Metodos Numericos .

Ejercicio 1
En una ecuación diferencial parcial de segundo orden general con dos
variables independientes
𝐴
𝜕 2𝑢
𝜕 2𝑢
𝜕 2𝑢
+
𝐵
+
𝐶
+𝐷 =0
𝜕𝑥 2
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕𝑦 2
𝜕𝑢 𝜕𝑢
donde, A, B, C son funciones de “x”, “y”, y D es una función de x, y 𝜕𝑥 , 𝜕𝑦,
entonces la ecuación diferencial parcial es parabólica si:
a) 𝐵2 − 4𝐴𝐶 < 0
b) 𝐵2 − 4𝐴𝐶 > 0
c) 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = 0
d) 𝐵2 − 4𝐴𝐶 ≠ 0
solución
-la respuesta correcta es la ( c )
-Una ecuación diferencial parcial de segundo orden general es
parabólica
𝐵2 − 4𝐴𝐶 = 0
Ejercicio 2
La región en la que se encuentra la siguiente ecuación diferencial parcial.
𝜕2 𝑢
𝜕2 𝑢
𝜕2 𝑢
𝑥 3 𝜕𝑥 2 + 27 𝜕𝑦 2 + 3 𝜕𝑥𝜕𝑦 + 5𝑢 = 0
Actúa como ecuación parabólica.
1/3
1
a) 𝑥 > (12
)
1/3
1
b) 𝑥 < (12
)
c) para todos los valores de x
1 1/3
d) 𝑥 = (12
)
solución
Una ecuación diferencial parcial general con dos variables independientes es
de la forma
donde, A, B, C son funciones de “x”, “y”, y D es una función de x, y
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷 0
𝑢
𝑢 diferencial
𝑢
entonces la ecuación
es parabólica.
+
+
+ parcial
=
𝜕2
𝜕
𝜕𝑥𝑦
𝜕2
𝜕𝑢 𝜕𝑢
,
𝜕𝑥 𝜕𝑦
,
𝜕
𝜕2
𝑥2
𝑦2
-Para que esta ecuación
sea parabólica, 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = 0
-De la pregunta anterior, 𝐴 = 𝑥 3 , 𝐵 = 3, 𝐶 = 27
𝐵2 − 4𝐴𝐶 = 0
(3)2 − 4(𝑥 3 )(27) = 0
9 − 108𝑥 3 = 0
108𝑥 3 = 9
9
𝑥3 =
108
1
3
𝑥 =
12
1 1/3
𝑥=( )
12
Ejercicio 3
La ecuación diferencial parcial de la temperatura en una barra larga y delgada
está dada por
node  0
𝜕𝑇
𝜕𝑡
=𝛼
𝜕2 𝑇
𝜕𝑥 2
1
2
T  80 C
3
T  20 C
9 cm
Si, 𝛼 = 0.8𝑐𝑚2 /𝑠 la temperatura inicial de la varilla es, 40°𝐶 y la varilla se divide
en tres segmentos iguales, la temperatura en el nodo 1 (use 𝛥𝑡 = 0.1𝑠) mediante
el uso de una solución explícita 𝑡 = 0.2𝑠𝑒𝑐 es.
a) 40.7134 0𝐶
b) 40.6882 0𝐶
c) 40.7033 0𝐶
d) 40.6956 0𝐶
Solución
CARACTERISTICAS DEL MATERIAL
Longitud (cm)
Temperatura inicial (oC)
α (cm^2/s)
Δt (s)
Δx (cm)
λ
9
NODO (0) = 80
NODO (1) = 40
NODO (2) = 40
NODO (3) = 20
0.85
0.1
3
0.0088888
POR FORMULA DE CHAPRA:
Til+1=Til+λ*(Tli+1-2Til+Tli-1)
EN CONCLUSION:
TIEMPO
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
NODO (0)
80
80
80
80
80
80
80
80
80
80
80
TEMPERATURA EN LOS NODOS
NODO (1)
40
40.355552
40.70320292
41.04314942
41.37558301
41.70069025
42.01865282
42.32964769
42.63384724
42.93141936
43.22252758
NODO (2)
40
39.822224
39.65076886
39.48545198
39.32609576
39.17252744
39.02457901
38.88208706
38.74489264
38.61284118
38.48578233
 LA TEMPERATURA EN EL NODO 1 , EN EL TIEMPO 0.2 ES : 40.70320292 .
NODO (3)
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
Ejercicio 4
La ecuación diferencial parcial de la temperatura en una barra larga y delgada
está dada por
node  0
𝜕𝑇
𝜕𝑡
𝜕2 𝑇
= 𝛼 𝜕𝑥 2
1
3
2
T  80 C
T  20 C
9 cm
Si, 𝛼 = 0.8𝑐𝑚2 /𝑠 la temperatura inicial de la varilla es, 40°𝐶 y la varilla se divide
en tres segmentos iguales, la temperatura en el nodo 1 (use 𝛥𝑡 = 0.1𝑠) mediante
el uso de una solución implícita 𝑡 = 0.2𝑠𝑒𝑐 es.
a) 40.7134 0𝐶
b) 40.6882 0𝐶
c) 40.7033 0𝐶
d) 40.6956 0𝐶
solución
Datos del problema:
0.8𝑐𝑚2
𝛼= 𝑠
𝛥𝑡 = 0.1𝑠
𝑡 = 0.2 𝑠𝑒𝑐 𝑠
𝐿 = 9cms
Numero de divisiones de la varilla, 𝑛 = 3
𝐿
9
𝛥𝑥 = 𝑛 = 3 = 3
Número de pasos de tiempo =
𝜆=𝛼
𝑡𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 −𝑡𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙
𝛥𝑡
=
0.2−0
0.1
=2
𝛥𝑡
0.1
= 0.8
= 0.0089
2
(𝛥𝑥)
(3)2
𝑗
De las condiciones de contorno
𝑇0 = 80°𝐶
𝑗
𝑇3 = 20°𝐶
}
𝑗 = 0,1
La temperatura inicial de la varilla es, 40 °𝐶 , es decir, todas las temperaturas de
los nodos dentro de la varilla se encuentran a 40 °𝐶.
1. Temperatura inicial en los nodos dentro de la barra (cuando t = 0 seg)
𝑇00 = 80°𝐶
𝑇10 = 40°𝐶
}
𝑇20 = 40°𝐶
𝑇10 = 40°𝐶
}
𝑇20 = 40°𝐶
2. Temperatura en los nodos dentro de la varilla cuando t = 0.1 seg.
Para todos los nodos interiores, al poner 𝑗 = 0 y 𝑖 = 0 la Ecuación discretizada,
se dan las siguientes ecuaciones:
𝑖=1
−𝜆𝑇01 + (1 + 2𝜆)𝑇11 − 𝜆𝑇21 = 𝑇10
(−0.0089 × 80) + (1 + 2 × 0.0089)𝑇11 − (0.0089𝑇21 ) = 40
−0.7111 + 1.0178𝑇11 − 0.0089𝑇21 = 40
1.0178𝑇11 − 0.0089𝑇21 = 40.7111
𝑖=2
 T11  (1  2 )T21  T31  T20
 0.0089T11  1.0178T21  (0.0089  20)  40
 0.0089T11  1.0178T21  0.1778  40
 0.0089T11  1.0178T21  40.1778
 1.0178  0.0089 T11   40.7111
 0.0089 1.0178   1   40.1778

 T2  

T11  40.3478
 1  

T2  39.8284
3.
Temperatura en los nodos dentro de la barra cuando t = 0.2 seg.
𝑇02 = 80°𝐶
} condición de contorno
𝑇32 = 20°𝐶
Para todos los nodos interiores, al poner 𝑗 = 0 y 𝑖 = 0 la Ecuación discretizada,
se dan las siguientes ecuaciones:
𝑖=1
−𝜆𝑇02 + (1 + 2𝜆)𝑇12 − 𝜆𝑇22 = 𝑇11
(−0.0089 × 80) + (1 + 2 × 0.0089)𝑇12 − 0.0089𝑇22 = 40.3478
−0.7111 + 1.0178𝑇12 − 0.0089𝑇22 = 40.3478
1.0178𝑇12 − 0.0089𝑇22 = 41.0590
𝑖=2
−𝜆𝑇12 + (1 + 2𝜆)𝑇22 − 𝜆𝑇32 = 𝑇21
−0.0089𝑇12 + 1.0178𝑇22 − (0.0089 × 20) = 39.8284
−0.0089𝑇12 + 1.0178𝑇22 − 0.1778 = 39.8284
−0.0089𝑇12 + 1.0178𝑇22 = 40.0061
 1.0178  0.0089 T12  41.0590
 0.0089 1.0178   2    40.0061

 T2  

T12  40.6882
 2  

T2  39.6627 