REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL DEL OESTE DE SUCRE
“CLODOSBALDO RUSSIÁN”
CUMANÁ, ESTADO SUCRE
PARADIGMA EMERGENTE DE DISCONTINUIDAD-COMPLETITUD
DE LOS NÚMEROS REALES
(Modalidad: Investigación)
MAGISTER: CRUZ ANTONIO SUÁREZ
TRABAJO DE ASCENSO PRESENTADO COMO REQUISITO PARCIAL PARA
OPTAR A LA CATEGORÍA ACADÉMICA DE ASOCIADO
CUMANÁ, 2018
INDICE
AGRADECIMIENTOS…………………………………………………………………….i
RESUMEN…………………………………………………………………………………ii
OBJETIVOS………………………………………………………………………………iii
INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………………1
CAPÍTULO I
1.- DEFINICIONES Y RESULTADOS GENERALES…………….
1.1.- LOS NÚMEROS REALES……………………
1.2.- LOS NÚMEROS HIPERREALES…………….
CAPÍTULO II
2.- ANOMALÍAS DEL PARADIGMA CLÁSICO DE CONTINUIDAD DE R
CAPÍTULO III
3.- EL AXIOMA DE DISCONTINUIDAD-COMPLETITUD DE R
CAPÍTULO IV
4.- LOS NÚMEROS REALES COMO CUERPO ORDENADO, DISCONTINUO Y
COMPLETO
CAPÍTULO V
5.- LÍMITE, CONTIGUIDAD Y DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN EL
PARADIGMA DE DISCONTINUIDAD-COMPLETITUD DE R
CAPÍTULO VI
6.- SOLUCIÓN A LAS ANOMALÍAS DEL PARADIGMA CLÁSICO
CAPÍTULO VII
7.- REFLEXIONES, PROBLEMAS ABIERTOS Y PERSPECTIVAS
REFERENCIAS
AGRADECIMIENTOS
¡A DIOS, LA AMOROSA IMAGINACIÓN DIVINA…, SIN LA CUAL EL
PRESENTE TRABAJO NO HUBIESE SIDO POSIBLE, Y DE LA
CUAL PROCEDE... ¡
¡A MI AMIGO, EDUARD TROUSSELOT…, POR SUS
INESTIMABLES CONSEJOS Y SUGERENCIAS¡
¡GRACIAS!
RESUMEN
En el presente trabajo se introduce y propone un paradigma
emergente de discontinuidad y completitud de los números reales,
fundamentado en la definición restringida de cotas superiores
(inferiores) y en el denominado Axioma de Discontinuidad y
Completitud de ℝ.
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Proponer un Paradigma Emergente de Discontinuidad-Completitud de los números
reales.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1.- Describir las anomalías del paradigma clásico de continuidad de los números
reales.
2.- Redefinir los conceptos de cota superior e inferior de un conjunto de números
reales S.
3.- Introducir el Axioma de Discontinuidad-Completitud de los números reales.
4.- Establecer el conjunto de los números reales como cuerpo ordenado,
discontinuo y completo.
5.- Redefinir el concepto de límite de funciones reales.
6.- Introducir la definición de función contigua en un punto y en un conjunto.
INTRODUCCIÓN
“…la ciencia normal suprime frecuentemente innovaciones fundamentales, debido
a que resultan necesariamente subversivas para sus compromisos básicos.”
Thomas Kunh (1922-1996)
En el siglo XVII, Isaac Newton (1642-1727) con su método de las fluxiones
y Wilhem Leibnitz (1646-1715) mediante su cálculo diferencial e integral, logran
resolver los tres grandes retos matemáticos del siglo XVII: los problemas de
máximos y mínimos, el cálculo de la recta tangente y el problema de las
cuadraturas.
Newton, por una parte, al interpretar la derivada, su problema
fundamental,
,
como la pendiente de la recta en un punto, donde ∆y y ∆x son segmentos de un
triángulo rectángulo, establece la base geométrica (continua) del análisis. En este sentido
es importante destacar que Newton imaginaba las curvas como fluentes (lo que fluye), lo
que indujo a que llamara a la derivada “fluxión”.
Por otro lado, Leibnitz desarrolló su cálculo diferencial en forma similar a
Newton, pero su concepción del incremento era diferente, pues lo consideraba un
número (el infinitésimo de Leibnitz) en lugar de una variable. En ese sentido, al
darle categoría numérica a los infinitésimos estableciéndolos como “números
positivos más pequeños que todo número real positivo”, Leibnitz actuaba
implícitamente sobre la base de que había ampliado el campo numérico real; sin
embargo pronto se comprendió que tal ampliación de los números reales no era
posible,
puesto que cuando se operaba en ciertas situaciones con estos
infinitésimos se incurrían en algunas contradicciones y se incumplían ciertas
≤propiedades de los números reales. No obstante, a pesar de su falta de rigor y
carácter “evanescente”, los infinitésimos se utilizaron ampliamente como
herramienta auxiliar de trabajo por muchos matemáticos hasta muy entrado el
siglo XIX. Adicionalmente, es importante destacar que Leibnitz consideraba a las
curvas como formadas por tramos rectos o segmentos infinitamente pequeños,
coincidiendo de esta manera con Newton en cuanto a la concepción de la
naturaleza geométrica del análisis. En tal sentido Leibnitz expresa:
“La división del continuo no debe ser considerada como la arena en granos,
sino como la de una hoja de papel o una túnica en pliegues, de tal manera que
pueda tener una infinidad de pliegues, unos más pequeños que otros, sin que el
cuerpo se disuelva jamás en puntos o mínim.” De Lorenzo, 1998 (pg. 69)
Por último, es bien conocido que el problema de las cuadraturas (área bajo
la curva) fue resuelto por ambos autores a través de la introducción de la idea de
integral, es decir una suma límite infinita de rectángulos cada vez más pequeños.
La aritmetización del análisis
A pesar de la gran utilidad y versatilidad de la aplicación de los
infinitesimales en el análisis, su falta de rigor y fundamentación teórica sólida llevó
a algunos matemáticos a cuestionar su veracidad y consistencia. Por otra parte,
también se cuestionaba el exclusivo protagonismo de los métodos geométricos
en los procesos analíticos. Ambas circunstancias dieron origen a un movimiento
epistemológico denominado aritmetización del análisis, en pleno auge del
positivismo lógico del matemático francés Augusto Comte (1798-1857).
La aritmetización del análisis fue un
proceso, realizado por algunos
matemáticos a finales del siglo XIX, consistente en elaborar una teoría de números
reales usando construcciones teóricas de conjuntos, con el fin de darle una base
teórica sólida y aritmética al análisis, el cual tradicionalmente sentaba sus bases
prácticas y metodológicas en la geometría y en la continuidad de los procesos
objeto de su estudio, mismos que fundamentaron su nacimiento histórico. Así, el
problema central de este esfuerzo era dotar de algún tipo de “continuidad” al
sistema numérico, esencial y ontológicamente discreto, y de esa manera
deslastrarse e independizarse de los métodos geométricos del análisis tradicional
y hacerlos descansar en los aritméticos, pero siempre, como ya se dijo, bajo la
concepción continua de los procesos analíticos. Entre los matemáticos más
importantes del mencionado movimiento destacan Bolzano (1781-1848), Cauchy
(1789-1857), Weiertrass (1815-1897) y muy particularmente Dedekind (18311916) y Cantor (1845-1918), los cuales le dan culminación.
De esta manera, en 1872 Dedekind, usando cortaduras, y Cantor, con
sucesiones de Cauchy, publicaron por separado sus construcciones de los
números reales, estableciendo así los fundamentos del Análisis Real moderno y
eliminando la noción original y uso de los infinitesimales, por lo menos hasta 1961.
En efecto, en 1961 Abraham Robinson (1918-1974) realiza la construcción
del cuerpo de los números hiperreales ℝ*, los cuales no sólo incluyen los
infinitesimales clásicos de Leibnitz sino también los infinitos y una nueva variedad
de tipos numéricos surgidos de la combinación de los anteriores y por
construcción teórica, logrando re-establecer así, de acuerdo a Takeuchy (1998),
“… de forma legítima el antiguo cálculo infinitesimal de Leibnitz y abriendo, por
otra parte, una imprescindible reinterpretación de la matemática clásica y la
posibilidad de esclarecer los problemas no resueltos por la misma.” (pg. 8). Uno de
tales problemas, por cierto, es el relacionado con la continuidad de los números
reales, muy a pesar de ser considerado un asunto resuelto.
La continuidad numérica: ¿un caso cerrado?
Generalmente se ha pensado que el problema de la continuidad de los
números reales es un caso resuelto definitivamente, debido principalmente a las
construcciones de Dedekind y Cantor, así como al muy conocido axioma de
completitud, por lo que se supone que discutir o reabrir la controversia es un
asunto fútil y sin sentido. Sin embargo, se hace muy pertinente reabrir dicha
controversia y en ese sentido. a manera de ejemplo se pueden mostrar las ideas
o visiones de continuidad de ℝ. Dedekind (1831-1916), uno de los principales
artífices de la idea de continuidad de los números reales, de H. Weyl
1955) y del famoso intuicionista L. Brouwer (1881-1966).
(1885-
Las ideas y concepciones de continuidad de
Weyl y Brouwer
son
diametralmente opuestas a las de Dedekind, constituyendo estas sólo una
pequeña pero representativa muestra de las posiciones e ideas disidentes
respecto a la continuidad numérica, lo cual constituye una motivación más para
reabrir la histórica controversia continuidad-discontinuidad, solo que ahora,
adicionalmente, se cuentan con nuevos adelantos teóricos y elementos de juicio
surgidos no sólo desde el ámbito de la investigación en matemática, sino también
de la física, por lo que es muy factible darle un nuevo giro a la discusión. A
continuación se muestran algunos bosquejos de las ideas de estos matemáticos:
R. Dedekind (1927):
1.- Continuidad: “…, completud, ausencia de
2.-
El
discontinuo
se
puede
hacer
lagunas…”
continuo
“…rellenando…sus
huecos…mediante la creación de nuevos individuos puntuales…”
3.- “Encuentro la esencia de la continuidad en el siguiente principio:
Si se reparten todos los puntos de la recta en dos clases, tales que cada
punto de la primera clase está situado a la izquierda de cada punto de la
segunda clase, entonces existe un único punto que determina esta partición
de todos los puntos en dos clases, este corta a la recta en dos partes.”
(pgs. 6-7)
En Bell (2000), se recogen las siguientes ideas de Brouwer y Weyl sobre el
continuo:
L. Brouwer:
1.-El continuo “no se disuelve en un conjunto de números reales como
entidades terminadas.”
2.- El continuo “no es la unión de dos partes no vacías disjuntas...” (pg. 9)
H. Weyl:
1.- “Una auténtica continuidad no se puede dividir en fragmentos
separados.”
2.- Un continuo “…desafía ser cortado en partes con un hacha.” (pg. 9)
Lo que se desprende de las ideas de Weyl y Brouwer es que la auténtica
continuidad no se puede definir en términos de conceptos u objetos discretos,
tales como los números reales, por cuanto se estaría tergiversando o desvirtuando
la esencia ontológica de la auténtica continuidad, en particular de la continuidad
geométrica. Actuar de esa manera, según este autor, conduciría inevitablemente a
error y falsas conclusiones. Sin
embargo, a pesar de lo acertado de sus
apreciaciones, sus ideas no tuvieron mucha repercusión en la mayoría de los
matemáticos de la época.
En efecto, se dice que la historia la escriben los victoriosos, y en ese
sentido es lógico pensar que las ideas de continuidad de Weyl y Brouwer, así
como
su discrepancia teórica con Dedekind no prosperaran en un ambiente
donde la mayoría de los matemáticos, dada el prestigio y efervescencia de la
matemática alemana, se avocaran por las ideas de este último. Sin embargo, con
el advenimiento de los números hiperreales y sus herramientas teóricas y
metodológicas subyacentes, se han empezado a entrever algunas fisuras y
debilidades ocultas en la construcción teórica de los números reales y su supuesta
continuidad, lo cual abre nuevas perspectivas de investigación en ese campo y la
fuerte posibilidad de reivindicar las ideas de Weyl y Brouwer.
La continuidad: ¿norma o excepción de los fenómenos del Universo?
La creencia en la continuidad de los fenómenos del Universo, tales como la
continuidad del tiempo y el espacio es muy conocida
desde la época de los
filósofos griegos presocráticos. Es precisamente la creencia en esa continuidad la
que sirvió de base e inspiración a la fundamentación geométrica del análisis
diferencial e integral por parte de Newton y Leibnitz. Así, Newton expresaba
poéticamente su concepción del tiempo como: “El tiempo absoluto, verdadero y
matemático, el de sí mismo y por su propia naturaleza, fluye uniformemente sin
ser afectado por nada externo.” Sin embargo, a pesar de la innegable belleza de
esta expresión poética, el tiempo dista mucho de ser continuo y absoluto.
En efecto, primero con los descubrimientos de Einstein mediante la Teoría
de la Relatividad Especial y General, y luego con los adelantos en física cuántica,
se
implantó un nuevo paradigma en la física en contraposición al clásico
newtoniano, lo cual trajo como consecuencia un inevitable y drástico cambio en la
visión y concepción tradicional en un tiempo, una materia y un espacio continuos
y uniformes, lo cual repercutió no sólo en la estructura misma de la ciencia física,
sino en las demás ciencias y disciplinas y muy particularmente en la filosofía.,
debiendo reestructurar, y en muchos casos modificar algunos de sus supuestos
teóricos más emblemáticos. Sin embargo, existe una teoría en matemática que
curiosamente no se ha sometido a revisión en función de los cambios
paradigmáticos ocurridos en el siglo XX, y esta es la referida al análisis real
continuo, porque si la discontinuidad es la norma y no la excepción de los
fenómenos del Universo, ¿por qué seguir aferrados a lo contrario?
De todo lo anterior se infiere la necesidad de revisar los fundamentos de
las teorías matemáticas que se originaron a partir de la concepción continua de
los fenómenos del Universo, tal como el cálculo diferencial e integral newtoniano
del siglo XVII y el análisis real continuo conjuntista
de finales del siglo XIX y
principios del XX, a fin de realizar los ajustes y correcciones a que haya lugar a fin
de adecuar
dichas herramientas a la luz de los nuevos descubrimientos y
adelantos científicos. Esto permitiría desembocar en el desarrollo de un cálculo
discontinuo y un análisis real discontinuo, los cuales modelarían más
consistentemente los procesos naturales discontinuos bajo estudio, En el presente
trabajo se pretende dar inicio a ese proceso mediante la introducción de un
paradigma discontinuo de análisis real.
Paradigmas y matemática
Thomas Kuhn (1922-1996), en su obra “La estructura de las Revoluciones
Científicas” (1971) define el término paradigma como: “…realizaciones científicas
universalmente reconocidas que, durante un cierto tiempo, proporcionan modelos
de problemas y soluciones a una comunidad científica.” (pg. 12) La tesis principal
de Kunh en la mencionada obra es que el progreso científico no se realiza en
forma continua,
armoniosa y acumulativa, sino que eventualmente ocurren
revoluciones científicas que provocan rupturas entre el modelo en uso o ciencia
normal y
el emergente, siendo el ejemplo más emblemático de la misma el
relativo a la física clásica o newtoniana y a la teoría de la relatividad de Einstein.
Si bien los campos disciplinares sobre los cuales Kunh centra su teoría lo
constituyen las ciencias físicas y la química, sus planteamientos, con algunas
ligeras observaciones, se pueden aplicar en el campo de las matemáticas, y en
ese sentido se pueden considerar a manera de ejemplos en esa área los casos
cuando se introdujeron los números irracionales y la geometría no euclideana, las
cuales se caracterizaron por ser revoluciones del tipo de reconceptualización, por
cuanto
mediante las mismas se introdujo una visión radicalmente nueva en
relación al conocimiento matemático previo o preexistente.
Otro tipo de revolución en matemáticas podría abarcar descubrimientos
donde la percepción del conocimiento previo sigue siendo el mismo, sin embargo
la metodología y técnicas procedimentales reemplazan en gran medida las formas
anteriores de hacer matemáticas. Ejemplos de estos casos lo constituyen el
realizado por Descartes mediante el desarrollo de la geometría analítica y por
Newton y Leibnitz por la creación del cálculo, y muy particularmente el referido al
ya mencionado proceso de aritmetización del análisis, el cual derivó en el modelo
continuo de los números reales y el análisis real moderno, el cual ya presenta
signos de desgaste y debilitamiento.
Finalmente, para que un descubrimiento particular desemboque en una
revolución científica y se constituya en un paradigma, debe ser ampliamente
aceptado por la comunidad científica, siendo este un proceso que por lo común
toma un cierto lapso de tiempo, dependiendo del grado de difusión y aceptación
por parte de las autoridades en la materia, así como del nivel de respuesta y
soluciones que el nuevo corpus teórico aporta a problemas que el paradigma
clásico no puede responder o resolver.
CAPÍTULO I
DEFINICIONES Y RESULTADOS GENERALES
“Hay buenas razones para creer que el análisis no-estándar, en una versión o en
otra, será el análisis del futuro.”
Kurt Godel (1906-1978)
En
este
capítulo
enunciaremos algunas
definiciones
y resultados
directamente relacionados con el tema central del presente trabajo.
1.1.- LOS NÚMEROS REALES
Generalidades:
Definición 1.1.- Sea S un conjunto de números reales. Si existe un número real b
tal que x ≤ b para todo x de S, diremos que b es una cota superior de S y que S
está acotado superiormente por b.
Si una cota superior b es, además, un elemento de S, b se denomina último
elemento o elemento máximo de S, el cual se denota como b = máx S.
Las definiciones de los términos cota inferior, acotado inferiormente, primer
elemento (o elemento mínimo) se pueden definir de forma análoga.
Definición 1.2.- Sea S un conjunto de números reales acotado superiormente. Un
número real b se denomina extremo superior o supremo de S, si verifica las dos
propiedades siguientes:
a) b es una cota superior de S.
b) Ningún número menor que b es cota superior de S.
En este caso se dice que b = sup S.
Axioma 1.1- (Axioma de Completitud).- Todo conjunto no vacío S de números
reales que esté acotado superiormente admite supremo, es decir, existe un
número real b tal que b = sup S.
Teorema 1.1- (Propiedad de la aproximación).- Sea S un conjunto no vacío de
números reales con un supremo que se designa por b = sup S. Entonces, para
cada a < b, existe un x de S tal que
a < x ≤ b.
Definición 1.3.- Un δ entorno de un punto a de ℝ es el conjunto de todos los
puntos x de ℝ tales que |x - a | ≤ δ, donde δ es cualquier número positivo dado.
Un δ entorno reducido de a es el conjunto de todos los puntos de x tales que
0< |x - a | < δ,
esto es, donde a mismo es excluido.
Se observa que el concepto de δ entorno
de a coincide con el
correspondiente al del intervalo abierto (a- δ, a + δ).
Definición 1.4.- Sea S un subconjunto de números reales y x un número real,
entonces x se llama punto de acumulación
de S si cada
δ – entorno de x
contiene por lo menos un punto de S distinto de x.
Definición 1.5.- (Cortaduras de Dedekind) Una cortadura (número real) es un
conjunto α, de números racionales, con las cuatro siguientes propiedades:
1.- Si x está en α e y es un número racional con y < x, entonces y también está en
α.
2- α ≠ Ø.
3.- α ≠ ℚ, siendo ℚ el conjunto de los números racionales.
4.- No existe ningún elemento máximo en α: Dicho de otro modo, si x está en α,
entonces existe algún y en α tal que y > x.
Completitud de los números reales:
Definición 1.6.- Una sucesión X = {xn} de números reales es una sucesión de
Cauchy si para todo ε > 0, existe un número natural k (ε) tal que para todo m y n,
números naturales, los términos xn y xm satisfacen | xn - xm | < ε.
Teorema 1.3.- Una sucesión de números reales es convergente si y sólo si es una
sucesión de Cauchy (ℝ es completo).
Teorema 1.4.- Sea F un cuerpo completo, entonces F es isomorfo a los números
reales.
1.2.- LOS NÚMEROS HIPERREALES
Un número hiperreal α básicamente es una clase de equivalencia de las
sucesiones de números reales “casi iguales” o “iguales para casi todo n”, según se
muestra a continuación.
Definición 1.7.- Sea S subconjunto de los números naturales ℕ, entonces el
conjunto
F = {S: ℕ-S es finito},
Se llama el filtro de Fréchet.
El filtro de Fréchet es un conjunto de subconjuntos de números naturales
cuyo complemento con respecto a ℕ es finito y además ℕ pertenece a F (es claro
que el conjunto ø no está en F).
Definición 1.8.- Se dice que un filtro *F en ℕ es un ultrafiltro de Fréchet si:
a) ℕ es subconjunto de *F.
b) Dado A subconjunto de N se cumple que A pertenece a *F o ℕ-A pertenece
a *F.
El ultrafiltro de Fréchet es un filtro maximal cuya propiedad fundamental es
contener a todo subconjunto A de ℕ o a su complemento ℕ-A, pero no ambos.
Definición 1.9.- Sea ℝ el conjunto de los números reales y sea
T = {(an): an en ℝ, n en ℕ},
el conjunto de todas las sucesiones de números reales. Se dice que dos
sucesiones (an) y (bn) en T son “casi iguales” o equivalentes, (an)≡(bn), si el
conjunto {n en ℕ/ an = bn} pertenece al ultrafiltro de Fréchet *F.
Observaciones:
1.- Las frases “casi iguales”, “casi siempre” o “para casi todo n”, significan lo
mismo en este contexto.
2.- La relación “≡” es de equivalencia (reflexiva, simétrica y transitiva).
A continuación se define el conjunto de los números hiperreales ℝ*.
Definición 1.10.- El número hiperreal α = [(an)], se define como
α = [(an)] = {(bn) en T/ (an) y (bn) son casi iguales} = {(bn) en T/ (an) ≡ (bn)}.
De este modo el conjunto de los números hiperreales ℝ* se define como:
ℝ* = T/≡, el conjunto de todas las clases de equivalencia inducidas por la relación
“≡”.
Observación 1.1.- Sea r en ℝ, entonces r = [(r)] = [(r, r, r…, r,…)], es el número
hiperreal r generado por la sucesión constante (r). De esta manera, r es a su vez
un número real e hiperreal y así se deduce que ℝ es un subconjunto de ℝ*. En
particular, 1 = [(1, 1, 1…)] y 0 = [(0, 0, 0…)].
Las operaciones de adición, multiplicación, división y relación de orden se
definen a continuación.
Definición 1.11.- Sean [(an)] y [(bn)] en ℝ*, entonces:
a) [(an)] ± [(an)] = [(an ± bn)].
b) [(an)] . [(bn)] = [(an . bn)].
c) [(an)] / [(bn)] = [an/bn)], bn ≠ 0, para todo n.
d) [(an)] < [(bn)] si y sólo se el conjunto {n en ℕ / an < bn } pertenece a *F.
Estas operaciones y la relación < están bien definidas y con la incorporación
de las mismas ℝ* asume el estatus de campo totalmente ordenado.
Definición 1.12.- Para todo α = [(an)] en ℝ*, se define el valor absoluto de α
como:
| α | = | [(an)] | = [( | an |)],
Una de las principales consecuencias de la construcción de ℝ* es la obtención
de los números infinitesimales e infinitos.
Definición 1.13.- Sea α en ℝ*, entonces α es un número infinitesimal si y sólo si
| α | < k, para todo real positivo k.
Observaciones:
a) Sea α = [(1/n)] = [(1, ½, 1/3…, 1/n…)], entonces α es un número infinitesimal.
En efecto, sea k un número real positivo, entonces por el principio de
Arquímedes existe un número natural n tal que 1/n < k. Así 1/n < k para casi
todo n natural, por lo tanto α = [(1/n)] < k, para todo real positivo k y por ende
α es un número infinitesimal.
b) El 0 es el único infinitesimal real.
Definición 1.14.- Sea ω en ℝ*, entonces ω es un número infinito si y sólo si
| ω | > k, para todo número real k.
Un ejemplo de número infinito es ω = [(n)] = [(1, 2, 3, 4…n…)].
Observación 1.2.- Si α es un infinitesimal entonces
sea k un número real positivo, entonces α <
es un infinito. En efecto,
y de allí se tiene que
> k, por lo
tanto
es un infinito.
Definición 1.15.- Sean x, y en ℝ*, se dice que x es infinitamente próximo a y,
x≈ y, si y sólo si x – y es infinitesimal.
Observación 1.3.- Las operaciones +, -, x
y
la relación de orden < son
compatibles con la relación “≈”.
Definición 1.16.- Sea α en ℝ*, se define la mónada de α, μ (α) como:
μ (α) = {x en ℝ*/ x ≈ α }.
Observación 1.4.- La mónada de un número α está formada por todos los
números infinitamente próximos a α.
En particular, μ (0) = {x en ℝ* / x ≈ 0} es el conjunto de los números
infinitesimales.
Definición 1.17.- (Conjunto superdenso) Sea X un conjunto totalmente
ordenado, se dice que X es superdenso si dados A, B dos
subconjuntos
numerables de X, no simultáneamente vacíos, con A < B, existe siempre c en X tal
que A < {c} < B.
Teorema 1.5.- El cuerpo ℝ* de los números hiperreales es un conjunto
superdenso.
Propiedades de los conjuntos superdensos:
1.- Un conjunto superdenso es denso.
2.- Si X es superdenso, entonces X no es numerable.
3.- Un conjunto superdenso no posee ni máximo ni mínimo elemento.
4.- Sea X un conjunto superdenso y S un subconjunto numerable de X; entonces S
no tiene supremo (ínfimo) diferente al máximo (mínimo, respectivamente).
5.- Si X es un conjunto superdenso, entonces toda sucesión de elementos de X es
acotada.
6.- Un conjunto superdenso no es completo.
Corolario 1.1.- El conjunto de los números hiperreales ℝ* no es completo.
Observación 1.5.- El corolario 1.1 se desprende del teorema 1.5 y de la propiedad
6 de los conjuntos superdensos. Significa también que la recta hiperreal L* es
discontinua, lo cual tendrá importantes consecuencias en lo que atañe a las
anomalías del paradigma clásico de continuidad de ℝ.
CAPÍTULO II
ANOMALÍAS DE LA TEORÍA CLÁSICA
“El análisis está edificado sobre arena”
“Cada célula de este poderoso organismo (por así decirlo) está permeado por la
contradicción”
H. Weyl (1885-1955)
Thomas Kunh (1971), define las revoluciones científicas como “La transición
de un paradigma en crisis a otro nuevo del que pueda surgir una nueva tradición
de ciencia normal.” (pg.139). Las situaciones que sirven de escenario y
condicionan el advenimiento
de las revoluciones científicas se dan cuando la
ciencia normal intenta adecuar la teoría a los hechos, pero se suscitan ciertas
discrepancias o inconsistencias que la teoría vigente no puede explicar. En este
sentido, si esas discrepancias no son resueltas se convierten en anomalías, y si
éstas se acumulan se produce una crisis que conlleva la caída del antiguo
paradigma, y el surgimiento de una revolución científica en la que el antiguo
paradigma es reemplazado por uno nuevo incompatible con el anterior, o como
ocurre en el caso particular de las matemáticas, pueden coexistir como universos
teóricos y metodológicos alternativos sin que haya reemplazo de uno por otro.
En lo que atañe a la matemática, específicamente a la teoría clásica de
continuidad de los números reales, ésta evidencia ciertas anomalías, las cuales
no pueden ser explicadas en el seno mismo de dicha teoría, haciéndose
imperativa entonces la apertura de un paradigma emergente dentro del cual las
mismas tengan explicación o solución, ya en forma total o parcialmente. Estas
anomalías son:
1.- La equipotencia de la recta geométrica con la numérica.
2.- La coexistencia de la densidad numérica con la continuidad.
3.- Las discontinuidades de la recta hiperreal *L vs la “continuidad” de la
recta real L.
4.- La existencia de subconjuntos de números reales distintos de los
intervalos abiertos y/o (no caen en la categoría de conjuntos “continuos”), que a
pesar de cumplir con las definiciones de límite, continuidad y derivada, no son
admitidos en la teoría.
5.- La equivalencia entre continuidad y completitud.
Veamos a continuación en qué consisten tales anomalías.
1.- La equipotencia de la recta geométrica con la numérica.
La recta geométrica suele definirse como:
“CONJUNTO DE PUNTOS QUE SE DISPONEN DE MANERA SUCESIVA
Y CONTINUA, ES DECIR SIN INTERRUPCIONES”
O equivalentemente como:
“SERIE DE PUNTOS CONTINUOS Y UNIDOS ENTRE SI, DONDE
TERMINA UNO EMPIEZA OTRO.”
Por otra parte, la recta numérica real es obviamente la recta conformada
por los números reales y también es bien sabido que gracias a los recursos
aportados por la geometría analítica, es posible describir figuras geométricas
mediante ecuaciones algebraicas (numéricas). Ahora bien, ¿son realmente
equipotentes la recta geométrica y la numérica?
Richard Dedekind, en su obra “Continuidad y números irracionales” (1927),
expresa:
“Encuentro la esencia de la continuidad en el siguiente principio:
“Si se reparten todos los puntos de la recta en dos clases, tales que cada
punto de la primera clase está situado a la izquierda de cada punto de la segunda
clase, entonces existe un único punto que determina esta partición de todos los
puntos en dos clases, este corta a la recta en dos partes.” (pg. 7).
Si bien la apreciación de Dedekind se ajusta a la realidad en lo que
concierne a la recta geométrica, esto no es cierto en el caso de la recta numérica
real, y es el hecho de aplicar ese principio de continuidad a ambas rectas lo que
ha llevado a la errónea conclusión de que la recta geométrica y numérica real son
equipotentes.
En efecto, recurramos a la siguiente situación:
Sea “a” un punto de la recta geométrica y hagámoslo coincidir con el
número 1 de la recta geométrica. Tomemos a continuación un punto “b” de la recta
geométrica situado a la derecha y separado de “a”, y sea k>0 la medida del
segmento ab, entonces es claro que el número x=k en la recta numérica
corresponde al punto “b” de la geométrica.
Llevemos la situación anterior a un caso extremo, y fijando al punto “a” de
la recta geométrica, movamos al punto “b” en dirección de “a” hasta situarse en el
extremo final de “a”, es decir que donde termina “a” comienza “b”. Esta situación
es perfectamente posible por la continuidad de la recta geométrica (ver definición
anterior). Ahora bien, en la recta numérica no existe un número real que
corresponda al punto “b”, en consecuencia la equipotencia entre ambas rectas no
se cumple.
La razón por la cual esta anomalía no se percibe, o en caso de percibirse
no se le otorga importancia, es por el hecho de suscitarse en situaciones extremas
como la anterior y en entornos infinitesimales que suelen no tener sentido para la
teoría vigente.
Esta anomalía está directamente relacionada con la siguiente.
2.- La coexistencia de la densidad numérica con la continuidad.
A menudo suele confundirse densidad numérica con continuidad, pero lo
que en general es pasado por alto es el hecho de que la propiedad de densidad
de los números reales constituye un impedimento o freno a la continuidad
numérica. Se trata de una situación que pasaba totalmente desapercibida hasta el
advenimiento de los números hiperreales, impulsados por Abraham Robinson en
los años setenta, pues dicha situación ocurre precisamente en entornos
infinitesimales mayores a cero, como veremos a continuación.
Como es sabido, ℚ e I (conjuntos de los números racionales e irracionales
respectivamente) son conjuntos discontinuos, es decir cada número de ℚ e I está
aislado o separado de todos los demás por una cierta “abertura” o “hueco”, como
se expresa a continuación:
Discontinuidad de ℚ.- Dado a en ℚ, entonces para cualquier b en ℚ,
b ≠ a, |a – b | > 0.
Discontinuidad de I.- Dado a en I, entonces para cualquier b en I,
b ≠ a, |a – b | > 0.
Dedekind (1927) suponía que para llenar los huecos de un conjunto
numérico, era suficiente con agregarle más objetos a dicho conjunto, dado que el
discontinuo se puede hacer continuo “…rellenando…sus
huecos…mediante la
creación de nuevos individuos puntuales…” (pg.6).
En ese sentido, Dedekind procede a unir ℚ e I para formar un conjunto más
grande, los números reales, con el fin de que los huecos de ℚ sean llenados por
los elementos de I y viceversa. Sin embargo, al realizar la unión de ℚ e I con la
finalidad de hacer desaparecer los huecos de ambos, resulta que la propiedad de
densidad de ℚ e I, heredada por ℝ, se mantiene, impidiendo infinitesimalmente, el
llenado de los huecos.
Densidad de ℝ.- Dado a en ℝ, entonces para cualquier b en ℝ, b ≠ a,
|a – b | > 0.
Se observa que el elemento a de ℝ, se encuentra separado de todos los
demás, pues siempre que b sea distinto de a, por la propiedad de densidad,
|a – b | > 0
Nuevamente se recalca el hecho de que, al igual que la primera anomalía,
esta situación ocurre en entornos infinitesimales y por tal razón hasta ahora se le
ha restado la debida importancia, aunado al hecho de no encontrarse explicación
ni solución en la teoría clásica, o encontrarse enmascarado por su corpus teórico.
3.- Las discontinuidades de la recta hiperreal *L vs la “continuidad” de
la recta real L.
Es obvio que si un cuerpo numérico H es continuo, esto es carente de
huecos, entonces es completo (toda sucesión de Cauchy converge en dicho
conjunto):
H continuo
→ H completo.
Entonces el contrarrecíproco nos dice que:
H no completo
→ H discontinuo.
En ese sentido, Dado que ℝ* es un conjunto superdenso, es por ende no
completo (ver capítulo I) y por consiguiente discontinuo. En particular, para cada
número real estándar x, la mónada de x, μ(x), está rodeada por dos
discontinuidades laterales (izquierda y derecha). Así, considerando la recta
hiperreal L*, se observa que la misma se encuentra totalmente fracturada o
ahuecada.
Ahora bien, si la recta hiperreal L* se encuentra totalmente llena de huecos,
entonces la recta real L, que es subconjunto propio de L*, también lo está, solo
que los huecos de L no son detectables por ser los mismos de naturaleza
infinitesimal, no aceptables en la teoría clásica.
4.- La existencia de subconjuntos de números reales distintos de los
intervalos abiertos y/o (no caen en la categoría de conjuntos “continuos”),
que a pesar de cumplir con las definiciones de límite, continuidad y derivada,
no son admitidos en la teoría.
Es bien conocida la definición clásica del límite de una función f en un
punto a, en términos de ε y δ:
“Una función f tiende al límite l cerca de a si, para todo ε > 0 existe δ > 0 tal
que, para todo x, si 0 < |x – a | < δ, entonces |f(x) – l | < ε.”
Ahora bien, en ocasiones puede pasarse por alto el hecho de que la función
debe estar obligatoriamente definida en un entorno de a (un intervalo abierto que
contiene al punto a), de lo contrario la definición no procede, aun cuando todos los
demás requisitos se cumplan. Esta exigencia viene aparentemente justificada por
el hecho que, de acuerdo a la teoría clásica de continuidad de los números reales,
todo intervalo abierto (o cerrado) es un subconjunto continuo de ℝ.
En efecto, en la construcción de los números reales por Richard Dedekind
en términos de cortaduras, se establece el hecho que los intervalos son a la recta
numérica real, lo que los segmentos son a la recta geométrica, y en tal sentido si
ambas rectas son equipotentes, entonces los intervalos son el equivalente
continuo obvio de los segmentos lineales. Así, los intervalos se convirtieron en el
prototipo de conjunto continuo y de uso obligado en el sistema de los números
reales, y por tanto cualquier conjunto distinto a estos, aun cuando cumpliese a
cabalidad el requisito de aproximación, quedó descartado de la definición de
límite.
Ilustremos lo anterior mediante el siguiente ejemplo: Supongamos que una
función f tiene límite l en las cercanías de un punto a del entorno (h, k), entonces
se observa que las exigencias de acercamiento también lo cumplen los conjuntos
T = ℚ ∩ (h, k) y P = I ∩ (h, k), sin embargo la teoría clásica no los admite en la
definición.
Otro hecho semejante se observa en la definición de continuidad de una
función f en un punto a:
Una función f es continua en un punto a, si:
Nuevamente, a pesar de que la definición procede para los conjuntos T y P
descritos anteriormente, éstos no son admitidos simplemente por no ser intervalos
abiertos.
Finalmente, lo mismo puede afirmarse para la definición de derivada de
una función en un punto a. En efecto, en el paradigma clásico una condición
necesaria para que una función f tenga derivada en un punto x=c, es que la misma
sea continua en dicho punto. La razón histórica de este hecho es, como se vio en
la introducción, la creencia generalizada tanto de Newton y Leibnitz, así como los
pensadores de la época, tenía sobre la continuidad del tiempo, el espacio, la
materia, la energía y por ende el desplazamiento y velocidad de los cuerpos
físicos. Creencia muy común hasta el siglo XX, pero que actualmente ya se
encuentra en franco abandono como resultado de los descubrimientos en teoría
de la relatividad y física cuántica. Esto trajo como consecuencia que la derivada o
la expresión del movimiento instantáneo de un móvil en punto, debía
obligatoriamente realizarse en entornos geométricos y luego como consecuencia
de esto en entornos numéricos “continuos” (Aritmetización del análisis). Así, la
teoría clásica no concibe ni acepta
el
concepto de movimiento instantáneo
discreto o por saltos (cuánticos), cosa muy común en los fenómenos de la
Naturaleza y el Universo.
La situación descrita en los casos anteriores pone en evidencia una gran
debilidad en la teoría clásica de límites, continuidad y derivadas de funciones,
motivada principalmente por la imperiosa necesidad de cumplir con la exigencia de
“continuidad” de la teoría clásica, sacando de la misma una enorme variedad de
conjuntos importantes e interesantes (por ejemplo el conjunto de Cantor, los
conjuntos fractálicos, entre otros) que sin duda ampliarían y enriquecerían los
horizontes del análisis matemático en todos los sentidos. Una razón más que
evidencia la necesidad del surgimiento de un paradigma emergente, alternativo al
de continuidad de los números reales, donde tengan cabida todos los exiliados de
la teoría estándar.
5.- La equivalencia entre continuidad y completitud.
Puede ser considerada como una anomalía “tardía” o “a posteriori”, por
cuanto la misma no se puede detectar, como se mostrará en el capítulo IV, sino
después de la implementación del paradigma discontinuo.
En efecto, en el paradigma clásico de continuidad los conceptos de
continuidad y completitud se consideran en la práctica términos equivalentes e
intercambiables, es decir, continuidad ↔ completitud. Tal error es imposible de
apreciar dentro del paradigma continuo, por lo que el mismo no se puede detectar
sino fuera de su contexto. En ese sentido, es importante recalcar la diferencia
entre lo que es evidente desde el punto de vista lógico y ontológico y lo que es
aceptado y supuestamente válido dentro de un contexto teórico de referencia,
pues:
1.- Es claro que continuidad implica completitud, continuidad → completitud,
pues en un conjunto continuo o sin huecos, toda sucesión de Cauchy debe
forzosamente converger, pues no hay aberturas donde la sucesión pueda
diverger.
2.- Por otra parte, el recíproco no es tan evidente, pues no es
necesariamente cierto que la completitud (convergencia de toda sucesión de
Cauchy) implique continuidad (¿completitud → continuidad?), a menos que se
adopten ciertos mecanismos conceptuales y teóricos, como en el caso que nos
ocupa, que pudiesen enmascarar el hecho y hacer creer que dicha implicación es
procedente, pues eso es lo que el sistema conceptual, constructivo y teórico de los
números reales estándar pretendieron instaurar, siendo esa razón por la cual la
falsedad de esa apreciación no puede percibirse dentro del paradigma clásico sino
fuera de él. La detección
de esta anomalía es uno de los resultados
más
relevantes del presente trabajo, y surge en el desarrollo del mismo, encontrando
su culminación en los resultados presentados en el capítulo IV.
Para concluir, hay que destacar que:
1.- La revisión periódica de los objetos y teorías matemáticas, a la luz de
los nuevos avances y desarrollos teóricos, permite cambiar, ampliar o reconstruir
la visión de los mismos, ya que a través del conocimiento de las circunstancias
históricas que les dieron origen, se tienen los medios para añadir a estos,
elementos de la teoría actual que amplíen su marco de validez.
2.- Las anomalías presentadas en este apartado sólo podrán ser resueltas
en un nuevo paradigma, el cual no necesariamente podría ser único, sin embargo
en la medida en que este aporte respuestas, explicación y solución a los
problemas planteados, en esa misma medida demostrará su pertinencia y utilidad.
CAPÍTULO III
EL AXIOMA DE DISCONTINUIDAD- COMPLETITUD
“Hay que tomarse la molestia de inventar su propio paradigma (aun cuando fuera
como alegato metafórico del establecimiento de algunos supuestos básicos).
Hay que tomar algún riesgo y disponerse a inventar, a pensar con cierta audacia.”
Rigoberto Lanz (1945 -2013)
“O inventamos o erramos” Simón Rodríguez (1771-1854)
En el presente capítulo se presentan las bases conceptuales y axiomáticas
que fundamentan el paradigma de completitud y discontinuidad de los números
reales, y en ese sentido se establecen las definiciones alternativas de cota
superior e inferior en sentido estricto, para desembocar finalmente en el Axioma
de Completitud-Discontinuidad, el cual se constituye en la columna vertebral del
mencionado paradigma. Hay que hacer notar que las razones del uso de los
términos discontinuidad y completitud tienen que ver con el hecho de que ambas
situaciones
se dan simultáneamente en este nuevo contexto, poniendo en
entredicho la creencia generalizada del paradigma clásico, el cual establece que
la continuidad y completitud son conceptos equivalentes e intercambiables.
A continuación se introduce una definición que restringe la posibilidad de
que las cotas superiores (inferiores) pertenezcan al conjunto de referencia S,
marcando así distancia con el paradigma estándar clásico:
Definición 2.1 (Cota superior e inferior estricta)
Sea S un conjunto de números reales. Si existe un número real b tal que
x<b para todo x de S, diremos que b es una cota superior de S y que S está
acotado superiormente (en sentido estricto) por b.
Por otra parte, si existe un número real a tal que a<x para todo x de S, se
dice que a es una cota inferior de S y que S está acotado inferiormente (en sentido
estricto) por a.
La exigencia x<b (o a<x), para todo x de S, impide que alguna cota superior
o inferior pertenezca al conjunto S, y en ese sentido el máximo o el mínimo de S,
en caso de existir, no son consideradas cotas superiores o inferiores, por lo que
no podrán coincidir con el supremo o el ínfimo de S, como ocurre en el caso
clásico.
La consecuencia más trascendente de la definición anterior es que, en este
nuevo escenario, van a existir conjuntos acotados superior o inferiormente que van
a carecer de supremo o ínfimo, por lo que tales conjuntos estarán aislados o
separados de su entorno numérico más inmediato. Esto indica que ℝ en este
contexto es un cuerpo discontinuo. Veamos los siguientes ejemplos:
1.- Sea S = (0, 1]. En este caso, máx (S) = 1, sin embargo x=1 no puede ser
cota superior de S pues x=1 pertenece a S. Así, a pesar de que S está acotado
superiormente, S no tiene supremo, por lo que dicho conjunto se encuentra
aislado de su entorno numérico derecho más inmediato. Por otra parte, S también
está acotado inferiormente, y en este caso tiene ínfimo: ínf (S) = 0. Se observa
también que S no tiene mínimo elemento.
2.-
Sea S = (0. 1). Aquí S no tiene máximo ni mínimo elemento, se
encuentra acotado superior e inferiormente y sup (S) = 1 e ínf(S) = 0.
3.- Sea S = {1}. En este caso se observa que S se encuentra acotado
superior e inferiormente, no obstante carece de supremo e ínfimo. Por otra parte
parte, máx (S) = mín (S) = 1. Aquí el conjunto S se encuentra aislado totalmente
de su entorno numérico.
Nota: El ejemplo 3, puede generalizarse para todo número real x mediante S = {x},
lo que permite inferir que en este nuevo contexto todo número real se encuentra
aislado de su entorno numérico más inmediato, estableciendo así la discontinuidad
para todo ℝ.
A continuación se presentan algunos resultados básicos relacionados con el
supremo y el máximo, que se cumplen análogamente para el ínfimo y el mínimo.
Proposición 2.1 (Propiedad de la aproximación del supremo)
Sea S un conjunto no vacío de números reales con supremo sup (S) = b.
Entonces, para cada a<b, existe un x de S tal que a<x<b.
Demostración:
Ante todo x<b para todo x de S. Si fuese x<a para todo x de S, entonces a
sería una cota superior para S menor que el supremo que es la cota superior
mínima. Por lo tanto, x>a para un x de S, por lo menos.
Proposición 2.2
Sea S un conjunto acotado superiormente. Si S tiene máximo elemento,
entonces S no tiene supremo.
Demostración:
Sea máx (S) = a y supongamos que existe b = sup (S). Como sup (S) = b es
una cota superior, b>x para todo x en S, en particular b>a = máx(S).
Ahora bien, por la propiedad de la aproximación, existe x en S tal que
a = máx(S) <x<b, lo cual es una contradicción. Esto termina la prueba.
Utilizando el contrarrecíproco de la proposición 2.2 se obtienen los
siguientes corolarios:
Corolario 2.1.- Sea S un conjunto acotado superiormente. Si S tiene supremo,
entonces no tiene máximo elemento.
Corolario 2.2.- Sea S un subconjunto finito de ℝ, entonces S no tiene supremo ni
ínfimo.
Demostración:
Como S es finito, entonces tiene máximo y mínimo elemento, en
consecuencia por la proposición 2.2, S no tiene ni supremo ni ínfimo.
Una consecuencia inmediata del corolario 2.2, es que los conjuntos
puntuales S= {x}
de ℝ, con x en ℝ, no tienen ni supremo ni ínfimo, lo cual
establece a los números reales como cuerpo ordenado discontinuo. En el capítulo
siguiente se mostrará que inclusive en este nuevo contexto de discontinuidad, ℝ
es también completo, lo cual justifica el nombre del axioma con que finaliza el
presente apartado:
EL AXIOMA DE DISCONTINUIDAD-COMPLETITUD
“Todo conjunto no vacío S de números reales, acotado superiormente
tiene supremo o máximo.”
Hay que señalar que el “o” del axioma es excluyente en el sentido de que la
existencia del supremo y el máximo no se pueden dar simultáneamente, debido a
que en este escenario son conceptos distintos. Esto como se señaló al principio,
es lo que diferencia fundamentalmente el
enfoque emergente del clásico de
continuidad, y que a pesar de su gran
simplicidad deriva sin embargo en
trascendentales consecuencias, como se demostrará en los capítulos siguientes.
CAPÍTULO IV
LOS NÚMEROS REALES COMO CUERPO ORDENADO,
DISCONTINUO Y COMPLETO
“El destino de las nuevas verdades es comenzar como herejía.”
Thomas Huxley (1825-1895)
En este apartado se establece el cuerpo de los números reales como un
cuerpo ordenado, discontinuo y completo en el marco del paradigma emergente
de discontinuidad, cuyo sustento conceptual se encuentra en la definición
restringida de cota superior y en el Axioma de Discontinuidad-Completitud.
Hay que señalar que para
efectos de seguir un modelo común de las
demostraciones de los teoremas en el presente capítulo, se tomará como
referencia el texto “Introduction to Real Analysis” de los autores Robert Bartle
y Donald Shebert (2000). En ese sentido, cuando el o los teoremas no sufra
ninguna modificación con respecto a la versión clásica, se remitirá al lector a la
demostración correspondiente en el mencionado texto, en caso contrario la parte
de la demostración que corresponda al nuevo modelo se señalará en negrita.
Definición 4.1.- (Sucesión acotada)
Una sucesión X = {xn} de números reales es acotada si existe un número
real M>0 tal que | xn |<M para todo n en los números naturales.
Observación 4.1.- La definición 3.1 es de tipo restringida, y en ese sentido
difiere de la clásica al no admitir como cotas superiores los elementos que
pertenecen al conjunto de referencia.
Teorema 4.1. Una sucesión convergente de números reales es acotada.
Demostración:
Supongamos que
, y sea ε = 1. Entonces existe un número natural
k = k (1) tal que |xn - p | < 1 para todo n ≥ k. Aplicando la desigualdad triangular
con n ≥ k se obtiene:
|xn| = |xn – p + p| ≤
Sea M = {|x1|,
|xn - p | + |p| < 1 + | p |.
|x2|,…, |xk-1|, 1 + |p|}, el cual por ser finito tiene máximo.
Sea h = máx (M), entonces se sigue que | xn | ≤ h para todo n natural,
en particular | xn | < h + 1 para todo n natural. Por lo tanto { xn } es acotada.
Teorema 4.2.- (Convergencia Monótona)
Una sucesión monótona de números reales es convergente si y sólo si está
acotada. Además:
a) Si X = { xn } es una sucesión acotada y creciente, entonces
b) Si Y = { yn } es una sucesión acotada decreciente, entonces
Demostración:
Ya se visto por el teorema 4.1 que toda sucesión convergente debe ser
acotada.
Recíprocamente sea X una sucesión monótona y acotada, entonces X es
creciente o decreciente.
a) Tratemos primero el caso donde X = {xn} es una sucesión acotada
creciente. Como X es acotada, existe un número real M tal que
xn < M para todo n natural. De acuerdo al Axioma de
Discontinuidad-Completitud, el supremo x* = sup {xn: n natural}
o
el máximo X** = máx { xn: n natural } existen en ℝ; mostremos que,
Supongamos primero que la sucesión X tiene supremo x*. Sea ε > 0,
entonces x* - ε no es una cota superior del conjunto {xn: n natural}, y por lo tanto
existe un elemento xk tal que x* - ε < xk. El hecho de que X sea una sucesión
creciente implica que xk ≤ xn siempre que n ≥ k, de modo que,
x* - ε < xk ≤ xn ≤ x* < x* + ε, para todo n ≥ k.
Así tenemos que:
| xn – x*| < ε para todo n ≥ k.
Como ε > 0 es arbitrario, se concluye que X = { xn } converge a x*.
Supongamos ahora que la sucesión tiene máximo x**, lo cual indica
que x** pertenece a X y también que x** ≥ xn, para todo n natural. Ahora bien,
como x** pertenece a X, existe un m natural tal que xm = x**; luego dado que
X es una sucesión creciente se cumple que:
X** = xm = xm+1 = xm+2 =… = xn =…,
para todo n ≥ m.
Así, para todo ε > 0, existe un m natural tal que para todo n > m,
|xn – x**| = |x** - x**| = 0 < ε,
Por lo que X = {xn} converge a x**.
b) Si Y = { yn } es una sucesión decreciente acotada, entonces es claro que
X = -Y = { - yn } es una sucesión creciente acotada. En la parte (a) se
mostró que.
.
Ahora bien,
,
por lo cual se cumple que:
sup{yn: n natural} = - inf{ yn: n natural} o máx{-yn: n natural} = - mín{ yn: n natural}.
Por lo tanto,
Teorema 4.3 (Teorema de la sub-sucesión monótona)
Si X = {xn} es una sucesión de números naturales, entonces existe una
subsucesión de X que es monótona.
Demostración:
Ver la demostración en Bartle, página 78.
Teorema 4.4 (Teorema de Bolzano-Weierstrass para sucesiones)
Toda sucesión acotada de números reales tiene una sub-sucesión
convergente.
Demostración:
Ver la demostración en Bartle, págs. 78-79.
Lema 4.1
Si X = { xn } es una sucesión convergente de números reales, entonces X
es una sucesión de Cauchy.
Demostración:
Ver la demostración en Bartle, página 82.
Lema 4.2
Toda sucesión de Cauchy de números reales es acotada.
Demostración:
Ver la demostración en Bartle, página 82.
Con el teorema siguiente finaliza el presente capítulo, y en el mismo se
muestra que en el marco del paradigma discontinuo emergente, del mismo modo
que en el clásico de continuidad, también se cumple que toda sucesión de Cauchy
de números reales es convergente:
Teorema 4.4 (Criterio de convergencia de Cauchy)
Una sucesión de números reales es convergente si y sólo si es una
sucesión de Cauchy.
Demostración:
Ver la demostración en Bartle, página 82.
El Teorema 4.4 muestra que el cuerpo
ordenado y discontinuo de los
números es completo y así una consecuencia derivada del mismo es permite
determinar que los conceptos de continuidad y completitud no son equivalentes ni
intercambiables como se pensaba, y en ese sentido se hace imprescindible una
revisión de la teoría clásica a objeto de realizar los ajustes y correcciones
pertinentes.
Observación 4.2.- El hecho de que exista un cuerpo ordenado y
discontinuo de números reales, que además es completo, significa por el teorema
4 del Capítulo I que este cuerpo también es una copia del cuerpo de los números
reales continuo ℝ, y en ese sentido se concluye que el concepto de continuidad no
es equivalente al de completitud, como lo postula erróneamente la teoría clásica.
CAPÍTULO V
LÍMITE, CONTIGUIDAD Y DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN EL
PARADIGMA DE DISCONTINUIDAD-COMPLETITUD DE ℝ
“La lógica te lleva del punto a al punto b, la imaginación te lleva a todas partes”
A. Einstein (1879-1955)
En principio, todo conjunto de números reales es discontinuo en este
contexto, por ende no tiene sentido hablar de funciones continuas aquí; sin
embargo eso no impide realizar un estudio análogo, pero en términos de
contigüidad o acercamiento entre los huecos o discontinuidades subyacentes de
un conjunto de referencia S. Esto amplía y enriquece el campo de estudio en esta
área, permitiendo la introducción de una gran variedad de conjuntos que no tenían
cabida en paradigma clásico, abriendo perspectivas novedosas impensables en
ese modelo.
Definición 5.1.- (Entorno Tipo I)
Un δ entorno tipo I de un punto a de ℝ es el conjunto de todos los puntos x
de R tales que |x - a | < δ, donde δ es cualquier número positivo dado. Un δ
entorno reducido tipo I de a es el conjunto de todos los puntos de x tales que
0< |x - a | < δ,
esto es donde a mismo es excluido.
El entorno tipo I se identifica directamente con el intervalo abierto
(a – δ, a + δ).
Definición 5.2.- (Entorno Tipo II)
Sea a un número real y B un subconjunto propio de (a – δ, a + δ), se dice
que B es un entorno tipo II de a, si para todo β < δ, existe x en B tal que
|x - a | < β.
Como puede observarse, el entorno tipo II no es un intervalo.
Los siguientes ejemplos corresponden a entornos tipo II:
1.- Sea ℚ el conjunto de los números racionales, entonces
B = ℚ ∩ (a – δ, a + δ),
donde a es un número real cualquiera y
δ un número positivo, es un
entorno tipo II de a.
2.- Sea I el conjunto de los números irracionales, entonces
B = I ∩ (a – δ, a + δ),
donde a es un número real cualquiera y
δ un número positivo, es un
entorno tipo II de a.
Definición 5.3.- (Punto de acumulación tipo I)
Sea S un subconjunto de números reales y x un número real,
entonces x se llama punto de acumulación tipo I de S si cada δ – entorno
tipo I contiene por lo menos un punto de S distinto de x.
La definición 5.3 corresponde a la definición clásica de punto de
acumulación.
Definición 5.4.- (Punto de acumulación tipo II)
Sea S un subconjunto de números reales y x un número real,
entonces x se llama punto de acumulación tipo II de S si cada δ – entorno
tipo II contiene por lo menos un punto de S distinto de x.
Definición 5.5.- (Conjunto Contiguo Tipo I)
Sea S un subconjunto de los números reales, se dice que S es un
conjunto contiguo tipo I si es un intervalo o la unión de intervalos.
Definición 5.6.- (Conjunto contiguo Tipo II)
Sea S un subconjunto de los números reales, se dice que S es un
conjunto contiguo tipo II, si todos sus puntos son de acumulación (tipo I o II)
y no es contiguo tipo I.
Definición 5.7.- Límite de una función en un punto x = c.
Sea f una función real, se dice que
f(x) = L, si
para todo ε > 0
existe un δ – entorno reducido B (tipo I o II), tal que | f(x) - L | < ε siempre
que 0 < | x - a | < δ, x en B ∩ Dom(f).
Esta definición generaliza la correspondiente clásica, en la cual sólo
se admitía el entorno reducido tipo I. Así, por ejemplo, en este nuevo
contexto se puede determinar el límite de f(x) = x2 usando el entorno
reducido,
B = (-1, 2) ∩ ℚ y probar que:
.
Observe que
no pertenece a B. Lo que se quiere enfatizar con
esto, y de hecho es lo que ocurre, es que la función accede mediante saltos
a los puntos de su dominio y análogamente, a saltos, los procesa en sus
imágenes, sólo que esos saltos son de naturaleza infinitesimal.
Por otra parte, otro concepto esencial que debe ser ajustado es el
referido al de función continua en un punto y en un conjunto, lo cual en este
contexto ya deja de tener sentido, por lo que en su lugar se adoptará uno
que describa de algún modo la “densidad” de los huecos o discontinuidades
de los conjuntos intervinientes. En ese sentido, el término “contiguidad” en
lugar de “continuidad” será el adoptado para tal fin.
Definición 5.8.- Función Contigua en un punto x = a.
Sea f una función real, se dice que f es contigua en x = a, si existe
un entorno B (tipo I o II) tal que
f(x) = f(a).
Si el entorno B es tipo I, la función se denominará función contigua
tipo I, y será función contigua tipo II si B es del tipo II.
La contigüidad tipo I corresponde a la continuidad en términos del
paradigma clásico, y en ese sentido mediante la contigüidad tipo II se
generaliza el concepto.
Definición 5.9.- Función contigua en un conjunto.
Sea f una función real
y A un subconjunto de números reales,
entonces se dice que f es contigua en A si es contigua en cada uno de sus
puntos.
En lo que atañe a la definición de derivada, por otra parte, la
definición clásica no difiere tanto de forma sino de fondo con la emergente.
En efecto, a continuación se muestra la definición de derivada:
Definición 5.10.- Derivada de una función en un punto.
Sea f una función real, f: S → ℝ, se dice que f es derivable en el
punto x = a de S, si existe un entorno de a tal que:
f (a) lim
xa
f ( x) f (a)
xa
La forma de esta definición al parecer no difiere sustancialmente de la
clásica, sin embargo el entorno (tipo I o II) mencionado en la misma es un conjunto
discontinuo pues no existen conjuntos continuos en este modelo, en ese sentido
se requiere una reinterpretación de la derivada como manifestación de conjuntos
discontinuos en lugar de conjuntos continuos, lo cual ya será objeto de futuros
estudios e investigaciones.
CAPÍTULO VI
SOLUCIÓN A LAS ANOMALÍAS DEL PARADIGMA CLÁSICO
“Cualquiera que haya intervenido seriamente en trabajos científicos, sabe que
sobre la entrada a las puertas del templo de la ciencia están escritas estas palabras:
debes tener fe.”
MAX PLANCK (1858-1947)
La pertinencia de un paradigma emergente reside en su
capacidad de
suministrar respuestas y soluciones a determinadas preguntas o situaciones
anómalas, sobre las cuales el paradigma clásico se encuentra imposibilitado de
resolver por las limitaciones inherentes a su construcción teórica y conceptual. En
ese caso se dice que el paradigma oficial o clásico ha agotado su capacidad de
respuesta y en consecuencia se hace necesario renovar su estructura teórica o
implementar un paradigma que aporte respuestas y soluciones donde el primero
no puede.
En lo que atañe al paradigma emergente de discontinuidad de los números
reales, se hace pues necesario a fin de demostrar su pertinencia, verificar que el
mismo suministra respuestas y soluciones a las anomalías presentadas en el
capítulo I, mismas que en el seno del paradigma clásico no encuentran solución.
1.- Solución a la anomalía 1 o a la
“equipotencia” entre la recta
geométrica y la numérica.
Es evidentemente claro que en el paradigma emergente esta anomalía no
existe.
En efecto, esta anomalía subyacente en el paradigma clásico se resuelve
automáticamente y de forma muy natural en el paradigma emergente de
discontinuidad, dado que en este contexto, para cada número real x de la recta
numérica existen dos huecos laterales, cosa que no ocurre en el correspondiente
punto m de la recta geométrica pues esta es esencialmente continua. Así se hace
evidentemente claro que existen puntos alrededor de m que no tienen
correspondencia en la recta numérica alrededor de x, y en ese sentido no existe
equipotencia entre las rectas geométrica y numérica.
2.- Solución a la anomalía 2 o a la
coexistencia de la densidad
numérica y la continuidad.
Nuevamente, como en el caso anterior, esta anomalía no existe en el
paradigma emergente, puesto que en este contexto los números reales son un
conjunto numérico discontinuo y denso.
3.- Solución a la anomalía 3 o a las discontinuidades de la recta
hiperreal *L vs la “continuidad” de la recta real L.
Esta anomalía también se resuelve automáticamente al ser, en este
contexto, discontinuo el conjunto de los números reales y por ende discontinua la
recta numérica real L. Así, en este escenario emergente, tanto la recta real L y la
hiperreal *L son discontinuas y en ese sentido desaparece la discrepancia
existente en el paradigma clásico, la cual surgía de considerar L como “continua”
e inmersa o contenida totalmente en *L discontinua.
4.- Solución a la anomalía 4 o a la existencia de subconjuntos
numéricos distintos a los intervalos abiertos y/o cerrados, que a pesar de
cumplir con las definiciones de límite, continuidad y/o derivada, no son
admitidos en la teoría clásica.
La solución de esta particular situación
discontinuo,
por el paradigma emergente
se obtiene mediante la construcción teórica (ver capítulo V),
permitiendo de esa manera que los conjuntos proscritos de la teoría clásica sean
admitidos en este nuevo contexto, en tanto cumplan las condiciones requeridas.
Esto permite generalizar y expandir el radio de acción del cálculo y el análisis
matemático al incorporar una gran y rica variedad de conjuntos importantes en la
nueva teoría.
5.- Solución a la anomalía 5 o a la equivalencia entre continuidad y
completitud.
Como se pudo ver en el Capítulo IV, esta anomalía nunca hubiese sido
detectada en el contexto de la teoría clásica de números reales, por lo que bien
merece el calificativo de “a posteriori” pues sólo se pudo hacer evidente y resuelta
como una consecuencia de la aplicación del paradigma emergente discontinuo. Lo
que significa esto es que dicha anomalía está totalmente oculta o disfrazada por la
construcción teórica y conceptual del paradigma continuo.
CAPÍTULO VII
REFLEXIONES, PROBLEMAS ABIERTOS Y PERSPECTIVAS
“En la complejidad es posible observar que dentro de la línea hay una sucesión de
puntos en el espacio y que dentro de ellos hay más por descubrir.”
Juan M. González V.
LAS DISCONTINUIDADES DE LA RECTA REAL: ¿UN TEMA IRRELEVANTE?
Se podría pensar que el tema de las discontinuidades subyacentes en la
recta real (e hiperreal), al ser de naturaleza infinitesimal, carecen de relevancia y
trascendencia para ser consideradas
como el núcleo generatriz de futuros
estudios e investigaciones, porque, ¿qué de interesante podría tener un hueco
infinitesimal en el vasto universo continuo? A primera vista podría pensarse que un
hueco infinitesimal no debería revestir mucho interés, ya que al ser infinitesimal o
prácticamente nulo, poco es lo que podría contener en comparación con una
fracción o totalidad de la recta real. Sin embargo, el siguiente resultado pondrá en
evidencia que estos aparentemente simples o “insignificantes huecos” pueden
engullir o contener todo el conjunto numérico real y más allá…contener al
Universo en un punto.
En efecto, es bien conocido en el contexto del análisis real clásico el
teorema siguiente:
Teorema 1: Sea el intervalo abierto S = (0,1), subconjunto de ℝ, entonces
S en no numerable. Además, bajo la hipótesis del continuo S es equipotente a ℝ.
El teorema anterior permite equiparar cualquier intervalo real P = (a, b) con
el conjunto ℝ de los números reales, es decir P tiene tantos puntos como ℝ. Ahora
bien, en el sistema ℝ* de los números hiperreales este teorema puede extenderse
a cualquier tipo de intervalo, en particular a cualquier intervalo infinitesimal, así:
Teorema 2: Sea el intervalo infinitesimal abierto S = (β, δ), con β y δ
números infinitesimales hiperreales y β < δ, entonces bajo la hipótesis del continuo
S es equipotente a ℝ*.
Ahora bien, resulta que estos intervalos infinitesimales están contenidos en
las discontinuidades infinitesimales de ℝ y de ℝ*. Así, si a pesar de constituir un
pequeño sector de tales discontinuidades, estos intervalos infinitesimales tienen
tantos puntos como ℝ e incluso tantos como el mismo ℝ*, entonces las mismas
distan mucho de ser insignificantes o despreciables, y en sentido se infiere que
estamos en presencia de universos numéricos inmensos e inexplorados,
inmanentes en dichas discontinuidades, tanto o más interesantes y fascinantes
como los ya conocidos.
Como una consecuencia inmediata de lo anterior, la estructura de la recta
hiperreal L*, en una primera aproximación, podría ser representada así:
-----------------
Zhr
………. ---------------a---------------- ..….… --------------Zodi 1
µ(a)
Zodi 2
Zhr
fig. 1.- Estructura discontinua de L*
Donde:
1.- µ(a) es la mónada de a, con a número real.
2.- Zodi 1 y Zodi 2 son las zonas de discontinuidad 1 y 2, respectivamente,
alrededor de µ( a ).
3.- Zhr, zona numérica hiperreal.
Hay que destacar que el modelo de la figura 1 no sólo se aplica para cada
número real a en particular, sino para todo hiperreal, ya que las zonas de
discontinuidad zodi 1 y zodi 2, también proceden para ℝ*. Por otra parte, sobre la
naturaleza y características de estas discontinuidades, es un tema abierto para la
investigación, siendo probable que su descripción se encuentre a medio camino
entre los números infinitesimales hiperreales y nuevos infinitesimales de orden
superior.
LA RECTA REAL, ¿UN COMPLETO VACÍO? O
¿QUÉ MIDE REALMENTE LA INTEGRAL DEFINIDA?
Del apartado anterior se infiere que las discontinuidades de los números
reales no tienen nada de insignificantes, y es que por cada número real en la recta
numérica existen dos discontinuidades laterales, siendo la cardinalidad de cada
una de ellas igual a la de todo el conjunto ℝ. Esto lleva inevitablemente a
preguntarse si la recta real, supuestamente continua según la teoría clásica, no
es sino en realidad casi un completo vacío, lo cual de ser cierto afectaría
sensiblemente los fundamentos de la teoría clásica de la medida y en particular a
la teoría de integración.
En efecto, si las discontinuidades de ℝ son equipotentes a ℝ como ya se
evidenció anteriormente, es inevitable preguntarse, entonces: ¿realmente mide la
integral definida lo que se supone que debe medir o simplemente está midiendo
un vacío? Lo que nos lleva a otra pregunta más inquietante: ¿Ocurrió realmente la
Aritmetización del Análisis según lo plantearon Cantor y Dedekind?
¿Nunca
salimos de las bases geométricas del cálculo? o ¿la Aritmetización del Análisis
tiene fallas de origen?
HACIA UN MODELO DESCRIPTIVO EMERGENTE DE LAS
DISCONTINUIDADES DE I, ℚ Y ℝ
En el modelo clásico ℝ es continuo, en tanto que ℚ e I son discontinuos.
Ahora bien, Dedekind (1927) suponía que
continuo simplemente “…rellenando…sus
un conjunto discontinuo se hacía
huecos…mediante la creación de
nuevos individuos puntuales…” (pg.7). Actuando bajo esa premisa, proveniente sin
duda de la experiencia material o física, procedió a unir
ℚ e I para formar ℝ,
creyendo que los huecos de ℚ serían llenados por I y viceversa. Sin embargo, los
objetos numéricos al ser de naturaleza ideal y al obedecer ciertas leyes propias,
no se comportan en general como los objetos materiales o físicos. Esto,
de la ingeniosa construcción teórica de ℝ
continuidad
a pesar
que pretendió dotar artificialmente de
a dicho conjunto, intentando violentar su naturaleza ontológica
discontinua.
En efecto, ya se ha mencionado antes que tanto ℚ como I, y por supuesto
ℝ, son conjuntos densos, lo cual impide que se pueda establecer una real
continuidad numérica. En ese sentido, en el modelo emergente de discontinuidad
de ℝ, no sólo ℚ e I, sino también ℝ, son discontinuos, y lo que es aún más
desconcertante, cabe la posibilidad de que ℝ tenga tanto o más huecos que ℚ e
I,
es decir que ℝ sea más discontinuo que ℚ e I. por cuanto al parecer
existen
huecos de ℚ e I que no desaparecen con su unión, sino que se
mantienen sin modificación en ℝ.
Determinar la veracidad o no de tal hipótesis es uno de los problemas
abiertos del presente trabajo, lo cual significa que se debe implementar un modelo
teórico emergente para la descripción y caracterización de las discontinuidades
numéricas, probablemente utilizando lógica paraconsistente y teoría de conjuntos
difusos, así como las herramientas teóricas y metodológicas suministradas por
análisis no estándar, lo que a su vez, dependiendo de los resultados obtenidos,
podría llevar a la creación de nuevas ramas de las matemáticas tales como el
cálculo diferencial e integral discontinuo, ecuaciones diferenciales discontinuas,
entre otras.
CONTINUIDAD, COMPLETITUD Y CONJUNTOS SUPERDENSOS
Las inquietudes y observaciones del apartado anterior pueden verse
reforzadas cuando analizamos una característica de suma importancia de los
conjuntos superdensos, la cual es que todo conjunto superdenso es no completo
(ver capítulo I). Ahora bien, el conjunto de los números hiperreales ℝ* es
superdenso y por lo tanto no completo y discontinuo, lo cual significa que toda
extensión de ℝ* también será superdensa y por ende no completa y discontinua, lo
cual rompe con la posibilidad de obtener conjuntos completos o continuos
mediante uniones, extensiones o expansiones al estilo de Dedekind.
En otras palabras, los conjuntos numéricos aborrecen la continuidad, por lo
menos mediante las vías mencionadas.
REVISANDO LOS FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA CLÁSICA:
¿UNA NUEVA CRISIS DE LOS FUNDAMENTOS?
La matemática en su desarrollo histórico ha sido estremecida en sus
cimientos por tres grandes crisis a saber:
1.- Primera crisis, la cual versó sobre la fundamentación pitagórica de la
matemática y tuvo su epicentro en el descubrimiento de los números irracionales
por parte de los pitagóricos.
2.- Segunda crisis, centrada en la fundamentación euclideana de la
matemática, siendo su causa el surgimiento de las geometrías no euclideanas.
3.- Tercera crisis, basada en la fundamentación cantoriana de la
matemática, y cuya causa fue el surgimiento de las paradojas en la teoría de
conjuntos, originando las escuelas logicista, formalista e intucionista, que trataron
de darle bases sólidas a la matemática. El teorema de Godel puso fin a la
controversia, sin embargo aun quedaron algunos cabos sueltos y preguntas sin
responder lo que ha dado origen a la creación de nuevos tipos de lógica (como la
lógica paraconsistente y difusa), la
teoría de conjuntos difusos, teoría de la
complejidad, entre otras alternativas.
Hay que observar que toda la controversia y secuelas que ha dejado la
tercera crisis, ha sido el caldo de cultivo sobre el que se ha ido gestando
silenciosamente una cuarta crisis, que en este caso estaría centrada en la
fundamentación aritmética del análisis, y que podría tener su causa en las
anomalías que este sistema teórico presenta en lo que concierne a la continuidad
de los números reales.
Ahora bien, si existen debilidades teóricas en la aritmetización del análisis
como se desprende de los resultados del presente trabajo, ¿dónde hay que buscar
las causas? La respuesta es inmediata: en la teoría cantoriana de conjuntos, pues
es allí donde se encuentran el sustrato del análisis real moderno. De alguna
manera H. Weyl lo intuyó cuando afirmó: “El análisis está edificado sobre arena”.
¿Se refería a la teoría cantoriana de conjuntos? ¿Se avecina una cuarta crisis de
la matemática?
En caso de que ocurra una cuarta crisis de la matemática, esta recaería
principalmente en los fundamentos y supuestos sobre los que se basa la escuela
formalista, dado el abuso
en que se ha incurrido en algunos casos al construir
teorías matemáticas sin considerar la naturaleza ontológica de los objetos
involucrados, tal como el caso que nos ocupa en el presente trabajo, o en la
implementación axiomática de situaciones que escapan a las posibilidades
aprehensivas de la mente humana, como el infinito actual y el axioma de elección,
entre otros, lo cual está muy de acuerdo con la opinión de Weyl y Brouwer en
cuanto a que
la matemática debe restringirse a verdades intuitivamente
cognoscibles pues “…no basta con que una teoría matemática sea consistente,
esta debe ser también razonable.” Bell (2000), (pg. 4).
Así, es posible que la solución a una probable cuarta crisis en la
matemática, se centre en la búsqueda del equilibrio que debería existir entre el
criterio de la consistencia y la intuición matemática, para evitar y corregir los
excesos y abusos en que se ha incurrido en el pasado, por esa razón es posible
que la búsqueda de un punto medio de encuentro entre el intucionismo y el
formalismo podría ser una de las alternativas. No obstante, cualquiera sea la
solución a las crisis, hay que ser optimista sobre sus consecuencias, puesto que
los resultados de las mismas en el pasado siempre han servido para fortalecer a
la matemática, remozarla y abrirle nuevos horizontes, por tanto no se debe temer
al cambio ni cerrarle el paso a los nuevos tiempos. En ese sentido, N. Bourbaki
(1960) citado por Dou (1970), expresa:
"En resumen, creemos que la matemática está destinada a sobrevivir, y que jamás se
verá que las partes esenciales de este majestuoso edificio se arruinen porque se
manifieste súbitamente una contradicción; pero no pretendemos que esta opinión tenga
otro fundamento que el de la experiencia. Es poco, dirán algunos. Pero son veinticinco
siglos, en los que los matemáticos se han acostumbrado a corregir sus errores y ver con
ello su ciencia enriquecida y no empobrecida; esto les da derecho a mirar al porvenir con
serenidad” (pg. 133)
PARADIGMA EMERGENTE DE DISCONTINUIDAD DE ℝ Y PARADIGMA
DE LA COMPLEJIDAD
Desde su creación y consolidación a finales del siglo XIX y principios del
XX, el análisis real moderno sin duda alguna ha experimentado un enorme
desarrollo, pero siempre supeditado a las características y limitaciones naturales
de la mentalidad de la época que le dio origen. En ese sentido, el análisis real
moderno se ha constituido en un sistema cerrado, sin contacto con el mundo
exterior y siempre girando sobre sí mismo, lo cual da cuenta de su desgaste y
necesidad de renovación, y si esto fuera poco, también se cierne sobre él la
posibilidad de que los supuestos teóricos sobre los que descansa tengan algunas
fallas y debilidades, lo cual ya dice mucho sobre la necesidad de revisión y
renovación que amerita. En tal sentido, Morín (1994) argumenta que:
“Todo progreso importante del conocimiento, como lo ha señalado Kuhn, se opera
necesariamente por la quiebra y la ruptura de sistemas cerrados, que no tienen dentro de
ellos mismos la aptitud de la transcendencia. Se opera entonces, cuando una teoría se
muestra incapaz de integrar observaciones cada vez más centrales, una verdadera
revolución, que quiebra en el sistema aquello que le daba tanto su coherencia como su
clausura. Una teoría sustituye a la antigua teoría y, eventualmente, integra a la antigua
teoría, provincializándola y relativizándola.” (pg.44)
Por lo tanto, en caso de que se determinen las debilidades y fallas de origen
de los fundamentos del análisis real moderno, dando paso así a un nuevo tipo de
análisis basado en la discontinuidad
de los números reales. Una de las
condiciones para hacer frente a los retos de este nuevo modelo, será sin duda
adaptar la mentalidad y forma de razonamiento a este enfoque emergente, basado
en el pensamiento complejo cuya base epistemológica descansaría en el
paradigma morineano de la complejidad. Este
enfoque de razonamiento es
descrito y comparado con el tradicional, por el mencionado autor, de la siguiente
manera:
“En la visión clásica, cuando una contradicción aparecía en un razonamiento, era una
señal de error. Significaba dar marcha atrás y emprender otro razonamiento. Pero en la
visión compleja, cuando se llega por vías empírico-racionales a contradicciones, ello no
significa un error sino el hallazgo de una capa profunda de la realidad que, justamente
porque es profunda, no puede ser traducida a nuestra lógica.”(pg.63)
Así pues, las estructuras mentales, herramientas lógicas y métodos de
razonamientos deberán adaptarse a la naturaleza compleja de los nuevos
conceptos a fin de abordarlos y aprehenderlos debidamente, lo cual nos lleva
finalmente a considerar la naturaleza y características de la matemática del siglo
XXI, la cual deberá considerar, como afirmaba Godel (2006), aspectos del análisis
no estándar en una versión o en otra, puesto que sin duda alguna subyacen en las
insondables
profundidades de las discontinuidades de los números reales los
fundamentos de nuevas ramas de las matemáticas, de inmensas repercusiones
no solamente para la matemática del futuro, sino también para diversas ciencias y
disciplinas.
REFERENCIAS
Bartle, Robert y Sherbert, Donald (2000). Introduction to Real Analysis.
Tercera edición, John Wiley and Sons. Inc, New York, 2000.
Bell, John (2000). Hermann Weyl sobre la intuición y el continuum.
Philosophia Mathematica (3), 8, 2000.
De Lorenzo, Javier (1998) La Matemáticas: De sus Fundamentos y Crisis.
Editorial Tecnos, S.A, Madrid, 1998.
Dedekind, Richard (1927). Continuidad y Números Irracionales. Quinta
edición, 1927.
Dou, Alberto (1970). Fundamentos de la matemática. Editorial Labor, S.A.,
Barcelona, España, 1970.
Godel, Kurt (2006). Obras completas. Alianza Editorial, Madrid, 2006.
Kuhn, Thomas (1971). La Estructura de las Revoluciones Científicas. Fondo
de Cultura Económica, México, 1971.
Morín, Edgar (1998). Introducción al pensamiento complejo. Gedisa
Editorial, Barcelona, 1998.
Robinson, Abraham (1966). Non-standard Analysis. Princenton, 1966
Takeuchi, Yu (1988). Métodos Analíticos del Análisis no Standar.
Universidad Nacional de Colombia. Bogotá, Colombia, 1988.
