La transformada de Fourier ( FT ) descompone ( analiza ) una función del tiempo (una señal ) en sus frecuencias constituyentes. Esto es similar a la forma en que un acorde musical se puede expresar en términos de los volúmenes y frecuencias (o tonos) de sus notas constitutivas. El término transformada de Fourier se refiere tanto a la representación en el dominio de la frecuencia como a la operación matemática que asocia la representación en el dominio de la frecuencia a una función del tiempo . La transformada de Fourier de una función del tiempo es en sí misma una función de frecuencia de valores complejos , cuya magnitud ( módulo) representa la cantidad de esa frecuencia presente en la función original, y cuyo argumento es el desplazamiento de fase de la sinusoide básica en esa frecuencia. La transformada de Fourier no se limita a las funciones del tiempo, sino que el dominio de la función original se conoce comúnmente como el dominio del tiempo . También hay una transformada de Fourier inversa que sintetiza matemáticamente la función original (del tiempo) a partir de su representación en el dominio de la frecuencia.
Una curva sinusoidal , con amplitud pico (1), pico a pico (2), RMS (3) y período de onda (4).
Ilustración del cambio de fase ? .
{\ displaystyle \ scriptstyle f (t)} \scriptstyle f(t) {\displaystyle \scriptstyle {\hat {f}}(\omega )} \scriptstyle {\hat {f}}(\omega ) {\displaystyle \scriptstyle g(t)} \scriptstyle g(t) {\displaystyle \scriptstyle {\hat {g}}(\omega )} \scriptstyle {\hat {g}}(\omega ) {\displaystyle \scriptstyle t} \scriptstyle t {\displaystyle \scriptstyle \omega } \scriptstyle \omega {\displaystyle \scriptstyle t} \scriptstyle t {\displaystyle \scriptstyle \omega } \scriptstyle \omega En la primera fila de la figura está el gráfico de la función de pulso de la unidad f ?( t ) y su transformada de Fourier f^ ?( ? ) , una función de la frecuencia ? . La traducción (es decir, el retraso) en el dominio del tiempo se interpreta como desplazamientos de fase complejos en el dominio de la frecuencia. En la segunda fila se muestra g ( t ) , un impulso de unidad retardado, junto a las partes reales e imaginarias de la transformada de Fourier. La transformada de Fourier descompone una función en funciones propias para el grupo de traducciones.
Transformadas de Fourier
Transformada continua de Fourier
series de Fourier
Transformada de Fourier en tiempo discreto
Transformada discreta de Fourier
Transformada discreta de Fourier sobre un anillo
análisis de Fourier
Transformadas relacionadas
Las operaciones lineales realizadas en un dominio (tiempo o frecuencia) tienen operaciones correspondientes en el otro dominio, que a veces son más fáciles de realizar. La operación de diferenciación en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación por la frecuencia, [observación 1], por lo que algunas ecuaciones diferenciales son más fáciles de analizar en el dominio de la frecuencia. Además, la convolución en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación ordinaria en el dominio de la frecuencia (ver Teorema de convolución ). Después de realizar las operaciones deseadas, la transformación del resultado puede volver al dominio del tiempo. Análisis armónicoes el estudio sistemático de la relación entre la frecuencia y los dominios de tiempo, incluidos los tipos de funciones u operaciones que son "más simples" en uno u otro, y tiene conexiones profundas con muchas áreas de las matemáticas modernas.
Las funciones que están localizadas en el dominio del tiempo tienen transformadas de Fourier que se extienden a lo largo del dominio de la frecuencia y viceversa, un fenómeno conocido como el principio de incertidumbre . El caso crítico de este principio es la función gaussiana , de importancia sustancial en la teoría de la probabilidad y las estadísticas , así como en el estudio de los fenómenos físicos que presentan una distribución normal (por ejemplo, difusión ). La transformada de Fourier de una función gaussiana es otra función gaussiana. Joseph Fourier introdujo la transformación en su estudio de la transferencia de calor , donde las funciones gaussianas aparecen como soluciones deecuación de calor .
La transformada de Fourier puede definirse formalmente como una integral de Riemann inadecuada , lo que la convierte en una transformada integral , aunque esta definición no es adecuada para muchas aplicaciones que requieren una teoría de integración más sofisticada. [observación 2] Por ejemplo, muchas aplicaciones relativamente simples utilizan la función delta de Dirac , que puede tratarse formalmente como si fuera una función, pero la justificación requiere un punto de vista matemáticamente más sofisticado. [observación 3] La transformada de Fourier también puede generalizarse a funciones de varias variables en el espacio euclidiano, enviando una función de 'espacio de posición' tridimensional a una función de tridimensionalmomento (o una función del espacio y el tiempo a una función de 4 momentos ). Esta idea hace que la transformación espacial de Fourier sea muy natural en el estudio de las ondas, así como en la mecánica cuántica , donde es importante poder representar soluciones de ondas como funciones de una posición o de un momento y, a veces, de ambas. En general, las funciones a las que se aplican los métodos de Fourier tienen un valor complejo y posiblemente un vector . [observación 4] Todavía es posible una mayor generalización de las funciones en grupos , que, además de la transformada de Fourier original en R o R n (vista como grupos bajo adición), incluye en particular ella transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT, grupo = Z ), la transformada de Fourier discreta (DFT, grupo = Z mod N ) y la serie de Fourier o la transformada de Fourier circular (grupo = S 1 , el círculo unitario interval intervalo finito cerrado con puntos finales identificados ). Este último se emplea rutinariamente para manejar funciones periódicas . La transformada rápida de Fourier (FFT) es un algoritmo para calcular la DFT.
Una motivación para la transformada de Fourier proviene del estudio de la serie de Fourier . En el estudio de la serie de Fourier, las funciones complicadas pero periódicas se escriben como la suma de ondas simples representadas matemáticamente por senos y cosenos . La transformada de Fourier es una extensión de la serie de Fourier que resulta cuando el período de la función representada se alarga y se le permite acercarse al infinito. [11]
Debido a las propiedades del seno y el coseno, es posible recuperar la amplitud de cada onda en una serie de Fourier utilizando una integral. En muchos casos, es deseable usar la fórmula de Euler , que establece que e 2p i? = cos (2p ? ) + i sin (2p ? ) , para escribir series de Fourier en términos de las ondas básicas e 2p i? . Esto tiene la ventaja de simplificar muchas de las fórmulas involucradas y proporciona una formulación para las series de Fourier que se asemeja más a la definición seguida en este artículo. Reescribiendo los senos y los cosenos como exponenciales complejos.hace necesario que los coeficientes de Fourier sean de valor complejo. La interpretación habitual de este número complejo es que proporciona tanto la amplitud (o tamaño) de la onda presente en la función como la fase (o el ángulo inicial) de la onda. Estos exponenciales complejos a veces contienen "frecuencias" negativas. Si ? se mide en segundos, entonces las ondas e 2p i? y e -2p i? completan un ciclo por segundo, pero representan diferentes frecuencias en la transformada de Fourier. Por lo tanto, la frecuencia ya no mide el número de ciclos por unidad de tiempo, pero sigue estando estrechamente relacionada.
Existe una conexión estrecha entre la definición de la serie de Fourier y la transformada de Fourier para las funciones f que son cero fuera de un intervalo. Para tal función, podemos calcular su serie de Fourier en cualquier intervalo que incluya los puntos donde f no es idénticamente cero. La transformada de Fourier también se define para tal función. A medida que aumentamos la longitud del intervalo en el que calculamos las series de Fourier, los coeficientes de las series de Fourier comienzan a parecerse a la transformada de Fourier y la suma de las series de Fourier de f comienza a parecerse a la transformada de Fourier inversa. Más precisamente, supongamos que T es lo suficientemente grande como para que el intervalo [- T
/
2
, T
/
2
]contiene el intervalo en el quefno es idénticamente cero. A continuación, elnésimo coeficiente seriec n viene dada por:
{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- {\ frac {T} {2}}} ^ {\ frac {T} {2}} f (x) \ , e ^ {- 2 \ pi i \ left ({\ frac {n} {T}} \ right) x} \, dx.} {\displaystyle c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(x)\,e^{-2\pi i\left({\frac {n}{T}}\right)x}\,dx.}
Comparando esto con la definición de la transformada de Fourier, se sigue que:
{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {T}} {\ hat {f}} \ left ({\ frac {n} {T}} \ right)} {\displaystyle c_{n}={\frac {1}{T}}{\hat {f}}\left({\frac {n}{T}}\right)}
ya que f ?( x ) es cero afuera [- T
/
2
,
T
/
2
]. Por lo tanto, los coeficientes de Fourier son iguales a los valores de la transformada de Fourier muestreada en una cuadrícula de anchura
1
/
T
, multiplicado por la rejilla de anchura
1
/
T
.
Bajo condiciones apropiadas, la serie de Fourier de f será igual a la función f . En otras palabras, f se puede escribir:
{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {n} \, e ^ {2 \ pi i \ left ({\ frac {n} {T}} \ derecha) x} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ hat {f}} (\ xi _ {n}) \ e ^ {2 \ pi i \ xi _ {n} x } \ Delta \ xi,} {\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\,e^{2\pi i\left({\frac {n}{T}}\right)x}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi _{n})\ e^{2\pi i\xi _{n}x}\Delta \xi ,}
donde la última suma es simplemente la primera suma reescrita usando las definiciones ? n = n
/
T
, y ? ? =
n + 1
/
T
-
N
/
T
=
1
/
T
.
Esta segunda suma es una suma de Riemann . Al dejar T ? 8 , convergerá a la integral para la transformada de Fourier inversa como se expresó anteriormente. En condiciones adecuadas, este argumento puede ser preciso. [12]
En el estudio de la serie de Fourier, los números c n podrían considerarse como la "cantidad" de la onda presente en la serie de Fourier de f . De manera similar, como se vio anteriormente, la transformada de Fourier se puede considerar como una función que mide la cantidad de cada frecuencia individual que está presente en nuestra función f , y podemos recombinar estas ondas utilizando una integral (o "suma continua") para reproducir La función original.
Ejemplo Las siguientes figuras proporcionan una ilustración visual de cómo la transformada de Fourier mide si una frecuencia está presente en una función particular. La función representada f ?( t ) = cos (6p t ) e -p t 2 oscila a 3 Hz (si t mide segundos) y tiende rápidamente a 0. (El segundo factor en esta ecuación es una función de envolvente que da forma a la sinusoide continua en un pulso corto. Su forma general es una función gaussiana ). Esta función fue elegida especialmente para tener una verdadera transformada de Fourier que se pueda trazar fácilmente. La primera imagen contiene su gráfica. Para calcular f^ ?(3)debemos integrar e -2p i (3 t ) f ?( t ) . La segunda imagen muestra la trama de las partes reales e imaginarias de esta función. La parte real del integrando es casi siempre positiva, porque cuando f ?( t ) es negativa, la parte real de e -2p i (3 t ) también es negativa. Debido a que oscilan a la misma velocidad, cuando f ?( t ) es positivo, también lo es la parte real de e -2p i (3 t ). El resultado es que cuando se integra la parte real del integrando se obtiene un número relativamente grande (en este caso 1
/
2
). Por otro lado, cuando intenta medir una frecuencia que no está presente, como en el caso de que veamos f^ ?(5) , verá que tanto el componente real como el imaginario de esta función varían rápidamente entre los valores positivos y negativos, como trazado en la tercera imagen. Por lo tanto, en este caso, el integrando oscila lo suficientemente rápido como para que la integral sea muy pequeña y el valor de la transformada de Fourier para esa frecuencia sea casi cero.
La situación general puede ser un poco más complicada que esto, pero esto en espíritu es cómo la transformada de Fourier mide cuánta frecuencia individual está presente en una función. f ?( t ) .
Función original que muestra la oscilación 3 Hz.
Partes reales e imaginarias de integrand para la transformada de Fourier a 3 Hz.
Partes reales e imaginarias de integrand para la transformada de Fourier a 5 Hz.
Magnitud de la transformada de Fourier, con 3 y 5 Hz etiquetados.
Propiedades de la transformada de Fourier Aquí asumimos f ?( x ) , g ( x ) y h ( x ) son funciones integrables : Lebesgue-mensurables en la línea real que satisface:
{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | f (x) | \, dx <\ infty.} \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|\,dx<\infty .
Denotamos las transformadas de Fourier de estas funciones como f^ ?( ? ) , g ( ? ) y h ( ? ) respectivamente.
Propiedades basicas La transformada de Fourier tiene las siguientes propiedades básicas: [13]
Linealidad
Para cualquier número complejo a y b , si h ( x ) = af ( x ) + bg ( x ) , entonces h ( ? ) = a · f^ ?( ? ) + b · g ( ? ) .
Traducción / cambio de horario Animación que muestra la transformada de Fourier de una señal cambiada en el tiempo. [Arriba] la señal original (naranja) está continuamente desplazada en el tiempo (azul). [Abajo] La transformada de Fourier resultante de la señal con cambio de hora. Observe cómo los componentes de mayor frecuencia giran en un plano complejo más rápido que los componentes de menor frecuencia.
Para cualquier número real x 0 , si h ( x ) = f ?( x - x 0 ) , entonces h ( ? ) = e -2p ix 0 ? f^ ?( ? ) .
Modulación / cambio de frecuencia Para cualquier número real ? 0 , si h ( x ) = e 2p ix? 0 f ?( x ) , entonces h ( ? ) = f^ ?( ? - ? 0 ) .
Escala de tiempo Para un número real distinto de cero a , si h ( x ) = f ?( ax ) , entonces
{\ displaystyle {\ hat {h}} (\ xi) = {\ frac {1} {| a |}} {\ hat {f}} \ left ({\ frac {\ xi} {a}} \ right ). {\hat {h}}(\xi )={\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right).
El caso a = -1 conduce a la propiedad de inversión de tiempo , que establece: si h ( x ) = f ?(- x ) , entonces h ( ? ) = f^ ?(- ? ) .
Conjugación Si h ( x ) = f ?( x ) , entonces
{\ displaystyle {\ hat {h}} (\ xi) = {\ overline {{\ hat {f}} (- \ xi)}}.} {\hat {h}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(-\xi )}}.
En particular, si f es real, entonces uno tiene la condición de realidad.
{\ displaystyle {\ hat {f}} (- \ xi) = {\ overline {{\ hat {f}} (\ xi)}},} {\displaystyle {\hat {f}}(-\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}},}
es decir, f^ es una función hermitiana . Y si f es puramente imaginario, entonces
{\ displaystyle {\ hat {f}} (- \ xi) = - {\ overline {{\ hat {f}} (\ xi)}}.} {\hat {f}}(-\xi )=-{\overline {{\hat {f}}(\xi )}}.
Parte real e imaginaria en el tiempo Si {\ displaystyle h (x) = \ Re {(f (x))}} {\displaystyle h(x)=\Re {(f(x))}}, entonces {\ displaystyle {\ hat {h}} (\ xi) = {\ frac {1} {2}} ({\ hat {f}} (\ xi) + {\ overline {{\ hat {f}} ( - \ xi)}})} {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\frac {1}{2}}({\hat {f}}(\xi )+{\overline {{\hat {f}}(-\xi )}})}.
Si {\ displaystyle h (x) = \ Im {(f (x))}} {\displaystyle h(x)=\Im {(f(x))}}, entonces {\ displaystyle {\ hat {h}} (\ xi) = {\ frac {1} {2i}} ({\ hat {f}} (\ xi) - {\ overline {{\ hat {f}} ( - \ xi)}})} {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\frac {1}{2i}}({\hat {f}}(\xi )-{\overline {{\hat {f}}(-\xi )}})}.
Integración Sustituyendo ? = 0 en la definición, obtenemos
{\ displaystyle {\ hat {f}} (0) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \, dx.} {\hat {f}}(0)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx.
Es decir, la evaluación de la transformada de Fourier en el origen ( ? = 0 ) es igual a la integral de f en todo su dominio.
Invertibilidad y periodicidad Más información: Teorema de la inversión de Fourier y Transformada de Fourier fraccional.
Bajo condiciones adecuadas en la función f , se puede recuperar de su transformada de Fourier. {\ displaystyle {\ hat {f}}} {\hat {f}}. De hecho, denotando el operador de la transformada de Fourier por F , entonces F (? f ?): = f^ , luego para las funciones adecuadas, aplicando la transformada de Fourier dos veces simplemente se invierte la función: F 2 (? f ?) ( x ) = f ?(- x ) , que Se puede interpretar como "tiempo de inversión". Como el tiempo de inversión es dos periódico, al aplicar esto dos veces se obtiene F 4 (? f ?) = f , por lo que el operador de la transformada de Fourier es cuatro periódico y, de manera similar, la transformada de Fourier inversa se puede obtener aplicando la transformada de Fourier tres veces: F3 (? f^ ?) = f . En particular, la transformada de Fourier es invertible (en condiciones adecuadas).
Más precisamente, definiendo el operador de paridad P que invierte el tiempo, P [? f ?]: t ? f ?(- t ) :
{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ mathcal {F}} ^ {0} & = \ mathrm {Id}, \ quad {\ mathcal {F}} ^ {1} = {\ mathcal {F}}, \\ {\ mathcal {F}} ^ {2} & = {\ mathcal {P}}, \ quad {\ mathcal {F}} ^ {4} = \ mathrm {Id}, \\ {\ mathcal {F }} ^ {3} & = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} = {\ mathcal {P}} \ circ {\ mathcal {F}} = {\ mathcal {F}} \ circ {\ mathcal {P}} \ end {alineado}}} {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{0}&=\mathrm {Id} ,\quad {\mathcal {F}}^{1}={\mathcal {F}},\\{\mathcal {F}}^{2}&={\mathcal {P}},\quad {\mathcal {F}}^{4}=\mathrm {Id} ,\\{\mathcal {F}}^{3}&={\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {P}}\circ {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}\circ {\mathcal {P}}\end{aligned}}}
Estas igualdades de operadores requieren una definición cuidadosa del espacio de funciones en cuestión, definiendo la igualdad de funciones (¿igualdad en todos los puntos? ¿Igualdad en casi todas partes ?) Y definiendo la igualdad de los operadores, es decir, definiendo la topología en el espacio de funciones y el espacio de operadores en pregunta. Estas no son verdaderas para todas las funciones, pero son verdaderas bajo varias condiciones, que son el contenido de las diversas formas del teorema de inversión de Fourier .
Esta cuatro veces la periodicidad de la transformada de Fourier es similar a una rotación del plano en 90 °, particularmente cuando la iteración doble produce una inversión, y de hecho esta analogía puede ser precisa. Si bien la transformada de Fourier puede interpretarse simplemente como conmutación del dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia, con la transformada inversa de Fourier cambiando de nuevo, más geométricamente puede interpretarse como una rotación de 90 ° en el dominio del tiempo y la frecuencia (considerando el tiempo como el x eje x y la frecuencia como el y eje x), y la transformada de Fourier se pueden generalizar a la , que puede visualizarse como la acción de la especial grupo lineal SL 2 ( R ) transformada de Fourier fraccional , que implica rotaciones por otros ángulos. Esto se puede generalizar aún más a transformaciones canónicas lineales. en el plano tiempo-frecuencia, con la forma simpléctica preservada correspondiente al principio de incertidumbre , a continuación. Este enfoque se estudia particularmente en el procesamiento de señales , en el análisis de frecuencia de tiempo. .