Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas UPC Curso: Dinámica (2019-I) Presentación del curso 1 Exígete, innova UPC Presentación del curso ✓ INFORMACIÓN GENERAL Curso: Dinámica (CI95) / 2019-I Docentes: Luis Castillo Martínez (Coordinador), Tito Vílchez Vílchez, Joseph Ramírez Chaupis, Manuel Ruiz Untiveros y Julio Estrada Pita Créditos: 03 Duración: 16 semanas Carga semanal: 2 hrs (teoría) / 2 hrs (practica) x semana Área o carrera: Ingeniería Civil ✓ DESCRIPCION: Teniendo en cuenta las exigencias del mundo actual es importante que los ingenieros conozcan las herramientas necesarias para determinar las relaciones existentes entre las cargas y el comportamiento dinámico de los sistemas estructurales. El curso busca proveer al futuro profesional las bases de física aplicada que le permitan analizar en cursos posteriores de especialidad problemas en estructuras hidráulicas y de comportamiento sísmico en edificaciones. 2 Exígete, innova UPC Presentación del curso ✓ LOGROS DEL CURSO Al finalizar el curso, el estudiante resuelve e interpreta problemas de movimiento de cuerpos y la interacción entre ellos al aplicar principios aplicados de ciencias para determinar las relaciones existentes entre las cargas presentes y sus efectos de forma práctica y autónoma. ✓ ORGANIZACIÓN DEL CURSO Se revisarán tópicos de Cinemática de partículas, cinemática de cuerpo rígido, cinética de cuerpo rígido, principio de trabajo y energía, impulso y cantidad de movimiento y vibraciones mecánicas. 3 Exígete, innova UPC Presentación del curso ✓ CRONOGRAMA DE EVALUACIONES El promedio final del curso se determina por: PF = 0.15PC1 + 0.20EA + 0.15PC2 + 0.40EB + 0.10TA Sem.05: PC1 (Práctica calificada 1) Sem.08 : EA (Examen parcial) Sem.13: PC2 (Practica calificada 2) Sem.16: EB (Examen final) Sem.xx: TA (Tareas académicas) (15%) (20%) (15%) (40%) (10%) Son cuatro (4) tareas académicas. Cada tarea ya esta indicada en la lista de problemas propuestos. Se entregaran en la segunda sesión de las Semanas 4, 7, 12 y 14. Las tareas se presentan de manera grupal (los grupos son de 5 personas). Presentar en folder manila. El enunciado puede ser en computador, pero la solución debe estar hecha a mano. 4 Exígete, innova UPC Presentación del curso ✓ BIBLIOGRAFÍA Mecánica vectorial para Ingenieros DINAMICA BEER, F. and JOHNSTON R. Ingeniería Mecánica DINAMICA HIBBELER, R.C. Ingeniería Mecánica DINAMICA RILEY, W. and STURGES, L. DINAMICA Mecánica para Ingeniería BEDFORD, A. and FOWLER, W. 5 Exígete, innova UPC Presentación del curso ✓ METODOLOGÍA DE ENSEÑANZA • • • • • Exposición del tema con participación activa de los alumnos (material Aula Virtual). Aplicación del tema en la práctica de la ingeniería. Plantear problemas y examinar alternativas de solución, interpretando resultados. Presentación de tareas domiciliarias. Evaluaciones escritas ✓ NORMAS DE CONVIVENCIA • • • Puntualidad: Se pasara lista durante los primeros 20 min de inicio de la clase. Apagar o colocar en vibrador los celulares (prohibido su uso dentro del aula). Practicar la ética y valores permanentemente. ✓ ELECCIÓN DEL DELEGADO 6 Exígete, innova UPC Presentación del curso Introducción La dinámica es la parte de la mecánica que estudia y analiza los cuerpos en movimiento. La primera contribución importante a la dinámica la realizo Galileo (1564-1642). Los experimentos de Galileo en cuerpos uniformemente acelerados llevaron a Newton (1642-1727) a formular sus leyes de movimiento fundamentales. La dinámica incluye: • La Cinemática Que estudia la geometría del movimiento. Se utiliza para relacionar el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y el tiempo pero sin hacer referencia a la causa del movimiento. • La Cinética Que estudia la relación que existe entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, su masa y el movimiento de este. Se utiliza para predecir el movimiento ocasionado por fuerzas dadas, o para determinar las fuerzas que se requieren para producir un movimiento especifico. Exígete, innova UPC Presentación del curso Introducción En la dinámica de partículas, se considera la cinemática de partículas. El uso de la palabra partículas no significa que el estudio se restringirá a pequeños corpúsculos, sino que en estos primeros capítulos el movimiento de cuerpos (posiblemente tan grandes como automóviles, cohetes o aviones) será considerado sin tomar en cuenta su tamaño. Al afirmar que los cuerpos se analizan como partículas, se entiende que sólo se va a considerar su movimiento como una unidad completa, y se ignora cualquier rotación alrededor de su propio centro de masa. Sin embargo, hay casos en los que dicha rotación no es despreciable; entonces no pueden considerarse como partículas. Este tipo de movimiento se analiza en las siguientes unidades del curso, en las que se trata la dinámica de cuerpos rígidos. Exígete, innova UPC Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas UPC Curso: Dinámica (2019-I) Unidad 1: Cinemática de Partículas y de Cuerpos rígidos Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D 9 Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D MOVIMIENTO RECTILINEO 1D 1. 2. 3. Conceptos generales Determinación del movimiento de una partícula Casos de aplicación Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D Movimiento rectilíneo Decimos que una partícula tiene un movimiento rectilíneo cuando su trayectoria medida con respecto a un observador es una línea recta. 1. Posición, velocidad y aceleración a) Posición La posición de la partícula en cualquier instante dado queda definida por la coordenada x medida a partir del origen O (x es positiva si esta a la derecha de O y x es negativa si esta a la izquierda de O). b) Desplazamiento Se define como el cambio de posición y se representa por el símbolo Δx. Si la posición final de la partícula P’ está la derecha de la posición inicial P, el desplazamiento x es positivo cuando el desplazamiento es hacia la izquierda ΔS es negativo. Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D 2. Velocidad media Si la partícula se mueve de P a P’ experimentando un desplazamiento Δx positivo durante un intervalo de tiempo Δt, entonces, la velocidad media será Geométricamente la velocidad media seria la pendiente de la recta (x/t) que une la representación de los puntos inicial y final en la gráfica posición-tiempo. 3. Velocidad instantánea Se obtiene de llevar al límite la velocidad media al hacer el intervalo de tiempo t más pequeño . Cuanto dt->0 P2 tiende a P1 al mismo tiempo la pendiente se vuelve tangente a la curva de la grafica. La velocidad instantánea en P es igual a la pendiente de la recta tangente en el punto P (esta puede ser positiva, nula o negativa). Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D 4. Rapidez media La rapidez media se define como la distancia total de la trayectoria recorrida por una partícula ST, dividida entre el tiempo transcurrido t, es decir ST (vrap ) = t Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D 5. Aceleración media Si la velocidad de la partícula al pasar por P es v y cuando pasa por P’ es v’ durante un intervalo de tiempo Δt, entonces: 6. Aceleración instantánea La aceleración instantánea se obtiene llevando al límite la aceleración media cuando t tiende a cero es decir Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D Ejemplo: La posición de una partícula que se mueve en línea recta está definida por: x = 6t2 - t3 Determine: (a) La posición, velocidad y aceleración en t = 0 (b) La posición, velocidad y aceleración en t = 2 s (c) La posición, velocidad y aceleración en t = 4 s Solución: (d) El desplazamiento entre t = 0 y t = 6 s La ecuaciones de movimiento son: Las cantidades solicitadas son: , a = 12 m/s2 • Para t = 0 s, x = 0 m , v = 0 m/s • Para t = 2 s, x = 16 m , vmax = 12 m/s, a = 0 m/s2 • Para t = 4 s, xmax = 32 m, v = 0 m/s • Para t = 6 s, x = 0 m , a = -12 m/s2 , v = -36 m/s , a = 24 m/s2 Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D 7. Determinación del movimiento de una partícula: El movimiento de una partícula se determina si conocemos su posición para todo instante t. En la práctica, un movimiento rara vez se define por medio de una relación entre x y t. Por ejemplo, un cuerpo en caída libre tendrá una aceleración constante (g) y hacia abajo, o una masa unida a un resorte estirado tendrá una aceleración proporcional a su deformación. Se considerarán tres clases comunes de movimiento: Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D 8. Casos de aplicación: Problema 01: El auto mostrado en la figura se mueve en línea recta de tal manera que su velocidad para un período corto de tiempo es definida por v = 3t 2 + 2t pies/s, donde t es el tiempo el cual está en segundos . Determine su posición y aceleración cuando t = 3,00 s. Considere que cuando t = 0. S = 0 Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D Solución: POSICIÓN Para el sistema de • ACELERACIÓN. Sabiendo que v = referencia considerado y sabiendo f(t), la aceleración se determina que la velocidad es función del a partir de a = dv/dt tiempo v = f(t). La posición es Cuando t = 3 s, resulta • Cuando t = 3 s Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D 8. Casos de aplicación: Problema 02: Un proyectil pequeño es disparado verticalmente hacia abajo dentro de un medio fluido con una velocidad inicial de 60 m/s. Si resistencia del fluido produce una desaceleración del proyectil que es igual a a = −0, 4v3 m / s 2 donde v se mide en m/s. Determine la velocidad v y la posición S cuatro segundos después de que se disparó el proyectil. Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D Solución: Velocidad: Usando el sistema de referencia mostrado y sabiendo que a = f(v) podemos utilizar a = dv/dt para determinar la velocidad como función del tiempo esto es Posición::Sabiendo que v = f(t), la posición se determina a partir de la ecuación v = dS/dt Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D 8. Casos de aplicación: Problema 03: Una partícula metálica está sujeta a la influencia de un campo magnético tal que se mueve verticalmente a través de un fluido, desde la placa A hasta la placa B, Si la partícula se suelta desde el reposo en C cuando S = 100 mm, y la aceleración se mide como donde S está en metros. Determine; (a) la velocidad de la partícula cuando llega a B (S = 200 mm) y (b) el tiempo requerido para moverse de C a B. Se sabe que: a = 4S m / s 2 Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D Solución: • Debido a que a = f(S), puede obtenerse la velocidad como función de la posición usando vdv = a dS. Consideramos además que v = 0 cuando S = 100 mm • El tiempo que demora en viajar la partícula de C a B se determina en la forma • Cuando S = 0,2 m el tiempo es • La velocidad cuando S = 0,2 m es Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D 8. Casos de aplicación: La gráfica v-t, que describe el movimiento de un motociclista que se mueve en línea recta se muestra abajo. Construir el gráfico a-s del movimiento y determinar el tiempo que requiere el motociclista para alcanzar la posición S = 120 m Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D Solución: Grafico a-s. Debido a que las ecuaciones de los segmentos de la gráfica están dadas, la gráfica a-t puede ser determinada usando la ecuación dv = a ds 0 s 60m; v = 0.2 s + 3 dv a=v = 0.04s + 0.6 ds 60m s 120m; v = 15; dv a=v =0 ds Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D Solución: El tiempo se obtiene usando la gráfica v-t y la ecuación v = ds/dt. Para el primer tramo de movimiento, s = 0, t = 0 0 s 60m; v = 0.2 s + 3; dt = ds ds = v 0.2 + 3 ds o 0 0.2 s + 3 t = 5 ln(0.2 s + 3) − 5 ln 3 t dt = s Cuando s = 60 m, t = 8,05 s El tiempo para el segundo tramo de movimiento: 60 s 120m; v = 15; dt = t 8.05 Cuando S = 120 m, t´= 12 s dt = s 60 ds ds = v 15 ds 15 s t = + 4.05 15 Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D 8. Casos de aplicación: Problema 05: Un carro de ensayos parte del reposo y viaja a lo largo de una línea recta acelerando a razón constante durante 10 s. Posteriormente desacelera a una razón constante hasta detenerse. Trazar las gráficas v-t y s-t y determinar el tiempo t’ que emplea en detenerse Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D Solución / Grafica v-t: La gráfica velocidad-tiempo puede ser determinada mediante integración de los segmentos de recta de la gráfica a-t. Usando la condición inicial v = 0 cuando t = 0 0 t 10s a = 10; v 0 t dv = 10 dt, v = 10t 0 Cuando t = 10 s, v = 100 m/s usando esto como condición inicial para el siguiente tramo se tiene 10s t t ; a = −2; v 100 t dv = − 2 dt, v = −2t + 120 10 Cuando t = t´, la velocidad nuevamente es cero por tanto se tiene 0= -2t’ + 120 t’ = 60 s Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D Solución / Grafica s-t: La gráfica posición-tiempo puede determinarse mediante integración de los segmentos de recta de la gráfica v-t. Usando la condición inicial s = 0 cuando t = 0: 0 t 10s; v = 10t ; s 0 t ds = 10t dt, s = 5t 2 0 Cuando t = 10 s, S = 500 m usando esto como condición inicial para el siguiente tramo se s t tiene: 10s t 60s; v = −2t + 120; ds = (− 2t + 120)dt 500 10 s = −t 2 + 120t − 600 Cuando t = t´=60s, la posición S = 3000 m Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D Problemas propuestos 1. x = 2t 3 − 6t 2 + 15 El movimiento de una partícula se define por la relación: Donde x se expresa en metros y t en segundos. Determine el tiempo, la posición y la aceleración cuando la velocidad es nula. 2. El movimiento de una partícula se define mediante la relación: x = 2t 2 − 20t + 60 Donde x se expresa en pies y t en segundos. Determine: (a) el tiempo en el cual la velocidad es cero, (b) La posición y la distancia total recorrida cuando t = 8 s. 3. La aceleración de una partícula se define mediante la relación: a = (64 − 12t 2 ) pul / s 2 La partícula parte de x = 25 pulg en t = 0 con v = 0. Determine: (a) el tiempo en el cual la velocidad de nuevo es cero; (b) la posición y la velocidad cuando t = 5 s, (c) La distancia total recorrida por la partícula desde t = 0 a t = 5 s. 4. La aceleración de una partícula está definida por la relación a = -3v, con a expresada en m/s2 y v en m/s. Sabiendo que para t = 0 la velocidad es 60 m/s, determine: (a) la distancia que la partícula viajará antes de detenerse, (b) el tiempo necesario para que la partícula se reduzca al1% de su valor inicial Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D MOVIMIENTO CURVILINEO 2D 1. 2. 3. 4. Movimiento curvilíneo (vector posición, velocidad y aceleración). Componentes rectangulares de velocidad y la aceleración. Componentes tangencial y normal (intrínsecas). Componentes radial y transversal (coordenadas polares). Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D Movimiento curvilíneo Cuando una partícula no se desplaza en línea recta, se dice que la partícula describe un movimiento curvilíneo. Tanto en el plano como en el espacio, existen tres procedimientos de descripción del movimiento de una partícula: Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D 1. Componentes rectangulares de velocidad y aceleración Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D 2. Componentes tangencial y normal (intrínsecas) También llamadas componentes intrínsecas (procedimiento natural). Dependiendo el caso, en ciertas ocasiones conviene descomponer la aceleración en componentes dirigidas a lo largo de la tangente y la normal de la trayectoria de la partícula. En un movimiento curvilíneo la velocidad de una partícula es un vector tangente a su trayectoria, pero generalmente la aceleración no es tangente a la trayectoria, salvo en puntos de inflexión. Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D 2. Componentes tangencial y normal (intrínsecas) Donde es el radio de curvatura Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D Problemas • Un esquiador viaja con una rapidez de 6 m/s la se está incrementando a razón de 2 m/s2, a lo largo de la trayectoria parabólica indicada en la figura. Determine su velocidad y aceleración (en coordenadas rectangulares) en el instante que llega a A. Desprecie en los cálculos el tamaño del esquiador. Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D Problemas • Estableciendo los ejes n y t mostrados se tiene. • La velocidad de 6 m/s es tangente a la trayectoria y su dirección será • Por lo tanto en A la velocidad forma 45° con el eje x Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D Problemas • La aceleración se determina aplicando la ecuación 2 dv v a= eˆt + eˆn dt • Para ello se determina el radio de curvatura dv v2 aA = eˆt + eˆn dt 62 a A = 2eˆt + eˆn 28, 3 a A = 2eˆt + 1, 27eˆn [1 + (dy / dx) 2 ]3/2 = 2 2 d y / dx [1 + ( x /10) 2 ]3/2 = 1/10 = 28.28m Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D Problemas • La magnitud y la dirección de la aceleración serán a= 2 2 + 1.237 = 2.37 m / s () ( ) 2 2 2 = tan = 57.5 1.327 −1 Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D Problemas • Un carro de carreras C viaja alrededor de una pista horizontal circular que tiene un radio de 90 m. Si el carro incrementa su rapidez a razón constante de 2,1 m/s2 partiendo desde el reposo, determine el tiempo necesario para alcanzar una aceleración de 2,4 m/s2. ¿Cuál es su velocidad en ese instante. Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D Problemas Solución • Se sabe que la aceleración tangencial es constante e igual a at = 2,1m / s Entonces v = v0 + at t v = 0 + 2,1t • La aceleración normal será 2 • La aceleración total será a = at eˆt + v2 eˆn a = 2,1eˆt + 0.049t 2 eˆn a 2 = 2,12 + [0.049t 2 ]2 2, 4 2 = 2,12 + [0.049t 2 ]2 t = 4,87 v2 (2,1t ) 2 an = = = 0.049t 2 m / s 2 • La velocidad en este instante será 90 v = 2.1t = 10.2m / s Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D Problemas Una caja parte del reposo en A e incrementa su rapidez a razón de at = (0.2t) m/s2 y viaja a lo largo de la pista horizontal mostrada. Determine la magnitud y dirección de la aceleración cuando pasa por B Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D Problemas Solución La posición de la caja en cualquier instante es S medida a partir del punto fijo en A. La velocidad en cualquier instante se determina a partir de la aceleración tangencial, esto es at = v = 0.2t v 0 (1) t dv = 0.2tdt 0 v = 0.1t 2 (2) Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D Problemas Para determinar la velocidad en B, primero es necesario determinar S = f(t), después obtener el tiempo necesario para que la caja llegue a B. es decir 0 6,142 = 0, 0333t 3 t = 5, 69s ds v= = 0.1t 2 dt S Entonces tenemos t ds = 0.1t 2 dt 0 S = 0, 0333t 3 De la geometría se tiene 2π(2)/4 = 6.142 m. (3) sB = 3 + Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D Problemas Remplazando el tiempo en las ecuaciones (1) y (2) resulta Su modulo y dirección serán (aB )t = vB = 0.2(5.69) = 1.138m / s 2 a 2 = 1,1382 + [5, 242]2 vB = 0.1(5.69) 2 = 3.238m / s a = 5, 36m / s 2 En el punto B el radio de curvatura es ρ = 2 m, entonces la aceleración será 2 ( aB ) n = vB B = tg −1[ 5.242 ] = 77, 75 1,138 = 5.242m / s 2 La aceleración total será aB = at , B eˆt + vB2 eˆn aB = 1,138eˆt + 5, 242eˆn Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D 3. Componentes radial y transversal (coordenadas polares) En ciertos movimientos planos de partículas conviene usar coordenadas polares (r, ), por tanto se descompone la velocidad y la aceleración de la partícula en componentes paralela y perpendicular a la línea OP (componentes radial y transversal). r = reˆr Vector Velocidad: v = reˆr + r eˆ 2 Vector Aceleración: a = (r − r )eˆr + (r + 2r )eˆ Vector posición: Donde: vr = r v = r ar = (r − r 2 ) a = (r + 2r ) v= ( vr ) a= ( ar ) 2 2 + ( v ) 2 + ( a ) 2 Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D Problemas Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D Problemas Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D Problemas Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D CASO PARTICULAR: Cuando r = cte MOVIMIENTO CIRCULAR v = reˆr + r eˆ ar = (r − r 2 ) a = ar = −r 2eˆr v = reˆr + r eˆ a = (r + 2r ) ( ) a = −r 2 eˆr + r eˆ Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D CASO GENERAL DEL MOVIMIENTO CIRCULAR (M.C.) = d dt dt = = d dt dt = d = d d d d = d Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR VECTORIALMENTE SE CUMPLE: v =r a = r + ( r ) Donde: at = r an = −( ) 2 .r an = ( r ) a = at + an Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D Problemas Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D Problemas Exígete, innova UPC Sem.01. Mov. Rectilíneo 1D y Mov. Curvilíneo 2D Problema Determinar la magnitud de la velocidad de C y la aceleración de C en el instante mostrado Exígete, innova UPC