METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA
TEMA: SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP)
EDWIN MARTIN PINO VARGAS
ESCUELA DE INGENIERIA GEOLOGICA-GEOTECNIA, UNJBG TACNA
CASO No. 02: ECUACIÓN DEL ESCURRIMIENTO DE UN FLUIDO A
TRAVÉS DE UN MEDIO POROSO
Formulación del problema
La ecuación general que gobierna el escurrimiento de un fluido a través de un medio poroso
bidimensional resulta:
2 u
2 u
Kx
Ky
0
x2
y2
………………………………………………..……………………. (1)
Donde:
KX = coeficiente de permeabilidad horizontal [cm/s]
KY = coeficiente de permeabilidad vertical [cm/s]
u = altura piezométrica = p + y
p/ = carga de presión del fluido circulante en cada punto [m.c.a.]
y =carga de posición respecto de un plano de referencia cualquiera
= densidad del fluido
(Se desprecia la carga por velocidad de la ecuación de Bernoulli, por ser la velocidad de escurrimiento
muy pequeña)
En diferencias finitas se tiene:
Kx
1
Δx
u 2 ui, j ui, j 1 Ky
2 i, j 1
1
Δy
u 2 ui, j ui 1, j 0
2 i 1, j
…….………. (2)
Si colocamos puntos en el dominio, tal que formen una cuadricula donde x =y = (malla cuadrada) y
además suponemos que KX = KY = K (material isótropo), la expresión anterior se resume en el siguiente
operador:
Kx
1
Δx 2
ui, j 1 2 ui, j ui, j 1 Ky
1
Δy 2
ui 1, j 2 ui, j ui 1, j 0
u i 1i, j 4 u i, j u i 1,j u i, j1 u i, j1 0
…….………. (3)
…….………. (4)
Para el problema de la figura, además se requiere conocer las siguientes variables derivadas:
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Distribución de presión del líquido en el suelo.
Distribución de velocidades de circulación del fluido (flujo).
Caudales de filtración en la sección media debajo de la estructura.
La distribución de presión en la base de la estructura.
Solución
Adoptando x = y = = 10 m, subdividimos el dominio como se muestra en la siguiente figura:
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Las condiciones de contorno forzadas (o Dirichlet) son:
u22 = u23 = u24 = 100
u25 = u26 = u27 = 60
La condición de pared impermeable (flujo nulo) indicada como qn=0 en las figuras anteriores
corresponde a la condición de contorno natural (o Newman):
qn
u
0
n
que para los puntos del contorno de la discretización son:
qx17 = qx19 = (qx24 = qx25 =) 0
(qy17 =) qy18 = (qy19 =) 0
qy1 = qy2 = qy3 =qy4 = qy5 = qy6 = qy7 = 0
qx8 = qx15 = (qx22 =)qx7 =qx14 = qx21 =( qx27 =)0
NOTA: Obsérvese que el punto de vértice tenemos más de una condición. En general la solución
presenta alguna particularidad física en esos puntos.
Aplicado el operador diferencial en cada punto del dominio (y contorno donde no se conoce el valor de
u) se obtiene un sistema de ecuaciones algebraicas que en forma matricial es:
-4 2
1
2
-4
1
1
-4
1
1
-4
1
1
-4
1
1
-4
1
2
-4
1
1
1
2
2
2
2
2
2
-4
2
1
1
-4
1
1
-4
1
1
1
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u1
0
u2
0
u3
0
u4
0
u5
0
u6
0
u7
0
u8
0
u9
0
u10
0
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1
1
1
-4
1
1
-4
1
1
-4
1
2
-4
1
1
1
x u11 = 0
1
1
1
1
2
1
1
u12
0
u13
0
u14
0
u15
-100
u16
-100
u17
-100
u18
0
u19
-60
-4
2
1
-4
1
1
-4
1
1
-4
1
1
-4
1
1
-4
1
u20
-60
2
-4
u21
-60
1
1
1
En el cual no se han colocado los coeficientes nulos. Como se observa, la matriz de coeficientes
resultante es una matriz banda, no simétrica.
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos los valores de la variable incógnita en todos los
puntos de la malla, siendo los valores obtenidos los indicados en la siguiente figura:
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Una forma gráfica habitual de presentar los resultados de un problema definido en un dominio
bidimensional es mediante el trazado de las curvas de isopotencial o equipotenciales, donde cada curva
corresponde a un valor de u=cte.
Una aproximación al trazado de las equipotenciales puede realizarse interpolando en la grilla los
valores fijados para cada curva equipotencial. Así se han trazado las equipotenciales correspondientes
a valores de u = 100, 95, 90, 85, 80, 75, 70, 65 y 60 , en la siguiente figura:
Aun restan encontrar los valores de las variables derivadas que son de interés en el problema. A esta
etapa del proceso de solución numérica se la denomina de post proceso de la solución.
Campo de velocidades De acuerdo a la ley de Darcy que gobierna el flujo en medios porosos, la
velocidad de escurrimiento en cada punto resulta:
vX KX
u
x
vY KY
;
u
y
Como ya conocemos los valores de “u” en cada uno de los puntos de la grilla, es posible estimar en
esos mismos puntos las componentes vX y vY, aplicando el operador central de derivada primera y
realizando las operaciones (procediendo habitual para obtener la derivada de una función expresada
en forma tabular).
Para este caso resulta:
v X K X - ui-1, j ui 1, j
;
vY KY - ui,j-1 u1, j 1
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Punto Vx
Vy
Punto Vx
Vy
1
0.00
0.00
12
0.25
0.12
2
0.12
0.00
13
0.12
0.12
3
0.22
0.00
14
0.00
0.12
4
0.27
0.00
15
0.00
-0.22
5
0.22
0.00
16
0.12
-0.25
6
0.12
0.00
17
0.34
-0.34
7
0.00
0.00
18
0.50
0.00
8
0.00
-0.12
19
0.34
0.34
9
0.12
-0.12
20
0.12
0.25
10
0.25
-0.12
21
0.00
0.97
11
0.32
0.00
A modo de ejemplo, se detalla el cálculo de las componentes de velocidad en el punto 10 de la grilla:
vX KX
vY KY
u
1
u9 u11 0.25 cm
x 10
2 Δx
seg
u
1
u3 u17 0.12 cm
y 10
2 Δy
seg
En la figura siguiente, se representa la distribución del campo de velocidades obtenido.
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Diagrama de Presión sobre la estructura del Azud
Sabemos que en este caso p = u – y, entonces para los puntos del azud en contacto con el medio
poroso (suelo) resultan los siguientes valores de presión:
100
60
Punto
Y
NP
P[kg/cm2]
24
60
100
40
17
40
90.0
50
18
40
80.0
40
19
40
70.0
30
725
60
60
0
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Calculo del caudal de filtración El caudal que atraviesa una sección S cualquiera se define como:
Q v n . dS
S
Para conocer una estimación del caudal que escurre por debajo del azud se calculará el que atraviesa la
sección vertical ubicada en el centro de la base. Esta sección resulta particularmente simple porque los
vectores velocidad solo tienen componente en la dirección x y son perpendiculares a la sección elegida
(simplificándose el cálculo).
Si se considera un área de ancho unitario en la dirección perpendicular a la figura (saliente del papel).
La integral indicada (igual al área encerrada por el perfil de velocidades en esta sección) puede
obtenerse utilizando el método de los trapecios, resultando:
Q v . dS
S
v18 v11 x 20 v11 v 4 x 20 401 litros
2
2
min
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