A1S1pauta

Universidad Diego Portales.
Escuela de Industrias, Facultad de Ingeniería.
Modelos Estocásticos; 2do semestre de 2014.
Profesor: Franco Basso
Ayudantes: Diego Espinoza
Ayudantía N°1
Problema 1
En un centro de idiomas se ofrecen cursos de chino y portugués. Algunos alumnos toman
cursos en solo uno de los idiomas y otros, toman cursos en ambos idiomas. Entre los cursos
que se dictan hay programas para niños y otros para adultos.
Se sabe que si se elige uno de los alumnos actualmente matriculados completamente al azar se
tiene que:

La probabilidad que esté tomando solo el curso de chino es del 30% y que esté
tomando ambos cursos, del 20%.

La probabilidad que sea niño y este tomando el curso de chino es del 15%.

La probabilidad que sea adulto condicionado a que está tomando ambos cursos es del
75% mientras que a probabilidad que sea adulto condicionado a que está tomando el
curso de portugués es 9/14.
a) Determine la probabilidad que un alumno sea niño condicionada a que está tomando
el curso de chino mandarín.
b) Determine la probabilidad que un alumno sea adulto.
c) Calcule la probabilidad que de dos alumnos al menos uno esté tomando el curso de
portugués y al menos uno esté tomando el curso de chino (puede ser el mismo).
Solución:
Adulto
Niño
Portugués
Chino
65%
30%
15%
20%
35%
50%
a) La probabilidad que se pide es:
𝑃(𝑁𝑖ñ𝑜|𝐶ℎ𝑖𝑛𝑜) =
𝑃( 𝑁𝑖ñ𝑜 𝑦 𝐶ℎ𝑖𝑛𝑜) 0,15
3
=
=
𝑃(𝐶ℎ𝑖𝑛𝑜)
0,5
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b) Para calcular la probabilidad que se pide utilizamos la fórmula de probabilidades
totales:
𝑃(𝐴𝑑𝑢𝑙𝑡𝑜) = 𝑃(𝐴𝑑𝑢𝑙𝑡𝑜|𝑃𝑜𝑟𝑡𝑢𝑔𝑢é𝑠) ∗ 𝑃(𝑃𝑜𝑟𝑡𝑢𝑔𝑢é𝑠) + 𝑃(𝐴𝑑𝑢𝑙𝑡𝑜|𝐶ℎ𝑖𝑛𝑜)
∗ 𝑃(𝐶ℎ𝑖𝑛𝑜) − 𝑃(𝐴𝑑𝑢𝑙𝑡𝑜|𝐴𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑖𝑑𝑖𝑜𝑚𝑎𝑠) ∗ 𝑃(𝐴𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑖𝑑𝑖𝑜𝑚𝑎𝑠)
𝑃(𝐴𝑑𝑢𝑙𝑡𝑜) =
9
∗ 0,7 + 0,35 ∗ 0,5 − 0,75 ∗ 0,2 = 0,45 + 0,175 − 0,15 = 0,475
14
c) Considerándolos en orden para hacer el cálculo, los casos que nos interesan son:

El primero toma ambos cursos.

El primero solo toma el curso de portugués y el segundo, solo el curso de chino
o ambos.

El primero solo toma el curso de chino y el segundo, solo el curso de portugués
o ambos.
Por lo tanto, la probabilidad deseada es:
𝑃(𝐴𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑖𝑑𝑖𝑜𝑚𝑎𝑠) + 𝑃(𝑆ó𝑙𝑜 𝑃𝑜𝑟𝑡𝑢𝑔𝑢é𝑠) ∗ 𝑃(𝐶ℎ𝑖𝑛𝑜) + 𝑃(𝑆ó𝑙𝑜 𝐶ℎ𝑖𝑛𝑜)
∗ 𝑃(𝑃𝑜𝑟𝑡𝑢𝑔𝑢é𝑠)
0,2 + 0,5 ∗ 0,5 + 0,3 ∗ 0,7 = 0,66
Problema 2
Un curso consta de 12 alumnos de pregrado y 4 de postgrado. Si el curso es dividido
aleatoriamente en 4 grupos de 4 alumnos. ¿Cuál es la probabilidad de que haya un alumno de
postgrado en cada grupo?
Solución:
Sean los eventos
𝐴1 = {𝑎1 , 𝑎2 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑒𝑛 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠}
𝐴2 = {𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑒𝑛 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠}
𝐴3 = {𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑒𝑛 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠}
𝑆𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 ; 𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠.
Notamos que 𝐴3 es equivalente 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 , usando la Regla de Bayes, se tiene que la
probabilidad que buscamos es:
𝑃(𝐴3 ) = 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 ) = 𝑃(𝐴3 |𝐴1 ∩ 𝐴2 )𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ) = 𝑃(𝐴3 |𝐴1 ∩ 𝐴2 )𝑃(𝐴2 |𝐴1 )𝑃(𝐴1 )
De esta manera notamos que es necesario determinar las probabilidades de que los
alumnos con postgrado estén grupos distintos, teniendo en cuenta que cada alumno tiene
la misma probabilidad de ser asignado en alguno de los “16 lugares” posibles en una
experiencia “w”. Así para determinar que dos alumnos de postgrado estén en grupos
distintos (𝐴1 ), mientras ya fue asignado el primero, el segundo debe ser asignado en 12
lugares factibles de los 15 posibles restantes.
Ahora de igual manera ya hay dos alumnos con postgrado asignados en grupos distintos, hay
14 lugares restantes de los cuales son 8 los que perteneces a grupos distintos, luego:
Finalmente ya con 3 alumnos con postgrado asignados en grupos distintos, restan solo 13
lugares los cuales sólo 4 pertenecen al grupo restante, entonces: