UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
CURSO DE GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
ANA BEATRIZ DE ALMEIDA LIMA
A SEQUÊNCIA DE FIBONACCI: APLICAÇÕES E CURIOSIDADES PARA
ALUNOS DO ENSINO MÉDIO
FORTALEZA – CEARÁ
2019
ANA BEATRIZ DE ALMEIDA LIMA
A SEQUÊNCIA DE FIBONACCI: APLICAÇÕES E CURIOSIDADES PARA ALUNOS
DO ENSINO MÉDIO
Projeto do Trabalho de Conclusão de
Curso apresentado ao Curso de
Licenciatura Plena em Matemática do
Centro de Ciências e Tecnologia da
Universidade Estadual do Ceará, como
requisito parcial à obtenção do grau de
licenciado em Matemática.
Orientador: Prof. Ms. Emanoel Ferreira de
Souza
FORTALEZA – CEARÁ
2019
RESUMO
Um dos maiores desafios do ensino de matemática nos dias atuais é aliar a teoria à
prática, apresentando aos alunos a aplicabilidade dos conceitos estudados em sala
de aula, tornando o aprendizado mais significativo para o aluno. Tendo isso em vista
o que buscamos em nossa pesquisa é apresentar aos alunos do ensino médio um
estudo de uma sequência rica em propriedades, curiosidades e aplicações, a
sequência de Fibonacci. Procuraremos ainda, auxiliar o aluno no reconhecimento de
padrões e na percepção da interdisciplinaridade presente no estudo da matemática.
Nossa pesquisa será baseada em uma pesquisa bibliográfica, porém também terá
caráter de pesquisa em campo, pois, o que pretendemos é aplicar os resultados da
pesquisa bibliográfica aos alunos do ensino médio por meio de minicurso.
Esperamos obter resultados positivos no que diz respeito à compreensão dos alunos
acerca dos temas tratados, além de auxiliá-los na associação do conteúdo ao
cotidiano, incitando sua curiosidade e tornando o conhecimento significativo.
Palavras-chave: Sequência de Fibonacci. Interdisciplinaridade. Ensino médio.
SUMÁRIO
1
INTRODUÇÃO ....................................................................................................04
2
JUSTIFICATIVA ..................................................................................................04
3
REFERENCIAL TEÓRICO ..................................................................................07
4
OBJETIVOS ........................................................................................................09
4.1 OBJETIVO GERAL..............................................................................................09
4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ...............................................................................09
5
MÉTODO.............................................................................................................10
5.1 CAMINHO METODOLÓGICO .............................................................................10
6
CRONOGRAMA..................................................................................................11
7
PROPOSTA DE SUMÁRIO PARA O TCC .........................................................12
REFERÊNCIAS...................................................................................................12
4
1 INTRODUÇÃO
Na matemática, o estudo de sequências numéricas é de suma
importância, pois, auxilia os alunos a perceberem padrões e recorrências presentes
no estudo da matemática. Em meio às diversas sequências numéricas, estudaremos
com maior rigor a sequência de Fibonacci.
Durante o ensino médio os alunos devem desenvolver determinadas
habilidades, presentes na Base Nacional Comum Curricular (BNCC):
[...] os estudantes devem desenvolver habilidades relativas aos processos
de investigação, de construção de modelos e de resolução de problemas.
Para tanto, eles devem mobilizar seu modo próprio de raciocinar,
representar, comunicar, argumentar e, com base em discussões e
validações conjuntas, aprender conceitos e desenvolver representações e
procedimentos cada vez mais sofisticados. (BRASIL, 2018, p.529)
Ou seja, o aluno deve ser capaz de raciocinar logicamente e através de
sua compreensão desenvolver métodos para resolução de problemas e situações
diversas.
Nosso estudo pretende então esmiuçar os conceitos, propriedades e
curiosidades relativos à sequência de Fibonacci, buscando encontrar suas
aplicações e aliar tais pesquisas bibliográficas para utilização no ensino médio,
auxiliando o aluno a desenvolver tais habilidades presentes na Base Nacional
Comum Curricular.
Observamos ainda, que a sequência de Fibonacci possui abordagem
mínima
no
ensino
médio,
embora
sejam estudadas algumas sequências
importantes, presentes na BNCC, como por exemplo as progressões aritméticas
(P.A.) e as progressões geométricas (P.G.), a sequência de Fibonacci na maioria
das vezes é apenas citada por curiosidade pelos professores, ou seja, a grande
maioria dos alunos do ensino médio não tem conhecimento sobre tal sequência,
suas propriedades e aplicações.
Também buscaremos atrelar a sequência de Fibonacci aos fatos
históricos que deram origem a esta sequência, atentando então para a importância
da história da matemática, como base para todo desenvolvimento subsequente,
pois, para Rosa Neto (2010), “é preciso conhecer a gênese, o desenvolvimento e a
significação do conhecimento”. Ou seja, precisamos saber as origens do que vai ser
estudado para que possamos assim dar significado ao conhecimento.
5
A maioria dos trabalhos lidos até aqui seguem basicamente o mesmo
padrão, onde os autores procuram definir os objetos de estudo e ao final indicam
possíveis atividades para tratar os assuntos abordados. O diferencial que temos
nessa pesquisa é que iremos realizar estudos bibliográficos e aplicar os resultados
obtidos através de um minicurso voltado para alunos do ensino médio.
De acordo com a 5ª competência presente na BNCC, os alunos devem
ser capazes de:
Investigar e estabelecer conjecturas a respeito de diferentes conceitos e
propriedades matemáticas, empregando estratégias e recursos, como
observação de padrões, experimentações e diferentes tecnologias,
identificando a necessidade, ou não, de uma demonstração cada vez mais
formal na validação das referidas conjecturas. (BRASIL, 2018, p.531)
Através da sequência de Fibonacci, podemos levar os alunos a
desenvolverem tal competência, fazendo com que reconheçam padrões, formulem
conjecturas e consigam realizar demonstrações simples.
Então, tendo em vista que a sequência de Fibonacci é um conteúdo
pouco abordado, como mostrar aos alunos do ensino médio a aplicabilidade dessa
sequência?
2 JUSTIFICATIVA
Escolhemos tratar da sequência de Fibonacci por conta de suas diversas
propriedades, além é claro, de suas aplicações nos mais diversos campos do
conhecimento, ou seja, podemos correlacionar o tema com várias áreas estudadas,
fazendo com que o aluno note a interdisciplinaridade presente no estudo da
matemática, incitando ainda a curiosidade e mostrando as aplicações dos conteúdos
estudados no cotidiano.
A sequência de Fibonacci é tão rica de conhecimentos e possui uma
beleza matemática grandiosa, pois “quase não há fim para os lugares onde os
números de Fibonacci aparecem e suas muitas aplicações” (POSAMENTIER E
LEHMANN, 2007, p. 13, tradução nossa).
Percebemos que um dos grandes desafios da educação matemática
atualmente é aliar a teoria estudada em sala à prática diária ou aos acontecimentos
cotidianos, isto é, muitas vezes o que os alunos veem dentro de sala de aula, não
conseguem associar ao que é palpável. Assim a sequência de Fibonacci por possuir
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diversas aplicações em várias áreas do conhecimento, é um bom exemplo de como
mostrar aplicabilidade dos conteúdos estudados em sala, tornando o conhecimento
mais significativo.
De acordo com Fortuna (2015), “dentro do processo pedagógico, teoria e
prática precisam dialogar permanentemente, fugindo da ideia tradicional de que o
saber está somente na teoria, construído distante ou separado da ação/prática”.
Segundo Sena (2013), “é possível observar sequências numéricas em
diversas situações do nosso cotidiano, como no simples ato de contar e também em
áreas específicas”.
O estudo das sequências numéricas de acordo com a BNCC, está
presente no currículo do ensino médio, porém, o que observamos é que as
sequências que são de fato estudadas no ensino médio são as progressões
aritméticas e as progressões geométricas, mas então, porque não inserir uma
abordagem mais aprofundada de uma sequência tão rica de propriedades e
aplicações como a sequência de Fibonacci?
Observamos então, a importância do estudo das sequências numéricas,
para dar embasamento ao aluno, fazendo-o perceber os padrões e recorrências que
fazem parte do estudo da matemática.
Ainda segundo Sena (2013), “dentre os tipos de sequências numéricas
existentes, a sequência de Fibonacci merece um destaque especial por conta de sua
aplicabilidade, propriedades e de suas curiosidades”.
Outro ponto importante que motiva a pesquisa é o fato de Leonardo
Fibonacci ter sido um dos grandes matemáticos de sua época, onde ao longo do seu
período vitalício, deu diversas contribuições para a matemática.
Segundo Posamentier e Lehmann (2007, pág. 12), uma das grandes
colaborações de Fibonacci, foi promover a disseminação do sistema de numeração
decimal ou algarismos indo-arábicos, que utilizamos até os dias atuais, pois a partir
daí houve um significativo avanço no que diz respeito à realização dos cálculos
matemáticos, até então realizados por meio do ábaco, Fibonacci tornou a
matemática mais prática e aplicável para facilitar situações do cotidiano, porém,
apesar de suas várias contribuições, ele só ficou realmente conhecido através da
sequência que leva seu nome.
7
Podemos dizer que Leonardo Fibonacci “foi uma das maiores influências
matemáticas da cultura ocidental e, sem dúvida, a principal mente do seu tempo”
(POSAMENTIER E LEHMANN, 2007, p. 12, tradução nossa).
Portanto a ideia deste trabalho é abranger os conceitos necessários para
o conhecimento da sequência de Fibonacci bem como suas propriedades e algumas
curiosidades relacionadas a tal sequência, mostrando a aplicabilidade desses
conceitos para os alunos do ensino médio, criando ainda uma fonte alternativa e
acessível para que alunos interessados no assunto consigam compreender as
informações nele contidas.
3 REFERENCIAL TEÓRICO
Ao pesquisar sobre o tema, percebemos que existe uma grande
quantidade de trabalhos relacionados, muitos deles voltados para a história da
matemática e alguns outros mais voltados para a aplicação do tema em sala de
aula. Durante as leituras realizadas, porém, não encontramos trabalhos que além de
sugerir atividades aplicassem tais conceitos para os alunos. Buscaremos então,
além de propor tais atividades, aplicar os estudos bibliográficos realizados com os
alunos do ensino médio.
LEOPOLDINO (2016) apresenta uma pesquisa que traz as origens,
definições e ocorrências, assim como as propriedades elementares da sequência de
Fibonacci, bem como sua relação com o número de ouro. Em sua dissertação,
propõe ainda algumas aplicações para o 9º ano do ensino fundamental e para o
ensino médio, aliando os conceitos da sequência de Fibonacci e da razão áurea a
outros assuntos da matemática como por exemplo, analise combinatória, geometria
plana, entre outros. Ao final do trabalho, busca trazer curiosidades e questões
relacionadas ao assunto que caíram em vestibulares e no Exame Nacional do
Ensino Médio (ENEM).
BELINI (2015) faz uma breve introdução sobre os conjuntos numéricos, e
em seguida define a razão áurea e a sequência de Fibonacci, mostrando
propriedades e aplicações. Ao final da pesquisa, mostra algumas possibilidades para
a sala de aula, onde propõe algumas atividades para aplicar aos alunos.
CRUZ JUNIOR (2014) fala sobre o número áureo e sua relação com a
sequência de Fibonacci, mostrando ainda a razão áurea na geometria. Faz um breve
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comentário sobre os números irracionais para, enfim, inserir o valor do número
áureo. Após isso, mostra a aplicabilidade do número áureo. Ao final da pesquisa
propõe algumas atividades relacionadas ao corpo humano e a natureza para mostrar
aos alunos que a matemática está presente em nosso cotidiano.
Após discutirmos pesquisas relacionadas ao tema, procuraremos agora
verificar o problema que deu origem a sequência de Fibonacci. De acordo com
Posamentier e Lehmann (2007, pág. 12) foi originada de um problema proposto por
Leonardo Fibonacci, no capítulo 12 de seu livro ‘Liber Abaci’ (Livro do Ábaco).
Tal problema trata sobre a reprodução de coelhos, onde é apresentado o
crescimento de um conjunto de coelhos, sendo representada pela seguinte
sequência de números, {1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., x, y, x+y, ...}. De acordo com Eves (2008,
p. 315), o problema diz: “Quantos pares de coelhos serão produzidos num ano, a
partir de um único casal, se cada casal procria a cada mês um novo casal que se
torna produtivo depois de dois meses?”. Observe a figura abaixo:
FIGURA 1 – Reprodução de Coelhos
Fonte: Próprio autor
Ao analisar tal sequência, observaremos que é uma sequência infinita,
onde:
𝐴1 = 1; 𝐴2 = 1
9
Os termos subsequentes a estes são obtidos através da soma entre os
dois termos anteriores, respectivamente, ou seja, na tabela a seguir podemos
observar os termos seguintes:
Tabela 1 – Termos Subsequentes da Sequência de Fibonacci
𝐴3 = 𝐴2 + 𝐴1 = 1 + 1 = 2
𝐴4 = 𝐴3 + 𝐴2 = 2 + 1 = 3
𝐴5 = 𝐴4 + 𝐴3 = 3 + 2 = 5
⋮
Fonte: Elaborado pelo autor.
Repetindo-se essa operação n vezes, encontraremos n elementos
pertencentes a sequência dada. Tais números são conhecidos, atualmente, como
números de Fibonacci.
Portanto, nosso trabalho pretende, além de verificar as definições,
propriedades, relação entre a sequência de Fibonacci e o número áureo e outras
curiosidades, aplicar os conhecimentos obtidos através da pesquisa bibliográfica a
nível médio, levando aos alunos um estudo mais aprofundado do tema.
4 OBJETIVOS
4.1 OBJETIVO GERAL
Analisar proposta de aplicação da sequência de Fibonacci para alunos do 2º
ano do ensino médio.
4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
a) Apresentar conceitos e propriedades da sequência de Fibonacci;
b) Mostrar curiosidades e aplicações relacionadas a sequência de Fibonacci;
c) Elaborar uma proposta a ser aplicada em turmas do 2º ano do ensino médio.
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5 MÉTODO
O trabalho apresentado tem uma característica de uma pesquisa
bibliográfica, que pode ser definida como:
A pesquisa bibliográfica é desenvolvida a partir de material já elaborado,
constituído principalmente de livros e artigos científicos. Embora em quase
todos os estudos seja exigido algum tipo de trabalho desta natureza, há
pesquisas desenvolvidas exclusivamente a partir de fontes bibliográficas.
Parte dos estudos exploratórios podem ser definidos como pesquisas
bibliográficas, assim como certo número de pesquisas desenvolvidas a
partir da técnica de análise de conteúdo. (GIL, 2008, p. 50)
É uma pesquisa bibliográfica pelo fato de que há diversos estudos
relacionadas à sequência de Fibonacci, porém, nessa análise iremos trazer além da
pesquisa bibliográfica, um estudo de campo que se caracteriza da seguinte forma:
As pesquisas deste tipo se caracterizam pela interrogação direta das
pessoas cujo comportamento se deseja conhecer. Basicamente, procede-se
à solicitação de informações a um grupo significativo de pessoas acerca do
problema estudado para em seguida, mediante análise quantitativa, obter as
conclusões correspondentes dos dados coletados. (GIL, 2008, p. 55)
Temos aqui uma pesquisa de levantamento de campo, pois iremos aplicar
um minicurso em sala de aula, para que possamos levar o objeto de estudo para os
alunos do ensino médio, para verificarmos se é possível abordar o tema de forma
mais aprofundada. Levantando os dados através de questionários que serão
direcionados aos alunos no decorrer do minicurso, além do acompanhamento da
aplicadora.
5.1 CAMINHO METODOLÓGICO
Inicialmente, será realizada uma pesquisa bibliográfica para investigar e
encontrar os conceitos e propriedades aplicáveis aos alunos do ensino médio.
Logo após, iremos elaborar e planejar um minicurso procurando abordar
as informações coletadas na pesquisa bibliográfica de forma a levar os conceitos
para os alunos do ensino médio.
Passaremos então, para a parte prática, do levantamento de campo, onde
aplicaremos o minicurso com os alunos da Escola Estadual de Educação
Profissional Presidente Roosevelt. Iremos solicitar como pré-requisito do minicurso
que os alunos participantes já tenham cursado o 1º ano do ensino médio, pois
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usaremos alguns conceitos sobre sequências numéricas (P.A. e P.G.), conteúdo
estudado no 1º ano. Procuraremos direcionar o minicurso para os alunos do 2º ano,
pois assim poderemos verificar a interdisciplinaridade do assunto de forma mais
abrangente, utilizando ainda questões de vestibulares.
No decorrer do minicurso, faremos ainda dois breves questionários de
caráter qualitativo, um no início e outro no fim, pois pretendemos analisar os
conceitos já
conhecidos pelos
alunos e
como
o
minicurso
auxiliou
no
amadurecimento de sua compreensão do assunto.
O que pretendemos com o minicurso é aliar o ensino à prática, mostrando
aos alunos os conceitos e propriedades da sequência de Fibonacci, além de suas
curiosidades, fazendo com que eles percebam a aplicabilidade de tais conceitos e
onde estão presentes.
6 CRONOGRAMA
2019
Junho
Julho
Agosto
Setembro
Outubro
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1) Correções necessárias do PTCC.
2) Iniciar leitura de pesquisas relacionadas ao tema para ampliação e
atualização do trabalho.
3) Planejamento das atividades que serão realizadas no minicurso.
4) Criação do primeiro capítulo tratando da sequência de Fibonacci e suas
propriedades.
12
5) Aplicação do minicurso com alunos do 2º ano do ensino médio.
6) Análise dos resultados obtidos com a aplicação do minicurso.
7) Criação do segundo capítulo tratando das curiosidades e aplicações da
sequência de Fibonacci.
8) Criação do terceiro capítulo tratando da aplicação do minicurso.
9) Correções necessárias.
10) Conclusões e considerações finais.
11) Confecção da apresentação do TCC.
12) Defesa do Trabalho de Conclusão de Curso.
7 PROPOSTA DE SUMÁRIO PARA O TCC
1
INTRODUÇÃO ....................................................................................................00
2
A SEQUÊNCIA DE FIBONACCI .........................................................................00
2.1 PROPRIEDADES DA SEQUÊNCIA DE FIBONACCI..........................................00
3
CURIOSIDADES E APLICAÇÕES DA SEQUÊNCIA DE FIBONACCI ..............00
3.1 CURIOSIDADES .................................................................................................00
3.2 APLICAÇÕES .....................................................................................................00
4
MINICURSO - SEQUÊNCIA DE FIBONACCI .....................................................00
4.1 ANÁLISE DO MINICURSO .................................................................................00
5
CONCLUSÃO .....................................................................................................00
REFERÊNCIAS...................................................................................................00
ANEXOS .............................................................................................................00
REFERÊNCIAS
BELINI, Marcelo Manechine. A razão áurea e a sequência de Fibonacci. 2015. 86
f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) – Instituto de Ciências
Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2015.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Básica. Base Nacional
Comum
Curricular.
Brasília,
DF,
2018.
Disponível
<http://basenacionalcomum.mec.gov.br/>. Acesso em: abril, 2019.
em:
13
CRUZ JUNIOR, Jorge Mageste da. A matemática por trás de um número: Razão
áurea. 2014. 48 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) – Instituto de
Ciências Exatas, Universidade Federal de Juiz de Fora, Juiz de Fora, 2014.
EVES, Howard. Introdução à história da matemática. 3. ed. Campinas: Unicamp,
2008.
FORTUNA, Volnei. A Relação Teoria e Prática na Educação em Freire. Revista
Brasileira de Ensino Superior, [s.l.], v. 1, n. 2, p.64-72, 30 dez. 2015. Complexo de
Ensino
Superior
Meridional
S.A..
http://dx.doi.org/10.18256/2447-
3944/rebes.v1n2p64-72.
GIL, Antonio Carlos. Métodos e técnicas de pesquisa social. 6 ed., São Paulo:
Atlas, 2008.
LEOPOLDINO, Karlo Sérgio Medeiros. Sequências de Fibonacci e a Razão Áurea:
Aplicações no ensino básico. 2016. 117 f. Dissertação (Mestrado Profissional em
Matemática) – Centro de Ciências Exatas e da Terra, Universidade Federal do Rio
Grande do Norte, Natal, 2016.
OLIVEIRA, José Jackson de. Sequências de Fibonacci: Possibilidades de
aplicações no ensino básico. 2013. 37 f. Dissertação (Mestrado Profissional em
Matemática) – Instituto de Matemática, Universidade Federal da Bahia, Salvador,
2013.
POSAMENTIER,
Alfred
S.;
LEHMANN,
Ingmar. The
Fabulous
Fibonacci
Numbers. New York: Prometheus Books, 2007.
ROSA NETO, Ernesto. Didática da matemática. 12. ed. São Paulo: Ática, 2010.
(Educação).
SENA, Carlos Átila Rodrigues de. Sequência de Fibonacci: Propriedades,
aplicações e curiosidades. 2013. 56 f. Dissertação (Mestrado Profissional em
Matemática) – Centro de Ciências e Tecnologia, Universidade Estadual do Ceará,
Fortaleza, 2013.
