omo la e ua ion unidimensional del alor.
(1) Resolveremos (1) para ierto tipo importante de ondi iones en la frontera y ondi iones ini iales.
El pro edimiento sera semejante al apli ado en el aso de la e ua ion de onda.
Veremos el aso en el que los extremos x = 0 y x = L de la varilla (L es la longitud de la varilla)
se mantienen a la temperatura 0; luego las ondi iones en la frontera son:
(2) u(0; t) = 0; u(L; t) = 0;
8 t
Sea f (x) la temperatura ini ial en la varilla; luego la ondi ion ini ial es:
(3) u(x; 0) = f (x):
As, el problema a resolver es:
8
>
<(1)
ut = 2 uxx; 0 < x < L; t > 0
(2) u(0; t) = u(L; t) = 0; t 0
>
:
(3) u(x; 0) = f (x); 0 x L
que a ontinua ion pasamos a resolver:
Primer Paso: Apli ando el metodo de separa ion de variables, en primer lugar se determinan
solu iones de (1) que satisfagan las ondi iones en la frontera (2): Se parte de:
u(x; t) = F (x)G(t)
Al sustituir en (1); se obtiene:
F (x)G0 (t) = 2 F 00 (x)G(t);
de donde dividiendo por
G0 (t) F 00 (x)
2 G(t) = F (x) ;
siempre que
2 F (x)G(t)
F (x)G(t) 6= 0:
se tiene :
CAPITULO 4. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
92
La expresion de la izquierda solo depende de t; mientras que la de la dere ha solo depende de x;
por lo tanto las dos deben ser iguales a una onstante, que la denotaremos por k:
Por lo tanto:
G0 (t) F 00 (x)
2 G(t) = F (x) = k
Esto ondu e a las dos e ua iones diferen iales lineales ordinarias:
(4) F 00 (x) kF (x) = 0; y
(5) G0 (t) 2 kG(t) = 0:
Hasta aqu, k es todava arbitraria.
Segundo Paso: Ahora se determinan solu iones F y G de (4) y (5) de modo que u(x; t) =
F (x)G(t) satisfaga las ondi iones en la frontera (2); es de ir:
u(0; t) = F (0)G(t) = 0;
u(L; t) = F (L)G(t) = 0;
8 t;
de donde, omo bus amos solu iones no-triviales, on lumos:
(6) F (0) = F (L) = 0
Para k = 0 y k > 0; (4) y (6) impli an que F
enton es u 0:
Si k < 0 enton es la solu ion general de (4) es :
F (x) = A os(
p
0
lo ual no tiene interes alguno porque
p
kx) + Bsen(
p
kx):
De (6) se tiene: F (0) = A = 0; y entonpes F (L) = Bsen( kL) = 0: Debemos tomar B =
6 0
ya que de lo ontrario, F 0: Luego sen( kL) = 0; de donde:
p
p
n
k=
(n 2 N )
(7) kL = n; o bien,
L
As enton es se obtienen las siguientes solu iones de (4) que satisfa en (6) :
n x (Bn 6= 0); n = 1; 2; (8) Fn (x) = Bn sen
L
Ahora se onsidera la e ua ion diferen ial (5): Para los valores k =
obtenerse, (5) toma la forma:
n 2
L
que a aban de
93
4.3. FLUJO UNIDIMENSIONAL DEL CALOR
G0 (t) + 2n G(t) = 0; donde
uya solu ion general es:
n
L
n =
2
Gn (t) = Cn e nt ; n = 1; 2; Por lo tanto, las fun iones:
n 2
(9) un(x; t) = Fn (x)Gn (t) = Bn Cn e nt sen
x =
L
ne
2n t sen
n L
x ;
n = 1; 2; son solu iones de (1) que satisfa en (2):
Ter er Paso: Para obtener una solu ion que tambien satisfaga (3); se onsidera la serie:
1
1
n X
X
2 t
x
un (x; t) =
(10) u(x; t) =
n e n sen
L
n=1
n=1
on n = n
L :
Basandose en esto y en (3) obtenemos:
u(x; 0) =
1
X
n=1
n sen
n L
x = f (x)
de donde, para que (10) satisfaga (3); deben elegirse los oe ientes n de modo que u(x; 0) sea el
desarrollo en serie de Fourier de seno de f 2 P C [0; L℄; es de ir:
(11) 2
n=
L
Z L
0
f (x)sen
n L
x dx; n = 1; 2; Observa ion 4.1 1. Notar que, debido al fa tor exponen ial, todos los terminos (sumandos) de
(10) tienden a 0 uando t ! 1:
2. Tal omo en el aso de la uerda vibrante, aqu esta presente el problema de la onvergen ia de
la serie dada en (10): A ontinua ion se entrega un resultado que da ondi iones su ientes
para que la serie dada por (10) sea onvergente y sea una solu ion del problema (1) (2) (3):
Teorema 4.3 Sea f : [0; L℄ ! R una fun ion ontinua onZ f (0) = f (L) = 0 y tal que su derivada
L
f 0 exista en [0; L℄ y sea uadrado integrable (esto es, que
jf 0 (x)j2 dx < 1): Enton es la serie
0
dada en (10) on oe ientes dados por (11); es una serie onvergente, de ne una fun ion u(x; t)
que es ontinua en R f(x; t) : 0 x L; t 0g; tiene derivadas par iales ut y uxx en R
f(x; t) : 0 < x < L; t > 0g; y satisfa e (1) (2) (3):
CAPITULO 4. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
94
Observa ion 4.2 Tal omo antes, las ondi iones exigidas en el Teorema anterior son demasiado
restri tivas, y en la vida real se presenta una variedad de problemas en los que f no satisfa e las
ondi iones men ionadas. Nuevamente, en este tipo de asos se habla de una solu ion del problema
(1) (2) (3) en un sentido mas amplio. Un aso omo este se da a ontinua ion.
Ejer i io 4.1 En ontrar la solu ion u(x; t) de la e ua ion unidimensional del alor, que satisfa e
las ondi iones:
u(0; t) = u(L; t) = 0; t 0
(
0 x L2
L xL
2
x;
si
L x; si
u(x; 0) =
Solu ion: En este aso, la temperatura ini ial es:
(
0 x L2
L xL
2
x;
si
L x; si
f (x) =
Por lo anterior sabemos que la solu ion viene dada por:
u(x; t) =
2
=
L
"Z
1
X
n=1
ne
2
n=
L
L=2
0
xsen
=
(
Z L
0
n n )2 t
L
x ;
sen
L
f (x)sen
n L
x dx +
donde,
n Z L
L=2
L
x dx
(L x)sen
n L
#
x dx
n 4L
; n = 1; 2; sen
n2 2
2
Por lo tanto, la solu ion bus ada es:
u(x; t) =
2
4L
e ( L ) t sen x
2
L
1 ( 3L )2 t
3
e
x +
sen
9
L
Cap
tulo 5
Variable Compleja
C
Re ordemos que, el onjunto de los numeros omplejos se de ne omo :
= f(x; y) : x; y 2 Rg; provisto de la adi ion y multipli a ion dados por:
(x1 ; y1) + (x2 ; y2 ) = (x1 + x2 ; y1 + y2 )
(x1 ; y1)(x2 ; y2 ) = (x1 x2 y1 y2 ; x1 y2 + y1 x2 )
Los numeros omplejos se representan tambien en forma binomial omo z = x + iy;
donde: x + iy (x; y); y i (0; 1):
Notar que i2 = 1. As, las opera iones anteriores se pueden es ribir omo:
(x1 + iy1 ) + (x2 + iy2) = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2)
(x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = (x1 x2 y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 )
Si z = x + iy enton es:
x = Re(z ) = parte real de z
y = Im(z ) = parte imaginaria de z:
C se representa geometri amente por un plano, llamado
el plano omplejo. Si z = x + iy, enton es
p
se llama modulo de z al numero no-negativo jz j = x2 + y2 : Si z es no- nulo, al uni o numero real
; < ; que satisfa e las ondi iones :
x = jz j os; y = jz jsen;
se le llama el Argumento (prin ipal) de z; y se representa por = arg(z ): Notar que todo numero
omplejo z 6= 0 puede es ribirse en la forma polar :
z = x + iy = r os + irsen = r( os + isen); donde r = jz j y = arg(z ):
95
CAPITULO 5. VARIABLE COMPLEJA
96
6
Y
y
z
r
= x + iy
I
x
-
X
De ni ion 5.1 1. Si z = x + iy, enton es se de ne: ez = ex+iy = ex ( osy + iseny)
Notar que ez 6= 0; 8z 2 C
2. Dado un numero omplejo z , de nimos:
osz =
eiz e iz
eiz + e iz
; senz =
2
2i
5.1. Lmite y Continuidad
1. Se llama fun ion ompleja a una fun ion f : D C
! C.
Ejemplo 5.1 a) f : C ! C ; f (z ) = z 2 + 2z + 1:
b) f : C ! C ; f (z ) = ez .
2. Sea f : D C ! C una fun ion ompleja de nida en un onjunto abierto D que ontiene
a z0 , on la posible ex ep ion de z0. Se di e que el numero omplejo L es el lmite de f (z )
uando z tiende a z0 , y es ribimos lmz!z0 f (z ) = L si :
8 > 0; 9 Æ > 0 tal que :
z0j < Æ ) jf (z ) Lj < 0 < jz
Ejemplo 5.2 lm z 2 = i2 = 1:
z!i
3. Sea f : D C ! C ; una fun ion ompleja, D abierto, y z0 2 D. Se di e que f es ontnua
en z0 si lmz!z0 f (z ) = f (z0).
Ejemplo 5.3 a) f (z ) = ez es ontnua en z0 ; 8 z0 2 C :
b) Toda fun ion polinomial p : C ! C ; p(z ) = a0 + a1 z + + am z m, es ontnua en
z0 ; 8 z 0 2 C :
5.2. DERIVADAS Y FUNCIONES ANALITICAS
97
5.2. Derivadas y Fun iones Analti as
De ni ion 5.2 Sea f una fun ion ompleja de nida en un onjunto abierto D de C ; y supongamos
que z0 2 D. Se di e que f es derivable en z0 si el
lm
z!z0
f (z ) f (z0 )
z z0
existe en
C:
En este aso, al lmite anterior se le llama la derivada de f en z0 y se le denota por f 0 (z0 ). As,
f (z ) f (z0)
z z0
0
f 0(z0 ) = zl!
mz
Las siguientes proposi iones para fun iones omplejas son validas:
1. f derivable en z0 =) f ontinua en z0.
2. Si dos fun iones omplejas f y g son derivables en z0 , enton es su suma, su diferen ia y su
produ to tambien lo son, y se tiene que:
(f + g)0 (z0 ) = f 0 (z0 ) + g0 (z0 )
(f g)0 (z0 ) = f 0 (z0 ) g0 (z0 )
(fg)0 (z0 ) = f 0 (z0 )g(z0 ) + f (z0)g0 (z0 )
Si ademas, g(z0) 6= 0, enton es la fun ion fg es derivable en z0 , y:
0
f
f 0 (z0 )g(z0 ) f (z0 )g0 (z0 )
(z0 ) =
g
(g(z0 ))2
3. Es valida la regla de la adena, es de ir, tenemos: (g Æ f )0 (z0 ) = g0 (f (z0 )):f 0 (z0 ), siempre que
el dominio de g ontenga una ve indad de f (z0 ) y existan f 0(z0 ) y g0 (f (z0 )):
Ejemplo 5.4 1. Si f (z ) = z 3 2z enton es f 0 (z ) = 3z 2 2; 8z 2 C :
2. Si f (z ) = 11+zz , enton es:
f 0 (z ) =
2
1 (1 z ) (1 + z ) ( 1)
=
;
(1 z )2
(1 z )2
8z 2 C f1g
3. Si f (z ) = senz enton es se puede probar que f 0 (z ) = osz . Ahora, si g (z ) = sen(z 2 + 2z ),
enton es por la regla de la adena: g 0 (z ) = os(z 2 + 2z )(2z + 2)
Si f es una fun ion ompleja, enton es sus valores pueden es ribirse omo: f (z ) = u(z ) + iv(z ) (es
de ir f = u + iv), donde u y v son fun iones reales de una variable ompleja (esto es, u : D C ! R;
y v : D C ! R).
CAPITULO 5. VARIABLE COMPLEJA
98
f (z ) = u(x; y) + iv(x; y);
si z = x + iy
u = parte real de f
v = parte imaginaria de f
Ejemplo 5.5 1.- Si f (z ) = ez = ex+iy = ex ( osy + iseny) = (ex osy) + i(exseny):
2.- Si f (z ) = z 2 = (x + iy)2 = x2 + 2xyi + ( y2 ) = (x2
y2 ) + i(2xy):
Teorema 5.1 Sea f : D C ! C una fun ion ompleja de nida en un onjunto abierto D
y es ribamos f = u + iv: Si f es derivable en el punto z0 = x0 + iy0 de D; enton es u y v
tener derivadas par iales nitas ux ; uy ; vx ; vy ; en (x0 ; y0 ); y ellas estan rela ionadas on
mediante las e ua iones:
f 0(z0 ) =
y
de C ;
deben
f 0 (z0 )
v
u
(x ; y ) + i (x0 ; y0 );
x 0 0
x
v
u
(x0 ; y0 ) i (x0 ; y0)
y
y
Esto impli a, en parti ular, que deben veri arse en (x0 ; y0 ) las llamadas E ua iones de Cau hyRiemann, esto es, debe veri arse:
f 0 (z0 ) =
8
u
>
>
(x0 ; y0 )
>
>
< x
=
>
>
v
>
>
:
(x0 ; y0 )
=
x
v
(x ; y )
y 0 0
u
(x ; y )
y 0 0
Observa ion 5.1 El Teorema anterior nos di e que una ondi ion ne esaria para que la fun ion
f = u + iv tenga derivada en z0 = x0 + iy0 ; es que las uatro derivadas par iales ux ; uy ; vx ; vy
existan en (x0 ; y0 ) y satisfagan las e ua iones de Cau hy-Riemann. El siguiente ejemplo nos mostrara que sin embargo, esta ondi ion no es su iente.
Ejemplo 5.6
u(x; y) =
v(x; y) =
8
<
:
8
<
:
x3 y3
; si (x; y) 6= (0; 0)
x2 + y2
0;
si (x; y ) = (0; 0)
x3 + y3
; si (x; y) 6= (0; 0)
x2 + y2
0;
si (x; y ) = (0; 0)
5.2. DERIVADAS Y FUNCIONES ANALITICAS
Satisfa en
99
ux(0; 0) = vy (0; 0) = 1
uy (0; 0) = vx (0; 0) = 1
Es de ir, u y v satisfa en Cau hy-Riemann en (0; 0): Sin embargo, f 0 (0) no existe, donde
f = u + iv: En efe to :
para x = 0;
y + iy
f (z ) f (0)
=
=1+i
z 0
iy
para x = y;
f (z ) f (0)
xi
1+i
=
=
z 0
x + ix
2
y
Las e ua iones de Cau hy-Riemann son su ientes para estable er la existen ia de la derivada de
f = u + iv en z0 en el aso de que u y v tengan derivadas par iales ontinuas en una ve indad de
z0. Mas pre isamente se tiene :
Teorema 5.2 Sean u y v dos fun iones reales de nidas en un onjunto abierto D de C ; y supongamos que las uatro derivadas par iales ux ; uy ; vx ; vy existan y sean ontinuas en D: Si en algun
punto z0 = x0 + iy0 de D se tiene que
v
u
(x0 ; y0 ) = (x0 ; y0 )
x
y
y
v
u
(x0 ; y0 ) =
(x ; y );
x
y 0 0
enton es la fun ion f = u + iv es derivable en z0 :
De ni ion 5.3 Sea f : D C ! C una fun ion ompleja de nida en un abierto D de C . Se di e
que f es analti a en D si f es derivable en todo punto de D.
Se tiene el siguiente importante riterio:
Teorema 5.3 Sean D un abierto de C ; y f = u + iv una fun ion ompleja de nida en D on u
y v fun iones reales. Enton es se umple la siguiente equivalen ia:
f es analti a en D
()
(
u y v son de lase C 1 en D
y
satisfa en las e ua iones de Cau hy-Riemann en todo punto de D:
CAPITULO 5. VARIABLE COMPLEJA
100
Ejemplo 5.7 1. Consideremos la fun ion f :
por z = x + iy; se obtiene :
f (x + iy) = (x3
Es laro que u(x; y ) = x3
u
(x; y) = 3x2
x
3y2 =
C
! C ; f (z ) = z 3 :
Enton es al reemplazar z
3xy2 ) + i(3x2 y y3 )
3xy2 y v(x; y) = 3x2 y y3 son de lase C 1 en C . Ademas:
v
(x; y);
y
v
u
(x; y) = 6xy =
(x; y)
x
y
8
(x; y)
2
C
Por lo tanto f (z ) = z 3 es analti a en C .
2. Consideremos la fun ion f : C
! C ; f (z ) = z
f (x + iy) = x iy = x + i( y)
u(x; y) = x; v(x; y) = y
u y v son de lase C 1 en C , pero:
u
v
(x; y) = 1 6= (x; y)
x
y
Por lo tanto f no es analti a en C .
Aun mas, 8 D abierto de C ; f no es analti a en D:
3. f : C
! C ; f (x + iy) = x2 + iy3
u(x; y) = x2 ; v(x; y) = y3 son de lase C 1 en C :
Ahora:
8
u
>
>
(x; y)
>
>
< x
=
>
>
v
>
>
(x; y)
:
=
x
v
(x; y)
y
u
(x; y)
y
()
2x = 3y2:
Por lo tanto, f no es analti a en C ; y tal omo en el ejemplo anterior, para todo D abierto
de C ; f no es analti a en D: Sin embargo, observese que f si es derivable en los puntos de
la parabola f (x; y ) : 2x = 3y 2 g:
Observa ion 5.2 1. Un simple al ulo prueba que la fun ion f de nida mediante la e ua ion
f (z ) = z n ; n 2 N , es analti a en todo C y su derivada es f 0 (z ) = nz n 1 : Cuando n es un
entero negativo, la e ua ion f (z ) = z n de ne una fun ion analti a en C nf0g: Las fun iones
polinomiales son analti as en todo C ; y las fun iones ra ionales ( uo ientes de polinomios)
son analti as en todo el plano salvo en los puntos en los que el denominador se anula. La
fun ion exponen ial de nida por la formula ez = ex ( osy + iseny ) si z = x + iy; es analti a
en todo C y ademas oin ide on su derivada. Las fun iones omplejas seno y oseno (siendo
ombina iones lineales de exponen iales) son tambien analti as en todo C :
101
5.3. INTEGRALES COMPLEJAS
2. Tambien se usa la expresion \f es analti a en un punto z0 ". La de ni ion es la siguiente:
De ni ion 5.4 Se di e que f : D C ! C es analti a en el punto z0
abierta on entro z0 ; B (z0 ; r), tal que f es analti a en B (z0 ; r).
2 D si existe una bola
5.3. Integrales Complejas
De ni ion 5.5 Sea C una urva se ionalmente suave en C des rita mediante una fun ion ompleja
z : [a; b℄ ! C ; z (t) = x(t)+ iy(t): Si f es una fun ion omplejaZde nida y ontinua en C , enton es
la integral de ontorno de f a lo largo de C , que se denota
f (z )dz , esta de nida por:
C
Z b
Z
f (z )dz = f (z (t)) z 0 (t)dt
a
C
Observa ion 5.3 Si f = u + iv enton es la integral anterior queda mas expl itamente omo:
Z
C
Z b
f (z )dz =
=
Z b
a
a
Z b
a
i
Ejemplo 5.8 Cal ular:
en sentido antihorario.
a
f (x(t) + iy(t)) (x0 (t) + iy0 (t))dt
[u(x(t); y(t))x0 (t) v(x(t); y(t))y0 (t)℄dt +
Z b
Es de ir que :
C
Z b
(u(x(t); y(t)) + iv(x(t); y(t))) (x0 (t) + iy0(t))dt =
=
Z
f (z (t)) z 0 (t)dt =
a
[u(x(t); y(t))y0 (t) + v(x(t); y(t))x0 (t)℄dt
f (z )dz =
Z
2
dz
z
C
Z
Z
(udx vdy) + i (udy + vdx)
C
C
donde C es la ir unferen ia de entro (0; 0) y radio 3, re orrida
Solu ion :
C : z (t) = (3 ost) + i(3sent); t 2 [0; 2℄
x(t) = 3 ost;
y(t) = 3sent:
2x
2y
2
2(x iy)
2
=
= 2 2 = 2 2 + i 2 2
z x + iy
x +y
x +y
x +y
ost; v(x(t); y(t)) = 32 sent;
f (z ) =
u(x(t); y(t)) =
2
3
CAPITULO 5. VARIABLE COMPLEJA
102
x0 (t) = 3sent; y0 (t) = 3 ost:
Reemplazando en la formula dada en la Observa i
on 5.3 obtenemos que :
Z
2
dz = 0 + i
Cz
Z 2
0
2dt = 4i:
5.4. Teorema de la Integral de Cau hy
El siguiente resultado es ono ido omo el Teorema de la Integral de Cau hy.
C una
omo su region interior estan ontenidas
Teorema 5.4 Supongamos que f = u + iv es analti a en un abierto onexo S de C . Sea
C
urva de Jordan se ionalmente suave tal que tanto
integramente en S . En estas ondi iones se umple:
Z
C
f (z )dz = 0
S
R
C
Demostra ion: Si es ribimos:
Z
C
f (z )dz =
Z
C
(u + iv)d(x + iy) =
Z
C
Z
(udx vdy) + i (udy + vdx)
C
y apli amos el Teorema de Green a ada integral real de lnea, en ontramos:
Z
C
f (z )dz =
ZZ
R
( vx
uy )d(x; y) + i
ZZ
R
(ux
vy )d(x; y)
donde R = I (C ) [ C , siendo I (C ) la region interior a C :
R S por hipotesis, y por ser f analti a en S se satisfa en las e ua iones de Cau hy-Riemann en
S y luego vx uy = 0 y ux vy = 0 en R; de donde :
Z
C
f (z )dz = 0 + i 0 = 0:
5.5. FORMULA
DE LA INTEGRAL DE CAUCHY
103
A modo de re pro o del Teorema de Cau hy, tenemos:
Teorema 5.5 Sea f = u + iv ontinua en un abierto onexo S de C y supongamosZ que u y v
f (z )dz
admitan derivadas par iales ux ; uy ; vx ; vy ontinuas en S . Si la integral de ontorno
C
es igual a ero para toda urva poligonal errada C ontenida en S; enton es f es analti a en S .
5.5. Formula de la Integral de Cau hy
El siguiente teorema es ono ido omo la Formula de la integral de Cau hy.
Teorema 5.6 Supongamos que f es analti a en un abierto onexo S de C . Sea C una urva de
Jordan se ionalmente suave tal que C y su region interior I (C ) estan ontenidas en S . Enton es
para todo punto z0 2 I (C ); se umple:
f (z0 ) =
Z
1
f (z )
dz
2i C z z0
C
z0
R
on tal que la urva
C este orientada en sentido antihorario.
5.6. Valor medio de una fun ion analti a sobre una ir unferen ia
Apliquemos la formula de la integral de Cau hy al aso en que C es una ir unferen ia on entro
en z0 des rito por:
z (t) = z0 + reit ; 0 t 2;
siendo r = radio de la ir unferen ia C :
Suponiendo que f es analti a en un abierto onexo S que in luye a C y a su interior, tenemos:
CAPITULO 5. VARIABLE COMPLEJA
104
f (z0 ) =
Es de ir:
Z
1
f (z )
1
dz =
2i C z z0
2i
f (z0 ) =
1
2
Z 2
0
r
z0
Z 2
0
f (z0 + reit ) it
rie dt
reit
f (z0 + reit )dt
C
5.7. Formula de la Integral de Cau hy para la derivada de
una fun ion analti a
Teorema 5.7 Supongamos que f es analti a en un abierto onexo S de C . Sea C una urva de
Jordan se ionalmente suave tal que C y su region interior I (C ) estan ontenidos en S . Enton es,
para todo punto z0 2 I (C ); tenemos:
f 0 (z0 ) =
on tal que la urva
C
Z
1
f (z )
dz
2i C (z z0)2
este orientada en sentido antihorario.
C
z0
R
5.8. Existen ia de las derivadas superiores de una fun ion
analti a
Teorema 5.8 Supongamos que f es analti a en un abierto onexo S de C . Sea C una urva de
Jordan se ionalmente suave tal que C y su region interior I (C ) estan ontenidos en S . Enton es,
para todo punto z0 2 I (C ) y para todo entero n 1, existe la derivada f (n) (z0 ), y viene dada por la
integral
105
5.9. SERIES DE POTENCIAS COMPLEJAS
f (n)(z0 ) =
on tal que la urva
C
Z
n!
f (z )
dz
2i C (z z0 )n+1
este orientada en sentido antihorario.
5.9. Series de poten ias omplejas
Una serie de la forma
a0 +
1
X
an (z z0)n =
n=1
1
X
n=0
an (z z0 )n
se llama una serie de poten ias
de (z z0 ). En ella z; z0 y an (n = 0; 1; 2; ) son numeros omplejos. A toda serie de poten ias de
este tipo se le aso ia un r ulo, llamado el r ulo de onvergen ia de la misma, de manera que la
serie onverge para todo z interior a este r ulo y diverge para todo z exterior al r ulo. El entro
del r ulo es z0 y su radio se llama el radio de onvergen ia de la serie de poten ias. Un riterio
para al ular di ho radio de onvergen ia es el siguiente :
Teorema 5.9 Consideremos una serie de poten ias
lm
n!1
enton es la serie
an
:
R = nl!1
m
an+1
P1
n=0 an (z
jz z0 j < rg:
1
X
n=0
n=0 an (z
z0 )n : Si existe el
an
an+1
z0)n onverge si jz
Teorema 5.10 Supongamos que la serie
P1
z0 j < R; y diverge si jz
an (z z0 )n onverge para todo z en B (z0 ; r) fz :
Enton es la fun ion f de nida por :
f (z ) =
1
X
n=0
an (z z0 )n ;
z
2 B (z0 ; r)
tiene derivada f 0 (z ) para ada z en B (z0 ; r); dada por :
f 0 (z ) =
z0 j > R; donde
1
X
n=1
nan (z z0)n
1
CAPITULO 5. VARIABLE COMPLEJA
106
Observa ion 5.4 Como las series
1
X
n=0
an (z z0 )n y
1
X
n=1
nan (z z0 )n
1 tienen el mismo radio de
onvergen ia, enton es mediante la apli a ion reiterada del Teorema anterior, on lumos que para
ada k 2 N existe la derivada f (k) (z ) para ada z 2 B (z0 ; r); y viene dada por la serie :
f (k) (z ) =
1
X
n!
a (z
(
n
k)! n
n=k
z0 )n k :
Si en la igualdad anterior ha emos z = z0 ; obtenemos que :
f (k) (z0 ) = k! ak
para
k = 1; 2; De esta forma on lumos lo siguiente :
por
\Si la serie
P1
n=0 an (z
z0)n onverge para todo z en B (z0 ; r); enton es la fun ion f de nida
f (z ) =
1
X
n=0
an (z z0 )n ;
z
2 B (z0 ; r)
tiene derivadas de todos los ordenes en la B (z0 ; r); y ademas se tiene la igualdad :
f (z ) =
1
X
f (n) (z0 )
(z z0 )n ;
n
!
n=0
z
2 B (z0 ; r)"
5.10. Desarrollo en serie de poten ias para fun iones analtias
El Teorema 5.10 nos di e que una serie de poten ias onvergente en un entorno B (z0 ; r) (=
una bola abierta de entro z0 ); de ne una fun ion que es derivable en todo punto de di ho entorno. Una tal fun ion es por onsiguiente analti a en z0 . Utilizando las formulas integrales dadas en
las se iones 5.5 y 5.8, es posible demostrar el re pro o de este resultado, que damos a ontinua ion.
Teorema 5.11 Supongamos que f es analti a en un abierto onexo S de C y sea z0 un punto
de S . Enton es, en todo entorno B (z0 ; r) tal que B (z0 ; r) S; puede representarse f mediante una
serie de poten ias onvergente:
f (z ) =
1
X
f (n) (z0 )
(z z0 )n
n
!
n=0
5.11. CEROS DE LAS FUNCIONES ANALITICAS
107
Observa ion 5.5 1. El desarrollo en serie anterior se ono e on el nombre de Desarrollo de
Taylor de f alrededor de z0 .
2. Los Teoremas 5.10 y 5.11 reunidos nos di en que una ondi ion ne esaria y su iente para
que una fun ion ompleja f sea analti a en un punto z0 es que f sea representable por una
serie de poten ias en algun entorno de z0 . Cuando existe una tal serie de poten ias, su radio
de onvergen ia es, por lo menos tan grande omo el radio de ualquier entorno B (z0 ; r) que
este ontenido en la region de analiti idad de f . Ya que el r ulo de onvergen ia no puede
ontener en su interior ningun punto en el que f no sea analti a, se dedu e que el radio de
onvergen ia es exa tamente igual a la distan ia desde z0 hasta el punto mas proximo en el
que f deja de ser analti a.
3. Con los resultados que hemos visto hasta el momento, podemos on luir que la analiti idad
en un punto z0 (que, por de ni ion, solo exige que la fun ion posea primera derivada en un
entorno de z0 ), introdu e una restri ion muy severa a una fun ion. Ella impli a la existen ia
de todas las derivadas de orden superior en un entorno de z0; y tambien garantiza la
existen ia de una serie de poten ias onvergente que representa a la fun ion en un entorno de
z0 : Esto mar a una gran diferen ia on el omportamiento de las fun iones de variable real,
entre las que es posible en ontrar asos en que la primera derivada existe, y sin embargo la
segunda derivada no existe.
Ejemplo 5.9 Los siguientes desarrollos en serie de poten ias son validos para todo z 2 C :
1 zn
X
z2 z3
= 1+z + + +
1. ez =
2! 3!
n=0 n!
2. senz =
3.
os z =
1
X
( 1)n z 2n+1
=z
n=0 (2n + 1)!
1
X
( 1)n z 2n
=1
n=0 (2n)!
z3 z5
+
3! 5!
z2 z4
+
2! 4!
z7
+
7!
z6
+
6!
Utilizando los resultados anteriores, el le tor debe demostrar la validez de los desarrollos de arriba.
5.11. Ceros de las fun iones analti as
Si f es analti a en z0 y si f (z0) = 0, el desarrollo de Taylor de f en torno a z0 no tiene termino
onstante y adopta por tanto la forma siguiente:
CAPITULO 5. VARIABLE COMPLEJA
108
f (z ) =
1
X
n=1
an (z z0 )n
Esto es valido para ada z de algun entorno B (z0 ; r): Si f es identi amente nula en este entorno
(esto es, si f (z ) = 0 para todo z 2 B (z0 ; r)) enton es ada an = 0; ya que an = f (n) (z0 )=n! . Si en
ambio f no es identi amente nula en ese entorno, existira en el desarrollo un primer oe iente ak no
nulo, en uyo aso el punto z0 se llama un ero de orden k de f . A ontinua ion, demostraremos
que existe un entorno de z0 que no ontiene ningun otro ero de f:
Teorema 5.12 Supongamos que f es analti a en un abierto onexo S de C . Supongamos ademas
que f (z0 ) = 0 para algun punto z0 de S y que f no es identi amente nula en un entorno B (z0 ; r) S: Existe enton es un entorno B (z0 ; r0 ) B (z0 ; r) tal que f (z ) 6= 0 para todo z 2 B (z0 ; r0 ); z 6= z0 :
Demostra ion: El desarrollo de Taylor en torno a z0 se onvierte en f (z ) = (z z0 )k g(z ), donde
k 1 y g(z ) = ak + ak+1 (z z0 ) + , y g(z0 ) = ak 6= 0.
Como g es ontinua en z0 , existe un entorno B (z0 ; r0 ) S en el que g no se anula. Por onsiguiente,
f (z ) 6= 0 para todo z 2 B (z0 ; r0 ); z 6= z0 :
Observa ion 5.6 1. El resultado anterior nos di e que los eros de una fun ion analti a
que no es identi amente nula, son aislados.
2. El Teorema anterior tiene varias onse uen ias importantes. Por ejemplo, podemos utilizarlo
para demostrar que: \una fun ion analti a en un abierto onexo S no puede ser nula en ningun
sub onjunto abierto no va o de S sin ser identi amente nula en toda la region S ".
5.12. Teorema de identidad para fun iones analti as
Teorema 5.13 Supongamos que f es analti a en un abierto onexo S de C : Sea T un sub onjunto
de S que tenga un punto de a umula ion z0 2 S: Si f (z ) = 0 8 z 2 T; enton es f (z ) = 0 8 z 2 S:
Observa ion 5.7 Se di e que z0 es un punto de a umula ion de T si existe una su esion fzngn2N
de puntos distintos de T tal que lm zn = z0 :
n!1
Como orolario tenemos el siguiente resultado importante, itado algunas ve es omo el Teorema de
identidad para fun iones analti as:
Teorema 5.14 Sean f y g fun iones analti as en un abierto onexo S de C : Si T es un sub onjunto de S que tiene un punto de a umula ion z0 2 S y si f (z ) = g (z ) 8 z 2 T , enton es
f (z ) = g(z ) 8 z 2 S .
Demostra ion: Basta apli ar el Teorema anterior a (f g).
Observa ion 5.8 Otra forma equivalente de es ribir el Teorema 5.14 es:
\Si f y g son analti as en un abierto onexo S y fz 2 S : f (z ) = g (z )g tiene un punto de
a umula ion en S , enton es f (z ) = g (z ) 8 z 2 S "
5.13. DESARROLLO DE LAURENT PARA FUNCIONES ANALITICAS EN UN ANILLO
109
5.13. Desarrollo de Laurent para fun iones analti as en un
anillo
De ni ion 5.6 Si z0 2 C y 0 < r1 < r2 ; el onjunto
A(z0 ; r1 ; r2 ) = fz 2 C : r1 < jz z0 j < r2 g
se llama un anillo en torno a z0 .
Si una fun ion es analti a en un anillo A(z0 ; r1 ; r2 ), pero no lo es en el entorno B (z0 ; r2 ); no
puede ser representada por una serie de poten ias de (z z0 ): LAURENT des ubrio (en 1843)
que una tal fun ion puede representarse por medio de dos series, una de las uales es una serie de
poten ias de (z z0) y la otra es una serie de poten ias de (z z0 ) 1 . El Teorema de Laurent es
el siguiente:
Teorema 5.15 Supongamos que f es analti a en un anillo A(z0 ; r1 ; r2 ). En tal aso, para todo
punto z en este anillo, tenemos:
f (z ) = f1 (z ) + f2 (z ) (1);
donde
f1 (z ) =
1
X
n=0
an (z z0 )n y f2 (z ) =
Los oe ientes vienen dados por las formulas:
(2) an =
1
2i
Z
C
1
X
n=1
a n (z z0 ) n
f (z )
dz (n = 0; 1; 2; ) ;
(z z0 )n+1
siendo el amino C ualquier ir unferen ia orientada en sentido antihorario on entro z0 y
radio r; donde r1 < r < r2 . La fun ion f1 (llamada parte regular de f en z0 ) es analti a en el
entorno B (z0 ; r2 ). La fun ion f2 (que se llama la parte prin ipal de f en z0 ) es analti a en el
onjunto C n B (z0 ; r1 ).
1
P
1
P
an (z z0 )n + a n (z z0) n se es ribe tambien omo:
n=0
n=1
1
X
an (z z0 )n
n= 1
y se llama Desarrollo de Laurent de f en torno a z0 . As :
)
1
X
f analiti a en el
)
f (z ) =
an (z z0 )n ; 8 z 2 A (z0; r1 ; r2 )
anillo A (z0 ; r1 ; r2 )
n= 1
La formula (2) demuestra que una fun ion puede tener a lo sumo un desarrollo de Laurent en
Observa ion 5.9 La suma
un anillo dado.
CAPITULO 5. VARIABLE COMPLEJA
110
5.14. Singularidades aisladas
De ni ion 5.7 Se di e que un punto z0 es una singularidad aislada de f si:
1. f es analti a en un entorno redu ido de z0 (esto es, un r ulo de entro z0 sin su entro).
2. f no es analti a en z0 .
Observa ion 5.10 i) En la de ni ion anterior, no es ne esario que f este de nida en z0 .
ii)En virtud de 1., existe un anillo A(z0 ; r1 ; r2 ) en el que f es analti a y tiene un desarrollo (uni o)
de Laurent, sea este:
f (z ) =
1
X
n=0
an (z z0)n +
1
X
n=1
a n (z z0 ) n ()
(Ya que el radio interior r1 puede ser arbitrariamente peque~no, la formula () es valida en el
entorno redu ido B (z0 ; r2 )nfz0 g). La singularidad z0 se lasi a en uno de los tres tipos siguientes
(dependiendo de la forma de la parte prin ipal):
1. Si no apare en poten ias negativas en (), esto es, si a n = 0 8 n 2 N ; enton es el punto z0
se llama una singularidad evitable. En este aso, puede evitarse la singularidad de niendo
f en z0 omo: f (z0 ) = a0 .
2. Si a n 6= 0 para algun n pero a m = 0 8 m > n; enton es el punto z0 se llama un polo de
orden n: En este aso, la parte prin ipal se redu e a una suma nita, a saber:
a
1
z z0
+
(z
a
2
z0 )
2
+ +
a n
(z z0)n
Un polo de orden 1 se di e un polo simple.
3. Si a n 6= 0 para una in nidad de valores de n, enton es el punto z0 se llama una singularidad
esen ial.
sen z
si z 6= 0
si z = 0 .
sen z
! 1 uando z ! 0). El
Esta fun ion es analti a en C nf0g (es dis ontinua en 0, ya que
z
desarrollo de Laurent en torno a 0 tiene la forma:
sen z
z2 z4 z6
=1
+
+
z
3! 5! 7!
Como no apare en poten ias negativas de z , enton es el punto z = 0 es una singularidad evitable. Si
de nimos de nuevo f dandole el valor 1 en 0 (esto es, f (0) = 1); enton es la fun ion as modi ada
se ha e analti a en 0. Es de ir:
sen z
; z 6= 0
z
f (z ) =
1
; z=0
es analti a en 0.
Ejemplo 5.10 Consideremos a f (z ) =
0
z
111
5.14. SINGULARIDADES AISLADAS
Ejemplo 5.11 Consideremos a f (z ) =
sen z 1
= 4
z5
z
sen z
si z 6= 0. El desarrollo de Laurent en torno a 0 es:
z5
1 1 1
+
3! z 2 5!
1 2
z +
7!
En este aso, el punto z = 0 es un polo de orden 4. Observese que no se ha di ho respe to al
valor de f en 0.
Ejemplo 5.12 Consideremos a f (z ) = e1=z si z 6= 0. El punto z = 0 es una singularidad esen ial,
ya que:
1 1 1
1 1
e1=z = 1 + + 2 + +
+ z 2! z
n! z n
Teorema 5.16 Supongamos que f es analti a en un abierto onexo S de
1
si f (z ) 6= 0: Enton es:
diante la e ua ion : g (z ) =
f (z )
f tiene un ero de
orden k en z0 2 S:
C
y de namos g me-
tiene un polo de
() gorden
k en z :
0
Demostra ion: Si f tiene un ero de orden k en z0 , existe un entorno redu ido B (z0 ; r)nfz0 g en
el ual f no se anula. En el entorno B (z0 ; r) tenemos f (z ) = (z z0 )k h(z ), siendo h(z ) 6= 0 si
z 2 B (z0 ; r): Luego, 1=h es analti a en B (z0 ; r) y tiene un desarrollo:
1
= b + b (z
h(z ) 0 1
z0 ) + ; donde b0 =
1
6 0
=
h(z0 )
Por onsiguiente, si z 2 B (z0 ; r)nfz0 g, tenemos:
1
1
=
(b0 + b1 (z
k
(z z0 ) h(z ) (z z0 )k
b0
b1
=
+
+ ; b0 6= 0:
k
(z z0 )
(z z0 )k 1
g(z ) =
z0 ) + )
y, por tanto, z0 es un polo de orden k para g. El re pro o se demuestra de la misma manera.
Observa ion 5.11 Notar que, en parti ular, este Teorema nos asegura que si P (z ) es un polinomio
que tiene omo eros a z1 ; ; zr on multipli idades m1 ; ; mr , enton es g (z ) = 1=P (z ) tiene
omo polos a z1 ; ; zr on ordenes m1 ; ; mr .
CAPITULO 5. VARIABLE COMPLEJA
112
5.15. Residuo de una fun ion en un punto singular aislado
Si z0 es un punto singular aislado de f (esto es, una singularidad aislada), existe un entorno
redu ido B (z0 ; r)nfz0g en el ual f tiene un desarrollo de Laurent, sea este:
1
1
X
X
(3) f (z ) =
an (z z0 )n + a n (z z0 ) n
n=0
El oe iente a
on el smbolo:
1
n=1
que multipli a a (z
a
La formula (2) nos di e que:
1
z0 )
1
se llama el residuo de f en z0 y se representa
f (z )
= zRes
=z
0
(4) 2i zRes
f (z ) =
=z
0
es de ir:
Res f (z ) =
z=z0
1
2i
Z
Z
C
f (z )dz
f (z )dz
C
si C es una ir unferen ia on entro en z0 orientada en sentido antihorario, tal que
B (z0 ; r)nfz0g:
C Resulta relativamente fa il en mu hos asos al ular el residuo en un punto sin emplear la integra ion. Por ejemplo, si z0 es un polo simple de f; podemos usar la formula (3) para obtener:
Res f (z ) = zl!mz (z
z=z0
0
z0 ) f (z )
Analogamente, si z0 es un polo de orden 2 de f; es fa il demostrar que:
Res f (z ) = g0 (z0 ) ;
z=z0
siendo g aquella fun ion analti a en z0 tal que g(z ) = (z
z0 )2 f (z ); para z 6= z0:
Mas generalmente, se tiene:
Supongamos que f tiene un polo de orden m 1 en z = z0 ; y sea g aquella fun ion analti a
en z0 tal que g(z ) = (z z0 )m f (z ); para z 6= z0 : Si g(z ) = b0 + b1 (z z0 ) + es la expansion
en serie de poten ias de g alrededor de z = z0 , enton es para z er ano pero 6= z0; se tiene que :
1
X
b
b0
+ + m 1 + bm+k (z z0 )k
f (z ) =
m
(z z0 ) k=0
(z z0 )
Esta e ua ion da la Expansion de Laurent de f en un entorno redu ido B (z0 ; r)nfz0 g. Pero
enton es:
113
5.16. TEOREMA DEL RESIDUO (CAUCHY)
g(m 1) (z0 )
(m 1)!
0
f (z ) = g (z0 ) = zl!mz (z z0 ) f (z )
En parti ular, si z = z0 es un polo simple, enton es zRes
=z
Res f (z ) = bm
z=z
1
=
0
0
Todo esto puede ser resumido en el siguiente :
Teorema 5.17 Supongamos que f tiene un polo de orden m en z = z0 y sea g aquella fun ion
analti a en z0 tal que g (z ) = (z z0 )m f (z ); para z 6= z0 : Enton es:
Res f (z ) =
z=z
0
g(m 1) (z0 )
(m 1)!
En asos pare idos a estos, en los que el residuo se puede al ular fa ilmente, la igualdad (4) nos
brinda un poderoso metodo para al ular integrales de ontorno a lo largo de aminos errados.
CAUCHY fue el primero en omprobar que la teora de los residuos tiene gran numero de aplia iones. Todas estas estan basadas en el Teorema del Residuo (Cau hy), que es una generaliza ion
de (4) al aso uando el amino C in luye en su interior mas de un punto singular aislado.
5.16. Teorema del Residuo (Cau hy)
Teorema 5.18 Sea f una fun ion analti a en todos los puntos de un abierto onexo S de C ;
ex epto en un numero nito de puntos singulares aislados. Sea C una urva re ti able de Jordan tal
que C y su region interior esten ontenidas en S . Supongamos que C ontiene un ierto numero de
singularidades de f en su interior, sean estas z1 ; ; zn , pero que no existen singularidades sobre C .
Tenemos enton es:
Z
n
on tal que el amino
C
f (z )dz = 2i
X
k=1
Res f (z ) (5)
z=zk
C este orientado en sentido antihorario.
Demostra ion:
Cuando solamente existe una singularidad z1 dentro de C , la analiti idad de f nos permite
reemplazar el ontorno C por una ir unferen ia de entro z1, y la formula (5) se redu e a la (4).
El Teorema general puede demostrarse por indu ion respe to al numero n de singularidades.
Indi aremos el amino para dedu ir el aso n = 2 a partir del aso n = 1.
Supongamos que existen exa tamente dos singularidades z1 y z2 dentro de C : En tal aso existe un
entorno redu ido B (z1 ; r)nfz1 g ontenido dentro de C en el que podemos es ribir: f (z ) = f1 (z )+f2(z )
siendo f1 la parte regular y f2 la parte prin ipal de f en z1 . segun el Teorema de Laurent, f2 es
analti a en C nfz1 g, y por lo tanto, en parti ular, f2 es analti a en S nfz1g: Sea ahora g la fun ion
de nida en S nfz2g omo sigue:
g(z ) =
f (z ) f2 (z ); si z 2 S; z 6= z1 ; z 6= z2
f1 (z1 );
si
z = z1
CAPITULO 5. VARIABLE COMPLEJA
114
De este modo, g es analti a en S nfz2g. Z
A ontinua ion, al ularemos la integral g(z )dz de dos maneras. Ya que z1 no esta sobre C ,
C
podemos
Z es ribir: Z
Z
Z
g(z )dz = (f (z ) f2 (z )) dz = f (z )dz
f2 (z )dz =
C
C
C
Z
i) C Z
s f (z )
= f (z )dz 2i Re
s f (z ) = f (z )dz 2i Re
z=z1
z=z1 2
C
C
Por otro parte, podemos reemplazar C por una ir unferen ia C1 on entro en z2 orientada en
sentido antihorario, y ontenida dentro de C ; pero de tal manera que z1 no sea interior a C1 : Se
tiene enton
Z es:
Z
g(z ) = 2i zRes
f (z )
ii) g(z )dz = g(z )dz = 2i zRes
=z2
=z2
C
C1
De i) y ii) on luimos:
Z
C
f (z )dz = 2i
2
X
k=1
Res f (z )
z=zk
Esto demuestra (5) para n = 2. El aso general se demuestra en forma pare ida.
5.17. Diferen ia entre el numero de eros y el numero de
polos en el interior de un ontorno errado
Teorema 5.19 Supongamos que f es analti a en un abierto onexo S de C ex epto, a aso, en un
numero nito de polos. Sea C una urva re ti able de Jordan tal que C y su region interior esten
ontenidas en S . Supongamos ademas que ninguno de los eros o polos de f esten sobre C . Sean
z1 ; ; zq los eros de f que estan dentro de C , y designemos por nk el orden de zk (k = 1; 2; ; q):
Sean p1 ; ; pr los polos de f que estan dentro de C y designemos por mk el orden de pk (k =
1; 2; ; r). Enton es se umple que :
1
(6) 2i
Z
C
q
X
f 0 (z )
dz = nk
f (z )
k=1
r
X
k=1
mk
Observa ion 5.12 El segundo miembro en (6) es la diferen ia entre el numero de eros y el numero
de polos situados en el interior de C , on tal que ada ero y ada polo se uente tantas ve es omo
indique su orden.
Demostra ion: Supongamos que en un entorno redu ido de un punto z0 tenemos f (z ) = (z z0)n g(z ), siendo g analti a en z0 y g(z0 ) 6= 0, y n un entero (positivo o negativo). Existe enton es un
5.18. CALCULO
DE INTEGRALES REALES MEDIANTE LOS RESIDUOS
115
entorno redu ido de z0 en el que podemos es ribir:
g0 (z )
n
f 0(z )
+
=
f (z ) z z0 g(z )
siendo el o iente g0 =g analti o en z0 . Esta igualdad nos di e que un ero de f de orden n (que
para el aso es z0 ) es un polo simple de f 0 =f on residuo n. Analogamente, un polo de f de orden
n es un polo simple de f 0 =f on residuo n. Este he ho, unido al Teorema del Residuo de Cau hy,
da lugar a:
!
Z 0
q
r
X
X
f (z )
dz = 2i
nk
mk
f (z )
k=1
k=1
C
Z 0
q
r
X
X
1
f (z )
o lo que es equivalente :
mk
dz = nk
2i f (z )
k
=1
k
=1
C
5.18. Cal ulo de integrales reales mediante los residuos
Se dispone de varios metodos, que dependen de la forma parti ular de la integral a al ular.
Vamos a des ribir brevemente dos de tales metodos:
Z 2
El primer metodo se re ere a integrales de la forma:
R (sent; ost) dt, donde R es una
0
fun ion ra ional( = uo iente de polinomios) de dos variables.
Teorema 5.20 Sea R una fun ion ra ional de dos variables y onsideremos:
2
z 1 z2 + 1
;
f (z ) = R
2iz
2z
siempre que la expresion del segundo miembro sea nita. Designemos por
unitaria on entro (0; 0): Enton es:
(7) Z 2
0
on tal que f no tenga polos sobre C :
R (sent; ost) dt =
Z
C
C a la
ir unferen ia
f (z )
dz;
iz
Demostra ion: Una fun ion z que des riba C viene dada por z (t) = eit , si 0 t 2. Para esta
fun ion tenemos:
z (t)2 + 1
z (t)2 1
= sent;
= ost;
z 0 (t) = iz (t);
2iz (t)
2z (t)
y luego:
Z
Z 2
Z 2
f (z )
f (z (t)) z 0 (t)
R(sent; ost)dt
dz =
dt =
iz
iz (t)
0
0
C
CAPITULO 5. VARIABLE COMPLEJA
116
Observa ion 5.13 Para al ular la integral del segundo miembro de (7) ne esitamos tan solo alular los residuos del integrando en aquellos polos que son interiores a C :
Ejemplo 5.13 Cal ular I =
Solu ion :
Apli ando (7), en ontramos:
Z 2
0
dt
; donde a 2 R;
a + ost
I = 2i
Z
jaj > 1:
dz
z 2 + 2az + 1
C
El integrando tiene polos simples en las ra es de la e ua ion z 2 + 2az + 1 = 0. Estos son los
puntos:
p
p
a2 1:
z1 = a + a2 1; z2 = a
Los orrespondientes residuos R1 y R2 son:
1
1
;
=
R1 = zl!mz (z z1 ) 2
z + 2az + 1 z1 z2
1
1
1
R2 = zl!mz (z z2 ) 2
=
z + 2az + 1 z2 z1
2
Si a > 1, enton es z1 es interior a C y z2 exterior a C . Por lo tanto:
I = 2i 2i
Si a < 1, enton es z2 es interior a
I = 2i 2i
1
z1 z2
=
p 42
2 a
C y z1 exterior a C :
1
z2 z1
=
p42
2 a
1
=
p 22
a
1
Luego:
1
=
p 22
a
1
Ejemplo 5.14 Cal ular la siguiente integral mediante los residuos:
Z 2
0
os2t dt
; si a2 < 1:
1 2a ost + a2
Solu
ion: Apli ando la formula
(7) que di e:
2
Z 2
Z
f (z )
z 1 z2 + 1
R (sent; ost) dt =
, en ontramos:
dz , siendo f (z ) = R
;
iz
2iz
2z
0
C
Z 2
0
1
2i
Z
C
os2t dt
=
1 2a ost + a2
Z 2
0
os2 t sen2 t
dt =
1 2a ost + a2
z 4 + 1 dz
1
=
z 2 (az 2 (1 + a2 ) z + a) 2i
Z
Z
C
f (z )
dz
iz
z 4 + 1 dz
az 2 (z a) z a1
C
5.18. CALCULO
DE INTEGRALES REALES MEDIANTE LOS RESIDUOS
117
1
1
Como a2 < 1 enton es 1 < a < 1 y > 1, o < 1:
a
a
Luego, los polos del integrando que son interiores a C son 0(polo de orden 2) y a (polo simple).
As, del Teorema del Residuo tenemos:
Z
z 4 + 1 dz
1
f (z )
f (z )
=
2i Res
+ Res
1
2
z
=
a
z
=0
2i
iz
iz
az (z a) z a
C
!
)
(
z4 + 1
z4 + 1
2a2
d
=
ma 2
= z=0 + zl!
1
1
dz a (z a) z a
1 a2
az z a
1
2i
Mu has integrales impropias pueden tratarse por medio del Teorema siguiente:
Teorema 5.21 Designemos por T = fx + iy = y 0g al semiplano superior. Sea S un abierto
onexo en C que ontiene a T y supongamos que f es analti a en S , ex epto a lo mas, en un
numero nito de polos. Supongamos ademas que ninguno de estos polos esta sobre el eje real. Si :
lm
R!1
Z 0
f Rei Rei d = 0;
enton es el valor prin ipal de Cau hy de la integral
2i n
X
k=1
Z
1
1
f (x)dx existe y es igual a:
Res f (z );
z=zk
donde z1 ; ; zn son los polos de f ontenidos en T:
Observa ion 5.14 El valor prin ipal de Cau hy de la integral
lm
b!+1
Z
Z b
b
Z
1
1
f (x)dx es de nido omo:
f (x)dx:
1
f (x)dx onverge enton es su valor es igual a su valor prin ipal de Cau hy; sin embargo
Z b
Z 1
puede su eder que el valor prin ipal de Cau hy lm
f (x)dx onverja y
f (x)dx diverja.
b!+1 b
1
Si
1
Demostra ion(del Teorema): Sea C el amino orientado en sentido antihorario formado tomando
la por ion del eje real desde R a R y la semi ir unferen ia en T que tenga a [ R; R℄ omo diametro,
habiendo tomado R lo bastante grande para que in luya todos los polos z1 ; ; zn.
Enton es, por el Teorema del Residuo :
2i n
X
k=1
Res f (z ) =
z=zk
Z
C
f (z )dz =
Z R
R
f (x)dx +
Z 0
f (Rei )i Rei d
CAPITULO 5. VARIABLE COMPLEJA
118
Por lo tanto:
2i
n
X
k=1
Res f (z ) =
z=z
Z R
k
R
f (x)dx + i
Z 0
f Rei Rei d:
Apli ando lm obtenemos :
R!+1
lm
R!+1
Z R
R
f (x)dx = 2i Z n
X
k=1
Re sf (z )
z=zk
f Rei Rei d = 0 se satisfa e automati amente si f
es el uo iente de dos polinomios, por ejemplo f = P=Q; on tal que el grado de Q ex eda al grado
de P por lo menos en 2 unidades.
Observa ion 5.15 La igualdad lm
R!+1
0
Z
1
dx
1
4 ) onsideremos f (z ) = 1 + z 4 . Claramente f
(1
+
x
1
es analti a en todo
C ex epto en 4 polos que son las ra es de la e ua i
on 1 + z 4 = 0: Estas son :
i
(2
k
1)
4 ; k = 1; 2; 3; 4. (Ningungo de estos polos esta sobre el eje real).
z = zk = e
Z De estos, tan solo z1 y z2 estan en el semiplano superior. Por otro lado: lm
f Rei Rei d =
R!+1 0
Z i
Re d
P
lm
4 = 0, ya que f e el uo iente de dos polinomios Q donde grado (Q) ex ede
R!+1 0
i
1 + Re
el grado (P ) en 4 unidades.
El residuo en z1 es:
Ejemplo 5.15 Para al ular la integral
mz (z
Res f (z ) = zl!
z=z
1
1
e i4
(z z1 )
1
1
=
=
=
4z13 4 ei 34
4i
1 1 + z4
z1 ) f (z ) = zl!mz
El residuo en z2 es:
mz (z
Res f (z ) = zl!
z=z
2
2
Por lo tanto:
Z
1
1
1
(z z2 )
1
e i4
=
=
=
=
4z23 4 ei 94 4ei 4
4i
2 1 + z4
z2 ) f (z ) = zl!mz
e 4i e i4
1
dx
=2
i
+
4i
4i
1 1 + x4
!
p
2
=
2 os
=
2
4
2
5.18. CALCULO
DE INTEGRALES REALES MEDIANTE LOS RESIDUOS
Ejemplo 5.16 Cal ular la siguiente integral mediante los residuos :
Z 1
1
2 + x + 1 dx
x
1
Solu ion:
1
. Claramente f es analti a en todo
Consideremos la fun ion f (z ) = 2
z 2+ z + 1
polos simples que son las ra es de z + p
z + 1 = 0.
1
1 4
Pero z 2 + z + 1 = 0 () z =
2
p
1 + 3i
z
=
1
2
2
p
,z=
z2 = 21 23 i
119
C
ex epto en 2
Ninguno de estos polos esta sobre el eje real. De estos solo z1 esta en el semiplano superior
T = fx + iy=y 0g.
Z Por otro lado, lm
f Rei Rei d = 0 ya que f es el uo iente de dos polinomios
R!+1 0
donde el grado del denominador ex ede al grado del numerador en 2 unidades. Luego, por el Teorema
5.21 se tiene que :
Z
1
1
f (z ) = zl!mz (z z1) f (z ) = 2i
f (x)dx =(2i) zRes
=z
Por lo tanto:
Z
1
1
p
2 3
1
2 + x + 1 dx = 3 x
1
1
z1
1
z2
1
= 2i p
3i
120
CAPITULO 5. VARIABLE COMPLEJA
Cap
tulo 6
Ejer i ios Resueltos
1. Cal ular el trabajo realizado por el ampo de fuerzas F~ (x; y; z ) = (y z; z x; x y) a lo
largo de la urva de interse ion de la esfera x2 + y2 + z 2 = 4 y el plano z = y tg( ); en
donde 0 < < =2: El amino es re orrido de modo que, observando el plano xy desde el
eje z positivo, el sentido aparez a ontrario al de las agujas del reloj.
Solu ion :
6
z
(0; 02)
)
C
y
x
Sea
C
la urva interse ion. Se tiene que :
(x; y; z ) 2 C =) x2 + y2 + (y tg )2 = 4 =) x2 + (1 + tg2 )y2 = 4
x2
y2
=) x2 + se 2 y2 = 4 =)
+
=1
4 4 os2
Luego, una parametriza ion para C es :
8
>
<x(t)
= 2 ost
~ (t) : y(t) = (2 os )sent
>
:
z (t) = y tg = (2sen )sent
121
0 t 2
CAPITULO 6. EJERCICIOS RESUELTOS
122
Por lo tanto:
W=
=
Z 2
0
C
F~ d~x =
Z 2
0
F~ (~ (t)) ~0 (t)dt =
(2 os sent 2sen sent; 2sen sent 2 ost; 2 ost 2 os sent)
( 2sent; 2 os ost; 2sen ost)dt
=
2. Cal ular:
Z
Z 2
0
( 4 os + 4sen )dt = 8(sen
os )
Z
3x2 y2 z dx + 2x3 yz dy + x3 y2 dz
C
donde C es el segmento de re ta que va desde (1; 1; 1) hasta (2; 0; 1), sin parametrizar la
urva C .
Solu ion :
F~ (x; y; z ) = (3x2 y2 z; 2x3 yz; x3 y2 ) = (P (x; y; z ); Q(x; y; z ); R(x; y; z )) es de lase C 1 en R3 ;
R3 es simplemente onexo, y adem
as:
8
Q
>
< x (x; y; z )
= 6x2 yz = P
y (x; y; z );
P (x; y; z ) = 3x2 y 2 = R (x; y; z );
z
x
>
: Q
3 y = R (x; y; z );
(
x;
y;
z
)
=
2
x
z
y
8 (x; y; z ) 2 R3
Por lo tanto, F~ es onservativo en R3 , es de ir existe un ampo es alar f : R3
F~ = rf:
Para en ontrar un poten ial f de F~ pro edemos omo sigue:
! R tal que
8
f
>
< x (x; y; z )
= 3x2 y2 z (i)
f (x; y; z ) = 2x3 yz (ii)
y
>
: f
3 2
z (x; y; z ) = x y (iii)
Integrando ambos lados de (i) on respe to a x; obtenemos: f (x; y; z ) = x3 y2z + g(y; z ):
Tomando derivadas par iales on respe to a y; y omparando on (ii); en ontramos que:
g
(y; z ) = 0;
y
de donde
123
g(y; z ) = h(z ):
Por lo tanto,
f (x; y; z ) = x3 y2z + h(z ):
Ahora tomando derivadas par iales on respe to a z y omparando on (iii); obtenemos
h0 (z ) = 0; de donde h(z ) = ( onstante). Por lo tanto
f (x; y; z ) = x3 y2 z +
nos entrega la familia de poten iales del ampo ve torial F~ :
Finalmente tenemos que :
Z
C
3x2 y2z dx + 2x3 yz dy + x3 y2 dz = f (2; 0; 1) f (1; 1; 1) = 1:
3. Utilizando el Teorema de Green, al ular :
Z 2(x 1)2 + 2y2 (x 1)
(x 1)2 + y2 + y
dx
+
dy
(x 1)2 + y2
C (x 1)2 + y2
donde C es la ir unferen ia x2 + y2 = 4, re orrida en sentido antihorario.
Solu ion :
y
R
6
kC
C1
I
x
CAPITULO 6. EJERCICIOS RESUELTOS
124
P (x; y) = 1 +
y
;
(x 1)2 + y2
(x 1)
:
(x 1)2 + y2
Q(x; y) = 2
Se tiene que:
P
(x 1)2 y2
Q
=
(x; y) =
(x; y);
x
((x 1)2 + y2 )2 y
8 (x; y) 2 R2 f(1; 0)g
C1
es la ir unferen ia (x 1)2 + y2 = a2 (a > 0 peque~no) y R es la region que es interior a
C y exterior a C1, enton es el Teorema de Green para regiones multiplemente onexas nos di e
que:
ZZ I
I
Q P
(P dx + Qdy);
d(x; y) = (P dx + Qdy)
y
R x
C
C1
Si
de donde
I
C
C1
Por lo tanto:
C1
=
Z 2
0
(P dx + Qdy) =
Z 2 0
I
C1
(P dx + Qdy)
: ~1 (t) = (1 + a ost; asent); 0 t 2:
Z
=
(P dx + Qdy) =
1+
Z 2
0
F~ ( ~1 (t)) ~01 (t)dt =
a ost
a2
asent
;2
a2
asent sen2 t + 2a ost
( asent; a ost) dt
os2 t dt =
Z 2
0
( 1)dt = 2
4. Sean F~ (x; y; z ) = (x2 + yez ; y2 + zex; z 2 + xey ); y S la frontera de la region solida que
esta en el interior del ilindro x2 + y2 = 1 y entre los planos z = 0 y z = x + 2: Utilizando
el Teorema de la divergen ia, al ular:
ZZ
S
F~ n^ dS
donde n^ es la orienta ion de S dirigida ha ia afuera.
Solu ion :
125
z
D
6 n^
I
-n^
y
S
-
-
x
?n^
Sea D la region solida a otada por S . Por el Teorema de la divergen ia tenemos que:
ZZ
S
ZZZ
F~ n^ dS =
D
(divF~ ) d(x; y; z )
Pero divF~ (x; y; z ) = 2x + 2y + 2z: Por lo tanto,
ZZ
S
=2
F~ n^ dS = 2 Z 2 Z 1 Z r os+2
0
0
0
ZZZ
D
(x + y + z )d(x; y; z )
(r os + rsen + z )rdzdrd
=
19
4
5. Utilizando el Teorema de Stokes, al ule:
ZZ
S
(rotF~ ) n^ dS
donde F~ (x; y; z ) = (xz 2 ; x3 ; os(xz )); S es la parte del elipsoide x2 + y2 +3z 2 = 1 que queda
por debajo del plano xy; y n^ esta dirigida ha ia afuera del elipsoide.
Z
3t sen(2t) sen(4t)
+
+ )
(Indi a ion:
os4 tdt = +
8
4
32
Solu ion :
CAPITULO 6. EJERCICIOS RESUELTOS
126
z
6
-
S
-y
1
s n^
x
El Teorema de Stokes nos di e que :
ZZ
S
(rotF~ ) n^ dS =
Z
S
F~ d~x;
donde S es la ir unferen ia de entro (0; 0) y radio 1 ontenida en el plano xy y re orrida
en sentido horario, parametrizada por:
8
>
<x(t)
= ost
~ (t) : y(t) = sent
>
:
z (t) = 0
Se tiene que:
Z
S
=
Z 2
0
F~ d~x =
Z 2
0
( os4 t)dt =
0 t 2
(0; os3 t; os(0)) ( sent;
ost; 0) dt
3t sen(2t) sen(4t) 2
+
+
j =
8
4
32 0
3
4
6. Trazar la gra a de la serie de Fourier de la fun ion :
f (x) =
Solu ion :
0; < x 0
x; 0 x < 127
y
6
2
3
2
0
2
3
4
5
-x
7. Resolver el problema :
8
>
<uxx
= 16 ut ; 0 < x < 1; t > 0 (1)
ux(0; t) = ux(1; t) = 0; t 0 (2)
>
:
u(x; 0) = 4 + 5 os(3x); 0 x 1 (3)
utilizando el metodo de separa ion de variables. Detallar ada paso del pro edimiento.
Solu ion :
Suponemos que u(x; t) = X (x) T (t): Reemplazando en (1) se tiene :
X "(x) T (t) = 16X (x) T 0(t); de donde dividiendo por X (x) T (t) se obtiene:
16 T 0(t)
X "(x)
=
= k;
X (x)
T (t)
De donde : X 00 (x) kX (x) = 0 y T 0 (t)
siendo k una onstante.
k
16 T (t) = 0:
De (2) tenemos que : ux (0; t) = X 0 (0) T (t) = 0
Tambien : ux(1; t) = X 0(1) T (t) = 0
8 t 0;
8 t 0;
de donde X 0(1) = 0:
Pasamos a resolver:
(4) (
X 00 (x) kX (x) = 0
X 0 (0) = X 0(1) = 0
k > 0 =) la uni a solu ion de (4) es X (x) = 0.
de donde X 0 (0) = 0:
CAPITULO 6. EJERCICIOS RESUELTOS
128
k = 0 =) la solu ion general de X "(x) kX (x) = 0 es X (x) = A0 + A1 x: Pero :
X 0(0) = X 0 (1) = 0 =) A1 = 0:
Luego, X (x) = A0 ( onstante 6= 0) es solu ion de (4):
k < 0 =) la solu ion general de X "(x) kX (x) = 0 es:
p
p
X (x) = A os( kx) + Bsen( kx)
p
p
p
p
0
X (x) = A k sen( kx) + B k os( kx)
X 0(0) = 0 =) B =p0
p
p
p
X 0(1) = 0 =) A k sen( k) = 0 =) sen( k) = 0 =)
k = n; n 2 N . As, se
han obtenido las siguientes solu iones no-triviales (no-nulas) de (4) :
Xn (x) = An os(nx); n = 0; 1; 2; Ahora, onsideramos la e ua ion diferen ial T 0(t) 16k T (t) = 0 para los valores k = (n)2
(n = 0; 1; 2; ) que a aban de obtenerse. Es de ir se onsideran :
n 2
T 0(t) +
T (t) = 0
4
uya solu ion general es :
n 2
Tn(t) = Cn e ( 4 ) t ; n = 0; 1; 2; Por lo tanto, las fun iones :
n 2
un(x; t) = Xn (x) Tn (t) = An Cn e ( 4 ) t os(nx);
esto es,
n 2
un(x; t) = n e ( 4 ) t os(nx); n = 0; 1; 2; son solu iones de (1) y (2); siendo n una onstante arbitraria.
Al observar la ondi ion (3), postulamos omo solu ion a :
u(x; t) = u0 (x; t) + u3 (x; t):
(3) =) u(x; 0) =
0+ 3
os(3x) = 4 + 5 os(3x);
0
= 4;
3
8 x 2 [0; 1℄, de donde :
= 5:
Por lo tanto, la solu ion bus ada es :
3 2
9 2
u(x; t) = 4 + 5e ( 4 ) t os(3x) = 4 + 5e 16 t os(3x):
129
8. Cal ular el area de la parte de la esfera x2 + y2 + z 2 = 9 que esta dentro del paraboloide
x2 + y2 = 8z:
Solu ion :
z
6
2 + y 2 = 8z
x
(0; 3; 0)
y
x
(
x2 + y 2 + z 2 = 9
x2 + y2 = 8z
=) 8z + z 2 = 9 =) z = 9
_ z = 1:
z = 1 =) x2 + y2 = 8
Por lo tanto, la super ie en uestion puede ser expresada expl itamente omo:
S :
z =
p
9 x2
y2 = f (x; y); (x; y) 2 T = f(x; y) 2 R2 : x2 + y2 8g:
Por lo tanto :
Area de S =
=
v
ZZ u
u
t1 +
x
p
9 x2
T
=
Z 2 Z
0
0
p8
!2
y2
ZZ
T
s
f
1+
x
y
+ p
9 x2
p 3r 2 drd =
9 r
Z 2 h
0
2
f
+
y
!2
y2
2
d(x; y)
d(x; y) =
ZZ
T
3
9 x2
p
y2
d(x; y)
pi
p
3 9 r2 j0 8 d = 12:
CAPITULO 6. EJERCICIOS RESUELTOS
130
p
9. Sea C la urva interse ion de la esfera x2 + y2 + z 2 = 4 on el plano z = 3y; re orrida de
tal modo que observando el plano xy desde el eje z positivo, el sentido aparez a ontrario al
de las agujas del reloj. Utilizando el Teorema de Stokes, al ule:
Z
C
(y
z )dx + (z x)dy + (x y)dz:
2
2
(Indi a ion: El area de la region en errada por la elipse xa2 + yb2 = 1 es : ab):
Solu ion :
6
z
K
)
n
^
C
(0; 2; 0)
y
x
p
Podemos tomar omo S a la parte del plano z = 3y a otada por C ; orientada on la normal
n^ dirigida ha ia arriba.
(
x2 +py2 + z 2 = 4
z = 3y
=)
=) x2 + y2 + 3y2 = 4 =) x2 + 4y2 = 4
x2 y2
+ = 1 (= Proye ion de C sobre el plano xy):
4
1
p
S : ~r(x; y) = (x; y; 3y); (x; y) 2 R =
(x; y) 2 R2 :
p
~r ~r
= (0;
x y
3; 1) que nos da la orienta ion requerida.
El Teorema de Stokes nos di e enton es que :
Z
C
Pero :
x2 y 2
+
4
1
F~ d~x =
ZZ
S
(rotF~ ) n^ dS
1 :
131
rotF~ (x; y; z ) =
^i
k^
^j
y
x
z
y z z x x y
= ( 2; 2; 2):
Por lo tanto :
Z
C
=
ZZ
R
p
F~ d~x =
~r ~r
(rotF~ (~r(x; y))) x y
R
( 2; 2; 2) (0;
= (2 3 2) ZZ
R
ZZ
p
3; 1) d(x; y) =
d(x; y)
p
ZZ
R
(2 3 2) d(x; y)
p
p
1 d(x; y) = 2( 3 1) Area(R) = 4( 3 1):
10. Apli ando el metodo de separa ion de variables, resolver el problema:
8
>
<uxx
= 25 ut ; 0 < x < 3; t > 0 (1)
u
(0
; t) = ux(3; t) = 0; t 0 (2)
x
>
:
u(x; 0) = 4 + 7 os 53 x ; 0 x 3 (3)
Detallar ada paso del pro edimiento
Solu ion :
Suponemos que u(x; t) = X (x) T (t): Reemplazando en (1) se obtiene :
X "(x) T (t) = 25X (x) T 0(t); de donde dividiendo por X (x) T (t) se on luye que :
25 T 0 (t)
X "(x)
=
X (x)
T (t)
siempre que
X (x) T (t) 6= 0:
Por lo tanto :
X "(x)
25 T 0(t)
=
= k;
X (x)
T (t)
De donde : X 00 (x) kX (x) = 0 y T 0 (t)
siendo k una onstante.
k
25 T (t) = 0:
De (2) tenemos que : ux (0; t) = X 0 (0) T (t) = 0
Tambien : ux(3; t) = X 0(3) T (t) = 0
8 t 0;
8 t 0;
de donde X 0 (0) = 0:
de donde X 0(3) = 0:
CAPITULO 6. EJERCICIOS RESUELTOS
132
A ontinua ion debemos resolver:
(4) (
X 00 (x) kX (x) = 0
X 0 (0) = X 0 (3) = 0
k > 0 =) la uni a solu ion de (4) es X (x) = 0.
k = 0 =) la solu ion general de X "(x) kX (x) = 0 es X (x) = A0 + A1 x: Pero :
X 0(0) = X 0 (3) = 0 =) A1 = 0:
Luego, X (x) = A0 ( onstante 6= 0) es solu ion de (4):
k < 0 =) la solu ion general de X "(x) kX (x) = 0 es:
p
p
X (x) = A os( kx) + Bsen( kx)
p
p
p
p
0
X (x) = A k sen( kx) + B k os( kx)
X 0(0) = 0 =) B =p0
p
p
p
k = n
X 0(3) = 0 =) A k sen(3 k) = 0 =) sen(3 k) = 0 =)
3 ; n 2 N . As, se
han obtenido las siguientes solu iones no-triviales (no-nulas) de (4) :
Xn (x) = An os
n 3
x ; n = 0; 1; 2; Ahora, onsideramos la e ua ion diferen ial T 0(t) 25k T (t) = 0 para los valores k =
(n = 0; 1; 2; ) que a aban de obtenerse. Es de ir se onsideran :
T 0(t) +
n 2
15
T (t) = 0
uya solu ion general es :
n 2
Tn(t) = Cn e ( 15 ) t ; n = 0; 1; 2; Por lo tanto, las fun iones :
n n 2
un (x; t) = Xn (x) Tn(t) = An Cn e ( 15 ) t os
x ;
3
esto es,
n n 2
un (x; t) = n e ( 15 ) t os
x ; n = 0; 1; 2; 3
son solu iones de (1) y (2); siendo n una onstante arbitraria.
Al observar la ondi ion (3), postulamos omo solu ion a :
u(x; t) = u0 (x; t) + u5 (x; t):
n 2
3
133
(3) =) u(x; 0) =
0+ 5
os 53 x = 4 + 7 os 53 x ;
0
= 4;
8 x 2 [0; 3℄, de donde :
= 7:
5
Por lo tanto, la solu ion bus ada es :
2 t
u(x; t) = 4 + 7e
9
5
os
x :
3
11. Utilizando el Teorema de Green, al ular:
Z y + x3 + xy2
x yx2 y3
dx +
dy
2
2
x +y
x2 + y 2
C
donde C es la frontera del uadrado de verti es (2; 0); (0; 2); ( 2; 0), y (0; 2), re orrida en
sentido antihorario.
Solu ion :
y
6
(0; 2)
I
R
C1
(
2; 0)
(2; 0)
R
Q
(x; y)
x
x
(0;
P (x; y) =
-
2)
x yx2 y3
y + x3 + xy2
;
Q
(
x;
y
)
=
x2 + y 2
x2 + y2
P
(x; y) = 2;
y
8 (x; y) 2 R2 f(0; 0)g
Sea C1 la ir unferen ia : x2 + y2 = a2 ; a > 0 peque~no, re orrida en sentido antihorario.
C1 puede ser parametrizada por:
(
os t
C1 : yx == aa sen
;
t
0 t 2
CAPITULO 6. EJERCICIOS RESUELTOS
134
Si R es la region interior a C y exterior a C1 , enton es Green nos di e que:
ZZ De donde :
Pero:
I
C1
I
C
I
P
d(x; y) = (P dx + Qdy)
y
C
Q
R x
(P dx + Qdy) = 2 Area(R) +
(P dx + Qdy) =
Z 2 a
0
I
C1
I
C1
(P dx + Qdy)
(P dx + Qdy)
os t a3 sen t a sen t + a3 os t
;
a2
a2
=
Z 2
0
( a sen t; a
os t)dt
a2 dt = 2a2 :
Por lo tanto :
I
C
(P dx + Qdy) = 2 (8 a2 ) + 2a2 = 16:
12. Utilizando el Teorema de Stokes, al ular:
ZZ
S
(rotF~ ) n^ dS
donde F~ (x; y; z ) = (xz; y2 + 2x; x); S es la parte del paraboloide z = 9 x2 y2 que queda
por en ima del plano xy; y n^ esta dirigida ha ia arriba.
Solu ion :
z
9
6
1
n
^
3
x
- S
3
-y
135
El Teorema de Stokes nos di e que:
ZZ
S
Z
(rotF~ ) n^ dS =
S
F~ d~x;
donde S es la ir unferen ia de entro (0; 0) y radio 3 parametrizada por:
8
>
<x
= 3 os t
y = 3 sen t
>
:
z=0
; 0 t 2:
Se tiene que:
Z
S
=
Z 2
0
F~ d~x =
(27 sen2 t
Z 2
0
(0; 9 sen2 t + 6 os t; 3 os t) ( 3 sen t; 3 os t; 0) dt
os t + 18
os2 t)dt = 9 sen3 t + 18 t sen 2t
+
2
4
2
0
= 18:
Por lo tanto :
ZZ
S
(rotF~ ) n^ dS = 18:
13. Cal ular la integral :
Z
3
dz
z
1
C
donde C es la ir unferen ia de entro (1; 0) y radio 1, re orrida en sentido antihorario.
Solu ion :
6
C
K
(1; 0)
2
-
CAPITULO 6. EJERCICIOS RESUELTOS
136
C
: z (t) = (1 + os t) + i sen t; 0 t 2:
x(t) = 1 + os t; y(t) = sen t; 0 t 2:
3
3
3((x 1) iy)
3
=
=
=
=
z 1 (x + iy) 1 (x 1) + iy
(x 1)2 + y2
3(x 1)
3y
+i
= u(x; y) + iv(x; y):
(x 1)2 + y2 (x 1)2 + y2
f (z ) =
Luego se tiene por de ni ion que :
Z
Cz
3
1
i
=
Z 2
0
dz =
Z 2
0
Z 2
0
[u(x(t); y(t))x0 (t) v(x(t)); y(t))y0 (t)℄ dt+
[u(x(t); y(t))y0 (t) + v(x(t); y(t))x0 (t)℄ dt
[3 os t( sen t) ( 3 sen t) os t℄ dt + i
= i
Z 2
0
Z 2
0
[3 os t( os t) + ( 3 sen t)( sen t)℄ dt
3 dt = 6i:
(Otra forma mas inmediata de al ular la integral es apli ando la Formula de la integral de
Cau hy).
14. Cal ular la integral de nida:
J( ) =
donde
Z
1
1
1
dx
(x4 + 1) (x2 + 2 )2
designa un numero real positivo.
Solu ion:
1
Sea f (z ) = 4
. f es analti a en todo
(z + 1) (z 2 + 2 )2
uales esta en la re ta real.
f tiene en el semiplano superior los polos simples :
p
z1 = i =
y el polo doble: z3 = i .
p
C
ex epto en 6 polos, ninguno de los
p
p
2
2
i=
(1 + i) ; z2 =
( 1 + i)
2
2
137
Ademas, omo f es el uo iente de dos polinomios donde el grado del denominador ex ede al
grado del numerador en 8 unidades, enton es :
lm
R!+1
Z 0
f Rei Rei d = 0:
Enton es el Teorema 5.21 nos di e que :
1
Z
1
Ahora : f (z ) =
(z
1
z2 ) (z + z1 ) (z + z2 ) (z 2 +
z1 ) (z
(z1
z1 ) f (z ) = zl!mz
1
1
1
1
z2 ) (2z1) (z1 + z2 ) (z12 +
2 )2
=
Res f (z ) = zl!
mz (z
z=z2
=
(z22
2
1
2
z1 ) (2z2 ) (z22 +
p
=
2 )2
1
z2) (z + z1) (z + z2) (z 2 +
(z
1
z22 ) (z12 + 2 )2
2z1 (z12
p
2
4i (1 + i) (i +
z2 ) f (z ) =
2
=
1
2 (1 + i) (2i) (i +
p
1
z1) (z2 + z1 ) (2z2 ) (z22 +
(z2
p
2
4i (1 + i) (i +
p
2 )2
2 )2
2 (i 1) i + 2 2
2 (i + 1) i + 2
=
4i (i + 1) (i 1) (i + 2 )2 ( i + 2 )2
+
2
2 )2
=
2 )2
p
4i ( 1 + i) ( i +
p
2
4i ( 1 + i) ( i +
=
p
2
2
2 )2
4
2 2 1
4i ( 4 + 1)2
Como z3 = i es polo doble enton es:
"
#
i
d
1
d h
2
(
z
z
)
f
(
z
)
= zl!mz
f
(
z
)
=
l
m
Res
=
3
4
z!z3 dz
z=z3
dz
3
(z + 1) (z + i )2
= lm
z!i
4z 3 (z + i )2
2 z 4 + 1 (z + i )
(z 4 + 1) (z + i )2
2
2 )2
2 )2
=
p 1
2 )2
( 2i) 2 ( 1 + i) ( i +
f (z ) =
f (z ) + zRes
Por lo tanto : zRes
=z
=z
1
3
2
1
mz (z
Res f (z ) = zl!
z=z
=
f (z )
f (z ) + zRes
f (z ) + zRes
f (x)dx = 2i zRes
=z
=z
=z
4i 5 4 + 1
=
(4 2 ( 4 + 1))2
2 )2
CAPITULO 6. EJERCICIOS RESUELTOS
138
Luego:
3
X
=
4 p2
k=1
4
Res f (z ) =
p
z=zk
2
2 ) dx
= 2i 15. Cal ular :
2 2 1
i 5 4+1
+
=
4i ( 4 + 1)2
4 4 ( 4 + 1)2
4 + 1
2 2 1 + 5
4i 4 ( 4 + 1)2
Por lo tanto:
Z 1
1
4
1 (x + 1) (x2 +
4
3
X
k=1
=
5
4 + 1 + 3 p2
4i 3 (
Res f (z ) = z=zk
5
4
4 + 1)2
4 + 1 + 3 p2
2 3(
2
2
4
4 + 1)2
1
2
2
1
1 ln(x2 + 1)
dx
x2 + 1
0
Z
Z
ln(z + i)
dz donde C es la urva que onsiste
z2 + 1
C
de la por ion del eje real desde R a R y la semi ir unferen ia superior que tiene a [ R; R℄
omo diametro, on R > 1:
Solu ion : Para al ularla onsideraremos la
El uni o polo de
ln(z + i)
dentro de
(z 2 + 1)
C
es el polo simple z = i; y su residuo es:
ln(z + i) ln(2i)
z!mi
l
=
(z + i)
2i
Luego, por el Teorema del Residuo tenemos:
Z
C
ln(2i)
ln(z + i)
= ln(2i) =
dz = 2i
(z 2 + 1)
2i
= ln j2ij + i
i2
= ln 2 +
2
2
Este resultado se puede es ribir omo:
Z R
ln(x + i)
dx +
R x2 + 1
Z
i2
ln(z + i)
dz
=
ln
2
+
(z 2 + 1)
2
139
o
Z R
Z 0
ln(x + i)
dx +
2
R x +1
0
ln(x + i)
dx +
x2 + 1
Z
i2
ln(z + i)
dz = ln 2 +
2
(z + 1)
2
Reemplazando x por x en la primera integral, esto se puede es ribir:
Z R
ln(i x)
dx +
x2 + 1
0
Z R
0
Pero, ln(i x) + ln(i + x) = ln(i2
ln(i + x)
dx +
x2 + 1
Z
i2
ln(z + i)
dz
=
ln
2
+
z2 + 1
2
x2 ) = ln(x2 + 1) + i:
Por lo tanto,
Z R
ln(x2 + 1)
dx + i
dx +
2
2
x +1
0 x +1
Z R
0
Z
i2
ln(z + i)
dz
=
ln
2
+
z2 + 1
2
()
Ahora, observemos que:
Z
ln(z + i)
dz =
z2 + 1
Z 0
ln(Rei +i)i Rei
d
R 2 ei 2 + 1
6
Z 0
ln(Rei +i) R
d:
R2 1
Pero, para todo 2 [0; ℄ :
2
ln Rei +i
= jln (R os + i(R sen + 1)j 2 =
p
= ln R2 os2 + (R sen + 1)2 + i arg(Rei +i)
6 41
ln (R + 1)2
2
2
6
6
q
(ln (R + 1))2 + 2 6 ln(R + 1) + 2
1
ln (R2 + 1 + 2R sen)
2
+ 2 = (ln (R + 1))2 + 2
Por lo tanto :
ln Rei +i
+ 2 6
CAPITULO 6. EJERCICIOS RESUELTOS
140
De donde :
ln Rei +i R
R2 1
Luego :
Z 0
6 R lnR2(R +1 1) + R2R 1 ; 8 2 [0; ℄
ln(Rei +i) R
R
R ln(R + 1)
d 6 + 2
R2 1
R2 1
R 1
y esta ultima expresion (la del lado dere ho) laramente tiende a 0 uando R ! 1:
Por lo tanto :
lm
R!1
Z
ln(z + i)
dz = 0
z2 + 1
Enton es, si apli amos lm en (); obtenemos:
R!1
Z
Z 1
1 ln(x2 + 1)
2
dx
+
i
dx
=
ln
2
+
i
2
x2 + 1
2
0
0 x +1
De donde :
1 ln(x2 + 1)
dx = ln 2:
x2 + 1
0
Z
16. Apli ando el metodo de separa ion de variables, resolver el problema :
8
utt
>
>
>
<
= 16 uxx; 0 < x < ; t > 0 (1)
ux (0; t) = ux (; t) = 0; t 0 (2)
>
u(x; 0) = 7 + 4 os(6x); 0 x (3)
>
>
:
ut (x; 0) = 0; 0 x (4)
Detallar ada paso del pro edimiento
Solu ion :
141
Suponemos que u(x; t) = X (x) T (t): Reemplazando en (1) se obtiene :
X (x) T 00 (t) = 16X 00(x) T (t); de donde dividiendo por 16X (x) T (t) se on luye que :
X 00 (x)
T "(t)
=
16T (t)
X (x)
siempre que
X (x) T (t) 6= 0:
Por lo tanto :
X 00 (x)
T "(t)
=
= k;
16T (t)
X (x)
siendo k una onstante.
De donde : X 00 (x) kX (x) = 0 y T 00 (t) 16kT (t) = 0:
De (2) tenemos que : ux (0; t) = X 0 (0) T (t) = 0
Tambien : ux(; t) = X 0() T (t) = 0
8 t 0;
8 t 0;
de donde X 0 (0) = 0:
de donde X 0 () = 0:
Pasamos enton es a resolver:
(5) (
X 00 (x) kX (x) = 0
X 0 (0) = X 0() = 0
k > 0 =) la uni a solu ion de (5) es X (x) = 0.
k = 0 =) la solu ion general de X "(x) kX (x) = 0 es X (x) = A0 + A1 x: Pero :
X 0 (0) = X 0 () = 0 =) A1 = 0:
Luego, X (x) = A0 ( onstante 6= 0) es solu ion no-trivial de (5):
k < 0 =) la solu ion general de X "(x) kX (x) = 0 es:
p
p
X (x) = A os( kx) + Bsen( kx)
p
p
p
p
0
X (x) = A k sen( kx) + B k os( kx)
X 0 (0) = 0 =) B =p0
p
p
p
X 0 () = 0 =) A k sen( k) = 0 =) sen( k) = 0 =)
k = n; n 2 N . As, se
han obtenido las siguientes solu iones no-triviales (no-nulas) de (5) :
Xn (x) = An os(nx); n = 0; 1; 2; Ahora, onsideramos la e ua ion diferen ial T 00 (t) 16kT (t) = 0 para los valores k = n2
(n = 0; 1; 2; ) que a aban de obtenerse. Es de ir se onsideran :
T 00(t) + 16n2T (t) = 0
CAPITULO 6. EJERCICIOS RESUELTOS
142
uya solu ion general es :
n = 0 =) T0 (t) = C0 + D0 t
n 1 =) Tn (t) = Cn os(4nt) + Dn sen(4nt):
Por lo tanto, las fun iones :
u0(x; t) = (C0 + D0 t) A0 = 0 + 0 t
un (x; t) = (Cn os(4nt)+Dn sen(4nt))An os(nx) = ( n os(4nt)+ n sen(4nt)) os(nx); n = 1; 2; son solu iones de (1) y (2); siendo n y n onstantes arbitrarias.
Al observar las ondi iones (3) y (4); postulamos omo solu ion a :
u(x; t) = u0 (x; t) + u6 (x; t):
(3) =) u(x; 0) =
0+ 6
os(6x) = 7 + 4 os(6x);
0
(4) =) ut (x; 0) =
0 + 24 6
= 7;
6
8 x 2 [0; ℄, de donde :
= 4:
8 x 2 [0; ℄, de donde :
os(6x) = 0
0
=
6
= 0:
Por lo tanto, la solu ion bus ada es :
u(x; t) = 7 + 4 os(24t) os(6x):
17. a ) Cal ular el area de la parte de la esfera x2 + y2 + z 2 = 14z que esta dentro del paraboloide
x2 + y2 = 5z:
b ) Cal ular el area de la por ion del ono x2 + y 2 = az 2 situada por en ima del plano z = 0
y en el interior del ilindro x2 + y2 = by; siendo a y b onstantes reales positivas.
143
Solu ion :
a) .
z
6
x2 + y 2 = 5z
7
x
x2 + y2 + z 2 = 14z
() x2 + y2 + (z
7)2 = 49
(
x2 + y2 + z 2 = 14z
x2 + y2 = 5z
=) z 2
9z = 0 =) z (z
-y
p45
9) =) z = 0
=) 5z + z 2 = 14z
_ z = 9:
z = 9 =) x2 + y2 = 45:
Luego, la super ie en uestion puede ser expresada expl itamente omo:
S :
p
z = 7 + 49 x2
y2 = f (x; y); (x; y) 2 T = f(x; y) 2 R2 : x2 + y2 45g:
Por lo tanto :
Area de S =
v
ZZ u
u
t1 +
=
T
=
x
p
49 x2
Z 2 Z p45
0
0
T
!2
y2
p 7r
49 r
s
ZZ
1+
f
x
y
+ p
49 x2
drd =
2
Z 2 h
0
2
+
!2
y2
f
y
2
d(x; y)
d(x; y) =
ZZ
T
p
7
49 x2
p i
p
7 49 r2 j0 45 d = 70:
y2
d(x; y)
CAPITULO 6. EJERCICIOS RESUELTOS
144
b) .
z
6
y
b
x
b2
b 2
=
= by ()
y
2
4
La proye ion de la super ie S en uestion sobre el plano xy es la region plana limitada
por x2 + y2 = by: Ahora, si x e y se es riben en oordenadas polares omo x =
v os u; y = v sen u; enton es x2 + y2 = by se es ribe omo :
x2 + y 2
x2 +
v = b sen u; 0 u :
La super ie S puede enton es parametrizarse omo :
S : ~r(u; v) =
v
v os u; v sen u; p ;
a
(u; v) 2 T = f(u; v) : 0 u ; 0 v b sen ug
~r ~r
v
v
= p os u; p sen u; v
u v
a
a
r
1
~r ~r
=v
+1
Se tiene que :
u v
a
ZZ
ZZ r
~r ~r
1
Por lo tanto : Area (S ) =
+ 1 d(u; v)
v
d(u; v) =
a
T u v
T
r
r
Z Z b sen u
Z 2
b sen2 u
1
1
v dvdu =
+1
+1
du
=
a
a
2
0 0
0
r
r
b2 1
b2 1
u sen 2u =
+1
j = 4 a +1
2 a
2
4 0
145
18. Sean F~ (x; y; z ) = (y(x2 + y2 )3=2 ; x(x2 + y2 )3=2 ; z + 1); y S la frontera de la region solida
a otada por arriba por el plano z = 2x y por abajo por el paraboloide z = x2 + y2 : Cal ular:
ZZ
F~ n^ dS
S
donde n^ es la orienta ion de S dirigida ha ia afuera, mediante las siguientes dos formas:
a ) Utilizando la De ni i
on.
b ) Utilizando el Teorema de la Divergen ia.
Solu ion :
z
6
z = x2 + y 2
-y
z = 2x
x
a) z = 2x
\ z = x2 + y2 =) 2x = x2 + y2
=) r = 2 os ;
Por de ni ion :
ZZ
S
F~ n^ dS =
ZZ
S1
2
F~ n^ 1 dS +
2 :
ZZ
S2
F~ n^ 2 dS;
donde,
S1 : ~r1 (x; y) = (x; y; 2x); (x; y) 2 T; siendo T la region del plano xy a otada por la
urva r = 2 os ;
.
2
2
~r1 ~r1
= ( 2; 0; 1); que nos da la orienta ion requerida.
x y
ZZ
ZZ
~r1 ~r1
~
~
d(x; y) =
F n^1 dS =
F (~r1 (x; y)) Luego :
x y
T
S1
ZZ
T
F~ (x; y; 2x)( 2; 0; 1) d(x; y) =
ZZ
T
(y(x2 +y2)3=2 ; x(x2 +y2 )3=2 ; 2x+1)( 2; 0; 1) d(x; y)
CAPITULO 6. EJERCICIOS RESUELTOS
146
=
ZZ
T
Z =2 Z 2 os ( 2y(x2 + y2)3=2 + 2x + 1) d(x; y) =
=2 0
( 2r4 sen + 2r os + 1) r drd
= 3:
Por otro lado :
S2 : ~r2 (x; y) = (x; y; x2 + y2 ); (x; y) 2 T:
~r2 ~r2
= ( 2x; 2y; 1); que nos da la orienta ion opuesta a la requerida.
x y
ZZ
ZZ
~r2 r~2
F~ n^2 dS =
d(x; y)
F~ (~r2 (x; y)) Por lo tanto :
x y
T
S2
ZZ
=
T
=
x(x2 + y2 )3=2 ; x2 + y2 + 1) ( 2x; 2y; 1) d(x; y)
(y(x2 + y2 )3=2 ;
ZZ
T
(x2 + y2 + 1) d(x; y) =
Z =2 Z 2 os =2 0
(r2 + 1)r drd =
5
:
2
Por lo tanto :
ZZ
S
F~ n^ dS = 3 +
p
b) divF~ (x; y; z ) = 3xy x2 + y2
5
2
2
=
p
3xy x2 + y2 + 1 = 1:
Si D es la region solida entre los gra os de z = r2 y z = 2r os sobre la region en
; enton es por el Teorema de la
el plano xy a otada por r = 2 os ;
2
2
divergen ia tenemos que :
ZZ
S
F~ n^ dS =
=
ZZZ
D
(divF~ )d(x; y; z ) =
Z =2 Z 2 os Z 2r os =2 0
r2
ZZZ
D
r dzdrd =
1 d(x; y; z )
:
2
19. Sea C la urva interse ion del ilindro x2 + y2 = 1 on el plano x + y + z = 1 re orrida de
tal modo que mirada desde arriba el sentido es el antihorario. Utilizando el Teorema de
Stokes, al ule:
Z
( y3 )dx + x3 dy + ( z 3 )dz
C
147
Solu ion :
z
C
6
*n^
-y
1
x
Podemos tomar omo S a la parte del plano x + y + z = 1 a otada por C , orientada on la
normal n^ dirigida ha ia arriba.
S : ~r(x; y) = (x; y; 1 x y); (x; y) 2 R; donde R = f(x; y) 2 R2 : x2 + y2 1g:
~r ~r
= (1; 1; 1); que nos da la orienta ion requerida.
x y
El Teorema de Stokes nos di e que :
Z
C
F~ d~x =
ZZ
S
(rotF~ ) n^ dS
Pero :
^i
rotF~ (x; y; z ) =
^j
y
x3
x
y3
k^
z
z3
= (0; 0; 3x2 + 3y2)
Por lo tanto :
Z
C
=
ZZ
R
F~ d~x =
ZZ
~r ~r
(rotF~ (~r(x; y))) x y
R
(0; 0; 3(x2 + y2)) (1; 1; 1) d(x; y) =
=
Z 2 Z 1
0
0
3r3 drd =
ZZ
R
d(x; y)
3(x2 + y2 ) d(x; y)
3
2
CAPITULO 6. EJERCICIOS RESUELTOS
148
Z
20. Cal ular (2xy2 + 1)dx + 2x2 ydy; donde C es el segmento de re ta que va desde ( 1; 2)
C
hasta (2; 3); sin parametrizar la urva C :
Solu ion :
F~ (x; y) = (2xy2 + 1; 2x2 y) = (P; Q) es de lase C 1 en R2 ; R2 es simplemente onexo y
ademas :
P
Q
(x; y) = 4xy =
(x; y); 8 (x; y) 2 R2
x
y
Por lo tanto, F~ es onservativo en R2 ; es de ir existe f : R2 ! R tal que F~ = 5f:
Para en ontrar un poten ial f de F~ pro edemos omo sigue:
(
f (x; y )
x
f (x; y )
y
= 2xy2 + 1 (i)
= 2x2 y (ii)
Integrando ambos lados de (i) on respe to a x; obtenemos : f (x; y) = x2 y2 + x + g(y):
Tomando derivadas par iales on respe to a y; y omparando on (ii) obtenemos :
2x2 y + g0 (y) = 2x2 y; de donde g0(y) = 0; es de ir, g(y) = :
Por lo tanto : f (x; y) = x2 y2 + x + :
Finalmente :
Z
C
(2xy2 + 1)dx + 2x2 ydy = f (2; 3) f ( 1; 2) = 38 3 = 35
21. Cal ular:
Z 3 y
C (x 2)2 + (y
3)2
3+y
dx
(x + 2)2 + (y + 3)2
x 2
x+2
dy;
+
+
(x 2)2 + (y 3)2 (x + 2)2 + (y + 3)2
donde
C
es el triangulo de verti es (1; 2); (3; 2) y (2; 4); re orrido en sentido antihorario.
Solu ion :
149
y
6
(2; 4)
4
C
3
2
K
K
C1
- 6
(1; 2)
(3; 2)
1
R
1
2
3
4
x
H
~ +H
~ y
Se debe al ular C F~ d~x; donde F~ = G
3 y
x 2
~
G(x; y) =
;
2
2
(x 2) + (y 3)
(x 2)2 + (y
~ (x; y) =
H
3+y
;
(x + 2)2 + (y + 3)2
3)2
x+2
(x + 2)2 + (y + 3)2
= (G1 ; G2 )
= (H1 ; H2 )
Se umple que :
G2
G
(y 3)2 (x 2)2
;
(x; y) = 1 (x; y) =
x
y
((x 2)2 + (y 3)2 )2
H
(y + 3)2 (x + 2)2
H2
;
(x; y) = 1 (x; y) =
x
y
((x + 2)2 + (y + 3)2 )2
8 (x; y) 6= (2; 3)
8 (x; y) 6= ( 2;
3)
F2
F
(x; y) = 1 (x; y); 8 (x; y) 6= (2; 3); ( 2; 3)
x
y
Sea C1 : (x 2)2 + (y 3)2 = a2 ; a > 0 su ientemente peque~no de tal modo que C1
esta ontenida en la region interior a C :
Del Teorema de Green para regiones multiplemente onexas se tiene que si R es la region
interior a C y exterior a C1 ; enton es:
Por lo tanto,
ZZ F2
R x
Por lo tanto :
I
C1
I
C
F~ d~x =
~ d~x =
G
I
F~ d~x =
d(x; y) =
I
I
C
G~ d~x +
C1
(
os t
C1 : xy == 32 ++ aa sen
t
C1
Z 2 0
F1
y
a sen t a os t
; 2
a2
a
F~ d~x
I
C1
I
C1
F~ d~x
~ d~x
H
; 0 t 2
( asent; a
os t) dt =
Z 2
0
1 dt = 2
CAPITULO 6. EJERCICIOS RESUELTOS
150
Por otro lado, por el Teorema de Green para regiones simplemente onexas se tiene que si R1
es el r ulo en errado por C1 ; enton es :
I
C1
~ d~x =
H
ZZ
H2
R1 x
H1
y
d(x; y) = 0
Por lo tanto :
I
C
F~ d~x = 2 + 0 = 2:
22. Cal ular el area de la parte de la esfera x2 + y2 + (z
z 2 = 3(x2 + y2 ):
4)2 = 16 que esta dentro del ono
Solu ion :
z
6
(0; 0; 4)
p12
-
y
x
x2 + y2 + (z 4)2 = 16 \ z 2 = 3(x2 + y2 ) =)
z2
4
2
+ (z 4) = 16 =) z z 8 = 0
3
3
=) z = 0 _ z = 6 =) (x; y; z ) = (0; 0; 0) _ x2 + y2 = 12; z = 6:
Por lo tanto, la super ie en uestion orresponde a:
p
z = 4 + 16 x2 y2 = f (x; y); (x; y) 2 T = f(x; y) 2 R2 : x2 + y2 12g:
Por lo tanto : Area =
s
ZZ
T
1+
f
x
2
+
f
y
2
d(x; y)
151
v
ZZ u
u
t1 +
=
T
=
ZZ
4
p
T 16 x2
y2
!2
x
p
16 x2
d(x; y) =
=
Z
y2
p
2 Z 12
0
0
Z 2
y
+ p
16 x2
p 4r 2 drd =
16 r
!2
y2
d(x; y)
Z 2 h
0
p i
p
4 16 r2 j0 12 d
8 d = (2) 8 = 16
0
23. Utilizando el Teorema de Stokes, al ular :
Z
C
(x + y)dx + (2x z )dy + (y + z )dz;
donde
C
es el borde del triangulo on verti es (2; 0; 0); (0; 3; 0) y (0; 0; 6); re orrido de tal modo que
mirado desde el origen el sentido es el de las agujas del reloj.
Solu ion :
z
(0; 0; 6)
C
6
*
n
^
S
K
1
(0; 3; 0)
-
y
(2; 0; 0)
x
F~ (x; y; z ) = (x + y; 2x z; y + z )
rotF~ (x; y; z ) =
^i
x
^j
y
k^
z
x + y 2x z y + z
= (2; 0; 1)
Sea S la parte del plano 3x + 2y + z = 6 a otada por C ; orientada on la normal n^ dirigida
ha ia arriba. S puede ser parametrizada omo :
CAPITULO 6. EJERCICIOS RESUELTOS
152
S : ~r(x; y) = (x; y; 6 3x 2y);
donde
(x; y) 2 R = f(x; y) 2 R2 : 0 x 2; 0 y 3
3
xg:
2
~r ~r
= (3; 2; 1) que nos da la orienta ion requerida.
x y
El Teorema de Stokes nos di e que:
Z
C
=
F~ d~x =
ZZ
R
ZZ
S
(rotF~ ) n^ dS =
(2; 0; 1) (3; 2; 1) d(x; y) =
ZZ
R
(rotF~ (~r(x; y))) ZZ
R
7 d(x; y) =
~r ~r
x y
Z 2 Z 3 3x
2
0
0
d(x; y)
7 dydx = 21:
24. a ) En ontrar el desarrollo en serie de Fourier de oseno de la fun ion
(
f (x) =
0; 0 < x < =2
1; =2 < x < y trazar la gra a de esta serie.
b ) Usar la serie obtenida en a) para probar que :
=4 = 1 1=3 + 1=5 1=7 + Justi ar la validez de esta igualdad.
Solu ion :
a) Por de ni ion, el desarrollo en serie de Fourier de oseno de f es la serie :
1
a0 X
+ ak os kx;
2 k=1
2
ak =
Z 0
donde
Z
2 f (x) os kx dx =
os kx dx
=2
Z
2 dx = 1
a0 =
=2
2 1
2
k
k 1 : ak =
sen kxj=2 =
sen
k
k
2
153
Por lo tanto, la serie pedida es :
os 3x
os 5x
+
3
5
1 2
os x
2 La gra a de esta serie es :
os 7x
+
7
6
1
3
2
2
2
2
3
-
b) En x = 0 vemos que la serie anterior onverge a 0; es de ir :
2
1
1
0=
2
de donde :
=1
4
1 1
+
3 5
1 1
+
3 5
1
+ ;
7
1
+
7
La validez de la igualdad anterior esta garantizada on el he ho que f y f 0 son ambas
ontinuas por tramos en [0; ℄:
25. Apli ando el metodo de separa ion de variables, resolver el problema :
8
>
<ut
= uxx; 0 < x < 2; t > 0 (1)
ux(0; t) = u(2; t) = 0; t 0 (2)
>
:
u(x; 0) = 8 os((3=4)x) 6 os((9=4)x); 0 x 2 (3)
Detallar ada paso del pro edimiento
Solu ion :
Suponemos que u(x; t) = X (x) T (t): Reemplazando en (1) se obtiene :
X (x) T 0 (t) = X 00 (x) T (t); de donde dividiendo por X (x) T (t) se on luye que :
X 00 (x)
T 0(t)
=
T (t)
X (x)
siempre que
X (x) T (t) 6= 0:
CAPITULO 6. EJERCICIOS RESUELTOS
154
Por lo tanto :
X 00 (x)
T 0(t)
=
= k;
T (t)
X (x)
siendo k una onstante.
De donde : X 00 (x) kX (x) = 0 y T 0(t) kT (t) = 0:
De (2) tenemos que : ux (0; t) = X 0 (0) T (t) = 0
Tambien : u(2; t) = X (2) T (t) = 0
8 t 0;
8 t 0;
de donde X 0 (0) = 0:
de donde X (2) = 0:
A ontinua ion debemos resolver:
(4) (
X 00 (x) kX (x) = 0
X 0 (0) = X (2) = 0
k > 0 =) la uni a solu ion de (4) es X (x) = 0.
k = 0 =) la solu ion general de X "(x) kX (x) = 0 es X (x) = A0 + A1 x: Pero :
X 0(0) = X (2) = 0 =) A1 = A0 = 0 =) X (x) = 0:
k < 0 =) la solu ion general de X "(x) kX (x) = 0 es :
X (x) = A os(
X 0 (x) = A
p
p
p
kx) + B sen( kx)
p
p
p
k sen(
kx) + B
k os(
kx)
X 0(0) = 0 =) B = 0 p
p
p
X (2) = 0 =) A os(2 k) = 0 =) os(2 k) = 0 =)
k = (2n 4 1) ; n 2 N .
As, se han obtenido las siguientes solu iones no-triviales (no-nulas) de (4) :
(2n 1)
Xn (x) = An os
x ; n = 1; 2; 4
Ahora, onsideramos la e ua ion diferen ial T 0 (t) kT (t) = 0 para los valores k =
(n 2 N ); que a aban de obtenerse. Es de ir se onsideran :
T 0 (t) n T (t) = 0;
uya solu ion general es :
Por lo tanto, las fun iones :
donde
n =
(2n 1)2 2
16
Tn (t) = Cn en t ; n = 1; 2; (2n 1)2 2
16
155
un (x; t) = Xn (x) Tn(t) = An Cn
un (x; t) = n en t os
en t
(2n 1)
x ;
os
4
(2n 1)
x ;
4
esto es,
n = 1; 2; son solu iones de (1) y (2); siendo n una onstante arbitraria.
Al observar la ondi ion (3), postulamos omo solu ion a :
u(x; t) = u2 (x; t) + u5 (x; t):
3
(3) =) u(x; 0) = 2 os
x +
4
8 x 2 [0; 2℄, de donde :
5
9
os
x
4
2
= 8;
5
3
= 8 os
x
4
9
6 os
x ;
4
= 6:
Por lo tanto, la solu ion bus ada es :
916
2 t
u(x; t) = 8 e
3
os
x
4
6e
9
os
x :
4
81162 t
26. a ) En ontrar el desarrollo en serie de Fourier de seno de la fun ion f (x) = os(x); 0 < x < ;
y trazar la gra a de esta serie.
b ) Usar la serie obtenida en a) para probar que :
p
1
3
5
2
= 2
+
16
2 1 62 1 102 1
Justi ar la validez de esta igualdad.
7
+
142 1
Solu ion :
a) Por de ni ion, el desarrollo en serie de Fourier de seno de f es la serie :
Z
1
X
2 bk sen kx; donde bk =
f (x) sen kx dx
0
k=1
Z
Z
2 2 1
=
[sen(x + kx) sen(x kx)℄dx
os x sen kxdx =
0
0 2
=
1
Z 0
sen(1 + k)xdx +
Z 0
sen(k
1)xdx
CAPITULO 6. EJERCICIOS RESUELTOS
156
=
1
2k 1 + ( 1)k
os(k 1)x =
;
j
(k 1) 0
k2 1
os(1 + k)x j
(1 + k) 0
para k 2:
Z
2 os x sen xdx = 0
b1 =
0
Por lo tanto, la serie pedida es :
1
8X
n
sen(2nx)
n=1 4n2 1
La gra a de esta serie es:
6
1
3
2
0
2
3
p
-
2
(notar que f y f 0
b) En x = vemos que la serie anterior onverge a os =
4
2
P C [0; ℄); es de ir que :
p
1
2 8X
n
=
sen
n ; de donde :
2
n=1 4n2 1
2
4
p
1
2
= 2
16
2 1
62
3
1
+
5
102 1
7
+
142 1
2
157
27. Cal ular el area de la parte del ilindro x2 +y2 = ax que queda dentro de la esfera x2 +y2 +z 2 =
a2 ; siendo a una onstante real positiva.
Solu ion :
z
6
a
y
x
a2
4
Parametrizamos la parte del ilindro que queda dentro de la esfera omo :
x2 + y2 = ax
S : ~r(u; v) =
(u; v) 2 T = f(u; v) 2 R2 :
z2
= a2
Se tiene que :
(x2 + y2 ) = a2
~r ~r
a
=
u v
2
Por lo tanto : Area (S ) =
ZZ
2
() x a2 + y2
=
a a
os u + ; sen u; v ;
on
2
2 2
u
u
v a sen
g
0 u 2;
a sen
2
2
a
ax = a2
a
1 os u
a
a
= a2
os u +
2
2
2
a
~r ~r a
=
os u; sen u; 0
u v
2
2
ZZ
a
~r ~r
d(u; v) =
d(u; v)
T 2
T u v
Z 2 Z a sen( u )
2 a
=
dvdu = 4a2
u
2
0
a sen( 2 )
158
CAPITULO 6. EJERCICIOS RESUELTOS
Cap
tulo 7
Ejer i ios Propuestos
R
1. Cal ular la C (2xy2 + 1)dx + 2x2 ydy, donde :
a ) C es el segmento de re ta desde (2; 4) hasta (3; 9):
b ) C es el ar o de la parabola y = x2 desde (2; 4) hasta (3; 9).
R
2. Cal ular la C ydx + zdy + xdz , donde C esta ompuesto de :
a ) Los segmentos de re ta desde (0; 0; 0) hasta (0; 5; 0), y desde (0; 5; 0) hasta (0; 1; 1).
b ) Los segmentos de re ta desde (0; 0; 0) hasta (1; 0; 0), y desde (1; 0; 0) hasta (0; 1; 1).
R
3. Cal ular la C y2 dx + xdy, donde :
a ) C es el segmento de re ta desde ( 5; 3) hasta (0; 2).
b ) C es el ar o de la parabola x = 4 y 2 desde ( 5; 3) hasta (0; 2).
R
4. Cal ular la C ydx + xydy, donde
antihorario.
C
es la ir unferen ia x2 + y2 = 4 re orrida en sentido
5. Cal ular las siguientes integrales de lnea :
R
a ) C (x + y )dx + xydy + z 2 dz , donde C es el segmento de re ta desde (0; 0; 0) hasta (1; 2; 1).
R
b ) C (x2 y 3 )dx + (x2 + y 2 )dy , donde C es la ir unferen ia de entro (0; 0) y radio 1, re-
)
d)
e)
f)
orrida en sentido antihorario.
2
2
2
2
C 2(x + y)dx + (x + y )dy, desde (2; 0) hasta ( 2; 0), a lo largo de la semielipse 9x +
4y = 36; y 0.
R
C (4x + y + 3z )dx + (x + 3y + 2z )dy + (3x + 2y + 5z )dz, a lo largo de los segmentos de
re ta desde (1; 4; 2) a (4; 2; 3), y desde (4; 2; 3) a (1; 1; 2).
R
2
2
2
2 dy , a lo largo del segmento de re ta desde (0; 0) a (p3; 1), y
C (x + y )dx + (y x )p
enton es a (0; 2) on x = 4 y2 .
R
2
2
2
2
C (x + y )dx + (y x )dy, a lo largo de la frontera del uadrado [0; 1℄ [0; 1℄, en sentido
antihorario.
R
159
CAPITULO 7. EJERCICIOS PROPUESTOS
160
6. Cal ular la integral de lnea del ampo ve torial F~ (x; y) = (x2 y; y2 + x) desde (0; 1) a (1; 2)
a lo largo de :
a ) El segmento de re ta que une esos puntos.
b ) El amino formado por los segmentos de re ta de (0; 1) a (1; 1) y de (1; 1) a (1; 2).
) La parabola y = x2 + 1.
R
7. Si F~ (x; y; z ) = (3x2 6yz; 2y +3xz; 1 4xyz 2), al ular la C F~ d~x desde (0; 0; 0) hasta (1; 1; 1)
a lo largo de los siguientes aminos C :
a ) ~ (t) = (t; t2 ; t3 ); 0 t 1.
b ) El amino formado por los segmentos de re ta de (0; 0; 0) a (0; 0; 1); de (0; 0; 1) a (0; 1; 1),
y de (0; 1; 1) a (1; 1; 1).
) El segmento de re ta que une esos puntos.
8. Cal ular el trabajo realizado por el ampo de fuerzas F~ (x; y; z ) = (y z; z x; x y) a lo
largo de la urva de interse ion de la esfera x2 + y2 + z 2 = 4 y el plano z = y tan( ), en
donde 0 < < 2 . El amino es re orrido de modo que, observando el plano xy desde el eje z
positivo, el sentido aparez a ontrario al de las agujas del reloj.
9. Cal ular el trabajo realizado por el ampo de fuerzas F~ (x; y; z ) = (y2 ; z 2; x2 ) a lo largo de la
urva de interse ion de la esfera x2 + y2 + z 2 = a2 y el ilindro x2 + y2 = ax, siendo z 0 y
\a00 una onstante positiva. El amino es re orrido de modo que, observado el plano xy desde
el eje z positivo el sentido sea el de las agujas del reloj.
R
10. Evaluar C (x2
(0; 1).
y2 )dx + (x2 + y2 )dy; si
C
es el uadrado on verti es (0; 0); (1; 0); (1; 1) y
11. En ada aso, al ular la integral de lnea del ampo ve torial F~ a lo largo del amino que se
indi a.
a ) F~ (x; y ) = (2a y; x), a lo largo del amino des rito por ~r(t) = (a(t sen t); a(1 os t)); t 2
[0; 2℄, siendo \a00 una onstante.
b ) F~ (x; y; z ) = (y 2 z 2 ; 2yz; x2), a lo largo del amino des rito por ~r(t) = (t; t2 ; t3 ); t 2
[0; 1℄.
) F~ (x; y; z ) = (x; y; xz y), desde (0; 0; 0) a (1; 2; 4) a lo largo de un segmento re tilneo.
d ) F~ (x; y ) = (x2 + y; x y 2 ), a lo largo de y = x3=2 desde (0; 0) a (1; 1).
e ) F~ (x; y; z ) = (yz; xz; xy ), a lo largo del amino formado por los segmentos de re ta de
(0; 0; 0) a (1; 0; 0), de (1; 0; 0) a (1; 1; 0), y de (1; 1; 0) a (1; 1; 1).
f ) F~ (x; y; z ) = (2x y; 2z; y z ), desde (0; 0; 0) a (1; 1; 1) a lo largo de:
1) El segmento de re ta que uneesospuntos.
2) A lo largo de la urva ~r(t) = sen t ; sen t ; t ; 0 t 1.
2
2
12. En ada aso, al ular el valor de la integral de lnea dada :
161
R
2
2
C ydx + xydy, donde C es la ir unferen ia x + y = 4 orientada en sentido ontrario al
de las agujas del reloj.
Z
dx + dy
, donde C es el ontorno del uadrado de verti es (1; 0); (0; 1); ( 1; 0) y (0; 1),
b)
C jxj + jyj
re orrido en sentido ontrario al de las agujas del reloj.
R
) C ydx + zdy + xdz , donde :
1) C es la urva de interse ion de las dos super ies x + y = 2 y x2 + y2 + z 2 = 2(x + y):
La urva es re orrida de tal modo que mirando desde el origen el sentido es el de las
agujas del reloj.
2) C es la interse ion de las dos super ies z = xy y x2 + y2 = 1; re orrida en sentido,
que vista desde en ima del plano xy, es el ontrario al de las agujas del reloj.
13. Un ampo de fuerzas F~ en el espa io de tres dimensiones viene dado por la formula F~ (x; y; z ) =
(yz; xz; x(y + 1)). Cal ular el trabajo realizado por F~ al mover una part ula re orriendo una
vez el ontorno del triangulo de verti es (0; 0; 0); (1; 1; 1); ( 1; 1; 1) en este orden.
a)
14. En ada aso, pruebe que la integral de lnea es independiente del amino, y luego al ule la
integral.
a)
b)
)
d)
e)
Z (1;0)
(0;1)
Z (2;3)
2 2
2 2
xe(x +y ) dx + ye(x +y ) dy
(2xy2 + 1)dx + 2x2 ydy.
( 1;2)
Z (2;0;1)
3x2 y2 zdx + 2x3 yzdy + x3 y2 dz .
(1; 1;1)
Z (1;1; 1)
(2x + 2yz )dx + (2y + 2xz )dy+2xydz .
(1; 1;2)
Z (2;1)
4xdx + 4ydy
(1; 1)
Z
(x2 + y2)3=2
, a lo largo de ualquier urva que no pase por (0; 0).
xdx + ydy + zdz
15. Cal ule :
, donde C es el segmento de re ta que va desde (0; 0; 0) hasta
C 1 + x2 + y2 + z 2
(1; 1; 1) sin parametrizar la urva C .
R
16. Cal ular: C (sen y y senx + x)dx + ( os x + x os y + y)dy, donde C es la por ion de la re ta
y = 2x desde (0; 0) hasta ; ; sin parametrizar la urva C :
2
Z
17. En ada aso, use el Teorema de Green para al ular F~ dx; donde C esta orientada en
C
sentido ontrario al de las agujas del reloj.
a ) F~ (x; y ) = (y 3 + y; 3y 2 x); C es la ir unferen ia x2 + y 2 = 100.
b ) F~ (x; y ) = (y 4 ; x3 ); C es el ontorno del uadrado de verti es ( 2; 2); ( 2; 2); (2; 2) y
(2; 2).
CAPITULO 7. EJERCICIOS PROPUESTOS
162
) F~ (x; y) = (y sen x; os x); C esta ompuesta de la semi ir unferen ia x2 + y2 = 9 para
y 0, y la re ta y = 0 para 3 x 3.
d ) F~ (x; y ) = (xy; 12 x2 + xy ); C esta ompuesta del intervalo [ 1; 1℄ en el eje x y la mitad
superior de la elipse x2 + 4y2 = 1.
18. En ada aso, use el Teorema de Green para al ular la integral de lnea. Suponga que
esta orientada en sentido antihorario.
C
R
x
2
(ex os y + x2 y)dy; C es la elipse 9x2 + 4y2 = 36.
C (e sen y xy )dx +
R
4
3
b ) C 3x2 y 2 3xy + y4 dx + xy 3 + x3 dy ; C es la frontera del triangulo on verti es
(0; 1); (1; 0) y ( 1; 0)
a)
19. Use un orolario del Teorema de Green para en ontrar el area de la region a otada por las
urvas :
a ) y = x2 ; x + y = 2; x + 3y = 0; x 0.
b ) x = 1; x + y = 3; 4x + y = 9; x + y = 0.
) x = 0; y = 41 , y la urva parametrizada por ~ (t) = (sen(t); t(1 t)); 0 t 12 .
Z
ydx (x 1)dy
20. Evalue
, donde C es la ir unferen ia x2 + y2 = 4 re orrida en sentido
C (x 1)2 + y2
antihorario.
Z
ydx + (x 2)dy
21. Evalue la integral
, donde C es re orrida en sentido antihorario y orresC (x 2)2 + y2
ponde a :
a ) El ontorno del uadrado de verti es (1; 1); ( 1; 1); ( 1; 1); (1; 1).
b ) La ir unferen ia x2 + y 2 = 9.
) La elipse (x 2)2 + 4y2 = 1.
#
Z "
"
#
x+1
18y
18 (x 1)
y
dx +
dy
+
22. Evalue :
2
2
2
2
2
2
4 (x 1) + 9y
(x + 1) + y
4 (x 1)2 + 9y2
C (x + 1) + y
donde C es el triangulo de verti es (0; 2); (0; 3) y ( 3; 5) re orrido en sentido ontrario al
de las agujas del reloj.
23. Cal ular :
Z 3 y
2 + (y
(
x
2)
C
3)2
3+y
x 2
x+2
dx +
dy
+
(x + 2)2 + (y + 3)2
(x 2)2 + (y 3)2 (x + 2)2 + (y + 3)2
donde C es la urva errada se ionalmente suave uyas sep iones estan de nidas por :
y = 2x; 1 x 2; y = 2x + 8; 2 x 3; y = 2
1 (x 2)2 ; 1 x 3.
163
24. En ada aso, al ular la integral de lnea on respe to a la longitud de ar o.
R
C (x + y) ds, siendo C el triangulo de verti es (0; 0); (1; 0); y (0; 1), re orrido en sentido
ontrario al de las agujas del reloj.
R
b ) C y 2 ds, en donde C tiene la e ua ion ve torial: ~ (t) = (a(t sen t); a(1 os t));
0 t 2.
R
) C x2 + y2 ds, donde C tiene la e ua ion ve torial : ~ (t) = (a( os t + t sen t); a(sen t
t os t)); 0 t 2.
a)
25. Un alambre uniforme tiene la forma de la por ion de urva de p
interse ion de las dos super ies
x2 + y2 = z 2 e y2 = x, que une los puntos (0; 0; 0) y (1; 1; 2). Hallar la oordenada z del
entroide.
26. Un alambre tiene la forma de una ir unferen ia x2 + y2 = a2 . Determinar su masa y su
momento de iner ia respe to a un diametro si la densidad en (x; y) es jxj + jyj.
27. Cal ular:
Z "
1 y
2
C x + (1 y)2
#
"
#
yx2 + y3 x
y + x3 + xy2
x
+
dx
+
dy
x2 + y 2
x2 + y2
x2 + (1 y)2
donde C es la frontera del uadrado de verti es (3; 0); (0; 3); ( 3; 0) y (0; 3), re orrida en
sentido antihorario.
28. Cal ular el area de la parte de la esfera x2 + y2 + z 2 = 14z que esta dentro del paraboloide
x2 + y2 = 5z (Resp.: 70).
29. Cal ular el area de la por ion del ono x2 + y2 = az 2 situada por en ima del plano z = 0 y
en el interior del ilindro x2 + y2 = by; siendo a y b onstantes reales positivas.
!
r
1
b2
1+
Resp: :
4
a
30. Cal ular el area de la parte de la esfera x2 + y2 + (z
z 2 = 3(x2 + y2 ) (Resp.: 16)
4)2 = 16 que esta dentro del ono
31. En ada aso, hallar el area de la super ie des rita:
2
a ) La por ion de la super ie z = (x3=2 + y 3=2 ) situada sobre el triangulo
3
f(x; y) : 0 y 1; 0 x yg:
x y z
b ) La por ion del plano + + = 1 en el primer o tante (a > 0; b < 0; > 0).
a b
) La parte del paraboloide z = 9 x2 y2 que queda por en ima del plano z = 5.
d ) La parte de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4z interior al paraboloide z = x2 + y 2 .
32. Cal ular el area de las siguientes super ies:
a ) z 2 = x2 + y 2 , 0 < R1 z R2 .
CAPITULO 7. EJERCICIOS PROPUESTOS
164
0 u 1; 0 v 2.
x + y 2z = 0; 0 x + y 4; 2 x y 6.
x2 + y2 + z 2 = a2 ; jz j (0 < < a).
ax + by + z = d; x2 + y2 2 .
p
x2 + y2 = 2x; 0 z x2 + y2
p
x2 + y2 + z 2 = 1; z x2 + y2 .
x2 + y2 = 9; 2x z 3x + 7.
La parte del ilindro x2 + y2 = a2 que queda dentro del ilindro x2 + z 2 = a2 .
La parte del ilindro x2 + y2 = ax que queda dentro de la esfera x2 + y2 + z 2 = a2 .
^
El toro de e ua ion ve torial: ~r(u; v) = (a + b osu)senv ^i + (a + b osu) osv ^j + bsenu k;
donde 0 < b < a y 0 u 2; 0 v 2.
p
La por ion de la super ie oni a z = x2 + y2 limitada por la esfera x2 + y2 + z 2 = 2x.
b ) ~r(u; v ) = (u osv; usenv; v );
)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
33. En ada aso, al ular
ZZ
S
f (x; y; z )dS
a ) f (x; y; z ) = x; S es la parte del plano 2x + 3y + z = 6 en el primer o tante.
b ) f (x; y; z ) = z 2 ; S es la parte del ono z =
)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
p
x2 + y2 entre los planos z = 1 y z = 3.
f (x; y; z ) = 2x2 + 1; S es la parte del plano z = 3x 2 que queda dentro del ilindro
x2 + y2 = 4.
f (x; y; z ) = z 2; S es la parte de la esfera x2 + y2 + z 2 = 9 en el primer o tante.
p
f (x; y; z ) = 4x2 + 4y2 + 1; S es la parte del paraboloide z = x2 + y2 debajo del plano
y = z.
f (x; y; z ) = xy; S es la parte del paraboloide z = 4 x2 y2 que se en uentra arriba del
plano xy.
f (x; y; z ) = y; S es la parte de la hoja paraboli a z = 4 y2 para la ual 0 x 3 y
0 y 2.
f (x; y; z ) = x2 z ; S es la parte del ilindro x2 + z 2 = 1 entre los planos y = 1 e y = 2
y en ima del plano xy.
p
f (x; y; z ) = z (x2 + y2 ); S es el hemisferio x2 + y2 + z 2 = 2.
f (x; y; z ) = x2 + y2; S esta ompuesto de la parte del paraboloide z = 1 x2 y2 en ima
del plano xy; y la parte del plano xy que se en uentra dentro de x2 + y2 = 1.
f (x; y; z ) = x + 1; S es el tetraedro on verti es (0; 0; 0); (1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1).
f (x; y; z ) = x + y + z ; S es la por ion del plano x + y = 1 en el primer o tante para la
ual 0 z 1.
f (x; y; z ) = x+y; S es el ubo on verti es (0; 0; 0); (1; 0; 0); (1; 1; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1); (1; 0; 1);
(1; 1; 1) y (0; 1; 1).
f (x; y; z ) = x2 + y2 ; S = f(x; y; z ) : x2 + y2 + z 2 = 4; z 0g.
165
n~) f (x; y; z ) = y 2 ; S es el ilindro x2 + y 2 = 1; 0 z 1, y su te ho y fondo.
o ) f (x; y; z ) = x4
y4 + y2z 2 z 2 x2 + 1; S es la por ion de la super ie z =
re ortada por el ilindro x2 + y2 = 2x.
34. Cal ular:
ZZ
S
p
x2 + y2
F~ n^ dS; donde:
a ) F~ (x; y; z ) = (y; x; 1); S es la super ie que a ota a la region de nida por:
p
1 x2
y2 z1
y n^ es la normal ha ia afuera.
~
b ) F (x; y; z ) = (x; y; z ); S = f(x; y; z ) : x2 + y 2 = z 2 ; 1 z 3g y n^ tiene omponente
z negativa.
) F~ (x; y; z ) = (x; y; z ); S es la por ion de plano limitada por un triangulo de verti es
(1; 0; 0); (0; 1; 0) y (0; 0; 1) y n^ tiene omponente z no negativa.
d ) F~ (x; y; z ) = (y; x; 8); S es la parte del paraboloide z = 9 x2 y 2 en ima del plano
xy y n^ es dirigida ha ia arriba.
e ) F~ (x; y; z ) = ( y; x; z 4 ); S es la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 y n^ es dirigida ha ia afuera de
la esfera.
f ) F~ (x; y; z ) = (x2 ; y 2 ; z 2 ); S = f(x; y; z ) : x + y 2z = 0; 0 x + y 4; 2 x y 6g
n^ tiene omponente x positiva.
35. Sean F~ (x; y; z ) = (x2 + yez ; y2 + zex; z 2 + xey ); y S la frontera de la region solida que esta en
2 = 1 y entre los planos z = 0 y z = x +2: Utilizando el Teorema
el interior del ilindro x2 + yRR
de la divergen ia, al ular: S F~ n^ dS; donde n^ es la orienta ion de S dirigida ha ia afuera.
x2
y2
ZZ
36. En ada aso, use el Teorema de la Divergen ia para al ular:
F~ n^ dS; donde n^ es la
S
normal de S dirigida ha ia afuera.
a ) F~ (x; y; z ) = (3x; 4y; 5z ); S es la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4.
b ) F~ (x; y; z ) = (x3 ; y 3 ; p
z 3); S es la frontera de la region solida D a otada por el plano xy
y el hemisferio z = 4 x2 y2
) F~ (x; y; z ) = (x; y; z ); S es la frontera de la region solida en el primer o tante que esta en
el interior del ilindro x2 + y2 = 1 y entre los planos z = 0 y z = 1.
d ) F~ (x; y; z ) = (x osx; y ysenx; 2z ); S es el tetraedro on verti es (0; 0; 0); (1; 0; 0); (0; 1; 0)y
(0; 0; 1).
e ) F~ (x; y; z ) = (y (x2 + y 2 )3=2 ; x:(x2 + y 2 )3=2 ; z + 1); S es la frontera de la region solida
a otada arriba por el plano z = 2x y abajo por el paraboloide z = x2 + y2 .
f ) F~ (x; y; z ) = (x; y; z 2 ); S es la frontera de la region solida D = [0; 1℄ [0; 1℄ [0; 1℄.
ZZ
37. Use el Teorema de la Divergen ia para al ular:
F~ n^ dS donde S es la super ie que
S
a ota a D y n^ es la orienta ion ha ia afuera de S .
a ) F~ (x; y; z ) = (3x2 ; xy; z ); D = f(x; y; z ) : x + y + z 1; x 0; y 0; z 0g:
CAPITULO 7. EJERCICIOS PROPUESTOS
166
b ) F~ (x; y; z ) = (2x; 3y; z ); D = f(x; y; z ) : 0 z 9
x2 y2 g:
) F~ (x; y; z ) = (x2 ; y2 ; z 2); D = f(x; y; z ) : x2 + y2 9; 0 z x + 1g
p
d ) F~ (x; y; z ) = (2yz; 2xz; 2xy ); D = f(x; y; z ) : x2 + y 2 z 2g.
ZZ
38. Use el Teorema de la Divergen ia para al ular
F~ n^ dS , donde F~ (x; y; z ) = (2x; xy; xz ) y
S
S es la esfera x2 + y2 + z 2 = 1, orientada on la normal ha ia afuera.
39. Veri que el Teorema de Stokes para F~ y S dados:
a ) F~ (x; y; z ) = (2z; 3x; 4y ); S = f(x; y; z ) : 0 z = 9 x2 y 2 g
b ) F~ (x; y; z ) = (4x2 + y; 2y; x 3z 2 ); S = f(x; y; z ) : 3x + y + 3z = 4; x 0; y 0; z 0g
)
d)
e)
f)
p
F~ (x; y; z ) = (2x; 3z; 2y); S = f(x; y; z ) : x2 + y2 + z 2 = 3; y 0g:
F~ (x; y; z ) = (4x3 ; 2y2 ; 0); S = f(x; y; z ) : z = x2 + y2 4g
F~ (x; y; z ) = (2y; 3x; z ); S = f(x; y; z ) : x2 + y2 = 4; 1 z x + 4g
p
F~ (x; y; z ) = (y + x; x + z; z 2); S = f(x; y; z ) : z = x2 + y2 1g:
ZZ
(rotF~ ) n^ dS en una integral de lnea
40. En ada aso, transformar la integral de super ie
S
utilizando el teorema de Stokes, y al ular enton es la integral de lnea.
a ) F~ (x; y; z ) = (y 2 ; xy; xz ) donde S es el hemisferio x2 + y 2 + z 2 = 1; z 0 y n^ es la
normal unitaria on omponente z no negativa.
b ) F~ (x; y; z ) = (y; z; x); donde S es la parte de paraboloide z = 1 x2 y 2 on z 0; y
n^ es la normal unitaria on omponente z no negativa.
) F~ (x; y; z ) = (y z; yz; xz ) donde S onsta de las in o aras del ubo 0 x 2; 0 y 2; 0 z 2; no situadas en el plano xy; n^ es la normal unitaria exterior.
d ) F~ (x; y; z ) = (xz; y; x2 y ); donde S onsta de las tres aras no situadas en el plano xz
del tetraedro limitado por los tres planos oordenados y el plano 3x + y + 3z = 6: La
normal n^ es la normal unitaria exterior del tetraedro.
41. En ada aso, usar el Teorema de Stokes para demostrar que las integrales de lnea tienen
los valores que se dan. En ada aso, expli ar el sentido en el que se re orre C para llegar al
resultado.
a)
b)
)
Z
p
ydx + zdy + xdz = a2 3, siendo C la urva de interse ion de la esfera x2 + y2 + z 2 = a2
C
y el plano x + y + z = 0.
Z
(y + z )dx + (z + x)dy + (x + y)dz = 0, siendo C la urva de interse ion del ilindro
C2 2
x + y = 2y y el plano y = z .
Z
(y z )dx + (z x)dy + (x y)dz = 2a(a + b), donde C es la interse ion del ilindro
C
x z
x2 + y2 = a2 y el plano + = 1; a > 0; b > 0.
a b
167
ZZ
(rotF~ ) n^ dS , donde F~ (x; y; z ) = (xz; y2 +2x; x); S
42. Use el Teorema de Stokes para al ular
S
es la parte del paraboloide z = 9 x2 y2 en ima del plano xy; n^ es dirigida ha ia arriba.
p
43. Sea C la urva de interse ion de la esfera x2 + y2 + z 2 = 1 on el ono z = x2 + y2 ;
re orrida de tal modo que mirada desde arriba, Zel sentido es el ontrario al de las agujas del
reloj. Utilizando el Teorema de Stokes, al ule : (x2 + z )dx + (y2 + x)dy + (z 2 + y)dz .
C
ZZ
(rotF~ )n^ dS , donde F~ (x; y; z ) = (xz 2 ; x3 ; os(xz ));
44. Utilizando el Teorema de Stokes, al ule:
S
S es la parte del elipsoide x2 + y2 +3z 2 = 1, que queda por debajo del plano xy, y n^ esta dirigida
ha ia afuera del elipsoide.
45. Sea C el borde del triangulo on verti es (1; 0; 0); (0; 1; 0) y (0; 0; 1), re orrido de tal modo que
mirado desde arriba el sentido es el ahtihorario. Utilizando el Teorema de Stokes, al ule:
Z
C
3ydx + 2zdy + ( x)dz
Z
46. Utilizando el Teorema de Stokes, al ular (x + y)dx + (2x z )dy + (y + z )dz , donde C es el
C
borde del triangulo on verti es (2; 0; 0); (0; 3; 0) y (0; 0; 6), re orrido de tal modo que mirado
desde el origen el sentido es el de las agujas del reloj. (Resp.: 21).
47. Sea C la urva de interse ion del ilindro x2 + y2 = 1, on el plano x + y + z = 1 re orrida
de tal modo que mirada desde arriba el sentido es el antihorario. Utilizando el Teorema de
Stokes, al ule:
Z
3
3
3
3
( y )dx + x dy + ( z )dz
Resp: :
2
C
48. Sea C la urva de interse ion del plano z = x + 4 on el ilindro x2 + y2 = 4, re orrida de tal
modo que mirada desde arriba el sentido es el antihorario. Utilizando el Teorema de Stokes,
al ule:
Z
2zdx + 4xdy + 5ydz
C
(Resp.: 4)
49. Un re ipiente esferi o homogeneo (= densidad onstante) de radio a esta ortado por una hoja
de un ono ir ular re to uyo verti e esta en el entro de la esfera. Si el angulo en el verti e
del ono es ; siendo 0 < < ; determinar (en fun ion de a y ) el entro de gravedad de
la por ion del re ipiente esferi o que es interior al ono.
50. Una hoja de papel re tangular homogenea de densidad 1; de base 2a; y altura h se enrolla formando una super ie ilndri a S de radio a: Cal ular el momento de iner ia de S
alrededor de un eje que ontiene un diametro de la base ir ular.
51. En rela ion on el ejer i io anterior, al ular el momento de iner ia de S alrededor de un eje
situado en el plano de la base y que es tangente al borde ir ular de la base.
CAPITULO 7. EJERCICIOS PROPUESTOS
168
52. Un ujo de uido tiene omo ve tor densidad de ujo a F~ (x; y; z ) = (x; 2x y; z ): Designemos
on S al hemisferio norte : x2 + y2 + z 2 = 1; z 0; y designemos on n^ a la normal unitaria
orientada ha ia el exterior de la esfera. Cal ular la masa de uido que atraviesa S en la unidad
de tiempo en la dire ion de n^ :
53. Resolver el ejer i io anterior si S ontiene tambien la base plana del hemisferio. En la base
^
inferior la normal unitaria es k:
54. En ada aso, en ontrar el desarrollo en serie de Fourier de la fun ion dada. Trazar la gra a
de la serie obtenida, poniendo parti ular aten ion a sus valores en ualesquiera de los puntos
de dis ontinuidad.
a ) f (x) = x2 ;
b)
<x<
(
x + ;
<x<0
x + ; 0 < x < f (x) =
) f (x) = x;
d)
<x<
(
1;
<x<0
1; 0 < x < 2
f (x) =
e ) f (x) = ex ;
<x<
f ) f (x) = j sen xj;
<x<
g)
8
>
<
jx
f (x) = 0;
>
:
x
h)
i ) f (x) = (
j)
8
1
>
<2;
x
1
f (x) = jxj;
2 x
>
:1
1
2; 2 x 1
2
1
2
x)( + x); x (
f (x) =
k)
1 j;
x
2
1 x 1
2
2
1; 1 x 2
2
x + ;
<x<0
x ; 0 < x < 8
>
<
1;
:
1;
f (x) = 0;
>
< x < 2
<x< 2
2
<x<
2
1
2
169
55. a ) Trazar la gra a del desarrollo en serie de Fourier de la fun ion:
8
>
<
1;
f (x) = 1;
>
:
1;
< x < 2
<x< 2
2
<x<
2
sobre los intervalos [2; 3℄ y [ 2; 0℄
b ) >Cual es el valor de la serie de Fourier para f uando x = k , siendo k un entero?
>Cuando x = (2k + 1) , siendo k un entero?
2
56. a ) Trazar la gra a del desarrollo en serie de Fourier de la fun ion :
8
>
>x + ;
>
<
2
< x < 23
2 < x < 0
x+ 3 ;
3
f (x) =
>
x;
0
<
x
<
>
3
>
:
x 3; 3 < x < b ) >Cual es el valor de la serie de Fourier
para esta fun ion, uando x = k, siendo k un
, siendo k un entero?
3
57. a ) En ontrar el desarrollo en serie de Fourier de la fun ion:
entero? >Cuando x = (4k + 1)
(
f (x) =
0;
<x0
x2 ; 0 x < y trazar la gra a de la serie obtenida.
2
1
1
1
b ) Usar esta serie para demostrar que
= 1+ 2 + 2 + 2 +
6
2
3
4
58. a ) En ontrar el desarrollo en serie de Fourier de la fun ion :
(
f (x) =
0;
<x<0
x; 0 x < y trazar la gra a de la serie obtenida.
2
1
1
1
b ) Usar esta serie para demostrar que :
= 1+ 2 + 2 + 2 +
8
3
5
7
59. a ) En ontrar el desarrollo en serie de Fourier de la fun ion f (x) = os x; < x < , para
ualquier numero real .
"
1 2 #
1 1 X
siempre que no
b ) Usar esta serie para demostrar que : ot =
k2 2
k=1
sea un entero. Justi ar la validez de los al ulos.
CAPITULO 7. EJERCICIOS PROPUESTOS
170
1
1
A X
a0 X
+ (ak os kx + bk sen kx) y 0 + (Ak os kx + Bk sen kx) respe tivamente, el
2 k=1
2 k=1
desarrollo en serie de Fourier de las fun iones f y g en P C [ ; ℄. Demostrar que la serie:
60. Sean
1
a0 + A0 X
+ [( ak + Ak ) os kx + ( bk + Bk ) sen kx℄
2
k=1
es el desarrollo en serie de Fourier de la fun ion f + g para ualquier par de numeros reales
y .
61. En ontrar los desarrollos en series de Fourier de las fun iones:
(
f (x) =
0;
<x<0
1; 0 < x < y
g(x) =
x
;
<x<
Luego, usando estas series y el ejer i io anterior, en ontrar el desarrollo en serie de Fourier de
las siguientes fun iones:
a)
f (x) =
b)
8
<1
2
;
: 1;
2
<x<0
0<x<
(
x + ;
<x<0
x; 0 < x < f (x) =
)
(
f (x) =
x;
<x<0
x + 2; 0 < x < 62. a ) En ontrar las extensiones par e impar de ada una de las siguientes fun iones en P C [0; ℄,
y trazar sus gra as en el intervalo [ ; ℄.
1) f (x) = 1
2) f (x) = x2
3) f (x) = x
4) f (x) = ex
b ) Trazar las gra as de las series de Fourier de oseno y de seno para ada una de las
fun iones en a).
63. En ontrar el desarrollo en serie de Fourier de seno de la fun ion f (x) = os x; 0 < x < , y
usar este resultado para dedu ir que :
p
1
2
= 2
16
2 1
62
3
1
+
5
102 1
7
+
142 1
171
64. En ontrar el desarrollo en serie de Fourier de oseno de la fun ion f (x) = sen x; 0 < x < ,
y trazar la gra a de esta serie.
65. En ontrar los desarrollos en serie de Fourier de seno de las fun iones :
a ) f (x) = x; 0 < x < b ) f (x) = x2 x; 0 < x < 66. a ) En ontrar el desarrollo en serie de Fourier de oseno de la fun ion
(
0; 0 < x < 2
1; 2 < x < f (x) =
;
y
trazar la gra a de esta serie.
1 1 1
=1
+
+
4
3 5 7
67. Sea f ontinua por tramos en ℄ 1; 1[, y periodi a de perodo 2p. Muestre que :
b ) Usar la serie obtenida en a) para probar que
Z a+2p
a
f (x)dx =
Z b+2p
b
f (x)dx
para todo par de numeros reales a y b.
68. En ontrar el desarrollo en serie de Fourier de la fun ion en P C [ 2; 2℄ de nida por:
8
>
<0;
2<x< 1
f (x) = jxj;
1<x<1
>
:
0; 1 < x < 2
Ademas, trazar la gra a de la serie.
69. En uentre el desarrollo en serie de Fourier de la fun ion en P C [1; 3℄ de nida por :
(
2 x; 1 < x < 2
x 2; 2 < x < 3
f (x) =
h i
70. En ontrar el desarrollo en serie de Fourier de sen x omo una fun ion en P C 0; , y trazar
2
la gra a de la serie.
3
, y trazar
71. En ontrar el desarrollo en serie de Fourier de os x omo una fun ion en P C ;
2 2
la gra a de la serie.
72. En ontrar el desarrollo en serie de Fourier de la fun ion :
(
f (x) =
1; 8 < x < 9
10 x; 9 < x < 10
CAPITULO 7. EJERCICIOS PROPUESTOS
172
73. En ontrar el desarrollo en serie de Fourier de la fun ion :
8
1;
>
>
>
<
2<x<3
4 x; 3 < x < 4
f (x) =
>
x
4; 4 < x < 5
>
>
:
1; 5 < x < 6
74. En ontrar una serie de Fourier que ontenga solamente termino seno y que onverja por puntos
a la fun ion x 1 para 1 < x < 2.
1
a X
75. Sea f una fun ion en P C [ ; ℄ on la serie de Fourier 0 + (ak os kx + bk sen kx): De2 k=1
Z x
1
a (x + ) X ak sen kx bk ( os kx os k)
+
para < x < mostrar que :
f (t)dt = 0
2
k
k=1
1
sen kx
x X
= ( 1)k+1
;
2 k=1
k
para demostrar que :
1
x2 2 X
= ( 1)k
4 12 k=1
1
x3 2 x X
= (
12 12 k=1
76. Partiendo de la serie :
< x < ; usar el teorema de integra ion
os kx
;
k2
1)k
y que
sen kx
k3
para < x < . Ver ejer i ios 57 b) y 58 b).
77. En uentre los valores propios y las fun iones propias de los siguientes problemas de SturmLiouville:
a ) y 00 + y = 0; y (0) = 0; y (L) = 0
b ) y 00 + y = 0; y (0) = 0; y 0 (L) = 0
) y00 + y = 0; y0 (0) = 0; y(L) = 0
d ) y 00 + y = 0; y 0 (0) = 0; y 0 (L) = 0
78. En ontrar un problema de Sturm-Liouville uyas fun iones propias son: 1; os x; os 2x; os 3x; n 79. En ontrar un problema de Sturm-Liouville uyas fun iones propias son: sen
x ; n 2 N.
L
80. En ontrar una serie de Fourier que ontenga solamente terminos seno y que onverja puntualmente a la fun ion f (x) = x para 0 < x < 2.
81. En ontrar una serie de Fourier que ontenga solamente terminos oseno y que onverja puntualmente a la fun ion f (x) = x para 0 < x < 2.
82. Demostrar que para 0 x se umple :
173
os 4x
os 6x
os 2x
2
+ 2 + 2 + .
6
12
2
3
8 sen x sen 3x sen 5x
b ) x ( x) = +
+
+
13
33
53
83. Usar el problema anterior para demostrar que:
1 1 2
X
a)
2 = 6
n=1 n
1 ( 1)n 1 2
X
b)
=
n2
12
n=1
1 ( 1)n 1 3
X
)
3 = 32
n=1 (2n 1)
a ) x (
x) =
84. Desarrollar
(
f (x)
x; 0 < x < 4
8 x; 4 < x < 8
en una serie de:
a ) senos.
b ) osenos.
85. Representar las siguientes fun iones por medio de una serie de Fourier senoidal, y trazar las
gra as de las series en ontradas.
a ) f (x) = x; 0 < x < b ) f (x) = x3 ; 0 < x < )
(
x; 0 < x < 2
f (x) = 2; 2 < x < d)
(
f (x) =
;
2
0 < x < 2
x; 2 < x < 86. Clasi ar ada una de las siguientes e ua iones diferen iales par iales omo elpti a, hiperboli a
o paraboli a.
2u
2u
u
2u
u
a)
+6
+4 2 +5
2 + 4u = 2x 3y
2
x
xy
y
x
y
2
u u
b)
=0
x2 y
2u
2u
2u
+y 2 =0
) x 2 + 2x
x
xy
y
CAPITULO 7. EJERCICIOS PROPUESTOS
174
2u 2 u
+
=0
x2 y2
2u 2 u
e)
=
t2 x2
87. En ontrar la de exion u(x; t) de la uerda vibrante (longitud L = , extremos jos, y
T= = 1), orrespondiente a velo idad ini ial ero y de exion ini ial dada por :
d)
2
=
a ) sen x
b ) k sen 3x
) k(sen x sen 2x) + sen 7x
d ) k (x x2 )
4
4 x
e) k
2
2
2
3
f ) k ( x x )
g ) k (sen 4x + sen 7x) + sen 10x
(k es una onstante).
88. En ontrar la de exion u(x; t) de la uerda vibrante (longitud L = , extremos jos,
la de exion ini ial f (x) y la velo idad ini ial g(x) son :
a) f = 0 ;
b)
2
= 1) si
g(x) = sen 2x
f =0;
) f (x) = 0;1 sen x ;
g(x) =
0;01x
0;01(
si 0 x 2
x) si 2 < x g(x) = sen 2x
89. En ada aso, en ontrar la solu ion u(x; t) de la e ua ion unidimensional de onda sobre el
intervalo [0; L℄ sujeto a las ondi iones en la frontera u(0; t) = u(L; t) = 0 y a las ondi iones
ini iales dadas.
n
a ) u(x; 0) = sen x ; ut (x; 0) = 0
L
n
b ) u(x; 0) = 0 ; ut (x; 0) = sen x
L
) u(x; 0) = x(L x) ; ut (x; 0) = 0
d ) u(x; 0) =
N
X
n=1
An sen
N
X
n
n
x ; ut (x; 0) =
Bn sen x
L
L
n=1
90. Determinar la termperatura u(x; t) en una varilla de plata de se ion transversal onstante y
material homogeneo ( on L = 10; = 10;6; K = 1; 04; = 0;056) que esta perfe tamente
aislada en toda su super ie lateral, sus extremos se mantienen a la temperatura ero, y su
temperatura ini ial es f (x), donde:
175
a ) f (x) = sen(0;1x)
b ) f (x) = sen(0;2x)
(
x; 0<x5
10 x ; 5 < x < 10
d ) f (x) = x(10 x)
) f (x) =
91. Considere la e ua ion unidimensional del alor on las ondi iones ux (0; t) = ux(L; t) =
0; u(x; 0) = f (x). Demostrar que el metodo de separa ion de variables propor iona la soluion:
1
n X
n 2
x e ( L ) t donde :
u(x; t) = A0 + An os
L
n=1
A0 =
1
L
Z L
0
f (x)dx; An =
2
L
Z L
0
f (x) os
n L
x dx; n 2 N
A ontinua ion, en ontrar la solu ion u(x; t) si L = ; = 1, y
a ) f (x) = 1
b ) f (x) = 0;5 os 2x
(
) f (x) =
x ; 0 < x < 2
0 ; 2 < x < 92. En ada aso, en ontrar la solu ion u(x; t) de la e ua ion unidimensional del alor, la ual
satisfa e las ondi iones dadas.
a)
(
u(0; t) = u(L; t) = 0 ; u(x; 0) =
x; 0 < x L2
L x; L2 < x < L
x
; k una onstante.
L
) u(0; t) = u(L; t) = 0 ; u(x; 0) = x(L x)
d ) ux (0; t) = ux (L; t) = 0 ; u(x; 0) = k sen x
L ; k una onstante.
b ) u(0; t) = u(L; t) = 0 ;
u(x; 0) = k sen
93. Apli ando el metodo de separa ion de variables, resolver ada uno de los siguientes problemas.
u
u
= 4 ; u(0; y) = 8e 3y
x
y
u
u
b)
= 4 ; u(0; y) = 8e 3y + 4e 5y
x
y
u
u
= 2 + u; u(x; 0) = 3e 5x + 2e 3x
)
x
y
a)
CAPITULO 7. EJERCICIOS PROPUESTOS
176
3
u 2 u
; ux (0; t) = 0; u(2; t) = 0; u(x; 0) = 8 os
=
x
t x2
4
u u
e)
=
2u; u(x; 0) = 10e x 6e 4x
t
x
8
>
<ut = uxx ; 0 < x < ; t > 0
f)
u(0; t) = u(; t) = 0; t 0
>
:
u(x; 0) = x( x); 0 x d)
g)
h)
i)
6 os
9
x
4
8
>
<ut
kuxx = 0 ; 0 < x < ; t > 0
u
(0
;
t
) = u(; t) = 0; t 0
>
:
u(x; 0) = sen3 x; 0 x 8
>
<ut
kuxx = 0 ; a < x < b; t > 0
u
(
a;
t
) = u(b; t) = 0
>
:
u(x; 0) = (x a)(b x)
8
>
<uxx + uyy
= 0 ; 0 < x < ; 0 < y < u
(0
;
y
)
=
u
(; y) = u(x; ) = 0
>
:
u(x; 0) = x2 ( x)
94. En ontrar la solu ion mediante separa ion de variables de la e ua ion de onda:
uxx = utt ; 0 < x < ; t > 0; u(0; t) = u(; t) = 0; u(x; 0) = f (x) ut (x; 0) = g(x);
donde :
a ) f (x) = sen3 x; g (x) = 0
b ) f (x) = 0; g (x) = x sen x
) f (x) = sen3 x; g(x) = x sen x
95. En ontrar la solu ion mediante separa ion de variables para la e ua ion de onda:
uxx = utt; 0 < x < ; t > 0; ux(0; t) = ux(; t) = 0; u(x; 0) = f (x); ut (x; 0) = g(x)
donde :
a ) f (x) = os2 x; g (x) = 0
b ) f (x) = 0; g (x) = x2 ( x)2
96. En ontrar la solu ion del problema uxx = ut (e ua ion del alor), 0 < x < ; t > 0; u(0; t) =
u(; t) = 0; u(x; 0) = f (x); on
a ) f (x) = sen(3x)
b ) f (x) = sen(x) + 3 sen(2x)
(
) f (x) =
x ; 0 x 2
x ; 2 x 177
97. En ontrar solu iones u(x; y) de las e ua iones siguientes, separando variables.
a ) ux uy = 0
b ) ux + uy = 0
) ux yuy = 0
d ) ux + uy = 2(x + y )u
e ) uxy u = 0
2z
= x2 y
xy
b ) En ontrar la solu ion parti ular para la ual z (x; 0) = x2 ; z (1; y ) = os y
98. a ) Solu ionar la e ua ion:
u
2u
+ 2 = x2
xt
x
2 z z
+ =0
100. a ) Resolver x
xy y
b ) En ontrar la solu ion parti ular para la ual z (x; 0) = x5 + x 68=x;
z (2; y) = 3y4
99. Resolver : t
101. Resolver el problema:
8
utt
>
>
>
<
= 9 uxx; 0 < x < ; t > 0
u(0; t) = u(; t) = 0; t 0
>
u(x; 0) = 2 sen(x) + 3 sen(5x); 0 x >
>
:
ut (x; 0) = sen(5x) + 4 sen(6x); 0 x utilizando el metodo de separa ion de variable. Detallar ada paso del pro edimiento.
102. Resolver el problema:
8
utt
>
>
>
<
= 4 uxx; 0 < x < ; t > 0
ux (0; t) = ux (; t) = 0; t 0
>
u(x; 0) = 1 + 2 os(3x); 0 x >
>
:
ut (x; 0) = 0; 0 x utilizando el metodo de separa ion de variables. Detallar ada paso del pro edimiento.
103. Utilizando el metodo de separa ion de variables, resolver los siguientes problemas:
8 2u
>
t2
>
>
<
2
= 4 xu2 ; 0 < x < ; t > 0
u(0; t) = u(; t) = 0; t > 0
>
u
(x; 0) = f (x)
>
>
:
ut(x; 0) = g(x)
donde:
CAPITULO 7. EJERCICIOS PROPUESTOS
178
a ) f (x) = 2 sen 3x 6 sen 7x; g (x) = 0
b ) f (x) = sen x + 4 sen 3x; g (x) = 3 sen 2x
4 sen 5x
) f (x) = 2 sen x + 3 sen 2x; g(x) = sen 2x + 3 sen 6x
d ) f (x) = 2 x x3 ; g (x) = 0
8 2
y
>
> 2
>
>
< t
2y
= 4 2 ; 0 < x < 5; t > 0
x
y
(0
;
t
)
=
y(5; t) = 0; t > 0
104. Resolver:
>
>
>
>y (x; 0) = 0 0 < x < 5
:
yt (x; 0) = 5 sen(x); 0 < x < 5
8
>
<uxx
= 4ut; 0 < x < 1; t > 0
ux(0; t) = ux(1; t) = 0; t 0
>
:
u(x; 0) = 1 + 7 os(2x); 0 x 1
105. Resolver el problema:
106. Apli ando el metodo de separa ion de variables, resolver el problema:
8
utt
>
>
>
<
= 9 uxx; 0 < x < ; t > 0
ux(0; t) = ux(; t) = 0; t 0
>
u(x; 0) = 2 + os(x) + 3 os(5x); 0 x >
>
:
ut (x; 0) = 0; 0 x 107. Es riba ada una de las siguientes fun iones omplejas f en la forma f = u + iv donde u y v
son fun iones reales de (x; y). Ademas, determine donde f es ontinua.
a ) f (z ) = z 2 + 2z
b ) f (z ) = 2
z
z2 + 6
3z + 2
) f (z ) = e7z
d ) f (z ) = tan z
e ) f (z ) = os z + sen(2z )
108. Derive ada una de las siguientes fun iones omplejas:
a ) w = z 3 + 5z + 1
b ) w = [1 + (z 2 + 1)3 ℄7
2z i
; z 6= 2i
z + 2i
z4 + z
; z 6= 0; 2i; 2i
d) w = 3
z + 4z
e ) w = sen z
f ) w = tan z
) w=
179
109. En ada aso, determinar si f es o no analti a en su dominio. Justi que ade uadamente su
respuesta.
a ) f (x; y ) = x3 + y 3 + y (3x2 y + 3xy 2 ) (Resp.: No)
b ) f (x; y ) = 3x + 5y + i(3y 5x) (Resp.: S)
) f (x; y) = x2 + iy3 (Resp.: No)
d ) f (z ) = z + z (Resp.: No)
(Re uerde que si z = x + iy enton es z = x iy)
z2 + 2
(Resp.: Si, siendo Dominio(f ) = C
e ) f (x) =
z 6
f ) f (z ) = z jz j (Resp.: No)
f6g)
110. Evalue:
a)
b)
Z
Z
C
z 2 sen zdz sobre la elipse C : x2 + 2y2 = 1; re orrida en sentido antihorario.
zez dz sobre el segmento de re ta C que va desde 1 hasta 2i.
C Z
1
ez
)
dz , donde C es la ir unferen ia jz j = 3; en sentido horario.
2i C z 2
Z
sen 3z
d)
dz , donde C es la ir unferen ia jz j = 5; en sentido antihorario.
z
C + =2
Z
e2 z
dz , donde C es la ir unferen ia jz j = 3; en sentido horario.
e)
C (z + 1)4
111. Cal ular las siguientes integrales, mediante los residuos :
Z 1
x6
dx
a)
1 (1 + x4 )2
Z 1
x2
b)
dx
1 1 + x4
Z 1
x2
dx
)
2
2 2
0 (x + 4) (x + 9)
Z 1
1
d)
6 + 1 dx
x
0
Z 1
x2
e)
dx
1 (x2 + 1)2 (x2 + 2x + 2)
Z 2
1
dt
f)
0 (3 2 os t + sen t)
Z 2
1
dt; para a > jbj:
g)
a
+
b
sen t
0
CAPITULO 7. EJERCICIOS PROPUESTOS
180
Z 2
1
dt; para 0 < b < a:
(
a
+
b
os t)2
0
Z 2
os3 3t
i)
2 dt; para 0 < a < 1:
0 1 2a os t + a
Z 2
sen2 t
j)
dt; para 0 < b < a:
0 a + b os t
h)
