Ejercicio 1. Calcular el valor de corriente y la tensión de cada resistencia del circuito de la figura Conociendo el enunciado de la ley de Ohm donde: V R y por lo tanto I= y que V = I ⋅R VT = V R1 + V R 2 + V R 3 + V R 4 + V R5 entonces, podemos decir que VT = I ⋅ R1 + I ⋅ R 2 + I ⋅ R3 + I ⋅ R4 + I ⋅ R5 VT = I ⋅ RT = I ⋅ (R1 + R2 + R3 + R4 + R5 ) ⇒ RT = R1 + R2 + R3 + R4 + R5 RT = 27Ω + 47Ω + 82Ω + 100Ω + 330Ω = 586Ω y el valor de corriente va a corresponder entonces a I= −3 5V V = = 0.008532423A = 8.53 x10 A = 8.53mA R 586Ω En tanto, los valores de tensión sobre cada resistencia pueden ser obtenidos de distinta forma. La más simple es conociendo el valor de corriente que circula por la resistencia, aplicar la ley de ohm y multiplicar el valor de la corriente por el valor de cada una de las resistencias para obtener cada valor de tensión. O bien, aplicar un divisor de tensión de manera tal que: V R2 = R1 ⋅ V1 R1 + R2 por lo que para este caso en particular: V R1 = R1 27Ω ⋅V1 = ⋅ 5V = 230.37mV R1 + R2 + R3 + R4 + R5 586Ω o bien V R1 = I ⋅ R1 = 8.53mA ⋅ 27Ω = 230.37 mV Cualquiera de los métodos es válido y su uso dependerá de las necesidades propias de cada análisis y de los datos que se dispongan en cada uno de los mismos. Este problema quedaría resuelto entonces como: V R2 = 72 R2 47Ω ⋅V1 = ⋅ 5V = 401.02mV RT 586Ω V R3 = R3 82Ω ⋅V1 = ⋅ 5V = 699.65mV RT 586Ω V R4 = R4 100Ω ⋅V1 = ⋅ 5V = 583.24mV RT 586Ω V R5 = R5 330Ω ⋅V1 = ⋅ 5V = 2.81V RT 586Ω Ejercicio 2. Calcular RX siendo la corriente total I=18mA En este circuito notamos la presencia de dos generadores de tensión conectados –si bien a través de R1- en serie, por lo que la tensión total dentro del circuito va a resultar: VT = V1 + V2 = 5V + 12V = 17V Ahora tomando este valor y el dato conocido de la corriente total que circula en el circuito, podemos mediante la aplicación directa de la ley de ohm llegar al valor de resistencia total: RT = V 17V = = 944.44Ω I 18 x10− 3 A Una vez obtenido este valor, es muy sencillo obtener el de la resistencia buscada ya que RT = R1 + R2 + R3 + R4 + R x ∴ R x = RT − (R1 + R2 + R3 + R4 ) = 944.44Ω − 256Ω = 688.44Ω Ejercicio 3. Calcular la potencia total disipada por el circuito En este circuito la resistencia total –tal como la hemos visto en los ejercicios anteriores, va ser: RT = R1 + R2 + R3 ∴ RT = 27Ω + 47Ω + 82Ω = 156Ω por lo que el valor de corriente total será IT = V1 5V = = 32.05mA RT 156Ω Ahora bien, aplicando la definición de potencia, la misma puede ser calculada de 2 formas. Estás son: P = I ⋅V P = I2 ⋅R por lo tanto, en este circuito P = 32.05mA ⋅ 5V = 160.25mW 2 2001 Adrian Dario Pelliza Ejercicio 4. Calcular VX siendo VR3=9V Si tomamos el dato conocido del valor de la tensión medida sobre la resistencia R3, aplicando la ley de Ohm, se puede obtener –dado que el valor de la resistencia R3 es conocido también- el valor de corriente que circula por la misma, que en este caso, por tratarse de un circuito serie, será la corriente total. Entonces: I R3 = I T = V R3 R3 = 9V = 109.75mA 82Ω Si conocemos el valor de corriente total del circuito, así como también el valor de la resistencia total, podemos calcular el valor de la tensión aplicada. RT = R1 + R2 + R3 = 156Ω y después −3 V x = RT ⋅ I T = 156Ω ⋅ 109.75 x10 A Ejercicio 5. Calcular las corrientes de cada resistencia del circuito. En este circuito, hay una ramificación donde la corriente se bifurcará en dos según la ley de Kirchoff de la siguiente forma: I T = I1 + I 2 Si llamamos a R4 RA y agrupamos la serie que forman R3 y R2 en RB, el circuito podría ser redibujado de manera tal como se lo ve en la figura inferior. En este esquema se puede ver perfectamente que la corriente que sale del generador y pasa por R1, llega al nodo donde se bifurca entre RA y RB y luego, se vuelve a formar para circular por R5. Las corrientes que circulan por cada una de esas resistencias, puede expresarse como: I T = I R A + I RB = VT VT V = + T RT R A R B ya que la tensión aplicada a ambas resistencias es la misma por estar conectadas en paralelo. Es decir que simplificando el valor de VT que se repite en cada miembro, se puede llegar a la expresión: 1 1 1 1 = + ∴ RT = 1 1 RT R A R B + R A RB es decir, que para este circuito y tomando que RB=R2+R3 queda R A = R2 + R3 = 47Ω + 82Ω = 129Ω ∴ R B = 1 1 = = 56.33Ω 1 1 1 1 + + 100Ω 129Ω R4 R A y una vez resuelto el paralelo, el valor de resistencia total resulta RT = R1 + R5 + R B = 27Ω + 330Ω + 56.33Ω = 413.33Ω 3 2001 Adrian Dario Pelliza El calculo de la corriente total va a darnos el valor de corriente que circulará por R1 y por R5 IT = VT 5V = = 12.09mA 413.33Ω RT Entre R4 y RA, la corriente total del circuito se dividirá de acuerdo una proporción inversa respecto de los valores de las resistencias, por lo que el valor de la corriente que circule por cada resistencia responderá a I RA = RB ⋅ IT R A + RB que reemplazando con los valores del circuito resulta en I R4 = −3 RA 129Ω ⋅ I T ∴ I R4 = ⋅ 12.09 x10 A = 6.81mA R A + R4 129Ω + 100Ω El valor de la corriente que circula por la resistencia RA pude ser calculado de la misma forma o bien restando los dos valores ya conocidos. Es decir que I RA = −3 R4 100Ω ⋅ I T = I T − I R4 = ⋅ 12.09 x10 A = 5.27mA R A + R4 129Ω + 100Ω Ejercicio 6. Calcular los valores de corriente de cada resistencia y el valor de la tensión sobre R8 Según lo visto en el ejercicio anterior, se pueden comenzar asociar las resistencias R5, R6 y R7 en serie a la que llamaremos RA R A = R5 + R8 + R7 R A = 3280Ω También será necesario agrupar las resistencias R10 y R9 en paralelo en una que llamaremos RB RB = RB = 1 1 1 + R10 R9 1 = 4396.14Ω 1 1 + 68KΩ 4.7 KΩ Esta ultima, divide la corriente que circula por R6 por lo que la suma de las corrientes de R9 y R10 debe ser la corriente que circula por R6. En consecuencia, RB está conectada en serie a R6 por lo que definimos RC como RC = R6 + R B = 500Ω + 4396.14Ω = 4896.14Ω 4 2001 Adrian Dario Pelliza Si replanteáramos el esquema de este circuito a este punto del análisis, veríamos que los terminales de RA y RC comparten los mismos nodos, lo cual deja claro que están conectadas entre sí en paralelo. De la misma manera que antes, crearemos RD cuyo valor será RD = 1 = 1964.17Ω 1 1 + 4896.14Ω 3280Ω Restaría reducir el paralelo que forman las resistencias R2 y R3, al que agruparemos en RE de manera que su valor será: RE = 1 = 29.87Ω 1 1 + 47Ω 82Ω Luego de esto, el circuito puede verse como aparece redibujado a la izquierda. Es obvio notar que la aparente complejidad inicial quedó reducida a un simple circuito serie entre 4 valores conocidos de resistencias : RT = R1 + R E + R4 + R D = 27Ω + 29.87Ω + 100Ω + 1964.17Ω = 2121.04Ω y el valor de corriente total que circula por esas cuatro resistencias valdrá: IT = V2 12V = = 5.65mA 2121.04Ω RT A partir de aquí, el resto del análisis se centrará en encontrar los valores de corriente que se vayan dividiendo en cada resistencia, comenzando por R2 y R3 que según lo visto en el ejercicio anterior tendrán un valor que será igual a I R2 = −3 R3 82Ω ⋅ IT = ⋅ 5.65 x10 = 3.59mA R2 + R3 47Ω + 82Ω I R3 = −3 R2 47Ω ⋅ IT = ⋅ 5.65 x10 = 2.05mA R2 + R3 47Ω + 82Ω Siguiendo el circuito, llegamos al nodo donde se ramifican RA y RC, donde los valores serán I RA = −3 RC 4896.14Ω ⋅ IT = ⋅ 5.65 x10 = 3.38mA R A + RC 3280Ω + 4896.14Ω y la corriente de RC lo podemos obtener restando los valores conocidos, ya que como vimos anteriormente la suma de las corrientes de RA y RC deben ser la corriente que están dividiendo, en este caso, la corriente total del circuito por lo que: I RC = IT − I R A = 5.65mA − 3.38mA = 2.27 mA Restaría finalmente, obtener los valores de las corrientes de R10 y R9 que están dividiendo la corriente que circula por R6 que no es otra que IRC por lo tanto I R9 = −3 R10 68000Ω ⋅ I RC = ⋅ 2.27 x10 = 2.12mA R10 + R9 68000Ω + 4700Ω 5 2001 Adrian Dario Pelliza y para R10, de la misma forma que calculamos IRC I R10 = I RC − I R9 = 2.27 mA − 2.12mA = 150 µA Finalmente, el valor pedido de la tensión sobre R8 puede ser obtenido mediante la ley de Ohm: −3 V R8 = I R8 ⋅ R8 ∴ I R8 = I RA ∴V R8 = 3.38 x10 A ⋅ 2200Ω = 7.43V Ejercicio 7. Calcular el valor de tensión que cae sobre R2 Si bien el circuito puede aparecer algo complejo, realizando la agrupación de las resistencias según como están conectadas, se puede obtener un circuito visiblemente más fácil de ser analizado. El primer paso a dar, será entonces la resolución de las resistencias conectadas en paralelo en dos nuevas resistencias que llamaremos RA –para el paralelo entre R5 y R3- y RB –para el paralelo R7 y R1. Una vez realizados estos reemplazos, quedará muy evidenciada la forma en que RA y RB se relacionan con R2 y R6 respectivamente, por lo que podremos realizar una nueva agrupación: RC y RD, donde se sumen a los valores de RA y RB los valores de estas últimas de la forma que se acaba de mencionar. Eso permitirá redibujar el circuito de la siguiente forma: Se observa, que R8 y RD están compartiendo los terminales y por lo tanto, la tensión sobre sus terminales serán idénticas. Es decir, que están conectadas en paralelo. Reduciremos entonces en RE, esas dos resistencias así conectadas y si realizáramos un nuevo replanteo del circuito, veríamos que por RE va a circular la misma corriente que a través de RC, por lo que están conectadas en serie. Asignaremos este valor a RF y finalmente quedaría esta última en paralelo con R4, siendo este último valor el que corresponda a la resistencia total del circuito. De esa forma, todo lo explicado hasta el momento respecto de la red de resistencias que forma este circuito, tomaría estos valores. RA = RB = 1 1 = = 65.67Ω 1 1 1 1 + + 82Ω 330Ω R3 R5 1 1 = = 26.06Ω 1 1 1 1 + + 27Ω 750Ω R1 R7 RC = R A + R2 = 65.67Ω + 47Ω = 112.67Ω R D = R B + R6 = 26.06Ω + 500Ω = 526.06Ω 6 2001 Adrian Dario Pelliza RE = 1 1 = = 424.54Ω 1 1 1 1 + + R B R8 526.06Ω 2200Ω R F = R E + RC = 424.54Ω + 112.67 = 537.21Ω 1 1 = = 84.30Ω 1 1 1 1 + + R F R4 537.21Ω 100Ω Una vez obtenido este valor, procedemos a calcular el valor de la corriente total del circuito: RT = IT = VT 5V = = 59.31mA RT 84.30Ω Esta corriente evidentemente se ve dividida entre R4 y la resistencia que llamamos RF , por lo que el valor de corriente que nos interesa es justamente, el que circulará a través de RF y cuyo valor, mediante un divisor de corriente se puede calcular como: I RF = R4 100Ω ⋅ IT = ⋅ 59.31mA = 9.30mA R4 + R F 100Ω + 537.21 Si volvemos atrás con las reducciones realizadas en el circuito, apreciaremos que la corriente que acabamos de calcular es la que circula por R2, por lo que el valor buscado puede ser calculado como: −3 V R2 = I R2 ⋅ R2 = I RF ⋅ R2 = 9.30 x10 A ⋅ 47Ω = 437.1mV Existe además una alternativa para obtener el resultado buscado. Ya hemos visto como aplicando divisores de tensión se pude obtener el valor de una tensión en particular de un grupo de resistencias en serie. Ese método permitiría analizar separadamente este circuito teniendo en cuenta que sobre los terminales de RF está aplicada la tensión total del circuito y el valor buscado de tensión en definitiva es V R2 = V R2 = R2 ⋅ VT R D + R2 + R A 47Ω ⋅ 5V = 437.44mV 424.54Ω + 47Ω + 65.67Ω Ejercicio 8. Calcular los valores de tensión sobre R2 y R4 Al igual que en ejercicio anterior, es conveniente realizar la reducción de las distintas ramas del circuito. Podemos empezar por tomar las series R1-R7 en RA y R9-R2 en RB, para luego seguir con el paralelo entre estas dos (RA y RB) que darán origen a una RC, a su vez en serie con R8, R5, R4 y R6 en lo que llamaremos RD, finalmente en paralelo con R3. De esta forma, se obtendría el valor de resistencia total del circuito, que permitirá conocer la corriente total y luego, a partir de divisores de corriente, el valor de las corrientes que circularan por RD y por RB, con cuyos valores se podrá obtener los valores buscados. R A = R1 + R7 = 27Ω + 750Ω = 777Ω R B = R2 + R9 = 47Ω + 4700Ω = 4747Ω 7 2001 Adrian Dario Pelliza RC = 1 1 = = 667.67Ω 1 1 1 1 + + R A RB 777Ω 4747Ω R D = RC + R 4 + R5 + R6 + R8 R D = 667.67Ω + 100Ω + 330Ω + 500Ω + 2200Ω RT = 1 1 1 + R D R3 IT = = 1 1 1 + 3797.67Ω 82Ω VT 9V = = 112.13mA RT 80.26Ω I RD = I RD = I RB = = 80.26Ω R3 ⋅ IT R3 + R D −3 82Ω ⋅112.13 x10 A = 2.36mA 82Ω + 3797.67Ω −3 RA 777Ω ⋅ IT = ⋅ 2.36 x10 A = 331.95µA R A + RB 777Ω + 4747Ω −3 V R4 = I RD ⋅ R4 = 2.36 x10 A ⋅ 100Ω = 236mV −6 V R2 = I RB ⋅ R2 = 331.95 x10 A ⋅ 47Ω = 15.60mV Ejercicio 9. Resolver el ejercicio 8 mediante el uso de divisores de tensión. Tal como sucedió en el ejercicio 7, es posible tomar otro método de análisis para llegar a los resultados pedidos. Para esto, debemos considerar que sobre la resistencia R3 y por lo tanto sobre RD. Conociendo esto, R4 puede ser calculada de esta manera: V R4 = R4 100Ω ⋅ VT = ⋅ 9V = 236.96mV RD 3797.96Ω Si se compara este resultado con el obtenido en el ejercicio anterior, aparece una pequeña diferencia que surge del descarte de partes decimales en los cálculos realizados, donde sólo se consideraron 2 dígitos decimales. Para la tensión sobre R2, tendremos que realizar dos divisores de tensión. Uno, que permita saber la tensión del paralelo que llamamos RC y luego, esta tensión será la que se divida en RB entre R9 y R2. De esta forma: V RC = V R2 = RC 667.67Ω ⋅ VT = ⋅ 9V = 1.58V RD 3797.67Ω R2 47Ω ⋅ V RC = ⋅ 1.58V = 15.64mV RA 4747Ω 8 2001 Adrian Dario Pelliza Ejercicio 10. Calcular todas las corrientes En este ejercicio, hemos marcado el sentido de circulación de la corriente a través de cada una de las ramas del mismo para poder apreciar a simple vista como se van a realizar las distintas divisiones de la corriente total del circuito. De esa forma, podemos ver que por ejemplo, las corriente que circulan por R6 y R7, se dividen de la que circula por R8, que a su vez, junto con la que circula por R2, dividen la que circula por R4 y –luego de estas ramificacionesaparece finalmente en R5, donde se suma a la que circula por R3 y forman la corriente total que retorna al generador. Es decir, que siguiendo este desarrollo, matemáticamente podemos expresar que de acuerdo a la ley de Kirchoff de las corrientes: I T = I R3 + I R4 I R4 = I R2 + I R8 I R8 = I R6 + I R7 Esto es muy fácil de ser comprobado si realizamos las operaciones una vez que hayamos calculado los valores de corriente de cada rama. Dichos valores serán obtenidos como venimos haciendo, reduciendo las ramas del circuito hasta llegar a un esquema de sencillo análisis. Resolvemos el paralelo entre R6 y R7 en RA: RA = 1 1 = = 300Ω 1 1 1 1 + + R6 R7 500Ω 750Ω Agregamos a RA el valor de R8 en serie: R B = R A + R8 = 300Ω + 2200Ω = 2500Ω Y calculamos el paralelo entre R2 y RB: RC = 1 1 = = 46.13Ω 1 1 1 1 + + R B R2 2500Ω 47Ω Este valor, completa una de las dos ramas del circuito con R4 y R5 en serie: R D = R4 + R5 + RC = 100Ω + 330Ω + 46.13Ω = 476.13Ω Este último valor, nos permite tener un circuito muy sencillo de analizar: El paralelo entre R3 y RD en serie con R1. Entonces: RE = 1 1 = = 69.95Ω 1 1 1 1 + + R D R3 476.13Ω 82Ω 9 2001 Adrian Dario Pelliza Finalmente, el valor de resistencia total se calcula como: RT = R1 + R E = 27Ω + 69.95Ω = 96.95Ω Con este valor, podemos calcular el valor de corriente total como: IT = VT 12V = = 123.77mA RT 96.95Ω Ahora, como indican las flechas que muestran la circulación de la corriente a lo largo del circuito. La primera división es entre R3 y RD. La corriente que circula por RD, según lo que se realizó en el análisis de la red para obtener el valor de resistencia total, es la que estará circulando por R4 para dividirse en R2 y RB, y reunificándose para circular por R5. I R3 = −3 RD 476.13Ω ⋅ IT = ⋅ 123.77 x10 A = 105.58mA R D + R3 476.13Ω + 82Ω −3 R3 82Ω ⋅ IT = ⋅ 123.77 x10 A = 18.18mA R D + R3 476.13Ω + 82Ω I RD = I R2 = I RB = −3 RB 2500Ω ⋅ I RD = ⋅ 18.18 x10 A = 17.84mA R B + R2 2500Ω + 47Ω −3 R2 47Ω ⋅ I RD = ⋅ 18.18 x10 A = 335.47 µA R B + R2 2500Ω + 47Ω I R6 = −6 R7 750Ω ⋅ I RB = ⋅ 335.47 x10 A = 201.28µA R6 + R7 500Ω + 750Ω I R7 = −6 R6 500Ω ⋅ I RB = ⋅ 335.47 x10 A = 134.18µA R6 + R7 500Ω + 750Ω Ejercicio 11. Calcular las tensiones de cada uno de los componentes del circuito Es sencillo resolver este circuito. Hay dos ramas, muy visiblemente localizables compuestas por R1, R5, R7 y R8 en serie y R4, R3, R2 también en serie. Ambas ramas están conectadas en paralelo finalmente en serie con R6. Es decir, que la corriente total se divide en esas dos ramas. R A = R1 + R5 + R7 + R8 = 3307Ω R B = R4 + R3 + R2 = 100Ω + 82Ω + 47Ω = 229Ω RC = 1 1 1 + R A RB = 1 1 1 + 3307Ω 229Ω = 214.16Ω Existen varias posibilidades de resolución. Abordaremos en primera instancia el camino por el cual debemos calcular cual es la tensión sobre los terminales de RC y luego realizar las divisiones de esta tensión para cada componente. Es decir: RC 214.16Ω ⋅ VT = V RC = ⋅ 12V = 3.59V RC + R6 214.16Ω + 500Ω 10 2001 Adrian Dario Pelliza Y este valor de tensión es el que se divide entre cada una de las resistencias que forman RA y RB. De forma que: V R1 = R1 27Ω ⋅ V RC = ⋅ 3.59V = 29.31mV RA 3307Ω V R5 = R5 330Ω ⋅ V RC = ⋅ 3.59V = 358.24mV RA 3307Ω V R7 = R7 750Ω ⋅ V RC = ⋅ 3.59V = 814.18mV RA 3307Ω V R8 = R8 2200Ω ⋅ V RC = ⋅ 3.59V = 2.38V RA 3307Ω V R4 = R4 100Ω ⋅ V RC = ⋅ 3.59V = 1.56V RB 229Ω V R2 = R2 47Ω ⋅ VRC = ⋅ 3.59V = 736.81mV RB 229Ω V R3 = R3 82Ω ⋅ V RC = ⋅ 3.59V = 1.29V RB 229Ω Se puede verificar que la suma de las tensiones de las resistencias que forman RA debe ser igual a la suma de las tensiones de las resistencias que forman RB y ambas, iguales a la tensión que cae sobre RC. V R1 + V R5 + V R7 + V R8 = V R4 + V R3 + V R2 = V RC 29.31mV + 358.24mV + 814.18mV + 2.38V ≅ 1.56V + 1.29V + 736.81mV ≅ 3.59V Ya que los valores son redondeados a dos decimales, no se obtiene el mismo valor exacto, pero la diferencia es ínfima. Otra forma posible de resolver el ejercicio es calcular cual es el valor de corriente que circula por cada rama y luego con estos dos valores, mediante la ley de Ohm calcular cual es el valor de cada tensión. Para obtener los valores de cada rama podemos optar por realizar dos divisores de corriente –para lo cual sería necesario calcular el valor de resistencia total y el de corriente total- o bien tomar el valor de tensión de lo que llamamos anteriormente RD y calcular la corriente de cada rama. Es decir: RT = R D + R6 = 214.16Ω + 500Ω = 714.16Ω IT = I RA = I RB = VT 12V = = 16.80mA 714.16Ω RT −3 RB 229Ω ⋅ IT = ⋅ 16.80 x10 A = 1.08mA R A + RB 3307Ω + 229Ω −3 RA 3307Ω ⋅ IT = ⋅ 16.80 x10 A = 15.71mA R A + RB 3307Ω + 229Ω o bien V RC = RC 214.16Ω ⋅ VT = ⋅ 12V = 3.59V RC + R6 214.16Ω + 500Ω I RA = I RB = VRA RA VRB RB = = V RC RA VRC RB = = 3.59V = 1.08mA 3307Ω 3.59V = 15.67 mA 229Ω 11 2001 Adrian Dario Pelliza Una vez calculados estos dos valores, podemos proceder de la siguiente forma: −3 −3 V R1 = R1 ⋅ I RA = 27Ω ⋅ 1.08 x10 = 29.16mV V R5 = R5 ⋅ I RA = 330Ω ⋅ 1.08 x10 = 356.4mV −3 V R8 = R8 ⋅ I RA = 2200Ω ⋅ 1.08 x10 = 2.37mV −3 −3 V R3 = R3 ⋅ I RB = 82Ω ⋅ 15.67 x10 = 1.28V V R7 = R7 ⋅ I RA = 750Ω ⋅ 1.08 x10 = 810mV −3 V R2 = R2 ⋅ I RB = 47Ω ⋅ 15.67 x10 = 736.49mV −3 V R4 = R4 ⋅ I RB = 100Ω ⋅ 15.67 x10 = 1.56mV Ejercicio 12. Calcular el valor de tensión sobre la resistencia R3. Observando el circuito, se aprecian cuatro ramas de resistencias en serie que se encuentran conectadas en paralelo y este paralelo a su vez, en serie con la resistencia R10 y el generador V3. Si bien es aplicable la metodología de calcular las corrientes de cada rama mediante un divisor de corriente, este es altamente complicado y veremos por qué. Primeramente, procederemos a reducir las cuatro ramas a resistencias equivalentes RA, RB, RC y RD Según aparecen en el circuito: R A = R4 + R1 + R5 = 457Ω R B = R8 + R6 = 2700Ω RC = R7 + R9 = 5450Ω R D = R2 + R3 = 457Ω Por la forma en que se divide la corriente total (Que es la que pasará por R10) y según la Ley de Kirchoff, se debe cumplir: I T = I RA + I RB + I RC + I RD Es decir, que como ya hemos visto en el ejercicio 5 IT = V RA RA + V RB RB + V RC RC + V RD RD y como sabemos que al estar en paralelo: V RA = V RB = V RC = V RD Si calculamos el valor de esa tensión, podremos calcular el valor de la corriente de la rama que forma RD, es decir, la que contiene a R3. Y el cálculo requerido para obtener esa tensión se puede realizar de distintas maneras. Vamos a optar por realizar un divisor de tensión entre R10 y la resistencia que resulte de resolver el paralelo de RA, RB, RC y RD. 12 2001 Adrian Dario Pelliza 1 1 = = 95.29Ω 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + R A RB RC R D 457Ω 2700Ω 5450Ω 129Ω Entonces, podemos aplicar el divisor que va a determinar la tensión sobre RE RE = V RE = RE 95.29Ω ⋅ VT = ⋅ 9V = 12.59mV R E + R10 95.29Ω + 68000Ω Conociendo este valor, se puede calcular que la corriente de la resistencia RD resulta de: I RD = V RE RA −3 12.59 x10 V = = 97.59µA 129Ω y siendo que IRD es la corriente que circula por R3, el valor de tensión sobre R3 valdrá: −3 V R3 = R3 ⋅ I RD = 82Ω ⋅ 97.59 x10 A = 7.59mV Realizar el análisis mediante la aplicación de un divisor de corriente para averiguar la corriente que circula por RD, hubiera sido tedioso, ya que hubiéramos tenido que agrupar las tres ramas opuestas, RA, RB y RC en paralelo antes de efectuar el cálculo, además claro de tener que calcular primer el valor de corriente total. RE = 1 1 = = 95.29Ω 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + R A RB RC R D 457Ω 2700Ω 5450Ω 129Ω RT = R10 + R E = 68000Ω + 95.29Ω = 68095.29Ω IT = I RD 1 1 1 1 + + R A R B RC = 1 RD + 1 1 1 + + R A R B RC VT 9V = = 132.16µA 68095.29Ω RT 1 1 1 1 + + 457Ω 2500Ω 5450Ω ⋅ IT = ⋅ 132.16µA = 97.35µA 1 129Ω + 1 1 1 + + 457Ω 2500Ω 5450Ω y se sigue de la misma forma, calculando por ley de Ohm el valor de la tensión sobre R3. Si bien existe una ínfima diferencia, al igual que en otros ejercicios, se debe al descarte de decimales para la realización de las operaciones. 13 2001 Adrian Dario Pelliza Ejercicio 13. Obtener el valor de VX siendo la tensión sobre la resistencia R9=30V Este es un ejercicio deductivo, donde aplicando el camino inverso al seguido en la mayoría de los ejercicios vistos, se tratará de llegar al valor del generador. A primera vista, puede parecer que se carece de información, pero en realidad, está todo lo necesario. Todos los valores de las resistencias, se conocen y al menos un valor de corriente en el circuito es conocido. Eso nos va a permitir realizar todo el proceso. Primeramente, procederemos a reducir el circuito agrupando distintas ramas. Podemos empezar por el paralelo entre las resistencias R7 y R9 en serie con R4 RA = 1 1 = = 646.78Ω 1 1 1 1 + + R7 R9 750Ω 4700Ω R B = R A + R4 = 646.78Ω + 100Ω = 746.78Ω Esto, está en paralelo con R2 y a la vez, en serie con R3 RC = 1 1 1 + R B R2 = 1 1 1 + 746.78Ω 47Ω = 44.21Ω R D = RC + R3 = 44.21Ω + 82Ω = 126.21Ω Resolvemos en RE el paralelo entre R5 y R8 y en RF la serie con R6 RE = 1 1 = = 286.95Ω 1 1 1 1 + + 2200Ω 330Ω R8 R5 R F = R E + R6 = 286.95Ω + 500Ω = 786.95Ω Tal como hemos reducido tenemos por lo que el próximo paso será resolver el paralelo entre RF y RD para después calcular el valor de la resistencia total. RG = 1 1 = = 108.76Ω 1 1 1 1 + + RF RD 786.95Ω 126.21Ω RT = R1 + RG = 27Ω + 108.76 = 135.76Ω Ahora que conocemos el valor de la resistencia total del circuito nuestra incógnita es el valor de la corriente total. Anteriormente dijimos que sabiendo el valor de la 14 2001 Adrian Dario Pelliza tensión sobre R9 y conociendo el valor de esa resistencia, se podía saber que corriente circulaba por ella. Por lo tanto: I R9 = V R9 = R9 30V = 6.38mA 4700Ω y como R9 está en paralelo con R7, la tensión sobre R7 será la misma. Por lo tanto, también podemos calcular el valor de la corriente que circula por R7 I R7 = V R7 = R7 30V = 40mA 750Ω Y como hemos visto anteriormente, la corriente que circula por R4 es la que se están dividiendo R7 y R9, por lo tanto, si sabemos estos valores, podemos calcular esa corriente como la suma de ambas. I R$ = I R7 + I R9 = 40mA + 6.38mA = 46.38mA Con esta corriente, podemos calcular cual es la tensión que cae en lo que llamamos RB −3 V RB = R B ⋅ I RB = 746.78Ω ⋅ 46.38 x10 A = 34.63V que es la misma tensión que cae en R2, por lo que conociendo esta tensión, podremos calcular la corriente que circula por R2 I R2 = V RB R2 = 34.63V = 736.8mA 47Ω y esta corriente, sumada a la corriente ya calculada que circula por RB, nos permite conocer la corriente que circula por R3 es decir por lo que nosotros llamamos en el análisis RD I R3 = I RD = I R2 + I RB = 736.8mA + 46.38mA = 783.18mA Ahora podemos calcular la tensión que caerá sobre RD, que es la misma que cae sobre RGFKNADLKLFDKLfdk −3 V RD = V RG = R D ⋅ I RD = 126.21Ω ⋅ 783.18 x10 A = 98.84V De la misma forma que se procedió para averiguar la corriente que circulaba por R2, procedemos para calcular la que circula por RG I RG = V RG RG = 98.84V = 125.59mA 786.95Ω y conociendo este valor, podemos decir que: I T = I RG + I RD = 783.18mA + 125.59mA = 908.77 mA entonces, el valor de VX resulta: −3 V X = RT ⋅ I T = 135.76Ω ⋅ 908.77 x10 A = 123.37V 15 2001 Adrian Dario Pelliza Ejercicio 14. Calcular mediante el método de superposición el valor de tensión sobre la resistencia R2 La modalidad de resolución, de acuerdo al teorema de superposición, implica realizar el análisis del circuito en forma individual para cada uno de los generadores existentes y luego, realizar la sumatoria de los valores obtenidos teniendo en cuenta la polaridad que posee cada uno de esos valores. En este caso, como podemos ver, las líneas que representan el sentido de circulación de la corriente sobre R2 corren en sentido opuesto una de otra, por lo que el valor final de la tensión será el que resulte de operar los resultados como una resta. El orden que se le dé a cada operador, va a implicar una variación de la polaridad, aunque nominalmente será correcto. Por lo tanto, se procederá como en casos anteriores anulando uno u otro generador según la instancia de cálculo teniendo en cuenta que los generadores se reemplazan por su resistencia interna ideal, vale decir un cortocircuito (0Ω ) para el generador de tensión y un circuito abierto (∞Ω ) para el caso de un generador de corriente. Entonces, como primer paso, anulamos el generador V2 y vemos como queda el circuito con la modificación. Definitivamente, es muy sencillo calcular el valor buscado de la tensión sobre R2 con los métodos usados hasta ahora: RA = 1 1 1 + R3 R 6 = 1 = 70.44Ω 1 1 + 82Ω 500Ω R B = R A + R5 + R 2 = 70.44Ω + 330Ω + 47Ω = 447.44Ω RC = V RC = V R2 1 = 1 1 = = 81.73Ω 1 1 1 1 + + R B R4 447..44Ω 100Ω RC 81.73Ω ⋅ V1 = ⋅ 5V = 3.75V RC + R1 81.73Ω + 27Ω R2 47Ω ⋅ V1 = ⋅ 3.75V = 393.90mV R 2 + ( R5 + R A ) 47Ω + 330Ω + 70.44Ω Ahora, anulamos el otro generador y realizamos el análisis según como queda el circuito con ese generador. RA = 1 1 = = 21.25Ω 1 1 1 1 + + 27Ω 100Ω R1 R 4 R B = R A + R5 + R 2 R B = 21.25Ω + 330Ω + 47Ω = 398.25Ω RC = 1 1 = = 221.68Ω 1 1 1 1 + + RB R6 398.25Ω 500Ω 16 2001 Adrian Dario Pelliza V RC = V R2 2 = RC 221.68Ω ⋅V2 = ⋅12V = 8.75V RC + R3 221.68Ω + 82Ω R2 47Ω ⋅ V RC = ⋅ 8.75V = 1.03V R 2 + ( R A + R5 ) 47Ω + 21.25Ω + 330Ω Conocidos los dos valores, sólo resta cumplir con el paso de la superposición que en este caso es: −3 V R2 = −V R2 1 + V R2 2 = −393.90 x10 V + 1.03V = 636.10mV Ejercicio 15. Calcular la tensión que cae en R1 Este es un ejercicio muy sencillo que no requiere más que un sencillo razonamiento. Como vimos en el ejercicio 14, para cumplir con las exigencias que plantea el teorema de superposición, es necesario desactivar cada uno de los generadores del circuito y reemplazarlo por la resistencia ideal equivalente. Como la que corresponde a un generador de corriente, es una resistencia infinita, es decir, un circuito abierto, en el análisis que podamos realizar, para cuando I2 esté desactivado, no habrá circulación de corriente a través de R1 dado que estaría desconectada del generador. En cambio, al anularse el generador I1, la corriente circulará a través de todas las resistencias del circuito, y provocará que en los terminales A-B del circuito, aparezca una caída de tensión fácilmente calculable mediante la Ley de Ohm: −2 V A− B = V R1 = I 2 ⋅ R1 = 750 x10 A ⋅ 27Ω = 20.25V Ejercicio 16. Calcular el valor de corriente que circula por la resistencia R3 En este circuito, debemos realizar el análisis de los dos circuitos distintos que se forman al anular cada uno de los dos generadores. No presenta una gran dificultad, dado que al anularse cada generador, queda muy claro el camino que el análisis debe tomar observando cada uno de los circuitos replanteados sin ese generador. Para la realización de la superpocisión en el equema de la izquierda, se puden apreciar la forma en que cada una de las corrientes entregadas por los generadores circulan por el circuito, podiendosé notar que en la resistencia sobre la cual se pide conocer el valor de corriente, el sentido de circulación de ambas corrientes coincide por lo que deberemos sumar, una vez calculados, cada uno de los valores de corriente que se obtengan para cada generador. 17 2001 Adrian Dario Pelliza R A = R 4 + R 2 + R 6 + R5 R A = 100Ω + 47Ω + 500Ω + 330Ω = 977Ω 1 RB = 1 R3 1 + = 1 1 82Ω RA + 1 = 75.65Ω 977Ω RT = R1 + R7 + R B = 27Ω + 750Ω + 75.65Ω = 852.65Ω IT = V3 9V = = 10.55mA RT 852.65Ω I R3 1 = I R3 1 = RB ⋅ IT R B + R3 −3 977Ω ⋅10.55 x10 A = 9.73mA 977Ω + 82Ω y anulando el generador de corriente R A = R 4 + R 2 + R6 = 100Ω + 47Ω + 500Ω = 647Ω R B = R1 + R 7 = 27Ω + 750Ω = 777Ω RB = 1 1 1 + R3 R B = 1 1 1 + 82Ω 777Ω = 74.17Ω RC = R5 + R B = 330Ω + 74.17 = 407.17Ω I RC = I RC = I R3 2 = RA ⋅ I1 R A + RC −3 647Ω ⋅ 500 x10 A = 307.75mA 647Ω + 407.17Ω −3 RB 777Ω ⋅ I RC = ⋅ 307.75 x10 A = 278.37mA R B + R3 777Ω + 82Ω Conociendo los dos valores de la corriente de R3 para cada uno de los generadores, y tal como hemos dicho anteriormente, hacemos la superposición sumando los dos valores para obtener el valor final de la corriente que circula por R3 I R3 = I R3 1 + I R3 2 = 9.73mA + 278.37mA = 288.1mA 18 2001 Adrian Dario Pelliza Ejercicio 17. Calcular el valor de corriente sobre la resistencia R3 Este es otro ejercicio donde se hace hincapié en la necesidad de inspeccionar antes de comenzar a hacer cálculos en vano. Para el análisis que vamos a encarar, sabemos que los generadores se anulan uno por vez reemplazándoselos por su resistencia interna ideal para calcular el valor de corriente o tensión que circula o cae en una resistencia dada con el otro generador. Es por eso que para cuando anulemos el generador V2, la corriente que circulará por la resistencia R3 será nula, dado el cortocircuito que creado al reemplazar el generador. Por otra parte, el valor de tensión sobre R3 para cuando el generador anulado sea el de corriente será el mismo valor que el generador de tensión, dado que está conectado directamente a sus terminales. Por lo tanto, el valor de corriente total sobre R3 será: I R3 1 = V 2 12V = = 146.34mA R3 82Ω I R3 = I R3 1 + I R3 2 = 146.34mA + 0 A = 146.34mA Ejercicio 18. Calcular la corriente que circula por la resistencia R6 Nuevamente, aparece un circuito que a la primera mirada aparenta ser de una gran complejidad de análisis, pero que puede ser resuelto con una simple inspección. Se pide el valor de corriente que circula por la resistencia R6 y en el circuito se puede ver que esta se encuentra conectada en serie con el paralelo que forman R5 y R4, que a su vez está conectado con el generador de corriente. Tal como hemos visto, al reemplazarse el generador de corriente por su resistencia interna ideal, se crea una interrupción de la rama dada la resistencia infinita que le corresponde. Por lo tanto, para el análisis que podamos hacer de este circuito para el caso de el generador de corriente I1 desactivado, la rama que contiene a la resistencia R6 quedará en la práctica desconectada del circuito y en consecuencia, no habrá circulación de corriente por ella ni por el paralelo de R4 y R5. Es decir que el único valor calculable mediante este método de análisis, es el que se presentará cuando el generador de tensión V1 se encuentre desactivado y reemplazado por la resistencia interna ideal de 0Ω. Y en ese caso, la corriente del circuito será la que entregue el generador I1, que pasará primeramente por el paralelo de R4 y R5 y luego por R6, por lo que el valor buscado de corriente a través de R6 es el valor de corriente que sale del generador I1. Es decir: I R6 = I R6 1 + I R6 2 = 0 A + 500mA = 500mA 19 2001 Adrian Dario Pelliza Ejercicio 19. Calcular el valor de corriente que circula por la resistencia R6 Si bien como podemos ver en este circuito existen tres generadores de tensión, según como dos de ellos están conectados y de la misma forma que vimos en el ejercicio 2, podemos asociarlos en un único generador. Es una opción válida para evitar realizar los tres análisis. En el esquema podemos ver las líneas de circulación de la corriente donde se aprecia que las corrientes que circulan por la resistencia R6 corren en sentido contrario, por lo que el resultado de la corriente total que se está buscando, será la diferencia entre los dos valores calculados para cada uno de los generadores, el generador V1 y el generador equivalente a la suma de las tensiones de V2 y V3, que llamaremos VA. Comenzaremos arbitrariamente anulando el valor de tensión de VA y calcularemos el valor de corriente que circule por R6 en esas condiciones del circuito. R A = R5 + R1 + R 2 = 330Ω + 27Ω + 47Ω = 404Ω RB = 1 1 = = 223.45Ω 1 1 1 1 + + R A R6 404Ω 500Ω RT = R B + R 4 + R3 = 223.45Ω + 100Ω + 82Ω = 405.45Ω IT = I R6 1 = V1 5V = = 12.33mA RT 405.45Ω −3 RA 404Ω ⋅ IT = ⋅12.33 x10 A = 5.46mA R A + R6 404Ω + 500Ω Para el caso del análisis con el generador V1 desactivado, primeramente procederemos a calcular el generador VA y luego calcularemos el valor de la corriente que circula por R6 V A = V 2 + V3 = 12V + 9V = 21V R A = R3 + R 4 = 82Ω + 100Ω = 182Ω RB = 1 1 = = 133..43Ω 1 1 1 1 + + R A R6 182Ω 500Ω RT = R B + R1 + R 2 + R5 = 133.43Ω + 27Ω + 47Ω + 330Ω = 537.43Ω IT = I R6 2 = VA 21V = = 39.07mA RT 537.43Ω −3 RA 182Ω ⋅ IT = ⋅ 39.07 x10 A = 10.42mA R A + R6 182Ω + 500Ω 20 2001 Adrian Dario Pelliza Finalmente, tal como se dijo anteriormente, el resultado final, es decir la corriente total que circula por R6 resulta de la diferencia entre ambos valores calculados. Eso es: I R6 = − I R6 1 + I R6 2 = −5.46mA + 10.42mA = 4.96mA Ejercicio 20. Calcular el valor de tensión que cae sobre la resistencia R2 El circuito presenta una única nueva dificultad respecto de los demás que hemos estado analizando: Tres generadores que deberán ser activados y desactivados en cada cálculo que se realice. Se han marcado las líneas de dirección que tomarán cada una de las tres corrientes y podemos observar la forma en que circulan particularmente por la resistencia R2 y de esas líneas se puede deducir que el valor de la corriente que circule por R2 será la suma de las corrientes calculadas para los generadores V2 e I1 menos el valor de la calculada para el generador V1 Anulamos los generadores V2 e I1 y calculamos la corriente que circula por R2. R A = R5 + R6 = 330Ω + 500Ω = 830Ω RB = V R2 1 = V RB = 1 1 = = 44.48Ω 1 1 1 1 + + R A R2 830Ω 47Ω RB 44.48Ω ⋅ V1 = ⋅ 5V = 1.44V R B + R1 + R3 44.48Ω + 27Ω + 82Ω I R2 1 = V R2 1 R2 = 1.44V = 30.63mA 47Ω Anulamos los generadores V1 e I1y calculamos la corriente que circula por R2. R A = R1 + R3 = 27Ω + 82Ω = 109Ω RB = V R2 2 = V RB = 1 1 = = 32.83Ω 1 1 1 1 + + R A R 2 109Ω 47Ω RB 32.83Ω ⋅V 2 = ⋅12V = 456.59mV R B + R5 + R 6 32.83Ω + 330Ω + 500Ω I R2 2 = V R2 2 R2 −3 = 456.59 x10 V = 9.71mA 47Ω Y por último, anulamos los generadores de tensión V1 y V2 y calculamos el valor de corriente sobre R2 R A = R1 + R3 = 27Ω + 82Ω = 109Ω 21 2001 Adrian Dario Pelliza RB = 1 1 = = 32.83Ω 1 1 1 1 + + R A R 2 109Ω 47Ω RC = R B + R5 = 32.83Ω + 330Ω = 362.83Ω I RC = −3 R6 500Ω ⋅ I1 = ⋅ 500 x10 A = 289.74mA R 6 + RC 500Ω + 362.83Ω I R2 3 = −3 RA 109Ω ⋅ I RC = ⋅ 289.74 x10 A = 202.44mA R A + R2 109Ω + 47Ω Por lo dicho anteriormente, el valor total de corriente que circula por R2 será: I R2 = − I R2 1 + I R2 2 + I R2 3 = −30.63mA + 9.71mA + 202.44mA = 181.52mA Ejercicio 21. Calcular la tensión que cae sobre cada resistencia del circuito. Resolver este ejercicio, implica, en la práctica, resolver tres. Debemos calcular todos los valores de corriente del circuito para cada uno de los generadores y luego realizar la superposición de esos resultados de acuerdo al sentido de las corrientes de cada componente. Por eso se han dibujado en el esquema la dirección de circulación de cada una de las tres corrientes generadas por cada uno de los generadores a través de cada resistencia para facilitar la tarea del planteo de la superposición. Antes de iniciar los cálculos para cada generador, es útil reducir aquellas resistencias que no variarán para ningún análisis, que son las series R1 y R3, R7 y R8, y R2 y R5 en RA, RB y RC respectivamente. R A = R1 + R3 = 27Ω + 82Ω = 109Ω R B = R7 + R8 = 750Ω + 2200Ω = 2950Ω RC = R 2 + R5 = 47Ω + 330Ω = 377Ω Primeramente, analizaremos el circuito con los generadores V2 y V3 desactivados donde calcularemos la corriente total y realizaremos los divisores de corriente que sean necesarios. Comenzamos calculando el valor de resistencia total, para lo cual es necesario realizar los siguientes cálculos. RD = 1 1 = = 214.93Ω 1 1 1 1 + + 377Ω 500Ω RC R 6 22 2001 Adrian Dario Pelliza R F = R B + R D = 2950Ω + 214.93Ω = 3164.93Ω 1 RG = = 1 1 + RF R4 1 1 1 + 3164.93Ω 100Ω = 96.93Ω RT 1 = RG + R A = 96.93Ω + 109Ω = 205.93Ω Ahora, calculamos la corriente total y a partir de ahí, las distintas corrientes de las ramas. V1 I T 1 = I R1 1 = I R3 1 = I R4 1 = = 5V = 24.28mA 205.93Ω −3 RF 3164.93Ω ⋅ IT 1 = ⋅ 24.28 x10 A = 23.53mA RF + R4 3164.93Ω + 100Ω I RF 1 = I R7 1 = I R8 1 = I R6 1 = RT 1 −3 R4 100Ω ⋅ 24.28 x10 A = 743.66µA ⋅ IT 1 = RF + R4 3164.93Ω + 100Ω −6 RC 377Ω ⋅ I RF = ⋅ 743.66 x10 A = 319.68µA RC + R6 377Ω + 500Ω I RC 1 = I R2 1 = I R5 1 = −6 R6 500Ω ⋅ I RF 1 = ⋅ 743.66 x10 A = 423.97 µA RC + R6 377Ω + 500Ω Procedemos ahora a reemplazar V1 y V3 por sus resistencias equivalentes y a realizar el análisis de igual forma para V2. Los valores ya calculados de RD, RE y RF constituyen las mismas ramas en este circuito, por lo que obviamos el cálculo de esos valores y procedemos directamente a partir del paralelo formado por RF y RA. RG = 1 1 1 + RF R A = 1 1 1 + 3164.93Ω 109Ω = 105.37Ω RT 2 = RG + R 4 = 105.37Ω + 100Ω = 205.37Ω Calculamos ahora todas las corrientes para este generador I T 2 = I R4 2 = I RA 2 = I R1 2 = I R3 2 = I RF 2 = I R7 2 = I R8 2 = I R6 2 = V2 RT 2 = 12V = 58.43mA 205.37Ω −3 RF 3164.93Ω ⋅ IT 2 = ⋅ 58.43 x10 A = 56.48mA RF + R A 3164.93Ω + 109Ω −3 RA 109Ω ⋅ IT 2 = ⋅ 58.43 x10 A = 1.94mA RF + R A 3164.93Ω + 109Ω −3 RC 377Ω ⋅ I RF 2 = ⋅ 1.94 x10 A = 833.95µA RC + R6 377Ω + 500Ω I RC 2 = I R2 2 = I R5 2 = −3 R6 500Ω ⋅ I RF 2 = ⋅ 1.94 x10 A = 475.45µA RC + R6 377Ω + 500Ω 23 2001 Adrian Dario Pelliza ahora calculamos las corrientes del circuito sin los generadores V1 y V2 RD = 1 1 = = 52.15Ω 1 1 1 1 + + R A R 4 109Ω 100Ω R E = R D + R B = 52.15Ω + 2950Ω = 3002.15Ω RF = 1 1 = = 428.61Ω 1 1 1 1 + + R E R6 3002.15Ω 500Ω RT 3 = R F + RC = 428.61Ω + 377Ω = 805.61Ω Y calculamos las corrientes para este generador. I T 3 = I R 2 3 = I R5 3 = I R6 3 = V3 RT 3 = 9V = 11.17mA 805.61Ω −3 RE 3002.15Ω ⋅ IT 3 = ⋅11.17 x10 A = 9.57mA R E + R6 3002.15Ω + 500Ω I RE 3 = I R7 3 = I R8 3 = I R4 3 = −3 R6 500Ω ⋅ IT 3 = ⋅11.17 x10 A = 1.59mA R E + R6 3002.15Ω + 500Ω −3 RA 109Ω ⋅ 1.59 x10 A = 829.23µA ⋅ I RE 3 = R A + R4 109Ω + 100Ω I RA 3 = I R1 3 = I R3 3 = −3 R4 100Ω ⋅ I RE 3 = ⋅ 1.59 x10 A = 760.76µA R A + R4 109Ω + 100Ω Finalmente, calcularemos las corrientes superponiendo los valores calculados según el diagrama del circuito donde se indicaron las direcciones de las corrientes. I R1 = I R3 = − I R11 + I R1 2 + I R1 3 = −24.28mA + 56.48mA + 760.76µA = 32.96mA I R2 = I R5 = − I R2 1 − I R2 2 + I R2 3 = −423.97 µA − 475.45µA + 11.17mA = 10.27mA I R4 = − I R4 1 + I R4 2 − I R4 3 = −23.53mA + 58.43mA + 829.23µA = 34.07mA I R6 = I R6 + I R6 2 + I R6 3 = 319.68µA + 833.95µA + 9.57mA = 10.72mA I R7 = I R8 = I R7 + I R7 2 − I R7 3 = 743.66µA + 1.94mA − 1.59mA = 1.09mA 24 2001 Adrian Dario Pelliza Ejercicio 22. Calcular el valor de tensión que cae sobre la resistencia R3 Mucho más sencillo que el ejercicio anterior, este circuito presenta también tres generadores, dos de los cuales son de corriente y uno de tensión. Merece ser observado el hecho de que cuando se analice el circuito para cuando se encuentre el generador de corriente I1 activo y los otros dos pasivos, no habrá circulación de corriente a través de la resistencia sobre la que se pretende calcular, dado que el generador V3 al ser reemplazado por su resistencia equivalente, la corriente pasa por ese virtual cortocircuito hasta regresar por R5 al generador. Por lo tanto, para el análisis, el valor de VR3 con ese generador es 0. Asimismo, será muy fácil calcular los valores para los otros generadores. Si desactivamos los dos generadores de corriente, calcular la tensión buscada sobre R3 es simplemente realizar un divisor de tensión de esta forma: V R3 1 = R3 82Ω ⋅ V3 = ⋅ 9V = 4.73V R1 + R 2 + R3 27Ω + 47Ω + 82Ω Cuando esté activado I2, el circuito se reduce a un divisor de corriente entre R1 y la serie que forman R2 y R3, ya que la rama que contiene a R4 y R5 queda por anulada por dos motivos: Primero, estaría el circuito abierto al reemplazar a I1 por un circuito abierto. Y además, por el mismo motivo que se explicó que para cuando el generador activo fuera I1. Entonces, la corriente que circula por R3 es: I R3 = I R4 = −3 R1 27Ω ⋅I2 = ⋅ 750 x10 A = 129.80mA R1 + R 2 + R3 27Ω + 47Ω + 82Ω −3 V R3 2 = I R3 ⋅ R3 = 129.80 x10 A ⋅ 82Ω = 10.64V La superposición que debemos realizar, como podemos observar en las líneas de dirección del esquema, será la diferencia entre los dos valores calculados: V R3 = −V R3 1 + V R3 2 = −4.73V + 10.64V = 5.91V Ejercicio 23. Calcular el valor de tensión en los terminales A-B del circuito. No es nada complicado encarar el análisis de este circuito. La resistencia R5 va a desaparecer cuando se analice el circuito con cualquiera de los dos generadores de tensión, mientras que para cuando el circuito está siendo analizado con el generador de corriente activo y los de tensión pasivos, todo se reducirá a un divisor de corriente entre R3 y la rama que forman R1, R2 y R4. Por otro lado, como se observa en las líneas de dirección, la tensión buscada a través de la superposición resultaría: V A− B = VR1 = VR11 − VR1 2 + VR1 3 Vamos a comenzar por anular el generador de corriente y el de tensión V2 V R1 1 = R1 ⋅ V1 = R1+ R 2 + R3+ R 4 25 2001 Adrian Dario Pelliza V R1 = 27Ω ⋅ 5V = 527.34mV 27Ω + 47Ω + 82Ω + 100Ω y para el generador de tensión V2, básicamente no hay diferencia V R1 2 = R1 27Ω ⋅V2 = ⋅12V = 1.26V R1+ R 2 + R3+ R 4 27Ω + 47Ω + 82Ω + 100Ω Y finalmente, resolvemos el divisor para el generador de corriente I2 I R1 = −3 R3 82Ω ⋅ I1 = ⋅ 750 x10 A = 240.23mA R3 + R1 + R2 + R4 82Ω + 27Ω + 47Ω + 100Ω −3 V R1 3 = I R1 ⋅ R1 = 240.23 x10 A ⋅ 27Ω = 6.48V Con los tres valores resolvemos la superposición como se explicó: −3 V A− B = V R1 = V R1 1 − V R1 2 + V R1 3 = 527.34 x10 V − 1.26V + 6.48V = 8.26V Ejercicio 23. Obtener el circuito equivalente de Thevenin del siguiente circuito. El teorema de Thevenin determina que todo dipolo activo, como lo es el circuito de la figura, puede ser reemplazado por un generador de tensión en serie con una resistencia. Expone que el generador tendrá el valor que se mida en los terminales de circuito y que la resistencia será la medida en los terminales del dipolo con todos los generadores reemplazados por su resistencia ideal. Es decir, para este circuito en particular, realizar ese reemplazo implica que las resistencias R1 y R2 desaparezcan, dado que el circuito queda abierto al reemplazar I1 por su resistencia interna de valor infinito. Por eso, el valor de la resistencia de Thevenin, tal es el nombre que recibe la resistencia equivalente, pude ser calculada como: RTh = RTh = 1 = 1 1 + R 6 (R 3 + R 4 + R 5 ) 1 = 252.96Ω 1 1 + 500Ω (82Ω + 100Ω + 330Ω ) La tensión en A y B con el generador V2 vale V AB 1 = V R6 1 = R6 500Ω ⋅V2 = ⋅12V = 5.92V R3 + R 4 + R5 + R 6 82Ω + 100Ω + 330Ω + 500Ω Mientras que cuando el generador activo es I1 valdrá: I R5 = I R6 = −3 R3 + R 4 82Ω + 100Ω ⋅ I1 = ⋅ 500 x10 A = 89.92mA R3 + R 4 + R5 + R 6 82Ω + 100Ω + 330Ω + 500Ω 26 2001 Adrian Dario Pelliza −3 V R6 2 = I R6 ⋅ R6 = 89.92 x10 A ⋅ 500Ω = 44.96V Por lo que el valor real de tensión sobre A y B sería, haciendo la superposición de los valores calculados y observando el sentido de circulación de las corrientes a través de R6, la suma de los dos valores. V AB = VTh = V R6 1 + V R6 2 = 5.92V + 44.96V = 50.88V El circuito equivalente sería entonces: Ejercicio 25. Obtener el circuito equivalente de Thevenin del siguiente circuito Este ejercicio es prácticamente igual al ejercicio 15 por lo tanto, es muy fácil de resolver cual va a ser el valor de la tensión de los terminales A y B, realizando: −3 VTh = I1 ⋅ R8 = 500 x10 A ⋅ 2200Ω = 1100V y la resistencia de Thevenin del circuito también es muy sencillo de obtener dado que al anularse los generadores, lo único que queda conectado el la resistencia R8, por lo tanto: RTh = R8 = 2200Ω El circuito equivalente, en definitiva quedaría como sigue Ejercicio 26. Obtener el equivalente de Norton del circuito siguiente. El teorema de Norton determina que todo dipolo activo, como lo es el circuito de la figura, puede ser reemplazado por un generador de corriente en paralelo con una resistencia. Expone que el generador tendrá el valor que se mida en los terminales de circuito y que la resistencia será la medida en los terminales del dipolo con todos los generadores reemplazados por su resistencia ideal En este caso, el valor de la resistencia de Norton, sería:” 1 RN = R4 + 1 1 + R2 R1 + R 27 2001 Adrian Dario Pelliza RN 1 = 132.83Ω = 100Ω + 1 1 + 27Ω + 82Ω 47Ω En tanto que la corriente que circula por la resistencia R4 puede ser calculada como RA = 1 1 1 + R2 R4 = 1 1 1 + 47Ω 100Ω = 31.97Ω RT = R1 + R A + R3 = 27Ω + 31.97Ω + 82Ω = 140.97Ω IT = I N = I R4 = V2 12V = = 85.12mA RT 140.97Ω −3 R2 47Ω ⋅ IT = 85.12 x10 A = 27.21mA R2 + R4 47Ω + 100Ω Y el circuito equivalente, queda planteado como Ejercicio 27. Obtener el circuito equivalente de Norton del siguiente circuito Desde el punto de vista del análisis, es un circuito muy sencillo de resolver. Comenzando por la resistencia de Norton, al anularse el generador de corriente I2, la resistencia R3 queda desconectada del resto del circuito, por lo que el valor que se mediría en los terminales del mismo, va a ser el que corresponda a la serie entre R1 y R2: RN = R1 + R2 = 27Ω + 47Ω = 74Ω También es muy simple el cálculo de la corriente del generador de Norton para el circuito equivalente, dado que por la forma en que se anularán los generadores del circuito, para cuando el generador I2 esté anulado, el valor de la corriente medida en los terminales será: I R2 1 = V1 5V = = 67,56mA R1 + R 2 27Ω + 47Ω y para cuando el generador activo sea el de corriente: I R2 2 = −3 R1 27Ω ⋅I2 = ⋅ 750 x10 A = 273.64mA R1 + R 2 27Ω + 47Ω 28 2001 Adrian Dario Pelliza Dado que el sentido de ambas corrientes coincide, podemos decir que el generador de Norton del circuito equivalente tendrá una corriente que será: I N = I R2 1 + I R2 2 = 67.56mA + 273.64mA = 341.20mA Ejercicio 28. Obtener el equivalente de Thevenin del siguiente circuito Este circuito presenta muy pocas dificultades a la hora de ser analizado. Lo que sí podemos remarcar del mismo, es la polaridad que tendrá el generador equivalente una vez calculado su valor. Si observamos el sentido dado a las corrientes, las corrientes sobre R2 para cada uno de los generadores, coinciden en dirección, pero ingresan a esta resistencia por el punto donde se encuentra el terminal B, por lo tanto, el positivo del generador estará conectado a este terminal. En cuanto específicamente a los cálculos analíticos, podemos ver que el valor de la resistencia de Thevenin será el que resulte de analizar la red de la siguiente forma: R A = R1 + R7 = 27Ω + 750Ω = 777Ω RB = 1 1 = = 74.17Ω 1 1 1 1 + + R A R3 777Ω 82Ω RC = R B + R 4 + R6 + R8 = 74.17Ω + 100Ω + 500Ω + 2200Ω = 2874.14Ω RTh = 1 1 = = 46.24Ω 1 1 1 1 + + 2874.17Ω 47Ω RC R 2 Para los cálculos que refieren a cada uno de los valores de tensión para cada generador, empezamos por anular el generador de corriente I1, por lo que el valor de corriente en R2 será: R A = R 2 + R 4 + R6 + R8 = 47Ω + 100Ω + 500Ω + 2200Ω = 2847Ω RB = 1 1 = = 79.70Ω 1 1 1 1 + + R A R3 2847Ω 82Ω RT = R B + R1 + R7 = 79.70Ω + 27Ω + 750Ω = 856.70Ω 29 2001 Adrian Dario Pelliza IT = I RA 1 = V3 9V = = 10.50mA RT 856.70Ω −3 R3 82Ω ⋅ IT = ⋅10.50 x10 A = 293.95µA R3 + R A 82Ω + 2847Ω Para el generador de corriente, el valor de corriente en R2 será: R A = R1 + R7 = 27Ω + 750Ω = 777Ω RB = 1 1 = = 74.17Ω 1 1 1 1 + + 777Ω 82Ω R A R3 RC = R B + R 4 = 74.17Ω + 100Ω = 174.17Ω I R2 2 = −3 RC 174.17Ω ⋅ I1 = ⋅ 500 x10 A = 29.81mA RC + R 2 + R8 + R6 174.17Ω + 47Ω + 2200Ω + 500Ω Como dijimos anteriormente, el valor real de la corriente sobre R2 es la suma de los dos valores calculados, de forma que: −6 −3 I R2 = I R2 1 + I R2 2 = 293.95 x10 A + 29.81 x10 A = 30.10mA −3 V R2 = VTh = I R2 ⋅ R 2 = 30.10 x10 A ⋅ 47Ω = 1.41V El circuito equivalente queda entonces, teniendo en cuenta lo dicho al respecto de la polaridad: Ejercicio 29. Obtener el equivalente de Norton del siguiente circuito Como en los ejercicios anteriores, comenzaremos calculando el valor de la resistencia de Norton. cuyo valor será: R A = R9 + R10 = 4700Ω + 68000Ω = 72000Ω RB = 1 1 = = 2134.77Ω 1 1 1 1 + + R A R8 72KΩ 2.2KΩ R N = R B + R5 + R 6 + R 7 R N = 2134.77Ω + 330Ω + 500Ω + 750Ω = 3714.77Ω 30 2001 Adrian Dario Pelliza Los valores de la corriente a través de R5 para cada generador, comenzado por el que corresponde cuando I3 está desactivado son: R A = R5 + R6 + R7 = 330Ω + 500Ω + 750Ω = 1580Ω RB = V RB = 1 1 = = 919.57Ω 1 1 1 1 + + R A R8 1580Ω 2200Ω RB 919.57Ω ⋅ V3 = ⋅ 9V = 112.41mV R B + R9 + R10 919.57Ω + 4700Ω + 68000Ω I R5 1 = I R A = V RB RA −3 = 112.41 x10 V = 71.16µA 1580Ω y para cuando el generador desactivado es V3: R A = R9 + R10 = 4.7KΩ + 68KΩ = 72.7 KΩ RB = 1 1 = = 2135.38Ω 1 1 1 1 + + R A R8 72700Ω 2200Ω RC = R B + R6 + R7 = 2135.38Ω + 500Ω + 750Ω = 3385.38Ω I R5 2 = RC 3385.38Ω ⋅ I3 = ⋅ 2 A = 1.82 A RC + R5 3385.38Ω + 330Ω Y la superposición de estos valores, según las direcciones de cada corriente donde se ve que se circulan opuestas a través de R5, da como resultado: −3 I RN = − I R5 1 + I R5 1 = −71.16 x10 A + 1.82 A = 1.819999 A Dada la gran diferencia de valores, el valor de la corriente obtenida para cuando está activo V3, es despreciable como se puede observar en el resultado obtenido. También debe tenerse en cuenta que el valor que tomamos como positivo, nos indica que el positivo del generador equivalente, estará en el terminal B. De modo que el circuito queda: 31 2001 Adrian Dario Pelliza Ejercicio 30. Obtener el equivalente de Thevenin del siguiente circuito Como ya hemos hecho en otros ejercicios, primeramente, anulamos todos los generadores y calculamos el valor de la resistencia equivalente, que en este circuito en particular es: RA = RB = 1 1 1 + R5 R2 = 1 1 1 + 330Ω 47Ω = 41.14Ω 1 1 = = 25.61Ω 1 1 1 1 + + 27Ω 500Ω R1 R6 RC = R A + R 4 + R B = 41.14Ω + 100Ω + 25.61Ω = 166.75Ω 1 1 = = 54.96Ω 1 1 1 1 + + RC R3 166.75Ω 82Ω RTh = La tensión que se medirá en los terminales AB del circuito, será obviamente la tensión sobre R3, por lo tanto, anulando el generador V2: RA = 1 1 1 + R1 R6 = 1 1 1 + 27Ω 500Ω = 25.61Ω R B = R A + R 4 + R3 = 25.61Ω + 100Ω + 82Ω = 207.61Ω RC = 1 1 = = 38.32Ω 1 1 1 1 + + 47Ω 207.61Ω R2 R B V RC = RC 38.32Ω ⋅ V1 = ⋅ 5V = 520.19mV RC + R5 38.32Ω + 330Ω V R3 1 = −3 R3 82Ω ⋅ V RC = ⋅ 520.19 x10 V = 205.46mV RB 207.61Ω y para el generador V2, cuando V1 está desactivado: RA = 1 1 = = 41.14Ω 1 1 1 1 + + 330Ω 47Ω R5 R 2 R B = R A + R 4 + R3 = 41.14Ω + 100Ω + 82Ω = 223.14Ω RC = 1 1 = = 154.28Ω 1 1 1 1 + + R6 R B 500Ω 223.14Ω 32 2001 Adrian Dario Pelliza V RC = RC 154.28Ω ⋅ V1 = ⋅12V = 10.21V RC + R1 154.28Ω + 27Ω V R3 1 = R3 82Ω ⋅ V RC = ⋅10.21V = 3.75V RB 223.14Ω La superposición resulta entonces: −3 VTh = V R3 = −V R3 1 + V R3 2 = −205.46 x10 V + 3.75V = 3.54V Como tomamos positivo el valor de tensión para el generador V2, y por el resultado obtenido, el polo positivo del generador del circuito equivalente estará en el terminal A, por lo que el circuito sería: Ejercicio 31. Obtener el equivalente de Thevenin del siguiente circuito Este circuito, repite en apariencia el esquema del circuito del ejercicio 18. Sin embargo, en este caso, por la resistencia considerada circularán corrientes generadas por ambos generadores. Si bien el circuito a primera vista parece complejo, no lo es tanto cuando redibujamos el circuito y obtenemos un modelo equivalente simplemente dibujado de otra forma. Así, el análisis se vuelve más sencillo y se minimizan las posibilidades de cometer errores. El circuito redibujado, muestra claramente cual es la circulación de corriente a través de R3,y de las líneas de dirección de cada corriente, podemos deducir que la tensión real que caiga en R3 será el resultado de la diferencia de los dos valores calculados para cada uno de los generadores del circuito mediante el método de superpocisión. Comenzaremos calculando el valor de la resistencia de Thevenin equivalente que será: R A = R1 + R 2 = 27Ω + 47Ω = 74Ω RTh = 1 1 = = 38.89Ω 1 1 1 1 + + 74Ω 82Ω R A R3 33 2001 Adrian Dario Pelliza El cálculo de la tensión sobre R3 para cuando I2 esté desactivado es realmente muy sencillo: V R3 1 = R3 ⋅ V1 R1 + R 2 + R3 82Ω ⋅ 5V = 2.62V 27Ω + 47Ω + 82Ω VR3 1 = Tampoco es complicado obtener el valor para cuando V1 está desactivado: I R3 2 = I R3 2 = R2 ⋅I (R3 + R1 ) + R2 2 −3 47Ω ⋅ 750 x10 A = 225.96mA 27Ω + 47Ω + 82Ω −3 V R3 2 = I R3 2 ⋅ R3 = 225.96 x10 A ⋅ 82Ω = 18.52V La superposición, según dijimos es la diferencia entre ambos valores V AB = V R3 = −V R3 1 + V R3 2 = −2.62V + 18.52 = 15.90V y según este cálculo, el valor tomado como positivo fue el calculado para el generador de corriente, por lo que el polo positivo de la tensión de Thevenin será el terminal A. Ejercicio 32. Obtener el equivalente de Norton del siguiente circuito Este es un simple circuito que no presenta ninguna dificultad en el análisis. El cálculo de la resistencia equivalente se limita a la serie de tres resistencias, ya que R7 y R9 se anulan al desactivarse I2: RTh = R6 + R8 + R10 = 500Ω + 2200Ω + 68000Ω = 70700Ω Para cuando se desactiva I2, la corriente que circula por R6, es la corriente total que circula a través de la misma serie que formó la resistencia equivalente. Es decir: I R6 1 = V3 9V = = 127.29µA R10 + R8 + R6 68000Ω + 2200Ω + 500Ω y para cuando el generador de tensión está desactivado la corriente se calcula mediante un divisor de corriente muy sencillo: 34 2001 Adrian Dario Pelliza I R6 2 = (R10 + R8 ) (68000Ω + 2200Ω) ⋅ 750 x10 ⋅I = (R10 + R8 ) + R6 2 (68000Ω + 2200Ω) + 500Ω −3 A = 744.69mA La superposición de ambos valores, teniendo en cuenta el sentido de circulación de cada corriente, nos muestra que las direcciones coinciden, por lo tanto, el valor de corriente de Norton, será la suma de los valores calculados. −6 −3 I R6 = I R6 1 + I R6 2 = 127.29 x10 A + 744.69 x10 A = 744.81mA También en el diagrama se puede ver que el terminal positivo del generador esta’ra conectado a el terminal A del circuito, por lo que el circuito equivalente será: Ejercicio 33. Obtener el equivalente de Norton del siguiente circuito En este circuito, lo único que puede confundirnos es la presencia de la resistencia R1, que cambia radicalmente su función según se active uno u otro generador. Para el cálculo de la resistencia equivalente, debemos realizar: R A = R1 + R 4 + R9 = 27Ω + 100Ω + 4700Ω R A = 4827Ω RB = 1 1 1 + R A R2 = 1 1 1 + 4827Ω 47Ω = 46.54Ω R N = R B + R3 = 46.54Ω + 82Ω = 128.54Ω El análisis del circuito cuando el generador de corriente está desactivado, podemos proceder de la siguiente forma: R A = R1 + R 4 + R9 = 27Ω + 100Ω + 4700Ω = 4827Ω RB = 1 1 = = 80.63Ω 1 1 1 1 + + 4827Ω 82Ω R A R2 RT = R B + R 2 = 80.63Ω + 47Ω = 127.63Ω IT = I R3 1 = V2 12V = = 94.02mA RT 127.63Ω −3 RA 4827Ω ⋅ IT = ⋅ 94.02 x10 A = 92.44mA R A + R3 4827Ω + 82Ω 35 2001 Adrian Dario Pelliza Para cuando está activado el generador de corriente, observando el circuito, se puede ver que la corriente del generador se divide entre R4 y la red resistiva que forma R3 en paralelo con R2 y ambas, en serie con R1 y R9. La corriente de esa red, será la que se dividirá entre R2 y R3, es decir la que debemos calcular. Para eso hacemos: RA = 1 1 1 + R 2 R3 = 1 1 1 + 47Ω 82Ω = 29.87Ω R B = R A + R1 + R9 = 29.87Ω + 27Ω + 4700Ω = 4756.87Ω I RB = −3 R4 100Ω ⋅ I1 = ⋅ 500 x10 A = 10.29mA R4 + R B 100Ω + 4756.87Ω I R3 2 = −3 R2 47Ω ⋅ IT = ⋅10.29 x10 A = 3.74mA R 2 + R3 47Ω + 82Ω La corriente total, según lo que se observa en las líneas de dirección de las corrientes del circuito, será la diferencia entre ambos valores: −3 −3 I R3 = I R3 1 − I R3 2 = 92.44 x10 A − 3.74 x10 A = 88.70mA De acuerdo a lo que hicimos, tomamos como positivo el terminal A, por lo que el circuito equivalente queda como: Ejercicio 34. Obtener el equivalente de Norton del siguiente circuito A primera vista puede aparecer complicado por la forma en que están dispuestos los generadores y el efecto que –a la hora del cálculo- producirá que dos de ellos se anulen para calcular cada uno de los valores. Sin embargo, si observamos en los tres circuitos redibujados para un solo generador activo, se ven cosas que a simple vista quizás se escapan o nos llevan a cometer errores. En el primer circuito, al desaparecer los dos generadores de corriente, la corriente que circulará por el circuito, lo hará únicamente a través de R4 y R5, gracias al cortocircuito que impide a la corriente pasar por R1, R6 y R2. 36 2001 Adrian Dario Pelliza En el segundo circuito, con el generador I3 activo, la corriente sale del generador, se divide entre R4 y R5 que quedan en paralelo, se junta nuevamente y se vuelve a dividir entre R2 y la serie entre R6 y R1, luego de lo cual, forma nuevamente la corriente total. En el último circuito, pasa algo similar a lo que sucedió cuando se desactivaron los dos generadores de corriente. En virtud del cortocircuito, no circulará corriente alguna a través de la serie entre R3 y R4. Podemos ver entonces que ya no es tan complicada la resolución del ejercicio. Comenzamos calculando la resistencia total, que será: R N = R3 + R 4 = 82Ω + 100Ω = 182Ω Y en base a lo que se explicó anteriormente, calculamos los valores de corriente a través de R3, que luego superpondremos para obtener la corriente de Norton. Anulando los dos generadores de corriente tendremos: I R3 1 = V1 5V = = 27.47mA R3 + R 4 82Ω + 100Ω Activando el generador I3: I R3 2 = R4 100Ω ⋅ I3 = ⋅ 2 A = 1.09 A R3 + R 4 100Ω + 82Ω Para el generador I1, no debemos realizar ningún cálculo ya que como se explicó, es nula la corriente que circulará por R3. La superposición de las corrientes, según lo que indican las líneas de dirección de cada corriente, será la diferencia de los dos valores. Restará solo determinar cual será el terminal positivo y cual por negativo. −3 I R3 = I N = − I R3 1 + I R3 2 + I R3 3 = −27.47 x10 A + 1.09 A + 0 A = 1.06 A Ejercicio 35. Calcular las corrientes de cada malla del siguiente circuito. I II El método de mallas se basa directamente en el postulado de la ley de Kirchoff de las corrientes. Definimos malla a toda rama cerrada de un circuito, a través de la cual, circula una corriente determinada, que llamaremos “corriente de malla” y que estará definida según una expresión matemática de acuerdo a la ley de Kirchoff de las corrientes. En este ejercicio, observamos dos mallas y por lo tanto tendremos dos expresiones que definirán cada una de las corrientes de malla. Asimismo, definimos un único sentido de circulación de corriente para ambas mallas. Por definición, las caídas de tensión que provoca la corriente de la malla I en cada una de las resistencias – ignorando la existencia de la malla II- deben cumplir con: I 1 ⋅ R3 + I 1 ⋅ R 4 + I 1 ⋅ R6 = V1 37 2001 Adrian Dario Pelliza Con el mismo criterio, para la malla II se puede escribir la expresión: I 2 ⋅ R1 + I 2 ⋅ R 2 + I 2 ⋅ R5 + I 2 ⋅ R6 = V 2 + V3 Observando ambas expresiones, notamos que la resistencia R2 es común a ambas mallas y por lo tanto, las corrientes de cada malla están atravesándola y por ende, generando una caída de tensión que influirá en el valor que cada corriente de malla tomará, por lo que las expresiones, deberán tener en cuenta dicha situación. Si nos detenemos en el sentido de circulación que hemos dado –que será siempre horario en todas las mallas- las dos corrientes que circulan por R6 lo hacen en sentido contrario una de otra, con lo que las expresiones de cada malla serán: I 1 ⋅ R3 + I 1 ⋅ R 4 + I 1 ⋅ R6 − I 2 ⋅ R6 = V1 − I 1 ⋅ R6 + I 2 ⋅ R1 + I 2 ⋅ R 2 + I 2 ⋅ R5 + I 2 ⋅ R6 = V 2 + V3 y simplificando: I 1 ⋅ (R3 + R 4 + R6 ) − I 2 ⋅ R6 = V1 − I 1 ⋅ R6 + I 2 ⋅ (R1 + R 2 + R5 + R6 ) = V 2 + V3 Este sistema de ecuaciones de dos incógnitas que hemos planteado puede ser resuelto matemáticamente por distintos métodos, escribiendo los términos como matrices. R3 + R 4 + R 6 − R6 − R6 I V ⋅ 1 = 1 R1 + R 2 + R5 + R6 I 2 V 2 Si resolvemos mediante el método de determinantes R + R 4 + R6 ∆= 3 − R6 − R6 − 500Ω 82Ω + 100Ω + 500Ω 682Ω − 500Ω = = R1 + R 2 + R5 + R6 500Ω 27Ω + 47Ω + 330Ω + 500Ω − 500Ω 904Ω ∆ = (682Ω ⋅ 904Ω ) − (−500Ω ⋅ −500Ω ) = 616528 − 250000 = 366528 V1 ∆ I1 = V 2 + V3 − R6 5V = R1 + R 2 + R5 + R6 12V + 9V − 500Ω 5V = 27Ω + 47Ω + 330Ω + 500Ω 21V − 500Ω 904Ω ∆ I1 = (5V ⋅ 904Ω ) − (21V ⋅ −500Ω ) = 4520 − (−10500 ) = 15020 R + R 4 + R6 ∆2 = 3 − R6 V1 82Ω + 100Ω + 500Ω 5V 682Ω 5V = = V 2 + V3 500Ω 12V + 9V − 500Ω 21V ∆ 2 = (682Ω ⋅ 21V ) − (−500Ω ⋅ 5V ) = 14322 − (−2500) = 16822 I1 = ∆ I1 ∆ = 15020 = 40.97mA 366528 I2 = ∆ I2 ∆ = 16822 = 45.89mA 366528 38 2001 Adrian Dario Pelliza Ejercicio 36. Calcular las corrientes de malla del siguiente circuito. Por inspección podemos escribir las expresiones de cada una de las mallas, teniendo en cuenta que la resistencia R6 es común a ambas mallas. I1 ⋅ (R5 + R6 + R10 ) − I 2 ⋅ R6 = V2 − I 1 ⋅ R6 + I 2 ⋅ (R1 + R2 + R6 ) = −V3 II Nótese que el valor de la tensión V3 en la ecuación de la malla II es negativo, dado que el sentido de circulación de corriente impuesto a la malla, es contrario a la polaridad del generador V3. Reemplazamos ahora los valores en cada ecuación y resolvemos mediante el método de determinantes I − 500Ω 330Ω + 500Ω + 68000Ω 68830Ω − 500Ω ∆= = = (39508420) − (250000) = 39258420 27Ω + 47Ω + 500Ω − 500Ω 574Ω − 500Ω 12V ∆ I1 = − 9V − 500Ω 12V = 27Ω + 47Ω + 500Ω − 9V − 500Ω = (6888) − (4500) = 2388 574Ω 330Ω + 500Ω + 68000Ω 12V 68830Ω 12V ∆ I1 = = = (− 619470) − (− 6000) = −613470 − 500Ω − 9V − 500Ω − 9 I1 = ∆ I1 ∆ = 2388 = 60.82µA 39258420 I2 = ∆ I2 ∆ = − 613470 = −15.62mA 39258420 Ejercicio 37. Calcular las corrientes de malla del siguiente circuito En este circuito, hay dos resistencias que forman parte de una y otra malla. Como se ve, ambas están en serie, por lo que se pueden considerar como una única resistencia cuyo valor resultará de la suma de R3 y R4. Es decir: I II R A = R3 + R4 = 82Ω + 100Ω = 182Ω El planteo de las ecuaciones se puede hacer simplemente por inspección. Una de las mallas estará formada por las resistencias R1, R2 y RA y la otra por R5, R6 y RA. En cuanto las tensiones, los valores serán positivos ya que coinciden con el sentido de circulación dado a las mallas. I 1 ⋅ (R1 + R A + R 2 ) − I 2 ⋅ R A = V3 − I 1 ⋅ R A + I 2 ⋅ (R5 + R6 + R A ) = V1 − 182Ω 256Ω − 182Ω 27Ω + 182Ω + 47Ω = (259072) − (33124) = 225948 = ∆= 330Ω + 500Ω + 182Ω − 182Ω 1012Ω − 182Ω 9V ∆ I1 = 5V − 182Ω = (91080) − (− 910) = 10018 1012Ω 39 2001 Adrian Dario Pelliza 256Ω 9V ∆ I2 = = (1280) − (− 1638) = 2918 − 182Ω 5V I1 = ∆ I1 ∆ = 10018 = 44.33mA 225948 I2 = ∆ I2 ∆ = 2918 = 12.91mA 225948 Ejercicio 38. Calcular las corrientes de malla del siguiente circuito. Por observación, podemos escribir cada ecuación: I1 ⋅ (R1 + R2 ) − I 2 ⋅ R1 = V3 − I1 ⋅ R1 + I 2 ⋅ (R1 + R3 + R8 ) = −V1 II y resolviendo por el método de determinantes, tendremos los valores de cada corriente. I 74Ω − 27Ω ∆= = (170866) − (729) = 170137 − 27Ω 2309Ω 9V ∆ I1 = − 5V − 27Ω = (20781) − (135) = 20646 2309Ω 9V 74Ω ∆ I2 = = (− 370) − (− 243) = −127 − 27Ω − 5V I1 = ∆ I1 ∆ = 20646 = 121.34mA 170137 I2 = ∆ I2 ∆ = − 127 = 746.45µA 170137 Ejercicio 39. Calcular las corrientes de cada malla del siguiente circuito. En este circuito, específicamente en la malla II, tenemos dos generadores de tensión que se encuentran conectados en forma opuesta como podemos ver. En este caso, a la hora de considerar el valor de tensión en la malla, tomaremos la diferencia que surja según el sentido de circulación de la corriente de la malla. Entonces, las expresiones para cada malla pueden ser escritas como: I I 1 ⋅ (R5 + R9 + R10 ) − I 2 ⋅ R5 = V1 II − I 1 ⋅ R 5 + I 2 ⋅ ( R 5 + R8 + R 7 ) = V 3 − V 2 Resolviendo los determinantes, como venimos haciendo en los anteriores ejercicios: − 330Ω 330Ω + 4700Ω + 68000Ω ∆= = (239538400) − (108900) = 239429500 330Ω + 2200Ω + 750Ω − 330Ω 5V ∆ I1 = − 3V − 330Ω = (16400) − (990) = 15410 330Ω + 2200Ω + 750Ω 40 2001 Adrian Dario Pelliza 330Ω + 4700Ω + 68000Ω 5V ∆ I2 = = (− 219090) − (− 1650) = −217440 − 330Ω − 3V I1 = ∆ I1 ∆ = 15410 = 64.36µA 239429500 I2 = ∆ I2 ∆ = − 217440 = 908.15µA 239429500 Ejercicio 40. Calcular las corrientes de cada malla del siguiente circuito y la tensión sobre la resistencia R2. Este circuito es el mismo del ejercicio 14 y nos valdremos de los resultados obtenidos en ese análisis mediante el método de superposición para comparar con los que se calcularán mediante el I II III método de corrientes de mallas. Como se ha indicado, existen tres mallas en el circuito por lo que deberemos plantear tres expresiones. Específicamente en este circuito, si bien hay tres mallas, no hay interacción entre todas: En la malla uno, la corriente de la malla tres no influirá en la expresión para esa malla y viceversa. Para la malla dos, en cambio, sí existe una interacción de las mallas uno y tres lo que se deberá tener en cuenta en la expresión. I 1 ⋅ (R1 + R 4 ) − I 2 ⋅ (R 4 ) − 0 = V1 − I 1 ⋅ R 4 + I 2 ⋅ (R 2 + R 4 + R5 + R6 ) − I 3 ⋅ R6 = 0V 0 − I 2 ⋅ R6 + I 3 ⋅ (R3 + R6 ) = −V 2 Reemplazando con los números resaltaremos algunas particularidades: Los ceros que aparecen en las expresiones de las mallas uno y tres, que corresponden en cada caso a la no interacción anteriormente explicada. Por otro lado, la tensión total de la malla dos, vale cero puesto que no hay ningún generador en ella. I 1 ⋅ (27Ω + 100Ω ) − I 2 ⋅ (100Ω ) − 0 = 5V − I 1 ⋅100Ω + I 2 ⋅ (47Ω + 100Ω + 330Ω + 500Ω ) − I 3 ⋅ 500Ω = 0V 0 − I 2 ⋅ 500Ω + I 3 ⋅ (82Ω + 500Ω ) = −12V El determinante del sistema de ecuaciones queda entonces: 0 127Ω − 100Ω ∆ = − 100Ω 977Ω − 500Ω = 0 − 500Ω 582Ω La forma práctica de resolver este tipo de sistemas, consiste en repetir las dos primeras filas de la matriz y multiplicar cada elemento como se indica a continuación: 0 127Ω − 100Ω − 100Ω 977Ω − 500Ω [(127Ω ⋅ 977Ω ⋅ 582Ω ) + (− 100Ω ⋅ −500Ω ⋅ 0) + (0 ⋅ −100Ω ⋅ −500Ω )] − 0 − 500Ω 582Ω ∆= = [(0 ⋅ 977Ω ⋅ 0Ω ) + (127Ω ⋅ −500Ω ⋅ −500Ω ) + (− 100Ω ⋅ −100Ω ⋅ 582Ω )] = 0 127Ω − 100Ω [(72213978 + 0 + 0) − (0 + 31750000 + 5820000)] = 34643978 − 100Ω 977Ω − 500Ω 41 2001 Adrian Dario Pelliza Es evidentemente complejo realizar las operaciones matemáticas sin cometer equivocaciones. Los resultados en lo general, son números muy grandes y eso es una posible causa de errores que llevarían a obtener valores incorrectos. Los determinantes de cada corriente son: ∆ I1 0 − 100Ω 5V 0 977 500 Ω − Ω − 12V − 500Ω 582Ω = = (2243070) − (1250000) = 993070 0 5V − 100Ω 0 977Ω − 500Ω ∆ I2 ∆ I1 5V 0 127Ω − 100Ω − 500Ω 0 0 − 12V 582Ω = = (0) − (471000) = −471000 0 127Ω 5V − 100Ω 0 − 500Ω 127Ω − 100Ω 0 = 127Ω − 100Ω − 100Ω 5V 977Ω 0 − 500Ω − 12V = (− 1238948) − (− 120000) = −1118948 − 100Ω 5V 977Ω 0 I1 = I2 = I3 = ∆ I1 ∆ ∆ I2 ∆ ∆ I3 ∆ = 993070 = 28.66mA 34643978 = − 471000 = −13.59mA 34643978 = − 1118948 = −32.29mA 34643978 La corriente de la malla dos, como podemos ver en el circuito y en las expresiones matemáticas, es la que circula por las resistencias R4, R5, R6 y R2, pero como también se explicó, las corrientes de las mallas uno y tres influyen en la caída de tensión sobre las resistencias compartidas, es decir R4 y R6. Sin embargo, a través de las resistencias R5 y R2, que no son atravesadas por ninguna de las otras corrientes, el valor calculado para la corriente de malla será el valor real de corriente que circule por esas resistencias. Por lo tanto, el valor buscado de tensión sobre la resistencia R2 será: −3 V R2 = I 2 ⋅ R 2 = 13.59 x10 A ⋅ 47Ω = 638.73mV Si comparamos este resultado con el obtenido en el ejercicio 14, comprobaremos la efectividad de ambos métodos de análisis. 42 2001 Adrian Dario Pelliza Ejercicio 41. Calcular las corrientes de cada malla del siguiente circuito. La particularidad de este circuito es que además de tener mallas con resistencias compartidas, como puede verse también el generador V2 forma parte de dos mallas. Eso se verá reflejado en las expresiones matemáticas que plantean el sistema de ecuaciones. I I1 ⋅ (R1 + R3 + R4 ) − I 2 ⋅ R4 + 0 = −V1 + V2 − I 1 ⋅ R 4 + I 2 ⋅ (R 4 + R 6 + R 7 + R8 ) − I 3 ⋅ R 6 = −V 2 0 − I 2 ⋅ R 6 + I 3 ⋅ (R 2 + R 5 + R 6 ) = V 3 III II Reemplazando los valores de cada expresión, podemos plantear el sistema de ecuaciones. I 1 ⋅ (27Ω + 82Ω + 100Ω ) − I 2 ⋅100Ω + 0 = −5V + 12V − I 1 ⋅100Ω + I 2 ⋅ (100Ω + 500Ω + 750Ω + 2200Ω ) − I 3 ⋅ 500Ω = −12V 0 − I 2 ⋅ 500Ω + I 3 ⋅ (47Ω + 330Ω + 500Ω ) = 9V 0 209Ω − 100Ω ∆ = − 100Ω 3550Ω − 500Ω = (650690150 + 0 + 0) − [(52250000) + (8770000)] = 58970150 0 − 500Ω 877Ω ∆ I1 7V = − 12V 9V ∆ I2 0 − 100Ω 3550Ω − 500Ω = [(21793450) + (450000)] − [(1750000) + (1052400)] = 19441050 − 500Ω 877Ω 7V 209Ω = − 100Ω − 12V 0 9V 0 − 500Ω = (− 2199516) − [(− 940500) + (− 613900)] = −655116 877Ω 7V 209Ω − 100Ω ∆ I 3 = − 100Ω 3550Ω − 12V = [(6677550) + (350000)] − [(1254000) + (90000)] = 5683550 0 − 500Ω 9V I1 = I2 = I3 = ∆ I1 ∆ ∆ I2 ∆ ∆ I3 ∆ = 19441050 = 329.67mA 58970150 = − 655116 = −11.10mA 58970150 = 5683550 = 96.38mA 58970150 43 2001 Adrian Dario Pelliza Ejercicio 42. Calcular las corrientes de cada malla del siguiente circuito. Por inspección podemos plantear las expresiones de cada una de las tres mallas: I1 ⋅ R2 − I 2 ⋅ R2 + 0 = V2 − I1 ⋅ R2 + I 2 ⋅ (R2 + R3 + R5 + R6 ) − I 3 ⋅ R5 = 0 III 0 − I 2 ⋅ R 5 + I 3 ⋅ (R1 + R 4 + R 5 ) = V 1 Reemplazamos los valores de las expresiones para formar el sistema de ecuaciones. II I I1 ⋅ 47Ω − I 2 ⋅ 47Ω + 0 = 12V − I1 ⋅ 47Ω + I 2 ⋅ (47Ω + 82Ω + 330Ω + 500Ω ) − I 3 ⋅ 500Ω = 0 0 − I 2 ⋅ 330Ω + I 3 ⋅ (27Ω + 100Ω + 330Ω ) = 5V − 47Ω 0 47Ω ∆ = − 47Ω 959Ω − 500Ω = (20598361) − [(5118300) + (1009513)] = 14470548 0 − 330Ω 457Ω ∆ I1 12V = 0 5V ∆ I2 ∆ I3 0 − 47Ω 959Ω − 500Ω = [(5259156) + (77550)] − (1306800) = 4029906 − 330Ω 457Ω 47Ω 12V = − 47Ω 0 0 5V 0 − 500Ω = 0 − [(− 77550) + (− 257748)] = 335298 457Ω − 47Ω 12V 47Ω 0 = [(225365) + (186120)] − (11045) = 400440 = − 47Ω 959Ω 0 − 330Ω 5V I1 = I2 = I3 = ∆ I1 ∆ ∆ I2 ∆ ∆ I3 ∆ = 4029906 = 278.49mA 14470548 = 335298 = 23.17mA 14470548 = 400440 = 27.67mA 14470548 44 2001 Adrian Dario Pelliza Ejercicio 43. Calcular las corrientes de cada malla del siguiente circuito Este circuito es un caso similar al circuito del ejercicio 40, con la diferencia de que en la malla dos, existe un generador de tensión que no complica el análisis en absoluto, simplemente habrá que considerarlo en la expresión de la malla: I II I 1 ⋅ (R1 + R5 + R6 ) − I 2 ⋅ R5 + 0 = V1 III − I 1 ⋅ R5 + I 2 ⋅ (R 2 + R5 + R 7 ) − I 3 ⋅ R 7 = V 2 0 − I 2 ⋅ R7 + I 3 ⋅ (R3 + R4 + R7 ) = −V3 I 1 ⋅ (27Ω + 330Ω + 500Ω ) − I 2 ⋅ 330Ω + 0 = 5V − I 1 ⋅ 330Ω + I 2 ⋅ (47Ω + 330Ω + 750Ω ) − I 3 ⋅ 750Ω = 12V 0 − I 2 ⋅ 750Ω + I 3 ⋅ (82Ω + 100Ω + 750Ω ) = −9V 0 857Ω − 330Ω ∆ = − 330Ω 1127Ω − 750Ω = (900161948) − [(482062500) + (101494800)] = 316604648 0 − 750Ω 932Ω 5V ∆ I1 = 12V − 9V ∆ I2 ∆ I3 0 − 330Ω 1127Ω − 750Ω = [(5251820) + (- 2227500)] − [(2812500) + (- 3690720)] = 3902540 − 750Ω 932Ω 5V 857Ω = − 330Ω 12V 0 − 9V 0 − 750Ω = (9584688) − [(5784750) + (- 1537800)] = 5337738 932Ω 857Ω − 330Ω 5V = − 330Ω 1127Ω 12V = [(- 8692551) + (1237500)] − [(- 7713000) + (- 980100)] = 1238049 0 − 750Ω − 9V I1 = I2 = I3 = ∆ I1 ∆ ∆ I2 ∆ ∆ I3 ∆ = 3902540 = 12.32mA 316604648 = 5337738 = 16.85mA 316604648 = 1238049 = 3.91mA 316604648 45 2001 Adrian Dario Pelliza Ejercicio 44. Calcular las corrientes de cada malla del siguiente circuito y la caída de tensión sobre R6. Por inspección, las expresiones para cada malla son: I1 ⋅ (R1 + R2 + R6 ) − I 2 ⋅ R6 + 0 = V3 I − I 1 ⋅ R6 + I 2 ⋅ (R5 + R6 ) − I 3 ⋅ R5 = −V1 II 0 − I 2 ⋅ R5 + I 3 ⋅ (R3 + R4 + R5 ) = −V2 I 1 ⋅ (27Ω + 47Ω + 500Ω ) − I 2 ⋅ 500Ω + 0 = 9V III − I 1 ⋅ 500Ω + I 2 ⋅ (330Ω + 500Ω ) − I 3 ⋅ 330Ω = −5V 0 − I 2 ⋅ 330Ω + I 3 ⋅ (82Ω + 100Ω + 330Ω ) = −12V 0 574Ω − 500Ω ∆ = − 500Ω 830Ω − 330Ω = (243927040) − [(62508600) + (128000000)] = 53418440 0 − 330Ω 512Ω ∆ I1 9V = − 5V − 12V ∆ I2 ∆ I3 0 − 500Ω 830Ω − 330Ω = [(3824640) + (- 1980000)] − [(980100) + (1280000)] = -415460 − 330Ω 512Ω 9V 574Ω = − 500Ω − 5V 0 − 12V 0 − 330Ω = (- 1469440) − [(2273040) + (- 2304000)] = -1438480 512Ω 574Ω − 500Ω 9V = − 500Ω 830Ω − 5V = [(- 5717040) + (1485000)] − [(947100) + (- 3000000)] = -2179140 0 − 330Ω − 12V I1 = I2 = I3 = ∆ I1 ∆ ∆ I2 ∆ ∆ I3 ∆ = − 415460 = −7.77mA 53418440 = − 1438480 = 26.92mA 53418440 = − 2179140 = −40.79mA 53418440 El valor de tensión buscado es el que cae sobre una resistencia que está compartida entre dos mallas. Por lo tanto, debemos calcular cual es la corriente real que circula a través de ella. Para eso, teniendo en cuenta la dirección de circulación de cada corriente en esa resistencia, debemos hacer la diferencia entre los valores de las corriente de cada malla, es decir: −3 −3 −3 I R6 = I 1 − I 2 = −7.77 x10 A − 26.92 x10 A = −34.69 x10 A Y el valor de la tensión, toma el valor: −3 V R6 = I R6 ⋅ R6 = −34.69 x10 A ⋅ 500Ω = −17.34V 46 2001 Adrian Dario Pelliza Ejercicio 45. Calcular las corrientes de cada malla del siguiente circuito I II III Este circuito de tres mallas puede ser fácilmente analizado. Según lo que se puede ver en el esquema, los tres generadores de tensión de cada una de las mallas, coinciden con la dirección de circulación de la corriente dado a las mallas para su análisis. Como en los ejercicios anteriores, sólo en una malla se da la situación de la interacción de las tres corrientes. Por inspección, se pueden obtener las expresiones de cada malla: I1 ⋅ (R6 + R7 + R8 ) − I 2 ⋅ R6 + 0 = V1 − I 1 ⋅ R6 + I 2 ⋅ (R1 + R4 + R5 + R6 ) − I 3 ⋅ R5 = V3 0 − I 2 ⋅ (R 5 ) + I 3 ⋅ ( R 2 + R 3 + R 5 ) = V 2 y reemplazando los valores, las expresiones quedarían planteadas como: I 1 ⋅ (500Ω + 750Ω + 2200Ω ) − I 2 ⋅ 500Ω + 0 = 5V − I 1 ⋅ 500Ω + I 2 ⋅ (27Ω + 100Ω + 330Ω + 500Ω ) − I 3 ⋅ 330Ω = 9V 0 − I 2 ⋅ 330Ω + I 3 ⋅ (47Ω + 82Ω + 330Ω ) = 12V 0 3450Ω − 500Ω ∆ = − 500Ω 957Ω − 330Ω = (1515457350) − [(375705000) + (114750000)] = 1025002350 0 − 330Ω 459Ω 5V ∆ I1 = 9V 12V ∆ I2 ∆ I3 0 − 500Ω 957Ω − 330Ω = [(2196315) + (1980000)] − [(544500) + (- 2065500)] = 5697315 − 330Ω 459Ω 3450Ω 5V = − 500Ω 9V 0 12V 0 − 330Ω = (14251950) − [(- 13662000) + (- 1147500)] = 29061450 459Ω 3450Ω − 500Ω 5V = − 500Ω 957Ω 9V = [(39619800) + (825000)] − [(- 10246500) + (3000000)] = 47691300 0 − 330Ω 12V I1 = I2 = ∆ I1 ∆ ∆ I2 ∆ = 5697315 = 5.55mA 1025002350 = 29061450 = 28.35mA 1025002350 47 2001 Adrian Dario Pelliza I3 = ∆ I3 ∆ = 47691300 = 46.52mA 1025002350 Ejercicio 46. Calcular los valores de las corrientes de cada malla del siguiente circuito. Respecto de los anteriores ejercicios, la diferencia apreciable es que los generadores de tensión del circuito están en ramas comunes a dos mallas. Ya hemos visto como se procedía en ese caso en el ejercicio 41, tomando en cada expresión de malla el generador según correspondiera con su valor y teniendo en cuenta la polaridad respecto de la dirección de la dirección dada a la corriente dentro de la malla. Por inspección, este circuito sería: I I1 ⋅ (R3 + R4 + R6 ) − I 2 ⋅ R6 + 0 = V1 III − I 1 ⋅ R6 + I 2 ⋅ (R2 + R5 + R6 ) − I 3 ⋅ R5 = −V1 + V 2 II 0 − I 2 ⋅ R5 + I 3 ⋅ (R1 + R5 ) = −V2 Reemplazando los valores de las resistencias y los generadores en las expresiones: I 1 ⋅ (82Ω + 100Ω + 500Ω ) − I 2 ⋅ 500Ω + 0 = 5V − I 1 ⋅ 500Ω + I 2 ⋅ (47Ω + 330Ω + 500Ω ) − I 3 ⋅ 330Ω = −5V + 12V 0 − I 2 ⋅ 330Ω + I 3 ⋅ (27Ω + 330Ω ) = −12V 0 682Ω − 500Ω ∆ = − 500Ω 877Ω − 330Ω = (213526698) − [(74269800) + (89250000)] = 50006898 0 − 330Ω 357Ω 0 5V − 500Ω 877Ω − 330Ω = [(1565445) + (- 1980000)] − [(544500) + (- 1249500)] = 290445 ∆ I1 = 7V − 12 − 330Ω 357Ω ∆ I2 ∆ I3 5V 682Ω = − 500Ω 7V 0 − 12V 0 − 330Ω = (1704318) − [(2700720) + (- 892500)] = -103902 357Ω 682Ω − 500Ω 5V 7V = [(- 7177368) + (825000)] − [(- 1575420) + (- 3000000)] = -1776948 = − 500Ω 877Ω 0 − 330Ω − 12V I1 = I2 = I3 = ∆ I1 = 290445 = 5.80mA 50006898 = − 103902 = −2.07mA 50006898 ∆ ∆ I2 ∆ ∆ I3 ∆ = − 1776948 = −35.53mA 50006898 48 2001 Adrian Dario Pelliza Ejercicio 47. Calcular las corriente de cada malla del siguiente circuito Este circuito tiene una diagramación engañosa, que no debe confundirnos a la hora de realizar el análisis del mismo para obtener las expresiones de cada malla. La malla uno es sencilla y se puede ver claramente cual es su conformación y escribir su expresión: I 1 ⋅ (R1 + R 2 + R3 ) − I 2 ⋅ R3 + 0 = −V1 + V 2 II La malla dos en cambio puede presentar alguna dificultad dada la disposición del paralelo entre R5 y R7. Sin embargo, si despejáramos este paralelo, la forma de la malla quedaría mucho más visible y podríamos escribir la expresión: III Resolvemos el paralelo en RA I RA = 1 1 = = 229.16Ω 1 1 1 1 + + R5 R 7 330Ω 750Ω − I 1 ⋅ R3 + I 2 ⋅ (R3 + R6 + R A ) − I 3 ⋅ (R6 + R A ) = V1 De la misma forma, la malla tres puede ser expresada como: 0 − I 2 ⋅ (R A + R6 ) + I 3 ⋅ (R6 + R8 + R A ) = −V3 y ahora podemos reemplazar los valores en las expresiones: I 1 ⋅ (27Ω + 47Ω + 82Ω ) − I 2 ⋅ 82Ω + 0 = −5V + 12V − I 1 ⋅ 82Ω + I 2 ⋅ (82Ω + 500Ω + 229.16Ω ) − I 3 ⋅ (500Ω + 229.16Ω ) = 5V 0 − I 2 ⋅ (229.16Ω + 500Ω ) + I 3 ⋅ (500Ω + 2200Ω + 229.16Ω ) = −9V − 82Ω 0 156Ω ∆ = − 82Ω 811.16Ω − 729.16Ω = (383312814) − [(82941191,7) + (20368071,8)] = 280003550.9 0 − 729.16Ω 3029.16Ω 7V ∆ I = 5V − 9V ∆ I2 ∆ I3 − 82Ω 0 811.16Ω − 729.16Ω = [(17199934) + (- 538120,08)] − [(3721720,14) + (- 1241955,6)] = 14182049,36 − 729.16Ω 3029.16Ω 156Ω 7V = − 82Ω 5V − 9V 0 0 − 729.16Ω = (2362744,8) − [(1023740,64) + (- 1738737,84)] = 3077742 3029.16Ω 7V − 82Ω 156Ω 5V = [(- 1138868,64) + (418537,84)] + [(- 568744,8) + (- 60516)] = -91070 = − 82Ω 811.16Ω 0 − 729.16Ω − 9V 49 2001 Adrian Dario Pelliza I1 = I2 = I3 = ∆ I1 ∆ ∆ I2 ∆ ∆ I3 ∆ = 14182049.36 = 50.64mA 280003550.9 = 3077742 = 10.99mA 280003550.9 = − 91070 = −325.24µA 280003550.9 Ejercicio 48. Calcular las corrientes de cada malla del siguiente circuito Este ejercicio tiene una particularidad respecto de los anteriormente realizados. Si observamos el circuito, cada una de las tres mallas posee elementos en común –en este caso las resistencias R4, R5 y R6- con las otras dos. Eso producirá expresiones que –a diferencia de las vistas hasta ahora- no tendrán valores nulos para ninguna corriente. En base a este circuito, podemos escribir: III III I1 ⋅ (R2 + R3 + R5 ) − I 2 ⋅ R5 − I 3 ⋅ R4 = −V2 I II − I 1 ⋅ R 5 + I 2 ⋅ (R 1 + R 5 + R 6 + R 7 ) − I 3 ⋅ R 6 = V 1 + V 2 − I 1 ⋅ R 4 − I 2 ⋅ R 6 + I 3 ⋅ (R 4 + R 6 + R 8 + R 9 ) = −V 3 Reemplazando los valores en las expresiones tenemos: I 1 ⋅ (47Ω + 82Ω + 330Ω ) − I 2 ⋅ 330Ω − I 3 ⋅100Ω = −12V − I 1 ⋅ 330Ω + I 2 ⋅ (27Ω + 330Ω + 500Ω + 750Ω ) − I 3 ⋅ 500Ω = 5V + 12V − I 1 ⋅100Ω − I 2 ⋅ 500Ω + I 3 ⋅ (100Ω + 500Ω + 2200Ω + 4700Ω ) = −9V 559Ω − 330Ω − 100Ω [(6737347500) + (- 16500000) + (- 16500000)] − ∆ = − 330Ω 1607Ω − 500Ω = ( [ 16070000) + (139750000) + (816750000)] = 5731777500 − 100Ω − 500Ω 7500Ω ∆ I1 − 12V = 17V − 9V − 330Ω − 100Ω [(- 144630000) + (850000) + (- 1485000)] − 1607Ω − 500Ω = [(1446300) + (- 3000000) + (- 42075000)] = -101636300 − 500Ω 7500Ω ∆ I2 559Ω − 12V = − 330Ω 17V − 100Ω − 9V − 100Ω [(71272500) + (- 297000) + (- 600000)] − − 500Ω = [(170000) + (2515500) + (29700000)] = 37990000 7500Ω ∆ I3 559Ω − 330Ω − 12V [(- 8084817) + (- 1980000) + (561000)] − = − 330Ω 1607Ω 17V = [(1928400) + (- 4751500) + (- 980100)] = -5700617 − 100Ω − 500Ω − 9V I1 = ∆ I1 ∆ = − 101636300 = −17.73mA 5731777500 50 2001 Adrian Dario Pelliza ∆ I2 I2 = I3 = ∆ ∆ I3 ∆ = = 37990000 = 6.62mA 5731777500 − 5700617 = −994.56µA 5731777500 Ejercicio 49. Calcular los valores de las corrientes de malla del siguiente circuito. Tal como vimos en el ejercicio anterior, este circuito también presenta la característica de que todas sus mallas comparten entré sí componentes. En este caso, las expresiones se pueden escribir por inspección como: III I1 ⋅ (R2 + R3 + R4 ) − I 2 ⋅ R4 − I 3 = V3 − I 1 ⋅ R 4 + I 2 ⋅ (R1 + R 4 + R5 ) − I 3 ⋅ R1 = −V1 II − I 1 ⋅ R 3 − I 2 ⋅ R1 + I 3 ⋅ (R1 + R 3 + R 6 ) = −V 2 I Reemplazamos ahora con los valores y resolvemos los determinantes del sistema de ecuaciones: I 1 ⋅ (47Ω + 82Ω + 100Ω ) − I 2 ⋅100Ω − I 3 ⋅ 82Ω = 9V − I 1 ⋅100Ω + I 2 ⋅ (27Ω + 100Ω + 330Ω ) − I 3 ⋅ 27Ω = −5V − I 1 ⋅ 82Ω − I 2 ⋅ 27Ω + I 3 ⋅ (27Ω + 82Ω + +500Ω ) = −12V 229Ω − 100Ω − 82Ω [(63733677) + (- 221400) + (- 221400)] − ∆ = − 100Ω 457Ω − 27Ω = [(3072868) + (166941) + (6090000)] = 53961068 − 82Ω − 27Ω 609Ω ∆ I1 ∆ I2 ∆ I3 9V = − 5V − 12V − 100Ω − 82Ω [(2504817) + (- 11070) + (- 32400)] − 457Ω − 27Ω = [(449688) + (6561) + (304500)] = 1700598 − 27Ω 609Ω 9V 229Ω = − 100Ω − 5V − 82Ω − 12V − 82Ω [(- 697305) + (- 98400) + (19926)] − − 27Ω = ( [ - 33620) + (74196) + (- 548100)] = -268255 609Ω 229Ω − 100Ω 9V [(- 1255836) + (24300) + (- 41000)] − = − 100Ω 457Ω − 5V = [(- 337266) + (30915) + (- 120000)] = -846185 − 82Ω − 27Ω − 12V I1 = I2 = ∆ I1 ∆ ∆ I2 ∆ = 1700598 = 31.51mA 53961068 = − 268255 = −4.97mA 53961068 51 2001 Adrian Dario Pelliza I3 = ∆ I3 ∆ − 846185 = −15.68mA 53961068 = Ejercicio 50. Calcular las corrientes de cada malla del siguiente circuito Por inspección, podemos escribir las expresiones de cada malla: I 1 ⋅ (R3 + R 4 + R6 + R8 ) − I 2 ⋅ R8 − I 3 ⋅ R6 = −V 2 − I 1 ⋅ R8 + I 2 ⋅ (R1 + R5 + R7 + R8 ) − I 3 ⋅ R7 = V3 III − I 1 ⋅ R 6 − I 2 ⋅ R 7 + I 3 ⋅ (R 2 + R 6 + R 7 ) = V1 + V 2 − V 3 II Como se ve en el circuito y aparece en la expresión de la malla tres, podemos notar como se resolvió la presencia de tres generadores dentro de la malla que además, tiene a dos de ellos compartidos cada uno con una de las otras mallas del circuito. Reemplazamos por los valores las expresiones y resolvemos el sistema de ecuaciones como hemos realizado anteriormente: I I 1 ⋅ (82Ω + 100Ω + 500Ω + 2200Ω ) − I 2 ⋅ 2200Ω − I 3 ⋅ 500Ω = −12V − I 1 ⋅ 2200Ω + I 2 ⋅ (27Ω + 330Ω + 750Ω + 2200Ω ) − I 3 ⋅ 750Ω = 9V − I 1 ⋅ 500Ω − I 2 ⋅ 750Ω + I 3 ⋅ (47Ω + 500Ω + 750Ω ) = 5V + 12V − 9V [( ) ] 2882Ω − 2200Ω − 500Ω 10 1,2361x10 + (- 825000000) + (- 825000000) − ∆ = − 2200Ω 3307Ω − 750Ω = − 500Ω − 750Ω 1297Ω [(826750000) + (1621125000) + (6277480000)] = 1986058878 − 12V ∆ I1 = 9V 8V ∆ I2 ∆ I3 − 2200Ω − 500Ω [(- 51470148) + (3375000) + (13200000)] − 3307Ω − 750Ω = ( [ - 13228000) + (- 6750000) + (- 25680600)] = 10763452 − 750Ω 1297Ω 2882Ω − 12V = − 2200Ω 9V 8V − 500Ω − 500Ω [(33641586) + (8800000) + (- 4500000)] − − 750Ω = [(2250000) + (- 17292000) + (34240800)] = 18742786 1297Ω 2882Ω − 2200Ω − 12V [(76246192) + (- 19800000) + (9900000)] − 9V = = − 2200Ω 3307Ω [(19842000) + (- 19453500) + (38720000)] = 27237692 − 500Ω − 750Ω 8V I1 = I2 = I3 = ∆ I1 ∆ ∆ I2 ∆ ∆ I3 ∆ = 10763452 = 5.41mA 1986058878 = 18742786 = 9.45mA 1986058878 = 27237692 = 13.71mA 1986058878 52 2001 Adrian Dario Pelliza Ejercicio 51. Calcular las corrientes de cada malla del siguiente circuito. III I II Viéndolo en forma estricta, este circuito presenta más de tres mallas y no sólo las indicadas en el esquema, ya que los paralelos constituyen una malla en sí mismos. Sin embargo, a la hora de analizar este circuito en particular, podemos obviar esta circunstancia y reunir cada paralelo en una resistencia equivalente para cada caso. Entonces: RA = RB = 1 1 = = 40.78Ω 1 1 1 1 1 1 + + + + R 2 R9 R 5 47Ω 4700Ω 330Ω 1 1 = = 26.66Ω 1 1 1 1 1 1 + + + + 27Ω 68000Ω 2200Ω R1 R10 R8 y ahora podemos realizar por inspección las expresiones de cada malla: I 1 ⋅ (R A + R3 + R7 ) − I 2 ⋅ R7 − I 3 ⋅ R3 = −V1 − I 1 ⋅ R7 + I 2 ⋅ (R B + R 4 + R7 ) − I 3 ⋅ R 4 = V1 − I 1 ⋅ R3 − I 2 ⋅ R 4 + I 3 ⋅ (R3 + R 4 ) = −V 2 Reemplazando luego por los valores de cada expresión y resolviendo los determinantes: I 1 ⋅ (40.78Ω + 82Ω + 750Ω ) − I 2 ⋅ 750Ω − I 3 ⋅ 82Ω = −5V − I 1 ⋅ 750Ω + I 2 ⋅ (26.66Ω + 100Ω + 750Ω ) − I 3 ⋅100Ω = 5V − I 1 ⋅ 82Ω − I 2 ⋅100Ω + I 3 ⋅ (82Ω + 100Ω ) = −12V 872.78Ω − 750Ω − 82Ω [(139253899) + (- 6150000) + (- 6150000)] − ∆ = − 750Ω 876.66Ω − 100Ω = [(5894661,84) + (8727800) + (102375000)] = 9956437,45 − 82Ω − 100Ω 182Ω − 5V ∆ I1 = 5V − 12V − 750Ω − 82Ω [(- 797760,6) + (41000) + (- 900000)] − 876.66Ω − 100Ω = ( [ 862633,44) + (- 50000) + (- 682500)] = -1786894,04 − 100Ω 182Ω 53 2001 Adrian Dario Pelliza ∆ I2 872.78Ω − 5V 5V = − 750Ω − 82Ω − 12 − 82Ω [(794229,8) + (- 738000) + (- 41000)] − − 100Ω = [(33620) + (1047336) + (682500)] = -1748226,2 182Ω 872.78Ω − 750Ω − 5V [(- 9181575,78) + (- 375000) + (307500)] − ∆ I 3 = − 750Ω 876.66Ω 5V = ( [ 359430,6) + (- 436390) + (- 6750000)] = -2422116,38 − 82Ω − 100Ω − 12V I1 = I2 = I3 = ∆ I1 ∆ ∆ I2 ∆ ∆ I3 ∆ = − 1786894.04 = −179.47mA 9956437.45 = = − 1748226.2 = −175.58mA 9956437.45 − 2422116.38 = −243.27mA 9956437.45 Ejercicio 52. Operar los siguientes números complejos y convertirlos de forma rectangular a polar (a) (173 + j18) a = 173 2 + 18 2 = 173.93 (b) θ = ArcTan (532 − j15 − j 21) b = 532 2 + 36 2 = 533.21 (c) 18 = 5.9400° = 5°56'24.13' ' 173 θ = ArcTan −36 = −3.871256232° = −3°52'16.52' ' 532 (− j5) c =5 θ = −90° (d) (15 + 17 − j1 + j15) d = 32 2 + 14 2 = 34.92 (e) θ = ArcTan ( j 8) e =8 (f) θ = 90° (5000 + j3218.5 − j13) f = 5000 2 + 3205.5 2 = 5939.29 (g) 14 = 23.62937773° = 23°37'45.76' ' 32 θ = ArcTan 3205.5 = 32.66393226° = 32°39'50.16' ' 5000 (82 + j330.7 ) g = 82 2 + 330.7 2 = 340.71 θ = ArcTan 330.7 = 76.07387784° = 76°4'25.96' ' 82 54 2001 Adrian Dario Pelliza (h) (50 + j.01 + − j100) h = 50 2 + 99.99 2 = 111.79 (i) θ = ArcTan (10 − j113) i = 10 2 + 113 2 = 113.44 (j) −99.99 = −63.43265681° = −63°25'57.56' ' 50 θ = ArcTan −113 = −84.94275147° = −84°56'33.91' ' 10 (5.04 − j 4) j = 5.04 2 + 4 2 = 6.43 θ = ArcTan −4 = −38.43730149° = −38°26'14.29' ' 5.04 Ejercicio 53. Operar los números complejos del ejercicio 52 de la forma que se indica. (k) (a + b ) k = (173 + j18) + (532 − j15 − j 21) = (173 + 532) − j (18 + (− 15) + (− 21)) = (705 − j18) (l) (c + d ) l = (− j 5) + (15 + 17 − j1 + j15) = (15 + 17 ) − j ((− 5) + (− 1) + (15)) = (32 + j 9) (m) (e + f ) m = ( j8) + (5000 + j 3218.5 − j13) = (5000) + j (8 + 3218.5 + (− 13)) = (5000 + j 3213.5) (n) (g + h ) n = (82 + j 330.7 ) + (50 + j.01 + − j100) = (82 + 50) + j (330.7 + .01 + (− 100)) = (132 + j 230.71) (o) (i + j ) o = (10 − j113) + (5.04 − j 4 ) = (10 + 5.04) + j ((− 113) + (− 4 )) = (15.04 − j117 ) Ejercicio 54. Realizar las sumas del ejercicio anterior en forma vectorialmente La suma vectorial consiste en graficar cada uno de los vectores a sumar con su módulo y su ángulo uno a continuación del otro. Finalmente, uniendo el origen del primer vector con el final del último vector, se formará un nuevo vector que tendrá un módulo y un ángulo que corresponderá a la suma de todos los vectores graficados. En este caso, tomamos los valores de A y B y el resultado obtenido es el vector suma, cuyo resultado es K en el ejercicio anterior. B A A+B A = 173.93∠5°56'24.13' ' B = 533.21∠ − 3°52'16.52' ' A + B = 705.22∠ − 1°27'45.19' ' 55 2001 Adrian Dario Pelliza Si queremos comprobar este resultado, podemos decir que: A + B = 705.22 ⋅ cos(−1°27'45.19' ') + j 705.22 ⋅ sen (−1°27'45.19' ') = 704.99 − j17.99 En este caso tomamos los vectores C y D y el vector resultante, con la suma, tiene el valor que calculamos anteriormente en el ejercicio 53. C = 5∠90° D = 34.92∠23°37'45.76' ' D C + D = 33.24∠15°42'31.1' ' C+D C Si queremos comprobar este resultado, podemos decir que: C + D = 33.24 ⋅ cos(15°42'31.1' ') + j 33.24 ⋅ sen (15°42'31.1' ') = 31.99 + j8.99 Ejercicio 55. Operar los números complejos del ejercicio 53 como se indica (p) (k − l ) p = (705 − j18) − (32 + j 9) = (705 − 32) + j ((− 18) − 9 ) = (673 − j 27 ) (q) (m − n ) q = (5000 + j 3213.5) − (132 + j 230.71) = (5000 − 132) + j (3213.5 − 230.71) = (4868 + j 2982.79) (r) ( p − o) r = (673 − j 27 ) − (15.04 − j117 ) = (673 − 15.04) + j ((− 27 ) − (− 117 )) = (657.96 + j 90) Ejercicio 56. Operar los números complejos del ejercicio anterior como se indica (s) p ⋅r q p = (673 − j 27 ) p = 673 2 + 27 2 = 673.54 θ = ArcTan −27 = −2.297409921° = −2°17'50.68' ' 673 q = (4868 + j 2982.79) q = 4868 2 + 2982.79 2 = 5709.15 θ = ArcTan 2982.79 = 31.49722554° = 31°29'50.01' ' 4868 r = (657.96 + j 90) r = 657.96 2 + 90 2 = 664.08 s= θ = ArcTan 90 = 7.788946778° = 7°47'20.21' ' 657.96 673.54∠ − 2°17'50.68' ' ⋅ 664.08∠7°47'20.21' ' = 78.34∠ − 26°0'20.48' ' 5709.15∠31°29'50.01' ' 56 2001 Adrian Dario Pelliza Ejercicio 57. Operar los números complejos del ejercicio anterior como se indica. (t) 1 1 + a s a = 173 + j18 ⇒ 1 1 173 18 173 18 = = −j = −j = 2 2 2 2 a 173 + j18 173 + 18 30253 30253 173 + 18 ( ) ( ) −3 −6 1 = 5.718441146 x10 − j 594.9823158 x10 a s = 78.34∠ − 26°0'20.48' ' ⇒ 78.34 ⋅ cos(−26°0'20.48' ') + j 78.34 ⋅ sen (−26°0'20.48' ') = 70.40 − j 34.34 s = 70.40 − j 34.34 ⇒ 1 1 70.40 34.34 70.44 34.34 = = +j = +j = 2 2 2 2 6135.39 6135.39 s 70.40 − j 34.34 70.40 + 34.34 70.40 + 34.34 ( ) ( ) −3 −3 1 = 11.47 x10 + j 5.59 x10 s t= )( ( ) −3 −6 −3 −3 −3 1 1 + = 5.718441146 x10 − j 594.9823158 x10 + 11.47 x10 + j 5.59 x10 = 17.188441166 + j 4.995017684 x10 a s Ejercicio 58. Calcular el valor de inductancia total del circuito de la figura. Si utilizamos los mismos razonamientos para deducir como se encuentran conectadas estas cinco inductancias que usamos cuando se trataba de resistencias en lo que respecta a las definición de serie y paralelo, podemos ver que L2 está en serie con L1 y que la inductancia que forman, está en paralelo con L4 y todo eso, a su vez, en serie con L1 y L5. Dado que las potencia inductiva equivalente debe ser igual a la suma de las potencias en las inductancias en serie, podemos definir que: LT i di di di di di = L1i + L 2 i + L3 i … + L n i dt dt dt dt dt por lo que simplificando, se puede obtener la forma matemática que tendrá la expresión de la asociación de inductancias en serie: LT = L1 + L 2 + L3 … + L n Entonces, para este caso particular, se puede decir: L A = L 2 + L3 = .78mHy + .92mHy = 1.7 Hy Para el caso de las inductancias en paralelo, sabemos que iL = 1 ⋅ v ⋅ dt L ∫ y también sabemos que en un circuito paralelo, la suma de las corrientes de cada rama debe dar como resultado la corriente total que se divide en las mismas, por lo que se debe cumplir que iL = 1 1 1 1 ⋅ v ⋅ dt = ⋅ v ⋅ dt + ⋅ v ⋅ dt … + ⋅ v ⋅ dt L ∫ L1 ∫ L2 ∫ Ln ∫ 57 2001 Adrian Dario Pelliza simplificando, tendremos la forma matemática que tendrá la expresión de la asociación de inductancias en paralelo: 1 1 1 1 = + ⋅… + L L1 L 2 Ln Como puede observarse, ambas expresiones son similares a las utilizadas para calcular los valores de las asociaciones serie y paralelo respectivamente de las resistencia. En este caso en particular, la LA calculada está a su vez en paralelo con L4, por lo que: LB = 1 1 = = 17.81mHy 1 1 1 1 + + L A L 4 1.7 Hy 18mHy y finalmente, la serie con L1 y L5: LT = L1 + L5 + L B = 500mHy + 251mHy + 17.81mHy = 768.81mHy Ejercicio 59. Calcular el valor de inductancia total del circuito de la figura. Comenzaremos resolviendo el paralelo más visible, compuesto por L6 y L7 obteniendo una nueva inductancia que llamaremos LA. LA = 1 1 = = 1 1 1 1 + + 48mHy 90.2mHy L6 L7 LA = 31.32mHy La inductancia L8 está conectada en serie con esta que acabamos de calcular. Por lo tanto: L B = L A + L8 = 31.32mHy + 118mHy = 149.32mHy Si tomamos lo que hemos agrupado hasta ahora como una única inductancia, vemos que se encuentra en paralelo con L2: LC = 1 1 = = 125.32mHy 1 1 1 1 + + L B L 2 149.32mHy 780mHy y a su vez, se encuentra conectada en serie con L4 y L5: L D = LC + L5 + L 4 = 125.32mHy + 18mHy + 251mHy = 394.32mHy queda ahora resolver el paralelo de LD y L3: LE = 1 1 = = 276.01mHy 1 1 1 1 + + L D L3 394.32mHy 920mHy finalmente, agregamos L1 en serie con LE para obtener el valor final: LT = L1 + L E = 500mHy + 276.01mHy = 776.01mHy 58 2001 Adrian Dario Pelliza Ejercicio 60. Calcular el valor de inductancia total del circuito de la figura. Anteriormente, hemos visto configuraciones similares únicamente de resistencias. Como se explicó en el ejercicio 57, la forma matemática de obtener los valores de las asociaciones serie y paralelo de bobinas y resistencias son idénticos, por lo que evidentemente, la resolución será prácticamente igual a la realizada cuando se trabajó con resistencias. Se pueden ver dos circuitos paralelos, uno formado por L1 y L7 y el otro formado por L3 y L5. El primero, a su vez, está conectado en serie con L6 y nuevamente en paralelo con L8. Mientras tanto, el otro paralelo, podemos agruparlo en serie con L4. Finalmente, ambas inductancias parciales, conectadas en serie entre sí y en paralelo con L2 resultan en el valor de inductancia total del circuito. LA = LB = 1 1 1 + L3 L5 = 1 1 = = 76.41mHy 1 1 1 1 + + L1 L7 500mHy 90.2mHy 1 1 1 + 920mHy 251mHy = 197.19mHy LC = L A + L6 = 76.41mHy + 48mHy = 124.41mHy LD = 1 1 = = 59.21mHy 1 1 1 1 + + L8 LC 113mHy 124.41mHy L E = L 4 + L B + L D = 18mHy + 197.19mHy + 59.21mHy = 274.40mHy LT = 1 1 = = 202.98mHy 1 1 1 1 + + L2 L E 780mHy 274.40mHy Ejercicio 61. Calcular el valor de capacitancia total del circuito de la figura. Si tomamos dos capacitores en serie, la tensión sobre cada uno de ellos corresponderá a: vC1 = 1 i ⋅ dt C1 ∫ vC2 = 1 i ⋅ dt C2 ∫ y por ende, las potencias en cada caso son: pC1 = 1 i i ⋅ dt C1 ∫ 59 2001 Adrian Dario Pelliza p C2 = 1 i i ⋅ dt C2 ∫ por lo tanto, la potencia total será: p CT = 1 1 1 1 i i ⋅ dt = i i ⋅ dt + i i ⋅ dt + … i i ⋅ dt CT ∫ C1 ∫ C2 ∫ Cn ∫ de donde: 1 1 1 1 = + … CT C1 C 2 C n En tanto, para dos capacitores en serie, sabemos que la corriente en cada uno será: iC1 = C1 dv dt i C2 = C 2 y dv dt por lo que la corriente total será: iCT = iC1 + iC1 = C1 dv dv + C2 dt dt de donde: CT = C1 + C 2 Para este ejercicio, tenemos dos ramas muy visibles, una formada por C6 y C7 y la otra por C5 y C8 que se encuentran a su vez en paralelo con C2. El resto de los componentes, se asocian a este equivalente en serie. Matemáticamente: CA = CB = 1 1 1 + C6 C7 = 1 1 1 + 15nF 100µF = 14.99nF 1 1 = = 88.99 pF 1 1 1 1 + + C 5 C8 89 pF 2200µF C C = C 2 + C A + C B = 15µF + 14.99nF + 88.99pF = 15.01µF CT = 1 1 1 1 1 + + + C C C1 C 3 C 4 = 1 1 1 1 1 + + + 15.01µF 1µF 15µF 47 µF = 32.99 pF 60 2001 Adrian Dario Pelliza Ejercicio 62. Calcular el valor de capacitancia total del circuito de la figura. Resolveremos primero la rama que contiene a C1 y C4 que se encuentra en paralelo con C5. CA = 1 1 = = 32.99 pF 1 1 1 1 + + C1 C 4 1µF 33 pF C B = C 5 + C A = 89 pF + 32.99 pF = 121.99 pF El capacitor CB, podemos ver que está en serie con C2: CC = 1 1 = = 121.98 pF 1 1 1 1 + + C2 CB 15µF 121.99 pF Tenemos otra rama en paralelo, compuesto por C3 y C6 que va a estar en serie con CC. Esto sería: C D = C 3 + C 6 = 47 µF + 15nF = 47.01µF CE = 1 1 = = 121.97 pF 1 1 1 1 + + C D CC 121.98 pF 47.01µF finalmente, el valor total de capacitancia, será: CT = C E + C 7 = 121.97 pF + 100µF = 100.000122µF ≅ 100µF Ejercicio 63. Calcular el valor de tensión de la señal senoidal de la figura para t1=4mS si el valor máximo es de 10 Volts y el período es de 15mS. La señal está desfasada -20º V[v] Si conocemos el período de la señal, es decir el tiempo que tardará en evolucionar de 0º a 360º el vector giratorio de la tensión, podemos calcular cual es la frecuencia ya que: T AMax[v] F[Hz ] = t1 θ t[s] es decir que para esta señal, la frecuencia será: F[Hz ] = -V[v] 1 T[S] 1 = 66.66Hz 15[mS] asimismo, la velocidad angular del vector será: 2 ⋅π ω rad = = 2 ⋅ π ⋅ F[Hz ] = 418.87 rad T[S] S S Con esto que hemos calculado, podemos escribir la función como: v = A ⋅ sen (ωt + θ °) = 10 ⋅ sen 418.87 rad t[S] − 20° S 61 2001 Adrian Dario Pelliza Ejercicio 64. Calcular la tensión en cada componente y la expresión de la tensión total del circuito de la figura para i = 50 ⋅ cos (1500t − 60º ) mA Al tratarse de un circuito serie, sabemos que la suma de cada caída de tensión debe ser: vT = vR + vL + vC y sabemos también que la tensión para cada uno de los componentes del circuito tienen cada una su expresión. vR = R ⋅ i ⋅ cos (ω ⋅ t + θ º ) vL = ω ⋅ L ⋅ i ⋅ cos (ω ⋅ t + θ º +90º ) vC = i ⋅ cos (ω ⋅ t + θ º −90º ) ω ⋅C entonces, para este circuito en particular: vR = R ⋅ i ⋅ cos (ω ⋅ t + θ º ) = 100Ω ⋅ 50 ⋅ cos (1500t − 60º ) mA=5 ⋅ cos (1500t − 60º ) V vL = ω ⋅ L ⋅ i ⋅ cos (ω ⋅ t + θ º +90º ) = 1500 rad ⋅ 50mH ⋅ 50 ⋅ cos (1500t − 60º +90º ) mA=3.75 ⋅ cos (1500t + 30º ) V seg vC = i 50 ⋅ cos (ω ⋅ t + θ º −90º ) = ⋅ cos (1500t − 60º −90º ) mA=2.22 ⋅ cos (1500t − 150º ) V 1500 rad ⋅15µ F ω ⋅C seg En tanto, la tensión total responderá a la expresión: 1 2 ω ⋅ L − 1 ⋅ C ω vT = R + ω ⋅ L − ⋅ i ⋅ cos ω ⋅ t + θ º + arctan R ω ⋅C 2 La raíz cuadrada resuelve el valor ohmico del módulo de la combinación entre la resistencia (elemento pasivo) y el capacitor y la bobina (elementos activos). Dicho valor, al que llamamos impedancia (Z) no es otra cosa que un número complejo en donde la parte real es el elemento pasivo y la imaginaria los activos. Por otro lado, el ángulo 1 que se calcula en la arco tangente del cociente entre la resta entre ω ⋅ L − y R es el que corresponderá a la ω ⋅ C forma polar de ese número complejo. Para este caso: 2 1 = 1002 + 705.56 2 = 712.61 Z = 1002 + 1500 rad ⋅ 50mH − 1500 rad ⋅15µ F seg seg θ Z = arctan 705.56 = 81.93311842º 100 entonces: vT = 712.61Ω ⋅ 50 ⋅ cos (1500 ⋅ t + 21.93º ) mA = 35.63 ⋅ cos (1500 ⋅ t + 21.93º ) V 62 2001 Adrian Dario Pelliza Ejercicio 65. Calcular los valores de vT, vC, iT siendo vR = 15 ⋅ cos ( 700 ⋅ t + 10º ) V Conociendo la tensión sobre la resistencia, y teniendo el valor de la resistencia podemos calcular la corriente que circula por la misma, que será la misma que por el capacitor. De forma que: iR = vR 15 ⋅ cos ( 700 ⋅ t + 10º ) V = = 30 ⋅ cos ( 700 ⋅ t + 10º ) mA R 500Ω Sabiendo que ω = 700 rad seg se puede calcular 1 1 = = 1428.57Ω ω ⋅ C 700 rad ⋅1µ F seg y luego vC = i 30 ⋅ cos (ω ⋅ t + θ º −90º ) = ⋅ cos ( 700 ⋅ t + 10º −90º ) mA=42.85 ⋅ cos ( 700 ⋅ t − 80º ) V 1428.57 ω ⋅C La tensión total es en consecuencia: vT = vR + vC = vR = 15 ⋅ cos ( 700 ⋅ t + 10º ) V + 42.85 ⋅ cos ( 700 ⋅ t − 80º ) V Como vimos en el ejercicio anterior, la expresión de la tensión total puede ser escrita como: 1 2 − 1 ⋅ C ω vT = R + − ⋅ i ⋅ cos ω ⋅ t + θ º + arctan R ω ⋅C 2 resolviendo por separado el valor de la impedancia: Z = 500 + ( −1428.57 ) = 1513.54 2 2 y 1 − ( −1428.57 ) ω ⋅ C θ Z = arctan = arctan = −70.70993592º 500 R entonces el valor de la tensión total es: vT = 1513.54 ⋅ 30 ⋅ cos ( 700 ⋅ t + 10º −70º 42 '35.77 '' ) mA=45.3930 ⋅ cos ( 700 ⋅ t − 60º 42 '35.77 '' ) V Ejercicio 65. Calcular los valores de la impedancia del circuito de la figura conociendo la tensión de 15 ⋅ cos (1000 ⋅ t + 40º ) V y la corriente de 100 ⋅ cos (1000 ⋅ t ) mA i Conociendo estos valores, podemos darnos cuenta de que la tensión está adelantada respecto de la corriente, por lo que ya podemos definir que el componente activo de la impedancia desconocida es una bobina. Por otro lado, el valor del módulo y el ángulo de fase de la impedancia resultan de: Z= vT 15V = = 150Ω iT 100mA θ º = 40º 63 2001 Adrian Dario Pelliza y dado que se trata de un número complejo podemos calcular la forma rectangular del mismo en base a la forma polar como: A + jB = Módulo ⋅ cos (θ º ) + j Módulo ⋅ sen (θ º ) por lo que: Z = 150 ⋅ cos ( 40º ) + j 150 ⋅ sen ( 40º ) Ω de donde R = 150 ⋅ cos ( 40º ) Ω = 114.90Ω ω ⋅ L = 150 ⋅ sen ( 40º ) Ω = 96.41Ω y el valor de la bobina se despeja de esta última expresión como: ω ⋅ L = 96.41Ω ⇒ L = 96.41Ω = 96.41mH 1000 rad seg Ejercicio 66. Calcular el valor de las tensiones de cada componente y la tensión total cuando circula una corriente i = 500 ⋅ sen ( 900 ⋅ t − 40º ) mA Conociendo el valor de la corriente total del circuito, podemos escribir las expresiones de las caídas de tensión individuales del circuito como: vR = R ⋅ i ⋅ sen (ω ⋅ t + θ º ) = 15Ω ⋅ 500 ⋅ sen ( 900 ⋅ t − 40º ) mA vR = 7.5 ⋅ sen ( 900 ⋅ t − 40º ) V vL = ω ⋅ L ⋅ i ⋅ sen (ω ⋅ t + θ º +90º ) = 900 rad ⋅ 50mH ⋅ 500 ⋅ sen ( 900 ⋅ t − 40º +90º ) mA=22.5 ⋅ sen ( 900t + 50º ) V seg vT = vR + vL = 7.5 ⋅ sen ( 900 ⋅ t − 40º ) V+22.5 ⋅ sen ( 900 ⋅ t + 50º ) V ω ⋅L vT = R 2 + ω ⋅ L2 ⋅ i ⋅ cos ω ⋅ t + θ º + arctan = R 2 Z = 152 + 900 rad ⋅ 50mH = 47.43 seg θ Z = arctan ω ⋅L = arctan R 900 rad ⋅ 50mH seg 15Ω = 71º 33'54.18'' vT = 47.43 ⋅ 500 ⋅ sen ( 900 ⋅ t − 40º +71º 33'54.18'') mA = 23.71 ⋅ sen ( 900 ⋅ t + 31º 33'54.18'' )V Ejercicio 67. Al siguiente circuito formado por el paralelo entre Z 1 = 12 − j8 y Z 2 = 3 + j19 ingresa una corriente i1 = 500∠60°mA . Calcular y graficar la corriente que circula por cada una de las impedancias. Sabiendo que se debe cumplir: i i = iZ1 + iZ 2 64 2001 Adrian Dario Pelliza y conociendo la forma en que se divide la corrientes en el caso de tratarse de un circuito formado por resistencias, podemos decir que: iZ 1 = Z2 ⋅i Z1 + Z 2 iZ 2 = Z1 ⋅i Z1 + Z 2 por lo que: iZ 1 = (3 + j19Ω) (3 + j19Ω ) ⋅ 500∠60°mA ⋅ 500∠60°mA ⇒ (12 − j8Ω) + (3 + j19Ω) (15 + j11Ω) iZ 2 = (12 − j8Ω) (12 − j8Ω ) ⋅ 500∠60°mA ⋅ 500∠60°mA ⇒ (12 − j8Ω ) + (3 + j19Ω ) (15 + j11Ω) y de la misma forma: debemos obtener entonces, las expresiones polares de Z1, Z2 y Z1+Z2 para poder operar la solución. Z1 = 12 2 + 82 = 14.42 Z 2 = 32 + 19 2 = 19.23 Z1 + Z 2 = 152 + 112 = 18.60 θ Z1 = ArcTan −8 = −33.69006753° = −33°41'24.24' ' 12 θ Z 2 = ArcTan 19 = 81.02737339° = 81°1'38.54' ' 3 θ Z1 + Z 2 = ArcTan 11 = 36.25383774° = 36°15'13.82' ' 15 ahora, podemos calcular los valores de cada corriente: iZ 1 = 19.23∠81°1'38.54' ' Ω ⋅ 500∠60°mA = 516.93∠104.7735357°mA = 516.93∠104°46'24.7' ' mA 18.60∠36°15'13.82' ' Ω y iZ 2 = 14.42∠ − 33°41'24.24' ' Ω ⋅ 500∠60°mA = 387.63∠ − 9.94390527°mA = 516.93∠ − 9°56'38.06' ' mA 18.60∠36°15'13.82' ' Ω Dado que son números complejos polares que representan un vector, no podemos realizar una suma algebraica de estos valores como podíamos en el caso de los resultados de circuitos puramente resistivos trabajando con corriente continua. Por eso, debemos graficar esa sumatoria vectorial de la siguiente manera: Ejercicio 68. Calcular las corrientes y caídas de tensión de cada impedancia del siguiente circuito. Vamos a proceder al análisis de este circuito de la misma forma que lo haríamos con un circuito únicamente compuesto por resistencias. En primer lugar vamos a identificar tres impedancias en el mismo y luego, con el circuito reducido y simplificado, haremos los cálculos necesarios. Vemos dos ramas muy notorias. Una, es un circuito RLC, donde están R8, C2 y L2 y la otra es un circuito RL formado por L1 y R4. Llamaremos a estas dos ramas en nuestro análisis Z1 y Z2. Si observamos el diagrama del circuito, llegaremos a la conclusión que Z1 y Z2 están conectadas entre sí en paralelo. Esto 65 2001 Adrian Dario Pelliza es también reducible en una nueva impedancia que llamaremos Z3. Una vez realizadas estas substituciones, nuestro esquema puede ser dibujado nuevamente como un circuito mucho más sencillo como aparece a la izquierda. En este esquema, se ve claramente que todo se reduce a un circuito serie muy simple de analizar. En este análisis también reuniremos –aun cuando se encuentren separadas por Z3- una nueva impedancia Z4, formada por R7, L3 y C1 a los efectos de simplificar aun más la resolución matemática del circuito ya que en ultima instancia la impedancia total será la suma de Z3 y Z4. En cuanto a los pasos matemáticos a realizar, una forma muy práctica y ordenada de realizar los cálculos sería la que se desarrolla a continuación. Antes de poder realizar las asociaciones explicadas anteriormente, será necesario conocer el valor reactivo de cada componente, para cuyo cálculo será imprescindible conocer el valor de la velocidad angular que para este caso será: ω = 2 ⋅ π ⋅ F[Hz ] = 2 ⋅ π ⋅137.16Hz = 861.80 rad seg Podemos ahora proceder con el cálculo de cada valor reactivo. X L1 = ω ⋅ L1 = 861.80 rad ⋅ 500mH = 430.9Ω X L2 = ω ⋅ L 2 = 861.80 rad ⋅ 780mH = 672.20Ω seg seg X L3 = ω ⋅ L3 = 861.80 rad ⋅ 920mH = 792.85Ω X C1 = seg 1 1 = = 1160.36Ω ω ⋅ C1 861.80 rad ⋅1µF seg X C2 = 1 1 = = 77.35Ω ω ⋅ C 2 861.80 rad ⋅15µF seg Ahora, podemos calcular las impedancias Z1 y Z2. ( ) Z 1 = R8 + j X L2 − X C2 = 2200 + j (672.20 − 77.35) = 2200 + j 594.85Ω Z 1 = 2200 2 + 594.85 2 = 2279 θ Z1 = ArcTan 594.85 = 15.13020598° = 15°7'48.74' ' 2200 Z 2 = R4 + jX L1 = 100 + j 430.9Ω Z 2 = 100 2 + 430.9 2 = 442.35 θ Z 2 = ArcTan 430.9 = 76.93451228° = 76°56'4.24' ' 100 y también podemos obtener el valor de Z3 Y3 = 1 1 1 = + = Y1 + Y2 Z 3 Z1 Z 2 Para poder resolver esto, deberemos obtener los valores de admitancia de Z1 y de Z2. Y1 = 1 2200 594.85 x10 −6 x10 −6 1 j 423 . 57 j 114 . 52 = − = − Ω 2200 + j 594.85Ω 2200 2 + 594.85 2 2200 2 + 594.85 2 Y2 = −6 −3 1 100 430.9 = −j = 511.05 x10 − j 2.20 x10 1 2 2 2 2 Ω 100 + j 430.9Ω 100 + 430.9 100 + 430.9 66 2001 Adrian Dario Pelliza −6 Y3 = Y1 + Y2 = 423.57 x10 − j114.52 x10 −6 1 Ω −6 + 511.05 x10 − j 2.20 x10 −3 −6 = 934.62 x10 − j 2.31 x10 1 Ω −3 1 Ω Ahora, podemos calcular Z3 como: −6 1 1 934.62 x10 Z3 = = = −6 2 −3 Y3 934.62 x10 − 6 − j 2.31 x10 − 3 1 + 2.31 x10 934.62 x10 Ω ) ( ( ) 2 +j 2.31 x10 −3 (934.62 ) + (2.31 ) x10 − 6 2 x10 − 3 2 = Z 3 = 150.51 + j 372Ω También habíamos planteado definir Z4 como: ( ) Z 4 = R 7 + j X L3 + X C 1 = 750 + j (792.85 − 1160.35)Ω = 750 − j 367.45Ω cuyo valor en forma polar es: Z 4 = 750 2 + 367.45 2 = 835.17 θ Z 4 = ArcTan −367.45 = −26.10177376° = −26°6'6.39' ' 750 El valor de Z total del circuito como ya vimos es: Z T = Z 3 + Z 4 = (150.51 + j 372Ω ) + (750 − j 367.45Ω ) = 900.51 + j 4.55Ω cuyo valor en forma polar es: Z T = 900.512 + 4.55 2 = 900.52 θ ZT = ArcTan 4.55 = .289495484° = 0°17'22.18' ' 900.51 Conocido ya el valor de la impedancia total ZT, podemos ahora adentrarnos en analizar el recorrido de la corriente en el circuito para obtener la forma en que esta se divide por las distintas ramas del circuito. En el esquema de la derecha, vemos que la corriente sale del generador, pasa a través de Z4 y se divide entre Z1 y Z2. Es decir que iT = iZ 4 = iZ1 + iZ 2 El valor de la corriente total del circuito será: iT = vT 134.14∠60°V = = 148.95∠59.71050452°mA = 148.95∠59°42'37.82' ' mA Z T 900.52∠0°17'22.18' ' Ω Ahora podemos calcular las corrientes que circula por Z1 y Z2. Para este cálculo, será necesario calcular el valor de la suma de Z1 y Z2 en forma algebraica, dado que utilizaremos ese valor como denominador en la fórmula que permite resolver este paso del análisis. Por eso: Z 1 + Z 2 = (2200 + j 594.85Ω ) + (100 + j 430.9Ω ) = 2300 + j1025.74Ω Z 1 + Z 2 = 2300 2 + 1025.74 2 = 2518.36 θ Z1 + Z 2 = ArcTan 1025.74 = 24.03562474° = 24°2'8.25' ' 2300 Entonces, el valor de la corriente de impedancia Z1 es 67 2001 Adrian Dario Pelliza iZ 1 = Z2 442.35∠76°56'4.24' ' Ω ⋅ 148.95∠59°42'37.82' ' mA = 26.16∠111°58'33.8' ' mA ⋅ iT = Z1 + Z 2 2518.36∠24°2'8.25' ' Ω iZ 2 = Z1 2279∠15°7'48.74' ' Ω ⋅ iT = ⋅ 148.95∠59°42'37.82' ' mA = 134.79∠50°48'18.31'' mA Z1 + Z 2 2518.36∠24°2'8.25' ' Ω Gráficamente, la suma de estas dos corrientes queda: iZ2 iZ1 iT Ahora procederemos en torno a las caídas de tensión del circuito. Básicamente, la tensión se divide en cuatro caídas principales de tensión. La primera sobre R7, la segunda sobre la impedancia que llamamos Z3 y finalmente en C1 y L3. En forma secundaria, la caída de tensión que existe en Z3, será como es lógico la caída existente en Z1 y Z2 dado que ambas están en paralelo y cada una de esas impedancias dividirá esa caída de tensión entre los componentes de cada rama. Para comenzar a calcular los valores, si bien la tensión total v se divide como se explicó de forma que: iZ2 iT iZ1 vT = vR2 + vZ3 + vC1 + vL3 también podemos decir que vT = vZ3 + vZ 4 con lo que se simplificaría la resolución del cálculo. Podemos ahora aplicar un divisor de tensión para obtener el valor de la caída sobre Z3. vZ3 = Z3 ⋅ vT Z3 + Z 4 y como vZ3 = Z 3 + Z 4 = ZT entonces vZ 3 = Z3 ⋅ vT ZT 150.51 + j 372Ω ⋅134.14∠60°V 900.52∠0°17 ' 22.18'' Ω Dado que no tenemos el valor en forma polar de Z3 lo debemos calcular para poder realizar la operación anterior. Z 3 = 150.512 + 3722 = 401.29 θ Z3 = ArcTan 372 = 67.97190295° = 67°58'18.85'' 150.51 y ahora entonces, 68 2001 Adrian Dario Pelliza vZ3 = 401.29∠67°58'18.85'' Ω ⋅134.14∠60°V = 59.77∠127°40 '56.6 ''V 900.52∠0°17 ' 22.18'' Ω Por otro lado, para obtener las caídas de tensión de los componentes de Z4, podemos proceder aplicando la ley de Ohm de manera tal que para la tensión haremos la multiplicación de los vectores polares del valor de R1 y la corriente total. El módulo del valor polar de R1 será el valor ohmico de la resistencia mientras que el ángulo, será 0º dado que se trata de un componente lineal que no impondrá ningún desfasaje a la corriente. Entonces: vR7 = R7 ⋅ iT = 750∠0°Ω ⋅148.95∠59°42 '37.82 '' mA=111.71∠59°42 '37.82 ''V Para la caída de tensión sobre el capacitor y la bobina, la forma de proceder es la misma que para la resistencia, nada más que el valor de ambos módulos serán las reactancias y los ángulos serán los que los componentes imponga, es decir –90º el capacitor y 90º la bobina. vC1 = X C1 ⋅ iT = 1160.36∠ − 90°Ω ⋅148.95∠59°42 '37.82 '' mA=172.83∠ − 30°17 ' 22.18''V vL3 = X L3 ⋅ iT = 729.85∠90°Ω ⋅148.95∠59°42 '37.82 '' mA=108.71∠149°42 '37.8''V Gráficamente, los valores resultan: VC1 vR7 vL3 vt vZ3 Obtendremos los valores de los vectores de las caídas de tensión de los componentes de las impedancias Z1 y Z2. Para comenzar a calcular estos valores, sabemos que si bien la tensión total v se divide como se calculó anteriormente por lo que ya conocemos el valor de la caída de tensión en la Z3 que debe cumplir además con: vZ3 = vZ1 = vZ 2 y además vZ1 = vR8 + vC2 + vL2 y vZ 2 = vR4 + vL1 Calculamos los valores de las caídas de tensión en Z1 vR8 = 2200∠0º ' Ω ⋅ 59.77∠127°40 '56.6 ''V = 57.69∠112°33'7.86 ''V 2279∠15°7 ' 48.74 '' Ω vL2 = 672.20∠90º ' Ω ⋅ 59.77∠127°40 '56.6 ''V = 17.62∠202°33'7.86 ''V 2279∠15°7 ' 48.74 '' Ω 77.35∠ − 90º ' Ω ⋅ 59.77∠127°40 '56.6 ''V = 2.02∠22°33'7.86 ''V 2279∠15°7 ' 48.74 '' Ω y calculamos los valores de las caídas de tensión en Z2. vC2 = vR4 = vL1 = 100∠0º ' Ω ⋅ 59.77∠127°40 '56.6 ''V = 13.51∠50°44 '52.36 ''V 442.35∠76°56 ' 4.24 '' Ω 430.9∠90º ' Ω ⋅ 59.77∠127°40 '56.6 ''V = 58.22∠140°44 '52.36 ''V 442.35∠76°56 ' 4.24 '' Ω 69 2001 Adrian Dario Pelliza Gráficamente: vL2 vR8 vZ3 vL1 vR4 vC2 Ejercicio 69. Calcular las caídas de tensión sobre cada impedancia del circuito y la corriente de cada rama. Siendo: Z1 = 21 + j 44Ω Z 2 = 82 + j10Ω Z 4 = Z 5 = 150 + j100Ω Z 3 = 112 − j10Ω vT = 100∠0º V Vamos a iniciar el análisis del circuito agrupando las impedancias de manera tal que permitan ir reduciendo la red tal como lo hemos realizado en otras ocasiones. Comenzaremos por agrupar el paralelo formado por Z3 y Z4 en una nueva impedancia llamada ZA YA = Y3 = Y4 = 1 1 1 = + Z A Z3 Z 4 −3 −6 1 1 112 10 = = +j = 8.85 x10 + j 790.88 x10 1 2 2 2 2 Ω Z 3 112 − j10Ω 112 + 10 112 + 10 −3 −3 1 1 150 100 = = −j = 4.61x10 − j 3.07 x10 1 2 2 Ω Z 4 150 + j100Ω 1502 + 1002 150 + 100 ( −3 YA = Y3 + Y4 = 8.83x10 + j 790.88 x10 −6 1 Ω ) + ( 4.61 x10−3 − j3.07 x10 −3 1 Ω −3 ZA = 1 1 13.46 x10 = = −3 −3 2 −3 YA 13.46 x10 − j 2.27 x10 1 x10−3 + 2.27 x10 13.46 Ω ( ) ( ) 2 +j ) = 13.46 x10−3 − j 2.27 x10 2.27 x10 −3 1 Ω −3 (13.46 ) + ( 2.27 ) x10−3 2 x10−3 2 = Z A = 72.23 + j12.18Ω 70 2001 Adrian Dario Pelliza Ya que en algún momento del cálculo lo necesitaremos vamos a calcular también la forma polar de ZA y la suma de Z3 y Z4, que utilizaremos cuando vayamos a calcular las corrientes de cada una. Z3 = 1122 + 102 = 112.44 θ Z3 = ArcTan −10 = −5.102165252° = −5°6 '7.79 '' 112 Z 4 = 1502 + 1002 = 180.27 θ Z3 = ArcTan 100 = 33.69006753° = 33°41' 24.24 '' 150 Z A = 72.232 + 12.182 = 73.24 θ Z3 = ArcTan Z3 + Z 4 = (112 + 150 )2 + ( −10 + 100 )2 12.18 = 9.571625901° = 9°34 '17.85'' 72.23 θ Z3 + Z 4 = ArcTan = 277.02 90 = 18.95818341° = 18°57 ' 29.46 '' 262 ZA a su vez, formará junto con Z2 en serie la impedancia ZB. Z B = Z 2 + Z A = ( 82 + j10Ω ) + ( 72.23 + j12.18 ) = 154.23 + j 22.18Ω A este punto, ZB está en paralelo con Z5 y las agruparemos en ZC que finalmente, estará en serie con Z1. Ese será el valor de la impedancia total de la red. YC = YB + Y5 YB = −3 −6 1 1 154.23 22.18 = = −j = 6.35 x10 − j 913.55 x10 1 2 2 Ω Z B 154.23 + j 22.18Ω 154.232 + 22.182 154.23 + 22.18 Y5 = ( −3 −3 1 1 150 100 = = −j = 4.61x10 − j 3.07 x10 1 2 2 2 2 Ω Z 5 150 + j100Ω 150 + 100 150 + 100 −3 YC = YB + Y5 = 6.35 x10 − j 913.55 x10 −6 1 Ω ) + ( 4.61 x10−3 − j 3.07 x10 −3 1 Ω ) = 10.96 −3 1 1 10.96 x10 ZC = = = −3 −3 −3 2 −3 YC 10.96 x10 − j 3.98 x10 1 − 3.98 x10 10.96 x10 Ω ) ( ( ) 2 +j x10−3 − j 3.98 x10 3.98 x10 −3 1 Ω −3 (10.96 ) − (3.98 ) x10−3 2 x10−3 2 Z C = 80.61 j 29.27Ω Dado que también en algún momento del cálculo lo necesitaremos vamos a calcular las formas polares de Z5, ZB y ZC y la suma de Z5 y ZB, que utilizaremos cuando vayamos a calcular las corrientes de cada una. Z5 = 1502 + 1002 = 180.27 θ Z5 = ArcTan Z B = 154.232 + 22.182 = 155.81 θ Z B = ArcTan Z C = 80.612 + 29.27 2 = 85.75 Z B + Z5 = θ ZC 100 = 33.69006753° = 33°41' 24.24 '' 150 22.18 = 8.183664862° = 8°11'1.19 '' 154.23 29.27 = ArcTan = 19.95627918° = 19°57 ' 22.61'' 80.61 (154.23 + 150 )2 + ( 22.18 + 100 )2 = 327.84 71 2001 Adrian Dario Pelliza θ Z B + Z5 = ArcTan 122.18 = 21.88059432° = 21°52 '50.14 '' 304.23 Y como ya dijimos, sumamos el valor en serie de Z1 para obtener el valor total de la impedancia de la red. ZT = Z1 + Z C = ( 21 + j 44Ω ) + ( 80.61 + j 29.27Ω ) = 101.61 + j 73.27Ω ZT = 101.612 + 73.27 2 = 125.27 θ ZT = ArcTan 73.27 = 35.79501313° = 35°47 ' 42.05'' 101.61 Podemos ahora calcular la corriente total del circuito. IT = −3 VT 100∠0º V = = 798.27 x10 A = 798.27∠ − 35º 47 ' 42.05'' mA ZT 125.27∠35º 47 ' 42.05'' Ω Observemos el recorrido de la corriente en el esquema y podemos ir analizando la forma en que esta pasa por las distintas ramas del circuito. Está claro que a través de Z1 circula la corriente total que se divide luego entre Z5 y la impedancia que llamamos ZB. Esto implica que tendremos una corriente que será la IZB que circulará por Z2 y luego se dividirá entre Z3 y Z4. Es decir que se debe cumplir con: I ZT = I Z1 = I Z B + I Z5 I Z B = I Z 2 = I Z3 + I Z 4 I ZB = I Z5 = Z5 180.27∠33°41' 24.24 '' Ω ⋅ IT = ⋅ 798.27∠ − 35º 47 '42.05'' mA=438.94∠ − 23º59'7.95''mA 327.84∠21°52 '50.14 '' Ω Z5 + Z B ZB 155.81∠8°11'1.19 '' ⋅ IT = ⋅ 798.27∠ − 35º 47 ' 42.05'' mA=375.11∠ − 49º 29 '30.97 '' mA 327.84∠21°52 '50.14 '' Ω Z5 + Z B I Z3 = Z4 180.27∠33°41'24.24 '' Ω ⋅ I ZB = ⋅ 438.94∠ − 23º59'7.95''mA=285.63∠-9º15'12.81''mA 277.02∠18°57 '29.46 '' Ω Z3 + Z 4 I Z4 = Z3 112.44∠ − 5°6 '7.79 ' Ω ⋅ I ZB = ⋅ 438.94∠ − 23º59'7.95''mA=178.16∠-48º2'45.2''mA 277.02∠18°57 '29.46 '' Ω Z3 + Z 4 IZ3 IZ4 IZB IZT IZ5 72 2001 Adrian Dario Pelliza
