LICEO DOMINGO SANTA MARÍA
RENAICO
MARCELO ARAVENA CÁCERES
1
www.profemarcelo.jimdo.com
UNIDAD N° 1
NUMEROS
OA 1
1
REALIZAR
CÁLCULOS
Y
ESTIMACIONES QUE INVOLUCREN
OPERACIONES CON NÚMEROS
REALES:
Reconocen números cuyo desarrollo
decimal es infinito y no tiene periodo.
Estiman
y
aproximan
números
irracionales.
Reconocen que los números irracionales
no pueden escribirse como un cociente
entre números enteros.
Operan con números racionales e
irracionales.
Utilizan la descomposición de raíces y las
propiedades de las raíces.
Representan números irracionales como
puntos sobre la recta real.
Determinan la existencia de raíces de
manera concreta, pictórica y simbólica.
Resuelven problemas que involucren
raíces en diferentes contextos.
©Marcelo Aravena C.
1. Números R e I.
Pág. 2
Taller N° 1
Taller N° 1A
pág. 4
pág. 7
2. ORDEN Y APROXIMACIÓN DE LOS I
Pág. 8
Taller N° 2
pág. 9
3. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN EN
NUMEROS REALES.
Pág. 12
Taller N° 3
pág. 13
4. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN LOS
NUMEROS REALES.
Pág. 15
Taller N° 4
5. RACIONALIZACIÓN
Taller N° 4
6. RESUMEN DE NOTAS POR
TALLERES.
MATEMATICA 1° E. MEDIA
pág. 16
pág. 18
pág. 22
Pág. 23
2
1. NUMEROS RACIONALES e IRRACIONALES.
Racionales
Como te RECORDARAS en los conjuntos que vieron en años anteriores, tenemos el
problema de que sus elementos se pueden “escapar" fácilmente de ellos, nos referimos a
que basta que dos números Naturales se resten (4 - 5, por ejemplo), para obtener algún
número negativo y entonces ya estaremos fuera de N, o para el caso de los enteros, basta
que dos de ellos que no sean divisibles entre sí (-3 y 2, por ejemplo), se dividan y entonces
ya no tendremos un numero entero.
Para resolver este problema, existe el conjunto de los números Racionales,
representados por el símbolo Q y que cumple que para cada par de números racionales,
la suma, resta, división y multiplicación (sin considerar al 0), es siempre un número de Q,
a este tipo de conjuntos se les conoce como Cuerpo. Lo podemos representar como:
En Resumen
Es decir, el conjunto de los números Racionales (Q) está compuesto por todos los
números que pueden ser escritos como una fracción cuyo numerador y denominador
(distinto de cero) son números enteros.
©Marcelo Aravena C.
MATEMATICA 1° E. MEDIA
3
Irracionales
Pero existen números que no pueden representarse como fracción, siendo su
representación decimal infinita no periódica. Estos conforman el conjunto de los números
irracionales (I).
El conjunto de los números reales (R) incluye los números racionales (Q) y los números
irracionales (I).
Es decir: R = Q ⋃ I.
Los conjuntos Q y I son disjuntos, es decir, no existe un número real que sea racional e
irracional simultáneamente.
El conjunto de los números reales, con la adición y la multiplicación, cumple las
propiedades de clausura, conmutatividad, asociatividad, distributividad de la
multiplicación respecto de la adición, existencia del elemento neutro para la adición y
para la multiplicación, así como del elemento opuesto aditivo y el inverso multiplicativo.
©Marcelo Aravena C.
MATEMATICA 1° E. MEDIA
4
TALLER N° 1
Nombre
Curso
Fecha
Puntaje Obtenido
OA 1
REALIZAR CÁLCULOS Y ESTIMACIONES QUE INVOLUCREN OPERACIONES CON
NÚMEROS REALES
¡LEE ATENTAMENTE ANTES DE CONTESTAR!
Resuelve en tu taller las siguientes actividades de los contenidos y procedimientos que has
estudiado.
1.- Identifica si cada número pertenece ( ∈ ) o no pertenece ( ∉ ) al conjunto dado.
N
Z
Q
I
16
3,14
𝜋
√5
-2,56
0,6̅
2
3
0,000789
√36
-34,89
2. Identifica cuáles de los siguientes problemas requieren de números irracionales para
obtener el resultado.
Ejemplo:
El cálculo del perímetro de una circunferencia cuyo radio mide 4 metros.
Para calcularlo debemos utilizar la fórmula 2∙π∙r, donde r corresponde al radio de la
circunferencia.
Por lo tanto, se requieren números irracionales para calcularlo.
©Marcelo Aravena C.
MATEMATICA 1° E. MEDIA
5
a) Calcular el perímetro de un círculo cuyo radio mide 7 cm.
b) Calcular el área de un círculo cuyo radio mide 12 cm.
c) Calcular el perímetro de un cuadrado cuya diagonal mide 2 cm.
d) Calcular la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 19 cm.
e) Calcular el área de un rectángulo cuyos lados miden 5 cm y 7 cm.
f) Calcular la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 12 cm y 5 cm.
g) Calcular el perímetro de un rectángulo, si uno de sus lados mide 12 cm y su área es
de 60 cm2.
3. Calcula en forma exacta el perímetro de las siguientes figuras.
4. Determina en cada caso un valor de b para que las siguientes expresiones
correspondan a números racionales.
a)
√5
𝑏
b) √6 + 𝑏
4
c) 𝑏 ∙ 5 𝜋
d) (𝑏 + √17) ∙ 3
©Marcelo Aravena C.
MATEMATICA 1° E. MEDIA
6
5. César debe confeccionar tres tipos de volantes rectangulares, pero solo recuerda
algunas medidas. Calcula la medida del lado restante a partir de los datos.
a) Volante 1: diagonal de 34 cm y lado de 30 cm.
b) Volante 2: diagonal de 4 cm y lado de 3 cm.
c) Volante 3: diagonal de 18 cm y lado de 12 cm.
d) ¿Qué tipo de número obtuviste para la medida del lado restante en cada volante?,
e) ¿Crees que es posible que un volante posea un lado con estas medidas? Justifica.
6. Gabriela debe encintar todos los bordes de los banderines que se entregarán a cada
estudiante de cuarto medio de su colegio al momento de la ceremonia de licenciatura.
Cada banderín tiene forma de un triángulo rectángulo de catetos 15 y 16 cm, y debe
determinar cuál es la cantidad de cinta (en centímetros) que necesitará.
a. ¿Cuántos centímetros de cinta se requieren por cada banderín?, ¿a qué conjunto
numérico pertenece este valor? Justifica.
b. Además, debe encintar otro tipo de banderines, también triangulares, cuyos catetos
miden 17,5 cm y 6 cm. ¿Cuánta cinta necesitará para cubrir uno de estos
banderines?, ¿a qué conjunto numérico crees que pertenece este valor? Justifica.
7. Expresa los siguientes números decimales como fracción.
a) 6,2
b) 4,38
c) 2,552
d) 7,9913
̅̅
e) 0, ̅̅
51
f) 0, ̅̅̅̅̅
025
̅̅̅̅
g) 0,426
̅̅̅̅
h) 2,435
©Marcelo Aravena C.
MATEMATICA 1° E. MEDIA
7
TALLER N° 1A
Nombre
Curso
Fecha
Puntaje Obtenido
OA 1
REALIZAR CÁLCULOS Y ESTIMACIONES QUE INVOLUCREN OPERACIONES CON
NÚMEROS REALES
¡LEE ATENTAMENTE ANTES DE CONTESTAR!
La siguiente figura se conoce como la Espiral de Teodoro, en honor a Teodoro de Cirene,
alumno de Pitágoras. Para construirlo, se comienza trazando un triángulo rectángulo
isósceles, cuyos catetos miden 1 cm. Luego, se dibuja sobre su hipotenusa otro triángulo
rectángulo, cuyos catetos son dicha hipotenusa y otro segmento que mida 1 cm. Sobre el
nuevo triángulo se traza otro más, tal que el cateto restante mida 1 cm y así,
sucesivamente.
Comenzando por el triángulo más pequeño:
1) Midan la hipotenusa de cada uno de los triángulos con la regla, con la mayor precisión
posible. ¿Pueden escribir cada una de estas medidas como un número racional?
Expliquen.
2) Apliquen el teorema de Pitágoras para calcular la medida de cada hipotenusa.
Comiencen por el triángulo pequeño.
3) Ahora comparen las medidas que obtuvieron con la regla y las que calcularon usando
el teorema de Pitágoras. ¿Qué pueden concluir?
4) ¿Qué regularidad numérica pueden observar en las hipotenusas de los triángulos?
5) Al analizar los valores de las hipotenusas, ¿todas podrían representarse como un
cociente entre números enteros?
6) Expliquen y muestren con cuáles se puede hacer.
©Marcelo Aravena C.
MATEMATICA 1° E. MEDIA
8
8. ORDEN Y APROXIMACIÓN EN LOS REALES:
En el caso de las raíces cuadradas, dos o más raíces cuadradas se pueden ordenar
observando su cantidad subradical. Así, si a < b, se cumple que √ a<a < √b, con a, b ∈
R +.
Para aproximar raíces cuadradas no exactas, se puede aplicar la acotación sucesiva.
Primero, se ubica el número irracional entre dos números naturales sucesivos, usando
la relación a < b ⇔ a2 < b2 .
Para mejorar la aproximación, se puede escoger algún número entre los ya
encontrados, se compara su cuadrado con la cantidad subradical y se decide los
valores que lo acotan. Este método nos permite aproximar el valor de una raíz con la
precisión que consideremos pertinente.
La cantidad de cifras decimales de una aproximación depende de la cantidad de cifras
de los datos y también de la precisión requerida, según el contexto del problema.
Los números irracionales escritos en forma decimal, como π o e, necesariamente se
presentan aproximados, ya que es imposible escribir todas sus cifras decimales.
Tal como con los números racionales, los irracionales se pueden truncar o redondear al
valor posicional escogido; también dos o más números se pueden ordenar, observando
las cifras decimales de izquierda a derecha.
En la recta numérica, las raíces cuadradas no exactas pueden ubicarse usando regla y
compás, y aplicando el teorema de Pitágoras.
1. Dada una raíz cuadrada, se descompone la cantidad subradical en una suma de
cuadrados perfectos.
2. En una recta numérica, se construye un triángulo rectángulo con las medidas
asociadas a dichos cuadrados perfectos, de modo que uno de los catetos esté en la
recta numérica y uno de sus vértices en el 0 (no el del ángulo recto). Así, el otro
cateto será perpendicular a la recta numérica.
3. Con ayuda de un compás, se traza el arco de
circunferencia con centro en el punto 0 y radio
correspondiente a la hipotenusa hasta intersecar la
recta numérica. En este punto de intersección se
ubica la raíz cuadrada.
©Marcelo Aravena C.
MATEMATICA 1° E. MEDIA
9
TALLER N° 2
Nombre
Fecha
Curso
Puntaje Obtenido
OA 1
REALIZAR CÁLCULOS Y ESTIMACIONES QUE INVOLUCREN OPERACIONES CON
NÚMEROS REALES
¡LEE ATENTAMENTE ANTES DE CONTESTAR!
Resuelve en tu taller las siguientes actividades de los contenidos y procedimientos que has
estudiado.
1. Determina una aproximación de los siguientes números, aplicando el método de
aproximación por acotación sucesiva.
a) √6
b) √95
c) √14
d) √160
e) √36
f) √202
g) √11
h) √399
2. Ordena las siguientes raíces, observando raíces exactas conocidas.
√1 = 1
a).
√4 = 2
√10
√9 = 3
√16 = 4
b)
√15
c)
√21
d)
√34
e)
√58
f)
√145
©Marcelo Aravena C.
….
MATEMATICA 1° E. MEDIA
10
3. Los números Reales se pueden ubicar en la recta numérica, pero son un conjunto que no
completa la recta numérica; es decir, que por más números decimales que usemos,
siempre existirán “huecos” entre ellos. Estos huecos corresponden a los números
irracionales, como √2 , que completan la recta numérica.
Representa en una recta numérica, mediante construcción geométrica, el número
real pedido en cada caso.
a) √1
b) √2
c) √3
d) √4
e) √5
f) √6
g) √7
h) √10
4. Determina en cada caso cual es el número Real correspondiente al punto A
a).
b).
c).
d).
©Marcelo Aravena C.
MATEMATICA 1° E. MEDIA
11
6. Loreto quería decorar un viejo tambor metálico para usarlo de paragüero. Para ello,
contaba con un grueso cordón que pretendía pegar en el contorno del borde superior del
tambor. Sabiendo que el diámetro de este era 58,5 cm, cortó el cordón, dejando el trozo
más largo de 175,5 cm de longitud de modo que le alcanzara justo, pero le faltaron 7 cm.
¿Cuál fue el error de Loreto? Usa varios valores para π.
7. En una fábrica de frutas en conserva se estudia disponer de un nuevo formato: un envase
cilíndrico con capacidad de 1000 c m 3 . La primera propuesta consiste en un envase de 10
cm de altura; la segunda, en uno cuyo altura sea igual al doble de su radio.
¿Cuál de los envases es más angosto?
8. Con el objetivo de facilitar el descenso y ascenso de carros con ruedas entre dos
superficies separadas por un escalón cuya altura es de 20 cm, Martina diseña una rampa
de 96 cm de largo. ¿Cuál es la distancia longitudinal que se requiere para ubicar
correctamente la rampa? Aproxima hasta la décima.
©Marcelo Aravena C.
MATEMATICA 1° E. MEDIA
12
9. CALCULO EN LOS REALES: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN.
Descomposición De Raices
Si al factorizar la cantidad subradical uno de sus factores se repite, ese factor se puede
expresar fuera de la raíz:
√𝒂𝟐 ∙ 𝒃 = √𝒂𝟐 ∙ √𝒃 = 𝒂 ∙ √𝒃, con a, b ∈ R+ ⋃ {0}
Para sumar y/o restar con raíces, puedes aplicar un procedimiento similar al utilizado en
reducir términos semejantes, es decir agrupar números del mismo tipo.
Para que dos o más raíces se puedan sumar o restar, es necesario que tengan el
mismo índice y la misma cantidad su radical
Índice
Sub radical
EJEMPLOS:
i). 𝟒 + √𝟓 − 𝟑√𝟓 − 𝟓 = 4 − 5 + √5 − 3√5 = −𝟏 − 𝟐√𝟓
ii). 4√7 − √7 − 8 = 𝟑√𝟕 − 𝟖
iii).
3
3
2
+ √2 − 4 − 4 + √2 =
8
8
8
3
3
𝟔𝟕
𝟖
𝟓
+ √𝟐
𝟖
𝟑
iv). 22𝜋 + √9𝜋 − 4 √3 − √3 + 𝜋 = 𝟐𝟔𝝅 − 𝟓 √𝟑
CON LA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN,
NO SE PUEDE DESARROLLAR:
𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
√𝒂 + 𝒃 ≠ √𝒂 + √𝒃
√𝒂 − 𝒃 ≠ √𝒂 − √𝒃
©Marcelo Aravena C.
MATEMATICA 1° E. MEDIA
13
TALLER N° 3
Nombre
Curso
Fecha
Puntaje Obtenido
OA 1
REALIZAR CÁLCULOS Y ESTIMACIONES QUE INVOLUCREN OPERACIONES CON
NÚMEROS REALES
¡LEE ATENTAMENTE ANTES DE CONTESTAR!
Resuelve en tu taller las siguientes actividades de los contenidos y
procedimientos que has estudiado.
1.
Descompone las siguientes raices:
b) a) √12
b) √20
c) c) √48
d) √400
d) e) √27
f) √125
e) g) √98
h) √432
2. Resuelve:
a) √2 + √2 − √2 =
b) √3 + 2√3 − √3 =
c) 2√3 + 2√3 − 2√3 =
d) 2√6 + 2√6 − 3√6 =
e) 2√7 + 3√7 − 6√7 + √7 =
f) 3√10 + 2√10 − 2√10 + 2√10 =
g) 5 √5 + 4√5 − 3√5 + √5 =
h) 11√2 + 10√12 − 20√2 + √2 =
©Marcelo Aravena C.
MATEMATICA 1° E. MEDIA
14
3. Resuelve:
a) √8 + √18 − √32 =
b) √27 + √48 − √75 =
c) √180 + √245 − √320 =
d) √28 + √63 − √112 =
e) 2√8 + 3√18 − 6√32 + √2 =
f) 3√27 + 2√48 − 2√75 + 2√3 =
g) √180 + √245 − √320 + √5 =
h) √12 + √24 − √48 + √2 =
4. resuelve:
2
1
a) 5 √2 + 5 √2 =
c)
1
2
1
1
√3 + 3 √3 − 6 √3 =
2
2
2
1
e) [3 √7 + 5 √7] − [5 √7 + 5 √7] =
3
2
1
2
g) [7 √5 − 7 √5] + [7 √5 + 7 √5] =
©Marcelo Aravena C.
b)
1
d)
2
7
5
2
1
1
2
√3 + 7 √3 − 7 √3 =
√6 + 3 √6 − 15 √6 =
2
1
1
2
f) [ 3 √10 + 2 √10] − [4 √10 + 4 √10] =
2
4
2
1
h) [9 √2 + 9 √2] + [3 √2 − 3 √2] =
MATEMATICA 1° E. MEDIA
15
2. OPERATORIA EN LOS REALES
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
Para resolver multiplicaciones y divisiones que involucren raíces cuadradas y/o cubicas,
se deben multiplicar o dividir, según corresponda, las cantidades subradicales de las
raíces que tengan el mismo índice.
Para multiplicar o dividir raíces, debes fijarte que tengan igual índice de raíz; las
cantidades subradicales pueden ser diferentes.
𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
√𝒂 ∙ √𝒃 = √𝒂 ∙ 𝒃
𝒏
√𝒂 ÷ √𝒃 = √𝒂 ÷ 𝒃
𝒏
√𝒂
√𝒃
𝒏
𝒏
𝒂
= √𝒃
𝒂, 𝒃 ∈ 𝑹+ ∪ {𝟎} 𝒄𝒐𝒏 𝒃 ≠ 𝟎
EJEMPLOS:
i). √3 ∙ √2 = √3 ∙ 2 = √6
ii). 3√3 ∙ √2 = 3√3 ∙ 2 = 3√6
iii). 𝑎√3 ∙ 𝑏√4 + 𝑎√2 ∙ 𝑏√6 = 𝑎𝑏√12 + 𝑎𝑏√12 = 2𝑎𝑏√12
33
3
33
3
iv). 2 √4 ∙ √2 − 5 √5 ∙ 5√25 =
3
3 √8
2
3
−
15 √125
5
33
= 2 √8 −
15 3
√125
5
3
=2∙2−
15
5
∙ 5 = 3 − 15 = −12
v). 3√6 ÷ √2 = 3√6 ÷ 2 = 3√3
vi).
3
5
2
21
21
21
÷ 7 √8 ÷ √2 = 10 √8 ÷ 2 = 10 √4 = 10 ∙ 2 =
©Marcelo Aravena C.
21
5
MATEMATICA 1° E. MEDIA
16
TALLER N° 4
Nombre
Fecha
Curso
Puntaje Obtenido
OA 1
REALIZAR CÁLCULOS Y ESTIMACIONES QUE INVOLUCREN OPERACIONES CON
NÚMEROS REALES
¡LEE ATENTAMENTE ANTES DE CONTESTAR!
Resuelve en tu taller las siguientes actividades de los contenidos y
procedimientos que has estudiado.
1. Descompone las siguientes raices:
2.
a) √12
b) √20
c) √48
d) √400
e) √27
f) √125
g) √98
h) √432
Resuelve:
a) √2 ∙ √3 =
b) √3 ∙ 2√5 =
c) 2√3 ∙ 2√2 ∙ 2√5 =
d) 2√6 ∙ 2√2 ∙ 3√3 =
e) [2√2 ∙ 3√3] + [6√2 ∙ √3] =
f) [3√5 ∙ 2√3] − 2√15 =
3
3
g) 5 √2 ∙ 4√2 ∙ 3√5 ∙ √3 =
©Marcelo Aravena C.
4
4
h) 11 √3 ∙ 10√2 ∙ 3√20 ∙ √3 =
MATEMATICA 1° E. MEDIA
17
3.
Resuelve:
a) √14 ÷ √2 =
b) √14 ÷ 2√2 =
c) 2√21 ∙ 2√7 =
d) 2√75 ∙ 2√3 =
e) [2√12 ÷ 3√3] + [6√12 ÷ √3] =
f) [3√30 ÷ 2√2] − 2√15 =
3
3
2
g) [5 √12 ∙ 4√2] + [3√2 ∙ √3] =
2
4
h) [11√3 ∙ 10√2] ÷ [3√2 ∙ √3] =
4.
Fabián dispone de un terreno de forma cuadrada para siembra, pero antes de iniciar los
trabajos debe calcular la cantidad de material que necesita para cercarlo.
a) ¿Cuál es el perímetro del terreno si se sabe que su área es 115 200 m 2 ? Entrega
una aproximación utilizando dos decimales.
b) Fabián decide dividir su terreno en dos superficies equivalentes: una para sembrar
zanahorias y la otra para sembrar papas. Para ello, trazará una diagonal desde uno
de los vértices hasta su opuesto y sobre esta construirá un cerco de alambre. ¿Cuál
es la cantidad mínima, en metros, de alambre que requerirá para construir el cerco,
considerando que este cruzará cinco veces el terreno en diagonal?
5. La señora Catalina vive en el campo y cria animales. Decidió dividir cada uno de los
cuatro corrales rectangulares en dos mediante un cerco a lo largo de su diagonal.
En cada caso, calcula la longitud de la diagonal, identifica si el valor obtenido es un
número racional o irracional y aproxima su valor con dos cifras decimales.
a. Medidas del corral de patos y gansos: 4 metros y 5 metros.
b. Medidas del corral de ovejas y vacas: 8,06 metros y 7,92 metros.
c. Medidas del corral de cerdos y chivos: 5,6 metros y 4,8 metros.
d. Medidas del corral de pavos y gallinas: 3,5 metros y 2,5 metros.
©Marcelo Aravena C.
MATEMATICA 1° E. MEDIA
18
6. OPERATORIA EN LOS REALES RACIONALIZACIÓN
Racionalizar el denominador irracional de una fracción significa transformar esa fracción
en otra equivalente, cuyo denominador no contenga raíces.
Aunque parezca absurdo, para lograr tal propósito se multiplica la fracción dada por 1.
Pero escrito de una manera adecuada que conduzca a la forma deseada.
En otras palabras, hay que amplificar la fracción dada por un numero apropiado que
elimine las raíces del denominador. Dicho factor de amplificación se conoce con el
nombre de factor de racionalización o factor racionalizador.
EJEMPLOS:
a).
b).
𝟏
√𝟐
AMPLIFICAREMOS POR 1
1≡
√𝟐
√𝟐
𝟐
√𝟑
c).
©Marcelo Aravena C.
MATEMATICA 1° E. MEDIA
19
d).
e).
f).
g).
©Marcelo Aravena C.
MATEMATICA 1° E. MEDIA
20
En algunos casos el denominador es una suma o la diferencia de dos términos, de los
𝟏
𝟑√𝟑
𝟐
cuales al menos uno es una raíz cuadrada, como en los casos siguientes:
√𝟐+𝟏
√𝟓−√𝟑 √𝟕+√𝟐
En estos casos, el factor de racionalización se construye con la suma o diferencia de los
dos términos del denominador, de acuerdo a si el denominador es respectivamente la
diferencia o la suma de dichos términos.
En los ejemplos dados se procedería así:
1
∙
√𝟐 − 𝟏
√𝟐 + 𝟏 √𝟐 − 𝟏
Donde: √𝟐 − 𝟏 sería el factor de racionalización
Las razones para que ello sea así, provienen de la igualdad conocida como suma por su
diferencia: (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐
Ejemplos:
©Marcelo Aravena C.
MATEMATICA 1° E. MEDIA
21
e)
f)
©Marcelo Aravena C.
MATEMATICA 1° E. MEDIA
22
TALLER N° 5
Nombre
Fecha
Curso
Puntaje Obtenido
OA 1
REALIZAR CÁLCULOS Y ESTIMACIONES QUE INVOLUCREN OPERACIONES CON
NÚMEROS REALES
¡LEE ATENTAMENTE ANTES DE CONTESTAR!
Resuelve en tu taller las siguientes actividades de los contenidos y
procedimientos que has estudiado.
1. Resuelve:
a)
c)
e)
g)
1
√3
5
2√5
2
7√7
2√2
3
5
b)
d)
f)
4
2√3
3
5√6
√5
2
3
√
h)
√
1
3
√
2
5
√
2. Resuelve:
a)
c)
e)
1
√5−4
5
2−√5
2
√7+√8
©Marcelo Aravena C.
b)
4
√6−√5
d)
f)
3√2
3−√6
√5
√5−√3
MATEMATICA 1° E. MEDIA
23
I.- RESUMEN DE NOTAS POR TALLERES DE TRABAJO:
TALLER Nº 1.NOTA 1
Firma Apoderado
TALLER Nº 2.Firma Apoderado
NOTA 2
TALLER Nº 3.NOTA 3
Firma Apoderado
NOTA 4
Firma Apoderado
TALLER Nº 4.-
NOTA FINAL
Firma Apoderado
©Marcelo Aravena C.
MATEMATICA 1° E. MEDIA
