Clase Ejercicio sobre laminados

Estructuras de
Materiales Compuestos
Mecánica de Laminados - Ejercicios
Ing. Gastón Bonet
-
Ing. Cristian Bottero
-
Ing. Marco Fontana
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 1
• Calcule las tensiones y deformaciones de las láminas que
componen un laminado crossply [0/90]s sometido a un
esfuerzo axil Nx=100KN/m.
Nx
Nx
E1  160GPa
E2  8GPa
G12  4.5GPa
Espesor de lámina individual
t = 0.2mm
12  0.3
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2
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 1
Utilizando los datos, podemos calcular el segundo coeficiente
de Poisson utilizando la relación:
21  12
E2
 0.015
E1
Y podemos calcular la matriz Q de la lámina en su sistema
principal (especialmente ortótropa)
 E1
1   
12 21

  E
Q    12 2
1  1221

0


12 E2
1  1221
E2
1  1221
0

0 
 160.72 2.41 0 

0    2.41 8.04 0  GPa
  0
0
4.5

G12 


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3
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 1
El siguiente paso es calcular las matrices Q correspondiente a
todas las orientaciones presentes en el laminado. En este caso
solamente hay láminas 0° y 90°
160.72 2.41 0 
Q   Q   Q    2.41 8.04 0  GPa


1
4
 0
0
4.5
Q   Q   T  90  
2
3
1
Q  R  T  90   R 
1
0 
8.04 2.41
  2.41 160.72 0  GPa
 0
0
4.5
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4
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 1
Para calcular como se distribuyen los esfuerzos dentro del
laminado, procedemos a calcular la rigidez del laminado a través
de las matrices A, B y D.
n
 A    hk  hk 1  Q  k
k 1
h h
 B   
2
k 1 
n
2
k
2
k 1

 Q  k


N  
  A



M   B 
0

 B     


 D     
 hk3  hk31 
 D   
 Q  k
3
k 1 

n
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Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 1
Como el laminado es simétrico, la matriz B será nula. Esto
implica que el esfuerzo axil aplicado no producirá curvaturas del
plano medio del laminado

N  
  A



M   0
0

0    


 D    
Las deformaciones del plano medio y las curvaturas del plano
medio están desacoplados
 N    A 
M    D  
0
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6
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 1
Al no haber momentos aplicados, las curvaturas del plano
medio resultan nulas
 M x  0   Dxx

   
M
 y   0   Dxy
 M  0   D
 xy     xs
Dxy
Dyy
Dys
Dxs    x 
 
Dys    y 
Dss   xy 
  x  0 
   
  y   0 
  0 
 xy   
Con la matriz A podemos determinar las deformaciones del
plano medio.
 N x   Axx

 
N
 y    Axy
N   A
 xy   xs
Axy
Ayy
Ays
Axs    x0 
 
Ays    y0 
Ass   xy0 
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Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 1
La matriz A se calcula a partir de la siguiente suma:
4
 A   tk Q  k
k 1
 t1 Q   t2 Q   t3 Q   t4 Q 
1
2
3
4
Como el espesor de todas las láminas es igual
4
 A   tk Q  k
k 1



 t Q   Q   Q   Q   2t Q   Q 
1
2
3
4
1
2

 160.72 2.41 0 

0 
8.04 2.41
 A  2 * 0.0002m   2.41 8.04 0  GPa   2.41 160.72 0  GPa 
 0

 0
0
4.5
0
4.5


67.5 1.93 0 
 A  1.93 67.5 0  MPa.m
 0
0
3.6 
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Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 1
Teniendo en cuenta que el estado de carga es uniaxial
  x0 
 N x  100 
67.5 1.93 0 
   
1.93 67.5 0  MPa.m   0 
0

0
KN
/
m

   
 y


0  0 
 0 


0
0
3.6
   


 xy 
Explícitamente
100000  67.5 *106  x0  1.93*106  y0
0  1.93*106  x0  67.5 *106  y0
0  3.6 *106  xy0
  x0   0.00148 
 0 




0.000042
 y 

 0  

0
xy


 
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Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 1
Las deformaciones de todo el laminado están determinadas
por las deformaciones y curvaturas del plano medio
 x  x, y, z    x0  x, y   zk x  x, y 
 y  x, y, z    y0  x, y   zk y  x, y 
 xy  x, y, z    xy0  x, y   zk xy  x, y 
  x0   0.00148 
 0 




0.000042
 y 

 0  

0

 xy  
  x  0 
   
  y   0 
  0 
 xy   
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Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 1
En ausencia de curvaturas, las deformaciones de todas las
láminas son iguales
 x  x, y, z   0.00148
 y  x, y, z   0.000042
 xy  x, y, z   0
Con estas deformaciones podemos obtener las tensiones de
cada lámina
 
k
 Q   
k
k
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Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 1
Podemos calcular las tensiones de cada lámina, pero las
deformaciones de todas las láminas son iguales, y la matriz Q de
las láminas 1 y 4 son iguales
    
1
4
160.72 2.41 0 
 0.00148  237 

 

  2.41 8.04 0  GPa 0.000042    3  MPa

 

 0
0
4.5
0

  0 
 Q   
1
1
Las matrices de rigidez de las láminas 2 y 3 son idénticas
 
2
    Q   
2
3
2
0 
8.04 2.41
 0.00148  12 

  
  2.41 160.72 0  GPa 0.000042  3 MPa

 0
 0
0
4.5
0

  
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Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 1
Podemos graficar las tensiones presentes en el laminado
Z
237MPa
Nx
237MPa
12MPa
12MPa
12MPa
12MPa
237MPa
Nx
X
237MPa
Z
3MPa
-3MPa
-3MPa
3MPa
3MPa
-3MPa
-3MPa
Y
3MPa
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Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 1
Las tensiones en los ejes materiales de cada lámina se
calculan rotando las tensiones calculadas anteriormente
 '   '
1
4
 T (0) 
1
1 0 0  237  237 

 



 0 1 0   3    3  MPa
0 0 1   0   0 
 '   '  T (90) 
2
3
2
0 1 0 12  3
   
 1 0 0  3  12  MPa
0 0 1   0   0 
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Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 1
Las tensiones principales de cada lámina se muestran en la
siguiente figura
2
1
237MPa
1y4
12MPa
1
2
2y3
Y
3MPa
-3MPa
X
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Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 2
• Calcule las tensiones y deformaciones de las láminas que
componen un laminado [0/+45/-45]s sometido a un momento
Mx=50Nm/m.
Mx
Mx
E1  160GPa
E2  8GPa
G12  4.5GPa
Espesor de lámina individual
t = 0.2mm
12  0.3
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Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 2
Utilizando los datos, podemos calcular el segundo coeficiente
de Poisson utilizando la relación:
21  12
E2
 0.015
E1
Y podemos calcular la matriz Q de la lámina en su sistema
principal (especialmente ortótropa)
 E1
1   
12 21

  E
Q    12 2
1  1221

0


12 E2
1  1221
E2
1  1221
0

0 
 160.72 2.41 0 

0    2.41 8.04 0  GPa
  0
0
4.5

G12 


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Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 2
El siguiente paso es calcular las matrices Q correspondiente a
todas las orientaciones presentes en el laminado.
160.72 2.41 0 
Q   Q   Q    2.41 8.04 0  GPa


1
6
 0
0
4.5
Q   Q   T  45 
2
5
Q   Q   T  45 
3
4
1
1
Q R  T  45  R 
1
Q  R  T  45  R 
1
 47.9 38.9 38.2 
 38.9 47.9 38.2  GPa
38.2 38.2 41 
 47.9 38.9 38.2 
  38.9 47.9 38.2  GPa
 38.2 38.2
41 
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Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 2
Para calcular como se distribuyen los esfuerzos dentro del
laminado, procedemos a calcular la rigidez del laminado a través
de las matrices A, B y D.
n
 A    hk  hk 1  Q  k
k 1
h h
 B   
2
k 1 
n
2
k
2
k 1

 Q  k


N  
  A



M   B 
0

 B     


 D     
 hk3  hk31 
 D   
 Q  k
3
k 1 

n
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Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 2
Como el laminado es simétrico, la matriz B será nula. Esto
implica que el esfuerzo axil aplicado no producirá curvaturas del
plano medio del laminado

N  
  A



M   0
0

0    


 D    
Las deformaciones del plano medio y las curvaturas del plano
medio están desacoplados
 N    A 
M    D  
0
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Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 2
Las curvaturas del plano medio estarán dadas por la matriz D
y los momento aplicados
 M x  50   Dxx

   
 M y    0    Dxy
M   0   D
 xy     xs
Dxy
Dyy
Dys
Dxs    x 
 
Dys    y 
Dss   xy 
En ausencia de esfuerzos axiles o de corte, las deformaciones
normales y distorsión del plano medio serán nulas
 N x  0   Axx

   
N
 y   0   Axy
 N  0   A
 xy     xs
Axy
Ayy
Ays
Axs    x0 
 
Ays    y0 
Ass   xy0 
  x0  0 
 0  
  y   0 
 0  0 
 xy   
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21
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 2
La matriz D se calcula a partir de la siguiente suma:
hk3  hk31
h13  h03
h33  h23
h43  h33
h53  h43
h63  h53
h23  h13
Q  
Q  
Q  
Q  
Q  
Q  
Q 
 D  
k
1
2
3
4
5
6
3
3
3
3
3
3
3
k 1
4
Las coordenadas hk serán
Z
h0
t
K
Z
Z [m]
0
-3t
-0.0006
N/A
1
-2t
-0.0004
5.06e-11
2
-t
-0.0002
1.87e-11
3
0
0
2.67e-12
4
t
0.0002
2.67e-12
5
2t
0.0004
1.87e-11
6
3t
0.0006
5.06e-11
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22
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 2
Teniendo en cuenta que el estado de carga es uniaxial
x 
 M x  50
18.3 1.9 1.2 
   
 1.9 2.9 1.2  Pa.m3   
0

0
Nm
/
m

   
 y


 0  0
 


1.2
1.2
2.2
   


 xy 
Explícitamente
50  18.3 x  1.9 y  1.2 xy
0  1.9 x  2.9 y  1.2 xy
0  1.2 x  1.2 y  2.2 xy
  x   2.95 
  
1
  y   1.64 
  0.72  m

 xy  
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Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 2
Las deformaciones de todo el laminado estan determinadas por
las deformaciones y curvaturas del plano medio:
 x  x, y, z    x0  x, y   zk x  x, y 
 y  x, y, z    y0  x, y   zk y  x, y 
 xy  x, y, z    xy0  x, y   zk xy  x, y 
  x0  0 
 0  
  y   0 
 0  0 
 xy   
  x   2.95 
  
1
  y   1.64 
  0.72  m

 xy  
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24
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 2
Debemos calcular las deformaciones de las láminas:
 x  x, y, z   2.95 z
 y  x, y, z   1.64 z
 xy  x, y, z   0.72 z
Con estas deformaciones podemos obtener las tensiones de
cada lámina
 
k
 Q   
k
k
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25
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 2
Las tensiones dentro de cada lámina varían linealmente en el
espesor. Para la lámina 1, podemos calcular las tensiones dentro
de la lámina:
El dominio de la lámina está acotado por h0 y h1, por lo cual la
ecuación anterior solo es válida en:
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26
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 2
Para la lámina 2
 
2
 47.9 38.9 38.2 
 2.95 z 
 50 z 

1 
 GPa


 38.9 47.9 38.2  GPa 1.64 z    8.7 z 
0.72 z  m 20.5 z  m
38.2 38.2 41 




El dominio de la lámina está acotado por h1 y h2, por lo cual la
ecuación anterior solo es válida en:
 0.0004  z  0.0002
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27
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 2
Para la lámina 3
 
3
 47.9 38.9 38.2 
 2.95 z 
 105 z 

1 
 GPa
  38.9 47.9 38.2  GPa 1.64 z    63.7 z 
m 
m



 38.2 38.2
41 
0.72 z 
79.6 z 
El dominio de la lámina está acotado por h2 y h3, por lo cual la
ecuación anterior solo es válida en:
 0.0002  z  0
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28
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 2
Para la lámina 4
 
4
 47.9 38.9 38.2 
 2.95 z 
 105 z 

1 
 GPa
  38.9 47.9 38.2  GPa 1.64 z    63.7 z 
m 
m



 38.2 38.2
41 
0.72 z 
79.6 z 
El dominio de la lámina está acotado por h3 y h4, por lo cual la
ecuación anterior solo es válida en:
0  z  0.0002
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29
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 2
Para la lámina 5
 
5
 47.9 38.9 38.2 
 2.95 z 
 50 z 

1 
 GPa
 38.9 47.9 38.2  GPa 1.64 z    8.7 z 
0.72 z  m 20.5 z  m
38.2 38.2 41 




El dominio de la lámina está acotado por h4 y h5, por lo cual la
ecuación anterior solo es válida en:
0.0002  z  0.0004
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30
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 2
Para la lámina 6
 
6
160.72 2.41 0 
 2.95 z 
 470.2 z 

1 
 GPa


  2.41 8.04 0  GPa 1.64 z   6.076 z 
m 
m



 0

0
4.5
0.72 z 
 3.24 z 
El dominio de la lámina está acotado por h5 y h6, por lo cual la
ecuación anterior solo es válida en:
0.0004  z  0.0006
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31
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 2
Deformación normal X
0.0008
0.0006
0.0004
z [m]
0.0002
0
-0.002
-0.0015
-0.001
-0.0005
0
0.0005
0.001
0.0015
0.002
-0.0002
-0.0004
-0.0006
-0.0008
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32
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 2
Deformación normal Y
0.0008
0.0006
0.0004
z [m]
0.0002
0
-0.0015
-0.001
-0.0005
0
0.0005
0.001
0.0015
-0.0002
-0.0004
-0.0006
-0.0008
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33
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 2
Distorsión ingenieril XY
0.0008
0.0006
0.0004
z [m]
0.0002
0
-0.0005
-0.0004
-0.0003
-0.0002
-0.0001
0
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
0.0005
-0.0002
-0.0004
-0.0006
-0.0008
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34
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 2
Tensión normal X
0.0008
0.0006
0.0004
Z [m]
0.0002
0
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
-0.0002
-0.0004
-0.0006
-0.0008
[GPa]
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35
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 2
Tensión normal Y
0.0008
0.0006
0.0004
z [m]
0.0002
0
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
-0.0002
-0.0004
-0.0006
-0.0008
[GPa]
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36
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 2
Tensión de Corte XY
0.0008
0.0006
0.0004
z [m]
0.0002
0
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
-0.0002
-0.0004
-0.0006
-0.0008
[GPa]
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37
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 2
Para analizar la resistencia del laminado tendremos que evaluar las
tensiones de cada lámina en su propio sistema de ejes principales materiales
(diferente para cada lámina).
 1 
 
 2 
 
 6
k
 m2
n2
2mn   x 

  
  n2
m 2 2mn   y 
 mn mn m 2  n 2   xy 

k  
k
Si bien se muestran en una misma gráfica en las próximas filminas, se
debe recordar que las tensiones de las diferentes láminas corresponden a
diferentes sistemas coordenados. Por ejemplo: la dirección 1 de la lámina 2
es +45 y la dirección 1 de la lámina 3 es -45 con respecto al eje x del
laminado.
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38
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 2
Tensión normal 1
0.0008
0.0006
0.0004
Z [m]
0.0002
0
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
-0.0002
-0.0004
-0.0006
-0.0008
[GPa]
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39
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 2
Tensión normal 2
0.0008
0.0006
0.0004
z [m]
0.0002
0
-0.025
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
-0.0002
-0.0004
-0.0006
-0.0008
[GPa]
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40
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Ejercicio 2
Tensión de Corte 12
0.0008
0.0006
0.0004
z [m]
0.0002
0
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
-0.0002
-0.0004
-0.0006
-0.0008
[GPa]
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41