Áreas de regiones planas
En el cálculo de área de regiones planas se considera dos casos:
𝟏𝒆𝒓 𝒄𝒂𝒔𝒐.-Consideramos una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) continua en un intervalo
cerrado [𝑎, 𝑏] y además 𝑓(𝑥) ≥ 0, ∇𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. El área de la región R
limitada por la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥), el eje X y las rectas verticales x=a y x=b,
está dado por la expresión:
𝑏
𝐴(𝑅) = ∫𝑎 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
OBSERVACION.- Si la región R es limitada por la curva 𝑥 = 𝑔(𝑦), y las rectas y=c,
y= d, entonces el área de la región R es expresado por:
𝑑
𝐴(𝑅) = ∫ 𝑔(𝑦)𝑑𝑦
𝑐
𝟐𝒅𝟎 𝒄𝒂𝒔𝒐.- Consideramos dos funciones f y g continuas en el intervalo cerrado [a b] tal
que 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], en el área de la región R limitada.
Por las curvas 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑔(𝑥) y las rectas x=a y x=b, está dado por la expresión.
𝐵
𝐴(𝑅) = ∫ (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥
𝐴
OBSERVACION.- Si la región R es limitada por las curvas 𝑥 = 𝑔(𝑦), 𝑥 = ℎ(𝑦) tal que
𝑔(𝑦) ≥ ℎ(𝑦), ∀ 𝑦 ∈ [𝑐, 𝑑] y las rectas y= c, y=d,
Entonces, el área de la región R está dado por la expresión:
𝑑
𝐴(𝑅) = ∫ (𝑔(𝑦) − ℎ(𝑦))𝑑𝑦
𝑐
OBSERVACION.- En el cálculo del área de la región R limitada por la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥)
el eje X y las rectas x=a, x=b la función 𝑓(𝑥) ≥ 0 , ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] pero el caso en que
𝑓(𝑥) ≤ 0, la región R esta debajo del eje X en este caso el área es calculado por:
𝑏
𝐴(𝑅) = ‖∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ‖
𝑎
Ejemplo
Determine el area de la region limitada por el eje x y la parabola 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥.
Solucion :
La grafica de la parabola se presenta en la figura, la region esta debajo del eje x y sobre
la grafica de 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥
En el eje si puede describir como la gráfica de y= 0, así que en el integrando tendremos
[0 − (𝑥 2 − 2𝑥)]𝑑𝑥 y los límites de integración se obtiene resolviendo:
𝑥 2 − 2𝑥 = 0 → 𝑥(𝑥 − 2)
𝑥 = 0 ;𝑥 = 2
Luego el área de la región es:
2
2
𝐴(𝑅) = ∫0 [0 − ( 𝑥 2 − 2𝑥)]𝑑𝑥 = ∫0 ( 𝑥 2 − 2𝑥)𝑑𝑥
𝑥2 −
𝑥3
3
2
∫0 =
Remplazando
25 −
23
3
=
8
3
𝑈2
0
