Fracciones: La Relación Parte-Todo - Matemáticas

FRACCIONES
LA RELACION PARTE-TODO
,:i:Ji,Tlliffi';
14. Proporcionalidad geométrica y semejanza
Colección:
MATEMATICAS: CULTURA Y APRENDIZATE
Grupo Beta
15. Poüedros
Gcco¡i¡cuillénso¡d
1. Arc¡ dGcotrocimietrto:didáctica de las rn¡temÁticrs
A¡s.lGuri&Ea
Bdr&docón@A¡roM,r@Dhz@iro, LuúRio Rl)ll@,M.Si@vázqw
1ó Una m€todotogíe¡ctiv¡ y ¡údic¡ p¡ra l¡ e||seña¡z¡ de la geomehíN
¿ .1 l u me G} opc E c ¡ on*A n g e l M l rd E ¿ R 4 i o .F trc i s o ' U 4R i eyá
LuisRicoRóllm. Encll@iú¡ csto Ma¡tlM, Búiqu. C¡úo Mal@z
17. El probleE¡
c¡,chu^
de l¡ medidr
nat¡'
M B'l'-lc Gó,*
'w
1& Cirq¡lando por el círrulo
Fr¡rctu? PrdiI¡,Dfú. Adulfo Setor Hmárdcq Fi¡bh vcuzqu¿,
3. Nuúer&cidn y cáIculo
Bd.rdo CónsAr@lo
4. [,¡accion€s
sdvádórLlin@ cis,
5. Núñeft6 decim¡ls:
Juli¡C¿ cúoPéÉz
M,' vi.loda s¡l&h.z Cñl¡
19. Sup€rficie y volumctr
M.. A¡eel* delorm Rofm, Frscisa M@no carErñ, F¡üciscocil cu¿dÉ .
po¡ qué y para q¡lé
20. ProporcioD¡Iil¡d
dfurcta
M,'Lui!¿Fiol Mo¡a,roséMl Forünyayreni
1
6, NúrÍ€¡os e¡temó
toséL. GonzáLzM¡í, M.'Dd@ Iri¡rt Bü¡tor,Arono OnizComs, In¡Ñld¿
M¡chuc¡,Msúl¡ tilmo P&É2,A¡ronioonir vilñjo, Bs¡c¡onsdz rimérez
V.rg&
21. Nudos y n€xo6. Red€s €n I¡ $cuel¡
Mob¿sCon.t Bcn@ch, Jü@ SüchoCi[ AdonioMlrft d.l MmL
Pib. Go¡z¡loMdrln
7. Divi¡ibilirl¿d
Mode.bSiem Vázqez,A¡d¡!,sG@l¡, M,' T, Co¡zás tutudilo,
Mdoco¡z¡lezaccl¡
22, Por los caminos de la lógics
ha. Sd¿ l¿rn¡, ModqroAri.t¡ U¡mndi,
L Probl€mr¡ ¡ritméticos Écolarcr
LüisPuigEspi¡o¡q,Fm4do (¡dá¡ ltM
23. Inictsción ¡l áIg€br¡
Meel Marl¡ 506 Robayra,MatlasC{@lD M!.hlI, M.¡ M.ecdasPrlaM Medins,
Júef¡HdúÍlezDonJnsH
9. EstiE¡ción eD cdlcolo y mcdiit¡
¡sidooSeepvia
A¡.x, Er@ión C¡m,oMardr¿, EdiqÉ Cstro Ms¡dez,
Lu¡! Rso Ro4re
24. E¡|3eñ¡nz¡ de l¡ suma y d€ Ia rc.lt¡
A!¡os M@ GóreZ
10. Aritmétic¡ y c¡lcul¡dor¡
FEddic udin! i abeló
25. Ens€ñanza de I¡ multitr üc*ión
C¡rtorM@C6M
11. Msteüalec pala cotrstluir la g€omehía
Fl{Ei€h, cr&di alsiúcr.lá, rcep M.'Fo.túy Ay¡)mi
cam¡ Bürgués
rZ Inútacitu a l¡ didictic¡ ile l¡ geometrí¡
craldi alsim catal4 JoepM,. l¡o¡tunyAtM, c¡@n BüguasFl@ich
13. Simctrí¡ din,ímic{
R¿helpéÉzcóM, ct¡u¡í Akiú cata¡á,c.f.rino Ruizoarido
Eltr Ph¡doRuiz
y d€ h divi.ión
26' tr',uncione! y grÁllcrs
¡o¡diDrulofd Piqet, Ca¡rM AúÁr'úcoitúM
|
|
27' au¡r y probabilidad
Jm Dle Godi¡o.C.@o Bataoñ Bflabéu. M,' t lrtuC¡¡li@s Catellúo
28' EncüG3tas j¡ prccios
A¡d.¿t No¡tcsCIEa
29. Prensa y matemáticas
Antonio FernándezCano, Luis Rico Romero
30. Ordenador y educación matemática: algunas modalidades de uso
José A. Cajaraville Pegito
31. Ordenar y clasificar
Carlos Maza Gómez, Carlos Arce Jiménez
32. Juegos y pasatiempos en la enseñanza de la matemática elemental
FRACCIONES
JosefaFernández Sucasas,M.' Inés Rodúguez Vela
33. Ideas y actividades para enseñar álgebra
GrupoAzarquiel
LA RELACION PARTE.TODO
34. Recursos en el aula de matemáticas
Francisco Hernán Siguero, Elisa Carrillo Quintela
Consejoetitor:
CoonnrN¡.¡onrs:
Luis Rico Romero,JoséM." Fortuny Aymemi, Luis Puig Espinosa
S¡,r,vnoon Lr,w¡nns Crsc¡,n
M." Vrcronr¡ SANcnnzGlncfn
ProfesoresTitulares de Didáctica
de las Matemáticasde la Universidadde Sevilla
EDITORIAL
SINTESIS
barras
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deadquisición:
Forma
CanjeCarnpra
techadeadqursrción
Mes
AñoProcesa¡niento
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Mcs
Ano
Proveedorpor
iPrgcesado
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Donación
Día
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Primera reimpresión: diciembre 1997
Diseño de cubierta: Juan José Vázquez
Reservadostodos los derechos.Está prohibido, bajo las
sancionespenalesy el resarcimiento civil previstos en
las leyes,reproducir, registrar o transmitir esta publicación, íntegra o parcialmente, por cualquier sistema
de recuperacióny por cualquier medio, sea mecánico,
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de Editorial Síntesis,S. A.
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ISBN: 84-7738-047-3
Impreso en España - Printed in Spain
A Pepa.
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INDICE
Introducción
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2l
Creenciassobre las fracciones
1.1. Las fraccionesy el lenguajecotidiano
1.2. Tus creenciassobrelas fracciones
1.2.t. Sí o no a las fraccionesen la escuela
1.2.2. Acercadel aprendizajedel conceptode fraccióny el lugar que
debenocuparen el curriculum ...
1.2.3. Sobrelos algoritmos de las operacionescon fracciones . . . .
1.3. Otras opinionessobre las fracciones
1.3.1. Las fraccionesy su permanenciaen los primeros niveles . . .
1.3.2. Las fraccionesy las nuevastecnologías
1.3.3. El proceso de enseñanzaaprendizaje de las fracciones ]filas
operacionescon las fracciones.
1.4. Nuestrascreencias
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22
24
24
29
30
33
2. Las fr¡cciones en l¡ escuel¡
2.1. Las fraccionesy las reformascurriculares.....
2.1.1. Las fracciones€n los distintos curricula antesde la instauración de la EGB
2.1.2. Las fraccionesen la EGB.
36
47
3. Las fracciones;rliferentesinterpretaciones
....
3.1. La existenciade diferentesinterpretaciones
de las fracciones......
3.2. La relación parte-todo y la medida
3.2.1. Representaciones
continuasy discretas
3.2.2. Decimales
3.2.3. Las fraccionescomo puntos sobre la recta numérica . . . . . .
3.3. Las fracvionescomo cociente
3.3.1. Diüsión indicada.Reparto
3.3.2. Las fraccionescomo elementosde una estructuraalgebraica
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52
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56
59
59
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63
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35
36
3.4. Las fraccionescomo raz6n .
3.4.L. La probabilidad....
3.4.2. Los porcentajes . . . .
3.5. Las fraccionesy los operadores..
3.6. Una visión global de las fracciones
3.ó.1. Relacionesentre las distintas interpretaciones. . ..
3.6.2. Papel destacadode la relación parte-todo
4. La relaciónparte-todoy las fracciones....
4.1. Introducción
4.1.1. Los atributos de la relación parte-todo
4.1.2. Los contextosde la relación parte-todo
4.1.3. La relación parte-todo como generadoradel lenguajey símbolos .
4.1.4. La relaciónparte-todoy el conocimientoinformal de los niños.
4.2. Relacionesentre situacionesconcretas,descripciónde situaciones,
modelosy símbolos
4.3. El trabajo inicial con la relación parte-todo
4.3.1. Introducción
4 -3- 2- E lt am añod el a u n i d a d
.......!s
4.3.3. Situacionesen las que la idea de fracción no es aplicable .
4.3.4. Dos direcciones... .
4.3.5. Una recapitulación.
4.4. Una secuenciapara la enseñanzadel conceptode fracción
4.4.1- Diferentesnocionesen el conceptode fracción
4.4.2. Una primera aproximación
4.4.3. Las primeras traslacionesentre las representaciones.
El papel de las fraccionesunitarias
4.4.4. La forma escritade la relación parte-todo:las fracciones. .
4.4.5- Los diagramasy la forma escrita .
4.4.6. El problema de las citas perceptuales
4.4.7. Las fraccionesunitarias, el contar y las operacionescon
fracciones
4.4.8. La utilización de otros concretos
4.4.9. Los contextosdiscretos
4 .4 . 10. Lar ec t anu m é ri c a
.....i .
4.5. Varios nombrespara la mismarelación.La ideade equivalencia..
4.6. La comparaciónde fracciones.La idea de orden .
5.
l0
Las operacionescon fracciones.Los algoritmos
5.1. Introducción
5.2. Las interpretaciones
del conceptofraccióny las operaciones......
5.2.1. Unapanorámica...
5.3. Algunascuestiones
5.3.1. El manejode los algoritmosy la resoluciónde problemas
5.3.2. Los algoritmosy el trabajo previo con las relacionesalgebraic as . . .
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5.4. La suma y resta de fracciones
5.5. La multiplicación de fracciones
5.6. La división de fracciones
6. Errores y estimación
6.1. Introducción
6.2. El procesointeractivo en la enseñanzay la observaciónde errores
6.3. Errores en las fracciones
6.4. Algunos ejemplostípicos de errorescon las fracciones
6.4.I. Errores en la noción de equivalenciade fracciones
6.4.2. Errores en la adición y sustracción de fracciones
6.4.3. Errores en la multiplicación y la división
6.5. Estimación
Referencias
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INTRODUCCION
Al abordar un tema tan conocido y a la oez tan complejo como el de las
fracciones, hemos querido conjugar dos aspectos.Por un lado, pretendemos que
lasfracciones se asocien a situaciones,que signiJiquenalgo para el alumno, que
sepa utilizarlas, relacionarlas y aplicarlas.
Sin embargo, no podemos oluidar que las Matemáticas son un arte. Y bajo
este segundo aspecto, queremos iniciar a los jóuenes alumnos en la <poesía> de
las fracciones. De la misma manera que el buen conocedor del lenguaje utiliza
las palabras para expresarse poéticamente, que el músico utiliza los sonidos
combinándolos de forma armoniosd, que el pintor juega con los colores, debemos enseñar a los alumnos a relacionar las ideas matemáticas para conseguir
un todo qrmonioso. Sólo así podrún apreciar la uerdadera esencia de las
Matemáticas.
"fi'
La idea de fracción aparece a partir de situaciones en que está implícita la
relación parte-todo. Esta relación es una de las posibles interpretaciones de la
fracción.
Pero, por otro lado, también podemos representar mediante una fracción
situaciones en las que está implícita una relación parte-parte (o todo-todo),
que nos lleuan a una interpretación de la fracción como razón.
Aun existen otras interpretaciones de las fracciones: operador, cociente de
dos números, etc. El constructo teórico que sintetiza todas ellas constituye el
número racional.
Hay, por tanto, un largo camino que recorrer entre las primeras ideas
intuitiuas de <mitades> y <<tercios¡>
hastq la consideración de las fracciones
como elementos integrantes de unq estructuro algebraíca.
Siendo consciente de la necesidad de elegir correctamente el punto de
partidq para el inicio del trabajo en cualquier noción matemótica, centramos
nuestra atención sobre la interpretación parte-todo, que es) de alguna menera,
el origen de las demás interpretaciones.
t3
Resaltamos algunas características del proceso enseñqnza-aprendizajeque
creemos de interés. Entre ellas está la necesidad de desarrollar un lenguaje de
símbolos que sea coherente con el conocimiento intuitiuo, a traués de la potenciación de un <estilo de enseñqnzat4que incorpore lqs oportunidades apropiadas para que los niños puedan discitir=op-inar con suspropios compañeros o
con el profesor,
El motiuo de esto es,por una parte, ayudar a hacer conscientesa los niños
del uso de sus propias estrategias y fauorecer la autocorrección de dichas
estrategias cuando no sean las idóneas para una situación determinada.
Por otra parte, creemos que un factor importante en la formación de los
conceptos (en el aprendizaje en general) lo constituye el desarrollo del lenguaje
(forma oral de los <<objetos>
que se manejan en lqs situaciones) uinculqdo a las
nociones con las que estamos trabajando.
Otra característica que queremosdestacar es que las ideqs de los profesores
en relación a su papel como tales, su concepción sobre el aprendizaje de los
niños, sobre las Matemáticas como ciencia y como disciplina escolar, sus
opiniones en general y el contexto en el que todo esto está inmerso, actúan
como t<Jiltros>modificando la traslación de la Teoría a su Práctica coü*diana.
El hacer que eslas ideas afloren de alguna manera puede ayudar a racionalizar un proceso tan complejo como el de la actiuidod docente.
Así, en el primer capítulo se reflexiona sobre la propia actuación cuando se
enseñan fracciones, sobre las ideas que cada profesor tiene respecto a las
fracciones y sobre su proceso de enseñanzaaprendizaje, con el fin de llegar a
ser conscientesde las opiniones personales.
Las opiniones de <otros> ayudan a ampliar perspectiuasen relación al tema
y pueden ser útiles al ser contrqstadas con las de uno mismo.
Siguiendo cen esta línea, en el capítulo 2 hacemos un repqso descriptiuo y
somero de la trayectoria de las fracciones en nuestros currículos escolares en
los últimos años, de la que esperamosque cada uno saque suspropias reflexiones.
El hecho de que la idea de fracción esté uinculada a distintas situaciones
nos lleua a intentar describirlas. Es necesario conocer los distintos aspectos
bajo los que puede aparecer la idea de fracción a la hora de plantearnos su
enseñanza.Este es el motiuo por el que en el capítulo 3 damos una descripción
de algunas de ellas. Un objetiuo a largo plazo del proceso de enseñanzadel
número racional lo constituye la integración de todas estas interpretaciones.
La elección de comenzar desde un punto intuitiao el desarrollo de las
nociones que constituirán la red de relaciones integrantes del constructo núme.
ro racional nos lleua a desarrollar detenidamente la relación parte-todo en el
capítulo cuqrto.
A continuación, en el capítulo cinco discutimos la problemáiica que presenta la introducción de las operaciones con fracciones y sus algoritmos.
t4
El aceptar que los niños construyen su conocimiento, combinando la información nueua con sus experiencias preuias, hace que consideremoslos errores
desde una perspectiua distinfa a la contemplada hasta ahora. Algunas estrategias erróneas se oen como feniendo en (germen, los procedimientos correctos.
El conocímiento de los procedimientos que utilizan los niños al resoluer sw
tqreqs permite hacer inferencias sobre el proceso de aprendizaje. En el capítulo
seis se comentan algunas de estas ideas.
Nos gustaría que estaspáginas siruan como marco de discusión en un temn
tqn controvertido como la enseñanzainicial de las fracciones. Si conseguimos
que se tome conciencia de las propias creencias sobre estas ideas, que se
inlercambien, rompiendo el tradicional hermetismo en que se ue enuueho nuestro trabajo docente, y siendo capaces de hacer de ellas un cauce de discusión
con nuestros compañeros, pensamos que nuestro trabajo habrá merecido la
pena.
Para Jinalizar, queremos expresar nuestro agradecimienlo a todos aquellas
personas que, de una forma o de otra, han inJluido en nosotros, desde las
diferentes promociones de alumnos de la Escuela Uniuersitaria de Magisterio
de Seuilla, hasta nuestrq relación con profesores con experiencia, como Margarita Garrudo, José Antonio Riuero, Laura Drake y Rosario Mora. Asimismo
agradecemosa nuestros compañeros Carmen Pereda, Luis Rico y Luis Puig las
sugerenciasy comenlarios realizados q este texto.
SR¡-vnoon LUN¡,nrs
M. Vrcronr¡, SÁNcnnz
15
1.
Creenciassobre
las fracciones
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1.1. LAS FRACCIONES Y EL LEGUAJE
COTIDIANO
Una de las primeras circunstancias que hay que tener en cuenta al
comenzar a tratar un tema matemático es el hecho de que los conceptosque
vamos a desarrollar pueden estar vinculados a un lenguaje cotidiano, utilizado por las personas en general. Este lenguaje o <vocabulario> a vecespuede
estar identihcado más o menos estrechamentecon la noción matemática y a
vecesno. Por tanto, debemosconsiderar que, en la mayoría de las ocasiones,
las palabras que se van a utilizar no están desprovistasde signiflrcadoni para
los niños, ni para los adultos.
De una forma u otra, el alumno está influenciado por el uso que de ellas
se hace en la vida cotidiana. En nuestro caso particular, la palabra fibcción
forma parte de un vocabulario relativamente familiar. Pero, ¿qué significa
fracción?
El diccionario ya separa en su significado dos acepcionesbien diferenciadas. Aclarado su origen (del Latín fractio, romper), por un lado se nos
presenta como <la división de un todo en sus partes) o <las partes de un
todo>. Po otro lado, dentro de los significados propios de la Aritmética,
aparecen acepcionestales como <número quebrado>, <expresión que indica
una división que no puede efectuarse),etc.
Si formulamos la pregunta anterior a personas de escasa formación
matemática, la idea de división de un todo en partes prevalece sobre las
otras, siendo frecuente también asociarla con quebrado, algo que se recuerda
de la infancia unido a cálculos interminables.
Sin embargo, al escuchar las conversacionesde los niños dentro y fuera
de la clase,se aprecia que utilizan espontáneamenteexpresionesen las que
aparecen las fracciones. Frecuentemente,los niños de la escuela elemental
utilizan determinadasfraccionesal expresarseverbalmente.Ahora bien, aunque el niño pueda oír y usar expresionestales como, por ejemplo, medio dia,
eso no significa que piense necesariamenteen la mitad de un día con relación
a un día completo.
Lo mismo sucedecuando habla de una botella de medio litro. Quizá la
única relación que puede establecercon la de un litro es que es más pequeña.
Si el término lo utiliza para pedir <dame la mitad de tu pastel>),seguramente
el énfasis del signihcado lo esté poniendo en que las dos mitades sean
exactamenteiguales.
18
En el caso de las fracciones el uso cotidiano se restringe en realidad a
muy pocas: un medio, un tercio, un cuarto y tres cuartos principalmente; dos
tercios, un quinto, un octavo, mucho menos. El campo de aplicación de cada
uno de ellas se va reduciendo considerablemente,salvo un medio, que tiene
un uso casi universal y aparece auiomáticamente en prácticamente todas las
situaciones cuantifrcables,e incluso como una primera estimación a una
cantidad: media entrada, a mitad del camino, etc.
Por tanto, hemos de tener presenteque, asociada a contextos tan diversos como pueden ser las unidades del Sistema Métrico Decimal (medio kilo,
tres cuartos de litro, etc.), períodos temporales (un cuarto de hora, media
hora, etc.), situacionesde reparto o descuento(la tercera parte de la ganancia, rebajado un veinte por ciento), o bien como parte de la herencia cultural
(una octava en Música, los Tercios de Flandes, en Historia, etc.) (APMA,
1984),los alumnos, para bien o para mal, ya han utilizado o simplemente
oído las palabras de las que ahora, desdeuna vertiente matemática, nosotros
les vamos a hablar.
UN ÍERCIO
00
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I.2. TUS CREENCIAS SOBRE LAS FRACCIONES
En el apartado anterior hemos visto que las palabrasque vamos a
utilizar y los conceptosque vamosa introducir son <conocidos>
por nuestros alumnosde una u otra forma.Nosotrosmismosdamosun significadoa
la nociónde fraccióny hacemosun uso de ella en nuestravida cotidianaque
quizá no tieneun posteriorreflejoen los aspectosde enseñanza.Enocasiones,al tratar estasnocionesen la escuela,las vemosdesdeuna vertiente
estrictamente
matemática,menospreciando
otros aspectos.
Llegadosa estepunto, puedeser convenienteplantearnosa nivel personal si somosconscientes
no sólo del signilicadoque damosa la palabra,sino
tambiéna los temasque vamosa tratar y de cuál es nuestraopinión sobre
ellos.
Muchasveceshemosobservadocómo una mismainformaciónes interpretada de muy distintasmaneraspor personasde ideologíasdiferentes.
Parecelógico, entonces,que en un procesotan complejocomo el que se
desarrollaen una clase las teorías subjetivasdel profesor,sus actitudes,
juegenun papel relevante.
creenciasy expectativas,
Esta influenciadel pensamientodel profesores de estudioreciente(Vrnln ANcuro, L. M., 1986)(MmcELo,C., 1987).Siempresehabíanconsiderado factoresque podríamosdenominarambientales
(esctructuras
ejecutivas
20
y organizadorasdel sistemaescolar,tipos de escuela,nivel de los compañeros, condicionesde trabajo,etc.)(Orrn, 1979)en el estudiodel procesode
enseñanza-aprendizaje.
Hoy día seda tambiénespecialrelievea lo que piensaun profesorsobre
su propia actuacióncomo profesor de Matemáticas,sobrelas Matemáticas
en general (y en nuestro caso, sobre las fracciones),su opinión sobre el
procesode enseñanza-aprendizaje,
etc.,ya que de alguna maneraestasideas
actúan como un filtro a la hora de transformar la información teórica en
y Bnornv, 1986).
recursosprácticos(Bnounann
En el casode un conceptoque organizalos conocimientoscuyo uso e
incidenciaen su medio social es significativo,las ideas del profesor condicionan sus decisiones,
tanto en relaciónal contenido,como a su selección,
planificacióny en la evaluacióndel proceso.
acercade las
¿Noshemosparado a pensarcuálesson nuestrascreencias
fracciones?Quizá, llegadosa este punto, seaconvenienteplantearnosalgunaspreguntassobreellas.Probablemente,
muchosde nosotrosnos las hayamos hecho alguna vez, por ejemplo, al preparar nuestrasclases,pero es
posibletambiénque seala primera vez que nos las formulemos.
En cualquiercaso, te pedimosque piensessobre ellas. O mejor, que
que te vamosa planteara continuaescribastus respuestas
a las cuestiones
ción. Puede ser de utilidad conservarlasy volver sobre ellas cuando la
lectura de estelibro haya concluido.Tanto si se mantienentus opiniones,
como si se produce algún cambio, creemosque te servirápara entender
mejor tus propiasdecisiones.
El hacersurgir nuestraspropias concepciones
como profesoresesde vital
importancia para poder maximizar el resultado de las conexión entre la
Teoría y la Prácticacotidiana.Proporcionarlas razonesque expliquentanto
las decisionestomadasen relacióna la enseñanza,
el aprendizajey el contenido que vamosa trataÍ, como el caminoseguidopara tomar estasdecisiones
y no otras, puede ayudarnos a ser profesionalesreflexivos y no simples
transmisores
de las ideasde otros.
La seriede cuestiones
indicativasque vamosa presentarestádividida en
tres grupos.Las del primer grupo sereferirána las fraccionesy la utilidad o
no de su enseñanzaen la escuela,las del segundoa lo que significaaprender
el concepto de fracción y el lugar que deben ocupar las fraccionesen el
currículum,y las del'ultimo grupo a la valoración que damosal aprendizaje
de las operacionescon fracciones.
1.2.1. SÍ o no a las fraccionesen Ia escuela
Quizá a veceste has planteadoel por qué tienesque enseñarfraccionesa
los niños. O, a lo mejor, piensasque éste no es tu problema,ya que el
2r
contenido de los programasescolaresestá lijado en los planes de estudio.
Pero, ¿tehas parado a considerarqué es lo que se pretendecon su enseñanza? ¿Creesque la raz6n para enseñarlases que son útiles en la vida cotidiana? ¿O quizá su interésresideen que son necesarias
para otros contenidos
escolares?
que
estas
opiniones
el
contenido
vasa explicar?¿De
¿Condicionan
qué forma la metodologíaque empleasen clasepara tratar estoscontenidos
refleja tus ideas?
Otro aspectoque a vecesnos preocupaes lo que debemosenseñarsobre
las fracciones.¿Quées lo básico?¿Hay que añadir algo a lo que vieneen los
libros de texto que usas?¿Por qué?¿O quizá éstos no tienen en cuenta las
características
de tus alumnosy ofrecendemasiadocontenido,de forma que
no sólo no hay que añadir,sino que debesreducirlo?
Por otro lado la apariciónde las calculadorasy su notación decimal
¿creesque afectade algunamaneraa la enseñanzade las fracciones?¿Pueden
llegar a hacerlainnecesarla?
¿O,por el contrario, hacenmás necesarioel que
el énfasissepongaen la comprensiónde los conceptosy no en el tratamiento
algorítmico?
'3'
1.2.2. Acercadel aprendizajedel conceptode fracción
y el lugar que debeocuparen el currlculo
Vamosa plantearnosahoraalgunaspreguntasque puedensurgircuando
vamosa enseñarlas fracciones.¿Piensasque plantean problemasde aprendizaje a los niños?Estos problemas,si creesque existen,¿sonde la misma
índolede los que te encuentras
en otros conceptosmatemáticos?
¿Hastenido
en cuentaque las fraccionespuedentenerinterpretaciones
diferentes?
¿Crees
que su usoescomplicado?
¿Creesque las dificultadesde manejopor partede
los niños obedecena que deberíanenseñarseles
de forma distinta?¿Tehas
planteadoque algunasvecesutilizamoslas fraccionespara representar
situacionesdistintas,como por ejemplo<quedabaun tercio de tartar (descripción
de una situación)o <<dame
un cuarto de tarta> (descripciónde una acción)?
A lo mejor considerasque su <lugar>en el currículo no es apropiado,y
que deberíancambiarsea otros cursos.¿Anterioreso posteriores?
¿Porqué?
Quizápiensasque estoestaráen funciónde los conocimientospreviosque el
niño necesite.
hay que
¿Quénocionescreesque son básicas?¿Quédestrezas
manejar para poder introducir las fracciones?
1.2.3. Sobrelos algoritmosde las operaciones
con fracciones
Vamosa cuestionarnos
ahora aspectosrelacionadoscon las operaciones
con fracciones.
¿Creesque los niños identifrcanla noción de operacióncon
22
fraccionesen las situacionescotidianas?¿Creesque los niños utilizan los
algoritmos relativos a las operacionescon las fraccionesen las situaciones
cotidianas?¿Quérelación existeentre el algoritmo que puedo enseñaren la
escuelay el procesopersonalque un niño utiliza ante una situación similar,
planteadafuera de ella?¿Tehas planteadoalguna vezlarelación entre 1/3 x
ll2 y la situación:<Había media tarta y me he comido una terceraparte>?
¿Piensasque es necesariomantener la enseñanzade los algoritmos de las
operacionescon fraccionesvinculada a situacionesconcretas?¿O creesque
estaenseñanzadebepertenecera un nivel superior,más abstracto(desvinculado de las situacionesconcretasf O, por otra parte, ¿es realmente útil
con fraccionesen la escuela?
enseñarlos algoritmosde las operaciones
¿No
sería más operativo pasar las fraccionesa números decimalesy utilizar la
calculadorapara realizarlos cálculos?
Por otro lado,a lo mejor hasobservadoduranteel procesode aprendizaje que los niños cometenerrores ante problemas de la misma estructura.
Estos errores ¿son comunesa varios niños? ¿O bien, hay algún niño en
particular que repite algún procedimientoerróneo de forma sistemática?¿A
erróqué puedenser debidoestoserroreso el uso de estosprocedimientos
neos?¿Cómoy cuándolos has detectado?Cuando los has detectado¿qué
explicaciónles has dado?Esta explicación,si ha existido,¿hainfluido en el
enfoqueposteriorde las mismascuestiones?
¿Loshas tenido en cuentaa la
hora de continuar el procesode enseñanza?
El modo de respondera las preguntasanterioresdependeen parte de
nuestrascreencias.Es evidenteque el procesamientode información que el
profesor realizaa la hora de tomar sus decisiones,su forma de pensar,sus
opiniones,influyen de forma decisivaa la hora de plantearseel procesode
enseñanzaaprendizaje,y en la puesta en marcha de unas <rutinas> de
comportamientoque marcan su actuación.
De hecho,nuestraspropias creenciashan influido a la hora de plantear
estaspreguntas.Las creenciasafectanno sólo al contenido que seleccionamos para una clase,sino también a lo que hacemosal darla y al evaluarla,y
al tipo de aprendizajeque en ella se produce. Pensamosque, en ciertos
aspectossu influencia es mucho mayor que el conocimiento de técnicas
o planteamientosespecílicos,por acertadosque éstosseanen el plano teórico.
Por tanto, es importante conocernuestraspropias creenciassobre cada
aspectode la enseñanza,pafa que la dinámica de renovacióny mejora del
proceso no se quede anquilosada.Y, una vez conocidas,hay que buscar
oportunidades(reuniones,seminarios,centrosde profesores,etc.)para poder
intercambiarlascon otros compañeros.El confrontar opinionespuede ayudar a justificar y a aclarar pensamientosdistintos y enfoquesdisparespara
los mismostemas.
DISTRi.TAL
IVfRSiDAO
I,!N
cAtDAs
rnniilriiiriostDÉ
23
0q
0
I.3.
OTRAS OPINIONES
SOBRE LAS FRACCIONES
Una vez que has respondido a las preguntas formuladas en el apartado
anterior, con respuestasque serán probablemente diferentesen otros compañeros, nos parece interesante presentar las opiniones de algunos autores
sobre las fracciones, ya que el conocerlas puede ser útil para rcforzar, cambiar, o clarificar nuestras propias opiniones, o ser motivo para la polémica.
Esta revisión no va a ser en ninguna forma exhaustiva, sino que nos
limitaremos a algunas opiniones que nos parecen más relevantesy representativas.
1.3.1. Las fracciones y su permanencia en los primeros niveles
La aparición de los primeros conceptos fraccionarios no es reciente ni
mucho menos en la Historia de las Matemáticas. El conocimiento de su
trayectoria, desde los babilonios y los egipcios hasta nuestros dias, puede
ayudarnos a comprenderlas mejor y ser una fuente de motivación en su
estudio. Sin embargo, una revisión histórica de las fracciones está fuera de
los fines planteados en este libro (una excelente revisión histórica es la
realizada en Nnwu¿.N, J., El mundo de las Matematicas, Ed. Grijalbo).
Reconociendo la importancia objetiva de las fracciones,1o que aquí nos
ocupa es si deben considerarseo no como parte del currículum escolar y a
qué nivel. Las reformas sociales,que han conducido a una mayor escolariza-
24
ción infantil hasta llegar a la obligatoriedad actual, la gran cantidad de
materias a trataÍ, el fracaso escolar, y otros motivos, han llevado a reformas
curriculares en las que se ha cuestionado la necesidadde la enseñanzade los
conceptos relacionados con las fracciones y, sobre todo, de sus algoritmos,
cn los primeros niveles.
Ahora bien, la decisión de si las fraccionesdeben permanecero suprimirse en la escuelaelemental,no puede tomarse aisladamente,sino que depende
directamente de los criterios que guien la elección del currículum para los
primeros niveles.Si estos criterios son puramente prácticos y atienden exclusivamentea las necesidadesde la sociedad,entoncesalgunos autores cuestionan la permanencia de las fracciones.
Ya en 1937WnsoN y Dlrnvure (citados por Frv, 1980)llevaron a cabo
una investigación sobre los usos sociales y comercialesde las fracciones.A
partir de la tabulación de la frecuencia con que se utilizaban las fracciones
por distintas personas en su trabajo, concluyeron que <la necesidad de
manejar con soltura las fracciones en la vida ordinaria se limita a las
mitades, tercios, cuartos, doceavos,...la resta de fraccionesse presenta rarasugirieronque
En consecuencia,
mente...la división no aparececasi nunca...>r.
las
fracciones
en la escuela.
podría reducirse enormemente la enseñanzade
Métrico
Decimal
en los países
paulatina
del
Sistema
Con la implantación
fracciono
de
enseñar
o
polémica
de
la
conveniencia
acerca
anglosajones,la
poca
de
su
El
argumento
primeros
se
ha
agudizado.
niveles
los
nes en
utilidad práctica, y que en el Sistema Métrico Decimal las unidades métricas
requieren fracciones decimales,pero no ordinarias, se cuenta entre los más
frecuentes utilizados por los que dehenden que deben ser suprimidas o
reducidas en gran medida. Sirva como ejemplo el hecho, cada vez más usual
de sustituir un tercio por 0,33 o 0,32 cl en la gran mayoría de latas de cerveza
y refrescos.Algunos llegan a afirmar que permanecenen el currículo escolar
por inercia y no por necesidadreal.
Curiosamente, el argumento de la poca utilización de las fracciones por
parte de niños y adultos, es el hecho en el que se apoyan otros para mantener
su permanencia: si no son comprendidas, ¿cómo van a ser utilizadas?
El periodista, el político, el estadístico,etc. prefteren utilizar expresiones
como <dos de cada tres personas>o <cinco de cada cien> en lugat de 213 o
del 5 oA. ¿Nos será esto quizá debido a que pretenden ser entendidos por
mayor número de personas?Una mejor enseñanzadel concepto de fracción
haría aumentar inmediatamente su utilización en la vida cotidiana.
Pero, como habíamos señalado anteriormente, pueden ser otros criterios,
distintos de las necesidadessociales,los que se sigan a la hora de seleccionar
el contenido matemático. Así, podemos considerar si las fracciones son
básicas para el posterior desarrollo de otros contenidos matemáticos (o de
otras disciplinas), o simplemente, si las debemos considerar como conocimientos de cultura general.
25
Por otro lado, la constatacióndel bajo entendimientoconceptualy la
poca destrezacomputacionalcon fracciones,lleva a cuestionarseel nivel
A esterespecto,FnnuNonNrHAL(1973)llegaa
apropiadopara su enseñanza.
con ellasson invendecir que <dasfraccionescomplicadasy las operaciones
superiou.
a nivel
cionesdel maestroque sólo puedenentenderse
Mención aparte merecela perspectivaque nos presentaVAN HInrn.
Vamos a extendernosalgo más en ella, porque su trabajo aporta críticasy
con ellasque son interesantes
alternativasa las fraccionesy a las operaciones
de considerar.
Una de las razonesque se muestranpara apoyar la permanenciadel
cálculocon fraccionesen la enseñanzaelementalesel uso que de él sehaceal
en forma de
trabajarlas proporciones(igualdadde dos razonesexpresadas
el tratamientode la proporciónva asociado
fracción).Bajo estaperspectiva,
con las dihcultadesque conlleva
al tratamientoalgorítmicode las fracciones,
el que el denominadorno puedaser cero.Puesbien,esteautor sugiereque
mediantela construcciónde lo que él llama una <matriz proporción>se
pueden trabajar las proporcionessin utilizar el cálculo de fracciones.
La matriz proporción se forma a partir de una primera fila de números,
se obtienenmultiplicandola primeih por
excluidoel cero;lás filas sucesivas
distintosnúmeros.
¿qué sucede si el número de personas es mayor o menor que cuatro? Esta
situación podríamos expresarla por medio de la siguiente tabla:
Personas
Bizcochos 6121824
lo que expresado en forma de matriz sería
8
(246
\
..)
18
24
Lz
\6
Si ampliamoslos datos,considerandoel total de los ingredientes
8 ...
Personas
Bizcochos
Yemas de huevo
Leche
Lzicar
612
18 24
36
912
125 250 37s 500
4s 90 135 180
Esta matriz asi formadacumplelas siguientespropiedades:
- cualquier matriz de proporción se transformaen otra si se intercambianfilas por columnas;
- una fila sepuedeobtenera partir de otra multiplicandopor un cierto
número;
- si consideramos
cuatroelementosde forma tal que ocupenlos vértices
a una
de un rectángulo,el producto de los elementospertenecientes
a la otra;
diagonales igual al productode los pertenecientes
-cada matrizproporciónsepuedeampliarcon nuevasfilas o columnas
con la condiciónde que seancombinaciónlineal de las anteriores.
el siguienPara aclararel uso de estasmatricesproporciónconsideremos
pastel,
y
la
receta
nos
que
queremos
elaborar
un
te ejemplo:Supongamos
forma:
de
la
siguiente
dada
viene
Brzcocno A LA CREMA. Ingredientes para cuatro personas:
- 12 bizcochos,
- 6 yemas de huevo,
- 250 cc de leche,
-90 g de azicar;
26
llegamosa
¡ 2
I e
l:
4
t2
6
8 "'1
6
18 24 ...\
s 12
I
\ 125 2s0 37s 500
/
\ + s 9 0 1 3 s 1 8 0 . . .1
Es evidenteque esta matriz se puedeampliar tanto en filas (añadiendo
nuevosingredientes)como en columnas(aumentandoel número de comensales).Tambiénsepuedecomprobarsin difrcultadque cumplelas propiedades antescitadas.
Bastapara docepersonas?
¿Cómoobtendríamosahora los ingredientes
precedentes.
También
las
columnas
de
por
alguna
un
número
multiplicar
ría
podríamos sin difrcultad reconstruir nuestra receta si hubiésemosperdido
a un determinadonúmerode personas,
parte de los datoscorrespondientes
encontrar dos números conocida su razón y su producto (o su razón y su
suma)y, en generalresolvertodos los casosde cálculo de proporciones
aplicandoa nuestramatriz suspropiedades(VlN HInLE,P.' 1986).
No vamosa extendernosen el tratamientode las proporcionesa partir
se sale del tema específicoque
de estasmatrices,porque evidentemente
27
pero de esteplanteamientosurgeuna pregunta,que el
estamosconsiderando,
mismo autor se formula y que a nosotrosnos afectadirectamente:Si las
proporcionesse pueden trabajar-sin necesidadde utilizar las fracciones
(uno de los motivos clásicosque justihcabansu permanenciaen el currículum escolar),¿sepuedeprescindirde éstas?¿Cuálesla aplicaciónprácticade
sus algoritmos?
Si las fraccionesde uso cotidiano son muy reducidasy las decimalesse
presentancon notación decimal,lo que lleva al uso de los algoritmoscon los
decimales,¿esnecesariocalcularcon fracciones?V¡,N Htelc añadeque quizá
debamosencaminarnuestrosesfuerzos
a buscaralgunaforma de simplificar
este cálculo,y propone, apoyándoseen un planteamientoaxiomático,la
sustituciónde alb por a'b-t.
Ahora bien,estosplanteamientos,
seríanválidospara alumnosde segunque hubiesenalcanzadoun nivel cognoscitivoadecuado.Pero,
da enseñanza,
si aceptamosesto en la segundaetapa, lo que se cuestionaentonceses su
permanenciaen la primera.
El mismo autor señalacomo ventajasen su su presión el hecho de
renunciara técnicasaisladasdentro de las Matemáticas,las ventajasde
expresarseen productosen lugar de cocientesy otras como la valoracióndel
conceptode grupo,aportandolas basespara una visión global estructurada
de las Matemáticas,y la preparaciónpara la posterior introducción de
exponentes
negativos.
Entre los mayoresinconvenientes
a esteplanteamiento,
el mismo autor
señalael de rompernuestrapropia costumbre,la resistencia
al cambioy que
realmenteno seha intentado todavía de forma generalizada,
por lo que no se
conocen bien todas las implicacionesque acarreariauna decisión de este
tipo. En cualquiercaso,esta postura merecetenerseen cuenta y no ser
olvidadapara el futuro.
Por otra parte,algunosautores(Jov, R., 1981;Cnnn, J., 1981)dehenden
la permanenciade las fraccionesapoyándoseen que las operacionescomo la
multiplicación y división de decimalessólo podrían entendersecorrectamente si se sabenlas correspondientes
operacionescon fracciones.Otros
consideranque las fraccionesson esenciales
como factoresde comparación,
es decir, númerosutilizados para establecercómo se comparandos cantidades.Las personasque conocieransólo los númerosnaturalesveríanlimitado
su vocabularioa afrrmar,por ejemplo,<hetardadotres vecesmás que tú en
hacerun trabajo> y no seríancapacesde formular la proposicióninversa.
Estascaracterísticas
se aprecianaún más claramenteen la siguientefrase,
<lasnaranjascuestanahora dos vecesy media rhasque hacecinco años>.
Tambiénconvienehaceruna reflexióndesdela perspectiva
de los cuatro
principiosde enseñanza
de las Matemáticasformuladospor DtnNns(DmNns,
2., l97O).La aplicación de su principio de variabilidad matemáticalleva a
que, si queremosmantenerla enseñanzade las fraccionesdecimalesen la
28
introducción del número decimal, para que sean bien entendidas por
nuestrosalumnoses necesarioque tomen concienciade la existenciade otras
fracciones,de las que la decimalesun casoparticular. Esto seríaanálogoa la
necesidadde presentardistintas basesde los sistemasde numeración.
19751.v,99.e-a
Otros autores(!ftF_n¡N_r
tln*fgI,(gtgglg,para
-taqtra,_qcio*ggs
poteriores,v consideranque la comprensiónde los
las relacionesalsebraicas
númerosráóiónIl"s éb'básicapárá el'desarroiloy control"deias iá-easmatemáticas. Al utilizar estos números los niños deben ser conscientesde la
manejaruna operaciónsumacompleja,másaxioiqüivatenciade fracciones,
que
intuitiva,considerarque la relaciónentresumay productono se
mática
presentade forma natural y trabajar la fracción inversa, por lo que los
problemasde tipo algebraicoque se presentanson evidentes.
Por último existenopinionesque consideranque las fraccionesson parte
de nuestrobagajecultural y que no seríalógico restringirlos conocimientos
de las generacionesfuturas respectode las presentes(Cenrn, J., 1981).
Hemos tratado de recogeropinionessobresi debeno no permanecerlas
o las dos cosas)en el currículumelemenfracciones(conceptou operaciones,
tal. Evidentemente,su tratamiento está estrechamentevinculado a las ideas
que se tengan sobre el procesode enseñanzaaprendizaje.
1.3.2. Las fraccionesy las nuevastecnologfas
acompañadode la mayor
de los ordenadores,
El desarrolloespectacular
accesibilidadque se tiene en la actualidada las calculadoraspersonales,está
modilicando profundamentediversosaspectosde la enseñanzade todas las
disciplinasy muy particularmentede las Matemáticas.
los currículosde Matemáticasen los niveleselementaTradicionalmente,
les ponían mucho énfasisen el desarrollode un gran número de procedimientosmecánicosy rutinarios,en particular,de los algoritmosde cálculo de
la Aritmética.
En el presente,con la llegadade las calculadoras,la eficaciay rapidezde
cálculode los alumnos,y en generalde los sereshumanos,ha perdidogran
parte de su valor. Esto debe implicar una disminución en el tiempo que se
de expresionescomplicadas,
dedica a la práctica algoritmica, especialmente
profundizar
en
incluir temashastaahora
en
los
conceptos,
en
empleándolo
y en desarrollardestrezasde un nivel cognitivomás alto,
no considerados
como puedeser el cálculo aproximado,la estimación,etc.
Así pues,el centrode interéssedesplazahaciauna mejorcomprensiónde
siendomenosimportante
los conceptosy del significadode las operaciones,
el desarrollo de destrezaspara grandescálculos.
En el caso concreto de las fracciones,la mayoría de las calculadoras
muestransusresultadosen notacióndecimal,lo que seha traducidoen una
29
reducciónaún mayor del uso de las fraccionesen cálculosprácticos.Este se
limita casi exclusivamentea fraccionessencillas,como rnaáior, cuartos,etc.
En estecontexto,algunosautoresconsideranque en un nivel elementalse
deberíarealizar un menor trabajo numérico con fracciones,insistiendomás
en la comprensiónde su uso y en estableceruna conexión sólida entre las
fraccionespequeñasy su equivalentedecimal (Dónrlnn y McLoNn, l9g6).
Estospuntos de vista no debentomarseen una forma absoluta.Es dificil
p-redecirel papel que en el futuro jugarán las fraccionesy las operacionescon
ellas.Evidentemente,
el profesordebeser conscientedé las pósibilidadesde
toda claseque le ofrecela calculadora,pero también debeprever los efectos
adversosque su uso puedaprovocar. No obstante,la recienieapariciónen el
mercadode calculadoraspersonalesque realizanoperacionesaigebraicasde
un modo simbólicoha hechocambiarlas perspectivas
respectoa las de hace
unos años, dejando abierto un interrogante acercadel papel que con las
nuevastecnologíascorresponderá
jugar a las fracciones.
1.3.3. El procesode enseñanza-aprendizaje
de las fracciones
y de las operacionescon fracciones
t,
Todos somosconscientes
de las dificultadesque presentapara los niños
el aprendizajede las fracciones,sobretodo en los niveleselementales.
Estas
dificultades,que abarcantanto la comprensiónconceptualcomo la destreza
de cálculo,han sido constatadaspor numerososinvestigadores
de distintos
países.Ello ha motivado la realizaci(tnde estudiosque tratan de detectarel
origen de las dificultadespara, a partir de su conocimiento,proponer soluciones,buscandoaproximaciones
alternativaspara la enseñanza
de las fracciones(Suvoau, 1979).
Sin tratar de hacer una descripcióndetalladade cada una de las opiniones,investigaciones,
etc.,nosotrospensamosque esconvenienteseñalaraquí
algunasde ellas.La falta de una visión pluralistaen algunosmanualesque
nosotroshemosestudiadonos han privado muchasvecesde ser conscientes
de que sobreun tema puedehaber variadasopiniones.
SegúnseñalaPrvNn (1976)en las investigaciones
relativasa la enseñanzaaprendizajede las fraccionesrealizadasen la decadade los sesentay setenta
sepuedendistinguirdos períodos:En un primer momento,el énfasisde los trabajossecentraen ((comparary analizarlas ventajase inconvenientes
de los algoritmosde las operacionescon fracciones>.Para ello seestudiabandiferentes
aproximacionesa la enseñanzade dichos algoritmos,que facilitan su comprensión-manejoa travésde diagramas,materialesmanipulativos,etc.
En un segundoperíodoel interésde las investigaciones
se trasladaa qué
es lo que los niños aprendencuandolas secuencias
de enseñanza
son desarrolladasminuciosamente.
30
i¿
it
Por otra parte, M. Gouuno (1964)ya atribuye las dificultadescon las
fraccionesa la falta de experienciacon las mismasseñalandoque la diversidad de puntosde vista es esencialen su estudioa un nivel elemental,ya que
su introducción de una forma única lleva a un conocimientoatrofiado.
Segúnlo anterior,la auténticacomprensióndel conceptode fracciónsólo
puedealcanzarsemediantepresentacionesplurales de dicho concepto.Esta
es una de las razonesque llevan a M. GourARD a defenderlas regletas
Cuisinaire,siguiendolos trabajos de GnrrncNo, como uno de los procedimientos a utilizar para la introducción de las fracciones.
PrecisamenteGtrrncNo puede considerarseun precursoren la idea de
introducir las fraccionesconsiderándolasdesdeel principio como razones
(vinculadastambién a la idea de operador).El material Cuisinaire resulta
adecuadopara estemodo de proceder.El otro método tradiespecialmente
cional de introducir las fraccionesera el presentadopor la relación parte
todo, dividir un <todo>en partesy consideraralgunasde ellas,lo que por
otra parte pareceser la más intuitiva de las interpretacionesde la fracción.
La aproximación a las fraccionescomo operador ha sido desarrolladay
estructuradadentro de su teoríageneralpor DnNns.Estemodo de proceder
y detractores.Así, KEnsN (1975)escribe:
tiene,como todos,sus defensores
<¿A qué conduqecentrarseen la interpretación de los números racionales
Esta noción lleva a la de multiplicaciónde racionales,y
como operadores?
esto conduce a las propiedadesde grupo. No lleva de forma natural a
considerarlos númerosracionalescomo medida,o a las actividadesaditivas
relacionadascon ella, sino que debido a su basede raz6n conducenaturalmentea los axiomasde cuerpo.Así, la contribución primaria de la noción de
operador es algelraicu.
Por otro lado, otros autorescentransu interésmás en la equivalenciade
las fraccionesque en las fraccionespropiamentedichas,para a partir de ahí
formar las clasesde equivalenciaque conducen al número racional. Esta
interpretaciónaún la podemosver en muchosde nuestrosmanualesescolares.
En la actualidad,pareceser una creenciabastantegeneralla necesidadde
con las muchasposibles
proporcionara los niños una adecuadaexperiencia
que
lleguen a comprenderel
interpretacionesde las fraccionessi se quiere
concepto(KmnrN, 1976;SrnenrLAND,1978).En particulares necesarioinde las fraccionesque no han sido
corporarciertosaspectosy características
Enprácticamente
en la bibliografíahastamuy recientemente.
considerados
tre ellos de debenincluir los aspectosque potencianel papelde las fracciones
como cocientede númerosnaturalesen
como razón,como transformación,
etc.
situacionesde reparto,su vinculacióncon los decimales,
Una opinión que creemosdebe ser conocidaes la representadapor
FnsuNonNrulr (1973).Segúnél <los niños puedentrabajar intuitivamente
con fraccionesintuitivas,siendoesta la razon por la que la introducción
3I
intuitiva que tradicionalnrclrlcse lr¡rectlc lits li'itccirlttcsfuncione excelentemente. Niños de cort¿rcda(l ¡rttedctttcttcr óxito ll trabajar con medios,
introducción de los
cuartos,etc. Este éxito llcva al lnlrcstlo¿runir l)t'cnl¿ltura
lt lpitl'cuüt'los problemas>.El caso más
algoritmos y ahí es dondc crn¡"riezittt
extremo 1o constituye la divisiilt, c¡rtcscgirtrcl citaclo autor, dentro de la
Aritmética elemental no es natla intttitivlt, tto cstit motivada y no tiene
significado, incluso cuando sc ctlnsidcran fl'¿tccittltcsmuy sencillas.
La opinión de FnnuNoENrl{AL cs quc tlcntt'o dc esta Aritmética sólo
debe explicarse aquella parte de las fracciorrcs quc sea accesible por los
métodos intuitivos. El estudio de las fraccioncs dcbc continuarse después,
dentro del Algebra.
No hace falta señalar la influencia que adoptar una u otra postura tiene
sobre el enfoque que se dé a las fracciones y a las operaciones con ellas
dentro del currículum. Por señalarun ejemplo, si pensamoscon SrnnsrlaNl
que <la búsqueda de solucionesante situacionesproblemáticas que conllevan
implícitamente la idea de fracción (situaciones de reparto, medida, etc.)
forman parte ineludible del proceso de <dotar> de significado a la idea
matemática>, esto implicaría, desde la perspectiva de aprendizaje, que el
concepto y los algoritmos se desarrollan al mismo tiempo y, desde una
perspectiva de enseñanza,la necesidadde buscar situaciones problemáticas
<reales>en las que el proceso de búsquedade solucionesnos lleve al desarrollo de esa idea matemática (SrnnnnleNl, 1984).Es muy importante entonces,
a la hora de adoptar un criterio u otro, estudiar seriamentelas implicaciones
curriculares que pueda tener.
No debe olvidarse que lo que acabamosde exponer son opiniones de los
distintos expertos en la materia, pero que lo que realmente importa son las
creencias propias, ya que éstas son las que influyen decisivamente en la
enseñanzapráctica. Debemos por tanto reflexionar sobre las distintas posibilidades y eÍperimentar con ellas hasta alcanzar un modelo del que estemos
personalmenteconvencidos.
cREEHos
N0S01R0!
0q
0
I.4. NUESTRAS CREENCIAS
Evidentementenuestrascreenciascon respectoa las fraccionesestán
implícitastanto en la fomulaciónde las preguntasde los apartadosanteriorescomo en el desarrollode los capítulossiguientes.
Queremos,no obstante,
resaltaralgunosaspectosque nos pareceninteresantes.
Pensamosque esmuy importanteque los niños veanlas Matemáticasen el
mundo quelesrodea,y estareanuestraayudarles,por un lado,a apreciarla presenciade los conceptosmatemáticosen general,y de las fraccionesen particular, en lo que ven y en lo que oyen, y por otro, a integrar los procedimientos de razonamiento,resoluciónde problemas,etc. en su actividadcotidiana.
Bajo esta perspectiva,los criteriosguiadospor necesidades
socialesno
nos parecenlos más adecuadospara decidir el sí o no a las fracciones,ya
que,aunquemuchosde los estudiantesno continuaránestudiossuperiores,
no creemoscorrecto establecerdiscriminaciones(a prioril> entre los que
seránfuturos matemáticosy científrcosde los que no. Por ello, no debemos
limitar el currículo a las estrictas necesidadesde la vida diaria, y somos
partidarios de mantenerlas fraccionesen la escuelaelemental.
Ahora bien,mantenerlasfraccionesno quieredecirperpetuarel desconocimiento de su significado,la infrautilización del conceptoy la sobrevaloración de los algoritmos con que en muchas ocasionesnos encontramos.
Debemosdar a los alumnos un conocimientointuitivo profundo de las
fracciones,presentandoal niño contextossignificativostanto para el concepta
JJ
to como para su campo de aplicación,y buscandoconexionesconceptuales
porcentajes,
con decimales,
razones,etc.
Pensamosque hay que mantenerla enseñanza
de los procesosalgorítmicos,intentando que no se vean aisladosde todo lo anterior, presentándolos
como síntesisde procesospersonalesde resoluciónde situacionesproblemáticas y no como <reglas>para ser utilizadas.Este enfoquedebecondicionar
algunosplanteamientosde clase,ya que sedebenprimar los procesosque los
niños utilizan para solucionar las situacionespresentadas,encauzándolos
para que al final del <<camino>>
sepuedanver las reglasdel cálculo algorítmico como la síntesisde los procesosutilizados.Esta posturaimplica el cuestionarseel lugar de los algoritmos de las fraccionesen el currículum.
Por otro lado, debemosserconscientes
de que estamosinmersosen una
evolución tecnológicaconstante,que hace que operacionesque antes sólo
podían ser resueltasa travésde complicadoscálculosseanahora fácilmente
solucionadas.
El ignorarestopor partedel profesorpuededesanimarprofundamentea los alumnos.
Este mismo avancetenológicoque en los últimos años,con la aparición
de las calculadorasy su notación decimal,hizo que muchosse cuestionasen
el futuro de las fraccionesy susalgoritmosen la enseñanzaelementalfrhora,
con la aparición de los ordenadorespersonalesde pequeño tamaño que
operande forma algebraicaha abierto un nuevo interrogante.¿Serviránpara
potenciarlas fraccionesy susalgoritmos?¿Conducirána su progresivadesaparición?¿O quizá ahora más que nunca se necesitaráuna buenacomprensión como pasoprevio a su utilización?Nosotros apostamospor estoúltimo.
Todas estasopinionessobre las fraccionesno son un hecho aislado.
Nuestrascrrenciasvienen condicionadaspor la propia Matemática,por el
conocimientode otras disciplinas,por el entorno social,la tradición escolar,
nuestravisión de las Didácticasde las Matemáticas,etc. y marcanla visión
global que tenemossobre el procesode enseñanzaaprendizaje.
Este proceso nos lo planteamoscomo una actividad en la que intervienen,por una parte, el procesamientode informaciónde los conocimientos
teóricos, la posesión de un conocimiento práctico (experiencias),etc. que
realizael profesor para tomar decisionesy, por otra, el procesamientoque
haceel alumno para transformarla información ofrecida,y reestructurarsus
<capacidades>r,
actitudesy conocimientos.Todo lo anterior desarrolladoen
una situaciónde enseñanzade las Matemáticas.(PÉnezGóunz, 1983).Estos
aspectosestáníntimamenterelacionados,ya que los procesosde aprendizaje
del alumno debencondicionar la actuacióndel profesor.
Por tanto, el admitir que los niños construyenel conocimiento por sí
mismos,la necesidadde valorar el conocimientoque ya poseen,y la interacción socialcomo baseesencialde todo el proceso,nos lleva a una aproximación constructivistade la enseñanzaaprendizajede las Matemáticas(Hnncovrcs,N., y BnncnnoN,J. C., 1984).
34
2.
Las fracciones
en la escuela
00
0
AA
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OA
0
LBCCIONVII.
De los rluebradosclr??.?¿nes
, reduccion
t'
2.I. LAS FRACCIONES Y LAS REFORMAS
CURRICULARES
2.1.1. Las fraccionesen los distintoscurrículasantes
de la instauraciónde la EGB
Antes de pasar a situar las fraccionesen el currículum actual, es conveniente hacer un breve repasode la trayectoria que han seguidoen nuestro
pais a lo largo de las distintasreformas.Como veremos,ello no estareafácil,
ya que las fraccionesaparecendispersasen distintoscursosde variosniveles
educativos.
A comienzosde siglo, el objetivo prioritario que se perseguía'len
los
primerosnivelescon la enseñanzade las Matemáticasera eminentemente
utilitario, en un esfuerzo por relacionar los problemas de la Aritmética
Elemental con los problemas que el adulto podía encontrar en su vida
cotidiana. La Primera Enseñanzase centraba en desarrollar habilidades
rutinariasde cálculo,reservandopara cursosposterioresel desarrollode la
lógica(Fig. 2.1).
En los añoscuarenta.las recomendaciones
sobrela EnseñanzaPrimaria
en nuestropaís(Ley del 17 de julio de 1945)clasificanlos conocimientos
en
tres grupos:instrumentales,
formativos y complementarios.
Dentro de los
primeros,que se consideraban
indispensables,
estabaincluido el cálculo,así
comola lecturay la expresióngráfrcaen susdistintasvertientes.
Los formativos sedefiníancomo la basede la formaciónmoral e intelectual,abarcando
esta última a las Matemáticas.Los conocimientoscomplementarios
eran
aquellosque secreíannecesariopara completarla cultura mínima primaria.
La mismaLey señalabaque,segúnel tipo de escuela,
deberíaprimarseuno u
otro de los distintosgrupos.
Estasnormas genéricasse reflejaronen unos cuestionariospublicados
ocho añosmás tarde (1953).Hemosrecogidoalgunasfrasesque aparecenen
procurandono sacarlasdel contexto
la introducciónde dichoscuestionarios,
en el que estánescritas,con objeto de que cada uno elaboresus propias
conclusiones.
En la primera parte se señalaque <los Cuestionarios(son)respetuosos
con una tradición escolarque ha convertido la <asignatura)en realidad
inesquivable...
La enseñanza
seráconcreta,vida y activa.Partirá del ambien36
á zt?tco??t?.t?r,
denonúnador
, y símTtlif cací0n.,
f;: l$::,3'"Í",'"0,'i.1lin
r ou"rrac-
cio n 6 q u e bra(l o, es aquel n{rmeroque
co n staso lo de parresde l b ur¡i dad, ó óue
e xp r e sar ¡ n aeanti dadnrenorque Ja uni cj ad
e n te r a . Po r ej empl o : una l i 6ra consrade
I6 o n za si e s toes, l 6 por.ci ones
ó uni dades
e n te r a sm e n oresque l a l i bra.
P. ¿ Co n rose l l amr el númer.oone exp .r e :l la s p a rtesque se roman de j a üni dad I
R. Numerador, y e.sel que se pone €Dcim a d e la r ava.
P. ¿ Có m ó se l l ama el número de parte s e n q u e seconsi deradi vi di da l a uni üad?
R. f) e n o nti nador,1' es el que se ¡1o¡e
d e .jod e la r :aya.P or ej émpl o+ i el z es'aqui
e t t) u e te r a dor,
porquenumeracuat)tasparte s.h a yclela ui l i d"d, J el 5 e-iel denorni lld .o .' I: g u e expresaen cuantasparresestá
d iviclid a - lan ¡i i rnauni cl ad,E staf'racci onse
]e e d o s7 u ,¿ :ntos.
de una páginade un libro de AritméticaElementalpublicadoen
l-"^"*.1? ! Reprod,ucción
1828.(Título de la obra: Leccionesde Aritmétit.a.Auror: MARTANo
c¡no. lÁprént" de Don
MarianoCaro,Sevilla,1828.)
)t
te próximo... Claro está que el material de enseñanzaes indispensable;pero
¿quémejor material que el que ofrece la vida misma?...Si se trata de cálculo,
ahí están las adquisicionesque satisfacenlas necesidadesdomésticas,el coste
de los libros y juguetes, los juegos de comprar y de vender que pueden
realizarse en la misma escuela, además de utilizar el cálculo --cosa que se
olvida tantas veces- para menesteres que no sean solamente los de la
ganacia y el despertamiento del espiritu de lucro... La palabta ftá refotzada
por la intuición y por la acción. Un aspecto importantísimo de la acción
como medio didáctico son las manualizaciones. Toda lección, para merecer
tal nombre debe terminar con una serie de actividades o ejercicios,entre los
cuales no debe faltar -a menos que lo vede la índole de las materias- los
de construcóión manuab.
Dentro de las noÍnas didácticas específicas para la enseñanza de las
Matemáticas señala como fundamental <la fundamentación sólida de los
conocimientos como punto de partida indispensable para la ampliación y
adquisición de otros nuevos. Las repeticiones,el ejercicio constante de cada
mecanismo adquirido son indispensablesmedios didácticos...Los problemas
deben ir graduados en progresión crecientede dificultad y agrupados,dentro
'tr
de lo posible en tipos anáiogos, (Fig.2.2).
del
para
la
importancia
resaltar
precisiones
Hemos querido recoger estas
que
<acción>
aquí
palabras.
Es
evidente
las
interpretar
contexto a la hora de
no tiene el mismo significado que ahora le damos, y lo mismo sucede con
de problemasD,etc. Estas orientaciones,que nos pueden parecer
<<graduación
muy lejanas en el tiempo y en la forma, fueron, sin embargo, las que guiaron
los primeros pasos de toda una generación que, en este momento, está entre
nosotros. Conviene que seamos conscientesde ello.
Respectoa las fraccionesen particular, éstasaparecendiseminadasen los
distintos cursos. No se aprecia ninguna indicación específicapara su introducción, sino que parece subyacer la idea de que sea la práctica repetitiva la
que lleve a su comprensión y a un dominio, de carácter rutinario, de las
reglas de cálculo. Y, de hecho, los libros de texto de la época nruestran una
son'
mayor preocupación en el <cómo>>se usan las fraccionesque en el <<qué>
la
aparece
Elemental
Enseñanza
de
Período
En el primer curso del
y
En
el
mitad.
idea
de
doble
prácticos,
a
la
ejercicios
mediante
iniciación,
la
y
se
introduce
mitad
doble
ideas
de
las
de
repasar
después
siguiente,
curso
idea de triplo y tercio, y cuarto y octavo. En el tercer trimestre de este curso
se señala también como contenido una idea general del Sistema Métrico
Decimal. Así pues, éste precedea la introducción del quebrado (utilizan este
término) y su representaciónpor cifras, que junto con ejercicios de hallar la
mitad, el tercio, el cuarto, y el octavo de números dados, se encuentran en los
trimestres segundo y tercero del tercer curso.
En cuarto curso, desglosadometiculosamentecomo todo el cuestionario
por trimestres, se encuentran ejercicios de medida y peso de los cuerpos y
38
Tresconsejosdados por el erninentepedagcgo
españoldon Andrés Manjón para aproyecharen
Aritmética:
Prime'ro
Práctica
Eiercicio
Habíiuacíón
Segundo
Mucha tíza
Mucho lápiz
Mucha tínta
Tercero
La memoria por adames
La pízarra por anobas
Los problemas por quíntales
Frcunn 2.2. Recomendaciones que aparecen en un libro de Aritmética para Primera Enseñanza editado en 1947. (Título de la obra: Mi librito de Cálculo. Autor: Jnsui GoNzArnz. Editorial:
El Mensajero del Corazón de Jesús, apartado 73,Bilbao, 1947.)
representación
de los númerosenteros,quebradoy mixtos resultantes;
iniciación a la simplificacióny equivalenciade quebrados;simplificacióny reducción a común denominadorde quebradoscomunes;suma de quebradosy,
por primera yez, apareeela palabra fracción en el apartado <reducciónde
fraccionesordinarias a decimales>.También se incluye la suma y resta de
quebrados.La multiplicacióny la división se dejan para el período de
Perfeccionamiento.
39
Es de destacar que la idea general de quebrado y su representactón en ctfras focupa un solo trimestre de un curso, y la iniciación a la simplificación y la
equivalencia otro. Las operaciones aparecen en siete trimestres de los 18 que
componen los Períodos Elemental y de Perfeccionamiento. También se observa que los términos quebrado y fracción coexistenen el cuestionario (Fig. 2.3).
En los años cincuenta la UNESCO elabora unas directrices,con carácter
de sugerencia,paÍa la enseñanzade las Matemáticas en los niveles elementales, lo que trasladado al sistema educativo español incluía los primeros
cursos del Bachillerato. Estas directrices no tuvieron demasiado reflejo en los
planes de estudio de Bachillerato aparecidos en el (B.O.E.) de fecha 2l de
enero de 1954.En los Cuestionarios correspondientesal primer curso (equivalente al 5.o curso de la EGB actual) aparecen, dentro del apartado de
Aritmética, <las fraccionesordinarias y sus propiedadeselementales;adición,
sustracción,multiplicación y división de fracciones>.Curiosamente,la reducción a fraccionesirreducibles y la reducción de fraccionesal mínimo común
denominador no aparece hasta el curso siguiente (Fi9.2.4).
Las orientaciones metodológicas que se proponían para desarrollar los
contenidos del primer curso recomendaban omitir todo razonamiento abstrac|o, hacer notar las propiedades numéricas con la repetición de ejercicios,
y realizando el mayor número posible de ellos, a fin de que al finalizar el
curso los alumnos manejasen números naturales, fracciones ordinarias y
números decimalescon soltura, es decir, sin equivocarseen cálculos excesivamente complicados.
En esta misma década comenzó en distintos países,principalmente Francia y EE.UU., la introducción de las Matemáticas Modernas, a las que
sirvieron de vehículo de desarrollo las corrientes estructuralistas.La denominación Matemática Moderna merece algunos comentarios, pues la mayor
parte de los contenidos de los llamados (programas modernos> ya era
conocido por los teóricos en el siglo pasado. De lo que realmente se trató fue
de una aunténtica revolución de la orientación y de los contenidos de los
currículos matemáticos en la escuela.
Es dificil identificar las causas que desencadenaroneste brusco cambio.
Desde un punto de vista formal, podría decirse que se pretendía dotar a los
estudiantesde una formación más versátil, de manera que pudiesen adaptarse más tácilmente al avancecontinuo y vertiginoso que estaba teniendo lugar
en un mundo cada dia más tecnológico y que demandaba una mayor compe-tencia matemática. Parecia como si se aceptase el hecho de que no era
posible enseñara los alumnos unos conocimientos perdurables,en el sentido
de permanentementeútiles. En lugar de ello, había que intentar dotarles de
unas estructuras que les permitieran adaptarse a las variadas situacionesque
pudieran encontrar en el futuro.
También es interesanteseñalar que, justo por estos años, surge en distintos paísesuna gran preocupación por el análisis e innovación de los currícu40
Don Ju¡n dividc cl portcl y lo reparto cotrc todo
LUCCTONr0
QUEURADOS
T
STIS PROI'¡EDADES
lt?, Qr¡rbr¡do o lrltcifd¡,- 153. Té¡miuo¡ dcl qrcbrrdo. - 159. ü.¡om¡c¡d,'r.
P¡or¡t¡¡r.Nur,".rr,r,,r.-lür. Euiltrn dc ro q.r.ü¡¡rjo.-llil.
Lntr3¡ dr r¡ r¡r.t,r.rlrr.-tt¡¡. l¡lsr d¡
tc ?rl¡rt?D I l¡
un qrrcbndo ¡rr rl mirnn. - 16l, Qut rc vcrf,c¡ cu¡ndo dn qlrbrr,l,r
ljiltl|l, drl s¡let
rni¡lr¡ trnrdlrj.-lü.
l.rn qrr'brrrl'r y l:r rrl*.¡:rc¡úndt ¡l¡r,r[¡.-lti
qnr.l'rrrl,s. - l¡¡. D¡vr\lio dt ¡^
rlr ll
dc h Incc¡in dc un ntinem. - lt¿. lloprrl¡.¡$
prugio, hngrr,gru y [li¡t6. - lt4l. Cómo |. ndu¡c un rah].o ¡ qúr5¡¡do. r¡rtbndc:
qurt¡t¡do.
l€, ld. uq 0i¡ro ¡
una o vaI57. Lh¡¡rasc gucbrutlo o fruccióo cl nú¡r¡croque e.\prL-sa
rias partes igualcsdc l¡ unidad.
Divisiún rJcun prutd
lin cl grabatlt' quc cncnlxra
csta ¡r/rgino vúnt(x t¡ut rl.rrr Juan ha tlivitJid¡r
¡-"" I partes vrn
el g:r-<tcl cD 8 p.1rtc! iiualcs. Cada parto 6 en ocluuo: i.
tl
Soo cl pastcl total. C¿da Pcrloue ¡ccibe una p¡.rlc, ¡n o(l¿.
ocho ocluuos:
T.
rt2
uo.'¡.
Los I aiños reciben csol?o oclovos,
El padrc recibe una prrtc.
ün oclavo:
i.
L"" 2 ¡iñas ¡tcibco dos oclauos:
I.
Lo atisoo recibc ru sc6or¡.
¡
El oümcro 8, que escribülos debajo, significa que el pasttl sc ba dividido
en I prrtes. i guel cs.
Los oúnreros 1.2. a, que e..cribinr<x cncim¡. sigorfican lirr p:rrtes que tooÁoos dcl pastcl.
F¡cuu 2.3. Página de un texto escolar de 1954 en la que se aprecia la coexistencia de los
términos quebradó y fracción. (Titulo de la obra: Aritmética de 2.o grado, pág. 93. Editorial Luis
Y iv es, Zar agoza, 1954.)
4l
Ir{INIMO
COMITN
MúLTIPLO
62, DErrNrcróN. - Se uo.mq iltnínta centln ,ntilttpl'o ite dot
o ,t¿tis ,Lúr¿eros, V se ir.dlca por nL c. m. dl menor de los ntúittplos contutres aie dlcllos ruitneros.
Sean los númcros 28,42 y 63.
Mu¡ülpllcando cad¿ uno de el¡os por los de Ia suces¡ón,de
números naturalcs. ob¿€ndremos ires colecctones llhrftrdas de múltlplos, cn las que veremos hay lnnnldad de números como 252, 604,756, I 008, eüc., que .¡r[a vez son múlilplot
del 28, del 42 y del 63. De todos esos mül¡lplos comunes el
menor es 252i lua.¿o
ilt. c. m. ( 28,42 Y 63) :252.
Obtendrenros el ?¿. c. m. haclendo uso de las slguientes
reglas:
63, Rscr.r l.a - Pa,ro, hallar el,n, c. trt. de dos ltúrneros, se
d¡uide ¡l¿ prod(c¿o po¡ s¿r Dl. c, (¿, o, lo (rae ¿.$ rr¿ds
bre¿e, sc
..rultípllcd, r.tro de los tui'l¿eros por el coclentc de
d.i)id,¿r c¿
olro por el ,n, c. d. d,e antbos.
Ejemplo: Hallar el nr. c, ,t., de 56? y 891.
P¡ocederemos asi:
ilt. c. d. (367 V 891) : 91
n ¡. c. ,¿ . (5 6 7 y 89r ) : ( 567 : 8¡ ) X 8gr
? x 891:0 23 ?
Gl. R¡c¿¡ 2,a- para t¿aud,r et,n. c. ,ra, d.e aulos taúnrctos
se d.etermlna. eI d,e dos d,e ellos; después se lrlla el d.el n.
c. n..
obtenido lt otro d.e los núrneros dad.os;
!! ¿sl ¡e cor¿tinri¿ tics_
lc lraúer opercd.o cot¿ ¿odos ¡os ,¿1ú.meros.
Se:r, por ejemplo, hallar e¡ n. c. nr, de 9Z{, I 761 y 7 gl2.
Tendremos I
m. ¿. n. (s24 y I ?64) : t9 4q4.
,n. c. n. (rg 404 9 7 812) : 69¡ 524
lüego
r,
,tr, c. t¡r (921,1 76{ y ? 812) :
601 SZ4
.65. Rsr¿r 3.4-Se pued.e hallar et nr, c, rn. de dos o nr,s
::iameros d.$contponléradolos en. sus
lactores |rfí.||!os U mú¡i_
plicando.tas nd.yores potenclas d¿
!'odos tos'¡actoreí prlÁos
q! e conteng dt¿ a.qt¿ea¿os.
EJemplo: ¡fallar el rt. c. t,t. de los nútncros 924.
¡?64
y 7 812.
9 2 {:2 !.3 .? ,l l ;
1764:2!.9!.,t!.
1 gl2.= 22.3:.?.gl
ñ .c.n t,.(9 2 4 , 1 76.1y?Btz)
2!.32.1!.ll.Jt_
001 S24.
APLICACIONES
AL SSTUDIO
DE LAS FRACCIONES
66.
.
.Recordemos algo de lo dtcho en el curso anter¡or, :rl
b¡aer él esüudlo de ¡as fracctones, con el nn
de amp¡la¡to.
.SitnpltÍicar una !ra.c.c!ón es ¡mllat otra eqult:aiente a ta
Frimero, pero ¡le térmlnos menores.
Ftcun¡ 2.4. Introducción al m.c.d. y m.c.m. como paso previo a la simplificación de fracciones
en 2.o curso de Bachillerato del plan del 54. (Título dt la obra: Márcmáticas 2.o curso de
Bachillerato. Autor: Benigno Ba¡atech. Editorial: Imprenta Heraldo de Aragón, 1954.)
42
los, lo que se traduce en el desarrollo de numerosos proyectos de investigación educativa. Ello favoreció la implantación y extensión de la reforma.
Para poder entender bien el enfoque didáctico de las Matemáticas Modernas es, quizá, importante situarlas en su contexto. Por un lado, y a un
nivel puramente matemático, se habia avanzado mucho en el desarrollo de
cstructuras, así como en la unificación de conceptos. Por otro, se había
<Iesarrolladoenormemente,el conocimiento acerca de los procesosde aprendizaje de los niños. Estos hechos parecen suficientespara entender las razones que llevaron a abandonar una enseñanzade las Matemáticas Elementales basada en un desarrollo <utilitarista>, y S€ pasase a una enseñanza
basada en un desarrollo <estructuralista>.
Estas corrientes no llegaron a España hasta años más tarde. En 1965
(Ley del 8 de julio), aún aparecenunos cuestionariosde Matemáticas para la
Enseñanza Primaria en los que, a modo de introducción, se señala: (La
nueva sistemática de los Cuestionarios de Matemáticas, divididos en ejercicios y adquisiciones,exige en primer lugar actividades de carácter operativo,
ya que el aprendizaje de las Matemáticas debe ser activo. A los conceptos se
llegará únicamente mediante una serie de ejercicios cuya realización conduce
al dominio de las nociones y garantiza el desarrollo de hábitos y destrezas
pertinentes.La enseñanzade las Matemáticas debe ser funcional. Su aprendizaje se vinculará a la solución de los problemas que la vida ordinaria plantea
permanentementeen los niños, y esto de tal forma que ellos vean de algún
valor su aprendizaje...>.Llamamos de nuevo la atención sobre el significado
que se da quí a la palabra activo.
Una comparación de los contenidos de esteplan con los cuestionariosdel
año 1953 muestra que el tratamiento dado a las fracciones no varía sustancialmente. Así, en el 3."' curso aparece <idea general de quebrado> en los
cuestionarios,y (reconocimiento de fraccionesordinarias> en el Plan del 65;
en cuarto curso figuran en ambos la suma y la resta (Fig. 2.5), y en el curso
siguiente el resto de las operaciones y propiedades. La única variación se
aprecia en la reducción de fracciones a común denominador que en el plan
del 65 se retrasa a 4.ocurso. Se mantiene un enfoque preferentementealgorítmico, y quizá el hecho anecdótico más relevante sea la desaparición de la
palabra quebrado.
Es de destacar el tratamiento desigual que se dan a las Matemáticas en
los últimos cursos de la EnseñanzaPrimaria en relación al llamado Bachillerato Elemental. Así, en el caso de las fracciones,mientras que el 3."'curso del
Bachillerato Elemental (Plan del 57) aparecenenglobadas en un tema sobre
<el Número Racional>, en el curso correspondientede la EnseñanzaPrimaria una de las adquisicionesque se señala es la simplificación de fraccionesy
las fracciones irreductibles. En cierto modo, los dos planes parecen corresy
ponder a una dicotomía entre una forma de introducción <más avanzada>>
(Fi5.2.6 y 2.7).
otra más <elementab>
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CURSO?.- (t2-13AñOs)
A oou¡!i r.(
F . ¡u rc tc ¡o s
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Dr'scomposición f¡rctorial de l<¡s númcrt¡s.
Prr¡blt'n¡;rs dc a¡rlic:rciór¡ dc la pruporciorralitl¡¡tl tlc
||r:¡gru I u(lcs.
Rcprcscntación gráfica de' magnitudcs dir('cta c irl'
vcr s¡ nrc¡rlL' propurcionalcs.
lijercicios. dg cunversirin v rc¡luccirirt dc fr¡¡t'cinttr's
or¡lirrarias v dcci¡tt:¡lt's.
EjJreicios sobrc rc'gla de trcs compucsl¡r, inlcrtrs v
tlcsCU(n 10.
A
fijt'rcicios s<¡hrc raíz cu¡clrada dc númcros ('nl('ros,
rjscilnalcs y tr¡ccio¡tarius.
Cr¡nstrucción dc triángulos y polígonos sctttcjltltlcs
üun cnrl)lc(, dul pantógrafo.
Ejcrcicios sobrc simctría axial y central.
Ejcrcicios sr.lbrc traslitción de segmcntos y geoPlanos.
Ejcrcicios sobrc giro y Iraslación dcl rt'ctlngulo, tri'
áñgulo rcctángulo, ciróunfr'r'cncia,circulo, st'¡lticircun'
Ic¡cr¡cia y scrrricirculo.
Prr.¡blcnrassohrc áreas y volúment's de tos cucrpos
dc rcvuluciór¡.
Ejcrcicir.rs sobre igualdad, equivalcncia y scmejanza
dc liguras.
Dcmostración t'xperimental dt:l teorem¡¡ dc Pitágoras.
Problcm¡¡s sobre mczclas y alcacioncs.
Ejcrcicios dc t¡r¡trción litcr¡l dc ma¡¡nitudt's.
Ejcrcicios scncillos ¡Jc mon<¡¡nios y polinomios.
tLcsolución ¡!c ccuaciones dc primcr grado ctrn una
irrcógnit¡r.
Rcprcscntación gráfica de ecuacioncs lineaL's.
Frcunt
l trN Ls
ldc¡t y fundamentos de l¡ rturncr:rciónen basc cu¡rl(lu rcra¡.
- D i v i s i l r i l i r J a d :M . C . D . y M , C . I l .
Fr:rcci¡rnesirreductiblcs.
- Sirnplificación de fracci<¡rrcs.
- Rcgla d(' trcs compuesta.
- Mczr'l¡rsy alcaciones.
- Reg,ladc irrtcrés y descucnto.
- ll:rí¿ culdr¡dr.
- Fi¡1uras gconrdtricas iguales, cc¡uivalentes y setnc.
jan tcs.
- Suucjirnza de triángulos.
- Pro¡xrrcionalid¡d Je segmentos en cl triángul¡¡ rcctiirrgukr: tcorcilr¡¡ de Pitó¡¡orus.
- Arcas dc los cucrpos rctlondr¡s.
- l'r'r¡yccció¡rde puntos. sc8mcntos y planos.
- Nrriúrr de álgebra, mon<¡n¡iuy polinonrio.
- F.cu¡¡ciónlincal.
-
2.6. Programa correspondiente al curso 7.u de Enseñanza Primaria del Plan de 1965 (Cuestionarios Oficiales).
2.1.2. Las fraccionesen la EGB
I\fATE¡UATICAS
LECCTON I
ttti¡ncros negatív.os.-lulagnitudesabsotutas y magnitudes relativas.,,,Lo:
untcros posrt¡vos y númcros ncgativos.-Números raciónalcs.-ReprcscnlaN
cirirr gráfica.-\,alor lbsolrrto dc un nt'rrncro.-fgualdaci
dc númcros r¡ciona.
l,:s.-Dcsigtrlltllrl dc númcros racionalcs.-Ejcrcicios.
LECCTO N2
_ .Qperacíottesco¡t ttútn¿ros racíonal¿s.-Adición: Propiedades.-sustracción.
Polinomio ¡ritmiticc dc términos racionalcs.-ñtultipliiación: propicda<Ii.s.División: Propiccladcs,-Ejercicioi.
LECCTONJ
Operaciones con nú¡neros racíonales (continuacíón).-Potenciación.-pro
pic<Iadcsdc las potcncias.-Racliq¡ción: Propiedacles.-Ejcrcicios.
LECCTON 4
É'r,
E.tpresíones algebraicas.-E.rprcsiones algebraices- Clasificación.-Valor
numirico dc una expresión algebraica.-E.rpiesioncs algebraicas eouivalcntes. fdcntidad. Educaiión.-Monbmios y poliñomios.{ra-do de un mbnomio.
Grado de un polinomio.-Polinomio
hómogéneo.-Ejercicios.
LECCION 5
Operaciones con monomios y polinomios.-Suma de monomios semeiantes.-Suma y difcrcncia de polinomios,-Producto de monomios.-Prodücto
de un polinomio por un monomio.-Producto de polinomios Propicdades.EJerc¡c¡os.
LECCION ó
Divísíón algebraíca--Cociente de dos monomios.{ociente de un polino
mio por un monomio.-Cociente entero de dos polinomios.-Relaciones-en¡re
los elementos de un división entera.-Cociente-e.racto de dos polinomios.Fracción algebraica.-Ejercicios.
LECCION 7
Operacíones con fraccíones algebraícas.-Adición. Sustr¡cción.-Multiplica.
ción.-División.-Propiedades
de las operaciones con fracciones algcbraiias.Elefc¡clos-
FIcune 2.7. Primerasleccionesdel total de 24 que componíanel programade Maternáticasde
3."r curso de Bachilleratodel Plan de 1957.Nótesela diferenciacon el corresoondienteal 7.o
curso de la EnseñanzaPrimaria (Plan del 65) (CuestionariosOficiales).
46
LaLey Generalde Educaciónde 1970((B.O.E.))del 6 de agosto)introde EGB las MatemáticasModernas
duceen los planesde estudioespañoles
del M.E.C. sedan
antescitadas.En los objetivosy directricesmetodológicas
las razonesque,a su juicio, hacennecesariasu introducción.Así, por ejemplo, seseñalaque (una de las funcionesfundamentalesde las Matemáticases
la de ordenarconocimientosy crearestructurasformalesque los resumany
por unas leyesque
expresen.Las estructurasformalesestáncaracterizadas
permiten aplicarles,de modo preciso,unos automatismos,entre ellos el
automatismode la Lógica,que facilitasu utilizaciónen problemasvariados)).
Los programassiguen un orden basado en la propia estructuración
(Fig.
si teneren cuentaotros criteriospedagógicos
lógicade las Matemáticas,
en el 5.onivel de la
2.8).Las fraccionesse introducenexperimentalmente
Primera Etapa pasandodirectamenteen el 6.' nivel a la construccióndel
entreellos.
conjuntode los númerosracionalespositivosy a las operaciones
Es curiososeñalarque no se haceningunareferenciaexplícitaa las fraccionesni a susposiblesinterpretaciones.
IJnos mesesmás tarde (<B.O.E.del2 de julio de 1971)se publicanunas
para la segundaetapa(cursos6.o,7.oy 8.ode la EGB),
nuevasorientaciones
manteniéndose
los de la primera. Estas orientacionesintroducenalgunas
precisionesque merecela pena reseñar.Dentro del Area Matemática, los
objetivos generalesseñalanque (la segundaetapa de Educación General
Básicapretendeir hacia una mayor profundidaden el formalismomatemático. Se hace precisodesarrollaren el alumno la capacidadde elaborarlos
para la resoluciónde los problemas.En cuanto
sistemasformalesnecesarios
a la adquisiciónde los automatismos-supuesto su conocimientoen la
primera etapa- es específicode esta segundala formulación matemáticade
los mecanismosdel cálculo operacionab).
Quizá la mayor innovaciónse manifiestaen el apartadodedicadoa la
Metodología.Así, en el tema que nos interesade los númerosracionalesse
hacerla construccióndel conjuntode los números
dice <parececonveniente
racionalespositivos a partir de la noción de operador, llegando a la de
número racional mediantela clasede operadoresequivalentes.Respectoa la
ordenación,bastaráque el alumno sepadecir,dadosdos númerosracionales
positivos,cuál de los dos es el mayoo) (Fig. 2.9).
los ProgramasRenovadosde
En 1981y 1982aparecensucesivamente
EducaciónPreescolar,Ciclo Inicial, Ciclo Medio y Ciclo Superior.Una clara
discusiónde las característicasde estosprogramaspuedeencontrarseen el
de estamisma colección.
volumen2 (Númerosy Operaciones)
En el Ciclo Inicial seinicia el trabajo con las fraccionesmás sencillas(un
medio, un cuarto) vinculadas a actividadesde medida de magnitudes.El
en cuarto
estudiode las fraccionesy los decimalesseabordaconjuntamente
47
De f i n i c i o ¡ r d c l ra cci o rr
r-32- 10
- T ' -V -,='=
son
La fracción f es et operador compueslo de los operadorcs ntultiplicar
pot a y dividh por b (o bien dividir por b y multiplicer por al'
fracciones.
E l número a es el n umerador de l a frac c i ónf.
E l número b es el denomi nador de l a frac c i ónf,
Llamaremosfracclón a un par ordonado de números enteros, generalmena
te sscr¡to
s l e n d ob d lstln to d o 0 .
T-,
EI
"tt
"*t ". "" ".r. "eso
la lracción:
€-._--3-o
numeradof
-¿eniñiiidór-
\i
-+O
Fr a c c i o n e s e q u i va l e n te s
A pailir de una fracción
por eJemplo 13 , podemos obtener otras fracciones que
z
ffamaremos equlvalentes a la prlmera. dol sigulerite modo:
ft.
Mult¡pl¡cande
o l n u m e ¡ a d o ry e l d e n o m in a d o rd e la f¡ a cci óndada por un ml smo
número entero dist¡nto de 0.
A s f , s o n e q u i v a l e n t e su
E
C al cul al os númerosoue l a¡ten:
f6 fr a cclo n e s:
f,
1 2 _ t5
- 6 3 6 _9
4,
"\¿
=,
=.
o ' ='
12 ._;.-
-i o -.
En algunos casos, se pueden obtener fracciones equivalentes a una dada, de otra
manera.
o
\
3\
?. Dividiendo numcrador y denomlnadorpor el mismo número entero.
Por ejemplo. las sigulentes fracclones son equlvalentesa +
-72
19-1
=.=c,
T'
- 9 - t8
-l¡-, F
El primer método se llama camplificación" de lracciones, y es siempre posible,
ü
L
I
A
12
\
\
\
I
I
D
¿Oué observas?
por a (nu'
P araapl i carta fracc i ón a un númeto N . bas tamul ti pl i c ar N
f
por b
merador)y dividir eí ,esuirsdopor b (denominador).,o bien' dividir N
(denomi náuor¡y m ul ti pl i c arel res ul l ado por a (numerador)'
El segundométodo se llama .slmplificaclón¡ de fracciones, y no es siempre posl.
ble: s ólo en e l c a s o d e q u e n u m e r a d o ry d e n o m in a d o rte n g a n a lg ú n l actor pri mo común.
Frcu¡¡ 2.8. Presentaciónde las fraccionesen un texto de 7.. de EGB. (Título de la obra:
Matematicasorbe,7.oEGB. Autores:A. vne, y J. M. AcusrÍ. Editorial: vicens vives, Barcelo_
na, 1973.\
48
2.9. Introducción de la fracción a partir de la noción de operador en 6.' de EGB'
Frcuu
(Título de la
según las orientaciones metodológicas para la-Segun-daEtapa Publicadas en 197,1
Editorial: Bruño,
oira: Matemáticas 6.0 EGB, pagL tte-ttZ. Autór: Sns¡srrÁN Mlnstrvlcn.
1977.)
49
curso. Se comienza introduciendo las ideas intuitivas de décimas.céntesimas
y milésimas,asociándolas a actividades dirigidas a establecerlas equivalencias entre los múltiplos y los submúltiplos de las unidades de medida de
algunas magnitudes, para a continuación representarlasmediante fracciones
decimales, conectando las notaciones de las fracciones decimales con su
expresión decimal.
Posteriormente se pasa a la interpretación de la fracción como cociente
de dos números, dejando para el curso siguiente (5." de EGB) su interpretación como operador y como aproximación de una medida, así como la
relación entre los distintos conceptos (haciéndosemención de la relación
parte-todo).
Las únicas operacionesque se consideran en el Ciclo Medio son la suma
y la diferencia de fracciones sencillas con el mismo denominador, abordándose en el Ciclo Superior un estudio más general. Nótese el gran cambio
habido con relación a los Programas del 70.
Para cerrar esta somera discusión acercade las fraccionesen los currícula
de Matemáticas en nuestro país queremos hacer algunas observacionesde
carácter general. La primera se refiere al hecho de que en la mayor parte de
los paísesse está produciendo una rectificación de las reformas basaüasen la
Matemática Moderna. Un ejemplo significativo y de particular interés lo
constituye el caso de Francia, que ya en 1977 abandonó estos planteamientos. Estas experienciasde otros países,junto con trabajos como el Informe
Cockroft, elaborado en 1982 por una comisión de expertos de Inglaterra y
Gales, deben ser tenidas en cuenta en un momento en que se están elaborando nuevas alternativas cirriculares.
La segunda es que los programas oficiales son indicaciones a las que el
profesor debe dotar de significado. Y es aquí donde aparecen muy diversas
opciones, y donde cada uno de nosotros pone en juego sus opiniones,
elaborando una seleccióny ordenación de contenidos individualizada en la
doble perspectiva de sí mismo y de sus alumnos.
3.
Las fracciones:
diferentes int erpyetaciones
+3
50
3.1. LA EXISTENCIA DE DIFERENTES
INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES
6
Laidea de fracción, o mejor aún, la palabra <fracción> indicando un par
ordenado de números naturales escritos de la forma alb. es utilizado en
contextos y situacionesque muchas vecespuede parecer que no tengan nada
en común. Por ejemplo:
a)
Para indicar la relación que existe entre la parte sombreada y un
<todo>,
<tresde las cinco partes>,3/5.
Si un litro de cerveza vale sesenta pesetas, ¿cuánto valdrán tres
<quintos>?
c) En un grupo de niños y de niñas hay diez niñas y cinco niños. En un
momento determinado alguien dice: <Hay la mitad de niños que de
niñas> (hay doble niñas que niños). La expresión mitad esta empleada en esta situación para describir una relación entre dos partes de
un conjunto. Se ha realizado una comparación parte-parte y como
resultado de esta comparación se utiliza una fracción para cuantificar
la relación.
b)
Sin embargo si estamos utilizando el mismo (ente matemático> para.".
referirnos a dichas situaciones,es de suponer que tengan algo en común.
Desde una perspectivaescolar nos podríamos plantear la siguiente situación: si identif,icamosuno de los contextos en el que la idea de fracción tiene
sentido (contexto significativo) y desarrollamos el proceso de enseñanza
(concepto, relaciones equivalencia y orden . operaciones-signifrcado y
algoritmos-) con dicha interpretación ¿cabría esperar que los niños fueran
capacesde trasladar esa comprensión y destrezasconseguidasa interpretaciones y contextos diferentes?
52
Parece ser que la capacidad de <trasladar esa comprensión> a situaciones
distintas no es del todo clara; es decir, puede ser que el que el niño tenga
claro el significado de una fracción en una situación, sabiendo realizar su
representacióncon diagramas y de forma numérica, así como reconocer el
significado de las diferentes operaciones en dicho contexto y esto no implique que sepa utilizar la misma <herramienta) en contextos distintos, aunque
también conlleven implícitamente la idea de fracción.
Además los resultados de numerosas investigaciones(BnHn, et al., 1983
KERSrasrn, 1986; LnsH, et al., 1983) relativas al proceso de enseñanzaaprendizaje de las ideas de <fraccióru>han empezado a indicar que para que
cl niño pueda conseguir una comprensión amplia y operativa de todas las
ideas relacionadas con el concepto de fracción se deben plantear las secuencias de enseñanzade tal forma que proporcionen a los niños la adecuada
cxperiencia con la mayoría de sus interpretaciones (KnnrN,1976; DTENES,
t972).
De todas maneras el alcanzar el concepto de fracción con todas sus
relacionesconlleva un proceso de aprendizaje a largo plazo. La variedad de
estructuras cognitivas a las que las diferentesinterpretacionesde las fracciones están conectadascondiciona este proceso de aprendizaje.En otras palabras, al concepto global de fracción no se llega de una vez totalmente. Desde
las primeras experienciasde los niños con <mitades> y <tercios> (relación
parte-todo) vinculadas a la habilidad de manejar el mecanismo de dividir
(repartir), y la habilidad de manejar la inclusión de clases,hasta el trabajo
con las razones y la proporcionalidad de los jóvenes adolescentes,vinculada
a la habilidad de comparar y manejar dos conjuntos de datos al mismo
tiempo, y del desarrollo del esquemade la proporcionalidad, existe un largo
camino que recorrer.
Los profesores debemos tener en cuenta todas estas caracteristicas,es
decir:
-el
las muchas interpretaciones.y
proceso de aprendizaje alargo plazo
cuando pensemosen el desarrollo de secuenciasde enseñanzaque pretendan
cl aprendizaje de nociones relativas a las fracciones.
De la misma forma también existe un largo camino desde el primer,
contacto intuitivo de los niños con las fracciones(relación parte-todo, <<mit"{."
des>,<tercios>...)hasta aftanzar el conocimiento de carácter algebraico asociado a las fracciones.
Con el conocimiento de carácter algebraico nos referimos,por ejemplo, a
la interoretación de la suma de fracciones como
a('
-+bd
ad+bc
bd
53
o que la solución de la ecuación (es decir, el número que en el lugar de la <rx>
satisfacela igualdad)
3 ' x :5
es )r : 5/3, o tambiénx : 1016 : 1519...;es decir, poder ver al conjunto de
las fracciones (números racionales) formando un sistema numérico, cerrado
para ciertas operaciones y con unas propiedades determinadas.
Puede ser que alguna de las dificultades que plantea la enseñanza-aprendizaje de las fracciones,en alguno de sus aspectos,venga determinada
por encontrarnos tan rápidamente con su carácter algebraico en la secuencia
cirricular. Esto es debido a que muchas veces se empieza a trabajar con
reglas de carácter algebraicas,sin tener previamente un transfondo concreto
desarrollado ampliamente, en raz6n de la <atracción> que puede proporcionar el comenzar a frabajar rápidamente con simbolos cuando nos enfrentamos a las fracciones,por la relativa facilidad que pueden proporcionar para
resolver situaciones.
Es decir, hay que considerar (DlcrsoN, 1984) el equilibrio qu& debe
existir entre
La sección siguiente se va a centrar en la identificación y la caracterización de los contextos que hacen significativa la noción de fracción (interpretaciones o subconstructos del megaconcepto).Esta identihcación de las
interpretaciones pricipales del número racional ha sido realizada teniendo en
cuenta los trabajos de T. Kr¡nnN (1976), BnuR, et al. (1983) y DrcrsoN, el c/.
(1e84).
quesevan a describirson:
Las diferentes
interpretaciones
a) La relaciónparte-todoy la medida.
a.l. Representaciones
en contextoscontinuosy discretos.
a.2.. Decimales.
a.3. Rectanumérica.
bl Las fraccionescomo cociente.
b.l. División indicada.
b.2. Como elementode un cuerpocociente.
c) La fracción como razón.
c.l. Probabilidades.
c.2. Porcentajes.
d) La fracción como operador.
-el
-
significado de las fraccionesen contextos concretos prácticos (situaciones problemáticas), y
en situaciones más abstractas-cálculosin contexto karácter alsebraico).
Las destrezas que se pueden conseguir en el manejo de los símbolos
relativos a las fraccionesy a las operacionescon fracciones,no son fáciles de
retener si no hemos sido capacesde crear un esquemaconceptual a partir de
situacionesconcretas.
La comprensión operativa del concepto de fracción (número racional)
debe proporcionar la fundamentación en la que se apoyen las operaciones
algebraicasque se van a desarrollar posteriormente.Un buen trabajo con las
fracciones puede contribuir a que estas operaciones algebraicas no se conviertan en algo sin sentido para los niños.
Llegados a este punto se nos presenta la necesidad de plantear los
procesosde enseñanzaaprendizaje de las fraccionesdesdetodas sus perspectivas, en todas sus interpretacionesposibles,para que un trabajo continuado
con dichas interpretaciones ayude al niño a conseguir una comprensión
conceptual (operativa) de la idea de fracción, sin crear <agujeros conceptuales>.
Una vez determinada esta necesidadse plantea la tarea de identificar las
diferentesinterpretaciones,contextos, en los que aparezca el concepto fracción: la fracción como un megaconcepto.
54
3.2. LA RELACION PARTE-TODO Y MEDIDA
Se presentaesta situacióncuando un <todo> (continuo o discreto)se
divide en partes (congruentesr>
(equivalentescomo cantidad de superficieo
cantidad de <objetos>r).
La fracción indica la relación que existe entre un
númerode partesy el númerototal de partes(quepuedeestarformadopor
varios<todgs¡D.
El todo'^iiibe el nombre de unidad. Esta relaciónparte-tododepende
directamente
de la habilidadde dividir un objetoen parteso trozosiguales.
La fracción aquí es siempre<fracciónde un objeto>.
Sobreestainterpretaciónse basangeneralmente
las secuencias
de enseñanza cuando se introducen las fracciones(normalmenteen su representación continua).Pareceserque tiene una importancia capital para el desarrollo posteriorde la idea global de número racional.El estudiode estarelación
se realizarácon detalle en el capítulo siguiente.
Para una comprensiónoperativade estesubconstructose necesitapreviamenteel desarrollode algunashabilidadescomo:
- tenerinteriorizadala noción de inclusiónde clases(segúnla terminología de Pu,cnr);
- la identificaciónde la unidad (qué <todo> es el que seconsideracomo
unidad en cada casoconcreto):
55
- la de realizardivisiones(el todo se conservaaun cuando
lo dividamos
en trozos, conservaciónde la cantidad),y
-manejar la idea de irea (en er casode las representaciones
continuas).
Si utilizaramos para los diagramasla magnitud longitud, al dividir
segmentoen partes iguales
Las representacionesde esta relación que vamos a describir son las
desarrolladas
en contextoscontinuos,discretosy mediantela utilizaciónde
la rectanumérica.
la fracción indica las partesque setoman en relaciónal número de partesen
que se ha dividido el segmento.
3.2.t. Representaciones
continuas(área) y discretas
un contextocontinuo,en el que ras representaciones
más frecuentes
i-.En
rsuerenser diagramascirculareso rectangulares
(dos dimensiones):
En un contexto discretoge puedg¡epres-entar
"!-
l*
kf--!|+tt-|:*'
a)
@ @@ oo
tt
<De las cinco partes del todo se han sombreadotres>>:
<3 de las 5>; <3/5.>
b) O bien
f aqui el <todo>estáformado por el conjunto global de las cinco bolas,tres de
.{ las cuales son negras.<3/5> indica la relación entre el número de bolas
l,-¡egras y el número total de bolas.
Si por otra parte representamos
el todo por
¡+.
<De las cinco partesdel todo, se han sombreadotres>l;
<3 de las 5>>:
<<3/5.>>
c) Si la unidad la representamospor
@@
@
entoncesen la situación
@@
@
@@
@
..rrtiJ , r,'\{ '
r'\
{fJt
@o
o
<2 1/3representa
la partesombreada>.
entonces,
(-o Er interesanteresaltarque si se utilizan contextosdiscretosse fuerzaa
$ oue et niño amplíesu esquemade la relaciónparte-todoya que en estecaso,
l' cuañdousamosun conjunto de objetosdiscretoscomo unidades,por ejemplo
<t 314es la parte sombreada,siendo1 314laforma mixta
de la fracciónl + 314.>
56
oooo o o o o o o
57
repr€sentarla fracción3/5 (tresquinros)(dividir
el con¡untoen
:1-q-1""t":,
clnco
partes y tomar tres) los subconjuntosque
resultan también están
formadoscada uno de ellospor variosáU¡"to, (en
este
po, áor)
"uro
@@@
@@
3.2.2. Decimales
Una estandarizaciín de la relación parte todo, junto con las características de nuestro sistema de numeración decimal, dan pie a la introducción de
los decimales (fracciones decimales).Por ejemplo, utilizando la representación continua y el modelo rectángulo, considerando la unidad como un
rectángulo y dividiéndolo en diez partes. Cada una de las partes es en
relación al todo (unidad) 1/10, una de las diez (una décima).
en contraposiciónal contextocontinuoen que
las partesestánformadaspor
trozossimples.
I ógicamentela dificultadaumenta
si se toma como unidad
ooooooo
y se piden los 3/5, es decir,situaciones
en las que la fracciónno se puede
aplicar.
En la caracterización
de la relaciónparte-todose habla de <parteslongruentes)lo que no indica necesariamente
partesde la mismaforma. En la
figurasiguientela relaciónentrelas partes
sómbreadas
y el
número'de partes
"''qr'vru
tambiénse puederepresentarpor 3is (tresqffi-;'
Si cada <parte>(décima)la dividimosen otras diez partes,obtenemos<una
de diez de una de diea, 1/10de 1/10(una centésima).
Queremosindicar con esto,que los decimales(la notación decimalde
algunasfracciones)
estánvinculadosa la relaciónmás general<parte-todo>.
Así concebidaglas fraccionescomo decimalesforman una extensiónnatural
de los númerosnaturales.(Para un estudiomás detalladodel casode los
Decimalespodemosconsultarel tomo 5 de estacolección,DECIMALES de
Jurn CnNrnNo).
3.2.3. Las fraccionescomo puntossobrela recta numérica
L.: noción de <partes congruentes>
es de vital importanciapara poder
.
Justrllcar que en la siguiente figura
En estasituaciónseasociala fracciónalb con un punto situadosobrela
rectanuméricaen la que cadasegmentounidadseha dividido en ó partes(o
de las que setoman <o. Tambiénsepuede
en un múltiplo de ó) congruentes
considerarcomo un casoparticularde la relaciónparte-todo.
Se destacaesta interpretaciónya que aquí implícitamentese realizala
asociaciónde un punto a una fracción.
\
1 +3 /5 =1 3 /5
.
ññ¡ñ.,
o+
1
-l
- ' {.- .
.- \.
.
|
.
*
.
.
|
>.
Jlc
no podemosindicar oor 315(tres quintos)
la parte sombreada,al no estar
formadapor partescongruentes.
Esto es debidba que en¿;J;;ls por :7s:
<la figura tienesombreadalos tres quintos
A" ,u ,up"rn;;;.--'^'''
en estecasosepuedepensarque la fracciónno seasociaa una partede una
hgura o aun subconjunto de objetos, si no que se reduce a un número
abstracto;así como el 3/5 es un númeroentreel cero y el uno, el 3/2 es un
númeroentreel uno y el dos.
58
59
Esta representación hace que se pueda pensar en las fracciones como
números parecidosal 1,2,3,4,..., y que se puedencolocar entre ellos.
Aunque esta forma de representarlas fraccionesprovoca algunas dificultades a algunos niños (8-12 años), también presenta algunas ventajas (DlcrsoN, 1984):
-
-
-
Identifrcada una unidad de media (segmento),admite subdivisionescongruentes. El número de <adiciones iterativas> de la parte resultante de la
subdivisión que <cubren> el objeto, indica la medida del objeto (proceso de
contar iterativo del número de unidades -subunidades- que se han utilizado en cubrir el objeto).
<Cuánto mide estacuerda?>
hace que las fracciones impropias (fraccionesmayores que la unidad)
aparezcande forma mucho más natural, así como la notación como
números mixtos;
hace hincapié en el hecho de que el conjunto de las fracciones forma
una extensión del conjunto de los números naturales (las fracciones
rellenan <huecos>entre los naturales):
tiene conexionescon la idea de mediáa (uso de escalas).
,r .tl l l
0
0 1234 5
Si se les pide señalarel 3/5 los niños suelenindicar el punto donde estáel
tres, sin embargo esta dificultad no se presentasi se les proporcionala
representación
siguiente:
r ltl tl
1-
También se plantean problemas cuando el segmentounidad está dividido en
un múltiplo del denominador. Por ejemplo:
u1
<Señalael 315.>
La rccta numérica sirve también como una buena representaciónde la
interpretación de las fracciones como medida.
60
2
3
4
5
.6
7
3 +l l 2 : 3 1 1 2 : 3 + 0 , 5 : 3 , 5
Pero, como decíamos,su utilización puede presentar algunos problemas.
Los resultados de algunas investigacionessugieren que la interpretación de
las fracciones mediante la recta numérica es especialmentedificil para los
niños (Novlrus,1977).
uno de los problemas que se pueden plantear es la identificacién del
segmentounidad cuando la recta numérica se ha extendido más allá del uno:
o
1
It¡
Así, desde esta perspectiva más general, en un contexto de medida, este
modelo viene caracterizado por la elección de una unidad arbitraria y sus
subdivisiones (la unidad debe ser invariante bajo las divisiones) (KIennN,
1980), significando la tarea de medir, la asignación de un número a una
<región> (en el sentido general).
Al considerar las fracciones (número racional) en la interpretación de
medida, se proporciona el contexto natural para la (suma)) (unión de dos
medidas), y para la introducción de los decimales (notación decimal) (KlnneN, 1980).
Además, el manejo de la representaciónde las fracciones a través de la
recta numérica debe ayudar al niño a (conceptualizar>>las relaciones partetodo en un contexto y reconocer contextos equivalentes que proceden de
nuevas divisiones de la unidad. Es decir, el rhanejo con la recta numérica
(contextos de media) puede ser una buena introducción a la noción de
equivalencia: la misma parte de la unidad recibe nombres diferentes en
función del número de divisiones.
Un adecuado recurso didáctico para desarrollar estas ideas que relacionan las fraccionesy la noción de medida lo puede constituir los Números en
Color.
Este material está formado por regletasde madera de diferentescolores y
diferentes longitudes,
Blanca(b)
Roja (r)
Verde clara (v)
Rosa
Amarilla (a)
Verde oscura(V)
Negra (n)
Marrón (m)
Azul (A)
Naranja (N)
61
con estas regletas' la pregunta <¿qué es la regleta roja de la blanca?>
tiene
una traducción en términos de medida que indica <qué mide la regleta
roja
tomando la blanca como unidad>.
Para contestar a esta cuestión, hacemos un <(trenDde regletasblancas
de
la misma longitud que la regleta roja dada, tar y como indica la figura
¡,-I. LAS FRACCIONES COMO COCIENTE
lin estainterpretaciónse asociala fraccióna la operaciónde dividir un
númcronatural por otro (divisiónindicadaa: b : alb).Dividir una cantidu{ cn un númerode partesdadas.T. E. KmnnN(1980)señalala diferencia
tlc csta interpretacióncon la anterior indicandoque, para el niño que está
n¡rrcndiendoa trabajar con las fracciones,el dividir una unidad en cinco
pirrtcsy cogertres (3/5) resultabastantediferentedel hechode dividir tres
entre cinco personas,aunqueel resultadoseael mismo.
uni<Jades
En esta interpretaciónse consideraque las fraccionestienen un doble
Ispocto:
<La roja es dos vecesla blanca.>
Si la preguntafuera <¿quées la blancade la roja?>(¿quémide la regleta
blancacuandotomamosla roja como unidad?),entoncásla <blancaes una
de las dos que cubre a la roju. Entoncesla relación entre la blanca v la
roja es de ll2.
la
a) Ver a la fracción3/5 como una divisiónindicada,estableciéndose
y
reparto,
y
acción
de
en
una
0,6
equivalenciaentre315
b) Considerarlas fracciones(númerosracionales)como los elementos
de una estructuraalgebraica;es decir, como los elementosde un
conjunto numéricoen el que se ha definidouna relaciónde equiva-sulencia,y en el conjunto concienteresultanteunas operaciones
de tal forma
ma y multiplicación- que cumplenciertaspropiedades
que dotan a dicho conjunto de una estructuraalgebraicade cuerpo
conmutativo.
b:1.l2xr
En estecasose dice que la regletablancaes un medio de ra roja. ".,
Esta situación se puede generalizar.si consideramoscomo unidad la
regleta amarilla y preguntamos:<¿quémide la verde clara?), entoncesse
puedevolver a la regletablancay se tiene,
(números
Debido a que bajo estaintepretaciónseconcibea las fracciones
las reladonde
a un sistemaalgebraicoabstracto
racionales)pertenecientes
debe
interpretación
cionesentre los elementosson de índoledeductiva,esta
a
enseñanza
de
secuencia
y
posterior
en
la
tenerun carácterglobalizador ser
las demásinterpretaciones.
siguientesvamosa intentar desarrollarambosaspectos
En las secciones
de estainterpretación.
<Cinco vecesla blanca es una amarilla.>
la regletablancaes una de las cinco que cubrena la amarilla;así,utilizando
la misma notaciónanterior
b:ll5xa
Luego la verdeclara que estáformadapor tres blancas,será
u:3xb:3l5xa
es decir,la verdeclara es los tres quintos de la amarilla.
En general,podemosindicar que la relaciónparte todo (tanto en su
representación
continuacomodiscreta),constituyeel fundamentode la interpretaciónde las fraccionescomo medida.
(Para un estudiomás detalladodel problemade la medida recurrir
al
tomo 17 de estamismacolecciónEl problemade ta medida,de chamorro v
Belmonte.)
pt
3.3.1. División indicada(reparto)
La intepretaciónde la fracciónindicandouna división de dos números
naturales(315: 3 : 5) apareceen un contextode reparto:
,n
<Tenemos tres barras de chocolate y hay que repartirlas de forma equitativa
entre cinco niños, ¿cuánto le tocará a cada uno?>
1 /5
1 /5
I
tJ/C
62
63
según los trabajos de la profesora Hnnr (r9g0) sólo la tercera parte de los
niños de doce y trece años eran capacesde darse cuenta que dbs números
naturales se pueden dividir uno por otro pudiéndose
el resultado
""p.óra,
exacto mediante una fracción.
La resistenciade los niños a ver 3 : 5 como 3/5 puede ser debido a que
muchos de ellos se encuentran familiarizados con la interpretación parietodo para las fracciones y por tanto ven los 3/5 como la deicripción di una
situación (de cinco partes hay tres sombreadas),mientrar qu. pó. orra parre,
la división indica un proceso, precisamenteel proceso de iepártir 3 paiteles
entre cinco niños.
No hay que olvidar tampoco que muchos niños (incluso en el ciclo Superior), debido al manejo de los números naturales,dicen que la división 3 : 5
no se puede realizar cuando se les presenta de forma aritmética.
Sin embargo, a pesar de esto, existen opiniones (SrnnnrrnNo, 19g4)que
centran el desarrollo de las secuenciasde enseñanzade las fraccionesalrededor de esta interpretación, indicando que la dificultad que presenta la enseñanza de las fraccionesen la escuela,consisteen que se tiende rápidamente a
centrarse en un tratamiento formal y algorítmico de estas ideas.
La alternativa consistiría en buscar situacionesde la vida real, diaiia de
reparto y de medida que conllevarán el trabajo con las fracciones y, apoyados en el conocimiento informal que sobre éstas llevan los niños cuando
entran en la escuela,potenciar a través de estassituacionesla <construcción>
del concepto, las operaciones y las relaciones en las fracciones por los
propios niños.
L. Srnnnrr¡,No al destacar esta interpretación (situaciones de repartomedida en las que están implicadas las fracciones)marca la diferencia con
otras aproximaciones indicando que ante la situación
<<Enun restaurante,
hay que repartir tres pizzasentre cinco niños ¿cuánto
correspondea cada uno?>
el resultado 315 aparecea partir de un proceso de diferenciar, dividir, abreviar, representar,simbolizar,...indicando mucho más que la simple representación del diagrama.
De forma esquemática los principios de enseñanza de las fracciones
clefendidospor este autor con esta aproximación son (L. SrnnnnrlNo, 1984):
o Lo que es importante es la <construcción> de las operaciones con las
fracciones por los propios niños;
-
construcción basada en la propia actividad de los niños: estimación,
desarrollo de cierto sentido del orden y tamaño...;
- la valoración del trabajo de los niños, sus métodos y procedimientos, aunque difieran de las aproximaciones formales;
- el énfasis se traslada a la verbalización de los niños, verbalización
del conocimiento adquirido, ser capaz de formular una regla, comprender el poder de las generalizaciones...;
- Se utiliza el conocimiento informal de los niños como bases para
empezar la ecuencia de enseñanza(ideas relativas a mitades, tercios,...los procesos básicos de dividir, repartir,...).
. Desarrollo de situaciones de comprar y ordenar en las que los niños
construyan procedimientos de solución mediante procesos de dividir,
ordenar, medir, componer,...
. Utilización de modelos de apoyo (regioneso segmentos,recta numérica, Ldblasde razones,...)y situaciones problemáticas (situacionesde la
vida diaria) que sirvan de <puente> (conexión) entre las situaciones
problemáticas en diferentes contextos y el trabajo numérico.
Bajo esta perspectiva el significado de fracción y las operaciones están
conectados de tal forma que se desarrollan al mismo tiempo.
Defiende la idea de que son los niños que tienen que <construir> y no los
profesores.
Sin embargo al desarrollo de las secuenciasde enseñanzacon 1a interpretación de la idea de cociente (reparto) se le puede plantear algunas
mqizaciones según se utilicen en contextos discretos o continuos (área,
lo/[í ud) (Brun er a/.. 1983).
I-lado un contexto discreto:
<Repartirveintecartasentrecinco buzones.>
o un contexto continuo:
<Tenemosuna cinta de 22 cm. Hay que repartirlaentre4 niños ¿cuántole
toca a cada uno?>
Además,la secuenciaque se deriva de plantear ra situación anterior, se
apoyaen los procesosde verbalizaciónque realizanlos niños de los pasos
realizados.
64
los niños realizan considerablementemejor las tareas de reparto en contextos discretos que en contextos continuos. Se ha señalado la explicación de
que en el caso continuo los niños necesitan un (esquema anticipatorio bicn
65
desarrollado), es decir, un <plan de acción> previo a ra rearizacrón
de la
tarea,
rearizarmediante
_mientrasque en el caso discreto ra tarea se puede
^Bnun
procedimientos
directos.Entoncescomo señalaM.
et al. (r9g3):
Debidoa quelas estrategias
empleadas
por los niñosparalas tareascon
cantidades discretas son tan diferentes a las empleadas en taieas con cantidades
continuas, se puede asumir que la estructura cognitiva implicada en resolver
una
u otra tarea son diferentes.
Para frnalizar, podemos considerar que, en esta interpretación de las
fraccionescomo cociente y en las situacionesde división-reparto en las que
una cantidad se divide en un número de partes dadas, se pueden distinguir
dos aspectos:
a)
Cuando nos proporcionan la cantidad y el número de partes en las
que hay que dividirlo y nos piden lo que vale cada parte (reparto).
<Trespizzasentrecinco niños.>
An_telos dos ejemplosanteriores,en el contexto discreto,er procesode
solución se puede realizar simplementeempezandoa repartir las cartas
(procesodirecto).El resultadode cuatro curias por buzón puedeser
visto
por los 415del estadounidad descritopor las veintecartasáel principio.
En el contextocontinuo no existeeseprocesotan directo.un prócedimiento de estimacióno de tanteo,o una operaciónaritméticapuéde' se.
necesariospara acercaÍnosa la solución.
Sin embargola necesidadde un <plan de actuación>previo pa* realizar
la tarea,que aumentala dificultad de realizaciónpo. pu.i" del niño, no sólo
está vinculadaal contextocontinuo o discretoáe lá tarea a reali4grsino
también al tipo de tarea de que se trate. como veremosen el pióximo
capitulo,cuandola tareano es de <división-reparto>
sino de ordenaciónde
fracciones,pareceser, segúnseñalael profesoiT. R. posr (19g5)que es el
contexto discreto el que pareceexigir la existenciade un <esquemaanticipatorio (plan) para realizarcon éxito la tarea.
Atendiendoa esto,no se puede generarizarla dificultad que presentaun
tipo de contexto(discretoo continuo)frentea otro sin vincularlode antemano a un tipo de tarea.
De todasmaneras,en estainterpretaciónde <división-reparto),
la principal habilidad que sereflejaesla de dividir un objeto u objet^os
en un número
de partesiguales.
Retomandoel ejemplodel principio de estasección:
<Repartir
tresbarrasde chocolate
entrecinconiñosde formaequitatiuu".ff
¡
los procesosde solución(división-reparto)
y las simbolizaciones
representa_
cionesde estosprocesosque se puedenaiometer aquí se convierten
en el
trabajo previo (preactividades)
a la resoluciónde ecuaciones.
En esrecaso
5'x:3
siendo<x> la cantidadde barra de chocolateque le corresponderia
a cada
niño. Es decir, este tipo de actividadesr" prr"-d"nconvertir en los pilares
sobrelos que se fundamentenel trabajo con los númerosracionales
como
precursordel álgebra.
66
b)
Cuando nos proporcionan la cantidad y lo que vale cada parte y nos
piden el número de partes (medida).
<Tenemostres pizzasy a cadaniño le ha correspondidolos 3/5 de una pizza.
¿A cuántosniños hemospodido dar pizza?>>
3.3.2. Las fraccionescomo elementosde una estructura algebraica
Como hemos indicado, las actividades en situacionesde reparto-medida
constituyen el sustrato sobre el que se construye la interpretación de las
fraccionescomo elementosde un cuerpo conmutativo (estructura algebraica).
Se conciben las fracciones(números racionales)como elementosde la forma
a/á, siendo a y b naturales(para Q +) (b * 0) que representanla solución de
la ecuación
b'x:
a
(Para un desarrollo detallado de las relaciones,y propiedades que se dan en
el conjunto Q, se puede recurrir a cualquier libro de Algebra Elemental).
De forma clara <esta interpretación de las fracciones (números racionales) como elementos de un cuerpo (estructura algebraica) no está estrechamente vinculada al pensamiento natural del niño al dearrollarse de forma
deductiva las operacionesy propiedades>(Kmnrr.r, 1975).
3.4. La fracción como razón
En las secciones anteriores se han caracterizado las fracciones en situaciones de comparación parte-todo, pero algunas veces las fracciones son
usadascomo un <índicecomparativo) entre dos cantidadesde una magnitud
(comparación de situaciones).Así nos encontramos con el uso de las fracciones como razones. En este caso no existe de forma natural una unidad (un
<todo>) como podía ocurrir en los otros.casos (podíamos entender esto
como que la comparación puede ser bidireccional).
67
fr,
, En esta situación,la idea de par ordenadode númerosnaturalestoma
no.-uünente la relaciónparte-parte(o la relación
nuevafuerza.En este
"uro
todo-todo)se describecon a: b.
clarificar
Algunosejemplosen diferentescontextospuedenayudarnosa
fracciones:
las
de
estainterpretación(subconstructo)
,4 es los 315de B: (3 : 5).
B eslos 513de A: (5 :3).
a)
las
e) Las recetasde comidas,las mezclasde líquidos'
La relaciónentrelos puntosde A y de B es de 3/5>:(3 : 5)'
La relaciónentrelos puntosde B y de '4 es de 5/3):(5 : 3)'
b)
aleaciones'"'
una
Las comparacionesrealizadasen los ejemplosanteriore-sdescriben
como
relación <conjunto a conjunto> (todo-todo), aunque las fracciones
(parte-parteD'
razonestambién aparecencuando se describencompraciones
E¡slupro l:
ooo
ooooo
quintos (3/5)'
la relación (razon)entre bolas negrasy blancases de tres
quintos(3/5)'
E¡Buplo 2. La relación de niños y niñas en estegrupo es de tres
quintos(3/5)'
E¡nuplo 3. La razl¡entre los círculosy los cuadradoses de tres
(3 : 5).
La altura del muñeco A es 315de la de B; (3 : 5)'
La altura del muñeco B es 513de la del A: (5 : 3)'
c)
d\
ooo
Las escalasen los dibujos de mapas, planos,
lt¡
T NNNT
a
Algunosautoresutilizancontextoscotidianospara dotar_designihcado
del
<situación
la idea de razón. El particular, L. StnnnnteNo (19-84)utiliza la
modelo de
un
como
contexto
(dotar
de
restaurante) para contextualizar
se interpretan
comprensión)la proporcionalidad (igual de razones)cuando
razones.
las fraccionescomo
<<Enunrestaurantedondeexistenmesasdediferentestamañ
por
se colocancantidadesdiferentesde 60cadillos10sniños se distribuyen
mesas.))
69
68
24 = númerode bocadillos
32 niños
Se pretende que los niños a través del trabajo en esta situación se den cuenta
de la equivalencia de situaciones(en relación al número de bocadillos que le
corresponde a cada niño), además de iniciar una esquematizaciín progresiva
de esta relación.
Evidentemente podemos mantener la estructura de estas situaciones variando el contexto. Se puede aplicar a la relación entre cantidades de puntos
conseguidospor un equipo de niños y el número de niños de cada equipo. Se
determina la relación niños : puntos.
Realmente la operación que estamos realizando (establecer una relación)
se puede representar mediante una aplicación que asocie cada grupo de tres
bocadillos con un grupo de cuatro niños, según indica DENES ( 19'72).
Otro contexto <natural> para esta interpretación de las fracciones como
r¿Lzones
lo podemos encontrar en la relación entre cantidades de una magnitud
(o de magnitudes diferentes) (contextos particulares, mezclas, aleaciones...).
Si denominamos por M1 y M2 a las magnitudes y poÍ ai a las cantidades
de Ml y b, a las cantidades de M2
M1 IM2
a1
lo,
a2
lo,
la relación entre las cantidadesde Ml y M2(a,;./ \ puede no tener dimensión (cuando Ml y M2 son la misma magnitud) /-r'y;ede tener dimensión, lo
que ocasiona qve apaÍezca otra magnitud. Un ejemplo 1o tenemos al comparar longitudes, como en el caso de la altura de los muñedos, ejemplo á)
anterior, en donde la relación que aparece es sin dimensión, y otro caso
aparececuando compramos longitudes (metros) con tiempo (segundos)para
hablar de velocidades(metros/segundos).
Este camino conduce a situaciones en las que se tienen que comparar
razones.
<<UncocheA recorreun trayecto de 3 km en 5 minutos. Un coche.Brecorre
un trayecto de 4 km en 6 minutos. ¿Quécochelleva una velocidad.mayor?>
<Un niño compra 3 caramelospor 5 pesetas.Otro niño compra 4 caramelos
por 6 pesetas¿quiénha compradolos caramelosmás baratos?>
70
o n buscarvaloresadicionalesa las razonesque sepuedenconstruir (problenlusde regla de tres),
<Un cocheA recorreun trayectode 3 km en 5 minutos.¿Cuántotardaráen
recorrerun trayectode 4 km?>
por 5 pesetas.
<Un niñocompra3 caramelos
¿Cuántopagatápor 4 caramelos?>
r¡ucconstituyenun marco natural para las proporciones(igualdadde razode fracciones)con estainterpretación.
rres-equivalencia
(Paraun estudiomásdetalladode las razonesy las proporciones,
recurrir
nl tomo 20 de estacolecciónPROPORCIONALIDAD de M. LuIsn Flor y
.1,M. FonruNv).
Otras interpretacionesde las fraccionescomo raz6n aparecenasociadasa
()lroscontextoscomo son la representación
de la probabilidady los porcenlrrJcs.
Mostramosa continuaciónalgunosejemplosde estosaspectos.
.1.4.1.La probabilidad
De todosesconocidala dificultadque presentael estudiode las probabide cualquierotro tópico de la
desconectada
lidadesen los nivelessuperiores,
primaria. La utllizaciín de las fraccionesen estecontexto sele da
enseñanza
un carácterde cálculo (aritmético)sin pensarque la estructuracognitiva
rubyacentea las relacionesimplícitas en contextosde probabilidadestá
para los númerosracionales.
vinculadaa la red de relacionesestablecida
Podemosconsideraralgunosejemplosde su utilización,en los que se
una (comparación>todo-todo entre el conjunto de casosfavoracstablece
blesy el conjunto de casosposibles,como en
<En una bolsa hay tres bolas negrasy dos blancas.Sacamosaleatoriamente
una bola. ¿Cuáles la probabilidadde que seanegra?
<Al lanzarun dado cuál es la probabilidadde obtenerun seis.>
3,4.2. Porcentajes
La relación de proporcionalidad que se estableceentre un número y 100
(ó 1000) recibe el nombre particular de porcentaje. Por regla general los
porcentajestienen asignado un apecto de <operador>,es decir, al interpretar
<cl 60 oA de 35¡>se concibe <actuando la fracción 60/100 sobre 35> (hacer
100 partes de 35 y coger 60). (La interpretación de las fracciones como
operador será descrita en la sección siguiente.)
7l
utilizando el lenguajede aplicaciones,
los porcentajes
sepuedenentender
como el establecimiento
de <relaciones>
entri conjuntos(ázones),estableciéndosesubconjuntosde cien partes.por ejemplo-cuando
se estatlecenlas
rebajasdel 15 o%,estamosestableciendo
uná reiación<de 15 es a r00> que
para una cantidadde 300 pesetasvendríarepresentado
por
De nuevohay que insistiren que el operadorllevaimplícitoun
,
convenio:
primeroactúala divisióny luegola multiplicación,identificándose
asi con la
interpretaciónparte-todo.También se puedeinvertir el convenioy
actuar
siemprela multiplicaciónen primer lugar y luego la división.
Hay que observarque,bajo estainterpretación,las fraccionesse utilizan
en un doble aspecto:
a) describiendouna orden, una acción a realizar(operador),y
b) describiendo
un estadode cosas,esdecir,describiendo
una situación.
entoncesexistela <<misma
reración>(definiendola <relación>r
en el sentidode
la aplicaciónbiunivocaentresubconjuntos)
entre<r5 esa 100>como en <45
es a 300>.
De todas formas la diferenciaentre estasdos interpretaciones
de las
fraccionescomo razones(probabilidady porcentajes)
y la relaciónpartetod.odescritaen la primerasecciónde esie^capítuto
pueae,.rultu. bastante
sutil.
3.5. LAS FRACCIONES Y LOS OPERADORES
Bajo estainterpretaciónlas fraccionesson vistas
en el papelde transformaciones:<algo que actúa sobre una situación(estado)
y lá ."ám.a>. Se
concibeaquí la fraccióncomo una sucesiónae muttipncáá"*,
v ái"isiones,
o a la inversa.
Por ejemplosi en un_context{¡{screto
tomamoscomo una situaciónde
partida(estado-unidad)
er conjundJdrrma¿opor los 36 niñosde una clase,
el
efectode la aplicacióndel operador 213(d,ostercios)
se puede,.pr.r"nru,
Pof'
Esuoo-uNrolo
(srruncróN)
36 niños
Op¡nlnon
(Dividir por 3,
multiplicarpor 2)
Esrroo nlNtl-
24 niños
al estado final <<24niños> también recibe el nombre
de estado <dos tercios>
como la descripción de un estado de cosas.
En un contexto continuo,_por ejemplo cuando
actúa la fraccion 213
consideradacomo operador sobie un segmentode
longitud dada, se obtiene
otro segmento de longitud 213 del original.
En el ejemploanterior utilizandoel contextodiscretose mostrabanlos
dos aspectosde Ia utilizaciónde las fraccionesbajo estainterpretación.
De forma esquemática,
si representamos
el estadounidaá por uno, el
resultadode aplicarleel operador<dos tercios) nos proporcioni el estado
frnal213.
Esr¡,oo
I
Oppnloon
Esupo
x (213)
Estedoble aspectode las fraccionesen estainterpretaciónpredetermina
un poco el estudioque sepuedarealizar.En estecaso,por ejemplo,podemos
establecer
de dos formasla equivalenciade fracciones:
i) Equivalenciade operadores.
operadoresfraccionariosdiferentes,
que
al actuar sobreel mismo estado-inicialdan el mismo estadofinal
Esr¡oo
12
t2
t2
Open¡pon
x (2/3)
x @16)
x (81t2)
Esrlno
8
8
8
ii) Equivalenciade estados.un mismo operadorque al actuar sobre
estadosunidad diferentesproducela misma tranformación(comparandoel
estadoinicial y final en el sentidodescritoen la secciónanteriár sobre la
<<raz6n>>),
lo que nos introducede forma natural a la noción de proporción.
Esr¡oo
t2
t5
24
Oprnnoon
x (213)
x (2/3)
x (2/3)
Esr¡oo
8
l0
t6
72
73
la <<relación>
entre el estadoinicial y el estadofinal siemprees <dos a tres).
Esta interpretación enfatizael papel de las fracciones(númerosracionales) como elementosdel algebra de funciones(transformaciones)al mismo
tiempo que conducea la idea de que los númerosracionalesforman un
grupo (estructuraalgebraica)con la multiplicación.
Encontramosasí un contextonatural parala composiciónde transformaciones(funciones,
operador),la idea de inversa(el operadorque reconstruye
el estadoinicial),la ideade identidad(el operadorque no modificael estado
inicial).
Este aspecto de las fraccionesha sido tratado con detalle por Z. P.
DrcNes,al desarrollar una aproximación estructuralistaen la enseñanzade
las Matemáticas(en la aproximaciónestructuralistala actividad del niño se
dirige hacia la construcciónde estructurasmatemáticasformales).En palabras del propio Z. P. DIsNus(1972,pág. 111):
quetodasestasdiferentes
Seobservará
facetasdel estudiode lasfracciones
(razón,porcentajes,
decimales,
...)puedensercomprendidas
dentrodeunesquema
de la estructuraoperacional
de las matemáticas
si consideramos
una fracción
comola sucesión
de unaparticióny unaoperación
de multiplicar...
a:
Comoresultadodeestemétodode tratamiento,
deberátambiénconstatarse
queel estudiodelasfracciones
formanpartedeun estudiomuchomásamplioy
generalsobrelos estadosy los operadores.
Esta constatación
se conlirmará
cuandoseabordeel estudiodela geometría,
dondelastransformaciones
sonlos
y lasdistintasposiciones
operadores
delasfiguraslosestados
y enelcampodelálgebradondelosvectores
seránlosestados
y lasmatrices
losoperadores..
.(pág.ll2).
3.6. UNA VISION GLOBAL DE LAS FRACCIONES
3.6.f. Relacionesentre las distintasinterpretaciones
En las seccionesprevias hemos descrito las diferentesinterpretaciones
que se puedenasociara la idea de fracción, caracteizándolasen sus rasgos
más relevantes.
Debido a las diversasperspectivascon las que se puede concebirel
conceptofracción,algunosautoreslo consideranun megaconcepto(refiriéndose al número racional como sintetizadorde todas las interpretaciones
(lo que nosoconstituido(construido)por diferentessubconceptos
descritas)
tros hemosdenominadointerpretaciones).
Los rasgosgeneralesde cada interpretación señaladosen las secciones
anterioresmuestranque el ser (hábib) en dichasinterpretacionesconllevael
como esquemasde
dominio de diferentesestructurascognitivas----entendidas
para desarrollartareasque
pensamiento
a las accionesnecesarias
subyacente
implican la idea de número racional en cualquierade susinterpretacionesque sedan en el niño en diversasépocasde su desarrollo,lo que condiciona
de enseñanza
en vn momentodeterminado.
las secuencias
Además,desdeuna perspectivade enseñanzano es posibleaislar por
completo cada una de las interpretacionesde las demás.Algunas de ellas
tienen vinculaciones(naturales>que no se puedenignorar, y hacen que al
tratar un determinado aspectodel número racional, implícitamenteestén
presentesotros aspectos.
para la enseñanzaa travésdel
Estasrelacioneshan sido conceptualizadas
siguienteesquema(Bnnn,M. J. et al.,1983,pág. 100).
Diagrama 3.1
los autoresindican medianteflechascontinuaslas relacionesestablecidasy
medianteflechasdiscontinuaslas relacionesque se conjeturan.
Las recientesinvestigacionessobreel aprendizajede los conceptosrelatiasí como la
vos a las fraccioneshan señaladoalgunasde estasdependencias,
en
nos
introducimos
interpretaciones
a
otras
cuando
aproximaciónde unas
contextos<<más
abstractos>.
74
IiNIVERSIDAO
DISTR'TAL 75
Por ejemplo, cuando se utiliza la relación parte-todo en contextos discretos, las situacionesnurhericaspuede conducirnos a la idea de operador o de
porcentaje (raz6n).
<315de 20>>puede ser interpretado como una fracción actuando sobre un
número (operador), es decir, una acción más que la descripción de una
situación; o cuando empleamos para describir esta situación el lenguaje de
porcentajes ó0 oÁ de 20>, el 60 por ciento de veinte, estamos comunicando
que existe la misma <relación>:(en el sentido de razón) <tres de cinco> que
en ((sesentade cien>.
Por otra parte, en la sección 3.5 de este mismo capítulo se mostraba la
relación existente entre la interpretación de la fracción como operador o
como razón, cuando se describía la equivalencia de estados.
.r
Además, como señala el propio Z. P. DnNns, la conexión entre la interpretación de la fracción como operador y la idea de medida se encuentra en
un contexto natural en la realización de mapas y planos (la utilización de
escalas).
Para intentar clarificar estasúltimas relacionespodríamos indicar que las
<paredes>que pueden separar las distintas interpretaciones del número racional se van haciendo más <finas> según subimos por el edificio matemático, hasta que llega un momento que en <contextos abstractos> (trabajo
algebraico con números y ecuaciones)pasamos de una interpretación a otra
sin impedim€ntos (conceptuales>.El poder de generalizacióny síntesisde las
Matemáticas se muestra para ayudarnos a desenvolvernoscon facilidad.
Con todas las caracterizacionesanteriores, hemos pretendido mostrar
que el concepto <fracción> (número racional) es muy complejo; formado por
diversas interpretaciones e interrelaciones entre ellas; por eso, no podemos
más que hacernos eco de la sugerenciade Suvn¡,u (1979) que, despuésde
haber hecho una revisión de los proyectos de investigación desarrollados
hasta 1979, en relación a la enseñanza de las ideas relacionadas con el
número racional señala que conviene:
-
76
considerar objetivos a largo y corto plazo en relación a cada una de
las interpretaciones;
seleccionarlas interpretacionesapropiadas para desarrollar esosobjetivos, teniendo en cuenta las estructuras cognitivas necesarias;
proporcionar secuenciasde enseñanza(actividades)que contribuyan al
crecimiento de estas estructuras.
De todas formas, y como habíamos señaladoal principio de esta sección,
manejar las diferentesinterpretacionesviene vinculado al dominio (posesión)
de determinadas estructuras cognitivas (lo que condiciona el momento de
(ver)) en la escuelaestas interpretaciones).De forma esquemática,tenemos:
en la secuencta
lnferencias
de enseñanza
La necesidadde que el niño desarrolle la comprensión del número racional en todas sus interpretaciones,así como plantear las relacionesentre estas
interpretaciones diferentes ya ha sido defendida por algunos educadores
matelnáticos, como hemos señalado en el primer capítulo (véasela opinión
de KmnnN, Dmurs,...).
El estudio pormenorizado, las caracterizaciones y las implicaciones en el
proceso de enseñanzade algunas interpretaciones,en particular decimales,
medida, fazon, operador, se sale fuera de este libro y ya ha sido estudiado
por otros autores.
3éZ-,
Papel destacado de la relación parte-todo
par(e-todo, tanto en contexAhora bien, parece ser que la i{r-te.rpretación
tos continuos como discretos (caracterizadoen la sección 3.2) constituye la
piéára angúlar sobre la que se van a desarrollar algunas de las restantes
interpretaciones,tal y como se indica en el diagrama anterior'
Esta <naturalidad> del concepto parte-todo se ve reflejada en la gran
atención que normalmente recibe en el desarrollo de las matemáticasescolares.
Además, existen opiniones (E[nnnnucH, PAYNE,1978)que dehenden la
idea de que para realizarla introducción al concepto de fraccón se_debeusar
unu int.iprétación simple (contexto de área. continuo), indicando que la
ríación parte-todo es la que constituye la interpretación más natural para
los niñoJ(además de constituir un buen modelo para dotar de significado a
la suma de fracciones).
Sin embargo estasintroducciones unívocas tienen que ser completadas a
lo largo de la enseñanzacon otras interpretacionesdel concepto de fracción
para intentar evitar las posibles limitaciones conceptuales que se podrían
77
derivar.Una excesivaasociaciónde la idea de fraccióna la interpretación
parte-todo(contextocontinuo)podría planteardificultadesante
cuestiones
como la siguiente(Hanr, l98l):
f
ñ
*
!
<María y Juan tienen dinero en el bolsilo. María gasta 1/4
del suyo y Juan
ll2. ¿Esposible que María haya gastado más que Juaut
D" todasformasno hay que olvidar que las nocionesmatemáticas
no se
,--:
desarrollantodasde una vezy al mismonivel de <manejabilidad>
(operativi/
I quqr'por tanto hay que aceptarque los niñospuedandesarrollaruna noción
de fracciónvinculadaa la relaciónparte-todoén un mom"nto de la enseñan_
/
y al ampliar el conceptode fracción a otros ámbitos (a otras
za,
I
interpretaciones)
estanoción primitiva se reconceptualjzará
¡_
(readaptará)modifr_
cándose.
De estaforma concebimosel <paso))de las diferentesinterpretaciones
de
la idea de fracción por la secuenciade enseñanza,pretendiéndóse
que al linal
Ia construccióndel conceptode número racionaltengacomo subconceptos
las diferentesinterpretaciones
que ha ido adaptandoi lo lurgo de sr4forma_
ción (aplicabilidada diferentesinterpretacionis).
vamos a desarrollarla relaciónparte-todoen los próximos capítulos,
intentandotrasladarlas consecuencias
del análisisteórico de la relacióna
situacionesde clase.
De forma aleatoriase establecerán
conexionescon las otras interpretacionesde tal forma que sepuedaempezara delinearla futura <<tela
de araña>
de relacionesque constituyelas ideasrelativasal número racional.
4.
La relacíónparte-todo
y las fracciones
@
AA
AA
0
O
o
r>
Lil.'-Er.:li
78
4.I.
INTRODUCCION
En el capítulo anterior habíamos caracterizado la interpretación partetodo cuando un <todo> o varios (continuos o discretos) éra dividido en
partes y la fracción nos describía la relación entre las <partes> que se
consideraban y el número de partes en que se había dividido el todo.
El primer contacto que tiene el niño con esta relación es relativamente
temprano, como ya se ha señalado. Expresiones como <media manzana>>>
<medio vaso de leche>,<dame un trozo de tarta> pertenecenal vocabulario
infantil desde los primeros años.
Las aproximaciones que el niño realiza a estas nociones (relaciones)son
en un primer momento cualitativas y no alcanzan todavía el fango de
descripcionescuantitativas de una situación. Este hecho ha apoyado la idea
de introducir la <estimación>(aproximaciones cualitativas) en el proceso de
enseñanzade las nociones iniciales en relación a la fracción, como una forma
de ayudar al niño a anticipar la formación de <estructuras operativas>
necesariaspara crear (buscar)procesosde solución en situacionesproblemáticas que conlleven de forma implícita la noción de fracción.
A partir de este momento vamos a intentar identificar las características
de la estructura cognitiva que permite manejar la noción parte-todo.
4.1.1. Los atributos de la relacién parte todo
Independientementede la aproximación cualitativa, algunas habilidades
necesarias para el dominio de la relación parte-todo son la capacidad de
dividir un todo en partes, reconocer el todo, realizar divisiones cóngru"nter,
reconocer las partes del todo...
^ El manejo de estas <habilidades>(la posesión
de la estructura cognitiva
que permite realizar estasacciones)ha sido estudiado por pracEr, INHer,nsn
y SznmNsrn (1960)indicando que la noción de fracóión en su aspectopartetodo sostenida por los niños (en contextos continuos-área)se apbya en siete
atributos (citado por Suvoau, 1979,pág. l5).
..:¡
Un todo está compuestopor elementosseparables.
Una región o
\r,t
''
superficiees vista como divisible.
80
(t. , 1," separaciónse puede realizar en un número dete.rminadode
-- partes.El <todo>se puededividir en el númerode partespedido'
cubrenel todo; ya que algunosniños cuando se
3. Las subdivisiones
pastelentretresmuñecos,cortabantrestrozose
un
lespedíadividir
resto.
ignorabanel
4. El númerode partesno coincidecon el número de cortes'
5. Los trozos -partes- son iguales.Las partes tienen que ser del
mismo tamaño ----congruentes-.
6. Las partestambiénsepuedenconsiderarcomo totalidad(un octavo
de un todo se puedeobtenerdividiendolos cuartosen mitades).
a
El <todo>se conserva'
\1
Estosatributosfueronampliadospor PnvNE(1976)con los que él veíacomo
inicial de estasnociones.
para el aprendizaie
(esenciales)
necesarios
esdecir,el manejode los símbo8. Control simbólicode las fracciones,
los relacionadosa las fracciones.
fñ Las relacionesparte-todoen contextoscontinuosy discretos.
0b Las fraccionesmayoresque la unidad.
equivalentes.
h. Subdivisiones
Tanto la ideade que las partessepuedenconsiderara su vezcomo todos
(señaladapor Pncnr), como la noción de las subdivisionesequivalentes
relacionadascon la noción de
(señaladapor PnvNe)están estrechamente
es decir, con la <habilidad>de reconocercuando
iraccioneqequivalentes,
distintaspartesde un mismo todo, obtenidascon diferentesdivisiones,nos
dan la tnir.nu parte de la totalidad,lo cual nos lleva a admitir una misma
relación parte-todo a través de <nombres equivalentes>>.
Veámoslocon un ejemPlo:
Totalidad.
División en dos partes.
Relación 1 a 2 e¡tre Parte Y todo.
División en 8 partes'
Relación 4 a 8 entre parte y todo.
en ambos casos tengo igual parte del total.
8l
Distintas relaciones parte-todo pueden expresar la misma parte de un
objeto total. En este caso las relaciones se refieren al mismo objeto fisico, y
por ello se dicen equivalentes.
4.1.2. Los contextos de la relación parte-todo
La utilizaciín de determinados contextos pueden influenciar el desarrollo
de secuenciasde enseñanzactJyoobjetivo sea la adquisición de las primeras
nociones relativas a la relación parte-todo.
e inicial para la adquisiciónde las nocionesrelativasal número racional,
dentro de esteconceptono todos los contextospresentanla misma dificultad, lo que condicionala clasede materiales(concretos) que deben ser
utilizados.
obtenemos:
De forma esquemática
Relaciónparte-todo:
a)
Contextoscontinuos:cuartillas,
tirasde paPel,Paiitas...
\ tos continuos, basadas en actividades de doblar papel, pajitas,... las ideas
básicasrelacionadascon la noción parte-todopuedenser adquiridaspor
niños de ocho años,mientrasque la utilizaciónde contextosdiscretosen las
actividadesde enseñanza
puedenocasionaren un primer momentomayores
dificultades(PnvNn,1978).
Esta opinión contradicelas conclusiones
del trabajo de Novu,us (1976)
que indica que los dos contextosresultaronser del mismo grado de dificul't
tad.
El objetivo de las investigacionesde Novu,us consistíaen identificar las
posiblesdependencias
que se pudierandar entrelas ideasvinconceptuales
culadasa la noción de fracción.
Entre las ideasque consideróse encontrabanla de asociaruna fracción
con el área de una parte de una figura (contextocontinuo),con un subconjunto de un conjunto(contextodiscreto),o con un punto de la rectanumérica. Aunqueinteresantes,
los resultadosdebenser considerados
con precauclon.
I:{,o.ytl¿¡S.pon-c-lu.Igq}e _gl desarr o{9 . de_las- relasip¡res."parfe¡-tg-d.qen
contextoscontinuos-ydiscretos5pn-reguisilos
previosparael trqpajg_cq¡la
recfa.numérica.¡
Además sus experienciasindicaron que la capacidadde
asociprgna fraccióna una representaciónen un contextodiscretoo continuo
¿ñi#á
at-íiáliá¡o con las relacionesde équivalenciálaii'ertiiites'"hornbies
para las relacionesequivalentes).
de enseñanza(actividades
.,--'-'^Nuestra opinión esque para diseñarsecuencias
de clase)debemosoptar por un contexto continuo,en primer lugar, e ir
integrandoposteriormenteactividadesen las que se utilicen como faseintermedia objetos articulados para utilizar finalmentesituacionesen las que el
<todo> (la unidad> estéformado por elementosdiscretos.En estecaso el
objetivo de la secuenciade enseñanza(objetivo a corto plazo) serádesarrollar-potenciar
los atributosdel conceptode fracción(asumiendoen estecaso
i'
los señaladospor Pr¡,c¡r et al. y los añadidospor PevNn).
Estasconsideraciones
tieneninferencias
en la secuencia
de enseñanza.
De
forma resumidasepuedeindicar que aunquela relaciónparte-todoes básica
82
4.1.3. L¿ relaciónparte-todocomo generadora
del lenguajey símbolos
De algunamanerase puedeentenderque la relaciónparte-todose endel númeroracional.Esta
cuentraen el origende las demásinterpretaciones
intepretaciónes de las más intuitivas en el niño, por tanto el problemase
planteaen que su uso la convierteen generadorade lenguajey símbolos,que
van a constituirla basey origendel trabajo con las demásinterpretaciones.
Debe tenersemuchocuidadoen la identihcaciónde los símboloscon las
así como en la utilizacióndel lenguajeasociadoa las ideasde
situaciones,
parte-todoque se realizaen estosmomentos.La atenciónespecialque recibe
estainterpretacióninicial de las fraccionesnos obliga a ser cuidadososcon
las ideasque en ella se transmiten.
El lenguajey los símbolosutilizadosen este primer momento pueden
de la noción fracción.
condicionarla comprensiónde futurasampliaciones
(Krnsr-srn,
1986)
han
señaladoqueel maneAsí,algunasinvestigaciones
jo de las fraccionescomo númerosen determinadas
tareascomo puedenser:
- colocarfraccionessobrela rectanumérica,
- nombrar fraccions(entreDdos fraccionesdadas,...
son relativamentecomplicadaspara los niños que sólo <ven>las fracciones
como una descripciónde una relaciónentrelas partesen que seha dividido
un todo y el todo.
83
Por otra parte, una inferencia que se debe hacer en el desarrollo
de las
secuenciasde enseñanzade la noción fracción es el cuidado
especialque hav
que tener en identificar las manipulaciones concretas,la
expresión veJbal,los
diagramas, la expresión escrita y los símbolos que se manejan
en estas
situaciones.(Estas ideas serán descritasa lo largó de las próximas seccio_
nes.)
En otras palabras, en un primer momento de la secuenciade enseñanza,
el objetivo primordial de desarrollar la comprensión del concepto viene
vinculado a la capacidad de <representación>que el niño pueda hacer de la
noción parte-todo.
Esta idea de intentar vincular el objetivo de conseguir la comprensión de
la relación parte-todo ala capacidadde representaresta co-preniión conseguida nos presenta otra de las característicasde la secuenciade enseñanza:la
necesidadde <negociar> el significado de los símbolos con los niños.
Bajo esta perspectiva,la idea de <negociar>el significado de los símbolos
debe verse como el propósito de llenar de significado los símbolos (la representación de la relación) que los niños utilizan (o van a úilizar) para describir las situaciones que llevan implícitas la noción de fracción.
.:
Este hecho hace que nuestra atención se centre en las posibles representa.
ciones de la noción parte-todo así como en las diferenteslraslacionesde una
representacióna otra. (Esta cuestión será desarrollada en detalle en la sección 4.4 de este capitulo.)
4.1.4. La relación parte-todo y el conocimiento
informal de los niños
una forma de comenzar a desarrollar el <lenguaje de fracciones>,que
pretenda dotar de significado los símbolos que utilizamos para representar
el
concepto, es dar importancia al conocimiento que de forma fragmentaria
e
informal llevan los niños en relación a la noción fracción (parte-iodo)
cuando vamos a empezar a trabajar estas ideas. También conviene localizar
situaciones usuales en las que <hay fracciones> aunque nunca se hayan
trabajado así.
Actividades desarrolladasen las auras normalmente que pueden no tener
ninguna relación, a primera vista, con el desarrollo de conciptos matemáticos, pueden ser utilizadas a este respecto.
Ejemplo de este tipo de actividades pueden ser la construcción de murales o mosaicos en el aula. La colocación de un gran panel de papel en una
pared de la clase,el cual se divide en regionesiguales pu.u gtupor de
niños a
los que se les pide que realicen sus dibujos pueden-ser ñtilés a través
de
cuestionesy actividadescomo:
84
-
<repartiros cada trozo entre los cuatro miembros de vuestro equipo
para que todos tengais la misma cantidad de papel>;
la introducción por parte del profesor de divisiones <no normales>.
puedensuscitarcuestiones
como,
<¿Cómose puedesabersi son igualeslas partes?>
Provocando los comentarios de los niños y dejando que sean ellos los que
justihquen sus respuestas.
La construcción de mosaicos utilizando (cuartos) de distintos colores y
formas pueden introducirnos en considerar mosaicos formados por determinadas formas y colores de tal forma que resulten <bonitos>.
Actividades de recorte y pegado con hojas de revistas y periódicos también pueden ser utilizadas para <averiguar> este conocimiento informal que
pueden manejar los niños sobre las fracciones.Sugerenciascomo,
-estimar el tamaño de una foto en relación a la hoja entera;
- relacionar el tamaño de algunas fotos en hojas distintas de un periódico, <<¿cuál
es mayor? ¿por qué? ¿cómo se puede saber sin recortar ni
superponer?...
- la introducción de pequeñas <anomalías>a las regularidadesmanejadas puede ayudar a <perfilao el tipo de argumentos utilizados.
La propuesta que subyace en esta sugerencia es la de que se pueden
utilizar multitud de situaciones en el aula que nos ayuden a descifrar la
<clase>de conocimiento que los niños tienen sobre las fracciones(la clasede
Matemáticas no tiene por qué ser sólo la <hora de Matemáticas>).
Este conocimiento informal, junto al lenguaje que los niños utilizan
asociado a él (mitades, cuartos, tercios, quintos,... dividir,... repartir,...)debe
ser el punto de partida de las secuenciasde enseñanza.Esto condiciona que
al principio, las fraccioneqmás <normales>para plantear deban ser U2, U3,
ll4, U5,... aunque M. Gournno (1964, pág. 91) señala que debido a que los
<medios> y los <tercios) son los que no siguen una regla en relación al
vocabulario como los <<cuartos>>,
<quintos>, (sextos))...vinculados al carácter
presentan
ordinal de los números,
mayores dificultades para los niños.
85
En relacióna la necesidad
de teneren cuentael conocimientoinformalde
los niños, cabe señalarque la única forma de poder tener en cuentaeste
conocimientoes <saberen qué cantidadexiste>,y esolo sabremossi el niño
nos lo <dice>>.
Para eso senecesitaun clima de claseen el que los niños no
encuentrencortapisasa la posibilidad de <verbalizar)sus pensamientos,
ademásde que se les presentenlas <situaciones
para que esto
adecuadas>
puedaocurrir.
Ejemploscomo el anteriormentecitado de los muralespuedenayudara
crearun clima de claseinformal en el que los niños comentenlo que hacen,
cómo lo hacen,comparensusresultados,...
Se pretendefiunto al énfasisque se coloca en estos momentosen la
verbalización
de los niñosen estassituaciones
concretas)realizaruna estrategia de enseñanza
en la que el niño seencuentreante una amplia variedadde
contextosparte-todo.
La situaciónde repartosequitativos(del tipo <cinconaranjasentre tres
niños),y de medida(medir el largo de la mesacon un lápiz, teniendoque
indicar el posible <<algomás> de alguna forma más cuantitativa)pueden
servircomo sugerencias.
Tambiéndebenser utilizadassituacionescompletamente
artificiaies,como los juegoscon los Númerosen color (eligiendouna regletaarbitraria
como unidad,nombrar las otras regletas)en los que los niños encuentren
contextosadecuadospara verbalizarsu conocimientode la relaciónpartetodo.
Estaposiciónesdefendidapor M. Gourenp (1964)cuandointroduceras
fracciones,usandolos númerosen Color,
4.2. RELACIONES ENTRE SITUACIONES CONCRETAS,
DESCRIPCION DE SITUACIONES, MODELOS Y SIMBOLOS
En la secciónanterior sehabía señaladoque parte del hechode comprenque
der una idea veníaindicado por la (versatilidad>de la representaciones
se pueden realizar con ella.
Así, si el llegar a comprenderuna idea matemáticaconlleva,entre otras
y de poder
cosas,la habilidadde <manejarla>en diferentesrepresentaciones
las
que
identilicar
habremos
de
parece
claro
entre
éstas,
realizartraslaciones
en las que se puedemanifestarla idea de fracción
posiblesrepresentaciones
(Lnsnel al.,1983).
Una situaciónconcretaen la que un profesormuestrauna hoja de papel
o con
con tres de ellassombreadas,
con cinco partescongruentesseñaladas
los númerosen color, tomandola regletaamarillacomo unidad para intentar determinarel valor de la regletaverdeclaro, son formas de <representar>>
la fracción<tresquintos>.
ao
...Esnaturalquelos niñoscometanerroresal dar susprimerospasosen el
manejodelasfracciones,
y no haypor quéasombrarse
deello.Seentraentonces
en unadiscusión
colectiva
dondeseexaminan
todaslas opiniones,
realizando
experiencias
materiales
que decidiránsi aquellasopiniones
concluyentes
son
aceptables
o es precisomodificarlas.
Só1oasí es posibleaprenderde verdad.
Cuandoseniegaa losniñosel derecho
a cometer
errores,
sellegaa sustituirlos
y
a decirles
lo queconviene
quedescubran
(pág.90).
Para resumirlas últimasideasexpuestas
podríamosseñalarque la interacciónverbalentre profesory alumnosy entre alumnosmismoses esencial
para:
a) queel profesorpuedaobtenerdatossobreel conocimientoinformaly
fragmentarioque puedantraer en un momentodado los niños;y
b) como una fuente.de correcciónde errores.El procesode verbalización que realizanlos niños para comunicarsusexperienciashaceque
se reformulen y pongan en acción lo que ellos conocende la situación, lo que ayuda a mostrar suspropiascontradicciones.
86
En este caso el profesor está utilizando modelos concretos de determinadas fracciones.
Dibujar en un folio diagramas que intenten representar esta situación,
es otra forma de representar la idea de fraccton.
87
Decir en voz alta <tresquintoo>,y escribir
enla pizarra<<tres
quintos>r,<3
quintos>ry <<315>>,
tambiénsondireréni;i;;.u,
de representación.
Las diferentestraslacionesentre r;;
;pi..rntu"iorres raspodríamosindicar medianteel siguiente.diagrama
pesn,-re-ar,intro¿u""
tipo a"
representaciónlas situacionesdel
"o'rri'Jolo
mundo real).
Diagramas,dibujos
p
/
/
/
/
Formaoral
Formaescrita
<tresguintos), <3/5>
Las doblesflechasindican que se debenbuscar
actividadesou.uf,-u" er niño
desarrolle-sucapacidadpara pasar de una
representacióna otra en ambos
sentidos.Por ejemplo:
Actiuidad1. Se le muestraal niño una hoja
de papeldobrad&en cinco
partescongruentes,
tresde ,ascualesestánpintádard; .rj",
;; le pide que
indiquequepartedel total estápintadaáe rojo.
t'
,r"rníliirl{
Sele pideal niño queen unacuarrillanos
cororee
de rojo sus
Estasactividadescorresponderíana la traslación
del moderoconcretoa
forma oral (y viceversa). La representaciónd,elas situacionesque
nevanimplícitamentera noción
de fraccióna travésde diagramas,dibujoi
esquemas,
puedeserrearizadacon
la intención de proporcionar a lós
*o¿"ns de apoyoque les ayudena
trasladarsedesdelas situaciones_
"inLt- intuitivas,
concretas,
a un nivel más formal
y sistemático,cgmo puedeser el trabajo
íumérico.
La descripcióndetallada de algunasde estas
traslacionesen el caso del
desarrollodel concepto de fracción s
i"ur¡ruduen las próximas secciones.
En particutar,y dentro del rrabajo
"ri
áiugru_", rd;ü;j;; lf hs trasla_
.
cionesa forma orar v forma escrituj "oo
dominar las representaciones
de las fraccionesmás sencilas r"brÉ hJ;;ras
"onui*,
geométricasmás conocidas.
Aunque el modero seométrico más usuai
ti ,ep."r""dtó,
lráfica de
fraccioneses el rectlngulo, no cabe duda "o
que se pueden emplear muchas
otras figurasgeométricaspara expresarra
relációnpl.t"-toaá.-Éiientang.rro,
cuadrado y el círculo son las
que mejor se prestan a representar
-figuras
fraccionesde denominadorcualeíqui"tu=J"ui¿o
a que son fácilmentedivisi_
blesen un número n (n : 2,4,...)i. puri",
igout"r.
88
en partes
Por otra parte, existen otras figuras sencillascuya división
determipara
representar
ila, no es ün fácil, pero que sepuedenemplear
para
represenpuede
utilizar
se
fracciones.Así, el triángulo equilátero
tercios,sextos,...
medios,
,ilf
sextos,.'.
ol rombo Para representarmedios,tercios,cuartos,
0 $$ 0
w
el pentágonoregularpara representarquintosy décimos'
Como habíamosdicho,estosejemplossepuedenutilizat para las actividadescorrespondientesa las traslaciones
diagramas< : : : = : : : : > forma verbal
diagramas< : : : : : -- : :> forma escrita
4.3. EL TRABAJO INICIAL CON LA RELACION
PARTE.TODO
4.3.1. Introducción
SegúnPncnr, la habilidadde manejarla relaciónparte-todoseapoyaen
la capácidadque tienenlos niños de sostenerciertosatributoso habilidades'
La identifiiación de estos atributos condiciona la secuenciainicial en
en la escuelacon el fin de
relacióna las actividadesque debenserrealizadas
conseguirsu manejo.
89
La estructuracognitiva sobrela que se basanestosatributos la constituye la acciónde dividir un todo en partes.La forma de realizarla división, el
efectosobreel todo, el resultadode la división,...son,cuestionesque han sido
identificadaspor Pu,cnr et al. como los fundamentospara manejar la relación parte-todo.
Por ello, las actividadesa desarrollaren un primer momento debenestar
dirigidas a que los niños adquieranel manejo de estosatributos.
Por otra parte habíamos señalado que el contexto continuo (modelo
área)podía considerarseel más natural para rcalizarla introducción de estas
ideas.
Al plantearseuna situación de enseñanzaaprendizajese introduce la
cuestiónde realizarel diseñode sussecuencias.
Denominaremossecuenciade
enseñanza
a una seriede actividadesdirigidasa la consecuciónde uno o varios
objetivosde aprendizaje.Cada secuenciade enseñanzapuedeestar formada
a su vez por otras secuencias
de enseñanzadiferütes. Ademáslas secuencias
de enseñanzapueden tener una duración de unas horas, unas semanase
inclusode varios añoscomo las caracterizadas
por los objetivosalargo plazo.
Tenemosidentificadoslos atributosa conseguir,a travésde ün contexto
continuo, en un primer momento, para integrar posteriormenteactiftdades
en contextosdiscretos.
Otra cuestióna tener en cuentaesla <<representación>
de las ideas,desde
el plano intuitivo (entendiendola simbiosisque se da al considerarmodelos
concretosen situacionesconcretasy el conocimientoinformal y fragmentario
que los niños puedan poseerde estasnociones)al plano simbólico pasando
por la utilización de diagramasy formas verbalesy escritas.
Puedeser convenienteantesde introducirnos de lleno en el estudiode la
relación parte-todo a través de la utilización de modelos más concretos,
presentarsiuacionesque se puedanconsiderarcotidianasal niño en las que
seenfaticede una forma u otra diferentesatributos conectadoscon la idea de
fracción.(Recordarlas sugerenciasdel apartado4.1.4.)
Situacionesde reparto y medida, tanto en contextoscontinuoscomo
discretos,en cuyo desarrollo intervenganideas tales como el considerarel
tamaño de la unidad, la necesidadde partescongruentes,o situacionesen las
que la propia idea de fracción no es aplicable,puedenayudar a clarificar los
distintos atributos necesariospara el desarrolloposterior de la relación
parte-todo.
Situaciones
cotidianasa los niños como las de repartode una tarta entre
un número determinadode niños, o el dividir o repartir trozos de cinta de
tela para realizar determinadosjuegos, puedenproporcionar los momentos
adecuadospara que los niños verbalicen el conoci,mientoque ponen en
funcionamientoen estassituaciones.
La interaciónverbal entre los propios
niños,y entre los niños y el profesorpuedenser utilizadospor esteúltimo
para determinarel <<estado
de la cuestióu.
90
Juegosy actividadesen las que se fuerce al niño a repartirse distintos
materiales,así como que las partes que se formen seancongruentes,pueden
iniciar el camino hacia la conceptualizaciónde la relación parte-todo.
La sugerenciaen el reparto de una pizza,pot ejemplo,de <tú haceslas
partesy yo elijo> ayuda al niño a introducirseen la idea de partescongruentes. Este tipo de actividadestambién puedenser realizadasutilizando líquique puedan
la experiencia
dos conjuegosde vasosy probetas,aprovechando
tener los niños en repartirse,por ejemplo,zumo de naranaja,leche...Aunque
evidentementeestasúltimas actividadesdebenestar supeditadasal desarrollo en el niño de la conservaciónde los volúmenes.
Dividir un folio o una tira de papel con unas tijeras,ensayandodistintos
procedimientospara que las partes obtenidasseanigualesson actividadesa
realizar.
Situacionesen contextosde medidapuedenutilizarsepara desarrollarlas
en partes congruentes.
habilidadesde dividir <<todos>>
La posibilidad de cubrir una mesacon folios teniendoque consideraren
algún momento ((partes)del folio para terminar la tarea,o medir la longitud
de la pizarra con un láryizy tener que volver a considerar<partes>del lápiz
(en relación al todo) con el condicionantede tener que comunicar a los
compañerosde una forma clara que parte del folio o del lápiz se han
considerado,pueden ser actividades que nos introduzcan a las ideas de
(parte de un todo> y partescongruentes
en contextosfamiliaresa los niños.
Los númerosen color (RegletasCuisinaire)constituyenun materialdiconocidoque tambiénpone de manifiestolas relaciodácticosuficientemente
nesparte-todoen los contextosde media(utilizándolocomo representaciones de situacionesconcretas).
9l
Si seplanteala tareaen clasede repartirsedos naranjasque son visiblementediferentesen tamañoentre cuatro niños,la división
o
AA
0
4.3.2. El tamaño de la unidad
Es necesarioque en las situacionesdescritasanteriormentese vincule la
existenciade las fraccionesa la unidad: el <tamaño>de la mitad de una
naranja está en función de lo grande que seala naranja. Las situacionesen
las que en un primer momento las fraccionestienen un aspectode operador
(<Dame la mitad de una naranju) deben desarrollarsetambién desde el
comienzo del trabajo con la relación parte-todo. La integración de las
diferentesinterpretacionesdel número racional puedeempezara realizarse
en los primeros momentos en situacionesconcretas,ya que también es
necesariointegralasen el conocimientoque se estáformandode la idea de
fracción.
Estetipo de actividadespuedenresultarde vital importancia a la hora de
evitar que los niños ignorenel contexto en el cual están trabajandolas
fraccionesen un momento dado.
La vinculacióndel contextoal significadoque pueda tener en esemomento la fracción ayuda a evitar errorescon posterioridadcuando semanejan las fraccionesen un nivel numérico.
volviendo a las situacionesde reparto en las que el <todo>>
estáformado
por varios elementos(unidades),se debe asumir que todos son iguales.
92
puede no convencer de forma directa a los niños, La necesidad de que las
partes que le corresponden a cada uno sean del mismo <<todo>se presenta
directamente.
de reparto,tanto en contextoscotidianoscomo
Ademásestassituaciones
adecuado,puedenproporcionara los niños
manipulativo
material
utilizando
experiencias,en las que de forma implícita, se manifiestanlas relaciones
que existenentre el tamaño de las partesy el número de
compensatorias
partesen las que un todo esdividido (a mayor número de partes,menor esel
tamaño de las partes),como un paso previo a la idea de la ordenación.
4.3.3. Situacionesen la que la idea de fracción no es aplicable
Algg"$situaqigne¡{ergp-1{to--ensqq!exe-r-d¡!e¡9!99pf
f"-gs{tFBl!e3:|"
siempreespgslbleapllcalla rdeade lr-4ee!en.
cuestióna los niños de-gue-.qq
én tres círcuios,lridiiirtospiñtados en el
ninos
cuatro
Tíhü-qiie"ñü;iii
y un terciode niño en cadacírculo
que
un
niño
la
solución
claro
suelo,está
no es válida
Si hemoscompradoen el mercadouna bolsa con cuatro pecesde colores
para nuestrapandade 3 amigos,si nos peleamosy nos tenemosque repartir
los peces,estáclaro que un pez y un tercio de pez para cada amigo tampoco
es una soluciónválida.
en algúnmomentodel proceso
--. La necesidad
de plantearestassituaciones
de enseñanzaes necesariapara enfatizarla relación de las fraccionescon el
contexto,frentea la interpretaciónen la que seve a las fraccionessólo como
una división indicada de númerosnaturales.
93
AA
0
AA
0
oo
0
h
&,r O
4.3.4. Dos direcciones
La necesidadde formalizar y relacionar el conocimientoy
las ideas que
los niños ponen en funcionamientoen las situacionesanteriorás
respectoa la
noción de fracción, y, en particular, de la relación purt"-ioáo
indica la
secuencia
que hay que seguir.
En estepunto del desarrolloes posibletomar variasdirecciones.por
una
parte, la realizaciónde secuencias
de enseñanzactJyoobjetivo seaformalizar
el conocimiento de los niños en relación a ros aiributás identificados
por
hecer y los añadidospor peyNn, a través de la utilización
de materiales
másconcretosy estr'.cturado-s,
como los experimentados ujuou, universidadesamericanas(pevNn, Err,¡nsnucH, óoxrono,...¡. "n
otra dirección vendría definida por la posición de L. S'n¡¡FLAND,
que
desarrollalas fraccionesbasándose
in los procesosy produccionesde los
niños en situacionessacadasde la vida reul,
generales
han sido descritasen la sección3.3 del capitrrlo
"uyu,
"áru"t"¡rti"u,
anterior.
._De forma esquemáticala posición de srnnnr,r,aNDse basa en intentar
utilizar situaciones(fenómenos)de la vida rear que ,on o.guniruáo,
po, tu,
fraccionespara que el aprendiz comiencea manejar y dotar
de significado
estosinstrumentosde organización(las fraccionesienlstas
situaciones.con estaaproximaciónlo que seintentahacáres presentar
-is*u,situaciones,
lo más variadasposibles,en las que el concepto¿e rracci¿n
vlu, op.ru"iorr",
con las fraccionesorganizanla información subyacente.Bajo estaaproximación la realidad sirve como una fuente en la formación del concepto y no
sólo como medio de aplicación.
El seguiruna orientaciónu otra vienecondicionadopor diferentesfactores.Habría que tener en cuentafactoresde índole interna, como puedenser
en relación al procesode enseñanza-aprendizalas creenciasque sostenemos
je de las fracciones,en relaciónal desarrollode la dinámica del aula, ...,pero
tampoco podemosolvidar factoresde índole externacomo puedenser la naturalezadel currículoestablecidoque puedecondicionarun desarrollou otro.
Como vemos,la <tomade decisióu en estosmomentosvienedelimitada
por algunoscondicionantes.
Examinandola forma en que aparecenlas fraccionesen nuestrocurrículo
resulta más afin a los planteamientosreseñadosen primer lugar'
son las que vamosa desarrollaren las próximasseccioEstasdirecciones
no puedendelimitar el marco generalde desacreencias
Aquí
nuestras
nes.
rrollo, pero si determinadosenfoquesinternos en la realizaciónde las actividades.(Las característicasdel desarrollo curricular de las fraccionesen los
programasactualeshan sido detalladasen el segundocapítulo).
4.3.5. Una recapitulación
Lo expuestohasta ahora son algunasde las razonesy motivos básicos
que debensertenidasen cuentacuandoseempiezaa pensaren los procesos
de enseñanzaaprendizaierelativos a las fracciones.
Las sugerenciasexpuestashasta este momento intentan ser puntos de
apoyo para que el profesor,en virtud del nivel dondeseencuentre,puedadar
forma al diseñode su secuenciade enseñanz^qve él crea más indóneo para
su situación-aulaparticular.
De todas formas existen dos <principios>que se mantienen de forma
implícita en la seriede sugerenciasdadas hasta estemomento.
En primer lugar, está la necesidadde centrar lps nocionessobrefracciones en contextosconcretos,en un nivel puramentedescriptivo,teniendoen
cuentatanto la ideade medidacomo de reparto,con materialescontinuoso
discretos...Cuando mencionamoslos contextosconcretos,nos referimostanto a situacionesrealescomo a situacionespuestasde manifiestocon material
para los niños dondese maniestructurado.La idea es crear <<situaciones)
fiestela relación parte-todo.
El motivo de insistir en estepunto esla necesidadde vincular las fracciointentando evitar el problema que ya ha sido señaladoen
nes a <<algo>,
partes
de estelibro de que,sin darnbscuenta,a vecesrealizamosuna
algunas
rápida al trabajo algorítmico con las fracciones,sin
demasiado
traslación
suficientementeal mundo de las experienciasvisualesde
haberlas<<atado>
94
95
los niños, convirtiéndose así en sólo un manejo de reglas y
símbolos sin
sentido.
En segundo lugar hay que recoger la idea de que el trabajo inicial
con las
fraccionesse considera un generador de lenguaje.
En este punto consideramoser lenguaje (verbal y escrito) como
un puente
entre la situación concreta y los símbolos matemáiicos y
ielaciones con las
fracciones.
La idea consiste en que los niños a través del lenguaje <llenen
de significado> en primer lugar los <objetos> (concepto de fratción)
que estamos
manejando y las relacionesentre estos obietos.
una vez señaladoestos dos principios intentaremosderinear
ros puntos
concretos a desarrollar¡al pensar en secuenciasde enseñanza
cuyo ob¡"tiuo
sea las nociones iniciales del concepto fracción.
Nombres orales para partes de la unidad:
- establecerel nombre de las fracciones;
- usar las fracciones para contestar a
¿cuántos?;
- identilicar fracciones iguales a uno.
4. Escribir fracciones para representar partes de ra unidad (traslaciones
entre las representaciones):
- de forma oral a forma escrita;
- de forma escrita a forma oral;
- de una forma concreta a forma escrita:
- de forma escrita a alguna forma concreta.
5.
4.4. UNA SECUENCIA PARA LA ENSEÑANZA
DEL CONCEPTO DE FRACCION
De forma clara, el desarrollo de una secuenciade enseñanza
@n este
objetivo queda vinculada a la <habilidad> de los niños de manejar
la noción
de inclusión de las partes en el todo en la terminología de prnt¡r.
Además, en un primer momento vamos a utilizai el modelo referido
a
contextos continuos en particular los representadopor hojas de papel,
folios,
cuartillas, hojas de periódico,...
La idea de utilizar el modelo rectángulo en un primer momento
frente al
tradicional modelo de los circulos (tartas),se debe,
yu se ha indicado, a
que es más fácil para los niños el uso de la forma "o*,o
rectangular para realizar
partes congruentes,y para identificarlas.
Además de que resultan más fáciles
de obtener hojas rectangularesque circulares.
'4.4.1,: Diferentes nociones
en el conceptode fracción
Representarfracciones con dibujos;
-
6.
transición de objetos a diagramas;
repetición de los pasos anteriores pero con los diagramas.
Ampliar Ia noción de fracción;
- fracciones mayores que uno;
- números mixtos;
- modelo discreto, utilización de conjuntos;
- comparar fracciones,fracciones equivalentes;
(Coxrono y Errrnunucu,
1975,pág. 195.)
como vemos en esta seriede puntos se enfatiza el trabajo con los objetos
concretos y se presta una atención particular a la traslación entre las diferentes representaciones,tomando en un primer momento como eje los modelos
concretos y luego en una segunda fase los diagramas.
De forma esquemática tenemos el siguiente cuadro que nos permite ver
con mayor claridad la serie de traslacionesque se realizan entre las representaciones.
Los pasos realizadosen la secuenciapropuesta por coxnono et at. (1975)
intenta enfatizar los siguientespuntos dél cbncepto de fracción:
1.
2.
96
Unidad:
- identificar el número de unidades;
- identificar cantidades mayores o menores de la unidad.
Partes de una unidad usando materiales concretos:
- identificar el número de partes de una unidad;
- identificar partes del mismo tamaño;
- dividir una unidad en partes iguales.
Concreto
Forma oral
\l
.-
\
t ol
Formaescrita I
--rysímbolos
z
Diagramas
(Cuadro4.1)
J
i'
97
A continuaciónvamosa intentarmostrar sugerencias
de actividadesque
ayudena clarihcarcada uo de los puntos anteriores.
a.!,?.; Una primeraaproximación
Actividadesde doblar cuartillaspor la mitad, consideradas
éstascomo
unidad,nos introducenen la familia de las mitades,cuartos,octavos,...
Si proporcionamosa nuestrosalumnoshojasde papelrectangulares
que
seanfácilesde doblar (hojas de periódico, por ejemplo),y quedamosentre
todosen llamar <<unidad>
a una hoja, sepuedencogerotras y sedoblanpor
la mitad. Esto se haceasí para mari'üener
siempredelanteuna representación
concretade la unidad.
Por otra parte, doblar cuartillas de forma irregular para que las partes
que se formen no sean congruentes,nos ayudará a potenciar la idea relativa
¿ilhecho de que las partes sean congruentes.(En algunas ocasionesla comprobación de la no congruencia obligará a la partición fisica del objeto para
superponer las partes).
También, la noción de considerar la unidad y de que las partes sean
congruentesse pueden desarrollar con la idea de repartos de tartas rectangulares y con la sugerencia<uno hace las partes y el otro elige>.
Obtener tercios a partir de una hoja rectangular puede ser realizado
colocando dos lápices,uno a cada lado del papel e ir acercándoloshasta que
pafezca que obtenemos tres partes congruentes en el folio, se hacen dos
ieñales en la posición de los lápices y se dobla el papel por esas señales
(Coxnono et al.,1975).
para denominar a cada una de las partes, las llamamos (una de las dos> (l
de las 2, ll2) que cubren a la unidad, un medio
un medio, I medio
si volvemosa doblar por la mitad, podemos obtener dos alternativas
En un primer momento se podría dejar a los niños la libertad de doblar
la hoja de la forma que quisieran. Aparece ante nuestros ojos dos representaciones distintas de un cuarto. La denominación de un cuarto para cada trozo
se produce de forma natural después del comentario realizado para los
<medios>.
Se puede suscitar una discusión sobre el hecho de obtener <un cuarto> de
la misma <unidad> de diferente forma. Aprovechando la ocasión y a través
del diálogo entre los niños se ayuda a reforzar la noción de <parte congruente> (y no necesariamente<partes de la misma forma>).
98
En otro momento podemos coger otro trozo de papel y rcalizar algunas
dobleces. La posibilidad de conjeturar las partes de la unidad que van a salir
antes de desdbbhr, ayuda a los niños a trasladar al terreno mental la acción
de desdoblar y llamar a cada trozo en relación con el número de partes en
que se ha dividido la unidad.
La introducción de las palabras <tercios>,(<cuartos),(SextoSD,(octavos)
se hará para nombr ar cada parte en la que se ha dividido el folio en cada
caso.
Las primeras actividades deben estar dirigidas únicamente a que:
-
los niños puedan identificar la unidad;
poder realizar divisiones congruentes;
contar el número de partes en que se divide el todo, y
en darse cuenta que el número de divisiones no da el número de
partes, ni por tanto la fracción. Los niños tienen dihcultades inicialmente en relación a este aspecto.
En estos momentos, Cox¡ono et al. (1975)indican que la observación de
los niños puede ser guiada por las siguientespreguntas (ante un folio dividido en cuartos en el que se han sombreado tres de ellos):
99
- ¿Cuál es la unidad?,
-¿cuántas partes hay en la unidad?,
- ¿son las partes del mismo tamaño?,
-¿cuánto es cada parte de la unidad?,
¿cuánto está sombreado?
La secuencia de enseñanza se centra así en las traslaciones entre las
representacionesdel concepto (indicada con a) en el esquema).
4.4,3, Las primeras traslaciones entre las representaciones.
El papel de las fracciones unitarias.
El contar ordinalmente puede ayudar a la traslación
€to -
-
-)'
forma oral
además,el profesor puede sosteneren sus manos una hoja de papel en la que
se tienen diferentes fracciones sombreadas y el niño debe ir diciendo qué
fracción representa. Secuenciasdel tipo <un cuarto>, <dos cuartos)), (tres
cuartos))...,al mismo tiempo que se va señalando cada una de las partes,
pueden ser útiles para conceptualizar posteriormente el <tamaño de la fracción> (en relación a la relación de orden). Es decir, el trabajo con las
fracciones unitarias del tipo lfn, conectadas con los números ordinales puede
ayudar a que el niño empiecea construir su red de relacionescon respectoa
la noción de fracción.
Una buena introducción a las fracciones mayores que la unidad, a las
y la preparación parala introducción
unidades vistas como <<cuatro-cuartos>
de los números mixtos, así como a una aproximación a algunas operaciones,
es el contar el número de partes en que el todo se ha dividido.
El proceso de contar fracciones unitarias como generador de diferentes
fracciones (propias e impropias) puede evitar la restricción que supone el
manejo casi exclusivo de fracciones menores que la unidad que tradicionalmente se ha asociado a la interpretación parte-todo.
Si el cuadrado es la unidad. entonces
clnco-cuartos .<+
€
uno y un cuarto
El problema posterior de ver los números mixtos como fracciones (y
viceversa)puede empezar a evitarse si los niños integran desdeel principio en
su red de relacionesdel concepto fracción las ideas relativas a las fracciones
mayores de la unidad que posteriormente se podrá representar mediante
números mixtos si queremos.
Llegados a estepunto, se debe ufllizar la notación de los números mixtos
desde un primer momento, y no darles un tratamiento especial.
También deben aparecer fraccionesmayores que la unidad, y no centrar
la atención sólo en las fracciones menores que uno. Se evitan así algunas
difrcultadesque los niños tienen en la identificación de la unidad cuando se
les presentan fracciones mayores que uno, habiendo estado identificando
desde el primer momento sólo fracciones como (parte de una unidad> de
forma estricta.
En resumen, creemos que es conveniente centrar la <actuación sobre las
fracciones> en la idea de fracción unitaria (1ln) y en el hecho de contar
fraccionesunitarias. Aumentando el énfasisen esta dirección estaremoscolocando las bases (establecerrelaciones entre los conceptos)para
-
-
la introducción de forma natural de las fracciones mayores que uno;
ver la unidad formada por todas las partes;
el uso de la notación mixta como una forma natural desde el primer
momento y como una alternativa a la notación fraccionaria de ciertas
fracciones;
preparación para las nociones de orden;
preparación para las nociones de la suma/resta de fracciones con el
mismo denominador y la multiplicación de un número natural por
una fracción.
Por otro lado, la suma de fracciones con el mismo denominador puede
venir <apoyada> tanto en la secuenciade contar fracciones unitarias, como
en la introducción de la notación mixta para las fracciones.
Así, el objetivo de esta fase inicial es conseguir colocar las basesde una
red de relaciones rica en información.
Regresandoal punto de partida de esta discusión,que era la traslación de
la forma concreta a la forma oral de las nociones iniciales del concepto de
fracción, cabría señalar que la traslación inversa viene caracterizada por el
hecho de que el profesor (u otro alumno) pida en voz alta una fracción y los
niños deben construirla con el material.
4.4.4, La forma escrita de la relación parte-todo: las fracciones
El problema que se puede plantear al intentar colocar de forma escrita
todas las relaciones que hasta este momento sólo se habían visto en forma
r00
101
concretay en forma oral, es el orden
de los dos númerosque hemosestado
manejando-Es decir,el escribir 413por
O",
Estadificultadsepuede.evitar:,
"uu.,or.
paiNe (1975)introduciendo
r"g,in r.iuru
antesde la representación
simbóri;" i; ir;;
escrita
(habiéndose
potenciado
previamentela forma oral)
Además se pueden plantear dilicultades cuando se manejan fraccionesmayores de la unidad. Aunque se indique a los niños que la unidad es
muchospara indicar la parte sombreadaen la situación
3 cuarros ñ
uo
4.4.5. Los diagramasy la forma escrita
Finalmentecuando se hayan cerrado
todas las
sentidos)entretodaslas formasde representación direcciones(en ambos
de ra partea) del e.¡quema
4.1debenempezarse
a introducirlos eia;;;;as como <dibujos>
del material
concretoutirizadohastaestemomento."De
todasformasse debeevitar una
traslacióndemasiadotempranaa los diagiamas.
No hay que olvicar que el
objetivoen estosprimerosmomentoses
crearun rico bagajeconcretosobre
el que poder establecerpoteriormente
las relaciones.
Ya en la parte ó) del esquema,las actividades
a desarro'ar en este
momento pretendenque el niño pueda
rearizarlu, truriu"ioi"J
lu.
distintasrepresentaciones
en cualquierdirección.
"ntr"
Entre estas trasracionesexistenutgunu,
que resurtanmás dific'es de
rcalizara los niños,por lo que se a.U."fr.rtu.
una atenciónespecial.
En particularen la conexión.
Diagrama
(¡-
-)'
forma escrita
a los niños les resulta más fácil
las actividades del tipo,
<Píntamelos dos tercios(2/3)de
la figura.>
indican5/8 en vezde 514.De ahí la necesidad
de prestaratenciónespeciala
las tareasrelativasa la identihcaciónde la unidad,reconocerlas partesen
que está dividida la unidad y las actividadesen relaciónal manejo de las
fraccionesunitarias(del tipo lln) como se indicó anteriormente.
Entonces,la utilizaciónde la notaciónmixta (númerosmixtos)debeestar
integradaen estosmomentosen las actividadesque consistanen desarrollar
la forma escritade las fracciones.
Para evitar dificultadesy posibleserrores en la notación se necesita
(tres-tercios>>
enfatizaren su momento,la equivalencia(cuatro-cuartosD,
<dos-medios>>,...
a la unidad. Este énfasiscomo habíamosvisto se puede
desarrollaren las situacionesde contar fraccionesunitarias.
El desarrollode la secuencia
,ncreto-forma oral-forma escrita-símbolos
(y viceversa)puede ser vista de la siguienteforma (considerando el rectángulo como unidad):
%
esto es un cuarlo, ll4
'%ru
dos cuartos,2/4
tres cuartos,3/4
que las actividades en las que
se les pide indicar mediante una
fracción la
parte sombreada de otra figura.
cuatro cuartos,414,o también
una unidad.I
%
cincocuartos,514,6| + ll4
102
103
A partir de estos momentos se deben introducir actividades que permitan
a los niños ttilizar el conocimiento que han adquirido en relación a la
noción fracción.
Estas actividades-ejerciciosson las que denominaremos (reconstrucción
de la unidad>. Hasta ahora se proporcionaba al niño fracciones unitarias y
ellos a través de la secuenciade contar recgnstruían la unidad (el ejemplo
anterior se desarrollaba con los cuartos), péro para generalizaresta situación, podemos proporcionar al principio la siguiente situación,
<Estoes los dos octavosde una hgura.¿Cuáles la figura?>
De forma esquemática y como guía del tipo de ejercicios que se pueden
plantear obtenemos el siguiente cuadro (Cuadro 4.2):
<Si este rentáneuloes los 3/4 de la unidad. intentad construir la unidad
entera.)
FORMA DELA UNIDAD
REcTÁNGULO
Claramente la realización de este tipo de actividadesrequiere un desarrollo de ia noción parte-todo mayor que cuando se inicia la situación con una
fracción unitaria.
Resumiendo, podemos decir que estas actividades anteriores de reconstrucción de la unidad tienen una doble versión, que viene determinada por
,r:
su grado de complejidad,
a)
b)
cuando partimos de fracciones unitarias, y
cuando partimos de una fracción cualquiera,
Ejemplo:
Se parte
de fracciones
unitarias
Ss pnnrs
DE FRACCIONES
CUALESQUIERA
así, debemos tener en cuenta estos niveles de dificultad cuando planteemos
las actividades de traslación entre las distintas representaciones.
Otra variante de estos ejercicios consistiría en cambiar la forma de la
hgura <todo) que se considera en cada momento.
En el caso anterior la forma era un rectángulo, pero podemos modificar
esto partiendo de otras figuras. Así, tenemos actividades del tipo
A
Es1/ 4de
n
|
l-|
|
la f-rgura.
¿Cuál es la figura?
Ejemplo:
Es 3/4 de
|
| la figura,
¿Cuáles la hgura?
Cunr-euInnoru
FIcunl
Ejemplo:
Es l/4 de
^
u
r'gura,
/\
/
\
¿Cuáles la hgura?
Ejemplo:
Es 3/5 de
la figura,
|
Ll
¿Cuál es la figura?
-
4.4.6. El problemade las citas perceptuales
Por otra parte, el uso de diagramaspuedehacer que introduzcamos
en el desarrollode las nocionesen los niños.Si a un
pequeñasalteraciones
ni¡b en esta fasese le pide sombrearlos 314de la siguientefigura
/t\
ffi
\
(Esto es los tres cuarto de un todo. Dibuja el "todo".>
\l
)
A
<Esto es los dos cuartos. Dibuja el "todo".)
104
sele puedenplantear dilicultadesporque no concibela necesidadde modifi(informaciónvisual que nos ofrecela imagen,que
perceptuales>
car las <<citas
puedeser irrelevante,e inclusodificultar el procesode comprensión)que le
muestrael diagramar.
1 BsHn et a/. (1983) han conjeturado que da extensión en la que un niño es capaz de
resolver los conflictos entre el procesamiento perceptual de la i¡formación visual y el procesamiento cognitivo de las relaciones lógico-matemáticas es vista como uno de los varios
indicadores importantes de la capacidad de comprensión del niño del concepto de número
racional>.
105
citas perceptrrales
son el uso de liguras no convencionales.por
^,^*O_11ut
e.¡emplo,
<Colorearlos 4 spptimosde
estafig,rra,
las
Puesbien,en estosmomentos,en los que hemosempezadoa representar
y
debesímbolos,
parte-todoa travésde diagramas,forma escrita
relaciones
mostambiénponer de manifiesto(ya que realmenteestánimplícitasen estas
con las fracciones.
algunasoperaciones
situaciones)
que
contamoslas fraccionesunitariaspara identilicar
En el momentoen
<¿cuántohay?>.
-cuarto,y otro cuarto,y otro cuarto,y ...)
o también<colorearlos 4 novenos
de estafigura>.
estasituación:
se debenya introducir los símbolosque representan
u 4 + u 4 + 1 1 4 + ...
debemospresentarcomo un todo los símbolosy relacionesentrelos símbolo mismo.
los, que de hechorepresentan
Si el cuadradoes la unidad.Entoncesla siguientesituación:
La introducción de estaspequeñas
<anomalías>sólo debe realizarse
cuando el niño haya conseguiáo
una buena red de relacionesrerativas
al
conceptode fracción,a travésde ras
actividade^s
anterioresque debenpermi_
ttr^afianzarsu capacidadpara
*"i¡l"i-i", diferentestrasliciones
entre ras
drstrntasrepresentaciones
(considerando
ahora la parte ó) ;;i;qr"ma
4.1)
usandocomo ejeslos diagrama,y poJ",
iarizar modificaciones
de
las
citas
para poder encajar-larituu"ion
en su esquemade relaciones
r:",:tlytr: a
relatlvas
las fracciones.En palabrasde Bnun,
cuando
- el niño hubiese
conseguidoinformación suficiente
para pod"r í"riri,
pro""ru,ni"nto
- Iógico-matemáticas
relaclones
"i'
der concepro'rrucc¡on
(rela:,"rXHtJ:-,*f]s
está representada a partir de la secuencia de contar fracciones unitarias por
u4+rl4+rl4+rl4+rl4
(tantas
Ampliandola noción de multiplicaciónde númerosnaturalescomo
vecesalgo), esta expresiónse puederepresentarpor
5 veces1/4
es decir:
4.4.7. Las fraccionesunitarias,el contar
y las operacionescon fracciones
Dos ideas básicashemosestado
manejandohasta estosmomentos
en
relacióna la secuencia.d¡enseñanr^;
q;.-ñ,nita conceptualizar
las nociones
iniciales(atributos)del concepto
rruc"¡¿r,lretaciónparte-todo).Estas
ideas
son apoyarnosen:
- Ia noción de fracciónunitaria.
v
- en el contar dichasfracciones
para
106
obtenerIas demás.
5xll4
pero tambiénsabemosque se puederepresentarpor
| + 114 (esdecir, 1 1/4)
simbólicasaparecende forma natural si utiliTodas las representaciones
zamos como apoyo las fraccionesunitarias y la secuenciade contar. No es
que pueden
que ocultemosa los niños todasestasrepresentaciones
<<lícito>
vocabulario.
a
su
y
aparecerde una forma tan clara vinculadas
to7
si utilizamosde forma natural todasestassimbolizaciones
para las situaciones parte-todo conectadasa situacionesconcretas,no deberemostener
muchasdificultades'enque los niños las puedanmanejardesdeun primer
momento.
un buenmodelo para apoyarestasrelaciones
lo puedeconstituirla recta
numérica,siemprey cuando,tengamosen cuentatodas las dificultadesque
puedeplantearel asociaruna traccióna un punto de la rectapor partede ios
niños(véaselas secciones
3.2.3y 4.4.10)
1 + 1 /4
5/4
1 1 /4
La sucesiónde contar hacia adelantetambiénpuedeinvertirse.contar
hacia atrás (quitar fraccionesunitarias),desarrollala idea de restade fraccionescon el mismo denominador.
Si consideramos
un cuadradode papel como unidad y lo dividimosen
partescongruentesde las cualespintamos de rojo tres de estaspar,les,para
establecer
la parte pintada en relacióna la unidad
lossímbolosparalosniñosnodebeplantearproblemas.Pero.nohayq
para las operacioolvidar que desde,.t. fun,o al manejt de los algoritmos
nesquedatodavia un largo camino'
como:
Sin embargo,situaciones
tengo
214mis ¿cuánto
<Tengoenmismanos314delahojay ahoraconsigo
ahora?>
<Teníauno y he perdidoun cuarto'¿cuántome queda?>
enlasquesemanipulaelmaterialySeexpresanverbalmentelasdescr
situaci6n, para posteriormente
nes y las relacionesentre los elementosdé la
hacerlasrrpr.r"nru.*smediantelossímbolos'puedenintroducirnose
esteterreno.
Enlasseccionesquesiguenmostramosotrosconcretoscuyautiliz
aspectosde la relación parte-todo'
puede ayuda, u
"o-pl"turtiferentes
Enellanosevanarepetircontododetalleloquehemosexpuestopa
pero dibe ser obvia la posibililos contextoscontinuJs óoJ"ro rectángulo)
concretos(tangram' regledad de trasladar las ideasexpuestasuq"t u titot
(rectanumérica)si la situación en
tas, contexto discreto)o representaciones
el aula permite estedesarrollo'
4.4.8. La utilizaciónde otros concretos
si cada parte la hemos llamado un-cuarto la parte pintada es la unidad
menosun cuarto,
r_ tl 4
De estaforma seintentaque al desarrollaren estosmomentoslas traslacionesentrelas representaciones
concretasde la fraccióny las formasescritas
y simbólicasse amplíe la <nociónde fracción>mediantela utilizaciónde
diferentesrepresentaciones.
Es decir,se pretendeque la idea de fracciónse
forme (conceptualice)
junto con el inicio a las opeiaciones.
una vez abierto el camino,los niños puedenbeneficiarse
de la multitud
de posibilidadesque se le ofrecenante sus ojos e incluso poder llegar a
utilizar combinaciones
de operaciones
para representar
las fraccionesque no
hubiéramospodido imaginar.
si se tienela suficienteprecauciónpara llegara estosmomentoshabiendo los niños manejadogran cantidadde situacionesconcretasy realizado
gran cantidadde traslaciones
entrelas representaciones,
verbalizandotodas
las posibilidades
que selespresentendelante,o que elloscreanver,el uso de
108
Elestablecimientoderelacionesentrelosdiversosaspectosdelcon
las diferentestraslacionesentre
inicial de fracción uri"otlro del desarrollode
pueden ser
indicadasen el esquemaanterior también
las representaciones
mostradasapafiirdeotromaterialconcretodistintodelosfoliosydel
hojasrectangulares,comopuedeseratravésdelasfigurasdeljuego
TlNcnmu(parasabermássobreelTnNcnnu'consultarJ'Er'rrnns'Elj
1982)'cuyaconft::,t:::" especial
deformas chíno. Et'toNc*¡'on,Ed' Labor'
congruentessin necesidadde
partes
iuí v ra"ude
puedeayuda, u
"on"'.fuu1i
tener la misma forma'
ElTlNcnluestáformadoporuncuadradodecartulinaoplástico
figura'
dividido en sietepartes,como muestrala
109
a parte de los diferentesjuegos
de índoles geométricosque se pueden
organi_
zat, la noción parte de lu *i¿u¿,
**úr",
de las partes,...también encuen_
tran con
figuras un buen campo áe desarrollo.
9¡.tT
La fac'idad de construcción
de estas figuras hace posible que
todos los
puedan
ffi,T",1eu,Haula
oisponer
á"ilua..iul pu.ui*uájá. ,n grupo,o
La potenciaciónde ros procesos
de verbarización
de los niños en las
diferentes
actividades.qu.
r" pu.áun á.iirr-otu. con este
(aspectolenguaje>adquiera
haceque er
iu verdaderadimensiónen -ui..iur
de llegara
la conceptuarizacióndela relació"-fu*.l,oto.
"t;;;.
Las fases
de trabajo con este
materialmanrienen,los
mismosupu.tuaá,descritosp";;
;r;;;os
de papel
rectangulares,
atendiendoa las diieccion",¿"1
,rqu",nu-a.-üs rlprerentacio_
Además
ffi1Jrj?*::iones'
potencia
nociones
comolaso" suf"rnci"s
equiva-
otro materialestructuradoque puede
ayudara conceptualizar
todaslas
nocionesy reracionesindicadas'so"'ior
Númerosen color. No
"ono"idos
deeste."i;;il;.;que
consideru_o;
q;; essuficien_
lil:H'ff:mención
4.4.9. Los contextosdiscretos
Al principiode estecapitulo,habíamos
señaladola necesidad
de incorpo_
rar en un momento dado a ra secuencia
de enseñanz;1;;;;
conrextos
discretosdondela relaciónp"r,"-irá.
presente.El motivo consistía
en presentardesdediversasperspectivas
"rluui"ru
la noción de fracción.Se intentaba
evitar asi que la formación ¿e
¿sta lrü u¡n"rruda sólo a determinados
concretos'podríamos_
entenderesto como una expresión
del principio de
Drc¡'¡Bs
de variabilidadpercepriv"i;;r;;;i;
percepción,
mantenerla reración
(estructura)matemática).oJ toaas
for;; iuy iu" ;;;"t""res
que ra
1hcha,,
eu,uui,o,,
) puede
;H:iHTrlH:1];iXffi:""1;* ffiiretos
El énfasisque se rearizoanteriormente
s.ob_re
er paper que juegan las
fracciones
unitariasen la_concep,""l¿".i0"
de la relaciónpárte-todo,u.n_
a inrenraraIIan
*X".lr:i"ff :
ar
; ; i_Jin;uItad; ;;il;
"lc
ri-*,* n conrex_
Si tenemosun conjunto de cinco
fichasy consideramos
que
ooooo
;:ilt:ltj:t'
110
cadaficha se consideraun quinto de
Las dilicultadespuedenempezarcuando hay que considerarpartesde la
unidad formadaspor diversosobjetosdiscretos:
,,C- Q ' o o o o o o o o
sonun quintode la unidad.>
n"n". oscuras
-t*
Reconociendolas difrcultadesque puedanaparecer,las actividadesque
planteamosdebenestardirigidasa:
- reconocimientode la unidad;
- reconocimientode partesde una unidad,y
- ¿cuántaspartes?
En un primer momentolas situacionesque sedebenpresentarson aquemás familiaresa los niños
llas que conllevanfraccionesque consideremos
que
estéformadade tal modo
y
la
unidad
(medios,tercios,cuartos,...) en las
(subgrupos
de un elemento).
partes
una
ficha
que las
coincidancon
unidad
como
Si consideramos
ooo
<¿lopuedo separaren tres grupos iguales?>
iO iÓ; O
<¿Cuánto es un grupo del total?>: <<unade las tres>, <un tercio>>,<1 tercio>, <1/3>.
Si consideramos como la unidad
oooooo
<¿puedosepararlosen dos grupos iguales?>
e-ao; O-o--ó;
la unidad sin demasiados
<¿Qué es cada grupo en relación a la unidad?>):(una de las dos>, <un medio>, <1
medio>. <1/2.>
111
Hay que evitar que los niños puedan confundir la cantidad de hchas en
cadaparte (subgrupo) con el número de partes que se tengan. Esta situación
se puede presentar en:
<Si consicléramoscomo unidad
oooo
(0__a'.p___o;
¿Quées cadagrupo en relacióna la unidad?>
La expresión <dos grupos iguales>>
y <dos fichas en cada grupo> pueden
llevar a confusión. La comprensión errónea de la relación parte-iodoque se
da en esta situación se nos muestra cuando algún niño puede tener dificultades en determinar los tres medios en la situación en la que perceptualmente
se induce a ver dos grupos de tres.
ooo
,.,
Para intentar evitar estas confusionesse deben introducir actividades en
que sean distintos el número de fichas en cada grupo y el número de grupos,
siguiendo la secuenciadescrita en la actividad anterior.
De todas formas el uso de la fracción unitaria y el contar los grupos
formados ayuda a conceptualizarla relación parte-todo en contextos discretos también.
Por ejemplo, si consideramos como unidad
ooo o o o
formamostres gruposiguales
,'ó-ó'l
\1,,
'.r_u__
iÁ-ñ',
..V_ _V_r, í^i.\/_ _!/i
^, ..un
.,unode tres,',
<¿qué
escadagrupoen relacióna la unidad?:
tercio".>
Luego:
iTY^ -^
Yi
(0-O
untercio
(ÓO
doste¡cios
-
separarlosen dos gruposiguales?
¿puedes
ooo
Estas actividades se pueden realizar siendo los niños las dtchas>>.
lñ-Al
rÁ-^'
lórres
rercios
'\l_ _v;''.Y _Y,'.:_ _ _O';
_
Formar grupos que se consideren como la unidad;
subdividirlo en subgrupos de igual tamaño (con el mismo número de
niños en cada subgruPo);
¿cuántos subgruPos se han hecho?;
¿cuáles el nombre de cada subgrupo en relación al grupo total?
Por ejemplo, si teníamos en un primer momento un grupo de diez niños'
hacemossubgrupos,supongamosque cinco.
Cada grupo es uno de los cinco en que se ha dividido la unidad, es decir,
un quinto (1 quinto, 1/5).En estemomento otro niño distinto a los que están
en el grupo puede ir señalando cada grupo diciendo:
<<unquinto>
<dosquintos>,... ...
haciendo al mismo tiempo que se vayan reuniendo. Al llegar al cinco quintos, obtenemos otra vez la unidad. Se puede ampliar la idea de fracción a
fracciones mayores que la unidad, formando con los demás niños otros
subgrupos del mismo <tamaño> que el que habíamos llamado un quinto (es
decir, grupos formados por dos niños), y proseguir el proceso de ir añadiendo <quintos> al grupo inicial, obteniendo fracciones mayores que uno.
Al mismo tiempo que se está realizando esta actividad, podríamos tener
unapizarra de franela (o un gran póster-mural de papel) en la que tenemos
pegada fichas que representana los niños.
En dicha pizarra, manteniendo visible un grupo de diez firchasque representan la unidad, otro niño podría ir representandolos distintos grupos que
se van formando, emparejando grupos de fichas con tarjetas que indiquen su
representación(forma escrita, símbolo) como fracción.
En la pizarra de franela vendría representada una situación como la
siguiente:
unidad
tr-trcn
tr8trD tr
@
@@
@ @@
@@@@
____.>
I quinto: 1/5
-->
2 quintos:U5 + ll5 : 215
I
3 quintos:ll5 + 115+ ll5 : 315
-
4 quintos:115+ ll5 + ll5 + ll5 : 415
-
Al mismo tiempo que se van contando, es interesante que se vaya señalando con el dedo cada grupo.
lt 2
il3
Todo este proceso debe ir acompañado de un diálogo entre los niños y el
profesor y entre los propios niños discutiendo lo que está ocurriendo. El
lenguaje debe estar considerado como un <vehículo>>en la formación del
concepto.
Las diferentes organizacionesde los datos, expresionesutilizadas, símbolos,...deben ser integradas por los niños dentro de sus esquemasde relaciones de la noción fracción, y para eso es necesarioque expresenverbalmente
lo que ellos <están viendo> que está sucediendo en esta situación.
La utilización de todas las representacionesmediante símbolos que puedan manejar los niños debe ayudar a mejorar la conceptualizaci1nde la idea
de fracción por ellos.
Expresiones del tipo <cinco veces un cuarto)), (uno y un cuarto>, <dos
menos tres cuartos>>,<<cincocuartos),... utilizadas por los niños en estas
situaciones,deben tener su (respuesta> a través de los símbolos:
5xll4
,1+tl4
,2_314
,514
otro materialquepuedesugerircontextos
discretos
puedesercartones
de huevos. La relación parte-todo puede ser vista de formá clara al comparar
el número de huevos en los huecos en relación al cartón entero (¡¡indépendientemente de lo fácil que pueda resultar obtener este materialllj.
Para completar esta serie de actividades,recordamos en estos momentos,
la necesidadde introducir las actividades de reconstruir la unidad a partir de
cualquier fracción.
Por ejemplo:
(Si
!!¡
! !
¡trtr
¡
es los 3/4 de la unidad.¿Cuáles la unidad?>
De todas formas, tanto con los niños como con los cartones de huevo o
las fichas, la estructura de la secuencia de enseñanzaes la misma que la
descrita a través del esquemade las <representacionesy traslaciones>,enfatizando las ideas indicadas en los puntos 1-5 de la secuencia descrita por
Coxnono et al. (1975) (sección4.4.1 de este capítulo).
Apoyados en la idea de medida, los niños pueden empezar a utilizar la
recta numérica en su trabajo con las fracciones.Si cada segmentounidad lo
dividimos en cuatro partes, la recta numérica apareceríacomo
o-123
cada parte del segmento unidad recibe el nombre de un cuarto' y utilizando
la longitud podemos dar nombres a cada punto,
9123
¡
,
,
rl4
,
I
r
I
214 314 414 sl4
¡
¡
I
614 714 814 el4
|
'
'
'
'
'>
r+ r 1 4
r*u;*tlo
Las actividades iniciales deben consistir en establecrasociacionesentre puntos y fracciones habiéndose realizado un número determinado de divisiones
,.g-"nto unidad (lo que determina el nombre de cada división).
.n
"l
I
¡
o
|
't/s D
,
I
L
t
1
315 tr
tl
trtr
I
¡
7/5 El e/5
I
I
2
|
|
|
't>
tr
El énfasis en la asociación de la fracción a un punto debe estar dirigido a
superar las dificultades y problemas que los niños tienen con esta representación señaladosen la sección 3.2.3 del capitulo anterior'
Es intresante que los niños hayan superado las dificultades del manejo de
la recta numérica si pretendemos usarla en el desarrollo de nociones posteriores como puede ser la equivalencia de fracciones.
Algunas actividades que nos indiquen el grado de manejo que muestran
los niños con la recta numérica pueden ser del tipo siguiente:
<Asociar una fracción a cada punto.>
5/6
4.4.10. La recta numérica
La idea de fracción asociada a un punto de la recta numérica (caracterizadaen la sección 3.2.3)pertenecea un nivel más abstracto en relación a lo
que hemos estado mencionando hasta ahora. Sin embargo, si los niños están
acostumbrados a manejar la recta numérica como un recurso didáctico en su
trabajo con las operacionescon los números naturales puede que esta identificación punto-fracción no sea tan dura.
r14
1/3
Está claro que el nivel de desarrollo de estos ejercicioses distinto que en
los contextos continuos y discretos.
El carácter más abstracto que muestran estas actividades hace que Se
deban retrasar hasta que el niño tenga un manejo correcto de los diagramas
y símbolos desarrollados en los otros contextos. Las dificultades que puede
115
presentar el manejo de esta representaciónhace que debamos ser prudentes
para evitar que los niños lleguen a realizar manipulaciones de símbolos que
pueden no tener sentido para ellos.
El hecho de que en la recta numérica (cuando se prolonga más allá del
uno, como suele ser el caso) se deba tener en cuenta la relación entre el
denominador de la fracción y el número de subdivisiones del segmento
unidad, establece una diferencia con los contextos continuos o discretos
(Novnus, 1980). En este caso aparece ya de forma implícita la noción
de
equivalencia.
Por todo ello debemos tener precaución si llegamos a utilizar este modelo para representar las sucesionesde contar fracciones unitarias.
4.5. VARIOS NOMBRES PARA LA MISMA RELACION.
LA IDEA DE EQUIVALENCIA
Al plantear tareas de clase en las que se desarrollan las nociones iniciales
del concepto fracción, tanto en contextos continuos, discretos,como
con la
recta numérica, a vecesse pueden plantear situacionesen las que la relación
de la parte considerada y el todo puede venir descrita mediante parejas
de
números distintas.
''wma
4de 8
%77
2de4
T
4d e 8
1de2
(4,,!@rti'O'liO',íáá,,róór
'r9'\9-/
'@,''@/
2de4
tde2
"?9r",,_O__O.ri
4de8
o! l
como discretos.
De todas formas la idea matemática de equivalencia puede tener varios
niveles de sofisticación. El manejo de esta relación en situaciones concretas
(continuas o discretas) no tiene por qué inferir el manejo correcto de los
símbolos matemáticos
tl 2 : 2 1 4 : 4 1 8: . . .
213: ?16
b)
@ @o o
@ @o o
f
La importancia de la idea de equivalencia de fraccionesse debe al papel
clave que juega en diversos aspectos:en la relación de orden (ordenar dos
fracciones,insertar varias fracciones entre dos fraccionesdadas),en el desarrollo de los algoritmos de la suma y resta de fracciones de denominador
diferentes.En un nivel más elevado, la conceptualizaci'ln del número racional como clases de equivalencia de fracciones (entendiendo como clase de
equivalencia el conjunto de todas las fracciones que describen la misma
relación entre la parte considerada y el todo).
Además, la idea de fracción equivalente,sintetiza algunos de los atributos
identificados para manejar la noción de fracción como <las partes también
pueden considerarsecomo todos> (Pncnr et al.) y <subdivisionesequivalentes> (PnvNr), es decir la habilidad que puedan desarrollar los niños para
poder considerar una parte de un todo (un subgrupo de un grupo) como una
iegión (subgrupo) no divida y como una región (subgrupo) con divisiones.
Además, como habíamos señalado anteriormente (sección4.1) son requisitos previos para la comprensión de la equivalencia el haber desarrollado
las ideas relativas a la relación parte-todo tanto en contextos continuos
2de4
l de2
por tanto el trabajo en la escueladebe ir dirigido a que los niños desarrollen
en un primer momento estasrelaciones(la equivalencia) en contextos concretos
(continuos y discretos) potenciando la capacidad del niño de realizar traslaciones entre las representacionesconcretas, así como de realizar las traslaciones a
la forma oral, escrita y simbólica, según el esquemade la sección4.4.1.
No podemos describir todas las actividades necesariasen relación a cada
una de las representaciones,y a las traslaciones entre las representaciones,
porque la extensión de este volumen no lo permite, pero debemos decir que
€n estos momentos, aparte de desarrollar una relación (la equivalencia) se
pretende fundamentar una regla por lo que creemos que la secuencia de
actividades debería venir determinada por el siguiente esquema, modihcación del aparecido en la sección 4.4.1.
Concreto
Esta posibilidadamplíael ámbito de las nocionesrelativasa las fracciones (relaciónparte-todo).Estas situacionesdescribenel signilicado
de la
equivalenciade fracciones.
lt6
Simbolos
Diagrama
tt7
La forma oral sobrerasflechasindica que en estemomento el
lenguaje,la
verbalizació,nde lo que seestáhaciendo/pénsando,
debeconstituir er vínculo
de unión (medio) para pasar de los concretos/diagramas
a los ,i,nuolor.
La habilidad del niño en rearizarlas diferentestraslaciones,
así como su
paulatina independenciadel material concreto se pueden
índicesdel desarrollo de esta idea matemática.
"orrrid"ru, "o-o
otraparte,
la
dificultad
de
la equivalenciade fraccionesradica en el
lo.
hechode tener que vincurarras manipuiacionesque se rearizanen
contextos
concretoscon la regla de obtener fraccionesequivalentesen
el niver de los
símbolos.Es decir, en un contexto continuo (modelo ,""tárg;i"testablecemos nuevasdivisionesen el todo o ignoramosparte de las q-ue
puru
encontrarfraccionesequivalentes;en un contextodiscreto."áüru-o,
"*irt"r,nuevas
reordenacionesde los elementos(fisicao mentalmente)para
obtenerfraccio_
nes equivalentes.
Así, estasactuacionesen el nivel concretohay que vincularlas
a la regra
de tener que multipricar o dividir er numerador y el denominador
de la
fracción por el mismo número para obtener fracciones
"q"iuur"ni"r,
f-ol "!
4+ 4
8+ 4
,/bJ\
1
4x2
8
2
8x2
16
Además se presentael hecho de que los niños en un nivel
_
simbórico
admiten con mayor facilidad el procesóde obtenerfracciones
con términos
mayores(mediantela multiplicación)que el procesode obtenerfracciones
de
términosmás pequeños(mediantela divisiónl.
El tener que fundamentat ra rqgla que produce fraccionesequivalentes
hace
que tengamos que secuenciardebidamentelas actividades
evitando
pasarrápidamentea la manipulaciónde los símbolos,sin que
estasmanipulacionestengan un apoyo concretofuerte. posteriormentedebemos
intentar
que el pensamientode los niños seindependicedel material y
de las manipulacionesdel mismo para que seconvieriarearmente
en erabóraciones
mentales. Este es el <quió> de la cuestión,casi un arrna de doble filo.
De.todas formas,pareceser que las secqencias
de enseñanzabasadasen
-las actividadesde doblar papel
resultanefectivaspur"
p.oposito (Bon,rN,1971,citado por p^a.vun,1976).
"onr"g.rir.rt"
A ello seañadela necesidadde utilizar un solo rnodelo(modelorectángulo, en el contexto continuo) en ra rearizaciónde las actividades,ya
que la
utilizaciónsimultáneade contextoscontinuosy discretospueae perjudi_
ser
cial para la adquisiciónde la reglaque permiteobtenerfraccionesequivaljntes.
r 18
Sin embargo,es de suponerque en un momento posterior de la secuencia
de enseñanzaserá útil proponer actividadesen contextosdiscretosque requieran el manejo de la idea de equivalencia.Eso hará que los niños tengan
la oportunidad de ampliar su noción de equivalenciaa situacionesque en el
mejor de los casosnecesitanuna manipulación previa (en el plano de lo
concretoo mental)para poderserealizar,ademásde que si utilizamos fichas
como concretos puede ser que no haya una unidad predeterminada.Por
ejemplo,si tenemosla representaciónsiguientepara dos sextos(2/6),
@ @o o o o
para obtener una representaciónde un tercio (1/3) hay que realizar un
reagrupamiento(manipulativa o mentalmente)de las fichasy considerarlos
grupos formados por dos fichas.
t,a__@;(A
_0)'lQ_O
Pero por otra parte,si queremosobteneruna representaciónde 4112,deberemos considerar como unidad, por ejemplo, un grupo formado por doce
fichas con cuatro de ellas coloreadas
@oooo
@o o o o
@
@
4112
teniendoque reagruparlas fichasde dos en dos para obteneruna representa
ción del 216(queesla situaciónde la que partíamos)para poder establecerla
equivalencia.
ttb'tidtíoliOrOlíoi
I
t r
l¡
ll
lt
ll
I
loi'.9 tg/
\@), \9,1
-@)
Este hecho de tener que <conjeturar) cuantasfichas deben formar en este
casola unidad para obteneruna buenarepresentaciónde la fracciónequivalente, o en el caso anterior, el tener que determinar <cuántas>fichas deben
estar en cada subgrupo, hacen que el manejo de este concreto sea más
complejo.
que busquela genera
de enseñanza
Lo anteriorjustificaque la secuencia
con
términosmás grandes
equivalentes
de
fracciones
lizaciín en la obtención
único concreto.
como
modelo
rectángulo
del
en
la
utilización
se base
119
De todasformasno hay que destacarla posibilidadde utilizar contextos
discretosposteriormentepara ampliar la <red de relaciones>relativa a la
equivalencia,cuando ya nos hayamos aproximado a la regla de encontrar
fraccionesequivalentesen el nivel simbólico.
En lo que sigue vamos a intentar describir las características
de la
secuencia
de enseñanza
basadaen el contextocontinuo,modelo rectángulo,
y desarrolladamedianteactividadesde doblar papel.
Si tenemosdos hojas rectangularesde papel con dos tercios (213)som_
breadosen cada una
dos de tres, 2-tercios.2l3
En estosmomentosse suponeque los niños ya no debentener problemas
con las nocionesrelativasal conceptoinicial dé fracciónpara podór introducirlescon éxito en estanuevasituación.
Entonces,mientrastenemosuna hoja delante,encimade la mesa.con Ia
d
otra realizamosla siguientesecuencia.
<Doblarlapor la mitadhorizontalmente.>
<Desdoblar,¿encuántaspartesha quedadodividida ahora la unidad?:en
seis.>
<<Encuántaspartes estabadividida antes?>(sólo hay que comparar con la
hoja que tenemosdelante):en tres.))
<En la que tenemosahora, ¿quées cada parte de la unidad?:un sexto.))
<¿cuántossextostenemossombreados?
(mientrasse cuentaen voz alta ir
señalandocon el dedo):cuatro sextos.))
<¿Cómolo representábamos?:
4f6.>
colocando las dos hojas de papel que teníamos, una al lado de la otra.
con la fracción que indica la parte sombreada.
213= 416
120
Estasactividadesesimprescindiblequelashaganlosniños.Tienen
suscomenvalor si esel profesorquien realizala manipulaciónguiando con
es
vital para
personal,
manipulación
la
de
trabajo
El
tarioslas observaciones.
que se estánrealizando.
la interiorizaciónde las transformaciones
la atenciónde los niñoshacia
trasladar
es
momentos
El objetivoen estos
relación al
las modilicacionesque sufre el número de partes sombreadasen
número de partesdel todo.
SegúnEr.r-nRBRUcHetal.(|978):<Laideaesencialesrelacionarl
general,
y
dobleás de la hoja de papel a la idea de doblar, triplicar, en
presiona
Se
número...
multiplicarel numeradoiy denominadorpor el mismo
y doblar
la relaciónentrela ."pr.rión verbalde doblar el númerode piezas
el número considerado.>
Asi indican:
ru
El número total de las parteslo hemos
multiplicado por dos, el número de partes
sombreadastambién lo hemosmultiplicado por dos'
4de8
Los cuartosestánsombreados.
2de4
Podemosmostrarlaequivalenciaconectandolosdiagramasrectang
que
,", y lu recta numérica.És una forma de organizarla información
regla'
la
a
poseemosen estosmomentos,que puedeayudara aproximarnos
de
'S;;p;;
en las actividadesde gtnétu. la familia de medios,de cuartos'
unitarias'
fracciones
de contar
tercios"..que salena partir de lás secuencias
Si iodós los dobleieslos realizamosde forma verticaltenemos,
Familia de los
medios:
Familia de los
tercios:
Familia de los
cuartos:
I
lr:
rll
I
l' l' l'l
'!
ttz
ó
2/4
i
stz
2
2/2
3/3
4/4
6/4
4/2
6/3
t'!'l 'l
3
612
9/3
t2l
rsra representaciónpuedeser más clara
aumentandoer número de fami_
lias consideradas.Así seobtienenlr"
r¡g"ü,"s fraccionesequivalentes,
entre
r/2 : 214
l:tll
: 2/2:3¡3:4/4:...
312: 6¡4
2:2/t:
412:6/3:gl4:...
5/2 : 1g¡4
3:3lt:
6/2:9¡3:t2/4:...
si toda esta información la podemos
colocar en una gran pizarra d,e
franela en er aura, ra dirección
estosmomentos es descubrir el
modelo numérico que se sigueen
"'G;i;;
ta generaciónde fraccionesequivalentes.
La ventajade podermosrrartanta inform*tó;;i;;;;#;",
a través
de Ios datosorganizadosenra pizarriá"
iün.ru, esquefacilitael determinar
la regla que se sigueen todas rásfamitias
áe fraccionesequivarentes,
al tener
ante la vista varias de estasfamilias.
El objetivo de utilizar estegran <pósten
en la clasees que ,iruá'"omo
motivo de discusiónasí como J" upoyo-.n
ros comentari*;;;;"
rearicen
entrelos niños o entrerosniños y práteroi.
La.búsqueáaá"iáoa.ro,
q.r"
se sigueen la formación de las iamiiias
"r
áe f.accionespuedeser considerada
una actividad de gran grupo (con la
claseentera),o una actividad a desarro_
pequeñoscrup+ d-etiabajo, rr"ui"n¿o
posteriormenteuna sesiónde
llar 1n
puesta
en común entre los distintós.grupos,
iu qu, ; p;;;; r"*.nunm"rto
lo encontrado por cada grupo' uri ";;;i;s "n
procesosque se han seguido
para determinarla respuesta.
El descubrircómo sepasade una determinada
fraccióna la siguienteo a
la anterior, se puede afiinzar
siguientesactividades-ejercicios
que ayudan a rearizarel paso de
-"di;;;-r;;
ras repres"ntu"ion.s
a Ia regla(Errnnnnucn y pevNn, f qió,----'
";;;r*^;iagramas
a) Algunas de las situacionesanteriores,
mostradasen el póster-murar
puedenrepresentarse
por
2x2
4x2
4x
122
:_
3?
4t2
c) Dadas dos fraccionesy un nuevo denominador,encontrarfracciones
equivalentes.
<Dadaslas fracciones213y 3/4. Escribir cada fraccióncon un
denominadorde I2.>>
2?3
-:3r24
?
l2'
d) Dadas dos fraccionesencontrarfraccionesequivalentesa las dos, con
un denominadorcomún. El algoritmoque estosautoressugierenes
elegirel denominadormás grandede las fraccionesdadase ir intentando múltiplos sucesivos.
El verdaderovalor de estosejerciciosse encuentraen el análisisde los
procesospersonalesconjeturadospor los niños en su trabajo en pequeños
grupos y en las discusionesposteriorescon la claseentera cuando cada
grupo presentay justificasus procedimientos.
En las secuenciasde ejerciciosde este estilo, los niños encuentranmás
fácilmentelas solucionescuando lo que apareceson relacionesde múltiplos,
por ejemplo:
3?
4t2
en dondepara pasarde 4 a 12 multiplicamospor 3, luegohay que multiplicar el 3 del denominadorde la primerafracciónpor el factor 3 para obtener
el numeradorbuscado.
Sin embargolos niños tienenmás dificultadesen los ejerciciosen los que
no se da estarelaciónde múltiplos,por ejemplo:
912
-:t2?
así, los siguientesejerciciosse pueden
proponer para ayudar a la
generalización.
i) 2 x 2
b\ Dada una fraccióny un nuevo denominadorencontrarel numerador
ii)3x?_
4x?-
en estecasoel paso de 9 a 12 no es a travésdel producto de un número
natural.
de ejerciciospropuestapor Ennnnnucr et a/. (1978)se
En estasecuencia
que en todo momento los niños puedenrecurrir al material
sobreentiende
para comprobar sus resultados.
123
Además, la verbalizaciónde todos los pensamientos
subyacentesa Ia
manipulación, sea de símbolos o concreta, ayudará
a interiinzar la regla
puestade manifiestocuando se construyen
familias de fraccionesequivalentes a una dada.
Esta secuencia,con la que se obtiene el procedimiento
para obtener
fraccionesequivarentescon_términosmayores,
debería
con acti_
vidades-ejercicios
de simplificación:
""-pl"tá^"
362??153
:
60:30:
15
10
n:
i
que ayudarán a mostrar la regla en todos sus
aspectos.
Hay que recordar que estosejerciciosson sugerenc
ia de aüiuidades que
ayudenal profesora estructurarsusaccionesdocátes. g.
J*ir,;
debenser
consideradoscomo ejerciciosindividualesa rearizarpor
cada niño sin antes
habersedesarronadoalgunascrasesprevias de
diálogo-¿ircuriáo pequeños y gran grupo.
"n
,, Y-" dentro del campo-delos símbolos,existensugerenciassobrela forma
de aftanzarla regla de obtención de fraccionesequivalentes,
que sfrpoyan
en la delinición del elementounidad.
..1
2..,
J' '
:
2 fú l
zr3
6
t *l¡j: i , s : o
La introducción de la multiplicación de fracciones,
favorecela utilización de
estassugerencias.En el capítulo siguienteveremosqué
ror-u pu"á"n adoptar.
También puedeser útil aprovecharla conexión
entre hs iraccionesy los
decimalespara determinarla equivalenciade fraccioner.
si Áuol¡o de los
decimalespor los niños nos lo plrmite, podemos
"r
utilizar la calculado
ra paÍa
mo'trar.dicha equivarencia.se enfatiza en esta
situación la conexión entre
las fracciones,la división de dos números naturales
y los decimales.
6
t:
2
,:
6 :3:2
3:2:
;
1,5 |
t2
: 12:6:2
6
6
4:6:4:1,5
Por otra parte el y19jo de la equivalencia
de fraccionesnos puede
permitir acercarnosa la idea de la densidad
de los ,rn-"ro, racionales,
medianteactividadesde búsquedade fracciones(entre))
otras dos fracciones
dadas.
A continuaciónvamosa ver cómo seutiliza la idea de
fracciónequivalente para determinarla relaciónque existeentre
er <<tamaño>r
d" ;;; iracciones.
124
4.6. LA COMPARACION DE FRACCIONES.
LA IDEA DE ORDEN
Una de las aplicacionesde la idea de fraccionesequivalentesse pone de
queremoscomparardos fraccionesy determinarsi una es
manifiesto,
",runáo
más pequeña,igual o mayor que la otra.
Oe tó¿asformas,el compaiar dos fraccionescon el mismo denominador,
sepuedehacerdirectamentecomparandolos numeradores.Estasactividades
debenseguir la misma secuenciaanterior, empezandocon concretosy mediante la-explicaciónpor parte de los niños de lo que se estálaciendo, o de
r" está haciendo determinada cosa, hasta llegar al
la razbn pór la
"u"l
símbolos.
manejo de los
Por ejemplo,al comParar416Y 516:
(traslación
al realizarlos doblecesde papel y sombrear la parte indicada
la unidad
tener
fracción),
concepto
del
símbolo-materialen la secúencia
apoya'
es
inmediata,
partes
la
comparación
de
separadaen el mismo número
numeradores)'
los
(el
de
orden
naturales
números
dónos en el orden de los
<<4vecesun sexto y 5 vecesun sextoD,
y como cuatrO es menor que CincO,tenemosque cuatro vecesun sexto es
menor que cinco Yecesun sexto.
La primera dilicultad se presentacuando hay que comparar fracciones
con denominadoresdistintos, por ejemplo 516y 213.La construccióncon
material de las fracciones,y la comparacióndirecta, puede ser un primer
intento a realizar.Pero el propósito de la secuenciade enseñaÍzaes conseguir una independenciapaulatina del material, y pafa eso, si c€ntramos
iuestra atencién en lo que podemoshacer cuando comparamosfracciones
en material, encontramosque,
con el mismo denominadorrepresentadas
- podemoshacer la comparacióndirecta,y
- podemosapoyarnosen el hecho de compararel número de fracciones
en cada fracción'
unitarias que <<hap>
Una de las ideasimplícitas en estaúltima tarea es la necesariacomprensión de la relación invirsa entre el número de trozos de la unidad y el
tamañode las Piezas(Cuadro4.3)'
125
Cu¡dro 4.3
O
I
O
I
I
&
Una actividad (Posr et at-, 1987)que pone de manihestoesta relación
puedeconsistiren que los niños comparenante círculosde distintos colores
iinididor en diferentespartes el númerode partes que cubrenla unidady el
tamafrode las partes.
Colocando los niños por parejas y tomando como unidad el círculo
(todo) sepide a un niño que divida su círculo en cuartosy al otro el suyo en
sextos,planteándosea continuaciónpreguntascomo:
¿encuántaspiezasse ha dividido el círculo?;
¿quién tiene más Piezas?;
¿quiéntiene la Piezamás grande?
y el anotar las respuestasen hojas aparte puedeayudarlesa darsecuentade
ia relación inversa existenteentre el número de trozos en que se divide la
unidad y el tamaño de cada trozo.
Pauiatinamente,las cuestionesdeben plantearsede tal forma que los
niños deban contestara las preguntasprimero y luego comprobar sus res(si lo creennecesario)utilizando el material.
puestas
^
Además,los niños puedenutilizar diferentesprocedimientospara realizar
las comparacionesdependiendodel tipo de fracciones.La estrategiadescrita
al principio para fraccionescon igual denominador@16y 516)de comparación dirécta utilizando esquemasde ordenación de los números naturales
no son válidos cuando las fraccionesque tenemostienen igual numerador
pero distinto denominador,como por ejemplo 3la y 315.En estassituacio'
nes, haber conseguido una buena comprensión de la relación entre el
número de piezasy el tamaño. De las piezaspuedeayudar a que los niños
ante esta siiuación considerenque como los cuartos son más grandesque
los quintos entoncesla fracción 314 debe ser mayor que 3/5, con lo que
actividades como las descritas anteriormente que intentaban poner de
manifiesto la relación entre el número de piezas del total y su tamaño
adquierenuna gran imPortancia.
iinalmente, en h cómparaciónde fraccionesdel tipo 516y 213es donde
las diferentesestrategiasutilizadas por los niños en los casos anteriores
pueden mejorarse.Tanto el contar fraccionesunitarias como los procedimientos de fijarse en la comparación del tamaño de las (partes) pueden
introducirnoJen la utilización de estrategiasque puedanjustilicar el uso de
algún algoritmo.
Así por ejemplo, con la introducción a la comparación de fracciones
basadaén la comparacióndel número de fraccionesunitarias,seestablecede
forma natural la necesidadde tener fraccionescon el mismo denominadot
cuando queramoscomPararlas.
127
Ante las fracoiones213y 315:
<<213
es dos vecesun tercio>r,
<3/5 es tres vecesun quinto>,
necesitamostener la misma fracción unitaria,
ro que se traduceen la necesi_
dad de obtener fraccionesequivalentesa cada
una de las fraccionesdadas
pero con el mismo denominador.
Siguiendo la secuenciadescrita anteriormente,
ro intentaríamos con
múltiplos sucesivosde cinco (el denominador
más grandede las dos fraccio_
nes).Así,
5x1:5,
5x2:10,
5x3:15,
...
hastaobtener un múltiplo de 5 que también lo
fuesede 3, con lo que:
2t0
3:3t5:15
J
5
5x3
"?
9
15
la utilización de una unidad formada por quincefichas,sólo sepuedeconcebir si previamentese ha realizadouna elaboraciónde los datos en el nivel
simbóiico.Este hechoes lo que algunasvecesse ha llamado la existenciade
un (esquemaanticipatorio))para realizarcon éxito la tarea (delo concretoal
símboló,reorganizációnde la situaciónen el nivel simbólico -¿mental?- y
vuelta otra vez al nivel concreto).
La dificultad que plantean estastareas,hace que puedan ser utilizadas
el aprendizajeque se ha realizadodespuésde haber desarropara <<valorar>
iludo unu secuenciade enseñanzaen contextoscontinuos,apoyadaen la idea
de fraccionesunitarias para justificar la necesidadde obtener fracciones
equivalentespan realizarla comparación.
De todas formas no hay que olvidar que parte de la dificultad que
presentanlas tareasde compararfraccionesvienevinculadaal tipo de númeio, qu. se estánutilizando,tanto en contextocontinuoscomo discretos.
Por otra parte,la utilización de la RectaNumérica para representarlas
fraccionespuide potenciar la conexión con la noción de medida,y el desarrollo de lá relación de orden entre las fracciones.En las actividadesde
señalarfraccionesen la Renta Numérica entre otras dos dadas,se potencia
las conexionesindicadasantesfavoreciendola ampliaciónpor parte del niño
de su visión de las fracciones(en particular la idea de verlascomo númerosy
de diagramas<parte-todo>)'
no sólo como representaciones
tenemos:
<<213
es diez vecesun quinceavo>,
>3/5 es nuevevecesun quinceavo>>,
con lo que la comparaciónes inmediata.
Lajustificaciónde la necesidad
de apoyarnosen rasfraccionesequivalentes para tealizat la comparación debé éstar enraizada
en las actividades
sobreconcretosrealizadaspor los niños.Antes de
movernosdirectamenteen
el nivel de los símboloshay que realizarnumerosas
actividadesdonde intervengala manipulacióny la expresiónverbal.una trasracion
fuuiuiinu rru.iu
la introducciónde ros símbolosmedianteactividades
ü;;;;;;istan
las
tres formas de representación(concreta,orar y simbórica)
";
ujuau.a u qu"
cuando estemostrabajandoen el niver simbólicó únicameníe,
.r, ,rn ,no-"n_
to determinado, los niños puedan explicar por qué
h;;;;;;;minadas
manipulaciones
de simborosapoyandosusexplicaciones
sobreconcretos.
En relación a ra ufirizaciónde material discreto
ser, que
rn"rr"r)-p"r;
ante la representación
@@o
)/1
@ @ @ oo
l /\
r28
r29
F
J.
Las operacionesconfracciones.
Los algoritmos
, (+-+)
00
g
5.1. INTRODUCCION
Hablar de los algoritmos para las operacionescon las fracciones
.
resulta
bastanteconflictivo.como habíamosviito en el primer capítulo,
las dificul_
tadesque tienen los niños con estosargorit-or
J"u"ia
,u
1ru
manejo),así como la <poca utilidad prácticu que se les
"r"uru
"n(los
puedeatribuir
niñossuelenevitarlosen las situacionés
cotidianas,sustituic"J"l", por orros
procedimientosen la búsquedade la soluci6n a la
sltuación ptanteada),
sitúanesteapartadoen el centrode una gran problemática.
Mientras que pareceque no hay excesivadiscrepandiaen relación
a las
nociones intuitivas del concepto fracción, al plantear la cuestión.-de
los
algoritmos relativos a las operacionescon fracciones,se desata p"E-i"á.
r"
Esta cuestiónha sido descritaya con detalreanteriárment",plo que no
vale la pena volver a plantearla.
En estemomento vamosa aproximarnosal problemade la
enseñanzade
dichosalgoritmos,e intentar vercon qué condicionespuedery'dJ"n
up".r"",
en el currículumde Matemáticasde los primerosaños.
. siempre que se va a estudiar una operaciónnumérica,se hacela distinción entreel conceptode la operacióny su algoritmo;
"s'¿e.ir, "ntre,
-comprender el significadode la operación,estandoestepunto
vinculado a la aplicaciónde la operaciónen la resoluciónie situaciones
problemáticas,y
- serhábil en la ejecuciónde los pasosnecesarios,
y en el ordencorrecto,
que llevan a la obtencióndel resultadode una operación; que
lo
en er
lenguajeusual se denomina rcalizar los cálculos.
Estadistinciónes necesaria
ya que,entreotras,algunasde las objeciones
que se realizan a la enseñanzade las operacion.t con fracciones
(a la
enseñanzade los algoritmo_s),
es que estosaigoritmosseconviertenen reglas
sin sentidopara los niños.Lógicamente,
si einiño estámanejandoreglassin
{1sú.n sentido para é1,resulta bastantenatural que a lo rurgá aa tiempo,
dejede utilizarlasy las sustituyapor otros procedimientos
más <naturales>
o, que olviden o modifiquenalgún puro enil algoritmo,convirtiéndolo
así
en un procedimientoerróneo.
132
La raz6n de que estos algoritmos se puedan convertir en reglas sin
sentido puede ser debida a una introducción demasiadotemprana en la
escuela(traslación demasiadorápida hacia el manejo de simbolos sin la
existenciade un esquemaconceptual),pero también en algunos casospor
concretoy
una introducción desvinculadade un fundamentosuficientemente
natural a la operación (falta de la existenciade un <modelo de comprensión>).
Si aceptamosestasdos ideas,parececlaro que aumentandoel tiempo de
prácticaen el manejo del algoritmo, no conseguiremosuna comprensiónde
los pasosde dicho algoritmo.
En estasituación,nos obligamosa mirar los erroresproducidospor los
niños al realizarlos cálculos(o al aplicar las operacionesa los problemasde
palabras)desdeotra perspectiva.
El solo aumento de la práctica con los algoritmos puedeno ser un buen
recursodidáctico para superarlos erroressi no somoscapacesde determinar
si el error es debido a un descuidoen el procesode aplicar los pasosdel
algoritmo o a la aplicaciónsistemáticade un procedimientoerróneo(algunas
vecesmodificación de un procedimientocorrecto).
y
inferenciasque sepueden
. El papel quejueganlos errores,su análisis las
'realizar
a partir de ellos en relación a la comprensión del niño de los
algoritmos que maneja serátratado con más detalleen el próximo capítulo.
Otro de los aspectosa tener en cuentacuando sehabla de los algoritmos
en las operacionescon fracciones,es el hecho de que existe una aparente
desvinculaciónentre la regla para resolver una (cuentaD,por ejemplo del
tipo
13
- x24
y un problema verbal que conlleveimplícitamenteesta operación,por ejemplo:
tartadeltotal
los3/4deunatartay mecomola mitad¿cuánta
<Siquedaban
me he comido?>
Lo más probable es que los niños se enfrentena este problema verbal
utilizando estrategiasdiferentesa la regla de multiplicar fracciones.
Además,y en relacióna la conexiónentre el algoritmo y la resoluciónde
problemas,Hmr (1981)señalaque,
...1ahabilidad para resolvercálculosde sumasy restasdecrececuando los
niños son mayores.La habilidad para resolver problemasno decrececon la
edad,con lo que sepuedesuponerque los problemasson resueltossin recurrir al
cálculoalgorítmico.Muchos niños,en efecto,parecenno conectarlos algoritmos
con la resoluciónde problemasy usan sus propios inétodos.
Así, pareceser, que en esta situación,los niños (siemprey cuando se lo
permita la presión escolar),tienden a buscar procedimientosque impliquen
el manejo de los números naturales antes que ((poneren u""ióno pro"iaimientosvinculadosa la noción de fracción (efectodistractor de los números
naturales).
uno de los efectosderivados de esta situación, lo señala HLnr (19g1)
cuandoindica,en relacióna la comprensiónde la idea de fraccionesequivalentespor niños de 12-13años (aproximadamente7.ode EGB), que muchos
niños ven las fraccionescomo parejasde númerosnaturalesno relacionados,
tratándolos separadamente.
De forma clara estasinferenciastendrán repercusionessobre el manejo de los algoritmos,en particular para la suma y la
resta de fraccionescon denominadoresdiferentes.
5.2. LAS INTERPRETACIONES DEL CONCEPTO
FRACCION Y LAS OPERACIONES
En el tercercapítulo hemos caractenzadodiferentesinterpretacionesasociadas ala idea de fracción. A través del análisisdel conceptoreali?adoen
cada caso, se podía vislumbrar el hecho de que algunas-interpretaciones
podían conduci¡ de una forma más natural, al concepto de determinadas
operaciones.
, Así, en el aspectomedida caractenzadoa travésde la relaciónparte-todo,
los conceptosde suma y resta de fracciones,encuentran(su) intérpretación
más natural. Podemosutilizar el modelo de la RectaNumérica pará vincular
la interpretacionesparte-todo, medida y fracción como númeró.
I l/4 de metro + 3/4 de meÍo
0t'23
1 1/4
314
Por otra parte el concepto de multiplicación y división de fracciones
viene vinculado con más <<naturalidad
a la interpretaciónoperador.
El carácter funcional de la murtiplicación/división,haóe que la interpretaciónde las fracciones<<más
estructuralistu (algebraica)les proporcione
el contexto adecuado.Por ejemplo:
ü) <Coge los 314de la tarta. Cómete los 213 del trozo que has cogido'
¿Cuántote has comido del total?>
Estado
Unidad
x Ql$
Estado
Ql4)
Estado
Ql3) x Qp)
(213\x Qlal
Teniendoen cuentaestarelativa familiaridad entre algunasinterpretaciones y algunas operaciones,es posible prever dificultades en relación a la
adquisición del concepto de alguna operación, en función de qué interpreiación de las fraccionesse haya potenciado en la secuenciainicial de
enseñanza.
Así, teniendoen cuentaesta circunstancia,DrcNnspor ejemplo,al potenciar la interpretación operador (entendiendoen este caso la fracción como
una sucesiónde una multiplicación y de una diviSiónde númerosnaturales),
indica que el conceptode multiplicación esel más natural y que su introducción no plantea ninguna dificultad, por lo que introduce la multiplicación
antes que la suma/restade fraccionescon denominador distinto, ya que
consideraesta operaciónocomo la sustitución de dos operadorespor uno
solo, o la aplicación de un operador a un estadofraccionario.
Con estéplanteamientola idea de fraccióninversa(operadorinverso)y la
idea de división son inmediatas.Sin embargoesta misma <elegancia>en la
presentaciónde la multiplicación y división plantea algunosinconvenientes
al introducir la sumade fracciones.DtsNsssalvaestadificultad hablando de
sumade estadosfinales obtenidospor medio de operadoresfraccionarios(en
vez de la sustituciónde dos operadorespor uno equivalentecomo en el caso
de la multiplicación).
Por ejemplo,para presentarla sumade las fracciones213 + 4/5 establece
los siguientespasos:
Consideremosel estadounidad (inicial),en nuestro caso 15
i) <coge los dos terciosde la parte sombreada,
¿cuántohas cogidodel
total?>
'Z:%:W
r34
213x (314):
135
Parte-todo (medida)
Concepto de fracción
Suma y resta de
fracciones con el
mismo denominador
Multiplicación de un
natural por una fracción
F¡ouna5.1
Ante esta dificultad estamosconvencidosde la necesidadde que
cada
docentetome suspropiasdecisiones,
en relacióna determinados
aspectosdel
procesode enseñanza.
El papelde las propiascreencias
aquí esfundamental.
El esquemade la figura 5.r describeél nestadode Ia cuestión)
en esros
momentos.sobre dicho esquemapueden(mostrarse)los <mudos
de toma
de decisión>en relación a esta cuestiónde desarrollocurricular.
vamos a intentar acercarnos
a la cuestiónrelativaa la enseñanza
de los
algoritmos,señalandopreviamentealgunascuestiones.
5.3. ALGUNASCUESTIONES
5.3.1. El manejode los algoritmosy la resoluciénde problemas
Recordemos
ahora algunosdetailesexpuestos
en las secciones
anteriores.
Se había señalado,en relación a los algoritmos,el bajo rendimientoque
los
niños manifiestanen su manejo,junto con el hechodL que en determinados
problemas,los niños sustituyanel algoritmo de la <cuenia>que
estáimplícita en dicha situaciónpor el uso de procedimientos
propios.
De forma resumidatenemos:
- bajo rendimientoen el manejode los algoritmos,y
-desvinculación entrela <situaciónproblernática>
y"la realizacióndela
operaciónmedianteel algoritmo correspondiente.
138
Teniendoen cuentaesto,habría que trasladarla atenciónhacia la forma
en relacióna los algoritde enseñanza
en que estácaracterizadalasecuencia
fracciones.
mos de las operacionescon
el orden que se sigue
A veces,al pensaren dicha secuenciade enseñanza,
por
cuestiones:
siguientes
las
delimitado
suelevenir
- ¿cuáles el algoritmo?;
- ¿quéestrategiase puedeutilizar para hacerlomás <concreto>?
A partir de estemomento se <justifica>el algoritmo a través de una
<<situación
concreta).Larealizaciín de ejercicioscon posterioridad,pretende
práctica>,en realizarlas <cuentas>.En estassituacioque los niños <<cojan
nes,a veces,se proporcionanproblemasverbalescon posterioridadcomo
<aplicación>.
Llegadoestemomento,el planteamientoresultaclaro y puedeinducir a
pensar:<Si los niños identihcanla cuenta necesariapara resolverel problema, como ya tienen prácticaen el manejo del algoritmo, entoncesno habrá
ningunadificultad(¡!).)
existendos puntos claves,
En estetipo de planteamiento,
i) la identificaciónde la operación,y
ii) el desarrollodel algoritmo.
Entonces,recordandolo señaladoal principio, cabria preguntarse:
- (¿sonlos aigoritmosde las operaciones
con fraccioneslos "procesos
naturales"para resolverel tipo de problemasque se le planteana los
niños?>;
- <¿lassecuencias
que desarrollamos
en nuestrasclasesle
de enseñanza
dan el mismo peso especíhcoa los dos puntos señaladosanteriormente?>;
- (¿conectamos
el procesode resluciónde problemasa la utilizacióndel
algoritmo?>;
- <¿podemosutilizar los procesosde resoluciónde problemascomo
de la operación(en este caso cl
camino para la conceptualización
algoritmo)y no sólo como aplicación?>;
- <<¿realmente
con fraclos algoritmosde las operaciones
son necesarios
cionespara resolver"esos"problemas?>.
que ya nos sol'l
Como vemos,aquí se nos vuelvena plantearcuestiones
bajo cl
enunciadas
cuestiones
a estas
familiares.El intentarbuscarrespuesta
problemas>
y
resolución
de
la
<El
los
algoritmos
encabezamiento manejode
139
puede/debeayudarnos a clarificar nuestra postura personal en relaciirr ,r
determinadosaspectosde las fraccionesen la escuela.
Desde nuestra perspectiva,la utilización de los problemas (situaciorrt's)
proporciona los contextosnecesariospara conceptualizarlos procedimicrrlr,,,
en el cálculo con las fracciones.
Es decir, creemosque en el proceso de hacer conscientesa los niños rr,.
las relacionesentre las manipulaciones (en algunas operaciones)y las replc
sentacionessimbólicas,se colocan las basespara algunosprocesosalgorítni
c os . Así. e j em plosdel t ipo
<Juanha ganadoen la feria una barra de chocolatey un tercio de barra y
deciderepartírselocon su amigo Pedro,¿cuántole correspondera
a cadauno'l>
en los que los niños <estiman>en un primer momento el resultado,realizan
las actividades,en un plano de representaciónen primer lugar y luego en un
nivel simbólico,en grupo o individualmente,para luego poner en común los
distintos procedimientosutilizados,enfatizandotanto los resultadosiguales
como dichos procedimientoslo que les deben introducir en el camino de los
a lgo ri tmo sd e las opc r ac io n e s .
En estassituaciones,el profesordebe estar atento para aprovecharcualquier sugerenciaque se pueda derivar del trabajo de los niños, aunque los
procedimientosutilizados por ellos sean diferentesde la aproximación formal. Una buena estructura <le organización de la clase para este tipo de
situacioneses el trabajo en grupos reducidos (cuatro o cinco niños) en un
primer momento para posteriormente, en sesionescon la clase entera (gran
grupo) exponer los procedimientosutilizados en cada grupo, asi como las
dificultades que se han tenido y la forma de superarlas.La exposición común
de distintos procedimientos,unos más elaboradosque otros ayuda a que los
niños vayan avanzando en el camino de la generalizacion.
Desarrollado de esta forma, la conexión entre el primer contacto intuitivo con las operaciones,y el establecimientode los algoritmos, dependeen
gran medida del trabajo del profesor en saber aprovechar las innumerables
ocasionesque, durante las sesionescon la claseentera,proporciona la verbalización de los procesosutilizados por los niños.
El objetivo de estassesionesde trabajo es llegar a que los algoritmossean
el resultadohnal, la síntesis,de la evolución de las estrategiaspersonales.
De todas formas, en estassituaciones,los algoritmos, las reglas generales
obtenidasa partir de numerososprocedimientos,estrategiaspersonales,no
puedenquedarsesólo como síntesisde procedimientosvinculadosa situaciones más o menos concretas.Se debe <mirar> hacia adelante.Es decir, el
trabajo con los algoritmos,el manejo de símbolosy operacionesen situaciones generalesdebe ser el preludio del trabajo con las relaciones algebraicas.
140
5.3.2. Los algoritmos y el trabajo previo
con las relacionesalgebraicas
D el aformaseñal ad aant er ior m ent esepuedenconect ar losalgor it m os
de resolución de
rclativos a las operacionescon las fraccionesa los procesos
manejo de los
y
un
a
parte,
por
una
problemas urud^o, por los niños,
por
algebraicas,
relaciones
las
de
campo
el
,í*bolo, que nos introduce en
otra.
A sí,al manej arenunpl anosólodesí m boloslanocióndef r acciónylas
de introducción
.rf.ru.iot", áon fracciones,se estará empezando el camino
primer caso de
el
racionales
números
los
de
conjunto
el
oi Átg.uru, al ser
no
numérico manejado por los niños en que las cuatro operaciones
"onj.-into
tienen restricciones.
si existen modePlanteado lo anterior, la cuestión que surge es conocer
algunos algoafrarlzar
a
los (estrategiasde enseñanza)que putdun ayudar
como síntesis
enseñanza
de
ritmos, una vez que aparecen in la secuencia
por los
planteados
problemas
de
de los procesos personalesde resolución
niños.
Las seccionesque siguen intentarán describir algunas de estasestrateglas
para los diferentesalgoritmos.
5.4. LA SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
presioEn la secuenciaque desarrollaba el concepto inicial de fracción se
introduque nos
naba sobre el uso de las fraccionesunitarias y el contar, lo
en algunos
fracciones
y
restar
sumar
de
ideas
las
en
natural
forma
cía de
casosdeterminados.
Se sugería que ésta se realizará a través de situaciones problemáticas,
como por ejemPlo
<Juanseha comidolos 3/8 de la tarta y Pedrolos 2/8.¿Cuántatarta se han
comido entrelos dos?>
de contar
en las que el proceso de solución venía determinado por el hecho
de forma
que
octavos)
cinco
son
octavos
dos
más
octavos (tres octavos
por
representar
podíamos
simbólica
+
318
3 octavos
218
2 octavos
5/R
'/ul%tru)
5 oc tav os
l4l
En las primeras situacionesde este estilo hay que ir con cuidado al representar las fracciones,si éstas son representadasen <unidadey distintas, ya que
puede conducir a error
T
W
,k ,h
-\---
sM+/
Se enfatizaba en estas situaciones,de nuevo, la identificación de la unidad, al igual que sucedeen las situaciones en las que intervienen fracciones
mayores de la unidad.
<Juan se ha comido 1 ll3 de los pastelesde chocolatey Pedro 2ll3.
¿Cuántospastelesse han comido entrelos dos?>
Conviene recordar que los algoritmos para la suma y resta de fraccione
con denominadores distintos pertenecena un nivel poco intuitivo. Este
hecho hay que tenerlo presenteal secuenciarlos pasosque debemosdar para
ayudar a los niños a que se trasladendesdela utilización de sus procedimien
tos personales a un procedimiento síntesis(general) de los procedimientos
usados;o incluso a veces,la secuenciade enseñanzalo único que debe hacer
es altanzar la <regla>que de forma incipiente han empezadoa utilizar los
niños.
Todo ello hace que la secuenciade enseñanzapueda/deba realizarse en
un nivel simbólico, aunque independientementede esto, en algunos casos se
debe volver a situacionesconcretaspara evitar la pérdida de la intuición.
Así, continuando la sencuenciapropuesta en relación a la clase de fracción considerada, tenemos:
1) fracciones con denominadores múltiplos entre sí
213+316:
1+ rl 3
2) denominadores
primosentresí,
2+ t/3
21 5 + 3 1 2 :
3+ 213
El proceso utilizado en las situacionesdescritashasta el momento (tanto
para la suma como para la resta) se apoyaba en el hecho de sumar y restar
fraccionesunitarias; el nivel de manejo de símbolos se dirigía hacia el hecho
de que se sumaban los numeradores:
3 2
8-8t_
3+2
s
-8
5
Las primeras diflrcultadesaparecen cuando la <unidad de contar> es
distinta en las dos fracciones.Si el objetivo de la secuenciade enseñanzaes ir
trasladando los procedimientos de los niños hacia el procedimiento dado por
el algoritmo de la operación, un camino que ha probado tener buenos
resultados es el de la secuenciacióndel tipo de fracción en las actividades
propuestas.
En las situaciones en las que se nos presentan fracciones con distinto
denominador, la idea que subyaceen los procedimientos utilizados es buscar
siempre las fracciones escritas de tal forma que podamos aplicar secuencias
de contar, es decir, buscar fracciones con el mismo denominador. Esta idea
se apoya en el trabajo hecho con la equivalencia de fracciones. En estos
momentos se deben utilizar los pasos que se sistematizaron para encontrar
fracciones equivalentes descritos en la sección 4.5 (buscar múltiplos del
denominador más grande que también sean múltiplos del otro denominador).
t42
,213-116:
,312-ll3:
3) los denominadores
no sonmúltiplosentresi,
216+314:
,314-216:
El procedimiento en todos los casos, apoyados en la equivalencia de
fracciones, consiste en buscar denominadores comunes. Por ejemplo en el
caso
216+ 314:
debemosrecalcar los diferentesprocedimientos que pueden utllizar los niños.
A veces,es posible encontrar niños que utilizan procedimientos de cálculo
del mínimo común múltiplo (m.c.m.) (pueden ser repetidores,o niños cuyo
papá(!) le haya enseñado,o niños que hayan llegado a este procedimiento
por sí mismos...).La idea siempre es intentar llegar a procedimientos más
sistemáticos.Uno de estos procedimientos (los niños pueden encontrar otros)
puede ser el descrito en la sección4.5 para encontrar fraccionesequivalentes
En este último caso sería:
-
hjarse en el denominador más grande. En este caso 6;
calcular sus múltiplos hasta encontrar uno que también sea múltiplo
de 4,
6 x 1:
6 x 2:
6 no es múltiplo de 4
12siesmúltiplode4,ya que4 x 3:12.
t43
En estassituaciones,
a veces,habiendotrabajadopreviamentela multiplicación, se puede enfatizar la idea de elemento neutro para
el producto
mediantela siguientepresentación,
))
6" t : 6x
33
t:4x
¿ "
2x2
6x2
4
12
3x3
9
4x3
n
asl:
2.3
4
9
4+9
¡-f-:--L
64121212
Algunasveces'se.sugiereque en los primeroscasosque se presenten,
haya una manipulacióncon el material intentando
los pasosdel
algoritmoa las manipulaciones
"on."iu,
del materialconcreto.
Así,por ejemplo,cuandopresentemos
situaciones
con númerosmixtos,a
veces,se necesitarenombrar alguna unidad en términos de fracción,
en
particularcon la resta.Ante esta situaciónAsnrocr (19g3)sugiere
que el
procedimientode renombrarla unidad tienesentidopara los niáos
cuando
trabajancon el materialy hacenanotacionesde las manipulaciones
(transformaciones)
que realizan.por ejemplo,
2U4 - 314
2t/4 :2+
5.5. LA MULTIPLICACION DE FRACCIONES
El primer contactocon la operaciónde multiplicarvinculadaa las fracla sumade fraccionesiguales(númeronatural
cionesaparecióal representar
por fracción),
de 314de horadurantecincodíasa la
de Matemáticas
<Anarecibeclases
recibea la semana?>
Matemáticas
horas
de
semana,
¿cuántas
,z
ll4:t+t+tl4
3 14+ 314+ 314+ 314+ 314:
si renombramos
una unidad
.ry
.4+t
t+ 414ttl4:1
f-
-l
4
+514:1514
entoncesla resta2 ll4 - 314tomaríala forma
2 t l 4 - 3 1 4: (r + sl 4 )- 3 /4 : t + 2 t4:
: l +tl 2 :rtl 2
t44
De todasformashay que tenerclaro que estamostrabajandoen un nivel
a través
simbólicode relacionesentrelos <objetos>(en estecasofracciones)
y
las
operaciones.
de las nocionesde equivalencia
más
En determinadosniveles,es necesariohaceruso de procedimientos
generales,
comoel mínimo comúnmúltiplo,ya que esteprocedimientoesútil
Esto nos lleva a que los
ón estudiosposteriores(fraccionespolinómicas,...).
de números
másformales(factorización
niñosdebenmanejarprocedimientos
lo que determinaríaque la conexión entre la manipulación
naturales,...),
concreta(dediagramas)y los pasosdel algoritmosecuestionaráe inclusose
rehusaráa hacerdicha conexión.
como vemos,en un último nivel,el manejodel algoritmopara la sumay
más formales>,alejarestade fraccionesexige<efmanejode procedimientos
dos ya de toda intuición concreta.
: 5 veces3i4 :
314
5x
y que apoyada en la idea de fracciones unitarias se obtenía
15 cuartos
o también, representadocomo número mixto
3+314:3314.
145
Todas éstas eran representacionesutilizadas en la secuenciade enseñanza
que desarrollaba los conceptosiniciales de fracción. En estecaso la aparición
del producto de un número natural por una fracción seguía un camino
natural.
En este momento contemplando las operaciones desde una perspectiva
teórica, podriamos llegar a pensar que mediante la propiedad conmutativa se
podría tener la operación
fracción x número natural
como una consecuenciade lo anterior.
Pero esta traslación, no es del todo válida, ya que responde a situaciones
completamente diferentes:
<Ana utilizó 314de una docenade huevospara realizarun pastel,¿cuántos
huevosutilizó?>
tanto para
anteriormente,
Asi, a travésde situacionescomo las descritas
elcasodenúmeronaturalxfracciónyparaeldefracciónxnúmero
de 1ocomún en cada caso'
natural,se intentaque los niños se den cuenta
3
5*4:
)X J
)
lx9
2x9
J
J
por el númeronatural'
esdecir,que semultiplicael numeradorde la fracción
fracción por fracción'
de
En estepunto se intenta llegar al casogeneral
es el modelo área'
El modelo utilizado no"nui-tnt' en l'a enseñanza
naturalespara
números
de
intentando ser una ampliación del producto
determinarel área de un rectángulo'
2 y 3 respectivamente
Si tenemosun rectángulode dimensiones
<Anaestuvocaminandodurante7 cuartosde hora,¿cuántosminutosestuvo
caminando?>
<Pedrosecomió las dos terceraspartesde los 18pastelesque habia.¿Cuántos pastelescomió?>
En estassituacionesse utiliza la fracción en su aspecto operador (frente a
la idea de medida de las otras situaciones):además la transición
314d e 1 2
a
314 x 12
no es tan inmediata como pueda ser
5v ece s 3 /4
a
5x314
cuadrados1 x 1 que lo forman'
el áreavienedeterminadapor el número de
aplicar a la situaci6n5 x 314)
puede
(Evidentementeestet t¿"fi o-bién se
de un rectángulocuyasdimen
ei
Utilizandoestaideá fur,
.área
"ut"utur
Sionessean3lay215.Podemosconstruirunrectángulocomoelsig
Todo esto hace que las situaciones que indican la multiplicación de una
fracción por un número natural son algo más dificiles de resolver por los
niños (PrvNp, 1975).
Para intentar superar alguna de estas dilicultades se sugieren secuencias
como la que sigue:
<Había9 canicas,
Pedro necesitaba
el triple de la que habia,3 veces9, 3 x 9
Pedro necesitaba
el doble de las que había,2 veces9, 2 x 9
Pedro necesitaba
un tercio de las que habia, 1/3 de 9, ll3 x 9
Pedro necesitaba
dos terciosde las que habia,2l3 de 9,213 x 9.>>
Cambiando el tipo de números y de fraccionesse ayuda a realizar el paso
de <<de>a (xr.
r46
comola unidad(dedimensiones
El áreadel rectánguloes 3/4 x 215,y
rectánguloestá formado por
x 1) está dividida en 20 Partes'Y nu.rt.o
partes de las veinte,entonces
J
-X
4
26
s20
t4
,El qrg""9imi-entopara fraccionesmayoresque la unidad,(númerosmixi(e1!r¡o' si hay que dererminar er áreadel rectánguro'd'e
lo:),:r
dimensrones
2112y3113
Una aproximación alternativa se puede plantear con la interpretación
con
operador. Esta aproximación a la multiplicación ha sido desarrollada
detalle por DInNrs, en sus dos aspectos:
1) operador sobre un estado fraccionario, y
2\ composición de dos oPeradores,
2'tlz
2
tanto en contextos discretos como continuos.
En el caso de operador fraccionario sobre un estado fraccionario en
contextos continuos se presentaría la siguiente situació!
1
|
2
3
31/3
En estasituaciónra unidadestádividida en 6 partes.
Entonces,el rectángulo con las dimensiones
dadasesraráformadopor 50 p;;r;'i;;go, el
área
serácincuentasextos(5016):
213
314
213x Qla) : 214
o en una sltuaclon mas general
2 L l 2 x3 rl 3 :
510
23
: 25x10
" 3 : e : T 50
25
a travésde ejerciciosdivers_os,
seintenta guiar la atenciónde los niños hacia
los pasosqu€ se repiten,lo cuales
tu g.n.rutir*ián na"iu
algoritmo.Al multiplicar fracciones,
"oniitui.án
multipricamo,lo, nu-.*áár", y to,
"t
denominadores:
ab
axb
cd
cxd
- X- :
Sin embargo el inconvenienteque presentaesta
introducción es que el
modelo.área, no representaun buen <<modelo
O"
pu.u fu
operación de multiplicar fraccionesya que no
"o.pr"n.ián,
es normal
encontrar dicha
situación.Es decir,estaintroducciónno unu
buena<herramientuconceptual>>,entendiendoesta expresióncomo", que
el modelo áteano tiene un
caráctergeneralpara representar<diversassituacion*
a"
fraccionesr>.
Existen pocas aplicacionesdirectasde la multiplicucián
-urtiplicar
i,
fraccionesque se puedantrasladarde una forma naturar
alaidea de encontrarel
área multiplicando longitudesfraccionaria.
si sólo utilizamos estaintroducción a la multiplicación
de fraccionesnos
encontraremoscon las dificultadesdescritasen las prima,
,""aion., de este
capítuloen relacióna la desvinculación
entre er manejodel argontmoy Ia
resoluciónde problemas.
ll4
213
r Px( 213) : 2112
a
Sin embargo, la necesidad de vincular la multiplicación de fracciones
complemenaproximaciones
buscar
a
induce
nos
próblemáticas,
situaciones
a
tarias. Es décir, presentar en un primer momento la operación vinculada
problemas. La otservación de <lo que se repite> nos llevará a la regla.
Lo que hay que tener en cuenta en estos momentos, es que, generalmente
(aparece) la operaen los piobl"-ui ltituu"iones problemáticas) en los que
de
ción de multiplicar fraccionei, las fracciones suelen tener un carácter
natural).
x
número
operador (ampliaciones de la operación fracción
^
La representación de la situación mediante diagramas puede ayudar a
mostrar ü situación que describe el problema con ejemplos del tipo
<Quedaba314de tartaen la neveray me comí los dos tercios.¿Quéporciór
de la tarta enterame comí?>
@
314
148
¿lt¿
2l12
213de Qla) = 213x 3la
r4
(se indica la parte de tarta que hemos comido en relación
al total. <seistlt.
doce>).
En estas situaciones los niños pueden <construir> multitud de exprcsi.
nes para indicar el trozo detarta que ha comido cada uno, si se ha seguirl,,
con ellos una secuencia de enseñanza como la señalada en los
anteriores,cuyo énfasisestaba colocado en las <producciones>por "upitrl.,,
partc rlt.
los niños de numerosas expresionespara describir situacionesditerminadus.
La discusión que se puede plantear cuando se muestran estasdistintirs
expresionesa la claseentera por parte de cada niño o grupo de niños, pueclc
ayudar a que se superen errores, malas interpretacionás,y se admitan com.,
válidas expresionesdistintas a las que ha producido uno mismo.
El proceso de justificación de cada expresión asi como en la explicaciórr
por cada niño (o grupos de niños) del proceso que se ha seguido parir
obtener dicha expresión, ayudan a que los niños amplíen las noÁnes sobrc
fracciones y operacionesde fracciones que poseen en un momento determinado.
Por otro lado, la aparición de la expresión
'i
6lt2
pararepresentar
el final del proceso213x 3l4,juntoconla realización
de
numerosasactividadesde esteestilo y mediantela guía del profesordebe
aproximara los niños a la reglageneral(algoritmode la muliiplicación).
Estassituaciones
debenvenir complementadas
mediantela iropuesta de
situaciones
que conllevenla multiplicaciónde fraccionesen coniextosdiscretos.
Peroatravésdeaquellasquepermitanunaidentificaciónmásclara
de fracciones,se debe seguir la
pro.* áe solución á tu
-uttlplicación
descritaanteriormente;
sccuencia
del problema(situación);
- presentación
-irabajos en gruposo individualmente;
por parte
y de las posiblessoluciones
¿etoi procedimientos
"*pori"ión
de los niños;
que conducenala tegla;
-observaciones sobrelos procedimientos
- posiblegeneralización'
quenosllevaaqueelalgoritmodelamultiplicaciónseaunaregladecál
de solucióna los problemas'
personales
ürt t"p*t..te procediÑentos
y ya en un planode símbolos'se
regla'
la
Finalmente,una vezestablecida
procedebenproporcionar actividades(cuentas)para esquematizar'aÍtanzar
asociaticomo la conmutativa,
dimientosde cálculo(utilizandopropiedades
las primerasrelacionesalgeen
postérioimente
introducirán
nu"..)qu. nos
braicas.
mixtos no
Hay que tener en cuenta que el cálculo con los números
en redificultades
existan
siemprey cuando no
requieienu.uu, destrezas,
los
de
uno
sido
que
habia
nombrar los númerosmixtos como fracciones'
ou¡"tluo,adesarrollarenlasecuenciadeenseñanzade|conceptoinic
fracciónalintroducirlasfraccionesmayoresdelaunidad.Detodasfor
(PnvNn'1975)han señaladoque
hay que indicar que algunasinvestigaciones
prrlO"nresultarmás dificilesa los niños'
En un plano simbólicose procedería'
r r l3x2 3l s :
(utilicé 314de una docenade huevospara hacertres
huevos tiene cada tarta?>
r----- -1
¡
¡D
rl
D
lD
In
n
¡
ltr
!
ln
|
- J L-- - _*_ _"_
\-(3/4)
¡
i"f
l .itr
/--=-\
rl
i¡ lD
(r/3)
D
¡
¡
D
!
tl3 de Ql\
1l3x3l4:3112.
-
5rl 15
¿'l
LJ'
D
:
314de 12 huevos: 9 huevos
l/ 3de9 h u e v o s : 3 h u e v o s
Aunque estas situaciones, como vemos, inducen a trasladarnos al manejo
de númerosnaturales.Estedetallehaceque la utilizaciónde la multiplicáción de fracciones(per se) seamás bien un procedimientode uso dudoso.
150
:( 1 +tl 3) x ( 2+3l s ) :
: (313+ rl3) x (10/s+ 3ls):
: 413x r3ls :
tartas.¿cuántos
5.ó. LA DIVISION
DE FRACCIONES
a una
ya
La operación de dividir fracciones corresponde
-directamente
o situacioprocedimientos
a
vinculación
Su
operación de sentido algebraico.
que no.existen'
nes intuitivas es tan reáota que podemos aceptar
operación' pero la más
ésta
presentar
para
Hay diversas estrategias
fraccionesinversas.
conociáa es la que se fundaménta en la idea de
151
La idea de fraccióninversapuedeser desarrolladacuandohablamosde
la multiplicación.Por ejemplo,si consideramos
como unidad la cuartilla,
entoncesla parte sombreadason los tres cuartosde la cuartilla.
I
Es decir, rcalizar la división
ac
b'd
't
es lo mismo que reahzar
a
Pero si consideramoscomo unidad la parte sombreada,
]T
entonces la cuartilla entera son los 413 de la unidad. Como vemos, la
realizacionde estos ejercicios,basadosen la idea de relacionar una parte con
la unidad Ltnavez identificada la unidad, corresponden al tipo de ejercicios
desarrofladosal inicio de la secuenciade enseñanzapara el concepto inicial
.i
de fracción.
Si multiplicamos estas dos fracciones que aparecen,
34
-x-:
43
3x4
4x3
-
t2
*
ac
;:
:
a
t)
Dr;
a
d
b
c
a
;X
4 : f r (;
o
d
b
c
_X
t)
_X
152
:( r ") "q ,
c
:I"1
"4c/ )
. ; * i: r
Ideasmatemáticas
Pasos
31
*
314
+'g:vg
Una fracciónsepuedeusarpara señalar
una divisiónindicadaa: b : alb'
Si multiplicamos numerador y denominador por él tnitttto númeroel valor de la
fracciónno cambia
axc
a
:
bxc
b
_l
La divisióncomo un factordesconocido
de una multiplicación,vincularíala multiplicacióny la división.
bd
para llegar a la regla
Además de esta presentación,existen otras estrategias
de la división (Asnlocr, 1983, pág' 335)'
12-'
el resultado es la unidad. Estas fracciones se denominan fraccionesinversas.
Así, al apoyar la introducción de la división de fracciones en la idea de
fracciones inversas se está planteando la idea de operación inversa de la
multiplicación (es decir, relacionesde índole algebraico).
De forma general,los pasos a desarrollar en un primer momento a través
de ejemplosnuméricos serían:
d
E X- c
Al multiplicar un número y su lnverso'
el resultadoes 1'
ax(lla\:l
*
3 1 4x 8 1 1
3x8
*-:4xl
24
- 6
4
El dividir por uno no modifica nada'
Para multiplicar dos fraccionesse multiplican los numeradoresy los denominadores.
la divisiónde fracciones
De todasmanerasestasegundaaproximacióna
(PevNn'1975)'
pareceser que no resultatan efectivacomo la anterior
de fraccioncs
división
que la
En estosmomentoshay que teneren cuenta
se fundamentaen relacionesalgebraicas:
o
- la división como operacióninversade la multiplicación' unidad
la
es
de un númeropor su inverso
- tu
-rrltiplicación
Comohemosseñaladoencapítulosanteriorespuedeserque,de
estecarácteralgebraicoypocointuitivodeladivisióndefracciones,
primaria'
el maiejo de e,ie algoritmoen la enseñanza
"u.trio""
153
De todas formas,y Lrnavez establecidala regla (en el nivel
que sea)y ya
en un plano de manejodesímbolos,tal y como señalábamos
para er casode
la multiplicación,se puedenproporcionar actividadesque
nos ayuden a
esquematiza
r - aftanzardicho procedimientode cálculo.
Algunasde estasactividadespodrian tomar la forma puzzles
de
(del tipo
de los que aparecenen revistasdi pasatiempos
y entretenimientos).
Mostramos a continuaciónalgunosde ellos (Fig. 5.2).
6.
Errores y estimución
Errvpro 1:
/
en esta dirección
se multiplica
J¿Ó
4520
- X- :-
6.1. INTRODUCCION
en esta dirección
se divide
q
3
4
\
663
-:
g '8 4
n
u
Xl l :- '-
E¡¡uplo 2:
\\
\
las felchaspueden
indicar cualquiera
de las operaciones
Por ejemplo:
2
t6
una determinadatareamateMuchasvecesal proponera los estudiantes
mática,nos encontramoscon que la forma de resolverlapor parte de los
niños no se ajustaa aquellaque nosotroshabíamosesperado.
correctas,
aunqueel camino
A veces,estosprocedimientos
dan respuestas
seguidono seael que nosotros,desdeuna mentalidadde adultos,pensamos
sería lógico. Creemosya felizmentesuperadala fase en la que un planteacon las normasdictadaspor
mientono demasiadoortodoxo,en desacuerdo
el profesor,suponíaun rechazode todo el trabajo planteadopor el alumno.
Otras,por el contrario,el procesoo el resultadono son los correctos,y
estefallo es consideradocomo un error.
tradicionalmente,
Hoy día, consideramos
el estudiode estoserrorescomo un parte muy
ya que
importante en el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje,
aceptamosla idea de que los niños combinanlas nocionesnuevasque seles
presentanen un momento determinadoen la escuelacon sus experiencias
previas.
A partir de esteestudio,intentamosaveriguarlo que realmentepiensacl
alumno, buscandosacarel máximo de informacióny sin trivializar unos
indicadoresque, de alguna manera,nos puedenmanifestaralgún tipo clc
conceptuales
creadospor el niño al enfrentarsca
desajusteen los esquemas
la situaciónpropuesta.
l2
_X
44
Frcune 5.2
154
6.2. EL PROCESO INTERACTIVO EN LA ENSEÑANZA
Y LA OBSERVACION DE ERRORES
En el trabajo que sedesarrollaen una clasepodemosdistinguirdistintas
formasde recogerinformaciónpor partedel profesor(Bnoussnnu,G.et al',
155
1986).Por un lado podemosobservara los estudiantes
en su trabajo con el
gran grupo (claseentera),pequeñogrupo (seisa ocho alumno)e individualmente.
Si sepretendeque la informaciónseaauténtica,hay que procurarque los
niñosesténen un ambientede claserelajado,sin que esténagobiadospor la
preocupaciónde obteneruna mala nota o, simplemente,
(quedar mab. Hay
que trasmitirlesla sensaciónde que, de alguna manera,el profesory sus
compañerosquierenaprenderalgo de é1.
Lógicamente,una dificultad que tiene el profesor para realizaresta (tarea) es la presióndel tiempo.Normalmentese sienteagobiadopor la cantidad de contenidoque debe proporcionary minimiza la importanciade la
recogidade estetipo de información.
Las observacionestomadaspor el profesoren relación al desarrollo del
trabajo de los niños,llevana precisarque hay unoserroresque aparecenen
los alumnosen forma aleatoria,por descuido,distracción,etc. y otros se
debena que,simplemente,
el alumnono sabela respuesta
correctay propone
un resultadoal azar.
Hay otros tipos de erroresdebidoso bien a la existenciade defectosen la
comprensióndel concepto o a la aplicación sistemáticade proced'imientos
erróneos.Estosprocedimientos
utilizadospor los niñospuedenserdebidoso
a la elaboraciónde métodospersonalesalternativosa los enseñados
por el
profesoro a la modificaciónu olvido de algúnpasode un algoritmo enseñado.
Presentamosa continuaciónalgunosejemplosde estetipo de erroresque
puedenserfácilmenteidentificadosen el trabajo con las fraccionespor parte
de los niños.
Ernupro 1. Aquellos alumnos en los que se ha potenciadomucho la interpretaciónparte-todo de las fracciones,a partir de diagramas,puedentener dificultadesal considerar315como un númerocomprendidoentre0 y 1, o como la división
de 3 entre 5 en una situaciónde reparto,presentándose
un problemaconceptualen la
integracciónde las distintas interpretacionesde la fracción.
ignorael signihcadode los símbolosque sele presenEl niño probablemente
tan, y rJsuelvela operacónutilizandoel esquemaaditivo de los naturales.
La introducciónde los númerosmixtos desdeun primer momento en
contextosconcretoscomo se ha estadoseñalandoen el capítulo4' ayuda a
evitar/superarestetipo de problemas.
Ernuplo 3. Un niño resta fraccionesdel modo siguiente:
L ^ - L =L - !-: L
T- e - 6 - 6 -6
ñ,f
++=#
- i .- _ _ L - L_ ) L
3
7'r+l++
156
J+
+'+
L
5 70 70 70
E¡rupro 4. Un alumno procedede la siguientemanera:
2 to
s1
111284
-
E¡nlvlpro2. Un niño resuelvela tarea
7
.¿-
Es probable que a este niño alguien le haya enseñadola tegla para
reducir fraccionesa un común denominador mediante el uso del mínimo
común múltiplo. El niño lo calculacorrectamentepero no alteralos numeradores (ha olvidado/modificadoalgún paso del algoritmo enseñado)'
Esto puedeser debido a una aproximación demasiadorápida al cálculo
algorítmiio, lo que ha convertidoel manejode los pasosdel algoritmo en
algo sin sentidoldesconectadode la idea de equivalenciade fracciones).
¿3E5Sq
La utilizacióndel modelo RectaNuméricapuedeservir para ayudar al
niño a integrarlas distintasinterpretaciones.
+
)
2j12
) qq
a
-:-
Gt8
7?
t-= -
?,
_ <_ a
5¿
1
?
t{
lo
|Ll
)?'
?q?
Esteniño ha construidoun algontmo erróneoy bastantecomplicadoparz
Sumarfraccionesde distintodenominador,que consisteen ponerun denom
nador común igual a la suma de los denominadoresy sustituir los numera
l5'1
doresde cada fracción por el producto del denominadory numerador
de la
otra. una vez reducidosa común denominador,los suma correctamente.
(Resulta de una mezcla-alteraciónde pasos dei algoritmo
;al aprendidos, que han dado lugar a un procedimiéntosistemáticopropio) (AsHrocx,
1e86).
Para ftnalizar es importante señalarque en estassituacionesel niño
cree
que lo que estáhaciendoes correcto.El único modo de corregir
estetipo de
erroreses provocarlesun conflicto, por ejemplo,por medio de la
visualiza_
ción, intentando que el niño sedé cuéntaáe ú coniradicciónque existe
entre
su modo de actuar y el que le muestrala realidad.
6.3. ERRORES EN LAS FRACCIONES
Aunque con las fraccionesse presentantodos los tipos de erroresque
hemosseñaladoanteriormente,una gran parte de ros eriores que
los niños
cometenal trabajar con fraccionestienen su origen en la similaridad
ouetanto en el lenguaje como en la simborogía,presentan
lorhri-.'r*
naturales.Por un lado, las fraccionessenombran utilizando"o'
nombresiguales
o muy parecidosa los que ya les son familiaresen el contextode los
números
ordinales;así, por ejemplo,se dice (un cuarto), <<dos
quintos), etc.
Por otro lado, y esto es lo más grave, los símbólos de los
números
naturalesse utilizan tambiénpara las fraccionesañadiendosimplemente
una
rayita horizontal. El niño tiene experienciacon los númerosnaiurales
y esto
conllevauna tendenciaa ver las fraccionescomo un conjunto de
dos números..naturales
separadospgr
rayita.
La
consecuenói"
que
trata de
ra
utilizar susconocimientos
".
de cálculoóon los númerosnaturales,'ilara
lo cual
extrapolaa las fraccioneslas,reglasy algoritmosde aquéllos.Esió
constituye
lo que algunosautoreshan denominadó<efectode distracciónde
los números naturales>r.
La influencia que el conocimientode los númerosnaturalesejerce
en el
proceso de aprendizaje de las fraccionesse manifiesta en
otrós muchos
aspectos.Es dificil para el niño entenderque el producto de dos fracciones
puedesermenor que cualquierade ellas,afcontririo de lo que
sucedeen los
númerosnaturales.como lo que él tiene asimilado son los^uttorii-o,
.on
esosnúmeros a menudo trata de forzar los algoritmos
iru""iorr", d"
manera que el resultadose ajuste a lo que le dióta su intuición.
"on
resumen,
paso
el
de
los
númeroJ
naturalesa los fraccionariosno es
-. ._En los niños. presenta
fá."lpa'u
dificultadestanto conceptualescomo algorítmi_
cas. El profesor debe estar pendientede la evolución de los errores
de los
niños y huir de la tentaciónde creerque con la simplepráctica refetitiva
se
irán subsanando.
158
6.4. ALGUNOS EJEMPLOS TIPICOS
DE ERRORES CON FRACCIONES
A continuaciónpresentamosalgunoserrorestípicos,discutimossu origen
para su solución.Su análisiscuidadosocreemosque
y hacemossugerencias
permitirá al lector enfrentarsebajo otra perspectivaa los errorescometidos
por susalumnos.
6.4.1, Errores en la nociónde equivalenciade fracciones
E¡sr{prO 1. A veces ngs encgntramos COnla siguiente respuesta ante una tarea
de búsqueda de fracciones equivalentes.
L=-L: la
41 11
5
Aquí se refleja una situación en la que la fracción se consideracomo un
par de númerosnaturalesque no están relacionadosentre sí. La respuesta
está basadaen el reconocimientode un modelo aditivo en los numeradores
(sumar seis)que se traslada a los denominadores.
han mostradotambiénque los niños presentan
Algunasinvestigaciones
problemasante la transitividaddel signoigual. Así, Hmr (1981)señalaque
ante una expresióndel tipo
.,
ot 2
I4
n
los alumnostienenmayor dilicultad en calcular n, yu que una vez calculado el valor 8 para el numerador de la segundafracción comparan 8ll2 con
I4lJ,lo que resulta más dificil que hacerlo con 213.El no utilizar 213 :
14/tr puedeser debido a que sólo se fijan en la igualdad de las dos últimas
fracciones.Estos resultadosdeben ser tenidos en cuenta al plantear nuestras actividades.La visualizaciónpuedejugar aquí también un importante
papel.
r59
t", tti#i"?r';".y,lrT#
queselepidequesimplifique
unaseriedefracciones
escribe
7 _4
63
lL
L
3
q
4
6
jL. 2
ql
¿
(,
3
=a
3
3
A primera vista, pareceque no.existe
ninguna lógica en estosresultados.sin
embargo un análisis más detanado
,ou"írru que el niño ha elaborado
una
regla que para simprificarfraccioner
;;;;;;"
cada número naturar otro más
Estas respuetascorrespondena uno de los errores más comunesa la
adición de fraccionesque consisteen que el niño suma independientemente
los numeradoresy denominadores.Un error análogo se presenta en la
sustracción.El origen del error puedeestar en la similaridad de notaciones
que existenentre las fraccionesy los númerosnaturales(llevandonleal uso
de procedimientosaditivos con los naturales)tal y como hemos indicado
anteriormente,pero también puedeestaren que al niño sele ha explicadoya
el algoritmo de la multiplicación y está meclandoambos algoritmos.
En este segundo caso, no es convenienteque el niño practique con
exclusividaduno de los dos algoritmos,sino que debehacerlo con los dos a
la vez (Asnlocn, 1986).Si las observacionesrecogidasnos llevan a apreciar
que las dificultadesestán asociadasa la idea de suma de fracciones,debe
pasar a realizar actividadescomo las sugeridasen el apartado 5.4.
E¡nupro 2. Otro caso es el que presentamosen la siguientesituación:
dos
pasa;;,;; sno,
tres
ül1"tx1[:;:ll"':J:TIK:: ,"..":..1'",
"
extraporadoá,,"p,*"-ai;F,il:?J:;:ó,*';:"T"'l?,iit":'"1*Ti"[:
sor' obsérveseademásque su regra
le dá un ,erultado correcto en bastantes
casos(Asurocr, 19g6).
Lo primero que hay.que hacerantes
de iniciar el procesode correcciónes
determinar si er niño iiene clara ru
,,o"iol'¿" rru""ion.-s¡-rrl-ú"iunirru,
claro que la enseñanza_deberá
r."on,"""ui-ies¿e ahi. Si ra tiene,las
",
activida_
des a realizar serán del tipo ¿. rur
¿ir-"J¿],
el apartado 4.5.
"n
64.2. Errores en la adicióny sustración
de fracciones
54
2
3 _ -5
_ É _ 6 _j+ = 3 1
_2
?.i
\5
') 5
2
2
E¡Eupro 1. Consideremosahora las
respuestas
2
4l
3. 36
4?ti
-=b
6
7
-.t
r60
.l
z
-:-
257
)
l-
a
cl
J
lrz
-+_
s6
3
6
.11
Aquí se están considerandopor separadolos números naturales y las
fracciones.El número mixto no se consideracomo un todo, y se resta por
separado,no teniendoen cuentaen el casode las fraccionessi el minuendo
es o no mayor del sustraendo.Si hay una sola fracción, simplementese
coloca.
En estecasoseríaconvenienteproponer al niño que explicaseel por qué
de susprocedimientos.De susrespuestasdebemosintentar deducir si es que
le faltan los requisitos básicospara abordar la tarea (como puede ser la
sustracciónde los númerosnaturales)o que la notacióndel número mixto
no estábien adquirida. En esteúltimo caso,se deberíahacerhincapiéen las
actividadesseñaladaspara la introducción de la notación de los números
mixtos.
161
6.4.3. Errores en la multiplicacióny la división
E¡¡upro 1. un error bastantecomún es realizarla
murtiplicaciónde fraccioncs
del modo siguiente,
21q
-X*3
3
26
3
6
fi,
6
-3-
3
5
I (,.5
f,,3¿t010
!
3o
10
es
E¡nupro 3. Una secuenciatípica de error con la división de fracciones
?1?
- I -: -
¿{
un
Esto nos indica lo que les sucedealgunos niños que mantienen
multiplican
conflicto ante la idea de qo. pu.u obtenerfraccionesequivalentes
nu-".udoi y denominadorde la fracción pudiéndolasver
por un <<número>>
tiempo como una mútiplo de la otra, al trasladar un esquema
ul
-ir*oen los naturales'
válido
Realmentepoder concebirla multiplicación de una fracciónpor 1' exprede lo que
sando ésteen fbrma fraccionaria(ala),tiene una dificultad mayor
puedeparecera simPlevista.
Ll
t {. 2 =2
tf
L=!,+
q33(61
como seobserva,las fraccionessereducena comúndenominador
pluego se
multiplica los numeradores.
Este error proviene,en muchos d. unu
mezclade los algoritmos de la adición y A, U multiplicación."uro'r,
La introducción tempranaar manejo de ros algoritmos
da lugar a la
produciendoun prócedimientode cálculo sin
ntng,in
fl:r,.11*
"mbos,
runoamento.
E¡nupro 2. Sea ahora un niño que multiplica un número
natural por una
fracción de esta manera:
4 r j= a
66
3^6
-X
t{t
J=-
-2 ,3 .á
31
Probablementeel niño ha aprendido que para multiplicar
fraccioneshay
que multiplicar los numeradoresy los denominadoresy
resuelvsel casoen
que uno de los dos factoreses un número natural utiliiándolo
como factor
para ambos.
También puedeser que estéutilizando un método que se le
ha enseñado
para construir fraccionesequivalentes(multiplicar numerador
y denominador por un mismo número).
r62
2
-.-
5' 2
?
{
5
2
I
7 - 1
2
2
2 .',t,- 2
6
t
z
El procedimiento que se está aplicando para obtener estos resultados
consistl en dividir separadamentelos numeradoresy los denominadores
ignorando los posiblei restosque se obtengansi la división no es exacta.
la
Este error tiene su origen o bien en una confusióncon el algoritmo de
repetidamultiplicación o bien en-la influencia de los números naturales,
mente citada.
Porotrolado,convienenotarqueelprocedimientodaelresultad
puedehaber
correcto con alguna frecuenciay que, por tanto su utilización
ejemplos
como
hacer
ha
visto
sido reforzadafor los ejerciciosqué el alumno
llegar a
que
es
operar
Una propiedad curiosa de este modo de
-puede
denominador
el
en
cero
con
resultadoi a-bsurdos,tales como fracciones
(Asnr,ocr, 1986).Puede ser convenienteen este caso provocar el conflicto
poniéndoíe situacionesen las que el resultado de la operación no tenga
sentido.
Conestosejemploshemosqueridomostraralgunosdeloserrore
que sirvan para
cometenlos niños ál trabajar con las fracciones.Esperamos
no debe
ayudarnosa considerarqúe los ejerciciosrealizadospor los niños
que el
para
sér sólo utilizados para evaluarlos,sino que deben ser usados
se
alumnos
sus
prof..or, medianteia observacióncontinuadadel trabajo de
163
dé cuenta de que ros.procedimientosque
utilizan
propuestaspuedenestar rejos der procedimi"nto para rearizarras tareas
o"rrreñ";;;;"
necesidad
de considerarel aprendizuj"
personal
(constructivo> se
y
fio".ro
nos manifiestaal <<descubrir>
"o-o-utt
los pro".di-i.otór p.r.oni"r-ár'lo,
ni¡or.
La <<observación>
y ra indagación continuadu ¿" lu,
de ros
niños constituyen un instrumenio
"rtiutegias
u"tio.o para efectuar
una
tarea
de
diagnosis,proporcionandoentre otru,
',uylor"r,
un modo de discernirentre ros
niños que utilizan un procedimientoincorrecto
de ros que simprementeno
sabencómo hacerlo(y contestanal azar)o
tienenerroresconceptuales.
Esto,
debetener,posteriormenteimplicacionm
á u hora de realizarlosdiseñosde
enseñanza.
65. ESTIMACION
No podiamos concluir este ribro sin hablar
de la estimacióny de las
ventajasque puede reportar su utilización
ar trabajar con fracciones.
No es fácil dar una definición de lo que
se entiende por estimación.
Podemosdecir que se trata de dar una
respuesta(numérica)que estflpróxima a la respuestaexacta.Ahora bien, el
significadode <próximo>rdepende
del contexto en que se plantea la p.ejunta,
e incluso de la propia
r--r-- respuesta.
Para aclararlo,consideiremos
el rig;"nt.L¡r_pto.
Supongamosque en un supermercadotr"-ó,
ido cogiendoartícurosde
,
las estanteríaspor un varor exactoae zilnpesetas.
N"riii"i
desconocemoseste varor, pero ¿"reu-or""urarmente
hacer una estimación
mientras
caminamoshacia la caja. un valor estimaáo
de 25.000p;;.,^ ñ.ía consi_
derarseen generalco11bu1no, u no ,"ilu"
t,ruiere_ir-s¿l;,.;;, ejemplo
25.000pesetas
en er borsillo.En estecaso-es'claro
que necesitamos
haceruna
estimaciónmás próxima si no qu"r"-o,
u..no, en dificultadesa la hora de
pagar.
Tradicionalmente,situacionescomo las
anterioreseran las que casisiempre se asociabana ra idea de estimar.
Sin embargo,en ros últimos años
paleceque.se han prodrrcido algunos
intentos para introducir la estimación
en los currículade unafo*u
u.priu. iur razonespara ello son variadas
e importantes;van desderasnecesidaáes
-L
áe iu ui¿u *tüi""" l"rg"üo, n"n
ella una defensafrente a,.ra rapidez
"n
ras carculadorasefectúanlas
operaciones)hasta su utilidad p^ra rcforrar
";;;;r conceptos
y algoritmos en Ios
niños.
Ahora bien,hay que señalarque ra enseñ
anzadela estimaciónesdificil, y
encuentracierta resistenciaen roi niños. Es
fácil *.prái"iqr.
si-a on nino
se le pide que realiceuna estimació1de
urgo q"" sabi carcularexactamente,
primero hará el cálculo y a partir ¿e
él dáá una estimación.
Evidentemente,no es estéel lugar para
desarro'ar aspectosgeneralesde
t64
la estimación.Pero queremosseñalarque no es un tema que deba enseñarse
aisladamente,sino que debe desarrollarsede un modo continuo a lo largo
del estudio de las Matemáticas.
Centrándonosen las fracciones,consideremosen primer lugar la propia
de una fracción dada. Para poder estimar algo es
estimacióndel <<tamaño>>
necesariosercapazde considerarlocomo una unidad, como un <todo>' Sólo
Esto requieredade un
en estecaso tendrá sentido hablar de su <<tamaño>>.
significadoconjunto a los símbolosque aparecen:el numerador,el denominador y la rayita horizontal. Setrata de ver la fracción como una entidad en
sí misma.
de
¿Cómose puedeayudar a los niños a desarrollarla idea de <tamaño>>
una fracción?Esta podría ser la pregunta clave.Una actividad que podría
ayudar a respondera estacuestiónseríala de pedir a los niños que construyan una fraccióntan próxima a 1 como seaposiblepero menor que él mismo
(BnHn,et al.,1986).
Podemoscomenzarpidiéndoleal niño qu€ proponga una fracción cercana ala unidad. Supongamosque la respuestaes 517' A continuación le
pedimosque dé una fracción más cercade la unidad que la anterior. La idea
es intentar que observe que puede hacerlo aumentando el numerador y
proponer consecuentemente
6l7 .
La tareaes más dificil cuando le volvemosa pedir otra fracción a partir
de ésta,más próxima a la unidad pero menor que ella. Un alumno con una
comprensión suficientedeberá ser capaz de razonar que aumentando el
numerador y el denominadoren una unidad obtiene 718,que es mayor que
617,pero menor que uno.
Evidentementeestasactividadesse puedenmodilicar cambiandoel número al que pedimosque los niños se aproximen con las fracciones'
Otro tipo de actividadpodría serlas que requierancomparardos fraccionesdadas.En ellasalgunosniños elaboranestrategiaspersonalesque consisten en utilizar otra fraccióncomo punto de referenciapara realizarla comparación, o realizanmentamenteciertos algoritmos.
Actividades que potencien destrezasde estimación en situacionesde
.sumapuedenser las que ante una seriede cinco o seisnúmerosnaturalesse
pida a los niños que formen dos fraccionescuya suma estélo más cercana
posible a un número dado (este número dado estaría en función de los
númerosnaturalesque se le proporcionana los niños en primer lugar).
Una modificación de la tarea anterior consistiríaen que los niños proporcionendosfracciones
cuyasumaestélo máscercanaposiblea un número
dado pero sin proporcionarlesde antemanoningún conjunto de números
naturalespara que formen las fracciones.
que
el valor de estastareasestáno tanto en la respuesta
Evidentemente
que
se
les
den
oportunidades
proporcionar
como
en
las
puedan
los niños
para que puedanverbalizarlas estrategiasutilizadaspara dar la respuesta.
165
La comparaciónde las distintasestrategias
empleadaspor variosniños y la
discusióncentradaen cuál es la idóneaen cadacasopuede,por una parte,
ayudar al profesor a darse cuenta de cuál es el nivei de conocimiento en
relacióna las fraccionesy a las operacionescon ellasque tienensusalumnos.
Por otra parte ayudaa los-niñosa serconscientes
de suspropiasestrategias
para que las reafirmeno las modifiquen en cada situación párticular.
volvemos aquí a insistir en la necesidadde trasladarla atenciónsobrelas
estrategiasempleadasy su justificación por parte de los niños frente a la
valoraciónde las respuestas
sólo como correctaso incorretas.
Paraoperaciones
como la multiplicacióny con el mismoobjetivoreseñado para las actividadesanteriores,wooncocr (19g6)ha propuesto lo siguiente:se le da al niño una ligura geométrica,por ejemploun rectánguloy
sele pideque dibujerectángulosque seanlll0, rl2,3la y 9lr0 del rectánguló
original,planteándose
una seriede preguntaspara hacerlesreflexionarsobre
lo que han realizado.
Estaspreguntasse referirána la comparacióndel tamaño de los rectángulos,a ordenarlesde mayor a menor y cómo podrán sabersi el rectángulo
que tienen que pintar era mucho menor o sólo un poco menor qué el
original.
a+
En una segundaparte s€ utiliza la experienciaadquirida para calcular
productosde fracciones,pidiéndoles,por ejemplo,que estimencuál seráel
resultadoaproximado al determinarla fracción de una cantidad:siendoesta
cantidad al principio un número natural para luego pasar a fraccionesen
tareascomo las de estimar el resultadode 1/10 por Il3, ll2 por 113,...
haciéndoles
tambiénpreguntasdel mismo tipo de lai anteriores.Para terminar, queremosresaltarque una de las ventajasde presentara
los niños actividadesde estimar tanto el <tamaño>>
de la fracción como el
resultadode las operaciones
con fraccionesesquelesayudaa profundizaren
el propio conceptode fraccióny de las operaciones.
De hecho,la asimilación
de dicho conceptoy el desarrollode la habilidad de estimarson procesosque
transcurrenparalelamente,apoyándoseuno en el otro.
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