Formas cuadráticas

Definición.- Una forma cuadrática es una aplicación Q: IR n → IR definida por Q (w)
=wt A w, donde A es una matriz simétrica.
 1 3 − 1 w 1 

 
Ejemplo.- Q(w1,w2, w3)= (w1 w2 w3)  3 0 2  w 2  =
 − 1 2 7  w 

 3 
= w 1 + 0w 2 + 7 w 3 + 6 w 1 w 2 − 2 w 1 w 3 + 4w 2 w 3
2
2
2
Observación.- Si A= (ai j)∈Mn es la matriz simétrica que define la forma cuadrática Q y
si w = (w1, ..., wn), se tiene
Q(w) = a11w12 + a22w22 + ... + annwn2 + ∑ 2a ij x i x j
i< j
Definición.- (Clasificación de f. cuadráticas) Sea Q una forma cuadrática. Q se dice
a) definida positiva (DP) si Q(w) > 0 ∀w∈ IR n , w ≠0
b) definida negativa (DN) si Q(w) < 0 ∀w∈ IR n , w ≠0
c) semidefinida positiva (SDP) si Q(w) ≥ 0 ∀w∈ IR n y ∃ w ≠0 / Q (w) =0
d) semidefinida negativa (SDN) si Q(w) ≤ 0 ∀w∈ IR n y ∃ w ≠0 / Q (w) =0
e) indefinida si ∃ w,t ∈ IR n / Q (w) Q(t) < 0
 1 3 − 1 w 1 

 
Ejemplo.- Q(w1,w2, w3)= (w1 w2 w3)  3 0 2  w 2  =
 − 1 2 7  w 

 3 
= w 1 + 0 w 2 + 7 w 3 + 6w 1 w 2 − 2w 1 w 3 + 4w 2 w 3 es indefinida pues
2
2
2
Q(2,0,0)=22=4>0
Q(1,-1,0)=1-6=-5<0
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Teorema.- Sea A la matriz simétrica asociada a la forma cuadrática Q. Entonces:
a) Q es DP ⇔ todos los autovalores de A son positivos.
b) Q es DN ⇔ todos los autovalores de A son negativos.
c) Q es SDP ⇔ todos los autovalores de A son mayores o iguales que cero, y al
menos uno de ellos es nulo.
d) Q es SDN ⇔ todos los autovalores de A son menores o iguales que cero, y al
menos uno de ellos es nulo.
e) Q es indefinida ⇔ A tiene autovalores positivos y negativos.
Definición.- Sea A = (aij) una matriz cuadrada de orden n. Los menores principales de
A son los determinantes
a 11 a 12 L a 1k
a 21 a 2 2 L a 2 k
∆k =
M
M
M
a k1 a k 2 L a k k
(k = 1, 2, ..., n)
Teorema.- Sea A ∈ Mn la matriz simétrica asociada a la forma cuadrática Q. Entonces:
a) Q es DP⇔ ∆k > 0, k = 1, ..., n.
b) Q es DN ⇔ (-1)k ∆k > 0, k = 1, ..., n.
c) Q es semidefinida ⇒ |A| = ∆n = 0.
d) ∆k > 0, k = 1, ..., n-1, |A| = ∆n = 0 ⇒ Q es SDP.
e) (-1)k ∆k > 0, k = 1, ..., n-1, |A| = ∆n = 0 ⇒ Q es SDN.
f) ∆k ≠ 0, k = 1, ..., n-1, |A| = ∆n = 0 y no se verifican las hipótesis de d) y e) ⇒
Q es indefinida.
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Ejemplo.- Sea la forma cuadrática Q(x,y,z)= x2+5y2+4xy+10z2+6yz.
a) Calcula su matriz asociada
b) Clasifica la forma cuadrática
c) ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación x2+5y2+4xy+10z2+6yz = -3?
d) ¿Y la ecuación x2+5y2+4xy+10z2+6yz = 0?
SOLUCIÓN.1 2 0 


a) Matriz asociada A=  2 5 3 
 0 3 10 


b) Por menores principales:
∆1 = 1 > 0;
1 2 0
∆ 3 = 2 5 3 = 50 + 0 + 0 − [0 + 9 + 40] = 1 > 0
0 3 10
∆i>0, ∀i⇒ la f. c. es DP
1 2
∆2 =
= 5 − 2 = 1 > 0;
2 5
c) La ecuación es Q(x,y,z)=-3. Como Q(x,y,z) es DP se tiene que:
Q(x,y,z)>0 si (x,y,z)≠(0,0,0)
y
Q(0,0,0)=0
Por tanto no existe ningún valor de (x,y,z) para el que Q de –3: la ec. no tiene solución.
d) Por el mismo razonamiento que en el apartado anterior sólo hay una solución
para la ecuación x2+5y2+4xy+10z2+6yz = 0, y esta solución es x = y =z = 0.
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FORMAS CUADRÁTICAS RESTRINGIDAS
Definición.- Sea Q: IR n → IR una forma cuadrática y sea B∈Mk×n con rg(B)=k<n.
Denominamos forma cuadrática restringida a la función Q considerada en el
subespacio {w=(w1, ..., wn)∈ IR n /Bw=0}.
Observación.- Para clasificar la forma cuadrática Q(w1,...,wn) restringida al subespacio
{w=(w1,...,wn)∈ IR n /Bw=0} (donde B∈Mk×n con rg(B)=k<n) obsérvese que:
a) Si la forma cuadrática Q es definida positiva (negativa) entonces tiene el
mismo signo si la restringimos a cualquier subespacio.
b) Si la forma cuadrática Q es semidefinida positiva (negativa) entonces la
restricción puede ser definida positiva (negativa) o semidefinida positiva
(negativa).
c) Si la forma cuadrática Q es indefinida (negativa), la restricción puede ser de
cualquier tipo.
Nota.- Para averiguar el signo de una forma cuadrática φ(w1,...,wn) restringida a un
subespacio {w=(w1,...,wn)∈ IR n /Bw=0} (donde B∈Mk×n con rg(B)=k<n), podemos
transformar el problema planteado en otro consistente en averiguar el signo de una
forma cuadrática sobre IR n −k sin restricciones, lo que se consigue despejando k de las n
incógnitas w1,...,wn del sistema de ecuaciones lineales B w =0 y sustituyendo en la
expresión de φ(w).
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Ejemplo.- Dada la forma cuadrática Q(x,y,z) = -x2-y2+z2+6xy-2xz-2yz
a) Clasifícala restringida a {(x,y,z)∈ IR 3 / y=z-x, x+y+z=0}
b) Clasifícala restringida a {(x,y,z)∈ IR 3 / y=x}
c) Sin hacer nuevos cálculos, clasifica Q (sin restringir).
SOLUCIÓN.a) Clasifícala restringida a {(x,y,z)∈ IR 3 / y=z-x, x+y+z=0}
y = z − x  x + y − z = 0  x + y − z = 0 x = − y 
⇒
⇒
⇒

x + y + z = 0 x + y + z = 0
2z = 0 
z=0 
Entonces la restricción es
2
2
2
2
2
2
2
QR (y)=Q(-y,y,0)= -(-y) -y +0 +6(-y)y-2(-y)0-2y0 = -y -y -6y =-8y
que es una forma cuadrática de una variable con matriz asociada (-8), que DN por ser su
único menor principal negativo (y por tanto los menores principales alternan su signo
empezando por negativo).
b) Ahora la forma cuadrática restringida es
2
2
2
2
2
QR (x,z)=Q(x,x,z)= -x -x +z +6xx-2xz-2xz =4x +z -4xz
cuya matriz asociada es
 4 −2 

.
 −2 1 
Para clasificarla calculamos sus menores principales:
∆1=4>0;
∆2=4-4=0
Todos los menores principales son positivos salvo el último que es cero⇒SDP
c) Como Q restringida a {(x,y,z)∈ IR 3 / y=z-x, x+y+z=0} es definida negativa
tenemos que Q sobre los vectores no nulos de este subespacio es negativa (por
ejemplo Q(1,-1,0)<0). Como Q restringida a {(x,y,z)∈ IR 3 / y=x} es
semidefinida positiva (y no nula) sabemos que existen vectores no nulos para
los cuales la forma cuadrática es positiva y otros para los que es cero. En
general podemos entonces afirmar que hay puntos donde Q es positivo (por el
apartado b) y otros donde Q es negativo (por el apartado a). Entonces Q es
indefinida.
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