Fundamentos

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3.12.Aletas de aluminio en forma de espiga de perfil parabólico con puntas truncadas se fijan
a una pared plana con temperatura superficial de 200ºC . Cada aleta tiene un largo de 20 mm
y un diámetro de base de 5 mm. Las aletas están expuestas a una temperatura circundante de
25ºC y el coeficiente de transferencia de calor por convección es de 50 W/m2 · K. Si la
conductividad térmica de las aletas es de 240 W/m2 · K, determine la razón de transferencia
de calor, la eficiencia y la efectividad de cada aleta.
4h
mL 
L
kD
Aaleta
4  50W/m2 .K 
 240W/m.K  0.005m 
2
 D 4    L 


16

1





96 L2    D 


3/2
 0.020m  
   0.005m 4

 1 
2
 96  0.020m 
0.2582
3/2
2



  0.020m 

 16 
  1  1
   0.005m 


 2.106 104 m 2
aleta 
I1  4  0.2582  / 3
I  0.3443
3 I1  4mL / 3
3
.

. 
 5.8095 1
2mL I1  4mL / 3 2  0.2582  I 0  4(0.2582 / 3
I 0 0.3443
aleta 
3 L1  4mL / 3
0.1716
.
 5.8095
 0.9632
2mL L0  4mL / 3
1.0350
Razón de transferencia de una sola aleta
Qaleta  aleta hAaleta Tb  T    0.9632   50W/m 2 .K  2.106 104 m 2   200  25  °C=1.77W
Efectividad de la aleta
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 aleta 
Qaleta
Qaleta
1.77W


 10.3
2
hAb Tb  T  h  D / 4  Tb  T   50W/m 2 .K    0.005m 2 / 4   200  25  C


3.17. Considere una pared de ladrillos de 3 m de alto, 6 m de ancho y 0.25 m de espesor cuya
conductividad térmica es k = 0.8 W/m · °C. En cierto día, se miden las temperaturas de las
superficies interior y exterior de la pared y resultan ser de 14°C y 5°C, respectivamente.
Determine la razón de la pérdida de calor a través de la pared en ese día.
A  3m  6m  18m 2
Q  KA
14  5 C  518W
T1  T2
  0.8W/m.°C 
L
0.25m
3.18. Está hirviendo agua en una cacerola de aluminio (k = 237 W/m · °C) de 25 cm de
diámetro, a 95°C. El calor se transfiere de manera estacionaria hacia el agua hirviendo que
está en la cacerola a través del fondo plano de ésta de 0.5 cm de espesor, a razón de 800 W.
Si la temperatura de la superficie interior del fondo es de 108°C, determine a) el coeficiente
de transferencia de calor de ebullición sobre esa superficie interior, y b) la temperatura de la
superficie exterior del fondo.
Para A)
As 
 D2

  0.25 
2
4
4
Q  hAs Ts  T 
h
 0.0491m 2
Q
800W

 1254W/m 2 .C
2
As Ts  T   0.0491m  108  95  C
Para B)
Q = KA
Ts ,a  uera  Ts ,interior
L
Ts ,a  uera  Ts ,A  uera 
800W  0.005m 
QL

kA  237W/m.°C   0.0491m 2 
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3.20. Considere una ventana de hoja doble de 1.5 m de alto y 2.4 m de ancho que consta de
dos capas de vidrio (k = 0.78 W/m · °C) de 3 mm de espesor separadas por un espacio de aire
estancado (k = 0.026 W/m · °C) de 12 mm de ancho. Determine la razón de transferencia de
calor estacionaria a través de esta ventana de hoja doble y la temperatura de su superficie
interior para un día durante el cual el cuarto se mantiene a 21°C en tanto que la temperatura
del exterior es de –5°C. Tome los coeficientes de transferencia de calor por convección sobre
las superficies interior y exterior de la ventana como h1 = 10 W/m2 · °C y h2 = 25 W/m2 ·
°C y descarte cualquier transferencia de calor por radiación.
A  1.5m    2.4m   3.6m 2
Ri  Rconv ,1 
1
1

 0.02778C/W
2
h1 A 10W/m C  3.6m 2 
R 1  Rconv ,1 
1
0.003m

 0.00107C/W
h1 A  0.78 W/m 2 .C  3.6m 2 
R2  Rair 
L2
0.0012m

 0.12821C/W
k2 A  0.026W/m°C   3.6m 2 
R o  Rconv ,2 
1
1

 0.01111 C/W
2
h2 A  25W/m .°C  3.6m 2 
R total  Rconv ,1  2 R1  R2  Rconv ,2  0.02778  2  0.00107   0.12821  0.01111
=0.16924°C/W
Q
Q=
T1  T 2  21   5   C

 154 W
Rtotal
0.16924C/W
T1  T1
 T1  T1  QRconv ,1  21C- 154W  0.02778C/W   16.7°C
Rconv ,1
3.75 Una sección de 50 m de largo de un tubo que conduce vapor de agua cuyo diámetro
exterior es de 10 cm pasa a través de un espacio abierto que está a 15°C. Se mide la
temperatura promedio de la superficie exterior del tubo y resulta ser de 150°C. Si el
coeficiente combinado de transferencia de calor sobre la superficie exterior del tubo es de 20
W/m2 · °C, determine a) la razón de la pérdida de calor a través del tubo, b) el costo anual
de esta pérdida de energía si el vapor se genera en un hogar de gas natural que tiene una
eficiencia de 75% y el precio de ese gas es de 0.52 dólar/therm (1 therm = 105 500 kJ), y c)
el espesor del aislamiento de fibra de vidrio (k = 0.035 W/m · °C) necesario para ahorrar
90% del calor perdido. Suponga que la temperatura del tubo permanece constante a 150°C.
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a) La tasa de pérdida de calor de la tubería de vapor es:
Ao   DL    0.1m  50m   15.71m 2
Q  ho A Ts  Taire    20W/m 2 .C 15.71m 2  150  15  °C=42,412 W
b) La cantidad de pérdida de calor por año es:
Q  Qt   42.412KJ/s  365  24  3600s/yr   1.337 109 KJ/yr
La cantidad de consumo de gas del horno de gas natural que tiene una eficiencia del 75%
es:
Qgas 
1.337 109 KJ/yr  1 therm 

  16,903 therms/yr
0.75
 105,500 kr 
El costo anual de esta energía perdida es:
Costo de energía = Energía usada  Costo unitario de energía
= 16,9023 therms/yr  $ 0.52 / therm   $8790 / yr
c) Para ahorrar el 90% de la pérdida de calor y, por lo tanto, reducirla a 0,1 × 42,412 =
4241 W, el espesor del aislamiento necesario se determina a partir de
Qaislado 
Ts  Taire

T0  Raislamiento
Ts  Taire
ln  r2 / r1 
1

ho Ao
2 kL
Sustituyendo y resolviendo r2, obtenemos
4241W =
150  15 °C
ln  r2 / r1 

2
 20W/m .C  2 r2 50m  2  0.035W / m.C 50m 
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1
 r2  0.0692m
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Entonces el espesor del aislamiento se convierte en
t aislamiento  r2  r1  6.92  5  1.92
3.76. Considere un calentador eléctrico para agua de 1.5 m de alto que tiene un diámetro de
40 cm y mantiene el agua a 60°C.
El tanque está ubicado en un pequeño cuarto cuya temperatura promedio es de 27°C y los
coeficientes de transferencia de calor sobre las superficies interior y exterior del calentador
son 50 y 12 W/m2 · °C, respectivamente. El tanque está colocado en el interior de otro tanque
de lámina metálica, de 46 cm de diámetro y espesor despreciable, y el espacio entre los dos
tanques está lleno con aislamiento de espuma (k = 0.03 W/m · °C). Las resistencias térmicas
del tanque de agua y del casco exterior de hoja metálica delgada son muy pequeñas y se
pueden despreciar. El precio de la electricidad es de 0.08 dólar/kWh y el propietario de la
casa paga 280 dólares al año para calentar el agua.
Determine la fracción del costo de la energía para el agua caliente de esta casa que se puede
atribuir a la pérdida de calor del tanque.
Respuma 
ln  r2 / r1 
ln  23 / 20 

 0.4943°C/W
2 kL
2  0.03W/m 2 .C  1.5m 
R total  Ri  Ro  Respuma  0.0106  0.0384  0.4943  0.5433°C/W
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La tasa de pérdida de calor del tanque de agua caliente es
La cantidad y el costo de la pérdida de calor por año son
Si se utiliza un aislamiento de fibra de vidrio de 3 cm de espesor para envolver todo el tanque,
las resistencias individuales se vuelven
La tasa de pérdida de calor del calentador de agua en este caso es
El ahorro de energía es:
El tiempo necesario para que este aislamiento adicional pague su costo de $ 30 se determina
entonces como
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3.112 Obtenga una relación para la eficiencia de la aleta para una con área de la sección
transversal, Ac, constante, perímetro p, longitud L y conductividad térmica k expuesta a
convección hacia un medio a T , con un coeficiente h de transferencia de calor. Suponga que
las aletas son suficientemente largas de modo que la temperatura de la aleta en la punta es
cercana a T . Tome la temperatura de la aleta en la base como Tb y desprecie la transferencia
de calor desde las puntas. Simplifique la relación para a) una aleta circular de diámetro D y
b) aletas rectangulares de espesor t.
aleta 
Tasa de trans  erencia de calor real de la aleta
Velocidad de trans  erencia de calor ideal desde la
aleta si la aleta estuviera en la base a la temperatura base
Esta relación se puede simplificar para que una aleta circular de diámetro D y una aleta
rectangular de espesor t y ancho w sean
3-115 Considere una aleta rectangular muy larga, fijada a una superficie plana en tal forma
que la temperatura en el extremo de la aleta es prácticamente la del aire circundante, es decir,
20°C. Su ancho es de 5.0 cm, su espesor de 1 mm, su conductividad térmica de 200 W/m ·
K y su temperatura en la base de 40°C. El coeficiente de transferencia de calor es de 20 W/m2
·K. Estime la temperatura de la aleta a una distancia de 5.0 cm medida desde la base y la
razón de pérdida de calor a través de toda la aleta.
La tasa de pérdida de calor de esta aleta muy larga es
3-116 Un motor DC suministra potencia mecánica a un eje de acero inoxidable giratorio (k
= 15.1 W/m · K) de una longitud de 25 cm y un diámetro de 25 mm. En un entorno con una
temperatura de 20°C y coeficiente de transferencia de calor por convección de 25 W/m2 · K,
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el área de la cubierta del motor expuesta a la temperatura ambiental es de 0.075 m2. El motor
utiliza 300 W de energía eléctrica, 55% de la cual convierte en energía mecánica para hacer
girar el eje de acero inoxidable. Si la punta del eje de acero inoxidable tiene una temperatura
de 22°C, determine la temperatura superficial de la cubierta del motor. Suponga que la
temperatura de la base del eje es igual a la temperatura superficial de la cubierta del motor.
Del balance energético, se expresa la siguiente ecuación:
La tasa de transferencia de calor desde la superficie de la carcasa del motor es
El eje del motor se puede tratar como una aleta circular con una temperatura de punta de
aleta especificada. La tasa de transferencia de calor desde el eje del motor se puede escribir
como:
Donde:
Sustituyendo los términos listados en la ecuación de balance de energía que obtenemos
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Al reorganizar la ecuación, la temperatura de la superficie de la carcasa del motor es:
1-103 Una hoja de acero inoxidable AISI 304 se someterá a un proceso de endurecimiento
dentro de un horno eléctrico. El aire ambiental dentro del horno tiene una temperatura de
600°C, mientras que las superficies circundantes del horno están a una temperatura uniforme
de 750°C. Si la emisividad de la hoja de acero inoxidable es de 0.40 y el coeficiente promedio
de transferencia de calor por convección es de 10 W/m2 · K, determine la temperatura de la
hoja de acero inoxidable.
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