CAPITULO II PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONE

CAPITULO II
PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
El termino probabilidad está asociado con el estudio de la aleatoriedad y la incertidumbre. El
objetivo es tratar de asociar a uno o varios resultados de un experimento una medida de la
posibilidad de ocurrencia de dichos resultados.
Experimento Aleatorio: Es aquel que proporciona diferentes resultados, aun cuando se repita bajo
las mismas condiciones.
Espacio Muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se
denota S .
Un Evento es cualquier colección (subconjunto) de resultados de un espacio Muestral S (simples y
compuestos).
Ejemplos:
-Lanzamiento de una moneda no cargada S = {c , s} ó S = {cara , sello}
- Lanzamiento de un dado no cargado, S = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} .
- Medición del tiempo de duración de una batería en horas, S = {0 , +
}.
- Se selecciona al azar tres artículos de la producción diaria de una empresa. Cada artículo se
clasifica
como
defectuoso
ó
No
–
defectuoso
Así
( D)
(N) .
S = { NNN , NND , NDN , DNN , NDD , DND , DDN , DDD}
- Lanzamiento de dos dados no cargados S = {( 1 , 1) ( 1 , 2 ) , … , ( 6 , 5 ) ( 6 , 6 )} .
Sean los siguientes eventos
A : El resultado es cara A = {C}
B : El resultado del lanzamiento del dado es par B = { 2 , 4 , 6}
C : La bombilla dura menos de 1000 horas C = [ 0 , 1000 )
D : Solo un artículo es defectuoso D = { NDD , DND , DDN}
E:
La
suma
de
los
resultados
al
lanzar
dos
dados
es
E = {( 1 , 6 ) ( 2 , 5 ) ( 3 , 4 ) ( 4 , 3 ) ( 5 , 2 ) ( 6 , 1)}
siete
( 7)
- De la producción diaria de una empresa se examinan al azar artículos hasta encontrar el primero
defectuoso.
Si D : denota defectuoso y N : No defectuoso entonces S = { D , ND , NND , NNND , NNNND , …}
Sea F : el número de artículos no defectuosos antes de un primer defectuoso es par.
F = {NND , NNNND , …}
Ejemplo: Se toman al azar tres artículos de un gran lote. Cada artículo es clasificado como
defectuoso “ D ”, o no- defectuoso “ N ”.
El espacio Muestral para este experimento es:
S = {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, NDD, DDD}
.
Sea E el evento dado por el conjunto de resultados en los cuales al menos dos artículos son
defectuosos: E = {NDD , DDN , DND , DDD} .
Sea E 2 el evento dado por todos los resultados en los cuales los tres artículos son defectuosos.
E 2 = {DDD} .
Debido a que los eventos son finalmente subconjuntos de un conjunto mayor, las operaciones
entre conjuntos se aplican a los eventos (unión, intersección, complemento, entre otras).
Ejemplo: Se toman muestras de una pieza fundida de aluminio y se clasifican de acuerdo con el
acabado de la superficie (en micro pulgadas) y con las mediciones de longitud. Se presenta un
resumen de los resultados obtenidos con 100 muestras.
Longitud
Excelente Bueno
Acabado Excelente
75
7
Superficie Bueno
10
8
Considere los siguientes eventos:
A : La muestra tiene acabado excelente.
B : La muestra tiene longitud excelente.
Determine el numero de muestras en: A , B , A , B , A
B, A
B, A
B, A
B .
Grafique en un diagrama de Venn
# A = 85
#A
B = 92
# B = 72
#A
B = 75
# A = 18
# B = 15
# A B = 10
# A B = 25
Definición: Sean A y B eventos de un espacio Muestral S . Se dice que A y B excluyentes o
Disjuntos si A B = (Vacío es un evento de S ).
En general si E 1 , E 2 , … , E n eventos de S , se dicen mutuamente disjuntos o excluyentes si
Ei
Ej =
,
i
j.
Ejemplo: Se lanza un dado no cargado. El espacio Muestral para este experimento es
S = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} .
Defina los siguientes eventos:
E 1 : El resultado es un número par.
E 2 : El resultado es un número primo.
E 3 : El resultado es un número impar.
Identifique los eventos ¿Cuál par de ellos son excluyentes? ¿Son los tres eventos mutuamente
excluyentes?
Solución: E 1 = {2 , 4 , 6} , E 2 = {2 , 3 , 5} , E 3 = {1 , 3 , 5}
E1
E 2 = {2} , E 1
E3 ={
},E2
E 3 = {3 , 5}
E 1 y E 3 son excluyentes, pero . E 1 , E 2 y E 3 no son mutuamente excluyentes, aunque
E1
E2
E3 =
Ejercicios propuestos Capitulo2, 2-1, 2-9, 2-10, 2-14, 2-22, 2-24.
Técnicas de conteo: En algunos experimentos no es fácil enumerar todos los posibles resultados
de este. Se hace necesario entonces proponer métodos que permitan el conteo de dichos
resultados.
Ejercicio: Se selecciona al azar un vehículo en cierta ciudad. Si todas las letras de la placa del
vehículo son diferentes, ¿Cuántos autos tienen la misma característica? ¿Cuántos autos tienen
placas con todos sus dígitos impares?
Ejercicio: Se lanzan 20 monedas no cargadas, ¿Cuántos posibles resultados tienen solo tres
caras?
Ejercicio: Se seleccionan al azar tres personas de un grupo por 10 obreros, 4 pintores y 6
carpinteros. ¿Cuántos grupos diferentes conformados por un obrero, un pintor y un carpintero se
pueden formar?
Regla multiplicativa: Si una operación puede describirse como una secuencia de k pasos donde
el número de maneras de completar el paso 1 es n 1 , para cada manera de completar el paso1
existen n 2 maneras de completar el paso 2, y así sucesivamente, entonces el número total de
formas de completar la operación es.
k
i =1
ni
Ejemplo: En una operación de manufactura se produce una pieza con operaciones de maquinado,
pulido y pintado. Existen tres herramientas para maquinado, cuatro para pulido y tres para el
pintado. ¿Cuantas rutas distintas (maquinado – pulido - pintura) son posibles para fabricar una
pieza?
Solución:
# Formas de operaciones de maquinado: 3
# Operaciones de pulido
: 4
# Operaciones de pintado
:3
# Rutas diferentes: 3 × 4 × 3 = 36
Ejemplo: En Colombia las placas de los automóviles constan de tres letras y tres números.
¿Cuántas placas diferentes se pueden tener? ¿Cuántas con los dígitos pares? ¿Cuántas con
todas las letras diferentes? ¿Cuántas con todas las letras y números diferentes?
Solución:
Placas diferentes: 26 3 × 5 3
Placas con dígitos pares: 26 3 × 5 3
Placas
diferentes: 26 × 25 × 24 × 10
con
letras
3
Placas con letras y números diferentes: 26 × 25 × 24 × 10 × 9 × 8
Permutaciones: Una permutación es un arreglo ordenado de un conjunto de objetos. El número
de permutaciones (acomodos) de n elementos diferentes es n!
n! = n × ( n 1)( n 2 ) ...2 ×1
El numero de permutaciones (acomodos) de r elementos seleccionados de un conjunto de n
elementos distintos se denota P r n y
Pr n = n ( n 1)( n 2 ) ... ( n r + 1) =
n!
(n r )!
Ejemplo: Juan, Carlos, Ana, y Milena esperan en la parada del autobús. ¿De cuantas maneras se
pueden filar para subir al bus?
Si solo hay puesto para dos, ¿De cuantas maneras se pueden organizar ellos en los primeros dos
lugares?
Solución: Usemos las iniciales para mayor facilidad: JCAM
# Formas en que se pueden filar: 4 ! = 24
4!
= 12
2!
objetos de los cuales n 1 son del tipo 1, n 2 son
# Formas en que se pueden acomodar en dos lugares: P 2 4 =
El número de acomodos de n = n 1 + n 2 + … + n k
del tipo dos, n k del tipo k , es:
P nn 1 , ..., n k =
n!
n1 ! n 2 ! ... nk !
Ejemplo: Una pieza se etiqueta usando 4 líneas delgadas, tres líneas medianas y dos líneas
gruesas. Si cada ordenamiento de las nueve líneas representa una etiqueta diferente. ¿Cuántas
etiquetas distintas pueden generarse con este esquema?
9!
= 1260
4 ! 3! 2 !
Solución: # de etiquetas diferentes
El numero de subconjuntos de tamaño r distintos, que pueden seleccionarse de un conjunto de n
Prn
n
n
n!
n
elementos, se denota
ó C r ó nC r y
=
=
r
r
r ! (n r ) ! r !
P 9 4 ,3 , 2 =
n
=
n
=1
n
=
n
=n
0! = 1 ;
0
n
1
n 1
Ejemplo: De una baraja de 52 cartas se extraen al azar dos cartas y sin reemplazo.
¿Cuántas muestras de dos cartas contienen un As y un dos?
¿Cuántas muestras contienen un diez y una figura?
¿Cuántas muestras contienen dos figuras?
Propiedades:
Solución: Defina los siguientes eventos:
A: La carta extraída es un As;
F: La carta extraída es una figura;
D: La carta extraída es un dos
T: La carta extraída es un diez
4
a) Maneras de extraer un As de 4 posibles:
1
4
Maneras de extraer un dos de 4 posibles:
Maneras de extraer un AS y un dos:
4
1
×
1
4
1
b) Maneras de extraer un diez y una figura:
= 16
4
12
1
1
c) Maneras de extraer dos figuras de 12 posibles:
= 48
12
2
= 66
Ejercicios propuestos:
- El pedido de una computadora personal digital puede especificar uno de cinco tamaños de
memoria, cualquier tipo de monitor de tres posibles, cualquier tamaño de disco duro de entre
cuatro posibles, y puede incluir o no una tableta para lápiz electrónico. ¿Cuántos sistemas
distintos pueden ordenarse?
- Un proceso de manufactura está formado por 10 operaciones, las cuales pueden efectuarse en
cualquier orden. ¿Cuántas secuencias de producción distintas son posibles?
- Un proceso de manufactura está formado por 10 operaciones. Sin embargo, cinco de ellas
deben terminarse antes de que pueda darse inicio a las otras cinco. Dentro de cada conjunto de
cinco, las operaciones pueden efectuarse en cualquier orden. ¿Cuál es el número de
secuencias de operaciones distintas posible?
- Se inspecciona un lote de 140 chips mediante la selección de una muestra de cinco de ellos.
Suponga que 10 chips no cumplen con los requerimientos del cliente.
a. ¿Cuál es el número de muestras distintas posibles?
b. ¿Cuántas muestras de cinco contienen exactamente un chip que no cumple con los
requerimientos?
c. ¿Cuántas muestras de cinco contienen al menos un chip que no cumple con los
requerimientos?
- El diseño de un sistema de comunicación considera las siguientes preguntas:
a. ¿Cuántos prefijos de tres dígitos de teléfono pueden crearse para representar un área
geográfica en particular (código de área) con los dígitos del 0 al 9?
b. Al igual que en el inciso a), ¿Cuántos prefijos de tres dígitos pueden crearse de modo
que el primer dígito no sea 0 ni 1, y el segundo sea 0 o 1?
c. ¿Cuál es el número de prefijos de tres dígitos en los que ningún dígito aparece más de
una vez en cada prefijo?
Probabilidad y Axiomas de Probabilidad
Introducción: En la realización de un experimento aleatorio, la variación en las mediciones
obtenidas puede ser muy pequeña o apreciable y se hace necesario determinar que tanto influye
esta variación en las conclusiones que se desprendan del análisis de la información recolectada.
Estas decisiones varían de una muestra a otra debido a lo aleatorio del experimento. Otra
componente adicional se debe tener en cuenta: La incertidumbre.
Ejemplo: Suponga que un fabricante de bombillas asegura a un futuro comprador que estas tienen
una duración media de 5270 horas. El comprador requiere de un gran número de bombillas. Para
él resulta difícil evaluar la duración de todas las bombillas. Para tomar una decisión, este decide
examinar 30 bombillas elegidas al azar y si 2 o mas no cumple con el requisito establecido por el
(duración superior a 5300 horas), el lote no es adquirido.
La incertidumbre acerca de elegir o no el adquirir el lote, recae en determinar de las 30 bombillas,
cuantas no cumplen el requisito. En un sentido amplio la Probabilidad mide el “grado de
Creencia”de una afirmación hecha con base en la información recolectada o la posibilidad de
ocurrencia de uno o varios resultados del experimento aleatorio.
Si un experimento tiene N posibles resultados, todos igualmente posibles, la probabilidad
aproximada asociada a cada resultado será 1 .
n
Si en vez de un resultado se tiene un conjunto de resultados (digamos el evento E ), la
n
probabilidad asociada al evento E después de n repeticiones del experimento es E ; donde
n
n E es el número de resultados contenidos en E de las n repeticiones.
Ejemplo:
- Se lanza un dado no cargado, S = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} la probabilidad asociada a cada resultado es
1 .
6
- Se lanzan tres monedas no cargadas. S = {ccc , ccs , csc , scc , css , scs , ssc , sss} . La probabilidad
asignada a cada resultado es 1 .
8
Definición: Sea E un evento de un espacio Muestral S , la probabilidad de E , se calcula como la
suma de las probabilidades de los resultados contenidos en E .
(Probabilidades aproximadas).
Ejemplo: El espacio Muestral de un experimento aleatorio es {a , b , c , d , e} , y las probabilidades
asignadas
a
cada
resultado
son
0 .1 , 0 .1 , 0 . 2 , 0 . 4 y 0 . 2 ,
respectivamente.
Sean
A = {a , b} y B = {c , d , e} . La probabilidad del evento A es 0.1 + 0.1 = 0.2 . La probabilidad del
evento B es 0.2 + 0.4 + 0.2 = 0.8 . La probabilidad del evento A B es 0.2 + 0.8 = 1 . Si A denota el
complemento de A , entonces la probabilidad de A es 0.2 + 0.4 + 0.2 = 0.8 .
Definición: Una función P : S
siguientes condiciones:
I)
, será llamada una medida de probabilidad si satisface las
Si A es cualquier evento de S ( A
S)
P ( A) 0
II)
P (S ) = 1
III)
Si E 1 , E 2 , … , E n , … es una colección (finita o infinita) de eventos de S , mutuamente
excluyentes, entonces P ( E 1
E2
…
En
…) = P
i =1
Ei =
i =1
P (E i ) .
En este caso tanto P ( A ) como P ( E i ) denotan la probabilidad asociada a estos eventos.
Teorema: Sea E un evento de un espacio Muestral S
I)
0 P ( E) 1
II)
III)
P(
)=0
P (E ) = 1
P ( E ) , siendo E el complemento de E .
Proposición: Sean A y B eventos de un espacio Muestral S . Si A
B , entonces P ( A )
P (B) .
Demostración:
(B A)
P (B) = P ( A) + P (B A )
P ( A ) P ( B ) , pues P ( B
B=A
A) 0
Proposición: Sean
y
A
B
P ( A B) = P ( A) + P (B) P ( A B) .
eventos
de
un
espacio
Muestral
Ejemplo: Se extraen al azar y sin reemplazo tres cartas de una baraja de 52 cartas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer un As, un dos y una figura?
b) ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos figuras y un diez?
c) ¿Cuál es la probabilidad de extraer tres Ases?
Solución: Definamos los eventos:
A : Carta extraída es un As.
F : Carta extraída es una figura.
D : Carta extraída es un diez.
DD : Carta extraída es un dos.
S
entonces
P(A
F) =
DD
4
4 12
1
1 1
52
=
( 4 )( 4 )(12 ) = 0.0087
22100
3
P (F
F
D) =
12
4
2
1
52
4
=
264
= 0.01195
22100
P(A
A
A) =
3
3
4
=
= 0.00018
52
22100
3
Ejemplo: La siguiente tabla presenta la historia de 940 obleas de un proceso de fabricación de
semiconductores. Se elige al azar una oblea de esta tabla. Sea A el evento en que la oblea tiene
altos niveles de contaminación. Sea B el evento en que la oblea está en el centro de
instrumentación electrónica.
En el centro de instrumentación electrónica.
NO SI
Contami- NO 514 68 582
nación
SI 112 246 358
alta
626 314 940
Calcule: P ( A ) , P ( B ) , P ( A
B) , P ( A
B) , P (A
B)
Solución:
358
= 0.38085
940
314
P (B) =
= 0.33404
940
246
P ( A B) =
= 0.2617
940
112 + 246 + 68 426
P ( A B) =
=
= 0.45319
940
940
112
P ( A B) = P ( A B ) =
= 0.11915
940
P (A) =
Ejemplo: Sean A
y B
eventos
P ( A B) = P ( A) + P (B) P ( A B)
Sugerencia: A = ( A
A
B = ( A B)
(A
B)
(A
B) (B
Ejemplo:
Si
A
y
B
P ( A ) = 0.3 , P ( B ) = 0.2 , P ( A
Calcule P ( A ) , P ( A
Solución:
B) ;
A)
B) , P ( A
de
B = (A
B)
son
eventos
B ) = 0.1 .
B) , P ( A
un
(B
de
B ) , P(A
espacio
Muestral
S
Muestre
que
tales
que
A)
un
B)
espacio
Muestral
P ( A ) = 1 P ( A ) = 1 0.3 = 0.7
P(A
B) = P ( A) + P (B) P ( A
P(A
B) = P (B) P ( A
B ) = 0 . 2 0 .1 = 0 .1
P(A
B)=P
=1 P(A
P(A
B) = P ( A ) + P (B) P (A
P(A
B) = ?
P (B) = P (B
(A
B)
B ) = 0.3 + 0.2 0.1 = 0.4
A ) + P (A
B)
B ) = 1 0.1 = 0.9
B) = 0 . 7 + 0 . 2
0 .1 = 0 . 8
Ejemplo: Con base en una muestra de 539 personas, se observaron las variables NAC : #
accidentes en el año, SEXO del conductor y TIPO : tipo del vehículo según su peso:
TIPO = 1 : Automóvil; TIPO = 2 : Camión o bus; TIPO = 3 : Camioneta o campero; SEXO = H
Hombre y SEXO = M : Mujer.
El resumen de esta información se presenta en la siguiente tabla:
H
N
A
0
1
T 1 52 27
I 2 93 13
P 3 90 14
O
235 54
C
2
20
6
4
30
M
elige al azar una persona de este grupo.
N
A C
¿Cuál es la probabilidad de que sea un
0
1 2
hombre?
b) 58 50 38 146 ¿Cuál es la probabilidad de que maneje un
vehículo TIPO = 1 ?
1
4 0 5
47
18
4
69
c)
¿Cuál es la probabilidad de que sea
106 72 42 220 hombre y se haya accidentado una vez?
¿De que sea mujer y se haya accidentado?
Se
a)
99
112
108
319
d) Si se ha accidentado una vez, ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre y maneje un
automóvil?
e) Si se ha accidentado, ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre y maneje un automóvil?
f) Si se ha accidentado y conduce un bus, ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre? ¿Una
mujer?
g) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre y maneje un automóvil o se haya accidentado
dos veces?
Solución: Defina los eventos
H : Persona seleccionada es un hombre
M : Persona seleccionada es una mujer
Ti : Persona seleccionada maneja un vehículo Tipo = i , i = 1 , 2 , 3
Ni : Persona seleccionada ha tenido NAC = i accidentes, i = 0 , 1 , 2
a) P ( H ) =
319
= 0.592
539
b) P ( T1 ) =
57 + 27 + 20 + 58 + 50 + 38 245
=
539
539
c) P ( H
N1) =
d) P ( M si N 1 ) =
(
e) P H
(
54
= 0.1002 , P M
539
(
(N
1
)
N2) =
)
N 2) =
72 + 42 114
=
539
539
27 + 20
47
=
= 0.25
54 + 30 + 62 + 42 188
27 + 20
47
=
= 0.3482
27 + 20 + 50 + 38 135
50 + 38 88
N2 )) =
=
= 0.6519
135
135
)
N2) =
P ( M si T1
( N1
g)
P (H
N2 )) = P ( H
( T1
1
62
62
54
54
=
, P ( H si N 1 ) =
=
54 + 62 116
54 + 62 116
T1 si ( N 1
f) P H si T1
(N
= P (H
=
T1
H
N2 )
T1 ) + P ( H
99
30
+
539 539
N2 )
P (H
T1
N2 )
20 109
=
= 0.2022
539 539
Las preguntas d), e) y f) involucran dos o mas eventos, donde la ocurrencia de uno o mas, esta
“condicionada” a la ocurrencia de otro o de otros. Este tipo de probabilidad es llamada condicional.
Probabilidad Condicional
En muchos experimentos la ocurrencia de un evento particular está usualmente asociada a la
ocurrencia de otro u otros eventos de manera que al calcular la probabilidad de dicho eventos es
necesario considerar aquellos que condicionan su ocurrencia. Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo: Un comité de dos personas va a ser seleccionado al azar de un grupo de 3 médicos y 4
sociólogos. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer seleccionado sea médico? ¿Sociólogo? ¿De
que los dos sean médicos? ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo sea médico?
La última pregunta revierte cierto interés
Si M 2 : es el evento donde el segundo seleccionado es médico.
M 1 : El primer seleccionado es médico
S 1 : El primer seleccionado es sociólogo
Entonces para calcular P ( M 2 ) es necesario tener en cuenta que pasó con el primer seleccionado.
2 1
=
6 3
3 1
Si el primer seleccionado es sociólogo entonces P ( M 2 ) = =
6 2
La probabilidad de M 2 depende de lo ocurrido con la primera selección. En este sentido diremos
Si el primer seleccionado es médico entonces P ( M 2 ) =
que la ocurrencia de M 2 está condicionada a la ocurrencia de otro evento (ya sea M 1 ó S 1 )
Definición: Sean A y B eventos de un espacio Muestral S . La probabilidad Condicional de “ A
dado B ”, la cual se denota P ( A | B ) , esta dada por
P ( A | B) =
P (B | A) =
P(A
B)
P(A
B)
P (B)
P (A)
, si P ( B ) > 0 .
Análogamente
, si P ( A ) > 0
De esta manera se tiene la siguiente Regla Multiplicativa
P(A
B) = P ( A) P ( A | B) = P (B) P ( A | B)
En general pueden tenerse una serie de eventos que condicionan o son condicionados por otros
eventos, es decir los eventos A y B pueden ser combinaciones de otros eventos.
Ejemplo: Con base en una muestra de 539 personas. Se observaron las variables NAC : # de
accidentes en el año, SEXO : del conductor y TIPO : tipo de vehículo según su peso:
TIPO =1
Automovil
;
TIPO =2
Camión o bus
TIPO =3
Camioneta o campero
Hombre
SEXO =H
SEXO =M Mujer
La información resumida se muestra a continuación:
SEXO
H
A C
1 2
27 20 99
13 6 112
14 4 108
54 30 319
M
Se elige al azar una persona de este
N
A C
grupo
0
1 2
a) ¿Cuál es la probabilidad de que
58 50 38 146
tenga un vehículo tipo 1?
1
4 0
5
b) ¿Cuál es la probabilidad de que
47 18 4 69
sea hombre? ¿ y se haya
106 72 42 220
accidentado?
c) Si se ha accidentado, ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre? ¿De que maneja
automóvil?
d) Si conduce un camión o bus. ¿Cuál es la probabilidad de que se haya accidentado?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer, si conduce un campero y no se ha accidentado?
f) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre dado que maneja un automóvil o se ha
accidentado dos veces?
N
T
0
I 1 52
P 2 93
O 3 90
235
Solución: Defina los siguientes eventos
H : La persona seleccionada es hombre
M : La persona seleccionada es mujer
T i : La persona seleccionada maneja un vehículo TIPO = i , i = 1 , 2 , 3
N i : La persona seleccionada se ha accidentado i veces i = 0 , 1 , 2 ( ó NAC = i ; i = 0 , 1 , 2 )
a) P ( T1 ) =
245 5
= = 0.4545
539 11
A : se ha accidentado
b) P ( H
P (H
(
P H
A ) . Si la persona se ha accidentado es porque NAC es 1 ó 2 . Así
A) =
(N
54 + 30 84 12
=
=
= 0.1558
539
539 77
)
N 2 ) = P (H
1
c) P ( H | A ) =
N 1 ) + P (H
N 2) =
54 + 30
84 14
=
=
= 0.4242
54 + 30 + 72 + 42 198 33
d) P ( A | T 2 ) =
13 + 6 + 4 + 0 23
=
= 0.1966
112 + 5
117
e) P ( M | T 3
A )=
P ( H | T1
47
47
=
= 0.3431
90 + 47 137
( H N ) ) 47
P (T N )
P (T ) + P (N ) P (T N )
T ) + P(H N ) P(H T N )
P (T ) + P (N ) P (T N )
N 2) =
(
(T
P H
N 2)
1
1
f)
=
54
30
84
+
=
539 539 539
P(H
) = P (( H
2
1
1
2
1
1
2
1
N 2) =
2
2
1
2
2
2
P ( H | T1
Otra forma P ( H | T1
T1 )
20
+ 30
539
539
539
187 + 58 + 14
539
109
=
= 0.4208
259
N 2) =
99
52 + 27 + 20 + 6 + 4 109
=
259
259
Ejemplo: Considere una urna con 4 bolas blancas y 3 bolas negras. Se extrae al azar una bola
pero no se mira de que color es. Seguidamente se extrae una segunda bola. ¿Qué tan probable
es que sea blanca? La probabilidad del segundo evento depende exclusivamente del resultado en
el primer experimento (ó primera extracción)
3 1
Si la primera bola es blanca, la respuesta es =
6 2
4 2
Si la primera bola es negra, la respuesta es =
6 3
(Mayor). Por lo tanto dicha probabilidad tiene un valor diferente dependiendo del resultado en el
primer experimento. Sean A y B eventos de un espacio Muestral. Observe que
A=A
S=A
Como A
(B
B y A
B ) = (A
B)
(A
B)
B son excluyentes, entonces
P (A) = P (A
B) + P ( A
B ) = P ( A | B) P (B) + P ( A | B ) P (B )
Lo anterior se conoce como Teorema de Probabilidad Total
Para el ejemplo, Si B : La primera bola es blanca y
A : La segunda bola es blanca
entonces
P ( A) = P (A
=
1
2
B) + P ( A
4
2
+
7
3
B ) = P ( A | B) P (B) + P ( A | B ) P (B )
3
4
=
7
7
Ejemplo: Suponga que un lote contiene 15 piezas de hierro fundido de un proveedor local y 25 de
un proveedor de otro estado. Se eligen al azar y sin reemplazo dos piezas del lote de 40. Sean A :
el evento donde la primera pieza seleccionada es del proveedor local y B : el evento donde la
segunda pieza seleccionada es del proveedor local.
a) ¿Cuál es el valor de P ( A ) ?
b) ¿Cuál es el valor de P ( B | A ) ?
c) ¿Cuál es el valor de P ( A
B) ?
d) ¿Cuál es el valor de P ( B | A ) ?
Solución:
a) P ( A ) =
15
40
b) P ( B | A ) =
c) P ( A
14
39
B) = P ( A) P (B | A) =
d) P ( B | A ) =
15 14 7
×
=
= 0.1346
40 39 52
25
39
Ejercicios propuestos
Si A , B y C son eventos mutuamente excluyentes, con P ( A ) = 0.2 , P ( B ) = 0.3 y P ( C ) = 0.4 ,
determine las siguientes probabilidades.
-
Si A , B y C
son eventos mutuamente excluyentes, ¿es posible que P ( A ) = 0.3 ,
P ( B ) = 0.4 y P ( C ) = 0.5 ? ¿Por qué?
-
La tabla siguiente presenta un resumen del análisis realizado a las flechas de un compresor
para determinar el grado con que éstas satisfacen ciertos requerimientos.
la curvatura cumple
con los requerimientos
el acabado superficial cumple sí sí
no
con los requerimientos
no 345 5
12
8
a. Si se toma una flecha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que cumpla con los
requerimientos de acabado superficial?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha seleccionada cumpla con los requisitos de
acabado o con los de curvatura?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha cumpla con los requisitos de acabado o que no
cumpla con los de curvatura?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha cumpla con los requisitos de acabado y
curvatura?
- Continuación del ejercicio anterior
Las flechas se clasifican, además, en términos de la máquina herramienta utilizada en su
fabricación
Máquina herramienta 1
la curvatura cumple
con los requerimientos
sí
no
200 1
no 4
2
el acabado superficial cumple
con los requerimientos
si
Máquina herramienta 2
la curvatura cumple
con los requerimientos
sí
no
145 4
no 8
6
el acabado superficial cumple
con los requerimientos
si
a. Si se elige una flecha al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que cumpla con los
requerimientos de acabado o con los de curvatura, o que provenga de la máquina
herramienta 1?
b. Si se escoge una flecha al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que cumpla con los
requerimientos de acabado o que no cumpla con los de curvatura o que provenga de la
máquina herramienta 2?
c. Si se elige una flecha al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que cumpla con los requisitos
de acabado y curvatura o que provenga de la máquina herramienta 2?
d. Si se toma una flecha al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que cumpla con los requisitos
de acabado o que provenga de la máquina herramienta 2?
-
Un lote contiene 15 piezas de fierro fundido de un proveedor local y 25 de un proveedor de
otro estado. Se eligen tres piezas al azar, sin reemplazo, del lote de 40. Sean A : el evento
donde la primera pieza seleccionada es del proveedor local, B : el evento donde la segunda
pieza seleccionada es del proveedor local y C : el evento donde la tercera pieza
seleccionada es del proveedor local.
a. ¿Cuál es el valor de P ( A B C ) ?
b. ¿Cual es el valor de P ( A
-
B
C )?
Considere los datos sobre contaminación de obleas y posición en un instrumento de
deposición electrónica, dados a continuación. Suponga que de este conjunto se toma al
azar una oblea. Sean A : el evento donde la oblea contiene cuatro o más partículas, y B : El
evento donde la oblea está en el centro del instrumento de deposición.
a. ¿Cuál es el valor de P ( A ) ?
b. ¿Cuál es el valor de P ( A | B ) ?
c. ¿Cuál es el valor de P ( B ) ?
d. ¿Cuál es el valor de P ( B | A ) ?
e. ¿Cuál es el valor de P ( A
f. ¿Cuál es el valor de P ( A
B) ?
B) ?
-
Si P ( A | B ) = 1 , ¿Puede concluirse que A = B ? Dibuje un diagrama de Venn para explicar
su respuesta.
-
Suponga que A y B son eventos mutuamente excluyentes. Construya un diagrama de
Venn que contenga los eventos A , B y C , tales que P ( A | C ) = 1 y P ( B | C ) = 0 .
Teorema de Probabilidad Total
Sean A 1 , A 2 , … A n , eventos no vacíos de un espacio Muestral mutuamente excluyentes que
n
constituyen una partición de S , es decir,
A i = S . Si B es un evento cualquiera de S , entonces
i =1
P (B) =
n
i =1
P(A i
B) =
n
i =1
P (A i ) P (B | A i ) .
Ejemplo:
Considere una urna que contiene 4 bola blancas y 3 negras. De la urna se extrae una bola sin
mirar de qué color es y se extrae una segunda bola. ¿Qué tan probable es que ésta sea blanca?
Indudablemente todo depende de cuál bola fue extraída primero.
3 1
Si la bola extraída primero es blanca, la respuesta es = .
6 2
4 2
Si la bola extraída primero es negra, la respuesta es = .
6 3
Para resolver este problema, observe que para cualquier par de eventos A y B de un espacio
Muestral S : A = A S = A ( B B ) = ( A B ) ( A B ) . como A B y A B son excluyentes,
entonces:
P ( A) = P (A
B) + P ( A
B ) = P ( A | B) P (B) + P ( A | B ) P (B )
Para el ejercicio en cuestión sean
B : La primera bola extraída es blanca y
A : La segunda bola extraída es blanca
Ahora,
P ( A) = P ( A B) + P ( A B )
= P ( A | B) P (B) + P ( A | B ) P (B )
1 4
2 3
4
+
= .
2 7
3 7
7
Este resultado se conoce como Regla de Probabilidad Total.
Así, P ( A ) =
Ejemplo: La irregularidad del corte de productos de papel aumenta a medida que las hojas de las
cuchillas se desgastan. Se sabe que el 1% de los productos cortados con cuchillas nuevas tienen
cortes irregulares, el 3% de los cortados que se cortan con cuchillas de filo promedio tienen cortes
irregulares y el 5% de los cortados con cuchillas desgatadas tienen cortes irregulares. Además, el
25% de las cuchillas son nuevas, el 60% tienen filo promedio y el 15% están desgastadas, ¿Cuál
es la proporción de productos con cortes irregulares?
Solución: Defina
I : Producto presenta cortes irregulares
N : Las cuchillas son nuevas
P : Las cuchillas tienen filo medio
D : Las cuchillas están desgastadas
Según el enunciado se tiene que:
P ( N ) = 0.25 P ( P ) = 0.6 P ( D ) = 0.15 N
P
D=5
además son mutuamente disjuntos.
P ( I | N ) 0.01, P ( I | P ) = 0.03, P ( I | D ) = 0.05
Ahora
P ( I ) = P (I | N ) P ( N ) + P ( I | P ) P ( P ) + P (I | D) P ( D)
= ( 0.01) ( 0.25 ) + ( 0.03) ( 0.6 ) + ( 0.05 ) ( 0.15 )
= 0.028
El 2.8% de los productos cortados presenta cortes irregulares.
Definición: Sean A y B eventos de un espacio Muestral. Se dice que A y B son
estadísticamente independientes si y solo si, cualquiera de las siguientes proposiciones se
cumple:
a) P ( A | B ) = P ( A )
b) P ( B | A ) = P ( B )
c) P ( A B ) = P ( A ) P ( B )
En general, una colección de eventos E 1 , E 2 , … E n de un espacio Muestral S , se dicen
Mutuamente Independientes, si y solo si, la intersección de cualquier subconjunto de eventos de
esta colección cumple que la probabilidad de dicha intersección es el producto de las
probabilidades de los eventos involucrados.
Ejemplo: La probabilidad de que una muestra de laboratorio contenga altos niveles de
contaminación es 0.1 . Se analizan 3 muestras de este tipo. Se asume que los resultados
obtenidos del análisis de cada muestra son independientes.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna muestra contenga altos niveles de contaminación?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una los tenga?
Solución: Sea N : La muestra tiene altos niveles de contaminación
P ( N ) = 0.1 , sin importar cuál sea la muestra.
a)
P (N
b)
P (( N
N
N ) = P (N
)
3
= ( 0.9 ) = 0.729
3
(N N N ) (N N
2
2
3 P ( N ) P ( N ) = 3 ( 0.1) ( 0.9 ) = 0.243
N
N)
N )) = 3 P ( N
N
N)
Exactamente una los contenga
P ( al menos una ) = 1 P ( Ninguna )
c)
3
= 1 ( 0.9 ) = 0.271
Ejemplo: El siguiente circuito trabaja si y solo si, existe una trayectoria de dispositivos en
funcionamiento de izquierda a derecha. Suponga que los dispositivos fallan de manera
independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el circuito funcione?
Los números al interior de los recuadros son las
probabilidades de falla de cada dispositivo.
(
)
P ( I ) = 1 P ( I ) = 1 "( 0.1) 1 0.99 2 #! = 0.99801
Ejemplo: Retomando el ejemplo de la irregularidad en los cortes de productos de papel, si el
producto presenta cortes irregulares, que tan probable es que se hayan utilizado cuchillas nuevas.
Solución: Usando los mismos eventos definidos previamente se pide:
P (N I) P (N) P (I | N)
P (N | I) =
=
.
P (I)
P (I)
Como P ( N ) = 0.25 P ( I | N ) = 0.01 y P ( I ) = 0.028 . Así:
( 0.25)( 0.01) = 0.0893
( 0.028)
( 0.15 )( 0.05) = 0.2679
P (D | I) =
( 0.028)
P (N | I) =
, P (P | I) =
( 0.6 )( 0.03) = 0.6429
0.028
Teorema de Bayes
Sean A 1 , A 2 , … A n eventos no vacíos de un espacio Muestral S , mutuamente excluyentes y tales
que
A i = S . Si B es un evento de S ; entonces:
P ( Aj | B) =
P (B
Aj )
P (B)
=
P (B | Aj ) P ( Aj )
P (B)
=
P (B | Aj ) P ( Aj )
n
i =1
P ( B | Ai ) P ( Ai )
Ejemplo: (Ejercicio 2 - 91). Los clientes se encargan de evaluar los diseños preliminares de varios
productos. En el pasado, el 95% de los productos con mayor éxito en el mercado recibieron
buenas evaluaciones, el 60% de los productos con éxito moderado recibieron buenas
evaluaciones y el 10% de los productos con poco éxito recibieron buenas evaluaciones. Además,
el 40% de los productos han tenido mucho éxito, el 35% un éxito moderado y el 25% una baja
aceptación.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto obtenga una buena evaluación?
b) Si un nuevo diseño obtiene una buena evaluación, ¿Cuál es la probabilidad de que se convierta
en un producto de gran éxito?
c) Si un producto no obtiene una buena evaluación, ¿Cuál es la probabilidad de que se convierta
en un producto de gran éxito?
Solución: Defina los siguientes eventos
G : Un producto es catalogado como de gran éxito
M : Un producto es catalogado como de éxito moderado
E : Producto catalogado como de baja aceptación (éxito escaso)
B : La evaluación del producto es buena
P [G ] = 0.4, P ( M ) = 0.35, P ( E ) = 0.25
P [ B | G ] = 0.95, P [ B | M ] = 0.6, P [ B | E ] = 0.1
P ( B ) = P (B | G ) P (G ) + P (B | M ) P ( M ) + P (B | E) P (E)
a)
= ( 0.95 )( 0.4 ) + ( 0.6 )( 0.35 ) + ( 0.1)( 0.25 )
= 0.615
b)
P [G | B ] =
c)
P [G | B ] =
P ( B | G ) P (G )
P (B)
P [B | G ]
P [B ]
=
(1
=
( 0.95)( 0.4 ) = 0.6179
0.615
P [ B | G ]) P ( G )
1 P (B)
=
(1
0.95 ) ( 0.4 )
1 0.615
= 0.052
Ejercicios propuestos
- La probabilidad de que falle un conector eléctrico que se mantiene seco durante el período
de garantía, es 1%. Si el conector se humedece, la probabilidad de falla durante el período
de garantía es 5%. Si el 90% de los conectores se mantienen secos, y el 10% se
humedece, ¿qué proporción de conectores fallará durante el periodo de garantía?
-
Las muestras de vidrio de un laboratorio se colocan en empaques pequeños y ligeros o en
empaques pesados y grandes, respectivamente, se rompen durante el trayecto a su
destino. Si el 60% de las muestras se envían en empaques grandes, y el 40% en empaques
pequeños, ¿Cuál es la proporción de muestras que se romperán durante el envío?
-
Si P ( A ) = 0.2 y P ( B ) = 0.2 , y los eventos A y B son mutuamente excluyentes, ¿puede
afirmarse que son independientes?
-
Se toman muestras de espuma de dos proveedores y se hace una evaluación a éstas paara
determinar el grado con el que cumplen ciertas especificaciones. A continuación se
resumen losa resultados obtenidos con 126 muestras.
Sí No
Proveedor 1 80 4
2 40 2
Sean A : el evento en que la muestra es del proveedor 1, y B : el evento donde la
muestra cumple con las especificaciones.
a. ¿Los eventos A y B son independientes?
b. ¿Los eventos A y B son independientes?
- En la prueba de la tarjeta de un circuito impreso en la que se utiliza un patrón de prueba
aleatorio, un arreglo de 10 bits tiene la misma probabilidad de ser uno o cero. Suponga que los
bits son independientes.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los bits sean uno?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los bits sean cero?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cinco bits sean uno, y los otros cinco, cero?
- Las ocho cavidades de una máquina de moldeo por inyección producen conectores
plásticos que caen en una banda de transporte común. Se toma una muestra de conectores
cada determinado tiempo. Suponga que las muestras son independientes.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que cinco muestras sucesivas hayan sido producidas en la
cavidad uno del molde?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que cinco muestras sucesivas hayan sido producidas en la
misma cavidad del molde?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro de cinco muestras sucesivas hayan sido producidas
en la cavidad uno del molde?
- Un lote de 500 contenedores para jugo de naranja de congelado contiene cinco que están
defectuosos. Se escogen dos al azar, sin reemplazo. Sean A y B los eventos donde el
primero y el segundo contenedor son defectuosos, respectivamente.
a. ¿Los eventos A y B son independientes?
b. Si el muestreo se hace con reemplazo, ¿Los eventos A y B son independientes?
- El circuito siguiente trabaja si, y solo si, existe una trayectoria en funcionamiento, de
izquierda a derecha. El dibujo indica la probabilidad de que cada dispositivo funcione. Suponga
que la probabilidad de que un dispositivo funcione no depende del funcionamiento de los
demás dispositivos. ¿Cuál es la probabilidad de que el circuito funcione?
-
El siguiente circuito trabaja si, y solo si, existe una trayectoria en funcionamiento, de
izquierda a derecha. En el dibujo se indica la probabilidad de que cada dispositivo funcione.
Suponga que la probabilidad de que un dispositivo trabaje no depende del funcionamiento
de los demás dispositivos. ¿Cuál es la probabilidad de que el circuito funcione?
-
Suponga que P ( A | B ) = 0.8
-
Los láseres de semiconductor utilizados en los productos para almacenamiento óptico
requieren niveles de potencia mucho mayores para las operaciones de escritura que para
las de lectura. Entre más grande es el nivel de potencia menor es la duración del láser. Los
láseres utilizados en productos para el respaldo de discos magnéticos de alta velocidad se
utilizan principalmente para escribir, y la probabilidad de que su vida útil sea mayor que
cinco años es 0.95. Los láseres que se emplean en productos para almacenamiento,
invierten aproximadamente el mismo tiempo en operaciones de lectura y escritura, y la
probabilidad de que la vida útil de éstos sea mayor que cinco años es 0.995. El 25% de los
productos de cierto fabricante se utilizan para operaciones de respaldo, mientras que el
75% restante se emplea para almacenamiento.
Sean A : el evento donde la vida útil de láser es mayor que cinco años, y B : el
evento donde el producto que emplea el láser se utiliza para respaldar información.
Utilice un diagrama de árbol para determinar lo siguiente.
a. P ( B )
P ( A ) = 0.5
y
P ( B ) = 0.2 . Calcule P ( B | A )
b. P ( B )
c. P ( A | B )
d. P ( A | B )
e. P ( A
f. P ( A
g. P ( A )
B)
B)
- En una operación de llenado automático, la probabilidad de que el volumen de llenado sea
incorrecto es 0.001 cuando el proceso se realiza a baja velocidad. Cuando el proceso se
efectúa a alta velocidad, la probabilidad de un llenado incorrecto es 0.01. Suponga que el 30%
de los contenedores se llena cuando el proceso se efectúa a alta velocidad, mientras que el
resto se ejecuta el proceso se lleva a cabo a baja velocidad.
a. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un contenedor lleno con un volumen incorrecto?
b. Si se encuentra un contenedor lleno con un volumen incorrecto, ¿Cuál es la probabilidad
de que haya sido llenado cuando el proceso se realizaba a alta velocidad?
- Un lote de 50 arandelas espaciadoras contiene 30 que son más gruesas que la dimensión
requerida. Suponga que del lote se escogen tres arandelas al azar, sin reemplazo.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres arandelas sean más gruesas que la dimensión
requerida?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la tercera arandela sea más gruesa de lo necesario si las
dos primeras son más delgadas que la dimensión requerida?
c. ¿Cuál es la probabilidad que la tercera arandela sea más gruesa que la dimensión
requerida?
- La tabla siguiente presenta un resumen de las características solicitadas en 940 órdenes de
compra de computadoras.
memoria adicional
no
sí
No
514
68
Procesador opcional de alta velocidad Si
112
246
Sean A : el evento donde se pide en una orden un procesador opcional de alta velocidad, y B :
el evento donde se pide memoria adicional. Calcule las probabilidades siguientes.
a. P ( A B )
b. P ( A
B)
d. P ( A
B)
c. P ( A
B)
El circuito siguiente trabaja si, y solo si existe una trayectoria de dispositivos en
funcionamiento, de izquierda a derecha. Suponga que los dispositivos fallan de manera
independiente y que la probabilidad de falla de cada uno de ellos es la que se muestra en la
figura. ¿Cuál es la probabilidad de que el circuito trabaje?
Variables Aleatorias
En la mayoría de problemas a los que comúnmente nos enfrentamos, la descripción del conjunto
de posibles resultados de un experimento aleatorio puede ser complicada y por lo tanto el cálculo
de probabilidades también se dificulta.
La idea sería poder resumirla adecuadamente asignando un valor real a cada resultado.
Ejemplo: Si una persona es seleccionada de una población diversas características pueden ser de
interés y cada una aporta al entendimiento de un fenómeno en especial. Por ejemplo el tiempo
que emplea en transportarse de su casa al lugar de trabajo, que tan lejos está de su casa el sitio
donde trabaja, cuántos hijos tiene, cuantas horas duerme, cuántas personas conforman su grupo
familiar, cuanto gana, cuanto gasta, cuanto paga por servicios, cuantas llamadas hace
diariamente, etc.
Cada vez que seleccionemos una persona de esta población, las características antes
mencionadas pueden variar. Asociadas a estas características podemos establecer una regla que
relacione un resultado con un número real.
Por ejemplo: El # de hijos, horas que duerme, estrato, gastos etc. Esta asociación o regla se
conoce como Variable Aleatoria.
Definición: Una Variable Aleatoria es una función definida en un espacio Muestral S que asigna a
cada resultado del experimento un valor real. Usualmente las denotamos con letras mayúsculas
( X , Y , Z , T, etc ) Así,
X: S
X (s) = x , x %
s
Ejemplo: Tres monedas no cargadas son lanzadas al tiempo.
S = {ccc , ccs , csc , scc , css , scs , ssc , sss}
Definamos la v.a X : # caras en cada lanzamiento.
Denotemos por & el conjunto de todos los posibles valores que toma la v.a X . Asignando a cada
resultado un valor de la variable aleatoria X se tiene:
ccc ccs csc scc css scs ssc sss
X: '
'
'
'
'
'
'
'
3
2
2
2
1
1
2
0
Así & = {0 , 1 , 2 , 3 , 4} Podemos escribir X :
S
(
R
X ())
Donde X ( ccc ) = 3 , X ( scc ) = 2 , X ( sss ) = 0 , X ( ssc ) = 1
Ejemplo: Se lanzan un par de dados no cargados. El espacio Muestral es
S = {(1 , 1) , (1 , 2 ) , … , ( 5 , 6 ) , ( 6 , 6 )}
Si definimos X : suma de los dos resultados,
2 , ( 3, 2 )
5 , ( 4, 3)
(1,1)
Así (1, 2 )
( 5, 6 )
3
,
11 ,
( 3, 5)
( 6, 6 )
8
,
12 ,
( 6, 2 )
( 2, 5 )
7
etc
8
7
En este caso X toma los valores de 2 , 3 , … , 12 . Así A = {2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12} .
Si definimos Y : Diferencia entre los dos resultados entonces
0 , ( 3, 2 )
1 , ( 4, 3 )
1
(1,1)
(1, 2 )
( 5, 6 )
1 ,
1 ,
( 3, 5)
( 6, 6 )
2 ,
0
,
( 6, 2 )
( 2, 5 )
4
3
Así, & = { 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5}
Diferentes variables implican espacios de valores diferentes & también es llamado Rango de la
Variable Aleatoria.
Ejemplo: De la producción diaria de jabones se escoge uno al azar y se mide su PH.
Sea X : el Ph del jabón. Entonces X toma cualquier valor entre 0 y 14.
& = [ 0 , 14] .
Así:
Ejemplo: El desgaste de una llanta en un período de un año es una variable aleatoria. Si X : el
desgaste de la llanta, entonces A = ( 0 , a ) , donde a representa la profundidad mínima de la llanta
estando nueva.
Estos ejemplos representan dos tipos de variables: Discretas o Continuas. Una v.a se dice
Discreta si el conjunto de posibles valores que toma la variable es finito o numerable. Una variable
se dice continua si el conjunto de posibles valores es un intervalo o unión de intervalos.
Los dos primeros ejemplos son de variables discretas y los dos últimos son de v.a continuas.
Distribuciones de Probabilidad para Variables Aleatorias Discretas
Considere de nuevo el ejemplo del lanzamiento de tres monedas no cargadas.
S = {ccc , ccs , csc , scc , css , scs , ssc , sss}
& = {0 , 1 , 2 , 3} . Si X : # de caras
Si se quiere calcular la probabilidad de obtener dos caras definimos el evento A : caen dos caras.
1 1 1 3
P (A) = + + =
A = {ccs , csc , scc}
8 8 8 8
El evento A es equivalente a que la v.a X tome el valor 2 X = 2 . El evento “ X = 2 ” estará
formado por todos los resultados del espacio Muestral S , tales que X = 2 . Así P ( A ) = P ( X = 2 ) .
En general, el evento “ X = x ” estará formado por todos los resultados de S tales que X asigna el
valor x y P ( X = x ) = P ( A ) , donde
A = {) % S X ( ) ) = x}
Así P ( X = 2 ) = P ( A ) ,
con
& = {ccs , csc , scc}
1
8
1
P ( X = 3) = P ({ccc} ) =
8
Observe que P ( X = 0 ) + P ( X = 1) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3) = 1
P ( X = 0 ) = P ({sss} ) =
Como calcular la probabilidad de obtener a lo más dos caras? P ( X 2 ) = P (
*,
+,
= -sss , ssc , scs , css , scc , csc , ccs .
,/ 0
,0
1
2
X=0
X =1
X=2
P ( X 2 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1) + P ( X = 2 ) =
P ( X > 2 ) = P ( X = 3) =
1
8
7
8
) , donde
Definición La Distribución de Probabilidad ó pmf de una v.a X definida en S , se denotará P ( x ) y
P ( x) = P ( X = x) ,
x%A
Esta función debe satisfacer las siguientes condiciones:
x%A
1) P ( x ) 0 ,
está dada por
2)
x
P (x) = 1
Ejemplo: Para el ejemplo de las monedas, si X representa el número de caras, entonces la pmf
de X estará dada por
0
3
Suma
x
1
2
3
3
1
P (x) 1
1
8
8
8
8
A = {0 , 1 , 2 , 3}
Ejemplo: Una urna contiene
4 bolas blancas y 3 bolas negras.
Se extraen al azar y sin
reemplazo dos bolas de dicha
urna. Sea X : bolas blancas
en las dos extraídas.
La pmf para X , está dada por:
4
x
P ( X) =
x
p (x)
0
1
7
5
2 x
,
7
2
1
4
7
2
2
7
x = 0, 1, 2
suma
1
Definición: Sea X una v.a discreta con p.m.f P ( x ) . La distribución Acumulada de X , denotada
F ( x ) (cdf) está definida
x%R y
Propiedades:
1) 0 F ( x ) 1
2) P ( X > x ) = 1 F ( x )
3) Si X < Y
F (x) < F (y )
F (x) = P ( X
x) =
x x
P (x ) ,
x%R
P (n
4) Si A
X m) = F (m)
5) P ( x ) es el salto en x , usando F ( x )
F ( n 1)
Ejemplo: Continuando con el lanzamiento de las tres monedas
Recuerde que la pmf de X : el número de caras es
x
P ( x)
0
1
8
Si x < 0
Si 0 x < 1
Si 1 x < 2
Si 2 x < 3
Si x 3
1
3
8
2
3
8
3
1
8
Suma
1
F (x) = 0
1
8
1 3 1
F ( x) = + =
8 8 2
1 3 3 7
F ( x) = + + =
8 8 8 8
F (x) = 1
F (x) =
P ( X 2) = F ( 2) =
7
8
P ( X < 1.8 ) = F (1.8 ) =
1
2
1 1
=
2 2
Ejemplo: Se lanza un dado no cargado. Sea X : resultado del lanzamiento del dado.
& = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}
P ( X > 1) = 1 F (1) = 1
1
, x =1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6
6
F (x) = 0
Si x < 1
P (x) =
Si 1 x 2
F (x) =
1
6
Si 2 x < 3
Si 3 x < 4
Si 4 x < 5
Si 5 x < 6
Si x 6
2
6
3
F (x) =
6
4
F (x) =
6
5
F (x) =
6
F ( x) = 1
F (x) =
F (x) =
x
6
, x%
Definición: Una variable aleatoria se dice continua si el conjunto de posibles valores para la
variable es un intervalo o unión de intervalos.
Ejemplos: mesa, estatura, presión, temperatura, tiempos de espera, etc. Considere la estatura (en
metros).
Definición: Sea X una variable aleatoria continua. La distribución de probabilidad para X es
llamada Función de Densidad de Probabilidad, se denota f ( x ) .
Para que esta f ( x ) realmente sea una distribución de probabilidad para X debe cumplir las
siguientes condiciones:
1) f ( x ) 0 ,
x%
+
2)
2 f ( x ) dx = 1
área total bajo f es 1
3) Si a y b son reales tales que a < b entonces
P (a
b
X b ) = 2 f ( x ) dx
a
Se puede mostrar que P ( X = a ) = 0 (el área en una línea es cero).
Esto implica que el cálculo de probabilidades se obtiene al integrar la p.d.f en el rango
especificado sin importar si los extremos se incluyen o no.
Ejemplo: Sea X la duración en horas de cierto tipo de bombilla eléctrica. La p.d.f para X esta
dada por:
*a
, 1500 x 2500
,
f (x) = - x 3
,/ 0 ,
otro caso
Calcule:
a) P ( X 2000 )
b) P ( X 2000 | X 1800 )
Solución: primero hallemos el valor de a.
+
Como
2 f ( x ) dx = 1
2 f ( x ) dx
+
2500
1500
+
2 f ( x ) dx
+
1500
'
a
dx = 1 3
3
x
1500
a
2x 2
2
3
'
0
0
2500
2 f ( x ) dx = 1
2500
2500
a = 7031250
1500
1 !
4 0.68359
2000 2 6#
2000 a
P (1800 X 2000 ) 21800 x 3 dx
=
b) P ( X 2000 | X 1800 ) =
2500 a
P ( X 1800 )
21800 x 3 dx
a) P ( X 2000 ) = 2
2500
1500
1
a
a
dx = 5
3
x
2 "1500 2
Ejemplo: El tiempo de espera de un cliente hasta ser atendido es una variable aleatoria continua
con p.d.f dada por
*e x ,
x>0
f (x) = / 0 , otro caso
Calcule P ( X < 1) , P (1 < X < 2 ) . Halle el valor de k tal que P ( X < k ) = 0.95 . Halle una expresión
para el percentil 100 p , 0 < p < 1
Definición: La distribución acumulada para una variable aleatoria continua X , se define igual al
caso discreto. F ( x ) = P ( X x ) ,
x%R
Propiedades:
1) 0 F ( x ) 1 ,
2) lim f ( x ) = 0
x
x%R
y
3) P ( X > x ) = 1 F ( x )
4) Si x < y
lim f ( x ) = 1
x
+
F (x) F (y )
Además si F ( x ) es precisamente la p.d.f de x es decir f ( x ) =
F ( x ) = 2 f ( t ) dt
x
d
( F ( x)) ,
dx
x donde F existe
x%R
Ejemplo: Para el ejemplo del tiempo de espera de un cliente hasta ser atendido, halle la c.d.f.
Si x 0
F (x) = 0
Si x > 0
F ( x ) = 2 e t dt
x
0
F (x) = 1 e
x
,
x>0
P ( X < 1) = P ( X 1) = F (1) = 1 e
=1
P (1 < X < 2 ) = F ( 2 ) F (1)
=
1
e
1
1
e
1
e2
Ejemplo: La c.d.f para la v.a X : tiempo de préstamo de un libro, está dada por: (tiempo en horas)
,
x<0
Halle: a) P ( X < 1)
* 0
,, 2
1
F ( x ) = -x
, 0 x<2
b) P
< X <1
4
,
2
,
x 2
,/ 1
c) Halle una expresión para el 100p avo percentil.
d) Halle f ( x )
Solución: a) P ( X < 1) = F (1) =
b) P
1
4
1
1
1
< X < 1 = F (1) F
=
2
2
4
c) F ( x ) = p , 0 < p < 1 3
d) f ( x ) = f ( x ) =
*x
,
f (x) = - 2
,/ 0
1 3
=
6 16
x2
=p 3
4
xp = 2 p
2x x
= ; 0 < x < 2 . Así
4 2
, 0<x<2
, otro caso
Valor esperado de una variable aleatoria
Si un experimento aleatorio es realizado y una variable aleatoria es definida, se puede determinar
la distribución de probabilidad de todos los posibles valores de X . Si el experimento se repite
muchas veces, el valor que se esperan obtener de la variable X , será un promedio de los posibles
valores observados en las repeticiones del experimento.
Definición: Sea X una variable aleatoria (discreta o continua), con distribución de probabilidad f x .
El valor esperado de
E [ X] , ó
X , el cuál denotaremos
x p (x)
, si X es discreta
5 x% A
E [ X] = 5 +
5 2 x f ( x ) dx , si X es continua
"
µx
ó
µ , está dado por:
Propiedades: Sean a , b % R y f y g funciones de una variable aleatoria X .
1. E [a ] = a
2. E [a x + b ] = a E [ X ] + b
3. E "a H ( x ) !# = a E " H ( x ) !# , siendo H ( x ) una función de X
4. E "a H ( x ) ± b G ( x ) !# = a E " H ( x ) !# + b E "G ( x ) !# , con H y G funciones de X .
Si en la propiedad 3, hacemos a = 1 y H ( x ) = ( X µ x )
esperado
se
conoce
como
la
Varianza
de
2
X
2
E " H ( x ) !# = E ( X µ x ) ! . Este valor
5"
6#
y es usualmente denotada por
V [ X] = 9 x 2 = E ( X µ x ) !
"5
#6
2
La desviación estándar de X es 9 x = V [ X ]
Se puede mostrar que V [ X ] = E " X 2 !#
µ x2
Ejemplo: Se lanzan cuatro monedas no cargadas. Sea X la variable aleatoria definida por el
número de caras, entonces A = {0 , 1 , 2 , 3 , 4}
* 1 4 4
, x = 0,1, 2, 3, 4
,
fX ( x ) = - 2
x
,
0
otro caso
/
E[x] =
=
4
x
X =0
1
2
4
4
x
(Verificar esto)
=
1
2
1
32
4 + 2 ( 6 ) + 3 ( 4 ) + 4 (1) !# =
"
16
16
4
4
4
4
4 !
+2
+3
+4
50 + 1
6
1
2
3
4 #
"
= 2
En general, si se lanzan n monedas y X : # caras en los n lanzamientos
n
n
n
1
n
E[x] =
x =
x
2 . (Probarlo).
X =0 2
Ejemplo: Una máquina de llenado de latas es revisada cada hora. Cada lata es sometida a un
proceso para determinar el volumen de llenado y verificar si cumple o no los requisitos exigidos.
Este proceso se continúa hasta encontrar la primera lata que no cumple con, los requisitos. Sea
X : # latas revisadas hasta encontrar la primera que no cumple. Suponga que la proporción de
latas que no cumplen las especificaciones es P.
Halle E [ x ] .
Solución:
N : La lata no cumple los requisitos
S : La lata si cumple los requisitos
El espacio Muestral para este experimento está dado por
S = {N , SN , SSN , SSSN , SSSSN , …}
A x = {1 , 2 , 3 , 4…}
P ( X = 1) = P ( N ) = P
P ( X = 2 ) = P ( SN ) = P ( S ) P ( N ) = (1 P ) P
P ( X = 3) = P ( SSN ) = P ( S ) P ( S ) P ( N ) = (1 P ) P
2
P ( X = x ) = P ( SS … SN ) = P ( S )
x 1
P = (1 P )
x 1
P
x 1 veces
P ( X ) = P ( X = x ) = P (1 P )
E [ X] =
x =1
x p (x) =
Sea f ( t ) =
f (t ) =
Así ,
x
x =1
f (t) =
x =0
1 t
y f (t) =
p
(1 t )
2
=
; x = 1 , 2 , 3 ,…
x p (1 p ) =
ptx
p
x 1
1
p
xp t x
1
,
t <1
x=0
p
(1 t )
xp t x
1
2
. Si t = 1 p
x =0
p
=
p2
x =1
x p (1 p )
x 1
Ejemplo: La demanda semanal de gas propano (en miles de galones) de una distribuidora en
particular es una variable aleatoria X con p.d.f dada por:
*
1 !
, 1 x 2
,2 51
f ( x ) = - " x 2 6#
,
0
, otro caso
/
a) Halle la c.d.f para X
b) Calcule E [ X ] y V [ X]
c) Si H ( x ) = 1.5 X . Halle E " H ( X ) !#
H ( X ) Puede verse como el remanente si no se recibe nuevo suministro.
Solución:
a) Si X < 1
Si 1 X 2
Si X > 2
F (x) = 0
1
!
F ( x ) = 2 5x + + 26
x
"
#
F (x) = 1
b)
E [ X] =
2
2
1
2
1!
dx = 2 2x
2x 51
26
1
" x #
2
dx
x
2
!
ln x 6 = 3 2 ln 2 : 1.61
=
#1
2
2
1 !
E " X 2 #! = 2 2x 2 51
dx = 2 2x 2 2 dx
2
6
1
1
" x #
2
2 3
8
x 2x !# =
=
"
1
3
3
8
2
V [ X] = E " X 2 #! µ x 2 =
( 3 2 ln 2 ) 4 0.0626
3
x2
25
"2
(
)
9 x = 0.2502
c) E " H ( X ) #! = 1.5 E [ X ] = 1.5 1.61 = 0.11
no se puede cubrir la demanda
Ejemplo: Una urna contiene cuatro bolas blancas y cinco bolas negras. Se extraen al azar y sin
reemplazo dos bolas de la urna. Sea X :# de bolas blancas en la muestra. Halle f x y E [ X] .
Solución: Se puede probar que
4 5
x
fX ( x ) =
2-x
, x = 0, 1, 2
9
2
E [ x] =
2
4 8
x f X ( x ) = 2. =
9 9
X =0
Propiedades: Sea a , b % R
1) V [a ] = 0
2) V [a x + b ] = a 2 V [ X]
Algunas Distribuciones de Probabilidad Discretas
Ensayo Bernoulli: un experimento aleatorio con dos posibles resultados, denotados “Éxito” y 4el
otro “Fracaso”. La probabilidad de éxito es p .
Ejemplo: Encuestas de opinión, Tipo de colegio, Estado de un componente, Género, etc.
Suponga que se repite este experimento n veces y que cada repetición es independiente de las
demás repeticiones o ensayos. Defina la variable X : número de éxitos en los n ensayos. Si la
probabilidad de éxito permanece constante, durante las n repeticiones del experimento, diremos
que el experimento es un Ensayo Binomial.
Proceso Binomial
1. n pruebas idénticas e independientes.
2. Cada prueba tiene dos posibles resultados “Éxito” o “Fracaso”.
3. La probabilidad de éxito es constante en las n pruebas y se denota p .
4. La v.a de interés es X : # éxitos en los n ensayos, la pmf de la v.a X es llamada Distribución
Binomial.
Se puede mostrar que la pmf de X está dada por:
n x
n x
p (x) =
p (1 p )
; x = 0 ,1 , 2 , … , n
x
bin ( n , p )
Escribimos X
Ejemplo: Suponga que X es una variable aleatoria Binomial con parámetros n y P . Para calcular
una
probabilidad
específica,
por
ejemplo
P (a X b ) ,
observe
que
P (a
x
b) =
b
x=a
n
x
P x (1 P )
P (1 x 3) =
3
x =1
10
1
10
x
,
10
f x (x) =
Si n = 10 y P = 0.2
P ( x = 1) = f x (1) =
n-x
x
a, b % Z +
{0}
( 0.2 ) ( 0.8 )
10 x
x
( 0.2 ) ( 0.8)
= 0.2684
( 0.2 ) ( 0.8)
= 0.7718
1
10 1
x
P (1 < x < 4 ) = P ( 2 x 3) =
10 x
3
x =1
10
x
( 0.2 ) ( 0.8)
x
10 x
; X = 0 , 1 , … , 10
= 0.5033
Ejemplo: Suponga que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamble
es de 0.05 .
a) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 20 unidades seleccionadas al azar, dos sean
defectuosas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más dos de las 20 unidades estén defectuosas?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 2 unidades estén defectuosas?
Solución: Sea X : el # de unidades defectuosas de las 20 unidades seleccionadas
20
x
20 x
X bin ( 20 , 0.05 ) , P ( x ) =
( 0.05) ( 0.95 ) ; x = 0 , 1, … , 20
x
a) P ( X = 2 ) = P ( 2 ) =
b)
20
2
( 0.05) ( 0.95)
2
18
= 0.1887
P ( X 2 ) = 1 P ( X < 2 ) = 1 P ( X 1) = 1 P ( 0 ) P (1)
=
1 0.7358 = 0.2642
Ejemplo: Un examen de opción múltiple contiene 10 preguntas. Cada pregunta tiene cuatro
opciones de las cuáles solo una es la correcta. El examen se aprueba si se responden
correctamente al menos seis preguntas. Si el estudiante adivina las preguntas, conteste las
siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es la probabilidad de aprobar el examen?
b) Si el estudiante adivina al menos tres de las preguntas, ¿Cuál es la probabilidad de reprobar el
examen?
c) Halle E [ X] y V [ X]
Solución: Sea X : # preguntas con respuesta correcta de las 10
x
10 x
10 1
1
1
3
X bin 10 ,
, P = , P ( x) =
; x = 0 , 1, … , 10
4
4
x 4
4
a) Se pide
P ( X 6 ) = 1 P ( X 5)
5
=1
10
1
4
x
x=0
x
3
4
10 x
= 0.01973
5
b)
P (3 X < 6)
P ( X < 6 | X 3) =
=
c) E [ X ] = 10
P ( X 3)
=
x=0
10
x
1
4
3
15
=
4
8
1
x 4
1 P (X
1
= 2.5 ,
4
V [ X ] = 10
a) E [ X ] = n p y V [ X] = n p (1 p )
(n
x)p
( x + 1)(1
10 x
0.4547
= 0.9585
1 0.5256
Corolario: Suponga que X es una v.a tal que X
b) P ( x ) =
3
4
2)
p)
P ( x 1)
bin ( n , p ) .
"Formula recursiva" .
Ejercicios Propuestos Capítulo 3, Ejercicios 3-33,3-35, 3-43, 3-45, 3-53, 3-60, 3-62, 3-66.
Distribución Hipergeométrica
En el experimento Binomial, un aspecto importante es el hecho de que la probabilidad de éxito es
constante en cada ensayo, es decir, se tiene un muestreo o selección de eventos con reemplazo.
Pero suponga que al repetir el experimento, la probabilidad de éxito cambia de repetición en
repetición, entonces el experimento Binomial no es adecuado para este caso.
Suponga una población con N individuos y se extraen al azar n de dicha población. Hay M
individuos en la población que cumplen con cierta característica de interés. La probabilidad de que
M
el primer individuo cumpla con dicha característica es
.
N
Si el individuo seleccionado no es descartado de los N iniciales y se selecciona nuevamente otro
M
(Hay
individuo entonces la probabilidad de que este cumpla las características será
N
M
reemplazo). Si mantenemos el mismo criterio, la probabilidad siempre será igual a
.
N
Suponga que el primer individuo es descartado, la probabilidad de que el segundo cumpla con las
M 1
M
características es
, si el primero la cumple o es
si el primero no la cumple, y si no se
N 1
N 1
reemplaza en la población ninguno de los individuos, la probabilidad de que el tercero cumpla la
M
característica es
(si ninguno de los dos la cumple).
N 2
La probabilidad no es constante en cada repetición del experimento.
Definición: Suponga que una población finita tiene N elementos, de los cuales M tiene cierta
característica particular. Si no se reemplaza ninguno de los elementos que se extraen, suponga
que se toma una muestra de n elementos de este grupo, se tiene el siguiente diagrama:
Sea X : # de elementos en la muestra con dicha
característica entonces
M N M
p (x) =
x
n
N
x
;
x = 0 , 1 , 2 , … , min ( n , M ) Est
n
a distribución es llamada Hipergeométrica. Escribimos X
M
N
E [ X] = n
y
V [ X] =
hip ( N , M ,n )
N n
M
M
n
1
N 1
N
N
Ejemplo: Un lote con 25 arandelas contiene tres en las que la variabilidad en el espesor alrededor
de la circunferencia es inaceptable. Se toma una muestra al azar de tres arandelas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las arandelas inaceptables se encuentren en la
mesa?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las arandelas inaceptables se encuentren en
la muestra?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una de las arandelas inaceptables se encuentre
en la muestra?
Solución:
Sea X : # de arandelas inaceptables
en la muestra de tres
p ( x) =
3
22
x
3 x
;
25
3
x = 0 , 1, 2 , 3
22
3
1540 77
=
=
= 0.66957
25
2300 115
3
a) P ( X = 0 ) = p ( 0 ) =
b) P ( X 1) = 1 P ( X < 1) = 1 P ( 0 ) =
3
c) P ( X = 1) = P (1) =
38
= 0.33043
115
22
1 2
2300
=
693
= 0.30130
2300
Ejemplo: Una geólogo ha recolectado 10 especimenes de roca basáltica y 10 de granito. Si
instruye a un asistente de laboratorio para que seleccione al azar 6 de los especimenes para
analizarlos
a) ¿Cuál es la pmf para el número de especimenes de basalto seleccionados para analizarlos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los especimenes de la muestra sean de una de los dos
tipos de roca seleccionados para análisis?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad de especimenes de granito seleccionados para su
análisis esté a menos de una desviación estándar de la media?
Solución:
Sea X : # de especimenes de basalto en la muestra para análisis.
a) P ( x ) =
b)
c)
10
x
10
6 x
;
20
6
x = 0 , 1, 2 , … , 6
P ( X = 6 ; X = 0) = P ( X = 0) + P ( X = 6) = P ( 0) + P ( 6)
10
6
=
+
20
6 20
10
E [ X] = 6
=3
V [ X] =
420
20
20
=
38760
14 6 21
= 1.10526
V [ X] = < =
19 4 19
(
P X µx
P 3
P (2
)
9 =P
21
<X<3
19
X
10
6
210 + 210
=
20
38760
66
10
10
<6=
1
7
=1
= 020
.01084 20
646
21
9=
19
21
21
< X 3<
=
19
19
21
= P (1.9487 < X < 4.0513) =
19
4 ) = P ( 2 ) + P ( 3) + P ( 4 ) =
9450 14400 9450 33300
+
+
=
= 0.85913
38760 38760 38750 38750
Ejemplo: Suponga que en el ejemplo de las arandelas el lote contiene 1500 de las cuales 200 son
inaceptables. Se selecciona al azar 5 arandelas y sea X : # de arandelas inaceptables en la
muestra
200 1300
P (x) =
x
5 x
;
1500
x = 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5
5
(
)
Observe que P 1era sel sea inaceptable =
200
= 0.1333
1500
199
= 0.1327
1499
198
P 3 ra inaceptable | 1 era y 2 da inaceptable =
= 0.13217
1498
197
P 4 ta inaceptable | 1 era , 2 da y 3 ra inaceptable =
= 0.13159
1497
196
= 0.1310
P 5 ta inaceptable | las demás inaceptables =
1496
(
)
P 2 da inaceptable | 1 era inaceptable =
(
)
(
)
(
)
Debido a que n es muy pequeño respecto a N , las probabilidades de éxito (seleccionar una
arandela inaceptable) son aproximadamente iguales.
M
200
Así, si hacemos p 4
p=
= 0.1333
N
1500
200 1300
5 x
5 x
x
5 x
:
P (x) =
p (1 p )
n<<N
1500
x
5
200 1300
1
P ( X = 1) =
Por ejemplo,
4
1500
= 0.3768852
5
y P ( X = 1) :
5
1
( 0.1333) ( 0.8667 )
1
4
= 0.376075
P ( X 1) = P ( 0 ) + P (1) = 0.865328
P ( X 1) :
5
0
( 0.1333) ( 0.8667 )
0
5
y
+
5
1
( 0.1333) ( 0.8667 )
1
4
= 0.8651145
En general una distribución Hipergeométrica puede ser aproximada a una distribución Binomial
N n
es cercano a 1 ,
cuando n < < N (o algo equivalente) cuando el factor
N 1
1
es decir
n
N
1
1
N
: 1
Distribución Binomial Negativa: En una serie de ensayos <>Bernoulli independientes, con
probabilidad de éxito constante P, sea X la v.a el número de ensayos realizados hasta obtener r
éxitos. La distribución de Probabilidad de la v.a X es llamada Distribución Binomial negativa y está
dada por
x -1
x-r
r (1 - P )
fx ( x ) =
(1 P ) P r , x = r, r+1, r+2, ... E [ x ] = r
V [x] =
X
bin_
r,
P
(
)
r -1
P . Escribimos
P2 .
Distribución Poisson
Considere los siguientes eventos o experimentos: Establecer el número de accidentes en un cruce
por hora, número de errores ortográficos por página, número de llamadas telefónicas a una central
por minuto, número de imperfecciones en un material por cm 2 , número de huecos en una
carretera por kilómetro, etc.
Algunos de estos experimentos tienen características similares:
- El experimento consiste en contar el número de veces que ocurre un cierto evento durante una
unidad de tiempo o de espacio.
- En cada unidad establecida, el número de eventos que ocurren es independiente de los que
ocurren en otras unidades.
- Es posible asumir que la probabilidad de que un evento ocurra en una cierta unidad es la misma
para todas las unidades de su tipo.
Experimento Poisson
Dado un intervalo real, suponga que el conteo de ocurrencias es aleatorio en dicho intervalo.
Si este intervalo puede subdividirse en subintervalos suficientemente pequeños tales que:
1) La probabilidad de más de una ocurrencia en cada subintervalo es despreciable.
2) La probabilidad de ocurrencia en un subintervalo es la misma para todos los subintevalos y es
proporcional a su longitud.
3) El conteo de ocurrencias en cada subintervalo es independiente del conteo en los demás
subintervalos.
El experimento es llamado Poisson. La v.a. de interés X : es el número de ocurrencias en dicho
intervalo. Diremos que X tiene una distribución Poisson con parámetro ) y escribimos
X pois ( ) ) . ) Representa el número promedio de ocurrencias por unidad de tiempo o espacio.
La pmf. para X es P ( x ) = e
)
)x
;x = 0 , 1 , 2 , …
x!
Observe que un proceso Poisson equivale a muchas repeticiones de un experimento Bernoulli
(ocurrencia o no). Suponga que X bin ( n , p ) . Si n aumenta y p disminuye de manera que n p
sea aproximadamente constante ( n p : ) , cte ) , entonces se puede demostrar que
n
x
p x (1 p )
e
n x
n
)
)x
, x = 0 , 1, 2 , …
x!
)=np
“Aproximación Poisson de la Binomial”
Se prefiere valores de n 100 y tales que n p 20 y p 0.1 . Se puede ver que
E [ X ] = ) y V [ X] = )
Ejemplo: Suponga que a una central telefónica llegan en promedio 10 llamadas por minuto.
a) ¿Qué tan probable es que en el siguiente minuto lleguen al menos 2 llamadas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en el siguiente minuto lleguen exactamente 15 llamadas?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que no llegue ninguna llamada en el siguiente minuto?
Solución: Sea X : # llamadas que llegan a la central por minuto
X pois (10 ) ,
P (x) =
a)
P (x
2) =
1 P ( x < 2)
(e
= 1
b) P ( X = 15 ) = P (15 ) =
c) P ( X = 0 ) = P ( 0 ) = e
10
+ 10 e
10
)
e
15
10
= 0.0000454
e
10
10 x
; x = 0 , 1, 2 , …
x!
= 1 P ( x 1) = 1 "f x ( 0 ) + f x (1) !#
11
e10 11
=
=
4 0.9995
1 10
e
e10
10 15
= 0.034718
15 !
Ejemplo: El número de componentes que fallan antes de 100 horas de operación es una v.a
Poisson. En promedio fallan 8 componentes antes de 100 horas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que fallen no más de dos componentes en 50 horas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que fallen no más de dos componentes en 50 horas? ¿al menos
tres en 125 h?
Solución: Sea X : # componentes que fallan antes de 100 horas X
a) Sea Y : # de componentes que fallan antes de 25 horas.
Y
Y
pois ( )1 )
pois ( 2 )
P ( y = 1) =
100
25
8
)1
)1 =
25 ( 8 )
100
=2
e22
= 0.27067
1!
b) Sea Z : # componentes que fallan antes de 50 horas.
pois ( 8 )
Z
Z
pois ( ) 2 )
pois ( 4 )
100
8
50
)2
P (Z
)2 = 4
e 4 4z
z!
z =0
2
2) =
13
e4
=
42 !
= e 4 51 + 4 + 6
2#
"
=
0.238103
Sea W : # componentes que fallan antes de 125 horas.
W
W
pois ( ) 3 )
) 3 = 10
100
8
125
)3
pois (10 )
P ( W 3) =
1 P (W
= 1 e
10
P ( W 3) = 0.99723
2)
= 1
2
W =0
10 !
51 + 10 +
6 =
2 #
"
2
1
e
10W
W!
10
61
e10
Ejemplo: Estudios recientes han mostrado que la probabilidad de morir a causa de cierto
medicamento contra la gripe es 0.00002. Si se administra dicho medicamento a 100.000
personas. ¿Cuál es la probabilidad de que no más de dos personas mueran?
Solución: Sea X : #
X bin (100000 , 0.00002 )
de
personas
que
mueren
por
Se pide P ( X 2 ) = 0.676676 .
Sea Y : # personas que mueren por cada 100.000 habitantes
Y pois ( ) ) Si ) : n p = 2
P ( X 2) : P ( Y
2) =
2
e
y =0
2
2y
5
= 2 = 0.67668
y!
e
Generación en SAS de Distribución Binomial y Poisson
Calculo de probabilidades
Suponga que X bin ( 20 , 0.1) , Y
Calcule P ( X 2 ) , P ( Y
2) , P ( T 2)
Data uno:
hip ( 20 , 5 , 3) y T pois ( 2 )
P1 = Pr obbnml ( 0.1, 20 , 2 ) ;
P1 = 0.6769268
P3 = P oisson ( 2 , 2 ) ;
P3 = 0.6766764
P2 = Pr obhypr ( 20 , 5 , 3 , 2 ) ;
run ;
P2 = 0.9912281
causa
del
medicamento
Generación de Distribuciones
Generar 20 datos de una Binomial b (10 , 0.1) y de una pois ( 2 )
Data dos;
do i = 1 to 20;
x = ranbin ( 0 , 10 , 0.1) ;
y = ranpoi ( 0 , 2 ) ;
output;
end;
run;
Algunas distribuciones continuas
Distribución Uniforme
Sea X una v.a continua definida en el intervalo ( a , b ) , P ( X % I ) es proporcional a la longitud de
I , en particular P ( X % ( a , b ) ) = k ( b a ) = 1
k=
1
b a
Diremos que X tiene una pdf uniforme en ( a , b ) y escribimos X
dada por
* 1
, a<x<b
,
f (x) = -b a
, 0
, otro caso
/
a+b
E [ X] =
2
y V [ X]
(a + b )
=
(a , b ) .
La pdf de X está
2
12
* 0
,
,x + a
La cdf para X es F ( x ) = ,b a
,/ 1
,
x<a
, a x b
,
x>b
Ejemplo: La longitud de una bisagra para puertas es un v.a X , distribuida uniformemente en el
intervalo ( 74.6 , 75.4 ) mm
a) Calcule P ( X < 74.8 )
b) ¿Qué proporción mide más de 75.0 mm ? ¿Cuál es la probabilidad de que la bisagra mida
menos de 74.9 mm ?
*1.25 , 74.6 < x < 75.4
Solución: f ( x ) = otro caso
/ 0 ,
a) P ( X < 74.8 ) = 2
74.8
74.6
1.25 dx = 1.25 ( 74.8 74.6 ) = 0.25
b)
P ( X > 75 ) = 2
75.4
75
1.25 dx = 1.25 ( 75.4 75 ) = 0.5
P ( X < 74.9 ) = 1.25 ( 74.9 74.6 ) = 0.375
Distribución Normal
Esta distribución juega un papel clave en el desarrollo de la inferencia estadística, pues muchas de
las herramientas usadas en la toma de decisiones o en las pruebas de hipótesis, tienen su
fundamento en ésta distribución.
Un gran número de estudios pueden ser aproximados usando una distribución normal: Algunas
variables físicas datos meteorológicos (temperatura, precipitaciones, presión atmosférica, etc),
mediciones en organismos vivos, notas o puntajes en pruebas de admisión o de aptitud, errores
en instrumentación, proporciones de errores en diversos procesos, etc.
Definición: Sea X una v.a continua, se dice que X tiene una distribución normal si su p.d.f es de
la forma
1
f (x) =
e
2> 9
1
2
(x
µ)
2
92
<x<
µ%R , 9 > 0
;
Escribimos X n ( µ , 9 2 )
f tiene su máximo absoluto en x = µ y sus puntos de inflexión en µ ± 9 . Es un adistribución
simétrica respecto a x = µ .
Se puede demostrar que
2
+
f ( x ) dx = 1 y que E [ X ] = µ y V [ X ] = 9 2 .
Si µ = 0 y 9 = 1 diremos que X tiene una distribución normal estándar y es usual denotarla Z .
Z2
1
2
f (Z) =
e
,
Z%R
2>
Si Z
n ( 0 , 1)
F (Z) =
Z
2
1
2>
e
t2
2
dt = ? ( Z )
“Usar tablas”
¿Cómo calcular probabilidades para cualquier normal?
(
)
Suponga que X
n µ , 9 2 y sean a y b reales
P (a
1
X b) = 2
b
a
2> 9
b µ
9
a µ
9
=2
O sea P ( a
1
2>
X b) = P
e
e
1 (X
2
z2
2
a µ
9
µ
)2
92
dz = ?
Z
Si Z =
dx
b µ
9
?
b µ
9
µ
X
9
a µ
9
con
n ( 0 , 1)
n ( µ , 9 2 ) si Z =
Teorema: Sea X una v.a continua tal que X
Ejemplo: Suponga que Z es una v.a tal que Z
µ
X
9
Z
n ( 0 , 1)
n ( 0 , 1)
a) Calcule P ( Z < 1.32 )
d) P ( 1 < Z < 1)
c) P ( Z >
f) P ( Z > 2 )
b) P ( Z < 3)
Z
e) P ( Z > 2 )
2.15 )
g) Cuál es le valor de C , para que P ( Z < c ) = 0.975 ?
P ( Z < c ) = 0. 975
c = 1. 96
Ejemplo: El diámetro de un cable eléctrico está distribuido normalmente con un diámetro medio de
0.8 plg y una desviación estándar de 0.02 .
a) ¿Qué proporción de cables tiene un diámetro superior a 0.81 plg ?
b) Un cable es defectuoso si su diámetro difiere del promedio en más de 0.025 plg , ¿Qué
proporción de cables son defectuosos?
Solución: Sea X : diámetro del cable
X n ( 0.8 , 0.0004 )
a)
P ( X > 0.81) = 1 P ( X
= 1 P (Z
0.81) = 1 P
µ
X
9
0.81 0.8
0.02
0.5 ) = 1 0.6915 = 0.3085
b)
P ( X 0.8 > 0.025 ) = 1 P ( X 0.8
0.025 )
0.025
0.02
X 0.8
0.02
= 1 P ( 0.025 X
=1 P
0.8 0.025 )
0.025
0.02
= 1 P ( 1.25 Z 1.25 )
= 1 ? (1.25 ) + ? (1.25 )
= 1 0.8944 + 0.1056 = 0.2112
Ejemplo: La nota promedio obtenida por un estudiante de cierto curso es una v.a
aproximadamente normal con una media de 3.3 y desviación estándar de 0.2 . Si se desea que
solo el 2% de todos los estudiantes de dicho curso repruebe, ¿Cuál debe ser la nota mínima
aprobatoria?
Solución: Sea X : Nota obtenida por el estudiante X n ( 3.3 , 0.04 )
Si k es la nota mínima aprobatoria, entonces
P ( X k ) = 0.02 o sea
X 3.3
k 3.3
k 3.3
= 0.02 3 P Z
= 0.02
0.2
0.2
0.2
k 3.3
Si z =
P ( Z z ) = 0.02 . En la tabla z = 2.05
0.2
k 3.3
Así
= 2.05
k = 2.89 : 2.9
0.2
P
Los Percentiles en una normal
son calculados usando ? ( Z ) .
Sea 0 < @ < 1 y supongamos que
Z n ( 0 , 1) .
El valor de Z que deja un
área @ a la derecha se
denota Z @ :
P (Z < Z @ ) = 1 @
Aproximación Normal de la Binomial
Suponga que X es un v.a Binomial X
bin ( n , p ) . Si n es grande, entonces las probabilidades
para esta v.a pueden ser aproximadas usando la distribución normal. Es decir
1
x+
np
1
2
:P Z
P ( X x) = P X < x +
2
n p (1 p )
En la practica estas aproximaciones son buenas cuando n p 10 y n (1 p ) 10 .
Ejemplo: Un proceso de fabricación produce un 2% de chips defectuosos. Suponga que la
determinación de ésta característica es independiente para cada chip y 1000 de ellos son
seleccionados.
a) Calcule la probabilidad de que este lote contenga más de 25 chips defectuosos
b) Aproxime la probabilidad en a) usando la distribución normal.
Solución: Sea X : # de defectuosos en los 1000 seleccionados X bin (1000 , 0.02 )
P ( X > 25 ) = 1 P ( X
25
=1
a)
25 )
1000
x=0
x
( 0.02 ) ( 0.98 )
x
1000 x
= 1 0.890066
= 0.109934
P ( X > 25 ) = 1 P ( X
25 )
= 1 P ( X < 25.5 )
:1 P Z
b)
25.5 20
19.6
= 1 P ( Z 1.24 ) = 1 0.8925 = 0.1075
E [ X ] = np = 20
V [ X] = 19.6
Ejercicios propuestos:
- Suponga que X tiene una distribución Poisson con media 0.4. Calcule las siguientes
probabilidades:
a. P ( X = 0 )
b. P ( X
2)
c. P ( X = 4 )
d. P ( X = 8 )
-
Suponga que el número de clientes que entran en una banco en una hora es una variables
aleatoria Poisson, y que P ( X = 0 ) = 0.05 . Calcule la media y la varianza de X .
-
A menudo, el número de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador se modela como
una variable aleatoria Poisson. Suponga que, en promedio, se reciben 10 llamadas por
hora.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente cinco llamadas en una hora?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban tres llamadas o menos en una hora?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban exactamente 15 llamadas en dos horas?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente cinco llamadas en 30minutos?
-
El número de baches en una sección de una sección de una carretera interestatal que
requieren reparación urgente, puede modelarse con una distribución Poisson que tiene una
media de dos baches por milla.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya baches qué reparar en un tramo de cinco millas
?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario reparar al menos un bache en un tramo
de media milla?
c. Si el número de baches está relacionado con la carga vehicular de la carretera, y algunas
secciones de ésta tienen una carga muy pesada mientras que otras no, ¿Qué puede
decirse sobre la hipótesis de que el número de baches que es necesario reparar tiene una
distribución Poisson?
-
El número de fallas de un instrumento de prueba debidas a las partículas contaminantes de
un producto, es una variable aleatoria Poisson con media 0.02 fallas por hora.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el instrumento no falle en una jornada de ocho horas?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que se presente al menos una falla en un periodo de 24
horas?
-
En un proceso de fabricación donde se laminan varias capas de cerámicas, el 1% de los
ensambles es defectuoso. Suponga que los ensambles son independientes.
a. ¿Cuál es el número promedio de ensambles que será necesario examinar para obtener
cinco defectuosos?
b. ¿Cuál es la desviación estándar del número de ensambles que es necesario examinar
para obtener cinco defectuosos?
-
Los mensajes que llegan a una computadora utilizada como servidor lo hacen de acuerdo
con una distribución Poisson con una tasa promedio de 10 mensajes por hora. Determine el
intervalo de tiempo necesario para que la probabilidad de que no llegue ningún mensaje
durante ese lapso sea 0.90.
Distribución Exponencial
Sea X una v.a continua. Diremos que X tiene una distribución exponencial si la pdf para X es de
*) e ) x ,
x>0
la forma f ( x ) = , otro caso
/ 0
1
1
Escribimos X Exp ( ) ) , E [ X ] =
y V [ X] = 2
)
)
)x
*1 e
, x 0
La cdf para X es F ( x ) = , x<0
/ 0
Variables Aleatorias Continuas
Una variable aleatoria se dice continua si el espacio de dicha variable es un intervalo o es la unión
de varios intervalos reales, acotados o no acotados.
Ejemplos:
- Medición de la corriente de un alambre.
- Longitud de partes desgastados en una pieza.
- Tiempo de duración de una bombilla.
- Tiempos de espera.
- Estatura.
- Masa.
Definición: Sea X una v.a continua. La distribución acumulada de la v.a denotada F x , está dada
por F x ( X ) = P ( X x )
x%R .
Propiedades:
1. 0 F x ( X ) 1
2. lim F x ( X ) = 0
lim F x ( X ) = 1
y
x
x
3. P ( X > x ) = 1 F x ( X )
+
Fx (X) Fx (Y)
4. Si X < Y
Si existe una función F x tal que F x ( X ) = F x ( X )
x donde F x existe, entonces F x es llamada
una función de densidad de probabilidad de la v.a X (f. d. p).
Por el T. F. C F x ( X ) = 2 F x ( t ) dt
x
x % R donde F x existe.
Propiedades de F x
1.
2.
Fx ( x ) 0,
2
+
x%R
Fx ( x ) dx = 1
P ( a x b ) = Fx ( b ) Fx ( a ) = 2 Fx ( x ) dx
b
P ( X = x) = 0
a
3.
; así
P (a x b ) = P (a < x b ) = P (a x < b ) = P (a < x < b )
Ejemplo: Sea X : la duración (en horas) de cierto tipo de bombilla eléctrica. Supóngase que X es
una variable aleatoria continua con f. d. p dada por
*, a 3 , 1500 x 2500
Fx ( x ) = - x
,/ 0
,
otro caso
.
a) Halle el valor de la constante a.
b) Calcule P ( X 2000 ) .
c) Calcule P ( X 2000 | 1800
Solución:
2
+
X 2500 ) .
Fx ( x ) dx = 1 3
a
35 2
5" 2x
2
2500
1500
9
dx = 1
x3
2500
=1
1500
a = 7031250
a) Como
b)
P (x
200 ) =
2
1500
4
P (x
c)
7031250
dx =
x3
0.68359
7031250
1
2
5
2
"1500
2500
2500 ) =
2000 | 1800 x
P (1800 x
P (1800 x
2000 )
2500 )
1 !
20002 6#
4 0.39452
Ejemplo: Se escoge un punto en el intervalo ( a , b ) y sea X la variable aleatoria que representa la
coordenada X de dicho punto. Suponga que si I es cualquier sub-intervalo de ( a , b ) , entonces
P ( X % I ) es proporcional a la longitud de I .
Si I = ( X 1 , X 2 )
Si
I = ( a, b )
Como
P ( X % I) = P ( X1 < X < X 2 ) = k ( X 2
P (a < x < b ) = k (b a ) = 1
k= 1
P ( x1 < x < x 2 ) = 2 Fx ( x ) dx = k ( x 2 x1 ) =
Entonces: f x ( X ) =
x2
x1
1
b a
,
X1 )
(b
1
b a
( x2
k cte
a)
x1 )
a x b
Si X < a entonces
Si a
Fx ( x ) = 0
X b entonces
Fx ( x ) =
Si X > b entonces
x a
b a
Fx ( x ) = 1
Esta distribución es conocida como distribución Uniforme continua.
Ejemplo: El tiempo que debe esperar un cliente hasta ser atendido en ventanilla es una v.a
*e x ,
x>0
fx ( x ) = / 0, otro caso (tiempo en minuto).
continua con f. d. p f dada por
x
Halle F x ; Calcule P ( X < 1) , P (1 < X < 2 ) . Halle el valor de k para le cuál P ( X < k ) = 0.95 .
Solución:
Si x 0 entonces
Fx ( x ) = 0
Si x > 0 entonces
Fx ( x ) = 2 f x ( t )dt
x
Fx ( x ) = 2 e t dt = e t |0x = 1 e
x
x
0
x 0
* 0,
Fx ( x ) = x
/1 e , x > 0
1 e 1
=
4 0.63212
e
e
1 1 e 1
= 2 4 0.23254
P (1 < x < 2 ) = Fx ( 2 ) Fx (1) = (1 e 2 ) (1 e 1 ) =
e e2
e
k
k
P ( x < k ) = Fx ( k ) = 1 e = 0.95 3 e = 0.05 k = ln ( 0.05 ) k = 2.99573
P ( x < 1) = P ( x 1) = Fx (1) = 1 e 1 = 1
Valor esperado de una variable continua
Sea x una variable aleatoria continua con f.d,p. f ( X ) . El valor esperado de X está dado por
+
U x = E [ x] = 2 x f ( x )
, si la integral existe.
Este valor esperado cumple las mismas propiedades que en el caso discreto.
+
E [a x + b ] = a E [ x ] + b E "c g ( x ) !# = c E "g ( x ) !# E "g ( x ) !# = 2 g ( x ) Fx ( x )dx
,
y
La varianza de la v.a X estará dada por
2
9 x2 = VAR [ x ] = V [ x ] = E ( x U x ) ! = E " x 2 !# U x2
"
#
La desviación estándar de la v.a X será 9 x = 9 x 2 .
Para el ejemplo de la duración en horas de cierta bombilla. Halle E [ X] .
Solución:
E [ x] =
2
+
x fx ( x )
=
2
2500
1500
7031250 x
dx =
x3
2500
=
2500
7031250
x
1500
7031250 x 2
dx =
x3
E " x 2 !# =
2
E " x 2 !# =
7031250 ln ( x ) 1500
1500
2500
=
2
2500
1500
=
1875 ( horas )
7031250
dx
x
3591742.667
2
2500
1500
7031250
dx
x2
9x 2 = 3591742.667 18752 = 76117.667;
9 x = 275.894 ( h)
Para el ejemplo del tiempo de espera de un cliente X
*e x ,
x>0
+
fx ( x ) = E
x
=
x e xdx = 1
[
]
0
otro
caso
,
2
/
0
,
+
E " x 2 !# = 2 x 2 e xdx = 2,
0
9x 2 = 2 1 = 1,
9x = 1
Ejercicios propuestos
-
Sea X una v.a continua con f.d.p dada por
*c ( 2 x ) ,
0 x 2
f (x) = en otro caso
/ 0,
Calcule
a) c
b) Halle F x ( X )
c) Calcule P (1 X 1.5 )
d) E [ X] y V [ X]
e) Hallar el valor de k tal que P ( X < k ) = 0.95
-
Cuando un servicio de transporte reduce su tarifa, entonces se vuelve muy popular un
recorrido muy especial entre dos ciudades. Para hacer el recorrido se emplea un transporte
especial Que puede llevar cuatro pasajeros. El tiempo entre llamadas para comprar boletos
tiene una distribución exponencial con una media de 30 minutos. Suponga que en cada
llamada se adquiere un boleto. ¿Cuál es la probabilidad de que el transporte se llene en
menos de tres horas a partir del momento en que se reduce la tarifa?
-
Demuestre que la siguientes funciones son funciones de densidad de probabilidad para
algún valor de k ; determine el valor de k .
a. f X ( x ) = k x 2 para 0 < x < 4
b f X ( x ) = k (1 + 2x ) para 0 < x < 2
c. f X ( x ) = k e
-
x
para 0 < x
Suponga que f X ( x ) = e
a. P (1 < X )
b. P (1 < X < 2.5 )
c. P ( X = 3)
d. P ( X < 4 )
e. P ( 3 X )
x
para 0 < x . Calcule las siguientes probabilidades:
-
Suponga que f X ( x ) = e
x
para 0 < x
a. Calcule un valor de x tal que P ( x < X ) = 0.10
b. Calcule un valor de x tal que P ( X x ) = 0.10
-
(*)La función de densidad de probabilidad del tiempo de falla (en horas) de un componente
e x 1000
para x > 0 . Calcule la probabilidad de que
electrónico de una copiadora es f X ( x ) =
1000
a. El componente tarde más de 3000 horas en fallar.
b. El componente falle en el lapso comprendido entre 1000 y 2000 horas.
c. El componente falle antes de 1000 horas.
d. Calcule el número de horas en las que fallarán el 10% de todos los componentes.
-
La función de densidad de probabilidad de la longitud de una bisagra para puertas es
f X ( x ) = 1.25 para 74.6 < x < 75.4 milímetros. Calcule lo siguiente:
a. P ( X < 74.8 )
b. P ( X < 74.8 o X > 75.2 )
c. Si las especificaciones para éste proceso son una longitud entre 74.7 y 75.3 milímetros,
¿Cuál es la proporción de bisagras que cumple con las especificaciones?
-
Suponga que la función de distribución acumulada de la variable aleatoria X es
0
x< 2
*
,
F X ( x ) = -0.25x + 0.5 2 x < 2
,
1
2 x
/
a. Determine P ( X < 1.8 )
b. Calcule P ( X > 1.5 )
c. Obtenga P ( X < 2 )
d. Determine P ( 1 < X < 1)
-
Continuación del ejercicio(*)
a. Calcule la función de distribución acumulada de la distribución del ejercicio (*)
-
Determine la función de densidad de probabilidad asociada con cada una de las siguientes
funciones de distribución acumulada.
0
x<0
*
,
0.2x
0 x<4
,
F (x) = ,0.04x + 0.64 4 x < 9
,/
1
9 x
El espesor de un recubrimiento conductor, en micrómetros, tiene una función de densidad
f ( x ) = 600 x 2 para 100 100µm < x < 120µm
a. Calcule la media y la varianza del espesor del recubrimiento.
b Si el costo del recubrimiento es 0.50 dólares por micrómetro de espesor en cada pieza,
¿Cuál es el costo promedio del recubrimiento por pieza?
-
-
Suponga que la función de densidad de probabilidad de la longitud de unos cables para
computadora es f X ( x ) = 0.1 , desde 1200 hasta 1210 milímetros.
a. Calcule la media y la desviación estándar de la longitud del cable.
b. Si las especificaciones para la longitud son 1195 < x < 1205 milímetros, ¿Qué valor de la
media da la mayor proporción de cables que cumplen con las especificaciones?
-
El espesor de la capa de sustancia fotoprotectora que se aplica a las obleas en el proceso
de fabricación de semiconductores en cierta área de la oblea, tiene una distribución
uniforme entre 0.2050 y 0.2150 micrómetros.
a. Calcule la proporción de obleas en las que el espesor de la sustancia es mayor que
0.2125 micrómetros.
b. ¿Qué espesor exceden el 105 de las obleas?
c. Calcule la media y la varianza del espesor de la sustancia fotoprotectora.
Ejemplos: Calcular las siguientes probabilidades si Z
a) P ( Z < 1.32 )
e) P ( 2.34 < Z < 1.76 )
c) P ( Z > 1.45 )
g) P ( 2 < Z < 2 )
b) P ( Z < 3)
n ( 0 , 1)
f) P ( 1 < Z < 1)
d) P ( Z > 2.15 )
h) P ( 3 < Z < 3)
Ejemplo: Cuál es el valor de Z para el cuál:
a) P ( Z < z ) = 0.9
b) P ( Z > z ) = 0.1
c) P ( 1.24 < Z < z ) = 0.8
d) P ( z < Z < 1)
Ejemplo: Suponga que X
Solución:
P ( X 2. 3) =
n ( 2.0 , 0.16 ) . Calcular P ( X > 2.3) y P (1.8 X 2.1) .
1 P ( X < 2. 3)
=
1 P
X 2 2. 3 2
<
0. 4
0. 4
= 1 P ( Z < 0. 75) = 1 0. 77337 = 0. 2266
P (1. 8 X
2.1) =
=
=
P
1. 8 2 X U 2. 1 2
<
<
9
0. 4
0. 4
= P ( 0. 5 < Z < 0. 25 )
P ( Z < 0. 25 ) P ( Z < 0. 5 )
P ( Z < 0. 25 ) 1 + P ( Z < 0. 5 )
= 0. 59871 1 + 0. 69146 = 0.29
Ejemplo: La nota promedio obtenida por un estudiante de cierto curso tienen una distribución
aproximadamente normal con una nota promedio de 3.3 y una desviación estándar de 0.2 .
Si se desea que solo el 5% de todos los estudiantes de dicho curso re-prueben. ¿Cuál debe ser la
nota mínima para que esto sea posible?
Solución: Sea X : nota obtenida por un estudiante X
mínima que satisface P ( x < k ) = 0.05 .
P ( x < k ) = 0.05 3 P
3 P ( Z < z ) = 0.05,
Así
P ( Z < z ) = 0. 95
z = 1. 645 =
n ( 3.3 , 0.04 ) . Sea k la nota promedio
x 3.3 k 3.3
<
= 0.05
0.2
0.2
k 3.3
con
z=
0.2
z = 1. 645
k 3. 3
0. 2
k = 2. 971
Distribución Exponencial
Suponga que Y es una v.a discreta tal que Y
pois ( ) ) . Sea X : tiempo entre ocurrencias
sucesivas del proceso Poisson. Si el tiempo entre ocurrencias es mayor que x (osea, X > x ), esto
significa que en el intervalo [ 0 , x ] no ocurre ningún evento Poisson. Sea W : # de ocurrencias en
un intervalo de tiempo x . W
pois ( )x ) . Así P ( X > x ) = P ( W = 0 )
P ( X > x ) = P ( W = 0) = f
Así
Fx ( x ) = P ( X
x) = 1 P (X > x) = 1 e
)x
W
(0) = e
)x
f
W
con esto f x ( X ) = ) e
(W) =
)x
e
)x
() x )
W!
w
, W = 0, 1, 2, ...
, x > 0 . La distribución de la
variable aleatoria X se conoce como distribución exponencial con parámetro ) . Escribimos
1
1
X exp ( ) ) . Se puede probar fácilmente que E [ X] = y V [ X ] = 2 .
)
)
Ejemplo: El tiempo que transcurre entre
llamadas a una empresa de artículos de
plomería tiene una distribución exponencial, con
un tiempo promedio de 15 minutos entre
llamadas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no hayan
llamadas en un lapso de 30 minutos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de recibir al menos
una llamada en un intervalo de 10 minutos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de recibir la primera
llamada entre 5 y 10 minutos?
d) Calcule la dimensión de un intervalo de
tiempo de manera que la probabilidad de recibir
al menos una llamada en ese lapso de tiempo
sea 0.95.
Solución: Sea X tiempo entre llamadas,
1
X exp
E [ X ] = 15
15 .
a)
b)
c)
P ( x > 30 ) = 2
+
30
P ( x 10 ) = 2
10
0
)=
1
1 -x
f x ( x ) = e 15 , x > 0
15 .
15
1 - x 15
1
e
dx = 2
15
e
1
e
15
P ( 5 < x < 10 ) = 2
10
5
-x
15
dx = e
-x
10
10
=1 e
15
15
=1 e
2
3
4 0.4866
0
10
-x
-1
1 -x 15
dx = e 15 = e 3
e
15
5
e
-2
3
4 0.2031
d) Sea t la longitud en minutos de dicho intervalo entonces,
-t
-x
t 1
P ( X t ) = 0.95 3 2
e 15dx = 0.95 3 1 e 15 = 0.95
0 15
t 4 44.93 min
Ejemplo: Sea X el tiempo entre las detecciones de una partícula rara por un contador Geiger;
Supóngase que éste tiempo tiene una distribución exponencial con un tiempo medio de 1.4
minutos.
¿Cuál es la probabilidad de detectar una partícula durante el lapso de 30 segundos desde que se
enciende el contador?
Solución:
E [ X] =
1
= 1.4
)
1
1 -x 1.4
fx ( x ) =
e
, x>0
1.4 ,
1.4
,
1
( 0.5)
1 - x 1.4
e
dx = 1 e 1.4
= 0.300327
0 1.4
Suponga que transcurren 3 minutos sin que el contador detecte partícula alguna. ¿Cuál es la
probabilidad de detectar una partícula en los 30 segundos siguientes?
3.5 1 -x
23 1.4 e 1.4
P( 3 < X < 3.5)
=
P( X < 3.5 | X > 3.0) =
+ 1 -x
P( X > 3)
23 1.4 e 1.4
P ( x < 0.5 ) = 2
1 e
=
e
=
Aplicaciones
(1 e )
3.5
1.4
0.5
-3
1.4
-3
1.4
-0.5
1 e
1.4
-3.5
=
1-
e
-3
e
= 0.300327.
1.4
1.4
( igual)
Suponga que Y es una v.a discreta tal que Y
P ( ) ) . Sea X el tiempo entre ocurrencias
sucesivas de este proceso Poisson. Si el tiempo entre ocurrencias es mayor que x (osea X > x ),
esto significa que en el intervalo [ 0 , x ] no ocurre ningun evento Poisson. Sea W : # ocurrencias en
un intervalo de tiempo x (de cero a x ), entonces W
P ( X > x) = P ( W = 0)
Ahora
P (W) =
e
)x
() x)
p () x) .
w
;
w = 0 , 1 , 2 ,…
w!
P ( X > x) = P ( W = 0) = e ) x
La c.d.f para X es F ( x ) = P ( X
F ( x) = 1 e
)x
x) = 1 P ( X > x)
x > 0 . Asi, la p.d.f para X es F ( X ) = )e
;
Proposición: (Carencia de memoria)
Suponga que X es una variable
t1 , t 2 % R +
aleatoria
)x
exp ( ) ) .
, osea X
continua
tal
que
P ( x < t1 + t 2 | x > t1 ) = P ( x < t 2 )
X exp ( ) ) .
Sean
Demostración: ( x , y )
P( x < t1 + t 2 | x > t1 ) =
P( t1 < x < t1 + t 2 )
P( x > t1)
e
=
=
=
=
t1
) t1
)t
1 e 2!
"
#
)t1
e
P( x < t 2 )
t1
+
t1
) x t 1+t 2
e
e
t 1 +t 2
2
2
=
e
)e
)x
)e
)t 1
e
e
)x
dx
dx
(
) t 1+t 2
)
)t 1
)1 t 1
= 1 e
)t 2
”
El tiempo transcurrido no cuenta en la probabilidad del evento siguiente”
Para el ejemplo anterior se tiene que
P ( X < 3.5 | X > 3.0 ) = P ( X < 3 + 0.5 | X > 3.0 ) = P ( X < 0.5 )
Ejercicios propuestos:
-
Suponga que X tiene una distribución normal con media 10 y desviación estándar 2.
Calcule lo siguiente:
a. P ( X < 13)
b. P ( X > 9 )
c. P ( 6 < X < 14 )
d. P ( 2 < X < 4 )
e. P ( 2 < X < 8 )
-
Suponga que X tiene una distribución normal con media 5 y desviación estándar 4.
Obtenga el valor de x que resuelve cada una de las siguientes probabilidades:
a. P ( X > x ) = 0.5
b. P ( X > x ) = 0.95
c. P ( x < X > 9 ) = 0.2
d. P ( 3 < X > x ) = 0.95
e. P ( x < X < x ) = 0.99
-
La resistencia a la compresión de una serie de muestras de cemento puede modelarse con
una distribución normal con media 6000 kilogramos por centímetro cuadrado, y una
desviación estándar de 100kilogramos por centímetro cuadrado.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que 6250
kg / cm 2 ?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra se encuentre entre 5800 y
5900 kg / cm 2 ?
c. ¿Cuál es el valor de resistencia que excede el 95% de las muestras?
-
El volumen de una máquina de llenado automático deposita en latas de una bebida
gaseosa tiene una distribución normal con media 12.4 onzas de líquido y desviación
estándar de 0.1 onzas de líquido.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el volumen depositado sea menor que 12 onzas de
líquido?
b. Si se desechan todas las latas que tienen menos de 12.1 o más de 12.6 onzas de líquido,
¿Cuál es la proporción de latas desechadas?
c. Calcule especificaciones que sean simétricas alrededor de la media, de modo que se
incluya al 99% de todas las latas.
La media de la operación de llenado puede ajustarse con facilidad, pero la desviación
estándar sigue teniendo el mismo valor, 0.1 onzas de líquido.
a. ¿Qué valor debe darse al media para que el 99.9% de todas las latas contengan más de
12 onzas de líquido?
b. ¿Qué valor debe darse al media para que el 99.9% de todas las latas contengan más de
12 onzas de líquido si la desviación estándar puede reducirse a 0.05 onzas de líquido?
-
-
La longitud de un estuche moldeado por inyección para una cinta magnética tiene una
distribución normal con una media de 90.2 milímetros y desviación estándar de 0.1
milímetros.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la longitud de una pieza sea mayor que 90.3 milímetros o
menor que 89.7 milímetros?
b. ¿A que valor debe ajustarse la media del proceso para que el mayor número de partes
tenga una longitud entre 89.7 y 90.3 milímetros?
c. Si se desechan los estuches cuya longitud no está entre 89.7 y 90.3 milímetros, ¿Cuál es
el rendimiento del proceso para el valor de la media determinado en el inciso b)?
-
Suponga que el proceso se ajusta de modo que la media y la desviación estándar queden
en 90 y 0.1 milímetros, respectivamente. Suponga que se mide la longitud de 10 estuches y
que las mediciones son independientes.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la longitud de los 10 estuches esté entre 89.7 y 90.3
milímetros?
b. ¿Cuál es el numero esperado de los 10 estuches cuya longitud esté entre 89.7 y 90.3?
-
-
El tiempo que transcurre entre las llamadas a una empresa de artículos para plomería tiene
una distribución exponencial con un tiempo promedio entre llamadas de 15 minutos.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya llamadas en un lapso de 30 minutos?
b. ¿Cuál es la probabilidad de recibir al menos una llamada en un intervalo de 10 minutos?
c. ¿Cuál es la probabilidad de recibir la primera llamada entre cinco y 10 minutos después
de haber abierto la empresa?
Calcule la dimensión de un intervalo de tiempo, de modo tal que la probabilidad de recibir al
menos una llamada en ese lapso sea 0.90.
-
El tiempo de vida de los reguladores de voltaje de los automóviles tiene una distribución
exponencial con un tiempo de vida medio de seis años. Una persona compra un automóvil
que tiene una antigüedad de seis años, con un regulador en funcionamiento, y planea
tenerlo por espacio de seis años.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el regulador de voltaje falle en ese lapso de seis años?
b. Si el regulador falla después de tres años de haber efectuado la compra del automóvil y
se reemplaza, ¿Cuál es el tiempo promedio que transcurrirá hasta que el regulador vuelva a
fallar?
-
El tiempo entre llegadas de mensajes electrónicos a una computadora tiene una distribución
exponencial con media de dos horas.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la computadora no reciba mensajes en un periodo de
dos horas?
b. Si la computadora no ha recibido ningún mensaje en las últimas cuatro horas, ¿Cuál es la
probabilidad de recibir un mensaje en las dos horas siguientes?
C. ¿Cuál es el tiempo esperado entre el quinto y el sexto mensaje?
-
El tiempo entre arribos de los taxis a un cruce muy concurrido tiene una distribución
exponencial con media de 10 minutos.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que esté en el cruce tenga que esperar más
de una hora para tomar un taxi?
b. Suponga que la persona ya esperó una hora; ¿Cuál es la probabilidad de que llegue uno
en los siguientes 10 minutos?
-
-
Continuación del anterior ejercicio 4-83
a. Determine x , de modo tal que la probabilidad de que la persona espere más de x
minutos para tomar un taxi sea 0.10.
b. Calcule x , de modo tal que la probabilidad de que la persona tenga que esperar menos
de x minutos para tomar un taxi sea 0.90.
c. Determine x , de modo que la probabilidad de que la persona tenga que esperar menos
de x minutos para tomar un taxi sea 0.50.
El tiempo de duración de un ensamble mecánico en una prueba de vibración tiene una
distribución exponencial con media de 400 horas.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el ensamble falle durante la prueba en menos de 100
horas?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el ensamble trabaje durante más de 500 horas antes de
que falle?
c. Si el ensamble se ha probado durante 400 horas sin falla alguna, ¿Cuál es la
probabilidad de que falle en las siguientes 100 horas?
Continuación del anterior ejercicio
-
a. Si se prueban 10 ensambles, ¿Cuál es la probabilidad de que falle al menos uno de ellos
en menos que 100 horas? Suponga que los ensambles fallan de manera independiente.
b. Si se prueban 10 ensambles, ¿Cuál es la probabilidad de que todos hayan fallado
después de 800 horas? Suponga que los ensambles fallan de manera independiente.
-
El tiempo entre las llegadas de avionetas a un aeropuerto tiene una distribución exponencial
con una media de 1 hora. ¿Cuál es la probabilidad aterricen más de tres avionetas en una
hora?
-
Continuación del anterior ejercicio
a. Si se escogen 30 intervalos de una hora, ¿Cuál es la probabilidad de que en ninguno de
ellos hayan aterrizado más de tres avionetas?
b. Determine la duración de un intervalo (en horas), de modo tal que la probabilidad de que
no aterrice ninguna avioneta en ese tiempo sea 0.10.
Si la variable aleatoria X tiene una distribución exponencial con media A , calcule lo
siguiente:
a. P ( X > A )
b. P ( X > 2A )
c. P ( X > 3A )
d. ¿Cómo depende el resultado de A ?
Leer Sección 4.9. “Probabilidad y estadistica” Montgomery, Douglas C
Distribución Lognormal
Una variable aleatoria X , no negativa, tiene una p.d.f Lognormal si Y = ln ( X ) es una v.a con p.d.f
normal. Si E [ Y ] = µ y V [ Y ] = 9 2 , la p.d.f de X es de la forma
*
1
,
e
f ( x ) = - 2> x 9
,
0
/
1 ( ln x µ )
2
92
2
x>0
,
, otro caso
µ y 9 2 no son la media y varianza de X . Son la
media y varianza de ln ( x ) . Se puede demostrar
que
E [ X] = e
µ+9
2
2
(
y V [ X] = e 2µ + 9 < e 9
2
2
)
1
Es una curva con un sesgo grande a la derecha.
El cálculo de probabilidades con una p.d.f
Lognormal es algo complicado. Pero debido al
hecho de que el logaritmo natural de un v.a Lognormal es una v.a normal, podemos usar las tablas
para un anormal estándar para calcular dichas probabilidades. Como ln ( x ) es una función
estrictamente creciente, entonces
P ( X a ) = P ( ln x ln a ) = P
=P Z
ln x µ
9
ln a µ
9
ln a µ
ln a µ
=?
9
9
Así, la c.d.f de X es de la forma
ln x µ
F (x) = P ( X x) = ?
;
x>0
9
Ejemplo: El articulo “The statistics of phytotoxic air pollutants” (Journal Royal Stat Soc., 1989,
pp.183-198) sugiere que la concentración de SO 2 sobre cierto bosque tiene un distribución
aproximadamente Lognormal con µ = 1.9 y 9 = 0.9 .
a) Si X : es la concentración de SO 2 en este bosque. Calcule la concentración media de SO 2 y la
desviación estándar para X ?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la concentración de SO 2 sea a lo sumo 10? ¿Este entre 5 y
10?
c) Calcule la mediana para X
Solución:
a) E [ X ] = e
µ+9
2
2
(
=e
V [ X ] = e 2µ + 9 < e 9
2
2
P ( X 10 ) =
1.9 +
( 0.9) 2
)
2
= e 2.305 = 10.024
(
)
1 = e 4.61 < e 0.81 1 = 125.395
P ( ln x ln 10 )
ln x µ ln 10 1.9
9
0.9
P ( Z 0.45 ) = 0.6736
= P
=
b)
P ( 5 < X < 10 ) = P
=
=
=
ln 5 1.9
ln 10 1.9
Z
0.9
0.9
P ( 0.32 Z 0.45 )
? ( 0.45 ) ? ( 0.32 )
0.6736
0.3745 = 0.2991
c) Hallemos el valor de x , x tal que
P ( X x ) = 0.5 3
ln x µ ln x 1.9
= 0.5
0.9
9
ln x 1.9
con
z=
0.9
P ( ln X ln x ) = 0.5 3 P
3 P ( Z z ) = 0.5
z=0
ln x = 1.9
x = e 1.9 = 6.686
d) En general el percentil 100p se calcula como
ln xp 1.9
P(X X p ) = p 3 P Z
=p
0.9
ln xp 1.9
P (Z z) = p z = Z p
=Zp
0.9
Xp =e
1.9 + 0.9 Z p