Tema: Cronometría Problema 1° (Basico): - Un campanario tarda 3 s en tocar 4 campanadas, ¡Cuánto tiempo tardara para tocar 8 y 14 campanadas, respectivamente? a) 6 s y 12 s b) 7 s y 12 s c) 5 s y 13 s d) 7 s y 13 s e) 8 s y 11 s Solución: N° de campanadas N° de intervalos 4 8 14 3 7 13 Tiempo entre campanada y campanada 1s 1s 1s Tiempo total 3s 7s 13 s Por lo tanto, tardara 7 s para tocar 8 campanadas y 13 s para tocar 14 campanadas. Problema 2°(Intermedio): - Siendo las 8:00 a.m. empieza a adelantarse un reloj a razón de 5 min por cada hora. ¿Qué hora estará marcando este reloj cuando en realidad sean las 10:00 p.m. del mismo día? a) 11:00 p.m. b) 11:30 p.m. c) 11:10 p.m. d) 12:00 p.m. e) 11:15 p.m. Solución: Desde las 8 a.m. hasta las 10 adelantándose dicho reloj. p.m. son 14 h que va En 1h 14 h Se adelanta 5 min 70 min <> 1 h 10 min Entonces el reloj tiene 1h 10 min de adelanto. Por lo tanto, el reloj estará marcando: 10 p.m. + 1 h 10 min = 11:10 p.m. Problema 3° (Intermedio): - Consultando por la hora una persona contesta: Las horas que quedan del dia son menores en 6 que las horas transcurridas. ¿Qué hora será dentro de 3 ½ horas? a) 6:30 p.m. b) 6:20 p.m. c) 6:10 p.m. d) 6:00 p.m. e) 5:50 p.m. Solucion: Hora actual Xh (X - 6) h 0h 24 h Se tiene X + X – 6 = 24 hora actual: 15 h <> 3 p.m. X = 15 Por lo tanto, dentro de 3 ½ horas será 6:30 p.m. Problema 4° (dificil) Son mas de las 4 pm pero aun no son las 6 pm, si el tiempo transcurrido dede las 4 pm hasta hace 15 min es igual a 1/5 del tiempo que faltara para las 6 p.m. pero dentro de 15 min . ¿Qué hora es? a) 4:25 p.m. b) 4:30 p.m. c) 5:00 p.m. d) 4:00 p.m. e) 4:35 p.m. Solucion: X X – 15 120 – X 15 min 15 min 120 – X – 15 4:00 p.m. 6:00 p.m. 120 min X – 15 = 1/5 (120 – X – 15 ) 5(X – 15 ) = 120 – X – 15 Por lo tanto son las 4:00 p.m. + 30 min = 4:30 p.m. 5X – 75 = 105 – X 5X – X = 105 + 75 6X = 180 X = 30 min Tema : Frecuencia de sucesos Problema N°1 (Basico) Si un reloj da 5 campanadas en 8 segundos. ¿ en cuantos segundos dara 10 campanadas? a) 16 b) 15 c) 17 d) 18 e) 19 Solucion: En las 5 campanadas hay 4 intervalos de tiempo iguales “t”. se observa que el número de intervalos de tiempo es siempre uno menos que el número de campanadas. Luego Por regla de tres: 5 camp (4 t) 8 seg 4t 8 seg 10 camp (9 t) X seg 9t X seg Resultando: X = (9t . 8 . seg) / 4 t = 18 seg Entonces 10 campanadas se darán en 18 segundos Problema N°2(Intermedio): - Si una bacteria se cuadriplica por cada minuto transcurrido. ¿Qué hora fue cuando llevaba 1/16 del volumen de un frasco, si a las 16 h queda lleno? a) 15 h 58 min b) 15 h 50 min c) 15 h 40 min d) 15 h 30 min e) 15 h 20 min Solucion: Se analizara empezando de lo último hacia adelante (V/4)/4 = V/16 V/4 Paso 1 minuto Volumen V Paso 1 minuto Quedo lleno a las 4 p.m. 15 h 59 min – 1 min 15 h 58 min 4 p.m. – 1 min 15 h 59 min Luego cuando llenaba 1/16 del volumen eran las 15 h 58 min. Problema N° 3 (Intermedio) - En una urna se tienen fichas numeradas del 1 al 20. ¿Cuántas fichas deberán extraer al azar y como minimo, para estar seguros de que la suma de las numeraciones de las fichas extraidas sea mayor o igual a 75? a) 15 b) 6 c) 10 d) 12 e)8 Solucion: Como las numeraciones de las fichas deben sumar 75 o más, en el peor de los casos extraeríamos las fichas de menor numeración ya que así necesitaríamos extraer muchas fichas . 1 2 3 . . . 10 11 + ? > o = 75 Cualquier valor mayor a 11. Por lo tanto se deben extraer 12 fichas. Problema N°4 (Dificil) - En una urna hay 5 esferas rojas, 6 esferas azules y 7 esferas verdes. Juan extrae 3 esferas al azar y lo único que se sabe es que las 3 son de igual color. ¿Cuántas esferas deberá extraer Carlos, al azar y como minimo, para obtener con certeza una esfera del color que extrajo Juan? Solucion: Nos piden que Carlos extraiga una esfera del color que extrajo Juan. Entonces se genera 3 posibilidades. CASO 1: Si Juan extrajo 3 esferas rojas. 2 rojas 6 rojas 7 verdes Extrae Carlos: 6 azules + 7 verdes + 1 roja = 14 para conseguir una esfera roja. CASO 2: Si Juan extrajo 3 esferas azules . 5 rojo Extrae Carlos: 3 azul 7 verde 5 rojas + 7 verdes + 1 azul = 13 Para conseguir una esfera azul. Caso 3: Si Juan extrajo 3 esferas verdes. 5 rojo 6 azul 4 verde Extrae Carlos: 5 rojas + 6 azules + 1 verde = 12 Para conseguir una esfera verde. Por lo tanto en el peor de los casos, debe extraer 14 esferas TEMA : INDUCTIVO NUMERICO E INDUCTIVO VERBAL Problema N°1 (Basico) Halle el valor de: 𝑆= 13 + 23 + 33 … + 603 1 + 2 + 3 + ⋯ + 60 Solucion: Nos piden el valor de S. Se analizara casos particulares pequeños, teniendo en cuenta que los sumandos en el numerador como en el denominador son iguales en cantidad. Caso 1: 13 1 Resultado 1= 1𝑥2 2 Caso 2: Resultado 13 +23 3= 1+2 Caso 3: 2𝑥3 2 Resultado 13 +23 +33 6= 1+2+3 3𝑥4 2 En el problema 13 +23 +33 +⋯+603 60𝑥61 1+2+3+⋯+60 2 = 3660 Entonces, el valor de S es 3660. Problema N° 2 (Intermedio) -Halle el termino central de la fila 15 del siguiente arreglo numérico. Fila 1 1 Fila 2 4 Fila 3 16 Fila 4 Fila 5 49 121 9 25 64 144 36 81 169 100 196 225 A partir de los términos centrales de las filas iniciales buscaremos la relación para encontrar eñ termino pedido. Si observamos las primeras filas, nos percatamos de que solo las filas impares tienen termino central, por ello analizaremos las siguientes filas. Fila 1 +1 ; / 2 1 = 12 = (02 + 12 )2 Fila 2 +1 ; /2 25 = 52 = (12 + 22 )2 Fila 5 +1 ; /2 169 = 132 = (22 + 32 )2 Fila 15 +1 ; /2 (72 + 82 )2 = 1132 = 12769 Problema N° 3( Intermedio) -¿De cuantas formas diferentes puede leerse la palabra SAN MARCOS uniendo letras vecinas en el siguiente arreglo S S S S A A A A A N N N N N N M M M M M M A R A R C C A A R C R C R C O O O O O S S S S S A R C O S A A R C O S M R C O S A R C O S C O S O S S Se observa que se puede encontrar 4 formas triangulares conocidad, cada una de las cuales tiene 9 letras. Entonces, el numero de formas de contar en cada una de ellas es 2^9-1=256. Entonces, el numero de formas de leer la palabra SAN MARCOS uniendo letras vecinas es 256x4=1024. S S S S A A A A A N N N N N N M M M M M M A R A R C C A A R C R C R C O O O O O S S S S S A A R C O S A R C O S M R C O S A R C O S C O S O S S Problema N° 4 (Dificil) -En la adicion siguiente, a letras diferentes le corresponden cifras diferentes .halle el valor de S+U+R-A si todas las cifras son significativas . ̅̅̅̅̅̅ + 𝑆𝐴𝑆 ̅̅̅̅̅ + 𝑆𝑈𝐴 ̅̅̅̅̅̅ = 𝑅𝐴𝑈𝑆 ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑆𝑈𝑅 a) 2 b) 4 c) 5 d) 7 e) 6 Solucion: Ordenamos de forma vertical ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑆𝑈𝑅 ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑆𝐴𝑆 + ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑆𝑈𝐴 ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑅𝐴𝑈𝑆 1. En la primera columna observamos que R+S+A= …S R+A= 10 … (x) Llevamos 1 a la segunda columna 2. En la segunda columna observamos que 1+U+A+U = …U A+U+1=…O A+U=…9 (no puede ser 19 ni un número mayor a él A+U= 9 … (B) Llevamos 1 a la tercera columna. 3.En la tercera columna 3𝑆 + 1 = ̅̅̅̅ 𝑅𝐴 ….. Max valor : 9 R=1 ^ R=2 Luego Si R =1 , entonces en (X) : A=9, pero en (B) A + U=9 9 0 (por dato ninguna cifra puede ser cero) R=2 En (X): R + A = 10 2 8 A = 8 En (B) A + U= 9 8 1 En (O) U = 1 (O) 3S + 1 = RA 3S + 1 = 28 s = 9 Entonces, el valor S+ U + R – A= 9 + 1 + 2 – 8 = 4 TEMA: TRASLADOS Problema N°1 (Basico) -Las figuras 1 y 2 están formadas por fichas circulares idénticas ¿Por lo menos cuantas de las fichas de la figura 1 deben ser cambiadas de posición para formar la figura 2? A) B) C) D) E) 3 4 5 6 2 Fig 1 Fig 2 Solución: Este tipo de ejercicio se resuelve por simetría y es suficiente mover 4 fichas de la siguiente manera: RESPUESTA: B Problema N°2 (Intermedio) -Si el peso que puede llevar no excede los 100 kg ¿Por lo menos cuantos viajes debe hacerse para que esta canoa logre llevar de una orilla a otra de un rio a 2 mujeres que pesan 50 kg cada una y a un hombre que pesa 70 kg? A) B) C) D) E) 8 7 6 5 4 Solución En cada viaje deben viajar la mayor cantidad posible de personas y al regresar debe hacerlo la persona de menor peso ( alguien debe regresar conduciendo la canoa). Si: H 70 kg A 50 kg y B 50kg. 1 2 AB B 3 H 4 A 5 AB A H Debe realizarse 5 viajes Problema N°3 (Intermedio) -Si se tiene 3 recipientes sin graduar de capacidades 8L, 5L Y 3L solo el primero está completamente lleno de agua ¿Cuántos trasvases se tiene que realizar, como mínimo para tener 3 litros de agua? 8L A) B) C) D) E) 5 4 3 6 7 Solución Observaciones: 5L 3L Aquí lo que se busca es que con recipientes de diferentes capacidades se pueda obtener un cierto volumen de liquido realizando la menor cantidad de trasvases. En estos ejercicios no se desperdicia el líquido. En cada trasvase, solo es posible llenar un recipiente o vaciar el otro. No es posible realizar más de un trasvase en forma simultánea. Trasvases: 8L 5L 3L INICIO 8L 0L 0L 1°TRASVASE 5L 3L 0L 2° TRASVASE 5L 0L 3L 3° TRASVASE 2L 3L 3L 4° TRASVASE 2L 1L 5L H H Se necesitarán 4 trasvases Problema N° 4 (Dificil) : -Sobre una mesa hay 1º vasos ordenados en fila e intercalados entre uno lleno con gaseosa y uno vacío, como muestra la figura ¿Por lo menos cuantos vasos deben ser movidos para alterar el orden de manera que queden los 5 vacíos de un lado y los 5 llenos del otro lado? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A) B) C) D) E) 5 6 4 2 3 Solución: 1era posibilidad: movemos los vasos 2, 4, 6 y 8 y los ponemos al lado del vaso 10, o movemos los vasos 3, 5, 7 y 9 y los ponemos al lado del vaso 1. En cualquiera de estos casos movemos 4 vasos. 2da posibilidad: intercambiamos de posición los vasos 2 y 7, también los vasos 4 y 9, aquí también movemos 4 vasos. 3era posibilidad: cogemos el vaso 7, vaciamos la gaseosa en el vaso 2 y lo regresamos a su lugar inicial, igualmente, cogemos el vaso 9, vaciamos su contenido en el vaso 4 y lo regresamos a su posición inicial. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 De esta manera solo hemos cogido 2 vasos (los números con 7 y 9) y esa es la menor cantidad de vasos que deben ser movidos. RESPUESTA: D TEMA: CALENDARIOS Problema N°1 (Basico) -Un mes tiene más jueves, viernes y sábados que otros días de la semana ¿Qué fecha será el primer lunes del siguiente mes? A) B) C) D) E) 2 5 4 1 3 Solucion: Del dato: tiene más jueves, viernes y sábados que otros días. Entonces se concluye que: -Tiene 31 días dicho mes. -Inicia en día jueves y termina el mes en día sábado. Luego: D 1 L 2 M M J V S Primer lunes del Siguiente mes La fecha es 2 Problema N°2 (Intermedio) -¿Cuántos días tendrá un mes que tiene 5 lunes, 5 martes y 5 miércoles y que día será el 20 de dicho mes? A) B) C) D) E) 31 – viernes 30 – lunes 31 – domingo 30 – jueves 31 – sábado Solucion: Si el mes tiene 5 lunes, 5 martes y 5 miércoles podemos hacer la construcción del mes comenzando por esos días que aparecen más veces, es decir: L 5 LUNES 5 MARTES 5 MIERCOLES 1 8 15 22 29 31 días – sábado M 2 9 16 23 30 M 3 10 17 24 31 J 4 11 18 25 V 5 12 19 26 S 6 13 20 27 D 7 14 21 28 Problema N°3 (Intermedio) -Este mes tiene más jueves, viernes y sábados que otros días de la semana ¿Cuánto sumaran, como máximo, las fechas del último martes y el último jueves del próximo mes, si los meses indicados están en un mismo año? A) B) C) D) E) 50 48 52 57 58 Solucion: Este mes tiene más jueves, viernes y sábado (5 de cada uno), si esto es así tiene que ser un mes de 31 días, como se muestra a continuación: D L 4 11 18 25 M 5 12 19 26 6 13 20 27 M J V 1 8 15 22 29 7 14 21 28 S 2 9 16 23 30 3 10 17 24 31 Mes actual Para que la suma del ultimo martes y el último jueves sea máximo, entonces el mes próximo también tiene que ser de 31 días D 1 8 15 22 29 L 2 9 16 23 30 M 3 10 17 24 31 Ultimo martes M 4 11 18 25 J 5 12 19 26 V 6 13 20 27 S 7 14 21 28 Ultimo jueves Por lo tanto: 31+26 = 57 Problema N° 4 (Dificil) -Daniel nació en el mes de mayo de 1980, un día domingo. ¿Qué día de la semana fue el cumpleaños de Daniel en el año 2002? A) Domingo B) Jueves C) Martes D) Lunes E) Sábado Solucion: Se pide el día de la semana que será el cumpleaños de Daniel en el año 2002 De los datos realizaremos el siguiente esquema: Nació Daniel +22 años 1980 Mayo Domingo 2002 Mayo ¿? Pero, en esos22 años transcurridos hay algunos años que son bisiestos: 1984, 1988, 1992, 2000. Cinco años bisiestos. En el año 1980 también fue bisiesto, pero como la fecha en mayo es posterior al 29 de febrero, entonces no afecta al intervalo de tiempo (no lo consideramos como bisiesto en el problema). De lo anterior: Nació Daniel 1980 Mayo Domingo +22 años +22d +5d = +27 d 2002 Mayo La fecha avanza 27 días Pero: 27 días <> 4 semanas y 1 día menos <>7-1 Nació Daniel +22 años No afecta este bisiesto 1980 Mayo Domingo +27 dias <> 7-1 Un día antes Su cumpleaños en el 2002 fue sábado. 2002 Mayo
