CLICK AQUÍ Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS 1 Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS SERIE CORONEL 01 (C) Serie Coronel, 2012 (C) 2012. Pedro Pablo Coronel Pérez / Pablo Josué Coronel López DEPÓSITO LEGAL: lf07620125103481 ISBN: 978-980-12-6070-7 Diagramación interna: Estudiográfico, 2012 Diseño de portada: Elkin J. Calle Cortés CORRECCIÓN DE TEXTOS Lcdo. Pedro A. Coronel L. IMPRESIÓN: Litoformas, San Cristóbal [Octubre, 2012] TIRAJE: 500 ejemplares. TIPO DE SOPORTE: Papel Bond base 20 gr/cm2 Las observaciones, sugerencias y correspondencia se ruega hacerlas llegar a los siguientes correos electrónicos: [email protected] / [email protected] Impreso en la República Bolivariana de Venezuela Printed in the Bolivarian Republic of Venezuela Las publicaciones de la SERIE CORONEL gozan de protección de los derechos de propiedad intelectual en virtud del Protocolo a la Convención Universal Sobre Derechos de Autor. Sin previa autorización por escrito por parte del editor, quedan rigurosamente prohibidas, bajo las sanciones establecidas por las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía, el tratamiento informático y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público. Reservados todos los derechos. 2 3 Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS A mis hijos Pedro A. Coronel L. y Pablo J. Coronel L. A mis padres Ángel I. Coronel A. y María del C. Pérez de Coronel. A mis padres Pedro P. Coronel P. y Marisol López G. “La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles”. René Descartes (1596–1560) / Filósofo y matemático francés 4 5 Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS ÍNDICE 6 Prólogo 09 Breve fundamento teórico 11 Bibliografía 15 Límites Algebraicos Indeterminados de la forma matemática 17 Límites Trigonométricos Indeterminados de la forma matemática 33 Límites Indeterminados de la forma matemática 51 Límites Indeterminados de la forma matemática 77 Límites Indeterminados de la forma matemática 107 Ejercicios complementarios 143 7 Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS PRÓLOGO El propósito de este libro, es presentar a los alumnos que inician sus estudios universitarios una serie de problemas sobre límites, muy representativos y resueltos en forma detallada. Evidentemente será de gran utilidad para estudiantes de Ingeniería, Ciencias, Tecnología o cualquier especialidad donde el Cálculo Matemático sea un requisito indispensable dentro del pensum de estudio. Por otra parte, la gran cantidad de ejercicios, permite que el material también pueda ser utilizado como texto guía tanto por el alumno como por el profesor en el desarrollo de este importante tema de cálculo. Todos los problemas que aquí se presentan están relacionados con límites de las formas que son las indeterminaciones más frecuentes aunque también han sido cuidadosamente incluidos algunos límites que se pueden resolver en forma inmediata. Los ejercicios han sido seleccionados con el objeto de ampliar los conocimientos adquiridos en clase, así como también para que el alumno adquiera práctica en la resolución de problemas y así prevenirle ante las dificultades con que normalmente se tropieza el principiante. Los autores se han esmerado en la explicación de los procedimientos utilizados para la resolución de cada uno de los problemas. Sin embargo, de manera intencional, en algunos se ha omitido ciertos pasos explicativos, con la finalidad de “obligar” al alumno a reflexionar sobre algunos conocimientos básicos del álgebra elemental o sobre procedimientos que ya han sido utilizados en problemas previos con la única finalidad de contribuir a mejorar el proceso de aprendizaje. 8 9 Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS BREVE FUNDAMENTO TEÓRICO Propiedades de los límites Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguientes propiedades: Límite deExpresión Una constante La función identidad El producto de una función y una constante Una suma Una resta Un producto Un cociente Una potencia Un logaritmo El número e 10 11 Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS Indeterminaciones Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las siguientes (considere ∞ como el límite que tiende a infinito y 0 al límite cuando tiende a 0; y no al número 0): OperaciónIndeterminación Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS Productos con infinito: Infinito por un número Infinito por infinito Infinito por cero Cocientes con infinito y cero: Cero partido por un número Un número partido por cero Definición del teorema del encaje o teorema del emparedado que dice: Un número partido por infinito Operaciones con Infinito Sumas con infinito: Infinito partido por un número Infinito más un número Cero partido por infinito Infinito más infinito Infinito partido por cero Infinito menos infinito Cero partido por cero 12 13 Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS Infinito partido por infinito Potencias con infinito y cero: Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS BIBLIOGRAFÍA Larson R, Hostetler R. Y Edwards B. (1995). Cálculo. Volumen 1. México. McGraw-Hill. Un número elevado a cero Zill G, Dennis (1985). Cálculo con Geometría Analítica. México, Grupo Editorial Iberoamérica. Cero elevado a cero Wisniewski Piotr M. y Banegas G. Ana L. (2004). Introducción a las matemáticas universitarias. México. McGraw-Hill. Infinito elevado a cero Pita R, Claudio. (1998). Cálculo de una variable. México, Prentice- Hall Hispanoamericana. Cero elevado a un número Universidad Nacional Abierta (2011) Matemática II: Límites y Continuidad de Funciones Reales de Variable Real. Caracas, Autor. Un número elevado a infinito Cero elevado a infinito Infinito elevado a infinito Uno elevado a infinito 14 15 Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS LÍMITES ALGEBRAICOS INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA 16 001 016 002 017 003 018 004 019 005 020 006 021 007 022 008 023 009 024 010 025 011 026 012 027 013 028 014 029 015 030 17 Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS 002 SOLUCIONARIO 001 003 18 19 Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA 20 031 046 032 047 033 048 034 049 035 050 036 051 037 052 038 053 039 054 040 055 041 056 042 057 043 058 044 059 045 060 33 21 Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS 054 22 45 23 Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS 055 24 46 060 49 25 Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS LÍMITES INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA 26 061 076 062 077 063 078 064 079 065 080 066 081 067 082 068 083 069 084 070 085 071 086 072 087 073 088 074 089 075 090 51 27 Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS LÍMITES INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA 091 106 092 107 093 108 094 109 095 110 096 111 097 112 098 113 099 114 100 115 101 116 102 117 103 118 104 119 105 120 28 52 29 Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS 062 063 30 54 31 Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS 099 101 102 100 103 32 68 69 33 Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS LÍMITES INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA 121 136 122 137 123 138 124 139 125 140 126 141 127 142 128 143 129 130 34 144 145 131 146 132 147 133 148 134 149 135 150 77 35 Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS LÍMITES INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA 151 152 153 166 167 145 168 154 169 155 156 157 158 159 160 170 171 172 173 146 174 175 161 176 162 177 163 178 164 165 78 36 179 180 89 37 Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS LÍMITES ALGEBRAICOS INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA 147 38 90 181 196 182 197 183 198 184 199 185 200 186 201 187 202 188 203 189 204 190 205 191 206 192 207 193 208 194 209 195 210 107 39 Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS LÍMITES ALGEBRAICOS INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA 211 226 212 227 213 214 228 229 215 230 216 231 217 232 218 233 219 234 220 235 221 222 195 236 237 223 238 224 239 225 240 108 40 194 117 41 Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 196 241 246 242 247 243 248 244 249 245 250 197 118 42 143 43 Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS 242 SOLUCIONARIO 241 144 44 145 45 Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS 250 46 153 47 Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS (C) Serie Coronel [No. 01], 2012 La presente edición, que consta de 500 ejemplares, se imprimió en San Cristóbal, Venezuela, en los talleres gráficos de Litoformas, C.A., durante los meses de octubre-noviembre de 2012. Impreso en la República Bolivariana de Venezuela [Printed in the Bolivarian republic of Venezuela ] 48 49 Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS 50
