Cálculo de longitud de circunferencia usando sucesiones de polígonos

UNGS
2º cuatrimestre 2018
Geometría II
Trabajo final: aproximación a
𝜋usando polígonos
𝛥𝑋𝑋
Alumnos:
Ramírez, Pablo
Agregar los apellidos en orden alfabetico
Docentes:
Índice
Introducción
2
Algunas consideraciones previas
Algunos resultados
Algunas definiciones
4
4
4
Perímetros inscriptos y circunscriptos
4
Anexo I
8
Anexo II
10
Anexo xx
13
Bibliografía
15
1
Introducción
Como docentes sería pertinente que revisemos, de tanto en tanto, la historia
de los saberes matemáticos, así como la construcción de dichos conocimientos,
para compartirla con nuestros alumnos favoreciendo una visión popular de las
matemáticas (Ernest, 2000). En este sentido, detenernos en conceptos que de tan
populares nos parecen obvios, como por ejemplo el número �, ayudaría a que los
jóvenes comprendan cómo son construidos.
En una clase típica de geometría, un profesor de escuela enseña,
correctamente, que el perímetro de una circunferencia es 2. 𝜋. 𝑟 , y ante la pregunta
casi obligada de cualquier alumno: ¿que es 𝜋? probablemente la respuesta sea: es
un número irracional que se aproxima con 3,14. De esta manera, se corre el riesgo
de sepultar la identidad de uno de los números más famosos de la matemática. Una
manera de evitarlo podría ser proponer actividades que intenten reproducir las ideas
de los primeros hombres que se plantearon el mismo interrogante.
Desde la época de los egipcios y babilonios ya se manejaban aproximaciones
de este número, sin embargo, se atribuye a Arquímedes el primer tratamiento
sistemático para alcanzar una aproximación adecuada.
La idea de Arquímedes fue básicamente aproximar la longitud de una
circunferencia por el perímetro de polígonos regulares inscriptos y circunscritos a
dicha circunferencia con número de lados crecientes (Matera, 2014).
En este trabajo queremos, de una manera aggiornada, recrear la labor de
aquel prestigioso griego.
Queremos probar que es posible aproximar el perímetro de una
circunferencia usando polígonos regulares de muchos lados, inscriptos y
circunscritos a dicha circunferencia. Para ello, en primer lugar, vamos a construir
dos sucesiones, una de perímetros de polígonos inscriptos y otra de circunscritos a
una circunferencia, cuyos números de lados crecientes sea
2𝑛 . Luego,
demostraremos
decreciente.
que
la
primera
es
creciente
y
la
segunda
Posteriormente, demostraremos que dichas sucesiones convergen al mismo
2
número. Finalmente, relacionaremos dicho valor con 2𝜋. 𝑟, perímetro de la
circunferencia.
3
Algunas consideraciones previas
Algunos resultados
Antes de comenzar enumeramos algunos resultados que no vamos a
demostrar: asumimos que si A y B son conjuntos convexos y 𝐴 ⊆ 𝐵 entonces
𝑝𝑒𝑟𝐴 ≤ 𝑝𝑒𝑟𝐵. De esto, concluimos que:
1. Dadas dos poligonales convexas, 𝑃1 y 𝑃2 . Sea la región convexa determinada
por la intersección de los semiplanos determinados por las rectas que unen
pares de vértices contiguos de 𝑃1 y que contienen a los 𝑛 − 2
vértices
restantes. Si 𝑃2 comparte con 𝑃1 los vértices inicial y final y 𝑃2 está incluida en
𝛼 , entonces 𝑝𝑒𝑟(𝑃2 ) ≤ 𝑝𝑒𝑟(𝑃1 ).
2. El perímetro de cualquier polígono inscripto en una circunferencia es menor o
igual que el perímetro de la circunferencia y este a su vez es menor o igual
que el de cualquier polígono circunscripto.
3. Si {𝑎𝑛 }𝑛𝜖ℵ es una sucesión estrictamente creciente (decreciente) y acotada
superiormente (inferiormente) entonces es convergente o sea tiene límite.
4. Si {𝑎𝑛 }𝑛𝜖ℵ es una sucesión convergente a L y{𝑎𝑛(𝑘) }𝑘𝜖ℵ es una subsucesión
de la misma, entonces la subsucesión tiende al mismo límite L, es decir
𝑙𝑖𝑚 𝑎𝑛 = 𝑙𝑖𝑚 𝑎𝑛(𝑘) = 𝐿
𝑛→∞
𝑘→∞
Algunas definiciones
Aqui van las definiciones que vamos usando
Def del cuadrado
Def de polígono regular
Def recta tangente
Una recta 𝑡 es tangente a una circunferencia en un punto 𝑃 de la misma si es
perpendicular al radio de la circunferencia que tiene a 𝑇 por extremo.
4
Perímetros inscriptos y circunscriptos
Para llevar a cabo la demostración utilizaremos dos sucesiones de perimetros
de poligonos regulares cuyas cantidad de lados crece según 2𝑛 , con 𝑛 ≥ 2, una
generada a partir de la sucesión {Pn}n∊ �
de polígonos inscriptos en la
circunferencia y la otra a partir de la sucesión {Qn}n∊ � de polígonos circunscriptos.
Consideremos la circunferencia c y las siguientes sucesiones de perímetros:
(𝐶𝑛 )
𝑛𝜖ℵ de
polígonos circunscritos a c y (𝐼𝑛 )
La sucesión (𝐼𝑛 )
𝑛𝜖ℵ se
𝑛𝜖ℵ de
polígonos inscriptos en c.
obtiene a partir de la sucesión de polígonos
construida según el siguiente método1:
Los primeros tres polígonos de la sucesión son:
En el Anexo I se muestra la resolución del ejercicio 26 en donde se emplea el método de
construcción de polígonos de la demostración
1
5
Por construcción, los polígonos de la sucesión son convexos 2 y sus
perímetros son menores que el perímetro de la circunferencia3.
Proposición 1: los polígonos de las sucesiones {Pn}n∊ � y {Qn}n∊ � son regulares.
Demostración: utilizaremos el principio de inducción para la demostración.
Consideremos el caso base para 𝑛 = 2, sea P2 el primer polígono de la
sucesión, correspondiente al cuadrado inscripto en c, es regular por la definición de
cuadrado.
Para 𝑛 = 𝑘, con k>2, suponemos cierto que Pk es regular. Esto implica que
tiene sus 2
𝑘
lados congruentes entre sí y sus ángulos interiores también
congruentes entre sí. (por definición de polígono
regular)
Queremos ver que Pk+1 es regular.
El polígono Pk+1 se construye a partir del
polígono regular Pk según se indica en la actividad
26.b)4
(figura
2)
.
De
dicha
construcción
obtenemos que 𝑃𝑖 𝑃𝑖+1 es lado del polígono regular
Pk y, 𝑃𝑖 𝑃𝑖′
y 𝑃𝑖′ 𝑃𝑖+1 los lados del polígono Pk+1
generados a partir del lado 𝑃𝑖 𝑃𝑖+1 .
Sea O centro de la circunferencia C de
radio r. Sean 𝑃𝑖 , 𝑃′𝑖 y 𝑃𝑖+1 vértices consecutivos del polígono Pk+1, donde 𝑃𝑖 y
𝑃𝑖+1 son vértices del polígono regular Pk . Consideremos el radio que contiene a M,
punto medio del segmento 𝑃𝑖 𝑃𝑖+1, el cual por construcción determina el vértice 𝑃𝑖′ .
Definición de poligonal convexa: Sean P1; P2,..., Pn una sucesión de puntos distintos de un plano,
con n>=3, que se ordenan de modo que:
- Tres consecutivos no estén alineados.
- Las rectas que se determinan de a dos de esos puntos consecutivos dejan a los restantes
n - 2 puntos en un mismo semiplano.
Entonces la unión de los segmentos P1P2; P2P3; ; Pn-1Pn forman una poligonal convexa de
n vertices (o n lados) denotada P1; P2; ; Pn.
2
De acuerdo con el resultado asumido: 2. El perímetro de cualquier polígono inscripto en una
circunferencia es menor o igual que el perímetro de la circunferencia y este a su vez es menor o igual
que el de cualquier polígono circunscripto.
4
ver Anexo II
3
6
Comparando los triángulos 𝑂𝑀𝑃𝑖 y 𝑂𝑀𝑃𝑖+1 obtenemos que
𝑂𝑃𝑖 ≡ 𝑂𝑃𝑖+1 por ser
radios de la misma circunferencia C, 𝑂𝑀 lado compartido y ambos triángulos son
= √𝑂𝑃𝑖 2 − 𝑂𝑀 2 =
rectángulos en M. Luego, por el teorema de Pitágoras 𝑀𝑃𝑖
2
2
√𝑂𝑃𝑖+1 − 𝑂𝑀 = 𝑀𝑃𝑖+1
con lo cual los tres lados de ambos triángulos son
congruentes, es decir, los triángulos𝑂𝑀𝑃𝑖 y 𝑂𝑀𝑃𝑖+1 son congruentes5.
̂
̂
Por otro lado, como 𝑃𝑖+1
𝑂𝑃𝑖′ ≡ 𝑃𝑖+1
𝑂𝑃𝑖′ por la siguiente propiedad 6: A ángulos
congruentes corresponden cuerdas congruentes, los segmentos
𝑃𝑖 𝑃′𝑖 ≡ 𝑃′𝑖 𝑃𝑖+1
resultan congruentes. Finalmente, tomando cualquier par de lados consecutivos del
polígono Pk+1, dichos lados son congruentes entre sí y Pk+1 es regular. Así mismo, los
polígonos Qi resultan regulares ya que son proporcionales a sus homólogos Pi , ver
demostración del anexo… en donde está resuelta la actividad 25.
Proposición 2: el perímetro del polígono de 2𝑛 lados es menor que el perímetro
del polígono Pn+1 de 2𝑛+1 lados.
Demostración: Sea 𝑃𝑖 , 𝑃𝑖+1 (Figura 3) los vértices
consecutivos de un lado del polígono Pn de 2𝑛
lados inscripto en la circunferencia c de radio r y
centro O. Sean 𝑃𝑖 , 𝑃′𝑖
y
𝑃𝑖+1 tres vértices
consecutivos del polígono Pn+1 , formado a partir
del
polígono
Pn, que definen dos lados
consecutivos de dicho polígono. La demostración
de la proposición es inmediata, notemos que el
triángulo formado con los vértices 𝑃𝑖 𝑃′𝑖 𝑃𝑖+1
cumple con la propiedad: todo lado de un
triángulo es menor que la suma de los otros dos (Puig Adam,1986) 7. En efecto, a
partir del lado 𝑃𝑖 𝑃𝑖+1 del polígono Pn se construyen los lados 𝑃′𝑖 𝑃𝑖+1
y 𝑃𝑖 𝑃′𝑖 del
Tercer criterio de igualdad de triángulos: Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes los
tres lados, son congruentes.
5
ver Puig pág 51
Ver demostración de pág 61
6
7
7
polígono
Pn+1 que cumplen:
𝑃𝑖 𝑃𝑖+1 < 𝑃′𝑖 𝑃𝑖+1 + 𝑃𝑖 𝑃′𝑖
y por ser polígonos
regulares 8, 𝑃′𝑖 𝑃𝑖+1 = 𝑃𝑖 𝑃′𝑖 , con lo cual el perímetro del polígono Pn está dado
por: 𝐼𝑛 = 2𝑛 . 𝑙𝑛 , donde 𝑙𝑛 es el lado del polígono inscripto de 2𝑛 lados, luego: 𝐼𝑛 =
2𝑛 . 𝑙𝑛 =
= 2𝑛 . 𝑃𝑖 𝑃𝑖+1 < 2𝑛 . ( 𝑃′𝑖 𝑃𝑖+1 + 𝑃𝑖 𝑃′𝑖 ) = 2𝑛 . (𝑙𝑛+1 + 𝑙𝑛+1 ) = 2. 2𝑛 . 𝑙𝑛+1 =
2𝑛+1 . 𝑙𝑛+1 = 𝐼𝑛+1 , donde 𝑙𝑛+1 es el lado del polígono regular Pn+1 y 𝐼𝑛+1 es su
perímetro, es decir 𝐼𝑛 < 𝐼𝑛+1.
Concluimos que el perímetro de los polígonos de la sucesión Pn aumenta
cuando aumenta el número de lados del polígono, es decir, la sucesión 𝐼𝑛 es
creciente y acotada, pues asumimos que el perímetro de todo polígono inscripto en
una circunferencia es menor que el perímetro de dicha circunferencia, es decir, 𝐼𝑛 es
convergente9.
Análogamente, la sucesión 𝐶𝑛 , es convergente. En efecto, podemos
demostrar que el perímetro del polígono
circunscritos Qi es mayor que el del
polígono Qi+1 , además esta sucesión de perímetros está acotada inferiormente por
el perímetro de la circunferencia.
Proposición 3: el perímetro del polígono circunscripto Qn de 2𝑛 lados es mayor que
el perímetro del polígono circunscripto Qn+1 de 2𝑛+1 lados.
Demostración:
por proposición 1
asumimos el siguiente resultado: una sucesión estrictamente creciente y acotada superiormente
entonces es convergente
8
9
8
Anexo I
26.a) Perímetro de un cuadrado inscrito en una circunferencia de centro 𝑂 y radio 𝑟
Para calcular el perímetro debemos ver la medida 𝑙 del lado del cuadrado.
Sea el cuadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷inscrito en una circunferencia de centro 𝑂 y radio 𝑟.
Determinamos las diagonales del cuadrado: 𝐴𝐶 y 𝐵𝐷. Por propiedad de las
diagonales
de
un
cuadrado
estas
son
congruentes
y
se
intersectan
perpendicularmente por su punto medio, 𝑂. por lo tanto, 𝐴𝑂 = 𝐵𝑂 = 𝐶𝑂 = 𝐷𝑂
Consideremos el triángulo 𝐴𝑂𝐵 determinado por las diagonales del cuadrado
inscripto y uno de los lados del cuadrado:
● El ángulo ∠𝐴𝑂𝐵 es recto pues 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷 por ser diagonales del cuadrado.
Luego, el triángulo 𝐴𝑂𝐵 es rectángulo.
● 𝐴𝑂 = 𝐵𝑂 = 𝑟 por construcción. Luego, el triángulo 𝐴𝑂𝐵 es isósceles.
● Llamemos 𝑙 al lado desigual 𝐴𝐵, lado del cuadrado.
Nos encontramos bajo las condiciones del Teorema de Pitágoras. Por lo tanto,
aplicando dicho teorema, obtenemos la siguiente relación:
2
𝐴𝐵
𝑙
2
= 𝐴𝑂
2
=𝑟
𝑙
2
2
+ 𝐵𝑂
+𝑟
= 2𝑟
𝑙 = √2𝑟
2
2
2
2
𝑙 = √2. 𝑟
Luego, la medida del lado del cuadrilátero regular es: 𝑙 = √2. 𝑟
Llamemos 𝐼
4
al perímetro del cuadrilátero regular inscripto en la circunferencia de
centro 𝑂 y radio 𝑟. Entonces, 𝐼
4
= 4√2. 𝑟
Sucesión de polígonos:
● Primer elemento es un cuadrado inscripto
● Segundo elemento es un octógono regular inscripto
● El enésimo elemento se obtiene determinando los puntos medios de los lados
del elemento 𝑛 − 1. Luego, determinando los radios de la circunferencia que
contiene a estos puntos medios. Luego, el polígono buscado es el que tiene
9
como vértices a los vértices del polígono 𝑛 − 1intercalados con los extremos
de los radios determinados que no sean centro.
Luego, la cantidad de lados del k-ésimo polígono es: 𝑛 = 2
𝑘+1
con 𝑘 > 0
Del cuadrado inscripto Por lo tanto, el perímetro del k-ésimo polígono es: 𝐼
2
𝑘+1
𝑙
𝑘+1
𝑘
=
con 𝑘 > 0
10
Anexo II
Actividad 26.b) Para cada lado del cuadrado inscripto considerar el radio que
contiene al punto medio. Determinar la figura cuyos vértices son los vértices del
cuadrado inicial intercalados con los extremos de esos radios (que no son centro de
la circunferencia) que contienen a los puntos medios entre dos vértices
consecutivos. ¿Qué tipo de figura queda determinada? Justificar que el perímetro de
esta figura es mayor que el del cuadrada inicial inscripto.
Conjetura: La figura que queda determinada es un octógono regular.
Demostración:
Sea 𝑂 el centro de la circunferencia
′
de radio 𝑟 y sean 𝑃𝑖′ , 𝑃𝑖 , 𝑃𝑖+1
vértices
consecutivos del octógono, donde 𝑃𝑖
es vértice del cuadrado inicial
𝑃𝑖 𝑃𝑖+1 𝑃𝑖+2 𝑃𝑖+3
Determinamos
la
diagonal
del
cuadrado que tiene por extremo a 𝑃𝑖+1
′
Sea 𝑀2 la intersección de 𝑂𝑃𝑖+1
y el
lado
del
cuadrado
𝑃𝑖+1 𝑃𝑖+2.
El
triángulo 𝑂𝑀2 𝑃𝑖+1 es isósceles pues
𝑂𝑀2 es congruente a 𝑃𝑖+1 𝑀2 . Si la
medida del lado del cuadrado es 𝑙
𝑙
′
entonces, 𝑂𝑀2 ≡ 𝑃𝑖+1 𝑀2 ≡ 2. El ángulo ∠𝑂𝑀2 𝑃𝑖+1 es recto pues 𝑂𝑃𝑖+1
es
′
perpendicular a 𝑃𝑖+1 𝑃𝑖+2 por ser 𝑂𝑃𝑖+1
la mediatriz de 𝑃𝑖+1 𝑃𝑖+2.
Luego, por suma de los ángulos interiores de un triángulo, el ángulo
∠𝑀2 𝑂𝑃𝑖+1resulta ser la mitad de un recto.
Análogamente, considerando el triángulo 𝑂𝑀1 𝑃𝑖+1 llegamos a que el
ángulo∠𝑀1 𝑂𝑃𝑖+1 también es igual a la mitad de un recto.
′
Comparando los triángulos 𝑂𝑃𝑖′ 𝑃𝑖+1 y 𝑂𝑃𝑖+1
𝑃𝑖+1 notamos que ambos triángulos tienen
′
′
lados 𝑂𝑃𝑖 y 𝑂𝑃𝑖+1 congruentes a los radios de la circunferencia, que 𝑂𝑃𝑖+1 es lado
común a ambos triángulos y el ángulo comprendido por dichos lados miden la mitad
de un recto: ∠𝑃′𝑖 𝑂𝑃𝑖+1 ≡ ∠𝑃′𝑖+1 𝑂𝑃𝑖+1. Luego, por criterio de congruencia de
′
triángulos10 los triángulos 𝑂𝑃𝑖′ 𝑃𝑖+1 y 𝑂𝑃𝑖+1
𝑃𝑖+1son congruentes. En particular, los
lados homólogos 𝑃′𝑖 𝑃𝑖+1 y 𝑃𝑖+1 𝑃′𝑖+1 son congruentes y los ángulos
∠𝑂𝑃𝑖′ 𝑃𝑖+1 ≡
′
′
∠𝑂𝑃𝑖+1
𝑃𝑖+1 y ∠𝑂𝑃𝑖+1 𝑃𝑖′ ≡ ∠𝑂𝑃𝑖+1 𝑃𝑖+1
.
Primer criterio de congruencia de triángulos: Si dos triángulos tienen, respectivamente,
congruentes dos lados y el ángulo que forman, son congruentes.
10
11
Como el triángulo 𝑂𝑃𝑖′ 𝑃𝑖+1 es isósceles, ∠𝑂𝑃𝑖′ 𝑃𝑖+1 ≡ ∠𝑂𝑃𝑖+1 𝑃𝑖′ . Luego, si la medida
de dichos ángulos es 𝛼, el ángulo interior del octógono correspondiente al vértice
𝑃𝑖+1 es igual a 2𝛼.
Análogamente, tomando cualquier par de lados consecutivos, el ángulo interior del
octógono mide 2𝛼 y dichos lados son congruentes entre sí.
Por lo tanto, el polígono obtenido es un octógono regular.
∠
12
Anexo xx
13
Anexo
resolución del ej 25
Actividad 25. Sean C una circunferencia de centro O y 𝑃1 , 𝑃2 , . . . , 𝑃𝑛 polígono regular
inscripto en ella. Sean 𝑝1 , . . . , 𝑝𝑛 rectas tangentes a C en los puntos 𝑇1 , . . . , 𝑇𝑛 , siendo
𝑇𝑖 ∈ � tal que 𝑂𝑇𝑖 es el radio que contiene al punto medio 𝑀𝑖 del segmento
𝑃𝑖 𝑃𝑖+1 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 y 𝑂𝑇𝑛 es el radio que contiene al punto medio 𝑀𝑛 de 𝑃𝑛 𝑃1 .
a) Considerar los puntos 𝑄1 , 𝑄2 , . . . , 𝑄𝑛 que se determinan con las
intersecciones de las tangentes de a dos en forma contigua, (𝑄1
determinado por la intersección de 𝑝1 𝑦 𝑝𝑛 , 𝑄2 determinado por la
intersección de 𝑝1 𝑦 𝑝2, etc.). Probar que cada 𝑄𝑖 está alineado con 𝑃𝑖
y O.
b) Mostrar que 𝑄1 , 𝑄2 , . . . , 𝑄𝑛 son vértices de un polígono regular
semejante al dado.
c) Si 𝑙 es la medida del lado del polígono 𝑃1 , 𝑃2 , . . . , 𝑃𝑛 , determinar la razón
de semejanza entre este polígono regular y el circunscrito
correspondiente 𝑄1 , 𝑄2 , . . . , 𝑄𝑛 en función de 𝑙 y 𝑟, radio de la
circunferencia.
Proposición 25.a): los puntos 𝑄1 , 𝑄2 , . . . , 𝑄𝑛 que se determinan con las intersecciones
de las tangentes de a dos en forma contigua están alineados con 𝑃1 , 𝑃2 , . . . , 𝑃𝑛 ,
respectivamente, y con O.
14
Bibliografía
● Matera, G. (2014) Análisis Matemático. Un enfoque constructivo. 1a ed. 1a
reimp. Buenos Aires: Universidad Nacional de General Sarmiento.
● Puig Adam, (1986) Curso de geometría métrica. 16a ed. Madrid: Euler
editorial S.A.
● Ernest, P. (2000). Los valores y la imagen de las matemáticas: una
perspectiva filosófica, Uno: Revista de didáctica de las matemáticas, 23, 9-28.
●
15