tex-Dik

Universidad Nacional Santiago Antúnez de Mayolo
Facultad de Ciencias
Escuela Profesional de Matemática
Método Monótono para
Ecuaciones Diferenciales Difusas
TESIS PARA OPTAR EL TÍTULO DE
LICENCIADO EN MATEMÁTICA
PRESENTADO POR:
Bach: DIK DANI LUJERIO GARCIA
HUARAZ - PERÚ
2016
A Emigdia Garcia Cordova
y
Tito Lujerio Rondan
Agradecimientos
A todos los que ven y oyen esto.
Inicio de las leyes orgánicas. Juan Carlos I
Me gustaría que estas líneas sirvieran para expresar mi más profundo y sincero
agradecimiento a todos aquellos que han compartido conmigo la aventura de aprender.
Agradezco a aquellas grandes personas que hacen posible el conocimiento en las
aulas de la escuela profesional de matemática de la UNASAM. A mis compañeros de
la generación, por todos los buenos y malos momentos que vivi con ellos. A todos los
que alguna vez han compartido sus conocimientos para enriquecernos todos.
Agradezco a mi amigo y asesor MSc. Miguel Yglesias Jauregui por los consejos de
siempre. Gracias Dr. Bibiano Martín Cerna Maguiña por ser un gran amigo y por
motivarme a realizar la maestría.
Agradesco a todos los profesores del IME-UFG, en especial al Dr. João Carlos da
Rocha Medrado por iniciarme en el mundo de los Sistemas Dinámicos y a la Dra.
Marina Tuyaku Mizukoshi por la motivación a continuar y profundizar en esta área.
A mis padres quienes me han heredado el tesoro más valioso que se puede dar a
un hijo, amor. Quienes sin escatimar esfuerzo alguno han sacrificado gran parte de
su vida, que me han formado y educado. A quienes la ilusión de su existencia ha sido
verme convertida en persona de provecho. A quienes nunca podré pagar con las riquezas
mas grandes del mundo . A ellos los seres universalmente más queridos sinceramente
Gracias.
iii
Resumen
Dik Dani Lujerio Garcia. Método Monótono para Ecuaciones Diferenciales Difusas. HUARAZ - PERÚ, 2016. 118p. Tesis de Licenciatura.
Universidad Nacional Santiago Antunez de Mayolo.
En este trabajo se estudian las técnicas monótonas iterativas para el Problema de
Valor Inicial (PVI) de ecuaciones diferenciales difusas no lineales a fin de obtener
soluciones en un conjunto cuyos extremos son funciones difusas. Se consideran las
secuencias {αn } y {βn }, las cuales para cada n son soluciones únicas para ecuaciones
lineales difusas de la forma u0 (t) = −M u(t) + σ(t), u0 (t) = M u(t) + σ(t) ou u0 (t) +
M u(t) = σ(t). Por otra parte, se demuestra que {βn } y {αn } convergen para las
soluciones maximal e minimal, respectivamente, del Problema de Valor Inicial (PVI)


u0 (t) = f (t, u(t)),
 u(0) = u ,
0
donde u(t) es un número difuso compacto y convexo. Para estudiar los principales
resultados de este trabajo son discutidos propiedades y preservación de orden en
convergencia, resultados de existencia y unicidad para algunos problemas difusos
lineales, resultados de comparación difuso y un critério de compacidad en espacios
de funciones difusas.
Palabras–clave
Ecuación diferencial difusa, problema de valor inicial difuso, resultados de comparación, solucion inferior y superior difuso, método monótono.
iv
Abstract
Dik Dani Lujerio Garcia. Método Monótono para Ecuaciones Diferenciales Difusas. HUARAZ - PERÚ, 2016. 118p. Thesis, University Santiago
Antunez de Mayolo .
In this work is studied the monotone iterative method to the Initial Value Problem
(IVP) for non-linear fuzzy differential equations to obtain solutions in a set whose
extremes are given by fuzzy functions. Let {αn } and {βn } be sequences, which for
each n are unique solutions for fuzzy linear equations of the form u0 (t) = −M u(t) +
σ(t), u0 (t) = M u(t) + σ(t) or u0 (t) + M u(t) = σ(t). Besides, is proved that {βn } and
{αn } converge for maximal and minimal solutions respectively of the Initial Value
Problem (IVP)


u0 (t) = f (t, u(t)),
 u(0) = u ,
0
in which u(t) is a convex fuzzy number. To study the principal results in this work,
are discussed properties and preservation order of convergence, existence and uniqueness for certain linear fuzzy problems, fuzzy comparison results and a compactness
criteria in spaces of fuzzy functions.
Keywords
Fuzzy differential equation, fuzzy initial value problem, comparison results, fuzzy
lower and upper solutions, monotone method.
v
Introducción
La dinámica poblacional modelada por ecuaciones diferenciales ordinarias la mayoría de veces esta llena de impresición o es incompleta, pues los valores de los coeficientes
de las ecuaciones diferenciales o de las condiciones iniciales, generalmente no son conocidos de forma exacta, principalmente si ellos son obtenidos a través de algunas
mediciones, estos están sujetos a errores.
Las incertezas fueron formalmente admitidas en las ciencias hace tres siglos y desde
entonces, el modelamiento de incertezas generalmente ha sido hecha a través de la
teoría estocástica. No entanto, en 1965 Lotfi A. Zadeh [28] introduce la Teoria Difusa
como una alternativa para modelar incertezas.
Asi cuando un sistema dinámico es modelado por una ecuación diferencial ordinaria donde las incertezas tienen naturaleza aleatoria, el modelo puede ser tratado por
medio de las ecuaciones diferenciales estocásticas. Sin embargo, si las incertezas fuesen
modelados por medio de subconjuntos difusos, la ecuación diferencial puede ser interpretada a través de: Ecuaciones diferenciales difusos, esto es a partir de la derivada
de Hukuhara [21, 14]; Inclusiones diferenciales difusos, que fue inicialmente estudiada
por Aubin [1, 17]; Extensión de la solución determinística [20], esto es via el principio
de la extensión de Zadeh. La diferenciabilidad e integrabilidade para funciones difusas
F : [c, d] ⊂ R → E n , fueron establecidos por Puri e Ralescu [21], quienes generalizaron los conceptos desenvolvidos para funciones con valores en Rn [9]. Estos conceptos
dieron início al estudio de Ecuaciones Diferenciales Difusos (EDD) por Kaleva [14],
Kloeden [15], Seikkala [25], entre otros.
La técnica iterativa monótona combinado con el método de soluciones superior
e inferior es una poderosa herramienta para el estudio de existencia y aproximación
de soluciones de ecuaciones de diferentes tipos (ordinárias, funcionales, fraccionarias,
ecuaciones integro-diferenciales, etc.), [10, 8, 16, 27]. El método monótono es importante para el análisis de ecuaciones no lineales y sistemas por reducirlas al estudio de
vi
Introducción
vii
secuencias de ecuaciones lineales.
El objetivo de éste trabajo es estudiar la existencia y aproximación de soluciones
para el Problema de Valor Inicial (PVI)


u0 (t) = f (t, u(t)),
 u(0) = u ,
0
(0-1)
en el conjunto de los números difusos compactos y convexos.
Se considera PVI’s asociados a las ecuaciones diferenciales difusas “lineales” de la
forma
u0 (t) + M u(t) = σ(t), u0 (t) = −M u(t) + σ(t), u0 (t) = M u(t) + σ(t),
(0-2)
y se ilustra, cómo la existencia de soluciones para el Problema de Valor Inicial de
Ecuaciones Diferenciales difusas no lineales (problema (0-1)) puede ser deducido considerando la existencia de un par adecuado de soluciones superior e inferior. Mas precisamente, si fuese posible obtener soluciones superiores e inferiores para el sistema
(0-1) satisfaciendo las hipótesis necesarias, el método monótono nos dará una manera
para construir secuencias {αn } y {βn }, las cuales para cada n, estas son soluciones
para PVI’s de ecuaciones lineales difusas (como en (0-2)) y convergen uniformemente
e monotónicamente para un par de soluciones maximal y minimal de (0-1).
El resultado principal de éste trabajo se refiere al desenvolvimiento de la técnica
monótona iterativa para el PVI difuso a fin de obtener soluciones extremas en un cierto
intervalo funcional difuso.
A fin de que el lector comprenda el desenvolvimiento del método monótono, esta
tesis se encuentra dividida en 4 partes.
En el capítulo 1 se presenta definiciones y propriedades básicas da teoría de conjuntos difusos, diferenciabilidad e integrabilidad de funciones difusas y concluimos dando
algunos conceptos generales sobre ecuaciones diferenciales difusas, [3].
En el capítulo 2 se define dos tipos de relaciones de orden y se estudia propiedades
relativas a la preservación de orden en la convergencia de secuencias de conjuntos y
funciones difusas. También se presenta un criterio de compacidad relativa en espacios de
funciones difusos, que será utilizado para aproximar soluciones por iteración , teniendo
una solución inferior o una solución superior como punto de partida, ver [24].
En el capítulo 3, analizamos la existencia de soluciones para los problemas de valor
Introducción
viii
inicial asociado a las ecuaciones difusas u0 (t) + M u(t) = σ(t), u0 (t) = −M u(t) + σ(t) y
u0 (t) = M u(t) + σ(t) con t ∈ I = [0, T ], ver [13].
En el capítulo 4, presentamos varios resultados de comparación para las soluciones
de ecuaciones diferenciales difusas “lineales”, los cuales son análogos a algunos de la
teoría clásica de EDO’s, ver [23].
Finalmente en el capítulo 5, se estudia el método monótono para un PVI de ecuaciones diferenciales difusas no-lineales. Los conceptos de solución superior e inferior son
definidos y se considera los tres tipos de problemas lineales auxiliares mencionados.
Haciendo uso de la existencia y unicidad de las soluciones de los problemas lineales y
teniendo en cuenta los resultados de comparación relativas a las ecuaciones diferenciales difusos lineares se desenvuelve la técnica iterativa monótona para el Problema de
Valor Inicial difuso (0-1). Es verificado la existencia de dos secuencias monótonas que
aproximan las soluciones extremas de (0-1) en un intervalo funcional difuso apropiado.
Ver [24].
Índice general
Agradecimientos
III
Resumen
IV
Abstract
V
Introducción
VI
1. Marco Teórico
1
1.1. Conjuntos Difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2. Métrica en el Espacio E n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3. Teorema de Representación y el Principio de Extensión de Zadeh . . .
11
1.4. Integral y Diferencial de Multifunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.5. Integrabilidad y Diferenciabilidad de Funciones Difusas . . . . . . . . .
20
1.5.1. Integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.5.2. Diferenciabilidad para Funciones Difusas . . . . . . . . . . . . .
23
1.6. Ecuación Diferencial Difuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2. Orden y Convergencia
29
2.1. Relaciones de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.2. Orden y Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.3. Criterio de Compacidad en Espacios de Funciones Difusos . . . . . . .
34
3. Ecuaciones Diferenciales Difusas Lineales
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Soluciones de los PVI’s difusos en E
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
39
41
ix
Conteúdo
x
4. Resultados de Comparación
62
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.2. Principio del Máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
5. Resultados y Discusión del Método Monótono en el Contexto Difuso
69
Conclusiones y Recomendaciones
114
Bibliografía
116
Índice de figuras
1.1. Función de pertenencia para números reales “ próximos a 1” . . . . . .
3
1.2. O a-nivel de un número difuso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3. Un conjunto difuso convexo con función de pertenencia no concava. . .
6
1.4. Número difuso triangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.5. Número difuso trapezoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.6. Extensión de Zadeh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.1. Relacion de orden parcial canónico "6" en E 1 . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.2. Relación de orden parcial "" en E 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.1. Puntos finales del conjunto a-nível de la solución del problema (3-14). .
46
3.2. Punto medio y diámetro de los conjuntos de nivel de la solución de (3-14). 47
3.3. Puntos finales del conjunto a-nivel de la solución para el problema (3-26). 55
3.4. Punto medio y diámetro de los conjuntos de nivel de la solución para
(3-26). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.5. Puntos finales del conjunto a-nivel de la solución del problema (3-29). .
58
3.6. Punto medio y diámetro del conjunto de nivel de la solución de (3-29).
59
3.7. Puntos finales del conjunto a-nivel de la solución del problema (3-29). .
60
3.8. Pontos finales del conjunto a-nivel de la solución del problema (3-29). .
60
xi
Capítulo 1
Marco Teórico
Por toda parte, en todos las ramas del
conocimiento, hay la tendencia para lo
cuantitativo, para la medida, de modo tal que
puede afirmarse que el estudio propiamente
científico de cada rama comienza cuando en
el se introduce la medida y el estudio de la
variación cuantitativa como explicación de la
evolución cualitativa.
B. J. Caraça
Este capítulo es dedicado a las definiciones y propiedades básicas de la teoría de
conjuntos difusos: también, conceptos de diferenciabilidad, integrabilidad y ecuaciones
diferenciales difusas son abordados.
La teoría de los conjuntos difusos fue introducida en 1965 por Lofti Asker Zadeh.
Segun Zadeh, dado un conjunto X, los subconjuntos usuales A ⊂ X pueden ser
identificados a partir de sus correspondientes funciones características χA , con
χA (x) =


1, si x ∈ A,
 0, si x ∈
/ A.
De esta forma χA es una función cuyo dominio es X e la imagen está contenida en
el conjunto {0, 1}, con χA (x) = 1 indicando que el elemento x está en A, en cuanto
χA (x) = 0 indica que x no es elemento de A. Así, la función característica describe
1
1.1. Conjuntos Difusos
2
completamente el conjunto A ya que tal función indica cuales elementos del conjunto
universo X son elementos de A.
La idea de Zadeh fue la de hacer que la imagen de valores de pertenencia de un
elemento a un conjunto pueda variar en el intervalo [0, 1] en lugar de limitarse a uno
de los valores del conjunto {0, 1}. Zadeh generalizó la idea de conjunto en el sentido
que el concepto de pertenencia de un elemento a un conjunto deja de ser un concepto
primitivo (en el sentido de un elemento pertenecer o no al conjunto) como en el caso
clásico. Así, dado un elemento, éste puede pertenecer parcialmente a un conjunto dado.
Por ejemplo, si quisiéramos describir o conjunto F = {x ∈ R : x está proximo de cero}
podemos definir el grado de pertenencia a F por:
u(x) =


1 − x2 , si x ∈ [−1, 1]

0, si x ∈
/ [−1, 1],
donde x ∈ R.
Note que u(0) = 1, significa que x = 0 pertenece totalmente al conjunto F y cuanto
mas x se aleja de cero su grado de pertenencia va disminuyendo (simétricamente) hasta
anularse fuera del intervalo [−1, 1]. Esta selección dice que si la distancia hasta x = 0
es mayor que 1 se puede afirmar que están “lejos” de cero.
Observe que la propriedad “próximo” de cero es subjetiva en el sentido que se podría
tener una infinidad de funciones u : R → [0, 1], definiendo el grado de pertenencia de
cada elemento de F.
Luego, son infinitas las posibles representaciones para términos subjetivos, mas la
idea central es que las funciones de pertenencia puedan reflejar de la mejor forma
posible las características mas relevantes del conjunto que deseamos representar. Para modelar matemáticamente un conjunto con las características del ejemplo encima,
Zadeh introduce el concepto de conjunto difuso.
1.1.
Conjuntos Difusos
Definición 1.1 Sea X un conjunto (clásico); un subconjunto difuso F de X es caracterizado por una función
uF : X → [0, 1],
1.1. Conjuntos Difusos
3
prefijada, llamada función de pertenencia del subconjunto difuso F. El índice de F en la
función de pertenencia es usado en analogía a la función característica de subconjuntos
clásicos.
El valor uF (x) ∈ [0, 1] indica el grado con que el elemento x de X está en el
conjunto difuso F; uF (x) = 0 y uF (x) = 1 indican, respectivamente, la no pertenencia
y la pertenencia completa de x al conjunto difuso F.
Un subconjunto difuso F es compuesto de elementos x de un conjunto clásico X,
provistos de un valor de pertenencia a F, dado por uF (x). Se puede decir que un
subconjunto difuso F de X es dado por un conjunto (clásico) de pares ordenados:
F = {(x, uF (x)), con x ∈ X}.
Observación: Para efecto de simplificación de notación el conjunto difuso F será
referenciado apenas a través de la función uF que lo caracteriza. De aquí en adelante u
denota a uF .
Ejemplo 1.2 La función de pertenencia del conjunto difuso de números reales “próximos de 1” puede ser definido como
2
u(t) = e−β(t−1)
donde β, t ∈ R, ver Figura 1.1.
Figura 1.1: Función de pertenencia para números reales “ próximos a 1”
Ejemplo 1.3 Obtener los puntos de R2 próximos a la recta y = mx + b, m, b ∈ R.
Se define el conjunto difuso cuya relación de pertenencia u es dada por u(p) =
1
, donde l es la recta y = mx + b y d(p, l) es la distancia del punto p a la
1 + d(p, l)
recta. Entonces u(p) = 1, si p = (x, y) satisface la ecuación y = mx + b, esto es p ∈ l y
1.1. Conjuntos Difusos
4
conforme el punto p se encuentra mas lejos de la recta, la función de pertenencia u(p)
se aproxima a cero.
El concepto de nivel de un conjunto difuso es bastante explorado por permitir la
utilización de los conceptos y/o estructuras matemáticas clásicas en el contexto difuso.
Definición 1.4 Sea u : R → [0, 1] un conjunto difuso y a ∈ [0, 1]. El conjunto a-nivel
de u es el conjunto
[u]a = {x ∈ R/u(x) ≥ a}, a > 0.
El soporte [u]0 de u es la cerradura en la topología de X de la unión de todos los
a-niveles, esto es,
[
[u]a .
[u]0 =
a>0
Figura 1.2: O a-nivel de un número difuso.
El conjunto formado por todos los subconjuntos difusos de X será denotado por
F(X).
A seguir, presentamos las principales propiedades de niveles de un conjunto difuso.
A pesar de no definir la suma de u, v ∈ F(X) en esta sección, debe estar claro que
u + v ∈ F(X) y λu ∈ F(X), vea Definición 1.30.
Proposición 1.5 Sean u, v ∈ F, entonces
1. u = v si y solo si, [u]a = [v]a , ∀ a ∈ [0, 1];
2. [u + v]a = [u]a + [v]a y [λu]a = λ[u]a , ∀a ∈ [0, 1];
3. [u]0 ⊃ [u]a ⊃ [u]b , ∀a ∈ [0, 1] 0 ≤ a ≤ b;
1.1. Conjuntos Difusos
5
a
4. Si u es semicontinua superior y an ↑ a ⇒ [u] =
∞
\
[u]an ; (o sea, la aplicación
n=1
nivel es continua a la izquierda)
5. [u]a 6= ∅, ∀a ∈ [0, 1], es equivalente a u(x) = 1 para algún x ∈ X;
Demostración. Puede consultar [7, 11, 19].
2
Las operaciones de unión, intersección y complemento entre conjuntos difusos pueden ser definidas en términos de sus grados de pertenencia. Sean u, v subconjuntos
difusos de X, entonces la unión u ∨ v, la intersección u ∧ v y el complemento uc son
subconjuntos difusos en F(X), cuyas funciones de pertenencia son definidas respectivamente por,
(u ∨ v)(x) = u(x) ∨ v(x) := máx{u(x), v(x)},
(u ∧ v)(x) = u(x) ∧ v(x) := mı́n{u(x), v(x)}
uc (x) = 1 − u(x).
Un conjunto difuso u ∈ F(X) es llamado conjunto difuso normal, si existe por lo
menos un punto x0 ∈ X tal que u(x0 ) = 1, y será llamado conjunto difuso convexo si
el conjunto [u]a es convexo para todo a ∈ [0, 1].
Proposición 1.6 Sea X un espacio vectorial. Un conjunto difuso u ∈ F es convexo
si y solamente si,
u(λx + (1 − λ)y) ≥ mı́n{u(x), u(y)},
para todo x, y ∈ [u]0 y todo λ ∈ [0, 1].
Demostración. La prueba se encuentra [19].
2
Ejemplo 1.7 Si u : X → [0, 1] es una función cóncava, i.e., si satisface la relación
∀ x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1] : u(λx + (1 − λ)y) ≥ λu(x) + (1 − λ)u(y), entonces u satisface
la hipótesis de la Proposición 1.6, esto es
u(λx + (1 − λ)y) ≥ λu(x) + (1 − λ)u(y) ≥ mı́n{u(x), u(y)},
luego este es un conjunto difuso convexo, mas la recíproca no siempre es válida como
demuestra la figura 1.3. De hecho, en esta figura los a-nivel de u son todos intervalos
1.1. Conjuntos Difusos
6
cerrados, luego conjuntos convexos y así u es un conjunto difuso convexo, no entanto
este no satisface la relación u(λx + (1 − λ)y) ≥ λu(x) + (1 − λ)u(y), por tanto no es
una función cóncava.
Figura 1.3: Un conjunto difuso convexo con función de pertenencia no concava.
Definición 1.8 Un número difuso u es un conjunto difuso de la recta real que es
normal, difuso convexo y posee función de pertenencia continua de soporte acotado. La
familia de números difusos se denota por E 1 .
Los números difusos no triviales mas comunes son los triangulares e los trapezoidales.
Definición 1.9 (Número difuso triangular) Un conjunto difuso u es llamado número
difuso triangular con pico (o centro) “c”, largura izquierda m > 0 e largura derecha
n > 0 si su función de pertenencia es de la siguiente forma





1 − (c − t)/m, si c − m ≤ t ≤ c
u(t) = 1 − (t − c)/n, si c ≤ t ≤ c + n



 0,
caso contrário
y usamos la notación u = (c; m, n). Luego, los a-niveles son dados por [u]a = [c − (1 −
a)m, c + (1 − a)n], ∀a ∈ [0, 1].
Un número difuso triangular con centro “c” puede ser visto como una cantidad difusa
” aproximadamente igual a c ”.
Ejemplo 1.10 (Número difuso trapezoidal) Un conjunto difuso u es llamado número difuso trapezoidal, con intervalo de tolerancia [c, d], largura izquierda m y largura
1.1. Conjuntos Difusos
7
Figura 1.4: Número difuso triangular.
derecha n si su función de pertenencia tiene la siguiente forma








u(t) = 






1 − (c − t)/m, si c − m ≤ t ≤ c
1
, si c ≤ t ≤ d
1 − (t − d)/n, si c ≤ t ≤ c + n
0
, caso contrario
La notación u = (c, d, m, n).
Utilizando la definición, se tiene que [u]a = [c − (1 − a)m, d + (1 − a)n] , ∀a ∈ [0, 1].
Figura 1.5: Número difuso trapezoidal .
Denote por KCn la familia de los compactos convexos no vacíos de Rn . La extensión
apropiada al contexto “difuso” de KCn es la familia E n .
Definición 1.11 E n es la familia de los subconjuntos “difusos” u : Rn → [0, 1] que
satisfacen las siguientes propiedades:
1. u es normal;
1.2. Métrica en el Espacio E n
8
2. u es difuso convexo;
3. u es semicontinuo superior, i.e., para cualquier y0 ∈ Rn y > 0 existe δ(y0 , ) > 0
tal que u(y) < u(y0 ) + siempre que ky − y0 k < δ, y ∈ Rn ,
4. [u]0 = {x ∈ Rn | u(x) > 0} es compacto.
De la Definición 1.11 sigue que el conjunto a-nível [u]a ∈ KC (Rn ), para todo 0 ≤ a ≤ 1.
1.2.
Métrica en el Espacio E n
Existen muchas métricas sobre el espacio de números difusos E n , y la mayoria de
estas son una extensión de la métrica de Hausdorff.
Sea x un punto en Rn y A un subconjunto no vació de Rn . La distancia d(x, A) de
x a A es definida por
d(x, A) = ı́nf{kx − ak : a ∈ A}
donde k · k es la norma euclidiana en Rn . Así, se tiene que d(x, A) = d(x, A) ≥ 0 y
d(x, A) = 0 si y solamente si x ∈ A, donde A es la cerradura de A ⊂ Rn .
Ahora, sean A y B subconjuntos no vacíos de Rn . Se define la separación de Hausdorff de B a partir de A por
d∗H (B, A) = sup{d(b, A) : b ∈ B}.
Se tiene que d∗H (B, A) ≥ 0 con d∗H (B, A) = 0 si y solamente si B ⊂ A. Así la
desigualdad triangular es verdadera para todo subconjunto A, B y C ∈ Rn . De la
definición de d∗H (·, ·), se tiene que en general
d∗H (B, A) 6= d∗H (A, B).
Definición 1.12 Se define la distancia de Hausdorff entre dos subconjuntos no vacíos
A y B de Rn por
dH (A, B) = máx{d∗H (B, A), d∗H (A, B)}.
De la Definición (1.12) se tiene que:
a) dH (A, B) ≥ 0 con dH (A, B) = 0 si y solamente si A = B;
1.2. Métrica en el Espacio E n
9
b) dH (A, B) = dH (B, A);
c) dH (A, B) ≤ dH (A, C) + dH (C, B),
para cualesquiera subconjuntos no vacíos A, B y C de Rn .
Considere los siguientes espacios:
i) C n consiste de todos los subconjuntos cerrados no vacíos de Rn ;
ii) Kn consiste de todos los subconjuntos compactos no vacíos de Rn .
Observación 1.13 Para subconjuntos no vacíos y cerrados de Rn la distancia de
Hausdorff en la Definición 1.12 es una métrica, conocida como la métrica de Hausdorff.
De la observación 1.13 se tiene que (C n , dH ) es un espacio métrico.
Proposición 1.14 [7] (C n , dH ) es un espacio métrico completo separable en el cual Kn
y KCn son subconjuntos cerrados. Consecuentemente, (Kn , dH ) e (KCn , dH ) también son
espacios métricos separables.
Las siguientes propriedades de espacio métrico de Hausdorff serán importantes en
el desenvolvimiento de las teorías de los Capítulos 3 y 5.
Proposición 1.15 [17] Sean A, B, C, D ∈ Kn , entonces
dH (tA, tB) = tdH (A, B), ∀t ≥ 0,
dH (A + C, B + D) ≤ dH (A, B) + dH (C, D).
(1-1)
(1-2)
Proposición 1.16 [2] Sean A, B ∈ KCn y C ∈ Kn , entonces
dH (A + C, B + C) = dH (A, B).
(1-3)
A continuación, se presenta una definición cuya aplicación tiene gran importancia
en el cálculo de integrales con valores en conjuntos.
Definición 1.17 Si A ∈ P(Rn ), A 6= ∅, se define la función soporte de A por
SA (x) = sup hx, ai
a∈A
donde < ·, · > es el producto interno en Rn , x ∈ Rn y P(Rn ) es el conjunto de las
partes de Rn .
1.2. Métrica en el Espacio E n
10
Teorema 1.18 [2] Sean A, B ∈ Kc , entonces:
1. SA+B = SA + SB .
2. SλA = λSA , λ ≥ 0.
3. A = B ⇔ SA = SB .
Teorema 1.19 [2] Sean A, B ∈ KC , entonces:
dH (A, B) = máx{SA (x) − SB (x) : kxk = 1}.
Definición 1.20 Sean u, v ∈ E n , la distancia de Hausdorff difuso d∞ : E n ×E n → R+
entre u y v es definida por
d∞ (u, v) = sup{dH ([u]a , [v]a ) : a ∈ I}.
Observación 1.21 De la Observación 1.13 y de la Definición 1.20 sigue que, d∞ es
una métrica sobre E n .
De las propiedades de la métrica de Hausdorff, Proposición 1.15 y 1.16 se tiene que:
d∞ (cu, cv) = | c | d∞ (u, v),
(1-4)
d∞ (u + w, v + w) = d∞ (u, v),
(1-5)
d∞ (u + w, v + r) ≤ d∞ (u, v) + d∞ (w, r),
(1-6)
para todo c > 0, y todo u, v, w, r ∈ E n .
Ejemplo 1.22 Considere el número difuso triangular x = (0; 1, 1) y el conjunto difuso
y definido por
y(t) =


1 − t2 , si t ∈ [−1, 1]
 0
, si t ∈
/ [−1, 1].
1.3. Teorema de Representación y el Principio de Extensión de Zadeh
11
Entonces,
d∞ (x, y) = sup dH ([x]a , [y]a )
a∈[0,1]
√
√
= sup dH [−(1 − a), (1 − a)], [− 1 − a, 1 − a]
a∈[0,1]
√
= sup | 1 − a − (1 − a)|
a∈[0,1]
= 1/4.
d∞
Definición 1.23 (d∞ -convergencia). Se dice que xn d∞ -converge para x, xn −→x si
lı́m d∞ (xn , x) = 0.
n→∞+
Teorema 1.24 [22] (E n , d∞ ) es un espacio métrico completo.
1.3.
Teorema de Representación y el Principio de
Extensión de Zadeh
A continuación se enuncia el Teorema de Representación de Negoita-Ralescu, el
cual es muy importante porque es a través de este que se puede relacionar la teoría
clásica con la teoría difusa.
Teorema 1.25 (Teorema de Representación de Negoita y Ralescu)
Si {Aa / 0 ≤ a ≤ 1} es una familia de conjuntos compactos convexos y no vacíos de
Rn tal que
1.
[
Aa ⊂ A0 ;
0<a≤1
2. Aa2 ⊂ Aa1 para 0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ 1;
3. Aa =
\
Aak para cualquier secuencia no decreciente convergiendo para a ∈ [0, 1].
k≥1
O, de forma equivalente, dH (Aak , Aa ) → 0 cuando ak ↑ a.
Entonces existe un u ∈ E n tal que
[u]a = Aa para todo 0 < a ≤ 1
1.3. Teorema de Representación y el Principio de Extensión de Zadeh
12
y
[u]0 =
[
Aa ⊂ A0 .
0<a≤1
Demostración. Para ver la demostración se puede consultar [7].
2
Observación: Si u ∈ E n , entonces sus a-niveles satisfacen las condiciones 1,2 e 3 del
Teorema 1.25.
Ejemplo 1.26 En Rn se define la suma de Minkowski por
M + N := {m + n/m ∈ M e n ∈ N }
para todo M, N ⊂ Rn .
Dados u, v ∈ E n la familia {[u]a + [v]a }a∈[0,1] , donde [u]a + [v]a es la suma de
Minkowski, satisface las condiciones del Teorema 1.25.
De hecho, las propiedades 1 y 2 siguen de la definición de suma de Minkowski,
Proposición 1.5 y el cierre de KCn sobre la adición y multiplicación por un escalar
de conjuntos. Vea que, si u, v ∈ E n , entonces las familias {[u]a }a∈[0,1] y {[v]a }a∈[0,1]
pertenecen a KCn . Ahora sea {ak } una secuencia no decreciente en [0, 1] con ak ↑ a en
[0, 1]. Entonces, por la propriedad 3 para las familias {[u]a }a∈[0,1] y {[v]a }a∈[0,1] tenemos
que
dH ([u]ak , [u]a ) → 0 y
dH ([v]ak , [v]a ) → 0
(1-7)
para k → ∞ y cuando ak ↑ a pues u, v ∈ E n .
De la Proposición 1.15,
dH ([u]ak + [v]ak , [u]a + [v]a ) ≤ dH ([u]ak , [u]a ) + dH ([v]ak , [v]a ).
De (1-7), tenemos que el lado derecho de la expresión encima converge para 0 cuando
k → ∞, así, la familia {[u]a + [v]a }a∈[0,1] satisface todas las hipótesis del Teorema 1.25.
Por tanto, existe un único conjunto difuso w ∈ E n tal que [w]a = [u]a + [v]a . Así, dado
dos conjuntos difusos u, v ∈ E n se puede definir la suma u + v siendo el único conjunto
difuso w := u + v ∈ E n y se tiene que [w]a = [u + v]a = [u]a + [v]a .
Por otro lado, de la misma forma que la suma, se puede definir el producto por un
1.3. Teorema de Representación y el Principio de Extensión de Zadeh
13
escalar sobre E n a través de los niveles de un conjunto difuso. Para esto, se define
λM := {λm/ m ∈ M },
para todo λ ∈ R y M ⊂ Rn , y se considera la familia {λ[u]a }a∈[0,1] que también satisface
las condiciones del Teorema de Representación.
Como en el ejemplo anterior, algunas clases de conjuntos difusos de Rn , como E n y
F(Rn ) con la propiedad adicional de semicontinuidad superior pueden ser dotadas de
una suma entre conjuntos difusos usando el Teorema de Representación de Negoita y
Ralescu.
Ahora si u, v ∈ F(X), entonces las operaciones aritméticas usuales entre funciones
no son adecuadas sobre el espacio F(X) para obtener nuevamente un elemento de
F(X). Por ejemplo, al sumar punto a punto como es usual entre funciones puede
ocurrir que (u + v)(x) = u(x) + v(x) ∈
/ [0, 1], pues u(x), v(x) ∈ [0, 1].
Pero, como definir la suma para el espacio F(X)? Para definir la suma en el espacio
F(X) se utiliza el llamado Principio de Extensión de Zadeh, ver [2]. El Principio de
extensión de Zadeh para una función f : X → Y tiene por objetivo indicar como debe
ser la imagen de un subconjunto difuso u de X por medio de f . Es de se esperar que
esta imagen sea un subconjunto difuso de Y.
Definición 1.27 (Principio de extensión de Zadeh) Sean X y Y conjuntos no
vacíos y f : X → Y , entonces se define el Principio de extensión de Zadeh como la
aplicación
fe : F(X) → F(Y )
donde


fe(u)(y) = 
supx∈f −1 (y) u(x) , se f −1 (y) 6= ∅,
0
, se f −1 (y) = ∅,
donde f −1 (y) = {x ∈ X/f (x) = y}.
Sea f : Rn −→ Rn . La extensión de Zadeh fe extiende la función f , identificando Rn
con
{χ{x} ∈ F(Rn ), x ∈ Rn },
pues fe(χ{x} ) = χf (x) , ∀x ∈ Rn , donde χA es la función característica del conjunto A.
1.3. Teorema de Representación y el Principio de Extensión de Zadeh
14
Observación 1.28 Si f es biyectiva, entonces
fe(u) (y) =
sup
u(x) =
sup
u(x) = u f −1 (y)
{x∈f −1 (y)}
{x:f (x)=y}
y se tiene el gráfico del conjunto difuso fe(u), representado en el eje vertical, Figura
1.6.
Figura 1.6: Extensión de Zadeh.
Ejemplo 1.29 Sean f : R → R, tal que f (x) = x2 y u ∈ F(R) un número difuso
triangular simétrico con pertenencia


u(x) = 
1−
|x−a|
δ
0
, si |x − a| ≤ δ,
, si |x − a| > δ.
Luego, sigue del Principio de extensión de Zadeh, que
fe(u)(y)
esto es,
fe(u)(y)


=
1−
√
u( y) , si y ≥ 0,
=
0
, si y < 0,


√
| y−a|
δ
0
√
, si | y − a| ≤ δ e y ≥ 0,
, si y < 0.
1.4. Integral y Diferencial de Multifunciones
15
Sean los conjuntos X1 , X2 y Y no vacíos. El Principio de extensión de Zadeh puede
ser generalizado para la función f : X1 × X2 → Y . Se Define el Principio de extensión
de Zadeh como la aplicación
fe : F(X1 ) × F(X2 ) → F(Y )
onde
fe(u1 , u2 )(y) =


sup(x1 ,x2 )∈f −1 (y) u1 (x1 ) ∧ u2 (x2 ) , si f −1 (y) 6= ∅,

0
, si f −1 (y) = ∅.
Aqui f −1 (y) = {(x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 : f (x1 , x2 ) = y}.
Para definir la suma y multiplicación por escalar sobre F(X) se usa el principio de
extensión. Para tal es necesario que el espacio universo posea una estructura lineal.
Definición 1.30 Sea X un espacio vectorial. Si f : X × X → X es tal que f (x1 , x2 ) =
x1 + x2 , entonces esta induce una suma sobre F(X) tal que
(u + v)(x) =
sup u(x1 ) ∧ v(x2 ),
x1 +x2 =x
para todo x ∈ X. Análogamente, si λ ∈ R, u ∈ F(X) y f : X → X es dado por
f (x) = λx entonces, utilizando el principio de extensión, se tiene el producto λu sobre
F(X) dado por


(λu)(x) = 
u( λx )
, se λ 6= 0
χ{0} (x) , se λ = 0.
La justificación para la definición de las operaciones algébricas en la forma como se
establecio anteriormente, vía el Principio de Extensión, es dado en la Proposición 1.5.
Proposición 1.31 [17] E n es cerrado según las operaciones de adición y multiplicación por un escalar dadas en el item 2 de la Proposición 1.5.
1.4.
Integral y Diferencial de Multifunciones
En esta sección, se presenta un resumen de los principales resultados sobre integral
y diferencial de multifunciones. Una multifunción en T = [a, b] ⊂ R es una función
G : T −→ P(Rn ) tal que G(t) 6= ∅, para todo t ∈ T .
1.4. Integral y Diferencial de Multifunciones
16
Asociado al concepto de una multifunción G, está la noción de selección de G y
selección medible de G.
Definición 1.32 Sea G : T −→ P(Rn ) una multifunción. Se dice que f : T −→ Rn
es una selección de G si f (t) ∈ G(t), para todo t ∈ T . Aparte de esto, si f es medible,
decimos que f es una selección medible de G.
Definición 1.33 Sean G : T → P(Rn ) una multifunción y S(G) el conjunto de todas
las selecciones integrables de G, esto es,
S(G) = {f : T → Rn : f é integrable e f (t) ∈ G(t), ∀t ∈ T }
Entonces la integral de Aumann de G en T es definida como
Z
T
Z
f (t)dt : f ∈ S(G) .
G=
T
Teorema 1.34 [2] Si G : T → P(Rn ), entonces
convexo de Rn .
Z
G=∅o
T
Z
G es un subconjunto
T
Definición 1.35 La multifunción G : T → P(Rn ) es dicha medible si su gráfico
{(t, x) : x ∈ G(t)} es un conjunto medible, esto es:
{(t, x) : x ∈ G(t)} ∈ A × B
donde A denota la σ-álgebra de los subconjuntos de R Lebesgue medibles y B denota
los subconjuntos Borel medibles de Rn .
Definición 1.36 La multifunción G : T → P(Rn ) es dicha integrablemente acotada si
existe una función integrable g : T → R tal que kxk ≤ g(t), para todo x ∈ G(t).
Teorema 1.37 [2] Si G : T → P(Rn ) es medible e integrablemente acotada, entonces
Z
G 6= ∅.
T
Teorema 1.38 [2] Sea G : T → P(Rn ), conZ G(t) cerrado para todo t ∈ T . Si G es
medible e integrablemente acotada, entonces
G 6= ∅ es un subconjunto compacto de
T
n
R .
1.4. Integral y Diferencial de Multifunciones
17
Corolário 1.39 [2] Sea G : T → P(Rn ), con G(t) cerrado para todo t ∈ T . Si G es
integrablemente acotada, entonces
Z
G = [c, d]
T
para c, d ∈ R con c ≤ d.
A seguir se enuncia un resultado que muestra la relación existente entre la integral
de Aumann y la integral de Lebesgue para multifunciones de R en Rn segun la función
soporte. Este resultado es importante en el cálculo de la integral de Aumann de algunas
funciones.
Teorema 1.40 [2] Si G : T → Kn es medible e integrablemente acotada, entonces
G (x) =
SR
T
Z
T
SG(t) (x)dt.
Ejemplo 1.41 Sean T = [0, 1] y G : T → P(Rn ), con G(t) = B[0, t], donde B[0, t] es
la bola de centro en el origen de radio t en Rn , entonces
Z
T
1
G = B 0, .
2
x
, x ∈ R. Así, se tiene
De hecho, note que ∀a ∈ G(t) puede ser escrito como a = t kxk
que
 D
E
 x, t x
se x =
6 0,
kxk
SG(t) (x) = sup hx, ai =

0
se x = 0,
a∈G(t)
esto es
SG(t) (x) = tkxk, ∀x ∈ R.
Luego
Z
T
SG (x)dt =
kxk
= SB[0, 1 ] (x).
2
2
Por los Teoremas 1.18 y 1.40, se tiene
Z
T
G = B 0,
1
.
2
Ejemplo 1.42 Sean f : T → R, integrable y A ∈ K(Rn ) un conjunto convexo con
f (x) ≥ 0, ∀t ∈ T . Entonces la multifunción G(t) = f (t)A es integrablemente acotada
1.4. Integral y Diferencial de Multifunciones
18
y,
Z
Z
G=
f (t)dt A.
T
T
Por el Teorema 1.18 item 2, se tiene
SG(t) (x) = f (t)SA =⇒
Z
Z
T
SG(t) dt =
T
f (t)dt SA = S(R
T
f (t)dt)A (x).
Por los Teoremas 1.18 y 1.40, se concluye que
Z
Z
G=
T
f (t)dt A.
T
A seguir se tiene los conceptos de H-diferencia y diferenciabilidad de multifunciones
segun Hukuhara, [9].
Si A, B ∈ KCn y λ ∈ R entonces las operaciones de adición y multiplicación por un
escalar son definidas como
A + B = {a + b/a ∈ A, b ∈ B} λA = {λa/ a ∈ A}.
Observación: En general,
A + (−1)A 6= {0}.
Por ejemplo, para A = [0, 2], se tiene
A + (−1)A = [−2, 2] 6= {0}.
Así, la sustracción entre números difusos no constituye una operación natural de sustracción de números difusos. En vista de esta observación se define la diferencia de
Hukuhara A −
B entre conjuntos A, B ∈ KCn .
H
Definición 1.43 Dados A, B ∈ KCn , se existe C ∈ KCn tal que A = B + C, entonces C
es la diferencia de Hukuhara, denotada por A −
B.
H
Ejemplo 1.44 Sea A = [−1, 1], B = [−1, 0] y C = [0, 1], entonces A −
B = C pues
H
A = B + C. Tambien tiene sentido hablar de A −
C = B. Claramente A −
A = {0}.
H
H
Se observa que la diferencia de Hukuhara no siempre existe. La siguiente proposición
dice que una condición necesaria para que las diferencias de Hukuhara existan es que
alguna traslación de B sea un subconjunto de A, B + {c} ⊆ A.
1.4. Integral y Diferencial de Multifunciones
19
Proposición 1.45 Sean A, B ∈ KCn . Para que exista la diferencia es necesario y suficiente tener la siguiente condición:
Si a ∈ ∂A, entonces hay por lo menos un punto “c” tal que a ∈ (B + c) ⊂ A.
Para la demostración vea la Proposición 4.2 em [9].
Ejemplo 1.46 {0} −
[0, 1] no existe. De hecho, por la Proposición 1.45, la condición
H
necesaria para que la diferencia {0} −
[0, 1] exista es que alguna traslación de [0, 1] sea
H
un subconjunto de {0}, esto es [0, 1] + {c} ⊂ {0}. No entanto, la suma [0, 1] + {c} :=
{m + c/ m ∈ [0, 1]} no es un conjunto unitario, luego [0, 1] + {c} no es un subconjunto
de {0}. Por tanto {0} −
[0, 1] no existe.
H
Observación 1.47 De la Proposición 1.45, la diferencia de Hukuhara de los conjuntos
X = [x1 , x2 ] y Y = [y1 , y2 ] existe se y solamente si diamX ≥ diamY y es igual a
[x1 − y1 , x2 − y2 ].
A seguir se define la diferenciabilidad de una multifunción segun Hukuhara [9].
Definición 1.48 Se dice que la multifunción F : T → KCn es H-diferenciable en un
punto t0 ∈ T , si existe DF (t0 ) ∈ KCn tal que
!
lı́m dH
F (t0 + k) −
F (t0 )
H
, DF (t0 ) = 0
k
lı́m dH
F (t0 ) −
F (t0 − k)
H
, DF (t0 ) = 0.
k
k→0+
y
!
k→0+
En los puntos extremos de T , se considera apenas uno de los limites encima. DF (t0 )
es llamado H-diferencial de F en el punto t0 .
Teorema 1.49 [2] Si G : T → KC (Rn ) es H-diferenciable en T , entonces
d SG(t) (x)
dt
= SDG(t) (x).
Ejemplo 1.50 Sean T = [0, 1] y G : T → P(Rn ) con G(t) = B[0, t], donde B[0, t] es
la bola de centro en el origen de radio t en Rn . Entonces, G es diferenciable y
d SG(t) (x)
dt
= SDG(t) (x) =



kxk, se x 6= 0,
0, se x = 0.
1.5. Integrabilidad y Diferenciabilidad de Funciones Difusas
De hecho, note que G(t) = tB[0, 1],
∀t0 ∈ [0, 1], entonces:
∀t ∈ [0, 1]. Defina DG(t0 ) = B[0, 1],
!
lı́m dH
k→0+
20
G(t0 + k) − G(t0 )
, DG(t0 ) = lı́m+ dH
k→0
k
!
(t0 + k)B[0, 1] − t0 B[0, 1]
, B[0, 1]
k
= lı́m+ dH (B[0, 1], B[0, 1])
k→0
= 0.
y
!
lı́m dH
k→0+
G(t0 ) − G(t0 − k)
, DG(t0 ) = lı́m+ dH
k→0
k
!
t0 B[0, 1] − (t0 − k)B[0, 1]
, B[0, 1]
k
= lı́m+ dH (B[0, 1], B[0, 1])
k→0
= 0.
Por tanto, G(t) es diferenciable.
Ahora, sigue de la Definición 1.17 que
 D
E
 x, x ,
SDG(t0 ) (x) = 
kxk
kxk,
si x 6= 0 e SDG(t0 ) (0) = 0,
si x 6= 0 y SDG(t0 ) (0) = 0.
(1-8)
Por otro lado, del Ejemplo 1.41 se tiene que
SG(t) (x) = tkxk se x 6= 0 e SG(t) (0) = 0.
Luego,
d SG(t) (x)
d SG(t) (0)
d (tkxk)
= kxk se x 6= 0 e
= 0.
dt
dt
dt
De las ecuaciones (1-8) y (1-9) se tiene la afirmación del Teorema 1.49.
1.5.
=
(1-9)
Integrabilidad y Diferenciabilidad de Funciones Difusas
Sean X, Y subconjuntos no vacíos de Rn y T = [c, d] ⊂ R.
1.5. Integrabilidad y Diferenciabilidad de Funciones Difusas
21
Definición 1.51 Sea F : T → F(Y ), entonces F es llamada aplicación difusa.
A continuación, se tiene resultados de medida e integrabilidad de uma función
difusa.
Definición 1.52 La aplicación F : T → E n es llamada continua en un punto t0 ∈ I,
si para cualquier ε > 0, existe λ > 0 tal que d∞ (F (t), F (t0 )) < ε, siempre que
|t − t0 | < λ, t ∈ I. La aplicación F : T → E n es llamada continua en T si fuera
continua para todo t0 ∈ T .
Definición 1.53 La aplicación F : T → E n se dice Lipschitz continua, si existe una
constante K > 0 (constante de Lipschitz), tal que para cualquier t1 , t2 ∈ T , se tenga la
siguiente desigualdad :
d∞ (F (t2 ), F (t1 )) ≤ K|t1 − t2 |.
Definición 1.54 Decimos que la aplicación F : T → E n es fuertemente medible si
para todo a ∈ [0, 1] la multifunción Fa : T → Kn definida por
Fa (t) = [F (t)]a
es (Lebesgue) medible, con el conjunto Kn dotado de la topologia generada por la métrica
de Hausdorff.
Lema 1.55 [14] Si F : T → E n es continua con respecto a la métrica d∞ , entonces F
es fuertemente medible.
Si F : T → E 1 , entonces Fa (t) es un intervalo compacto, esto es, Fa (t) = [λa (t), µa (t)].
Así se tiene el siguiente resultado:
Lema 1.56 [14] Sea F : T → E 1 fuertemente medible y denotando
[F (t)]a = [λa (t), µa (t)] para a ∈ [0, 1], entonces λa e µa son medibles.
Definición 1.57 La aplicación F : T → E n es llamada integrablemente acotada sobre
T , si existe una función Lebesgue integrable k : T → R+ tal que kxk ≤ k(t) para todo
x ∈ F0 (t), t ∈ T .
1.5. Integrabilidad y Diferenciabilidad de Funciones Difusas
1.5.1.
Integrabilidad
n
Definición 1.58 Sea F : T → E . La integral de F sobre T , denotada por
o
Z d
22
Z
F (t)dt
T
F (t)dt, es definida a través de sus a-niveles por la ecuación
c
a
Z
F (t)dt
=
T
Z
Fa (t)dt
T
Z
=
T
g(t)/g : T → Rn es una selección medible de Fa (t)
para cualquier a ∈ [0, 1]. Una aplicación fuertemente
medible e integrablemente
Z
n
acotada F : T → E , es llamada integrable sobre T , si
f (t)dt ∈ E n .
T
El siguiente teorema debido a Puri y Ralescu, muestra que ciertas condiciones garantizan que las aplicaciones sean integrables.
Teorema 1.59 [17] Si la aplicación F : T → E n es fuertemente medible e integrablemente acotada entonces F es integrable sobre T .
Observación
1.60 Si F : T → E 1 es integrable entonces por el Lema 1.56 se tiene
Z
que
F es obtenida por la integración de los a-niveles, esto es
T
a
Z
F
Z
=
T
onde [F (t)]a = [λa (t), µa (t)],
a
λ ,
T
Z
µ
a
,
T
a ∈ [0, 1].
Corolário 1.61 [14] Si la aplicación F : T → E n es continua, entonces ella es integrable.
A continuación, se considera algunas propiedades importantes que serán utilizados en
el Capítulo 5.
Teorema 1.62 [14] Sean F, G : T → E n integrables y λ ∈ R. Entonces
1.
Z
(F + G) =
T
2.
Z
T
Z
T
λF = λ
Z
T
F.
F+
Z
T
G.
1.5. Integrabilidad y Diferenciabilidad de Funciones Difusas
23
3. d∞ (F, G) es integrable.
Z
4. d∞
F,
T
Z
T
G ≤
Z
T
d∞ (F, G).
Ejemplo 1.63 Sean F : T → E n con F (t) = f (t)u donde u ∈ E n y f : T → R+ una
función integrable. Entonces
Z t Z t
F =
f u.
c
c
Sigue de [F (t)]a = [f (t)u]a = f (t)[u]a , que F es fuertemente medible y aparte de esto, F
es fuertemente acotada por g(t) = cf (t) donde c = k[u]0 k = máx[u]0 . Así del Teorema
1.59 se tiene que F es integrable y del Ejemplo 1.42 se tiene que
a
Z t
F (τ )dτ
=
Z t
c
c
=
Z t
Fa (τ )dτ
[f (t)u]a dτ
c
=
Z t
f (t) [u]a dτ
c
Z t
=
f (τ )dτ [u]a .
c
Por tanto,
Z t
c
1.5.2.
Z t F =
f u.
c
Diferenciabilidad para Funciones Difusas
La H-derivada (diferenciabilidad en el sentido de Hukuhara) para funciones difusas fue inicialmente desenvuelto por Puri y Ralescu [21], quienes generalizaron y
extendieron el concepto de diferenciabilidad de Hukuhara para multifunciones. Esta
diferenciabilidad es basada en la H-diferencia de conjuntos difusos, como sigue.
Definición 1.64 Sean u, v ∈ E n . Si existe w ∈ E n tal que u = v + w, entonces w es
llamado la H-diferencia de u y v y es denotado por u −
v.
H
Observación 1.65 La diferencia de Hukuhara u −
v en E n existe en termos de nivel
H
si y solamente si, existe la diferencia de Hukuhara [u]a −
[v]a en KCn y la família [u]a −
H
H
[v]a con a ∈ [0, 1] define un w ∈ E n , esto es, verifica las hipótesis del Teorema da
representación de Negoita y Ralescu.
1.5. Integrabilidad y Diferenciabilidad de Funciones Difusas
24
Definición 1.66 La aplicación F : T → E n es Hukuhara diferenciable en t0 ∈ T ⊆ R
si para 0 < h ≤ 0 las diferencias de Hukuhara
F (t0 + h) −
F (t0 ),
H
F (t0 ) −
F (t0 − h)
H
existen en E n con t ± h ∈ T y existe F 0 (t0 ) ∈ E n tal que
!
lı́m d∞
F (t0 + h) −
F (t0 ) 0
H
, F (t0 ) = 0
h
lı́m d∞
F (t0 ) −
F (t0 − h) 0
H
, F (t0 ) = 0.
h
h→0+
(1-10)
y
!
h→0+
(1-11)
Aqui, F 0 (t0 ) es llamado la derivada de Hukuhara de F en t0 .
En los pontos extremos de T , se consideran solamente las derivadas laterales en uno
de los extremos.
Observación 1.67 De la Definición 1.66, se tiene que, si F : T → E n es diferenciable
entonces la multifunción Fa es Hukuhara diferenciable para todo a ∈ [0, 1] y
DFa (t) = [F 0 (t)]a .
(1-12)
Aqui, DFa (t) denota la derivada de Hukuhara de Fa .
La recíproca no siempre es verdadera, puesto que la existencia de la H-diferença
dos conjuntos [x]a −
[y]a , a ∈ [0, 1], no implica la existencia de la H-diferencia de los
H
conjuntos difusos x −
y.
H
Teorema 1.68 [14] Sea F : T → E 1 diferenciable, con Fa (t) = [F (t)]a = [fa (t), ga (t)], a ∈
[0, 1]. Entonces fa y ga son diferenciables y
[F 0 (t)]a (t) = [fa0 (t), ga0 (t)].
Teorema 1.69 [14] Sea F : T → E n diferenciable en T . Si t1 , t2 ∈ T con t1 ≤ t2
entonces existe un C ∈ E n tal que F (t2 ) = F (t1 ) + C.También se puede ver que si F
es diferenciable, entonces existe F (t2 ) −
F (t1 ) si t2 ≥ t1 .
H
1.5. Integrabilidad y Diferenciabilidad de Funciones Difusas
25
Demostración. Para cada s ∈ [t1 , t2 ] existe un δ(s) > 0 tal que las H-diferencias
F (s + h) −
F (s) e F (s) − F (s − h) existen para todo 0 ≤ h < δ(s). Entonces, podemos
H
encontrar una secuencia finita t1 = s1 < s2 < · · · < sn = t2 tal que la familia
{Isi = (si − δ(si ), si + δ(si ))| i = 1, ..., n} cobre [t1 , t2 ] e Isi ∩ Isi+1 6= ∅.
Escoja un vi ∈ Isi ∩ Isi+1 , i = 1, ..., n − 1, talque si < vi < si+1 . Entonces
F (si+1 ) = F (vi ) + B1 = F (si ) + B2 + B1 = F (si ) + Ci , i = 1, ..., n − 1,
para algún B1 , B2 , Ci ∈ E n .
Por tanto F (t2 ) = F (t1 ) +
n−1
X
Ci = F (t1 ) + C, C ∈ E n .
2
i=1
Corolário 1.70 [14] Si F : T → E n es diferenciable en T , entonces para cada a ∈ [0, 1]
la función real t → diam[F (t)]a es no decreciente en T .
Demostración. Sean t1 , t2 ∈ T con t1 ≤ t2 . Entonces, por el Teorema 1.69, existe C ∈ E n tal que F (t2 ) = F (t1 ) + C, luego [F (t2 )]a = [F (t1 )]a + [C]a . Por tanto,
diam[F (t1 )]a ≤ diam[F (t2 )]a .
2
De las propiedades de d∞ , ecuaciones (1-4)-(1-6), se tienes los resultados.
Teorema 1.71 [14] Sean F, G : T → E 1 diferenciables sobre T y λ ∈ R, entonces
1. (F + G)0 (t) = F 0 (t) + G0 (t).
2. (λF )0 (t) = λF 0 (t).
Ejemplo 1.72 [2] Sea F : T → E n con F (t) = f (t)u, donde u ∈ E n y f : T → R+
creciente y de classe C 1 . Entonces, F es derivable y F 0 (t) = f 0 (t)u.
La Definición 1.66 de derivada es muy restrictiva. Por ejemplo, en [4] los autores
demostraron que si F (t) = c · g(t), donde c es un número difuso y g : [a, b] → R+ es
una función con g 0 (t) < 0, entonces F no es diferenciable. Para evitar esta dificuldad,
los autores en [4] introducen una definición mas general de derivada para funciones
difusas ampliando la clase de aplicaciones difusas diferenciables, considerando un tipo
de H-derivada lateral. No en tanto, en este trabajo se considera la diferenciabilidad
según la Definición 1.66.
1.6. Ecuación Diferencial Difuso
1.6.
26
Ecuación Diferencial Difuso
Las ecuaciones diferenciales son usadas para modelar los mecanismos evolutivos de
procesos dinámicos de las ciencias e ingenierías. La Ecuación Diferencial mas simples
es la ecuación diferencial ordinaria de primer orden
x0 (t) = f (t, x), x ∈ Rn .
(1-13)
Una solución de (1-13) es una función diferenciable x = x(t) satisfaciendo (1-13)
para todo t ∈ (a, b) ⊂ R. Para un Problema de Valor Inicial


x0 (t) = f (t, x(t)),
 x(0) = x ,
0
(1-14)
se tiene que la función x = x(t, x0 ) es solución. La existencia y unicidad de una solución del Problema de Valor Inicial (1-14) es importante no solo matemáticamente,
mas también para obtener la respuesta al problema propuesto. Cuando f es continua,
resolver el problema de valor inicial (1-14) es equivalente a resolver la ecuación integral
x(t) = x0 +
Z t
f (s, x(s))ds
a
para una función de clase C 1 .
Ecuaciones diferenciales deterministicas muchas veces representan una idealización
de situaciones reales en que la impresición podrá, de hecho desempeñar un papel significativo. Ecuaciones diferenciales estocásticas han sido sido utilizado para incorporar
los efectos de fluctuaciones aleatorias. No en tanto, datos vagos debido a la incerteza
requiere introducir Ecuaciones Diferenciales Difusas.
La verdad, si las incertezas fueran modelados por medio de subconjuntos difusos,
la acuación diferencial puede ser tratada de varias formas tales como: Ecuaciones Diferenciales Difusas, esto es a partir da derivada de Hukuhara; Inclusiones diferenciales
Difusas; Extensión de la solución determinista y otros, ver el Capítulo 8 de [3].
En el contexto difuso, se interpreta el lado derecho de (1-14) como una aplicación
f : I × E n → E n , I = [0, T ], T > 0 e x0 ∈ E n .
Sea el espacio C 1 (I, E n ) = {x : I −→ E n : x, x0 son contínuos}, donde la derivada
x0 de x es en el sentido de Hukuhara como en la Definición1.66.
1.6. Ecuación Diferencial Difuso
27
Definición 1.73 Una solución de (1-14) es una función x ∈ C (I, E n ) satisfaciendo
(1-14).
Ejemplo 1.74 Considere el problema malthusiano difuso


x0 (t) = −λx(t),
 x(0) ∈ x .
0
(1-15)
donde λ > 0 e x0 ∈ E 1 .
Si x0 (t) es la H-derivada y considere el conjunto nivel de x(t) dado por [x(t)]a =
[x(t)al , x(t)ar ], con xal (t) = x(t)al y xar (t) = x(t)ar para todo a ∈ [0, 1], entonces el
problema (1-15) es escrito en términos de nivel como


x0al (t) = −λxar (t) , xal (0) = (x0 )al
 x0 (t) = −λx (t) , x (0) = (x )
al
ar
0 ar
ar
(1-16)
Luego para todo a ∈ [0, 1], una solución de este sistema es
1
1
x0al (t) = − diam ([x0 ]a ) eλt + ((x0 )al + (x0 )ar ) e−λt
2
2
1
1
diam ([x0 ]a ) eλt + ((x0 )al + (x0 )ar ) e−λt
x0ar (t) =
2
2
para todo a ∈ [0, 1] y t ≥ 0. Note también que xal (t) ≤ xar (t), para todo t ≥ 0. Por
tanto, la función difusa x(t) que resuelve el problema (1-15) tiene conjuntos nivel
1
1
[x(t)] = − diam ([x0 ]a ) eλt + mp ([x0 ]a ) , diam ([x0 ]a ) eλt + mp ([x0 ]a ) ,
2
2
a
donde mp([x0 ]a ) denota el punto medio de [x0 ]a , esto es, mp([x0 ]a ) = 21 ((x0 )al + (x0 )ar ).
Esta solución de (1-15), considerando la H-derivada, tiene la propriedad que el
diam([x(t)]a ) es ilimitado cuando t → +∞, mostrando que esta interpretación no
generaliza de manera adecuada el caso clásico.
En [5](ver também [4]) este problema es resuelto introduciendo el concepto de
derivada generalizada para la aplicación difusa f : I × E n → E n , extendiendo la
clase de aplicaciones difusas diferenciables. Así, la solución puede ser adecuadamente
escogido.
1.6. Ecuación Diferencial Difuso
28
Considere el problema de valor inicial difuso,


u0 (t) = f (t, u(t)), t ∈ I
 u(0) = u ∈ E n .
0
(1-17)
donde I = [0, T ], T > 0 e f : I × E n → E n .
Lema 1.75 [14] Sea f : I × E n → E n continua. La aplicación u : I → E n es solución
de (1-17) si y solamente si es continua y satisface la ecuación integral
u(t) = u0 +
Z t
f (s, u(s))ds, t ∈ I.
0
Un Teorema que garantiza la existencia y unicidad de soluciones de una ecuación
diferencial difusa es el siguiente.
Teorema 1.76 [14](Teorema de Picard-Lipschitz)
Sea f : I × E n → E n continua y lipschitziana en la segunda variable, esto es, existe
k > 0 tal que
d∞ (f (t, x), f (t, y)) ≤ kd∞ (x, y)
para todo t ∈ I, x, y ∈ E n . Entonces el problema de valor inicial (1-17) tiene solución
única en I.
Ejemplo 1.77 Sea f : I × E 1 −→ E 1 dado por f (t, x) = −M x + σ(t), M ∈ R+ y
σ : I → E 1 una función continua.
De las propiedades de la métrica de Hausdorff (1-4) y (1-5) tenemos
d∞ (f (t, x), f (t, y)) = d∞ (−M x + σ(t), −M y + σ(t)) = d∞ (−M x, −M y) = M d∞ (x, y),
para todo x, y ∈ E 1 e t ∈ I. Asi el problema difuso lineal u0 (t) = −M u(t) + σ(t) tiene
solución única sobre I.
Capítulo 2
Orden y Convergencia
Hay y habrá muchas tareas que los hombres
pueden cumplir con facilidad, que van mas
allá de la capacidad de cualquier computador,
cualquier máquina y cualquier sistema lógico
que podemos concebir en los días de hoy.
Lotfi A. Zadeh
A fin de desenvolver el método de soluciones superior e inferior y la técnica monótona iterativa en el capítulo 5, en esta sección, se define dos tipos de orden parcial en
el espacio E 1 y se demuestra algunas propiedades relacionadas con la preservación de
orden en convergencia, de acuerdo con [24].
Por último, se estudia un resultado que caracteriza la compacidad en el espacio de
funciones difusas continuas definidos en un intervalo real.
2.1.
Relaciones de Orden
Definición 2.1 Para cada x ∈ E 1 se define las funciones xL : [0, 1] → R, xR : [0, 1] →
R, por xL (a) = xal e xR (a) = xar , donde [x]a = [xal , xar ] para cada a ∈ [0, 1]. El par de
funciones (xL , xR ) es llamado parametrización del número difuso x.
Se tiene que xL es una aplicación acotada, monótona creciente y semicontinua
inferior, y xR es una aplicación acotada, monótona decreciente y semicontinua superior.
29
2.1. Relaciones de Orden
30
Definición 2.2 Sean x, y ∈ E 1 . Decimos que x 6 y si y solamente si xal ≤ yal y
xar ≤ yar para cada a ∈ [0, 1].
Definición 2.3 Sean x, y ∈ E 1 . Decimos que x y si y solamente si xal ≥ yal y
xar ≤ yar para cada a ∈ [0, 1], esto es, [x]a ⊆ [y]a para todo a ∈ [0, 1].
Ejemplo 2.4 Los números difusos triangulares x = (0; 1, 1) e y = (1/2; 3/2, 1/2)
tienen como conjuntos nivel a los intervalos [x]a = [a − 1, 1 − a] y [y]a = [ 23 a − 1, 1 − 21 a],
∀a ∈ [0, 1]. Así, como para cada a ∈ [0, 1] se tiene que xal = a − 1 ≤ 32 a − 1 = yal y
xar = 1 − a ≤ 1 − 21 a = yar tenemos por la Definición 2.2 que x 6 y. Ver Figura 2.1.
Figura 2.1: Relacion de orden parcial canónico "6" en E 1 .
Ejemplo 2.5 Los números difusos triangulares y = (0; 1, 1) e x = (0; 2/3, 2/3) tienen
como conjuntos nivel a los intervalos [y]a = [a − 1, 1 − a] y [x]a = [ 32 (a − 1), 32 (1 − a)],
∀a ∈ [0, 1]. Así, como para cada a ∈ [0, 1] se tiene que [x]a ⊆ [y]a y de la Definición
2.3 se tiene que x y. Ver Figura 2.2.
Figura 2.2: Relación de orden parcial "" en E 1 .
2.2. Orden y Convergencia
31
Observación 2.6 En términos de las funciones paramétricas, x 6 y es equivalente a
xL ≤ yL y xR ≤ yR en [0, 1], y x y es equivalente a yL ≤ xL y xR ≤ yR en [0, 1].
Observación 2.7 La relación de orden tiene sentido también para n > 1, esto es,
dado x, y ∈ E n , decimos que x y si y solamente si, [x]a ⊆ [y]a , para todo a ∈ [0, 1].
En lo que falta de este trabajo, E(I, E 1 ) con I = [c, d] ⊂ R, denota el espacio de
funciones con valor difuso definidos en un intervalo real. C (I, E 1 ) denota el espacio de
funciones difusas continuas en I y la convergencia en C (I, E 1 ) es relativa a la distancia
H(f, g) = sup d∞ (f (t), g(t)), f, g ∈ C (I, E 1 ),
t∈I
que es uniforme sobre I.
Las relaciones de orden “6” y “” pueden ser extendidos para el espacio E(I, E 1 )
como sigue:
Definición 2.8 Dados f, g : [c, d] −→ E 1 , decimos que f 6 g si f (t) 6 g(t) para todo
t ∈ [c, d]. Análogamente, decimos que f g si f (t) g(t) para todo t ∈ [c, d].
2.2.
Orden y Convergencia
De las Definiciones 1.23, 2.2 y 2.3 se tiene los siguientes resultados
Lema 2.9 Si {xn } ⊆ E 1 , y ∈ E 1 son tales que xn 6 y para todo n ∈ N, y xn converge
para x en E 1 , entonces x 6 y.
Demostración. Como xn 6 y, ∀n ∈ N, se tiene que (xn )al ≤ yal y (xn )ar ≤ yar . Desde
que
0 = lı́m d∞ (xn , x) = lı́m sup máx{|(xn )al − xal | , |(xn )ar − xar |},
n→+∞
n→+∞ a∈[0,1]
se deduce que, las secuencias en R, {(xn )al } → xal y {(xn )ar } → xar cuando n → ∞.
Por tanto, xal ≤ yal y xar ≤ yar , para todo a ∈ [0, 1], esto es, x 6 y. Una demostración
análoga es válido para el orden .
2
Los resultados a seguir a pesar de ser enunciados para el orden 6, también son
verdaderos para .
2.2. Orden y Convergencia
32
Corolário 2.10 Si {fn } ⊆ E(I, E 1 ), g ∈ E(I, E 1 ) son tal que fn 6 g para todo n ∈ N,
y fn (t) converge para f (t) en E 1 , para todo t ∈ [c, d], entonces f 6 g.
Aplicando el Lema 2.9, se tiene
Lema 2.11 Si {xn }, {xn } ⊆ E 1 y x, y ∈ E 1 son tal que xn 6 yn para todo n ∈ N, xn
converge para x y yn converge para y en E 1 , entonces x 6 y.
Corolário 2.12 Si {fn }, {gn } ⊆ E(I, E 1 ) y f , g ∈ E(I, E 1 ) son tal que fn 6 gn
para todo n ∈ N, fn (t) converge para f (t) y gn (t) converge para g(t) en E 1 , para todo
t ∈ [c, d], entonces f 6 g.
Lema 2.13 Sean x, y, z ∈ E 1 tal que x 6 y 6 z o x y z, entonces d∞ (x, z) >
d∞ (y, z) y d∞ (x, z) > d∞ (x, y).
Demostración. Para cada a ∈ [0, 1], de la condición x 6 y 6 z se tiene que
xal 6 yal 6 zal y xar 6 yar 6 zar .
Entonces,
|yal − zal | 6 |xal − zal | y |yar − zar | 6 |xar − zar |.
Así,
dH ([zal , zar ], [yal , yar ]) = máx{|yal − zal |, |yar − zar |}
6 máx{|xal − zal |, |xar − zar |}
= dH ([zal , zar ], [xal , zar ]),
que implica
d∞ (z, y) = sup dH ([zal , zar ], [yal , yar ])
a∈[0,1]
6 sup dH ([zal , zar ], [xal , xar ]) = d∞ (x, z).
a∈[0,1]
2
Lema 2.14 [24] Suponga que {xn } ⊆ E 1 es una secuencia monótona tal que {xn }
converge para x ∈ E 1 . Entonces:
2.2. Orden y Convergencia
33
si {xn } es no decreciente, entonces xn 6 x para todo n ∈ N.
si {xn } es no creciente, entonces xn > x para todo n ∈ N.
Corolário 2.15 Suponga que {fn } ⊆ E(I, E 1 ) es una secuencia monótona tal que
{fn (t)} converge para f (t) ∈ E 1 para cada t ∈ [c, d]. En tal caso:
si {fn } es no decreciente, entonces fn 6 x para todo n ∈ N.
si {fn } es no creciente, entonces fn > x para todo n ∈ N.
A continuación el resultado mas importante de este capítulo.
Lema 2.16 Si {xn } ⊆ E 1 es una secuencia monótona que admite una sub secuencia
{xnk } convergente para x ∈ E 1 , entonces {xn } converge para x.
Demostración. Como {xnk } −→ x, dado > 0, existe k0 ∈ N tal que d∞ (xnk , x) < ∀k ≥ k0 , k ∈ N.
La monotonicidad de {xnk } nos da que xnk 6 x o xnk > x, para todo k ≥ k0 ,
k ∈ N. Se verifica que, si {xn } es no decreciente, entonces los términos de la secuencia
satisfacen xn 6 x, para todo n ∈ N.
En efecto, dado n ∈ N existe k̃ ∈ N tal que nk̃ > n, y así xn 6 xnk̃ 6 x. De forma
análoga, si {xn } es no creciente se tiene xn ≥ x, para cada n ∈ N. Entonces, para cada
m ∈ N, m ≥ nk0 , se tiene
xnk0 6 xm 6 x ou xnk0 > xm > x
dependiendo del carácter no decreciente o no creciente de la secuencia {xn }. Así por el
Lema 2.13,
d∞ (xm , x) ≤ d∞ (xnk0 , x) < , ∀m ≥ nk0 , m ∈ N.
Por lo tanto, de la Definición 1.23 se tiene que {xn } −→ x.
2
Un resultado semejante al Lema 2.16 puede ser obtenido en el espacio C (I, E 1 ).
Lema 2.17 Sea I un intervalo real compacto. Si {fn } ⊆ C (I, E 1 ) es una secuencia monótona que admite una sub secuencia {fnk } convergente para f ∈ C (I, E 1 ) en
C (I, E 1 ), entonces {fn } converge para f en C (I, E 1 ).
Demostración. Es semejante la demostración del Lema 2.16. Ver [24].
2
2.3. Criterio de Compacidad en Espacios de Funciones Difusos
2.3.
34
Criterio de Compacidad en Espacios de Funciones Difusos
En esta sección se presenta un resultado sobre la caracterización de compacidad en
espacios de funciones difusas. Este resultado considera las funciones que aparecen en
la expresión de una función difusa en forma paramétrica y reduce el problema para
el análisis de la compacidad relativa de un conjunto de funciones con dos variables
reales. En otras palabras, este resultado proporciona as condiciones necesarias y suficientes para la compacidad relativa de subconjuntos del espacio C (I, E 1 ) con base en
la compacidad relativa de ciertos conjuntos relacionados a la expresión de un número
difuso en la forma paramétrica, ver [24]. Este resultado será utilizado en el capítulo 5
para aproximar soluciones por iteración, teniendo una solución inferior y una solución
superior como punto de partida, ver [24].
Definición 2.18 Un conjunto S de un espacio métrico X se dice que es compacto si
cualquier secuencia {sk } en S tiene una sub secuencia convergiendo en S.
Definición 2.19 Un conjunto S de un espacio métrico X es relativamente compacto
se es secuencialmente compacto, esto es, toda secuencia de elementos de S posee alguna
subsecuencia convergente (no necesariamente a un ponto de S).
En análisis, unos de los métricos mas conocidos es el espacio de funciones continuas
C ([c, d], R) y, un criterio importante para el estudio de la compacidad en estos espacios
es el Teorema de Ascoli-Arzelá.
Definición 2.20 Una familia F = {ϕ} de funciones continuas a valores reales definidas en [a, b] se llama uniformemente acotado cuando existe una constante k > 0 tal
que |ϕ(x)| < k, ∀x ∈ [a, b] y ∀ϕ ∈ F . La familia F es dicha equicontinua cuando para
todo > 0 existe δ > 0 tal que ∀ϕ ∈ F ,
|x1 − x2 | < δ =⇒ |ϕ(x1 ) − ϕ(x2 )| < Teorema 2.21 (Ascoli-Arzelá)
Una familia F ⊂ C ([c, d], R) es relativamente compacta en C ([c, d], R) si y solamente
si, es uniformemente acotada y equicontínua.
2.3. Criterio de Compacidad en Espacios de Funciones Difusos
35
A continuación tenemos la definición de numero difuso continuo.
Definición 2.22 Un número difuso x : R → [0, 1] es continuo se la aplicación
[x]• : [0, 1] → KC1 con a → [x]a fuera continua en (0, 1], esto es, para cada a ∈ (0, 1]
y > 0 existe un número δ = δ(, a) > 0 tal que dH ([x]a , [x]b ) < , para cada
b ∈ (a − δ, a + δ) ∩ (0, 1].
Teorema 2.23 [6] Un número difuso es continuo si y solamente si, sus funciones
paramétricas xL : [0, 1] → R, xL (a) = xal , y xR : [0, 1] → R, xR (a) = xar , son
contínuas.
Teorema 2.24 Sea I un intervalo compacto en R, y B ⊆ C (I, E 1 ) tal que para todo
x ∈ B y t ∈ I, x(t) es un número difuso continuo. Considere
B L = {xL : x ∈ B} ⊆ C ([0, 1] × I, R),
B R = {xR : x ∈ B} ⊆ C ([0, 1] × I, R),
donde
xL : [0, 1] × I → R
(a, t) → xL (a, t) = (x(t))L (a) = (x(t))al ,
y
xR : [0, 1] × I → R
(a, t) → xR (a, t) = (x(t))R (a) = (x(t))al ,
Entonces B L y B R son conjuntos relativamente compactos en (C ([0, 1] × I, R), k · k∞ )
si y solamente si, B es un conjunto relativamente compacto en C (I, E 1 ).
Demostración. Por la hipótesis, se tiene que xL y xR son continuas en [0, 1] × I, para
cada x ∈ B.
Sea {xn } una secuencia en B. Se afirma que {xn } tiene una sub secuencia convergente.
En efecto, una vez que B L es un conjunto relativamente compacto en
(C ([0, 1] × I, R), k · k∞ ), {(xn )L } tiene una sub secuencia {(xnl )L } convergiendo en
2.3. Criterio de Compacidad en Espacios de Funciones Difusos
36
(C ([0, 1] × I, R), k · k∞ ) para f1 ∈ C ([0, 1] × I, R). Ahora, usando que B R es también
un conjunto relativamente compacto, entonces {(xn )R } tiene una subsecuencia {(xnl )R }
convergiendo en (C ([0, 1] × I, R), k · k∞ ) para f2 ∈ C ([0, 1] × I, R). Probamos que las
funciones f1 y f2 definen una función difusa x ∈ C (I, E 1 ) con xL = f1 , xR = f2 y,
{xnl } → x en C (I, E 1 ). Definimos x : I → E 1 de la siguiente forma: para cada t ∈ I,
y a ∈ [0, 1], [x(t)]a = [f1 (a, t), f2 (a, t)].
Luego se debe verificar que para cada t ∈ I fijado, estos intervalos representan
a la familia de los conjuntos nivel de algún número difuso x(t) ∈ E 1 y, por tanto
xL (·, t) = f1 (., t), xR (·, t) = f2 (., t). Para este fin, se verifica la validez de las hipótesis
del Teorema 1.25. Claramente los conjuntos [f1 (a, t), f2 (a, t)] son no vacíos, compactos
y convexos en R para todo a ∈ [0, 1], pues
(xnl )L (a, t) = (xnl (t))al = (xnl (t))ar = (xnl )L (a, t), ∀a ∈ [0, 1],
y, consecuentemente pasando límite cuando l → ∞ se tiene que f1 (a, t) ≤ f2 (a, t) para
todo a ∈ [0, 1].
Usando que (xnl )L (·, t) es no decreciente en a y (xnl )R (·, t) es no creciente en a para
cada l ∈ N, y pasando limite nuevamente, se deduce que f1 (., t) es no decreciente en a
y f2 (., t) es no creciente en la variable a. Luego,
[f1 (a2 , t), f2 (a2 , t)] ⊆ [f1 (a1 , t), f2 (a1 , t)] para 0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ 1.
Por otro lado, si a > 0 y {ak } ⊆ [0, 1] es una secuencia monótona no decreciente
convergiendo para a, entonces [f1 (ak , t), f2 (ak , t)] es una secuencia (decreciente) de
intervalos encajados , entonces, por la continuidad de f1 e f2 ,
\
[f1 (ak , t), f2 (ak , t)] = [sup f1 (ak , t), ı́nf f2 (ak , t)]
k∈N
k∈N
k∈N
= [ lı́m f1 (ak , t), lı́m f2 (ak , t)] = [f1 (a, t), f2 (a, t)].
k→∞
k→∞
Por tanto, resulta del Teorema de Representación de Negoita y Ralescu que para t ∈ I
existe x(t) ∈ E 1 tal que
[x(t)]a = [f1 (a, t), f2 (a, t)], para todo a ∈ (0, 1]
2.3. Criterio de Compacidad en Espacios de Funciones Difusos
37
e
[x(t)]0 =
[
[f1 (a, t), f2 (a, t)].
0<a≤1
Usando el hecho que f1 y f2 son continuas se prueba que x ∈ C (I, E 1 ). De hecho, para
cada t0 ∈ I,
d∞ (x(t), x(t0 )) = sup dH ([f1 (a, t), f2 (a, t)], [f1 (a, t0 ), f2 (a, t0 )])
a∈[0,1]
= sup máx{|f1 (a, t) − f1 (a, t0 )|, |f2 (a, t) − f2 (a, t0 )|}
a∈[0,1]
≤ máx
n
supa∈[0,1] |f1 (a, t) − f1 (a, t0 )|, supa∈[0,1] |f2 (a, t) − f2 (a, t0 )|
o
y la última expresión en la desigualdad anterior tiende a cero cuando t → t0 , ya que f1
y f2 son continuas en el conjunto compacto [0, 1] × I.
Finalmente,
H(xnl , x) = sup d∞ (xnl (t), x(t))
t∈I
= sup sup dH ([(xnl (t))al , (xnl (t))ar ], [(xn (t))al , (xn (t))ar ])
t∈I a∈[0,1]
= sup sup máx{|(xnl )L (a, t) − xL (a, t)|, |(xnl )R (a, t) − xR (a, t)|}
t∈I a∈[0,1]
(
= sup sup máx
t∈I a∈[0,1]
sup
(a,t)∈[0,1]×I
|(xnl )L (a, t) − f1 (a, t)|,
)
sup
(a,t)∈[0,1]×I
|(xnl )R (a, t) − f2 (a, t)|
= máx{k(xnl )L − f1 k∞ , k(xnl )R − f2 k∞ } −→ 0, cuando l → ∞,
lo que demuestra que xnl → x en C (I, E 1 ). Consecuentemente, B es un conjunto
relativamente compacto.
Recíprocamente, considere a secuencia (xn )L ⊆ B L , donde xn ∈ B, para todo n.
Una vez que {xn } es una secuencia en B, y B é un conjunto relativamente compacto en
C (I, E 1 ), entonces existe una sub secuencia {xnk } de {xn } que converge en C (I, E 1 )
2.3. Criterio de Compacidad en Espacios de Funciones Difusos
38
para un elemento x ∈ C (I, E 1 ). De
H(xnk , x) = sup d∞ (xnk (t), x(t))
t∈I
= sup sup máx{|(xnk )L (a, t) − xL (a, t)|, (xnk )R (a, t) − xR (a, t)|} −→ 0
t∈I a∈[0,1]
cuando k → +∞.
Se tiene que xL , xR ∈ C ([0, 1]×I, R) y, en particular, x(t) es un número difuso continuo
para cada t ∈ I. Aparte de esto,
k(xnk )L − xL k∞ ≤ máx{k(xnk )L − xL k∞ , k(xnk )R − xR k∞ } = H(xnk , x),
que demuestra que (xn )L tiene una sub secuencia convergente para xL ∈ C ([0, 1]×I, R).
Esto justifica que B L es un conjunto relativamente compacto (C ([0, 1] × I, R), k · k∞ ).
Un argumento análogo para B R completa la demostración.
2
Capítulo 3
Ecuaciones Diferenciales Difusas
Lineales
Dios calcula varios mundos, mas hace existir
lo mejor de esos mundos.
Leibniz - Séc. XVI d.C.
En este capítulo se estudia la existencia de soluciones de los problemas de valor
inicial Fuzzy (PVIF) asociados a ecuaciones diferenciales u0 (t) = −M u(t)+σ(t), u0 (t) =
M u(t) + σ(t) e u0 (t) + M u(t) = σ(t) definidas en el espacio E 1 . También, se deduce
algunas propiedades interesantes del diámetro y del punto medio de la solución, la cual
se compara con las soluciones de las correspondientes ecuaciones diferenciales clásicas.
Todo este trabajo está basado en el artículo[13].
3.1.
Introducción
En el caso clásico, se I = [O, T ] ⊂ R, M ∈ R es una constante, σ : I → R es
una función continua e u : I → R entonces las ecuaciones u0 (t) + M u(t) = σ(t) y
u0 (t) = −M u(t) + σ(t) son equivalentes independientemente del signo de la constante
M . La solución para estas ecuaciones con la condición inicial u(0) = u0 , u0 ∈ I está
dada por:
Z
u(t) = u0 e−M t +
t
σ(s)eM (s−t) ds, t ∈ I.
0
39
3.1. Introducción
40
En el contexto difuso las ecuaciones correspondientes no son equivalentes, ni siquiera
en el caso particular donde σ(t) = χ{0} para t ∈ I y χ{0} la función característica de
{0}. Esto ocurre porque si x, y ∈ E 1 son tales que x + y = χ{0} , entonces tenemos que
x, y son números reales y y = −x. Mientras que, x + (−x) = χ{0} no necesariamente
es verdad para x ∈ E 1 . Por ejemplo, si x = χ[0,1] , entonces χ[0,1] − χ[0,1] = χ[−1,1] .
La ecuación u0 (t) + M u(t) = χ{0} , tratada en términos de nivel, implica que la
solución es determinística y u0 (t) = −M u(t), mas lo contrario no siempre es cierto en
general, es decir, la ecuación diferencial lineal difusa u0 (t) = −M u(t) no es equivalente
a u0 (t) + M u(t) = χ{0} , y por lo tanto la solución no puede ser la misma.
Nuestro objetivo es obtener una expresión para la solución de los problemas de valor
inicial asociados a las ecuaciones difusas
u0 (t) = −M u(t) + σ(t)
(3-1)
u0 (t) = M u(t) + σ(t)
(3-2)
u0 (t) + M u(t) = σ(t)
(3-3)
donde, t ∈ I = [0, T ], T > 0, M ∈ R, σ ∈ C (I, E 1 ), u(t) ∈ E 1 y la diferenciabilidad es
entendida en el sentido de Hukuhara.
La existencia y unicidad de soluciones para los problemas (3-1) y (3-2) se desprenden del Teorema de Picard-Lipschitz, pues las funciones f, g : I × E 1 −→ E 1 dadas
respectivamente por f (t, x) = −M x + σ(t), g(t, x) = M x + σ(t), son lipschitzianas en
x e continuas en (t, x) para σ continuo, ver el ejemplo 1.77.
La existencia de soluciones para el problema (3-3) está sujeta a la verificación de
algunas condiciones de compatibilidad que involucran a la constante M , la función σ y
el valor inicial u0 . Observe que para estudiar la existencia y unicidad de soluciones para
(3-3) usando o Teorema 1.76 tendría que escribir la ecuación en su forma equivalente
u0 (t) = σ(t) −
M u(t).
H
(3-4)
De esta manera, si f ∗ (t, x) := σ(t) −
M x en (3-4), entonces, f ∗ debería ser una función
H
lipschitziana en el teorema 1.76, mas la diferencia en el caso de Hukuhara: σ(t)−
M u(t),
H
puede no existir, a menos que podamos garantizar que:
1. diam([σ(t)]a ) ≥ M diam([u(t)]a ), ∀t ∈ I, a ∈ [0, 1];
2. se verifican las hipótesis del teorema 1.25;
3.2. Soluciones de los PVI’s difusos en E 1
41
a fin de lograr de que un conjunto de nivel de diferencia de Hukuhara defina un número
real difuso, como se muestra en lo que sigue.
3.2.
Soluciones de los PVI’s difusos en E 1
Sean M > 0, I = [0, T ] o I = [0, ∞) con T > 0, σ ∈ C (I, E 1 ), u0 ∈ E 1 y considere
el problema de valor inicial


u0 (t) + M u(t) = σ(t), t ∈ I
 u(0) = u .
0
(3-5)
Teorema 3.1 El problema (3-5) tiene solución única en I, dada por
u(t) = u0 χ{e−M t } +
Z t
0
σ(s)χ{eM (s−t) } ds, t ∈ I,
(3-6)
si para cada t ∈ I, existe β > 0 tal que las diferencias de Hukuhara
u(t + h) −
u(t) e u(t) −
u(t − h)
H
H
existen, para todo 0 < h < β.
Demostración. Observe que, la cuestión de existencia y unicidad de una solución para
el problema (3-5) es resuelta por el teorema de Picard-Lipschitz siempre que tenga
sentido la expresión f ∗ (t, x) := σ(t) −
M x. Es fácil ver que el estudio del problema(3-5)
H
es equivalente a estudiar el problema (3-4).
Sea u(t) ∈ E 1 una solución con nivel [u(t)]a = [u(t)al , u(t)ar ] donde ual (t) =
u(t)al y uar (t) = u(t)ar, . El problema (3-5) es escrito en términos de nivel como
u0al (t) + M ual (t) = σal (t), t ∈ I,
u0ar (t) + M uar (t) = σar (t), t ∈ I,
ual (0) = (u0 )al , uar (0) = (u0 )ar .
3.2. Soluciones de los PVI’s difusos en E 1
42
Usando factor integrante, se tiene
ual (t) = (u0 )al e
−M t
+
Z t
0
uar (t) = (u0 )ar e−M t +
Z t
0
σal (s)eM (s−t) ds
(3-7)
σar (s)eM (s−t) ds.
(3-8)
Luego,
u(t) = u0 χ{e−M t } +
Z t
0
σ(s)χ{eM (s−t) } ds, t ∈ I.
Se puede afirmar que si para t ∈ I,
a
diam ([σ(t)] ) ≥ M e
−M t
a
diam ([u0 ] ) +
Z t
a
diam ([σ(t)] ) e
Ms
ds , ∀a,
(3-9)
0
y existe β > 0 tal que para 0 < h < β,
−M t
−M h
(1) (u0 )al e
(e
− 1) +
es decreciente en a,
(2) (u0 )ar e−M t (e−M h − 1)+
es creciente en a,
−M t
Mh
(3) (u0 )al e
(1 − e ) +
decreciente en a,
−M t
Mh
(4) (u0 )ar e
(1 − e
creciente en a.
)+
Z t
0
Z t
0
M (s−t)
σ(s)al e
ds(e
− 1) +
0
Z t−h
σ(s)al e
Z t+h
t
σ(s)ar eM (s−t) ds(e−M h − 1)+
Z t−h
0
−M h
M (s−t)
σ(s)ar e
ds(1 − e
Mh
Z t+h
t
)+
σ(s)al eM (s−(t+h)) ds no
σ(s)ar eM (s−(t+h)) ds No
Z t
t−h
M (s−t)
ds(1 − e
Mh
)+
Z t
t−h
σ(s)al eM (s−t) ds no es
σ(s)ar eM (s−t) ds no es
Entonces las diferencias de Hukuhara
u(t + h) −
u(t), u(t) −
u(t − h)
H
H
de u dadas por (3-6), existen para 0 < h < β.
En efecto, de las observaciones 1.47 y 1.65 se deduce que las diferencias de Hukuhara
que aparecen en el Teorema 3.1 existen si [u(t + h)]a −
[u(t)]a existe para cada t, a fijo
H
y 0 < h < β, es decir, diam([u(t)]a ) tiene que ser una función no decreciente en t.
Mas la función
a
a
diam ([u(t)] ) = diam ([u0 ] ) e
−M t
+
Z t
0
diam([σ(s)]a )eM (s−t) ds,
3.2. Soluciones de los PVI’s difusos en E 1
43
es una función real diferenciable. Entonces,
d
diam ([u(t)]a ) = diam ([u0 ]a ) − M e−M t
dt
a
× diam([u0 ] ) +
Z t
a
M (s)
diam([σ(s)] )e
ds ,
0
y por (3-9) se tiene que diam ([u(t)]a ) ≥ 0. De esta manera, [u(t + h)]a −
[u(t)]a e
H
[u(t)]a −
[u(t − h)]a existe para cada t ∈ I y a fijo. Ahora solo queda probar que los
H
intervalos
[u(t + h)al − u(t)al , u(t + h)ar − u(t)ar ], [u(t)al − u(t − h)al , u(t)ar − u(t − h)ar ]
definen los conjuntos de nivel a (a-nivel) de un número difuso, para cada t y 0 <
h < β.
En efecto,
Usando (3-9), se obtiene que
u(t + h)al − u(t)al ≤ u(t + h)ar − u(t)ar , ∀a
u(t)al − u(t − h)al ≤ u(t)ar − u(t − h)ar , ∀a
De (1), (2), (3) y (4) se obtiene que u(t + h)al − u(t)al , u(t)al − u(t − h)al ,
son funciones no decrecientes en relación a las variables a, y u(t + h)ar − u(t)ar ,
u(t)ar − u(t − h)ar son no crecientes en relación a la variable a.
Denotando uL (a, t) = u(t + h)al − u(t)al y uR (a, t) = u(t + h)ar − u(t)ar , se tiene
que
[uL (a2 , t), uR (a2 , t)] ⊆ [uL (a1 , t), uR (a1 , t)] para 0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ 1.
Por otro lado, si a > 0 y {ak } ⊆ [0, 1] es una sucesión monótona no decreciente
que converge para a, entonces [uL (ak , t), uR (ak , t)] es una sucesión (decreciente)
de intervalos é uma seqüência (decrescente) de intervalos encasillados. Luego por
la continuidad de uL y uR ,
\
[uL (ak , t), uR (ak , t)] = [sup uL (ak , t), ı́nf uR (ak , t)]
k∈N
k∈N
k∈N
= [ lı́m uL (ak , t), lı́m uR (ak , t)] = [uL (a, t), uR (a, t)].
k→∞
k→∞
3.2. Soluciones de los PVI’s difusos en E 1
44
Por lo tanto, del Teorema 1.25 se deduce que para cada t ∈ I y 0 < h < β, los
intervalos [u(t + h)al − u(t)al , u(t + h)ar − u(t)ar ] definen un conjunto de nivel de
algún número difuso.
Análogamente acontece para el caso [u(t)al − u(t − h)al , u(t)ar − u(t − h)ar ].
Ahora estudiamos la diferenciabilidad de u en el sentido de Hukuhara. Sea t ∈ I, y
h > 0, entonces de(3-7), para cada a ∈ [0, 1] se tiene:
u(t + h) −
u(t)
H
h
+
Z t
0
!
= (u0 )al e
−M t
al
e−M h − 1
h
!
!
−M h
e
−
1
e−M h Z t+h
M (s−t)
σ(s)al e
ds
+
σ(s)al eM (s−t) ds,
h
h
t
(3-10)
y de (3-8)
u(t + h) −
u(t)
H
h
+
Z t
0
!
−M t
= (u0 )ar e
ar
e−M h − 1
h
!
!
−M h
e
−
1
e−M h Z t+h
M (s−t)
σ(s)ar e
ds
σ(s)ar eM (s−t) ds. (3-11)
+
h
h
t
Asimismo,
lı́m+
h→0
u(t + h) −
u(t)
H
h
!
= σ(t)al − M (u0 )al e−M t − M
al
Z t
0
σ(s)al eM (s−t) ds,
(3-12)
σ(s)ar eM (s−t) ds,
(3-13)
y
lı́m+
h→0
u(t + h) −
u(t)
H
h
!
= σ(t)ar − M (u0 )ar e−M t − M
ar
Z t
0
desde que: (u0 )al e (u0 )ar son uniformemente acotadas en a ∈ [0, 1]; σ(s)al y σ(s)ar son
acotadas en el intervalo [0, t] y uniformemente en a (σ es continuamente acotada en el
compacto [0, t]).
Los límites en (3-12) y (3-13) son analizadas a través de la continuidad de σ en el
compacto [0, t], es decir, existe K ∈ R, K ≥ 0 tal que |σ(t)al | ≤ K, ∀t ∈ I e a ∈ [0, 1].
Asimismo, se tiene que
3.2. Soluciones de los PVI’s difusos en E 1
45
1 Z t+h
1 Z t+h
M (s−t)
σ(s)al e
ds − σ(t)al ≤
KeM (s−t) ds + K
h t
h t
K h M (s−t) it+h
+K
=
e
t
hM
K eM h − 1 + M h
=
.
M
h
Tomando límite en ambos lados de la expresión anterior vemos que el lado derecho
tiende a cero, cuando h → 0+ . Por lo tanto,
1 Z t+h
lı́m
σ(s)al eM (s−t) ds = σ(t)al .
h→0+ h t
Procediendo en forma similar se obtiene
lı́m+
h→0
1 Z t+h
σ(s)ar eM (s−t) ds = σ(t)ar .
h t
La diferenciabilidad a izquierda de u es analizada de forma similar, obteniéndose así,
lı́m
h→0+
u(t) −
u(t − h)
H
h
!
= z(t)al e lı́m+
h→0
al
u(t) −
u(t − h)
H
h
!
= z(t)ar ,
ar
donde
z(t)al = σ(t)al − M (u0 )al e
−M t
−M
Z t
0
σ(s)al eM (s−t) ds
y
z(t)ar = σ(t)ar − M (u0 )ar e−M t − M
Z t
0
σ(s)ar eM (s−t) ds
como en (3-12) y 3-13.
Esto prueba que
"
dH
u(t + h) −
u(t)
H
h
#a
u(t) −
u(t − h)
H
h
#a
!
, [z(t)al , z(t)ar ] → 0
y
"
dH
!
, [z(t)al , z(t)ar ] → 0
3.2. Soluciones de los PVI’s difusos en E 1
46
uniformemente en a cuando h → 0+ , de manera tal que
!
d∞
!
u(t) −
u(t − h)
u(t + h) −
u(t)
H
H
, z(t) → 0 e d∞
, z(t) → 0
h
h
, donde [z(t)]a = [z(t)al , z(t)ar ] con t ∈ I es un número difuso, pues E 1 es completo.
Entonces u0 (t) = z(t) ∈ E 1 , para todo t ∈ I. También se puede verificar que
u0 (t) + M u(t) = z(t) + M u(t) = σ(t), t ∈ I,
2
y u(0) = u0 , de modo que así se obtiene una solución para (3-5).
Ejemplo 3.2 Considere el caso particular del problema (3-5),
u0 (t) + 3u(t) = χ[0,1] , t ∈ I
u(0) = u0 = χ{1} .
(3-14)
Aplicando el Teorema 3.1, se obtuvo una solución para (3-14) como u(t) = χ[e−3t , 2e−3t +1 ] .
3
Observe que la solución está dada en cada instante t por la función característica de
un intervalo real, de allí que u(t)al y u(t)ar no dependan de como se escoge el nivel
a ∈ [0, 1]. La razón es que σ y la condición inicial u0 son dadas por las funciones
características, ver figura 3.1.
Figura 3.1: Puntos finales del conjunto a-nível de la solución del problema (3-14).
Si mp([z]a ) = 12 (zal + zar ) denota el punto medio para [z]a = [zal , zar ], a ∈ [0, 1],
z ∈ E 1 , entonces el punto medio y el diámetro de los conjuntos de nivel de la solución
3.2. Soluciones de los PVI’s difusos en E 1
47
son respectivamente mp([u(t)]a ) = 16 (5e−3t + 1), diam([u(t)]a ) = 13 (1 − e−3t ), ∀a ∈
[0, 1], t ∈ I. Estos valores son independientes del nivel a ∈ [0, 1], debido a la elección
de σ y u0 , ver figura 3.2.
Figura 3.2: Punto medio y diámetro de los conjuntos de nivel de la solución de (3-14).
Para una función difusa u diferenciable en el sentido de Hukuhara, el diámetro de los
conjuntos a-nivel, es una función no decreciente en t para cada a fijo. Así, un problema
interesante es la acotación del diámetro de los conjuntos de nivel de las soluciones de
las ecuaciones diferenciales(que son diferenciables en el sentido de Hukuhara) a fin de
controlar la imprecisión de las soluciones, manteniendo el diámetro de los conjuntos de
nivel acotados por un cierto grado de incertidumbre. En este ejemplo, la solución tiene
un comportamiento muy interesante una vez que el diámetro del conjunto a-nivel de la
solución permanece acotada cuando t aumenta. Por otro lado, una vez que la solución
difuso es obtenida, se puede escoger un punto medio del conjunto 1-nivel de u(t) como
un número real que representa la solución difusa con un cierto grado de precisión, esto
significa que en el proceso de defuzzificación, podemos seleccionar v(t) = mp([u(t)]1 ),
para cada t, y se tiene una función real que representa una solución difusa u. En el
1
ejemplo, el punto medio de cada conjunto de nivel tiende a un número fijo ( ) cuando
6
t → +∞, independientemente de a ∈ [0, 1].
Sean M > 0, I = [0, T ] con T > 0, σ ∈ C (I, E 1 ), u0 ∈ E 1 y considere el problema


u0 (t) = −M u(t) + σ(t), t ∈ I
 u(0) = u ,
0
(3-15)
3.2. Soluciones de los PVI’s difusos en E 1
48
Teorema 3.3 Para cada t ∈ I, a ∈ [0, 1], el problema (3-15) tiene solución única en
I, dada por la expresión
e−M t
eM t
U1 (t, a) +
U2 (t, a)
2
2
eM t
e−M t
=
U1 (t, a) +
U2 (t, a)
2
2
u(t)al = −
(3-16)
u(t)ar
(3-17)
donde
a
U1 (t, a) = diam([u0 ] ) +
Z t
diam([σ(s)]a )e−M s ds,
0
U2 (t, a) = (u0 )al + (u0 )ar +
Z t
0
(σ(s)al + σ(s)ar )eM s ds.
Demostración. Considere la función u(t) con conjunto de nivel [u(t)]a = [u(t)al , u(t)ar ]
como solución del problema (3-15).
Del ejemplo 1.74 se sabe que el problema


w0 (t) = −M w(t), t ∈ I,
 w(0) = u ,
0
tiene como solución a la función w dada por
1
1
w(t)al = − diam([u0 ]a )eM t + ((u0 )al + (u0 )ar )e−M t ,
2
2
1
1
w(t)ar = diam([u0 ]a )eM t + ((u0 )al + (u0 )ar )e−M t ,
2
2
(3-18)
(3-19)
para t ∈ I y a ∈ [0, 1].
Para obtener a solución de


v 0 (t) = −M v(t) + σ(t), t ∈ I,
 v(0) = χ ,
{0}
(3-20)
considere (w + v)(0) = w(0) + v(0) = u0 + χ0 = u0 , y para t ∈ I
(w + v)0 (t) = w0 (t) + v 0 (t) = −M w(t) + (−M v(t)) + σ(t)
= −M (w(t) + v(t)) + σ(t) = −M (w + v)(t) + σ(t),
3.2. Soluciones de los PVI’s difusos en E 1
49
tal que w + v es solución de (3-15). Se busca una solución para (3-20) de la forma





v(t)al   eM t e−M t   cal (t) 

,
=
−eM t e−M t
car (t)
v(t)ar
(3-21)
para t ∈ I y a ∈ [0, 1], tal que [v(0)]a = [v(0)al , v(0)ar ] = {0}, ∀ a. Esto es, para
a ∈ [0, 1], considere el sistema lineal homogéneo no singular.








0   v(0)al   1 1   cal (0) 
=
=
,
0
v(0)ar
−1 1
car (0)
Por lo tanto, la solución única es
cal (0) = 0, car (0) = 0, ∀a ∈ [0, 1].
Ahora, para que la expresión




v(t)al   cal (t)eM t + car (t)e−M t 

=
,
v(t)ar
−cal (t)eM t + car (t)e−M t
(3-22)
defina un elemento en E 1 , es necesario que cal (t) sea una función no positiva. Además
de eso, para que las diferencias de Hukuhara v(t + h) −
v(t), v(t) −
v(t − h) existan
H
H
para h > 0 suficientemente pequeño, es necesario que
diam([v(t)]a ) = −cal (t)eM t + car (t)e−M t − cal (t)eM t − car (t)e−M t = −2cal (t)eM t
sea no decreciente en t. Por ejemplo, si cal es una función no creciente en t, observe
que, para t ∈ I, a ∈ [0, 1],
[v(t)]a = [cal (t)eM t + car (t)e−M t , −cal (t)eM t + car (t)e−M t ].
(3-23)
A continuación calculamos cal (t) y car (t) con el objetivo de obtener la solución de
(3-20). Escribiendo de términos de conjuntos de nivel, obtenemos para todo a ∈ [0, 1],
t ∈ I,
0
val
(t) = −M var (t) + σal (t),
0
var
(t) = −M val (t) + σar (t),
3.2. Soluciones de los PVI’s difusos en E 1
50
y usando (3-23),
c0al (t)eM t + cal (t)M eM t + c0ar (t)e−M t − M car (t)e−M t
= M cal (t)eM t − M car (t)e−M t + σal (t),
−c0al (t)eM t − cal (t)M eM t + c0ar (t)e−M t − M car (t)e−M t
= −M cal (t)eM t − M car (t)e−M t + σar (t),
de donde
c0al (t)eM t + c0ar (t)e−M t = σal (t),
−c0al (t)eM t + c0ar (t)e−M t = σar (t).
Luego se obtiene
1
c0al (t) = e−M t (σal (t) − σar (t)),
2
1
0
car (t) = eM t (σal (t) − σar (t)),
2
que integrando se llega a los siguientes resultados,
cal (t) =
1 Z t Ms
1 Z t −M s
e
(σal (s) − σar (s))ds e cal (t) =
e (σal (s) + σar (s))ds.
2 0
2 0
Estos cálculos nos confirman que cal (t) ≤ 0, para todo t, a (función no creciente en t).
Considerando (3-23), se tiene que t ∈ I, e a ∈ [0, 1],
1 Z t −M s
1 Z t Ms
e
diam([σ(s)]a )ds eM t +
e (σal (s) + σar (s))ds e−M t ,
2 0
2 0
1 Z t −M s
1 Z t Ms
=
e
diam([σ(s)]a )ds eM t +
e (σal (s) + σar (s))ds e−M t .
2 0
2 0
v(t)al = −
(3-24)
v(t)ar
(3-25)
Para verificar que v(t) define un número difuso, observe que σ es continua, diam([σ(s)]a )
y σ(s)ar decrece en a y σ(s)al crece en a.
Ahora, verificamos que v es diferenciable en el sentido de Hukuhara y que la derivada
de v en el sentido de Hukuhara en t es −M v(t) + σ(t). Cabe señalar que el conjunto
de nivel de las diferencias de Hukuhara existen desde que
a
Mt
diam([v(t)] ) = −2cal (t)e
=
Z t
0
e−M s diam([σ(s)]a )eM t ds
3.2. Soluciones de los PVI’s difusos en E 1
51
sea no decreciente en t. Además de eso, las diferencias de Hukuhara v(t+h)−
v(t),v(t)−
H
H
v(t − h) existen para h suficientemente pequeño. Para probar este hecho, según (3-24)
y (3-25), se obtiene para t ∈ I y a ∈ [0, 1], lo siguiente
1 Z t −M s
e
diam([σ(s)]a )ds eM t (1 − eM h )
2 0
1 Z t Ms
+
e (σal (s) + σar (s))ds e−M t (e−M h − 1)
2 0
1 Z t+h −M s
−
e
diam([σ(s)]a )ds eM (t+h)
2 t
1 Z t+h M s
+
e (σal (s) + σar (s))ds e−M (t+h)
2 t
1 Z t −M s
e
diam([σ(s)]a )ds eM t (eM h − 1)
=
2 0
1 Z t Ms
+
e (σal (s) + σar (s))ds e−M t (e−M h − 1)
2 0
1 Z t+h −M s
e
diam([σ(s)]a )ds eM (t+h)
+
2 t
1 Z t+h M s
+
e (σal (s) + σar (s))ds e−M (t+h) ,
2 t
(v(t + h) −
v(t))al =
H
(v(t + h) −
v(t))ar
H
los cuales definen los puntos finales de los conjuntos de nivel para un número difuso.
En efecto la condición diam([v(t + h)]a ) ≥ diam([v(t)]a ) implica que
(v(t + h) −
v(t))al = v(t + h)al − v(t)al ≤ v(t + h)ar − v(t)ar = (v(t + h) −
v(t))ar .
H
H
Además de eso, para ak → a− ,
(v(t + h) −
v(t))ak l −→ (v(t + h) −
v(t))al , (v(t + h) −
v(t))ak r −→ (v(t + h) −
v(t))ar
H
H
H
H
lo cual junto a la continuidad de σ implica que 0t σ(s)χ{eRs } , tt+h σ(s)χ{eRs } son elementos de E 1 , para R = ±M , t ∈ I, h > 0. Finalmente, falta probar que (v(t + h) −
v(t))al
H
es no decreciente en a y que (v(t + h) −
v(t))ar es no creciente en a. Sean a, b ∈ [0, 1],
H
a ≤ b, entonces
R
R
(v(t + h) −
v(t))al ≤ (v(t + h) −
v(t))bl
H
H
desde que
3.2. Soluciones de los PVI’s difusos en E 1
52
e−M s eM t (1 − eM h )(diam([σ(s)]a ) − diam([σ(s)]b ))
≤ eM s e−M t (e−M h − 1)(σ(s)bl + σ(s)br − σ(s)al − σ(s)ar ),
para s ∈ [0, t], y
−e−M s eM (t+h) (diam([σ(s)]a ) − diam([σ(s)]b ))
≤ eM s e−M (t+h) (σ(s)bl + σ(s)br − σ(s)al − σ(s)ar ),
para s ∈ [t, t + h]. De hecho, la primera verificación es válida para s ≤ t,
e2M (t−s) (1 − eM h )(diam([σ(s)]a ) − diam([σ(s)]b ))
≤ (1 − eM h )(diam([σ(s)]a ) − diam([σ(s)]b ))
≤ (e−M h − 1)(σ(s)bl + σ(s)br − σ(s)al − σ(s)al ),
debido a que
(2 − eM h − e−M h )(σ(s)bl − σ(s)al ) ≤ 0 ≤ (e−M h − eM h )(σ(s)br − σ(s)ar ).
La segunda afirmación es equivalente a
−e2M (t+h−s) (diam([σ(s)]a ) − diam([σ(s)]b )) ≤ σ(s)bl + σ(s)br − σ(s)al − σ(s)ar ,
para s ∈ [t, t + h]. Procediendo de manera similar se muestra que (v(t + h) −
v(t))ar es
H
no decreciente en a y, el mismo razonamiento se aplica para los casos de las diferencias
de Hukuhara v(t) −
v(t − h), con h > 0 suficientemente pequeño.
H
Ahora, para t ∈ I,
(−M v(t) + σ(t))al = −
(−M v(t) + σ(t))ar
M Z t −M s
e
diam([σ(s)]a )ds eM t
2 0
M Z t Ms
−
e (σal (s) + σar (s))ds e−M t + σal (t),
2 0
M Z t −M s
=
e
diam([σ(s)]a )ds eM t
2 0
M Z t Ms
−
e (σal (s) + σar (s))ds e−M t + σar (t).
2 0
3.2. Soluciones de los PVI’s difusos en E 1
53
Entonces,
!
lı́m d∞
h→0+
v(t + h) −
v(t)
H
, −M v(t) + σ(t) = lı́m+ sup máx{|ϕ(t, h, a)|, |ψ(t, h, a)|},
h→0 a∈[0,1]
h
donde
ϕ(t, h, a) =
eM t −eM h + 1 + M h Z t −M s
e
diam([σ(s)]a )ds
2
h
0
e−M t −eM h + 1 + M h Z t M s
+
e (σal (s) + σar (s))ds
2
h
0
eM t −eM h Z t+h −M s
+
e
diam([σ(s)]a )ds
2
h
t
e−M t −eM h Z t+h M s
+
e (σal (s) + σar (s))ds − σal (t),
2
h
t
tiende uniformemente a cero en a ∈ [0, 1] cuando h → 0+ , desde que σ es acotada en
[0, t] (σal , σar son acotadas en [0, t] uniformemente en a),
lı́m+
h→0
e−M h − 1 + M h
−eM h + 1 + M h
= lı́m+
= 0,
h→0
h
h
y, utilizando a continuidad de σ en t, se obtiene que
1 Z t+h −M s
e
diam([σ(s)]a )ds −→ e−M t diam([σ(t)]a ),
h t
1 Z t+h M s
e (σal (s) + σar (s))ds −→ eM t (σal (t) + σar (t)),
h t
donde la convergencia se ocurre de manera uniforme en a ∈ [0, 1].
Análogamente, para
ψ(t, h, a) =
eM t eM h − 1 − M h Z t −M s
e
diam([σ(s)]a )ds
2
h
0
e−M t e−M h − 1 + M h Z t M s
+
e (σal (s) + σar (s))ds
2
h
0
eM t eM h Z t+h −M s
+
e
diam([σ(s)]a )ds
2 h t
e−M t −eM h Z t+h M s
e (σal (s) + σar (s))ds − σar (t).
+
2
h
t
3.2. Soluciones de los PVI’s difusos en E 1
54
El mismo procedimiento es válido para el caso de la derivada de Hukuhara por el lado
izquierdo de v en t. Esto completa la prueba, una vez que v es derivable en el sentido
de Hukuhara en cada t y v 0 (t) = −M v(t) + σ(t). Añadiendo w a v, obtenemos (3-16)
y (3-17), que proporcionan la solución para (3-15).
2
Ejemplo 3.4 Considere el caso particular de (3-15)
u0 (t) = −3u(t) + χ[0,1] , t ∈ I,
u(0) = u0 = χ{1} ,
(3-26)
cuya solución (ver figura 3.3) según el teorema 3.3 es dada por la expresión
2 − e3t + 5e−3t e3t + 5e−3t
,
, a ∈ [0, 1], t ∈ I.
[u(t)]a =
6
6
#
"
El punto medio y el diámetro de los conjuntos de nivel de u son mp([u(t)]a ) = 16 (5e−3t +
1), diam([u(t)]a ) = 31 (e3t − 1), a ∈ [0, 1], t ∈ I (ver figura 3.4). El diámetro de los
conjuntos de nivel tiende a +∞, y esta es una situación no deseable desde el punto de
vista de las aplicaciones, mas el punto medio tiende a 16 cuando t → +∞. La expresión
del punto medio de ([u(t)]a ) es la misma del problema (3-14). Como esperábamos, la
expresión del diámetro de los conjuntos de nivel de u pueden ser obtenidos a partir de
la expresión del diámetro de los conjuntos de nivel de la solución de (3-14), para lo
cual basta sustituir M por −M .
Sean M > 0, I un intervalo real I = [0, T ] con T > 0 o I = [0, ∞), σ ∈ C (I, E 1 ),
u0 ∈ E 1 y considere el problema


u0 (t) = M u(t) + σ(t), t ∈ I
 u(0) = u .
0
(3-27)
Teorema 3.5 El problema (3-27) tiene solución única en I, dada por
u(t) = u0 χ{e−M t } +
Z t
0
σ(s)χ{eM (s−t) } ds, t ∈ I,
Demostración. Tomemos [u(t)]a = [u(t)al , u(t)ar ] y (3-27) escrita como
u0al (t) = M ual (t) + σal (t), t ∈ I
u0al (t) = M ual (t) + σar , t ∈ I.
(3-28)
3.2. Soluciones de los PVI’s difusos en E 1
55
Figura 3.3: Puntos finales del conjunto a-nivel de la solución para el problema (3-26).
Usando factor integrante, se obtiene
ual (t) = (u0 )al e
Mt
+
Z t
0
σal (s)e
M (t−s)
ds, uar (t) = (u0 )ar e
Mt
+
Z t
0
σar (s)eM (t−s) ds,
entonces
[u(t)]a = [u0 ]a eM t +
Z t
[σ(s)]a eM (t−s) ds,
0
para todo a ∈ [0, 1] e t ∈ I, obteniendo así (3-28).
Está claro que u(t) dado por (3-28) define un número difuso. Ahora verificaremos
que u es diferenciable e el sentido de Hukuhara en todo ponto t con derivada de Hukuhara en t igual a M u(t) + σ(t), que es un número difuso para todo t,
Mt
(M u(t) + σ(t))al = M (u0 )al e
+M
Z t
0
(M u(t) + σ(t))ar = M (u0 )ar eM t + M
Z t
0
σ(s)al eM (t−s) ds + σ(t)al ,
σ(s)ar eM (t−s) ds + σ(t)ar ,
Las diferencias de Hukuhara u(t + h) −
u(t), u(t) −
u(t − h) para u dado por (3-28)
H
H
existen (por lo menos para h pequeño), desde que
a
diam([u(t)] ) = e
Mt
a
diam([u0 ] ) +
Z t
0
a
diam([σ(s)] )e
−M s
ds
3.2. Soluciones de los PVI’s difusos en E 1
56
Figura 3.4: Punto medio y diámetro de los conjuntos de nivel de la solución para (3-26).
es una función no decreciente en t. De modo que
(u(t + h) −
u(t))al ≤ (u(t + h) −
u(t))ar , (u(t) −
u(t − h))al ≤ (u(t) −
u(t − h))ar ,
H
H
H
H
definen funciones continuas a izquierda en a. Además de eso, por la definición de u se
sigue que
(u(t + h) −
u(t))al , (u(t) −
u(t − h))al
H
H
son no decrecientes en a y
(u(t + h) −
u(t))ar , (u(t) −
u(t − h))ar
H
H
son no crecientes en a.
Sea t ∈ I fijo, h > 0, entonces los cocientes de las diferencias de Hukuhara son
u(t + h) −
u(t)
H
h
!
Mt
= (u0 )al e
al
+
Z t
0
eM h − 1
h
!
M (t−s)
σ(s)al e
ds
!
eM h − 1
eM h Z t
+
σ(s)al eM (t−s) ds,
h
h 0
3.2. Soluciones de los PVI’s difusos en E 1
57
y
u(t + h) −
u(t)
H
h
!
Mt
= (u0 )ar e
ar
+
Z t
0
eM h − 1
h
!
M (t−s)
σ(s)ar e
ds
!
eM h − 1
eM h Z t
σ(s)al eM (t−s) ds,
+
h
h 0
Usando la continuidad de σ se muestra que
u(t + h) −
H u(t)
h
h→0+
−→ (M u(t) + σ(t))al y
al
u(t + h) −
H u(t)
h
h→0+
−→ (M u(t) + σ(t))ar
ar
converge uniformemente en a. Por lo tanto
lı́m+
h→0
u(t + h) −
u(t)
H
= M u(t) + σ(t) em (E 1 , d∞ )
h
e, semelhantemente,
lı́m+
h→0
u(t) −
u(t − h)
H
= M u(t) + σ(t) em (E 1 , d∞ ).
h
Por lo tanto, u es Hukuhara diferenciable en t con derivada M u(t) + σ(t) ∈ E 1 , y así
la ecuación es satisfecha.
2
Ejemplo 3.6 A continuación, se estudia el comportamiento de las soluciones para el
problema
u0 (t) = 3u(t) + χ[0,1] , t ∈ I,
u(0) = u0 = χ{1} .
(3-29)
Según el teorema 3.5, la solución de (3-29) está dada por
u(t) = χh
3t −1
3
e3t , 4e
i, t
∈ I,
ver figura 3.5. El punto medio y el diámetro de los conjuntos de nivel de la solución
son respectivamente mp([u(t)]a ) = 16 (7e3t − 1), diam([u(t)]a ) = 13 (e3t − 1), a ∈ [0, 1],
t ∈ I (ver figura 3.6).
Sean M > 0, I un intervalo real I = [0, T ] con T > 0 o I = [0, ∞), σ ∈ C (I, E 1 ),
u0 ∈ E 1 y considere el problema


u0 (t) − M u(t) = σ(t), t ∈ I
 u(0) = u .
0
(3-30)
3.2. Soluciones de los PVI’s difusos en E 1
58
Figura 3.5: Puntos finales del conjunto a-nivel de la solución del problema (3-29).
Teorema 3.7 Defina
W1 (t, a) = diam([u0 ]a ) +
W2 (t, a) = (u0 )al + (u0 )ar +
Z t
diam([σ(s)]a )eM s ds
0
Z t
0
(σ(s)al + σ(s)ar )e−M s ds.
Las expresiones
e−M t
W1 (t, a) +
2
e−M t
=
W1 (t, a) +
2
u(t)al = −
u(t)ar
eM t
W2 (t, a),
2
eM t
W2 (t, a),
2
(3-31)
(3-32)
para t ∈ I, a ∈ [0, 1], representan una única solución para el problema (3-30) en I, si
se define un número difuso, es decir, si
u(t)al no es decreciente y u(t)ar no es creciente en a,
(3-33)
y para todo t ∈ I, existe β > 0 tal que las diferencias de Hukuhara
u(t + h) −
u(t), u(t) −
u(t − h)
H
H
existen para 0 < h < β.
Demostración. Para a prueba, vea teorema 4 en [13].
2
Ejemplo 3.8 Los conjuntos a-nivel de la solución del siguiente problema
u0 (t) − 3u(t) = χ[0,1] , t ∈ I,
u(0) = u0 = χ{1} ,
(3-34)
3.2. Soluciones de los PVI’s difusos en E 1
59
Figura 3.6: Punto medio y diámetro del conjunto de nivel de la solución de (3-29).
son
7e3t + e−3t − 2 7e3t − e−3t
, a ∈ [0, 1], t ∈ I.
[u(t)] =
,
6
6
"
#
a
Los puntos finales de esta expresión son dados por (3-31) y (3-32), ver figura 3.7. El
punto medio y el diámetro de los conjuntos de nivel de la solución son respectivamente
mp([u(t)]a ) = 61 (7e3t − 1), diam([u(t)]a ) = 13 (1 − e−3t ), a ∈ [0, 1], t ∈ I, cuyos gráficos
son presentados en la figura 3.8. En este ejemplo, el diámetro de los conjuntos de nivel
es creciente y acotada por su límite cuando t → ∞, que resulta ser igual a 31 . Por lo
tanto, la solución no se torna borrosa cuando t crece.
3.2. Soluciones de los PVI’s difusos en E 1
60
Figura 3.7: Puntos finales del conjunto a-nivel de la solución del problema (3-29).
Figura 3.8: Pontos finales del conjunto a-nivel de la solución del problema (3-29).
En los ejemplos 3.2, 3.4 y 3.6 se puede observar las propiedades de invarianza
del punto medio (o diámetro) de los conjuntos de nivel bajo ciertos cambios en las
ecuaciones. El punto medio del conjunto de nivel de las soluciones de los problemas
u0 (t) + 3u(t) = σ(t) y u0 (t) = −3u(t) + σ(t) se preserva. lo mismo ocurre para las
ecuaciones u0 (t) = 3u(t) + σ(t) e u0 (t) − 3u(t) = σ(t). Mientras que el diámetro cambia
(sustituyendo M por −M ).
3.2. Soluciones de los PVI’s difusos en E 1
61
Pasando de u0 (t) + 3u(t) = σ(t) a u0 (t) − 3u(t) = σ(t) o de u0 (t) = −3u(t) + σ(t)
a u0 (t) = 3u(t) + σ(t), el diámetro de los conjuntos de nivel permanece invariante,
mientras que la expresión del punto medio cambia (sustituyendo M por −M ).
Capítulo 4
Resultados de Comparación
Conforme la complejidad de un sistema
aumenta, nuestra habilidad de hacer
afirmaciones precisas y significativas sobre su
comportamiento disminuye, hasta el umbral
donde la precisión y relevancia se vuelven
prácticamente características mutuamente
exclusivas..
(Principio de la Incompatibilidad - Zadeh)
En este capítulo se presenta varios resultados que permiten comparar las soluciones
de ecuaciones diferenciales difusas lineales usando la derivada de Hukuhara, ver [23].
Estos resultados constituyen la extension para el contexto difuso de algunos resultados
de comparación para las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales.
Los resultados presentados en esta sección son utilizados en el Capítulo 5 y estan
basadas en el articulo [23].
4.1.
Introducción
En el desenvolvimiento del método de soluciones superior e inferior y técnicas iterativas de tipo monótono, resultados de comparación o también conocido en la literatura
como principios de máximo desempeñan un papel importante, pues permiten comparar
las funciones en relación a las desigualdades diferenciales.
62
4.2. Principio del Máximo
63
En lo que sigue, se establecerá algunas propiedades de las relaciones de orden 6,
en E 1 dadas en la Definición 2.2, 2.3. Considerando diferentes enfoques, se presenta
varios resultados en el caso difuso que permiten comparar las soluciones para las diferentes ecuaciones diferenciales difusas lineales. Siendo mas claro, se muestra resultados
que permiten establecer una comparación entre dos funciones difusas que son soluciones de diferentes ecuaciones diferenciales difusas lineales. La demostración de los
teoremas se vuelve un tanto mas simple, pues se puede utilizar las expresiones explícitas de las soluciones para las ecuaciones u0 (t) + M u(t) = σ(t), u0 (t) = −M u(t) + σ(t)
y u0 (t) = M u(t) + σ(t), que son dadas en el Capítulo 3.
4.2.
Principio del Máximo
Haciendo uso de las Definiciones 2.2, 2.3 y de la propriedad 2 en la Proposición 1.5
se puede demostrar fácilmente los siguientes lemas.
Lema 4.1 Las siguientes propiedades son válidas
Dados x, y ∈ E 1 , x = y si y solamente si x 6 y y x > y
Si x, y, z ∈ E 1 son tales que x 6 z, entonces x + y 6 y + z
Si x, y, z, w ∈ E 1 son tales que x 6 y e z 6 w, entonces x + z 6 y + w.
Si x, y ∈ E 1 son tales que x 6 y y M ∈ R, M > 0, entonces M x 6 M y.
Observación: El Lema 4.1 y los resultados a seguir, a pesar de ser enunciados para
el orden 6, también son verdaderos para .
Las siguientes propiedades se deduce directamente de las Definiciones 2.2, 2.3 y de la
Observación 1.60.
Lema 4.2 Si T > 0, I = [0, T ] y f, g ∈ C (I, E 1 )
f 6 g =⇒
Z t
0
f (s)ds 6
Z t
0
g(s)ds y f g =⇒
Z t
0
f (s)ds Z t
g(s)ds para t ∈ J,
0
A continuación tenemos uno de los tres primeros resultados de comparación relacionado
con el Teorema 3.1.
4.2. Principio del Máximo
64
Teorema 4.3 Sean x, y ∈ C 1 (I, E 1 ), T > 0, y M ∈ R, M > 0, tal que
x0 (t) + M x(t) = σ1 (t), t ∈ [0, T ],
y 0 (t) + M y(t) = σ2 (t), t ∈ [0, T ],
con σ1 6 σ2 e x(0) 6 y(0). Entonces x(t) 6 y(t), t ∈ [0, T ].
Demostración. Desde que x, y son soluciones para las correspondientes ecuaciones diferenciales difusas, sus expresiones pueden ser obtenidas del Teorema 3.1,
x(t) = x0 χ{e−M t } +
y(t) = y0 χ{e−M t } +
Z t
0
Z t
0
σ1 (s)χ{eM (s−t) } ds,
(4-1)
σ2 (s)χ{eM (s−t) } ds.
(4-2)
Considerando las Definiciones 2.8, 2.2 y denotando por [z(t)]a = [zal (t), zar (t)], los
niveles de cualquier función difusa z ∈ C 1 (I, E 1 ), se tiene de la hipótesis que σ1 al (t) ≤
σ2 al (t), σ1 ar (t) ≤ σ2 ar (t), xal (0) ≤ yal (0) y xar (0) ≤ yar (0). Donde, considerando las
ecuaciones 4-1, 4-2 se obtiene
Z t
xal (0)e−M t +
0
σ1 al (s)eM (s−t) ds ≤ yal (0)e−M t +
Z t
0
σ2 al (s)eM (s−t) ds,
esto es, xal (t) ≤ yal (t). Análogamente,
xar (0)e−M t +
Z t
0
σ1 ar (s)eM (s−t) ds ≤ yar (0)e−M t +
Z t
0
σ2 ar (s)eM (s−t) ds,
esto es , xar (t) ≤ yar (t), por tanto x(t) 6 y(t), t ∈ [0, T ]. La demostración para el caso
del orden parcial es análogo.
2
Del Teorema 3.3, se tiene el siguiente resultado de comparación.
Teorema 4.4 Sean x, y ∈ C (I, E 1 ), u0 , v0 ∈ E 1 , y M ∈ R, M > 0, tal que
x0 (t) = −M x(t) + σ1 (t),
y 0 (t) = −M y(t) + σ2 (t),
x(0) = u0 , y(0) = v0 ,
4.2. Principio del Máximo
65
donde, para cada t ∈ [0, T ], a ∈ [0, 1],
1Z t
1
1
a Mt
diam([σ1 (s)]a )eM (t−s) ds + ((u0 )al + (u0 )ar )e−M t
− diam([u0 ] )e −
2
2 0
2
1Z t
1
1Z t
+
(σ1 (s)al + σ1 (s)ar )e−M (t−s) ds ≤ − diam([v0 ]a )eM t −
diam([σ2 (s)]a )eM (t−s)
2 0
2
2 0
1Z t
1
(σ2 (s)al + σ2 (s)ar )e−M (t−s) ds,
(4-3)
+ ((v0 )al + (v0 )ar )e−M t +
2
2 0
y
1
1Z t
1
a Mt
diam([u0 ] )e +
diam([σ1 (s)]a )eM (t−s) ds + ((u0 )al + (u0 )ar )e−M t
2
2 0
2
1Z t
1
1Z t
−M (t−s)
a Mt
+
(σ1 (s)al + σ1 (s)ar )e
ds ≤ + diam([v0 ] )e +
diam([σ2 (s)]a )eM (t−s)
2 0
2
2 0
1
1Z t
+ ((v0 )al + (v0 )ar )e−M t +
(σ2 (s)al + σ2 (s)ar )e−M (t−s) ds,
(4-4)
2
2 0
Entonces x(t) 6 y(t), t ∈ [0, T ].
Demostración. Del Teorema 3.3, sigue que para todo t ∈ [0, T ] e a ∈ [0, 1],
x(t)al = −
e−M t
eM t
e−M t
eM t
U1 (t, a) +
U2 (t, a), x(t)ar =
U1 (t, a) +
U2 (t, a) (4-5)
2
2
2
2
donde
a
U1 (t, a) = diam([u0 ] ) +
Z t
0
U2 (t, a) = (u0 )al + (u0 )ar +
diam([σ1 (s)]a )e−M s ds,
Z t
0
(σ1 (s)al + σ1 (s)ar )eM s ds.
y análogamente para y. De las hipótesis (4-3) y (4-4), se obtiene que x(t)al ≤ y(t)al ,
x(t)ar ≤ y(t)ar para todo t ∈ [0, T ]. Por tanto, x(t) 6 y(t).
2
Observación 4.5 Note que las condiciones (4-3) y (4-4) pueden ser reescritas como
1
1
1Z t
a Mt
a Mt
diam([v0 ] )e − diam([u0 ] )e +
diam([σ2 (s)]a )eM (t−s) ds
2
2
2 0
1Z t
1
1
−
diam([σ1 (s)]a )eM (t−s) ds ≤ ((v0 )al + (v0 )ar )e−M t − ((u0 )al + (u0 )ar )e−M t
2 0
2
2
Z t
1Z t
1
+
(σ2 (s)al + σ2 (s)ar )e−M (t−s) ds −
(σ1 (s)al + σ1 (s)ar )e−M (t−s) ds,
2 0
2 0
4.2. Principio del Máximo
66
1
1
1Z t
− ((v0 )al + (v0 )ar )e−M t + ((u0 )al + (u0 )ar )e−M t −
(σ2 (s)al + σ2 (s)ar )e−M (t−s) ds
2
2
2 0
1Z t
1
1
+
(σ1 (s)al + σ1 (s)ar )e−M (t−s) ds ≤ diam([v0 ]a )eM t − diam([u0 ]a )eM t
2 0
2
2
Z t
1Z t
1
+
diam([σ2 (s)]a )eM (t−s) ds −
diam([σ1 (s)]a )eM (t−s) ds
2 0
2 0
respectivamente. Así, estas condiciones son equivalentes a
Z t
1
diam([v0 ]a ) − diam([u0 ]a ) + (diam([σ2 (s)]a ) − diam([σ1 (s)]a ))e−M s ds eM t
2
0
(4-6)
Z t
≤ mp([v0 ]a ) − mp([u0 ]a ) + (mp([σ2 (s)]a ) − mp([σ1 (s)]a ))eM s ds e−M t
0
para todo t ∈ [0, T ] y a ∈ [0, 1], donde mp([u]a ) = 21 (ual + uar ) denota el punto medio
de [u]a .
Ejemplo 4.6 Sea σ(t) = (t; 1, 1) ∈ E 1 para todo t, esto es





r − t + 1,
r ∈ [t − 1, t],
σ(t)(r) = −r + t + 1, r ∈ [t, t + 1],



 0,
en otro caso,
con conjuntos nivel dados por [σ(t)]a = [a + t − 1, −a + t + 1] para todo a ∈ [0, 1].
Considere T = 10, M = 1 y funciones σ1 (t) = σ(t), σ2 (t) = σ(T − t) = σ(10 − t),
t ∈ [0, 10]. Note que, σ1 e σ2 no son comparables con la relación de orden 6, pues
existen t = 8 y a = 1 tal que (σ1 (t))al = a + t − 1 ≤ (σ2 (t))al = a − t + 9 y (σ1 (t))ar =
−a + t + 1 ≤ (σ2 (t))ar = −a − t + 11 no se satisfacen.
Considérese las condiciones iniciales escogemos los números u0 = χ{0} y v0 =
χ{8e10 +12} . Entonces, para todo a, s, se tiene
diam([σ1 (s)]a ) = 2 − 2a = diam([σ2 (s)]a ), mp([σ1 (s)]a ) = s y mp([σ2 (s)]a ) = 10 − s.
Así, el lado izquierdo de la estimativa en (4-6) es igual a zero, y su lado derecho es
igual a
8e10 + 12 +
Z
0
t
eM t
2(eM t − 1) − 10M
(10 − 2s)eM s ds e−M t = 8e10 + 12 + (10 − t)
+
e−M t .
M
M2
Para M = 1, se observa que
4.2. Principio del Máximo
67
8e10 + 12 ≥ −(10 − 2t)et + 10 − 2(et − 1) = −12et + 2tet + 12 = ψ(t),
para todo t ∈ [0, 10], desde que ψ(0) = 0, ψ es no creciente en (0, 5) y no decreciente
en (5, 10), con ψ(10) = 8e10 + 12. Luego, las soluciones de


x0 (t) = −x(t) + σ1 (t), t ∈ [0, 10],
 x(0) = χ ,
{0}


y 0 (t) = −y(t) + σ2 (t), t ∈ [0, 10],
 y(0) = χ 10
{8e +12} ,
satisfacen que x(t) 6 y(t) para todo t ∈ [0, 10] como consecuencia del Teorema 4.4 y la
Observación 4.5.
Para un ejemplo con condiciones iniciales no crisp considere los números difusos
u0 = (0; 1, 1) y v0 = (8e10 + 12, 1, 1), que satisfacen
diam([u0 ]a ) = 2 − 2a = diam([v0 ]a ), mp([u0 ]a ) = 0 e mp([v0 ]a ) = 8e10 + 12
para todo a ∈ [0, 1].
Corolário 4.7 Si u0 6 v0 e σ1 6 σ2 , entonces la condición
a
diam([u0 ] ) +
Z t
0
diam([σ1 (s)])e
−M s
a
ds = diam([v0 ] ) +
Z t
0
diam([σ2 (s)]a )e−M s ds (4-7)
para todo t ∈ [0, t], a ∈ [0, 1], implica la validez de (4-3) y (4-4) en el Teorema 4.4.
Demostración. Por la hipótesis tenemos que (u0 )al ≤ (v0 )al , (u0 )ar ≤ (v0 )ar , (σ1 (s))al ≤
(σ2 (s))al e (σ1 (s))ar ≤ (σ2 (s))ar para todo s ∈ [0, T ] e a ∈ [0, 1]. De modo que
((u0 )al + (u0 )ar )e−M t ≤ ((v0 )al + (v0 )ar )e−M t ,
((σ1 (s))al + (σ1 (s))ar )eM s ≤ ((σ2 (s))al + (σ2 (s))ar )eM s , t ∈ [0, T ]
y (4-7) implican (4-3) y (4-4). Este resultado puede ser obtenido también por la verificación de que la última desigualdad en la observación 4.5 vale trivialmente sobre las
hipótesis del Corolario 4.7, desde que su lado derecho es mayor o igual a cero e su lado
izquierdo es igual a zero.
2
4.2. Principio del Máximo
68
Corolário 4.8 Si u0 6 v0 , σ1 6 σ2 , diam([u0 ]a ) = diam([v0 ]a ), y
diam([σ1 (t)]a ) = diam([σ2 (t)]a ) ∀t ∈ [0, T ] y a ∈ [0, 1],
entonces las condiciones (4-3) y (4-4) en el Teorema 4.4 son válidas.
Teorema 4.9 Sean x, y ∈ C 1 ([0, T ], E 1 ), T > 0, u0 , v0 ∈ E 1 , y M ∈ R, M > 0, tal
que
x0 (t) = M x(t) + σ1 (t),
y 0 (t) = M y(t) + σ2 (t),
x(0) = u0 , y(0) = v0 ,
con σ1 6 σ2 , y u0 6 v0 . Entonces x(t) 6 y(t), t ∈ [0, T ].
Demostración. Análoga a la demostración del Teorema 4.3. En efecto, aplicando el
Teorema 3.5, se deduce que
x(t) = u0 χ{e−M t } +
Z t
0
σ1 (s)χ{eM (s−t) } ds, y(t) = v0 χ{e−M t } +
Z t
0
σ2 (s)χ{eM (s−t) } ds,(4-8)
con t ∈ [0, T ] y la conclusión sigue de las hipótesis y propiedades de los Lemas 4.1, 4.2. 2
Capítulo 5
Resultados y Discusión del Método
Monótono en el Contexto Difuso
Una verdad matemática no es simple ni
complicada por si misma.Es una verdad.
Emile Lemoine
En este capítulo se desenvuelve la técnica monótona iterativa para ecuaciones diferenciales no lineales. Considerando modelos de ecuaciones lineales (como los que fueron
presentados en el Capítulo 3), resultados de comparación presentados en el Capítulo
4 y un par adecuado de soluciones (superior e inferior), se demuestra mediante tres
Lemas la existencia de soluciones para una ecuación diferencial difusa no lineal. Por
otro lado, definiendo secuencias {αn } y {βn } donde los términos de estas son soluciones
únicas para problemas lineales del tipo (3-5), (3-15) o (3-27), se verifica que {βn } y
{αn } convergen para soluciones maximal y minimal, respectivamente, del PVI difuso


u0 (t) = f (t, u(t)), t ∈ I,
 u(0) = u
0
(5-1)
en un intervalo funcional adecuado [α, β], ver [24].
Como fue comentado anteriormente, en el caso determinista, los modelos
u0 (t) + M u(t) = σ(t), t ∈ I, u(0) = u0 ,
(5-2)
u0 (t) = −M u(t) + σ(t), t ∈ I, u(0) = u0 ,
(5-3)
69
70
son equivalentes, y por tanto las soluciones de las mismas son iguales. En el Capítulo 3
se observo que el problema (5-2) en el contexto difuso no siempre admite una solución
para cada función σ escogida y, en el caso en que la solución existe, no necesariamente
coincide con la solución de (5-3). En el caso difuso y relativo al desenvolvimiento del
método monótono para el problema no lineal (5-1) se obtiene resultados diferentes,
dependiendo de los problemas lineares considerados. Se resalta que, en este trabajo
se considera el concepto de diferenciabilidad de funciones difusas en el sentido de Hukuhara.
El problema en estudio es,


u0 (t) = f (t, u(t)), t ∈ I = [0, T ],
 u(0) = u ,
0
(5-4)
donde T > 0, u0 ∈ E 1 y f : I × E 1 → E 1 es continua.
Definición 5.1 La función α ∈ C 1 (I, E 1 ) es una solución inferior para (5-4) si


α0 (t) 6 f (t, α(t)), t ∈ I
 α(0) 6 u .
0
(5-5)
La función β ∈ C 1 (I, E 1 ) es chamado solución superior para (5-4) si satisface las
desigualdades opuestas de (5-5).
Definiciones análogas pueden ser dadas para solución inferior y superior con respecto
a la relación de orden , cambiándose 6 por en (5-5).
Definición 5.2 Un conjunto parcialmente ordenado (L, 6) es llamado retículo completo se todo subconjunto M de L tiene una cota superior mínima, sup M , e una cota
inferior máxima ı́nf M , en (L, 6).
A continuación se enuncia y se demuestra el Teorema de punto fijo de Tarski (ver
[12] e [26]), que servirá para deducir algunos resultados sobre la existencia de soluciones
extremas para el problema (5-4).
Teorema 5.3 Sea X un retículo completo y
F : X −→ X
71
una función no decreciente, esto es, F (x) 6 F (y) siempre que x 6 y. Suponga que
exista x0 ∈ X tal que F (x0 ) > x0 . Entonces F tiene por lo menos un ponto fijo en X.
Demostración. Considere el conjunto Y = {x ∈ X : F (x) > x}, que es un conjunto
no vacío una vez que x0 ∈ Y . Sea z = sup Y . Note que, para todo x ∈ Y , F (x) > x
de modo que F (F (x)) > F (x) > x y por tanto F (x) ∈ Y . Sea x ∈ Y , entonces x 6 z
y x 6 F (x) 6 F (z) (notar que, z y F (z) son cotas superiores para todo x ∈ Y ), que
implica que z 6 F (z), pues z es la menor de las cotas superiores entre z y F (z). En
otras palabras, z ∈ Y , de modo que F (z) ∈ Y , entonces F (z) 6 z y así z es un ponto
fijo para F en X. Note que z es un punto fijo maximal en X.
2
Observación 5.4 Si en las hipótesis del Teorema 5.3, existiese x1 ∈ X tal que F (x1 ) 6
x1 , entonces se obtiene un punto fijo minimal que será el ínfimo del conjunto Z =
{x ∈ X : F (x) 6 x}. Si, al mismo tiempo, existiesen x0 y x1 tal que F (x0 ) > x0 y
F (x1 ) 6 x1 , entonces
z = sup Y = sup{x ∈ X : F (x) > x},
ẑ = ı́nf Z = ı́nf{x ∈ X : F (x) 6 x}
serán respectivamente, el ponto fijo maximal y minimal de F en X. Note que, una vez
que existe, por lo menos un ponto fijo para F , entonces ẑ 6 z, y cualquier ponto fijo
de F estará entre ẑ y z.
A continuación tenemos el primer resultado de existencia de solución para el problema (5-4).
Lema 5.5 Sea u0 un número difuso continuo, y α, β ∈ C 1 (I, E 1 ) soluciones inferior
y superior para (5-4), tal que α 6 β en I, y α(t), β(t) son números difusos continuos
para cada t ∈ I. Considere las siguientes hipótesis adicionales:
(A) f es continua y acotada en el conjunto {(t, x) : t ∈ I, x ∈ E 1 , x ∈ [α(t), β(t)]}, y
existe M ∈ R, M > 0 tal que para todo t ∈ I e η ∈ C (I, E 1 ) con α 6 η 6 β en
I, las siguientes condiciones son válidas:
diam([f (t, η(t)) + M η(t)]a ) ≥ M e−M t (diam([u0 ]a )
+
Z t
0
diam([f (s, η(s)) + M η(s)]a )eM s )
(5-6)
72
para todo a ∈ [0, 1], y existe δ∗ > 0 tal que, para 0 < h < δ∗
−M t
(1) (u0 )al (e
+
Z t+h
t
0
Z t+h
t
[f (s, η(s)) + M η(s)]al eM (s−t) ds(e−M t − 1)
[f (s, η(s)) + M η(s)]al eM (s−(t+h)) ds es no decreciente en a;
(2) (u0 )ar (e
+
− 1) +
Z t
−M t
− 1) +
Z t
0
[f (s, η(s)) + M η(s)]ar eM (s−t) ds(e−M t − 1)
[f (s, η(s)) + M η(s)]ar eM (s−(t+h)) ds es no creciente en a;
(3) (u0 )al e−M t (1 − eM h ) +
+
Z t
t−h
Z t−h
+
t−h
[f (s, η(s)) + M η(s)]al eM (s−t) ds(1 − eM h )
[f (s, η(s)) + M η(s)]al eM (s−t) ds es no decreciente en a;
(4) (u0 )ar e−M t (1 − eM h ) +
Z t
0
Z t−h
0
[f (s, η(s)) + M η(s)]ar eM (s−t) ds(1 − eM h )
[f (s, η(s)) + M η(s)]ar eM (s−t) ds es no creciente en a.
(B) f (t, x) y x ∈ E 1 números difusos continuos, y también
f (t, x) + M x 6 f (t, y) + M y para α(t) 6 x 6 y 6 β(t) com t ∈ I e x, y ∈ E 1 .
Entonces, existe una solución para (5-4) en el intervalo funcional difuso [α, β] := {x ∈
C (I, E 1 ) : α 6 x 6 β em I}.
Demostración. Considere la aplicación A : [α, β] → C (I, E 1 ) tal que para cada η ∈
[α, β], Aη es la solución única para


u0 (t) + M u(t) = f (t, η(t)) + M η(t) = ση (t), t ∈ I,
 u(0) = u .
0
(5-7)
Del Teorema 3.1 se tiene que la solución única de (5-7) es dada por
(Aη)(t) = u0 χ{e−M t } +
Z t
0
[f (s, η(s)) + M η(s)]χ{eM (s−t) } ds, t ∈ I.
Note que, por la hipótesis, si η ∈ [α, β] es tal que η(t) es un número difuso continuo
para cada t ∈ I, entonces (Aη)(t) es un número difuso continuo, para cada t ∈ I.
73
Observe que obtener una solución para (5-4) es equivalente a determinar los pontos
fijos u de A, esto es, una función continua u satisfaciendo


u0 (t) + M u(t) = f (t, u(t)) + M u(t), t ∈ I,
 u(0) = u .
0
Para utilizar el Teorema 5.3 (Teorema de punto fijo de Tarski) es necesario mostrar
que A es no decreciente en [α, β] y A([α, β]) ⊆ [α, β].
En efecto, de la definición de A y del hecho que α es una solución superior de (5-4),
tenemos


(Aα)0 (t) + M (Aα)(t) = f (t, α(t)) + M α(t) > α0 (t) + M α, t ∈ I,
 (Aα)(0) = u > α(0).
0
Tomando Aα = x y α(t) = y en el Teorema 4.3 se tiene que Aα > α. De forma análoga
considerando


(Aβ)0 (t) + M (Aβ)(t) = f (t, β(t)) + M β(t) 6 β 0 (t) + M β, t ∈ I,
 (Aβ)(0) = u 6 β(0),
0
se tiene Aβ 6 β. Por tanto A([α, β]) ⊆ [α, β].
A continuación, se demuestra que A es no decreciente. En efecto, sean η1 , η2 ∈ [α, β]
con η1 6 η2 , entonces de la hipótesis (B) se tiene que
(Aη1 )0 (t) + M (Aη1 )(t) = f (t, η1 (t)) + M η1 (t)
6 f (t, η2 (t)) + M η2 (t) = (Aη2 )0 (t) + M (Aη2 )(t)
(Aη1 )(0) = (Aη2 )(0).
Por tanto, Aη1 6 Aη2 , y se tiene la monotonocidad. Por el Teorema de Punto Fijo
5.3, el operador no decreciente A tiene al menos un punto fijo en el retículo completo
[α, β], esto es, existe una solución para el problema (5-4) en el intervalo funcional
[α, β] := {x ∈ C (I, E 1 ) : α ≤ x ≤ β em I}.
2
Observación: Las condiciones impuestas en la hipótesis (A) garantizan la existencia
de una solución única para el problema auxiliar,


u0 (t) + M u(t) = f (t, η(t)) + M η(t) = ση (t), t ∈ I,
 u(0) = u .
0
(5-8)
74
Se observa que, la hipótesis (A) implica la validación de muchas condiciones envolviendo la condición inicial u0 , la constante M y la función ση (t) a fin de garantizar la
solubilidad de (5-8). Por tanto, la exigencia de la existencia de una única solución para
cada η ∈ [α, β] es muy restrictivo.
Observe que, en el caso real, (5-6) es trivialmente satisfecha pues diam([u0 ]a ) =
0 y diam([f (t, η(t)) + M η(t)]a ) = 0 para cada a ∈ [0, 1] y t ∈ I. Las condiciones
(1), (2), (3) y (4) son verificados desde que (u0 )al , (u0 )al , [f (s, η(s)) + M η(s)]al y
[f (s, η(s)) + M η(s)]ar son constantes en la variable a.
A continuación se estudia la validez de la condición (5-6) en un caso no crisp.
Ejemplo 5.6 Considérese f (t, x) = eN t x con t ∈ I, x ∈ E 1 y N > 0. En el caso
Nt
ordinario la ecuación correspondiente x0 = eN t x tiene solución x(t) = x(0)e(e −1)/N .
Note que
diam([f (t, η(t)) + M η(t)]a ) = diam([eN t η(t) + M η(t)]a )
= diam(eN t [η(t)al , η(t)ar ] + M [η(t)al , η(t)ar ])
= diam([eN t η(t)al + M η(t)al , eN t η(t)ar + M η(t)ar ])
= eN t η(t)ar + M η(t)ar − eN t η(t)al − M η(t)al
= eN t diam([η(t)]a ) + M diam([η(t)]a )
= (eN t + M )diam([η(t)]a ).
Así la condición (5-6) es equivalente a
g(t, a) ≥ M diam([u0 ]a ) + M
Z t
g(s, a)ds,
(5-9)
0
donde g(t, a) = (eN t + M )eM t diam([η(t)]a ) para todo t ∈ I e a ∈ [0, 1]. La desigualdad
(5-9) es válida, por ejemplo si:
. u0 , η(t) fueran números crisp para todo t ∈ I.
. diam([η(t)]a ) fuera constante en la variable t para cada a ∈ [0, 1] fijado , o sea,
diam([η(t)]a ) = K(a) para todo t ∈ I, a ∈ [0, 1] y
diam([u0 ]a ) ≤
M +1
K(a), para todo a ∈ [0, 1].
M
(5-10)
75
Se tiene que 5-10 es verdadero si u0 fuera crisp, o escoger η apropiadamente con
respecto a u0 , esto es, diam([η(t)]a ) ≥ MM+1 diam([u0 ]a ) para cada a ∈ [0, 1] y
t ∈ I.
. g(0, a) ≥ M diam([u0 ]a ) para todo a ∈ [0, 1], g(t, a) diferenciable con respecto a la
variable t ∈ I con derivada integrable para cada a fijado y dtd g(t, a) ≥ M g(t, a) para todo t ∈ I, a ∈ [0, 1]. Estas condicione en g son satisfechas si diam([η(0)]a ) ≥
M
diam([u0 ]a ) para todo a ∈ [0, 1] y η es diferenciable en el sentido de HukuhaM +1
ra en I con derivada integrable. Note que, si ηe es una solución de (5-7), ηe es
diferenciable en el sentido de Hukuhara en I con derivada integrable.
Teorema 5.7 Si aparte de las hipótesis del Lema 5.5, los subconjuntos de C ([0, 1], R)
{[f (s, x) + M x]L : s ∈ I, x número difuso continuo x ∈ [α(s), β(s)]}
(5-11)
{[f (s, x) + M x]R : s ∈ I, x número difuso continuo x ∈ [α(s), β(s)]}
(5-12)
y
fueran uniformemente equicontínuos con respecto a la variable a, entonces, existen
secuencias monótonas {αn } ↑ ρ, βn ↓ γ en C ([0, 1], E 1 ), donde α0 = α, β0 = β, y
ρ, γ son las soluciones extremas para el problema (5-4) en el intervalo funcional difuso
[α, β] := {x ∈ C (I, E 1 ) : α ≤ x ≤ β em I}.
Demostración. Considere la aplicación monótona A definido como en el Lema 5.5, esto
es A : [α, β] −→ [α, β] es tal que para cada η ∈ [α, β], Aη es la solución única para


u0 (t) + M u(t) = f (t, η(t)) + M η(t) = ση (t), t ∈ I,
 u(0) = u ,
0
o equivalentemente, para cada η ∈ [α, β]
(Aη)(t) = u0 χ{e−M t } +
Z t
0
[f (s, η(s)) + M η(s)]χ{eM (s−t) } ds, t ∈ I.
Considere las secuencias {αn }, {βn } tal que α0 = α, β0 = β, αn+1 = Aαn , y
βn+1 = Aβn , para n ∈ N, entonces, de la monotonocidad de αn y βn se tiene,
α = α0 6 Aα0 6 A2 α0 6 · · · 6 An α0 6 An β0 6 · · · 6 Aβ0 6 β0 = β
76
o equivalentemente, α = α0 6 α1 6 · · · 6 αn 6 βn 6 · · · 6 β1 6 β0 = β em I.
Note que para cada n ∈ N, αn es la solución para el problema auxiliar


u0 (t) + M (u)(t) = f (t, αn−1 (t)) + M αn−1 (t), t ∈ I,
 u(0) = u .
0
(5-13)
y βn es la solución para


u0 (t) + M (u)(t) = f (t, βn−1 (t)) + M βn−1 (t), t ∈ I,
 u(0) = u .
0
(5-14)
A fin de analizar la convergencia de las secuencias {αn } y {βn } en C (I, E 1 ), se
verifica que, los conjuntos de funciones {αn : n ∈ N}, {βn : n ∈ N} ⊂ C (I, E 1 ) son
relativamente compactos, y así garantizar la existencia de sub secuencias convergentes
{αnk } → ρ, {βnk } → γ en C (I, E 1 ). Desde que {αn }, {βn } son secuencias monótonas
y admiten sub secuencias convergentes {αnk } → ρ y {βnk } → γ respectivamente, se
tiene que {αn } → ρ y {βn } → γ, ver Lema 2.17.
Por el Teorema 2.24 (Criterio de compacidad en espacios de funciones difusos),
la compacidad relativa de los conjuntos de funciones {αn : n ∈ N} y {βn : n ∈ N} se
reduce al estudio de la compacidad relativa de los conjuntos de funciones {αn : n ∈ N}L ,
{αn : n ∈ N}R , {βn : n ∈ N}L y {βn : n ∈ N}R en el espacio (C ([0, 1] × I, R), k · k∞ ).
En análisis, el espacio métrico (C ([0, 1]×I, R), k·k∞ ) es bien conocido y, un criterio
para el estudio de la compacidad relativa de conjuntos de funciones en este espacio es
el Teorema 2.21 (Teorema de Ascoli-Arzelá). De acuerdo con este Teorema, los conjuntos {αn : n ∈ N}L , {αn : n ∈ N}R , {βn : n ∈ N}L y {βn : n ∈ N}R son relativamente
compactos si y solamente si, cada uno de estos conjuntos fuese acotado y equicontínua,
esto es, acotado y equicontinua en las dos variables reales a ∈ [0, 1] y t ∈ I.
Primeramente considere el conjunto {αn : n ∈ N}L . En efecto, para cada n ∈ N ,
utilizando la representación integral de αn en I, tenemos
αn (t) = u0 χ{e−M t } +
Z t
0
[f (s, αn−1 (s)) + M αn−1 (s)]χ{eM (s−t) } ds, t ∈ I
(5-15)
y αn (t) es un número difuso continuo, para cada t ∈ I y n ∈ N. Una vez que la función
αn pertenece al intervalo [α, β], entonces {αn : n ∈ N} es un conjunto acotado. De ahí,
77
el conjunto {(αn )L : n ∈ N} es uniformemente acotado, donde
(αn )L : [0, 1] × I −→ R
(a, t) −→ (αn )L (a, t) = (αn (t))L (a) = (αn (t))al .
Para verificar la equicontinuidad en la variable t basta demostrar que todo elemento
(αn )L (a, t) del conjunto de funciones {αn : n ∈ N}L es derivable y acotada en el intervalo I (ver pag. 409 en [18]). De hecho, como αn es solución para el problema auxiliar
(5-13) se tiene
αn0 (t) + M αn (t) = f (t, αn−1 (t)) + M αn−1 (t),
que escrita en termos de a-nivel es equivalente al sistema


(αn0 (t))al + M (αn (t))al = f (t, αn−1 (t))al + M (αn−1 (t))al
 (α0 (t)) + M (α (t)) = f (t, α
ar
n
ar
n−1 (t))ar + M (αn−1 (t))ar ,
n
(5-16)
com a ∈ [0, 1] e t ∈ I. De la primera ecuación en (5-16) se deduce que ((αn )L (a, ·))0 (t) =
(αn0 (t))al es acotada en I, pues αn es acotada en [α, β] y, por la hipótesis (A) dada
en el Lema 5.5 tenemos que f es acotada en el conjunto {(t, x) : t ∈ I, x ∈ E 1 , x ∈
[α(t), β(t)]}. Esto demuestra que el conjunto {(αn )L : n ∈ N} es uniformemente equicontínuo en la variable t.
De la expresión de αn en (5-15) se tiene que, para cada t fijo y n ∈ N, el número difuso αn (t) puede ser escrito en su forma paramétrica ((αn (t))L , (αn (t))R ), donde
(αn (t))L : [0, 1] → R y (αn (t))R : [0, 1] → R, con
(αn (t))L (a) = (αn (t))al
= (u0 )al e−M t +
Z t
0
(f (s, αn−1 (s)) + M αn−1 (s))al eM (s−t) ds
(5-17)
y
(αn (t))R (a) = (αn (t))ar
= (u0 )ar e−M t +
Z t
0
(f (s, αn−1 (s)) + M αn−1 (s))ar eM (s−t) ds. (5-18)
78
A continuación se demuestra la equicontinuidad en la variable a. De hecho, para a, b ∈
[0, 1], n ∈ N y cada t fijado se tiene:
|(αn )L (a, t) − (αn )L (b, t)|
= |(αn (t))L (a) − (αn (t))L (b)|
= |(u0 )al e−M t +
−(u0 )bl e−M t −
Z t
0
Z t
[f (s, αn−1 (s)) + M αn−1 (s)]al eM (s−t) ds
[f (s, αn−1 (s)) + M αn−1 (s)]bl eM (s−t) ds|
0
≤ |(u0 )al − (u0 )bl |e−M t
Z t
+
|[f (s, αn−1 (s)) + M αn−1 (s)]al − [f (s, αn−1 (s)) + M αn−1 (s)]bl |eM (s−t) ds.
(5-19)
0
Una vez que u0 es un número difuso continuo, entonces (u0 )L y (u0 )R son uniformemente continuos en [0, 1], pues ellos son continuos en un compacto en R. A partir de
este hecho y de la equicontinuidad uniforme del conjunto en (5-11) se tiene que, dado
> 0 existe δ > 0 tal que, para a, b ∈ [0, 1] con |a − b| < δ,
|(u0 )al − (u0 )bl | = |(u0 )L (a) − (u0 )L (b)| <
2
(5-20)
y
|[f (s, αn−1 (s)) + M αn−1 (s)]al − [f (s, αn−1 (s)) + M αn−1 (s)]bl | <
M
(5-21)
2(1 − e−M T )
para todo s ∈ I. Sustituyendo (5-20) y (5-21) en la desigualdad en (5-19), se obtiene
Z t
M
|(αn )L (a, t) − (αn )L (b, t)| < +
eM (s−t) ds
−M
T
2 2(1 − e
) 0
M
(1 − e−M t )
= +
≤ ,
2 2(1 − e−M T )
M
para a, b ∈ [0, 1] con |a − b| < δ, t ∈ I y n ∈ N. Esto implica que {(αn )L : n ∈ N} es
uniformemente equicontínuo en a de modo uniforme em t. Entonces, por el Teorema de
Ascoli-Arzelá se concluye que {(αn )L : n ∈ N} es un conjunto relativamente compacto
en (C ([0, 1]×I), k·k∞ ). Un raciocinio semejante demuestra que el conjunto de funciones
{(αn )R : n ∈ N} es relativamente compacto en (C ([0, 1]×I), k·k∞ ). Luego, del Teorema
2.24 se sigue que {αn : n ∈ N} es un conjunto relativamente compacto en C (I, E 1 ).
79
Análogamente para {βn : n ∈ N}. Por tanto, existen sub secuencias convergentes
{αnk } → ρ, {βnk } → γ
en C (I, E 1 ). De la monotonocidad de αn y βn se sigue del Lema 2.17 que
{αn } → ρ, βn → γ em C (I, E 1 ).
Por aplicación directa del Corolario 2.10 y 2.12, se verifica que α ≤ ρ ≤ γ ≤ β en I.
Observe que, falta probar que ρ, γ son soluciones para (5-4). Para probar que ρ es
una solución para (5-4) basta verificar que ρ satisface
ρ(t) = u0 χ{e−M t } +
Z t
0
[f (s, ρ(s)) + M ρ(s)]χ{eM (s−t) } ds, t ∈ I,
o sea, ρ(t) satisface el sistema


ρ0 (t) + M ρ(t) = f (t, ρ(t)) + M ρ(t), t ∈ I
 ρ(0) = u .
0
Con esta finalidad se demuestra que
lı́m H(αn , ρ) = 0,
n→∞
o equivalentemente debemos demostrar que el limite de la siguiente expresión es cero
cuando n → ∞,
sup d∞ αn (t), u0 χ{e−M t } +
t∈I
Z t
0
[f (s, ρ(s)) + M ρ(s)]χ{eM (s−t) } ds .
De la propiedad 4 del Teorema 1.62 y propiedades (1-4), (1-6) de la métrica d∞ se tiene
Z t
sup d∞
αn (t), u0 χ{e−M t } +
t∈I
0
[f (s, ρ(s)) + M ρ(s)]χ{eM (s−t) } ds
Z t
= sup d∞
0
t∈I
Z t
6 sup
t∈I
6 sup
t∈I
0
Z t
0
Z t
[f (s, αn−1 (s)) + M αn−1 (s)]χ{eM (s−t) } ds,
0
[f (s, ρ(s)) + M ρ(s)]χ{eM (s−t) } ds
d∞ (f (s, αn−1 (s)) + M αn−1 (s), f (s, ρ(s)) + M ρ(s)) eM (s−t) ds
[d∞ (f (s, αn−1 (s)), f (s, ρ(s))) + M d∞ (αn−1 (s), ρ(s))]eM (s−t) ds.
80
Luego,
lı́m sup d∞
αn (t), u0 χ{e−M t } +
n→∞ t∈I
6 lı́m sup
Z t
n→∞ t∈I
0
Z t
0
[f (s, ρ(s)) + M ρ(s)]χ{eM (s−t) } ds
[d∞ (f (s, αn−1 (s)), f (s, ρ(s))) + M d∞ (αn−1 (s), ρ(s))]eM (s−t) ds.
(5-22)
Los conjuntos {(αn (t))L : n ∈ N, t ∈ I} e {(αn (t))R : n ∈ N, t ∈ I} son uniformemente
acotadas y también uniformemente equicontinuas en la variable a, una vez que estos son
una restricción de los conjuntos relativamente compactos {(αn )L : n ∈ N} y {(αn )L :
n ∈ N}. Por tanto, el conjunto {αn (t) : n ∈ N, t ∈ I} es relativamente compacto en
E 1 . Entonces, su cierre
B = cl ({αn (t) : n ∈ N, t ∈ I})
es un conjunto compacto en E 1 .
Note que, para cada t ∈ I fijado, {αn (t)}n∈N es una secuencia en B y {αn (t)} → ρ(t),
cuando n → +∞, entonces ρ(t) ∈ B. Aparte de esto
{αn (t) : n ∈ N, t ∈ I} ∪ {ρ(t) : t ∈ I} = B,
y el conjunto I × B es un conjunto compacto en I × E 1 . Si f fuera continua en el
conjunto I × B, entonces f será uniformemente continuo en I × B. Como (t, αn (t)),
(t, ρ(t)) ∈ I × B, el limite al lado derecho de la expresión (5-22) es igual a cero, esto es
lı́m sup d∞
n→∞ t∈I
αn (t), u0 χ{e−M t } +
Z t
0
[f (s, ρ(s)) + M ρ(s)]χ{e−M (s−t) } ds
= 0.
En lo que sigue, se prueba este hecho para f continua sobre el conjunto Q = {(t, x) :
t ∈ I, x ∈ E 1 , x ∈ [α(t), β(t)]}. Se verifico que el conjunto W = {(t, αn (t)) : t ∈ I, n ∈
N} ∪ {(t, ρ(t)) : t ∈ I} ⊆ I × E 1 es secuencial mente compacto en I × E 1 . Este hecho
y la continuidad de f en W ⊆ Q implica que f es uniformemente continua en W , y
como (t, αn (t)), (t, ρ(t)) ∈ W , se deduce que el limite de la expresión encima es igual a
cero.
De hecho, sea {(tn , xn )} una secuencia en W . Como {tn } ⊆ I, entonces existe una
sub secuencia {tnk } de {tn } con {tnk } → t ∈ I.
Se verifica que {(tnk , xnk )} tiene una sub secuencia convergente para (t, ρ(t)) o
(t, αj (t)), para un cierto j ∈ N. Como el elemento (tnk , xnk ) ∈ W , para todo k ∈ N,
81
entonces xnk = αmnk (tnk ), para algún mnk ∈ N o xnk = ρ(tnk ). Podemos distinguir dos
casos:
Caso 1: Existe una sub secuencia de {xnk } tal que xnkl = ρ(tnkl ), para todo l ∈ N. Por
tanto, xnkl → ρ(t) cuando l → +∞, pues ρ es continua, y (tnkl , xnkl ) → (t, ρ(t)) ∈ W ,
cuando l → +∞.
Caso 2: Para k ≥ k0 , xnk = αmnk (tnk ), para algún mnk ∈ N. Podemos distinguir dos
casos nuevamente:
2.1 La secuencia {mnk } ⊆ N no es acotada, luego existe una sub secuencia {mnkl } →
+∞. En este caso, se puede demostrar que (tnkl , xnkl ) → (t, ρ(t)) ∈ W , cuando l →
+∞. En efecto,
d∞ αmnk (tnkl ), ρ(t) ≤ d∞ αmnk (tnkl ), ρ(tnkl ) + d∞ ρ(tnkl ), ρ(t) ,
l
l
y la conclusión sigue de la convergencia uniforme de {αn } para ρ y de la continuidad
de ρ.
2.2 La secuencia {mnk } ⊆ N es acotada, de ahí que existe una sub secuencia convergente para uno de esos números enteros positivos, por lo que, para l suficientemente
grande, mnkl = j ∈ N. Se verifica que, (tnkl , xnkl ) → (t, αj (t)) ∈ W .
De hecho,
d∞ αmnk (tnkl ), αj (t) ≤ d∞ αmnk (tnkl ), αj (tnkl ) + d∞ αj (tnkl ), αj (t) .
l
l
Se puede concluir de la continuidad de αj y del hecho que αmnk (tnkl ) = αj (tnkl ), para
l
l grande.
Consideraciones similares pueden ser hechas para verificar que γ es una solución.
Finalmente si u fuese solución para (5.1) tal que α ≤ u ≤ β en I, y usando el hecho
que A es no decreciente, se tiene que
αn ≤ An u = u ≤ βn , ∀n ∈ N.
Luego, por el Corolario 2.10, ρ ≤ u ≤ γ em I.
2
Observación: Exigir la existencia de una solución única para cada η ∈ [α, β] en el
problema auxiliar (5-7) es muy restrictivo y la posibilidad de construir las secuencias
{αn } y {βn } está en la validez del proceso de iteración.
82
El siguiente resultado ofrece una extensión del Teorema 5.7, donde la equicontinuidad
uniforme de los conjuntos en (5-11) y (5-12) no es exigida.
Teorema 5.8 Las hipótesis del Teorema 5.7 relativos a uniformidad equicontínua de
los conjuntos en (5-11) y (5-12), pueden ser sustituidas por las siguientes condiciones:
(1) La solución inferior α y la solución superior β son tal que {α(s)L : s ∈ I},
{α(s)R : s ∈ I}, {β(s)L : s ∈ I} y {β(s)R : s ∈ I} son conjuntos uniformemente
equicontínuos en C ([0, 1], R), esto es con respecto a la variable a.
(2) Para a, b ∈ [0, 1], s ∈ I y z ∈ E 1 tenemos que, f y la constante M satisfacen:
Si |zL (a) − zL (b)| < , entonces
|f (s, z)L (a) + M zL (a) − (f (s, z)L (b) + M zL (b))| <
M
, y
2(1 − e−M T )
si |zR (a) − zR (b)| < , entonces
|f (s, z)R (a) + M zR (a) − (f (s, z)R (b) + M zR (b))| <
M
.
2(1 − e−M T )
Entonces, la conclusión del Teorema 5.7 es válida.
Demostración. En el Teorema 5.7, el análisis de convergencia de las secuencias {αn :
n ∈ N} y {βn : n ∈ N} se reducen a justificar que los conjuntos {αn : n ∈ N}L ,
{αn : n ∈ N}R , {βn : n ∈ N}L e {βn : n ∈ N}R son relativamente compactos en (C ([0, 1]×
I, R), k · k∞ ). Aquí, se demuestra que {(αn )L : n ∈ N} es uniformemente equicontinua
en la variable a y uniformemente para t ∈ I. Afirmamos que, para todo > 0 existe
δ > 0 tal que, para a, b ∈ [0, 1] con |a − b| < δ se tiene:
|(αn )L (a, t) − (αn )L (b, t)| < ,
para todo t ∈ I e n ∈ N. La demostración es por inducción en n.
Como u0 es un número difuso continuo y el conjunto {α(s)L : s ∈ I} es equicontinuo
según la hipótesis (1) se tiene que: dado > 0 existe δ > 0 tal que para a, b ∈ [0, 1]
con |a − b| < δ, |(u0 )al − (u0 )bl | < y |α(s)L (a) − α(s)L (b)| < para todo s ∈ I. De la
expresión integral (5-17) (expresión de (αn (t))L ) e hipótesis (2) si para a ∈ [0, 1] con
83
|a − b| < δ y t ∈ I, se tiene,
|(α1 )L (a, t) − (α1 )L (b, t)| = |(α1 (t))L (a) − α1 (t))L (b)|
−M t
≤ |(u0 )al − (u0 )bl |e
+
Z t
0
|[f (s, α(s)) + M α(s)]al − [f (s, α(s)) + M α(s)]bl |eM (s−t) ds
Zt
M
+
eM (s−t) ds
2
0 2(1 − e−M T )
M
(1 − e−M t )
= +
·
≤ + = .
−M
T
2 2(1 − e
)
M
2 2
<
Suponiendo que para a, b ∈ [0, 1] con |a−b| < δ se tiene que |(αn−1 )L (a, t)−(αn−1 )L (b, t)| =
|(αn−1 (t))al − (αn−1 (t))bl | < , para todo t ∈ I. Entonces, se obtiene similarmente que
|(αn )L (a, t) − (αn )L (b, t)| = |(αn (t))L (a) − (αn (t))L (b)|
6 |(u0 )al − (u0 )bl |e−M t
+
Z t
0
|[f (s, αn−1 (s)) + M αn−1 (s)]al − [f (s, αn−1 (s)) + M αn−1 (s)]bl |eM (s−t) ds
< ,
M
siem2(1 − e−M T )
pre que |(αn−1 )L (a, t) − (αn−1 )L (b, t)| < segun la hipótesis (2) del Teorema 5.8. 2
A continuación un ejemplo de una función f satisfaciendo la hipótesis (2).
pues |[f (s, αn−1 (s)) + M αn−1 (s)]al − [f (s, αn−1 (s)) + M αn−1 (s)]bl | <
Ejemplo 5.9 Tome f (t, z) = e−N t z para t ∈ I = [0, T ] y z ∈ E 1 , donde T > 0, N > 0.
Asumiendo que M > 0 es tal que 2(1 + M )(1 − e−M T ) ≤ M , por ejemplo, tome T < 21
y M > 0 suficientemente pequeño.
Si |zL (a) − zL (b)| < , entonces
|f (s, z)L (a) + M zL (a) − (f (s, z)L (b) + M zL (b))| = (e−N s + M )|zL (a) − zL (b)|
≤ (1 + M )|zL (a) − zL (b)|
M
< (1 + M ) ≤
.
2(1 − e−M T )
Propriedad análoga vale para el punto final derecho de los conjuntos a-nivel.
Los Lemas 5.10 y 5.11 serán utilizados para obtener resultados de una segunda
aproximación para la solución de (5-4).
84
Lema 5.10 Sean x, y, z, w ∈ E 1 tal que las diferencias de Hukuhara x −
y y z−
w
H
H
existan. Entonces d∞ (x −
y, z −
w) ≤ d∞ (x, z) + d∞ (y, w)
H
H
Demostración. En efecto,
d∞ (x −
y, z −
w) = sup dH ([xal − yal , xar − yar ], [zal − wal , zar − war ])
H
H
a∈[0,1]
= sup máx{|xal − yal − zal + wal |, |xar − yar − zar + war |}
a∈[0,1]
≤ sup máx{|xal − zal | + |wal − yal |, |xar − zar | + |war − yar |}
a∈[0,1]
≤ sup (máx{|xal − zal |, |xar − zar |} + máx{|wal − yal |, |war − yar |})
a∈[0,1]
≤ d∞ (x, z) + d∞ (y, w).
2
Lema 5.11 Sean x, y, z ∈ E 1 tal que las diferencias de Hukuhara x −
z, y −
z existan y
H
H
x 6 y. Entonces x −
z 6 y−
z. El orden parcial también es preservado por el cálculo
H
H
de las diferencias de Hukuhara.
Demostración. Si x 6 y, entonces xal ≤ yal y xar ≤ yar para todo a ∈ [0, 1], y así
xal − zal ≤ yal − zal , xar − zar ≤ yar − zar , obteniendo x −
z 6y−
z. Análogamente,
H
H
x y implica que yal ≤ xal y xar ≤ yar , así xal − zal ≥ yal − zal , xar − zar ≤ yar − zar .
Por tanto, x −
zy−
z.
2
H
H
Lema 5.12 Sea u0 un número difuso continuo, α, β ∈ C 1 (I, E 1 ) soluciones inferior y
superior respectivamente para el problema (5-4), tal que α 6 β en I y α(t), β(t) son
números difusos continuos para todo t ∈ I. Considere las siguientes hipótesis adicionales:
(a) f es continua y acotada en el conjunto {(t, x) : t ∈ I, x ∈ E 1 x ∈ [α(t), β(t)]}, y
tanto x ∈ E 1 como f (t, x) son números difusos continuos, para todo t ∈ I.
(b) Existe M ∈ R, M > 0 tal que las diferencias α0 (t) −
(−M α(t)) y β 0 (t) −
(−M β(t))
H
H
existan para todo t ∈ I, a ∈ [0, 1] y,
85
(1) diam([α(0)]a ) +
Z t
0
diam([α0 (s) −
(−M α(s))]a )e−M s ds
H
a
= diam([u0 ] ) +
(2) diam([u0 ]a ) +
Z t
0
Z t
0
diam([f (s, α(s)) −
(−M α(s))]a )e−M s ds ;
H
diam([f (s, β(s)) −
(−M β(s))]a )e−M s ds
H
a
= diam([β(0)] ) +
Z t
0
diam([β 0 (s) −
(−M β(s))]a )e−M s ds;
H
(3) diam([f (t, η1 (t)) −
(−M η1 (t))]a ) = diam([f (t, η2 (t)) −
(−M η2 (t))]a ), para
H
H
todo t ∈ I, a ∈ [0, 1] e α 6 η1 6 η2 6 β.
(4) diam([f (t, x)]a ) ≥ M diam([x]a ), para todo t ∈ I, a ∈ [0, 1] y x ∈ [α(t), β(t)].
(5) f (t, x) −
(−M x) 6 f (t, y) −
(−M y), para t ∈ I, x, y ∈ E 1 y α(t) 6 x 6 y 6
H
H
β(t).
Entonces, existe una solución para el problema (5-4) en el intervalo funcional difuso
[α, β] := {x ∈ C (I, E 1 ) : α 6 x 6 β em I}.
Demostración.
Para verificar este resultado se utiliza el mismo raciocinio de la demostración del
Lema 5.5. En efecto, considere la aplicación B : [α, β] → C (I, E 1 ) donde, para η ∈
[α, β], Bη es la solución única para el problema


u0 (t) = −M u(t) + (f (t, η(t)) −
(−M η(t))) = −M u(t) + ση (t), t ∈ I
H
 u(0) = u .
0
(5-23)
La existencia de la solución para (5-23) es garantizada por el Teorema 3.3. La hipótesis
(4) implica la existencia de las diferencias de Hukuhara ση (t) = f (t, η(t)) −
(−M η(t)),
H
para todo t ∈ I y η ∈ [α, β].
La función ση en el problema (5-23) es continua en virtud del Lema 5.10, pues para
todo t0 ∈ I,
d∞ (ση (t), ση (t0 )) = d∞ (f (t, η(t)) −
(−M η(t)), f (t0 , η(t0 )) −
(−M η(t0 )))
H
H
≤ d∞ (f (t, η(t)), f (t0 , η(t0 ))) + d∞ (−M η(t), −M η(t0 ))
= d∞ (f (t, η(t)), f (t0 , η(t0 ))) + M d∞ (η(t), η(t0 )) .
86
Luego, de la continuidad de f sigue que d∞ (ση (t), ση (t0 )) < siempre que |t − t0 | < δ.
Sea η ∈ [α, β] fijado, considerando que
diam ([ση (t)]a ) = diam([f (t, η(t)) −
(−M η(t))]a )
H
= diam([f (t, η(t))]a −
[−M η(t)]a )
H
= diam([f (t, η(t))al , f (t, η(t))ar ] −
[−M η(t)ar , −M η(t)al ])
H
= diam([f (t, η(t))al + M η(t)ar , f (t, η(t))ar + M η(t)al ]
= f (t, η(t))ar + M η(t)al − f (t, η(t))al − M η(t)ar
= diam ([f (t, η(t))]a ) − M diam([η(t)]a )
y
ση (t)al + ση (t)ar = f (t, η(t))al + f (t, η(t))ar + M (η(t)al + η(t)ar ),
para todo a ∈ [0, 1], t ∈ I, y teniendo en cuenta las expresiones (3-16), (3-17) en el
Teorema 3.3, se obtiene la solución de (5-23) como
[(Bη)(t)]a
Z t
1
a
a
−M s
a
ds eM t [−1, 1]
diam([u0 ] ) + {diam([f (s, η(s))] ) − M diam([η(s)] )}e
=
2
0
Z t
1
+ ((u0 )al + (u0 )ar ) + {f (s, η(s))al + f (s, η(s))ar + M (η(s)al
2
0
+η(s)ar + M (η(s)al + η(s)ar )}eM s ds {e−M t }
(5-24)
para a ∈ [0, 1], t ∈ I.
Note que obtener una solución para el problema (5-4) es equivalente a determinar
los pontos fijos η de B, esto es, una función continua η satisfaciendo


η 0 (t) = −M η(t) + (f (t, η(t)) −
(−M η(t))) = f (t, η(t)), t ∈ I
H
 η(0) = u .
0
Con el objetivo de determinar por lo menos un ponto fijo de B, se verifica las hipótesis
del Teorema 5.3 (Teorema de ponto fijo de Tarski), o sea, se prueba que B([α, β]) ⊆
[α, β] y que B es no decreciente en [α, β].
87
De hecho, como Bη es solución para el problema auxiliar (5-23), y las diferencias
de Hukuhara α0 (t) −
(−M α(t)) existen según la hipótesis (b), entonces
H


α0 (t) = −M α(t) + (α0 (t) −
(−M α(t))),
H
 (Bα)0 (t) = −M (Bα)(t) + (f (t, α(t)) − (−M α(t))).
H
(5-25)
Del Lema 5.11 y la desigualdad α0 (t) 6 f (t, α(t)) (α es solución inferior), tenemos que
(∗)


α0 (t) −
(−M α(t)) 6 f (t, α(t)) −
(−M α(t)),
H
H
 α(0) 6 u = (Bα)(0).
0
De forma análoga, para la solución superior β se tiene


β 0 (t) = −M β(t) + (β 0 (t) −
(−M β(t)),
H
 (Bβ)0 (t) = −M (Bβ)(t) + (f (t, β(t)) − (−M β(t))).
H
(5-26)
donde
(∗∗)


f (t, β(t)) −
(−M β(t)) 6 β 0 (t) −
(−M β(t))
H
H
 (Bβ)(0) = u 6 β(0).
0
Usando el sistema (5-25) junto con la hipótesis (1) y (∗), se tiene del Corolário 4.7,
que Bα > α. Análogamente, del sistema (5-26) junto con la hipótesis (2) y (∗∗) sigue
del Corolario 4.7 que Bβ 6 β.
Para verificar el carácter monótono de B en [α, β], considere los η1 , η2 ∈ [α, β] con
η1 6 η2 , y así para t ∈ I se tiene





(Bη1 )0 (t) = −M (Bη1 )(t) + (f (t, η1 (t)) −
(−M η1 (t))),
H
0
(Bη2 ) (t) = −M (Bη2 )(t) + (f (t, η2 (t)) −
(−M η2 (t))),
H



 (Bη )(0) = u = (Bη )(0).
1
0
2
(5-27)
Así, de la hipótesis (5) sigue que
f (t, η1 (t)) −
(−M η1 (t)) 6 f (t, η2 (t)) −
(−M η2 (t)).
H
H
Por tanto, usando (3) y aplicando el Corolario 4.8 a (5-27) verifica-se que Bη1 6 Bη2 .
Note que basta tomar x = Bη1 , y = Bη2 , σ1 (t) = f (t, η1 (t)) −
(−M η1 (t)) e σ2 (t) =
H
f (t, η2 (t)) −
(−M η2 (t)) no Teorema 4.4 e concluir a tese deste teorema por meio do
H
88
Corolario 4.8.
Pelo teorema de ponto fixo de Tarski, el operador no decreciente B tiene al menos
un punto fijo en la estructura completa [α, β], o equivalentemente, el problema (5-4)
tiene al menos una solución en el intervalo funcional difuso [α, β].
2
Ejemplo 5.13 La condición (1) en el Lema 5.12 es válida si
diam([α(0)]a ) = diam([u0 ]a )
(5-28)
diam([α0 (s)]a ) = diam([f (s, α(s))]a )
(5-29)
y
para todo a ∈ [0, 1] y s ∈ I.
Note que para M > 0 y x, z ∈ E 1 con diam([x]a ) ≥ M diam([z]a ) para a ∈ [0, 1], se
tiene
diam([x −
(−M z)]a ) = diam([x]a −
[−M z]a )
H
H
= diam([xal , xar ] −
[−M zar , −M zal ])
H
= diam([[xal + M zar , xar + M zal ])
= diam([x]a ) − M diam([z]a ),
para todo a ∈ [0, 1]. Considerando (5-29) y teniendo en cuenta que α0 (s) −
(−M α(s))
H
existe para todo s ∈ I, se tiene
diam([α0 (s) −
(−M α(s))]a ) = diam([α0 (s)]a ) − M diam([α(s)]a )
H
= diam([f (s, α(s))]a ) − M diam([α(s)]a )
= diam([f (s, α(s)) −
(−M α(s))]a )
H
(5-30)
para todo a ∈ [0, 1] e s ∈ I. Por tanto, la validez de (1) sigue de (5-30) y (5-28).
Por otro lado, si α ∈ C 1 (I, E 1 ), entonces t −→ diam([α(t)]a ) pertenece a C 1 (I, R)
89
y
d
diam([α(t)]a ) = diam([α0 (t)]a ) para todo a ∈ [01] y s ∈ I. En consecuencia, si
dt



d
diam([α(t)]a ) = diam([f (t, α(t))]a )
para todo a ∈ [0, 1],
dt


diam([α(0)]a ) = diam([u0 ]a )
(5-31)
entonces (5-28) y (5-29) son válidos. Ahora, dependiendo de la función f se puede
reescribir (5-31) como



d
diam([α(t)]a ) = ga (t, diam([α(t)]a )), t ∈ I
para todo a ∈ [0, 1],
dt


diam([α(0)]a ) = diam([u0 ]a )
(5-32)
donde ga : I × R −→ R, ga (t, diam([w]a )) = diam([f (t, w)]a ) para t ∈ I, w ∈ E 1
y a ∈ [0, 1]. Si tal formulación fuera posible, entonces el problema de encontrar una
función satisfaciendo (5.12) puede ser resuelto por medio del cálculo de las soluciones
de la familia de PVI´s reales. En este caso, si es posible obtener, α ∈ C 1 (I, E 1 ) tal que
t −→ diam([α(t)]a ) satisface,


y 0 (t) = ga (t, y(t)), t ∈ I,
para todo a ∈ [0, 1].
 y(0) = diam([u ]a )
0
A continuación se ilustra el cálculo de α en un caso simple. Considere f (t, z) = Lz +
χ[0,1] para t ∈ I, z ∈ E 1 , donde L > 0 y escoja L ≥ M > 0. Entonces diam([f (t, z)]a =
Ldiam([z]a ) + 1. Por tanto, tomando g(t, w) = Lw + 1, t ∈ I, w ∈ R se tiene
diam([f (t, z)]a ) = g(t, diam([z]a ))
para todo a ∈ [0, 1], t ∈ I y z ∈ E 1 , y la misma expresión de g es válido para todo
a ∈ [0, 1]. En este caso, para cada a ∈ [0, 1] fijado, la solución para


y 0 (t) = Ly(t) + 1, t ∈ I,
 y(0) = diam([u ]a ),
0
es y(t) = KeLt − L1 , donde K = L1 +diam([u0 ]a ). Por tanto, ya (t) = ( L1 +diam([u0 ]a ))eLt −
1
para todo t ∈ I y a ∈ [0, 1]. En seguida, se encuentra una función α ∈ C 1 (I, E 1 ) tal
L
90
que diam([α(t)]a ) = ya (t) = ( L1 + diam([u0 ]a ))eLt − L1 para todo t ∈ I e a ∈ [0, 1]. Tome
[α(t)]a =
(u0 )al −
1
1
1
1
eLt +
, (u0 )ar +
eLt −
2L
2L
2L
2L
para a ∈ [0, t] y t ∈ I, el cual define un número difuso para todo t ∈ I.A parte de esto,
diam([α(t)]a ) = ( L1 + diam([u0 ]a ))eLt − L1 para todo a y t. Note que,
[α0 (t)]a = [((u0 )al −
1
1
)LeLt , ((u0 )ar +
)LeLt ]
2L
2L
y
1
1
1
1
)LeLt + , ((u0 )ar +
)LeLt +
[f (t, α(t))] = ((u0 )al −
2L
2
2L
2
a
para a ∈ [0, 1] y t ∈ I. Por tanto, α0 (t) ≤ f (t, α(t)) para t ∈ I con α(0) = u0 y, en
consecuencia α es una solución inferior del problema


u0 (t) = Lu(t) + χ[0,1] , t ∈ I,
 u(0) = u .
0
Finalmente,
diam([α0 (t)]a ) = (
1
+ diam([u0 ]a ))LeLt = diam([f (t, α(t))]a )
L
y utilizando la condición L ≥ M tenemos que M diam([α(t)]a ) = M ( L1 +diam([u0 ]a ))eLt −
M
implica diam([α0 (t)]a ) ≥ M diam([α(t)]a ) para todo a ∈ [0, 1] y t ∈ I, de modo que
L
las diferencias de Hukuhara α0 (t) −
(−M α(t)) existe para todo t ∈ I.
H
Un raciocinio semejante puede ser utilizado para escoger de una función β satisfaciendo (2) en el Lema 5.12.
91
Observación 5.14 Note que,
diam([f (t, x) −
(−M x)]a ) = diam([f (t, x)]a −
[(−M x)]a )
H
H
= diam([f (t, x)al , f (t, x)ar ] −
[−M xar , −M xal ])
H
= diam([f (t, x)al + M xar , f (t, x)ar + M xal ])
= f (t, x)ar + M xal − f (t, x)al − M xar
= diam([f (t, x)]a ) − M diam([x]a ).
Así la hipótesis (3) en el Lema 5.12, significa que
diam([f (t, x)]a ) − diam([f (t, y)]a ) = −M (diam([y]a ) − diam([x]a )),
para todo a ∈ [0, 1], t ∈ I, α(t) 6 x 6 y 6 β(t), o
diam([f (t, x)]a ) − M diam([x]a ) = diam([f (t, y)]a ) − diam([y]a ),
para todo a ∈ [0, 1], t ∈ I, α(t) 6 x 6 y 6 β(t). Sobre esta hipótesis, mismo para
α(t) 6 x, y 6 β, con x e y no necesariamente comparables (con respecto a la relación
6) tenemos
diam([f (t, x)]a ) − M diam([x]a ) = diam([f (t, β(t))]a ) − M diam([β(t)]a )
= diam([f (t, y)]a ) − M diam([y]a ),
para todo a ∈ [0, 1], t ∈ I. Por tanto, (3) puede ser escrito como
diam([f (t, x)]a ) − M diam([x]a ) = h(a, t) para a ∈ [0, 1], t ∈ I, y α(t) 6 x 6 β.
Si, en esta última expresión consideramos h(a, t) ≥ 0 para todo a ∈ [0, 1] y t ∈ I,
entonces se tiene que (4) es satisfecho.
Por ejemplo, tome f (t, z) = eλ z + χ[− 2t ,− 2t ] para t ∈ I, z ∈ E 1 donde λ ∈ R. Aquí,
[f (t, z)]a = [eλ zal − t/2, eλ zar + t/2]
92
y
diam([f (t, z)]a ) − M diam([z]a ) = (eλ − M )diam([z]a ) + t, ∀a ∈ [0, 1], t ∈ I, z ∈ E 1 .
Por tanto, tomando M = eλ > 0, diam([f (t, z)]a ) − M diam([z]a ) = t ≥ 0 para todo
a ∈ [0, 1], t ∈ I y z ∈ E 1 , se obtiene la validez de (3) y (4) en el Lema 5.12.
Observación 5.15 La condición
f (t, x) −
(−M x) 6 f (t, y) −
(−M y)
H
H
en el Lema 5.12, puede ser escrita por medio de sus conjuntos a-nivel como
f (t, x)al + M xar ≤ f (t, y)al + M yar , f (t, x)ar + M xal ≤ f (t, y)ar + M yal
o también,
f (t, x)al − f (t, y)al ≤ M (yar − xar ), f (t, x)ar − f (t, y)ar ≤ M (yal − xal )
para todo a ∈ [0, 1], t ∈ I e x, y ∈ E 1 con α(t) 6 x 6 y 6 β(t). A partir de
estas desigualdades se concluye que mp([f (t, x)]a ) + M mp([x]a ) es no decreciente en
x ∈ [α(t), β(t)] para todo a ∈ [0, 1] y t ∈ I. Recordando que mp([z]a ) = mp([zal , zar ]) =
zal + zar
.
2
Por ejemplo, tome f (t, z) = M z + χ[−eLt /2,eLt /2] para t ∈ I y z ∈ E 1 , donde M > 0.
Por tanto, diam([f (t, z)]a ) = M diam([z]a ) + eLt para a ∈ [0, 1], t ∈ I, z ∈ E 1 , y así
(3) y (4) son válidas. Ademas,
f (t, x)al + M xar = M (xal + xar ) −
eLt
eLt
, f (t, x)ar + M xal = M (xal + xar ) +
2
2
son no decrecientes en x ∈ E 1 para todo a ∈ [0, 1] y t ∈ I.
Teorema 5.16 Si ademas de las hipótesis del Lema 5.12, los subconjuntos de C ([0, 1], R)
{[f (s, x) −
(−M x)]L : s ∈ I, x número difuso continuo x ∈ [α(s), β(s)]} (5-33)
H
93
y
{[f (s, x) −
(−M x)]R : s ∈ I, x número difuso continuo x ∈ [α(s), β(s)]} (5-34)
H
fuesen uniformemente equicontínuos con respecto a la variable a, entonces, existen
secuencias monótonas {αn } ↑ ρ, βn ↓ γ en C ([0, 1], E 1 ), donde α0 = α, β0 = β, y
ρ, γ son las soluciones extremas para el problema (5-4) en el intervalo funcional difuso
[α, β] := {x ∈ C (I, E 1 ) : α ≤ x ≤ β em I}.
Demostración. La demostración es análoga al del del Teorema 5.7. Considere la aplicación monótona B como en el Lema 5.12, o sea, B : [α, β] → [α, β] tal que para cada
η ∈ [a, b], Bη es la solución única para


u0 (t) = −M u(t) + (f (t, η(t)) −
(−M η(t))) = −M u(t) + ση (t), t ∈ I
H
 u(0) = u ,
0
(5-35)
o equivalentemente, para cada η ∈ [α, β], Bη es una función difusa continua en el
intervalo funcional difuso [α, β] con conjuntos a-nivel dado por
[(Bη)(t)]a
Z t
1
a
a
a
−M s
diam([u0 ] ) + {diam([f (s, η(s))] ) − M diam([η(s)] )}e
ds eM t [−1, 1]
=
2
0
Z t
1
+ ((u0 )al + (u0 )ar ) + {f (s, η(s))al + f (s, η(s))ar + M (η(s)al
2
0
+η(s)ar + M (η(s)al + η(s)ar )}eM s ds {e−M t }
(5-36)
para cada a ∈ [0, 1] y t ∈ I.
Se define las secuencias {αn }, {βn } tal que α0 = α, β0 = β, αn+1 = Bαn , y
βn+1 = Bβn , para n ∈ N. De la monotonocidad de αn y βn se tiene,
α = α0 6 Bα0 6 B 2 α0 6 · · · 6 B n α0 6 B n β0 6 · · · 6 Bβ0 6 β0 = β, ou
o equivalentemente
α = α0 6 α1 6 · · · 6 αn 6 βn 6 · · · 6 β1 6 β0 = β em I.
94
Para cada n ∈ N, αn (n ∈ N) es la solución para


(u)0 (t) = −M (u)(t) + (f (t, αn−1 (t)) −
(−M αn−1 (t))), t ∈ I,
H
 u(0) = u .
0
y βn es la solución para


(u)0 (t) = −M (u)(t) + (f (t, βn−1 (t)) −
(−M βn−1 (t))), t ∈ I,
H
 u(0) = u .
0
A fin de concluir sobre la convergencia de las secuencias {αn } y {βn } en C (I, E 1 ), se
verifica que, los conjuntos de funciones {αn : n ∈ N}, {βn : n ∈ N} ⊂ C (I, E 1 ) son
relativamente compactos, y así se garantiza la existencia de sub secuencias convergentes
{αnk } → ρ, {βnk } → γ em C (I, E 1 ). Finalmente, de la convergencia de {αn } y {βn }
se puede deducir debido a la monotonocidad de las mismas, ver Lema 2.17.
Por el teorema 2.24 (Criterio de compacidad en espacios de funciones difusos),
la compacidad relativa de los conjuntos de funciones {αn : n ∈ N} y {βn : n ∈ N} se
reduce al estudio de la compacidad relativa de los conjuntos de funciones {αn : n ∈ N}L ,
{αn : n ∈ N}R , {βn : n ∈ N}L y {βn : n ∈ N}R en el espacio (C ([0, 1] × I, R), k · k∞ ).
Se sabe que, en el espacio métrico (C ([0, 1]×I, R), k·k∞ ), un criterio para el estudio
de la compacidad relativa de conjuntos de funciones en este espacio es el Teorema 2.21
(Teorema de Ascoli-Arzelá). De acuerdo con este Teorema, los conjuntos {αn : n ∈ N}L ,
{αn : n ∈ N}R , {βn : n ∈ N}L y {βn : n ∈ N}R son relativamente compactos si y solamente si cada uno de estos conjuntos fuese acotado y equicontínuo, esto es, acotado y
equicontinuo en las dos variables reales a ∈ [0, 1] y t ∈ I.
Considere el conjunto {αn : n ∈ N}L . Para a ∈ [0, 1], t ∈ I y cada n ∈ N, usando la
expresión de los conjuntos nivel de αn (t), tenemos
[αn (t)]a
t
1
diam([u0 ]a ) + {diam([f (s, αn−1 (s))]a ) − M diam([αn−1 (s)]a )}e−M s ds eM t [−1, 1]
=
2
0
Z t
1 −M t
+ {e
} × ((u0 )al + (u0 )ar ) +
{f (s, αn−1 (s))al + f (s, αn−1 (s))ar + M (αn−1 (s)al
2
0
Z
o
+αn−1 (s)ar )}eM s ds
.
(5-37)
95
Como la función αn pertenece a [α, β] para todo n ∈ N se tiene que el conjunto de
funciones {αn : n ∈ N} es acotada y, consecuentemente, el conjunto de funciones con
dos variables reales {αn : n ∈ N}L = {(αn )L : n ∈ N} (conjunto de funciones que
aparecen en la expresión paramétrica de cada función αn ) es acotada. Recuerde que
(αn )L : [0, 1] × I −→ R
(a, t) −→ (αn )L (a, t) = (αn (t))L (a) = (αn (t))al .
Falta demostrar la equicontinuidad del conjunto {(αn )L : n ∈ N} en sus variables t y
a. Para la equicontinuidad en la variable t, se demuestra que todo elemento (αn )L del
conjunto de funciones {αn : n ∈ N}L es diferenciable y acotada en el intervalo I, ver
pag. 409 en [18]. En efecto, como αn es solución para el problema auxiliar (5-35) se
tiene
αn0 (t) = −M αn (t) + (f (t, αn−1 ) −
(−M αn−1 (t))),
H
que, escrita en términos de a-nivel es equivalente al sistema


(αn0 (t))al = −M (αn (t))ar + f (t, αn−1 )al + (M αn−1 (t))ar
 (α0 (t)) = −M (α (t)) + f (t, α
ar
n
al
n−1 )ar + (M αn−1 (t))al .
n
(5-38)
con a ∈ [0, 1] y t ∈ I. Vea que, de la primera ecuación en (5-38) resulta que
0
(αn )L (a, ·) (t) = (αn0 (t))al es acotada en I, pues αn es acotada en [α, β] y, por la
hipótesis (a) dada en el Lema (5.12) se tiene que f es acotada en el conjunto {(t, x) :
t ∈ I, x ∈ E 1 , x ∈ [α(t), β(t)]}. Esto demuestra que el conjunto {(αn )L : n ∈ N} es
uniformemente equicontínua en la variable t, y uniformemente en a.
A continuación se demuestra la equicontinuidad en la variable a. En efecto, de (5-37)
se tiene que
Z t
−eM t
a
(αn (t))al =
diam([u0 ] )+ {diam([f (s, αn−1 (s))]a )−M diam([αn−1 (s)]a )} e−M s ds
2
0
Z t
e−M t
+
((u0 )al + (u0 )ar +
{f (s, αn−1 (s))al + f (s, αn−1 (s))ar
2
0
+M (αn−1 (s)al + αn−1 (s)ar )} eM s ds).
Así, para t ∈ I fijado y a, b ∈ [0, 1] se tiene:
96
|(αn )L (a, t) − (αn )L (b, t)| = |(αn (t))L (a) − (αn (t))L (b)| = |(αn (t))al − (αn (t))bl |
1 Mt Z t
1
a
b
Mt
|diam([f (s, αn−1 (s))]a )
6 |diam([u0 ] ) − diam([u0 ] )|e + e
2
2
0
−M diam([αn−1 (s)]a ) − diam([f (s, αn−1 (s))]b ) + M diam([αn−1 (s)]b )|e−M s ds
1
+ (|(u0 )al − (u0 )bl | + |(u0 )ar − (u0 )br |)e−M t
2
Z t
1
+ e−M t
{|f (s, αn−1 (s))al + M αn−1 (s)al + f (s, αn−1 (s))ar + M αn−1 (s)ar
2
0
−f (s, αn−1 (s))bl − M αn−1 (s)bl − f (s, αn−1 (s))br − M αn−1 (s)br |} eM s ds
1
6 (|(u0 )al − (u0 )bl | + |(u0 )ar − (u0 )br |)eM t
2
1 Mt Z t
+ e
{|[f (s, αn−1 (s))ar + M αn−1 (s)al ] − [f (s, αn−1 (s))br + M αn−1 (s)bl ]|
2
0
+|[f (s, αn−1 (s))bl + M αn−1 (s)br ] − [f (s, αn−1 (s))al + M αn−1 (s)br ]|} e−M s ds
1
+ (|(u0 )al − (u0 )bl | + |(u0 )ar − (u0 )br |)e−M t
2
Z t
1
{|(f (s, αn−1 (s))al + M αn−1 (s)ar ) − (f (s, αn−1 (s))bl + M αn−1 (s)br )|
+ e−M t
2
0
+|(f (s, αn−1 (s))ar + M αn−1 (s)al ) − (f (s, αn−1 (s))br + M αn−1 (s)bl ]|} eM s ds
1
6 (|(u0 )al − (u0 )bl | + |(u0 )ar − (u0 )br |)eM t
2
1 Mt Z t
+ e
{|[f (s, αn−1 (s)) −
(−M αn−1 (s))]ar − [f (s, αn−1 (s)) −
(−M αn−1 (s))]br |
H
H
2
0
+|[f (s, αn−1 (s)) −
(−M αn−1 (s))]bl − [f (s, αn−1 (s)) −
(−M αn−1 (s))]al |} e−M s ds
H
H
1
+ (|(u0 )al − (u0 )bl | + |(u0 )ar − (u0 )br |)e−M t
2
Z t
1
{|[f (s, αn−1 (s)) −
(−M αn−1 (s))]al − [f (s, αn−1 (s)) −
(−M αn−1 (s))]bl |
+ e−M t
H
H
2
0
+|[f (s, αn−1 (s)) −
(−M αn−1 (s))]ar − [f (s, αn−1 (s)) −
(−M αn−1 (s))]br |} eM s ds.
H
H
Así tenemos,
|(αn )L (a, t) − (αn )L (b, t)| 6 (|(u0 )al − (u0 )bl | + |(u0 )ar − (u0 )br |)(eM t + 1)
t
1
+ eM t {|[f (s, αn−1 (s))−
H (−M αn−1 (s))]ar −[f (s, αn−1 (s))−
H (−M αn−1 (s))]br |
2
0
Z
−M s
+|[f (s, αn−1 (s)) −
ds
H (−M αn−1 (s))]bl − [f (s, αn−1 (s)) −
H (−M αn−1 (s))]al |} e
97
+
1
2
Z t
0
{|[f (s, αn−1 (s)) −
H (−M αn−1 (s))]al − [f (s, αn−1 (s)) −
H (−M αn−1 (s))]bl |
Ms
+|[f (s, αn−1 (s))−
ds.
H (−M αn−1 (s))]ar −[f (s, αn−1 (s))−
H (−M αn−1 (s))]br |} e
(5-39)
Una vez que u0 es un número difuso continuo, entonces (u0 )L y (u0 )R son funciones
uniformemente continuas en la variable a ∈ [0, 1], pues ellos son continuas en un compacto real. A partir de este hecho y las hipótesis (5-33) y (5-34), se tiene que, dado
> 0 existe δ > 0 tal que, para a, b ∈ [0, 1] con |a − b| < δ,
|(u0 )al − (u0 )bl | <
6(eM T
+ 1)
|(u0 )ar − (u0 )br | <
,
6(eM T
+ 1)
,
M
− 1)
|[f (s, αn−1 (s)) −
(−M αn−1 (s))]al − [f (s, αn−1 (s)) −
(−M αn−1 (s))]bl | <
H
H
3(eM T
y
M
,
− 1)
|[f (s, αn−1 (s)) −
(−M αn−1 (s))]ar − [f (s, αn−1 (s)) −
(−M αn−1 (s))]br | <
H
H
3(eM T
para todo s ∈ I. Sustituyendo estas desigualdades en (5-39), se obtiene:
Z t
1
2M
(eM t + 1) + eM t
M
T
M
3(e
+ 1)
2
3(e T − 1)
Z t
2M
1
eM s ds ≤ + + = ,
+
2 3(eM T − 1) 0
3 3 3
|(αn )L (a, t) − (αn )L (b, t)| <
e−M s ds
0
para a, b ∈ [0, 1] con |a−b| < δ, t ∈ I y n natural. Entonces el conjunto {(αn )L : n ∈ N}
es relativamente compacto en la variable a, y así tenemos del Teorema 2.21 que
{(αn )L : n ∈ N} es un conjunto relativamente compacto en (C ([0, 1] × I, R). Siguiendo
un raciocinio semejante para el conjunto {(αn )R : n ∈ N} y aplicando el Teorema 2.24,
se verifica que {αn : n ∈ N} es un conjunto relativamente compacto en C (I, E 1 ). Análogamente para {βn : n ∈ N}. Por tanto existen sub secuencias convergentes {αnk } −→ ρ,
{βnk } −→ γ en C (I, E 1 ), y así, del Lema 2.17 y Corolario 2.15 se tiene que αn → ρ,
βn → γ en C (I, E 1 ) y α 6 ρ 6 γ 6 β en I.
98
En seguida, se demuestra que ρ y γ son soluciones para el problema (5-4). Para
verificar que ρ es una solución para el problema, verificamos que ρ satisface
[(ρ(t)]a
Z t
1
=
diam([u0 ]a ) + {diam([f (s, ρ(s))]a ) − M diam([ρ(s)]a )}e−M s ds eM t [−1, 1]
2
0
Z t
1
+ ((u0 )al + (u0 )ar ) + {f (s, ρ(s))al + f (s, ρ(s))ar + M (ρ(s)al
2
0
+ρ(s)ar + M (ρ(s)al + η(s)ar )}eM s ds {e−M t }
(5-40)
para a ∈ [0, 1] y t ∈ I. Para verificar (5-40) basta demostrar que [αn (t)]a → [ρ(t)]a ,
cuando n → +∞.
En efecto, para cada a ∈ [0, 1] y t ∈ I, usando la expresión para los conjuntos nivel
de αn (t) tenemos
1
1Z t
dH [αn (t)]a , eM t diam([u0 ]a )[−1, 1]+
{diam([f (s, ρ(s))]a )
2
2 0
1
−M diam([ρ(s)]a )} e−M s ds eM t [−1, 1] + {e−M t }((u0 )al + (u0 )ar )
2
1 −M t Z t
Ms
+ {e
} {f (s, ρ(s))al + f (s, ρ(s))ar + M (ρ(s)al + ρ(s)ar )} e ds
2
0
eM t
eM t Z t
= dH
diam([u0 ]a )[−1, 1] +
{diam([f (s, αn−1 (s))]a )
2
2 0
1
−M diam([αn−1 (s)]a )}e−M s ds[−1, 1] + {e−M t } × ((u0 )al + (u0 )ar )
2
1 −M t Z t
+ {e
} {f (s, αn−1 (s))al + f (s, αn−1 (s))ar + M (αn−1 (s)al + αn−1 (s)ar )}eM s ds,
2
0
Mt
e
eM t Z t
a
diam([u0 ] )[−1, 1] +
{diam([f (s, ρ(s))]a )
2
2 0
1
−M diam([ρ(s)]a )}e−M s ds[−1, 1] + {e−M t } × ((u0 )al + (u0 )ar )
2
1 −M t Z t
Ms
+ {e
} {f (s, ρ(s))al + f (s, ρ(s))ar + M (ρ(s)al + ρ(s)ar )}e ds .
(5-41)
2
0
99
Aplicando la Proposición 1.16 y propiedades (1-2) y (1-1) en (5-41), se tiene
dH ([αn (t)]a,[ρ(t)]a )
= dH
eM t Z t
{diam([f (s, αn−1 (s))]a ) − M diam([αn−1 (s)]a )}e−M s ds[−1, 1]
2 0
Z t
1
+ {e−M t } {f (s, αn−1 (s))al + f (s, αn−1 (s))ar + M (αn−1 (s)al + αn−1 (s)ar )}eM s ds,
2
0
Mt Z t
e
{diam([f (s, ρ(s))]a ) − M diam([ρ(s)]a )}e−M s ds[−1, 1]
2 0
1 −M t Z t
Ms
+ {e
} {f (s, ρ(s))al + f (s, ρ(s))ar + M (ρ(s)al + ρ(s)ar )}e ds
2
0
Mt Z t
e
6 dH
{diam([f (s, αn−1 (s))]a ) − M diam([αn−1 (s)]a )}e−M s ds[−1, 1],
2 0
!
Mt Z t
e
a
a
−M s
{diam([f (s, ρ(s))] ) − M diam([ρ(s)] )}e
ds[−1, 1]
2 0
Z t
1
+dH {e−M t } {f (s, αn−1 (s))al +f (s, αn−1 (s))ar +M (αn−1 (s)al +αn−1 (s)ar )}eM s ds,
2
0
1 −M t Z t
{e
} {f (s, ρ(s))al + f (s, ρ(s))ar + M (ρ(s)al + ρ(s)ar )}eM s ds
2
0
Z t
Mt
e
=
dH
{diam([f (s, αn−1 (s))]a ) − M diam([αn−1 (s)]a )}e−M s ds[−1, 1],
2
0
Z t
{diam([f (s, ρ(s))]a ) − M diam([ρ(s)]a )}e−M s ds[−1, 1]
0
+dH
1 −M t Z t
{e
} {f (s, αn−1 (s))al +f (s, αn−1 (s))ar +M (αn−1 (s)al +αn−1 (s)ar )}eM s ds,
2
0
1 −M t Z t
{e
} {f (s, ρ(s))al + f (s, ρ(s))ar + M (ρ(s)al + ρ(s)ar )}eM s ds
2
0
eM t Z t −M s
6
e
dH ({diam([f (s, αn−1 (s))]a ) − M diam([αn−1 (s)]a )}[−1, 1],
2 0
{diam([f (s, ρ(s))]a ) − M diam([ρ(s)]a )}[−1, 1]) ds
1 −M t Z t
+dH {e
} {f (s, αn−1 (s))al +f (s, αn−1 (s))ar +M (αn−1 (s)al +αn−1 (s)ar )}eM s ds,
2
0
1 −M t Z t
Ms
{e
} {f (s, ρ(s))al + f (s, ρ(s))ar + M (ρ(s)al + ρ(s)ar )}e ds
(5-42)
2
0
Z t
1
= eM t
|diam([f (s, αn−1 (s))]a ) − M diam([αn−1 (s)]a )
2
0
−diam([f (s, ρ(s))]a ) + M diam([ρ(s)]a )|e−M s ds
1 −M t Z t
|f (s, αn−1 (s))al + f (s, αn−1 (s))ar + M (αn−1 (s)al + αn−1 (s)ar )
+ e
2
0
−f (s, ρ(s))al − f (s, ρ(s))ar − M (ρ(s)al + ρ(s)ar )|eM s ds,
(5-43)
100
donde, (5-42) y (5-43) es debido a
Z t
(1) dH
f (s)ds,
0
Z t
0
g(s)ds ≤
bles con valores en KC1 ,
Z t
0
dH (f (s), g(s))ds para f, g multifunciones integra-
(2) dH (k[−1, 1], k[−1, 1]) = |k − k| para k, k > 0,
(3) dH ({k}, {k}) = |k − k|, donde k, k ∈ R.
De (5-43),
dH ( [αn (t)]a , [ρ(t)]a )
1 Mt Z t
|diam([f (s, αn−1 (s))]a ) − M diam([αn−1 (s)]a )
≤ e
2
0
−diam([f (s, ρ(s))]a ) + M diam([ρ(s)]a )|e−M s ds
Z t
1
+ e−M t
|f (s, αn−1 (s))al + f (s, αn−1 (s))ar + M (αn−1 (s)al + αn−1 (s)ar )
2
0
−f (s, ρ(s))al − f (s, ρ(s))ar − M (ρ(s)al + ρ(s)ar )|eM s ds.
(5-44)
Note que,
|diam([f (s, αn−1 (s))]a )−M diam([αn−1 (s)]a )−diam([f (s, ρ(s))]a )+M diam([ρ(s)]a )|
≤ |diam([f (s, αn−1 (s))]a ) − diam([f (s, ρ(s))]a )|
+| − M diam([αn−1 (s)]a ) + M diam([ρ(s)]a )|
= dH (diam([f (s, αn−1 (s))]a )[−1, 1], diam([f (s, ρ(s))]a )[−1, 1])
+dH (M diam([αn−1 (s)]a )[−1, 1], M diam([ρ(s)]a )[−1, 1])
= dH ([f (s, αn−1 (s))al − f (s, αn−1 (s))ar , f (s, αn−1 (s))ar − f (s, αn−1 (s))al ],
[f (s, ρ(s))al − f (s, ρ(s))ar , f (s, ρ(s))ar − f (s, ρ(s))al ])
+M dH ([αn−1 (s)al −αn−1 (s)ar , αn−1 (s)ar −αn−1 (s)al ], [ρ(s)al −ρ(s)ar , ρ(s)ar −ρ(s)al ])
= dH ([f (s, ρ(s))al , f (s, αn−1 (s))ar ] − [f (s, ρ(s))al , f (s, αn−1 (s))ar ],
[f (s, ρ(s))al , f (s, αn−1 (s))ar ] − [f (s, ρ(s))al , f (s, αn−1 (s))ar ])
+M dH ([αn−1 (s)al , αn−1 (s)ar ]−[αn−1 (s)al , αn−1 (s)ar ], [ρ(s)al , ρ(s)ar ] −[ρ(s)al , ρ(s)ar ])
≤ 2dH ([f (s, αn−1 (s))]a , [f (s, ρ(s))]a ) + 2M dH ([αn−1 (s)]a , [ρ(s)]a ),
(5-45)
101
pues dH (A+B, C +D) ≤ dH (A, C)+dH (B, D) para A, B, C, D ∈ K1 . De forma análoga,
se tiene
|f (s, αn−1 (s))al + f (s, αn−1 (s))ar + M (αn−1 (s)al + αn−1 (s)ar )|
−f (s, ρ(s))al − f (s, ρ(s))ar − M (ρ(s)al + ρ(s)ar )|
6 2dH ([f (s, αn−1 (s))]a , [f (s, ρ(s))]a ) + 2M dH ([αn−1 (s)]a , [ρ(s)]a ).
(5-46)
Sustituyendo las relacione (5-46),(5-45) en la desigualdad (5-44) se obtiene que:
1Z t
1
{diam([f (s, ρ(s))]a )
dH [αn (t)]a , eM t diam([u0 ]a )[−1, 1]+
2
2 0
1
−M diam([ρ(s)]a )} e−M s ds eM t [−1, 1] + {e−M t }((u0 )al + (u0 )ar )
2
1 −M t Z t
+ {e
} {f (s, ρ(s))al + f (s, ρ(s))ar + M (ρ(s)al + ρ(s)ar )} eM s ds
2
0
≤e
Mt
Z t
0
Z t
0
{dH ([f (s, αn−1 (s))]a , [f (s, ρ(s))]a ) + M dH ([αn−1 (s)]a , [ρ(s)]a )}e−M s ds
{dH ([f (s, αn−1 (s))]a , [f (s, ρ(s))]a ) + M dH ([αn−1 (s)]a , [ρ(s)]a )}eM s ds.
Como f (·, αn−1 (·)) es uniformemente convergente para f (·, ρ(·)) se obtiene que [αn (t)]a
converge para
[(ρ(t)]a
Z t
1
a
a
−M s
a
=
ds eM t [−1, 1]
diam([u0 ] ) + {diam([f (s, ρ(s))] ) − M diam([ρ(s)] )}e
2
0
Z t
1
+ ((u0 )al + (u0 )ar ) + {f (s, ρ(s))al + f (s, ρ(s))ar + M (ρ(s)al
2
0
+ρ(s)ar + M (ρ(s)al + η(s)ar )}eM s ds {e−M t }.
Por tanto, ρ es una solución para (5-4). Análogamente, se demuestra que γ es una
solución.
Se u es una solución para (5-4) talque α 6 u 6 β en I, entonces αn 6 B n u = u 6 βn
en I, ∀n ∈ N. Así del Corolario 2.10 se tiene que ρ 6 u 6 γ en I.
2
Observación: La demostración de que f (·, αn−1 (·)) es uniformemente convergente para f (·, ρ(·)) es igual a la demostración dada en el Teorema 5.16.
102
Teorema 5.17 Suponga que las soluciones inferior α y superior β son tales que los
conjuntos
{α(s)L : s ∈ I}, {α(s)R : s ∈ I}, {β(s)L : s ∈ I}, {α(s)R : s ∈ I}
(5-47)
son conjuntos uniformemente equicontínuos en C ([0, 1], R) (con respecto a la variable
a), y que f y M satisfacen:
si |zL (a) − zR (b)| < y |zR (a) − zR (b)| < , entonces
|[f (s, z)−
H (−M z)]L (a)−[f (s, z)−
H (−M z)L (b)]|+|[f (s, z)−
H (−M z)]R (a)−[f (s, z)−
H (−M z)R (b)]|
= |f (s, z)L (a)+M zR (a)−(f (s, z)L (b)+M zR (b))|+|f (s, z)R (a)+M zL (a)−(f (s, z)R (b)+M zL (b))|
<
eM T
M
para s ∈ I.
− e−M T
Entonces queda demostrado el Teorema 5.16.
Demostración. Análogo a la demostración del Teorema 5.8, se verifica la compacidad
relativa de los conjuntos {αn : n ∈ N}L , {αn : n ∈ N}R , {βn : n ∈ N}L y {βn : n ∈ N}R
en (C ([0, 1] × I, R), k · k∞ ), a fin de mostrar la compacidad relativa de las familias
{αn : n ∈ N} y {βn : N} en el Teorema 5.16.
Para obtener que {(αn )L : n ∈ N} y {(αn )R : n ∈ N} son uniformemente equicontínuos en la variable a, uniformemente para t ∈ I, se demuestra que para todo > 0 existe
δ > 0 tal que para a, b ∈ [0, 1] con |a − b| < δ, entonces |(αn )L (a, t) − (αn )L (b, t)| < y |(αn )R (a, t) − (αn )R (b, t)| < , para cada t ∈ I y n ∈ N. La demostración hecha aquí
es por inducción.
Desde que u0 es un número difuso y los conjuntos en (5-58) son uniformemente
equicontinuos, dado > 0 existe δ > 0 tal que, para a, b ∈ [0, 1] con |a − b| < δ
entonces |(u0 )al − (u0 )bl | < 4eM t , |(u0 )ar − (u0 )br | < 4eM t y |α(s)L (a) − α(s)L (b)| < ,
|α(s)R (a) − α(s)R (b)| < para todo s ∈ I.
103
Por tanto, para a, b ∈ [0, 1] con |a − b| < δ e t ∈ I se tiene
|(α1 )L (a, t) − (α1 )L (b, t)|
1
6 (|(u0 )al − (u0 )bl | + |(u0 )ar − (u0 )br |)eM t
2
1 Mt Z t
+ e
{|[f (s, α(s)) −
(−M α(s))]ar − [f (s, α(s)) −
(−M α(s))]br |
H
H
2
0
+|[f (s, α(s)) −
(−M α(s))]bl − [f (s, α(s)) −
(−M α(s))]al |}e−M s ds
H
H
1
+ (|(u0 )al − (u0 )bl | + |(u0 )ar − (u0 )br |)e−M t
2
Z t
1
+ e−M t {|[f (s, α(s)) −
(−M α(s))]al − [f (s, α(s)) −
(−M α(s))]bl |
H
H
2
0
+|[f (s, α(s)) −
(−M α(s))]ar − [f (s, α(s)) −
(−M α(s))]br |}eM s ds
H
H
Z t
Z t
1 M t 1 −M t 1
M
Mt
−M s
−M t
Ms
<
e +
e
+ MT
e
e
ds + e
e ds
2 2eM T
2 2eM T
2e
− e−M T
0
0
M
1
eM t − e−M t
≤ + = .
≤ + MT
−M
T
2 2e
−e
M
2 2
Un cálculo similar es válido para (α1 )R . Ahora, suponiendo que para a, b ∈ [0, 1] con
|a − b| < δ, |(αn−1 )L (a, t) − (αn−1 )L (b, t)| = |(αn−1 (t))al − (αn−1 (t))bl | < , para todo
t ∈ I, entonces, por un cálculo semejante se obtiene
|(αn )L (a, t) − (αn )L (b, t)|
1
6 (|(u0 )al − (u0 )bl | + |(u0 )ar − (u0 )br |)eM t
2
Z t
1
(−M αn−1 (s))]ar − [f (s, αn−1 (s)) −
(−M αn−1 (s))]br |
+ eM t {|[f (s, αn−1 (s)) −
H
H
2
0
+|[f (s, αn−1 (s)) −
(−M αn−1 (s))]bl − [f (s, αn−1 (s)) −
(−M αn−1 (s))]al |}e−M s ds
H
H
1
+ (|(u0 )al − (u0 )bl | + |(u0 )ar − (u0 )br |)e−M t
2
1 −M t Z t
{|[f (s, αn−1 (s)) −
(−M αn−1 (s))]al − [f (s, αn−1 (s)) −
(−M αn−1 (s))]bl |
+ e
H
H
2
0
+|[f (s, αn−1 (s)) −
(−M αn−1 (s))]ar − [f (s, αn−1 (s)) −
(−M αn−1 (s))]br |}eM s ds
H
H
<
para a, b ∈ [0, 1] con |a − b| < δ y t ∈ I. Análogamente para (αn )R . La demostración
se concluye con un raciocinio semejante para los conjuntos {(βn )L : n ∈ N} y {(βn )R :
n ∈ N}.
2
104
De la misma forma que en el Lema 5.5 y Teorema 5.7, usando el resultado de
Comparación dado en el Teorema 4.9, se puede demostrar un nuevo resultado de aproximación.
Lema 5.18 Sea u0 un número difuso continuo, y α, β ∈ C 1 (I, E 1 ) soluciones inferior
y superior para (5-4), tal que α 6 β en I, y α(t), β(t) son números difusos continuos
para cada t ∈ I. Considere las siguientes hipótesis adicionales:
(A) Existe M ∈ R, M > 0 tal que,
(1) f (t, x) −
M x existe para todo t ∈ I e x ∈ [α(t), β(t)];
H
M α(t) y β 0 (t) −
M β(t) existen para todo t ∈ I;
(2) α0 (t) −
H
H
(3) f (t, x) −
M x ≤ f (t, y) −
M y para α(t) 6 x 6 y 6 β(t), donde x, y ∈ E 1 e
H
H
t ∈ I.
(B) f es continuo y acotado en el conjunto {(t, x) : t ∈ I, x ∈ E 1 , x ∈ [α(t), β(t)]} y
tanto f (t, x) y x ∈ E 1 son números difusos continuos.
Entonces existe una solución para el problema (5-4) en intervalo funcional difuso [α :
β] := {x ∈ C (I, E 1 ) : α 6 x 6 β em I}.
Demostración. La demostración de este Lema es análogo al del Lema 5.5. Considere la
aplicación G : [α, β] → C (I, E 1 ) tal que para η ∈ [α, β], Gη es la solución única para el
problema auxiliar


u0 (t) = M u(t) + [f (t, η(t)) −
M η(t)], t ∈ I,
H
 u(0) = u .
0
(5-48)
El Teorema 3.5 muestra que la solución para (5-48) es única para cada η ∈ [α, β] y
(Gη)(t) = (uη )(t) = u0 χ
{eM t }
+
Z t
0
[f (s, η(s)) −
M η(s)]χ{eM (t−s) } ds, t ∈ I.
H
Demostrar la existencia de por lo menos una solución para el problema (5-4) equivale
a demostrar la existencia de por lo menos un ponto fijo para G, o sea, la existencia de
105
una función continua u satisfaciendo


u0 (t) = M u(t) + [f (t, u(t)) −
M u(t)], t ∈ I,
H
 u(0) = u ,
0
(5-49)
o, equivalentemente una solución para (5-4). Para encontrar un ponto fijo de G se
utiliza el Teorema 5.3, esto es, basta verificar que G es no decreciente en [α, β] y
G([α, β]) ⊆ [α, β]. En efecto, de la definición de G y, escribiendo α0 (t) convenientemente
se tiene


α0 (t) = M α(t) + (α0 (t) −
M α(t)),
H
0
 (Gα) (t) = M (Gα)(t) + (f (t, α(t)) − M α(t)).
H
(5-50)
Aquí, de la definición de solución inferior (α) resulta que
α0 (t) −
M α(t) 6 f (t, α(t)) −
M α(t) para todo t ∈ I y α(0) 6 u0 = (Gα)(0).
H
H
(5-51)
Análogamente para la solución superior β,


(Gβ)0 (t) = M (Gβ)(t) + (f (t, β(t)) −
M β(t)),
H
0
0

β (t) = M β(t) + (β (t) −
M β(t)),
H
(5-52)
donde,
f (t, β(t)) −
M β(t) 6 β 0 (t) −
M β(t) para todo t ∈ I e (Gβ)(0) = u0 6 β(0).
H
H
(5-53)
Por tanto, aplicando el principio de comparación dado en el Teorema 4.9 a los sistemas
(5-50) y (5-52) conjuntamente con (5-51), (5-53) se obtiene Gα > α y Gβ 6 β. Por otro
lado, para el carácter no decreciente de G en [α, β], considere η, ζ ∈ [α, β] con η 6 ζ,
entonces





Gη)0 (t) = M (Gη)(t) + (f (t, η(t)) −
M η(t)),
H
0
(Gζ) (t) = M (Gζ)(t) + (f (t, ζ(t)) −
M ζ(t)),
H



 (Gη)(0) = u = (Gζ)(0).
0
(5-54)
De la hipótesis (3) se tiene,
f (t, β(t)) −
M β(t) 6 f (t, ζ(t)) −
M ζ(t), t ∈ I.
H
H
(5-55)
106
Así, aplicando nuevamente el Teorema 4.9 a (5-54), se obtiene Gη 6 Gζ. Por el Teorema
de Ponto Fijo 5.3, el operador no decreciente A tiene al menos un ponto fijo en el
retículo completo [α, β], esto es, existe una solución para o problema (5-4) en intervalo
funcional [α, β] := {x ∈ C (I, E 1 ) : α ≤ x ≤ β em I}.
2
Observación 5.19 Note que, escribir los sistemas (5-50), (5-52), (5-54) y desigualdades (5-53), (5-51), (5-55) no tendría sentido sen las hipótesis (1), (2) y (B).
Observación 5.20 El enfoque que sigue el Lema 5.18 evita a exigencia de condiciones
adicionales para la aplicación del resultado de comparación dado en el Teorema 4.9.
Teorema 5.21 Si ademas de las hipótesis del Lema 5.18 fuera válido que los subconjuntos de C ([0, 1], R)
{[f (s, x) −
M x]L : s ∈ I, x número difuso continuo x ∈ [α(s), β(s)]}
H
(5-56)
{[f (s, x) −
M x]R : s ∈ I, x número difuso continuo x ∈ [α(s), β(s)]}
H
(5-57)
y
son uniformemente equicontínuos con respecto à variavel a, entonces, existen secuencias monótonas {αn } ↑ ρ, βn ↓ γ en C ([0, 1], E 1 ), donde α0 = α, β0 = β, y ρ, γ
son las soluciones extremas para el problema (5-4) en el intervalo funcional difuso
[α, β] := {x ∈ C (I, E 1 ) : α ≤ x ≤ β em I}.
Demostración. La demostración de este teorema es semejante a la prueba del Teorema
5.7.
2
Teorema 5.22 Si las soluciones inferior α y superior β son tales que
{α(s)L : s ∈ I}, {α(s)R : s ∈ I}, {β(s)L : s ∈ I}, {α(s)R : s ∈ I}
(5-58)
son conjuntos uniformemente equicontínuos en C ([0, 1], R) (con respecto a la variable
a), y suponiendo que f y M satisfacen:
107
(1) Si |zL (a) − zL (b)| < , entonces
|[f (s, z) −
M z]L (a) − [f (s, z) −
M z]L (b)|
H
H
= |f (s, z)L (a) − M zL (a) − (f (s, z)L (b) − M zL (b))| <
M
para s ∈ I, y
− 1)
2(eM T
(2) Si |zR (a) − zR (b)| < , entonces
|[f (s, z) −
M z]R (a) − [f (s, z) −
M z]R (b)|
H
H
= |f (s, z)R (a) − M zR (a) − (f (s, z)R (b) − M zR (b))| <
M
para s ∈ I.
− 1)
2(eM T
Entonces, la conclusión del Teorema 5.21 es clara.
Demostración. La demostración es obtenida de forma semejante a la demostración del
Teorema 5.8. El análisis de convergencia de las secuencias {αn : n ∈ N} e {βn : n ∈ N}
se reduce a justificar que los conjuntos {αn : n ∈ N}L , {αn : n ∈ N}R , {βn : n ∈ N}L e
{βn : n ∈ N}R son relativamente compactos en (C ([0, 1]×I, R), k·k∞ ). Aquí, se demuestra que {(αn )L : n ∈ N} es uniformemente equicontinua en la variable a, uniformemente
para t ∈ I.
En efecto, por la continuidad del número difuso u0 y por el hecho que el conjunto
{α(s)L : s ∈ I} es uniformemente equicontinua tenemos que, para todo > 0 existe
δ > 0 tal que para a, b ∈ [0, 1] con |a − b| < δ, implica que |(u0 )al − (u0 )bl | < M t y
2e
|α(s)L (a) − α(s)L (b)| < , para todo s ∈ I. Por tanto, para a, b ∈ [0, 1] con |a − b| < δ
y t ∈ I, tenemos
|(α1 )L (a, t) − (α1 )L (b, t)|
Mt
≤ |(u0 )al − (u0 )bl |e
+
Z t
0
|[f (s, α(s)) −
M α(s)]al − [f (s, α(s)) −
M α(s)]bl |eM (t−s) ds
H
H
Z t
M
M
(eM t − 1)
M (t−s)
< M T eM T +
e
ds
=
+
≤ + = .
M
T
M
T
2e
− 1)
2 2(e
− 1)
M
2 2
0 2(e
Suponiendo que, para a, b ∈ [0, 1] con |a − b| < δ, |(αn−1 )L (a, t) − (αn−1 )L (b, t)| =
|(αn−1 (t))al − (αn−1 (t))bl | < , para todo t ∈ I, entonces deducimos en forma semejante
108
que
|(αn )L (a, t) − (αn )L (b, t)|
≤ |(u0 )al − (u0 )bl |eM t
+
Z t
0
|[f (s, αn−1 (s)) −
M αn−1 (s)]al − [f (s, αn−1 (s)) −
M αn−1 (s)]bl |eM (t−s) ds
H
H
< ,
para todo a, b ∈ [0, 1], t ∈ I con |a − b| < δ.
De forma semejante para los conjuntos {(αn )R : n ∈ N}, {(βn )L : n ∈ N} e
{(βn )R : n ∈ N}.
2
A continuación se presenta un ejemplo para ilustrar la aplicabilidad de los resultados
de existencia y aproximación probados.
Ejemplo 5.23 Considere el PVI difuso


u0 (t) = eN t u(t) + χ[−h(t),h(t)] , t ∈ I = [0, T ],
 u(0) = u ,
0
(5-59)
donde T > 0, N > 0, h : I → R continuo en I, h(t) ≥ 0 para todo t ∈ I y f (t, z) =
eN t z + χ[−h(t),h(t)] , t ∈ I, z ∈ E 1 .
1
, con eN T −
Asuma que (T + 21 )eN T ≤ 1 (o que tiene sentido para T < 12 ), 0 < M ≤ T +2
M ≤ 2(eMMT −1) , y admita que la función h satisface una de las siguientes condiciones:
(a) h(t) ≤ 2 − (2t + 1)eN t para t ∈ I; o
(b) h diferenciable en I, con h0 (t) ≥ 0 para t ∈ I y h(T ) ≤ 2 − (2T + 1)eN T .
Note que 2 − (2t + 1)eN t ≥ 0 para cada t ∈ I, debido a la condición (T + 21 )eN T ≤ 1.
Considere u0 ∈ E 1 siendo el número difuso triangular continuo u0 = (0; 1, 1), cuyos
conjuntos nivel son dados por [u0 ]a = [a − 1, 1 − a], para todo a ∈ [0, 1].
Sean α y β definidos por α(t) = (−t; t + 1, 1) y β(t) = (−t; t + 1, 1) con t ∈ I. Note
que, para cada t ∈ I, α(t) es un número difuso triangular. Luego, de la Definición 1.9,
109
resulta que
[α(t)]a = [α(t)al , α(t)ar ] = [a(t + 1) − 2t − 1, −t + 1 − a],
(5-60)
[β(t)]a = [β(t)al , β(t)ar ] = [a + t − 1, t + (1 − a)(t + 1)],
(5-61)
son los conjuntos a-nivel de α(t) y β(t) con a ∈ [0, 1]. Por las expresiones de α y β se
tiene que α, β ∈ C 1 (I, E 1 ) y α(t) , β(t) son números difusos continuos desde que sus
funciones paramétricas correspondientes
α(t)L = α(t)al = a(t + 1) − 2t − 1, α(t)R = α(t)ar = −t + 1 − a,
β(t)L = β(t)al = a + t − 1,
β(t)R = β(t)ar = t + (1 − a)(t + 1),
son continuas. Vea también que α(t)al , α(t)ar , β(t)al e β(t)ar son derivábles en t ∈ I.
Así,
[α0 (t)]a = [α0 (t)al , α0 (t)ar ] = [a − 2, −1],
(5-62)
[β 0 (t)]a = [β 0 (t)al , β 0 (t)ar ] = [1, 2 − a],
(5-63)
para a ∈ [a, b] y t ∈ I.
El conjunto a-nivel para f (t, x) = eN t x + χ[−h(t),h(t)] es dado por
[f (t, x)]a = [eN t x]a + [χ[−h(t),h(t)] ]a
= [eN t xal , eN t xar ] + [−h(t), h(t)]
= [eN t xal − h(t), eN t xar + h(t)].
(5-64)
Y así,
diam([f (t, x)]a ) = eN t (xar − xal ) + 2h(t)
= eN t diam([x]a ) + 2h(t)
≥ diam([x]a ) ≥ M diam([x]a ),
pues 0 < M ≤
t ∈ I y x ∈ E 1.
1
.
T +2
Así, se tiene que las diferencias f (t, x) −
M x existen para todo
H
110
La desigualdad f (t, x) −
M x 6 f (t, y) −
M y es verdadera siempre que x 6 y, pues
H
H
[f (t, x) −
M x]a = [f (t, x)]a −
[M x]a
H
H
= [eN t xal − h(t), eN t xar + h(t)] −
[M xal , M xar ]
H
= [eN t xal − h(t) − M xal , eN t xar + h(t) − M xar ]
= [(eN t − M )xal − h(t), (eN t − M )xar + h(t)].
Ademas de esto, de x 6 y en E 1 ⇔ xal ≤ yal y xar ≤ yar , se tiene
(eN t − M )xal − h(t) ≤ (eN t − M )yal − h(t),
(eN t − M )xar + h(t) ≤ (eN t − M )yar + h(t).
Luego, se concluye que f (t, x) −
M x 6 f (t, y) − M y para todo t ∈ I y x 6 y en E 1 .
H
Las diferencias α0 (t) −
M α(t) existen para todo t ∈ I. En efecto, de las expresiones
H
(5-62), (5-60),
diam([α0 (t)]a ) = 1 − a,
M diam([α(t)]a ) = M (1 − a)(t + 2),
1
1
se obtiene M (1 − a)(t + 2) ≤ T +2
(1 − a)(t + 2) ≤ 1 − a,
Ahora, como 0 < M ≤ T +2
y entonces diam([α0 (t)]a ) ≥ M diam([α(t)]a ). Por tanto α0 (t) −
M α(t) existe para todo
H
0
t ∈ I. Análogamente se verifica que β (t) −
M β(t) existe para todo t ∈ I.
H
Note que, de las expresiones (5-64) y (5-60) se tiene
[f (t, α(t))]a = [f (t, α(t))al , f (t, α(t))ar ]
= [eN t α(t)al − h(t), eN t α(t)ar + h(t)]
= [eN t (a(t + 1) − 2t − 1) − h(t), eN t (−t + 1 − a) + h(t)],
(5-65)
para cada t ∈ I, a ∈ [0, 1]. Y de la expresión (5-60), α0 (t)al = a − 2 y α0 (t)ar = −1.
La función α es solución inferior para el problema (5-4), desde que α(0) = (0; 1, 1) =
111
u0 y las desigualdades
α0 (t)al = a − 2 ≤ eN t (a(t + 1) − 2t − 1) − h(t) = f (t, α(t))al ,
(5-66)
α0 (t)ar = −1 ≤ eN t (−t + 1 − a) + h(t) = f (t, α(t))ar ,
(5-67)
son válidas para todo a ∈ [0, 1] y t ∈ I. Demostrar la desigualdad a − 2 ≤ γ(t, a) en
(5-66), con γ(t, a) = eN t (a(t + 1) − 2t − 1) − h(t) es equivalente a verificar que
h(t) ≤ a(eN t (t + 1) − 1) − eN t (2t + 1) − a + 2.
(5-68)
Para cada t fijado, la expresión en el lado derecho de la desigualdad en (5-68) es no
decreciente en a. Por tanto, basta probar que es válido para a = 0, esto es, h(t) ≤
2 − (2t + 1)eN t , que es, precisamente la hipótesis (a).
Por otro lado, de la hipótesis (b), h es diferenciable, entonces dtd γ(t, a) = eN t (N (a−
2)t + N a − N + a − 2) − h0 (t). No en tanto, N (a − 2)t + N a − N + a − 2 es decreciente
en la variable t y es igual a N (a − 1) + a − 2 < 0 para t = 0, por tanto γ(·, a) es no
creciente para cada a ∈ [0, 1] fijado. Note que, el menor valor de γ(t, a) es γ(T, a) y
γ(T, a) = eN t (a(T + 1) − 2T − 1) − h(T ) ≥ a − 2 para todo a ∈ [0, 1], pues por la
hipótesis (b) h(T ) ≤ 2 − (2T + 1)eN t ≤ 2 − (2T + 1)eN t + [(T + 1)eN t − 1]a para todo
a ∈ [0, 1].
Desde que h(t) ≥ 0, verificar la desigualdad en (5-67) equivale a probar que −1 ≤
eN t (−t+1−a), lo cual es verdad por la hipótesis, pues eN t (t−1+a) ≤ eN t t ≤ T eN t ≤ 1
para todo t ∈ I y a ∈ [0, 1].
A continuación se verifica que las hipótesis del Teorema 5.22 sean satisfechas. En
efecto, los conjuntos {α(s)L : s ∈ I} y {α(s)R : s ∈ I} son uniformemente acotados y
uniformemente equicontínuos, desde que,
α(s)L : [0, 1] −→ R
a
7−→ α(s)L (a) = α(s)al = a(s + 1) − 2s − 1
α(s)R : [0, 1] → R
a
7−→ α(s)R (a) = α(s)ar = −s + 1 − a
son uniformemente acotados en a ∈ [0, 1] y t ∈ I. Ademas de esto, dado > 0 existe
112
δ=
T +1
tal que
a ∈ [0, 1], |a − b| < δ =⇒ |α(s)L (a) − α(s)L (b)| = |a − b|(s + 1) ≤ (T + 1)|a − b| < y, dado > 0 existe δ = > 0 tal que
a ∈ [0, 1], |a − b| < δ =⇒ |α(s)R (a) − α(s)R (b)| = |b − a| < .
Por tanto, los conjuntos {α(s)L : s ∈ I} e {α(s)R : s ∈ I} son uniformemente equicontínuos. De forma análoga se puede mostrar que los conjuntos {β(s)L : s ∈ I} y
{β(s)R : s ∈ I} son uniformemente acotados y uniformemente equicontínuos.
Ahora, de la expresión de los conjuntos a-nivel de f (t, z) = eN t z + χ[−h(t),h(t)] dado
M
en (5-64) y del hecho que, eN T − M <
según la hipótesis del problema ,
2(eM T − 1)
tenemos que:
(1) Si |zL (a) − zL (b)| < ,
|[f (s, z)−
H M z]L (a)−[f (s, z)−
H M z]L (b)| = |f (s, z)L (a)−M zL (a)−(f (s, z)L (b)−M zL (b))|
= |eN s zal − h(s) − M zal − (eN s zbl − h(s) − M zbl )|
= |(eN s − M )(zal − zbl )| = |(eN s − M )||zL (a) − zL (b)|
≤ |(eN T − M )||zL (a) − zL (b)|
<
M
para s ∈ I;
2(eM T − 1)
(2) si |zR (a) − zR (b)| < , entonces
|[f (s, z)−
H M z]R (a)−[f (s, z)−
H M z]R (b)| = |f (s, z)R (a)−M zR (a)−(f (s, z)R (b)−M zR (b))|
= |eN s zar − h(s) − M zar − (eN s zbr − h(s) − M zbr )|
= |(eN s −M )(zar −zbr )| = |(eN s −M )||zR (a)−zR (b)|
≤ |(eN T − M )||zR (a) − zR (b)|
<
M
para s ∈ I.
2(eM T − 1)
Luego las hipótesis del Teorema 5.22 son satisfechas.
Considerando que, h es continua en I = [0, T ], x ∈ [α(t), β(t)] y la expresión de
113
f se tiene que f es continuo y acotado en el conjunto {(t, x) : t ∈ I, x ∈ E 1 , x ∈
[α(t), β(t)]}. Ademas de esto, f (t, x) es número difuso continuo para todo t ∈ I e
x ∈ E 1 , desde que sus funciones paramétricas
f (t, x)L (a) = f (t, x)al = eN t xal − h(t) e f (t, x)R (a) = f (t, x)al = eN t xar + h(t)
son continuas. Note que xa l e xar son continuas porque x ∈ E 1 .
Como, las hipótesis de existencia en el Lema 5.18 y las hipótesis del Teorema 5.22
son satisfechas, resulta del Teorema 5.21 que existen secuencias monótonas {αn } ↑ ρ,
{βn } ↑ γ en C (I, E 1 ), donde α0 = α, β0 = β, y ρ, γ son las soluciones extremas para
el problema (5-59) en el intervalo funcional [α, β].
Conclusiones y Recomendaciones
En el estudio de existencia y aproximación de soluciones para el PVI difuso


u0 (t) = f (t, u(t)), t ∈ I = [0, T ],
 u(0) = u ,
0
(5-69)
fueron estudiados tres resultados de existencia de soluciones para (5-69). Estos resultados fueron dados en los Lemas 5.5, 5.12, 5.18 y cada uno de estos puede ser considerado
como el análogo del Teorema de Peano en el Contexto difuso. La diferenciabilidad según Hukuhara y la complejidad de los elementos de E 1 hacen que nuevas condiciones
sean requeridas para f , ademas de la continuidad y acotación en un conjunto adecuado
como en el caso clásico.
En forma similar a la teoría determinista, se demuestra que la técnica monótona
iterativa puede ser utilizado para estudiar existencia y aproximación de soluciones para
el PVI de ecuaciones diferenciales difusos no lineales en el conjunto E 1 de números
difusos compactos e convexos.
En los Teoremas 5.7, 5.16 y 5.21 son analizados aproximación de soluciones para
(5-69). En cada uno de ellos fue construido secuencias monótonas iterativas {αn } y {βn }
en el intervalo funcional [α, β]. Estas secuencias son soluciones para ciertas ecuaciones
diferenciales lineales y convergen uniformemente y monotonicamente para una solución
minimal ρ e una maximal γ del problema (5-69). Una ventaja de la técnica iterativa es
que, las soluciones para las EDO´s lineales considerados como sub problemas pueden ser
calculadas explicitamente. Sin embargo, la existencia de αn y βn requiere una atención
mayor, pues ellas son definidas como siendo solución única para cada EDO lineal difuso.
El método monótono combinado con el de soluciones superior e inferior pueden
ser utilizados con suceso para obtener dos fronteras sobre el conjunto de soluciones
114
115
de los PVI’s a partir del cual el comportamiento cualitativo y cuantitativo pueden ser
investigados. [2]
Para trabajos futuros se pretende estudiar el problema (5-69) en el espacio E n pues
la relación de orden tiene sentido en E n .
Los principales resultados de esta tesis fueron obtenidos por medio del artículo [24].
Para el estudio de ecuaciones diferenciales difusos lineales fue utilizado [13] y para los
resultados de comparación fue utilizado el artículo [23].
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