Subido por Jaime Aguilar

Manual de Diseno y Calculo de Estructura

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Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Por:
Saúl Díaz Godínez
Derechos Reservados
 Saúl Díaz Godínez
Registro Público de Derechos de Autor
03-2001-021311104800-01
México DF, 2008
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
INTRODUCIÓN
diseño estructural se basaba, principalmente en la
geometría de las formas estructurales.
“La más útil de las ciencias será aquella cuyo fruto sea
más comunicable, y por el contrario, la menos útil será la
menos comunicable”1. En esta contundente cita de
Leonardo Da Vinci podemos resumir el espíritu de este
manual. La enorme mayoría de profesionales
involucrados en la planeación, diseño y construcción de
nuestro ambiente habitable, ejercen sin el conocimiento
profundo de las leyes físicas de los materiales y las
formas propuestas para los edificios. Por tanto, este
manual pretende hacer “comunicable” a todo el público
vinculado con el diseño y construcción de edificios, los
frutos de la ciencia de las estructuras, lo cual no quiere
decir que las teorías, hipótesis y cálculos tienen poco
rigor científico o precisión. La mayor parte de los libros de
diseño y cálculo de estructuras nos remiten al engorroso
mundo de las formulaciones y supuestos matemáticos en
que se basan las ecuaciones de diseño, que muchas
veces además de estar erróneas2 no proporcionan una
guía fácil para calcular y diseñar estructuras, así como
una comprensión físico-conceptual de las mismas, que
es lo que la mayor parte de arquitectos, ingenieros y
constructores necesitan. Ahora bien, ¿por qué decimos
que son erróneas? Para entender esto partiremos de una
breve historia del diseño estructural.
De hecho fue Galileo el primero en considerar el
análisis de la resistencia de una estructura, basado en la
curiosidad por saber cuál sería el valor de la carga de
ruptura para una viga de madera en cantiliber. Por lo cual
el quería determinar la resistencia transversal de la viga
como una función dependiente de su base y su peralte,
por tanto, esa formula se podría derivar para calcular la
resistencia de cualquier otra viga. Galileo esencialmente
resolvió el problema correctamente, y encontró que las
reglas geométricas de la proporción no se podían aplicar
más. Sí las dimensiones de la viga eran dobladas, la
resistencia era mucho mayor del doble. Posteriormente
Navier (1826) al tratar de resolver las leyes de las
propiedades geométricas de las vigas, formula la
“Hipótesis fundamental de la teoría de la flexión”, también
conocida como la “Hipótesis de Navier”. Esta hipótesis
formula que: “Cualquier sección plana de una viga
tomada respecto a su eje normal, permanece plana
después de que la viga esta sujeta a un momento flector.
Por tanto, un plano inicialmente perpendicular al eje de la
viga, permanecerá perpendicular al eje deformado de la
viga, después de la deformación”.
El diseño estructural siempre estuvo basado en lo que
conocemos como “prueba y error”, pero bajo un esquema
de economía del pensamiento, en donde los
conocimientos sobre el comportamiento de los materiales
y las formas en las estructuras se transmitía de una
generación a otra; prueba de esto, es como las
recomendaciones sobre las dimensiones de los
elementos estructurales de Vitruvio, fueron tomadas casi
al pie de la letra hasta después del renacimiento.
Posteriormente se procedía con cálculos estáticos
funiculares sobre el comportamiento de las estructuras,
como se puede ver en las teorías de Poleni, sobre el
comportamiento de los arcos y bóvedas. Y por tanto, el
1
Da Vinci, Leonardo, Tratado de pintura, México 1996, ed. R. LlPara abundar en la demostración de los grandes errores de las
formulaciones matemáticas en las estructuras se recomienda
ver: NAVEA, Lester, Método de cálculo geométrico de esfuerzos
e invalidez de teoría de deformación, Santiago de Chile 2000.
2
Esta suposición “elástica” se puede aplicar para
miembros rectangulares en flexión pura, pero si existe
cortante (que siempre existe) un error es introducido
dentro de la hipótesis. Esta suposición se a tomado como
aplicable para proporcionar el peralte de vigas en
secciones cuya relación claro/peralte es mayor de 10.
Esta teoría parte de los supuestos de que a) las
fuerzas aplicadas a la viga no han implicado choque o
impacto, b) las vigas se asumen como estables
lateralmente ante la aplicación de una fuerza, y c) los
materiales son perfectamente homogéneos de tal forma
que la distribución del esfuerzo a través del peralte es
una línea recta. Por supuesto que en la realidad ninguna
de estas condiciones se cumple siempre. Primeramente,
esta teoría suponía que el comportamiento de cualquier
material, sección o sistema estructural era “elástico”, es
decir, que al aplicarle una fuerza (carga) sufría una
deformación, y al ser retirada la carga el elemento
regresaba a su forma original, y este comportamiento se
repetía hasta la falla, lo cual es completamente falso ya
que el material tiene un comportamiento plástico y retiene
cierta deformación, aunque sea micrométrica, además de
2
que ciertos materiales (concreto) sufren agrietamiento, lo
cual modifica sus características y propiedades
estructurales. Esto es lo que llamaremos el “Error
Elástico”.
Además toda esta resolución de supuestos y
ecuaciones se formulan dentro de soluciones estáticas.
Es decir, existen una primera serie de ecuaciones para
las estructuras que son estáticas. Para ser consideradas
así, las fuerzas internas deben estar en equilibrio con las
cargas externas impuestas. Si estas ecuaciones pueden
resolverse linealmente, el primer paso se cumple y se
considera que la estructura es estáticamente
determinada. Pero la realidad es que las ecuaciones de
equilibrio son insolubles, es decir, las estructuras son
estáticamente indeterminadas (hiperestáticas). Ya que
existen muchos posibles estados de equilibrio, esto es,
hay muchas formas en las cuales una estructura soporta
sus esfuerzos. Esto es lo que llamaremos el “Error
Estático”
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
La imposibilidad de los modelos matemáticos para
solucionar esta realidad “física”, ha llevado a realizar
supuestos “conceptuales” erróneos en el diseño
estructural, como suponer que un cuerpo rígido tiene tres
grados de libertad: dos de translación y uno de rotación,
por lo tanto, si los soportes de una estructura rígida tiene
menos de tres grados de libertad se considera como
inestable.
En resumidas cuentas, expondremos otros dos
ejemplos: 1) el Modulo de Elasticidad (E), que es
fundamental para determinar la distribución de las
fuerzas en una estructura y el tamaño de las secciones
se ha considerado como una constante; mientras que la
experimentación ha demostrado que E varía para un
mismo concreto, desde 285,000 kg/cm2, cuando la
sección está sin agrietar, hasta un mínimo de 40,000
kg/cm2 para una sección trabajando a flexión; y 2) El
método de Cross (y Kani ) supone que los momentos en
los nodos centrales se equilibran e igualan, para lograr
esto, se implementa un método numérico por
“aproximaciones sucesivas” (poco serio) que realiza
bastantes incongruencias en el camino para ajustarse a
sus supuestos, como suponer que todos los nodos están
perfectamente empotrados, aunque no sea así, y aplicar
factores de distribución basados en el inestable módulo
de elasticidad; mientras que las últimas investigaciones
del Comité 3523 del ACI ha revelado que en un nodo
interactúan 22 fuerzas con diferentes magnitudes y
direcciones, lo cual hace que un nodo gire ante un sismo.
Posteriormente surgió lo que conocemos como la
“teoría plástica” que, basada más en la experimentación,
reformula y perfecciona los supuestos de la teoría
elástica, pero aún así se heredan muchos planteamientos
falsos, como la constante de E y muchos más.
Por lo tanto, el diseño y cálculo estructural en la
actualidad se ha envuelto profundamente en el avance y
reformulación de su propia expresión numérica.
Recordemos que las matemáticas son el lenguaje de la
naturaleza, se encargan del estudio de sus propiedades y
lógica como lenguaje. Pero cuando utilizamos las
matemáticas para explicarnos fenómenos de la
3
AMERICAN CONCRETE INSTITUTE, Comité 352, Diseño de
Juntas viga-columna en estructuras de concreto, México 1990,
edit. Limusa.
naturaleza estamos haciendo física, las matemáticas tan
sólo son el lenguaje con el cual podemos hacer
universalmente entendibles los supuestos físicos. Por
esta razón si los supuestos físicos son erróneos los
modelos numéricos, aunque son lógicos consigo mismos,
nos llevan a resultados erróneos. La corroboración de los
errores en la teoría estructural, que vivimos en la
práctica, hemos querido corregirlos matemáticamente;
esto a todas luces es un error en el que se ha gastado
mucho tiempo valioso, y en el cual están formulados
actualmente la mayoría de los tratados sobre estructuras.
Siendo que las estructuras son parte de la física,
entonces lo más sensato es empezar por entender las
leyes físicas más elementales en las que se debe basar
absolutamente toda la teoría estructural, y vamos
replanteando y reformulando tanto el diseño como el
cálculo.
desconfianza a los engorrosos cálculos matemáticos, y
ponen ante todo la intuición como configuradora de su
pensamiento, que encuentra en el diseño de estructuras,
más que una ciencia, un arte. Esta intuición
evidentemente está basada en un buen conocimiento de
la física.
En vista de lo anterior, lo que más nos conviene es
tomar lo “rescatable” del cálculo actual, y no perder el
tiempo en formulaciones matemáticas erróneas; vayamos
directamente a lo que es útil (o ha probado tener
eficacia), y partamos de las leyes físicas fundamentales
de la mecánica. Aunque en este texto procuramos
apegarnos a los parámetros de las Normas Técnicas
Complementarias
(NTC)
del
Reglamento
de
Construcciones para el Distrito Federal (RCDF), donde
éste lo permite retomamos muchas cosas de otros
reglamentos como el American Concrete Institute, el
Eurocódigo, el American Institute of Steel Construcction,
American Institute of Timber Construcction de Estados
Unidos, el Cement and Concrete Association, British
Standard Code of Practice de Inglaterra, el Japan
Regulations for Earthqueke Engineering, y el Uniform
Building Code.
Por otro lado, tenemos numerosos testimonios de
destacados teóricos y constructores de estructuras, quizá
los mejores del siglo XX (Félix Candela, Pier Luigi Nervi,
Isler Heinz, Eladio Dieste, Eduardo Torroja, Ove Arup y
Santiago Calatrava)4 que han reiterado su abierta
4
Ver: CANDELA, Félix, Hacia una nueva filosofía de las
estructuras, Architectural Forum, EEUU, febrero 1956; NERVI,
Pier Luigi, Arte o scienza del construire, Roma 1845, edit.
Bússola.; HEINZ, Isler, Concrete shells today, Atlanta 1994, edit.
IASS; DIESTE, Eladio, La estructura cerámica, Colombia 1987,
edit. Escala; TORROJA, Eduardo, Philosophy of structures,
Berkeley 1958, edit. Univ. of Calif. Press; ARUP, Ove, Ove Arup
& Partners, 1946-1986, Londres 1986, edit. Academy Editions.
3
En muchas secciones, se incluyen alternativas de
cálculo para elementos y/o sistemas, llamadas “Método
Alternativo”, en donde las ecuaciones y criterios estan
basados en la reglamentación vigente de la Unión
Europea. Que ademas, proporcionan parámetros
complementarios, y casi siempre por arriba de la
seguridad de los reglamentos Americanos. Es muy
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
importante visualizar todos los criterios
complementarios, y no excluyentes entre ellos.
como
Todo lo anterior encaminado a la creación de
estructuras tecnológicamente apropiadas y creativas,
en donde fundamentalmente exista 1) una correcta
utilización de los materiales, lo cual exige un
conocimiento exhaustivo de sus propiedades mecánicas,
y 2) procurar maneras efectivas de trabajo de las formas
estructurales. Recordemos la famosa proposición de
Galileo: “Sería excelente si pudiéramos descubrir la
forma indicada de un elemento estructural, en orden de
hacerlo igualmente resistente en cada punto.”5 Como
bien señalamos, el diseño estructural y técnico de la
arquitectura tiene mucho más de arte que de ciencia, si
obedecemos ciegamente los procedimientos de cálculo y
las especificaciones, estaremos lejos de la creación
estética que requiere mucha intuición, la cual nos dice
que el éxito consiste en hacer cosas sencillas,
estudiando con cariño los detalles. El concreto armado, el
material estructural más utilizado en nuestro medio, no
está hecho para trabajar a flexión, aunque
paradigmáticamente así se haga. La viga y losas
rectangulares de concreto armado son elementos tan
inverosímiles como el dintel de piedra.
“buscar una tecnología tal que garantice la superación
objetiva del productor y usuario, que implica generar
modelos técnicos que atiendan, por un lado, a un uso
eficiente y científico de los materiales, la geometría y el
cálculo, lo suficientemente avanzados como para que
sean viables frente a la escasez de recursos.”7 Hacer
estructuras adecuadas nos lleva casi axiomáticamente a
hacer edificios bellos.
“El empleo del concreto en esta forma anacrónica y
atávica —copiada literalmente de las formas
estructurales características del hierro y la madera,
cuyo proceso de obtención conduce fatalmente a la
pieza prismática— se pretende justificar con el
sofisma económico del exagerado costo de la cimbra
si se utilizaran formas más apropiadas. Sin embargo,
la desfavorable relación resistencia-peso que el
concreto presenta con respecto a otros materiales, y
que limita de manera efectiva su empleo cuando se
trata de salvar grandes claros con los procedimientos
tradicionales, es suficiente para anular también la
pretendida ventaja, aun en los casos de claros
6
moderados.”
Por lo cual, la eficiente función estructural y técnica
depende esencialmente de la forma, en la que tanto la
función estructural como la expresión interna dependen
exclusivamente de ella. Así mismo, no hay que olvidar
5
TZONIS, Alexander, Santiago Calatrava. The poetics of
movement, Nueva York 1999, edit. Universe.
6
CANDELA, Félix, Divulgaciones estructurales en torno al estilo,
México 1953, Revista Espacios.
7
GONZÁLEZ Lobo, Carlos, Vivienda y ciudad posibles, Bogotá
1999, edit. Escala.
4
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Capítulo I
INTRODUCCIÓN AL DISEÑO
ESTRUCTURAL
a) El sistema métrico
En 1960 fue creado el Sistema Internacional de Unidades
(SI por su abreviatura en francés), en el ámbito de la
Conferencia Internacional de Pesos y Medidas. El
objetivo de su creación fue tener un sistema métrico
basado en fenómenos físicos medibles y que pudiera ser
compartido por el mundo entero, facilitando así el
intercambio global de información y medidas de
referencia para el comercio, la ciencia, la educación, etc.
En este sentido, el SI ha tenido un lento pero
abrumador éxito. A la fecha (2011) únicamente tres
paises (Liberia, Birmania y Estados Unidos) no han
adoptado el SI como prioritario o único en su legislación.
En 1992, México se integró a toda la comunidad
internacional que utiliza el SI. En el Diario Oficial de la
Federación del 1° de julio de 1992 se publicó la nueva
Ley Federal sobre Metrología y Normatización, que
especifica en su Artículo 5°:
“En los Estados Unidos Mexicanos el Sistema General de
Unidades de Medida es el único legal y de uso obligatorio […] El
Sistema General de Unidades de Medida se integra, entre otras,
con las unidades básicas del Sistema Internacional de Unidades:
de longitud, el metro; de masa, el kilogramo; de tiempo, el
segundo; de temperatura termodinámica, el kelvin; de intensidad
de corriente eléctrica, el ampere; de intensidad luminosa, la
candela; y de cantidad de sustancia, el mol, así como con las
suplementarias, las derivadas de las unidades base y los
múltiplos y submúltiplos de todas ellas, que apruebe la
Conferencia General de Pesas y Medidas y se prevean en
normas oficiales mexicanas. También se integra con las no
comprendidas en el sistema internacional que acepte el
mencionado organismo y se incluyan en dichos ordenamientos.”
Pero en la práctica, la inercia de continuar utilizando
el Sistema Métrico Decimal es muy fuerte, y los
esfuerzos de los profesionales por dominar el SI son muy
pobres; muy pocos profesionales de la arquitectura y la
ingeniería conocen y manejan el SI, prácticamente
ningún operario de la construcción ha oido de el, además
en los niveles básicos de educación no se enseña, y en
las universidades se aplica el SI en algunos ejemplos (no
de forma generalizada). Por lo cual, es de espear que su
plena aplicación tardará bastante tiempo; si no es que
esta ley se convierte en “letra muerta”.
Temperatura: la unidad para medir la temperatura el el
Kelvin (K).
El principal problema en el diseño y cálculo de
estructuras es el referente a las ventajas que nos
proporciona la “experiencia” en la detección de posibles
errores, valores medios o sobrevalores. Por ejemplo, si
estamos habituados al sistema métrico tradicional y nos
dicen que una losa carga 0.49 MPa, no sabremos si es
poco, mucho, o es un valor promedio; en cambio si nos
2
dicen que la losa carga 5,000 kg/m inmediatamente
reconocemos que es un valor extremadamente grande, lo
cual nos haría pensar que quizá hubo un problema o
error en su obtención, y de no ser así entoces tomaremos
precauciones espaciales para el diseño de esa
estructura, o cambiaremos el sistema estructural global.
Por lo tanto, nuestra recomendación es utilizar el sistema
de unidades con el cual sintamos más seguridad y
certeza sobre sus resultados, y aplicar alguna de las dos
siguientes estrategias:
Los kelvin estan basados en los grados Celsius,
donde se establece el cero (0) como “cero absoluto”, es
decir, que no existen unidades negativas, ya que el calor
es provocado por la actividad (o exitación) de los átomos,
el cero absoluto es la completa inactividad de los
mismos. El cero absoluto se alcanza a los -273.15 °C, no
puede existir una temperatura mas baja. Por lo tanto, la
conversión entre grados Celsius y Kelvin es la siguiente:
a) Realizar todos los cálculos con el Sistema Métrico
Decimal, y convertir los resultados finales la SI; de esta
forma se cumple la legislación, y nos habituamos a las
cantidades del SI.
K  C  273.15
Por ejemplo, sabemos que la temperatura máxima
que puede alcanzar el concreto en su etapa de fraguado
y endurecimiento es de 70 °C, es decir 70 °C + 273.15 =
343.15 K. Para converir grados Frafenheit a Kelvin
aplicamos la siguiente ecuación:
K   F  459.67  1.8
Es importante recalcar que se representa como K y
nunca como °K, por lo cual, no se debe decir grados
Kelvin, sino simplemente Kelvin.
b) Realizar todos los cálculos con el SI, y convertir
todos los resultados finales al Sistema Métrico
Tradicional, para hacer más comunicables los resultados
a los demás profesionales que no manejan el SI.
Masa: la unidad para medir la masa en el kilogramo
(kg), sus múltiplos y submúltiplos.
Por esta razón, en el presente Manual se utilizarán en
forma general el Sistema Métrico Decimal, y en la medida
de la disponibilidad de datos se indicarán las ecuaciones,
constantes y variables equivalentes para el Sistema
Internacional. Es importante mencionar que existen
varios temas tratados en la presente publicación para los
cuales no existe reglamento y/o publicación que hayan
actualizado las constantes con las cuales se podrían
sustituir las ecuaciones.
Un newton es la fuerza necesaria para proporcionar
2
una aceleración de 1 m/s a un objeto cuya masa es de 1
kg. Lo podemos obtener con la siguiente ecuación:
A continuación explicaremos brevemente las
unidades del SI más utilizadas en el cálculo de
estructuras:
Longitud: la unidad para medir la longitud es el metro
(m), sus múltiplos y submúltiplos (cm, mm, etc.)
Tiempo: la unidad para medir el tiempo es el segundo
(s), sus múltiplos y submúltiplos (min, hr, día, etc.)
5
Fuerza: la unidad para medir la fuerza es el Newton (N),
sus múltiplos y submúltiplos.
N
m  kg
s2
Es decir, 1 N es igual a 9.8 kg m/s2, que es la
constante gravitacional, por lo cual, simplemente
multiplicamos los kilogramos (kg) por la constante
gravitacional (9.8).
Por ejemplo, si una viga tiene una carga puntual de 5
mil kilogramos, multiplicamos 5,000 x 9.8 = 49,000 N,
para simplificar con números mas manejables, dividimos
entre 1000 y obtenemos 49 kN (kilo newtons).
Presión: la unidad para medir la presión es el Pascal
(Pa), sus múltiplos y submúltiplos.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
El pascal es la presión que ejerce una fuerza de un
(1) Newton sobre una superficie de un (1) metro
2
cuadrado (m ). La ecuación correspondiente es:
Pa 
N
kg
 2
2
m
s m
Por ejemplo, si la resistencia de un terreno es de 19
ton/m2, entonces serían 19,000 kg/m2 x 9.8 = 186,200
Pa, que si dividimos entre 1,000 nos dará 186.2 kPa (kilo
Pascales), o entre un millón nos dará 0.1862 MPa (mega
Pascales). Si tenemos un concreto con una resistencia
f´c = 250 kg/cm2, entonces multiplicamos 250 x 9.8 que
nos dará 2,450 N/cm 2, los que debemos multiplicar por
10,000 centímetros en un metro cuadrado, nos dará
24,500,000 Pa, como es un número bastante grande, lo
común es dividir entre un millón, lo cual nos da 24.5 MPa;
que en todos los reglamentos se cierra a 25 MPa. Por
2
2
ejemplo; f´c = 150 kg/cm = 15 Mpa, f´c = 350 kg/cm =
35 MPa, etc.
b) La gráfica esfuerzo-deformación
En vista de los evidentes errores de las teorías y modelos
matemáticos, vamos a tener una primera aproximación
fenoménica del comportamiento de las estructuras. Si
sometemos a un determinado esfuerzo un material,
elemento
o
sistema
estructural,
tendría
un
comportamiento similar al que observamos en la
siguiente gráfica. Evidentemente la forma de la curva
varía de un material a otro, entre elementos y sistemas,
pero todas las curvas tienen las mismas características.
Supongamos que vamos a aplicar peso a un polín de
madera hasta que éste se colapse, cuyos extremos están
sostenidos en dos mesas. Por un lado graficamos cuánto
peso le aplicamos, y por otro que deformación tiene. En
el eje de las y (vertical) graficamos los esfuerzos (peso
aplicado) y el de las x (horizontal) las deformaciones. En
un inicio tendremos una recta, es decir que por cada
unidad de peso que apliquemos (supongamos 100 kg) se
deformará el material una unidad (supongamos un
centímetro), hasta que éste empieza a agrietarse. Hasta
este punto, si quitamos el peso, el polín regresa a su
forma original (se cumple la Ley de Hooke). Pero
después
las
deformaciones
continúan
siendo
proporcionales a los esfuerzos, mas el material ya no
puede regresar a su forma original, esta primera etapa
es lo que conocemos como “etapa elástica.”
Posteriormente las deformaciones ya no son
proporcionales (por cada 100 Kg. se deforma más de 1
cm) por lo cual la gráfica deja de ser recta y se ensancha;
este comportamiento se reproduce hasta que el material
alcanza su resistencia última, a partir de aquí la gráfica
ya no aumenta en el eje de los esfuerzos, pero sí de las
deformaciones. Es decir, el polín sigue deformándose sin
ponerle más peso hasta que súbitamente se colapsa.
Esta etapa la denominamos “plástica”.
Ahora bien, de todos los conceptos que podemos
deducir de la gráfica “esfuerzo-deformación” nos
interesan dos en especial: Resistencia y Ductilidad. Hoy
día se busca que los materiales estructurales, y por lo
tanto los elementos y sistemas, sean muy resistentes a
todas las fuerzas a que sean sometidas las estructuras
(carga viva, carga muerta, sismo, viento, hundimientos,
empujes, etc.) y por tanto a todos los esfuerzos que éstas
tengan que resistir (tensión, compresión, flexión,
cortante, torsión, etc.). Pero podemos encontrarnos con
materiales o sistemas estructurales muy resistentes pero
frágiles, es decir, que se colapsen súbitamente sin tener
un rango plástico considerable. Por lo tanto la ductilidad
de una estructura (material, elemento, sistema) es de
suma importancia, es decir, la capacidad de la estructura
para soportar grandes deformaciones antes del colapso.
Por ejemplo, si sometemos a flexión dos vigas, una de
concreto y la otra de acero, y diseñamos las secciones
de tal manera que tengan la misma resistencia última,
después de alcanzar esta resistencia el concreto
literalmente se partirá en dos mientras que el acero se
deformará pero no se partirá; es decir, es mu más dúctil.
6
ESFUERZO
DEFORMACIÓN
DUCTILIDAD
¿Cómo interpretamos esto en la gráfica de esfuerzodeformación? Entre más resistente sea un material
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
menos inclinada será la etapa elástica (recta) ya que
existirán menores deformaciones respecto al peso
(esfuerzo) aplicado. La inclinación de esta recta es lo que
conocemos como el módulo de elasticidad (E), entre
mayor sea el módulo de elasticidad mayor será la
resistencia del material estructural. Ahora bien, un
material también es dúctil entre más larga sea la etapa
plástica, es decir, más prolongada la curva en el eje de
las x, lo cual indica que el material permite tener
deformaciones durante más tiempo antes de colapsarse.
Estos tres conceptos los podemos ver ejemplificados en
el gráfico anterior.
Esfuerzo
Deformación
¿Cómo se presenta esto en un elemento estructural?,
lo podemos ver en los gráficos anteriores. Aquí podemos
ver cómo al someter una viga a un esfuerzo, la
resistencia la medimos entre mayor sea su distancia en
el eje de las y; pero también es muy importante la
deformación, es decir, la inclinación de la recta (E). La
deformación que sufra un elemento o sistema estructural
casi siempre se denomina como  (delta). Es mucho
mejor que un elemento estructural alcance su resistencia
máxima (punto más alto en la gráfica) con más pendiente
porque se entiende que en términos generales tiene
mejores condiciones de trabajo; y si esta deformación ()
es alcanzada en una distancia mayor en el eje de las x,
el elemento es más dúctil.
Las ecuaciones que más utilizamos para medir es
esfuerzo y la deformación son las siguientes:
Esfuerzo   f  
Fuerza   P  kg/cm2 (Pa)
Area   A
Deformació n    
E
Cambio  de  longitud  L  (Adim.)
Longitud  original  L 
L
Módulo  de  Elasticidad  E  
E
M
E
N
T
O
Estabilidad
Ductilidad
Esfuerzo   f 
kg/cm2 (Pa)
Deformación   
Ahora vamos a introducirnos a otro concepto muy
importante en el diseño estructural: la Estabilidad.
Podemos conseguir tener elementos resistentes y
dúctiles, lo cual nos trae como consecuencia una
estabilidad interna; pero no necesariamente externa. Esta
estabilidad externa, está más relacionada con el diseño
del sistema estructural, que con el dimensionamiento de
las secciones y la selección del material. Por lo cual
podemos ver que el diseño estructural implica el diseño
integral de los sistemas con los elementos y los
materiales estructurales como un todo. Continuando con
el mismo orden de ideas podemos ver que en un sistema
estructural la estabilidad interna de los elementos puede
ser buena, pero si no se encuentran articulados
apropiadamente el sistema será muy poco estable; por
otro lado, podemos tener sistemas internamente muy
bien articulados y resistentes, pero con puntos vitales mal
realizados (en este caso el empotre en el terreno) que
pueden hacer poco estable al sistema. Esto nos enseña
cómo el diseño estructural no se trata únicamente de las
7
grandes conceptualizaciones y el arte del diseño
estructural, sino también de los pequeños detalles.
Miguel Ángel lo expresó muy bien en su Gran Regla:
“Debemos poner todo nuestro empeño, toda nuestra
capacidad de trabajo, penoso y angustiado, en la
elaboración de cualquier obra que emprendamos y en
sus más ínfimos detalles, pero, para que el resultado final
pueda ser considerado como obra de arte, ha de
aparentar haber sido hecha sin ningún esfuerzo, como el
8
fruto de una inspiración juguetona y despreocupada.”
c) Acciones-Estructura-Respuesta
Para tener una muy clara comprensión del
comportamiento de las estructuras paso primordial
para poder diseñarlas tenemos que Caeentender muy
bien la tríada Acciones-Estructura-Respuesta, es decir,
que cualquier estructura está sometida a determinadas
acciones
exteriores
(sismo,
viento,
empujes,
hundimientos, temperatura, etc.) así como acciones
interiores (peso propio, peso de instalaciones y personas,
impactos, incendios, etc.) que la estructura tiene que
soportar dentro de los límites de seguridad y trabajo
permisibles; una buena estructura no es necesariamente
aquella que soporta las acciones satisfactoriamente, sino
aquella que sabe manejarlos de manera inteligente y
creativa. Para soportar estas acciones la estructura sufre
internamente esfuerzos que llamaremos primarios
(tensión, compresión, flexión, cortante y torsión) así como
derivados (flexocompresión, flexotensión, etc.).
8
CANDELA, Félix, “Dos nuevas iglesias en México”, en:
CANDELA, Félix, En defensa del formalismo, y otros escritos,
España 1980, edit. Xarait.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Todos estos esfuerzos internos provocados por acciones
externas e internas a la estructura inevitablemente se
manifiestan
en
respuestas
visibles
(flechas,
agrietamientos, daños o incluso el colapso). Pensar en
una estructura que no sufra deformaciones, flechas o
agrietamientos es algo utópico, siempre los sufren
aunque sean micrométricos, pero el buen diseñador
estructural está consciente de esto y diseña la estructura
de tal manera que estos daños o afectaciones sean
mínimas y no interfieran con la vida útil de la estructura.
La acción más simple es aquella que conocemos
como carga muerta, es decir el peso de la propia
estructura, pero esto no se refiere al “esqueleto” sino a
los pesos fijos del edificio, que algunas veces ej.
cuando el edificio está recubierto de precolados
superan el peso de la estructura (esqueleto); saber
determinar la magnitud de estos pesos fijos del edificio es
el primer paso en el buen diseño estructural. Para lo
anterior es necesario conceptualizar la estructura
“diacrónicamente” y no según las especificaciones de
planos o requerimientos del cliente. Una de las
experiencias que nos ha enseñado la historia de la
arquitectura es que solamente en pocos ejemplos los
edificios no cambian de uso, la mayor parte de los
edificios modernos cambian su uso. Supongamos un
caso práctico: un edificio de oficinas de 25 x 25 mts por
planta, es decir 625 m2, de acuerdo con los planos de
acabados se colocará un piso de loseta vinílica que pesa
35 kg/m2, estos significaría un peso por piso de 21.8 ton.
Pero, ¿realmente este va a ser siempre el acabado?, lo
más posible es que no, en el futuro el mismo dueño o
futuros propietarios pueden cambiar el uso y cambiar el
acabado por granito de 3 cm de espesor que pesa con
todo y el mortero para colocarlo 148.5 kg/cm2, lo que
significaría que ahora el acabado pesaría 92.8 ton, es
decir 70.93 ton más de lo que se calculó originalmente.
El buen diseñador debe prever los posibles cambios
en el uso de los edificios y los cambios de cargas fijas
que esto acarrearía. Por esta razón el diseñador
estructural debe ser un asiduo lector de la historia de la
arquitectura y la edificación, no para traer soluciones
estructurales del pasado, sino para ver cuáles son los
caminos cerrados, los errores que no debemos volver a
cometer, y cuáles las grandes vetas que se pueden
explotar. Con un ejemplo bastará: el subsuelo de la
ciudad de México se hunde constantemente por la
extracción de agua de sus mantos acuíferos, por tanto si
se estructuran cimentaciones con pilotes lo más seguro
será que dentro de poco tiempo sean la base real del
edificio donde los momentos y cortantes sísmicos son
máximos ya no será la original sino los delgados
“palitos” que tiene por pilotes los cuales no soportarán la
flexión y cortante en la base del edificio; por esta razón
muchos edificios se colapsaron en el sismo de 1985.
Pero cuántos de los diseñadores de estos edificios
sabían que Adamo Boari en el corto lapso que estuvo en
México (1899-1916) tenía registros detallados de los
hundimientos de la ciudad de México9.
Dentro de las acciones exteriores el sismo es quizá
una de las más importantes. El sismo en la mayor parte
de los reglamentos es considerado tan sólo como un
porcentaje del peso vertical que se aplica en forma
horizontal, pero la realidad va mucho más allá, es
fundamental el estudio de las características mecánicas
de los suelos debajo del edificio que se diseñará para
saber cómo se transmitirán las ondas sísmicas (onda P,
S, Love, Rayleigh), cómo serán los periodos, es decir la
duración y amplitud de onda. En la ciudad de México
influyen mucho las ondas de rebote que chocan con la
capa rocoso resistente y se transmiten hacia la superficie
provocando movimientos con formas verdaderamente
inesperadas; incluso prever la licuefacción del terreno.
Pero revisar que un edificio resista la fuerza sísmica
es a todas luces insuficiente, no podemos diseñar
edificios con cualquier forma y después poner las
secciones y armados que soporten las fuerzas sísmicas.
Por ejemplo, en un edificio mal configurado se pueden
presentar grandes torsiones, que estructuralmente
podemos solucionar con la cantidad y colocación
necesaria de refuerzo: pero no por eso deja de existir la
torsión, lo que en realidad estamos haciendo es
“remendando” una mala configuración arquitectónicasísmica. Por este motivo actualmente se habla de la
configuración sísmica de los edificios; es decir, tratar de
conciliar la forma arquitectónica con la sísmica para
evitar tener esfuerzos excesivos.
b) El centro de rigideces: toma en cuenta los
elementos estructurales verticales y todo el conjunto, es
decir, además de todas las piezas estrictamente
estructurales, abarca los elementos constructivos y todo
aquello que pueda condicionar o modificar la rigidez del
edificio.
c) El centro de masas: es el baricentro de las cargas
gravitacionales o verticales, y por tanto, su ubicación
dependerá de la distribución de las mismas.
Si estos dos últimos coinciden en el mismo punto se
entiende, de acuerdo con las leyes de la física, que a
cada acción le corresponde reacción de igual magnitud,
pero en sentido contrario; si el edificio se diseña bien
sísmicamente (cálculo) puede reaccionar de manera
simétrica ante el sismo. Pero si estos dos puntos no
coinciden, es decir, que por un lado tengamos el centro
geométrico del edificio, y por otro el centro resistente del
edificio; el sismo ataca al edificio (su resultante) por el
centro de masas, pero el edificio responde con su centro
de rigideces, la distancia entre estos dos puntos que son
dos fuerzas con sentido contrario, provoca un par
mecánico, que creará un momento torsionante de
grandes magnitudes. Pero esta lógica tiene que ser
tridimensional, porque nos podemos enfrentar a un
edificio que sea simétrico en planta pero no en alzado,
puede tener éste una masa enorme en la parte superior y
en la planta baja tener espacios abiertos y estar apenas
sobre sus columnas, lo que puede provocar volteo en el
edificio.
Veamos el ejemplo de la siguiente ilustración:
¿Pero cómo podemos entender esto? Muy fácil todos
los edificios tinen 3 centros:
a) El centroide: este toma en cuenta el baricento de
rigideces de los componentes estructurales verticales.
9
Ver: La Construcción del Palacio de Bellas Artes, México 1995,
edit. Siglo XXI-INBA, pp. 175 y 176.
8
Aquí tenemos un edificio con forma simétrica, cuyo
centride está marcado con el punto 1; pero este edificio
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
tiene un ducto de tamaño considerable a la izquierda,
que le resta masa (peso) a ese lado del edificio, por lo
cual el centro de masa está más a la derecha (marcado
con el punto 2) del centroide. La resultante de la fuerza
sísmica pasará por el eje sísmico que está sobre el
centro de rigideces, pero la reacción del edificio tiene su
resultante (con sentido opuesto) en el centro de masa; la
distancia entre estas dos líneas es lo que ocasiona el par
mecánico que provoca un enorme momento torsionante.
Exactamente por esto fue por lo que se colapsó el Banco
Central de Managua, Nicaragua, en el sismo de 1972.
Una solución a este problema sería crear una junta
constructiva de tal manera que el ducto quedara a la
mitad de un edificio.
Siguiendo con el análisis de las principales acciones
el viento constituye otra acción muy importante, en casi
todo el mundo se tienen registrados por regiones los
valores de diseño eólico, pero el viento, junto con otras
variables naturales deben ser tomadas con mucho
cuidado, debido a los cambios climáticos globales que se
están produciendo en todo el mundo. Recordemos que
ahora está granizando o nevando en regiones donde
nunca antes había sucedido y existen fenómenos
climáticos (el niño) que traen huracanes a lugares donde
nunca antes se habían presentado. Simplemente hay que
imaginarse el sobrepeso que puede significar una
granizada acumulada en una techumbre plana si ésta no
fue diseñada para esto. Y las Normas Técnicas
Complementarias (NTC) siguen considerando menor
carga viva para las techumbres. Por lo cual es
indispensable verificar los parámetros de cargas vivas y
fuerzas de vientos de países donde esas condiciones son
mas agrestes que en el propio.
Por lo tanto, en el diseño estructural hay que
considerar la simultaneidad de estos fenómenos y
diseñar la estructura para una combinación de éstos. Es
decir, las cargas muertas y vivas no dejan de existir
durante un sismo, y tampoco el viento. Por otro lado
existen otras acciones un poco más específicas de
determinados lugares y configuraciones específicas de
los edificios, como son los hundimientos generales o
diferenciales del terreno y los empujes de líquidos o
tierra.
se diseñan las secciones y se detalla la estructura; pero
como reiterábamos esta visión es a todas luces errónea,
no se debe diseñar únicamente para los esfuerzos sean
de cualquier magnitud, hay que tener la suficiente
creatividad para diseñar en conjunto, desde las acciones,
y las mejores formas globales para que afecten lo menos
posible. Y por otro lado estar concientes de la magnitud
de las respuestas (flecha, agrietamiento, etc.) y procurar
que éstas sean mínimas.
 Elementos espaciales
 Elementos resistentes de fachada o núcleos, en
general procuran que el edificio funcione como una
unidad.
d) Formas de estructuración
Conseguir una adecuada estructura de un edificio es
sencillo si partimos de los elementos esenciales de las
estructuras, a saber:
 Elementos lineales
 Columnas y Vigas. Son capaces de resistir fuerzas
axiales y torsionantes (también se incluyen aquí los
cables).
 Elementos Planos
 Muros. Puede ser sólido, con perforaciones, formado
por elementos triangulares (espaciales). Son capaces de
soportar cargas axiales y torsionantes. En general son
capaces de resistir cargas paralelas a su plano.
 Losas. Pueden ser sólidas o aligeradas, planas o
perimetralmente apoyadas; en general son capaces de
soportar cargas perpendiculares a su plano.
Ahora bien, a estas acciones el edificio responde
internamente con esfuerzos (tensión, compresión, flexión,
cortante, torsión) que toman una magnitud determinada.
De acuerdo con la magnitud de estos esfuerzos es que
9
La combinación de estos elementos generan la
estructura básica del edificio. Se pueden visualizar un
gran número de posibles soluciones, pero a continuación
sólo discutiremos los más comunes.
Dentro de los elementos lineales, tenemos en primer
lugar los elementos constituidos por cables. Los cables
son elementos que funcionan basicamente a tensión; y la
tensión es el esfuerzo estructural más puro, en términos
de que no existen excentricidades en la aplicación de la
carga, ni factores de esbeltez, por esa razón desde
principios del siglo XIX son utilizados estos elementos en
estructuras verdaderamente espectaculares, con cables
de un grosor casi ínfimo en relación con la magnitud de la
estructura, lo raro es que durante mucho tiempo esta
combinación de tensión-cables de acero no fue utilizada
para otras cosas; hasta la actualidad es cuando se
comienza su explotación en otro tipos de estructuras
como edificios con núcleos de concreto (que sirven como
muros a cortante) y entrepisos suspendidos por cables
de acero; hasta utilizaciones más modestas en escaleras
y mezanines colgantes.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Otra de las formidables aplicaciones de elementos
lineales es en sistemas de arcos. Aquí al contrario el
esfuerzo predominante es la compresión, por eso es que
históricamente fue el más utilizado para estructuras como
acueductos e iglesias. Los arcos siempre que sean de
medio punto reparten el esfuerzo vertical (90°) al terreno
y todo el elemento funciona a compresión pura, el
problema comienza cuando es rebajado (menor de medio
punto), así los esfuerzos se reparten diagonalmente, lo
cual crea una gran tendencia a abrirse en la base
(coceo), que en realidad son esfuerzos de tensión. Esto
en la antigüedad se solucionaba con contrafuertes que
contrarrestaran este esfuerzo diferencial, y a partir del
renacimiento con tensores que cierren el polígono de
fuerzas. Brunelleschi fue pionero de estas técnicas en su
famosa Cúpula de Santa Maria Fiore en Florencia (142036), donde colocó cadenas de hierro alrededor de la base
de la cúpula para detener los empujes. Actualmente esta
solución universal sigue siendo válida, inteligentemente
utilizada y muy económica, baste ver la obra de Carlos
Mijares en México, que ha utilizado el arco de tabique en
estructuras muy modestas hasta en grandes iglesias,
haciendo arreglos interesantes con ellos como las
famosas bóvedas de trompa de elefante, que están
compuestas por hileras de arcos rebajados cada vez más
pequeños, cuyo efecto estético es formidable. Otro
ejemplo formidable es la arquitectura de Eladio Dieste,
combinando el tabique y los cables de acero.
Aunque el material idóneo para funcionar a tensión es
el acero, la resistencia de la madera tampoco es
despreciable, pero por la baja resistencia de este material
al fuego, no se puede confiar la utilización de elementos
lineales como estructurantes básicos en un edificio,
aunque su uso en armaduras (que funcionan a tensión y
compresión) es bastante utilizado. El concreto tiene una
resistencia casi despreciable a la tensión, aunque el
acero de refuerzo que contiene tiene una alta resistencia
a la tensión, lo cual ha hecho que existan algunos
tirantes de concreto en estructuras de tamaño
considerable.
El primer arreglo fundamental que se puede realizar
con elementos lineales son los denominados “arreglos
triangulares” donde se combinan elementos a tensión y
a compresión. Las armaduras son el ejemplo más
popular de este tipo de arreglos. La ventaja de las
armaduras es que reparten todo el peso de una
estructura a través de esfuerzos de compresión y
tensión; como los elementos a compresión son muy
cortos, las relaciones de esbeltez son despreciables así
como los posibles pandeos, esto, siempre y cuando el
10
peso se coloque sobre los nodos de los arreglos
triangulares; cuando no es así, como en el caso de
armaduras que se utilizan a modo de vigas, se producen
ciertos esfuerzos de flexión pero son muy reducidos por
lo corto de los elementos que de inmediato procuran
repartir los esfuerzos a tensión y compresión. La
utilización de las armaduras a modo de vigas (aunque no
funcionan a flexión y cortante) empieza a ser muy
popular ya que se requiere mucho menos material y
peralte de los elementos, lo cual trae un ahorro
considerable en la construcción. De las armaduras se
derivan otros elementos también muy utilizados como
son las tridilosas popularizadas en México por el Ing.
Heberto Castillo, cuyo funcionamiento es muy similar al
de la armadura, pero en lugar de hacerlo como elemento
plano lo hace tridimensionalmente. La otra gran
utilización de los arreglos triangulares son las llamadas
estructuras geodésicas, popularizadas por Richard
Buckminster, que pueden cubrir claros enormes; pero
esa se ha convertido en su principal limitación
arquitectónica, que solamente puede ser utilizada en una
serie muy limitada de proyectos, sobre todo aquellos que
tienen como función principal salvar un gran claro, como
espacios deportivos o para espectáculos.
El segundo arreglo fundamental que se puede lograr
con los elementos lineales, es lo que denominamos como
marco (viga y columna). El arreglo más simple y aquel
que históricamente ha sido el más utilizado es el de
poste y dintel, es decir, el colocar un elemento
horizontal (viga o dintel) sobre otros dos verticales
(columna o poste). Que fue históricamente el sistema
más utilizado, sobre todo en las viejas civilizaciones, pero
para poder dar estabilidad al sistema los miembros
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
tenían que ser muy pesados, para no ser afectados por
los sismos.
con madera, barro armado con varillas, barro con
botellas, etc.) que pueden tener grandes propiedades
térmicas y adaptarse a los materiales del lugar y la
economía de los habitantes.
El marco rígido es el sistema estructural más común
en las estructuras modernas. Sus ventajas radican no
sólo en su buena eficacia estructural, sino sobre todo en
que ocasiona una mínima interacción con el
funcionamiento de la construcción; y una de las mayores
limitaciones de los marcos rígidos es su excesiva
flexibilidad ante cargas verticales (sismo y viento); esto
se procura solucionar haciendo más rígidas las
articulaciones o incluso recurriendo a la triangulación de
alguna crujía por medio de diagonales de contraventeo.
Asimismo la transmisión de momentos sísmicos es
muy elevada en los marcos, por lo cual se procura, en la
actualidad, poner elementos resistentes a sismo dentro
de las estructuras; los más comunes son los muros a
cortante, es decir muros de concreto, con un altísimo
momento de inercia que tienen la habilidad de absorber
casi todos los momentos sísmicos y dejar a los marcos la
distribución de las cargas verticales únicamente.
Evidentemente los marcos tienen la desventaja de que
entre más altura tenga el edificio las secciones son más
robustas, por lo cual en edificios de altura considerable
son preferibles los marcos de acero.
El primer y principal sistema formado por elementos
planos es el de muros como elementos de carga (muros
de carga). La desventaja es la relativa poca resistencia
de los muros de mampostería (los más utilizados) para
cargas de compresión (aunque es el esfuerzo que mejor
resisten) por eso entre más alto sea el edificio los muros
tienen que ser cada vez más robustos, por lo cual y por
su economía son los elementos utilizados por
excelencia en las casas habitación y edificios de poca
altura, ya que además su resistencia sísmica es
sorprendente por la cantidad de masa en planta que
ocupan. Así es altamente recomendado, en sistemas de
muros de carga, que éstos estén perfectamente unidos
en todas las direcciones para soportar mejor los sismos,
cualquiera que sea la dirección que tenga el sismo. Otro
concepto que ha empezado a surgir es el de muros
habitables, es decir, no hacer muros rectos sino
zigzagueantes formando closets, camas ocultas, ductos
de instalaciones, etc, para que el muro funcione como
una placa doblada y aumente considerablemente su
momento de inercia sísmico. Además existe una cantidad
considerable de materiales con los cuales se pueden
hacer muros de carga (adobe, block macizo, block hueco,
tabique de concreto, tabique de arcilla, piedras naturales,
bambú, madera, concreto ligero, etc) con una variedad
muy interesante de sistemas constructivos (barro armado
11
Dentro de los elementos planos los sistemas de losas
son junto con los muros los más utilizados.
Estructuralmente existen dos tipos de losas: las planas y
las perimetralmente apoyadas. Las primeras son las
que se apoyan directamente en las columnas pero la
enorme desventaja que tienen es que no logran formar
marcos rígidos entre ellas por lo cual sísmicamente son
sistemas muy inestables, debido a que las columnas no
trabajan juntas y al gran esfuerzo de punzonamiento que
ejercen sobre la losa. La mayor parte de edificios con
este sistema se colapsaron en la ciudad de México en el
sismo de 1985, por lo que no es un sistema muy
recomendado. Sin embargo, el sistema de losas
perimetralmente apoyadas tienen ventajas mucho
mayores, de inicio se necesitan secciones mucho más
pequeñas ya que no tienen ningún esfuerzo de
punzonamiento y no interfieren con el comportamiento de
los marcos, incluso pueden aminorar torsiones verticales
en el edificio funcionando como losas-diafragma. Esto es
independiente del sistema constructivo (aligeradas,
macizas, losacero, etc.).
Izquierda. Losa Plana. Es el tipo más elemental de losa, que Le
Corbusier popularizó con la Casa Dominó, el problema que
presenta es el enorme cortante (punzonamiento) que producen
las columnas y las losas, y, en zonas sísmicas la poca
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
interacción inercial entre las columnas para trabajar
lateralmente. Derecha. Losa Perimetralmente Apoyada. Si
apoyamos todo el perímetro de la losa en trabes y/o muros, el
cortante en la losa es casi despreciable y trabaja prácticamente
a flexión. Podemos colocar vigas secundarias para hacer los
tableros más pequeños.
Izquierda. Losa Plana con Ábaco y/o capitel. Para solucionar
el punzonamiento de las columnas se puede partir de trabajar
las zonas de cortante con el peralte indicado y rebajar el resto
del peralte de las losas (ábaco), o trabajar el peralte normal de la
losa y acrecentar el peralte en la zona de punzonamiento
(capitel). Derecha. Losa reticulada. Si las trabes intermedias se
colocan a poca distancia entre sí, los tableros prácticamente
desaparecen, y como las trabes cargan menor área, el peralte
de las trabes disminuye significativamente.
La otra gran utilización de los elementos planos es la
que se refiere a las estructuras de cascarón y las placas
dobladas. Éstas son estructuras sorprendentemente
resistentes y muy económicas. El principio estructural
básico al que sus formas se refieren es precisamente el
acudir a formas que estructuralmente aumenten la
resistencia creando pares mecánicos resistentes
increíblemente grandes; por lo cual las secciones
necesarias para cubrir estas estructuras son reducidas al
mínimo constructivo. Félix Candela hizo cascarones de
2.5 cm de espesor, como en el caso del Pabellón de
Rayos Cósmicos en la Ciudad Universitaria de México.
Una simple curvatura en una estructura laminar (losa)
rigidiza enormemente su forma, al convertir los esfuerzos
de flexión de las estructuras planas, principalmente en
tensión y compresión en las curvas (aunque se presentan
momentos en los bordes que son casi siempre muy
pequeños).
Las curvas continuas en estructuras pueden funcionar
como arcos o bóvedas dípteras (bóvedas-viga), aunque
este tipo de estructuras presentan grandes tensiones en
los bordes que eventualmente pueden provocar su falla
en vista de que son superficies desarrollables; este
problema puede ser solucionado con superficies de
doble curvatura (no desarrollables) como son los
paraboloides hiperbólicos, que a su vez pueden formar
otros sistemas más complejos como los paraguas de
cuatro paraboloides hiperbólicos hechos por Candela
en México y difundidos en todo el mundo. La utilización
de este tipo de estructuras ha decaído en los últimos
años debido al sofisma económico del supuesto
exagerado costo de la cimbra, pero la desfavorable
relación resistencia-peso del concreto en estructuras
tradicionales (planas, marcos) medianas y grandes hacen
que las secciones utilizadas sean exageradas y anula
esta pretendida ventaja. El sobrecosto de la cimbra en un
cascarón es mucho menor que el sobrecosto del
concreto en una estructura equivalente del mismo claro.
12
El tercer gran elemento que mencionamos es el que
se refiere a elementos espaciales. Aquí nos referimos
principalmente a elementos resistentes de fachada o
núcleos. La última tendencia estructural pretende hacer
edificios cada vez más rígidos ante las cargas verticales;
aun en edificios de mediana y poca altura. Principalmente
esto se refiere a tres sistemas: a) núcleo resistente, b)
fachada resistente, c) tubo en tubo. El sistema de
núcleo resistente se refiere a crear en el centro del
edificio un núcleo de muros de concreto (casi siempre
utilizados para alojar instalaciones, elevadores, escaleras
y núcleos de baño) que funcionen a cortante. Estos
elementos absorben todos los esfuerzos sísmicos y
permiten que el sistema estructural soporte casi
exclusivamente las cargas verticales lo cual libera a la
estructura de grandes momentos, los claros pueden ser
más grandes y la estructura más ligera. La fachada
resistente, se refiere al mismo concepto, pero formando
núcleos resistentes en la fachada, que traen las mismas
ventajas, nada más que de afuera hacia adentro. El
sistema de tubo en tubo, implementa los dos sistemas
antes vistos, es decir, la construcción de un núcleo
central resistente, interactuando con un núcleo exterior
resistente de fachada, este sistema no requiere, por lo
regular, de columnas intermedias, y ha sido por lo
general utilizado en edificios de gran altura, por lo cual a
continuación presentamos dos gráficos comparativos de
edificios de gran altura respecto a los sistemas
estructurales utilizados en concreto y acero y la altura
que pueden alcanzar:
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Llamamos piel envolvente, al caso opuesto, cuando la
piel envolvente del edificio se encuentra en el exterior y la
estructura se retrae, al igual, la mayor parte de los casos,
la misma estructura soporta la piel exterior. Existen
muchos ejemplos de edificios que utilizan este sistema
(abajo).
Llamamos exoesqueleto, cuando la estructura esta
expuesta al exterior, y por tanto la envolvente del edificio
(piel) esta retraida. Por lo regular la estructura sirve
también de apoyo para la piel interna. El edificio George
Pompidou (abajo) fue uno de los más importantes
paradigmas del exoesqueleto
e) La estructura y la envolvente del edificio
Dentro del diseño estructural, es también muy importante
considerar la relación que tendrá, o puede tener la
estructura con la piel o envolvente del edificio, en
términos generales, podemos habbar de las siguientes
relaciones:
Llamamos Piel estructural cuando se da alguno de los
dos sigioentes casos: a) el cerramiento (piel) y la
estructura están integrados en un mismo sistema, o b) la
estructura es al mismo tiempo cerramiento como en el
caso de las tensoestructuras o los cascarones
13
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
En el caso de la fotografía
de la derecha, podemos
apreciar un ejemplo de la
integración de la
estructura con el sistema
de cerramiento den un
edificio de considerable
altura.
En los ejemplos inferiores, podemos ver el segundo caso
de la piel estructural, cuando la estructura es al mismo
tiempo la envolvente del edificio.
Por supuesto que también se puede diseñar
combinaciones de los tres sistemas básicos presentados,
en un mismo edificio, lo cual puede resultar en
estructuras muy interesantes y estéticas (ejemplos
inferiores).
f) El proceso de diseño y cálculo
estructural
El diseño y cálculo estructural se encuentra
dialécticamente entrelazado (o así debe ser) con el
proyecto ejecutivo general, ya sea que que se trate de un
proyecto donde la estructura cumpla la función principal
(ej. puente), o un rol mas modesto, pero siempre de vital
importancia. Por esta razón, definiremos brevemente el
los entregables de un proyecto, y la parte que juega el
diseño y cálculo estructural.
realizar revisiónes exhaustivas, pulir todos los detalles, y
trabajar en la presentación de los planos y memorias.
Planos preliminares: Son bocetos o trazos iniciales para
definir las primeras ideas y permitir que el proyectista
pueda interpretar adecuadamente lo que se quiere
construir. Con un proyecto a este nivel se analizan las
primeras corridas financieras, la factibilidad del proyecto,
la configuración sísmica (geometría), el sistema
estructural y las primeras cargas generales.
Planos de modificaciones: Durante el desarrollo de la
obra puede ser necesario hacer distintas modificaciones,
que deben quedar plasmadas en la bitácora de obra, y
actualizar los planos del proyecto ejecutivo.
Esta etapa es quizá la más importante, aquí debe
existir una plena comunicación entre el diseñador y el
estructurista, o entre este último y los demás integrantes
del proyecto. En esta etapa debe quedar plenamente
materializada la estructura, su sistema general y todos
sus subsistemas. Para lograr este objetivo el estructurista
debe interpretar correctamente todos los requerimientos
y especificaciones del proyecto (o la licitación), así como
todos los estudios previos necesarios. Al igual, requiere
dela mayor creatividad y experiencia del estructurista,
pues los posteriores cálculos no deben modificar lo aquí
estipulado.
Planos de anteproyecto: Son planos con mayor grado
de detalle, generalmente utilizados para integrar los
proyectos de diseño de cada una de las partes que
intervienen (diseño e ingenierías). Con un proyecto a
este nivel, se realizan las corridas financieras, la
factibilidad económica, y se revisa en función de la
normatividad vigente, para realizar las últimas
actualizaciones y correcciones.
En esta etapa se realiza el cálculo estructural
completo, y se realizan los planos del proyecto
estructural. En vista de que la estructura representa una
parte mayoritaria del presupuesto global de un proyecto
(en la mayoría de los casos), es indispensable la
precisión para que las corridas financieras arrojen
números reales.
Planos del proyecto ejecutivo: Son los planos que ya
incluyen el proyecto completo para dar inicio a los
trabajos reales de construcción, y deben ser los que
autorice y firme el perito y sus colaboradores, para
tramitar las licencias y autorizaciones de construcción.
Estos planos deben estar en la obra para verificar su
concordancia con los trabajos realizados.
En la etapa anterior ya esta definido el proyecto y
cálculo estructural, por lo cual, aquí se aprovecha para
14
Si las modificaciones durante la ejecución de la obra,
incluyen modificaciones a la estructura, es el estructurista
quien debe evaluar su pertinencia y validez, así como
efectuar las modificaciones a los planos pertinentes.
Planos definitivos (As Bilt): Estos planos se elaboran
cuando la obra se termina. Se elaboran integrando los
planos de modificaciones en los planos del proyecto
ejecutivo, y son los planos que deben anexarse al aviso
de terminación de obra.
Memoria de cálculo: Documento en el cual se
describirán, con el nivel de detalle suficiente para que
puedan ser evaluados por un especialista externo al
proyecto, los criterios de diseño estructural adoptados y
los principales resultados del análisis y el
dimensionamiento. Se incluirán los valores de las
acciones de diseño y los modelos y procedimientos
empleados para el análisis estructural. Se incluirá una
justificación del diseño de la cimentación, y de los demás
documentos especificados en los reglamentos y normas
aplicables.
Proyecto estructural: Son los planos debidamente
acotados, con especificaciones que contengan una
descripción completa y detallada de las características de
la estructura incluyendo su cimentación. Se especificarán
en ellos los datos esenciales de diseño como las cargas
vivas y los coeficientes sísmicos considerados, y las
calidades de los materiales. Se indicarán los
procedimientos de construcción recomendados, cuando
estos difieren de los tradicionales. Deberán mostrarse en
planos los detalles de conexiones, cambios de nivel y
aberturas para ductos. En particular, para estructuras de
concreto se indicarán mediante dibujos acotados los
detalles de colocación y traslapes de refuerzo de las
conexiones entre miembros estructurales. En estructuras
de acero se mostrarán todas las conexiones entre
miembros, así como la manera en que deben unirse
entre si los diversos elementos que integran un miembro
estructural. Cuando se utilicen remaches o tornillos se
indicará su diámetro, número, colocación y calidad, y
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
cuando las conexiones sean soldadas se mostraran las
características completas de la soldadura; éstas se
indicarán utilizando una simbología apropiada y, cuando
sea necesario, se complementará la descripción con
dibujos acotados y a escala. En caso de estructura de
elementos prefabricados, los planos deberán indicar las
condiciones que estos deben cumplir en cuanto a su
resistencia y otros requisitos de comportamiento. Deben
especificarse los herrajes y dispositivos de anclaje, las
tolerancias dimensionales y procedimientos de montaje.
Deberán indicarse los procedimientos de apuntalamiento,
erección de elementos y conexiones de una estructura
nueva con otra existente. En los planos de fabricación y
en los de montaje de estructuras de acero o de concreto
prefabricado, se proporcionará la información necesaria
para que la estructura se fabrique y monte de manera
que se cumplan los requisitos indicados en los planos
estructurales.
A continuación describiremos el proceso del Diseño y
cálculo estructural.
1. BASES DE LICITACIÓN. Estas son necesarias si se
trata de una obra pública, y se tendrá que licitar el
proyecto estructural. En las bases de licitación casi
siempre se especifican los alcances del proyecto, y los
requisitos de las empresas licitantes.
2. ESTUDIOS PREVIOS. Estos son indispensables para
el desarrollo del proyecto estructural, son de muy diversa
naturaleza, y su elección depende de las características
del proyecto, y de las características del lugar donde se
realizará el proyecto. Un estudio previo nunca representa
un sobre costo, ya que proporciona información muy
valiosa para la correcta ejecución del proyecto
estructural. Algunos ejemplos de estudios previos son los
siguientes:








Agrología
Desarrollo pecuario
Hidrología
Mecánica de suelos
Sismología
Topografía
Geología
Geodesia









Geotecnia
Geofísica
Geotermia
Oceanografía
Meteorología
Aereorotogrametría
Ambientales
Ecológicos
Ingeniería de tránsito
3. MEMORIA DE CÁLCULO ESTRUCTURAL Y
DESCRIPTIVA. En un apartado anterior ya se definío el
concepto de Memoria de cálculo. A raíz que las corridas
computacionales de los análisis y cálculo estructurales
son por lo rregular muy voluminosas, se ha popularizado
la elaboración de Memorias Descriptivas, donde se
incluyen y describen los datos y procedimientos
generales, con el detalle suficiente para poder ser
evaluadas y reproducidos por un especialista externo. Y
en la Memoria de Cálculo, se anexan además las
corridas computacionales. Los elementos que debe
contener la Memoria Descriptiva son los siguientes
a) Datos generales
Ubicación geográfica del proyecto, regionalización
sísmica, regionalización eólica, regionalización
geotécnica y características del proyecto
arquitectónico.
b) Estudios previos
Estudio de mecánica de suelos, donde se obtendrán
las propiedades mecánicas del suelo, la resistencia
del suelo a considerar, la clasificación del suelo, y las
recomendaciones sobre el tipo de cimentación.
c) Marco legal
Reglamentos y Normas Técnicas a utilizar, Normas
Oficiales Mexicanas y Normas Mexicanas a utilizar, y
referencias de investigaciones, etc.
d) Definición de las características de la estructura.
Definición de geometría en planta, Definición de
geometría en elevaciones, Revisión de formas
regulares y simétricas, Propuesta del Sistema
Estructural.
e) Definición de los elementos estructurales portantes.
f) Definición de los sistemas de piso.
g) Definición de los materiales estructurales.
h) Definición de las uniones entre los elementos
estructurales.
i) Definición de elementos no estructurales y la fijación de
los elementos no estructurales.
j) Definición de la cimentación.
k) Definición de los datos sísmicos:
Coeficiente sísmico a utilizar (Cs), factor de
comportamiento sísmico (Q), Periodo Fundamental de
Vibración (T), coeficiente de reducción sísmica (Q´),
coeficiente sísmico reducido, y espectro sísmico.
l) Análisis de las cargas y pesos en la estructura
Cargas muertas y vivas, peso de entrepisos y azoteas,
peso de elementos estructurales más representativos.
15
m) Factores de carga a utilizar
n) Combinaciones de carga a utilizar en el análisis
o) Datos con los que se alimenta el análisis del software:
i) Modelar la estructura, o sea idealizar la estructura
real por medio de un modelo teórico factible de ser
analizado con los procedimientos de cálculo
disponibles
ii) Coordenadas geométricas de los nodos de la iii)
estructura.
iv) Condiciones de empotramiento (nodos empotrados
y tipo de empotramiento).
v) Materiales considerados para las barras.
vi) Propiedades geométricas de las barras.
vii) Resistencia y propiedades mecánicas de las
barras (límite de fluencia, módulo de elasticidad,
momentos de inercia, etc.).
viii) Magnitud, ubicación y características de los pesos
en las barras.
ix) Combinación de pesos considerados.
x) Factores de carga considerados.
xi) Centro de inercia sísmico.
xii) Dirección sísmica considerada.
xi) Método de análisis considerado (Primer orden,
Segundo orden, Efectos P-Delta).
xiii) Principales resultados obtenidos (momentos,
cortantes, axiales, etc.).
xiv) Verificación del cumplimiento de la resistencia de
los esfuerzos obtenidos.
p) Dimensionamiento de los elementos estructurales (y
todos sus componentes).
q) Cálculo de la cimentación (y todos sus componentes).
r) Cálculo y detallado de las conexiones.
s) Especificaciones de materiales, elementos,
procedimientos y tolerancias.
4. PROYECTO ESTRUCTURAL. Este consta de los
planos estructurales en sus diferentes modalidades:
Planos del Anteproyecto, Planos del Proyecto Ejecutivo;
Planos de Modificaciones, y Planos Definitivos o As Bilt.
5. LICENCIAS Y PERITAJES. Dependiendo de la
complejidad, tamaño del edificio, y lo dictado por las
normas y reglamentos locales, el proyecto estructural
requerirá para la obtención de su licencia y permisos de
diferentes peritos especialistas. Es apropiado que dichos
especialistas esten al tanto del desarrollo del proyecto,
para evitar reformular partes importantes de lo ya
realizado.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
PREMISAS FUNDAMENTALES:
g) Consideraciones sísmicas en el diseño
estructural
Todas las personas involucradas en el proyecto, diseño y
realización del entorno físico construido debemos estar
perfectamente concientes de que vivimos en un mundo
vivo y en constante movimiento y transformación
(Parménides), lo que implica que los movimientos
telúricos son un hecho natural, y no necesariamente un
desastre; nosotros hacemos que sean desastres. Un
edificio debe ser seguro (firmitas Vitruvio), entre muchas
otras
funciones
o
valores
esenciales,
pero
independientemente de las teorías de la arquitectura,
siempre es reconocida la seguridad como algo primordial.
Centro de Gravedad: La fuerza gravitatoria actúa entre
dos pedazos de materia cualquiera e intenta juntarlos.
Cada partícula de materia del universo esta atrayendo
cada una de todas las demás partículas de materia,
simplemente porque la atracción gravitatoria es una
propiedad inherente de la materia. La gravitación no es
una atracción en un solo sentido. Es mutua: cada cuerpo
atrae al otro. Y cuanta más masa tenga un cuerpo
(cuantas más partículas contenga), mas fuerte será su
fuerza de atracción acumulada
Cada partícula de materia
de nuestro planeta está
atrayendo
(y
siendo
atraída por) todas las
demás partículas. Una
partícula que está a sólo
unos pocos metros de
profundidad está siendo
tirada hacia abajo por
muchas mas partículas
que tiran de ella hacia
abajo, porque hay muchas
más partículas debajo que
encima de ellas.
c) El centro de masas: es el centro de las cargas
gravitacionales o verticales, y por tanto, su ubicación
dependerá de la distribución de las mismas. Toma en
cuanta básicamente los entrepisos, muros no
estructurales y elementos de fachada no estructurales
también, así como equipo, cisternas, etc.
El centroide de secciones compuestas (compuestas por
formas estándar), se puede calcular usando las
siguientes ecuaciones:
 Ax
A
 Ay
y
A
x
Para la distancia de “x” al centroide en
la dirección horizontal
Para la distancia de “y” al centroide en
la dirección vertical
Nota: Cuando se trata del centroide de masas, se toma
el área de los entrepisos y azoteas (ya que constituyen el
95% del peso del edificio), y cuando se trate del centroide
de rigideces, se toma el área de los elementos
estructurales exclusivamente.
Lo mismo puede decirse de todas las partículas que
tienen más materia debajo de ellas que encima suyo, y,
por lo tanto, todas son atraídas hacia abajo. ¿Hacia abajo
adónde? Hacia el único lugar que tiene la misma
cantidad de materia alrededor de él en todas direcciones:
el centro de la tierra. De este modo, la Tierra actúa como
si tuviera sólo un punto hacia el cual atrae todo por
gravitación: su centro de gravedad.
a) El centroide geométrico: es el centro de la forma
geométrica del edificio, sin considerar las diferencias en
densidad, masa o resistencia de la estructura, solo el
volumen geométrico
b) El centro de rigideces: es el centro únicamente de
los elementos estructurales portantes (columnas, muros,
contraventeos, etc.). Se obtiene su ubicación en los ejes
x e y como el cociente de la suma todos los productos del
área de cada elemento estructral por su distancia en el
eje, entre la suma tutal de tadas las áreas de los
elementos estructurales.
16
En este gráfico, podemos resumir las recomendaciones
básicas de las NTC para realizar estructuras “Regulares”, en
donde los efectos de las fuerzas laterales ejercen esfuerzos muy
controlables. Además recomienda que ningún nivel sea 30%
menor al anterior, ni 10% mayor al siguiente. Si algunas de estas
recomendaciones no se cumplen, entonces se deben tomar
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
medidas estructurales especiales para rigidizar la estructura y
minimizar posibles daños.
una casa habitación no tiene problemas sísmicos muy
graves debido a su tamaño y altura pequeña, respecto a
la cantidad de muros de carga que aumentan mucho el
momento de inercia total, y a que los claros son
relativamente pequeños. Aunque esto no significa dejar
el diseño sísmico a la deriva, si se pueden cometer
algunas imprecisiones en la configuración. Galileo Galilei
mencionaba: “.ni la naturaleza puede producir árboles de
tamaño extraordinario porque sus ramas se quebrarían
bajo su propio peso; así mismo sería imposible construir
las estructuras óseas de los hombres, caballos u otros
animales de tal modo que se mantuvieran unidas y
desempeñaran sus funciones normales, si la altura de
estos animales aumentara enormemente; este aumento
de altura se podría lograr sólo empleando un material
más duro y fuerte que el usual, o mediante el aumento
del tamaño de los huesos, cambiando así su forma.”
En el gráfico anterior, podemos ver un caso en donde no se
cumplen las condiciones de regularidad de las NTC, ya que el
momento de inercia de las columnas inferiores, es mayor de
50% respecto a las superiores por lo cual se incluyeron los
contraventeos.
En el siguiente apartado vamos a desarrollar el
análisis de 21 conceptos muy importantes en la
10
configuración sísmica de los edificios , estos conceptos
deben ser tomados en cuenta no únicamente por los
diseñadores y calculistas estructurales, sino también por
el arquitecto diseñador del proyecto, ya que su inteligente
aplicación disminuye, en primera instancia, los esfuerzos
sísmicos en los edificios. Pero sin que esto sea un
impedimento a la creatividad estilística-formal, sino por el
contrario, un aliciente que aumente la creatividad de los
diseñadores para hacer edificios estéticos y seguros.
La Regularidad estructural y constructiva se refiere a
procurar la coincidencia del centro de masas con el
centro de rigideces en los edificios, y por tanto se cumple
la 3ª Ley de Newton sin provocar grandes problemas.
Para posibilitar esto es condición necesaria que los
elementos estructurales y los constructivos procuren la
simetría tridimensional. Para lograr esto, por tanto es
necesaria una distribución geométrica tridimensional de
las masas de la estructura y de todos los elementos
resistentes.
Al igual que en muchas otras ilustraciones, en las fotografías
superiores podemos ver dos edificios muy famosos que distan
mucho de tener una regularidad estructural (mas el de la
derecha), pero no se encuentran ubicados en zonas sísmicas
(Nueva York y Bilbao) por lo cual los problemas derivados de
este hecho son mínimos. Lamentablemente la influencia en el
diseño arquitectónico de imágenes similares es muy alta, y no se
considera que las circunstancias locales son determinantes para
la morfología arquitectónica de cualquier edificación.
En el gráfico anterior podemos ovservar los criterios que toman
las NTC para una estructura regular: el lado mayor y la altura no
deben ser mayores de 2.5 veces el lado menor del edificio. En
cuanto el edificio crece vertical u horizontalmente y supera estas
relaciones, tenemos tenemos un indicador que se deben tomar
medidas y/o consideraciones especiales para la estructuración
del edificio.
1. Escala, regularidad estructural y configuración
compacta de volúmenes. La escala de un edificio se
refiere a la relación del tamaño del edificio, respecto al
tamaño de su estructura y sus componentes
estructurales. Se entiende, en términos generales, que
10
Para ampliar esta información se puede consultar: Arnold,
Christopher, et. al., Configuración y diseño sísmico de edificios,
México 1995, edit. Limusa, y Perlés, Pedro, Temas de
Estructuras Especiales, Buenos Aires 2003, edit. nobuko
cuyas configuraciones formales son muy diferentes, pero que
muy bien pueden entrar dentro de la envolvente de proporciones
estructurales regulares, lo cual confirma que no es una limitante
formal, sino una recomendación importante para el diseño.
En las fotografías superiorespodemos observar dos edificios
17
La configuración compacta de volúmenes se refiere a
cuando los edificios son muy largos es muy probable que
se presenten severas diferencias entre la respuesta del
edificio al sismo, y la magnitud y/o dirección del mismo.
Es muy difícil que una estructura grande (larga, alta, etc.)
actúe como un conjunto ante un evento telúrico. Lo cual,
provoca necesariamente torsiones. Asimismo, si el
edificio esta compuesto de cuerpos en diferentes
direcciones, las partes responderán diferencialmente. Por
lo cual, se recomienda subdividir los edificios (con juntas
constructivas)
en
volúmenes
compactos
e
independientes. De no ser posible, se recomienda reducir
la proporción de los cuerpos salientes para hacerlos más
compactos, acorde con el siguiente gráfico:
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Distancia máxima entre juntas de expansión
Distancia máxima entre
Tipo de Estructuras
juntas en mts.
Estructuras Estructuras
protegidas
expuestas
Marcos de concreto
50
30
reforzado
Estructuras prefabricadas
60
40
Estructuras de concreto
40
25
ligero
En este gráfico podemos apreciar diversas morfologías
arquitectónicas, y cuáles son los límites que deben tener estos
para minimizar las desventajas inerciales de cualquier parte, en
el momento en que algún cuerpo sobrepasa estos límites, es
recomendable utilizar una junta constructiva. Es muy importante
recordar que estas formas se deben entender como envolventes
proporcionales, no como limitantes para el diseño.
En el gráfico superior podemos observar la utilización de juntas
constructivas para una diversidad de circunstancias. Como se
puede apreciar, se procura siempre tener volúmenes compactos,
evitar las esquinas, y procurar no tener juntos volúmenes largos
perpendicales estre ellos, en vista de que la resistencia inercial
es muy favorable en el sentido largo de los cuerpos, lo cual
implica un correcto funcionamiento de uno respecto al otro. A
continuación se presenta una tabla de distancias recomendadas
entre juntas constructivas.
Es muy importante entender esta tabla como parámetros
generales, y tener muy presente las configuraciones de las
recomendaciones anteriores, en las cuales se puede requerir de
juntas constructivas en distancias mucho menores que las aquí
indicadas.
En el gráfico superior podemos ver las proporciones que marcan
la NTC para considerar una estructura como regular. Es
importante considerar que dichas recomendaciones son para
una de las zonas sísmicas mas peligrosas del mundo, y que por
tanto, estas proporciones se pueden ir relajando, conforme la
sismicidad de la zona disminuya .Esto de ninguna manera es
una limitante para el buen diseño arquitectónico, y no es
sinónimo de aburrimiento como vemos en el gráfico inferior. Es
correcto visualizar las proporciones que marca el gráfico
superior (así como las recomendaciones de los siguientes
gráficos) como una envolvente dentro de la cual podemos
realizar diseños con una relativa certeza estructural, en el
momento en el que el edificio se sale de esta envolvente virtual
debemos comenzar a visualizar que la estructura debe jugar un
papel mas predominnate en el diseño arquitectónico o que se
deben tomar medidas y/o consideraciones estructurales
especiales, como incluir elementos rigidizadores.
En el gráfico superior podemos observar en otro esquema, la
utilización de juntas constructivas. En este caso, tenemos un
edificio bastante largo y bajo que necesita estar separado
estructuralmente de un edificio alto y esbelto. Es evidente que
estos dos cuerpos tendrán diferente periodo sísmo en diferentes
direcciones. Al igual, existe otro cuerpo largo en la parte tracera,
unido con el cuerpo delantero, por un pequeño cuerpo
trasnversal a estos. Como este cuerpo de unión es
perpendicular a los cuerpos que une, debe ser una unidad
estructuralmente independiente, ya que su momento de inercia,
es mayor es su dirección larga, la cual es menor en los cuerpos
largos.
18
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
En las imágenes superior e inferior podemos observar dos
configuraciones morfológicas comunes: en cruz y en L. La
recomendación en el diseño sísmico nos dice que los cuerpos
salientes (del cuerpo principal) no deben ser mayores del 15%
del largo total, cuando esto es así, las diferencias en la
resistencia inercial de cada cuerpo no provocan momentos
torsionantes peligrosos para la estructura. Cuando se exceda
este límite, entonces el contacto entre los dos cuerpos debe ser
solucionado por medio de juntas constructivas.
En las imágenes superior e inferior podemos observar dos
configuraciones morfológicas comunes: en T y en I. La
recomendación en el diseño sísmico nos dice que los cuerpos
salientes (del cuerpo principal) no deben ser mayores del 15% y
el 20% del largo total respectivamente, cuando esto es así, las
diferencias en la resistencia inercial de cada cuerpo no provocan
momentos torsionantes peligrosos para la estructura. Cuando se
exceda este límite, entonces el contacto entre los dos cuerpos
debe ser solucionado por medio de juntas constructivas.
En la imagen superior observamos otra recomendación de la
configuración sísmica de edificios, que explica que los patios o
ductos interiores en los edificios no deben exceder el 20% de la
superficie total del mismo, y deben estar centrados. De
sobrepasar este porcentaje se debe recucurrir a juntas
constructivas para hacer cuerpos independientes, y en caso de
no estar centrados, se debe cuidar mucho que no representen
una excentricidad en la masa resultante del edificio
En los gráficos superiores, podemos observar un esquema de la
planta del Banco Central de Nicaragua que tenía ductos que no
superaban el 20% del area total, pero cuya excentricidad
provocó una diferencia entre la resultante de los elementos
resistentes y la resultante de la masa, lo cual provocó por medio
del mecanismo de la derecha, el colapso del edificio.
La Ley del Cubo Cuadrado, dice que cuando la
masa de un objeto crece en proporción a su volumen,
debe mantener una densidad constante. Por ejemplo, si
cada lado de un edificio tiene una longitud L, entonces su
volumen es L x L x L. Un edificio que tiene una longitud,
altura y anchura de tres metros tendrá un volumen de 3m
x 3m x 3m, o sea 27 m 3. Esta unidad de volumen se
19
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
llama métro cúbico o m3 y representa el hecho de que
hemos multiplicado por tres longitudes. Supongamos que
el edificio debe crecer dos veces en cada dirección. Su
altura, anchura y longitud serán también de 6 metros
cada una. En este caso su volumen es de 6m x 6m x 6m,
o sea, 216 m3. Así pues, duplicar su longitud en las tres
direcciones aumenta su volumen por un factor de ocho.
Si su longitud crece en las tres direcciones por un factor
de diez, de forma que su largo, ancho y alto serán ahora
de 30 metros en lugar de 3 metros, su volumen sería
entonces de 27,000 m3, mil veces mayor que su volumen
inicial de 27 m3. Si queremos que esto sea físicamente
plausible, lo sección total de los elemetos estructurales
ha de mantener una densidad constante al crecer,
entonces su masa debe aumentar en la misma
proporción que su volumen, no que su longitud.
Es decir, la relación entre la seción de los elementos
estructurales (Ee) portantes y el área cúbica (volumen)
total del edificio (A3e) debe ser siempre igual
independientemente del cambio, lo cual podemos resumir
en la siguiente relación matemática:
Ee
 Ee

 Cons tan te
3
A e A 3 e
Por tanto, si nuestro edificio debe crecer, podemos
fácilmente calcular las características de los nuevos
elementos estructurales con la siguiente ecuación:
Ee 
Ee  A 3 e
A 3e
2. Altura y reducida esbeltez de volúmenes. El
aumento en la altura de un edificio significa un aumento
en el periodo sísmico del mismo; entre más alta es una
estructura, mayor es su peso, por lo tanto su masa, y
estando sometida a las fuerzas del entorno (gravedad) la
aceleración de su masa es mayor provocando mayor
fuerza; al crecer un edificio no crece su escala, sino que
se rompe la relación armónica entre el tamaño y la
estructura, por lo cual no únicamente las secciones
tienen que crecer de tamaño, sino que se tienen que
tomar consideraciones más de fondo en la configuración
sísmica del edificio, por ejemplo se debe cuidar mucho su
relación de esbeltez (la relación con su ancho), los
materiales más indicados, los sistemas estructurales
tienen que ser más resistentes a las fuerzas sísmicas, el
alto de los entrepisos y la cantidad y distribución en la
masa.
En la imagen de la
izquierda podemos ver el
proyecto para las Torres
Petronas
en
Kuala
Lumpur (Indonesia), una
de los edificios más altos
del mundo. La tecnología
antisísmica principal que
utilizan se denomina “Mat
Slab”, que consiste en un
inmenso sótano altamente
reforzado que funciona
como un gran basamento
que
sustituye
las
caracteróisticas
mecánicas del subsuelo, y
que al mismo tiempo
provoca que el moemento
estabilizador del conjunto
sea muy superior al
momento de volteo que
puede experimentar el
mismo.
La relación entre el área de los elementos
estructurales de un edificio y su área total en planta, debe
permanecer constante cuando las dimensiones del
edificio cambien (Δ). Es decir, debe mantener su misma
densidad de estructura en planta.
Un ejemplo de la aplicación de la
Ley del Cubo cuadrado, la
podemos
encontrar
en
las
películas de ciencia ficción.
Acorde a ésta, la existencia de
King Kong es imposible (como lo
conocemos.
No
podemos
simplemente agrandar un Gorila
100 veces, esto implicaría un
crecimiento de sus elementos
estructurales (huesos) de 100,
pero su pero su masa (peso)
crecería por un factor de miles,
que sus nuevos huesos no
sortarían. Debería por tanto, tener
una forma muy distinta.
En los ejemplos superiores podemos ver diversas morfologías
de rascacielos que aunque no disminuyen su Momento de
Volteo (Aceleración sísmica por su par mecánico) si aumenta su
resistencia a la flexión, es decir, son entendidos como grandes
vigas en cantiliber.
En el gráfico anterior podemos observar la característica
especial de los edificios en altura o esbeltos, en términos
generales la deformación o desplazamiento sísmico (Δ) tiende a
ser muy elevado, por lo que es necesario disminuir estos efectos
rigidizando la estructura y/o implementando dispositivos
especiales como el aislamiento sísmico de las bases.
20
La Reducida esbeltez de volúmenes se da cuando
hablamos de esbeltez nos referimos a la relación entre el
ancho y el alto de un edificio. Cuando un edificio es muy
esbelto, automáticamente aumenta su momento de
volteo, y por el contrario, entre más bajo (el centro de
masa esta más cerca de la tierra) aumenta su momento
estabilizador. Las NTC recomiendan que la altura de un
edificio sea como máximo 2.5 veces la base menor.
Cuendo esta relación se rompe entonces debemos poner
especial atención en crear un adecuado sistema
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
resistente para el cortante y las deflexiones que se
presenten.
En las imágenes superiores podemos observar grandes edificios
con una reducida esbeltez. En estos casos, las consideraciones
estructurales
son
muy
especiales,
fundamentalmente
encaminadas a conseguir aumentar el memento de inercia total
con estructuraciones de “tubo” o “tubo en tubo”.
3. Tamaño horizontal. Así como la altura es un
aspecto que es necesario cuidar, también el tamaño
horizontal del edificio es muy importante. Si tenemos un
edificio bastante largo, aunque su forma sea regular,
siempre tendrá problemas para responder como una sola
unidad ante la fuerza sísmica, en primer lugar, por la ley
de la conservación de la energía: una estructura es
capaz de desarrollar una energía cinética proporcional a
su fuerza potencial, pero un edificio largo tarda más
tiempo en hacerlo, y en segundo lugar porque las
variaciones en la velocidad e intensidad del sismo
imprimen diferentes cantidades de energía antes que el
edificio termine de transmitir las anteriores, lo que se
traduce en torsiones muy fuertes en el edificio.
sísmica es menor. Las normas internacionales
recomiendan que la relación alto/ancho no exceda de 4
(cuatro). Aunque existen excepcionales edificios que
rompen la regla. Pero esto se da casi siempre en lugares
como Nueva York donde la posibilidad de movimientos
telúricos es muy baja.
En las fotografías superiores podemos ver edificios con una
relación de esbeltez favorable, pero con morfologías diversas e
interesantes, por lo cual se concluye que la relación de esbeltez
también es una recomendación que se puede visualizar como
una envolvente de proporciones estructurales favorables.
5. Simetría. La simetría puede ser un concepto
bastante engañoso en el diseño de edificios. La simetría
supone que un edificio sea simétrico en cualquier eje en
el que éste sea cortado. Pero el concepto de simetría en
la configuración sísmica supone la coincidencia del
centro de la masa con el centro de rigideces del edificio,
aunque en el exterior el edificio no sea estrictamente
geométrico.
En la ilustración de la izquierda podemos ver una configuración
morfológica simple pero sísmicamente mala, ya que la resultante
resistente del edificio no coincide con la resultanmte sísmica lo
que provoca un gran momento de torsión. Por el contrario, en la
fotografía de la derecha podemos ver un edificio
morfológicamente muy interesante, pero estructuralmente muy
simétrico.
4. Proporción. La proporción en un edificio se refiere
a su relación alto-ancho, es decir a su esbeltez. Entre
más esbelto es un edificio mayor es su periodo sísmico y
menor el momento interno que puede desarrollar para
resistir la fuerza sísmica, por lo tanto su resistencia
Por lo cual el término simetría en el diseño estructural
no significa necesariamente aburrimiento y repetición
formal. Aunque muy bueno sería llegar al perfecto
entendimiento de estas partes. Entre más simétrico sea
un edificio (o tienda a serlo) más predecibles serán sus
esfuerzos sísmicos, así como más pequeños.
21
En la ilustración anterior podemos observar que las variaciones
formales en un edificio, pueden romper el sentido estricto de la
simetría, siempre y cuando se encuentren dentro de ciertos
límites, dentro de los cuales, los efectos asimétricos pueden
estrar dentro del comportamiento normal de una estructura
simétrica estructural. Después de estos límites, se deben tomar
precacuciones especiales.
6. Distribución y concentración. Este concepto se
refiere a cómo la forma es concentrada y distribuida la
masa en un edificio. En términos generales es mucho
más seguro distribuir la masa de un edificio proporcional
y simétricamente por toda la planta teniendo claros más
pequeños, que concentrar más masa en unos lugares
que en otros; de no ser que estas concentraciones
pretendan crear momentos resistentes muy elevados,
como es el caso de edificios con núcleos centrales y
fachadas resistentes, sin columnas intermedias.
En
el
gráfico
superior podemos
ver un ejemplo
simple
pero
ilustrativo
de
distribución
y
concentración no
apropiada. Como
los
elementos
resistentes
son
más masivos en la
derecha,
la
resultante
resistente
no
coincide con el
centro de masa del
edificio. Lo cual,
provoca
un
momento
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
torsionante.
En las fotografías superiores podemos ver edificios con una
concentración y distribución de masas aparentemente muy
elevada. En realidad el concepto se refiere a la estructura, no
necesariamente a elementos arquitectónicos que si no provocan
excentriciddaes importantes en el peso del edificio, no afectan
mucho el desempeño estructural del edificio.
En los gráficos superiores e inferiores podemos ver un buen
ejemplo de Distribución y concentración. En el primero tenemos
dos vigas que se apoyan en un muro, la carga es muy grande y
el elemento portante no puede distribuir correctamente el peso,
por lo cual es mekor majegar pilastras bajo esas vijas. En los
ejemplos inferiores observamos como entre mas elementos se
distribuyan menor es el peso, y mejor el comportamiento del
muro.
7. Densidad de la estructura en planta. La densidad
de la estructura en planta se define como el área total de
todos los elementos estructurales verticales (columnas,
muros etc.) dividida entre el área bruta del piso. Después
de un sismo nos preguntamos por qué los edificios
antiguos permanecen intactos, pues lo hacen porque
tienen un porcentaje de estructura en planta elevadísimo,
es decir, tienen un momento de inercia enorme. Los
logros científicos y tecnológicos modernos han hecho
que los edificios necesiten cada vez menos masa en sus
estructuras, por ejemplo el Taj Mahal (1630) tiene una
densidad de estructura en planta de 50%, y el Sears
Building (de los más altos del mundo) de 5%. Aún así, y
con todos los avances tecnológicos, el principio físico tan
sencillo con el cual las estructuras antiguas aseguraban
su resistencia sísmica sigue siendo muy válido; por eso
en la actualidad existe una tendencia a procurar mayor
densidad de la estructura en planta, evidentemente no se
trata de volver a las formas del pasado, sino de aprender
de ellas, por eso la introducción de elementos como los
muros a cortante que elevan el momento de inercia, se
está volviendo una práctica común.
En las ilustraciones superiores se ejemplifica el desarrollo
histórico de la densidad de la estructura en planta. A la
izquierda podemos ver el esquema estructural del Panteón
Romano, que tenía una densidad estructural en planta del 25%,
y a la derecha, la de cualquier rascacielos contemporáneo que
tienen en promedio entre 5 y 2.5%.
En la ilustración superior
podemos observar una
estructuración conocida
como “Planta Debil” que
se refiere a la enorme
diferencia
entre
el
Momento de Inercia total
de
la planta baja,
respecto a la de los
pisos superiores (mucho
más grande). En lugares
sísmicos este tipo de
estructuración
es
22
particularmente dañina,
pues
diferencia
de
movimiento
sísmico
provoca que el cuerpo
superior
aplaste
las
columnas inferiores.
8. Esquinas. Las esquinas en los edificios son
elementos que requieren mucho cuidado en el diseño
estructural; por definición la esquina es el lugar donde se
concentra mucho el esfuerzo durante un sismo y tiende a
liberarse. Esto nos introduce a dos problemas
principales. El primero es que existan discontinuidades
estructurales en las esquinas de tal manera que el
esfuerzo sea fácilmente liberado por esa parte. Si
tomamos una caja de cartón y la aplastamos, esta
tenderá a abrirse por los bordes de las esquinas. El
segundo problema (y quizá el más grave) es el que se
presenta en edificios con esquinas interiores (en formas
de L, T, Z, etc.) aquí los esfuerzos tienden a concentrarse
en demasía, y es común ver a éstas fracturadas. Por eso
lo recomendable es estructurar este tipo de edificios
(esquinas interiores) con juntas constructivas de tal
manera que las esquinas interiores se conviertan
estructuralmente en esquinas exteriores y siempre
procurar que en las esquinas existan elementos
estructurales que garanticen la transmisión de los
momentos sísmicos, o si no es así, reforzarlas. Aunque
también es importante tener presente que en las
esquinas el periodo sísmico se expresa en varios
centímetros de movimiento diferencial, por lo cual es
indicado reforzar los acabados para no sufrir daños que
requieran constante reparación.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
En el gráfico de la izq.,
podemos
ver
un
esquema
de
reforzamiento de las
esquinas
de
un
edificio, que si se
extiende lo suficiente
puede aumentar el par
mecánico
resistente
del edificio igual a la
mitad de su lado mas
corto.
los edificios con una sola fachada que tienen
colindancias a los lados y detrás, esto forza al diseñador
a hacer más abierto el perímetro correspondiente a la
fachada y completamente cerrado el perímetro.
En las fotografías superiores podemos observar edificios con un
aparente perímetro variable, lo cual no implica que tengan
problemas estructurales, ya que esto se refiere a las variaciones
en los elementos resistentes (estructurales) en el perímetro.
En los ejemplos superiores observamos configuraciones con
muchas esquinas las cuales pueden ser especialmente negativas
para su comportamiento, en función de la relación proporcional
de los cuerpos salientes respecto al total.
9. Resistencia perimetral y variaciones en su
resistencia. Una de las formas más recurridas en la
actualidad para estructurar edificios tanto de mucha
altura como de poca, es reforzar la fachada de tal
manera que funcione como un tubo resistente. Si se
refuerza la fachada, el brazo de palanca interior del
edificio tiene una longitud igual a la distancia del centro
geométrico del edificio a la orilla, es decir un momento
resistente enorme.
Las variaciones de resistencia perimetral conllevan un
equilibrio muy frágil, cualquier discontinuidad en la
resistencia de la fachada puede traer asimetrías
importantes en su resistencia y por lo tanto torsiones
importantes en la estructura, que pueden resultar
contraproducentes. Una situación muy común sucede en
10. Redundancia. La redundancia básicamente se
refiere a la incursión de elementos estructurales que ante
las cargas normales parecen no servir para nada, o no
tener una función definida, pero que en el momento de
un movimiento telúrico tienen una importancia
fundamental, a esto es a lo que se llama redundancia.
Cuando estos elementos pueden tener una función
estética, se logra un diseño excelente.
En los gráficos de la
derecha,
podemos
apreciar
estructuraciones, que
aunque formalmente
pueden
ser
muy
interesantes,
estructuralmente son
muy peligrosas, ya que
la estabilidad completa
de
la
estructura
depende de un solo
elento, que de fallar
colapsaría la totalidad,
en estos casos, la
incursión de elementos
redundantes en la
estructura
es
indispensable,
para
evitar el colapso.
11. Núcleo (falsa simetría). Como muchas veces los
requisitos funcionales, estéticos o simbólicos de un
edificio no permiten la estructuración con base en el
perímetro resistente, se tiene que recurrir al núcleo
resistente, que funcionalmente tiene menos problemas.
Pero al igual esto es un equilibrio muy delicado, con que
el núcleo no coincida con el centro de masa y el de
rigideces del edificio se provocarán momentos
torsionantes considerables. Pero al mismo tiempo
pueden existir otros elementos resistentes importantes en
un edificio además del núcleo y que no sean
necesariamente elementos de fachada, por lo cual se
debe estudiar minuciosamente la localización simétrica
del centro resistente, así como su relación también
simétrica con otros elementos resistentes o muy masivos
del edificio, para evitar que se produzcan torsiones.
En las fotografías superiores podemos observar dos edificios
con configuraciones morfológicas muy interesantes, pero lo cual
no implica necesariamente que tengan una falsa simetría, ya
que esto se refiere a la coincidencia entre el centroide de masas
y el de los elementos resistentes. Por lo regular un edificio que
tiene un núcleo central resistente (tubo) se puede permitir cierto
grado de libertad formal, ya que el mismo elemento resiste la
mayor parte de los esfuerzos sísmicos.
12. Evitar variaciones bruscas de rigidez y
uniformidad de la resistencia. Siempre deben evitarse
los cambios bruscos de rigidez en la estructura para
evitar la concentración de esfuerzos en puntos peligrosos
de la misma. Esta recomendación aplica tanto para la
rigidez de los entrepisos, como de los elementos
resistentes verticales. En el caso de los entrepisos las
NTC recomiendan que ningún nivel sea 30% mayor (en
área) al anterior, ni 10% mayor del siguiente, de esta
forma es esfuerzo cortante en los elementos verticales
estará en un rango admisible. Al igual, en los elementos
verticales las NTC recomiendan que no se varíe la rigidez
en un 50% en el mismo plano o nivel, incluso es
recomendable hacer cambios de secciones verticales
alternadamente entre niveles.
23
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
En las imágenes superiores podemos ver edificios, en donde las
variaciones de masa son proporcionalmente cuidadas para no
tener variaciones bruzcas de rigidez entre niveles (o cuerpos) y
garantizar el comportamiento sísmico de los mismos, vistos
como una sola unidad estructural.
13. Evitar el mecanismo de la planta débil. En el
gráfico inferior esta muy bien ejemplificado este
problema. La diferencia de masa y rigidez entre la planta
baja y el resto del edificio es muy elevada, lo cual puede
provocar el colapso del piso inferior, ya que el cortante
producido es inmenso. Este problema de configuración
arquitectónica es muy común, ya que funcionalmente se
requiere movilidad, estacionamiento, o diferente uso
(comercial, habitacional) en la planta baja de los edificios.
Por lo cual, si no se puede evitar, al menos se deben
reducir sus riesgos incorporando elementos rígidos
resistentes (muros o núcleos de cortante).
La Uniformidad de resistencia se refiere básicamente
a lo mismo del punto 4 (Evitar variaciones bruscas de
rigidez), pero conlleva un concepto interesante: la
sobreresistencia. Esto es la relación entre la capacidad
resistente de un piso y la resistencia requerida en el
mismo para absorber esfuerzos sísmicos. Para procurar
la uniformidad de la resistencia de de una estructura, el
“índice de sobreresistencia” se recomienda que cada
nivel no varíe en más de 25% del valor promedio de
todos los niveles. La ecuación será la siguiente.
Sobreresis tencia 
una dirección predominante, ya que el efecto será el
mismo.
Cuando se estructura un edificio con muros de carga, o muros
resistentes
a
sismo,
es
muy
importante
procurar
bidireccionalidad resistente de los mismos (en X e Y). De no ser
así estaríamos favoreciendo el comportamiento sismico
16.
Utilizar
sistemas
hiperestáticos.
La
característica más favorable de los sistemas
hiperestáticos es la solidaridad estructural. En este tipo
de sistemas, cualquier peso o esfuerzo extra en un
elemento particular tiene la tendencia a ser repartido en
todos los demás. Por el contrario los sistemas isostóticos
no. Además, la falla en un elemento isostático, puede
provocar el colapso de toda la estructura, por tanto, entre
más hiperestático es el sistema mejor será su
comportamiento sísmico.
Re sistencia  existente
Re sistencia  requerida
14. Evitar la formación de columnas o vigas
cortas. Los cambios súbitos
de rigideces en las
estructuras pueden traer consigo una reducción del tramo
de columna o viga sometida a flexión, lo cual
axiomáticamente significará un incremento considerable
del esfuerzo cortante por la concentración de tensiones
diagonales (diferencias de rigidez en planos de corte).
Por lo cual es recomendable evitar estos elementos.
En las imágenes superiores podemos observar dos edificios en
los cuales se evitan los cambios bruscos de rigidez, pero sus
aspectos formales son muy diferentes, lo cual nos enseña que
mientras se cuiden las reglas, se pueden hacer configuraciones
arquitectónicas muy interesantes.
15. Utilizar sistemas resistentes bidireccionales.
En las estructuras debemos procurar la distribución de
las cargas bidireccionalmente. En el mercado existen
varios sistemas de piso que funcionan en una sola
dirección, y si no se alterna en la estructura esta
dirección, una dirección de la estructura cargará mucho
más que otra, provocando grandes diferencias de rigidez.
Al igual, no se deben diseñar elementos resistentes con
24
En las imágenes superiores podemos ver un sistema de
cimentación, y otro de entrepiso, en donde se siguen los
criteros de hiperestaticidad. Como se puede apreciar, la vigas y
contratrabes ligan los elementos en X e Y, lo cual garantiza una
mejor distribución del peso y de los esfuerzo también. Además
que sosn sistemas que pueden absorber sin problemas
excentricidades accidentales de peso y/o esfuerzo.
17. Prever juntas sísmicas. La función de las juntas
sísmicas es evitar los impactos dinámicos entre edificios
anexos. Cada edificio, dependiendo de su esbeltez,
rigidez, masa etc. tiene diferente período sísmico, y por
tanto la separación entre edificios (junta sísmica) debe
ser siempre mayor a la suma de las máximas
deformaciones de cada edificio. La deformación máxima
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
de cada edificio es denominada D (Delta) y se encuentra
con la siguiente ecuación:

Ps  L3
3 E  I

Ps  L3 
  

0.333  E  I 

18. Evitar uniones excéntricas entre columnas y
vigas. Las uniones entre estos dos elementos tienden a
concentrar muchas tensiones, sobre todo en los bodes,
por lo cual es muy importante que ambos elementos
posean un ancho similar, o en su defecto lo más similar
posible. En caso de que algún ancho tenga que ser
menor, siempre debe ser el de la viga, si es al contrario,
la columna provocara una fuerza considerable de
punzonamiento en la viga.
20. Influencia de los suelos de cimentación. Las
características de las propiedades mecánicas del suelo,
son fundamentales para el comportamiento de la
estructura. Los modelos matemáticos para representar
las estructuras suponen que estas se empotran
perfectamente en el terreno, y en consecuencia, se
estudia el comportamiento de una estructura como si
estuviese en el espacio (cartesiano), mágicamente
sustentada en sus apoyos. Pero la realidad es muy
diferente. En la fotografía inferior podemos observar este
norme defecto del diseño y cálculo estructural. Las
propiedades mecánicas del suelo, permitieron la
licuefacción del mismo durante un sismo, por lo cual las
estructuras se voltearon completamente. Obsérvese que
los edificios están casi intactos, prueba de que su
resistencia y rigidez eran apropiadas.
En lasimágenes superiores se ilustran conexiones de
elementos estructurales de acero y concreto respectivamente.
En al cálculo y diseño estructural contemporáneo el análisis de
las conexiónes debe ser muy cuidado, máxime el ahorro de
tiempo que los programas computacionales han traido.
El efecto sísmo sobre una estructura será siempre
modificado por las propiedades mecánicas del suelo. En
términos generales, se ha observado que en suelos
arcillosos (blandos) sufren mayor daño las estructuras
flexibles, y por el contrario, en suelos rocosos
(compactos) sufren mayores deterioros las estructuras
rígidas. La principal recomendación en este sentido, es
contar siempre con un estudio de Mecánica de Suelos,
que nos puede dar información vital para el diseño de
una estructura.
Ps= Peso sísmico total
L= Altura total
E= Módulo de Elasticidad
I= Momento de Inercia
En los gráficos superior e inferior podemos ver casos extremos,
pero lamentablemente comunes, de edificios con períodos
sísmicos muy diferentes que chocan entre si, en estos casos, la
junta contractiva no únicamente es indispensable, sino también
el análisis de una separación suficiente que garantice que los
edificios no se golpearan entre ellos, esto se puede analizar con
la ecuación anterior.
19. Losas como diafragmas rígidos. Las losas
normalmente con entendidas como elementos delgados,
altamente reforzados, que trabajan fundamentalmente en
flexión. Pero en la influencia de un movimiento lateral, las
losas funcionan como vigas de gran peralte, y por tanto,
pueden evitar torsiones en los edificios, debido a la no
coincidencia de los centros de masa y rigideces. Pero,
para que esto suceda así, es necesario evitar en lo
posible discontinuidades en las losas. Es inevitable abrir
ductos y/o patios en los edificios, y cuando esto suceda,
se deben reforzar en las esquinas para que puedan
transmitir los esfuerzos como si fueran vigas de gran
peralte con aberturas.
Como podemos observar en el ejemplo de la derecha, tenemos
una losa mucho mas reforzada que llega a ser mas rígida que la
de la izquierda, permitiendo así funcionar como una viga de gran
peralte ante un evento sísmico, lo cual optmiza el
comportamiento del edificio como un conjunto resistente.
Además de tener mejor comportamiento como losa.
25
21. Aislamiento de bases y dispersores de fuerza
en la estructura. Es una solución sísmica muy socorrida
en la actualidad, y que sin duda tendrá un gran desarrollo
en los próximos años. Consiste en algo muy similar al
sistema de amortiguación de un automóvil. La idea es
disminuir y disipar (amortiguar) el movimiento sísmico, de
forma tal que la oscilación del edificio sea la menor
posible. Consiste en unos dispositivos colocados entre
las columnas inferiores y la cimentación. Estos
dispositivos consisten de placas alternadas de acero
inoxidable con teflón (que le da flexibilidad y alarga el
periodo de oscilación) y goma o caucho (que disipan la
energía para controlar los desplazamientos. En el centro
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
existe un núcleo de plomo que le da suficiente rigidez
para resistir las cargas laterales.
del cimiento
5. Verificación de la Estabilidad
Zona
I
II
II
Valores de Ta y Tb (Periodo del Terreno)
Ta
Tb
0.2
0.6
Lomerío
0.3
1.5
Transición
0.6
3.9
Lago
Fuente: NTC para el Diseño Sísmico
ME
 1.5
MV
Como se puede apreciar en el gráfico e interpretar de la
ecuación, el momento estabilizador del edificio debe ser
50% mayor que el momento de volteo acacionado por
empujes y/o fuerzas laterales. El momento de volteo es el
producto del peso propio del edificio por su brazo de
palanca, y al igual, el momento de volteo el igual a la
fuerza sísmica total multiplicada por su propio brazo de
palanca.
h) Estabilidad del Edificio
A continuación presentamos las ecuaciones para
calcular la Estabilidad en edificios:
1. Cálculo del cortante máximo en la bade del edificio:
En donde:
VO  Wt  Cs Wt (ton o kN): Peso total del edificio
Cs: Coeficiente sismico
2. Fuerza sísmica Lateral en cada Nivel
En donde:
W h
Fn  n n n  VO Wn (ton o kN): Peso total del
nivel
Wi  hi
Hn (mts) Altura del nivel
i 1
respecto a ± 0.0

3. Momento de Volteo
M V   Fn  hn   0.9
4. Momento Estabilizador
M E  Wt  e
En donde:
e (mts.): excentricidad=distancia del centroide al borde
El periodo fundamental de vibraciónes el tiempo (en
segundos) que tarda un edificio o estructura en completar
su desplazamiento sísmico máximo. Las NTC especifican
los valores mónimos (Ta) y máximos (Tb) de este
desplazamiento, para las tres zonas geológico-sismicas
del Valle de México. Los Reglamentos internacionales no
permiten que el movimiento máximo de un edificio dure
más de 3 veces el período máximo.
i) Periodo Fundamental de Vibración
1. Densidad de los elementos estructurales portantes
En donde:
 bd 
b (mts): Base del elemento

de  
estructural
 A

T


d (mts): Altura del elemento
estructural
At (m2): Area total del
edificio

2. Periodo Fundamental de Vivración del Edificio (seg.)
En donde:
Ht (mts): Altura total
Ht
30
2
del edificio
To 


100
L 1  30  de
L (mts): Lado del
edificio
3. Verificación de To
To  1.5  Tb
26
j) Diseño de Juntas Sísmicas
1. Deformación total del edificio
En donde:
Ps  L3
Ps (Wt x Cs): Peso sísmico

L (cm): Altura total de la
3 E  I
estructura o elemento
3

Ps  L  E (kg/cm2): Módulo de
  
 Elasticidad
0
.
333

E

I

 I (cm4): Momento de Inercia
I
bd3
12
Momento de Inercia de elementos
simples
I   I   A d 2
En donde:
Momento de Inercia de
elementos compuestos
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
A (cm2): Area de los elementos estructurales
d (cm): Distancia del centroide del edificio al borde
Módulo de Elasticidad
Ec  14000 f ´c
E
 4400 f ´c
E s  2100000
E
c

 2105
E  2040000
E  200000
s

Concreto Reforzado
como lamentablemente de los masivos edificios
colapsados de los cuales debemos aprender. Por lo
tanto, el nuevo diseño estructural debe estar basado en
leyes físicas y en el estudio científico de la evidencia
empírica, seleccionando los métodos numéricos
adecuados a ésta. En este gráfico podemos visualizar
este proceso:
1. Las matemáticas son el lenguaje del
universo, todo puede representarse y entenderse con
números. Este es el primer punto y quizá el más
importante. Las matemáticas son un lenguaje que tiene
su propia lógica, reglas, características y sintaxis. Como
éste no se encuentra vinculado a ningún horizonte
cultural como el lenguaje verbal es universal. Todo
puede entenderse y representarse a través de éste. Pero
el lenguaje por sí mismo, la estructura formal (quantum)
de la ciencia junto con la lógica no explica los
fenómenos conceptuales, éstos se encuentran en el
estudio del “ente móvil” o en última instancia de la
metafísica. Las matemáticas las utilizamos para expresar
universalmente los conceptos.
Acero Estructural
k) El diseño estructural reconsiderado
Como vimos en la introducción, hasta el momento la
teoría de las estructuras se ha basado en suposiciones
(hipótesis) de cómo funcionan, y no en la realidad
obtenida de la experiencia concreta. A estas
suposiciones
les
corresponde
una
explicación
matemática, pero si las suposiciones están mal, los
métodos numéricos también lo están; modificar y
perfeccionar los métodos numéricos no sirve de nada.
Las hipótesis se tienen que reformular con base en leyes
físicas.
Además, existe una cantidad muy importante de
evidencia empírica, tanto de pruebas de laboratorio,
Planteamientos conceptuales
Por lo tanto, empecemos desde el principio
replanteando nuestras suposiciones:
Acero de Alta Resistencia
Con la ecuación de Δ podemos evaluar ell
desplazamiento máximo de una estructura en un sismo,
respecto a su posición original y por tanto la distancia
que dede estar separada de sus vecinos.
aristotélico que propone prescindir de toda materia para
pasar a un nivel trascendental; pero esto implica salir de
lo rigurosamente científico para entrar a lo metafísico, por
lo cual no es necesario llegar hasta éste para la
formación de una teoría del diseño estructural, aunque no
deja de ser inquietante, y clarificante para el análisis.
Como podemos ver, el nuevo diseño reconsiderado
debe replantear la forma de ver y analizar las estructuras.
Primero debe partir de las leyes más fundamentales de la
física, que son el fundamento de cualquier
comportamiento estructural. Posteriormente, para ir
construyendo las nuevas hipótesis que nos replanteen el
diseño estructural, se debe recurrir a la enorme evidencia
empírica sobre el comportamiento de éstas. La
contrastación entre la evidencia empírica y las leyes
físicas deben proporcionar la base para realizar los
procesos de abstracción necesarios en toda
interpretación teórica. Sólo entonces estaremos en
posibilidades de recurrir a métodos numéricos que
expliquen el fenómeno, pero siempre dentro del proceso
de abstracción del entendimiento de las cosas.
Un primer nivel o grado de abstracción corresponde
meramente a la física, se prescinde de la materia
individual y se estudia el “ente móvil” (principio). En el
segundo nivel se prescinde de la materia sensible, y se
estudia al ente quantum (cantidad). En este nivel está la
matemática. Existe un tercer nivel en el pensamiento
27
2. En cambio, la física explica los fenómenos
en el cosmos. La física, a diferencia de las matemáticas,
no es un lenguaje, estudia conceptualmente las
características fenoménicas de la materia. Aquí entra por
completo el estudio de las estructuras. Las leyes y
teorías de la mecánica de los cuerpos sólidos son su
fundamento.
3. Por lo tanto, la física utiliza las matemáticas
para hacer entendibles los fenómenos naturales. Aquí
nos referimos al ya mencionado cambio en el proceso de
abstracción de la realidad en donde la física prescinde de
la materia individual y busca el “ente móvil”, los principios
básicos, verdaderos y universales de los fenómenos de
la materia; al proceso de abstracción del quantum, es
decir, se prescinde de la materia sensible para
entenderla en el mundo de las ideas, y dar así el paso
necesario de los objetos materiales a los objetos ideales.
4. Las estructuras son parte de los fenómenos
físicos. Como ya habíamos esbozado, las estructuras en
su totalidad son parte de la física y deben ser estudiadas
como fenómenos físicos, no como fenómenos
matemáticos. La matemática es la parte formal de las
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
estructuras, éstas únicamente tienen que ser coherentes
dentro de su propia sintaxis, lo cual no implica que el
fenómeno al que se aplique sea verdadero; eso depende
de la veracidad del concepto físico, que es la parte
material de las estructuras.
5. Por lo tanto, las estructuras deben ser
repensadas desde la física y no de las matemáticas.
Como en la actualidad la base físico-conceptual de la
teoría de las estructuras es muy pobre, se ha recurrido a
todo un sistema matemático muy complejo que cubra las
obvias contradicciones, y la mayor parte de los tratados
de estructuras se adentran más en la complejidad del
lenguaje matemático, en lugar de buscar la abstracción
pura de la realidad física de las estructuras.
La física se puede sintetizar en dos grandes
“principios fundamentales”. Todo lo que enseña la física
acerca de la naturaleza puede resumirse en dos
afirmaciones (Conservación de la energía y Entropía).
Ahora bien, tales afirmaciones o principios distan mucho
de ser obvios, y su comprensión requiere un importante
esfuerzo y preparación conceptual.
La física se estructura en diversas ramas o
subdisciplinas. Desde un punto de vista estrictamente
teórico, la física se divide en dos áreas teóricas: la
mecánica y la termodinámica (las demás subdisciplinas
tienen ya un carácter aplicado y se fundamentan en estas
dos).
La mecánica teórica, tanto la clásica como la
cuántica, trata exclusivamente de la comprensión del
principio de la conservación de la energía. Este concepto
no ha sido comprendido a cabalidad en el diseño y
cálculo de estructuras, y en su comprensión están
basadas las tesis de este capítulo.
La termodinámica tiene un nivel de integración teórica
superior, por supuesto trata de la comprensión del
principio del incremento de la entropía y su interrelación
con el principio de la conservación de la energía. La
entropía es un concepto fundamental, al igual casi no
estudiado en el diseño de estructuras.
Por lo cual, podemos afirmar que en la comprensión
de estos dos grandes principios (conservación de la
energía y entropía) esta la base teórica e intuitiva de
cualquier buen diseñador de edificios.
Conservación de la energía
Es importante empezar recordando que hay muchas
formas diferentes de energía: mecánica, eléctrica,
calorífica, la luz, etc. En el caso de las edificaciones la
energía a la que más nos referimos es la mecánica. Pero
independientemente del tipo de energía, existe una ley
común a todas ellas: La ley de la Conservación de la
Energía.
La Ley de la Conservación de la Energía es conocida
también como la primera Ley de la Termodinámica, esta
enuncia que “la energía no puede ser creada ni
destruida, sólo puede ser convertida de una forma a
otra.” Acorde con esto, la totalidad de energía presente
en el universo es constante. Por tanto, es muy importante
entender los edificios como sistemas de energía
constante, y ante los diferentes esfuerzos a que está
sometida una estructura, la energía se transforma de un
estado a otro. Para visualizar esto mejor, es
indispensable entender la diferencia ente la energía
“Potencial” y la “Cinética”
La energía potencial es energía que está asociada
con la posición de un objeto relativa a un campo de
fuerza. Se puede pensar que es una energía que está
guardada, que todavía no esta en uso. Por ejemplo, un
sistema estructural se puede entender como energía
potencial, en el momento de recibir un esfuerzo externo
(sismo, peso, empuje, etc.) se modifica la forma del
sistema estructural convirtiéndose en energía cinética (en
movimiento), que posteriormente es liberada, hasta que
la estructura regrese a su estado original, o a un estado
similar a su estado original, esta posibilidad de no
regresar a su estado original, se puede entender con la
segunda Ley de la Termodinámica, o de la Entropía.
Entropía e irreversibilidad
La mayor parte de los procesos que tienen lugar en la
naturaleza son de carácter irreversible. Lo mismo sucede
con la estructura de un edificio, ésta esta sometida a
esfuerzos
que
producen
internamente
efectos
(agrietamiento, deformación, etc.) que hacen que la
estructura ya no sea la misma, aún cuando la carga sea
retirada (esto es lo que llamamos el comportamiento
plástico). Estos efectos son irreversibles y acumulables.
Una vez que una estructura se agrieta, la grieta no tiene
otro camino más que seguir creciendo. Esto es lo que
llamamos “Entropía”, por lo tanto: La entropía no puede
ser destruida, pero puede ser creada.
28
Todos los sistemas cerrados que evolucionan de
forma irreversible, lo hacen hacia estados de mayor
entropía. Así analizando los estados iniciales y finales de
una evolución irreversible, se puede determinar la
dirección del cambio que se producirá y también su
espontaneidad.
El sismo es un suceso espontáneo que acelera la
entropía en una estructura. Crea mayores estados de
irreversibilidad, por tanto:
Hipótesis: El diseño estructural actual, no considera los
procesos entrópicos en los sistemas estructurales.
Siempre se parte del diseño sincrónico de la misma,
mas no de su desarrollo diacrónico; por tanto, el
diseño de una estructura debe considerar la evolución
de los posibles procesos irreversibles, su
espontaneidad, y modificar su estructura analítica
para escenarios prospectivos críticos.
Mecánica estructural
Como las estructuras son parte de la mecánica
(física) deben ser replanteadas desde las leyes
fundamentales de la mecánica: las tres leyes del
Movimiento de Newton. Por tanto, recordemos las
“Axioms, or Laws of Motions” de Isaac Newton:11
1ª Ley: Todos los cuerpos permanecen en reposo o en
movimiento rectilíneo uniforme a menos que sobre
ellos actúe una fuerza externa, que modifique dicho
estado.
2ª Ley: La alteración del movimiento es siempre
proporcional a la fuerza impresa en ello; y es
realizada en la dirección de una línea recta, en la cual
esta fuerza es realizada. (Una interpretación moderna
de esta ley dice: La fuerza que se aplica en un cuerpo
es igual al producto de la masa del cuerpo por la
aceleración que recibe F = ma  F  a en donde la
fuerza es proporcional a la aceleración).
Cuando se aplica una fuerza a un objeto éste se
acelera, la aceleración es en dirección de la fuerza y
proporcional a su intensidad y es inversamente
proporcional a la masa que se mueve.
11
Newton, Isaac, Principios matemáticos de la Filosofía Natural,
Madrid 1998, edit. Alianza.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
a
En la ilustración anterior podemos ver el
procedimiento para obtener las fuerzas sísmicas totales,
y también podemos inferir el comportamiento mecánico
de las estructuras. Esto nos permite
asumir dos
premisas fundamentales sobre el comportamiento inercial
de la masa:
F
 F  m  a  F a
m
En otras palabras, la fuerza que se aplica en un
cuerpo es igual al producto de la masa del cuerpo por la
aceleración que recibe.
Premisa 1. Partimos de la masa inicial “A” en reposo.
Recibe una fuerza durante un tiempo de otro objeto
másico “X”, es decir, un impulso P1. Consecuencias:
3ª Ley: A toda acción le corresponde una reacción de
igual magnitud en sentido opuesto.
Entonces empecemos estableciendo hipótesis sobre
el cumplimiento de estas leyes físicas, y estableciendo
con base en este análisis y la evidencia empírica,
principios básicos sobre el diseño reconsiderado de
estructuras.
Cumplimiento de la 1ª Ley de Newton
Hipótesis: (Navea L.)12 En el análisis estructural actual
se ubica la referencia para plantear una ecuación de
momento en un punto cualquiera, y no se considera si
este punto está en reposo o en movimiento. Esto no
tiene validez dado que no es el origen de la relación
acción-reacción (objeto-entorno) o ejes de rotación,
donde se tiene la certeza de que no existe
desplazamiento.
b) Una categoría de la filosofía pero muy cierta en
la física dice que “el movimiento es absoluto; el reposo,
relativo”13 por esta razón debemos considerar los puntos
de rotación como referencias inerciales.
c) En el instante de sufrir una fuerza horizontal todo el
sistema está en movimiento, por lo cual las ecuaciones
de momentos y todas las fuerzas consecuentes, tienen
que partir de un punto en reposo o punto de rotación
como punto inercial.
Analicémoslo con más detalle:
a) Una estructura está en reposo antes de que actúe
una fuerza horizontal.
b. "A" reacciona ante el impulso recibido emitiendo
hacia "X" un impulso de similar magnitud pero de sentido
contrario.
c. Incremento de masa en "A" (Energía kinética "K")
Un sistema estructural está en equilibrio ya que en él
actúan diversas fuerzas a las cuales les corresponde una
reacción interna contraria de la misma magnitud (o
mayor), pero en sentido opuesto (3ª ley de Newton). Por
lo cual, el sistema estructural está en reposo. En el
momento en el que una fuerza lateral (empuje, sismo,
viento, etc.) actúa sobre ella todo el sistema se encuentra
en movimiento (incluyendo la cimentación) por lo cual no
podemos encontrar un punto fijo (ya sea en reposo o en
movimiento continuo), lo que nos lleva a considerar los
puntos de rotación de la estructura como “referencias
inerciales” respecto a las cuales podemos establecer
magnitudes de los esfuerzos y las deformaciones
provocadas potencial y cinéticamente.
d. Incremento de tiempo directamente proporcional al
de masa.
Premisa 2.
a. En sucesivos impulsos aplicados al objeto másico
"A", se observa que los incrementos de energía kinética
no guardan una relación lineal con las cantidades P1 de
impulsos aplicados tendiendo a incrementarse en cada
impulso posterior.
b. En sucesivos impulsos aplicados al objeto másico
"A", la velocidad tiende a incrementarse también de
forma no lineal pero de modo contrario, es decir,
incrementándose en menor cantidad a cada cantidad P1
de impulso aportado.
12
Nevea, Lester, Método de Cálculo Geométrico de Esfuerzos e
invalidez de la Teoría de la Deformación, Santiago de Chile,
2000.
a. Se modifica el estado de reposo de "A" y su
velocidad se incrementa, comienza por ello el movimiento
en el mismo sentido y dirección que la fuerza recibida
durante x tiempo "impulso".
13
Lenin, V. I., Materialismo y Emperiocriticismo, China 1970,
edit. Popular
29
Llama la atención el hecho de que siendo la fuerza
aplicada durante un tiempo, o sea, el impulso, la única
causa capaz de modificar el estado de energía de la
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
masa, (recordemos que la masa sólo interacciona con el
impulso) no encontremos una relación lineal y directa
entre los impulsos aportados y los cambios registrados
en la energía. ¿Por qué sucede esto? No parece lógico,
hay que encontrar la razón. Al estudiar la gráfica que
relaciona impulso con energía comprobaremos que
aparece primero una relación escasa donde sólo una
parte del impulso aplicado al objeto másico parece tener
relación con el incremento de energía observado. Tal
relación tiende a recuperase poco a poco hacia la
completa linealidad, entonces el impulso aplicado tiene
un rendimiento máximo, es decir, tanto impulso tanta
energía, en vista de que la estructura adquiere su real
comportamiento centrífugo.
No se considera el efecto P- más que para
estructuras grandes, pero el suceso P- no depende de
la masa sino de la aceleración.
De acuerdo con esta ley, la fuerza y la aceleración
son proporcionales (F  a), es decir, a cada objeto que se
aplique una fuerza está implícita una aceleración; su
magnitud obviamente depende de la masa, por lo tanto
fuerza y aceleración podemos graficarla:
Hipótesis: Un mismo edificio con una misma masa
horizontal, pero diferente estructuración vertical tiene
diferente resistencia (inercia) proporcional al
porcentaje de masa en planta.
d) De acuerdo con la ley de la conservación de la
energía mecánica, la energía potencial es igual a la
energía cinética y no es modificada por su dirección.
Considerando que la gravedad es constante (“la energía
no se crea ni se destruye, sólo se transforma) ésta no se
modifica con la dirección o cambios en ésta (dirección)
por lo cual la fuerza sísmica se suma a todos los
momentos existentes (negativos o positivos).
e) Si el sistema es hiperestático se realizan los
métodos de distribución y después se suma el Momento
sísmico (Ms).
Cumplimiento de la 2ª Ley de Newton
Hipótesis: (Navea L.)14 En el diseño estructural actual no
se considera la ecuación F = m  a que determina la
acción constante y permanente de G, es decir la
atracción gravitacional.
 El efecto de G varía en una estructura
dependiendo de su movimiento.
Por lo tanto, entre mayor sea el porcentaje de
estructura en planta respecto al total mayor será su
inercia sísmica.
Principio: Densidad de la estructura en planta
Como podemos ver en la gráfica, entre más masa
tiene un objeto se necesita más fuerza para moverlo y se
logra muy poca aceleración (m1), y por el contrario (m3)
un objeto con poca masa necesita poca fuerza para ser
movido y puede alcanzar una considerable aceleración,
Hipótesis: Entre más masa tenga un edificio, no significa
que oponga menos resistencia a la fuerza (inercia)
sísmica, ya que los elementos que oponen resistencia
son los verticales (columnas y/o muros) son la masa
resistente, mientras que la mayor parte de la masa la
constituyen los elementos horizontales (entrepisos).
Un edificio muy grande puede tener una resistencia
(inercia) muy baja y gran aceleración sísmica.
Por lo tanto, desde el punto de vista estructural
necesitamos ver la gráfica anterior desde otra
perspectiva:
Panteón Romano 120 dC.
Roma Italia 20%
Edificio moderno de
rascacielos 2%
En la anterior ilustración comparamos el Panteón
romano cuya densidad de estructura en la planta es de
20% del total del área, con un edificio moderno de
rascacielos que tan sólo tiene el 5%. Entre más densidad
de estructura en planta tiene un edificio, su momento de
inercia es superior, es decir, necesita una fuerza muy
grande para ser movido con muy poca aceleración, por lo
cual, la estructuración debe buscar un balance adecuado
entre porcentaje de estructura y área disponible para uso.
¿Pero qué sucede si a los sistemas de baja densidad
de la estructura en planta se incorporan sistemas de
rigidización antisísmica?
14
Navea, Op. Cit.
30
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Principio: Distribución del esfuerzo en un sistema
rígido
Además existe la posibilidad de “arritmias” en el
periodo de la respuesta sísmica del edificio.
Evidentemente
los
esfuerzos
internos
y
desplazamientos son menores. La ley de la conservación
de la energía nos dice que los cambios en la dirección de
la fuerza no la disminuyen. Si lo graficamos:
Movimiento
Rítmico
Movimiento
Arrítmico
Falla por
cortante
Pero queda la pregunta: ¿por qué si los edificios
antiguos tienen mayor densidad de estructura en planta a
veces se colapsan?
Entonces si los dos edificios A y B de igual masa
están expuestos a una fuerza sísmica (S) igual para los
dos, y B tiene un momento menor, ¿dónde queda el resto
del esfuerzo?
La diferencia de esfuerzo es absorbida por el
contraventeo en compresión, es decir existe una
distribución interna más proporcional de la fuerza. Lo cual
nos lleva al siguiente principio:
En el diseño estructural actual la resistencia del
sistema es clave. Como vemos en la gráfica superior, el
muro monolítico es el sistema estructural y por
mucho más resistente y evidentemente el que sufre
menor deformación antes de alcanzar su resistencia
máxima, ya que también es el que tiene mayor momento
de inercia. El marco rígido es lo opuesto, sufre una
enorme deformación con cantidades pequeñas de
esfuerzo; de ninguna manera podemos decir que es más
dúctil, ya que la ductilidad es la propiedad de un material,
elemento o sistema estructural a deformarse antes de
colapsarse y éste se colapsa con muy pocas cantidades
de esfuerzo. Conforme el sistema tiende a aproximarse al
muro monolítico es mayor su resistencia, como bien se
observa en la gráfica; quizá los momentos de inercia no
alcancen al del muro monolítico, pero la mejor
distribución del esfuerzo en sistemas resistentes hacen
más confiable su utilización y por tanto son más
recomendables.
Evidentemente por falta de monolitismo en el sistema
Principio: Monolitismo del sistema estructural
Cumplimiento de la 3ª Ley de Newton
Hipótesis: (Navea L.)15 El diseño estructural actual
aplica esta ley sólo en la coordenada vertical (y), ya
que anula la coordenada horizontal (x) debido a la
incapacidad del modelo matemático de actuar como
sistema, lo cual anula la posibilidad de
desplazamiento horizontal, y por lo tanto los modelos
están desequilibrados.
Pero aun así el esfuerzo siempre es mayor en la base
y el principio de la densidad de la estructura en planta se
aplica:
15
31
Navea, Lester, Op. Cit.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
El modelo original contiene potencialmente la
reacción sísmica; si su diseño no está realizado
contemplando X para Y entonces Y está desequilibrado.
Esto se puede observar con mucha facilidad. Un edificio
bajo condiciones no sísmicas está en reposo relativo;
cuando sucede el sismo el edificio se mueve. Aquí se
cumple la 1ª ley de Newton: el estado de reposo se
interrumpe, pero no existe un movimiento rectilíneo
uniforme, el edificio se mueve diferencialmente respecto
al suelo por su resistencia inercial. Pero, ¿si la
fuerza potencial es igual a la kinética, qué sucede? La
dirección de la fuerza es lo que hace la diferencia, la
mayor parte de los edificios se conceptualizan y diseñan
en Y y no en X. Por tanto, la importancia de aplicar
conjuntamente los principios de monolitismo, densidad de
la estructura en planta y distribución del esfuerzo en un
sistema rígido, es de vital importancia para el
funcionamiento global del sistema estructural.
El “diseño” estructural tiene que ser separado del
“cálculo” estructural. Representan entidades separables
pero dialécticamente interrelacionadas. El diseño es el
acto creador, la parte cualitativa de las estructuras. Y el
cálculo es la parte “mecánico-metódico”, la parte
cuantitativa. En este sentido el diseño de las estructuras
debe también ser replanteado en la particularidad de los
materiales y las estructuras y lo más importante: la forma.
Hipótesis: Según los conceptos de la física clásica, los
cuerpos físicos son prácticamente informes ya que
son idealmente reducidos a masas puntuales sobre
las que actúa un cierto número de fuerzas. La forma
de una estructura, es fundamentalmente una noción
cualitativa, no constituye una magnitud a diferencia de
la longitud, la velocidad, la masa, la temperatura, etc.
La figura de un cuerpo, a diferencia de su materia o
su volumen, no es susceptible de incremento o
disminución. No existe ley de conservación de la
forma equivalente la que existe para la conservación
de la energía o el movimiento. Por tanto, la forma de
los objetos materiales es entendida como mero
accidente y no es considerada como una entidad
autónoma regida por sus propias leyes, sino como el
resultado de la acción de fuerzas internas y externas
que actúan sobre el objeto en que se manifiestan. La
forma es concebida como el resultado de
modificaciones físicas elementales, o sea, como una
más de las reacciones de la materia. Y es probable
que el desinterés de la física moderna con respecto a
la forma de los fenómenos naturales, se deba a la
incapacidad de la herramienta matemática clásica
para describir y comprender discontinuidades. Una
forma es algo que se distingue de un trasfondo y
constituye la manifestación de una discontinuidad en
las propiedades del medio.
La física tiene como objeto el estudio de la materia y
sus interacciones; por lo tanto, debería de ocuparse de
explicar una de las manifestaciones más espectaculares
de la naturaleza que consiste en la existencia de objetos
que presentan formas típicas. Por lo tanto, toda teoría
morfológica busca describir y explicar el surgimiento, la
permanencia y desaparición de las formas.
El universo se encuentra en condiciones infinitas de
asimetría, inestabilidad y perturbación (Einstein); por lo
tanto, todo sistema local participa también de estas
perturbaciones. Todo sistema aislable tiende hacia un
estado simétrico, pero ningún sistema permanece aislado
en forma indefinida.
Hipótesis: Una estructura aunque el diseñador se
esfuerce por lo contrario es asimétrica y desigual
(literal y conceptualmente), y estas características son
irreversibles, es decir, la estructura reacciona
asimétricamente ante los esfuerzos asimétricos y
entrópicos, en vista de que las causas (fuerzas) que
actúan sobre ella son muy diferentes y mayores a lo
idealizado.
La noción de un proceso que va de la inestabilidad
hacia la estabilidad ya estaba implícita en la observación
32
de Leonado da Vinci en el sentido de que las fuerzas
motrices buscan el reposo y actúan en la medida en que
se disipan.
En la fotografía superior observamos el Edificio Anexo al
Planatario Luis E. Erro en México DF, obra del autor del libro, y
abajo una sección del proyecto estructural. Este edificio es un
muy buen ejemplo de la aplicación de las premisas y las
hipótesis expuestas en estos capítulos.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Capítulo II
ESTÁTICA Y RESISTENCIA DE
MATERIALES EN LAS
ESTRUCTURAS
a) Principios de Análisis
La finalidad de este primer apartado, es esbozar los
principios fundamentales del Análisis Estructural, que
sirvan de base para entender los fundamentos de
muchos cálculos desarrollados a lo largo de todo el
Manual.
1. Principios Básicos del Análisis Estructural
a) Equilibrio
Cuando una estructura esta sometida a cargas, estas y
las fuerzas intrenas desarrolladas en la estructura están
en equilibrio. En otras palabras, las fuerzas internas
equilibran las fuerzas externas.
b) Cinemática
Cuendo una estructura esta sometida a cargas, se
deforma y adquiere un nuevo estado de equilibrio, el cual
es diferente al de la forma sin deformar. Las
deformaciones y el esfuerzo en la estructura deben ser
compatibles.
c) Compatibilidad Esfuerzo-Deformación
Las cargas en la estructura desarrollan una serie de
esfuerzos internos en la misma, que son compatibles
entre si. El esfuerzo y la deformación, deben satisfacer la
relación “Esfuerzo-deformación” que puede ser elástica
(lineal) o plástica (no lineal). La parte elástica de la
gráfica, se suele representar con la ecuación:
 
Las deformaciones son proporcionales a los esfuerzos.
El análisis debe siempre satisfacer estos tres principios.
2. Estructuras Estaticamente Determinadas
Son aquellas, en donde los esfuerzos en cualquier parte
de la estructura, pueden ser determinados de las cargas,
solamente son las ecuaciones del equilibrio, que son:
F
x
0
F
y
M
0
z
0
Esto esta relacionado con: a)el tipo de apoyos, b) el
número de apoyos, c) el tipo de fuerzas que desarrollan
los miempros, y d) el número de miembros.
En la teoría, se supone que las armaduras (vargadas
solo en sus nodos) trabajan exclusivamente con fuerzas
axiales (tensión y compresión); pero en la realidad la
compresión, dependiendo de su relación de esbeltez,
puede estar acompañada de flexión, como podemos
apreciar en el siguiente ejemplo:
Por ejemplo, el tipo de apoyos mas comúnes en las
estructuras planas son:
Tipo
Simbolo
Fy
Restricción
Fx
Mz
Empotrado
X
X
Articulado
X
X
Libre
X
X
Por ejemplo:
En la armadura anterior, podemos apreciar que se tienen
3 miembros de lo cuales se desconoce su esfuerzo,
además se tiene un apoyo articulado que contiene dos
incógnitas, y un apoyo libre que contiene una. En total se
tienen 6 incógnitas en este problema. Por otro lado, cada
apoyo desarrolla las tres ecuaciones del equilibrio, y al
ser dos, el total de ecuaciones de equilibrio son 6, por lo
cual, el número de incógnitas es igual al número de
ecuaciones de equilibrio, y todas las fuerzas actuantes
pueden ser encontradas con estas. En conclusión es una
estructura Estaticamente Determinada.
33
3. Estructuras Estáticamente Indeterminadas
Son aquellas en donde el número de interrogantes
(incógnitas) son mayores que el número de ecuaciones
de equilibrio; por ejemplo:
En la armadura anterior, podemos apreciar que se tienen
3 miembros de lo cuales se desconoce su esfuerzo,
además se tienen 2 apoyos articulados que contienen
dos incógnitas cada uno. En total, se tienen 7 incógnitas
en este problema. Por otro lado, cada apoyo desarrolla
las tres ecuaciones del equilibrio, y al ser dos, el total de
ecuaciones de equilibrio son 6, por lo cual, el número de
incógnitas es mayor al número de ecuaciones de
equilibrio, y no se pueden utilizar para detrerminar todos
los esfuerzos en la armadura. En conclusión es una
estructura Estaticamente Indeterminada.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
 F  0  Suma de fuerzas horizontales = 0
 F  0  Suma de fuerzas verticales = 0
 M  0  Suma de momentos = 0
x
4. Grado de Indeterminación Estática
Es el el número de incógnitas que no pueden ser
resueltas con las ecuaciones del equilibrio, o el número
de restricciones que see tienen que quitar (teóricamente)
en una estructura, para hacerla estáticamente
determinada. El grado de indeterminación estática
determina el grado de complejidad en la resolución del
problema.
y
z
Nota: Estas 3 ecuaciones son para sistemas de análisis
bi-dimensionales.
6. Grado de Libertad (Indeterminación Cinemática)
Es el número mínimo de desplazamientos que se
requieren definir para poder determinar la geometría
deformada de la estructura, una vez sometida a cargas.
Ejemplo:
En estas esculturas de
Santiago Calatrava
podemos ver el
concepto de Equilibrio
llevado al límite, y por
tanto, podemos ver lo
frágil que puede llegar
a ser el mismo, basta
con que una pieza sea
cortada y/o movida
para que todo el
sistema se colapse.
Esto es lo que
conocemos como
equilibrio inestable.
En el caso de las armaduras planas, sabemos que cada
nodo puede desplazarse en 2 direcciones (X y Y) por lo
cual, los grados de libertad se obtienen multiplicandi el
número de nodos por 2, y restando el número de
restricciones que tiene la estructura en sus apoyos.
En el caso de las vivas y marcos planos, cada nodos
tiene 3 grados de libertad (X, Y y la rotación) porque
también cada nodo esta sometido a momento. Por lo
tanto, multiplicamos cada nodo por 3 grados de libertad,
y restamos el número de restricciones que tiene la
estructura en sus apoyos, y como las columnas o vigas
normalmente están restringidas a la deformación axial,
también se resta el número de miembros (si es el caso).
b) Equilibrio
Clasificamos los tipos de equilibrio en 3:
a. Equilibrio Neutral
La energía potencial es
constante
Tenemos una
viga con un solo
apoyo intermedio,
y debemos
evaluar su estado
de equilibrio
F
 0  25  10  30  R
y
R  25  10  30  65  kg
Se comprueba que
la reacción es igual
a las acciones
Suma de Momentos n el punto “P”
M
M
z
 25  (6)  10  3  30  6
z
 150  30  80  0
Por lo tanto la viga esta en equilibrio estático.
Equilibrio en vigas (ejemplos):
a. Equilibrio Estable
El equilibrio es un estado sin cambio, de balance. En
estructuras se entiende que se consigue el equilibrio
cuando el total de fuerzas aplicadas a un cuerpo,
reacciones y momentos son igual a cero (0).
Primer ejemplo:
La energía potencial es
ganada
a. Equilibrio Inestable
La energía potencial es
perdida
Para el análisis estructural las ecuaciones generales del
equilibrio son:
34
a. Equilibrio translatorio en la dirección vertical
F
y
0
Ecuación del equilibrio vertical
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
R A  RB  10  ton  0  R A  RB  10  ton
b. Equilibrio rotacional respecto al punto A
M
z
R A  RB  20  ton
R A  10  20  R A  20  10  10  ton
Entonces:
0
M  E
 
I
y R
R A  0  10  5  RB  20  0
10  5 
RB 
 2.5  ton
20
R A  RB  10  ton
R A  2.5  10  R A  10  2.5  7.5  ton
En donde:
Entonces:
c) Propiedades de las Secciones
ESFUERZO: El esfuerzo para estructuras en tensión y/o
compresión simple, se calcula con la ecuación:
Esfuerzo   
Segundo ejemplo:
a. Equilibrio translatorio en la dirección vertical
R  0
Ecuación del equilibrio vertical
R A  RB  20  ton  0  R A  RB  20  ton
b. Equilibrio rotacional respecto al punto A
M  0
R A  0  10  5  10  5  RB  15  0
10  5   10  5 
RB 
 10  ton
15
El problema cuando diseñamos vigas y elementos
similares, es que están sujetos a Momentos flexionantes
en lugar de tensión y compresión simple. Para solventar
esto tenemos que recurrir a la ecuación general del
momento:
Fuerza F

Area
A
Para mantener el equilibrio, la resistencia del material por
unidad de medida debe ser mayor que el esfuerzo del
elemento estructural (o el sistema).
M = Momento (kg-cm o kN-cm): Este es el momento
flexionante, normalmente tomado como el momento
flexionante máximo calculado.
I = Momento de Inercia (cm4): Se refiere a las
propiedades geométricas de la sección y esta
relacionado con la forma y dimensiones.
 = Esfuerzo (Kg/cm2 o MPa): Se refiere al esfuerzo
calculado en la posición del momento aplicado a
cualquier distancia del centroide de una sección.
y = Distancia en la dirección vertical (cm): Esta es la
distancia del centroide al punto que nosotros deseamos
calcular el esfuerzo. El esfuerzo máximo normalmente
ocurre en la fibra extrema del elemento, en cuyo caso “y”
es la distancia del centroide a los extremos inferior o
superior de la viga.
Ejemplo: Tenemos una barra de acero empotrada y de
la cual pende un peso de 500 kg. La barra es de acero de
alta resistencia fy = 4200 kg/cm2, y tiene un diámetro de
2.5 cm. En el gráfico podemos apreciar el esquema
“literal” de la barra, y el “Diagrama de cuerpo libre”,
donde se reduce el sistema a los vectores que actúan
sobre el.
  2.5  cm
fy  4200  kg cm 2
A    r 2  4.9  cm 2
F 500

A 4.9
  102  kg cm 2
  fy  OK
 
35
A lo largo del eje neutro del objeto (que pasa por el
centroide) el esfuerzo es cero. Esta es la posición en la
cual el esfuerzo cambia de positivo (compresión) a
negativo (tensión).
2
E = Módulo de Elasticidad (Kg/cm o MPa): Esta es la
propiedad del material que se relaciona a las
características de su esfuero y deformación. Calculamos
el esfuerzo directo a partir de:
 
F
A
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
La deformación () es la relación que determina cuánto
se modifica la longitud original de un elemento una vez
que se le aplica una carga:

Cambio  longitud L

Longitud  original
L
Dentro del rango elástico de la gráfica de EsfuerzoDeformación podemos definir esta propiedad específica.
Esta se calcula con la pendiente que forma la línea
elástica:
E
Esfuerzo
 Fuerza Area
 
Deformación 
L L
Los valores de E que se han obtenido de pruebas de
laboratorio (para los materiales estructurales más
comunes) son:
E  10000  f ´c
E  3500 
f ´c



PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS
SECCIONES:
Área (cm2): Calcular el área depende del tamaño y la
forma del objeto considerado. Las áreas de secciones
complejas pueden ser calculadas reduciendo a formas
más simples y después sumarlas juntas para el área de
la sección compuesta.
Concreto simple
f ´c en SI
E  2100000
E  2 10 5 en SI
E  2040000
E  200000 en SI
E  80000
E  7848 en SI
E  70000
E  6870 en SI
E  110000
E  10800 en SI

Y si
M  E
 
I
y R
M 
My

entonces  
I
y
I
en SI
E  14000  f ´c
E  4400
de la sección a un punto en el cual esfuerzo será
calculado (y) por tanto (Ecuación de la Escuadría):
El centroide de secciones compuestas (compuestas por
formas estandar), se puede calcular usando las
siguientes ecuaciones:
Concreto reforzado
 Ax 
A
 Ay 
y
A
x
Acero de alta resistencia
Acero Estructural
Maderas coníferas
Maderas latifoliadas
Madera contrachapeada
Centroide ( x o y cm): Este es el centro del área para
una sección, y es un punto muy importante ya que
cualquier momento tendrá lugar en el eje longitudinal que
pasa por este punto. Su distancia desde un punto
conocido en el sistema cartesiano de coordenadas define
la posición del centroide. Los datos pueden tomarse
desde cualquier punto en la sección, pero por facilidad el
eje horizontal del sistema es tomado desde la fibra
inferior y el eje vertical a la izquierda de la sección, de
esta forma las distancias siempre serán medidas en la
dirección positiva.
Para la distancia de “y” al centroide
en la dirección horizontal
Para la distancia de “x” al centroide
en la dirección vertical
Ejemplo:
Paso 1. Determinación del esquema cartesiano
R = Radio de curvatura (cm): Este es el radio de
curvatura de un miembro bajo una carga específica.
En el primer gráfico mostramos las características geométricas
de la sección, y en el segundo se divide la sección en figuras
regulares y se pone en el sistema de coordenadas.
Para calcular el esfuerzo para un elemento simple
necesitamos solamente determinar el momento aplicado
(M), el momento de inercia (I) y la distancia del centroide
Paso 2. Cálculo de las áreas
36
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
A1  b  h  13  12  26  cm 2
bh
36
A2  b  h  12  5  60  cm 2
3
hb
36
3
Parte
No.
Ixx
4
(cm )
1
y 2  12 2  6
x 2  5  5 2   7.5
 d4
64
Paso 4. Cálculo del centroide de la sección compuesta
 A x  26  6.5  60  7.5  7.19  cm
x
26  60 
A
 A y  26  13  60  6  8.11  cm
y
26  60 
A
 d4
64
I
 I
Iy
  A  y  y 
yy
  A  x  x 
b  d 3 12 =
4  6 3 12  72
5.8 – 5 =
0.8
24  0 .8 
= 15.36
3
b  d 3 12 =
5.8 – 1 =
4.8
12  4 .8 
= 276.48
bd3
12
d  b3
12
6  2 12  4
3
2
2
2
 A y  y 
Ixx = 84
2
= 537.54
I
  A  y  y 
2
xx
Paso 2. Cálculo de Iyy para la seccipon compuesta
En la gráfica
podemos ver la
ubicación del
centroide
Momento de Inercia de Secciones Planas
Sección
Ix (cm4)
Iy (cm4)
3
I xx  84  573.54  621.64  cm 4
Ejemplo:
Momento de Inercia (I cm4): Esta propiedad de las
secciones siempre esta definida por un eje específico
que pasa a través del centroide de una sección. Esto es
aspa porque el tipo de secciones utilizadas en
Estructuras se orientan en el sentido de maximizar su
resistencia.
4
(cm )
2
I xx 
2
(cm)
24   3 .2 
= 245.7
2
xx
2
b  d 12 =
12  2 3 12  8
Las ecuaciones para el Momento de Inercia de secciones
compuestas son:
Ix 
A y  y 
5.8 – 9 =
-3.2
Paso 3. Centroides de partes aisladas
y1  12  2 2   13
x1  13 2  6.5
y  y 
Tabla p/calcular Secciones Compuestas 1ª Parte (Iyy)
Parte
No.
Área
2
A (cm )
Distancia
X (cm)
AxX
3
(cm )
1
2
3
24
24
12
A = 60
12/2=6
6
6
24x6 = 144
24x6 = 144
12x6 = 72
Ax = 360
Como la sección es simétrica respecto al eje Y-Y es
posible localizar la ubicación del centroide en x  6 cm
Paso 1. Cálculo de Ixx para la sección compuesta
Tabla p/calcular Secciones Compuestas 1ª Parte (Ixx)
Parte
No.
Área
A (cm2)
Distancia
Y (cm)
AxY
(cm3)
1
2
3
24
24
12
A = 60
2+6+ (2/2) = 9
2+(6/2) = 5
2/2 = 1
216
120
12
Ay = 348
 Ay  348  5.8  cm
y
A
60
Tabla p/calcular Secciones Compuestas 2ª Parte (Ixx)
37
x
 Ax  360  6  cm
A
60
Tabla p/calcular Secciones Compuestas 2ª Parte (Iyy)
Parte
No.
Iyy
4
(cm )
1
d  b 12 =
3
x  x 
(cm)
Ax  x 
2
4
(cm )
6–6=0
24  0 
=0
2  12 3 12  288
2
2
d  b3 12 =
6  43 12  32
6–6=0
24  0 
=0
3
d  b3 12 =
2  63 12  36
6–6=0
12  0 
=0
Ixx = 356
2
2
 A y  y 
2
=0
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
I yy   I yy   A  x  x   356  cm 4
2
Momento Resistente (M kg-cm o kN-cm): El esfuerzo
se distribuye en una sección sujeta a momento acorde a
las siguientes ecuaciones:
My
I xx
Mx

I yy
 yy 
 Dirección vertical
 xx
 Dirección horizontal
Y el máximo esfuerzo 
 
My
I
El momento resistente lo podemos determinar con la
ecuación:
Tomamos
M  E
 
I
y R
M 
 I

y M 
I
y
y
Ejemplo:
P  L 5,000  5

 6,250  kg  m
4
4
M   625,000  kg  cm  M  OK
I xx 
M 
I xx  3378.9  70368.75  73747.65  cm 4
Ejemplo:
Esfuerzo resistente del material
Fy  2530  kg cm 2  fs  0 .6 Fy  1518   max
  I 1518  73747.65
M 

 8,448,976  kg  cm
y
13.25
M 
Paso 1. Cálculo de Ixx para la sección compuesta
Parte
No.
Área
2
A (cm )
Distancia
Y (cm)
AxY
3
(cm )
1
50
2
100
2.5+20+(2.5/2) =
23.75
2.5+(20/2) = 12.5
3
37.5
2.5/2 = 1.25
50x23.75 =
1187.5
100x12.5 =
1250
37.5x1.25 =
46.87
Ay =
2484.37
bd
40  60

12
12
 720,000  cm 4
I xx 
I xx
2
A
187.5
Momento de Inercia
  I 112.5  720,000
M

 2,700,000  kg  cm
y
30
y  y 
Parte
No.
Ixx
4
(cm )
1
b  d 12 =
20  2.5 3 12  26.04
2
b  d 3 12 =
5  203 12  3333.33
3
b  d 3 12 =
15  2.53 12  19.53
3
d) Propiedades Geométricas de las
Secciones
Cuadrado
(cm)
3
Ixx = 3378.9
13.25 –
23.75 =
-10.5
13.25 –
12.5 =
0.75
13.25 –
1.25 =
12
A y  y 
2
I x1
a
a3
rx  ry 
 0.289  a , Z 
4
12
Cuadrado
4
(cm )
50   10 .5 
= 5512.5
2
A  a2
h  a 2  1.42 a
a2
Ix  Iy 
12
100  0 .75 
= 56.25
2
37 .5  12 
= 64800
2
 A y  y 
2
= 70368.75
38
a2
12
4
a
a2

, Sx  Sy 
3
6
A  a2, Ix  Iy 
 Ay  2485.37  13.25  cm
Tabla p/calcular Secciones Compuestas 2ª Parte (Ixx)
Distancia el centroide
P  L 7500  7

 13125  kg  m
4
4
M   M OK
Tabla p/calcular Secciones Compuestas 1ª Parte (Ixx)
y
y  d 2  60 2  30
  A  y  y 
2
xx
Paso 2. Cálculo del momento resistente
A = 187.5
f ´c  250  kg / cm 2  fc  0 .45 f ´c  112 .5   max
I
Sx  Sy 
a3
 0.118a 3
6 2
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
rx  ry 
Forma simétrica
a
a
 0.289a , Z 
 0.236a
12
3 2
A  ah  bH  h 
Ix 
Rectánglo
bh 3
12
3
b h
bh 3
Iy 
, I x1 
12
3
3
b h
bh 2
I y1 
S

, x
3
6
A  bh , I x 
Sy 

ah 3 b

H 3  h3
12 12
a 3h b3
 H  h 
12 12
a 3h b 2
Sy 
 H  h 
6b
6
3
b
ah
Sx 
H 3  h3 
6H
6H
Angulo con patines desiguales
A  t b  h1   t h  b1 

b 2  h1t
xd 
2b  h1 
Iy 


b2h
, rx  0.289 h , ry  0.289b
6
d 4 sen
I x 2  I x3 
48
Forma no simétrica
A  bc t  a hb  ht   Bc b
b1  b  a , B1  B  a
y t  H  yb
h 2  b1t
yd 
2h  b1 


A  bh
y t  yb 
1
h  cos   b  sen 
2


bh 2
Ix 
h cos 2   b 2 sen 2
12
bh  h 2 cos 2   b 2 sen 2
Sx 
6  h  cos   b  sen  

aH 2  B1cb  b1c t 2 H  ct 
2aH  B1cb  b1ct 
1
I x  By b3  B1 hb3  by t3  b1 ht3 
3

Triángulo
A
Angulo de patines iguales
A  t  2h  t 
h  t  2c
yb 
2


rx  0.289 h 2 cos 2  b 2 sen 2
I12   I max min 
yb 
bb1 hh1t
4b  h1 
1
1
I y  I y 2  4I xy2
 I y  I x  
2
2
I xy  
Rectángulo
(el eje de
momentos en cualquier linea
a través del centro de
grevedad)


1
3
3
t h  y d   by d3  b1  y d  t 
3
1
3
3
I y  t b  x d   hx d3  h1  x d  t 
3
2 I xy
I 1  I max e I 2  I min , tan 2 
Iy  Ix
Ix 
yt 
h1 
39
bh 3
bh 3
bh 3
, I x1 
, I x2 
36
12
4
2
3
hb b  ba bc
h ba  bc3
Iy 
, I y1 
36
12
2
2
h
bh
bh
S x b  
 0.236h
, S x t  
, rx 
12
24
3 2

t
3
2
1
h , d  ba  bc 
3
3
Ix 
h 2  ht  t 2
, c  y cos 45
22 h  t  cos 45
1
1 

4
I x  2c 4  2c  t   t  h  2c  t 
3 
2 

1
1
bh , hb  h
2
3






Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Hexagono regular
Triángulo Rectángulo
Círculo
A  2.598 R  0.866d
I x  I y  0.541R 2  0.06d 4
2
bh cL

2
2
3
bh
hb 3
I x
I

, y
36
36
3 3
b h
Lc 3
I y1 

36
36L2
A
d 2
A
 0.785d 2
4
d 2
I x  I y  I x1 
64
d 3
S x  S y  S x1 
32
2
S x  0.625 R 3
S y  0.541R 3
rx  ry  0.456 R  0.265d
Octagono regular
A  0.828d 2
I y1  I y cos 2   I x sen 2  2 I xy sen cos
I x  I y  0. 638 R 4  0. 054 d 4
S x  S y  0.690 R 3  0.109d 3
b2h2
b
h
I


,
,
sen  
cos  
xy
L
L
72
h
rx 
 0.236h
3 2
I x2

h 3 bb2  4bb bt  bt2
36bb  bt 
, I
x1

h 3 bb  3bt 
12
h 3 3bb  bt 
Ix
Ix

, Sx 
, Sx 
b
t
12
yb
yt
rx 

h 2 bb2  4bb bt  bt2
6  bb  bt 
D 2
1   4 
64
D 3
Sx  Sy 

1 4 
32
Ix  I y 
A
A
Ix 
d
D 2
A

1   2 ,  
D
4
Poligono regular n lados
1 2

na cot
4
2
a
R

2 sen
2
R 2  R12 

2 tan
2
naR1
A

12 R12  a 2 
I x  I x1 
12 R1  a 2  
96
48
R1 
a
,

360
, a2
n

40
d3
d
, Z 
4
6
Círculo perforado
rx  ry  0.257 d
Trapecio
1
bt  bb h
2
b  2bt
yb  b
h
3bb  bt 
2bb  bt
yt 
h
3bb  bt 
rx  ry 
rx  ry 
D3  d 3
D
1 2 , Z 
4
6
Anillo delgado
A  Dt
D 3t
Ix 
 0.3926D 3 t
8
D 2 t
Sx 
 0.7853D 2 t
4
rx  0 .353 D
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Medio Círculo
A
D
 0.392D 2
8
2
R
R 4
1  k cos 
1  3k cos   , I y 
8
8
4
Ix 

ab
4
ab 3 Ab 2
Ix 

64
16
A
y t  0.2878 D
I x  0.00686 D 4 , I y  I x1 
S xb
 D
 0.2587 
2
3
,
Cuarto de círculo
A
R
 0.785R 2
4
2
a 3b Aa 2
ab 2 Ab
Iy 


, Sx 
64
16
32
8
2
a b Aa
b
a
Sy 

, rx  , ry 
32
8
4
4
Elipse perforada

ab  a1b1 
4

Ix 

ab 3  a1b13 
64
A
4R
yb 
 0.424 R
3
y t  0 .576 R , I x  0.07135R 4
I y  0.03843R 4 , I x1  I y1  0.05489R 4
I x2  I y2 
R
 0.19635R 4
16
4
Iy 
 3


a b  a13 b1  , S x 

ab 3  a1b13 
64
32b

3
Sx 

a b  a13 b1 
32 a
Segmento de un círculo
Segmento de una Parábola
 
 rad 
180 
  2 rad  sen 2
k
b  2 Rsen , s  2 R rad , A 
4ab
3a
, xd 
3
5
3
4ab
ab 2
Ix 

15
5
3
16a b 12 Aa 2
Iy 

175
175
A
4 sen 3
3
R 2
, y d  kR
2
1
A  t 2b  5.2h 
3
1
b1  b  2.6t 
4
Elipse
y b  0.2122 D
D 4
 0.025D 4
128
3
D
S xt  0.1908 
2
Curvas de Acero (de
arcos parabólicos)
I y1 
4a 3b 3 Aa 2
32a 3b 8 Aa 2


, I y2 
7
7
105
35
41
b2 
1
b  2.6t  , h1  1 h  t  , h2  1 h  t 
4
2
2
2I x
64
Ix 
b1 h13  b2 h23 , S x 
105
ht


Curvas de Acero (de arcos
circulares)
A  b  2h t
h1  h  b
2I x
Sx 
ht
 b 3
bh12 1 3 
I x  
 b 2 h1 
 h1 t
4
6 
 8
Estructura en torsión
d 4
 Ip
32
d 3
St 
16
It 
 max  M t S t
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Estructura en torsión
e) Armaduras planas
I t  0.1154 d 4
S t  0.1888d 3
El triángulo forma la forma
estructural perfecta, inicialmente
esta compuesto de:
3 Nodos (3g)
3 Barras (3n)
 max  M t S t
Para crear un nuevo triángulo,
solamente necesitamos:
2 barras y 1 nodo, lo cual se
puede expresar:
Estructura en torsión
n  3  2  ( g  3)
I t  0.1075d 4
Simplificando: n  2 g  3  2 g  n  3 y de esta
forma podemos encontrar la ecuación de la Estabilidad
Dimensional de las estructuras planas.
S t  0.1850d 3
 max  M t S t
Configuración de Armaduras
Estructura en torsión
I t  0.1404a 4
S t  0.208a
3
 max  M t S t
Una armadura simple puede consistir
de un solo triángulo. Esta figura es
por excelencia la utilizada en la
configuración de armaduras, ya que
permite que los esfuerzos sean
exclusivamente tensión y
compresión.
Estructura en torsión


h b14  b24
 0.21b24
12b1  b2 
I
S t  t ,  max  M t S t
bt
It 
En las anteriores figuras podemos ver como la
triangulación en una estructura es lo que proporciona su
estabilidad. La primer figura es muy estable, pero la
segunda no lo es, su estabilidad la podemos conseguir
por la simple triangulación (tercer figura).
Teoremas de Euler
42
Asi mismo es muy importante
que las cargas lleguen a las
armaduras por medio de los
nodos, cuando no es así,
como vemos en el primer
ejemplo las barras estarán
sometidas a flexión y cortante.
Cuando las cargas llegan a los nodos, los esfuerzos en las
barras de la armadura son tensión y compresión únicamente.
Cuando las cargas son distribuidas, se realizan arreglos, para
que se repartan puntualmente a los nodos como vemos en el
ejemplo.
Peralte en las armaduras
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
b. L/10. Esta relación es adecuada para armaduras que
medianamente cargadas, y para vigas secundarias de
sistemas mucho más cargados.
c. L/5. Esta relación es adecuada para vigas primarias
altamente cargadas. El peralte es frecuentemente
equivalente al tamaño de un entrepiso.
Paso 1. Encontrar las Reacciones
 F  0  Ra  Rb  50  ton Equilibrio vertical
 M  0 Ecuación del Equilibrio en la Estructura
V
Como podemos observar en el gráfico anterior, el peralte
de una armadura es fundamental para determinar los
esfuerzos a que estará sometida. En el primer ejemplo la
cuerda inferior esta doblada 15° debajo de la horizontal, y
todas las barras cargan menos peso que en la segunda,
donde la cuerda es horizontal. En los dos posteriores
ejemplos la cuerda inferior se eleva 15° y 30°
consecutivamente, y podemos visualizar como los
esfuerzos se incrementan.
Eficiencia Estructural
El objetivo general de la eficiencia estructural es
encontrar los sistemas que utilicen una mínima cantidad
de material para un claro y peso determinado.
Como ya vimos, el peralte es un factor muy importante al
diseñar sistemas eficientes, así como el patrón de
trangulación más apropiado. Un punto de partida para el
diseño puede ser considerar las sguientes relaciones de
claro/peralte,
para
posteriormente
calcular
detalladamente los elementos:
250
 18.38
13.6
Ra  Rb  50  ton  Ra  50  18.38  31.62
Ra  50  (5)  Rb  13.6   Rb 
Al igual, la dirección de los elementos de una armadura, pueden
hacer que esta trabaje de forma más eficiente, o no der así. En
la armadura superior observamos como las barras interiores
trabajan a compresión, y en el caso de la armadura inferior a
tensión. Debido al pandeo vinculado a la compresión, las barras
de la armadura superior tendrán que ser más robustas que las
inferiores.
ANÁLISIS DE FUERZAS EN LAS ARMADURAS:
Método de Equilibrio en los Nodos
Paso 2. Equilibrio en el nodo A (Dirección Vertical)
 FAB  ( sen45)  Ra  0
Ejemplo:
 FAB  (sen 45)  31.62  0
a. L/20. Esta relación es recoendable para armaduras
que carguen poco peso, como las te techos, azoteas, o
aquellas que estan espaciadas cortas distancias.
FAB 
43
31.62
 44.7  ton
sen 45
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
(Dirección Horizontal)
FCB 
 FAB  (cos 45 )  FAC  0
FAC  44.7  cos 45   31.6  ton
Suma de fuerzas en la dirección “n”
FAC  5  ( sen 30)  FCD  FCB  sen 30   0
Paso 3. Equilibrio en el nodo C (Dirección Vertical)
10  5  sen30   FCD  5  sen30   0
5  sen30
FCD 
0
5  sen30
 FBC  ( sen30)  Rb  0
 FBC  ( sen 30)  18.38  0
FBC
18.38

 36.7  ton
sen30
Paso 1. Fuerzas en el nodo A
(Dirección vertical)
FBC  (cos 30)  FAC  0
FAC  36.7  cos 30   31.6  ton
FBC  sen 30    F AB  sen 45    50
36.7  ( sen30)  44.7  ( sen45)  50
36.7  13.3  50
(Dirección Horizontal)
FAB  (cos 45)  FBC  (cos 30)  0
44.7  (cos 45)  36.7  (cos 30)  0
Ejemplo: Encontrar las fuerzas de las barras KL, ML y
MN usando el método de “equilibrio de secciones”.
 FAC  sen 30   Ra  0
Ra
5
FAC 

 10
sen30 0.5
(Dirección Horizontal)
Paso 4. Equilibrio en el nodo B (Dirección Vertical)
5  (cos 30)
 5  ton
cos 30
Dirección horizontal
 FAC  (cos 30)  FAB  0
Para encontrar las
fuerzas que
requerimos,
tenemos que
realizar una
sección en el
punto M de la
armadura, como
se muestra en la
ilustración.
FAB  FAC  cos 30   10  cos 30   8.6  ton
Paso 2. Fuerzas en el nodo C
Si sumamos las fuerzas en las
direcciones horizontal y vertical
obtendremos 2 ecuaciones con
dos incógnitas cada una.
Por lo cual, es mucho mas
simple si rotamos los ejes de
referencia. De esta forma
tenemos 2 ecuaciones con una
sola incógnita para resolver.
Suma de fuerzas en la dirección “m”
 5  cos 30   FCB  (cos 30)  0
44
Paso 1. Suma de Fuerzas en la Dirección Vertical
 Ra  FML  sen 45  0
 3.5  FML  sen45  0
3.5
FML 
 4.9  ton
sen 45
Paso 2. Suma de Momentos en “M”
 Ra  6   FKL  2   0
 3.5  6   FKL  2   0
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
FKL 
3.5  6 
 10.5  ton
2
Paso 3. Suma de Fuerzas en la Dirección Horizontal
 FML  cos 45    FMN  Ra  0
 10.5  6   12  6  FKL  2  0
45
FKL 
 22.5  ton
2
Paso 3. Suma de Fuerzas en la Dirección Horizontal
 FML  cos 45   FMN  FKL  0
 4.9  cos 45   FMN  3.5  0
4.9  3.5
FMN 
 9.8  ton
cos 45
 2.12  cos 45   FMN  22.5  0
FMN  2.12  sen 45   22.5  24  ton
Ejemplo: Encontrar las fuerzas de las barras KL, ML y
MN usando el método de “equilibrio de secciones”.
Ejemplo:
Tenemos una armadura plana que cubre un claro de 18
metros y tiene 6 cargas puntuales de 20 toneladas cada
una. El diseño interno de la armadura esta compuesto
por un peralte de 3 mts., y seis paneles de 3 mts. cada
uno. Lo podemos ver muy bien en el siguiente gráfico:
El siguiente paso será encontrar el valor de nuestras
reacciones, que nombramos HA y GH como podemos ver
en el siguiente gráfico:
Para encontrar las
fuerzas que
requerimos,
tenemos que
realizar una
sección en el punto
M de la armadura,
como se muestra
en la ilustración.
Paso 1. Suma de Fuerzas en la Dirección Vertical
 Ra  3  3  3  FML  sen 45  0
 10.5  9  FML  sen 45  0
1.5
FML 
 2.12  ton
sen 45 
El siguiente paso es poner una nomenclatura a todos los
elementos de la armadura, comenzamos poniendo
literales mayúsculas a los espacios entre fuerzas y
reacciones, este procedimiento siempre se debe hacer
en el sentido de las manecillas del reloj; posteriormente
se nombran los espacios entre barras internas con
números (también en el sentido de las manecillas del
reloj). De esta forma todas las fuerzas y barras tienen
una nomenclatura. La primera acción de la izquierda es
la AB, la segunda BC, etc., la primera barra vertical de la
izquierda es la A1, la diagonal 1-2, la horizontal superior
A2, y la inferior H1. Nótese que el orden también está en
el sentido se las manecillas del reloj
Esto es lo que llamamos diagrama de forma. La
armadura debe estar siempre a escala métrica y las
acciones como las reacciones se representan con
vectores. Nótese que las acciones coinciden con nodos,
en caso de no ser así las barras estarían sometidas a
flexión y cortante, y recordemos que el objetivo mecánico
de una armadura es funcionar a tensión y compresión
básicamente.
Paso 2. Suma de Momentos en “M”
 Ra  6   3  4   3  2   FKL  2   0
45
Como las acciones no son simétricas, debemos recurrir a
las ecuaciones generales del equilibrio estático, en este
caso la de momentos:
M
Z
0
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Por tanto, el diagrama de forma ya queda completo con
las acciones y reacciones correspondientes.
en la ilustración, se trazan primero los valores
conocemos, en este caso las acciones, en lo
denominamos línea de fuerzas. Podemos obvservar
tenemos trazados todos los valores de las acciones
tras otro, de A-B hasta F-G.
que
que
que
uno
Para esto, comenzaremos calculando los momentos a
partir de la Reacción HA para obtener la reacción GH.
M
HA
M
HA
 0  3m  (20t )  6m  (20t )  9m  (20t )
 12m  (20t )  15m  (20t )  18m  (20t )  18m  (GM )
 1260  18  (GH )
1260
 70
18
GH 
Es decir, la suma de momentos es igual a cada acción
multiplicada por la distancia a la referencia inercial,
menos la reacción contraria. Al despejar GH
encontramos que su valor es 70. Por tanto procedemos a
encontrar el valor de la reacción HA:
M
GH
El siguiente paso es llegar a determinar que tipo de
esfuerzo es al que esta sometida cada barra de la
armadura (tensión o compresión), así como su valor
numérico (dimensión).
Comenzamos con encontrar los valores de las fuerzas a
que están sometidos cada elemento de la armadura.
 0  3m  (20t )  6m  (20t )  9m  (20t )
 12m  (20t )  15m  (20t )  18m  ( HA)
M
GH
 900  18  ( HA)
HA 
900
 50
18
Posteriormente encontramos las reacciones, primero la
reacción G-H que mide 70 ton. Con esto encontramos la
ubicación de H en la línea de fuerzas, y por consiguiente
el valor de la siguiente reacción: H-A.
Por tanto los valores de las reacciones son los
siguientes:
Ahora podemos proceder a comprobar el equilibrio de las
reacciones respecto a las acciones:
F
y
 6  (20t )  70  50  0
Comenzamos a trazar el polígono de fuerzas, que debe
estar a una escala de fuerza (una unidad métrica
equivale a una de fuerza, ej. 1 cm = 20 ton). Omo se ve
46
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Después nos pasamos al siguiente par de barras (H3 y 23), donde podemos ver que el procedimiento es el
mismo.
Después nos concentramos en encontrar los valores de
las incógnitas, un buen método para hacer esto es tomar
pares de barras en la dirección de las manecillas del
reloj. Comenzamos con el par de barras A1 y H1.
Conocemos dónde esta el punto A, y la dirección de la
barra A1, por lo que 1, se debe encontrar en la línea de
esfuerzos. Es lógico pensar que la magnitud actuante en
la barra A1sea igual a la reacción H1, ya que estan sobre
la misma línea vertical, por lo cual, 1 se localiza en H, y
po rtanto el valor de H1 es igual a cero.
En seguida nos vamos con el siguiente par de barras: 1-2
y A2. En el polígono de fuerzas conocemos la ubicación
de 1, y la dirección de la barra 1-2, por lo cual trazamos
una paralela a esta. Al igual, conocemos la ubicación de
A, y la dirección de la barra A2, por lo cual trazamos una
paralela a esta, y donde se intersectan tenemos la
ubicación del punto 2.
47
Encontramos la ubicación del siguiente par de barras 8B4
y 3-4) en el pológono de fuerzas.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
El siguiente par, etc.
Hasta terminar con el polígono de fuerzas, donde se
ubican todos los puntos y barras del diagrama de forma.
Ahora bien, como el poligono de fuerzas esta a escala de
fuerza, podemos medir con mucha precisión la longitud
de cada barra, y acorde a la escala establecida,
encontrar la magnitud del esfuerzo en cada barra. Como
vemos en el ejemplo cada bara tiene su magnitud.
Posteriormente, nos falta encontrar cuál es el tipo de
esfuerzo al que está somitida cada barra. El método el
muy simple: tomamos un nodo de la armadura, en este
caso el nodo AB4-3-2 y en el sentido de las manecillas
del reloj bamos encontrando que esfuerzo es. La barra
B4 es la primera, y ubicamos la lectura B4 (no 4B pues
sería en sentido contrario al establecido) en el polígono
de fuerzas. En este caso B4 esta en dirección horizontal
con sentido hacia el nodo. La siguiente barra es 4-3 que
en el polígono de fuerzas se lee diagonal con sentido
hacia fuera del nodo. La barra 3-2 se lee en el polígono
de fuerzas en dirección vertical con sentido hacia el
nodo. Y finalmente la barra 2ª se lee en el polígono de
fuerzas con dirección horizontal y con sentido hacia el
nodo. Las barras cuyo sentido es hacia el nodo estan en
compresión, y las barras cuyo sentido es hacia fuera del
nodo estan en tensión. El procedimiento se repite con
todos los nodos, y encontramos el tipo de esfuerzo al que
esta sometida cada barra.
48
Por último, ponemos el tipo de esfuerzo a que esta
sometida cada barra, junto con su magnitud.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
 B  180  90  29  61
a 180
180
senA  
c
 205
c
c
senA
c 2  a 2  b 2  b  c 2  a 2  98.10
f) Estabilidad
a. Estabilidad en Estructuras Planas16
Ejemplo de una solución de armadura triangular.
Concepto: Un marco esta compuesto por barras rectas
conectadas a puntos nodales que las articulan. Si todas
las barras son paralelas a un mismo plano, nos referimos
a ellas como Marco Plano o Armadura Plana. Si las
barras no son paralelas a un solo plano, nos referimos a
ellas como Marco Espacial o Armadura Espacial.
Ejemplo de una armadura similar con cargas simétricas.
c  a  b  c  5  9  c  10.30
b
9
cos A  
 0.874  cos A 1  29
c 10.29
2
2
2
2
Las barras y las conexiones nodales, por tanto, son los
componentes de un marco. Su arreglo y diseño mutuo
determinarán las propiedades estáticas y constructivas
del mismo. Desde el punto de vista Estático, las más
importantes propiedades de los marcos son:
a.
Ejemplo de una armadura similar con las diagonales
encontradas hacia el centro.
16
La relación carga-resistencia, que requiere de un
apropiado diseño de todos los componentes en
concordancia con la carga aplicada.
Las ecuaciones de Estabilidad Dimensional para Estructuras
Planas y Espaciales fueron obtenidas de: Calatrava, Santiago,
On Foldability of Frames, Tesis Doctoral, Zurich 1981, ETH.
49
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
g  4, n  4
2  g  n  3  2  10  16  3  20  19
Datos:
Por tanto es Dimensionalmente Inestable, le faltan
barras, lo cual lo podemos corroborar con:
2 g  n  3
La estabilidad dimensional de un marco plano, se puede
expresar en el siguiente sistema de ecuaciones:
Es evidente que falta la barra vertical intermedia
( 2  4)  4  3  8  7
2 g  n  3
Pero veamos esta otra posibilidad:
b.
Si
La estabilidad dimensional, que demanda la
correcta relación formal a través de todo el sistema
de carga resistencia.
2 g  n  3
u  n  (2  g )  3
Si
2 g  n  3
F  (2  g )  n  3
En donde:





Ecuación
de
la
Estabilidad
Sobran Barras, para lo
cual recurrimos a la
segunda ecuación
Ecuación
de
la
redundancia
Faltan barras, y para
conocer
cuántas,
debemos recurrir a la
tercera ecuación
Ecuación
de
la
Inestabilidad
g = número de nodos
n = número de barras
F  2  g  n  3  ( 2  10)  16  3  1
g  10
n  18
g  10
n  17
2  g  n  3  2  10  17  3  20  20
Por tanto es Dimensionalmente Estable
Datos:
Datos:
g  12
n  21
2  g  n  3  2  12  21  3  24  24
Por lo tanto es Dimensionalmente Estable
Exploremos ahora una opción aún más eficiente:
La estabilidad dimensional de un marco espacial, se
puede expresar en el siguiente sistema de ecuaciones:
3 g  n  6
Si
g  4, n  3
3 g  n  6
u  n  (3  g )  6
Si
Ejemplo 3
Ejemplo 2
( 2  4)  5  3  8  8
Por tanto es
Dimensionalmente Estable
u  n  2  g  3  18  ( 2  10)  3  1
Datos:
3 g  n  6
2 g  n  3
F  (3  g )  n  6
( 2  4)  3  3  8  6
En donde:
Por tanto es inestable y le
faltan barras, entonces:
F  2  g  n  3  ( 2  4)  3  3  2
Un primer paso para solucionarlo puede ser:
Datos:
g  4, n  5
2 g  n  3
Por tanto es Dimensionalmente Inestable, le sobran
barras, lo cual lo podemos corroborar con:
Datos
Por lo tanto es Dimensionalmente Estable
Lo cual nos lleva a la solución final:
Datos:
2  g  n  3  2  10  18  3  20  21
Ejemplo 1
2  g  n  3  12  10  21  3  20  20
F  2  g  n  3  ( 2  4)  4  3  1
Datos:
Veamos esta otra opción:
g  10
n  17
Continua siendo inestable y le
faltan barras, por tanto:





Ecuación
de
la
Estabilidad
Sobran Barras, para lo
cual recurrimos a la
segunda ecuación
Ecuación
de
la
redundancia
Faltan barras, y para
conocer
cuántas,
debemos recurrir a la
tercera ecuación
Ecuación
de
la
Inestabilidad
g = número de nodos
n = número de barras
Ejemplo 4
Datos:
g  8 , n  12
3 g  n  6
(3  8)  12  6  24  18
g  10
n  16
Por tanto es inestable y le
faltan barras, entonces:
50
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
F  3  g  n  6  (3  8)  12  6  6
La solución quedaría de la siguiente forma:
Datos: g  8 , n
Viga en cantiliber con una
carga puntual en el
extremo.
 18
3 g  n  6
(3  8)  18  6  24  24
Por tanto es
Dimensionalmente Estable
Viga simplemente apoyada
con tres cargas simétricas
Viga apoyada y empotrada
con tres cargas simétricas
Viga apoyada y empotrada
con dos cargas simétricas
Viga apoyada y empotrada
con carga uniformemente
distribuida
h) Dimensionamiento de Vigas
g) Cortantes y Momentos en Vigas
En la práctica de del diseño y construcción de
estructuras, nos encontramos con que la mayor parte de
las veces las cargas (empujes, etc.) que se aplican a las
vigas son simétricas y/o regulares.
Para el cálculo de Cortantes y Momentos Flexionantes de
estas existen ecuaciones ya establecidas que
presentamos a continuación:
Viga simplemente apoyada
con una carga intermedia
Viga simplemente apoyada con
una carga escéntrica
Viga doblemente empotrada
con carga uniformemente
distribuida
Viga doblemente empotrada
con dos cargas simétricas
En las ilustraciones superiores, podemos observar la
importancia de las propiedades geométricas de las secciones en
las vigas. Una misma viga cuyo mayor peralte este en el sento
de la “y” tendrá mucha menor deformación ante el mismo
esfuerzo, que la misma vigaen sentido opuesto, cuya
deformación es máxima.
Problema 1
Viga simplemente apoyada
con carga uniformemente
distribuida
Viga simplemente apoyada
con dos cargas simétricas
Viga doblemene empotrada
con tres cargas distribuidas
Cantiliber con carga
uniformemente distribuida
51
Se tiene una viga
de 12 mts de claro y
una
carga
uniformemente
distribuida de 2,100
kg/m. Se requiere
dimensionar
la
sección
para
soportar el esfuerzo
actuante.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Notación:
2
2
Fb (kg/cm o kN/cm ): Esfuerzo permisible del material
2
2
fb (kg/cm o kN/cm ): Esfuerzo actuante en el material
I (cm4): Momento de Inercia de la sección
S (cm3): Modulo de sección
Paso 1. Propuesta de la sección
Propiedades de la Sección
d
90720
 54  cm
30
Esfuerzo actuante en la sección
fb 
La nueva sección será de 30 x 54 cm
M 2500000  kg  cm

 435.72  kg / cm 2
3
S
5737.5  cm
fb  Fb
El esfuerzo actuante es mayor que el
esfuerzo permisible del material, por tanto no pasa.
Problema 2
Paso 2. Redimensionamiento
Material: Concreto
Fb = f´c = 250 kg/cm2
S REQ 
Momento de Inercia
I
b  h3
12
= 216,000 cm 4
Por tanto, si
Módulo de Sección
b  h2
S
6
= 12,000 cm3
Si proponemos
d
M 3780000  kg  cm
fb 

 315  kg / cm 2
S
12000  cm 3
El esfuerzo actuante es mayor que el
esfuerzo permisible del material, por tanto no pasa.
Paso 2. Redimensionamiento
Paso 1. Propuesta de la sección
Propiedades de la Sección
Material: Madera
M 3780000  kg  cm


 15120  cm 3
2
Fb
250  kg / cm
b  d 2  15120  6  90720
b  30
y despejamos d
b  20
y despejamos d
88235.28
 66.4  cm
20
Paso 3. Redimensionamiento (Concreto Fb=250 Kg/cm2)
S REQ 
M
2500000  kg  cm

 10000  cm 3
Fb
250  kg / cm 2
Fb = f´fu = 170 kg/cm2
Momento de Inercia
b  h2
b  h2
S

 15120  cm 3
6
6
Si proponemos
b  h2
b  h2

 14705.88  cm 3
6
6
La nueva sección será de 20 x 67 cm
fb  Fb
Por tanto, si
S
b  d 2  14705.88  6  88235.28
Esfuerzo actuante en la sección
S REQ
M 2500000  kg  cm

 14705.88  cm 3
2
Fb
170  kg / cm
I
b  h3
12
Módulo de Sección
S
bh
6
= 129,093.75 cm4
Por tanto, si
S
b  d 2  10000  6  60000
Si proponemos
2
= 5,737.5 cm3
52
b  h2
b  h2

 10000  cm 3
6
6
b  20
y despejamos d
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
d
60000
 54.7  cm
20
Comprobamos el resultado
La nueva sección será de 20 x 55 cm
y
Paso 4. Redimensionamiento (Acero Fb=2,530 Kg/cm2)
S REQ 
M 2500000  kg  cm

 988.14  cm 3
2
Fb
2530  kg / cm
Por tanto, si
b  h2
b  h2
S

 988.14  cm 3
6
6
y
d
b  20
AT
4  12   4  2  4   1  4  10   5  0
96  cm
Paso 2. Encontrar el Momento de Inercia
I r   I  A i2 
b  d 2  988.14  6  5928.84
Si proponemos
Ay
y despejamos d
5928.84
 17.21  cm
20
La nueva sección será de 20 x 20 cm
SECCIONES ASIMÉTRICAS
Ejemplo
Paso 1. Encontramos el centroide




 12  4 3
2
I1  
 4  12   4  
 12

3
 4 2
2
I2  
 2  4   1 
 12



 4  10 3
2
I3  
 4  10  5 
 12

I Total  64  768  2.7  8  333  1000 
I Total  3148  cm 4
Paso 3. Encontrar el esfuerzo actuante en la sección
S
AT  96  cm 2
y
I
I
 ,
C y
fb 
M
 fb  Fb
S
Ay
AT
4  12   14   4  12   6   10  cm
y
4  12   4  12 
53
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Capítulo III
PESOS Y CARGAS
EN LAS ESTRUCTURAS
a) Cargas muertas
Acorde con las NTC “se consideran como cargas
muertas los pesos de todos los elementos constructivos,
de los acabados y de todos los elementos que ocupan
una posición permanente y tienen un peso que no
cambia sustancialmente con el tiempo”.
Elemento
Piedras Naturales
Areniscas
Basaltos
Granito
Mármol
Riolita
Pizarras
Tepetate
Tezontle
Calizas
Taquilita
Lava basáltica
Toba volcánica
Pizarra
Grava y arena a granel
Escoria de alto horno en terrones
Escoria de alto horno en gránulo
Arena de ladrillo
Vermiculita expandida
Vermiculita cruda
Bentonita suelta
Bentonita batida
Cenizas voladoras
Cal
Piedra caliza en polvo
Magnesita molida
Suelos
Arena de grano
Arena bien graduada
Arcilla típica del Valle de Méxco
Caliche
Piedras artificiales y morteros
Adobe
Argamasa Fraguada
Ton/m3
kN/m 3
2.5
2.65
3.2
2.6
2.55
2.85
1.95
1.55
2.85
2.65
2.44
2.04
2.85
2.04
1.73
1.22
1.53
0.10
0.91
0.81
1.12
1.42
1.32
1.32
1.22
3
Ton/m
2.1
2.3
1.5
2.1
3
Ton/m
1.6
1.6
(24.8)
(25.9)
(31.3)
(25.4)
(24.9)
(27.9)
(19.1)
(15.1)
(27.9)
(26)
(24)
(20)
(28)
(20)
(17)
(12)
(15)
(1)
(9)
(8)
(11)
(14)
(13)
(13)
(12)
3
kN/m
(20.5)
(22.5)
(14.7)
(20.5)
3
kN/m
(15.6)
(15.6)
Cemento Portland Fraguado
Cemento Portland a granel
Cemento Portland en sacos
Concreto simple (sin refuerzo)
Concreto Reforzado
Concreto bituminoso
Concreto ligero c/Betostyrene f´c 175
Concreto ligero c/Betostyrene f´c 60
Concreto ligero c/Betostyrene f´c 15
Mortero de cal y arena
Mortero cemento y arena
Mortero de yeso
Mortero de cal
Aplanado de yeso
Tabique macizo hecho a mano
Tabique macizo prensado
Bloque hueco de concreto ligero
Bloque hueco de concreto intermedio
Bloque hueco de concreto pesado
Bloque de vidrio para muros
Prismáticos para tragaluces
Vidrio plano
Madera
Álamo seco
Caoba
Cedro blanco
Cedro rojo
Oyamel
Encino
Pino
Fresno
Ocote
Palma real
Roble blanco
Roble rojo
Roble (otras especies)
Contrachapeada de madera blanda
Contrachapeada de abedul
Tablero de láminas y de listones
Recubrimientos
Azulejo
Mosaico de pasta
Granito 40 x 40
Loseta asfáltica
Metales
Aluminio
Acero y Hierro
Cobre fundido laminado
Latón fundido laminado
Plomo
Zinc, fundido laminado
Bronce
54
2.95
1.63
1.53
2.2
2.4
2.55
1.45
1.2
0.4
1.5
2.1
1.83
1.83
1.5
1.5
2.2
1.3
1.7
2.2
1.25
2.0
3.1
3
Ton/m
0.59
1.0
0.38
0.70
0.65
1.0
1.0
0.95
0.8
0.7
0.8
0.7
0.95
0.51
0.71
0.45
2
kg/m
15
35
65
10
3
Ton/m
2.75
7.85
9.0
8.7
11.35
7.2
8.6
(28.9)
(16)
(15)
(21.5)
(23.5)
(25)
(14.2)
(11.7)
(3.9)
(14.7)
(20.5)
(18.0)
(18.0)
(14.7)
(14.7)
(21.5)
(12.7)
(16.6)
(21.5)
(12.2)
(19.6)
(30.3)
3
kN/m
(5.7)
(9.8)
(3.7)
(6.8)
(6.3)
(9.8)
(9.8)
(9.3)
(7.8)
(6.8)
(7.8)
(6.8)
(9.5)
(5)
(7)
(4.5)
kPa
(0.14)
(0.34)
(0.63)
(0.09)
3
kN/m
(26.9)
(76.9)
(88.2)
(85.2)
(111.2)
(70.5)
(85)
Plásticos
Lámina acrílica
Poliestireno expandido y en gránulos
Espuma de vidrio
Polietileno y poliestireno granulado
Cloruro de polivinilo en polvo
Resina de poliester
Colas a base de resina
Tableros de fibras duros y extraduros
Tablero de fibra peso medio
Tablero de fibras blandoas
Productos orgánicos
Asfalto
Asfalto fundido
Asfalto apisionado en caliente
Basalto basáltico
Carbón antracita
Carbón butaminoso
Carbón turba, seca
Carbón vegetal de pino
Petróleo crudo
Petroleo refinado
Petroleo bencina
Petroleo gasolina
Estiercol
Gas líquido
Grano
Paja en pacas
Fruta
Azucar
Vegetales
Agua dulce
Leña
Libros y documentos
Libros densamente almecenados
Estanterías y archivadores
Ropa y trapos
Papel en rollo
Papel apilado
3
Ton/m
1.22
0.03
0.14
0.65
0.6
1.2
1.3
1.02
0.81
0.4
3
Ton/m
1.5
2.5
2.3
2.6
0.92
0.86
0.65
0.44
0.90
0.82
0.75
0.69
1.6
0.58
0.79
0.15
0.84
1.6
0.51
1.02
0.55
0.61
0.86
0.61
1.1
1.5
1.1
3
kN/m
(12)
(0.3)
(1.4)
(6.4)
(5.9)
(11.8)
(13)
(10)
(8)
(4)
3
kN/m
(14.7)
(25)
(23)
(26)
(9)
(8.4)
(6.3)
(4.3)
(8.8)
(8)
(7.3)
(6.7)
(16)
(5.7)
(7.8)
(1.5)
(8.3)
(16)
(5)
(10)
(5.4)
(6)
(8.5)
(6)
(11)
(15)
(11)
Las NTC especifican un aumento de carga para losas de
concreto (NTC-Acciones 5.1.2.): “El peso muerto
calculado de losas de concreto de peso normal coladas
en el lugar se incrementará en 20 kg/m2 (0.2 kN/m2).
Cuando sobre una losa colada en el lugar o precolada, se
coloque una capa de mortero de peso normal, el peso
calculado de esta capa se incrementará también en 20
kg/m2 (0.2 kN/m2) de manera que el incremento total
será de 40 kg/m2 (0.4 kN/m2).”
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
b) Cargas vivas
Acorde con las NTC, “Se considerán cargas vivas las
fuerzas que se producen por el uso y ocupación de las
edificaciones y que no tienen carácter permanente […]
Las cargas especificadas no incluyen el peso de muros
divisorios de mampostería o de otros materiales, ni de
muebles, equipos u objetos de peso fuera de lo común,
como cajas fuertes de gran tamaño, archivos
importantes, libreros pesados o cortinajes en salas de
espectáculos”
Tabla de Cargas Vivas Unitarias (NTC)
(NTC sobre Criterios y Acciones para el Diseño Estructural de
las Edificaciones)
Destino
Kg/m 2
kPa
a. Habitación (casa–habitación,
departamentos, viviendas, dormitorios,
cuartos de hotel, internados de
escuelas, cuarteles, cárceles,
correccionales, hospitales y similares)
b. Oficinas, despachos y laboratorios
c. Aulas
d. Comunicación para peatones
(pasillos, escaleras, rampas,
vestíbulos y pasajes de acceso libre al
público)
e. Estadios y lugares de reunión sin
asientos individuales
f. Otros lugares de reunión
(bibliotecas, templos, cines, teatros,
gimnasios, salones de baile,
restaurantes, salas de juego y
similares)
g. Azoteas con pendiente no mayor de
5%
h. Azoteas con pendiente mayor de 5
%; otras cubiertas, cualquier
pendiente.
i. Volados en vía pública
(marquesinas, balcones y similares)
j. Garajes y estacionamientos
(exclusivamente para automóviles)
170
(1.7)
250
250
350
(2.5)
(2.5)
(3.5)
450
(4.5)
350
(35)
100
(1.0)
40
(0.4)
300
(3.0)
250
(2.5)
Las NTC también especifican la consideración de cargas
vivas transitorias (NTC- Acciones 6.1.3): “Durante el
proceso de edificación deberán considerarse las cargas
vivas transitorias que puedan producirse. Éstas incluirán
el peso de los materiales que se almacenen
temporalmente, el de los vehículos y equipo, el de colado
de plantas superiores que se apoyen en la planta que se
analiza y del personal necesario, no siendo este último
peso menor de 1.5 kN/m2 (150 kg/m2). Se considerará
además, una concentración de 1.5 kN (150 kg) en el
lugar más desfavorable.”
Tabla de Cargas Vivas Unitarias (UBC)
(Cargas del Uniform Building Code no incluidas en las NTC)
Destino
Cuartos de maquinas y herramientas
Cuarto de máquinas de elevadores
Escaleras de emergencia
Cocheras
Librerias y bibliotecas
Manufactura pesada
Manufactura ligera
Techos para jardínes
Puentes vehiculares
Almacenes pesados
Almacenes ligeros
Kg/m 2
kPa
732
1464
488
195
732
1220
610
488
1220
1220
610
(7.17)
(14.3)
(4.7)
(1.9)
(7.17)
(11.9)
(5.9)
(4.7)
(11.9)
(11.9)
(5.9)
En los gráficos de la
derecha,
podemos
apreciar
la
falla
continental del Atlántico
provocada
por
el
movimiento de varias
placas grandes, y la
famosa falla de San
Andrés, en California,
producto del rozamiento
de 2 grandes placas.
En los tres gráficos de la izquierda,
podemos observar distintos tipos de
interacciones entre capas tectónicas.
Estos movimientos, se presentan
entre las grandes placas, como es el
caso de la placa de Norteamérica
(continental) y la placa Pacífica
(Oceánica).Cuando entre grandes
placas tecónicas esta “atoradas”
pequeñas placas (como la de
Cocos), las grandes tiendes a
sumergir a las pequeñas, lo que es el
fenómeno que conocemos como
subducción, y que provoca los
sismos más intensos.
c) Cargas por sismo
En
este
gráfico,
podemos ver mejor
explicado
el
mecanismo
de
la
subducción
de
la
placa de cocos con la
placa continental, y
los lugares donde
tienen
lugar
los
epicentros sísmicos-
En el gráficosuperior podemos apreciar la división continental de
las grandes placas tectónicas, que están en constante
movimiento, algunas placas son pequeñas y están atrapadas
entre las grandes, quienes provocan el hundimiento
(subducción) de las chicas bajo las grandes, en estas regiones
es donde se registran sismos mas intensos.
En el gráfico de la
derecha
podemos
observar la relación
entre el epicentro y el
foco de un sismo. El
foco es el lugar donde
se produce la falla
tectónica, y el epicentro
su proyección vertical
en la superficie.
Tipos de Ondas Sísmicas
55
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Ondas Primarias (P): son denominadas así porque son
las que se propagan con mayor velocidad, entre 7 y 14
km/seg., y son las primeras en llegar a cualquier lugar.
Su movimiento hace vibrar las partículas en la misma
dirección de propagación del sismo, son las de menor
intensidad, casi no las nota la mayor parte de la
población, y pueden propagarse en medios sólidos,
líquidos y gaseosos.
En este gráfico podemos observar el mecanismo de
funcionamiento de las Ondas Primarias (segundo) y Secundarias
(primero). Las ondas primarias vivran las partículas con mayor
rapidez pero menor fuerza, y las secundarias mas lentas pero con
mayor energía.
Ondas Secundarias (S): debido a que viajan con menor
velocidad, de 3 a 5 km/seg, son las segundas en arribar a
un lugar (de aquí su demonimación), pero son también
las que transmiten mayor energía. Su movimiento es
longitudinal, y las partículas vibran en dirección
perpendicular a la propagación de la onda sísmica. Como
cuando arrojamos una piedra en un estanque de agua,
las ondas se propagan moviendo las partículas
rítmicamente arriba y abajo, dándonos la impresión que
el agua se desplaza. Estas ondas solamente se
propagan en medios sólidos.
Además existen las Ondas Superficiales, que se
presentan poe la refracción de las primarias y
secundarias en distintos tipos de terreno, entre ellas se
encuentran: las Ondas Rayleigh (R) que generan
oscilaciones perpendiculares a la dirección del
movimiento, y las Ondas Love (L) que provocan un
movimiento horizontal y transversal respecto a la
dirección de propagación del sismo.
Ondas de vibración
Una vibración u oscilación es el movimiento de un punto
determinado que se desplaza de forma alternativa en un
sentido o en otro, pero que siempre pasa por las mismas
posiciones.
En el gráfico de la
derecha,
podemos
observar la graficación
de
una
onda
de
vibración u oscilación,
observamos tanto su
movimiento en “x” como
en “y”, pero siempre se
pasa
por
puntos
comunes.
Los parámetros que definen a las Ondas de vibración son
muy importantes, y se clasifican en las siguientes:
Periodo: El periodo es el tiempo que tarda una oscilación
completa. Por tanto, entre mayor sea el periodo de
vibración mayor será su duración. En la gráfica inferior
podemos observar oscilaciones con diferente duración.
Frecuencia: Es el número de vibraciones u oscilaciones
en una unidad de tiempo determinada. En consecuencia,
a menor frecuencia le correponde un mayor periodo. En
el gráfico inferior, podemos observar 5 ondas con
diferente frecuencia.
56
Amplitud: La amplitud en el valor que caracteriza
cualquier fenómeno oscilatorio, que puede corresponder
a un desplazamiento, una velocidad o una aceleración.
Periodo de Vibración en los Edificios.
El periodo de vibración u oscilación en un edificio
siempre será el mismo, es lo que conocemos como
Peiodo
Fundamental
de
Vibración,
pero
los
desplazamientos siempre serán diferentes, ya que
dependen de la intensidad del fenómeno sísmico. Es
decir el tiempo que tarda un edificio en completar una
oscilación siempre es la misma, independientemente de
la longitud real de la misma.
Los edificios tienen tantos modos o formas de vibrar,
como entrepisos tengan. Podemos visualizar al edificio
como un gran péndulo con diferentes masas, entre mas
masa posea, mayor serán los modos en que vibrará. El
más importante de todos estos modos de vibración es el
primero porque es el recibe mayor energía sísmica, se
caracteriza por tener todos los movimientos de un mismo
lado, y se le denomina Modo Fundamental de Vibración.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
En la serie de nueve ilustraciones anteriores, podemos ver igual
número de modos de vibración para un edificio de 4 niveles, el
principio en el mismo del péndulo invertido con cuatro masas.
Aunque los Softwares contemporáneos nos pueden simular mas
modos que el número de masas, aún así los más importantes
son los tres primeros por ser los de mayor periodo.
Condicionantes del Periodo de Vibración
Como ya se esbozó anteriormente, cada edificio tiene un
Periodo de Vibración que le es propio, y que depende
fundamentalmente de sus características físicas. Como
vimos este periodo es independiente de la intensidad del
sismo, por consiguiente, lo que varía en cada sismo son
tanto la intensidad y características de los esfuerzos
externos, como la intensidad y características de los
esfuerzos internos que estos generan, lo cual da lugar a
diferentes variaciones en los desplazamientos de un
edificio, pero no al tiempo o “periodo” de cada uno de
ellos.
Características físicas que condicionan el periodo de
vibración
Las importantes son las siguientes:
a) La altura del edificio. Conforme aumenta la altura
aumenta el periodo de vibración
b) La densidad de la estructura en planta. Esto aumenta
su momento de inercia (resistencia a ser movido), y por
tanto el periodo de vibración disminuye.
c) La longitud del edificio en la diracción considerada. Al
igual, a mayor longitud, mernor periodo de vibración y
visceversa.
La altura del edificio junto con la longitud del mismo
conforman la Relación de Esbeltez del mismo, por lo cual
podemos reducir estos factores a dos: La esbeltez del
edificio (relación geométrica en la dirección considerada)
y la densidad de sus componentes resistentes
(estructurales).
Magnitud e Intensidad de un Sismo
Para comprender la medición de un sismo, es importante
entender y diferenciar la Magnitud y la Intendidad de
cualquier fenómeno telúrico. La Magnitud, es un
fenómeno instrumental, es decir, esta directamente
relacionado con los registros sismográficos obtenidos, y
básicamente se refiere a la energía liberada en un sismo.
Las escalas utilizadas para medir la magnitud son las de
Richter y la Escala de Magnitud de Momento. Por otro
lado, la Intensidad se refierea los efectos que producen
los terremotos, y se mide con la Escala de Mercalli.
Grado
I. Muy Débil
Es diferente el efecto de un terremoto con una magnitud
de 7, si la profundidad de su epicentro es de 500 mts, o
de 5 km, aunque la magnitud es la misma, la intensidad
será diferente.
VII. Muy Fuerte
El terremoto de 1985 en México, tuvo una magnitud
“única” de 8.1, pero diferentes intensidades regionales.
Incluso, la intensidad vario significativamente en a ciudad
de México, del centro de la ciudad a las periferias
cercanas a los lomeríos.
Por lo tanto, al relacionar magnitud con intensidad, se
puede asignar magnitud a sismos históricos, con el
registro de las consecuencias que este sismo dejo.
Las Escalas de medición de los sismos
Actualmente se utilizan tres escalas: la escala de
Mercalli, la Escala de Richter y la escala de Magnitud de
Momento. Aunque las últimas dos son casi las
universalmente utilizadas, cuando en una zona no se
cuanta con los instrumentos técnológicos para la
medición precisa, se continúa recurriendo a la Escala de
Mercalli, veamos más a detalle cada una:
Escala de Mercalli: Fue creada por Giusseppe Mercalli
en 1902, y no se basa en ninguna ecuación, ni en los
registros de sismógrafos, sino en el registro de los daños
producidos en las estructuras y la sensación percibida
por las personas. Esta basada en 12 grados de
intensidad, que van desde Muy débil (grado 1), hasta
Catastrófico (grado 12). En cada grado se describe el tipo
de daño presentado en las edificaciones y los efectos
producidos en la población.
57
II. Débil
III. Leve
IV. Moderado
V. Poco Fuerte
VI. Fuerte
VIII. Destructivo
IX. Ruinoso
X. Desastroso
XI. Muy Desastroso
XII. Catastrófico
Descripción
Imperceptible para la mayoría de la
población
Perceptible por algunas personas en
reposo, objetos colgantes oscilan
Perceptible en edificios, aumenta con
número de niveles.
Perceptible por la mayoria de
personas, daños leves en acabados, y
los muros crujen.
Los objetos se caen, es difícil caminar,
y se producen daños en acabados
Lo perciben todas las personas, se
dañan los acabados, y se producen
daños leves en las estructuras.
Daños mínimos en construcciones
antisísmicas, daños leves o moderados
en construcciones ordinarias, y daños
considerables en estructuras mal
construidas.
Daños
leves
en
estructuras
antisísmicas, daños considerables en
estructuras ordinarias bien construidas,
daño
severo
en
estructuras
pobremente construidas.
Pánico
generalizado,
daños
considerables
en
estructuras
antisísmicas, grandes daños en
edificios
importantes,
edificios
desplazados de sus bases.
La mayoría de las estructuras
dañadas.
Pocas estructuras quedan en pie,
sobretodo de muros de concreto y/o
mampostería.
Destrucción
total
con
pocos
sobrevivientes,
los
niveles
y
perspectivas quedan distorsionados-
La Escala de Richter: Desarrollada por Charles Richter
en 1930, consiste básicamente en asociar la magnitud
del sismo con la amplitud de la onda sísmica, lo que
redunda en propagación del movimiento en un área
determinada. Teóricamente en esta escala pueden darse
sismos de magnitud negativa, lo que corresponderá a
leves movimientos de baja liberación de energía. En
otras palabras, representa la energía sísmica liberada en
cada terremoto y se basa en el registro sismográfico. Es
una escala que crece en forma potencial o
semilogarítmica, de manera que cada punto de aumento
puede significar un aumento de energía diez o más veces
mayor. Una magnitud 4 no es el doble de 2, sino que 100
veces mayor. La ecuación desarrollada por Richter para
medir la magnitud de un sismo (M) es la siguiente:
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
M  log 10  A  3  log10  t   2.92
En donde A es la amplitud máxima de la onda S en mm,
y t es el tiempo (en sugundos) transcurrido entre el
principio de las ondas P y las S.
Escala de Magnitud de Momento: Desarrollada en
1979 por Hanks y Kanamori, es la sucesora de la escala
de Ricther. Es una escala logarítmica, basada en la
medición de la energía total que se libera en un
terremoto. Una ventaja que posee es que coincide y
continúa con los parámetros de la escala de Richter.
La magnitud de momento sísmico (Mw) resume en un
único número la cantidad de energía liberada por el
terremoto, llamada momento sísmico (M0). La “w” en el
subíndice del símbolo Mw, proviene de la palabra inglesa
“work” (trabajo). Mw coincide con las estimaciones
obtenidas con la escala de Richter. Es decir, Mw permite
entender la cantidad de energía liberada por el terremoto
(M0) en términos del resto de las escalas sísmicas. Es
por esto que se usa Mw en vez de M0 como parámetro de
escala. Los períodos de oscilación de las ondas sísmicas
grandes son proporcionales al momento sísmico (M0). Es
por esto que se suele medir la magnitud de momento Mw
a travvés de los períodos de oscilación por medio de los
sismógrafos. La relación entre Mw y M0 esta dada por la
ecuación:
Mw 
M0
2 

  log10 
 9.1
3 
N m

La magnitud del momento sísmico (Mw) se obtiene a
partir de una función logarítmica. Por tanto es una
variable adimensional. En cambi el momento sísmico
(M0) es una variable que mide emergía (fuerza x
desplazamiento). Más concretamente, el momento
sísmico (M0) es una cantidad que combina el área de
ruptura y la compensación de la falla con una medida de
la resistencia de las rocas mediante la siguiente
ecuación:
M 0    A u
Donde:
µ es el módulo de deformación de las rocas involucradas
en el terremoto. Usualmente es de 30 gigapascales.
A es el área de ruptura a lo largo de la falla geológica
donde ocurrió el terremoto.
u es el desplazamiento promedio de A.
Esta escala es la más usada hoy día por los sismólogos
para medir y comparar terremotos de grandes
proporciones. Se indica mencionando simplemente
“magnitud” (ej. magnitud 8.8) y se evita decir escala o
grados.
CÁLCULO SÍSMICO
A continuación expondremos los pasos para formular
todas las variables sísmicas, que necesitamos obtener
para calcular una estructura por sismo, cualquier
programa computaciónal también debe ser alimentado
con estas.
estaciones repetidoras
inalámbrica, y
de
comunicación
celular
Subgrupo B2: Las demás de este grupo.
Paso 2. Zonificación sísmica. Posteriormente se debe
localizar la zonificación sísmica del predio, acorde con la
zonificación del las NTC-Sismo, o si el edificio se
encuentra en cualquier otra parte de la República, se
puede utilizar la regionalización sísmica del Manual de
CFE.
Regionalización del Manual de CFE
Paso1. Clasificación del grupo del edificio. Según el
artículo 139 del RCDF los edificios se clasifican acorde
con los siguientes criterios:
Grupo A: Edificaciones cuya falla estructural podría constituir un
peligro significativo por contener sustancias tóxicas o explosivas,
así como edificaciones cuyo funcionamiento es esencial a raíz
de una emergencia urbana, como: hospitales, escuelas,
terminales de transporte, estaciones de bomberos, centrales
eléctricas y de telecomunicaciones, estadios, depósitos de
sustancias flamables o tóxicas, museos y edificios que alojen
archivos y registros públicos de particular importancia, y otras
edificaciones a juicio de la Secretaría de Obras y Servicios.
Grupo B: Edificaciones comunes destinadas a viviendas,
oficinas y locales comerciales, hoteles y construcciones
comerciales e industriales no incluidas en el Grupo A, las que se
subdividen en:
Subgrupo B1: Edificaciones de más de 30 m de altura o
con más de 6,000 m2 de área total construida, ubicadas en
las zonas I y II a que se aluden en el artículo 170 de este
Reglamento, y construcciones de más de 15 m de altura o
más de 3,000 m2 de área total construida, en zona III; en
ambos casos las áreas se refieren a un solo cuerpo de
edificio que cuente con medios propios de desalojo: acceso
y escaleras, incluyendo las áreas de anexos, como pueden
ser los propios cuerpos de escaleras. El área de un cuerpo
que no cuente con medios propios de desalojo se adicionará
a la de aquel otro a través del cual se desaloje;
Edificios que tengan locales de reunión que puedan alojar
más de 200 personas, templos, salas de espectáculos, así
como anuncios autosoportados, anuncios de azotea y
58
y/o
Zonificación sísmica según las NTC-Sísmo
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Zona Sísmica
(Estructuras del grupo B)
Tipo de Suelo
Coeficiente
Sísmico
I
0.08
II
0.16
III
0.20
I
0.14
B
II
0.30
III
0.36
I
0.36
C
II
0.64
III
0.64
I
0.50
D
II
0.86
III
0.86
Nota: Para las Estructuras del grupo A estos valores deberán
multiplicarse por 1.5
A
Los tipos de suelo a los cuales se refiere la tabla de los
coeficientes de CFE son los siguientes:
Tipo I. Terreno firme: Depósitos de suelo formados solamente
po r estratos con velocidades de propagación βo ≥ 700 m/s o
2
módulos de rigidez Go ≥ 85000 t/m .
Tipo II. Terrenointermedio: Depósitos de suelo con periodo
fundamental de vibración y velocidad efectiva de propagación
tales que se cumpla la relación:
 c  Ts   s  Tc   c  Tc
Paso 3. Obtención del Coeficiente sísmico. Acorde
con las NTC-Sísmo, los coeficientes sísmicos que
corresponden al tipo de edificación y zonificación son los
siguentes:
“El coeficiente sísmico para las edificaciones clasificadas como
del grupo B en el artículo 139 del Reglamento se tomará igual a
0.16 en la zona I, 0.32 en la II, 0.40 en las zonas IIIa y IIIc, 0.45
en la IIIb y 0.30 en la IIId, a menos que se emplee el método
simplificado de análisis, en cuyo caso se aplicarán los
coeficientes que fija el Capítulo 7 (tabla 7.1). Para las
estructuras del grupo A se incrementará el coeficiente sísmico
en 50 por ciento.”
El coeficiente sísmico para el resto de la República
Mexicana se puede obtener con la tabla 3.1 del Manual
de CFE, a continuación reproducimos solamente la parte
de coeficientes sísmicos.
Coeficientes Sísmicos, Manual CFE
Tipo III. Terreno blando: Depósitos de suelo con periodo
fundamental de vibración y velocidad efectiva de propagación
tales que se cumple con la relación.
 c  Ts   s  Tc   c  Tc
Paso 4. Obtención del Factor de Comportamiento
Sísmico (Q). Según las NTC-Sísmo, los valores de Q
serán los siguientes:
Requisitos para Q= 4.
Se usará Q= 4 cuando se cumplan los requisitos siguientes:
a) La resistencia en todos los entrepisos es suministrada
exclusivamente por marcos no contraventeados de acero,
concreto reforzado o compuestos de los dos materiales, o
bien por marcos contraventeados o con muros de concreto
reforzado o de placa de acero o compuestos de los dos
materiales, en los que en cada entrepiso los marcos son
capaces de resistir, sin contar muros ni contravientos,
cuando menos 50 por ciento de la fuerza sísmica actuante.
59
b) Si hay muros de mampostería ligados a la estructura en la
forma especificada en la sección 1.3.1, éstos se deben
considerar en el análisis, pero su contribución a la
resistencia ante fuerzas laterales sólo se tomará en cuenta
si son de piezas macizas, y los marcos, sean o no
contraventeados, y los muros de concreto reforzado, de
placa de acero o compuestos de los dos materiales, son
capaces de resistir al menos 80 por ciento de las fuerzas
laterales totales sin la contribución de los muros de
mampostería.
c) El mínimo cociente de la capacidad resistente de un
entrepiso entre la acción de diseño no difiere en más de 35
por ciento del promedio de dichos cocientes para todos los
entrepisos. Para verificar el cumplimiento de este requisito,
se calculará la capacidad resistente de cada entrepiso
teniendo en cuenta todos los elementos que puedan
contribuir a la resistencia, en particular los muros que se
hallen en el caso de la sección 1.3.1. El último entrepiso
queda excluido de este requisito.
d) Los marcos y muros de concreto reforzado cumplen con
los requisitos que fijan las Normas correspondientes para
marcos y muros dúctiles.
e) Los marcos rígidos de acero satisfacen los requisitos para
marcos con ductilidad alta que fijan las Normas
correspondientes, o están provistos de contraventeo
excéntrico de acuerdo con las mismas Normas.
Requisitos para Q= 3
Se usará Q= 3 cuando se satisfacen las condiciones 5.1.b y
5.1.d ó 5.1.e y en cualquier entrepiso dejan de satisfacerse las
condiciones 5.1.a ó 5.1.c, pero la resistencia en todos los
entrepisos es suministrada por columnas de acero o de concreto
reforzado con losas planas, por marcos rígidos de acero, por
marcos de concreto reforzado, por muros de concreto o de placa
de acero o compuestos de los dos materiales, por
combinaciones de éstos y marcos o por diafragmas de madera.
Las estructuras con losas planas y las de madera deberán
además satisfacer los requisitos que sobre el particular marcan
las Normas correspondientes. Los marcos rígidos de acero
satisfacen los requisitos para ductilidad alta o están provistos de
contraventeo concéntrico dúctil, de acuerdo con las Normas
correspondientes.
Requisitos para Q= 2
Se usará Q= 2 cuando la resistencia a fuerzas laterales es
suministrada por losas planas con columnas de acero o de
concreto reforzado, por marcos de acero con ductilidad reducida
o provistos de contraventeo con ductilidad normal, o de concreto
reforzado que no cumplan con los requisitos para ser
considerados dúctiles, o muros de concreto reforzado, de placa
de acero o compuestos de acero y concreto, que no cumplen en
algún entrepiso lo especificado por las secciones 5.1 y 5.2 de
este Capítulo, o por muros de mampostería de piezas macizas
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
confinados por castillos, dalas, columnas o trabes de concreto
reforzado o de acero que satisfacen los requisitos de las Normas
correspondientes.
También se usará Q= 2 cuando la resistencia es suministrada
por elementos de concreto prefabricado o presforzado, con las
excepciones que sobre el particular marcan las Normas
correspondientes, o cuando se trate de estructuras de madera
con las características que se indican en las Normas
respectivas, o de algunas estructuras de acero que se indican en
las Normas correspondientes.
Requisitos para Q= 1.5
Se usará Q= 1.5 cuando la resistencia a fuerzas laterales es
suministrada en todos los entrepisos por muros de mampostería
de piezas huecas, confinados o con refuerzo interior, que
satisfacen los requisitos de las Normas correspondientes, o por
combinaciones de dichos muros con elementos como los
descritos para los casos de las secciones 5.2 y 5.3, o por
marcos y armaduras de madera, o por algunas estructuras de
acero que se indican en las Normas correspondientes.
Requisitos para Q= 1
Se usará Q = 1 en estructuras cuya resistencia a fuerzas
laterales es suministrada al menos parcialmente por elementos o
materiales diferentes de los arriba especificados, a menos que
se haga un estudio que demuestre, a satisfacción de la
Administración, que se puede emplear un valor más alto que el
que aquí se especifica; también en algunas estructuras de acero
que se indican en las Normas correspondientes.
En todos los casos se usará para toda la estructura, en la
dirección de análisis, el valor mínimo de Q que corresponde a
los diversos entrepisos de la estructura en dicha dirección.
El factor Q puede diferir en las dos direcciones ortogonales en
que se analiza la estructura, según sean las propiedades de ésta
en dichas direcciones.
Paso 5. Obtención del factor de reducción de fuerzas
sísmicas (Q´). Las NTC-Sísmo, determinan que el
coeficiente sísmico puede ser reducido al dividirse entre
el valor de Q´, acorde con las siguientes ecuaciones:
Si se desconoce T, o si T ≥ Ta, entonces:
Q´ Q
Si T < Ta, entonces:
T
Q´ 1   Q  1
Ta
T es igual al periodo fundamental de vibración de la
estructura, Ta es un periodo característico del espectro
de diseño que se define en la tabla 3.1 de las NTCSismo. A continuación se reproduce esta parte de la tabla
3.1
Zona
I
II
IIIa
IIIb
IIIc
IIId
Valores de Ta (NTC-Sis)
Coef. Sísmico
0.16
0.32
0.40
0.45
0.40
0.30
Ta
0.2
0.2
0.53
0.85
1.25
0.85
Para el caso de la República, reproducimos los valores
de la tabla 3.1 del manual de CFE:
Zona Sísmica
A
B
C
D
Valores Ta (Manual CFE)
Tipo de Suelo
Ta
I
II
III
I
II
III
I
II
III
I
II
III
0.2
0.3
0.6
0.2
0.3
0.6
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
Paso 6. Obtención de las condiciones de regularidad.
En este paso se debe determinar, acorde con las
características físicas de la estructura si es regular,
irregular o fuertemente irregular. Los parámetros que
manejan las NTC-Sismo (apartado 6) son las siguientes:
Estructura regular
Para que una estructura pueda considerarse regular debe
satisfacer los siguientes requisitos.
1) Su planta es sensiblemente simétrica con respecto a dos
ejes ortogonales por lo que toca a masas, así como a muros
y otros elementos resistentes. Éstos son, además,
sensiblemente paralelos a los ejes ortogonales principales
del edificio.
60
2) La relación de su altura a la dimensión menor de su base
no pasa de 2.5.
3) La relación de largo a ancho de la base no excede de 2.5.
4) En planta no tiene entrantes ni salientes cuya dimensión
exceda de 20 por ciento de la dimensión de la planta medida
paralelamente a la dirección que se considera del entrante o
saliente.
5) En cada nivel tiene un sistema de techo o piso rígido y
resistente.
6) No tiene aberturas en sus sistemas de techo o piso cuya
dimensión exceda de 20 por ciento de la dimensión en
planta medida paralelamente a la abertura; las áreas huecas
no ocasionan asimetrías significativas ni difieren en posición
de un piso a otro, y el área total de aberturas no excede en
ningún nivel de 20 por ciento del área de la planta.
7) El peso de cada nivel, incluyendo la carga viva que debe
considerarse para diseño sísmico, no es mayor que 110 por
ciento del correspondiente al piso inmediato inferior ni,
excepción hecha del último nivel de la construcción, es
menor que 70 por ciento de dicho peso.
8) Ningún piso tiene un área, delimitada por los paños
exteriores de sus elementos resistentes verticales, mayor
que 110 por ciento de la del piso inmediato inferior ni menor
que 70 por ciento de ésta. Se exime de este último requisito
únicamente al último piso de la construcción. Además, el
área de ningún entrepiso excede en más de 50 por ciento a
la menor de los pisos inferiores.
9) Todas las columnas están restringidas en todos los pisos
en dos direcciones sensiblemente ortogonales por
diafragmas horizontales y por trabes o losas planas.
10) Ni la rigidez ni la resistencia al corte de ningún entrepiso
difieren en más de 50 por ciento de la del entrepiso
inmediatamente inferior. El último entrepiso queda excluido
de este requisito.
11) En ningún entrepiso la excentricidad torsional calculada
estáticamente, es, excede del diez por ciento de la
dimensión en planta de ese entrepiso medida paralelamente
a la excentricidad mencionada.
Estructura irregular
Toda estructura que no satisfaga uno o más de los requisitos de
la sección 6.1 será considerada irregular.
Estructura fuertemente irregular
Una estructura será considerada fuertemente irregular si se
cumple alguna de las condiciones siguientes:
1) La excentricidad torsional calculada estáticamente, es,
excede en algún entrepiso de 20 por ciento de la dimensión
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
en planta de ese entrepiso, medida paralelamente a la
excentricidad mencionada.
2) La rigidez o la resistencia al corte de algún entrepiso
exceden en más de 100 por ciento a la del piso
inmediatamente inferior.
Paso 7. Corrección por irregularidad de Q´. El factor
de reducción Q´se debera multiplicar por 0.9 si no se
cumple con uno (1) de los once ruequisitos de las
estructuras regulares, se multiplicará por 0,8 si no
cumplecon dos o mas; y por 0.7 cuando sea una
estructura fuertemente irregular.
Paso 8. Obtención del coeficiente símico corregido.
Una vez que se tiene el valor del factor de reducción Q´
coregido por irregularidad o no, se procede a dividir el
coeficiente sísmico (c) entre el factor de correción Q´.
Paso 9. Obtención de los efectos bidireccionales.
Acorde con las NTC-Sismo (apartado 8.7) se debe
analizar el sismo al 100% en la dirección más
desfaborable de la estructura, y simultamenamente con
el 30% en la dirección oeroendicular a esta:
“Los efectos de ambos componentes horizontales del
movimiento del terreno se combinarán tomando, en cada
dirección en que se analice la estructura, el 100 por ciento de los
efectos del componente que obra en esa dirección y el 30 por
ciento de los efectos del que obra perpendicularmente a ella,
con los signos que resulten más desfavorables para cada
concepto.”
Valores de los parámetros para calcular los espectros de
aceleraciones (NTC-Sismo 3.1)
Zona
c
a0
Ta
Tb
r
I
II
IIIa
IIIb
IIIc
IIId
0.16
0.32
0.40
0.45
0.40
0.30
0.04
0.08
0.10
0.11
0.10
0.10
0.2
0.2
0.53
0.85
1.25
0.85
1.35
1.35
1.8
3.0
4.2
4.2
1
1.33
2.0
2.0
2.0
2.0
Para el resto de la República se utiliza la tabla 3.1 del
Manual de CFE, que a continuación reproducimos:
Espectros de diseño para estructuras del grupo B
Zona
Tipo
Suelo
a0
c
A
I
0.02
0.08
II
0.04
0.16
III
0.05
0.20
B
I
0.04
0.14
II
0.08
0.30
III
0.10
0.36
C
I
0.36
0.36
II
0.64
0.64
III
0.64
0.64
D
I
0.50
0.50
II
0.86
0.86
III
0.86
0.86
Nota: Para las Estructuras del grupo A
multiplicarse por 1.5
Ta
Tb
r
0.2
0.6
1/2
0.3
1.5
2/3
0.6
2.9
1
0.2
0.6
½
0.3
1.5
2/3
0.6
2.9
1
0.0
0.6
1/2
0.0
1.4
2/3
0.0
1.9
1
0.0
0.6
1/2
0.0
1.2
2/3
0.0
1.7
1
estos valores deberán
Paso 10. Obtención del Espectro de Diseño Sísmico.
Este espectro solamente se requiere cuando se realiza
un análisis sísmico modal, en donde “a” se define como
la ordenada de los espectros de diseño, como fracción de
la aceleración de la gravedad, que se calcula con las
ecuaciones:
Si T < Ta →
Si Ta ≤ T ≤ Tb →
Si T > Tb →
En donde:
ao = valor de a que corresponde a T = 0 (NTC); es el
coeficiente de aceleración del terreno (CFE)
Ta y Tb = periodos característicos de los espectros de
diseño (NTC); son los periodos característicos que
delimitan la meseta
c = coeficiente sísmico (NTC y CFE)
r = exponente en las expresiones para el cálculo de las
ordenadas de los espectros de díselo (NTC); exponente
que define la parte curva del espectro de diseño.
La ecuación que determina los valores para calcular la
curva del espectro es la siguiente:
 Tb 
c  
 t 
r
Donde t es el tiempo propuesto (en segundos) en la
ordenada tempotal de la gráfica.
Como se puede apreciar, la grafica del espectro de
diseño sísmico, es una idealización de cómo se comporta
el sismo en un lugar determinado; el valor de ao es la
aceleración del terreno al inicio del sismo, Ta es el
tiempo en el que el sismo va del valor inicial ao hasta
alcanzar el coeficiente sísmico (descrito por una recta), y
Tb es el tiempo en el que el sismo mantiene la fuerza
máxima alcantaza (c). Posteriormente, la fuerza sísmica
decrece describiendo una curva.
Ejemplo: Cálculo de Espectro de Aceleraciones
Sísmicas
T
a  a0  c  a0  
Ta
ac
a  qc
Datos:
q  Tb T 
r
Los parámetros que intervienen en estas ecuaciones se
obtienen de la tabla 3.1 de las NTC-Sis, que a
continuación reproducimos:
este caso marca 3 curvas para 3 direfentes zonas) en
este incluimos los valores de ao, Ta y Tb, que siempre
nos dan las tablas de los reglamentos, a continuación
damos las definiciones de cada uno de estos valores
según las NTC y CFE:
En la gráfica superior, podemos apreciar un ejemplo de la
gráfica de espectro de aceleraciones sísmicas, (que en
61
Reglamento:
NTC
Zonificación:
Tipo Suelo
Grupo:
IIIa
II
A
F.I.:
1.5
Est. Regular
No
(Reglameto utilizado para el cálculo
sísmico: NTC, CFE, etc.)
(Figura 1.1 NTC-Sismo: Figura 3.1 CFE)
(I, II o III solo para CFE secc. 3.1.2)
(Art. 139 RCDF; secc. 3.2.2 CFE)
(Factor de Importancia = 1.5 Gripo A, y
1.0 para demás grupos NTC y CFE)
(Num. 6.1 NTC-Sismo;0.9, 0.8, ó 0.7)
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Valor de Q:
2
Valor de Q’:
0.7
Valor de ao:
0.1
Valor de c:
0.4
Valor de Ta:
0.53
Valor de Tb:
1.8
Valor de r:
Cd:
2
0.429
(Factor de Comportamiento Sísmico,
num. 5 NTC-Sismo; y secc. 3.2.4 CFE)
(Corrección de Irregularidad; num. 6.4
NTC-Sismo; y secc. 2.3.5 CFE)
(Coef. de Aceleración del Terreno;
Tabla 3.1 NTC-Sismo; Tabla 3.1 CFE)
(Coef. Sísmico; Tabla 3.1 NTC-Sismo;
Tabla 3.1 CFE)
(Periodo al inicio de meseta; Tabla 3.1
NTC-Sismo; Tabla 3.1 CFE)
(Periodo de término de meseta: Tabla
3.1 NTC-Sismo; Tabla 3.1 CFE)
Exponente que define la curva del
Espectro; Tabla 3.1 NTC-Sismo; Tabla
3.1 CFE)
(Coef. Sismico de Diseño; calculado con
la equación 1)
Las tres ecuaciones que utilizamos para calcular los
valores del Coeficiente de Diseño (ec. 1), los valores de
la curva del espectro (ec. 2), y los valores de la curva del
espectro modificado (ec. 3) son las siguientes:
 c  FI 
 Q  Q '   (ec.1)


r
0.100
0.090
ec. 2
ec. 2
 Tb 
Cd     (ec.3)
 t 
Valor de ao
Valor de Ta
Valor de Tb
Propuesto (t)
Propuesto (t)
Propuesto (t)
Propuesto (t)
Propuesto (t)
Propuesto (t)
Propuesto (t)
Propuesto (t)
Propuesto (t)
Propuesto (t)
ec.
ec.
ec.
ec.
ec.
ec.
ec.
ec.
ec.
ec.
ec.
ec.
ec.
1
1
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2) Se determina el coeficiente sísmico corregido (Csis)
3) Se calcula el “Cortante Basal” (Vo) o la fuerza
sísmica total en la base del edificio:
Vo  Pte  C sis
4) Se determina el peso tatal de cada nivel (W n)
ec.
ec.
ec.
ec.
ec.
ec.
ec.
ec.
2
2
2
2
2
2
2
2
(Vo). La fuerza sísmica de cada nivel (Fsisn) es el valor
del centro de masa de cada nivel.
6) Se calcula el centroide de masa de cada nivel, y
Valores de Diseño
Tiempo (s)
Aceleración
0
0.1
0.53
0.429
1.8
0.429
2
0.347
2.2
0.287
2.4
0.241
2.6
0.205
2.8
0.177
3
0.154
3.2
0.136
3.4
0.120
3.6
0.107
3.8
0.096
1) Se calcula el peso total del edificio (Pte)
r
Valor de ao
Valor de Ta
Valor de Tb
Propuesto (t)
Propuesto (t)
Propuesto (t)
Propuesto (t)
Propuesto (t)
Propuesto (t)
Propuesto (t)
Propuesto (t)
3.6
3.8
Paso 11. Determinación de los centros de masas y
sus valores. Si se realizará el análisis sísmico modal,
además del espectro de aceleraciones, se deben obtener
los centros de masas de cada nivel (o de la estructura o
tramo) y sus respectivos valores, para poder analizarlo
de esta manera como un péndulo invertido. Los pasos a
seguir son los siguientes:
 Tb 
c     (ec.2)
 t 
Valores Reales
Tiempo (s)
Aceleración
0
0.1
0.53
0.4
1.8
0.4
2
0.324
2.2
0.268
2.4
0.225
2.6
0.192
2.8
0.165
3
0.144
3.2
0.127
3.4
0.112
Propuesto (t)
Propuesto (t)
5) Se calcula la fuerza sísmica en cada nivel (Fsisn):
Fsis n 
Wn  hn
 Vo 
 Wn  hn 
El facor hn es la altura de cada nivel respecto al suelo o
nivel cero del análisis. La suma de todas las fuerzas
sísmicas (Fsisn1,n2,…) debe ser igual al cortante Basal
62
7) Se colocan los centroides de masa, y se asigna su
valor (en el caso de utilizar un programa
computacional).
Paso 12. Determinación de la fuerza horizontal
equivalente. El método de la fuerza horizontal
equivalente se debe utilizar en caso que existan
diferencias significativas entre el centroide de masas y el
centroide de rigideces del edificio. El procedimiento es el
siguiente:
8) Se calcula el centroide de rigidez de cada nivel y
su distancia respecto al centro de masas (en X e Y)
9) Se calclan los momentos torsionantes de cada
nivel:
Mxn1  Fsis n1  exn1
10) Se introducen los centroides de rigidez y sus
valores para X e Y (en el caso de programas
computacionales).
d) Cargas por viento
A continuación describiremos la metodología de cálculo
de las cargas popr viento (presión del viento) según las
Normas Técnicas Complementarias para Diseño por
Viento (NTC-Viento), y el Manual de Diseño por Viento
de la Comisión Federal de Elecricidad (CFE-Viento). Es
importante precisar que las NTC-Viento realizan algunas
simplificaciones en sus ecuaciones, partiendo de la altura
media sobre el nivel del mar de la Ciudad de México y su
respectiva presión barométrica; por lo cual esta norma
debe utilizarse exclusivamente para la Ciudad de México
y su Zona Metropolitana. Para el resto de la República
debe utilizarse la metodología del Manual de CFE.
CALCULO SEGÚN NTC-Viento
Paso 1. Determianción de la velocidad regional del
viento (VR). Esta velocidad se puede tomar de la
regionalización eolica de la República Mexicana (Manual
CFE), o de la tabla 3.1 de las NTC-Viento. Esta tabla
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
únicamente incluye las delegaciones del DF, por lo cual,
si se esta en un municipio de la ZMCM se recomienda
tomar el valor del Manual de CFE.
realizar las respectivas conversiones si se cruzan los
datos.
Paso 2. Determinación del factor de variación con la
altura (Fα). Este factor establece la variación de la
velocidad del viento con respecto a la altura (z). Se
obtiene con las siguientes ecuaciones:
REGIONALIZACIÓN EÓLICA DE MÉXICO (CFE)
Si z ≤ 10 m →
Si 10 m < z < δ →
Si z ≥ δ →
F  1.0
F   z 10 

F   10 

En donde:
δ = altura gradiente, medida a partir del nivel del
terreno de desplante, por encima de la cual la
variación de la velocidad del viento no es importante y
se puede suponer constante; δ y z están dadas en
metros; y
Zona
1
2
3
4
5
6
7
Km/h
90
125
115
160
80
150
80
α = exponente que determina la forma de la variación
de la velocidad del viento con la altura.
m/s
25
34.7
32
44.5
22.2
41.6
22.2
Los coeficientes δ y α estan en función de la rugosidad
del terreno y se define con la tabla 3.2 de las NTCViento, que reproducimos a continuación:
Rugosidad del terreno, δ y α (NTC-Viento 3.2)
Tipos de terreno
α
δ, m
Velocidades regionales (VR) en m/s
NTC-Viento (tabla 3.1)
Retorno en años →
Zona I. Delegaciones: A.
Obregón, Azcapotzalco,
B. Juárez, Coyoacán,
Cuauhtémoc, GA Madero,
Iztacalco, Iztapalapa, M.
Hidalgo, V. Carranza
Zona II. Delegaciones: M.
Contreras, Cuajimalpa,
Milpa Alta, Tlalpan y
Xochimilco
Importancia de la Construcción
A
B
Temporal
200
50
10
39
35
36
32
31
28
Nota: las NTC consideran la velocidad del viento en m/s
y el Manual de CFE en km/hr; por lo cual es importante
R1 = Escasas o nulas obstrucciones al
flujo de viento, como en campo abierto
R2 = Terreno plano u ondulado con
pocas obstrucciones
R3 = Zona típica urbana y suburbana.
El sitio está rodeado
predominantemente por
construcciones de mediana y baja
altura o por áreas arboladas y no se
cumplen las condiciones del Tipo R4
R4 = Zona de gran densidad de
edificios altos. Por lo menos la mitad
de las edificaciones que se encuentran
en un radio de 500 m alrededor de la
estructura en estudio tiene altura
superior a 20 m
0.099
245
0.128
315
0.156
390
0.170
455
Paso 3. Determinación del Factor correctivo por
topografía y rugosidad (FTR). Este factor se toma de la
tabla 3.3 de las NTC-Viento que a continuación
reproducimos:
63
Factor FTR (NTC-Viento)
Tipos de topografía
T1 = Base protegida de
promontorios y faldas de
serranías del lado de
sotavento
T2 = Valles cerrados
T3 = Terreno prácticamente
plano, campo abierto,
ausencia de cambios
topográficos importantes,
con pendientes menores de
5% (normal)
T4 = Terrenos inclinados
con pendientes entre 5 y
10%
T5 = Cimas de
promontorios, colinas o
montañas, terrenos con
pendientes mayores de
10%, cañadas o valles
cerrados.
Rugosidad de terrenos en
alrededores
Terreno
Terreno
Tereno
tipo R2
tipo R3
tipo R4
0.80
0.70
0.66
0.90
1.00
0.79
0.88
0.74
0.82
1.10
0.97
0.90
1.20
1.06
0.98
Paso 4. Determinación de la velocidad de diseño (VD).
La velocidad de diseño del viento se obtiene con la
siguiente ecuación:
VD  FTR  F  VR
(m/s)
Paso 5. Determinación de los coeficientes de presión
(CP). Estos coeficientes se obtienen según el tipo y forma
de la construcción, a continuación reproducimos las
tablas 3.4, 3.6, 3.7, 3.8 y 3.13 de las NTC-Viento, de
donde se puede obtener el coeficiente, y que también
son las más utilizadas:
Coeficiente CP para construcciones cerradas
(NTC-Viento 3.4)
Tipo
CP
Pared de barlovento
1
Pared de sotavento
Paredes laterales
Techos planos
Techos inclinados lado de
sotavento
Techos inclinados lado de
0.8
─ 0.4
─ 0.8
─ 0.8
─ 0.7
─ 0.8 < 0.04θ ─ 1.6 < 1.8
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
2
barlovento
1
La succión se considerará constante en toda la altura de la
pared de sotavento y se calculará para un nivel z igual a la altura
media del edificio.
2
θ es el ángulo de inclinación del techo en grados.
Coeficiente CP para el viento normal a un anuncio o
muro (NTC-Viento 3.6)
Coeficiente de presión neta (CP)
Anuncios
Muros
0 < he/H < 0.2
0.2 ≤ he/H ≤ 0.7
1.2+0.02 (d/he−5)
1.5
1.2
H = altura total del anuncio o muro
he = altura del exclusiva del anuncio (sin estructura inferior)
d = longitud (horizontal) del anuncio o muro
La tabla 3.6 se aplica para anuncios con 1≤d/H≤20. Si d/he o d/H
es mayor que 20, el coeficiente de presión será igual a 2.0
En el caso de muros, si d/H es menor que 1.0, el coeficiente de
presión también será igual a 2.0
la dirección del viento
Aberturas uniformes distribuidas en las cuatro
caras
− 0.3
Coeficiente CP para estructuras reticulares (NTCviento 3.3.3). Para el diseño de estructuras reticulares
como las formadas por trabes de alma abierta y
armaduras a través de las que pasa el viento, se usará
un coeficiente de presión igual a 2.0, cuando están
construidas por elementos de sección transversal plana y
de 1.3 cuando los elementos constitutivos son de sección
transversal circular.
Coeficiente CP para el viento a 45° sobre el anuncio o
muro (NTC-Viento 3.7)
Coeficiente de presión neta (CP) en zonas
de anuncios o muros
Distancia horizontal medida a partir del borde libre de
barlovento del anuncio o muro
Anuncios
Muros
0 a 2he
2he a
> 4he
0 a 2H
2H a
> 4H
4he
4H
3.0
1.5
0.75
2.4
1.2
0.6
Para las paredes y anuncios planos con aberturas, las presiones
se reducirán con el factor dado por  2    donde Φ es la
Paso 6. Determinación de la presión de diseño (pz).
La presión que ejerce un flujo de viento sobre una
2
construcción (pz) se obtiene en kg/m (MPa), acorde con
la siguiente ecuación:
Factores de forma para
diseño por viento
p z  0.048  C P  VD
p
relación de solidez del anuncio o muro
Coeficiente CP para el viento paralelo al plano del
anuncio o muro (NTC-Viento 3.8)
Coeficiente de presión neta (CP) en zonas
de anuncios o muros
Distancia horizontal medida a partir del borde libre de
barlovento del anuncio o muro
Anuncios
Muros
0 a 2he
2he a
> 4he
0 a 2H
2H a
> 4H
4he
4H
± 1.2
± 0.6
± 0.3
± 1.0
± 0.5
± 0.25
 0.47  C P  VD
2
(kg/m2)

(MPa)
CALCULO SEGÚN CFE-Viento
Presión del viento conforme aumenta la altura de un
edificio (Zona 5 de México)
Paso 1. Clasificación de la estructura según su
importancia. Esta clasificación es la correspondiente al
apartado 4.3 del Manual CFE-Viento, y se reproduce a
continuación:
Grupo A. Estructuras para las que se recomienda un grado
de seguridad elavado. Pertenecen a este grupo aquéllas que
en caso de fallar causarían la pérdida de un número
importante de vidas, o prejuicios económicos o culturales
excepcionalmente altos; asimismo, las construcciones y
depósitos cuya falla implique un peligro significativo por
almacenar o contener sustancias tóxicas o inflamables, así
como aquéllas cuyo funcionamiento es imprescindible y
debe continuar después de la la ocurrencia de vientos
Coeficiente CP para presiones
interiores (NTC-Viento 3.13)
Tipología
Aberturas principalmente en la cara de barlovento
Aberturas principalmente en la cara de sotavento
Aberturas principalmente en las caras paralelas a
z
2
CP
0.75
− 0.6
− 0.5
64
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
fuertes tales como los provocados por huracanes. Quedan
excluidos los depósitos y las estructuras enterradas.
Grupo B. Estructuras para las que se recomienda un grado
de seguridad moderado. Se encuentran dentro de este
grupo aqéllas que en caso de fallar, representean un bajo
riesgo de pérdida de vidas humanas y que ocacionarían
daños materiales de magnitud intermedia.
Grupo C. Estructuras para las que se recomienda un bajo
grado de seguridad. Son aquellas cuya falla no implica
graves consecuencias, ni puede causar daños a
construcciones de los grupos A y B.
Paso 2. Clasificación de la estructura según su
respuesta ante la acción del viento. Esta clasificación
es la correspondiente al apartado 4.4 del Manual CFEViento, y se reproduce a continuación:
Tipo 1. Estructuras poco sensibles a las ráfagas y a los
efectos dinámicos del viento. Abarca todas aquellas en las
que la relación de aspecto λ (definida como el cociente entre
la altura y la menor dimensión en planta), es el menor o igual
a cinco y cuyo periodo natural de vibración es menor o igual
a un segundo. Pertenecen a este tipo, por ejemplo, la
mayoría de los edificios para habitación u oficinas, bodegas,
naves industriales, teatros y auditorios, puentes cortos y
viaductos.
Tipo 2. Estructuras que por su alta relación de aspecto o
dimensiones reducidas de su sección transversal son
especialmente sensibles a las rafagas de corta duración
(entre 1 y 5 segundos) y cuyos periodos naturales largos
favorecen a la ocurrencia de oscilaciones importantes en la
dirección del viento. Dentro de este tipo se encuentran los
edificios con relación de aspecto, λ, mayor que cinco o con
periodo fundamental mayor que un segundo. Se incluyen
también, por ejemplo, las torres de celosía atirantadas y las
autosoportadas para líneas de transmisión, chimeneas,
tanques elevados, antenas, bardas, parapetos, anuncios y,
en general, las construcciones que presentan unadimensión
muy corta paralela a la dirección del viento.
Tipo 3. Estas estructuras, además de reunir todas las
caracterísrticas de las del tipo 2, presentan oscilaciones
importantes transversales al flujo de los vientos provocados
por la aparición períodica de vórtices o remolinos con ejes
paralelos a la dirección del viento. En este tipo se incluyen
las construcciones y elementos aproximadamente cilíndricos
o prismáticos esbeltos, tales como chimeneas, tuberías
exteriores o elevadas, arbotantes para iluminación, postes
de distribución y cables de líneas de transmisión.
Tipo 4. Estructuras que por su forma o por lo largo de sus
periiodos de vibración (periodos naturales mayores que un
segundo), presentan problemas aerodinámicos especiales.
Entre ellas se hallan las formas aerodinámicas inestables
como son los cables de líneas de transmisión, las tuberías
colgantes y las antenas parabólicas.
Paso 3. Determinación de la categoría del terreno
según su rugosidad. Esta clasificación se obtiene de la
tabla I.1 del apartado 4.6.1 del Manual CFE-Viento, y se
reproduce a continuación:
Cat.
1
2
3
4
Categoría del terreno según su
rugosidad (CFE-Viento I.1)
Descripción
Limitaciones
Terreno abierto,
prácticamente plano y sin
obstrucciones. (Ej. franjas
costerasplanas, campos
aéreos, pastizales, tierras
de cultivo, superficies
nevadas).
Terreno plano u ondulado
con pocas obstrucciones
(Ej. campos de cultivo,
granjas,
construcciones
dispersas).
Terreno
cubierto
por
numerosas obstrucciones
estrechamente
espaciadas. (Ej. Áreas
urbanas, suburbanas y de
bosques, el tamaño de las
construcciones
corresponde al de casas y
viviendas).
Terreno con numerosas
obstrucciones largas,
altas y estrechamente
espaciadas. (Ej. Centros
de grandes ciudades y
complejos industriales
bien desarrollados).
La longitud mínima de
este tipo de terreno en la
dirección del viento debe
ser de 2000 m o 10 veces
la altura de la
construcción por diseñar,
la que sea mayor
Las obstrucciones tienen
alturas de 1.5 a 10 m, en
una longitud mínima de
1500 m.
A
B
C
Todo elemento de recubrimiento de fachadas, de
ventanerías y de techumbres y sus respectivos
sujetadores. Todo elemento estructural aislado,
expuesto directamente a la acción del viento.
Asimismo, todas las construcciones cuya mayor
dimensión, ya sea horizontal o vertical, sea menor
de 20 mts.
Todas las construcciones cuya dimensión, ya sea
horizontal o vertical, varíe entre 20 y 50 mts.
Todas las construcciones cuya mayor dimensión, ya
sea horizontal o vertical, sea mayor que 50 mts.
Paso 5. Determinación de la Velocidad Regional (VR)
del viento. Este valor se obtiene de los mapas de
regionalización éolica del apartado 4.6.2 del Manual
CFE-Viento.
A continuación se reproduce la
regionalización éolica general (nota: para las ecuaciones
de la CFE se requiere el valor en km/hr), pero en dicho
apartado del manual, se pueden encontrar mapas más
detallados.
REGIONALIZACIÓN EÓLICA DE MÉXICO (CFE)
Las
obstrucciones
presentan alturas de 3 a 5
m. La longitud mínima de
este tipo de terreno en la
dirección del viento debe
ser 500m o 10 veces la
altura de la construcción,
la que sea mayor.
Por lo menos el 50% de
los edificios tiene una
altura mayor que 20 m.
Las obstrucciones miden
de 10 a 30 m de altura. La
longitud mínima de este
tipo de terrenoen la
dirección del viento dede
ser la mayor entre 400 m
y 10 veces la altura de la
construcción.
Paso 4. Determinación de la clase de estructura
según su tamaño. Esta clasificación se obtiene de la
tabla I.2 del apartado 4.6.1 del Manual CFE-Viento, y se
reproduce a continuación:
Clase de Estructura según su Tamaño
65
(CFE-Viento I.2)
Descripción
Clase
Zona
1
2
3
4
5
6
7
Km/h
90
125
115
160
80
150
80
m/s
25
34.7
32
44.5
22.2
41.6
22.2
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Paso 6. Determinación del Factor de tamaño (FC). Este
valor se obtiene de la tabla I.3 del apartado 4.6.3.1 del
Manual CFE-Viento, acorde con la Clase de Estructura
según se Tamaño del paso a. A continuación se
reproduce dicha tabla:
F  FC  FRZ
Factor de Tamaño (FC) (CFE-Viento I.3)
Clase de Estructura
FC
A
1.0
B
0.95
C
0.9
Paso 9. Determinación del Factor de topografía (FT).
Este valor se obtiene con la tabla I.5 del apartado 4.6.4
del Manual CFE-Viento, que a continuación se
reproduce:
Paso 7. Determinación del Factor de rugosidad y
altura (FRZ). Este valor se obtiene con las ecuaciones del
apartado 4.6.3.2 del Manual CFE-Viento, que a
continuación se reproducen:
Si Z ≤ 10 →
10 
Frz  1.56   
 
Paso 8. Determinación del Factor de exposición (Fα).
Este valor se obtiene con la ecuación del apartado 4.6.3.
del Manual CFE-Viento, que a continuación se
reproduce:
Factor de Topografía Local (FT) (CFE-Viento I.5)
Sitios
Topografía
FT
Protegidos

Z 
Si 10 < Z < δ → Frz  1.56 
 
 
Si Z ≥ δ → Frz  1.56
Normales

Expuestos
En donde:
Base de promontorios y faldas de
serranías del lado de sotavento
Valles cerrados
Terreno prácticamente plano,
campo abierto, ausencia de
cambios topográficos importantes,
con pendientes menores que 5%
Terrenos inclinados con
pendientes entre 5 y 10%, valles
abiertos y litorales planos.
Cimas de promontorios, colinas o
montañas, terrenos con
pendientes mayores que 10%,
cañadas cerradas y valles que
formen un embudo o cañon, islas.
0.8
0.9
1.1
1.2
Paso 10. Determinación de la velocidad de diseño
(VD). Este valor se obtiene con la ecuación (m/s):
α es el exponente que determina la forma de la variación de
la velocidad del viento con la altura y es adimensional
VD  FT  F  VR
Valores de α y δ (CFE-Viento I.4)
Categoría
del
Terreno
1
2
3
4
α
Clase de estructura
A
B
C
0.099
0.101
0.105
0.128
0.131
0.138
0.156
0.160
0.171
0.170
0.177
0.193
δ (m)
245
315
390
455
Paso 11. Presión dinámica de base (qz). Este valor se
obtiene con la ecuación:
En donde:
66
G
0.392  
273  
En donde:
Ω es la presión barométrica (mm de Hg)
τ la temperatura ambiental en °C
La temperatura ambiental es la promedio anual del lugar,
y la presión barométrica se puede obtener de la tabla I.7
del apartado 4.7 del Manual de CFE-Viento, que a
continuación se reproduce:
Relación entre la altitud y la presión
barométrica (CFE-Viento I.7)
Altitud (msnm)
Presión barométrica (mm de Hg)
0
760
500
720
1000
675
1500
635
2000
600
2500
565
3000
530
3500
495
Nota: puede interpolarse para valores intermedios de altitud.
Donde:
FT es un factor que depende de la topografía del sitio
(adimensional).
Fα factor que toma en cuenta el efecto combinado de las
características de exposición locales, del tamaño de la
construcción y de la variación de la velocidad con la altura
(adimensional=.
VR velocidad regional que le corresponde al sitio en donde se
construirá la estructura (km/hr).
q z  0.0048  G  VD
El factor de 0.0048 corresponde a un medio de la
densidad del aire, y el valor de G se obtiene de la
ecuación:
1.0
δ es la altura, medida a partir del nivel del terreno de
desplante, por encima de la cual la variación de la velocidad
del viento no es importante y se puede suponer constante; a
esta altura se le conoce como la altura gradiente; δ y Z están
dadas en metros.
Los coeficientes δ y α están en función de la rugosidad
del terreno (punto 3), y la clase de estructura según su
tamaño (punto 4). Estos valores se pueden obtener con
la tabla I.4 del apartado 4.6.3.2 del Manual CFE-Viento,
que a continuación se reproduce:
G es el factor de corrección por temperatura y por altura con
respecto al nivel del mar (adimensional).
VD la velodidad de diseño (m/s)
qz la presión dinámica de la base a una altura Z sobre el nivel
2
del terreno (kg/m ).
2
d) Factores de carga
Acorde con el apartado 3.4 (factores de carga) de las
Normas Técnicas Complementarias sobre criterios y
Acciones para Diseño Estructural de las Edificaciones:
“Para determinar el factor de carga, FC, se aplicarán las
reglas siguientes”:
a) Para combinaciones de acciones clasificadas en el inciso
2.3.a [acciones permanentes y variables], se aplicará un
factor de carga de 1.4. Cuando se trate de edificaciones del
Grupo A, el factor de carga para este tipo de combinación se
tomará igual a 1.5;
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
b) Para combinaciones de acciones clasificadas en el inciso
2.3.b, se tomará un factor de carga de 1.1 aplicado a los
efectos de todas las acciones que intervengan en la
combinación;
c) Para acciones o fuerzas internas cuyo efecto sea
favorable a la resistencia o estabilidad de la estructura, el
factor de carga se tomará igual a 0.9; además, se tomará
como intensidad de la acción el valor mínimo probable de
acuerdo con la sección 2.2; y
d) Para revisión de estados límite de servicio se tomará en
todos los casos un factor de carga unitario.
d) Combinación de cargas
Acorde con lo especificado en el apartado 2.3
(Combinaciones de acciones) de las Normas Técnicas
Complementarias sobre criterios y Acciones para Diseño
Estructural de las Edificaciones, “La seguridad de una
estructura deberá verificarse para el efecto combinado de
todas las acciones que tengan una probabilidad no
despreciable
de
ocurrir
simultáneamente,
considerándose dos categorías de combinaciones”:
a) Para las combinaciones que incluyan acciones
permanentes y acciones variables, se considerarán todas las
acciones permanentes que actúen sobre la estructura y las
distintas acciones variables, de las cuales la más
desfavorable se tomará con su intensidad máxima y el resto
con su intensidad instantánea, o bien todas ellas con su
intensidad media cuando se trate de evaluar efectos a largo
plazo.
Para la combinación de carga muerta más carga viva, se
empleará la intensidad máxima de la carga viva de la
sección 6.1, considerándola uniformemente repartida sobre
toda el área. Cuando se tomen en cuenta distribuciones de
la carga viva más desfavorables que la uniformemente
repartida, deberán tomarse los valores de la intensidad
instantánea especificada en la mencionada sección; y
b) Para las combinaciones que incluyan acciones
permanentes, variables y accidentales, se considerarán
todas las acciones permanentes, las acciones variables con
sus valores instantáneos y únicamente una acción
accidental en cada combinación.
“Los efectos de ambos componentes horizontales del
movimiento del terreno se combinarán tomando, en cada
dirección en que se analice la estructura, el 100 por
ciento de los efectos del componente que obra en esa
dirección y el 30 por ciento de los efectos del que obra
perpendicularmente a ella, con los signos que resulten
más desfavorables para cada concepto.”
En conclusión, las combinaciones de carga que exigen
las NTC quese consideren en el análisis son las
siguientes:
1.4 (CM) + 1.4 (CVmax)
1.5 (CM) + 1.5 (CVmax) Para estructuras del Grupo A
1.1 (CM) + 1.1(CVinst) + 1.1 (Sis X) + 0.33 (Sis Z)
La mayor parte de los programas computacionales de
análisis estructural, tienen precargadas 30 a mas
combinaciones de carga; por lo cual es indispensable
verificar que entre ellas se encuantren las dos anteriores.
Nota: Algunos Reglamentos de construcción especifican
que además se debe considerar (sumar) la acción
sísmica de una componente vertical. Por ejemplo, el
Reglamento de Construcciones del Estado de Michoacán
especifica en su Artículo 425:
[…] Adicionalmente , en construcciones localizadas en
las zonas sísmicas C y D del Estado de Michoacán, se
considerará la acción de una componente vertical cuya
seudoaceleración sea igual a 0.5 en la zona C y 0.75 en
la zona D, de la mayor seudoadeleración horizontal de la
construcción […]
Existen pocos programas computacionales de análisis
estructural en el mercado, que permitan combinaciones
de carga con componentes sísmicos horizontales y
verticales. Un programa que lo permite es el Ram
Advanse.
Además, es importante considerar el apartado 8.7
(Efectos Bidireccionales) de las NTC-Sismo que
especifica:
67
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Capítulo IV
REVISIÓN DE ESTRUCTURAS DE
CONCRETO REFORZADO Y
MAMPOSTERÍA
A continuación exponemos la revisión de estructuras de
concreto existentes. Con estos métodos, podemos
evaluar la resistencia de elementos existentes; además
del diseño y cálculo de los elementos de mampostería
más comunes en el medio edilicio, al inicio abarcamos el
cálculo por esfuerzos lo cual permite tener las
herramientas
para
calcular
y
diseñar
sobre
construcciones existentes, además de darnos las
herramientas fundamentales para el cálculo de cualquier
elemento, pues como sabemos todo se reduce a los
esfuerzos fundamentales.
El concreto es una mezcla de cemento, agregados
inertes (grava y arena) y agua. Esta mezcla construye
una piedra artificial de gran dureza y resistencia, pero al
mismo tiempo muy frágil ante la tensión, aunque su
resistencia a la compresión es muy aceptable en
comparación con su bajo costo de construcción. La baja
resistencia (casi nula) a la tensión hace necesario incluir
acero de refuerzo en las zonas en las cuales existe la
tensión, esto es lo que conocemos como concreto
reforzado. El acero que se utiliza para el refuerzo, por lo
general viene en barras sólidas corrugadas (para mejorar
la adhesión) con un límite de fluencia de 4,200 kg/cm2 (42
MPa). Aunque el acero de refuerzo también es utilizado
en las zonas de compresión para aumentar la resistencia
y hacer secciones cada vez más esbeltas, pero con
mayor porcentaje de acero, es decir, más dúctiles.
Por lo tanto, primero exploraremos, desde la
perspectiva estructural, las características de los
materiales que componen el concreto reforzado.
a) Materiales
Introducción
La elaboración de elementos estructurales de concreto
reforzado, implica muchos procesos, que aunque en
parte pueden ser industrializados, no pueden dejar de
tener un alto componente de procesos manuales. La
correcta elaboración del mismo es fundamental para
garantizar las propiedades mecánicas con las que será
calculado, así como su vida útil de trabajo. Hoy día existe
una gran cantidad de literatura científica sobre el tema,
por lo cual aquí esbozaremos los puntos más importantes
que cualquier diseñador estructural debe considerar para
garantizar el cumplimiento de las características
mecánicas del concreto:
a) Mecanismo DEF. El mecanismo del “Delayed
Ettringite Formation” (DEF), o Formación Retardada de
Etringuita, es una de los principales problemas a que se
deben cuidar en la elaboración del concreto. La
“Etringita” o sulfoaluminato de calcio, se encuentra en
todos los concretos fabricados con cemento Pórtland.
Las fuentes de sulfato de calcio, como el yeso, son
agregadas al cemento Pórtland para prevenir el rápido
fraguado y para mejorar el desarrollo de su resistencia.
Los sulfatos también están presentes en materiales
cementantes suplementarios y en los agregados. El yeso
y otros compuestos sulfatados reaccionan con el
aluminato de calcio en el cemento para formar etringita
dentro de las primeras horas después de mezclarse con
agua. Básicamente todos los sulfatos en el cemento son
normalmente consumidos para formar etringita en 24
horas. La formación de etringita resulta en un aumento
del volumen en el concreto fresco. Pero debido a la
propia condición plástica del concreto, esta expansión no
es dañina y pasa desapercibida.
Existen varias formas de perturbación de la etringita, que
provocan una aceleración en el rango en el que la
etringita deja su posición original en el mortero,
reconvertirse en una solución y recristalizarse en
mayores volúmenes que provocan oquedades o fisuras.
La condición más común es el llamado mecanismo DEF
(Delayed Ettringite Formation). El mecanismo DEF, se
refiere a una condición asociada con el calor del
concreto. Cuando la temperatura del concreto supera los
70°C durante el curado del mismo, se produce una
expansión y fisuración del mismo provocado por la
expansión de la etringita al recristalizarse, ya que el calor
descompone todas las formaciones iniciales de etringita y
retiene fuertemente los hidratos de sulfato y calcio del
mortero. La Federal Higway Administration (FHWA) y la
Portland Cement Association (PCA) han documentado
ampliamente como el mecanismo DEF provoca la
fisuración a edades tempranas en concreto masivo
68
debido a las diferencias de temperatura (y por tanto
dureza) entre el concreto de la superficie (en contacto
directo con el colado) y el concreto confinado en el
interior.
b) Oxidación del refuerzo. Acorde con las últimas
investigaciones de la Portland Cement Association
(PCA), la corrosión del acero de refuerzo es la mayor
causa de deterioro en el concreto. Cuando el acero se
corroe, la herrumbre resultante ocupa un mayor volumen
que el acero inicialmente. Esta expansión provoca un
esfuerzo de tensión en el concreto, que eventualmente
causa
agrietamiento
y
desprendimiento
del
recubrimiento. La exposición del concreto reforzado a
iones de Cloruro es la causa primordial de la prematura
corrosión del acero de refuerzo. El contenido de cloruro
en los agregados acelera esta corrosión. Ningún otro
contaminante ha sido tan extensamente documentado en
la literatura científica como causa de corrosión de
metales como el Cloruro. Está plenamente documentado
que el riesgo de corrosión aumenta en proporción al
aumento de cloruro en el concreto. En un concreto nuevo
con un pH promedio de 12 a 13, tan solo de 7,000 a
8,000 partes por millón (ppm) de cloruros se requieren
para comenzar la corrosión del acero embebido. Por lo
cual, todas las pruebas de calidad contemporáneas,
incluyen el seguimiento de la cantidad de cloruro y otros
agentes químicos similares.
En el gráfico superior podemos apreciar el mecanismo del
proceso electroquímico de la corrosión del del acero de refuerzo
embebido en el concreto (Fuente: ACI-Comité 222, Durabilidad
del Concreto).
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
generales todas exigen la medición de los siguientes
factores: a) Requisitos de los Componentes, donde se
verificará la calidad del Cemento Pórtland; la calidad de
los Agregados Pétreos; la calidad del Agua; y la calidad
de los Aditivos; b) Revenimiento; c) Temperatura; d)
Resistencia, acorde con otra norma de Muestreo de
Concreto Hidráulico; y serán probados conforme a los
procedimientos de Resistencia a la Compresión Simple
de Cilindros de Concreto, y Resistencia a la Tensión de
Cilindros de Concreto. Cuando sea necesario determinar
el Índice de Rebote, se realizará la prueba descrita en
alguna norma de Índice de Rebote del Concreto
mediante Esclerómetro; e) Volumen. La masa
volumétrica se determinará en el concreto fresco.
En el gráfico superior podemos apreciar el cambio volumétrico
que experimenta el acero durante este proceso. Nótese que su
volumen aumenta 650% (Fuente: ACI-Comité 222, Durabilidad
del Concreto).
e) Durabilidad del Concreto. El cabal cumplimiento de
los puntos anteriores, mas un adecuado recubrimiento
del acero de refuerzo, son los factores que garantizan un
adecuada vida útil del concreto reforzado
Esta clasificación, aunque todavía se continúa utilizando,
esta siendo rápidamente remplazada por por la Norma
Mexicana NMX-C-414-ONNCCE-1999, que parte de la
siguiente nomenclatura:
CPO: Cemento Portland Ordinario
CPP: Cemento Portland Puzolánico
CPEG: Cemento Portland con Escoria Granulada de alto
horno
CPC: Cemento Portland Compuesto
CPS: Cemento Portland con humo de Sílice
CEG: Cemento con Escoria Granulada de alto horno
Además existen las siguientes características especiales
que se pueden añadir:
Adicionalmente, se puede incluir una subclasificación con
base en su resistencia mecánica a la compresión a los 28
días de 20, 30 o 40 N/mm2 (1 N/mm2 = 1 MPa = 10
kg/cm2); así como una resistencia mecánica a la
compresión a los 3 días, que se denomina agregando la
letra R (de rápido), para esta subclasicificación
únicamente se especifican los valores 30R y 40R
2
(N/mm ).
El Cemento
Tradicionalmente se ha clasisificado al cemento portland
en cinco tipos diferentes:
d) Normas de Calidad. Existen diversas normas
nacionales (NMX y N-CMT) e internacionales (ASTM)
que regulan la calidad del concreto, y en términos
Es apropiado para obras que
esten en contacto con el agua,
tanto normal, como salada y
residual
RS: Resistente a los Sulfatos
BRA: Baja Reactividad álcali-agregado
BCH: Bajo Calor de Hidratación
B: Blanco
c) Reacciones Alcali-Silicatos. Controlar la cantidad de
Álcalis en el concreto es de fundamental importancia
para la durabilidad del mismo. Las reacciones álcaliagregados son procesos fisicoquímicos, en donde los
hidróxidos alcalinos presentes en el cemento, agregados,
o
aportados
por
medio
ambientes
severos
(principalmente salinos), reaccionan con los carbonatos,
silicatos y sílice también presentes en los elementos
constituyentes del concreto, formando reacciones que el
caso de los silicatos y sílice son de carácter expansivo.
En la fotografía derecha podemos observar un caso de
fisuración de concreto por reacciones álcali-silicatos, y en la
fotografía izquierda, la microformación de partículas de sílice,
que lo ocasionaron. (Fuente: ACI-Comité 222, Durabilidad del
Concreto).
V. Resistente a los
sulfatos
Tipo
I. Normal
II. Modificado
III. Rápida resistencia
alta
IV. Bajo calor
Caracteríasticas
Cemento portland ordinario
Tiene moderado calor de
hidratación y moderada
resistencia a los sulfatos.
Puede alcanzar su resistencia de
diseño en menos de los 28 días
Muy bajo calor de hidratación, por
lo tanto es recomendable para
obras muy voluminosas.
69
Por ejemplo, nos podemos encontrar con las siguientes
nomenclaturas:
CPO 40R = Cemento portland ordinario con una
resistencia mecánica de 40 MPa a los 3 días.
CPO 40 B = Cemento portland ordinario con una
resistencia mecánica de 40 MPa a los 28 días, blanco.
CPC 30R RS = Cemento portland compuesto con una
resistencia mecánica de 30 MPa a los 3 días, resistente a
los sulfatos.
CPP 30 RS = Cemento portland puzolánico con una
resistencia de 30 MPa a los 28 días, resistente a los
sulfatos.
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CPEG 30 RS = Cemento portland con escoria granulada
de alto horno, una resistencia de 30 MPa a los 28 días,
resistente a los sulfatos.
CPP 30 BRA/BCH = Cemento porland puzolánico con
una resistencia de 30 MPa a los 28 días, baja
Reactividad álcali-agregado, y bajo calor de hidratación.
El CPO es aconsejable para usos generales, cuando se
requiere una mayor protección del acero de refuerzo
contra la corrosón, para concreto pretensado, para
prefabricación y para concretos de alta resistencia.
Cuando se agrega 30R o 40R se usa para descimbrados
rápidos o muy rápidos.
Se debe garantizar el cumplimiento de las nornas de
calidad del cemento portlan, ya sea por un Certificado de
Calidad expedido por el fabricante, o en su defecto, por
las pruebas realizadas por el constructor, y ambos deben
contener por lo mínimo los siguientes resultados: a)
Composición del Cemento; b) Resistencia a la
Compresión, (inicial y normal); c) Tiempo de Fraguado
(inicial y final); d) Estabilidad de Volumen (expansión y
contracción); e) Actividad Puzolánica; f) Expansión por
ataque de sulfatos; g) Expansión por Reacción ÁlcaliAgregado; h) Calor de Hidratación; i) Blancura.
el Método Químico, Reactividad Potencial de Agregados
mediante Barras de Mortero, Reactividad Potencial de los
Agregados mediante el Método del Cilindro de Roca,
Efectividad de Aditivos Minerales para Evitar una
Expansión Excesiva del Concreto).
“Requisitos de Calidad de los Agregados Gruesos”,
de la norma N-CMT-2-02-002/02. Donde se debe
contener los siguientes resultados: a) Granulometría, b)
Material que pasa la Malla no. 200 (0.075 mm), c)
Contenido de Sustancias Perjudiciales, (Sanidad de los
Agregados mediante Sulfato de Sodio o de Magnesio,
Resistencia a la Degradación del Agregado Grueso
mediante la Máquina de los Ángeles, Resistencia del
Concreto a Congelación y Deshielo); d) Reactividad con
los Álcalis del Cemento; e) Masa Volumétrica (Masa
Específica de los Agregados); f) Intemperismo Acelerado,
(Sanidad de los Agregados mediante Sulfatos de Sodio o
de Magnesio, Resistencia del Concreto a Congelación y
Deshielo); g) Resistencia al Desgaste (Resistencia a la
Degradación del Agregado Grueso mediante la Máquina
de los Ángeles); h) Reactividad de los Agregados Finos y
Gruesos, (Reactividad Potencial de Agregados mediante
el Método Químico, Reactividad Potencial de Agregados
mediante Barras de Mortero, Reactividad Potencial de los
Agregados mediante el Método del Cilindro de Roca,
Efectividad de Aditivos Minerales para Evitar una
Expansión Excesiva del Concreto).
Impurezas en Solución (máx. 3 500 ppm) (Impurezas en
Solución en el Agua); j) Grasas o Aceites (máx. 0 ppm)
(Aceite, Grasa y Sólidos en Suspensión en el Agua); k)
Materia Orgánica (máx. 150 ppm), (Materia Orgánica en
el Agua); y l) Potencial de Hidrógeno (pH) (máx. 6 ppm),
(Potencial de Hidrógeno [pH] en el Agua).
Los Aditivos
Las Varrillas de Refuerzo
“Pruebas Físicas del Acero de Refuerzo”, que deben
contener los valores siguientes: a) Resistencia a la
Tensión, (Resistencia de la Tensión de Productos
Metálicos); b) Alargamiento, (Resistencia de la Tensión
de Productos Metálicos).
“Inspección Metalúrgica Macroscópica”, que contenga
los resultados siguientes: a) Grietas de laminación
radiales o tangenciales; b) Traslapes o lajas y defectos
superficiales con reducción de área; c) Tubo de
laminación o repuche; d) Grietas de enfriamiento; e)
Inclusión de materia contaminante; f) Porosidad.
El Agua
Los Agregados Pétreos
“Requisitos de Calidad de los Agregados Finos”, de la
norma N-CMT-2-02-002/02. En donde se deben obtener
los siguientes resultados: a) Granulometría, b) Módulo de
finura; c) Material que pasa la malla no. 200 (0.075 mm),
d) Contenido de Sustancias perjudiciales, (Terrones y
Partículas Deleznables en los Agregados); e) Contenido
de Impurezas Orgánicas, f) Reactividad con los Álcalis
del Cemento; g) Intemperismo Acelerado, (Sanidad de
los Agregados mediante Sulfatos de Sodio o de
Magnesio), (Resistencia del concreto a Congelación y
Deshielo); h) Reactividad de los Agregados Finos y
Gruesos (Reactividad Potencial de Agregados mediante
norma N-CMT-2-02-003/02 (Calidad del Agua para
Concreto Hidráulico) de la SCT, que a su vez especifica
se debe garantizar el cumplimiento de todos los valores
siguientes: a) Sólidos en Suspensión en Aguas Naturales
(máx. 2,000 ppm), (Aceite, Grasa y Sólidos en
Suspensión en el Agua); b) Sólidos en Suspensión en
Aguas Recicladas (máx. 50,000 ppm), (Aceite, Grasa y
Sólidos en Suspensión en el Agua); c) Contenidos de
Cloruros (Cl) (máx. 700 ppm), (Cloruros en el Agua); d)
Contenidos de Sulfatos (SO4) (máx. 3,000 ppm),
(Sulfatos en el Agua); e) Contenido de Magnesio (Mg++)
(máx. 100 ppm), (Magnesio en el Agua); f) Contenido de
Carbonatos (CO3) (máx. 600 ppm), (Carbonatos y
Bicarbonatos Alcalinos en el Agua); g) Bióxido de
Carbono Disuelto (CO2) (máx. 5 pppm); h) Álcalis Totales
(Na+) (máx. 300 ppm), (Álcalis en el Agua); i) Total de
70
b) Carga axial
La compresión pura es lo que conocemos como “carga
axial”, es decir una fuerza que se aplica a un miembro
estructural exactamente en coincidencia con su centroide
o eje principal. En este caso la tendencia del elemento es
a encogerse hasta fallar; es decir, cuando se resquebraja
en la dirección de los esfuerzos aplicados. Pero en la
realidad esto nunca sucede por dos circunstancias. En
primer lugar, porque los ejes o centroides de la carga, y
del elemento resistente, nunca coinciden, en vista de que
el proceso constructivo de los elementos o de montaje de
éstos, se puede describir como bastante imperfecto.
En segundo lugar, porque un elemento sujeto a
compresión como una columna, difícilmente está solo,
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siempre esta interactuando con otros elementos
constructivos, que al funcionar como sistema le
transmiten esfuerzos de flexión. El simple hecho de que
los ejes de carga no coincidan, produce necesariamente
un momento de volteo, que provoca lo que conocemos
como pandeo. Aunque éste último no únicamente
depende de las excentricidades de la carga respecto al
elemento resistente, sino también respecto a la relación
de esbeltez del miembro. Es decir, entre mayor sea el
largo del elemento respecto a su ancho, mayor es la
posibilidad de que este elemento sufra pandeo, o lo que
conocemos como pandeo local.
Notación
Ag (cm2): área total de la sección
Ac (cm2): área del núcleo de concreto confinado por el
refuerzo helicoidal.
2
f’c (kg/cm ): resistencia del concreto
2
fy (kg/cm ): esfuerzo de fluencia del acero (4200 más
común en México)
2
As (cm ): área de acero del refuerzo longitudinal
Ps (adimensional): cuantía volumétrica del refuerzo
helicoidal
Ae (cm2): área del alambre helicoidal
s (cm): paso (separación del refuerzo helicoidal)
d (cm): diámetro del elemento
dn (cm): diámetro del núcleo
Fórmulas
1. Concreto simple
Po  0.85   f ' ' c  Ag 
2. Concreto con refuerzo longitudinal y recubrimiento
Po  0.85 f ' ' c  Ag  As  fy 
En donde: 0.85 es el factor de esbeltez para columnas
rectangulares o helicoidales. Es decir, es la posibilidad de
que la columna se pandee y falle antes de alcanzar su
resistencia máxima. Esta posibilidad es del 15%, por esta
razón todas la ecuaciones se multiplican por 0.85. En el
caso de columnas rectangulares, el refuerzo transversal
(estribos) no se considera dentro de la resistencia de los
elementos (aunque constructivamente son necesarios),
ya que no alcanzan a confinar el núcleo de concreto de la
columna; lo cual no sucede con las helicoidales, en
éstas, la hélice sí llega a confinar el centro de la columna
y aumenta bastante su resistencia.
3.
Concreto simple con refuerzo helicoidal, sin
recubrimiento
Po  0.85 f ' ' c  Ac  2 Ps  fy  Ac 
4  Ae
En donde: Ps 
sd
4. Concreto con refuerzo longitudinal y helicoidal,
con recubrimiento. (Se elige el menor de los resultados
de las siguientes ecuaciones)
Po  0.85 f ' c  Ag  As  fy  Primer máximo
Po  0.85 f ' c  Ac  As  fy  2  Ps  fy  Ac 
Segundo máximo
Para las columnas helicoidales se debe verificar que
el refuerzo helicoidal esté lo suficientemente ancho y
separado entre sí para funcionar confinando el núcleo de
concreto. Esto se verifica cerciorándose que la relación
de refuerzo helicoidal (Ps) no sea menor que los
resultados de las dos siguientes ecuaciones:
Ps >
Ag  f ' c

0.45  1 

Ac  fy

f 'c
0.12 
fy
En caso de que Ps sea memor que cualquiera de los
resultados de las anteriores ecuaciones se debe
aumentar el diámetro del acero utilizado para la hélice,
disminuir la separación de la hélice (s), o ambas, hasta
que se cumpla con la regla.
Nota: si se requiere mayor precisión en la revisión de la
resistencia a compresión, podemos recurrir al Teorema
de Euler (modificado):
P
2 E
 KL 


 r 
2
En donde:
E (cm3): Módulo de elasticidad ( 12000
f ´c para el
concreto reforzado)
I (cm4): Momento de inercia
L (cm): Altura de la columna
K (adim.) Factor de longitud efectiva (ver anexos)
r (cm): Radio de la sección transversal
Ejemplo 1.
Calcular la resistencia de una columna de 30 x 40 cm y
refuerzo longitudinal de 6 barras del # 8, f’c= 300 kg/cm2.
Datos
f’c=300 kg/cm2
fy=4200 kg/cm2
As=30.42 cm2 (1 varilla #8 tiene un área de 5.07 x 6 =
30.42)
Ag=1200 cm2 (lado por lado= 30x40 cm)
Constantes
Como f’c >250 se utilizan las siguientes ecuaciones:
f * c  0.8  f ' c = 240 kg/cm2
f *c

f ' ' c  1.05 
  f * c = 205 kg/cm2
1250


Cálculo de la resistencia
Po  0.85 f ' ' c  Ag  As  fy 
En este ejemplo, podemos
ver una columna rectangular
con armado de varillas de la
misma
forma,
y
una
rectangular, con armado
helicoidal. Esta última, si la
hélice
cumple
las
características necesarias,
resistirá mucho más que la
otra.
Po=317,699 kg
Ejemplo 2
Calcular la resistencia de una columna con refuerzo
helicoidal de 30 cm de diámetro interior y 35 cm de
diámetro exterior; el refuerzo longitudinal es de 6 varillas
del # 8, la hélice es del número 3, y el paso es de 5 cm.
El concreto es de f’c= 250 kg/cm2.
71
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Datos
f’c= 250 kg/cm2
d= 35 cm
2
fy= 4200 kg/cm
dn= 30 cm
As= 30.42 cm2
s= 5 cm
Constantes (como f´c < 250 se utilizan las siguientes
ecuaciones)
f * c  0.80  f ' c = 200 kg/cm2
f ' ' c  0.85  f * c = 170 kg/cm
4  Ac
= 0.016
Ps 
sd
Ag    r 2 = 962.13 cm2
Ac    r 2 = 706.85 cm2
2
Revisión de la sección helicoidal
Ag  f ' c

= 0.009 < 0.016
0.45  1 

Ac  fy

f 'c
0.12 
= 0.007 < 0.016
fy
Ps > 0.01 y 0.007 Por tanto sí cumple la condición
Cálculo de la resistencia
a)
Primer máximo
Po  0.85   f ' ' c  Ag  As  fy 
Po= 247,627 kg
b)
Segundo máximo
Po  0.85   f ' ' c  Ac  As  fy  2  Ps  fy  Ac 
Po= 342,928 kg
Se considera el menor Po= 247627 kg
Método Alternativo
Una buena referencia para poder determinar la correcta
sección de acero en una columna de concreto, la
podemos obtener de las siguientes ecuaciones acero
mínimo y máximo:
As total  fy  0.10  Ag  f ´´c
Acero mínimo
As total  fy  1.0  Ag  f ´´c
Acero máximo
c) Revisión sísmica de elementos a
compresión
La fuerza sísmica la podemos conceptuar como un
empuje lateral sobre cualquier estructura que provoca en
ésta una deformación y/o desplazamiento. Este empuje
lateral (horizontal) es proporcional a la gravedad, siempre
tiene una magnitud regular, ya que la aceleración es
proporcional a la fuerza, es decir, a cada fuerza (lateral)
le corresponde una aceleración determinada, y como la
aceleración la proporcionan los elementos contextuales
(gravedad) es constante. La fuerza sísmica es producto
de multiplicar la masa (en este caso el peso) por la
aceleración (F=m*a), que se considera como un
coeficiente sísmico. Por ejemplo en la ciudad de México
el más alto coeficiente es 0.40, lo que significa que si en
nuestro ejemplo la columna del primer piso carga 100
toneladas, el empuje lateral será de 40 toneladas.
Lo que tenemos que revisar es
que el desplazamiento que
tenga el elemento respecto a
la posición original (delta) no
exceda de ciertos parámetros;
en este caso un parámetro
indicado es la mitad de la base
menor del propio elemento.
Por
ejemplo
si
nuestra
columna es de 40 x 50, el
desplazamiento no puede ser
mayor de 20 cm.
Notación
 (cm): flecha de desplazamiento del elemento
P (kg): peso total sobre el elemento
Ps (kg): peso sísmico o empuje lateral (horizontal)
Cs: coeficiente sísmico (ver anexo de coeficientes
sísmicos)
L (cm): longitud del elemento
E (kg/cm2): módulo de elasticidad del material
4
I (cm ): momento de inercia
b (cm): base de la sección
h (cm): altura de la sección
d (cm): diámetro de la sección (si es circular)
72
Fórmulas

Ps  P  Cs
Ps  L3
3 E  I
donde  debe ser menor que 0.5 b
En donde:
b  h3
Sección rectangular
12
d4
I
Sección circular
64
E  10,000  f ´c Concreto simple
I
E  14000 f ´c
Concreto reforzado
E= 2,100,000 Acero de alta resistencia
E= 2,040,000 Acero estructural
E= 55,000 Madera (coníferas)
E= 120,000 Madera (latifoliadas)
E=105,000 Madera (contrachapeada)
Ejemplo
Revisar si una columna de 40 x 40 cm y 5 mts de altura
que carga 220 ton puede resistir su correspondiente
fuerza sísmica, se encuentra ubicada en el centro de la
ciudad de México.
Datos
P= 220000 kg
Cs=0.40
b=40 cm
Módulo de elasticidad
E  14,000  f ´c
Momento de inercia
b  h3
I
12
h=40 cm
L=500 cm
f´c=250 kg/cm2
E=189,736 kg/cm2
I=213,333 cm4
Empuje lateral
Ps  P  Cs
Ps=88,000 kg
Flecha de desplazamiento ()
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
Ps  L3
3 E  I
=90.58 cm > 0.5 x 40 cm de
base Por lo tanto no pasa.
Nota: para que la sección soportara el esfuerzo lateral,
se necesitaría que fuera minimamente de 50 x 50 cm.
d) Muros de concreto
Los muros tanto de concreto como de mampostería
tienen la propiedad de repartir la carga que soportan
uniformemente por el largo del muro, por lo cual se
calcula una franja de un metro de ancho, dividiendo
anteriormente todo el peso que soporta entre el largo del
muro, para obtener el peso por metro lineal.
Notación
Pu (kg): resistencia última a compresión por unidad de
medida
Ag (cm2): área total de la sección resistente
f´c (kg/cm2): resistencia del concreto
Fr: factor de reducción de la resistencia (0.7)
c: factor reductivo por excentricidades y esbeltez que
tiene los siguientes valores:
0.7 Muros interiores que soporten claros que no difieran
en más de 50%
0.6 Muros extremos o con claros asimétricos y para
casos en que la relación de cargas muertas excede
de uno.
0.8 Muros que estén ligados a muros transversales con
una separación no mayor de 3 mts
0.7 Muros que estén ligados a muros transversales con
una separación mayor de 3 mts.
F*m (kg/cm2): resistencia en compresión de la
mampostería. Ésta varía dependiendo de las
propiedades de fabricación y composición de las
piezas, pero se puede considerar una resistencia
conservadora de 150 kg/cm2 tanto para tabique rojo
recocido, tabicón, block hueco de concreto y vidriado.
Fórmulas
Pu  Fr  c   f ´´c  Ag 
Ejemplo
Calcular si un muro de concreto de 10 cm. de espesor,
f´c= 250 kg/cm2, al cual llegan muros transversales
separados a 5 mts., soportará una carga de 1500 kg/ml.
P=1500 kg/ml
f´c=250 kg/cm2
2
Ag=1,000 cm (10 x 100)
c=0.7
Fr=0.7
Constantes
f * c  0.80  f ' c = 200 kg/cm2
f ' ' c  0.85  f * c = 170 kg/cm2
Cálculo de la resistencia
Pu  Fr  c   f ´´c  Ag 
Pu=83,300 kg  1,500 kg
OK
e) Muros de mampostería
En el gráfico
podemos
observar el comportamiento
isostático de un muro de
mampostería, es decir como
se distribuyen los esfuerzos
(mayormente de compresión)
dentro del muro. Como se
puede observar la distribución
de esfuerzos tiende a ser
bastante
uniforme,
aún
cuando
existan
cargas
puntuales o la carga no sea
axial, el muro tiende a repartir
el esfuerzo de forma uniforme.
Esto se debe básicamente a
las
buenas
propiedades
mecánicas de la mampostería
y al acomodo de las piezas
(traslapado).
Por esta razón la adecuada selección de las piezas a
utilizar y la correcta construcción del muro son factores
indispensables. En el gráfico también podemos observar
el tipo de afectación que sufren las trayectorias de los
esfuerzos cuando en el muro existen vanos (ventanas o
puertas). El esfuerzo tiende a fluir al rededor de los vanos
y se libera al pasarlos. Esto provoca una gran
concentración de esfuerzos alrededor de los vanos que
puede rápidamente visualizarse como grietas que parten
del vano. Las soluciones con base a castillos y dalas
bordeando los vanos, suelen darle al muro una mayor
estabilidad ante esta concentración de esfuerzos.
Datos
Notación
Pr (kg): resistencia de diseño a compresión de un muro
de mampostería por unidad de medida (ml)
At (cm 2): área neta del muro por unidad de medida (ml)
Fr: factor de reducción de la resistencia (0.6)
c: factor reductivo por excentricidades y esbeltez que
tiene los siguientes valores:
0.7 Muros interiores que soporten claros que no difieran
en más de 50%
0.6 Muros extremos o con claros asimétricos y para
casos en que la relación de cargas muertas excede
de uno.
0.8 Muros que estén ligados a muros transversales con
separación no mayor de 3 mts
0.7 Muros que estén ligados a muros transversales con
separación mayor de 3 mts.
F*m (kg/cm2): resistencia en compresión de la
mampostería. Ésta varía dependiendo de las
propiedades de fabricación y composición de las piezas,
pero se puede considerar una resistencia conservadora
de 150 kg/cm2 tanto para tabique rojo recocido, tabicón,
block hueco de concreto y vidriado.
Resistencia a Compresión de Mampostería de
Tabiques de Barro recocido (NTC)
F*p (kg/cm2)
F*m (kg/cm2)
Mortero I
Mortero II
Mortero III
60
20
20
20
75
30
30
25
100
40
40
30
150
60
60
40
200
80
70
50
300
120
90
70
400
140
110
90
500
160
130
110
Resistencia a Compresión de Mampostería de
Tabiques de Concreto (NTC)
F*p (kg/cm2)
F*m (kg/cm2)
Mortero I
Mortero II
Mortero III
100
50
45
40
150
75
60
60
200
100
90
80
Resistencia a Compresión de Mampostería para
algunos tipos de piezas (NTC)
Tipo de Pieza
F*m (kg/cm2)
Mortero I
73
Mortero II
Mortero III
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Tabique de Barro
recocido (60 kg/cm2)
Tabique de Barro con
huecos verticales (120
kg/cm2)
Bloque de concreto
pesado (100 kg/cm2)
Tabique de concreto
(Tabicón) (100 kg/cm2)
15
15
15
40
40
30
20
15
15
20
15
15
Nota: Para ver las características de los Tipos de Mortero, ver el
Anexo de este Manual.
Formulas
Pr  Fr  c  F * m  Ag 
Ejemplo
Revisar la resistencia de un muro de TRR 6-12-24,
externo, que carga 2,100 kg/ml.
Datos
P=2,100 kg/ml
f*m=150 kg/cm2
Fr=0.6
Ag=1200 cm2 (12x100)
c=0.6
Cálculo de la resistencia
Pr  Fr  c   f * c  Ag 
Pr=64,800 kg  2,100 kg
OK
f) Revisión sísmica de muros
La revisión sísmica de un muro pretende establecer la
constante  (Delta) real y compararla con los esfuerzos
admisibles que provocaría. Como en cualquier elemento
constructivo, dicha constante es la fuerza requerida para
desplazar en la parte alta una unidad de longitud, en este
caso la base. Tal desplazamiento o deflexión del muro
puede causarse por la flexión que como fruto del
momento experimenta al trabajar como una ménsula
apoyada en el terreno (y´), y por la deformación que sufre
debido a los esfuerzos cortantes (y´´), o ambas
simultáneamente (y).
movimiento sísmico en una sola dirección. Podemos fácilmente
deducir que el muro cuyo lado largo está en la dirección del
movimiento opone más resistencia (y´) que el otro (y´´), por esta
razón en las estructuras basadas en muros de carga deben
existir muros perpendiculares unidos entre sí. Esto
proporcionará una resistencia del sistema como un todo y
disminuye los efectos sísmicos en los muros menos favorecidos.
Notación
P (kg): peso total sobre el muro
Ps (kg): empuje lateral (horizontal)
Cs: coeficiente sísmico
y´(cm): deflexión debida a momento
y´´(cm): deflexión debida a cortante
y (cm): deflexión total
h (cm): altura del muro
L (cm): largo del muro
b (cm): ancho del muro
E (kg/cm2): módulo de elasticidad, se toma un valor
conservador de 20,000 kg/cm2 para mampostería y
14,000 f´c, para concreto reforzado.
G (kg/cm2): módulo de rigidez (0.45)
I (cm4): momento de inercia de la base del muro
Fórmulas
Ps  P  Cs
bL
12
Ps  h 3
y´
3  E  I 
I
3
y´´
Deflexión total
y  y´ y´´
que debe ser menor que b
Ejemplo 1
Revisar la resistencia a compresión y sísmica de un muro
de concreto exterior de 7 cm de espesor, 5.5 mts de largo
y 2.3 de altura, f´c=250 kg/cm2 y un peso uniforme de
2,700 kg/ml.
Datos
P=2,700 kg/ml
f´c=250 kg/cm2
Ag=700 cm2 (7x100)
c=0.6
Fr=0.7
En el gráfico podemos observar dos muros, sometidos a un
Ps  h
L bG  E
b=7 cm
L=550 cm
h=230 cm
G=0.45
Cs=0.40
Constantes
74
f * c  0.80  f ' c = 200 kg/cm2
f ' ' c  0.85  f * c = 170 kg/cm2
E  14,000  f ´c = 221,359.43 kg/cm2
Resistencia a la compresión
Pu  Fr  c   f ´´c  Ag 
Pu=49,980 kg > 2,700 kg
OK
Revisión sísmica
I
b  L3
12
= 97´052,083.33 cm
4
Peso total (Pt)= 2,700 x 5.5 = 14,850 kg Ps
5,940 kg.
Ps  h 3
= 0.0011
3  E  I 
Ps  h
= 0.0032
y´´
L bG  E
 Pt  Cs =
y´
y = y´ + y´´ = 0.0043cm < b
OK
Ejemplo 2
Revisar la resistencia a compresión y sísmica de un muro
de TRR 6-12-24, interior de 7 mts de largo y 2.5 mts de
altura que soporta un peso uniformemente repartido de
3,100 kg/ml.
Datos
P=3,100 kg/ml
Ag=1,200 cm2
(12x100)
c=0.7
Fr=0.6
b=12 cm
L=700 cm
h=250 cm
G=0.45
Cs=0.40
E=20,000 kg/cm2
2
f*m=150 kg/cm
Resistencia a compresión
Pr  Fr  c   f * m  Ag 
Pr= 75,600 kg > 3,100 kg
Revisión sísmica
OK
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
b  L3
I
12
= 343´000,000 cm
2. Muros sujetos a cortante (zonas sísmicas)
Límite acorde al UBC
h  14  t
4
Peso total (Pt)= 3,100 x 7 = 21,700 kg
8,680 kg
Ps  Pt  Cs =
Ps  h
= 0.0065
3  E  I 
Ps  h
= 0.0029
y´´
L bG  E
y´
3
y = y´ + y´´ = 0.035cm < b
3.
Muros de Block de concreto
h  20  t
Límite acorde al UBC
de la iglesia de la Atlántida (Eladio Dieste, Uruguay), en donde el
autor curva los muros de carga, provocando así un enorme
momento de inercia, que posibilita la gran altura del edificio, sin
tener que recurrir a ningún refuerzo adicional (castillos, dalas,
etc). Además de ser un excelente ejemplo de las posibilidades
plásticas de una estructura.
4.
Máxima distancia entre castillos y/o muros
transversales
Límite acorde al UBC
L  36  t
u
Práctica recomendada (Méx.)
OK
Lu  3mts
Problemas comunes en muros de carga
En este gráfico, se resumen las recomendaciones de refuerzo
para estructuras de mampostería reforzada de las NTC del
RCDF.
En la construcción de edificaciones cuya estructura sea de
muros de carga, las NTC recomiendan: que los muros tengan
una distribución sensiblemente simétrica con respecto a dos ejes
ortogonales, la relación entre longitud y anchura de la planta del
edificio no exceda de 2, y que la relación entre la altura y la
dimensión mínima de la base del edificio no exceda 1.5.
DISEÑO DE LA ALTURA DE LOS MUROS
Esta sección nos indica cuál debe ser la altura libre
máxima para muros, dependiendo de su espesor, así
como cual es la distancia recomendada entre castillos.
En estos ejemplos gráficos podemos observar lo delicados que
son los muros de mampostería a la tensión. Diferentes
problemas en el terreno ocasionan severos daños en estos. La
mejor forma de evitarlos es con un correcto diseño de la
cimentación, que pueda absorber hundimiento y deslizamientos
diferenciales. Pero aún así los muros necesitan refuerzos para
soportar esfuerzos de tensión, éstos siempre deben estar
enmarcados por dalas de desplante, cerramientos y castillos.
Notación:
h (cm): Altura máxima del muro
t (cm): Espesor mínimo del muro
Lu (mts): Máxima distancia sin castillos y/o muros
transversales
1. Muros de carga y divisorios de mampostería
Límite acorde al UBC
h  25  t
Práctica recomendada
h  18  t
En las ilustraciones superiores, se muestran modelos de muros
75
Como podemos apreciar en el grafico anterior, la
separación entre castillos para muros de mampostería de
piezas macizas es de hasta 4 mts o 1.5 veces la altura
del entrepiso, deben existir castillos en las intersecciones
en los bordes y en los perímetros de las abertura.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
En el gráfico superior podemos apreciar que una abertura
en un muro necesita de refuerzos en sus bordes si es
mayor de 60 cm. Y ninguna abertura puede ser mayor del
50% del claro entre castillos, de lo contrario se necesita
una trabe.
Las NTC tienen requisitos especiales para la
mampostería hueca o multiperforada, que difieren de los
criterios constructivos de los manuales de los fabricantes.
Como podemos apreciar en el gráfico anterior,
únicamente se acepta la utilización de piezas huecas
cuando el área neta en el 50% o mayor que el área bruta
de las piezas.
Al igual, las NTC recomiendan que en los muros las
piezas huecas se utilicen exclusivamente para castillos o
para alojar ductos e instalaciones; todas las demás
piezas de preferencia deben ser multiperforadas. Al igual,
como podemos apreciar en el gráfico superior, en los
castillos se deben rellenar todas las celdas que de las
piezas huevas que no coinciden con los huecos que
forman el ducto y/o castillo, para igualar de esta forma el
comportamiento estructural de los mismos.
76
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Como podemos apreciar en el grafico anterior en la
mampostería hueca, los castillos deben etar espaciados
a una distancia de 3 mts máximo, además de refuerzos
verticales cada 80 cm, y refuerzos verticales cada 60 cm.
Ft  1.5  f ´c  Ag  As  fy  Fras
Como se puede observar, la resistencia del concreto
a la tensión es casi nula, por las propiedades mecánicas
del material, sobre todo su alta fragilidad. En el concreto
reforzado la resistencia a la tensión la absorbe
mayoritariamente el acero, pero aún así el concreto
contribuye con un porcentaje bajo. Por esta razón se
recomienda que se diseñen los elementos sujetos a
tensión de tal manera que el acero soporte todo el peso y
el concreto pueda ser utilizado como recubrimiento para
la corrosión y el fuego.
En términos generales, las ecuaciones para determinar la
resistencia de elementos sujetos a flexión verifican que el
momento interno del miembro estructural sea mayor al
momento flexionante producido por las cargas externas.
Como es bien sabido, el concreto tiene una resistencia a
la compresión bastante alta, no tanta como el acero, pero
muy buena comparada con su bajo costo. Pero su
resistencia a la tensión como se vio en el apartado
anterior es casi nula, por lo cual se coloca acero de
refuerzo en las áreas donde se presenta la tensión.
Ejemplo
Calcular la resistencia a tensión de una sección de
concreto reforzado de 30 x 30 cm y refuerzo longitudinal
de 8 barras del #8, f´c=250 kg/cm2.
Los criterios para el refuerzo de aberturas son igual a las
piezas macizas, como se aprecia en el grpafico anterior.
g) Tensión
La tensión es el más puro de los esfuerzos, es contrario a
la compresión, en el sentido de que la fuerza es aplicada
a un miembro estructural de manera tal que tiende a
alargarlo, por lo tanto, no existen excentricidades en la
aplicación de esta fuerza, por lo que las ecuaciones para
resolver la resistencia de miembros a tensión son casi
lineales (la resistencia del material por la cantidad de
material de la sección), únicamente se aplican factores
de reducción de la resistencia de los materiales.
Notación
Ft (kg): resistencia del concreto a la tensión
2
f´c (kg/cm ): resistencia del concreto
2
Ag (cm ): área total de la sección
As (cm2): área de acero
fy (kg/cm 2): esfuerzo de fluencia del acero
Fras: factor de reducción para el acero en tensión (0.90)
Datos
f´c= 250 kg/cm2
2
fy= 4200 kg/cm
2
Ag= 900 cm (30 x 30 cm de lado)
Cálculo de la resistencia
Ft  1.5  f ´c  Ag  As  fy  Fras
Ft= 174,662.1 kg
h) Flexión simple
La flexión es una deformación que hace que un lado de
la sección estructural sufra compresión y la opuesta
tensión. Esto crea una distribución de esfuerzos que
resultan en una par mecánico; este par mecánico es el
momento flexionante interno del miembro.
Fórmulas
1. Concreto simple
Ft  1.5  f ´c  Ag
2.
As= 40.56 cm2
Fras= 0.90
Concreto reforzado
77
En los gráficos superiores podemos apreciar el comportamiento
de vigas en flexión. Notese en el primer gráfico que el eje neutro
se localiza en el centro geométrico, dividiendo los esfuerzos de
compresión (superiores) y de tensión (inferiores). En el segundo
gráfico, al ser incorporado acero de refuerzo en la parte de
tensión (que tiene mayor resistencia por unidad de medida), la
ubicación del eje neutro se modifica.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
También se puede determinar si la sección necesita
acero a compresión con la siguiente ecuación:
M lim  0.3  f ´´c  b  d 2
En los gráficos superiores podemos apreciar muy bien, como
funciona el mecanismo de la flexión. En este caso, como es una
viga en cantiliber, la tensión se localiza en el lecho superior, y la
compresión en el inferior.
Notación
f´c (kg/cm2): resistencia del concreto
fy= (kg/cm2): esfuerzo de fluencia del acero
Mn= (kg-m ó kg-cm): momento nominal
Mr (kg-m ó kg-cm): momento resistente
b (cm): base de la sección
d (cm): peralte efectivo de la sección
q (adimensional): índice del refuerzo
p (adimensional): cuantía de acero
As (cm2): área de acero
Fr (adim.): factor de reducción de resistencia (0.9)
Fórmulas
1. Momento nominal
Mn  b  d 2  f ´´c  q  1  0.5q 
En donde:
q
2.
p  fy
f ´´c
p
As
bd
si
M max  M lim
basta con dispones acero a tensión
si
M max  M lim
es necesario acero por compresión
El acero por compresión se calcula con la siguiente
ecuación:
As comp 
Ejemplo
Determinar la resistencia a flexión de una sección
rectangular de 30 cm de base, 65 cm de altura y 5 cm de
recubrimiento; armada con tres varillas del # 8 y f´c = 200
kg/cm2.
Datos
f´c=200 kg/cm2
fy= 4200 kg/cm2
As= 15.21 cm2
b= 30 cm
h= 65 cm
d= 60 cm (altura total – recub.)
Constantes
f * c  0.8  f ´c = 160 kg/cm
f ´´c  0.85  f * c = 136 kg/cm2
2
1.
Cálculo del momento nominal
Mn  b  d 2  f ´´c  q  1  0.5q 
En donde:
Momento resistente
Mr  Fr  Mn
p
As
bd
= 0.0084
Método Alternativo
Mn= 3,311,549 kg-cm
El área de acero a tensión también puede calcularse con
la ecuación:
2.
As 
M max  M lim
0.8  d  fy
M max
0.8  d  fy
q
p  fy
= 0.259
f ´´c
Cálculo de momento resistente
Mr  Fr  Mn = 2,980,394.2 kg-cm
En
la
imagen
superior
observamos el armado de una
viga, con acero para resistir
momentos negativos (derecha)
y positivos (izquierda).
i) Cortante
La fuerza cortante es una fuerza perpendicular a una
sección estructural, provocada por la convergencia de
dos fuerzas contrarias cuyos ejes no son concurrentes,
sino paralelos. El concreto tiene una resistencia al
cortante bastante aceptable, pero cuando el esfuerzo
cortante es mayor al resistente de la sección entonces se
coloca acero transversal (anillos o estribos) para
absorber la diferencia.
Notación
f´c (kg/cm2): resistencia del concreto
2
fy= (kg/cm ): esfuerzo de fluencia del acero
b (cm): base de la sección
d (cm): peralte efectivo de la sección
p (adimensional): cuantía de acero
As (cm2): área de acero
Fr (adimensional): factor de reducción (0.80)
Vc (kg): resistencia nominal a cortante del concreto
Vcr (kg): resistencia de diseño a cortante del concreto
Vsr (kg): resistencia de diseño a cortante del acero
Vcsr (kg): resistencia total de diseño (concreto y acero)
s (cm): separación entre estribos
Fórmulas
1. Contribución del concreto
si p<0.01 Vcr
En donde
As tension  fy  0.04  At  f ´´c
78


 Fr  0.20  30  p  f * c  b  d
si p > ó = 0.01
Asimismo, el área mínima de acero a tensión, puede
evaluarse con la siguiente ecuación
En la imagen observamos
una viga T, el patín extiende
el área en compresión y su
resultante
se
eleva,
provocando que el peralte
disminuya.

Vcr  Fr  0.5  f * c  b  d


Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
p
2.
Fr= 0.8
j) Cimentaciones superficiales
(mampostería)
Contribución del acero
Vsr 
3.
Vcsr= 15,442.72 kg
As
bd
Fr  Av  fy  d
s
En donde Fr= 0.85
Resistencia de diseño
Vcsr  Fr  Vcr  Vsr 
Método Alternativo
También se puede evaluar la resistencia del concreto a
cortante con la siguiente ecuación:
La creencia generalizada (dogmática) sobre la
selección de una cimentación específica esta muy ligada
a su tipología, y eso ciertamente es un error. Se cree que
una casa habitación debe tener una cimentación corrida
de mampostería (A), si la estructura es más pesada,
entonces zapatas aisladas (B y C) aunque la utilización
de zapatas aisladas en sistemas de muros de carga
necesitan una trabe para repartir la carga entre zapatas
(C), lo cual es excesivamente innecesario comparado
con el bajo costo de poner una zapata corrida contra el
peralte necesario de la viga. Si el edificio es más grande,
entonces
necesita
zapatas
corridas
(d)
y
progresivamente losa de cimentación (E y F), e incluso
cuando el edificio es mas grande una cimentación
profunda como una sistema de cajones de substitución
(G).
Vcr  0.5  f ´´c  b  d
Ejemplo
Calcular la resistencia de diseño a fuerza cortante de una
viga libremente apoyada. La sección es de 30 x 50 cm, el
armado es de 4 barras del # 6, los estribos son del # 3,
separados a 10 cm. f´c= 210 kg/cm 2.
Datos
f´c= 210 kg/cm2
fy= 4200 kg/cm2
b= 30 cm
d= 50 cm
As= 11.40 cm2
Av= 0.071 cm2
s= 10 cm
Fr= 0.8
Constantes
f * c  0.85 f ´c
=178.5 kg/cm
p
2
As
bd
= 0.0076
1. Cálculo de la contribución del concreto
como p < 0.01 utilizamos:


Vcr  Fr  0.20  30  p  f * c  b  d

Vcr= 7,375.4 kg
2. Cálculo de la contribución del acero
Vsr 
Fr  Av  fy  d
s
3. Cálculo de la resistencia
Vsr= 11,928 kg
El principio básico de cualquier cimentación es que
ésta amplía la base de los elementos estructurales para
igualar el peso de la estructura transmitida por unidad de
superficie, con la resistencia del terreno. Pero en realidad
en el diseño de una cimentación existen mucho más
factores a considerar: 1) la forma en la que la estructura
baje el peso al terreno (compárese la gráfica A y la B, en
la A un muro le corresponde una cimentación lineal y en
la B al elemento puntual una cimentación aislada), 2) la
relación del peso de la estructura entre la resistencia del
terreno, y quizá la más importante: 3) las propiedades
mecánicas del suelo. La combinación entre estos tres
factores
puede
determinar
una
variedad
de
cimentaciones para un edificio específico.
Vcsr  Fr  Vcr  Vsr 
79
Pero en la realidad nos podemos encontrar con casas
incluso de un solo piso en terrenos de muy baja
resistencia (2 ton/m2) y pésimas características
mecánicas del suelo que tengan un sistema de losa de
cimentación. También podemos tener edificios de altura
media en terrenos muy resistentes y mecánicamente
apropiados que tan solo necesiten zapatas aisladas.
Incluso nos es difícil entender como edificios de más de
100 niveles al necesitar muchos niveles de
estacionamiento
en
sótano
llegan
a
estar
sobresustituidos y tienen que ser lastrados, para
literalmente detenerlos en el suelo.
Existen otros elementos muy importantes en las
cimentaciones como: a) dados, los cuales están en
desuso en vista de que no se comprendía bien su
funcionamiento (posteriormente profundizaremos en el
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
tema) y b) trabes de liga y/o contratrabes que distribuyen
los esfuerzos entre elementos aislados de la cimentación
y reducen la posibilidad de hundimientos diferenciales en
la misma.
3. Determinación de la profundidad
Notación:
w (kg/m): carga lineal sobre el cimiento
fr (kg/cm2): capacidad de carga del terreno
k (kg/cm2): esfuerzo unitario del mortero (1.0)
c (cm): corona del cimiento
b (cm): base del cimiento
v (cm): vuelo del cimiento
p (cm): profundidad del cimiento
p= 9.48 cm. En este caso por ser la profundidad del
cimiento menor que 50 cm se tomará el valor de este
mínimo.
Fórmulas
1.
Determinación de la
base
b
3.
w
fr  100
Determinación del
vuelo
v
bc
2
2.
Profundidad del
cimiento
 fr 
p  v  3 
k 
Nota: El cimiento mínimo
de mampostería deberá
ser de las siguientes
dimensiones:
Base: 50 cm
Altura: 50 cm
Corona: 30 cm
Ejemplo
Calcular las dimensiones de un cimiento de mampostería
para una carga lineal de 1500 kg/ml y una resistencia del
terreno de 0.3 kg/cm2.
Datos
w= 1500 kg/ml
2
fr= 0.3 kg/cm
k= 1.0 kg/cm2
c= 30 cm
1. Determinación de la base
b
w
fr  100
b= 50 cm
2. Determinación del vuelo
bc
v
2
v= 10 cm
 fr 
p  v  3  
k 
CIMIENTOS DE CONCRETO
En determinados tipos de construcciones, es factible la
construcción de cimientos de concreto (sin refuerzo), o
de concreto ciclópeo, esto, en términos generales, se
puede realizar cuando la resistencia del terreno es buena
(lomerío) y las cargas son bajas (edificios de pocos
niveles), en estos casos el cimiento sirve más como
anclaje de la estructura en el terreno que como medio de
transmisión de cargas. En estos casos lo que rige el
diseño es la fuerza cortante que transmite la estructura
dentro del cimiento, para que el cimiento no falle por
cortante debe tener la profundidad (peralte) suficiente
para desarrollar este esfuerzo, y la forma para absorber
la línea de esfuerzos cortantes (45); por lo cual su forma
debe ser cuadrada o rectangular, por lo que es necesario
dimensionar la base y la profundidad con las siguientes
ecuaciones:
En donde:
P
B= base del cimiento
B
Rt
H= profundidad del cimiento
peso sobre la cimentación por
B  b P=
metro lineal
H
Rt= resistencia del terreno
2
b= ancho del muro
Ejemplo
Calcular las dimensiones de un cimiento de concreto
para una carga lineal de 1,500 kg/ml y una resistencia del
2
terreno de 3 ton/m
Datos
Cálculo de la base
P=1.5 ton/ml
P
= 0.5 mts
B
b=0.15 mts
2
Rt
Rt=3 ton/m
Revisión de la altura
Bb
= 0.175 mts se iguala a 0.5 mts.
2
80
k) Normas NMX de Estructuras de
Mampostería Estructural
NMX-C-033-1996-ONNCCE
Cal
hidratada.
Especificaciones y métodos de prueba.
NMX-C-021-ONNCCE-2004 Cemento para albañilería
(mortero), Especificaciones y métodos de prueba.
NMX-C-036-ONNCCE-2004 Bloques, tabiques o ladrillos,
tabicones y adoquines. Resistencia a la compresión.
Métodos de prueba.
NMX-C-038-ONNCCE-2004 Determinación de las
dimensiones de ladrillos, tabiques, bloques y
tabicones para la construcción.
NMX-C-076-ONNCCE-2002 Agregados. Efectos de las
impurezas orgánicas en los agregados finos sobre la
resistencia de los morteros. Métodos de prueba.
NMX-C-082-1974 Determinación del esfuerzo de
adherencia de los ladrillos cerámicos y el mortero de
las juntas.
NMX-C-085-ONNCCE-2002
Cementos
hidráulicos.
Método estándar para el mezclado de pastas y
morteros de cementantes hidráulicos.
NMX-C-144-ONNCCE-2002
Cementos
hidráulicos.
Requisitos para el aparato usado de la determinación
de la fluidez de morteros con cementantes
hidráulicos.
NMX-C-180-ONNCCE-2001
Cementos
hidráulicos.
Determinación de la reactividad potencial de los
agregados con los álcalis de cementantes hidráulicos
por medio de barras de mortero.
NMX-C-300-1980 Cemento hidráulico. Determinación del
contenido de aire en el mortero.
NMX-C-404-ONNCCE-2005 Bloques, tabiques o ladrillos
y tabicones para uso estructural. Especificaciones y
métodos de prueba.
NMX-C-405-1997-ONNCCE Paneles para uso estructural
en muros, techos y entrepisos.
NMX-C-418-ONNCCE-2001 Cemento. Cambio de
longitud de morteros con cemento hidráulico expuesto
a una solución de sulfato de sodio.
NMX-B-456-1987 Armaduras soldadas de alambre de
acero para castillos y dalas.
l) Especificaciones para estructura de
mampostería
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
1. Tipos de piezas. Las piezas usadas en los elementos
estructurales de mampostería deberán cumplir con la
Norma Mexicana NMX-C-404-ONNCCE, con excepción
de lo dispuesto para el límite inferior del área neta de
piezas huecas. El peso volumétrico neto mínimo de las
piezas, en estado seco, será el indicado a continuación:
a) Tabique de barro recocido 13 kN/m³ (1300 kg/m³)
b) Tabique de barro con huecos verticales 17 kN/m³
(1700 kg/m³)
c) Bloque de concreto 17 kN/m³ (1700 kg/m³)
d) Tabique de concreto (tabicón) 15 kN/m³ (1500
kg/m³)
Piezas macizas. Se considerarán como piezas macizas
aquéllas que tienen en su sección transversal más
desfavorable un área neta de por lo menos 75 por ciento
del área bruta, y cuyas paredes exteriores no tienen
espesores menores de 20 mm.
Piezas huecas. Las piezas huecas son las que tienen en
su sección transversal más desfavorable, un área neta de
por lo menos 50 por ciento del área bruta; además, el
espesor de sus paredes exteriores no es menor que 15
mm. Para piezas huecas con dos y hasta cuatro celdas,
el espesor mínimo de las paredes interiores deberá ser
de 13 mm.
Para piezas multiperforadas, cuyas perforaciones sean
de las mismas dimensiones y con distribución uniforme,
el espesor mínimo de las paredes interiores será de 7
mm. Se entiende como piezas multiperforadas aquéllas
con más de siete perforaciones o alvéolos. Sólo se
permite usar piezas huecas con celdas o perforaciones
ortogonales a la cara de apoyo.
2. La resistencia a compresión se determinará para cada
tipo de piezas de acuerdo con el ensaye especificado en
la norma NMX-C-036. Para diseño, se empleará un valor
de la resistencia, fp*, medida sobre el área bruta, que se
determinará como el que es alcanzado por lo menos por
el 98 por ciento de las piezas producidas. La resistencia
de diseño se determinará con base en la información
estadística existente sobre el producto o a partir de
muestreos de la pieza, ya sea en planta o en obra. Si se
opta por el muestreo, se obtendrán al menos tres
muestras, cada una de diez piezas, de lotes diferentes de
la producción. Las 30 piezas así obtenidas se ensayarán
en laboratorios acreditados por la entidad de acreditación
reconocida en los términos de la Ley Federal sobre
Metrología y Normalización. El sistema de control de
calidad se refiere a los diversos procedimientos
documentados de la línea de producción de interés,
incluyendo los ensayes rutinarios y sus registros. La
resistencia mínima a compresión de las piezas de la
Norma Mexicana NMX-C-404-ONNCCE corresponde a la
resistencia fp*.
3. Cemento hidráulico. En la elaboración del concreto y
morteros se empleará cualquier tipo de cemento
hidráulico que cumpla con los requisitos especificados en
la norma NMX-C-414-ONNCCE.
4. Cemento de albañilería. En la elaboración de morteros
se podrá usar cemento de albañilería que cumpla con los
requisitos especificados en la norma NMX-C-021.
5. Cal hidratada. En la elaboración de morteros se podrá
usar cal hidratada que cumpla con los requisitos
especificados en la norma NMX-C-003-ONNCCE.
6. Agregados pétreos. Los agregados deben cumplir con
las especificaciones de la norma NMX-C-111.
7. Agua de mezclado. El agua para el mezclado del
mortero o del concreto debe cumplir con las
especificaciones de la norma NMX-C-122. El agua debe
almacenarse en depósitos limpios y cubiertos.
8. Resistencia a compresión de Morteros. La resistencia
a compresión del mortero, sea para pegar piezas o de
relleno, se determinará de acuerdo con el ensaye
especificado en la norma NMX-C-061-ONNCCE. La
resistencia a compresión del concreto de relleno se
determinará del ensaye de cilindros elaborados, curados
y probados de acuerdo con las normas NMX-C-160 y
NMXC-083-ONNCCE. Para diseño, se empleará un valor
de la resistencia, fj*, determinado como el que es
alcanzado por lo menos por el 98 por ciento de las
muestras. La resistencia de diseño se calculará a partir
de muestras del mortero, para pegar piezas o de relleno,
o del concreto de relleno por utilizar. En caso de mortero,
se obtendrán como mínimo tres muestras, cada una de al
menos tres probetas cúbicas. Las nueve probetas se
ensayarán siguiendo la norma NMX-C-061-ONNCCE. En
caso de concreto de relleno, se obtendrán al menos tres
probetas cilíndricas. Las probetas se elaborarán, curarán
y probarán de acuerdo con las normas antes citadas.
9. Mortero para pegar piezas. Los morteros que se
empleen en elementos estructurales de mampostería
deberán cumplir con los requisitos siguientes:
a) Su resistencia a compresión será por lo menos de
4 MPa (40 kg/cm²).
81
b) Siempre deberán contener cemento en la cantidad
mínima, antes indicada.
c) La relación volumétrica entre la arena y la suma de
cementantes se encontrará entre 2.25 y 3. El volumen
de arena se medirá en estado suelto.
d) Se empleará la mínima cantidad de agua que dé
como resultado un mortero fácilmente trabajable. Si el
mortero incluye cemento de albañilería, la cantidad
máxima de éste, a usar en combinación con cemento,
será la indicada a continuación:
Tipo de mortero I (Resistencia nominal en
compresión fj* 12.5 MPa [125 kg/cm²])
i) Partes de cemento hidráulico = 1, partes de
cemento de albañilería = 0, partes de cal
hidratada= 0 a 1/4, partes de arena = no menos
de 2.25 ni más de 3 veces la suma de
cementantes en volumen.
ii) Partes de cemento hidráulico = 1, partes de
cemento de albañilería = 0 a 1/2, partes de cal
hidratada = 0, partes de arena = no menos de
2.25 ni más de 3 veces la suma de cementantes
en volumen.
Tipo de mortero II (Resistencia nominal en
compresión fj* 7.5 MPa [74 kg/cm²])
i) Partes de cemento hidráulico = 1, partes de
cemento de albañilería = 0, partes de cal
hidratada= 1/4 a 1/2 , partes de arena= no menos
de 2.25 ni más de 3 veces la suma de
cementantes en volumen.
ii) Partes de cemento hidráulico = 1, partes de
cemento de albañilería = 1/2 a 1, partes de cal
hidratada= 0, partes de arena = no menos de 2.25
ni más de 3 veces la suma de cementantes en
volumen.
Tipo de mortero III (Resistencia nominal en
compresión fj* 4.0 MPa [40 kg/cm²])
i) Partes de cemento hidráulico = 1, partes de
cemento de albañilería = 0, partes de cal
hidratada = 1/2 a 1 1/4, partes de arena = no
menos de 2.25 ni más de 3 veces la suma de
cementantes en volumen.
10. Morteros y concretos de relleno. Los morteros y
concretos de relleno que se emplean en elementos
estructurales de mampostería para rellenar celdas de
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
piezas huecas deberán cumplir con los siguientes
requisitos:
a) Su resistencia a compresión será por lo menos de
12.5 MPa (125 kg/cm²).
b) El tamaño máximo del agregado no excederá de
10 mm.
c) Se empleará la mínima cantidad de agua que
permita que la mezcla sea lo suficientemente fluida
para rellenar las celdas y cubrir completamente las
barras de refuerzo vertical, en el caso de que se
cuente con refuerzo interior. Se aceptará el uso de
aditivos que mejoren la trabajabilidad.
11. Aditivos. En la elaboración de concretos, concretos
de relleno y morteros de relleno se podrán usar aditivos
que mejoren la trabajabilidad y que cumplan con los
requisitos especificados en la norma NMX-C-255. No
deberán usarse aditivos que aceleren el fraguado.
12. Acero de refuerzo. El refuerzo que se emplee en
castillos, dalas, elementos colocados en el interior del
muro y/o en el exterior del muro, estará constituido por
barras corrugadas, por malla de acero, por alambres
corrugados laminados en frío, o por armaduras soldadas
por resistencia eléctrica de alambre de acero para
castillos y dalas, que cumplan con las Normas Mexicanas
correspondientes. Se admitirá el uso de barras lisas,
como el alambrón, únicamente en estribos, en mallas de
alambre soldado o en conectores. El diámetro mínimo del
alambrón para ser usado en estribos es de 5.5 mm. Se
podrán utilizar otros tipos de acero siempre y cuando se
demuestre a satisfacción del perito responsable su
eficiencia como refuerzo estructural. El módulo de
elasticidad del acero de refuerzo ordinario, Es , se
supondrá igual a 2×105 MPa (2×106 kg/cm²). Para
diseño se considerará el esfuerzo de fluencia mínimo, fy,
establecido en las normas citadas.
13. Tamaño del acero de refuerzo. Diámetro del acero de
refuerzo longitudinal. El diámetro de la barra más gruesa
no deberá exceder de la mitad de la menor dimensión
libre de una celda. En castillos y dalas, el diámetro de la
barra más gruesa no deberá exceder de un sexto de la
menor dimensión. Diámetro del acero de refuerzo
horizontal. El diámetro del refuerzo horizontal no será
menor que 3.5 mm ni mayor que tres cuartas partes del
espesor de la junta.
14. Colocación y separación del acero de refuerzo
longitudinal. La distancia libre entre barras paralelas,
empalmes de barras, o entre barras y empalmes, no será
menor que el diámetro nominal de la barra más gruesa,
ni que 25 mm. Se aceptarán paquetes de dos barras
como máximo. El espesor del concreto o mortero de
relleno, entre las barras o empalmes y la pared de la
pieza serán al menos de 6 mm.
15. Protección del acero de refuerzo. En muros
confinados con castillos exteriores, las barras de refuerzo
longitudinal de castillos y dalas deberán tener un
recubrimiento mínimo de concreto de 20 mm.
Recubrimiento en castillos interiores y en muros con
refuerzo interior. Si la cara del muro está expuesta a
tierra, el recubrimiento será de 35 mm para barras no
mayores del No. 5 (15.9 mm de diámetro) o de 50 mm
para barras más gruesas La distancia libre mínima entre
una barra de refuerzo horizontal o malla de alambre
soldado y el exterior del muro será la menor de 10 mm o
una vez el diámetro de la barra.
16. Anclaje. Requisitos generales. La fuerza de tensión o
compresión que actúa en el acero de refuerzo en toda
sección debe desarrollarse a cada lado de la sección
considerada por medio de adherencia en una longitud
suficiente de barra.
Barras rectas a tensión. La longitud de desarrollo, Ld, en
la cual se considera que una barra de tensión se ancla de
modo que alcance su esfuerzo especificado de fluencia,
será la requerida para concreto reforzado.
Barras a tensión con dobleces a 90 ó 180 grados. La
revisión del anclaje de barras a tensión con dobleces a
90 ó 180 grados se hará siguiendo lo indicado para
concreto reforzado.
Refuerzo horizontal en juntas de mortero. El refuerzo
horizontal colocado en juntas de mortero deberá ser
continuo a lo largo del muro, entre dos castillos si se trata
de mampostería confinada, o entre dos celdas rellenas y
reforzadas con barras verticales en muros reforzados
interiormente. Si se requiere, se podrán anclar dos o más
barras o alambres en el mismo castillo o celda que
refuercen muros colineales o transversales. No se
admitirá el traslape de alambres o barras de refuerzo
horizontal en ningún tramo. El refuerzo horizontal deberá
anclarse en los castillos, ya sea exteriores o interiores, o
en las celdas rellenas reforzadas. Se deberá anclar
mediante dobleces a 90 grados colocados dentro de los
castillos o celdas. El doblez del gancho se colocará
verticalmente dentro del castillo o celda rellena lo más
alejado posible de la cara del castillo o de la pared de la
82
celda rellena en contacto con la mampostería. Para fines
de revisar la longitud de desarrollo, la sección crítica será
la cara del castillo o la pared de la celda rellena en
contacto con la mampostería.
Mallas de alambre soldado. Las mallas de alambre
soldado se deberán anclar a la mampostería, así como a
los castillos y dalas si existen, de manera que pueda
alcanzar su esfuerzo especificado de fluencia. Se
aceptará ahogar la malla en el concreto; para ello,
deberán ahogarse cuando menos dos alambres
perpendiculares a la dirección de análisis, distando el
más próximo no menos de 50 mm de la sección
considerada. Si para fijar la malla de alambre soldado se
usan conectores instalados a través de una carga
explosiva de potencia controlada o clavos de acero, la
separación máxima será de 450 mm. Las mallas deberán
rodear los bordes verticales de muros y los bordes de las
aberturas. Si la malla se coloca sobre una cara del muro,
la porción de malla que rodea los bordes se extenderá al
menos dos veces la separación entre alambres
transversales. Esta porción de malla se anclará de modo
que pueda alcanzar su esfuerzo especificado de fluencia.
Si el diámetro de los alambres de la malla no permite
doblarla alrededor de bordes verticales de muros y los
bordes de aberturas, se aceptará colocar un refuerzo en
forma de letra C hecho con malla de calibre no inferior al
10 (3.43 mm de diámetro) que se traslape con la malla
principal. Se admitirá que la malla se fije en contacto con
la mampostería.
Uniones de barras
a) Barras sujetas a tensión. La longitud de traslapes
de barras en concreto se determinará según lo
especificado para concreto reforzado. No se aceptan
uniones soldadas. Si las barras se traslapan en el
interior de piezas huecas, la longitud del traslape será
al menos igual a 50 db en barras con esfuerzo
especificado de fluencia de hasta 412 MPa (4200
kg/cm²) y al menos igual a 60 db en barras o
alambres con esfuerzo especificado de fluencia
mayor; db es el diámetro de la barra más gruesa del
traslape. El traslape se ubicará en el tercio medio de
la altura del muro. No se aceptan traslapes de más
del 50 por ciento del acero longitudinal del elemento
(castillo, dala, muro) en una misma sección. No se
permitirán traslapes en los extremos de los castillos
(ya sean éstos exteriores o interiores). No se
permitirán traslapes en el refuerzo vertical en la base
de muros de mampostería reforzada interiormente a
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
lo largo de la altura calculada de la articulación
plástica por flexión.
b) Mallas de alambre soldado. Las mallas de alambre
soldado deberán ser continuas, sin traslape, a lo largo
del muro. Si la altura del muro así lo demanda, se
aceptará unir las mallas. El traslape se colocará en
una zona donde los esfuerzos esperados en los
alambres sean bajos. El traslape medido entre los
alambres transversales extremos de las hojas que se
unen no será menor que dos veces la separación
entre alambres transversales más 50 mm.
17. MAMPOSTERÍA CONFINADA. Castillos y dalas
exteriores. Los castillos y dalas deberán cumplir con lo
siguiente:
a) Existirán castillos por lo menos en los extremos de
los muros e intersecciones con otros muros, y en
puntos intermedios del muro a una separación no
mayor que 1.5H ni 4 m. Los pretiles o parapetos
deberán tener castillos con una separación no mayor
que 4 m.
b) Existirá una dala en todo extremo horizontal de
muro, a menos que este último esté ligado a un
elemento de concreto reforzado con un peralte
mínimo de 100 mm. Aun en este caso, se deberá
colocar refuerzo longitudinal y transversal. Además,
existirán dalas en el interior del muro a una
separación no mayor de 3 m y en la parte superior de
pretiles o parapetos cuya altura sea superior a 500
mm.
c) Los castillos y dalas tendrán como dimensión
mínima el espesor de la mampostería del muro, (t).
d) El concreto de castillos y dalas tendrá un
resistencia a compresión, fc’, no menor de 15MPa
(150 kg/cm²).
e) El refuerzo longitudinal del castillo y la dala deberá
dimensionarse para resistir las componentes vertical y
horizontal correspondientes del puntal de compresión
que se desarrolla en la mampostería para resistir las
cargas laterales y verticales.
f) El refuerzo longitudinal del castillo y la dala estará
anclado en los elementos que limitan al muro de
manera que pueda alcanzar su esfuerzo de fluencia.
g) Los castillos y dalas estarán reforzados
transversalmente por
estribos
cerrados.
La
separación de los estribos, (s), no excederá de 1.5t ni
de 200 mm.
h) Cuando la resistencia de diseño a compresión
diagonal de la mampostería, (vm*), sea superior a 0.6
MPa (6 kg/cm²), se suministrará refuerzo transversal,
con una separación no mayor que una hilada dentro
de una longitud Ho (longitud mínima, medida en los
extremos de los castillos, sobre la cual se deben
colocar estribos con una menor separación) en cada
extremo de los castillos. Ho se tomará como el mayor
de H/6, 2hc (dimensión de la sección del castillo o
dala que confina al muro en el plano del mismo) y 400
mm.
Muros con aberturas. Existirán elementos de refuerzo
con las mismas características que las dalas y castillos
en el perímetro de toda abertura cuyas dimensiones
horizontal o vertical excedan de la cuarta parte de la
longitud del muro o separación entre castillos, o de 600
mm. También se colocarán elementos verticales y
horizontales de refuerzo en aberturas con altura igual a la
del muro. En muros con castillos interiores, se aceptará
sustituir a la dala de la parte inferior de una abertura por
acero de refuerzo horizontal anclado en los castillos que
confinan a la abertura. El refuerzo consistirá de barras
capaces de alcanzar en conjunto una tensión a la
fluencia de 29 kN (2980 kg).
Espesor y relación altura a espesor de los muros. El
espesor de la mampostería de los muros, (t), no será
menor que 100 mm y la relación altura libre a espesor de
la mampostería del muro, H/ t, no excederá de 30.
18. MAMPOSTERÍA REFORZADA INTERIORMENTE.
Es aquélla con muros reforzados con barras o alambres
corrugados de acero, horizontales y verticales, colocados
en las celdas de las piezas, en ductos o en las juntas. El
acero de refuerzo, tanto horizontal como vertical, se
distribuirá a lo alto y largo del muro.
Refuerzo vertical. El refuerzo vertical en el interior del
muro tendrá una separación no mayor de seis veces el
espesor del mismo ni mayor de 800 mm.
Refuerzo en los extremos de muros.
a) Existirá una dala en todo extremo horizontal de
muro, a menos que este último esté ligado a un
elemento de concreto reforzado con un peralte
mínimo de 100 mm. Aún en este caso, se deberá
colocar refuerzo longitudinal y transversal. El refuerzo
longitudinal de la dala deberá dimensionarse para
resistir la componente horizontal del puntal de
compresión que se desarrolle en la mampostería para
83
resistir las cargas laterales y verticales. En cualquier
caso, estará formado por lo menos de tres barras.
b) Deberá colocarse por lo menos una barra No. 3
(9.5 mm de diámetro) con esfuerzo especificado de
fluencia de 412 MPa (4200 kg/cm²), o refuerzo de
otras características con resistencia a tensión
equivalente, en cada una de dos celdas consecutivas,
en todo extremo de muros, en la intersecciones entre
muros o a cada 3 m.
Mortero y concreto de relleno. Para el colado de las
celdas donde se aloje el refuerzo vertical podrán
emplearse los morteros y concretos de relleno, o el
mismo mortero que se usa para pegar las piezas, si es
del tipo I. El hueco de las piezas (celda) tendrá una
dimensión mínima mayor de 50 mm y un área no menor
de 3000 mm².
Muros transversales. Cuando los muros transversales
sean de carga y lleguen a tope, sin traslape de piezas,
será necesario unirlos mediante dispositivos que
aseguren la continuidad de la estructura. Los dispositivos
deberán ser capaces de resistir 1.33 veces la resistencia
de diseño a fuerza cortante del muro transversal, dividida
por el factor de resistencia correspondiente. En la
resistencia de diseño se incluirá la fuerza cortante
resistida por la mampostería y, si aplica, la resistida por
el refuerzo horizontal.
Muros con aberturas. Existirán elementos de refuerzo
vertical y horizontal en el perímetro de toda abertura cuya
dimensión exceda de la cuarta parte de la longitud del
muro, de la cuarta parte de la distancia entre
intersecciones de muros o de 600 mm, o bien en
aberturas con altura igual a la del muro.
Espesor y relación altura a espesor de los muros. El
espesor de la mampostería de los muros, (t), no será
menor que 100 mm y la relación altura a espesor de la
mampostería del muro, H/ t, no excederá de 30.
Pretiles. Los pretiles o parapetos deberán reforzarse
interiormente con barras de refuerzo vertical. Se deberá
proporcionar refuerzo horizontal en la parte superior de
pretiles o parapetos cuya altura sea superior a 500 mm.
19. MAMPOSTERÍA DE PIEDRAS NATURALES. Se
refiere al diseño y construcción de cimientos, muros de
retención y otros elementos estructurales de
mampostería del tipo conocido como de tercera, o sea,
formado por piedras naturales sin labrar unidas por
mortero.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Materiales. Piedras. Las piedras que se empleen en
elementos estructurales deberán satisfacer los requisitos
siguientes:
a) Su resistencia mínima a compresión en dirección
normal a los planos de formación será de 15 MPa
(150kg/cm²).
b) Su resistencia mínima a compresión en dirección
paralela a los planos de formación será de 10 MPa
(100 kg/cm²).
c) La absorción máxima será de 4 por ciento.
d) Su resistencia al intemperismo, medida como la
máxima pérdida de peso después de cinco ciclos en
solución saturada de sulfato de sodio, sea del 10 por
ciento.
Las propiedades anteriores se determinarán de acuerdo
con los procedimientos indicados en el capítulo CXVII de
las Especificaciones Generales de Construcción de la
Secretaría de Obras Públicas (1971). Las piedras no
necesitarán ser labradas, pero se evitará, en lo posible, el
empleo de piedras de formas redondeadas y de cantos
rodados. Por lo menos, el 70 por ciento del volumen del
elemento estará constituido por piedras con un peso
mínimo de 300 N (30 kg), cada una.
Morteros. Los morteros que se empleen para
mampostería de piedras naturales deberán ser al menos
del tipo III, tal que la resistencia mínima en compresión
sea de 4 MPa (40 kg/cm²). La resistencia se determinará
según lo especificado en la norma NMX-C-061ONNCCE.
20. INSPECCIÓN Y CONTROL DE OBRA. El Perito
Responsable deberá supervisar el cumplimiento de las
disposiciones constructivas en el proyecto estructural.
Antes de la construcción de muros de mampostería. Se
deberá verificar que la cimentación se haya construido
con las tolerancias señaladas para Estructuras de
Concreto, si la cimentación es de concreto, o en las
marcadas en estas especificaciones, si la cimentación es
de mampostería. Se revisará que el refuerzo longitudinal
de castillos, o el vertical de muros, esté anclado y en la
posición señalada en los planos estructurales.
Durante la construcción. En especial, se revisará que:
a) Las piezas sean del tipo y tengan la calidad
especificada en los planos de construcción.
b) Las piezas de barro estén sumergidas en agua al
menos 2 hrs. antes de su colocación.
c) Las piezas de concreto estén secas y que se
rocíen con agua justo antes de su colocación.
instalados en la mampostería y concreto, con la
separación señalada en los planos de construcción.
d) Las piezas estén libres de polvo, grasa, aceite o
cualquier otra sustancia o elemento que reduzca la
adherencia o dificulte su colocación.
e) Las barras de refuerzo sean del tipo, diámetro y
grado indicado en los planos de construcción.
f) El aparejo sea cuatrapeado.
g) Los bordes verticales de muros confinados
exteriormente estén dentados o que cuenten con
conectores o refuerzo horizontal.
h) El refuerzo longitudinal de castillos o el interior del
muro esté libre de polvo, grasa o cualquier otra
sustancia que afecte la adherencia, y que su posición
de diseño esté asegurada durante el colado.
t) Los muros transversales de carga que lleguen a
tope estén conectados con el muro ortogonal.
u) Las aberturas en muros, si así lo señalan los
planos, estén reforzadas o confinadas en sus bordes.
v) Los pretiles cuenten con castillos y dalas o refuerzo
interior.
Muestreo y ensayes. Mortero para pegar piezas. Se
tomarán como mínimo seis muestras por cada lote de
3000 m² o fracción de muro construido. En casos de
edificios que no formen parte de conjuntos, al menos dos
muestras serán de la planta baja en edificaciones de
hasta tres niveles, y de la planta baja y primer entrepiso
en edificios de más niveles. Las muestras se tomarán
durante la construcción del lote indicado. Cada muestra
estará compuesta de tres probetas cúbicas. La
elaboración, curado, ensaye y determinación de la
resistencia de las probetas se hará según lo especificado
en la norma NMX-C-061-ONNCCE. Las muestras se
ensayarán a los 28 días. Los ensayes se realizarán en
laboratorios acreditados por la entidad de acreditación
reconocida en los términos de la Ley Federal sobre
Metrología y Normalización.
Mortero y concreto de relleno. Se tomarán como mínimo
tres muestras por cada lote de 3000 m² o fracción de
muro construido. En casos de edificios que no formen
parte de conjuntos, al menos una muestra será de la
planta baja en edificaciones de hasta tres niveles, y de la
planta baja y primer entrepiso en edificios de más
niveles. Las muestras se tomarán durante la construcción
del lote indicado. Cada muestra estará compuesta de tres
probetas cúbicas en el caso de morteros, y de tres
cilindros en el caso de concretos de relleno. La
elaboración, curado, ensaye y determinación de la
resistencia de las probetas de mortero se hará según lo
especificado en la norma NMXC-061-ONNCCE. La
elaboración, curado y ensaye de cilindros de concreto de
relleno se hará de acuerdo con las normas NMX-C-160 y
NMX-C-083-ONNCCE. Las muestras se ensayarán a los
28 días. Los ensayes se realizarán en laboratorios
acreditados por la entidad de acreditación reconocida en
los términos de la Ley Federal sobre Metrología y
Normalización.
i) No se traslape más del 50 por ciento del acero
longitudinal de castillos, dalas o refuerzo vertical en
una misma sección.
j) El refuerzo horizontal sea continuo en el muro, sin
traslapes, y anclado en los extremos con ganchos a
90 grados colocados en el plano del muro.
k) El mortero no se fabrique en contacto con el suelo
o sin control de la dosificación.
l) El relleno de los huecos verticales en piezas huecas
de hasta cuatro celdas se realice a la altura máxima
especificada en los planos.
m) Las juntas verticales y horizontales estén
totalmente rellenas de mortero.
n) Si se usan tabiques multiperforados, que el
mortero penetre en las perforaciones la distancia
indicada en los planos, pero no menos de 10 mm.
o) El espesor de las juntas no exceda el valor
indicado en los planos de construcción.
p) El desplomo del muro no exceda 0.004H ni 15 mm.
q) En castillos interiores, el concreto o mortero de
relleno haya penetrado completamente, sin dejar
huecos.
r) En muros hechos con tabique multiperforado y
piezas huecas (estas últimas para alojar instalaciones
o castillos interiores), la pieza hueca esté llena con
concreto o mortero de relleno.
s) En muros reforzados con malla soldada de
alambre, los conectores de anclaje estén firmemente
84
Mampostería. Se tomarán como mínimo tres muestras
por cada lote de 3000 m² o fracción de muro construido
con cada tipo de pieza. En casos de edificios que no
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
formen parte de conjuntos, al menos una muestra será
de la planta baja en edificios de hasta tres niveles, y de la
planta baja y primer entrepiso si el edificio tiene más
niveles. Las muestras se tomarán durante la construcción
del lote indicado. Las probetas se elaborarán con los
materiales, mortero y piezas, usados en la construcción
del lote. Cada muestra estará compuesta por una pila y
un murete. Se aceptará elaborar las probetas en
laboratorio usando las piezas, la mezcla en seco del
mortero y la cantidad de agua empleada en la
construcción del lote. La elaboración, curado, transporte,
ensaye y determinación de las resistencias de las
probetas se hará según lo indicado en las Normas
Mexicanas correspondientes. Las muestras se ensayarán
a los 28 días. Los ensayes se realizarán en laboratorios
acreditados por la entidad de acreditación reconocida en
los términos de la Ley Federal sobre Metrología y
Normalización.
Penetración del mortero en piezas multiperforadas. Se
aceptará la aplicación de cualquiera de los
procedimientos siguientes:
a) Penetración del mortero. Se determinará la
penetración del mortero retirando una pieza
multiperforada en un muro de planta baja si el edificio
tiene hasta tres niveles, o de planta baja y primer
entrepiso si el edificio tiene más niveles.
b) Consumo de mortero. Se controlará el consumo de
mortero que penetra en las perforaciones de las
piezas, adicional al colocado en las juntas horizontal y
vertical, en todos los muros de planta baja, si el
edificio tiene hasta tres niveles, o de planta baja y
primer entrepiso si el edificio tiene más niveles.
85
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Notación
f´c (kg/cm2): resistencia del concreto
2
fy (kg/cm ): esfuerzo de fluencia del acero
P (ton): carga total sobre la zapata
qa (ton/m 2): capacidad de carga del terreno
c (mts): distancia de borde de columna al de la zapata
d (cm): peralte efectivo
h (cm): altura de la sección
r (cm): recubrimiento del refuerzo
2
As (cm ): área de acero
l (mts): lado de la zapata
lc (mts): lado de la columna
Af (m 2): área efectiva de la zapata
Capítulo V
DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE
CONCRETO REFORZADO
a) Cimentación (Zapatas)
Fórmulas
1. Área efectiva
Las zapatas de concreto armado (aisladas o corridas)
son elementos subestructurales que funcionan
básicamente como una trabe en voladizo (invertida).
Recibe el peso puntual de una estructura y lo reparte en
el terreno, hasta este punto, el diseño de una zapara es
muy simple, únicamente de divide el peso entre la
resistencia del terreno y se obtiene la superficie de
cimentación necesaria. Lo que sucede dentro de la
zapata y como distribuye ese esfuerzo es lo más
interesante. Esto nos da la oportunidad para aclarar
algunos malentendidos sobre las zapatas. 1) La teoría
generalizada hasta el momento parte del supuesto
(correcto) de que la zapata funciona como una viga doble
en cantiliber, por lo cual los momentos flexionantes y
cortantes son máximos junto a la columna (o muro) y
menores en los extremos por lo cual tradicionalmente se
diseñaban en forma trapezoidal siendo que en realidad la
zapata es un elemento altamente indeterminado, es decir
las cargas y los esfuerzos fluyen en de muchas posibles
formas. En general los esfuerzos se distribuyen más
uniformemente por lo que las secciones rectangulares
funcionan mucho mejor. 2) Los dados tienen la función
de disminuir la fuerza punzonante (cortante) que provoca
la columna sobre la zapata y que generalmente domina
el dimensionamiento.
En el gráfico superior, podemos apreciar el comportamiento de
punzonamiento que provoca una columna sombre una zapata.
Se puede apreciar que el cono formado es medio peralte mayor,
por lo cual esta zona es recomendable reforzarla al cortante.
Pero la práctica ha mostrado que casi siempre el
volumen de concreto utilizado para el dado es muy
superior al volumen de concreto ahorrado en el peralte
de la sección, sin contar el armado del dado y su cimbra,
siendo que el dado no disminuye el acero ni la cimbra de
al zapata, por lo cual esta francamente en desuso,
aunque es necesario cuando las columnas son de acero,
para poder alojar los anclajes y subir la conexión a nivel
de piso. 3) El ACI recomienda que la profundidad mínima
de una cimentación medida desde su base hasta el nivel
de piso sea como mínimo de 1.52 mts., para garantizar el
empotramiento de la estructura al suelo. Esta no es una
práctica común en la construcción, pero es altamente
recomendable. 4) El tipo y características de bulbo de
esfuerzos de una zapata es de vital importancia para
evitar hundimientos diferenciales, como se puede ver en
la gráfica la zapata reparte un menor porcentaje de peso
entre mayor sea la profundidad, pero si las zapatas están
muy juntas los bulbos se traslapan y se sobrecargan
áreas superando su capacidad. Por ejemplo: a menos de
1 mts de su base la zapata descarga la mitad de su peso,
si esta área se ve invadida por otro bulbo, la carga es del
100 % lo que puede derivar en hundimientos
diferenciales, si la capacidad de la carga a esa
profundidad es diferente a la profundidad de contacto.
86
Af 
P
qa
l  Af
Área efectiva
zapata aislada
Lado de zapata
En caso de que la zapata sea corrida, el lado de la
zapata (l) será igual al Área efectiva (Af), ya que el peso
es dado por metro lineal, que multiplicado por Af es igual
al área necesaria. Es decir:
l  Af
zapata corrida
2. Peralte efectivo
d  8.3 
P  c2
Af
c


Af  lc
2
hd r
Altura
Peralte efectivo
El recubrimiento para zapatas deberá ser de 3 cm si la
zapata se encuentra apoyada sobre una plantilla de
concreto pobre, y de 7 cm si está sobre el terreno.
3. Revisión a cortante

 d 
PSC  lc  100    2   4
 2 

Perímetro de la sección
crítica
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Vu 
P  1000
PSC  d
Vcr  Fr 
Esfuerzo cortante de diseño
3.
f ´c  0.8
Resistencia de diseño
cortante del concreto
a
Vcr debe ser mayor que Vu, si no es así, se debe
aumentar el peralte, o colocar acero para cortante
(estribos).
Cálculo del refuerzo
As  0.184  h = 3.72 cm2/m
s
100  Av
As
Se utilizarán
varillas del # 3, Av
= 0.71 cm 2
Se proponen varillas del
# 3 @ 19 cm.
= 19.08 cm
Nomenclatura
utilizada,
esquematizada
en una zapata
4. Refuerzo
As  0.184  h
s
Área de acero
Av  100
As
4. Refuerzo de la Zapata
Primero se obtiene el memento máximo de a zapata con
la ecuación:
Donde:
Mmax [ton-ml]
 qa  Af
Af [m2]
M max  1.6    
 100
qa [tom/m2]
 10  8
Separación del armado
Nota: Si el peralte es mayor de 25 cm, se debe colocar
doble parrilla de acero (lecho bajo y alto).
Las contratrabes o trabes de liga entre zapatas aisladas
o corridas se deben dimensionar de acuerdo con la
siguiente relación:
h  4b
En donde:
h= peralte de la contratrabe
b= base de la contratrabe (se propone)
Ejemplo
Calcular las dimensiones de una zapata aislada para una
columna que carga 21.19 ton. La resistencia del terreno
2
es de 12 ton/m . La columna es de 40 x 40 cm.
Datos
P= 21.19 ton
qa= 12 ton/m2
1.
Método Alternativo (Zapatas Aisladas)
1. Datos necesarios
a) Si no se dispone del peso exacto que cargará la
zapata, se puede realizar un cálculo aproximado con la
siguiente ecuación:
o
P= n de plantas x área tribitarea de la columna x peso
por metro cuadradob) Si no se dispone de la dimensión de la columna tomer
un valor aproximado de 0.4 a 0.5 mts
2. Área de la zapata
Af 
lc= 0.40 mts
r= 7 cm
P
qa
l  Af
zapata aislada
Área efectiva de la zapata
P
2
Af 
= 1.76 m
qa
Af  lc
c
= 0.46 mts
2

2.
 
l  Af
= 1.32 m2

a) El vuelo debe ser el doble que
el peralte c=2h, por lo tanto:
Peralte efectivo
d  8.3 
Pc
Af
2
= 13.24 cm
3. Peralte de la zapata
Se debe tomar el mayor de los siguientes tres criterios:
h  d  r = 20.24
b) Se debe garantizar el
anclaje del acero en la
zapata, comprobando que:
h
l  lc
4
h  10   2  10
Donde Ø es el diámetro de
la varilla de refuerzo
c) El peralte mínimo = 50 cm
87
M  1000
As  max
0.8  h  fy
Donde:
As [cm2/ml]
Mmax [ton-ml]
h [m]
fy [kg/cm2]
Método Alternativo (Zapatas Aisladas de borde
c/contratrabe)
1. Datos necesarios
a) Si no se dispone del peso exacto que cargará la
zapata, se puede realizar un cálculo aproximado con la
siguiente ecuación:
P= no de plantas x área tribitarea de la columna x peso
por metro cuadradob) Si no se dispone de la dimensión de la columna tomer
un valor aproximado de 0.4 a 0.5 mts
2. Área de la zapata
Af  1.4 
P
qa
l  Af
zapata aislada
3. Peralte de la zapata
Se debe tomar el mayor de los siguientes tres criterios:
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
a) El vuelo debe ser el doble que
el peralte c=2h, por lo tanto:
b) Se debe garantizar el
anclaje del acero en la
zapata, comprobando que:
h
l  lc
4
h  10   2  10
Donde Ø es el diámetro de
la varilla de refuerzo
c) El peralte mínimo = 50 cm
4. Refuerzo de la Zapata
Primero se obtiene el memento máximo de a zapata con
la ecuación:
Donde:
Mmax [ton-ml]
 qa  Af
Af [m2]
M max  1.6    
 100
qa [tom/m2]
 10  8
 
M  1000
As  max
0.8  h  fy
Donde:
As [cm2/ml]
Mmax [ton-ml]
h [m]
fy [kg/cm2]
5. Refuerzo equivalente sin contratrabe
En el caso de no
existir una
contratrabe, se
puede sustituir
ésta por una
equivalente,
ahogada en la
zapata con un
ancho de lc + h. Y
el armado de esta
franja se calcula
con la ecuación:
M max
As 
fy [kg/cm2]
M max  1000
0.8  h  fy
Método Alternativo (Zapatas Aisladas de esquina
c/contratrabe)
1. Datos necesarios
a) Si no se dispone del peso exacto que cargará la
zapata, se puede realizar un cálculo aproximado con la
siguiente ecuación:
P= no de plantas x área tribitarea de la columna x peso
por metro cuadradob) Si no se dispone de la dimensión de la columna tomer
un valor aproximado de 0.4 a 0.5 mts
M max
2. Área de la zapata
P
Af  1.4 
qa
l  Af
zapata aislada
3. Peralte de la zapata
Se debe tomar el mayor de los siguientes tres criterios:
a) El vuelo debe ser el doble que
l  lc
h
el peralte c=2h, por lo tanto:
4
b) Se debe garantizar el
anclaje del acero en la
zapata, comprobando que:
h  10   2  10
Donde Ø es el diámetro de
la varilla de refuerzo
c) El peralte mínimo = 50 cm
L
 qa 
   Af 
10
2
 1. 6   
 100
lc  h
Donde:
As [cm2/ml]
Mmax [ton-ml]
h [m]
En el caso de no
existir una
contratrabe, se puede
sustituir ésta por una
equivalente, ahogada
en la zapata con un
ancho de lc en ambas
direcciones. Y el
armado de esta franja
se calcula con la
ecuación:
4. Refuerzo de la Zapata
Primero se obtiene el memento máximo de a zapata con
la ecuación:
Donde:
 qa  2
Mmax [ton-ml]
  L
Af [m2]
10 

M max  1.6 
 100
qa [tom/m2]
4. 8
 
Donde:
As [cm2/ml]
Mmax [ton-ml]
h [m]
fy [kg/cm2]
M  1000
As  max
0.8  h  fy
5. Refuerzo equivalente sin contratrabe
88
As 
 qa  3
  L
10
1
 1.6   
    100
2
 lc 
M max  1000
0.8  h  fy
Donde:
As [cm2/ml]
Mmax [ton-ml]
h [m]
fy [kg/cm2]
CONTRATRABES PARA ZAPATAS
1. Datos necesarios
a) Pt (ton): carga total de las columnas o elementos
portantes.
b) qa (ton/m2): resistencia del terreno
c) L (mts): distancia entre columnas o elementos
portantes
2. Dimensionamiento de la sección de la contratrabe
Base
b
L
20
Peralte
d
L
12
3. Cálculo de esfuerzos en contratrabe
a) Para zapatas de borde
Momento y Cortante
En donde:
M max  1.6   Pt  1000 
l zapata
2
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Mmax [kg-m
Vmax [kg]]
Pt [Ton
L [mts]
Lzap [mts]
Vmax 
M max
 l zapata
L  
 2



b) Para zapatas de esquina
Momento y Cortante
En donde:
Mmax [kg-m
Vmax [kg]]
Pt [Ton
L [mts]
Lzap [mts]
M max  1.6   Pt  1000 
c) Armadura longitudinal
M  100
As  max
0.8  d  fy
Vmax 
l zapata
2
M max
L  l zapata
d) Armadura transversal
Vmax
Asc 
0.8  d  fy
ZAPATAS PARA PILOTES
1. Datos necesarios
a) Pt (ton): carga total de las columnas o elementos
portantes.
b) D (cm): diámetro del pilote
c) Ø (cm): diámetro de las varillas longitudinales del
pilote
La longitud (L) y la
anchura (b) se obtienen a
partir de los siguientes
criterios:
d) φ (°): Ángulo de rozamiento del terreno. Los valores
característicos varían entre 25° y 30°
e) qk (kg/m2): sobrecarga exterior del terreno (carga viva
para áreas esteriores= 350 kg/m2)
a) Distancia enrtre ejes de
pilotes = 3D (2D para
pilotes pequeños D<50
cm)
b) Distancia del borde de
la zapata al pilote más
cercano > 25 cm
2. Dimensiones de la Zapata
b
Pl
qa  1000
El peralte de la zapata
debe ser: d  60cm
3. Armadura de la zapata
a) Armadura principal (Inferior)
Asinf 
T
fy
En donde:
T 
Pt
2d
b) Armadura secundaria (superior)
As sup  0.1  As inf
c) Estribos verticales: amarran las armaduras superior e
inferior.
As ver  0.04  H ref
En donde: H ref  b  L
2. Espesor del muro (e)
Si el valor es menor de 25 cm, se
e  0.06  H
toman los 25cm.
3. Armado del muro
Empuje al
reposo del
P  0.67 
terreno (P)
Momento de diseño a
media altura (Mm)
Momento de diseño en la
base (Mb)
2. Geometría de la zapata
El peralte (d) será mayor que los siguientes valores:
a) 10  20cm
b) D
c) 40 cm
Cortante de diseño en los
apoyos (V)
d) Estribos horizontales: amarran los estribos verticales.
As hor  0.04  Vref
En donde:
Vref  b  h
Area de acero en el
paramento interior
MUROS PARA SÓTANO
Area de acero en el
paramento exterior
1. Datos necesarios
a) Pl (kg/ml): carga lineal sobre el muro
b) qa (ton/m2): resistencia del terreno
c) γ (ton/m3): peso del terreno. Los valores
característicos varían entre 1.5 y 2
Area de acero en el
sentido horizontal (ambos
paramentos)
89
  H  q k   1  sen 
M m  1.6 
PH2
8
M b  0.25  M m
V  1.6 
Asi 
PH
2
M m  100
0.8  e  fy
Ase 
M b  100
0.8  e  fy
As h  0.002  e
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Armadura para
cortante. Para no
colocar armadura a
cortante, se debe
cumplir con:
Vd  0.5  f ´c  0.9  e
b) Contratrabes para zapatas
1. Cálculo de la carga máxima.
Pmax  1.6  0.16  P 
Donde P = Peszo sobre la zapata (columna o muro ml)
2. Área de acero
Astot 
Pmax
 As   As   0.5  Astot
2500
y recargar el resto del peso en pilotes, en la losa de los
cajones, o en ambos, lo que conocemos como una
cimentación mixta. Además, así se evita la sobresustitución que provoca que, al sacar más tierra en peso,
el edificio tienda a salirse, lo cual se traduce en
asentamientos diferenciales que causan daños
significativos a la estructura.
En términos generales podemos encontrar el peralte o
altura de la substitución, para ser lograda al 100%, con la
siguiente ecuación:
h
Pe
Ae  Pt
En donde:
Pe= peso total del edificio
Ae= área total del edificio (en la planta baja)
Pt= peso del metro cúbico de tierra (1.5 ton para la
ciudad de México)
h= altura de la cimentación substituida
3. Peralte
 As  fy 
  b  25cm
d  3  
 f ´c  b 
c) Cimentaciones profundas
SUSTITUCIÓN
La cimentación por sustitución parte de un principio muy
sencillo: sustituir el peso del edificio por peso en tierra.
Es decir, es el principio de Arquímedes: “Un cuerpo
sumergido total o parcialmente en un líquido
experimenta una fuerza ascendente igual al peso del
líquido desplazado”. Esto significa que debe ser
escarbado un volumen de tierra, y construidos unos
cajones que mantengan ese volumen, lo suficientemente
grandes o profundos para sacar en peso de tierra el peso
del edificio. Esta condición es lo que conocemos como
sustitución total o del 100% del edificio. Pero al menos en
la ciudad de México, o terrenos similares, la práctica ha
enseñado que esto no es conveniente por los
asentamientos diferenciales que se pueden presentar en
el edificio, por lo cual, es conveniente realizar sustitución,
En este gráfico se expresa la relación que debe tener una
contratrabe, en un sistema de losa de cimentación.
PILAS
Las pilas al ser más anchas que las columnas a las
cuales corresponden, transmiten sin menor problema
axialmente el peso hasta el estrato rocoso-resistente. Por
lo cual revisar si su sección soporta el peso al cual estará
sometido es una pérdida de tiempo. Pero es necesario
verificar que sí tenga el diámetro necesario para resistir
la flexocompresión y los momentos de pandeo local,
provocados por los enormes momentos de inercia a que
están sometidas las plantas bajas de los edificios en los
sismos, y que provocan un movimiento diferencial entre
la estructura y subestructura del edificio. La revisión de
este diámetro se puede realizar con la siguiente
ecuación:
En donde:
n
1,000  ATi =diámetro del fuste (cm)
ATi=área tributaria p/ piso
i 1
  2
n= número de pisos

Con base en este resultado podemos fácilmente subsustituir nuestra cimentación, reduciendo un determinado
porcentaje a la altura de la cimentación, que en términos
de peso tendrá que ser absorbido por otros medios.
0.3    f ' c
Posteriormente, es necesario que la campana de la pila
sea capaz de transmitir los esfuerzos a la capa rocoso
resistente, así como anclar la pila a ésta. Esto se puede
fácilmente determinar con la ecuación:
n
D  200 
90
 AT
i 1
 Q
i
En donde:
D= diámetro de la
campana en cm
Q= capacidad de carga
del terreno (ton/m2)
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
PILOTES
columna carga 450 ton en la planta baja, el primer
terreno es de lomerío, el segundo de transición con 7 mts
de profundidad de la capa rocoso resistente (c.r.r.) cuya
resistencia de 97.5 ton/mt2, y el tercero en zona del lago
con una profundidad de 17 mts de la c.r.r. y una
resistencia de 3 ton/m2 en la superficie.
1. Terreno de lomerío (Se propone una cimentación por
sustitución)
Datos
Pe= 7,200 ton (16x450) Peso del edificio
Ae=441 m 2 Área del edificio
Pt=1.5 ton/m 3 Peso de la tierra arcillosa clásica de la
Ciudad de México
Altura de la cimentación
Al contrario que las pilas, los pilotes al ser elementos
mucho más delgados y esbeltos, sí tiene que ser
revisada su capacidad de carga en comprensión, lo cual
se puede realizar con la ecuación de resistencia a
compresión antes vista:
Po  0.85   Ag  f ' ' c  As  fy 
Además, debe de ser revisado el diámetro propuesto
para el pilote, por los esfuerzos de flexocompresión
provocados por los momentos de inercia sísmicos en la
base del edificio con las siguientes ecuaciones:
110  A

2  n    L
 2
para pilotes de fricción
1,100  A
0.3    n  f ' c
para pilotes de punta
En donde:
= diámetro del pilote en cm
2
A= área construida en m
n= número de pilotes en toda la cimentación
L= longitud del pilote sin incluir la punta, en mts.
Ejemplo
Diseñar la cimentación para un edificio en tres tipos de
terrenos. El edificio es de 5 niveles de una planta de 21 x
21 con tres crujías por lado (16 columnas) y cada
h
Pe
Ae  Pt
= 10.8 mts se iguala a 11
Se proponen 2 pisos de sótano de 5.5 mts de altura
cada piso
2. Terreno de transición
Se propone cimentación por pilas. Se proponen pilas
para cada columna de 60 cm  del fuste y 120  de
campana, armadas con 8 varillas del # 8.
Revisión de la resistencia a compresión del fuste
Datos
f´c=250 kg/cm2
fy=4200 kg/cm2
Datos
n
2
At=441 m
h=5
f´c=250 kg/cm2
  2
1,000   ATi
i 1
0.3    f ' c
= 86.52 cm
Revisión de la campana
Datos
At=441 m2
Q=97.5 ton/m2
n
 AT
i 1
D  200 
 Q
D= 239.97 cm
Los dos diámetros necesarios no coinciden con los
propuestos, por lo cual se propone un  para el fuste de
87 cm y un  de 241 cm para la campana.
3. Terreno en la zona del lago
Se proponen pilotes de punta de 30 x 30 cm armados
con 8 varillas # 8 y un largo de 17 mts a la c.r.r.
Datos
Ag=900 cm2 (30 x 30)
As=40.56 cm2 (8#8)
f´´c=170 kg/cm2
2
fy=4200 kg/cm
Po  0.85   f ' ' c  Ag  As  fy 
2
Ag=  r2 = 2,827.44 cm Área del
fuste
2
As=40.56 cm (8#8) Área de
acero
Constantes
f * c  0.80  f ' c = 200 kg/cm
f ' ' c  0.85  f * c = 170 kg/cm2
i
Número de pilotes necesarios
Pe
Po
=274,849.2 kg
= 26.2 Por lo tanto se
proponen 2 pilotes por columna = 32 pilotes
2
Revisión del  del pilote
Datos
Po  0.85   f ' ' c  Ag  As  fy 
Po=520,813.44 kg = 520.8 ton  450 ton
Revisión del  del fuste
OK
n=32 pilotes
At= 2,025 m2 (441x5) Área total del edificio
f´c=250 kg/cm2
 2
1,100  A
0.3    n  f ' c
2
= 34.3 cm es decir un área de 924 cm superior a los
900 cm2 propuestos. Por lo tanto se propone un pilote
91
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
de 35 x 35 cm.
b) Número mínimo de varillas= 6
c) Separación mínima entre varillas longitudinales=20cm
d) Diámetro mínimo de estribos=3/8 (#3)
e) Separación mínima entre estribos= 15Ø
f) Recubrimiento mínimo del acero= 7cm en pilotes
colados in situ y 4 cm para pilotes prefabricados.
g) Se recomienda que el armado transversal sea
helicoidal.
3. Número de Pilotes
c) L (mts): distancia entre columnas o elementos
portantes
R  Ag  
En donde:
R (ton): Resistencia a flexocompresión del pilote
Ag (m2): Sección del pilote
σ (ton/m2): Tensión de servicio:
a) Para pilotes prefabricados: 700-1000
b) Para pilotes in situ 300-400
Con este dato encontramos el número
de pilotes necesarios:
En la imagen superior, podemos observar un Pilote de Control.
El Control es un mecanismo que permite regular el hundimiento
de un edificio y arreglar hundimientos diferenciales en los
mismos. En regiones donde el suministro de agua potable
proviene del subsuelo de la misma ciudad, el nivel de la ciudad
puede reducirse periódicamente. La Ciudad de México es quizá
el ejemplo más dramático. En estos casos la implementación de
los pilotes de control pueden reducir el riesgo de un colapso en
un evento telúrico, pues garantizan que la basde del edificio sea
siempre la misma, además de mantener la verticalidad de los
mismos.
4. Armadura longitudinal
Para cada pilote la carga a
soportar sera de:
As 
Armadura mínima:
Mínima geométrica:
Mínima mecánica:
Armadura máxima:
Máxima mecánica:
1. Datos necesarios
a) Pt (ton) Carga sobre la columna o elemento portante.
Si no se tiene se puede realizar un cálculo aproximado
multiplicando: No. de pisos x área tributaria x peso
promedio por m2
b) Dimensión propuesta de la sección del pilote
En pilotes
prefabricados:
Se recomienda que las características constructivas de
los pilotes sean las siguientes:
a) Diámetro mínimo de armado longitudinal= ½ (#4)
N d  1.6 
Base
Pt
n
N d  1000  0.85  f ´´c   Ag  10000 
MÉTODO ALTERNATIVO
2. Características de los pilotes:
2. Dimensionamiento de la sección de la contratrabe
Pt
n
R
fy
As  0.04  Ag
As  fy  0.1  Ag  f ´´c
As  fy  0.6  Ag  f ´´c
As  fy  Ag  f ´´c
b
L
20
Peralte
d
L
12
3. Cálculo de esfuerzos en contratrabe
donde:
 e  En
M max  1.6  Pt  1000  
 M [kg-m]
 100  Pt [ton]
e [mts]


Este momento no deberá ser menor que:
En donde: L [mts]
M
 0.0833  L2
min
4. Armadura longitudinal
As 
M max  100
0.8  d  fy
En donde
M [kg-m]
d [cm]
fy [kg/cm2]
d) Losas (una dirección)
CONTRATRABES PARA PILOTES
1. Datos necesarios
a) Pt (ton): carga total de las columnas o elementos
portantes.
b) e (cm): excentricidad entre el pilote y la columna (5 cm
para una buena ejecución de obra, y 10 cm para una
mala ejecución de obra)
92
Introducción.
En términos estructurales existen dos tipos de losas:
perimetralmente apoyadas y planas. Las primeras son las
que están forzosamente apoyadas en todo su perímetro
sobre sus apoyos (muros y/o vigas), y las segundas son
las que se apoyan únicamente sobre columnas. A partir
de las experiencias de los sismos de 1985, el uso de
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
losas planas casi se ha eliminado, ya que la mayor parte
de los edificios que utilizaron este sistema de losas
fallaron o quedaron seriamente dañados durante el
siniestro. Esto debido al enorme esfuerzo de
punzonamiento (cortante) que ejerce la columna en la
losa; a que los apoyos (columnas) no tienen ninguna
restricción al giro y no se forman marcos rígidos en la
estructura, aunque se han implementado métodos de
diseño conocidos como del “marco equivalente” para
poner franjas de acero más altas en el tramo de losa
entre columna y columna, aun así la rigidez de estas
losas, dada por su gran peralte (para salvar el cortante)
las convierte en cajas muy rígidas que no interactúan con
las columnas. En cambio la losa maciza o aligerada, pero
funcionando perimetralmente, ha demostrado ser,
estructuralmente, el mejor sistema de piso. Permite a los
marcos trabajar, no transmite momentos a éstos y
funciona como losas-diafragma, es decir impiden las
torsiones en el edificio al funcionar parecido a los
contraventeos de los marcos pero en dirección horizontal.
Por lo cual en este libro realizaremos el análisis y el
cálculo de losas perimetralmente apoyadas. Las planas
tienen que desaparecer, al menos en zonas sísmicas.
Empezaremos con las losas perimetrales que trabajan en
una dirección.
Las losas son elementos estructurales cuyas
dimensiones en planta son relativamente grandes en
comparación con su peralte. Las losas que funcionan en
una dirección son aquellas que trabajan únicamente en la
dirección perpendicular a los apoyos, esto sucede
cuando en una losa perimetralmente apoyada existe un
lado que es dos veces o más grande que el otro lado.
Esto se define como la relación claro corto (Lc)-claro
largo (Ll), para lo cual:
En el diseño estructural actual se pretende que las
losas tengan mayor cantidad de acero, para hacerlas
elementos
estructurales
más
dúctiles
en
su
comportamiento sísmico, y al mismo tiempo reforzar su
comportamiento de losas diafragmas: por lo cual el
peralte de las losas ya no depende directamente de los
momentos que éstas sufran sino de otras condiciones,
que casi siempre (en losas de una y dos direcciones) se
refiere a sus condiciones de continuidad, dejando las
diferencias en peso (y momento) entre una losa más
cargada que otra al armado de acero, así en términos
generales las losas contienen mayor cantidad de acero.
Por lo tanto el peralte de las losas en una dirección se
determinará de acuerdo con la siguiente tabla.
Elemento
Libremente
apoyada
Empotrada
y apoyada
Ambos extremos
empotrados
Losas
macizas
L/20
L/24
L/28
Vigas y
losas
nervadas
L/16
L/18.5
L/21
Ahora bien, el armado del acero también es de suma
importancia para garantizar el adecuado funcionamiento
de las losas, por lo cual se deberán armar de acuerdo al
siguiente esquema.
Si Ll/Lc > 2 = losa en una dirección
Esquema tridimensional del armado de una losa
Notación
f´c (kg/cm2): resistencia del concreto
fy (kg/cm 2): esfuerzo de fluencia del acero
w (kg/m2): carga sobre la losa
d (cm): peralte efectivo
h (cm): altura total de la sección
r (cm): recubrimiento del refuerzo
M- (kg-m): momento negativo
M+ (kg-m): momento positivo
l (cm): largo de la sección
Fr (adimen.): factor de reducción (0.9)
 (adimensional): constante
p (adimensional): cuantía de acero
pmin (adimensional): cuantía mínima de acero
As (cm2): área de acero
Asmin (cm 2): área mínima de acero
s (cm): separación del refuerzo
Ascontr (cm2): área de acero por contracción
scontr (cm): separación del refuerzo por contracción
Fórmulas
Si Ll/Lc < 2 = losa en dos direcciones
1.
Cálculo del espesor
h
h
h
En estas imágenes, podemos observar la deflexión de losas que
funcionan en una y dos direcciones.
93
l
28
l
20
l
24
si es libremente apoyada
si tiene un extremo empotrado
si tiene los dos extremos empotrados
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
h
2.
l
10
Cálculo de momentos
empotrada y apoyada
9 wl
M 
128
wl2
M 
8
wl 2
M 
8
doblemente empotrada
2
1.
Pmin 
0.7 
fy
3.
Nota: si p es menor que
pmin, se toma el valor de
pmin.
As min 
As  p  b  d
0.7 
f ´c
fy
b  d
d  h  r = 15.85 cm
Nota: si As es menor que
Asmin se toma el valor de
Asmin.
100  Av
As
4500  h
fy  h  100
s contr 
100  Av
As
Nota: este procedimiento se realiza tanto para el acero
negativo como para el acero positivo. El acero por
contracción se coloca en la dirección larga de la losa, que
no está sometida a ningún momento.
Ejemplo
Diseñar una losa con carga distribuida de 991.2 kg/m2.
2
La longitud de la losa es de 5 x 15 mts. f´c= 200 kg/cm .
Ambos extremos son continuos.
s
Mu(kg  cm)
= 0.07
Fr  b  d 2  f ' ' c
p min 
0.001
Se considera pmin
ya que p<pmin
= 0.0023
Se selecciona varilla # 3
(3/8”) Av= 0.71 cm2
= 19.5 cm se iguala a 19 cm
45000  h
= 1.62 cm 2/m
fy  h  100
100  Av
= 43.8 cm

As contr
Ascontr 
0.7 
f 'c
fy
=
Observación: como se puede observar, en el momento
positivo, al ser menor, todas las separaciones tuvieron
que ser iguales, ya que en el momento negativo tuvimos
que considerar las mínimas. Por esta razón
recomendamos que en el cálculo de losas tanto de una
como de dos direcciones siempre se empiece calculando
el momento más grande, si éste no cubre con los
mínimos, entonces los demás se pueden obviar.
0.0023
Se considera pmin ya que p<pmin
As  p min  b  d = 3.64 cm2/m
s
100  Av
As
Se selecciona
varilla # 3 (3/8”)
Av= 0.71 cm2
= 19.50 cm se iguala a 19 cm
Claro Corto
Momento positivo (+)
94
  f ''c
=
fy
La separación constructiva máxima entre varillas es de
30 cm. Por lo cual conservamos el valor de Asconrt e
igualamos a 30 cm
Observación: la base de la losa siempre se considera de
un ancho de un metro (100 cm) ya que funciona como
viga; y como todas las unidades están en centímetros, el
momento último se tiene que convertir a kg-cm,
multiplicando por 100 o recorriendo dos lugares el punto.
  f ''c
= 0.0022
fy
p
Lado Largo
s Ascontr
Momento negativo (-)
p
fy
100  Av
As
Cálculo de áreas de acero

f 'c
cm 2/m
r= 2 cm
Cálculo de los momentos (l en mts)
w  l 2 = 2065 kg-m
wl2
= 1032.5 kg-m M  
M 
12
24
f ´c
0.7 
As  p min  b  d = 3.64
2.
Mu
Fr  b  d 2  f ' ' c
  f ´´c
p
fy
Mu(kg  cm)
= 0.033
Fr  b  d 2  f ' ' c
p min 
Cálculo del espesor
l
= 17.85 cm
h
28
Libremente apoyada

Ascontr 
Constantes
2
Cálculo de áreas de acero
s

l= 500 cm
2
w= 991.2 kg/m
f * c  0.8  f ' c = 160 kg/cm
f ' ' c  0.85  f * c = 136 kg/cm2
wl
M 
24
wl2
M 
12
2
3.
Datos
f´c= 200 kg/cm2
2
fy= 4200 kg/cm
r= 2 cm
si está en voladizo
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Cálculo
Nota: las losas en dos direcciones se calculan igual que
las losas en una dirección, con excepción de que en este
caso existen momentos en ambas direcciones, para lo
cual se requiere calcular el claro corto y el largo.
Además, la formula para el peralte es igual a:
Perímetro
d
250
Claro Largo
e) Losas (dos direcciones)
Las losas las podemos dividir en dos grandes grupos:
perimetralmente apoyadas y planas. Las losas apoyadas
perimetralmente son aquellas que están apoyadas sobre
vigas o muros en su perímetro, y por lo tanto trabajan en
dos direcciones, a diferencia de las losas en una
dirección que, estructuralmente sólo se apoyan en dos
extremos. Las losas planas son aquellas que se apoyan
directamente sobre las columnas, sin existir ninguna
trabe entre columnas. Este sistema estructural fue
ampliamente utilizado en México y en el mundo, sobre
todo después del esquema de la famosa Casa Dominó
de Le Corbusier. Pero sus principales desventajas son el
enorme punzonamiento o cortante que se produce en el
apoyo entre columna y losa (que se puede disminuir con
el uso de capiteles), y la relativa independencia de las
columnas, que al no formar un marco rígido se pandean
y/o flexionan a diferentes ritmos cada una. Esto hizo que
la mayor parte de los edificios con este sistema de
entrepiso en México, se colapsaran en el sismo de 1985;
por lo cual han entrado en desuso, por esa razón aquí
analizaremos las perimetralmente apoyadas, que
sísmicamente funcionan muchísimo mejor.
La primera imagen nos ejemplifica una losa perimetralmente
apoyada, la columna se apoya en la intersección de las trabes, y
el cortante que producen las trabes en las losas es muy bajo. En
el segundo una losa plana, aquí la columna llega directamente a
la losa provocando una fuerza de punzonamiento muy elevada.
En la tercera tenemos un corte de una losa plana, en donde el
esfuerzo punzonante es disminuido por un capitel.
M pa 
6. Carga uniforme (w)
con extremos continuos
7. Carga concentrada
(P) en apoyos
simplemente
soportados
8. Carga concentrada
(P) en apoyos
empotrados
M pa 
M ap 
si fs < 2,000 kg/cm 2 (fs = 0.6fy) y w < 380 kg/cm2
si no se cumple alguna o las dos condiciones anteriores:
d

Perímetro  0.034  4 fs  w
250
w a2
144
P
6 3
P
12  3

Para este caso, para calcular el perímetro los lados
discontinuos deberán multiplicarse por 1.25 si la losa es
monolítica con sus apoyos (ej. losa en trabes o
cerramientos de concreto), y por 1.5 si no son
monolíticos con sus apoyos (ej. losa apoyada en trabes
de acero, o directamente sobre tabiques).
Además, con esta formula no es necesario verificar las
deflexiones en la losa.
Momentos flexionantes en varios tipos de losas
Condición
Forma
Ecuación
1. Carga uniforme (w) ,
extremos simplemente
apoyados
wr2
Mp 
6
2. Carga uniforme (w)
extremos continuos
Mp 
wr2
12
Mp 
P
2 
Mp 
P
4 
M pa 
w a2
72
3.Carga concentrada
(P) en medio con
extremos simplemente
apoyados
4. Carga concentrada
(P) en medio con
extremos continuos
5. Carga uniforme (w)
con extremos
simplemente apoyados
Ejemplo:
Diseñar una losa con carga distribuida de 1950 kg/m2. La
osa es de 5 x 7 mts. f´c= 250 kg/cm2. Y está empotrada
en todo su perímetro.
Datos
f´c= 250 kg/cm2
fy= 4200 kg/cm2
w= 1950 kg/m2
b= 100 cm
Fr= 0.9
Constantes
f * c  0.8  f ' c = 200 kg/cm2
f ' ' c  0.85  f * c = 170 kg/cm2
fs  0 .6  fy = 2520 kg/cm2
Paso 1. Cálculo del peralte
95
Ll= 700 cm
Lc= 500 cm
v= 1.27 cm
Av= 1.27 cm2
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras




p
Perímetro  0.034  4 fs  w
250
2400  0.034  4 2530  1950
d
 15.36  cm
250
h  d  v  15.36  1.27  16.63  17  cm
d

Paso 2. Cálculo de Momentos Flexionantes
Claro largo
w  Ll 2 1950  7 2

 7962.5  kg  m
12
12
w  Ll 2 1950  7 2
M 

 3981.25  kg  m
24
24
M 
Claro corto
w  Lc
1950  5

 2595.83  kg  m
12
12
w  Lc 2 1950  5 2
M 

 2031.25  kg  m
24
24
M 
2
2
Paso 3. Cálculo de Áreas de Acero
Claro largo Momento negativo

M   100
7962.5  100

 0.2240
2
Fr  b  d  f ´´c 0.9  100  15.36 2  170
  f ´´c 0.224  170

 0.0089
fy
4200
0.7  f ´c 0.7  250
p min 

 0.0026
fy
4200
p
As  p  b  d  0.0089  100  15.36  13.7  cm 2
100  Av 100  1.27
s

 9.26  cm
As
13.70
Claro largo Momento positivo
M  100
Fr  b  d  f ´´c
2

3981.25  100
 0.1102
0.9 100 15.36 2  170
  f ´´c 0.1102  170

 0.0045
fy
4200
0.7  f ´c 0.7  250
p min 

 0.0026
fy
4200
Resumen de Armado de Losa
Claro Largo
Claro Corto
Negativo
Positivo
Negativo
Positivo
@ 9.26 cm @18.53 cm
@18.15 cm @31.82 cm
Propuesta constructiva
@ 9 cm
@ 18 cm
@ 15 cm
@ 30 cm
Todas las varillas son del # 4 (1/2 Pulgada)
As  p  b  d  0.0045  100  15.36  6.8  cm 2
100  Av 100  1.27
s

 18.53  cm
As
6.8
Claro Corto Momento negativo

M  100
Fr  b  d  f ´´c
2

2595.83 100
 0.1124
0.9 100 15.36 2  170
Claro Largo
  f ´´c 0.1124  170

 0.0046
fy
4200
0.7  f ´c 0.7  250
p min 

 0.0026
fy
4200
p
As  p  b  d  0.0046  100  15.36  6.99  cm 2
100  Av 100  1.27
s

 18.15  cm
As
6.99
Claro Corto
Claro Largo Momento positivo

M  100
Fr  b  d  f ´´c
2

2035.21 100
 0.0562
0.9  100  15.36 2 170
  f ´´c 0.0562  170

 0.0023
fy
4200
0.7  f ´c 0.7  250
p min 

 0.0026
fy
4200
p
As  p min  b  d  0.0026  100  15 .36  3 .99  cm 2
s
100  Av 100  1.27

 31.82  cm
As
3.99
Paso 4. Armado de la losa
96
En los gráficos superiores podemos observar una LosaDiafragna, es decir una losa que gracias a la incorporación de
faldones externos, su comportamiento se equipara al de una
viga. Lo cual es muy recomendable para la resistencia sísmica
del edificio, sobretodo ente esfuerzos de torsión.
f) Vigas
Notación
2
f´c (kg/cm ): resistencia del concreto
2
fy (kg/cm ): esfuerzo de fluencia del acero
2
fs (kg/cm ): esfuerzo permisible del acero (0.6fy)
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Pb (adimensional): porcentaje balanceado de acero
p (adimensional): porcentaje de acero (0.5Pb)
2
Rn (Kg/cm2.): valor de Mu/bd
b (cm): base de la sección
d (cm): peralte efectivo de la sección
h (cm): altura total de la sección (d+r)
Mu (kg-m o kg-cm): momento último resistente
As (cm2): área de acero
r (cm): recubrimiento del refuerzo
Vc (kg): esfuerzo cortante real
Vcr (kg): esfuerzo cortante resistente
s (cm): separación del refuerzo transversal
Fr (adimensional): factor de reducción (0.9)
Av (cm2): área de la varilla
Fórmulas
1. Cálculo de los momentos y cortantes
Este procedimiento se hace de acuerdo con las fórmulas
ya vistas.
2.
Cálculo del peralte efectivo
Pb 
f ''c
4800

fy fy  6000
Mu
d 
FR  R n
Mu 100
As 
0.9  fy  0.89  d 
4.
Cálculo del cortante (Contribución del concreto)
Vcr  Fr  b  d  0.2  30  p   f * c
s
hd r
M max  M lim
0.8  d  fy
Tabla de Deflexiones
Máximas en Vigas
Ecuación
Caso


5  w  L4
384  EI

P  L3
48  EI

P  a  3  L2  4  a 2
24  EI

Método Alternativo
El área de acero a tensión también puede calcularse con
la ecuación:
Mu
FR  R n  b
Importante: lo más recomendable, por las características
geométricas que debe tener una sección a flexión, es que
el peralte sea “aproximadamente” el doble que la base, o
cuando menos iguales, de no cumplirse esta condición,
se debe reducir la propuesta de la base, hasta que esta
condición se cumpla. De no ser así, porque la sección es
demasiado pequeña, se recomienda proponer una
2
sección mínima de 700 cm de sección, que es el mínimo
para elementos estructurales.
As comp 
Av  fy  d
Vc  Vcr
Nota: la separación mínima entre estribos es de 30cm,
de dar menor se deberá ajustar a este mínimo.
Nota: el momento último tiene que estar en kg-cm, para
lo cual se puede multiplicar por 100 o recorrer dos
números el punto.
El acero por compresión se calcula con la siguiente
ecuación:
Si el cortante resistente del concreto (Vcr) es mayor
que el cortante real, entonces la sección no necesita
estribos, y se colocan para armar del # 2.3 ó 3 @ 30 cm.,
pero si es menor, la diferencia debe ser absorbida por los
estribos. Se selecciona el número de la varilla y se
calcula su separación de acuerdo a:
p  0.5  Pb
 0.5  p  fy 

Rn  p  fy  1 
0.85  f ´c 

bd2 
3. Cálculo del área de acero
Las áreas de acero tanto negativas como positivas se
pueden calcular con la siguiente ecuación:
As 
M max
0.8  d  fy

P  a2  b2
3 E  I  L
  0.01304 
w  L3
EI
Asimismo, el área mínima de acero a tensión, puede
evaluarse con la siguiente ecuación
As tension  fy  0.04  At  f ´´c
También se puede determinar si la sección necesita
acero a compresión con la siguiente ecuación:
M lim  0.3  f ´´c  b  d 2
si
si
M max  M lim
M max  M lim
basta con dispones acero a tensión
es necesario acero por compresión
97
En estos gráficos, podemos ver dos opciones en la unión de
vigas con losas, la primera es que los elementos estén
libremente apoyados (los armados no se intersectan), y la
segunda es que los elementos estén empotrados (los armados
si se intersectan). El apoyo libre es recomendable cuando sea
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
requerido cierto grado de libertad para absorber movimientos
sísmicos u por contracciones de temperatura, y el
empotramiento, cuando se requiera de mayor rigidez para
soportar esfuerzos laterales.
Límites permisibles para deflexión de elementos en
función de su claro
Tipo de Elemento
Tipo de Carga
Carga Viva
Carga Viva +
Carga muerta
Entrepisos
L/360
L/240
Vigas
L/360
L/240
Azoteas c/acabado en
L/360
L/240
plafón
Azoteas c/plafón sin
L/240
L/180
repellado
Azoteas sin acabado
L/180
L/120
Claro vertical en muros
L/180
___
interiores
Claro vertical en muros
L/240
___
exteriores
Edificios o estructuras
___
L/180
industriales
Invernaderos
----L/120
En el gráfico superior podemos apreciar el funcionamiento de
una viga post-tensada. En el primer gráfico observamos como es
el proceso de fabricación, con cables en el interior de
perforaciones previas en el colado, posteriormente (segundo
gráfico) se tensiona el cable, lo cual aumenta significativamente
la resistencia de la viga, y crea una contraflecha importante.
Finalmente, al soportar un peso considerable, la contraflecha se
elimina y la viga queda perfectamente recta. La resistencia del
cable puede alcanzar los 16,000 kg/cm2, por lo cual la
resistencia de las vigas post-tensadas son ,uy significativas.Los
pisis superiores (volando) del edificio de la Defense en París
(foto inferior) esta estructurado por grandes vigas post-tensadas.
d viga 4
8  db
24  d e
300 mm
En donde db es el diámetro de la barra longitudinal mas
gruesa, y de es el diámetro del estribo.
La separación en la zona central debe ser menor a la
mitad del peralte efectivo.
g) Ecuaciones para Vigas Isostáticas
R a  Rb 
M max 
P
2
PL
4
b
L
a
Rb  P
L
ab
M max  P
L
Ra  P
En el gráfico superior podemos apreciar los criterios de
armado de vigas coyo claro es superior o igual a cuatro
veces el peralte nominal de la trabe. El primeros estribos
se deben poner a menos de 5 cm de la columna; en las
zonas de cortante existe una zona de confinamiento de
los estribos igual a dos veces el peralte total de la viga,
en donde la separación de los estribos sea menor
acualquier de los siguientes cuatro criterios:
98
R a  Rb  P
M max  Pa
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
wa
2   
2
wa
Rb 

2
a

L
2
wa
M max 
2   2
8
Ra 
3P
R a  Rb 
2
M max
PL

2
Pn
R a  Rb 
2
M max 
PL
2
M max
wL
6
wL
Rb 
3
wL2
M max 
9 3
Ra 
wL
R a  Rb 
2
M max 
wcb
Ra 
L
wca
Rb 
L
wabc 
c 

1 

L  2L 
wL2
8
R a  Rb 
M max 
w L  a 
2
wL2 wa 2

8
6
2wa  wb
L
6
w  2 wb
Rb  a
L
6
wb L2
M max 
8
Ra 
Ra 
Ma
L
Rb   Ra
M max  M a
M0
L
M
Rb  0
L
a
M 1  M 0
L
b
M2  M0
L
Ra  
R a  Rb 
M max 
99
wL
4
wL2
12
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
M max  
wL2
2
wL
2
R
wa 2
Ra  
2L

a2 

Rb  w a 
2 L 

Mb  
2
wL
5
1
Rb 
wL
10
wL2
Ma  
15
wL2
M1 
33.6
Ra 
R  wL
a
Ra   P
L
aL
Rb  P
L
M b   Pa
M max  
3 Mb

2 L
3 M
Rb    b
2 L
M
Ma   b
2
Ra 
wL2
6
wa 2
2
RP
M max   PL


Pb
3 L2  b 2
3
2L
Pa 2
Rb  3 b  2 L 
2L
Pab
M a   2 L  b 
2L
M 1  Rb b
Ra 
5
wL
8
3
Rb  wL
8
wL2
Ma  
8
9
M1 
wL 2
128
Ra 
RP
M max   Pa
100




3M 0 L2  b 2
2 L3
3M 0 L2  b 2
Rb 
2 L3
2
M0 
b 
Ma 
1  3  
2 
 L  
Ra  
wL
2
wL2
Ma  Mb  
12
2
wL
M1 
24
R a  Rb 
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
P3a  b b 2
L3
Pa  3b a 2
Rb 
L3
Pab 2
Ma   2
L
Pa 2 b
Mb   2
L
2 Pa 2 b 2
M1 
L3
R a  Rb 
Ra 
Ma  Mb  
6M 0 ab
L3
6 M 0 ab
Rb 
L3
M b
M a  02 2a  b 
L
M b
M b  20 a  2b 
L
Ra  
h) Flechas permisibles
1. No es necesario calcular la flecha de una viga en
los siguientes casos:
wa 2 M a  M b

2L
L

wa 2
3  4  1.5 2
6
Mb  
wa
3
2

  0.75 
a

L

wcL 
1 
1     M a
4 
2 
M1 
wa L  0.5a  M a  M b
Ra 

L
L
Ma  

wcL
3 2
24
f  0.5  Finst  viga  un  claro  cantiliber
c

L
7
Ra 
wL
20
3
Rb 
wL
20
wL2
Ma  
20
wL2
Mb  
30
wL2
M1 
46.6
Rb 
wc
2
2
L
L
L
L
d
d
d
d
 8  Cantiliber
 14  Isostáticas
 18  Bordes  hiperestáticas
 20  Claros  medios  hiperestáticas
2. Cálculo de flecha instantánea
Finst 
5 wl4
 Viga  isostática
384  E  I
101
f  0.2  Finst  viga  media  de  hiperestática
Finst
wl4

 Cantiliber
8 E  I
3. Cálculo de flecha diferida
Fdif  1.5  Finst
4. Cálculo de flecha total
Ftot  Finst  Fdif
5. Limitaciones
Ftot 
L
250
i) Losas Nervadas
Las losas nervadas estan compuestas por una serie de
pequeñas vigas en ambos sentidos de las losas, por lo
cual, el procedimiento de su cálculo combina elementos
de ambos temas.
Procedimiento:
1. Cálculo de peso por metro cuadrado.
En este paso se calcula cual es peso de la losa por metro
cuadrado incluyendo la Carga Muerta (peso propio +
acabados) y la Carga Viva (incluyendo las cargas
accidentales.
2. Cálculo de momentos y cortantes
En este paso, acorde a las condiciones de las coneiones
de la losa, se calculan los momentos flexionantes
positivos y/o negativos en ambas direcciones, así como
los cortantes; todos ellos con las ecuaciones utilizadas
hasta el momento.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Nota: De aquí en adelante únicamente se calcula una
nervadura (viga) del sentido largo, y otra del sentido
corta. Porque funcionan como vigas, y todas las demás
nervaduras del mismo sentodo son iguales.
3. Cálculo de la base efectiva
Como el peralte esta establecido de antemano por las las
caracteristicas constructivas del sistema (altura del
caseton + capa de compresión), el peralte no puede
variar, por loo cual se revisa la base con la siguiente
ecuación:
d
Mu
Mu
 Despejando  b 
Rn  b
Rn  d 2
4. Cálculo del área de acero
Este procedimiento es identico al de una viga, ya que es
una viga.
5. Cálculo del cortante.
Este procedimiento es identico al de una viga, ya que es
una viga
j) Vigas hiperestáticas
Para calcular la distribución de los momentos en trabes
hiperestáticas (de cualquier material), los métodos de
coeficientes
aproximativos
(estadísticos),
han
comprobado tener mayor exactitud que los llamados
métodos tradicionales (Cross, Kani, Clásico y Matricial).
A continuación presentamos los coeficientes para las
cargas muertas y vivas. Para obtener los momentos
correspondientes se multiplican los coeficientes por el
producto de multiplicar el peso (kg/ml) por el claro de la
barra respectiva al cuadrado. Para obtener los momentos
finales se suman los resultados de muertas y vivas.
Posteriormente cada barra es calculada.
Ejemplo
Calcular una viga hiperestática de tres con extremos
empotrados, carga muerta de 1,100 kg/ml (Wm) y una
carga viva de 450 kg/ml (Wv).
102
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
3. Revisión de la sección
As  fy
d
f ´´c  t
As  fy
t
f ´´c  d
(vigas)
(nervaduras en sistema
de losa)
4.Revisión del momento resistente

t
a 


Mr  Fr   Asp  fy   d     As  Asp  fy   d  
2
2 




En el caso de vigas en sistema de losa, Mr se divide
entre la cantidad de nervaduras en sentido contrario a lo
largo de la nervadura analizada.
En donde:
f ´´c  b  t 
fy
 As  Asp  fy
a
f ´´c  t
Asp 
k) Vigas “T”
Nota: La notación es la misma que para las vigas,
cuando no sea así, se indicará.
Procedimiento
1. Cálculo del área de acero
f ´´c
4800 Porcentaje balanceado de acero
Pb 

fy fy  6000
p  0.5  Pb Porcentaje de sección subreforzada
As  p  d  t d y t se proponen
2. Cálculo del ancho del patín (b) Se toma el menor de:
a) 1 8  L  
t
(vigas
2
en losas)
c) La mitad al paño de la
próxima viga x 2 + t
(nervadas)
d) t  8 (vigas en losas
y solas)
(área de acero en la zona
de tensión)
(profundidad del eje
neutro)
5. Revisión del cortante
Vcr  Fr  d  t  0.2  30  p   f * c
s
Resistencia del concreto a cortante
Separación de los
Av  fy  d
estribos (Av es el área del
V  Vcr
estribo seleccionado)
Ejemplo
Calcular una viga T de una losa nervada de 7 mts de
largo, empotrada en ambos extremos, de 25 cm de base
por 35 cm de peralte. El peso sobre la nervadura es de
2,142 kg y la cruzan 23 nervaduras perpendiculares.
Datos
f´c=250 kg/cm2
2
fy=4200 kg/cm
t=25 cm
d=35 cm
w=2142 kg/ml
l=700 cm
b=60 cm
Fr=0.9
Constantes
f * c  0.8  f ' c = 200 kg/cm2
f ' ' c  0.85  f * c = 170 kg/cm2
103
Paso 1. Cálculo de momentos y cortantes
M
w l
12
= 124,950 kg-cm
V 
w
2
= 1,071 kg
Paso 2. Cálculo del área de acero
p  0.5  Pb =
f ´´c
4800

= 0.019 0.0095
fy fy  6000
As  p  d  t =8.31cm2 Se proponen 6 varillas del #4
Pb 
Paso 3. Revisión de la sección (t)
t
As  fy
f ´´c  d
= 5.86 cm  25 cm
OK
Paso 4. Revisión del momento resistente
f ´´c  b  t 
1.41 cm2
fy
 As  Asp  fy = 6.81 cm
a
f ´´c  t
Asp 

t
a 


Mr  Fr  Asp  fy   d     As  Asp   fy   d  
2
2 



= 943,981.29 kg-cm  M- OK
Paso 5. Revisión del cortante
Vcr  Fr  d  t  0.2  30  p   f * c
=1,273 kg  V Se proponen estribos #3 @ 30cm
l) Muros de contención
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
empuje de tierras, la fricción entre muro y suelo de relleno, el
empuje hidrostático o las fuerzas de filtración en su caso, las
sobrecargas en la superficie del relleno y las fuerzas sísmicas.
Los empujes desarrollados en condiciones sísmicas se
evaluarán en la forma indicada en las Normas Técnicas
Complementarias para Diseño por Sismo”.
Notación
w Peso de la tierra
ton/m3
W Peso de la tierra del
triángulo ton/ml
h Altura de la tierra
detenida
P Peso resultante
P  0.286 
w  h2
2
M  0 .128  P  h
m) Columnas
Una vez que se obtiene el
momento, se procede a calcular el
peralte y el armado, como una
viga de 100 cm de base
Las NTC-Cimentaciones precisan consideraciones
importantes para el diseño y cálculo de muros de
contención, que a continuación reproducimos:
Notación
Mu (ton-m): momento último en la columna
Pu (ton): peso último en la columna
f´c (kg/cm2): resistencia del concreto
fy (kg/cm 2): esfuerzo de fluencia del acero
p (adimensional): cuantía del acero (0.025)
r (cm): recubrimiento del refuerzo
ea (cm): excentricidad accidental
d (cm): lado de la sección interna
h (cm): lado mayor de la sección externa
b (cm): lado menor de la sección externa
Fr (adimensional): factor de reducción (0.75)
As (cm2): área de acero (0.025)
de (cm): diámetro del estribo
db (cm): diámetro del refuerzo longitudinal
I (cm4): momento de inercia de la sección
E (cm3): módulo de elasticidad del concreto
“Los muros de contención exteriores construidos para dar
Fórmulas
En esta serie de 3 gráficos, podemos observar el
comportamiento estructural de un muro de contención, que no
es volcado, por su adecuada geometría estructural, pero que si
es desplazado por no equilibrar la fricción con el resto de las
fuerzas. Para evitar este desplazamiento, es adecuado
implementar una contratrave que equilibre correctamente las
fuerzas.
estabilidad al terreno en desniveles, deberán diseñarse de tal
forma que no se rebasen los siguientes estados límite de falla:
volteo, desplazamiento del muro, falla de la cimentación del
mismo o del talud que lo soporta, o bien rotura estructural.
Además, se revisarán los estados límite de servicio, como
asentamiento, giro o deformación excesiva del muro. Los
empujes se estimarán tomando en cuenta la flexibilidad del
muro, el tipo de relleno y el método de colocación del mismo.
Los muros incluirán un sistema de drenaje adecuado que impida
el desarrollo de empujes superiores a los de diseño por efecto
de presión del agua. Para ello, los muros de contención deberán
siempre dotarse de un filtro colocado atrás del muro con
lloraderos y/o tubos perforados. Este dispositivo deberá
diseñarse para evitar el arrastre de materiales provenientes del
relleno y para garantizar una conducción eficiente del agua
infiltrada, sin generación de presiones de agua significativas. Se
tomará en cuenta que, aún con un sistema de drenaje, el efecto
de las fuerzas de filtración sobre el empuje recibido por el muro
puede ser significativo.
Las fuerzas actuantes sobre un muro de contención se
considerarán por unidad de longitud. Las acciones a tomar en
cuenta, según el tipo de muro serán: el peso propio del muro, el
104
1. Cálculo del refuerzo longitudinal
Tanteo inicial (se propone la sección, mínimo 40 x 40 cm)
Para poder calcular la resistencia de una sección
flexocomprimida (que es el caso más crítico en
compresión), en necesario primero revisar que:
l r  100
y posteriormente que la excentricidad accidental no
sea mayor que:
ea  0.05  h  2cm
Si no se cumplen cualquiera de las dos condiciones
anteriores, significa que la columna es demasiado
esbelta, es decir, que su relación ancho-alto es muy alta,
por lo cual hay que reducir la altura de la columna, lo cual
es menos probable por los requisitos arquitectónicos; o
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
aumentar la sección de la misma. Entonces se calcula su
resistencia:
Fr   2  0.4  E  I 
Pc 
l2
En donde:
E  14,000 
f ´c
b  h3
I
12
As  p  b  d
2. Cálculo del refuerzo transversal
Para la separación entre estribos se tomará el menor de
los siguientes valores (del # 2.5 en adelante):
48  de
850  db
fy
b
Relación de esbeltez recomendable para columnas
de concreto (según ACI)
Columnas posteriores al
L
b
primer nivel
14
L
b
10
Columnas para primer nivel
con cero restricciones
Ejemplo
Dimensionar una columna que carga 100 ton y tiene un
2
momento último de 23.5 ton-m, f´c= 200 kg/cm y r = 5
cm, y una longitud de 5 mts.
Datos
Mu = 23.5 ton-m
Pu = 100 ton
f´c = 200 kg/cm2
p = 0.025
r = 5 cm
l= 500 cm
l
r
= 25 < 100 OK
ea  0.05  h = 2cm < 2cm
OK
Revisión de la resistencia
b  h3
I
12
Pc 
E  14,000  f ' c
= 213,333 cm4
= 221,359.43 cm3
Fr   2  0.4  E  I 
= 559,292kg >100,00kg OK
l2
As  p  b  d = 40 cm2
Se usarán 6 varillas del # 10
2. Cálculo del refuerzo transversal
¿Se tomará la separación entre estribos el menor de las
siguientes tres ecuaciones (del # 2.5 en adelante):
Se consideran estribos del # 3
(de= 0.95, db= 3.13)
48  de = 45.6 cm
850  db
= 41 cm
fy
1. Cálculo del refuerzo longitudinal
Tanteo inicial = 40 x 40 cm
Revisión de las relaciones de esbeltez:
Método Alternativo 2
1. Datos necesarios
a) Pt (kg): peso total sobre la columna
b) H (m): altura de la columna
2. Armadura de la columna
Capacidad resistente del
concreto (b y h en cm)
Área de acero
Po  0.85  f ´´c  b  h
As 
b = 40 cm Se toma 40 cm
Pt  Po
fy
Area de acero mínima
Método Alternativo
Una buena referencia para poder determinar la correcta
sección de acero en una columna de concreto, la
podemos obtener de las siguientes ecuaciones acero
mínimo y máximo:
As total  fy  0.10  Ag  f ´´c
Acero mínimo
As total  fy  1.0  Ag  f ´´c
Acero máximo
Constantes
f * c  0.8  f ' c = 160 kg/cm2
f ' ' c  0.85  f * c = 136 kg/cm2
Es muy importante que en la
intersección de columnas
con vigas, la viga tenga la
misma base, o menor, que la
columna. Así se evita el
punzonamiento
de
la
columna en la viga, además
de las fuerzas cortantes
normales.
En el gráfico, podemos observar como el armado de la viga
paso dentro del armado de la columna, lo cual es la práctica
recomendable.
Espaciamiento de Estribos (#3) en columnas ACI
Varillas en Columna
Espaciamiento Máximo
#4
#5
#6
#7
#8
8 cm
10 cm
12 cm
14 cm
16 cm
105
 Pt 
Asmin 1  0.1   
 fy 
3. Revisión del Pandeo
La esbeltez mecánica debe
ser:   35
As min 2  0.04  Ag

 H
 12
h
El valor de β es de: 2 para columnas empotradas en un
extremo y libres en otro, 1 con ambos extremos
articulados, 0.7 empotrado y articulado, y 0.5 si ambos
extremos son empotrados.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
La separación de estribos en la zona central, debe ser
menor que los valores de los siguientes criterios:
850  d b
fy
48  d e
Notación
f * c  0.8  f ' c = 200 kg/cm2
f ' ' c  0.85  f * c = 170 kg/cm2
Paso 1. Tanteo inicial de la sección
b= 40 cm
h= 40 cm
bmax
H 6
600mm
La separación mínima en esta zona de confinamiento
debe ser menor que cualquiera de los siguientes tres
criterios:
bmin 4
6  db
100mm
Pu Mu

  fc  ó  fs   1.3
At
I
Criterio de deformación permisible
3
En donde:
Ps  L

3  E  I 
fc  0.45  f ´c
fs  0.5  fy


Ps  L3
  

0.333  E  I  

p=0.025 Porcentaje de acero
r=5 cm Recubrimiento
L=500 cm
Fr=0.75
Constantes
Fórmulas
1. Criterio de esfuerzos permisibles
3.
Ejemplo
Calcular una columna (compresión y sismo) doblemente
empotrada de 5 mts de largo, que carga un peso de 10
ton y tiene un momento de 873,600 kg-cm.
Datos
Mu=873,600 kg-cm
Pu=10000 kg
2
f´c=250 kg/cm
fy=4200 kg/cm2
2
K (kg/cm ): fatiga unitaria del
elemento
Pu (kg): peso último sobre el
elemento
2
At (cm ): área de la sección del
elemento estructural
Mu (kg-cm): momento último en el
elemento
r (cm): distancia del centro de
gravedad de la sección a la fibra
extrema comprimida en el lado más
corto (radio)
I (cm4): momento de inercia de la
sección
En el gráfico superior, podemos apreciar los criterios de
las NTC para la colocación de estribos en columnas.
Existe una zona de confinamiento en la junta con la
columna que debe ser mayor que el valor más alto de los
siguientes 3 criterios:
Ps  L
E  I  cos  2
bmin 2
n) Revisión sísmica de columnas
K

b  h2
I
12
DEFORMACIÓN DE COLUMNAS
CONTRAVENTEADAS ():
Revisión de las relaciones de esbeltez
L
= 25cm  100 cm OK
b  0.5
ea  0.05  h
= 2 cm  2cm
OK
Propiedades de la sección
b  h3
I
12
= 213,300 cm4
E  14,000  f ' c
=221,359.43 cm
3
Paso 2. Revisión de la resistencia
Pc 
Fr   2  0.4  E  I 
l2
As  p  b  d = 40 cm2
= 559,292 kg  Pu OK
Se utilizarán 6 varillas del # 10
Paso 3. Cálculo del refuerzo transversal
de= 0.95 cm Diámetro del estribo #3
db= 3.13 cm Diámetro de la barra longitudinal #10
Este mismo criterio de separación se utiliza en los
estribos en la zona de traslape del refuerzo longitudinal.
106
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras

A
48  de = 45.6 cm
850  db
= 41 cm
fy
b = 40 cm
n
i 1
1000  At i
0.3  f ´c
En donde:
n = Número de pisos
A = Área de la sección transversal de la columna
Ati = Área tributaria en m2
Se toma 40 cm
Paso 4. Revisión sísmica de la columna
Criterio de esfuerzos permisibles
fc  0.45  f ´c   1.3 = 146.25 kg/cm2
Pu Mu

At
I
= 10.345 kg/cm2  fc
OK
Criterio de deformación permisible
Cs= 0.40 Coeficiente
Ps  Pu  Cs = 4,000 kg
sísmico
Peso sísmico (fuerza
horizontal)

Ps  L
= 3.52 cm
3  E  I 
3
 0.5 b
I vig 
OK
En este apartado veremos la transmisión de momentos y
cortantes sísmicos en las columnas, y de las columnas a
las trabes. Estos momentos se tienen que sumar a los
normales para determinar los momentos actuantes bajo
circunstancias de carga desfavorables.
Notación
P (kg): peso o carga total sobre una columna
Ps (kg): peso o empuje lateral sobre una columna
Cs: coeficiente sísmico
Lcol (cm): largo de la columna
Lvig (cm) : largo de la viga
Msis (kg-cm): momento flexionante sísmico
I (cm4): momento de inercia de la viga
r (cm3): rigidez propia de la viga
Vsis (kg): esfuerzo cortante sísmico
Fórmulas
1. Cálculo del empuje
lateral en la columna
También podemos revisar sismicamente la sección de la
columna con la siguiente ecuación:
L vig
b  h3
12
Vsis 
M sis
Lvig 2
Nota: Los cortantes y los momentos flexionantes
sísmicos (horizontales) se suman a los verticales para
obtener los momentos y cortantes totales.
 Los muros no transmiten momentos a las vigas, por
tanto en éstas se tomará el momento y cortante
producido únicamente por las cargas verticales.
 Las vigas que se apoyan en columnas aisladas o de
esquina soportan la totalidad del momento sísmico y
su consecuente cortante.
A continuación presentamos un método japonés de
coeficientes para momentos debidos a cargas verticales
en edificios de varios pisos. Para obtener los momentos
sísmicos se aplican los principios ya vistos y se suman
los resultados.
Ps  P  Cs
2. Cálculo del momento que
produce la columna en trabes
de borde
En las ilustraciones podemos observar una intersección típica
de losa en trabe con columna. A la izquierda observamos el
modo adecuado de realizarlo, la losa se empotra con la trabe y
reparte todo su peso a esta, a su vez la trabe a la columna. En
el gráfico de la derecha observamos que la losa se apoya
libremente en la trabe, el problema es que en un movimiento
sísmico la losa tiende a golpear la columna, como si fuese una
navaja actuando horizontalmente.
I vig
4. Cálculo de cortante
sísmico
o) Estructuras hiperestáticas
At=1600 cm2 (40x40) Área de la sección
K
r
Msis  Ps 
Lcol
2
3. Distribución de momentos sísmicos en trabes centrales
o internas
Msis1, 2 
M sis  r
r
Coeficientes de wl2 (los coeficientes para columnas están
en un cuadro).
En donde:
En las vigas los coeficientes para momentos
negativos se indican arriba del eje de la viga; los
107
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
coeficientes
para
momentos
(momento=wl2  coeficiente).
positivos,
abajo
El método que aquí presentamos es únicamente para
obtener los momentos debidos a cargas verticales (vivas
y muertas). Cada elemento, ya sea viga o columna, debe
ser revisado sísmicamente idénticamente como lo vimos
en el ejemplo de la viga hiperestática, pero aplicado a
cada nivel. En el caso de las columnas es recomendable
revisar por los dos métodos vistos (esfuerzos y
deformación) recordando que el peso sísmico aumenta
en los pisos inferiores debido a que soportan cada vez
más peso. En el caso de las vigas, al igual se le debe
aumentar los momentos sísmicos de acuerdo con el
método visto, de la misma forma las vigas de las plantas
inferiores reciben más momento de las columnas ya que
éstas están más cargadas.
podemos ver los momentos sísmicos de la misma estructura
cuyo máximo valor es de 340,770 kg-m, lo cual opaca y por
mucho los momentos normales. En la mayor parte de los
cursos de estructuras, la enseñanza del comportamiento
sísmico de una estructura es muy vago, respecto a su
importancia, que en las regiones sísmicas debe dominar los
criterios de diseño. En el último grafico podemos ver la
distribución de fuerzas simultáneas en la misma estructura.
Ejemplo:
Paso 1. Primero se determinan las cargas que actúan
obre el marco, esto incluye las cargas en las vigas (w),
los correspondientes pesos que soportan las columnas
(P), así cómo el peso sísmico correspondiente (Ps).
En muchas ocasiones por no ser precavidos en la
distribución de momentos en cada piso, o por querer
ahorrar en el costo de la construcción, se prefabrican o
se producen en serie todas las vigas o columnas con la
misma sección, sin entender que la distribución de
fuerzas varía en cada piso.
Paso 4. Se calculan los momentos totales. En el
siguiente gráfico, se traslaparon todos los momentos en
la misma crujía para que esto fuera más claro. Primero
se colocaron los momentos gravitacionales, y
posteriormente los sísmicos. El cálculo de los momentos
totales se realiza estudiando ambas trayectorias de
movimiento. En el gráfico se muestra la trayectoria de
izquierda a derecha, pero también se debe estudiar la
trayectoria derecha izquierda, por tanto la gráfica
quedaría invertida, y lo momentos quedarían como sigue
(posteriormente se calcula con los mayores):
M TB  M sisB  M B  M AB  M TA  M sisA  M A
DISTRIBUCIÓN DE FUERZAS EN UNA ESTRUCTURA
HIPERESTÁTICA
Paso 2. Se determinan cuáles son los coeficientes
hiperestáticos de la estructura, y se calculan los
momentos gravitacionales.
En esta serie de gráficas podemos ver la distribución de las
fuerzas internas en una estructura hiperestática. En este caso
en particular es un marco rígido de la planta baja de un
edificio de siete niveles. En el primer gráfico podemos ver los
momentos debidos a carga muerta y viva, como se observa el
momento máximo es 8,088 kg-m, pero en el siguiente marco
Paso 3. Conociendo los pesos sísmicos de la estructura,
se procede a calcular los momentos sísmicos de la
misma.
108
Paso 5. Se calculan los cortantes totales, que son la
simple suma de los cortantes gravitacionales y los
cortantes sísmicos.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
En estos tres ejemplos
podemos apreciar como
pequeñas variaciones en
la forma de los marcos
estructurales, pueden
traer percepciones muy
diferentes de un espacio
arquitectónico.
i   r
i (cm): Diámetro Interior del gancho
: 6 si la barra es del #3 al #8, y 8 si
es del #9 al #11
r (cm): Diámetro de la barra
2.
p) Longitud de desarrollo en acero de
refuerzo
Cálculo de la longitud de la extensión del gancho
En donde:
e (cm): longitud de la
e  4   r   6.35cm extensión del gancho
r (cm): Diámetro de la
barra
Barras del #3 al #11:
l d  13cm  0.004  d b  f y  0.04  Ab 
fy
f c0.5
Barras del #14:
l d  13cm  0.004  d b  f y  Ab 
El esfuerzo interno de un
contraventeo se puede
calcular fácilmente con el
teorema de Pitágoras, como
se muestra en la imagen. Esto
contribuye a la estabilidad de
la estructura cuya
deformación será ahora de:
Ps  L

E  cos  2
En lugar de

Ps  L3
3 E  I
fy
f c0.5
Barras del #18:
l d  13cm  0.004  d b  f y  0.11  Ab 
fy
f c0.5
Barras en compresión:
l d  13cm  0.004  d b  f y  0.02  d b  Ab 
fy
f c0.5
En donde
ld (cm): Longitud de desarrollo mínima para barras en
tensión
Ab (cm2): Área de la sección de las barras
Fy (kg/cm2): Esfuerzo de fluencia del acero
Fc (kg/cm2): Resistencia del concreto
Db (cm): Diámetro de la barra
DISEÑO DEL GANCHO DE LAS BARRAS DE
REFUERZO
Cualquier varilla en tensión menor del #14 requiere un
gancho en cada extremo. Las barras en compresión no
requieren ganchos.
1.
Cálculo del diámetro interior del gancho
En donde:
109
En el gráfico superior, podemos apreciar los criterios de
longitud de desarrollo mínimo de las NTC.
q) Recubrimiento del refuerzo
El recubrimiento del acero de refuerzo, es una de las
medidas más importantes para garantizar la vida útil de la
estructura. Cuando el acero de refuerzo esta expuesto,,
se empieza a oxidar con una velocidad proporcional a las
características del medio ambiente. Cuando esto sucede,
se modifican las características mecánicas, y se reduce
la resistencia.
Las NTC especifican que el recubrimiento debe ser de 1
cm, o un diámetro de la varilla (lo que sea mayor),
lamentablemente, es una especificación muy pobre que
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
no cubre las diferentes circunstancias a que esta
sometida una estructura.
En la práctica no es recomendable seguir el mímino de
las NTC, ya que el agregado grueso mas ampliamente
utilizado es de 3/4", es decir 19 mm, por lo cual el
concreto no puede fluir entre la cimbra y el armado; y
como resultado, el mortero es el que almacena en el
recubrimiento, disminuyento la resistencia de la sección y
la durabilidad de la estructura. Por tal motivo, a
continuación presentamos los criterios del Eurocódigo y
el ACI.
La tabla inferior (4.1 Eurocódigo 2) del Eurocódigo 2
(1992) clasifica los tipos de exposición a que pueden
estar sometidas las estructuras, asi como ejemplos de las
condiciones ambientales
El pH es la concentración de iones de Hidronio (H3O+),
3
medida con la ecuación: pH = -log10[aH3O ], por lo cual,
la diferencia real entre un valor de pH 8 y 14 es de un
millón de veces más concentración de iones. Por lo cual,
es muy importante verificar el contenido de pH en el agua
o ácidos, alos que estará espuesto el concreto.
Es importante puntualizar que los recubrimientos
mínimos no incluyen su respectiva tolerancia. La práctica
mas común recomienda 10 mm para concreto hecho en
obra, y 5 mm para concreto presforzado, por lo cual,
estas cantidades se deben sumar a los mínimos
especificados en las normas.
En la tabla inferior (7.7 ACI) podemos apreciar los
recubrimientos recomendados por el ACI, donde se
puede apreciar que el recubrimiento mínimo es de 20
mm, para que pueda pasar el agregado grueso (19 mm),
y un máximo de 75 mm, para estructuras expuestas
permanentemente al terreno.
En el gráfico superior podemos apreciar la degradación
del concreto en un periodo de 100 años expuesto a
valores de pH entre 4.5 y 6.5, presentes en el agua de
lluvia. Todos los estudios relacionados han confirmado
que un buen contenido de Óxido de Silicio (SiO2) en el
concreto, decrementa drásticamente los efectos de los
ácidos en éste. Recordemos que las Cenizas Voladoras
contienen en promedio 30 a 50% de Óxido de Silicio, por
lo cual, es recomendación de utilización.
Por ejemplo, una losa que estará expuesta a detergentes
(lavado de autos, ropa, etc), tendrá contacto permanente
con el Hidróxido Sódico presente en los detergentes
comunes, que tienen un pH de 14. Es decir, la
concentación de iones será 10 millones mayor que la del
agua de lluvia, por lo cual, el proceso de oxidación será
muy severo.
Una vez que se ha seleccionado el tipo de exposición
(por ejemplo 4.a = Ambiente marino sin hielo), se
procede a seleccionar el recubrimiento mínimo acorde
con la tabla inferior (4.2 Eurocódigo 2). En esta se cruza
el tipo de exposición, con el tipo de armado de la
estructura, y obtenemos el recubrimiento mínimo.
b) Corrosión por sulfatación
Existen tres condiciones especialmente severas para el
recubrimiento de concreto, estas son: a) Corrosión por
pH (ácidos); b) Corrosión por sulfatación, y c) Corrosión
por carbonatación.
a) Corrosión por pH (ácidos):
110
Los sulfatos (SO4), presenta un proceso de oxidación en
el concreto que puede ser muy severo. El ACI especifica
requerimientos muy específicos para concretos
expuestos a sulfatos. Estos se encuentran principalmente
en terrenos con salinidad, por el contenido de SO4
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
presente en las sales del ácido clorhídrico, y en el agua
de mar.
c) Corrosión por carbonatación
La Cal Apagada o Hidróxido de Calcio [Ca(OH)2]
presente en el concreto, reacciona con el Dióxido de
Carbono (CO2) producto de la combustión de motores,
produciendo Carbonato de Calcio (CaCO3).
s) Durabilidad del Concreto Reforzado
En este apartado no pretendemos hacer una completa
descripción y análisis del proceso constructivo del
concreto reforzado, sino puntualizar algunos aspectos
muy importantes que se deben cuidar desde el punto de
vista estructural.
t) Normas NMX de Estructuras
de Concreto Reforzado
NMX-C-030-ONNCCE-2004 Agregado. Muestreo.
NMX-C-049-ONNCCE-2006 Cemento hidráulico. Método
de ensayo para la determinación de la finura de
cementantes hidráulicos mediante la malla 0.045 mm.
(No. 325).
NMX-C-056-1997-ONNCCE Determinación de la finura
de los cementantes hidráulicos (método de
permeabilidad al aire).
NMX-C-057-1997-ONNCCE Cementantes hidráulicos.
Determinación de la consistencia normal.
NMX-C-058-1967 Método de prueba para determinar el
tiempo de fraguado en cementantes hidráulicos
(método de Gillmore).
NMX-C-059-ONNCCE-2006
Cementos
hidráulicos.
Determinación del tiempo de fraguado de
cementantes hidráulicos (método de Vicat).
NMX-C-061-ONNCCE-2001 Cemento. Determinación de
la resistencia a la compresión de cementantes
hidráulicos.
NMX-C-061-ONNCCE-2001 Cemento. Determinación de
la resistencia a la compresión de cementantes
hidráulicos.
NMX-C-073-ONNCCE-2004
Agregados.
Masa
volumétrica. Método de prueba.
NMX-C-075-ONNCCE-2006 Agregados. Determinación
de la sanidad por método del sulfato de sodio o del
sulfato de magnesio.
NMX-C-077-1997-ONNCCE Agregados para concreto.
Análisis granulómetro. Método de prueba.
NMX-C-081-1981 Aditivos para concreto curado.
Compuestos líquidos que forman membrana.
NMX-C-083 – ONNCCE-2002 Concreto. Determinación
de la resistencia a compresión de cilindros de
concreto. Métodos de prueba.
NMX-C-084-ONNCCE-2006 Agragados para concreto.
Partículas más finas que la criba 0.075 mm (No. 200)
por medio de lavado. Método de prueba.
NMX-C-088-1997-ONNCCE Agregados. Determinación
de impurezas orgánicas del agregado fino.
NMX-C-090-1978 Método de prueba para expansores y
estabilizadores de volumen del concreto.
NMX-C-105-1987
Concreto
ligero
estructural.
Determinación de la masa volumétrica.
NMX-C-109-ONNCCE-2004 Concreto. Cabeceo de
especímenes cilíndricos.
NMX-C-111-ONNCCE-2004 Agregados para concreto
hidráulico. Especificaciones y métodos de prueba.
NMX-C-117-1978 Aditivos estabilizadores de volumen de
concreto.
111
NMX-C-128-1997-ONNCCE Concreto sometido a
compresión. Determinación del módulo de elasticidad
estático y relación de Poisson.
NMX-C-132-1997-ONNCCE Cementantes hidráulicos.
Determinación del fraguado falso del cemento
Pórtland. Método de pasta
NMX-C-140-1978 Aditivos expansores del concreto.
NMX-C-147-1983 Postes de concreto reforzado sección
“I”. Especificaciones.
NMX-C-148-ONNCCE-2002
Cementos
hidráulicos.
Gabinetes y cuartos húmedos y tanques de
almacenamiento para el curado de especímenes de
mortero y concreto de cementantes hidráulicos.
NMX-C-150-1973 Determinación de la finura de
cementantes hidráulicos mediante tamiz No. 80 mm
(No. 200).
NMX-C-151-ONNCCE-2001 Cementantes hidráulicos.
Determinación del calor de hidratación.
NMX-C-152-1997-ONNCCE Cementantes hidráulicos.
Método de prueba para determinación del peso
específico de cementantes hidráulicos.
NMX-C-153-1971 Método de prueba para la
determinación del sangrado en pasta de cemento y
en mortero.
NMX-C-154-1987 Concreto. Determinación del contenido
del cemento en concreto endurecido.
NMX-C-154-1987 Concreto. Determinación del contenido
del cemento en concreto endurecido.
NMX-C-155-ONNCCE-2004
Concreto.
Concreto
hidráulico industrializado. Especificaciones
NMX-C-156-1997-ONNCCE Concreto. Determinación del
revenimiento en el concreto fresco.
NMX-C-157-ONNCCE-2006 Concreto. Determinación del
contenido de aire del concreto fresco por el método
de presión.
NMX-C-158-ONNCCE-2006 Concreto. Determinación del
contenido de aire del concreto fresco por el método
volumétrico.
NMX-C-159-ONNCCE-2004 Concreto. Elaboración y
curado de especificaciones en el laboratorio.
NMX-C-160-ONNCCE-2004 Concreto. Elaboración y
curado en obra de especímenes de concreto.
NMX-C-161-1997-ONNCCE Concreto fresco. Muestreo.
NMX-C-162-ONNCCE-2000 Concreto. Determinación de
la masa unitaria, cálculo del rendimiento y contenido
de aire del concreto fresco por el método
gravimétrico.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
NMX-C-163-1997-ONNCCE Concreto. Determinación de
la resistencia a la tensión por comprensión diametral
de cilindros de concreto.
NMX-C-164-ONNCCE-2002 Agregados. Determinación
de la masa específica y absorción de agua del
agregado grueso.
NMX-C-165-ONNCCE-2004 Agregados. Determinación
de la masa específica y absorción de agua del
agregado fino. Método de prueba.
NMX-C-166-ONNCCE-2006 Agregado. Contenido de
agua por secado. Método de prueba.
NMX-C-169-1997-ONNCCE Concreto. Obtención y
prueba de corazones y vigas extraídos de concreto
endurecido.
NMX-C-170-1997-ONNCCE Agregados. Reducción de
las muestras de agregados obtenidos en el campo al
tamaño requerido para las pruebas.
NMX-C-173-1990 Concreto. Determinación de la
valoración en longitud de especímenes de mortero de
cemento y de concreto endurecidos.
NMX-C-177-1997-ONNCCE Concreto. Determinación del
tiempo de fraguado de mezclas de concreto,
mediante la resistencia a la penetración.
NMX-C-191-ONNCCE-2004 Concreto. Determinación de
la resistencia a flexión del concreto usando una viga
simple con carga en los tercios del claro.
NMX-C-199-1986 Aditivos para concreto y materiales
complementarios.Terminología y clasificación.
NMX-C-205-ONNCCE-2005 Concreto. Determinación de
la resistencia del concreto a la congelación y deshielo
acelerados.
NMX-C-219-ONNCCE-2005 Concreto. Resistencia a la
compresión a edades tempranas y predicción de la
misma a edades tempranas y predicción de la misma
a edades posteriores. Método de prueba.
NMX-C-221-ONNCCE-2005 Longitud de los corazones
de concreto. Método de prueba.
NMX-C-235-1984 Concreto. Resistencia a la compresión
empleando porciones de vigas ensayadas a flexión.
NMX-C-236-1984 Concreto. Practica para examinar y
muestras de concreto endurecido en el sitio de
colado.
NMX-C-237-1985 Aditivos para concreto determinación
de la adherencia de los sistemas de resinas epóxicas
empleadas en el concreto.
NMX-C-240-1985 Aditivos para concreto. Determinación
de la viscosidad cinemática y cálculo de la viscosidad
dinámica.
NMX-C-241 Sistemas de adhesivos a base de resinas
epóxicas para concreto.
NMX-C-243-ONNCCE-2005 Concreto. Prueba de
resistencia al cortante en concreto endurecido.
NMX-C-244-1986 Agregado ligero termoaislante para
concreto.
NMX-C-251-1997-ONNCCE Concreto. Terminología.
NMX-C-255-ONNCCE-2006 Aditivos químicos para
concreto. Especificaciones, muestreo y métodos de
ensayo.
NMX-C-263-1983 Concreto endurecido, masa específica,
absorción y vacíos, métodos de prueba.
NMX-C-265-1984 Agregados para concreto. Examen
petrográfico. Método de prueba.
NMX-C-267-ONNCCE- 1999 Concreto. Determinación de
la penetración en concreto fresco por medio de una
esfera metálica.
NMX-C-271-ONNCCE-1999 Agregados para concreto.
Determinación de la realidad potencial (método
químico).
NMX-C-273-ONNCCE-2001 Cemento. Determinación de
la actividad hidráulica de las adiciones con cemento
pórtland ordinario.
NMX-C-277-1979 Agua para concreto. Muestreo.
NMX-C-281-1985 Concreto. Moldes para elaborar
especímenes cilíndricos de concreto verticalmente
para pruebas.
NMX-C-282-ONNCCE-2004 Agregados para concreto.
Cambio de volumen de combinaciones cementoagregado. Método de prueba.
NMX-C-283-1982 Agua para concreto. Análisis.
NMX-C-290-1987 Concreto. Curado acelerado para
prueba a compresión de especímenes.
NMX-C-296-ONNCCE-2000 Concreto. Determinación del
sangrado. Método de prueba.
NMX-C-298-1980
Concreto.
Aditivos
minerales.
Determinación de la efectividad para prevenir una
expansión excesiva del concreto debida a la reacción
álcalis. Agregado.
NMX-C-299-1987 Concreto estructural. Agregados
ligeros.
NMX-C-301-1986 Concreto endurecido. Determinación
de la resistencia a la penetración.
NMX-C-302-1980 Concreto fresco. Determinación de la
masa por unidad de volumen de los ingredientes
mediante deshidratación con alcohol.
112
NMX-C-303-1986 Concreto. Determinación de la
resistencia a la flexión usando una viga simple con
carga en el centro del claro.
NMX-C-304-1980 Aditivos. Determinación de la retención
de agua por medio de compuestos líquidos que
forman membrana para el curado del concreto.
NMX-C-305-1980 Agregados para concreto. Descripción
de sus componentes minerales naturales.
NMX-C-309-1980 Aditivos para concreto. Determinación
del factor de reflectancia de membranas de color
blanco para el curado del concreto.
NMX-C-315-1981 Cementos. Cementaciones primarias y
secundarias de pozos petroleros o de gas.
NMX-C-320-1981 Cemento, asbesto cemento y concreto.
Determinación de alcalinidad (cal libre).
NMX-C-329-ONNCCE-2002
Cementos
hidráulicos.
Determinación de la granulometría de la arena de
sílice utilizada en la preparación de los morteros de
cementantes hidráulicos.
NMX-C-330-1964 Arena de sílice.
NMX-C-331-1964 Determinación de sílice en arena de
sílice.
NMX-C-348-1987
Agregados.
Determinación
del
manchado en el concreto.
NMX-C-356-1988 Aditivos para concreto. Cloruro de
calcio.
NMX-C-364-1992 Aditivos para concreto. Morteros
predosificados sin contracción. Especificaciones.
NMX-C-365-1990 Aditivos para concreto. Morteros para
concreto. Morteros predosificados sin contracción.
Métodos de prueba.
NMX-C-403-ONNCCE-1999 Concreto hidráulico para uso
estructural.
NMX-C-407-ONNCCE-2001 Varilla corrugada de acero
proveniente de lingote y palanquilla para refuerzo de
concreto. Especificaciones y métodos de prueba.
NMX-C-414-ONNCCE-2004
Cementos
hidráulicos.
Especificaciones y métodos de prueba.
NMX-C-435-ONNCCE-2004 Concreto. Método para
determinar la temperatura del concreto fresco.
NMX-C-436-ONNCCE-2004 Agregados para concreto.
Coeficiente volumétrico (de forma) en agregado
grueso. Método de prueba.
NMX-B-018-1988 Varillas corrugadas y lisas de acero
procedentes de riel, para refuerzo de concreto.
NMX-B-032-1988 Varillas corrugadas y lisas de acero
procedentes de eje, para refuerzo de concreto.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
NMX-B-072-1986 Alambre corrugado de acero, laminado
en frío para refuerzo de concreto.
NMX-B-253-1988 Alambre liso de acero estirado en frio
para refuerzo de concreto.
NMX-B-290-1988 Malla soldada de alambre liso de
acero, para refuerzo de concreto.
NMX-B-294-1986 Varillas corrugadas de acero, torcidas
en frio, procedentes de lingote o palanquilla, para
refuerzo de concreto.
NMX-B-434-1969 Método de prueba para determinar el
peso unitario y el área transversal de las varillas lisas
y corrugadas, para refuerzo de concreto.
NMX-B-455-1987 Armaduras electrosoldadas de sección
triangular, de alambre de acero corrugado o liso para
refuerzo de elementos estructurales de concreto.
NMX-B-457-1988 Varillas corrugadas de acero de baja
aleación procedente de lingote o palanquilla para
refuerzo de concreto.
NMX-H-121-1988 Procedimiento de soldadura estructural
de acero de refuerzo.
u) Normas SCT para Concreto Reforzado
M-MMP-2-02-001/00 Muestreo de cemento pórtland
M-MMP-2-02-002/00 Finura del cemento por el método
del tamiz
M-MMP-2-02-003/04 Finura del cemento por el método
de permeabilidad al aire
M-MMP-2-02-004/04 Resistencia a la compresión del
cemento pórtland
M-MMP-2-02-006/04 Tiempo de fraguado del cemento
por el método de Vicat
M-MMP-2-02-055/06 Muestreo de concreto hidráulico
M-MMP-2-02-056/06 Revenimiento del concreto fresco
M-MMP-2-02-058/04 Resistencia a la compresión simple
de cilindros de concreto
M-MMP-2-02-059/04 Resistencia a la tensión de cilindros
de concreto
M-MMP-2-02-060/04 Resistencia del concreto a
congelación y deshielo
N-CMT-2-01-004/02 Morteros
N-CMT-2-02-001/02 Calidad del cemento pórtland
N-CMT-2-02-002/02 Calidad de agregados pétreos para
concreto hidráulico
N-CMT-2-02-003/02 Calidad del Agua para concreto
hidráulico
N-CMT-2-02-004/04 Calidad de aditivos químicos para
concreto hidráulico
N-CMT-2-02-005/04 Calidad del concreto hidráulico
N-CMT-2-02-006/04 Calidad de membranas de curado
para concreto hidráulico
N-CMT-2-03-001/07 Acero de refuerzo para concreto
hidráulico
N-CMT-2-03-002/04 Acero de presfuerzo para concreto
hidráulico
N-CMT-2-03-004/06 Acero de refuerzo galvanizado para
concreto hidráulico
N-PRY-CAR-6-01-003/01 Cargas y acciones
N-PRY-CAR-6-01-004/01 Viento
N-PRY-CAR-6-01-005/01 Sismo
N-PRY-CAR-6-01-006/01 Combinaciones de cargas
N-PRY-CAR-6-01-007/04 Distribución de cargas
v) Normas SCT para Cimentaciones
N-CTR-CAR-1-06-001/01 Pilotes de madera
N-CTR-CAR-1-06-002/01 Pilotes precolados
N-CTR-CAR-1-06-003/01 Pilotes colados en el lugar
N-CTR-CAR-1-06-004/01 Pilotes de acero
N-CTR-CAR-1-06-005/01 Cilindros y cajones de
cimentación
N-CTR-CAR-1-06-006/01 Tablaestacados
N-CTR-CAR-1-01-007/00 Excavaciones para estructuras
N-CTR-CAR-1-01-017/00 Concreto lanzado
N-CTR-CAR-1-02-001/00 Mampostería de piedra
N-CMT-2-01-003/02 Fragmentos de roca
w) Especificaciones para estructura de
concreto reforzado
1. El concreto utilizado para fines estructurales puede ser
de dos clases: clase 1, con peso volumétrico en estado
fresco superior a 22 kN/m³ (2.2 t/m³) y clase 2 con peso
volumétrico en estado fresco comprendido entre 19 y 22
kN/m³ (1.9 y 2.2 t/m³), determinado acorde con la norma
NMX-C-162-ONNCE-2000 y la NMX-C-403-ONNCCE1999.
2. Los concretos clase 1 tendrán una resistencia
especificada, fc’, igual o mayor que 25 MPa (250 kg/cm²).
La resistencia especificada de los concretos clase 2 será
inferior a 25 MPa (250 kg/cm²) pero no menor que 20
MPa (200 kg/cm²). En ambas clases deberá comprobarse
113
que el nivel de resistencia del concreto estructural de
toda construcción cumpla con la resistencia especificada
en la norma NMX-C-083-ONNCCE-2002. En el proyecto
estructural se indicará que tipo de concreto que se
utilizará, y en que partes de la estructura.
3. La calidad y proporciones de los materiales
componentes del concreto serán tales que se logren la
resistencia, rigidez y durabilidad necesarias. La calidad
de todos los materiales componentes del concreto
deberá verificarse antes del inicio de la obra y también
cuando exista sospecha de cambio en las características
de los mismos o haya cambio de las fuentes de
suministro. Esta verificación de calidad se realizará a
partir de muestras tomadas del sitio de suministro o del
almacén del productor de concreto, acorde con la norma
NMX-C-161-1997-ONNCCE. El perito responsable podrá
admitir la garantía del fabricante del concreto, de que los
materiales fueron ensayados en un laboratorio acreditado
por la entidad de acreditación reconocida en los términos
de la Ley Federal sobre Metrología y Normalización. En
cualquier caso podrá ordenar la verificación de la calidad
de los materiales cuando lo juzgue procedente, acorde
con las normas NMX-C-061-ONNCCE-2001 para el
cemento, la NMX-C-111-ONNCCE-2004 para los
agregados, la NMX-C-122-ONNCCE-2004 para el agua,
y la NMX-B-172-1988 para el acero de refuerzo.
4. El cemento a utilizar debe corresponder en marca y
tipo con el usado para calcular la dosificación, debe ser
clase resistente 30 ó 40, que cumpla con los requisitos
especificados en la norma NMX-C-414-ONNCCE-2004.
5. Los agregados deberán ser de igual granulometría y
tipo geológico que los usados para calcular la
dosificación. Los agregados pétreos deberán cumplir con
los requisitos de la norma NMX-C-111-ONNCCE-2004.
6. Los agregados deberán estar limpios, sin materia
orgánica, polvo o arcilla, con poco porcentaje de
partículas planas y una granulometría adecuada, acorde
con la norma NMX-C-077-1997-ONNCCE.
7. El agua deberá estar limpia, exenta de ácidos, bases,
aceites y materia orgánica y cumplir con los requisitos de
la norma NMX-C-122-ONNCCE-2004.
8. Tamaño máximo de los agregados será de:
>1/5 de la menor dimensión horizontal de la cimbra.
>3/4 de la separación libre mínima de refuerzo.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
>1/3 del peralte de losa.
9. Podrán usarse aditivos a solicitud expresa del
contratista o a propuesta del constructor, en ambos
casos con la autorización del perito correspondiente. Los
aditivos deberán cumplir con los requisitos de la norma
NMX-C-255-ONNCCE-2006.
10. Los límites correspondientes a estos requisitos
especiales pueden modificarse si el fabricante del
concreto demuestra, con pruebas realizadas en un
laboratorio acreditado por la entidad de acreditación
reconocida en los términos de la Ley Federal sobre
Metrología y Normalización, que con los nuevos valores
se obtiene concreto que cumpla con el requisito de
módulo de elasticidad establecido. En tal caso, los
nuevos límites serán los que se apliquen en la
verificación de estos requisitos para los agregados
específicamente considerados en dichas pruebas.
11. El mezclado deberá ser mecánico. Manual sólo
cuando f´c < 14 MPa (140 kg/cm2) y cada revoltura de no
más de 3 sacos de cemento 1.5 kN (150 kg.). Si es
manual, aumentar el contenido de cemento en 10%,
acorde con la norma NMX-C-403-ONNCCE-1999.
12. El equipo a utilizar deberá estar limpio y ser probado
mecánicamente. Deberá dársele mantenimiento
preventivo.
13. El concreto podrá ser dosificado en una planta central
y transportado a la obra en camiones revolvedores, o
dosificado y mezclado en una planta central y
transportado a la obra en camiones agitadores, o bien
podrá ser elaborado directamente en la obra; en todos
los casos la dosificación establecida no deberá alterarse,
en especial, el contenido de agua. El concreto clase 1,
premezclado o hecho en obra, deberá ser elaborado en
una planta de dosificación y mezclado de acuerdo con los
requisitos de elaboración establecidos en la norma NMXC-403-ONNCCE-1999. El concreto clase 2, si es
premezclado, deberá satisfacer los requisitos de
elaboración de la norma NMX-C-155-ONNCCE-2004. Si
es hecho en obra, podrá ser dosificado en peso o en
volumen, pero deberá ser mezclado en una revolvedora
mecánica, ya que no se permitirá la mezcla manual de
concreto estructural.
14. Las cimbras deberán estar limpias, lubricadas,
aprobadas y cumplir los requisitos de la norma NMX-C239-1985.
15. Toda cimbra se construirá de manera que resista las
acciones a que pueda estar sujeta durante la
construcción, incluyendo las fuerzas causadas por la
colocación, compactación y vibrado del concreto. Debe
ser lo suficientemente rígida para evitar movimientos y
deformaciones excesivos; y suficientemente estanca para
evitar el escurrimiento del mortero. En su geometría se
incluirán las contraflechas prescritas en el proyecto.
Inmediatamente antes del colado deben limpiarse los
moldes cuidadosamente. Si es necesario se dejarán
registros en la cimbra para facilitar su limpieza. La cimbra
de madera o de algún otro material absorbente debe
estar húmeda durante un período mínimo de dos horas
antes del colado, acorde con la norma NMX-C-443ONNCCE-2006. Se recomienda cubrir los moldes con
algún lubricante para protegerlos y facilitar el
descimbrado. La cimbra para miembros de concreto
presforzado deberá diseñarse y construirse de tal manera
que permita el movimiento del elemento sin provocar
daño durante la transferencia de la fuerza de
preesfuerzo, acorde con la norma NMX-C-248-1978.
16. Todos los elementos estructurales deben permanecer
cimbrados el tiempo necesario para que el concreto
alcance la resistencia especificada para soportar su peso
propio y otras cargas que actúen durante la construcción,
así como para evitar que las deflexiones sobrepasen los
valores fijados en el reglamento aplicable. Los elementos
de concreto presforzado deberán permanecer cimbrados
hasta que la fuerza de presfuerzo haya sido aplicada y
sea tal que, por lo menos, permita soportar el peso propio
del elemento y las cargas adicionales que se tengan
inmediatamente después del descimbrado, acorde con la
norma NMX-C-248-1978.
17. No se permitirá la inclusión de tuberías y ductos de
aluminio en elementos de concreto, a menos que se
tengan cubiertas o protecciones especiales para evitar la
reacción aluminio–concreto y la reacción electrolítica
entre aluminio y acero de refuerzo. No se permitirá la
inclusión de tuberías y ductos longitudinales en
columnas, en elementos de refuerzo y en los extremos
de muros. Las tuberías y los ductos incluidos en los
elementos no deberán afectar significativamente la
resistencia de dichos elementos ni de la construcción en
general. Asimismo, no deberán impedir que el concreto
penetre, sin segregarse, en todos los intersticios.
18. Excepto cuando se haya establecido en los planos o
haya sido aprobado por el Perito Responsable, las
114
tuberías y los ductos incluidos en losas, muros y trabes
de concreto deberán cumplir con lo siguiente:
a) El diámetro exterior no será mayor que 1/3 del
espesor de la losa o del ancho del muro y de la trabe.
b) Estarán colocados entre ellos con una separación,
medida centro a centro, mayor que 3 veces el
diámetro de los ductos.
c) No deberán afectar significativamente la resistencia
estructural de los elementos de concreto.
Las tuberías y los ductos deberán diseñarse para resistir
los efectos del concreto, la presión y la temperatura a la
que estarán expuestos al quedar incluidos en el concreto.
Las tuberías no deberán contener líquidos, gas, vapor ni
agua a altas temperaturas ni a altas presiones, hasta que
el concreto haya alcanzado completamente la resistencia
de diseño. En losas, las tuberías y los ductos deberán
quedar incluidos entre el acero de refuerzo inferior y
superior, a menos que sean para captar agua o
materiales exteriores. El recubrimiento mínimo para
tuberías y ductos no será menor que 40 mm para
elementos expuestos a la intemperie o en contacto con el
terreno, ni menor que 20 mm para elementos no
expuestos a la intemperie y que no están en contacto con
el terreno. Las tuberías y ductos deberán construirse y
colocarse de tal manera que no se requiera cortar,
doblar, ni mover de su posición original el acero de
refuerzo.
19. Las instalaciones que se alojen en las estructuras
deberán estar probadas. La temperatura del fluido deberá
ser < 338 K (65ºc). La presión máxima de trabajo < 1.37
MPa (14 kg/cm²).
20. El área para ductos ahogados en columnas deberá
ser 4% del área de la columna.
21. En losas, muros y trabes en zonas de compresión se
permitirán, previa autorización del perito responsable
ductos de fierro o acero no galvanizado, cédula 40,
diámetro <5cm.
22. Las juntas de colado en losas y trabes deberán
localizarse cerca de la mitad del claro. Si a medio claro
hay una intersección de trabe secundaria con la principal,
deberá situarse la junta en la trabe secundaria a una
distancia igual a dos veces el ancho de la principal.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
a) En columnas, las juntas de colado deberán estar
1cm arriba del lecho bajo de la losa o trabe que
soporta.
b) En muros las juntas de construcción verticales,
deberán tener ahogados 2 refuerzos n°3 (3/4”) como
mínimo, en zig-zag en toda la altura.
c) Si la junta de colado se hace en lugares
inadecuados o sujetos a cortante se deberá usar
refuerzo en zig-zag en número y posición de acuerdo
a esfuerzos solicitados.
23. Los métodos que se empleen para transportar el
concreto serán tales que eviten la segregación o pérdida
de sus ingredientes. Si el tránsito es de 1 hora se deberá
reanudar la revoltura 3 minutos a velocidad de mezclado
(10 a 12 r.p.m.) para eliminar la segregación.
a) Se deberá desechar la revoltura si t= 1.5 horas si el
mezclado se hizo totalmente en planta o después de
que se completó la cantidad de agua, si el mezclado
se terminó en el camión. Los premezclados deberán
colocarse en capas niveladas de 40 a 50 cm de
espesor máximo. Cada capa será múltiplo del
espesor total del colado.
b) El borde de avance de cada capa de premezclado
deberá mantenerse de 1.20 a 1.50 m atrás del borde
de avance de la capa inferior. Cada capa debe
colocarse cuando la subyacente todavía responda a
la vibración para ligar ambos concretos.
c) Antes de colocar los premezclados en juntas
verticales, se deberá picar la superficie expuesta,
desprender partículas sueltas, saturar con agua 12 a
24 horas antes, según la edad del concreto viejo y
cubrirla con lechada de cemento 1:2 o aditivo
inmediatamente antes de colocar el concreto nuevo.
24. Antes de efectuar un colado deben limpiarse los
elementos de transporte y el lugar donde se va a
depositar el concreto. Los procedimientos de colocación
y compactación serán tales que aseguren una densidad
uniforme del concreto y eviten la formación de huecos. El
lugar en el que se colocará el concreto deberá cumplir
con lo siguiente:
a) Estar libre de material suelto como partículas de
roca, polvo, clavos, tornillos, tuercas, basura, etc.;
b) Los moldes que recibirán al concreto deben estar
firmemente sujetos.
c) Las superficies de mampostería que vayan a estar
en contacto con el concreto deberán humedecerse
previamente al colado.
d) El acero de refuerzo deberá estar completamente
limpio y adecuadamente colocado y sujeto.
e) No deberá existir agua en el lugar del colado, a
menos que se hayan tomado las medidas necesarias
para colar concreto en agua.
De ninguna manera se permitirá la colocación de
concreto contaminado con materia orgánica. El concreto
se vaciará en la zona del molde donde vaya a quedar en
definitiva y se compactará con picado, vibrado o
apisonado. No se permitirá trasladar el concreto
mediante el vibrado.
25. Cuando la temperatura ambiente durante el colado o
poco después sea inferior a 278 K (5 °C), se tomarán las
precauciones especiales tendientes a contrarrestar el
descenso en resistencia y el retardo en endurecimiento, y
se verificará que estas características no hayan sido
desfavorablemente afectadas. La resistencia de este
concreto se verificara acorde con la norma NMX-C-205ONNCCE-2005.
26. El mortero aplicado neumáticamente satisfará los
requisitos de compacidad, resistencia y demás
propiedades que especifique el proyecto. Se aplicará
perpendicularmente a la superficie en cuestión, la cual
deberá estar limpia y húmeda.
27. El concreto debe mantenerse en un ambiente
húmedo por lo menos durante siete días en el caso de
cemento ordinario, y tres días si se empleó cemento de
alta resistencia inicial. Estos lapsos se aumentarán si la
temperatura desciende a menos de 278 K (5 °C). Para
acelerar la adquisición de resistencia y reducir el tiempo
de curado, puede usarse el curado con vapor a alta
presión, vapor a presión atmosférica, calor y humedad, o
algún otro proceso que sea aceptado por el perito
responsable. El proceso de curado que se aplique debe
producir concreto cuya durabilidad sea por lo menos
equivalente a la obtenida con curado en ambiente
húmedo.
28. Las juntas de colado se ejecutarán en los lugares y
con la forma que indiquen los planos estructurales. Antes
de iniciar un colado las superficies de contacto se
limpiarán y saturarán con agua. Se tomará especial
cuidado en todas las juntas de columnas y muros en lo
115
que respecta a su limpieza y a la remoción de material
suelto o poco compacto.
29. El concreto deberá compactarse por medio de
vibrador mecánico, el cual se introducirá verticalmente, a
intervalos uniformes de 1 1/2 veces el radio de acción,
para empalmar áreas vibradas.
a) El vibrador deberá ser introducido rápidamente
hasta el fondo, o 15 cm dentro de la capa precedente,
mantenerlo de 5 a 15 segundos hasta lograr
consolidación. Extraerlo lentamente a velocidad de 8
cm/seg.
b) En losas se deberá inclinar el vibrador para que
opere completamente sumergido, o aún
horizontalmente.
c) En bordes no confinados no se deberá introducir el
vibrador a menos de 60 cm de los bordes de avance.
d) Para cerrar huecos provocados por el vibrador,
introducir éste algunos centímetros cerca del hueco, o
cambiar el vibrador o la revoltura.
e) En áreas congestionadas de refuerzo es válido
vibrar la varilla, usando el vibrador de cimbra sujeto a
la varilla con un accesorio adecuado. No usar
vibrador de inmersión porque puede dañar el armado.
30. Al concreto en estado fresco, antes de su colocación
en las cimbras, se le harán pruebas para verificar que
cumple con los requisitos de revenimiento (NMX-C-1561997-ONNCCE) y peso volumétrico (NMX-C-162ONNCCE-2000). Estas pruebas se realizarán al concreto
muestreado en obra (NMX-c-161-1997-ONNCCE). El
revenimiento será el mínimo requerido para que el
concreto fluya a través de las barras de refuerzo y para
que pueda bombearse en su caso, así como para lograr
un aspecto satisfactorio. El revenimiento nominal de los
concretos no será mayor de 120 mm. Para permitir la
colocación del concreto en condiciones difíciles, o para
que pueda ser bombeado, se autoriza aumentar el
revenimiento nominal hasta un máximo de 180 mm,
mediante el uso de aditivo superfluidificante (NMX-C-255ONNCCE-2006), de manera que no se incremente el
contenido unitario de agua. En tal caso, la verificación del
revenimiento se realizará en la obra antes y después de
incorporar el aditivo superfluidificante, comparando con
los valores nominales de 120 y 180 mm,
respectivamente. Las demás propiedades, incluyendo las
del concreto endurecido, se determinarán en muestras
que ya incluyan dicho aditivo. Si el concreto es
premezclado y se surte con un revenimiento nominal
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
mayor de 120 mm, deberá ser entregado con un
comprobante de incorporación del aditivo en planta; en la
obra se medirá el revenimiento para compararlo con el
nominal máximo de 180 mm. Para que el concreto
cumpla con el requisito de revenimiento, su valor
determinado deberá concordar con el nominal
especificado. Estas tolerancias también se aplican a los
valores nominales máximos de 120 y 180 mm. Para que
el concreto cumpla con el requisito de peso volumétrico
en estado fresco o endurecido, su valor determinado
deberá ser mayor de 22 kN/m³ (2200 kg/m³) para el
concreto clase 1, y no menor de 19 kN/m³ (1900 kg/m³)
para el concreto clase 2.
31. En el refuerzo para concreto pueden usarse barras
de acero y/o malla de alambre soldado. Las barras serán
corrugadas, con la salvedad que se indica adelante, y
deben cumplir con las normas NMX-C-407-ONNCCE,
NMX-B-294 o NMX-B-457. La malla cumplirá con la
norma NMX-B-290. Se permite el uso de barra lisa de 6.4
mm de diámetro (número 2) para estribos donde así se
indique en la reglamentación, conectores de elementos
compuestos y como refuerzo para fuerza cortante por
fricción. El acero de presfuerzo cumplirá con las normas
NMX-B-292 o NMX-B-293. Para elementos secundarios y
losas apoyadas en su perímetro, se permite el uso de
barras que cumplan con las normas NMX-B-18, NMX-B32 y NMX-B-72. El módulo de elasticidad del acero de
refuerzo ordinario, Es, se supondrá igual a 2x105 MPa
6
(2x10 kg/cm²) y el de torones de preesfuerzo se
supondrá de 1.9x105 MPa (1.9x106 kg/cm²). En el cálculo
de resistencias se usarán los esfuerzos de fluencia
mínimos, fy, establecidos en las normas citadas.
32. El refuerzo debe estar limpio, libre de lodo, aceite,
óxido excesivo, escamas, pintura, etc. La oxidación
puede admitirse si cepillando a mano con cepillo de
alambre un espécimen se conservan las dimensiones
mínimas y el peso.
33. El acero de refuerzo y especialmente el de
preesfuerzo y los ductos de postensado deben
protegerse durante su transporte, manejo y
almacenamiento. Inmediatamente antes de su colocación
se revisará que el acero no haya sufrido algún daño, en
especial, después de un largo período de
almacenamiento. Si se juzga necesario, se realizarán
ensayes mecánicos en el acero dudoso. Al efectuar el
colado, el acero debe estar exento de grasa, aceites,
pinturas, polvo, tierra, oxidación excesiva y cualquier
sustancia que reduzca su adherencia con el concreto. A
excepción del uso de recubrimientos epóxicos y lodos
bentoníticos. No deben doblarse barras parcialmente
ahogadas en concreto, a menos que se tomen las
medidas para evitar que se dañe el concreto vecino.
Todos los dobleces se harán en frío, excepto cuando el
Perito Responsable permita calentamiento, pero no se
admitirá que la temperatura del acero se eleve a más de
la que corresponde a un color rojo café
(aproximadamente 803 K [530 ºc]) si no está tratado en
frío, ni a más de 673 K (400 ºc) en caso contrario. No se
permitirá que el enfriamiento sea rápido. Los tendones de
preesfuerzo que presenten algún doblez concentrado no
se deben tratar de enderezar, sino que se rechazarán. El
acero debe sujetarse en su sitio con amarres de alambre,
silletas y separadores, de resistencia, rigidez y en
número suficiente para impedir movimientos durante el
colado. Los paquetes de barras deben amarrarse
firmemente con alambre. Antes de colar debe
comprobarse que todo el acero se ha colocado en su sitio
de acuerdo con los planos estructurales y que se
encuentra correctamente sujeto.
34. El acero de refuerzo ordinario se someterá al control
que se refiere al cumplimiento de la norma NMX-B-2541987. Para cada tipo de barras (laminadas en caliente o
torcidas en frío) se procederá como sigue: de cada lote
de 100 kN (10 ton.) o fracción, formado por barras de una
misma marca, un mismo grado, un mismo diámetro y
correspondientes a una misma remesa de cada
proveedor, se tomará un espécimen para ensaye de
tensión y uno para ensaye de doblado, que no sean de
los extremos de barras completas; las corrugaciones se
podrán revisar en uno de dichos especímenes. Si algún
espécimen presenta defectos superficiales, puede
descartarse y sustituirse por otro. Cada lote definido
según el párrafo anterior debe quedar perfectamente
identificado y no se utilizará en tanto no se acepte su
empleo con base en resultados de los ensayes. Éstos se
realizarán de acuerdo con la norma NMX-B-172-1988. Si
algún espécimen no cumple con los requisitos de tensión
especificados en la norma, se permitirá repetir la prueba
como se señala en la misma norma.
En sustitución del control de obra, el Perito Responsable,
podrá admitir la garantía escrita del fabricante de que el
acero cumple con la norma correspondiente; en su caso,
definirá la forma de revisar que se cumplan los requisitos
adicionales para el acero. Todo el acero de refuerzo, así
116
como las placas y, en general, todas las preparaciones
metálicas que queden expuestas a la intemperie con el
fin de realizar extensiones a la construcción en el futuro,
deberán protegerse contra la corrosión y contra el ataque
de agentes externos.
35. Los procedimientos de doblado de varillas se harán
en frío.
a) Cuando se permita calentamiento, la temperatura
no deberá exceder de 803 K (530ºc) color rojo café,
(673 K [400ºc] para aceros torcidos o estirados en
frío), comprobando con lápices de fusión (crayones
térmicos).
b) El enfriamiento se hará en forma natural, sólo en
forma artificial cuando la temperatura haya
descendido a 475 K (200ºc).
c) Debe evitarse el uso de grifas. Siempre se debe
utilizar dobladora.
36. Existirán 3 tipos de ganchos: a) doblez de 180° más
extensión de 4 diámetros de la varilla pero no menor de
6.5cm; b) doblez de 90° más extensión de 12 diámetros
de la varilla; c) en estribos y anillos, doblez de 90°+ 20
diámetros o de 135° más extensión de 10 diámetros.
Para ganchos estándar, excepto en estribos y anillos,
medido en el interior de la vuelta.
37. No deberá reenderezarse ni redoblarse el acero de
refuerzo. Las varillas parcialmente ahogadas pueden
doblarse, calentándolas de 873 K (600ºc) a 926 K (650ºc)
y doblándolas con máxima precaución. Si el área de
doblado esta a 15 cm del concreto, aplicar aislamiento de
protección. Tomar un espécimen para ensaye tensión por
cada 10 ton. O fracción de misma marca, grado, diámetro
y remesa de cada proveedor, que no sea extremo,
identificando los lotes.
38. La separación libre mínima entre varillas paralelas en
una capa: 1diam. o 1.5 veces el tamaño máximo del
agregado, el que sea mayor.
a) En columnas el espaciamiento libre = 1.5 diam.,
1.5 veces tamaño máximo del agregado o 4cm.
b) En dos o más capas, las varillas de cada capa
deberán colocarse en el mismo plano vertical con
distancia mínima libre entre capas de 2 cm.
c) En muros y losas (excepto nervadas): 3 veces el
espesor del elemento o 45 cm, el que sea menor. En
columnas = 35 cm.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
39. El espaciamiento máximo de anillos en vigas será de
d/2 (d = peralte) y cerca de los extremos = d/4 (de 1/5 a
1/4 del claro). Los recubrimientos mínimos en concretos
colados sobre el suelo (sin plantillas de concreto pobre) =
5 cm; expuestos al terreno o al intemperismo, fachadas
aparentes = 3 cm; en vigas y columnas = 1diam.; en
paquetes = 1cm o 1.5 veces el diámetro de la barra más
gruesa.
40. La colocación del refuerzo debe hacerse con
precisión. Los calzos o pollos deben ser de fierro,
concreto o plástico. Estos últimos de suficiente
resistencia para que no se deformen. No usar madera o
gravas. Asegurar los soportes contra desplazamientos.
41. Requisitos y control del concreto endurecido. La
calidad del concreto endurecido se verificará mediante
pruebas de resistencia a compresión en cilindros
elaborados, curados y probados de acuerdo con las
normas NMX-C-160-ONNCCE-2004 y NMX-C-083ONNCCE-2002, en un laboratorio acreditado por la
entidad de acreditación reconocida en los términos de la
Ley Federal sobre Metrología y Normalización. Cuando la
mezcla de concreto se diseñe para obtener la resistencia
especificada a 14 días, las pruebas anteriores se
efectuarán a esta edad; de lo contrario, las pruebas
deberán efectuarse a los 28 días de edad. Para verificar
la resistencia a compresión de concreto de las mismas
características y nivel de resistencia, se tomará como
mínimo una muestra por cada día de colado, pero al
menos una por cada 40 m³; sin embargo, si el concreto
se emplea para el colado de columnas, se tomará por lo
menos una muestra por cada 10 m³. De cada muestra se
elaborarán y ensayarán al menos dos cilindros; se
entenderá por resistencia de una muestra el promedio de
las resistencias de los cilindros que se elaboren de ella.
Para el concreto clase 1, se admitirá que la resistencia
del concreto cumple con la resistencia especificada, fc’, si
ninguna muestra da una resistencia inferior a fc’ –3.5MPa
( fc’ –35 kg/cm²), y, además, si ningún promedio de
resistencias de todos los conjuntos de tres muestras
consecutivas, pertenecientes o no al mismo día de
colado, es menor que fc’. Para el concreto clase 2, se
admitirá que la resistencia del concreto cumple con la
resistencia especificada, fc’, si ninguna muestra da una
resistencia inferior a fc’ –5 MPa ( fc’ –50 kg/cm²), y,
además, si ningún promedio de resistencias de todos los
conjuntos de tres muestras consecutivas, pertenecientes
o no al mismo día de colado, es menor que fc’ –1.7MPa
(fc’ –17 kg/cm²). Si sólo se cuenta con dos muestras, el
promedio de las resistencias de ambas no será inferior a
fc’ –1.3 MPa ( fc’ –13 kg/cm²) para concretos clase 1, ni a
fc’ –2.8 MPa ( fc’ –28 kg/cm²), para clase 2, además de
cumplir con el respectivo requisito concerniente a las
muestras tomadas una por una. Cuando el concreto no
cumpla con el requisito de resistencia, el Perito
Responsable, cuando no se requiera, tomará las medidas
conducentes para garantizar la seguridad de la
estructura. Como factores de juicio deben considerarse,
entre otros, el tipo de elemento en que no se alcanzó el
nivel de resistencia especificado, el monto del déficit de
resistencia y el número de muestras o grupos de ellas
que no cumplieron. En ocasiones debe revisarse el
proyecto estructural a fin de considerar la posibilidad de
que la resistencia que se obtuvo sea suficiente. Si
subsiste la duda sobre la seguridad de la estructura se
podrán extraer y ensayar corazones, de acuerdo con la
norma NMX-C-169-ONNCCE, del concreto en la zona
representada por los cilindros que no cumplieron. Se
probarán tres corazones por cada incumplimiento con la
calidad especificada. La humedad de los corazones al
probarse debe ser representativa de la que tenga la
estructura en condiciones de servicio. El concreto clase 1
representado por los corazones se considerará adecuado
si el promedio de las resistencias de los tres corazones
es mayor o igual que 0.85fc’ y la resistencia de ningún
corazón es menor que 0.75fc’. El concreto clase 2
representado por los corazones se considerará adecuado
si el promedio de las resistencias de los tres corazones
es mayor o igual que 0.80fc’ y la resistencia de ningún
corazón es menor que 0.70fc’. Para comprobar que los
especímenes se extrajeron y ensayaron correctamente,
se permite probar nuevos corazones de las zonas
representadas por aquellos que hayan dado resistencias
erráticas. Si la resistencia de los corazones ensayados
no cumple con el criterio de aceptación que se ha
descrito, el responsable en cuestión nuevamente debe
decidir a su juicio y responsabilidad las medidas que han
de tomarse. Puede optar por reforzar la estructura hasta
lograr la resistencia necesaria, o recurrir a realizar
pruebas de carga en elementos no destinados a resistir
sismo, u ordenar la demolición de la zona de resistencia
escasa, etc. Si el concreto se compra ya elaborado, en el
contrato de compraventa se establecerán, de común
acuerdo entre el fabricante y el consumidor, las
responsabilidades del fabricante en caso de que el
concreto no cumpla con el requisito de resistencia.
117
42. Tolerancias. Las tolerancias que a continuación se
señalan rigen con respecto a los planos constructivos del
proyecto:
a) Las dimensiones de la sección transversal de un
miembro estructural no excederán de las del proyecto
en más de 10 mm + 0.05x, siendo x la dimensión en
la dirección en que se considera la tolerancia, ni
serán menores que las del proyecto en más de 3 mm
+0.03x.
b) El espesor de zapatas, losas, muros y cascarones
no excederá al de proyecto en más de 5 mm + 0.05t,
siendo t el espesor del elemento, ni será menor que
éste en más de 3 mm + 0.03t.
c) En cada planta se trazarán los ejes de acuerdo con
el proyecto ajustado, con tolerancia de un centímetro.
Toda columna quedará desplantada de tal manera
que su eje no diste, del que se ha trazado, más de 10
mm más dos por ciento de la dimensión transversal
de la columna paralela a la desviación. Además, no
deberá excederse esta cantidad en la desviación del
eje de la columna, con respecto al de la columna
inmediata inferior.
d) La tolerancia en desplomo de una columna será de
5 mm más dos por ciento de la dimensión de la
sección transversal de la columna paralela a la
desviación.
e) El eje centroidal de una columna no deberá distar
de la recta que une los centroides de las secciones
extremas, más de 5 mm más uno por ciento de la
dimensión de la columna paralela a la desviación.
f) La posición de los ejes de vigas con respecto a los
de las columnas donde apoyan no deberá diferir de la
de proyecto en más de 10 mm más dos por ciento de
la dimensión de la columna paralela a la desviación,
ni más de 10 mm más dos por ciento del ancho de la
viga.
g) El eje centroidal de una viga no deberá distar de la
recta que une los centroides de las secciones
extremas, más de 10 mm más dos por ciento de la
dimensión de la viga paralela a la desviación.
h) En ningún punto la distancia medida verticalmente
entre losas de pisos consecutivos, diferirá de la de
proyecto más de 30 mm, ni la inclinación de una losa
respecto a la de proyecto más de uno por ciento.
i) La desviación angular de una línea de cualquier
sección transversal de un miembro respecto a la
dirección que dicha línea tendría según el proyecto,
no excederá de cuatro por ciento.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
j) La localización de dobleces y cortes de barras
longitudinales no debe diferir en más de 10 mm +
0.01L de la señalada en el proyecto, siendo L el claro,
excepto en extremos discontinuos de miembros
donde la tolerancia será de 10 mm.
k) La posición de refuerzo de losas, zapatas, muros,
cascarones, arcos y vigas será tal que no reduzca el
peralte efectivo, d, en más de 3 mm+ 0.03d ni
reduzca el recubrimiento en más de 5 mm. En
columnas rige la misma tolerancia, pero referida a la
mínima dimensión de la sección transversal, en vez
del peralte efectivo. La separación entre barras no
diferirá de la de proyecto más de 10 mm más diez por
ciento de dicha separación, pero en todo caso
respetando el número de barras y su diámetro, y de
tal manera que permita pasar al agregado grueso.
l) Las dimensiones del refuerzo transversal de vigas y
columnas, medidas según el eje de dicho refuerzo, no
excederá a las del proyecto en más de 10 mm
+0.05x, siendo x la dimensión en la dirección en que
se considera la tolerancia, ni serán menores que las
de proyecto en más de 3 mm + 0.03x.
m) La separación del refuerzo transversal de vigas y
columnas no diferirá de la de proyecto más de 10 mm
más diez por ciento de dicha separación, respetando
el número de elementos de refuerzo y su diámetro.
n) Si un miembro estructural no es claramente
clasificable como columna o viga, se aplicarán las
tolerancias relativas a columnas, con las
adaptaciones que procedan si el miembro en cuestión
puede verse sometido a compresión axial apreciable,
y las correspondientes a trabes en caso contrario. En
cascarones rigen las tolerancias relativas a losas, con
las adaptaciones que procedan. Por razones ajenas
al comportamiento estructural, tales como aspecto, o
colocación de acabados, puede ser necesario
imponer tolerancias más estrictas que las arriba
prescritas.
De no satisfacerse cualquiera de las tolerancias
especificadas, el Perito Responsable, estudiará las
consecuencias que de ahí deriven y tomará las medidas
pertinentes para garantizar la estabilidad y correcto
funcionamiento de la estructura.
118
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Capítulo VI
DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE
ACERO Y MADERA
ESTRUCTURAS DE ACERO
El acero estructural es una aleación de hierro y carbono
(éste último entre 0.5 y 1.5%). Lo que proporciona
cualidades de maleabilidad, dureza y resistencia.
Evidentemente estamos hablando de un material
compuesto por dos elementos; el hierro es
aceptablemente resistente pero muy dúctil, y el carbono
es muy resistente pero nada dúctil, por lo cual entre más
carbono tenga el acero, será más resistente, pero menos
dúctil y viceversa. Por lo cual el acero más comercial es
el denominado A-36 en EEUU (NMX-B-234 en México)
cuyo límite de fluencia es de 2530 kg/cm2, que es una
resistencia muy buena en términos de la excelente
ductilidad lograda, por lo cual también es el tipo de acero
más recomendado.
10. Tubos de acero al carbono para usos estructurales,
formados en caliente, con o sin costura, norma MNX-B200 (ASTM A501)
Tipos de aceros y su resistencia
TIPO DE ACERO
Norma
Norma
fy
NOM
ASTM
(kg/cm2)
Al carbono
B-234
A-36
2,530
B-99
A529
2,950
Alta resistencia-baja
B-284
A-441
2,810
aleación
2,950
3,235
3,515
Resistencia a la
B-282
A-242
2,950
corrosión-alta
3,235
resistencia-baja
3,515
aleación
Debido a las características de alta resistencia, el
acero se utiliza como estructura en edificaciones con
condiciones severas de carga y forma, grandes alturas,
grandes claros. Pocos puntos de apoyo, voladizos y
dificultades de ejecución.
Tipos de Acero estructural
Las estructuras de acero presentan las siguientes
características o ventajas:
1. Acero estructural, norma NMX-B-254 (ASTM A36)
2. Acero estructural con límite de fluencia mínimo de 290
MPa (2 950 kg/cm²), norma NMX.B-99 (ASTM A529)
3. Acero estructural de baja aleación y alta resistencia,
norma NMX-B-282 (ASTM A242)
4. Acero estructural de alta resistencia y baja aleación al
manganeso–vanadio, norma NMX-B-284 (ASTM A572)
5. Acero estructural de alta resistencia y baja aleación de
hasta 100 mm de grueso, con límite de fluencia mínimo
de 345 MPa (3 515 kg/cm²), norma (ASTM A588)
6. Perfiles de acero de alta resistencia y baja aleación, de
calidad estructural, producidos por un proceso de
tratamiento térmico especial, norma (ASTM A913)
7. Acero estructural para perfiles H laminados para uso
en edificios, norma (ASTM A992)
8. Tubos de acero, con o sin costura, norma NMX-B-177
(ASTM A53, grado B)
9. Tubos de acero al carbono para usos estructurales,
formados en frío, con o sin costura, de sección circular o
de otras formas, norma NMX-B-199 (ASTM A500)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Grandes alturas
Grandes claros
Máximo aprovechamiento del área
Reducido peso de la estructura en relación con su
capacidad de carga
Tiempo reducido de ejecución al utilizar elementos
prefabricados
Facilidad de montaje
Posibilidad de desmontar la estructura
Ventajas y desventajas
Ventajas
Alta resistencia
Alta rigidez
Alta ductilidad
Relación: formaresistencia
Muy bajo coeficiente de
variabilidad de su
resistencia
Desventajas
Lograr continuidad
Juntas
Corrosión
Poca resistencia al fuego
Alto costo inicial
Mano de obra especializada
119
Mantenimiento continuo
En México entre los elementos laminados se fabrican
ángulos de lados iguales (LI), ángulo de lados desiguales
(LD), perfil C estándar (CE), perfil I estándar (IE), perfil I
rectangular (IR), perfil T rectangular (TR), redondo sólido
liso (OS), tubo circular (OC), tubo cuadrado o rectangular
(OR), perfil C formado en frío (CF), perfil Z formado en
frío (ZF).
Tipos de Remaches
Remaches de acero estructural, norma ASTM A502; esta
especificación incluye tres grados:
Grado 1 Remaches de acero al carbón para uso
general;
Grado 2 Remaches de acero al carbono–manganeso,
para uso con aceros; y
Grado 3 Semejante al Grado 2, pero con resistencia
a la corrosión mejorada.
Tipos de Tornillos
1. Sujetadores de acero al carbono con rosca estándar
exterior (Fu = 414 MPa; 4 220 kg/cm²), norma NMX-H118 (ASTM A307)
2. Tornillos de alta resistencia para conexiones entre
elementos de acero estructural [Fu = 830 MPa (8 440
kg/cm²) para diámetros de 13 a 25 mm ( 1/2 a 1 pulg.),
Fu = 725 MPa (7 380 kg/cm²) para diámetros de 29 y 38
mm (1 1/8 y 1 1/2 pulg.)], norma NMX-H-124 (ASTM
A325)
3. Tornillos de acero aleado tratado térmicamente para
conexiones entre elementos de acero estructural (Fu = 1
035 MPa, 10 550 kg/cm²), norma NMX-H-123 (ASTM
A490)
Tipos de Metales de aportación y fundentes para
soldadura
1. Electrodos de acero al carbono, recubiertos, para
soldadura por arco eléctrico, norma NMX-H-77 (AWS
A5.1).
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
2. Electrodos de acero de baja aleación, recubiertos, para
soldadura por arco eléctrico, norma NMX-H-86 (AWS
A5.5).
3. Electrodos desnudos de acero al carbono y fundentes
para soldadura por arco eléctrico sumergido, norma
NMX-H-108 (AWS A5.17).
4. Metales de aporte de acero al carbono para soldadura
por arco eléctrico protegido con gas, norma NMX-H-97
(AWS A5.18).
5. Electrodos de acero al carbono para el proceso de
soldadura por arco eléctrico con electrodo tubular
continuo, norma NMX-H-99 (AWS A5.20).
a) Tensión
Es importante recordar que en el procedimiento para
calcular un elemento estructural según las NTC, lo que
nos interesa es que nuestro elemento estructural soporte
las cargas y/o acciones a que está sometido; por tanto,
primero se tienen que determinar dichas acciones para
que posteriormente se proponga una sección
determinada y por último se revise si resiste dichas
acciones, por lo cual el procedimiento para calcular la
resistencia de elementos ya existentes y elementos
nuevos es el mismo. En las siguientes secciones se
analiza la revisión de los elementos estructurales ante
determinadas cargas y/o acciones. Pero a este análisis
antecede la determinación de dichas fuerzas, así como el
tipo de sistema estructural y secciones estructurales
determinadas.
La tensión es el esfuerzo más puro de todos; es decir,
toda una sección sometida a tensión está funcionando
únicamente a tensión, no existen excentricidades entre el
miembro estructural y la tensión sometida, no existen
relaciones de esbeltez; solamente cuando el elemento es
muy largo y esta en diagonal u horizontal pueden
presentarse pequeñas flexiones por el pandeo del
elemento. Y el acero a diferencia del concreto es el
material que tiene mayor resistencia a la tensión, por lo
cual el uso de elementos de acero a tensión dentro de los
sistemas estructurales comienza cada día a ser más
común, ya sea en pequeños elementos, o como
elementos portantes de todo un edificio.
Los cables de acero tienen una resistencia muy
superior a la de los perfiles normales, por lo cual su
utilización ha pasado del dominio casi exclusivo en
grandes puentes como el famoso Golden Gate de San
Francisco, a estructuras mucho más comunes trayendo
un ahorro considerable en el costo de las estructuras, y
en definitiva un mejor comportamiento estructural.
Notación
At (cm2): área total de la sección transversal de un
miembro; área total de la sección transversal del
elemento de acero estructural de una columna
compuesta.
FR (adimensional): factor de reducción de la resistencia.
2
Fu (Kg/cm ): esfuerzo mínimo especificado de ruptura en
tensión (4080 kg/cm 2 para el acero al carbono más
disponible en México).
Fy (kg/cm2): Valor mínimo garantizado del esfuerzo
correspondiente al límite inferior de fluencia del material
(2530 kg/cm2 para el acero al carbono más disponible en
México).
g (cm): separación transversal centro a centro entre
agujeros (gramil).
h (cm): peralte del alma de una viga o trabe armada
(distancia libre entre patines).
Rt (kg): resistencia de diseño de un elemento estructural
en tensión.
s (cm): separación longitudinal centro a centro entre
agujeros consecutivos (en la dirección en que se
transmiten las fuerzas).
U (adimensional): coeficiente de reducción del área; se
utiliza para calcular el área efectiva.
120
Para determinar la resistencia de diseño (Rt) de un
elemento estructural sujeto a tensión, se revisa la
resistencia de dicha sección ante el estado límite de flujo
plástico en la sección total, es decir, la posibilidad de que
la sección total alcance su resistencia última (flujo
plástico) y fluya; y el estado límite de fractura en la
sección neta, es decir, la posibilidad de que el elemento
estructural se fracture antes de alcanzar su flujo plástico.
Esta fractura es posible cuando el elemento estructural
tiene perforaciones para conexiones atornilladas o
remachadas que reduzcan su sección total y por estas
líneas se pueda fracturar. La resistencia de diseño a
tensión se determina con el valor mínimo de cualquiera
de las siguientes ecuaciones. Para estos casos el área
total (At) y el área efectiva (Ae) se consideran en cm2, el
límite inferior de fluencia (Fy) y el esfuerzo de ruptura en
tensión (Fu) en kg/cm 2, y por tanto Rt se obtiene en kg.
a) Estado límite de flujo plástico en la sección total:
en donde FR = 0.90
Rt  At  Fy  FR
b) Estado límite de fractura en la sección neta:
en donde FR = 0.75
Rt  Ae  Fu  FR
el área efectiva (Ae) se calcula según la siguiente
ecuación:
Ae  U  An
El área neta (An) es la cantidad de sección en una
posible línea de ruptura cuando se restan las
perforaciones; se obtiene sumando los productos del
grueso de cada una de las partes que lo componen por
su ancho neto, que se determina como sigue:
a) En el cálculo del área neta de barras en tensión, el
ancho de los agujeros para pernos o tornillos se toma 1.5
mm mayor que el diámetro nominal del agujero, medido
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
normalmente en la dirección de los esfuerzos. Para
determinar el área neta en cortante se utilizan las
dimensiones nominales de los agujeros.
b) Cuando hay varios agujeros en una normal al eje de la
pieza, el ancho neto de cada parte de la sección se
obtiene restando al ancho total la suma de los anchos de
los agujeros.
c) Cuando los agujeros están dispuestos en una línea
diagonal al eje de la pieza, o en zigzag, se deben
estudiar todas las trayectorias posibles para determinar a
cuál de ellas le corresponde el ancho neto menor, que es
el que se utiliza para calcular el área neta. El ancho neto
de cada una de las partes que forman la sección,
correspondiente a cada trayectoria, se obtiene restando
del ancho total la suma de los anchos de todos los
agujeros que se encuentran sobre la trayectoria escogida
y sumando para cada espacio entre agujeros la cantidad
2
s /4g, donde s es la separación longitudinal centro a
centro entre los dos agujeros considerados (paso) y g la
separación transversal centro entre ellos (gramil).
Los valores que se asignarán a U serán los siguientes:
a) Secciones laminadas H o I con patines de ancho no
menor que 2/3 del peralte y tés estructurales obtenidas
de ellas, conectadas por patines; cuando la conexión es
remachada o atornillada debe haber tres o más
conectores en cada línea en la dirección de los
esfuerzos: U = 0.90.
b) Secciones laminadas H o I que no cumplan las
condiciones del párrafo anterior, tés estructurales
obtenidas de ellas y todas las secciones resultantes
incluidas las que están formadas por varias placas;
cuando la conexión es remachada o atornillada debe
haber tres o más conectores en cada línea en la
dirección de los esfuerzos: U = 0.85.
c) Todos los miembros con conexiones remachadas o
atornilladas que tengan sólo dos conectores en cada
línea en la dirección de los esfuerzos: U = 0.75.
d) Ángulos conectados por una sola ala con cuatro a más
conectores en la dirección de los esfuerzos: U = 0.8
e) Ángulos conectados por una sola ala con menos de
cuatro conectores en dirección de los esfuerzos: U = 0.6
f) Conexiones soldadas:
En donde:
U = 1.0 si l 2d
I = longitud de la soldadura
U = 0.87 si 2d>1>1.5d
d = ancho de la placa
U = 0.75 si 1.5d>1d
Secuela de cálculo:
1) Determinación del coeficiente de reducción de área (U)
según las características de la sección y sus conexiones.
2) Determinación del área neta (An) de la sección,
aumentando 1.5 mm al diámetro nominal de las
perforaciones y estudiando las trayectorias con posibles
fallas.
3) Determinación del área neta efectiva (Ae) según la
ecuación:
Ae  U  An
4) Determinación de la resistencia de diseño (Rt),
tomando el menor valor de las ecuaciones:
Rt  Ae  Fu  FR
Rt  At  Fy  FR
DEFLEXIÓN EN ELEMENTOS A TENSIÓN
Teóricamente la tensión es un esfuerzo unitario a lo largo
de un elemento estructural, pero en la realiad si el
elemento es muy esbelto (con la excepción de los cables
cuya esbeltez se considera infinita) puede presentar una
catenaria, momento y/o pandeo. Para que esto no
seceda es recomendable que el radio del elemento
respete:
rmin 
I
L

Ag 300
En donde:
r (cm): radio del elemento
I (cm4): momento de inercia
Ag (cm2): área del elemento
Ejemplo 1.
Calcular la resistencia de diseño de una barra sometida a
tensión. La sección de la barra es de 3.5 x 15 cm y está
conectada a otro miembro estructural por dos tornillos en
la normal al eje de la pieza. Las perforaciones son de 0.7
cm cada una.
Datos:
Fy = 2530 kg/cm2
Fu = 4080 kg/cm2
b = 3.5 cm
h = 15 cm
Paso 1. Determinación de coeficiente de reducción de
área (U).
- Se selecciona U = 0.75 ya que cumple con el apartado
c por tener sólo dos conectores en cada línea en
dirección de los esfuerzos.
Paso 2. Determinación del área neta (An)
Ancho de los agujeros = 0.7 + 0.015 cm = 0.715
121
0.715 x 2 agujeros = 1.43 cm
An  3.5  15cm   1.43  3.5  47.49cm 2
Paso 3. Determinación del área neta efectiva (Ae)
Ae  U  An
Ae  0.75  47.49  35.61cm 2
Paso 4. Determinación de la resistencia de diseño (Rt)
a) Estado límite de flujo plástico en la sección total.
Rt  At  F y  FR
Rt  52.5  2530  0.90  119,542.5kg
b) Estado límite de fractura en la sección neta.
Rt  Ae  Fu  FR
Rt  36.61  4080  0.75  112,026.6kg
Se selecciona Rt = 108,874.8 kg
Ejemplo 2.
La barra de una armadura está sometida a una fuerza
tensionante de 95 toneladas; y se requiere saber si una
barra de acero de 3.3 cm de grueso por 13 cm de ancho
soportará dicha carga. La barra está conectada por tres
pernos como se aprecia en la ilustración. Las
perforaciones son de 0.73 cm. de diámetro.
Datos:
2
Fy = 2530 kg/cm
Fu = 4080 kg/cm2
b = 3.3 cm
h = 13 cm
s = 3 cm
g = 0.9 cm
Paso 1. Determinación del coeficiente de reducción de
área (U)
Se selecciona U = 0.85 ya que se cumple con el apartado
b al haber tres o más agujeros.
Paso 2. Determinación del área neta (An)
Ancho de agujeros = 0.73 + 0.015 = 0.745 cm
- Trayectoria A-C
Ancho neto = 13 - (0.745 x 2) = 11.51 cm
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
An  1151
.  3.3  37.98cm2
- Trayectoria A-B-C
Ancho neto = 13 - (0.745 x 3) = 10.76 cm
2
2
s
3
9


 2.5  2  5cm
4 g 4  0.9 36
.
Ancho neto = 10.76 + 5 = 15.76 cm
An  15.76  3.3  52.0cm 2
-Trayectoria D-C
Ancho neto = 13 - 0.745 = 12.25 cm
 (adimensional): parámetro de esbeltez de una
columna
K (adimensional): factor de longitud efectiva de
columnas (Ver anexo)
Kl/r (adimensional): relación de esbeltez de una
columna
(Kl/r)´c (adimensional): relación de esbeltez de
columnas comprimidas axialmente que separan los
intervalos de pandeo elástico e inelástico
l (cm): longitud libre de una columna
r (cm): radio de giro
E (kg/cm2): módulo de elasticidad del acero (2,040,000)
Fórmulas
An  12.25  3.3  40.44 cm2
Ae  0.85  37.98cm 2  32.98cm 2
1. Revisión de la relación Kl/r
Según el artículo 2.2.3 de las Normas Técnicas
Complementarias para el Diseño de Estructuras
Metálicas, la relación Kl/r < 200, de no ser así, se tiene
que modificar el tipo de perfil ya que es demasiado
esbelto y se puede presentar pandeo local y el único
pandeo permitido es el del estado límite de pandeo por
flexión.
Paso 4. Determinación de la resistencia de diseño (Rt)
a) Estado límite de flujo plástico en la sección total.
2.
a)
Se selecciona An = 37.98 cm
2
Paso 3. Determinación del área neta efectiva (Ae)
Ae  U  An
Rt  At  F y  FR
Rt  42.9  2530  0.90  97683 .3kg
b) Estado límite de fractura en la sección neta
Rt  Ae  Fu  FR
Rt  32.28  4080  0.75  98776.8kg
Se selecciona 97,683.3 kg > 95,000 kg. por tanto sí pasa.
b) Compresión
Notación
Rc (kg): resistencia a la compresión
2
At (cm ): área total de la sección transversal
n (adimensional): coeficiente para determinar la
resistencia de miembros comprimidos
Revisión de la resistencia
Miembros de sección transversal H (IR), I (IE) o
rectangular hueca (OR).

fy
Rc  
 1   2n  0.15 2n



  At  Fr
1
n 

demás opciones que no entren en las descripciones
anteriores, n = 1.0
b)
Miembros cuya sección transversal tiene una forma
cualquiera no incluida en a).
si Kl/r > (Kl/r)’c
Rc 
20,120,000
 At  Fr
Kl rx 2
En donde: Fr = 0.85

Kl rx 2 
Rc

At

Fy

1

 Fr

si Kl/r < (Kl/r)’c
2 
 2   Kl rx ' c 
En donde:
(Kl/r)’c =
6340
Fy
MÉTODO ALTERNATIVO
Una forma rápida (para predimensionar) de obtener la
resistencia de un perfil a compresión, puede obtenerse
con la siguiente ecuación:
Rc 
Fy  A
K
En donde:
Fr = 0.9

Kl
fy

2
rx
 E
n es un coeficiente adimensional, que tiene alguno de los
siguientes valores:
Columnas de sección transversal H (IR) o I (IE) hechas
con tres placas soldadas obtenidas cortándolas con
oxígeno de placas más anchas, y columnas de sección
transversal rectangular hueca (OR), hechas con cuatro
placas soldadas, n = 1.4
Columnas de sección transversal H (IR) o I (IR), hechas
con tras placas laminadas soldadas entre sí, y todas las
122
En las imágenes superiores se puede apreciar un criterio de
placas de continuidad para tramos de columnas.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
funcionamiento de las armaduras se da cuando las
cargas se aplican en los nodos. Cuando no es así (ej.
carga distribuida) se presentan pequeños momentos
flexionantes en las barras, que por sus dimensiones son
bastante pequeños y a final de cuentas tienden a repartir
estos esfuerzos a la armadura en su totalidad como
tensión y compresión.
Ejemplo
Calcular la resistencia a compresión de un miembro LI
102 x 19, de una armadura. La conexión es soldada, y su
longitud es de 3 mts.
Datos
Fy= 2,530 kg/cm2
At= 35.10 cm2
l= 300 cm
E= 2,040,000 kg/cm2
r= 3.02 cm
K= 1.0
n= 1.0
Articulación vertical atornillada
y soldada de una columna que
cambia de sección.
Articulación vertical atornillada
y soldada de una columna de
acero de la misma sección.
1. Revisión de la relación Kl/r
Kl/r= 99.33 <200 Por lo tanto sí pasa el artículo 2.2.3 de
las NTC.
2.
c) Armaduras
Revisión de la resistencia
(Kl/r)´c=
6300
= 12,604
Fy
Kl/r= 99.33 < (Kl/r)´c Por lo tanto se utiliza:

Kl rx 2   Fr
Rc  At  Fy  1 
2
 2  Kl rx ' c 
La revisión sísmica de
columnas a compresión se
puede realizar con la
ecuación:
Articulación vertical atornillada
de una columna de acero de la
misma sección.

= 52,007.47 kg
Ps  L3
3 E  Ix
Articulación vertical atornillada
de una columna de acero de
la misma sección.
Las armaduras son elementos estructurales que tienen
un funcionamiento estructural óptimo, en vista de que
todos sus miembros están sujetos a tensión o a
compresión. Hasta hace poco las armaduras eran
utilizadas casi únicamente en instalaciones industriales,
estaciones de transporte e instalaciones deportivas, pero
en la actualidad su uso se comienza a popularizar en casi
todo tipo de edificios por las grandes ventajas
estructurales que ofrece. Ya hemos visto cómo la tensión
es un esfuerzo casi puro que permite el diseño de
elementos muy esbeltos. Por otro lado la compresión
también es un esfuerzo bastante favorable, de no ser por
las excentricidades en la aplicación de la carga y la
esbeltez del miembro que causan pandeo; pero la
esbeltez depende de la relación ancho-largo, y como los
miembros en una armadura son muy cortos este esfuerzo
trabaja bastante bien. En cualquier caso hablamos de
tensión y compresión, por esta razón el mejor
123
En los grágicos superiores, podemos apreciar el mal
comportamiento sísmico de los contraventeos en K. Por lo cual
no es recomendable su uso. En general, los contraventeos
deben empezar y terminar en los nodos columna-viga.
DISEÑO PRELIMINAR DE ARMADURAS
Vmax 
w L
 Re acción
2
M max 
w  L2
 Momento
8
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
H max 
Esfuerzo en la diagonal
extrema
N max
ARMADURAS TRIDIMENSIONALES
w  L2
 Tensión  cuerda  inf .
8 d
 V 2  H 2  Comp.  cuerda  sup .
MÉTODO ALTERNATIVO
1. Datos necesarios
a. Carga por metro lineal (w) en kg
b. Definición geométrica de la armadura (L,H, a y b)
De  1.5
wL b

2 H
El cálculo de los miembros individuales de una armadura
tridimensional se puede calcular fácilmente con las
ecuaciones de tensión y compresión, ya que estos son
los esfuerzos a que están sometidas. Para fines del
diseño, el peralte puede encontrar con las siguientes
ecuaciones:
1. Peralte
Cuando las celdas son triangulares d  0 .816  L
Cuando las celdas son cuadradas: d  0 .707  L
En donde:
d (cm): Peralte de la armadura
L (cm) largo de carda cuerda inferior
2. Peralte
H 
L
L
a
15
20
Se suele utilizar el primer caso si
la carga no es mu elevada y
viceversa
3. Esfuerzos en los elementos:
Tensión en la cuerda inferior
y compresión en la cuerda
superior
Esfuerzo en el montante mas
solicitado en el extremo
wL2
Ti  C S  1.5
8H
Q d  1.5
wL
2
d) Flexión
124
Notación
L (cm): distancia entre puntos del patín comprimido de
una viga soportada lateralmente.
Lu (cm): longitud máxima no soportada lateralmente,
para la que un miembro en flexión puede desarrollar
todavía el momento plástico.
Mr (kg-cm): resistencia de diseño a flexión.
Fr (adimensional): factor de reducción de la resistencia
(0.9)
3
Z (cm ): módulo de sección plástico (manual)
fy (kg/cm 2): esfuerzo de fluencia del acero (2530)
S (cm3): módulo de sección elástico (manual)
Qs (adimensional): factor de reducción de la resistencia
en compresión de elementos planos no atiesados (1.0)
Se (cm3): módulo de sección elástico efectivo de
secciones cuyo patín comprimido es tipo 4 y está
compuesto por elementos planos atiesados
b ó bf (cm): base de la sección (manual)
t ó tf (cm): grueso del patín de la sección
Mu (kg-m): momento resistente nominal de una sección
Mp (kg-cm): momento plástico resistente nominal de un
miembro en flexión
J (cm4): constante de torsión de Sain Venant (manual)
I (cm4): momento de inercia (manual)
E (kg/cm2): módulo de elasticidad del acero (2,040,000)
C (adimensional): coeficiente que depende de la ley de
variación del momento flexionante a lo largo del eje de
una barra en flexocompresión (1.0)
Ca (adimensional): coeficiente que interviene en el
cálculo del área de atiezadores en trabes armadas
(secciones I o H= 1.0, y las demás= 0.0)
My (kg-cm): momento correspondiente a la iniciación de
la fluencia en una sección
Xu: coeficiente adimensional
G (kg/cm2): módulo de elasticidad al esfuerzo cortante
del acero (784,000)
d (cm): peralte (manual)
r (cm): radio de giro (manual)
Si el patín tiene el tamaño necesario (Lu) funciona con la losa
y su diagrama de momento sería igual al derecho (soportado
lateralmente), de no ser así funcionan cono el diagrama
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Mp  Z  Fy
izquierdo.
Fórmulas
1. Seleccionar la sección
2.
Calcular Lu y comparar con L para determinar si
es miembro soportado lateralmente o no.
Miembros de sección transversal I (IE)
2    E  Ca
Lu 

 1  1  Xu 2
Xu
GJ
Z  Fy Ca
En donde:
Xu  4.295  C 

GJ
Iy
Miembros de sección H (IR) y todas las demás:
Lu 
6.55 d  ry

 1  1  Xu 2
Xu
t
Mu 
 J  

 E
 Iy  
    Ca
CL
 2.6  L 

 0.28  Mp 
Mr  1.15  Fr  Mp  1 

Mu 

Si Mu < 2/3 Mp
b)
 d  Fy
Xu  7.7  C    
t E
3.
Determinación de la relación b/t para ver que tipo
de sección es (1, 2, 3, o 4. Comparar con valores
de tabla correspondiente)
4.
Cálculo de Momento Resistente
Mr  Fr  Mu
Secciones 3 y 4
Si Mu < 2/3 My
En donde:
My  S  Fy
2
En donde:
Metodo Alternativo
2
 0.28  My 
Mr  1.15  Fr  My  1 

Mu 

A continuación se presenta una forma práctica de
abordar el diseño de una viga de acero, encontrando el
Módulo de Sección Elástico (Sx) y el Momento de Inercia
(Ix) necesarios para soportar el Momento máximo.
1. Módulo de Sección Elástico necesario
El momento máximo se
M
100
multiplica por 100 para
S x (min)  max
que este en Kg-cm
Fy


2. Momento de Inercia Necesario
w [kg/m]: peso sobre la viga
5wl 4
L [cm]: largo de la viga
I x (min) 
L E [kg/cm2]: 2,040,000
384 E
I [cm4]

Ψ es la relación claro/flecha con la que se quiere
proyectar la viga, y tiene los siguientes valores:
Si Mu > 2/3 My
Mr  Fr  My
Ψ= 250
Ψ =300
Ψ= 400
Ψ= 500
Para vigas o viguetas de cubierta
Para vigas de hasta 5 mts de claro
Para vigas de más de 5 mts de claro
Para vigas que soportan muros de carga
Miembros soportados lateralmente (si L < Lu)
a)
Secciones 1 y 2
b)
Mr  Fr  Zx  fy
c)
Secciones tipo 3
Mr  Fr  Sx  Fy
Secciones tipo 4
Mr  Fr  Se  fy
En donde:
Se 
2730  t 
480 
 1 

fy  b t   Fy 
Miembros no soportados lateralmente (L < Lu)
a)
Secciones tipo 1 o 2
Si Mu > 2/3 Mp
En donde:
En el gráfico superior podemos apreciar una viga que esta
siendo torsionada (momento torsionante) por otra viga
secundaria que no continua. Para evitar este esfuerzo se recure
a la utilización de atiezadores en el lado discuntinuo, que
minorizan en esfuerzo torsionante, al proporcionar mayor
estabilidad lateral al elemento.
125
En el gráfico superior podemos ver distintas formas de aumentar
la resistencia a flexión de un perfil estándar de acero. En la
opción A se aumenta el peralte hacia el centro de la viga. En la
opción B se colocan placas en los 2/4 intermedios de la trabe,
esto aumenta el área de la sección, pero al no aumentar
significativamente el peralte, no tiene los beneficios de A. En la
opción C, se aumenta el área y la base de los patines, pero al
igual, al no incidir en el peralte los beneficios no son tan buenos.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
En las fotografías superiores podemos apreciar la diferencia
entre un apoyo empotrado y articulado de una viga.
Como no siempre es posible que todas las conexiones lleguen a
el alma de las columnas, la solución radica en colocar
atiezadores de continuidad, como apreciamos en el gráfico
superior. Incluso, aunque aunque las vigas sean continuas,
como en el ejemplo inferior, y por tanto la excentricidad sea 0, es
conveniente colocar los atiezadores de continuidad, para
reforzar la articulación de dichos elementos.
En el ejemplo anterior, podemos ver que las ventajas de los
atiezadores de continuidad son muy grandes, al no forzar los
nodos a mecanismos de falla, y permitir que las columnas
soporten las deformaciones para las cuales están calculadas.
En el gráfico superior, podemos apreciar una viga que se apoya
el el patín de una columna, lo cual provoca un momento de
volteo, debido a la excentricidad de la carga contra el centro de
la columna. En el grafico inferior podemos apreciar que la viga
se apoya en el alma, y por tanto coinciden los centros de carga y
resistencia, llevando la excentricidad a 0.
126
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Notación
Vr (kg): resistencia de diseño a cortante
Vn (kg): resistencia nominal a cortante
t o tf (cm): grueso del alma (manual)
b o tw (cm): peralte del alma (manual)
K (adimensional): coeficiente que interviene en el
cálculo de la resistencia al cortante de almas de vigas y
trabes armadas
Aa (cm2): área del alma de una trabe
a (cm): distancia entre atiezadores transversales en una
trabe
h o T (cm): peralte del alma
xxxxxx
Fórmulas
h
 2000  K Fy
t
d.1) Estado límite de iniciación del pandeo del alma
Vn 
1,845,000  K
 Aa
h t 2
d.2) Estado límite de falla por tensión diagonal
1,845,000  K 
0.870  0.50  Fy 
  Aa
Vn  
 1 

2
2 
2

 h t 

1


a
h

1


a
h





La fórmula para calcular la resistencia a cortante de una
viga es:
En donde Fr= 0.9
Vr  Vn  Fr
Ejemplo
Calcular una viga (flexión y cortante) de 7.5 mts de largo
y un momento flexionante de 91,015.31 kg-m y un
cortante de 48,543.37 kg.
El valor de Vn se tomará del menor de todas las
siguientes circunstancias de falla (si es que se presentan)
Se propone un perfil IR 553 x 150.9
a)
Datos
Consideración de la falla elástica de la sección
En donde:
si
h
 1400  K Fy
t
K  5.0 
5.0
a h 2
Vn  0.66  fy  Aa
e) Cortante
En la ilustración de
la izquierda,
podemos observar
como funciona el
mecanismo de
cortante. En este
caso particular la
viga se conecta a
la columna por
medio de placas,
dejando la mayor
parte del esfuerzo
cortante a los
tornillos y/o pernos
que la contienen,
es una solución
constructivamente
conveniente.
d) si
b)
El alma falla por cortante en el intervalo por
endurecimiento por deformación
si
h
 1600  K Fy
t
c)
922  Fy  K
Vn 
 Aa
ht
La falla es por plastificación del alma por cortante
si
 922  Fy  K
Vn  
ht


h
 2000  K Fy
t

0.870
 1 
2

1  a h 



  0.50  Fy   Aa
2

1  Ca h  

M=9101531 kg-cm
V=48,543.37 kg
c=1
Z=4,143 cm3
G=784,000 kg/cm2
Ca=1
Iy=10,323 cm4
E=2,040,000 kg/cm2
L=B=31.2 cm
t=2.03
Fr=0.9
l=750 cm
a=1
h=54.3 cm
Aa=192.3 cm2
Paso 1. Determinación de la longitud efectiva Lu

fy  Ca  = 0.0026

Xu  4.293 c   Z 


 G  J  Iy 

 2  
Lu  
 Xu
= 264.105

  E  Ca  
2


  G  J    1  1  Xu
 

L
Es soportada lateralmente
Paso 2. Determinación de la relación B/t
B
= 15.36
t
Por lo tanto es sección tipo 1
Paso 3. Cálculo de la resistencia a flexión
127



Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Mr  Fr  Z x  Fy = 9,440,000 kg-cm
 Mu
OK
Paso 4. Resistencia a cortante
 5 
K 5
= 5.026
2 
 a h  
 922  Fy  K  
0.870   0.50  Fy
  1 
Vn  


2
2

ht

1  a h   1  Ca h
 

= 943,700 kg  V OK

   Aa


f) Losacero
La losacero es un sistema de piso muy utilizado junto con
las estructuras metálicas. Los diferentes fabricantes
proporcionan tablas con el dimensionamiento de las
losas acorde al claro y la carga viva a considerar. A
continuación, se presenta una tabla con la que se puede
dimensionar las losas con este sistema.
En este gráfico se muestra el desarrollo constructivo de una
“Losacero”. Primero vemos la forma en que ésta se cierra en los
bordes con ángulos, después la malla electrosoldada que lleva
la capa de compresión, posteriormente los pernos de sujeción
con la trabe de acero, y finalmente la posibilidad de alojar
instalaciones.
g) Conexiones Soldadas
Dimensionamiento de Losacero (C.V. 170 a 350 Kg/m2)
Peso
Claro
Peralte
Sustrato
Capa
Muerto (sin
(mts)
(cm)
(cm)
Compresión
acabados)
(cm)
(kg/m2)
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
5.1
10.2
10.2
10.2
15.2
15.2
20.3
1.3
2.5
3.8
5.1
5.1
7.6
7.6
3.8
7.7
6.4
5.1
10.1
7.6
12.7
Notación:
Rs (kg): Resistencia de la soldadura
Aw (cm2): Área de la soldadura (largo x garganta)
Fu (kg/cm2): Esfuerzo mínimo especificado de ruptura en
tensión (4080 kg/cm 2 para el acero al carbono más
disponible en México).
Para el cálculo de la
resistencia de la soldadura se
considera la trayectoria, o el
plano mas débil del triángulo
que normalmente forma, al
cual se denomina: Garganta
Aw = Largo del tramo de soldadura x Garganta
x  y  G arg anta 
106.8
214.8
199.2
183.6
303.6
273.6
396

Rs  0.3  Fu  Aw  0.75
128

x 2  y 2  0.5
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
h) Conexiones Atornilladas
Las conexiones atornilladas deben ser revidas por tres
diferentes posibilidades de falla: a) cortante, b) tensión y
c) desgarramiento.
1) CORTANTE:
Notación:
Ru (Kg): esfuerzo cortante total en una conexión
Rn (kg): Resistencia de diseño a cortante
 (adim.): Factor de reducción de la resistencia (0.9)
Ag (cm2): Área nominal de cada elemento
n (adim.) número de elementos
fs (kg/cm2) Resistencia a cortante del tornillo
Rn  Ru
d (cm): diámetro del tornillo
t (cm): espesor de la placa
Fu (kg/cm2): esfuerzi de tensión del acero (4,080)
Resistencia de tornillos más comunes (kg/cm2)
Tipo
Resistencia a
Resistencia a
Tensión (Fu)
Cortante (Fs)
A307
3163.5
1687.2
A325
6327
3379.4
A490
7943.9
3374.4
A502
3163.5
1757.5
Ejemplo de conexión de una
trabe en el patín de una columna.
Conexión resuelta con ángulos
atornillados en el alma de la
trabe.
Esta es la misma
solución pero con dos
placas de atizadores en
el interior de la columna
lo cual hace más rígida
la articulación.
Ejemplo de conexión de una
trabe en el alma de una columna.
Conexión resuelta con ángulos
en los patines de la trabe.
El mismo ejemplo pero
solucionado con ángulos
en el alma de la trabe
2) TENSIÓN
Fr= Factor de reducción
de la resistencia (0.9)
3) DESGARRAMIENTO:
Rn    3  d   t   Fu   Fr
Ejemplo de conexión de una
trabe secundaria con una trabe
primaria, por medio de doble
129
atornillados en el alma
de la trabe y en el patín.
i) Chapas de continuidad
Una chapa de
continuidad se dispone
para restituir la
capacidad resistente de
un perfil que necesita ser
cortado por razones
constructivas
En el caso de la figura, la capacidad a flexión del perfil se
mantendrá por dos motivos: a) la compresión, por
contacto entre perfiles debidamente soldados, b) La
tensión, a través de la chapa de continuidad.
En el perfil orifinal la mayor parte de las tracciones van
por los patines. Bastará con que la chapa tenga un área
un algo superior (1.2 a 1.5 veces el area del patin
superior del perfil original.
Ancho y espesor de la chapa (b,e)
Ancho (b): El ancho será un poco
menor que el ancho del patín para
poder soldar. Sabiendo que:
Espesor de soldadura = 0.7 espesor
mínimo a unir.
Espesor (e): Una vez estimado b, el
espesor se obtiene:
be= (1.2 a 1.5) Área del patín
superior.
Los espesores más comerciales son:
12, 15, 18, 20, 25, 30, 35 y 40 mm.
Longitud de la chapa
(L)
L  hwh
Rn     fs  Ag  n 
Pn  Fr   fy  Ag  n 
ángulo atornillado (puede ser
soldado)
Ejemplo de conexión de
una trabe en el patín de
una columna. Conexión
resuelta con ángulos
Donde:
h= canto del perfil a
unir
w= ancho del patín del
perfil que intersecta
Las chapas así obtenidas están del lado de la seguridad,
aunque se pueden obtener ahorros de material en los
perfiles más grandes o cuando el dimensionamiento de
los mismos se realice por criterios de flechas.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
j) Placas en Columnas
El espesor del cartabón
puede calcularse con la
ecuación:
e
d
6
k) Estereoestructuras
Para ello, podemos asimilar el comportamiento de una
Estereoestructura con el de una gran losa cruzada,
calcular sus momentos y los esfuerzos de tensión (T) y
compresión (C) en las cuerdas inferior y posterior.
Notación:
d (mts): peralte efectivo
L (mts): Claro largo de la Estereoestructura
M xy (kg-m): Momento flector máximo
w (kg/ml): carga total (por metro) sobre la estructura
a) Cálculo del peralte
L L
d      0.5
 15 25 
b) Cálculo de Esfuerzos

M XY  0.125  w  L2
Para garantizar la correcta transmisión de esfuerzos de
columnas de acero a sus respectivas bases de concreto
(y de ahí a la cimentación), se debe dimensionar la placa
de base acorde a las siguientes ecuaciones:
Notación:
A (cm2): área de la base de concreto
P (kg): Peso sobre la columna
L (cm): lado de la base de concreto
bf (cm): ancho del patín de la sección
d (cm): peralte de la sección
C XY  T XY 
Para realizar un análisis preciso y riguroso que determine
todos los esfuerzos actuantes en una estructura con un
gran número de barras, y por tanto, un alto grado de
hiperasticidad, nos obligaría a utilizar un sinnúmero de
ecuaciones, para lo cual es imprecidible utilizar un
sofisticado programa de computación. Por tanto,
podemos recurrir a un método aproximado de diseño y
cálculo que nos ayude a llegar a un resultado cientifico y
muy aproximado.
Ecuaciones:
P
0.7  F ´c
n  0.8  bf   0.5
A
El espesor de la placa se
puede obtener con la
siguiente ecuación:
l A
M XY
d
c) Dimensionamiento de elementos
Para el cálculo de las cuerdas superior e inferior, así
como las baras interiores, se tine que comprobar con las
ecuaciones de tensión y compresión que el perfil
propuesto soporte el valor de Cxy y Txy.
l) Normas NMX de Estructuras
de Acero Estructural
NMX-B-026-1972 Método de prueba para determinar, por
penetración rápida, la dureza de los materiales
metálicos.
NMX-B-029-1985 Determinación del módulo de Young, a
temperatura ambiente. Método de prueba.
NMX-B-099-1986 Acero estructural con límite de fluencia
mínimo de 290 MPa y espesor máximo de 12.7 mm.
NMX-B-172-1988 Métodos de prueba mecánicos para
productos de acero.
NMX-B-177-1990 Tubos de acero con o sin costura
negros y galvanizados por inmersión en caliente (240
MPa).
m  0.95  d   0.5
e

m
2.5
Es muy recomendable el uso se cartabones cuando
existe riesgo de sísmo en la zona.
La altura del cartabón (H)
H d m
puede tomarse como:
130
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
NMX-B-198-1991 Tubos de acero con o sin costura para
pilotes.
NMX-B-199-1986 Tubos sin costura o soldados de acero
al carbono, formados en fío, para usos estructurales
(320 MPa).
NMX-B-200-1990 Tubos de acero al carbono, sin costura
o soldados, conformados en caliente para usos
estructurales (250 MPa).
NMX-B-252-1988 Requisitos generales para planchas
perfiles, tablaestacas y barras de acero laminado,
para uso estructural.
NMX-B-254-1987 Acero estructural (250 MPa).
NMX-B-283-1968 Acero estructural de alta resistencia
mecánica y a la corrosión (42 MPa).
NMX-B-284-1987 Acero estructural de alta resistencia y
baja aleación al manganeso vanadio (290, 320 y 345
MPa).
NMX-B-285-1974 Acero estructural de alta resistencia
(420 MPa).
NMX-B-286-1991 Perfiles I y H de tres planchas
soldadas de acero.
NMX-B-353-1988 Piezas coladas de acero de alta
resistencia, para uso estructural.
NMX-B-480-1989 Perfil y plancha de acero de baja
aleación y alta resistencia al manganeso-niobio,
vanadio para uso estructural.
NMX-H-038-1988 Tornillos de acero, cabeza hexagonal
para uso estructural.
NMX-H-039-1994-SCFI Arandelas de acero, templadas,
para uso con tornillos estructurales.
NMX-H-124-1990 Tornillos de alta resistencia para
uniones de acero estructural.
N-CMT-2-04-001/04 Soldadura al arco eléctrico (norma
SCT)
N-CMT-2-07/04 Pinturas para recubrimiento de
estructuras (norma SCT)
m) Normas NMX para Sistemas de Piso
NMX-C-405-1997-ONNCCE Sistemas de vigueta y
bovedilla y componentes prefabricados similares para
losas. Especificaciones y métodos de prueba.
NMX-B-066-1988 Lámina de acero al carbono,
galvanizada por el proceso de inmersión en caliente
para uso estructural.
NMX-B-348-1989 Lámina de acero al carbono laminada
en frío para uso estructural.
n) Especificaciones de estructura metálica
1. Acero Estructural. De no especificarse lo contrario, se
entiende que el acero a utilizarse en toda la estructura
metálica es de tipo A36 según la clasificación de la
American Society for Testing and Materials (ASTM), o
tipo B-254 acorde con la Norma Mexicana (NMX), en
particular la norma NMX-B-254-1987. Por lo cual debe
garantizarse una resistencia mínima a la fluencia (fy) de
250 MPa (2530 kg/cm2).
2. También pueden utilizarse cualquiera de los siguientes
aceros estructurales (aunque no son de uso común):
a) Acero estructural con límite de fluencia mínimo de
290 MPa (2950 kg/cm²), norma NMX-B-99 (ASTM
A529).
b) Acero estructural de baja aleación y alta
resistencia, norma NMX-B-282 (ASTM A242).
c) Acero estructural de alta resistencia y baja aleación
al manganeso– vanadio, norma NMX-B-284 (ASTM
A572).
d) Acero estructural de alta resistencia y baja aleación
de hasta 100 mm de grueso, con límite de fluencia
mínimo de 345 MPa (3515 kg/cm²), norma NMX-B200 (ASTM A588).
e) Perfiles de acero de alta resistencia y baja
aleación, de calidad estructural, producidos por un
proceso de tratamiento térmico especial, norma
ASTM A913.
f) Acero estructural para perfiles H (IR) laminados
para uso en edificios, norma ASTM A992.
g) Tubos de acero, con o sin costura, norma NMX-B177 (ASTM A53, grado B).
h) Tubos de acero al carbono para usos estructurales,
formados en frío, con o sin costura, de sección
circular o de otras formas, norma NMX-B-199 (ASTM
A500).
i) Tubos de acero al carbono para usos estructurales,
formados en caliente, con o sin costura, norma NMXB-200 (ASTM A501).
3. Remaches. Los remaches de acero estructural serán
de la especificación ASTM A502; esta especificación
incluye tres grados:
a) Grado 1 Remaches de acero al carbón para uso
general.
131
b) Grado 2 Remaches de acero al carbono–
manganeso, para uso con aceros.
c) Grado 3 Semejante al Grado 2, pero con
resistencia a la corrosión mejorada.
La certificación del fabricante constituye evidencia
suficiente de conformidad con la norma.
4. Tornillos. Podrán utilizarse:
a) Sujetadores de acero al carbono con rosca
estándar exterior (Fu = 414 MPa; 4220 kg/cm²),
norma NMX-H-118 (ASTM A307).
b) Tornillos de alta resistencia para conexiones entre
elementos de acero estructural [Fu = 830 MPa (8440
kg/cm²) para diámetros de13 a 25 mm (1/2 a 1 pulg.),
Fu = 725 MPa (7380 kg/cm²) para diámetros de 29 y
38 mm (1 1/8 y 1 1/2 pulg.)], norma NMX-H-124
(ASTM A325).
c) Tornillos de acero aleado tratado térmicamente
para conexiones entre elementos de acero estructural
(Fu = 1035 MPa, 10550 kg/cm²), norma NMX-H-123
(ASTM A490).
5. Metales de aportación y fundentes para soldadura.
Pueden utilizarse los siguientes:
a) Electrodos de acero al carbono, recubiertos, para
soldadura por arco eléctrico, norma NMX-H-77 (AWS
A5.1).
b) Electrodos de acero de baja aleación, recubiertos,
para soldadura por arco eléctrico, norma NMX-H-86
(AWS A5.5).
c) Electrodos desnudos de acero al carbono y
fundentes para soldadura por arco eléctrico
sumergido, norma: NMX-H-108 (AWS A5.17).
d) Metales de aporte de acero al carbono para
soldadura por arco eléctrico protegido con gas, norma
NMX-H-97 (AWS A5.18).
e) Electrodos de acero al carbono para el proceso de
soldadura por arco eléctrico con electrodo tubular
continuo, norma NMX-H-99 (AWS A5.20).
6. Conectores de cortante de barra con cabeza para
construcción compuesta. Los conectores de cortante de
barra con cabeza que se utilizan en la construcción
compuesta deben fabricarse con barras que cumplan los
requisitos de ASTM A108, “Especificación para barras de
acero al carbón, terminadas en frío, de calidad estándar,
grados 1010 a 1020”. Las propiedades mecánicas
principales de los conectores son: Fy = 345 MPa (3515
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
kg/cm²) (correspondiente a una deformación permanente
de 0.2 por ciento). Fu = 414 MPa (4220 kg/cm²).
Elongación en 50 mm ó 20 por ciento, mínimo.
Reducción de área 50 por ciento, mínimo.
7. Todo el material que se vaya a utilizar en la estructura
debe enderezarse previamente. El enderezado se hará
de preferencia en frío, por medios mecánicos, pero
puede aplicarse también calor, en zonas locales, la
temperatura de las zonas calentadas, medida por medio
de procedimientos adecuados, no debe sobrepasar 923
K (650ºc).
8. Los cortes pueden hacerse con cizalla, sierra o
soplete; estos últimos se harán de preferencia, a
máquina. Los cortes con soplete requieren un acabado
correcto, libre de rebabas. Se admiten muescas o
depresiones ocasionales de de no más de 5 mm de
profundidad; pero todas las que tengan profundidades
mayores deben eliminarse con esmeril o repararse con
soldadura. Los cortes en ángulo deben hacerse con el
mayor radio posible, nunca menor de 15 mm, para
proporcionar una transición continua y suave. Las
preparaciones de los bordes de piezas en las que se
vaya a depositar soldadura pueden efectuarse con
soplete. Los extremos de piezas que transmiten
compresión por contacto directo tienen que prepararse
adecuadamente por medio de cortes muy cuidadosos,
cepillado u otros medios que proporcionen un acabado
semejante.
9. Las piezas entre las que van a colocar soldaduras de
filete deben ponerse en contacto; cuando esto no sea
posible, su separación no excederá de 5 mm. Si la
separación es de 1.5 mm., o mayor, el tamaño de la
soldadura de filete se aumentará en una cantidad igual a
la separación. La separación entre las superficies en
contacto de juntas traslapadas, así como entre las placas
de juntas a tope y la placa de respaldo, no excederá de
1.5 mm. En zonas de la estructura expuestas a la
intemperie, que no puedan pintarse por el interior, el
ajuste de las juntas que no estén selladas por soldaduras
en toda su longitud será tal que, una vez pintadas, no
pueda introducirse el agua. Las partes que se vayan a
soldar a tope deben alinearse cuidadosamente,
corrigiendo faltas en el alineamiento mayores que 1/10
del grueso de la parte más delgada o que 3 mm. Siempre
que sea posible, las piezas por soldar se colocarán de
manera que la soldadura se deposite en posición plana.
Las partes por soldar se mantendrán en su posición
correcta hasta terminar el proceso de soldadura,
mediante el empleo de pernos, prensas, cuñas, tirantes,
puntales u otros dispositivos adecuados, o por medio de
puntos provisionales de soldadura. En todos los casos se
tendrán en cuenta las deformaciones producidas por la
soldadura durante su colocación. Los puntos
provisionales de soldadura deberán limpiarse y fundirse
completamente con la soldadura definitiva o, de no ser
así, deberán removerse con esmeril hasta emparejar la
superficie original del metal base. Al armar y unir partes
de una estructura o de miembros compuestos se guiarán
procedimientos y secuencias en la colocación de las
soldaduras que eliminen distorsiones innecesarias y
minimicen los esfuerzos de contracción. Cuando sea
posible evitar esfuerzos residuales altos al cerrar
soldaduras en conjuntos rígidos, al cierre se hará en
elementos que trabajen en compresión.
10. Antes de depositar la soldadura deben revisarse los
bordes de las piezas en los que se colocará, para
cerciorarse de que los biseles, holguras, etc., son
correctas y están de acuerdo con los planos. Una vez
realizadas, las uniones soldadas deben inspeccionarse
ocularmente, y se repararan todas las que presenten
defectos aparentes de importancia, tales como tamaño
insuficiente, cráteres o socavación del metal base. Toda
soldadura debe rechazarse, cuando haya dudas. En
juntas importantes de penetración completa, la revisión
se complementará por medio de radiografías y/o ensayes
no destructivos de otros tipos. En cada caso se hará un
número de pruebas no destructivas de soldadura de taller
suficiente para abarcar los diferentes tipos que haya en la
estructura y poderse formar una idea general de su
calidad. En soldaduras de campo se aumentará el
número de pruebas, y éstas se efectuarán en todas las
soladuras de penetración en material de más de 2 cm de
grueso y en un porcentaje elevado de las soldaduras
efectuadas sobre cabeza.
11. Todas las partes de miembros que estén en proceso
de colocación, de remaches o tornillos, se mantendrán en
contacto entre sí rígidamente, por medio de tornillos
provisionales. Durante la colocación de las partes que se
unirán entre sí no debe distorsionarse el metal ni
agrandarse los agujeros. Una concordancia pobre entre
agujeros es motivo de rechazo. Las superficies de partes
unidas con tornillos de alta resistencia que estén en
contacto con la cabeza del tornillo o con la tuerca tendrán
una pendiente no mayor que 1:20 con respecto a un
132
plano normal al eje del tornillo. Si la pendiente es mayor
se utilizarán rondanas para compensar la falta de
paralelismo. Las partes unidas con tornillos de alta
resistencia deberán ajustarse perfectamente, sin que
haya ningún material compresible entre ellas. Todas las
superficies de las juntas, incluyendo las adyacentes a las
rondanas, estarán libres de costras de laminado,
exceptuando las que resistan un cepillado vigoroso
hecho con cepillo de alambre, así como de basura,
escoria, o cualquier otro defecto que impida que las
partes se asienten perfectamente. Las superficies de
contacto en conexiones por fricción estarán libres de
aceite, pintura y otros recubrimientos, excepto en los
casos en que se cuente con información sobre el
comportamiento de conexiones entre partes con
superficies de características especiales. A todos los
tornillos A490 se les dará una tensión de apriete no
menor que 21.7 kN (22.2 ton) por tornillo de 7/8". Esta
tensión se dará por el método de la vuelta de la tuerca o
se revisará por medio de un indicador directo de tensión.
Cuando se emplea el método de la vuelta de la tuerca
para los tornillos A490, cuando se conecte material con
límite de fluencia especificado menor que 274 MPa (2800
kg/cm2), se colocarán rondanas endurecidas bajo la
tuerca y la cabeza del tornillo.
12. Las piezas terminadas en taller deben estar libres de
torceduras y dobleces locales, y sus juntas deben quedar
acabadas correctamente. En miembros que trabajarán en
compresión en la estructura terminada no se permiten
desviaciones, con respecto a la línea recta que une sus
extremos, mayores de un milésimo de la distancia entre
puntos que estarán soportados lateralmente en la
estructura terminada. La discrepancia máxima, con
respecto a la longitud teórica, que se permite en
miembros que tengan sus dos extremos cepillados para
trabajar por contacto directo, es de 1 mm. En piezas no
cepilladas, de longitud no mayor de 10 m, se permite una
discrepancia de 1.5 mm, la que aumenta a 3 mm cuando
la longitud de la pieza es mayor que la indicada.
13. Las bases de columnas y placas de base cumplirán
los requisitos siguientes:
a) No es necesario cepillar las placas de base de
grueso no mayor de 51mm (2"), siempre que se
obtenga un contacto satisfactorio. Las placas de
grueso comprendido entre más de 51 mm (2") y 102
mm (4") pueden enderezarse por medio de prensas,
o, si no se cuenta con las prensas adecuadas,
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
pueden cepillarse todas las superficies necesarias
para obtener un contacto satisfactorio. Si el grueso de
las placas es mayor que 102 mm (4") se cepillaran
todas las superficies en contacto.
b) No es necesario cepillar las superficies inferiores
de las placas de base cuando se inyecte bajo ellas un
mortero de resistencia adecuada que asegure un
contacto completo con la cimentación.
c) No es necesario cepillar las superficies superiores
de las placas de base ni las inferiores de las
columnas cuando la unión entre ambas se haga por
medio de soldaduras de penetración completa.
no producir deformaciones ni esfuerzos excesivos. Si a
pesar de ellos algunas de las piezas se maltratan y
deforman, deben ser enderezadas o repuestas, según el
caso, antes de montarlas, permitiéndose las mismas
tolerancias que en trabajos de taller.
14. Después de inspeccionadas y aprobadas, y antes de
salir del taller, todas las piezas que deban pintarse se
limpiarán cepillándose vigorosamente, a mano, con
cepillo de alambre, o con chorro de arena, para eliminar
escamas de laminado, óxido, escoria de soldadura,
basura y, en general, toda materia extraña. Los depósitos
de aceite y grasa se quitarán por medio de solventes. Las
piezas que no requieran pintura de taller se deben limpiar
también, siguiendo procedimientos análogos a los
indicados anteriormente. A menos que se especifique
otra cosa, las piezas de acero que vayan a quedar
cubiertas por acabados interiores del edificio no
necesitan pintarse, y las que vayan a quedar ahogadas
en concreto no deben pintarse. Todo el material restante
recibirá en el taller una mano de pintura anticorrosiva,
aplicada cuidadosa y uniformemente sobre superficies
secas y limpias, por medio de brocha, pistola de aire,
rodillo o por inmersión.
18. Durante el montaje, los diversos elementos que
constituyen la estructura deben sostenerse
individualmente o ligarse entre sí por medio de tornillos,
pernos o soldaduras provisionales que proporcionen la
resistencia requerida bajo la acción de cargas muertas y
esfuerzos de montaje, viento o sismo. Asimismo, deben
tenerse en cuenta los efectos de cargas producidas por
materiales, equipo de montaje, etc. Cuando sea
necesario, se colocará en la estructura el contraventeo
provisional requerido para resistir los efectos
mencionados.
15. El objeto de la pintura de taller es proteger el acero
durante un periodo de tiempo corto, y puede servir como
base para la pintura final, que se efectuará en obra. Las
superficies que sean inaccesibles después del armado de
las piezas deben pintarse antes. Todas las superficies
que se encuentren a no más de 5 cm de distancia de las
zonas en que se depositarán soldaduras de taller o de
campo deben estar libres de materiales que dificulten la
obtención de soldaduras sanas o que produzcan humos
perjudiciales para ellas. Cuando un elemento estructural
esté expuesto a los agentes atmosféricos, todas las
partes que lo componen deben ser accesibles de manera
que puedan limpiarse y pintarse.
16. El montaje debe efectuarse con equipo apropiado,
que ofrezca la mayor seguridad posible. Durante la
carga, transporte y descarga del material, y durante el
montaje, se adoptarán las precauciones necesarias para
17. Antes de iniciar el montaje de la estructura se
revisará la posición de las anclas, que habrán sido
colocadas previamente, y en caso de que haya
discrepancias, en planta o en elevación, con respecto a
las posiciones mostradas en planos, se tomarán las
providencias necesarias para corregirlas o compensarlas.
19. Se considerará que cada una de las piezas que
componen la estructura están correctamente plomeada,
nivelada y alineada, si la tangente del ángulo que forma
la recta que une los extremos de la pieza con el eje de
proyecto no excede de 1/500. En vigas teóricamente
horizontales es suficiente revisar que las proyecciones
vertical y horizontal de su eje satisfacen la condición
anterior. Deben cumplirse, además, las condiciones
siguientes:
a) El desplazamiento del eje de columnas adyacentes
a cubos de elevadores, medido con respecto al eje
teórico, no es mayor de 25 mm en ningún punto.
b) El desplazamiento del eje de columnas exteriores,
medido con respecto al eje teórico, no es mayor de 25
mm hacia afuera del edificio, ni 50 mm hacia adentro.
20. No se colocarán remaches, pernos ni soldaduras
permanentes hasta que la parte de la estructura que
quede rigidizada por ellos esté alineada y plomeada.
21. Se aceptarán faltas de contacto por apoyo directo,
independientemente del tipo de unión empleado, siempre
que la separación entre las partes no exceda de 1.5 mm.
Si la separación es mayor de 1.5 mm, pero menor de 6
mm, y una investigación de ingeniería muestra que no
133
hay suficiente área de contacto, el espacio entre las dos
partes debe rellenarse con láminas de acero de grueso
constante. Las láminas de relleno pueden ser de acero
dulce, cualquiera que sea el tipo del material principal.
22. Remaches o tornillos en combinación con soldadura.
a) En obras nuevas. Cuando en una obra nueva se
especifique el uso de remaches o tornillos, ordinarios
o de alta resistencia, diseñados para transmitir las
cargas por aplastamiento, en combinación con
soldadura, ésta se dimensionará para resistir las
fuerzas completas a que estén sujetos los miembros
conectados, no dándoles más cargas a los remaches
o tornillos que las que tomen durante el proceso de
montaje. Cuando se emplean tornillos de alta
resistencia diseñados para transmitir las fuerzas por
fricción sí puede considerarse que las solicitaciones
se reparten entre ellos y las soldaduras. Los cálculos
deben hacerse con fuerzas factorizadas.
b) En obras ya construidas. Cuando se utilice la
soldadura para hacer modificaciones o refuerzos de
estructuras, los remaches y los tornillos de alta
resistencia, diseñados para trabajar en una conexión
de deslizamiento crítico, de la estructura original,
pueden utilizarse para resistir los efectos de las
cargas muertas existentes antes de la modificación, y
la soldadura para proporcionar la resistencia adicional
requerida.
23. Atiesadores. Se colocarán atiesadores en pares, en
los dos lados del alma, en todos los extremos libremente
apoyados de vigas y trabes, y en los apoyos intermedios
de vigas continuas; estos atiesadores ocuparán el peralte
completo del alma. También se colocarán pares de
atiesadores o placas adosadas al alma en puntos
intermedios de vigas, trabes o columnas, en los que
actúen cargas concentradas que produzcan acciones de
diseño en el alma mayores que la resistencia de diseño.
Además, se cumplirán los requisitos siguientes:
a) Los atiesadores que trabajan en compresión se
dimensionarán de manera que no fallen por pandeo
local.
b) La suma del ancho de cada atiesador, más la
mitad del grueso del alma del miembro, sobre el que
actúa la carga concentrada, no será menor que un
tercio del ancho del patín o de la placa de conexión a
través de los que se aplica esa carga.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
c) El grueso de los atiesadores no será menor que la
mitad del grueso del patín o placa a través de la que
se aplica la carga concentrada.
d) Cuando la carga concentrada actúa en un solo
patín del elemento que la recibe, basta con que los
atiesadores lleguen a la mitad del peralte del alma.
e) La soldadura que une los atiesadores con el alma
del elemento sobre el que actúan cargas
concentradas debe dimensionarse para que transmita
la fuerza en los atiesadores ocasionada por los
momentos diferentes que obran en los lados opuestos
del elemento atiesado.
f) Cuando la carga normal al patín es de tensión, los
atiesadores deben soldarse al patín cargado; cuando
la carga es de compresión, pueden soldarse o
ajustarse al patín cargado. En el segundo caso la
carga se transmite por contacto directo entre el patín
y los atiesadores. Cuando se utilice soldadura, debe
dimensionarse para que transmita al atiesador la
totalidad de la fuerza aplicada en el patín.
24. Placas adosadas al alma. Cuando se empleen placas
adosadas al alma, deberán satisfacer los requisitos
siguientes:
a) El grueso y tamaño de la placa, o placas, serán los
necesarios para proporcionar el material (área)
requerido para igualar, o exceder, la demanda de
resistencia.
b) Las soldaduras de las placas trasmitirán la parte de
la fuerza total que les corresponda.
Pueden colocarse dos placas, a uno y otro lado del alma,
o una sola. Esta solución suele ser más económica.
25. Soldaduras. Las recomendaciones que se dan aquí
se complementan con las de la última versión de
“Structural Welding Code–Steel”, AWS D1.1, de la
Sociedad Americana de la Soldadura (American Welding
Society). El tipo de soldadura aplicable en la construcción
metálica es el de arco eléctrico con electrodo metálico,
aplicado manual, semiautomática o automáticamente.
Los procesos aprobados son: la soldadura manual con
electrodo recubierto, la soldadura automática de arco
sumergido, la protegida con gases y la soldadura con
electrodo con corazón de fundente. Pueden utilizarse
otros procesos si se califican adecuadamente para los
casos en que se vayan a usar.
26. Metal de aportación para soldadura. Se usará el
electrodo, o la combinación de electrodo y fundente,
adecuados al material base que se esté soldando,
teniendo especial cuidado en aceros con altos contenidos
de carbón u otros elementos aleados, y de acuerdo con
la posición en que se deposite la soldadura. Se seguirán
las instrucciones del fabricante respecto a los parámetros
que controlan el proceso de soldadura, como son voltaje,
amperaje, polaridad y tipo de corriente. La resistencia del
material depositado con el electrodo será compatible con
la del metal base. Para que una soldadura sea
compatible con el metal base, tanto el esfuerzo de
fluencia mínimo como el esfuerzo mínimo de ruptura en
tensión del metal de aportación depositado, sin mezclar
con el metal base, deben ser iguales o ligeramente
mayores que los correspondientes del metal base. Por
ejemplo, las soldaduras manuales obtenidas con
electrodos E60XX o E70XX3, que producen metal de
aportación con esfuerzos mínimos especificados de
fluencia de 331 y 365 MPa (3400 y 3700 kg/cm²),
respectivamente, y de ruptura en tensión de 412 y 481
MPa (4200 y 4900 kg/cm²), son compatibles con el acero
A36, cuyos esfuerzos mínimos especificados de fluencia
y ruptura en tensión son 250 y 400 MPa (2530 y 4080
kg/cm²), respectivamente.
27. Tipos de soldaduras. Se consideran cuatro tipos de
soldaduras:
a) Soldaduras de filete. Se obtienen depositando un
cordón de metal de aportación en el ángulo diedro
formado por dos piezas. Su sección transversal es
aproximadamente triangular.
b) Soldaduras de penetración. Se obtienen
depositando metal de aportación entre dos placas que
pueden, o no, estar alineadas en un mismo plano.
Pueden ser de penetración completa o parcial, según
que la fusión de la soldadura y el metal base abarque
todo o parte del espesor de las placas, o de la más
delgada de ellas.
c) Soldaduras de tapón.
d) Soldaduras de ranura.
Las soldaduras de tapón y de ranura se hacen en placas
traslapadas, rellenando por completo, con metal de
aportación, un agujero, circular o alargado, hecho en una
de ellas, cuyo fondo está constituido por la otra.
28. Dimensiones efectivas de las soldaduras.
134
a) El área efectiva de una soldadura de penetración o
de filete es el producto de su longitud efectiva por el
tamaño efectivo de su garganta.
b) El área efectiva de soldaduras de tapón o de
ranura es el área de la sección transversal nominal
del tapón o la ranura, medida en el plano de la
superficie de falla.
c) La longitud efectiva de una soldadura de
penetración entre dos piezas a tope es igual al ancho
de la pieza más angosta, aun en el caso de
soldaduras inclinadas respecto al eje de la pieza.
d) La longitud efectiva de una soldadura de filete
recta es igual a la longitud total del filete de tamaño
completo, incluyendo retornos, cuando los haya. Si la
soldadura de filete es curva, la longitud es igual a la
del eje del cordón, trazado por el centroide del plano
que pasa por la garganta, pero si el filete está
depositado en un agujero circular o en una ranura, el
área efectiva no será mayor que el área nominal de la
sección transversal del agujero o la ranura, medida en
el plano de la superficie de falla.
e) El tamaño efectivo de la garganta de una soldadura
de filete es la distancia más corta de la raíz a la cara
de la soldadura diagramática, sin incluir el refuerzo de
la misma. En soldaduras de filete depositadas por el
proceso de arco sumergido, el tamaño efectivo de la
garganta puede tomarse igual a la pierna del cordón
cuando ésta no excede de 10 mm ( 3/8 pulg.), e igual
a la garganta teórica más 2.5 mm para filetes
mayores de 10 mm.
f) El tamaño efectivo de la garganta de una soldadura
de penetración completa, depositada por un lado, con
placa de respaldo, o por los dos, limpiando el
segundo lado hasta descubrir metal sano antes de
colocar la soldadura, es igual al grueso de la más
delgada de las placas unidas. Si no se usa placa de
respaldo, o no se limpia adecuadamente el segundo
lado antes de depositar la soldadura, la junta se
considerará de penetración parcial.
29. Tornillos de alta resistencia. Estas recomendaciones
se complementan con las de la última versión de “Load
and Resistance Factor Design Specification for Structural
Joints Using ASTM A325 or A490 Bolts”, del Consejo de
Investigación en Conexiones Estructurales (Research
Council on Structural Connections). Los tornillos que se
consideran aquí deben satisfacer los requisitos de alguna
de las especificaciones NMX-H-124 (ASTM-A325) o
NMX-H-123 (ASTM-A490). Dependiendo del tipo de
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
conexión, puede, o no, requerirse que los tornillos se
instalen apretándolos hasta que haya en ellos una
tensión especificada mínima. El apriete puede hacerse
por alguno de los métodos siguientes: vuelta de la tuerca,
con un indicador directo de tensión, una llave calibrada, o
con un tornillo de diseño especial.
30. Tamaños de los agujeros
a) Los agujeros de placas de base de columnas
pueden ser mayores si se requiere por las tolerancias
admisibles en la colocación de anclas en cimientos de
concreto reforzado.
b) Siempre se utilizarán agujeros estándar, excepto
cuando el diseñador especifique, en conexiones
atornilladas, el uso de agujeros sobredimensionados
o alargados. En conexiones remachadas, no se
permite el uso de agujeros sobredimensionados o
alargados.
c) Los agujeros sobredimensionados pueden usarse
en cualquiera o en todas las partes unidas en una
conexión por fricción, pero su empleo está prohibido
en conexiones por aplastamiento. Si las partes
exteriores tienen agujeros sobredimensionados,
deben colocarse roldanas endurecidas.
d) Los agujeros alargados cortos pueden usarse en
cualquiera o en todas las partes unidas en una
conexión por fricción o por aplastamiento. En
conexiones por fricción los agujeros pueden tener
cualquier dirección, pero en conexiones por
aplastamiento su dimensión mayor debe ser
perpendicular a la dirección de la carga. Si las partes
exteriores tienen agujeros alargados cortos deben
colocarse roldanas, las que serán endurecidas
cuando los tornillos sean de alta resistencia.
e) Los agujeros alargados largos pueden usarse sólo
en una de las partes comunes a cada superficie de
falla individual, tanto en juntas de fricción como de
aplastamiento. En conexiones por fricción los
agujeros pueden tener cualquier dirección, pero en
conexiones por aplastamiento su dimensión mayor
debe ser perpendicular a la dirección de la carga.
Cuando se usan agujeros alargados largos en una
parte exterior, deben colocarse roldanas de placa o
una solera continua, con agujeros estándar, de
tamaño suficiente para cubrir por completo los
agujeros alargados.
En conexiones con tornillos de alta resistencia, las
roldanas de placa o las soleras continuas serán de acero
de grado estructural, de no menos de 8 mm de grueso;
no es necesario que estén endurecidas. Si en algún caso
se requieren roldanas endurecidas con tornillos de alta
resistencia, se colocarán sobre la cara exterior de la
roldana de placa o de la solera.
31. Agarres largos. Cuando la longitud de agarre de
remaches, o tornillos de acero ASTM-A307, sea mayor
que cinco veces su diámetro, su número se aumentará
en uno por ciento por cada 1.5 mm de longitud adicional.
32. Separaciones mínimas. La distancia entre centros de
agujeros para remaches o tornillos, sean estándar,
sobredimensionados o alargados, no será, en general,
menor que tres veces el diámetro nominal del conector;
de ser necesario, esta distancia puede disminuirse a 2
2/3 veces el diámetro nominal.
33. Separación y distancia al borde máximas. La
distancia máxima del centro de un tornillo o remache al
borde más cercano de las partes en contacto será 12
veces el grueso de la parte conectada en consideración,
sin exceder de 150 mm. La separación longitudinal entre
conectores colocados en elementos en contacto
continuo, consistentes en una placa y un perfil, o dos
placas, será la siguiente:
a) Para elementos, pintados o sin pintar, no sujetos a
corrosión, no excederá de 24 veces el grueso de la
placa más delgada, o 300 mm.
b) Para miembros no pintados de acero
intemperizable, sujetos a corrosión atmosférica, no
será mayor que 14 veces el grueso de la placa más
delgada, o 180 mm.
o) Especificaciones de losacero
1. Para un adecuado funcionamiento como diafragma, la
lámina deberá ser correctamente fijada a todas las vigas
de la estructura portante y no portante.
2. Deberá hacerse un adecuado cosido longitudinal para
garantizar el correcto funcionamiento estructural de la
lamina y evitar filtraciones de concreto por el traslape
longitudinal.
3. La lamina losacero deberá estar debidamente sujetada
a la estructura de soporte en cada valle mediante tornillos
autoperforantes, clavo de disparo o soldadura, así como
se deberá tener restricción al giro en los bordes
135
discontinuos de la losa utilizando fronteras metálicas
permanentes o conectores.
4. Los conectores deberán ser del tipo Weld-Thru TRW
Nelson S3l de 3/4" de diámetro, y de una longitud sin
instalar de 4" que ya instalado tendrá una longitud de 4",
es decir que sobresalga del peralte de la lamina 1 1/2" y
con una resistencia ultima a corte de 93 kN (9513 kg),
acorde con la norma NMX-H-124-1990.
5. La densidad de los conectores colocados en los valles
de la lamina en función del calibre son las siguientes: en
cada valle (@ 12") para calibre 18, en valles alternados
(@ 24") para calibres 20, 22, 24.
6. Se deberá verificar por métodos adecuados que el
conector este debidamente anclado a la viga de soporte,
acorde con la norma NMX-H-121-1988.
7. El concreto deberá tener una resistencia a la
compresión a los 28 días (f'c) 25 MPa (250 kg/m2). Para
su proporcionamiento, revenimiento, elaboración y
manejo, se deberán seguir las especificaciones vigentes
del en las normas NMX aplicables para un concreto con
refuerzo y al ambiente en cuestión.
8. No se deberán utilizar aditivos acelerantes de fraguado
que contengan cloruros de sodio.
9. Para disminuir el tiempo de colado y la cantidad de
juntas frías, se recomienda utilizar concreto bombeado.
10. Se deberá realizar un cosido con alambre
galvanizado en la unión longitudinal de la lámina. Esta
operación se efectuara cada 30 cms. máximo, utilizando
la punzonadora.
11. Cuando se utilice soldadura como modo de fijación
en calibres de laminas losacero 24 y 22, se deberá
colocar una arandela galvanizada calibre 16 (0.0613")
con una perforación al centro de 3/8" de diámetro. Este
accesorio se colocara sobre cada valle de la lámina
coincidiendo en el apoyo y se aplicara la soldadura en el
centro, verificando que se haya realizado un correcto
anclaje en el elemento de soporte. Los calibres 20 y 18
no requieren arandela.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
ESTRUCTURAS DE MADERA
f´vy
E0.50
E0.05
15
100,000
55,000
Valores especificados de resistencias y módulos de
elasticidad de maderas latifoliadas (kg/cm2)
Maderas estructurales
Coníferas: también llamadas gimnospermas, árboles de
hoja perenne en forma de aguja con semillas alojadas en
sus conos. Su madera está constituida esencialmente por
un tipo de células denominadas traquedias (pino, roble,
nogal, etc.)
Latifoliadas: también llamadas angiospermas, árboles
de hoja caduca de forma ancha que producen sus
semillas dentro de frutos. Su madera está constituida por
células denominadas vasos, fibras y rarénquima
(tropicales: caoba).
Madera contrachapeada: placa compuesta de un
conjunto de chapas o capas de madera unidas con
adhesivo, generalmente en número impar, en la cual las
chapas adyacentes se colocan con la dirección de la fibra
perpendicularmente entre sí.
Nota: La principal propiedad mecánica que caracteriza a
la madera de los demás materiales estructurales es la
anisotropía.
Valores especificados de resistencias y módulos de
elasticidad de madera de especies coníferas (kg/cm2)
Flexión
Tensión paralela a la fibra
Compresión paralela a la fibra
Cortante perpendicular a la fibra
Cortante paralelo a la fibra
Módulo de elasticidad promedio
Módulo de elasticidad
correspondiente al 5º percentil
f´fu
f´tu
f´cu
f´nu
Flexión
Tensión paralela a la fibra
Compresión paralela a la fibra
Cortante perpendicular a la fibra
Cortante paralelo a la fibra
Módulo de elasticidad promedio
Módulo de elasticidad
correspondiente al 5º percentil
f´fu
f´tu
f´cu
f´nu
f´vy
E0.50
E0.05
300
200
220
75
25
160,000
120,000
Valores especificados de resistencias y módulos de
elasticidad y módulo de rigidez de madera
contrachapeada de especies coníferas (kg/cm2)
Flexión
Tensión
Tensión: fibra en las chapas
exteriores perpendicular al eje (tres
chapas)
Compresión en el plano de las
chapas
Compresión perpendicular al plano
de las chapas
Cortante a través del grosor
Cortante en el plano de las chapas
Módulo de elasticidad promedio
Módulo de rigidez promedio
f´fu
f´tu
f´tu
190
140
90
f´cu
160
f´nu
25
f´vu
f´ru
E0.50
G0.5o
20
5
105,000
5,000
Factores de reducción de resistencia para madera
maciza y contrachapeada (Fr)
Acción
Madera
Madera
Maciza
Contra
chapeada
Flexión
0.80
0.80
Tensión paralela
0.70
0.70
Compresión paralela y en el
0.70
0.70
plano de las chapas
Compresión perpendicular
0.90
0.90
Cortante paralelo, a través
0.70
070
del espesor y en el plano de
las chapas
170
115
120
40
Inspección visual y enfermedades de la
17
madera
Es necesario que la pieza esté sana y esto puede
juzgarse tras una inspección visual. A continuación se
enumeran algunos síntomas o defectos de la matera y se
describe su influencia en las propiedades macánicas.

Fendas: agrietamiento longitudinal entre las fibras
cortando los anillos de cerramiento, producido
durante el secado de la pieza. No afecta a las
propiedades mecánicas ya que no supone
discontinuidad de las fibras.

Nudos: nacimiento de una rama del arbol. Son un
punto débil en la pieza. A efectos de cálculo no se
puede considerar la zona de sección transversal
ocupada por los nudos, aunque, si son pequeños
con respecto al canto de la pieza y están muy
espaciados, suele desprecirse su efecto.

Coloración grisácea, versosa o azulada: debida a
oxidación de vetas de resina remanente entre fibras
(en el caso de coníferas) producidas por la acción
solar. La presencia de hongos cromógeneos que
colorean la madera. La primera causa no afecta a las
propiedades de la la pieza. La segunda, en general,
tampoco, aunque avisa de la presencia de humedad
(actual o pasada).

Carcoma: la presencia de estos insectos en fase
larvaria produce en la pieza una red de galería
rellenas de serrín con orificios en superficie
circulares u ovalados de 1 a 10 mm de diámetro. La
madera atacada por carcoma ha de ser tatada para
parar su desarrollo. La pérdida de resistencia de la
pieza puede ser importante y ha de ser evaluada si
se quiere reutilizar.

Pudrición: producida por hongos xilófagos que
destruyen la madera con importante pérdida de
materia. La pudrición se limita únicamente a la zona
donde la humedad es elevada (mayor del 20% en el
interior de la pieza). Las zonas de un edificio más
susceptibles de ser atacadas por la pudrición
sonaquelas húmedas y poco aireadas: Uniones con
muros, pies derechos de entramados, elementos
cercanos a las redes de agua y cubiertas.
17
ARROLLO, Juan, et. al. Números gordos en el proyecto de
estructuras, Madrid 2006, edit. Cister.
136
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
p) Tensión (madera)
(encofrado) para el concreto es muy popular, la cimbra es
en sí una estructura provisional que está sometida a
esfuerzos considerables, que no puede ser confiada
únicamente a la experiencia (empírica) de los maestros
carpinteros, sino que debe ser revisada su resistencia de
acuerdo con los métodos aquí vistos.
Notación
Tr (kg): resistencia de diseño a la tensión
Fr (adimensional): factor de resistencia
f´tu (kg/cm2) Esfuerzo en tensión paralelo a la fibra
An (cm2): área neta del miembro
At (cm 2): área total
Ap (cm2): área de perforaciones
s (cm): paso
g (cm): gramil
r) Flexión
Fórmulas
Tr  Fr  f ´tu  An
En donde:
An  At  Ap

s2 

An  At   Ap 
4

g


Notación
Pr (kg): resistencia a compresión de un miembro
Fr (adimensional): factor de reducción
f´cu (kg/cm2): esfuerzo de compresión paralelo a la fibra
A (cm2): área total de la sección
Pcr (kg): carga crítica de pandeo
E (kg/cm2): módulo de elasticidad del tipo de madera
K (adimensional): factor para determinar la longitud de
columnas (Ver anexo)
Lu (cm): longitud libre de columna
Kd (adimensional): factor de modificación por duración
(1.33)
Kc (adimensional): factor de modificación por
compartición de carga (0.90)
Kh (adimensional): factor de modificación por humedad
(0.80)
Fórmulas
q) Compresión (madera)
si
K  Lu
4
r
si
K  Lu
4
r
Pr  Fr  f ' cu  A
Pcr  Fr 
 2  E0.05  A
 Kd  Kc  Kh
K  Lu 
Notación
Mr (kg-cm): momento resistente a flexión
Fr (adimensional): factor de reducción
f´fu (kg/cm 2): esfuerzo a la flexión
s (cm3): módulo de sección
 (adim.): factor de estabilidad lateral
Cs (adimensional): factor de esbeltez
Ck (adim.): factor de esbeltez crítico
Lu (cm): largo efectivo del elemento
Fórmulas
En muchos países (México y Latinoamérica) la
madera no es utilizada como elemento estructural, salvo
pocas excepciones, pero su uso como cimbra
137
Mr  Fr  f ' fu  s  
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
En donde:
 Ck 
  0. 7   
 Cs 
E 0.05
Ck 
f ' fu
2
Cs 
s
Lu  d
b2
bd
6
2
s) Cortante
Notación
Vr (kg): resistencia de diseño a cortante
f´vu (kg/cm2): esfuerzo nominal a cortante del material
A (cm2): área de la sección
Fórmulas
Vr 
Fr  f ' vu  A
1.5
138
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
t) Normas NMX de Estructuras
de Madera Estructural
NMX-C-178-ONNCCE-2001 Preservadores para madera.
Clasificación y requisitos.
NMX-C-224-ONNCCE-2001 Dimensiones de la madera
aserrada para el uso en la construcción.
NMX-C-239-1985 Calificación y clasificación visual para
madera de pino en usos estructurales.
NMX-C-322-ONNCCE-2003 Madera preservada a
presión. Clasificación y requisitos.
NMX-C-409-ONNCCE-1999 Elementos de madera.
Clasificación visual para maderas latifoliadas de uso
estructural.
NMX-C-410-ONNCCE-1999 Retención y penetración de
sustancias preservadoras en madera. Métodos de
prueba.
NMX-C-411-ONNCCE-1999
Especificaciones
de
comportamiento para tableros a base de madera de
uso estructural.
NMX-C-419-ONNCCE-2001 Preservación de maderas.
Terminología.
NMX-C-438-ONNCCE-2006 Tableros contrachapados de
madera de pino coníferas. Clasificación y
especificaciones.
NMX-C-439-ONNCCE-2006 Tableros contrachapados de
pino y otras coníferas. Propiedades físicas. Métodos
de ensayo.
NMX-C-440-ONNCCE-2006 Tableros contrachapados de
pino y otras coníferas. Propiedades mecánicas.
Métodos de ensayo.
NMX-C-443-ONNCCE-2006 Madera. Contenido de
humedad de la madera. Método de ensayo.
NMX-C-446-ONNCCE-2006 Métodos de ensayo para
determinar las propiedades mecánicas de la madera
de tamaño estructural.
NMX-H-023-1976 Tornillos de acero para madera.
139
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Capítulo VII
ESTRUCTURAS DE CASCARÓN
a) Introducción
Ley del Cubo Cuadrado
Cuando la masa de un objeto crece en proporción a su
volumen, debe mantener una densidad constante. Por
ejemplo, si cada lado de un edificio tiene una longitud L,
entonces su volumen es L x L x L. Un edificio que tiene
una longitud, altura y anchura de tres metros tendrá un
volumen de 3m x 3m x 3m, o sea 27 m3. Esta unidad de
volumen se llama metro cúbico o m3 y representa el
hecho de que hemos multiplicado por tres longitudes.
Supongamos que el edificio debe crecer dos veces en
cada dirección. Su altura, anchura y longitud serán
también de 6 metros cada una. En este caso su volumen
es de 6m x 6m x 6m, o sea, 216 m3. Así pues, duplicar
su longitud en las tres direcciones aumenta su volumen
por un factor de ocho. Si su longitud crece en las tres
direcciones por un factor de diez, de forma que su largo,
ancho y alto serán ahora de 30 metros en lugar de 3
metros, su volumen sería entonces de 27,000 m3, mil
veces mayor que su volumen inicial de 27 m3. Si
queremos que esto sea físicamente plausible, lo sección
total de los elementos estructurales ha de mantener una
densidad constante al crecer, entonces su masa debe
aumentar en la misma proporción que su volumen, no
que su longitud.
Es decir, la relación entre la sección de los elementos
estructurales (Ee) portantes y el área total del edificio
(Ae) debe ser siempre igual independientemente del
cambio, lo cual podemos resumir en la siguiente relación
matemática:
Ee Ee

 Cons tan te
Ae Ae
En la ilustración anterior podemos apreciar una estructura
natural de cascarón, sus formas han sido y serán fuente de
inspiración para el diseño arquitectónico, pero al mismo tiempo
las leyes que gobiernan su comportamiento mecánico que
siempre las optimiza al máximo son la máxima fuente de
conocimiento para arribar a las hipótesis físicas y las
formulaciones matemáticas con las que se calculan este tipo de
estructuras (Ley del cubo cuadrado), incluso las proporciones
que guarda su volumen respecto al espesor de sus paredes, son
limites máximos y minimos que continúan utilizando muchos
reglamentos, y para la construcción de estructuras de cascaron
en la actualidad.
Hipérbola
En el caso de las membranas arquitectónicas la ley del Cubo
cuadrado ya no es aplicable, pero si las leyes que se describen
en la ecuación de Euler-Lagrange (ver el siguiente capítulo), que
son leyes que también se presentan en la naturaleza, en este
caso en las pompas de jabón.
Parábola
La parábola es una de las secciones cónicas. Es una
curva plana que se puede ajustar, en relación a un
sistema de ecuaciones ortonormales, o con la aplicación
de una transformación que represente un giro a dicha
relación. Se trata del lugar geométrico de los puntos de
un plano que equidistan de uno fijo, llamado foco, y de
una recta cualquiera, llamada directriz.
140
Una hipérbola es un tipo de sección cónica. Se define
como el lugar geométrico de todos los puntos del plano
para los cuales la diferencia de las distancias (en valor
absoluto) a dos puntos fijos (llamados focos) es
constante. Se obtiene al sacar las pendientes absisas, y
sumar todos los ángulos iguales tales como los catetos y
la hipotenusa.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Paraboloide Hiperbólico (Hypar)
Es una superficie que sobre planos horizontales paralelos
al eje XY, genera hipérbolas o dos rectas, mientras que
sus trazos sobre planos verticales paralelos a los ejes ZX
son parábolas que abren hacia abajo, mientras que las
trazos sobre planos verticales paralelos a los ejes ZY son
parábolas que abren hacia arriba.
Superficie de Doble Curvatura
Son superficies generadas por el movimiento de una
generatriz (g) curva. Estas superficies no contienen
líneas rectas, y por lo tanto no son desarrollables. Entre
ellas son muy conocidas las cuádricas, las cuales son
superficies generadas por la rotación de una curva cónica
alrededor de uno de sus ejes. Las cuadráticas son: la
esfera, cuya generatriz (g) es una circunferencia; el
elipsoide, cuya generatriz (g) es una elipse; el
paraboloide, cuya generatriz (g) es una parábola; y el
hiperboloide, cuya generatriz (g) es una hipérbola.
141
Catenaria
Es la curva que describe una cadena suspendida por sus
extremos y que se encuentra sometida a un campo
gravitatorio uniforme. Es la curva que se observa, forman
los cables del tendido eléctrico de alta tensión, entre dos
torres de apoyo. Por extensión, en matemáticas se
denomina catenaria a la curva que adopta una cadena,
cuerda o cable ideal perfectamente flexible, con masa
distribuida uniformemente por unidad de longitud,
suspendida por sus extremos y sometida a la acción de
un campo gravitatorio uniforme.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
son: a) Una superficie de revolución cilíndrica, b) una
superficie de revolución cónica, c) una superficie de
revolución esférica, y d) una superficie de revolución
toroidal.
Superficie Sinclástica
Es una superficie que posee curvaturas similares en un
punto dado.
Superficie Anticlástica
Es una superficie con curvatura de sentidos opuestos en
diferentes direcciones y en cualquier punto
Superficie Reglada
Superficie generada por el movimiento de una recta,
denominada generatriz, manteniéndose en contacto con
otra u otras, denominadas directríces, cumpliendo
además en su desplazamiento ciertas condiciones
particulares.
Superficie desarrollable
Una superficie desarrollable es una forma geométrica
simple capaz de ser aplanada sin sufrir alargamiento y/o
ruptura
Superficie no desarrollable
Una superficie no desarrollable es una forma geométrica
compleja que al intentar ser aplanada sufre alargamiento
y/o ruptura.
En la ilustración de la derecha
podemos apreciar un ejemplo
de una superficie reglada. A
pesar de estar formada por
líneas rectas esclisivamente.
Si hacemos secciones sobre
su
geometría
podemos
encontrar círculos, parábolas
e hipérbolas.
b) Comportamiento mecánico
Una estructura tradicional resiste los momentos a los que
esta sometida creando internamente un momento
resistente que sea igual o mayor al momento externo. En
una viga el momento externo es muy grande ya que este
momento es directamente proporcional a la distancia
entre el centro de la carga y el eje de rotación de la
misma (r), es decir el brazo de palanca. Esto obliga a que
internamente en la viga exista una área considerable de
material (60 a 70%) que no esta soportando ningún
esfuerzo, sino que únicamente sirve para crear el brazo
de palanca necesario para proporcionar el momento
resistente interno.
Supongamos que a la misma viga, con la misma
carga le ponemos un concreto de mayor resistencia,
lógicamente el peralte de ésta será menor porque el área
de compresión será más chica y su centro resistente
subirá, pero el brazo de palanca será igual al de la viga
anterior, porque esta distancia es la que crea el momento
resistente (fuerza por distancia). Ahora supongamos que
para la misma viga, con la misma carga ponemos una
sección “T”; lo que sucederá es que el área de
resistencia a compresión se puede extender
horizontalmente y por tanto el centro resistente a
compresión sube (se acerca a la fibra última) y por tanto
se necesita aún menos peralte, pero el brazo de palanca
continua siendo el mismo para formar el momento
Superficie de Revolución
Es aquella que se genera mediante la rotación de una
curva plana, o generatriz, alrededor de una recta llamada
eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la
curva. Ejemplos comunes de una superficie de revolución
142
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
resistente. Por lo tanto lo más importante no es la
resistencia de los materiales sino la DISTANCIA.
ver en el clásico ejemplo de la hoja de papel. Una hoja de
papel no es capaz de permanecer horizontal, aunque es
muy ligera, pero si le realizamos una pequeña curvatura,
esta no solamente es capaz de permanecer horizontal,
sino que es capaz de soportar un peso extra (pluma), es
decir se aumenta su resistencia enormemente, sin
aumentar su espesor.
Simplemente se aumenta su par mecánico. El tipo de
curvatura, pliegues o la combinación de estos puede ser
casi infinito, pero el principio, como podemos ver, es muy
sencillo
Por lo tanto, que pasaría si buscamos estructuras en
donde la distancia que forma el par mecánico sea muy
grande. La consecuencia inmediata sería que el espesor
del elemento disminuirá mucho al igual que la cantidad
de material; y por lo tanto tendíamos un ahorro
significativo. Pongamos el ejemplo de una losa maciza de
concreto comparada con una estructura de placa doblada
también de concreto. La losa maciza solamente puede
desarrollar (por su peralte) un momento pequeño, y por
tanto la cantidad de acero que necesita es muy alta; pero
la placa doblada puede desarrollar un par mecánico
enorme y por lo tanto el espesor de ésta es el mínimo
para recubrir el armado. En cuanto la losa maciza
necesita soportar un momento más grande necesita más
peralte, y su peso, la cantidad de material y el peso que
distribuye a la cimentación, es muy grande; mientras que
la placa doblada no sufriría ninguna modificación ya que
su momento resistente es enorme.
Por lo tanto el principio implícito sería que entre más
grande sea el par mecánico de la estructura, mayor su
momento resistente y menor tiene que ser su espesor.
Esta propiedad quedó magistralmente demostrada en el
Pabellón de Rayos Cósmicos construido en 1951 por
Félix Candela en la Ciudad Universitaria.
Esta estructura de aproximadamente 10 metros de
claro y un par mecánico de 5 mts., fue resulta mediante
una estructura de Paraboloides hiperbólicos que permitió
tener un espesor que varía entre 2.5 y 1.5 centímetros, lo
que fue necesario para permitir la entrada al interior de
las partículas solares que atraviesan el delgado
cascarón.
En el gráfico de arriba podemos ver muy bien
ilustrados los principios que se han comentado. Una
placa delgada tiene mucha dificultad para soportar su
peso propio (recordemos que en las estructuras
tradicionales la mayor parte del peso es el propio de la
estructura) pero si esta placa la doblamos en forma de
acordeón es capaz de soportar su peso propio más un
peso agradado. Si aumentamos este peso agregado,
llega súbitamente un momento en que la estructura
empieza a ceder en sus vértices. Basta tan sólo un
pequeño arreglo de atiezadores en los extremos para
que la estructura sea capaz de soportar 3 o 4 veces la
misma
carga.
Por
tanto
podemos
concluir
tempranamente que “los apoyos para un cascarón son
tan importantes como la forma del mismo cascarón”.
Por lo tanto la clave de cualquier estructura de
cascarón se encuentra en su geometría. Esto lo podemos
Pero evidentemente este es un principio que tiene sus
límites, para claros muy grandes los momentos
producidos en las placas son inadmisibles; prueba de ello
es que el propio Candela en el Palacio de los Deportes
de la Ciudad de México para la Olimpiada de 1968 (80
mts. de diámetro) utilizó una estructura de armaduras
tridimensionales en ambos sentidos, y en los cuadros de
las intersecciones de éstas se recurrió a estructuras de
cascarón. En el otro extremo, la creencia generalizada es
que las estructuras de cascarón no son indicadas para
claros pequeños; pero la experiencia a enseñado que en
el uso de bóvedas dípteras en casas habitación con
claros experimentados de 1.80 a 12.0 mts y espesor de 4
cm. se tiene un ahorro de más del 40% en relación con la
construcción tradicional de losa maciza18.
18
Ver: GONZÁLEZ, Lobo Carlos, Vivienda y ciudad posibles,
Bogota 1998, edit. Escala
143
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
la máxima belleza. Por lo tanto, la intuición estructural al
momento de diseñar estructuras de cascarón es lo más
importante, pero esta debe estar basada en información
científica y experiencia. Para cualquier estructura de
cascarón, habrá un método simple de análisis que puede
usarse para verificar el análisis más preciso. En las
estructuras ordinarias, los resultados de un método
simple de análisis varia un 10% del análisis final; y en las
estructuras de cascarón puede estimarse una variación
menor del 5 % porque usualmente lo único que se
desconoce es el aumento de refuerzo.
Otro principio fundamental es de la desarrollabilidad
de las estructuras. Cuando la forma específica de una
estructura se puede desarrollar en otra forma geométrica
simple, después de aplicarle un esfuerzo, decimos que
es una estructura desarrollable; pero cuando la forma
específica no puede ser desarrollada a otra forma simple,
es lo que conocemos como estructura no desarrollable.
Una estructura no desarrollable es mucho más
resistente que una estructura desarrollable. Heinz Isler
asegura que una estructura no desarrollable es
aproximadamente 30 veces más resistente que una
desarrollable19. Evidentemente esto esta relacionado con
la altura y el grado de la curvatura. En un cascarón
tradicional el radio de la altura de su diagonal en planta
es aproximadamente 1:10. En un domo con poca
curvatura, el concreto puede ser más fácil de aplicar a la
cimbra. Cuando la altura y la curvatura se incrementa de
tal forma que el radio pase de 1:10 a 1:7 la cáscara pasa
a ser dos veces más resistente, y el concreto no presenta
ninguna dificultad extra para ser colocado. La experiencia
en cascarones de 1:3 de radio, el concreto puede ser
perfectamente colocado si se elabora con un
revenimiento de 2 cm.
Funcionamiento interno
c) Domos
Para entender el funcionamiento interno de una
estructura de cascarón partamos del ejemplo de un domo
semicircular. Esta estructura, reparte sus fuerzas en dos
sentidos. El primero es el sentido como arco, es decir, el
domo se puede entender como una serie de arcos. En el
otro sentido (meridional) actúan fuerzas como anillos. El
anillo de la base es el que mayor fuerza soporta, es decir,
los arcos tienden a abrirse, y esta fuerza es mayor en la
base.
Obviamente los anillos en la base están sujetos a
tensión, y el esfuerzo de tensión disminuye conforme
subimos a la corona del domo, y pasan a sufrir tensión.
Por tanto, podemos aislar un metro cuadrado de
superficie curvada y analizar las fuerzas a que esta
sometido. En un sentido esta la fuerza como arco (N) y
en el otro las meridionales (N). Además encontramos
fuerzas cortantes y momentos flexionantes con valores
muy bajos, producidos principalmente por la interacción
del domo con sus apoyos.
Esto es lo que conocemos como la teoría de la
membrana, con ella se puede calcular casi todas las
estructuras de cascarón y sus ecuaciones generales son:
N  
19
ROBBIN, Tony, Engineering a new architecture, New Haven
1996, edit. Yale Univ. Press
rw
1  cos 
1


N  r  w  
 cos  
 1  cos 

En el diseño de estructuras de cascarón existe un
principio muy simple pero muy eficaz: si una imagen vale
1000 palabras, entonces un simple modelo vale por 1000
cálculos. Félix Candela siempre se guiaba por un
principio: lograr la máxima eficacia con el mínimo peso y
144
Notación:
fs (kg/cm 2): esfuerzo de trabajo del acero (0.5fy)
fc (kg/cm 2): esfuerzo de trabajo del concreto (0.45f´c)
n (adim.): módulo de radio
K (adim.): profundidad del eje neutro
J (adim.): brazo de palanca del peralte
KJ (kg/cm2): esfuerzo resistente del concreto
w (kg): carga viva total
Ph1 (kg/m2): peso total de la membrana en lo más
delgado
Ph2 (kg/m2): peso total de la membrana en lo más
grueso
Cs (kg/m): esfuerzo a compresión
ft (kg/cm2): esfuerzo en la fibra última superior de la viga
Rt (kg): fuerza tensionante total en la viga perimetral
Es (cm3): módulo de elasticidad del acero (2,100,000)
Ec (cm3): módulo de elasticidad del concreto (10,000
f´c)
D (mts.): diámetro del domo
a (mts): altura del domo
R (mts): radio de la curvatura
 (o): ángulo de la curvatura
h1 (cm): peralte del domo en la parte más delgada
(corona)
h2 (cm): peralte del domo en la parte más ancha
(arranque)
s (mts): distancia a partir del arranque en que se cambia
de peralte
b (cm): base de la viga perimetral de apoyo
d (cm): peralte de la viga perimetral de apoyo
qd (kg/m2): peso propio de la membrana en lo más
delgado
qb (kg/m2): carga máxima de seguridad en la membrana
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
A (m2): área cubierta por el domo
qD (kg/m2): peso propio de la membrana en la parte más
gruesa
fb (kg/cm 2): esfuerzo en la fibra última inferior de la viga
V (m3): volumen de concreto necesario para realizar el
domo
N (kg/m): fuerza en el domo en el sentido meridional
M (kg-m): momento respecto al eje horizontal de la viga
N (kg/m): fuerza en el domo en el sentido de los arcos
Q (kg/m): fuerza cortante radial en la membrana
bc (cm): base de la sección de cascarón a calcular (100)
Av (cm2): área de la varilla de refuerzo
El ACI (EEUU) y el BS 5337 (UK) recomiendan 123
kg/cm2 considerando: nieve, viento, tornados e
2
impermeabilizantes, más 40 kg/m de carga viva NTC
2
(Méx.) = 163 kg/m .
4. Peso total (m2) en el espesor mínimo (h1)
Ph1  w  qd
 qb
5. Peso total (m2) en el espesor máximo (h2)
Ph 2  w  qD
 qb
Procedimiento de Cálculo
6. Área de acero mínima
1. Constantes de diseño (teoría elástica)
As min  p min  h2  bc
Esfuerzo de trabajo del
acero
Esfuerzo de trabajo del
concreto
fs  0 .6  fy
Es
n
Ec
fc  0.45  f ´c
Módulo de radio
En donde
Es  2,100,000 cm2
y
Profundidad del eje
neutro
1
K
1
fs
n  fc
Ec  10,000  f ´c
Brazo de palanca del peralte
K
J 1
3
Esfuerzo resistente del concreto
KJ  0.5   fc  K  J 
2. Determinación de los valores a utilizar
Nota: en la “tabla de valores para el diseño de domos” se
muestran todos los valores para domos de concreto
reforzado sobre vigas perimetrales desde un diámetro de
12 a 36 mts. En caso de que el diámetro no coincida con
los de la tabla se debe tomar el inmediato mayor, y si el
diámetro es inferior de 12 mts se recomienda tomar los
valores de 12 mts. Por otro lado, en diámetros mayores
de 36 mts., se recomienda utilizar otra forma en la
estructura, principalmente de paraboloides hiperbólicos.
Nota: por lo tanto los valores
de N, M, N, Q se deben
multiplicar por Ph2.
(pmin = 0.002)
7. Cálculo del refuerzo para el valor máximo de N
N max  N  Ph 2
s
Av  100
As
Cs 
N maz
h1  b
N max
Área de acero
As 
fy
Separación entre varillas
 f´c si no se calcula As para acero
meridional a compresión
8. Refuerzo para los momentos máximos M
M  max  M  Ph 2
Mr  KJ  b  d Momento resistente de la sección de
concreto. En donde:
d  h 2  r (r = 1.9 cm)
Si Mmax 
Si Mmax 
M max
As 
fy  J  d
M max
As 
fy
3. Determinación de la carga viva (w)
145
s
Av  100
As
9. Cálculo del refuerzo para el valor máximo de N
N  max  N   Ph 2
Cs 
N max
h1  100
si Cs  f´c se arma con armado
mínimo, si Cs  f´c se calcula As sino se pone Asmin
10. Cálculo del refuerzo para el valor máximo de Q
Q max  Q  Ph 2
Vs 
Q max
J d
 f´c
11. Cálculo del refuerzo para la viga perimetral
Nota: para el caso de la viga perimetral el valor de la
fuerza a tensión (fb) es mucho mayor que la de
compresión (ft) por eso esta última se desprecia.
fbmax  fb  Ph 2
Rt  fbmax  b 2
Rt
As 
fy
Ejemplo
Diseñar un domo con un diámetro en planta (claro) de 30
2
mts. se utilizará f´c = 250 kg/cm y acero de fy = 4200
2
kg/cm .
Datos
f´c = 250 kg/cm2
2
fy = 4200 kg/cm
2
w = 163 kg/m
3
Es = 2,100,000 cm
Ec = 14,000 
Pmin = 0.002
Av = 1.27 (1/2”)
r = 1.9 cm
f ´c
= 158,113.88 cm3
fs  0 .6  fy = 112.5 kg/cm2
fc  0.45  f ´c = 2100 kg/cm2
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
n
Es
Ec
K
J 1
3
Refuerzo para valor máximo de Q
1
K
= 13.28
Q max  Q  Ph 2
= 0,415
fs
n  fc
KJ  0.5   fc  K  J 
1
= 0.8616
20.112 kg/cm
=
2
Cálculo del peso por m2 de superficie curvada
Ph1  w  qd = 163+346.65 = 509.65 kg /m2
Ph 2  w  qD
= 163+424.86 = 587.86 kg/m2  qd =
674.96 kg/m2
Área mínima de acero
As min  p min  h2  bc
Vs 
Q max
J d
= 3.40 x 587.86 = 23.5 kg
= 85.60  f´c
Cálculo de la viga perimetral
= 0.004 x 587.86 = 23.5 kg
fbmax  fb  Ph 2
Rt  fbmax  b 2 = 21,150 kg
Rt
As 
= 5.0 cm2 = 4#4
fy
= 0.002 x 29 x 100 = 5.8 cm2
Cálculo para valor máximo de N
N  max  N  Ph 2
s
= 8.62 cm
Av  100
As
= 14.7 cm
2
Cs 
N maz
= 8.04  f´c
h1  b
Cálculo para momento máximo M
d  h 2  r = 27.1 cm
Mr  KJ
M  max  M  Ph 2
El problema básico de una bóveda es el relacionado con
su curvatura y el efecto que est o produce en sus
estructuras portantes. Esto lo podemos ver claramente
en la ilustración. Cuando el arco tiene un radio de
curvatura de 1:2 (medio punto) el esfuerzo y el peso de la
estructura es transmitido a sus soportes verticalmente,
haciendo que el esfuerzo se transmita linealmente hasta
la cimentación. En cuanto el arco tiene un radio menor de
1:2 (bóveda rebajada) el esfuerzo es transmitido
diferencialmente (diagonal) provocando un esfuerzo
lateral en la estructura que se manifiesta como volteo o
coceo. Históricamente este problema se ha resuelto
básicamente de dos maneras: a) con sistemas de
contrafuertes que permiten al esfuerzo diagonal ser
transmitido en su dirección hasta la cimentación, y b) con
tirantes (tensores) que equilibran el esfuerzo hacia
“adentro” (cierran el polígono de fuerzas). Estas
soluciones entrañan dos entre muchos más
problemas arquitectónicos, el primero se refiere al sobre
costo que implica la construcción de los contrafuertes,
aunque estos pueden ser un elemento altamente estético
como bien lo enseño el Gótico. Otro problema, en el caso
de los tirantes es la inhabitabilidad de el espacio
(volumen) extra que una bóveda permite.
= 61.6 x 587.86 = 36,212 kg/m
N  max
fy
As 
 b  d = 54, 503
= -2.02 x 587.86 = -1,293  Mr
por tanto el concreto absorbe el momento.
Cálculo para momentos máximos de N
N  max  N   Ph 2
Cs 
s
N max
h1  100
Av  100
As min
d) Bóvedas dípteras
= 17.51 x 587.86 = 10,293.42 kg
2
= 7.9 kg/cm  f’c se utiliza As min
= 21.8 cm
146
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
40
50
Ahora variemos la perspectiva del problema en el que
nos hemos concentrado. Hasta el momento estamos
partiendo del supuesto de que la bóveda funciona como
un arco (un arco prolongado) apoyándose en sus dos
vértices. ¿Qué sucedería si le quitamos estos apoyos y
dejamos que se apoye únicamente en sus extremos
(tímpanos)?
Lo que sucedería es que la bóveda funcionaría
básicamente como una viga, una “viga díptera”. Y esta
como cualquier otro sistema de cascarón permite
mantener un peralte muy corto respecto a su claro, por el
enorme momento de inercia que la forma de la bóveda
implica. La experiencia ha demostrado que podemos
tener claros de 50 mts, entre tímpanos y mantener un
espesor de 10 cm. Si quisiéramos salvar el mismo claro
con una viga recta (“normal”), el peralte superaría los 3
mts con un volumen extraordinario de concreto y acero.
Si observamos el funcionamiento interno de una bóveda
díptera observamos la enorme similitud con el armado de
una viga tradicional. Las bóvedas dípteras en términos
generales se pueden calcular y entender como una
membrana, pero los esfuerzos a flexión a los que estan
sometidos requieren de refuerzos especiales para
soportarlos. Si observamos el esquema vemos como una
bóveda díptera se arma como arco (membrana) y como
viga, y así se calcula también. Este es el sobre costo por
ser una estructura desarrollable. Como ya habíamos
analizado, los momentos en las estructuras no
desarrollables son casi ínfimos, por lo cual son
aproximadamente 30 veces más resistentes.
20
25
8.0
10.0
350
390
El ACI recomienda que el
espesor mínimo de una
estructura de cascarón sea
de 7 cm. Pero en la práctica
se han construido cascarones
de mucho menos espesor.
Quizá el caso más famoso es
el del Pabellón de Rayos
Cósmicos en CU (México
1951) de Félix Candela varía
entre 2.5 y 1.5 cm.
Como la resistencia de estas estructuras la
proporciona su forma y no el momento interno en su
sección, la absorción de esfuerzos es realizado por el
acero de alta resistencia (varillas) y el concreto funciona
casi únicamente como recubrimiento del acero.
El arquitecto mexicano Carlos González Lobo a
desarrollado y construido por más de 30 años bóvedas
dípteras de concreto reforzado de medianas dimensiones
(L  20 y B  10) de 4 cm de espesor, teniendo
magníficos resultados.
Valores recomendados para la altura de las
bóvedas y sus respectivos ángulos
½
1/3
¼
1/5
1/6
1/8
180° 136° 108° 88°
75° 56°

90°
68°
54°
44° 37.5° 28°
K
4
4
4
4
4
4
#
CÁLCULO
Notación:
Z (m): distancia vertical de la fibra última de la bóveda el
centroide la sección
G (adim.): centroide de la sección de la bóveda
z (m): distancia vertical del centroide de la sección al
punto del ángulo seleccionado
Nx (kg/m): esfuerzo longitudinal de la membrana
4
Iyy (m ): momento de inercia de la sección
Nx (kg/m): esfuerzo cortante transversal
l (m): largo de la bóveda
B (m): ancho de la bóveda
r (m): radio de la sección de la bóveda
t (cm): espesor (peralte) de la membrana
k (): mitad del ángulo central
 (): Ángulo seleccionado por analizar
Q (m3): valor del primer momento del área circular a ser
analizada
V (kg): fuerza cortante
1. Seleccionar altura y peralte de la bóveda de
acuerdo con tablas
2. Encontrar el centroide de la bóveda
r
0.5  B
senk
 sin k 

  r  1 
k 

 = debe estar en Radianes
k = debe estar en Radianes
El radian es una unidad de medida en donde el radio de
un arco sea igual a la longitud del arco, es decir.
1radian 
360
2 
x  
Conversón x° =
180
3. Momento de inercia Iyy


2  sin k 

Iyy  r 3  t  k  sin k   cos k 
k 


Valores preliminares de peralte y peso para
Bóvedas Dípteras de ½ a 1/8.
l (mts)
B
t (cm)
w
(mts)
(kg/m2)
20
10
6.0
270
30
15
7.0
300
4. Sacar el primer momento por cada segmento de 5
(de la mitad k)
147
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Punto
0
1
2

 desde
corona
40
35
30

1

Q (m3)

35



11. Cálculo del esfuerzo como arco (N)



Q  2  r  t   sin    sin k 
k


Punto
rw
N 
1  cos( 0,1...)
0
1

Análisis como viga
 desde la
corona
40
35

N

Cálculo del refuerzo
12. Cálculo del refuerzo para Nx (longitudinales-viga)
5. Cálculo del peso (w)
w  Cm  Cv   r  2  k
Se calculan los tres valores máximos correspondientes a
los 3/3 en que se divide la media bóveda (k) para
reforzarla.
6. Cálculo del momento flexionante en y-y
wl2
8
As 
7. Cálculo del cortante
V 
estructuralmente muy eficientes, que tienen muchas
ventajas tanto constructivas como estéticas: son usadas
para cubrir grandes claros, vastas superficies techadas, e
incluso son usadas como cimientos para estructuras
especiales, y pueden ser prefabricadas

Análisis como arco
2
Myy 

Nx(0,1...)
fy  Fr
13. Cálculo del refuerzo para Nx (transversalesesquinas)
wl
2
As 
8. Cálculo de todos los valores de z para cada
segmento
 sen 

z  r  1 
  (0,1...)

Nx (max .)
fy  Fr
14. Cálculo del refuerzo para N (diagonales-arco)
As 
N (max .)
fy  Fr
s
100  Av
As
9. Cálculo del esfuerzo longitudinal de la membrana
Nx
Myy
 t  z (0,1...)
Iyy
Nx 
e) Paraboloides hiperbólicos
10. Cálculo del esfuerzo transversal a cortante (Nx)
Nx 
Punto
0
 desde la
corona
40
V
 Q( 0,1...)
2  Iyy
z
(m)
-
Q
(m3)
-
Nx
(kg/m)
-
Nx
(kg/m)
-
Los paraboloides hiperbólicos son superficies curvas,
formadas por la intersección de líneas rectas o curvas.
En este apartado veremos las formadas por líneas rectas
o “superficies regladas” por ser las de mas fácil
fabricación y bajo costo. Como su nombre lo designa en
un paraboloide hiperbólico tenemos dos curvaturas
(parábola e hipérbola) que se intersectan en cualquier
punto de la superficie. Obviamente esto nos genera una
superficie no desarrollable de enorme resistencia. Los
paraboloides
hiperbólicos
son
cascarones
148
Para obtener una paraboloide hiperbólico partiremos
de una superficie plana (a) si a esta le levantamos una
arista, de tal forma que este formada por dos extremos
inclinados y dos horizontales, formamos el hiperboloide.
Las líneas subsecuentes que unirán las rectas forman la
hipérbola y la parábola (b).
Como podemos observar las fuerzas internas dentro
del hiperboloide actúan a tensión y compresión, en
términos teóricos estas fuerzas son iguales (tensión y
compresión) y su valor se puede resolver con la
ecuación:
1 a b
N xy   
p
2 f
Las posibles estructuras que se pueden formar con este
módulo son muchas y muy variadas. Las más populares
son el hongo de cuatro paraboloides hiperbólicos (tanto
para techos como cimentaciones) y el llamado en
“Aguilón”. A continuación vemos dos ejemplos de los
mismos.
CÁLCULO
Notación:
Nxy (kg/m): Esfuerzo de tensión y compresión en el
hiperboloide
a (m): Lado mayor del hiperboloide
b (m): Lado menor del hiperboloide
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
f (m): Altura del hiperboloide (rise)
p (kg/m2): Peso por unidad de medida
N (kg/m): Esfuerzo compresivo máximo
Cv (kg/m2): Carga viva
Cm (kg/m2): Carga muerta
1. Cálculo de los esfuerzos de cable (tensión) y arco
(compresión) en la membrana
Ecuaciones:
Wa  cv 
2. Cálculo del refuerzo para membrana (ambas
direcciones)
En donde:
N
As 
xy
2  fy  cos 
2
cos  
a
f 2  a2
3. Cálculo del máximo valor de la fuerza compresiva
en la orilla del Hypar
Fhyp
M max 
 a b 
  p
 
 f  cos 
Cimbrado y andamiaje de las Bodegas de Bacardí, México, Arq.
Félix Candela. En esta ilustración podemos observar el enorme
sobre costo del cimbrado de una de los más espectaculares
paraboloides en el mundo, aunque el ahorro en el material de la
estructura en si, equilibra y justifica su alto costo inicial.
Fhyp
f) Placas Dobladas
fy
5. Cálculo del momento flexionante máximo en la
membrana
1
Mymax
 f 4
 0.149  p  a 2   
t
En el siguiente gráfico podemos ver los tres esquemas básicos
de carga en una estructura de placa doblada. El primero
corresponde a la carga gravitacional, el segundo a la carga de
viento sobre las caras de la estructura, y la tercera el esfuerzo
total en la estructura.
6. Refuerzo para el momento flexionante
Nota: las ecuaciones para
My max
encontrar los valores de J y fs se
As 
fs  J  d
pueden ver en el apartado de
Domos.
Se verifica el  de As:

As
bd
en donde
w  p  L2
8
Wa
sen 
M max
a
, b
N
b
cos 
Wp 
Con estos valores la placa doblada puede ser calculada
como una losa maciza con claro de un metro de base.
4. Refuerzo para la orilla del Hypar
As 
cm
cos 
 min, en donde min= 0.0035
As    b  d
Notación:
Wa (kg/m2): Carga gravitacional (w)
Wp (Kg/m2): Varga debido a la presión del viento (p)
Mmax (kg-m): Momento máximo
149
g) Form Finding
Una de las mejores formas para encontrar geometrías
adecuadas para la construcción de cascarones, que
además de dar resultados estéticos muy interesantes,
nos garantiza el óptimo funcionamiento mecánico, es con
base en funciones matemáticas.
A continuación se presentan las funciones mas comunes
y adecuadas para dicho propósito:
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
construir y conceptualizar. Tiene enormes ventajas por su doble
curvatura, y por ser una superficie reglada (formada por rectas).
Además se pueden hacer las siguientes operaciones de
transformación con las funciones:
En laos gráficos superiores podemos apreciar un cascarón
formado por dos curvas (conoides) invertidas, que al igual forma
superficies de doble curvatura.
En los gráficos superiores apreciamos un cascarón formado por
dos placas dobladas invertidas.
En el gráfico de la izquierda podemos apreciar una bóveda
diptera, y en la derecha una con doble curvatura, lo cual
unmenta enormemente su resistencia, por pasar de ser una
superficie desarrollable a no desarollable
En los gráficos superiores podemos apreciar dos diseños
diferentes, que parten de un juego formal entre conoides.
En los gráficos superiores podemos apreciar la conversión de
un cascarón laminar reglado, a una superficie no desarrollable,
por la operación de invertir sus bordes.
Paraguas formado por
cuatro paraboloides
hiperbólicos
A continuación, se muestran varios ejemplos de
geometrías para cascarones obtenidas utilizando las
funciones matemáticas, y sus transformaciones:
Conoide combado. Superficie formada por un conoide que
empieza como una curva y termina como una recta
El paraboloide hipebólico es quizá la estructura más simple de
150
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Capítulo VIII
TENSOESTRUCTURAS
a) Introducción
El término “Tensoestructuras” cubre una amplia categoría
de estructuras, que incluyen las membranas
arquitectónicas (velarias), las redes de cables pre y post
tensionados, los cables que forman vigas en forma de
armaduras o estereoestructuras (tensegrity), y las
estructuras neumáticas. Históricamente fueron utilizadas
como formas para techumbres, o estructuras de puentes,
y en la actualidad como elementos permanentes de la
arquitectura moderna, ya que han demostrado tener una
explotación potencial como estructuras eficientes y
altamente estéticas. El “European Consortium” investigo
que de 1988 al 2000, la superficie de terreno cubiertas
por tensoestructuras aumentó de 1 a 5 millones de
metros cuadrados.
Las formas de mínima energía son observadas
claramente en la naturaleza. Incluso se puede afirmar
que las formas mas óptimas y estéticas para estructuras,
tienen sus raíces en la naturaleza. Durante en
crecimiento de un árbol, por ejemplo, se desarrolla una
superficie constante que asegura la distribución uniforme
de esfuerzos y peso a lo largo de tallos y ramas. Cuando
un árbol es dañado (ej. Las ramas de rompen) el proceso
de curación minimiza la superficie de la herida. Es
interesante observar que esta relación (superficie de
esfuerzos constante y mínima superficie en área) es
encontrada en objetos inanimados como las películas de
jabón.
1 1
1 1
p       Si    0    0
r1 r2
 r1 r2 
Definición y clasificación:
Podemos resumir los más importantes tipos de
estructuras en tensión, dentro de los siguientes:
(i) Membranas tensionadas
(ii) Estructuras neumáticas
(iii) Redes y Vigas de cables pre-esforzados
(i) Membranas tensionadas
Las estructuras de cables y las membranas en su estado
“tensional” , adoptan formas únicas que no pueden ser
descritas por simples funciones matemáticas. Ellas
(literalmente) deben ser encontradas a los largo de un
proceso de diseño que denominamos “Form Finding”
Las membranas tensionadas son esforzadas por el
estiramiento de la superficie de membrana, hasta
alcanzar los bordes, hechos de cables tensionados y
flexibles, o marcos rígidos y/o vigas. La principal
diferencia entre membranas tensionadas y estructuras
neumáticas radica en el método de conseguir el esfuerzo
en la superficie. Además, las neumáticas no deben tener
ningún exceso de presión entre las superficies interna y
externa.
Los niveles de pre-esfuerzo en la superficie deben tener
el nivel apropiado para contrarrestar la posible pérdida de
tensión durante la vida útil de la estructura
(enlongamiento por trabajo), y por otro lado, permitir que
el material este dentro del rango de las deformaciones
elásticas. Bajo cargas temporales, como viento y nieve,
el esfuerzo en la superficie se puede incrementar de 6 a
8 veces, incluso hasta 10. Por estas razones, el diseño
de membranas en tensión esta dirigido a conservar el
pre-esfuerzo inicial aproximadamente a 1/20 de rotura de
la membrana.
151
(ii) Estructuras Neumáticas
Las estructuras neumáticas son membranas muy
delgadas tensionadas por la presión interna de aire
generada por grandes ventiladores. Su forma es
severamente afectada por la diferencia entre las
presiones interna y externa, que provoca cambios
continuos, como resultado de las variaciones de
temperatura, viento, nieve y condiciones de carga. Es
difícil asegurar la adecuada presión interna a través de la
vida útil de la estructura, debido a lo impredecible de los
factores ambientales, o la falla de los sistemas internos
de control, responsables de mantener la presión interna.
Las estructuras neumáticas son diseñadas para
mantener un presión interna entre 20.4 y 56.12 kg/m2.
Los valores de diseño típicos para cargas de nieve están
entre 122.22 y 244.89 kg/m2, que son mucho mayores
que la presión interna. Es por esa razón, que
regularmente se recurre a sistemas de calentamiento del
aire interno, que derriten la nieve (para evitar su
acumulación).
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
cruzarse entre si, pero únicamente se conectan por
cables. Existen grandes similitudes en el comportamiento
mecánico de las sistemas en tensegrityy las redes de
cables, por tanto, los dos sistemas pueden considerarse
que pertenecen a una misma familia de sistemas
llamados “Estructuras de cables”.
Además del daño local a la superficie de la membrana
causada por la acumulación de nieve, viento, o ambos.,
puede ocurrir una inestabilidad mayor de la estructura,
debido a la excitación que el viento puede ocasionar en
las grandes masas de aire interior de la membrana. El
desempeño de las estructuras neumáticas depende
también de la calidad de la tela utilizada en su
construcción. Una buena calidad de la tela es importante
para proporcionar un adecuado factor de seguridad
contra la propagación de cortes o desperfectos que
existieran en el material. Un factor de seguridad 6, o
mayor, es recomendado, lo que implica que el esfuerzo
en la tela, en cualquier momento debe ser por lo menos 6
veces menor que el valor mínimo de rotura plástica.
Además, un factor de seguridad de 1.5 es recomendado
para las cargas.
(iii) Redes y vigas de cables pre-esforzados
Existen grandes similitudes entre el comportamiento de
las membranas a tensión y las redes de cables. Una red
de cables pre-esforzados es en términos de análisis un
discreto tipo de membrana, o una membrana
representada por un sistema de cables o elementos
lineales. El término “tensoestructura” será por tanto,
utilizado para describir a ambos (cables y membranas).
Las redes de cables pueden tensionarse directamente
usando soportes rígidos como vigas perimetrales de
compresión, o cables flexibles en los bordes soportados
en mástiles. Pueden tomar la forma de una estructura
suspendida, estabilizada por medio de techumbres de
pesos significativos, o incluso concreto. Pero si la red de
cables constituyen parte de un cascarón de concreto,
estrictamente deja de ser “Tensoestructura”, pues pierde
las ventajas de su flexibilidad.
Las vigas de cables pre-esforzados don versiones
bidimensionales de las estructuras de red, y su principal
aplicación se encuentra en los edificios industriales.
Pueden ser clasificadas como armaduras y vigas. Las
armaduras de cables tienen cables en las cuerdas
superiores e inferiores, así como en los miembros
internos, todos están trabajando en tensión.
El aumento de pre-esfuerzo en una red de cables
depende de las deformaciones permitidas y de la
resistencia a la fatiga de sus miembros individuales. El
excesivo pre-tensionamiento de los cables para reducir
las deformaciones es costoso, y por tanto, es importante
prever la rigidez de la estructura ante los cambios de su
geometría, a partir de la alteración de la configuración de
sus bordes. En función de reducir los costos, una
determinada cantidad de movimiento de la estructura
debe ser permitida, y por tanto, el diseño de la carga de
la estructura debe incorporar este requerimiento de
flexibilidad.
Los principales elementos que cargan el peso , tienen
una mayor sección (área) que los tensores. La forma
inicial de la armadura y el nivel de pre-esfuerzo, deben
ser diseñados para prevenir que los tensores trabajen el
compresión, ante cargas accidentales. Las armaduras de
cables, también pueden ser utilizadas como estructuras
suspendidas por pesados mástiles.
Las redes de cables, incorporan mástiles como sus
elementos en compresión,. Las formas resultantes son
menos flexibles que las armaduras de cables y, en
principio, no muy diferentes a los sistemas de tensegrity,
que consisten de barras y cables, las barras pueden
152
Proceso de Diseño de las Membranas a Tensión:
En términos general, podemos resumir las etapas del
diseño de Membranas en Tensión, en los siguientes tres
puntos:
(i) El Form Finding
(ii) El Patronaje
(iii) El análisis estático
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
El problema común (y más importante) que comparten
todas las estructuras en tensión es la definición de su
forma. Respecto a las membranas en tensión, su
configuración, no puede ser dada por una función
matemática obvia. Consecuentemente, es el primer, y
mas importante paso en el diseño. Por lo general, las
condiciones de los bordes (límites) ya se encuentran
establecidos, lo cual lleva a encontrar la geometría de
más apropiada para la membrana. En este caso, un
modelo físico (maqueta) sirve de forma excelente con
propósitos
de
visualización
y
entendimiento
tridimensional de la forma, pero una descripción detallada
acarrea problemas como pueden ser grandes errores de
magnitud (por la escala) si el modelo será escalado a una
estructura real. Además, la medición del campo real de
tensiones en la superficie puede ser tedioso y inexacto.
Por tanto, para un más adecuado Form-finding de la
membrana en tensión, se deben realizar iterativos
cálculos computacionales, que llevarán a graduales
ajustes en la geometría de la superficie , hasta que sea
compatible con el estado de equilibrio estático y el nivel
de pre-esfuerzo en la estructura.
La etapa de patronaje, permite que una forma
tridimensional de una superficie tensionada, pueda ser
trasladada a un patrón bidimensional de corte, para
poder manufacturar la membrana. El patronaje debe ser
realizado a partir de tiras de tela (membrana) de 2 a 3
metros de ancho, con un mínimo desperdicio de material
(de lo contrario el costo se eleva) y un mínimo de
distorsiones en los patrones de la tela. Estos problemas
pueden ser solucionados usando modelos a escala de la
estructura, que proveen de información muy útil, pero
cuyos resultados son cuestionables si se utilizan
directamente a una escala real. Los métodos
computacionales utilizados para cortar patrones
involucran una cierta cantidad de alisamiento de las
superficies, lo cual lleva a inexactitudes en el corte. En
conclusión, un análisis que combine modelos físicos y
computacionales de forma interactiva es la mejor forma
de trabajar tanto el patronaje, como el Form-Finding
El análisis estático es la continuación del proceso de
form-finding, en el cual, los esfuerzos y las
deformaciones son calculadas, acuerdo con las cargas
externas de diseño. El proceso comienza con la forma de
la estructura (encontrada en el form-finding) inicialmente
en equilibrio, con un una distribución uniforme de
esfuerzo en la superficie dada. Las cargas estáticas son
subsecuentemente aplicadas, y un nuevo estado de
equilibrio es encontrado. El proceder debe incluir una
serie de cálculos iterativos, en los cuales, los
desplazamientos de la de la estructura y los esfuerzos
resultantes de la aplicación de las cargas deben de ser
determinados. Este problema es geométricamente nolineal, pero la no-linealidad no es tan pronunciada como
en el caso del form-finding. Por tanto, la convergencia de
la solución numérica es fácil de obtener.
153
El análisis dinámico de estructuras ligeras en tensión, no
listada en las tres etapas fundamentales del proceso de
diseño, esta típicamente basada en los datos obtenidos
de experimentos en túneles de viento con modelos de
pequeña escala. La carga del viento, es establecida con
la ayuda de coeficientes de presión del viento, para
eventos fuertes. El problema radica en que los
coeficientes de los códigos de construcción, nunca
consideran coeficientes específicos para este tipo de
formas, además, os modelos para las pruebas de túnel
usualmente son de materiales rígidos, incapaces de
proporcionar una representación fiel de las presiones que
se desarrollarán en la superficie de una membrana.
La mayor dificultad en el análisis de estructuras de
tensión, radica no únicamente en establecer los valores
de diseño para la presión del viento, sino también las
cargas debidas a nieve. Las estructuras de membrana
representan un problema aerostático mas complejo, que
el del diseño de aviones, por ejemplo. Con las alas de un
avión, las deflexiones estructurales pueden ser asumidas
como pequeñas, y debido a que el flujo es constante en
la superficie de la curvatura, puede ser interpretado en
ecuaciones simples. En las estructuras de membrana,
debido al tipo de curvaturas involucradas, el problema es
no-lineal y por tanto mas complejo.
Principales Características de las Membranas a
Tensión:
Las principales características de las membranas en
tensión pueden ser resumidas a continuación:
(i) Una superficie tensionada que cubre una
configuración arbitraria de sus bordes, adopta su propia y
única forma, consecuente con los bordes seleccionados,
las propiedades mecánicas del material y el estado de
pre-esfuerzo. La forma una membrana en tensión no
puede ser impuesta, debe ser encontrada. El proceso de
form-finding, es el punto de partida el proceso de diseño.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
(ii) La estructura contiene las cargas a través de cambios
en la tensión de la superficie y desplazamientos muy
largos, produciendo un comportamiento geométricamente
no-lineal. Incluso, cuando las cargas de trabajo están
dentro del rango elástico, las deflexiones son de tal
magnitud que los cambios resultantes en la geometría
global, deben ser considerados en el análisis.
(iii) El nivel de pre-esfuerzo en una membrana de tela
usualmente permanece bajo, para prevenir rasgamientos
bajo las cargas impuestas. La compresión y/o las
flexiones se desarrollan y absorben por la estructura
portante.
una relación lineal de carga-desplazamiento son
automáticamente caracterizadas por una relación
también lineal de esfuerzo-deformación (Ley de Hoke) de
su material. Sin embargo, lo opuesto no ser verdad. En el
caso de las estructuras de cables, por ejemplo, el
material
puede comportarse de una manera
elásticamente lineal, pero el comportamiento de la
estructura será, en general, geométricamente no-lineal, al
menos que sean impuestos niveles muy altos de preesfuerzo para limitar las deflexiones. Cuando decimos
que una estructura de cables se comporta de una
manera no-lineal, entendemos que a determinados
cambios en las cargas, no le corresponde proporcionales
cambios en su deflexión.
b) Cables en tensión
Notación:
Va y Vb (kg): reacciones verticales
Ha y Hb (kg): reacciones horizontales
Ra y Rb (kg): reacciones finales
w (kg/m): carga uniformemente distribuida
l (mts): largo del elemento (claro)
f (mts): altura del elemento
(iv) El comportamiento estructural de las membranas en
tensión es caracterizada por su poca resistencia a
cortante y momento.
(v) El costo del análisis computacional, a diferencia de
las estructuras convencionales, forma una parte
significante del costo total del proyecto de diseño
Techumbres convencionales vs. Membranas a
Tensión:
En el diseño de estructuras convencionales, es decir, los
edificios rígidos fabricados con materiales tradicionales
como acero, concreto, madera y mamposterías, el
aspecto arquitectónico e ingenieril de la estructura, puede
ser fácilmente separado. La estructuras rígidas no se
deforman mucho, a al menos no lo suficiente para afectar
su geometría global. Su comportamiento es descrito
como “lineal”, porque las deformaciones son
proporcionales a las cargas aplicadas (dentro de los
límites de trabajo y seguridad).
Continuamente, el término “lineal” es usado para
describir justamente las características de esfuerzodeformación del material. Las estructuras que obedecen
En términos generales, la forma de una estructura
convencional (lineal) permanece (con un buen nivel de
aproximación) esencialmente inalterada, incluso cuando
la estructura es sujeto de cargas fuera de sus
especificaciones de diseño. En la etapa de análisis, que
sigue el diseño conceptual, el ingeniero pervive la forma
estructural como un sistema (modelo) simple,
interconectado de elementos de los cuales se debe
verificar su estabilidad, deformación y esfuerzo bajo
condiciones específicas de carga. La principal
herramienta para este propósito en un “modelo
matemático”, que básicamente es un sistema de
ecuaciones que relaciona las cargas externas con los
esfuerzos internos y las deformaciones de la estructura.
El arquitecto continua siendo el responsable de la forma
global de la estructura, incluso cuando tiene una
comprensión muy pobre de las complejidades de los
modelos matemáticos involucrados.
En contraste, el diseño de estructuras ligeras en tensión,
requiere de una completa integración de las habilidades
del arquitecto e ingeniero. Esto es impuesto por la
necesidad de entender la interacción entre la forma de la
estructura y los patrones de carga de pueda desarrollar.
154
V A  VB 
wl
2
wl 2
HB  HB 
8 f
R A  RB  H 2  V 2  Pitágoras
El esfuerzo de fluencia (fy) de los cables de acero
más comerciales es de 14,000 y 16,000 kg/cm2.
Normalmente los cables están formados por 6 cordones
trenzados entre si, y cada cordón esta compuesto de un
número variable de alambres también trenzados entre si.
En el anexo de gráficas se encuentran tablas con los
valores más comunes de los cables.
c) Estructuras de membrana
Historia de las Tensoestructuras
Probablemente una carpa no sea tan durable como una
construcción de un material rígido, sin embargo, la
necesidad de estructuras económicas, ligeras, portátiles
y con menos material las hicieron posibles, por tanto, la
necesidad de movilidad y materiales al alcance, fueron
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
las necesidades primarias detonadoras para el
nacimiento de las estructuras en tensión. Las carpas más
antiguas conocidas, se registran en las zonas de Islandia,
Alaska, Siberia y Groelandia, para cubrirse de los fuertes
y helados vientos, cazadores nómadas colgaban pieles
de sus presas sobre huesos, si existían árboles,
estructuras primarias se utilizaban como soporte, en
todos los casos eran materiales biodegradables.
eficiente ya que por los materiales utilizados eran
impermeables.
En el sur de Francia, en una región llamada Terra Amata
se han encontardo los restos arqueológicos de una
tienda de 15 x 6 mts contruida con varas y pieles, que se
ha datado en 400,000 años de antigüedad.
Las construcciones cónicas probablemente sean las que
mejor comportamiento tengan con la precipitación pluvial,
fuertes vientos y mejor ventilación por el sistema superior
que ahora conocemos como “linternilla”, así como la
capacidad de tener fuego en el interior sin correr peligro
por el desfogue natural de la propia forma. Por tanto, el
TIPPI americano se puede considerar como una pieza
maestra del diseño tenso estructural, ya que el diseño de
las mismas aportaba grandes beneficios en las
condiciones climáticas extremas que prevalecían en las
zonas donde este tipo de construcciones eran utilizadas,
el sistema de entrada con solapa, permitía orientar el
tippi hacia los vientos dominantes durante las
temporadas de calor, permitiendo un sistema natural de
ventilación.
Una vez conocido este desarrollo, el “abuelo” de las
velarias se conoce como la carpa de circo, basada en
una forma simple de sombrilla. Sin embargo contaban
con una debilidad estructural: la compresión concentrada
en su elemento central, por lo tanto se desarrollaron
teorías empíricas para eliminar los postes centrales que
impedían la buena visibilidad del espectáculo, y se
crearon los conocidos circos de tres pistas, dando así el
primer paso para el estudio y desarrollo formal de las
velarias.
El “GER” de origen Ruso es probablemente la
construcción mas lujosa de las tribus nómadas y
precursoras del sedentarismo. Proporcionaba un
ambiente cómodo en las zonas esteparias de Siberia.
Las estructuras laterales realizadas en madera
proporcionaban una seguridad total en todo el sistema
constructivo, la linternilla central permitía incluso contar
con una estufa permanente.
Estudio formal de las velarias (tensoestructuras)
Arq. Frei Otto
Nacido en Alemania en 1925, es considerado el padre de
la teoría de la bomba de jabón, las estructuras de
Tensegrity y
el mas
grande diseñador
de
tensoestructuras en la historia.
Obras Clave de Frei Otto: Instalaciones Ollímpicas de
Munich 1972
Mientras tanto, en otra región del mundo, los Beduinos,
Moros, Bárbaros y Kurdos, desarrollaban las “Carpas
Negras” que proviene del color de la piel de las cabras
que se utilizaban para crear los textiles con los que se
fabricaban, ya que el tejido ligeramente abierto, permitía
una ventilación natural en climas secos y de sol extremo.
Por otra parte, el sistema de repelencia al agua era muy
Uno de los principales proyectos de la historia de las
membranas fue la cubierta del Coliseo Romano, y por el
éxito de esta cubierta, existen pruebas de que casi todos
los anfiteatros de los romanos contaban con una cubierta
retráctil de esta naturaleza, basada en la teoría de las
velas, la estabilidad y resistencia que tenían al viento era
de lo mejor, por lo que se podría utilizar sin lugar a dudas
el termino de velarias. Por ende, una vez que el ser
humano se volvió sedentario, las velarias, en un sentido
primitivo, se fueron utilizando, para eventos religiosos,
comerciales, festivos, etc.
155
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
1. La forma estructural, y la forma arquitectónica son
inseparables.
2. La flexibilidad en las estructuras no es una debilidad,
por el contrario es una fortaleza.
3. El material de superficie debe ser más flexible que los
elementos que lo soportan.
4. La arquitectura debe conseguir con los medios
mínimos los beneficios máximos, tal como nos ha
enseñado 400 mil años de historia de las estructuras
ténsiles.
Ing.Horst Berger
Ing. Civil Alemán, egresado de la Univ. de Stuttgart. Le
dio sentido matemático a la teoría de la pompa de Jabón
de Frei Otto. Es en la actualidad uno de los diseñadores
más importantes de tensoestructuras en el mundo
Obras Clave de Horst Berger: Canda Place
Principios fundamentales de Frei Otto:
El Aeropuerto de Denver
156
La tensoestructura más grande del mundo
El Domo del Milenio proyectada por Richard Rogers y
Asociados y calculada por Bruno Happold Consulting.
Posee una forma circular, con un diámetro total de 565
mts., y una altura máxima de 50 mts., tiene una
capacidad para albergar hasta 35,00 personas. La
estructura de la cubierta está compuesta por 72 cables
dispuestos en forma radial, estando conformados cada
uno por alambres de acero en espiral. Estos cables, a
modo de largueros son soportados por una red de cables
colgantes dispuestos alrededor de 12 mástiles
constituidos por reticulados metálicos de 100 mts de
altura, que en consecuencia sobresalen en altura y se
erigen como imagen y referencia inequívoca de su
relación con el entorno exterior.
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Tipos de membranas:
(i) Algodón recubierta con Vinilo. Se utiliza para
cubiertas de pequeña escala, como carpas o toldos, se
utilizan lonas naturales o sintéticas que pesan entre 300
y 600 gr/m2, pudiendo estar pintadas o recubiertas,
tienen una vida promedio de 5 a 10 años. La resistencia
promedio es de 2900 kg/m2 y sin recubrimiento de
aproximadamente 2100 kg/m2.
(ii) Nylon recubiertas con Vinilo. Tienen poca
resistencia a la tensión, aproximadamente de 3570 a
7140 kg/m2, y decrece con el aumento de temperatura.
Además, se deforman por fluencia lenta, es decir, se
estira con el tiempo y su vida promedio es de 5 a 7 años.
(iii) Poliéster recubiertas con Vinilo. Tienen mayor
resistencia, entre 5350 y 12,500 kg/m2, no se estiran
tanto, y su vida útil es de 10 a 15 años. Su inconveniente
es que producen humo negro con el fuego, y atraen el
polvo atmosférico, debiendo por ello ser periódicamente
pintadas y limpiadas.
(iv) Fibra de Vidrio recubierta con Teflón. Es la mas
apropiada para estructuras de gran escala. En promedio
es 5 veces mas cara que la anterior, pero sus ventajas
equiparan el sobrecosto. Su resistencia varía entre 5320
y 17,800 kg/m2. Su elongación es 0, así como su
deformación por fluencia lenta. Es incombustible, además
de ser autolimpiable y tener una decoloración del 100%.
Por lo cual no requieren de mantenimiento.
Sistemas de Sellado:
(i) Máquina de Coser: El sistema más antiguo utilizado
para las velarias (lonarias) después de la costura manual,
hasta hace 25 años, todas las velarias eran unidas con
este método. En la actualidad algunos detalles pueden
ser realizados con máquinas modernas de alta precisión,
pero JAMAS de debe unir el cuerpo de una velaria con
este sistema. En México hay compañías que en sus
inicios utilizaron este sistema, pero nunca se puede
garantizar los resultados de una empresa que lo utilice
como método para unir el cuerpo de la velaria.
Lamentablemente en México y América Latina existen
empresas que todavía utilizan este método.
(ii) Termo Sellado o Vulcanizado: No es el método más
recomendable para las velarias (tensoestructuras) sin
embargo es el método más utilizado en México y América
Latina. Se recomienda sobre todo para unir lonas
publicitarias, lonas de camión o cortinas de tiendas. Pero
definitivamente no para velarias. Se aplica calor directo a
450° C, pero en los materiales estructurales literalmente
se quema el material y se modifican sus propiedades
mecánicas básicas. Es el equipo mas barato del
mercado.
(iii) R. F. Welding (Sistema de electro soldado por
radio frecuencia): Es el sistema mas sofisticado
disponible en la actualidad, y definitivamente el mejor y el
más recomendable para las tensoestructuras. Es un
proceso de estimulación molecular que por medio de
radiofrecuencia deja sin memoria la trayectoria de los
electrones entorno al protón, al terminar el proceso (que
dura milésimas de segundo) ambos lienzos quedan
unidos unos con otros formando una misma pieza (se
fusionan molecularmente los dos). Por tanto, no se
pierden las propiedades mecánicas de los materiales. Es
el equipo mas caro que hay, pero los resultados son los
mejores.
Las estructuras de cables y las membranas en tensión
adoptan formas únicas bajo tensión. Estas formas, no
son, o pueden ser a priori, estas no pueden ser descritas
usualmente por simples funciones matemáticas, y por
tanto, requieren que el diseñador se involucre en un
proceso
conocido
como
“form-finding”.
Este
requerimiento distingue las estructuras en tensión de
otros tipos de estructuras, como las tradicionales
fabricadas de concreto, acero (perfiles) o mampostería,
donde es posible determinar la forma de la estructura
desde el inicio del proceso de diseño.
Características de los cables de Acero
Los más usuales son de 140 y 160 Kg/mm2, que
equivalen a 14,000 kg/cm2 y 16,000 kg/cm2.
Normalmente suelen estar constituidos por 6 cordones
más una alma textil que puede ser de cáñamo o similar.
Cada cordón (también conocido como torón) está
constituido por un número variable de alambres; cuanto
mayor es la cantidad de alambres por cordón tanto más
flexible es el cable. Ello significa que la flexibilidad de un
cable crece más rápidamente si se aumenta el número
de cordones por cable. En el caso de cables muy
flexibles pueden llegar hasta 7 almas textiles por cable.
En general, el proceso de form-finding debe conducir a
las formas estructurales óptimas: formas que satisfacen
tanto los requerimientos funcionales y que proporcionen
durabilidad y resistencia a un costo mínimo.
Precisamente una de la características mas atractivas de
las estructuras en tensión, es su habilidad de ofrecer
formas altamente estéticas, incluso con efectos
dramáticos. Pero siempre formas que obedecen los
principios de las estructuras ligeras, es decir: usar la
mínima cantidad de material, mientras que se maximice,
Form finding:
157
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
a través de la optimización de la forma, su estabilidad y
resistencia.
Su estética emerge de forma natural, en lo que es
considerado el proceso de auto-optimización. Por tanto,
se puede concluir que el camino para conseguir un
producto estético nunca es sencillo, y que el principio de
las estructuras ligeras tiene sus raíces en la naturaleza
misma. El proceso de optimización consiste el permitir a
u componente mecánico “crecer” en una forma de
constante superficie de esfuerzo.
Metodologías de Form finding:
En términos generales, el proceso de form-finding de una
superficie tensionada para una membrana involucra:
(i) La construcción de un modelo físico a pequeña escala
usando: películas de jabón, tela (likra) papel, y
(ii) El desarrollo de modelos computacionales usando
una variedad de técnicas numéricas.
Modelos físicos
Los modelos físicos continúan siendo utilizados para
varias etapas del diseño, principalmente como medio de
comunicación entre los miembros del equipo de diseño y
como verificación de los resultados computacionales. Sin
embargo, las limitantes discutidas en la introducción, son
la principal razón del incremento en la utilización de
métodos
computacionales
(matemáticos),
particularmente cuando numerosos cambios deben
hacerse ala superficie geométrica del proyecto.
la exactitud fue resuelto en la etapa experimental
tomando mediciones fotogramétricas del modelo, y
dispersando y suavizando los datos numéricos, hasta
obtener lo que se creía era un buen estimado de la
configuración del equilibrio.
La experiencia obtenida desde principios de los 70´s
hasta la fecha, indica que la combinación de modelos
físicos y computacionales es por mucho la estrategia más
prometedora y correcta, que el uso de una solamente.
Finalmente, el tercer caso (iii) representa un intento por
recortar la ruta de diseño, utilizando la misma red, o al
menos parte de ella, para el form-finding y el desarrollo
de los patrones de corte.
Nomenclatura:
Modelos computacionales
Los modelos computacionales de las estructuras en
tensión, representan un grupo de datos numéricos y
gráficos que describen la forma de la estructura, sus
esfuerzos y deformaciones, bajo determinadas
condiciones de carga. Los datos son obtenidos a partir
de algoritmos que describen un proceso iterativo de
ajustes geométricos de una superficie tensionada, hasta
que el equilibrio estático es alcanzado. Como con todos
lo métodos numéricos, una “intuición educada” de “cómo
debería verse la superficie” es el punto de partida para
este proceso. La forma intuida no satisface nunca
plenamente las condiciones de equilibrio estático, por lo
cual las iteraciones son necesarias para alcanzar el
resultado final.
El término form-finding, usado en relación con la
modelación computacional, puede significar lo siguiente:
(i) Encontrar una forma optima de la membrana
tensionada (ej. una superficie mínima estable).
(ii) Encontrar una forma para la membrana en tensión
que este en equilibrio estático, pero no necesariamente
tenga una superficie con tensionada constante.
(iii) Encontrar una forma , que se aproxime al estado de
completo equilibrio estático (que en algunas ocasiones se
acompaña de una metodología de patronaje).
El diseño estructural para las techumbres de las
instalaciones olímpicas de Munich 72, se realizó con
base en modelos físicos. El modelo del estadio se realizó
a una escala 1:125, pero las mediciones convencionales
probaron las inexactitudes para la generación del
patronaje para la estructura a escala real. El problema de
En el segundo caso (ii), la condición de constante
esfuerzo es relajada. La forma estructural resultante esta
en equilibrio estático, pero, como ya se indico, la
superficie no tiene un esfuerzo constante y homogeneo.
En el primer caso (i), los bordes de la estructura ya estan
pre-establecidos, y los algoritmos numéricos son
construidos de tal manera que permitan que la superficie
adopte su propia configuración geométrica, acorde con el
principio neutral de la superficie con un constante y
homogeneo esfuerzo.
158
P: Presión (kg/m2)
R1: Radio de 1ª curvatura
R2: Radio 2ª curvatura
S1: Esfuerzo 1ª dirección
S2: Esfuerzo 2ª dirección
P
S 2 S1

R 2 R1
Ecuación de Equilibrio de
fuerzas en una membrana
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
d) Cimentaciones de Tensoestructuras
Tipo 1. Cimentación mixta entre
compresión y pilotes de tensofricción
zapata
de
El mastil apoya sobre la clásica zapata de concreto
reforzado, mientras que los tensores confluyen en un
cabezal del cual nacen los pilotes de friccion/tensión
inclinados. La función del cabezal es transferir los
esfuerzos que transmiten los cables hacia los respectivos
pilotes que trabajan por fricción con el terreno que lo
circunda.
El coeficiente de fricción se obtiene por ensayos de
suelos y depende del ángulo de rozamiento interno de
cada suelo. Suele variar entre 0.1 y 0.5 kg/cm2
aproximadamente. Por consiguiente, la capacidad
resistente de los pilotes se puede calcular, en principio,
multiplicando su superficie total por el coeficiente de
fricción del suelo y por el número de pilotes, según la
siguiente ecuación:
Tipo 2. Cimentación mixta de zapata de compresión
combinada con pilotes verticales (compresióntensofricción)
Constructivamente resulta complicado colocar en el
terreno los pilotes inclinados, siendo más sencilo
ubicarlos en posición vertical. En este caso, la carga
inclinada que transmiten los cables se descompone en
una vertical V que toman los pilotes, y una horizontal H
que tiende a provocar el desplazamiento del cabezal, lo
que obliga a colocar una trabe de liga conectada con la
zapata, y que al combinarse con la carga vertical que
esta recibe del mástil genera una resultante inclinada, y
consecuentemente una zapata también inclinada. Un
problema serio en este sistema es el momento de volteo
en la trabe, al tener fuerzas en sentidos contrarios en sus
extremos (compresión hacia habajo y tensión hacia
arriba).
Tipo 3. Cimentación mixta de pilotes de tensión
(fricción) y compresión (punta o fricción)
P  DL f No
En donde:
No= Cantidad de pilotes
L= Longitud de los pilotes
El mástil y los tensores han sido remplazados por un
sistema de marcos rígidos, que posee la ventaja de
permitir su aprovechamiento funcional. La resultante de
las reacciones en ambas columnas provocan un
Momento de Volteo que hace trabajar el pie izquierdo del
marco a compresión y el pie derecho, en principio, a
tensión. Esto da lugar a una cimentación con pilotes de
tensión y compresión. Si el peso de los marcos llegase a
ser muy elevado superando a la tensión generada por el
momento de volteo en el pie derecho, este se hallaría
también comprimido. La cimentación con pilotes de
compresión resulta aconsejable cuando la capa
resistente del terreno se encuentra a una profundidad
mayor de 7 mts.
f= Coeficiente de fricción
D=Diámetro de los pilotes
Si de todas maneras se desea hacer la base recta, esta
se puede ejecutar como se indica en la figura (inferior)
con una doble zapata que absorba las respectivas
componentes vertical y horizontal.
159
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
una reacción igual o mayor a la componente vertical V de
la carga de tensión transmitida por los cables o barras en
general.
Tipo 4. Zapata unificada
Se denomina así porque se unifican en una misma
zapata la cimentación de ambos pies del marco, si la
capacidad resistente del terreno lo permite. Se suele
preferir esta solución en estructuras importantes.
En estos casos se genera una excentricidad que
tiende a hacer girar la base como se indica en la figura, lo
que obliga a verificar que la resultante entre las cargas
del mástil y los tensores se encuentre dentro del núcleo
central para asegurarse que toda la base apoye sobre el
terreno, o sea que:
e
b
6
Si ello no fuera posible, se admite como máximo, que la
mitad del terreno esté comprimido, lo que se logra
cuando la excentriciad es igual o menor a la tercera parte
de la dimensión de la base, o sea que:
e
b
3
Tipo 4. Solución de Zapata y lastre
Son
cimentaciones
de
tensión
y
resulta
económicamente aconsejable su adopción para cargas
relativamente
reducidas
que
no
superen
aproximadamente 7 toneladas. Consisten básicamente
en un volumen prismático de concreto cuya masa genere
160
La carga de tensión T se descompone en una vertical V
que tiende a arrancar el bloque y otra horizontal H que
tiende a desplazarlo. El desplazamiento se evita por el
rozamiento de la masa con el suelo, debiendo verificarse
para ello que:
A f  2 H
En donde:
f= coeficiente de fricción entre el suelo y el concreto
A= Área de la base3 del bloque de concreto
2= Coeficiente de seguridad
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
ANEXO: TABLAS DE ESTRUCTURAS
Pesos volumétricos de los materiales
Material
Arenisca (chilucas y canteras)
Basaltos (piedra braza)
Granito
Mármol
Riolita
Pizarras
Tepetates
Tezontles
Caliza
Arena de grano de tamaño uniforme
Arena bien granulada
Arcilla típica del valle de México
Caliche
Concreto simple con agregados de peso normal
Concreto reforzado
Mortero de cal y arena
Mortero de cemento arena
Aplanado de yeso
Tabique macizo hecho a mano
Tabique macizo prensado
Bloque hueco de concreto ligero
Bloque hueco de concreto
Bloque hueco de concreto prensado
Vidrio plano
Caoba, encino y pino
Vigueta y Bovedilla (sin capa de compresión)
Block estruido c/perforaciones
Azulejo
Mozaico de pasta
Granito o terrazo de 30 x 30
Loseta asfáltica
Mamposterías de piedras naturales
Acero
Vidrio
Aluminio
Peso
volumétrico en
ton/m3
2.50
2.65
3.20
2.60
2.55
2.85
1.95
1.55
2.85
2.10
2.30
1.50
2.10
2.20
2.40
1.50
2.10
1.50
1.50
2.20
1.30
1.70
2.20
3.10
1.00
120 kg/m2
120.5 kg/m2
15 kg/m2
35 kg/m2
55 kg/m2
10 kg/m2
2.5
7.9
2.6
2.7
Pesos volumétricos de los materiales (continua)
Material
Peso
volumétrico en
ton/m3
50 kg/m2
10 kg/m2
4 kg/m2
60 kg/m2
1.15
Muro de Tablarroca (Ambas caras c/hoja de 1.25 cm de yeso)
Lámina de asbesto
Madera contrachapeada (6mm)
Cielo raso c/malla y yeso (25mm)
Papel
Diámetros, pesos y áreas de varillas
Numero de varillas

pulg
¼
5/16
3/8
½
5/8
¾
7/8
1
1 1/8
1¼
1 3/8
1 1/2
#
2
2.5
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

cm
0.64
0.79
0.95
1.27
1.59
1.90
2.22
2.54
2.86
3.13
3.49
3.81
Peso
kg/m
0.24
0.38
0.55
0.99
1.55
2.23
3.02
3.97
5.02
6.207
7.51
8.93
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.32
0.49
0.71
1.27
1.98
2.85
3.88
5.07
6.41
7.92
9.58
11.40
0.64
0.98
1.42
2.54
3.96
5.70
7.76
10.14
12.62
15.84
19.16
22.80
0.96
1.47
2.13
3.81
5.94
8.55
11.64
15.21
19.23
23.76
28.74
34.20
1.28
1.96
2.84
5.08
7.92
11.40
15.52
20.28
25.64
31.68
38.32
45.60
1.60
2.45
3.55
6.35
9.90
14.25
19.40
25.35
32.05
39.60
47.90
57.00
1.92
2.94
4.26
7.62
11.83
17.10
23.28
30.42
38.46
47.52
57.48
68.40
2.24
3.43
4.97
8.89
13.86
19.95
27.16
35.49
44.87
55.44
67.06
79.80
2.56
3.92
5.68
10.16
15.84
22.80
31.04
40.56
51.28
63.36
76.64
91.20
2.88
4.41
6.39
11.43
17.82
25.65
34.92
45.63
57.69
71.28
86.22
102.6
3.20
4.90
7.20
12.70
19.80
28.50
38.80
50.70
64.10
79.20
95.80
114.0
Valores máximos admisibles de la relación ancho/grueso (flexión)
Descripción del
elemento
Patines de secciones
I, H o T, y canales, en
flexión
Patines de secciones
en cajón, laminadas o
soldadas en flexión
Tipo 1
Tipo 2
460 / fy
540 /
9.14 si fy=2530
10.73 si fy=2530
16.50 si fy=2530
1600 /
1600 /
2100 / fy
fy
fy
Tipo 3
fy
830 /
fy
31.81 si fy=2530
31.81 si fy=2530
41.75 si fy=2530
Nota: todos los valores por encima del máximo para la sección tipo 3, son tipo 4.
161
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Determinación del coeficiente sísmico
En general los coeficientes sísmicos se determinan de acuerdo con:
a) Clase de terreno
b) Tipo de construcción
c) Grupo estructural (NTC)
Coeficientes sísmicos para edificios del grupo B en el Valle de México.
Tipo de
Terreno alta
Terreno baja
estructuración
compresibilidad
compresibilidad
1
0.40
0.32
2
0.40
0.32
3
0.40
0.32
Para edificios del grupo A estos coeficientes deben multiplicarse por 1.5
 Las construcciones del tipo C no requieren cálculo antisísmico.
El terreno puede ser de alta o baja compresibilidad.
Baja  tepetatoso, rocoso
Alta  fangoso, arcilloso
Tipos de construcción:
Tipo 1. Edificios en estructuras
Tipo 2. Edificios sobre muros de carga
Tipo 3. Construcciones sobre apoyos, en el sentido en que se analizan, como
chimeneas, monorrieles o viaductos.
Grupos de edificios:
Grupo A. Alojan un gran número de personas, contienen instalaciones
importantes o encierran cosas de gran valor.
Grupo B. Intermedios o normales
Grupo C. No requieren la intervención de un técnico, y la falla ante sismo no
implica la pérdida de vidas o grandes daños.
Capacidades de carga promedio para distintos
2
tipos de terrenos, en ton/m
Tipo de terreno
Ton/m2
Suelo arcilloso típico de la ciudad de México
Suelo acuoso
Arcilla suelta
Arcilla compacta
Arena mojada
Arena revuelta con arcilla
Arena seca fina
Arcilla dura
Arena gruesa seca
Grava
Grava y arena bien cimentadas
Arcillas o pizarras duras
Roca media
Roca sólida
3.0
4.9
9.8
19.5
19.5
19.5
29.3
39.1
39.1
58.6
78.1
97.6
195.3
781.2
En los lugares de la República que corresponden a las zonas de temblores más intensos,
más cercanos a los epicentros, y sobre terrenos rocosos se recomiendan los siguientes
coeficientes
Tipo de Estructura
1
2
3
Coeficiente
0.12
0.15
0.18
Tabla de cargas vivas unitarias en kg/m2 (NTC)
Destino de piso o cubierta
Habitación (casa habitación, departamentos, viviendas, dormitorios, cuartos de hotel,
internados de escuelas, cuarteles, cárceles, correccionales, hospitales y similares)
Oficinas, despachos y laboratorios
Comunicación para peatones (pasillos, escaleras, rampas, vestíbulos y pasajes de
acceso libre al público)
Estadios y lugares de reunión sin asientos individuales
Otros lugares de reunión (templos, cines, teatros, gimnasios, salones de baile,
restaurantes, bibliotecas, aulas, salas de juego y similares)
Comercios, fábricas y bodegas
Cubiertas y azoteas con pendiente no mayor de 5 %
Cubiertas y azoteas con pendiente mayor de 5 %
Volados en vía pública (marquesinas, balcones y similares)
Garajes y estacionamientos (para automóviles exclusivamente)
162
Carga
170
250
350
450
350
350
100
40
300
250
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Factor de longitud efectiva de columnas (K)
Tipo de articulación
Simbología
Rotación y traslación
impedidos
Valor de K
0.65
Rotación libre y
traslación impedida
Rotación impedida y
traslación libre
0.80
Rotación libre y
traslación libre
1.2
Losa de concreto reforzado para escaleras con carga viva de 500 kg/m2
Claro Horizontal (m)
Espesor total de la
losa (cm)
Acero de refuerzo en
tensión
1.50
1.80
2.10
2.40
2.70
3.00
3.30
3.60
3.90
4.20
4.50
7.5
7.5
9.0
10.0
10.0
11.5
13.0
14.0
14.0
16.5
18.0
#3 @ 16.5 cm
#3 @ 11.5 cm
#4 @ 18.0 cm
#4 @ 16.5 cm
#4 @ 12.5 cm
#5 @ 18.0 cm
#5 @ 16.5 cm
#5 @ 15.0 cm
#5 @ 12.5 cm
#6 @ 18.0 cm
#6 @ 16.5 cm
1.0
2.1
Morteros en elementos Estructurales (NTC)
Tipo de
Mortero
I
2.0
II
III
163
Partes de
Cemento
Hidráulico
1
Partes de
Cemento.
Albañilría.
--
Partes
de Cal
Partes de Arena
0a¼
1
1
1
1
0a½
-½ a1
--
-¼ a½
-½ a1¼
No menos de 2.25 ni
mas de 3 veces la
suma de cementantes
en volumen
Resistencia
nominal f*j
(kg/cm2)
125
75
40
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Tabla de valores para Diseño de Domos
2
(Los valores de N, M, N y Q están calculados por 1 kg/m2 de superficie curvada, por lo cual se tienen que multiplicar por el peso máximo en la membrana por m Ph2)
D
a
R
s
b
d
qd
qb
A
qD
fb
V
 h1 h2
N
M
N
Q
1404.7
120
268
0.01 13.4
13.7 -0.42 -6.89
-1.16
12 1.49 12.77 28 7.5 18 2.55 25 70 206.97
265.50 0.01 15.8
16.5 -0.46 -7.54
-1.27
13 1.63 13.95 28 7.5 18 2.70 25 70 205.95 1178.62 143
204.9
988.9
171
262.34 0.02 18.6
19.7 -0.50 -8.25
-1.39
14 1.78 15.22 28 7.5 18 2.78 25 70
203.9
875.8
193
260.19 0.03 20.8
22.3 -0.52 -8.78
-1.48
15 1.89 16.18 28 7.5 18 2.87 25 70
17.14 28 7.5 18 2.95 25 70
203.9
119.97
216
258.26 0.03 23.2
25.1 -0.55 -9.31
-1.57
16 2.0
629.29
244
256.22 0.03
26
28.4 -0.58 -9.90
-1.68
17 2.13 18.21 28 7.5 18 3.04 25 70 202.89
899.26
270
298.63 0.03 33.6
27.3 -0.75 -10.39 -1.77
18 2.24 19.16 28 9 20 3.33 28 80 241.64
798.32
304
296.59 0.03 37.5
30.8 -0.79 -11.04 -1.98
19 2.38 20.34 28 9 20 3.43 28 80 240.62
239.6
706.56
344
294.45 0.04 42.1
34.9 -0.83 -11.75 -2.01
20 2.34 21.61 28 9 20 3.54 28 80
239.6
630.1
368
292.52 0.04 46.9
39.2 -0.87 -12.46 -2.14
21 2.68 22.89 28 9 20 3.64 28 80
596.45
408
291.60 0.04 49.9
41.4 -0.89 -12.82 -2.21
22 2.75 23.53 28 9 20 3.69 28 80 238.58
527.12
461
289.56 0.05 55.4
46.9 -0.94 -13.67 -2.36
23 2.93 25.02 28 9 20 3.81 28 80 238.58
623.98
481
347.78 0.04 69.5
43.0 -1.25 -13.94 -2.52
24 2.99 25.58 28 10 25 4.23 30 100 275.25
552.61
543
344.92 0.04 77.8
48.6 -1.32 -14.84 -2.69
25 3.17 27.15 28 10 25 4.36 30 100 272.23
27.9 28 10 25 4.41 30 100 271.21
524.06
573
343.70 0.04 81.88 51.3 -1.3 -15.26 -2.77
26 3.6
28.7 28 10 25 4.48 30 100 271.21
493.47
608
342.37 0.05 96.5
54.5 -1.38 -15.74 -2.86
27 3.36
436.38
687
339.62 0.05
97
61.6 -1.45 -16.77 -3.05
28 3.57 30.59 28 10 25 4.62 30 100 270.19
417.53
726
388.4 0.05 102.1 65.1 -1.49 -17.25 -3.15
29 3.67 31.41 28 10 25 4.68 30 100 270.19
674.96
751
428.86 0.04 134.7 61.6 -2.02 -17.51
-3.4
30 3.74 31.94 28 13 29 5.18 30 120 346.65
600.5
844
422.2 0.05
148
69.2 -2.12 -18.59 -3.62
31 3.96 33.86 28 13 29 5.33 30 120 345.63
564.84
898
420.68 0.05
157
73.6 -2.18 -19.2
-3.74
32 4.09 34.92 28 13 29 5.41 30 120 345.63
532.22
953
419.25 0.06 166.1 78.1 -2.23 -19.81 -3.87
33 4.21 35.99 28 13 29 5.49 30 120 344.62
501.63 1010 417.92 0.06 175.5 82.8 -2.29 -20.41 -3.99
34 4.33 37.05 28 13 29 5.57 30 120 344.62
37.2 28 13 29 5.59 30 120 344.62
496.53 1022 417.62 0.06 177.4 83.7 -2.30 -20.54 -4.02
35 4.36
465.94 1087 416.19 0.06 188.1 89.0 -2.35 -21.17 -4.16
36 4.50 38.44 28 13 29 5.68 30 120 343.6
Nota: signo positivo (+) indica tensión y signo negativo (-) compresión. Todos los datos fueron obtenidos a partir de las ecuaciones para domos planteadas en: WILBY, C. B., Concrete Dome Roofs,
Essex 1993, edit. Longman.
Notación:
D (mts.): diámetro del domo; a (mts): altura del domo; R (mts): radio de la curvatura;  (o): ángulo de la curvatura; h1 (cm): peralte del domo en la parte más delgada (corona); h2 (cm): peralte del
domo en la parte más ancha (arranque); s (mts): distancia a partir del arranque en que se cambia de peralte; b (cm): base de la viga perimetral de apoyo; d (cm): peralte de la viga perimetral de apoyo;
qd (kg/m2): peso propio de la membrana en lo más delgado; qb (kg/m2): carga máxima de seguridad en la membrana; A (m2): área cubierta por el domo; qD (kg/m2): peso propio de la membrana en la
parte más gruesa; fb (kg/cm2): esfuerzo en la fibra última inferior de la viga; V (m3): volumen de concreto necesario para realizar el domo; N (kg/m): fuerza en el domo en el sentido meridional; M (kgm): momento respecto al eje horizontal de la viga; N (kg/m): fuerza en el domo en el sentido de los arcos; Q (kg/m): fuerza cortante radial en la membrana.
164
Dimensiones aproximadas de miembros estructurales
Viga
a. Ligeramente cargada d 
b. Altamente cargada d 
L
20
L
18
Losa
L
Simplemente soportada d 
30
Cantiliber
En cantiliber d 
L
7
Armadura
Simplemente soportada d 
Marco
d
L
40
Armadura espacial
En dos direcciones d 
En una dirección d 
L
15
L
40
L
14
Peso de losa de azotea tradicional (Kg/m2)
Elemento
Cantidad
Peso
Losa de concreto reforzado
0.13
2400
Tezontle
0.25
1550
Mortero cemento-arena
0.05
2100
Enladrillado
0.025
1500
Impermeabilizante
2
10
Plafón de yeso
0.025
1500

+ Carga Viva 100
X Factor de Seg. 1.4
Peso de losa de Entrepiso p/casa Habitación (Kg/m2)
Elemento
Cantidad
Peso
Losa de concreto reforzado
0.13
2400
Mortero
0.025
2100
Mármol
0.03
2600
Plafón de Yeso
0.025
1500

+ Carga Viva 250
X Factor de Seg. 1.4
Peso de losa de Entrepiso p/oficinas (Kg/m2)
Elemento
Cantidad
Peso
Losa de Concreto reforzado
0.15
2400
Mortero
0.025
2100
Granito
0.03
3200
Plafón de yeso
0.025
1500

+ Carga Viva 350
X Factor de Seg. 1.4
Elemento
Trabe de Concreto 20 x 40 (ml)
Trabe de Concreto 30 x 60 (ml9
Trabe de Concreto 40 x 80 (ml)
Trabe de Concreto 50 x 100 (ml)
Trabe de Concreto 60 x 120 (ml)
Columna de Concreto 40 x 40 (ml)
Columna de Concreto 50 x 50 (ml)
Columna de Concreto 60 x 60 (ml)
Columna de Concreto 70 x 70 (ml)
Columna de Concreto 80 x 80 (ml)
Perfil de Acero IE 457 x 104 (ml)
Perfil de Acero IE 610 x 180 (ml)
Perfil de Acero IR 457 x 177 (ml)
Perfil de Acero IR 686 x 264 (ml)
Muro TRR (m2)
Muro Block hueco de concreto (m2)
Muro Block hueco prensado (m2)
Total
312
375
105
37.5
20
37.5
887
987
1381.8
Total
312
52.5
78
37.5
480
730
1022
Total
360
52.5
96
37.5
546
896
1254.4
Peso
192
432
768
1200
1728
384
600
864
1176
1536
104
180
177
264
225
255
330
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Cable flexible (6 cordones-19 alambres-1 alma textil)
Diámetro
del cable
(cm)
0.476
0.6
0.635
0.7
0.8
0.9
0.953
1.10
1.20
1.27
1.40
1.60
1.70
1.90
2.10
2.20
2.40
2.54
2.70
2.80
2.90
3.10
3.20
3.40
3.60
3.80
4.0
Peso
aprox.
(Kg/m)
0.088
0.155
0.150
0.177
0.236
0.300
0.340
0.450
0.530
0.580
0.690
0.915
1.000
1.310
1.620
1.780
2.170
2.320
2.720
2.930
3.050
3.560
3.730
4.280
4.910
5.300
5.810
11,000
Kg/cm2
1000
1570
1720
2070
2750
2540
3900
5230
6290
6770
7970
10840
11910
15370
19300
20700
25210
26800
31900
33700
35550
41380
43430
49850
56720
61440
66580
Cargas de ruptura en kilogramos
12,500
14,000
16,000
17,500
Kg/cm2 Kg/cm2 Kg/cm2 Kg/cm2
1140
1280
1460
1600
1780
2000
2280
2500
1960
2190
2510
2740
2360
2640
3020
3300
3130
3510
4010
4380
4020
4500
5150
5630
4430
4970
5680
6210
5950
6600
7610
8330
7150
8000
9150
10010
7700
8620
9850
10780
9060
10150
11600
12680
12320
13800
15770
17250
13530
15160
17320
18950
17470
19570
22360
24460
21930
24570
24080
30710
23520
26340
30110
32930
28650
32080
36670
40110
30460
34110
38990
42640
36250
40600
46400
50750
38300
42890
49020
53620
40400
45240
51710
56560
47020
52660
60190
65830
49360
55280
63180
69100
56650
63440
72510
79310
64460
72190
82510
90240
69820
78200
89370
97750
75660
84740
96840
105927
19,000
Kg/cm2
1740
2710
2980
3590
4760
6110
6740
9040
10860
11700
13770
18730
20570
26560
33340
35750
43540
46300
55100
56210
61400
71470
75030
86100
97980
106130
115000
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Identidades trigonométricas básicas
b Cateto  opuesto

c
Hipotenusa
a Cateto  adyacente
cos  
c
Hipotenusa
b
Cateto  opuesto
tan   
a Cateto  adyacente
sen 
b = Cateto opuesto
a= Cateto adyacente
c= Hipotenusa
Funciones trigonométricas inversas
y
 y
  ar cos eno     sen 1   
r
r
 x
 x
  arco cos eno     cos 1   
r
r
 y
 y
  ar cot angente     tan 1   
x
x
Ley del Coseno
a 2  b 2  c 2  2 ab  cos A
b 2  a 2  c 2  2 ac  cos B
c 2  a 2  b 2  2ab  cos C
Fuente: Perlés, Pedro, “Temas de estructuras especiales”, Buenos Aires 2003, edit. Nobuko
Teorema de Pitágoras
Ley del Seno
r x y
a
b
c


senA senB senC
2
166
2
2
Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Bibliografía
ADAMS, David K., The estructural engineer´s
professional training manual, McGraw-Hill 2008.
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AMBROSE, James y Dimitry VERGUN, Design for
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AMDROC A.C., Manual del DRO, México 2006, edit.
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AMERICAN CONCRETE INSTITUTE, Comité 352,
Diseño de Juntas viga-columna en estructuras de
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AMERICAN CONCRETE INSTITUTE, Concrete Shell
Structures Practice and Commentary, reported by
Committee 344, EEUU 1997, edit. ACI.
AMERICAN CONCRETE INSTITUTE, Reglamento de las
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Manual de Diseño y Cálculo de Estructuras
Contenido
Introducción
Capítulo I. Introducción al Diseño Estructural
a) El sistema métrico
b) La gráfica de esfuerzo-deformación
c) Acciones-Estructura-Respuesta
d) Formas de estructuración
e) La estructura y la envolvente del edificio
f) El proceso de diseño y cálculo estructural
g) Consideraciones sísmicas en el diseño estructural
h) Estabilidad del edificio
i) Periodo fundamental de vibración
j) Diseño de juntas sísmicas
k) El diseño estructural reconsiderado
Capítulo II. Estática y Resistencia de Materiales en las
Estructuras
a) Equilibrio
b) Propiedades de las secciones
c) Propiedades geométricas de las secciones
d) Armaduras planas
e) Estabilidad
f) Cortantes y momentos en vigas
g) Dimensionamiento de vigas
Capítulo III. Pesos y cargas en las estructuras
Capítulo IV. Revisión de Estructuras de Concreto
Reforzado y Mampostería
a) Carga axial
b) Revisión sísmica de elementos a compresión
c) Muros de concreto
d) Muros de mampostería
e) Revisión sísmica de muros
f) Tensión
g) Flexión simple
h) Cortante
i) Cimentaciones superficiales (mampostería)
j) Normas NMX de estructuras de mampostería
estructural
k) Especificaciones para estructuras de mampostería
Capítulo V. Diseño de Estructuras de Concreto
Reforzado
a) Diseño por viento
b) Cimentación (zapatas)
c) Contratrabes para zapatas
d) Cimentaciones profundas
e) Losas (una dirección)
f) Losas (dos direcciones)
g) Vigas
h) Ecuaciones para vigas isostáticas
i) Losas nervadas
j) Vigas hiperestáticas
k) Vigas T
l) Muros de contención
m) Columnas
n) Revisión sísmica de columnas
o) Estructuras hiperestáticas
p) Longitud de desarrollo en acero de refuerzo
q) Normas NMX de estructuras de concreto reforzado
r) Normas SCT para cimentaciones
s) Especificaciones para estructuras de concreto
reforzado
Capítulo VI. Diseño de Estructuras de Acero y Madera
a) Tensión
b) Compresión
c) Armaduras
d) Flexión
e) Cortante
f) Losacero
g) Conexiones soldadas
h) Conexiones atornilladas
i) Chapas de continuidad
j) Placas en columnas
k) Estereoestructuras
l) Normas NMX de estructuras de acero estructural
m) Normas NMX para sistemas de piso
n) Especificaciones de estructura metálica
o) Especificaciones de losacero
p) Tensión (madera)
q) Compresión (madera)
r) Flexión (madera)
s) Cortante (madera)
t) Normas NMX de estructuras de madera estructural
Capítulo VII. Estructuras de Cascarón
a) Introducción
b) Comportamiento mecánico
c) Domos
d) Bóvedas dípteras
e) Paraboloides hiperbólicos
f) Placas dobladas
169
g) Form finding
Capítulo VIII. Tensoestructuras
a) Introducción
b) Cables a tensión
c) Estructuras de membrana
d) Cimentaciones de tensoestructuras
Anexo: Tablas de Estructuras
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