Físisca. Movimiento relativo

PROBLEMA 1
Un automóvil A viaja hacia el ESTE a una velocidad cte. de 25Km/h. Cuando pasa
por el cruce representado en la figura arranca el automóvil B, dirigiéndose hacia el
SUR con una aceleración cte. de 1.2m/s2 . Calcular la posición,velocidad y
aceleración de B relativas a A 5s después de que A pase por el cruce.
Datos: VB = 0
Va = 25 Km/h=6.94 m/s î
a b=1.2m/s2
T=5s
r0b= 30m
B
N
E
A
30m
El vehiculo A lleva un MRU, su V es cte. y por lo tanto su vector de posición
vendrá , tomando como sistema de referencia el eje Y en dirección Norte y el X en
dirección Este , vendrá dado por:
rAB= (6.94T , 0)
(siendo T el tiempo en s)
VAB= (6.94, 0)
El vehiculo B lleva un MRUA y su vector de posición análogamente vendrá dado
por:
rB=(0, 30-1/2.1.2.T2)
puesto que r = r0 + V 0 .T – 1/2aT2
ab= (0,-1.2)
Sabiendo esto la posición relativa de B respecto a A será:
rAB = rB – rA = (0, 30-1/2.1.2.T2) - ( 6.94T,0) –= ( -6.94.5s, 30-1/2.1.2.25s2)=
= (-34.7, 15 ) m
Análogamente:
VAB= V B –VA ; VB =V B0 –aT ( por ser MRUA) ; VB = ( 0,-1.2T)
VAB = ( 0, -1.2T) – (6.94, 0) = (-6.94, -1.2.5s)= ( -6.94, -6)m/s
aAB = aB –aA = (0, -1.2) – (0,0)= (0, -1.2) m/s2
PROBLEMA 2
Dado un sistema de coordenadas fijo en la Tierra (se supone sin movimiento),
supongamos una bala con una velocidad de 250 m/s disparada desde la cola de un
aeroplano que se desplaza a 220 m/s. Describir el movimiento de la bala:
a) Con respecto al sistema de coordenadas del aeroplano.
b) Con respecto al sistema de coordenadas de la Tierra.
c) Determinar el ángulo bajo el cual el cañón debe apuntar de modo que la
componente horizontal de la velocidad sea nula, con respecto a la Tierra.
Se tiene un sistema fijo en la Tierra y otro que se mueve con respecto al aeroplano.
La velocidad de arrastre u es la velocidad del aeroplano respecto a la Tierra.
La velocidad de la bala respecto al aeroplano es v’.
a) Visto desde la Tierra: v = u + v’
u = ( 220, 0 ) y v’ = ( -250, 0 )
Por tanto, v = ( 220,0 ) + ( -250,0 ) = ( -30,0 ), que es lo mismo que v = -30i m/ s.
De aquí se deduce que la bala describe un movimiento parabólico.
b) Desde el avión se ve lo mismo, es decir, la bala describe un movimiento parabólico,
pero a 250 m/s.
c) La velocidad de arrastre es u = (220,0 )
La velocidad de la bala es v’= ( -250 cos&, -250 sen& )
Por tanto v = u + v’= ( 220 – 250 cos&, -250 sen& )
Si v(x) = 0, es decir, visto desde la Tierra la bala cae verticalmente,
220 – 250 cos& = 0 ; 220 = 250 cos& ; cos& = 0.88 ; & = arc cos 0.88 ; & = 28.36º
Por tanto, el ángulo bajo el cual el cañón apunta para que la componente horizontal
de la velocidad se anule, con respecto a la Tierra, es de 28.36º.
PROBLEMA 3
Los instrumentos de un avión indican que, respecto del aire, se mueve hacia el este
a una velocidad de 560 km/h. Al mismo tiempo, un radar en tierra indica al avión
que se está moviendo a una velocidad de 520 km/h en una dirección que forma 8º
con el este hacia el norte. Determinar la dirección del viento en módulo, dirección y
sentido.
N
v
y
u
O
v´
x
S
v’ = (560, 0) km/h
v = (520·cos 8º, 520·sen 8º) = (515, 72) km/h
v = u + v’ ‡ u = v – v’ = (-45, 72) km/h
| u | = (-45)2 + 722 = 2025 + 5184
‡ | u | = 85 km/h
tg θ = 45/72 ‡ θ = arc tg 45/72 ‡ θ =32° (θ = ángulo con la dirección Norte)
SOLUCIÓN ‡ El viento sopla a una velocidad de 85 kilómetros por hora,
en la dirección N32O.
E
PROBLEMA 4
Un pescador desea cruzar un río de 1 Km de ancho, el cual tiene una corriente de 5
Km/h hacia el Norte. El pescador está situado en la orilla oeste y el bote con el que
pretende cruzar lleva una velocidad de 4 Km/h respecto al agua. DETERMINAR:
a) ¿En qué dirección debe dirigir el bote para
realizar el cruce en un tiempo mínimo?.
b) ¿Qué tiempo tardará en cruzar?.
c) ¿Con qué velocidad se desplaza respecto a un
observador situado en la orilla?.
Adoptando como sentidos positivos de los ejes x e y las direcciones Este y Norte,
respectivamente, el bote estará sometido a la composición de dos movimientos
rectilíneos y uniformes, cuyos vectores velocidad son los indicados en la figura 1
adjunta.
Designando como i y j los vectores unitarios en
dichas direcciones, las expresiones matemáticas
correspondientes son:
r
Vc
r
Vb
r
= 5 j
r
r
= 4 cosθ i + 4 sen θ j
siendo θ el ángulo que forma la velocidad relativa
del bote con el eje x.
Figura 1
La velocidad total del bote viene dada por la siguiente igualdad vectorial:
r
VT
r
r
= Vb + Vc
r
r
= Vx i + Vy j
r
VT
r
r
= 4 cos θ i + (4 sen θ + 5) j
Tomando como origen de distancias el punto de partida del bote, la posición del mismo
en un determinado instante viene dada, en forma paramétrica por las siguientes
expresiones:
x = Vx t
y = Vy t
Según esto, el tiempo que tarda el bote en cruzar de orilla a orilla, supuesta una
distancia L genérica entre las mismas, es:
L
t =
4 cosθ
Para responder a la primera de las cuestiones, basta fijarse en que el segundo miembro
de la expresión anterior será mínimo cuando el denominador sea máximo, lo cual se
produce cuando cos θ = 1, es decir, θ = 0º. En resumen, el bote se debe dirigir hacia el
Este.
Particularizando la expresión anterior al caso de L = 1 Km y θ = 0º, el tiempo que tarda
en cruzar es de:
t = 1 4 hora = 15 minutos
Finalmente, sustituyendo θ por el valor determinado antes, la velocidad absoluta con
que se mueve el bote viene dada por:
r
VT
r
r
= 4 i +5 j
cuyo módulo es de 6.4 km/h y cuya dirección forma un ángulo β = 51.34º con la
dirección Este, según la notación indicada en la figura 1.
PROBLEMA 5
Dos lugares A y B situados en la misma orilla de un río perfectamente recto, están
separados 1 km.
Un hombre va de A a B y regresa a A en un bote de remos que se desplaza a 4 km/h
con respecto al
agua. Otro hombre camina a lo largo de la orilla realizando el mismo recorrido a una
velocidad de
4 km/h. Calcular el tiempo que tarda cada hombre en realizar el viaje completo,
teniendo en cuenta
que la velocidad de arrastre del río es de 2 km/h.
Vr
v
Vr = 4 km/h
v = 2 km/h
A
V
B
. Como A y B distan 1 km, el hombre que va de A a B y vuelve a A tardará:
s = vt (mov. rectilíneo uniforme)
2 km = 4 km/h . t ; t = 0.5 h = 30 minutos
. La corriente del río avanza a una velocidad v y el bote lleva una velocidad relativa
Vr = 4 km/h respecto al agua.
Suponiendo que la corriente del río va de A a B, la velocidad del bote en el tramo
A -- B será :
V = v + Vr
Y el tiempo que tardará en recorrer este espacio será : s* = vt* ; 1 = (v + 4) t*
Ahora en el tramo B -- A el bote va contra corriente y su velocidad real para un
observador en la orilla es : V = Vr - v
Y el tiempo que tarda en recorrer este espacio es : 1 = (4 - v) t'
. Con las dos ecuaciones en las que aparecen t* y t', el tiempo total será :
t = t* + t' = 1/ (v + 4) + 1/ (4 - v) = (4 - v + v + 4)/(v + 4)(4 - v) = 8/ (16 - v.v) ;
t = 2/3 h = 40 minutos
PROBLEMA 6
La caja de un ascensor de una mina desciende con una velocidad cte. de 12 m/seg.
Calcular el módulo dirección y sentido de la aceleración de Coriolis de la caja si el
ascensor está situado:
a) En el Ecuador
b) A 40º de latitud norte
c) A 40º de latitud sur
-5
(ω= 7´2·10 rad/seg)
a) En el Ecuador
ϖ es la velocidad angular de la tierra
v´ es la velocidad del ascensor respecto de la tierra.
z
ϖ
v´
y
x
-5
ϖ = 7´2·10 k
v´= 12m/seg→ v´= -12 i m/seg
ac = 2ϖ ∧ v´ =
ac = - 2ϖ ∧ v´ =
i
-2· 0
-12
j
0
0
k
-5
-5
7´2·10 = +172´8·10 j
0
ac =1´728· 10-3
m/seg_
b) A 40º de latitud norte
En este caso la v´ habrá que descomponerla en:
v´x= -12·cos40º i
v´z= -12·sen40º k
v´
40º
v´= -12·cos40º i –12·sen40º k = -9.192 i –7.713 k
i
j
k
-5
ac = - 2ϖ ∧ v´ = -2· 0
0
7.2·10
-9.129 0 - 7.713
= 1.323·10
-3
j
ac =1.323· 10-3
m/seg_
c)A 40º de latitud sur
En este caso la v´ se descompone en :
v´x = -12·cos40º i
v´ z= 12·sen40º k
v´= -12·cos40º i +12·sen40º k = -9.192 i +7.713 k
x
y
i
ac = - 2ϖ ∧ v´ =
j
-2· 0
0
-9.192 0
ac =1.323· 10-3
k
-5
7.2·10
7.713
= -1.323·10
m/seg_
-3
j
PROBLEMA 7
Un sistema de coordenadas O’: ( x‘, y’, z’) gira respecto a un sistema
de coordenadas fijo en el espacio (ambos con el mismo origen) con una
velocidad angular W= (2, -1, 6) rad/s. El vector de posición de una
partícula en el instante t respecto al sistema O’ viene dado por r= (t2+1,
-6t, 4t3).
Hallar:
a) La velocidad de la partícula para t=1 respecto del sistema fijo.
b) La aceleración.
a)
w Æ la velocidad del movimiento de arrastre.
r = r’ Æ el vector de posición del punto respecto al sistema móvil.
2
para T= 1s
r’=(2, -6, 4)
v’=(2, -6, 12)
a’=(2, 0, 24)
3
r’=(t +1, -6t, 4t )
v’=(2t, -6, 12t2)
a’=(2, 0, 24t)
V= v’ + (w∧r)
i
2
2
w∧r =
j
-1
-6
k
6
4
=(32, 4, -10)
V=(2, -6, 12) + (32, 4, -10) = (34, -2, 2)
b) A= acel. relativa + acel. de Coriolis + acel. de arrastre
A= a’ + 2 (w∧v’) + w ∧ (w∧r)
2 (w∧v’)= (48, -24, -20)
w∧r=
i
w∧ (w∧r)=
j
2 -1
32 -4
i
j
k
2 -1 6 = (24, -12, -10)
2 -6 12
k
6
= (-14, 212, 40)
-10
A= (2, 0, 24) + (48, -24, -20) + (-14, 212, 40) = (36, 188, 44)
PROBLEMA 9
Un haz de kaones que se mueve con velocidad v=0.866 c cruza dos contadores separados 9 m. El
primer contador indica que han pasado por el 1000 kaones, y el segundo que han pasado solo 250.
Suponiendo que la disminución es debida a la desintegración, calcular el tiempo de vida de los
kaones.
Sol.: 8.66 10-9s
8
8
T = e/v = 9/0.866*3*10 = 3.464*10- seg
8
8
T’ = 1/γ t = 0.5*3.46*10- = 173*10- seg
Tiempo
0
1τ
2τ
3τ
Nº de kaones
N
N/2
(N/22 )
nτ
N/2
n
n
n
1000/2 = 250
2 =4
2 τ =1.73*10 ⇒
-8
n=2
τ = 8.66*10-9s
2 1/2
(1/γ) = (1 – (v/c) )
= 0.5
PROBLEMA 11
Los observadores O y O’ están en movimiento de traslación relativa con v=0’6c y
coincide cuando t=t’=0. Cuando han transcurrido 5 años de acuerdo a O. a) cuánto
tardará en llegar una señal de O a O’. Con esta información conocida por O y O’
b) qué tiempo ha transcurrido de acuerdo a O’ desde que O y O’ coincidieron. Una
señal de luz colocada en O es encendida durante un año. c) ¿Qué tiempo está
encendida de acuerdo con O’?.
a) A los cinco años O lanza la señal, pero mientras ésta viaja el observador O’
continua en movimiento. Habrá que resolver una ecuación de los espacios de
3 términos:
- El espacio que recorre O’ durante los cinco años de tiempo: 0.6*c*5
- El espacio que recorre O’ desde que se lanza la señal hasta llegar a O’:
0.6*c*t
- El espacio que recorre la señal en el total del tiempo: c* t
La ecuación a resolver será: 0.6*c*t+0.6*c*5= c* t ,
Donde c= velocidad de la luz y t= incógnita a resolver
Despejando t= 7.5 años
S= c t
Luz
O
O’
T= 5 años
S = 0.6c5
s= 0.6ct
b) Para el observador O pasan un total de (5 + 7.5 =) 12.5 años. Para el
observador O’ el tiempo será distinto. El tiempo de O’ es el tiempo propio, que
es el tiempo a calcular; aplicando la fórmula del tiempo propio: t =t propio/ß, con
ß=(1- (v 2 / c 2 ) )1/2= 0.8, se obtiene como solución 10 años.
c) En este caso aplicamos la misma fórmula; pero el tiempo propio será el del
observador en reposo con la luz (O). Aplicando la formula obtenemos que la luz
está encendida 1.25 años según el observador O’.