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250 limites

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Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ
250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS
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SERIE CORONEL 01
(C) Serie Coronel, 2012
(C) 2012. Pedro Pablo Coronel Pérez / Pablo Josué Coronel López
DEPÓSITO LEGAL: lf07620125103481
ISBN: 978-980-12-6070-7
Diagramación interna: Estudiográfico, 2012
Diseño de portada: Elkin J. Calle Cortés
CORRECCIÓN DE TEXTOS Lcdo. Pedro A. Coronel L.
IMPRESIÓN: Litoformas, San Cristóbal [Octubre, 2012]
TIRAJE: 500 ejemplares.
TIPO DE SOPORTE: Papel Bond base 20 gr/cm2
Las observaciones, sugerencias y correspondencia se ruega hacerlas llegar a los siguientes correos
electrónicos: [email protected] / [email protected]
Impreso en la República Bolivariana de Venezuela
Printed in the Bolivarian Republic of Venezuela
Las publicaciones de la SERIE CORONEL gozan de protección de los derechos de propiedad intelectual en virtud del Protocolo a la Convención Universal Sobre Derechos de Autor. Sin previa autorización por escrito por parte del editor, quedan
rigurosamente prohibidas, bajo las sanciones establecidas por las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por
cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía, el tratamiento informático y la distribución de ejemplares de
ella mediante alquiler o préstamo público. Reservados todos los derechos.
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A mis hijos Pedro A. Coronel L. y Pablo J. Coronel L.
A mis padres Ángel I. Coronel A. y María del C. Pérez de Coronel.
A mis padres Pedro P. Coronel P. y Marisol López G.
“La matemática es la ciencia del orden y la medida,
de bellas cadenas de razonamientos,
todos sencillos y fáciles”.
René Descartes (1596–1560) / Filósofo y matemático francés
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ÍNDICE
6
Prólogo
09
Breve fundamento teórico
11
Bibliografía
15
Límites Algebraicos Indeterminados de la forma matemática
17
Límites Trigonométricos Indeterminados de la forma matemática
33
Límites Indeterminados de la forma matemática
51
Límites Indeterminados de la forma matemática
77
Límites Indeterminados de la forma matemática
107
Ejercicios complementarios
143
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PRÓLOGO
El propósito de este libro, es presentar a los alumnos que inician sus estudios universitarios
una serie de problemas sobre límites, muy representativos y resueltos en forma detallada.
Evidentemente será de gran utilidad para estudiantes de Ingeniería, Ciencias, Tecnología o
cualquier especialidad donde el Cálculo Matemático sea un requisito indispensable dentro del
pensum de estudio. Por otra parte, la gran cantidad de ejercicios, permite que el material
también pueda ser utilizado como texto guía tanto por el alumno como por el profesor en el
desarrollo de este importante tema de cálculo.
Todos los problemas que aquí se presentan están relacionados con límites de las
formas
que son las indeterminaciones más frecuentes aunque también han
sido cuidadosamente incluidos algunos límites que se pueden resolver en forma inmediata.
Los ejercicios han sido seleccionados con el objeto de ampliar los conocimientos adquiridos en
clase, así como también para que el alumno adquiera práctica en la resolución de problemas
y así prevenirle ante las dificultades con que normalmente se tropieza el principiante.
Los autores se han esmerado en la explicación de los procedimientos utilizados para
la resolución de cada uno de los problemas. Sin embargo, de manera intencional, en algunos
se ha omitido ciertos pasos explicativos, con la finalidad de “obligar” al alumno a reflexionar
sobre algunos conocimientos básicos del álgebra elemental o sobre procedimientos que ya
han sido utilizados en problemas previos con la única finalidad de contribuir a mejorar el proceso de aprendizaje.
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BREVE FUNDAMENTO TEÓRICO
Propiedades de los límites
Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguientes propiedades:
Límite deExpresión
Una constante
La función identidad
El producto de una función y una
constante
Una suma
Una resta
Un producto
Un cociente
Una potencia
Un logaritmo
El número e
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Indeterminaciones
Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las siguientes (considere ∞ como el límite
que tiende a infinito y 0 al límite cuando tiende a 0; y no al número 0):
OperaciónIndeterminación
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Productos con infinito:
Infinito por un número
Infinito por infinito
Infinito por cero
Cocientes con infinito y cero:
Cero partido por un número
Un número partido por cero
Definición del teorema del encaje o teorema del emparedado que dice:
Un número partido por infinito
Operaciones con Infinito
Sumas con infinito:
Infinito partido por un número
Infinito más un número
Cero partido por infinito
Infinito más infinito
Infinito partido por cero
Infinito menos infinito
Cero partido por cero
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Infinito partido por infinito
Potencias con infinito y cero:
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BIBLIOGRAFÍA
Larson R, Hostetler R. Y Edwards B. (1995).
Cálculo. Volumen 1. México. McGraw-Hill.
Un número elevado a cero
Zill G, Dennis (1985).
Cálculo con Geometría Analítica. México, Grupo Editorial Iberoamérica.
Cero elevado a cero
Wisniewski Piotr M. y Banegas G. Ana L. (2004).
Introducción a las matemáticas universitarias. México. McGraw-Hill.
Infinito elevado a cero
Pita R, Claudio. (1998).
Cálculo de una variable. México, Prentice- Hall Hispanoamericana.
Cero elevado a un número
Universidad Nacional Abierta (2011)
Matemática II: Límites y Continuidad de Funciones Reales de Variable Real.
Caracas, Autor.
Un número elevado a infinito
Cero elevado a infinito
Infinito elevado a infinito
Uno elevado a infinito
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LÍMITES ALGEBRAICOS INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA
16
001
016
002
017
003
018
004
019
005
020
006
021
007
022
008
023
009
024
010
025
011
026
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002
SOLUCIONARIO
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LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA
20
031
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033
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034
049
035
050
036
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040
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LÍMITES INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA
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061
076
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078
064
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065
080
066
081
067
082
068
083
069
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070
085
071
086
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LÍMITES INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA
091
106
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108
094
109
095
110
096
111
097
112
098
113
099
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100
115
101
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099
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LÍMITES INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA
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140
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142
128
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129
130
34
144
145
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LÍMITES INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA
151
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145
168
154
169
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156
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159
160
170
171
172
173
146
174
175
161
176
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LÍMITES ALGEBRAICOS INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA
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197
183
198
184
199
185
200
186
201
187
202
188
203
189
204
190
205
191
206
192
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LÍMITES ALGEBRAICOS INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA
211
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215
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237
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EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
196
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246
242
247
243
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249
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250
197
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SOLUCIONARIO
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(C) Serie Coronel [No. 01], 2012
La presente edición, que consta de 500 ejemplares,
se imprimió en San Cristóbal, Venezuela, en los talleres gráficos de Litoformas, C.A.,
durante los meses de octubre-noviembre de 2012.
Impreso en la República Bolivariana de Venezuela
[Printed in the Bolivarian republic of Venezuela ]
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