LOGICA Y TEORIA DE LA CIENCIA
P R IN C IP IA
M A T H E M A T IC A
h a s t a * 56
W h it e h e a d y R u s s e ll
P A R A N IN F O
ALFRED NORTH WHITEHEAD
y
B E R T R A N D R U S S E L L , F.R.S.
PRINCIPIA
MATHEM ATICA
(HASTA EL *56)
Colección
LOGICA Y TEORIA DE LA CIENCIA
1981
Director:
PASCUAL MARTINEZ FREIRE
Profesor agregado numerario de Lógica
Universidad Complutense de Madrid
D
P A R A N IN F O
9
MADRID
Traducido por
J. MANUEL DOMINGUEZ RODRIGUEZ
Profesor del Departamento de Lógica
de la Universidad Complutense.
© Cambridge University Press
© de la edición española.
Paraninfo, S.A- Madrid, España
© de la traducción española,
Paraninfo, S.A. Madrid, España
Título original:
PRINCIPIA MATHEMATICA
Reservados los derechos de edición,
reproducción y adaptación
IMPRESO EN ESPAÑA
PRINTED IN SPAIN
ISBN: 0-521-09187-X (edición inglesa)
ISBN: 84-283-1144-7 (edición española)
Depósito Legal: M-32102-1981
P A R A N IN F O fe]
Ü S
Magallanes, 25 - MADRID (15)
ALCO, artes gráficas. Jaspe, 34 - Madrid-26
(3-2786)
CONTENIDO
Págs-,
PREFACIO..............................................................................................................
7
LISTA ALFABETICA DE PROPOSICIONES RELACIONADAS POR NOM­
BRES .........................................................................................................................
13
INTRODUCCION A LA SEGUNDA EDICION..................................................
15
INTRODUCCION................................................................................. . ...............
54
Capitulo I. Explicaciones preliminares de ideas y notaciones........................
57
Capítulo II. La teoría de tipos lógicos.............................................................
93
Capítulo III, Símbolos incom pletos................................................................. 124
PARTE I. LOGICA MATEMATICA .................................................................... 145
Sumario de la Parte I .......................................................................................... 147
Sección A. La teoría de la deducción...............................................................
* 1.
*2.
*3.
*4.
*5.
Ideas y proposiciones primitivas.........................................................
Consecuencias inmediatas de las proposiciones prim itivas.............
El producto lógico de dos proposiciones..........................................
La equivalencia y las reglas form ales.................................................
Miscelánea de proposiciones ..............................................................
150
151
158
170
176
184
Sección B. Teoría de las variables aparentes..................................................... 188
*9. Ampliación de la teoría de la deducción desde los tipos más bajos
de proposiciones hasta los más altos...................................................
*10. Teoría de las proposiciones que contienenuna variable aparente. .
*11. Teoría de las dos variables aparentes.................................................
*12. La jerarquía de tipos y el axioma de lareducibilidad.....................
*13. La identidad ........................................................................................
*14. Las descripciones.................................................................................
188
199
212
222
230
235
Sección C. Clases y relaciones........................................................................... 249
*20. Teoría general de clases...................................................................... 249
*21. Teoría general de relaciones................................................................ 263
*22. Cálculo de clases................................................................................... 269
5
Págs.
*23. Cálculo de relaciones................................... ....................................... 277
*24. La clase universal, la clase nula y la existencia de clases . . . . . . . . . 280
*25. La relación universal, la relación nula y la existencia de relaciones. 291
Sección D. Lógica de relaciones........................................................................
*30. Funciones descriptivas..........................................................................
*31. Conversas de relaciones...................................................
*32. Relacionantes y relacionados de un término dado con respecto a
una relación dada.....................................................................
*33. Dominios, dominios conversos, y campos de relaciones..................
*34. El producto relativo de dos relaciones ..............................................
*35. Relaciones con dominios limitados y dominios conversos................
*36. Relaciones con campos limitados.......................................................
*37. Funciones descriptivas p lurales............................ .. • ......................
*38. Relaciones y clases derivadas de una función descriptiva doble . . .
Nota a la Sección ..........................................................................................
Sección E. Productos y sumas de clases...........................................................
*40.
*41.
*42.
*43.
294
295
30
310
3
328
3
358
364
Productos y sumas de clases de clases.................................................. 3^
El producto y suma de una clase de relaciones.................................. 377
Miscelánea de proposiciones................................................................
Las relaciones de un producto relativo con sus factores..................386
PARTE II. PROLEGOMENOS AL CARDINAL ARITMETICO...................... 389
Sumario de la Parte II, Sección A .................................................................... 391
392
Sección A. Clases unitarias y pares ...............................................................
*50.
*51.
*52.
*53.
*54.
*55.
*56.
La identidad y la diversidad como relaciones...................................
Clases unitarias ...................................................................................
El número cardinal 1 ...............................................................
Miscelánea de proposiciones en las que intervienen clases unitarias.
Pares cardinales...................................................................................
Pares ordinales......................................................................................
El número ordinal ...............................................................................
394
401
408
413
420
426
437
445
APENDICE A .........................................................................................................
*8. La teoría de la deducción para proposiciones que contienen varia­
445
bles aparentes........................................................................................
461
APENDICE ...............................................................................................................
461
Funciones de verdad y o tra s ........................................................................
470
USTA DE DEFINICIONES
6
3<3**
PREFACIO
El tratamiento matemático de los fundamentos de las Matemáticas —que es lo
que constituye el objeto de este libro— ha procedido del engarce de dos estudios
distintos, ambos, en lo fundamental, muy modernos. Por un lado, contamos con los
trabajos de los analistas y geómetras encaminados a formular y sistematizar sus
axiomas, así como con las obras de Cantor y de otros autores sobre materias tales
como la teoría de conjuntos. Por otra parte, tenemos la lógica simbólica que ahora,
tras un necesario periodo de maduración, ha adquirido —gracias a Peano y a sus
seguidores- la adaptabilidad técnica y la comprensión lógica que son esenciales a un
instrumento matemático para ocuparse de lo que, hasta este momento, han sido los
comienzos de la matemática. De la combinación de ambos estudios se derivan estas
dos consecuencias: ( 1) que los que antiguamente se consideraron —tácita o explíci­
tamente— como axiomas son o bien innecesarios o bien demostrables; ( 2) que los
mismos métodos por los que se demuestran los supuestos axiomas producirán
resultados dignos de tenerse en cuenta en ciertas regiones -tales como la del
número infinito- que anteriormente se habían considerado como inaccesibles al
conocimiento humano. De aquí resulta que el campo de acción de la matemática se
agranda, tanto por la inclusión de nuevas materias como por crecimiento, al
ocuparse de cuestiones que hasta ahora estaban reservadas a la Filosofía.
Nuestra intención inicial fue la de incluir este libro en Los Principios de la
Matemática, de forma que constituyese un segundo volumen de la obra. Teniendo
presente dicho objetivo, comenzamos a escribirlo en el año 1900. A medida que
avanzábamos, se hacía cada vez más evidente que este trabajo era de una envergadu­
ra mucho mayor de lo que habíamos supuesto; por otra parte, acerca de muchas
cuestiones fundamentales, que en la obra anterior se habían abandonado por
oscuras y dudosas, ahora hemos llegado a unas soluciones que creemos que son
satisfactorias. Por este motivo se hizo preciso realizar nuestro libro con independen­
cia de Los Principios de la Matemática. Sin embargo, hemos rehusado tanto la
polémica como la filosofía general, de modo que presentamos nuestras exposiciones
de una forma dogmática. La justificación de este proceder es que la principal razón
en favor de cualquier teoría acerca de los principios de La matemática debe ser
siempre inductiva, es decir, debe apoyarse en el hecho de que dicha teoría nos
permita deducir la matemática ordinaria. Es normal en matemáticas que el mayor
grado de autoevidencia no se encuentre de manera cabal al comienzo, sino en un
momento posterior; por eso, las primeras deducciones, en tanto no se llegue a ese
momento, ofrecen más bien razones para creer en las premisas, (puesto que de ellas
7
se siguen consecuencias verdaderas), que para creer en las consecuencias (dado que
ellas resultan de las premisas).
Al elaborar un sistema deductivo, tal como el que se contiene en esta obra, han
de realizarse simultáneamente dos tareas contrapuestas. Por una parte, contamos
con el modo de analizar, propio de las matemáticas, con miras a averiguar qué
premisas se emplean, si éstas son coherentes entre sí, y si pueden reducirse a otras
más fundamentales. Por otro lado, una vez tomada decisión por nuestras premisas,
tenemos que estructurar de nuevo, en la medida en que lo creamos conveniente, los
datos que anteriormente ya habían sido analizados, y cuantas otras consecuencias
sean de suficiente interés general como para que merezcan exponerse. La labor
previa de análisis no aparece en la presentación definitiva, la cual simplemente
expone el resultado del análisis de ciertas ideas no definidas y de proposiciones no
demostradas. No pretendemos afirmar que dicho análisis no se pudo haber llevado
más lejos; no tenemos razón alguna para suponer que sea imposible encontrar ideas
y axiomas más simples, mediante los cuales aquellas de las que hemos partido
pudieran ser definidas y demostradas. Todo lo que se afirma es que las ideas y los
axiomas de los que partimos son suficientes, pero no que sean necesarios.
Al efectuar deducciones partiendo de nuestras premisas, hemos considerado
esencial extenderlas hasta el punto en donde hemos probado que resulta verdadero
aquello que de ordinario se da por supuesto. Pero pensamos que tampoco es
deseable constreñirnos demasiado estrictamente a esta tarea. Es habitual considerar
sólo casos particulares, incluso cuando, con nuestro aparato, resulta igual de sencillo
tratar el caso general. Así, por ejemplo, la aritmética cardinal se suele concebir
relacionada con los números finitos; sin embargo, sus leyes generales sirven igual­
mente para los números infinitos, e incluso se prueban más fácilmente haciendo
caso omiso a la distinción entre finito e infinito. De igual modo, muchas de las
propiedades que generalmente se aplican asociándolas a las series son válidas,
también, para ordenaciones que no son estrictamente seriales, sino que sólo gozan
de alguna de las propiedades que caracterizan a este tipo de ordenaciones. En tales
casos, resulta un defecto de tipo lógico hacer la comprobación para una clase
particular de combinaciones, cuando perfectamente podría hacerse con mayor
generalidad. Un proceso análogo de generalización se inserta, en mayor o menor
grado, a lo largo de nuestra obra. Siempre hemos procurado encontrar la hipótesis
simple, más razonablemente general, a partir de la cual pueda alcanzarse alguna
conclusión dada. Por esta razón, especialmente en las partes últimas del libro, la
importancia de una proposición suele radicar en su hipótesis. La conclusión será
algo que frecuentemente, en ciertos tipos de casos, resulta familiar; pero la hipótesis
será, en la medida de lo posible, lo suficientemente amplia como para admitir
muchos otros casos, además de aquellos para los que la conclusión sea familiar.
Consideramos necesario ofrecer las pruebas de manera completa puesto que, de
otra forma, apenas es posible ver qué hipótesis se necesitan realmente, o si nuestros
resultados se siguen de nuestras premisas explícitas. (Recordamos, de nuevo, que
nosotros no afirmamos simplemente que tales y cuales proposiciones son verdade­
8
ras, sino también que los axiomas que ofrecemos son suficientes para probarlas). Al
propio tiempo, si bien son necesarias pruebas íntegras para evitar errores y para
convencer a aquellos que pueden albergar dudas por lo que respecta a nuestra
corrección, con todo, las pruebas de las proposiciones puede normalmente omitirlas
el lector que no esté especialmente interesado por un asunto determinado y que no
sienta duda de nuestra exactitud sustancial en dicha materia. Al lector que esté de
una manera especial interesado en una determinada parte del libro, probablemente
le sea suficiente —por lo que se refiere a las partes primeras—leer los resúmenes de
las partes previas, secciones y apartados, ya que éstos ofrecen explicaciones de las
ideas que tienen relación con ellas, y los enunciados de las principales proposiciones
probadas. Las pruebas que se dan en la Parte I, Sección A, son, sin embargo,
necesarias, ya que en el curso de las mismas se explica la manera de hacer el
planteamiento de dichas pruebas. Las pruebas de las primeras proposiciones se dan
sin omitir ningún paso; pero, conforme avanza la obra, las pruebas se van reducien­
do gradualmente, manteniendo sin embargo el suficiente detalle para permitir al
lector, mediante la ayuda de referencias, a recomponer las pruebas de forma que no
se omita ningún paso.
El orden adoptado es, hasta cierto punto, opcional. Por ejemplo, hemos tratado
la aritmética cardinal y la de las relaciones de tipo aritmético antes que las series;
pero pudimos haber estudiado en primer lugar las series. No obstante, en gran parte,
el orden viene impuesto por las necesidades lógicas.
Una gran parte del esfuerzo que supuso escribir el presente trabajo se ha
invertido en tratar las contradicciones y paradojas que han infíccionado la lógica y
la teoría de conjuntos. Hemos examinado un gran número de hipótesis en relación
con estas contradicciones; muchas de tales hipótesis fueron anticipadas por otros,
así como otras muchas han sido inventadas por nosotros mismos. A veces nos ha
costado varios meses de trabajo llegar al convencimiento de que una hipótesis era
insostenible. En el curso de tan prolongado estudio hemos sido llevados, como era
de esperar, a cambiar de vez en cuando nuestro punto de vista; pero gradualmente
se nos fue haciendo evidente que, para evitar las contradicciones debería adoptarse
alguna forma de teoría de tipos. La forma particular de la teoría de tipos que se
propugna en este trabajo no es, bajo el punto de vista lógico, algo indispensable;
existen otras varias formas que son igualmente compatibles con la verdad de
nuestras deducciones. Nosotros hemos particularizado porque la forma de la teoría
de tipos que propugnamos nos parece lo más probable, y porque creimos necesario
ofrecer, al menos, una teoría perfectamente definida que evítase las contradiccio­
nes. Pero, aunque se adoptase una forma diferente de teoría de tipos, difícilmente
se cambiaría nada de nuestro libro. De hecho podemos ir más allá y decir que, aún
suponiendo que exista alguna otra forma de evitar las contradicciones, sólo una
pequeña parte de nuestro libro -sin contar la que explícitamente trate de tip o sdepende, en alguna manera, de la teoría de tipos que se adopte, una vez que se ha
visto (como nosotros pretendemos haber mostrado) que es posible construir una
lógica matemática que no lleve contradicciones. Debe observarse que el efecto
9
global de la teoría de tipos es negativo: impide ciertas inferencias que de otra
manera serían válidas y, sin embargo, no tolera ninguna que sin ella fuese inválida.
Por eso, podemos razonablemente confiar en que las inferencias que permita la
teoría de tipos sigan siendo válidas aún cuando se hubiese encontrado que tal teoría
no fuese válida.
Nuestro sistema lógico se contiene íntegramente en las proposiciones numeradas,
que son independientes de la Introducción y de los Sumarios. Tanto la Introducción
como los Sumarios son explicativos en sí mismos, y no forman parte de la cadena
de deducciones. La explicación de la jerarquía de tipos que se da en la Introducción
difiere ligeramente de la dada en el apartado * 12 . Esta última explicación es la más
estricta, y es la que se adopta a lo largo del resto del libro.
La forma simbólica del trabajo nos ha venido impuesta por la necesidad: sin su
ayuda hubiésemos sido incapaces de realizar el razonamiento preciso. Se lia desarro­
llado como consecuencia de una práctica efectiva, y en modo alguno es un añadido
introducido por un mero interés expositivo. El método general que guía nuestro
empleo de los símbolos lógicos es el debido a Peano. Su gran mérito consiste, no
tanto en sus descubrimientos lógicos —bien definidos— ni en los detalles de sus
notaciones (ambas cosas son excelentes) cuanto en el hecho de que fue el primero
que mostró cómo había que liberar a la lógica simbólica de su indebida obsesión por
las formas del álgebra ordinaria; de este modo, logró que fuese un instrumento apto
para la investigación. Llevados por nuestro estudio de sus métodos, hemos hecho
uso de una gran libertad al construir, o reconstruir, un simbolismo que fuese
adecuado para tratar sobre todas las cuestiones que son de nuestro interés. No se
lian introducido símbolos que no estuviesen apoyados en su utilidad práctica para
los objetivos inmediatos de nuestro razonamiento.
En las notas y explicaciones se ofrecerán un cierto número de referencias dadas
por anticipado. Aunque, en cada caso, hemos tomado una razonable precaución
para cerciorarnos de la exactitud de estas referencias “en avance” , no podemos,
desde luego, garantizar su exactitud con la misma confianza que tendríamos si se
tratase del caso de que fuesen referencias a expresiones ya expuestas con anterio­
ridad.
No nos es posible una manifestación detallada de gratitud a escritores anteriores,
ya que hemos tenido que transformar cuanto hemos tomado, a fin de adaptarlo a
nuestro sistema y notación. Nuestros principales reconocimientos serán obvios para
todos los lectores familiarizados con la literatura sobre esta temática. En cuanto a la
notación, hemos seguido en la medida de lo posible a Peano, completándola,
cuando fue necesario, con la de Frege o la de Schroder. Sin embargo, gran parte del
simbolismo ha tenido que ser nuevo, no tanto debido a la insatisfacción con el
simbolismo de otros, cuanto por el hecho de que nos ocupamos de ideas que no
habían sido simbolizadas con anterioridad. En todas las cuestiones de análisis
lógico, nuestra principal deuda es con Frege. En donde diferimos de él se debe, en
gran parte, al hecho de que las contradicciones lian mostrado que él - a l igual que
10
ha ocurrido con otros lógicos antiguos y modernos—había permitido deslizar algún
error entre sus premisas; de no haber sido por esas contradicciones, hubiese sido
imposible detectar tales errores. En cuanto a la Aritmética y a la teoría de series,
todo nuestro trabajo está basado sobre el Georg Cantor. Por lo que respecta a la
Geometría, hemos tenido continuamente presentes los escritos de V. Staudt, Pasch,
Pieri y Veblen.
A. N. W.
B R
CAMBRIDGE,
Noviembre de 1910.
11
NOTA
Todas las referencias cruzadas que aparecen en el
texto, incluyendo referencias a definiciones y propo­
siciones, pertenecen a la segunda edición (1927)y no
necesariamente pueden encontrarse en esta edición
abreviada.
12
LISTA ALFABETICA DE PROPOSICIONES,
RELACIONADAS POR NOMBRES
N o m b r e
N ú m e r o
A b s
* 2 0 1 .
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13
INTRODUCCION A LA SEGUNDA EDICION (1)
Al preparar esta nueva edición de los Principia Mathematica, los autores hemos
pensado que lo mejor sería dejar el texto intacto (salvo en lo que se refiere a erratas
de imprenta y a pequeños defectos (2)), aunque éramos conscientes de que había
posibilidad de mejoras. El principal motivo por el que se ha tomado esta decisión es
que cualquier alteración en las proposiciones traería consigo cambios en las referen­
cias, lo cual supondría un considerable trabajo. Por ello, hemos preferido exponer,
en una introducción, las principales mejoras que parecen deseables. Algunas de ellas
apenas están abiertas a la discusión; otras son, por ahora, materia opinable.
El más rotundo perfeccionamiento alcanzado en materia de lógica matemática
durante los últimos catorce años es la sustitución, en la Parte I, Sección A, del
indefinible “p y q son incompatibles” (o, de otro modo, “p y q son ambos falsos” )
en lugar de los dos indefinibles “no-p” y “p o q". Esto se ha debido al Dr. H. M.
Sheffer (3). Consecuentemente, M. Jean Nicod (4) mostró que una sola proposición
primitiva podía sustituir a las cinco proposiciones primitivas *1'2'3'4‘5'6.
De esto se sigue una gran simplificación en la composición de proposiciones y
matrices moleculares; el capítulo *9 queda sustituido por uno nuevo -e l *8—, que
se ofrece en el Apéndice A de este volumen.
Otro punto acerca del que no cabe duda alguna es que no hay necesidad de
distinguir entre variables reales y aparentes; tampoco resulta necesaria la idea
primitiva de “aserción de una función proposicional” . En todos los casos donde, en
los Principia Mathematica, aparezcan proposiciones aseveradas de la forma ‘T . fx ”
o “b . / p ” debe considerarse que tienen, respectivamente, la significación
“b . (jc) . f x ” o “b • (p) -/p ” - Por consiguiente, la proposición primitiva * 1'11 ya no
es necesaria. Lo que sí es preciso, a fin de adaptar las proposiciones según este
cambio de notación, es establecer el convenio de que, cuando el alcance de una
variable aparente sea la totalidad de la proposición aseverada en la que tiene lugar,
este hecho no se indicará explícitamente, a no ser que contenga “algún” en lugar de
(1) P.n cuanto a esta introducción, así como a los Apéndices, los autores están muy
agradecidos a Mr. F. P. Ramsey, del King’s Collcge de Cambridge, que lia leído todo el
manuscrito y contribuido con valiosas críticas y sugerencias.
(2) Con respecto a éstos, estamos en deuda con muchos lectores, pero especialmente con los
Drs. Behmann y Boscovitch, de Gottinga.
(3) Trans. Amer. Math. Soc. VoL XIV. pp. 481-488.
(4) “ Una reducción en el número de proposiciones primitivas de la Lógica”. Proc. Camb.
Phíl. Soc. Vol. XIX.
15
INTRODUCCION
“todo". Es decir, “ | - . <f>x” significa “ b . (x) <
¡>x \ pero en el caso de “ b . (3 jc) . #x”
resulta necesario indicar explícitamente el hecho de que interviene “algún” x (y no
“todo” x).
Es posible indicar más claramente de lo que se hizo con anterioridad cuáles son
las innovaciones introducidas en la Parte I, Sección B, al compararlas con la Sección
A. Son tres estas novedades: dos de carácter esencialmente lógico, y la tercera,
meramente notacional.
(1) Sustituimos la “p ” que aparece en la Sección A por “<¡>x’\ de tal manera que
en lugar de “ b . (p) -fp" tenemos “ b .
A0*)” - Del mismo modo, si tenemos
“b -f(p, Q, r>•••)” >podemos hacer la sustitución <px, <¡>y, <¡>z, ... en lugar de p, q, r, ...,
o #x, $y en vez de p, q, y <j>z, ... en lugar de r, ...; y así sucesivamente. De esta
manera, obtenemos una porción de nuevas proposiciones generales diferentes de las
que aparecen en la Sección A.
(2) En la Sección B introducimos la nueva idea primitiva “(3 * ) . <px’\ es decir,
proposiciones existenciales que no aparecen en la Sección A. En virtud de la
abolición de la variable real, las proposiciones generales de la forma “(p) .fp " se
encuentran en la Sección A, pero no las de la forma “(3p) .fp " .
(3) Por medio de definiciones, introducimos en la Sección B proposiciones
generales que son constitutivos moleculares de otras proposiciones; de este modo,
“( x ) . 0x . v . p ” significa “ (x) . 0x v p ” .
Estas tres innovaciones son las que hacen distinguir la Sección B de la A.
Un punto en el que claramente es deseable su perfeccionamiento es el axioma de
la reducibilidad (* 1 2 T 1 1). Este axioma tiene una justificación puramente pragmá­
tica: conduce a los resultados deseados y no a otros. No obstante, no es la clase de
axioma con la que podamos quedar satisfechos. Pero tampoco puede decirse que,
hasta ahora, se haya conseguido una solución satisfactoria. El Dr. León Chwistech
(S) tomó la decisión heroica de prescindir de dicho axioma sin sustituirlo por
ningún otro; de su trabajo resulta claro que ese camino nos obliga a tener que
sacrificar gran parte de la matemática ordinaria. Existe otra vía que, por razones
filosóficas, fue recomendada por Wittgenstein ( 6). Es la que supone que las
funciones de proposiciones son siempre funciones de verdad, y que una función
sólo puede darse en una proposición a través de sus valores. Adoptar este punto de
vista presenta sus dificultades, pero quizás no sean insuperables (7). Este trae
consigo la consecuencia de que todas las funciones de funciones son extensionales.
Ello nos exige sostener que “A cree p ” no es una función de p. De qué modo sea
esto posible es algo que se muestra en el Tractatus Logico-Philosophicus (loe. cit. y
pp. 19-U1). No estamos preparados para asegurar que esta teoría sea ciertamente
correcta, pero ha merecido la pena el trabajo hecho en las páginas siguientes. Parece
(5) En su “Theory of Constructive Types". Véanse referencias al final de esta Introducción.
(6) "Tractatus Logico-Phibsophicus", »5‘54 ss.
(7) Véase Apéndice C.
16
INTRODUCCION
que todo el contenido del Volumen 1 resulta verdadero (aunque con frecuencia sean
necesarias comprobaciones nuevas); la teoría de los cardinales y ordinales inductivos
se mantiene; por otro lado, parece que tanto la teoría del infinito de Dedekin como
la de las series bien-ordenadas fracasan en buena parte, de tal manera que ya no
pueden ser tratados adecuadamente los números irracionales ni, en forma general,
los reales. También la prueba de Cantor, en la que 2" > n, se desmorona, a no ser
que n sea finito. Quizás algún axioma posterior, que ofrezca menos objeciones que
el de la reducibilidad, podría dar estos resultados; pero no hemos conseguido
encontrarlo.
Debe declararse que el Dr. H. M. Sheffer ha inventado un nuevo y poderoso
método en Lógica matemática. Este método, sin embargo, exigiría escribir de
nuevo, de una manera total, los Principia Mathematica. Recomendamos esta tarea al
Dr. Sheffer, puesto que lo publicado tiesta ahora por él apenas permite a otros
emprender la necesaria reconstrucción.
A continuación procedemos al desarrollo detallado del boceto general expuesto.
1. PROPOSICIONES ATOMICAS Y MOLECULARES
Nuestro sistema se inicia con las “proposiciones atómicas” . Estas las aceptamos
como algo dado, puesto que los problemas que suscitan por sí mismas pertenecen a
la parte filosófica de la Lógica, y no encajan (al menos, por el momento) en un
tratamiento matemático.
Las proposiciones atómicas pueden definirse negativamente diciendo que son
aquellas proposiciones cuyas partes no son proposiciones, y que, además, no contie­
nen las nociones “ todo” ni “ algún” . Así, por ejemplo, “esto es rojo” y “esto es an­
terior a aquello” son proposiciones atómicas.
Las proposiciones atómicas también pueden definirse positivamente - y esta es la
mejor manera—diciendo que son aquellas proposiciones de las siguientes ciases:
/?, (ir), que significa “x tiene como predicado a R i ” ;
R 2 (x, >») [o x R 2y], que significa “x tiene la relación R 2 (en intensión) con
respecto a y ”;
R 3 (x , y, z ), que significa “x, y,
z
están en la relación triádica R 3 (en inten­
sión)” ;
R* (x, y, z, w), con la significación “x, y, z, w están en la relación tetrádica R A
(en intensión)” ;
y así sucesivamente ad infinitum o, en todo caso, hasta donde sea posible. La
Lógica no sabe si hay, de hecho, relaciones n-ádicas (en intensión); ésta es una
cuestión empírica. Conocemos, como un hecho empírico, que hay por lo menos
relaciones diádicas (en intensión), puesto que sin ellas las series serían imposibles.
Pero la Lógica no se interesa por esta cuestión; a ella le incumbe solamente la
17
INTRODUCCION
hipótesis sobre la existencia de proposiciones que sean de una forma “tal y tal” . En
ciertos casos, esta hipótesis es en sí misma de la forma en cuestión, o bien contiene
una parte que es de dicha forma; en estos casos, el hecho de que la hipótesis pueda
estructurarse demuestra que es verdadera. Pero, incluso cuando una hipótesis se
presenta en Lógica, el hecho de que pueda estructurarse es algo que por sí mismo
no pertenece a la Lógica.
Dadas todas las proposiciones atómicas verdaderas, juntamente con el hecho de
que constituyen la totalidad, cualquier otra proposición verdadera puede deducirse
teóricamente por métodos lógicos. Es decir, todo el material bruto requerido para
las pruebas puede quedar reducido a proposiciones atómicas verdaderas, juntamente
con el hecho de que toda proposición atómica verdadera sea una de las siguientes:
(aquí vendría la lista). Este método, de emplearse, acarrearía, según cabe sospechar,
una enumeración infinita, ya que parece natural suponer que el número de proposi­
ciones atómicas verdaderas es infinita, si bien esto no debe considerarse como
cierto. En la práctica, la generalización no se obtiene por el método de la enumera­
ción completa, debido a que exigiría un conocimiento mayor del que poseemos.
Debemos pasar ahora a las proposiciones moleculares. Para empezar, simbolice­
mos las proposiciones atómicas por p, q, r, s, t. Introducimos la idea primitiva
p\q
que puede leerse “p es incompatible con q" ( 8), que será verdadera siempre que una o
ambas proposiciones sean falsas. Por ello, también puede leerse así: “p es falso o q
es falso” ; o, de otra manera, **p implica no-q” . Pero, como vamos a definir la
disyunción, implicación y negación en términos de plq.es preferible, de momento,
evitar estos modos de leer p|q. El símbolo “plq” se lee “p trazo q ” . Ahora
establecemos:
~ p . = . p |p
Df,
j O j . = .p |~ q
Df,
p v 9 . = .~ p |~ ^ Df,
p . 9 . = .~ (p |? ) Df.
De este modo, todas las funciones de verdad usuales pueden construirse por
medio del trazo.
Obsérvese que, en virtud de lo anterior,
p D 9 . = . p |( 9 | 9) Df.
Encontramos que
p . D . q . r . = . p | (9 1r).
Así, p Dq es un caso que asume a una función de tres proposiciones.
(8)
Para cuanto sigue, véase Nicod: “A reduction in the number of the primitive propositions of logic", Proc. Camb. Soc. VoL XIX. pp. 32-41.
18
INTRODUCCION
Podemos construir nuevas proposiciones, indefinidamente, por medio del trazo;
por ejemplo, (p\q)\r, p\(q\r), (pl?)l(r|s), y así sucesivamente. Obsérvese que el trazo
cumple la ley conmutativa (p\q) = (q\p) pero no la ley asociativa (p\q)\r = p\{q\r).
(Por supuesto, estos son resultados que se probarán más adelante). Adviértase
también que, cuando construimos una nueva proposición por medio del trazo, no
podemos saber si es verdadera o falsa, a no ser que ocurra una de estas dos cosas: (a)
que conozcamos la verdad o falsedad de alguno de sus componentes, o (b) que por
lo menos uno de sus componentes aparezca varías veces de un modo adecuado. El
caso (a) eleva el interés lógico de la regla de inferencia, que es:
Dados p y p|(q|r), podemos inferir r.
Esta, u otra variante, debe considerarse como una proposición primitiva. De
momento, lo aplicamos sólo cuando p, q, r sean proposiciones atómicas, aunque,
más adelante, le daremos una amplitud mayor. Consideremos (¿>) por un momento.
Al construir nuevas proposiciones por medio del trazo, suponemos que éste
puede tener en cada uno de sus lados cualquier proposición construida en la forma
dicha, y no necesitamos tener una proposición atómica a cada lado. Así, pues, dadas
tres proposiciones atómicas, p, q, r, podemos formar primero p\q y q\r, y, por
tanto, (p\q)\r y p|(<7Ir). Dadas cuatro, p, q, r, s, podemos formar
(l/, l7)lr l I*. (Ply)l(rjs), />|f7|(>’|í))
y, desde luego, otras muchas, permutando p, q .r y s .
Las tres proposiciones de arriba son sustancialmente diferentes. De hecho,
tenemos:
1(/>I9>I»*I I* - = : . ~ p v ~ j . r : v : ~ í .
(j»l7)¡(r l*)- = : í > - 7 - v . r . s ,
p | í<yI(r*| *)j . =
: v : q . ~ r v~*.
Todas las proposiciones obtenidas por este método resultan de una regla: en
“p\q" sustituir la p o la q, o ambas, por proposiciones construidas con anterioridad
mediante el trazo. Esta regla da lugar a un conjunto bien determinado de nuevas
proposiciones, independientes del conjunto de proposiciones atómicas. Todas las
proposiciones generadas por este procedimiento (exceptuando las proposiciones
atómicas originales) se llamarán “proposiciones moleculares” . Las proposiciones
moleculares son todas, pues, de la forma plq; pero con la salvedad de que ahora p y
q pueden ser ellas mismas proposiciones moleculares. Si/? es p t \p 2, Pt y p 2 pueden
ser moleculares; supongamos ahora p t = p , ||p l2. La proposición /?, ( puede ser de
la forma Pi i J p i i 2; y así sucesivamente. Pero, tras un número finito de pasos de
este tipo, llegaríamos a alcanzar los constituyentes atómicos. En una proposición
p|<7, el trazo entre p y q se llama trazo “principal” ; si p = p x|p2, el trazo entre p t y
p 2 es un trazo secundario; del mismo tipo es el trazo entre q, y q2 si q = q t |</2.
Pero si p l = P n l p i 2, el trazo entre p u y p , 2 es un trazo terciario; y así
sucesivamente.
19
INTRODUCCION
Las proposiciones atómicas y moleculares juntas constituyen las “proposiciones
elementales". Por tanto, las proposiciones elementales son los proposiciones atómi­
cas juntamente con todas las que pueden generarse de ellas, por medio del trazo
aplicado un número finito de veces. Forman un conjunto definido de proposiciones.
Por ahora —y hasta nuevo aviso—emplearemos las letras p , q , r , s y t para designar
proposiciones elementales, y no necesariamente proposiciones atómicas. La regla de
inferencia expuesta más arriba sigue siendo válida; es decir:
Si P, q y r son proposiciones elementales, dados p y pl(q|r), podemos inferir r.
Esta es una proposición primitiva.
Podemos ocuparnos ahora del punto (b ) mencionado antes. Cuando una proposi­
ción molecular contiene a una proposición constituyente, repetida varias veces de
una manera adecuada, puede admitirse como verdadera, aunque no tengamos
conocimiento de la verdad o falsedad de las proposiciones constituyentes. El
ejemplo más sencillo es
p |(p |p ).
que siempre es verdadero. Significa “p es incompatible con la incompatibilidad de p
consigo mismo” , lo cual es obvio. De nuevo, consideremos “p . q . 3 . p ” . Esta
expresión equivale a
Kp 19) IO* I ?)) I(p Ip )Tomemos ahora
p . D. ~ p \ ~ q
Se convierte en
(p|p)ll(plíf)IO>l?)lDel mismo modo “p . 3 . p v q '\ de otra forma es
Pl[((p|p)|(?l9))l Í(plí>)|(?l9))j.
Todas estas expresiones resultan verdaderas para cualquier elección de p y q. Lo
cierto es que podemos componer verdades invariables de esta clase que formen
proposiciones moleculares importantes en Lógica. La Lógica no aporta nada a las
proposiciones atómicas, porque sus verdades o falsedades sólo pueden ser conocidas
empíricamente. Sin embargo, la verdad de las proposiciones moleculares, cuya
forma sea adecuada puede conocerse universalmente sin necesidad de evidencia
empírica.
Las leyes de la Lógica, en tanto que relacionadas con proposiciones elementales,
son todas aserciones por el hecho de que, cualesquiera que sean las proposiciones
elementalesp, q, r, ..., una determinada función
F(p,q,r,...),
cuyos valores sean proposiciones moleculares construidas por medio del trazo, es
siempre verdadera. La proposición “F (p ) es verdadera cualquiera que sea la propo­
sición elemental p" se representa así:
20
INTRODUCCION
(p).F(p).
Análogamente, la proposición “F (p, q, r, ...) es verdadera, cualesquiera que
puedan ser las proposiciones elementales p, q, r, ...” se expresa por
(p, q,r,...).F(p, q, r , ...).
Cuando se asevere una proposición de este tipo, omitiremos “(p, q, r)", que figura
al principio de la expresión. De este modo,
"t-.F (p ,q ,r. ...)’’
significa la afirmación (como opuesta a la hipótesis) de que F (p, q, r) es verdadera,
cualesquiera que sean las proposiciones elementales p, q, r, ...
(La distinción entre variables reales y aparentes, tal como se encuentra en Frege
y en los Principia Mathematica, es innecesaria. Cuanto aparezca como una variable
real en los Principia Mathematica puede considerarse como una variable aparente
cuyo alcance sea la totalidad de la proposición aseverada en la que se encuentra.)
La regla de inferencia, en la forma dada más arriba, nunca se requiere en Lógica,
sino sólo cuando se trate de Lógica aplicada. Dentro de la Lógica, la regla requerida
es diferente. En la Lógica de proposiciones, que es la que nos concierne ahora, la
regla que se usa es:
Cualesquiera que sean las proposiciones elementales p, q, r, .... dadas
. F (p. q, r ,... )” y " h . F (p, q, r ,... )| {G (p, q, r , ... )|H (p, q, r ,... ) | ,” podemos
inferir “F . H ip, q, r , ...).”
Más adelante nos encontraremos con otras formas de inferencia. Por el momen­
to, usaremos la forma que acaba de indicarse.
Nicod ha mostrado que, con la ayuda de la regla de inferencia, la Lógica de
proposiciones (* 1—*5) puede deducirse a partir de las dos proposiciones primitivas
siguientes:
k p
Kp Ip )
La primera puede interpretarse como “p es incompatible con no-p” , o como “p
o no-p” , o como “no (p y no-p)” , o como “p implica p ” . La segunda puede
interpretarse como:
que es una forma del principio del silogismo. Escribiéndola toda en términos de
trazo, el principio se convierte en
(p I(91?)11 [|(* I q) I<(p I *) i(p | *))111(* I q) | ((p I*) I (p I ®))|].
Posteriormente, Nicod ha señalado que ambos principios pueden condensarse en
uno sólo. Escrito totalmente en términos de trazo, este único principio es
21
INTRODUCCION
fj»l(v)r )lItUI(<I<)1' K*!?)K(pU)|(Pl*)))]•
Puede apreciarse que, escrito de esta forma, el principio resulta menos complejo que
el segundo de los principios de arriba, escrito solamente en términos de trazo.
Interpretado en lenguaje de implicación, este único principio de Nicod viene a ser
p ,3 .9 .r:3 .0 t.j)|g 3 p ¡s.
En esta forma, parece más complicada que
jO g .3.*|g3p|«,
aunque, considerada en sf misma, es menos compleja.
A partir de la proposición primitiva antes indicada y de la regla de inferencia,
puede probarse todo cuanto la Lógica pueda indagar acerca de proposiciones
elementales, con tal que añadamos una nueva proposición primitiva, a saber: dada
una proposición (p, q, r, ...). F (p, q, r, ...), podemos sustituir p, q, r ,... por funcio­
nes de la forma
fi(p , q, r , ...), M p ,q ,r ,...) , f,( p . q, r , ...)
y aseverar
(p,q,r,...). F\f,(p.q.r. . . . ), f t (p. q, r, .
( p . q . r ...),
en donde / j , f 2, f 2, ... son funciones construidas por medio del trazo. Puesto que la
aserción presentada en primer lugar es aplicable a todas las proposiciones elementa­
les, mientras que la última se aplica sólo a alguna, es obvio que la primera implica la
segunda.
Más adelante, nos referiremos a una forma más general de este principio.
II. FUNCIONES ELEMENTALES DE TERMINOS INDIVIDUALES
1. Definición de “individual”
Hemos visto que las proposiciones atómicas son de alguna de las formas de la
serie:
R ,(x), R ,( x ,y), R ,(x ,y ,s), R t (x,y,s,v>), . . . .
Aquí, R ,, Rit R 3, £ 4,... son características de la forma especial en que se encuen­
tran; es decir, R„ no puede darse en una proposición atómica R m (xt x 2, ... x m), a
no ser que n = m, y, en ese caso, sólo puede presentarse como se presenta R m y no
como se presentan x t , x 2, ... x m. Por otra parte, cualquier término que intervenga
como una x en R n ( x \ ,x 2, ... x n) puede igualmente intervenir como una de las jc’s
en Rm (xt, x 2, ... x m) aunque m no sea igual a n. Los términos que pueden
presentarse en una forma cualquiera de proposición atómica se llaman “individua­
22
INTRODUCCION
les” o “ particulares” ; los términos que se presentan tal como se presentan las R se
llaman “universales” .
Podríamos resumir nuestra definición diciendo: un “individual” es todo cuanto
puede ser sujeto de una proposición atómica.
Dada una proposición atómica Rn (* 1, x%,... x n), a cada una de las* la llamare­
mos “constituyente” de la proposición, y a R„ “componente” de la proposición
(9). Lo mismo diremos respecto de cualquier proposición molecular en la que se
presente R„ (xt , x 2, ... x n). Dada una proposición elemental p\q, (en donde p y q
pueden ser atómicas o moleculares), a p y a q los denominaremos “partes” de p\q; a
su vez, cada una de las partes de p o q se llamarán partes de p\q, y así sucesivamente
hasta que lleguemos a las partes atómicas de p\q. De este modo, es lo mismo decir
que una proposición r “interviene en” p[q, que decir que r es una “parte” de p\q.
2. Definición de una función elemental de un individual
Dada una proposición elemental cualquiera que contenga una parte de la cual es
constituyente un término individual a, pueden obtenerse otras proposiciones susti­
tuyendo a, de manera sucesiva, por otros individuales. De este modo, obtenemos un
determinado conjunto de proposiciones elementales. Podemos llamar <fa a la propo­
sición original, y, por tanto, la función proposicional que se obtenga poniendo una
variable * en lugar de la a se llamará 4>x. Así, pues, ó* es una función cuyo
argumento es * cuyos valores son proposiciones elementales. La utilidad esencial de
“¿x” es que abarca en sí un conjunto determinado de proposiciones, a saber, todas
aquellas que tienen sus valores con diferentes argumentos.
Ya hemos visto varias funciones especiales de proposiciones. Si p es una parte de
alguna proposición molecular, podemos considerar el conjunto de proposiciones
que resulten de sustituir p por otras proposiciones. Si llamamos f p a la proposición
molecular original, el resultado al hacer la sustitución por q se llama
Cuando un individual o una proposición aparece dos veces en una proposición,
pueden obtenerse tres funciones según se cambie sólo uno, sólo el otro, o ambos.
Por ejemplo, p\p es un valor de una de las tres funciones p\q, q\p, q\q, en donde q es
el argumento. Pueden aplicarse consideraciones similares en el caso de que un
argumento aparezca más de dos veces. Así, p\(p\p) es un valor de q\(r\r), o de
q\(r\q), o de q\(q\r), o de q\(r\r), o de q\(q\q). Cuando aseveremos una proposición
‘T . (p ). Fp", la p debe cambiarse dondequiera que se encuentre. De igual manera,
podemos aseverar una proposición de la forma “(*) . $*” , que significa que “todas
las proposiciones de la constitución indicada por <t>x son verdaderas” ; aquí también,
cada vez que intervenga * debe cambiarse.
(9) lista terminología se toma de Wittgenstein.
23
INTRODUCCION
3. “ Siempre verdadero” y “ algunas veces verdadero”
Dada una función, puede ocurrir que todos sus valores sean verdaderos; o
también puede ser que por lo menos uno de sus valores sea verdadero. La proposi­
ción en la que todos los valores de una función <t>(x , y, z ,...) sean verdaderos se
expresa simbólicamente asi:
“ (*,y,z, ...).<¿>(íe,y,
a no ser que deseemos aseverarla, en cuyo caso la aserción se escribe:
“ b •£(*,.v. «.•••V
Ya hemos visto aserciones de esta clase, en donde las variables eran proposiciones
elementales. Ahora precisamos considerar el caso en el que las variables sean
individuales y la función sea elemental, es decir, en la que todos sus valores sean
proposiciones elementales. Ya no queremos constreñirnos al caso en que se afirme
que todos los valores de t/>(x, y, z , ...) sean verdaderos; lo que deseamos es poder
hacer la proposición
(x,y,z, ...).<f>(x,y,z,...)
parte de una función trazo. Sin embargo, de momento, dejaremos de lado este
desiderátum, del que nos ocuparemos en la Sección 111 de esta Introducción.
Además de la proposición en la que una función <px es “siempre verdadera”
-esto es, (x) . $ x - necesitamos, asimismo, la proposición en la que
sea “algunas
veces verdadera” , es decir, verdadera para, al menos, un valor de x. Esto se designa
mediante la expresión
“(3*) - <t>*"
De manera similar, la proposición en la que <t>(x, y, z , ...) sea “algunas veces
verdadero” se simboliza así:
"
(
3
) .4 > (x ,y ,z ,...) “
Además de (x, y, z, ...).</> (x, y, z , ... ) y de (3x, y, z, ...).<!> (x, y, z , ...), necesita­
mos otras varias proposiciones de clase análoga. Consideremos primero una función
de dos variables. Podemos formar
(a*) ••(y) • </>(*. y). (*): (a y) • (*.y)- (a y ): (*) ■<t>(*>y)- (y)! (a*) • (*■y)'
Estas son sustancialmente proposiciones distintas, entre las que no hay dos que sean
equivalentes. Parecería natural, al ir formando estas proposiciones, considerar a la
función <p(x,y) como construida en dos etapas. Dada <t>(a, b), en donde a y b
representan constantes, podemos formar, en primer lugar, una función 4>(a, y) que
contenga una variable y\ así, podemos dar lugar a:
(y)-<M“>y) y (ay> ■<#>(“ •y)-
24
INTRODUCCION
A continuación, podemos variar la a, obteniendo, otra vez, una función de una
variable, y conduciéndonos a las cuatro proposiciones siguientes:
(*) :(y ) .0 (x, y), (a*) :(y).<t>(x, y), (x) : (a y ). 0 («, y), (a * ): ( a y ) . 0 (x, y).
Pero también pudimos haber procedido de otra manera, yendo desde f(a, b) a
0 (jc, ó); desde aquí a ( x ) . 0 (x, b) y a ( 3 x ) . 0 (x, b)\ y desde aquí a:
(y ): (*) • 0 (*. y), ( a y ) : (*) • 0 (*. y), (y) ■(a* ) ■0 (*. y), (ay ) =(a* ) • 0 (*. y)-
A todas éstas las llamaremos “proposiciones generales” ; así, pues, a partir de la
función 0 (x, y ) pueden derivarse ocho proposiciones generales. Tenemos que:
(* ): (y ). 0 (a, y ) : s : ( y ) : (x ) . 0 (x, y),
(a * ): (ay) • 0 (*. y ): 5 ¡ (ay) ¡ (a*) • 0 (*. y)Pero no existen otras equivalencias en las que se dé la misma particularidad. Por
ejemplo, la diferencia que hay entre “(x) : (Hj O . 0 (x, y )” y “(-¿y): ( x ) . 0 (x, y)"
es la misma que, en análisis, hay entre “ Para cada e, por pequeña que sea, existe una
5 tal que...” y “ Existe una 6 tal que, para cada e, por pequeña que sea,...”
Aunque, en vista de las consideraciones indicadas anteriormente, pudiera parecer
más sencillo estimar cada función de varias variables como obtenida mediante
etapas sucesivas, en cada una de las cuales sólo se afecta a una función de una
variable, existen, sin embargo, motivos poderosos para considerarlas bajo otro
punto de vista. Hay dos razones en favor del método de “paso a paso” ; pri­
mero, que sólo las funciones de una variable necesitan ser consideradas como
ideas primitivas; en segundo lugar, que definiciones tales como las mencionadas
parecen apoyarse en otras en las que variásemos primero la x; manteniendo la y
constante, o bien que variásemos primero la y, manteniendo la x constante. Lo
primero parece ocurrir en los casos en que “(y)” o “(3 y )” están a la izquierda de
“(x)” o “( 3 x)” ; lo segundo, en el caso inverso. Las razones que hay en contra del
método de paso-a-paso son: primero, que se interfiere con el método de las
matrices, el cual proporciona un orden en lo que se refiere a la formación sucesiva
de tipos de proposiciones y de funciones que maneja la teoría de tipos; y, segundo,
que nos exige, desde el primer momento, operar con proposiciones tales como
( y ) . $ (a, y), que no son elementales. Tómese, por ejemplo, la proposición
‘T : q . 3 P v q Esta será:
l-:.(/>):.(Y):y.:>.yV(/,
O
l- :.(g ) :. (p) •. y . O . p v q,
y, por tanto, implicará todos los valores, o bien de
iq ) : q . D. p y q considerada como una función de p,
o de (p) : q . D. p y q considerada como una función de q.
25
INTRODUCCION
Esto hace imposible comenzar nuestra lógica con proposiciones elementales, como
deseamos hacer. Resultaría vano ampliar la definición de proposiciones elementales,
puesto que ello sólo haría agrandar los valores de q o p en las funciones indicadas
anteriormente. Por lo tanto, parece necesario partir de una función elemental
0(*l. ®J. X„
... w„),
antes de que pongamos, en lugar de cada x r, “(xr)" o “( 3xr)’\ las variables de este
proceso tomadas en el orden que queramos. Aquí, 0 (* i, * 2, * j , ... x n) se llama
“matriz” , y a lo que le precede se llama “prefijo” . Así, por ejemplo, en
(a*) '•(y)-<t> (*, y)
“0 (x, y)" es la matriz y “(3 * ): (y)” es el prefijo. Por tanto, se ve claro que una
matriz que contenga n variables da origen a n ! 2" proposiciones, si ordenamos sus
variables de todas las maneras posibles, y distinguiendo, en cada caso, entre “(.*>)” y
“(3*r)” . (Algunas de ellas, sin embargo, resultarán equivalentes). El proceso de
obtención de tales proposiciones a partir de una matriz se llamará “generalización” ,
tanto si tomamos “todos los valores” como si “algún valor” ; las proposiciones que
resulten se llamarán “ proposiciones generales” .
Más adelante tendremos ocasión de considerar matrices que contengan variables
que no sean individuales; podemos, por lo tanto, decir:
Una “ matriz” es una función de un cierto número de variables (que pueden, o
no, ser individuales) que tiene proposiciones elementales como valores suyos, y que
se emplea con objeto de generalizar.
Una “ proposición general” es una proposición derivada de una matriz mediante
una generalización. Afíadamos ahora una definición adicional:
Una “proposición de primer orden” es la que se deriva, por generalización, de
una matriz en la cual todas las variables son individuales.
4. Métodos de comprobación de las proposiciones generales
Hay dos métodos fundamentales de comprobación de proposiciones generales:
una para proposiciones universales, y la otra para proposiciones tales como las
aserciones de existencia. El método para la comprobación de proposiciones univer­
sales es como sigue. Dada una proposición
v, r , ...),”
en donde F está construido mediante el trazo, y p, q, r, ... son proposiciones
elementales, podemos sustituirlas por funciones elementales de individuales, en la
forma que deseemos, haciendo
p = /i(« i.* i. ••• «»),
<7*»/«(*i. *». ••• *»).
26
INTRODUCCION
y así sucesivamente, y, a continuación, aseverar el resultado para todos los valores
de Xi, x J t ... x n . Lo que de este modo aseveramos es menos que lo que se afirma en
la aserción original, puesto que p, q, r, ... podrían originalmente tomar valores que
fuesen todos proposiciones elementales, mientras que ahora sólo pueden tomar
aquellos que sean valores de fy, f - i . f i >... (Dos o más de las fy , f 3, f 3,... pueden ser
idénticas).
Para probar teoremas de existencia contamos con dos proposiciones primitivas, a
saber
**•1 *811. h . (a¡t). <f&' (<j>a| <ftb)
y
Aplicando las definiciones, con el fin de expresarlas de una forma más breve, éstas
aseveran, respectivamente
<¡>a. 3 . (g*).
(«). <f>x. 3 . <f>a. <pb.
y
Estas dos proposiciones primitivas se suponen no sólo para una variable sino para un
número cualquiera de ellas. De este modo, podemos poner
<t>(tt„ O,.... o»). 3 . (gar„ ¡r„ ... ¡r„) . (*i, *a. — *»).
(*i. ®a. ... O •
... X») ■3 » <j>(ttj, O,, ... d») . ^(¿ii ¿ j,... bn).
La proposición ( x ) . #* . 3 . $a . # , en esta forma, no parece adecuada para com­
probar teoremas de existencia. Pero puede escribirse
O
(gx). <-» <frx. v . <f>a. ^
~ <¡>av~ (f>b. 3 . (3 *). ~ <t&.
forma que es idéntica a la *9'11, sin más que cambiar la 0 por ~ 0. De este modo,
nuestras dos proposiciones primitivas son las mismas que las *9'1 y *9'11.
Para efectos de inferencia, todavía suponemos que a partir de ( x ) . <px y de
(x ). <¡>x D y¡/x podemos inferir ( x ) . <//x, y que, a partir de p y de p Dq podemos
inferir q, aún cuando las funciones o proposiciones en cuestión no sean elementales.
Muy a menudo los teoremas de existencia se obtienen de las anteriores proposi­
ciones primitivas de la siguiente manera. Supongamos conocida una proposición
•- ./(»,*).
Dado que <t¡x . D. (3 7 ) . <¡>y, podemos inferir
es decir
De manera semejante,
b • (ay) •/( * . y),
b : (* ): (ay) •/(* . y)b :( y ) :( a * ) •/(* . y)-
27
INTRODUCCION
De nuevo, ya que 0 (x, y ) . 3 . (3z, w) . 0 (z, w), podemos inferir
■■•(a*, y)•/(* . y)
i- -(ay. * )•/(* , y)Tanto la prueba universal como las de las proposiciones de existencia podemos
ilustrarlas mediante un sencillo ejemplo. Tengamos
y
I-.(p).pDp.
De aquí, haciendo la sustitución 0x en lugar de p:
I-. (x) . 0* 3 0*.
A partir de aquí, como en el caso de / (x, x) antes mencionado,
h : (a>): (ay) • 0* 3 0y.
i- : (y ): (a*) • 0* 3 0y.
*• • (a*, y ). 0® 3 0yAparte de los axiomas especiales que aseveran los teoremas de existencia (tales
como el axioma de la reducibilidad, el axioma multiplicativo y el axioma del
infinito), las dos proposiciones primitivas antes indicadas proporcionan el único
método de probar en lógica los teoremas de existencia. De hecho, ellos siempre se
derivan a partir de proposiciones generales de la forma (x) ./( x , x) o (x) ./( x , x, x )
o ..., sustituyendo otras variables por alguna de las x que intervienen.
III. PROPOSICIONES GENERALES DE ALCANCE LIMITADO
En virtud de una proposición primitiva, dados x . 0 (x) y (x) . 0x 3 0x, podemos
inferir ( x ) . 0x. Sin embargo, hasta ahora, no hemos introducido una notación que
nos permitiese establecer la correspondiente implicación (como opuesto a inferen­
cia). De nuevo, ( 3 x ) . 0x y (x, y ) . 0x D \¡/y nos permiten inferir (y) . \¡/y; aquí, otra
vez, deseamos ser capaces de establecer la correspondiente implicación. De momen­
to, sólo hemos definido las intervenciones de las proposiciones generales como
proposiciones aseveradas de una manera total. Teóricamente, éste es el único uso, y
no es preciso definir ningún otro. Pero, en la práctica, resulta muy conveniente ser
capaces de tratarlas como partes de funciones-trazo. Esto no es más que una
cuestión de definición. Introduciendo definiciones adecuadas, las proposiciones de
primer orden pueden exponerse de forma que satisfagan todas las proposiciones de
*1—*5. Por ello, empleando las proposiciones *1 -* 5 , no será necesario suponer
que p, q, r, ... sean elementales.
Las definiciones fundamentales se dan más adelante.
Cuando una proposición general se presenta como parte de otra, se dice que
tiene un alcance limitado. Si contiene una variable aparente x, el alcance de x se
dice que está limitado por dicha proposición general. Así, en p\ {( x ) . 0x | , el
alcance de x se limita a ( x ) . 0x, mientras que en ( x ) . p\<px el alcance de x se
extiende a la proposición entera. El alcance se indica por medio de puntos.
28
INTRODUCCION
El nuevo capítulo *8 (que se da en el Apéndice A) debe reemplazar al *9 en los
Principia Mathematica. No obstante, su procedimiento general se explicará ahora.
El hecho de que una proposición general aparezca como parte de una funcióntrazo queda determinado por medio de las siguientes definiciones:
K®) •
19 • =
1(3*) • <H 19 • =
j» ll(y )-fy l- =
j>|[(ay)-*yl- =
• (3*) •
9
•(*)• <#>*19
-(3y)-/>l^y
-(y).¡t>IVr.!/
Df,
Df,
Df,
Df.
Estas determinan, en primer lugar, sólo lo que se expresa mediante el trazo cuando
éste se encuentra entre dos proposiciones, una de las cuales es elemental, en tanto
que la otra es de primer orden. Cuando el trazo se encuentra entre dos proposicio­
nes que sean de primer orden, adoptaremos el siguiente convenio: primero, debe
eliminarse la que se encuentre a la izquierda, considerando la de la derecha como si
fuese elemental; después, debe eliminarse la de la derecha, de acuerdo, en cada caso,
con las definiciones mencionadas antes. Así, pues:
I ¡(y) • ■f.'/!. = : (3 *) • ¡ l(y) • i'ü/l :
= : (3*) =(sy) • <M V'y.
!(*) • <M I l<3y) • ^yl ■= : (3*) =4>x 1((ay) ■f y ) :
= : (a * ): (y) • I^y.
1(3*) • <H I ((y) • .v) ■= :(*) =(ay) • <f>-r Itu((*) ■
La regla acerca del orden de realizar la eliminación se necesita sólo para dar
exactitud, ya que ambas maneras dan resultados equivalentes. Por ejemplo, en la
última fórmula de arriba, si hubiésemos eliminado primero la .y obtendríamos
(3 y ):(* )-0 * i'íry>
lo cual requiere o bien (jc) . ~ <¡>x o bien (-Jy). ~ >py, y entonces es verdadero.
Y
(*): (ay) •
f>/
es verdadero en las mismas circunstancias. Esta posibilidad de cambiar el orden de
las variables en el prefijo se debe sólo a la forma en que ocurre, es decir, al hecho de
que x sólo se presente en un lado del trazo e y sólo en el otro. El orden de las
variables en el prefijo es indiferente, siempre que una de ellas aparezca en un lado
determinado del trazo, en tanto que las veces que aparezca la otra lo sea sólo en el
otro lado. En general, no tenemos
(3* ): (y) • x <*. y ) : s : (y): (3*) • x (*. y) i
aquí, el lado de la derecha es más frecuentemente verdadero que el del lado
izquierdo. Pero tenemos
(3 *): (y). <M ^ y : s : (y): (3 *) • «M^y-
29
INTRODUCCION
La posibilidad de cambiar el orden de las variables en el prefijo cuando están
separadas por un trazo es una proposición primitiva. En general, resulta conveniente
situar a la izquierda aquellas variables en las que intervengan el “todos” , y a la
derecha las que tengan el “ algunos”, una vez que haya tenido lugar la eliminación, y
suponiendo siempre que las variables se presenten de manera que sea aplicable
nuestra proposición primitiva.
Por lo que respecta a la proposición primitiva indicada anteriormente, no es
preciso que el trazo que separa la x y la y deba ser el trazo principal; por ejemplo
p l tl(a*) • **) I {(y) • +y)] - = • p I [(*) =(ay) •
- *(a * ): (y) • p !
I *y] ■
l+y) :
= : ( y ) : ( 3 ®) .p\(<f>x\ f y ) .
Todo lo que sí es necesario es que haya algún trazo que separe lax de la y. Cuando
éste no sea el caso, el orden, en general, no puede cambiarse. Consideremos, por
ejemplo, la matriz
</&V
v yfry.
Esta puede escribirse
o
(<f&3 ^y) | (^y 3 <£*)
!♦* K fy l ^y WH+ y l(+® !♦*)!•
Aquí no hay un trazo que separe todas lasx que aparecen en la expresión de todas
las y ;d e hecho, las dos proposiciones
(y) : (a*) •
y
VI^y . ~ <I>XV-Xyfry
(a*) s (y) • <t>xViry . ~ <f>*v ~ f y
no son equivalentes, salvo para valores especiales de 0 y de \¡/.
Mediante las definiciones dadas anteriormente, somos capaces de derivar todas
las proposiciones, de cualquier orden, a partir de una matriz de proposiciones
elementales combinadas por medio del trazo. Dada una matriz tal que contenga una
parte p, podemos sustituir la p por 0x, o $(x, y), o etc., y proceder a añadir el
prefijo (x), o (3*), o (x, y), o ( x ) : (3y), o ( y ) : (3x), etc. Si figurasen tanto p como
q, podemos sustituir la p por <f¡x y la q por i//y, o podemos reemplazar ambas por
<¡oc, o una por <fxx y la otra por alguna función-trazo de <¡>x.
En el caso de una proposición tal como
p I {(*): (ay) • * (*. y)l
debemos considerarla como un caso de p\ ( ( x ) . <¡>x\ , y primero eliminar lax. Así,
pues,
p I {(*) ■(ay) • 'f' (*. y)l • = (a * ): (y) • p I f (*. y)-
Es decir, las definiciones de { ( x ) . 0x) }|q , etc., deben aplicarse de forma inaltera­
ble cuando <¡sx no sea una función elemental.
30
INTRODUCCION
Las definiciones de ~ p, p v q , p . q, p Dq deben emplearse sin cambio. Por
tanto
~ ((*) • <H • = •*((*) •
| ((*) • ^ * ) :
= :(g x ):£ x |j(x ).¿ x | :
= ¡ (3 *) =(ay) • (4>x14>y).
~ 1(3*) • $*). - : (*) : (y) . (<f>x| ¿y),
p . D . (x ). $x : = : p | [((«).
<f>¿r} | ((x). <f>x] ] :
= -p I fía*) •• (ay) • (¿* i *y ) \••
= :( * ) : (y) •/> I(4>x 14>;/),
(x). ¿x . D . p : = : |(x) . «¿x) | (p | p) :
=>: (gx) . #x | (p | p ) : = : (gx). <f>xD p,
(x). </«•. v . p : = : [~ ((*). <^x|] | ~ p :
= * Ka*) s (ay) • (<£* I <¿y)! I (p Ip) ■
= ! (*) • í(a>/) • (0* I0y)i I (p Ip) ■
= :(* ): (y)- (< M $ y )l(p |p ).
p . v . (x). $x : = : (x) : (y) . (p | p) | (¿x <¿>y).
Debe observarse que en estas expresiones aparecen dos variables, cuando se
esperaba que sólo hubiese una. Más adelante, encontraremos que dos variables
pueden reducirse a una; es decir, tendremos:
(a*> ••(ay) • 0* 10y •• = • (a*) -0*10*.
(*) : (y). 0x | <¿y : = . (x). <¿x | <£x.
Esto nos lleva a
~ !(*) • 0*1. s . (gx). ~ 4>x,
~{(gx). 0 x |. = . (x). ~ ^x.
Pero no podemos probar estas proposiciones en este momento; y, aunque pudiése­
mos, no nos serían de gran utilidad, puesto que todavía no sabemos que, cuando
dos proposiciones generales son equivalentes, una puede sustituirse por la otra como
parte de una función-trazo sin que cambie el valor de verdad.
En consecuencia, supongamos ahora que tenemos una función-trazo en la que p
aparece varias veces, -digamos p\{p\p)~ y que deseamos sustituir la p por (x) . <jor,
tendremos que cambiar la segunda p por “(y) . tfiy”, y la tercera por " ( z) . 4e". De
este modo, la proposición resultante contendrá tantas variables distintas cuantas
sean las p que intervengan.
Las proposiciones primitivas que se requieren, y que ya fueron mencionadas con
anterioridad, son las cuatro siguientes:
(1)
(2)
1- • (a * , y).<t>a\(4>x\ 4>y),
I-: <¿a. D . (gx). $x.
p • (a*) • 0*1 (0«I ¥>), 1-: (x). £ x . D . 4>a. <f>b.
31
INTRODUCCION
(3) La regla de inferencia, ampliada; esto es: a partir de (x).<t>x y de
( x ) . 0x D \¡/x, podemos inferir (x ) . \¡/x, aunque 0 y 0 no sean elementales.
(4) Si todas las x que aparecen se separan de todas las y por medio de un
determinado trazo, el orden de las x y de las .y pueden cambiarse en el prefijo; esto
es:
En lugar de (3 jt) : (y) . 0x |\py podemos poner 0 ') : (3*) . 0x|0y, y viceversa,
aunque esto sólo sea una parte de la proposición total aseverada.
Las proposiciones primitivas mencionadas antes son aplicables, no sólo en el caso
de una variable, sino para cualquier número.
Por medio de las proposiciones primitivas anteriormente indicadas, puede pro­
barse que todas las proposiciones del *1 al *5 se aplican igualmente en el caso de
que una o varias de las proposiciones p, q, r , ... que intervengan no sean elementales.
Para ello, utilizamos el trabajo de Nicod, quien comprobó que todas las proposicio­
nes primitivas del *1 pueden deducirse de
(-. p Op
y de
h . p D 9 . D . » ] 7 Dp| «
junto con la regla de inferencia: “ Dados p y p\(q\r) podemos inferir r” .
Por tanto, cuanto hacemos es mostrar que las proposiciones expresadas antes
siguen siendo verdaderas cuando p, q, s, o algunas de ellas, no sean elementales.
Esto se hace en el *8 del Apéndice A.
IV. LAS FUNCIONES COMO VARIABLES
El uso esencial de una variable es elegir un cierto conjunto de proposiciones
elementales, y capacitamos para afirmar que todos los miembros de esa estructura
son verdaderos, o que, al menos, un miembro es verdadero. Ya hemos empleado
funciones de individuales, mediante la sustitución de 0x en lugar de p en las
proposiciones de los *1—*5, así como por las proposiciones primitivas del *8. Pero,
hasta ahora, siempre hemos supuesto que la función se mantiene constante mientras
se varía la proposición individual, y no hemos considerado los casos en donde
tengamos “30” , o donde el alcance de “0” sea menor que toda la proposición
aseverada. Es necesario, ahora, considerar tales casos.
Supongamos que a es una constante. Entonces, “0a” significará, para los diversos
valores de 0, todas las diferentes proposiciones elementales de las cuales a sea un
constituyente. Esta es una estructura de proposiciones elementales diferente de
cualquier otra que pueda obtenerse variando las proposiciones individuales; conse­
cuentemente, esto da origen a nuevas proposiciones generales. Los valores de la
función son todavía proposiciones elementales, igual que cuando el argumento es
un individual; pero hay nuevas estructuras de proposiciones elementales, diferentes
de las anteriores.
32
INTRODUCCION
Como más adelante tendremos ocasión de considerar funciones cuyos valores no
son proposiciones elementales, queremos distinguir las que tienen por valores
proposiciones elementales mediante un signo de admiración colocado entre la letra
que simboliza la función y la letra que expresa al argumento. Así, por ejemplo,
“<¡>! x ” es una función de dos variables, x y 0 ! f. Esta es una matriz, ya que no
contiene variable aparente y tiene como valores a proposiciones elementales. En lo
sucesivo escribiremos “0 ! x ” donde, hasta ahora, habíamos puesto <px.
Si sustituimos la x por una constante a, podemos formar proposiciones tales
como
(<P).<I>1 a, ( a </>).<(>'■ a.
Estas no son proposiciones elementales y, por consiguiente, no son de la forma
0 1 a. La aserción de tales proposiciones se deriva de las matrices mediante el
método expuesto en el *8. Las proposiciones primitivas del *8 se aplicarán cuando
las variables, o algunas de ellas, sean funciones elementales, o también cuando todas
ellas sean individuales.
Una función puede aparecer en una matriz solamente a través de sus valores (10).
Para obtener una matriz procédase, como se hizo anteriormente, poniendo
0 ! x, 0 ! y, x ! 2 , ... en lugar de p, q, r , ... en alguna proposición molecular cons­
truida por medio del trazo. Entonces podemos aplicar las reglas del *8 a 0, 0 , x> —
así como a x, y, z, ... La diferencia entre una función de un individual y una
función de una función elemental de individuales es que, en la primera, el paso de
un valor a otro se realiza haciendo la misma expresión sobre un individual diferente,
mientras que en la segunda se lleva a cabo haciendo una expresión diferente acerca
del mismo individual. Así, el paso de “ Sócrates es mortal” a “ Platón es mortal” es
un paso desde f l x a f \ y \ pero el paso de “Sócrates es mortal” a “ Sócrates es
sabio” es un paso desde 0 I a a 0 ! a. Una variación funcional está implícita en
una proposición tal como: “ Napoleón tenía las características de un gran general” .
Tomando la colección de proposiciones elementales, cada matriz tiene valores,
todas las cuales pertenecen a dicha colección. Cada una de las proposiciones
generales se origina de alguna matriz por generalización (11). Intrínsecamente, cada
matriz determina a una cierta clasificación de proposiciones elementales que, a su
vez, determina el alcance de la generalización de tal matriz. Así, pues, “x ama a
Sócrates” engloba una cierta colección de proposiciones, generalizadas en las formas
“(* ). x ama a Sócrates” y “( 3 x ) . x ama a Sócrates” . Pero “ 0 ! Sócrates” recoge,
de entre las proposiciones elementales, aquellas que mencionan a Sócrates. Las
(10) liste supuesto es fundamental en la teoría siguiente. Presenta dificultades que, de
momento, pasaremos por alto. Sustituye (no de una manera completamente adecuada) al
axioma de la reducibilidad. listo se discute en el Apéndice C.
(11) En una proposición de la Lógica todas tas variables de la matriz deben estar generaliza­
das. En otras proposiciones generales, tales como “todos los hombres son mortales”, algunas de
las variables de la matriz se sustituyen por constantes.
33
INTRODUCCION
generalizaciones “(0) . 0 ! Sócrates” y “(3 0 ). 0 ! Sócrates” constituyen una clase
de proposiciones elementales que no pueden obtenerse de una variable individual.
Pero cualquier valor de “0 ! Sócrates” es una proposición elemental ordinaria; la
novedad introducida por la variable 0 es una novedad de clasificación, no de
material clasificado. Por otra parte, ( x ) . x ama a Sócrates, (0). 0 ! Sócrates, etc.,
son nuevas proposiciones no contenidas dentro de las proposiciones elementales.
Esta es la cuestión del *8 que muestra que estas proposiciones obedecen a las
mismas reglas que las proposiciones elementales. El método de prueba no considera
lo que las variables sean, siempre que todas las funciones que intervengan tengan
valores que sean proposiciones elementales. Las variables pueden por sí mismas ser
proposiciones elementales, como ocurre en las * l-* 5 .
Una función variable que tiene valores que no son proposiciones elementales
inicia un nuevo conjunto. Pero las variables de esta clase parecen innecesarias. Cada
proposición elemental es un valor de 0 ! x; por lo tanto
( p ) . f p . = . ( < ! > , * ) . f p . ± . (g 0 .* )./ ( 0 !x).
Por consiguiente, todas las proposiciones de segundo orden, en las que la variable es
una proposición elemental, pueden derivarse de matrices elementales. La cuestión
acerca de otras proposiciones de segundo orden se tratará en la sección siguiente.
Una función de dos variables -digamos 0(x, y ) - abarca una cierta clase de clases
de proposiciones. Tendremos la clase 0 (a, y) para una a dada y una variable y,
después la clase de todas las clases 0 (a. y ) según varíe a. El considerar a nuestra
función como dando origen a la clase 0 (a, y ) o a la 0 (x, b ) depende del orden de
generalización que se haya adoptado. Así, pues, “( 3 x ) ; (y)” abarca a 0 (a, y), pero
“( y ) : (3x)” abarca a 0 (x, b).
Consideremos, ahora, la matriz 0 ! x como una función de dos variables. Si
primero variamos la x. dejando fija la 0 (lo que parece ser el orden más natural),
formamos una clase de proposiciones 0 ! x, 0 ! y, <¡>1 z ,... que difieren únicamen­
te en la sustitución de una proposición individual por otra. Habiendo realizado una
de dichas clases, podemos hacer otra, y así sucesivamente, hasta que hayamos
efectuado todos los cambios posibles. Pero supongamos ahora que variamos primero
la 0, manteniendo fija la x, e igual a a En este caso, constituimos la clase de todas
las proposiciones de la forma 0 ! a, es decir, todas las proposiciones elementales de
las que a es un constituyente; a continuación, formamos 0 ! b\ y así sucesivamente.
El conjunto de las proposiciones que son valores de 0 ! a es un conjunto que no
puede obtenerse variando las proposiciones individuales, es decir, no es de la forma
fie [por cuanto f es constante y x una variable]. Esto es lo que hace a 0 una nueva
clase de variable, diferente de x. Esto también ocurre porque una generalización de
la forma (0) . F ! (0 ! z, x) no da lugar a una función de la forma / ! x [debido a
que la / es constante]. Obsérvese también que, mientras a es un constituyente de
/ ! a, / no lo es; por ello, la matriz 0 ! x presenta la particularidad de que, cuando
se asigna un valor a x, este valor es un constituyente del resultado; pero, cuando se
asigna un valor a 0, este valor se absorbe en la proposición resultante y desaparece
34
INTRODUCCION
por completo. Podemos definir una función 0 ! x como la clase de semejanza que
existe entre proposiciones cuando un resultado procede del otro mediante la
sustitución de una proposición individual por otra.
Hemos visto que hay matrices que contienen, como variables, funciones de
individuales. Podemos simbolizar una matriz de este tipo así:
/ ! (0 ! 2, 0-! 2, x ! 2, ...
x, y, z, ...).
Dado que una función sólo puede tener lugar a través de sus valores, 0 ! i
(p. ej.) sólo puede ocurrir en la matriz anterior por la presencia de
<pl x,
0 ! z , ... o de 0 ! a, 0 ! b, 0 ! c...... en donde a, b, c son constantes.
Las constantes no se presentan en la Lógica; es decir, las a, b, c, que hemos supuesto
que son constantes, se consideran obtenidas mediante una asignación extralógica de
valores a las variables. Ellas pueden, por tanto, estar absorbidas por las x, y, z, ...
Ahora, las propias x, y, z sólo se presentarán en la Lógica como argumentos para las
funciones variables. Por lo tanto, cualquier matriz que contenga las variables
0 ! t. 0 ! i, x ! £ x, y, z, y no otras, si es de la clase que puede presentar­
se explícitamente en Lógica, resultará de la sustitución de 0 ! x, <p\y, 0 ! z,
4>l x, 0 ! y, 0 ! z, x ! x, x ! y, X ! z. o algunas de ellas, en lugar de las proposicio­
nes elementales que se encuentran en alguna función-trazo.
Es preciso explicar ahora lo que se entiende cuando hablamos de una “matriz
que puede presentarse explícitamente en Lógica” , o -com o podemos denominar­
la - una “ matriz lógica” . Una matriz lógica es la que no contiene constantes. Así,
pues, p\q es una matriz lógica; también lo es <
t> ! x, en donde tanto la 0 como la x
son variables. Tomando una proposición elemental cualquiera, obtendremos una
matriz lógica si sustituimos todos sus componentes y constituyentes por variables.
De las matrices lógicas resultan otras matrices mediante la asignación de valores a
algunas de sus variables. Hay, sin embargo, varios modos de analizar una proposi­
ción; y, por tanto, de una proposición dada pueden derivarse varias matrices lógicas.
De este modo, una proposición que sea un valor de p\q también será un valor de
(0 ! * )|(0 ! .y) y de x { (x, y). Según sean los objetivos, se requieren formas
diferentes; pero todas las formas de las matrices requeridas explícitamente en
Lógica son matrices lógicas (según la definición dada). Esto no es nada más que una
muestra del hecho de que la Lógica aspira siempre a la generalización completa. La
prueba de una matriz lógica es la que puede expresarse sin introducir otros símbolos
que los de la Lógica; por ejemplo, no debemos necesitar del símbolo “Sócrates” .
Consideremos la expresión
/ ! (0 ! 2, f ! 2. x ! 2, ... a, y, t).
Cuando se asigna un valor a f, esto representa una matriz que contiene las variables
0 .0 . X, ... x, y, z, ... Pero, mientras / permanezca sin asignación, es una matriz de
una nueva clase que contiene la nueva variable f. A / la denominamos “ función de
segundo orden” porque cuenta con funciones entre sus argumentos. Cuando se
35
INTRODUCCION
asignan valores no sólo a /, sino también a 0 , 0 , x> ••• *> y> z> •••> obtenemos una
proposición elemental; pero cuando se asigna un valor sólo a f obtenemos una
matriz que contiene como variables sólo funciones de primer orden e individuales.
Esto es semejante a lo que sucede cuando consideramos la matriz 0 ! x. Si damos
valores a 0 y a x, obtenemos una proposición elemental; si damos un valor sólo a la
0, obtenemos una matriz que contiene sólo un individual como variable.
No existe una matriz lógica de la forma / ! (0 ! ¿). Las únicas matrices en las
que 0 1 z es el único argumento son aquellas que contienen 0 ! a, 0 I b, 0 ! c, ....
en donde a, b, c, ... son constantes; pero éstas, derivadas de la matriz lógica 0 ! x,
no son matrices lógicas. Ya que 0 sólo puede presentarse a través de sus valores,
debe aparecer, en una matriz lógica, con uno o más argumentos variables. Las
funciones lógicas más simples con sólo 0 son ( r ) . 0 l r y ( 3 x) . 0 1 x, pero éstas
no son matrices. Una matriz lógica
/ ! ( 0 ! 2, *,.*». ••• *»)
siempre se deriva de una función-trazo
F(p„p» p,....p»)
sustituyendo 0 ! x t , 0 ! x 2, ... 0 ! x n en lugar de p i , p 2. ... pn. Este es el único
método de construir tales matrices. (Podemos, no obstante, tener x r = x s como
algunos valores de r y s).
Las funciones de segundo orden gozan de dos propiedades conexionadas que las
de primer orden no tienen. La primera de éstas es que, cuando a / se le asigna un
valor, el resultado puede ser una matriz lógica; la segunda es que pueden asignarse
ciertos valores constantes a / sin salirse de la Lógica.
Comencemos por el primer punto: / ! (0 1 f, x), por ejemplo, es una matriz que
contiene tres variables, / 0, y x. Las siguientes matrices lógicas (entre un número
infinito) resultan de la de arriba signando valores a /: 0 ! x, (0 !x )|( 0 l x ) ,
0 ! x D 0 ! x, etc. Similarmente 0 ! x D 0 ! y, que es una matriz lógica, re­
sulta de asignar un valor a / en / ! (0 ! í, x, y). En todos estos casos, el va­
lor constante asignado a / es uno que puede expresarse sólo en símbolos
lógicos (lo cual era la segunda propiedad de f). Este no es el caso de 0 ! x: a fin de
asignar un valor a 0 , debemos introducir lo que podemos llamar “constantes
empíricas” , tales como “Sócrates” , “ mortalidad” y “ser griego” . Las funciones de x
que pueden formarse sin salir de la Lógica deben contener una función como
variable generalizada; serán (en el caso más sencillo) de las formas (0) . 0 ! x y
(3 0 ). 0 1x.
Sin embargo, la peculiariedad anterior de funciones de segundo y de órdenes
superiores es arbitraria. Pudimos haber adoptado, en Lógica, los símbolos
R \ (*). R>(x,y), R ,(x,y,z),....
en donde /íi representa un predicado variable, R-¡ una relación diádica va­
36
INTRODUCCION
riable (en intensión), y así sucesivamente. Cada uno de los símbolos
, y, z), ... es una matriz lógica, de forma que, si la usamos,
tendríamos matrices lógicas que no contienen funciones variables. Quizás merezca
la pena que recordemos el significado de “0 I a” , siendo a una constante. El
significado es el siguiente. Consideremos un número finito de proposiciones de
diversas formas R { (x), R 2 (x, y ) , ..., y combinémoslas por medio del trazo en la
forma que deseemos, permitiendo que cualquiera de ellas pueda repetirse un
número finito de veces. Si, por lo menos una de ellas, tiene una a como constituyen­
te, esto es, es de la forma
R i (x), /?2 (x, y), R 3 (
x
Rn(,a,b¡, i>„...
1),
entonces, la proposición molecular que construyamos es de la forma 0 ! a. es decir,
es un valor de “ 0 ! a" con una 0 adecuada. Desde luego, esto también es válido
para la propia proposición Rn (a,
... b„ _ j). No cabe duda de que la Lógica
de proposiciones, y, más aún, de las proposiciones generales relativas a un argumento
dado, sería intolerablemente complicada si nos abstuviésemos del empleo de funcio­
nes variables; pero tampoco puede decirse que ello fuese imposible. En cuanto a la
cuestión de las matrices, pudimos formar una matriz f \ ( R i, x), de la cual R ¡ (x)
fuese un valor. Es decir, las propiedades de las matrices de segundo orden, que
hemos discutido, también deben pertenecer a las matrices que contengan universales
variables. No pueden pertenecer a matrices que contengan sólo individuales va­
riables.
Asignando </>! ¿ y x en / ! (0 ! i, x), mientras se deja la / como variable,
obtenemos un conjunto de proposiciones elementales que no pueden obtenerse por
medio de variables que representen a individuales y a funciones de primer orden.
Esto es el por qué la nueva variable/es útil.
Podemos proceder de igual manera con las matrices
í ’ !{ / !< 0 !2 .a ) ,0 !( 0 !S ,£ ) , ...
r/r i S, x l$ , ... x.
...)
y así sucesivamente, de forma indefinida. Esto no representa más que nuevos modos
de agrupar proposiciones elementales, llevando a nuevas formas de generalización.
V. FUNCIONES QUE NO SON MATRICES
Cuando una matriz contiene varias variables, pueden obtenerse funciones de
algunas de ellas cambiando las otras en variables aparentes. Las funciones que se
obtienen de esta manera no son matrices, y sus valores no son proposiciones
elementales. Los ejemplos más sencillos son
(y)- <#>!(•*.y) y (ay)- 0 !(*.y>Cuando tenemos una proposición general (<¡>). F ( 0 ! f , x, y , ... ) , los únicos valo­
37
INTRODUCCION
res que puede tomar 0 son matrices, de forma que no se incluyen funciones que
contengan variables aparentes. Podemos, si es nuestro gusto, introducir una nueva
variable, para denotar no sólo funciones tales como 0 ! í , sino también como
,
( y ) . 0 !(S, y), (y, * ).
0 ! (x, y, z),
... (a y )-
0 !<2 .y),
en una palabra, todas aquellas funciones de una variable que puedan derivarse, por
generalización, de matrices que contengan sólo variables individuales. Denotemos
cualquiera de dichas funciones mediante 0 (x, o 0 tx, o Xi*, etc. En estos casos, el
sufijo 1 se coloca para indicar que los valores de las funciones pueden ser las
proposiciones de primer orden que resulten de la generalización de los individuales.
En virtud del * 8, ningún inconveniente puede surgir por incluir funciones de tal
tipo junto con las matrices como valores de variables únicas.
Teóricamente, no es necesario introducir variables tales como <p¡ , porque pueden
sustituirse por una conjunción o disyunción infinitas. Así, p. ej.
(0 ,). 0 ,* . = : ( 0 ). 0 ! x : (0 , y ) . 0 ! (x, y ) : ( 0 ): ( a y ) . 0 ! (*. y ) : etc.,
(3 0 , ) . 0 ,ar. = :( 3 0 ) . 0 !a ::v :( 3 0 ) : ( y ) . 0 !(a :.y):v :( 3 0 )y ) . 0 t( x ,y ):v :e tc .,
y, en general, dada una matriz / ! (0 ! z, x), tendremos el siguiente proceso para
interpretar ( 0 i ) . / ! ( 0 |f , x) y ( H 0 i) . / ! (0i i, x). Pongamos
(0‘) • /! (4>%x) . = : (0) . / ! j(y) • 0 ■<2,y),* 1 : (0)
!<3y) • 0 '■(2.y).*|.
en donde / ! 1 0 0 .0 1 (£, y), x ) se construye así: dondequiera que, en
/ ! { 0 l í ,x } , se presente un valor de 0 —tal que 0 ! a— efectuar el cambio
O») . 0 1 (a, y), y desarrollarlo por medio de las definiciones expuestas al principio
del *8. De manera semejante se construye /!{ ( 3 y ) -0 ! (z. v),x}. Similarmente,
pongamos
(0 3) ./ ! ( 0 ! ¡ 2 ,x ) . = : ( 0 ) . / ! [(y, w ) .
0 ! ( 2, y. w). *1 :
( 0 ) ./! |<y):(aw)-0i(2,y,w),*J : etc.,
en donde el “etc.” abarca los prefijos (3„v): (»v)., ( v. w ). , (w ): (3y). Definimos
03, 04 , .... de forma similar. Entonces
(0 ,) . / ! (0 ,2, x ) . - : ( 0 1) . / ! (0 ' 2.* ) : ( 0 ’ ) . / ! (0 a2 , x) : etc.
Este proceso se basa en el hecho de que / ! (0 ! f, x), para cada valor de 0 y de x,
es una proposición construida de las proposiciones elementales por medio del trazo,
y que el *8 nos capacita para sustituir cualquiera de ellas por una proposición que
no sea elemental. (3 0 i) . / ! (0 i¿ ,x ) se define por una disyunción exactamente
análoga.
Está claro que, en la práctica, una conjunción o una disyunción infinitas, tales
como las señaladas anteriormente, no pueden manejarse sin unas suposiciones ad
hoc Para algún sector de la conjunción o de la disyunción infinitas podemos llegar a
resultados, y “ver” que estos resultados son válidos a lo largo de ellas. Sin embargo,
esto no puede probarse, porque no es aplicable la inducción matemática. Por ello,
38
INTRODUCCION
adoptamos ciertas proposiciones primitivas que aseguran solamente que lo que
podemos probar en cada caso se mantiene de manera generalizada. Por medio de
estas adopciones se hace posible manejar variables tales como 0 ,.
De igual manera, podemos introducir/, ( 0 ,í,.í) , en donde un número cualquie­
ra de individuales y de funciones i/ ' i .X i . — pueden presentarse como variables
aparentes.
Ninguna dificultad esencial surge en este proceso, con tal que las variables
aparentes que intervengan en una función no sean de un orden superior al del
argumento de la función. Por ejemplo, x e D' R , que es (rfy). xRy, puede manejarse
con tranquilidad, como si fuese de la forma 0 ! x. En virtud del * 8, 0 ,.y puede
sustituirse por 0 ! x sin influir en la verdad de cualquier proposición lógica, en la
que 0 ! x sea una parte. Análogamente, cualquier proposición lógica que sea válida
cuando esté referida a / I (0 ,¿, x ) también lo será cuando esté referida a / , (0 ,z, y ).
Pero cuando la variable aparente es de un orden superior al del argumento, se
presenta una nueva situación. Los casos más simples son
( 0) . / ! ( 0 !í,.r), (30) ,/!<0 !$,*).
Estas son funciones de x, pero es obvio que no están incluidas entre los valores de
0 ! x (en donde 0 es el argumento). Si adoptásemos una nueva variable 02, que
incluya funciones en las que 0 ! i puede ser una variable aparente, obtendremos
otras nuevas funciones
(0a) . / ! (0ji, *), (;.j0,>. / ! <0*3, a),
que tampoco se encuentran entre los valores de 0 2y (en donde 0 2y es el argumen­
to), porque la totalidad de los valores de 02f, de la que nos ocupamos ahora, es
diferente de la totalidad de los valores de 0 ! i , que fue la considerada anteriormen­
te. Sin embargo, por mucho que podamos ampliar la significación de 0 , una función
de x en la que intervenga 0 como variable aparente tiene un correspondiente
significado extendido, de manera que, como quiera que se defina 0 ,
(0) - / ¡ (02, .r) y (a 0) . / ! ( 02,x)
nunca pueden ser valores de 0 y . Intentar hacerlo sería como intentar atrapar la
propia sombra. Es imposible conseguir una variable que abarque entre sus valores
todas las funciones posibles de individuales.
Representamos por 0 2y una función de y en la que 0 , es una variable aparente,
salvo que no haya una variable de orden superior. De manera similar, <p3x contendrá
a 0j como variable aparente, y así sucesivamente.
La cuestión principal es que una variable puede presentarse a lo largo de una
totalidad de valores, bien definida, siempre que todos esos valores sean tales que
cada uno pueda sustituir significativamente a otro en cualquier contexto. Al
39
INTRODUCCION
construir 0x, la única totalidad que interviene es la de los individuales, como ya se
presupuso. Pero cuando admitimos que 0 pueda ser una variable aparente en una
función de x, ampliamos la totalidad de las funciones de x, cualquiera que sea la
forma en que se haya definido 0. Por lo tanto, siempre es necesario especificar de
qué clase de 0 se trata, dondequiera que 0 aparezca como una variable aparente.
La otra condición, la de la significación, viene dada de una forma total por las
definiciones del * 8, junto con el principio de que una función solamente puede
darse a través de sus valores. En virtud de este principio, una función de función es
una función-trazo de valores de la función. Y, en virtud de las definiciones del * 8,
un valor de una función cualquiera puede sustituir a alguna proposición en una
función-trazo, porque las proposiciones que contienen un número de variables
aparentes siempre pueden sustituirse por proposiciones elementales en una funcióntrazo. Lo que es necesario, a efectos de significación, es que cada proposición
aseverada totalmente debe derivarse de una matriz mediante generalización, y que,
en la matriz, la sustitución de valores constantes por variables siempre daría lugar,
en última instancia, a una función-trazo de proposiciones atómicas. Decimos “en
última instancia" porque, cuando se admiten variables tales como 02z, la sustitu­
ción de un valor en lugar de 02 puede producir una proposición que todavía
contenga variables aparentes, y en esta proposición las variables aparentes deben
reemplazarse por constantes antes de que lleguemos a una función-trazo de proposi­
ciones atómicas. Podemos introducir variables que requieran varías de dichas etapas,
pero el resultado final siempre será el mismo: una función-trazo de proposiciones
atómicas.
Parece, sin embargo, (aunque pueda ser difícil probarlo formalmente), que las
funciones 0( , f\ no introducen proposiciones que no puedan expresarse sin ellas.
Veamos, en primer lugar, un ejemplo muy sencillo. Consideremos la proposición
(3 0 i) . 0 \X . 0in, a la que llamaremos/(x, a)
Ya que 0 t incluye todos los posibles valores de 0 1 , así como muchos otros valores
de su rango, f(x , a) puede parecer que se hace una aserción menor que la que se
haría por
(30 ) . 0 1 x . 0 ! a, a la que llamaremos f 0 (jc, a).
Pero, de hecho, f (x, a ) . D . f 0 (*, a). Fisto puede verse de la siguiente manera: <¡>\X
tiene uno de los varios juegos de formas;
(y). 0 ! (jp, y), (y,*). 0 ! (*, y, s)......
(ay) • 0 • (*. y). (ay, *) • 0 ¡ (*, y,
(y ): (a*) • 0 *(*. y, *). (ay) • (*) • 01 (*. y, *)......
Supóngase primero que 0 i x . = . ( y ) . 0 ! (x, y). Entonces
0i* • 0 .« ■= : (y) • 0 ! (*, y ) ! (y). 0 ! (a, y ):
3 : 0 ! (». 6). 0 ! (a, b):
3 : (a 0) • 0 ! * • 0 ! a-
40
INTRODUCCION
A continuación, supongamos <¡>xx . = . (3 )>). 0 ! (x, y). Entonces
<f>,x. <j>,a. = : (a.y). 0 ! (x, y) : (a*). 0 ! (a, «) :
3 : (3?/, z) : 0 ! (*, y) v 0 ! (*, r ) . 0 ! (a, y) v 0 I (a, *):
porque 0 ! (.x, 7 ) v 0 ! (jc, z) es de la forma 0 ! x, cuando la v y la z son fijas. Es
obvio que este método de prueba es aplicable a los otros casos mencionados
anteriormente. Por tanto
(30i)• 0i* • 4>t« • = • (3 0 ) • <f>I * • 0 ¡ a.
Puede satisfacernos que el mismo resultado tenga validez en la forma general
(3<M • / ! ( M *) • S , (a*) . / ! (0 ! i, X)
mediante un argumento similar. Sabemos que / ! (0 ! i, x) se deriva de la misma
función-trazo
F (p,q,r,...)
mediante la sustitución de 0 ! x, 0 ! a, <j>\ b ,... (donde a, b ,... son constantes)
por alguna de las proposiciones p. q, r ,... y de g \\x , g2\x , g 3 I x , ... (donde
S u S it g 3. — son constantes) por otras de p, q, r......mientras se sustituyen algunas
proposiciones p, q, r ,.... que permanecen, por proposiciones constantes. Tomemos
un caso típico; supongamos
/ ! ( 0 !$,*). = . ( 0 !a )|(( 0 !* )|( 0 ! 6)¡.
Entonces liemos de probar
0 ,“ |(0i* 10,6) • D • (3 0 ). 0 ! a i (0 ! x j 0 ! b),
en donde <f>xx puede adoptar cualquiera de las formas enumeradas antes.
Supóngase primero que <¡>tx . = . (y) .</>\ (x,y). Entonces
0,tt] (0 ,* | 0,6). = : (ay) : (*• «0 • 0 ! («• y) 110 ! (*. *) 10 ' (b, «0):
3 : (ay) • 0 ! («■ y) 110! (*■ y) 10 ! (*• y )i:
3 : (30) • 0 ! a | <0 '• « | 0 ! 6)
porque, para una y dada, 0 1 (x , y ) es de la forma 0 ! x.
Supongamos, seguidamente, que Qtx . = . (3 .y) . 0 ! (x. y). Entonces
. (a,y)¡( 0 ! (*, * )| 0 !(6. w)} s
3 : (301) • 0 !« I(0 1' *1 0-! &)>
0,a |( 0i* ! 0, 6) . « : (y): ( a *
poniendo 0 I x . = . 0 ! ( , z) v 0 I (x, w). De manera semejante se pueden tratar
los otros casos. Por lo tanto, se sigue el resultado.
jc
Considérese, a continuación, la proposición correlativa
(0i)
t (0i^i x ) • s . (0)._/*! (0 12, x).
41
INTRODUCCION
Aquí se presenta la implicación conversa que es preciso probar; es decir:
(0 ) . / ! ( 0 ! 2,*). 3 .(0 ,) . / ¡ ( 0,2.a).
Esto resulta del caso anterior por transposición. También puede verse independien­
temente de la siguiente manera. Supongamos, como antes, que
y pongamos primero
Entonces
(<M) I
/ ! (<M, *) • = • (<M) I (<M I <M).
<f>,r.. = . (y) . 0 ! (a, y).
1<M) • = : <3y): (*. «0 • 0 ■(“• y) I
(*.
(é. »))•
Así, pues, requerimos que, dado
tendremos
Ahora
(0') • (0 '•a) | ( 0 ! * | 0 ! 6),
(ay) :(z,w).<f>! (a, y) | (0 ! (*, a)| <f>! (6, w)).
(yjr). f ! a |(-0 ! x ¡ 0
0 ! (a, z ) . 3 . 0 ! (a, z ) . 0 ! (b, ¿) ■
! 6). 3
3
3
También
( 1 ). ( 2). 3
0 ! (a,«/). 3 . 0 ! (a, u>). 0 ! (b, u»)
0 ! (a, z ) . 0 ! (a ,w ). 3 . 0 ! (a, z ). 0 ! (6, w)
0! (a, w) . 3 : 0 !(a, z) . 3 . 0! (x, z). <t>\(b,ui) (1)
~ £ ! ( a ,w ) .D :$ ! ( « ,« ) .3 . £ ! ( * * ) . $S(fcw) (2)
(0 ). 0 ! a |(0 !a ;0 ! 6); 3 (ay): 0! («.»)• 3 • 0 !
(*.w)
que era lo que había que probar.
Pongamos ahora
0i* • = • (3.v) • 0 ! (*. y)Entonces (0,a) \ (0,a \ 0,6) . = s (y): (a*. «ó • <t>'•(a, y) 1|0 ¡ 0*. *) I0 ! (&. w)|.
En este caso pondremos solamente z = w = y , y se seguirá el resultado.
En cualquier otro caso, el método será el mismo. Por tanto, en forma general
( 0. ) . / ! (0,2, a ) . s . (0) . / ! (0 ! 2,*).
Aunque los argumentos anteriores no llegan a ser pruebas formales, bastan para
aclarar que, de hecho, cualquier proposición general en conexión con 0 ! i también
es verdadera en conexión con 0 |í. Esto nos proporciona, en la medida en que le
atañen tales funciones, todo lo que se podría haber conseguido del axioma de la
reducibilidad.
Dado que la prueba solamente puede efectuarse por casos separados, es necesario
introducir una proposición primitiva que asegure que el resultado es válido en todo
caso. Esta proposición primitiva es
h : (0) . / ! (0 ! 2, x ) . 3 . / ! (0,2. x)
l>
A guisa de ejemplo: suponiendo que hemos de probar alguna propiedad de todas las
clases definidas por funciones de la forma 0 ! i, la proposición primitiva indicada
42
INTRODUCCION
nos capacita paro sustituir la clase D7?, en donde R es la relación definida por
0 1 (*. P)i o por ( 3 z ) . 0 ! (x, y, i ), o por otras análogas. Siempre que una clase o
relación se defina por una función que no contenga variables aparentes -excepto las
individuales—dicha proposición primitiva nos capacita para tratarla como si hubiese
sido definida por una matriz.
Hemos de considerar, ahora, funciones de la forma 02x, donde
<h x ■ — • (0 ) ■
/! (0 ¡ 2, *) or
fa x . = . (3 0 ) . / ! (0 ! 2, x).
Deseamos descubrir si, o bajo qué circunstancias, tenemos
(4> ).gH 4> ZÍ,x).O .gH fa2,x).
(A)
Comencemos con un importante caso particular. Supongamos
g ! (0 ! 2, x ) . = . 0 ! a D 0 1 x.
Entonces, de acuerdo con el *131, (0). g ! (0 ! i, x ) . = . x = a.
Deseamos probar
esto es
(0)• i0 ! a D 0 ! x . 3 . faa D fax,
(0). 0 ! a D 0 ! X. D : (0) . / ! (0 ! 2, o ). D . (0 ) . / ! (0 ! 2, x ) :
(30) •/'• (0 ! 2, a) • D. (g 0) - / ! (0 1 2, *)•
A h o ra ,/1 (0 1f, x) debe derivarse de alguna función-trazo
F (p ,q ,r, ...)
sustituyendo en lugar de las p, q, r ,... los valores 0 ! x, 0 ! ¿>, 0 ! c , .... en donde
b, c, ... son constantes. Tan pronto como se asigne 0 , ésta es de la forma 0 ! x. Por
tanto,
(0 ). 0 ! o D 0
U . D : ( 0 ) : / ! ( 0 2 , a) . D . / ! (0 ! 2, x ) :
^ : (0) •/• (0 ! 2, a ). D . (0 ) . / ! (0 ! 2, ¡r):
(30) • / ! (0 ! 2, o ) . 3 . (3 0 ) ./ ! (0 ¡ 2. *).
Así, pues, generalmente (0 ). 0 ! <7 O 0 ! x . D . ( f a ) . faa D fax, sin necesidad de
ningún axioma de reducibilidad.
Sin embargo, no debe suponerse que (A) sea siempre verdadera. El procedimien­
to es el siguiente: / ! (0 ! i, x) resulta de alguna función-trazo
F( p, q, r, ...)
después de sustituir alguna de las letras p, q, r ,... por los valores 0 1 x, 0 ! a,
0 ! b ,... (siendo constantes a, b, ...). Supongamos, p. ej.,
fa x . = . (0) . / i ( 0 1 2, x).
De este modo
0,*. - . (0). > ( 0 ! *, 0 !a, 0 ! 6, ...).
(B)
Lo que deseamos descubrir es si
43
INTRODUCCION
Ahora £¡ (0 ! i, x ) se derivará de la función-trazo
G ( p , q , r , ...)
mediante la sustitución de 0 ! x, 0 ! a', 0 ! t í ,... en lugar de alguna de las
p ,q ,r,... Para obtener g 1 (faz, x), tenemos que poner fax, fa a , fab ,... en
G (p, q, r , ...), en vez de 0 ! x, <¡>! a', 0 ! b ', ... Así obtendremos una nueva ma­
triz.
Si se sabe que ( 0 ) . g i (0 ! i, x) es verdadera porque G (p, q, r, ...) es siempre
verdadera, entonces g ! (faz, x) es verdadera en virtud del *8, dado que se obtiene
de G (p, q, r , ...) mediante la sustitución de alguna de las letras p, q, r ,... por las
proposiciones fax, fa a , fab ,... que contienen variables aparentes. Así, pues, en
este caso, se garantiza una inferencia.
De este modo, tenemos esta importante proposición:
Siempre que se sepa que (0 ). g ! (0 ! z, x ) es verdadera porque g I (0 ! i, x ) es
siempre un valor de la función-trazo
G ( p , q , r , ...),
que es verdadera para todos los valores de p, q, r ,..., entonces g \ (faz, x) es
también verdadera, y, desde luego, también lo es (fa ) - i ! (fa¿, x).
Esto, sin embargo, no cubre el caso en donde (0) - g ! (0 I z. x ) no sea una
verdad lógica, sino una hipótesis, que puede ser verdadera para algunos valores de x
y falsa para otros. Cuando éste sea el caso, la inferencia a g ! (faz, x ) algunas veces
está legitimada y otras no; los diversos casos deben investigarse separadamente.
Veremos un importante ejemplo del fracaso de la inferencia, a propósito de la
inducción matemática.
VI. CLASES
La teoría de clases es simple en un sentido y, al propio tiempo, complicada en
otro, debido al supuesto de que las funciones sólo se dan a través de sus valores, así
como por el abandono del axioma de la reducibilidad.
De acuerdo con esta teoría, todas las funciones de funciones son extensionales;
esto es
0¡r s„ f x . 3 . / ( 0S) = / (0-2),
Esto es obvio, puesto que 0 sólo puede presentarse e n /(0 z ) mediante la sustitución
de los valores de 0 por p, q, r ,... en una función-trazo y, si 0x = 0x, la sustitución
de 0x por p en una función-trazo da el mismo valor de verdad a la función-trazo que
la sustitución de \¡/x. Por consiguiente, no hay razón más fuerte para distinguir entre
funciones y clases, por lo que, en virtud de lo anterior, tenemos
44
INTRODUCCION
<¡>x=z ifrx . 3 . <^í = yfrSi.
Continuaremos empleando la notación X (4>x), que suele resultar más conveniente
que <¡&\ sin embargo, no tiabrá ninguna diferencia entre la significación de ambos
símbolos. Asi, pues, las clases, a diferencia de las funciones, pierden incluso ese
carácter oscuro que conservan en el *20. Desde luego, lo mismo se aplica a las
relaciones en intensión. Esto, hasta cierto punto, es una simplificación.
Por otra parte, ahora hemos de distinguir las clases de diferentes órdenes,
compuestas por miembros del mismo orden. Tomando como caso más sencillo las
clases de individuales, x (<f>\ x) debe distinguirse de i (<j>2jc), y asi sucesivamente.
En virtud de la proposición que figura al final de la última sección, las propiedades
generales de las clases serán las mismas para las clases de todos los órdenes. Así,
pues, p. ej.
a C . /3 C 7 . D . a C 7
será válida cualquiera que sean los órdenes de a, /3, y respectivamente. En otros tipos
de casos, sin embargo, surgen confusiones. Tomemos, como primer ejemplo, p'K y
‘
. Tenemos
xep'ie . = : o í* .D ,.* e « .
s
k
De este modo, p'K es una clase de orden superior al de cualquiera de los miembros
de k . Por tanto, la hipótesis (a), fa puede no implicar
si a es del orden de
los miembros de k . Existe un tipo de prueba inventado por Zermelo, del que el
ejemplo más simple es su segunda prueba del teorema de Schróeder-Bemstein (dado
en el *73). Este tipo de prueba consiste en definir una cierta clase de clases k, y a
continuación mostrar que p'K e k . Según se aprecia, "p'K e k” es imposible, puesto
que p'K no es del mismo orden que los miembros de k. No obstante, esto no es todo
lo que se puede decir. Una clase de clases k queda siempre definida por alguna
función de la forma
...) :( a y ,, y».
...) .F ( x t ta ,x ,fa , ...
y .e a .y .ía , ...).
en donde F es una función-trazo y "a e k” significa que la función anterior es
verdadera. Bien puede suceder que la función mencionada sea verdadera cuando p'K
se sustituya por a , y el resultado se interprete según se dice en *8. ¿Nos justifica
esto al aseverar p'K e k?
Tomemos un ejemplo que es importante en relación con la inducción matemáti­
ca. Pongamos
Entonces
* = o (R“a C a. ata).
R“p’ic C p‘x . a ep'x (véase *40’81)
de modo que, en cierto sentido, p'K e k . Es decir, si sustituimos p'K en lugar de a en
la función de definición de , y aplicamos * 8, obtendremos una proposición
verdadera. En virtud de la definición de *90,
k
45
INTRODUCCION
R.
*p‘K.
Así, pues, /?*‘a es una clase de segundo orden. Por consiguiente, si tenemos una
hipótesis (a ) .f a , en donde a es una clase de primer orden, no podemos suponer
(a) . / a . D ./(R+'a).
(A)
Según la última proposición de la sección anterior, si (a) . / a se deduce, mediante la
Lógica, de una función-trazo de proposiciones elementales, que sea universalmente
verdadera, / (R*a) también será verdadera. Por tanto, podemos sustituir R *a en
lugar de a en cualquier proposición aseverada “ h . / a ” que se presente en los
Principia Mathematica. Pero cuando ( a ) . / a sea una hipótesis, y no una verdad
universal, la implicación (A) no es, prima facie, necesariamente verdadera.
Por ejemplo, si k — á (/?“<*C a . a e a ) , tenemos
a c « .3 :a n /9 e jc . = . R“(anR)CR . a tR.
Por ende,
acic.R u(a n R )C R .a e R .'2 .p ,KCR
(1)
En gran parte de las proposiciones de *90, probadas hasta ahora, hemos sustituido
p'K en lugar de a, por lo cual obtenemos
R “(l8 o p *k) C R . a e R . 3 .p ‘ic C R
( 2)
es decir
o
z ( . aR+z.
. w e ti i a e/3. aR+x i D .*«/8
aRmx . D :. z e ¡3. aRmz .
. w e R : a e R : . x e R.
Esta es una forma más fuerte de inducción que la que se usó en la definición de
aR*x. Pero la prueba no es válida porque no es correcto el paso de (1) a (2). Por lo
tanto, las pruebas que usan esta forma de inducción tienen que reconstruirse.
Se verá que la forma a la que puede reducirse la mayor parte de las inferencias
falaces que parecen aceptables es la siguiente:
Dada “ h . ( x ) . f( x , x )” podemos inferir “h : ( x ) : ( 3 y ) . f (x, y )” . Así, pues,
dada
. (a) . / ( a , a)” podemos inferir “ h ’• (o ): (3/3) . / ( a , 0)” . Pero esto depende
de la posibilidad de que a = 0. Si, en este caso, a fuese de un orden y /3 de otro, no
sabemos si es posible a = 0. Así, pues, supongamos que
a e k ■D. . ga
y que deseamos inferir g/3, en donde /3 es una clase de orden superior, cumpliendo la
condición fie k.
La proposición
(R)
46
a e * . 3 . . ga : D : R t
k.
D . gR
INTRODUCCION
al desarrollarse por *8, se reconvierte en:
(/9) :: ( g a ) a e K . O . g a : D -.fie k . O . g/3.
Esto es válido sólo si es posible a —j3. Por eso, la inferencia sería una falacia si fi
fuese de un orden superior al de a.
Apliquemos estas consideraciones a la prueba de Zermelo del teorema de
Schróder-Bemstein, que se ofrece en *73'8 ss. Partimos de una clase de clases
* = 5(a C DLR. / 9 - CKR C a . R "a Co)
y probamos p ‘« e « (*73-81), lo cual es admisible en el sentido restringido que se
explicó anteriormente. Añadimos ahora la hipótesis
\
e(¡3 —(J‘R ) u R,‘p ‘ k
y pasamos a probar p ‘« —Cxeic (en la cuarta línea de la prueba de la *73‘82). Esto
también es admisible en el sentido restringido. Sin embargo, en la línea siguiente de
la misma prueba hacemos uso de lo que no es admisible al pasar desde p ‘x —Cx e k
a p'K C
—i'x, porque
a e k . D« . p ‘k C a.
La inferencia desde
# t * • 3 . •p ' k C« a ptK—itx ttc .'2 .p ,icCp,ic—i,x
sólo es válida si p ‘K - i'x es una clase del mismo orden que los miembros de k. No
obstante, cuando se transcribe a e k . Da . p ‘x C a , se convierte en
(a) ::: ( g / 8 ) ( x ) ::a c « .D :./9 c /c .D .a ;e /3 0 .a re a .
Esto se deduce de
a tx .O z . a e x .O .x ta i O .x e a
por el principio de que / ( a , a ) implica (3 /3 )./(« , 0). Pero aquí (i debe ser del
mismo orden que a, mientras que en nuestro caso a y fino son del mismo orden, si
a = p ‘« —Cx y fi es un miembro ordinario de k. En este caso, en donde infiramos
p*K C p*K —Cx, la prueba se desmorona.
Es fácil, sin embargo, remediar este defecto en la prueba. Todo lo que necesita­
mos es
(fi —Q‘ R) o R“ jCk . D. x ~ t p ' k
o, por el contrario,
x e p 'x . D. * e 08 —G‘ü )
R " p ' k.
47
INTRODUCCION
Ahora
xep ‘x . D :.a €«. D. : a —
:
D, :~(/9 —CPU C a —i'®). v . ~ {/Z“ (a —t‘¡e)Ca —t‘« j:
D. : * í /9 —<3‘ñ . v . a e R“(a —i‘x)
D ®«/9 —d ‘R ; v : í í * . 3 t , i f í i “ a.
Por tanto, en virtud de *72 341,
xep'x . D . a: e (0 —G‘jR) w R“p,K
que da el resultado buscado.
Supongamos que a —Cx no es de un orden superior al de a; esto puede
asegurarse considerando a a por lo menos de segundo orden, ya que i*x, y por lo
tanto —Cx, es de segundo orden. Siempre podemos suponer que nuestras clases son
de un orden dado, aunque no podemos elevarlas de orden indefinidamente.
De esta manera se salva el teorema de Schróder-Bemstein.
Otra dificultad surge con respecto a las sub-clases. Ponemos
Cl‘« = /§(/3C«) Df.
Ahora, “0 C a ” tiene significación cuando 0 sea de un orden superior al de a, dado
que sus miembros son del mismo tipo que los de a. Pero cuando tengamos
/? C a . Z>¿ .f0 ,
0 debe ser del mismo tipo. Como regla, seremos capaces de mostrar que una
proposición de estas características es válida, cualquiera que sea el tipo de 0, si
podemos mostrar que es válida cuando 0 es del mismo tipo que a. Consecuentemen­
te, no surgen dificultades hasta llegar a la proposición 2” > n de Cantor, que
resulta de la proposición
~¡(CI‘o) sm a}
la cual se prueba en *102. Esta prueba es como sigue:
R 1 1 -» 1 . D‘R = a . d ‘R C Cl‘o . f = 2 ¡ * e a - & *). 3 :
W
W
v
y £ « . y e R ‘y . . y ~ e f : y e a . y ~ r R 'y . . y e g : D : y c a . D„. f + R 'y :
D:
<3‘/f.
Como esta proposición es decisiva, entraremos en ella un tanto minuciosamente.
Supongímos a —i (A ! jc), y supongamos
Entonces, en virtud de nuestros datos,
48
INTRODUCCION
A !* .D . (3 $ ) . / ! ( * ! * , <r),
/ ! (^>! 2, x ) . D . A ! a . ^ I y D„ A ! y,
/! < * ! * .* ) ./ ! ( * ! * , y ) . 3 . * - y ,
/ ! ( ^ ! í , * ) . / ! ( ^ ! í , « ) . 3 . ^ ! y a ir^ !y .
Con estos datos,
a ;« a -/J ‘* . = : A la: : / ! ( # ! J,«).
Así, pues,
£ = £((#>: A la: :/!(<*> ¡2.a;). 3.~</>!a:j.
Por tanto, £ está definida por una función en la que <t>aparezca como una variable
aparente. Si aumentamos el rango inicial de </>,ampliaremos el rango de los valores
implícitos en la definición de £. No hay, por tanto, modo de eludir la conclusión de
que £ sea de un orden más elevado que los de las sub-clases de a, contempladas en la
definición de Cl*a. Por consiguiente, la prueba de 2" > n se cae cuando no se dé por
supuesto el axioma de la reducibilidad. Encontraremos, sin embargo, que la proposi­
ción sigue siendo verdadera cuando n es finita.
En cuanto a las relaciones, surgen cuestiones similares a las que se presentan con
las clases. Una relación ya no es distinguible de una función de dos variables.
Tenemos:
<P(5. P) = -f (i, $) . h : <f>(x, y ) . =*„. f (X' y).
Por lo que respecta a p '\ y a R1T, las dificultades son de menor importancia que las
que se refieren a p'n y Cl‘a, porque p '\ y Rl‘/> son menos usuales. Pero una
dificultad muy seria se presenta en cuanto a la semejanza. Tenemos:
asm £ . 3 . (3 -fí) . R 1 1 —»1 ,a = D‘R . fi = (l‘R.
Aquí, la R debe quedar limitada dentro de algún tipo; pero en cualquier tipo que
elijamos, puede haber un correlato de tipo superior por el que se pueda establecer
una correlación entre a y 0. Por lo tanto, nunca podremos probar ~ (a sm 0),
excepto en los casos especiales en los que o a o ¡i sean finitos. Esta dificultad fue
puesta de manifiesto por el teorema de Cantor, 2n > n , que acabamos de examinar.
Casi todas nuestras proposiciones están orientadas a probar que dos clases son
semejantes, e interpretarlas todas de forma que se mantengan válidas. Sin embargo,
las pocas proposiciones que se ocupan de probar que dos clases no son semejantes
fracasan, salvo cuando por lo menos una de las dos sea finita.
VII. INDUCCION MATEMATICA
Todas las proposiciones sobre la inducción matemática que aparecen en la
Sección E de la Parte II, y en la Sección C de la Parte III, permanecen válidas,
siempre que se interpreten adecuadamente. Sin embargo, las pruebas de muchas de
ellas vienen a ser falaces cuando no se presuponga el axioma de la reducibilidad; en
algunos casos, con gran trabajo, pueden obtenerse nuevas pruebas. Desde luego, la
49
iN i K o n u m o N
dificultad se hace patente al observar la definición de uxR*y" en el *90. Omitiendo
el factor “x e C R ”, que para nuestro propósito es irrelevante, la definición de
“xR+y" puede escribirse así:
¿Bw.
$ ! f D $ ! w : D* .
<My>
(A)
esto es, “y tiene todas las propiedades elementales hereditarias que posee x". En
lugar de las propiedades elementales podemos considerar cualquier otro orden de
propiedades; como veremos más adelante, es ventajoso tomar las propiedades de
tercer orden cuando R sea “de uno a varios” o “de varios a uno” , y de quinto orden
en los demás casos. No obstante, para objetivos preliminares, es indiferente el orden
de las propiedades que elijamos, y, por ello, en atención a la rigurosidad, tomamos,
para comenzar, propiedades elementales. La dificultad estriba en que, si fa es una
propiedad de segundo orden, a partir de (A) no podemos deducir
zRw.
(B)
Supongamos, por ejemplo, que fa z . = .( 0) . / ! (</>! ¿, z); entonces, desde (A)
podemos deducir
zRw . D,,„./!(<#>! 2, z) !>♦/! !$, t»): D : / ! (£! $, x ) . D*. / ! (<f.! 2, y ):
D: fa x . D . fay.
(C)
Pero, en general, nuestra hipótesis aquí no viene sobreentendida por la hipótesis de
(B). Si ponemos
■= • ( 3
(<t>! i, z), alcanzamos resultados análogos.
Por tanto, a fin de aplicar la inducción matemática a una propiedad de segundo
orden, no es suficiente que deba ser hereditaria en sí misma, sino que deba estar
compuesta de propiedades elementales hereditarias. Es decir, si la propiedad en
cuestión es faz, donde fa z es o bien
o (a<W• / ! ( £ ! 2,*),
no es suficiente tener
tRw •
. faz D faw,
sino que, para cada 0 elemental, debemos tener
zRw .
. / ! (<f>! 2, 2) D /t (,¿; í, w).
Una consecuencia inconveniente es que, prima facie, una propiedad inductiva no
debe ser de la forma
íeR^ z • tf>! z
o
50
S e Potid‘72, <f>! S
INTRODUCCION
O
oí
NC induct. <¡>I a.
Resulta inconveniente, porque, con frecuencia, tales propiedades son hereditarias
cuando <¡>no figura sola; esto es, podemos tener
xR# z
. zRw .
. xR* w.<j>Uv
cuando no tengamos
<l>! * . zRw .
y, de manera semejante, en otros casos.
Estas consideraciones hacen necesario reexaminar todas las pruebas inductivas.
En algunos casos son todavía válidas; en otros, son fácilmente rectificables; y,
finalmente, en otros la rectificación puede ser laboriosa, pero siempre posible. El
método de rectificación se explica en el Apéndice B de este volumen.
Sin embargo, en tanto no la podamos descubrir, no hay una vía por la que
nuestras proposiciones primitivas, que acabamos de exponer, puedan adecuarse a las
relaciones dedekindianas y a las relaciones bien-ordenadas. El uso práctico de las
relaciones dedekindianas depende de las * 2 H ‘63—‘692, que llevan a las
*214 3—‘34, mostrando que la serie de partes de una serie es una relación dcdekindiana. Sobre esto se apoya la teoría de los número reales, definidos como partes de
la serie de los números racionales. Esta cuestión se trata en el *310. Si pusiésemos
en duda la proposición que dice que la serie de los números reales es dedekindiana,
este análisis se derrumbaría.
Las pruebas de esta proposición en los Principia Mathematica depende del
axioma de la reducibilidad, puesto que dependen del *211'64, que asevera:
JiC b 9 ,, . 3 . A « D ‘¿,e.
Por razones explicadas anteriormente, si a es del orden de los miembros de
X, (a) ./a puede no implicar / ( s ‘X), porque s‘X es una clase de un orden superior al
de los miembros de X. Así, pues, aunque tengamos
«*X= P'V/V'X ,
aún no podemos inferir s‘\ e D'Pe salvo cuando s‘X o s'Pe“\ , por alguna razón
especial, sea del mismo orden que el de los miembros de X. Esto se dará cuando X
sea finito, pero no necesariamente en otro caso. Por ende, la teoría de los números
irracionales requerirá una reconstrucción.
Dificultades similares se presentan con respecto a las series bien-ordenadas. La
teoría de las series bien-ordenadas se apoya en la definición *250 01 :
Bord = Í*(C1 zx'&P C (l'minp) Df,
de donde
P «Bord. = : a C C*,?. g ! a . D, . 3 ! a —P“a.
51
INTRODUCCION
Al hacer deducciones, constantemente sustituimos a por algunas clases construi­
das de orden superior a CP. Por ejemplo, en *250'122 ponemos en lugar de a la
clase CP O p'P“(a O C‘P), que, en general, es de un orden superior a a. Si esta
sustitución es ilegítima, no podemos probar que una clase contenida en CP, y que
tenga sucesores, debe tener un sucesor inmediato; si no, la teoría de las series
bien-ordenadas se hace imposible. Debe salvarse esta dificultad particular; pero es
obvio que deben caer muchas proposiciones importantes.
Pudo ser posible sacrificar al rigor lógico la serie infinita bien-ordenada, pero la
teoría de los números reales es una parte integrante de la matemática ordinaria, y
difícilmente puede ser objeto de una duda razonable. Por tanto, nos justifica el
suponer que algún axioma lógico que sea verdadero lo justificará. Se requiere que
tal axioma sea más restringido que el de la reducibilidad, aunque está pendiente de
descubrirse que sea así.
Entre las contribuciones a la Lógica matemática desde que se publicó la primera
edición de los Principia Mathemática están las siguientes:
D. HILBKRT. Axiomatisches Denkcn, Mathematische Annalen, Vol. 78. Dic logischcn Grundlagen der Mathcmatik, ib. VoL 88. Neue Begründung dcr Mathematik, Ahhandlungen aus
dem mathematischen Seminar der Hamburgischen Universital, 1922.
P. BERNAYS. Ueber Hilbcrt’s Gedanken zur Grundlegung der Arithmetik, Jahresbericht der
deutschen Mathematiker- Vereinigung. VoL 31.
IL BLHMANN. Bcitrágc zur Algebra dcr Logik. Mathematische Annalen, Vol. 86.
I. CHWlSTliK. Ueber dic Antinoinien der Prinzipien der Mathcmatik, Mathematische
Zeitschrift, VoL 14. The Theory of Constructivo Types. Armales de k Société Mathématique
de Pobgne, 1923. (Dr. Chwistek has kindly allowed us to read in MS. a longcr work with
thc sanie titlc.)
11. WEYL. Das Kontimum, Veit, 1918. Ueber dic neue Grundlagenkrise der Mathematik,
Mathematische Zeitschrift, VoL 10. Randbemcrkungcn zu llauptproblcmen der Mathema­
tik, Mathematische Zeitschrift, VoL 20.
L. E. J. BROUWER. Begründung der Mcgenlehre unabhángig vom logischen Satz desausgeschlossenen Dritten. Verhandelingen d. K. Akademie v. Wetenschappen, Amstcrdam, 1918,
1919. Intuitionistische Mengcnlchre, Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung, VoL 28.
A. TAJTELBAUM-TARSK1. Sur le terme primitif de la logistique, Fundamenta Mathematicae,
Tom. IV. Sur les “truth-functions” au sens de MM. Russell et Whitehead, ib. Tom. V. Sur
quelqucs théorémes qui équivalcnt á 1’axiome du ehoix, ib.
I-'. BERNSTEIN. Dic Mcngenlchrc Gcorg Cantor’s und der Einitismus, Jahresbericht der
deutschen Mathematiker-Vereinigung, VoL 28.
J. KONIG. Neue Grundkgen der Ixrgik, Arithmetik und Mengenlehre, Veit, 1914.
C 1. LEWIS. A Survey o f Symbolic Logic, University of California, 1918.
H. M. SHEEFER. Total determinations of deductive systems with special reference to thc
Algebra of Logic. Bulletin o f the American Mathematical Society, VoL XVI. Trans. Amer.
Math Soc. VoL XIV. pp. 481-488. The general theory o f notationai reiativity, Cambridge,
Mass. 1921.
52
INTRODUCCION
J. G. P. NICOD. A reduction in the number of the primitive propositions of logic. Proc. Camb.
PftU. Soc VoL XIX.
L. WITTGF.NSTCIN. Tracíatus Logico-Philosophicus, Kegan Paul, 1922.
M. SCHONWINKKL. Ueber die Bausteinc der mathematischen Logik, Math. Anmlen, Vol. 92.
53
INTRODUCCION
La Lógica matemática que ocupa la Parte I de este trabajo ha sido elaborada bajo
la orientación de tres objetivos diferentes. En primer lugar, aspira a realizar en el
mayor grado posible el análisis de las ideas acerca de las que trata y de los procesos
que canalizan las demostraciones, así como a reducir al máximo el número de ideas
no-definidas y de proposiciones no-demostradas (llamadas, respectivamente, ideas
primitivas y proposiciones primitivas) de las que se parte. En segundo lugar, está
construida con vistas a lograr expresiones perfectamente precisas, en sus símbolos,
de las proposiciones matemáticas. Alcanzar tales expresiones, y conseguirlas con la
notación más simple y más conveniente, es el principal motivo para la preferencia
por esta cuestión. En tercer lugar, el sistema está especialmente estructurado para
resolver las paradojas que en los últimos años han preocupado a los estudiantes de
Lógica simbólica y de Teoría de conjuntos. Confiamos en que la teoría de tipos, tal
como la exponemos en lo que sigue nos lleve tanto a evitar las contradicciones
como a detectar las falacias concretas que las ocasionan.
De los tres objetivos mencionados, el primero y el tercero nos impulsan frecuen­
temente a adoptar métodos, definiciones y notaciones que son más complicadas o
más dificultosas que si se tuviese en cuenta sólo el segundo objetivo. Esto se aplica
especialmente a la teoría de las expresiones descriptivas (*I4 y *30) y a la teoría de
clases y relaciones (*20 y *21). En estos dos puntos y, en menor grado, en los
otros, fue necesario sacrificar algo la claridad en pro de la corrección. Sin embargo,
tal sacrificio es, en lo principal, sólo pasajero: en cada caso, la notación finalmente
adoptada, aunque su significado real fuese muy complicado, tiene una significación
aparentemente simple que, excepto en ciertos puntos críticos, puede, sin riesgo,
sustituirse mentalmente por el significado real. Por esto, es conveniente, en una
exposición preliminar de la notación, considerar estos significados aparentemente
simples como ideas primitivas, es decir, como ideas introducidas sin definición.
Cuando la notación se hace cada vez más familiar, resulta más fácil seguir las
exposiciones más complicadas, que es lo que consideramos más correcto. En la
parte principal del trabajo, en donde es necesario ceñirse rígidamente al estricto
orden lógico, podría no adoptarse el orden más sencillo de desarrollo; esto, por lo
tanto, se ofrece en la Introducción. Los desarrollos que se dan en el Capítulo I de la
Introducción son tales que anteponen la claridad a la corrección; las explanaciones
completas se dan, en parte, en los capítulos que siguen a la Introducción, y, en
parte, en el cuerpo de la obra.
El empleo del simbolismo (distinto del lingüístico) en todas las partes del libro
54
INTRODUCCION
que pretenden incorporar razonamientos demostrativos estrictamente precisos, nos
ha venido forzado por la consiguiente búsqueda de los tres objetivos señalados. Hay
muchas razones en favor de la ampliación del simbolismo más allá de la región
habitual del número, e ideas asociadas con el:
(1) Las ideas que aquí se utilizan son más abstractas que las que ordinariamente
se consideran en el lenguaje. En consecuencia, no hay palabras que se usen
exclusivamente en los sentidos exactos que se exigen en este trabajo. Recurrir a las
palabras impondría unas limitaciones, no naturales, a sus significaciones ordinarias;
de hecho, esto traería consigo una mayor dificultad para recordar, coherentemente,
que se trata de definiciones de símbolos completamente nuevos.
(2) La estructura gramatical del lenguaje se adapta a una amplia variedad de
usos. Siendo así, no posee esa simplicidad singular en cuanto a representar los poco
simples —aunque sumamente abstractos- procesos e ideas que surgen en las cadenas
de razonamientos deductivos empleados aquí. De hecho, la muy abstracta simplici­
dad de las ideas de este trabajo frustran el lenguaje. El lenguaje puede representar,
con más facilidad, las ideas complejas. La proposición “ una ballena es grande”
representa un lenguaje que, en el mejor de los casos, ofrece una expresión concisa
de un hecho complejo; mientras que el verdadero análisis de “el uno es un número”
nos lleva, utilizando el lenguaje, a una prolijidad intolerable. De acuerdo con esto,
se gana en laconismo si se emplea un simbolismo especialmente diseñado para
representar las ideas y los procesos de deducción que se presentan en este trabajo.
(3) La adaptación de las reglas del simbolismo a los procesos de deducción
presta una ayuda fácil a la intuición en regiones demasiado abstractas para que la
imaginación pueda ofrecer a la mente la verdadera relación que existe entre las ideas
empleadas. Llegan a hacerse familiares las diversas maneras de colocar los símbolos,
como representativas de importantes modos de disponer las ideas; y, a su vez,
también se hacen familiares las posibles relaciones existentes —de acuerdo con las
reglas del simbolismo- entre estas colocaciones de símbolos; y, más aún, estas
colocaciones representan relaciones todavía más complicadas entre las ideas abstrac­
tas. Y, de esta manera, finalmente, se lleva a la mente a construir cadenas de
razonamientos en regiones del pensamiento en las que la imaginación sería entera­
mente incapaz por sí misma de mantenerlas sin la ayuda de la simbología. El
lenguaje ordinario no permite tal ayuda. Su estructura gramatical no representa de
manera unívoca las relaciones entre las ideas en cuestión. Así, pues, las dos
proposiciones “ una ballena es grande” y “el uno es un número” parecen semejantes,
de modo que la vista no presta ayuda a la imaginación.
(4) El laconismo propio de las expresiones simbólicas permite que una proposi­
ción entera se presente de un golpe de vista como una totalidad, o, a lo sumo, en
dos o tres partes divididas por donde hay separaciones naturales a las que se les
concede representación simbólica. Esto parece una modesta propiedad pero, de
hecho, es muy importante por lo que respecta a las ventajas enumeradas en el punto
(3).
55
INTRODUCCION
(5)
El logro del objetivo de esta obra mencionado en primer lugar, a saber, la
completa enumeración de todas las ideas y pasos empleados en los razonamientos
de matemáticas, necesita tanto del laconismo como de la máxima formalidad que
permitan sus propias características.
Una somera consideración acerca de los límites del empleo de los métodos y del
simbolismo utilizados en este libro arroja una luz adicional sobre tales métodos y
simbolismo:
(a) La mayor parte de la investigación matemática no se ha interesado por el
análisis del proceso completo del razonamiento, sino por la presentación de un
resumen de la prueba, en la medida suficiente para convencer a una mente
adecuadamente instruida. Para tales investigaciones, la presentación detallada de los
pasos del raciocinio es, desde luego, innecesaria, con tal que el detalle se lleve a un
grado suficiente como para preservamos del error. En relación con esto, puede
recordarse que las investigaciones de Weierstrass y de otros autores de la misma
escuela han mostrado que, aún en las cuestiones comunes del pensamiento matemá­
tico, son necesarios muchos más detalles que los que habían previsto las anteriores
generaciones de matemáticos.
(0) En la misma medida en que la imaginación opere fácilmente en una región
del pensamiento, el simbolismo (excepto para el propósito expreso del análisis) se
hace necesario sólo como una escritura taquigráfica para registrar resultados obteni­
dos sin su ayuda. Pero un objetivo subsidiario de este trabajo es mostrar que, con
ayuda del simbolismo, el razonamiento deductivo puede extenderse a regiones del
pensamiento que, ordinariamente, no se suponen adecuadas para el tratamiento
matemático. En tanto que las ideas de tales ramas del conocimiento se hagan más
familiares, el tipo detallado de razonamiento, que también se precisa para el análisis
de los pasos, es adecuado para la investigación de las verdades generales relativas a
estas cuestiones.
56
CAPITULO I
EXPLICACIONES PRELIM INARES
DE IDEAS Y NOTACIONES
La notación adoptada en este trabajo está basada en la de Peano, y las explicacio­
nes que siguen, hasta cierto punto, están expuestas según modelos que él expresó
con anterioridad en su Formulario Mathematico. Se adopta su uso de puntos y
corchetes, así como muchos de sus símbolos.
Variables. La idea de variable, tal como se presenta en este trabajo, es más
general que la que explícitamente se usa en la Matemática ordinaria. En la Matemá­
tica ordinaria, una variable representa generalmente a un número o cantidad
indeterminados. En Lógica matemática, se llama variable a cualquier símbolo cuyo
significado no esté determinado; a las diversas determinaciones de las que es
susceptible su significado se llaman valores de la variable. Según las circunstancias,
puede ser valor cualquier conjunto de entidades, proposiciones, funciones, clases, o
relaciones. Si construimos una expresión acerca de “el Sr. A y el Sr. B” , entonces el
“ Sr. A” y el “Sr. B” son variables cuyos valores están limitados al hecho de ser
hombres. Una variable puede tener o bien un rango de valores asignados convencio­
nalmente, o bien (en el caso de ausencia de cualquier indicación del rango de
valores) puede tener por rango de sus valores todas las determinaciones que hacen
que la expresión adquiera una significación. Así, pues, cuando un libro de texto de
Lógica afirma que “A es A” , sin ninguna indicación acerca de lo que pueda ser A, lo
que significa es que cualquier declaración de la forma “A es A " es verdadera.
Podemos llamar variable restringida a aquella variable cuyos valores están limitados
a sólo algunos de cuantos podría tener; de no ser así, la llamaremos no restringida.
Así, pues, cuando intervenga una variable no restringida, ésta representa a un objeto
del que se puede hacer una expresión al respecto que tenga significación (esto es,
que la haga verdadera o falsa) relativa a dicho objeto. Por lo que respecta a la
Lógica, resulta más conveniente usar variables no restringidas que restringidas;
nosotros siempre emplearemos aquellas. Se verá que aún la variable no-restringida
está sujeta a limitaciones impuestas por su manera de presentarse; esto es, cosas que
pueden decirse con significación cuando se refieren a una proposición no pueden
decirse en cuanto a una clase o a una relación, y así sucesivamente. Pero las
limitaciones a las que está sujeta la variable no refringida no necesitan estar
indicadas explícitamente, puesto que ellas mismas son los límites de significación
de la expresión en la que se encuentra la variable y, por tanto, están intrínsecamen­
te determinadas por la propia expresión. Esto será explicado ampliamente más
adelante. ( 12 ).
(12) Cf. Capítulo II de la Introducción.
57
INTRODUCCION
Para concretar, los tres datos destacables, en cuanto al empleo de las variables,
son: 1) que una variable es ambigua en su designación, y, por tanto, indefinida;
2) que una variable conserva una identidad reconocible en las diversas veces que se
presenta a lo largo de un contexto, de manera que muchas variables pueden
presentarse juntas en el mismo contexto, cada una con su identidad particular; y
3) que, o el rango de las posibles determinaciones de dos variables puede ser el
mismo, de forma que una posible determinación de una variable sea también una
posible determinación de la otra, o bien que los rangos de dos variables puedan ser
diferentes, de manera que, si una posible determinación de una variable se aplica a
la otra, la frase completa que resulta es un sin-sentido en vez de convertirse en una
proposición completa (verdadera o falsa) sin ambigüedad alguna, como sería el caso
si todas las variables que intervienen en ella hubiesen sido dadas en algunas
determinaciones apropiadas.
Los empleos de diversas letras Las variables se designarán por letras únicas, así
como ciertas constantes; pero una letra que haya sido asignada una vez como una
constante mediante una definición no debe, en adelante, usarse para designar una
variable. Las letras minúsculas del alfabeto ordinario se emplearán todas como
variables, excepto la p y la s después del *40, en donde a estas dos letras se le
asignan significaciones de constantes. Las siguientes letras mayúsculas recibirán
significados como constantes: B, C, D, E, F, l y J. Entre las letras griegas
minúsculas, daremos significados como constantes a e, i y (en una etapa posteriora
rj, 6 y cu. Ciertas letras griegas mayúsculas se emplearán, de vez en cuando, como
constantes, pero no se usarán como variables. De las restantes letras, a p, q, r se
llamarán letras proposiciomles, y representarán a las proposiciones variables (excep­
to que, a partir del *40, p no debe utilizarse como variable); / g, 0, 0 , x> 9 y (hasta
el *30) F se llamarán letras funcionales, y se usarán para funciones variables.
Las letras griegas minúsculas todavía no mencionadas se usarán para representar
variables cuyos valores son clases; nos referiremos a ellas llamándolas simplemente
letras griegas. Normalmente, las letras mayúsculas aún no citadas se emplearán para
variables cuyos valores son relaciones, y, para simplificar, se llamarán letras mayús­
culas. Ordinariamente, las letras minúsculas (excepto p, q, r, s, f g) se usarán como
variables cuyos valores no sean funciones, clases o relaciones; estas letras se
designarán simplemente como letras ¡atinas minúsculas.
Después de la parte inicial del trabajo apenas aparecerán proposiciones y funcio­
nes variables. Tendremos, entonces, tres clases principales de variables: clases
variables, representadas por letras griegas minúsculas; relaciones variables, represen­
tadas por letras mayúsculas; y otras variables que no se dan necesariamente como
clases o como relaciones, las cuales se representarán por letras latinas minúsculas.
Además de este uso de las letras griegas minúsculas para clases variables, letras
mayúsculas para relaciones variables, y letras latinas minúsculas para variables de
tipo completamente indeterminado por el contexto (éstas surgen a partir de la
“ambigüedad sistemática” , cuestión que se explicará más adelante, cuando se
58
I. EXPLICACIONES PRELIMINARES DE IDEAS Y NOTACIONES
exponga la teoría de tipos), el lector sólo necesita recordar que todas las letras
representan variables, a no ser que se liayan definido como constantes en algún
lugar previo del libro. En general, la propia estructura del contexto determina el
alcance de las variables contenidas en él; pero la indicación especial acerca de la
naturaleza de las variables empleadas como aquí se propone, evita mucho esfuerzo
mental.
Las funciones fundamentales de proposiciones. Un conjunto de proposiciones,
considerado como una totalidad -que no es preciso que esté determinada de una
manera inequívoca dentro de una proposición única más compleja que sus
constituyentes, es una función que tiene proposiciones como argumentos. La ¡dea
general de un conjunto tal de proposiciones, o de variables que representen
proposiciones, no se empleará en este trabajo. Pero hay cuatro casos especiales que
son de importancia fundamental, ya que todos los conjuntos de proposiciones
subordinadas que haya dentro de una proposición compleja que se presente en lo
sucesivo, se forman a partir de ellas, paso a paso.
Son: I) la función contradictoria, 2) la suma lógica o función disyuntiva, 3) el
producto lógico o función conjuntiva, y 4) la función implicativa. Estas funciones,
en la forma en que se adoptan en este libro, no son todas independientes entre sí; si
dos de ellas se toman como ideas primitivas indefinidas, las otras dos pueden
definirse en función de las primeras. Hasta cierto punto -aunque no enteramente—
es arbitraria la elección de las funciones que se tomen como primitivas. No
obstante, la simplicidad de las ideas primitivas y la simetría del tratamiento parecen
mejorarse tomando como ideas primitivas las dos primeras funciones.
La función contradictoria con argumento p, siendo p una proposición cualquie­
ra, es la proposición contradictoria de p; es decir, es la proposición que asevera que p
no es verdadera. Esto se simboliza por ~ p . Por tanto, ~ p e s la función contradicto­
ria con argumento p, y significa la negación de la proposición p. También se le
denomina proposición no-p. Así, pues, ~ p significa no-p, que, a su vez, significa la
negación de p
La suma lógica es una función proposicional que tiene dos argumentos, p y q \ es
la proposición que asevera disyuntivamente p o q; esto es, que afirma que, por lo
menos uno de los dos argumentos (p o q) es verdadero. Esto se simboliza porp v q.
Así, pues, p ve/ es la suma lógica que tiene a p y q como argumentos. También se
llama suma lógica de p y q. Consecuentemente, p v q significa que, por lo menos, o
p o <7 es verdadero, sin excluir el caso en que ambos sean verdaderos.
El producto lógico es una función proposicional con dos argumentos, p y q,
consistente en la proposición que asevera conjuntamente a p y q, esto es, que afirma
que ambos —p y q— son verdaderos. Esto se representa por p . q. o —a fin de
conseguir que los puntos actúen como paréntesis en la forma en que se explicará a
continuación - por p : <7, o por p :.q , o por p :: <7. Así, p .q es el producto lógico
que tiene a p y <7 por argumentos. Se llama también producto lógico de p y q. De
acuerdo con lo dicho, p . q significa que ambos argumentos son verdaderos. Fácil­
59
INTRODUCCION
mente se ve que esta función puede definirse en términos de las dos funciones
precedentes: cuando p y q son ambos verdaderos, debe ser falso que, o bien ~ p o
bien ~<7 sean verdaderos. Por tanto, en este libro, p .q no es más que una forma
simbólica abreviada de:
Si, más adelante, alguna otra idea se adscribe a la proposición “p y q son ambos
verdaderos” no se precisa aquí.
La función implicativa es una función proposicional de dos argumentos, p y q;
consiste en la proposición en la que, o bien no-p o bien q son verdaderos; es decir, es
la proposición ~ p v q . Así, pues, si p es verdadera, ~ p es falsa, y, por tanto, la
única alternativa que concede la proposición ~ p v q es que q sea verdadera. En
otras palabras, si p y ~ q v q son ambas verdaderas, entonces q es verdadera. En este
sentido, la proposición ~ p v q , tal como se viene especificando, se citará diciendo
que p implica q. La idea contenida en esta función proposicional es tan importante
que exige un símbolo que, de una manera directa y simple, represente a la
proposición que conecta p y q, sin la intervención de ~ p. Pero la palabra
“ implica” , tal como se usa aquí, no expresa más que una determinada conexión
existente entre p y q que también puede expresarse mediante la disyunción “no-p o
q ". El símbolo empleado para “p implica q" (es decir, para " ~ p v q ” ) es “p D q ” .
Este símbolo también puede leerse “ si p, entonces q". La asociación de la implica­
ción con el empleo de una variable aparente da lugar a una extensión de la misma,
que llamamos “implicación formal” . Esta se explicará más adelante: es una idea
derivada de la “implicación” , tal como se expone aquí. Cuando de una manera
explícita sea necesario distinguir la “implicación” de la “implicación formal” , a la
primera se le llamará “implicación material”. De este modo, la “implicación
material” es simplemente la “implicación”, en la forma en que aquí se ha explicado.
El proceso de inferencia, que en el uso ordinario se confunde frecuentemente con la
impliación, se explicará inmediatamente.
Estas cuatro funciones de proposiciones son las fundamentales funciones prepo­
sicionales constantes (es decir, definidas), cuyos argumentos son proposiciones;
todas las demás funciones preposicionales constantes con proposiciones como
argumentos, en la medida en que se necesiten en este trabajo, se forman a partir de
aquellas mediante pasos sucesivos. Funciones preposicionales variables de esta clase
no aparecerán en esta obra.
Equivalencia. El ejemplo más simple de la formación de una función de proposi­
ciones más compleja mediante el uso de estas cuatro formas fundamentales viene
deparado por la “equivalencia” . Dos proposiciones, p y q, se dice que son “equiva­
lentes” cuando p implica q y q implica p. Esta relación entre p y q . s e designa por
“p =q". Así, pues, “p = q” representa a “(p D</). (q D p)” . Resulta sencillo com­
probar que dos proposiciones son equivalentes cuando, y sólo cuando, ambas son
verdaderas o ambas falsas. La equivalencia adquiere mayor importancia cuando
60
1. EXPLICACIONES PRELIMINARES DE IDEAS Y NOTACIONES
llegamos a la “implicación formal” y, de este modo, a la “equivalencia formal” . No •
debe suponerse que dos proposiciones que son equivalentes sean, en algún sentido,
idénticas, ni siquiera que tengan una relación remota entre sí. Así, pues, “Newton
fue un hombre” y “el sol es caliente” son equivalentes por ser ambas verdaderas; y,
asimismo, “ Newton no fue un hombre” y “el sol es frío” son, también, equivalentes
por ser ambas falsas. Pero aquí hemos anticipado deducciones que más adelante se
seguirán de nuestro razonamiento formal. La equivalencia es, en su origen, una mera
implicación mutua, como ya se explicó anteriormente.
Valores de verdad. El “valor de verdad” de una proposición es verdad si ella es
verdadera, y falsedad si ella es falsa (13). Se observará que los valores de verdad de
p s q , p .q, p~Dq, ~ p , q = q dependen solamente de los que tengan p y q; es decir,
el valor de verdad de “p v q ” es verdad si el valor de p, o bien de q, es verdad, y
sería falso en caso diferente; que el de “p . q" es verdad si tanto p como q son
verdaderos, y falso en cualquier otro caso; que el de “p D q" es verdad si bien o p es
fabo o q verdadero; que el de “~ p ” es el opuesto al de p, que el de “p = q" es
verdad si p y q tienen el mismo valor de verdad, y falso en caso diferente. A partir
de ahora, las únicas maneras en que aparecerán las proposiciones en este trabajo son
las que se derivan de las anteriores mediante combinaciones y repeticiones. Por
tanto, es fácil ver (aunque no se pueda probar formalmente, salvo en cada caso
particular) que si una proposición p interviene en otra proposición / (p), de la que
ya nos ocuparemos, el valor de verdad de / ( p ) no dependerá de la proposición
particular p, sino sólo de su valor de verdad; es decir, si p = q. tendremos
f ( P ) - f (<l)- De este modo, siempre que se sepa que dos proposiciones son equiva­
lentes, una de ellas puede sustituirse por la otra en cualquier fórmula con las que
tendremos que tratar.
A una fu n ció n /(p ) podemos llamarla “ función de verdad” cuando su argumento
p sea una proposición y ei valor de verdad de / ( p ) dependa sólo del valor de verdad
de p. Tales funciones en modo alguno son las únicas funciones corrientes de
proposiciones. Por ejemplo, “A cree p ” es una función de p, cuyo valor de verdad
cambiará según los diferentes argumentos que tengan el mismo valor de verdad: A
puede creer en una proposición verdadera sin creer en otra, y puede creer en una
proposición falsa sin creer en otra. Tales funciones no se excluyen de nuestra
consideración, antes bien se incorporan al alcance de algunas proposiciones genera­
les que podemos hacer sobre funciones; pero las funciones particulares de proposi­
ciones que hemos de componer o de considerar explícitamente son todas funciones
de verdad. Este hecho está estrechamente conectado con una característica de las
matemáticas, a saber, que las matemáticas siempre se interesan por las extensiones
más que por las intensiones. La conexión, si no obvia ahora, lo será más cuando
hayamos considerado la teoría de clases y relaciones.
El signo de aserción. El signo “ K \ llamado “ signo de aserción” , significa que se
asevera lo que le sigue. Tal signo se necesita para distinguir una proposición
(13) F.sta frase se debe a Eregc.
61
INTRODUCCION
completa, que aseveramos, de cualquier otra proposición subordinada contenida en
ella, pero sin aseverar. En el lenguaje escrito ordinario, una frase que se encuentre
entre puntos significa una proposición aseverada; si fuese falsa, el libro contendría
un error. El símbolo “h” antepuesto a una proposición desempeña este mismo
objetivo en nuestro simbolismo. Por ejemplo, si se presenta “ J- (p 13p)" debe
considerarse como una aserción completa, responsabilizando del error a los autores,
salvo que la proposición “p D p " sea verdadera (como así es). También, una
proposición formulada por medio de símbolos sin que le preceda el signo “h” no
está aseverada, y está puesta solamente para consideración, o como una parte
subordinada de una proposición aseverada.
Inferencia. El proceso de inferencia es como sigue: se asevera una proposición
“p ” , y se asevera también una proposición “p implica </” ; entonces, como conclu­
sión, se asevera la proposición “q”. Lo que ofrece confianza en una inferencia es
que si las dos aserciones primeras no son erróneas, la aserción final tampoco lo es.
Por consiguiente, siempre que (en símbolos), en donde p y q tengan determinacio­
nes de carácter especial, se presenten
"i-p"
y
entonces ocurrirá “ |- q”, si es que se desea hacerlo constar de una manera expresa.
El proceso de la inferencia no puede reducirse a símbolos. Su única manifestación
es que sucede “ h q". Desde luego, es conveniente, aun a riesgo de repetición,
escribir “h p ” y ‘T ( p 3 q)” en íntima yuxtaposición antes de llegara ‘T q" como
el resultado de una inferencia. Cuando se hace esto, en sustitución de ello - y a fin
de atraer la atención hacia la inferencia que se está haciendo- escribiremos:
“ I-jO I - j ,"
lo que se considera como una mera forma abreviada de la expresión triple
“ E/>’’ y “ E(ju 3 <7) *’ y "t-í/.”
Así, pues, “ |- p D )- q ” puede leerse “p. por consiguiente q '\ siendo, de hecho,
esencialmente, la misma forma abreviada, como así es; a pesar de ello, “p, por
consiguiente q" no manifiesta explícitamente (lo que es parte de su significado) que
p implica q. Una inferencia es la eliminación de una premisa verdadera; es la
disolución de una implicación.
El uso de puntos. Los puntos, en su condición de símbolos, tienen dos usos:
uno como paréntesis separador de proposiciones, y el otro para indicar el producto
lógico de dos proposiciones. Los puntos que están inmediatamente precedidos o
seguidos por “v” , “ D” ,
‘V ’, “(jc)” , “(*.> 0” , "(x, y, z)” ... o por “(H*)” ,
“( 3 *. y ) ’\ “(3*. y. z)” ... o por “ [(,*)(«*)]” . “ [/?*>']” , o por otra expresión seme­
jante, sirven para separar parentéticamente a una proposición; los puntos que se
presenten de otra manera sirven para señalar un producto lógico. El principio
general es que un mayor número de puntos indica un paréntesis exterior, y un
62
I. EXPLICACIONES PRELIMINARES DE IDEAS Y NOTACIONES
número menor indica un paréntesis interior. La regla exacta en lo que se refiere al
alcance del paréntesis indicado por los puntos se aplica clasificando las presencias de
los puntos en tres grupos que llamaremos 1, II y 111. El grupo 1 está integrado por
aquellos puntos que se encuentren junto a los signos de implicación (D), equivalen­
cia (=), disyunción (v), o igualdad por definición (= Df). El grupo II lo constituyen
los puntos que siguen a paréntesis indicativos de una variable aparente, tales como
(x), (x, y), ( 3 x), ( 3 x, y), l(x0)(xi)], o expresiones análogas (14). El grupo III
consta de los puntos que se encuentran entre proposiciones a fin de indicar un
producto lógico. El grupo I es de mayor fuerza que el grupo II, y el grupo II que el
grupo III. El alcance del paréntesis indicado por una colección de puntos se
extiende hacia atrás y hacia adelante (sobrepasando cualquier número de puntos
que sea menor, o a un número de puntos igual pero perteneciente a un grupo de
menor fuerza) hasta alcanzar el extremo de la proposición aseverada, o a un número
mayor de puntos, o a un número igual al que pertenezca a un grupo de fuerza igual
o superior. Los puntos que indican un producto lógico tienen un alcance que va
tanto hacia atrás como hacia adelante; otros puntos sólo surten efecto más allá del
signo adyacente de disyunción, implicación o equivalencia, o hacia atrás del signo
adyacente de uno de los otros tipos enumerados en el grupo II.
Algunos ejemplos servirán para ilustrar el empleo de los puntos.
" p v q . D . q v p " significa la proposición “ ’p o q' implica 'q o p' ” . Cuando
aseveramos esta proposición, en vez de manifestarlo simplemente, escribimos
" h : p v q . D. q v p,”
en donde los dos puntos después del signo de aserción manifiestan que lo que se
asevera es todo lo que sigue al signo de aserción, ya que no se encuentran otros dos
puntos en ningún otro lugar. Si hubiésemos escrito “p : v : q .D .q v p ” , esto
significaría la proposición “o p es verdadero, o q implica 'q o p '". Si hubiésemos
querido aseverar esto, tendríamos que colocar tres puntos después del signo de
aserción. Si hubiésemos escrito “p v q . D q : v : p ” , eso significaría la proposición
“o bien 4p o q’ implica q, o p es verdadero” . Las formas “p . v . q . D . q v p ” y
“p v q . D . q . v . p ” carecen de significación.
"p Dq . D : q D r . D . p D r " significa: “ si p implica q, entonces si q implica r, p
implica r” . Si deseamos aseverar esto (que es verdadero) escribiremos
“b : . p D ¥ . D : ? D r . 3 . p 3 r . "
De nuevo, “p Dq . D . q D r : D . p D r " significa: “si ‘p implica q' implica K
q
implicar’, entonces ‘p implica r ’ ” . Esto, en general, no es verdadero. (Obsérvese que
algunas veces resulta más conveniente leer “p D q " como “p implica q", y otras
veces como “ si p, entonces q"). La expresión “p Dq . q D r . D . p Dr" significa “ si
p implica q, y q implica r, entonces p implica r” . En esta fórmula, el primer punto
(14)
Más adelante se explicará el significado de estas expresiones; y en las pp. 70, 71 se
darán algunos ejemplos del uso de puntos en relación con ellas.
63
INTRODUCCION
indica un producto lógico; por tanto, el alcance del segundo punto abarca hacia
atrás hasta el comienzo de la proposición. “p D q iq D r . D . p ’D r” significa “p
implica q; y si q implica r, entonces p implica r". (Esto, en general, no es
verdadero). Aquí, los dos puntos indican un producto lógico; ya que otros dos
puntos no aparecen en ningún otro lugar, el alcance de estos dos puntos se extiende
hacia atrás hasta el comienzo de la proposición, y hacia adelante hasta el final de la
misma.
La proposición "p v q . D p . v . q Dr : D . p v r” significa: “ si p o q es verda­
dero, entonces si p o "q implica r ’ es verdadero, de ello se sigue que p o q es
verdadero” . Si se quiere aseverar esta expresión, debemos poner cuatro puntos
después del signo de aserción, de este modo:
"i-:: p v q
p ,v .qOr
. pvr. "
(Esta proposición se prueba dentro de esta obra; es la *2‘75). Si deseamos aseverar
(lo que es equivalente a la de arriba) la proposición: “ si p o q es verdadero, y p o 'q
implica r' es verdadero, entonces p o r es verdadero” escribiremos
“ ! • p v q : p . v . q D r : D . p v r."
Aquí, el primer par de puntos indica un producto lógico, mientras que el segundo
par no. Por ello, el alcance del segundo par de puntos sobrepasa a los del primer par,
y abarca hacia atrás hasta llegar a los tres puntos que están después del signo de
aserción.
Otros usos de los puntos siguen los mismos principios, y se explicará cómo se
introducen. Al leer una proposición, en lo primero que hay que ñjarse es en los
puntos, ya que ellos manifiestan la estructura de la proposición. En una proposición
que contenga varios signos de implicación o de equivalencia, el que tenga un mayor
número de puntos antes o después de él es el signo principal; queda claro que, en la
proposición, cuanto antecede al signo principal implica, o equivale, a cuanto viene
después de él.
Definiciones. Una definición es una declaración en la que un cierto símbolo -o
combinación de sím bolos- introducido como nuevo significa lo mismo que otra
cierta combinación de símbolos cuyo significado ya se conoce. O bien, si la
combinación de símbolos que se define es tai que sólo adquiere significación
cuando se combinan con otros símbolos de una manera determinada (15); lo que
significa es que, cualquier combinación de símbolos en la que interviene el símbolo
(o combinación de símbolos) de nueva definición es tal que tiene ese significado (si
lo hay) que resulta de sustituir la combinación de símbolos que definen por el
símbolo (o combinación de símbolos) de nueva definición. Daremos los nombres de
definiendum y deftniens, respectivamente, a aquello a lo que se define y a lo que es
definido como significación. Expresamos una definición poniendo el definiendum a
(15)
Kste caso se considerará de forma completa en el Cap. III de la Introducción. No se
precisa adelantarlo en este punto.
64
I. EXPLICACIONES PRELIMINARES DE IDEAS Y NOTACIONES
la izquierda y el definiens a la derecha, con el signo “= ” entre ambos, y colocando
las letras “DP’ a la derecha del definiens. Debe entenderse que el signo “= ” y las
letras “D f ’ han de considerarse juntamente formando un solo símbolo. El símbolo
“= ” sin las letras “ D f’ tiene una significación diferente, como se explicará en breve.
Un ejemplo de definición es
. = . ~ p v q Pf.
Debe observarse que una definición no es, estrictamente hablando, parte de la
cuestión en la que interviene; una definición tiene una relación total con los
símbolos, pero no con lo que ellos simbolizan. Por otra parte, tampoco es verdadera
o falsa, siendo la expresión de una volición, y no de una proposición. (Por esta
razón, las definiciones no están precedidas del signo de aserción). Teóricamente, no
siempre es necesario dar una definición: es siempre posible usar el definiens en su
lugar, y, por ende, prescindir por completo del definiendum. De este modo, aunque
empleamos definiciones y no definimos la “definición” , con todo la “definición”
no aparece entre nuestras ideas primitivas porque las definiciones no son parte de
nuestro tema, sino que, estrictamente hablando, son meras conveniencias tipográfi­
cas. En la práctica, desde luego, si no introducimos definiciones, nuestras fórmulas
muy pronto vendrían a ser tan largas que resultarían inmanejables; mas, en teoría,
todas las definiciones son supérfluas.
A pesar del hecho de que las definiciones son teóricamente supérfluas, es cierto,
no obstante, que ellas suministran una información más importante que la que se
contiene en las proposiciones en las que se encuentran. Esto surge de dos causas.
Primero, corrientemente una definición implica que el definiens merece una consi­
deración cuidadosa. Por eso, la colección de definiciones incorpora nuestra selec­
ción de asuntos y nuestro juicio en cuanto a lo que es más importante. En segundo
lugar, cuando lo que se define es (como ocurre con frecuencia) algo ya familiar, tal
como los números cardinales u ordinales, la definición contiene un análisis de una
idea común y, por tanto, puede expresar un notable avance. La definición de
Cantor del continuo ilustra esto; su definición equivale a establecer que lo que él
define es el objeto que tiene las propiedades comúnmente asociadas con la palabra
“continuo” , si bien, lo que constituye precisamente estas propiedades no había sido
conocido antes. En tales casos, una definición es un “hacer que algo quede
delimitado”: proporciona una precisión a una idea que previamente había sido más
o menos vaga.
Por estas razones, en lo que sigue, se encontrará que las definiciones constituyen
lo más importante y lo que más merece la atención prolongada del lector.
Deben hacerse algunas importantes observaciones respecto de las variables que se
encuentran en el definiens y en el definiendum. Pero éstas se aplazarán hasta que se
haya introducido la noción de “variable aparente” , cuando el asunto pueda conside­
rarse globalmente.
Sumario de las declaraciones anteriores. En lo expuesto hay tres ¡deas primitivas
65
INTRODUCCION
que no están “definidas” sino sólo explicadas descriptivamente. Su primitividad es
sólo relativa a nuestra exposición de conexión lógica, y no es absoluta; aunque, por
supuesto, una exposición tal sube de importancia cuanto mayor sea la simplicidad
de sus ideas primitivas. Estas ideas se simbolizan por “~ p ”, "p v q '\ y “ h”
antepuesta a la proposición.
Se han introducido tres definiciones:
p . q . = .~ (~ p v D f ,
pOq.=.~pvq
Df,
p = q . = . p D q . q 3 p Df.
Proposiciones primitivas Algunas proposiciones deben ser asumidas sin prueba,
ya que todas las inferencias provienen de proposiciones previamente aseveradas.
Estas, en la medida en que conciernen a las funciones de proposiciones mencionadas
arriba, se establecerán en * 1, donde comienza la exposición formal y continuada del
tema. Tales proposiciones se llamarán “proposiciones primitivas” . Estas, al igual que
las ideas primitivas, son hasta cierto punto materia de selección arbitraria; aunque,
como en el caso anterior, un sistema lógico crece en importancia en la medida en
que las proposiciones primitivas sean pocas y simples. Se verá que, debido a la
debilidad de la imaginación para tratar con ideas abstractas simples, no puede
realizar un gran esfuerzo sobre su evidencia. Ellas son obvias para un entendimiento
instruido, pero también son muchas las proposiciones que no pueden ser completa­
mente verdaderas al ser invalidadas por sus consecuencias contradictorias. La prueba
de un sistema lógico es su suficiencia y su coherencia. Esto es: 1) el sistema debe
abarcar entre sus deducciones todas aquellas proposiciones que creemos que son
verdaderas y capaces de deducción a partir de sólo las premisas lógicas, aunque ellas
puedan necesitar alguna ligera limitación en la forma de un aumento en el rigor de
la enunciación; 2) el sistema no debe llevar a contradicciones, esto es, que al
proceder en nuestras inferencias, nunca debe conducir a aseverar al propio tiempo p
y no-p; de otro modo, no pueden aparecer legítimamente “ |- . p ” y “ |- . ~ p ” .
Las que vienen a continuación son las proposiciones primitivas empleadas en el
cálculo de proposiciones. Las letras “Pp” significan “proposición primitiva” .
1) Lo que esté implicado por una premisa verdadera es verdadero Pp.
Esta es la regla que justifica la inferencia.
2) I- : p v p . 0 . p Pp,
es decir, si p o p es verdadero, entonces p es verdadero.
3) \ - : q . D. p v q Pp.
es decir, si q es verdadero, entonces p o q es verdadero.
4) I-\ p vq. D. q v p Pp,
es decir, si p o q es verdadero, entonces q o p es verdadero.
5) Yxpvi q' i r) . ' } . q v ( p v r ) Pp,
66
I. EXPLICACIONES PRELIMINARES DE IDEAS Y NOTACIONES
es decir, si p es verdadero o “<7 o r” es verdadero, entonces q es verdadero o “p o r”
es verdadero.
6) I- i . q O r . S .’ p v q . O . p v r Pp,
es decir, si q implica r, entonces “p o q" implica “p o r ”.
7) Además de estas proposiciones primitivas, necesitamos una proposición pri­
mitiva llamada “el axioma de la identificación de variables reales” . Cuando tenemos
aseveradas por separado dos funciones de x diferentes, en donde x es indetermina­
do, frecuentemente es importante saber si podemos identificar la x de una aserción
con la x de la otra. Este será el caso —hasta donde nuestro axioma nos permita
inferir— si ambas aserciones presentan x como el argumento de alguna función, es
decir, si 0x es un componente de ambas aserciones (cualquiera que pueda ser la
función proposicional 0) o, con más generalidad, si 0 (x, y, z , ...) es un constituyen­
te en una aserción, y 0 (x, u, v ,... ) es un constituyente de la otra. Este axioma
introduce nociones que todavía no han sido explicadas; para una aclaración más
completa véanse las observaciones que acompañan a *3 03, *17, *1 71 y *172
(que es la expresión de este axioma) en el texto del libro, así como la explicación de
las funciones preposicionales y la aserción ambigua, que se ofrecerán en breve.
Algunas proposiciones simples. Además de las proposiciones primitivas que ya
hemos mencionado, presentamos a continuación algunas de las más importantes
propiedades elementales de las proposiciones que aparecen en las deducciones.
La ley del medio excluso:
I- .p v ~ p .
Esta es la *211, más adelante. Indicaremos entre paréntesis los números que
remiten a las correspondientes proposiciones que se ofrecen en esta obra.
La ley de contradicción (*3'24):
[■arvi (V
?')•
La ley de la doble negación (*413):
1 , p = ~ ( ~ p).
El principio de transposición, es decir, “ si p implica q, entonces no -4 implica
no-p” ,y viceversa. Este principio presenta varias formas, a saber:
(#4‘1)
I- :p D q . = .
D~ p ,
(*4T1) I- ;p s < ¡ . = . ~ p = ~ q ,
(*4-14) I- :.p . 7 . D. r : s : p .
. D . ~f/,
así como otras que son variantes de éstas.
La ley de la tautología, en las dos siguientes formas:
(*4'24) b t p . s . p . p ,
(*4'25) I-: p . = . p v p,
67
INTRODUCCION
es decir, “p es verdadero” es equivalente a “p es verdadero y p es verdadero” , así
como a “p es verdadero o p es verdadero” . Desde un punto de vista formal, es a
través de la ley de la tautología y de sus consecuencias como se distingue principal­
mente el álgebra que se usa en la lógica del álgebra ordinaria.
La ley de absorción:
(#4-71) h :.p D q . = : p . s .p .q,
es decir, “p implica q" es equivalente a “p es equivalente a p . q". Esta se llama ley
de absorción porque manifiesta que el factor q en el producto es absorbido por el
factor p, si p implica q. Este principiónos permite sustituir una implicación (pDq)
por una equivalencia (p. = . p . q) dondequiera que sea conveniente hacerlo.
Un análogo y muy importante principio es el siguiente:
(#♦'73) H 1/ . D: p . s . p . q.
La suma y la multiplicación lógica de proposiciones obedecen a las leyes
asociativa y conmutativa, así como a la ley distributiva expresada en las dos
siguientes formas:
(*4'4) I- :./>. <¡y r . = . q . v .p. r,
(#4 41) I- \ . p . v . <¡. r : = : ¡>v q . p v »•.
La segunda de éstas distingue las relaciones de la suma y multiplicación lógicas
de las relaciones de la suma y multiplicación aritméticas.
Funciones preposicionales. Sea <¡>x una expresión que contiene una variable x y
tal que se convierte en una proposición cuando a x se le asigna un significado fijo y
determinado. Entonces, a <¡vc se le llama “función preposicional” ; no es una
proposición, ya que debido a la ambigüedad de x realmente no hace una asevera­
ción. Así, “x está herido” en modo alguno puede aseverarse en tanto no tengamos
resuelto quién es x. No obstante, debido a la individualidad conservada por la
variable ambigua x, constituye un ejemplo ambiguo tomado de la colección de
proposiciones que pueden formarse dando a r todas las posibles determinaciones en
“x está herido” , lo cual conduce a una proposición, verdadera o falsa. También, si
“x está herido” e uy está herido” se presentan en el mismo contexto, en donde y es
otra variable, entonces, de acuerdo con las determinaciones dadas a x y a y, ellas
pueden ser determinadas para ser (posiblemente) la misma proposición o (posible­
mente) proposiciones diferentes. Pero, independientemente de la determinación
dada a x y a y, ellas mantienen en el contexto su diferenciación ambigua. Así, “x
está herido” es un “valor” ambiguo de una función proposicional. Cuando quera­
mos hablar de la función proposicional correspondiente a “x está herido” escribire­
mos “x está herido” . De este modo, “i está herido” es una función proposicional,
en tanto que “x está herido” es un valor ambiguo de esa función. De acuerdo con lo
anterior, aunque pueden distinguirse “x está herido” e “y está herido” que se
presentan en el mismo contexto, sin embargo “i está herido” e "y está herido” en
68
I. KXPLICACIONES PRELIMINARES DF. IDEAS Y NOTACIONES
modo alguno dan a entender la diferencia de significados. Más generalmente, <fax es
un valor ambiguo de la función proposicional <¡>x, y cuando una significación
concreta a sustituya a x, (¡>a es un valor inequívoco de <px.
Las funciones proposicionales constituyen la clase fundamental de la que se
derivan las más usuales clases de funciones, tales como “sen x", “log x ” o “el padre
de x ” . Estas funciones derivadas se considerarán más adelante, y se llaman “funcio­
nes descriptivas” . Las funciones de las proposiciones consideradas más arriba, son
un caso particular de funciones proposicionales.
/•’/ rango de valores y variación total. De este modo, correspondiente a cualquier
función proposicional <¡uc existe un rango, o colección, de valores, consistente en
todas las proposiciones (verdaderas o falsas) que se pueden obtener dando todas las
posibles determinaciones a x en <jvc. Un valor de x para el cual <px resulta verdadero
se dice que “satisface” a 4¡x. Ahora, por lo que respecta a la verdad o falsedad de las
proposiciones de este rango, deben observarse y simbolizarse tres importantes casos.
Estos se dan por medio de tres proposiciones, una de las cuales, al menos, debe ser
verdadera: o bien, 1) todas las proposiciones del rango son verdaderas, o 2 ) algunas
proposiciones del rango son verdaderas, o 3) ninguna proposición del rango es
verdadera. La declaración 1) se simboliza por “(x) . $x” , y la 2) se simboliza por
“(3.x).<Ax” . No se dan definiciones de estos dos símbolos que, consecuentemente,
incorporan dos nuevas ideas primitivas en nuestro sistema. El símbolo “( x ) . <¡>x"
puede leerse “ siempre 0x ” , o “#x es siempre verdadero”, o “<¡>x es verdadero para
todos los posibles valores de x ” . El símbolo “( 3 x ) . <¡>x” puede leerse “existe una x
para la cual <f>x es verdadero” , o “existe una x que satisface a 0x ” , y de este modo se
ajusta a la forma natural de la expresión del pensamiento.
La proposición 3) puede expresarse en función de las ideas fundamentales de las
que ahora disponemos. A fin de hacer esto, obsérvese que “~ $ x ” expresa la
contradicción de <t>x. En conformidad con ello, ~ <tut es otra función proposicional
tal que cada valor de <fdc contradice a un valor de ~ <px, y viceversa. Por tanto,
“( x ) . ~ <¡)x" simboliza la proposición que expresa que todo valor de $x no es
verdadero. Este es el número 3) que se estableció antes.
Es un claro error, aunque fácil de cometer, suponer que los casos 1) y 3) son uno
contradictorio del otro. El simbolismo desenmascara esta falacia inmediatamente,
pues 1) es (x ) . <¡>x, y 3) es ( x ) .~ $ x , mientras que la contradictoria de 1) es
~ ((x ) . tfur). Para conseguir brevedad en el simbolismo se hace una definición, a
saber:
(;c).
. = .^» [(#) • tjtj:j Df.
Las definiciones cuyo objeto es conseguir alguna ventaja sencilla en cuanto a
brevedad mediante un ligero ajuste de símbolos se denominarán de “importancia
meramente simbólica” , a diferencia de aquellas otras definiciones que invitan a la
consideración de una idea importante.
A la proposición ( x ) . #x se le llama “variación total” de la función 0x.
69
INTRODUCCION
Por razones que se explicarán en el capítulo 11, no tomamos a la negación como
una idea primitiva en lo que concierne a proposiciones de las formas ( x ) . <f>x y
(3 x ) . 0x; sin embargo, definimos la negación de (x).(jvc, es decir, de “<A* es
siempre verdadero”, como “$x es algunas veces falso” , esto es, “(3.x). ~ 0x” . De
manera similar definimos la negación de (3 x).<¡tx como ( x ) . ~ <px. Así, pues,
tenemos:
~!(*)-<Í«(. = .(33-).~<^ c Df,
~
1(3« ) - ^ ) . = .( a r ) .~ ^ r
Df.
De la misma manera definimos una disyunción, en la que una de las proposicio­
nes es de la forma “( x ) . <px” o de la forma “( 3 x ) . #x” , en términos de una
disyunción de proposiciones que no son de esa forma, poniendo
(« ).
<¡>x. v . p : = .(* ). <f>xv p
Df,
esto es, “<px es siempre verdadero o p es verdadero” significa que “ ‘0x o p' es
siempre verdadero” . Similares definiciones se dan en otros casos. Esta cuestión se
resume en el capítulo II y en el *9 de este tratado.
Variables aparentes. El símbolo “( x ) . 0x ” expresa una proposición definida, y
no existe diferencia de significados entre “(x) . 0x ” y “(_>>). <¡>y" cuando se presen­
tan en el mismo contexto. Así, pues, la “x ” que interviene en “( x ) . <px” no es un
constituyente ambiguo de una expresión en la que aparezca “( x ) . <¡>x”, una expre­
sión de ese tipo no deja de dar a entender un significado determinado por razón de
la ambigüedad de la x en
El símbolo “( x ) . tfx” presenta alguna analogía con
el símbolo
de una integral definida, puesto que en ningún caso la expresión es una función de
x.
El rango de la x en “( x ) . #x” , o en “ (3 x ) . #x” abarca el campo completo de
valores de x para los que “$x” tiene significado; consecuentemente, el significado
de “( x ) .# x ” o de “( 3 x ) . <¡>x" entraña el supuesto de que un campo tal está
determinado. La x que aparece en “( x ) . $x” o en “(H x ). <£x” se llama (siguiendo a
Peano) “variable aparente” . Del significado de “( 3 x ) . <px" se sigue que lax en esta
expresión es también una variable aparente. Una proposición en la que interviene la
x como una variable aparente no es una función de x. Así, por ejemplo,
“( x ) . x = x ” significa “cada cosa es igual a sí misma” . Esto es una constante
absoluta, no una función de una variable x. Esto es por lo que, en tales casos, se
dice de x que es una variable aparente.
Asimismo, al “rungo” de x en “( x ) . 0x” , o en “( 3 x ) . <¡»x", que es el campo de
los valores que puede tener x, le llamaremos el “alcance” de x, significando la
función de la que se afirman todos los valores o algún valor. Si aseveramos todos los
valores (o algún valor) de “<px”, “4>x" es el alcance de x; si aseveramos todos los
valores (o algún valor) de “#x 3 p “ , “<f>x D p ” es el alcance de x; si aseveramos
70
I. EXPLICACIONES PRELIMINARES DE IDEAS Y NOTACIONES
todos los valores (o algún valor) de “<¡>x 3 i/or” , “#x D \¡/x" será el alcance de x, y
así sucesivamente. El alcance de x está indicado por el número de puntos que hay
después de “(*)” o de “( 3 *)” ; es decir, el alcance se extiende hacia adelante hasta
llegar a un número de puntos igual que no indiquen un producto lógico, o hasta un
número mayor que indiquen producto lógico, o hasta el extremo de la proposición
aseverada en la que se presente “(x)” o “(3 x )” . (Ha de aplicarse cualquiera de éstas
que se presente primero) (16). Así, por ejemplo
v .O .^ r x ”
significa “<px siempre implica \px"; sin embargo,
"(*) . 4>x . D . yjrx"
significa “si <¡>x es siempre verdadera, entonces \¡/x es verdadera para el argumento
Obsérvese que en la proposición
(x) . <j>X. 0 . ijrx
las dos x's no tienen conexión una con la otra. Dado que a la x que está entre
paréntesis le sigue sólo un punto, el alcance de la primera x se limita a la “dtx” que
sigue inmediatamente a la x que está entre paréntesis. Esto es lo que nos induce
generalmente a escribir
(ít). <f>x. O . \jry
en vez de
(«). <^r. D .
yjrx,
ya que el uso de diferentes letras recalca la falta de conexión entre las dos variables;
sin embargo no existe necesidad lógica para el empico de letras distintas, e incluso
algunas veces es conveniente usar la misma letra.
Aserción ambigua .v ¡a variable real. Puede aseverarse cualquier valor "<t>x" de la
función <px. Una aserción de este tipo, es decir, de un miembro ambiguo de entre los
valores de <px se simoliza así:
“ h. <f>x.”
La aserción ambigua de esta clase es una idea primitiva, que no puede definirse
en términos de aserción de proposiciones. Esta idea primitiva es la única que
incorpora el uso de la variable. Aparte de la aserción ambigua, la consideración de
“$x” , que es un miembro ambiguo de los valores de
es de escasa importancia.
Cuando consideramos o aseveramos “(fue”, la variable x se dice que es una “variable
real” . Tomemos, por ejemplo, la ley del medio excluso en la forma en que se
presenta en la lógica formal tradicional:
“aesb o no b".
(16)
Esto está de acuerdo con las reglas acerca de los modos de presentarse los puntos del
tipo del grupo II, tal como se explicó con anterioridad en las pp. 63 y 64.
71
INTRODUCCION
Aquí, a y b son variables reales: cuando varían, se expresan diferentes proposicio­
nes, aunque todas son verdaderas. Si son indeterminados a la vez a y b, como pasa
en el enunciado anterior, no se asevera ninguna proposición definida, sino que lo
que se asevera es algiin valor de la función proposicional en cuestión. Esto sólo
puede ser legítimamente aseverado si, para cualquier valor que pueda elegirse, ese
valor es verdadero; esto es, si todos los valores son verdaderos. Así, pues, la forma
expuesta anteriormente de la ley del medio excluso es equivalente a
“(a. b ) . a e s b o n o b”
es decir, es equivalente a “siempre es verdadero que a es ó o no b". Pero estas dos,
aunque equivalentes, no son idénticas, y necesariamente las tendremos que mante­
ner diferenciadas.
Cuando aseveramos algo que contiene una variable real, como en el ejemplo
" t-. * =
X ,"
aseveramos algún valor de una función proposicional. Cuando aseveramos algo que
contiene una variable aparente, como en
“ I-. (j ) , x = x ”
O en
“K ( 5pr).#»<e,”
aseveramos, en el primer caso todos los valores, y en el segundo caso algún valor
(indeterminado) de la función proposicional en cuestión. Está claro que sólo
podemos legítimamente aseverar “algún valor” si todos los valores son verdaderos;
por lo contrario, ya que el valor de la variable permanece determinado, podría
también ser determinado para dar lugar a una proposición falsa. Así, en el ejemplo
de arriba, ya que tenemos
podemos inferir
h ,x = x
b.(x).z=±x.
Y, de una manera general, dada una aserción que contenga una variable real x,
podemos transformar la variable real en aparente sin más que poner al principio la x
entre paréntesis, seguida de tantos puntos como haya tras el signo de aserción.
Cuando aseveramos algo que contenga una variable real, no podemos decir de
forma estricta que aseveramos una profK>sición, pues sólo obtenemos una proposi­
ción definida asignando un valor a la variable y, entonces, nuestra aserción sólo se
aplica a un caso definido, de forma que en modo alguno tiene la fuerza de antes.
Cuando lo que aseveramos contiene una variable real, nosotros aseveramos una
(completamente indeterminada) de todas las proposiciones que resultan de dar
varios valores a la variable. Será conveniente hablar de aserciones tales que aseveran
una función proposicional Las fórmulas ordinarias de matemáticas contienen
aserciones de este tipo; por ejemplo
“sen2* + eos2* = 1 ”
72
I. EXPLICACIONES PRELIMINARES DE IDEAS Y NOTACIONES
no asevera este o aquel caso particular de la fórmula, ni tampoco asevera que la
fórmula sea válida para todos los posibles valores de x, aunque es equivalente a esta
última aserción; lo que asevera es simplemente que la fórmula es válida aun dejando
a x completamente indeterminada. Es legítimo hacer esto porque, independiente­
mente de cómo se determine x, resulta una proposición verdadera.
Aunque una aserción que contiene una variable real, en rigor, no asevera una
proposición, se la considerará como que asevera una proposición, salvo que se
encuentre bajo discusión la naturaleza de la aserción ambigua.
Definición y variables reales. Cuando el definiens contiene una o más variables
reales, el definiendum también debe contenerlas. En este caso tenemos una función
de variables reales, y el definiendum debe tener el mismo significado que el
definiens para todos los valores de estas variables, lo cual exige que el símbolo que
es el definiendum debe contener las letras que representan a las variables reales. Esta
regla no siempre la guardan ios matemáticos, y su transgresión ha dado lugar algunas
veces a importantes confusiones, especialmente en geometría y en filosofía del
espacio.
En las definiciones dadas anteriormente de “p . q", “p D</”, y de “p = q", p y q
son variables reales y, por tanto, aparecen a ambos lados de la definición. En la
definición de “~{( jc) . 0*}” sólo la función considerada, es decir, <¡>z, es una
variable real; de este modo, por lo que concierne a la regla en cuestión, la x no
necesita aparecer a la izquierda. Pero cuando una variable real es una función, es
necesario indicar cómo ha de ser suministrado el argumento, y, por tanto, existen
reparos para omitir una variable aparente en donde (como en el caso anterior) ésta
es el argumento de la función que es la variable real. Esto aparece más claramente si,
en vez de una función general
tomamos alguna función particular, digamos
“jc - a ” , y consideramos la definición de ~ ( ( x ) . x = a \ . Nuestra definición da
~ {(*) . X = a ) . = . (fla.). ~ (* = o) L)f.
Pero si hubiésemos adoptado una notación en la que el valor ambiguo “x =a", que
contiene la variable aparente x, no hubiese aparecido en el definiendum, habríamos
tenido que construir una notación que emplease la función misma, es decir “x = a”.
Esto no entraña una variable aparente, pero, en la práctica, sería molesto. De hecho
lo liemos encontrado conveniente y posible -excepto en las partes explicativas—
para mantener el uso explícito de símbolos del tipo “$ í ” , bien como constantes [p.
e j.i =a \ o como variables reales, casi enteramente ajeno a este trabajo.
Proposiciones que conectan variables reales y aparentes. Las proposiciones más
importantes que conectan variables reales y aparentes son las siguientes:
1)
“Cuando puede aseverarse una función preposicional, también puede aseve­
rarse la proposición de que todos los valores de la función son verdaderos” . Más
brevemente, si bien con menos exactitud, “lo que es válido para uno cualquiera, sea
cual sea la forma en que se haya elegido, es válido para todos” . Esto mismo se
convierte en la regla que dice que cuando una variable real interviene en una
73
INTRODUCCION
aserción, ia podemos transformar en una variable aparente poniendo la letra que la
representa entre paréntesis inmediatamente después del signo de aserción.
2) “Lo que es válido para todos es válido para alguno” ; esto es,
h : (x). <£x. D. <fty.
Esto manifiesta que “si 0x es siempre verdadero, entonces <¡>y es verdadero” .
3) “Si <¡»y es verdadero, entonces 0x es algunas veces verdadero” , es decir
I-: f y . 3 ■(a*) • t e ­
tina proposición aseverada, de la forma “( 3 * ) . t e ” , expresa un “ teorema de
existencia” , a saber, “hay una x para la cual 0x es verdadera” . La proposición de
arriba proporciona lo que, en la práctica, es la única vía para probar los teoremas de
existencia: siempre hemos de encontrar alguna y particular para la que <¡>y sea
verdadera y, a partir de aquí, inferir “( 3 * ) . t e ” - Si supusiésemos lo que se llama el
axioma multiplicativo, o el axioma equivalente enunciado por Zermelo, eso propor­
cionaría, en un importante conjunto de casos, un teorema de existencia en donde
no puede encontrarse un ejemplo particular de su verdad.
En virtud de
: ( x ) . <¡>x . D . <¡>y” y de “|- : <¡>y . D . ( 3 * ) . t e ”, tenemos
“ |- : ( x ) . t e • 3 • ( 3 *) • t e ” , es decir, “lo que es siempre verdadero es alguna vez
verdadero” . Este no sería el caso si nada existiese; así, pues, nuestras suposiciones
contienen el supuesto de que hay algo. Ello está implícito en el principio de que lo
que es válido para todos es válido para alguno; pero esto no sería verdadero si no
hubiese “alguno” .
4) “ Si t e es siempre verdadero, y \¡/x es siempre verdadero, entonces ‘t e • t e ’ es
siempre verdadero” ; es decir,
h (x). t e : (x). yjrx : D . (x). t e • te(Esto exige que tanto 0 como 0 deban ser funciones que tengan argumentos del
mismo tipo. Explicaremos esta exigencia en una etapa posterior). La conversa
también es verdadera; es decir, tenemos
i- (x). t e • t e • ^ ¡
• t e ¡ (*) • t e-
Hasta cierto punto es opcional considerar como proposiciones primitivas lo que,
en las proposiciones, conecta las variables reales y las aparentes. Las proposiciones
primitivas que, en relación con este tema, se asumen en el *9 de este trabajo, son las
siguientes:
1)
2)
I-: 0x . D. (g«). 0*.
I-: te v 0y. 3. (a*). te.
esto es, si t e es verdadera o 0/ es verdadera, entonces ( 3 z).<j>z es verdadera.
(Acerca de la necesidad de esta proposición primitiva, véanse las observaciones que
figuran en el *9'11).
74
I. EXPLICACIONES PRELIMINARES DE IDEAS Y NOTACIONES
3) Si podemos aseverar <¡>y, en donde y es una variable real, entonces podemos
aseverar (x ) • $x; es decir, que lo que es válido para alguno, cualquiera que sea, es
válido para todos.
Implicación formal y equivalencia formal. Cuando de una implicación, pongamos
por caso <¡>x. D . ipx, se dice que siempre es verdadera, o sea, cuando
(x ): Dx , D . \¡/x, diremos que “<¡vcimplica formalmente tyx. Las proposiciones de la
forma “( x ) : 0x . D . \px" se dice que expresan implicaciones formales. En los
ejemplos típicos de implicación, tal como “ ‘Sócrates es un hombre’ implica
“Sócrates es mortal’ ” , tenemos una proposición de la forma “(fac. D . \¡>x” en un
caso en el que “( x ) : $x . D . \¡/x” es verdadero. En tal caso, reconocemos la
implicación como un caso particular de una implicación formal. De este modo ha
sucedido que las implicaciones que no son casos particulares de implicaciones
formales, de ningún modo han sido consideradas como implicaciones. También hay
una razón práctica para no tomar en cuenta tales implicaciones, y es que, hablando
con generalidad, ellas sólo pueden conocerse cuando ya se sabe que su hipótesis es
falsa o que su conclusión es verdadera; en ninguno de estos casos sirven para
hacernos conocer la conclusión, ya que en el primer caso la conclusión no necesita
ser verdadera, y en el segundo ya es conocida. Asi, pues, tales implicaciones no
sirven para el objetivo que hace que las implicaciones sean de gran utilidad, a saber,
que nos permitan obtener, por deducción, conclusiones que con anterioridad
ignorábamos. Las implicaciones formales, por el contrario, sirven para este propósi­
to , d eb id o al hecho psicológico de que con frecuencia conocemos
“(x ): <px . 3 . \¡/x” en los casos en donde <¡>y (que se sigue de estas premisas) no
pueda ser fácilmente conocida de un modo directo.
Estas razones, aunque no garantizan el abandono completo de las implicaciones
que no sean casos de implicaciones formales, son razones que conceden gran
importancia a la implicación formal. Una implicación formal manifiesta que, para
todos los posibles valores de x, si la hipótesis <px es verdadera, la conclusión \¡/x es
verdadera. Dado que "<px . D . \¡tx” siempre será verdadera cuando <px sea falso, son
sólo los valores de x que hacen a <t>x verdadero los que son importantes en una
implicación formal; lo que efectivamente se manifiesta es que, para todos estos
valores, i//x es verdadero. Asi, pues, las proposiciones de la forma “todo a es 0”,
“no a es 0” expresan implicaciones formales, puesto que la primera (según parece
por lo que se acaba de decir) manifiesta
( x ) : x es un a . D . x es un 0,
en tanto la segunda manifiesta
(x ): x es un a . D . x no es un 0.
Cualquier implicación formal “(x ): <¡xx .D . \px" puede interpretarse así: “Todos
los valores de x que satisfacen (17) a <t>x satisfacen a 4>x", mientras que la
(17)
valor de x
Se dice que un valor de x satisface a <¡¡x, o a 0X, cuando <í¡x es verdadero para dicho
75
INTRODUCCION
implicación formal “(x ): 0x . D . ~ \¡/x” puede interpretarse como: “Ningún valor
de x que satisfaga a 0x satisface a \px'\
Similarmente, para “algún a es 0” tenemos la fórmula
( 3 .x). x es un a . x es un 0,
y para “algún a no es 0” tenemos la fórmula
( 3 x ) . x es un a . x no es un 0.
Dos funciones, 4>x y \px, se dice que son formalmente equivalentes cuando cada
una de ellas implica siempre a la otra, es decir, cuando
(x) : <f»x . = . y¡rx,
y una proposición de esta forma se llama equivalencia formal. En virtud de lo que se
dijo acerca de los valores de verdad, si <jtx y \¡/x son formalmente equivalentes, una
puede sustituir a la otra en cualquier función de verdad. De este modo, por lo que
respecta a los objetivos de las matemáticas o de esta obra, <t>¿ puede sustituirse por
i}/¿, y viceversa, en cualquier proposición por la que estemos interesados. Decir
ahora que 0x o i//x son formalmente equivalentes es lo mismo que decir que <pí y \p¿
tienen la misma extensión, es decir, que cualquier valor de x que satisface a una
satisface a la otra. Así, pues, en cualquier lugar de esta obra en donde se presente
una función constante, el valor de verdad de la proposición en la que intervenga
depende sólo de la extensión de la función. Una proposición que contenga una
función 02 y que goce de esa propiedad (es decir, que su valor de verdad dependa
sólo de la extensión de 0z) se llamará función extensional de <¡a. Por tanto, las
funciones de funciones, por las que nos interesaremos de una manera especial, serán
todas funciones de funciones extensionales.
Lo que acaba de decirse explica la conexión (como se dijo antes) entre el hecho
de que las funciones de proposiciones de las que se ocupa especialmente las
matemáticas son todas funciones de verdad, así como el hecho de que las matemáti­
cas se interesen más por las extensiones que por las intensiones.
Abreviaciones convenientes Las siguientes definiciones ofrecen unas notaciones
alternativas que, con frecuencia, resultan más cómodas:
<¡¡x. D ,. yfrx: » : (x) : <l>x. 3 . y/rx l>f,
4>x. =x . \¡r.T: = : ( x ) : <f>x. = . ^/rx t)f.
La notación “<¡>x. Dx . \¡/x” se debe a Peano, quien, sin embargo, carecía de
notación para la idea general “( x ) . 0x” . Esto puede ser considerado como un
ejercicio en cuanto al empleo de puntos en lugar de los paréntesis que pudimos
haber escrito
4>x D* y/rx. <=. ( x ) , <f>xD \¡rx Df,
<f>x=t y/rx. = . (¡r). <¡>x3 y/rx l)f.
Sin embargo, en la práctica, cuando 0x y ij/x son funciones especiales, no es posible
76
I. EXPLICACIONES PRELIMINARES DE IDEAS Y NOTACIONES
emplear un número de puntos menor que en la primera forma; a veces, se necesitan
más.
Las siguientes definiciones dan las notaciones abreviadas para funciones de dos o
más variables:
(x, y) . 4>(*, y ). = : (x) :(y).<f> (x, y) Df,
y, del mismo modo, para cualquier número de variables;
<f>(x, y) • 3*.*
= : (x,y) : <f>(x,y) . D .
{x,y) Df,
y asi sucesivamente para cualquier número de variables.
Identidad. La función proposicional “x es idéntico a y ” se expresa así:
x= y
Esta se definirá más adelante (cf. *13 01); pero, debido a ciertos puntos difíciles
que entraña tal definición, la omitiremos aquí (cf. cap. 11) Naturalmente, tenemos:
E • * = x (la ley de identidad)
E : i - y . = .y = at,
E : x = y . y = * .D ,x = z.
La primera de éstas expresa la propiedad reflexiva de la identidad: una relación se
llama reflexiva cuando se da entre un término y él mismo, bien universalmente, o
siempre que tenga validez entre ese y algún otro término. La segunda de las
proposiciones de arriba expresa que la identidad es una relación simétrica: una
relación se llama simétrica si, siempre que sea válida entre x e y también lo es entre
y y x. La tercera proposición expresa que la identidad es una relación transitiva:
una relación se llama transitiva si, siempre que tenga validez entre x e y, y entre y y
z, también la tiene entre x y z.
Ya veremos que no es necesario dar una nueva definición para el signo de
igualdad que se emplea en matemáticas. Todas las ecuaciones matemáticas en las
que comúnmente se usa el signo de igualdad expresan alguna identidad y, por lo
tanto, utilizan el signo de igualdad en el sentido antes indicado.
Si x e y son idénticos, uno puede sustituir al otro en cualquier proposición sin
que se altere el valor de verdad de esa proposición; así, pues, tenemos
E : x = y . D . <j>x= <£y.
Esta es una propiedad fundamental de la identidad, de la que proviene la mayor
parte de las propiedades que quedan por exponer.
Podría pensarse que la identidad no tiene mucha importancia, ya que sólo puede
presentarse entre r e y , si x e y son símbolos diferentes de un mismo objeto. Sin
embargo, este punto de vista no es aplicable a las que denominamos “frases
descriptivas” , o sea, las del tipo “tal y tal cosa” . Precisamente, en relación con tales
frases es cuando la identidad adquiere importancia, como explicaremos a continua­
ción. Una proposición tal como “ Scott fue el autor de Waverley” expresa una
77
INTRODUCCION
identidad en la que hay una frase descriptiva (a saber, “el autor de Waveriey”); esto
manifiesta como, en casos así, la aserción de la identidad puede ser importante.
Esencialmente es el mismo caso que cuando los periódicos dicen “no se ha
descubierto la identidad del criminal” . En este caso, el criminal se conoce por una
frase descriptiva, a saber, “el hombre que produjo la muerte” , y nosotros deseamos
encontrar una x de la cual sea verdad que "x = el hombre que produjo la muerte” .
Cuando tal x haya sido encontrada ya se conoce la identidad del criminal.
Clases y relaciones. Una clase (o lo que es lo mismo, un agregado o conjunto) lo
constituye la totalidad de los objetos que satisfacen alguna función proposicional.
Si a es la clase compuesta por los objetos que satisfacen a <px, diremos que a es la
clase determinada por <px. Por tanto, cada función proposicional determina una
clase, aunque si la función proposicional es tal que siempre es falsa, la clase será
nula, es decir, carecerá de miembros. La clase determinada por la función <px se
representará por i (4>z) (18). Así, por ejemplo, si
es una ecuación, z ( 0z) será la
clase de sus raíces; si <px es “x tiene dos piernas y no tiene plumas” , i (<pz) será la
clase de los hombres; si <¡»x es “ 0 < x < 1 ”, í(<¡>z) será la clase de las fracciones
propias; y así sucesivamente.
Es obvio que la misma clase de objetos tendrán muchas funciones determinantes.
Cuando no sea necesario especificar una función determinante de una clase, la clase
puede representarse convenientemente por una letra griega. Por tanto, las letras
griegas, salvo aquellas a las que se le asignaron un significado como constante, se
usarán exclusivamente para clases.
Dos tipos de dificultades se presentan en la Lógica formal; uno de ellos surge en
relación con las clases y relaciones, y el otro con respecto a las funciones descripti­
vas. El quid de la dificultad para las clases y relaciones (en la medida en que éstas
incumben a las clases) estriba en que una clase no puede ser un objeto idóneo como
argumento para cualquiera de sus funciones determinantes. Si a representa una clase
y <¡á una de sus funciones determinantes [de suerte que a = £ (<pz)\ no es suficiente
que <f>o sea una proposición falsa, sino más bien un sinsentido. Así, pues, parece que
se hace necesario una cierta clasificación de lo que parecen ser objetos entre cosas
de tipos esencialmente diferentes. Toda esta cuestión se discute en el capítulo II, en
la teoría de tipos, y el tratamiento formal en la exposición sistemática, que es lo
que constituye el principal contenido de este trabajo, está orientado por esta
discusión. La parte de la exposición sistemática que concierne especialmente a la
teoría de clases es la * 20, así como también se discute en el capítulo 111 de esta
Introducción. Es suficiente observar aquí que, a lo largo de toda la exposición de la
parte *20, hemos eludido la decisión acerca de si una clase de cosas tiene, en algún
sentido, existencia como objeto. Por otra parte, es indiferente a nuestra lógica
tomar una decisión respecto de esta cuestión; aunque, tal vez, si hubiésemos optado
por alguna solución que, en un cierto sentido real, considerase a las clases y
relaciones como reales e idóneas para ser aceptadas universalmente, podíamos haber
(18) Puede usarse cualquier otra letra en vez de z.
78
I. EXPLICACIONES PRELIMINARES DE IDEAS Y NOTACIONES
simplificado una o dos definiciones y unas cuantas proposiciones preliminares.
Nuestros símbolos, tales como “x ($*)”, a , y otros, que representan clases y
relaciones, tan sólo se definen en su uso, del mismo modo como V1, o sea, la forma
a»
a»
a*
no tiene significación fuera de una adecuada función de x, y, z sobre la que operar.
El resultado de nuestras definiciones es que la manera en la cual usamos las clases
corresponde, en general, a su empleo en el pensar y hablar ordinario; y todo lo que
pueda ser interpretación esencial de una lo es también de la otra. Así, pues, de
hecho, nuestra clasificación de tipos que figura en el capítulo II realmente realiza el
único, aunque esencial, servicio de justificarnos en cuanto a prescindir de entrar en
cadenas de razonamientos que llevan a conclusiones contradictorias. La justificación
está en que lo que parecen ser proposiciones, realmente son sinsentidos.
Las definiciones que se presentan en la teoría de clases, por las que la idea de una
clase (al menos en uso) se basa en otras ideas que se suponen primitivas, no puede
comprenderse sin una discusión completa que puede darse ahora (cf. Cap. 11 de esta
Introducción, y también el *20). Consiguientemente, en esta inspección preliminar,
procedemos a exponer las más importantes proposiciones simples que resultan de
esas definiciones, dejando al lector emplear en su mente la idea, ordinariamente no
analizada, de una clase de cosas. El uso que se da a nuestros símbolos concuerda
con el empleo ordinario de esta idea en el lenguaje común. Debe tenerse en cuenta
que en la exposición sistemática nuestro tratamiento de clases y de relaciones no se
requieren nuevas ideas primitivas, sino sólo dos nuevas proposiciones primitivas, a
saber, las dos formas del “ Axioma de la Reducibilidad” (cf. el capítulo siguiente)
para una o dos variables, respectivamente.
La función proposicional “x es un miembro de la clase a ” se expresará,
siguiendo a Peano, por la notación
x ea
Aquí, e está elegida como la inicial de la palabra ¿orí. “x e a ” puede leerse “x es
una a ” . Así, pues, “x e hombre” significa “x es un hombre” . Por conveniencia
tipográfica escribiremos
¡r~e a . = .~ (« e a)
l)f,
¡c, yea. —. x c a . y e a
Df.
En lugar de “clase” escribiremos “Cls” ; así, “ote Cls” significa “a es una clase” .
Tenemos
I-
:xe%(<¡>z) • = •
es decir, “ ‘x es un miembro de la clase determinada por <pz' es equivalente a ‘x
satisface a <$', o a ‘#x es verdadero’ ” .
Una clase está completamente determinada cuando sus miembros son conocidos;
79
INTRODUCCION
es decir, no puede haber dos clases diferentes teniendo los mismos miembros. De
este modo, si </xx y \px son funciones formalmente equivalentes, determinan la
misma clase; así que, en ese caso, si x es un miembro de la clase determinada por <t>x
y, por tanto, satisface a 0x, también satisface a \¡/x, y es, por ende, un miembro de
la clase determinada por \¡>£.
Así, pues, tenemos
b
2 (fa ) = z (y/rz) . s : <f>x. =x . yfrx.
Las siguientes proposiciones son obvias e importantes:
h
a = 3 (<¡>z) . = : x e a . = , . <f>x,
esto es, a es idéntica a la clase determinada por <¡>¿cuando, y sólo cuando, “x es una
a ” sea formalmente equivalente a <px;
V i. a = ff . = : x e a . =x . x ( ¡3,
esto es, dos clases, a y 0, son idénticas cuando, y sólo cuando, tengan los mismos
miembros;
b . ¡i (x e «) = a,
esto es, la clase cuya función determinante es “x es una a” es a; en otras palabras, a
es la clase de los objetos que son miembros de a;
b . z (<f>z) e Oís,
esto es, la clase determinada por la función <j>f es una clase.
Se verá que, de acuerdo con lo expuesto anteriormente, cualquier función de una
variable puede sustituirse por una función equivalente de la forma “jr e a ” . Por
tanto, cualquier función extensional de funciones que son válidas cuando su
argumento es una función de la forma u£ e a", para cualquier valor posible de a,
también será válida cuando su argumento sea una función <p¿. Así, pues, la variación
de las clases puede sustituir a la variación de las funciones de una variable en todas
las proposiciones del tipo del que nos hemos ocupado.
De una manera semejante introducimos las relaciones duales o diádicas, o sea, las
relaciones entre dos términos. Tales relaciones se llamarán simplemente “relacio­
nes” ; las relaciones entre más de dos términos se conocerán como relaciones
múltiples, o (cuando el número de sus términos esté especificado) como relaciones
triples, cuádruples,..., o como relaciones triádicas, tetrádicas,... Tales relaciones no
nos interesarán hasta que nos ocupemos de la Geometría. Por el momento, las
únicas relacibnes que nos interesan son las duales.
Las relaciones, al igual que las clases, deben tomarse en extensión: esto es, si R y
5 son relaciones que tienen validez entre los mismos pares de términos, R y S son
idénticos. Podemos considerar una relación teniendo en cuenta lo que se necesita
para nuestro objetivo, como una clase de pares; es decir, el par (x, y ) debe ser uno
80
I. EXPLICACIONES PRELIMINARES DE IDEAS Y NOTACIONES
de la clase de pares que constituya la relación R si x tiene la relación R con y (19).
Esta consideración de las relaciones como clases de pares no se introducirá, sin
embargo, en nuestro tratamiento simbólico; sólo se menciona a fin de mostrar que
también es posible comprender el significado de la palabra relación: que una
relación debe determinarse por su extensión.
Cualquier función 0 (x, y ) determina una relación R entre x e y. Si consideramos
una relación como una clase de pares, la relación determinada por 0 (x, y ) es la clase
de los pares (x,y) para los que 0 (x, y ) es verdadera. La relación determinada por la
función 0 (x, y ) se representa por
Í.V0 (*. y)Emplearemos una letra mayúscula para una relación cuando no sea necesario
especificar la función determinante. Así, dondequiera que se presente una letra
mayúscula debe entenderse que representa una relación.
La función proposicional “x tiene la relación R con y " se expresará por la
notación:
xRy
Se adopta esta notación para acomodarla lo más posible al lenguaje común, el cual,
cuando tiene que expresar una relación, generalmente la menciona entre sus
términos, como en “x ama a y", “x es igual a y ” , “x es mayor que y ”, etc. Para
simbolizar “relación” escribiremos “ Reí” ; así, “R e Reí” significa “R es una rela­
ción” .
Debido a que tomamos las relaciones en extensión, tenemos
(-:..í.90(*,y) =
(*,y). = : 0 (x,y) . = ,.„ .* (* .y).
esto es, dos funciones de dos variables determinan la misma relación cuando, y sólo
cuando, las dos funciones son formalmente equivalentes.
Tenemos
f ■* (í#0 (*, y)l w • = . <f>(*, w),
esto es, “z tiene con w la relación determinada por la función 0 (x, y)" es
equivalente a 0 (z, w);
I- / í = íf/0 (x, y). =:xRy
0(*, y),
I-:. R = 5 . s : xRy
xSy,
h .$9(xRy) = R,
f . (íy0 (x, y)] e Rc*l.
Estas proposiciones son análogas a las que previamente se dieron para clases.
Esto es así porque cualquier función de dos variables es formalmente equivalente a
una función de la forma xRy; por tanto, en funciones extensionales de dos
(19)
Un par de este tipo tiene un sentido, esto es, el par (x, y ) es diferente del par (y, x),
salvo quex = y. Le llamaremos un “ par con sentido” , para distinguirlo de las clases que consten
dex cy. También puede denominarse un pai ordenado.
81
INTRODUCCION
variables, la variación de relaciones puede sustituir a la variación de funciones de
dos variables.
Las clases y las relaciones tienen propiedades análogas a las de la mayor parte de
las proposiciones que resultan de la negación y de la suma lógica. El producto lógico
de dos clases, a y 0, es su parte común, es decir, la clase de los términos que son
miembros de ambas. Esto se representa por a n 0. Así, pues,
an f}=¡$(tcea..reft) Df.
Esto nos da
l~:!tfctr\f3.s.zca.xt/3,
es decir, “x es un miembro del producto lógico de a y 0” es equivalente al producto
lógico de “x es un miembro de a ” y “x es un miembro de 0".
Similarmente, la suma lógica de dos clases, a y 0, es la clase de los términos que
son miembros de ellas; la designamos por a U 0. La definición es
Df,
y la conexión con la suma lógica de proposiciones viene dada por
f : . x t a v f t. ~ : x c a .v . x e @ .
La negación de una clase a consiste en aquellos términos x para los que “x e a ”
puede ser significativa y verdaderamente negado. Encontraremos que hay otros
tipos de términos para los cuales “x e a" no es verdadera ni falsa, sino un sinsenti­
do. Estos términos no son miembros de la negación de a.
Por tanto, la negación de una clase a es la clase de los términos de tipo adecuado
que no son miembros de ella, esto es, la clase j? (x ~ e a). A esta clase la llamamos
“- a ” (léase “no a ”); su definición es
—a = í ( i ~ f a) Df,
y la conexión con la negación de proposiciones se da por
h : *6 —a . = . ,t~£ a.
En lugar de la implicación tenemos la relación de inclusión. Una clase a se dice
que está incluida o contenida en una clase 0 si todos los miembros de a son
miembros de 0, es decir, si x e a . Dx . e 0. Escribimos “a C 0" para expresar “a
está contenida en 0". Por tanto, ponemos:
a C 0 . = : x £ a . 0X. x e 0 Df.
La mayor parte de las fórmulas en las que intervienen p .q, p v q, ~ p, p D q
permanecen verdaderas si sustituimos, respectivamente, esas expresiones por a O 0,
aU 0, - a , a C 0. En lugar de la equivalencia hacemos su sustitución por la
identidad; p = q se definió como “ p D q . q D p ” , pero “a C 0 . 0 C a ” da
“x e a . =* . x e 0”, por lo cual a = 0.
A continuación ofrecemos algunas proposiciones relativas a clases que son
análogas a proposiciones dadas anteriormente en relación con las proposiciones:
82
1. EXPLICACIONES PRELIMINARES DE IDEAS Y NOTACIONES
t-. a n ¡3 *=■—(—a u —&),
esto es, la parte común entre a y /? es Ja negación de “no-a o no-/?” .
K íe ( a w - a ) ,
es decir, “x es un miembro de a o no-a” .
I-.
( «n- a) ,
esto es, “x no es un miembro de a y no-a”.
K a = -(-« ),
I-: a C /S. 3 . —/0C —o,
h: a = /9. = . - a = —/9,
h :« = »ns,
h : a = a u «.
Las dos últimas son las dos formas de la ley de tautología.
La ley de absorción toma la forma
:aC ¡3 . = ,« = a n ¡3.
Así, por ejemplo, “todos los cretenses son mentirosos” es equivalente a “los
cretenses son idénticos a los cretenses mentirosos” .
Lo mismo que tenemos
también tenemos
t- ip D j.g D r .D .p D r ,
t-:aCf¡./3Cy
.aCy.
Esto expresa el clásico silogismo en Bárbara (con las premisas intercambiadas);
por medio de “a C /3” significamos lo mismo que “ todas las a ’s son /?’s”,de forma
que las proposiciones anteriores manifiestan: “ Si todas las a ’s son j3*s y todas las /?’s
son 7 ’s, entonces todas las a ’s son 7 ’s” . (Debe observarse que tradicionalmente los
silogismos se expresan con un “por lo tanto”, como si aseverasen ambas premisas y
la conclusión. Por supuesto, esto sólo es una forma vaga de hablar, ya que lo que
realmente se afirma es sólo la conexión entre las premisas y la conclusión).
El silogismo en Bárbara, cuando la premisa menor tiene un sujeto individual es
h :xe/3 ./3 Cy . 0 .xey,
por ejemplo, “si Sócrates es un hombre y todos los hombres son mortales, entonces
Sócrates es mortal” . Esto, como ya fue indicado por Peano, no es un caso particular
de “a C /?. /? C 7 . D . a C 7 ” , ya que “x e /?” no es un caso particular de “a C /3” .
Este punto es importante, puesto que aquí la lógica tradicional está equivocada.
Más adelante se aclarará la naturaleza y magnitud de esta equivocación.
En cuanto a las relaciones contamos con análogas definiciones y proposiciones.
Proponemos
it A S =
(xR y. xSy) Df,
,
83
INTRODUCCION
que nos lleva a
De manera similar
I- : x ( R f \ 8 ) y . = . x R y . xSy.
R kiS = &P( x R y . v . xSy) Df,
- « =
Df,
R Q.S. = : x R y .
. xSy Df.
Generalmente, cuando requerimos símbolos análogos, aunque diferentes, para las
relaciones y para las clases, elegiremos para las relaciones el símbolo que se obtiene
añadiéndole un punto, en una posición adecuada, al símbolo correspondiente para
las clases. (El punto no debe colocarse sobre la línea, ya que produciría una
confusión con el empleo de los puntos con valor de paréntesis). Pero tales símbolos
precisan y reciben una definición especial en cada caso.
Se dice que una clase existe cuando, por lo menos, tiene un miembro, “a existe”
se representa por “ 3 ! a ” . Así, pues, ponemos
3 ! a . = . (ga:). xea
Df.
La clase que no tiene miembros se llama “clase nula” , y se simboliza por “ A” .
Cualquier función proposicional que es falsa siempre determina la clase nula. Ya
tenemos conocimiento de una función de este tipo, a saber, “x no es idéntico a x '\
que simbolizamos por “x + jr” . Por tanto, podemos usar esta función para definir
A, y ponemos
A = á (i + a:) Df
La clase determinada por una función que es siempre verdadera se llama clase
universal, y se representa por V; así pues
V =&{x = x)
Df.
De este modo, A es la negación de V. Tenemos
h. ( x ) . x t V ,
es decir, “ 'x es un miembro de V’ es siempre verdadero” ; y
I". (x) .i~ e A ,
es decir, “ \x es un miembro de A’ es siempre falso” . También
b : a = A . = . ~ a ! a,
es decir, “a es la clase nula” es equivalente a “no existe a ” .
Para las relaciones, usamos notaciones similares. Proponemos:
á i R •- ■(a*, y) •xR y,
es decir, “ 3 ! R" significa que hay por lo menos un par x, y, entre los cuales se da la
relación R. La relación que nunca se da será Á; y V la relación que se da siempre.
Prácticamente nunca se requiere V; A será la relación x y (x =1=x . y =t=y). Tenemos
84
I. EXPLICACIONES PRELIMINARES DE IDEAS Y NOTACIONES
y
I-: i¿ =Á . s .
! R.
No hay clases que contengan objetos de más de un tipo. Consecuentemente,
existe una clase universal y una clase nula apropiadas a cada tipo de objetos. Pero
no es necesario diferenciar estos símbolos, puesto que, como se verá, no hay
posibilidad de confusión. Observaciones similares se aplican a las relaciones.
Descripciones. Entendemos por “descripción” una frase del tipo ‘'el tal y cual” o
alguna otra de forma equivalente. De momento, fijamos nuestra atención en la
palabra el, en singular. Esta palabra la utilizaremos estrictamente de tal forma que
implique univocidad; por ejemplo, no debemos decir "A es el hijo de B" si es que B
tiene otros hijos además de A. Así, pues, una descripción de la forma “el tal y cual”
únicamente tendrá aplicación en el caso de que hay un solo “ tal y cual” , y no más.
Por consiguiente, una descripción requiere una función proposicional # que se
satisfaga por un solo valor de x, y no por otros; por tanto, “la x que satisface a <px"
es una descripción que, de una manera definida, describe un determinado objeto,
aunque no podamos conocer qué objeto es el que describe. Por ejemplo, si y es un
hombre, "x es el padre de y ” debe ser verdadero para un, y sólo un, valor de x. Por
consiguiente, “el padre de y ” es una descripción de una determinada persona,
aunque no podamos saber a qué hombre describe. Una frase que contiene el
artículo “ el” siempre presupone alguna función proposicional inicial que no conten­
ga “el” ; así, en vez de “x es el padre de y " debemos tomar como función inicial “x
engendró a y ” ; entonces, “el padre de y ” significa el único valor de x que satisface a
esta función proposicional.
Si <¡¡x es una función proposicional, el símbolo “(u)($x)” se usa en nuestro
simbolismo en forma tal que siempre puede leerse como “la x que satisface a 0í ” .
Pero no definimos “(rxX#*)” con la significación “la x que satisface a <px'\ tratando
de este modo esta última frase como algo que incorpora una idea primitiva. Cada
uso de “(ix)(<px)”, donde se presente aparentemente como un constituyente de una
proposición en el lugar de un objeto, se define en términos de las ideas primitivas
que ya manejamos. Un ejemplo de esta definición en uso viene dado por la
proposición “ E I (ix)(4¡x)” que se considerará inmediatamente. La totalidad de esta
cuestión se tratará de modo más completo en el capítulo III.
El símbolo debe ser comparado y contrastado con “x (0x)” que, en el uso, debe
siempre leerse como “ Las x ’s que satisfacen a <px". Ambos símbolos son símbolos
incompletos definidos sólo en uso, y, como tales, se discutirán en el capítulo III. El
símbolo "x (<jvr)” siempre tiene una aplicación, a saber, a la clase determinada por
<¡uc, pero "(wX0x)” sólo tiene aplicación cuando 4>£ se satisface ni más ni menos
que por un solo valor de x. Debe observarse también que el significado dado al
símbolo por la definición (que se ofrece un poco más abajo) de E ! (UrX#x) no
presupone que conozcamos el significado de “uno” . Esto también es característico
de la definición de cualquier otro uso de (ixXtfur).
Ahora procedemos a definir “E !
de forma que pueda leerse como “la
85
INTRODUCCION
x que satisface a 4>x existe” . (Se observará que éste es un significado de existencia
diferente del que hemos expresado por “ 3 ” ). Su definición es
E !(» a )(£ * )--:( 3 c):$*
c Df,
es decir, “la x que satisface a <px existe” significa que “hay un objeto c tal que 4>x es
verdadero cuando x es c, pero no en otro caso” .
Las siguientes son formas equivalentes:
I - E ! (Ja;)
. = : ( g e ) : tf>c: <¡>x. 3 , . x = c,
I - E ! (ja;) (<j>x) . = : (ge) . <f>c: <f>x. <f>y. 3 * , . a; = y,
h E! (lz)(<px). = : (g e ): <f>c: ®=j=c. 3 , . ~ $ x .
La última de éstas manifiesta que “ lax que satisface a <¡á, existe” , es equivalente a
“hay un objeto c que satisface a 4¡x, y todo otro objeto distinto de c no satisface a
<t¡X” ,
El tipo de existencia que se acaba de definir abarca muchísimos casos. Así, por
ejemplo, “el Ser más perfecto existe” significará
( 3 c ) ; x es el más perfecto . =* . x = c,
lo cual, teniendo en cuenta la última de las equivalencias anteriores, es equivalente a
( 3 c ) : c es el más perfecto: x =£ c .
. x no es el más perfecto.
Una proposición tal como “Apolo existe” , en realidad, es de la misma forma
lógica, aunque no contenga explícitamente la palabra “el” . Por “ Apolo” entende­
mos realmente “el objeto que tiene tales y tales propiedades” , digamos “el objeto
que tiene las propiedades detalladas en el Diccionario Clásico (20)” . Si estas
propiedades componen la función proposicional <px, entonces “ Apolo” significa
“(JxX$x)” , y ‘‘Apolo existe” significa “ E ! (jx X0x)” . Por tomar otro ejemplo, “el
autor de Waverley” significa “el hombre que (o mejor, el objeto que) escribió
Waverley” . Así, “Scott es el autor de Waverley” es
Scott = (Jx) (x escribió Waverley)
Aquí (como observamos antes) se aprecia claramente la importancia que adquiere la
identidad en relación con las descripciones.
La notación “0xX $O ” . que resulta larga y poco conveniente, apenas se emplea,
estando fuertemente inclinados a utilizar otra notación, a saber “R 'y ” cuyo signifi­
cado es “el objeto que tiene la relación R con .y” . O sea, que proponemos
R ‘y = (ix) (x R y )
Df.
La coma invertida puede leerse “de” . Así pues, "R'y" se lee “la R de y". De este
modo, si R es la relación de padre a hijo, "R'y” significa “el padre de y ”; si R es la
(20)
l£t mismo principio se aplica a muchos casos de los nombres propios de los objetos
existentes; por ejemplo, a todos los usos de los nombres propios para objetos conocidos al
hablante sólo por rumor y no por conocimiento personal.
86
I. EXPLICACIONES PRELIMINARES DE IDEAS Y NOTACIONES
relación de hijo a padre, "R'y" significa “el hijo de y ”, que sólo “existirá” si .y tiene
un único hijo y no más. R'y es una función de y, pero no una función preposicio­
nal; la llamaremos función descriptiva. Todas las funciones ordinarias de matemáti­
cas son de esta clase, como se apreciará perfectamente en lo que sigue. Asi, en
nuestra notación, “sen” debe escribirse “sen‘.y” , y “sen” debe significar la relación
que sen‘_y tiene con y. En vez de una función descriptiva variable fy, ponemos R'y,
en donde la relación variable R ocupa el lugar de la función variable f. En general,
una función descriptiva existirá mientras y pertenezca a cierto dominio, pero no
fuera de ese dominio; así, pues, si estamos versando sobre racionales positivos, s/y
tendrá significación si y es un cuadrado perfecto, pero no en otro caso; si tratamos
con números reales, y convenimos que “ s/y” signifique la raiz cuadrada positiva (o,
que signifique la raiz cuadrada negativa), Vy será significante con tal que y sea
positivo, pero no en otro'caso; y así sucesivamente. De este modo, cada función
descriptiva tiene lo que podemos llamar un “dominio de definición” o un “ dominio
de existencia” , que puede definirse así: si la función en cuestión es R'y, su dominio
de definición o de existencia será la clase de aquellos argumentos y para los cuales
tenemos E! R'y, es decir, para los que E! (ix)(xRy)\ o, de otro modo, para los que
hay una x, y sólo una, que tiene la relación R con y.
Si R es una relación cualquiera, designamos a R'y como la “ función descriptiva
asociada” . Gran parte de las relaciones constantes que tendremos ocasión de
introducir son principalmente importantes debido sólo a sus funciones descriptivas
asociadas. En tales casos, es más fácil (aunque menos correcto) comenzar por
asignar el significado de la función descriptiva, y deducir el significado de la relación
partiendo del significado de la función descriptiva. Esto se hará en las siguientes
aclaraciones a la notación.
Tipos varios de funciones descriptivas de relaciones. Si R es una relación, la
conversa de R es la relación que tiene lugar entre y y x siempre que R sea válida
entre r e y . Así, mayor es la conversa de menor, antes de después, causa de efecto,
esposo de esposa, etc. La conversa de R se escribe (21) Cnv'R o R. La defini­
ción es
R=
Cnv‘J? = R
(yRx) Df,
D£
La segunda definición no es formalmente correcta, puesto que deberíamos definir
“Cnv” y deducir el significado de Cnv'R. Pero no merece la pena adoptar este plan
en esta referencia introductoria, con lo que se ayuda más a la simplicidad que a la
corrección formal.
Una relación se llama simétrica si R — R; es decir si es válida entre y y x, siempre
que lo sea entre x e y (y, por tanto, viceversa). La identidad, la diversidad, la
(21)
Relative”.
La segunda de estas notaciones se toma de la obra de Schroder “ Algebra und Logik der
87
INTRODUCCION
concordancia o discordancia son, en algún modo, relaciones simétricas. Una relación
se llama asimétrica cuando es incompatible con su conversa, es decir, cuando
R Ó R — A, o, lo que es equivalente
x R y . D*,* ,~(yRx).
Antes y después, mayor y menor, ascendiente y descendiente, son asimétricas
como lo son todas aquellas relaciones que dan lugar a series. No obstante, existen
muchas relaciones asimétricas que no originan series, como, por ejemplo, la de
hermano de la esposa (22). Puede una relación no ser simétrica ni asimétrica; esto,
por ejemplo, ocurre en la relación de inclusión entre clases: a C 0 y (JC a son
ambas verdaderas si a = 0; si no, a lo sumo, sólo una de ellas será verdadera. La
relación hermano ni es simétrica ni asimétrica, ya que si x es el hermano de y, y
puede ser hermano o hermana de x
En la función proposicional xRy, llamaremos a x el relacionante y a y el
, relacionado. La clase £ (xRy), consistente en todas las x que tengan la relación R
con y, se llama la clase de los relacionantes de y con respecto a R; la clase y (xR y ),
consistente en todas las y con las cuales x tiene la relación R, se llama la clase de los
relacionados de x con respecto a R. Estas dos clases se simbolizan respectivamente
por R'y y R‘x. Así, pues:
R‘y =*á (xRy) Df,
R 'x ■»p (xRy) Df.
En el primer caso, la flecha se dirige hacia la y para mostrar que estamos interesados
en las cosas que tienen la relación R con y. En el segundo caso, se aleja de x para
indicar que la relación R va de x a los miembros de R 'x De hecho, la flecha va
desde un relacionante hacia un relacionado.
Las notaciones R'y y R'x son muy im portantes y se usan constantemente. Si R
es la relación de padre e hijo, entonces R'y = los padres de y, y R'x = los hijos de x.
Tenemos
I- : * í R 'y . = . xRy
4—
y
I-: y « R 'x . = . xRy.
Estas equivalencias con frecuencia se encuentran incorporadas en el lenguaje co­
mún. Por ejemplo, decimos indistintamente “x es un habitante de Londres” o “x
habita en Londres” . Si ponemos "R" por “habita en” , "x habita en_Londres” es
“x R Londres” ; mientras que "x es un habitante de Londres” es “ x e R ' Londres” .
En vez de R y R a veces usamos sg'R, gs'R, en donde “sg” significa “sagita” y
“gs” es “sg” invertida. Así, pues, ponemos
(22)
Esta relación no es estrictamente asimétrica, salvo en el supuesto de que el hermano de
la esposa sea, a su vez, esposo de la hermana. En la iglesia griega, sin embargo, esta relación es
estrictamente asimétrica.
88
1. EXPLICACIONES PRELIMINARES DE IDEAS Y NOTACIONES
S g 'ñ - i í Df,
gs‘R » R Df.
Algunas veces estas notaciones resultan más prácticas que el uso de la flecha cuando
la relación en cuestión está representada por una combinación de letras en vez de
una letra única tal como la R. Así, por ejemplo, debemos escribir sg'(R ñ S), mejor
que poner una flecha sobre todo lo que abarca (R ñ S).
La clase de todos los términos que tengan la relación R con respecto a alguna
cosa se llama el dominio de R. Así pues, si R es la relación de padre a hijo, el
dominio de R será la clase de los padres. Representamos el dominio de R por
“ D7?” . Así pues escribimos
D‘B = á ((g y ). xRy] Df.
Similarmcnte, la clase de todos los términos con respecto a los cuales algo tiene la
relación R se llama dominio converso de R; coincide con el dominio de la conversa
de R. El dominio converso de R se representa por "Q'R"; así, pues,
(I‘jR = p [(a*). xRy\ Df.
La unión del dominio y del dominio converso se llama campo y se representa por
C'R; de este modo,
C‘R = Dffl u ( l‘R Df.
El campo tiene una gran importancia por lo que respecta a las seríes. Si R es la
relación ordenada de una serie, C'R es la clase de los términos de la serie, D'R
representa a todos los términos excepto el último (si existe), yCI 'R a la totalidad de
los términos excepto el primero (si existe). El primer término, si existe, es el único
miembro de D7Z O - G 'R, ya que es el único término que es predecesor pero no
seguidor. De manera semejante, el último término (si lo hay) es el único miembro
de Q 'R n — D7?. La condición para que una serie carezca del final es Q'R C D'í?,
es decir, “cada seguidor es un predecesor” ; la condición para que no tenga principio
es D'R C a 'R. Estas condiciones son respectivamente equivalentes a D'R = C'R y
Q'R = C'R.
El producto relativo de dos relaciones, R y S , es la relación que tiene lugar entre
x y z cuando hay un término intermedio .y tal que x tiene la relación R con y e y
tiene la relación S con z. El producto relativo de R y S se representa por R | S; así;
pues, tenemos
R S = H2 j(gy) .xRy. ySz\ Df,
y, por consiguiente
E: * ( R | S) z . s . (gy). a Ry - ySz.
De este modo, “ tía paterna” es el producto relativo de hermana y padre; “abuela
paterna” es el producto relativo de madre y padre; “abuelo materno” es el producto
relativo de padre y madre. El producto relativo no es conmutativo, pero goza de la
ley asociativa, es decir
89
INTRODUCCION
También goza de la ley distributiva respecto de la suma lógica de relaciones; esto es,
tenemos
K P | (Q a Jí) = (P | Q W P | rt),
h .(Q e » » )!P = ( Q |/>) « '( « |T >).
Pero con respecto al producto lógico solamente tenemos
l-.P l(Q ñ P )e (P |Q )ó ( P lP ),
h.(QñR)\P<í(Q\P)ó{Q\R).
El producto relativo no goza de la ley de tautología; es decir, que en general no
se tiene R R = R. Proponemos
R>=R\R Df.
Asi' pues, abuelo paterno = (padre )2
abuela materna = (madre)2
Una relación se llama transitiva cuando R2 G R, es decir, cuando, dados xRy e
yRz, tenemos xRz; o sea, cuando
xRy . yRz .
. xRz.
Las relaciones que generan series son siempre transitivas; así, p. ej.
x > y . v > z . ^>x,y.z ■* > z
Si P es una relación que genera una serie, P puede convenientemente leerse como
“precede” ; de este modo “xPy .yPz . ^>x,y,z ■xPz” vi606 a ser “s¡* precede ay . e
y precede a z, entonces siempre x precede a z “ . La clase de relaciones que generan
series se caracterizan parcialmente por el hecho de que son transitivas, asimétricas, y
nunca relaciona un término consigo mismo.
Si P es una relación que genera una serie, y si no tenemos meramente P2 C P,
sino P 2 =P, entonces P genera una serie que es compacta (iiberall dicht), es decir,
es tal que tiene términos entre dos términos cualesquiera. Así que, en este caso
tenemos
x P z. D. (gy). x P y . yPt,
esto es, si x precede a z, hay un término y tal que x precede ay, e y precede a z; es
decir, hay un término entre x y z. Así, pues, entre las relaciones que generan serie,
las que generan una serie compacta son aquellas para las que P2 = P.
Muchas relaciones que no generan serie son transitivas; por ejemplo, la identidad
o la relación de inclusión entre clases. Tales casos surgen cuando las relaciones no
son asimétricas. Las relaciones que son transitivas y simétricas constituyen una clase
importante: pueden considerarse como consistentes en la posesión de alguna propie­
dad común.
90
1. EXPLICACIONES PRELIMINARES DE IDEAS Y NOTACIONES
Funciones descriptivas plurales. La clase de los términos* que tienen la relación
R con algún miembro de una clase a se representa por R “a o por/?ja. La definición
es
R “ a = Si [(gy).yea.*/?y}
Df.
Así por ejemplo, sea R la relación habitar en, y a la clase de las ciudades; entonces
/?“a = habitantes de las ciudades. Sea R la relación “ menor que” entre los números
racionales, y a la clase de los racionales que son de la forma 1—2' ”, para valores
enteros de n; entonces /?“a representará la totalidad de los números racionales
menores que algún miembro de a; es decir, todos los números racionales menores de
1. Si P es la relación generadora de una serie, y a es una clase cualquiera de
miembros de la serie, P“a será predecesora de las a ‘s; esto es, del segmento definido
por a. Si P es una relación tal que P y siempre existe cuando y e a, P“a será la clase
de todos los términos de la forma P'y para valores de y que sean miembros de a;
esto es
P “a = £ I(gy). y e a . x = P ‘y).
Así, un miembro de la clase “padres de grandes hombres” será el padre de y,
cuando y sea un gran hombre. En otros casos, esto no tendrá validez; por ejemplo,
sea P la relación que existe entre un número y cualquier número de los cuales aquel
es un factor; entonces P“ (números pares) = factores de números pares; pero esta
clase no está compuesta de términos de la forma “el factor de * “, en donde * sea un
número par, porque los números no tienen un solo factor cada uno.
Clase unitaria. La clase que sólo consta de un miembro*, podría pensarse que es
idéntica a *. pero Peano y Frege han mostrado que no es así. (Las razones por las
que no es así se explicarán, en una vía preliminar, en el Capítulo II de la Introduc­
ción). Representemos por “i4* ” la clase cuyo único miembro es*; así, pues,
l‘x = p (y =
Df,
o sea, “t‘* ” significa “ la clase de objetos que son idénticos a * ”.
La clase constituida por * e y será i'x <J Py; la clase obtenida al añadirle * a la
clase a será a U i**; la clase obtenida al quitar * de la clase a será a — i'x (escribimos
a - 0 como una forma abreviada de a n —0).
Se observará que la clase unitaria se ha definido sin hacer referencia al número 1;
de hecho, usamos las clases unitarias para definir el número 1. Este número se
defíne como la clase de las clases unitarias; es decir,
Esta conduce a
1 = S {(3 ¡c). a = Px)
Df.
b :.« f 1 . H : ( a « ) : y í a . = y .y = x
y ésta nos lleva a
E : a e 1 . = . E ! (ix) (x e a),
E: 1
c 1 . = . E ! (ix) (<j>x),
de donde
esto es, “i ( 0z) es una clase unitaria” es equivalente a “la * que satisface a 0*
existe” .
91
INTRODUCCION
Si a e l, Va es el único miembro de a ya que el único miembro de a es el único
término con el que a tiene la relación t. De este modo, “i‘a ” sustituye a “(wc)(0-x)’\
si a significa í (<pz). En la práctica. “'Coi" es una notación más apropiada que
“(wc)’\ y generalmente se usa en lugar de “(txX ^*)”
Lo explicado anteriormente justifica la mayor parte de la notación empleada en
este trabajo. En cuanto a las aplicaciones a diversas partes de las matemáticas, se
introducen otras definiciones; pero los objetos definidos por estas definiciones
posteriores pertenecen, en la mayoría de los casos, más bien a la matemática que a
¡a lógica. El lector que haya asimilado los símbolos explicados arriba se encontrará
con que cualquier fórmula posterior se podrá descifrar mediante la ayuda de unas
pocas definiciones adicionales.
92
CAPITULO II
LA TEO RIA DE TIPOS LOGICOS
La teoría de tipos lógicos, que se explicará en este capítulo, se nos recomienda
por sí misma en primera instancia por su capacidad para resolver ciertas contradic­
ciones, de las que una de las más conocidas para las matemáticas es la de Burali-Forti relativa al mayor ordinal. Pero la teoría en cuestión no depende totalmente de
esta recomendación indirecta; tiene también una cierta consonancia con el sentido
común que la hace inherentemente creíble. En lo que sigue exponemos, por tanto,
en primer lugar la teoría en sí misma, y a continuación su aplicación a la resolución
de las contradicciones.
I. El Principio del Círculo Vicioso
Un análisis de las paradojas que se han de evitar indica que todas ellas resultan de
una cierta clase de círculo vicioso (23). Los círculos viciosos de los que nos
ocupamos surgen del hecho de suponer que una colección de objetos puede
contener miembros que sólo pueden ser definidos mediante la colección como
totalidad. Así, por ejemplo, la colección de las proposiciones se supone que
contiene una proposición que dice que “toda proposición es verdadera o falsa” .
Parecería, sin embargo, que dicha afirmación no podría ser legítima a menos que
“ toda proposición” se refiera a alguna colección ya definida, lo que no puede
hacerse si se crean nuevas proposiciones mediante expresiones que contengan “ toda
proposición” . Tendremos, por tanto, que decir que las expresiones que contengan
“toda proposición” carecen de sentido. Con más generalidad, dado un conjunto de
objetos tal que - s i suponemos que el conjunto forma una totalidad- contenga
miembros que presupongan dicha totalidad, entonces tal conjunto carece de totali­
dad. Al decir que un conjunto “ carece de totalidad” queremos indicar, principal­
mente, que no puede tomarse ninguna expresión acerca de “ todos sus miembros”
que sea significante. Proposiciones, como el ejemplo expuesto, deben ser un conjun­
to carente de totalidad. Esto mismo es aplicable, como veremos enseguida, a las
funciones proposicionales, incluso cuando éstas se limiten a aquellas que puedan
tener significativamente como argumento un objeto dado a. En tales casos, es
necesario descomponer nuestro conjunto en otros más pequeños, cada uno de los
cuales sea capaz de una totalidad. A esto es a lo que aspira la teoría de tipos.
(23)
Véase la última sección del presente capítulo. Cf. también H. Poincaré, “ Les mathéma­
nques et la logique", Revue de Métaphysique et de Morale, Mayo 1906, p. 307.
93
INTRODUCCION
El principio que nos capacita para evitar totalidades ilegitimas puede definirse
así: “ Aquello que abarque la totalidad de una colección no debe ser un miembro de
la colección'’; o, por el contrario “ Si, supuesto que una cierta colección contiene a
su totalidad, entonces dicha colección no contiene la totalidad” . A esto llamaremos
“principio de círculo vicioso” , porque nos capacita para evitar los círculos viciosos
que implica la suposición de totalidades ilegítimas. Los argumentos que son conde­
nados por el principio del círculo vicioso se llamarán “falacias de círculo vicioso” .
Tales argumentos, en ciertas circunstancias, pueden llevar a contradicciones, pero
frecuentemente ocurre que las conclusiones a lasque llegan son realmente verdade­
ras, aunque los argumentos sean falaces. Tómese, por ejemplo, la ley del medio
excluso, en la forma “ toda proposición es verdadera o falsa” . Si a partir de esta ley
argüimos que, debido a que la ley del medio excluso es una proposición (y por lo
tanto, esta ley del medio excluso es verdadera o falsa) incurrimos en una falacia de
circulo vicioso. “ Toda proposición” debe limitarse de algún modo antes de que
llegue a ser una totalidad legítima; y toda limitación que la haga legítima debe
lograr que cualquier expresión acerca de la totalidad caiga fuera de la totalidad.
Similarmente, el supuesto escéptico que afirma que no sabe nada, y que queda
refutado al preguntársele si se sabe que no se sabe nada, afirma un sin-sentido, y ha
sido falazmente refutado por un argumento que entraña una falacia de círculo
vicioso. A fin de que la aserción del escéptico pueda llegar a ser significante, es
necesario fijar ciertas limitaciones sobre las cosas en las que él asegura su ignorancia,
porque las cosas de las que es posible ser ignorante forman una totalidad ilegítima.
Pero tan pronto como él haya fijado una adecuada limitación sobre la colección de
proposiciones de las cuales está asegurando su ignorancia, la proposición que dice
que él es ignorante de cada miembro de esta colección no debe ser un miembro de
la colección. De aquí que cualquier escepticismo significante no queda abierto a la
anterior forma de refutación.
Las paradojas de la lógica simbólica conciernen a diversas clases de objetos:
proposiciones, clases, números cardinales y ordinales, etc. Todas estas clases de
objetos, como veremos, representan totalidades ilegítimas y son, por tanto, capaces
de originar falacias de círculo vicioso. Pero, por medio de la teoría (que se explicará
en el capítulo III) que reduce las expresiones cuyas palabras conciernen con clases y
relaciones a expresiones que atañen a funciones preposicionales, las paradojas se
reducen a aquellas que se refieren a proposiciones y funciones preposicionales. Las
paradojas que se refieren a proposiciones son sólo indirectamente importantes para
las matemáticas, mientras que lo que más inmediatamente interesa a los matemáti­
cos son las que tienen que ver con las funciones proporcionales. Procederemos, por
tanto, a la sola consideración de las funciones preposicionales.
II. La naturaleza de las funciones preposicionales
Por “ función proposicional” entendemos algo que contiene una variable x, y que
expresa una proposición en cuanto se le asigne un valor a dicha x. Es decir, difiere
94
II. LA TEORIA DE TIPOS LOGICOS
de una proposición solamente por el hecho de que es ambigua: contiene una
variable a la que no se le asigna un valor. Concuerda con las funciones ordinarias de
las matemáticas en el hecho de que contienen una variable no asignada; en lo que
difiere es en el hecho de que los valores de la función son proposiciones. Así, por
ejemplo, “x es un hombre” o “ sen x = 1” son funciones preposicionales. Se verá
que es posible incurrir en falacia de círculo vicioso al admitir como argumentos
posibles para una función proposicional términos que presuponen la función. Esta
forma de falacia es muy instructiva, y la manera de evitarla conduce, como veremos,
a la jerarquía de tipos.
La cuestión respecto a la naturaleza de una función (24) no es en modo alguno
una cuestión fácil. Puede parecer, empero, que la característica esencial de una
función es la ambigüedad. Tomemos, por ejemplo, la ley de la identidad en la forma
“A es A ” , que es la forma en la que se enuncia normalmente. Es evidente que, en el
aspecto psicológico, tenemos aquí un juicio simple. Pero, ¿qué decimos del conteni­
do del juicio? No estamos juzgando que Sócrates es Sócarates, ni que Platón es
Platón, ni ningún otro juicio determinado que sea ejemplo de la ley de identidad.
Aun así, cada uno de estos juicios está, en cierto sentido, dentro del alcance de
nuestro juicio. Estamos, de hecho, juzgando un ejemplo ambiguo de la función
proposicional “ A es A ”. Nos parece tener un único pensamiento que no tiene un
objeto definido, sino que tiene como objeto un valor indeterminado de los de la
función “A es A". Esta es la clase de ambigüedad que constituye la esencia de una
función. Cuando hablamos de “ 0x” , en donde la x no está especificada, aludimos a
un valor de la función, pero no a uno determinado. Podemos expresar esto diciendo
que “ 0x” denota ambiguamente <jx¡, <t>b, <pc, etc., en donde <t>a, <¡>b, 0c, etc., son los
diferentes valores de “ 0x” .
Cuando decimos que “ 0x ” denota ambiguamente a <pa, <f>b, 0c, etc., damos a
entender que “ 0x” significa uno de los objetos <pa, <pb, 0c, etc., aunque no uno
definido, sino uno indeterminado. De esto se sigue que “0x” sólo tiene un
significado bien-definido (bien-definido, es decir, excepto en lo que se refiere a lo
que es su esencia, que es ambigua) si los objetos <pa, <¡>b, 0c, etc., están bien-defini­
dos. Es decir, una función no es una función bien-definida a menos que todos sus
valores se encuentren ya bien-definidos. Resulta de esto que una función no puede
tener entre sus valores algo que presuponga la función, porque si lo tuviese no
podríamos referirnos a objetos señalados ambiguamente por la función como
definidos hasta que la función no fuese definida; mientras que, por el contrario,
como acabamos de ver, la función no puede ser definida hasta que sus valores no
estén defindos. Este es un caso particular, quizá el más fundamental, del principio
del círculo vicioso. Una función es lo que ambiguamente designa algo de una cierta
totalidad, a saber, los valores de la función; por ende, esta totalidad no puede
contener miembros que abarquen la función, ya que si fuere así debería contener
(24)
Cuando se emplee la palabra “función” en lo sucesivo, siempre querrá significar
"función proposicional” . En este capítulo no se tratarán otras funciones.
95
INTRODUCCION
miembros que abarcasen a la totalidad, lo cual, por el principio del círculo vicioso,
no puede englobar la totalidad.
Se verá que, de acuerdo con lo anteriormente expuesto, los valores de una
función se presuponen en ella, y no al contrario. Está suficientemente claro, en
cualquier caso particular, que un valor de una función no presupone a la función.
Así, por ejemplo, la proposición “ Sócrates es humano” puede aprehenderse perfec­
tamente sin considerarla como un valor de la función “x es humano” . Es cierto
que, por el contrario, una proposición puede ser aprehendida sin que necesaria­
mente se tengan que aprehender sus valores en grupos o individualmente. Si este
no fuera el caso, la función no podría ser aprehendida en absoluto, ya que el
número de valores (verdaderos o falsos) de una función es necesariamente
infinito, y existen necesariamente argumentos posibles que son incognosci­
bles. Lo que es necesario no es que los valores deban darse individual y extensionalmente, sino que la totalidad de los valores deben darse intensionalmente,
de forma que, respecto a cualquier objeto asignado, se determine, por lo menos
teóricamente si dicho objeto es o no un valor de la función.
En la práctica es necesario distinguir la función en sí de un valor indeterminado
de esa función. Podemos considerar a la función propiamente dicha como aquello
que señala ambiguamente, mientras que un valor indeterminado de la función es
aquello que está señalado ambiguamente. Si un valor indeterminado se- escribe
“¿v” , escribiremos la función propiamente dicha
(puede usarse otra letra en
lugar de la x). Así, pues, debemos decir que “<f>x es una proposición” y que
es
una función preposicional” . Cuando decimos que “<t>x es una proposición” quere­
mos decir que expresamos algo que es verdadero para todo posible valor de x ,
aunque no decidamos qué valor tiene x. Estamos haciendo una expresión ambigua
acerca de un valor cualquiera de la función. Pero cuando decimos “<¡pc es una
función” no hacemos una declaración ambigua. Sería más correcto decir que
estamos haciendo una declaración acerca de una ambigüedad, habida cuenta de que
una función es una ambigüedad. La función propiamente dicha.
es el objeto
singular que ambiguamente indica sus múltiples valores; mientras que <px, en donde
no se especifica la x, es uno de los objetos indicados, cuya ambigüedad estriba en la
manera de indicar.
Hemos visto que, de acuerdo con el principio del círculo vicioso, los valores de
una función no pueden contener términos sólo definibles en términos de la función.
Ahora bien, dada una función <t¡jc, los valores de la función (25) son todos
proposiciones de la forma <¡>x. De esto se desprende que no debe haber proposicio­
nes de la forma <px, en las que la x tenga un valor que abarque a
(Si éste fuera el
caso, los valores de la función no estarían determinados hasta que la función
(25)
En este capítulo hablaremos de “valores para <¡>x” y de “valores de <t>x" significando en
cada caso lo mismo, a saber, <íw, <t>b, <¡>c, etc. La diferencia de fraseología sirve para evitar la
ambigüedad cuando intervengan varias variables, especialmente cuando una de ellas sea una
función.
96
estuviera determinada, de donde deducimos que la función no queda determinada a
no ser que sus valores estén previamente determinados). Por lo tanto, no debe
existir cosa alguna que sea un valor para
con el argumento 0*. o con algún
argumento que abarque a 0£. Es decir, el símbolo “ 0 (0£)” no debe expresar una
proposición como lo hace “ 0 (a)” si 0a es un valor de 0#. En realidad “ 0 (0í ) ” debe
ser un símbolo que no exprese nada; podemos, por tanto, decir que no es
significante. Así, pues, dada una función 0¿, hay argumentos para los cuales la
función no tiene valor, así como hay argumentos para los que sí tiene un valor. A
los argumentos para los cuales la función adquiere un valor los llamaremos “valores
posibles de x ” . Diremos que 0x es “significante con el argum ento*” cuando 0£
tiene un valor con el argumento*.
Cuando, por ejemplo, se dice que “0 (0f)” carece de sentido, y que, por lo tanto,
no es verdadero ni falso, es' necesario evitar una tergiversación. Si “0 (0£)” fuese
interpretado en el sentido de que “el valor de 0f con el argumento 0f es verdadero”
no sería un sin-sentido sino que sería falso. Es falso por la misma razón por la que
“el rey de Francia es calvo” es falso, a saber, porque no existe una cosa tal que sea
“el valor de 0£ con el argumento 0¿” . Pero cuando, con el mismo argumento a
afirmamos <pa, no estamos indicando que afirmamos que “el valor de 03c con el
argumento a es verdadero” ; lo que damos a entender es que aseveramos la proposi­
ción real que es el valor de 0í con el argumento a. Así, por ejemplo, si 0x es “* es
un hombre” , 0 (Sócrates) será “ Sócrates es un hombre” , y no “el valor para la
función 'Je es un hombre’, con argumento Sócrates, es verdadero” . Así, de acuerdo
con nuestro principio de que “ 0 (0z)” no tiene sentido, no podemos legítimamen­
te negar que “la función ‘* es un hombre’ sea un hombre” , porque esto no tendría
sentido; sin embargo podemos legítimamente negar que “el valor para la función 'Je
es un hombre’ con el argumento ‘“Jf es un hombre’ es verdadero” , no sobre la base
de que el valor en cuestión sea falso, sino apoyándonos en que no existe tal valor
para la función.
Indicaremos mediante el símbolo “(* ). 0x” la proposición “ siempre 0*” (26), es
decir, la proposición que asevera todos los valores para <¡ú. Esta proposición abarca
a ia función 0£ y no meramente un valor ambiguo de la función. La aserción de 0*.
en la que * no se especifica, es una aserción diferente de la que afirma todos los
valores de 0í, puesto que la primera es una aserción ambigua mientras que la
segunda en modo alguno es ambigua. Se observará que “ (* ). 0* ” no afirma “0* con
todos los valores de * ” , porque, como hemos visto, debe haber valores de * con los
que “0*” no tiene sentido. Lo que se asevera por “(* ). 0x” son todas las proposi­
ciones que son valores para 0í ; de aquí que, solamente con tales valores de * es
como 0x se hace significativa; es decir, con todos los posibles valores con los que se
asevera 0* cuando aseveramos “(* ). 0*” . Así, pues, una manera conveniente de leer
“(* ). 0* ” es “0* es verdadera con todos los valores posibles de * ” . Sin embargo,
(26)
Usamos “ siempre” significando “en todos los casos” y no “todas las veces” . De manera
semejante, “alguna vez” se empleará en el sentido de “en algunos casos”.
97
INTRODUCCION
ésta es una lectura menos exacta que “siempre <¡>x”, porque la noción de verdad no
es parte del contenido de lo que se juzga. Cuando emitimos el juicio “ todos los
hombres son mortales” juzgamos con verdad, pero la noción de verdad no está
necesariamente en nuestras mentes, más que aquella que es necesaria cuando
juzgamos “ Sócrates es mortal” .
III. Definición y ambigüedad sistemática de verdad y falsedad
Puesto que “ ( x ) . <px" abarca la función <p£ debe, de acuerdo con nuestro
principio, serle imposible ser argumento para <¡>. Es decir, el símbolo
“<t> { ( x ) . <px) ” debe carecer de sentido. Este principio parecería, a primera vista,
tener ciertas excepciones. Tomemos, por ejemplo, la función “p es falsa” y
consideremos la proposición “( p ) . p es falsa” . Esto debería ser una proposición
que afirmase todas las proposiciones de la forma “p es falso” . De una proposición
tal deberíamos inclinamos a decir que debe ser falsa, porque “p es falso” no
siempre es verdadera. Por tanto nos llevaría a la proposición
“ ( ( p ) . p es falso ¡ es falsa” ;
es decir, nos llevaría a una proposición en la cual “( p ) . p es falso” es el argumento
de la función “p es falso” , lo que ya hemos manifestado ser imposible. Ahora se
verá que “( p ) . p es falso” en el caso de arriba, pretende ser una proposición acerca
de todas las proposiciones y que, por la forma general del principio del círculo
vicioso, no debe haber proposiciones acerca de todas las proposiciones. No obstan­
te, parece claro que, dada una función, haya una proposición (verdadera o falsa)
que asevere todos sus valores. Por eso llegamos a la conclusión de que “p es falso” y
“q es falso” no siempre deben ser los valores, con los argumentos p y q, para una
función única “p es falsa” . Esto, sin embargo, es sólo posible si la palabra “ falsa”
tiene en realidad muchos significados diferentes apropiados a proposiciones de
diferentes clases.
No resulta difícil comprobar que las palabras “verdadero” y “ falso” tienen
muchos significados diferentes, de acuerdo con la clase de proposiciones a la que se
apliquen. Tomemos una función <$c, y sea <¡>a uno de sus valores. Denominemos
“ primera verdad” a la clase de verdad que es aplicable a <pa. (Esto no quiere decir
que esta verdad sea la primera verdad en otro contexto; simplemente se indica que
es la primera clase de verdad en nuestro contexto). Consideremos ahora la proposi­
ción (x ). <¡)X. Si ésta posee una verdad de la clase apropiada a ella, esto significará
que cada valor 0x tiene “ primera verdad” . Así, pues, si a la clase de verdad que es
apropiada a ( x ) . 0x la llamamos “segunda verdad” , podemos definir “ i (x ). <px \
tiene segunda verdad” con el significado de que “ cada valor para <¡>Xtiene primera
verdad” ; es decir, “(x).(<px tiene primera verdad)” . Análogamente, si por
“( 3 x ) . <f>x" indicamos la proposición “algunas veces 0x” , es decir, —aunque expre­
sada con menos precisión— “0x para algún valor de x ” , encontramos que (3 x ) . <¡>x
98
II. LA TEORIA l)F. TIPOS LOGICOS
tiene segunda verdad si hay una x para la cual <¡>x tiene una primera verdad. Por
tanto, podemos definir “ { (H at) . <¡>x\ tiene segunda verdad” dándole el significado
“algún valor para 0 í tiene primera verdad”, o sea, "{3x).(<px tiene primera
verdad)” . Observaciones semejantes son aplicables a la falsedad. Así, pues,
“ {(x).<t*x | tiene segunda falsedad” significa “algún valor para <¡>x tiene primera
falsed ad ” , es decir, “( 3 jc) . ( 0 x tiene primera falsedad)” ; mientras que
“ { (3 x ).0 Jf( tiene segunda falsedad” significa que “todos los valores para 0 i
tienen primera falsedad” , esto es, “(* ). (0x tiene primera falsedad)” . Así, pues, la
clase de falsedad que puede pertenecer a una proposición general es diferente de la
clase que puede pertenecer a una proposición particular.
Aplicando estas consideraciones a la proposición “( p ) . p es falso” , vemos que
debe ser especificada la clase de falsedad en cuestión. Si, por ejemplo, nos referimos
a la primera falsedad, la función “/5 tiene una primera falsedad” es significante sólo
cuando p sea de la clase de proposición que tiene primera falsedad o primera
verdad. Por eso, “( p ) . p es falso” se sustituirá por una expresión que sea equivalen­
te a “ toda proposición que tenga primera verdad o primera falsedad tiene primera
falsedad” . Esta proposición tiene segunda falsedad, y no es un argumento posible
para la función "p tiene primera falsedad” . De este modo desaparece la aparente
excepción al principio que dice que “0 | (x ) . <¡>x | debe ser un sin-sentido.
Consideraciones similares nos capacitan para tratar con “no -p" y con
o q".
Podría parecer como si éstas fuesen funciones en las cuales cualquier proposición
podría aparecer como argumento. Pero esto se debe a una sistemática ambigüedad
en los significados de “ no” y “ o” , por la que ellas mismas se adaptan a proposicio­
nes de cualquier orden. Para explicar de una manera completa cómo ocurre esto,
convendrá comenzar con una definición de la clase más simple de verdad y falsedad.
El universo se compone de objetos que poseen diversas cualidades y que se
encuentran en diferentes relaciones. Alguno de estos objetos que acontecen en el
universo son complejos. Cuando un objeto es complejo, consta de partes interrela­
cionadas. Consideremos un objeto complejo compuesto de dos partes, a y b, que se
encuentran entre sí en la relación R. El objeto complejo “a-en-la-relación-/?-con-¿>” ,
puede ser capaz de percibirse; cuando se percibe, se percibe como un objeto. La aten­
ción puede mostrar que ese objeto es complejo; entonces juzgamos que a y ó se en­
cuentran en la relación/?. Un juicio tal, que proviene de la percepción por mera aten­
ción, puede llamarse un “juicio de percepción” . Este juicio de percepción, considerado
como un acontecimiento real, es una relación de cuatro términos, a saber, a, b, R y el
perceptor. La percepción, por el contrario, es una relación de dos términos:
“<7-en-la-relación-/?-con-ó” y el perceptor. Ya que un objeto de percepción ha de ser
algo, no podemos percibir “a-en-la-relación-/?-con-ó” , a no ser que a esté en la
relación R con b. Por tanto, un juicio de percepción, de acuerdo con la definición
dada, debe ser verdadero. Esto no quiere decir que, en un juicio que se nos muestre
como una percepción, estemos seguros de no encontramos en un error, puesto que
podemos equivocarnos al pensar que nuestro juicio realmente se dedujo del mero
análisis de lo que se percibió. Pero si nuestro juicio ha sido, por tanto, deducido,
99
INTRODUCCION
debe ser verdadero. En realidad, podemos definir la verdad, por lo que se refiere a
tales juicios, como lo consistente en el hecho de que haya un objeto complejo que
corresponda al pensamiento discursivo que es el juicio. Es decir, cuando juzgamos
“a tiene la relación R con b" nuestro juicio se dice que es verdadero cuando haya
un complejo “a-en-relación-f?-con-ó” , y se dice que es falso cuando no es este el
caso. Esta es una definición de verdad y de falsedad en relación con los juicios de
esta clase.
Se verá que, de acuerdo con lo explicado, un juicio no consta de un objeto
único, a saber, la proposición, sino que tiene varios objetos interrelacionados. Es
decir, la relación que constituye el juicio no es una relación de dos términos -e l
pensamiento del juicio y la proposición- sino una relación entre varios términos, a
saber la mente y los que se llaman constituyentes de la proposición. Esto es, cuando
juzgamos (decimos) “ésto es rojo” , lo que hay es una relación de tres términos, la
mente, “ésto” y rojo. Por otra parte, cuando percibimos “la rojez de ésto” , hay una
relación de dos términos, que son la mente y el objeto complejo “ la rojez de ésto” .
Cuando se presenta un juicio existe una cierta entidad compleja, compuesta por la
mente y los diversos objetos del juicio. Cuando el juicio es verdadero, en el caso de
la clase de juicios que hemos considerado, hay un complejo de objetos que
corresponden a sólo ese juicio. La falsedad, con respecto a la clase de juicios que
estamos considerando, consiste en la ausencia de un complejo correspondiente
compuesto sólo de objetos. De la teoría expuesta se sigue que una “ proposición” ,
en el sentido en que una proposición se supone el objeto del juicio, es una falsa
abstracción porque un juicio tiene varios objetos, y no uno. La diversidad de
objetos en el juicio (como opuesto a percepción) es lo que ha llevado a la gente a
hablar del pensamiento como “ discursivo” , aunque no aparece claramente qué es lo
que se entendía por este epíteto.
Debido a la pluralidad de los objetos de un juicio determinado resulta que lo que
llamamos “ proposición” (en el sentido en que ésta se distingue de la frase que la
expresa) de ningún modo es una entidad singular. Es decir, la frase que expresa una
proposición es a lo que llamamos un símbolo (27) “ incompleto” ; no tiene significa­
do por sí mismo, sino que precisa de algún complemento para adquirir un significa­
do completo. Este hecho es algo encubierto por la circunstancia de que el juicio en
sí mismo proporciona un suplemento suficiente, y que el juicio por sí mismo no
hace una adición verbal a la proposición. Así, pues, “la proposición ‘Sócrates es
humano”’ usa “ Sócrates es humano” de una manera que requiere algún tipo de
suplemento antes de que alcance un significado completo; pero cuando juzgo
“ Sócrates es humano” , el significado se completa por el acto del juicio, y no
tenemos por más tiempo un símbolo incompleto. El hecho de que las proposiciones
sean “ símbolos incompletos” es filosóficamente importante, y es relevante en
ciertos puntos de la lógica simbólica.
(27) Ver Capítulo til.
100
II. LA TEORIA DE TIPOS LOGICOS
Los juicios sobre los que hemos tratado hasta aquí son de la misma forma que
los juicios de percepción, es decir, sus sujetos son siempre particulares y definidos.
Pero hay muchos juicios que no son de esta forma, tales como “ todos los hombres
son mortales” , “yo encontré un hombre” , “algunos hombres son griegos” . Antes de
tratar de tales juicios, introduciremos algunos términos técnicos.
Daremos el nombre de “un complejo” a algunos objetos tales como “a en la
relación R con b”, o “a que tiene la cualidad q '\ o “a y b y c están en la relación
S". Hablando en sentido amplio, un complejo es cualquier cosa que ocurra en el
universo y que no sea simple. Diremos que un juicio es elemental cuando asevere
cosas tales como “a tiene la relación R con b ” , “a tiene la cualidad q”, o “a y b y c
están en la relación S ”. Entonces, un juicio elemental es verdadero cuando existe un
complejo correspondiente, y falso cuando no hay un complejo correspondiente.
Tomemos ahora una proposición tal como “ todos los hombres son mortales” .
Aquí el juicio no corresponde a un complejo sino a muchos, a saber, “ Sócrates es
mortal” , “ Platón es mortal”, “ Aristóteles es mortal” , etc. (Por el momento no es
necesario averiguar si cada uno de éstos no requiere un tratamiento posterior antes
de que alcancemos los complejos primarios que comprende. A guisa de ilustración,
“ Sócrates es mortal” se considera aquí como un juicio elemental, aunque de hecho
no lo es, como se explicará más adelante. Ciertamente no resulta muy fácil
encontrar juicios elementales.) No intentamos negar que pueda haber alguna rela­
ción entre el concepto hombre y el concepto mortal que pueda ser equivalente a
“ todos los hombres son mortales” ; pero, en cualquier caso, esta relación no es lo
mismo que lo que afirmamos cuando decimos que todos los hombres son mortales.
Nuestro juicio de que todos los hombres son mortales aúna un cierto número de
juicios elementales. Sin embargo, no está compuesto por ellos, ya que, por ejemplo,
el hecho de que Sócrates sea mortal no es parte de lo que aseveramos, como puede
apreciarse considerando el hecho de que nuestra afirmación puede ser entendida por
una persona que nunca oyó hablar de Sócrates. A fin de comprender el juicio
“ todos los hombres son mortales” no es necesario conocer cuáles son esos hombres.
Debemos admitir, sin embargo, como una clase de juicios radicalmente nueva,
aserciones generales tales como “ todos los hombres son mortales” . Nosotros aseve­
ramos que, dado que x es humano, x es siempre mortal. Esto es, nosotros
afirmamos “x es mortal” de cada x que sea persona humana. Así, pues, somos
capaces de juzgar (tanto verdadera como falsamente) que todos los objetos que
tienen alguna propiedad asignada también tienen alguna otra propiedad asignada. Es
decir, dadas las funciones proposicionales cualesquiera, <j¡%y \px, existe un juicio que
asevera i/oc con cada x para la cual tengamos <px. A tales juicios llamaremos juicios
generales.
Es evidente (como se ha explicado) que la definición de verdad es diferente en el
caso de juicios generales de la que tenía en el caso de los juicios elementales. Al
significado de verdad que otorgamos a los juicios elementales, le llamamos “verdad
elemental” . De este modo, cuando aseveramos que es verdad que todos los hombres
son mortales, debemos entender que todos los juicios de la forma “jc es mortal", en
101
INTRODUCCION
donde x es un hombre, tiene verdad elemental. Podemos definir esto como “ verdad
de segundo orden” , o “ verdad secundaria” . Luego, si expresamos la proposición
“ todos los hombres son mortales” de la forma
“(x ). x es mortal, donde x es un hombre” ,
y llamamos p a este juicio, entonces “p es verdad” debe tomarse en el sentido de “p
tiene verdad de segundo orden” , lo que, en definitiva, significa
“(jc) . ‘x es mortal’, en donde x es un hombre, tiene verdad elemental” .
A fin de evitar la necesidad de manifestar explícitamente la limitación a la que
está sujeta nuestra variable, es conveniente sustituir la interpretación dada a “ todos
los hombres son mortales” por otra interpretación ligeramente diferente. La propo­
sición “ todos los hombres son mortales” es equivalente a “‘x es un hombre’ implica
'x es mortal’” para todos los posibles valores de x. A quí,x no está limitada a valores
tales como son los hombres, pero puede tener algún valor con el cual "x es un
hombre implica jc es mortal” sea significante, es decir, que sea verdadera o falsa.
Una proposición de este tipo se denomina “ implicación formal” . La ventaja de esta
forma es que los valores que pueda tomar la variable vienen dados por la función de
la cual es el argumento: los valores que puede tomar la variable son todos aquellos
para los que la función se hace significante.
Usamos el símbolo “ (
los juicios de la forma
mortales” es equivalente a
j c
“(jc) .
‘j c
)
. 0x” para expresar el juicio general que asevera todos
Por consiguiente, el juicio “ todos los hombres son
es un hombre’ implica
‘j c
es mortal’” ,
es decir (en virtud de la definición de la implicación), a:
“(jc) . jc no es un hombre o r e s mortal” .
Como acabamos de ver, el significado de verdad que es aplicable a esta proposi­
ción no es el mismo que el significado de verdad que es aplicable a “a- es un
hombre” o a “jc es mortal” ; y, generalmente, en un juicio ( ) . $x, el sentido en el
cual este juicio es o puede ser verdadero no es el mismo como en el que <¡>x es o
puede ser verdadero. Si <t>x es un juicio elemental, es verdadero cuando señale a un
correspondiente complejo. Pero ( ) . 4>x no señala a un correspondiente complejo
único: los correspondientes complejos son tan numerosos como los posibles valores
de x
De lo dicho resulta que proposiciones como “ todos los juicios hechos por
Epiménides son verdaderos” solamente serán, prima facie, capaces de verdad si
todos estos juicios son del mismo orden. Si son de órdenes distintos, de los cuales el
n-simo es el de mayor grado, podemos hacer n aserciones de la forma “ todos los
juicios de orden m hechos por Epiménides son verdaderos” , en donde m tiene todos
los valores hasta llegar a n. Pero tal juicio no se puede incluir a sí mismo en su
propio alcance ya que siempre es de un orden superior al de los juicios a los que
se refiere.
j c
j c
102
II. LA TEORIA DE TIPOS LOGICOS
Consideremos a continuación lo que se entiende por negación de una proposi­
ción de la forma “(x) . fax”. Observamos, para empezar, que “en algunos casos fax” ,
o “algunas veces fax” es un juicio paralelo a “en todos los casos fax”, o “siempre
<t>x". El juicio “algunas veces fax” es verdadero si existe uno o más valores de x para
los cuales fax es verdadero. Expresamos la proposición “ algunas veces fax” mediante
la notación “( 3 x ) . fax” en donde “ 3 ” significa “existe” , y el símbolo completo
puede leerse “existe una x tal que fax”. Nosotros consideramos las dos clases de
juicios expresados por “ ( ) . fax” y “(3 x ) . fax” como ideas primitivas. También
consideramos como idea primitiva la negación de una proposición elemental.
Podemos, pues, definir las negaciones de ( x ) . fax y de ( 3 x ) . fax. La negación de una
proposición p se indica mediante el símbolo “~ p ”. Por tanto, la negación de
(x ). fax se define con la significación
j c
“ < 3 * ) • ~
fa x
,”
y la negación de ( 3 x ) . fax se define con la significación “( x ) . ~ fax”. De este modo,
en el lenguaje tradicional de la lógica formal la negación de una universal afirmativa
se define como la particular negativa, y la negación de una particular afirmativa se
define como la universal negativa. Por eso, el significado de la negación de tales
proposiciones es diferente del significado de la negación de proposiciones elementa­
les.
Una explicación análoga se aplicará a la disyunción. Considérese la expresión “ p ,
o siempre f a x ” . Designaremos la disyunción de dos proposiciones, p y q , por
“p v</” . Por tanto, nuestra expresión es “p . v . ( x ) . fax”. Supondremos que p es
una proposición elemental, y que fax es siempre una proposición elemental. Noso­
tros aceptamos la disyunción de dos proposiciones elementales como una idea
primitiva, y deseamos definir la disyunción
“/>-w .{x ).
fax."
Esta puede definirse como “( x ) . p v fax”, es decir, “p es verdadero o fax es siempre
verdadero”, lo que quiere decir ‘“p o fax' es siempre verdadero” . Similarmente,
definiremos
“p
■
v
. ( a - * ) . fa x
"
con la significación “( 3 x ) . p v fax”', es decir, definimos “p es verdadero o hay unax
para la cual fax es verdadero” , significando “hay una x para la que p o fax es
verdadero” . De forma similar, podemos definir una disyunción de dos proposiciones
universales: “(x) .fax . v . ( y ) . fay” se define con la significación “(x, y ) .fax v fay”,
es decir, “fax es siempre verdadero o fay es siempre verdadero” que quiere decir
"'fax o fay' es siempre verdadero” . Por este método obtenemos definiciones de
disyunciones que contienen proposiciones de la forma (x).fax o ( 3 x ) . fax en
términos de disyunciones de proposiciones elementales; pero el significado de
“disyunción” no es el mismo para proposiciones de las formas ( x ) . fax, (Hx) . fax,
que la dada para proposiciones elementales.
103
INTRODUCCION
Podrían darse explicaciones similares para la implicación y la conjunción, pero
esto resulta innecesario, por cuanto éstas pueden definirse en términos de negación
y disyunción.
IV. Por qué una función dada requiere argumentos de un determinado tipo.
Las consideraciones aducidas hasta ahora en favor de la opinión de que una
función no puede tener significativamente ningún argumento definido en términos
de dicha función se han manifestado de una forma más o menos indirecta. Pero una
consideración directa de las clases de funciones que tienen funciones como argu­
mentos y de las clases de funciones que tienen como argumentos algo distinto que
funciones mostrará, si no estamos equivocados, que no sólo es imposible para una
función <p¿ tenerse a sí o a algo derivado de ella como argumento, sino que, si
es
otra función tal que hay argumentos a para los cuales “<pa” y
sean significan­
tes, entonces “\¡/¿", y cualquiera derivada de ella, no puede significativamente ser
argumento para <tx¿. Esto proviene del hecho de que una función es esencialmente
una ambigüedad, y de que, si esto ocurre en una proposición definida debe de
producirse de tal manera que la ambigüedad haya desaparecido, y resulte una
expresión completamente sin ambigüedad. Unas pocas ilustraciones lo aclaran. Así,
“( x ) .
que ya hemos considerado, es una función de <já\ en cuanto <f»x esté
asignado, tenemos una proposición definida, completamente libre de ambigüedad.
Pero es obvio que no podemos sustituir por la función algo que no sea función:
“( x ) . 4>x" significa “<£x en todos los casos” , y para su significación depende del
hecho de que existen “casos” de <¡»x, es decir, sobre la ambigüedad que es caracterís­
tica de una función. Este ejemplo ilustra el hecho de que, cuando una función
puéde darse significativamente como argumento, algo que no sea una función no
puede darse significativamente como argumento. Pero, por el contrario, cuando algo
que no sea una función puede darse significativamente como argumento, una
función no puede darse significativamente. Tomemos, por ejemplo, “x es un
hombre” , y consideremos “<£r es un hombre” . Aquí no hay nada que elimine la
ambigüedad que constituye 4>x\ de este modo no hay nada definido del que se
pueda decir que sea hombre. Una función, de hecho, no es un objeto definido, el
cual podría ser o no ser un hombre; es una mera ambigüedad que espera una
determinación, y a fin de que pueda darse significativamente debe recibir la
necesaria determinación, que obviamente no recibe si está meramente sustituida en
una proposición por algo determinado (28). Este argumento, sin embargo, no se
aplica directamente en contra de una expresión tal como “ {( x ) . $x [ es un
hombre” . El sentido común debe decidir si una expresión tal es un sinsentido, pero
(28)
Obsérvese que las expresiones que se refieren al significado de una frase que contenga
y, por tanto, no caen bajo la regla por la cual es necesario la
eliminación de la ambigüedad funcional para que tengan significación. La significación es una
propiedad de los signos. Cf. pp. 96, 97.
“Qi" se refieren al símbolo
104
II. LA TEORIA DE TIROS LOGICOS
no puede condenarse en base a la ambigüedad de su contenido. Necesitamos hacer
aquí una nueva objección: una proposición no es una entidad singular, sino una
relación entre varias cosas; por ende, una expresión en la que una proposición
apare7.ca como contenido sólo será significativa si puede reducirse a una expresión
acerca de términos que aparecen en la proposición. Una proposición, —al igual que
las frases del tipo “el tal y cual’’—, donde gramaticalmente aparezcan como
contenido, debe descomponerse en sus constituyentes para que encontremos el
verdadero contenido o contenidos (29). Pero en una expresión tai como “p es un
hombre” , en donde p es una proposición, esto no es posible. Por consiguiente,
“ {(x). 0x | es un hombre” carece de sentido.
V. La jerarquía de funciones y proposiciones
De este modo, tanto a partir del principio del círculo vicioso como de la
inspección directa, hemos llegado a la conclusión de que las funciones para las que
un objeto dado a puede ser argumento son incapaces de ser argumentos para otra, y
que ellas no tienen término en común con las funciones para las que pueden ser
argumentos. Por tanto, esto nos lleva a construir una jerarquía. Comenzando pora
y por los otros términos que pueden ser argumentos para las mismas funciones para
las que a puede ser también argumento, pasamos a continuación a funciones para las
que a es un posible argumento; después, a funciones para las que tales funciones son
posibles argumentos; y así sucesivamente. Pero la jerarquía que ha de construirse no
es tan simple como parece a primera vista. Las funciones que pueden tomar a a
como argumento forman una totalidad ilegítima, y ellas mismas requieren una
división en una jerarquía de funciones. Esto puede verse fácilmente en lo siguiente.
Sea / (0¿, x ) una función de dos variables, <j>¿y x. Entonces,-si, manteniendo por el
momento fija la x. aseveramos ésto con todos ios posibles valores de 0, obtenemos
una proposición:
(0) . / ( 02,*).
Aquí, si x es variable, tenemos una función de x; pero como esta función abarca
una totalidad de valores de 0f (30), ella misma, en virtud del principio del círculo
vicioso, no puede ser uno de los valores incluidos en la totalidad. Resulta que la
totalidad de valores de la 0£ que interviene en (0 ). / (0¿, x ) no es la totalidad de
todas las funciones en las que x pueda darse como argumento, y que no existe una
totalidad tal como ésta, constituida por todas las funciones en las que las x pueda
intervenir como argumento.
(29) Cf. Cap. III.
(30) Cuando hablamos de “valores de 0 ¿ ” es 0, y no z. lo que señalamos. Esto es
consecuencia de la explicación dada en la nota de pág. 96. Cuando la función misma es la variable,
es posible, y más sencillo escribir 0 que 0 ¿, excepto en los casos en donde sea necesario, para
dar más énfasis, suministrar un argumento para asegurar la significación.
105
INTRODUCCION
De lo anterior resulta que una función en la que
aparezca como argumento
exige que “0z” no debe significar ninguna función que sea capaz de un argumento
dado, pero debe restringirse de tal manera que ninguna de las funciones que sean
valores posibles de “ 0e” deban implicar referencia alguna a la totalidad de tales
funciones. Como ilustración tomemos la definición de la identidad. Podríamos
intentar definir “jr es idéntico a y ” dándole la significación “ todo lo que sea verdad
de x es verdad de y ”\ es decir, “0x implica siempre 0y” . Pero aquí, ya que nos
interesa aseverar todos los valores de “0x implica <py” considerada como una
función de 0, estaremos obligados a imponer sobre 0 alguna limitación que nos
impidiera incluir entre los valores de 0 los valores que aludan a “todos los valores
posibles de 0” . Así, por ejemplo, “jc es idéntico a a” es una función de x; por tanto,
si ello es un valor legítimo de 0 en “0x implica siempre <¡>y", seremos capaces de
inferir, por medio de la definición dada arriba, que si x es idéntico a a, y x es
idéntico a y, entonces y es idéntico a a. Aunque la conclusión está bien formada, el
razonamiento entraña una falacia de círculo vicioso, ya que tomamos a “(0 ). <px
implica 0a” como un valor posible de 0x, lo que no puede ser. Sin embargo, si
imponemos una limitación sobre 0, puede suceder, como ocurre hasta este momen­
to, que con otros valores de 0 podríamos tener 0x verdadero y <py falso, de forma
que nuestra propuesta definición de la identidad estaría evidentemente equivocada.
Esta dificultad se evita mediante el “axioma de la reducibilidad”, que se explicará
más adelante. De momento, sólo se menciona con el objeto de ilustrar la necesidad
y oportunidad de la jerarquía de funciones de un argumento dado.
Demos el nombre de “ funciones-a” a aquellas que son significantes para un
argumento dado a. Por tanto, supongamos que tenemos una selección de funcio­
nes-a, y consideremos la proposición "a satisface todas las funciones que pertenecen
a la selección en cuestión” . Si aquí sustituimos a por una variable, obtenemos una
función-a; pero, por el principio del círculo vicioso, esta función-a no puede ser un
miembro de nuestra selección, ya que se refiere a la totalidad de la selección.
Permitamos que la selección consista en todas aquellas funciones que satisfacen
/( 0 f ) . Entonces, nuestra nueva función es
(0 ). ) /( 0 ¿ ) implica 0x) ,
en donde x es el argumento. De este modo, parece que cualquiera que sea la
selección de funciones-a que podamos hacer, habrá otras funciones-a que quedan
fuera de nuestra selección. Tales funciones-a, como las de los ejemplos expuestos,
siempre surgirán de tomar una función de dos argumentos, 0z y x, y de aseverar
todos o alguno de los valores que resultan de variar 0. Lo que, por tanto, es
necesario, a fin de evitar falacias de círculo vicioso, es dividir nuestras funciones-a
en “ tipos” , cada uno de los cuales no contenga funciones que se refieran a la
totalidad del tipo.
Cuando se afirme o niegue algo acerca de todos los valores posibles o de algún
valor (indeterminado) posible de una variable, esta variable se llama aparente, según
Peano. La presencia de las palabras todo o algún en una proposición indica la
106
II. LA TEORIA DE TIPOS LOGICOS
presencia de una variable aparente; pero, con frecuencia, una variable aparente está
realmente presente donde el lenguaje no indica su presencia de una manera inmedia­
ta. Así, por ejemplo “A es mortal” significa “hay un momento en el que A morirá” .
De este modo, la variable tiempo interviene como una variable aparente.
Los ejemplos más claros de proposiciones que no contienen variables aparentes
son los que expresan juicios inmediatos de percepción, como “ésto es rojo” o “ésto
es doloroso” , en donde “ ésto” es algo dado de forma inmediata. En otros juicios,
donde ni siquiera a primera vista parece presentarse una variable, ocurre a menudo
que realmente existe una. Tomemos (digamos) “ Sócrates es humano” . Para el
propio Sócrates, la palabra “Sócrates” no cabe duda que representaba un objeto del
que era inmediatamente consciente, y el juicio “ Sócrates es humano” no contenía
variable aparente. Pero para nosotros, que sólo conocemos a Sócrates por descrip­
ción, la palabra “ Sócrates” no puede significar lo mismo que le significaba a él; más
bien que “la persona que posee tales y tales propiedades” ello significa (digamos)
“el filósofo ateniense que bebió la cicuta” . Ahora en todas las proposiciones acerca
de “el tal y cual” hay una variable aparente, como se mostrará en el Capítulo III.
Así, pues, en lo que nosotros tenemos en el pensamiento cuando decimos “ Sócrates
es una persona humana” existe una variable aparente, aunque no hubiera variable
aparente en el correspondiente juicio tal como lo hubiera hecho Sócrates, siempre
que supongamos que hay algo tal como el conocimiento inmediato de uno mismo.
Cualquiera que sean los ejemplos de proposiciones que no contengan variables
aparentes, es obvio que las funciones proposicionales cuyos valores no contienen
variables aparentes son la fuente de las proposiciones que contienen variables
aparentes, en el sentido en que decimos que la función <px es la fuente de la
proposición (x ) . 0x. En cuanto a los valores para 0* no incluyen la variable
aparente x, que aparece en ( x ) . 0x; si contienen una variable aparente^, ésta puede
ser igualmente eliminada, y así sucesivamente. Este proceso debe llevar a un final,
ya que una proposición que podamos aprehender no puede contener más que un
número finito de variables aparentes, en virtud de que cualquiera que podamos
comprender debe ser de complejidad finita. Así, pues, podemos llegar, por fin, a
una función de tantas variables como etapas fueron necesarias pasar para alcanzarla
desde la proposición original, y esta función será tal que sus valores no contengan
variables aparentes. Podemos llamar a esta función la matriz de nuestra proposición
original, o de cualesquiera otras proposiciones y funciones que se obtengan median­
te el cambio de algunos de los argumentos de la función en variables aparentes. Así,
por ejemplo, si tomamos una función-matriz cuyos valores sean 0(x, y), derivare­
mos de ella
( y ) . 0 (x, y), que es una función de x,
(x ) . 0 (x, y), que es una función de y,
(x, >>) . 0 (x, jy), que significa “0 (x, y) es verdadero para todos los valores posi­
bles de x y de y". Esta última es una proposición que no contiene variable real, es
decir, no contiene más variables que las aparentes.
107
INTRODUCCION
Está, por tanto, claro que todas las proposiciones y funciones posibles pueden
obtenerse a partir de matrices mediante el proceso de convertir los argumentos de
las matrices en variables aparentes. Con el objeto de dividir nuestras proposiciones y
funciones en tipos, partiremos, por tanto, de matrices, y tendremos cuidado en
cómo se han de dividir con miras a evitar falacias de círculo vicioso en las
definiciones de las funciones consideradas. Para este propósito, usaremos letras tales
como a, b, c, x, y, z, w, para denotar objetos que no son ni proposiciones ni
funciones. A tales objetos los llamaremos individuales. Tales objetos serán los
constituyentes de las proposiciones o funciones, y serán los constituyentes gemí nos, en el sentido de que no desaparecen en el análisis como (por ejemplo)
desaparecen en las clases o frases de la forma “el tal y cual” .
Las primeras matrices en que esto ocurre son aquellas cuyos valores son de las
formas
<f>x, f (*, y), x(®, y, < •■•).
es decir, en donde los argumentos, por muchos que sean, son todos indivi­
duales. Las funciones 0, 0 , x. — dado que (por definición) no contienen
variables aparentes, y no tienen más argumentos que los individuales, no
presuponen ninguna totalidad de funciones. A partir de las funciones
0 , x> ... podemos proceder a formar otras funciones de x tales como
0 0 . 0 (x, y ), ( 3 ^ ) . 0 (x, y), (y, z ) . x (*, y . z), ( y ) : ( 3 z ) . x (x. y, z), y así sucesi­
vamente. Todas éstas no presuponen la totalidad excepto que se trate de individuales. Llegamos, así, a una determinada colección de funciones de x, caracterizadas
por el hecho de que ellas no abarcan variables salvo individuales. A tales funciones
llamaremos “ funciones de primer orden".
Podemos ahora introducir una notación para expresar “cualquier función de
primer orden” . Denotamos a una función de primer orden por “0 ! x ”, y a un valor
para tal función por “0 ! x ”. Así, pues, “0 ! x ” representa cualquier valor de una
función que no abarque variables, excepto individuales. Se apreciará que “0 1 x " es
en sí misma una función de dos variables, a saber 0 ! i y x. Así, pues, 0 ! x entraña
una variable que no es un individual, a saber, 0 I i . De manera similar, “(x) . 0 1 x " es
una función de la variable 0 ! i y, por tanto, no abarca más variable que un individual.
De nuevo, si a es un individual dado, “0 ! x implica 0 ! a, para todos los posibles valo­
res de 0 ” es una función de x, pero no es una función de la forma 0 ! x, porque ello
entraña una variable (aparente) 0 que no es un individual. Demos el nombre de “ pre­
dicado” a cualquier función de primer orden 0 ! x. (Este uso de la palabra “predicado”
se propone sólo para esta discusión). Por consiguiente, el enunciado “0 ! x implica
0 ! a, para todos los posibles valores de 0” puede leerse “ todos los predicados de x
son predicados de a ” . Esto establece un enunciado acerca de x, pero no atribuye a x
un predicado en el sentido especial que acabamos de definir.
Debido a la introducción de la función variable de primer orden, 0 1 z\ tenemos
un nuevo juego de matrices. Así, pues, “0 ! x " es una función que no contiene
variables aparentes, sino que contiene las dos variables reales, 0 ! i y x. (Debe
108
II. LA TEORIA DE TIPOS LOGICOS
observarse que cuando se asigna 0, podemos obtener una función cuyos valores
envuelvan individuales como variables aparentes, como, por ejemplo, si 0 ! x es
(y) • 0 (x, .v). Pero en tanto que 0 es variable, 0 ! a no contiene variables aparentes).
De nuevo, si a es un individual definido, 0 I a es una función de una variable 0 ! i.
Si a y b son individuales definidos, “0 ! a implica 0 ! b” es una función de dos
variables, 0 ! £, 0 ! f ; y así sucesivamente. Así, pues, nos vemos conducidos a un
juego completo de nuevas matrices,
/ (0! 2), g (0! 2 ,0 ! 3), F(<f>12, x), y así sucesivamente.
Estas matrices contienen individuales y funciones de primer orden como argumen­
tos, pero (como todas las matrices) no contienen variables aparentes. Una matriz
tal, si contiene más de una variable, da lugar a nuevas funciones de una variable
cambiando todos sus argumentos excepto uno por variables aparentes. De este
modo, obtenemos las funciones,
(0 ). g (0 ! i, 0 ! i), que es una función de 0 ! z.
( x ) . F ( 0 \ £ , x), que es una función de 0 ! z.
(0 ). F {<¡>! z, x), que es una función de x.
Damos el nombre de matrices de segundo orden a aquellas que tienen funciones
de primer orden entre sus argumentos, y no tienen más argumentos que funciones
de primer orden e individuales (no es necesario que tengan individuales entre sus
argumentos). Damos el nombre de Junciones de segundo orden a las que son
matrices de segundo orden o se derivan de tales matrices cambiando algunos de sus
argumentos en variables aparentes. Se verá que un individual, o una función de
primer orden, puede presentarse como argumento de una función de segundo
orden. Las funciones de segundo orden son tales que contienen variables que son
funciones de primer orden, pero no contienen otras variables excepto (posiblemen­
te) individuales.
Ahora disponemos de nuevas clases de funciones. En primer lugar, tenemos
funciones de segundo orden que tienen un argumento que es una función de primer
orden. Representamos una función variable de esta clase mediante la notación
/ ! (0 ! z), y a un valor cualquiera de tal función por / ! (0 ! £). Al igual que
0 ! x, / ! (0 ! £) es una función de dos variables, a sab e r/! (0 ! £) y 0 ! £ . Entre los
posibles valores de / ! (0 ! z) estará 0 ! a (en donde a es una constante),
(x) . 0 ! x, ( 3 x ) . 0 ! x, y así sucesivamente. (Estos resultan de asignar un valor a /
permitiendo que 0 sea asignado). A tales funciones llamamos “ funciones predicati­
vas de funciones de primer orden” .
En segundo lugar, tenemos funciones de segundo orden de dos argumentos, uno
de los cuales es una función de primer orden, mientras que el otro es un individual.
Representemos los valores indeterminados de tales funciones mediante la notación
/!(0 !2 ,* ).
109
INTRODUCCION
En cuanto la x quede asignada, tendremos una función predicativa de 0 \ z. Si
nuestra función no contiene una función de primer orden como variable aparente,
obtendremos una función predicativa de x si asignamos un valor a 0 ! i. De este
modo, para tomar el caso más simple posible, si / ! (0 ! i, x) es 0 ! x , la asignación
de un valor a 0 nos da una función predicativa de x , en virtud de la definición de
“0 ! jc” . Pero si / ! (0 ! i, x ) contiene una función de primer orden como variable
aparente, la asignación de un valor a 0 ! f nos da una función de x de segundo
orden.
En tercer lugar, tenemos funciones de segundo orden de individuales. Todas éstas
se derivarán de funciones de la forma / ! (0 ! i, x) cambiando la 0 por una variable
aparente. Por tanto, no necesitamos una nueva notación para ellas.
Tenemos también funciones de segundo orden de dos funciones de primer orden,
o de dos funciones de ese tipo y un individual; y así sucesivamente.
Podemos ahora proceder exactamente de la misma manera que antes a matrices
de tercer orden, que serán funciones que contengan como argumentos funciones de
segundo orden, y que no contengan variables aparentes ni argumentos excepto
individuales, funciones de primer orden y funciones de segundo orden. Por eso,
proseguimos, en la forma anterior, a las funciones de tercer orden; y, de este modo,
podemos continuar indefinidamente. Si el más alto orden de una variable que tenga
lugar en una función, sea como argumento o como variable aparente, es una función
de orden n-simo, entonces la función en la cual ocurre es de orden (n + 1)-simo. No
llevamos a cabo funciones de orden infinito, porque el número de argumentos y de
variables aparentes en una función debe ser finita y, por tanto, cada función debe
ser de un orden finito. Ya que los órdenes de las funciones se definen sólo paso a
paso, no puede haber un proceso de “prosecución hasta límite” , y no pueden darse
funciones de orden infinito.
Definimos una función de una variable como predicativa cuando sea del orden
inmediatamente superior al de su argumento, es decir, del más bajo orden compati­
ble con él teniendo ese argumento. Si una función tiene varios argumentos, y el
orden más alto de la función que tiene lugar entre los argumentos es el n-simo,
diremos que es una función predicativa si es de orden (n + 1)-simo; es decir, en
otras palabras, si es del orden más bajo compatible con él teniendo los argumentos
que tiene. Una función de varios argumentos es predicativa si tiene uno de sus
argumentos tal que, cuando los demás tengan valores asignados a él, obtengamos
una función predicativa de un argumento indeterminado.
Es importante observar que todas las posibles funciones en la jerarquía antedicha
pueden obtenerse por medio de funciones predicativas y de variables aparentes. Así,
pues, como vimos, las funciones de segundo orden de una x individual son de la
forma
( 0 ) . / ! ( 0 !S,a-) O (510) . / ! ( 0 ! 2,* ) o (0,-0 ) . / ! (0 ! X f ! 2.®) o etc.,
110
II. LA TEORIA DE TIPOS LOGICOS
en donde / es una función predicativa de segundo orden. De modo general, una
función no predicativa de orden n-simo se obtiene a partir de una función predicati­
va de orden n-simo cambiando todos los argumentos de orden ( n — l)-simo en
variables aparentes. (También pueden cambiarse en variables aparentes otros argu­
mentos). Así, pues, no necesitamos introducir como variables otras funciones más
que las predicativas. Por otra parte, para obtener alguna función de una variable x,
no necesitamos ir más allá de las funciones predicativas de dos variables. En cuanto
a la función (0 )
! (0 ! i. 0 ! z, x), en donde se da f, es una función de 0 ! z y de
x, y es predicativa. Así, pues, es de la forma F ! (0 ! z, x ) y, por tanto,
(0, 0 ) •/ 1 (0 ! 0 ! i, x) es de la forma (0 ). F ! (0 ! z, x). Así, pues, hablando de
modo general, mediante pasos sucesivos encontramos que, si 0 ! ú es una función
predicativa de un orden suficientemente alto, cualquier función no-predicativa
asignada de x será de una de estas dos formas:
( 0 ) .F<(<f>ií>,x), ($|0) . F l
(0 ! « , x),
en donde F es una función predicativa de 0 ! ú y de x.
La naturaleza de la jerarquía de funciones, (de la que se ha hablado), puede ser
replanteada como sigue. Una función, como vimos en una etapa anterior, presupone
como parte de su significado la totalidad de sus valores, o, lo que viene a ser la
misma cosa, la totalidad de sus argumentos posibles. Los argumentos de una
función pueden ser funciones, proposiciones o individuales. (Recordemos que los
individuales se definieron como todo lo que no es proposición ni función). De
momento abandonemos el caso en el que el argumento de una función sea una
proposición. Consideremos una función cuyo argumento sea un individual. Esta
función presupone la totalidad de los individuales; pero, a no ser que contenga
funciones como variables aparentes, no presupone ninguna totalidad de funciones.
Sin embargo, si no contiene una función como variable aparente, entonces no puede
definirse hasta que se haya definido alguna totalidad de funciones. Resulta que
debemos definir primero la totalidad de estas funciones que tienen individuales
como argumentos y no contienen funciones como variables aparentes. Estas son las
funciones predicativas de individuales. Generalmente, una función predicativa de un
argumento variable es una que no abarca la totalidad, salvo los posibles valores del
argumento, y los que se presuponen por alguno de los argumentos posibles. Así,
pues, una función predicativa de un argumento variable es una función que puede
especificarse sin introducir nuevas clases de variables no presupuestas necesariamen­
te por la variable que es el argumento
Un tratamiento totalmente análogo puede desarrollarse para las proposiciones.
Las proposiciones que no contienen funciones ni variables aparentes pueden deno­
minarse proposiciones elementales. Las proposiciones que no son elementales, y que
no contienen funciones ni variables aparentes excepto individuales, pueden llamarse
proposiciones de primer orden (Debe observarse que en una proposición no pueden
darse variables salvo las variables aparentes, ya que todo lo que contenga una
variable real es una función, y no una proposición). De este modo, las proposiciones
111
INTRODUCCION
elementales y de primer orden serán valores de funciones de primer orden. (Debe
recordarse que una función no es un constituyente de uno de sus valores; así, por
ejemplo, la función “i es una persona humana” no es un constituyente de la
proposición “Sócrates es una persona humana”). Las proposiciones elementales y
las de primer orden no presuponen la totalidad excepto (a lo sumo) la totalidad de
individuales. Ellas pertenecen a una de estas tres formas
<f>!*;
(g*)• 4>!*»
en donde <p ! x es una función predicativa de un individual. Resulta que, si p
representa una proposición elemental variable o una proposición de primer orden
variable, una función fp es o bien F (0 ! x), o f { (x ). <¡>! x | , o / j (3 x ) . 0 ! x (.
Así, pues, una función de una proposición elemental o de primer orden siempre
puede reducirse a una función de primer orden. Resulta que una proposición que
abarque la totalidad de las proposiciones de primer orden puede reducirse a una que
abarque la totalidad de las funciones de primer orden; y esto, como es obvio, se
aplica igualmente a órdenes superiores. La jerarquía proposicional puede, por tanto,
derivarse de la jerarquía funcional, y podemos definir una proposición de orden
n-simo como una que abarca una variable aparente de orden (n - l)-simo en una
jerarquía funcional. La jerarquía proposicional nunca se requiere en la práctica y
sólo tiene interés para la solución de paradojas; por tanto, no es necesario entrar en
más detalles en cuanto a los tipos de proposiciones.
VI. El axioma de la Reducibilidad.
Resta por considerar el “axioma de la reducibilidad” . Se verá que, de acuerdo
con la jerarquía expuesta anteriormente, no puede hacerse una exposición significa­
tiva acerca de “ todas las funciones-a” , en donde a sea un objeto dado. Así, pues,
una noción tal como “ todas las propiedades de a” , significando “ todas las funciones
que son verdaderas con el argumento a” , será ilegítima. Tendremos que distinguir el
orden de la función que se considere. Podemos hablar de “ todas las propiedades
predicativas de a” , “ todas las propiedades de segundo orden de a", y así sucesiva­
mente. (Si a no es un individual, sino un objeto de orden n, “ las propiedades de
segundo orden de a” significa “ funciones de orden n + 2 satisfechas por a"). Pero
no podemos hablar de “ todas las propiedades de a” . En algunos casos, podemos ver
que alguna expresión será verdadera para “ todas las propiedades de orden-n de a” ,
para cualquier valor de n. En tales casos, no se deriva un daño práctico por
considerar la expresión como algo relativo a “ todas las propiedades de a” , con tal
que recordemos que es realmente un número de expresiones y no una expresión
única de la que pueda considerarse que asigna otra propiedad a a, además de todas
las propiedades. Tales casos siempre contendrán alguna ambigüedad sistemática, tal
como la que se encuentra en el significado de la palabra “verdad” , como se explicó
con anterioridad. Debido a esta ambigüedad sistemática, será posible, algunas veces,
112
II. LA TEORIA DE TIPOS LOGICOS
juntar en un único enunciado verbal lo que realmente son un número de enunciados
diferentes correspondiendo a diferentes órdenes jerárquicos. Esto es ilustra en el
caso del mentiroso en donde el enunciado “ todas las declaraciones de A son falsas”
debe descomponerse en diferentes enunciados referidos a sus declaraciones de
varios órdenes, y atribuyendo a cada una la clase apropiada de falsedad.
El axioma de la reducibilidad se introduce a fin de legitimar un gran número de
razonamientos, en los cuales, prima facie, nos encontramos con nociones tales como
“todas las propiedades de a” , o “ todas las funciones^/”, y en las cuales, no obstante,
apenas parece posible sospechar de algún error sustancial. A fin de exponer el
axioma debemos en primer lugar definir qué se entiende por “equivalencia formal” .
Se dice que dos funciones, 0 í y
son “ formalmente equivalentes” cuando, para
cada posible argumento x, <f>x es equivalente a \¡/x, es decir, 0x y \¡/x son ambas
verdaderas o ambas falsas. Así, pues, dos funciones son formalmente equivalentes
cuando ambas se satisfacen con el mismo conjunto de argumentos. El axioma de la
reducibilidad es la suposición de que, dada una función 0x, hay una función
predicativa formalmente equivalente; esto es, que hay una función predicativa que
es verdadera cuando 0x es verdadera y falsa cuando 0x es falsa. Simbólicamente, el
axioma es:
b : (aVO : 0* • =‘* • 'f 1*.
En el caso de dos variables, requeriremos un axioma similar, a saber: dada una
función 0 (Se, j>), hay una función predicativa formalmente equivalente, esto es
h s (a ^ ) 50 (*.
* • -0! (*, y).
A fin de explicar los objetivos del axioma de la reducibilidad, y la naturaleza de
las razones para suponerlo verdadero, lo aclararemos primero aplicándolo a algunos
casos particulares.
Si llamamos predicado de un objeto a una función predicativa que es una verdad
de tal objeto, entonces los predicados de un objeto son sólo alguna de sus
propiedades. Tomemos, como ejemplo, una proposición tal como “ Napoleón tuvo
todas las cualidades que hacen un gran general” . Podemos interpretar esto dándole
el significado “ Napoleón tuvo todos los predicados que hacen un gran general” .
Aquí hay un predicado que es una variable aparente. Si ponemos “/ ( 0 ! ¿)" en
lugar de “0 ! z es un predicado que se exige en un gran general” , nuestra proposi­
ción es
0 : / ( 0 ! i ) implica 0 ! (Napoleón)
Ya que esto se refiere a una totalidad de predicados, él mismo no es un predicado
de Napoleón. De ninguna manera se sigue, sin embargo, que no haya algún
predicado común y peculiar en los grandes generales. De hecho, es cierto que hay un
predicado tal, puesto que el número de grandes generales es finito, y cada uno de
ellos ciertamente poseyó algún predicado no poseído por ningún otro ser humano
-p o r ejemplo, el instante exacto de su nacimiento. La disyunción de tales predica­
113
INTRODUCCION
dos constituirá un predicado común y peculiar a los grandes generales (31). Si a este
predicado le llamamos i// ! í , el enunciado que hicimos acerca de Napoleón era
equivalente a 0 I (Napoleón). Y esta equivalencia se mantiene igualmente si susti­
tuimos Napoleón por cualquier otro gran general. De este modo hemos llegado a un
predicado que es siempre equivalente a la propiedad que hemos atribuido a
Napoleón, esto es, lo que pertenece a aquellos objetos que tienen esta propiedad y
no a otros. El axioma de la reducibilidad establece que un predicado tal existe
siempre; esto es, que cualquier propiedad de un objeto pertenece a la misma
colección de los objetos que poseen algún predicado.
Podemos seguidamente aclarar nuestro principio por su aplicación a la identidad.
En relación con esto, presenta una cierta afinidad con el principio de la identidad de
los indiscernibles, de Leibniz. Está claro que, si x e y son idénticos, y <f>x es
verdadero, entonces <py es verdadero. Aquí no puede importar qué clase de función
sea <¡>x: el enunciado debe tener validez para cualquier función. Pero, a la inversa, no
podemos decir: "Si, para todos los valores de </>,<¡>x implica <py, entonces x e y son
idénticos” , porque es inadmisible el “ todos los valores de <p” . Si deseamos hablar de
“ todos los valores de 0” , debemos limitarnos a las funciones de un determinado
¡>a predicados, o a funciones de segundo orden, o a las
orden . Podemos limitar <
funciones de cualquier orden que deseemos. Pero debemos eliminar necesariamente
todas las funciones salvo las de un cierto orden. De este modo, obtendremos, por
así decir, una jerarquía de diferentes grados de identidad. Podemos decir “ todos los
predicados de x pertenecen a y", “ todas las propiedades de segundo orden de x
pertenecen a v” , y así sucesivamente. Cada uno de estos enunciados implica a todos
sus predecesores: por ejemplo, si todas las propiedades de segundo orden de x
pertenecen a y, entonces todos los predicados de x pertenecen a y , pues tener todos
los predicados de x es una propiedad de segundo orden y esta propiedad pertenece a
x. Pero no podemos, sin la ayuda de un axioma, argüir inversamente que, si todos
los predicados de x pertenecen a y , todas las propiedades de segundo orden de x
deben también pertenecer a y. Así. pues, no podemos, sin la ayuda de un axioma,
estar seguros de que x e.v sean idénticos, aunque tengan las mismas propiedades. La
identidad de los indiscernibles, de Leibniz, proporcionó este axioma. Debe tenerse
en cuenta que por “indiscernibles” él no pudo dar a entender dos objetos que
concuerdan en lo que se refiere a todas sus propiedades, ya que una de las
propiedades de x es ser idéntico a x\ y, por tanto, esta propiedad necesariamente
debería pertenecer a y, si x e y coincidiesen en todas sus propiedades. Alguna
limitación de las propiedades comunes necesaria para hacer indiscernibles las cosas
está, por lo tanto, implicada por la necesidad de un axioma. Para efectos de
aclaración (no de interpretación de Leibniz) podemos suponer que las propiedades
comunes requeridas para la indiscernibilidad se limitan a predicados. Entonces, la
identidad de los indiscernibles establece que si x e.v concuerdan en lo que respecta
(31)
Cuando un conjunto (finito) de predicados se da para una enumeración real, su
disyunción es un predicado, porque en la disyunción no tiene lugar un predicado como variable
aparente.
114
II. LA TEORIA DE TIPOS LOGICOS
a sus predicados, son idénticos. Esto puede probarse si damos por supuesto el
axioma de la reducibilidad. Pues, en este caso, cada una de las propiedades
pertenece a la misma colección de objetos, tal como se definió para cualquier
predicado. Por tanto, existe algún predicado común y peculiar en los objetos que
son idénticos a x. Este predicado pertenece a x , ya que x es idéntico consigo mismo;
por lo tanto pertenece a y , puesto que y tiene todos los predicados de x\ luego, y es
idéntico a x. De aquí se sigue que podemos definir a x y a y como idénticos cuando
todos los predicados de x pertenezcan a y; esto es, cuando (<¡>): <t> ! x . D . <¡>! y. Por
lo tanto, adoptamos la siguiente definición para la identidad (32):
x —y . = : (<f>) : <¡>! x . D. <f>! y Df.
Pero, dejando aparte el axioma de la reducibilidad o algún otro axioma equiva­
lente, nos vemos obligados a considerar la identidad como indefinible y a admitir
(lo que parece imposible) que dos objetos pueden concordar en todos sus predica­
dos sin ser idénticos.
El axioma de la reducibilidad es aún más esencial.en la teoría de clases. Deberá
observarse, en primer lugar, que, si suponemos la existencia de las clases, el axioma
de la reducibilidad puede probarse. Pues en este caso, dada una función <t>z de
cualquier orden, existe una clase a que se compone exactamente de los objetos que
satisfacen a <pz. Por tanto, “<juc” es equivalente a “x pertenece a a ” . Pero “x
pertenece a a ” es una expresión que no contiene variable aparente y es, por lo
tanto, una función predicativa de x. De aquí que, si suponemos la existencia de las
clases, el axioma de la reducibilidad se hace innecesaria. La suposición del axioma
de la reducibilidad es, por tanto, una suposición menor que la suposición de que
existen las clases. Hasta aquí esta última suposición se ha hecho sin vacilación
alguna. Sin embargo, a causa de las contradicciones, (que requieren un tratamiento
más complicado en el caso de que se supongan las clases), y debido también a que es
siempre preferible hacer la más pequeña suposición requerida para probar nuestros
teoremas, preferimos mejor suponer el axioma de la reducibilidad que la existencia
de las clases. Pero, a fin de explicar el uso del axioma en relación con las clases, es
necesario explicar primero la teoría de clases, lo que es una cuestión que pertenece
al Capítulo III. Por tanto, dejamos para ese capítulo la explicación del uso de
nuestro axioma en relación con las clases.
Merece la pena observar que todos los objetivos para los que sirve el axioma de la
reducibilidad se cumplen igualmente si suponemos que siempre existe una función
de orden n (en donde n es fijo) que sea formalmente equivalente a <t>x, cualquiera
que sea el orden de <px. Aquí entenderemos por “función de orden n" a una función
de orden n relativa a los argumentos de <¡á\ de este modo, si estos argumentos son
absolutamente de orden m, suponemos la existencia de una función formalmente
(32)
Obsérvese que en esta definición el segundo signo de igualdad se considera combinado
con “Df” para formar un solo símbolo; lo que se define es el signo de igualdad no seguido por
las letras “Df” .
115
INTRODUCCION
equivalente a 0 f cuyo orden absoluto sea m + n. El axioma de la reducibilidad en la
forma supuesta antes toma el valor n = 1, aunque esto no es necesario para el
empleo del axioma. Tampoco es necesario que n deba ser el mismo para los
distintos valores de m; lo que es necesario es que n sea constante en tanto que m sea
constante. Lo que se precisa es que, en donde intervengan funciones de funciones
extensionales, seamos capaces de tratar de cualquier función a por medio de alguna
función formalmente equivalente de un tipo dado, de manera que sea capaz de
obtener resultados que de otra guisa requerirían la noción ilegítima de “ todas las
funciones-a” ; pero no importa cual sea el tipo dado. Sin embargo, no parece que el
axioma de la reducibilidad sea apreciablemente considerada como más aceptable
por ponerse en la forma más general, aunque más complicada, como se ha puesto
arriba.
El axioma de la reducibilidad es equivalente a la suposición de que “cualquier
combinación o disyunción de predicados (33) es equivalente a un predicado único” ;
es decir, a la suposición de que, si aseveramos que x tiene todos los predicados que
satisfacen a una función / (0 ! i), existe algún predicado que tendrá x , siempre que
nuestra aserción sea verdadera, y que no tendrá cuando sea falsa; y, similarmente, si
aseveramos que x tiene alguno de los predicados que satisfacen a una función
/ ( 0 ! i). Mediante esta suposición, el orden de una función no-predicativa puede
disminuirse en un grado; por tanto, después de un cierto número finito de pasos,
seremos capaces de conseguir desde una función no-predicativa una función predica­
tiva formalmente equivalente. No parece probable que el supuesto anterior pueda
sustituirse por el axioma de la reducibilidad en deducciones simbólicas, puesto que
su uso requeriría la introducción explícita del posterior supuesto de que mediante
un número finito de pasos descendentes podemos pasar de una función cualquiera a
una función predicativa, y esta suposición no podría hacerse bien sin los desarrollos
que apenas son posibles en una etapa inicial. Pero en las cuestiones anteriores parece
claro que, de hecho, si el axioma alternativo de arriba es verdadero, también lo es el
axioma de la reducibilidad. La conversa, que completa la prueba de la equivalencia,
es, desde luego, evidente.
VIL Razones para la aceptación del Axioma de la Reducibilidad.
Que el axioma de la reducibilidad sea autoevidente es una proposición que
difícilmente puede sostenerse. Pero, de hecho, la autoevidencia nunca es más que
una parte de la razón para aceptar un axioma, y nunca es indispensable. La razón
para aceptar un axioma, como para aceptar cualquier otra proposición, es siempre
en gran parte inductiva; es decir, que muchas proposiciones que son casi indubita­
bles pueden deducirse a partir de él, y que no se conoce otro camino igualmente
(33)
Aquí se supone que la combinación o disyunción se dan intcnsionalmente. Si se diese
extensionalmente (es decir, por enumeración), no sería necesaria la suposición; pero en este
caso el número de predicados que intervienen debe ser finito.
116
II. LA TEORIA DE TIPOS LOGICOS
aceptable por el cual estas proposiciones pudieran ser verdaderas si el axioma fuera
falso, y que nada que sea probablemente falso pueda deducirse de él. Si el axioma
es, en apariencia, autoevidente, eso, en la práctica, significa nada más que es casi
indubitable; porque cosas que se han creído que eran autoe videntes, han resultado,
sin embargo, ser falsas. Aunque el axioma mismo sea casi indubitable, apenas añade
algo a la evidencia inductiva derivada del hecho de que sus consecuencias son casi
indubitables; ello no ofrece una evidencia nueva de una clase radicalmente diferen­
te. La infalibilidad nunca es asequible y, por lo tanto, siempre algún elemento de
duda vendrá asociado a cada axioma y a todas sus consecuencias. En lógica formal,
el elemento de duda es menor que en la mayor parte de las ciencias, pero no carece
de él, como lo manifiesta el hecho de que las paradojas resultan de premisas de las
que no se sabía de antemano que necesitasen limitaciones. En el caso del axioma de
la reducibilidad, la evidencia, inductiva en su favor es muy fuerte, ya que los
razonamientos que permite y los resultados a los que lleva son todos de tal índole
que aparecen como válidos. Pero, aunque parece muy improbable que el axioma
pudiera pasar a ser falso, en modo alguno es improbable que debería fundamentarse
haciéndolo deducible de algún otro axioma más fundamental y más evidente. Es
posible que el uso del principio del círculo vicioso, en cuanto incorporado a la
anterior jerarquía de tipos, es más enérgico de lo que necesita ser, y que con un uso
menos severo pudo evitarse la necesidad del axioma. Sin embargo, tales cambios no
deben hacer falso nada que haya sido aseverado basándose en los principios
explicados con anterioridad: ellos simplemente deben ofrecer unas pruebas más
sencillas de los mismos teoremas. En consecuencia, parecería no ser sino el más sutil
motivo para temer que el empleo del axioma de la reducibilidad pueda conducirnos
a error.
VIII. Las Contradicciones
Ahora nos encontramos en disposición de mostrar cómo la teoría de tipos afecta
a la solución de las contradicciones contra las que ha luchado la lógica matemática.
Con este objeto, comenzaremos por una enumeración de algunas de las más
importantes y aclaratorias de estas contradicciones y, a continuación, mostraremos
cómo todas ellas entrañan falacias de círculo vicioso y que, por tanto, son todas
evitables por medio de la teoría de tipos. Se observará que estas paradojas no se
refieren exclusivamente a las ideas del número y de la cantidad. En consecuencia,
ninguna solución puede ser adecuada para intentar explicarlas sólo como si fueran el
resultado de algún uso incorrecto de estas ideas. La solución debe intentarse
mediante su cuidadoso examen de las ideas lógicas fundamentales, tal como se ha
pretendido hacer en las páginas precedentes.
1)
La contradicción más antigua de la clase bajo consideración es la de Epiménides. Epiménides, el cretense, dijo que todos los cretenses eran mentirosos, y que to­
das las declaraciones hechas por los cretenses eran ciertamente mentiras. ¿Era esto
117
INTRODUCCION
una mentira? La versión más sencilla de esta contradicción está planteada por el
hombre que dice: “ Yo estoy mintiendo” ; si está mintiendo, está diciendo la verdad,
y viceversa.
2) Sea w la clase de todas las clases que no son miembros de si mismas. En este
caso, para cualquiera que sea la clase x, “x es una w" es equivalente a “x no es una
x ”. Por lo tanto, dando a x el valor w, “w es una w" es equivalente a “w no es una
w” .
3) Sea T la relación que subsiste entre dos relaciones R y S, siempre que R no
guarde la relación R respecto de S. Entonces, cualesquiera que sean las relaciones R
y S, “R tiene la relación T con S" es equivalente a “R no tiene la relación R con S” .
Por tanto, dando el valor T tanto a R como a S, “T tiene la relación T con 7” es
equivalente a “T no tiene la relación T con T".
4) La contradicción de Burali-Forti (34) puede exponerse de la siguiente mane­
ra: Puede mostrarse que a toda serie bien ordenada corresponde un número ordinal
tal que la serie de ordinales ascendente -incluyendo al ordinal dado- excede a éste
en una unidad, y (apoyándose en ciertos supuestos muy naturales) que la serie de
todos los ordinales (en orden de magnitud) está bien ordenada. Resulta que a la
serie de todos los ordinales corresponde un número ordinal, digamos íl. Pero, en
este caso, a la serie de todos los ordinales, incluyendo a O, corresponde el número
ordinal Í2 + 1, que habrá de ser mayor que Í2. Por tanto, S2 no es el número ordinal
de todos los ordinales.
5) El número de sílabas de los nombres ingleses de los números finitos enteros
tiende a aumentar conforme los enteros se hacen mayores, y deben, de forma
gradual, incrementarse indefinidamente, ya que sólo un número ñnito de nombres
pueden formarse con un número finito dado de sílabas. Por lo tanto, los nombres
de algunos enteros deben constar por los menos de diecinueve sílabas, y de entre
estos debe haber un número que sea el menor. Por tanto, “el menor número entero
no nombrable con menos de diecinueve sílabas” debe estar designado por un
número entero definido; de hecho, este número es el 111,777. Pero “el menor
número entero no nombrable con menos de diecinueve sílabas” es en sí mismo un
nombre que contiene dieciocho sílabas (35); por lo tanto, el menor entero no
expresable con menos de diecinueve sílabas puede decirse con dieciocho sílabas, lo
cual es una contradicción” (36).
6) Algunos de entre los ordinales transfinitos pueden definirse, mientras que
(34) “ Una qucstione sui numcri transfiniti” , Rendicontidelcircolo matemático diPalermo,
VoL XI. (1897). Véase *256.
(35) Evidentemente el ejemplo sólo es válido en inglés. La frase entrecomillada en el texto
inglés es la siguiente: “ the least integer not nameable in fewer than nineteen syllables”. (N del
t).
(36) Esta contradicción nos fue sugerida por Mr. G. G. Berri de la Bodlcian Library.
118
11. LA TEORIA DE TIPOS LOO ICOS
otros no pueden serlo; pues el número total de definiciones posibles es S0 (37),
mientras que el número de los ordinales transfinitos excede a N0 - Por lo tanto, debe
haber ordinales indefinibles, y entre estos debe estar el de número menor. Mas, éste
se define como “el menor ordinal indefinible” , lo cual constituye una contradicción
(38).
7)
La paradoja de Richard (39) está emparentada con ésta del último ordinal
indefinible. Se plantea de este modo: consideremos todos los números decimales
que pueden definirse por medio de un número finito de palabras; sea E la clase de
tales decimales. Entonces E tiene H0 términos; por tanto, sus miembros pueden ser
ordenados como el 1 , 2 , 3 . . . Sea N un número definido como sigue: si la cifra
«sima del decimal «-simo es p, hagamos que la cifra «-sima de N sea p + 1 (o 0, si
p — 9). En ese caso, N es diferente de todos los miembros de E ya que, para
cualquier valor finito de «, la cifra «-sima de N será diferente de la cifra «-sima del
«-simo de los decimales que componen E y, por tanto, N es diferente del decimal
«-simo. Sin embargo, hemos definido a N por medio de un número finito de
palabras y, en consecuencia, N debe ser un miembro de £1 De este modo resulta que
N es y no es al propio tiempo miembro de E.
En todas las contradicciones expuestas (que no son más que una selección de
entre un número indefinido), se presenta una característica común que podríamos
describir como la autorreferencia o reflexividad. La observación de Epiménides
debe incluirse a sí misma en su propio alcance. Si todas las clases, con tal que no
sean miembros de sí mismas, son miembros de w, esto debe también aplicarse a w;
y, similarmente, por lo que se refiere a la contradicción análoga de las relaciones. En
los casos de nombres y definiciones, las paradojas resultan de considerar a la
no-expresabilidad y a la indefinibilidad como elementos de los nombres y definicio­
nes. En el caso de la paradoja de Burali-Forti, la serie cuyo número ordinal provoca
la dificultad es la serie de todos los números ordinales. En cada una de las
contradicciones se dice algo acerca de todos los casos de alguna clase, y de lo que se
dice parece que se genera un nuevo caso, que es y no es a la vez de la misma clase
que los casos comprendidos, todos ellos, en lo que se dijo.
Pero esta es la característica de las totalidades ilegítimas, tal como las hemos
definido al exponer el principio del círculo vicioso. Por consiguiente, todas nuestras
(37) K0 es el número de enteros finitos. Véase *123.
(38) Cf. Kónig, “ Ueber die Grundlagen der Mengenlchere und das Kontinumproblem” ,
“Math. Annalen, VoL LXI (1905); A. C. Dixon, “On Wellordered aggrehates” , Proc. London
Math. Soc. Series 2, Vol. IV. Part I. (1906); y h. W. Ilobson, “On the Arithmctic Continuum” ,
ibid. La solución ofrecida en la última de las obras citadas depende de la variación del “aparato
de definición” , y está, así, dentro del esquema en concordancia con la solución adoptada aquí.
Sin embargo esto no invalida lo expresado en el texto, si a “definición” se le da una
significación constante.
(39) C’f. Poincaré, “Les mathématiques et la logique”, Revue de Métaphysique et de Morale,
Mai 1906, especialmente las secciones Vil y IX; también Peano, Revista de Mathematica. VoL
VIH. N.° 5 (1906), pág. 149 y ss.
119
INTRODUCCION
contradicciones son ejemplos de falacias del círculo vicioso. Sólo queda por ver, por
tanto, que las totalidades ilegítimas en cuestión están excluidas por la jerarquía de
tipos que hemos construido.
1) Cuando un hombre diga “estoy mintiendo” , podemos interpretar este enun­
ciado como: “ Hay una proposición que yo estoy afirmando y que es falsa” . Es
decir, él está afirmando la verdad de un valor de la función “yo afirmo p, y p es
falsa” . Pero vimos que la palabra “ falso” es ambigua y que, a fin de conseguir que
no lo sea, debemos especificar el orden de la falsedad o, lo que viene a ser lo mismo,
el orden de la proposición a la que se le atribuyó la falsedad. También vimos que, si
p es una proposición de orden «-simo, una proposición en la que intervenga p como
variable aparente no es de orden «-simo, sino de un orden más alto. Por lo tanto, la
clase de verdad o falsedad que pueda pertenecer al enunciado “ hay una proposición
p que yo estoy afirmando y la cual tiene una falsedad de orden «-simo” tiene una
verdad o falsedad de un orden superior al «-simo. Por tanto, el enunciado de
Epiménides no cae dentro de su propio alcance y, por consiguiente, no surge
contradicción.
Si consideramos el enunciado “estoy mintiendo” como una forma condensada
de ofrecer simultáneamente todos estos enunciados: “yo estoy afirmando una
proposición falsa de primer orden” , “ yo estoy afirmando una proposición falsa de
segundo orden” , y así sucesivamente, nos encontramos con el siguiente estado
curioso de cosas: como no se está afirmando una proposición de primer orden “yo
estoy afirmando una proposición falsa de primer orden” es falsa. Este enunciado es
de orden segundo, luego el enunciado “yo estoy haciendo una declaración falsa de
segundo orden” es verdadero. Este es un enunciado de tercer orden, y es el único
enunciado de tercer orden que se ha hecho. Por lo tanto, el enunciado “ yo estoy
haciendo un enunciado falso de tercer orden” es falso. Así, pues, vemos que el
enunciado “yo estoy haciendo un enunciado falso de orden 2« + 1” es falso,
mientras que el enunciado “yo estoy haciendo un enunciado falso de orden 2«” es
verdadero. En este estado de cosas no existe contradicción.
2) A fin de resolver la contradicción acerca de la clase de clases que no sean
miembros de sí mismos, supondremos —lo cual se explicará en el siguiente capítu­
lo - que una proposición acerca de una clase debe siempre reducirse a un enunciado
acerca de una función que defina la clase; esto es, sobre una función que quede
satisfecha por los miembros de la clase y no por otros argumentos. Así, pues, una
clase es un objeto derivado de una función y presuponiendo la función exactamente
como, por ejemplo, (x). 0x presupone a la función 0x. Por lo tanto, una clase no
puede, en virtud del principio del círculo vicioso, ser el argumento —con significa­
ción- de su función de definición; es decir, que si representamos por “f (0c)” a la
clase definida por 0z, el símbolo “0 { i (0z) | ” debe carecer de sentido. Por eso,
una clase ni satisface ni no satisface a su función de definición y, por lo tanto,
(como se verá de un modo más completo en el Capítulo III), ni es un miembro de sí
mismo ni no es un miembro de sí mismo. Esta es una consecuencia inmediata de la
limitación a los posibles argumentos de una función que fue explicada al principio
120
II. LA TEORIA DF. TIPOS LOGICOS
de este capítulo. Así, pues, si or es una clase, el enunciado “a no es un miembro de
o” es siempre un sin-sentido y, por lo tanto, carece de sentido en la frase “ la clase
de aquellas clases que no son miembros de sí mismas” . De este modo, desaparece la
contradicción que resulta de suponer que existe una clase de esa peculiaridad.
3) Observaciones semejantes se aplican a “la relación que se cumple entre R y S,
siempre que R no tenga la relación R con 5” . Supongamos que la relación R se
define por una función <¡>(x, ^); esto es, que R es válido entre x e y , siempre que
Ó (x, y ) sea verdadero, pero no en otro caso. Entonces, a fin de interpretar “R tiene
la relación R con S”, tendremos que suponer que R y S pueden, significativamente,
ser los argumentos de 0. Pero (suponiendo, como se verá en el Capítulo III, que R
presupone su función de definición) esto requeriría que 0 fuese capaz de tomar
como aigumento un objeto que se defina en términos de 0, y esto no puede dar una
función, como vimos al principio de este capítulo. Por consiguiente, “R tiene la
relación R con S" es un sin-sentido, y la contradicción desaparece.
4) La relación de la contradicción de Burali-Forti requiere un desarrollo poste­
rior para su solución. En esta etapa, debe ser suficiente observar que una serie es
una relación y que un número ordinal es una clase de series. (Estos enunciados se
justifican a lo largo del libro). Por tanto, una serie de números ordinales es una
relación entre clases de relaciones, y es de un tipo superior al de cualquier
serie que sea miembro de los números ordinales en cuestión. El “número
ordinal de todos los ordinales” , de Burali-Forti, debe ser el número ordinal de todos
los ordinales de un tipo dado y, por lo tanto, debe ser un tipo superior al de
cualquiera de estos ordinales. Por ende, no es ninguno de estos ordinales, y no
existe contradicción en que sea mayor que cualquiera de ellos (40).
5) La paradoja acerca de “el menor entero no nombrable con menos de
diecinueve sílabas” incorpora, como es obvio, una falacia de círculo vicioso. Por lo
que respecta a la palabra “nombrable” , hace referencia a la totalidad de los nombres
y, sin embargo, se le puede admitir que se presente manifestando ser uno entre
nombres. Por consiguiente, no puede haber algo que sea una totalidad de nombres,
en el sentido en el que la paradoja habla de “nombres” . Es fácil ver que, en virtud
de la jerarquía de funciones, la teoría de tipos ofrece una totalidad de “nombres”
imposible. Podemos, de hecho, distinguir nombres de diferentes órdenes de la
manera siguiente: (a) Nombres elementales, que serán verdaderos del mismo modo
que lo son los “ nombres propios” ; esto es, apelativos convencionales que no
entrañan ninguna descripción. (¿>) Nombres de primer orden, que son los que
contienen una descripción por medio de una función de primer orden; es decir, si
0 ! x es una función de primer orden, “el término que satisface a 0 ! x ” será un
nombre de primer orden, aunque no siempre exista un objeto denominado por este
nombre, (c) Nombres de segundo orden, que son aquellos que abarcan una descrip­
ción por medio de una función de segundo orden; entre tales nombres se encuen(40)
La solución de la paradoja de Burali-Forti por medio de la teoría de tipos se ofrece con
detalle en *256.
121
INTRODUCCION
tran aquellos que contienen una referencia a la totalidad de los nombres de primer
orden. Con lo cual podemos proceder a través de una jerarquía total. Pero en esta
etapa no podemos dar un significado a la palabra “nombrable” a no ser que
especifiquemos el orden los nombres a emplear; y cualquier nombre en el que
intervenga la frase “nombrable por nombres de orden rt" es necesariamente de un
orden superior al w-simo. Así, pues, la paradoja desaparece.
Las soluciones de la paradoja sobre el menor ordinal indefinible y de la paradoja
de Richard son muy parecidas a la precedente. La noción de “ definible” , que se
presenta en ambas, es aproximadamente la misma que la de “ nombrable” que
aparece en nuestra quinta paradoja: “definible” representa lo que “ nombrable”
viene a ser cuando se excluyen los nombres elementales; esto es, “definible”
significa “ nombrable por un nombre que no es elemental” . Pero aquí, por lo que
respecta al tipo, hay la misma ambigüedad que había antes, así como la misma
necesidad en cuanto a la adición de palabras que especifiquen el tipo al cual deben
pertenecer la definición. Y aún cuando pueda especificarse el tipo, “el menor
ordinal no definible por las definiciones de este tipo” es una definición de un tipo
superior; y en la paradoja de Richard, cuando nos ceñimos, como debemos, a
decimales que tengan una definición de un tipo dado, el número N, que causa la
paradoja, se encuentra que tiene una definición que pertenece a un tipo superior y
que, de este modo, no entra dentro del alcance de nuestras definiciones previas.
Fácilmente puede construirse un número indefinido de otras contradiccionés de
naturaleza semejante a las de las siete expuestas. En todas ellas, la solución es del
mismo tipo. En todas ellas, la apariencia de contradicción se debe a la presencia de
alguna palabra que tiene ambigüedad sistemática de tipo, tales como verdad,
falsedad, fundón, propiedad, clase, relación, cardinal, ordinal, nombre, definición.
Cualquiera de estas palabras, si se pasa por alto su típica ambigüedad, en apariencia
generaría una totalidad que contiene miembros definidos en términos de sí mismo,
y, así, daría origen a falacias de círculo vicioso. En la mayoría de los casos, las
conclusiones de los argumentos que incluyen falacias de círculo vicioso no serán
autocontradictorias; pero dondequiera que tengamos una totalidad ilegítima, una
pequeña ingenuidad nos capacitará para construir una falacia de círculo vicioso,
llevando a una contradicción que desaparece tan pronto como las palabras típica­
mente ambiguas se vuelven típicamente definidas; esto es, se determinan como
pertenecientes a éste o aquel tipo.
Así, pues, la apariencia de contradicción siempre se debe a la presencia de
palabras que incorporan una ambigüedad típica que está encubierta; asimismo, la
solución de la contradicción que aparece estriba en descubrir la ambigüedad oculta.
A pesar de las contradicciones que resultan de ambigüedades típicas que pasan
desapercibidas, no es deseable rehuir de las palabras y símbolos que tengan una
ambigüedad típica. Tales palabras y símbolos abarcan prácticamente todas las ideas
por las que se interesa la matemática y la lógica matemática: la ambigüedad
sistemática es el resultado de una analogía sistemática. Es decir, en casi todos los
122
11. LA TKORIA DE TIPOS LOGICOS
razonamientos que constituyen a la matemática y a la lógica matemática, estamos
utilizando ideas que pueden admitir una cualquiera de entre un número infinito de
diferentes determinaciones típicas, una de lasque permitan el razonamiento válido.
Así, pues, por medio del empleo de palabras y símbolos típicamente ambiguos,
somos capaces de realizar una cadena de razonamientos aplicable a un caso cual­
quiera entre infinitos, lo cual no hubiese sido posible si hubiésemos rechazado el
uso de las palabras y símbolos típicamente ambiguos.
Entre las proposiciones expresadas en la práctica de una manera total en
términos de nociones típicamente ambiguas, las únicas que pueden diferir, con
respecto a la verdad o falsedad, de acuerdo a la determinación típica que recibieron
están los teoremas de existencia. Si suponemos que el número total de individuales
es n, entonces el número total de clases de individuales es 2” , el número total de
clases de clases de individuales es 22'1, y así sucesivamente. Aquí, n puede ser finito
o infinito, y, en cualquier caso, 2" > n. Así, pues, números cardinales mayores que
n pero no mayores que 2” existen en cuanto que aplicados a clases de clases, pero
no como aplicados a clases de individuales, de tal manera que, cualquiera que sea el
número de individuales que supongamos, habrá teoremas de existencia que son
válidos para tipos superiores pero no para los inferiores. Hasta aquí, sin embargo, en
tanto que no se asevera el número de individuales, sino que sólo se asume
hipotéticamente, podemos sustituir el tipo de los individuales por cualquier otro
tipo, con tal que hagamos el correspondiente cambio en los demás tipos que
intervienen en el mismo contexto. Esto es, podemos dar el nombre de ‘‘individuales
relativos” a los miembros de un tipo r elegido arbitrariamente, y el nombre de
“clases relativas de individuales” a las clases de “individuales relativos” , y así
sucesivamente. Así, pues, en tanto que sólo competen las hipotéticas, en las que los
teoremas de existencia para un tipo se ve que están implicados por teoremas de
existencia para otro tipo, sólo los tipos relativos son relevantes aún en los teoremas
de existencia. Esto se aplica también a los casos en los que la hipótesis (y, por lo
tanto, la conclusión) está aseverada, supuesto que la aseveración vale para cualquier
tipo que se elija. Por ejemplo, cualquier tipo tiene por lo menos un miembro; luego,
un tipo que consista en clases, de cualquier orden, tiene por lo menos dos
miembros. Pero el interés adicional por estas cuestiones debe quedar al margen del
contenido de este trabajo.
123
CAPITULO III
SIMBOLOS INCOMPLETOS
1) Descripciones. Por símbolo “incompleto” entendemos un símbolo del que se
supone que no tiene ningún significado aisladamente, sino que sólo se define en
ciertos contextos. En la matemática ordinaria, por ejemplo, — y JT* son símbolos
ox
“
incompletos: con anterioridad debe facilitarse algo para que nos resulten significan­
tes. Tales símbolos pueden denominarse “ definición de uso” . Así, si ponemos
V* =
0**+ a.v*+ a**
Df,
definimos el uso de V2 , aunque V 2 por sí misma permanece sin significado. Esto
distingue a tales símbolos de los que (en un sentido generalizado) podemos llamar
nombres propios', “ Sócrates” , por ejemplo, significa una cierta persona, y por tanto
tiene un significado por sí mismo sin necesidad de un contexto. Si proporcionamos
un contexto, tal como “ Sócrates es mortal” , estas palabras expresan un hecho del
cual el propio Sócrates es un constituyente: existe un cierto objeto, llamado
Sócrates, que tiene la propiedad de la mortalidad, y este objeto es un constituyente
del hecho complejo que aseveramos cuando decimos “ Sócrates es mortal” . Pero, en
otros casos, este análisis simple no nos sirve. Supóngase que decimos: “el cuadrado
redondo no existe” . Parece claro que ésta es una proposición verdadera, aunque no
podemos entenderla como la negación de la existencia de un cierto objeto llamado
“el cuadrado redondo”. Si hubiese un objeto tal, existiría: no podemos suponer
primero que hay un objeto cierto y entonces proceder a negar que haya tal objeto.
Siempre que el sujeto gramatical de una proposición no pueda suponerse que exista
sin convertir la proposición en un sin-sentido está claro que el sujeto gramatical no
es un nombre en sentido propio; es decir, no es un nombre que represente
directamente a un objeto. Así, en todos los casos de este tipo, la proposición debe
ser capaz de ser analizada de manera que lo que era sujeto gramatical debe haber
desaparecido. De este modo, cuando decimos que “el cuadrado redondo no existe”
podemos, como primera tentativa en tal análisis, sustituirlo por “es falso que haya
un objeto x que sea, a la vez, redondo y cuadrado” . Generalmente cuando se dice
que “ tal cosa” no existe, tenemos una proposición de la forma (41).
E ! (Ja) (<fw),”
es decir,
(41) Cf.pp. 85,86.
124
III. SIMBOLOS INCOMPLETOS
a alguna equivalente. Aquí, el sujeto gramatical aparente (ix) (<px) ha desaparecido
completamente; así, en
E ! (ix) (<fac)”, (ix) (4>x) es un símbolo incompleto.
Por una extensión del argumento anterior, puede fácilmente mostrarse que
(jx)($ x) es siempre un símbolo incompleto. Tomemos, por ejemplo, la siguiente
proposición: “ Scott es el autor de Waverley” . [Aquí “ el autor de Waverley” es
(?x) (x escribió Waverley)]. Esta proposición expresa una identidad; así, pues, si “el
autor de Waverley” pudo tomarse como un nombre propio y suponer que significa
un objeto c, la proposición sería “Scott es c” . Pero si c es cualquier cosa excepto
Scott, esta proposición es falsa; mientras que si c es Scott, la proposición es “ Scott
es Scott” , lo cual es trivial y claramente diferente de “ Scott es el autor de
Waverley” . Generalizando, vemos que la proposición
a
= {i x )($ x )
es algo que puede ser verdadero o falso, pero nunca es meramente trivial, como
a = a; mientras que si (ix) (<px) fuese un nombre propio, a = (ix) (<px) necesariamen­
te sería o falso o lo mismo que la proposición trivial a = a. Podemos expresar esto
diciendo que a = ( ) (<¡¡x) no es un valor de la función proposicional a = y , de la
cual resulta que (ix) ($x) no es un valor de y. Pero ya que y puede ser cualquier
j x
cosa, resulta que (ix) ($x) no es nada. Por tanto, ya que tiene significado en uso,
debe ser un símbolo incompleto.
Podría sugerirse que “Scott es el autor de Waverley” afirma que “Scott” y “el
autor de Waverley” son dos nombres del mismo objeto. Pero una breve reflexión
mostrará que esto sería un error. Pues, si ése fuera el significado de “ Scott es el
autor de Waverley” , lo que sería necesario para su verdad sería que Scott debería
haber sido llamado el autor de Waverley: si él también se hubiese llamado así, la
proposición sería verdadera, aun cuando cualquier otro hubiese escrito Waverley;
mientras que si nadie dice que sea el autor la proposición sería falsa, aun cuando él
hubiese escrito el Waverley. Pero de hecho él fue el autor de Waverley en una
ocasión en que nadie lo llamaba así, y él no habría sido el autor, aunque todos lo
hubiesen llamado así, si otro hubiese escrito el Waverley. De este modo, la
proposición “ Scott es el autor de Waverley” no es una proposición acerca de
nombres, como “ Napoleón es Bonaparte” ; y esto ilustra el sentido en el que “el
autor de Waverley” difiere de un verdadero nombre propio.
Así, pues, todas las frases (salvo las proposiciones) que contengan la palabra el
(en singular) son símbolos incompletos: tienen un significado en uso, pero no
aisladamente. Pero “el autor de Waverley” no puede significar lo mismo que
“ Scott” , o “ Scott es el autor de Waverley” debe significar lo mismo que “ Scott es
Scott” , lo que claramente se ve que no; ni puede “el autor de Waverley” significar
otra cosa que “ Scott” , o “ Scott es el autor de Waverley” sería falso. De aquí que
“el autor de Waverley” no significa nada.
De lo dicho resulta que no debemos intentar definir “(ix)($x)” ; sino que
debemos definir los usos de este símbolo, es decir, las proposiciones en cuya
125
INTRODUCCION
expresión simbólica intervienen. Ahora, al tratar de definir los usos de este símbolo,
es importante observar la importancia de las proposiciones en las que interviene.
Tomemos como ilustración: “ El autor de Waverley fue un poeta” .
Esto implica (1) que Waverley fue escrito, (2) que fue escrito por un hombre y
no en colaboración, (3) que el hombre que lo escribió fue un poeta. Si algunas de
éstas falla, la proposición es falsa. Así, pues, “ el autor de ‘Slawkenburgius on Noses’
fue un poeta” es falso, porque tal libro nunca fue escrito; “el autor de ‘The Maid’s
Tragedy’ fue un poeta” es falso, porque esta obra fue escrita juntamente por
Beaumont y Fletcher. Estas dos posibilidades de falsedad no aparecen si decimos
“Scott fue un poeta” . Así, pues, nuestra interpretación de los usos de (»x) (0x) debe
ser tal como para dedicarle un tiempo a ellos. Tomando ahora <f>x para sustituir a “x
escribió Waverley”, es obvio que cualquier expresión clara acerca de (ix) ($x) exige:
(1) (3 x ) . (0x) y (2) <¡ac ,<¡>y. Dx>y . x = y; aquí (1) manifiesta que por ¡o menos un
objeto satisface a <t>x, mientras que (2) declara que a lo sumo un objeto satisface a
0x. Ambas juntas equivalen a
(ge) :<¡>x.=x .x = c,
que definimos como
E ! (w) (4>x).
Así, pues, “ E ! (tx) ($x)” debe ser parte de lo que se afirma mediante una proposi­
ción acerca de (uc) (#x). Si nuestra proposición es / { (w) ($ x )}, lo que se afirma
además es fe, si $x . =* . x = c Por tanto, tenemos
/¡(la r)(^ )) • = : ( a c):<t>x.=„.x=c:fc Df,
es decir, “ la x que satisface a <px satisface a fx " significa: “Existe un objeto c tal que
<t¡x es verdadero cuando, y sólo cuando, x sea c, y fe sea verdadero” ; o, más
exactamente: “ hay una c tal que ‘$x’ es siempre equivalente a ‘x es c \ y fe". En
ésta, “(ur)(#x)” ha desaparecido completamente; por tanto, “(ix) (<px)” es mera­
mente simbólica y no representa directamente a un objeto, como se suponen que
hacen las letras latinas minúsculas (42).
Fácilmente se muestra que la proposición “a = ( u ) (#x) es equivalente a
“$x . =x . x = a ” . Por definición es
(ge) '• <f>x•=x-£=Cia~c,
esto es, “existe una c para la cual 0 x . % . x = c, y esta c es a” , lo que es
equivalente a “# x . =* . x = a” . Por tanto, “Scott es el autor de Waverley” es
equivalente a:
“ ‘x escribió Waverley’ es siempre equivalente a ‘x es Scott’ ” ,
es decir, “x escribió Waverley” es verdadera cuando x es Scott y falsa cuando x no
sea Scott.
(42) En lo sucesivo, generalmente, preferimos escribir “/ (ix) (0x)” en vez de “/{(»x)
126
III. SIMBOLOS INCOMPLETOS
De este modo, aunque “(ix) (<¡>x)” no tiene significación por sí misma, puede
sustituirse por y en cualquier función proposicional fy, obteniendo una proposición
significante, aunque no un valor de fy.
Cuando / | (tx) (<px) }, tal como fue definida anteriormente, forme parte de otra
proposición, diremos que (ix)(0x) tiene una ocurrencia secundaria. Cuando
(ix) (<¡íx ) tiene una ocurrencia secundaria, una proposición en la cual se presente
puede ser verdadera incluso cuando (ix) (<px) no exista. Esto se aplica, por ejemplo,
a la proposición “No existe una persona tal que sea el Rey de Francia” . Podemos
interpretar esto como
~
O como
[E'.(ix){<f>x)\,
~ í(ac)-c« (ta)(£ r)¡,
si “$x” significa “x es el rey de Francia” . En otro caso lo que se afirma es que una
proposición p en la cual interviene (ix) (0x) es falsa, y que esta proposición p es, de
este modo, parte de una proposición más grande. Lo mismo se aplica a una
proposición tal como la siguiente: “Si Francia fuese una monarquía, el rey de
Francia sería de la Casa de Orleans” .
Debe observarse que una proposición tal como
~ / ((«)(</>*))
es ambigua; ello puede negar/ { (ix) (<¡>x) | , en cuyo caso será verdadera si (ix) ($x)
no existe, o puede significar
(ge): <¡>x. =x. x = c : ~ /c ,
en cuyo caso sólo puede ser verdadero si (ix)(#x) existe. En el lenguaje común
debería adoptarse ordinariamente la última interpretación. Por ejemplo, la proposi­
ción “el rey de Francia no es calvo” ordinariamente debería rechazarse como falsa,
manteniéndose la significación “el rey de Francia existe y no es calvo” . Cuando
(?x) (<¡>x) existe, las dos interpretaciones de la ambigüedad dan resultados equivalen­
tes; pero cuando (ix) (£x) no existe, una interpretación es verdadera y la otra es
falsa. Es necesario poder distinguirlas en nuestra notación; y generalmente si
tenemos proposiciones tales como
p .D .-> fr(lx) ( <f>x),
^ (lx )(4 > x ).0 .X (lx)(<px),
y así sucesivamente, debemos ser capaces mediante nuestra notación de distinguir si
la totalidad o sólo parte de la proposición en cuestión debe ser considerada como la
“/ ( ix) (#*)” de nuestra definición. Con este objeto pondremos “ [(txX0x)]” seguido
de puntos al comienzo de la parte (o totalidad) que sea considerada como
f(ix)(<px), siendo el número de los puntos suficiente para eximir de paréntesis al
/ (ix) ($x); es decir que / (ix) (<¡ix) afecta a cuanto sigue a los puntos hasta alcanzar
un número de puntos igual, no significando ni un producto lógico, ni un mayor
127
INTRODUCCION
número en caso de significar un producto lógico, ni final de la frase, ni el final de un
corchete que encierra “ [(ix) (#*)]” . Así, pues,
significa
pero
Significa
[(»*)<$*)] ■+(»*)($*) • 3 .p
(a c ):^ r.= « .* = c :^ c :D .p >
[(»*)(♦ *)]:’>’•(»*>(♦ *)•3
(a c):£a:.=,.;e = c: ^ - 3 . p .
Es importante distinguir estas dos proposiciones, pues si (jx) (<px) no existe, la
primera es verdadera y la segunda falsa. De nuevo
[(**) (♦*)] • ~ 'k (»*) (fa)
significa
mientras que
significa
(a«)
.* = c : ~ ^rc,
~ {[(’*) (*&)]*^ (»)(*«)}
~ Kae) i$x .=f .x = c: -^c).
Aquí de nuevo, cuando (ix) ($x) no exista, la primera será falsa y la segunda
verdadera.
A fin de evitar esta ambigüedad en las proposiciones que contengan (rx) (<fx),
reformamos nuestra definición —o más bien nuestra notación—poniendo:
[(«0(£*)] ■/(»*)(<t>*)• = : (ge) :<j>x.^.x = c:/c Df.
Por medio de esta definición, evitamos cualquier duda en cuanto a la parte de la
proposición aseverada en su totalidad que debe considerarse como el “/(u c )(# x )”
de la definición. Esta parte se llamará el alcance de (ix) (<f>x). Así, en
[(»*) ($*)] .f(ix) (<t>x). D .p
el alcance de (w) (<px) e s /(ix ) ((jar); pero en
t(’*) (<M] :/(»*) (£*). 3 .p
el alcance es
/(>*)($*)• 3 . p;
en
~ ([(»*) (</*)] ■/(»*) (<M)
el alcance e s /(ix ) ( 0x); pero en
[(»*) (<px) ] . ~ / ( w )
el alcance es
(<px)
~ /(ra )( 0x).
Se verá que cuando (ix) (<t>x) tiene la totalidad de la proposición abarcada por su
alcance, la proposición en cuestión no puede ser verdadera salvo que E I (ix) (#x);
pero cuando (ix) (<fix) tiene solamente una parte de la proposición abarcada por su
alcance, puede con frecuencia ser verdadera aun cuando no exista (ix) (0x). Ade­
más, se verá que cuando E ! (jx ) (<px), podemos ampliar o reducir el alcance de
(ix) (<px) tanto como gustemos sin que se altere el valor de verdad de la proposición
en la que esto ocurra.
Si una proposición contiene dos descripciones, digamos (ix) (#x) y (ix)(i//x),
128
III. SIMBOLOS INCOMPLETOS
hemos de distinguir cuál de ellas tiene mayor alcance; es decir, hemos de discernir
entre
(1)
(2)
[(wr)(M ]: [(«■)<’/'■*)] •/((»*) (M . (»*) (Ml>
\Ü*) ( M I =[(») (M ] •/{(»*) (M . (Mr) (M ).
La primera de éstas, eliminando (ix)(<¡>x), se convierte en
(3)
(ge) :<f>x.=x . x = c : [(»ar)(M)] .f[e, (m ) ( M ) .
la cual, eliminando ( « ) (\¡/x), se convierte en
W
(ge) '-<f>x.sx . x = c : . ( ^ d ) : ^ r x . s x . x = d :/( c , d),
y la misma proposición resulta si, en (I ) eliminamos primero (jr)($ jr)y después
(ur) (<t>x). Análogamente, (2), cuando se eliminan (uc) {<¡>x) y (tt) (i/oc), se convierte
en
(5)
(a¿) ‘• •'i'x.=x .x*=d:.(ge): >f>x. s m. x = c:/(c,d).
(4) y (S) son equivalentes, de forma que el valor de verdad de una proposición que
contiene dos descripciones es independiente de la cuestión de cuál de ellas tiene
mayor alcance.
Se encontrará que, en muchos casos en los que intervienen descripciones, su
alcance es, en la práctica, la más pequeña proposición contenida entre puntos u
otros corchetes en las que ellas se contienen. Así, por ejemplo
[(»*) ( M I • f ( ! * ) ( M . 3 . [ ( tó ) ( M ] .x(ix)(<t>x)
aparecerá mucho más frecuentemente que
[(?») ( M ] : i/r (ix)(<fix).2.x (Mr) (<px).
Por esta razón, es conveniente decidir que, cuando el alcance de una ocurrencia
de (ix)(4>x) es la proposición más pequeña, encerrada entre puntos o corchetes, en
la cual está contenida dicha ocurrencia, el alcance no necesita ser indicado por
“[(ur) (<Ax)]” . Así, por ejemplo
significa
y
significa
y
significa
pero
significa
p. D .a = (lx)(<fa:)
P • 3 • [(Mr) (M I • a = (Mr) ( M ;
P • 3 . (gu). a = (?ar) (<f>x)
P • 3 ■(3“) • [(>•*) (M ] • ®= (’«•) (M :
p . D . a (íar) ($x)
p .O . [(Jar) (M ]
i“ = (»*) ( M I ;
p . D . ~ (a ■■(Mr) (<f>x)¡
P • 3 ■~ [[(«) (M I • “ “ (w) (M I-
Esta convención nos permite, en la mayoría de los casos que se presentan, hacer
caso omiso de la indicación explícita del alcance de un símbolo descriptivo; y se
encontrará que la convención concuerda muy estrechamente con la convención
129
INTRODUCCION
tácita del lenguaje ordinario sobre este asunto. Así, por ejemplo, si “( « ) (<£*)” es
“ fulano de tal” “a =£ (jx) (fa)", se leerá “a no es fulano de tal” , lo cual ordinaria­
mente se considera como que da a entender que “ fulano de tal” existe; pero
{a = (ix) ($ x )} ” se lee “no es verdad que a sea fulano de tal” , lo cual
generalmente debe considerarse válida si es que “ fulano de tal” no existe. El
lenguaje ordinario es, desde luego, más bien libre y fluctuante en sus impli­
caciones sobre esta materia; pero sin prejuicio de la exigencia de la exacti­
tud, nuestra convención parece que se mantiene lo más cercana posible al
lenguaje ordinario.
En el caso de que la proposición más pequeña situada entre puntos o paréntesis
contenga dos o más descripciones, supondremos —si no hay indicación de lo contra­
rio - que lo que se presente tipográficamente primero tiene un alcance mayor que
lo que aparezca tipográficamente después. Así, pues,
(ix)(<f>x) = (ix )ty x )
significa
mientras que
significa
(ge): <¡>x. s x . x = c : [(»*) ( ^ ) ] • c = (u ) (ifrx),
(ix)(^x)-=(tx)(<f>x)
( ^ d ) : f x . = z . x = d: [(?*)(<£.r)] ■( » * ) * = d.
Fácilmente se observa que estas dos proposiciones son equivalentes.
2) Clases. Los símbolos para clases, al igual que los símbolos para las descripcio­
nes son, en nuestro sistema, símbolos incompletos; sus «sos están delimitados, pero
en sí mismos no conllevan significación alguna. Es decir, los usos de tales símbolos
están tan determinados que, cuando el definiens se sustituye por el definiendum, ya
no permanece el símbolo que se suponía que representaba a una clase. Así, pues, las
clases -h asta el punto en que las hemos introducido- son convenciones meramente
simbólicas o lingüísticas, y no objetos genuinos como lo son sus miembros si son
individuales.
Existe una antigua discusión acerca de si la lógica formal debería ocuparse
principalmente de las intensiones o de las extensiones. En general, los lógicos cuya
formación fue preferentemente filosófica han optado por las intensiones, mientras
que los de formación principalmente matemática se han decidido por las extensio­
nes. Los hechos parecen ser que, mientras los lógicos matemáticos prefieren las
extensiones, los lógicos filosóficos declinan a ofrecer cualquier cosa que no sean las
intensiones. Nuestra teoría de clases admite y reconcilia estas dos actitudes aparen­
temente opuestas, mostrando que una extensión (que es lo mismo que una clase) es
un símbolo incompleto, cuyo uso siempre consigue su significación a través de una
referencia a la intensión.
En el caso de las descripciones fue posible probar que son símbolos incompletos.
En cuanto a las clases, no sabemos de ninguna prueba igualmente determinada,
aunque argumentos de mayor o menor fuerza lógica pueden obtenerse del viejo
130
III. SIMBOLOS INCOMPLETOS
problema del Uno y el Muchos (43). No obstante, para nuestro objetivo, no es
preciso afirmar dogmáticamente que no existen cosas tales como las clases. Sólo nos
es necesario mostrar que los símbolos incompletos que introducimos como repre­
sentantes de las clases producen todas las proposiciones, a causa de lo cual las clases
pueden considerarse esenciales. Cuando se ha mostrado esto, el mero principio de
economía de las ideas primitivas nos lleva a no introducir las clases salvo como
símbolos incompletos.
Para explicar la teoría de clases es necesario explicar primero la diferencia que
existe entre las funciones extensionales y las intensionales. Esto se lleva a cabo por
medio de las siguientes definiciones:
El valor de verdad de una proposición es la verdad si es verdadera y es la falsedad
si es falsa. (Esta proposición se debe a Frege).
Dos proposiciones se dice que son equivalentes cuando tienen el mismo valor de
verdad; es decir, cuando ambas son verdaderas o ambas son falsas.
Se dice que dos proposiciones son formalmente equivalentes cuando son equiva­
lentes para todo argumento posible; esto es, cuando cualquier argumento que
satisface a una satisface también a la otra, y viceversa. Así, pues, “Je es un hombre”
es formalmente equivalente a "x es un bípedo implume” ; “x es un primo par” es
formalmente equivalente a "x es idéntico a 2” .
Una función de función se llama extensional cuando su valor de verdad para
cualquier argumento es el mismo que para cualquier aigumcnto formalmente
equivalente. Es decir, f (<t>¿) es una función extensional de <f>£ si -dado que t//z es
formalmente equivalente a <p¿-, /( 0 z ) es equivalente a / (i^i). Aquí, las variables
aparentes <
¡>y \¡/ son necesariamente del mismo tipo que tienen los argumentos que
significativamente puede tener f. No consideramos necesario emplear como varia­
bles aparentes funciones de tipos no predicativos; de acuerdo con esto, en lo
sucesivo, todas las funciones extensionales se considerarán de hecho como funcio­
nes de funciones predicativas (44).
Una función de función se dice que es intensional cuando no es extensional.
La naturaleza e importancia de la distinción entre funciones intensionales y
extensionales se aclarará mediante algunos ejemplos. La proposición “ ‘x es un
hombre’ implica siempre lx es mortal’ ” es una función extensional de la función “í
es un hombre” , porque podemos sustituir “jc es un hombre” por “jr es un bípedo
implume” o por cualquier otra expresión que sea aplicable a los mismos objetos a
los que se puede aplicar “x es un hombre” y no a otros objetos. Sin embargo, la
(43) I'n pocas palabras, estos argumentos se reducen al siguiente: si existe un objeto tal
como una clase, en algún sentido debe ser un objeto. Aunque sólo sea de las clases de lasque
pueden predicarse el muchos. Por lo tanto, si admitimos las clases como objetos, debemos
suponer que el mismo objeto puede ser a la vez uno y muchos, lo cual parece imposible.
(44) Cf. p. 110.
131
INTRODUCCION
proposición “A cree que ‘x es un hombre’ implica siempre a ‘x es mortal’ ” es una
función intensional de 'Si es un hombre’, porque A pudo no haber considerado
nunca la cuestión de si los bípedos implumes son mortales, o puede creer errónea­
mente que hay bípedos implumes que no son mortales. Así, pues, aún cuando “x es
un bípedo implume” es formalmente equivalente a “x es un hombre” , de ningún
modo se sigue de ello que una persona crea que todos los hombres son mortales
debe creer que todos los bípedos implumes son mortales, ya que pudo no haber
pensado nunca acerca de los bípedos implumes, o haber supuesto que los bípedos
implumes no siempre son hombres. Una vez más, la proposición “el número de
argumentos que satisface la función 0 ! z es «” es una función extensional de 0 ! i
porque su verdad o falsedad es incambiable si sustituimos en lugar de 0 ! z cualquier
otra función que sea verdadera siempre que 0 ! i sea verdadera, y falsa siempre que
0 ! f sea falsa. Sin embargo, la proposición "A afirma que el número de argumentos
que satisfacen a 0 ! i es n” es una función intensional de 0 ! i , ya que si A afirma
esto, que se refiere a 0 ! i , él ciertamente no puede afirmarlo refiriéndolo a todas
las funciones predicativas que son equivalentes a 0 ! i , porque la vida es demasiado
breve. Consideremos, de nuevo, la proposición “ dos blancos pretenden haber
alcanzado el Polo Norte” . Esta proposición manifiesta que “ dos argumentos satisfa­
cen a la función 'si es un blanco que pretende haber alcanzado el Polo Norte’ ” . La
verdad o falsedad de esta proposición no queda afectada si sustituimos “x es un
blanco que pretende haber alcanzado el Polo Norte” por cualquier otra expresión
que sea válida para los mismos argumentos, y no para otros. Por lo tanto, es una
función extensional. Pero la proposición “existe una rara coincidencia en que dos
blancos hayan pretendido haber alcanzado el Polo Norte” , lo cual indica que
“existe una rara coincidencia en que dos argumentos deban satisfacer la función ‘i
es un blanco que pretende haber alcanzado el Polo Norte’ ” no es equivalente a
“ existe una rara coincidencia en que dos argumentos deban satisfacer la función 'Si
es el Dr. Cook o el Comandante Peary’ Así, pues, “existe una rara coincidencia
en que 0 ! x deba ser satisfecha por dos argumentos” es una función intensional de
0 ! Si.
Los ejemplos anteriores ponen de manifiesto el hecho de que las funciones de
funciones que interesan especialmente a los matemáticos son extensionales, mien­
tras que las funciones de funciones que sean intensionales sólo se presentan cuando
se introducen ¡deas no-matemáticas, tales como lo que alguien cree o afirma, o las
emociones suscitadas por algún hecho. Por lo tanto, es natural en una lógica
matemática insistir de una manera especial en las funciones de funciones que sean
extensionales.
Cuando dos funciones son formalmente equivalentes, podemos decir que ambas
tienen la misma extensión En esta definición estamos en total acuerdo con el uso.
No suponemos que haya algo tal como la extensión: sólo definimos la frase
completa “teniendo la misma extensión” . Ahora no podemos decir que una función
extensional de una función es aquella cuya verdad o falsedad dependa únicamente
de la extensión de sus argumentos. En un caso así, es conveniente tratar el
132
III. SIMBOLOS INCOMPLETOS
enunciado en cuestión bajo el punto de vista de la extensión. Puesto que las
funciones extensionales son numerosas e importantes, es natural considerar la
extensión como un objeto al que llamamos clase, y que se supone que sea el sujeto
de todos los enunciados equivalentes relativos a las funciones formalmente equiva­
lentes. Así, por ejemplo, si decimos “hubo doce Apóstoles” , es natural considerar
este enunciado como algo al que se le atribuye la propiedad de que sean doce a una
cierta colección de hombres (a saber, aquellos que fueron los Apóstoles), mejor que
atribuirle la propiedad de que la función “jc era un Apóstol” sea satisfecha por doce
argumentos. Este punto de vista queda reforzado por el sentimiento de que hay
algo que es idéntico en el caso de dos funciones que “ tienen la misma ex­
tensión” . Y si tomamos problemas tan simples como “¿cuántas combinaciones
pueden hacerse con n cosas? ” , a primera vista parece necesario que cada “ combina­
ción” deba ser un objeto único que pueda contarse como uno. Esto, sin embargo,
no es técnicamente necesario, y no vemos razón alguna para suponer que sea
filosóficamente verdadera. El procedimiento técnico por el que se supera esta
aparente dificultad es como se explica a continuación.
Hemos visto que una función extensional de una función puede considerarse
como una función de la clase determinada por la función-argumento, pero que no
puede serlo una función intensional. A fin de evitar la necesidad de dar un
tratamiento diferente a funciones de funciones intensionales de las que sean
extensionales, construimos una función extensional derivada de una función de
función predicativa,
I ¿, que tenga la propiedad de ser equivalente a la función de
la que se deriva, ya que esta función es extensional, así como a la propiedad de ser
significante (merced a la ayuda de la ambigüedad sistemática de la equivalencia) con
cualquier argumento 4>¿, con tal que estos argumentos sean del mismo tipo que los
de \¡/ ! i . La función derivada, escrita como “/{ f(0 z )} ” , se define de la siguiente
manera: Dada una función f(i¡/ ! i) , nuestra función derivada viene a ser “ hay una
función predicativa que es formalmente equivalente a <t>í y que satisface a / ”. Si <t>¿
es una función predicativa, nuestra función derivada será verdadera siempre que
/($ £ ) sea verdadera. Si f (<p¿) es una función extensional, y <pí es una función
predicativa, nuestra función derivada no será verdadera salvo que/ (<pz) sea verdade­
ra; asi, pues, en este caso, nuestra función derivada es equivalente a /(# £ ). Si / (<t>z)
no es una función extensional, y si 0f es una función predicativa, nuestra función
derivada puede algunas veces ser verdadera cuando la función original sea falsa.
Pero, en cualquier caso, la función derivada es siempre extensional.
A fin de que la función derivada sea significante para una función <p¿, de
cualquier orden, con tal que tome argumentos del tipo correcto, es necesario y
suficiente que f{\[t ! f ) sea significante, en donde \p i z es una función predicativa
cualquiera. La razón de esto es que, con respecto a un argumento <p¿, sólo
necesitamos la hipótesis de que sea formlamente equivalente para alguna función
predicativa \¡/ ! i , y que la equivalencia formal tenga la misma clase de ambigüedad
sistemática en cuanto al tipo que pertenece a la verdad y falsedad, y pueda, por
tanto, tener validez entre funciones de dos tipos diferentes, supuesto que las
133
INTRODUCCION
funciones toman argumentos del mismo tipo. Así, pues, por medio de nuestra
función derivada no sólo hemos ofrecido funciones extensionales en todos los sitios
en lugar de funciones intensionales, sino que prácticamente hemos eliminado la
necesidad de considerar las diferencias de tipo entre funciones cuyos argumentos
son del mismo tipo. Esto da lugar a la misma clase de simplificación en nuestra
jerarquía que la que resultaría de no haber considerado nada más que funciones
predicativas.
Si /"(i// ! i) puede constituirse por medio de las ideas primitivas de disyunción,
negación, ( x ) . 0x, y ( 3 - t) . 0x, (como en el caso de todas las funciones de funciones
que se presentan explícitamente en este trabajo) se encontrará que, en virtud de la
ambigüedad sistemática de las ideas primitivas expuestas anteriormente, cualquier
función
cuyos argumentos sean del mismo tipo que los de 0 I f pueden
sustituirse significativamente por 0 ! i en / sin hacer ningún otro cambio en el
simbolismo. Así, pues, en un caso tal como el dicho, y que lo sea simbólicamente,
aunque no realmente, la misma función / puede recibir como argumentos funciones
de varios tipos distintos. Si, con un argumento dado <¡>£, la función/(0£), interpre­
tada así, es equivalente a / ( 0 1 z), siempre que 0 ! £ sea formalmente equivalente a
0£, entonces f { £ (0z)} es equivalente a f (<¡¿), puesto que hay una función predica­
tiva formalmente equivalente a 0z. En este punto, hacemos uso del axioma de la
reducibilidad, de acuerdo con el cual siempre hay una función predicativa formal­
mente equivalente a <¡>£.
Como fue explicado con anterioridad, es conveniente considerar a una función
de función, extensional, como la que tiene por argumento no la función sino la
clase determinada por la función. Ahora hemos visto que nuestra función derivada
es siempre extensional. Por lo tanto, si nuestra función original fuese / ( 0 ! ¿).
escribimos la función derivada f { ¿ (<pz)}, en donde “z" (0z)” puede leerse como “la
clase de los argumentos que satisfacen a 0z” ; o dicho más simplemente, “ la clase
determinada por 0£” . Así, pues, “/ { f (0z)} ” significa: “Hay una función predicati­
va, 0 ! ¿, que es formalmente equivalente a <¡>£ y es tal que / ( 0 ! z) es verdadera” .
En realidad ésta es una función de 0z, pero la tratamos simbólicamente como si
tuviese un argumento £ (0z). Con ayuda del axioma de la reducibilidad descubrimos
que se obtienen las propiedades usuales de las clases. Por ejemplo, dos funciones
formalmente equivalentes determinan la misma clase y. a la inversa, dos funciones
que determinan la misma clase son formalmente equivalentes. También, decir que*
es un miembro de i (0z), esto es, de la clase determinada por 0f , es verdadero
cuando <¡sx sea verdadero y falso cuando 0,v sea falso. Así, pues, todos los objetivos
matemáticos en los que parece que se requieren las clases se verifican mediante los
objetos puramente simbólicos i (0z), ya que damos por supuesto el axioma de la
reducibilidad.
En virtud del axioma de la reducibilidad, si 0£ es una función cualquiera, existe
una función predicativa formalmente equivalente, 0 ! £, entonces, la clase z (0z)es
idéntica a la clase £ (0 1 z), de forma que cada clase puede definirse por una
función predicativa. Por tanto, la totalidad de las clases de las que se puede decir
134
III. SIMBOLOS INCOMPLETOS
significativamente que un término dado pertenece o no pertenece es una totalidad
legítima, aunque la totalidad de las funciones de las cuales se puede decir que un
término dado satisface o no satisface no sea una totalidad legítima. Las clases a las
que un término dado a pertenece o no pertenece son clases definidas como
funciones-a; ellas son también clases definidas como funciones-a predicativas. Lla­
mémoslas clases-a. Entonces, las “clases-a” forman una totalidad legítima derivada
de las funciones-a predicativas. Por consiguiente, resultan posibles muchas clases de
expresiones generales que, de otro modo, entrañarían paradojas de círculo vicioso.
Ninguna de estas expresiones generales son de la clase que llevan a contradicciones,
y gran parte de ellas son tales que es muy difícil suponerlas ilegítimas. El hecho de
que ellas se vuelvan posibles por el axioma de la reducibilidad, y que de otro modo
deberían excluirse por el principio del círculo vicioso, debe considerarse como un
argumento en favor del axioma de la reducibilidad.
La definición anterior de “ la clase definida por la función <¡>z", o mejor, de una
proposición en la que tenga lugar esta frase, es, expresada en símbolos, así:
/ [ $ (<fu¡)). = : (g^r): <j¡x. = , . f ! ¡c: f[\¡r ! 2} l)f.
A fin de recomendar esta definición, enumeraremos cinco requisitos que deben
satisfacer una definición de clases, y, entonces, mostraremos que la definición
anterior cumple estos cinco requisitos.
Exigimos de las clases, si han de servir para los objetivos para los que comúnmen­
te se emplean, que tengan ciertas propiedades que pueden enumerarse de manera
siguiente. 1) Cada función proposicional debe determinar a una clase que puede
considerarse como la colección de todos los argumentos que satisfacen a la función
en cuestión. Este principio debe tener validez cuando la función se satisfaga por un
númeo infinito de argumentos tan bien como se satisface por un número finito.
Debe ser igualmente válido incluso cuando no haya argumentos que satisfagan la
función; esto es, la “clase nula” debe ser exactamente una clase tan legítima como
cualquier otra. 2) Dos funciones preposicionales que sean formalmente equivalen­
tes, esto es, tales que cada argumento que satisfaga a una también satisface a la otra,
deben determinar a la misma clase; es decir, una clase debe ser algo completamente
determinado por sus miembros, de forma que, por ejemplo, la clase de “ los bípedos
implumes” es idéntica a la clase de “ los hombres” , y la clase de “los números
primos pares” es idéntica a la clase “los números idénticos al 2” . 3) Por el
contrario, dos funciones preposicionales que determinen la misma clase deben ser
formalmente equivalentes; en otras palabras, cuando se da la clase, el conjunto de
miembros está determinado: dos conjuntos de objetos diferentes no pueden produ­
cir la misma clase. 4) En el mismo sentido en el que hay clases (cualquiera que
pueda ser este sentido), o en algún sentido cercanamente análogo, debe haber
también clases de clases. Así, por ejemplo, “ las combinaciones de n cosas tomadas
de m en m” , en donde las n cosas forman una clase dada, es una clase de clases; cada
combinación de m cosas es una clase, y cada clase de éstas es un miembro del
especificado conjunto de combinaciones, cuyo conjunto es, por lo tanto, una clase
135
INTRODUCCION
cuyos miembros son clases. De nuevo, la clase de las clases unitarias, o la de pares,
es absolutamente indispensable; el primero es el número 1 , el último el número 2 .
Así, pues, sin clases de clases se hace imposible la aritmética. S) Bajo todas las
circunstancias debe carecer de sentido el suponer que una clase sea idéntica a uno
de sus miembros. Pero si esa suposición tuviese algún significado, entonces “a e a ”
debería ser una función proposicional significante (45), así como también lo
debería ser “a ~ e a ” . Por consiguiente, por 1) y 4), debe haber una clase de clases
que satisfaga a la función “a ~ e a ” . Si a esta clase la llamamos k, tendremos
Dado que, por hipótesis nuestra, “ k e k” se supone significante, la equivalencia
anterior, que es válida para todos los posibles valores de a, también es válida para
todos los posibles valores de k; esto es
Pero esto es una contradicción (46). Por lo tanto, “a e a ” y “a ~ e a ” deben ser
siempre unos sin-sentidos. En general, no existe ninguna sorpresa sobre esta conclu­
sión, pero tiene dos consecuencias que merecen especial atención. En primer lugar,
una clase que se componga de un miembro sólo no debe ser idéntica a ese miembro;
es decir, no debemos tener t‘x = x. No obstante, tenemos x e i'x y, por lo tanto, si
x = ilx , tenemos i'x e t'x, que vemos que carece de sentido. Se sigue que “x = i‘x ”
debe ser absolutamente sin-sentido y no simplemente falsa. En segundo lugar,
pudiera parecer como si la clase de todas las clases fuese una clase; esto es, como si
(escribiendo “Cls” por “ clase” ) “Cls e Cls” fuese una proposición verdadera. Pero
esta combinación de símbolos debe carecer de sentido, a no ser que, en efecto,
exista una ambigüedad en el significado de “Cls” , de forma que, en “Cls e Cls” la
primera “Cls” puede suponerse que tenga un significado diferente de la segunda.
Por lo que se refiere a los requisitos anteriores, está claro, para empezar, que, de
acuerdo con nuestra definición, cada función proposicional <p£ determina a una
clase £ (<pz). Asumiendo el axioma de la reducibilidad, siempre debe haber proposi­
ciones verdaderas sobre f ( 0z); esto es, proposiciones verdaderas de la forma
f { £ (0 z )} . Supongamos que <¡¡£ es formalmente equivalente a \p ! í , y supongamos
que ip ! i satisface a alguna función/ . Entonces, £ (<f>z) también satisface a /. Por lo
tanto, dada una función <¡¿, hay proposiciones verdaderas de la fo rm a /j i (<pz) (,
esto es, proposiciones verdaderas en las que “la clase determinada por <pz” es
gramaticalmente el sujeto. Esto muestra que nuestra definición cumple con el
primero de nuestros cinco requisitos.
El segundo y tercer requisitos reclaman juntamente que las clases £ ($z) y £ (ipz)
(45) Como se explicó en el capítulo 1 (p. 79), “x e a" significa “x es un miembro de la
clase a," o, más brevemente, "x es una a ”. La definición de esta expresión en términos de nues­
tra teoría de clases se ofrecerá en breve.
(46) Lsta es la segunda de las contradicciones discutidas al final del Capítulo 11.
136
III. SIMBOLOS INCOMPLETOS
sean idénticas cuando, y sólo cuando, sus funciones de definición sean-formalmente
equivalentes; es decir, que debemos tener
2
(<f>Z) = 2 (tfrz)
ifrx.
Aquí, el significado de “f (<¡e) = í (yz)” debe derivarse, por medio de una aplica­
ción doble de la definición de / { z (<pz) \ , de la definición de
quees
- : < / ) : / ! * ! * . D ./l* !* Df
por medio de la definición general de la identidad.
Al interpretar “f (0z) = i (\pz)'\ adoptaremos el mismo criterio que hemos
adoptado, con respecto a (x ) ($x) y a ( x) (ipx), a saber, que el símbolo incompleto
que se presente en primer lugar debe tener el alcance mayor. Así, pues,
i (<¿z) —i (ipz) viene a ser, por nuestra definición
(3 x ): 0 * -s *- X* * ! x* 2= 2(^r«),
la cual, por eliminación de i (<pz), se convierte en
( a x ) <t>*. = „. x ! x
(3^) ¡ ir x . s „. 0! a:: * ! 2 = 0! 2,
que es equivalente a
(3X'
- aa- x5* 5
la cual, de nuevo, es equivalente a
(ax>: <¡xc-=x‘
X l i t t f a:' - * ' X lw >
que, en virtud del axioma de la reducibilidad, es equivalente a
<f>x. =z . yfrx.
Así, pues, nuestra definición del uso de i (<pz) es tal que satisface las condiciones 2)
y 3) que impusimos para las clases; esto es, tenemos
I - 2 (^>z) —2 (^rz). = : <j>x. =». yfrx.
Antes de considerar las clases de clases convendrá definir el conjunto de miem­
bros de una clase; esto es, definir el símbolo “x e i (0z)” , que puede leerse como “x
es un miembro de la dase determinada por <t>£". Ya que ésta es una función de la
fo rm a /{ f (# z )}, debe derivarse, por medio de nuestra definición general de tales
funciones, de la función correspondiente / {^ I z } . Por lo tanto, proponemos
ttofr! 2 . = .-ífr! * Df.
Esta definición sólo es necesaria a fin de dar un significado a “r e í (0z)” ; el
significado que da es, en virtud de la definición d e /{ ¿ (<pz) } ,
(a * ):
•=»•■+■! y : '¡ri«.
137
INTRODUCCION
Así, pues, ocurre que “x e f (02)” implica 0x, ya que ello implica 0 ! x, y 0 ! x es
equivalente a 0x; también, en virtud del axioma de la reducibilidad, 0x implica
“x e i (0x)” , ya que hay una función predicativa 0 formalmente equivalente a 0, y
x debe satisfacer a 0 , puesto que x (ex hypothesi) satisface a 0. Así, pues, en virtud
del axioma de la reducibilidad, tenemos
h : « e 2 ( 0 ¿) . s . f a ,
esto es, x es un miembro de la clase i ( 0?) cuando, y sólo cuando, x satisfaga la
función 0 que define a la clase.
Seguidamente tenemos que considerar cómo interpretar una clase de clases.
Como hemos definido f{£ (02)}, consideraremos, naturalmente, a una clase de clases
como la constituida por aquellos valores de i (0z) que satisfacen a / {f (<pz) }.
Escribamos a en lugar de i (02); entonces, podemos escribir á (fa) por la clase de
los valores de a que satisfacen a fa (47). Aplicaremos la misma definición, y
ponemos
^{fi (/«)]. = : (a g) z/p.m,.glj3-.F\gl S} Df,
en donde “ 0” significa cualquier expresión de la forma f (0 ! 2).
Tengamos “7 e & (fa)" como un ejemplo de F {& (fa ) } . Entonces
i-:.yt&(fa).s\( 3 g ) i f 0 .=p.glfi:yegía.
Del mismo modo que ponemos
también ponemos
xeifriZ. = . y i x Df,
y t g l a . ^ . g i y Df.
De este modo, llegamos a
h
7 e a ( f a ) . = : (30 ) i f é . s p . g l 0 : g l y .
Si, ahora, extendemos el axioma de la reducibilidad de manera que sea aplicable
a funciones de funciones, es decir, si suponemos
(39) : / 0P- 2) •
. gí (ifrl 2),
fácilmente deducimos que
h : (asO :/(2 (+! *)}. =* . gl |2 (^« *)},
esto es
Así, pues,
l-:(sg):f/3.£,.g!/3.
h : 7 € 5 ( f a ) . = . f y.
Por consiguiente, cada función que pueda tomar clases como argumentos, esto
es, cada función de funciones, determina una clase de clases cuyos miembros son
(47)
El uso de una letra única, tal como a o 0, para representar una clase variable, se
explicará brevemente más adelante.
138
III. SIMBOLOS INCOMPLETOS
aquellas clases que satisfacen a la función determinante. Por tanto, la teoría de las
clases de clases no ofrece dificultad.
Hemos de considerar a continuación nuestro quinto requisito, a saber, que
“f (0z) e ¿ (0z)” debe ser un sin-sentido. Aplicando nuestra definición de
f \ i ( 0z) } encontramos que, si esta colección de símbolos tuviese un significado,
debe significar
(a * )
=X • irl X
z e ifrl 2,
esto es, en virtud de la definición,
x e y/r! 2 . = . \fr! x Df,
debe significar
(300: 4>x • • i r! * : 0 ! (0* 2)Pero aquí interviene el símbolo “ ip ! (0 ! z)” que asigna una función como argu­
mento de sí mismo. Un símbolo así siempre carece de sentido, por las razones que
se dieron al comienzo del Capítulo 11 (pp. 94-98). Por lo tanto, “f ( 0 z ) e f (0z)” es
un sin-sentido, y nuestro quinto y último requisito se cumple.
En el caso de f (ur) (0x), así como en el de / {z (0z) }, existe una ambigüedad
por lo que respecta al alcance de i (0z) si interviene en una proposición que, a su
vez, es parte de una proposición más larga. Pero en el caso de las clases, puesto que
contamos con el axioma de la reducibilidad, a saber,
(3 * ) :
=*. 0!ar,
que sustituye a E ! (ix) (0x), resulta que el valor de verdad de cualquier proposición
en la que se presente i (0z) es el mismo, cualquiera que sea el alcance que le demos
a i (0z), con tal que la proposición sea una función extensional de cuanta función
pueda contener. Por eso podemos adoptar la convención de que el alcance sea
siempre la proposición más pequeña encerrada por puntos o por corchetes en la que
aparezca £ (<¡>z). Si en algún momento se requiere un alcance mayor, podemos
indicarlo por “(z (0z)]” seguido de puntos, de la misma forma que hicimos para
[(’*) (0*)]Similarmente, cuando aparecen dos símbolos de clases, como p. ej. en una
proposición de la forma f | i ( 0z), i ( 0 z) | , no necesitamos recordar las reglas para
los alcances de los dos símbolos, ya que todas las alternativas dan resultados
equivalentes, como es fácil probar. En cuanto a las proposiciones preliminares es
deseable tener una regla para que podamos decidir sobre qué clase de símbolo se
presenta primero, a fin de que, al escribirlo, tenga el alcance más largo.
La representación de una clase por una letra única a no puede entenderse en este
momento. No obstante, el símbolo a es ambiguo, en tanto que esté sin decidir cuál
es el significado de los símbolos ¿ (0z ) ,f ( 0 z ) ,f (xz), etc., en donde 0z, \¡jz, yz,
etc., son las diversas funciones determinantes de las clases. Según cuál sea la
elección tomada, resultan diferentes proposiciones. Pero todas las proposiciones que
resulten son equivalentes en virtud de la siguiente proposición que se puede probar
fácilmente:
“I- : 4>x = , \¡fx . D . / (t (0*)J =f [i
139
INTRODUCCION
Desde ahora, salvo que deseemos tratar de la propia función determinante, de suerte
que la noción de clase no se presente en la realidad de una manera adecuada, la
ambigüedad en la simbolización de a carece totalmente de importancia, si bien
-co m o veremos inmediatamente- nos veamos obligados a limitarnos a funciones
determinantes predicativas. Asi, pues, “/ ( a ) ” , en donde a es una clase variable, es
realmente “/ { z (<¡>z) } ” , en donde <pes una función variable; o sea, es
en donde 0 es una función variable. Pero aquí se presenta una dificultad que se
supera por una limitación impuesta a nuestra práctica, así como por el axioma de la
reducibilidad. No obstante, las funciones determinantes, <¡¿, \¡/í, etc., serán de tipos
diferentes aunque el axioma de la reducibilidad asegure que algunas son funciones
predicativas. Entonces, al interpretar a a como una variable en términos de la
variación de cualquier función determinante, caeríamos en errores salvo que nos
limitemos a las funciones determinantes predicativas. Estos errores aparecen espe­
cialmente en la transición a la variación total (cf. pp. 70, 71). Consiguientemente
/« = -<H*) .</>!* s * * ! * . f \ t i 2} Df.
La peculiaridad de una definición del uso de una letra única [a saber, «J en lugar de
un símbolo variable incompleto es que, aunque en cierto sentido sea sólo una
variable real, se presenta sólo en el definiendum, mientras que "<t>'\ aun cuando sea
una variable real, aparece sólo en el definiens.
Así, pues, “/&” significa
“( a f >.<£!*==»*! * • / ! * ! 21”
y “(o ),/a ” significa
Por consiguiente, en los razonamientos matemáticos podemos prescindir del aparato
completo de las funciones, y pensar sólo en las clases como “quasi-cosas” capaces
de representación inmediata mediante un nombre único. La ventaja es doble: 1) las
clases están determinadas por sus miembros, de forma que para un conjunto de
miembros existe una clase; 2) el “tipo” de una clase queda completamente definido
por el tipo de sus miembros.
Una función predicativa de una clase también se puede definir así:
/ '• » “ • ( a ^ ) • <!>'•*=»'tr>- * •/• N '12I i>f.
Así, pues, una función predicativa de una clase es siempre una función predicativa
de cualquier función determinante predicativa de la clase, aunque la conversa no lo
sea.
3) Las relaciones. Con respecto a las relaciones contamos con una teoría
absolutamente análoga a la que acabamos de explicar con respecto a las clases. Las
relaciones en extensión, al igual que ocurría en las clases, son símbolos incompletos.
140
III. SIMBOLOS INCOMPLETOS
Necesitamos una división de funciones de dos variables en funciones predicativas y
no-predicativas, por las mismas razones que hemos expuesto en el Capítulo II.
Empleamos la notación “ 0 1 (x, y)" para simbolizar una función predicativa de x e
y
Usamos “0 I (í, y ) ” para simbolizar la función como opuesta a sus valores; y
usamos “ij> 0 (x, y )” para la relación (en intensión) determinada por 0 (x, y).
Proponemos
( x ,y ) |. = : ( a * ) : 0 ( x .y ) . =x,y . 0 ! (x.y) : / | 0 ! (£,#)! Df.
Así, pues, aun cuando / { 0 ! (jf, J?)} no sea una función extensiona! de 0 ,
f { £ p 0 (x, >>)} es una función extensional de 0. Por lo tanto, al igual que en el caso
de las clases, deducimos
f
5#0 (x, y) - 2 $ 0 (x.y ) . = : 0 (a ,y ) . =x¡y. 0 (x,y),
esto es, una relación está determinada por su extensión, y viceversa.
Sobre la analogía de la definición de “x e 0 ! z ”, presentamos
*W r ! (í .# ) jy - = - 0 i( x .y ) D f (48).
Esta definición, al igual que la de “x e 0 I f ” , no se introduce por causa propia,
sino a fin de dar un significado a
*1300(*,y)|y.
En virtud de nuestras definiciones, este significado es
esto es
(3 0 ): 0 (x, y ). S*,„. 0 ! (x, y ): * ¡0 ! (á, $)) y,
(3 0 ):0 (* ,y ).3 ,,„ .0 !(a ¡,y ):0 !(x ,y ),
y ésta, en virtud del axioma de la reducibilidad
es equivalente a
" (3 0 ): 0 («. y) • 3 ,.y . 0 ! (x. y),”
0 (x, y).
Así, pues, siempre tenemos
b i x [á j 0 (x, y)) y . s . 0 (¡r, y).
Siempre que la función determinante de una relación no sea relevante, podemos
sustituir xy 0 (xj>) por una letra mayúscula única. En virtud de la proposición
anterior,
y
h R = S . = : x R y . = x y . xSy,
1 - .R = £ p 0 (x ,y ). = : x R y . = ^ „ . 0 (x, y),
h . R = 2.9 (xRy), 48
(48)
Esta definición suscita ciertas cuestiones en cuanto a los dos sentidos de una relación,
que se tratarán en el *21.
141
INTRODUCCION
Las clases de relaciones y las relaciones de relaciones pueden tratarse como se
trataron antes las clases de clases.
Del mismo modo que una clase no debe ser capaz de ser o no ser un miembro de
ella misma, así también una relación no debe ser ni no ser relacionante ni relaciona­
do con respecto a sí misma. Esto viene a ser equivalente a la afirmación de que
<¡>! (j?, j>) no puede ser, significativamente, de los argumentos x o y en 0 ! (x, y).
Este principio, igualmente, resulta de la limitación a los posibles argumentos de una
función expuesta al comienzo del Capítulo II.
Podemos recapitular toda la discusión acerca de los símbolos incompletos con lo
que exponemos a continuación.
El uso del símbolo “(ve) (#*)” , como si en “f (ix) (0x)” representase directamen­
te a un argumento de la función fz se liizo posible merced a los teoremas
h :. E ! (ix) (£ v ). O : (*). f x . D . /(»«) (<f>x),
I-: (»¡r) (<f>x) = (ix) (-ifrir). D . / (ix) (ipx) = /(w ) (yfrx),
Y : E ! (w) (<t>x) . D . (ix) (<¡>x) - (ix)(4>x),
Y : (lx)(<px) = { i x ) ( f x ) . = . (]x)(y/rx) = (ix)(<px),
h : (ix) (<px) = (ix)(yp-x) . (ix) (yjrx) = (ix) (xx) . D . ( ix)(<f>,t) = (ix) (Xx).
El uso del símbolo “jí (¡px)" (o de una letra única, tal como a, para representar
dicho símbolo) como si, en f {x {<px)} ” , representase directamente a un argumen­
to a para una función fá , se hizo posible por los teoremas
t-:(« )./a . D . / [ í ( ^ ) ) ,
h
D ./ (¿ O H ) * / !* (+ * )),
h . Si (<px) ** (tpx),
h : ¡í (<px) = Si (\¡rx) . = . $(\px) = j>(<px),
f : St (<px) = Si (yfrx) . í (ijrx) = ít (Xx) . D . x (<pj) = í: (Xx).
Se debe suponer que, a lo largo de estas proposiciones, los tipos están debidamente
ajustados, allí donde fuese posible alguna ambigüedad.
El uso del símbolo “Jcy [<p(x, >>)} ” (o de una letra única, tal como la R , para
representar a dicho símbolo) como si, en “/ { xp 0 (x, .y)} ” representase directa­
mente a un argumento R para una función JR, se hizo posible por los teoremas
l : ( R ) . / « . D ./[ .í 9 <£(*,;,/)[.
h.; <f><*. y) = *9 'k (*. y) - 3 •/(£#'*> (*, y)| =/{*$ f (*. y)},
h - ¿9 <t>{x, y) = ¿9 <f>(*, y),
Y :S¡p<p (x, y) = $9 yfr(x,y). = .S!yf (x, y) = x$<p (>, y),
h ; &9 <f>(*. y) = *9 'k (*» y) • ?9 t (*. y) = $5 x (*» y) •
3 • 4> y) = *9 x (*. y)A lo largo de estas proposiciones debe suponerse que los tipos están debidamente
ajustados, allí en donde sea posible una ambigüedad.
De estos tres grupos de teoremas resulta que estos símbolos incompletos obede­
142
III. SIMBOLOS INCOMPLETOS
cen a las mismas reglas formales de la identidad que obedecen los símbolos que
representan directamente a objetos, con tal que consideremos sólo la equivalencia
de los valores de la variable (o constante) resultante correspondiente a las funciones
proposicionales, y no su identidad. Esta consideración de la identidad de las
proposiciones nunca entra dentro de nuestro razonamiento formal.
Similarmente, las limitaciones para el empleo de estos símbolos pueden resumir­
se como se explica a continuación. En el caso de (jx) (0x), la principal vía en la que
es relevante su incompletitud es aquella en la que no siempre tenemos
(x) . f x . D ./(ix)
que significa que una función que siempre es verdadera puede, sin embargo, no ser
verdad de (ix) ($x). Esto es posible porque / ( » ) (<¡>x) no es un valor de f i , de forma
que, aun cuando todos los valores de fie sean verdaderos, f(ix) (#x) puede no ser
verdadero. Esto acontece cuando (?x)(#x) no existe. Así, pues, por ejemplo,
tenemos (x ). x = x , pero no tenemos
el círculo cuadrado = el círculo cuadrado.
(*) . f x . D . / (w) (<fwr)
La inferencia
sólo es válida cuando E ! (ix) (0x). Tan pronto como sepamos que E ! (jx) (#x), el
hecho de que (ix) (<¡>x) sea un símbolo incompleto se hace irrelevante, mientras que
nos limitemos a que las funciones-de-verdad (49) de cualquier proposición sean su
alcance. Pero, aun cuando E ! (?x)($x), la incompletitud de (?x)(tfw) puede ser
relevante cuando nos salgamos de los valores de verdad. Por ejemplo, Jorge IV deseó
conocer si Scott era el autor de Waverley; es decir, él deseó saber si una proposición
de la forma “c = (jx) (0x )” era verdadera. Pero no había proposición de la forma
“c = y ” relativa a lo que él deseaba conocer si era verdad.
Con respecto a las clases, la relevancia de su incompletitud es, en cierto modo,
diferente. Ello puede ilustrarse por el hecho de que podemos tener
2 (<£z) = \jr I z .2 (<¡>z) = x ! 2
^ 12 = x • 2-
sin tener
Pero, por una aplicación directa de las definiciones, encontramos que
y : 2 (<¡>2) =
! 2 . = . £/..• =x \/r ! X.
Así, pues, tendremos
h : <¡>x
ijr ! x . <}>x s x ! x . D . 2 (<j>2 ) = yfr ! 2 . 2
= % ! 2,
pero no necesariamente debemos tener \¡t l ¿ = x l £ bajo estas circunstancias, ya
que dos funciones pueden muy bien ser formalmente equivalentes sin ser idénticas;
por ejemplo49
(49) Cf. p. 61.
143
INTRODUCCION
x = S co tt. =x . x = el autor de Waverley,
pero la función “i = el autor de Waverley” tiene la propiedad de que Jorge IV
deseó conocer si su valor con el argumento “Scott” era verdadero, mientras que la
función “f = Scott” no tiene tal propiedad y, por lo tanto, las dos funciones no son
idénticas. Por consiguiente, existe una función proposicional, a saber
x = y . x = z . ^ . y = z,
que es válida sin excepción alguna y, sin embaigo, no es válida cuando sustituimos
la x por una clase, o sustituimos la y y la z por funciones. Esto sólo es posible
porque una clase es un símbolo incompleto y, por tanto, “i (<¡>z) = <p I z ” no es un
valor de “x =y ".
Se observará que “ 6 ! i = ^ ! i " no es una función extensional de ^ ! i . Así,
pues, el alcance de i (<j>z) es relevante al interpretar el producto
= y/r ! 2 . 2 (<f>z) = x 1 *■
Si tomamos la totalidad del producto como el alcance de i (<pz), el producto es
equivalente a
(3 0):<f>xsx0 l x . 0 l 2 = l r ¡ i . 0 i$ = x !$l
y esto hace implicar
i r! ^ = x ,s-
En modo general, podemos decir que el hecho de que f (<¡>z) sea un símbolo
incompleto no es relevante, siempre que nos limitemos a las funciones extensionales
de funciones, pero es apto para llegar a ser relevante en otras diferentes funciones
de funciones.
144
PARTE I
LOGICA MATEMATICA
SUMARIO DE LA PARTE I
En esta Parte trataremos de los temas que tradicionabnente pertenecen a la
lógica simbólica, o que merecen pertenecer a ella en virtud de su generalidad.
Debemos establecer, por así decir, las propiedades de las proposiciones, funciones
preposicionales, clases y relaciones, en la forma en que sean adecuadas para
cualquier razonamiento matemático, y no sólo para una u otra rama de las
matemáticas.
Los asuntos tratados en la Parte I pueden contemplarse bajo dos aspectos:
1 ) como una cadena deductiva apoyada sobre proposiciones primitivas, 2) como
un cálculo formal. Adoptando el primer punto de vista comenzamos, en el número
* 1, con ciertos axiomas relativos a la deducción de una proposición, o de una
función proposicional aseverada, a partir de otra. Desde estas proposiciones primiti­
vas, que se ofrecen en la Sección A, deducimos varias proposiciones concernientes a
cuatro modos de obtener proposiciones nuevas a partir de otras dadas; a saber, la
negación, disyunción, conjunción e implicación, de las cuales las dos últimas pueden
ser definidas en función de las dos primeras. A lo largo de esta primera sección,
aunque (como se verá al principio de la Sección B) nuestras proposiciones —no
cambiadas simbólicamente- se apliquen a cualesquiera proposiciones como valores
de nuestras variables, sin embargo ha de suponerse que todas nuestras proposiciones
variables son de las que llamaremos proposiciones elementales, es decir, aquellas que
no contienen referencia, explícita o implícita, a ninguna totalidad. Esta restricción
se impone debido a la distinción entre los diferentes tipos de proposiciones,
explicada en el Capítulo 11 de la Introducción. No obstante, su importancia y
objetivos son puramente filosóficos; por ello, en tanto se considere sólo el interés
matemático, no es preciso recordar esta restricción preliminar en cuanto a las
proposiciones elementales, la cual queda suprimida simbólicamente al comienzo de
la sección próxima.
La Sección B trata, inicialmente, de las relaciones entre proposiciones que
contienen variables aparentes (esto es, que entrañan las nociones de “ todo” o
“ algún” ), así como de éstas con las proposiciones que no contienen variables
aparentes. Mostramos que, en donde intervienen proposiciones que contienen
variables aparentes, podemos definir la negación, disyunción, conjunción, e implica­
ción de tal forma que sus propiedades sean exactamente análogas a las propiedades
de las correspondientes ideas, tal como se aplican a las proposiciones elementales.
Enseñamos también que la implicación formal, es decir “(jc) . <¡>x D i/oc” considerada
como una relación de
a
tiene muchas propiedades análogas a las de la
implicación material, esto es, a “p D q" considerada como una relación de p a q. A
147
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
continuación, nos ocuparemos de las funciones predicativas y del axioma de la
reducibilidad, que son indispensables en el empleo de las Junciones como variables
aparentes. Un ejemplo de tal empleo se ofrece en el caso de la identidad, que es el
asunto siguiente que se considera en la Sección B. Finalmente, esta sección se ocupa
de las descripciones, es decir, de las frases de la forma “el tal y cual” (en singular).
Se muestra que la apariencia de un sujeto gramatical de la forma “el tal y cual” es
engañosa, y que tales proposiciones, consideradas en su totalidad, no contienen tal
sujeto, sino que en cambio contienen una variable aparente.
La Sección C trata de las clases y de las relaciones en tanto que son análogas a las
clases. Las clases y relaciones, así como las descripciones, se muestran como
“símbolos incompletos” (cf. Introducción, Capítulo III); también se muestra que
una proposición que gramaticalmente está en conexión con una clase debe ser
considerada como algo realmente relacionado con una función preposicional y con
una variable aparente cuyos valores sean funciones preposicionales predicativas (con
un resultado similar para las relaciones). El resto de la Sección C trata del cálculo de
clases, y del cálculo de relaciones en cuanto que es análogo al de clases.
La Sección D versa sobre aquellas propiedades de las relaciones que no tienen su
análoga en las clases. En esta sección se introducen un número de ideas y notaciones
que son constantemente necesarias a lo largo del resto de este libro. Muchas de las
propiedades de las relaciones que tienen análogas en la teoría de clases son
comparativamente de poca importancia, mientras que aquellas que no tienen
análogas son de la mayor utilidad. Es en parte por esta razón por lo que el énfasis
puesto especialmente en el cálculo de la lógica simbólica ha resultado ser un
obstáculo, hasta ahora, para el adecuado desarrollo de la teoría de relaciones.
La Sección E, finalmente, extiende las nociones de adición y multiplicación de
clases o de relaciones a los casos en donde los sumandos o factores no se dan
individualmente sino como miembros de alguna clase. La ventaja obtenida por esta
ampliación es que nos capacita para tratar acerca de un número infinito de
sumandos o factores.
Considerada como un cálculo formal, la lógica matemática tiene tres ramas que
son análogas, a saber: 1) el cálculo de proposiciones, 2) el cálculo de clases, y 3) el
cálculo de relaciones. De éstas, la 1) se trata en la Sección A, mientras que la 2) y la
3), en tanto que son análogas, se consideran en la Sección C. Para cada una de las
tres tenemos las cuatro ideas análogas de negación, adición, multiplicación, e
implicación o inclusión. De éstas, la negación es análoga a la noción de negativo del
álgebra ordinaria, y la implicación o inclusión es análoga a la relación “ menor que o
igual a” del álgebra ordinaria. Pero la analogía no debe forzarse, ya que tiene
importantes limitaciones. La suma de dos proposiciones es su disyunción, la suma
de dos clases es la clase de los términos que pertenecen a una u otra, la suma de dos
relaciones es la relación que consiste en el hecho de que sea válida una u otra
relación. La suma de una clase de clases es la clase de todos los términos pertene­
cientes a una u otra de las clases, y la suma de una clase de relaciones es la relación
148
SUMARIO DE LA PARTE
que consiste en el hecho de que sea válida alguna relación de la clase. El producto
de dos proposiciones es su conjunción aseverada; el producto de dos clases es su
parte común; el producto de dos relaciones es la relación que consiste en el hecho
de que son válidas juntamente ambas relaciones. El producto de una clase de clases
es la parte común de todas ellas, y el producto de una clase de relaciones es la
relación que consiste en el hecho de que son válidas todas las relaciones de la clase
en cuestión. La inclusión de una clase en otra consiste en el hecho de que todos los
miembros de una son miembros de la otra, mientras que la inclusión de una relación
en otra consiste en el hecho de que cada par de términos entre los que hay una
relación también tienen la otra relación. Se puede, entonces, mostrar que las
propiedades de la negación, suma, multiplicación e inclusión son exactamente
análogas para las clases y las relaciones, y son, con ciertas excepciones, análogas a
las propiedades de la negación, adición, multiplicación e implicación para las
proposiciones. (Las excepciones surgen principalmente del hecho de que “p implica
q" es en sí misma una proposición, y puede, por tanto, implicar y ser implicada,
mientras que “a está contenida en 0”, en donde a y 0 son clases, no es una clase y,
por tanto, ni puede contener ni ser contenida en otra clase y). Pero las clases tienen
ciertas propiedades que no poseen las proposiciones: ellas surgen del hecho de que
las clases no tienen una división doble —correspondeiente a la división de las
proposiciones en verdaderas o falsas-, sino una división triple, a saber, en 1 ) la
clase universal, que contiene la totalidad de miembros de un cierto tipo, 2) la clase
nula, que no tiene miembros, y 3) todas las demás clases que ni contienen nada ni
contienen todo lo de un tipo adecuado. Las propiedades correspondientes de las
clases, que no sean análogas a las propiedades de las proposiciones, se tratan en el
*24. Y lo mismo que las clases tienen propiedades que no son análogas a ninguna
propiedad de las proposiciones, también las relaciones tienen propiedades que no
son análogas a ninguna propiedad de las clases, aunque todas las propiedades de las
clases tengan análogas entre las de las relaciones. Las propiedades especiales de las
relaciones son mucho más numerosas e importantes que las propiedades que
pertenecen a las clases, pero no a las proposiciones. Estas propiedades especiales de
las relaciones ocupan, por lo tanto, una sección completa, que es la Sección D.
149
SECCION A
LA TEORIA DE LA DEDUCCION
El objeto de esta sección es exponer la primera etapa de la deducción de la
matemática pura desde sus fundamentos lógicos. Esta primera etapa está necesaria­
mente vinculada con la deducción misma, es decir, con los principios por los cuales
las conclusiones se infieren de las premisas. Si nuestro objetivo es aclarar todos
nuestros supuestos y efectuar la deducción de todas las demás proposiciones a partir
de estos supuestos, es obvio que los primeros supuestos que necesitamos son
aquellos que se precisan para hacer posible la deducción. Frecuentemente se
considera a la lógica simbólica como constituida por dos partes en coordinación: la
teoría de clases y la teoría de proposiciones. Pero, desde nuestro punto de vista,
estas dos partes no están coordinadas; y ello es así porque en la teoría de clases
deducimos una proposición a partir de otra por medio de los principios que
pertenecen a la teoría de las proposiciones, mientras que en la teoría de proposicio­
nes en ninguna parte se requiere la teoría de clases. Por lo tanto, en un sistema
deductivo la teoría de proposiciones precede necesariamente a la teoría de clases.
No es completamente adecuado que lo que se va a tratar a continuación se
describa como la teoría de proposiciones. En realidad se trata de la teoría de cómo
una proposición puede inferirse de otra. Ahora bien, a fin de que una proposición
puede inferirse de otra es necesario que las dos deban tener la relación que hace de
una la consecuencia de la otra. Citando una proposición q es una consecuencia de
una proposición p decimos que p implica q. Así, pues, la deducción se apoya sobre
la relación de implicación, y cada sistema deductivo debe contener entre sus
premisas tantas de las propiedades de la implicación como sean precisas para
legitimar el procedimiento ordinario de deducción. En esta sección ciertas proposi­
ciones se expondrán como premisas, y se mostrará que todas ellas son necesarias,
aunque es posible que su número pueda disminuirse. Todo lo que se afirma en
relación con las premisas es: 1) que son verdaderas, 2) que son suficientes para la
teoría de la deducción, 3) que no sabemos cómo disminuir su número. Sin
embargo, con respecto a 2) debe haber siempre un elemento de duda, puesto que es
difícil asegurar que uno nunca usa inconscientemente algún principio. El hábito de
guiarse rígidamente por las reglas simbólicas formales es una salvaguardia frente a
las suposiciones inconscientes; pero ni siquiera esta salvaguardia es siempre suficien­
te.
150
*1. IDEAS Y PROPOSICIONES PRIMITIVAS
Ya que todas las definiciones de términos están afectadas por medio de otros
términos, cada sistema de definiciones que no sea circular debe partir de una cierta
provisión de términos no-definidos. Hasta cierto punto es opcional las ideas que
tomemos como no-definidas en matemáticas; los motivos que guían nuestra elec­
ción serán: 1) conseguir el menor número posible de ideas no-definidas, y 2) entre
dos sistemas en los que el número sea igual, elegir el que parezca más simple y más
fácil. No conocemos el modo de probar que tal o cual sistema de ideas no-definidas
contenga tan pocas como para dar tales o cuales resultados (SO). Por ende, sólo
podemos decir que tales o cuales ideas son no-definidas en un sistema tal o cual,
pero no que ellas son indefinibles. Siguiendo a Peano, llamaremos a las ideas
no-definidas y a las proposiciones no-demostradas, respectivamente, ideas primitivas
y proposiciones primitivas. Las ideas primitivas se explican por medio de descripcio­
nes pensadas para indicar al lector lo que se quiso decir; pero las explicaciones no
constituyen definiciones porque ellas realmente abarcan las ideas que explican.
En este número, primero enumeraremos las ideas primitivas necesarias en esta
sección; a continuación, definiremos la implicación-, y, después, enunciaremos las
proposiciones primitivas requeridas en esta sección. Cada definición o proposición
que aparece en el libro tiene un número, para que sirva de referencia. Siguiendo a
Peano, emplearemos números que tienen una parte decimal así como una parte
entera, con el objeto de poder intercalar nuevas proposiciones entre dos cualesquie­
ra. Un cambio en la parte entera del número se empleará para que corresponda a un
nuevo capítulo. Generalmente las definiciones tendrán números cuya parte decimal
sea menor que -1, y normalmente se pondrán al comienzo de los capítulos. Como
referencia, las partes enteras de los números de las proposiciones se distinguirán
porque están precedidas por un asterisco; así, pues, “ * 1 ' 01 ” significa la definición o
proposición así numerada, y “ * 1” significa el capítulo en el que las proposiciones
tienen números cuya parte entera es 1, es decir, el presente capítulo. Generalmente
a los capítulos se les llamará “ números” .
LAS IDEAS PRIMITIVAS
1)
Proposiciones elementales Por proposición “elemental” entendemos aquella
que no contiene variable alguna; o, dicho de otra forma, que no entrañe palabras
como “ todo” , “algún” , “el” , o equivalente a ellas. Una proposición tal como “esto50
(50) Los métodos reconocidos de probar la independencia no son aplicables, sin reservas, a
los fundamentos. Cf. Principies o f Mathematics, § 17. Lo que hay que decir respecto de las
proposiciones primitivas se aplica aún con más fuerza a las ideas primitivas.
151
PARTE i. LOGICA MATEMATICA
es rojo” , en donde “ esto” es algo dado por la sensación, será elemental. Cualquier
combinación de proposiciones elementales dadas, obtenida por medio de la nega­
ción, disyunción, o conjunción (véase después) será elemental. En las proposiciones
primitivas que aparecen en este número, y, por tanto, en las deducciones que a
partir de estas proposiciones primitivas se hagan en *2—*5, las letras p, q, r, s se
usarán para significar proposiciones elementales.
2) Funciones preposicionales elementales. Por “ función preposicional elemen­
tal” entendemos una expresión que contiene un constituyente indeterminado, es
decir, una variable, o varios constituyentes tales que, cuando el constituyente
indeterminado o los constituyentes se determinan (o sea, cuando se asignan valores
a la variable o variables), el valor resultante de la expresión en cuestión es una
proposición elemental. Así, pues, si p es una proposición elemental indeterminada,
“no-p” es una función preposicional elemental.
Mostraremos en el *9 cómo extender los resultados de éste y de los siguientes
números ( * l- * 5 ) a las proposiciones que no sean elementales.
3) Aserción. Cualquier proposición puede estar o aseverada o simplemente
considerada. Si digo “ César murió” afirmo la proposición “César murió” ; pero si
digo “ ‘César murió’ es una proposición” hago una aserción diferente de la anterior,
y, en este caso, “César murió” no está aseverada, sino meramente considerada. De
manera similar, en una proposición hipotética, por ejemplo “si a — b, entonces
b = a ” , tenemos dos proposiciones que no están aseveradas - a saber, “a = b ” y
“b = a”— mientras que lo que se afirma es que la primera de ellas implica la
segunda. En el lenguaje, cuando una proposición está meramente considerada lo
indicamos por “« tal y cual” o “este tal y cual” , o simplemente por medio de
comas invertidas. En cuanto a los símbolos, si p es una proposición, p por sí misma
representará la proposición no aseverada mientras que la proposición aseverada se
simbolizará por
I -P-
E1 signo “h” se llama signo de aserción (51); puede leerse por “es verdadero que”
(aunque filosóficamente esto no es exactamente lo que significa). Los puntos
después de el signo de aserción indican su rango; es decir, todo lo que le siga está
aseverado hasta que alcancemos otro lugar en donde un número de puntos igual
precede a un signo de aserción o al final de la sentencia. Así, pues, “ h : p . D . q"
significa “es verdadero que p implica q" mientras que “ |- . p . D |- . q" significa “p
es verdadero; por lo tanto q es verdadero” (52). La primera de ellas no supone
necesariamente la verdad de p o de q, mientras que la segunda abarca la verdad de
ambas.512
(51) Hemos adoptado de Erege tanto la idea como el símbolo de aserción.
(52) Cf. Principies o f Mathematíes, § 38.
152
SECCION A. LA TEORIA DE LA DEDUCCION
4) Aserción de una función proposicioml. Además de la aserción de las proposi­
ciones definidas necesitamos lo que denominamos “aserción de una función proposicional” . La noción general de la aserción de cualquier función preposicional no se
emplea hasta el *9, pero al mismo tiempo usamos la noción de aseverar varias
proposiciones elementales especiales. Sea <px una función preposicional cuyo argu­
mento es x ; entonces, podemos aseverar <¡>x sin asignar un valor a x . Esto se hace,
por ejemplo, cuando la ley de identidad se asevera en la forma “A eS/4” . Aquí, A
queda indeterminada porque, aun cuando A pueda estar determinada, el resultado
será verdadero. De este modo, cuando aseveramos <¡>x, dejando la x indeterminada,
afirmamos un valor ambiguo de nuestra función. Esto sólo es legítimo si, aunque se
pueda determinar la ambigüedad, el resultado es verdadero. Así, tomemos como
ilustración la proposición * 1 ' 2, que se expondrá más adelante; a saber
"l-tpvp.D.p,”
esto es, “ ‘p o p' implica p". Aquí, p puede ser una proposición elemental
cualquiera; dejando p indeterminada, obtenemos una aserción que puede aplicarse a
una proposición elemental particular cualquiera. Tales aserciones son semejantes a
los enunciados particulares de la geometría euclidea: cuando se dice “sea ABC un
triángulo isósceles; entonces, los ángulos en la base serán iguales” , lo que se dice se
aplica a un triángulo isósceles cualquiera; esto se expresa refiriéndolo a un triángulo,
pero no a uno en particular. Todas las aserciones que figuran en este trabajo, con muy
pocas excepciones, aseveran funciones preposicionales, y no proposiciones definidas.
En realidad, una proposición elemental constante no se presentará en este
trabajo, ni en cualquier otro que emplee sólo ideas lógicas. Las ideas y las
proposiciones de la lógica son todas generales: una aserción (por ejemplo) que es
verdad de Sócrates pero no de Platón, no pertenecerá a la lógica (53); y si una
aserción que es verdad de ambos se presenta en la lógica, no debe hacerse más que
refiriéndola a una variable x. A fin de obtener, en lógica, una proposición definida
en vez de una función preposicional, es necesario tomar alguna función preposicio­
nal y aseverar lo que es verdad siempre o algunas veces, esto es, con todos los
valores posibles de la variable o con algún valor posible. De este modo, dando el
nombre de “ individual” a todo lo que no es ni proposición ni función, la proposi­
ción “ cada individual es idéntico consigo mismo” o la proposición “existen indivi­
duales” serán proposiciones pertenecientes a la lógica. Pero estas proposiciones no
son elementales.
5) Negación. Si p es una proposición, la proposición “no-p”, o “p es falsa” se
representará por “~ p ” . De momento, p deberá ser una proposición elemental.
6) Disyunción. Si p y q son proposiciones cualesquiera, la proposición “p o q",
esto es. “p es verdadera o q es verdadera”, en donde las alternativas no se excluyen53
(53)
Cuando decimos que una proposición “pertenece a la lógica" queremos significar que
puede ser expresada en términos de las ideas primitivas de la lógica. Lo que no damos a
entender es que la lógica se ocupa de ella porque, desde luego, eso debe ser verdad para toda
proposición.
153
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
mutuamente, se representará por
UP v q"
Esto se llama la disyunción o la suma lógica de p y q. Así, pues, “~ p v q" significa
“p es falsa o q es verdadera” ;
(p v q)" significa “es falso que p o q sea
verdadero” , que es equivalente a “p y q son ambos falsos” ;
( ~ p v q)" significa
“es falso que p es falso o q es falso” , lo cual es equivalente a “p y q son ambos
verdaderos” ; y así sucesivamente. De momento, p y q deben ser proposiciones
elementales.
Todas las ideas primitivas expuestas arriba se necesitan en la teoría de la
deducción. Otras ideas primitivas se introducirán en la Sección B.
Definición de la implicación. Cuando una proposición q se sigue de una proposi­
ción p, de forma que si p es verdadera, q debe ser también verdadera, decimos que p
implica q. La idea de implicación, en la forma en que requerimos, puede definirse.
El significado que se da a la implicación en lo que sigue puede, a primer vista,
parecer en cierto modo artificial; pero aunque hay otros significados legítimos, el
que hemos adoptado aquí es mucho más conveniente para nuestros propósitos que
cualquier otro. La propiedad esencial que requerimos de la implicación es ésta: “ Lo
que está implicado por una proposición verdadera es verdadero” . En virtud de esta
propiedad es por lo que la implicación logra las pruebas. Pero esta propiedad de
ninguna manera determina si algo (y si así es, el qué) está implicado por una
proposición falsa. Lo que ella determina es que, si p implica q , entonces no puede
darse el caso de que p sea verdadero y q sea falso; esto es, debe darse el caso de que 4
p sea falso o q sea verdadero. La interpretación más conveniente de la implicación
es decir, por el contrario que si p es falso o q es verdadero, entonces “p implica q"
es verdadero. Por lo tanto, “p implica q" debe definirse con la significación: “o p es
falso o q es verdadero” . Por consiguiente, ponemos
*1 -01. j O q . = . ^ p v q »r.
Aquí, las letras “ D}'’ significan “definición” . Estas letras juntamente con el signo
de igualdad se consideran que forman un solo símbolo, significando “ se define para
significar” (54). Lo que venga a la izquierda del signo de igualdad se define de
forma que signifique lo mismo que lo que venga a su derecha. La definición no se
encuentra entre las ideas primitivas, porque las definiciones tienen relación exclusi­
vamente con el simbolismo y no con lo que se simboliza; se introducen por
conveniencia práctica aunque teóricamente no son necesarias.
En virtud de la definición dada, cuando se tiene “p 3 q", entonces o p es falso o
q es verdadero; por tanto, si p es verdadero, q debe ser verdadero. De este modo, la
definición anterior preserva la carácteristica esencial de la implicación; ella da, de
hecho, el significado general más compatible con el mantenimiento de esta caracte­
rística.54
(54)
El signo de igualdad no seguido por las letras “Df” tiene un significado diferente, que
se definirá más adelante.
154
SECCION A. LA TEORIA DE LA DEDUCCION
LAS PROPOSICIONES PRIMITIVAS
*11. Todo lo implicado por una proposición elemental verdadera es verdadero.
Pp (55).
Este principio se extenderá en el *9 a proposiciones que no son elementales. No
es lo mismo que “si p es verdadero, entonces si p implica q, q es verdadero” . Esta es
una proposición verdadera, pero tiene validez igualmente cuando p no es verdadero
y cuando p no implica q. Ello no nos capacita, al igual que con el principio que nos
ocupa, para aseverar simplemente q, sin ninguna hipótesis. No podemos expresar
simbólicamente el principio porque, en cierto modo, cualquier simbolismo en el que
p es variable sólo ofrece la hipótesis de que p sea verdadero, pero no el hecho de
que sea verdadero (56).
El principio anterior se usa dondequiera que tengamos que deducir una proposi­
ción a partir de una proposición. Pero la inmensa mayoría de las aserciones que
figuran en este trabajo son aserciones de funciones preposicionales, esto es, que
contienen una variable indeterminada. Dado que la aserción de una función preposi­
cional es una idea primitiva distinta de la aserción de una proposición, requerimos
una proposición primitiva diferente de la * 1 1 , aunque allegada a ella, para permitir­
nos deducir de las aserciones de dos funciones preposicionales, la “ 0x ” y la
“<¡»x D \¡/xn. Esta proposición primitiva es como sigue:
*111. Cuando 4>x puede aseverarse, siendo x una variable real, y
D \¡/x puede
aseverarse, siendo x una variable real, entonces \px puede aseverarse, siendo x una
variable real. Pp .
Este principio también es aplicable en las funciones de varias variables.
Parte de la importancia de esta proposición primitiva radica en el hecho de que
expresa mediante símbolos un resultado siguiendo la teoría de tipos, que requiere
un reconocimiento simbólico. Supóngase que tenemos las dos aserciones de funcio­
nes proposicionales “b . 0x” y “|- . 0x D 0x ” ; entonces la “x ” en <¡>x no es absoluta­
mente nada, sino algo que utilizado como argumento hace que la función “<px" sea
significante; de manera similar, en “ 0x D 0x ” , la x es algo por el cual “ 0x D \¡/x" es
significante. Aparte de algún axioma, no sabemos si las x ’s por las que se hace
significante “0x D 0 jc” son las mismas que éstas por las que “0x” se hace significan­
te. La proposición primitiva *111, (por la cual podemos asegurar que, como
resultado de las aserciones de las funciones proposicionales “ 0x” y “ 0* D \px",
también puede aseverarse la función preposicional \¡ix), asegura un reconocimiento
parcial simbólico, de la manera más práctica en deducciones reales, de un importan­
te principio que proviene de la teoría de tipos; este principio es: si hay un solo
argumento a por el cual tanto “ 0a” como “ 0 a ” son significantes, entonces el rango
de los argumentos por los que “ 0x-” es significante es el mismo rango de los56
(55) Las letras “ Pp” , siguiendo a Peano, significan “proposición primitiva” .
(56) Para más detalles sobre este principio, cf. Principies o f Mathematics § 38.
155
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
argumentos por los cuales “0x" es significante. Es obvio que, si la función
proposicional “0x D 0 x ” puede aseverarse, debe haber argumentos a por lo que
“0a D 0 a" es significante, y por los cuales, por lo tanto, “0a" y “0 a” deben ser
significantes. Por ende, en virtud de nuestro principio, los valores de x por los que
“ 0x ” es significante son los mismos que aquellos por los que “0 x ” es significante;
esto es, el tipo de los posibles argumentos para 0£ (cf. p. 69) es el mismo que el de
los posibles argumentos para 0 i. Debido a que la proposición primitiva *1 '11
expone una importante consecuencia práctica de este hecho, se le llama “el axioma
de la identificación del tipo” .
Otra consecuencia del principio es que, si hay un argumento a por el cual 0a y
0 a son significantes, entonces 0x es significante, siempre que 0 x sea significante, y
viceversa; esto se dará en el “axioma de la identificación de variables reales” ,
introducido en el * 1'72. Estas dos proposiciones, *1'11 y *172, proporcionan lo
que simbólicamente es esencial para conducir las demostraciones de acuerdo con la
teoría de tipos.
La proposición *111 se usa en cada inferencia desde una función proposicional
aseverada a otra. Ilustraremos el empleo de esta proposición exponiendo con detalle
el procedimiento en la prueba en donde se use por primera vez, o sea en la *2 06.
Esa proposición es
“I
r
.
”
Ya hemos probado en la *2 05 la proposición
h qOr .13:pOq
.p^r.
Es obvio que la *2 06 resulta de la *2 05 por medio de la *2 04, la cual es
I - p . D . q D r : D : q . D . p D r.
Pero si, en esta proposición, sustituimos p por pDr, q por p D q , y r por p D r ,
obtenemos, como un caso de la *2 04, la proposición
I- ::qO r
: pO q
. p O n . O t . pO >] . 0
r
.pO r
( 1),
y aquí la hipótesis se asevera por *205. Por consiguiente, nuestra proposición
primitiva * 1 1 1 nos capacita para aseverar la conclusión.
* l -2. I-: p v p . D . p Pp.
Esta proposición enuncia: “ Si p es verdadero o p es verdadero, entonces p es
verdadero” . Se denomina “principio de tautología” , y se citará por el título
abreviado de “Taut” . Es conveniente, para propósitos de referencia, dar nombres a
unas cuantas de las más importantes proposiciones; en general, las referencias a las
proposiciones se harán mediante números.
*13. I- : 9 . 3 . p v y Fp.
Este principio establece: “ Si q es verdadero, entonces Lp o q' es verdadero” . Así,
por ejemplo, si q es “hoy es miércoles” y p es “hoy es martes” , el principio expresa:
“si hoy es miércoles, entonces hoy es o martes o miércoles” . Se llama el “principio
156
SECCION A. LA TEORIA DE LA DEDUCCION
de adición” porque declara que si una proposición es verdadera puede añadírsele
cualquier alternativa sin hacerla falsa. La referencia a este principio será “ Add” .
*1’4. Vi pvq.O. qvp Pp.
Este principio dice que “p o q" implica “q o p". Enuncia la ley permutativa para
la adición lógica de proposiciones, y se llama el “principio de permutación” . La
referencia a este principio será “Perm” .
*1'5. I- :pv(qvr). D .j v (p v r) Pp.
Este principio expresa: “ Si p es verdadero o ‘<7 o r' es verdadero, entonces o q es
verdadero o 'p o r' es verdadero” . Es una forma de la ley asociativa para la adición
lógica, y se llama “principio asociativo” . La referencia a él se hará como “Assoc” .
La proposición
p v (q v r ) . D . (p v q) v r,
que debía ser la forma natural de la ley asociativa, tiene menos poder deductivo y,
por lo tanto, no se considera como una proposición primitiva.
#1‘6. H . j D r . S r p v / j . S . / j v r Pp.
Este principio dice: “ Si q implica r, entonces 'p o q' implica 'p o r' En otras
palabras, en una implicación, una alternativa puede añadirse a la premisa y a la
conclusión sin deteriorar la verdad de la implicación. El principio se llama el
“principio de sumación” y quedará referenciado por “ Sum” .
*17. Si p es una proposición elemental, ~ p es una proposición elemental. Pp.
*171. Si p y q son proposiciones elementales, p v q es una proposición elemental.
PP*172. Si <¡>p y 0p son funciones preposicionales elementales que toman proposi­
ciones elementales como argumentos, <¡>pv \¡/p es una función preposicional elemen­
tal. Pp.
Este axioma es aplicable también a funciones de dos o más variables. Se llama el
“axioma de la identificación de las variables reales” . Se observará que si 0 y 1p son
funciones que toman argumentos de diferentes tipos, no hay una función tal como
“ 0x v 0x ” , porque 0 y 0 no pueden tener significativamente el mismo argumento.
Una forma más general del axioma último se dará en el *9.
El uso de los axiomas *1 771 72 generalmente será tácito. Sólo a través de ellos,
así como de los axiomas del *9, se hace relevante la teoría de tipos explicada en la
introducción. Cualquier punto de vista de la lógica que justifique estos axiomas
justifica el subsiguiente razonamiento tal como lo emplea la teoría de tipos.
Esto completa la lista de las proposiciones primitivas que necesita la teoría de la
deducción, tal como se aplica a las proposiciones elementales.
157
*2. CONSECUENCIAS INMEDIATAS DE LAS
PROPOSICIONES PRIMITIVAS
Sumario de *2.
Las pruebas de las primeras proposiciones de este número consisten simplemente
en advertir que son casos de las reglas generales dadas en *1. En tales casos, estas
reglas no son premisas, ya que aseveran cualquier ejemplo de ellas, y nada más que
sus ejemplos. Por tanto, cuando en las primeras pruebas se aduzca una regla general,
la alusión se hará entre corchetes (57), con las indicaciones pertinentes cuando sea
preciso por lo que se refiere a cambio de letras respecto de las dadas en la regla
—p
aplicable al caso considerado. Así, “Taut---- ” significa que se opera “Taut”
P
~p
cuando se escribe ~ p en lugar de p. Si “T aut---- ” se encierra entre corchetes antes
P
de una proposición aseverada, eso significa que, de acuerdo con “Taut” , aseveramos
que se realiza “Taut” cuando se escribe ~ p en lugar de p. El reconocimiento de que
cierta proposición es un caso de alguna proposición general previamente comproba­
da o supuesta, es esencial para el proceso de deducción a partir de las reglas
generales, pero ella no puede en sí misma erigirse en regla general, ya que la
aplicación requerida es particular, y una regla general no puede incluir explícita­
mente una aplicación particular.
Nuevamente, cuando dos conjuntos diferentes de símbolos expresan la misma
proposición en virtud de una definición —digamos, la *1 'OI — y una de ellas, a la
que llamaremos 1 ), ha sido aseverada, la aserción de la otra se hace escribiendo
“[( 1 ) . ( * r 01 )]” antes de ella; con esto se da a entender que, en virtud de la * 1 0 1 ,
el nuevo conjunto de símbolos asevera la misma proposición que estaba aseverada
en 1). Una referencia a una definición se distingue de una referencia a una
proposición anterior porque se encierra entre paréntesis curvos.
Las proposiciones que figuran en este número son todas, o casi todas, realmente
necesarias para las deducciones de matemáticas, basándonos en nuestras proposicio­
nes primitivas. Aunque gradualmente se introducirán ciertos procesos en forma
abreviada, las pruebas se ofrecerán de una forma completa, porque la importancia
de esta cuestión no estriba en las proposiciones en cuanto tales, sino 1 ) en el hecho57
(57)
Más adelante dejaremos de señalar la diferencia entre una premisa y una regla de
acuerdo con la que se guía una inferencia. Esta distinción es sólo importante en las primeras
pruebas.
158
SECCION A. LA TEORIA DE LA DEDUCCION
de que ellas se derivan de proposiciones primitivas, 2) en el hecho de que,
generalmente, el propio proceso constituye el ejemplo más fácil, simple y elemental
del método simbólico de versar sobre los principios de la matemática. Las últimas
partes -teo rías de clases, relaciones, números cardinales, series, números ordinales,
geometría, etc.—emplean todas el mismo método, pero con una complejidad cada
vez mayor, en los elementos y funciones considerados.
Las más importantes proposiciones probadas en este número son las siguientes:
*202.
Es decir, q implica que p implica q; esto es, una proposición verdadera es
implicada por cualquier proposición. A esta proposición se le llama el “principio de
simplificación” (su referencia es “Simp” ), porque, como aparecerá más adelante,
nos capacita para pasar' de la aserción de la unión de q y p a la aserción de
simplemente q. Teniendo en cuenta el significado que le hemos dado a la implica­
ción, se verá que esta proposición es obvia.
*2 03.
*215.
*216.
*217.
b ip D ~ 5 . D. q 3 ~ p
(-:
3 q . D.
b :p Oq . D .
3
b : ~ <¡r3
. 3 . p Dy
Estas cuatro proposiciones análogas constituyen el “principio de la transposi­
ción” , cuya referencia es “Transp” . Ellas nos llevan a la regla de que en una
implicación pueden intercambiarse sus dos miembros, convirtiendo lo negativo en
positivo, y lo positivo en negativo. Por ello, resultan análogas a la regla algebráica de
que los dos miembros de una ecuación pueden intercambiarse cambiando los signos.
*2 04. b : . p . 3 . í 3 r : 3 : g . 3 . p 3 r
Este se llama el “ principio conmutativo” (referencia: “Comm” ). Establece que,
si r se sigue de q, supuesto p verdadero, entonces r se sigue de p, con tal que q sea
verdadero.
*205. b g 3 r . 3 :p Oq . 3 .p 3 )•
*206. b
3 : q O r . 3 .p 3 r
Estas dos proposiciones son las fuentes del silogismo en Bárbara (tal como
probaremos más adelante) y, por ello, se denominan los “principios del silogismo”
(su referencia es “Syll” ). La primera dice que si r se sigue de q, entonces si q se
sigue de p, r se sigue de p. La segunda manifiesta lo mismo pero con las premisas
intercambiadas.
*208. b . p 3 p
Es decir, cualquier proposición se implica a si misma. Este se llama el “ principio
de identidad” , y su referencia será “Id” . No ha de confundirse con la “ley de
identidad” (x es idéntica a ¿r), aunque la ley de identidad se infiere de ella (cf.
*13T5).
159
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
. D •p D q
*2'21. h :
Esto es, una proposición falsa implica cualquier proposición.
Las últimas proposiciones de este número están, en general, subsumidas bajo
forma de proposiciones en *3 ó *4, que ofrecen los mismos resultados en formas
más compendiadas. Ahora pasamos a las deducciones formales.
*201. H:p 3 ~ p . D .
Esta proposición establece que si p implica su propia falsedad, entonces p es
falsa. Se llama el “ principio de la reductio ad absurdum" y nos referiremos a él
como “Abs” (58). La prueba es como sigue (en donde “Dem” es la abreviatura de
“demostración”):
Dem.
I-: ~ p v
Taut
. D. ~p
(1)
i(l).(*101)] t - :p D ~ p .D .~ p
* 202.
Dem.
Add
*203. b i p
Dem.
I- : q . 0 . r * p v q
j
(1)
(1).(*101)] H: q . 3 . p D q
. D .q D~p
Perra
p,
q j
l-s ~ » v ~ o .D . ~ o v
0)
*204. l- :.p .D . g D r : D :0 .D .jO r
Dem.
Assoc——— ^1 h:. ~ B v ( ~ o v r ) . D . ~ « v ( ~ p v r )
p, 9 J
( 1).(*101)]
( 1)
H: .p . D . $0 •>•: 3 : 5 . D .p D r
*205. H s . j D r . D t / O g . D . j O r
Dem.
Sum "“ J h q D r . D : ~ p v } . 3 . ~ p v r
( 1)
(1).(*101)] l - : . g O r . D : p D g . D . j O r
*206. ( ■ s . p D g . D t q O r . D . / O r
Dem.
j^Comrn-^ r'
^
H s s jD r.D :p D g .D .p 3 r s . 58
(58)
Hay un interesante artículo histórico sobre este principio debido a Vailati, “ A
proposito d’un passo del Teeteto e di una dimostrazione di Euclidc” , Rivista di Filosofía e
scienze affine, 1904.
160
SECCION A. LA TEORIA DE LA DEDUCCION
[*205]
[<1).12).*1-11 ]
( 1)
h : .g D r .D : ; O g . D .j O r
l- :.p D g .D :g D r .D .jO r
(2)
En la última línea de esta prueba, “ (1 ). (2 ). * r i l ” significa que estamos
infiriendo de acuerdo con * 1 1 1 , teniendo ante nosotros una proposición, a saber,
p D q . D t q D r . O . p D r , la c u a l, p o r ( 1 ), está implicada por
q Dr .D : p D q .D .p Dr, la cual, en virtud de (2), es verdadera. En general, en
tales casos, omitiremos la referencia a *1 1 1 .
Las dos últimas proposiciones se conocerán como los “principios del silogismo”
(en abreviatura, “ Syll” ) porque, tal como aparecerá más adelante, el silogismo en
Bárbara se deriva de ellos.
se quiere probar es aquella en la que se convierte la * 1'3 cuando se escribe p en
lugar de q.
*208.
Den.
*205p^ ^ J
Taut]
[(1 ).(2).*1 1 1 ]
[*207]
[(3).(4).*1-11]
*21.
h : : p v | ) . D . p : D : . p . D . p v p 0 .íO j>
( 1)
(2)
Hpvp.D.p
t- : . p . ^ . p v p : 0 . p 0 p
\-¡p.0.pvp
(3)
<*)
E .jO p
h . o j p v p [*2'08 • (*1-01)]
*211 . h .p v ~ p
Den.
1-: ~/> vj>. D -P V~ P
(1)
] K pv~p
Esta es la ley del medio excluso.
•212.
Dem.
(1)
*213. 1- . p v~{<^(~p)}
161
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
Esta proposición es un lema para *2'14 que, con *2' 12, constituye el principio de la
doble negación.
Dem.
r S u m 2 íPi2 l h ± 2 P )ll
*
J
h
[*212 ^ P ]
h : ~ p . 3 . ~ ( ~ (~ p ) )
( 2)
[( 1).( 2).* 111 ]
[(3).*211.*U 1]
h :p v ~ p . 3 ,p v ~ { ~ (~ p ))
b . p v ~ (~ (~ p )¡
(3)
~ p . 3 . ~ ~ (~ p )]. 3 :
p v ~ p .3 .p v ~ { ~ ( ~ p ) )
(1 )
*214 h. ~ (~ p )D p
Dem.
[Perm
h :p v ~ (~ (~ p ))
(1).*213.*111]
[(2).(* 101)]
h . ~ [ ~ ( ~ p ) } VP
K '» ( ~ p ) 3 p
~ l~ (~ P » vP
( 1)
( 2)
*215. h s~ p 3 9 » 3 . ~ 9 3 p
Dem.
;
P,
r
J
*212
h . j D ~ ( ~ 9 ’)
(2)
’( 1).(2).*111 ]
b:~ p 3 q .? .~ p l~ (~ <
Ú
(3)
* 2 - 0 8 ^ H t2 a l
h:
3 ~ ( ~ 9 ) • 3 • '"'9 3 ~ ( ~ P )
P* 9 J
¿205 -~ ?l ~ <~P>-P] h : . ^ ( ^ p ) D p . D : ~ í 3 ~ ( ~ P ) - : , - ~ ? 3 P
P.
9.
rJ
X 5).*2U .*111]
h : ~ 9 3 ~ ( ~ p ) - 3 - ~ 9 :JP
ing-Qj
~ P 3 ~(~<?), ~ 9 3 ~ < ~ P ) 1 j. . .
’
P.
9r
-I
D ^ 5) •
O s.
~ p 3 ? . D . ~ p D ~ ( ~ 9 ) =2 : ~ P 3 9 •3 • ~ 9
t(4).(7).*l l l ] 1 - ~ p 3 9 . 3 . ~ p 3 ~ ( ~ 9 ) : 3 !
~ p 3 9. 3 . ~9 ^ ~ ( ~ p )
[(3).(8).*111] 1-: ~ p 3 9 . 3 . ~9 3 ~ ( ~ p )
r*205 ~ P 3 9 . ~ 9 3 ~ ( ~ P ) . ~ 9 2 i ? l E m ~ 3 3 ~ ( ~ P ) - 3 * ~ 9 :>P :
1
P9.
r i
~
3 : . ~ p 3 9 . 3 . ^ 9 ^ ~ ( ~ P ) ::>:^ 3 9 0 , ~ 9 P
[<6).(10).*111] h ~ p 3 9 . 3 . ~9 3 ~ ( ~ P ) 5 3 !
r ^ p O q . O. ^ q J p
[(9).(11).*1-11] l - : ~ p 3 9 . 3 . ~ 9 3 p
162
(4)
(5)
(6)
(V)
( 8)
(9)
( 10)
( 11)
SECCION A. LA TEORIA DE LA DEDUCCION
Nota sobre ¡a prueba de *2-15. En la prueba que se acaba de exponer
se
observará
que
(3),
(4)
y
(6)
son, respectivamente, de las formas
p, 3 p i, p 2 3 P3, P3 3 p 4, siendo P\ 3 p 4 la proposición que se quiere probar. A
partir de p , 3 p2, p 2 3 P 3, P3 3 Pa resulta la proposidón p , 3 p 4 mediante aplica­
ciones repetidas de *2 05 ó *2'06 (ambas se llaman "Syll”). Resulta molesto e
innecesario repetir este proceso cada vez que se tenga que emplear; por tanto, se
abreviará según el esquema:
-[Syll] K (« ).(& ).(c ).3 h .(d )"
en donde (a) es de la forma p , 3 p 2, (b ) de la forma p 2 3 p 3, (c) de la forma
p 2 3 p 4, (d ) de la forma p t 3 p 4. El mismo esquema abreviado se aplicará a un
sorites de cualquier extensión.
También, donde tengamos “|- . p x” y T . Pi ^ p 2 ” y p 2 sea la proposidón que
se quiere probar, es conveniente escribir simplemente
[etc.]
K p ."
en donde “etc.” será una referencia a las proposiciones previas en virtud de las
cuales se sostiene “p , 3 p 2” . Esta forma incorpora el uso de *111 ó * 1 1 , y realiza
muchas pruebas siguiendo una manera más corta y al propio tiempo más fácil. Se
hace uso de esto en las dos primeras líneas de la siguiente prueba
*216. I - :p 3 9 . 3 . ~ 9 3 ~ p
Dem.
[*212]
h . 9 3 ~ ( ~ 9) . 3
*2'05]
I- :p 3 9 . 3 . p 3 ~ ( ~ 9)
(j)
*203 ~ f ] l_:P :5~ ( ~ 9 ) - 3 - ~ ? 3 ~.P
h . (1) .(2). 3 1- :p 3 9 . 3 . ~ 9 3 ~ p
(2)
Syll]
Nota. La proposición que se quiere probar se llamará “ Prop”. Cuando una
prueba termina (como en el caso de *2'16)en una implicación entre proposiciones
aseveradas, de las cuales el consecuente es la proposición que se quiere probar,
escribiremos “h . etc. 3 1- . Prop” . Así, pues, “3 H . Prop” da por terminada una
proposición, y, más o menos, corresponde a las siglas “Lc.q.d.” (“lo cual queda
demostrado” ).
*217. I- s ~ 9 3 ~ p . 3 .p 3 q
Dem.
*2-03
h : ~ 9 3 ~ p . 3 .p 3 ~ ( ~ 9)
L
P• 7.
[*214]
*2-05]
1- : p 3 ~ ( ~ 9) . 3 . p 3 9
[Syll]
h .(l) .( 2 ) .3 1 - ,P r o p
(1)
(2)
163
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
Las proposiciones *2‘15, *2‘16 y *2'17 son las formas del principio de la
transposición, y haremos referencia a ellas mediante la expresión “Transp”.
*218. h : ~ p 3 p . 3 . p
Dem.
[*212]
*205]
*2-01 = £ l
PJ
[Syll]
*214]
[Syll]
(• . p 3 ~ ( ~ p ) . 3
h•~ p 3 p • 3 . ~ p 3 ~ (~ p)
(1)
h: ~ p 3 ~ (~ p ). 3 . ~(~ p)
(2)
h . ( 1). (2). 3 1-: ~ p 3 p . 3 . ~ ( ~ p )
(-. ~ ( ~ p ) 3 p
1-. (3). (4). 3 1-. Prop
(3)
(4)
Este es el complemento del principio de la reductio ad absurdum. Establece que
una proposición que se sigue de la hipótesis de su propia falsedad es verdadera.
*2’2. h : p . 3 . p v q
Dem.
H. Add. 3 h : p . 3 . q vp
[Perm] 1- s q v p . 3 . p v q
[Syll] I-. (1). (2). 3 K Prop
*2'21. I-:
(1 )
2
( )
, 3 . p 3 q ^*22
Estas dos últimas proposiciones se usan muy frecuentemente.
*224. h : p . 3 . ~ p 3 q [*221. Comm]
*2'25. I- : . p : v : p v q . 3 . q
Dem.
I-. *21.31-: ~ (p v q). v . (p v q) :
[Assoc] 3 1- : p . v . {~(p v q). v . g]: 3 h . Prop
*2 26. h :.~ p : v : p 3 q . 3 . q ^*2‘25
*2-27. 1- : . p . 3 : p 3 q . 3 . q
*23.
[*2'26]
l - : p v ( g v r ) .3 . p v ( r v g )
Dem.
.
L
h: q y r . D . r v q :
P-9 J
Sum ? v r »r v ?1 3 h :p y (qy r) . 3 . p v (r v 5)
Perm ^
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J
*2'31. f : p v (q v r ) . 3 . (p v q) v r
Esta proposición, juntamente con la *2 32, constituye la ley asociativa de la
suma lógica de proposiciones. En la prueba se empleará la siguiente forma abreviada
164
SECCION A. LA TEORIA DE LA DEDUCCION
(que se usará constantemente en lo sucesivo) (59): Cuando tengamos una serie de
proposiciones de la forma aDb, b De, cDd, todas aseveradas, y “a Dd" sea la
proposición que se quiere probar, la prueba completa es la siguiente:
[Syll]
b :.a 3 f c .3 :6 3 c .3 .a 3 c
b:a. 3. b
[(1).(2).*1 -11 ] b :6 3 c . 3 . o 3 c
b: b. 3 . c
(1)
( 2)
(3)
(4)
[(SM ^-^l’lI ] b : o . 3 . c
(g)
(6)
[Syll]
b :.a 3 c .3 :c 3 d .3 .a 3 r f
[(5).(6).*M1] b : c 3 d . 3 . a 3 d
b s C. 3 . d
[(7).(8).*111] h s o . 3 . d
(7)
(8)
Resulta molesto copiar este proceso por extenso; por lo tanto, escribiremos
simplemente:
b : « . 3 .6 .
[etc.] 3 . c .
[etc.] 3 . d : 3 1-. Prop,
en donde “a Dd" es la proposición que que se quiere probar. Indicamos a la
izquierda, mediante las referencias encerradas entre corchetes, las proposiciones en
virtud de las cuales se siguen las implicaciones sucesivas. Ponemos un punto (no
dos) después de la “ó ” para indicar que es b, y no “a Db", la que implica c. Pero
ponemos dos puntos después de la d para señalar que, en este caso, nos referimos a
toda la proposición “a D d Si " a D d " no fuese la proposición que se quiere
probar, pero lia de emplearse sucesivamente en la prueba, entonces pondremos:
b s o .D . 6 .
[etc.] 3 . c .
[etc.] 3 . d
( 1).
en cuyo caso, (1) significa “a D d". La prueba de *2'31 es así:
Dem.
•2 ‘3] b : p v
(g
v
r).
L A s s o c ^ ? j
P erm ^ -tp j
3
. p
v
( r
v
5) .
3 . r v ( p v g ) .
3 . ( p v ?) v r : 3 b . Prop
*232. b s (p v g )v
v r .3
. 3.p. pv
v ((?
( qvv rr))
Dem.
j^Perm^
j b : (p v j ) v r . 3 . r v ( p viy)
(59) Esta abreviatura es aplicable a los mismos tipos de casos a los que nos referíamos en la
nota a *215, pero su empleo suele ser más conveniente que la forma abreviada explicada en
dicha nota.
165
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
Assoc r--%' $
L
3 ,pv(rvg)
p. q,
*2-3]
3 . p v ( g v r ) : 3 l - . Prop
*2'33. p v g v r . « » . ( p v g ) v r Df
Esta definición sólo sirve para evitar el empleo de paréntesis.
Dem.
Perm]
l-:pvr.3 .rvp:
3l-:.pv g .3 .p v r:3 :p v g .3 .rv p
h:.g3r.3:pvg.3.pvr
’Sum]
1-. (1). (2) . Syll.3 1 -. Prop
*2'37. l - : . g 3 r . 3 : g v p . 3 . p v r
[Syll. Perm . Sum]
*2'38. I - g 3 r . 3 : q v p . 3 . r vp
[Syll. Perm . Sum]
(1)
(2)
Las pruebas de *3'37‘38 son completamente análogas a la de *2'36. (Escribimos
*2'37'38 como una forma abreviada de “ *2'37 y *2 38” . Estas abreviaturas se
emplearán a lo largo de toda la obra).
El uso de un principio general de deducción, tal como otra forma de “ Syll” , en
una prueba, es diferente del empleo de las premisas particulares a las que se le aplica
el principio de deducción. El principio de deducción ofrece la regla general de i
acuerdo con la que se hace la inferencia, pero en sí mismo no es una premisa de la
inferencia. Si lo tomásemos como premisa, necesitaríamos dicho principio, o si no
alguna otra regla general que nos permita inferir la conclusión deseada; de este
modo, conseguiríamos gradualmente una acumulación creciente de premisas sin
llegar nunca a hacer alguna inferencia. Así, pues, cuando se cita una regla general,
señalando gráficamente una inferencia, como. p. ej., cuando escribimos
“[Syll] |- . (1 ). (2 ). D (-. Prop”, la mención “Syll” sólo se pone para recordar al
lector de qué modo se deduce la inferencia.
La regla de inferencia puede, sin embargo, figurar también como una de las
premisas ordinarias, es decir que, p. ej., en el caso de “Syll” , la proposición
“p Dq . D : q D r . D . p D r" puede ser una de aquellas a las que se aplican nuestras
reglas de deducción, y, en este caso, sería una premisa ordinaria. El distinguir entre
los dos usos de los principios de la deducción es de cierta importancia teórica; en las
pruebas anteriores lo hemos indicado poniendo la regla de inferencia entre corche­
tes. Sin embargo, en la práctica, no resulta conveniente seguir diferenciándolo, en
cierto modo, de la referencia. Por consiguiente, en lo sucesivo pondremos la cita de
las premisas ordinarias entre corchetes, en donde corresponda, y citaremos las reglas
de inferencia, junto con otras proposiciones, en las premisas aseveradas; es decir,
escribiremos, p. ej.
" K (l).(2 ).S y ll.3 f -.P ro p ”
166
SECCION A. LA TEORIA DE LA DEDUCCION
en vez de
" [Syll] I-. (1). (2). DI-. Prop ”
*2-4 I- : .p . v .p v q : D . p vq
Dem.
I-. *2-31 .D I - :.p .v ] .p v g r :D :p v p .v .g :
[Taut.*2'38]
D :p v q D I-. Prop
*241. h q . v .p v q : D , p v q
Dem.
Assoc ?‘- P l ?~1 ( -..g , v . p v q : D : p . v • q v £
L
p. 9. n
Taut.Sum]
D : p v g D 1*242.
1 - ~p .v.pDg:D.pDg
*243.
1- : . p . ^ . p O q
,p0 q
[ * « f ]
[*2-42]
*2-45.
h :~ ( p v g ). D .~ p
[*2 2 . Transp]
*2-46.
l- :~ ( p v g ) .D .~ g
’* l-3 . Transp]
*2-47.
I- : ~ ( p v g) . D . ~ p v g
*2-45. * 2 - 2 ^ . Syll
L
p
J
*248.
: ~ ( p v q) . D . p v ~ g
*2-46. *1-3 ^ 2 . Syll
9
*249.
h :~ ( p v g ). D . ~ p v ~ g
*2-45.*2-2
L
p>
*2-6.
1- :~ ( p D g ) . D .~ p D g
* 2 -4 7 ^
L
P
*251.
h :~ ( p Dg) . D . p D ~ g
* 2 -4 8 ^
*2-52.
h
^ ). D .
P J
D 0^^
*2521. t - : ~ ( p D 9 ) . D . ( ? D p
*253.
7
* 2 -4 9 ^
P J
*2-52-17]
l-:pvg.D.~pDg
Dem.
*254.
*2 55.
I- . *2-12’38 . D I- :p v q . D . ~ ( ~ p ) v g : D I-. Prop
h : ~ p Dg . D . p v g
[*2-14-38]
h :. ~ p . D :p v g . D . g [*2‘53. Comro]
*256.
I- : . ~ g . D :p v g . D .p
*2'6.
h:.~pDg.D:pDg.D.g
jj*2‘5 5 . Perm^J
Dem.
[*2'38]
I- : . ~ p D g . D :~ p v g. D . g vq
[Taut.SylI] I - : . ~ p v g . D . g v g : D : ~ p v g . D . g
(1)
(2)
167
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
h . (1). (2). Syll . 3 l - : . ~ p 3 g . 3 : ~ p v g . 3 . g : . 3 l - . Prop
[*2'6. Comm]
[*2-53-6. Syll]
[*2'62. Comm]
[*2-62]
*261.
*262.
*2621.
*263.
1- : . p 3 g . 3 : ~ p 3 g . 3 . g
l-:.p v g .3 :p 3 g .3 .g
h :.p 3 g .3 :p v g .3 .g
h :. p v g . 3 : ~ p v g . 3 . g
*264.
h :.p v g .3 :p v ~ g .3 .p
[*263 2ii*. Perm
L
P, 9
*2 66.
l- :.p 3 g .3 : p 3 ~ g . 3 .~ p
*267.
h :.p v g .3 .g :3 .p 3 g
[-“?]
Dem.
[*254.Syll] I- :.p v g . 3 . g : 3 : ~ p 3 g . 3 . g
[*2’24.Syll] I - : . ~ p 3 g . 3 .g : 3 . p 3 g
O)
( 2)
I-. (1). (2). Syll .3 1 -. Prop
*268. l - : . p 3 g . 3 . g : 3 . p v g
Dem.
|*2'67
(1)
h .p D g .S .g O .~ p 3 g
I-. (1). *2 54. 3 I-. Prop
*2 69. Y : . p 3 g . 3 . g : 3 : g 3 p . 3 . p
*2‘68. Perm. *2’62
*273. Y : . p 3 g . 3 : p v g v r . 3 . g v r
*2621-38]
*274. I- : . g 3 p . 3 : p v g v r . 3 . p v r
*273
*276. Y : : p v g . 3 : . p . v . g 3 r : 3 . p v r
*274^-? .*2'53-3l]
*276. Y : . p . v . g 3 r : 3 : p v g . 3 . p v r
*275 . Comm]
*277. Y : . p . 3 . g 3 r : 3 : p 3 g . 3 . p 3 r
*276
*28. h
Dem..
P. 9
P-?J
. Assoo .Syll]
gv r . 3 : ~ r vs . 3 . gv a
I-. *253. Perm . 3 h :. g v r . 3 : ~ r 3 g :
[*238]
3 : ~ r v a . 3 . g v a :. 3 1-. Prop
*2'81. H : : g . 3 . r 3 a : 3 : . p v g . 3 : p v r . 3 . p v a
Dem.
Y . Sum . 3 h : : g . 3 . r 3 a : 3 :.p v g . 3 : p . v . r 3 s
I- .*276 . Syll . 3 l - : : p v g . 3 : p . v . r 3 a : . 3 :.
p v g . 3 : p v r . 3 .p v a
h . (1). (2). 3 h . Prop
*2'82. I-: . p vg v r . 3 : p v ~ r v a . 3 .p vg va
( 1)
(2)
í*2'8.*2'81 ^ v r ‘ ~ r v *» Í Xf l
L
168
9.
r,
a J
SECCION A. LA TEORIA DE LA DEDUCCION
*283. h : : p . 2 . q D r : 3 : . p . D . r D s : 2 : p . D . g 2 s
* 2-82 ~ P ,
*286. Kí . p v g . D . p v r : D : p . v • qOr
P.
~?1
9
J
Dem.
[Add.Syll] h r . p v j . D . r i D . j D r
. D :.p v r . D . r
[Syll]
Dr.pvg.D.pvrrDipvj.D.r:.
[(1).*2’83]
D : . p v q . 3 .p v r : D: jD r
H.(2 ). Comm .31-:.
p v y . 3 . y v r : D : ~ p . 3 .9 3 r :
[*2'54]
D r p . v . j D r : . 3I-. Prop
( 1)
H. *2-55 . D h ::
(2)
*286. I- í . p 2 q . 3 . p D r : 3 :p . 3 . g 3 r |^*2-85-^J
169
*3. EL PRODUCTO LOGICO DE DOS PROPOSICIONES
Sumario de *3.
El producto lógico de dos proposiciones, p y q, es, en la práctica, la proposición
“p y q son ambas verdaderos” . Pero esto, tal como se ha establecido, tendría que
ser una nueva idea primitiva. Por tanto, adoptamos como producto lógico la
proposición ~ ( ~ p v ~ q ) , esto es, "es falso que o p es falso oq es falso” , lo cual es
óbviamente verdadero cuando, y sólo cuando, p y q sean ambos verdaderos. Por lo
tanto, ponemos:
«301. p • q . = .
v ~ 9) Df
en donde “p . q" es el producto lógico d e p y q .
«3"02. p ^ q ^ r . = .pO q. qO r Df
Esta definición sirve meramente para abreviar las pruebas.
Cuando ofrecemos dos funciones proposicionales aseveradas “b . <px" y
. \J/x’\
tendremos “ | - . 0x . ipx” siempre que 0 y 0 adopten argumentos del mismo tipo.
Esto se probará en *9 para algunas funciones; por el momento, nos limitamos a las
funciones proposicionales elementales de proposiciones elementales. En este caso, el
resultado se prueba como sigue:
Por *1'7, ~ 0p y ~ 0p, son funciones proposicionales elementales y, por lo
tanto, por *172, ~ 0p v ~ \¡/p es una función preposicional elemental. Por tanto,
por *2‘1 1,
b : ~ 0p v ^T/rp , v .
v ~-0p).
Luego, en virtud de *2'32 y de *101,
b :.0 p O :'0 p .3 .~ ( ~ 0 p v ~ i / r p ) I
es decir, por *3"01 ,
h <f>p. 0 : i(rp .3 .0 / ) . rp.
Por lo tanto, por *111, cuando tenemos “b . 0p” y “b 0 p ” tenemos
“ b • 0 p . 0 p ” . Esta proposición es la *3 03. Debe entenderse, al igual que en la
*172, que también es aplicable a funciones de dos o más variables.
Prácticamente, esta es la forma más útil del axioma de la identificación de
variables reales (cf. *172). En la práctica, cuando se ha suprimido la restricción a
las proposiciones elementales y a las funciones proposicionales, una manera adecua­
da por la que puede reconocerse que dos funciones adoptan argumentos del mismo
tipo es el siguiente:
Si 0x contiene, de cualquier modo, un constituyente x (*, y . 2,...) y
contic-
170
SECCION A. LA TEORIA DE LA DEDUCCION
ne. también de cualquier modo, un constituyente x (*. u, v, ...), entonces tanto <px
como \¡sx toman argumentos del tipo del argumento x en x (*, y, z , ... ), y por tanto,
y \¡/x toman argumentos del mismo tipo. Por consiguiente, en tal caso, si pueden
aseverarse 0x y ij/x, también puede aseverarse <f>x . \¡/x.
Como ejemplo del empleo de esta proposición, tomemos la prueba de la *3'47.
Allí probamos
y
h:.p0r.q5s.2ip.q.5.q.r
( 1)
l':.p D r.q O s.D :g .r.3 .r.*
(2)
y lo que deseamos probar es
p^r.qOs.Oip.q.O.r.e,
que es la *3-47. Ahora, en (1) y en (2), p, q, r, y s son proposiciones ele­
mentales (como en todas las partes de la Sección A); por tanto, mediante la
* 1-7*71 aplicada repetidamente, “p D r . q D s . D : p . q . 3 . q . r" y
“p b r . q 3 s , D s . D : q . r . D . r . s" son funciones preposicionales elementales.
Luego, por la *3 03, tenemos
i-:: p O r .
s . 0 :p . q
, q . r : . p O r , q 0 s . 0 :q . r
. r ,s,
por lo que el resultado se sigue de las *3'43 y *3'33.
Las principales proposiciones del presente número son las siguientes:
*32. h : . p . 0 : q . D .p.q
Esto es, “p implica que q implica p . q"\ es decir, si cada una de dos proposiciones
es verdadera, también lo es su producto lógico” .
*326. l - : p . 9 . D . p
*327. I-: p . q . D . q
Esto es, si el producto lógico de dos proposiciones es verdadero, entonces cada
una de las dos proposiciones es, separadamente, verdadera.
*3'3. I- m
. . p . q. D. r s D : p . j . q O r
Esto es, si p y q, juntamente implican r, entonces p implica que q implica r. A
este principio (siguiendo a Peano) se le llamará de “exportación” , dado que q se
“exporta” fuera de la hipótesis. La referencia a este principio se hará mediante las
letras “ Exp.”.
*331. l * : . p . 3 . 9 D r O : p . 9 . D . r
Este es el correlativo del anterior, y (siguiendo a Peano) le llamaremos el
“principio de importación” (referencia: “ Imp” ).
*335. .L :p . p 3 q . D . q
Esto es, “si p es verdadero, y q se sigue de él, entonces q es verdadero” . A éste se
le llamará el “ principio de aserción” (referencia: “ Ass” ). Este difiere del *1'1 en el
hecho de que no se aplica sólo cuando p sea realmente verdadero, sino que requiere
sencillamente la hipótesis de que p sea verdadero.
171
PARTF. I. LOGICA MATEMATICA
•3'43. I- i . p Oq . p D r . 3 :p . D . q . r
Esto es, si una proposición implica a otras dos proposiciones, entonces implica a
su producto lógico. A éste, Peano le llama el “principio de la composición” . Nos
referiremos a él mediante “Comp” .
*3'46. l - : . p D g . D ! / ) . r . 3 . g . r
Esto es, ambos lados de una implicación pueden multiplicarse por un factor
común. Peano le llama el “ principio del factor” . Nos referiremos a él como “ Fact” .
*347. I-: . p D r . j D « . D : p . g . D . r . í
Esto es, si p implica q y r implica s, entonces p y q juntamente implican r y s
juntamente. La ley de contradicción “ b . ~ ( p . ~ p)” , se prueba en este número
(*3-24); no obstante, a pesar de su fama, hemos encontrado pocas ocasiones en
donde emplearla.
*3-01. p . q . = . ~ ( ~ p v ~ q ) Df
*3-02. p O q O r . ^ . p O q . q 2 r Df
•3-03. Dadas dos funciones preposicionales elementales aseveradas, “ b . <pp” y
“ b . i¡tp'\ cuyos argumentos sean proposiciones elementales, tenemos \-.<t>p ■*¡>PDem.
I- .*1-7-72 .*2-11.3 h :~ ^ > p v ~ ijr p .v ,~ ( ~ 4 |p v ~ ^ j)
I-. (1). *2-32 . (*101). D h s.
. D : ijcp. D . ~ ^>p v ~ yfrp)
I-. (2). (*3 01). D b <f>p. 0 : . D . <f>p. f p
K (3 ).# 1 1 1 .3 K P ro p
*3"1. 1- ip . q . 3 . ~ ( ~ p v ~ g ) I d . (*301)]
*311. 1- s ~ ( ~ p v ~ g ) . 3 . p . q Id. (*3-01)]
*312. h ; ~ p . v . ~ g . v . p . g
*211
( 1)
(2)
(3)
P
*313. 1- : ~ ( p . g ) . D . ~ p v ~ g *311. Transp]
*314. h : ~ p v ~ q . 2 . r » ( p . q ) *31. Transp]
[*3-12]
*3 2. 1- t . p . D t q . O . p . q
*3*2. Común]
*321. 1-:. q . 0 : p . 0 . p . q
*322. h : p . q . D . q . p
Esta es una de las formas de la ley conmutativa de la multiplicación lógica. Una
forma más completa se ofrece en *4'3.
Dem.
* 3 1 3 I-:~(g.p).3.~gv~p.
P-9 J
Perm]
*314]
h .(1 ). Transp. D I-. Prop
172
D
(1)
SECCION A. LA TEORIA DE LA DEDUCCION
Obsérvese que, en la última proposición, “(1)” significa la proposición
como se explicó en la prueba de la *2‘31.
*324. h . ~ ( p . ~ p )
Dem.
(■, ~ p v
*2 1 1 ^
P .
*314 2 2
■3
l-.~(p.~p)
2
Esta es la ley de contradicción.
*3-26. h s p .j.S .p
Dem.
1- : p . 3 . g D p
*2-02^— 1
J>.2J
.(!)•(*! "01)1
[*2-31]
0)
b: ~ p . v . ~ g v p :
3 h :~ p v ~ g .v .p :
*2*53 ~ P v ~ 7> P l 3 h : <■-( ~ p v ~ q ) • 3
P> 7 J
h :p .g .3 .p
[(2).(*3-01)]
2
( )
7 • 3 •7
Dem.
*322]
*322
1- : p . g . 3 . g . p .
* 3 '2 6 ^ 1
L
P<?J
3 . o : 3 1-. Prop
Cada una de las dos proposiciones *3'26'27 se llamará el “principio de simplifi­
cación” , al igual que la *2‘02, de la que se deducen. La referencia a este principio
será “Simp” .
*33. h : . p . í . 3 . r : 3 : p . 3 . ? 3 r
Dem.
[Id.(*301)] 1- : . p . ? . 3 . r
[Transp]
[Id.(*101)]
[Comra]
[Transp.Syll]
: 3 : ~ ( ~ p v ~ 9) . J . r :
3 : ~ r . 3 . ~ p v ~ 5,:
3 :~ r.3 .p D ~ ?:
3 :p . 3 . ~ r
:
D s p . D . j D r : . 3 h. Prop
*331. t-i.p.^.qOr-.O-.p.q.O.r
Dem.
Id.(*l-01)] l - : . p . 3 . j 3 r ! 3 : ~ p . v . ~ g v r :
*2-31]
3 :~ p v ~ j.v .r:
*2-53 ~ pV~ 9'^]
p.
2J
Íd.(*301)í
3 s~ (~ p v ~ j).3 -r:
3: p .g. 3. r
3 H. Prop
173
PARTE l. LOGICA MATEMATICA
*333. Y z p O q . q ^ r . D . p D r [Syll.Imp]
*334. h : q 2 r . p 2 q . D . p D r [Syll.Imp]
En lo que sigue, estas dos proposiciones tendrán la referencia “ Syll” ; en la práctica
resultan más convenientes que las *2'05 y *2*06.
*335. Y z p . p ' S q . l . q [*227.Imp]
*3‘37. (• : . p . q . D. r : D: p . ~ r . D.
Dem.
1-. Transp . D I - s g D r . D . ~ r D ~ ( j :
[Syll]
Dhs.p.D*. j D r s D : p . D . ~ r D ~ 5
h. Exp. DI-z.p.q.'S.rz'Szp.'S.qOr
h. Imp . D1-: . p . D.
D<—9 : D : p .
. D.
1-. (2). ( 1) . (3). Syll. D1-. Prop
Esta es otra forma de transposición.
*3'4. Y r p . g . D . p D g
[*2'51 .Transp.(* 1 '01 .*3'01)]
*3'41. l - : . p D r . D : p . g . D . r [*3'26. Syll]
*3-42. l-:. 9 D r . D : p . 9 . D . r [*3'27.Syll]
*343. Y :.pOq .pOr
:p . 3 . q .r
Dem.
( 1)
(2)
(3)
*
Y . *3'2 . D I - : . j . D : r . D . ^ . r
(»
1- .(1) . Syll . D ( - : : p D < f . D : . p . D : r . D . j . r : .
[*2'77]
D s.pD r.D sp.D .j.r
(2)
1-. (2). Imp. D 1-. Prop
*344. 1-:. g D p . r D p . D r y v r . D . p
Este principio es análogo al *3’43. La analogía entre el *343 y el *3 44 es del
tipo que generalmente se da entre fórmulas relativas a productos y fórmulas
relativas a sumas.
Dem.
h . Syll .DI-:. ~ y D r . r D p . D s ~ 9 Dp:
[*2'6]
D : g D p . D. p
1- .(1 ). Exp. D H:s<»9 D r . D : . r D p . D : 9 D p . D . p s .
[Comin.Imp]
D t.fD p.rD p.D .p
1-. (2). Comm . D h s . 9 D p . r D p . D : ~ 9 D r . D . p : .
[*2'53.Syll] D 1-. Prop
( 1)
(2)
*3'45. t- :.p,pq . O z p . r . O . q . r
Este principio señala que podemos multiplicar ambos miembros de una implica­
ción por un factor común; por este motivo, Peano le llama el "principio del factor".
Haremos referencia a él mediante “Fact” . Este es el análogo, para la multiplicación,
de la proposición primitiva *1 ' 6.
Dem.
^
h . Syll -p[TranspJ
174
D : ~ ( p D ~ r ) . D . ~ ( 9 D<'or):.
SECCION A. LA TEORIA DE LA DEDUCCION
[Id.(*l'01.*301)pP.Prop
*347. P :.pDr . g3 e .3 :p ,q .D . r . s
Esta proposición, o más bien su análoga para las clases, fue comprobada por
Leibniz; evidentemente le agradó, ya que la denominó “praeclarum theorema” (60).
Dem.
P .*326. 3 l - : . p 3 r . ] 3 s . 3 : p 3 r :
[Fact]
3: p . q . D . r . q - ,
[*3‘22]
D: p . q . D . q . r
P .*327 .DP : . p 3 r . g 3 * . D : g 3 « :
[Fact]
D :g .r.D .s .r:
[*3 22]
D : q . r . D. r . s
P . (1). (2). *3 03 . *2 83.3
P : . p O r . q O s . O : p . g . D . r . s : . D P . Prop
(1)
(2)
*348. P : . p D r . g O * . D : p v g . 3 . r v *
Este teorema es análogo al *3 47.
Dem.
P. *326 .D Pi.pD r.gD s.D spD r:
[Sum]
D t p v g .D . r v g :
[Perm]
D ip v g . D . g v r
I-. *327 .Z )P :.p D r .g !)s .3 :g D «:
[Sum]
D r g v r .D .s v r :
[Perm]
D s gvr.D .rva
P.(l).(2).*2'83.3
P s.p 3 r.g D í.D :p v g .D .rV 8 :.D P . Prop
(1)
(2)
(60) Philox/phical works, Gerhardt'sedition, VoL VII. p. 223.
175
*4. LA EQUIVALENCIA Y LAS REGLAS FORMALES
Sumario del *4
En este número nos ocuparemos de las regias que, más o menos, son análogas a
las del álgebra ordinaria. A partir de estas reglas es de donde arranca el usual
“cálculo de lógica formal”. Consideradas como un “ cálculo” , admiten otras muchas
interpretaciones. Pero todas esas interpretaciones dependen de una que se considera
aquí, ya que en todas ellas deducimos consecuencias a partir de nuestras reglas, y,
por consiguiente, presuponen la teoría de la deducción. Una interpretación muy
simple del cálculo es la siguiente: las entidades consideradas constituyen números,
los cuales son nada más que el 0 o el 1 ; “p D q" tiene el valor 0 si p es 1 y q es 0 ; en
cualquier otro caso tiene el valor 1 ; ~ p tiene el valor 1 si p es 0, y 0 si p es 1 ;p . q
es 1 si tanto p como q son 1 , y es 0 en cualquier otro caso; p v q e s Q s i p y q son
ambos 0, y es 1 en cualquier otro caso; y el signo de aserción significa que lo que le
sigue tiene valor 1. La lógica simbólica considerada como un cálculo tiene, induda­
blemente, mucho interés en sí misma; pero, en nuestra opinión, este aspecto ha sido
hasta aquí excesivamente resaltado, a expensas del aspecto en el que la lógica
simbólica es meramente la parte más elemental de las matemáticas y el prerrequisito
lógico de todo lo demás. Por esta razón, trataremos sólo brevemente de lo que se
precisa para el álgebra de la lógica simbólica.
Cuando dos proposiciones se implican mútuamente decimos que las dos son
equivalentes, lo cual se simboliza por “p =<?“ . Ponemos
•401. p= q . = . p ' ó q . q ' ó p Df
Es obvio que dos proposiciones son equivalentes cuando, y sólo cuando, ambas
son verdaderas o ambas son falsas. Siguiendo a Frege, al valor de verdad de una
proposición le llamaremos verdad si la proposición es verdadera, y falsedad si es
falsa. Así, pues, dos proposiciones son equivalentes cuando tienen el mismo valor de
verdad.
Debe observarse que, si p = q, q puede sustituirse por p sin que se altere el valor
de verdad de cualquier función de p que no entrañe ideas primitivas excepto las
enumeradas en el * 1. Esto puede comprobarse separadamente en cada caso, -p e ro
no de una manera general— puesto que no tenemos forma de especificar (con
nuestro aparato de ideas primitivas) que una función sea una que puede construirse
por sí sola prescindiendo de estas ideas. Denominaremos función de verdad a una
función / ( p) cuyo argumento sea una proposición, y cuyo valor de verdad dependa
sólo del valor de verdad de su argumento. Todas las funciones de proposiciones de
las que trataremos especialmente serán funciones de verdad; es decir, tendremos
176
SECCION A. LA TEORIA DE LA DEDUCCION
*>= ?• 3 •/(*>) = /(?).
La razón de esto es que las funciones de proposiciones con las que tratamos se
construyen todas por medio de las ideas primitivas del *1. Pero no es una
característica universal de las funciones de proposiciones el ser funciones de verdad.
Por ejemplo, “A cree p ” puede ser verdad para un valor de p y falso para otro.
Las principales proposiciones de este número son las siguientes:
*4'1.
*411.
=
=
Estas son dos formas del “ principio de transposición” .
*413. h . p = ~ (~ p)
Este es el principio de la doble negación; esto es, una proposición es equivalente
a la falsedad de su negación.
*42. b . p = p
*421. b:p = q. = . q=p
*4 22. h : p = q . q = r . D . p = >•
Estas proposiciones aseveran que la equivalencia es reflexiva, simétrica y transiti­
va.
*424. b t p . = . p , p
*426. b i p . = . p v p
Esto es, p es equivalente a “p y p “ y a “p o p ”, las cuales son dos formas de la
ley de tautología, y que constituyen la fuente de las principales diferencias entre el
álgebra de la lógica simbólica y el álgebra ordinaria.
*43. I- - . p . q . s . q . p
Esta es la ley conmutativa del producto de proposiciones.
*4'31. b : p v q . £ . q v p
Esta es la ley conmutativa de la suma de proposiciones.
Las leyes asociativas para la multiplicación y adición de proposiciones son
*432. b : ( p . q ) . r . = . p . ( q . r )
*433. b :(pv q)v r . = , pv (q\ r)
La ley distributiva en las dos formas:
*44. b : . p . q v r . 3 : p . q . v , p . r
*441. I- : , p . v . q . r : = .p vq .p vr
La segunda de estas formas no tiene análoga en el álgebra ordinaria.
*471- b: . pOq. = : p. = . p . q
Esto es, p implica q cuando, y sólo cuando, p es equivalente a p . q . Esta
177
PARTE 1. LOGICA MATEMATICA
proposición se usa constantemente; ella nos permite sustituir una implicación por
una equivalencia.
*473. h s .q . 0 : p . = . p . q
Esto es, un factor verdadero puede eliminarse de una proposición o añadirse a
ella, sin que se altere el valor de verdad de dicha proposición.
*401. p = q. = . p ^ q . qOp Df
*402. p = q = r . = .p = q. q = r Df
Esta definición sirve meramente para ofrecer una abreviatura conveniente.
l
III
l
111
1)1
*s
T
*41. \~:p 0 q . = . qO r^p
[*21617]
*411.
[*21617. *3-47-22]
rvp
*412.
[*20315]
*413. h .p = ~ { ~ p )
[*21214]
*414. \ - : . p . q . 2 . r : = : p . ~ r . 0 . ~ q
[*3-37. *413]
*415. 1- :.p ,q
, ~ r ¡s t q ,r
.~p
[*3-22. *413*M]
*4'2. V . p s p
[Id. *3 2]
*401. 1- t p s q . s . q s p
[*3-22]
*4-22. h:p = q. q = r . ü . p = r
Dem.
,p = q .
(•.*3-26.
3 8 :p = q ,q = r
[*3-26]
h.*3-27.
3 8 : p s q . q s r . 3 .q s r .
[*3-26]
3 .g 3 r
8.(1). (2). *2-83.3 8:p = q . q = r . 0 , p 0 r
8.*3-27.
3 8 :p = q . q s r .3 . q s r .
3 .r3 < /
[*3-27]
8. *3-26 .
3 8 :p = q . q s r . ^ . p s q .
[*3-27]
3 - 9 3 í>
1-. (4) . (5). *2-83 . 3 8 : p = q . q s r . 2 . r Op
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
h . (3). ( 6) .Comp. D I-. Prop
Nota. Las tres últimas proposiciones muestran que la relación de equivalencia es
reflexiva (*4‘2), simétrica (*4'21), y transitiva (*4'22). La implicación es reflexiva
y transitiva, pero no simétrica. Las propiedades de ser simétricas, transitivas y (al
menos en determinados campos) reflexivas son esenciales para cualquier relación
que posea las características formales de la igualdad.
*424. I- s p . s . p . p
Dem.
178
I-. * 3 2 6 . DI- - . p . p . l . p
K * 3 '2 . 3 8 i . p . 3 :p . 3 .p . p t .
(1)
SECCION A. LA TEORIA DE LA DEDUCCION
(*2-43] DH: p . O . p . p
h.(l).(2).*3-2.D h.Prop
*425. I- : p . = . p v p
(2)
Taut. Add
Nota. Las *4'24‘25 son dos formas de la ley de tautología, que es la que
principalmente hace distinguir el álgebra de la lógica simbólica del álgebra ordinaria.
*4*3. I- z p . q . s . q . p
[*322]
Nota. Siempre que, para cualquier valor de p y q, tengamos
4>(p,q)^ -4>(q,p),
también tenemos que
Porque
(<*>(p.q).3.<f> (g,p)) J l í . D: 4>(q.p) . D. * (p, q).
*431. h : p v q .= . q v p [Perm]
*432. b : ( p . q ) . r . s . p . ( q , r )
Dem.
K*4-15.
D h : . p . 9 . D . ~ r : = : 9. r . D . ~ p s
[*412]
= :p .D .~ (j.r)
H. (1) . *4-11. D b : ~ ( p . q . D . ~ r ) . = . ~ [p. D. ~ ( j . r ) ) :
[(*1-01 .*3 01)] D h . Prop
(1)
Nota. Aquí “(1)” significa “|- p . q . D . ~ r : =: p . D . ~ (q . r ) ” , que se ob­
tiene de los pasos anteriores mediante la aplicación de *4'22. El empleo de *4 22
será frecuentemente tácito, como en el caso de arriba. El principio es el mismo que
el que se explicó en el *2'31 con respecto a la implicación.
*433. h i ( p v q ) v r . s . p v ( q v r )
[*2 3132]
Las dos últimas son las leyes asociativas respecto de la multiplicación y adición.
Para evitar los paréntesis introducimos la siguiente definición:
*434
#436.
*437.
*438.
*439.
#44.
p . q . r . = . ( p . q ) . r Df
b :.p = q . 3 :p . r . = .q . r
b:. psq.O:pvr, =.qvr
I- t . p s r . q s s . l - . p . q . s . r . s
I- i . p s r , qs 8. D : pv q. = . r v s
b z.p. qvr. = : p . q.v . p . r
[Fact.*3'47]
[Snm.# 347]
[*3'47 . *432 . *322]
[*34847 . *432 .*322]
Esta es la primera forma de la ley distributiva.
Dem.
h.#3-2.
[Comp]
Ob t : p . O: q . O . p . q t . p . O i r . O . p . r a
Ob t : p . O: . q . O , p . q : r . 5 . p . r : .
179
SECCION A. LA TEORIA DE LA DEDUCCION
[*3'48]
D s.gvr.D ip.j.v.p.r
b.(l).Imp.
3b:.p.gvr.D :p.g.v.p.r
3 b :.p .g .3 .p :p .r .3.p:.
b . «3-26.
[*3-44]
3t"s.p.y.v.p.rsD .p
b.*327.
^^'•p.q.^.qip.r.O .r:.
[*3481
3 h i . p . q . v . p . r s0 . j v r
1-. (3). (4). Comp.. Db :.p.q. v . p . r O . p . o v r
h .(2 ).(5 ).
3 b . Prop
0)
(2)
(3)
(*>
(5)
*4'41. h . p . v .q .r : = . p v q . p v r
Esta es la segunda forma de la ley distributiva; forma que no tiene análoga en el
álgebra ordinaria. Por convención en cuanto ai empleo los puntos, “p . v . q . r"
significa “p v (q . r)”.
Dem.
b . *3'26. Sum .
^ b :.p . v . q . r . 3 .pvq
b .*3'27 . Sum .
^^'•p .v.q .n '^.p vr
b . (1). (2). Comp • 3 b t . p . v . q . r t ^ . p v q . p v r
b . *2 53 . *3'47 . 3 b : . p Vj . p v r . D : ~ p D9 . ~ p D r s
[Comp]
D *^ j) • D«^ • í"♦
[*2-54]
D:j>«v«g.r
b.(3).<4).
^ ^ . Prop
:.p . = : p . ( /. v . p
(i)
(2)
(3)
(4)
Dem.
b .* 3 2 1 . D h : . y v ^ g . 3 s p . 3 . » . o v ~ o s .
[*2-11]
K*3'26.
b . (1 ). (2)
=
(1)
(2)
s : p , ? . » . p ___9 :.D h .P ro p
*443. b :.p . = : p v g . p v ~ f l
Dem.
b.*2-2.
[Comp]
l-.* 2 - 6 5 ^ .
P
[Imp]
[*2-53.*3-47]
b *(1)*(2)•
«444 b :.p . = : p . v . p . g
Dem.
^ b s p .D .p y g rp .^ .p y -x j:
3b ¡ p . D . p v j . p y ^ ^
3 .p ..
3 b : . ^ , p D 9 . ^ p:)íw9 3 .ÍS,
3 b :.p v j.j) v < \.o .D .p
3b.Prop
3t-:.p.D:p.v.p.9
K *2'2 h *Id • *3‘26 • 3 b : . p
180
? ? 3
0)
(2)
( 1)
PARTE 1. LOGICA MATEMATICA
[*3'44]
b . (1).(2).
31- :.p .v . p . q t O . p
3K P ro p
(2)
*4'46. b i p . s . p . p v q [*3'26.*2'2]
Las fórmulas que vienen a continuación se deben a De Morgan, o, con más
propiedad, son las fórmulas preposicionales análogas a las dadas por De Morgan
para las clases. Se observará que la primera de ellas incorpora nuestra definición de
producto lógico.
*4-5. 1-:
*461. 1-:
p .q.B , ~ ( ~ p » ~ i
~(p.q).s.~pv~q
*452. b:
p , ~ g . = . ~ ( ~ p vg)
*463. b :
*464. l-s
*4'55. b:
*4 56. b :
~ ( p . |v í ) ' 2 .~ P * 9
. q . s . ~ (p v ~ g)
~ ~ P • 9) • = •p v ~ 9
. ~ q . = . -~(pvq)
*4-512]
* 4 5 ^ . *413j
*45212]
*4-5 ^ .* 4 1 3 ]
V
J
*4 5412]
*4-54 ^ 2 . *4131
9
J
*4-5612]
*4-67. b:
Las fórmulas que siguen se obtienen de forma inmediata a partir de las anterio­
res. Son importantes, dado que enseñan cómo transformar las implicaciones en
sumas o en negaciones de productos, y viceversa. Se observará que la primera de
ellas incorpora, sencillamente, la definición * 1 '01 .
*4 6. h:
*4-61. b t
*4-62. b:
pO q.= .
vq
~(pOq)' = ‘P-~q.
p O ~ q . s . ~ p v~ q
[*4'2.(*1 01)]
*4-6-11-52]
;•**?]
r^pOq.s.pvq
*4-6211-5]
*2-53-54]
;*464-ll-56]
~ ; j3 ~ 7 - = -Pv ~9
*4-64 ~-?l
*467. b: ~ ( ~ p 3 ~ 9 ) - H - ~ P - 9
*47. 1-: p O q . s t p - ^ - P - Q
D«m.
'*4-66-11-54]
*4-63. 1-:
*464. b:
*465. I-:
*4-66. 1-:
~ (pO ~ q) • = ’P • q
b . Comp •
[Exp]
[Id]
M l ) . ( 2)-
3 1- : . p . 3 . p . q t 3 . / O g
3h:.p3p.p3g.3:p.3.p.g:.
D I-:: p 3 p . 3 : . p 3 g . 3 : p . 3 . p . g : :
'5b:.p'5q.0tp.'5.p.q
3 b . Prop
(1)
( 2)
181
HARTE 1. LOGICA MATEMATICA
#471. E : . / O g . = : p . = . p . q
Dem.
h . #3-21.
D h ::p .g .! ) .p :D :.p .D .p .g :D :p . = .p .g ::
O b:.p.^ >.p.q-.0:p. = .p.q
[#3'26]
Db : . p . = . p . q : 3 : p .p .q
h . *3 '2 6 .
D h i t p . D . p . g i s . p i —. p . q
K ( l) .( 2 ) .
b . (3 ). #47-22 . 0 (-. Prop
(1)
(2)
(3)
La última proposición es de empleo constante. Ella nos permite transformar cada
implicación en una equivalencia, lo que representa una ventaja si deseamos asimilar
la lógica simbólica, en la medida de lo posible, al álgebra ordinaria. Pero cuando la
lógica simbólica se considera como un instrumento de prueba, necesitamos las
implicaciones, y suele ser un inconveniente sustituir las equivalencias. Observaciones
similares se aplican a la siguiente proposición.
•472. h t . j O g . s t q . s . p v q
Dem.
h .#41 . D ( - : . p 3 g . s : ~ g I > ~ p :
*4 7 1 ~ ^ ’ ~ ^ 1
L
#472]
#4-57]
#4-31]
P. <1 i
=:~q .=
= :g . = . ~ ( ~ g . ~ p ) :
=:q.=.qvp:
=:q. = . pvqi . 0 h.Prop
«473. b i . q . 2 t p . = . p- q [Simp.#471]
Esta proposición es muy útil ya que enseña que un factor verdadero puede
omitirse de un producto sin que varíe su verdad o falsedad, del mismo modo como
una hipótesis verdadera puede omitirse de una implicación.
* 4 7 4 h ~ p . D t q. = . pv q
* 2'21 . #472]
#476. b p ' 5 q . p ' 2 r . = i p . ' 2 . q . r
#441
.(#101)j
#477. b g D p . O p . s : g v r . D . p #3-44 . Add . *2-2]
#4 78. b p 2 q . v . p D r : s : p . 2 . q v
Dem.
b . «4‘2 . (#101) . D h s . jO g . v . p D r • ~ p v g , y . ~ p v r :
. rap . v . q v ~ y v r :
[♦ 4-33]
:
~ p .v .~ p v g v r:
[*4-31-37]
¡r~>pv~p
. v .q v?-:
[*4-33]
:~ p .v .q vr:
[*4-2537]
¡ p . D . q v r D h . Prop
[*4 -2 .(*l 01)]
#479. E s . g D p . v . r D p : = : q . r . 2 . p
Dem.
182
SECCION A. LA TEORIA DE LA DEDUCCION
h . *4*1*39.
[*4*78]
[*2*15]
[*4*2.(#3*01)]
= :~ p .D .~ g v ~ r:
= : ~ ( ~ g v ~ r ) . D. p :
= : g . r . D . p : . Dh. Prop
Aíotó. Las análogas, para clases, de las * 4 7 8 7 9 son falsas. Consideremos, por
ejemplo, la *478, y pongamos p = el pueblo inglés, q = los hombres, r = l a s
mujeres. Entonces, p se contiene en q o r, pero no está contenido en q ni contenido
en r.
#4*8.
*4*81.
♦4 82.
*4*83.
h:pD ~p. = .~ p
i*: ~ p D p . = .p
I-: p D j . p D
H : p D g . ~ p D g . = .g
[*2*01. Simp]
[*2*18.Simp]
[*2*65. Im p. *2*21. Comp]
[*2*61. Imp. Simp. Comp]
Nota Las proposiciones *4'82'83 pueden obtenerse también de la *4 43, de la
que, virtualmente, son otras formas.
*4*84.
*4*86.
*486.
*4*87.
H : . p = g . D : p 3 r . = , g D r [*2*06 . *3*47]
h : . p = g . D : O p . = . O g [*2*05 . *3*47]
H:.p = g . D : p = r . = .g = r [*4*21*22]
h : . p . g . D . r : = :p.I).gI>r: = : g . D . p 3 r : = : g . p . D . r
[Exp . Comm . ImpJ
La *4‘87 incorpora en una única proposición los principios de exportación,
importación, y el principio conmutativo.
183
*5. MISCELANEA DE PROPOSICIONES
Sumario del *5.
Este número se compone principalmente de proposiciones de dos clases:
1) aquellas que se necesitarán como lemas en una o más pruebas posteriores,
2) aquellas que son ilustrativas por si mismas o que deben ser importantes en
desarrollos diferentes de los que deseamos hacer. Sin embargo, unas cuantas
proposiciones de este número se usarán con frecuencia. Estas son:
*51.
I- sp . q . 3 . p = q
Esto es, dos proposiciones son equivalentes si ambas son verdaderas. (La expre­
sión de que dos proposiciones son equivalentes si ambas son falsas es la *5‘21).
*5 32. h
p
. q=r := :p . q . = .p .r
Esto es, decir que, sobre la hipótesis p, q y r son equivalentes, es equivalente a
decir que la conjunción de p y q equivale a la conjunción de p y r. Esta es una regla
muy útil en inferencia.
*56.
I-:.p .~ g .3 .r: = :p.D .gvr
Esto es, “p y no-q implica r" es equivalente a “p implica q o r”.
Entre las proposiciones a las que nunca nos referiremos en lo sucesivo, pero
introducidas por su interés intrínseco, están las *5‘1ri2 '1 3 '1 4 , las cuales manifies­
tan que dadas dos proposiciones cualesquiera, p, q, p o ~ p debe implicar q; p debe
implicar q o no-q; p implica q o q implicap; y que, dada una tercera proposición r,
p implicaq o q implica r (61).
Otras proposiciones a las que no se hará referencia en lo sucesivo son las
*5‘22'23'24; en éstas se muestra que dos proposiciones no son equivalentes cuando,
y sólo cuando, una es verdadera y la otra falsa; y que dos proposiciones son
equivalentes cuando, y sólo cuando, ambas son verdaderas o ambas falsas. Se sigue
(*S"24) que la negaci ón de “ p . q . v . ~ p . ~ q ” es equivalente a
“p . ~ q . v . q . ~ p". Las *5'54‘55 manifiestan que el producto y la suma de p y q
son, respectivamente, equivalentes a p o a q.
Todas las pruebas de las proposiciones siguientes son fáciles y, por tanto,
haremos sólo una mera indicación de las proposiciones que se usan en esas pruebas.61
(61) Cf. Schroder, Voriesungen über Algebra der Logik, Zweitcr Band (Leipzig, 1891), pp.
270-271, en donde se explica la aparente rareza de la proposición de arriba.
184
SECCION A. LA TEORIA DE LA DEDUCCION
*51.
* 5 ii:
*512.
*513.
*514.
1- : p . g . D .p = g
h p D g . v . ~ p Dg
l-:pDg.v.pD~g
I- : p D g . v . g D p
l-:p Dg.v.gDr
[*3-4-22]
[*2-5-54]
[*2-51-54]
[*2-521]
[Siinp. Transp. *2‘21]
*515. h : p = g . v . p = ~ g
Dem.
V. *4-61 . D H : ~ ( p D g ) . D . p . ~ g .
[*51]
D .p = ~ g :
[*2'54] D h : p D g . v . p = ~ g
K *4-61. DI- : ^ (9 D p ) . D . q • ^ p •
[*51]
D .g = ~ p .
[*412]
D .p = ~ g :
[*2 54] D h : g D p . v . p = ~ g
H.(1 ) . (2 ). *4*41. D I-. Prop
( 1)
2
( )
*516. I " .~ ( p = g . p = ~ g )
Dem.
. *3'26 . D I - : p = g . p D ~ g . D . p D g . p D ~ g .
[*4-82]
D.~p
I-. *3'27 . DI - : p = g . p D ~ g . D . g D p . p D ~ g .
[Syll]
D.gD~g.
[ Abs]
D. ~ g
!■. ( 1 ).(2 ) . Comp . D I - : p s g . p D ~ g . D . ~ p . ~ g .
H65^]
O)
( 2)
D.~(~g3p)
(3)
I- .( 3 ) . E xp. D I-:. p = g . D : p D ~ g . D . ~ ( ~ g D p ) :
[Id.(*101)]
D : ~ (p D~ g ) . v . ~ ( ~ g Dp):
[*4-51.(*401)]
D : ~ ( p s ~ g ) D I-. Prop
*517. l - : p v g . ~ ( p . g ) . = . p = ~ g
Dem.
( 1)
H. *4-64-21.
D I-: p v g . = . ~ g D p
K * 4 '6 3 .T ra n sp . DI - : ~ ( p . g ) . s . p D ~ g
K ( l ) . (2 ). *4-38-21. DI-, Prop
(2)
*518. !■: p s g . = . ~ ( p = ~ g)
* 5 1 5 1 6 . *517 P - 9 - P - ~ 9
*519. h . ~ ( p = ~ p )
* 5 1 8 ? . *4-2
P9
9
.
J
*521. h : ~ p . ~ g . D . p a g
[ * 5 1 . *411]
*5 22. I-:. ~ ( p = g) . = : p . ~ g . v . g . ~ p [•4-61-51-39]
185
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
*5*23. t - p = q . = : p . g . v . ~ p • ~ g
^*5'18 . üt5’22 — - *4,,13'36^j
*5 24. h :. ~ (p • g . v . ~ p . ~ g ) . s : p . ~ q . v . g . ~ p [*5‘22'23]
*5'25. h : . p v g . s : p 3 g . 3 . g
[*2-62-68]
De la *5 25 parece que pudimos haber tomado la implicación, en vez de la
disyunción, como una idea primitiva, y haber definido "p v <7” con la significación
" p D q . D . q " . Esta vía, sin embargo, requiere más proposiciones primitivas que las
que son necesarias en el método que hemos adoptado.
*5 3.
l-:.p.g.3 .r: = : p . g . 3 . p . r
*5-31. h : . r . j O g : 3 : ¿ > . 3 . g . r
*5 32.
[Sirap. Comp. Syll]
[Simp. Comp]
p . 0 . q s r : s : p . q . = . p . r [*476 . *3'3'31. *5"3]
Esta proposición se necesitará constantemente para las pruebas siguientes.
*533. I- : . p . q O r . = : p : p . q . ^ . r
[*4-73-84. *5-32]
*535. I - p D q . p D r . 3 : p . 3 . q = r
[Comp .* 5 7 ]
*536. V : p . p = q . = . q . p = q
[A ss. *4-38]
*5'4.
[S im p. *2-43]
h:.p.D.pDg: = .p3g
*5P41. l - : . p D g . D . ; O r : = : p . I > . g D r
[*277-80]
*5 42.
[*5-3.*4-87]
h::p.3.g3r:s:.p.D :g.3.p.r
*5'44. t - : : p D g . 3 ; . j O r . = : / > . D. g . i *5-5.
1-
p . D : p ü>7 . = . g
*5601. 1- : . p . D : q . = .p = g
[* 4 7 6 . *5-3-32]
[A ss. E x p . Simp]
[*5'1. E x p . Ass]
*5'53. I - : . p v g v r . D . s : = : p D * . g D í . O s [*477]
*5 54. b:. p . q . s . p z v . p . q . s . q
[* 4 7 3 . * 4 4 4 . T ransp. *51]
*5'55. I- : . p v g . = . p : v : p v g . s .g
[*1*3. *5-1. *4-74]
*56.
| * 4 - 8 7 ^ . *4-64-85J
b z . p . ~ q . D . r s = : p . D .g v r
*6'61. I- s p v g . ~ g . = . p . ~ g
[*4 7 4 . *5'32]
*562. h : . p . g . v . ~ g : s . p v ~ g
*563. t-:.p v g . = : p . v . ~ p . g
*5'7. l - : .p v r . = . g v r : s : r . v . p = g
*571. l - : . g D ~ r . D : p v g . r . = . p . r
[—
V il
[*4 7 4 . * 1 3 . *51 .* 4 3 7 ]
En la prueba que viene a continuación, así como siempre en lo sucesivo, “ Hp”
significa la hipótesis de la proposición que se prueba.
186
SECCION A. LA TEORIA DE LA DEDUCCION
Dem.
t-.* 4 ’4 .
D 1- : .p v q . r . = : p . r . v . q . r
h • *4 62'al . DI - :: Hp . D ¡, im (q t ¡.
(1)
[*474]
O i.p.r.v ,q.r: = :p.r
t-. (1 ). (2). *4-22 . D h . Prop
( 2)
*574. h¡: . p . 3 . } = r : = : p 3 j . n . p D r
Dem.
H. *5'41 . D I - : : p D 9 . D . p D r : = : p . D . j D r : .
pDr.D.pDg: = :p.D.rDg
h . (1 ).* 4 ‘38 . D h r r p D j . a . p D r . s i . p . D . ^ D r t p . D . r D j : .
[*476]
= : . p . D . q = r :: D 1-. Prop
*575. M; . r D ~ 9 : p . = . 5 v r : D : p . ~ 9 . = . r
Dem.
h . *5*6 . D t - H p . D :p . ~ g . D . r
h . *3'27 . DI - : . Hp . D : q v r . D . p :
[*477]
D:»Dp
h.*326.DI-:.Hp.D:rD~7
h . (2 ). (3 ). Comp. DI - : . Hp . D : r D p . r D ~ g :
[Comp]
D: r . D.p . ~ q
V . ( 1 ) .( 4 ) . Com p. D h :. H p . D : p . ~ g . = . r :. DI-. Prop
( 1)
(1 )
( 2)
(3)
(4)
187
SECCION B
TEORIA DE LAS VARIABLES APARENTES
*9. AMPLIACION DE LA TEORIA DE LA DEDUCCION
DESDE LOS TIPOS MAS BAJOS DE PROPOSICIONES
HASTA LOS MAS ALTOS
Sumario del *9.
En este número introducimos dos nuevas ideas primitivas que pueden expresarse
así:
es siempre (62) verdadera” y “<£x es alguna vez (62) verdadera”, o, más
correctamente, como “siempre <¡vc” y “alguna vez <t>x". Cuando aseveramos “siem­
pre <px" estamos aseverando todos los valores de fó, significando “$x” la función
misma, como opuesta a un valor ambiguo de la función (cf. pp. 69,96). No
afirmamos que $x sea verdadera para todo valor de x porque, de acuerdo con la
teoría de tipos, hay valores de x para los cuales “ 0x” carece de sentido; por
ejemplo, la función 4oc en sí misma debe tener un valor de ese tipo. Representare­
mos “siempre <fx” mediante la notación
(x ) . 0x,
en donde a “(x)” le seguirá el suficiente número de puntos para cubrir la función a
la que se refiere la expresión “todo valor” . La forma más frecuente en la que se
presentan proposiciones de este tipo es la de “implicación formal” , es decir, una
proposición tal como
(x) : <ju: . D . i/rx,
esto es, “#x siempre implica \J/x”. Esta es la forma en la que expresamos la universal
afirmativa “todos los objetos que tienen la propiedad (¡>tienen la propiedad \jj".
Representaremos “alguna vez #x” mediante la notación
(a*) • ^
Aquí “ 3 ” significa “existe algún” , y el símbolo completo puede leerse “existe unx
tal que Qx".
En una proposición de cualquiera de las dos formas ( x ) . $x, (g x) .<¡>x, la x se
llama variable aparente. Una proposición que no contenga variables aparentes se
llama “elemental” ; y una función, cuyos valores son todos proposiciones elementa­
les, se llama una función elemental. Por razones explicadas en el Capítulo II de la
Introducción, parecería que la negación, la disyunción, y sus derivados, deben tener
(62) Empleamos “siempre” con la significación de “en todos los casos” , y no “en todo
tiempo”. Una observación semejante se aplica a “alguna vez” .
188
SECCION B. TEORIA DE LAS VARIABLES APARENTES
un significado diferente cuando se explican a proposiciones elementales que cuando
se aplican a proposiciones tales como ( x ) . 0x o ( g x ) . <¡¡x. Si 0x es una función
elemental, en este número llamaremos a ( x ) . 0x y ( g x ) . 0x “proposiciones de
primer orden” . Entonces, en virtud del hecho de que la disyunción y la negación no
tienen el mismo significado cuando se aplican a proposiciones elementales o a
proposiciones de primer orden, resulta que, al aseverar las proposiciones primitivas
del * 1, debemos limitarlas en su aplicación a proposiciones de un tipo singular, o
bien considerarlas como la aserción simultánea de un número de proposiciones
primitivas diferentes, de manera que correspondan a los diferentes significados de
“disyunción” y “negación” . Asimismo, en cuanto a las ideas primitivas de disyun­
ción y negación debemos, en las proposiciones primitivas del « 1 , reducirlas a
disyunciones y negaciones de proposiciones elementales, o bien considerar cada una
como realmente múltiple, de manera que, con respecto a cada tipo de proposicio­
nes, necesitaremos una nueva idea primitiva de la negación y otra de la disyunción.
En este número mostraremos como, cuando las ideas primitivas de la negación y
disyunción se restringen a proposiciones elementales, y lasp, q, r, de los *1—*5 son,
por tanto, necesariamente proposiciones elementales, es posible obtener definicio­
nes de la negación y de la disyunción de proposiciones de primer orden, así como
las pruebas de las análogas —para proposiciones de primer orden—de las proposicio­
nes primitivas *l'2—'6. (Las *1'1 y ♦ 1' 11 se toman de nuevo como proposiciones
de primer orden, y las análogas de las *1 '771 '12 requieren un tratamiento nuevo).
Resulta que las análogas de las proposiciones *2—*5 se obtienen por mera repeti­
ción de pruebas ofrecidas anteriormente. Se sigue también que la teoría de la
deducción puede extenderse desde las proposiciones de primer orden hasta las que
contienen dos variables aparentes, por mera repetición del proceso que extiende la
teoría de la deducción desde las proposiciones elementales a las de primer orden.
Así, pues, sólo por la mera repetición del proceso que se expone en este número,
puede llegarse a proposiciones de un orden cualquiera. Por lo tanto, la negación y la
disyunción pueden tratarse en la práctica como si no hubiese diferencia en estas
ideas en cuanto aplicadas a diferentes tipos; es decir, cuando tienen lugar “~ p " o
“p v q", no es preciso en la práctica conocer cuál es el tipo de p o q, ya que las
propiedades de la negación y disyunción asumidas en el *1 (las cuales sólo se usan
para probar otras propiedades) pueden aseverarse, sin cambio formal, de proposicio­
nes de cualquier orden o, en el caso de p v q, de dos órdenes cualesquiera. En la
práctica, la limitación para el tratamiento de la negación o disyunción como ideas
únicas —las mismas en todos los tipos— vendría sólo si en algún momento deseáse­
mos suponer que existe una función de p cuyo valor es siempre ~ p, cualquiera que
sea el orden de p, o bien que hay alguna función de p y q cuyo valor es siempre
pv q, cualesquiera que sean los órdenes de p y q. Una suposición así no merece la
pena, en tanto que p (y q) permanezcan como variables reales ya que, en este caso,
no hay necesidad de dar el mismo significado a la negación y a la disyunción para
los distintos valores de p (y de q), cuando estos distintos valores son de tipos
diferentes. Pero si p (o q) se convierte en una variable aparente, entonces, dado que
nuestras dos ideas primitivas, ( x ) . <fxc y ( g x ) . 0x, exigen alguna función 0 determi­
189
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
nada, y restringe la variable aparente a los posibles argumentos para <¡>,resulta que la
negación y la disyunción, dondequiera que tengan lugar en la expresión en la cual p
(o q) sea una variable aparente, deben restringirse a la clase de negación o
disyunción apropiada para un tipo (o un par de tipos) dado. Así, por tomar un
ejemplo, si aseveramos la ley del medio excluso en la forma
“ h .p v ~ p ”
no hay necesidad de imponer ninguna restricción sobre p: podemos dar a p un valor
de cualquier orden, y entonces dar a la negación y a la disyunción que intervengan
los significados que sean apropiados a dicho orden. Pero si aseveramos
“ h • (p ) . / ) v ~ p "
es necesario que, si nuestro símbolo tiene significación, “p v ~ p" deba ser el valor,
para el argumento p, de una función <Pp; y esto es sólo posible si la negación y la
disyunción que intervienen, tienen de antemano significados fijos y si, por tanto, p
se limita a un tipo. De este modo, la aserción de la ley del medio excluso en la
forma en que incorpora una variable real es más general que en la forma en que
incorpora una variable aparente. Observaciones similares se aplican generalmente
donde la variable es el argumento para una función típicamente ambigua.
En adelante, las letras aisladas p y q representarán proposiciones elementales,
así como “$x” , “ i/oc”, etc. Mostraremos como —supuesto cómo las ideas primitivas
y las proposiciones del *1 se aplican a las proposiciones elementales— podemos
definir y probar ideas y proposiciones análogas tal como se aplican a proposiciones
de las formas (x) ,<px y ( H * ) . <t>x. Por mera repetición del proceso análogo,
resultará entonces que las ideas y proposiciones análogas pueden definirse y probar­
se para proposiciones de cualquier orden; por consiguiente, se sigue además, que en
todo lo que intervenga la disyunción y la negación, -con tal que las proposiciones
no aparezcan como variables aparentes- podemos ignorar por completo la distin­
ción entre los diferentes tipos de proposiciones y entre los diferentes significados de
la negación y de la disyunción. Ya que, en la práctica, nunca tenemos ocasión para
considerar las proposiciones como variables aparentes, resulta que la jerarquía de
proposiciones (como opuesta a la jerarquía de funciones) nunca será pertinente en
la práctica después de este número.
El objeto e interés de este número es puramente filosófico, a saber, mostrar
cómo, por medio de ciertas proposiciones primitivas, podemos deducir la teoría de
la deducción para proposiciones que contengan variables aparentes a partir de la
teoría de la deducción para proposiciones elementales. Desde el punto de vista
puramente técnico, puede ignorarse la distinción entre proposiciones elementales y
otras, con tal que las proposiciones no aparezcan como variables aparentes; pode­
mos entonces considerar las proposiciones primitivas del *1 como aplicables a
proposiciones de cualquier tipo, y proceder como en el * 10, donde se resume el
desarrollo puramente técnico.
Debe observarse que aun cuando, en este número, probamos que las análogas de
190
SECCION B. TEORIA DE LAS VARIABLES APARENTES
las proposiciones primitivas del * 1, si tienen validez para proposiciones que contie­
nen n variables aparentes también lo tienen para las que contengan // + 1 , no por
ello debemos suponer que la inducción matemática pueda usarse para inferir que las
análogas de las proposiciones primitivas del *1 sean válidas para proposiciones que
contienen un número cualquiera de variables aparentes. La inducción matemática es
un método de prueba que todavía no es aplicable, y es (como se verá) incapaz de ser
usada libremente en tanto no se establezca la teoría de las proposiciones que
contengan variables aparentes. Lo que sí podemos hacer, por medio de las proposi­
ciones de este número, es probar nuestro resultado deseado para algún número
asignado de variables aparentes -digamos diez- mediante diez aplicaciones de la
misma prueba. Así, pues, podemos probar, respecto a alguna proposición asignada,
que ellas obedecen a las análogas de las proposiciones primitivas del * 1 , pero
solamente podemos realizar esto procediendo paso a paso, y no por un método
compendiado tal como ofrecería la inducción matemática. Es esencial el hecho de
que sólo paso a paso puedan alcanzarse tipos superiores, puesto que para proceder
de otra manera necesitaríamos una variable aparente que vagase de un tipo a otro,
lo cual contradiría el principio bajo el que se han construido los tipos.
Definición de la negación Primero hemos de definir las negaciones de (x) ,<¡>x y
de (3 x ) . <¡>x Definimos la negación de (*). <¡>x como ( 3 * ) . ~ <¡>x\esto es, “no es el
caso de que 0x sea siempre verdadero”, lo que quiere decir “es el caso de que no-0x
es algunas veces verdadero” . Similarmente, la negación de (3 jc) . <¡>x se define como
(jc) . ~ <px. Así, pues, proponemos
*9 01.
*9 02.
~ {(ir) . rf>x\ . — . (yar). ~ <£,r Df
^ {(ya). <fix\ ■ — , (ir) , n*j
Df
Para evitar corchetes, escribiremos ~{x).<j>x en lugar de ~{( jc) . 0 x }, y
~ (3 x ) . $x en lugar de
(3 x ) . 0x}. De este modo:
*9 011.
*9 021.
~ (x) . <¡>x . = . ~ [(a:) . <f>x\
~ ( y x ) . <f>x. = . ~ [(yx). 0x{
Df
Df
Definición de la disyunción. Para definir la disyunción cuando una, o ambas, de
las proposiciones que intervienen sea de primer orden, hemos de distinguir los seis
casos siguientes:
*9 03.
*9 04.
*9 05.
*9 06.
*9 07.
*9 08.
(x ). 0x . v . p : *=. (x) . <j>xv p
Df
p ■v . (ar) . <f>x: = . (ar). p v <f>x Df
(ya:). <j>x . v . p : = . (ya:). <jwrvp Df
p . v . (ya) . <p x : - . (y x ) . p v <j>x Df
(a:). <(>x . v . (yy) . f i / : = : ( x ) : (yy) . <f>xv f y Df
( y y ) . ^ y . v . ( x ) . <f>x: = : (a-):(yy) .yjryv<f>x Df
(Las definiciones *9 07 08 también son aplicables cuando 0 y \¡/ no sean
funciones elementales).
191
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
En virtud de estas definiciones, el verdadero alcance de una variable aparente es
siempre la totalidad de la proposición aseverada en la que tiene lugar, aun cuando,
tipográficamente, su alcance parezca ser sólo parte de la proposición aseverada. Así,
cuando (3 a:). <px ó (x).Qx aparezca como parte de una proposición aseverada,
realmente no ocurre asi, puesto que el alcance de la variable aparente se extiende
realmente a toda la proposición aseverada. No obstante, se verá que, mientras no
entremos en la teoría de la deducción, ( 3 x ) . <t»x y (x).<px se comportan como
proposiciones que no contengan variables aparentes.
Las definiciones de la implicación, el producto lógico, y la equivalencia pueden
transferirse sin alteraciones a ( x ) . <Px y a (3 x ) . <S>x.
Las definiciones anteriores pueden repetirse para tipos sucesivos y, de este modo,
alcanzar a proposiciones de cualquier tipo.
Proposiciones primitivas. Las proposiciones primitivas que se requieren son seis,
las cuales se pueden dividir en tres conjuntos de dos. En primer lugar tenemos dos
proposiciones que efectúan el paso desde una proposición elemental a una de
primer orden, a saber
*91. I-: <f>x. 3 . (3 * ) . <f>z
Pp
*911. 1- :<¡>xv 4>y. D . (a*). <£z Pp
De estas, la primera enuncia que, si <px es verdadera, entonces hay un valor de 4>z
que es verdadero; esto es, si podemos encontrar un caso en que una función sea
verdadera, entonces la función es “alguna vez verdadera” . (Cuando decimos de
alguna función “ alguna vez verdadera” , no damos a entender que afirmamos que
hay más de un argumento para el cual es verdadero, sino sólo que por lo menos
existe uno). Prácticamente, la proposición primitiva de arriba proporciona el único
método de probar “teoremas de existencia” : a fin de probar tales teoremas es
necesario (y suficiente) encontrar algún caso en el que un objeto posea la propiedad
en cuestión. Si hubiésemos supuesto lo que pueden llamarse “axiomas de existen­
cia” , es decir, axiomas que declaran (3 z ) . <pz para alguna <t>en particular, estos
axiomas proporcionarían otros métodos de probar la existencia. Ejemplos de tales
axiomas son el axioma multiplicativo (* 88) y el axioma del infinito (que se define
en el *120'03). Pero no hemos supuesto ninguno de tales axiomas en este trabajo.
La segunda de las proposiciones primitivas de arriba se usa sólo una vez, al
probar (3 z ) . <pz . v . ( 3 Z ). 0z : D . ( g z ) . 0z, que es la proposición análoga de la
*1 ’2 (a saber p v p . D . p ) cuando p se sustituye por ( 3 z ) . 0z. El efecto de esta
proposición primitiva es poner de manifiesto la ambigüedad de la z requerida a fin
de asegurar ( g z ) . <pz Desde luego, en virtud de *91, tenemos:
<px. D. (3 *). <f>z y
. D. (gz). <#>í.
Pero si, a partir de éstas intentamos inferir que <px v <¡>y . D . (3 z ) . <¡>z, debemos
emplear la proposición q D p . r D p . ^ . q v r D p , en donde p es ( 3 z ) . <t>z. Ahora
se fundamentará, con referencia a la *4‘77 y a las proposiciones empleadas en esta
192
SECCION B. TEORIA DE LAS VARIABLES APARENTES
prueba, que esta proposición depende de la *1 ’2, es decir de p v p . D . p. Por tanto,
no podemos usarla para probar (3 * ) . 0x . v . ( 3 *) . <f>x : D . ( 3 * ) . 0x, y por tanto
nos vemos obligados a dar por supuesto la proposición primitiva *9‘11.
A continuación tenemos dos proposiciones que tienen relación con la inferencia
a, o desde, proposiciones que contienen variables aparentes, como opuestos a la
implicación. Primeramente tenemos, para el nuevo significado de la implicación que
resulta de las definiciones de la negación y disyunción que damos arriba, la análoga
de la *1 1 , a saber
*912. Lo que está implicado por una premisa verdadera es verdadero. Pp.
Es decir, dadas “ p . p ” y “ |- . p O q", podemos proceder a “ h . q" aun cuando las
proposiciones p y q no sean elementales. También, como en *111, a partir de
“f-. 0x” y de “|- . 0 x 3 0x ” , podemos llegar a
. 0x ” , en donde x es una variable
real, y tanto 0 como 0 no son necesariamente funciones elementales. Precisamente
en esta última forma es como usualmente se necesita el axioma. Esto es aplicable a
funciones de varias variables como a funciones de una variable.
A continuación tenemos la proposición primitiva que permite pasar de una
variable real a una aparente, a saber, “cuando <¡>y puede aseverarse, en donde y
puede ser cualquier argumento posible, entonces puede aseverarse ( x ) .0 x ” . En
otras palabras, cuando <py es verdadero, cualquiera que sea la y elegida entre los
posibles argumentos, entonces ( x ) . 0x es verdadera, esto es, todos los valores de 0
son verdaderos. Quiere esto decir que si podemos aseverar un valor <¡>y completamen­
te ambiguo, eso se debe a que todos los valores son verdaderos. Podemos expresar
esta proposición primitiva mediante estas palabras: “ lo que es verdadero en cual­
quier caso, cualquiera que sea el caso elegido, es verdadero en todos los casos". No
podemos simbolizar esta proposición, porque si ponemos
•• h :
. D . (a:). 0a-”
eso significa: “Cualquiera que sea la y que se elija, <t>y implica (x ) . 0x ”, lo cual, en
general, es falso. Lo que queremos decir es: “ Si <j>y es verdadero, cualquiera que sea
la y que se elija, entonces (x) .0x es verdadero” . Sin embargo, no hemos facilitado
ningún símbolo para la mera hipótesis de lo que se asevera en “ | - . <t>y”, en donde y
es una variable real, y no merece la pena asignarle un símbolo porque raramente se
necesitaría. Si por el momento usamos el símbolo [0y] para expresar esta hipótesis,
entonces nuestra primitiva proposición es
H: [0y] . 3 . (x). <f>x Pp.
En la práctica, esta proposición primitiva se usa solamente para la inferencia, y
no para la implicación; es decir, cuando en la realidad tenemos una aserción que
contenga una variable real, ello nos permite convertir esta variable real en una
variable aparente poniéndola entre corchetes inmediatamente después del signo de
aserción, seguido del suficiente número de puntos para que alcance hasta el final de
la aserción. A este proceso se le denominará “ cambio de una variable real en una
variable aparente” . Así, pues, podemos aseverar nuestra proposición primitiva, para
uso técnico, en la forma:
193
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
*913. En una aserción que contenga una variable real, esta variable real puede
cambiarse en una variable aparente de la que todos los valores posibles se aseveran
para satisfacer la función en cuestión. Fp.
Seguidamente tenemos dos proposiciones primitivas que tienen relación con los
tipos. Estas precisan algunas explicaciones previas.
¡dea primitiva: Individual. Decimos que x es un “ individual” si x no es una
proposición ni una función (cf. p. 108).
*9' 131. Definición del “ser del mismo tipo La siguiente definición es una de paso
a paso; la definición para tipos superiores presupone ésta para tipos inferiores.
Decimos que u y v “son del mismo tipo” si: 1) ambos son individuales; 2) si ambos
son funciones elementales que toman argumentos del mismo tipo; 3) si u es una
función y v es una negación; 4) si u es <px o i//x, y v es <fá v \px, en donde <¡dc y ipx
son funciones elementales; 5) si u es ( y ) . (x, y ) y v es (z) . ip (x, z), en donde
0 (■*>y ) y P (*, y ) son del mismo tipo; 6) si ambas son proposiciones elementales;
7) si « es una proposición elemental y v es ~ u ; o 8) si u es ( x ) . <px y v es ( y ) . \py,
en donde # y \px son del mismo tipo.
Nuestras proposiciones primitivas son:
*914. Si “<px“ es significante, entonces si x es del mismo tipo que a, “(fu” es
significante; y viceversa. Pp (Cf. nota en el *10121, p. 202).
*915. Si, para alguna a, hay una proposición <pa, entonces hay una función <px, y
viceversa. Pp.
Se verá que, en virtud de estas definiciones,
(a.-) ,<px.Z>. significa ~ ( s ) . <px . v . }>. i.e. (ya) .~<fx . v . p,
es decir, (a#)
v p, t.e. (y x ). <f>xDp
(yai). <¡>x. D. significa ~ (y x ). <¡>x. v . p, i.e. (x ) . ~ ^ r
es decir, ( i ) . ~ f t v ¡ i . %.e.
A fin de probar que (x).<px y ( g x ) . <px obedecen a las mismas reglas de
deducción que <px, tenemos que probar que estas proposiciones de las formas
( x ) . <px y (3 x ) . <j>x pueden reemplazar a una o más de las proposiciones p, q, r en
las *1 '2—’6. Cuando se haya probado esto, resultan aplicables las pruebas previas de
las proposiciones que vienen a continuación en los *2—*5. Estas pruebas se ofrecen
más adelante. También se prueban otras proposiciones que se necesitan en las
demostraciones.
*9 2.
h : (x) . <f>x. D . f>y
Esta proposición establece el principio de deducción desde lo general a lo
particular, es decir que “lo que se cumple en todos los casos se cumple en algún
caso” .
I)em.
(-. * 2-l . D Ih . *9'1 . D I-
194
v <f>y
v if>y. D. (y*) . ~ ^ r v tf>y
( 1)
(2)
SECCION B. TEORIA DE LAS VARIABLES APARENTES
K(l).(2).*H l.D h.(a*).~^v^
[(3).(*905)]
I- :(g®).~<¿>®. v. <¡>y
[(4).(*901.*1'01)] b:(a).fr.D.<J>y
(3)
(4)
En la segunda línea de este prueba,
<¡>y w<py" se toma como el valor, para el
argumento y, de la función
<¡>x v $y" en donde x es el argumento. Un método
similar de uso de la *91 se emplea en la mayoría de las pruebas que siguen.
La proposición *111 se usa, (como ocurre en la tercera línea de la prueba
anterior) en casi todos los pasos, excepto en aquellos que son nuevas aplicaciones de
las definiciones. Por lo tanto, no volveremos a referimos a ello, salvo en los casos en
donde su empleo sea oscuro o especialmente importante.
*921. b («). <fxcDyjrx. D: (x). <f>x. D. (x). y/rx
Esto es, si <¡>x implica siempre \¡jx , entonces “ siempre tfoc" implica “siempre \¡/x".
El empleo de esta proposición es constante a lo largo de lo que resta de este trabajo.
Dem.
I-
b.*208.
D : <f>zDy/rz. D . <f>zD^z
h. (1). *9*1 .
Db:(gy):0íD^*.D.</>i/D^
b.(2).*9‘l .
D b:.(g® ):.(g ,(/): </>®D f ® . D . £;/D
b. (3). *9-13.
D h :: (z) :: ( g ® ) < g y ) : <t>x 3 yfrx
[(4).(*906)]
t-:: ( 2 ):: ( g ® ) < f> r3 fx .O : (g.y). 4>>/ D y/rz
[(5).(*1'01.*9'08)]
(z
.^<f,yvyfrz
[(6).(*908)]
b (g®).
(z). yfrz
)]
[(7).(*101
I-:. (gx)
): (g.y)
~(^ D : v : (gy). ~ </>y. v .
b (®). fr D f x . D : (y). <f>y•3. (*) •
(I)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Esta es la proposición a probar, ya que “ O '). <¡>y” es la misma proposición que
“(x ). <¡¡x”, y “(z ). \¡)z” es la misma proposición que “(x ). t¡/x”.
*922. b
(x) . <j>xDyfrx. D: (g®). <f>x. D. (g®) . yfrx
Es decir, si <px siempre implica \¡/x, entonces si <t>x es verdadero alguna vez,
también lo es \¡/z. Esta proposición, al igual que la *9'21, se usa constantemente en
lo que sigue.
Dem.
1-. *208.
3 f =<#>y^ •3 •H 3 f y
b.(l).*91 . Db: (g* ) : <¡>y0 yfry. 0 . <f>y3 yfrz
b. (2). *91 . Db(g®)(g®): <f>xDyfrx. D. <¡>yDyfrz
b. (3). *913. DI-:: (y):: (g®)(g®): <f>xDyfrx. D. tj>y Dy/rz
b:: (y) :: (g®) :•<f>xDyfrx. D: (g®).<j>y^yfrz
[(4).(*906)]
[(5).(*101.*908)] b:: (g®).~(<^®Dyfrx): v : (y): (g®) .<f>y3fz
Dyfrx): v : (y) .~<f>y. v . (g®). yfrz
[(6).(*1'01.#9'07)] b:: (gx)
[(7).(*1 01.*9 0102)] b (x). <j>xDyfrx. D: (gy). <f>y. D. (g®). yfrz
0)
(2)
(3)
(4)
(5)
(C)
(7)
Esta es la proposición a probar, porque (g>>) • <t>y es la misma proposición que
(3 x ) . <t>x, y (g z ) . \¡>z es la misma proposición que (g x ) . \¡/x.
195
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
*923. b:(*).<£® . 3 . (*).$*
[I<J.*913"21]
*9 24. b : (g®). <¡>x. 3 . (a®). <f>x fId • *9-l 3'22]
*925. h . ( í ) . p v ^ t . 3 : p . v . ( ¡ r ) . f t [#9'23 . (*9 04)]
Ahora nos encontramos en condiciones de probar las análogas de las *1'2—‘6,
sustituyendo algunas de las letras p, q, r que figuran en esas proposiciones por
(x ).
o por (gje) . <px. Las pruebas se ofrecen más adelante.
:.(x). <f>x.v .(ic) ,<f>x:0 .(x ). <f>x
*9'3.
Dem.
b .* l' 2 .
b .( l) .* 9 1 .
3 b :(3 y ):$ * v £ y .3 .¿ ®
b .( 2). *9’13.
3 b :.(® ):.(a y):$*v$y.3.<¿®
[(3).(*9050104)] b (¡e):.<j>x.v. (y) . <j>y-.0 .<f>x
b . (4). *921.
D b : .( * ) : ^ t .» .( y ) .^ y : 3 .( ® ) .f r
[(5).(*903)]
b (*). <f>x. v . (y). $ y : 3 . (a). <f>x3 b . Prop
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
*9'31. b s. (a*)
(a*) .<f>x:0. (a*) ■4>x
Esta es la única proposición que emplea la *911.
Dem.
b. *91113. D b : ( y ) s í i » ^ . 3 . ( a * ) - ^
[(1).(*90302)] b : (ay) . <í>*v <*>y. 3 . (a*) • <pe
b . (2). *913 . 3 b : (*): (a y ). 4>*v <¿>y. 3 . (a*). <f>e
t(3).(*90302)] b :.( 3 * ):(a y ). 4*v<J,y:3 .(a*).**
[(4).(*90506)] b ( a ® ) .<fxr . v . (ay)• <f>y: 3 • (a2) • <t>*
*9 32. b :.q r .3 :( « ) .^ a .v .y
Dem.
b .* l-3.
D b : .y .D : ^ e .v .7
b. (1). # 9 1 3 .3 b :.(*):. q. D :fí.v.< ¡[*925]
3 b :.y .3 :( * ) :$ a .v .y
[(2).(*9'03)]
b :. q . 3 : (*). . v . q
(1)
(2)
(3)
(4)
( 1)
(2)
*9-33. b:.g.D:(a*).<f>®.v.g [La prueba es como la anterior]
*9-34. b :.(* ).$ * . 3 s p . v . (*).$*
Dem.
b.#V 3.
Db:<^a:.D.pv0®
b .(l).* 9 1 3 . 3 b s (a¡): <£¡r. 3 . p v ^¡r
b .(2).#921. D b : ( * ) . f t . 3 . ( i ) . p v ^
b . (3). (*9 04). 3 b . Prop
(1 )
(2)
(3)
*935. b ^ a a O ^ - S í p - v - í a * ) - * ^ [La prueba es como la anterior]
*9 36. b : . p . v .(« ).$ * : 3 :(*)•£*■ v -P
Dem.
196
b . *T 4.
3b:pv<£a.3.<£®vp
(1)
SECCION B. TEORIA DE LAS VARIABLES APARENTES
2
I-. (1). *9-13-21. DI-: (a) .p v <£a. D . (a ). <£avp
P . ( 2). (#9-03-04). D I-. Prop
#9'361. I- :.(a ). <£a. v . p : D : p . v . (a ). <f>x
( )
[Prueba similar]
*9-37. P :.p .v .(a a ).< £ a :D :( 3 a).<£a.v.p [Prueba similar]
*9-371. I - (g®) . <¿>a.v.p:D:p.v. (a*) . <f>x [Prueba similar]
*9-4.
P :: p : v : q . v . (a) . <¡>x D q : v : p . v . (a) . <f>x
Dem.
P . #1-5 . *9 2 1 . D I- :.(x) : p . v . q v <f>x : D : (a ): q . v .p v <f>x
O)
P . ( I ) . (*904). DP. Prop
*9401. I-:: p : v : q . v . ( a * ) . <j>xD q : v ¡ p . v . ( a * ). <£a [Como anteriormente ]
*941. h ::p :v : ( x ) .i¡ > x .v .r : .0 : .( x ).< f> x : v .p v r
[Como anteriormente]
*9411. I-::p : v : ( a * ) .
v . r : . D( a®) .<^í r: v : p v r
[Como anteriormente]
*942. I-:: (x). <f>x: v : q v r D »/: v : (a) . <f>x. v . r
[Como anteriormente]
*9421. I-:: (a * ). <¡>x: v : q v r D q : v : (a * ) . <f¡x. v . r
[Como anteriormente]
*95.
I- ::p D q . D :.p . v . (x). <f>x: D : q . v . (a ). <^r
Dem,
I" •*!'<>•
D P :.p D D : p v (£y. D . q v <f>y
K ( l ) . * 9 'l .(*906). D I- :.p D </. D : ( 3 a) :p v <£a. D . 9 v $y
I- .(2). *9 13 .(*9 04). D P :: pD<7 . D : . ( y ) ( 3 a ): p v £a. D . q v tf>y
[(3).(*908)]
P::pDq> .D :.( 3 a ).~ (p v £ a ).v .(p ).g v ^ p
[(4).(*901)]
I-:: pO q .D : .( x ) .p v <(>x . ( y ) . q v <j>y
[(5).(*9'04)]
I- ::p D q . D :./>. v . (a ). <¿>a: D : </. v . (y ) . <f>y
*9501. I-::p D q . D p . v . ( 3 * ) . <¿a: D : f/. v . ( 3 * ) . <f>x [Como anteriormente]
*951. I-:: p . D . (a ). <¡>x: D p v r . D : (a ). <¿>a. v . r
( 1)
(2)
( 3)
( 4)
( 5)
Dem.
P • *1 ’6 .
D P p D <¡>x. D : p v r . D . <f>xy r
P . (1). *9"13'21. D P :: (a) .p D $ a . D (a ): p v r . D . tj>x v r
P . (2). (*9 0304). D P . Prop
*9511. P: : p . D .( 3 * ) . $ x : D :.p v r . D: ( 3 a ) . i p x . v . r [Como anteriormente]
*952. P :: (a ). <f>x. D . q : D (a ). ij>x. v . r : D . q v r
0)
( 2)
Dem.
P.*1'0.
DP:.<£aD</.D:$avr.D.(¡’v r
P . (1). *913’22 . D P :: ( 3 a ). <f>xD q . D ( 3 a ): <¿>av j-. D . (/v r
P •(2). (*90501). D P :: (a ). $a . D . iy : D (a) . <fncv r . 0 . qv r
P. (3). (*903).
DP.Prop
*9521. P :: ( 3 a ) . tf>x. D. 7 : D ( 3 a) , f i . v . r : 5 . { * r [Como anteriormente]
*96.
(a ). 4>x, ~ ( a ) . 4>x, ( 3 a ). <f>x y ~ (a a ). <£a son del mismo tipo
( 1)
(
2
)
(3)
[*9131, C7 )y ( 8)J
*9'61. Si <j>x y i//x son funciones elementales del mismo tipo, existe una función
<fvc v \¡/x.
197
HARTE I. LOGICA MATEMATICA
Deni
Por las * 9 1 4 1 5 , hay una a para la cual “ 0a” , y por lo tanto “0a” tiene
significación y, por lo tanto, también la tiene “ 0a v 0a ”, en virtud de la idea
primitiva de la disyunción. En consecuencia, llegamos al resultado, en virtud de la
*915.
La misma prueba es válida para las funciones de cualquier número de variables.
*9'62. Si <p(x,y) y 0 f son funciones elementales, y el argumento-* para 0 es del
mismo tipo que el argumento para 0 , hay funciones
(y) • 0 (2. y) ■V. 0 .?, (a y ). 0 (2, y ) . V. ifrx.
Dem
En virtud de la *9'15, existen proposiciones 0 (x, b ) y 0a en donde, por
hipótesis, x y a son del mismo tipo. Por lo tanto, de acuerdo con la *914, existe
una proposición 0 (a, b) y, por consiguiente, por la idea primitiva de la disyunción,
existe una proposición <¡>(a, b)v 0a; en consecuencia (teniendo en cuenta *915 y
*9 03), hay una proposición ( v ) . 0 (a, y ) . v . 0o. De manera similar, existe una
proposición ( 3 ^ ) . 0(a, v ). v . 0a. Finalmente, se llega al resultado, en virtud de la
*915.
*9'63. Si 0 (x, j ’), 0 (x, v) son funciones elementales del mismo tipo, existen
funciones (_y). 0 (jí, _y) • v • (2 ) . 0 (jc, 2), etc. ILas pruebas son como arriba).
Ahora hemos completado la prueba de que, en las proposiciones primitivas del
* 1 , una cualquiera de las proposiciones que intervengan en ellas puede sustituirse
por (*). 0x o por (3 * ) . 0*. Resulta que, por mera repetición de pruebas, podemos
demostrar que cualquier otra proposición que intervenga en estas proposiciones
puede sustituirse simultáneamente por (x ). 0x o por ( 3 * ) . 0*. De este modo,
todas las proposiciones primitivas del *1 y, por tanto, todas las proposiciones de
*2—*5, son válidas igualmente cuando alguna, o todas, de las proposiciones en
cuestión sean de una de las formas ( x ) . 0*. (3 .v). 0.v, que es lo que se iba a probar.
Por mera repetición de pruebas, se sigue que las proposiciones *1 —*5 son válidas
cuando p, q, r se sustituyen por proposiciones que contengan un número cualquiera
de variables aparentes.
198
*10.
t e o r ía d e las p r o p o s ic io n e s q u e c o n t ie n e n
UNA VARIABLE APARENTE
Sumario del *10.
El principal objeto de las proposiciones de este número es extender a implicacio­
nes formales (es decir, a proposiciones de la forma ( x ) . <tvc 3 \px) el mayor número
posible de proposiciones probadas previamente para las implicaciones materiales, es
decir, para proposiciones de la forma p 3 q . Así por ejemplo, hemos probado en
*333 que
p 3 q . ij 3 r . 3 . p 3 r.
Supongamos
p = Sócrates es un griego,
q = Sócrates es un hombre,
r = Sócrates es un mortal.
Entonces tenemos que “si 'Sócrates es un griego’ implica que 'Sócrates es un
hombre’, y si ‘Sócrates es un hombre’ implica que ‘Sócrates es mortal’, se sigue que
‘Sócrates es un griego’ implica que ‘Sócrates es un mortal’ ” . Pero por sí mismo esto
no prueba que si todos los griegos son hombres y todos los hombres son mortales,
entonces todos los griegos son mortales.
Suponiendo
<t>x . = . ,v es un griego
\¡>x . = . A- es un hombre
XA- . = . x es un mortal
hemos de probar
(* ).
3
: (*).
3
: 3 : (se).
3 )(x.
Esta es una de las proposiciones que hemos de probar en este número. Se verá que
la implicación formal ((.v). <¡ix 3 \¡tx) es una relación de dos funciones, #.v y ipx.
Muchas de las propiedades formales de esta relación son análogas a las propiedades
de la relación “p 3</” que expresa la implicación material; esta es de las proposicio­
nes análogas que se prueban en este número.
Supondremos en este número lo que ha sido probado en el *9— que las
proposiciones de los *1—*5 pueden aplicarse a proposiciones tales como (a ) . <t>x y
( 3 x ) . <px. En ve/ del método adoptado en el *9, es posible tomar a la negación y la
disyunción como nuevas ideas primitivas, aplicadas a las proposiciones que contie­
nen variables aparentes y suponer que, con los nuevos significados de la negación y
de la disyunción, las proposiciones primitivas del *1 todavía mantienen su valide/.
Si se adopta este método, no necesitamos considerar a ( 3 x).<f>x como una idea
primitiva, pero podemos poner
199
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
•1001. ( ^ ) . ^ i ; . = .» * (jr).'v ^ r J)f
A fin de aclarar como puede desarrollarse este método alternativo, en este
número no asumiremos nada de lo que ha sido probado en el *9, excepto ciertas
proposiciones que, en el método alternativo, serán proposiciones primitivas, y (lo
que en parte caracteriza el método alternativo) la aplicabilidad a las proposiciones
que contienen variables aparentes, de las análogas de las ideas y proposiciones
primitivas del *1 y, por tanto, de sus consecuencias tal como se expone en los
*2-*5.
Las definiciones siguientes sirven solamente para introducir una notación que,
con frecuencia, es más conveniente que la notación (x) . if>xD \/rx o (x). <pxs \jrr.
*10 02. <ftx D* yfrx. = . (x ). <f>.TD y¡rx Df
*10 03. </tx s , yfrx. ~ . ( i ) . <f>x - yfrx l)f
La primera de estas notaciones se debe a Peano quien, sin embargo, no tiene
notación para (x)<t>x salvo en el caso especial de una implicación formal.
Las proposiciones siguientes (*10'1'11'12'121’122) ya han sido dadas en el *9.
La *101 es la *9'2, *1011 es *913, *1012 es *9 25, *10121 es *914 y *10122
es *9'15. Estas cinco proposiciones deben tomarse como proposiciones primitivas
en el método alternativo; por otra parte, las *9'1 y *911 no se precisan como
proposiciones primitivas en el método alternativo.
Las proposiciones de este número son muy empleadas a lo largo del resto del
trabajo. Las proposiciones más usadas son las siguientes:
*101.
I-: (x) . <f>x. D . <¡>y
Esto es, lo que es verdadero en todos los casos es verdadero en un caso
cualquiera.
*10'11. Si <t>x es verdadero, cualquiera que pueda ser el posible argumento y,
entonces ( x ) . <¡vc es verdadero. En otras palabras, siempre que pueda aseverarse la
función proposicional <¡>y, también se puede aseverar la proposición ( x ) . <f>x.
*10 21. h :. (a.). p D <l>x. s : p . D . (x) . <f>x
*10 22. t- :.(* ). <l>x. i/rx. s : (x) . <h-r : (*) •
Las condiciones de significación en esta proposición exigen que <p y \¡/ deban
tener argumentos del mismo tipo.
*1023. h :.(* ).< )íD p . = : ( g i ) . ^ . D . p
Esto es, si 0x siempre implica p, entonces si <¡>x es siempre verdadero, p es
verdadero.
*10 24. V s
. 3 . ( a * ) . <#>■*•
Esto es, si <t>y es verdadero, entonces hay una x para la cual <¡>xes verdadero. Este
es el único método de probar teoremas de existencia.
*10 27. h :. (*).
200
^ i'x • 3 : (*) •
. 3 . (*).
SUCCION B. TEORIA OF LAS VARIABLES APARENTES
Esto es, si 0z siempre implica ipz, entonces “siempre <pz" implica “ siempre \¡/z”.
Las tres proposiciones siguientes, que son igualmente útiles, son análogas a la
*10-27.
*10271.
*10 28.
*10281.
*10 35.
*1042.
*10 5.
I ( i ) . <f>¿ - yfrz ■3 s (*) - f e • = - (*) •
E (x) . <ft'- D y/rx.D: (3*) . ijh-. D . (3*) . yjrx
E (x ). <f>x= yjrx. D : (3*)
(3* ). \¡rx
E ( a - r ) . p . $ s . = : p t (a-r). <j>x
E (3*) .tf>x .V . (3*) . yjrx: ~ . (3 *) . tf>x v yjrx
E :. (a*) . <£.»;. yfrx. 3 : (3 .1) . <f>x: ( 3* ). yjrx
Debe observarse que mientras el *10 42 expresa una equivalencia, el *10 5
expresa una implicación. Este es el origen de muchas diferencias que en lo sucesivo
habrá entre fórmulas relativas a la adición y fórmulas relativas a la multiplicación.
*10 51. E ~ K a r). <jyr. yfrx] . 3 : 0* . D* . ~ yfrx
Esta proposición es análoga a
E : ~{/i .</). = .p D
que se obtiene de la *4 63 mediante transposición.
De las restantes proposiciones de este número, algunas se emplean con bastante
frecuencia, en tanto que otras son lemas que se usan sólo una o dos veces, mucho
más adelante.
* 1001. (3
. 4>x. = . ~
.~<ftx l)í
Esta definición se ofrece sólo para que se emplee cuando descartemos el método
del *9 en favor del método alternativo ya explicado. En otro caso tenemos
E ! (3 *) • • = • ~(a 0 • ~^.r.
D, yjrx •= . (i‘) , (jyx 3 yjr.r |)[
*10 03. <px=j. yfrx . =
<(>.r3 yjr.r 1)f
*10 02.
*101. E : (a j. <j>x. D . <¡>g [*!E2j
*10* 11. Si 4>y es verdadero, cualquiera que pueda ser el posible argumento .y,
entonces (x) .$v es verdadero [ *9-13).
Esta proposición es, en cierto sentido, la conversa de la *101. La proposición
*101 puede expresarse así: “ lo que es verdad de todo es verdad de algo” , mientras
que la *1 01 1 puede expresarse así: “ lo que es verdad de algo, elija como se elija, es
verdad de todo” .
*1012. E :. (*). /i v <f>x. D : ;>. v . (*). <fix |*!)-25]
De acuerdo con las definiciones expuestas en el *9, esta proposición es un mero
ejemplo de “q 2>p” , dado que por definición ambos miembros de la implicación
tienen diferentes símbolos para la misma proposición. Por el contrario, de acuerdo
con el método alternativo, la * 1 01 2 es una proposición substancial.
201
PARTI
1. LOGICA MATI'.MATICA
*10121. Si “4>x" es significante, entonces si a es del mismo tipo que x, “ <pa” es
significante, y viceversa. [*914].
De esta proposición resulta que dos argumentos de la misma proposición deben
ser del mismo tipo; ya que si x y a son argumentos de 0x. “ 0x” y “ 0a” son
significantes y, por lo tanto,.v y a son del mismo tipo. Así, la proposición primitiva
de arriba incorpora el resultado de nuestra discusión de las paradojas del círculo
vicioso en el capítulo II de la Introducción.
*10' 122. Si, para alguna a. hay una proposición <¡>a, entonces hay una función <¡>x\ y
viceversa. [*915].
*1013. Si 0x y 0.v tienen argumentos del mismo tipo, y tenemos “ b . <¡>x" y
“b .
tendremos “ b . <¡¡x . tyx".
Dem
Por el empleo repetido de las *9'61'62*63'131 (3) llegamos a una función
~ 0í v ~ \¡/x. Por tanto, mediante las *211 y *3*01,
H 0;r Vfv ifrx . V . 0.r . 0 *
I-. ( t ) . *2'32 .(* 1 '0 I). 3 b :. 0.i-. 3 : 0-a;. 3 . 0a- ■
I- . (2 ).* !> '1 2 .3 b . l’rop
( 1)
(2)
*1014. b :. (.’t ) . tf>.r : (x) . -¡¡rs : 3 . 0 y . 01/
Esta proposición es verdadera siempre que sea significante, pero no siempre es
significante cuando su hipótesis sea significante. La tesis exige que 0 y 0 tomen
argumentos del mismo tipo, mientras que la hipótesis no exige esto. Por tanto, si se
aplica cuando se dan 0 y i[/,o cuando 0 se da como una función de 0 , o viceversa.no
debemos argüir de la hipótesis a la tesis, a no ser que, en el caso supuesto, 0 y 0
tomen argumentos del misino tipo.
Dem.
I-.. * I 0
b
()•'II .
I-.. * 10'1
10' 1 .
I-
3 b : (x ). 0./’ . 3 . 0y
3 (-: (x) . 0.r. 3 . 01/
I-.(1). (2). * 10' 1 3. 3 b : (x). 0¡r. 3 .01/ : (x ) . 0*' . 3 .07/:
3 b : . ( x ) . 0 x : (x) . i/rx : 3 . 0y . 0 y :. 3 b . Prop
[*3-47]
*10'2.
b :. ( x ) . p v 0.r. = : p . v . (a,). 0#
* 102.
Dem.
b . *I0'1 . *l'l> . 3 b :. p . v . (ai). 0.r: 3 . p v 0y
[*1011]
3 b:. (y) :. p . v . (ar) . 0a': 3 . p v 0y :.
[* 1012j
3 b :. p . v . (x) . 0.c: 3 . (//). p v 0y
b . *1012 .
3 b ( y ) . p v 0y . 3 : p . v . (¡r). 0x
b . ( 1) .(2).
3 b . Prop
Esta proposición se usa mucho más que la *10 2.
*1022. b :. ( x) . 0.r. 0J-. = : ( x ) . <j>x: (x) . 0*
Dem.
202
( 1)
( 2)
( 1)
( 2)
SUCCION B. TKORIA DK LAS VARIABLES APARENTES
E .* 1 0 1 .
D E : (.r). <f¡x. 1frx . D . 0y . 0-y.
[*3-20]
[*10 11]
D E :, (y ) : (*). <f>x. ijrx . D . <f>y :.
|*1021]
D E (x ) . 0a-. -0*. D . ( y ) . <t>y
E . (1).*3'2 7 .
D E:. (x ). <j>x. t¡tx . D . -0-í :.
[*1011]
D E :. (r) : (x ) . <f>x . ^rx . D . yjrz :.
[*10 21]
D E :. (*) . <f>x . ijrx . D . ( í ) . y/rz
E . (2). (3). Comj).• DE : .( * ) .
. yjrx . D : (y ) . <py : (z) . yjrz
E .* 1 0 1 4 1 1 .
D E:, ( y ) :. (x ). 4¡x : (*). f x : D . <f>y. y :.
[*10*21]
D E : .( * ) . 0®: (a j . i/rx : D . (y) .Qy.-tyy
E .( 4 ) .( 5 ) .
D E . Prop
(1)
(*>
(3)
<♦ )
(5)
Esta última proposición es verdadera si es significante, pero tal como se indicó en
relación con la *1014, no siempre es significante cuando “ (x ). <¡>x: ( x ) . 0 x ” sea
significante.
*10*221. Si <px contiene un constituyente x (x ,y , z, ...) y \¡/ contiene un constitu­
yente x (x, u. r , ...), en donde x es una función elemental, e y, z , ... u. p ,... son
constantes o variables aparentes, entonces 0x y \¡/x toman aigumentos del mismo
tipo. Esto puede probarse en cada caso particular, aunque no generalmente, dado
que, al obtener <¡>y \¡/ a partir de x, X sólo está sometida a negaciones, disyunciones
y generalizaciones. Este proceso puede ilustrarse mediante un ejemplo. Supongamos
que 0x es O*). x(x, y ) .D .0x, y que \¡/x es fx . D . (.y). x (x, >*). En virtud de las
definiciones del *9, <¡»x es ( 3 / ) . ~ x (x, >’) v Ox, y \¡/x es ( p ) . ~ / x v x (x, >»). Por
tanto, dado que las ideas primitivas ( x ) . Ex y (3 x ) . Fx sólo se aplican a funciones,
existen las funciones~x(*. y ) v 8x, ~ fx v x (x, y). Por lo tanto, existe una proposi­
ción ~ x (a. b) v Oa. Por consiguiente, ya que “p v </” y
p" son significantes sólo
cuando p y q son proposiciones, existe una proposición x
b). De manera
semejante, para alguna a y p, existen proposiciones ~ fu v x («. p ) y X (w. v)- Por
tanto, en virtud de la *9* 14, 11 y a, p y b son respectivamente del mismo tipo y
(nuevamente en virtud de *9*14) existe una proposición ~ / a v x(o. b). Por tanto
(*915), hay las funciones ~ X (o. /') v da, ~ /i/ v x (í, y), y, en consecuencia, hay
las proposiciones
ta//) • ~ x (•'. //)v e«. (y) ■
v x ("■ y)>
es decir, existen las proposiciones 0a, 1pa, que es lo que se quería probar. Este
proceso puede aplicarse, de manera similar, a cualquier otro ejemplo.
*10 23. 1-(.< * ). 0./: D p . = : (g .r). 0 * . D . p
Üem.
I-. * 4 2 . (*!)03). D E ( x) . ~ 0 , t v p . 3 : (x ) . ~ 0 . r . v • p :
[(*iH)2)j
s.(n¡c).(f>x.D.p
(|)
E . (1). (*1U1). D E. I’rop
En esta prueba liemos empleado las definiciones del *9. En el método alternati­
vo, en el cual ( 3 X ) . 0x se define de acuerdo con la * 10 01, la prueba se realiza de la
manera siguiente:
203
PARTI? I. LOGICA MATEMATICA
♦10 23. h (x) . <f>.r2 p . = : (gx) . <¡>x. D. p
Dem.
h . Transp. (*1001). D I- :.(a¡e). qbx. 3
[*1021]
.p :=
s
. D . (x). ~ 0-r :
[* 101 J
(xj : ~ p • 3 •
. D . r***fac ¡
[Transp]
tf>j: . 0 . p
:
D h ( a i ) ( g x ) . <fu-. D . p : 3 : £ x . D . p
DI-:, (g x ). ^>x. D . p s D : (x ): <f>x. D . p
D 1- (x) s <¡>x. D . p : D : <¡>xDp :
D : ~ ji . D . ~^>x
D 1 - (x): <fix. D . p : D : (x ): ~ j> . D . ~ ^ x :
D : (g x ) .<f>x.0.p
D 1-. Prop
[* 1011 ]
[*10-21]
h . *10 l .
[Transp]
[*1011-21]
t(D]
K ( 2 ) .( 3 ) .
(1)
( 2)
(3)
Siempre que tengamos una proposición aseverada de la forma p D <¡>x, podemos
pasar en virtud de los *10’1 1"21 a una proposición aseverada p . D . (* ). <¡>x. Este
paso se requiere constantemente, como en la última linea de la prueba de arriba.
Ello se indicará simplemente mediante la referencia “ *10-11-21” , y los dos pasos
que necesita no se pondrán separadamente debajo.
*1024 h : <f>y.0 . (g¡/j . <f>x
Esta es la *9‘ 1. En el método alternativo, la prueba es la siguiente
Dem.
I-. *10-1 . DI-: (x) . ~ ^ . r . D •~4>V :
[Transp] D f : <j>y. D .~ ( x ) . —
[(*10 0 I ) P K Prop
*10-25.
*10 251.
*10-252.
*10253.
h : (*). f <•. D . (a*) .<f>x
!-:(x ).~ ^ x .D .~ { (x ).^ > x |
h : ~ [ ( g x ) . ^ ) . s . ( x ) . ~ <j>x
I-: ~{(a?). ^>xj. = . (gx) . ~<^x
:
[*101-24]
[*10 25 .Transp]
[*-E2. (#902)]
[*4 2 . (*901)]
En el método alternativo, en el que (3 .v ).$ x se define como la * 1 0 0 1 , las
pruebas de las *10‘252‘253 son como siguen:
*10252. h :~ [(g x ). ^>x¡. = . (x) ,~<^x [*4-13 . (*1001)]
*10 253. I-: ~ [(x). <}>x\. ~ . (gx)
Dem.
I-. *10‘1 . D I-: (x) . ^.r . D . tf>y .
[*2"12]
D .~ ( ~ ^ y ) :
1*1011 2 1 ] D h : ( x ) . < ^ r . D . ( y ) . ~ ( ~ <#>)/):
[Transp]
DI- Jin; l<y) .rv (^.^ y )¡ • D .~ ! ( x ) . $ x ¡ :
[(*10-01)] D t-: (gy).~<£,y.
204
D .~ !(x )-
il)
SECCION B. TEORIA DE LAS VARIABLES APARENTES
h . *101 . 3 P : (y) .~(~<£y)
[*•214]
[*10 1 l-21] 3 P:(y).~(~< k 7)
[Transp]
3 P : ~ |(a) - <f>*} -
[(* 1001)]
3
•
3 .<px:
3 . ( x ) . <f>x:
3 - ~ [ (y)—'(~^y)l
3-(H y)-~ ^y
( 2)
P .(J ).(2 ).3 1-. Prup
*1026.
P : .( z ) .^ 3 |i : f t : 3 .- f a ;
[*10'1 .1 mp]
Esta es una forma del silogismo en Bárbara. Por ejemplo, supongamos
<fx . = . z es un hombre, i¡/z . = . z es mortal, x = Sócrates. Entonces la proposición
se convierte en:
“ Si todos los hombres son mortales y Sócrates es un hombre, entonces Sócrates
es mortal”.
Otra forma del silogismo en Bárbara se da en *10'3. Las dos formas, antiguamen­
te identificadas erróneamente, fueron diferenciadas primero por Peano y Frege.
*10 27.
P
(e ). <f>z 3 yfrz . 3 : (a ). <¡>z. 3 . (a) . yjrz
Esta es la *9'21. En el método alternativo, la prueba es como sigue:
Dem.
P . *1014 . 3 P (z) . <frz 3 \¡rz: (2) . <¡>z3 . <j>y 3 yjry . tj>y .
[Ass]
3 .fy :.
[*J0'1]
3 P ( y ) (z).<f>z 3 yfrz: («). <¡>z : 3 . -tyy
[*I 0’21 ]
3 P :.(« ). ^ z 3 yfrz: (2) . <j>z: 3 . (y ). ifry
P . (1 ). E x p . 3 P . Prop
*10'271. P :. (z) . <f>z= yfrz. 3 : (z) .<f>z. = . (z ). \frz
Dem.
P . *10-22.
3 P Ilp . 3 : ( i ) . ^ 3 | j :
[#10'27]
3 : (z).<j>:. 3 .(z) . y^z
P . *10-22.
3 P :. H p .3 :( z ) .^ z 3 £ z :
[*10-27]
3 :( z ) .¿ z .3 .( z ) .< f > z
P . ( 1 ) . ( 2) . C'omp. 3 P . Prop
*10 28. P :. (a;). <f>x 3 ypx. 3 : ( y a ) .
. 3 . ( y * ) . yjrx
(I)
( i)
( 2)
Esta es la *9*22. En el método alternativo, la prueba es como sigue:
Dem.
P . #10'1 . 3 P :. (a.-). <f>.c3 yfrx. 3 . ^ y 3 yfry.
[Transp]
3 .~^ry 3~i^y:.
[*10"11*21] 3 P :• (a*) • $ x 3
. 3 : (y)
ow
[*10-27]
3 :( y ) .~ - ^ r y .3 .( y ) .~ ^ y :
[Transp]
3 : ( y y ) . <f>i/ . 3 . ( a y ) . ^ y :. 3 P . Prop
*10281. P :. (* ).
= yfrx. 3 : ( 3 * ). <¡>x. s . (y*) • ^a: [*10'22'28. Comp]
*10'29. P (a:). <f>x3 y/rx : ( x ) . <f>x D j(X: = : (ar): fac • 3 • ^ - X*-
205
PARTI' I. LOGICA MATEMATICA
l>em.
Y . *10-22. D I-:, (x ). <f>x D yfrx: (x) . <f>xD x-r:
= : (.<) : <f>xD yfrx. <f>.i D ya:
Y . *4*7 ü . D I-< frx D yfrx. ifrx D x x . a : <frx. D . ^rx. x-»'
[*101 1] D I-:, ( x ) :. <f>x D ^rx . ^ x D x-e. = : <£.<.-. D . yfrx. )¿x:.
[*10*271] D K:. ( a) : (frx D yfrx . (¿u D %x: ^ : (j ) : <frx. D . yfrx .
I- .( 1 ) . (2 ). D I-. Prop
(1)
(2)
Esta es una extensión del principio de la composición.
*10 3
I - (x) . <f>xD yfrx: (x ). i[rx D ^ .r : D . ( x ). 4>.c D xx
Esta es la segunda forma del silogismo en Bárbara.
Dem.
h . *10-22*221 . D I-: H p . D . (x ). <f>x D yfrx. -frx D x x .
[Syll.*10'27]
D .(x).</>xD xx-:D I-. Prop
*10’301. I - ( x ) . <(>x = yfrx: ( x ) . yfrx = x x : D . (x ). <¿>x= x-r
Dem.
I-. *10‘22'221 . D I - H p . D :( x ) . $x = yfrx. yfrx = x ? '■
[*4'22.*10-27]
D : (x ). <f>x = x r :• D I-. Prop
En la segunda línea de las pruebas * 10*3 y *10*301, abreviamos el proceso de la
prueba de una manera que con frecuencia resulta conveniente. En la *10*3, el
proceso completo sería así:
I-. S y ll . D I-: <frx D yfrx. yfrx D x-*' • 3 • <t>-r 3 x r:
[*10-11] D Y : ( x ) : (frx D yfrx. yfrx D xx • 3 • <frx D x-r :
[*10*27 ] D I-: (.r). <j>x D yfrx . yfrx D x x ■D • (x) •
D x®
Las dos últimas proposiciones muestran que la implicación formal y la equivalen­
cia formal son relaciones transitivas entre funciones
*10-31.
I - ( x ) . <f>x D yfrx. D : (x ): <frx. x x . D . yfrx. %x
Dem.
Y . Fact .*10-11 . D h : . ( * ) : . ^ r D yfrx. D : <f>x. xx . D . yfrx , y x
l - . ( l ) . *10-27.
(1)
D K P ro p
*10 311. I-:. (x ). (frx = yjrx. D : (x) : (frx. %x . = . yfrx. x-x
Dem.
1*.*4-36 . *10*11 . D I-:. (x ):. (frxs yfrx. O :<frx. %x. = . yfrx. xx
h . (1 ). *10-27. D E . Prop
Las dos últimas proposiciones son extensiones del principio del factor.
*10'32. Y : (frx^t yfrx. = . yfrx =x (frx
Dem.
I-. *10-22 . D I-: (frx =* yfrx. s . (frx 3* yfrx. f x Dx <frx.
[*4 3]
= . yfrx Dx <#>x. 4>x D* yfrx .
[*10 *22]
= . yfrx =x <f>.r: D I-. Pmp
Esta proposición muestra que la equivalencia formal es simétrica.
*10 321. h : <f>x =z yfrx. <frx=x x x . D . yfrx =* x x
206
(1)
SECCION B. TEORIA DE LAS VARIABLES APARENTES
Dem.
b . *10'32 . F a c t. D h : H p . D . yfrx =x <f>x. <f>x =„ %x.
[*10 301]
D . yfrx =x %X 1 3 b • Pr0P
*10 322. h : i/rx =x <f>x. x x =*
• 3 • 'irx =z
Dem.
I-. *10'32 . D b : H p . D . yjrx s x ^>x.<f>x s m •
[*10 301]
D . yjrx h * j- a : D h . Prop
*10'33. b:.(x)i<f>x.p-.s:(x).<j>x:p
Dem.
h .* 1 0 1 .
[*3-27]
b .(l).* 3 2 6
[*1011 -21]
K (2 ).(3 ).
h. *10 1.
D .p
.D I-:. (*): <f>x. p : D . $y :
Ob :.(x ): <l>x. p
.(y) .Qy
DI- ( x ) : <j>x. p : 3 : (y) . <f>y p
D b :• (y) . $ y .
0.<¡>x:.
[Fact]
D I-:, (y) . <¡>y: P ■D . <¡>x. p :.
[*1011 -21] 3 b :. (y) . <f>y : p : D : (* ): <£*. p
K (4 ).(5 ). D h . Prop
*10'34.
I-(g ® ).
( 1)
( 2)
(3)
(4)
(5)
• = : (®)« <f>*• 3 • V
Esto se obtiene inmediatamente a partir de las *9 05 01 y de la *1 01. En el
método alternativo, la prueba es la siguiente:
Dem.
K *4-2. (*1 o-oi ).:>
b :.(^x).tf> xO p.
[*4 61.*10-271]
[*1033]
[*+•53]
[*46]
~ [(«).
Dp)) :
^[(:r) : <f>x. ~ p | :
~ ((a). <j>x: ~ p j :
. v.p:
( x ) . <j>x. D . p
*1035. h :.(a® ).p .< # w . = :p:(a*).<íw ;
Dem.
b.*3"26. D 1- : p . <f>x . D . p :
D h : (#): p .
. D.p :
[* 1 0 1 1 ]
[*10-23]
3 b : (a * )-p .
D .p
1-. *3-27. D b : p . ^ r . D . ^ r :
D 1-: («) : p . <f>x. ' S . <¡>x:
[* 1 0 1 1 ]
[*10-28]
D 1-: (a®) • p • <#« • 3 . (3 a') • <í>a
D b i. p . D : ipx . D . p . <px.
1-. *3-2.
[*1011-21] D b : . p . D : {x) : <f>x. D , p . <j>x :
[*10-26]
D : (a* ).
. D . ( a ¿ ) .p.<f>x
h .( 1 ) . (2 ). (3 ). Irup . D b . Prop
*10 36.
( 1)
( 2)
(3)
I - ( a * ) . ^ c v y . s : (a*) .tf> x.v.p
Esto resulta inmediatamente de la *9‘05. En el método alternativo, la prueba es
la siguiente:
207
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
Dem.
I - ,#4*64.
D I-: é x v p . s . ~ $ x " 5 p :
[#1011]
D I- :(x) : (j>xvp. = .~<px D p :
[#10*281]
D I-:, (g*) .<f>xvp. = : (ga:) .~<^r D/> :
[*10*34]
= : (x) ,~<j>x. D :
[#4*6.(#10*01)]
s : (g®)
Prop
La última proposición sólo se necesita para llegar a lo siguiente:
#10 37.
h
(g®) . p D <j>x. = :p . D . (ga;) . ^>¡r |^*10*36 —
#10 39.
I-:. <f>x Dx %x: yfrx Dx f e : D : <¡>x .
. Dx ■X* , fe
Dem.
Y . #10 2 2 .D I-:. H p . D : (x) : <f>xD • 'lrx 3 f e :
[#3*47 .#10*27]
D : (<r):
. i/ra;. D .
. f e :. D I-. Prop
Esta proposición es verdadera sólo cuando la conclusión sea significante; el
hecho de que la hipótesis sea significante no garantiza que lo sea la conclusión.
Acerca de las condiciones de la significación, véanse más abajo las observaciones al
*104.
#104.
Y <frx =z y x . i¡rx =„ f e . D : <j>x. 'frx. = „ . y x . f e
Dem.
Y . #10*22 .
[#10*39]
D Y :. H p. D : Dxx¿r . yjrx Dx f e :
D : <¡>x. ijrx. Dx .
. fe
Similarmente
l-:.H p .D :x * .f e .D ,,.c /> ie .^ E
h .(1 ) . (2 ). C orap.D I-:. H p . D : ^a;. ^ra:. Dx .
f e : y x . d x . 2 Z. if>x. i ^ x :
[#10*22]
D : <px.
. =x. ^a:. f e :. D I-. Prop
(1)
(2)
En la *10*4 y en muchas proposiciones posteriores, tal como en la *10 39, la
conclusión no puede ser significante cuando la hipótesis es verdadera. Por lo tanto,
a fin de que pueda legitimarse el uso del *10 4 en la inferencia, es decir, pasar de la
aserción de la hipótesis a la aserción de la conclusión, las funciones <j>, \p, X, 6 deben
ser tales que se solapen los rangos de significación. En virtud del *10*221, ésto se
asegura si son de las formas F{x, x (*, f , i , ...)}, f{ x ,x ( x , y, z , ...)},
G{x, X (x ,f, ...)}, g{x, X (x, f>, i , ...)}. También se asegura s i 0 . y i / / , o 0 y 0 , o x
y 'i>, o X y 9 son de tales formas, por la razón de que <f>y X deben tener solapados
los rangos de significación si la hipótesis es significante, y también debe serlo \¡s y 9.
*10*41.
I*:. (a) . $ x . v . ( x ) . ■sjrx : D . (a) . ip xv yfrx
Dem.z
I-. *10*1 .
D I-: (*). <frx . D . <f>¡/.
[♦2*2]
D .< ¿yv*y
I*. #10*1.
O Y : (x) . ifrx . 0 • ifry.
[*1*3]
3 .* y v * y
h . (1) . (2 ). *10*13 . D I-:. (* ). $ x . D . ^y v ^ry: ( x ) . yjrx. D . <f>yv ifry :.
208
(1)
(2)
SECCION B. TEORIA DE LAS VARIABLES APARENTES
[#3‘44]
[«10-11-21]
3 h
(*) • 0* • v • (*) ■0 * ■3 • (y) • <t>yVyjry:. 3 h . Prop
Obsérvese que en la prueba última los usos de las *2*2 y *1'3 son sólo
legitimados si <¡>y y ipy tienen los rangos de significación solapados, pues en otro
caso si y es tal que hay una proposición <t>y, es tal que no hay proposición \¡/y, y
«10-411. I - 0 a ; =«x®. f x s» 6 x . 3 : 0 * v 0vr. = , . * r v Ox
Dem.
h .«10*14 . 3 H:• Hp . 3 : <f>x= j( x . f t s 0x:
[«439]
3 :0 x v iftx .s .x x v ffx
b . ( 1 ) . *10*11*21 .D I-, Prop
( 1)
«10 412. b : <f>x=x ijrx .= ,>~<t>x s , ~ 0 a : [*411 .«1011271]
*10-413. I- <}>x=x -¡(a:. ifrx s , 0 x . 3 : 0a: 3 0 -a:
Dem.
1 . *10411412 .D I-:. H p . 3 : ~ ^ c v ^ * . = , . ~ p v f t c
[(*1-01)]
3 : 0a: 3 -0-a:. = „ .
3 6 x :. 3 h . Prop
*10'414. I-:. <f>x=xXx • 0 -a: =*&■:. 3 : 0 a: = ifrx. =x . %x s 0x
Dem.
I-. *10-413^— ^ | . *10-32. D h :.H p . 3 : ^ 3 0 * . = , . f e D x*
b . «10-413. (1) . «10-4.
(1)
3 I-. Prop
Las proposiciones *10-413-414 se usan principalmente en los casos en donde x
se sustituye por 6, o donde 6 se sustituye por 0 , en cuyo caso la mitad de la
hipótesis se hace supérflua, siendo verdadera en virtud de la *4*2
«10 42.
b
( a # ) . 0a:. v . (a*) .y¡rx:=. ( 3 a:) . 0a v 0 a
Dem.
I-. #10"22 .
3 I-:. (x) .~ 0 a :: (a:) . ~ 0 a : : = . (x) • ini . cs¿
;.
[*4"1 1 ]
3 b :.~{(«) . ~ 0 a:: {x) . ~ 0ra:) . s .~((a:) . ~ 0 a; . ~ 0 -a:):.
[*4"5r56.#10-27l] 3 h
((a:) . ~ 0 a ; |. v .~¡(a:) .~ 0 ra :j:
= .~{(a:) . ~ ( 0 r v 0 -a:)) :.
[*10-253]
3 h :. (3 a:). 0a-. v . (3 a:) .yfrx: = . (3 a:) . <f>xv yjrx:.
3 I-. Prop
Esta proposición se usa muy frecuentemente. Debe contrastarse con la *10-5, en
la cual tenemos sólo una implicación y no una equivalencia.
*10’43.
Dem.
|- : 0 z h , -0-í . 0 x . s . 0a = , -0-r. \frx
I-.# 10-1 .
3 1-: 0z =, 0-? • 3 . 0x- = ifrx
( 1)
I-. (1 ). #5*32.31-. Prop
*10-5.
1- :• (3 a:). <f>x. -0-a . 3 : (3 a ) . <f>x: (3 a:). 0¡r
Dem.
1-. «3'26 . # 10-11.3 I- : ( x ) : <f>x. i/rx. 3 . <f>x:
209
PARTE 1. LOGICA MATEMATICA
[*10-28]
D I-: (g®). <f>x. ifrx. D . (g®) •
t-. *3-27 . *10-1 1 . D P (®): <f>x. yjrx. D . yfrx:
[*10-28]
D h : (g®). <£®. -f®. D . (g® ). - fx
K.(l).(2 ).C o m p . D I-:. Prop
(!)
(2)
La conversa de esta última proposición es falsa. El hecho de que esta proposición
exponga una implicación, mientras que la *10*42 exponga una equivalencia, es la
causa de muchas diferencias posteriores entre las fórmulas que se refieren a la
adición lógica y las fórmulas que se refieren a la multiplicación lógica.
*1051.
h :.~ ((g « ) .
. i/rx¡ . = : <f>X. 2x .~ijrx
Dem.
I-. *10-252 . D h ~ ¡(g®). <px. i/r®J. s : (®) .~(<f>x. yfrx) :
[*4É51-62.*10'271]
= : (®): ¡frx. D .~yfrx:. D I-. Prop
*1052.
h :. (g®). <£®. D : (x) . <£®D p . = , p
Dem,
h . *5"5 .D I-:: H p . D : . p . = : (g® ). <frx. D . p :
[*10-23]
s : (®). <frx D p :: D I-. Prop
*1053.
I" :.~ (g ® ). <f>x. D : ^®. D* . yfrx
Dem.
h . * 2-21 .* 1 0 1 1 .D
h :.(® ): .~<í>®. D : <frx. D . yfrx:.
[*10-27] D I-:. (x).~<frx. D :(® ): <frx. O .yfrx:.
[*10-252] D I- :.~ (g ® ). <£x. D : ( x ) : <f>x.D. yfrx:. D h . Prop
*10541. I-:. <f>y. Dy .p v yfry: s : p . v . <j>yDy yfry
Dem.
I- .* 4 '2 .(* 1 '0 1 ). D I- : . $ y . Dy .p v yfry: = : (y) .~<fryvpv yfry:
[Assoc.*l0*271 ]
= : (y ). p v ~ <£y v yfry:
[* 10-2]
= :p.v.(y).~< f> yvyfry:
[(*1-01)]
= :p .v .^ y D y ^ r y :.D K P r o p
La última proposición sólo es necesaria a fin de llevar a lo siguiente:
10-542. I*:.
. D„. p D yfry : = : p . 0 . <f>yOy yfry
j^ * 1 0 '5 4 1 ^ J
Esta proposición es un lema para la *84 43
*10'55.
I-:. ( g « ). <f>x. yfrx: <¡>xD, yfrx: = : (g® ). <frx: <f>x D* yfrx
Dem.
P . *4"71 . D h :. <frxD yfrx. D : <frx. yfrx. = . <fix
l -. (I ). *1011-27. D
h :. <f>xD* yfrx. D : (®): $ x . yfrx. 5 . ifrx:
210
SECCION B. TEORIA DE LAS VARIABLES APARENTES
[*10 281]
D : (g;;r). <f>x. yfrx. = . ( g i ) . <f>z
I-. (2 ). *5'32 . D h . Prop
(2)
Esta proposición es un lema para *117'12‘ 121
*10-56.
I-
<f>x.
. - f x : (g¡r). 4>x. y x : D . (g*) ■'ir x -X x
Dem.
I-. *10-31. D I-:. <f>x. Dx . \¡rx: D : <f>x. x x • 3* •
[*10-28]
I-. (1 ). Im p . D h . Prop
• Xx '•
0)
Esta proposición y la *10'57 se usan en la teoría de series (parte V).
*10 67.
h
<f>x. Dx . ijr.c v %x : D : <j>xDx\¡rx. v . (jp r). <p x . x x
Dem.
I-. *10-51 .F a c t.D
h :. <f>x. Dx . ifrx v ^ * : ■
—(3 * ). <f>x. \ x : D : $ x . Dx . y ^ x v ^ x : <f¡x. Dx . ~ ^ a-:
[*10'29]
D : tf>x. D i. i/rx v %x. ~ %x:
[*561]
0:<f>x.0 z .y¡rx
I-. (1 ). *5'6 . D h . Prop
(1)
211
PARTE 1. LOGICA MATEMATICA
*11. TEORIA DE LAS DOS VARIABLES APARENTES
Sumario del *11.
Las proposiciones que en el *10 se probaron para una variable se extienden en
este número para dos variables, añadiendo unas cuantas proposiciones que no tienen
análogas para una variable, tales como las * i r 2 ’21'23'24 y las *1 r5 3 '5 5 '6 ‘7. La
expresión “ 0 (x, y )” representa una proposición que contiene x y que contiene y;
cuando lax y la y no están asignadas, 0 (x, y ) es una función proposicional de x ey .
La definición * 1 101 manifiesta que “la verdad de todos los valores de 0 (x, y )” no
necesita ser considerada como una nueva idea primitiva, sino que puede definirse en
términos de “ la verdad de todos los valores de 0 x ” . La razón es que, cuandoestá
asignada la x, <¡>(x, y ) se convierte en una función de una variable, asabery, de
donde resulta que, para todos los posibles valores de x, “( y ) . 0 (x, y )” incorpora
solamente la idea primitiva introducida en el *9. Pero “( y ) . 0 (x, y )” es, de nuevo,
sólo una función de una variable, a saber la x, ya que la y viene a ser aquí una
variable aparente. Por tanto, la definición *11 '01 que viene a continuación es
legitima. Proponemos:
* 1 1 0 1 . (x, y ) . 0 {x, y ) . = : (ar): (y) • 0 (*. y)
* 1102 .
* 1 1 03.
*1 1 04.
*1105.
*1106.
Df
Df
(x, y,z).<f> (*, y, ¿). = : (*): (y. *) • 0 (*, y. *)
Df
(a*, y ). 0 (*, y) • = : (a * ): (ay) • 0 (*. y).
Df
(a*, y, z) . 0 (*, y. *). = : (3 * ): (ay .z) • 0 (*• y. *)
0 (x, y)
-0 (*, y ): = : (®: y ): 0 (#, y) • ^ - 0 (*. y) Df
<f>(x, y) . =*,„. -0 (i, y ): = : (x, y)<f> (x, y ). = . (x, y) Df
Todas estas definiciones se suponen extendidas a cualquier número de variables que
puedan tener.
Todas las proposiciones de esta sección pueden ampliarse para un número finito
de variables; como la analogía es exacta, no es necesario en nuestras pruebas llevar
el proceso más allá de dos variables.
Como añadidura a la definición *11 01, necesitamos la proposición primitiva
siguiente: “ cualquiera que pueda ser el posible argumento x, 0 (x, y ) es verdadero
cualquiera que sea el posible valor de y ” , implica una expresión correspondiente en
la que la x y la y están intercambiadas, excepto en 0 (x, y). Cualquier otro
significado que se tome para “ 0 (x, y ) es verdadero cualquiera que puedan ser los
posibles argumentos x e y ” .
Las proposiciones de este número son, en cierto modo, menos usadas que las del
*10, aunque algunas se utilicen con más frecuencia. Tales son las siguientes:
*1 1 1 .
212
b : (*, y) • 0 (*, y ). 3 .0 (*.
SECCION B. TEORIA DE LAS VARIABLES APARENTES
*11*11. Si <p(z, w) es verdadera, cualquiera que puedan ser los posibles argumentos
z y w, entonces (x, y ) . <t>(x, y ) es verdadera.
Estas dos proposiciones son las análogas de las *10 111.
*11-2.
I-: (x, y) . $ (x, y). = .(y,x).<l> (x, y)
Esto es, decir que “ para todos los posibles valores de x, <¡>(x, y ) es verdadera para
todos los posibles valores de y ” es equivalente a decir que “ para todos los posibles
valores de y, <t>(x, y ) es verdadera para todos los posibles valores de x ” .
*11-3.
h:.p.D.(x,y).<f>(x,y): = : (x, y) t p . D. <f>(x, y)
Esta es la análoga de la *10*21.
*11-32. l-:.(x,y):<t>(x,y).0.1r(*,y):3:(*.y )• <t>(*■.V>• ^ • (*• y )• + (*>
Esto es, si <t>(x, y ) siempre implica 4>(x, y )» entonces ‘siempre 0 (x, y )' implica
'siempre \¡/ (x, y ) \ Esta proposición es la análoga de la *10*27. Las *11*33*34*341
son, respectivamente, las análogas de las *10*271 *28*281, y son igualmente muy
utilizadas.
*11*35. I-(¡r, y ): <f>(x, y). Z>. p : s : (gar, y ) . <¡>(x, y) . D .p
Esto es, si <p(x, y ) implica siempre p, entonces si <p(x, _p) es siempre verdadera, p
es verdadera, y viceversa. Esta es la análoga de la *10*23.
#11*45. I - ( g * , y ): p . <f>(x, y) : = : p : (g®, y) . ^ (x, y)
Esta es la análoga de la *10*35.
*11*54. t-:. (g®, y ). <f>x. f y . = : (g*).
: (gy). f y
Esta proposición es útil porque analiza una proposición que contiene dos
variables aparentes en dos proposiciones, cada una de las cuales contiene sólo una.
“Ó* . ipv" es una función de dos variables, pero está compuesta por dos funciones
de una variable cada una. Una función tal es como una cónica que tiene dos líneas
en la misma dirección; puede llamarse una función “analizable” .
*11*55. h (g®, y).<f¡x.yfr(x,y). = : (g®): <f>x: (gy). ^ (*, y)
Esto es, decir “hay valores de x y de y para los que <f>x . \p (x, y ) es verdadero” es
equivalente a decir “ hay un valor de x para el que $x es verdadero, y para el cual
hay un valor de y tal que ip (x, y ) es verdadero” .
* 11 *6.
I-:: ( g « ) ( g y ) • <t>(ai, y) . -fy : * *
h
¡. ( g y ) ( g ® ) . <f>(«,y) • X®: 'Py
Esto presenta un tipo de transformación que es útil en muchas pruebas.
*11*62. I-:: £®. yp (®, y). Dx,„ . %(*. V) ' = "
: 'P(*. y) •
Esta transformación también se utiliza frecuentemente.
*11*01. (®, y) • $ (®. y) • = : (®) :(y).<p (*, y)
• X (*. y)
Df
213
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
*1102. (x,y, *)- <#>(*,y. *). = :(*): (y.x). 4>(x,y,x)
Df
* 11 -03. ía « ,y )-^ (« ,y ). = :(a® ):(ay)-0(*,y)
i>f
*1104. (a*.y . t ) - 0 O, y, x) • = : (gx): (ay,z ) . 0 (x, y ,x)
Df
*11-05. 0(*,y)-3*,„.0(a:,y): = :(a:,y ):0 (¡r,y ).3 .0 (a:,y ) Df
*11-06. 0 (x,y ). =*,y . i/r (x, y ) : —: (x, y) : 0 (*, y) • = • 0 (x, y) Df
con definiciones similares para cualquier número de variables.
*1107. “Cualquiera que pueda ser el argumento posible x, <j>(x, y ) es verdadero,
para cualquiera que pueda ser el argumento posible y ” implica el correspondiente
enunciado con la x y la y intercambiadas, excepto en “0 (x, y)". Pp.
* 111 . I-: (*, y ). 0 (x, y ). 3 . 0 (x, w)
Dem.
b . *10"1 . 3 1-: Hp . 3 . (y). 0 (x, y ).
[*10"1]
3 . 0(x, w) : 3 h . Prop
*11-11. Si 0 (z, w) es verdadera, cualesquiera que puedan ser sus posibles argumentos
z y w, entonces (x, y ) . 0 (x, y ) es verdadera.
Dem
Por *10'11, la hipótesis implica que ( y ) . <j>(z, y ) es verdadera cualquiera que
pueda ser el posible argumento z; y ésta, por * 10*11, implica (x, y ) . 0 (x, y).
*1112. I - (*, y)-p v 0 (x, y ) . 3 :p . v . (¡r, y ) . 0(x, y)
Dem.
b . *1012.3 b :. (y) . p v 0 (*, y) . 3 : p . v . (y). 0 (a, y) :.
[*1011*27] 3 I - («, y ). p v 0 (x,y). 3 s («): p . v . (y). 0 (¡r, y) :
[*10‘12]
3 : p . v . (¡r, y ). 0 («, y ) 3 h . Prop
Esta proposición se usa solamente para probar la *11 *2.
*1113. Si 0 (j?, j>), 0 (i, f ) tienen el primero y segundo argumentos respectiva­
mente del mismo tipo, y tenemos “ h . 0 (x, y )” y “ | - . 0 (x, y )” , entonces tendre­
mos “ |- . 0(x, y ) . 0 (x, y)". [La prueba, como en *1013].
*1114 I- s. (x, y ). 0 (x,y) : (x, y ). 0-(x,y) : 3 : 0 (x, u>).0(x, w)
Dem.
I-. *1014. 3 1-:. H p. 3 : (y). 0 (x, y ): (y). 0 (x, y)
[*10-14]
3 : 0 (x, w ). 0 (x, i » ) 3 P . Prop
Esta proposición, como la *1014, no siempre es significante cuando su hipótesis
es verdadera. Por esta razón, la *11 13 siempre puede usarse con seguridad en una
inferencia, mientras que la *1114 puede usarse en inferencia (es decir, para la
aserción real de la conclusión cuando se asevere la hipótesis) si se sabe que la
conclusión es significante.
*11-2.
b : (*, y ). 0 (*. y) • = • (y, ®) • 0 (*. y)
Dem.
b . *11*1.
214
3 h : («, y ). 0 (ir, y ). 3 . 0 (x, to)
(1)
SECCION B. TEORIA DE LAS VARIABLES APARENTES
I-. (1 ). *1107-11 .D I-:, (w, z) : (x, y ) . <f>(x, y ) . D . <f>(x, w)
(2)
P
y) • «M®, y) • D . (w .2) • 4>(2. w)
I-:. (w, g) . <f>(e, w) . D . (x, y ). <f>(x, y)
I-
Similarmente
I-. (3 ). (4 ).
(3)
(4)
D h .P ro p
Obsérvese que “(w, z ) . <¡>(z, w)” es la misma proposición que “O, x ) . <
¡>(x,
una proposición no es una función de ninguna variable aparente que intervenga en
ella.
* 11 -21. I-: (x,y,z)-<f>(x,y, x ) . = . (y,z,x).<¡>(x, y,z)
Dem.
[(* 1 1 -01-02)] I- ( x ,y ,i) . £ (x ,y ,x ).= : . (x ): . (y ): (x ). <¿(* ,y ,*):.
[* 1 1 -2]
= : . (y ):. (x) : (x). </>(x, y, x ):.
[* 11 -2.*10'271]
= ( y ) ( x ) :( x ) . <\>(x, y, x ):.
[(*11-01-02)]
= : . (y ,z,x).<f>(x, y ,x ):: D 1-. Prop
* 1 1 -22. I-: ( a * ,y ) . <f>( x ,y ) . = . ~ ¡(x,y).~<f>(x,y)}
Dem.
h . *10-252. T ransp. (*11-03). D
f : (3*. y) •<#>(*• y )[*10-252-271]
[(*1101)]
= . ~ |( x ) : ~ ( a y ) . ^ ( x , y ) j.
= . ~ {(x): (y ). ~ <f>(x. y)) .
= . ~ {(x, y ) . ~ <
f>(x, y )J: D h . Prop
*11-23. 1-: (ax, y ) . <
f>(x, y ) . = . (ay. *) • <J>(*. y)
Dem.
i-. * 11 -22 . DI-: (a*, y) .<*•(». y). s • ~ [(*. y) • ~ * (*. y)| •
[*ll-2.Tm nsp]
[* 11 -22]
s . ~ l(y,a¡) . ~ <f>(x, y)] .
= .(ay ,x ).< f> (x ,y ):D I-.P ro p
*11-24. i-: (a*, y. z) • <#>(*. y,z)- = • (ay. *.«) • (*, y, 2)
Dem.
[(*11-03 04)] I-:: (ax, y,z)-4> (*. y,2)- = (a*) ■■(3y ): (32) • 4>(*. V>2)
[*11-23]
= :. (a y ) :. (a * ): (a 2) ■■#>(*. y .« )!•
[*11-23.*10 281]
= :. ( a y ) :. ( 3 *) : (a * ). <l>(*. y .2) :•
[(*11-03-04)]
= :. (ay. x, x ). <f,(x, y, x):: D I-. Prop
*11-25. h : ~ ((3 *. y) • <f>(x, y)). = . (x, y ). ~ <^(x, y) [*11 22 . Transp]
*11-26.
I-:. (a® ): (y) • <#>(*. y) : D : (y ): ( a x ) . <f>(x, y)
Dem.
I-. *101-28 . D H:. ( a * ) : (y) • <f>(*, y ) : D : (a* ) •<#>(*. y)
f - .( l ) . *1011-21 .D l-.P ro p
(1)
Obsérvese que la conversa de esta proposición es falsa. Por ejemplo, sea <j>(x, y)
la función preposicional “si y es una fracción propia, entonces x es una fracción
215
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
propia mayor que y ”. Entonces, para todos ios valores de y tenemos
“( g x ) . </>(x, y), de forma que se satisface 0>): ( g x ) . 4>(x, y). De hecho,
“(y) ■( 3 * ) • <f>(x, y)" expresa la proposición: “ Si y es una fracción propia, enton­
ces hay siempre una fracción propia mayor que y". Pero “( g x ) : (y) ■<l>(x, y ) ”
expresa la proposición: “ Hay una fracción propia que es mayor que cualquier
fracción propia” lo cual es falso.
1 - (gx. y ) : (a* ). <#>(s,y ,¿): e : (g * ): (gy, t ) . <f>(*,y , z ) :
s : ( a x,y,z).4>(x,y,z)
h . *4-2. (*11-03). 3
p - (a*.y) *(a*) • <M-*.y>*) 1 = •• (a*) - ( a y ) • (a*) • 4>(*. y. *)
I-. *4-2. (*1103). 3
p - ( a y ) : <a*)• <
f>(*.y.z) : = : (ay .*)• <t>(*.y-*)
K (2). * 1 0 1 1 2 8 1 .3
p :: (a*) =• (a y ): (a*) - <
t>(®. y. *) :• = :• (a*) s (ay. *) • <t>(*. y. *)
P .(1 ). (3). (*11-04). 3 h . Prop
(1)
(2)
(3)
Todas las proposiciones del *10 tienen sus análogas con validez para dos o más
variables. Las más importantes de éstas son las que se prueban a continuación.
*11-3. h p . 3 . (r, y ) . ^ (¡r, y ) : 3 : (*, y ) : j>. 3 .<*>(«,y)
Dem.
P .# 1 0 - 2 1 .3 1 z . p . O .(x,y).<f>(x,y): = :(* ):/> . 3 . (y ).<£(#,y ) :
[*10'2l-27l]
s : ( x , y ) .’ p . 3 .<f>(x,y) 3 h . Prop
*11-31. h
(*. y ) . <f>(x, y ) : (x, y) . f (x,-y) : = : (*, y ) : <t>(x, y ) . f (x, y)
Aquí las condiciones de significación del miembro que está al lado derecho exige
que <py $ tomen argumentos del mismo tipo.
Dem.
P . *10-2 2 .3 h::(x,y).<}> (x ,y ) : (x, y ) . (x, y ) :
= (x) :. (y ). <f>(r, y ) : (y ). f (x,y) 1.
[*10-22-271]
s (x, y ) : <¡>(x, y ) . yfr (x, y ) :: 3 I-. Prop
Las pruebas de la mayor parte de las proposiciones que vienen a continuación se
desarrollan exactamente como en los casos * 11 '3'31; la proposición análoga en el
*10 se usa dos veces junto con la *10 27, o la *10 271, o la *10'28, o la *10 281,
dependiendo del caso del que se trate. Cuando las pruebas se acomodan a este
modelo, daremos solamente la referencia de la proposición empleada.
*11 *311- Si 0 (í,j>), \¡/(X,
toman argumentos del mismo tipo, y tenemos
“| - . <t>(x, y )” y “|- ,\p (x, >0”, tendremos “ H . 0 (x, y ) . \¡/ (x, y)". [La prueba es
como en *10-13].
*11-32.
*11-33.
216
t - (*, y ) : <¿>{x, y ) . 3 . i/r (x, y ) : 3 : (x, y) .<f>(x, y ) . 3 . (x, y ) . \¡r (x, y)
[*10-27]
hi.(x,y)i<l>(x,y). = .ylr(xl y ) : 3 : ( x , y ) .< l> ( x , y ) . ’S .(x ,y ).yfr(x ,y)
[*10-271]
SECCION B. TEORIA DE LAS VARIABLES APARENTES
#11-34.
t- :.(x,y):<f> (x, y) • 3 . ijr (x, y ) : 3 :
(a®, y ) . <p(*, y ) . 3 . (a*, y) • 'I' (*.y) [# 10-27 -28]
#11-341. H :.(x,y):<f>(x,y). s . f ( x , y ) : 3 :
( ^ x ,y ) . ( f > ( x , y ) . s .( ^ x ,y ) .y fr ( x ,y ) [*10-271-281]
#11-35. h :.(x,y):<f>(z,y). D . p : = :(g[x,y). tf>(x,y).D . p
[#10-23-271]
#11'36. h : <f>(*, w) . 3 . (y*. y).<t>(x,y)
Dem.
(-.*11 -1 .3 1 -: (x, y ) . ~ 0 (x, y ) . 3 . ~ <£(a, w)
I-. (1 ). Trausp .3 1 -. Prop
#11-37. h:-.(x,y):<j>(x, y).O .yfr (x , y) :. (x, y ) : f (x, y) . 3 . x (*. V)
^ • ( x ,y ) :< f> ( x ,y ) .O .x ( « ,y )
(i)
Dem.
En la siguiente demostración, “Hp” significa la hipótesis de la proposición que se
va a probar. Emplearemos esta abreviatura, siempre que convenga, en todos los
casos en donde la proposición sea hipotética, esto es, que sea de la forma “p ^>q”.
De manera similar “ llp (1)” significa “la hipótesis de (1)”, y así sucesivamente.
1-. #11 -3 1 .3 I-:: H p . 3 :. (x, y ) :. <f>(x, y) . 3 . ijr (x, y ) : ifr (x, y ) . 3 . x (*> y)
1- . Syll .# 1 1 1 1 .3 1 - :.{x,y):.<j>{x,y).0
3 :< f> (x,y).0 .x(a :,y )‘~
3 I-:. (x, y ) : <j>(x,y ) . 3 . (x ,y) : f (x, y ) . 3 . x (*, y ) :
3 : («, y ) : rf>(a:,« ). 3 . v (ie, y)
[*11-32]
( 1)
(x, y ) : ifr (x, y ) . 3 . * ( * .y ) :
K (]).(*). Syll. 3 h. Prop
( 2)
Esta última es un tipo de prueba a la que se recurrirá frecuentemente en lo que
sigue. Las pruebas que se ajustan a este modelo se indicarán sólo mediante los
números de la proposición empleada.
*11-371. h :: (x, y ) : <£(.r. y) . = . + (x, y ) :. (x, y ) : i ' (x, y ) . = . x (*. y)
3 :• ( x ,y ) -.<l>(x,y). = . x (x,y) [*113111 33]
#1138.
1-:: (x, y ) : <f>(x, y) . 3 . yfr (x, y) :. 3 :.
(x. y ) : ^ (x, y ) . ^ (x, y ) . 3 . -ifr (x. y ) . x (x, y) [f’act .*11-11-32]
*11-39.
1-:: (x, y ) : £ (x. y ) . 3 . yfr (x, y ) :. (x, y ) : x (x. y) • 3 . 0 (x, y ) :. 3 s.
(x, y ) : <fr(x. y) • x (x ‘ y) • 3 • 'b (*. y) ■o (*. y) [* 3 4 7 . # i 1 -1 1 -32]
*11-391. H ::(x ,y ):< É > (x ,y ).3 .i/r(x ,y ):.(x,y)-.<f>(x ,y ). 3 . * (x ,y ):.
= : ( x ,y ) : ^ ( x . y ) . 3 . i l r ( x , y ) . X (x,y)
Dem.
H. *4-76.
3 f :. £ (x, y ) . 3 . -f (x, y ) : <f>(x, y ) . 3 . x(x , y ) :
[*11-11-33]
[*11-31]
s : <#>(.r. y ) . 3 . (x, y ) . x (*. y ):.
31-:. (x, y) s <t>(x, y ) . 3 . -f (x, y ) : <f>(x, y ) . 3 . x (x, y) :
= : (x, y ) : (x, y ) . 3 . (x, y ) . x (x, y ) ::
3 (- :: (x, y ) : 0 (x, y ) . 3 . ^ (x, y ) :. (x, y):<f>(x,y). 3 . x(x, y ) :.
J r . Prop
s : ( x , y ) : < ^ ( x ,y ) .3 . - f ( x ,y ) .x ( * ,y ) ::
217
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
*114
h :: (x, y ) : <f>(x, y ) . = . i/r (x, y ) :. (x, y ) : x ( x , y ) . = . 8(x, y ) D
(¡r, y) : <f>(x, y) . X (x. y) . s . ^ ( x . y ) . 8{x, y)
Dem.
h .*11-31. D h :: H p . D ( x ,y )< f> (x ,y ). = .->} r ( x , y ) : x ( x , y ) . = . 6 { x , y ) :.
[*4'38.*1111 32]
13 (x, y ) : <¡>(x, y ) . x (x, y ) . = . yfr (x , y) .8 (x , y)::
D h . Prop
*11-401. h :: (x, y ) : <f>(x, y ). = . ifr(¡r, y ): 13
(x, y) :<f>(x, y). x (x, y ). = .■>{?(x, y ). X ix , y)
J * 1 1 -41 . Id J
*11-41. h (gjf, y).<f>(x,y)-.v. (a*, y ) . f (x, y ) :
= • (5F. y)-4> (x,y)‘ v -'ír (x, y)
[*10-42-281]
*11-42. h (a¡r, y ) . <f>(x. y ) . ^ (x, y ) . 13: (a®, y) ■<f>(x, y ) : (a*, y) • 'fr (x, y)
[*10-5]
*11-421. 1- ( x , y) .<¡>(x,y).v. (x . y ) . \¡r (x, y ): D : (x, y ): <f>(x, y ). v . + (x, y)
^*11'42
• T ransp. *4 56j
¡-■■.(&x,y):<l>(x,y).0.p:s:(x,y).<f>(x,y).'5.p
*11-43.
*1144. 1- :.(x, y ) : <f>(x, y ) , v . p : = : ( x , y ) . <f>(.x, y ) . v . p
*11-45. :.{'3 x,y):p .<l>(x,y): = :p:(Qx,y).<l>(x,y)
*11-46.
:.(r¿ x,y):p .13 - 4>(x,y):=:p .13 .(ftx,y).<j>(x,y)
*11-47. h:.(x,y):p.<f>(xl y ) : ~ :p :(x ,y ).< l> (x ,y )
*ii-5.
[*1034-281]
[*10-2'271]
[*10-35 281]
[*10-37-281]
[*10-33'271]
i-:. (a*):~ [(y) •</>(*. y))¡ s :~l(*,y)-<M*.y)¡: = =(a*. y).~<M*>y)
Dem.
I- .* 10 253. D h :.(a * ):~ { (y ).< M ¡r,y )): = : ~ í ( * ) : (y )• 4>(*• y )):
[(* iio i)]
2 :~i(*.y)-<^(«.y)l
(i)
1-. *10253 . D I- :~ l( y ) • <f>(x, y )).
s . (a y).~<H x, y ) :
[*1011-281] D I - ( a ^ ) : ~ í ( y ) • <P(*>y)! ¡ 3 : ( a * ) : (ay) -~<í> (x, y ) :
[(*1103)]
2 :(aa:,y).~<#)(ír,y)
(2)
K ( l ) . ( 2) . 3 H- P r op
*11-51.
Dem.
h (3 *) :(y).<f>(.x,y):s :~[(¡k) : (ay)
y)l
V . * 10-252 . T ransp . D h ( a * ) : (y) . <f>(x, y ) : = : ~ [(*): ~ (y) • <f>(*, y)]
h . *10-253 . 13 I- :.~(y) .<t>(x,y).
s : (ay) ■~4>{x, y)
[*1011-271] 13 h (*) : ~ ( y ) .<#>(*,y ) :
= =(*) ’• (3 y) -~<#>(-». y) :•
[Transp]
D I- :.~ [(* ) : ~ |( y ) .<f>(x, y ) |] . = :~ [(a r): ( g y ) .~ </>(*, y)]
t-. ( 1 ) . (2 ). D I-. Prop
(1)
(2)
*11-52. i-: . (a*, y)•<t>{x.y)-'Hx,y)- = - ~ ((*,y) ¡ <M*. y) ■ 3 •~ V'(*.y))
Dem.
h. *4-51-62.D
I - ( a r , y).ifr(x, y)) .
l - . ( l ) . *11-11-33.13
218
= : <j>(x,y) .13 .~ylr(x, y)
(1)
SECCION B. TEORIA DE LAS VARIABLES APARENTES
I - ( x , y ) . ~ ( < ¿ ( x , y) .yfr(x, y )): s : (x, y) :<¡>(x, y ) . ^
h : (2 ). Transp .*11-22 . D h . Prop
( 2)
x, y)
*11-521. H:.~ ( a * , y ) . <f>(a>. y) — ^ (*, y) . = : (x, y) : <f>(x,y). 0 . yjr (x, y)
[*11*52.T ransp.
L
f (*. V) J
*11-53. I - (x, y ).< ¡> x ^fy . = : ( g « ) . <f>x. D . (y ). y/ry
Dem.
h . *10’21'271. D t - ( x , y ) . <j>xD ijry . = : (x ): <f>x. D . (y ). \¡ry :
[*10 23]
= : (ga:)
Prop
*11-54. I- (g<r, y) . 4>x. yjry . = : ( a * ) . <*>x: (ay ) • f y
Dem.
K *10-35. D H :.( a y ) .í» .r .^ y . = : <j>x: (•gy). yfry
[*1011-281] D I - ( a ® , y ) . $ x . ^ y . = (a®) : <f>x: ( a y ) . f y :
[*10-35]
= : ( a * ) . <f>x: ( a y ) . ■ fy:. D h . Prop
Esta proposición se usa muy frecuentemente
*11-55. h (a®, y) . </>x. -<fr (x, y ) . = : ( a * ) : <j>x: ( a y ) . ^ (x, y)
Dem.
V . *10-35 . DI -: , ( a y ) . <f>x. yfr (x, y ) .
= : f x : ( 3 y ) . f (x, y ) :.
[*1011] D I- :.( x ) :. ( a y ) . <£x. -i/r (x, y ) . = : <\>x: ( a y ) . \fr (x, y ) :.
[*10'281] DI-:, ( a * ) : (a?/) • <t>x. ^ (x, y ) .s - .( ^ x ) : <¡>x: (ay) .ijr(x,y):.2h. Prop
Esta proposición es de uso muy frecuente.
*1156. I-:. (x) . <f>x: ( y ) . \¡ry : = : (x, y) . <f>x. ->]ry
Dem.
h . *10-33. DI- ::(x) . <f>x :(y).-\fry : = :. (x ):. </>x: (y ). i]ry
P . *10-33 . D E : .
<j>x:(y).yjry: = : (y ). <f>.r. - f y :.
[*1011] Dl-:.(x):.<£x:(y).i|ry: = : (y ). <f>x. ijry :.
[*10271] DI-:: (x ):. <f>.r : (y) . \}n/:. = : (*■): (y ). <j>x.t^ y .
[(* 1 1 0 1 )]
= :(x,y).< £x.i¿ry
h . ( l ) . ( 2 ) . D I - . Prop
*1157.
I-: (x ). ¡px. = .(x, y ) .
(1)
( 2)
. cf>y [*1150 . *4-24]
El empleo del *4 24 aquí depende del hecho de que (x). (¡oc y (y ). <t>y son la
misma proposición.
. = . 13 X, y ) . 4>.r . <f>y [*11-54. *4 24]
*11-58.
I- : ( a x ) .
*11-59.
I-:. <t>x. Dx . ifrx: s : <¡>x. <f>y . Dx,„ . i^ x . -fy
Dem.
H. * 11 *57 • D h : ■1fix . D ,. \¡rx: s : (x, y ) : <f>x. D . yfrx: <¡>y. D . i|ry :
[*3‘47.*11 -32]
D : (,-<-, y ) : 0 x . <£y. D . i]rx. if-y
h . *1 l 'l . D h :. (x, y) : <¿>x. <f>y . 0 . ifrx . ifry : 3 : </>x. <¡>y . D . yjrx. i^-y
( 1)
( 2)
219
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
I-. (2) - . *4'24.3 1 -:. Hp (2). 3 : <j>x. 3 . \¡rx
(3)
h . (3 ). * 101 1 -2 1 .3
h (x, y) : <f>x. tf>y. 3 . -^rx. \¡ry : 3 : <f>x. 3 , . i¡rx
h.(l).(4).3h.Prop
(4)
*ii-6.
t-:: (a®) :• (ay) -<M*. y) •'¡r!/'-xx
(a y) ••• (a*) ■<#>(*•y)-xx -fy
Esta proposición se empleará frecuentemente en las pruebas que siguen.
Deni.
I-. *10-35 . 31-:. ( a y ) . <f>(x, y ) . ifry: \ x • = : ( a y ) : 4>(*. y)
• Xx :-
[*1011 -281] 31-:: (a*'):. (ay) • <#>(*. y)-'i'y-xx:
= :. (a®) :• (ay) • <t>(*. y) • f y • xx ••
[*ii-23]
= : . ( a y ) :-(a-E) - <<>(íí-y)-''fry - x ;i::[*1 l-341.Perm]
= :. (ay) :• (a*) • <#>(*. y) • X* • ’f y :[*10-35-281]
= :. ( a y ) ( a * ) • <f>(*. y) • Xx : f y - 3 *■• Pr0P
*11-61. i- :. ( a y ) : <#>x. 3 , . (*, y ) : 3 : <f>x. 3 , . (ay) ■f (¡a, y)
Dem.
t- .*11*26.3 h :: H p . 3 :.(x):.(ay): <£x. 3 . f (x, y)
(!)
h . *10-37.31-:. (ay): <f>x. 3 . ifr (x, y ): 3 : f r . 3 . (ay ). -f (®. y ):.
[*10-11 -27] 3 I-:: (:r):. ( a y ) :
l-.(l).(2).3(-.Prop
. 3 . ifr (*> y ) : • 3 : •(*): <í>*• 3 . (a y ). fía:, y)
(x, y ) . 3 „ ,,. X (* y) ¡ s : . <f>x. 3* : yfr (ar, y) . 3„ . x (*. y)
Dem.
I -.*4-87 .*11 11-33.3
I-:: ¿ a . (*,y ) . 3*,„. x (ar,y): = :. (,r, y ) :. 0 x . 3 : ifr (a:. y ) . 3 . x (*.y)
[*10-21-11-271 ]
= :. (x) :. f x . 3 : ( y) : ^ (a;, y ) . 3 . x (®, y ) ::
3 I-. Prop
*11-63. h : . ~ ( 3 ¡r>y) • <
t>(*. y ) . 3 : <f>(x, y ) . 3 ,iV. ^ (*, y)
Dem.
1-. *2'21 . *11-1 1 .3 1-:. (a:, y) :.~<£ (a:, y) . 3 : <£(a:, y ) . 3 . y/r (x, y ) :.
[*11-32]
3 I-:. (as, y) — <f>(x, y ) . 3 : (a:, y ) : <f>(x, y) . 3 . y¡r (x, y ) :.
[*n-25]
3 t-:— (a*, y) • ♦ (*, y) • 3 s (*. y) ¡ <#>(*. y) ■3 • V1-(*. y) »
3 (■. Prop
*11-7.
I-:. (a®, y ) : </>(*. y) • V . <#>(y, a:): = . (3 a:, y ) . <¡>(x, y)
Dem.
*11-62. I-:: f r .
(-.*11-41.31-:. (3 a:, y ): <f>(*. y) • v . <f>(y. ®):
s : (a *, y ) . i> (X, y ) . V . (aa:, y ) . <f>(y, a:):
[*11-23]
[*4-25]
= : (aa:, y ) . 4>(x, y) . v . (ay, x ) . <f>(y, x) :
5 : (a*, y ). 4>(x, y ):. 3 b . Prop
En la última línea de la prueba anterior se emplea el hecho de que
(a*.y)-<M*.y) y (ay.*)•♦(y.*)
son la misma proposición.
220
(2)
SECCION B. TEORIA DE LAS VARIABLES APARENTES
El primer empleo de la proposición que sigue tiene lugar en la prueba de la
*234'12. Su utilidad estriba en que nos permite pasar desde una hipótesis
<¡>i. y w . 3,, „ . yffi. Ow.
que contiene dos variedades aparentes, al producto de dos hipótesis cada una de las
cuales sólo contiene una.
*1171.
h :: ( g a ) . <f¡z : (gu>). yw '• 3
<f>z. D ,. ^¡rz: y w . D ». Oto : = : <f¡z. y w . Dt>w. ifri. 6w
Denu
h . * 1 0 1 . * 3 '4 7 . 0
<f>z .7>z .
: yw .
. 8uo :
D : <f¡z. y w . O . t/t z . Ow
I-. (1 ). *11*11-3 . D I - <t>n. D ,. yfrz: y w .
. Ow:
3 : <p z . y w . D,ltr. y/rz. Ow
h . *10'1 . D h
. yw .
. 8 w : 3 :. <f>z . yw .
. t/tz . Ow
[*10'28]
D (g w ). <f>z. y w . D . (g iu ). tfrz. Ow
[*10'35]
D :. <f>z: (g¡«). y w : D : y/rz: (g tu ). Ow
( 1)
( 2)
(3)
I-. (3 ). Comm . *3'26. 3 h :: (gu>). y w : 3
<f>i. y w .
. yjrz. Ow:
D : <f>i. D . yfrz
1-. (4 ). *10'11'21. D I- :¡ (gto). yw . 3 <¿>z. y w .
. ■fyz. Ow:
D : <j>z .D¡.ifrz
Sim ilarm ente
h :: (g * ). <j>z. D <j>i. y w . Dr, „ . yfrz. Ow:
D : yw .Ou,.Ow
I-. (5 ). ( 6) . *3'47 . Com p. D
h :: Hp . D <f>z. y w . DJiW. y/n . Ow: D : <¡>z. . y/rz : y w .
. Ow
l-.(2).(7).Dh.Prop
(4)
(5)
( 6)
(7)
221
*12. LA JERARQUIA DE TIPOS Y EL AXIOMA
DE LA REDUCIBILIDAD
Se ha explicado que la idea primitiva “( x ) . 0x” significa “0x es siempre verdade­
ra” , es decir, “todos los valores de 0x son verdaderos” . Pero cualquiera que pueda
ser la función 0 , habrá argumentos x con los cuales 0x no tenga sentido; es decir,
con los cuales como argumentos, 0 no tiene ningún valor. Los argumentos con los
que 0x adquiere valores forman lo que denominamos “el campo de significación”
de 0x. Un “ tipo" se define como el campo de significación de una función. En
virtud de la *914, si 0x, <¡>y, y \px son significantes —esto es, son verdaderas o
falsas-, también lo es tpy. De esto resulta que dos tipos que tienen un miembro
común coinciden y que dos tipos diferentes se excluyen entre sí. Cualquier
proposición de la forma ( x ) . 0x, es decir, cualquier proposición que contenga una
variable aparente determina algún tipo según el campo de la variable aparente,
quedando fijado dicho tipo por la función 0.
La división de objetos en tipos viene exigida por las falacias de círculo vicioso
que, de no adoptarla, surgirían (63). Estas falacias muestran que no debe haber
totalidades que, si son legítimas, contengan miembros definidos en términos de
ellos mismos. Por tanto, cualquier expresión que contenga una variable aparente no
debe estar en el campo de esa variable, es decir, debe pertenecer a un tipo diferente.
Así, pues, las variables aparentes contenidas o presupuestas en una expresión son las
que determinan su tipo. Este es el principio que orientará en lo que viene a
continuación.
Como se explicó en el *9, las proposiciones que contienen variables se generan a
partir de funciones preposicionales que no contienen estas variables aparentes, por
el proceso de aseverar todos o algunos de los valores de tales funciones. Suponga­
mos que 0a es una proposición que contiene a a; denominamos generalización al
proceso que convierte 0a en ( x ) . 0x o en ( 3 x).<px, y llamamos proposiciones
generalizadas a todas las que contienen variables aparentes. Está claro que las
proposiciones que contienen variables aparentes presuponen otras que no contienen
variables aparentes, de las cuales pueden derivarse por generalización. A las proposi­
ciones que no contienen variables aparentes las llamamos proposiciones elementales
(64), y a los términos de tales proposiciones, que no sean funciones, los llamamos
individuales. Por consiguiente, los individuales forman el primer tipo.
No es necesario, en la práctica, saber qué objetos pertenecen al tipo más bajo, ni
tampoco si el tipo más bajo de variable que interviene en un contexto dado es el de
(63) C.f. Introducción, cap. II.
(64) C.f.pp. 151, 152.
222
SECCION B. TEORIA DE LAS VARIABLES APARENTES
los individuales o algún otro. En la práctica, sólo son relevantes los tipos relativos de
variables. Por tanto, el tipo más bajo que haya en un contexto dado puede
llamársele de individuales, hasta donde ese contexto le concierna. De acuerdo con lo
dicho, no es esencial tener en cuenta a los individuales para la verdad de lo que
sigue; lo que sí es esencial es la manera en que se generan otros tipos a partir de los
individuales, cualquiera que sea el tipo de individuales que pueda constituirse.
Aplicando el proceso de generalización a los individuales que intervienen en
proposiciones elementales, obtenemos nuevas proposiciones. La legitimidad de este
proceso sólo exige que los individuales no sean proposiciones. Que esto sea así viene
impuesto por el significado que damos a la palabra individual. Podemos explicar un
individual como algo que existe pro su propia cuenta; por tanto, esto, obviamente,
no es una proposición, ya que las proposiciones, como se explicó en el capítulo II
de la Introducción (p. 99), son símbolos incompletos que carecen de significado
excepto “en uso” . Por lo tanto, al aplicar el proceso de generalización a los
individuales no corremos el riesgo de incurrir en falacias reflexivas. Damos el
nombre de proposiciones de primer orden a aquellas que contienen una o más
variables aparentes, cuyos valores posibles son individuales, pero que no contienen
otras variables aparentes. Las proposiciones de primer orden no son todas del
mismo tipo, ya que, como se explicó en el *9, dos proposiciones que no contienen
el mismo número de variables aparentes no pueden ser del mismo tipo. Sin embargo,
debido a la ambigüedad sistemática de la negación y de la disyunción, sus diferen­
cias de tipo pueden usualmenlc ignorarse en la práctica. No resultarán falacias
reflexivas, dado que la proposición de primer orden no abarca una totalidad
excepto la de individuales.
Simbolicemos mediante “0 ! jc” ó “0 ! (x,
etc, una función elemental cuyo
argumento o argumentos son individuales. A una función de éstas la denominamos
"función predicativa de un individual". Tales funciones, juntamente con las que se
deriven de ellas por generalización, se llaman funciones de primer orden. En la
práctica podemos, sin riesgo de caer en falacias reflexivas, considerara las funciones
de primer orden como un tipo, puesto que la única totalidad que abarcan es la de
los individuales y, por medio de la ambigüedad sistemática de la negación y de la
disyunción, cualquier función de una función de primer orden que consideremos
será significante, cualquiera que sea la función de primer orden que se tome como
argumento, con tal que se den significaciones correctas a las negaciones y disyuncio­
nes que intervengan.
Por motivos de clarificación, repetimos en términos algo diferentes lo que damos
a entender por una función de primer orden. Demos el nombre de matriz a
cualquier función, de cualquier número de variables, pero que no sean aparentes.
Luego, cualquier función posible, que no sea una matriz, se deriva de una matriz
por medio de la generalización; es decir, considerando la proposición que asevere
que la función en cuestión es verdadera para todos los valores o para algún valor de
uno de los argumentos, permaneciendo indeterminado el otro u otros argumentos.
Así, por ejemplo, de la función 0 (x , y ) seremos capaces de derivar las cuatro
funciones:
223
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
( x ) . <t>(x, y ) , (3 X ) . <t>(x, y), ( y ) . <t>(*, > 0 ,(3 y ) ■0 (x, y)
de las cuales las dos primeras son funciones de y, mientras que las dos últimas son
funciones de x (Todas las proposiciones, con la excepción de las que sean valores
de matrices, también se derivan de las matrices por el proceso de generalización
anteriormente indicado. A fin de obtener una proposición a partir de una matriz
que contiene n variables, sin asignar valores a ninguna de las variables, es necesario
convertir todas las variables en variables aparentes. Así pues, si 0 (x , y ) es una
matriz, (x, y ) . 0 (x y ) es una proposición). Damos el nombre de matrices de primer
orden a aquellas que sólo tienen individuales como argumentos, y damos el nombre
de funciones de primer orden (de cualquier número de variables) a aquellas que o
bien son matrices de primer orden o se derivan de las matrices de primer orden por
la generalización aplicada a algunos (no a todos) de los argumentos de tales
matrices. El resultado de aplicar la generalización a todos los argumentos de una
matriz de primer orden serán las proposiciones de primer orden.
Como ya hemos expuesto, la notación “0 ! z” se emplea en lugar de una función
elemental de una variable. De este modo, “0 ! x ” representa a algún valor de
cualquier función elemental de una variable. Se observará que “0 1 x " es una
función de dos variables, a saber, 0 ! z y x. Ya que no contiene variable aparente es
una matriz, pero dado que contiene una variable (a saber, 0 ! z) que no es un
individual, no se trata de una matriz de primer orden. Podemos construir un
número de nuevas matrices, tales como
~ 0 ! a , ~ 0 !* , 0!a ;v0 !y , 0 ! ¡ 0 ! a : V ' 0 ! y ,
<f>! x . 3 . ifr Ix,
<f¡!x.i/r!x,
0 !ar v
l y v x '1z>
y así sucesivamente.
Todas éstas son matrices que contienen funciones de primer orden entre sus
argumentos. A tales matrices las llamamos matrices de segundo orden. A partir de
ellas, y aplicando la generalización a sus argumentos, tanto en el caso de que sean
funciones como (si hay algunos) que sean individuales, obtenemos nuevas funciones
y proposiciones. Tales funciones (junto con las matrices de segundo orden) se
llaman funciones de segundo orden, y a tales proposiciones se les llaman proposicio­
nes de segundo orden. De este modo llegamos a las siguientes definiciones:
Una matriz de segundo orden es aquella que, por lo menos, tiene una matriz de
primer orden entre sus argumentos, pero no tiene más argumentos que matrices de
primer orden e individuales.
Una función de segundo orden es aquella que o bien es una matriz de segundo
orden o bien resulta de otra por aplicación de la generalización a algunos (no todos)
de los argumentos de una matriz de segundo orden.
Una proposición de segundo orden es aquella que resulta de una matriz de
segundo orden mediante la aplicación de la generalización a todos sus argumentos.
Además de los ejemplos anteriores de matrices de segundo orden, podemos
ofrecer los siguientes ejemplos de funciones de segundo orden:
224
SECCION B. TEORIA DE LAS VARIABLES APARENTES
1) Las funciones en las que el argumento es 0 ! ¿ : ( x ) . 0 ! x , ( 3 x ) . 0 ! x ,
0 1 a . D . 0 ! b, en donde a y b son constantes, 0! x . Dx . g ! x en donde g ! f es
una función constante, y así sucesivamente.
funciones en las que los argumentos son 0 ! i y 0 ! f:
. 0 ! x, 0 1 x . =* . 0 ! x, ( H x ) . 0x . 0x, 0 ! a . D . 0 ! ó, en donde a y b
son constantes, y así sucesivamente.
2) Las
0 1x .
3) Las funciones en las que el argumento es un individual x: (0). 0 ! x,
(3 0) • 0 I x, 0 ! x ■D,p . 0 ! a, en donde a es una constante, y así sucesivamente.
4) Las funciones en las que los argumentos son 0 ! f y x: 0 ! x, 0 ! x . D . 0 ! a,
en donde a es constante, (g 0 ): 0 ! x . = . 0 ! x, y así sucesivamente.
Desde luego, los ejemplos de funciones de segundo orden podrían multiplicarse
indefinidamente pero, a efectos de ilustración, parecen suficientes los que se han
ofrecido.
Una matriz de segundo orden de una variable se llama función predicativa de
segundo orden de una variable, o bien función predicativa de una matriz de primer
orden Así pues, 0 ! a, ~ 0 ! a y 0 ! a D 0 ! ó son funciones predicativas de 0 1 z.
De manera semajante, una función de varias variables, de las cuales una por lo
menos es una matriz de primer orden, mientras que el resto son individuales, o
matrices de primer orden, se llamará predicativa si es una matriz.
Se verá, sin embargo, que una función de segundo orden sólo puede tener
individuales como argumentos; los ejemplos se dieron justamente debajo del título
3). Tales funciones no se llamarán predicativas, ya que las funciones predicativas de
individuales ya han sido definidas como aquellas que son de primer orden. De este
modo, el orden de una función no está determinado por el orden de su argumento o
argumentos; en efecto, la función puede ser de un orden superior al orden u órdenes
de sus argumentos.
Una matriz variable cuyo argumento es 0 1 f se representa mediante el símbolo
/ 1 0 ! i y, en general, una matriz cuyos argumentos sean 0 ! i , 0 ! f, ... x, y , ... (en
donde haya por lo menos una función entre los argumentos, se representará por
f \ (0 ! i, 0 ! i , ... x, y , ...)
Una matriz tal no es de primer orden ni de segundo orden, ya que contiene la nueva
variable f, cuyos valores son matrices de segundo orden. Procedemos a construir
nuevas matrices como hicimos con la matriz 0 ! Je; éstas constituyen las matrices de
tercer orden. Estas, juntamente con las funciones derivadas de ellas por generaliza­
ción, se llaman funciones de tercer orden, y las proposiciones derivadas de las
matrices de tercer orden por generalización se llaman proposiciones de tercer orden
De esta forma podemos continuar indefinidamente hasta matrices, funciones y
proposiciones de más y más altos órdenes. Introducimos la siguiente definición:
Se dice que una función es predicativa cuando es una matriz. Se observará que,
en una jerarquía en la que todas las variables son individuales o matrices, una matriz
es lo mismo que una función elemental. (Cf. pp. 188, 189).
225
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
“Matriz” o “ función predicativa” es una idea primitiva.
El hecho de que una función sea predicativa se indica, como se ha hecho
anteriormente, por un signo de exclamación colocado después de la letra funcional.
De ahora en adelante, las variables que se presentan en este trabajo serán todas
individuales o matrices de algún orden en la jerarquía anterior. Las proposiciones
que hasta ahora se han presentado como variables, ya no lo serán excepto en casos
aislados, de los que no se hace uso posterior. En la práctica, por las razones
expuestas en la p. 223, una función de una matriz puede considerarse como capaz
de cualquier argumento que sea una función del mismo orden y tome argumentos
del mismo tipo.
En la práctica, nunca necesitamos conocer los tipos absolutos de nuestras
variables, sino sólo sus tipos relativos. Es decir, si probamos una proposición bajo el
supuesto de que una de nuestras variables sea un individual y que otra sea una
función de orden n, la prueba aún valdría si, en lugar de un individual tomásemos
una función de orden m, y si en vez de nuestra función de orden n tomásemos una
función de orden n + m, con los correspondientes cambios en otras variables que
puedan estar afectadas. Esto resulta del supuesto de que nuestras proposiciones
primitivas son aplicables a variables de cualquier orden.
Usaremos las letras latinas minúsculas (excepto p. q, r y s) para representar las
variables del tipo más bajo que aparezcan en un contexto cualquiera. Para las
funciones emplearemos 0, 0 , x> 0, f, g, F (con la salvedad de que, más adelante, F
se definirá como una relación constante, y 0 se definirá como el orden-tipo del
continuo).
Más adelante explicaremos una jerarquía diferente de clases y relaciones, que se
deriva de la jerarquía funcional explicada anteriormente, y que resulta más conve­
niente en la práctica.
Cuando una función predicativa, pongamos por caso <¡>! z, tenga lugar como
variable aparente, sería más correcto, en rigor, indicar este hecho poniendo
“(0 ! f ) ” antes de lo que sigue, como en esta forma: “(0 1 ¿ ) . / ( 0 1 z)” . Pero, en
atención a la brevedad, escribiremos simplemente “(0)” en vez de “(0 !
Dado
que lo que sigue a 0 entre los paréntesis siempre debe contener a 0 con argumentos
suministrados, esta práctica no puede dar lugar a confusión alguna.
Debe observarse que, en virtud de la manera en que fue generada nuestra
jerarquía de funciones, siempre resultan funciones no-predicativas de aquellas que
son predicativas por medio de la generalización. Por lo tanto, es innecesario
introducir una notación especial para las funciones no-predicativas de un orden
dado y que tomen argumentos de un orden dado. Por ejemplo, las funciones de
segundo orden de un individual x, se derivan siempre, por generalización, a partir de
una matriz
/ ! ( 0 ! $ , * ! * , ...* ,y ,z . ...),
226
SECCION B. TEORIA DE LAS VARIABLES APARENTES
en donde las funciones f, <¡>, \¡/,... son predicativas. Es posible, por lo tanto, sin
pérdida de generalización, no usar variables aparentes salvo cuando sean predica­
tivas.
Precisamos, no obstante, de un medio para simbolizar una función cuyo orden
no se señale. Emplearemos “ 0x” o uf ( x I ¿)” . etc. para expresar una función
cuyo orden, con respecto a su argumento, no se dé. Una función así no
puede entenderse como una variable aparente, a no ser que supongamos que su
orden está fijado previamente. Como el único objeto de la notación es evitar la
necesidad de fijar el orden, una función así no debe usarse como variable aparente;
las únicas funciones que también pueden emplearse serán tas funciones predicativas
porque, como acabamos de comprobar, esta restricción no entraña pérdida en la
generalización.
Hemos de plantear ahora el axioma de la reductibilidad.
Es importante observar que, dado que hay varios tipos de proposiciones y
funciones, y ya que la generalización sólo puede aplicarse dentro de un tipo (o por
medio de ambigüedad sistemática, dentro de algún conjunto de tipos bien definido
y completo), todas las frases que hacen referencia a “ todas las proposiciones” , a
“todas las funciones” , a “alguna (indeterminada) proposición” , o a “ alguna (inde­
terminada) función” , son prima facie sin-sentidos, aunque en ciertos casos permitan
una interpretación intachable. Surgen contradicciones en el uso de tales frases, en
aquellos casos donde no pueda encontrarse un significado sin doblez.
Si la matemática debe ser posible, es absolutamente necesario (como se explicó
en la Introducción, capítulo II) que dispongamos de algún método de conseguir
enunciados que, normalmente, sean equivalentes a los que tenemos en el pensamien­
to cuando (incorrectamente) hablamos de “todas las propiedades de x ”. (Una
“ propiedad de x " puede definirse como una función proposicional satisfecha por
x ) Por tanto, debemos encontrar, si es posible, algún método de reducir el orden de
una función proposicional sin que quede afectada la verdad o falsedad de sus
valores. Esto parece ser lo que el sentido común realiza mediante la incorporación
de las “clases” . Dada una función proposicional \px, de cualquier orden, se supone
equivalente, para todos los valores de x, a una expresión de la forma “x pertenece a
la clase a”. Suponiendo ahora que hay una entidad tal que la clase a, esta expresión
es de primer orden, ya que no entraña alusión a una función variable. En efecto, su
única ventaja práctica respecto de la expresión original \¡/x, es que es de primer
orden. No ofrece ventaja suponer que en realidad hay cosas tales como clases; y la
contradicción acerca de las clases que no son miembros de sí mismos muestra que,
si hay clases, deben ser cosas radicalmente diferentes de los individuales. Podría
parecer que la única finalidad para la que sirven las clases —y una razón principal
que las hace lingüísticamente convenientes-, es que proporcionan un método para
reducir el orden de una función proposicional. Por consiguiente, no supondremos
nada de lo que puede parecer que entraña la admisión de las clases por el sentido
común, excepto esto: que cada función proposicional es equivalente, para todos sus
valores, a alguna función predicativa del mismo argumento o argumentos.
227
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
Esta suposición con respecto a las funciones puede hacerse cualquiera que sea el .
tipo de sus argumentos. Sea fu una función, de cualquier orden, de un argumento n,
que pueda por sí mismo ser un individual o una función de cualquier orden. S i/e s
una matriz, escribimos la función en la forma / ! «; en tal caso, decimos que / es
una función predicativa. Así pues, una función predicativa de un individual es una
función de primer orden; y para tipos superiores de argumentos, las funciones
predicativas ocupan el mismo lugar que las funciones de primer orden toman con
respecto a los individuales. Suponemos entonces, que cada función de una variable
es equivalente, para todos sus valores, a alguna función predicativa del mismo
argumento. Esta suposición parece ser la esencia de la suposición usual de las
clases; en todo caso, conserva de las clases cuanto teníamos para cualquier uso, y lo
suficiente para evitar las contradicciones que una pequeña concesión maliciosa de
clases está pronta a producir. A esta suposición la llamaremos el “axioma de las
clases o el axioma de la reducibilidad".
De manera semejante supondremos que cada función de dos variables es equiva­
lente, para todos sus valores, a una función predicativa de esas variables, es decir, a
una matriz. Esta suposición es lo que se quiere dar a entender cuando decimos que
una expresión acerca de dos variables defíne una relación entre ellas. A este
supuesto lo denominamos el axioma de las relaciones o (como en el axioma previo)
el axioma de la reducibilidad.
En cuanto a las relaciones entre más de dos términos, se necesitarían suposicio­
nes similares para tres, cuatro... variables. Pero estas suposiciones no son indispensa­
bles para nuestro propósito y, por lo tanto, no se llevan a cabo en este trabajo.
Expresado en símbolos, las dos formas del axioma de la reducibilidad son las
siguientes:
I": ( a / ) '<t>x - s . . / ! *
* 1 2 1 1 , l-:(3 /):<#>(*, y ). =*,v •/!(*> y)
*121.
Pp
PP
Decimos que dos funciones, <¡>x y \¡/Jc, son formalmente equivalentes cuando
. =x . &x; y, de manera similar, decimos que $ (Je, p ) y \¡j (Je, y ) son formalmente
equivalentes cuando
<t>(*. y) • =*.* ■+ (*. y)Así, pues, los axiomas anteriores expresan que cualquier función de una o dos
variables es formalmente equivalente a alguna función predicativa de una o dos
variables, según sea el caso.
De los axiomas de arriba, el primero es ante todo necesario en la teoría de clases
(*20), y el segundo en la teoría de relaciones (*21). Pero el primero es también
esencial para la teoría de la identidad, si la indentidad debe definirse (como hemos
hecho en el *13.01); su empleo en la teoría de la identidad se incorpora, más
adelante, en la prueba de la *13101.
Podemos resumir lo que se ha expuesto en este número de la siguiente forma:
228
SECCION B. TEORIA DE LAS VARIABLES APARENTES
1) Una función de primer orden es la que no entraña variables excepto
individuales, tanto si son variables aparentes como si son argumentos.
2) Una función de orden (w + 1 ) es el que por lo menos tiene un argumento o
variable aparente de orden n, y no contiene argumento o variable aparente que no
sea una función de primer orden, o una función de segundo orden, o... o una
función de orden n
3) Una función predicativa es la que no tiene variables aparentes; es decir, es una
matriz. Es posible, sin detrimento de generalización, no usar variables excepto
matrices e individuales, con tal que no requieran proposiciones variables.
4) Cualquier función de un argumento (o de dos) es formalmente equivalente a
una función predicativa del mismo argumento (o argumentos).
229
*13. LA IDENTIDAD
Sumario del *13.
La función proposicional “x es idéntica a y ” se escribirá “x = y n. Veremos que
el uso del signo de igualdad abarca todos los empleos comunes de la igualdad que se
dan en matemáticas. La definición es la siguiente:
*13'01. x = y . = : (<£): <j>l x . 3 . t¡>! y Df
Esta definición expresa que x e y se llaman idénticas cuando cada función
predicativa que la satisface x también la satisface y. No podemos sentar que cada
función satisfecha por x está también satisfecha por .y, porque x satisface funciones
de varios órdenes, y no todas éstas se pueden cubrir por una variable aparente. Pero,
en virtud del axioma de la reducibilidad, resulta que, si x =_y y x satisface a \¡/x,
siendo \¡s una función cualquiera, predicativa o no predicativa, entonces y también
satisface a \¡sy (cf. *13*101, más abajo). Por eso, en la práctica, la definición es tan
fuerte como lo sería si pudiese extenderse hasta cubrir todas las funciones de x.
Obsérvese que el segundo signo de igualdad en la definición anterior está
combinado con “ D f’ y, por lo tanto, no es realmente el mismo símbolo que el
signo de igualdad que se definió. Así, pues, la definición no es circular, aunque a
primera vista lo parezca.
Las proposiciones de este número se citan de manera continuada. Muchas de
ellas son autoevidentes y las pruebas no ofrecen dificultad. Las proposiciones más
importantes de este número son las siguientes:
*13’101. I- i x = y . 0 . -<jrx D y/ry
Esto es, si x e y son idénticas, cualquier propiedad de x es propiedad de y.
*1312. h :£ = y.D.>íra: = >|ry
Esta incluye la *13101 juntamente con el hecho de que si x e y son idénticas,
cualquier propiedad de y es propiedad de x
* 13-15* 16'17, que establecen que la identidad es reflexiva, simétrica y transitiva.
*13191. y :. y = x . 3*. <f>y: = •
Esto es, expresar que todo lo que es idéntico a x posee una cierta propiedad es
equivalente a manifestar que x tiene esa propiedad.
*13195. I-: (ay ) .y^x.<f>y. = .<f)x
Esto es, expresar que algo idéntico a x tiene una determinada propiedad es
equivalente a decir que x tiene esa propiedad.
*13 22. b : (a*, w). * « * . w « y . $ (*, « ) . s . $ (*, y)
230
SECCION B. TEORIA DE LAS VARIABLES APARENTES
Esta es la análoga de la * 13* 195 para dos variables.
*1301. * = y . = : ( < / > ) : $ ! * . 3 . ¿ ! y Df
Las siguientes definiciones incorporan abreviaturas que a menudo son convenien­
tes
*1302.
*1303.
*131.
*13101.
3 + y . = . ~ (,r = y)
Df
« = y = «. = . « = */.y = ¿ Df
f-:.* = y .s : ( / >! a' . 3* . <¿ ! y [*4'2 . (*13-01). (*10 02)]
I- s x = y . 3 • ^ra- 3 ^ry
Dem.
I-. * 1 2 -1 .3 1 -:. <3<t>) ■■■>frx . = .<£! x : ^ry . = .<£! y
K * 1 3 1 .3 1 -:: H p . 3
3*. $ i y :•
[*4-84-85.*10-27]
3 ^r.r . = . <f>! x : i]ry. = . <j>! y : 3# : i¡rx. 3 . yfnj
[*10-23]
3 :.(3</>):fa-,. = . <fi!x:-<fry. = . tf>iy:0:y/rx. 3 . ifry
M I ) . (2 ).3 1 - . Prop
0)
(2)
En virtud de esta proposición, si x =y, y satisface a cualquier función, sea
predicativa o no predicativa, que es satisfecha por x. Se observará que la prueba usa
el axioma de la reducibilidad (*121). Pero, por este axioma, dos términos x e y
pueden concordar por lo que respecta a todas las funciones predicativas pero no por
lo que respecta a todas las funciones no-predicativas. De este modo, nos conducirá a
identidades de grados diferentes, de acuerdo con el grado de las funciones con
respecto a las que x e y concuerdan. En este caso, la identidad estricta tendría que
considerarse como una idea primitiva, y la *13'101 debe tomarse como una
proposición primitiva, así como también las *13'15'16'17.
*1311. I- :.® = y .= : $ l x . s * . <f>!y
Dem.
I-. *10-22 .
3 f-:.$ !¡r.= * .< # » !y :3 :< f> !a :.3 ¿ .c £ !y :
[*131]
D :« = y
K *13101.
3 l- :.ír = y .3 .< ¿ !a :3 < /i!y
h . *13'101. *1"7 . 3 1- x —y . 3 .
!* 3 !y .
[Transp]
3 . <f>! y 3 <f>! x
h .( 2 ) . (3 ). Comp . 3 h : »«= y. 0 .<¡>lxs<f>ly:
[*10"11'21]
3 I- x = y . 3 : <¡>! # .= ♦ • 4>!y
h .(l) .( 4 ) .
3 K Prop
(1)
(2)
(3)
(4)
*1312. h : ¡r = y . 3 . yjexs yfnj
Dem.
V . *13101. Comp . 3 I-:» = y . 3 .
3 ^ -y .
3 ~ ifry .
[Transp]
3 . '¡rx = ^ y s D f . Prop
*1313. I-: yfrx. a- = y . 3 . yfry
*13"14. t-: y/rx.~ if-y . 3 . a-^ y
[*13101 . Corum. Imp]
[*13"13 . *4T4]
231
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
*13*15. b . x = x
*13-16. l-:& = y . = .y = a;
[Id .*1011 .*131]
[*131 1 .*1032]
*13‘17. h : « = y .y = 2.D.® = 2
Dem.
H. *131. D I-:: Hp . D :. <#>! x . D* . <f>! y : <f, ! y . D*. </>! *!.
[*103]
D:.tf>!*.D*.é>!í ::D h . Prop
En el empleo anterior de la *10*3, <¡>\x, 4>\y, <p\z son consideradas como tres
funciones diferentes de 0, y 0 sustituye a la x de la *10 3.
Las tres últimas proposiciones muestran que la identidad es reflexiva (*13‘15),
simétrica (*13'16), y transitiva (*13*17). Estas son las tres características típicas
que tienen las propiedades formales que comúnmente asociamos con el signo de
igualdad.
[*131617]
*13171. t-íar=y.ir = * . 3 . y = 2
*13172. H:y = ar.í = a ;. D. y = 2
[*131617]
[*1317. *414]
*1318. h : a < = y . a 4 :* . 3 . y si: ¿
[*13-171 .*414]
*13181. l-:a;‘= y . y 4 * - 3 * a:4, -r
*13182. I-:.¡t = y . D : í = « . = . 2 = y [*1317172. Exp.Comp]
*13183. h:. x = y . = : * = ¡r. =, . * = y
Dem.
(-.# 1 3 1 8 2 .* 1 0 1 1 -2 1 .3 h : . * - y . D : i = a;.= t .2 = y
h .# 1 0 1 . D I-:. * = a ;.= , .2 = y : D : * = a :.D .ir = y :
[#1315]
D :* = y
t - . ( l ) . ( 2 ) . D I-. Prop
K ( a y ).y = .® [#1315.#10-24]
*1319.
( 1)
12)
*13*191. I-:. y • x . D„. 4>y: = . <j>x
Dem.
b . *101 . D h :. y = ®. D„. <f>y: D : x = x . D . <¡>x:
[*1315]
I-.*13-12. DI-:. y = * . D : <£>.r.
[Comm]
DI-:.<^ar.Dsy = jc.
[*101121] DI- :.$.r. D :y = * .
I- . ( 1 ). (2). D I-. Prop
D
D . ^ y :.
D.<£y:.
D„.^y
( 1)
( 2)
Esta proposición se usa constantemente en las pruebas que siguen
*13192. I-:. (ge) : x = b . =x . x = c : yfre: = . ifrb
Dem.
I- . # 4 2 . #3*2 .D I- :: yfrb .D : . x = 6 .= * .a : = 6 : ifrb:.
[#10*24]
D :.( g c ) : x = 6 . = , . x = c:y/rc
I- .*10*1 . D I - : . í = i . = , . x = c : f c : D : 4 = i . = . l = c : | c :
[*5*501 .*13 1 5 ]
D : 6 = c . i]rc :
[*1 31 3 ]
3 : yfrb
K (2 ). *1011-23. D l- : . ( a c ) : * = 6 . = « . * = c : * c : D . ^6
232
(1)
(2)
(3)
SECCION B. TEORIA DE LAS VARIABLES APARENTES
l-. (1). (3). D I-. Prop
Esta proporción es útil con la teoría de descripciones (*14).
*13193. I-: $ x . x = y . = .
Dem.
<f>y = y
h .S im p .
Dh:<l>®.£ = y .D .;r = y
I-.*13-13.
Df-:<£®.® = y.D.<#>y
h . (1) -(2). Comp. 3 I-: tj>x.x = y . D . <f>y . x = y
h . *1316. F act. D h : </>y. ®= y . 3 . <#>y. y = ®.
W j" ]
(1)
(2)
(3)
D .0 * .y = * .
*1316.Fact]
h . (3). (4). D h . Prop
D.<^e.* = y
(4)
Esta proposición se usa muy frecuentemente
*13194. I-: <¡>x . ®= y . s . <jxs. ^y . ®*=y [*1313 .*4-71]
Esta proposición se usa en la *37'65 y en la *101 14
*13195. I-: (g y ). y = ®. <f>y. = . <j>®
Dem.
H,*3'2 .* 1 3 1 5 .
[*i o-24]
1-. * 1 3 1 3 . *1 0 1 1 .
[*1023]
h .( l) .( 2 ) .
D h : <j>x. D .*= > *. $ x .
d • (ay ) • y = * • 4>y
D I-:. ( y ) : y =*■x . <j>y. 3 .
:
D ( - :.( g y ) .y = « . ^ y . D . f E
D 1-. Prop
(1)
(2)
Es muy frecuente el uso de esta proposición en las pruebas que siguen
*13196. h
. = i <f>y.
.y =^« [*13'195. Transp. *10*51J
*13'21. h :.« = « .w = y . DIiW. £(*, w): = . ^(¡r, y)
Dem.
I- .*11‘62. D
h :: * = ¡e. w = y .
[*13191]
[*13191]
».
<j>(*, tti): s
:. * = * . D ,: w = y . 3■«,. <f>(z, v >):.
s :.«> = y . D,„. <£(«, te»):.
s £(*, y ):: 3 K. Prop
Esta proposición es la análoga, para dos variables, de la *13‘191.
*13 22. I-: (g*, te»). t = x . vi = y . ¡j>(*, te»). = . <l>(as, y)
Dem.
I- .* 1 1 -5 5 .3 1-(g*,te»). i —* , te»= y .<£(*, te»).
= :(g * ):í= > ® :(a te»). te»= y .</>(*, te»):
[*13195]
S ! ( a w ) .tt = y ^ ( * , « ) :
[*13195]
= ; <t>(*, y ) O I-. Prop
Esta proposición es la análoga, para dos variables, de la *13195. Se usa con
frecuencia, especialmente en la teoría de los pares (*54, *55, *56).
La proposición siguiente es útil en la teoría de tipos. Su objeto es mostrar que, si
233
PARTE 1. LOGICA MATEMATICA
a es un argumento cualquiera para el que “ 0a ” es significante, esto es, para el que
tenemos 0a v ~ 0a, entonces “ 0x” es significante cuando, y sólo cuando, x o es
idéntico a a o no es idéntico a a.
Resulta (como se probará en la *20 81) que, si “ 0a” y “ 0 a ” son significantes, la
clase de los valores de x para los que “<px” es significante es la misma que la clase de
aquellos para los que “ 0jc” es significante; es decir, dos tipos que tienen un
miembro común son idénticos.
En la prueba siguiente, el punto principal a observar es el uso de la *10*221. Hay
dos variables, a y x, a identificar. En el primer uso, dependemos del hecho de que
tanto 0a como x = a ocurran en (4) y en (5): el que 0a tenga lugar en ambos
justifica la identificación de las dos jc’s (Salvo que las a’s hubieran sido ya
identificadas, esto no debería ser legítimo, porque “x —a" es típicamente ambigua
si ocurre que ni la x ni la a son de un tipo dado). El segundo empleo de la *10*221
está justificado por el hecho de que tanto 0a como <¡>x tienen lugar en ( 2 ) y en ( 6).
*13 3. h:: 0a v ~ 0 <i. D 4>x v ~ 0 x . = : x —a . v . a + a
Deni.
|-.*2' 11.
D h . 0i v ~ 0a:
l-.(l).S im p .
D I-:0 a v~ 0 a .D .0 ícv
0*
l-.* 2' l l .
DI- : x = a . v,a: + a
h.(3).Sim p.
D I - 0 d v ~ 0 a . D :® = a. v .x + a
I-. *13*101. Comra .DI-:. 0a v ~0a . D : x = a . D . <j>xv ~ 0a;
I-. (4). (5). *1013-221. D
I-:: 0a v ~ 0 a . D : x = a . v . a;4 a 0a v ~0a . D : ¡c = a . D . 0* v ~ 0r
h . (2). ( 6). *10-13*221. D
h :: 0a v ~ 0 a , D . <\>xv~0.r:. 0a v ~0a .D:¡r = a.v.ír=)=a:.
0a v ~0a . D : x = a . D . 0a: v ~ 0«
h . (7). Simp. D
I-:: 0a v ~ 0a . D . 0r v ~ 0 í 0a v ~ 0a . D : « = a . v .*4= a
h . ( 8) •*5'35 .
D h :: 0a v ~0a . D 0r v ~0a-. = : xm a . v . * + a ::
D I-. Prop
234
( 1)
( 2)
0*)
W
(5)
<d)
CO
(®)
*14. LAS DESCRIPCIONES
Sumario del *14.
Una descripción es una frase de la forma “el término que, etc.” , o, más
explícitamente, “el término x que satisface a </üc”, en donde <fá es una función a la
que satisface un y sólo un argumento. Por las razones explicadas en la Introducción
(Cap. III), no definimos “la x que satisface a
sino que definimos cualquier
proposición en la que tiene lugar esta frase. Así, cuando decimos: “ El término jc
que satisface a <t&, satisface a \¡/X” entenderemos: “ Hay un término b tal que <px es
verdadero cuando, y sólo cuando, x sea b, y \¡/b sea verdadero” . Esto es, escribiendo
“(ix) (0x)” por “el término x que satisface a <px'\ \p (ix) (<¡>x) significa
(3 b): <f>x,=x .x = b : ijrb.
Esto, sin embargo, no es todavía una definición completamente adecuada, pues
cuando (7x)(tfur) tenga lugar en una proposición que es parte de una proposición
mayor, existe la duda de si es la proposición más pequeña o la mayor la que debe
ser considerada como “ i// (ix) (0x)” . Tomemos, por ejemplo, (?x) ($ x ) . D .p.
Esto puede ser o bien
O bien
(a&): <f>x. = ,. x = 6 : i¡rb: D. p
(a&):. <¡>x.=z .x=bxi¡rb.D.f>.
Si “( 3 b): <{>x . ^ . x = b” es falso, la primera de éstas debe ser verdadera,
mientras que la segunda debe ser falsa. Así, esto es muy necesario para diferenciar­
los.
La proposición que se constituye como
(ix) (<¡>x) se denomina el alcance de
(ix) (<px). Así, en la primera de las dos proposiciones anteriores, el alcance de
(ijc) (<px) es \¡>(ixr) (0x), mientras que en la segunda es 1// (tx) (<t>x) . D . p . A fin de
evitar ambigüedades en cuanto al alcance, indicaremos el alcance escribiendo
“ ((jx) (0x)]” al principio del alcance, seguido del suficiente número de puntos para
establecer el final del alcance. De este modo, con referencia a las dos proposiciones
últimas, la primera es
t(Jx) (<£*)] .
(ix)
. D . p,
mientras que la segunda es
[(7a;) (£*)] : f (ix) (<f>x) . D . p.
Así, llegamos a la siguiente definición:
*1401.
Df
235
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
En la práctica, nos encontraremos que lo que el alcance generalmente requiere es
la menor proposición encerrada entre puntos o entre corchetes en la cual intervenga
“(ix) (<px)'\ Por tanto, cuando este alcance se dé a (tx) (<px), usualmente omitiremos
la mención explícita del alcance. Así, por ejemplo, tenemos
a=j=(iar)(^ar) . —: (gíi) : <f>x. = ,. x = b : « =)=6,
~ [a = (ix) (^w)j. = . ~ [(g¿i) : <fx>;. =x. * = ¿i: a = 6).
De éstas, la primera necesariamente implica (g * ): <px . =* . x = b, mientras la
segunda, no. Ponemos
#14 02. E !(lar)(^ar). = : (gii): <j>x. =.x . x = b I)f
Esto define: “ La x que satisface a <t& existe” , lo que es válido cuando, y sólo
cuando, <(&se satisface por un sólo valor de x y no por otro valor.
Cuando dos o más descripciones intervienen en la misma proposición, hay
necesidad de evitar ambigüedad en cuanto a cual tiene el alcance mayor. Con esta
finalidad escribimos
#14t)3. [(lar)
(lar) (ifrar)] ./((lar)
(lar) (^x)J . = :
[(lar) (fr)] : [(lar)(^rr)] ./[(lar) (<^r), (lar)(^rar)) Df
Se verá (* 14*113) que el valor de verdad de una proposición que contenga dos
descripciones no está afectada por la cuestión de cuál tenga el alcance mayor. Por lo
tanto, en general, adoptaremos el convenio de que la descripción que tipográfica­
mente aparezca en primer lugar es la que tiene el alcance mayor, salvo que
expresamente se indique lo contrario. Así, por ejemplo
significa
es decir,
(lar) (<¿ar) = (lar)(i/rar)
(g&): <f>x. = x . x = b i b = (lar) (ifrxr),
(gé) i.<f>x.=z .x = b:. (ge) : íjra:. = ,. a: =*c : 6 = c.
Mediante este convenio seremos capaces casi siempre de evitar la indicación
explícita del orden de eliminación de dos o más descripciones. Sin embargo, si
necesitamos un alcance mayor para la descripción posterior, escribimos
*14 04. [(lar)(i/r’ar)] ./{(lar) (<£ar), (lar) (i/rar)) . = .
[(lar)Oar), (lardar)] ./[(lar)(c^ar), (lar)(i[rar)] Df
Siempre que tengamos E ! (ix)(<f>x) interviene (ix)
formalmente, como un
argumento ordinario para cualquier función en la cual pueda intervenir, tiste hecho
se incorpora en la siguiente proposición:
*1418. I-:. E ! (lar)
. D : (ar) .+ x .0 .i / r (lar) (£r)
Es decir, cuando existe (íx) (<px), ello tiene alguna propiedad que pertenece a
todo. Esto no se cumple cuando (ix)($x) no existe; por ejemplo, el actual rey de
Francia no goza de la propiedad de ser calvo o no calvo.
236
SECCION B. TEORIA DE LAS VARIABLES APARENTES
Si (tx) (<jvc) tiene alguna propiedad, cualquiera que sea, debe existir. Este hecho
se consigna en la proposición:
*14-21. f-: ^ (tx) (<ftx) . D. E ! (tx) (<f>x)
Esta proposición es obvia, ya que “E ! (tx) (0x)” es, en virtud de las definicio­
nes, parte de “ i¡>(tx) (<¡>x)”. Cuando, en el lenguaje ordinario o en filosofía, alguna
cosa se dice que “existe” , siempre es algo descrito, es decir, no es algo que se
presente de manera inmediata, como un punto o una mancha de color, sino algo
como, “ materia” o “pensamiento” u “Homero” (significando “el autor de los
poemas homéricos” ), lo cual se conoce por la descripción como “el tal y tal cosa” ,
y, por tanto, es de la forma (tx)(tfx). De este modo, en todos los casos así, la
existencia del sujeto (gramatical) (tx) (<t>x) puede inferirse analíticamente de cual­
quier proposición que tenga este sujeto gramatical. Parecería que la palabra “exis­
tencia” no puede aplicarse significativamente a sujetos dados de forma inmediata;
esto es, no sólo nuestra definición no da significado a “ E ! x", sino que no hay
razón, en filosofía, para suponer que un significado de existencia podría encontrar­
se que fuese aplicable a sujetos dados inmediatamente.
Además de las anteriores, las que vienen a continuación están entre las proposi­
ciones más útiles de este número.
*14 202. H <¡>x. = „ . « = b : = : (jar) (4>x) = b:s:<t>x.=t . b = x : s z b = (tx) ($x)
De la primera equivalencia que figura en esta proposición se sigue que
«14 204. I-: E ! (ix) (tpx) . s . (gí>). {ix) (<¡>x) = b
Esto es, (tx) (4¡x) existe cuando hay algo que sea (tx) ($x). Tenemos
*14‘205. t-
(tx) (<f>x). s . (g¿i). b —(tx) ( f x ) . yfrb
Es decir, (tx ) (<¡>x) tiene la propiedad
cuando hay algo que sea (tx) (</kjc) y que
tenga la propiedad 4>Hemos de probar que símbolos tales como “(tx)(#x)” obedecen a las mismas
reglas relativas a la identidad como los símbolos que directamente representan
objetos. A esto, sin embargo, hay una excepción parcial, pues en lugar de tener
(tx)(<f>x) = (ix) (<f>x),
solamente tenemos
*14 28. h : E ! (tx) (<frx) . = .(tx ) (<f>x)= (tx) (<frx)
Esto es, “(tx) (<px)" sólo satisface la propiedad reflexiva de la identidad si
(ur) (<j>x) existe.
La propiedad simétrica de la identidad se cumple para símbolos tales como
(tx) (4>x), sin necesidad de suponer su existencia; es decir, tenemos
*14'13. I-: a *‘ (tx)(<j>x) . s . (tx)(<f>x) = a
*14131. h : (tx) (<j>x) = (tx) (ifrx) . = . (tx) ('jrx) = (tx) (<j>x)
237
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
Similarmente, la propiedad transitiva de la identidad se cumple sin necesidad de
suponer la existencia. Esto se prueba en las * 1 4 i 4 ,142,144.
*1401. [(l®)(4>®)].i(r(7a:)(<|xa;). = :( g 6):<^;.=c .x = b : f b Df
*1402. E!(»¡r)($>*).«:( 3 b)i<¡>x .■g„.x = b
Df
*14 03. [(Ja:) (<#>a), (Ja:) tyx)] ./((Ja:) (<px), (ja:) (-fa:)¡. = :
[(Ja:) (<f>x)] : [(ja:) (\jfx)] . / [(Ja) (<px), (j«) (ifrx)} Df
*1404. [(Ja:) ( f a ) ] . / ((ja) (fr), (ja;) ( f a ) ] . = .
[(jaK^ra), (Ja )(* a )]./[(ja )( 4>a), (ja)(*a)] Df
*141. 1 - [(ja:)(£a)]. -pr(ix)(<f>x). s : (3 6 ) :<f>x.=x .x = b :^ b
[*4-2 . (*14 01)]
En virtud de nuestros convenios en cuanto al alcance propuesto cuando no se
indica explícitamente, la proposición anterior es la misma que la siguiente:
*14101.
(ja:) (<f>x). = : ( 36 ) : <f>x. = . . * = b : f b [*141]
*1411. I - El(ix)(<j>x) .= 5(3 6 ) : <f>x.=t .x = b
[*4'2. (*1402)]
*14111. 1 - [(ja )(fa )] ./((ja)(<£a), ( ja ) ( f a ) J . a :
(a ^ .c ): <px,=m.x = bi ifrx. =„. a = c : f(b,c)
Dem.
h .* 4 2.(*1404O 3).D
I-:: [(Ja)(^a)] ./ ¡ ( j a ) (>px), (Ja )(^ a )]. =
[(ja) ( f a ) ] : [(la) (<¡>x)] ./{(ja) (<¿a), ( 7a) ty-a)):.
[*14-1] s :.[(Ja)(^a)]:.(3&):</>a. = , . a = & :/{ 6,(ja)(^a))
[*141] = :. (3 c) t.ifrx . =„. a = c :. (3 6 ): <px. =». a = b :/(&, c) :.
[* 1 1-55] s 5.( 36 , c): (px. =t . x *=c : ->p-x. s x . x = b :f(b, c) :: 3 I-. Prop
*14112. 1- :./{(ia)(<#>a), (ja )(^ a )). s :
(3 6 , c ): <px
x = 6 : yfrx. = .. a = c :/ ( 6, c)
[Se prueba como en la * 14*11]
En esta proposición, suponemos el convenio explicado en la página 236. después
de la expresión de la *14’03.
*14113. 1-: [(Ja) (^a)] ./((ja )
[*14111112]
(la) (^a )} . = ./{(Ja) (<£a), (ja) ( f a)]
Esta proposición muestra que cuando dos descripciones intervienen en la misma
proposición, el valor de verdad de la proposición no queda afectada por la cuestión
de cuál tenga el alcance mayor.
*14’12.
h :. E ! (ja) (<px). 3 : <£a. <py. 3 *iV . a = y
Dem.
1- .*1 4 1 1
3 1 -:. H p . 3 : (36 ) : <px.=z . x = b
h . * 4 3 8 . * 1 0 1 . * l ll l- 3 . 3
h :. ^ a • s B. a = 6 : 3 • ^ a • <fty ■=s,y .a = 6 .y = 6 .
[*13"172]
3*>v. a =■ y
238
( 1)
(2 )
SECCION a TEORIA DE LAS VARIABLES APARENTES
h ■(2 ). #10*11*23 •
K (l).(3 ).
DI- :. (g6) : <frx .=rg.a; = 6 :D :
D h .P ro p
• <fry. D^ v • x ~ y
(3)
#14*121. H <¡>x. = *. x = 6 : <f>x. = „ . x = c : D . 6 = c
Dem.
h . #10*1 .D I-:. Hp • D : <£6 . = .6 = 6: <^6. = , 6 = c :
[#13*15]
D : <f>b : <f>b . = .6 = c :
[Ass]
D : 6 = c :. D I-. Prop
*14*122. \-:,<f>x.=m. x = b : = :<f>x.2z . x = b:<l>b:
= : <px. . x - b : (ga:).
Dem.
D l-:.< ^ r.= , .x**b; = :<¡>x.'2z . x = b : x = b . 0 m.<f>x:
1- . *10*22.
'
= : $ x . D*. x = 6 : $6
[*13*191]
Dh:.<£a;.D . x = b :7) : <f>x. = ,<j>x.x = b:.
K#4*71.
[*10*11*27] D I-:. </>a:.Dz .z: = 6 :D :^ a :. =x .<f>x. x = b:
D : (ga:) .<f>x. = . (ga:) .<j>x.x=b.
[*10*281]
[*13*195]
K (2 ). *5*32 . D 1-:. «6a:. D*. x = 6 : (ga:). <f>x: = : <f>x. D*. x = 6 : <J>6
(1)
•0
-©•
III
M i ) . (3).
(2)
(3)
D 1-. Prop
Las dos proposiciones siguientes (*14123‘124) se sitúan aquí por razón de la
analogía con la *14*122, pero no se emplearán hasta llegar a la teoría de pares (*55
y *56).
#14*123. h :. <f>(z, w ) . s ^ K. z = x . w = ‘y .
s:<¡>(z, w ) .O x, „ . z = x . w = y:<l>(x,y):
= :</>(z, w ).D ,,„ .z = a..u; = y :(g z, w).<j>(z, w)
Dem.
1-. *11-31.
[*13*21]
K*4*71.
[#11*11*32]
[*11*341]
[#13*22]
1-. (2 ) . #5*32 .
DI-:.<f>(z,w).=t¡„ . z = x . w = y :
= : (z, w) . D,lt, . z = x . w = y : z = a:. w = y . D,iB, . <f>(z, ui):
= :<6(z, w ). DliV,. z = a:. w = y : </>(a:, y)
D 1-:. <f>(z, w ). D . z «»a;. u: = y :
0 : <f>(z,tv). = .<f>(z, vi) . z = x . w = y
DI- :.</>(*, w ).D r>„ . z = a:.tíi = y :
D : <¡>(z. w j . s , . „ .< £ (* , w ) . z x . w y :
D : (gz, «>) .< £ (* ,« /). = . (gz, w).<t>(z,w).z = x . w y .
=
D
I
D
,
M i ) . (3). D 1-. Prop
*14124. 1- (a® , y ) : <6 (*, «») •
t
=
= -<6(*. y )
y
ils. = * . «1 = : (gz, w ) .
:<t>(z,w\.O^v, . z = x . w
=
=
O)
(2)
<6 (z, w ) :
= y:<f>(x, y)
• * ■= * . w = y :
s : (ga:, y) . <f>(x, y ) : tf>(z, 10) . <j>(u, ®) . D,,
(3)
.z= u .w= v
Dem.
K #14*123. #3*27. D
239
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
•* !• (a*- y ) : </>(*, w) .
. 2 = x . w - y ¡ 3 . (gx, y) • <f>(x, y)
(-. #11*1 • *347 • 3 h
w) . =Jt„ . r = x . w = y :
3 : </>(r, ui). <)>(ti, t>). 3 . r = x . u; =<y . m= a;. ir = y .
f*l 3*172]
} .i> u .u :v
I*. (2). *11-11-35.3
y :•(a** y): <M*. «0.
(1)
(2)
s,,„. r = x . u>= y :
3 : <f>(z, w ) . <f>(u, t»). 3 . * <■« . mi = «i
h . (3).*11-11-3.3
I-!• (a*, y) ••£ (*. w) •
(3 )
. * = x . ur = y s
3 : ^ (*, w ). <J>(u,«). 3»,»,«,,. * - u . vi = v
(4)
I-. * 1 1 -1 .3 1*:. <f>(x, y ) : 0 (*, w ) . <l>(u, v ) . 3«,«,«,. . * = u . t» = v :
3 : <f>(x, y ) : <f>( t, w ). $ (x, y ) . 3,.*. * - * . w - y :
[*5'33]
3 :< ^ ( * ,y ) :^ ( í,w ) .3 ,,,.í = * .w « y :
[*14123]
I-. (5). *11-11-34-45.3
3:£<
». = ^ „ . 2 = x .« ; = y
:
(5)
x . ur —y
I*. (1 ). (4). (6). 31-. Prop
*14*13. t*: a = (ix) (<f>x) . = . (ix) (<px) = o
Dem.
h . *14-1.
3 1*:. a = ( jx) (<f>x) . = : (g&) : £ x . = , . x = ¿ : a = 6
h . *13*16. *4-36. 3 h : . ^ r . 2 Jt. a = 6 : a = fc :s :< ^ r.= , .« ;= 6 :6 = a :
[*10-11-281]
31*:. (g&) :< £ x .= * .x * 6 :a = 6:
= : (gfe) :<£x.=I .x = 6 :6 —a :
[*14T]
= : ( jx) (£x) = o
h .(l) .( 2 ) .
(6)
(1)
(2)
3 H. Prop
Esta proposición no es una consecuencia inmediata de la *13*16, porque
“x = y ” . Observaciones semejantes se
aplican a las proposiciones que siguen.
“a = (j x ) ( 0 x )” no es un valor de la función
*14131. h : (»*) (<¡>x) = (Jx) (ifrx). = . (jar) (rfrx) = (tx ) (<ftx)
Dem.
P . *14-1.3 H:: (»*) (<f>x)»>(?x) (tfrx). a :. (g 6 ) : $ x . = ,. x = b : b= ( jx) (^rx)
[*14-1] a :. ( g 6 ) ^ x . =«. x = 6 :. (ge) s i r x . =«. x ■*c : 5 *»c
[*11-6] = :.( g e ) :.^ r x .= ,.x = c :.( g 6 ) :^ x .= * .x = 6 :6 = c :.
[*14'1] s :. ( g e ) y¡rx . =„. x = c : ( t x ) (<fn) ■»o :.
[*14-13] s i . (g e):. tJrx . =*. x » e : c = ( íx) (<f>x) :.
[*14'1] s :. (ix)(yfrx) = (?x) (<f>x) :: 3 h . Prop
En esta proposición, de acuerdo con nuestro convenio, la expresión descriptiva
(jx ) (<f>x) se elimina ante (jx ) ( i//x ) porque se presenta primero en “(ix) (<px) =
(jx) (<px)'’; pero en “(jx) (\¡/x) = (jx ) ($ x)” , es la primera en ser eliminada. El orden
de eliminación no repercute en el valor de verdad, como se probó en la *14*113.
240
SECCION B. TEORIA DE LAS VARIABLES APARENTES
La proposición anterior también puede probarse como sigue
K *14111. DI-:, ( jx) (£x) = (jx) ( * x ) .
= : (g6, c): £ x . s a . x *=b : ^ x . = ,. x = c : b = c s
[*4*3.*13*16.*11*11*341]
= :(g 6 ,c ): ty x . =x. x = c : <fxc . =x. x » 6 : c = 6 :
[*11*2.*14*111]
= : (?x) (^rx) * (tx)(<f>x) 3 I*. Prop
*14*14. h : a = 6 .6 = (jx) (<£x). 3 . a = (jx) (<ftx) [*13*13]
*14*142. I*: a = (jx) (<£x). (jx) (^x) = (jx) (yfrx) . 3 . a = ( jx) (^x)
Dem.
*
K *14*l . 3 h :: H p . 3 : . ( g 6 ) : <f>x.=M. x = b z a ^ b :
(g e ): f r . =¡, . x = c : c = ( jx) (ifrx)
[*13*195]
■ , . x = e : e = (íx) (-fx ):.
3 :. ^ x . = x . x » a ( g e )
[*10*35]
3 ( g e ) ^ x . =*. x = a : $ x . =i , . x = c : c = ( jx) (V^x)
[*14*121]
3 :• (ge) z. (f>x. = t. x = a : a •=c ¡ c = (jx) ( t/cx)
[*3 27.*13*195]
3 a = (jx)(^rx) :: 3 1-. Prop
*14*144. h : ( jx) ($x) = (jx) (-^x ) . ( jx) ( f x )
Dem
= (íx ) (xx ) . 3 . (»x) ($x) = (»x) (*x)
h . *14*111. 3 H:: H p . 3 : .( g a ,6 ) : <£x.
. x = a : ^f/x.
[*13195]
3
[*11*54]
3
[*14*121 .*11*42]
[*14111]
3
3
.x= 6so»6
( g c ,c í) :* x .= ,.x = c : ^ x . s » .x = á : c=*d
( g a ) : <px. =„. x = « : -^x. =*.x=»o
( g c ) : ^ x . = » . x = c : x * ’ =*’ ir=’ c "
(ga, e ): <£.r. = ,. x = a : ^ x . =m. x = a :
\Jrx. =*. x = c : %x. s * . x •• c
(ga, c ): <^x . = ,. x —a : ^x • =* • * = c! “ = c :(jx)(<f>x) = (jx)(^ x) :: 3 H. Prop
*14*145. t*: a = ( jx) (0 x ) . a « (?x) (t/rx ) . 3 . (jx) (£x) = (ix jí^x)
Dem.
h . *14*1.
D K : . a = (jx)(^x). = : ( g 6 ) s ^ x . = * . x = 5 : a = 6:
[*13195]
= :0 x . =*.x = a
h .(1).*14*1. 3 1-:: H p . = :. ^ x . = ,. x = a :. ( g t ) zyfrx.s, . x = 5: a =*5
[*10*35]
= :.(g 6 ) :.^ ) x .= ,.x = a : i f r x .= ,.x = 6 :a = 6
[*14111]
3 :• (Jx) (¿ x ) = (Jx) (i/rx):: 3 l~. Prop
*1415.
Dem.
0)
h (»*) (<M» 6 . 3 : ^ [(jx)(<^x)}. se . - f b
K «14*1.3
H s s H p .
3 : . ( g e ) : ^ x . = , . x
=
c : e
=
6 : .
[*13*195] 3 <£x. =x. x = 6
K ( l) .* 1 4 1 .3
0)
t-s: H p . 3:.^r¡(jx)(^x)| . s : ( g c ) : x = 6 .= * .x = « e :jffc :
*14*16.
[*13*192]
s :f 6 ::3 l- .P r o p
t - ( ? x ) (<¿>x) = (jx) ( f x ) . 3 : * ((Jx) (<£x)) . s . x {(»*) W*>1
241
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
Dem.
I-. #141. 3 P I íp . D: (g¿>): <^x. =x . x = b : b = (ix)(ijrx)
P . *141 . D I- <f>x. =x . x = b : D
(1)
X {(»*) (<H) ■s : (3<0 : rr = 6. =*. ar = c : *c:
= : Xb
[*13192]
( 2)
P ■*14*13-15- 3 P :• 6 =(jar)(^rar). D : xb . ~ . x [(jar) (^a:)}
I-. (2).(3). D h í . f c . S j . í s i : b = (ix) (tfrx) :
(3)
,
(4)
...
...
lftloQ
_
y . (1). (4). *101 23. D P. Prop
3 í X { 0 * ) ( ^ ) } - s -x ((»*)(t*)l
*14’17. I"(jar) (<frx) = b . s m
.yjr \ (ix) (<f>x) . . i|r! 6
Dem.
I-. *1415 . *10-11*21 . D
y (ix)(<f>x) = b .0:y¡rl (jar)($a¡) . =*. ! 6
P . #10'1. *422 .D y ::X l x . = x . x = b:yfr! (}x)(tj>x). . yjr! b :
D : (ix) (<l>x) = b . = .b = b :
[#13-15]
D : (jar)(<£ar) = b
P. (2). Exp. *1011-23.3
*■:: (ax) :x'‘x ‘ =*'x=:b:3:.-ifrl (jar) (<£ar). =*. i/r! 6: D . (ix) (tf>x) = b
h .*121 . D h r ía ^ i^ la r .S j.a :» ^
t-. (3). (4). 3 I - yfr! (jar) (tf>x:). =*. ! b : 3 . (jar) (<j>x) = b
P .(l).(5 ).3 P .P ro p
Debe observarse que no tenemos
(lx)(<l>x) = b . = :ifr! (]x)(<f>x) . D*. i/r! 6
porque, si — E ! (jjc)
\p ! (ix) (<¡>x) es siempre falso y, por lo tanto,
i[r! (jar) (<)>x) . 3+ . i|r ! i
es válido para todos los valores de b. Pero tenemos
*14'171. h (lar) (tf>xr) = b. = :yjrlb.O^.\¡rl (jar) (if>x)
Dem.
P . *14'17 .
3 P (jar) (i/iar) =
(jar) (<^ar)
P . *101. *121. 3 P f ! 6. 3* . f ! (jar) (£ar): 3 : b = 6. 3 . (jar) (<¿ar) = b :
[*1315]
3:(jar)(¿ar) = 6
P .(l).(2 ).
DP.Prop
*1418. P E ! (jar) (<f¡x) . 3 : (ar). ijrx. 3 . y/r (jar) (<px)
Dem.
P.*10*l. 3 P : (ar) . ^-ar. 3 . i[rí>:
[Fact]
3 P <j>x. =x . ar = b : (ar). t/rx: 3 : <f>x. s x. ar = 6: ^ríi:
[*101128] 3 P:.(g6):<^ar.sx .ar = 6: (ar).i/rar: 3 : (g6) : <£ar .=*. ar = 6 : yjrbi.
[*1035] 3 P : : (g6): <£ar.= *.ar = 6 t.(ar). i¡rx:.3 : (gfc) : <f>x,=x . x = b :-fb:.
[*14-1-11] 3 P E ! (ix)(tf>x) : (ar). i[rar: 3 : ifr(ix)(<px) 3 P . Prop
242
( 1)
( 2)
(3)
(4)
(5)
( 1)
( 2)
SECCION B. TEORIA DE LAS VARIABLES APARENTES
La última proposición muestra que, siempre que ( ) (fe ) exista, tiene (formal­
mente hablando) todas las propiedades lógicas de los símbolos que directamente
representan objetos. Por lo tanto, cuando (7*)(fc) existe, el hecho de que sea un
símbolo incompleto es irrelevante para los valores de verdad de las proposiciones
lógicas en las que intervenga.
i a
*14-2.
Dem.
t
h . (7®) (®= o) = a
(- .#14-101. D I- :.(7®)(® = a) = a . = : (g&) \ x = a . = x . x = b:b = a:
[*13195]
= :x = a . ^ z . x = a
I-. (1). Id . D h . Prop
*14-201. h : E ! ( 7®) ( f e ) . D . (g®). f e
Dem.
I-.*14-11. D I - H p . D :(g6): f e . =x . x = b :
[*101]
D :( g 6 ) :f > .s .6 = 6:
[#1315]
D :(g 6 ).f> :.D K P ro p
*14 202. I-:. f e .
Dem.
(i)
. ®= 6 : =: (ix) (fe) = fc: = :f e .= * .6 = ®: = :6 = (7®) (fe)
I-. *14-1 . D h :. ( ix) (fe ) = b . = : (ge) : f e . = I .a: = c :c = 6:
[*13-195]
= : f e . s x . x = b 3 I-. Prop
[La segunda mitad se prueba de la misma manera que la primera mitad]
*14 203. I-:. EI (ix) (fe) . = : (g®). f e : f e . <f>y. D*,,,. x = y
Dem.
(-.*14-12-201. D (-:. E I(7®)(fe) . D :(g®). <f>x: f e . <¡>y. 0A!/.® = y
I- .*101.
D I-:. <f>b: f e . <¡>y. DIiV. x = y : D: <¡>b: f e . f> . D*. x = 6:
[#5-33]
D : f > : f e . D*. x = b :
[*13-191]
D :® = 6 . Dj-.fes
f e • Dx•x = b :
[#10-22]
D :fe .= „ .® = 6
I- .(2) .*10-1-28. D I- :.(gfc):f> : f e . <¿>y. D*,,, .® = y:D :(g6): f e . =x.x = b :.
[*10-35]
DI-:. (g6). <f>b: f e . <¡>y. D*. y. x = y : D: (g6): f e . = ,. x = 6 :
[*14-11]
D: E ! (?®) (fe)
l-.(l).(3 ).
Db.Prop
*14204. b :. E ! (ix) ( f e ) . = : (gft). (7®) (fe) = b
Dem.
K *14-202. #1011 .D
h :. (6) :. f e . =*. ®= b : = : (7®) (f e ) = 6 :. D
[*10 281] h :. (g&): f e . =*. ®= 6: = : (g&). ( 7®) (fe) = 6
l - .( l ) .*1411. D h. Prop
*14-205. h : f (7®) ( f e ) . = . (g5). 6 = (7®) ( f e ) . f 6 [*14-202'1]
*14'21. h : ifr (7®) ( f e ) . D . E 1(7®) (fe)
(1)
(2)
(3)
(1)
243
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
Dem.
b. *14-1.3
b :■y/r l(ix) (<pir)]. 3 : (g&): $ z . s * . x = bz yfrb:
[*10*5]
3 : (a^) : $x. =«.<r = 6 :
[♦1411]
3 :E !(7 * )(fr):.3 b .P ro p
Esta proposición muestra que si puede establecerse alguna expresión verdadera
acerca de (j x ) (4>x), entonces (tx) (ifoc) debe existir. En lo que resta de esta obra, su
empleo será muy frecuente.
Aun cuando (ix) (#x) no exista, existen a pesar de ello proposiciones verdaderas
en las que interviene “ (ix) (#x); pero en tales proposiciones, tiene una presencia
secundaria, en el sentido explicado en el Capítulo 111 de la Introducción; esto es, la
proposición aseverada a la que nos referimos no es de la forma t// (?x) (<t>x), sino de
la forma f {i// (ix) (0tx)}, o, dicho de otra manera, la proposición que es el alcance
de (ix) ($x) es sólo parte de la proposición que está aseverada en su totalidad.
♦1422.
I-: E ! (ix)(<f>x). = , <¡>(ix)(tj>x)
Dem.
b , ♦14*122 . DI-:. $x • =x • x = 6 : 3 . $b
b . (1). ♦4'71 .5 i- :• <f>x. . x = b z s •. <}>x. . x =*b: <f>b
[♦ 1011 281] 3 t- :.(g¿>): <f>x.=x.x = bz = : (g&)
=6
[♦1411101] 3 b : E ! (j*)(4te). = . <¿(7*) (</>*): 3 b . Prop
Como un ejemplo de esta proposición, tenemos el siguiente: “ La proposición ‘el
autor de Waverley existió’ es equivalente a ‘el hombre que escribió Waverley
escribió Waverley’
Una proposición tal como “el hombre que escribió Waverley
escribió Waverley” no incorpora una verdad lógicamente necesaria, puesto que sería
falsa si el Waverley no se hubiese escrito o si lo hubieran escrito dos personas en
colaboración. Por ejemplo, “el hombre que cuadró el círculo cuadró el círculo” es
una proposición falsa.
♦14 23. b : EI (ix) (<f>x. i¡rx) . = .<}>|( 7¡r) (<ftx. i/rx))
Dem.
b . ♦14 22 . 3 b E ! (ix) (<f¡x. yfrx),
= 5[(»*) (4>x • ’M ] ■<t>|(w ) (<f>x . ijra:)) . yjr ((j*) ((ftx . i]r«))
[♦10*5-*3*26]
3 : <f>|(i.r) (<j>x. ^x )]
b . ♦14*21.3 b : <f>((i*) (<f>x.
. 3 . E I (ix) (<¡>x. -ty-x)
b . (1 ). (2). 3 b . Prop
(1)
(2)
Obsérvese que en la segunda línea de la última prueba, se necesita la *10*5
además de la *3*26. En cuanto al alcance del símbolo descriptivo (tx) (<t>x \px) es el
producto total {(rx)( 0x . V'x)}. \¡/ {(ix)($x . ^x)} , de forma que, aplicando la
♦ 14*1, la proposición que está a la derecha en la primera línea se convierte en
(g 6 ): <fyx. ifrx. = „ . x >=6 : <f>b, y/rb
244
SECCION B. TEORIA DE LAS VARIABLES APARENTES
la cual, por la *10' 5 y la *3’26, implica
(36 ) :
. ifrx , = „ . x = b : $b,
<f>{(w) (<£*. ^x)}.
es decir,
*1424. H:. E 1(1* ) (<f>x) . = : [(ti)(<¿>x)]•.<f>y.=t . y = (ix)(<f>x)
Dem.
I-. *141 .D I-:, [(?«) (<¡nc)] : $ y . =v . y = (ix) (<f>x) :
a : ( 36 ) : ^ y . = 1).y = 6 : ^ y . = 1(.y = 6 :
[*4-24.*10-281]
= : (36 ) : <£y. =y . y “ 6 :
[*1411]
a : E I (ix)(<¡>x) :. D I-. Prop
Esta proposición debe compararse con la * 14*241 donde, en virtud del menor
alcance de (ix) ($x), llegamos a una implicación en vez de una equivalencia.
*14'241. h
E I ( « ) (<f>x). D : $ y . =¥ . y = (tx) (¿x)
Dem.
I-. *14 203. D (-:: H p . D :. <f>y. <f>x. D . y =»#:.
[Exp]
D :. tj>y. D : <f>x. D .y = « ::
[•1011-21] D I*:: H p . D :. </>y. D : <£x. Dz . y = x :.
[*4*713
D :. ^ y . s : <¿>y: <f>.r. D. . y = x :
[*13191]
= : y = * - 3 * .^ iE :^ ¡ r.D , , y = * :
[*10 22]
= x <f>x.
.y =x :
[*14*202]
= : y = (tx) (ifrx) :: D |- . Prop
*14 242. I* : .$ * .= * . * = ¿>: D :
*14 26.
I*:. E ! (la) (<£*). D :
. = . \)r (ix) (<px) [*14-202-15]
D, ^rst. = . yfr (tx) (<#kt)
Dem.
h . *4'84. *10'27'271
[*13191]
[*14-242]
I-. (1) .*1011-23. D I-:. ( 36 ) : <¡>x. = , . * = 6 :
D : <f>xDx^rx. =
I-. (2 ). *14-11 D l-.P rop
= : « = 6 .Dl .^r*:
= .'frb:
= ■'i'0*)(<f>x)
0)
> (w )(W
( 2)
*14-26. I- :• E 1 ()*)(<j>x). D : ( 3 *) .<f>x.fx. = . ^ {(ix)( ^ ) j . s . ^ ^ ^
Dem.
K *1411. D
h Hp . D : (36 ) : 1p x .= m. x = b
I-. *10-311. D I-:: <f>x. s x .* = 4 : D :. <£*.
[*10-281]
D : . ( 3 * ) .<¡>x.^-x
[*13195]
[*14-242]
I- . ( 2) . *10*11*23 . D
I-: . ( a 6) :
• =X• X =*6 : D : ( 3 a:).<f>x.\frx.s
I-. (1) • (3) • *14’25 . D I-. Prop
0)
-* • * * 6 .^ 4 :..
= • (a*) • * =■b . yírx .
S .+ b .
s **l(*í)($*)¡
Y
( 2)
(3)
245
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
*14 27.
t- EI (7* )(<px) . D : f r =* -f* . = . (1X) (<^) = (,x) ( ^ x)
Dem.
V m*4*86*21 •
^ •= • ®<* 6 ¡ D ¡i <£x, s • ^rx: = ; yfr^c. = , x ^ b
H• (1) • *10*11*27 »DI*!! <f>x • =* *x —b z D ¡. ^x) <^x •==■yfrx s = ; yfrx . = . a? = 6
[*10-27 1]
Otf>x ,= x . -yfrx : = :yfrx.sx . x = b:
[*14*202]
= : 6 = (7a:) (yfrx) s
[*14-242]
= : (,*) (^c) = (,*) ( ^ x)
h .( 2 ) . #10 11 2 3 . * 1 4 1 1 .3 1 -. Prop
#14-271.
\r:.if>x.=s . yfrx: D
(1)
(2)
: E I ( * ) (<¡kt ) . = . E I ( * ) (yfrx)
7
7
Dem.
h.*4-86. Dhs: <f>x= yfrx. D <frx . = , x = b : s : yfrx. = . x = b ::
[*1011-27] 3 h :¡ H p .
3 ( * ) <fix. = ,x=*b : = : yfrx . = .<r = b
[*10-271]
D (* ): <f>x. = . * = b : s : ( a ) : yfrx. = . x = b ::
[*10-11-21] D h s: H p .
D s. (6) <px. = , . x = 6 s = : yfrx. = ,. x = 6
^ 0 6 ) : . = «. ¡c = 6 : = : (36 ) : if\r. = , . x = 6 :
3 I-. Prop
*14-272. h s .^ r . = , . - f * : 3 : X (ix)(<t&). = . x (1x)(^.x)
Dem.
y . *4-86. DI- ::<ftx = yfrx. 3 : . <f>x. = . x = b: = : yfrx. = . x = 6 :.
[*1011-414] Dh ::H p .
<f>x.=t . x — b: = : yfrx. s x . x = b:.
[Fact]
3 : . <#>x. =x . x = 6 : ^ 6 : = : 'kx ■ =*.* = 6 :
[*1011-21] 3h :: H p .
^:-(.b):.^>x .= z . x = b : x b : s ; y ^ x . s x .x<=bixbí
[*10-281]
3 ” (3&) :<f¡x.sx . x = b : x b : =
[*10281]
[*14101]
: (Sl&): Vrx ■=z‘x = b : xb:
3
X (»*) (<f>x). = . x (fx) (yfrx):: 3 h . Prop
Las dos últimas proposiciones muestran que E ! (ix) (<px) y x (tx) (#x) son
propiedades “extensionales” de <f¡x\ es decir que su valor de verdad no cambia al
realizar la sustitución de # por cualquier otra función, i//Jc, formalmente equivalente.
#14-28. I-: E ! (ix) (<j>x). = . ( 7*) (<f>x) = ( 7*) (<f>x)
Dem.
I*. #13'15 • *4*73 . 3 h <f>x. = X. x = b : = z <f>x. =z .x = 6 :6 = 6
K ( l ) . * 1011-281.3
1-:. (g&): <t>x - =x'x = bz = i(’nb):<f>x.=x.xy=b:b=b
h . (2 ). * 1 4 1 1 1 .3 1 -. Prop
( l)
(2)
Esta proposición manifiesta que (ix)($x) es idéntica a sí misma siempre que
exista, pero no en otro caso. Así, por ejemplo, la proposición “el actual rey de
Francia es el actual rey de Francia” es falsa.
El objeto de las proposiciones que vienen a continuación es mostrar que, cuando
E 1 (jx) (#x), el alcance de (jx) (<px) no importa para el valor de verdad de cualquier
proposición en donde aparezca (ix) (0x). Esta proposición no puede probarse de
una manera general, pero sí en cada caso particular. Las siguientes proposiciones
muestran el método, que siempre se obtiene por medio de las *14 242, *10 23 y
246
SECCION B. TEORIA DE LAS VARIABLES APARENTES
*1411. La proposición puede probarse dé un modo general cuando (ijc)(0 x) se
presente en la forma x ( « ) ($*), y X 0*) (<t>x) intervenga en lo que podemos llamar
una “función de verdad” , es decir, una función cuya verdad o falsedad depende sólo
de la verdad o falsedad de su argumento o argumentos. Esto abarca todos los casos
con los que hemos de encontramos. Es decir, si x 0*) (<t>x) tiene lugar en cualquiera
de las vías que pueden originarse por los procedimientos de * 1 - * 11 , entonces,
supuesto que E ! (uc) (0x), el valor de verdad de / { [(ix ) ^ jc)] • x (ur)(#x)} es el
mismo que el de
[(**) (<M] • /[ X (»*)
Esto se prueba en la siguiente proposición. En esta proposición, sin embargo, el
empleo de proposiciones como variables aparentes entraña un aparato que no es
preciso en ninguna otra parte y, por lo tanto, no hemos de usar esta proposición en
las pruebas que vienen a continuación.
*143.
i-:.p = q . Dp, , . f ( p ) = f ( q )s E ! (ix)(<f>x) : 3 :
/ |[ ( « 0 (</>*)]■X(«)($*)) • = • [(»*)($*)] •/|x(»*)(<M
Dem.
I-. *14-242.3
t-:. <f>x. =x . x = b : 3 : [( m>)(<£*)] . X (»*) (4*c) - = - X b
h . ( l ) . 3 h : . p = } . 3 Pií. / ( p ) = / ( 9) : ^ í r . = , . a : = 6 : 3 :
-v
/IK »*)(M 1-X (»*)(£*)} - s . / ( x6)
r . *14-242. j
h : . ^ . = x . a = 6 : 3 : [(»ar) ($*)] . f \ X (ws) ($*)}. = . f ( x b)
h .(2 ) .( 8 ).3
l- :.p s g .3 Pi9./ (p )= / (g ):^ ¡E .sx. « = 6 :3 :
l
/ ![(»*) (0*)] • X (»*) (4>x )) • = • [(i*) (<#>*)] • / |x (w )
h . (4 ). *10-23 . * 1 4 1 1 .3 h . Prop
(!)
(2)
(3)
(4)
Las proposiciones siguientes son aplicaciones inmediatas de la anterior. No
obstante, se prueban independientemente, debido a que la *14 3 introduce proposi­
ciones (a saber, p y q) como variables aparentes -cosa que no hemos hecho en parte
alguna- y que no puede hacerse legítimamente sin la introducción explícita de la
jerarquía de proposiciones con un axioma de reducibilidad tal como el * 1 2 1 .
*1431. h :: E I (ix) (<f>x) . 3
[(la;) (£aj] . p v X (jx) (<f>x) .
- ! P • v • [(’*) (<£*)] • X (»*) ifa)
Dem.
1-. *14-242.3 1 - <f>x. = *. x = b : 3 : [(la:)(<f>x)].pvX (ix)(<f>x), = . p v x b
1-. *14-242. 3 l - ! . ^ ( . s f . * = i : 3 : [(i*) ($*)] • X (»*) ($<*). = . Xb :
[*437]
3 : p v [ ( w ) ($*)] x (»*) (<#>*) . s . p v x b
1-. (1 ). (2) . 3 h <f>x. =x . x = b : 3 : [(ra) (</>a:)]. p v x (lar)( f a ) .
= .p v [ ( w ) ( ^ ) ] x ( t ó ) ( A r )
h . (3 ). *10 2 3 . * 1 4 1 1 .3 K Prop
^
(1)
( 2)
(3)
Las proposiciones siguientes se prueban precisamente de la misma manera que la
247
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
*14‘31; por tanto, daremos una mera referencia a las proposiciones usadas en las
pruebas.
*14 32. I-!. E ! (?*) ( 0 * ) . = : [(ix) (0a-)]. ~ X(w) (<£*)•
[*14-242. *411. *10-23. *1411]
s — {[(»*)
• X (»*) (0*)]
La equivalencia aseverada aquí falla cuando ~ E ! (w)(0tx). Así, por ejemplo,
supongamos que <¡>y significa "y es el rey de Francia” . Sea XV “y es calvo” .
Entonces [(jx ) (0 x )]. ~ x (**) (0*). = . el rey de Francia existe y no es calvo; pero
~{[(uc)(0x)] • X O x )(0 x)}• = • es falso que el rey de Francia exista y que sea
calvo. De estas, la primera es falsa y la segunda verdadera.
Cualquiera de ellas pudo entenderse como “el rey de Francia no es calvo” , lo
cual es ambiguo; pero lo más natural sería tomar la primera (falsa) interpretación
como la significación de las palabras. Si el rey de Francia existió, las dos serían
equivalentes; así como aplicada al rey de Inglaterra, ambas son o verdaderas o falsas.
*14*33. 1-:: E ! (ix)(<f>x) . 3 : . [(i®) (<f>x) ] . p 3 x (ix) (<f>x) .
= : p • 3 . [(»*) (0 *)]. v (»*) (éx)
[*14242. *4 85. *10-23. *1411]
*14*331. h :: E I (ix)(<ftx) . 3 :. [(»* )(0a )]. x (1*) (4>x) 3 p .
= : [(>*) (0 *)]. x (ix) (0 a ). 3 . />
[*4-84. *14-242. *1023. *1411]
*14*332. 1-::E ! (tx ) (0 a ). 3 :.[(»* )(0 a )].y = ^ (ix) (0 a ). =
: p . = . [(?*) (0 a )]. x (t*) (0a)
[*4-86 . *14-242 . *10-23 . *1411]
*14-34 I- :.p : [(w ) (0a )]. x (la) (0®) ■s : [(Ja) (0a)] : p . X (la) (</>x)
Esta proposición no precisa de la hipótesis E ! (jx ) (<px).
Dem.
I-.*141.3
I- :.p : [(ja )(0 a )]. x (w ) (0a) ‘ = :P ‘ (3&) : 0a • =* - a = 6: X6 :
. a = 6 : x& :
[*10-35]
= : (a&) :p : 0 a .
[*141]
= : [(j*)(0a)] =P • x(Ja)(0a) :• 3 I" • Prop
Proposiciones del tipo de estas últimas se pueden continuar obteniendo indefini­
damente, pero como pueden probarse mediante un mismo esquema, no es necesario
ir más allá de los casos fundamentales: p v q, ~ p, p D q y p . q.
Puede observarse que la proposición en la que (jx)( 0 x) tiene el alcance mayor
implica siempre una correspondiente en la que tiene el alcance menor, pero la
implicación conversa sólo se cumple si: a) tenemos E ! (ix) (0x), o b) la proposición
en la que (ix) (0x) tiene el alcance menor implica E ! (jx) (0x). El segundo caso
ocurre en la *14*34, y es la razón por la que encontramos una equivalencia sin la
hipótesis E 1 (ix) (<px). La proposición en la que (’x ) (</uc) tiene el alcance mayor
implica siempre E ! (jx) (0x), en virtud de la * 14*21.
248
SECCION C
CLASES Y RELACIONES
*20. TEORIA GENERAL DE CLASES
Sumario del *20.
La siguiente teoría de clases, aunque ofrece una notación para representarlas,
evita el supuesto de que sean cosas tales como clases. Esto se hace solamente para
definir proposiciones en cuyas expresiones intervengan símbolos que representan
clases, del mismo modo a como, en el * 14, definíamos las proposiciones que
contienen descripciones.
Lo característico de una clase es que se compone de todos los términos que
satisfacen alguna función proposicional, de forma que cada función proposicional
determina una clase, y que dos funciones que son formalmente equivalentes (esto
es, tales que cuando una de ellas es verdadera, la otra es también verdadera)
determinan la misma clase, a la vez que, a la inversa, dos funciones que determinan
la misma clase son formalmente equivalentes. Cuando dos funciones son formal­
mente equivalentes, diremos que tienen la misma extensión. Los símbolos incom­
pletos que sustituyen a las clases, sirven para proporcionar técnicamente algo
idéntico, en el caso de dos funciones que tengan la misma extensión; sin que haya
algo que represente a las clases, no podemos, por ejemplo, contar las combinaciones
que pueden formarse fuera de un conjunto dado de objetos.
Las proposiciones en las que intervenga una función 0 pueden depender, en
cuanto a su valor de verdad, de la función particular 0 , o sólo de la extensión de 0.
En el primer caso diremos que la proposición se refiere a una función intensional de
0; en el último caso, a una función extensional de 0. Así, por ejemplo,
( x ) . 0x o (3 * ) . <¡>x es una función extensional de A porque si 0 es formal­
mente equivalente a 0 , es decir, si 0x . =* . 0x tenemos (x) . 0x . = . (x) . 0x y
( 3 x ) . 0x . = . ( 3 x ) . 0x. Pero, por otra parte, “Yo creo (x ). 0x” es una función
intensional, porque, aun cuando 0x . =x . 0x, no por ello resulta que yo creo
( x ) .0 x porque se dé que yo creo (x ). 0x. Lo que caracteriza a una función
extensional/de una función <f> ! i es
+
í). a ./ (* !* ).
(Escribimos “ 0 ! f ” cuando deseamos hablar de una función en sí, en cuanto
opuesta a su argumento). Las funciones de funciones con las que especialmente se
interesa las matemáticas son todas extensionales.
Cuando una función de 0 ! i es extensional puede considerarse como pertene­
ciente a la clase determinada por 0 ! i , ya que su valor de verdad permanece
249
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
invariable con tal que no cambie la clase. Por tanto, en teoría de clases, necesitamos
un método para obtener una función extensional a partir de cualquier función de
función dada. Esto se lleva a efecto mediante la siguiente definición:
*2001. / {2(0-z)¡. = : (30): 0 l a . = „ .0 * : / ( 0 ! 2) Df
Aquí f { z (i/'z)} es en realidad una función de \¡j¿, la cual está definida siempre que
/ (Ó ! f } sea significante para funciones predicativas 0 ! i. Pero es conveniente
considerar a f { z ( 0z)} como si tuviese un argumento z ( 0z), al que llamaremos “la
clase determinada por la función 0 f” . Enseguida se probará que f { i ( 0z)} es
siempre una función extensional de \¡/¿, y que, aplicando la definición de la
identidad (*13*01) a los objetos ficticios f (0z) y i (0z), tenemos
2 (0z) = 2 ('frt) . = : (<r) : 0®. = . 0-*.
Esta última es la característica distintiva de las clases, y nos justifica al considerar a
z ( 0z) como la clase determinada por 0f.
En cuanto al alcance de i (0z) y al orden de eliminación de dos expresiones de
este tipo, adoptaremos los mismos convenios que se explicaron en el *14 para
(íx) ( 0x). La condición correspondiente a
E ! (ve) (ifrx) es (30): 0 !* .= « . Irx,
que siempre está satisfecha en virtud de la * 12 *1 .
Siguiendo a Peano, usaremos la notación
*e 2 ( 0-z)
para expresar “x es un miembro de la clase determinada por 0 f ”. En consecuencia,
introducimos la siguiente definición
*2002. * í (0 !2 ). = . 0 U Df
En esta forma, la definición no se usa nunca; se introduce sólo en atención a la
proposición
I- x e ( -z). = : (
2
0
3 0
) : -y. = „. ! y s 0 ! a
0
0
que resulta de las *20 02 y *20 01 , y que nos lleva a
H: X e 2 (0rz). = . i/rz
con la ayuda de la * 12’ 1 .
Usaremos letras griegas minúsculas (distintas de: e, t, n, 0, 0 , X» 0) para significar
clases, es decir, para representar símbolos de la forma i (0 ! z) o í (0z). Cuando una
letra griega minúscula se presente como una variable aparente, debe interpretarse
como que significa un símbolo de la forma i (0 ! z), en donde 0 es la adecuada
variable aparente en cuestión. El empleo de letras aisladas en lugar de símbolos tales
como z (0z) o z (0 I z) es casi prácticamente indispensable, ya que de otra forma la
notación enseguida llegaría a ser intolerablemente engorrosa. Así, “x e a” significa
“x es un miembro de la clase a”, y puede emplearse en donde no se cuestione una
definición especial de una función de la clase a.
250
SECCION C. CLASES Y RELACIONES
La siguiente definición aclara lo que se entiende por una clase.
*20 03. Cls = 3 [(a<¿>). a = 2 (<¿>! z)) Df
Nótese que la expresión “ó {(3 <¡>). a = z (</>! z ) } ” no tiene una significación
aislada: hemos definido sencillamente (en la *20' 01 ) ciertos usos de tales expresio­
nes. Lo que la definición de arriba decide es que el símbolo “Cls” puede sustituir al
símbolo “á { (3 0 ). a = ¿ (<t>! z ) } ’\ dondequiera que se presente en adelante, y
que el significado de la combinación de símbolos a que nos hemos referido
permanece de este modo invariable. Así, pues, “Cls” tampoco tiene significado
aisladamente, sino sólo en ciertos usos.
La última definición, al igual que muchas definiciones que saldrán en el futuro,es
ambigua por lo que respecta al tipo. La letra latina z, de acuerdo con nuestros
convenios, está para representar el tipo más bajo que interviene; de este modo, <f>es
tipo inmediato superior a éste. Es conveniente hablar de una clase como algo del
mismo tipo que su función de definición; así, a es del tipo inmediatamente superior
al de z y “Cls” es del tipo siguiente al de a.De esta manera, el tipo de “Cls” está
relativamente fijado al tipo más bajo que intervenga; pero si, en dos diferentes
contextos, dos tipos diferentes son los más bajos, el significado de “Cls” sólo viene
a quedar definido cuando se especifique el tipo más bajo que intervenga.
La igualdad entre clases se define aplicando la *13 01, simbólicamente invaria­
ble, a sus funciones de definición, y usando después la *20 01 .
Las proposiciones que figuran en este número pueden dividirse en tres conjuntos.
Primero, tenemos aquellas que versan acerca de las propiedades fundamentales de
las clases; éstas terminan con la *20’43. Después tenemos un conjunto de proposi­
ciones que tratan al mismo tiempo de clases y descripciones; éstas van desde la
*20'5 hasta la *20‘59 (excepto las *20‘53'54). Finalmente, tenemos un conjunto de
proposiciones designadas para probar que las clases de clases tienen todas las mismas
propiedades formales que las clases de individuales.
En el primer conjunto, las principales proposiciones son las siguientes
*2015.
b :.
. =x. x a : s . 2 (fz) = 2 (*«)
Esto es, dos clases son idénticas cuando, y sólo cuando, sus funciones de
definición son formalmente equivalentes. Esta es la propiedad principal de las
clases.
*20'31. b 2 ('¡rz) = 2 (-%z) . = : xez(yjrz). =x . x e2
Es decir, dos clases son idénticas cuando, y sólo cuando, tienen los mismos
miembros.
*2043. b :.a = /9. = taea. =x .xe/3
Esta es la misma proposición que la *20’31, simplemente empleando letras
griegas en vez de i (^ z ) y i (xz).
*2018. b :. 2 (<#*) = 2 (f¿ ). D: f{z(4>z)\. = .f{z{^z)\
251
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
Esto es, si dos clases son idénticas, cualquier propiedad de una de ellas también
pertenece a la otra. Esta es la análoga de la *1312.
*20*2*21 *22, que prueban que la identidad entre clases es reflexiva, simétrica y
transitiva.
*20*3.
(" : X€ 2 (->¡rz) . = . ifrx
Es decir, un término pertenece a una clase cuando, y sólo cuando, satisface a la
función de definición de la clase.
En el segundo grupo de proposiciones (*20*5-*59), mostramos que, bajo cir­
cunstancias apropiadas, expresiones tales como (tx) (<px) pueden sustituirse p o rx en
la *20*3 y en otras varias proposiciones del primer grupo; también probamos unas
cuantas propiedades de expresiones tales como “(tet) (fot)”, es decir, “la clase que
satisface a la función
Aquí debe recordarse que “a ” significa “i (0z)” y que 'fot', por lo tanto,
significa " f \ i (<pz)\ ” . Esto es, en realidad, una función de <t>¿, a saber, la función
extensional asociada con f(\¡t 1 ¿) por medio de la *20*01. Así, pues, una expresión
que contenga una clase variable es siempre una abreviatura por una expresión que
contenga una función variable.
En el tercer grupo de proposiciones, probamos que las clases variables satisfacen
todas las proposiciones primitivas supuestas para los individuales o funciones
variables, de donde resulta —por mera repetición de las pruebas del primer conjunto
de proposiciones (*20*1 -* 4 3 )- que las clases de clases tienen todas las propiedades
formales de las clases de individuales o de funciones. Nunca tendremos una ocasión
para considerar explícitamente clases de funciones; sin embargo, continuamente se
estarán presentando clases de clases —por ejemplo, cada número cardinal se definirá
como una clase de clases. Las clases de relaciones, que también aparecerán con
frecuencia, se estudiarán en el *21 .
*2001.
.=
*20*02. x e(<f>! 2). = . <t>! x
*2003. Cl8= «((g<f>).a=2(<J>!*)}
Df
Df
Df
Las tres definiciones que vienen seguidamente sólo tienen interés para efectos de
abreviación.
*2004. x, y e a . —. x t a . y t a
Df
*2005. x , y , z ( a . = . x , y e a . z t a Df
*2006. í ~ e í . = . ~ ( í t a )
Df
Las siguientes definiciones simplemente llevan a símbolos que representen clases
las definiciones que ya se han dado para otros símbolos, con un mínimo de
modificaciones.
252
SECCION C. CLASES Y RELACIONES
*20 07. (a)./ a . = . ( * ) . / [ 2 (<*>!*)]
*20071. (3 0 ) . / a . =
(</>!*))
*20 072. [(»a) (<t>a)] . f ( l a ) (<¡>a). = : (3 7 ) : <¡xt. = . . a = 7 t f y
*2008. /(S(i]ra)] . = : ( 3 ^ ) : ^ a . = . ,<l>la:/(<j>lS)
*20081. a eir'.St. = .y¡r'.a
Df
Df
Df
Df
Df
Las proposiciones que vienen a continuación ofrecen las propiedades más genera­
les de las clases.
*201.
b :./|2 (V rí)l .= : (g<£):<£! * . = „ . 2 }
[ * 4 2 . (*2001)]
*2011. b
. x¡r: 3 : / [ 2 ( ^ ) l • = . / | 2 (**)}
Dem.
I-. *4‘8G . 3 I-:: H p . 3 <j>! « . =«. yfrx: = *: <f>! * . = , • x x :•
[*4 36]
D <f>! x . =*. i/r*
I2 j:
s if>! x . =x .
! 2}
[*10-281]
O (3 ^ ) ; <j>! x . s , . f x
!2 ):
s : (3 <^): <(>! ¡r. =,. . Xx : / { ^ ! 2]
[* 20-1 ]
D : . / | 2 ( ^ ) ] . = ./¡2(x*)} " ^ I- • Prop
Esto prueba que cada proposición acerca de una clase expresa una propiedad
extensional de la función determinante de la clase y, por lo tanto, no depende para
su verdad o falsedad de la función particular elegida para determinar las clases, sino
sólo de la extensión de la función determinante.
*20111. b :./(<#.! 2) . =s,. «7(<*>'. 2) : 3 : / (2 (</>! *)¡ • =* • <7[2 (<*>«*)1
jDem.
b . Fact,. 3 b :: Hp
\ x :/( ^ ¡ 2 ) := :< ^ ! « .= I .iírlí:: ff(irli)::
[ * 1 0 1 1 - 2 1 ] 3 b ::H p .3 :.£ ! * .= lt.^ U :/(^ !2 ) := * :< if> ! * .s ¡t . f I x - . g ^ M ) : .
[*10281] D :.(a^):< /)!® .= lc.-f!a r:/(^ !2 ):s :(3 i/r):« í.!a :.= I .^ ! a ::s '(^ ! 2 ):.
[*201]
3 :./( 2 ( * ! * ) } .s .jr { 2 ( + ! » ) )
(1)
b . ( l ) . * 1011-21.3 b . Prop
*20112. b (a<7) : . / |2 ( 0 ! *)). =* . g ! (2(<#>! *))
Dem.
h.* 1 2 1 . D b : . ( 3 ír ) : / ( ^ ! 2 ) . s * . ¡7!(<í>!2)
b . ( l ) . * 2 0 1 1 1 . 3 b . Prop
(1)
Así, pues, el axioma de la reducibilidad sigue teniendo validez para las clases
como argumentos.
*2012. b : (3<^) : </>! x . s x. yjrx :/¡2(-v|r^)) . s ./{2($ ! *)} [*2011. *121]
*20'13. b i/rz. s x. x x : 3 . 2 (i/rz) = 2 (%*)
El significado de “f (J/z) = f (xz)” se obtiene por una doble aplicación de la *20'01
a la *13-01, teniendo en cuenta el convenio de que i (\pz) tiene un alcance mayor
que í (xz) debido a que aparece primero.
Dem.
b . * 2 0 1 . 3 b :: 2 (^-2) = 2 ( x «) . =
(3 ^ ) :
=x-<l>lx:<f>! 2 = 2 (x¿)
253
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
[*20-1 ]
= :.( 3 <¿>, 0) z. fx .= x . f ' - x ‘- Xx -=*-0'-*‘-4>'i = 0'-2
(1)
h . * 1 2 1 . *10-321. 2
b :: Hp. 3
(a £ ): f x . s » . <¡>! x : \ x . =* • 1x ’-
[*13-195] D : . ( ¿ l > , e ) : . f x . B x . f l x i X x - s * - 0 l x : ^ l ^ = &1^
h .( l ) .( 2 ) .3 l " .P r o p
*2014. h
Dem.
£ (ifrz) = $ ( x z) •
(2)
! 'frar *s * ' Xx
h . *201 . 3 I-:: 2(^*) = 2(x*) • s :• ('A<t>); +*‘ s *‘ ^ ix : 4>!2 = f (x*):[*20' 1]
s (a*, 0 ) f x . = ,. <f>I x : Xx ‘s *’ 0 ~x: $ *^ = 0 ' z
[*13195] = (a 4>) ■..fx.=x-<t>'-x¡Xx -s *-,f, l x : [*10-322] 3 f x . s „ . X* :: 3 *■• Pr0P
Esta proposición es la conversa de la *20‘13.
*2015. V \ . f x . = I . Xx \ B . ’i ( f z ) = ‘i(yi¿) [*201314]
Esta proposición establece que dos funciones determinan la misma clase cuando,
y sólo cuando, sean formalmente equivalentes, es decir, se satisfacen por el mismo
conjunto de valores. Esta es la propiedad esencial de las clases, y proporciona la
justificación de la definición *20 01 .
*20151. I-. (g <¡>)• 2 ( f e ) = 2 (<#>! *)
Dem.
h . *20-15 .
3 h f * . =«. <f>! * : 3 . í (+*) = t (</>!*):.
[*1011-28]
5 \- : .( z < t > ) ifx .B x .<l>'.x:0.(%<!>).2 ( f e ) = 2(<f>'-*)
K ( l ) . * 1 2 1 .3 K P r o p
(1)
En virtud de esta proposición, todas las clases pueden obtenerse de funciones
predicativas. Este hecho es especialmente importante cuando las clases se usan
como variables aparentes. Pues, en ese caso, de acuerdo con las definiciones
*20-07 071, la variable aparente que realmente interviene es una función predicati­
va. En virtud de la *20’151, estos puntos no suponen limitación sobre las clases,
excepto la limitación que inevitablemente resulta de la naturaleza de sus miembros.
Una clase, por lo tanto, distintamente a una función, tiene perfectamente determi­
nado su orden por el orden de sus posibles miembros, es decir, de los argumentos
que hacen significante su función de definición.
*2 0 1 6 . h!(a+):/ {*(♦»)!-a •/(»(* !«)l
[*2 0 1 2 ]
*2017. I-: (<¿)./(2 <£!*)). 3 . /[2 (f* )j
[*20-16 . *101]
*2018. I-:.2($ í )= 2 ( ^ * ).3 :/{ 2 ( $ í )}. = ./{2(^*)) [*20-lM5]
*2019. h :. 2 (fe) = 2 (Xz) . = : ( / ) : / ! 2 ( fe ) . 3 . / ! 2 (**)
Dem.
I-. *2018 .* 1 0 1 1 -2 1 .3 H :. 2 ( f z ) = 2 (Xe) . D :
(/ ):/ »*(**)•3
h . #20-18-15. 3 h
^ !g .
f\t(fU ).O .f\t(d\e)
K (2 ).* 1 0 1 1 2 7 3 3 .3
254
( 1)
: 0 ! £ . = ,. jp r : / ! t ( f e ) . 3 . / ! 2 (Xz ) : 3 :
(2)
SECCION C. CLASES Y RELACIONES
h :: * ! * . S , . ^
• = x • X* =■< /> ! / ! 2
[*20112.*101]
[*4.-2]
[*10-301-32.Hp] 3 t¡tx . =x . Xx
[*2015]
3 : . 2 ( ^ * ) = 2(Xi')
I-. (3 ). *1011-23-35.3
¡
£ ’^ . / l 2(8 l e ) :.
(8 )
„
.
(-:: (g <¡>,8'>í<f,lx.sz . ^ x : 8 ,. x . s t -Xx '-<./)'-/1^ ( t g) • 3 • / **jXg) ”
v a r. - v
* r
3 . 2 ( ^ ) = ¿(X*)
h.(4).*121
I- .(1 ) . (5 ).
v4)
(5)
D h .P ro p
*20191.1-:. 2 (4-í ) = 2 (y * ) . s : ( / ) :/ ! *<+*) - = -f'-z (x*)
[*20-18-19. *10-22]
*20 2. I-. 2($*) = 2(í^í )
Dem.
1-. * 2 0 1 5 . 3 1 - 2 ( $ * ) ~ í W>*) • s s
h . ( l ) . *4-2.*10-11. 3 K Prop
. = ,. <f>x
*2021. I2<¿*) = 2(^-i). = . 2(^*) = S(<#>*)
(1)
[*2015 .*1032]
*20-22. (• : 2 (<£;) = 2 { f z ) . 2 (^« ) = ¿ (y*) . 3 . 2 (<f>z) = 2 (x*)
[*2015. *10-301]
Estas proposiciones no son consecuencias inmediatas de las *13" 15* 16* 17, por
una razón análoga a la explicada en la nota a la *1413, a saber, porque/ { £ (<fiz) }
no es una valor de fie, y, por tanto, en particular “f (0z)
(i/'z)” no es una valor
de “x = y ’\
*20-23. H:2(^) = 2(^ í ).2(^)=>J(x«).3 .2 (^ ) = 2(xí ) [*20 21 22]
*20-24. t-:2(^) = 2(¿*).2(x*) = 2(<#«).3.2(^) = 2(x*) [*2 0 21 2 2 ]
*20-25. h :. « = 2 ( ^ ) . =„ . a = 2 ( ^ z ) : = . í ( ^ ) _ j
Dem.
1-. * 1 0 1 .
3 b « = 2 ( ^ ) . = .. a = 2 ( ^ * ) : 3 .
[* 202]
(1)
II
-e<N
(-.*20-22 . 3 I-:
z(<t>z) = z(tf>z).= .2(<t>z) = z { f z ) :
3 :tz ( < f,z )^ 2 ( fz )
:
*<+*). 3 - a = 2
=2 ( f * ) . 3 :a = 2 (^y ). . 3 . a = 2 ('frí)
: 2 (■+■<)• a = 2 (^p¿). 3 ,■a = 2(<f>z):.
■*(+«)• 3 i:a = 2(^ri) . 3 . o = 2 (^z)
2 ( f « ) . 3 ¡ i a = 2(<^«). = .a = 2(-f«):■2 (^T«) . 3 !: o «= 2 ( ^ ) . = „ . a = 2 ( f * )
[Exp]
3
( - .( 2 ) .( 3 ) . 3 ( - : . 2 ( ^
[*1011-21] 3 l - : . 2 ( ^
(-■(!)• (4)- 3 K P r o p
*20-3. i - : x e 2 t y z ) . = . ^
(2)
(3)
(4)
Dem.
y . *20-1 . 3
1-:: * e 2 ( * * ). =
(a<f>):. f
«f, ¡ y ¡3, e
; j)
255
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
[(*20 02)]
[*1043]
[*10-35]
[*121]
a (g « * > )* y • % • <t>'■V • <i>'■* = :.( g < ¿ ) :.f y . s
= :.(g<£): ifry. 3 „.< ¿!y :.ifrx:.
D l-.P rop
Esta proposición muestra que x es un miembro de la clase determinaa por
cuando, y sólo cuando, x satisface a t|/.
*2031. h
= •’ « e $('!'*)• -* • * < *ÍXZ) [*20-15-3]
*2032. I-. 9 [xt 2 (<**)! = 2(0*)
[*20-3-15]
*20 33. \-t.a = 3 ( < t> z).s:x ea .= x .<j>x
Dem.
h . *20-31.
D I - a = 2 {<pz) . s : x e a . s x . x t 9{<¡>z)
1-. (1 ). *20-3. D b . Prop
(1)
Aquí se escribe a en lugar de una expresión de la forma i (i^z). El uso de la letra
griega aislada es más conveniente cuando ocurra que la función determinante esté
fuera de lugar
*2034 |- s .* - y .s : a : < a .D « .y í a
Dem.
h .*4-2 .(* 2 0 0 7 ). D I- :.¿c í a . D. . y e a : = :¡re2(4>! *). D * .y í ¿ ( £ !z) :
[*20-3]
s -.^ lx .O t.^ ly :
[* I3 1 ]
= : * = y : . 3 l - . Prop
Esta proposición, así como la *20'25, ilustra el uso de las letras griegas como
variables aparentes.
*2035.
*204.
*20 41.
*20 42.
h :.x = y . s t x e a . s « .y t a
[*20 3 .* 1 3 1 1 ]
I-: a «C ls. s .
.a**z(<¡>lz) [*20*3.(*20-03)]
I-. I (yfrz) e Cls
[*20-4151 ]
|- . 2 (z e a) = a
Una letra griega, tal como la a, es sencillamente una abreviatura de una expresión
de la forma i (0z); de este modo, esta proposición es la *20"32 repetida.
Dem.
V . *20 3 .*10-11
(•ty-z) . =x . ifrx:
[*20*15]
D 1-. 2 {* e 5 (^r«)} = 9 (,'f'x). D I-. Prop
*2043. t-:.a = f } . s i x c a . = x . x e l 3 [*2031]
Las siguientes proposiciones versan acerca de los casos en los que intervienen
clases y descripciones. En tales casos, adoptaremos —salvo que haya indicación de lo
contrario— el convenio de que las descripciones tiene un alcance mayor que las
clases, en aplicación de las definiciones *14 01 y *20 01 .
*205. I-: (w )(4>x)e2 ('frz). = .■$■ [(»*)(<fc¿r))
Dem.
h . * 1 4 1 .3 I- s: (ja-) (£ r) e 2 (Vfz) • s ( g e ) : <ftx . = , . * = c : c e 2 (^rz)
256
SECCION C. CLASES Y RELACIONES
[*20'3]
= ( g e ) : 0 r . = z . x = c : -0-c
[*14'1]
='••'(' ((i*) (<f>x)}: O I-. Prop
*20 51. b (ix) (<f>x) = b . = : (ix) (0x) e a . = , . b e a
Dem.
h.*20-5‘3 .D
b :. (» a )(0 a :)e í(-0 !í). = . í>£Í(0r ! z ) : = : yjr! (ix) (<f>x) . s . i f r ! b : . D
[*10'11] b :. (ix) (0x) c a . = . . b ea : = : 0-! (ix)(<f>x) . = *. \¡r! b :
[*14-17]
= : (ix)(0*) = b :. 3 h . Prop
*2052. h
Dem.
E ! (i x ) (<j>x) . = : (g íi): (ix) (0¿r) e a . = . . b e a
K *20 5 1 . * 1011-281.3
•* " ( a l>).(ix)(<j>x) = b . = : (g b):(ix)(<j>x)e«. s . . b e a
b . (1 ). *14-204. 3 I - . Prop
*2053.
b
(1)
/S = a . 3¿ . 0/3: = . <f>a
Esta es la análoga de la *13’191.
Dem.
1-. # 1 0 1 .
[*20-2]
b . *2018-21
[Comm]
[*101121]
K (l).(2 ).
3 h :. /8 <=a . 3¿ . 0/3: 3 : a = a . 3 . 0a :
3 :0 a
. 3 h : . / 3 = a . 3 : 0 e . 3 . 0/3
3 l - : . 0 a . 3 : / 3 = a . 3 . 0/3
O h :. 0 a . 0 : jdB a . Og . 0/3
3 1-. Prop
(1)
(2)
*20 54. I-: (g/3). /8= a . 0/8. s . <f>a
Esta proposición es la análoga de la *13*195.
Dem.
h . *20 18. *1011 .3 l- : /3 = a . 0 / 3 . 3 s . 0 a :
3 b : (g/3). /3 = a . 0 / 3 . 3 ,0 a
[*10-23]
31-: 0 a . 3 . a =¡ a . 0 a .
b . *20-2. *3-2.
3 .(g /8 ) ./3 = a . 0 £
[*10-24]
3
h
.
Prop
M i ) . (2).
(1)
(2)
*20 55. h . z (<pz) = (»a) ( i f a . s , . iftx)
Dem.
h . * 2 0 3 3 . 3 h : : í f » . s 1 . ^ c : = , . o = í (<f>z) :.
[*2054] D I-:. (g/3) :. ¡r e a . = , . 0 * : = . . a •= /3 :. 2 (<pz) = /9
[*141]
D I-. 2 (0z) = (ia) (a; t a . =x .<f>x) . 3 K Prop
*20 56.
1-. E ! (ia)( ¡ t í a . E , . <f>x) [*20'55 . #14-21]
*20-57. I - 2 (0r) = (ja) (/a ) . 3 : </ [ i (0*)] • s . g ¡(la) (/«)]
Dem.
I- .*141 . 3 I-:: H p . = :.(g /3 ) : / a . = . . a = /3 : í (0z) = /3 :.
[*20 54]
= :. / a . s „ . a = 2 (<pz)
(1 )
257
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
I-.*141. DI- : . g ((i«)(/a)| •s : (a/9):/«• =.• «= £ : 378
(2)
h • O ) • ( 2) • ^ I*:: H p . D s. g [( jo) (fa ) ) . = (g tí):« = 2 ( ^ ) . = . . a .
= (a /3 ).2 (^ ) = /3.jí/3:
= gi[$ (<^2)1: 0 h . Prop
[*13183]
[*2054]
*20-58. K S ( f e ) = (ia){a = $(fe)}
Dem.
K * 4 -2 .* 1 0 1 1 .3 1 - : a = 2(tf> 2).= ..a = 2(4>í):
[*20‘54]
D I-:. (3/8) :. a = 2 ( f e ) . r „ . a = /3:2 (fe) =/9:.
[*14T]
D h . 2 ( fe ) - (la) ja = 2 (fe)} O h . Prop
*20-59. I- : 2 ( f e ) = ( i a ) ( f a ) . = . (?a)(/a) =2 ( fe )
Dem.
h . *20'1 O h : . 2 ( fe ) = ( ja ) ( /a ) . = ( 3 t ) s + » . s , . ^ ! * : + ! 2 « ( ja ) ( /« ) s
[*1413]
= ( 3 * ) ¡ f e - s x. ^ l x ¡ (ja) (/a ) = ! 2 s
[*20-1]
= (la) (/a ) = 2 ((#>2) : 0 h . Prop
En las proposiciones que siguen probaremos que todas las clases gozan de las
propiedades formales de los individuales, y que tienen las mismas relaciones con las
clases de clases que tienen los individuales con las clases de individuales. Sólo es
necesario probar las análogas de nuestras proposiciones primitivas, asi como de
nuestras definiciones en aquellos casos en que sus análogas no sean definiciones por
sí mismas. Tomaremos las proposicones *10*1*11 ■12*121 122, mejor que las del *9,
y probaremos la análoga de la *10 01. Como se indicó en el *10, podremos, de este
modo, probar cuanto dependa de las pruebas subsiguientes. Las análogas de las
*20 0102 y de la *14 01 siguen siendo definiciones, pero las de *10‘01 y de
*13 01 son proposiciones que han de probarse. La proposición *9' 131 debe
ampliarse por la definición: Dos clases son “ del mismo tipo’’ cuando tiene funcio­
nes de definición predicativas del mismo tipo. Además de esas, hemos de probar las
análogas de las *10 TI r i2 - 1 2 r i2 2 , *11 "07 y de la *12* 1*11. Cuando éstas se
hayan probado, las análogas de otras proposiciones resultan por mera repetición de
las pruebas anteriores. Estas análogas se citarán, por lo tanto, mediante los números
de las proposiciones originales de las que son análogas
*20 6.
1-: (a « ) . / a . = . ~ [(a ). ~ / a )
Dem.
t- .*4-2 .(*20'071). D
1*: (a « ) ■/« • S . ( u f e . / ( 2 (4>! *)).
[(*1001)] = .~ [ ( < f .) .~ / |2 ( * U ) |] .
[(*2007)] = .~ [ ( a ) .~ /a ) O h . Prop
Esta es la análoga de la *1001
*20-61. h : ( « ) . / « . J . j ¡ S
Dem.
b . * 1 0 1 . (*20 07) O h : (a )./« O . / | 2 (<f>! *)] O h . Prop
i
258
SECCION C. CLASES Y RELACIONES
Esta es la análoga de la *10'1.
En la práctica también necesitamos
!•:(«)./«. 3./{»<*«)}.
Esta es la *2017.
Además necesitaremos
b • (a a) • ®(f*) = “•
Esta es la *20 41.
*20‘62. Cuando f0 sea verdadero, para cualquier argumento posible de la forma
i
! z) que 0 pueda tener, entonces (a) .fot es verdadero.
Esta es la análoga de la * 1 0 1 1 .
Dem.
h . * 10‘ 1 1 . D . cuando f { £ (<t>! z ) } sea verdadero, cualquiera que sea el posible
argumento <¡>, entonces ($) , f { £ (<¡>! z ) } es verdadero; es decir (por la *20'07),
( a ) . fot es verdadero.
*2063.
h :.(« ) .p v /a .3 :p .v .( « ) ./á
Esta es la análoga de la *1012.
Dem.
K *4-2. (*20 07 ). D
I- :.(# ). pyfa. = :(4>)-p v / [ 2 (£!*));
[* 1012]
=:p.v.(<f>)./|5(<f>U)):
[(*20 07)]
= : p . v . ( « ) . / a : . D h . Prop
*20-631. Si “fot” es significante, entonces si 0 es del mismo tipo que a, ”f¡T' es
significante; y viceversa.
Esta es la análoga de la proposición *10121.
Dem.
Por la *20'151, a es de la forma i (<¡>! z), y, por lo tanto, por la *20 01, fot es
una función de <¡>I i . De igual manera, 0 es de la forma ¿ (i¡t I z), y ffi es una
función de
t i . Por tanto, aplicando la *10121 a 0 ! f y a <p \ £ se obtiene el
resultado.
*20-632. Si, para alguna a , existe una proposición fot, entonces existe una función
fót, y viceversa.
Dem.
Por la definición *20 01, f {£
proposición resulta de la * 10' 122.
! z ) } es una función de i¡i ! £. Por lo tanto, la
*20‘633. “Cualquiera que pueda ser la clase posible ot, f(ot,0) es verdadera cual­
quiera que sea la clase 0" implica la expresión correspondiente con a y 0 intercam­
biados, excepto en “f (a, 0)”.
259
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
Esta es la análoga de la de la *11‘07, y se sigue al mismo tiempo de la *11‘07,
p o rq u e /(a , 0) es una función de las funciones de definición de a y de 0.
*2064. b (a). f a : (a). ga i ^ . f f í . g/3
Dem.
K * 4 2 . (*20 0 7 ) 0
b s. (a) . / a : (a ). g a : = : (<f>) ./ ( 2 (<f>! z)}: (</>). p [2 (</>! z )]:
f*10‘141
D:
1. q l z ( ^ ! z ) l D h . Prop
Obsérvese que “0” es simplemente una abreviatura de cualquier símbolo de la
forma i (ip ! z). Esta es la razón por la que no se requiere nada adicional en la
prueba anterior.
La última proposición es la análoga de la *1014. A semejanza de esa proposi­
ción, requiere, para la significación de la conclusión, que / y g sean funciones que
tomen argumentos del mismo tipo. Esto no se precisa para la significación de la
hipótesis. Por tanto, aunque la última proposición es verdadera siempre que tenga
significación, no siempre es verdadera cuando su hipótesis sea significante.
*20 7.
I" i (a<7) :/< «.=,. y !«
[#20112]
Esta es la análoga de la *12'1.
*20 701. 1-: (5L7): /
(2 (<*>! z), *}.= ♦
.,. ! {2 (<#>! *). x]
<7
[La prueba se lleva a cabo como en *20‘117, usando la * 12‘1 1 en vez de la
*121]
*20 702. b : (asO :/{«, 2(</>! z ) |. =*>¡c. 9 ! {*, 2 (<j>! z))
[La prueba es como en la *20 701.]
*20 703. I-: (3 0 ):/ [2 (<f>! z), 2 ( f ! z)) .=*,*. <7 ! [2 (<f, ! z), 2 ( * t z))
Dem.
K * 1 0 -3 1 1 .3 h :./[ x !2, 0 ! 2 ) .= x,,.y ! (*!2, 0 ! 2 ] : 3 :
<f>lx
. ifr l x s x 0l x . f \ x ' 2, 6 ! 2 ] .
.
</>!#=* y I x .
x =z 0 t x . g ! I v ! 2, 9 ! 2 )
K ( l ) . *1111-3-341O
1-:. U p (l).
3 :( a x * ■ /(* ! 2 , 0 ¡ 2 j .=*,*.
(3X- 0)-<f>lx=xX! x - f
S‘ ei 2 1:
[*20-1 .*10-35] D :/ (2 (<£! z). 2 ( f ! z )). =*, . g ! [<f>!2, * ! 2]
(l)
( 2)
I-. ( 2). *10-11-281. D
^ •(a < l)= /lx J 2. « l 21.= Xi(.<7!{x ! 2, ^ ! 2): D:
(3ü) :/ [*(+ ¡ *). 2 ( f ! z )].
I-. (3). *1211 O h . Prop
. ¡7 ! [2(<¿ 1z), 2 ( f ! z))
(3)
Las *20701-702-703 dan lugar a las análogas, para clases, de la * 12‘ 11.
*2071. b :. a = 0 . s
[*2019]
Esta es la análoga de la * 13*01.
Esto completa la prueba de que todas las proposiciones dadas hasta ahora se
260
SECCION C CLASES Y RELACIONES
aplican tanto a las clases como a los individuales. Precisamente un razonamiento
similar extiende este resultado a las clases de clases, a las clases de clases de clases,
etc.
A partir de las proposiciones anteriores se pone de manifiesto que, aunque las
expresiones del tipo i (0z) no tiene significación aisladamente, sin embargo, aque­
llas de sus propiedades formales, de las que hasta ahora nos hemos ocupado, son lasmismas que las propiedades correspondientes de los símbolos que tienen una
significación por sí solos. Por lo tanto, nada del aparato introducido hasta aquí nos
exige determinar si un símbolo dado significa una clase o no, a no ser que el
símbolo se presente de manera que sólo intervenga significativamente una clase.
Este es un resultado importante que nos capacita para proporcionar mucha mayor
generalidad a nuestras proposiciones de la que fuese posible de otro modo.
Las dos proposiciones siguientes (*20'8‘81) son consecuencias de la *13’3. El
“tipo” de cualquier objeto x se definirá en el *63 como la clase de términos que son
idénticos a x o n o idénticos a x. Podemos definir el “ tipo de los argumentos para
” como la clase de los argumentos * para los que “ 0x” es significante; esto es, la
clase x (<px v ~ <px). Entonces, la primera de las siguientes proposiciones muestra
que si “ 0” es significante, el tipo de los argumentos para “ 02 es el tipo de a; la
segunda proposición muestra que, si “ 0a” y “ 0a” son significantes, el tipo de
argumentos para 0r es el mismo que el tipo de los argumentos para 0z, porque cada
uno es del tipo de a. La *20 8 se usará en la *6311, que es una proposición
fundamental en la teoría de los tipos relativos.
*208.
h : 0 a v ~ 0 a . D . ®( 0®v ~ 0 ®) = &(® = a . v . ®+ a)
Dem.
I-. *13 3 . *10*11-21. 3
I-:: H p . 3 :. 0 ®v ~ 0 ®.=*:»«■ a . v . ®=|=a:.
[*20‘15] 3 :.á!(0®v ~ 0®) = í (® = a . v . ®+ a ):: 3 I-. Prop
*20 81. h : 0 a v ^ 0a ■0 -a voo 0 a . 3 . £ ( 0 ®v ~ 0®) = Sí ( 0 .r v ~ 0 ®)
Dem.
H .* 2 0 8 . 3 1-: H p . 3 . ó! ( 0 ®v ~ 0 x ) = £ (® = a . v . ®0 a)
I- . * 2 0 8 .3 h : l l p . 3 . i ( 0 ®v ~ 0 ® ) = á (x = a . v . ¡c + a)
h . (1 ) . (2 ) . *10-12 1-13 . Comp . 3
(1)
(2)
I-: Hp . 3 . á(0 a ;v ~ 0 x ) = £(* = a . v . ¡ t ^ a ) . i ( 0 x v ~ 0 x ) = ¡fc(x= a.v.® =(=a )[#20‘24] D . A (0 x v ~ 0x) = í (0® v ~ 0 .1-): 3 I-. Prop
En la tercera línea de esta prueba, el uso de la *10121 depende del hecho de
que la “a” tanto en ( 1) como en ( 2) debe ser tal que haga significante la hipótesis,
esto es, tal que haga significante a
“ 0d v ~ 0a . 0 a v ~ 0 a ”
Por tanto, la “a” en (1) y la “a” en (2) deben ser del mismo tipo, en virtud del
*10121, y por tanto por la *10'13 puede aseverarse el producto de (1) y (2),
identificando las dos “a’s” .
261
PARTE 1. LOGICA MATEMATICA
Puesto que un tipo es el rango de significación de una función, si
es una
función que es siempre verdadera, i (4>z) debe ser un tipo. Pero si una función es
siempre verdadera, los argumentos para los cuales es verdadera son los mismos que
los argumentos para los que es significante; por tanto, i (<pz) es el rango de
significación de
si (* ). <¡vc es válida. Así, pues cualquier clase a es un tipo si
( x ) .x e a. Resulta que, cualquiera que sea la función <p, X (<j>x v ~ 0x ) es un tipo; y
en particular, jc (x = a . v . x ¥=a) es un tipo. Dado que a es un miembro de esta
clase, esta clase es el tipo a la que pertenece a. En virtud de la *20 8, si <¡ia es
significante, el tipo al que pertenece a es la clase de los argumentos para los que <)>x
tiene significado, esto es, x (<t>x v ~ <¡>x). Y si hay un argumento a para el que 0a y
\¡/a son ambos significantes, entonces <px y
tienen el mismo rango de significa­
ción, en virtud de la *20‘81.
262
*21. TEORIA GENERAL DE RELACIONES
Sumario del *21.
Las definiciones y proposiciones de este número son exactamente análogas a las
del * 20, de las cuales se diferencian por tratar con funciones de dos variables y no
de una. Una relación, según debemos usar la palabra, se entiende en extensión: debe
considerarse como la clase de pares (x, y ) con los que cualquier función dada
\¡/ (x, y ) es verdadera. Su relación con la función (Jt, y ) es exactamente igual a la
de la clase con su función determinante. Proponemos
*2101. f[&9+(x,y)]- = :(,3<l>):<l>l(x,y).=x,v .^(x,y):f{<l>l((i,v)}
Df
Aquí, "ity \¡>(x, y )” aisladamente no tiene significación, aunque sf en algunos de
sus usos. En la *21'01, el orden alfabético de u y de v corresponde al orden
tipográfico de i y de en / {jU> i/> (x, y ) } , de forma que
j \f/3ii}r(x, y)) . = : (a<*>) : <t>! (*, y) • =*,„. ir (x, y ): / {<¿! (v, «)) Df
Esta es importante en lo que se refiere al convenio de sustitución que viene a
continuación.
Se mostrará que
(*. y) = *9x (*. y) • = : ir (*, y) • s*.y • x (*, y),
es decir, que dos relaciones, como se definieron antes, son idénticas cuando, y sólo
cuando, se satisfacen con los mismos pares de argumentos.
Para la sustitución en <¡>! (i, y ) y 0 ! (y, ;?), adoptamos el convenio de que
cuando una función (como opuesta a sus valores) se representa en una forma que
entraña a Je e y , o a cualesquiera otras dos letras del alfabeto, el valor de esta
función para los argumentosa y b debe encontrarse mediante la sustitución de a por
i y de ó por j>, mientras el valor para los argumentos ó y a se hallará por la
sustitución de b por í y de a por y. Es decir, el argumento que se menciona en
primer lugar debe sustituirse por la letra que aparece primero en el alfabeto, y el
argumento mencionado en segundo lugar por la letra posterior; así, pues, el modo
de sustitución depende del orden alfabético de las letras que están bajo el signo
circunflejo y del orden tipográfico de las otras letras.
Este convenio por lo que respecta al orden se presupone en la siguiente defini­
ción, en donde a es el primer argumento que se menciona y b el segundo:
a (<f>! (á, 0)1 b . = . <f>! (a, b) Df
Por tanto, siguiendo el convenio,
*21-02.
ó
«) Df
a {<*>!(£, í)¡ 6 . = . <*,! (¿. a) Df
263
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
b \4>'.($,&)] a. = ,<f>l(o, b) Df
Esta definición no se usa tal como queda expuesta, sino que se incluye en atención
a
a
(x, y)J 6 . = : (g 0) : 0 S(x, y) ■=z,v
y ): 0 ! (o, 6)
que resulta de las *21 *01'02. Usaremos letras latinas mayúsculas para representar
expresiones variables de la forma Jcj>0 ! (x , y), del mismo modo como hemos
empleado letras griegas para expresiones variables de la forma i (0 ! z). Si una letra
latina mayúscula, digamos la R, se usa como variable aparente, se supone que la/?
que interviene en la forma “(/?)” o “( 3 /?)” debe reemplazarse por “(0)” o por
“( 3 0 ) ” . mientras que la R que aparece más tarde debe sustituirse por
“xp 0 I (x, y)". De hecho, ponemos
( / í ) ./R . = .( 0 ) . / |3p010, y)} Df.
El empleo de letras únicas para expresiones tales como Jcy 0 (x, y ) es una convenien­
cia indispensable en la práctica.
La siguiente es la definición de la clase de relaciones
*21-03. Reí = R ((a0) . R = 5$ 0 ! (x, y)) Df
Son aplicables a ella observaciones similares a las hechas a la definición de “Cls”
(*20 03).
En virtud de las definiciones * 2 r0 1 0 2 , y del convenio de las letras latinas
mayúsculas, la notación “xR y ” significa “x tiene la relación R con v” . Esta
notación resulta práctica y, tras los preliminares, sustituirá totalmente a la
notación engorrosa x {Jcy <j>(x, y )j y.
Las pruebas de las proposiciones de este número generalmente se omiten, ya que
son exactamente análogas a las del *20, sin más que sustituir la *1211 por la *121,
y las proposiciones del *11 por las proposiciones del *10.
Las proposiciones de este número, al igual que las del *20, se encuentran en tres
secciones. De las proposiciones de la segunda sección apenas nos ocuparemos. En
cuanto a las de la tercera sección, (que extienden a las relaciones las propiedades
formales que, hasta ahora, se había supuesto o probado para individuales y funcio­
nes), tampoco se hará referencia explícita en lo sucesivo, sino que son constante­
mente pertinentes; esto es, siempre que una proposición se ha supuesto o ha sido
probada para individuales y funciones, es aplicable a las relaciones. Las principales
proposiciones de esta sección son las que vienen a continuación.
*2115. 1- 0-(x, y ). =Xi„ . %(x, y ): = .xp^(x, y) =3'f)x (*, y)
Esto es, dos relaciones son idénticas cuando, y sólo cuando, sus funciones de
definición son formalmente equivalentes.
*21-31. I-
264
(x, y) = S$x (x, y ). = : x
(x, y)] y - s*.v • *
(*» 3/)l V
SECCION C. CLASES Y RELACIONES
Es decir, dos relaciones son idénticas cuando, y sólo cuando, tienen validez entre
los mismos pares de términos. El mismo hecho se expresa por la siguiente proposi­
ción:
*2143.
I -
R = S . s : xRy . = * „ . xSy
*21 ‘2*21 '22. Muestran que la identidad de relaciones es reflexiva, simétrica y
transitiva.
*213.
I-
(;r,y ))y . = . - f (z ,y )
Es decir, dos términos tienen una relación dada cuando, y sólo cuando, satisfa­
cen su función de definición.
y) = á#<f>\{x,y)
*21151. I"
Esto es, cada relación puede definirse por una función predicativa. Por tanto,
cuando, al emplear la *21‘07 o la *21 '071, tenemos una relación como variable
aparente y, por ello, están limitadas a funciones de definición predicativas, no
existen pérdidas de generalización.
*2101.
=
«)] Df
Sobre el convenio que respecto al orden adoptamos en las *21 '01 '02, cf. p. 263
y, de ese modo, referir ú, P a jí, y, de suerte que
/
(x,
y )\ . = : <a£): 4>i (x, y ) . =„, „. >fr(¡c, y) :/[<£! (í, «)) Df
*2102. a M>! (3,#)) b. = .<£! (a, b)
*2103. Reí = R {(g<£). /i =
! (x, y)\
I)f
Df
Las siguientes definiciones sencillamente extienden a las relaciones, con la menor
modificación posible, las definiciones ya dadas para otros símbolos.
*2107.
*21 071.
*21072.
*21-08.
(jR)./ * .- .( * ) ./ { * $ * ! ( * , y))
Df
! (*, y)! Df
[(iR)(<f>R)].f(iR)(<l>R). = -.(zS):<l>R.=It. R = S : f 8
Df
/)R S > (R , 6í)l. = :(a-f>):^(R.-S)-sj!,í,.^!(fí,S)s/(<#.!(/¿,S)| Df
(a «) . / R . = . (a<f>)
*21081. P{<t>l(R,S)}Q. = .<f>'.(F,Q)
Df
Aquí se conserva el convenio adoptado en cuanto a lo tipográfico y alfabético.
*21082. / | R ( f R )}. = : (a<f>): f R . s R .4>lRi/(4>\R)
*21 083. Re<f>lR. = .<l>l R
*2 1 1 .
Df
Df
P : . f [&§■$■(x, y )). s : (a<£) :£ ! ( * , y ) . a Xl„ . yfr (x, y)
[*4-2.(*2l01)]
*2 111 . H f (x, y ). =*,„ . x (*. y ): 3 ‘f
! ( 8, »)!
(*. y)¡ • = -f[^9x (*• y))
[*4-86-36. *10 281 .*21 1]
Esta proposición prueba que cada proposición acerca de una relación expresa
una propiedad extensional de la función determinante.
265
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
* 2 1 1 1 1 . H! . / ! * ! ( * , $ ) ) . = * . g |*!<*,y)}: D i/ { ^ * ! ( « , y ) |. = * .g\&p* !(* ,y)}
[Faot. *1111-3 . *10 281. *21-1]
*21112. H :. (a y ): . / {í# * l(« iy )l. » * . y l(í!p * !(* I y)} [*121 . * 21111]
Es la *121 —no la * 1 2 1 1 - la que se precisa en esta proposición, porque nos
referimos a una función ( / ) de una variable, a saber, <p, aunque esa variable única
es en sí misma una función de dos variables.
*2 1 1 2 .
h
(gtf>) :• <#>! (*. y) ■3 „,„. ir (*, y) : / [ 3 j (x, y )]. s .f\£S<f>! (x, y)]
r* 2 1 1 1 .* 1 2 1 1 ]
Este es el primer empleo de la proposición primitiva *12'11, excepto en las
*20'701'702‘703.
*2113.
*2114.
h :. ir (x, y ) . s Xi„ . x (®. y) '■3 ■
[*211 .*1211 .*13195]
(*> y) = &9x (*■ y)
h :.£ $ f( x , y) = í# * (*• y ) - ^ : f (x>y) •=*.» • X(*»!/)
[Proof as in *20' 14]
*2115. (-:.ifr(*,y).3 «l,.x (* ,y )s s .a jW r (* ,y ) = a£x(*,y)
[*2113-14]
Esta proposición establece que dos funciones dobles determinan la misma
relación cuando, y sólo cuando, sean formalmente equivalentes, es decir, cuando se
satisfacen con los mismos pares de argumentos. Esta es una propiedad fundamental
de las relaciones, como se definió antes (* 2 1 0 1 ).
*21'151. t-. (3<£). x y ir(x , y) = ip i >! (x, y)
[*2115 . *1211]
*2116. h : (a4>):/ {$ # * («, y )]. s
y)) [*2112]
*2117.
.V)l- 3 ^ 5 * (*<.'/>) [*21-1«-*10-1]
*2118. t-:. &p<j>(x, y) = Sípir(x, y ) . D :/{&p4>(x, y )]. = . / \ ? H (*, y»
[*211115]
b :. &Pir (*, y) = ^ x (* - 2/) • s : ( / ) ’• / ' ty 'H * V) • 3
(*• 2/)
*21191.
b:.s%ir(x,y)=ü!f/x (*. y) •5 ! ( / ) :/
(*. y)
*212.
*21-21.
h .^ («,y )- ^ («,y )
[*21-15. *42]
h : %pi> (x, y) =
y) .= .tyir(x,y)=3:p (#>(•*,y) [*2115 . *10 32]
*21 22.
b S¡p <f>(x, y) =$§ ir (x, y ) . ftjj i r ( x , y ) f ! t P x ( x , y ) - ^ S$4>{x,y)~ $Px(*>y) [*2115 .*10-301]
*2123.
t- :ty<p(x,y) = £Pir(x, y ) . ü!p<f>(<c,y) = x y x (x ,y) • •
*2119.
[*2118.*1011-21 .*211 .*10-35.(*13-01).*21-112. *10-301]
!
+ (*> y) •s - / !
[*21-1819]
&j¡Ír{x,y) = S}px(x.y) [*21-21-22]
(¡r,y) = S$<f>(®,y ) . $ p X <*■y) = *5«M*. y> • 3 •
{tyir (x, y) = &px (■?. y) [*2l'21'22]
*2124.
b:
*21-3.
t - : * | ^ ( i r ly ) ) y . s . - f t<r,y) [*21102. *10-43'35. *1211]
Esto muestra que x tiene con y la relación determinada por \p cuando, y sólo
cuando, x e y satisfagan a \¡/ (x, y).
266
SECCION C. CLASES Y RELACIONES
Obsérvese que la proposición primitiva *12*11 se necesita aquí nuevamente.
*21-31.
*21-32.
*21*33.
^ : . ^ ^ ( x , y ) = & [ ) x ( x, y) . = : x (,íy f (x , y)¡ y . s x¡v. x [í# * (*■!/)) y
[♦2115-3J
I- ■í # 0 [ á # ^ (*, y)) y) = uí§<p (x. y)
[*21-3-15]
I- R = &p<f>(x, y ) . = : x R y .
. 4>(x,y) [*21'31-3J
Aquí R se escribe en lugar de una expresión de la forma
\¡/ (x, y). El uso de
una letra mayúscula única para una relación es conveniente siempre que la función
determinante sea irrelevante.
*214.
*21-41.
*21-42.
*2143.
f
t R ol. = . (a</>).
I-. 5$ (xRy) = R
I- l i = S . = : x R y
! (x, y) [*20 3 . (*2103)]
[*21-4151]
[*21*315]
xSy
[*2115-3]
*20-5-51 ‘52. Estas proposiciones no tienen análogas en la teoría de relaciones.
*21-53.
*21-54.
*21-55.
*21-56
*21-57.
*2158.
\ - : . S = R . O s .<f>S:s.<t>R [*101 .*21-218-21 .Comm . *1011-21]
í : . ( n S ) . S = R.<t>S. = .<f>R. [*2118. * 1 0 1 1 2 3 . * 2 1 2 . *10-24]
t-.$§<¡>(x, y) = ( i R ) \ x R y ,=XtV.il>(x,y)} [*2133-54. *141]
1-. E ! (iR) [xRy .=*,„.<£ (x, y)J
[*21-55 .*14 21]
H : . ^ (x, y) = ( i R ) ( f R ) .D:y|á>9<*> (x. y )[. = . y |( 7R) ( f R) \
[*141 .*21-54. *13183]
\-i2y<Hx%y ) = ( i R ) { R = ty4>{x,y)\
[* 4 2 . *1 0 1 1 . *21 5 4 . *141]
Las siguientes proposiciones son las análogas de las *20*6 ss., y tienen un objeto
similar.
*216.
t-: (y R ) ,/R . = .~ ¡(ií).~ /7 i)
*21-61. I-: ( R) . / R . D ,/R
[Se prueba como en la *20*6]
[Se prueba como en la *20"61 ]
*21 62. Cuando j R es verdadera, cualquier posible argumento de la forma
*5' <t> ! (x. y ) que R pueda tener, ( R ) . f R es verdadera.
*2163.
I- : . { R ) . p v f R . O t p . v . ( R ) . f R
[Se prueba como en la *20-62]
[Se prueba como en la *20*63]
*21-631. Si “f R " es significante, entonces si S es del mismo tipo que R , “f S " es
significante, y viceversa.
[Se prueba como en la *20 631 ]
*21*632. Si, para cualquier R , hay una proposición J R, entonces hay una función
f k , y viceversa.
[Se prueba como en la *20*632]
*21*633. “Cualquiera que sea la relación R, f ( R , S ) es verdadera, cualquiera que
sea la posible relación S " implica que “cualquiera que pueda ser la posible relación
S, f (R, S ) es verdadera cualquiera que pueda ser la posible relación R " .
[Se prueba como en la *20-633]
*2164. l - : . ( R ) . f R : ( R ) . g R : 3 . / 8 . g S [Se prueba como en la *20-64]
*21-7. h : (ay ) : f R . = s . g l R
[Se prueba como en la *20 7]
267
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
*21701
*21702
*21703
*21704.
*21-706.
*21-71.
1-: (ag)
*) • = b.z -gHR, *)
h : (así) :/(* , R ) . = Kx. gl( R,x)
b-.(3g):f(R,S).3j,mS. g l( R, S)
h : (gg) :/(R, a).=Kt. . g l ( R , a)
h : (a.<7) :/(«, R). =. ,x . g l («, « )
\-i.R = S . = :gl R . 0 „ . g l S
[Se prueba como en la *20 701]
[Se prueba como en la *20'702]
[Se prueba como en la *20 703]
[Se prueba como en la *20 703]
[Se prueba como en la *20 703]
[Se prueba como en la *20 71]
Por estas últimas proposiciones se aprecia que las relaciones, al igual que las
clases, tienen todas las propiedades formales que tendrían si fuesen símbolos que
tuvieran un significado aisladamente. Por tanto, salvo que un símbolo se presente de
tal manera que sólo puede ocurrir significativamente una relación, no necesitamos
decidir si representa a una relación o no. Este resultado, al igual que el resultado
correspondiente para las clases, mencionado al final del *20, es importante puesto
que ofrece a nuestras proposiciones una generalización mayor de la que tendrían de
otra manera. Los resultados obtenidos en los *20 y *21 para clases y relaciones
cuyos miembros o términos no son ni clases ni relaciones pueden extenderse, por
simple repetición de las pruebas, a clases de clases, clases de relaciones, relaciones de
clases, relaciones de relaciones, y así sucesivamente.
268
*22. CALCULO DE CLASES
Sumario del *22.
En este número llegamos a lo que históricamente fue el punto de arranque de la
lógica simbólica. Las letras griegas usadas (excepto <¡>,\p, x, 0) representan siempre
expresiones de la forma JE (<j>! x ) o, donde las letras griegas no sean variables
aparentes, de la forma jE(<px). Las letras latinas minúsculas o bien pueden tener un
significado aisladamente, o bien pueden representar clases o relaciones; esto es
posible en virtud de las notas que hay al final de los *20 y *21. Presentamos
*2201. aC¡3 . = :xea.Z>z . x c & Df
Esta define “la clase a está contenida en la clase 0”, o “todas las a ’s son 0's”.
*2202. ar>/8=5(a;ía.#ej8)v Df
Esta define el producto lógico o parte común de las dos clases a y 0.
*22 03. a u
& ( x t a . v . xe fi)
Df
Esta define la suma lógica de dos clases; es la clase que está constituida por todos
los miembros de una juntamente con todos los miembros de la otra.
*2204. —a = á(.r~ ea) Df
Esta define la negación de una clase. Se lee “no-a” . No es que contenga algún
objeto jc respecto del cual “x e a ” resulta no verdadero, sino que sólo contiene
aquellos objetos respecto a los que “x e a ” es falso ; es decir, excluye los objetos
para los que “x £ a ” es un sinsentido. Asi, pues, consiste en todos los objetos del
tipo inmediatamente inferior a a que no son miembros de a; pero no contienen
objetos de ningún otro tipo salvo de éste.
*2205. a - /3 = # n - ^ Df
Esta definición proporciona una abreviatura que convendrá usar con frecuencia.
Los postulados necesarios para el álgebra de la lógica fueron enumerados por
Huntington (65). En nuestra notación son como se ofrecen seguidamente.
Supongamos una clase K, con dos reglas de combinación, a saber U y O;
entonces, precisamos los diez postulados siguientes:
la. a U b es una clase, siempre que a y b sean clases.
l b. a O b es una clase, siempre que a y b sean clases.
II a. Hay un elemento A tal que, para todo elemento a, a U A = a.
(65) Trans. Amer. Math. Soc. Vol. 5, July 1904, p. 292.
269
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
II b. Hay un elemento V tal que, para todo elemento a, a O V = a.
III a. ¡ i U Í ) = i U a , siempre que a, b .a U b, y b U a sean clases.
III b. a n b = b Da, siempre que a, b, a O b, y b n a sean clases.
IV a. a U (b n c) = (a U b) D (a U c), siempre que a, b, c, a U b, a U c, b O c,
a U (b n c), y (a U b) n (a U c) sean clases.
IVA. a n (b U c) = (a O b) U (a O c), siempre que a, b, c, a O b, a O c, b U c,
a n (b U c), y (a n b) U (a n c) sean clases.
V. Si los elementos A y V de los postulados H a y II b existen y son únicos,
entonces, para cada elemento a hay un elemento - a tal que a U - a = V y a f i a —A.
VI. Hay por lo menos dos elementos, x ey , en las clases, tales que x =ty.
La forma de estos postulados es tal que son mutuamente independientes; es
decir, nueve cualesquiera pueden satisfacerse mediante interpretaciones de los
símbolos que no satisfagan al restante postulado.
Para nuestro propósito, "K" puede sustituirse por “Cls” . A y V serán la clase
nula y la clase universal, que se definirán en el *24. De este modo, los diez
postulados anteriores se prueban, más adelante, en los siguientes lugares:
I a, en el *22*37, es decir “ b . a U 0 e Cls”
I b, en el *22*36, es decir “b . a O 0 e Cls”
II a, en el *2224, es decir “b . f l U A = a ”
II b, en el *24 26, es decir “ b . o O V = a ”
Illa, en el *22 57, es decir “ b • o¡ U 0 = 0 U a ”
III b, en el *22*51, es decir “ b . a n 0 = 0 O a ”
IV a, en el *22*69, es decir “ b . (a U (3) n (a U 7 ) = a U (0 n 7 )”
IV b. en el *22*68, es decir “b . (a n 0) U (a ñ 7 ) = o O (fi U 7 )”
V, en los *24*21 *22, es decir “ b . a n - o = A” y “b . a U - a = V ’
VI, en el *24* 1, es decir, “ b . A # V”
Por tanto, asumiendo el análisis de los postulados, debido a Huntington para el
álgebra formal de la lógica, las proposiciones probadas en lo que sigue bastan para
establecer que este álgebra tiene validez al operar con las clases. Las proposiciones
correspondientes de las *23 y *25 prueban que tienen validez con las relaciones
poniendo Reí, U,
Á, V, respectivamente, en lugar de Cls, U, n , A, V.
Las principales proposiciones de este número son las siguientes:
1) Las que incorporan las reglas formales:
*2251. I - . j n |8= /3n«
*2257. K a u ^ a j j v s
270
SECCION C. CLASES Y RELACIONES
Estas incorporan la ley conmutativa.
*22'52. h >(an)9)niyzgn(jgniy)
*22*7. h . ( g u j 3 ) u y s ( u ( | S u 7 )
Estas incorporan la ley asociativa.
*22*5. K g n j = a
*22*56. h . a v»a = a
Estas incorporan la ley de tantología.
*22*68. I-. (a a 0) w(a n 7) = Or¡ (0 o 7)
*22*69. 1-. (a u /9) n (a u 7) = a u (/9 n 7)
Estas incorporan la ley distributiva. Puede observarse que la segunda resulta de la
primera, intercambiando todos los signos de adición y de multiplicación.
*228. I-. a) = a
Este es el principio de la doble negación.
*22*81. h : a C 0 . = . - 0 C - a
Este es el principio de la transposición.
2) Otras proposiciones útiles son las siguientes:
*2244. K : a C / 9 . / 8 C 7 . 3 . a C 7
*22*441. h : a C 0 . x e a . D . x e 0
Estas incorporan las dos formas del silogismo en Bárbara.
*22*62. H: aC0 . = . a v 0 **0
*22621. h : a C 0 . = .an0=^a
Estas dos proposiciones nos capacitan para transformar una inclusión (a C 0) en
una ecuación.
*2291- h . a « j 3 = a « ( ( 5 - í )
Es decir, “a o 0” es idéntico a “a o la parte de 0 que se excluye de a".
*22*01.
*2202.
*2203.
*22*04.
*22*05.
*22*1.
*22*2.
*223.
*22*31.
*22*32.
*22*33.
aC/9. = : £ c a . 3 z .<ce/3 DF
ar\ 0 =á(aea.are/9)
Df
a v 0 = &(*ea.v . x c 0 ) Df
—a
a)
Df
a —0 = a r \ —0
Df
h aC/9. = : x e a . Dz . xe/3
I- . an/ 3 = $ ( x e a . x e ¡3)
K o u |8= í ( í f a . v . a : f / 8)
I- • —a = í (*<v(
h .a —0 = &(xea.x~e 0)
y : x ta r i/ 3 . = . x e a. x ef 3
[*4*2. (* 22*01 )]
[*20*2. (*22*02)]
[*20*2. (*22*03)]
[*20*2. (*22*04)]
[*20*2. (*22 05). *22*2. *20*32]
[*20*3. * 22*2]
271
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
*2234. h : . * f « u j 8 . s : ¡ t ( n . v . í c /8 [* 2 0 3 .* 2 2 3 ]
*2235. h :jEe —a . = . [ * 2 0 3 . * 2 2 3 1 ]
*22 351. I-. —a + o
Dem.
I-.*22 3 5 .* 5 1 9 .D t - :~ [ e « —« . = . * « a j:
[*10*11J
3 I- :(a:):~ { * e —a . = .¡rea] s
[*10'251]
3 I-:~ [(a: )i x e —a . = . « ( « ) :
[*2043.Transp] 3
a = a ) : 3 I-. Prop
Esta proposición se usa para probar que la clase nula no es idéntica a la clase que
contiene todas las cosas (*24*1), la cual se emplea para mostrar que por lo menos
existen dos clases. Nuestros axiomas no bastan para probar que existe más de un
individual, pero prueban la existencia de, por lo menos, dos clases y por lo menos
dos relaciones.
*22-36.
*22-37.
*22-38.
*22 39.
1*. a n /9 eCl 8 [*20-41]
K a v £ « C l s [*2041]
l - .- a e C l s
[*2041]
I*. 2 (<f>z) a $ (i/n) = z(<f>z. y¡rz)
Dem.
1*.*22-33.
3 1 -: x r > 2 ( - . ¡ r z ) . = .xe$(4>z). x t í t y z ) .
[*203]
=.4>x.yjrx
I*. ( 1 ) . *20"33.3 1 -. Prop
*22-391. I- . ‘i{<f>e)v$(yfrz) = 2(<f>i'/\lrz) [Prueba similar]
*22-392. l - . - 2 (<£*) = 3(~<fc)
[Prueba similar]
*224. I- : . a C £ . £ C a . s :¡ s e a . s x . x e 0
Dem.
h .*22-1. 3 ( - : : a C / S .s : * e a .3 * . a : e / 9 : . / 9 C a .H : ® í / 3 .3 x . a f « ! *
[*4'38] 3 t- ::a C y S ./8 C a . = :.¡ r e a .3 x .a e / 9 : ¡ t í / 9 .3 * .a : e a : .
[* 1022 ]
s : . ¡eee. = , . * * £ : : 3 K Prop
*2241. H a C j 8 ./ 8 C a . = . a = /8 [* 2 2 4 .* 2 0 4 3 ]
*22-42. K a C a
[ I d . *1011]
*22 43. V : a n 0 C a
[*3 2 6 . *1011]
*2244. t - : a C £ . / 8 C 7 . 3 . a C Y [*10-3]
Esta es una forma de silogismo en Bárbara. Otra forma es la siguiente:
*22441. t - : a C / 8 . « e a . 3 . ® e / 9 [*101 . Imp]
*2245. l *:aC/9.aC7. = .aC¿8 n 7
Dem.
1- .*22*1.31*:. a C / 3 . a C 7 . 3 : 4 c c a . 3 z . « e / 9 : s e a . 3 x . « c 7 :
[*10'29]
=-.xea.Dx . x e f 3 . x t y :
[*22-33.*10"413]
= : * e a . 3 „ . « e ¿ 8 n y : . 31-. Prop
*22'46. l - : * í a . a C / 3 . 3 . ® e j 8
[*22441. Perm]
272
( 1)
SECCION C. CLASES Y RELACIONES
*22-47. H : a C 7 . D . C í n / 9 C 7
[22 43;44]
*2248. H : a C j 8 . D . a n ' y C / 9 n 7 [*10-31]
*22*481. h ! a B j 9 . 3 . s n y s j 9 n ' y
Dem.
I-. *22-41. 3 : . H p . D : a C / 9 . / 8 C a :
[*22"48]
ar\yCj3r\y./3rtyCar\yi
[*22"41]
3 : a r>y = 13 n y :. 3 I-. Prop
*2249. b : a C j 3 . y C S . 3 . a n y C 0 n & [*1039]
*22'5. t-. a o a = a
Dem.
h . *22 3 3 . 3 h : . £ e a r > a . = : g « B . « e a :
[*4"24]
=:xea
I-. (1). *10-11. *20-43. 3 b . Prop
(1)
La última es la ley de tautología para el producto lógico de clases.
*22-51. h . a n £ = / 9 n a
[*2233. *43 .*1011 .* 2 0 4 3 ]
*22-52. h . ( a n j 5 ) n y m a n ( $ n y ) [* 2 2 3 3 .* 4 3 2 .* 1 0 1 1 .* 2 0 4 3 ]
Así, pues, el producto lógico de clases obedece a las leyes conmutativa y
asociativa. Las referencias a las *22-33-34"35 y a la *20'43 se omitirán con
frecuencia en el futuro.
*2253. a n / 3 n y = ( a r \ 0 ) r \ y Df
Esta definición sólo sirve para evitar el uso de paréntesis.
*22-54. \-:.a = 0 . ^ i « C y . s . 0 C y [*20-18]
*2255. h : . a = £ . D : 7 C a . s . 7 C /8 [*2018]
*22551. h : a = / 3 . 3 . a y 7 m / 9 u 7
[*10-411]
*2256.
kaua=a
[*4'25. *1011]
La última es la ley de la tautología para la suma lógica de clases.
*22-57. h. a«j / 9 = t f u a
[*4-31.*1011]
*22-58. K a C a u / S . j S C a u #
*2259. \ - : a C y . / 3 C y . = . a ' j / 3 C y
[*1.3 . * 2 2 ]
Dem.
I- .* 2 2 -1 .3 h :: H p . 3
[*10'22]
3
[*4 77.*10-271]
[*22'34.* 10-413]
s
s
8 e a . 3 , . 8 e 7 : 8 e|S . 3 , . 8 * 7
(ir):. * « a . 3 . ir e y : x e 0 . 3 . ir e y
(8> » e a . v . 8 e /8 : 3 .8 c 7
(®) : 8 * a u ^ . 3 . 8 í 7 : : 3 I-. Prop
La análoga de la *4‘78, es decir,
aC 0.v.aC y:s.aC /3vy
es falsa. Tenemos sólo
aC0.v,aCy:l>.aC0\>y.
273
HARTE 1. LOGICA MATEMATICA
Una observación similar se aplica a la análoga de la ♦4 79. Cf. *22*64*65.
*226.
^ : . x t a v B .s : a C y ./ 3 C y . O y.xey
Dem.
I- . * 2 2 5 9 a C y . / 3 C y . ' 2 i x t a < j / 3 . ' 5 . x c y : .
[Comm]
0 \-:.xta \jff.^sa C y.fiC y.'^.xeyl.
[*1011 21] 3 I-:. ¿r í a u ,8 . D : a C 7 . £ C 7 . 3 T. a;« 7
I- . * 10’1 . 3 h : . a C 7 ./ 9 C 7 . 3 r . « e 7 : 3 : a C a « / 8 . / 3 C a « / 3 . D .¡re a w/5 :
[*2268]
’S - . x e a u f t
b . (1 ). (2). D b . Prop
*2261.
h : a C / 9 . D . a C / 9 u 7 [*22-4468]
*2262.
b : a C /3 . = . a v ¡3 = @
^
^2)
Dem.
b . *472 .
3H ::*fa.D .a;í/9:
[*22'34]
I-. (1 ). *10-271 . 3 b : :
aC0.
[*20-43]
= : . a r e a . v . a : í / 8 : = .iríy 3 :.
s:.xt,a\jfi.s.xc/3
s:.;rf a
(1)
si.aw/S-^stDl-.Prop
*22-621. h : a C £ . = . a n /8= a [*471]
La prueba se efectúa como en la *22*62. La proposición *22*621 es una de las
más útiles en este número.
*22'63. h : a u ( a n j S ) « «
[*444]
El proceso de obtención de la *22*63 a partir de la *4 44 es semejante al
empleado en las pruebas efectuadas en otros capítulos. Por ende, la *4*44 sólo se
indica la referencia numérica. De manera semejante restringiremos las referencias
para las proposiciones siguientes de este capítulo. El proceso es siempre, más o
menos, como sigue: p ,q ,r se sustituyen por x í a , x e f t x í 7 ; a continuación se
aplica la *10*11, así como las proposiciones del Capítulo *10 que se precisen,
juntamente con las *22*33*34*35.
*22631. b. ar »( a u/ 9) = a
[*2268-621]
*22632. E : a —i 8 . 3 . a = a n ,8
[*22-42621]
*22633. h : a C | 8 . 3 . a u i y = ( ( i n j 9 ) u 7
[*22'551'621]
*2264. t " ! . a C 7 . v . ^ C 7 : D . a n / 8 C 7
Dem.
b . *22"47"51 . D b : a C 7 . D . a n / S C 7 : / 9 C 7 . D . a n / 3 C 7
b . (1 ). *4-77. D b . Prop
(1)
La conversa de esta proposición no tiene validez, porque la conversa de la *10*41
no es válida.
*2266.
b :.aC /3 . v . a C 7 : D .a C /9 w7
[*22-6167 .*4-77]
Nuevamente aquí, la conversa no es verdadera.
274
SECCION C. CLASES Y RELACIONES
*22-66. H:«C/ 8 . D . « w7 C í8 u 7
[*238]
•22 68. K ( a n j3 ) u ( a f v y )- « n ( j3 u Y )
Dem.
h .* 2 2 '3 4 .3 h ss* í |(a n j8) u ( a n 7)] . = :.* « a r\f ¡. v . x t a n y i .
[*22'33]
= t.xea.xe/3
[•44]
= u xeo ixefí.v .xtyi.
.v .x ta .x e y :.
[•22-34]
= :.* « « .* * /9 w7 :.
[•22-33]
= ; . * « « n ( / 8 v»7 )
(1)
h . ( 1 ) . * 1 0 1 1 . «20-43.31-. Prop
*22-69. I-. (a v $) a (« w7 ) *• o u (/? n 7)
[Prueba similar, por la *4'41 ]
Las últimas proposiciones *22'68'69 son las dos formas de la ley distributiva.
Nótese que una procede de la otra intercambiando los signos de adición y producto.
*227.
*2271.
*2272.
*2273.
*22-74.
h . ( a u j S ) u 7 = a « ( i S « 7)
a « | 3 w 7 . ( « v j 8 ) u 7 Df
[*433]
b : a Cy . f } C$ - 0 . a * j / 3 Cy <J &
[*348]
I : « = 7 . | 8 » í . 3 . a v / 3 = 7 u 8 [*10-411]
l- :a A / 9 C 7 .a A 7 C /9 .s .n A /9 = 0A7
Dem.
h . *22'43 . *4-73 . 2
[*22 45]
: a r\ f) C y . = . a n (3 C a. a e\ fi C y .
s . o a /8 C o a 7
(1)
l.d ) 7. 0
0.7*
i ar\yC/3.s.ariyCar\f3
(2)
1. (1). (2). *4-38.3 h : a a /9C 7 . a a 7 C /8. = . « a fi C a a 7 . a a 7 C o a &.
[*22-41]
=.aA /9-aA 7:3K Prop
•22 8.
K -(-a)«a
•2281. l - : « C / 8 . 3 . - / 9 C - «
*22 811. l-:aC —( S . s . í i C —a
*2282. h : a A / 9 C 7 . H . a —7 C —/3
*2283. h : a = /3. = . —a = —/3
*22831. h :a = —/3. = .#=> —a
. - ( a A/3)-=-a v - / 9
*22 84.
. an( 3 = —(—«v —/9)
*2286.
*2286. K . - ( - a A - / í ) = awy8
*2287. K - « a - j8 « - ( « « í )
[*4-13]
[*4-l]
[*4-l. *22-8]
[*414]
1*411]
[*412]
[*451]
[*22-84-831]
[*4 57]
[*22-86 831]
Las *22‘84'85'86 87 son las fórmulas de De Morgan.
*2288.
K (*).«*(««- a )
[*211 ]
Esta es una forma de la ley del medio excluso.
*2289.
h ,(x).ar~«(« —a)
[*3 24]
275
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
Esta es una forma de la ley de contradicción.
*229.
*22-91.
K(aw/9)-/9 = a -/3
K « w /8 = a u ( £ - a )
[*561]
Dem.
h .*5-63.
3h:.*ía.v.iEfj8: = : x e a . v .xe/3.x~ea
[*22-33'34'35] 3 h . í t e a u ^ . = : i € a . v . í e ( í - a ) :
[*22"34]
= : i ¡ a u ( j 9 —a)
K ( l ) . * 1 0 1 1 . #20 4 3 . 3 h . Prop
(1)
*2292. H : a C / 8 . D ./8 = aw(/ 8 - a ) [*2291'62]
*22-93. l-.o —/8= a —( a n / 8)
Dem.
t- .*4-73. T ransp. 3 I- x t a . 3
. = , ~ ( x e a . x e 13).
[*22-33]
(a n P ) ...
[*5'32]
3 h x e a . x ~ e / 3 . = . « e i . 2 ~ c ( a n ¡3)
[*22-35-33]
5 l-: x e a —/3. = . x e a —(a n ¡3):
[* 1 0 l 1 .*20-43] 3 l - . a —/8 = a —( a n / 9 ) . 3 l - . Prop
*22-94.
Dem.
I-:(a)./a.s.(a)./(-a)
h . *10 1.
3 !-:(«) . / a . 3 . / ( - o ) :
[* 1 0 1 1 -21]
3 H: (a) . / a . 3 . (a) . / ( - a )
H. * 1 0 1 .
3 h ¡(a )./(-a ). 3 ./{ -(-a )} .
[*22-8.*20'18]
3 ./a :
[*1011-21]
3 h : (a) . / ( - a ) . 3 . (a) . / a
h . ( l ) . ( 2) . 3 h . P r o p
( 1)
(2)
Esta proposición se usa en conexión con la inducción matemática, en la *90 102,
la cual es requerida para la prueba de la *90" 132, que es una de las proposiciones
fundamentales en la teoría de la inducción matemática.
*2295.
Dem.
h : ( g a ) ./ a . s .( g a )./( -a )
h . * 2 2 -9 4 .3 h ! (a ).
.( a ) a )
V. (1 ). T ransp. # 20'6.3 1 - . Prop
276
(1)
*23. CALCULO DE RELACIONES
Sumario dei *23.
Las definiciones y proposiciones de este capítulo vienen a ser las correspondien­
tes análogas de las del Capítulo *22. Las propiedades de las relaciones que no tienen
análogas en las clases no se tratarán hasta la Sección D. En este número se
sustituirán las pruebas, precisamente por ser semejantes a las empleadas en las
proposiciones análogas del *22. En este número, e igualmente en los siguientes, las
letras latinas mayúsculas significan expresiones de la forma £y 0 I (x, y), o, donde
no se usen como variables aparentes, por xy 0 (x, y). Las proposiciones principales
de este número son las análogas de las del *22.
*23 01.
*2302
*23 03.
*2304.
*23 05.
R G S . = : x R y . DJ>1(. xüy Df
R r tS =á ip ( x R y . xSy)
Df
R w S = &Q( x R y . v . xSy) Df
Df
R -S= R ñx-S
Df
A estas definiciones son aplicables observaciones similares a las del *22.
*231.
1-:. R C.S. = : x R y . DIiy . x S y
*23 2. H. R ñ S = üp ( x R y . xSy)
*23 3.
h . R o 8 = $p (x R y . v . xSy)
*23-31. K - R = £ £ |~ (* % )|
*23-32. \ - . R ^ - S = 2p \xRy • (xSy)}
*23 33. I- : x ( R ñ S ) y . = . x R y . xSy
*23 34. h : . x ( R kí S ) y . s i x R y . v . x S y
*2335. I- z x —R y . 5 . ~ ( x R y )
*23351. K - / £ * f í
*2336. h . R ñ S t Reí
*2337. I- . R u S c R e Á
*2338. K - R e Reí
*23 39. h . xP<l>(x, y) r\ npifr (x, y) = &p {<t>(x, y ) . ->]r(x, y)}
*23 391. h . 5¡P0 (x, y) v SÍp^r (*, y) =
{0 (*, y ) . v . ifr (x. y)}
«23 392. I- . —$p 0 (*, y ) = &P {~ 0 (x, y )J
*234. \ - t . R G 8 . 8 G R . s i x R y . =*,„. xSy
*2341. b - . R G S . S G R . 3 . R = S
*23 42. h . R G R
*2343. b . R ñ S G R
*2344. I- i R G S . S G T . I . R G T
*23441 I-: jR G S . x R y . D . xSy
277
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
*23-45. b : R G S . R G T . 3 . R G S * T
*23 46. t-: x Ry . R G8 . D. xSy
*2347. b : R G T . 3 . R ñ S G T
*2348. \ - : RGS. 5. Rf >T<l S*T
*23-481. \-:R = S . 3 . R * T = S * T
*2349. \ - : P G Q . R G S . 3 . P ñ R G Q ñ S
*23 5. b . R * R = R
*23'51. b . R A S ^ S ñ R
*2352. b , ( R * S ) * T = R * ( S ñ T )
*23 53. R * 8 * T = ( R * S ) * T Df
*2354. b : . R - S . 3 : R G T . = . S G T
*2355. b : . R = S . ^ : T G R . = . T G S
*23551. I-: R = S . 3 . R v T = S v T
*23 56. I- . R v R = R
*2357. b . R v 8 = S v R
*2358. b . R G R v S . S G R v S
*23-59. b i R G T . S G T . & . R v S G T
*23 6. b - . . x ( R v S ) y . = : R G T . S G T . 3 T . x T y
*2361. b - . R G S . O . R G S v T
*2362. b : R G S . = . R v S = S
*23621. b i R G S . = . R ñ S = R
*23-63. b. R v ( R < ‘>S) = R
*23-631. b . R ñ ( R u S ) = R
*23632. I- : R ~ S . ^ . R = R ñ S
*23-633. b : R G S . 3 . R v T = ( R f \ S ) v T
*2364. b : . R G T . v . S G T : 0 . R * 8 G T
*2365. b : . R G S . v . R G T : O . R G S v T
*2366. b i R G S . O . R v T G S v T
*2368. b . ( R ñ S ) K / ( R f > T ) = * R * ( 8 v T )
*2369. h . ( R v S) A ( R v T) = R v (8 A T)
*237. b . ( R v S ) v T = R kí ( S v T)
*2371. R ki S u T = ( R v S ) v T Df
*23 72. b - . P G R . Q G S . O . P v Q G R v S
*23 73. I- : P = R . Q = S . 3 . P o Q = R v S
*23-74. b : P ñ Q G R . P t > R G Q . s . P ñ Q = P * R
*238. \ - . - ( - R ) = R
*2361. b i R G S . s . - ^ S G - R
*23811. b: R G ^ - S . s . S G - R
*2382. b : R ¿ x 8 G T . s . R ^ - T G ^ - S
*2363. b : R = S . s . ¿ - R = ¿ - S
*23 831. b t R = ¿ - S . 3 . S = ¿-R
*2384 l-.-MfiA S) = ¿ - R v - S
278
SECCION C. CLASES Y RELACIONES
*23-85.
*23'86.
*2387.
*2388.
*23-89.
*23-9.
*2391.
*23 92.
*2393.
*23 94.
*23-95.
\-.R ñ S = M -R v-S )
h . ¿ - ( ¿ - R ñ - ^ 8 ) = R<aS
b.-R ñ ¿ -S = -(R vS )
b . (x ,y ) . x ( R w —R ) y
I-. (x, y) ■ { « (JíiJl)y }
b.(R oS)¿-S= R -S
h.R vSr= R v(S-R )
I-: R G S . O . S = R v ( S ¿ - R )
b .R ^S -R -(R ñ S )
b i(R )./R .s.(R ).f(^-R )
b:(^R )./R .= .(^ R ).f(^ R )
279
*24. LA CLASE UNIVERSAL, LA CLASE NULA, Y
LA EXISTENCIA DE CLASES
Sumario del *24.
La ciase universal, representada por V, es la clase de todos los objetos del tipo
que, en un contexto dado, se representan por letras latinas minúsculas, es decir, del
tipo más bajo considerado. Así, pues, V, al igual que “Cls” , es ambiguo por lo que
respecta al tipo. Su definición es la siguiente:
*2401. V = £(* = *) Df
Cualquier otra propiedad poseída por todo haría lo mismo que “jc=
ésta es la única propiedad que hemos estudiado hasta ahora.
x” ;
pero
La clase nula, representada por A, es la clase que no tiene miembros. Igual que
V, es ambigua en cuanto al tipo. Empleamos el mismo símbolo, A, para clases nulas
de varios tipos; pero estas clases nulas son diferentes. El tipo de A se determina por
aquellos términos x respecto de los que “ e A” es falso: cualquiera que sea x,
“jc e A” no representará una proposición verdadera; pero, salvo que x sea del tipo
apropiado, “x e A” será un sinsentido, no falso. De este modo, A es del tipo
inmediato superior que el de un miembro x respecto del cual “ e A” es significante
y falso. La definición de A es
*2402. A = - V I)f
Cuando una clase a no es nula, de forma que tiene uno o más miembros, se dice
que existe. (Este sentido de la “existencia” no debe confundirse con el definido en
*14-02). Escribimos “ 3 ! a ” para “o existe” . La definición es
jc
jc
*2403.
3
!o . = . ( 3 ®).iTía Df
En este número, trataremos primero de las propiedades de A y de V y, después,
de su existencia. Comparando el álgebra de la lógica simbólica con el álgebra
ordinaria, A toma el lugar del 0, mientras que V combina las propiedades del 1 y del
OO.
Entre las más importantes propiedades de A y de V que se prueban en este
número están las siguientes:
*241.
h. A+V
Es decir “nada no es todo” . Esto es útil cuando se nos da la existencia de por lo
menos dos clases. Si los filósofos monistas se mantuvieran firmes al sostener que
sólo existe un individual, debería haber sólo dos clases, la A y la V, siendo V (en
este caso) la clase cuyo único miembro es el individual en cuestión. Nuestras
proposiciones primitivas no exigen la existencia de más de un individual.
*24-102-103 muestran que cualquier función que siempre es verdadera determina
280
SECCION C. CLASES Y RELACIONES
la clase universal, y que cualquier función que siempre es falsa determina la clase
nula.
*24-21 -22 ofrecen las formas de las leyes de la contradicción y del medio excluso,
a saber, “ nada es a la vez a y no-a” (a n —a = A) y “cada cosa es a o no-a”
(a U —a = V).
*24-23-24'26-27 proporcionan las propiedades de A y de V con respecto a la suma
y al producto, a saber: la multiplicación por V y la suma de A no producen cambio
en una clase (*2426'24); la suma de V da V, y la multiplicación por A da A
(*24-27,23). Se observará que las propiedades de A y de V resultan una de otra
intercambiando la suma por el producto.
*243.
l-:aC/?. = . a - £ = A
Esto es, “a está contenida en 0” es equivalente a “a pero no 0, nada es” .
*24 311. l - : a C —¡8 . = . a <■>£ = A
Esto es, “ningún a es un 0” es equivalente a “nada es a la vez a y 0” .
*24411. l - : , 8 C a . D . a - j 8 v ( a - / 3 )
*24*43. h : a —/ 3 C ' y . s . a C / ! ) w y
Como regla, las proposiciones que se relacionan con la V se usan mucho menos
que las proposiciones correlativas respecto de la A.
Las propiedades de la existencia de las clases se derivan de las referidas a la A
debido al hecho de que 3 ! a es el contradictorio de a = A, como se prueba en
*24 54. Así, en virtud de la *24 3, tenemos,
*24 56. h : ~ ( a C/ 3). s . g ! a —0
Esto es, “no todas las a ’s son 0’s” es equivalente a “existen a ’s que no son 0’s” .
Esta es la proposición familiar de la lógica formal que dice que la contradictoria de
la universal afirmativa es la particular negativa.
Tenemos
*2456.
h : . g ! ( a u (8) . = : a ! a . v . g !/8
*24561. t - : g ! ( a r > / 3 ) . D . g ! o r . g ! / 8
Esto es, si existe una suma, entonces existe uno de los sumandos, y viceversa; y si
existe un producto, ambos factores existen (pero no viceversa).
Las pruebas de las proposiciones en este número no ofrecen dificultad.
*24 01. V = £(* = *•)
*24 02. A = —V
*2403. a ! a . - . (g«) .¡tea
*241. I-. A + V
*24-101. I-. V = - A
Df
Df
Df
[*22-351 . (*2402)]
[*22-831 . (*24 02)]
281
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
*24102. b : ( x ) . <px. = . 2 (<f>z) = V
Deni.
h . *1315. *5501, 3 l - : . ^ í . = ¡ ^ t . s . * = í ! .
[*10*ll-27l]
D I - (x) . <f>x. = : («): <f>x. 3 . jr = ;r :
[*2015]
s : z(<f>z) —5( x = x):
[(*24‘01)]
= : 2(c¿>¿) = V D b . Prop
Así, pues, cualquier función que es siempre verdadera determina laclase univer­
sal, y viceversa.
*24*103. I-: (¡e)
. = . i (<f>z) = A
Dem.
I-. *24*102 . DH :. (x) . ~ < ^ r . = : 2 ( ~ ^ ) = V :
[*22*392]
= : - 2 (< / > z ) = V :
[*22*831]
= : i (<f>z) = —V :
[(*24*02)]
s : i (tpz) = A :. D I-. Prop
*24*104. I-. (x) ,¡ t f V
Dem.
I-. *20*3 . D I- :* e V . = , x = x
I - .(1).*13-15.*10 11*271 . D h . Prop
*24*105. h . (x ) . ¡r~ e A
Dem.
h . *22*35 . D I-: x e A . = . ¡r~ e V :
[*4*12]
Dh:
A . = .xe V
I-. (1 ). *10*11*271 . *24*104. D b . Prop
*2411. h . ( a ) . a C V
Dem.
I-. *24*104. *10* . D K t f í V .
D I- i x e a . D . x e V :
[Sirnp]
D h:aC V :
[* 1011 .* 22*1]
D I-: ( a ) . o C V : D h . Prop
[*10*11]
*2412. I * . ( « ). A C «
Dem.
Db.t~ íA .
b. *24*105. *10* .
D h:jccA.D.Xfa
[* 2*21]
l - . ( l ) . * 10*11 .* 2'1 . D I-. Prop
*24*13. h : a —A . = . a C A
Dem.
. a CA . A Ca .
I-. *24*12 . *4*73 . D I-: a C A
. a = A : D I-. Prop
[*22*41]
*24*14. h : ( * ) . * e a . = . B “ V
Dem.
I-. *24-102 . D I-: (* ). x e a . = á (x e a) = V .
[*20*32]
2 a = V : D b . Prop
*24*141. b: V C « . = . V = «
282
( 1)
«)
( 1)
SECCION C. CLASES Y RELACIONES
Dem.
I-. * 2 4 1 1 . * 4 -7 3 .3 h : V C a . s . a C V . V C a.
[*2241]
= . « = V : 3 4 . Prop
*2415. h :(x) . x ~ e a . s . a = A
Dem.
I-. *24103 . 31-: (¡r). x ~ e a . s . i ( í t a ) = A .
[*20 32]
e . a = A : 3 I-. Prop
*2417. I-:« = V . = . —a ~ A [*2283.(*24-02)]
*2421. K o * - a = A
[*24103. *22-80]
*2422. l - . g u —a = V
[*2288. *24102]
*2423. h . o a A » A
[*2412. *22 621 ]
*24 24. h . « o A * a
[#2412 . *22-62]
Las dos últimas proposiciones (*24 23 24) manifiestan la analogía algebráica
entre la A y el cero.
*2426. K # n V = «
[*22-621 .*2411]
Esta manifiesta la analogía entre la V y el 1.
*2427. h , j u V = V
[*22-62. *2411]
Esta presenta la analogía entre la V y el °°.
*24-3. h : a C/ 9. s . a —/3 = A
Dem.
h . *4-53-6 . 3
h : . ¿ r e a > 3 < * e i 9 : s :~ ( * < a .a :~ e /3 ) :
[*22.35]
=
/8 ):
[*22'33]
= :~ (< rea —f})
l - . ( l ) . * 1011-271.3
( 1)
I- :aC/ 3. m. (x). ~(xta —0).
f*24'15] s . a —D —A : 3 1-. Prop
Esta proposición se emplea muy frecuentemente.
*2431. h a C | 9 . s . - a u / 8 = V
Dem.
h .* 4 '6 .
3h:.x< a.3.£cjS: = :£~ca.v.a:cp:.
[*10‘11'271] 3 h :. a C f i . = : (x ): x ~ e a . v . x e /8:
[*22*35]
= : ( * ) : are —a . v .are/ 8 :
[*22'34J
= : ( x ) . x f ( —a \ i f i ) :
[*24'14]
= : —aw / 8 = V :. 31-. Prop
Esta proposición es la correlativa de la *24*3; pero, contrariamente a aquélla, no
se usará en lo sucesivo. Cada proposición referida a la A tiene una correlativa
referida a la V, pero raramente ofreceremos estas correlaciones, puesto que apenas
se precisan para las pruebas que vienen a continuación.
283
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
*24-311. l - : a C - £ . = . anyS = A
Dem.
.*22*35. 3 l - : . * í a . D . í E - ft: = : x e a . 0 .
3:
[*4*51*62]
=
a. ¡re/9):
[*2233]
= :~(nanj3)
h .(1) .*10-11-271.3 h : a C —/3 . = . (a?).
/9 .
[*24’15]
= . a n / 8 = A : 0 l - . Prop
( 1)
*24-312. l - : - a C / 9 . = . a u / 9 = V
Dem.
t-. *22'35 . D h :. —a C / 3 . = : a ~ e o . D I . * t / 3 :
[*4-64]
= : ( i ) : j:((<. v . i €(3:
[*22:34]
[*2414]
= :(í).iíau )3 :
= : a u / 9 = Vc.DKProp
*24-313. l- :ar. /9 = A . = . a = a - /9 [*24311 . *22-621 ]
*2432. f-:. avj /8 = A . = . o * A . / S = A
Dem.
. *24-13. 3 h : . « u | 8 = A . E : a u j 3 C A :
[*2259]
= :aCA.0 CA :
[*24-13]
= : a = A . y 3 = A : . Dl-.Prop
*24'33. (-:a = V . D . a u / 8 = V
Dem.
h . *22-551 . D I - : H p . 3 . a u / 3 = V ü ^
[*24 27.*22-57]
= V s D I-. Prop
*24-34.
*24 35.
*24-36.
*2437.
h :a = A . D . a n / 8 = A [*22481 .*2423]
P : a = V . D . a n /8= /3 [*22481 .*24-26]
l- :a = A . D . a u / 3 = /9 [*22551 .*2424]
h : . a n j 9 = A. = : a : e a . iV í/9.DI, 1, . a 4 ; y
Dem.
y . *24'15 . D H : . a n / 3 = A . s : (a:). ¡r~e(a n /3) :
[*2233]
= : ( i ) . ~ ( i e a .¡c f/9 ):
[*13"191]
= : ( x , y):¿r = y . D . ~ ( a : e a . y e / 9 ) :
[Transp]
3 :(x, y ) : ; r r a . y í | 8 . D. ar + y : . I ) f - . Proj)
*2438. h : . a n / 3 = A . D : a 4 = / 3 . v . a = A . / 3 = A
Dem.
y . *22481 . D h a n á = A . a = |8 . D . a n a = A .
[*22-5]
D .a = A .
[*20 23]
D.a = A .£ = A
h . (1) . Exp . D h : . a n /8 = A . D : a = / 3 . D . a = A . ^ = A :
[*4 6]
D : a + /8 . v . a = A . 0 = A :. D I-. Prop
*24'39. h : . a n S = A . s : a ; í a . D I .¡P<-oe0 [*24.311 . *22 35]
284
O)
SECCION C. CLASES Y RELACIONES
*24'4.
l - : a r i / 3 = A . = . ( a u / 3 ) - a = /8 . = . ( a v » / 3 ) - / 9 = a
Dem.
h . *24-311 . D I - : a n /8 = A . = . / 9 C - a .
[*22621]
= . /8—a = /3 .
[*22-9]
= . (a o £ ) —a = /S
(1)
3 ( - : / 3 n a = A . = .(/9va )-/3 = a:
[*22-51 -57] 3 h : a r i / 9 = A . a . ( a o / 9 ) - / 3 = a
I-. (1) . (2). 3 h . Prop
*24401. I-: £ C a . 3 . (/3 u 7 ) —a = 7 —a
Dem.
(- . *22'63. 3 1-. (£ >j 7 ) —a = (£ - a) u (7 —a)
K *24"3. 3 f : H p . 3 . 0 - a = A
h .(1) . (2) . D I-: H p . D .(/3 w 7 ) - a = A u (7 - a )
[*24 24]
= 7 —a : 3 I-. Prop
*24402. l - : a n / 3 = A . f C « - » 7 C/ 9 . D . f n t? = A
Dem.
(-.*22-49.31- : H p . D . f n ^ C a n / 3 .
[*22-55]
3 . f n t, C A .
[*24 13]
3 . f A , = A:3l-.Prop
*2441. K a = ( a n j 9 ) u ( a - j 3 )
Dem.
(-. *22 68 . 3 (■. (a r>fi) <
j (a —¡3) = a n (f3 u —/9)
[*24 22]
= an V
[*24-2(1]
= a . 3 h . Prop
*24411. h : / 3 C a . 3 . a = j8 w ( a —¿8)
Dem.
(-. *22-633
[*2441]
( 2)
O)
( 2)
- ■3 I-: 0 C a . 3 . 0 u (a - 0 ) = (a n 0 ) o (a - 0)
’ ’
= o : 3 h . Prop
*24412. | - : 0 C e . 7 C 0 . 3 .(a —0 ) u (0 - 7 ) = a —7
Dem.
I- .* 2 4 4 1 .3 h : Hp . 3 . (a —0 ) w(0 —7 ) = (a —0 n 7 ) u (a —0 —7 ) u (0 —7 )
[*24-3-23]
= ( a - /9 - 7 ) » ( i8 - 7 )
[*22-68]
= [(a —0 ) u 0 ) —7
[*24411]
= a —7 : 3 (•. Prop
Esta proposición se usa en *234-181, en la teoría de las funciones continuas.
*2442. h : a n / 3 C y . a —f i C y . a . a C y
Dem.
t-. *22-59. 3 ( - : a n / 3 C 7 . a —0 C 7 . = . (a n 0 ) o (a —/3)Cy .
[*2441]
= . a C 7 : 3 I-. Prop
*2443.
l-:a -j9 C 7 .= .aCj3u7
Dem.
285
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
I- . *5‘6 . 3 I5 . x e y : = xe a . 3 :xe &. v . x cy
[*22-35'33]3 I-:: ¡r«a —f í . ' S . x t y i = : . x ( a . 0 : x e / 3 . v . x e y . .
[*2234]
= :.x(a.5.xe(/8vy)
(1)
K ( l ) . *1011-271.31-. Prop
«24431. h . (a u y) n (/S u - y ) *t(a n fl) u (a—y) u (fi n y)
Esta proposición y la siguiente son lemas para la *24"44.
Dem.
h . * 22'68 . 3 I-. (a u y) n (/9 u - y) = ¡(« UY)nj5 | u | ( í « y ) n - 7 ]
= (a n ¡3) v (7 r>&) u (a - 7 ) v (7 - 7 )
[*22 68]
[*24-21]
[*24-24]
[*22-51-57]
»(an(3)u(7ft/S)u(«-7)«A
- ( « " ) 5 ) « ( 7 n £) u (a - 7 )
“ (a n fi) u (a —7 ) v (£ « 7 ) . 3 H. Prop
*24-432. I-. (a - 7) u (/9 n 7) = (a n £) u (a - 7) u (£ n 7)
Dem.
h . *24-22-35 . 3 h . a n /3 = (a n 0) n 17 u —7 )
[*22 68]
= (a n /9 A 7 ) w (a n - 7 )
[*2251]
= ( í n j 8 n 7 ) « ( « n - 7 n f f l.
[*22-551]
3 t- . (a n 0) u (a —7 ) = (a n /8 n 7 ) u (a n - 7 n $ ) \J (« - 7 )
[*22-63]
= (a n 0 n 7 ) u (a - 7 )
[*22-57]
= (a —7 ) « (a o /8 n 7 ) .
[*22-551]
[*22 63]
3 h . (a n £) v (a - 7 ) v (£ n 7 ) = ( a - 7 ) u (an £ r>7 ) v 08 n 7 )
= (a —7 ) m (/8 n 7 ) . 3 h . Prop
*24 44.
h . (a u 7 ) n (/8 w —7 ) = (a r> —7 ) w 09 n 7)
*2446.
l-:(af>7)w(/ 8 - 7) = A . 3 ./ 8 C 7 . 7 C —a
1*24-431-4321
Dem.
h . *24*32.3 h : ( ar > 7) wO —7) = A. = . a n 7 = A./3 —7 = A .
[*24-3-311]
S . 7 C —a . / 8 C 7 : 3 h. Pr op
*24 46.
h : (a n 7 ) u (ff —7 ) = A . 3 . a n /3 = A
Dem.
H. *24-45 . *22 4 4 . 3 1-: H p . 3 . 0 C - a .
[*22811]
3.aC -/3.
[*24311]
3 . a « /3= A : 3 I-. Prop
Las siguientes proposiciones, hasta la *2'49S inclusive, son lemas que se incluyen
para emplearlas en muchas proposiciones posteriores, la mayoría de las cuales sólo
se usan muy pocas veces.
*2447. h : a « / 3 ’c= A . a u / 9 = 7 . = . a C 7 . £ = 7 —0
Dem.
1-.*24-311. 3 h : a n 0 = A . s . £ C - a
286
(1)
SECCION C. CLASES Y RELACIONES
h ■*22 4 1 1 3 f * ; a u j 9 « » ) f t 5 , f t y j g C Y * 7 C f t U j 3 l
[*2259.*24 43]
s.aC y./3C y.y-aC /3
(2)
K . ( l ) . ( 2 ) . 3 I - : a r t ) 3 = A. «u/ 9 = 7 . = . /3 C - « . a C 7 . /8 C 7 . 7 - a C / 3 .
t*4'3!
s - a C y . / 3 C y . 0 C —a . y —a C f i .
[*22451
& . a C y . / 3 C y ~ a . y —a C / 3 .
[*22‘41]
s . « C 7 .Í 8 = 7 —a : D h . Prop
*2448.
Hs.fC«.f'Ca.,Cy8.VCy3.art/9=A.D:
= « V - = •£ = £ '■1?= V
h .* 2 2 7 3 .
3l-:£ = f
=
= F ui'
I-. *22 481 .
3 I " f w a; = f ’ w t j '. 3 : ( f o »;) a « = (f* u ij') r> a :
[*22’68]
D : ( f A a)u(jjA a)= (f'na)u()7'A a)
h . *22621 .
3 l - : f C a . 3 . f Aa = f : f C a . 3 . f Aa = f :
[*:V47]
D h r f C a . f ' C a . D . f Aa = f . f n a = f
t-. * 2 2 4 8 .
3b:»)C/8.3.»jAaCaA/9:
[*22-55]
D h , C ( 3 . « n í = A . D . r) a a C A .
[*24’13]
S .ifn asA
Similarmente
h : )7' C / 9 . a A í8 = A . 3 . . 7' A a = A
I". (3 ). (4).
DI- :. H p . 3 : (J a a) u (r¡ a a) = f o A
1*24-24]
= f
I-. (3). (5).
3 h H p . 3 : (f' Aa) u(i )' A a) = f ' w A
[*24 24]
» f'
l-.(2).(6).(7).3l-:.H p.D :f u
3 . f = £'
Sim ilarm ente
I - H p . 3: £ w ij- f « ,'• 3 -v= v
4 . (1). (8). (!J). 3 1-. Prop
(1)
(2)
(3)
(4)
( 5)
( 6)
(7)
(8)
(9>
La última proposición, además de usarse en las dos siguientes, se emplea, en la
teoría de pares (*54 6), en la teoría del mayor y menor (*117,632), y en el
capítulo dedicado a la ordenación de las clases por el principio de las primeras
diferencias (* 17068).
*24481. l " : . a A / 8 = A . a A 7 s * A . 3 : a u / 8 « = a u 7 . = .j8=7
l)em.
I-. *24-48
o.
P. f» f . V. V^ . 3
f : . a C a . a C a . / 3 C - a . 7 C —a . a —a = A . 3 :
«U | 8 = a u 7 . s . « = a. j 9 = 7
I-. *22-42 . *24-21.3
( 1)
h . a C a . a C s . / 3 C - a . y C — a . a —a = A . a . £ C —1 . 7 C - 1 .
[*24 311]
= .aA /S = A .aA 7 = A
I- . *20'2. *4-7 3 . 3 h : a « a . / 3 = 7 . s . / 3 = 7
H• (1). (2) . (3 ). 3 K Prop
( 2)
(3)
Esta proposición se usa en la teoría de las selecciones (*83 74) dentro de la
287
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
teoría del mayor y menor (* 117*582), y en la teoría de la inducción transfinita
(*257).
*24'482. K s . f C a . i ; C / 8 . « n / 9 = A . D : f w » j = o u / 8 . = . f = a.*;=y9
^*24-48
*22-42J
Esta proposición se usa en la teoría de la convergencia (*232 34).
*24-49. l - : . a n /8= A . D : a C / 9 o > y . = . a C y
Dem.
I-. *22-621 . D t - : a C j 8 v>y. = . a » a « > 0 8 u 7 )
[*22-68]
= (a « /9) v (a n <y)
V . *24-24. D h : a n /9 = A . D . (a r\ 0 ) w (a n 7 ) = a a 7
H. (1) . (2) . D h H p . D : a C / 9 u y . = . a = a r » 7 .
[*22-621]
= . a C 7 : D I-. Prop
*24*491. t - : i 9 n 7 = A . a C / 9 w 7 .
D .a —/8 = a r i 7 .a —7 = a n ^ . a = (a —/3) u(a —7 )
Dem.
3 h : H p . D . a = a n ( ^ u 7 ).
H. *22-621 .
[*22-481]
D .a —7 = a n (/3 u 7 ) —7
» « n j8
[*24-4]
1-: H p . D . a —/8 »* a n 7
Similarmente
D h : H p . D . ( a - j 8) u ( « - 7 ) » ( e n 7 ) v ( « n j 3)
[*22-68]
=a n ( 7 « í )
=a
[*22-621]
h . ( 1 ) . (2 ). (3) .DI*. Prop
(1 )
(2)
0)
(2 )
(3)
Esta proposición se usa en la teoría de selecciones (*83*63-65) y en la teoría de
los segmentos de una serie ( * 2 1 1*84).
*24-492. l-si 8 C a . a —/8= 7 . D . a —7 = /9
Dem.
h . *22-481 . D H : H p . D . a —7 —a —(a —/9)
[* 22-8-86]
= a n ( —a « í )
[*22-8-9]
= a n /8
[*22-621]
« / 8 : DI-. Prop
Esta proposición se usa con cierta frecuencia, especialmente en la teoría de las
series. Primero se usa en la *93'273, en la teoría de las “generaciones” .
*24-493. h : £ n 7 = A . D . a = (a - /9) u (a - 7 )
Dem.
P . * 2 2 8 4 . *2417 . D P : H p . D . - / 9 w —7 = V .
[*2426]
D .a = a n ( —£ v —7 )
[*22 68]
= ( a —j9) <->(a —7 ) : D 1- . Prop
*24*494. h : f C a . i í C / 3 . a A y 9 = A.D.(fw»*j) —a = i j . ( f « >?) —P — Í
288
SECCION C. CLASES Y RELACIONES
Dem.
D b:H p.D .£-«-A
K*24*3.
DI-sHp.D./SC —«t.
h. *24*311.
D.ijC-a.
[*22*44]
D.if —« =
[*22*621]
b . *22 68.
31■•(? u *0 -<* = ( ? - “) u 0/ - »)
1-. (1). (2). (3). *24*24,. D I-: Hp . D. (f u i?)—« =
l - : H p . D . ( f U, ) - /8 = f
Similarmente
D h . Prop
M 4 ).(5 ).
(1)
(2)
(3)
(+)
(«)
Esta proposición se usa en la teoría de las selecciones (*83*63 y *88*45).
*24495. h : n n y = A . 0. ( a' j y) —(/3\ty)=*a —f}
Dem.
h. *22*87*68
h. ( avy) - ( ¡ 8vy) = ( a - / 9 - y ) v ( y - 0 - y )
[*24 21]
= « - £ —<
y
(1)
I-. *24*311. *22 621. D h : H p. D. a - y - a
(2)
K(l).(2).
DKProp
Esta proposición se usa en la teoría de los puntos mínimos (*205 83*832*84).
En lo que resta de este número entraremos en la cuestión de la existencia de las
clases. Muchas de las propiedades de la existencia de las ciases se derivan del hecho
de decir que una clase existe es equivalente a decir que una clase no es igual a la
clase nula. Esto se prueba en la *24*54.
*24 5.
1*: a ! a . = . (gx ) . xea
*2451. h : ~ a
[*4 2. (*24*03)]
.a«=A
Detn.
H. *24*5 . D l - : ~ a l a . s . ~ [(g*). x t «¡.
[*10*252]
& . (x). x~ca.
[*24*15]
= . a = A : D h . Prop
*24 52.
I-. a ! V [*24*51*1. Transp]
Esta proposición establece que la clase de todos los objetos del tipo en cuestión
no es nula, sino que tiene, al menos, un miembro. La suposición de que hay algo, lo
cual es equivalente a esta proposición, está implícita en la proposición *10*1, que
dice que lo que es siempre verdadero es verdadero en cualquier caso. Esto no
tendría validez si no hubiesen casos del todo; por lo tanto, implica la existencia de
algo. Se observará que la última proposición (*24*52) depende de la *24*1, la cual a
su vez depende de la *22*351, y ésta de la *10*251, que depende de la *10*24, la
cual depende de la *10*1 o de la *9*1. El supuesto de que hay algo está implícito en
el uso de la variable real, la cual de otro modo, no tendría sentido. Esto se explícita
en la *9*1 y en la prueba de la *9*2, que es la misma proposición que la *10*1.
*24*53. I- . ~ a 1A
[*24*51. #20*2]
289
SECCION C. CLASES Y RELACIONES
*24 54.
I- : g l a . s . a ^ A
[*2451. Transp]
*2455.
l-:~ (a C / 9 ). = . a ! a - / 8
[*24'3 • T ransp. *24-54]
*2456.
l - :. 3! (aw/ 3) . = s a ! a . v . a ! / 8
•24 561. l - : a l ( o n j 9 ) . D . a ! a . a ! / 3
[*10-42. *22-34]
[*10’5 .*22-33]
*24 57. I-;. a n / 9 = A . D : a ! a . D . a 4 = / 8
Deni.
I-. *22"481 . 3 l - : a n / 9 = A . a = ¿ 9 . 3 . a r > e = A .
1*22-5]
¡> . a = A .
[*24-51]
___ a !a
h . (1 ). E x p . T ransp. D I-. Prop
*24"671. h : a ! ® - « = ' / 3 - 3 . a ' ( a r '/3)
Dem.
V. *24-57 . Comm . D h : . a ! a . D : a r > / 3 = A.D.a=[=/8:
[Transp]
3 : a = /9.3.ari/3=|=A.
[*24-54]
D . a ! ( an£ )
h .(1). Imp. D h . Prop
(1)
O)
[* 1028 ]
*24-58.
t-:.aC £ .D :a'.a.D .a!£
*246.
h:.aC)8D:a + / 3 . s . a ! / 3 - a
Dem.
I-. *22-41 .T ran sp .
3 h : . H p . 3 : a + /3 -3-~(j8C a).
[*24-55]
’
D .a!£ -«
4.*24-21.
D I-:a-^.D ./8-a = A
h . (2). T ransp. *24-54 . 3 I-: a 1# —a . 3 . a +
I- . ( 1 ) . (3).
3 h . Prop
*2461.
h :~ a!/9.3.au/3 = a
*2462.
*2463.
h s ~ a ' . j 8 . D . a n ) 3 = A [*24-51-23]
I- :. A ~ í k . s : a e * . 3 . . a ! a
0)
( 2)
(3)
[*245124]
En esta proposición, las condiciones de significación exigen que k sea una clase
de clases. La condición “a e k . Da . 3 ! a ” se necesita como hipótesis en muchas
proposiciones. En virtud de la última proposición esta hipótesis puede sustituirse
por “A ~ e k .
Dem.
I- .*13*191.31-:. A ~ e * . s : a = A . 3 . . a
:
[Transp]
s : a e k . 3 . . o 4= A :
[*24‘54]
= : a r * . 3 . . y ! a 3 1 . Prop
Esta proposición se usa con frecuencia en las últimas partes de este libro. A
menudo tenemos que tratar sobre clases de clases existentes, y la forma más
conveniente de expresar que todos los miembros de una clase de clases existen es
“A ~ e k” .
290
*25. LA RELACION UNIVERSAL, LA RELACION NULA,
Y LA EXISTENCIA DE RELACIONES
Sumario del *25.
Este número contiene las análogas, en cuanto a las relaciones, de las definiciones
y proposiciones del *24. No se darán las pruebas, ya que se realizarían exactamente
igual que en el *24.
La relación universal, simbolizaba por V, es la relación que tiene lugar entre dos
términos cualesquiera de tipos apropiados, cualquiera que sean en el contexto dado.
La relación nula, A, es la relación que no se presenta entre cualquier par de
términos, cuyos tipos vienen fijados por los tipos de los términos respecto de los
cuales tiene significado negar que tengan validez. Una relación R se dice que existe
cuando hay, por lo menos, un par de términos entre los que tiene validez; “R
existe” se escribe “3 ! R ”.
A las proposiciones de este número se hacen mucho menos referencia que a las
del *24; pero, a fin de mantener la uniformidad, hemos dado a las análogas de todas
las proposiciones del *24 la misma numeración (excepto la parte entera).
Todas las observaciones hechas en el *24 tienen aplicación, mutatis mu tañáis, en
este número.
*2601.
*2502.
*2503.
*251.
*25101.
*25102.
*25103.
*25104.
*25105.
*2511.
*2512.
*2513.
*2514.
*25141.
*2515.
*2517.
*25-21.
V = í J ( i = i . y = y)
I)f
A=-V
l)f
á ! / í . = . (gar, y ) . xRy L)f
I-.A + V
K V=-A
h s(x,y). <f>(x,y).= .ípif>(x,y) = V
h s (x, y) . ~ <f>(x, y ) . = . <f>(x, y) = A
I-. (x, y ) . xXy
I-. (<r, y) . ~ (xÁy)
K(/?).«CV
h.(R).ÁGR
I-: jR = A . = . /i G A
I-: (x, y ) . x R y . = . R = V
h : V G i f . = .V = JÍ
i-: (x, y) . ~ ( x R y ) . = . R = A
y-.R = \ ' . = . - R = A
y , R f \ —]{ = \
291
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
*25 22.
*25 23.
*25 24.
*25 26.
*25 27.
*25-3.
*2531.
*25-311.
*25-312.
*25313.
*2532.
*2533.
*2534.
*2535.
*2536.
*25 37.
*2538.
*2539.
*254.
*25401.
*25402.
*25 41.
*25411.
*25412.
*2542.
*2543.
*25 431.
*25-432
*25-44.
*25 45.
*2546.
*2547.
*25 48.
b . R a x - R =V
I-. R r>A = A
h . R ki A = R
I-. R A V «=R
K R o V -V
b:RGS. =. R - S =A
h:RGS. = . - R o S = V
(-:R G -S.H .R ñS = A
i-: —R G . S . m . R v j S = \ r
H:RA<S=A. = . R - S = R
l-:Jíva)SÍ = Á . s . i í = A.iS=«A
l-:R«V.:>.Ac<S=V
h : « = A . D . Rr>S=*A
b-.R = V . O . R * S = S
h:R -A .D .R o.S = S
I-:: R A S = A . = x R y . zSw. 3*,,,,,»: * + *. v . y # w
I- :. R a S = A . : > : R + R . v . R = A . S = A
h R A»S= A . s : xRy . DIiV,~(xSy)
\-:P*Q~A. = .(PuQ )-P= Q . = .(P v Q ) -Q -P
t-rQ G P .IM Q 'afl}--^#-^
h:PAQ = A . R G P . S G g .3 . R r > S = A
K fi = («nS)ci(fiiS)
V : S G R . ? . R =S v ( R - S )
I-: Q C P . SG Q. 3 . <P-Q ) c/(Q -S) = P - S
b: P ñ Q G R . P ^ - Q Q R . = . P C R
h-.P-Q C R .s.P C Q oR
h. (Pwfí )<S(Qü-K) = ( P < s Q ) o ( P - « ) w ( Q A P )
b . (Px- R) v( Qt \ R)=*(P t \Q) v( Px- R) v( Qt \ R)
K( P «; R) .S ( Qv yi R) = .( P Ai R) u( QA R)
l-:(PAR)c/(Q-R)=»A.s.QGft.KGiP
h:(PÁR)a((3^R) = A . D . P ñ O - A
h : P A Q = A. Pva<2*R. = . P G R . Q = R ^ P
h:. R G P . R ' G P . S C Q . R ' C Q . P A Q - A . 3 :
ü « S = R 'c /S '. = .R = fi'.S - S '
*25 481. I-:. P A Q - A . P A R = A . D : P a Q = P o R . = . Q = R
*25482. H : . R G P . S G Q . P á Q = A . D : R o S « P k;<¿. = . R = P . S = Q
*2549. ( - : . P ñ Q = A . D : P G Q v a R . = . P G R
*25491. h : Q A R « A . P C Q o R . 3 .
P - ^Q = P i " » R. P —R = P A Q . P = (P-^Q)>y(P—R)
292
SECCION C. CLASES Y RELACIONES
*25-492. \ - : Q < i P . P ¿ . Q ~ R . 3 . P ¿ . R = Q
*25493. H Q A P = A . : > . P = ( P í Q ) ü ( P í P )
*25 494.
*25 495.
*25 5.
*25-51.
*25 52.
*25 53.
I - :P C P .S C Q .P A Q = A .D .( /í o 5 )í P = 5 . ( P
t - : P A f i = A .D . ( P t a R ) M Q o R)=¡P¿.Q
I-: g ! R • 3 . (gar, y ) . x R y
f- : ~ g ! R . = . R = A
K g !V
h .~ g ¡A
*2554.
*25 55.
(-:g !P . = .P + A
I- : ~ ( P C S ). = . g ! R ¿ - S
w S)-!.Q
= /2
*25-56. l - : . g ! ( K c » S ) . s : g ! f í . v . g ! S
*25-561. l - : g ! ( P A S ) . D . g ! P . g ! 5
*25-57. ( - : . P A S = A . D : g ! P . D . P 4 ¡S
*25 571..h : g ! B . P = S . D . g ! ( P ñ S )
*2558. H . P C S . D s g l P . D . g l S
*256.
f -:.f íC S .D :P + S . = . g ! S ^ «
*25-61. h : ~ g ' . S . O . R u S ^ R
*25 62. h : ~ g ! S . D . P AS<« A
*25 63. ! • A ~ c * . = : R e x .
.g ¡R
293
SECCION D
LOGICA DE RELACIONES
En esta sección trataremos de aquellas propiedades generales de las relaciones
que no tengan análogas en la teoría de clases. Las notaciones que se introducen en
esta sección se emplearán constantemente a lo largo del resto del libro, y las ideas
vertidas en las definiciones se verá que son de importancia fundamental.
294
*30. FUNCIONES DESCRIPTIVAS
Sumario del *30.
Las funciones consideradas hasta ahora, con la excepción de unas pocas funcio­
nes particulares tal como a O ó, han sido proposicionales; es decir, que por valores
suyos han tenido proposiciones. Pero las funciones ordinarias de las matemáticas,
tales como x 2 , sen x, log x , no son proposicionales. Las funciones de esta clase
siempre significan “el término que tiene tal y cual relación con x". Por esta razón
podemos denominarlas funciones descriptivas, puesto que describen un cierto
término por medio de su relación con su argumento. De este modo “sen jt/ 2”
describe al número 1; no obstante, las proposiciones en la que aparezca sen ff/2 no
son las mismas que las que tendríamos si sustituyéramos sen n/2 por 1. Esto se
aprecia, por ejemplo, en la proposición “ sen tf/2 = 1” , que lleva en sí una informa­
ción valiosa, mientras que, por el contrario, “ 1 = 1” es algo trivial. Las funciones
descriptivas, como las descripciones en general, no tiene significado por sí mismas,
sino en cuanto constitutivas de las proposiciones (66).
La definción general de una función descriptiva es:
*3001. R ‘y = {lx)(xRy) Df
Esto es, “R 'y” significa “el término x que tiene la relación R con y ”. Si hubiese
varios términos, o ninguno, que tuviesen la relación R con .y, todas las proposiciones
acerca de R'y, es decir, todas las proposiciones de la forma “0 {R'y)”, serían falsas.
El apostrofe que hay en “R'y" puede leerse “de” . A sí,si/? es la relación de padre a
hijo, “R 'y ” significa “el padre de y ”. Si R es la relación de hijo a padre, “R'y"
significa “el hijo de y"; en este caso, todas las proposiciones de la forma “0 (/?‘.y)”
serán falsas salvo que .y tengan un solo hijo y no más.
Todas las funciones que se presentan en las matemáticas ordinarias son ejemplos
de la definición de arriba; todas se obtienen, de la manera dicha, de alguna relación.
Así, en nuestra notación, “R'y" ocupa el lugar de lo que comúnmente sería “f y '\
reservándose esta última notación para las funciones proposicionales. Debemos
escribir “sen**” en vez de “ sen x " usando “sen” para expresar la relación de x a y
cuando x = sen .y.
Una definición tal como R'y = ( « ) (xRy), en donde el significado dado al
término definido es una descripción, debe entenderse que significa que el término
definido (en este caso R 'y) y la descripción asignada a su significado (en este caso
(ijc) (xRy)) son intercambiables en uso: la definición es, en cierto sentido, más
puramente simbólica que otras definiciones, ya que la descripción asignada como el
(66) Cf. *14, más arriba.
295
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
significado no tiene significado en sí mismo salvo en uso. Quizás fuese más
formalmente correcto escribir
/ ( * * » ) . - . / ( ( » ) ( « % ) ] Df.
Sin embargo, todavía esta definición no está completa del todo, porque omite la
mención a los alcances de las dos descrip iones, R'y y (ix) (xRy). Así, pues, la
forma completa sería
í K‘y]
. = . [(ix) (xR y)] . / ((» ) (c ty )] Df.
Pero no es preciso adoptar esta forma de definición, dado que se entiende que la
definición *30 01 significa que puede escribirse "R'y" en lugar de “(7* ) (xRy)
dondequiera que sea; esto es, tanto en las indicaciones del alcance como en
cualquier otro sitio. El uso de la definición se realiza siempre de acuerdo con la
proposición:
h : [R ‘y] - / ( R ' y ) • a • [(»*) (x R y ) ] - f( ix ) (xRy),
que es la *30*1, que aparecerá más abajo.
Debe observarse que la *30 01 no necesariamente implica
R ‘y = (*r) (xRy).
Pues esto, en virtud de la definición, es equivalente a
( ix) (xR y) = ( ».r) (xR y),
lo cual, por la *14*28, sólo tiene validez cuando E ! (uc) (xRy), esto es, cuando hay
un término, y no más, que tiene la relación R con y.
Todos los convenios en cuanto al alcance, explicados en el *14 pueden trasferirse
a R'x; es decir que, en ausencia de una indicación contraria, el alcance de R 'x debe
ser la proposición más pequeña, encerrada por puntos o paréntesis en la que
aparezca la R'x en cuestión.
Proponemos
*3002. IP S 'y ^ R W y ) Df
Esta definición sirve únicamente para evitar los paréntesis. Debe interpretarse
según este significado:
[ R 'S ' y ] - f ( R 'S 'y ) . = . [R ‘( S 'y ) ] - f[ H ‘(S'y)} Df.
En el futuro, frecuentemente definiremos una nueva expresión de forma que
tenga una frase descriptiva como significado; en tal caso, la definición ha de
interpretarse siempre como se ha indicado. Es decir, que cualquier proposición en la
que interviene una nueva expresión debe ser la proposición que se obtenga al
sustituir la vieja expresión por una nueva, dondequiera que ocurra la última.
En la última expresión, R' (F y) debe interpretarse considerando primeramente a
Sfy como si no fuese un símbolo descriptivo, y aplicando las *30 01 y *14 01 ó la
*14 02 a R'fS'y ), y a continuación aplicando las *30‘01 y *14 01 ó la *14 02 a S‘y.
296
SECCION D. LOGICA DE RELACIONES
La mayor parte de las proposiciones de este número son consecuencias inmedia­
tas de las proposiciones correspondientes del *14. Así, las *14 31—'34 y la
*14113, conducen inmediatamente a las *30*12—*16, lo cual muestra que, o
siempre o cuando R 'y exista, el “alcance” de R ‘y o de R 'y y S ‘y no introducen
diferencia alguna a los valores de verdad de las proposiciones de las que nos hemos
ocupado. Tenemos
*3018. h EI R ‘y : (z). <pz: O .
(R'y)
de manera que lo que es válido para todos es válido para R'y, con tal que R 'y exista.
Esto resulta inmediatamente de la *14'28 y muestra que, siempre que R'y exista, el
hecho de que “R'y" sea un símbolo incompleto no impide su sustitución como un
valor de z, siempre que tengamos ( z ) . <¡>z, o una aserción de la función proposicional 0z.
Una de las proposiciones más usadas de este número es:
*30*3.
I-:. * = R 'y . = : t R y .
.2*x
que resulta inmediatamente de la *14*202. La siguiente proposición análoga se
deriva de la anterior por medio de la *14*122:
*30*31. b x *=R‘y . &: xR y : tR y . D,. * = *
Esto es, “x = R 'y" abarca, además de “xR y", la expresión de que cualquier cosa
que tenga la relación R con y es idéntica a x.
Una proposición de referencia constante es:
*3037. h :E l R 'y .y = t . ^ . R ‘y = R 't
En hipótesis, E I R 'y podría sustituirse por E I R ‘z, pero uno u otro de ellos es
esencial. Pues, por la *14*21, “R'y = R ‘z” implica E ! R'y y E ! R'z (éstas son
equivalentes cuando y = z) y, por lo tanto, no puede ser verdadera cuando R'y y
R'z no existan.
El uso de la *30*37 tiene lugar principalmente en ios casos en donde la y o la z, o
ambas, se sustituyen por funciones descriptivas. Supongamos, por ejemplo, que z se
sustituye por S'w. En virtud de la *30*18, podemos sustituir S'w en lugar de z, si
S'w existe. Por la *14*21, ambos miembros de la implicación en la *30*37 resulta­
rán falsos si S'w no existiese y, por lo tanto, la implicación aún se mantendrá. Por
consiguiente, tanto si S'w existe como si no, podemos sustituirla en lugar de z y
obtener
b : EI R 'y . y - R 'w . 3 . R'y =. R‘S‘w.
De cualquier forma, si sustituimos y por T'v, obtenemos
b - .E l R tT‘v . T ‘v = S ‘u>. D . R ' f v = R ‘S ‘w.
Una proposición muy importante es
*30*4.
h s. EI R 'y . D : a = R 'y . = . aRy
Esta proposición declara que, siempre que R 'y exista, decir que a es el término
297
PARTE 1. LOGICA MATEMATICA
que guarda la relación R respecto a y es equivalente a decir que a tiene la relación R
con y. Así, por ejemplo, “a es el ocupante de la casa y ” es equivalente a "a ocupa la
casa y ”, “o es el escritor de Waverley” es equivalente a “a escribió Waverley” , “a es
el padre de y " es equivalente a “a engendró a y ”. Sin embargo, no podemos
argumentar a partir de “John Smith habita en Londres” que “John Smith es el
habitante de Londres” .
Introduciremos en ésta y en las siguientes secciones muchas relaciones constantes
para las que E ! R 'y es siempre verdadera. Cuando R es tal que E 1 R ‘y es siempre
verdadera tenemos, en virtud de la *30 4,
a = R ' y . = . aRy
para todo posible valor de y. La proposición siguiente es útil en los casos donde
tanto R como S son tales que R'y y S ‘y existen siempre:
*30 41. I - ( y ) . R ‘y = S ' y . = s (y ). E ! R ‘y : R - S
Así, si sabemos que R'y y S'y son siempre idénticas, no sólo sabemos que/? y S
son idénticas, sino también que R ‘y (y por lo tanto S‘y ) existen siempre.
*3001.
*3002.
R 'y = (ix) (xRy)
R'S'y = R ‘(S‘y)
Df
Df
Al interpretar /?‘(S^'). S'y debe considerarse como un símbolo ordinario hasta
que R ‘(S‘y ) haya sido eliminada por las *30 01 y *14 01 o por la *14 02, y
entonces las definiciones anteriores son aplicables a S'y.
*301. I-: [/¿‘y] -/(R'y) . 3 . [(**) (xRy)] .f(ix) (xRy) [*4 2 . (*3001)]
*3011. b :.[ f i‘y ] . / ( / f ‘y ) .= :( a 6 ) :a /? y .s I .x = 6 :/¿, [*301 .*141]
Las siguientes proposiciones son aplicaciones inmediatas de las *14 31 ss.,
realizadas de acuerdo con la *30'1.
*3012. b :: E! R ' y . O [fl*y] . p v x ( « ‘y ). s : p . v . [R‘y]. x {R'y)
[*14-31]
*3013. b " E ! / ? ‘y - 3 : .[ f i ‘y ] .~ x ( K‘y )-= -~ ([/?,y ] .x ( ^ ‘y)] [*1432]
*3014. b :: E ! R ' y . D :. [R' y] .p5 x (R'y) , s : p . ^ . [2f‘y ]. v ( / í ‘y)
[*14-33]
*30141. b :: E ! R ' y . D [R‘y ] . x ( R‘y) Op. = t [/í‘y ]. x ( R‘y ) . D . p
[*14-331]
*30142. b :: E ! R ' y . D ¡. [2i‘y] . j>= x (R'y) . = -.p. = . [fí‘y] . x (R'y)
[*14-332]
*3015. b : . p : [fí‘y ] . x (R'y) : = s [R‘y] . p . x (R‘y) [*U 34]
Las dos proposiciones que vienen a continuación son consecuencias inmediatas
de las *14113112.
*3016. b : [fí‘y] ./(R'y, S'z ) . = . [S'z] ./(R'y, S'z) [*14113]
298
SECCION D. LOGICA DE RELACIONES
#3017. b [«'y] . f ( R ‘y, S'z ) . = :
(gfr, c) :xRy ,= x . x = b : x S z .= „ .x = c:f(b , o) [*14112]
*3018. I-í . E !
:<*).$*! 3 .
[*1418]
*3019. h : .i í ,y = 6 . 3 : ^ ( i í ,y). = .x/r6
[*1415]
*302. I - E ! R ‘y . = : ( g i) : xR y . = * .x = 6 [*4 2 . *1411. (*30 01)]
En la prueba de la *30'2 hacemos uso de la definición *30 01 y no de la *30'1,
porque E ! (ix ) (<¡>x) no es de la forma / (ix) (<j>x). Esto aparece si intentamos aplicar
la definición *14 01 a E I (ix)(óx), lo cual lleva a una expresión que contiene el
constituyente sin sentido E ! b. Pero, por la definición *30 01, cada vez que
aparezca tipográficamente el símbolo “R ‘y ” significa lo que resulta cuando este
sím b o lo se su stituye por “(ix) (xRy)"; por tanto, “E ! R ‘y " significa
“ E ! (ix) (xRy)”.
*30‘21. h :: E 1R‘y . = (gx). x R y : xR y . zR y. 3X>, . x =**
[*14 203. (*3001)]
*3022. b : E l ü ‘y . = .f i ‘y = (jx)(xity) [*1428. (*3001)]
Obsérvese que no tenemos necesariamente
R ‘y = (1x)(xRy),
fo cual es sólo verdad cuando E ! R ‘y.
*303. I- :.x = R‘y . = : zR y . =t . t = x
[*14'202]
*3031. 4 x = R‘y . = : xR y : zRy . 3 , . ! = * [*14'122.#30'3]
*30 32. b : E ! R ‘y . s . (R ‘y) Ry
[*14 22]
*30'33. (•:: E J R ‘y .0 :.ifr (R ‘y): = : (gx). x R y . tfrx: = : xR y . 3*. '¡'x
[*1426]
*30 34. b :. xR y . s , . xSy : 3 : E ! R ‘y . = . E ! S‘y [*14 271]
*30 341. I - x R y . =„. xS y : 3 : E ! R ‘y . = . R‘y =*S ‘y
Dem.
b . *14-21.
O b : R ‘y = S ‘y . O . E ! R ‘y
H. *14-27 . Comm . 3 t - I l p . 3 : E ! R‘y . 3 . R‘y = S ‘y
K ( l) .( 2 ) .
3 4. Prop
(1)
(2)
*3035. b :.R = S . 3 - .E l R ty . = .E < S ‘y [*3034.*2143]
*3036. b-.E '.R ‘y . R = S . D . R ‘y = S‘y [*1427.Im p.*2143]
*30-37. 4: E! R ‘y . y - e . R ‘y = R ‘z
Dem.
(-.*14-28.
3 (-: E ! R‘y . 3 . R ‘y = R ‘y
(-.*1312.
3 l-:.y = x . 3 : R 'y ^ R 'y . s . R ^ ^ R ’z
(-. (1). (2). Ass .31-. Prop
(1)
(2)
Esta proposición se usa muy frecuentemente.
299
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
*304. h:.E l-R ‘y .D :a = .R*y.H.a]ly [*14241]
Esta es una proposición muy importante, de empleo constante.
*30 41. I - ( y ) . R'y ~ S 'y . 5 : (y) • E ! R 'y : R = S
Devi.
I-. *14-21. *1011-27.31- s (y). R'y = S 'y . D. (y). E ! Jí'y
1-. *1413142.
D h s. (y). R‘y = S 'y . D: (a, y ): * = R 'y . = . * = S'y
f(l).*30-4]
3 : (a. y ):
• = • *Sy :
[*21-43]
3 - .R - S
I- .*30-36.
D h s E ! R'y • R = 8 . D . R 'y - S 'y .
[*1011-27-35]
DI* s. (y). E t fi‘y : R = S s D . (y). if'y - S‘y
h . ( 1). (2). (3).
} K P ro p
*3042. h :.(y ).E !J í‘y .D :(y ). R 'y -S 'y . =. R - S [*3041]
(1)
( 2)
(3)
La hipótesis (y ). E ! R'y se verifica por un número de relaciones especiales
importantes, ejemplos de los cuales aparecerán en los números siguientes de esta
sección.
*30 5. I- s E ! P'Q'z . D. E ! Q'z
Dem.
V. *302. D Hs. E ! P'Q'z . s : (36): xP (Q'z). s , . * = ■
6:
[*101]
O : (36): bP (Q'z) . 3 .6 = 6 :
[*1315]
D :(a b).bP(Q't)t
[*14-21]
3 :E !Q ‘í:.3 l--P ro p
*30-501. h : 4>(P'Q'z). = . (36. c) . c = Q'z. 6= P'c. <f>b
Acerca del significado de “ó (P'Q'z)", véase la nota a la definición *30 02.
Dem.
1-. * 1 4 1 1 2 2 .3 I-:: <£(P'Q'z) . = 1.( 36 ) : bP(Q'z) ¡ x P (Q'z) . D ,. ®= 6 : <pb
[*14-205]
E :.(3 6 ):.(3 e ):c= Q ‘* :5 í>c:*-P«!«3*>a:= 6 :# : [*14122-202]
= :.( 3 &, c ). c»=
. 5 = P'c • & » 3 >" • ProP
*3051. b ib - P 'Q 'z . = .(%c).b = P 'c . c - Q ' z [*30501 .*13195]
*30 52. 1: E ! P'Q'z. = . (36, c). 6= P 'c . e « Q‘í [*30-51. *14 204]
300
*31. CONVERSAS DE RELACIONES
Sumario del * 31.
Si R es una relación, la relación que y tiene con x, cuando xR y se llama la
conversa de R. Así, mayor es la conversa de menor, antes de después, esposo de
esposa. La conversa de la identidad es la identidad, y la conversa de la diversidad es
la diversidad. La conversa de R se escribe R (léase “R -conversa” ). Cuando R = R se
llama una relación simétrica; en caso contrario se llama no-simétrica. Cuando R es
incompatible con R, R se llama asimétrica. Así, “primo” es simétrica (67) “herma­
no” es no-simétrica (porque cuando x es hermano de y, y puede ser hermano o her­
mana de x), y “esposo” es asimétrica.
•w*
La relación de R a R se llama “Cnv” . Se mostrará que cada relación tiene una, y
sólo una, conversa; por tanto, aplicando la notación del *30, esa es la Cnv7?; de este
modo, R = Cnv'R Tenemos, pues, dos notaciones para la conversa de R; la segunda
es más conveniente para la conversa de una relación representada por una letra
única.
Las proposiciones más importantes de este número son las siguientes:
*3113.
K E lC n v 'P
Esto es, cualquier relación P tiene una conversa. Por eso la relación “Cnv”
verifica la hipótesis ( y ) . E ! R 'y, esto es, tenemos (P) . E ! Cnv‘P.
*3132.
V :P ~ Q .s .P m Q
Es decir, dos relaciones son idénticas cuando, y sólo cuando, sus conversas son
idénticas.
*31-33.
l-.Cnv‘Cnv‘P = P
Es decir, cualquier relación es la conversa de su conversa.
Muchos de los usos que se den en adelante a la noción de la conversa de una
relación sólo necesitan las proposiciones que incorporan las definiciones de P y Cnv,
a saber
*3111.
H: *Py - s •yP*
y
*31131. H: *(Cnv‘P ) y . = . yPx
(67) Téngase en cuenta que la palabra inglesa “ cousin” (que es la que viene en el texto
original) significa tanto primo como prima. La relación “ primo” (en español) no es, sin
embargo, simétrica. (N. del t).
301
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
*3101.
*3102.
*31'1.
*31101.
Dem.
*31*11.
Cnv =»QP
{xQy . s*iy. yPx) Df
P = í¡P(yPx)
Df
I - Q C n v P . = : xQy .
. yPx
I-: Q Cnv P . R Cnv P . 3 . Q= P
I-. *3 1 1 .3 h :. H p. 3 : xQy . =*.^ ■y P x : x R y . =I y . y P x :
[ * l l ’37l]
D : xQy . =t¡v. x R y :
[*21-43]
3 :Q = .P :.3 l-.P ro p
I- :x P y .s .y P
x
[*21*3 . (*3102)]
*31111. I-. P Cnv P
*3112.
Dem.
[*21*3. (*3101)]
[*31111]
K P = Cnv‘ P
I-. *31*101.3 H: Q Cnv P . P Cnv P . 3. Q = P :
[*31111] 3 E :Q C n v P .3 .Q = P
l - . (l). *1011. *31111.3
(1)
I*: P Cnv P : Q Cnv P . 3 q . Q = P :
[*30*31]
*3113.
3 I-. P = Cnv‘P
h .E !C nv‘P
[*1421 .*3112]
*31131. I* : x (Cnv‘P ) y . = .
*31132. I-: Q Cnv P . = .
*3114.
yPx
Q = Cnv‘P . = . Q = P
[*311112.*21-43]
[*304. *311312]
h.Cnv‘(P ñ Q ) = Cnv‘PAC nv‘Q
Dem.
h . *31131.3 I-: x (Cnv‘(P A Q)} y . = . y (P A Q) x .
[*21'33]
= . y P x . yQx .
[*31-131]
s .x(C nv‘P )y .x(C nv‘Q )y .
[*2133]
= . x [Cnv‘P A Cnv'QJ y
K ( l ) . *1111 .*21-43.3 h. Prop
*31*15.
I-. Cnv‘(P ci Q) = Cnv‘P o Cnv‘ Q [Prueba similar]
*3116.
KC nv‘ - P = - ( C n v ‘P)
Dem.
*3117.
302
P .*31131.3 1- :*(C nv‘ ^ -P )y . = .y ¿ -P x .
[*23-36]
= .~ (y P * ).
[*31131]
= .~ [*(C n v‘P ) y ¡ .
[*23 35]
= . x ( —(Cnv‘P)| y
h . (1). *1111. *21*43.31-. Prop
Y :.y = P ‘x . = : xPz . = , . * = y
[*30‘3 . *3111]
(1)
(1)
SECCION D. LOGICA DE RELACIONES
*31’18.
h
E ! P*x. = :(g y ) ¡ x P t . = , . z = y
[*30‘2 .*31-11]
*3121. K C n v ‘A = A
Dem.
t-. *31131. 3 h : x (Cnv'A) y . s . yA®:
[*25105] 3 1(Cnv'A)y
I-. (1). *11*11. *2515.3 h . Prop
*3122.
I-. Cnv'V = V
0)
[Prueba similar]
*31-23. I - : P = V . = .P=>V
Dem.
h . *25 14. 3 b : P »= V . = . (ar, y ) . x P y .
[*3111.*11-33]
= . (a-, y ) . y P x .
[*11-2]
= .(y ,x ).y P x .
[*2514]
= . P = V : 3 K Prop
*3124.
I-: P = A . = . P = A
[Prueba similar]
*3132. h : P = Q . = . P = Q
Dem.
h . *21 "43. 3 H :. P = Q • = : x P y . = ilV. xQy :
W
V
= : yPx.
. yQ x:
[*4-86-21 .*3111]
[*11-2]
= : y P x . = y 't .y Q x :
[*21-43]
= : P = Q :. 3 h . Prop
h .C n v ‘Cnv‘P = P
Dem.
\r . *311 3 1 . 3 h : * (Cnv‘Cnv‘P ) y . = . y (C nv'P) x .
[*31131]
= . xP y
l - . ( l ) . *1111 .* 2 1 -4 3 .3 1 -. Prop
( 1)
*3134. I-: P = Q . = . Q = P
Dem.
h . * 3 1 -3 2 .3 h : P - Q . = . P « C n v ‘Q
= Cnv‘Cnv'Q
[*3112-32]
a Q : 3 h . Prop
[*31-33]
*314.
l - : P G Q . = .P G Q
*3141.
I-: P G Q . = . P G Q [*31-4-33-12]
*315.
1-: á ! P . = . á ¡
*31-51.
H :( P ) ./P . = .( P ) ./P
Dem.
I- .* 1 0 1 .
[*3111 .*11-33]
[*31‘2 4 . T ransp. *25"54]
^
D I - :( P ) ./P .3 ./P :
303
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
[*10’11'21] 3 b : (P ) . f P . 3 . ( P ) . f P
I-. *101. *31-12.3
H : ( P ) ./ P .3 ./ ( C dv‘P ).
[*31-3312]
3 ./P :
[*1011-21] 3 h : ( P ) . / P . 3 . ( P ) . / P
h . (1).(2) .3 1 -. Prop
*31-62. t - : ( a P ) . / P . = . ( g P ) . / P
304
[*3151 .Transp]
(1)
(2)
*32. RELACIONANTES Y RELACIONADOS DE UN TERMINO
DADO CON RESPECTO A UNA RELACION DADA
Sumario del *32.
Dada una relación R , la clase de términos que tienen la relación R con respecto a
un término dado y se llaman los relacionantes de y , y la clase de los términos con
respecto a los cuales un térgiino dado x tiene la relación R se llaman relacionados
de x. Mediante el símbolo R4—
indicaremos la relación de la clase de los relacionantes
de y con respecto a y, y por R la relación entre la clase de los relacionados de x con
respectóla x. También es conveniente disponer de una notación para las relaciones
de R y R con respecto a R. Representaremos la relación de R aR por “sg” , donde
“sg” significa “sagitta”. De manera similar, representaremos por “gs” la relación de
R a R, para sugerir una Hecha que va desde la derecha hacia la izquierda, en vez de
izquierda a derecha. Tanto R como í? son de gran utilidad en orden a salvar las
funciones descriptivas a las que dan lugar; así, pues, R ’y = J c ( x R y R ’x =
y (xRy). De este modo, por ejemplo, si R es la relación de padre a hijo, R ‘y = los
padres de y, R ‘x = los hijos de x. Si R es la relación de menor a mayor entre los
números de una clase, R ’y = los números menores que y , y R ‘x = los números
mayores que x. Cuando R ’y existe, R 'y es la clase cuyo único miembro es^R’y . Pero
cuando hay muchos términos que tienen la relación R con respecto ay, R ‘y , que es
la clase de esos términos, proporciona una notación que no puede ser proporciona­
da por R ’y . Y, similarmente, si hay muchos términos respecto de los cuales x tiene
la relación R, R ’x ofrece la notación de dichos términos. Así, por ejemplo, sea R la
relación “sen”, esto es, la relación que x tiene con respecto a y cuando x = sen y.
Entonces “ seh‘jc” representa a todos los valores de y tales que x = sen y , es decir,
todos los valores de sen-1* o arcsen x. A diferencia del símbolo habitual, no resulta
ambiguo, ya que en vez de representar a uno de estos valores, representa la clase de
ellos.
Las definiciones de R, R, sg, sg, son las siguientes:
*3201.
R = Sp {«-ft(«JZy)} Df
4- A
*3202.
=
[/3 = #(«.%)] Df
AA
“4
Df
*3203. sg = AÍÍ (A «=R)
*3204. ga-=Xñ(A = %
Df
En virtud de estas definiciones, tendremos sg’R —R , y gs7? = R . Esto ofrece una
notación alternativa que es conveniente al tratar sobre una relación no representada
por una letra única.
305
PARTE 1. LOGICA MATEMATICA
Debe observarse que si R es una relación homogénea (es decir una en la que
relacionantes y relacionados son del mismo tipo), entonces R y R no son homogé­
neas, sino que relaciona una clase con objetos del tipo de sus miembros.
“ ►
4—
En virtud de las definiciones de R y R, tendremos
*3213.
*32131.
I- . R ' y = $ (xR y)
.*R'x = § (xR y)
Así, por *14’21, tendremos E ! R ‘y y E ! R'x. De este modo, cualquiera que sea
la relación R, tendremos ( y ) . E ! /? ‘y y ( x ) . E ! Ik'x. En general no tenemos
( y ) . 3 ! R ‘y o ( x ) . 3 ! R'x. Así, tomando R como la relación de padres a hijos,
4—
—►
4—
R ‘y = los padres de y, y R 'x = los hijos de x. De este modo, R'x = A, es decir
~ 3 ! R 'x, cuando x no es hijo, y R'y —A, es decir, ~ 3 ! R ‘y , cuando y es Adán o
Eva. Las dos clases de existencia E ! R ‘y y 3 ! R'y, pueden ambas ser predicados
significativamente de R 'y, porque “R'y" es una función descriptiva cuyo valor es
una clase; y el mismo se aplica a R'x. Se verá que (por *1421)
3 ! R 'y . 3 . E ! R ’y,
pero la implicación conversa, en general, no es válida.
Tenemos
*3216.
Y-.R = S . = .R = S . = .R = S
También por las *3218181,
Hs x t R ' y . s . x R y . = • y « R'x.
Así, pues, por el uso de R 'y o de R 'x, cada expresión de la forma “xRy” puede
reducirse a una expresión aseverando los miembros de una clase. Sin embargo,
puesto que la clase en cuestión se da por una función descriptiva, y las funciones
descriptivas se definen por medio de relaciones, no obtenemos así un método de
reducir la teoría de relaciones a teoría de clases.
*32 01. R - $0 (a = £ (xRy)\
Df
*3202. *R = fM\0 = $ (xRy)} Df
*3203.
ng = A R ( A = R )
Df
*3204. gs = Á R ( A = R ) Df
*321.
\ -i aRy. = .a=S¡(xRy) [*213 . (*32 01)]
*32101. h : 0 % . = .0 = 9 (xRy) [*21 3. (*3202)]
*32 11. I-. 3 (xRy) = R'y
306
[*321. *303]
SECCION D. LOGICA DE RELACIONES
*32111. b . § (xRy) = R ‘x [*32101. *30 3]
*3212. b.E'.~R‘y
[*3211.*1421]
*32121. b . E ! R ‘x
[*32111. *14 21]
“E ! R 'y” nc^debe confundirse con “3 ! Ry”. El primero significa que hay una
clase tal como R 'y, la cual, como acabamos de ver, siempre es verdadera; el segundo
significa que R y no es nulo, lo que sólo es verdad si y es un término respecto del
cual algunos otros términos tienen la relación R. Obsérvese que, por las *14'21,
tanto 3 !_R‘y como ~_3 ! R y implican 3 ! R ‘y . La contradictoria de 3 ! R'y no
es ~ 3 ! R'y, sino ~
{ . 3 ! R ‘y }. Esta última no debe implicar E ! R 'y, a no
ser por el hecho de que E ! R'y es siempre verdadero.
*32'13. H. R ‘y «=&(xRy)
[*3211. *20-59]
*32131. h . RSx —p (xRy)
[*32111. *20 59]
—>
—fr
*32132. 1-: xR y . = . a —R ‘y
a = £ (* % ) [*321 13.*20-57]
*32133. t-: i8 R x . s . ¿8 = R ‘x
& — $ (xR y )
[*32101 131. *20-57]
En general, el uso de la *20-57- sería tácito. Da la casualidad de que constante­
mente tenemos proposiciones como la *32*13, en la cual una expresión descriptiva
se muestra como idéntica a una clase. En tales casos, siempre que las propiedades de
las clases se aseveren de la expresión descriptiva, la *20*57 es relevante.
*3214. b i R ~ 8 . - z . R ~ S
Dem.
I-. *21-43 .DI-:: R=1ÍS.; ;:. a R y .
. aSy t.
[*32-1]
i :. a = 2 ( x R y ) . =„iV. a = 2 (xSy)
[*112]
[*20-25]
[*2015]
[*11-2]
[*21-43]
*3216.
=
=
i
i
i :. (y):, a = £ ( x R y ) . = . . a = i (:oSy) :
:. (y) : 2 (x R y ) = 2 (xSy) :.
:. (y ):. (x) : x R y . = . xSy
:• (x, y ) : x R y . = . xSy
:. R = S : í D h . Prop
l-:.R = ,S’. s . . R = ,S'
[ Prueba similar ]
*3216. b : R = S . s . R = 8 . = . R ~ S
[*321415]
*3218. 1-: * e R ‘y . s . xR y
[*3213. *20-33]
*32181. 1-: y « R ‘x . = . x R y
[*32131 .*20-33]
*32182. 1-: x t R ' y . = . y c R 'x
[*3218181]
307
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
El cambio de "xRy" a “x e R ‘y " es algo que comúnmente se efectúa en el
lenguaje. Por ejemplo, supongamos que “xR y ” es “x ama a y ”; entonces “x e I$‘y ”
es “jc es un amante de y " .
*3219. \ - : R G . S .3 . ~ R ‘y C S ‘y . % x C S ‘x
Dem.
—►
—►
K *32-18. 3 1 - : . H p . 3 : s e . R ‘y . 3 I .a;eS ‘y :
[*221]
3 : f l ‘yC 8 ‘y
(1)
I-. *32181. 3 1-:. H p . 3 : y e R ‘x . 3 „ . y e 8 ‘x :
[*221]
3:*R‘x C S ‘x
(2)
h . (1). (2 ).3 1 -. Prop
*32 2.
\ - : A a g R . = .A = ~ R [* 2 1 3 . (*32 03)]
*32 201. b - . A g a R . = .A = * R [*213 . (*3204.)]
*32 21. h . ü = sg‘JR
[*32-2. *30-3]
*32 211. h . « = gs‘JÍ
[*32201 .* 3 0 3 ]
*32-22. h . E ! s g ‘fl
[*32*21 .*14-21]
*32 221. h . E I ga'jR
[*32-211 .*14-21]
*32 23. h . sg*R =* R
[*32-21 . *21-2-57]
*32 231. h .g n‘R ~ R
[*32-211. *21-2-57]
*32 24. h . sg‘R = g s 'ü
Dem.
I-. *32-23. (*3201)
3 1-. sg‘f¿ = 5p (a = í (xR y)}.
[*21-33]
[*3111.*2015]
3 1-: a(8g ‘R ) y . s . a = %(xR y) .
= .a* = á(y R x ) .
[*32101]
[*32-211]
l - . ( l ) . *1111 .* 2 1 -4 3 .3 1 -. Prop
s . aR x .
= . a ( p ‘R ) x
*32 241. I-. ga‘R = ag‘R
[ Prueba similar]
*32 25.
[*30 4 . *32 22]
1-: .A sg .R. = . .4 = sg'R
*32 251. h : 4 g s i í . = . A = g s ‘i í
*32 3.
[* 3 0 4 . *32 221]
I-. |sg‘( ü A S)]‘y = f¿‘y r f s 'y
Obsérvese que no tenemos
sg‘( it ñ S ) = ag‘R A sg‘8.
308
(1)
SECCION D. LOGICA DE RELACIONES
Dem.
1-. *32-23 1 3 .3 1 -. [sg‘( ií ñ 5)}‘y = á {a(ií A S)y]
[*23-33]
= á (xRy . ar<Sy)
[*22-39]
= £ (xRy) n &(xSy)
[*3213]
™R‘y n~S‘y .3 1 -. Prop
*3231.
1-. (gs‘( ü A
*3232.
y • ¡sg‘(.ft o 8)}‘y ~~R‘y u s t y
*3233.
h . lgs‘( ü u S))‘* = R ‘x u & x
*3234.
l" • (s8‘( —R)}‘y = —
*3236.
H. (g8‘(--R ))‘* =
= *R‘x n *S‘x
Las pruebas de estas'proposiciones son similares a la de la *32 3.
*32-4.
h :.E '. R ‘z . = - .y l R ‘z : x ,y e R ‘z . 3 * „ . x = y
[*3021 .* 3 2 1 8 ]
*32-41. I - E ! S ‘y . 3 : l t ‘y = ] ? y . = . R ‘y - S ‘y
Dem.
b • *486 .
D I-;: x S y . =x . x =*b: 0
x R y . =x . xSy : = : x R y .= x . x = b
!■. (1 ). *5’32 .D I -;, x S y . =«. x =»6 : x R y . =x . x S y : = :
xSy . = , .a : = 6 : x R y .= x . x = b
I-. (2 ). *1011-281 . *3218181 . 3
I" " (3 ^ ):
. =*. x = 6 : R 'y = S ‘y : s
[*30-3.*1413]
=
[*14101]
=
(3 b ) : xSy .=x . x = b: x R y .= m. x = b:
(g 6 ): x S y ,= x . x = b: R ‘y = 6 :
R ‘y = S ‘y
(1)
( 2)
(3)
t-. (3). *30-2.3 f - E ! S‘y . R‘y = R'y . = . R‘y = S‘y :. 3 I-. Prop
*32 42. 1 - R 'y = S ' y . 3 : E ! R ‘y . = . E 1S ‘y [*3034. *32 18]
309
*33. DOMINIOS, DOMINIOS CONVERSOS, Y CAMPOS
DE RELACIONES
Sumario del *33.
Si R es una relación cualquiera, el dominio de R, que simbilizamos por D7?, es la
clase de los términos que tienen la relación R con uno u otro; el domm/o converso,
O 7?, es la clase de términos respecto a los cuales, uno u otro tienen la relación R; y
el campo, C‘R , es la suma del dominio y del dominio converso. (Nótese que él
campo sólo tiene significación cuando R sea una relación homogénea.)
Las notaciones indicadas, D'R, O ‘R, C‘R se derivan de las notaciones D, Q , C
para las relaciones, respecto a una relación de su dominio, dominio converso y
campo, respectivamente. Tenemos
D‘ií = & ((ay). xRy\
d ,R = ^\{'gx).xRy\
C*R = & ¡(ay): xR y . v . yRx \;
Por tanto, definimos D, <1 y C como sigue:
*3301. D = afi [« = ®{(ay).írRy]]
Df
*3302. a-j§ 3 i[/S -0((a*).írflyl]
Df
*3303. C=yíl[y = &\('¡jíy):xRy ,v .yRx}] Df
La letra C se eligió por ser la Inicial de la palabra “campus” . No es preciso una
nueva definición para la relación de x con respecto a R cuando x es un miembro del
campo de R. Esta relación, que llamaremos F, se define asi:
*33'04. F=&ñ ¡(ay): x Ry. v . yRx J Df
Encontraremos que C = F . D será la relación de una relación con respecto a su
dominio, D‘a será la dase de las relaciones que tienen por dominio a a. Observacio­
nes similares se aplican a G y a C. El campo de una relación es especialmente
importante en lo que se refiere a su conexión con las series.
Las proposiciones de este número se usan constantemente a lo largo de lo que
resta del libro. Las ideas de dominio, dominio converso, y campo son muy generales
y tienen, en cierto modo, usos diferentes para las relaciones de clases distintas.
Consideremos primeramente la clase de reladones que dan origen a una función
descriptiva R'y. Para esto requerimos que R ‘y deba existir siempre que haya algo
que tenga la relación R con y \ esto es, que nunca debe haber más que un término
que tenga la relación R con un término dado y . En este caso, los valores de y para
los cuales existe R 'y constituirán el “dominio converso” de R, es decir,G ’R, y los
310
SECCION D. LOGICA DE RELACIONES
valores que tome R'y para varios valores de y constituirán el “dominio” de R, es
decir, D‘R. Por lo tanto, el dominio converso es la clase de los posibles argumentos
para la función descriptiva R'y, y el dominio es la clase de todos los valores de la
función. Así, por ejemplo, si R es la relación del cuadrado de un número entero .y
con respecto a y , entonces R'y = el cuadrado de y , car tal que y sea un número
entero. En este caso, a ‘R es la clase de los números enteros, y D7? es la clase de los
cuadrados perfectos. O, de nuevo, supongamos que R es la relación de esposo a
esposa; entonces R'y = la esposa de y, G ‘R = los hombres casados, D'R ~ las
mujeres casadas. En tales casos, el campo tiene ordinariamente poca importancia; y
si los valores de la función R'y no son del mismo tipo que sus argumentos -e s decir,
si la relación R no es homogénea—el campo carece de sentido. Así, por ejemplo, si R
es una relación homogénea, R y R no son homogéneas y, por lo tanto, “ C‘R ” y
"C'R" son sinsentidos.
Supongamos a continuación que R es la clase de relaciones que generan una
serie, digamos la relación de menor a mayor entre los números enteros. Entonces,
D7? = todos los números enteros que son menores que algún otro entero = todos
los números enteros, D7? = todos los enteros que son mayores que algún otro
entero = todos los números enteros excepto el 0. En este caso, C'R = todos los
números enteros que son mayores o menores que algún otro entero = todos los
números enteros. Generalmente, si R genera una serie, D‘F = todos los miembros
de la serie excepto el último (si lo hubiese), G ‘R = todos los miembros de la serie
excepto el primero (si lo hubiese), y C'R = todos los miembros de la serie. En este
caso, “xFR ” expresa el hecho de que jc es un miembro de la serie. Así, cuando R
genera una serie, C'R resulta importante, y la relación F e s igualmente útil.
Tendremos ocasión de tratar acerca de muchas relaciones que tienen alguna de
las propiedades de las series, y de muchas proposiciones que, aunque sólo interesan
en conexión con las relaciones seriales, generalmente son más valiosas. En tales
casos el campo de una relación de modo análogo debe ser importante. Así, en la
sección sobre la inducción (Parte II, Sección E) donde preparamos el camino para la
construcción de relaciones seriales por medio de una cierta clase de relaciones
no-seriales, y a lo largo de la aritmética de relaciones, (Parte IV), los campos de
relaciones intervendrán constantemente. Pero en las primeras partes del trabajo, lo
que tiene lugar principalmente son los dominios y los dominios conversos.
Entre las propiedades más importantes de los dominios, dominios conversos y
campos, que se prueban en este número, están las que vienen a continuación.
Siempre tenemos E 1 D‘R, E f G7?, E ! C'R (* 3 3 1 2 '1 2 ri2 2 ). (El último de
éstos, sin embargo, es sólo significante cuando R es homogéneo).
«3313. h : x t D‘R . s . (gy) . x R y
*33131. f : y «é í'R • s . (g s ). x R y
*33132. I - x t C ' R . = : (gy): x R y . v . y Rx
*3314.
I- : x R y . D . x c D ' R . y e Q‘R
311
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
*3316.
h .C ‘ü = D‘ü o a ‘JR
*33-2-21-22. El dominio converso de una relación es el dominio de su conversa, el
dominio de una relación es el dominio converso de su conversa, y el campo de una
relación es el campo de su conversa.
*33 24.
1-: g ! D‘JÍ. s . a ! d ‘R . = . g ! C'-R. = . g ! Jl
*334.
I-. T>‘R = a (a I R ‘x\
con las proposiciones correspondientes (*33 41 42) para 0 7? y C'R.
*3343. l-:E!JÍ‘y . 3 . y c a ‘i í . « ‘yeD‘«
*33-431. h ¡ (y). E ! R ‘y . 3 . ($). &C d ‘J?
*33-5.
*33-51. I- i x t C ' R . s . x F R
Las pruebas de las proposiciones tocantes a Q y a C son de ordinario similares a
las concernientes a D, y, por lo tanto, se omiten con frecuencia.
*33 01.
*33 02.
*3303.
*3304.
*331.
*33101.
*33102.
*33103.
*3311.
*33111.
*33112.
*3312.
*33121.
*33122.
*33123.
*33124.
*33125.
*3313.
*33131.
*33132.
*3314.
Dem.
= a ¿ [ « - ®Kay) •*■%!]
Df
- ^ [ /8=p((a*).®/iy)]
Df
= yR[ y=&((ay) : x R y . v . y.ftr]] Df
=
¡(ay): xRy • v . yAr)
Df
oD /í. s . o = á {(ay). xRy\ [*213. (*33-01)]
RQ.R . = .f i = Q ((a*). xRy]
yCR . s . 7 = á ((ay): xR y . v . yRx)
. x F R . s : (ay ): x R y . v . yRx
D‘R = &¡(ay) . xRy]
[*33-1. *30 3 . *20-59]
o '- R =9 K a * ) • * R y )
C‘R = a ¡(ay): x R y . v . yüx)
E ! D‘/t
[*3311. *14-21]
E lQ 'ií
E! C‘R
«D ií. = . a = D'R
[*30-4. *3312]
p a R . = .0=a<R
[*30-4. *33121]
yC R .s.y^& R
[*30-4. *32-123]
x eD‘R. = .(gy).xR y [*33-11. *203-57]
y e d ‘R . = . (3 ®). xRy
• x e C‘R . = s (a y ): x R y . v . yRx
xRy . D . * e D‘jR. y e CITR
V. *10-24. 3 1-:. H p. 3 : (ay). x R y : (a*) • x R y :
312
SECCION D. LOGICA DE RELACIONES
[*3313131]
*3315.
D:ar« D‘R •y t <3‘.Rs.DI-. Prop
b .~R‘y C D‘R
Dem.
b . *32-18 .D I -:* * R ‘y . 3 * . x R y .
[*10 24]
D ,. (gy) . x R y .
[*3313]
D , . x e D‘R : D h . Prop
*33161. K f l ‘*C<I‘R
*33152. b .~R‘x <
j *R‘x CC‘R
*3316. K C ‘.fi = D‘.fio<I‘.«
Dem.
K *33-132. * 1 0 4 2 .3
h * e C‘R . = : ( a y ) . x R y . v . ( a y ) . y R x :
[*3313131 ] &: * e D‘i í . v . * e d ' R :
[*22-34]
s : a e D ‘l í o a ‘i2
I-. (1). *1011. *20-43 . D I-. Prop
*33161. b . D‘JS C C‘R . d<R C C‘R [*33 16. *22-58]
*3317. b : x R y . 0 . x , y e C ‘R
[*3314161]
*3318. b -.W R ^ d 'R .O .D 'R ^ C 'R
(1)
Dem.
b . *22-56. D t-: D‘ií - Q‘R . 3 . D*jK= D‘R u d ‘R
[*33-16]
= C‘R : 3 b . Prop
*33181. b s a >R C D ‘R . s . D‘ü = C‘R
Dem.
h . *22-62. D (• s d*R C D*ü. = . T>‘R «=D‘H <
j d ‘R
[*3316]
■>(?R : 3 I-. Prop
*33182. b t D‘R C « P ü . s . d ‘R = O R [Prueba similar]
Si R es la clase de relaciones que genera una serie, de forma que “xR y ” puede
leerse “x precede a y " , entonces d ‘R C D7? es la condición para que la serie pueda
carecer de último término, ya que establece que cada término que sigue a algún
término precede a algún otro término, y por tanto no es el último de la serie.
*332.
K d ‘.ft-D ‘Ü!
Dem.
I- . * 3 l"ll. *10-11 . 3 h : x R y . = ,. y R x :
[*10-281]
3 1-: ( a * ) . x R y . = . ( a * ) . y R x :
[*3313131]
D h r y í C R R .s .y íD * ] ?
I-. (1 ). * 1 0 1 1 . *20-43 . 3 b . Prop
(1)
*33 21. I-. D‘ü = (p jí [Prueba similar]
313
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
#3322. 1- . C ‘R = C‘R
Dem.
. #33-16'2-21.3 1 * . C‘R = a ^ u D ‘í i
[*33-16]
C‘í t . 3 1-.Prop
*33 24. h : a ! D‘R . s . a ! C P ií. = a '• G‘R . = . á ! R
Dem.
h . * 3 3 1 3 . D E : . a ! D ‘2 í. = í (3 * ) : <32/) • x R,j ■
= : a ! ií
[*25-5.(*11 03)]
h . * 33131. D 1 - a ! a * / í . s : ( a i/ ) : (3*) • x R 'J :
[*11-2]
= : (a*, y) ■xR,j :
[*25-5]
= :á !
h . *33132. D h :: a '-C‘R . = ( a * ) (33/): xRy • v . yR x
[*11-7]
= :• (a®> y) ■xRy ■■
= :.á ! J ?
[*25'5]
h .( 1 ) . (2 ). (3 ). D 1-. Prop
(1)
(2)
(3)
#33241. 1-: D‘R = A . = . Q '/í = A . = . C ‘R = \ . s . R = > K
[#33 24 . T ransp . *24’51 . *25-51]
*3325. f-.D ‘(.ftA S )C l)‘7 7 n D ‘S
Dem.
K * 3 3 1 3 .D i- :.iE£D‘(.fl<!' S ) . s : ( ^ y ) . x ( R ñ S ) y :
= : (ay) • x R y . xSy :
[*21-33.*10-281]
[*10-5]
D : ( a y ) . x R y =<32/) - xR'J ■
D : x e D‘R . x e DSS :
[*3313]
3 : x f I ) ‘R n D ‘S
[*21-33]
(1)
h . ( 1 ) . *10'11 . 3 t- . Prop
#33251. y . a í( R ñ S ) c a tR n a ,s
[Prueba similar]
«33 252. h . C ^ R ñ S y C C R n C ' S
[Prueba similar]
*33 26. \ - . i y ( R v S ) = T)‘R v D tS
Dem.
\ - . * X l l 3 . 0 \ - : . x e D ‘( R u 8 ) . = :(•&;/).x ( R v S ) y ;
= : (ay ): x R y . v . x S y :
[*23-34.*10-281]
[*10-42]
= : ( a y ) . x R y : v : (ay) • xSy :
= : x e D ‘R . v . x e D‘8 :
[*33-13]
[*22-34]
= : x e D ‘R <
j D‘S
h . ( l ) . *10-11.*20-43. Dh . Prop
#33261. K a ‘( í o S ) = a ‘f i u ( i 'S
[Prueba similar]
#33262. 1-. C‘(R v S) = C‘R v C‘S
[*33-26-261 16]
*33263.
314
: R G S .0 . ~D‘R C D ‘S
(1)
SECCION D. LOGICA DE RELACIONES
Dem.
t-. * 23-1 .3 1 -:. H p . 3 : x R y . DXtV. x S y :
[*10-28'27]
3 : (x) : ( g y ) . x R y . 3 . ( g y ) . xSy :
[*3313]
D : ( x ) : x e D 'ü . 3 . ¡r « D ‘S :
[*231]
3 : D‘R C D‘£ 3 t-. Prop
*33264. l - : J ¿ e S .D .a ‘i í C a ‘S [Prueba similar]
*33 265. V - . R C S . l . C ' R C C ' S
[*33-263-20416 .*2272]
*33 27. I-. C‘R = D‘(R v R)
Dem.
I-. *3310-2. 3 h . C‘R = D‘R u D‘¿
[*33-26]
= D‘(R o í ) . D h . Prop
*33 271. I- . C‘R = Cl‘(R u R)
[Prueba similar]
*33-272. h . D‘(R <j R ) = (I‘(R v R ) = C‘( R v R ) = C‘R
*33 28. K D 'V = a ‘V = C‘V = V
[*33-27-271 16]
Dem.
I-. *10 25 . *25 104. 3 I-:. ( s ) : ( g y ) . xV y :. (¡r): ( g y ) . y V x :.
[*3313131]
3 1 - (¡r) . x e D ‘V : ( x ) . x e d ‘V :.
[*2414]
3 h : D‘V = V . CI‘V = V
[*3316]
D h .C ‘V = V v V
[*22-56]
=V
K (l) .( 2 ) .3 l- .P r o p
*33 29.
h . D ‘A = O*A = C‘A = A
(1)
(2)
[*33-241 . *21-2]
*333.
I - « C D‘i í . = : x e a . 3 *. g I R ‘x
Dem.
1- .*32-181 . 3 I - x e a . 3*. g ! R ‘x : = : x e a . D„. ( g y ) . aiZy :
[*33"13]
= : x e a . 3 * . x e D‘jR:. 3 I-. Prop
*3331.
l - : . ^ C Q ‘J2. = :y e /8 .D v . g ! ü ‘y
[Prueba com o en la * 3 3 3 ]
Las tres últimas proposiciones se usan en la teoría de selecciones (*80, *83 y
*85). La segunda de ellas se usa también en la teoría del mayor y menor (* 117) y
en la teoría de las relaciones transitivas (*201).
*3332.
\-:T>tR n D ‘S = A . O . R ñ S ' = A
La conversa de esta proposición no es verdadera.
Dem.
K *23-33.
[*3314.*22-33]
O h :x (R ñ S )y .^ .x R y .x S y .
3 . x e D ‘R n D ‘S .
315
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
[*10-24}
D . 3 ! D'iZ n D'S
h . ( 1). Transp. 3 I-: D‘ií ri D‘S = A . 3 . ~ [z(ñ AS) y]
( 1)
( 2)
I-. (2).*1111-3 . 3 P : T)'R r>B ‘S= A . 3 . (a:, y ) . ~ |¡ c ( í i n S ) y ) .
[*2515]
3 ..R A S = A :3 l-.P ro p
*3333.
\--.a‘Iln<I‘S = A .3 .R * S = A
*3334.
I-: C‘R a C"S=A.3..RA<S=A
[Prueba como en la *33 32]
Dem.
I-. *33161. *22-49.31-. D'R a I)‘S C C‘R a C'S .
[*2413]
3 I- : C'R a C'S = A . 3 . D‘fí a D'S = A .
[*3332]
*33 35.
Dem.
3 . jR A < S = A :3 I -. Prop
h :. I)‘ií C a . = : xR y . 3*iS . xea
V.*33'13.3 h :. D‘RCa. = : (3 y ) . x Ry . 3 ,. x c a :
[*10-23]
= : xRy . 3*,*. x e a :. 3 h . Prop
*33 351. I-:. G 'lt C a . = : xR y . 3Xi„ . y « a [Prueba como en la *33 35]
*33 352. h :. C'R C a . = : xRy . 3*,„ . x, y e a
Dem.
1-. *3316. *22-59.3
h :. C'R C a . = : D '/t C a . (I‘K C a :
[♦33-35-351] = : xRy.OZt„.xea: xRy . 3,,„ . y ea :
[*11-391] = : xR y . 3 C,¡, . x, y e a :. 3 b . Prop
Las dos siguientes proposiciones (*33'4'41) se usan muy frecuentemente.
*33-4.
Dem.
K D ‘/J = á j a './ Í ,tf]
h . *3313.3 i-: x t D'R . = . (a y ). xRy .
[*32-181]
= . ( ^y). yeR' x.
[*24-5]
= . 3 './Par
O)
h . ( l ) . * 1 0 1 1 . *20-33.3 P . Prop
*33 41. h . Q‘Jí = § | a ! R ‘y\ [Prueba similar]
*33 42. I-. C'R = $ [a ! ( R 'x
R ‘x)¡
Dem.
_>
<_
r . *33-4-4116.3 h . C'R = 3! (a ! .ft‘x] v * j a ! _R‘x]
= i ja !
[*24'56.*20-15]
= $ ja ! {R 'x u i í ‘x)j .3 1 - . Prop
*3343. y - . E l R ' y . l . y e d ' R . R ' y t D ' R
Dem.
316
. v . 3 ! A ‘x|
[*22-391]
SECCION D. LOGICA DE RELACIONES
h . *30-32. 3 1-: E I R * y . 3 . (.R'y) R y .
[*3314]
3 . y e G 'ü . R 'y e D‘R : 3 I-. Prop
*33-431. h : ( y ) . E ! R ‘y . D . ( / 3 ) . / 3 C a ‘R
Dem.
I - .* 3 3 4 3 .
D f - H p . 3 : y * ü ‘jK .
[Simp]
3 : y e # . 3 . y e G ‘.R
I - .(1).*1011-21 .D t-: H p .3 ./9 C C I ‘JÍ
t-. (2 ). *10-11-21. 3 I - . Prop
(1)
(2)
*33-432. h : (y ). E ! R ' y . 3 . G'jR = V
Dem.
I-. *33-43 . *1011-27 . 3 h : H p . 3 . (y ). y e O 'R .
[*2414]
3 . Q‘R = V : 3 I-. Prop
*3344. h i E l ^ i . D . í t D ' l í . í ' í f a ' í
Dem.
h . *33-43
3 I-: H p . 3 .< re(T rt . R ' x e D ' R .
[*33-2-21]
3 .<ceD‘.R . K
í
O '!! : 3 h . Prop
*3346. t- :.y e Q ‘R u O '/S. 3 „ . R ‘y = S 'y : 0 . R*=S
Obsérvese que, por nuestros convenios en cuanto a las expresiones señaladas, los
alcances de R'y y de S ‘y en la última es “R'y = S‘y ”, y R'y debe ser la primera en
eliminarse.
Dem.
K *3011 .3 1 -:: R 'y = S ‘y . = (g 6 ): x R y .= a . x = b : b = S ‘y : .
[*3011]
= (g&) :• <*Ry• s » . x = b :. (g e ): x S y . = „. ¡r = c : ¿>= c :.
[*13195]
= s. (g6) ; x R y .= x . x = b: x S y . =*. x = 6
[*10322]
3 x R y . =r . aSy
1- .( 1 ) . 3 1-:: H p .
3 : . y e G 'R u G 'S . 3 : x R y . = . x S y :.
[*5-32]
3 y t <3‘fl o G 'S . x R y . = . y e O 'R u d ' S . xSy
[*3314.*4-71]
3 x R y . = . xSy
y .(2 ) .* 1 1 1 1 3 .3 1 - H p . 3 : (¡r, y ) : x R y . = . x S y :
[*21-43]
3 : R = S 31- . Prop
*33 46. h : . * e D ‘R o D 'S . 3 , . R 'x = S ‘x : 3 . R = S
*33-47. h
Dem.
0)
(2)
[Prueba com o en la *33*45]
y e Ct'ií u a « S . 3 , . / f ‘y = 5*y: 3 . i í - S
r .*33 4 1 . Transp . D h :
—>
—»
v Q '5 . D . R*y =* A . S ‘y = A
(O
h . (1 ). *131 7 2 . *4 8 3 . D b : H p . D . (y) .~R‘y =
.
—» —»
[*30-41]
3 . R =S .
[*3214]
3 . R = S : 3 h . Prop
317
PARTE 1. LOGICA MATEMATICA
«3348. H s.* « D ,JK u D ‘S . D . . l í ‘* = S ‘* : 3 . R - S
[Prueba como en la *3347]
«33 5. \ - . C ~ F
Dem.
h . *32'1. D t" : .a F R .= . a = B ( x F R )
[*33'103]
= B {(gy): x R y . v . y R s ] .
[*33102]
= . aOJÍ
h . ( 1 ) . « l i l i .«21-43. D (-. Prop
♦3361. \ - : x ( C ‘R . s . x F R
(1)
[*33132103]
F es útil en la aritmética ordinal, en donde nos ocupamos de las series generadas
por una relación P, y en donde “xFF' expresa el hecho de que x es un miembro de
esta serie. Las dos proposiciones últimas (*33'5'51) serán muy utilizadas en la Parte
IV, en donde se trata de los fundamentos de la aritmética ordinal, pero de las que
apenas se harán referencia en otras partes.
«33'6. h : ü « D*a • = . a « D‘R
Dem.
h . *32181 .D I- : R eD ‘« . = . a D lí.
[•33-123]
s . a ■=D‘R : D I-. Prop
*3361. I- i R e ( l ‘a . = . « = <3'.R
*3362.
318
I-: R e C ‘a. = . a = C ‘R
*34. EL PRODUCTO RELATIVO DE DOS RELACIONES
Sumario del *34.
El producto relativo de dos relaciones, R y S , e s la relación que tiene lugar entre
x y z cuando hay un término intermedio y tal que x tiene la relación R con respecto
a y , e y tiene la relación S con respecto a z. Así, por ejemplo, el producto relativo
de hermano y padre es tío paterno-, el producto relativo de padre y padre es abuelo
paterno-, y así sucesivamente. El producto de R y S se simboliza mediante “R |5” ; la
definición es:
*3401. i2|S=a2{(a y).a:Ry.ySí} Df
Esta definición sólo es significativa cuando Q'R y D\S pertenecen al mismo tipo.
El producto relativo de R y R se llama el cuadrado de R ; ponemos
*3402. R* = Ü |R Df
*3403. R» = R']R Df
Las proposiciones más útiles en este número son las siguientes:
*34-2.
KCnv‘(,R|S) = S |R
Es decir, la conversa de un producto relativo se obtiene cambiando cada factor
en su conversa e invirtiendo el orden de los factores.
*34-21. K ( P | Q ) | R = P|(<2|R)
Esto es, el producto relativo obedece a la ley asociativa.
*34-25. h . P | ( Q o i í ) - ( P | < 2 ) v '( P | « )
*34-26. I-. (P o Q) | R = (P | R) v*(Q | R)
Es decir, el producto relativo goza de la ley distributiva con respecto a la suma
lógica de relaciones. (Para el producto lógico en vez de la suma lógica, sólo
consideramos la inclusión en lugar de la identidad; cf. *34‘23’24).
*34-34. H R G P . S C g . D . R ! S G P | C
*3436. K D ‘( P |Q ) C D ‘P . d ‘(P¡Q)C<I‘Q
*34-41. | - : E ! P ‘Q‘* - 3 .- P ‘0 * = (R|Q)‘í
*34-01. R |R - 2 2 [ ( a y ) .* R y .y S * ) Df
*3402. R * = R |R
Df
*3403. jR*»R*|R
Df
*341. b u c ( R \ S ) í . = . ( n y ) . x R y . y S t [*21-3.(*3401)]
319
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
*34-11. Y :x ( ¡R \ S ) z . = . n l ( R ‘x n S ‘z)
Dem.
Y. * 3 4 1 . * 3 2 1 8 1 8 1 .3
f“
“♦
1-: x (R 18) z . a . (gy) • y « R'& • y * S ' t .
[*22 33]
= . ( g y ) . y e R ‘x n 8 ‘z .
[*24 5]
= . g I ( R ‘x n S ‘z ) : 3 h . Prop
*3412. l - . i í |S = a 2 [ g I ( f í ‘¡r r . S ‘a:)] [*21-33.*3411]
*342.
K C n v ‘(fll< S )« S |Ü
Dem.
h . * 3 1 1 3 1 .3 I-: ¡r (Cnv‘(fl | S)] * . = . * ( K | S) * .
[*34-1]
s . (gy) . z R y . y S x .
[*3111]
= . (g y ). y R z . x S y .
[*341]
= .* (S |.R )*
h . (1 ). * 1 1 1 1 . * 21-43.3 h . Prop
0)
*34 202. h .i í |S = ( C ü v ‘f i ) |S
Dem.
h . * 3 1 1 3 1 .3 I-: *(C nv‘.fi)y . y S z . = . y R x . y S z .
[*3111]
= . x R y . ySz
I-. (1 ). *1011-281. * 3 4 1 .3 1 - :* ((Cnv‘.R) 18} z . s . * ( R | S) e
Y . (2 ). * 1 1 1 1 . *21-43.31-. Prop
*34 203. I-. R | S = R | (Cnv‘8) [Prueba similar]
*3421. 1 - .( P |Q ) |/Í = P |((2 |Ü )
Dem.
K *34-1 .*10‘281.31- : :(^ z).x (P \Q )z.zR w .= :. (g * ): ( g y ) . x P y . y Q z: zRw
[*11-6]
s :. (g y ):. x P y : ( g * ). yQz.zRw
[*341 .*10-281]
= : . ( g y ) .* P y .y ( Q |i í ) t ü (1)
Y . (1 ). *11-11. * 3 4 1 . *21-43.31-. Prop
*34-22. 7 » |Q |i í = ( P |Q ) |P
Df
Esta definición sirve únicamente para evitar los paréntesis.
*34-23. Y . P \ ( Q h R ) Q ( P \ Q ) ñ { P \ R )
Dem.
Y . * 3 4 1 .3
Y :. * \ P | (Q A R)} y . =': (g * ). x P z . * (Q A R ) y :
[*23 33]
= : ( g r ) . x P z . zQ y , z R y :
[*10 5]
3 : (g * ). x P z . zQy : ( g e ) . x P z . z R y :
320
( 1)
( 2)
SECCION D. LOGICA DE RELACIONES
[*341]
3 : * ( P |Q ) y .* ( P |f l ) y :
[*23-33]
3 : * J ( P |Q ) A ( P |* ) ] y
K (1 ). *11-11 . 3 K P r o p
( 1)
La conversa de esta última proposición no es verdadera.
*34 24.
*34-25.
h . (P ñ Q) | R G (P | R ) ñ (Q \ R ) [Prueba similar]
h .P |( Q « ;P ) = ( P | Q ) o ( P | f i)
Dem.
h .* 2 3 34.*10-2Sl . 3
b (g«). x P z . z (Q o R ) y . = : (32 ) : xP z : zQy . v . z R y :
[*4-4.*10-2bl]
= : (33 ): x P z . zQ y. v . x P z . zR y :
[*10-42]
= : ( 3 z ) . x P z . zQy : v : ( 32 ) . x P z . z R y :
[*34' 1 ]
B : * ( P |g ) y .v .* ( P |P ) y :
[*23-34]
= :x (P \Q v P \R )y
b. (1 ). *11-11 . * 3 4 1 .3 b. Prop
*34 26
( 1)
b . ( P v Q ) \ R = ( P \ R ) u ( Q \ R) [Prueba similar]
Las dos últimas formas de la ley distributiva, y la ley asociativa (*34"21), son las
únicas leyes formales usuales que tienen validez en el producto relativo. En
particular, la ley conmutativa no es generalmente válida.
*34 27. b-.R = R' . 3 . / ¿ ; P = ñ ' | P
Dem.
I-. *21-43.31-:. H p . 3 : (x, y ) : x R y . = . x R y :
[*11-401]
3 : (x , y ) : x R y . y P z . = ,. x R ' y . y P z :
[*10-281]
3 : (.r): ( a y ) . x R y . y P z . = ,. ( a y ) . x R ' y . y P z :
[*21-15]
3 : R | P = K \ P :. 3 b . Prop
*34 28. 1-: R= K . 3 . P \ R= P \ R [Prueba similar]
*3429. H : P » « P ' . 3 . P | P | g = P | / { ' | g
Dem.
b .* 3 4 -2 7 .3 b : Hp . 3 . R | Q= fl'1 Q.
[*34-28]
3 . P | / í | ( l) = P | B ' | <2 : 3 |- 'P ro p
Al probar la igualdad de dos relaciones, digamos R y 5, ordinariamente establece­
mos primero una proposición aseverada de la forma
x Ry. s . xSy
0
H p . 3 : xR y . = . xSy.
Entonces procedemos por la *11‘11 (junto con la *11*3 en el segundo caso) a
(x, y ) : x R y . = . xSy O H p. 3 : (¡r, y ): x R y . = . xSy,
de donde el resultado se sigue mediante la *21 43. En el futuro omitiremos estos
pasos, y escribimos “ D b . Prop” una vez que la hayamos demostrado.
321
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
x R y . = . xSy o 11p . 3 : x R y . = . xSy.
Una elipsis similar se hará al probar la igualdad de clases.
*34-3.
b : á * ( P | 0 ) ‘ a - a , (a ‘J Pn D‘Q)
Dem.
y . *25-5. D
y :: á i ( P | Q) • s :• (a*- y) • ®
[*341]
[*11-27]
[*11-24]
[*i i-27]
[*11-54]
[*3313131]
[*22-33]
[*24-5]
I Q)y
= :. (a*, y) ■■(a*) • xP z ■ zQ y= :.(g a ;, y, z ) . x P z . zQy
= :.(a * ,® , y ) . x P z . z Q y : .
=
(a*) :• (a*, y) • xPz •*Qv-•
s
(az) =• (a*) • x P z : (ay ) • *Qy ••
s ( a * ) * « d ‘P . z « D‘Q
= :.( a z ) :.z e C t‘P r> D ‘Q :.
= :. a ! ( a ‘P « « ‘O) =: ^ I- • P » p
*34 301. I-: G ‘P n D‘Q = A . = . P | Q = A [*34 3 . Transp]
*34302. V : C‘P n C‘Q = A . D . P |Q = A . Q |P = A
Dem.
y . *33'16 . D I-: H p . 3 . d ‘P n D ‘Q = A .G ‘Q n D‘P = A .
[*34-301]
D . P |Q = A . Q l P = A : 3 l - . P r o p
*3431. H : á K P |Q ) . 3 - á I - P - á l Q
Dem.
H. *34-3. O y : H p . D . a ! ( d ‘P « 1)‘Q ).
[*24-561]
3 . a 1<I‘P • a '• D‘<2 •
[*33-24]
O . ' ^ l R . ' ^ ' . Q t O y . Prop
*34-32.
l - : . P = A . v . Q = A O . P | Q = A [*3431 .T r a n s p .*2551]
*3433.
h : * e D ‘P . = .a ;( P |P ) ®
Dem.
I-. *3313 .D I-:® * D‘R . = . (ay) • xR y •
[*4-24]
= . (ay) • xRy
•xRy •
*34-34.
Dem.
322
[* 3 i-ll]
= .( a y ) .* P y .y ^ -
[*341]
= .® ( P |P ) a ; :D I - .P r o p
y :R C P .S C Q .O .R \S < íP \Q
I-. * 2 3 1 . D I-:. H p . D : x R y . D«lV. x P y : y S z . Dv>1. y Q z:
[*11-2.*101-41]
3 : x R y . D . x P y : y S z . 3 . y Q z:
[*3 47]
D : x R y . y S z . D . x P y . yQe
y . (1).*10-11-21-28. D
h :. H p . D : (ay) . x R y . y S z . 3 . (ay) • xP y • yQ z•
[*341]
0 :x (R S )z .0 .x (P \Q )z
(1)
(2)
SECCION D. LOGICA DE RELACIONES
h . (2). *1111-3. 3 K Prop
*3435. l - : g ! / l . a ‘.R C D ‘P . 3 . g ! . R | P
Dem.
y . *33-24. 3 h : H p . 3 . g ! Q 'P
h . *22 621 . 3 I-: H p . 3 . ( P P = d ' P n D‘P
H. (1 ). (2 ). 3 h : H p . 3 . g ! Q ‘i í n D í P .
[*34-3]
3 . g ! R I P : 3 K Prop
*34351. l - : g ! P . D ‘.R C (I‘P . 3 . g ! P | . R [Prueba com o en la * 3 4 3 5 ]
*3436. K I ) ‘( P |Q ) C D ‘P . Ü ‘(P |Q ) C ( T Q
Dem.
l- .* 3 3 1 3 .3 l- :.a :e D ‘( P | C ) 0 : ( a i ) . a:( P |Q ) í :
[*34-1 ]
3 : (gz, y ) . x P y . y Q z :
[*11-23]
3 : (gy, z ) . x P y . y Q z :
[*ll-55.*10-5]
3 :( g y).xP y:
[*3313]
3 : x e D ‘P
Sim ilarm ente
h :.* e (3 ‘( P | Q). 3 : z e ( I ‘P
h . (1 ). (2 ). * 1 0 -1 1 .3 h . Prop
La proposición siguiente es un lema para la *95'31.
*34-361. h : g ! / Í . D ‘P C a ‘P . ( I ‘fíC D ‘Q . 3 . g ! P | , R | Q
Dem.
V. *34-35. 3 b : H p . 3 . g ! P | Q
I-. * 34-36.3 I-: H p . 3 . D‘(P | Q) C d ‘P
1- .(1 ) .( 2 ).*34'351.3 1 - . Prop
*34-37. I-. C‘(P | Q) C D‘P u ( l‘Q [*34 36 . *33 161 . *2272]
*34-38. y . C‘(P | Q) C C‘P v C‘Q [*34 37 .*33161 .*2272]
*34-4.
l-:& = P ‘c .c = Q‘z . 3 . 6 = ( P |Q ) ‘z
Dem.
y . * 30-31 .3 1-: H p . 3 . b P c . cQz.
[*341]
3 . 6 ( P | Q)z
y . *30 3 1 .3 1 - :. H p. 3 : yQz . 3 „ . y = c :
[P)lcl]
3 : ¡zPy • y Q z. 3*. „ . x P y . y = c .
[*1313]
3 XJ/.x P c
h . *30 -3 1 .3 y :. H p . 3 : x P c . 3 , . * = b
y .( 2 ) .( 3 ) .3 1-:. H p. 3 : x P y . y Q z. l x¡v . x ~ b i
[*10-23]
3 : ( g y ) . x P y . y Q z . 3*. * = ¿>:
[*34-1]
3 : ® ( P |Q ) * . 3 I . * = 6
l - . ( l ) . (4 ). * 30-31.31-. Prop
(0
( 2)
( 1)
( 2)
( 1)
( 2)
(1)
(2)
(3)
(4)
*34 41. h : E ! P ‘Q‘z . 3 . P ‘Q‘z = (P | Q)‘z
Dem.
y . *30-52.31-: H p . 3 . (g¿>, c ) . 6 = P ‘c . c = Q’z .
[*30-51.*34-4]
3 . (g ó ). b = P ‘Q‘z . 6 = (P | Q)‘z .
[*14145]
3 . P ‘Q‘z = ( P | Q)‘z : 3 I-. Prop
323
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
La última proposición ya no es verdadera si cambiamos la hipótesis en
E ! (P |g)‘z, dado que (P\Q)'z puede existir cuando no exista P'Q'z. Supongamos,
por ejemplo, que Q sea la relación de hijo a padre, y P ía relación de hijo a padre.
Entonces (P\Q)'z — la nieta de z, pero P'Q'z = la hija del hijo de z. La primera
existe siempre que z tenga sólo una nieta, mientras que la segunda exige, además,
que z tenga solamente un hijo.
Por la misma razón no tenemos
6= (/>|Q)‘z .3 .(g c ).6 = i* c .c = Q‘z.
Esta tendría validez si P, Q fuesen relaciones de uno a muchos (cf. *71), pero, en
general, no en otro caso.
*3442. l-:(z). JPz = P ‘Q‘z . 3 . .R= P | <?
Dem.
V .*14-21.
3 h : .H p .3 : ( z ) .E ! R ‘z :( z ) .E ! P ‘Q‘z
I-. (1). *34 41. 3 1-:. H p. 3 : (z). R‘e = (P | Q)‘z :
[*3042.(1)]
3 :R « = P |Q :.3 l-.P ro p
*34 6. h : xlfry. = . (gz) . x R z . zRy [*34-1 . (*34-02)]
*34-51. V: xR?y. = . (gz, w) . x R z. zRw . wRy
Dem.
y . *341. (*3403). 3
h :. xR*y. = : (gw). xRhv. w R y:
[*34'5] = : (gw) s (gz). x R z. zRw : w R y:
[*11-55] = : (gu>, z). x R z. zRw . wRy s
[*112] = : (gz, w) . x R z. zR w . w R y:. 3 h . Prop
*34-52. y . R¡ = R\R?
[*34-21]
*34 53. I-: g ! 7P. = . g ! D‘ií n a*ft [*34 3]
*34531. h : D‘P n Q ‘K*=A. = . ü ’ = Á [*34-53 . Transp]
*34 54. h : x R x . 3 . xR?x
Dem.
y . *4 24.31-: x R x . 3 . x R x . x R x .
[*10 24]
3 . (gy). x R y . yR x .
[*34-5]
3 . xR^x : 3 h . Prop
*3455. 1-:.R ^C S. = t x R y . y R z . ^ y¡,.x S z
[*34'5 . *10'23]
*34-56. y.D 'R 'C D‘R . (I‘ñ* C d ‘R . C'R1C C'R [*343638]
*346. y . ( R A S Y < i R ‘ * S '
Dem.
y . *34-5.3 K:. x ( R ñ S y y . s : (gz) . x ( R f \ S ) z . z ( R / ' S ) y t
[*23-33.*10-281]
s : (g z ) . x R z. xS z. zR y. zSy ¡
[*4-3.*10-281]
[*10 5]
324
s : (gz). x R z. zR y . xSz. zS y :
3 : (gz). xR z. zR y : (gz). xS z. zS y:
(1)
SECCION D. LOGICA DE RELACIONES
[*34 5]
D ; x lt'y . xS*y i
[*23-33]
D :*(fl«n S *)y
K ( l ) . *11-11. Dh.Prop
*34-62.
(1)
¡-.(R vSy^& uR lSvSlR vS'
Dem.
\ - . * 3 i - 2 6 . 0 \ - . ( R v S y = ‘R \ ( R o S ) v t S \ ( R v S )
= R * v R \ S v S ¡ R v > S t .O\-.Prov
[*34-25]
La última proposición es un lema para la *160"51, como también lo es la *34*73,
las cuales emplean la proposición de arriba.
*34-63.
Dem.
h.Cnv‘(B*) = (Cnv‘ B)*
K *31-131.3
1- :. x [Cnv't/P)) y . s : yR}x:
[*34-5]
s : (a*) • y fc • *&* •
[*31-131 .*10-281] s : ( g í ) . x R e . t R y ;
[*31-131 .*34-5] s : <r(Cnv‘R)'y O h Prop
*347.
K C n v‘(S|S) = iSr|5
Dem.
I-. *34 2. 3 1-. Cnv‘(iS|S) = (Cav‘S) ¡S
[*34-202]
= S |S . 3 h. Prop
De este modo, S|S siempre es una relación simétrica, esto es, una que es igual a
su conversa.
*34701. K C n v*(S |S )-S ]S
[*34-2203]
*34-702. (-.C%S|Ó’) = D‘S
Dem.
I-. *34-37.3 b . C‘(S 15) C D‘S u d ‘S
[*33-21]
C D‘S
h . *3313. 3 b : x e D‘éf. 3 . (ay) • xSy.
[*31-11]
3 . (gy) . *Sy. yi&r.
[*341]
(1)
D .*(S|^)a¡.
[*33-17]
3 . ¡r e C ^ IS )
K (l).(2 ).* 1 0 1 1 .Dh.Prop
(2)
*34 703. b . C‘(S |S ) = d ,S [Prueba similar]
*34-73. h:C‘PnC"Q = A .D .(P « a Q )» - P ’ oQ>
Dem.
325
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
h .* 3 4 3 0 2 .D I - :H p .D .7 >|Q = A . Q |P = A .
D . P * o Q>= P * o P | Q a Q| P vi Q*
[*25-24]
= ( P o Q ) , :D I-.P ro p
[*34'62]
*348
1■ : R = R . R * < i R . O . R = R ‘ = R \ R
Dem.
(-.*34-28.
D I-:fí = f í . D . / i ‘ = R | P
H .*34-33. * 3 3 1 4 . D f-: x R y . D . x ( R \ R) x
h .( l) .( 2 ) .
D h :. R = R . D : x R y . D . x R ‘x
I-. (3 ). * 2 3 1 .
[*4-7]
[*10-24.*34-5]
I-.(4).* 1 1 1 1 -3 .
1-. *3-27 .
I-. (5 ). (6 ). *23-41.
K (l).(7 ) .
D
I R = R . R ‘G R .0 i xR y. D. xR x:
D: xR y. D. x R x .xR y.
D . xR^y
D 1-: H p . D . R G R>
D h : H p .D .7 P G 7 i
D h : H p .D . R=R>
D h . Prop
(.1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
La hipótesis de esta proposición es la hipótesis de que R es simétrica ( R = R ) y
transitiva (R 2 G R). Estas son las propiedades formales de aquellas relaciones que
convenientemente puede considerarse que, de algún modo, expresan la igualdad.
*3481.
I- - . R = R . R ' ( i R . = . R = R . R ’ = R
[*34-8.*4-71]
Las siguientes proposiciones son lemas para la *34*85, que se usa en la *72*64.
*3482. h
Dem.
A = f i . íí* G .R. D : * « D‘7 í. s . x R x
K *34-33. D h :a :e D ‘A . = .:<:(7í|R)a:
(1)
l-.*34-8. D I-:. I I p .D :a :( 7 i|A ) # . = .*7fcr
K O M 2 ).D K P ro p
(2)
*34 83. I-: R = R . R ’ C R . x R y . 0 . 1 i ,x - R ,y
Dem.
(-.*31-11. D I-:. H p . D : y f t r :
[*3'2]
D : x R z . D . y R x . xRz .
[*3455.Hp]
l.yR z
h . *3*2.
D I-:. H p . D : yRz . D . x R y . y R z .
[*34*55.Hp]
l.xR z
h .( 1 ) . (2 ). D I-:. H p . 0 : x R z . = . y R z :
(1)
(2)
[*1011-21.*2015.*32111]D : R ' x ^ R ' y :. D I-. Prop
*3484.
Dem’
326
h ¡ R c * R . R * G R . y t T > ‘R . R ‘x ' = R ‘y . O ' * R y
I-.*34-82.
D I-: H p . D . y R y
K *32 1 8 1 . *20-31 .D I-:. H p . D : x 7 k .= ,. y R * :
(l )
SECCION D. LOGICA DE RELACIONES
[#101]
*■•(!)• (2).
^ ¡ x R y . = .y R y
3 H. Prop
( 2)
#34 841. I-: R - R . R> C R . * e D‘/ í . R ‘x = *R‘y . D . xRy
Dem.
> --* 3 4 -8 4 jf.D h !H p .D .y / i c .
[*3111. Hp]
*3485.
3 .* % :D h .P r o p
I- : . « = « . # G R . D : xR y. s . x e l ) <R ,% x = %
[*34-83-841. *3314]
327
♦35. RELACIONES CON DOMINIOS LIMITADOS Y
DOMINIOS CONVERSOS
Sumario del *35.
En esta sección, hemos de considerar la relación que se deriva de una relación
dada R al limitar su dominio o su dominio converso a miembros de alguna clase
señalada. Una relación R con su dominio limitado a miembros de a, se escribe
“a 1 R "\ con su dominio converso limitado a miembros de 0, se escribe “R 1 0” ;
con ambas limitaciones se escribe “a 1 R t 0” . Así, por ejemplo, “hermano” y
“hermana” expresan la misma relación (que son de un parentesco común), con el
dominio limitado en el primer caso a varones, y en el segundo a hembras. “ La
relación de amos blancos a criados de color” es una relación limitada tanto por su
dominio como por su dominio converso. Ponemos
♦35 01. a ) R = $p (x t a . xRy) Df
con definiciones similares para R t a y para a 1 R 1 0.
Un caso particularmente importante es aquel en el que se impone la misma
limitación sobre el dominio y sobre el dominio converso, es decir, en donde
tenemos una relación de la forma “a 1 R f a ” . En este caso, la limitación a
miembros de a puede expresarse más brevemente como algo impuesto sobre el
campo. En cuanto a este caso, es conveniente adoptar "R 1 a" como una notación
alternativa. Este caso se considerará en el número *36.
Es conveniente considerar ahora la relación entre x e y que esté constituida por
una x que sea miembro de a y por una y que sea miembro de 0. Esta relación se
simbolizará por "a t 0” . Así, pues, ponemos
♦36'04. o f/9 = 2§(x(a.ytfi)
Df
La principal importancia de las relaciones con campos limitados aparece en la
teoría de las series. Dada una serie generada por la relación R , sea a una clase que
consiste en parte de esta serie. Entonces a es el campo de la relación a 1 R 1 a o
R 1 a, y es ésta la relación generadora de la serie de miembros de a en el mismo
orden que tienen como partes de la serie original. Así, pues, las partes de una serie,
consideradas no meramente como clases sino como serie, se tratan por medio de
relaciones seriales con campos limitados.
Las relaciones con dominios limitados no se usan, ni con mucho, tanto como las
relaciones con dominios conversos limitados. Las relaciones con dominios conversos
limitados juegan un gran papel en la aritmética, especialmente al establecerse las
leyes formales. Lo que se desea en tales casos es una relación de uno-a-uno
correlacionando dos clases o dos series. Es decir, deseamos una relación tal que no
sólo R ‘y exista siempre que y e QV?, sino también que exista R 'x siempre que
328
SECCION D. LOGICA DE RELACIONES
x e D‘R. El tipo de relación que más fácilmente se encuentra que efectúe una
relación como la dicha es alguna relación tal como D o G o C , o alguna otra relación
constante para la que siempre tengamos E ! R ‘y , con su dominio converso limitado
de forma que, sujeto a la limitación, sólo un valor de y ofrezca un valor dado de
R “y . Asi, por ejemplo, sea X una clase de relaciones, dos de las cuales no tengan el
mismo dominio; entonces D 1 X será una correlación de uno a uno de estas
relaciones con sus dominios: si R, S e X, tenemos
1 Y R - D ‘S.3.R=,S.
Tendremos también D'R = (D 1 X)7? y D‘S = (D f X)\S. Por otra parte, el domi­
nio converso de D f X es X, y el dominio de D f X es la clase de los dominios de los
miembros de X. Así, pues, D 1 X da una correlación uno-uno de X con los dominios
de los miembros de X. Es importante en aquellos casos en que son útiles las
relaciones con ios dominios conversos limitados.
Como referencia, en este número se dan un gran número de proposiciones, pero
las que se usen frecuentemente serán relativamente pocas. Entre éstas se encuentran
las siguientes:
*35-21. K «17ír/8 = (aV Í)r/3 = «1(*r0>
*35-31. I-. («pa> t $ = R[(an0)
*35-354.
Es decir, en un producto relativo no se produce cambio si limitamos el dominio
converso del primer factor, o el dominio del segundo.
*35412. i- .R[(RsjR')^Rffi<jR[f}*35-452 h t Ü‘R C f f . ^ . R [ 0 = R
*35-48. (-:(I,i , C « .3 ..P |( « ,|7 í ) » / , 1/í
*35 52. (■. Cnv‘(¿if-#) = /3 -j R
*35-61. !■. D‘(o -j /í) = a n IYR
*35-64.
*35-65. f-!£C Ü ‘.R .D .a ‘(/er/9) = 0
La hipótesis 0 C G7? se cumple en la mayoría de los casos en los que tengamos
ocasión de usar R 10.
*3566. \-:(I‘R C e . 3 . R t / 3 ~ R
*357. l-:0 |(/{ f'£ )‘y ) .3 .y e £ .é > ( « ‘-y)
Esta proposición se usa muy frecuentemente, debido al hecho de que la limita­
ción de dominio converso se aplica principalmente a relaciones tales que dan origen
a funciones descriptivas (por ejemplo, D, Q, C).
*35 71. (-:.y í/3 .D „.¿í‘y - S ‘y O . / t r £ = S r 0
Esta proposición es útil por una razón similar a la que hace útil a la *35*7.
*35 82.
h .« T
0
329
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
Debido a esta proposición, las propiedades de a t /) pueden deducirse a partir de
las propiedades —ya probadas—dea 1 R t /3, pero haciendo el cambio R — V.
La relación “a T /3” es la que podemos llamar una relación “analizable” , es decir,
la que es válida entre x e y cuando x e a e y e 0, esto es, cuando x tenga una
propiedad independiente de y, e y tenga una propiedad independiente de x.
B) = a
*35 85.
h : a ! y9. D . D‘(a f
*35-86.
h : a ! a . D . a ‘( « ti8 ) = /3
Si a o 0 son nulos, también lo es a 1 0 (*35*88).
*3501. a 1 it = á# (<r e a . xRy)
Df
*3502.
Df
R\&-&Q(*Ry.y*p)
*3503. a ] R [
a . x R y - y e fi) Df
*3504. a^/3 = S¡$(xea.yf $)
Df
*3505.
=
Df
La última definición nada más que sirve para evitar los paréntesis.
*35'1. h : x ( a - l / í ) y . H . x t a . xRy [*213. (*35 01)]
*35-101. I-: x ( R f*B)y . = . xRy . y e /8
*35102. l-:¡r(a'|¿i[‘0 ) y . = . « í a . xRy . y e ¡3
*36103. l * : 0 ( a T / 9 ) y .s .« e a .y € / 9
*3511. t - .a 1 ü f j 3 - ( a '|i í ) A ( / í [ / 3 )
Dein.
i-. *35*102.3 l- :ir ( a '] /t[ >/8)y. = .a ;ía . xRy . y ti 3 .
[*4'24]
= . x 6 a . x R y . xRy . ye ¡3•
[*3ó*l*10l]
s.x(,a^\R)y.x(R[B)y[*23-33]
= . * {(a 1 R) A ( R [ 0 )| y : D I-. Prop
*3512
h . (a ] It) A (S [*£ ) = a *](Jí A $) f /8
Dem.
h . *23-33 . D I-: * ((a*| R) A (S f
[*35*1101]
[*2333]
[*35102]
*3513.
y . = . * (a ] R ) y . x (S [ B) y •
= .x t a .x R y .xSy.y*B •
= .xea .x(R ñS )y.y * B •
s . a: [«1 ( R A S ) |* B\ y : O P . Prop
h .( a 1 f i) A O * lS ) - ( a n /8 )1 ( f tA S )
Dem.
* 2 3 3 3 .3 ( - : * [ ( a ] K ) A 0 1 S))y
[*35*1]
[*22-33.*23-33]
[*35-1]
330
« (a] R)y. x(&‘\ S)y-
x t a . x R y . x e B ■xSy •
x í (a n B) . x ( R A 5) y •
x ¡(a n /9) 1(R a S)} y o 1-. Prop
SECCION D. LOGICA DE RELACIONES
*3514.
h .( ií|‘a)ñ(S(ki8 )= (fiñ S )(‘(or./9)
(Prueba similar a la *35-13]
*3515.
K (a1 /2 r/3 )A (< O S r#) = («"«,)1 (fl',‘<S)r(/9''/9,>
Dem.
4 . *3511.3
k . («1 j? r /»)«(«' 1 -s r z?')= (« 1 «) a ( 5 r/ 3) A<«'1 « )A r/S')
[*351314]
=* {(a A <01 (R AS)! A [(72 AS)r(/S A /9')|
[*35-11 ]
= ((a a <01 (72 AS) [ 03 a fi')}. 0 I-. Prop
*3616. 4.(a172)AS=a1(72A,S) = 72Aa1S [Prueba similar a la *35' 13]
*3517. M r tr £ ) A S = (fíA,Sr)!‘/9 = flA S|'/9 [Prueba similar a la *35'13]
*3618. H.(a1l?p/3)AS = «1(B A S )[J9 = /ÍA«1S[-j8
[Prueba similar a la *3515 j
*36-21. K a 1 /ír/9 = O lfl)r/9 = <*1(«r/9)
Dem.
4 .*35‘102 . 0 4: «(a] 72\ fi) y . = . x e a . x R y . y e f i .
[*35-1]
=.<t(a1 R ) y . y t f i .
[*35101]
=.<r[(«17í)r/9)y
I- .*35-102 .D4:<E(a172[‘# )y .s .jE £ a . xRy.yefi.
[*35-101]
= .« e a .a :( f ir ^ ) y .
[*351]
=.¡e|a1(JZf- £)}y
4 .( 1 ) .( 2 ) .0 4 .Prop
(1)
(2)
*36-22. h.(a1B)|ZS = a 1 (« |S )
Dem.
I-. *341. 0 4 :. je ((a1 72)|.S} y . = : (g*) .x(a'\R)e.eSy:
[*35‘1]
= : (gjr). je e a . rRe. tSy ■
[*10 35]
= sje£ a : (g*). x R t . zSy .
[*341]
= : jE£a . x(R ¡S)y s
[*351]
=:*(a1(72|/S)}y:. 0 4. Prop
*3523. 4.5|(72r/9) = (S|7í)r/3 [Prueba similar a la *35*22]
*35-24. a172|S -(a172)|S Df
*35-26. jS|72rj8 = (S|72)r/8 Df
*36-26. 4 . (a] 72)|(£ f /9)*=a1(72|S)[/9 = {«1(72|S)} [ ^ = *1 {(/2|S)[ $}
= i(a172)|S)r^ = a 1 |7 2 |(S ^ )!
Dem.
4 . #34'1 . 0 4:. je ¡(a ] 72) | (Sf- fi)\ y
[*351101]
[*10-36]
[*341]
[*35102]
4 . (1). *35-21-22-23. (*35-24-25) . 3 4 .
-(a17í|3)r/3 = a1(72|Srz9)
(g £ ).* (a 1 ^)*.*(S C / 8)ys
( g í ) . je £ a . je Re . eSy . y t f i i
x t a . y e f i l f a ) . x R z .zSyi
xea.x(R \S)y.yefii
<E[«1(72|-S)r/8]y
Prop
( 1)
331
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
*3527. a 1 rt|S r/9 = (o'JJR|S)r/9
*3531. t-.(7?I‘a )r/8 = /í[‘(aA/9)
Df
Dem.
h . *35-101.3 Hs x J(ü a) \ £] y , = , x (ft [ a) y . y e ¡¡.
[*35-101]
= . x R y . y e a.y c/9 .
[*2233]
= . xRy . y e a n f i .
[*35101]
= . a; [7¿ |*(e a £)| y : D h . Prop
*3532. I-. a *](£ ] / í ) = (a a /9) ] ií
[Prueba similar a la de la *35*311
*35 33. I- .(« ‘l i ¿ f ^ ) |' 7 = |a ‘l f í [ ( ^ n í )j [Prueba similar a la de la *35 31]
*35-34.
*35 35.
!■. «1(£1 R [“7)= ((« rt$)1 fíf-yj [Prueba similar a la de la *35*31 ]
I-. a ] Ji = (a a D‘R ) ] R
Dem.
h . *35-1 . D h : * (a *] ¿í)y . = . * c a . x R y .
[*33"14]
=.<tf a .a 't I)‘R . x R y .
[*22*33.*351 ]
s . * [(a a D*/i) 1 «¡ y : D I-. Prop
*35-351. b . R f 0 = R [ ( 0 n i \ ‘R)
[Prueba como en la *35 35]
*36352. I- .a1 /?r/9 = ( « A D‘/f)*|R |*(0 a ( l‘R) [Prueba como en la *35 35]
*35-364. h . (jR[ a) | ¿?«*.R | a 1 &'
Dem.
(-.*341 .*35 101 .D
I-: * ((ií r a) IS] z . = . (gy) . x R y . y e a . y S t .
[*351]
e . ( g y ) . x R y . y ( a ‘] S ) z .
[*34-1]
= . * \R | (a 1 iS)] * : 3 H. Prop
*35 41. 1-. (a v a') 1 R = a 1 R o a' 1 R
[*35-1 . *22-34]
*35 412. I-. R [ 03 v>P) = R [ /3 «/ R [ f f
[*35 101 . *22-34]
*35-413. M a v a O I « P</3¿S') =-(a] R [ 0 ) v ( a ‘] R [41')
o (a 1 R r 0 ) » (« '1 H f # ') t*-‘»5-102. *22-34]
*35-42.
*35-421.
*36 422.
*3543.
h . a 1 ( R v S ) = (a ] R ) v (a 1 S )
[*35 1 . *23 34]
H. (« o S ) f/3 = ( R [ 0) « (8 [0)
[*35-101 . *23 34]
I- . a 1 <JR o S ) [ 0 = (a 1 R [ 0) o (a ] S [0) [*35 102 . *23-34]
h :a C /8 .D .« 1 iíe /9 1 7?
Dem.
(-.*351 .D b :.aC /3 .D :x (o '] R ) y . = . x e a . x R y .
[*22-1 ]
O .xeR .xR y.
[*35-l]
D .*(/31 R)'J :• 3 b • Prop
*35-431. V i f t C i R \ i
[Prueba similar a la de la *35‘43]
*35432. ( - :a C 7 .j8 C í.D .a ']/f[‘j9 G 7 ]/í[S
[Prueba similar a la de la *35*43]
*3544. l-.al-RCTi
332
SECCION D. LOGICA DE RELACIONES
Dem.
I-. *35'1 . 3 4 : ¡ r ( a '] . R ) y .3 . ¡ r e a . x Ry .
[#3 27]
3 . xRy : 3 4 . Prop
♦35 441. I-. R [ 0 G R
[Prueba similar a la de la *35 44]
*35-442. K a '|# f ‘£C.fi [Prueba similar a la de la *3544]
*35 451. I-: D'R C a . 3 . a ] R = R
Dem,
4 . #4'71 . 3 1 - : . H p . 3 : x e D 'R . s . x e D 'R .x e a :
[#4‘36]
3 :xe I)‘R . x R y . = . x e D 'R . xRy .xe a
4 . *33’1 4 . *4 71 .
3 4: x R y . = . x e D 'R . xRy
4 . ( 1 ) . ( 2 ) . 3 4 :. H p . 3 : x R y . = . x R y . x e a .
[*35'1J
= . <r(a"] R ) y :. 3 4 . Prop
*35 452. 4: Q‘B C/3. 0 .
R [ R=R
( 1)
( 2)
[Prueba similar]
*35453. 4 : D ,7 i C a . 3 . a ' ] i í f ‘ y8»=jR|‘ /8 [Prueba similar]
*35-454. 4 : Q'RC/3. 3 . a"] ff[‘/9 = a'] R [Prueba similar]
*3546.
Dem.
4 :P G S .3 .a '|J ? G a ']í¡
4. *23‘1 .3 4 :. H p. 3 : x R y . 3 . x S y :
[Fact]
3 : * e a . x R y . 3 . xe a . x S y :
[*351]
3 : ^(a] R ) y . 3 . x ( a "]8) y :. 3 4 . Prop
*35-461. b - . R G S . I . R t P G S t P
[Prueba similar]
*35462. 4 : l i G S .3 .a '] / í [ ‘/SGa']jS'f-j8 [Prueba similar]
*35-471. 4 : ( P P A a = A . 3 . P | ( a ' ] . f i ) = A
Dem.
4. *34-1. 3 4 : * (P |(a ] ü ) ] * . 3 . ( a y ) . x P y . y (a ]
[*351]
[*33'14 . #10-5]
[*22-33. *24-5]
4 . ( 1 ] . Transp. *24-5 1.3
4 : ü ‘P n a = A
[#11-11-3] 3 4 : Q ‘P n a = A
[*2515]
R ) t.
3 • (ay) . * P y -ye a. yR z.
3 . (ay) . y e (I ‘P .y e a .
S .g ia 'P n a
( 1)
. 3 . ~ * [ P | ( a ‘| « ) ] * :
. 3 ,(x, t ) . ~ ¡r [J31(a] P)| z.
3 . P |(a ] li) = A : 3 4 . Prop
*35-472. 4 : D ‘ P n a = A . 3 . ( P [ a ) | P =
A
*35-473. 4 : a ‘ P n a = A . 3 . P [ ( a 1 P [ i9) = A
*36-474 4 : D ‘ P n/8 = A . 3 .( a " ] P [ - / 9 ) | P = A
*3548. 4:<3‘ P C a . 3 . P | ( a ' | P ) - = P | . R
Dem.
4 . #221.
3 4:. H p . 3 : y
e d 'P . 3 „ . y « a :
333
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
[*471]
3 : y t Q ‘P . y e a . s y . y e d ‘P :
[*10311 ]
3 : x P y . y t (I ‘P . y e a . = „. x P y . y e Q ‘P
b . *3314 . *471 . 3 b : x P y . y e ( l ‘P . = . x P y
b . (1 ). (2) . 3 b :. Hp . 3 : x P y , y e a . = y . x P y :
[*10-311]
3 : x P y . y e a . y R z . =v • x P y . yRz :
[*35'1]
3 : x P y . y (a ] R) z . = „ . x P y . yR z :
[*10-281 ]
3 : ( g y ) . x P y , y ( a ‘\ R ) z . = . ( g y ) . x P y . y R z :
[*341]
D : « ( P |o 1 i í ) í . s . a : ( P | / i ) i : . D b . P r o p
(1)
( 2)
*35 481. b : D'JFÍ C ¡3. 3 . ( P f R ) \ R = P \ R [Prueba similar]
*35 51. b . Cnv‘(a ] R ) = R [ a
Dem.
b . *31131. 3 b : x [Cnv'ía ] R)\ y . = . y (a 1 R) x .
[*35'1]
s.yea.yR x.
[*31-11]
-.xR y.yea .
[*35101]
= , x ( R [ a ) y : 3 b . Prop
*35 52.
b.Cnv,(jR[/9) = /91^
[Prueba similar a la de la *35'51]
*35 53.
*35 61.
b . Cnv‘(a ] R [ R) = & ] R \ a [Prueba similar a la de la *35 51 ]
b.D *(a1rt) = « « D ‘i¿
Dem.
b . * 33-13.3 b
[*351]
[*10-35]
[*3313]
[*22'33]
*35 62.
*35 63.
x e D ‘(«1 R ) . = : ( g y ) . * (a 1 R) y :
= :(g y ) . x e a . x R y :
= :* e a :(g y).xRy:
=: x e a., x e D‘R :
= : x e ( o r> Ü‘R ) 3 b . Prop
b : a C D‘i f . 3 . D‘( a "] .R) = a [*35 6 1 . *22 621]
b : 1)‘R C a . = . a ] R = R
Dem.
b . *35 6 1 . 3 b : a 1 R = R . 3 . a n D‘R = D ‘R .
[*22-621]
3 . D‘R C a
b . (1) . *35 4 5 1 . 3 b . Prop
*3564.
*35-641.
*35 642.
*35 643.
*36644.
*35 65.
*35 66.
*35 671.
334
.Q‘(R[R) —R r\(I‘R
A
. R [a = A
[Prueba como en la *35 61 ]
b : a n D‘R = A . 3 . a ] R =
[*35-61 . *33-241]
b : a n Cl'R = A . 3
[*35 64 . *33 241]
b : a n D‘R = A . 3 . a ] (R v S) = a 1 S [*35-641 42]
b : a « ( I ‘R = A . 1 . ( R v S ) [ a =
b :/9 C a ‘J ? .3 .a '( f if /9 ) - /9
b :(I‘R C R . = .R [/ 8 = R
b . D\ R | S ) = D‘(R pD‘S)
a [*35-642-421]
[*3564.*22621]
[Prueba como en la *35 63]
( 1)
SECCION D. LOGICA DE RELACIONES
Dem.
I-. * 3 3 1 3 . D b
* e D 'fR ¡ S ) . = : ( g y ) . X ( R | S ) y :
t*34'1]
[*1 1 -23J
= :(g y ,z ).x R z .z S y i
= . (g-J, y) . XRZ . ^ y .
l*3313J
[*35101]
= =( a - ) : ^ : ( 3 y ) . ^ y :
s : ( ^ z ) . x. R z . t e T ) ‘8 :
= : ( a * ) - * ( « r D ‘S )* :
[*3313J
= : x e D ‘( ü [ D‘S) D b . Prop
*35-672. h . a ‘(/2 |S ) = a ‘( a ‘« 1 S )
[Prueba similar]
*35-68. l- :« r t/8 = A . D . ( a ] JJ[/9)’ = A
Dem.
I-. *35-61 64-21 . D b . D‘(a-] R [R) C a . d ‘(a1 Rf/3) C/3.
[*22 49.*2413] D b : a r>£ = A . D. D‘(a] R fR) „ d ‘(a-| R \-R) = A .
[*34-531]
D . (a] £ [ £ ) ’ = A O I - . Prop
*35-7. *-:<t>{(JitRyy}. = . y t / 3 . <
i>iR.y )
Esta proposición se usa frecuentemente en las últimas partes de este trabajo.
Dem.
E. *14-21
[*33-43]
[*35-64]
Db <M0Rr/9)‘y ]- 3 . E l (R\-/3)‘y .
D. y e Q ‘( R [ R ) .
l.ye/3
E . (1 ). *4-7 l . D h : ^ ¡ ( R t/3)‘y\ = -ye8-<f>l(Rt@)‘y}
K *4-73. *35101 . D h :. y eR . 3 : x ( R [ 0 ) y . = . . x R y :
[*14-272]
b . (3 ). *5-32 3 b : y f £ . £ ((/í
. = .y e
^(
.
E . (2 ). (4 ). D b . Prop
*35 71. b • y e ^ . D „ . i í 'y = 5 ‘J, o . ^ r/9 = jSr[ 0
Dem.
b . * 4 7 . Db . H p .
3 : y t 0 . 3 v . y e / 3 . R ‘y = S ‘y :
[*35-7]
3 : y í /3 . Dv . ( R f-Ryy = ( S [ R Y y :
[*35-64]
1 : y e < l ‘{ R u (I‘(S [,9). D„. (¿J|-^)«y = (lSr-m, .
[*33-45]
3 : / J [ - ^ = S [- )9 :.3 b . Prop
*35 75. f- A ] R = R f A = A 1 R C/3 = 0] R [ A = A
Dem.
b . *35-61.
D b . D‘(A ] ü ) = A .
[*33-241]
D b .A 1 /í = A
b . *35-64.
D b . a ‘( « [ A ) = A .
[*33-241]
D b . jR|-A = A
b . *35-441 -21 . D b . A l l í ^ C A I / J .
[(1).*2513]
D b . A ] /t f-/8 = A
b . *35-44-21 . 3 b . a ] / e [ A G B [ A .
[(2).*25-13]
D b .a j R [ A = \
( 1)
( 2)
(3)
W
(1)
(2)
(3)
(4)
335
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
K ( 1 ) .( 2 ) .( 3 ) .( 4 ) .D
. Prop
*3576. h , V J\ R = R [ V ^ V ] R [ y = R
Dem.
( -.* 3 5 1 . D f- :* ( V -|il)y .
[*24 104.*473]
K *35101 . D h : * ( i í r V ) y .
[*24104.*4-73]
l-.*35l02.Df-:ír(V1ürV)y
[*24104.*4'73]
I-. (1 ). (2 ). (3) • D h . Prop
El resto de este número hasta la
excepto las *35*81'812.
= .* e V .x R y .
= . xR y
= . x R y . y «V .
= . xRy
.
V . x R y . y «V .
= . xRy
s
í
( 1 )
(2)
í
(3)
93 exclusive, se relacionan con a í (3,
*35-81. h :¡ c ( « lV ) j/, = . i ( n [*351 . *25104]
*35-812. 1- :*t'V f/8 )y . s . y e/8 [*35101 .*25 104]
*35-82. K o t / 9 = “ 1 VfyS
Dem.
V. *35 103
R)y . = . x e a . y e B .
[*25104]
= . x e a . x V y . y e (3.
[*35102]
s . a ( a '] V [ - ^ ) y : D h . Prop
*35822. f - .a 'lf í[ / 3 = Ü A (a1-/8)
Dem.
h . * 3 5 1 0 2 . 3 h : x ( a ‘].ft[‘0 ) y
[*43]
[*35103]
[*23-33]
. s . « c a . x R y . y e /9.
= .xR y.xea. yc 0 .
= . xRy .x(a ^ 0) y .
= .a :{ f íñ ( a ti3 ) ) y :D I - .P r o p
*35 83. h - . D ' R C a . a ^ R C f i . s . R C a ^ f i
Dem.
I-. * 3 3 1 4 .
D I- i . x R y . D :
.y í CI'jR :
[*22-46]
0 : D ,R C a . Q ‘R C R . 0 . x t a . y e R
I- .(1 ) . Comm .D I-:. D 'i t C a . Q.‘R C R . D : x R y . 3 . x t a . y t f3.
[*35103]
3 •*(» t @)y
t-. *35 103 .
D I-:. R C a f 0 . 3 : x R y
« ía .y e /8 :
[*33-35-351]
3 : D‘it C a . Q.‘R C /3
K ( 2 ) .( 3 ) .
D h .P ro p
*35-831. K i( a 1 - /8 ) = ( - a T 0 ) o ( a T - £ ) « / ( - a t - / 9 )
Dem.
h .*23-35 . D 1-:: a; (-^(a f /9)) y . s ~ l* (<* T 0 ) y l ”
[*35-103] '
E ¡.~(i«a.ye^):.
[*451]
= :.* ~ ea.v .y ~ f0 :.
[*4-42]
= :.x~ (a:ytR .v.y~ eR :.ví.xea.y.x~ ea:y~ e$-..
[*4-4]
= :.x~ea.yt0.v.x~ca.y~ep.> i.xea.y~c0.'t.x~ea.y~e0:.
336
( 1)
(2)
(3)
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
t*4*25 31-37]
= * ~ e a . y e/3. v . mea. y ~
.v.
e a. y ~ e£
[*22’35] = :. ¡tí —a . y e f i . v . x e a . y e —f3 . v . x e —a. ye —0:.
[*35103] = x (—a f £ ) y . v . x (a f - /9) y . v • x
a | - ¡3) y :.
[*23-34] = :. * [(- a ]■/9) u (a f - /9) «/ ( - a T - 0 ) ) y :: 3 (-. Prop
*36 832. l-.^ ( a - |.K r 0 )= .(- < » T £ )'» ( “ t - £ ) s ' ( - « í
[*35822'831. T ransp. *23*84]
*36-834 M aT /3 )A (7 f 8)“ (« r,7 )t0 9 « S )
Dem.
(-.*35 1 0 3 .3
•": * [(“ t &) * (y t $)| y • = •««« • y«/8 . x e y . y e S .
[*22-33.*35103]
= . x [(a n y) f (0
a
S)) y : 3 h . Prop
*35 84 l-.C nv‘( a T / 9 ) - 0 f 0 [*35103 .*31 131]
*35-85. I-: 3 ! 0 . D . D‘(a f 0) = a
Dem.
h . * 3 5 1 0 3 .* 1 0 -2 8 1 .3
(-:. ( 3 y ) . ¡r(a t 0 )y . = : (3 y ) . x e a . y * 0 :
[*1035]
= : » e a : ( 3 y ) .y « 0 :
[*24'5]
= : x e a . 3 ! /3
I-. (1 ). *33 13. *10 35 .D I-, Prop
*35 86.
( 1)
h : 3 ! a . 3 . ü ‘(a t 0) = 0 [Prueba similar]
*3587. l - : 3 ! ( a | ^ ) . = . 3 ! a . 3 ! / 9
Dem.
V .* 3 5-103.3 h :. 3 ! (a t /3). s : ( 3 x , y ) . x e a . y e / 3 :
[*1154]
= :(3 ¡r).a :< a :(3 y ).y e )9 :
[*24-5]
= : 3 ! a . 3 l £ : . 3 l - . Prop
*3588.
h :.a 'f / 3 = Á .= :a = A .v . / 9 = A
[*35"87 . T iansp. *24*51 . *25 51]
*35 881. I-: CL‘ií C a . 3 . fí | (a f 0) = D ‘/¿ | 0
Dem.
h . *341 .* 3 5 1 0 3 .3
t-: x [0 |(a f 0 » y . s . (3 *). x R z . x e a . y «0
I-.* 3 3 1 4 . 2 \ - : . ( l , R C a . ? : x R x . 3 . z e a :
[*473]
3 : x R z . = . x R z , zea
I-. (1 ). (2 ). 3 I-:: H p . 3 * ¡J? | (a | /8)¡ y . = : (3 *). x R í . y e f f :
[*10*35]
= : (3 * ) • x R e : y t 0 :
[*33'13]
[*35103]
= : « D ‘I t . y e /3 :
= : x ( D ‘R y 0 ) y :: 3 1-. Prop
*35 882. (-: D‘fí C 0 .
*35 89.
. (a 1 0) 10 = a | d ‘«
( 1)
(2)
[Prueba similar]
( - :3 ! 0 .3 .( a T /9 ) |( 0 Í 7 ’) = ( a t 7 ) : ~ 3 ! 5 . 3 . ( a t /9)|(;9t7) = A
337
PARTE 1. LOGICA MATEMATICA
Dem.
h.*S4-1.3l-:.*((«t/9>|Ú8Í7)]
s : ( a y ) - * (“ t
• ( £ í 7) * =
[*35-103]
= : (gy) . x t n . y t f i . ye / 3 . z t y :
[*424]
= : ( a y)-xea.yeff.eey:
[*10 35]
= : 3 ! R : ¿rta . zey :
P) y y
[*35'103]
= : a ! £ : « ( “ T 7) *
(1)
M l ) . 3 h : : a ! / 8 . D : * K a T £ > | ( | 8 T-y)!*- = . * < « T 7 ) * s ~ (a!
R) ■3 s ~
[*!(“ T
R) I(R T 7)} *] ü ^ ^ • frop
*35 891. I- 3 ! R . v . ~ g ! a : 3 . (a f R) ¡ (R f a) = (a | a)
Dem.
I-. *35'88 . 3 h : ~ g ! a . 3 . « T « = A . a t / 3 - A .
[*34-32]
3 . a f a = A . ( a f , S)|(/9ta) = A .
[*2V24]
D .(ata) = (at/3)|(St«)
h . (1 ). *35*89.31-. Prop
*35 892. I-: (a f «)»= (a f a)
( 1)
j*35'891 ° j
*35 895. f - : a n £ = A . D . ( a f R)' = A [*35-68-82]
*35 9.
I-. D‘(a t a) = d ‘(a | a) = C‘(a f a) - a
Dem.
h . *35-85-86.
3 I-: g ! a . 3 . D‘(a -f a) = a . ü ‘(a \ a) = a
I". *35'88.
D I" :~ a ¡a - ^ - ~ á ! ( a ta ) .
[*33-29]
D .D '( a t a ) = A . a ‘( a t a) = A .
[*24 51]
3 . D‘(a ]- a) = a . ( l‘(a f a) = a (2)
t-. (1 ). (2 ). *4-8 3 .3 h . D‘(a t a) = CI‘(a f a) = a . 3 I-. Prop
(
1
)
*35 91. h : /i C a f a . = . C'R C a
Dem.
h . *35-103. 3 h : . / Í G a j - a . = : x R y . Ox,v . x , y e a :
[*33-352]
= : C‘R C a 3 h . Prop
*35-92.
h
( 3 °) . P = a '|‘a . 3 : / i G / ' . = . C‘R C C'P [*35 9 91]
*35 93. i-: (R ) . 0 (D ‘R ) . = . ( a ) . 0 a
Dem.
I-. *3312 . *1418 . 3 h : ( a ) . 0 a . 3 <t>(D‘R ):
3 h : (a ). 0a . 3 . ( R ) . 0 (D 'ií)
[* 1011 -21]
3 I-: (.R). 0 ( D ' R ) . 3 . 0 (D‘(a f a )).
h . *1 0 1 .
3. 0a :
[*35-9]
3 I-: ( R ) . 0 (D 'R ) . 3. (a ). 0a
[*1011 -21]
3 h. Prop
M 1M 2).
*35-931. y : (R ) . 0 (CI‘R ). = . (a ) . 0a
*35 932. I-: (R ) . 0 (C'R) . s . ( a ) . 0a
338
[Prueba como en la *35 93]
[Prueba como en la *35 93]
( 1)
(2)
SECCION D. LOGICA DE RELACIONES
*35'94
I-: ( g f l ) . <j>(D‘R ) . = . ( g a ) . 0 a [*3593 . Transp]
*35'941. I-: ( g R ) . 0 ( d ‘R ) . = . ( g a ) . 0a [*35 931. Transp]
*35-942. I-: ( g tf ) .0 ( C ‘1Í). = . ( g a ) . 0a [*35 932 . Transp]
339
*36. RELACIONES CON CAMPOS LIMITADOS
Sumario del *36.
En este número nos interesamos por el caso especial en el que se impone la
misma limitación sobre el dominio y sobre el dominio converso de una relación. En
este caso, se logra el mismo resultado imponiendo la limitación sobre el campo. Es
conveniente ser capaces de considerar a 1 P t a como una función descriptiva de a
o de P, lo que se nos afirma mediante la notación P 1 a , en donde, como se
explicará en la *38, P t‘a y i a'P significan ambas P t a. Si P es una relación serial y
a C CP, “P *o" significa “ los términos de a dispuestos en el orden determinado
por P”; o, dicho brevemente “a en el orden -P ". P 1 a se deñne como sigue:
*36oi.
n « = « in «
Df
De este modo tenemos
*3613.
Yix{P\,a)y.s.x,yta.xPy
La mayoría de las proposiciones relativas a P I a exigen que P deba tener, por lo
menos, algunas de las características de una relación serial. Por tanto, las proposi­
ciones relativas a P \ a que puedan darse en este número no son, para la mayor
parte, las proposiciones más útiles relativas a f l a . Las proposiciones más útiles en
este número son las siguientes:
*3626.
btC‘PCa. = .Pt<t = P
*36-29.
K.Pta = jPñ«t«
*363.
*3633.
K P t “ = i >C<a ' ' C' P >
y . P t C ‘P = P
*3601. P t a = a m « Df
*3611.
[(*3601)]
*3613. l-:íc (P ta )y .s .íF , y ta .x P y [*3611 .*35102]
Las siguientes proposiciones se obtienen a partir de las respectivas del *35 por
medio de la *36'1 i, la cual, como se utiliza en cada uno de los casos, no es preciso
poner su referencia de nuevo.
*362. l-.P C aA Q t/9 = (JUAQ)C(or'^)
*36201. h ..P ta< ;'P C £ = P t ( “ A£)
*36-202. h . P l a ñ Q l a ^ ( P ^ Q ) t a
*36203.
=
*36 21.
340
[*3515]
[*36-2]
[*362]
[*3518]
[*35-33-34]
SECCION D. LOGICA DE RELACIONES
*36-22. K (P C « )l(Q C « )c (P|<2)D a
Dem.
I-. *36-13. *34-1. D I- s x ¡(P £ a) | (Q [ a)) z . = . (gy) , x , y , z e a . x P y . y Q z .
[*105]
D .( g y ) . x , z e a . x P y . y Q z
I-. (1 ). *10-35 . *341 .D I-, Prop
*36 23.
*36-24.
M P o Q K a = P D a c iQ t“
h-.a C p .l.P ta G P tB
*36241.
( 1)
[*35 422]
[*35432]
[*35462]
*3625. Y - . C ' P C a . = . P l a = P
Dem.
h .* 3 6 1 3 .* 4 7 . 0 h : . P t a = P . h i x P y .
.x, y e ai
[*33 352]
= : C‘P C a D h . Prop
*3626.
*36 27.
h : C ,‘P n a - A . D . P | ( Q C a ) - A . ( Q C a ) | P = A
h:P t A= A
[*3575]
*36 28.
h .P t V= P
[*3576]
*36 29.
h .P C a - P A a - fa
[*35’822]
*363.
K P [ ; a = P C (a r.C ’‘P )
[*35-473-474]
Dem.
I-. *33-17 . *471 . 0 (-: x P y . s . x , y e C*P. x P y :
[Fact]
13 h : x, y e a . x P y . = . x, y e a . x, y t C ' P . x P y .
[*22-33]
= . x . y e a r. C‘P . x P y .
[*36'13]
= . x [P l (a n C‘P )j y
h .( 1 ) . *3613 . O h . Prop
*36 31.
h o n C‘P = A . D . P £ a = A
[*363-27]
*3632.
h i a n C ‘P = Pr>C‘P . O . P t a = P t P
[*363]
*3633.
f-. P £ C‘P = P
[*36-25]
*3634.
h .C n v ‘P C a = ( P ) t a
[*3553]
*36 35.
h . (P t a)J C (P*) £ a
[*36-22]
*364.
h : . a n D 'i? = A . v . a n (J‘P = A : D . (ft S) £ a = $ £ a
Dem.
H. *35-643. 0 I-: a r» D‘P = A . D . a ] ( P o S ) = a 1 5 .
[*35-21]
3 .(P o S ) C a = « t a
Sim ilarm ente h : a n d ‘R = A .3 .( P v » S ) C a = ,S£a
h . (1) .( 2 ) . D I-. Prop
( 1)
( 1)
( 2)
341
*37. FUNCIONES DESCRIPTIVAS PLURALES
Sumario del *37.
En este número introducimos lo que puede considerarse como el plural de R'y.
"R'y" se definió con la significación “el término que tiene la relación R con
respecto a y ”. Ahora, introducimos la notación “R “0” para significar “ los términos
que tienen la relación R respecto a los miembros de /?’. Asi, si (3 es la clase de los
grandes hombres, y R es la relación de esposa a esposo, /?“0 significará “ las esposas
de grandes hombres” . Si 0 es la clase de las fracciones de la forma 1 — l/2 n para
valores enteros de n, y R es la relación “menor que” , R “(5 será la clase de las
fracciones cada una de las cuales es menor que algún miembro de esta clase de
fracciones, es decir, R“(i será la clase de las fracciones propias. Generalmente, R " 0
es la clase de aquellos relacionantes que tienen relacionados que son miembros de 0.
Precisamos igualmente una notación para la relación de R"0 a 0. A esta relación
la llamaremos R e. De este modo, R e es la relación que tiene lugar entre dos clases, a
y j3, cuando a esté constituida por todos los términos que tienen la relación R con
respecto a algún miembro de 0.
Un caso especialmente importante surge cuando R'y existe siempre si y e 0. En
este caso, R “l3 es la ciase de todos los términos de la forma R'y cuando ye(3.
Simbolizaremos la hipótesis de que R'y existe siempre si y e ¡i. Simbolizaremos la
hipótesis de que R'y existe siempre s iy e f i mediante la notación E ! ! R “f¡, con la
significación “ las R's de las 0‘s existen” .
Las definiciones son las siguientes:
*37-01.
R“ /9 = 3 l ( a y ) - y * £ - * % l
Df
*37-02.
R ,~ aj 3 ( a = R “0 )
Df
*3703.
R , = Cov‘(ii,)
Df
Esta definición sirve únicamente para suprimir los paréntesis. Sin ella, “ R c”
quedaría ambigua entre (R)e y Cm'(Re), que no son iguales. En todos los casos en
que se presente un sufijo, adoptaremos el mismo convenio, es decir, siempre
debemos poner
w
^sufijo = Cnv (Rsu fijo)
*3704.
=
Df
De este modo, R '" k está constituido por todas las clases que tienen la relación
R t con respecto a algún miembro de k . R“‘k sólo tiene significación cuando k es
una clase de las clases relacionadas con miembros del dominio converso de R; en
este caso, R '" k es una clase de clases referentes a miembros del dominio de R.
*37 06. E H R“/3. = : y e /9 . D*. E ! Rly Df
342
SECCION D. LOGICA DE RELACIONES
Aquí, el símbolo “ E ! ! /?“0” debe tratarse como un todo, es decir, no debemos
considerarlo como haciendo una aserción acerca de /?“0. Si R “(i = a no debemos
suponer que estemos capacitados para poner “ E ! ! a ” lo cual no tendrá sentido,
exactamente como “ E I x ” es un sinsentido aun cuando x = R 'y y E ! R'y.
La notación R “a, introducida en este número es sumamente útil, e incorpora
una idea muy importante. Su uso es, en cierto modo, diferente según la clase de
relación de que se trate. Consideremos primero la clase de relación que lleva a una
función descriptiva, digamos D. Si X es una clase de relaciones, D“X es la clase de los
dominios de estas relaciones. En este caso, D“X es una clase cuyos miembros son
todos de la forma D‘/í, donde R e X. Nuevamente, representamos por “xn”. la
relación de m a m x n; entonces, si simbolizamos por "NC" la clase de los números
cardinales, x n"NC representará todos los números que resultan de multiplicar un
número cardinal por n, es decir, todos los múltiplos de n. Así, por ejemplo, x 2"NC
será la clase de los números pares. Si R es una correlación entre dos clases a y 0,
esto es, una relación tal que, si y e0 , R‘y existe y es un miembro de a, mientras
que, por el contrario, si x e a, R'x existe y es un miembro de 0, entonces, a = R''p,
y podemos considerar a R como una transformación aplicada a cada miembro de 0
dando origen a un miembro de a. Por medio de tales transformaciones es como
puede mostrarse que dos clases son similares; esto es, que tienen el mismo número
(cardinal) de términos.
En el caso de relaciones seriales, la utilidad de la notación R"fi es, en cierto
modo, diferente. Supongamos, por ejemplo, que R sea la relación de menor a mayor
entre los números reales. Entonces, si 0 es una clase cualquiera de números reales,
R “P será el segmento de números reales determinado por 0, es decir, la clase de
números reales que son menores que el límite, o máximo de 0. En una serie, si 0 es
una clase contenida en la serie, y R es la relación generadora de la serie, /?“0 es el
segmento determinado por0. Si 0 tiene un límite o un máximo, digamosx, R''P será
R'x. Pero si 0 no tiene un límite ni un máximo, R “P será lo que podemos
denominar un segmento “irracional” de la serie. Veremos más adelante que los
números reales pueden identificarse con los segmentos de la serie de racionales, es
decir, si R es la relación de menor a mayor entre los racionales, los números reales
serán todas las clases tales como “R “p”, para los diferentes valores de 0. Los
números reales que corresponden a los racionales serán los que resulten de una 0
que no tiene límite o máximo; los irracionales serán los que resulten de una 0 que
no tiene límite o máximo.
Este número puede dividirse en varias secciones, de la forma siguiente: 1) Prime­
ro, tenemos varias propiedades elementales de los términos definidos al principio
del número; esta sección comienza con la *37-29. 2) A continuación, tenemos un
conjunto de proposiciones que versan sobre productos relativos, y sobre símbolos
tales como P"Q"y, P“ Q‘“ k, y así sucesivamente. La proposición central aquí es
*37 33. I-. (/> | Q)“y = P “ g “ 7
343
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
Por definición, (TVc = Qe" k. Así, pues, P 'Q ^ k = (ftQJ 'k. Esto conexiona a
las proposiciones que incorporan símbolos tales como
con las proposiciones
que se refieren a los productos relativos. Esta segunda sección la constituyen las
proposiciones *37‘3 a la *37 39. 3) Seguidamente, tenemos un conjunto de propo­
siciones sobre relaciones con dominios y dominios conversos, limitados unos y
otros. Las principales de éstas son
*37401. l-.D ‘(.Sr/9) = i?.“ /9
*37412. E .(fi|-a )‘‘/3 = i2“ (an /8 )
*37 41.
I-. IY(R £ a) - a n R“a. (I‘(R £ a) - a n R“a
Estas proposiciones sobre relaciones con dominios y dóminos conversos limita­
dos, juntamente con otras relacionadas con ellas, van desde la *37'4 hasta la
* 3 7 5 2 .4 ) Después tenemos un número muy importante de proposiciones sobre las
consecuencias de la hipótesis E ! ! R“(3; es decir, de la hipótesis de que, para
cualquier argumento que sea miembro de ft R da origen a una función descriptiva
R'y. La principal proposición en esta sección es
*376.
h E i ! R“¡8 . D. R“8 = S¡ |(gy) . y e 8 . x - fl‘y]
Las proposiciones con la hipótesis E ! !
se aplican a los casos de R y ??, en
las que se verifica la hipótesis. Esta sección se extiende desde la *37*6 hasta la
*37791. 5) Finalmente, tenemos tres proposiciones sobre el producto relativo de
a 1 0 con otras relaciones. Estas proposiciones son útiles en la relación aritmética
(Parte IV).
Las proposiciones de este número que más se usan en lo que sigue, aparte de las
ya mencionadas, son las siguientes (omitiendo aquellas que únicamente incorporan
definiciones):
*37 15.
*3716.
h . P “ a C D‘ fí
l - . « “ aCC[‘P
*37 2.
*37 22.
I-: a C # . 3 . P “ a C P “/3
I-. P “ (a w /3) = P “ a u P “8
*37 25.
. D ,R = R “a íR A V R = R ,lD‘R
h . R“8 - R"(8 n a< ñ )
*37-265. I-. R“a = R “(a n C*R). R“a - R “ (a n C‘R)
*37 26.
*3729.
I-. R “ A = A . R UA = A
*37 32.
I-. D '(P j <fi = P “ 1VQ. d ‘( P | Q) = Q“ G ‘P
*3745.
l - : . ( y ) .E ! i e ‘y . 3 : a ! P “ / 3 - s - a ! / 9
*37 46.
i- i x c R “a. = . g ! a n R ‘x
*3761.
h :: E l! R“8 . D ¡. R‘U9 C a . = : y í 0 .
. R‘y ea
Por ejemplo, sea R la relación de padre a hijo, j3 la clase de los etonianos, a la
clase de los hombres ricos; entonces “7?“/3 C a ” significa “ todos los padres de
344
SECCION D. LOGICA DE RELACIONES
etonianos son ricos” mientras que “y e 0 . Dy . R'y e a” significa “si un muchacho
es etoniano, su padre debe ser rico” . En virtud de la última proposición, estas dos
expresiones son equivalentes
*3762.
Ks E ! R 'y . y c a . D . R 'y e R “a
*3763.
h :: E !! R " a , D : . x e R " a . D ,. ■tfrx: = : y e a .7 3 v .\¡r (R' y)
*37 01.
R “R = & [ ( ^y ). y e R . xR y\
Df
*3702.
R , «■S/9 (a = R “/3)
Df
*3703.
R , = Cuv'(R.)
Df
*3704.
R ‘" k = R ." k
*3706.
E H R “R . = : y </S.
Df
. E ! R 'y
Df
I X ( R “0 . = .(%y) - y e 0 • x R y [*20 3 . (*37 01 )]
*371.
*37101. h : aR. f j. = . a = R''f3
[* 2 1 3 . (*37 02)]
*37 102. h : a ( « ) . /8 . a . a = í “ /3
[*37101]
*37103. I- s a « R '" k . s . ( 3 /8 ) . 8 e k . a - R “0 . s .a e R ," k
[*37 1 101 . (*3704)]
*37104. I - E l ! R " R . a s y «8 • V E ¡ R ' y
[*4'2 . (*37 05)]
*37106. y -: x e R '' 0 . s . ( s y ) -y * 0 ' y fo :
[*371 .*31 1 1 ]
*37106. I-:. E l R ' x . ^ : x t R " 0 . s . R ' x e R
Dem.
I-. *37105. *30 4 . D I-:. H p . 3 : x t R ''& . s . (3 y). y 1 8 - y = R 'x .
[*14 205]
5 . R 'x
Prop
I-. fi.‘8 - R“R
*3711.
*37111. h . E ' 8 / 8
*3712.
[*37101. *30 3]
1*3711.*1421]
1- :( 8 ) .- R “ 8 = Q‘0 . = . 8 . = Q [*3042.*37111 11]
*3713. h : P = Q . D . P “ 8 = Q “ 8
Dem.
h . *21-43. 3 h :. H p . 3 : x P y . a » „ . x Q y:
[Fact]
O iyeR .xP y.^y.ytfi.xQ y:
[*10 281]
2i('ny).ye/3.xPy . s t .(% y).ye0.xQ y:
[*371]
D : x t P “P . = , . * ( Q " B :. D I-. Prop
*37131. h : P = - Q . D . P . - Q.
Dem.
i-. * 3 7 1 3 .3 I-:. H p . 0 : a = P " R . =.,t . a - Q " 0 :
[*37101]
3 : a P .8 •
• «Q.8 s. 3 I- - Prop
345
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
*3714. I- : P = Q. = . P , = Q.
Dem.
(-.*37-101. *21*15.3
h :./>, = & . = :a = P “ / 3 . = . , , . a = Q“ /3:
[*13183]
= : (/3). i J“ /3 = Q“0 :
[* 3 7 i.*2o-i5] =: (/8, a:):(ay).y«j8.a;Py. = .( 3 y).ye£.a% :
[ * io i]
D : ( * ) : ( a y ) - y e í ( í = “')-^-P y- = - ( a y ) - y e S (* = " ’) - ;z:Q-v :
[*20-3]
3 : ( i ) : ( a y ) . y = tu. x P y . = . (ay ) - y = w . x Q y :
[*13-195]
3 : (a;): a:P w . = . x Q w
h . (1 ). *1011 21 . * 1 1 -2 . 3
I -:.P , = Q ,. 3 : (x, tu): x P w . = . a:(]tu s
[*21-43]
3 :P=Q
I-. (2 ). *37-131. 3 (-. Prop
*3716. I-. R “a C D ‘R
Dem.
(-. * 3 7 1 .3 i- : x e R “a . 3 . (ay) . y £ a . x R y .
[*io-5]
3 • (ay) • x R y ■
[*3313]
3 • ®* D‘R : 3 I-. Prop
V
*3716.
y . R “c C a ‘R
*3717.
y
[*3715
*33 2]
R “R C a . = : y e (8. x R y . 3*,„. x e a
Dem.
h . *37 1 . 3 h
[*10-23]
R “R C a . = : ( a y ) . y e &. x R y . 3* . * e a :
h : y e £ . x R y • 3 ,,„ . a: e a :. 3 (- . Prop
*37171. I - R “a C /3 . = : x e a . x R y . 3 x,„. y c 0
Dem.
I-. *37 1 0 5 .3 y
[*10-23]
Íf“ a C &. = : (a*) • * « «• * # y . 3 t . y e & :
s : x e a . a:.Ry. 3 I-1(. y e/9 :. 3 h . Prop
*3718. y : y e / 3 . 0 . ~ R ‘y C R “l3
Dem.
I-. *32-18. 3 I - H p . 3 : a: e R ‘y . 3 . x R y . y e .
[*37-1]
3 . a: e R “f i 3 h . Prop
*37181. I-: a :e a . 3 . R ‘x C R “a [La prueba com o en la *37*18]
*37 2.
(-: a C /9. 3 . P “a C P “fS
Dem.
y . * 2 2 ;1 .3 h :. H p . 3 : y í a . 3 y.y e /8 :
[*10-31]
3 : y e a . x P y . 0 v.yel3.xPy:
[*1028]
3 : ( a y ) . y € a . arPy. 3 . (ay ) . y e R . x P y :
[*37-1]
3 : x e P “a . 3 . x e P " l3 :. 3 I-. Prop
346
(1)
SECCION D. LOGICA DE RELACIONES
La última proposición (*37-2) es una de las formas de inferencia asilogística
debido a Jungius, profesor de Leibniz. El ejemplo dado por Jungius es: “Circulus
est figura; ergo qui circulum describit, is figuram describit ( 68)” . Aquí la clase de
los círculos es nuestra a, la clase de figuras es nuestra P, y la relación de descripcio­
nes es nuestra P.
*37-201. I-: PC Q, D. P"aC Q“a
[Prueba similar]
*37202. h: a C / 3 .P G Q .3 .P “aCQ"/9 [*372 201]
*37 21. I-. P “(a n ff) c P " 2 n P “ /9
Dem.
I-. #37'1 . D I- : . x e P “(a n /9 ) . = : ( g y ) .y e a n /9. x P y :
[*22-33]
= :( a y ) .y « a . y t & . x P y :
[*10-5]
D : (gy) .y e o . xPy : (ay ). y e /9. xPy :
[*37 1]
2 : x f P “a . x e P “)3:
[*2233]
D : ¡te P “ a n P “ /9 :. D 1-. Prop
*37211. h .(P ñ Q )“ a C P “ a n Q“a
[Prueba similar]
*37-212. l - .( P ñ Q ) “ ( a n /9 ) C P “ a n P “ ,3 n Q “ a n Q “ íS [*37-21-211]
*3722. h . P “ (9 u £ ) = P “ a v P “ /3
Esta proposición se usa muy frecuentemente. El hecho de que aquí tengamos
una identidad, mientras en la ■*‘37*21 sólo tenemos una inclusión, se debe al hecho
de que la *10'42 establece una equivalencia, mientras que la *10 5 establece una
implicación.
Dem.
. *37’1 . D h
[*22-34]
[*4 4]
[*10-42]
[*37*1]
[*22-34]
x t P “ (a v»/3). = : (ay ) . y « a \j ¡3. x P y :
= : ( a y ) : y « a . v . y t/9 :a ;P y :
= :(fty):y ta .xP y.v .ye& .xPy:
= : (a y ) . y í a . x P y : v : (a y ) . y
. xPy :
= : i t e P “ a . v . i í P ‘lj8:
= : I f P “ a u P “ £ :. D I-. Prop
*37221. I-. ( P o Q)"a - P “ a u Q“ a
[Prueba similar]
*37222 h.(PuQ)“(av/3) = P“a v P “/3vQ"auQ“/3 [*37 22 221]
*37 23. l-.D ‘P .- a |( a / 8 ) .a = P “ /3)
*37231. K Ü ‘P, = Cls
[*37 101 .*33 11]
El tipo de “Cls” aquí es el tipo cuyos miembros son del mismo tipo que Q‘R. En
la prueba, se hace uso del convenio de que una letra griega siempre significa una
expresión de la forma i (<t>! z).
Dem.
1-.*37101 .
[*1011-281]
D I - : a P , S ( ^ l i ) . = . a = / í “ í(< í)!í):
D I-: (3 a ) . a It.5
= . (a a ) . a = fí" ? (tf> ! a ) :
(68) Citamos de Couturat, La Logique de Leibniz, Cap. 111, § 15 (p. 75 n.).
347
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
1*33131]
h . *20-2. (*37-01).
[*1011-24]
h . [1 ).(2 ).* 2 -0 2 .
I-. *20-41 . * 2-02 .
h . (3 ). (4 ).
D I-:? (< f> !* )íC W e ,.3 .(g a ).a = / í " 2 ( $ U )
( 1)
3 Hs 2 H ay ). y
»*) • *•%} - * “ *<* »*) *
D I-! (4 > );(a < i).a « Jí" 2 <«*>!*)
D I - :2 ( $ ! * ) « C l 8 .3 .í( $ ! * ) * < r R .
D t-:2 (< /> !* )í(T .R ,.3 .í(< M í)íC ls
3 K Prop
(2)
(3)
(*)
Tal como aparece en esta última prueba, es necesario, cuando debe ser probada
una proposición que contiene “ Cls” , abandonar la notación con letras griegas y
volver a la notación funcional explícita.
*37-24.
h :o eD ‘i í ..3 .a C D <«
Dem.
y . *33-13 . *37 101 . D I - a « D‘/ t . . = (g/3). a = R “/3
[*20-33.*37-l]
= (g/9) : x « a . =x . ( g y ). y t &. xR y ;
[*11-61]
D s .x r a . Dx :(g/9, y ) . y c f ) . x R y :
[*11-23]
3 * :(g y . 0 ) . y e $ . x R y :
[*11-55]
3 * :( a y ) :;E% : ( a £ ) - y « £ :
[*10-5]
3*: (a V ) - x R y .’
[*3313]
Ox : x f D‘R :: D I-. Prop
*37 25. h . D ‘J Í - ü “ a ‘/ í . a ‘fi = f l ‘‘D , fí
Dem.
h . *33-13. D h : x f D ‘/ t . = .(g y ).x .R y .
[*3314.*4-71]
m . (g y ). y e ([•R. x R y .
[*37 1]
s . x t R ^ Q ’R
y . *33-131 . D I-: ye (T fí . = . ( g x ) . x R y .
[*33'14.*4'7l]
= . ( g x ) . x e D‘i t . x ity .
[*37105]
h . (1 ). (2 ). D h . Prop
*3726.
O)
( 2)
= . y e R “ D‘R
=
Dem.
h . *37 1 . 3 1 - x t R “/3 . = : ( g y ) . y e / 3 . x R y :
[*33-14.*4-71]
= : ( g y ). y t ¿8. y «<Tü . x R y :
[*22-33]
= : ( g y ) . y t / 8 A a ‘i í .x / í y s
[*37-1]
= : x e R “(0 a O * rt):.D K Prop
*37-261. 1-. R “/3 - R “ (8 a D‘R)
[*37 2 6 . *33 21]
*37 262. I-: a a Q 'R ■*y9 a G‘.R. D . R “ a ■* R “ /3
[*37 26]
*37 263. t-: a
[*37-261]
a
l)‘Jí - y? a D‘« . D . R “ a = R “ 8
y
*37-264. 1-: g I a a /t" /9 . s . (gx, y ) . x « a . y e f f . x R y . a . g 10 a ü “ a
Dem.
h . * 2 2 3 3 . *371‘. D I - g 1a a K“ /9. = ; (3 * ) : x« a : ( g y ) . y r /9 . x « y :
348
(1)
SECCION D. LOGICA DE RELACIONES
[*11-55]
= : (a®, y) • « <a . y e /8. ¡riíy
H .(l). *11-6.31-: . 3 ! a r ,£ “0 . = :(ay):y«/9:(3*)**eee*.R y:
[*37 105]
= : (ay) • y « . y e R “a :
[*22-33]
= : 3 ! B n P"a
h . (2). (3). D h . Prop
*37-265. h . R “a = R “(a n & R ) . R<‘a - R “(a n C'R)
(2)
(3)
Dem.
*37-27.
I-. *33161. *22-621 .D I-. d>R ~ C * R n d ‘R .
[*22-481]
D h . a r . a ,i í = aftC ,‘i Z n a ‘J?.
[*37-262]
3 h . R “a = R “(a r>C<R)
(" .(1).*33*22.
D h .P ro p
I-: CI‘.R C B . ¡) . D‘fl = R “)3 [*22 621 . *37-25 26]
*37271. h : D‘/ i C a . 3 . (J‘R = P “ a
[*22621 .*37 25 261]
*3728.
[*37-27-271 .*2411]
l-..R“ V = D‘P . K “ V = a ‘fl
*3729. h . R “A = A . R “A = A
Dem.
h . *10 5 .3 1 - ; (gy) .y e A . ¿cjRy . 3 . ( g y ) . y e A
*- • (1) • T ransp. *24 5 3 . D 1- .~ ( g y ) .y e A . < r% .
[*371]
3 1- . ~ g ! R “A .
[*24 51]
I ) ( - .P “ A = A
, ^ R
^
(-•(2 )^ .
3 K fl" A = A
(1)
(1)
(2)
(3)
K ( 2 ).(3 ) . 3 K Prop
*37-3.
H.{sg‘( / , tQ)i‘* = P “ gí*
Dem.
y . *32-2313.D
M s g ‘(P ÍQ )l‘* = * (* (P |< ? M
[*341]
= á ¡ía y ). tfP y . y<¿¿!
[*32 i8]
= 2 ((ay) ■ar-F’y ■y *
[(*37-01)]
=
*37*301. h . (ga‘(P | Q)¡‘¡r = (¿“P 'x
*37-302. h : R = P \ Q . D . ^
. D h . Prop
[Prueba similar]
= P “l$ z .
= Q‘‘P X
[*37-3 301 .*32 23 231 16]
*37 31. K 8g ‘( P | Q ) - P . | ^
Dem.
(-.*3711-3.
3 (-.(* ). (sg‘( P | Q)}‘e =
p
/Q 1!
(1)
M i ) . *34-42. Z>h. Prop
*37-311. K g s ‘(P |Q ) = (Q ),|/^ [Prueba similar]
349
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
*37-32. I-. D‘( P ! Q) = P “ D‘Q . (I‘(P | Q) = Q“d ‘P
Dem.
H.* 3 3 1 3 . * 3 4 1 .3
I - * e D‘(P | Q ). s : ( a 2) : ( a y) • *P y • yQ* :
[*ii-23]
= ••(’&y) • ( a 2') • x P v • yQ* :
[*n-55]
= - . ( w ) : x Py • (a*) • yQ* '•
[*33-i3]
= : (g.y) • x P v • y e
:
[*371]
= : x e P “ D‘Q
l - . ( l ) . *1011 .* 2 0 -4 3 .3
(1)
K D ‘(P |Q ) = P “ D‘Q
I-. *33-2 .
( 2)
DI- . d«(P ¡ Q> = D 'C nvJP | Q)
[*34-2]
- p * ( C |P )
[(2)]
= Q “ D‘P
[*33-2]
t-. (2). (3 ). D 1-. Prop
= Q“ Ü ‘P
*37 321. I-: d ‘P C V ‘Q . 3 . D‘( P | Q) = D‘P
*37-322. (-:I)‘(¿C (I‘P .D .< I ‘(P !Q ) = a ‘Q
(3)
[*37-32-27]
[*37 32-271]
*37323. h : d ‘P = D‘Q . D . 1>‘(P I Q )= D‘P . d ‘(P | Q) = d ‘Q [*37-321-322]
*37 33. b . ( P \ Q ) “y = P “ Q“y
Dem.
• I-. * 3 7 1 : . x € { P \ Q ) “y . = : ( ^ z ) . z e y . x ( P \ Q ) z - .
(3 2. y ) - z t y . x P y . y Q z :
[*341 .*11 55]
[*11-23]
( a >2) •
•2 f 7 :
(W j)ixPy.(w).yQz.zey.
[*11-55]
[*371]
(a
«
x e P “Q“y t. 3 I-. Prop
[*371]
y xPy •y^z
y) •*Py •y Q“v ■
*37-34. K ( P |Q ) . = P .|Q .
Dem.
b . *37"l 1. D h . ( P | Q),‘y = ( P | Q)“y
[*37-33]
= P “ Q“y
[*3711]
= P ;Q .‘y
b . (1 ). *10-11 . * 3 4 -4 2 .3 1 . Prop
*37 341. K |C n v '(P |< 2 )|. = (Q).|(P>.
•
[*34-2.*37-34]
I- : ( z ) . R ‘z - P ‘Q‘z 3 • (7 ) •
*37-35.
R“y = P “QUV
Dem.
b . *34-42. D H H p . D . P = P ,Q .
D .P « 7 = (P IW ‘7
[*3713]
[*37-33]
= P“Q“y • 3 p • Pr0P
*37 351. I-: (a ). R ‘a = P‘Q“a . D . (<c). i í “ * = P “ Q‘“ *
j*37-35^*. *37-11. (*37 04)]
350
( 1)
SECCION D. LOGICA DE RELACIONES
*37 352. h : (a ). R “ a = P‘Q“a O .( « ) . R “ ‘K = P“Q“<
K
[*37351 ^ .*37-11. (*37 04)1
*37 353. h :(* ). R ‘S ‘z = P ‘Q‘z O . (7) . R “S “y = P “Q“y
Dem.
h . *14-21. D I-: H p . D . ( z ) . E ! R ‘S ‘z .
[*34-41]
3 . ( z ) . R ‘S ‘z = ( R \ S ) ‘z .
[*]4131144]
D . (z) . ( R | S )‘z = P ‘Q‘z .
[*37-35]
D . (7 ) . ( S | S)“ 7 = P “Q“y .
[*37-33]
D . (7 ) . R “S “y =
O h . Prop
#37-354. h : (a ) . R‘S‘a = P ‘<3“ a O .(*).
*37-355. h : (¿ ).
*37 36.
= P“Q‘“K
= P “ Q‘. * O . (7) . R “S “y = P “ ‘Q“y
h . D‘P> = P “ I)‘P . (I‘P> = P “ CI‘P
*37-37. h . ( P ’). = (P,)«
*37-371. P ,’ = (P ,)S Df
*37-353
*37-353
[*37-32]
[*37-34]
Esta definición sirve únicamente para la supresión de paréntesis. Como en la
*37 03, esta definición se extenderá a todos los sufijos.
*37 38.
*37 39.
h . R '‘x = R “ R‘x
[*37 3]
h . P « ‘a = P “ P “ a [*3733]
*37 4.
h . Q‘(a 1 P ) = R “a
Dem.
h .* 3 3 131 .* 3 5 1 O h : y f a ‘( a 1 P ) . = .(g a :).a :e a .¡í:P y .
[*37-105]
= . y e R “a O h . Prop
*37'401. h . D‘( R [ R) = R “¡3 [Prueba similar]
*37 402. h . D‘(a 1 R [ $ ) = a n R “& . d ‘(a ] R [ 0 ) = 0 n R -‘a
Dem.
h . *33-13. *35 1 0 2 0
h :. a: e D‘(a 1 R [ 0) . = : (gy) . x e a . x R y ,ye¡3¡
[*10-35]
= : x e a : (gy) . x R y .y e@:
[*37'1]
= : x e a . x e R “/3 :
[*22'33]
s i x e a e \ R ,tf3
Similarmente
h : y e a ‘(a] R [ R) . = . y e P c¡ R “3
( 2)
h .( l) .( 2 ) O h .P r o p
*37-41. h . D ‘ ( P £ a) = a n R “ a . d ‘( P £ a) = a n P ‘ ‘a
*37-411. h . (« 1 P ) “ £ = D ‘(a ] R [ ¡3) = « n R “0
( 1)
[*37-402. *3611]
Dem.
h . *37-401 O h . (a ] R )“¡3 = D‘(a 1 R ) f 0
351
PARTE 1. LOGICA MATEMATICA
O)
[*35-21]
= D ‘(a -|flr/S )
I-. (1 ). *37-402. 3 E. Prop
*37-412. ¥ . ( R [ a )"# = R “(an&)
Dem.
¥ . *37-401 . 3 E . (R Ta)"/3 = D‘(R [ a)¡ 0
[*35-31]
=D lR[{anR)
[*37-401]
= R “(a r» /3). 3 E . Prop
*37-413. E . ( R t a)“ /9 = a n R “ (a n R)
Dem.
E . *37-411 . *35-21. 3 E . (P £ a)“ /9 = a n (R [ a)“0
[*37-412]
= ar> R “(a n j 9 ) . 3 K Prop
*37 42.
E : P “ / 3 C a . 3 . ( a 1 P ) “ 0 = .R“ /9 [*37411. *22621]
*37 421. E : /9 C a . 3 . (JR |“a)“ 5 = R “f3
*3743.
[*37-412 .*22-621]
l - : . / 8 C a ‘. K . 3 : a ! f l “ £ - = - a ! / 3
Dem.
¥ . *37-401 . * 3 5 -6 5 .3 I - H p . 3 : P “ /9 = D‘( ñ [ /9). £ = <3‘(.R [ /3)
h .( 1 ) . *33-24 .
3E.Prop
*37-431. ¥ a C D'R . 3 : a ! P “ ®. = . 3 ! «
*37-44. E :. <PK = V . 3 : 3 ! R “/3 . = . a ! £
*37 441. E :.D ‘P = V . 3 : 3 '.R“ a .= . g t a
*37 45.
h : . ( y ) . E ! f í « y . 3 : a ! f t “ /3. = . a ! / 9
1
*37 451. - (¡r). E ! R ‘x . 3 : g ! P “ a • = • 3 ! “
( 1)
[Prueba como en la *37*43]
[*37-43.*24 11]
[Prueba como en la *37‘44]
[*33-431 . *37-43]
[Prueba como en la *37*45]
[*37 1 . *32 181]
1- : x e R “a . = . a ! a r> R ‘x
4—
4*“
R “a . = . a n R 'x = A . = . R ‘x C —a [*37-46. *24-311]
*37 461. E :
v/
—>
—>
*37-462. E : « ~ e P “ a . = . a n Ti*®= A . = . P'a: C - a [*37-461 .*32-241]
*37-46.
*3747.
Dem.
e:a
¡ ®■= • a ! P ‘“ « ■= • a 1 ^ ‘“ ®
¥ . *37-45- 1 1 1 . 3 t - : a ! e . 5 . g ! R .“ a .
[(*37 04)]
s • g ¡ R“‘a
3
*37 5.
¥ : a ! ®• = • 3 ! P ‘“ a
I-. (1). (2).
3)-. Prop
¥: 09). P“/3 = G‘/8 . 3 . (*). P "‘k « Q“k
Dem.
E . * 3 7 1 2 .3 E : H p . 3 . P , = Q.
[*3713]
3 . P ,“ < = Q“ic.
[(*37 04)]
3 . P ‘“ * = Q “ * : 3 E . Prop
*37 501. ¥ .0ry<l‘R C R “R“&
352
(1 )
( 2)
SECCION D. LOGICA DE RELACIONES
Deni.
t-. *37 1 . *10 2 4 . 3 I-: y e 0 . x R y . 3 . * « R “)9 :
[Exp.*10 1121] 3 I - y t 0 . 3 : x R y . 3 , . a;« R “0 :
[*4 -7 ]
3 : x R y . 3 , , <r.Ry. x e R “/3 s
3 : ( a * ) • xRy • 3 • (a® ) • xRy • * e R“f i =
[*io-28]
[*33-131 .*37 105]
t-. (1 ). I m p . *22-33.3
3 : y e d ‘R . 3 . y e R “R “t3
( 1)
h : y e /9 « G ‘/ ¿ . 3 . y « R “R “0 : 3 I-. Prop
*37 502. h . a n D‘R C R “ R “ a
*37 51.
[Prueba similar]
h : / 3 C a ‘R . = ./9 C R “ R “ /9
Dem.
I-. *37-501 . *22 6 2 1 .3 H: /3 C d ‘R . 3 . 0 C R “ R “0
b . *3716.
f -.(l).(2 ) .
*37 52.
3 I-: £ C R “R “0 . 3 . /3 C CI'jB
3 I-. Prop
I-: a C D‘jR. s . o C R “ R u a
( 1)
( 2)
[Prueba similar]
A las proposiciones que siguen, hasta la *37 7 exclusive, les conciernen las
propiedades especiales de /?“j3 que resulta de la hipótesis E ! ! /?“0, definida en la
*37‘05. La hipótesis E 1 ! R ul3 es importante, porque tiene muchas consecuencias y
en muchos casos se adapta a lo que deseamos tratar.
*376.
I-: E !! R “0 . 3 . R “0 = á ((a y ).y e 0 . x = R ‘y\
Esta proposición es muy importante, y se usa constantemente.
Dem.
I-. * 3 7 1 0 4 .3 1 -:: H p . 3 : . y * 0 . 3 , : E I R ‘y :
[*30'4]
3„ : * «» R ‘y . = . xR y :.
[*5 32]
3 t . y 1 0 , x = R ‘y . =v . y e 0 . x R y ¡.
[*10-281]
3 ( a y ) . y e 0 . x = R ‘y . = . (ay) . y e 0 . x R y .
[*371]
3 . x e R ‘‘0
K ( l ) . *1011-21 .* 2 0 -3 3 .3 K Prop
(1)
*37 601. H: (* ). E I R ‘x . 3 . R “ V = £ |(a y ) . x = R ‘y\
Dem.
h . * 2 0 2 . *10 1 1-27.3 h :. H p . 3 : ¡re V . 3 , . E I R ‘x :
[*37104] 3 : E IIií“ Vt
[*37-6] 3 : R“ V = a ((ay) . y f v . * ■ R‘y)
1-. *24-104. *4-73.3 h : y « V . x = R‘y ,. = . x = it‘y :
[*10-11-281]
3 M a y )* y « v .x**R‘y .= •(a y) - x = R‘y:
[*2015]
3 h : á l(a y ).y « v . a; = J2‘y] =® l(ay).*=-R‘y|
3 t-. Prop
M D . (2).
( i)
(2)
*3761. I-:: EI! R“0 . 3 : . R“0 C a . s : y e/9. 3„. 2{‘y ««
353
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
Dem.
y .*37*17 . 31-:: R “R C a . = t . y e R . x R y . 3 IiV . x e a :.
[*11*2*62]
= : . y c fi
xRy . O j . xe a
I-. *37 104 . 3 I-::. Hp . 3 :: y e £ . 3„ :. E ! R ‘y :.
[*30'33]
3„ :. R ‘y ea . s : x R y . 3*. x e a
h . (1 ). (2). 3 y :: H p . 3 R “/3 C a . s : y e/9 . 3 V. R 'y e n :: 3 y . Prop
*37'62. I-: E I R ' y . y e a . 3 . R ‘y e R “a
Dem.
y . * 3 0 3 3 .3
I-:: E ! R ‘y . 3 :. R 'y e R “a . = : x R y . 3 , . a e R " a
P . *3-2 .
3 I-:. y e a . 3 : x R y . 3 . y e a . x R y .
[*10*24.*37 1]
D . x e R “a
y . (2 ). * 1 011-21.31-:. y e a . O - . x R y . 3 , . x e R “a
I-. (1 ). (3).
3 I-. Prop
(1)
(2)
(1)
(2)
(3)
Este último tipo de inferencia está relacionado con lo que dijo Jevons (69):
“ Recuerdo la reciente observación del Prof. De Morgan de que toda la lógica de
Aristóteles no podría probar que ‘dado que un caballo es un animal, la cabeza de un
caballo es la cabeza de un animal’ Debe confesarse que esto es un mérito en la
lógica de Aristóteles, ya que la inferencia propuesta es una falacia si no se le añade
la premisa “ E ! la cabeza del caballo en cuestión” . Por ejemplo, la proposición de
arriba no tiene validez para una ostra o una hidra. Pero añadiéndole E ! R 'y, la
proposición ofrece un tipo importante y común de inferencia asilogística.
*3763. I-:: E !! 7í“ a . 3 :. a e R“a . 3 * . r/rx: s : y e a . 3 „ . ^ (.R'y)
Dem.
t-. *37-l . 3 I- í t x e R " a . 3 X. yfrx :•= :. (gy) . y t a . x R y . 3 X. sjra:.
[*10*23]
= : . y e a . x R y . 3 Xiy.ifrx:.
[*11*2*62]
s :. y e a . 3 „ : x R y . 3 X. >jrx
y . *37*104. 3 h ::. H p . 3 ::y e a . 3„ :. E ! R ‘y :.
[*30*33]
3„ :. yfr (R ‘y ) . = : x R y . 3 , . yfrx
h . ( 1 ) .( 2 ) . 3 h . Prop
(1)
(2)
Esta proposición se usa muy frecuentemente.
*37*64 1 - E !! R " a . 3 : ( g y ) . y e a . ^ (R ' y ) . = . ( g a ) . a e R " a . ifrx
Dem.
h . *30*33.31-:: H p . 3 :. y e a . 3 : y/r ( R ' y ) . = . ( g a ) . x R y . ^ x :.
[*5*32]
3 : . y e a . i/r ( R ' y ) . = : y e a : ( g a ) . x R y . ifrx
K ( l ) . *10*11*21 2 8 1 .3
I-:: H p . 3 :. (gy) . y e a . ( R' y ) . s : (g y ): y t a : ( g a ) . x R y . ^ ra :
t* 11'6]
= : ( g « ) : ( g y ) . y e a . aiíy :ifrx:
(69) “Principies of Science, Cap. I (p. 18 de la edición de 1887).
354
(1)
SECCION D. LOGICA DE RELACIONES
[*37*1]
= : ( g i ) . x e R “a . ifrx:: 3 h . Prop
*37-65. I-: E !I R “/3 . a C R “0 . 3 . a = R “(R “ a « £ )
Dem.
I*. *30 2 1 . *3-27.31*:: H p . 3 : . y e ¡3. 3 „ : e iíy . a ñ y . 3 . z —x
K * 3 7 1 .3 ( - :.H p .3 :
¡r e R “(R “a o /9) . =
[*37 105.*ll-55]
[(1).*4-71]
[*13194]
[*13195]
[*10-35.*37-y
[*471.Hp]
( 1)
(ay) •y * P“ « « £ • ¡zRy.
(ay.
*J?y . y e / 3. x R y .
(3y, z). z e a . z R y . y e ¡3. x R y . z = x .
(ay. *)•**«. y « /3. ¡rPy . z
(ay ) .* e a .y e /3 .a ;J ? y .
= x.
x e a . x e R “/3.
x e a :. 3 h . Prop
I-:. E !! R “f3. 3 : a C ü “ /9. s . (3 7 ) . 7 C /8 .a = R “y
*3766.
Dem.
I-. *37-65. fexp. *13195. *22 4 3 . 3
h :. H p . 3 : a C R “f) . 3 . (3 7 ) . 7 C /9. a = P “ 7
h . *37-2. *13-13.3 h : 7 C 0 . a = R “y . 3 . a C P “ /9:
[*1011-23]
3 I-: (3 7 ) . 7 C &. a = £ “ 7 . 3 . a C R “/3
K (l).(2 ) .
3 h . Prop
*37-67. h : . z e 7 . 3 , . E ! R ‘S ‘z : 3 . R “S “y = á {(g*) . z e y . x ^ R ‘S ‘z)
Dem.
K *34-41.
3 h : H p . i e 7 . 3 I . f i ‘¿r‘i = ( f í|S ) ‘e
I-. (1 ). *14 2 1 .3 1 : Hp . t e y . 3 , . E ! (R \ S )‘z
I- . ( 2) . *37 6 . 3 l - : H p . 3 . ( f i |S )“ 7 = í{ ( a í ) - ^ « 7 -* = (^ l'S )‘7 )
[(!)]
= ® {(a*) . z e y . x = R ‘S ,y\
h . *37-33 .
3 I-. R “S “y = ( R \ S ) “y
h .( 3 ) .( 4 ) .
3 I-. Prop
*37 68. h :. * e 7 . 3 , . P ‘Q‘z = R ‘z : 3 . P “ Q“y ~ R ‘‘y
Dem.
1- .* 1 4 -2 1 .3 I*: Hp . r e 7 . 3 . E ! P tQ‘z . E I R ‘z .
[*34 41 ]
3 . P ‘Q‘* = ( P | Q)‘z . E I R ' z .
[*14-21-131 ■144. Hp]
3 . E I ( P | Q)‘z . (P \ Q)‘z = R ‘z
I-. * 37-33.3 h . P “Q“y = ( P | Q)“y
h . (2 ). (3 ). * 3 7 -6 .3
h : H p . 3 . P “Q“ 7 = 3 { (g ,). * e 7 . c = ( P | Q)‘z}
[(2)]
= í )(gx) . z e y . x = R ‘z\
[*37-6.(l)]
=
: 3 I-. Prop
*37-69. h :. y e &. 3 V. P ‘y = S ‘y : 3 . P “ /3 = S “$
Dem.
H. *14'21. 3 h :: Hp . 3 :. y e/ 8. 3 . E ! R ‘y . E ! S ‘y :.
( 1)
( 2)
( 1)
(2)
(3)
(4)
0)
( 2)
(3)
(1 )
355
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
[*304]
Oz.ye/3 .'} z x R y . = . x = R ‘y '
[*14142]
= . x = S‘y ■
[*304.(1)]
= . xSy
[*5‘32]
O z.y e R .x R y .s .y e R .x S y
I-. (2). *1011-21-281.3
h :. H p . 3 : (ay) .ye) 9. xR y . = . (ay) • y * P • “S y :
[*371] 3 : xe R “fi . = .x e S u0 :. 3 h . Prop
(2)
Un caso especialmente importante de /?“/3 es
o /?“0. Este caso se estudiará
más adelante (en el *70); de momento, sólo debemos ofrecer unas cuantas proposi­
ciones preliminares sobre ello. Se observará que la hipótesis E ! ! R “P o la E ! ! /?“í)
siempre se verifica, en virtud de las *32-12-121. De aquí, las siguientes aplicaciones
de la *37‘6 ss.:
*377.
[*37 6 . *3212]
1-. R “0 = 8 {(ay) .y e¡3 . ot= 22‘y]
*37701. 1-. R “a = 0 {(a®) ■x e a . 0 = B‘x)
—►
—¥
*37702. h :. R “0 C k . = : y e 0 . 3 „. /¿‘y f «
4—
<—
*37703. h R “i3 C *. 3 : x e 0 .3 * . it'x e *
[*37-6. *32121]
*37 704. 1-: y e a . 3 . R ‘y e R “<x
4— 4—
*37705. h : « e a . 3 . R ‘x e R “a
*—
>
—►
*37706. h a í jR“ /8. 3 .. ij/a: s : y e /9. 3y. ^ (ií‘y)
f4—
*37707. 1 - /9« P “ a . . ^ 0 : 3 : x e a . 3*. y/r (R ‘x)
—►
^
*37 708. 1-:. ( a a ) . a e E “ /9 . y f r a . s . (ay) • y * £ • f ( R fy)
4—
4—
*37 709. h : . (a«). a í ií“ j8 . -<fra. 3 . (a * ) . x e 0 . ' f r ( R ‘x)
[*37-62. *32 12]
[*37-61]
[*37-61]
[*37-62. *32121]
[*37-63]
[*37 63]
[*37-64]
[*37-64]
h ; k C l l “0 . 3 . * = P “ {(Cnv‘fi)“ * a /9)
[*37-65]
*37711. 1-; * C /i“ /9 .3 .« = A“ ((Cnv‘7t)“ * r. 0)
[*37-65]
*37712. 1-: « C R “0 . 3 . (a>y). y C 0 . k = l l “y
4■
41
*37713. K:itCi2«J9 . = . ( a 7 ) . 7 C / 8 .* = íí« 7
[*37-66]
*3771.
[*37-66]
*3772. t- :B = P | Q . 3 . R “y = P “ ‘Q“ 7
Dem.
I-. *37 11 3 0 2 .3 1-: H p. 3 . (*). P.‘Q‘z = R‘z .
[*37-68]
3 . P “ Q“y = R “ 7 •
[(*37 04)]
3 . Pt,‘Q‘,y = R“y : 3 I-. Prop
*37721. h : R = P j Q . 3 .*R“y =>q«“ P “ 7
[Prueba como en la *37 72]
*3773. h : a ! /9. s . a ~R“ &. 3 . a ! *R“0
[*37 45 . *3212-121]
*37731. h:y9 = A. =
356
- A.3
= A [*3773 . Transp]
SECCION D. LOGICA DE RELACIONES
Obsérvese que las A’s que aparecen en esta proposición no son todas del mismo
tipo. Por ejemplo, si R relaciona individuales con individuales, la primera A será de
la clase de los no individuales, mientras que la segunda y tercera serán las clases de
no clases. Así, pues, la ambigüedad que se atribuye al tipo de A debe ser determina­
da de manera distinta en cada una de las presencias de A en esta proposición. En
general, cuando éste sea el caso con nuestros símbolos ambiguos, adoptaremos una
notación que indique el hecho. Pero, cuando el símbolo ambiguo es A, parece que
apenas merece la pena.
*3774.
Dem.
h s./S C d 'JB .a
D ..g ! a
t- .* 3 7 7 0 6 . DI- t . a t R “i3 . 3 . . a ! a : = : y e / S . 3 „ . a ! R ‘y :
[*3331]
= : / 3 C a ‘J? :.D h .P ro p
*37 75. H a C D‘R . s : 0 e R “ « . D*. a ! 0
*3776.
Dem.
[Prueba como en la *37*74]
f- ,~R“0 C Cls
i-. *37 7 . D h a e R“0
[*10-5]
[*3213]
[*2016]
[*20'4]
. D s (ay) .y e/9. a = R‘y :
D s(ay ).a = « ‘ys
3 : (av) • « = í (xRy)
D : ( a * ) , a = &(<plx):
3 : aeCls:. D I-. Prop
*37761. b .*R“a C Cls
[Prueba como en la ■*37*76]
*3777. H:ae fí“ (I‘i í . D . . a ! a
[*3774. *22 42]
*37 771. I-: 0 e R“ D‘R . D ,. g ! 0
[Prueba como en la *37*77]
*37 772.
*37773.
*37 78.
*37781.
*37 79.
[*3777. *24*63]
K A ~ e R “ ( I ‘R
h . A ~ c*R“ D ‘ R
i- . l) ‘ R = "fí“ V
h .D ‘ R = jR“ V
l- . R “ V = a ((a y ) .a
[*37771 .*24*63]
[*37*28]
[*37*28]
JJ'yj
[*37*601 .*32*12]
*37791. h . ñ “ V = 0 {(a*). 0 = R‘x} [*37*601. *32*121]
*37 8.
Dem.
h.(«f/9)l<S = « T S “ /9
I-. *35*103 . *341.
h : x ((a f 0) |5) * . = . (ay) . x e e t . y e 0 . y S e .
[*10*35.*37*105]
= . x e a . z j S “0 -
[*35*103]
*37 81.
h . R I(a T 0) = (R“ a) T &
[Prueba como en la *37*8]
*3782.
h . ií | (a | /8) | S = (R“ a) f (Su0)
[*37*8*81]
357
*38. RELACIONES Y CLASES DERIVADAS DE UNA FUNCION
DESCRIPTIVA DOBLE
Sumario del *38.
Una función descriptiva doble es una función no proposicional de dos argumentos,
ta' como a n 0, a U 0, R ñ S, R WS, R | S, a 1 R, R 1 a, R 1 a. Las proposiciones de
este número son aplicables a todas las funciones que en su notación tengan (como
en los ejemplos anteriores) un signo funcional entre los dos argumentos. A fin de
tratar de una vez sobre todos los casos análogos, adoptaremos en este número la
notación
*?y .
en donde “ 9” significa cualquier signo como n , U, O, U, |, 1, 1, I, o un signo
funcional cualquiera que se defina en el futuro y que satisfaga la condición
(*» y) • E ! (* ? y).
Las relaciones y ciases derivadas, con las que estamos interesados, pueden ilustrarse
tomando el caso de a O 0. La relación de a O 0 a 0 se escribirá a n , y la relación de
a O 0 a a se escribirá O 0. De este modo, tenemos
(•. a r> /9 = a n ‘/8 = n ¿8‘a.
La utilidad de esta notación es importante debido a la posibilidad de notifica­
ciones tales como a C\“k y fl 0“« . Por ejemplo, tomemos una frase tal como “ los
miembros extranjeros de los clubs ingleses” . Entonces, si ponemos a = extranjeros,
k = clubs ingleses, tenemos a O “ k = las clases de los miembros extranjeros de los
diversos clubs ingleses. O, de nuevo, sea a una cónica, y k un lápiz de líneas;
entonces, a n “ k = los varios pares de puntos en los que miembros de k se
encuentran con a.
En este caso, ya que a n 0 = 0 n a, tenemos a n = n a. Pero cuando la función
en cuestión no es conmutativa, esto no tiene validez. Así, por ejemplo, no tenemos
R\ = 1R.
Las notaciones de este número frecuentemente se aplicarán en lo sucesivo a R\S.
De acuerdo con lo que se dijo anteriormente, escribimos /?| para designar la relación
de R\S a S, y 15 para la relación de f?|5 a R. Por lo tanto, tenemos
R \‘S = \S‘R = R\S.
Por consiguiente, |S“ X será la clase de las relaciones obtenidas tomando miembros
de X y multiplicándolos relativamente por 5. Así, pues, si X fuese la clase de
relaciones primo hermano, primo segundo, etc., y 5 fuese la relación de padre a
hijo, |5“X sería la clase de relaciones una vez quitado primo hermano, una vez
358
SECCION D. LOGICA DE RELACIONES
quitado primo segundo, etc., tomado en ei sentido que va de la generación más vieja
a la más joven.
Con frecuencia es conveniente estar capacitados para exponer |5“‘X y expresiones
afines como funciones descriptivas del primer argumento en vez del segundo. Para
este propósito, ponemos
\ |S = |S “ A
ft
con notaciones similares para otras funciones descriptivas dobles. Entonces tene­
mos, como en el caso de R\S,
>• »
»»
Esto nos faculta para formar la clase X “p. Esta clase es muy útil porque los
miembros de sus miembros (esv decir, s‘X J “p, como la definiremos en el *40)
constituyen la clase de todos los productos R\S que pueden formarse de un
miembro de X y un miembro de p.
Así, pues, nos vemos guiados hacia tres definiciones generales para las funciones
descriptivas dobles, a saber (si x $.y es una función cualquiera de éstas):
x 9 es la relación de x 9 y a y , para cualquier^.
9 y es la relación de x 9 y a x, para cualquier x
a 9 y es la clase de los valores de x 9 y cuando x es una a.
Ya que a
es, nuevamente, una función descriptiva doble, las dos primeras
>*
definciones de arriba pueden aplicársele. La tercera definición, por razones tipográ­
ficas, no puede ser aplicada convenientemente, aunque, en teoría es, desde luego,
aplicable. Las relaciones x 9 y 9 y representan la idea general contenida en algunos
de los usos en matemáticas del término “operación” , como, p. ej., + 1 es la
operación de añadir 1.
Los usos de las notaciones introducidas en este número intervienen principal­
mente en la aritmética (Partes III y IV). Pocas proposiciones pueden darse en esta
etapa, ya que la mayor parte de los usos importantes de la notación introducida
aquí dependen de la sustitución de alguna función especial por la función general
“9” usada aquí. En este número, las proposiciones dadas son todas consecuencias
inmediatas de las definiciones.
*3801. x%**u${u = x%y)
*3802. $ y * f ií( u = <rf y)
*3803. a ? y = ?y"«
Df
Df
Df
V '.u{x%)y . = . u = x%y
*381.
*38101. \ - i u ( % y ) x . s . u = x%y
*3811. 1- . x%‘y = %y‘x*=x%y
[(*38 01))
[(*3802)]
[*381 101 .*30-3]
359
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
*3812.
I-. E ! £ ? ‘y . E I $ y‘x
[*3811. *14*21]
*3813. t-: uex% “ a . = . ( a y ) . y e « • u = « $ y [*381 .*371]
*38131. I-: u e $y“ a . s . ( a * ). xe a . u =x%y [*38101 . *371]
*38 2. I-. a %y = ? y“ a
[(*38-03)]
*38'21.
K a $ y = fi j ( g x ) . x e a . u = «:?y]
*3822.
K a ? ‘y = ? y ‘«'=“ ?y
*38 23.
t - . E ! a ? ‘y . E ! ? y ‘a
*3824.
h : a l o ? y - = * a !a
99
99
M
Dem.
99
*
99
[*38-2'131]
[*3811]
[*38-22 . *1421]
I)
\- . *38 2 . *37 29 . Transp. D I-: g ! a%y . 3 . a
!a
(-.*38-21. D h : ® e a . D . ( a : ? y ) e a ? y .
[*10-24]
D .aloíy
l-. (1). (2) .31-. Prop
*38-3.
i- . a ? “ / 3 = í? [ ( a y ) . y e ^ . 7 = a ?y)='y l ( ay ) - yí ^ - 7 = ? y “ a)
[*3813-2]
*3831. h . ? y “ <e= '9((aa). «e*-7 = ‘<?y}” ^ l (a “) - a e *-7 = ?y“ al = ?y ‘
[*38-131-2. *37103]
NOTA A LA SECCION D
Observaciones generales sobre las relaciones. La noción de “ relación” es tan
general que es importante percatarse de las diferentes clases de relaciones a las que
pueden aplicarse las notaciones definidas en la sección anterior. Ocurre con frecuen­
cia que una proposición que es válida para alguna relación sólo es importante para
relaciones de ciertas clases; por tanto, es deseable que el lector pensase en algunas
de las principales clases de relaciones. De entre los varios usos a los que las
diferentes clases de relaciones pueden aplicarse, hay tres que son especialmente
importantes, a saber 1 ) dar origen a funciones descriptivas, 2) establecer correla­
ciones entre diferentes calses, 3) generar series. Considerémoslas sucesivamente.
1) A fin de que una relación R pueda dar origen a una función descriptiva, debe
ser tal que el relacionante sea único cuando se dé el relacionado. Así, por ejemplo,
—
y ^—
las relaciones Cnv, R, R, D, G, C, Re, definidas anteriormente, todas originan
funciones descriptivas. En general, si R da origen a una función descriptiva, habrá
una cierta clase a saber Q'R, a la que debe pertenecer el argumento de la función a
fin de que la función pueda tener un valor para ese argumento. Por ejemplo,
tomando el seno como una ilustración, y escribiendo “sen‘j>” en vez de “sen.y” , la
y debe ser un número a fin de que sen‘_y pueda existir. Entonces, sen es la relación
de y a x cuando x = scn‘v. Si ponemos a = los números comprendidos entre —tr/2 y
tr/2, ambos incluidos, el sen 1 a será la relación de x a y cuando x = sen‘.y, y
-tr/2
< rr/2. La conversa de esta relación, que es a 1 s5n, también dará origen a
una función descriptiva; de este modo, (a 1 sen)\x = un valor de sen -1 x que está
situado entre —rr/2 y vr/2. Esto ilustra un caso que se da con mucha frecuencia, a
saber, que una relación R —como se convino— no da origen a una función
descriptiva, pero sí cuando su dominio o dominio converso está convenientemente
limitado. Así, por ejemplo, la relación “ progenitor” no da origen a una función
descriptiva, pero sí cuando su dominio se limita a machos o a hembras. Similarmen­
te, la relación “ raíz cuadrada” causa una función descriptiva cuando su dominio se
limita a números positivos o a números negativos. La relación “esposa” da origen a
una función descriptiva cuando su dominio converso está limitado a hombres
cristianos, pero no cuando se incluyen hombres mahometanos. El dominio de una
relación que da origen a una función descriptiva sin limitar su dominio o su dominio
converso está constituido por todos los posibles valores de la función; el dominio
converso consiste en todos los posibles argumentos para la función. Nuevamente, si
R da origen a una función descriptiva, R'x será la clase de aquellos argumentos para
los que el valor de la función es x. Así, pues, sen‘x consiste en todos los números
cuyo seno sea x , es decir, todos los valores de sen -1 x. De nuevo, sen“a será los
senos de los varios miembros de a. Si a es una clase de números, entonces, por la
notación del *38, 2 x “a serán los duplos de dichos números, 3 x “a sus triplos, y
361
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
así sucesivamente. Para tomar otra ilustración, sea a un lápiz de trazar y sea R'x la
intersección de una línea x con una transversal dada. Entonces, R “a serán las
intersecciones de las líneas trazadas por el lápiz con la transversal.
2) Las relaciones que establecen una correlación entre dos clases constituyen
realmente un caso particular de relaciones que dan origen a funciones descriptivas, a
saber, el caso en el que la relación conversa también origina una función descriptiva.
En este caso, la relación es de “uno a uno” , esto es, dado el relacionante, se
determina el relacionado, y viceversa. Una relación que se conciba como una
correlación generalmente se representará por S o por T. En tales casos, disponemos
de una regla que interesa menos a los términos particulares x e y para los que xRy,
que a las clases de tales términos. Generalmente, en tales casos, tenemos alguna
clase 0 contenida en el dominio converso de nuestra relación S, y tenemos una clase
a tal que a = S'l0. En este caso, la relación S correlaciona los miembros de a y los
miembros de 0. Tendremos también 0 = S“a, de forma que, para una relación tal, la
correlación es recíproca. Tales relaciones son fundamentales en aritmética, ya que
ellas se usan para definir lo que se quiere expresar al decir que dos ciases (o series)
tienen el mismo número cardinal (u ordinal) de términos.
3) Las relaciones que originan series se representarán generalmente p o r/’ o Q, y
en las proposiciones cuya importancia principal estribe en su aplicación a las series
también, como regla, simbolizaremos una relación variable por/* o Q. Cuando se usa
P puede leerse como “precede” . Así, pues, P puede leerse “sigue” , F*x puede leerse
“ predecesores de x ”, P'x puede leerse “ seguidores de x ”. D4/ ’ lo constituirá todos
los miembros de la serie generada por P, excepto el último (si lo hubiese), CI7’ lo
constituirá todos los miembros de la serie excepto el primero (si lo hay), CP lo
constituirá todos los miembros de la serie. /’“<*consistirá en todos los términos que
precedan a algún miembro de a. Supongamos, por ejemplo, que nuestra serie es la
serie de los números reales, y que a es la clase de los miembros de una serie
ascendente X\, x 2, x 3, ... x v, ... Entonces, P“a será el segmento de los números
reales definidos por esta serie; es decir, estará formado por todos los predecesores
del límite de la serie. (En el caso de que la serie x¡, x 2, x 3, ..., x v ... se desarrolle sin
límite, P ía será la serie total de los números naturales).
Ocurre con frecuencia que una relación tiene más o menos un carácter serial, sin
llegar a tener todas las características necesarias para generar series. Tomemos, por
ejemplo, la relación de hijo a padre. Es obvio que, por medio de esta relación, la
serie puede generarse partiendo de un hombre cualquiera y terminar en Adán. Pero
estas series no constituyen el campo de la relación en cuestión; además, esta
relación no es transitiva, es decir, un hijo de un hijo de x no es un hijo de x. Sin
embargo, si sustituimos por “ hijo” la relación “ descendiente directo por línea
masculina4’ (lo cual puede definirse en términos de “hijo” por el método explicado
en los *90 y *91), y si limitamos el dominio converso de esta relación a los
antecesores de x por la línea masculina directa, obtenemos una nueva relación que
es serial.
362
SECCION D. LOGICA DE RELACIONES
De nuevo, una relación puede generar un número de series, como por ejemplo la
relación “jc está al este de y ". Si x e y son puntos situados sobre la superficie
terrestre y, en el hemisferio este, esta relación genera una serie para cualquier
paralelo de latitud. Confinando ulteriormente el campo de la relación a un paralelo
de latitud, obtenemos una relación que genera una serie. (La razón para confinar x e
y a an hemisferio es para asegurar que la relación sea transitiva, ya que de otra
forma podríamos tener x al este de y , e y al este de z, pero x al oeste de z).
Una relación puede tener las características de las tres clases de relaciones,
siempre que incluyamos en la tercera clase todas aquellas que conducen a series por
alguna de tales limitaciones como las que acabamus de describir. Por ejemplo, la
relación + 1, esto es (en virtud de la notación del **38), la relación de x + 1 a x, en
donde x se supone que es un número entero cardinal finito, tiene las características
de las tres clases de relaciones. En el primer caso, nos conduce a la función
descriptiva (+ 1)‘x , esto es, x + 1. En el segundo caso, se correlaciona con cualquier
clase a de números, la clase que se obtiene añadiendo 1 a cada miembro de a , es
decir, (+ l) “a. Esta correlación se puede emplear para probar que el número de
enteros finitos es infinito (en uno de los dos sentidos de la palabra “ infinito” ); pero si
tomamos a nuestra clase a como la constituida por todos los números enteros
incluido el 0, la clase (+ I)“a consiste en todos los números naturales excepto el 0,
de forma que los números naturales pueden correlacionarse con una parte (70)
propia de sí mismos. De nuevo, la relación + 1 puede usarse, igual que la de padre a
hijo, para generar una serie, a saber la serie usual de los números enteros en orden
de magnitud, en la que cada una tiene con su inmediato predecesor la relación + 1 .
Así, pues, esta relación participa de las características de cada una de los tres tipos
de relaciones.
(70) Es decir, una parte y no la totalidad. Respecto de esta definición de infinito, véase ei
*124.
363
SECCION E
PRODUCTOS Y SUMAS DE CLASES
Sumario de la Sección E.
En esta sección hacemos una extensión de a O 0, a U 0, R O 5, R U S. Dada una
clase de clases, digamos k , el producto de k (que se simboliza por p ' k ) es la parte
común de todos los miembros de k , es decir, la clase que se compone de aquellos
términos que pertenecen a cada miembro de k . La definición es
p‘ K= á (a « k . D .. * e a)
Df.
Si k tiene sólo dos miembros, supongamos a y 0, p'K = ot O 0. Si k tiene tres
miembros, a, j3, y, entonces p ‘rc = a n 0 n 7 ; y así sucesivamente. Pero este proceso
sólo puede continuarse hasta un número finito de términos, mientras que la
definición de p ' k no exige que k deba ser finito. Esta noción es de gran importancia
en relación con los límites inferiores de las series. Por ejemplo, sea X la clase de los
números racionales cuyos cuadrados sean mayores que 2, y tengamos "xMy" con la
significación "x < y , siendo x e y racionales” . Entonces, si x e X, M'x será la clase
de los racionales menores que x. De este modo, M "\ será la clase de las clases tales
como M'x, en donde x e X. Así, pues, el producto de Af‘X, que llamamos p'M "\,
será la clase de los racionales que son menores que cada miembro de X, esto es, la
clase de los racionales cuyos cuadrados son menores que 2. Cada miembro de M "\
es un segmento de las series de los números racionales, y p'M "\ es el límite inferior
de estos segmentos. Así es como probamos la existencia de los límites inferiores de
las series de segmentos.
De manera similar, la suma de una clase de clases k se define como la clase que
está constituida por todos los términos que pertenezcan a algún miembro de k; esto
es,
s*«c= £ [(30). o e k . x t «¡ Df,
es decir, x pertenece a la suma de k si x pertenece a algún k. Esta noción juega el
mismo papel por lo que respecta a los límites superiores de series de segmentos
como p ' k lo juega para los límites inferiores. Sin embargo, tiene muchos más usos
que p ' k , y es en conjunto una concepción más importante. Así, pues, en aritmética
cardinal, si dos miembros de k no tienen ningún término en común, la suma
aritmética de los números de miembros poseídos por los distintos miembros de k es
el número de los miembros poseidos por s' k .
El producto de una clase de relaciones (digamos X) es la relación que se da entre
x e y cuando x e y tienen cada relación de la clase X. La definición es:
364
SECCION E. PRODUCTOS Y SUMAS DE CLASES
p ‘\ = íM /(R e\.'5R.xRy)
Df.
Las propiedades de p '\ son análogas o las de p'n, pero sus usos son menos.
La suma de una clase de relaciones (digamos X) es la relación que se da entre* e
k ey . La definición es
y siempre que sea una relación de la clase X que se dé entre
i ‘\ = Sp { (a « ) . R e X . xRy)
Df.
Esta concepción, aunque menos importante que s‘k, lo es más que p ‘X. La
adición de las series y de los números ordinales depende de ella, si bien la conexión
es menor inmediata que la de la suma de los números cardinales con s‘k .
En lugar de definir p'n, s' k, p ‘X, i ‘X, puede ser formalmente más correcto definir
p, s, p y i, que son las relaciones que dan origen a las funciones descriptivas
anteriores. De este modo, tendremos
p = /3k 1/3 ■=á (a « k .
. x t a)|
Df,
Por ccnsiguiente debemos proceder a
y
b
b
: / 9 p *
b
•
. E
p ‘x «
!
. = . /3
á
( a
e
=
*
á
.
( a
e *
.
.
D
x eo
) ,
. . *
e
o ) ,
p ‘k .
Pero en los casos donde la relación, como opuesta a la función descriptiva, se
requiere muy raramente, es más simple y sencillo dar la definición de la función
descriptiva en el primer ejemplo. En tales casos, la relación siempre se supone
tácitamente que ha sido también definida; es decir, cuando damos una definición de
la forma
R‘x —S‘x Df,
en donde S es alguna relación definida previamente, siempre suponemos que esta
definición debe considerarse como derivada de
R = ñS (u = S‘x) Df.
Además de los productos y sumas tratamos en esta sección de ciertas propieda­
des de las relaciones /¿| y |S, cuyos significados resultan de la notación introducida
en el *38. Tales relaciones son muy útiles en aritmética. La razón para versar sobre
ellas en esta sección es que una gran cantidad de las proposiciones que se han de
probar entraña sumas de clases de clases o relaciones.
365
*40. PRODUCTOS Y SUMAS DE CLASES DE CLASES
Sumario del *40.
En este número introducimos las dos notaciones (explicadas anteriormente)
p‘ ic = 2 (a e k . D«. * « a)
s' k =»2 l(g«). a € * .
x c a|
Df
Df
Se verá que ambas notaciones se van haciendo cada vez más útiles, conforme
vayamos avanzando, pero a lo largo del trabajo será más útil s‘« que p ‘x. Para que
p lK y s ' k tengan significación se precisa que k deba ser una clase de clases.
En este número, las proposiciones más útiles son las siguientes:
*40*12. h : oe *. 3 .p'ic C a
Esto es, el producto de k está contenido en cada miembro de k
*4013. I-: a €k . D. a C s‘ k
Esto es, cada miembro de K se contiene en la suma de K.
*4015.
b f3Cp‘ ic< = : ye x . Oy. f 3Cy
Esto es, 0 se contiene en el producto de
y viceversa.
*40151. h s‘ ie C . s ; y e k . Dy. 7 C /3
k
si 0 se contiene en cada miembro de k ,
Esto es, la suma de k se contiene en (3 si cada miembro de k se contiene en 0, y
viceversa.
*40-2. t- :« = A .D .p ‘*= V
Esto es, el producto de la clase nula de clases es la clase universal. Esto, a primera
vista, puede parecer paradójico, pero realmente no lo es. De los pocos miembros
que k tenga, el mayor, hablando en modo general, es p'n. Si k no tiene miembros,
entonces k no tiene miembros a los que un término dado x no pertenezca y, por lo
tanto, x pertenece a p*K.
*40 23. b : 3 ! * . D . p‘ x C s’ k
Esto es, salvo que k sea nulo, su producto está contenido en su suma.
*40-38. b .
= s‘ R“ ‘ x
Esta proposición se usa muy frecuentemente en aritmética. Lo que expresa es lo
siguiente: dada una clase de clases k, tomemos su suma s‘k, y entonces, considere­
mos todos los términos que tienen la relación R con respecto a algunos miembros
de s‘k ; esto da la clase R us‘k; a continuación, tomemos cada miembro separado de
k, digamos a, y formemos la clase R “ a, que consiste en todos los términos que
366
SECCION E. PRODUCTOS Y SUMAS DE CLASES
tienen la relación R con respecto a algún miembro de a. Esta clase de las clases tales
como /?“ a, para varias a ‘s que sean miembros de k, es /?“ ‘k ; la suma de esta clase,
por la proposición anterior, es la misma que R “s 'k .
*40-4.
H:. E !! R “0 . O . s‘R “0 = £ f(gy) . y e f f . x e R (y }
Esta proposición requiere, para que tenga significación, que R ly deba ser siempre
una clase. La proposición manifiesta que, si R‘y existe siempre cuando y e /3,
entonces la suma de todas las clases que tienen la relación R con respecto a algunos
miembros de 0 consiste en todos los miembros de clases tales como R ‘y , en donde
ye0.
*406.
I-.
= R “P
Esta proposición proviene de la *40"4 mediante la sustitución de R por R en
dicha proposición.
*40'51.
h . p ‘R “fl =» 4 (y c /9.
. xRy)
En virtud de la *40 5, p ‘R “0 se correlaciona con R “0. De este modo, si/? es una
relación serial, p7?“0 se compone de los términos que preceden a la totalidad de (3,
y R “0 está constituida por los términos que preceden a parte de 0. Si 0 tiene un
límite inferior, será el límite superior o máximo de p'R“0\ si 0 tiene un límite
superior, será el límite superior de R “0.
*40-61.
h : a ! £ . D . p ‘"¡B“ £ C fi“ /S. p<*R“/3 C R “/3
En esta proposición, la hipótesis es esencial ya que, si 0 = A, plR “0 = V y
R“0 = A.
*40-01. p ‘ic = ¡b(aeic . D. . * « a)
*4002.
*401.
Df
í'/e s á jía o O .a e K .íre a ) Df
1 " x t p ‘K . = : « e * . 3 . . * « a
[*20‘3 . (*40"01)]
*40*11. I- s s e s ‘ k . = . (a®) •aeK •xea
[*203. (*4002)]
*40*12. h : a « k . D • p ‘* C a
Dem.
I- . * 4 0 1 . *10-1 . D 1 - : .* f p ‘ k . D : a t k . D . x e a .
[Comm]
D I - o í k . D \ x e p fK . ^ . x e a
K ( l ) . *1011-21. *22*1.31-. Prop
*4013.
Dem.
h .* 4 0 1 1 . * 1 0 2 4 .D I - : o e K . a í a . D . * c * ‘»c:
[Exp]
D h : . « í * .D : a : e a .D . * c s * *
(1)
(1)
I-. ( 1). * 1011 -2 1 . *2 2 1 . 0 1-. Prop
*40*14. h : a e k . x ep‘* . D .xea [*40’12. Imp]
*40141. l - : í í * . * c a . O . ¡ t e í ‘*
[*4011. *10 24]
367
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
*40*15.
I-
¿9 Cp‘* . = : 7 e * . DT. ¿9 C 7
Dem.
l- .* 4 0 1 .3 l- ::/3 C p ‘*
[*11-62]
[*4-3-84.*ll-33]
[*11-2-62]
[*221]
x e fi .Z)x t y t k .'Sy . x e y
(x, y) •. x e 0 . y e k . 1 . x e y •..
(x, y) : y e k . x e 0 . 0 . x e y :.
y e ic.
: x e 0 . . x e y :.
y ek
.0 Cy
h . Prop
*40161. \-’..» ,ic C 0 . = : y e K . ' 2 j . y C 0
Dem.
h .* 4 0 -1 1 .3 h : : s ‘* C 0 . s :. (3 7 )- y e K . x e y . ' } z . x e 0 : .
[*10-23]
= (7 , x) i . y e k . x e y . 3 . x e 0
[*11-62]
= (7 ) y e * . 3 : («): x e 7 . 3 . x e 0 : .
[*221]
= : . 7 € * .D T. 7 C/9 ::D I-.P ro p
Esta proposición se usa frecuentemente.
*4016.
I-: * C X . 3 . p ‘X C p‘/c
Dem.
h . *10*1 .D I- :: Up . D : . y e / c . 2 ) . y e \ : .
[Sy II]
0:.ye\.D .xey:D :yeK .D .xey
h . ( l ) . * 10 -1 1 -2 1 . 3
h :: H p .
3 : . (7 ) : . 7 e X . 3 . ( t e 7 : 3 : 7 e * . 3 .a :e 7 :.
[*10’27]
3 :. (7 ) : 7 e X . 3 . « « 7 : 3 : ( 7 ): 7 e x . 3 . x e y
[*40-1]
0 : . x e p ‘\ . 0 . x e p ‘K
h . (2 ).* 1 0 1 1 -2 1 .3 1 -. Prop
O)
( 2)
*40161. I-: k C X . 3 . s‘k C í ‘X
Dem.
h . *10"1. 3 h :. Hp . 3 : y e k . 3 . 7 «X :
[Fact]
D z y e x .x e y .O .y e X .x e y :
[*10-11*28]
3 : (3 7 ) . 7 « * . x e 7 . 3 . (3 7 ) . y e X . x e y :
[*40'11]
3 : x e s '/c . 3 . xes'X
t - . ( l ) . * 1 0 1 1 -2 1 .3 h . Prop
*4017.
h . p ‘« « p ‘X Cp‘(x n X)
Dem.
I-. * 2 2-34.3 I-:: x ep‘ie v p ‘X . = t . x e p ' x . v , x e p ‘X :.
[*+0 pf]
s : . 7 e K . 3 T. < r e 7 : v : 7 c X . 3 r .£ C 7 :.
[*10-41]
3 :.( 7 ) :.7 6 * .3 .a :6 7 :v :7 íX .3 .x í7 :. [*4"79]
3 :. (7 ) : 7 <« . 7 e X. 3 . * « 7 :.
[*22*33]
3 :.( 7 ) : 7 í * r>X. 3 . « * 7 :.
[*40’1]
3 : .x e p ‘(icr\ X)
h . ( 1 ) . * 1 0 1 1 .3 K Prop
*40171. h . í ‘* « A * í ‘( « « X )
368
( 1)
(1)
SECCION E. PRODUCTOS Y SUMAS DE CLASES
Dem.
I- .#22 3 4 . 3 h i:xes‘Ku s ‘X. = :.xes‘x . v ,x e s ‘\
[♦ 4011]
[*10-42]
= :-(37) • 7 « * - a:e7 : v : ( 3 7 ) - 7 e *--iSe7 := (37) ! 7 « * -Bey . v . y e \ . x e y
|*4-4]
= :- ( 3 7 ) :- 7 e * - v - 7 í *-: i í e 7 :-
[*22*34]
= :• (37) • 7 £* u
[*40"11]
=
• * e 7 !■
x e s ‘(x v \ ) :: 3 h . Prop
*4018. I-. p ‘(x v X) « p‘x n p ‘\
Dem.
h . *40‘1 . 3 (■:: x e p ‘(x u
y e k \j \
. x ey
[*22"34]
= ( 7) : . 7 í * . v . - y « X : D . ® e 7 :.
[*4-77]
= ( 7 ) : . 7 e « . D . a : í 7 : 7 € X . 3 .a!e 7 :.
[* 10-22-221 ]
= (7 ) : y t x ."5 . x e y : . (7 ) l y e X . ' D . x t y :
[*40*1]
= x e p ‘x . x t p ‘\
= . .. '
[*22-331
- ■
*40181. I*. s‘(x nX)C s‘k n í ‘X
Dem.
h . #40'11 .3 1 - :: x e s‘(« r> X). = :. (3 7 ) . 7 « * n X . i « 7 ¡.
[*22*33]
= :• (37) • 7 £ * • 7 « X. * « 7 :.
[*10‘5]
3 :. (3 7 ) . y e x . x e y : (3 7 ) . 7 r X . x e y :.
[*40-11.*22-33] 3 i . xeafx n a‘X:: 3 h . Prop
*40’19.
1-:: x e s ' x . = t . y e x . O y . y C 0 i O g . x t ^
Esta proposición es la extensión de la *22'6.
Dem.
h . *40*151.3
I-:: 7 f * . 3-r • 7 C /3 : 3 0 . * e /8 :. s :. s‘* C /9. 3 /i. a: e/9
1- .*10-1. 3 1- : .s ‘x C/ 3. 3¿ . xe / 3 : 3 : s‘k C s ‘ x . 3 . x c t ‘< :
[*22-42]
3 : ares**
h . * 2 2 * 4 6 .3 I- :.x e a ‘x . s‘x C /9 . 3 . are /3:.
[Exp]
3 t-:. x e s ’x . 3 : s‘x C /9 . 3 . x e/9 :.
[*10-11*21] 3 I*:. xeafx . 3 : s ‘k C 8 .3 * ,xe¡3
h . (2 ). (3) .3 1 * :. s‘x C f f . O g . x e f f : = . x e s‘x
1*. ( 1 ) .( 4 ) . 3 1*. Prop
*40 2.
1*: * = A . 3 . p ‘x =* V
Dem.
h .*24*5*51.
3 I*:. H p . 3 : ~ ( g a ) . a e # :
[*10*53]
3 :( a ) :ic x .3 .a c a :
[*40"1]
3 : x e p ‘x
I* .( 1 ) . *10-11*21.31*: Hp . 3 . ( x ) . x e p ‘x .
[*24*14]
3 . p ‘x = V s 3 h . Prop
(1 )
( 2)
(3)
(4)
( 1)
369
PARTE 1. LOGICA MATEMATICA
*40*21. h s * = A . 3 . »‘x = A
Dem.
h . *24*51.
3 I-: H p. 3 .~ (a « ) ■««* •
[*10-5.Tranap]
D . ~ (g a) .a ex . x e a .
[*40-ll.Transp]
3 . x ~ e * ‘*
b .( 1 ) . *10-11-21. 3 h : H p . 3 . (¡t). x ~ e s‘x .
[*2415]
3 . s ‘* = A : 3 h . P r o p
(1)
En la proposición anterior, las dos A’s son de tipos diferentes, dado que k es del
tipo superior inmediato al de s ‘k . A s i , pues, debería ser más correcto escribir
=
Cl8. 3 . s‘k = A a V.
Pero en el caso de A no es muy importante mantener la distinción de tipos.
*40-22. I-: A c * . 3 . p ‘* = A
Dem.
I-. *40-12 .D I-: H p . 3 . p ‘x C A .
[*2413]
3 . p ‘« « A :3 l- .P r o p
En esta proposición, las dos A son del mismo tipo.
*40221. I-: V e * . 3 . s ‘* = V
Dem.
b . * 4 0 1 3 . 3 h : H p . 3 . V C s '« .
[*24141]
3.
= V : 3 h . Prop
*40 23. b : g ! * . 3 . p ‘x C s'x
Dem.
I- .*40-12-13 . 3 h : ae k . 3 . p ‘x C a . a C s ‘x .
[*22-44]
3 . p ‘ie C s‘k :
[*10-11-23] 3 I- s (g«) . « t x . 3 , p ‘x C
: 3 b . Prop
Obsérvese que la hipótesis 3 ! k es esencial a esta proposición, ya que cuando
A, p ‘K = V y s ‘k = A. Así, pues,
k=
h : a 1* • s . p ’x C s'x.
*40'24. b
Dem.
x : y e x . 0 r . ^ C y : 0 . $ C e‘x
h . *40-15. 3 1 - y t x . 3 , ,f3C y : 3 . /5 C p ‘x
h . *40-23. D I-: a ! * . 3 .
C í ‘k
h . (1 ). (2 ). 3 i-: H p . 3 ./3 C p ‘x . p ' x Cs‘x .
[*22-44]
3 . /9 C
: 3 h . Prop
La última proposición se usa en la prueba de la *215'25.
*40 25. I-: x e t ‘x . = . a 1* A
a)
Dem.
h .*22-33. 3 h : g ! * f t S ( « í « ) i S . (¡[y). y e x . y e&(x e a ) .
[*203]
= .( a 7 ) - 7 e * -* « 7 *
[*4011]
= . <r <s‘* : 3 h . Prop
370
(1)
(2)
SECCION E. PRODUCTOS Y SUMAS DE CLASES
*4026. y : g I s' k . = . (g a). a e « . g I a
Den.
h .«40-11.3 b : . g ! s' k . = : (gar) : (ga). aex . x e a :
[*ll'23-55]
= : (ga) : a t « : (gas) .x e a :
[*245]
= : (ga) . a c * . g ! a :. 3 I-. Prop
La siguiente proposición se usa en la prueba de la *216*51.
«4027. h a a s' k = A . = :'y í# .D r .a A 7 = A
Den.
y. «24-311. 3
s' k C —a
h : a n s‘k = A
a e s' k . 3*. x ~ t a
[«221-36]
[«40-1]
(3 y) . y e K . x e y . O x . x ~ e a : .
7 € k . x e y . 3IiT . as~ e ai.
[«10-23]
y ek
x e y , ^ x . x ^ ea
[«11*2-62]
[*24-39]
7 ejc.D T. a A 7 —A ::D I " . Prop
Las siguientes proposiciones sólo tienen significación cuando R sea una relación
cuyo dominio se componga de clases, ya que ellos conciernen a p7?“a os7?“ a, y,
por lo tanto, se precisa que R “a deba ser una clase de clases.
*40-3. y .p 'R “(av0)= p'R “an p 'R "0 [«37-22 .*40 18]
*4031. y.s'R"(ayj/3) = s'R"a\Js'R''P [*37-22. *40 171]
*40-32. y.p'R"a<sp'R“p C p ‘R'‘(an0)
Dem.
K «37-21 . 3 K R“(a a /3)C R“a a R "R .
[*4016] 3 y . p‘(R“a a R“R) C p‘R"(a a /3)
y . «4017 . 3 y .p 'R “a u p'R“fi Cp‘(R"a a R " i8)
y . (1). (2). *22-44 .D I-. Prop
(1)
(2)
*40 33. y . s'R"(a a 0) C s'R‘‘a a s ' R ' ' ) 3 [«37 21. *40 161 . «40181]
Las siguientes proposiciones no requieren más que el dominio de R deba estar
compuesto de clases.
*40-35. y .p ‘R“'K = S!{0tK.3l,.x € R “0\
Dem.
l-.*40-l. 3 b :. xep‘R“‘K. = : 7 * R “ ‘k . 3 y. as«7:
[*37 103]
= : (g/9). R e * . 7 = R " f i . 3t . x e 7 :
[*10-23]
= : /9 «ic. 7 = R “/3. 3^ , . ®«7 :
[*13191]
=z0tK.1f .xeR "0
(1)
y . (1). *1011. «20-3.31-. Prop
«40-36. I-. s ' R ' " k = 9 ((g/9) . R t x . x e R " ¡ 8| [Prueba similar]
•40 37. y . R " p ' k C p ' R ‘" k
Dem.
b . «37‘1 . 3 y :: * e R '' p ‘k . = (gy) . y e p ' x . x R y :.
371
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
[*40-1]
[*10-33]
[*11-26]
[*5-31]
= :• (ay) s 0* * . 3„ . y e /S: x R y :.
= :■■(ay) ■■■(£) : R e te . 3 . y e /3 : xRy :
3: :• (/9) :• (ay) : /3e * . 3 . y e f3 : xRy
3 :¡•(/3):-(ay)::/ 3 e * .3 .y e ¡3 . xRy :
[*10-37]
[*37T]
[*40-35]
3 : ■(P) & e k • ^ . (g y ). y e /9 . x/íy ¡
3 : . (¿8) : & e k . 3 . x e ií“ 0
3 :. x ep‘ 2i“ ‘* :: 3 h . Prop
1-. R “s‘k =
V . *37-1 .. 3 h :: x e R “s‘k . = :. (ay) • y «
. x R y :.
= : •(ay) :• (a ») . aetc , y e a : x R y :.
[*4011]
[*11-6]
= :• (a °) :• ae * :(a y )- y « « - x R y t.
[*371]
= :.■(a °) •“ «* • x e R “a-..
[*40-36]
= : . x e s ‘R ‘“K :: 3 1-. Prop
Esta proposición se usa frecuentemente en las pruebas de proposiciones aritméti­
cas.
*40 4.
i- :
E !I R “ & . 3 . s‘R “0 = á ((g y ). y 6 /3. x e Jí‘y)
Esta proposición es significante sólo cuando D7? C Cls.
Dem.
I- .*37-6. 3 I-: Hp . 3 . R“0 = S ((gy) .y e /9. a = £ ‘y)
h . (1 ). *40-11 . 3
I-:: H p . 3 x es‘ R“ /3 . s : ( g a ) : ( g y ) . y e /9 . a ■ >,B‘y : a; e a :
[*11-6]
s : (g y ): y e/8 : ( g a ) . a = R ‘y . x e a :
[*14‘205]
s : (gy) . y e f f . x e R ‘y :: 3 f-. Prop
(1)
[Prueba similar]
*40-41.
\--.Eli R “/ 3 . p ‘R “0 = £ { y e 0 .Oy . x e R ‘y\
*40 42.
h : (x) . R ‘x = P ‘x u Q‘x . 3 . s‘R “ct = s‘( P “ a u Q“ a) = s‘P “a u s‘Q“ a
Dem.
y . *14-21.
3 I-: Hp . 3 . (a;). E ! R ‘x . E ! P ‘x . E ! Q‘x
I-. (1). * 4 0 -4 .3 1 -: H p . 3 . stR “a = á ((gy) . y e a . x e R ‘y]
[Hp]
= ® ¡(3y) . y e a . x e P ‘y u Q‘y]
[*22 34]
= á ( ( g y ) : y e a : ¡ t e P ‘y . v . x e Q ‘y]
[*4-4.*10-42]
= í {(gy) . y e a . x e P ‘y . v . (gy) . y e a . x e Q‘y]
[(l).*40-4]
= si [ x e ^ P ^ a . v . x ea‘Q“ a]
[*20-42.*22-34] = s‘P “a u s‘Q“a
[*40171]
~ s ‘(P “a u Q“a) : 3 H. Prop
( 1)
Esta proposición se usa en la *40 57, en donde hacemos R = C, P = D, Q = G.
*40-43.
I-:: E !! R “ f9 . 3 :. s‘R “ i3 C a . = : y e /9. 3„ . R ‘y C a
Dem.
V . * 37-63.31-:: Hp . 3 :. y eyS . 3 y . R ' y C a : = : y e R “/3. 3 T. 7 C e :
[*40-151]
= : s‘R “/3 C a :: 3 h . Prop
372
SECCION E. PRODUCTOS Y SUMAS DE CLASES
*4044. P ;: E l! R “/3 . D
Dem.
oC
. = : y « /8.
. a C R ‘y
H.* 3 7 '6 3 .D K :;H p .D :.y e /8 .D y . a C Ü ‘ys = : y e R “f } . 2‘ y . a C y : '
[*40-15]
= : a C p ‘R “/3 :: D P . Prop
La siguiente proposición se usa en la prueba de la *84"44.
*4045 P y « 0 . D ,. R ‘y C S ‘y s D . s‘i í “ /9 C »‘S«/3
Dem.
P .* 1 4 2 1 . D P : . H p . D : E l l S « ) 8 . E ! ! R “R i
[*37-62.*40 13]
D :y c /9 . D ,.S ‘y C í ‘S“ /S:
[Hp]
■ }-.ye/3 .3 l, . R ‘y C s ‘S “0-.
[«40-43.(1)]
3 : *‘« “ 0 C
D P . Prop
(1)
La siguiente proposición se usa en la prueba de la *94-402.
*40 451. p y 10 . D„. R ‘y C S‘y O . p ‘JÍ“ /8 C p ‘S“ /8
Dem.
P .*14-21.*37-62.*40 1 2 .D P s . H p . D : y « / ? . D . p ‘R “/3C # ‘y .
[Hp]
D . p ‘R “/3 C ¿?‘y .
[*40-44]
D : p ‘R “f} C p ‘.S'“ / 3 D P . Prop
#40 5.
P .s ‘!ft«/3=E«/5
Dem.
P . *32 12 .* 4 0 4 . D P . stR “R —á |(g y ) . y e f i . x e ü ‘y)
[*3218]
= á ( ( g y ) .y e ^ .* U y J
[(*37 01)]
*» ü “ /8. D P . Prop
#40-51.
P .p ‘E “ /3 = S |y í / 9 .D 1,.« Jíy i
[*32-12. *40-41. *32-18]
p7?“0 es la clase de los términos cada uno de los cuales tiene la relación R con cada
miembro de 0, así, como í?“ 0 es la clase de los términos cada uno de los cuales tiene
la relación R con algún miembro de 0. En la teoría de series, p'R“l3 juega un
importante papel, correlativo al jugado por /?“0 (que es S'R^li, por la *£0'5). Si 0 es
una clase contenida en una serie cuya relación generadora es R, p'R“l¡ serán los
predecesores de todos los miembros de 0, mientras que 7?“0 serán los predecesores
de algunos 0.
*4ó52.
P . s,iR“&= R“i3
#4053.
P .p ‘ü “ /8= ^{®f/3.D¡I.íi:ilyj [La prueba como en la *40 51 ]
#40-54.
P .p ‘« “ £ = í(/9CiR‘a¡)
[*4051 .*32181]
#40-55.
P . p^R“a = $ (a C i?y)
[*40-53 . *3218]
[La prueba como en la *40'5]
Desde este punto hasta la *40 69, las proposiciones se insertan debido a su uso
en la teoría de series.
373
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
*40 56. b . s‘C“\ = F“X [*335. *40 5]
En la proposición anterior, las condiciones para que sea significante exigen que X
deba ser una clase de relaciones.
•4057. h.<‘C“ X= «‘(D“ \ u a “ X) = «‘D“ \ u s <a “ A [*40-42. *3316]
h . p‘~R“A = V . p‘R“A = V [*37-29.*40-2]
*406.
*40 61. b : a ¡ P - 3 ■P ^ 'R C R“l9 . p‘R“R C R“/3
Dem.
b . *37-73. 3 h : H p . 3 . a !fl“ /9.
[*40-23]
3 . p-R“R C s‘R“0 .
( 1)
[*40-5]
Similar mente b : H p . 3 . p‘R“R C
I-. ( 1) - <2) . 3 h . Prop
( 2)
*4062. I-: a ! £ . 3 .p‘R“R C C?R. p‘R“R C C‘R
[•40 61. *371516. *33 161]
Las dos siguientes proposiciones (*40‘63'64) se usan para probar la *40'65, la
cual se usa en la *204‘63.
b - .^ lR - W R .O .p ^ R - A
*4063.
Dem.
h .*3341 . Transp. 3 h :a r~ rO ‘.R. 3 . R‘x= A
b . *37-704.
D I-sie/3.
O .Íi,x tR uR ^
h . ( 1). (2). *22-32.3 h :xcR —(l‘R • 3 • R‘x e R “0 . R‘x<=A .
[*20-57]
3 . A e R“R .
[*40-22]
3 . p ‘# “ /9 = A
h. (3). *1011-23. 31-. Prop
*40 64.
h : a ! /8—D‘R . 3 . p‘R“/3 = A
*4065.
b :’S iiR -C ‘R . ^ . p ‘R“ff = A .p ‘R“R “ R [*4063 64. *33-16]
[Prueba como en la *40 63]
*4066. 1-:.aC p‘R“/3. = : x e a .y t/3 . 3*.»•
Dem.
b . *40-51.3 I-: : « Cp‘.ft“ /8 . = :. a C2 (y </3 • • * % ):.
[*20-3]
= : .i r e a .3 ,: y e £ .3 |,.* % : .
[*11-62]
= :. (*, y ):.* e a . y í 0 . 3 . xR y :: 3 I-. Prop
4—
™
*40-67. b:./3Cp‘R “a . s : x ( a . y f 0 . 2 lt.y* R y¡ = -<*Cp‘R“0
[Prueba como en la *40*66]
*4068. K * n p‘P“aCP“ptP‘ta
374
( 1)
( 2)
(3)
SECCION E. PRODUCTOS Y SUMAS DE CLASES
Dem.
I-. *40'53. 3 I - x ea n p‘P "a . 3 : X f a : y e a . 3 , , . y P x :
[*10 26]
3 :x P x : y e a . 3„ . y P x :
[*10-24]
3 : (3 * ): z P x : y t a . 3 „ . y P t :
[*40'53.*37'105]
3 :x e P “p ‘P “a 3 h . Prop
Esta proposición se usa en la teoría de series (*206‘2).
*40681. K a n /> ‘P “ a C P"/>‘P " a
[Prueba como en la *4068]
La siguiente proposición se usa en la *211'56.
*40-682. h : g ! a r > p ‘P “ / 9 . 3 . £ C P “ a
Dem.
h .* 4 0 -5 3 .3 H H p . 3 : ( g x ) : x e a : y t f ) . 3 y . y P x :
[*5 31]
3 : (3 * ): y «/9 • 3» • ®« a . y P x :
[*11-61]
3 : y e£ . 3 „. (g x ).x e a .y P x .
[*37-1]
3 „ . y e P “a 3 1-. Prop
*40 69. I- s g ! C‘P o p ‘*P“a . = . g ! P . g ! p ‘*P“a
Dem.
h . *33-24. * 24-561.3 h s g ! C‘P n p‘P “a . 3 . g ! P . g I p ‘P “a
( 1)
I-. *40-62 .
3 h : g ! a . g '.p‘P “a . 3 . g ! C‘P n p * P “a
(2)
I-. *40-6.
3 I-:.« = A . 3 : C‘P r>p‘P “a = C‘P :
[*33-24]
3 : g ! P . 3 . g ! C,P r \p ‘*P“a
(3)
h . (2 ). (3) . *4-83 . 3 I-: g ! P . g ! p‘P “ a . 3 . g ! C‘P n ¡»‘P “ a
h .( l) .( 4 ) .
3 h . Prop
(4)
Las últimas proposiciones relativas a p 'R '1j 3 y a p7?“0 tienen, desde luego, otras
análogas para s‘R “(i y para x‘P “(3. Debido a la *45-5, estas análogas se expresan más
simplemente como propiedades de P “ ( 3 y P “ j 3 . Así, por ejemplo, la *37'264 es la
análoga de la *4067. Las últimas proposiciones relativas a
y
se usarán
en teoría de series, pero hasta que lleguemos a esa parte raramente nos referiremos a
ellas.
*407.
h . s‘a ? “ /9 = 2 l ( g x ,y ) .x « o . y í / 8 . x = x ? y ]
>>
Dem.
K * 4 0 -1 1 .* 3 8 -3 .3
I-.*‘b ? “ í8 = í { (g 7 ,y ).y e /9 .7 = ? y “ o .x e 7 ]
[*38-131] = 2 [ ( g 7 , x , y ) . y e £ . 7 = ? y “ « . x « a . * = x?y}
[*13-19] = 2 |( g x , y ) . x í a . y e j 8 . í = x ? y } .3 h .P r o p
Esta proposición es de considerable importancia, dado que ofrece una forma
global para las clases de todos los valores de la función x 9 y obtenida tomando x en
375
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
la clase a e y en la ciase 0. Así, por ejemplo, supongamos que a es la clase de los
números que son múltiplos de 3, y 0 la clase de los números que son múltiplos de 5,
y x y. y representa el producto aritmético de x e y , entonces s'a x “|3 será la clase de
los productos de los múltiplos de 3 por los múltiplos de 5, es decir, la clase de los
múltiplos de IS. De nuevo supongamos que a y 0 son clases de relaciones; entonces
s‘a |“0 serán todos los productos relativos R\S obtenidos eligiendo a R en la clase a y
a 5 en la clase 0.
*40'71. b . «*%y“ « = (*'*) ? y = ? y‘V*
Dem.
b . *40-38. *38 3 1 .3 b .
[*38-2]
? y“ * = ? y“ *‘*
= (s‘* ) ? y . 3 b .P r o p
La hipótesis R “a C 0, que aparece en las *40*8*81, es una que juega un
importante papel en una etapa posterior. En la teoría de la inducción (Parte 11,
Sección E) ella caracteriza a una clase hereditaria, y en la teoría de series, ella
caracteriza a una sección superior (cuando se combina con a C C'R).
*40 8.
b a e k . 3 . . R “ a C a : 3 . R “ s‘k C s ‘ ¡c
Dem.
b . *37-171. 3 b :: H p . 3 : . a £ * . 3 „ : x f a . x R y . D ^ . y í o :
[*11'62]
2 :. a o c . x e a . x R y . D.,I V. y £ a
[*4013]
3 „ .,„ • y
:•
[*40-l 1.* 10*23]
3 x e s ' k . x R y . 3 * ,,. y £
[*37-171]
3
C s‘* :: 3 b . Prop
*40*81. f - a f * . 3 . . R “a C a : 3 . R “p ‘k C p‘«
Dem.
I- ,<*37*171. 3 b : : . H p . 3 : : a e « . 3 : x e a . x R y . 3 . y £ 0 ::
[Exp.Comm]
3 :: x R y . 3 : . a £ * . 3 : £ e a . 3 . y e a : .
[*2*77]
3 :.a f « .3 .£ £ a :3 :a £ « .3 .y e a
b . ( l ) . *1011-21-27.3
b H p . 3 z z x R y . 3 :. a f * . 3 . . i e o : 3 : a e * . 3 . . y e a:.
3 : . x e p ‘ic. 3 . y t p ‘iczz
[Imp]
3 :: x tp 'ic . x R y . 3 . y t p ' x
b . (2 ).* 3 7 -1 7 1 . 3 b . Prop
376
( 1)
( 2)
*41. EL PRODUCTO Y SUMA DE UNA CLASE DE RELACIONES
Sumario del *41.
Las proposiciones que se dan en este número hasta la *41'3 exclusive, son las
análogas del *40, excluyendo las que van desde la *40'3 hacia adelante, que no
tienen análogas. Las pruebas se darán en este número cuando las proposiciones sean
exactamente análogas a aquellas del número *40 que tengan la misma parte
decimal. La menor importancia de p ‘X y
comparativamente con las pl\ y s‘\ ,
queda de manifiesto por el menor número de proposiciones que hay en el *41 en
comparación con el *40.
Nuestras definiciones son
*4101. p‘\=> ¡b§(R e\.0R.xRy)
Df
*4102. s‘\ = l(3 -fi). R e \ . xRy) Df
De las proposiciones que preceden a la *41 3, y que son análogas de las
proposiciones que hay en el *40, las únicas que se usan frecuentemente son estas
dos
*4113. I- t R e \ . O . R G é ‘\
*41151. h:.s‘ X .G S .s :JRe\.D«.ÜC<S
De las proposiciones restantes de este número, que no tienen análogas en el *40,
las más importantes son las *41 ‘43*44‘45, a saber
D‘s‘X= *‘D“ X, a ‘s‘X -a ‘(J“ X, C‘é‘\ = s‘C»\.
Estas proposiciones se requieren constantemente en la teoría de selecciones
(Parte 11, Sección D) y en la relación aritmética. La mayoría de las restantes
proposiciones de este número se usan sólo una vez o nunca.
•4T01. ¿»‘X.= a # ( R í \ .:>*.*% )
Df
*41-02. ¿‘\-= & /{(% R).Re\.xRy\ Df
*41'1. b :. x(p ‘\ ) y . = : R e \ . D* .xRy
*4111. t : x(á‘\ ) y . = . ( g ñ ). /t <X. xRy
*4112. b : R e \ . D . p ‘\ G R
*4113. b : f t e \ . D . R G«*X.
*41*14. b i R e \ . x(p‘\ ) y . H. xRy
*41*141. b : Jt e X. xRy . O . x (é‘\ ) y
*41*16. y : .S C p t\ . = : R ( \ . 0 R. S Q R
*41161. \-:.i‘\ G 8 . = : R e \ . 0 i i . R G . S
*4116. b: XC /». D. p‘/iGp‘X
377
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
«41161. H : X C ( í . D . i ‘X (:sV
•4117. I- . p ' X K / p t f i G p ' f r n fi.)
«41171. K í 'X u é‘fí = s‘(X w ¡i)
«4118.
H .p ‘( X u / i) = p ‘X ñ ji'/i
«41181. H. ¿‘(X, n /*) G i ‘\ ñ s'/x
«4119.
«41-2.
h :: .r(á‘X )y. = ■.. R e \ .
t - : \ = A .D ./> ‘X = V
•41-21.
f-:X = A . D . í ‘X = A
«41'22.
h : A «X. D . p ‘X = Á
. R C S : ^g.xSy
«41-221. t-: V e \ . D .PX = V
«4123.
•4124.
H g S X .D .p 'X C P X
b : . ^ l \ : R e \ . ^ R. 8 C R - . 0 . S a é ‘\
«41'25.
h : x (s‘X) y . = . a ! X n R (xRy)
«41-26.
l - : á ! s ‘X. = .( 3 .R ) .JR e X .á !.R
•4127.
I - : .P A í ‘X = A . = :Í Í £ X .D b . P A JÍ = A
«413.
h . Cnv‘p ‘X = p ‘Cnv“ X
Dem.
b . *31131 .D
h :.y(C nv‘p ‘X)®
[*411]
[*31131]
[*37-63.*31 13]
[•411]
•41-31.
«4132.
«41-33.
«4134.
=
=
=
=
=
: x ( p ‘\ ) y :
: R e X. 0¡t . x R y :
: R e X . DB . y (Cnv'jR) x :
: P e C n v “ X. O p . y P x :
: y (p ‘Cnv“ X) x :. D h . Prop
b . Cnv'i'X = s‘Cnv“ X
b Cnv“p “ /c = p “Cnv‘(,K
[Prueba como en la *41-3]
h Cnv“ *“ ic = s“ Cnv‘“ «
[*4131 . *37-354]
[«41 '3 . *37-354]
b «‘a ] “ X = a "1¿‘X
Dem.
1- .«4111 . *3813 .« 1 3 1 9 5 . DI :.® (í‘a 1 “ X)y
[•351]
[•10-35]
[«4111.«351]
«41-341. b . s ‘ [‘a“ X = (s‘X )|'a
•41342. b . s ‘ [ a “ X = (s‘X)£a
.=
=
=
=
: ( g P ) . P « X .« ( a ] P )y
: (g P ) • P e X . * £ a . x P y
: x £ a : ( g P ) . P £ X. x P y
: « ( a ] á‘X )y :. 3 h . Prop
[Prueba como en a *41 34]
Dem.
h .*3611 .*35-21 . 3 1-. s‘ [ a“ X = s‘a ] “ r a “ X
[*41-34]
= a 1 (*‘ [ a"X)
[*41-341]
—a 1 (s‘X) f”a
[*3611]
= (s‘X)[ o . D h . Prop
378
SECCION E. PRODUCTOS Y SUMAS DE CLASES
La siguiente proposición se usa en la *85 22.
#4135. i-.«‘jirr“ * = Ar|v*
Dem.
. = . (g a ). ae * .x ( M f a )y .
= ■(ga) . a t t c . y e a . x M y .
= . a: (M f s‘k) y ¡ 3 I-. Prop
I- .#4111 .*3813.3 b :
[*35101]
[#4011.*35T01]
*41'351. b .s ‘] M'“ * = («'#)]M [Prueba como en la *41 "35]
*414.
I-. D‘p ‘XCp‘D“ A
Dem.
b. *3313.3
b::<reD‘p‘A. = :. (ay) .x (p ‘\ ) y :.
[*41"1]
= : . ( g y ) : ü í A . 3 B.a¡.Ry:.
[*11-61]
3 : . i í e A . 3 B . ( a y ) . x R y :.
[*3313]
3 :.
\ . 3 S . ¡reDVR:.
[*40-41 .*3312] 3 :.j* ep ‘D“ X :: 3 t-. Prop
*4141. I-. a ‘p‘x C p ‘(I“ X [Prueba como en la *41 4]
*41-42. I-. G‘p‘\ Cp‘C“\
Dem.
b . * 3 3 1 3 2 .3 b:
x « C*p*\ = :: (a y ): *(jp‘X)y. v . y (p ‘X)*::
[*411]
[*10-41-221]
[*4-78]
[*11-61]
[*33132]
[*40-41.*33-122]
*4143.
=
3
3
3
3
:¡ (gy) ¡: R «X . 3 B. x / í y : v : R t \ . 0 R . y R x :s
:: (gy) ::(/£ ):. ite X .3 . x R y t v : R e X . ^ . y R x : :
:: ( a y ) :: (® ):*R eA . 3 : x R y . v .yR x-.t
:: ( i t ) :: R e \ . 3 : ( g y ) : at/íy. v . y R x :
3 i x e & R ::
* ep‘C“ A::. 3 b . Prop
b . D'á'X = s‘D“ X
b . *33*13. 3 b ¡. a e D‘i ‘X.
[*41*11]
[*11-23-56]
[*3313]
[*40-4.*3312]
(3 y)-*(*‘X)y:
(a » ): (a ® )- R e * - xRy (gjB): R t \ : (a y )• *üy :
(g it). R e X. xe
:
i e s ‘D “ X :. 3 b . Prop
*41-44. b . d 's'x = í ‘Q “ X [Prueba como en la *41 43]
*41-45. b.C ‘s‘X= s‘C“ X
Dem.
*41-5.
b . *3316. 3 b . W X = D‘í ‘X u OVA
[*41-43-44]
- í ‘D“ X w*‘a«X
[*40-57]
= e‘C“X . 3 b . Prop
b ■p‘\ |pV G
"n
379
PARTE 1. LOGICA MATEMATICA
Dem.
I-.* 3 4 1 . 3
V : : * ( p ‘A |p‘/t)*
[*41-1]
[*11-56]
[*11-37-39]
[*11-61]
[*341]
[*13191]
[*11-21-35]
[*40-7]
[*411]
• = i . (' 3í / ) .x {p,\ ) y . y ( p ,iM)zí.
= ( a y ) P e\ .
. xPy ; Q t f i . O Q. yQt
s ” (ay) :• (P. G ) : p « X• 3 • * P y : Q e n . 3 . yQt
3 " (ay) :• (P. G) ’• P « X • G «M• 3 ■«Py • yG*
D (P, Q ) P e A . G e /*. D . (a y ) . x P y . y Q t .
3 .< r ( P |Q ) r ;.
3 (P, 0, ^ s . P í A . O f M . P - P l G - ^ - a P * : .
D :.( f i) s ( a P ,G ) .P * A .G e /* - P = P |G - 3 - * P ^
3
: . i c
( t :: 3 1-. Prop
L51. iDem.
h . * 3 4 1 .D
[*4111]
[*1154]
[*11-24-27]
[*1035]
[*341]
[*13195]
[*U-24.*40-7]
[*4111]
:■(ay) • * (*‘M y • y (*V) * :•
(ay) *■(a P ) • p «x • * P y : (a G) • G « . yG* s.
:.(a y ) '• (aP .C ):P « x -* P y * G « M -yG *:*
5- (a P . G) :• (ay) • p * x • *Py • 0«/* • yG* :•
:•(aP .Q ):• P ex.G«#*^(^y)•*Py.yG*:•
” (a P .Q ): P«x.G «M **(P|G )*::.(a P ,G .f i) - P « x .G íi* .P - P |Q .* ii* :.
:.(g 7 i). £ c A | “ t t . x & : .
M
¡e («VX.|“
»» /*)*:: 3 ^ • Prop
La última proposición, que se usa en la *92"31, expresa que, si Xy n son clases
de relaciones, el producto relativo de la suma relaciona! de X y la suma relacional de
/i es la suma relacional de todos los productos relativos formados por un miembro
de X y un miembro de n.
La siguiente proposición se usa en la *96' 111.
*41-52. H:.a1»‘XCQ. = :P íX ..D ,.a 1 i5CQ
Dem.
V. *351 .*4111 .3
h s: a 1 i‘XG Q . s :. x t a : (3 P ) . P e \ . xPy : 3 *..v
[*10-35-23]
"
= - . . x i a . P t X . x P y . Dr.«. v • x(^
[*351]
= P * X.. 0 (a 1 P )y . 2r.,., •
!*
[*11-62]
= : . P í \ . 3 J> . a '|P e G « 3 t' ' Fr0P
, • • .
• . .
<.n la *166'461.
La siguiente proposición se usa en la *162 32 y e“
*416.
380
h y * /9. D„. P‘y = Q‘y o R 'y : D. s‘P“/3 *»i ‘Q
&
SECCION E. PRODUCTOS Y SUMAS DE CLASES
Dem.
I-. *37-6. *14-21 .*41-11, ,*13195.D
h :: H p . D : .u ( i ‘P “f3 )v . = : ( 3 ! / ) - y e f i . u ( P ‘y ) v :
[Hp]
= "•( a y ) • y <& • « (Q‘y «»R ‘y) ®••
[*23'34.*10-42]
= : ( a y ) • y « £ • « ( Q ‘y ) » • » • ( a y ) • y « 3 • « ( H ‘y ) «*
[*37-6.*4111]
= : u (é‘Q“/3) ti. v . u ( i‘R “l3) w:: D I-. Prop
381
*42. MISCELANEA DE PROPOSICIONES
Sumario del *42.
Este número contiene varias proposiciones relativas a productos y sumas de
clases. Ellas se ocupan principalmente de clases de clases de clases o de relaciones de
relaciones de relaciones. Estas se necesitan, respectivamente, en la aritmética cardi­
nal y en la ordinal. Así, la proposición *421 se usa en los números *112 y *113,
que se relacionan con la suma y multiplicación de números cardinales, mientras que
las *42'12 2 se usan en los números *160 y *162, que son los que versan sobre la
suma ordinal. La *42'22, aunque explícitamente no hay referencia a ella, es útil por
cuanto facilita la comprensión de proposiciones sobre series de series de series, o
mejor sobre relaciones entre relaciones entre relaciones, los cuales son necesarios en
conexión con la ley asociativa de la multiplicación en la relación aritmética.
*42'1.
I-. a‘au ie = «V *
Para que tenga significación, aquí k debe ser una clase de clases de clases. La
proposición expresa que, si tomamos cada miembro a, de k , y formamos s'a, y
entonces formamos la suma de todas las clases así obtenidas, el resultado es el
mismo que si formamos la suma de la suma de k. Esta es la ley asociativa para s y es
(como aparecerá más adelante) la fuente de la ley asociativa de la adición en la
aritmética cardinal. La manera cómo esta proposición viene a ser la ley asociativa
para s puede verse como sigue: Supongamos que k se compone de dos clases, a y 0;
supongamos que, a su vez, a se compone de otras dos, £ y V, y P de otras dos clases
£ y r) . Entonces s'a = £ U 17. s‘0 = £ U r¡. (Esto se probará más adelante). De este
modo s" k tiene dos miembros, uno de los cuales es £ U 17, mientras que el otro es
£ U r¡. Así, pues,
t ,s , , K
« y)-
Pero s‘ k tiene cuatro miembros, a saber £, i?, £\ i?\ De este modo
= £ U r ¡ U £ ’ U tj . Por lo tanto, nuestra proposición lleva a
s's ' k
=
(? u v ) u (? '« » ? ')= f u y v £ ' u y ,
que, obviamente, es un caso de la ley asociativa.
Nuestra proposición expresa la ley asociativa, en modo general, incluyendo el
caso en el que el número de paréntesis, o de sumandos en cualquier paréntesis, sea
infinito.
La prueba es como sigue
Dem.
h . *40 4 . 3 I-:: x e a‘s“ ic. = s. ( g a ) . a t k . x t s‘a
382
SECCION E. PRODUCTOS Y SUMAS DE CLASES
[*4011]
[*11 -6]
[*4011]
[*4011]
( a « ) s « e * : ( a f ) 'f « « •* « £ :
(a f) s. (a«) . a e K . f e a:xe£
(a f)-f
"
D h . Prop
*4211. 1-. p ‘p “ic—p ‘s ‘k
Dem.
I-. *40'41 .DI- :.x e p ,p “ic
[*40*1.*11*62]
[*11-2.*10 23]
[*4011]
[*401]
& <* . D*. x ep ‘R :
f3tic. y e / 3.
r . x ey i
(S&).f3tK .ye/3.Dy. x e y :
y e s ‘k . Dt . x t y :
x €p*stK D I-. Prop
Esta es la ley asociativa para productos. Suponiendo de nuevo, como ilustración,
que K se componga de dos clases a, 0, mientras que a se componga de las dos clases
£, 77, y 0 de las dos
T)\ entonces p “k se compone de las dos clases I n r? y n j¡’,
de suerte que p'p“n = ( | O rj) n (%' n rj'), mientras que p‘s‘K = %O tj n O y¡’. De
este modo, nuestra proposición viene a ser
(? n v)* (£'’« V) - í « v f tf f tií'.
Una función descriptiva R ' k cuyos argumentos son clases o clases de clases puede
decirse que obedece a la ley asoceativa ofrecida.
R ‘R “,c = R ‘s , k.
Esta ecuación puede interpretarse del modo siguiente: dada una clase a, se divide
en un número de clases subordinadas, de manera que ningún miembro quede fuera a
la izquierda, aunque un miembro pueda pertenecer a dos o más clases. Hágase que
las clases en las que se divide a compongan la clase k , de forma que k sea una clase
de clases, y s‘k = a. Entonces, la anterior ecuación afirma que si primero formamos
la /?‘s de las varias subclases de a, y a continuación la R de la clase resultante, el
resultado es el mismo que si, directamente, hubiésemos formado la R de a.
En algunos casos —por ejemplo, el mencionado de la suma aritmética de
cardinales— la ecuación última vale sólo cuando dos miembros de k no tienen un
término común, es decir, cuando las partes en las que se divide a son mútuamente
excluyentes.
Para una función descriptiva cuyos argumentos son relaciones de relaciones,
encontraremos otra forma para la ley asociativa; esta forma juega en la aritmética
ordinal un papel análogo al que desempeñaba la forma anterior en la aritmética
cardinal.
*4212. I-.
=»iVX.
Dem.
I-. *41*11. D h ¡x (é ‘é“ \ ) y
3 .(3
[*41*11]
[*40*11]
[*41*11]
s . (a/i,
xPy.
s . ( a P ) . P t s ‘\ . x P y .
= .x { s <s,\ ) y : D I-. Prop
383
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
*4213.
h.j>*p“ X. = pVA
Dem.
H. *41'1 . 3 1- : .x ( p ‘p ,,\ ) y • = : fie X. . 3„ .x (p 'fi)y :
[*41é1]
s : / í t \ . iíe/a. 3„,.b .
*42 2.
:
s : (g /¿). f i e \ . R e ¡i. "2b . x R ij :
= : R e s ‘\ . 3 * . x R y :
= i x ( p ‘s‘X.)yi. 3 1-. Prop
[*11'2.*10'23]
[*40'11]
[*41-1]
I-. C‘i ‘C‘P - s W & P = F,,C,P = F ',P
Esta proposición supone que P es una relación entre relaciones. Por ejemplo,
supóngase que tenemos una serie de series, cuyas relaciones generatrices están
ordenadas por la relación P. Entonces, CP es la clase de estas relaciones generatri­
ces; s'CP es la relación “una u otra de las relaciones generatrices que componen
C'P”,y C s‘C'P es la clase de todos los términos que intervienen en cualquiera de las
series. C“C ‘P es el campo de las diversas series, y s 'C C P representa de nuevo todos
los términos que intervienen en cualquiera de las series. F “CP representa a todos
los términos que pertenecen a los campos de las series que son miembros de CP, y
C 'P representa a todos los miembros de los campos de los miembros del campo de
P; cada uno de estos es, de nuevo, todos los términos que intervienen en una
cualquiera de las series. La prueba es como sigue:
Dem.
h . *41 -45.3 h . C‘á‘U‘P = 3'C“C‘P
1-. *40-56.31-. s'C“C‘P = F“C‘P
(1)
(2)
l-.*33-5. O b . F “C‘P = F “F‘P
[*3738]
= ¿ * ‘P
(3)
b . ( 1 ) ,(2). (3). D I-. Prop
Las proposiciones siguientes se aplican a una relación de relaciones de relaciones.
Estas proposiciones son útiles para probar las leyes asociativas en aritmética ordinal,
ya que estas leyes versan sobre series de series de series, y las series de series de
series se constituyen simplemente suponiendo a las relaciones generatrices de las
series constituyentes, ordenadas por relaciones, que se ordenan a sí mismas por una
relación P.
*42 21.
Dem.
*42 22.
I-. s‘C“‘C“C,P - C“s‘C“C‘P = C“C‘s‘C‘P = C“F“C‘P - C“F '‘P
b . *40-38.
3 I-. s‘C“‘C“C‘P = C“s‘C“C‘P
K ( l ) . *42-2.31-. Prop
I-. s,s‘Ct“C“0 ‘P = s‘C“s<C“C‘P = ¿ ^ “C's'C'P
= C‘i ‘C‘s,C‘P *=s‘C“F“ C‘P
= Ft,F“C‘P=‘ F“ F*‘P = F ,, P
[*42-21. *41-45. *40-56. *422. *373]
384
(1)
SECCION E. PRODUCTOS Y SUMAS DE CLASES
Si P, en la última proposición, es una relación que genera una serie de series de
series, dicha proposición produce varias formas para la clase de los últimos términos
de estas series. Así, pues, supongamos Q e C'P\ entonces Q es una relación entre
relaciones generatrices de series. Si ahora R e C'Q, R es la relación generatriz de una
serie que podemos considerar como compuesta de individuales. La clase de los
individuales así obtenidas puede expresarse en una de las formas últimas, tan bien
como en otras que no se han ofrecido.
*42 3.
b . s‘s“ R “a = s‘R “a
Dem.
b . *42-l .3 1 - . s‘s“R “a = ats,R “a
[*40-5]
= s‘R “a . 3 h . Prop
*42'31. I-. s‘s“ R “a = s ‘R “a [Prueba como en la *42'3]
385
♦43. LAS RELACIONES DE UN PRODUCTO RELATIVO
CON SUS FACTORES
Sumario del *43.
El objeto de este número es ofrecer ciertas proposiciones sobre la relación que
existe entre P y Q siempre que P = Q\R, o P = R\Q, o P —R\Q\S, en donde R y S
son fijas. En virtud de las definiciones generales del *38, estas relaciones son
respectivamente |/?t R\, y (P|)|(SI). Tales relaciones son de gran utilidad tanto en la
aritmética cardinal como en la ordinal; también se usan mucho en la teoría de la
inducción (Parte II, Sección E). En lugar de la notación (/?|)|(|S) que resulta
engorrosa, adoptamos la notación más breve RiS. Si X es una clase de relaciones,
R |“ X será la clase de relaciones /?|P donde P e X , |R“ X será la clase de relaciones
P\R, donde P e X ; y (P||S)“X será la clase de relaciones R\P\S, donde P eX . Estas
clases de relaciones se necesitan frecuentemente en lo que sigue del trabajo.
En virtud de nuestras definiciones, tenemos
«43112. K (P ||S )‘Q -.R |Q |S
Las proposiciones más usadas en este número (excepto aquellas que simplemente
incorporan definiciones) son las siguientes:
•43-302. K ( P ) . P « a ‘(jR||,S)
«43-411. 1-. R '“íI“\ = d “ | R“\
«43-421. h . i ‘| ^ “ X -(¿‘X)|R
Las restantes proposiciones se usan rara vez; pero sus usos, cuando se emplean,
son importantes.
«4301. R ||S - ( J 2 |) |( |S ) Df
En un paso posterior (en el *150) introduciremos una notación más sencilla para
el caso especial de P ||P . Las siguientes proposiciones son, en su mayoría, conse­
cuencias inmediatas de las definciones y, por tanto, se omiten las pruebas.
«431.
«43101.
*43102.
*4311.
•43111.
«43112.
*43-12.
«43121.
386
H:P(«!)Q. = . P - J Í | Q
hjP(| JS)Q. = . P = Q|fi
f:P(R||S)Q. = . P « R |Q |S
h . P | ‘Q - P | Q
K | R ‘Q » Q | P
h.(R||S)*Q-P|Q|S
K E ! P | ‘Q
i- • E ! | R ‘Q
SECCION E. PRODUCTOS Y SUMAS DE CLASES
*43122. b . E ! ( i i ||S ) ‘Q
*43'2.
I - .( J Í |) |( « ! ) - ( J Í |- 8 ) |
Dem.
K . * 4 3 'l . D I - : i { ( / 2 |) |( íS í|)jiV '. = . ( a l í ) . £ = i2 |A Í. M ~ S \ N .
[*13195.*34-21]
[*431]
’s . i - J í l S I J i r .
= .I |( 2 i|5 ) [ J i V : D H .P r o p
*43 201. b . (| R ) |<| S )«■| ( 8 1R )
[Prueba com o en la *43 2]
*43-202. b .( |P ) |0 S |) = * ( S |) |( |P ) = S ||.R
*43-21. b . ( P ||Q ) |( P |) = (P |« )||< 2
[Prueba com o en la *43-2]
*43-211. b . ( P |) |( P ||< 3 ) - ( P |P ) ||Q
*43-212. b . ( P ||Q ) |( |P ) = P ||( f i|Q )
*43-213. b .< |P ) |< P ||Q ) - P ||< Q |f i)
*4322.
b . ( P |© [ ( J Í |S ) - < P |J ? ) |( a |« )
#43-3.
b . ( P ) . P e d ‘P |
[*4312.*33-43]
*43 301. b . ( P ) . P r d ‘| P
*43302. b . ( P ) . P « d ‘(P ||S )
*43-31. h . P r a ,P | = P |'C ‘P | = P
Dem.
b . * 4 3 1 2 . *33-431. 3 b . d ‘P C d ‘üt |
[*33-161]
S b .d 'P C C M il
b .(1 ) . (2 ). *35*452.31-. Prop
tt)
( 2)
*43311. b . P | >a ‘ |B = P r C ‘ | ü = P
*43312. b . P [ - a ‘( P | | 5 ) - P | ' C ‘( P ||S ) = P
*43-34
b . P | ‘P = | P ‘P - P *
[*4311111]
*434
b . P “ D‘P = D ‘P | ‘P
[*37-32. *431]
*43 401. h . P “ d ‘P - d ‘ | R ‘P
[*37-32. *43101]
*4341.
[* 4 3 4 . *37 355]
b . R ‘“D “\ = D“ P |
*43411. b . f i ‘“ d “ \ = d “ | P “ A
*43-42. b . ¿‘R |
Dem.
[*43-401.*37-355]
«= R | i ‘X
b . *41 11. *371. * 4 3 1 .3
b :.at(*‘P | “ A )*.s :(^ T ).T t\.x ( R \T ) e :
[*34-1]
= :C gT )iT t\:(-3y).xR y.yT z:
[*11-6]
= :(ay)s«P y s(ar)> TeX. yTt :
[#41-11 .*34-1] = : « (P |¿ ‘\) « :. 3 b . Prop
•43-421. b . »• i R " \ =>(¿‘x) I R
*43-43.
[Prueba como en la *43 "42]
b .¿ ‘(P |IS )“ X -(P ||S )« ¿ ‘x.
387
PARTE I. LOGICA MATEMATICA
Dem.
V . *37-33.3 I-. é‘(R || S)“X = á‘R \ “ \S“X
[*43-42]
- ü |(¿ ‘ j<S“ X)
[«43-421]
= P |á ‘X|.S
= (R || S)‘é‘\ .31-. Prop
[«43112]
•4348. h :D ‘/ >C « .D . g |‘P = ( Q r a ) | ‘P [«35-481]
*43-481. I-: G‘P C /S. 3 . | R ‘P = | (>S] R)‘P [«35 48]
•4349. h : í ‘D‘‘X C a .3 .( Q |) r \= ( ( Q [ « ) |] r x
Dem.
h . «40’43 . 3 h :. H p . 3 : P e X . 3 . D‘P C a .
[*43-48]
3 - e i‘-p=Kcr«)i}‘-p
( 1)
K ( l ) . *35-71.3 K Prop
•43491. t-:«‘a “ X C /9 .3 .(|P )[X = (|(/91P)| [X [Prueba como en la *43 49]
•43 5. h : D‘P C a . d ‘P C 0 . 3 . (Q || R)‘P - [(Q [ «) II(£1 &)}'?
[*35-48-481 .•4 3 1 1 2 ]
•43-61. I-: a‘D“ XC a . *‘<I“ XC ¿9. 3 . (Q || R) [ X= ((Q f a) || (£ 1P)) [ X
Den.
b . *40-43 .31-:. H p . 3 : P eX. 3 . D‘P C a . Q‘P C R .
[•43-5]
3 .( g ||P ) ‘P={(Qr«)ll(j81P)]‘P
l - .( l ) . *35-7 1 .3 (-.Prop
La última proposición se usa en la prueba de la *74 773.
388
( 1)
PARTE II
PROLEGOMENOS AL CARDINAL ARITMETICO
SUMARIO DE LA PARTE ü, SECCION A
Las cuestiones a estudiar en esta Parte no difieren apenas de las estudiadas en la
Parte I. La diferencia es tan sólo de grado; las cuestiones que se tratan en esta parte
son, en cierto modo, de menos importancia general que las de la Parte I, y se
estudian más bien a causa de sus incidencias sobre la aritmética cardinal que por si
mismas. Aunque la aritmética cardinal es la meta que determina nuestra marcha en
la Parte II, se verá que todas las cuestiones estudiadas también son requeridas en la
aritmética ordinal y en la teoría de series.
La Sección A de esta Parte trata de las clases unitarias y de los pares. Una clase
unitaria es la clase de los términos idénticos a un término dado, esto es, la clase
cuyo único miembro es el término dado. (Según se explicó en la Introducción, Cap.
III, pp. 135 a 138, la clase cuyo único miembro es x no es idéntico a x ), definimos el
1 como la clase de todas las clases unitarias. De igual manera, definimos un par
(cardinal y ordinal), y luego definimos el 2 como la clase de todos los pares.
391
SECCION A
CLASES UNITARIAS Y PARES
Sumario de la Sección A.
En esta sección comenzamos (*50) introduciendo una notación para la relación
de identidad frente a la función “x = y " \ es decir, llamando / a la relación de
identidad, escribimos
I=& $(x=y) Df.
El objeto de esta definición es principalmente una conveniencia de notación; La
definición nos permite hablar de / , D7, 1\R, a 1 I, P'a, etc., que de otra forma no
podría hacerse.
Al propio tiempo introducimos la diversidad, que se define como la negación de
la identidad, y se simboliza por la letra J. Las propiedades de I y de J resultan
inmediatamente del «13, dado que
x ly . = . x = y.
Seguidamente, introducimos una notación muy importante, debida a Peano, para
las clases cuyo único miembro sea x. Si tomamos un punto de vista estricto y
puramente extensional de las clases, deberíamos naturalmente suponer a esta clase
idéntica a x. Pero en vista de la teoría de clases explicada en el *20, es evidente que
x nunca puede ser idéntico a la clase de la que ella es un miembro, aun cuando sea
el único miembro de esa clase. Peano usa la notación “tx” para la clase cuyo único
miembro sea x\ la cambiaremos por “ t‘x ” , siguiendo nuestra notación general para
las funciones descriptivas. De esta forma tenemos
l'x = §(y = x) = {¡ (ylx) = I ‘x.
Por tanto, como definición nuestra, adoptamos
i=
7
Df,
ya que esta definición da el deseado valor de i‘x. Las propiedades.de i son muchas e
importantes.
Es importante observar que “i‘a ” significa “ el único miembro de a ” . Así, pues,
el tal existe cuando, y sólo cuando, a tiene un miembro y no más, en cuyo caso a es
de la forma Cx, si x es su único miembro. Así, “í‘a ” significa lo mismo que
“(ix) (x e a)” y “I‘f (<pz)” significa lo mismo que “(ix) (0x)” . Lo que llamamos
“Va" se simboliza, empleando la notación de Peano, por “ja” .
Las clases de la forma i‘x se llaman clases unitarias, y la clase de dichas clases se
llama el 1. Este es el número cardinal 1 , de acuerdo con la definición de números
392
SECCION A. CLASES UNITARIAS Y PARES
cardinales que se dará en el *100. Las propiedades del 1, en tanto que no dependen
de otros números cardinales, o del hecho de que el 1 es un cardinal, se estudiarán en
el *52.
Después de un número (*53) que contiene varias proposiciones que implican al 1
o (, pasamos a la consideración de los pares cardinales (*54) y pares ordinales (*55).
Un par cardinal es una clase i'x U Cy en donde x
La clase de tales pares se
define como el 2 , y se mostrará en una etapa posterior (* 101 ) que es un número
cardinal. Un par ordinal que, a diferencia del par cardinal, incorpora un orden entre
sus miembros se define como una relación ilx t Cy (cf. la *35 04), donde podemos
añadir, o no, x ¥=y. Las propiedades de los pares ordinales son, en parte, análogas a
las de las clases unitarias y, en parte, a las de los pares cardinales. En el *56
definimos el número ordinal 2 (que simbolizamos por 2r para distinguirlo de el
cardinal 2) como la clase de todos los pares ordinales i'x t i*y, en donde x ± y . Se
mostrará más adelante que éste es un número ordinal, de acuerdo con nuestra
definición de números ordinales (*153 y *251).
393
*50. LA IDENTIDAD Y LA DIVERSIDAD COMO RELACIONES
Sumario del *50.
El objeto de este número es primordialmente notacional. Por razones de nota­
ción, debemos estar capacitados para expresar la identidad y la diversidad como
relaciones, y no meramente como funciones preposicionales; esto es, necesitamos
una notación para Jrp (x = y ) y p a r a ( x ^ y ) . Por lo tanto, proponemos
/ = $# (* = y)
J ~ - 1
Df,
Df.
A pesar del hecho de que la diversidad es simplemente la negación de la
identidad, los tipos de proposiciones que emplean la diversidad son completamente
diferentes de los tipos que emplean la identidad. La identidad como relación se
necesita, para comenzar, en la teoría de las clases unitarias, que es lo que nos ha
llevado a tratar de ellas aquí. Más adelante se requiere de una manera constante en
la teoría de la inducción matemática (Parte II, Sección E). Se requiere también para
mostrar que el cardinal y ordinal son reflexivos de manera semejante. Estos son sus
principales usos.
Por otra parte, se precisa - d e diversas formas- casi exclusivamente en la teoría
de series (Parte V), y en el primer capítulo en que la teoría se dedicará a la
diversidad. Hasta que llegue esa etapa, rara vez se hará alusión a la diversidad, con
una excepción importante, a saber, al probar la ley asociativa de la multiplicación
en la relación aritmética (*174).
Las proposiciones más importantes sobre la identidad en este número son las
siguientes:
*6016.
K / “a = a
* 5 04.
K R |/= /|R »R
*60'5.
I-. « ) / = 7f‘o = « ^ / f a
*6051.
l-.Cnv‘(a 1 J) = a 'l J
K D ‘(a 1 /) = a í( a '| / ) - C ‘( « '|/) = a
K : a ,j B C a .D .R |( / ( ‘a ) - R
PsD'RCa.D./falR-R
*5062.
*5062.
*6063.
Las más importantes proposiciones sobre la diversidad en este número son las
siguientes:
*5023.
*50-24
h-.RGJ.e.RGJ
b s R C J . = .(* ). ~ (zRx)
*50-43. l-sR 'G J’. s . R ñ R - A
394
SECCION A. CLASES UNITARIAS Y PARES
*50-45.
*5047.
Vt&GJ.l.RGJ
\ - : . & G R . 2 i R G J . = . & ( l J .= . R f \ R = Ii.
Se observará que todas estas proposiciones se refieren a R G / o R 2 G J, las
cuales se satisfacen si R es una relación serial. La hipótesis R 2 <L J o R ñ K = h
caracteriza una relación asimétrica, esto es, una que, si tiene validez entre x e y , no
puede tenerla entre y y x
*50-01. 7 = ! $ ( * - y ) D f
*5002. 7 = - /
Df
Muchas de las proposiciones de este número son evidentes y no precisan ningún
comentario.
*501.
*5011.
*5012.
*5013.
*5014.
*5015.
*5016.
Dem.
*5017.
b : x l y . = . x =* y
b tx J y . = .x ^ y
I- .J = & f ) ( x ± y )
b
t-. / ‘y = y
M y ) . E ! / ‘y
(■. / “ «= a
b . *371 . D b : x e l ‘‘a . s . (gy) . y e a . x l y .
[*50-1]
s .( g y ) . y e a . x l y .
[*13-195]
= . * e a : 3 I-. Prop
! ■ ! . * « « . 3 , « =«
Dem.
*50 2.
Dem.
[*21-3. (*5 0 0 1 )]
[*23-35. * 5 0 1 . (*5 00 2 )]
[*5011 .*21-33]
[*13-19. *10-24-281 .*50-1]
[*30-3. *50-1 .*1 0 1 1 ]
[*5 0 1 4 . *1421 .*1 0 1 1 ]
H .* U -2 1 .3 (-:H p .3 .E !!ü “ *
(-.* 5 0 1 4 .3 1 -;. H p . 3 : * « a . 3». R ‘x " I ‘x s
[*37-69.(1)]
0 i R “a - I “a t
[*5 01 6 ]
3 ! R “ a a :. 3 I-. Prop
( - ./ = /
(■ . * 50-1.31-: x l y . s . x = y .
[*13-16]
[*50-1]
[*31-11]
*60 21.
Dem.
( 1)
= .y = *.
s . y lx .
s . x ly : 3
I-. Prop
I- , J ~ J
h . *21-2. (*5002). 3 ( - . / = - /
[*50-2.*23-83]
[*3116]
(1)
» -7
=Cnv‘i /
395
PARTE II. PROLEGOMENOS AL CARDINAL ARITMETICO
[(1).*3132]
*60-22.
*5023.
*50 24.
Dem.
V-.Rdl . s . R G I
=
= J . D h . Prop
[*31-4. *50'2]
[*31-4.*5021]
I-: R 6 J . = . (x) . ~ (xR x)
h . * 5 0 ' 1 1 . D b :■ R GJ
. = : x R y . D*iy. «4" y :
[Transp]
=¡¡c = y .D x-y.~(íEÜy):
[*13191]
= : ( * ) . ~ (¡cifcr):. DI-. Prop
*50-3. I-. O ). <e/« [*501. *13-15]
*50-31. I-.D‘/ = V .(I‘/ = V
Dem.
*50-32.
*50-33.
Dem.
h . *50-3 . *10-24. D h :. (« ): (g y ). x l y (* ): (g y ). ylx
[*33-13-131]
D b t (x) . Xe D‘/ : (x) . * e G‘I :
[*2414]
D I- ,D ‘/ = V . d ‘/ = V. D h. Prop
H.C‘/ = V [*50-31. *3316 . *2427]
h : g ! / . D . D ‘Jr= V .a V = V .C ‘J = V
K. *13-171. Transp . D I - r . y ^ í . D s a + y . v . a ^ * : .
[*50"11]
D I- t.y jz . D Síív/y. v .x J z :
[*3314]
D : a; e D‘/
l -.(l). *1111-35. D h r g i y . D . ü e D ' y :
[*10-11-21]
D I-: g ! / . D . (x ) . x e D‘J .
[*2414]
D . D ‘J = V
I-. (2). *50-21. Dh. Prop
(1)
(2)
En la última proposición (*50*33), la hipótesis 3 ! J es equivalente a la hipótesis
de que existe más de un objeto del tipo en cuestión. Esto puede probarse para todos
los tipos excepto para el más bajo. Para el tipo más bajo sólo podemos probar la
existencia de por lo menos un objeto: esto se prueba en la *24 52. Para el tipo
siguiente, podemos probar la existencia de por lo menos dos objetos, a saber A y V;
estos, por la *24" 1, son diferentes. Para el tipo siguiente, podemos probar la
existencia de 22 objetos; para el siguiente, 24 , etc. Pero para las clases de individua­
les no podemos probar, desde nuestras proposiciones primitivas, que haya más de
un objeto en el universo y, por lo tanto, no podemos probar 31 J. Desde luego,
pudimos haber incluido entre nuestras proposiciones primitivas el supuesto de que
existe más de un individual, o algún supuesto desde el que resultase esto, tal como
(3<#>. a¡<y).i> \x.~ < f> \y.
Pero muy pocas de las proposiciones que pudimos desear probar se apoyan en este
supuesto y, por lo tanto, hemos de excluirlo. Debe observarse que muchos filósofos
monistas niegan este supuesto.
396
SECCION A. CLASES UNITARIAS Y PARES
*50 34. I-. á ! J t Cía
Dem.
Y . *20 4 1 . *22-38. (*24 0 1 0 2 ). D Y . A, V e C ls.
[*24'1]
D h . A ^ V . A . V e C ía.
[*3613.*5011]
D t-. A
Cls] V .
[*10-24]
D I-. Prop
*5035.
l-.g !./tR e l
[La prueba como en la *50 34]
*604
h .P |I= I|P = .P
Dem.
I-. *34-1 . DI-: x (P 1 7) * . = . ( g y ). x R y . y l z .
[*50-1]
= -( a y ) - x R y . y = z.
[*13‘195]
= . xRz
I-. *34-1. D h : ®(J| P ) a . = . (g y) .® Jy. y R z .
[#501]
= • (ay) • ®= y • y R z •
[*13-195]
= . xR z
h . (1) • (2 ). DI-. Prop
(1)
( 2)
*50-41. t - : P | P C P . = . P | P e / . = . P A P = A
Dem.
1- .* 3 4 1 .*5011 , O Y : . R \ P < í J . = : (gy) . x R y . y P z . 3 * ,,.® + * :
[*13196]
= : (a): ~ (g y ). x R y . y P x :
[*10-252]
[*31-11]
[*23-33 .*25-51]
= ■ ~(a®, y) •x R y •y Rx:
[*31-14-24]
= :P A P = A :
\J
= : ~ (a®, y) • x R y . x P y :
= : P AP = A :
(1)
= : P | Cnv‘P G J :
= :P|pej-
[*34-203]
I-. (1 ). (2). D I-. Prop
( 2)
*50-42. I-. / ’ = J
Dem.
I-. *34-5 . D I-:
[*50-1]
[*13195]
*50-43.
Y:R>GJ
P AP = A
•= ■(ay) . x l y . y l z .
= . ( g y ) . a / y . y = *.
= . x l z : D H. Prop
1 50 41
*
-
^
]
Esta proposición es útil en la teoría de series. “R O P = Á” es la característica
de una relación asimétrica.
*50’44. I-: g ! (P A I ) . D . g \(R ? ñ l )
397
PARTE II. PROLEGOMENOS AL CARDINAL ARITMETICO
Dem.
I-. *23 33 . *501 .D I
[*13195]
[*34-54]
[*13195]
[*23-33.*501]
= •(a*. y) ■x R y •* = y •
=. o * ) •x R x .
d . (a®) •x B ? x .
3-(3 x ,y ) .x R ? y .x = ~ y .
D . á 1(-B1 * / ) : D I-. Prop
*5045.
i-z& C J.O .R G J
[*5044. T ransp. *25-311]
*50-46.
b -.R fiR -k.O .R G J
[*50-43-45]
*5047. ¡ - ■ . . R H i R . l - . R G J . s . R ' C . J . s . R ñ R = A
Dem.
H .*2344.D h:.H p.D :«C y.D .i?G J
l - . ( l ) . *50-45-43. D K Prop
(1)
Esta proposición se usa en la teoría de series. Si R es una relación serial
tendremos R2 C£ R y R G /.
*50'5. l - . a ' ] / = / f ' a = a ' | / [ ' a
Dem.
1-. *35-1 . D h : x ( a ] / ) y . . = . x e a . x l y .
= .xea.x =y .
[*501]
= . y t a . x = y.
[*13193]
= . x l y . y ea .
[*501]
= .a;(/ra)y
[*35101]
1- . (1) . *23-5 . D h . a ] / = a ] / A Í [ " a
[*3511]
=a1/r«
h .(1 ) . (2) . D h . Prop
*50 51.
I-. Cnv‘( a ] / ) ■ = * ] /
rJ ftm
(1)
(2)
\-.a,\ I t 0 = ( a * P ) ' \ I = It (ar>0)
\
h . *35-21 .*50-5. D K a ' | / | ‘/3 = a 1 0 9 '|.í)
[*35-32]
=(an/9)1/
I-. (1 ). *50-5 . DI-. Prop
*5064. K ( a 1 / ) * = a 1 /
Dem.
I- . *50-5 . D I-. (a 1 / ) ’ «* (a 1 / ) | ( / f a)
398
(2)
[*35 51 .*50-2-5]
*50-52. I-. D ‘(a ] / ) = d ‘(a ] / ) = C‘(a ] / ) = a
Dem.
V . *35-61. D I-. D‘(a 1 / ) = a n D ‘I
[*50-31]
=anV
[*24-26]
=a
Similarly
I-. Q ‘(a ] / ) = a
I-. (1 ). (2). *33-18. D h . Prop
*50-53.
(1)
0)
SECCION A. CLASES UNITARIAS Y PARES
[*35-12]
[*50-42]
[*50-5]
- a ] / 1[ a
= a']/|'a
= a 1 / . D b . Prop
•6066. h : o r > / 9 = A . = . a | / 9 G J
Dem.
b . *24-37. *50-11.3
h :. a n /9 = A . = :« e a . y «y9. D„lV. x J y :
[*35103]
= :«t/9G./:.DI-.Prop
•50 66. h : 3 ! (a r> /8) . = . 3 ! ((a t /8) A 2)
Dem.
I-. *50-55 . TraDsp. *24*54. D
1-: a I (« n fi) •
= . ~ [a | f) G J \ .
[*2555]
= * á ( « T &)—J '
[*23'831.(*50-02)] = . 3 ! [(« T £ ) A 2 ) : D h . Prop
•6067. t - . / A a ' ] / i = 7 Aií[-o = / ñ a ' | ü r ' a
Dem.
h . *35"1G . D I - . / A a -]7i = a ' | / A j K
[*50-5]
= I\abR
[*3517]
=/ófi[-a
[*50'5]
= a']/['añíí
[*3516-17-21]
=/ña1A |-o
1- . (1) . (2). D h . Prop
*60-68. b : a'] R C . J . = . R [ a C J . s . a'] R [ a Q J
Dem.
h . *50'57 • 3 l - : / A a ' ! / í = A . = . / A f i | ‘a = Á . = - . / A a ' 1 7 í f a = A
M i ) . , *5U'41. D h . Prop
*50 69. b . ( I t a ) “0 = an/ 3
Dem.
1-. *37-412.3 1-. ( / T«)“ /3 = / “ (o r. /9)
[*50-16]
= a n /3. D b . Prop
(1)
(2)
(1)
•506.
K f í |( / |- « ) = .R|-a
Dem.
b . *35-23. D I". i í | ( / f"a)= (fi | / ) f a
[*50 4]
= R [" a . D b . Prop
•60-61. 1- . / [ a | fí = a ' | ü
Dem.
h . *35-354.D t - . / [ - a j ü = / ! ( a 1 R)
[*50-4]
-a12i.D h.Prop
«6062.
b : d ‘2í C a . D . 2 i | ( 2 [ - a ) = 2i
[*50-6 .*35-452]
*5063.
h : D ‘R C a . D . / r « | ü - f i
[*5061 .*35-451]
*5064.
b . R | ( / { d ‘J?) = R | (2 f C‘J?) - R
[*50-62. *22-42. *33161]
*50 66.
b . 7|-(D ‘2l) | R - 2 r (0*2?) | R = R
[*50-63. *22-42. *33 161]
399
PARTE II. PROLEGOMENOS AL CARDINAL ARITMETICO
*507.
*5071.
*5072.
*5073.
*50 74.
h:G ‘ /iCa.D./í|‘ /[‘ a = ií
[*50-62. *4311]
h :D ‘ « C « . D . | P ‘/[-a = P
[*50-63. *43-111]
1-. R |'\ I r OR) = | R‘{ I TO P ) = R: [*50-7-71]
\-.R \‘I = \R‘I= R
\-.R \\I = R\
[*50-4. *43-11-111]
Dem.
K *43112. 3h.(P|| I) ‘Q= P |Q |/
[*50-4]
= p ie
[*4311]
= R \ ‘Q
h . (1). *30-41. 3 h . Prop
*5075.
*50 76.
(-.J||J2 = |.R [La prueba como en la *50"74]
h:P| = P|. = . P = .R
Dem.
h . *34-27 . *30-41.3 I-: P = ¿í. D . P| = E|
h . *50-73. *30-36 .D (-:P| = P | .D .P = P
h .(l).(2 ).3 l-.P r o p
*50761. l-:|P = | P . = . P = ií
[La prueba como en la *50 76]
*51. CLASES UNITARIAS
Sumario del *51.
En este número introducimos una nueva función descriptiva, Cx, con la significa­
ción “la clase de los términos que son idénticos a * ” , que es lo mismo que “ la clase
cuyo único miembro es x ” . De este modo tenemos
l ‘x = §(y = x).
Pero )>(y = x ) = / ‘x. Por eso logramos lo que requerimos por la siguiente defini­
ción:
*6101.
i= "f
í)f
Por lo que respecta a la notación, podría pensarse que I haría lo mismo que t, y
que esta definición es supérflua. Pero necesitamos también la conversa de esta
relación, y “ Cnv‘7 ” no es un símbolo que convenga suficientemente.
Las proposiciones de este número se usan constantemente en lo que sigue. Debe
observarse que la clase cuyos miembros son x e y es t‘x U Cy, la clase cuyos
miembros son x, y, z es Cx U Cy U Cz, la clase formada al añadirle x a a es a U Cx, y
la clase formada quitando x de a es a —Cx. (Si x no es un miembro de a , esto es
igual a a).
La distinción entre x e Cx es uno de los méritos de la lógica simbólica de Peano,
así como de la de Frege. Con el apoyo de nuestra teoría de clases, la necesidad en
cuanto a la distinción es, desde luego, evidente. Pero, prescindiendo de esto, la
siguiente consideración hace aparente la necesidad. Sea a una clase; entonces, la
clase cuyo único miembro sea a tiene un solo miembro, a saber, a, mientras que a
puede tener muchos miembros. Por tanto, la clase cuyo único miembro es a no
puede ser idéntico a a (71).
Las proposiciones de este número que se usan más son las siguientes:
*51T5.
h : y e l‘x . = . y -=x
*51T6.
h . x e l'x
*51’2.
h : s e a . s . l‘x Ca
Esta proposición es útil porque nos permite sustituir los miembros de una clase
(x e a) por la inclusión en la clase (t‘x C a).
*51211.
*61 '221. h : x e a . = .
=A
(a —l ‘sc) u t‘¿s= a
(71) Este argumento se debe a Frege. Véase su artículo “ Kritische Beleuchtung einiger
Punkte in E. Schroder’s Voriesungen líber die Algebra der Logik” , Archiv fúr Syst. PhU., vol. 1.
p. 444 (1895).
401
PARTE II. PROLEGOMENOS AL CARDINAL ARITMETICO
*61222. h:<c~ca.= .a —t‘» = a
«SI'23. h : t‘* —i‘y . = . y 11‘« . = . a t t‘y . s . x —y
«SI'4. h : a ! a . a C i‘« . = . a = i‘«
Esto es, una clase existente contenida en una clase unitaria debe ser idéntica a la
clase unitaria. A partir de esta proposición resultará que 0 es el único cardinal que
es menor que 1 .
*51'61. h : a —l ‘te . m . w= t‘a . = . « t a
Para clases, i‘a tiene los mismos casos que (ix) (0x) tiene para las funciones;
“í‘a ” significa “el único miembro de
Tenemos
#51-69. 1-: * (t‘2 (<**)) .s.y/r(tm)(fr)
•6101. l-7 * Df
#511. h : auc. = . a —P (y = ¡c)
Dem.
I-. *4-2 . (#5101). D Y : a(z. = . a/®.
[•321]
= . a —0 (y/®).
[•50-lJ
= .o -0 (y -» ):3 l-.P n )p
•6111. h . t ‘* = 0 ( y - « )
*6112. h . E ! ('«
•6113. h :a = t‘« . = . a = 0(y=<r)
[«30-3. *51T]
[«61-11. *14-21]
[*20-57-2.*51-11]
•61131.* h : aix . = . a —t‘¡r
[*51-113]
•6114. h :. o =- . = : y e a . =y. y = ¡r [*5113.*20'33]
* 5 1 1 4 1 .
b : . «
—
t ' a
r . H
s
a
l o
i y
t o
. D
y
. y
—
c
s
H
S
^
t
a
s
y
t
o
^
v
-
y
*
*
*
[*5114. *14122]
•6116. h :y « i‘*. = .y —*
*6116.
[*5111 .*20'33]
[*5115. *1315]
•61161. t-. 3 U‘*
[*5116.*10-24]
*6117. b . a i - v
Dem.
Y .*511.*20-2. D H. (0(y «=*)} t * .
[*10-24]
[*33131]
[*1011]
[*2414]
DI-. (3a). ow •
D h . * * a ‘i.
DH.(*).*«a*i.
3 K < T t-V
La última proposición se usa en la teoría de selecciones (*83*71).
*61*2.
402
F ¡ c c c . s . ( ‘cC «
SECCION A. CLASES UNITARIAS Y PARES
Dem.
K *13'191 . 3 h : . x c a . = : y = 0 . 3 y . y e a :
[*51'16]
= : y e t ‘* . 3 y, y e a :
[*221]
= ; i ‘x C a 3 h . Prop
La última proposición enseña cómo sustituir un miembro de una clase por una
inclusión en una clase; así, por ejemplo da:
Sócrates es un hom bre. = . la clase de términos idénticos a Sócrates está incluida
en la clase de los hombres.
Antes de Peano y Frege, la relación de membrecía (e) fue considerada como un
nuevo caso particular de la relación de inclusión (C). Por esta razón, la lógica
formal tradicional trató a proposiciones tales como “Sócrates es un hombre” como
ejemplos de la universal afirmativa A , “ Todo S es P \ que es lo que expresamos por
“a C 0” . Esto entraña una confusión de clases de proposiciones fundamentalmente
diferentes que en gran manera impidió el desarrollo y utilidad de la lógica simbólica.
Pero, por medio de la última proposición (*51'2), podemos obtener siempre una
proposición manifestando una inclusión (a saber, “i‘x C a”), que es equivalente a
una proposición dada afirmando que es miembro de una clase (a saber, “x e a ”).
*51'21. V , x ~ t a —i' x
Dem.
(■. * 2 2 '3 3 '3 5 .3 h :« c a -t‘# . 3 . £ c a .
i'x .
[*3'27]
D .x ~ e t‘®
(1 )
1-. (1 ). T ransp. *51'16. 3 I-. Prop
*61'211. I-: * ~ e a . s . t‘« n a = A
Dem.
I-. *24 3 9 .3 h t'x n a = A \ - .y ei ‘x . 3 y. , y ~ e a :
[*5115]
s :y = x . 3y. y~< a :
[*13191]
= : ¡r~f a 3 I*. Prop
*61'22. t-: a
■»A .a u i 'r = / 3 .;
x e & . a ^ / i — t'x
Dem.
I-. *24*47.3
h : a n l‘* = A . a ui‘¡r —0 . = l‘x C f f . a = 0 —l‘x .
[*51‘2]
3 * í y 8 . a = /8 —i‘i : 3 ( - . Prop
«61-221. h : * e a . s . (b - i*«) v t'x —a
Dem.
I-. * 5 1 2 . 3 I-: x t a . = . t ’x C a .
[* 2 2 02]
= .
i* x u b
*
b
.
[*22 91]
= .(a —1‘«) w t ‘¡r = a : 3 I-. Prop
*61-222. F : i ~ e a . s . a - i ‘* = « [*51'211 . *24'313]
*61‘23. h : i‘a:= i‘y . = • y « i‘x . = . x e t‘y . = . * = y
Dem.
403
PARTE II. PROLEGOMENOS AL CARDINAL ARITMETICO
P . *20'31. « 5 M 5 . D
P l‘x = i‘y . = : z = x . = , . z = y :
[*13183]
= :x =y:
[*5115]
= : x e l ‘y :
[(1).*13 16] = : y e i ‘x
P . ( 1 ) . ( 2 ) . ( 3 ) . 3 P . Prop
*51231. P : l‘x n i‘y = A . = . x J f y
Dem.
P . *24"311. 3 P l ‘x n i‘y = A . = : t‘x C —l‘y :
[*51'15]
[*13'191]
= : *4= y 3 f" • Prop
*51 232. P z e ((‘¡r w l‘y ) . = : z = x . v . z = y [*22 34 . *51-15]
(1)
(2)
(3)
Esta proposición manifiesta que un miembro de i‘r U i 'y debe ser o jc o _y, y
viceversa, es decir, que i'x U i‘y es la clase cuyos únicos miembros son x e y.
*51233. P :: a = i (x i ‘y . 3 (z) z e a . = : * = x . v . z = y
[*51232. *1011 .*2018]
*51 234. P :: a = t‘x <
j í‘y . 3 :. z e a . 3 , . tf>z : = . <f>x. <}>y
Dem.
P . * 5 1 2 3 3 .3 P H p . 3 : : z e a . 3 , . <f>z : = :.* = * . v . z = y : 3 ,. <f>zi.
[*477]
. (z)’. z = x . 3 . $ z : z = y . 3 . <j>zi.
. z = x . 3 , . <¡>z : z = y . 3 ,. <f>z:.
[*1022]
. <f>x. < f t y 3 P . Prop
[*13191]
.s:<l>x.y.<f>y
*51235. P :: a = l‘x u i‘y . 3 : . ( g z ) . z e a .
Dem.
P. *51-233.3
P :: H p . 3 :. ( g z ) . z t a . 4>z. = : ( g z ) : z = x . v . z = y:<£z:
[*4‘4]
—: (g z) : z = x . tf > z . v . z = y.<j>z:
[*I0'42]
= : (gz) , z = x . <f>z. v . (g z ). z = y . <f>z :
[*13"195]
= : <(>x. v . <f>y :: 3 P . Prop
*51236. h :. z e i‘x /3. s t z —x . v . z e / 3 [*2234. *51-15]
*51'237. P :: a = i‘x u 0 . 3 :. (z) :.z e a . = : z = x . v . z e 0
[*51-236. *10-11. *2018]
*51238. P :: a = t‘x w 0 . 3 :. z e a . 3 , . <¡>z: = : ipx: z e &. 3 , . <f>z
Dem.
P . *51*237. 3 P H p . 3 :: z e a . 3 Z. ^z : = :. z = ¿r. v . z c /9 : 3 ,. <j>z:.
[*4'77]
= :.(z):.z —x . 3 . <£z: z e 0 . 3 .$ z : .
[*10'22]
= :. z = x . 3 , . <f>z: z e 0 . 3 , . <f>z:.
[*13191]
= :. <f>x: z e 0 . 3 , . < f > z 3 P . Prop
*51239. P :: a * l‘x u 0 . 3 :. (gz) . z e a . <j>z . = : <f>x . v . (g z) .zt0.<j>z
Dem.
P . *51-237.3
P :: H p . 3 :. (g z ) . z e a . <f>z. = : (gz) : z = x .v . z e 0 :<f>z:
404
SECCION A. CLASES UNITARIAS Y PARES
[*4'4]
[*10 42]
[*13*195]
= : (g«) :z = x . $ t . v . ze/ 3 .<j>z:
= : ( g a ) . z = x . $ z . v .Jg * ) . z e f t . :
=:
. v . (gz) . z e/3.
:: D t". Prop
*5124. h :. l ' y C t ' x v / 3 . = ; y = x . v . ye/ 3
Dem.
K *51-236. D
h :: t ‘y C t*a: w /8. = z c t‘y . Dt s * = ¡e: v . ¿ «/9
[*51*15]
= i.z=*y.0t i z = x . v . z e / 3 : .
[*13*191]
= :.y = * . v .y </9:: D K Prop
*5126.
I-: a C ( ‘* v /9 . * ~ e o . 3 . a C / 3
[*51*211. *2449]
*51'3.
h r y í a . y + j r . s . y í a - t 'x
[* 5 115.*22333 5 ]
*5131.
h : g l í « t ' x . - . t'x C a . a . a a i ‘x = i’x . = . x e a
Dem.
I-. *22 3 3 . *51*15 . D h s g ! a r> t‘x
[*13195]
[*51*2]
[*22*621]
I*. (1) ■(2). (3). D I*. Prop
. = . ( g y ) . y «a . y = * .
=.**«.
= . t ‘x C a .
= . i‘x = t' x r\ a
*51*34.
h : * » a . s . —o C - t‘x
*51*35.
h : a ~ í o . = . t ‘* C —a [*51*2.*22*35]
*51*36.
H : * ~ í 0 . s . a C - t ‘a [*51*35 .*22*811]
(1)
(2)
(3)
[*51*2 .*22*81]
La *5136 se usa frecuentemente
*51*37.
I-. n = í ( i ‘* C a )
[*51-2 . *20*33]
*514.
I-: g I a . a C t ' x . = . a = t'x
Dem.
h .*24*5 . *51*15.3 t * g ! a . a C t ' x. = : ( g y ) . y e a : y f a .
[*14*122]
= : y e a . =y . y = x •.
[*51*11.#20*33]
s : a * i ‘x 3 I-. Prop
.y = *:
*51*401. h aC i‘x . = : a - A . v . a = i‘x
Dem.
I-. *51*4. *5*6.
D h : . « C t ‘* . 3 : a = A . » . a « í <*
h . *24*12 . *22*42 . D h a = A . v . a = t‘¡r : D . e C t'x
K ( 1 ) . ( 2 ) . D I - . Prop
(1)
(2)
Esta proposición muestra que las clases unitarias son las más pequeñas de las
clases existentes.
*61*41.
h : ( ‘i « i ‘y = i ' * « t ' í . s . y = í
Dem.
h . *20*2. *13*13. 3 1 : y = í . 3 . t ‘í w i ' y = i‘í u i ‘»
I-. *22*58 , D h : , t ‘t w i ‘y = t'x w i ' r . D : t‘y C t'x u t ' t . i ‘z C t'x v i ' y :
(1)
405
PARTE II. PROLEGOMENOS AL CARDINAL ARITMETICO
[•51-16-232]
[*13-16.*4‘41]
[*13172.*2-621]
h . (1 ). (2 ). D K Prop
D : y = x . v . y = *: * = x . v . x = y i
D : y = x . * - = x . v . y = «:
D :y = «
(2)
Las dos proposiciones siguientes son lemas para la *5143.
•6142.
K t‘x w t‘y = t‘t w t ‘«i . D : x = * . y —u>. v. x**ui . y = .r
Dem.
h . * 5 12 3 2 . D
I - t ‘* u t ‘y » ¿** w i‘w .= :.a. = x . v . a — y : =t : a = z . v .a*=tv
[*10*1]
3 : . x = x . v . x = y : = : x = 2 . v . x = w:.
[*13-16]
D : .x = x . v . x = w
I-. *20*2. *13*13, 3 h : l‘x \j l‘y = l‘z u i <w . i b ( . 3 . 1‘í w t ‘y o i ‘í u 1% .
[*51-41]
D .y = to
Similarmente
t- : t ‘* u t ‘y = i* s u i‘u ;.* = w . D . y = *
K (l).(2).(3).D K Prop
*51421. 1-:. x —* . y -= u». v . x = w . y = * : D . t‘x v i‘y —1‘* u t‘w
*61*43.
1 - i‘x v i‘y =
[*51-42-421]
(1)
(2)
(3)
[*51'41]
u t ‘t». = : x = * . y —w . v . * = v i. y = *
Las proposiciones siguientes hacen referencia a i, es decir, a la relación del único
miembro de una clase unitaria a esa clase. Si a es una clase unitaria, Va es su único
miembro, (tx) (<foc) y V i (<¡>z) son iguales siempre que existan, y cualquier proposi­
ción acerca de una de ellas es equivalente a la misma proposición acerca de la otra.
*61'61.
1-: a = i‘x . = . x«= i‘a . = . x i a
Dem.
K * 5 1 T 3 1 . * 3 1 1 1 . D l - ; a = t ‘* . = . x i a
(1)
K ( l ) . D l - : x i a . y t a . D . a = l ‘x . a = » i ‘y .
[*51-23.*2057-2]
D.x-y
1- . ( 2 ) . Exp. *10*11 . * + 7 1 . 0 h
[*30-31]
1- .(1 ) . (3) . D 1-. Prop
(2)
x l a . = : x l a : y ca .
. x = ys
= : x = l‘a
*61-611. K t V x » *
|^ * 5 1 -5 1 ^ .* 2 0 -2 j
*61-62.
h E l t ' e t . s . a s iVa
1 * 5 1 -5 1 ^ . *14-21-18^
*61‘63.
h : E I í ‘a . = . t ‘a e a
[*51-5216. *14-21-18]
*6154
H : E I t*a . = . (gx) . a «■ i‘x
[*51-51. *14-204]
*61'66.
1-: E I t‘a . = . E ! (jx) (x e a)
V
406
(3)
SECCION A. CLASES UNITARIAS Y PARES
Dem.
I-. *51'54'14 . D h
[*14"11]
*5156.
E ! ¿‘o . = : (gar) : y e o . = , . y = x :
s : E !(ix) ( l e a ) D h . Prop
I-: b = l‘P (<¡>y). & . p (<£y) = i‘b . = . b = (iz)(fa:)
Dem.
h . *51-51. D I - : .6 - r ‘$ ( * y ) . 3 : $ ( 4 y ) - i ‘6:
[*2015.*5111]
= :<¡,y.=w.y = b:
[*14-202]
= : 6 = (»*)(**)
(1)
(2)
I-. (1 ). (2). D I-. Prop
*51 57.
I-: E I 1*0 (<f,y). s . 7‘£ (<f>y) = (j») (<f>x). = . E I (ja:) (<^x)
Dem.
h . *14-204. *51-56. DI-: E ! 7‘# (<*>y). = . E 1(j«) (</>a:)
(1)
I-. *14 205 . D h : (ja:) (*x) = 7‘0 (<#»y). = .(g ¿). 6 = <lz) (* * ).& - 7‘$ (<f>y) .
[*51-56.*4-7 l]
[*14-20413]
= . (g 6 ). b = (ja:) (<f>z) .
= . EI (ja:) (4>x)
(2)
I-. (1). (2). D h . Prop
*5158.
I-: E ! 7‘a . = . 7‘a = ( jx) ( z eo)
*51-69.
I-: y/r (7*2 (<£«)} . = .ifr (ix) (<f>x) [*51 56. *14 205]
[*51 57 .*203.*14272]
407
*52. EL NUMERO CARDINAL 1
Sumario del *52.
En este número introducimos el número cardinal 1, definido como la clase de
todas las clases unitarias. El hecho de que el 1 así definido sea un número cardinal
no es relevante por el momento y, desde luego, no puede probarse hasta que se haya
definido el “ número cardinal” . Por ello, de momento, el 1 debe considerarse
simplemente como la clase de todas las clases unitarias, siendo tales clases de la
forma t'x para cualquier x.
Al igual que la A y la V, el 1 es ambiguo por lo que respecta al tipo: significa
“ todas las clases unitarias del tipo en cuestión” . El símbolo “ 1 (a)” , donde a es un
tipo, significa “ todas las clases unitarias cuyos miembros únicos pertenecen al tipo
a" (cf. *65). Así, por ejemplo, “ £ e 1 (Indiv)” significa “£ es una clase que se
compone de un individual” , si “indiv” representa a la clase de los individuales.
Las propiedades del 1, que se han de probar en este número, son las que
podemos llamar lógicas, por oposición a las propiedades aritméticas; es decir, no se
refieren a las operaciones aritméticas (suma, etc.) que pueden realizarse con el 1 ,
sino a las relaciones del 1 con las clases unitarias. Las propiedades aritméticas del 1
se considerarán más adelante, en la parte III.
Las proposiciones de este número que más se usan son las siguientes:
*52'16. I- :. a e 1 . = : a ! a : £ , y e a .
.a=y
Esto es, a es una clase unitaria si, y sólo si, no es nula y todos sus miembros son
idénticos.
*52 22.
K t'sel
*524.
h : . « e l v t*A , = : x , y e a .
.* = y
Definiremos el 0 como i‘A. Así, pues, la última proposición establece que una
clase tiene un miembro o ninguno cuando, y sólo cuando, todos sus miembros sean
idénticos.
*5241. 1-: a t a . a~« 1 . a . (a*, y ) . x , y e a . * + y
Esta proposición puede obtenerse de la *52'4, mediante transposición; es decir,
negando cada miembro de la equivalencia.
*5246. l - : .a ./ 9 e l . 3 :a C j 3 . a . e * = 0 . = .a !(a n /9 )
Esto es, dos clases unitarias son idénticas cuando, y sólo cuando, una se contiene
en la otra, y cuando, y sólo cuando, tienen una parte común.
*5201.
408
1 = « ((a*) .« = »'*}
Df
SECCION A. CIASES UNITARIAS Y PARES
*521.
h : a c l . = . ( g x ) . a = Cx
*6211.
H: . « e l . = : ( g x ) : y e a . = „ . y = x [* 5 2 1 .* 5 1 1 4 ]
[*20-3. (*5201)]
«5212. h : i (<fiz) £ 1 . = . E I ( jx)(^ x)
Dem.
1-. *52-11.!3 h :. $(</>x)e 1 . H : ( g x ) : y e 2 ( ^ x ) . % . y = x :
^ y . Hy. y =>X !
s : (g x ):
[*20-3]
= : E I (tx )(£ x ):. 3 h . Prop
[*1411]
*6213. h . 1 = D‘t
Dem.
h . *51131 . 3 1-: « = i*x. = . ata: 2
[*10-11'281]3 h s ( g x ). a- ■ t ‘x . = . ( g x ) . a tx :
[*52-1]
3 h : « e l . = . ( g x ) . atx
[*3313]
s . a e D‘t : 3 V. Prop
1-: a* 1 . = .iG li'o
[*51-54. *521]
*5216.
I - a e l . = : g ! « : x , y £ a • 3 .,» .a = y
[*52-15.*51'55.
*5217.
I": ae 1 . = . t‘« = ( 1 X ) (x £ 0>)
[*51-58. *52-15]
<
*5215.
II
T
[*52 1 3 . *37-28]
*5214.
*52171. 1-: ae 1 . = . E ! (?x) (x e a)
[*51-55. *52-15]
*52172. t- : a e l . = . t‘ t‘a = a
[*51-52. *5215]
V
*52173. f-: ae 1 . = ,. l‘«ea
[*51-53. *5215]
*5218.
t - : . a e l . = : (g x ): x e a :}r e a . 3 „ . y = X
Dem.
h . *51141 . 3 h ( g e ) . a = t‘x . = : (gx) : x e a : y £ a . 3 y y = x
h . (1 ). *52T . 3 h . Prop
*62181. I-:. e ~ e 1 . = : x £ « . 3* . ( g y ) . y e a . y + x
*52 2.
( 1)
[*52-18. *10'51]
h.ICCIs
Dem
h . * 5 2 1. 3 h : a £ 1 . 3 . ( g x ). a = i‘x .
[*•51-11]
3 . ( g x ) . a = 2(* = x).
[*20-54]
3 . (gx, <^). $(<j>! z) = 2 ( z = x ) . a = 2(<#>! *) •
[*105]
[*20’4]
3 . ( 3 * ) . « = 2(<M*)3 . a « Cls : 3 I-. Prop
*52-21. H . A ~ e 1
Dem.
h . *52 1 6 . 3 I-: a e 1 . 3 „ . g ! a :
[*2463]
3 b : A ~e 1
*5222.
h.i'xel
[*51-12. *14-28. *10-24. *52-1]
409
PARTE II. PROLEGOMENOS AL CARDINAL ARITMETICO
*62-23. t - . a H . g J - l
Dem.
t-. *52*22. *10'24 . 3 I-. (g¿c). t‘x e 1 .
[*20-54]
3 I-. ( a * .a ) . a = i‘x . a e 1 .
[*10*5]
3 t- . (g«) . a «1
t* . *52-21 . *22-35 . 3 I-. A t - 1 .
[*10-24]
3 h . ( g a ) . a < —1
l- .(l).(2).
D t - .P r op
*52 24.
t-. 1 * A n C ls. 1 + V « Cls
( i)
(2)
[*52 23 . *24 54 . *2417 . Transp]
*623.
I-. t“ a C 1
Dem.
\- . *52-22 . *2-02 .
3 t - : y í a . 3 . i ‘y e l :
[*5112.*10 ll.*37-61] 3 t-. i“a C 1
*5231. t - : « C l . = . ( g a ) . * = i" «
Dem.
h. *52-14. 3 l - : * C l . = . * C t " V .
[*37-6G.*51 12]
= . (g a ) . a C V . * = f a .
[*2411]
s . (ga) . * = i “a : 3 h . Prop
*52 4.
I - a e 1 u i*A . = : cc, y « a . 3*lV. * = y
Dem.
V. *52 16. *24-54. 3
I-:.« « 1 .
s : a = | = A : * , y e a . 3 i.y . * » y : .
[*437] 3 t - : : a « l . v . a = A : = :. a = A :. v :.a + A s *,y « a .
, * = y :.
[*5'63]
= : . a = A : v : ¡r,y «a .
.*= y
I-.*2451 .*10-53.*11 6 2 . 3 t - : . a = A . 3 : * , y « a .
=y
h .( 1 ) .( 2 ) .* 4 '7 2 .
3 t - : : a « l . v . a = A : = : . ¡ r , y í a . 3 „ iy. * = y
h . (3 ). *51 236.
Dl-.Prop
( l)
(2)
(3)
Esta proposición es útil frecuentemente. Debemos definir el número 0 como i‘A;
de este modo, la última proposición declara que una clase tiene un miembro o
ninguno cuando, y sólo cuando, todos sus miembros son idénticos. Se observará que
x, y e a . "Dx,y • x = y no implica 3 1 a , y que, por lo tanto, admite la posibilidad
de que a carezca de miembros.
*5241. l - : g ! a . a ~ « l . = . { ^ x , y ) . x , y e a . x ^ y
Dem.
|-. *24'54 . 3 1 - a ! a . a ~ e 1 .= a=f A , a ~ e l :
[*4-56]
s ~ [ a e 1 . v . a —A) :
[*51-236]
= ~ ( a e 1 u i‘A ) :
[*52'4.TranBp]
= ~(a,y€a. D ^„.«-y¡
[*11-52]
= (a*, y) • y f a .« + y i, 3 I-. Prop
*6242.
410
t-:.a e l.3 :g ! a n /8 . = .an/8el
SECCION A. CLASES UNITARIAS Y PARES
Dem.
h . *51*31.
[*20*53]
[#10*11-28]
[*10*37]
H. ( 1 ) . *521
I*. *52*16.
r . (2). (3 ).
D I - g I i‘x n /3. = . t‘x n /3 = i‘x :.
D 1*:. a = t ‘a:. D : a ¡ a r< ¿8 . = . a n /8 >= l‘;r :.
DI-:, ( g * ) . a = i ' x . D : (a®) 1 3 l a n 0 . = . a n /3 = i‘x :
D : a ! a <*i £ • D . (a®) • 0 A & = t*«
.D h :.ael.D :a!an /9 .D .an /)el
D I-:arty9íl.D .a!a«y8
DKProp
*5243.
t - : a e l . a ! a n / 8 .= . a í l . a n / 3 e l
*5244.
h : . a E l . 3 : a ! a n / 9 . = .aC/9. = .an/3 = a
( 1)
( 2)
(3)
[*52'42. *5'32]
Dem.
h. *51*31 •
D I-: a • t‘« n /9 . = . i (x C /3 :
[*13*13.Exp]
DI-:. a = t‘* . D : a ! a r i 0 . = . a C / 9 : .
[*10*11*23]
D h :. ( 3 ®) . a = t‘* . D : a l a n ^ . = . a C j 8 :.
[*52*1]
DI-:. a e l . D : a ! a n / S . = . a C / 3
h. (l) . *22*621. Dh. Pr op
( 1)
*52*45. l - : : a , j 3 e l . D : . a C / 9 u 7 . = : a = j8 . v . a C 7
Dem.
(-.*51*236 Í ^ . D
t,x,p
I-:. ¡r e t ‘y u 7 . = : * = y . v . ; r í 7 :.
[*51*2*23]
D I*:. l ‘a: C l ‘y u 7 . = : i‘x = l*y . v . i ' x C y :.
[*13*21]
D h : : a = t‘a;.j 8 = t ‘y . D : . a C / 3 <J7 . = : a = /9 . v . a C 7 ::
[*11*11*35] D I- ::(aa*,y).a= i*a:./í= i‘y .D :. aC/8 v 7 . = : a=y3.v .aC 7
I-. (1). *52*1 .D I-. Prop
*52*46. I-:. a, /9 e 1 . D : a C ^ . = . a = ( 9 . != . a ! ( í n / 3 )
Dem.
h . *51*2*23 .
D I- : t‘® C l‘y . = . í‘a; = l‘y
I-. (1 ). *13*21 .
3 l * : . a = ( ‘í . ^ = l‘y . 3 : a C j 9 . = . a = i3
I-. (2). *11*11*35 . *52*1 . D h : . a . j 8 e l . D : a C / 8 . = . a - 0
h . (3). *52*44 .
D I-. Prop
*52*6.
I-:. a e 1 . D : x e a . = . l‘x = a . = . x = l‘a
Dem.
I-. *51*23.
D I-; x e t ‘y . = . i‘x = i‘y :
[*13*13.Exp]
D I-:. a *= l‘y . D : x e a . = . i‘x = a :.
[*10*11*23.*52*1] D I-:. a e 1 . D : .r e a . = . t‘jr = a .
[*51*51]
I-. (1). (2). D I-. Prop
= . x = i ‘a
( 1)
( 1)
( 2)
(3)
( 1)
( 2)
W
*52601. H: : ae 1. D :.
= :¡e c a . D z .<^z: = :(a® ) . xta.<f>x
Dem.
411
PARTE II. PROLEGOMENOS AL CARDINAL ARITMETICO
P . * 5 2 1 5 . 3 P :. H p . 3 : E 1 i ‘a :
(1)
[*304]
[*52'6]
P.(l).*3033.3
( 2)
3 : ¿c ( a . = . ¡r —t‘a .
= . ¡r e a
P :: H p . 3 <f>(i‘a) . = : x i a .
P.(2).(3).3P.Prop
. $ x •. = •. ( g i ) . xia.<j>x
(3)
*52602. P 2 (<pz) e 1 . 3 : \[r (ix) (^ r) . = .<j>xüx \¡rx. = . (gai). <f>x. yfrx
[* 5 2 1 2 . *1426]
*62-61.
H : . a « l . 3 : t ‘ae / 8 . = . a C / 8 . = . g ! ( « f t / 8 )
j*52'601
*52 62. P : . a , / 9 e l . 3 : a = / 8 . = .'t'a = 7‘jS
Dem.
P . *52-601.31-:: H p . 3
[*52-6]
[*52-46]
*5263.
t ‘a =
h:a,/9íl .a + /8 .3 .a n /8 = A
. = : x t a . 3 X. a: = t‘/9 :
= : ® e a . 3 x.í:í/3:
= : a = /3 :: 3 P . Prop
[*5246 . Transp]
*5264. h a í l . 3 . a n | 8 í l w i‘A
Dem.
P. *52-43. 3 P : H p.. g ! a n f} . 3 . a r» /9« 1 :
[*5’6.*24É54] 3 1 -:. H p . 3 : a r > / 9 = A . v . a n ) 3 e l :
[*51236]
3 : a n /9 c 1 u l‘A :. 3 P . Prop
*62 7.
P :./9-ael.aC f.fC /9.3:f= a.v.£*= /9
Dem.
P . *22-41 .
3 P : H p.f C a . 3 . f - «
P . *24-55.
3P:~(fC «)-3-a!?-«
3 P :H p .
3 .f-aC /9-a
P . *22-48.
3 P : H p . ~ ( f C a) . 3 . g ! f —a . f —aC/9 —a
P.(2).(3).
3 P : H p . 3 . (g¡r) , f S - a = l‘x
P . * 5 2 1.
P . (4). (5 ). *51-4 . 3 P : H p . ~ ( f C a ) . 3 . £ - a = / 9 - a .
[*24-411]
3 . f = /3
P . ( 1 ) . ( 6 ) . 3 P . Prop
412
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
*53. MISCELANEA DE PROPOSICIONES EN LAS QUE INTERVIENEN
CLASES UNITARIAS
Sumario del *53.
Las proposiciones que se ofrecen en este número son en su mayoría tales que
deberían haber venido, naturalmente, en una etapa anterior; pero no pudieron darse
tan pronto porque en ellas intervienen las clases unitarias. Debe observarse que
Cx U Cy es la clase constituida por los miembros x e y , mientras que Cx t Cy es la
relación que existe sólo entre x e y. Si a y 0 son clases, i‘a U i‘0 es una clase de
clases, siendo sus miembros a y 0. Si R y S son relaciones, CR t CS es una relación
de relaciones; y así sucesivamente.
Este número comienza por conectar productos y sumas p'tc, s'k, /)‘X, s‘X, en los
casos donde se especifican los miembros de x o de X, con los productos o sumas
a n ¡3, a U 0, R Ó S, R Ü S. Tenemos
*53 01.
h . p ‘l ‘a = a
*53’1.
I-. p ‘( t‘a o t ‘/8) = » n ( 9
*5314.
h . p ‘(ic o t ‘a) = p ‘x n a
con proposiciones similares para s, p y i.
A continuación tenemos un conjunto de proposiciones sobre sumas y productos
de clases de clases unitarias. La más importante de éstas es
*53 22.
I-. s‘ i “ a = a
Seguidamente, tenemos una proposición que muestra que la suma de k es nula
cuando, y sólo cuando, k es nula o tiene a la clase nula como único elemento; esto
es
*53'24.
h
s
‘k
= A.
=
: *
=
A n Gis . v .
*
=■
t‘A
(Aquí escribimos “ A O Cls” para enseñar que la “A” en cuestión es del tipo
inmediato superior a las de las otras dos A‘s).
Tenemos a continuación varias proposiciones sobre las relaciones de R 'x y R'x y
R“ot en varios casos, primero para una relación general R, y después para la relación
particular s definida en el *40. Tres de estas proposiciones se usan muy frecuente­
mente, a saber:
*533.
1 - : E ! £ ‘* . = . ^ ‘* £ 1
*53301. I- .R “i'x=~R‘x
*53'31.
h : E ! R ‘x . D . R “i‘x = i‘R ‘x = ~R‘x
Las restantes proposiciones de este número son de escasa importancia, y rara vez
haremos referencia a ellas.
413
PARTE II. PROLEGOMENOS AL CARDINAL ARITMETICO
«6301.
Dem.
K p ‘l‘i = a
H. *40-1.31-:.* í p V a . = : 0 « t‘« . 3« . * e 0 :
[*51-15]
=:0 =a.O f.xe0t
[*13191]
*5302.
= : * « a : . 31-. Prop
K. »‘l‘a «=a
Dem.
t-. *4011. 3 I-: x t «V« . s . (g/3) . 0 e i‘a . x 1 0 .
[*5M 5]
s .(%0).0-a.xe0.
[*13-195]
= . * e a : 3 h . Prop
*5303. h . p‘i‘R m R [Proof as in *5301]
*5304. h . é'l'R - R [Proof as in *5302]
*531. I- • p‘(t‘a w t‘/3) - a n 0
Dem.
1-. *40-18.31-. p‘(t‘« w l‘0) = p‘t‘a n p‘i‘0
r*53011
= a a 0 . 3 h . Prop
Esta proposición puede extenderse a t‘a U t‘0 U Cy, etc. Muestra la conexión
(para clases finitas de clases) entre el producto plK y el producto de los miembros
a O j3 O 7 O ...
*6311.
Dem.
I-. *40171.3 I-. s‘(t‘« o i‘0) = *Va y e‘i‘0
[*53 02]
= a y /9. 3 h . Prop
Aplicamos a esta proposición observaciones similares a las de la *53'1.
*5312.
!-. p‘(i‘fí y i‘S) =tRt\S [*41-18. *5303]
*5314.
t-.p‘(*y i‘a) —p'icna
Esta proposición muestra la conexión entre el producto p*K para una clase k que
consta de dos relaciones R y S, y el producto R fi S. La proposición puede
extenderse al producto de cualquier clase finita de relaciones
*5313. h .
y i‘S) ~ R v S [*41-171 . *5304]
Aplicamos a esta proposición observaciones similares a las de la *53*12.
Dem.
I-. *40-18.31-. p‘(ic y
[*5301]
*5316. I-. s‘(* y i‘a) ya
•6316. I- ,p ‘( \ y i‘R )’*p‘\ A R
*6317. I-. *‘( \ y i‘R) —¿‘X,o /£
í‘a) = p‘* <■>p‘i‘a
=p‘xr\a
[Prueba como en la *5314]
[Prueba como en la *53' 14]
[Prueba como en la *5314]
La última proposición y la siguiente se usan en conexión con la inducción
matemática (*91'55 y *97'46, respectivamente).
414
SECCION A. CLASES UNITARIAS Y PARES
•5 3 1 8 h . «*(0 —*‘A) = s‘a
Dem.
K *51221. 3 h : A < a .
3 . f a - t ‘A)v/ t‘A - a .
[*5315]
3 . ¿(a — t‘A) u A = s ' a .
[*2424]
D .« ‘( a - i ‘A ) - * ‘a
f-. *51'222 . D h : A ~ e a . 3 .
a —l‘A =<a •
[•30-37]
D . í ‘( a - l ‘A) = «‘a
K ( 1 ) . ( 2) . D I-. Prop
*53181. y .s,( \ —t‘A )= i‘\
*63'2.
(1)
(2)
[Prueba como en la *53*18)
H n fl.S .l'K x p 'K a l'x
Esta proposición requiere, para que sea significativa, que k deba ser una clase de
clases. Se usa en la *88 47, en el número sobre la existencia de relaciones y el
axioma multiplicativo.
Dem.
h .*52-601 ,D h :: H p . D : . « « ( ' « :
H.( 1 ) . *40*1-11.
DKProp
3
:ae«.
. « « a : = 1 ( 30 ) . a c x . x t a
(1)
*63-21. I-: Xe 1. D . t ‘x - p ‘X= ¿‘X [Prueba similar]
Esta proposición requiere, para que sea significativa, que X sea una clase de
relaciones.
*63 22. I-. s‘i “ a = a
Dem.
. * 4 0 1 1 . D h s x e » ‘i u a . = . ( 3 7 ) . 7 « t“ a . * í y .
[*37‘6 4 .* 5 ri2 ]
= . (ay) . y t a .* * t ‘y .
[*51-15]
= .(3 y ) .y ta .* « - y .
[*13-195]
3 . ¿ r e a : 3 I-. Prop
*63 221. f- . l“(i‘x <
j i ‘y) =» 1' 1'x u t 'l ‘y
Dem.
f-. *37’1 . D
[*51*131]
[*51-235]
[*51*232]
*63 222.
I - : *
=
at
t“ a . D . a
u l 'y ) . = : ( a * ) . z e (i*x u t ‘y ) . a t z s
3 s (3 *). z e (i‘x u i ‘y) ,a —l‘z :
s : a = t‘a :.v .? « = i‘y :
= : a ( (tV® u í V y ) D K. Prop
—
1“
«
Dem.
h . *13-12. *20 2 . D y : H p . D . X“K = 7 “ i“ a
[•51*511.*14*21.*37 ”67]
=»5 {(ay)«y f a . jj = t Vy}
[*51-511]
£*.13195]
=a¡(3y ) .y ía .* - y ]
- a O I - . Prop
*53 23.
h : * C 1 . D. s‘k = 'Í“k
415
PARTE II. PROLEGOMENOS AL CARDINAL ARITMETICO
Dem.
1-. *52-31. D 1-: H p .
( g a ) . * = i “a
1-. *53*22 . 3 1 - : * = t“ a . 3 . s' k = a
( 1 )
[*53-222]
.«*'
= i“ *
h . (1). (2). *10-11-23 . 3 y . Prop
*53 231.
Dem.
l - : . «
e
a
. 3
I
. x
= y: =
: a
=
A
.
v
.
a
(2)
= t‘y
1-. *51‘141. 3 1 - g I a : xe a . 3 * . x = y : = : a = t ‘y
1-. *10-5 3 . 3 1- : . ~ g ! a . 3 : x e a . 3 X . x = y :.
[*4'71]
3 1- : . ~ g ! e : x E a . 3 „ . x = y : = . ~ g ! a .
[*24'51]
= .a= A
h . ( I ) . (2). *4'42'39. D h . Prop
•6324.
h
s ‘k *
O)
(2)
A . = : * « A n Cl s. v . * = t ‘A
Dem.
y . *2415 . *40-11 . D
I-:.« '* = A . = : ( x ) ( ( g a ) . a e * . x e a j :
[*10'51]
= : (x, a) : x e a . D . a ~ E * :
[*11 2.*1023] = : (gx) . l e o . D . . d rv £ te J
[*24-54]
= :a4=A.D«.a~E*:
[Trnnsp]
[*53 231]
= :o E /f.D . .a-=A:
= : k = A n Cls. v . * = t*A
D I- . Prop
En la enunciación y en la última línea de la prueba de la última proposición,
escribimos “te = A n Cls” mejor que “ k = A” porque esta A debe ser del tipo
inmediatamente superior al de A en “ k = i‘A” .
La proposición siguiente se usa en la teoría de selecciones (*83'73).
*53*26. I " n s*\ = A . D : * n X = A n C ls. v . k n X « t ‘A
Dem.
(-.*40181 . D I - : . H p . D : s ,( * n A . ) = A :
[*53 24]
) : * n X - A n Cls . « . « n X = t‘A D I-. Prop
*53-3.
I-: E ! R ‘x . = ,~R‘x e 1
Dem.
E. *30‘2 . D h
E ! R ‘x . = : ( g 6): y R x .
. y = 6:
[*3218.*5115]
= : (g 6 ) : y e R*x.
[*2031]
= : (g 6 ). A ‘x ■=t ‘6 :
. y e t‘b :
[*ó2‘l]‘
= : A ‘x e 1 D h . Prop
Esta última proposición se usa muy frecuentemente.
*63301. K A“ t ‘x = A ‘x
Dem.
416
h . * 3 7 1 . * 5 1 1 5 . DI-: y t R “ i‘x . s . ( g s ) . * = x . y R e .
SECCION A. CLASES UNITARIAS Y PARES
[#13-195]
s .y R x .
[*32-18]
= . y e R ' x : 3 h . Prop
«63 302. h . R “(i‘x w i‘y) -~ R 'x v~R'y
[*37 2 2 . *53 301]
Esta proposición se usa en la fundamental teoría de la exponenciación
(*11671).
*63-31.
I-: E ! R ‘x . 3 . R “ t‘x = i'R 'x = R 'x
Esta proposición es una de las de uso más frecuente en lo que sigue.
Dem.
I- .*51-11 . * 1 4 1 8 . 3 I-: H p . 3 . i‘R ‘x>=P(y = R ‘x)
[*304]
= $ (y R x )
[*3213]
l - . ( l ) . *53-301.
*63-32.
^ R 'x
( 1)
3 h . Prop
I-: E ! R 'x . E I R ‘y . 3 . R“(i'x o i'y) = i'R'x w i'R'y
Dem.
h . *37*22 . D E . R " ( i'x u t‘y) - R “i ‘x v R " i'y
h . (1) . *53 3 1 . 3 1 - . Prop
*63 33.
1 - .
*5334.
I-. s " ( i ' k u i‘\ ) =
*63 35.
1 - .
s “ i ‘k
=
[*
i ‘s ‘ k
s ‘s “ ( i ‘ k
u
i
(1)
53-31 ~
i 's' k
‘ X ) =
u i's'X
s ‘k <
j s 'X
=
[*53-32¿
s '( k u
X)
Dem.
h . *53"34. 3 V . 8‘s “ ( i ‘ k
[*5311]
[*40171]
u
t'X) = 8‘( i ‘s ‘ k u i's'X)
= s‘k <
j s ‘X
= s‘( « u \ ) . 3 l - . P rop
La última proposición también puede probarse así:
I-. * 4 2 1 . 3 h .« V ‘(íV u i'X) = s‘s'(t'tc u i.'x)
[*53'11]
= i'(* v l)
[*40"171]
= s'x u s‘\ . 3 I-. Prop
*53-4. h x = R 'y . = . R ‘y t i . x t R 'y . = . i'x = R ‘y . = . x = i ' R' y
Dem.
h . *14-21 . *4’71 . D h * = R ' y = . E ! R ' y . x -■ R ' y .
[*304.*5-32]
= . E !R 'y. xRy.
[*53-3.*32 18]
[*52-6.*5-32]
= . R'y e l . x e R ' y .
[*52-22]
[*51-51]
= . l ‘x = R 'y .
( 2)
s . * —(' R' y
(3)
I-. (1) . (2) . (3 ).
0)
= . R 'y e 1 . l'x =>R ' y .
3 I-. Prop
417
PARTE II PROLEGOMENOS AL CARDINAL ARITMETICO
*63'6. h : g ! a . = . a e Cls —t‘A
Dem.
I- . *20-41 . 3 h : g ! i (fa ) . = . í (<f>z) e Cls . g 12 (^*) •
[*24'54]
= . 2 (<jiz) e CU . 2 (<f>z) =(=A .
[*51'3]
= • t (0í ) e Cls —t‘A : 3 1-. Prop
En la última prueba, así como donde usualmente se presentan “Cls” u otro tipo
de símbolos, es preciso abandonar la notación con letras griegas y volver a la
notación explícita.
*53-61.
*53 62
I-: á ! R • a . R e Reí - t‘A [Prueba como en la *53'5]
h : í e i t , g ! a . E . a f * - l'A
Dem.
*6353.
I-. *2454 . 3 h : a « * . g ! a . = . a é * . a + A .
[*51'3]
= . a e k — t‘A : 3 I-. Prop
y i R e \ . ^ l R . s . R e \ - t ‘A [Prueba como en la *53 52]
Las proposiciones siguientes se incluyen aquí debido a su conexión con la
definición de a -* 0 en el *70. R uQlR y R UV son clases importantes.
*636.
I-: it =Á . 3 ! a . 3 • ü “ a = t‘A . R“* = t‘A
Dem.
I-. *3315 241 . *2413.31-: Hp . 3 . R‘x = A
I-. ( 1) . *37-7 . 3 I-: H p . 3 . R“a = ¡8 {(g«). x * « . 0 = A)
[*10-35]
= /§ [a 1 o . 0 « A}
[*4-73]
= 0 ( 0 = A)
[*51-11]
“ ‘‘A
Similarly
I": Hp . 3 . R“ a = t‘A
h . (2) . (3). 3 h . Prop
*63 601. h : a ! a . a n d*0 = A . 3 . R“ a = t‘A
(1)
( 2)
(3)
Dem.
1-. *3341.
3 1-: Hp .*« a . 3 . R‘x= A
I- . ( 1) . *37-7.3 1-: Hp . 3 . it“ a = 0 ((a*) . * e a . 0 - A)
[*10-35]
= 3 { a * « - £ = A}
[*4-73.*51U]
- t‘A : 3 I-. Prop
*63602. 1-: a I o . a r> D‘JZ= A . 3 . iE“‘a = t‘A [Prueba como en la *53 601]
( 1)
*63 603. 1-: a 1 - tí' R . 3 . jR“( - d ‘fi) = i ‘A [*24 21. *53 601]
*63 604. (-: a I —D‘i J . 3
D‘ií) - 1‘A [*24 21. *53 602]
*63 61. h : d ‘lí C ot. d ‘/í 4 «• 3 • « “ « - K“ d ‘/Í w t‘A
Dem.
I-.*22-92.
418
3 t-:H p . 3 . a - d ‘R u ( o - d ‘R)
( 1)
SECCION A. CLASES UNITARIAS Y PARES
I-. * 2 4 6 ..
3 1-: H p. 3 . g !« —(T il.
[*24-21.#53-601]
3 . f í “ (a -< I‘.fi) = <‘A
P . ( 1 ). *37-22. D h : Hp. D. R“a - « " ( P B u B“ (« - CPB)
[(2)]
(2)
= B“ C PB ui‘A :3 l-.P ro p
*63611. h : D‘R C a . D‘R + a . 3 . R“a = *R“T)‘R u t*A [Prueba como en la *53'61 ]
*63 612. h : (PB * V . 3 . B“ V - B“ CPB w t‘A
[*53 01 . #2411]
*63613. h :D ‘B + V . 3 .B “ V = B"D‘But«A
[*53611 .#2411]
*53 614. h . B*‘CPB <=R“V - i‘A
Dem.
h . *53-612. *22-68. #24 21. 3
h : a * ií + V . 3 . B “ V - i‘A . R “<1‘R - i‘A
C1)
t- . *22-481.3 t- s 0 ‘R = V . 3 . B “ V - t ‘A - R “d ‘R - i ‘A
(2)
I-. *37-772. *51 36 . *22 6 2 1 . 3 1 - . B “ d ‘B _ t«A = R “Q‘R
. (1 ). (2) . (3 ). D h . Prop
(3)
*63 615. h . B“ D‘B = B“ V - i‘A
[Prueba como en la *53 614]
Las dos siguientes proposiciones se usan en la *70'12.
#6362.
l-:B “ a ,Ü C 7 . = .J?“ V C 7v/t‘A
Dem.
h . *53*614. 3 H: B“ Q‘B C 7 . = . JF‘V —
[*24-43]
c y.
= . R“ V C 7 u t«A : 3 i-. Prop
•53-621. 1-: R“ D‘R C y . = . R“V C 7 v t*A
[Prueba como én la *53'62]
*6363. t-: CPfi + V . 3 . D‘B = R“d ‘R u i*A [*37-78. *53 612]
*63631. h :D ‘B * V .3 . D ‘B = B "D ‘B « P A [*37-781 .*53-613]
*63 64. h : CPU - V . 3 . D‘B = B“ CPB
[*37-78]
*63-641. P :D ‘B = V .3k.D?fi= K “ D‘B
[*37-781]
419
*54. PARES CARDINALES
Sumario del *54.
Los pares son de dos tipos, a saber 1) i‘r U Cy, en el cual no existe un orden
entre la x y la y , y 2) Cx t Cy, en el que hay un orden. Podemos diferenciar entre
estos dos tipos de pares como cardinales y ordinales, respectivamente, ya que (como
se verá más adelante) la clase de todos los pares de la forma Cx U Cy (en donde
x -£y) es el número cardinal 2, mientras que la clase de todos ios pares de la forma
Cx t Cy (en donde x =£y) es el número ordinal 2, al que, con objeto de distinguirlo,
le asignamos el símbolo “ 2r” , en donde el sufijo “r” significa “ relacionar, dado
que el ordinal 2 es una clase de relaciones. En éste y en los siguientes números,
definiremos el 2 y el 2r como las clases de pares cardinales y ordinales, respectiva­
mente, dejando para más adelante el mostrar que 2 y 2r, tal como se definieron son,
respectivamente, un número cardinal y ordinal. A un par ordinal también se le
llamará par ordenado o bien par con un sentido. Así, pues, un par con un sentido es
un par del cual uno viene primero y el otro segundo.
Introducimos aquí el número cardinal 0, definido como t‘A. Que el 0 así
definido sea un número cardinal se probará en una etapa posterior; por el momento,
posponemos la prueba de que el 0 así definido goza de las propiedades aritméticas
del cero.
Los pares cardinales son mucho menos importantes, aún en la aritmética cardi­
nal, que los pares ordinales, que se considerarán en los números siguientes (*55 y
*56). Es preciso, sin embargo, probar algunas de las propiedades de los pares
cardinales, cosa que se hará en este número. Algunas propiedades de los pares
cardinales que ya han sido probados se repiten aquí por conveniencia de la
referencia. Las definiciones del 0 y del 2 son:
*6401. ü = i‘A
*54 02.
2 = 5 ((ga;, y ) . ;r
Df
y • ot ■=i‘x v t*y)
Df
Muchas de las proposiciones de este número, excepto aquellas que únicamente
incorporan las definiciones (* 5 4 T 1 0 r i0 2 ) se usan muy pocas veces. Entre las más
importantes están las que vienen a continuación
*64'26. h : i ‘¡cut‘y « 2 . = . i + y
*643. h .2 = a [(a a ).* « a .a —Cxt 1}
*54 4. I - / 8 C i‘x v i‘y . = : ¿8= A . v . >9= t‘ir. v . /9 = t‘y . v . S = t‘* u i‘y
*54'53. h : a « 2 . y * a . * + y . D . o = t4®w t‘y
*6456. V : n ~«0 u lw 2 . = • (ax>y>*) • *• y*•*<« . * + y •
420
y+í
SECCION A. CLASES UNITARIAS Y PARES
*5402.
2 =«á {(a®, y) . ®4=y . a = t‘a: u í‘y)
Df
*541.
b . 0 = t‘A
[(*54-01)]
>
O
II
Df
*5401.
*54101. b : a e 2 . = . (a* ,y )• ¡c+y • «=* t‘« o t‘y [(*5402)]
[*54-1]
*54102. b : aeO. = . a = A
Las dos proposiciones siguientes ya aparecieron en el *51, pero se repiten aquí
porque pertenecen al objeto de este número.
*54'21.
h i l 'í U l 'y s l 'u u i ^ .s .y s í
[*51-41]
*54-22.
h : . t ‘í u ( ‘y = i‘í u i < » . = : ( c = í . y = i(i1 y ia¡ = il, . y = , [*51-43]
*54 25.
b : l ‘x
v i ‘y e 1 . = . x *=y
Dem.
(- .*52 -4 6 1. *22-58. 3 I-: t‘x v i ‘y <=1 . D . t«* „ t«y =
[*20 23]
3 . i ‘* = (‘y
b .*22 56. 3 b : t‘®= i ‘y . 3 . (‘®v/ t‘y =
.
[*52 22]
3 . 1 ' í u i ‘y e 1
. t«®„
L<y
y‘
( 1)
( 2)
t- .( 1 ) . (2). 3 h : t‘a: w t‘y e 1 . = . i 1®= t‘y .
[*51*23]
= . # = y ¡ 3 b . Prop
*54'26.
b : l ‘x w t‘y e 2 . = . x + y
Dem.
b .* 5 4 '1 0 1 . 3 b :: í ‘* u l‘y e 2 .
s :. (a*, w ). * =j=«/.
[*54-22]
„ t <y =
y
t,w
= : . ( a í . w ) : r * w : ir != * .y = M. V í .t = 1(, >y = í .
[*4-4.*ll-41] = :.( a í|U, ) . í + « ,.* = í .y = WíV>(
[*13-22]
[*1316]
*54 27.
*54 271.
) i + "
= : . ®=]=y . v . y + * : ,
s r .jc ^ y :: 3 b . Prop
" =*w «
•y***:
l ‘x u t‘y e 1 u 2 [*542526]
b . 1 v 2 = « ¡(g®, y ) . a = t‘* v í ‘yj
b.
Dem.
b . *4-42 .3
b : . a - (‘* o t< y . = : * = y ia = t«*u t «yi V . I +
b . ( 1 ) . *11 11-341 -41. D b :. ( a « ,y ) . a -
t'x u t«y .
=t
*
s:f3® ,y).® = y . a = t«®u t «y . v>(
( 1)
[*13195]
= : ( a * ) .« = t ‘* u t <*. v . (a®, y ) . , + y V . . h ’ * * •** V l ‘y
[.22-56]
S : ( g .) . - -= .*• • v . (a®, y ) . . + y . . i , . v .* w ''* »
[*52-l.*54'101]= : oe 1. v . ae 2 :
‘
[*22-34]
s : « í l u 2 :.3 b .P r o p
*543.
b .2 —a ((a ® ).® ía .« — t‘®e l j
Dem.
421
PARTE IL PROLEGOMENOS AL CARDINAL ARITMETICO
h. *521. *10-35. 3
h : (g*). x € a . a - t ‘x c 1 . = . (a®. y) . * t a . a - i''x - t'y .
^*5122
= . (a®, y ) . t'x a t‘y = A .í ‘i u i ‘y = «-
[*5r231.*54101]
= . a * 2: 3 h . Prop
*54-4. K:./8Ct‘x v t ‘y . = : 0 = A . v . £ = t‘x .v ./8 .» t‘y .v ./ 9 = i ‘x v t ‘y
Detn.
t-.*51'2. 3 I-:x,y e # . 3 . t'x u t'y C £ :
[Fact]
3 I- s/9C t'x w t'y . x,y e/3.3 . /9 C t'x u t 'y . t'x w t'y C 0 .
( 1)
[¥22 41]
3 . 0 - t ‘x y t'y
h .¥51*25.3 h :./9C t'x u t'y . y~«/3.3 :/8 C (‘a :
( 2)
[¥51401]
3 : /S= A . v . /8=■t'x
(3)
Similarmente H:./3C t'x wt'y .x ~ e / 8 . 3 í/3 = A . v .# = t'y
h . (2). (3). ¥3 4 8 .3
<*)
I-:. /9 C t'x v t 'y . ~ (x, y í £ ). 3 : /8= A . v . /8= t'x . v . /S = t'y
K (l).(4 ).¥ 3 4 * 8 .3
(5)
I-/ 8 C t'a u t 'y . 3 : /5 «=A . v . /9 = t'x . v . fi = t'y . v . $ = t'a: <Jt'y
I-. ¥2412 . ¥22 58-42.3
( 6)
I - / 3 «• A . v . /8*=t'x . v . /? = t'y . v . @= t'x v t'y : 3 . /9 C t'a:« t'y
I" • (5). ( 6). 3 h . Prop
Esta proposición muestra que una clase contenida en un par o es una clase nula,
o la clase unitaria, o el par mismo; de lo cual resulta que el 0 y el 1 son los únicos
números que son menores que 2.
¥5441. ( - :: a c 2 .3 : ./8 C a .3 : /9 = A .v ./ 9 f l .v ./9 t 2
h . ¥52*1 . 3 V /9 = t 'x . v . /3 —t 'y : 3 . /8 e 1
I-.¥04-26. 3 1-:. x + y . 3 : /8 = t'x u t 'y . 3 . /3 « 2
K ( l) .( 2 ) .¥ 5 4 - 4 .3
( 1)
(S)
I-::x + y . 3 :./9C t'x u t'y .3 :¿ 8 = A .v ./} e l.v ./9 e 2 ::
[¥1312] 3 h :: a = t'a: vt t 'y . x + y . 3 ¡3 C a . 3 : 0 = A . v . /Sí 1. v . fie 2 ::
[llll-3 5 ]3
h :. (a«.y) . a ■=t'x v t 'y . x=j=y . 3 :• /8C a : /9 = A . v . /8c 1 . v . £ í 2
(3)
h . (3). ¥54-101.3 h. Prop
54411- l ! . « < 2 . 3 : j S C « . 3 . j 8 e 0 u l o 2
[¥5441102]
¥5442. h : : a c 2 . 3 : . / 8 C a . a ! / 9 . / 3 4 * * = */S< t“ a
Detn.
h . ¥54’4 . 3 h :: a = t'x u t 'y . 3 :.
/8Ca.al/9. = s# = A.v./3<»t‘x.v./9'»t‘y . v . £ = « : 3 l ^ !
[¥24*53'56.¥51*161]
422
= :/9 = t‘x . v . / 8 » t ‘y . v ./8 = o
^
SECCION A. CLASES UNITARIAS Y I’A RES
I-. *54 25 . T ransp. *52'22 . 3 I-: x 4=y . 3 . i'x o i'y + i ‘x . t ‘x v t‘y í‘y :
[*13‘12]
3 I-: a = l ‘x v i‘y ..r + y ■3 • « + l‘x • « + r‘y
V .(1) . (2 ). 3 I-:: a = t‘x u i‘y . x ^ y . 3
/ 8 C a . a ! / 9 ./ 9 + a . = :/3 = t‘x .v ./S = t‘y :
[*51'235]
= : ( g í ) . i e a . / 9 = l‘í :
[*37-6]
= :@ € i“a
h . (3 ). *11-11-35. *54101 . 3 h . Prop
*6443. h :.a ,f á f e l.3 :a i" i/9 = A . = . a u / 3 í 2
Dem.
h .* 5 4 2 6 . 3 l - : . a = l‘; r ./ 8 = l ‘y . 3 : a o / 9 e 2 .
[*51-231]
[*1312]
h . (1>. * 1 1 1 1 -3 5 .3
•~(r& x,y) .a = t‘x . i ‘y . 3 ■.: a u / 9 c 2 .
(-.(2 ).* 1 1 -5 4 .* 5 2 1 .3 1 -. Prop
(2)
(3)
= .ír=]=y.
= . l ‘x n t ‘y = A .
= . a a Q= A
(1)
= .ar>/3 = A
(2)
A partir de esta proposición resulta, cuando se haya definido la suma aritmética,
que 1 + 1 = 2.
*54'44. b z,w e i‘x v
. <fi (x,y).<f>(y,x). <f>{y, y)
Dem.
h . *51-234 . #11 *62 . 3 t-:. z,w e l ‘x u l‘y . 3 ,iW. <f>(z, w ) : = :
z e t‘x u i‘y . 3 , . <f>(z, x ) . £ (z, y ) :
[*51-234.*10'29] = :<js(x,x).<f> (x, y ) . <j>(y, x ) . <f>(y, y ) :. 3 I-. Prop
*54441. h :: z , vj e l ‘x <J t‘y . z ^ w .O t¡u.<p(z,lv): = :.x = y:y:< f> (x,y).^>(y,x)
Deni.
I- .* 5 '6 . 3 1-:: z, we i‘x >j l ' y . z \ w . 3 IiW. <f>(z, w) : = :.
z ,w e l‘x v l ‘y . 3 ,iW: z =» ui. v . <f>(z, vj)
[*5444]
= : x = x . v . <j>(x, x ) : x -> y . v . $ (x, y ) :
y = x . v . tf>(y,x): y —y . v . <f>(y, y ) :
[*13‘15]
= : x = y . v . <f>(x, y ) : y —x . v . <j>(y, x ) :
[*13-16.*4’41] = : x = y . v . <£(x, y ) . (y, x)
Esta proposición se usa en la *163 42, en la teoría de relaciones de relaciones
mutuamente exclusivas.
*54442. I-:: * + y . 3 : . i, toe t‘x u t‘y . *+ w . 3 ,,* . <£(*, ta) : = . <f>(x,y) .<f>(y,x)
[*54-441]
*54443. I- y.x ^ y uf>(x,y) . = . <f>(y,x):0i.
z,w e l ‘x u l‘y . z jp w . 3*,». <f>(*,«’): = . <f>{x,y) [*54442]
I-: . ( g t, w ).z ,u ie i‘x u i ‘y.<f> (z,w ) .
= :<f>(x¡x).v.<l>(x,y).'i.<t>(y,x).v.<t>(y, y) [*51235]
*64-451. I-:: ~ <fi(x ,x ) . ~ <f>(y ,y ). 3 :.(a *,w ) .z ,w e i‘x \j i‘y.<f>(z,w ).
*54'45.
= : «M*. y) • v . <My,* )
[*5445]
423
PARTE II. PROLEGOMENOS AL CARDINAL ARITMETICO
*64 452. h :: ~ <f>(<r, ¡r). ~ (y, y ) : <¡>(¿r, y ). = . <f>(y, x ) : 3 :
(32, tu) . í, w e í‘<r l‘y . <f>(z,w). = . <¡>(x, y) [*54'451]
*6446 P : (3 *, w ).z, we l‘x u i‘y . z ^ t u . = . x ^ y [*54'452. *13-15‘16]
*54'6.
I - a * 2 . 3 : a C i‘z w i‘w . =. a = t‘« <
j i ‘w
Dem.
P . *54-4. 3
h : . a C l ‘i u t‘w . 3 : a —A . v . a =
. v . a = i‘«i. v . a = t‘z <■>l'tu
P . *54'3 . *24'54.
3 P : H p . 3 . a 4=A
(2)
3 P : H p . 3 . a + i‘z
(3)
3 I-: H p . 3 . a =4i‘w
(4)
h . *5426
l-.(3)
¡c,y
*1315.
P . (1). (2). (3). (4). *2-53. 3 I - H p . 3 : o C i‘z v i*w . D . a » i ' < w t ' w
I-. *22-42 .
DI- :a = l‘z v i‘w . 3 . í C i ‘í u i‘tu
P .(5). (6). 3 t-. Prop
*6451. P :. a í 2 . / 9 e l ' - > 2 . 3 : a C £ . a . a = /8
Dem.
P . *54-5. 3 P : . a f 2./8 = i‘¿<Jt‘w . 3 : a C / 9 . s . a = i8
l - . ( l ) . *11 11-35-45.3
P a e 2 : (a*, w ). /8—i‘* « t‘w : D : a C /8 . h . a « 3
I-. (2) . *54-271 . 3 P . Prop
*6462.
P:. a , / 9 « 2 . 3 : a C / 8 . = . a = /9. = ./8 Ca
(1)
(5)
( 6)
( 1)
( 2)
[*5451]
*6463. P : a « 2 . ¿r, ye a , x $ y
. a = t‘x\J l‘y
Dem.
P.*51-2.
3 P : H p . 3 . i‘*C a . t‘y C a .
[*22-59]
3 . i‘x u t ‘y C a
P . *54-26 .
3 P : H p . 3 . l‘x <
j l‘y e 2
P. ( 1) . ( 2) . *54-52.3 P. Prop
*64’631. P :. a « 2 . 3 : x,y ea . x ^ y . = . a = l‘x u l‘y
Dem.
P . *54-53. Exp. 3 P a e 2 . 3
: x ,y e a . x ^ y . 3 . a = l‘x <J l‘y
P . *54-26 .
3 P:. a e 2 . 3 : a = i‘x u i*y. 3 . * =(=y
P. *51-16.
3 P: a = i‘x v
l‘y . 3 . x ,y e a
P . (2) . (3).
3 P:. ae 2 . 3 : a = i‘x u i ‘y . 3 . x, y t a . x ^ y
P . (1 ). (4 ).
3 P . Prop
( 1)
(2)
(1)
2
( )
(3)
(4)
*5464. P :. a e 2 . = : ¿r, y ea .x Jpy. 3 z>y. a = i‘x u i‘y : (a*, y ) . x, y e a . x 4=y
Dem.
P . *54*531. *11*11-3 . 3 P :. a í 2 .3 : x , y e a . *4* y • ^*>v •a “ l‘x u *‘y
P .*51*16 .*54*101 . 3 P : ae 2 . 3 . (a®, y) .a:, y e a . ¡r + y
P . *5*3. *3*27 .
3P:.a¡,yía.a!^=y.3.a = t‘a u ( ‘y : 3 :
x . y e a . x ^ y . O .x=Yy. a = l‘x u t‘y :.
424
(1)
(2 )
SECCION A. CLASES UNITARIAS Y PARES
[*11-11-32-34]
D E t.x .y e a .x + y . DIiV .« = t ' * u t ‘y : D :
(gar, y ) .x ,y e a .x 4 = y .D . (a®, y ) . x + y . a - t ‘x w l‘y
I- .( 3 ) . Im p . *54-101 . D E : . x , y í a . x = f y . D *,,. a = t*x w t‘y :
(3)
(3 x , y ) - x , y e « . x ^ y : 3 . a e 2
(4)
E . ( l) . ( 2 ) . ( 4 ) .
D K P ro p
En la última proposición, “x . y e a . x ¥=y . Dx ,y ■<* = i'x U Cy” asegura que a
no tiene más que dos miembros, mientras que “(Hx, y ) . x, y e a . x # y ” asegura
que a no tiene menos que dos miembros.
«5465.
E . 0 u 1 v 2 = fi (x,y e a .x + y . D,tV. « »= t‘x v>t ‘y)
Dem.
1- . *4'42 . D E :: x ,y « a . x ^ y . D*,,,. a = t ‘x l ‘y : h :.
x, y e a . x + y . D,,, . a = t‘x w í‘y : ~ (a®, y ) . x, y e a . x 4 y
v :.x ,y e a .x=|=y . D ^ . a ^ 'x w l‘y :(g a ;,y ).x ,y e a .x + y
E.«11’63.D 1 - ~ (g x ,y ) • ^,yeo . x + y . D : x,yea . x + y . DIiV. a = 1‘i u i ‘y
[«471] D I- :.x ,y ea .x=J=y. DX,K. a « t ' i u t‘y : ~ ( a * ,y ) . <r.y f a . x =fy : = :
(1)
~ (gx, y ) . x, y e a . x 4=y :
[*11*521]
s : x ,y e a . DIj„ . x = y :
[»52'4]
= :« e O « l
E . ( l) . (2 ). * 5 4 5 4 .3
1- x, y « a . x y • 3x,y • a = i‘* u l ‘y : = : a 1 0 v 1 . v . a e 2 :
[*22-34]
= : a c 0 u 1 u 2 :. D E . Prop
«5456. h :a ~ e O w l u 2 . = .(a # , y , x ) . x , y , t e a . x ^ y . x ^ e . y ^ z
/gv
Dem.
E .*54-53 .« 1 1 -5 2 .3
h . a ~ e 0 u l u 2 . = : (a#, y ) . x, y e a . x y . a + t ‘« u t‘y :
l«51-2.*22-59]
= : (ax, y ) . t‘x u í‘y C a . x + y . a + t ‘x o t ‘y :
[»24-6]
[«51 -232.Tra.nsp]
[*51-2.*22-59]
= : ( a x ,y ). t ‘x u t ‘y C a .x 4 = y - a !
u t‘y ):
= : (a*, y ) : t ‘x o r‘y C a . x 4 y : (a*) . « e a . í + x . í + y :
= : (g x .y .x) . x , y , z t a . x ^ y . x ^ z . y ^ z i . ^ V . Prop
En virtud de esta proposición, una clase que ni es nula, ni una clase unitaria, ni
un par, contiene por lo menos tres miembros distintos. Por lo tanto, resulta que un
número cardinal distinto del 0, 1, ó 2, es igual o mayor que tres. La última
proposición se usa en la *104 43, que es un teorema de existencia de considerable
importancia en la aritmética cardinal.
*64'6.
h : . « n ( 8 « A . « , * ( « . y , y 'í / 5 . 3 :
Dem'
t‘x <j l ‘y = t‘x' u i‘y' . = . x = x '. y = y'
E .* 5 T 2 . 3 E :. H p . 3 : i ‘x C a . i‘x' C a . t‘y C £ . t ‘y 'C /9 . B n /9 = A :
[*24-48]
[*51-23]
3 : t ‘x o t‘y ■ =i ‘x' v i ‘y '. = . t'x = t‘x '. t ‘y = r 'y '.
= ,x = x '.y = y ':. 3 E . Prop
La última proposición es útil tratándose de conjuntos de pares formados por un
miembro de una clase a y otro miembro de una clase 0, en donde a y (3 no tienen
miembros en común. Se usa en la teoría de la multiplicación cardinal (*113148).
425
*55. PARES ORDINALES
Sumario del *55.
Los pares ordinales, que ahora se consideran, son mucho más importantes, aún
en aritmética cardinal, que los pares cardinales. Sus propiedades son en parte
análogas a los de los pares cardinales, pero, en parte también, a las de las clases
unitarias; pues ellas son las relaciones existentes más pequeñas, del mismo modo
que las clases unitarias son las clases existentes más pequeñas. Las propiedades que
son análogas a las de las clases unitarias no exige que los dos términos del par deban
ser diferentes, es decir, son válidas para i'x t Cx así como para i'x t Cy (donde
x J=y)\ por otra parte, las propiedades que son análogas a las de los pares cardinales
exigen, en general, que los dos términos del par ordinal deban ser distintos.
La notación i‘jc t Cy es engorrosa y no nos proporciona una ayuda fácil para
mostrar al par como una función descriptiva de x para el argumento y , o viceversa.
Por tanto, introducimos un nuevo símbolo, “x
para el par. En un p a r* 4 y
llamaremos a r el relacionante del par, y a y el relacionado. En virtud de las
definiciones dadas en el *38, esto da origen a las dos relaciones x 4 y y I; por tanto,
obtenemos las notaciones x I “0, 4.y“a, a
a 4 “ 0 y así sucesivamente, las cuales
se usarán mucho en lo que sigue. Debe observarse que x I “0 significa la clase de
pares en los que x es el relacionante y un miembro de 0 es el relacionado, mientras
que 4 y"a o a i y simboliza la clase de pares que tiene y como relacionado y a un
miembro de a como relacionante; a I “ 0 representa a todas las clases de pares del
tipo como i jy“a , en donde y es un miembro cualquiera de 0; y en virtud del *40' 7,
s'a I “0 simboliza a todos los pares ordinales de los cuales el relacionante es un
miembro de a, mientras que el relacionado es un miembro de 0. Esta es una clase
muy importante, que se usará para definir el producto de dos números cardinales;
pues es evidente que el número de miembros de s'a 4 “0 es el producto del número
de miembros de a y el número de miembros de 0.
Las pocas proposiciones que vienen a continuación son consecuencias inmediatas
de la definición de x i y y de las notaciones introducidas en el *38. Entonces
llegábamos a varias propiedades elementales de la relación x 4 y , de las que las más
empleadas son las siguientes:
*5613.
I-: t ( x \ ,y ) w . = . * = <r. w = y
*5515. 4. D‘(a: 4 y) = i‘x . (I‘(íc4 y) = t‘y . C‘(x 4 y) = t‘x v i‘y
*5516.
l-:D ‘fi = í‘* . a ‘ü = tíy . = . f i = ir4y
*55202. l- : « 4 y = *i*v* = * * = * - y = «'. = .y4íB = w 4 *
426
SECCION A. CLASES UNITARIAS Y PARES
Esta proposición debe contrastarse con la *54 22 para dar una razón del por qué
los pares ordinales son más útiles en aritmética que los pares cardinales. En virtud
de la proposición anterior, cuando dos pares ordinales son idénticos, sus relacionan­
tes son idénticos, y sus relacionados son idénticos.
A continuación nos ocupamos de varias propiedades de las relaciones x 4 y I x.
Estas proposiciones juegan un importante papel en aritmética. Se observará que si
dos términos tienen la relación x -1, el relacionante es un par cuyo relacionado es el
relacionado en la relación* 4, es decir, cuando tenemos/? {x 4).y, tenemos R = x í y
(cf. *55-122). Observaciones semejantes son aplicables a la relación 4 y . La clase
4 y“a , que está constituida por todos los pares cuyo relacionante es un miembro de
a, mientras que el relacionado es*, es importante. Tenemos
*55 232. h : g ! 4 x“ a n | y“ /9 . = . i = y . g ! « n ^
Esta proposición es frecuentemente útil.
A continuación (* 5 5 '3 -'5 1 ) procedemos a dar varias propiedades de x 4.y que
son análogas a las propiedades de la clase unitaria. Entre las más importantes de
estas propiedades están las siguientes:
*55'3.
i- ixR y . = .® 4y G /?• s . g !(*4 y ) * R
Esta es la análoga de la *51 31.
*5534.
( - : g ! / Z . / i G a : 4 y * = - J^ = JÍ4 y
Esta es la análoga de la *51'4.
*55'5.
I-:. R C x ^ y v i z ^ w . s z
R = h . v . R = x \ r y . y i . B . * i z ^ w . v . R = * x \ 'y \ 3 z ^ v )
Esta es la análoga de la *54‘4.
Ahora proseguimos con aquellas propiedades de los pares ordinales que no son
análogas a las de las clases unitarias. A fin de conectar el número cardinal 2 con el
número ordinal 2r, tenemos la proposición
*6554.
I- ::x + y . D
C‘R = i ‘x v i‘y . R A R*= A . = : R = x l y . v . R = * y ± x
Esta proposición muestra que las únicas relaciones asimétricas que tienen un par
cardinal dado i‘x U i'y con respecto a su campo son los correspondientes pares
ordinales * 4 y e y 4*. Tenemos a continuación un conjunto de relaciones sobre los
productos relativos de pares con otras relaciones, esto es, sobre R I (x 4 .y),
(x 4 y ) I S, y R \ (x 4 y ) | S. Estas proposiciones son muy útiles en aritmética. La
principal de ellas es
*55 61.
h : E ! R‘z . E ! 8‘w . 3 . (R || S)‘(z i «0 = (R‘*) 4 (S'w)
Finalmente, tenemos cuatro proposiciones que pertenecen, por su objeto, al *43,
pero que no pudieron darse allí debido a que las pruebas necesitan el uso de pares
ordinales.
______________________
*55-01.
x 4 y —1‘* f i‘y
Df
427
PARTE II. PROLEGOMENOS AL CARDINAL ARITMETICO
«56 02.
R ' x l y = R ‘( x l y )
Df
Esta definición sirve únicamente para evitar los paréntesis.
«551.
*5511.
*5512.
h .it4 ,y = ({‘a : ) t ( t ‘y)
[(*5501)]
I- . x ^ ‘y =» l y ‘x = x 4 y = i'x f l'y [*38'11 .*55'1]
h . E l a ^ 'y
[* 5 5 1 1 . *14*21]
*65121. h . É H y 'i r
*55122. (■: R ( x 4 ) y . = . R ■=* 4 y
[*55-11]
*55123. h :.R (,ly );r. = .;R = iE ,ly
[*5511]
*6513. Vi t ( s c ^ y ) w . = . z = x . w = y
Dem.
h . *35-103. *55‘1 . D h : z (x 4 y) w . = . * « l ‘x . w e l‘y .
[*51-15]
= . t —x . w = y : D h . Prop
*56132. h . x (x l y) y
[*5513]
*55134. I * .a ! ( * 4 y )
[*55 132]
*5514.
t - . a ¡ |y = Cnv‘y |a :
[*5513. *31131]
*5515.
h . D ‘x ¿ y = i‘x . Q ‘x 4 y = t‘y . (?x 4 y = t‘x w i *y
[*35*85-86. *51 161]
*5516.
: D‘R = i ‘x . Q ‘ií = i‘y . = . R = x 4 y
Dem.
K * 3 3 1 3 1 3 1 . * 5 1 1 5 .3>
h :: D‘ü = i‘x . d ‘R = i'y . = :.(at¿>) • z R w • = ,.z = x : (g z) . zRw . = „ .« / = y :.
[*14-122]
= (a*, w ). z R w ; (a«0 • eRw .D ¡ .z = x :
(3 W>*) ■ZR-W: (a*) • z^ w •
. w = y :.
[*ll-23.*4-71] = :.( a z,w) • z R w : ( a w ) .z R w . D, . 2= < r:(g í) . z R w .^ u . w ^ y : .
[*10'23]
= ( a * ,w ).z R w i z R w .z = x : z R w . 3 , = y
[*11*391]
= ( a e, w ) . zR w : z R w . D ,,„.z = x . w = y
[*14*123]
= :. z R w .
. z —x .w = y
[*55*13]
= z R w . =1>tc. * (<e 4 y ) w ;.
[*21’43]
s R*"X 4 y :: D I*. Prop
La última proposición es importante, y se utilizará con frecuencia.
*55161. I-. x
y = 1‘k (D ‘R = i ‘x . a ‘R = i‘y)
Dem.
h . *55 16. * 2 0 1 5 . D
y . R (D‘R = ifx . d ‘R = i‘y) = k (R = * 4 y)
[*51-11]
= t ‘(* 4 y )
I-. (1) . *51-51. D 1*. Prop
*5517.
I*. x 4 y =
*65 2
y : x l y ^ x ¿ z . = . y —z
428
r> Q 't'y )
[*55"161 . *33-6-61]
0)
SECCION A. CLASES UNITARIAS Y PARES
Deni.
h.*30-37 .*55 11 1 2 .3 l-:y = í.D .* 4 ,y = « i z
h . *30-37 .*33 121 . 3
=
Q‘a- 4 y = (l‘* •! 2 •
[*5515]
3 . i ‘y = i‘r .
(1)
[*5123]
3 .y = *
1-. (1) . (2). 3 h . Prop
(2)
*55 201. l- :® 4 í= y 4 * » = -®= y
*55202. h : . r | y = í 4 « í . = ..r = í . y = w. = . y 4 2: = «’ 4e
Dem.
h . *55-2-201.3
h :* = « .y = « ;.D .* 4 y = 2 l y - 2 i y = -* i,t'[*13-17]
D .¡r| y = «],«;
K *3037. *33 12 121.3
t':* ¿ y = 2 i “' . 3 . D‘¡r 4 y =
4 ni. (l‘<¡r4 y = CI'í 4 w .
[*55-15]
3 . i‘x = i‘t . r‘y = i‘w .
[*51-23]
3 .x * = z .y = w
h .( l) .( 2 ) .3
h :a ;ly = x;4 « '. s . j ; = í . y = «;
Similarmente
1- : y \ x = w ^ z . = .x = ‘ z.y* = iu
I- . (3) . (4) . 3 h . Prop
(1)
(2)
(3)
(4)
La última proposición es importante
*55 21. I-.<3‘s 4 = V .< 3 ‘ 4ff = V
[*33432 . *55 12 121]
*55-22 h . l)‘* 4,=R ¡(a.y). R = a i y) [*55 122]
*55 221. K D ‘ 4a: = .ff. |(ay)..R = y4<r) [*55 123]
*55 222. h : R e DVr | . = . D'ft = l‘x . <1‘R e 1
Dem.
y . *55-22 1 6 .3 I- R e D‘x 4 . = : (a y ). D‘fl = i‘x . (W í = i‘y :
[*10-35]
= : D‘R = i‘x : (a y ). d 1# - i‘y :
[*521]
= : D‘/¿ = l‘x . (I‘ü e 1 :. 3 h . Prop
*55 223. I-: R 1 1)‘ 4 x . = . d '/f = i'x . D‘i£ el [La prueba como en la *55*222]
*55 224. I-. I)‘;r 4, n D‘ 4 y = l‘(.c 4 y)
Dem.
I-. *55-222-223.3
I-: R t Wx i n D‘4,y . s . l)‘R = l‘x . (I ’R e 1 . d ‘K = l‘y . D‘R e 1 .
[*52 22.*4 71 ]
[*55‘16]
[*51 -15]
= . D ‘R = i‘x . d ‘ií = t‘y .
= . R =x l y .
= . Re l‘(x ^ y ): 3 I-. Prop
429
PARTE II. PROLEGOMENOS AL CARDINAL ARITMETICO
*55'23.
I-
" “ = & [(ay) «y*® • jR = * i y )
*«6-231. ( - .4 * “ a = J£ l ( a y ) .y e a ..R = y 4 * )
[*38*13]
[*38131]
*««'232. t- s a 14. *“ « n 4 y**/9 • = .*■■* y ■a i « « /9
Dem.
I-. *55-231 . *11-55.3
h a 1 4 * “ « n 4 y “ £ • = : (a -ft) ¡ (a*> » ) • * « « • f í = * 4 * * u , e /® * -^= w
[*13-195]
= : (a*. w ) . z t a . w t /3. 1 1 x = w l y :
[*55202]
= : (a*, w ) .ie a .u ;e /8 .® * « y .*=»«/:
,4 y :
[*13-195]
= ! (a*) •*«*« P • * = y s
[*10-35]
= : a ! ®<">)9.**»y D h . Prop
*56-233. I-: ®* y . D . 4 ®“ a n 4 y“/9 = A [*55232 . Transp]
Las dos últimas proposiciones se usan frecuentemente en aritmética.
*68 24 I-. i ‘x 4 “ ®= t'x f a
Dem.
K *4111 .3
I - * (i‘x 4 “ *) tu . = . ( a « ) . R e x 4 “ a • eRw •
[*5523]
[*13-195]
[*5513]
[*13*195]
= . (aií, y ) .y e a .ü = ®4y = .(a y ).y « a .« (® 4 y )w>
= . (ay) .y e a .* = s . u / = y .
•
= .z = x .w e a.
[*51-15.*35-103] a . z ( i ‘x \ a ) w D h . Prop
*66241. h . i * 4 “ a T
[La prueba como en la *55 24]
*65-25. I-: a I a . D . D“ * 4 “ a = i‘i‘x
Dem.
I - .*37-67.*33 12.*55 12. D
y : /9 « D“ir 4 “ ®•s • <3y) ■y «®• £ “
4 y■
[*5515]
= .(a y ).y e a ./8 = t‘¡r.
[*10-35]
= . a ! « - £ = t‘*
I-. (1 ). D I-:. H p . !>: /Se D“ ®4 “ a . = . D ^ l ‘x .
[*51'15]
m . ff e t ‘t‘ar:. D h . Prop
*65 251. h :a I a . D . a “ 4 x “ a = i,«‘* [La prueba como en la *55 25]
Esta proposición se usa en la teoría de la multiplicación cardinal (*113"142)
*65 26.
K a “ * 4 “ a = i“ a
[*5515 . *37-35]
*65 261. y . D " 4 x “a = l" a
[*5515. *37-35]
*66 262. 1-; 4 -.-“ a - 4 y“& . D . a = /i [*55-261. *53 22]
*65 27.
h . C“ 4 x “a = G“x l “ a = /S ((ay) .y e a . /S —i*x w i‘y)
*65'28. y : G‘®4 y **G‘®\ z . = .y = z. = . x l y = x l z
[*55 15. *51-23. *55-2]
*65281. h : D ‘y 4 *
430
= D ,í 4 ® . =
.y « * .
= . y 4 * = * 4 a:
[*5515]
(1)
SECCION A. CLASES UNITARIAS Y PARES
«55-282. I-: (?x 4 y = C‘x l z . = . y = z . = . x ] l y = x \ , z
[*5515-2. *54-21]
*65*283. Y : C‘y 4 * = C‘z 4 « . = .y = * . = . y 4 a: = * 4 a:
*55-29. h .a |( * 4 ) = t [*55 15. *34-42]
*55-291. h .D |(4 * ) = t [*5515.*34-42]
*65-292. I-. C|(a: 4) “ C| (4 * ) = a$(a = t‘« u i*y)
[*5515 . *34 41]
Las proposiciones siguientes, hasta la *55 51 inclusive, ofrecen las propiedades
de los pares ordinales que son análogas a las propiedades de las clases unitarias.
*55-3. I-: x R y . = . x l y G. 11. s . q \ (x l y) n R [«13-21 22 .*55 13]
La primera mitad de esta proposición es la análoga de la *51 '2; al igual que esta
proposición, proporciona un medio de reducir proposiciones a la forma de inclusio­
nes. Con respecto a la segunda mitad, compárese con la *51 '31.
*66"31.
Y i x l y * * z ^ w . s . z ( x l y)w . = . x(z l w ) y . = . x = z . y ^ w
Esta proposición es la análoga de la *51'23.
Dem.
*55 32. H :.¡ r 4 y ,!' * 4 u’ = -A’ = i: x 4 *. v . y + w
Dem.
Y . *'55-3 . D 1-: á ! x l y n z ^ w , = * x ( s ^ w ) y *
= . x = s . y *w
[*55'13]
h . (1). T ransp. D h . Prop
*55 33.
a)
(2)
>1
ü
(3
n
lil
h .*55-16 .D I - : a: 4 y = ■»4 w . = . D‘a: 4 y = t‘z . (I‘« 4 y = l'w •
[*5515]
= . l‘x = l‘z . t ‘y —l'tv .
[*51-23]
= . x —* . y *=w .
[*55-13]
= .* ( * 4 « /) y .
[(1).*1316]
h .* (ít4 y )u i
[*5513]
h . (1 ). (2). (3 ). 3 1-. Prop
(3)
(1)
1-: x R y . = . * 4 y ^ -R” * 4 V [*55'3 . *23"621]
*5534. h : á ! 2 i . 2 í G a : 4 y - s --K“ <ri y
Dem.
I-. *55*13 .D h : . ^ \ R . R<Z x l y . = : (jff.u i). z R w : z R w . D,.,,. r —a . w —y :
[*14-123]
= : z R w. =,tU. z = x . w = y¡
[*5513]
= : zR w .
. í (« 4 y ) w ^ h • Prop
*55341. Y ¡ . R C . x i y . = : R = K . v . R = x i y
Dem.
h . *4*42 .D h :. i ¿ G i 4 y , - : ^ ^ ;r4 y --^ “ - ^ 'v - ^ <^ ;r4 y - ^ 4 : A:
[*25‘54]
= :/iG « 4 y . •■^ = A . v . / Í G « 4 y - á ^ :
[*55'34]
= : f i G i 4 y . f í = A . v .i í = ir4 y !
[*2512]
= : R = A . v . R = x 4 y :. D Y . Prop
431
PARTE I!. PROLEGOMENOS AL CARDINAL ARITMETICO
*5535.
h :.R A a :,[ y = Á ./iü ¡ r ,J ,y = * iS '.a . x S y . R = S — x l y
Dem.
I-. *25 4 7 . 3
\ - i R ? \ x l y = Á ..R K ix ^ y = 8 . = .x X y G S -R = S —« ¿ y .
[*553]
a . x S y = S — ¡ r 4 y : 3 K Prop
*5536. h : x R y . = .( R - ¡ - x l y ) K i x l y = R
Dem.
h . *55 3 . 3 h : x R y . = . x l y G. R .
[*23-62]
= .x ± y v R = R.
[*2391]
= . ( R — x l y ) v x l y = R : 3 h . Prop
*55 37. l- : a : í a .y e / 9 . = .a:.],yG aj-/9
Dem.
t- .* 3 5 É103 . 3 h : : c e a . y e / 9 . H . x ( a |- £ ) y .
[*55-3]
a . x 4 y G o - f ) 9 0 l - . Prop
La siguiente proposición es la análoga de la *51 '232
*554.
V i . a [ x ^ y v z ^ w ) b . = \ a = x . b = y . v . a = z .b = w
[*55 13. *23-34]
*5541. l-::.R = a;jy> yí:,J,u> .3:. aRb . 0 a b. <f>(a,b): = . <f>(x, y ) . tf>(z, w)
Dem.
h . *55 4 .3 1 - ::. H p . 3 :: a R b . 3 a 6. <f>(a ,b ): a :.
a = ¡r. 6 = y . v . a = *. 6 = u;: 3*,t . £ (a, 6):.
[*477] = :. (a, 6):. a = x . b = y . 3 . <f>(a,b) : o = * . 6 = w . 3 . $ (a, 6):.
[*11-31] = :.(a ,b ):a = x . b = y.O.</>(a,b):. (a, 6 ): a = z . b = w . 3 . <¡>(a, b ):.
[*13'21] = :.<l>(x,y ). <j>(z,iu) ::. 3 1-. Prop
La última proposición es la análoga de la *51 '234. La siguiente proposición
(*55'42) es la análoga de la *51 '235.
*5542. l-::7 i = a :J y c /r 4 w .3 :.(g a, b ). a R b . if>(a, b ). a : <¡>(x,y). v . <¡>(z,w)
Dem.
h . * 5 5 -4 .3 1-::. H p. 3 : : (g a ,b ). aRb . <#>(«,b) . = :.
(ga, b ):. a = x . 6 = y . v . a = * . 6 = w : <¡>(a, b ):.
[*4'4] a :. (go, 6): o = x . b = y . <f>(a, b) : v : a = z . 6 = w . <f>(a, b) :.
[*1141] = :. (ga, b ). a = x .b = y . <t>(a,b). v . (ga, 6 ). a = z . b<=w. <f>(a, 6 ):.
[*13*22] =i.<¡>(x,y).v.<t>(z,w)::. 3 I-. Prop
l-:a:,[yK/*4,w; = a;¿y « /c,[d .a..r> = c.w = d . = . í , [ ,ü = c i ^
Esta proposición es la análoga de la *51*41.
*56'43.
Dem.
I-. *55*202. 3 l - : í = c . w = d . 3 . , í , J , u / = c . [ d .
[*23*551]
3.¿r,J,yoí.[M > = a : 4 y o c 4 d
I-. *23*58. 3 l - : . a : 4 y ü r , [ w = ;r.¿ y c< c 4 < ¿ .3 :
2 ^ w G a ;¿ y > y c ^ d .c ^ d G x 4 y ':,'í i ' u' :
432
(1)
SECCION A. CLASES UNITARIAS Y PARES
[*55-3-13.*23’34]3 : z = x . w = y , v . z = c . w = d: c = x . d = y . v . c = z . d = w:
[*13'16]
3 : z = x . -w=y . v . z = c . w = d : c =x . d —y . v . z = c . w = d:
[*4-41j
3 : z = x . tv—y . c = x . d = y . v . z = c .w = d :
[*13-172]
0 : z —c . w = d
(2)
h. (1). (2) .31-:a:.|yK<z,|tt/ = x4ye<c.ld. = ..z = c.t¿< = d
(3)
I-. (3 ). *55-202. 3 K Prop
#55 431. l-:.íir4yvaíi«/ = tt4 5 « 'e 4 rf.3 :
x = a. . y = b . z = c . w = d . v . x = c . y = d . z = a . w = b
Dem.
h . *55"4 . 3 1- :: Hp . =
u= x . v = y .
v . u = s . u=
w:
=«.»: u = a . v = b . v . u = c . v = d:.
[*11-1]
3 : . x = x .y = y . v . x —z . y = iv :
= : x = a . y = b . v . x = c . y=*d: .
[*13-15]
3 :.¡r = « . y = b . v . x = c . y =*d
h . *55-4 3 . 3 l - : .: r = <i.y = 6 .3 :¡r,[y c < 2 .i.ii' = a,[¿ic/z,[i< i:
[*13'17l]
3 : H p . 3 . a ], 6 va z | w = >t ^ 6 v c | d .
[*55 43]
3 ,z = c .w = d
K(2).Comro.*4-7.3t-:.Hp.3: x ~ a . y = b . 3 , x = a . y= b . z = c . iv = d
Similarmente
l-:.Hp.3:<r = c .y = d . 3 .: r = c.y = </.z = «.«> = 5
h. (1 ) .(3 ).(4 ). 3 h . Prop
(1)
(2)
(3J
(4)
*55"44. (-r.a ^ y c /z ^ u ^ a ^ ÍM y c ^ rf.
= :x = a .y = b .z = c .w = d . v . x = c . y = d . z = tt. w = b :
= : ®4, y = o i b . z l w = c l d . v . x X y = c l d . z l w = a l b
Dem.
h . *55-43.
’^ h : x = u . y = b . ' ^ . x X y v J z X w = aXbKi zX' i v:
z = c.w = d . ‘2 . t t X b v z X tv = a ^ 6 vac4 <¿:
[*3‘47.*13'17] 3 I-: ¿c= « . y = b . z = c. t v = d ,
3 .¿ r ¿ y c i 2 ,|i v = a 4 5 c « c ¿rf
Similarmente
(1)
I-: a = c . y = (<. z = « . »■= 6 .
3 .a :4 y u /z ,¿ w = « .
(2)
h . (1 ). (2 ). *55-431'202.3 1 -. Prop
La última proposición es la análoga de la *51'43
*565.
h :. R G ¡r4 y c iz ,¿ u /.
= : R = A . v . R = : r ,l ,y .v .R = z.J,tíi.v..R = :r,],yK »z.lui
Dem.
h . * 2 5 1 2 . *23-58-42.3
h:. i í = A . v . / í = a; 4y. v.W = z ^ w . v . K = ^iy v y 2 4 ',<' :
3 . ü C a: 4-y 0 * !
u . *2549 .
[*55-341]
3V -.. f í G x X y v z X w . R ñ x X y ^ h . ' ^ i R G . z X i u :
3 : R = A . v . ft = í | w
I- .*25-43 .
31-:. R G r | y e ; í ¿ « ; . 3 : / f —
(1)
(2)
433
PARTE II. PROLEGOMENOS AL CARDINAL ARITMETICO
[*55*341]
[*25*24.*23*551]
¡{
—a: ¿ y = *.¿ mi :
3:(12 — ®4y)oíc, [y = * ¿ y . v .
(R x j y) v x j y = * l y <ax j w
P . *55*3*36.3 P : 3 ! (R A * J, y ) . D . (R * J, y) 0 x i y = R
P . (3). (4). 3 P :. R G * 4 y v z | w . g I (R Ax l y) . 3 :
/Z = ¡ r l y . v . JR = a;lyci.ílHi
P. (2) .( 5) . 3 P ¿ZGa:^y«;*^,«;.3:
iZ = Á . v . / í = i c 4 y - v »-Ra,2 | w * v . / Z s = ¡ t | y a í | « /
P . ( l ) . ( 6). 3 P . Prop
(3)
(4)
(5)
(«>
La última proposición es la análoga de la *54 4
*56*51. P R
y a S . 3 : xR y . v . R Q S
Dem.
P.*55*3. 3 P : á ¡ (R Aa*,], y ). 3 . xR y
P .*25-49. 3 P : H p . ~ g ! ( i 2 A * , [ y ) . 3 . 1 2 G , S í
P .(1) .(2) . 3 P . Prop
( 1)
(2)
En lo que resta de este número, trataremos acerca de las propiedades de los pares
ordinales que no tienen análogas en las clases unitarias.
*56’52 P "(í‘‘'®u t‘y ) t ( t ‘* u r,w) = < r 4 ac / a! 4 tt io y L í c ; y| « ; [*35*82*413]
*55*521. P:a>*y. = .a;<l y G / [*55*3. *50*11]
*65-53. y-..xJf y . ^ : C tR = ,‘xK ,i‘y .R C . , / . 3 . g \ R . R G x l y v y i *
Dem.
P . *55-5. 3 P : . g ! 1 2 . 1 2 G í r ¿ y < y y ¿ í E . = :
ií = a . '4 y . v . / l = y 4 * . v . 7 Z = a;^yc(y¿ar
P. *55*15.
3 P , C‘x ^ y = i‘x u i‘y , C‘y ,[ * = t‘* w í*y
P . (2). *33 262. D P . C“(t1 1 y wy 4 *) = r‘* u t‘y
P . *55*521.
3 P :* + y . ^ , x ^ y C . J . y l x C . J .
[*23*59]
3.*¿yuy¿*G «l
P • (1) ■(2). (3). (4). (5). 3 P
* t y >3 : g ! l t . f t € í | y « / y j i . S . C j B ^ í ' í u t‘y . R Q J
P . *35*91 • 3 P : C’R = i ‘x \j i ‘y . D . 72 C (i‘* u t‘y) f (t.‘x v i ‘y ) ,
[*55*52]
3.J2Gx4#o*,[y«»y4*s'y.[y
P . *50*24.3 P : R G J . D . ~ (xRx) ■>v(y/ 2y ) .
[*55*3.Tran8p]
3.i2ña:^a;=A .iíA y^y = Á
P . (7). (8) . *25*49.3 P : C‘R ■=t‘¡r u i ‘y . R Q .J . 3 . 12 G ¡r 4 y <»y i *
P . *33*24.*51*16 1 . 3 P : C‘/2 = t‘* w t‘y . 3 . g ! 12
P • (9) .( 10) . 3 P : C‘R —i ‘k v i ,y . R < ¿ J . D . Q l R . R G . x ± y < a y ^ 3 :
P. (6).(1 1 ). 3 P. Prop
*65*54.
P ::* + y . 3
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
( 6)
(7)
(g)
(9)
( i 0)
( 11)
C*12=t‘* o t‘y .12 Al2 = A . = : R = x ^ y , v . R = y l x
Dem.
P. *50*46. *4*71.3P :12 A fl = A . = . 12 G .1.12 A j? = A
434
(1)
SECCION A. CLASES UNITARIAS Y PARES
K ( l ) . *55*53. D h : : x + y . D :. C‘R = i,x \ J i ‘y . R ñ R = K .
=i^lR.RC.xXyv>yXx.Rf\R^Ki
[*55*5*134] = : . R = t f 4 y . v . . R « * y 4 * . v . ü = a : 4 y e » y 4 « : ^ ‘’*-RasÁ
h. *55*32 .D h : . * 4 'y . D : a f 4 y ,!,y 4 ;E= A :
( 2)
3 : R = x ly .0 .R ñ R =\ i
[*55*14]
R ’* y l x . 3 . R ñ R = \
(3)
h. *55*14. *31*15*33.D t * :J l= t f4 y «> y 4 x .D .f¿ = ÍÍ.
[♦23*5]
} . R f \ R =R.
[*55*134]
y . (3 ). (4 ). *4*71. *5*71 .3
D . g ! JÍAfí
(4)
l-::* + y .3 :..R = ir.ly.v..R = y 4 * - v . / í = a;4y«»y.l*:.RA.R = Á :
s:R ^xly.v.R ^ylx
I-. (2 ). (5 ). 3 b . Prop
*55 57.
I-. R |(* 4, y) - í& t t i‘y
(5)
[*37*81. *55*1. *53*301]
*56 571. K 0 r ;y )| S - i‘*1 'S ‘y
*55-572. y . R \ ( x i y)\S=~R‘x \ S*y
[*55*571 .*37*81]
*56*573. I*. ¿í|(« 4 y)i$ = R ‘x f S*y
[.«■575 § ]
*55 58.
h : E l i í ‘* . D . ^ | ( i r 4 y ) = (ií‘ír ) |y
[*55*57 .*53*31 .*55*1]
*65 581. y : E ! S‘y . 3 . (x i y ) \ S - x i (8>y)
*55-582. I-: E ! R fx . E ! S‘y . 3 . R \( x i, y)\ 8 = ( R ‘x ) i (S‘y) [*55-58-581]
*55 583. h ^ Ü J 'a r . E l S 'y . D . B K i r l y J I S ^ Í Ü ^ K S ' y ) ^*55*582
Las proposiciones anteriores son, con frecuencia, útiles en aritmética. Su empleo
se realiza de la siguiente manera. Sean a, 0 , 7 ,6 clases de las cuales a se correlaciona
con 7 mediante la relación R, y 0 con 6 por la relación S. Entonces, si* e y .y e 5,
el par que se compone del correlato de x y del correlato de y es (R‘x ) I (S'j'); esto
es, por lo anterior, R I (jc l ^ ) | 5 , es decir, (R II5)‘(* i y). De esta manera, la
relación R II? correlaciona los pares, en a y 0, compuestos de los correlatos de los
términos en 7 y 5. La forma más útil, en la práctica, de la *55*583, es la que se da
más abajo, en la *55*61.
*55*6.
y .(R ,\8)‘(t
*55-61.
y : E ! R ‘z . E ! S‘w . 3 . ( R |!S)‘(* 1 w) = (R ‘z) | (S'w)
[*55*583. *43*112]
h : t + w . 8 - x | z o y i w . 3 . N“ r = * . S‘w » y
*55 62.
Deni.
h .*55*13.
t ^ ‘w
[*55-573. *43*112]
3l-::Hp.3:.u<Sk. = : « = x . * = * . v . w = y . í = w
(1)
435
PARTE II. PROLEGOMENOS AL CARDINAL ARITMETICO
I- .(1) .*13'15.3 I-:. H p. 3 : uSz . = . it = <c
(2)
Similarmente I - H p . 3 : uSw.=* u = y
(3)
h . (2). (3). *30'3.31-. Prop
«65621. h : x ^ y . S = x l z K i y l w . O . S‘x = z . R‘y = w
[La prueba como en la *55 62]
Las cuatro proposiciones siguientes pertenecen al *43, pero se insertan aquí
porque la prueba utiliza la *5513
*65-63. h : á ! O Á S . P ¡ |Q = i ? ||)S . D . / , - / í
Dem.
h . * 4 3 1 1 2 . D h :: Hp . 3 P \ ( y J, z ) {Q = R \ ( y J, z)[ S :.
[*341]
3 (a«, v ) . x P u . tt (y 4 z) v . vQw. =Z[U¡.
(a«, v) • ¡zRu. u (y ^ z) ti. vSw
[*55-13.*13-22]
3 x P y . zQw. =IjM. x R y . zSw
[*4 73]
3 zQ w. z S w . 3„,: xP y . =x . xR y
I-. (1 ). * 1 0 1 1 . *11-35.3 I - H p . 3 : x P y . =*. xR y
K (2 ). * 1011 -2 1 .3 h . Prop
*55631. I-: á ! P ñ R . P||Q = ií||iS . 3 . Q = S
3 :/> ||Q = i í || S . = ./> = £ . Q = S
[*55-63-631 632]
436
2
( )
[La prueba como en la *5563]
*65632. h : P\\Q = R \\S . 3 '. P
1>r>R .ñ '.Q * S
Dem.
3 I- : x P y . zQ w . 3 . x (P | (y 4 z) , Q¡ w .
V .* 5 5 1 3 .
[*43112]
3 • * \(P ¡I Q)\y i *)l ™
1-. (1 ). 3 h :. H p . 3 : x P y . zQiv 3.*[<*||S)«(y4«)}W.
[*43112]
3 . x [ / í |( y 4 , i ) |S ) w .
[*341]
3 . (a», v) • x R ii . u (y \, z) v . vS w .
[*5513.*13-22]
3 . x R y. zSw .
[*4-7]
3 . í ( P ó J i ) ^ . í ( Q n S ) w : . 3 K Prop
*55 64.
( 1)
( 1)
*56. EL NUMERO ORDINAL 2r
Sumario del *56.
En este número hemos de considerar la clase de aquellas relaciones tales que cada
una está constituida por un par. En el caso de que los dos miembros de este par no
sean idénticos, la clase de tales relaciones es (como se verá más adelante) el número
ordinal 2 que, para distinguirlo del número cardinal 2 , lo simbolizamos por "2r”.
(Aquí el sufijo está puesto para sugerir “ relacional”). La clase de todas las relacio­
nes que se componen de un par único, sin la restricción de que los dos miembros del
par sean diferentes, se simbolizará por “2” . Esto no es un número ordinal. Se
observará que no hay número ordinal 1 , porque los números ordinales conciernen a
las series, y las series deben tener más de un miembro, en el caso de que tengan
miembros. Esto se verá con más amplitud cuando tratemos de las series.
Las propiedades del 2 tienen una gran analogía con las del 1, en tanto que las
propiedades del 2r, son más parecidas a las del 2 .
De muchas de las proposiciones de este número raramente se aludirá a ellas en lo
sucesivo, pero tales referencias, cuando tengan lugar, son importantes. Las proposi­
ciones más útiles en este número son las siguientes:
*66111. I-: A e 2r . = . D‘A, d ‘R * 1 . D‘A r. (3‘A = A
*56112. b : A e 2 ,. = . D'A, G ‘A e 1 . G‘R e 2
*66113. b .2 , = á n C “ 2
Obsérvese que “C“2” significa “relaciones cuyos campos tienen dos términos” .
*6613.
I-. 2 —2r = ñ [(g a ). R —a ¿ o)
*66-37.
b : A f 2 ,. = . C*A e 2 . A A A = Á
Esto es, 2r es la clase de las relaciones aritméticas cuyos campos tienen dos
términos.
*56-381. b : G'R = t'® . = . A = <c4 *
*6639.
b . ¿ —2r = C“ 1
Esto es, las relaciones que son pares cuyos relacionantes y relacionados son
idénticos son las relaciones cuyos campos contienen un término único.
*6601.
2 = Al(aa\ y )• A -ar^y l
Df
*6602.
*6603.
*661.
2r = £ { (3 a:. y ) . * + y . A -* ,iy }
0, = í ‘Á
b ! A e Í . =. (a*, y) . A = x i y
Df
Df
[*20-3. (*56 01)]
437
PARTE II. PROLEGOMENOS AL CARDINAL ARITMETICO
•06101. h : ü e á . = . D 'ü , d ' ü e 1
Dem.
I -.*55-16.* 1 H 1-341.3
y ) - i í = a r |y . = :( a « , y ) . D‘ü = i ‘« .< I‘ü = i‘y :
[*11-54]
= ; ( g « ) . D 'ü = t ' x : (g y ) . <3‘ü = i'y
[*521]
= : D 'ü , d 'R e l
K . (1) . *561 . 3 I-. Prop
*66-102. h . ¿ = D " l n a » I
Dem.
H . *56-101. *37-106.3
l - : ü e ¿ . = . ü < D ‘‘l . R e d “ l .
[*22-33] = . ü r D“ 1 n 5 “ 1 O I - . Prop
*66103. I-: ü « 2 . 3 . g ! ü
Dem.
I-. *56101 O I •: ü e 2 . 3 . D 'R e 1 .
[*5216]
3 . g I D 'ü .
[*33-24]
3 . g ! ü O I-. Prop
*66104. I-: ü e 0 r . = .ü = r A [(*56-03)]
*6611.
I-: ü « 2 ,. = . (gx, y ) .* + y . f í « = x |y
[*203 . (*56-02)]
*66111. I-: R e 2r . = . D 'ü , d ' ü 1 1 . D 'ü * d ' ü - A
Dem.
I- .*51-231 .* 5 5 1 6 0
l-:x + y . i í = x 4 y . = . (‘a ! n t‘y - A . D 'ü = l ' x . d ' ü - i‘y .
[*13193]
= . D 'ü n d 'R = A . D 'ü = t ‘<r. d ' ü = i'y
I- .(1 ) . *56'11 .*11-11-341.3
I- R e 2r . = : (g*, y) . D 'ü n d ' ü = A . D‘ü = t'x . d ' ü = ¿‘y :
[*11-45]
= : D ‘í « a ‘f i = A : (g*. y) . D 'ü - i ‘x . d ' ü - t'y :
[*11-54]
= : D 'R n d 'R - A : (g«) . D 'ü = t'x : (gy) . d ' ü =
[*521]
= s D 'ü n d 'R «= A . D 'ü , d 'R e 1 :. 3 I- . Prop
*66112. I-: ü « 2r . = . D 'ü , d ' ü e 1 . C'R e 2
Dem.
y . *56111 .* 5 4 -4 3 .3
h : ü c 2 r . = . D 'ü . a ' ü e l . D ‘ü « a ‘ü e 2 .
[*3316] = . D 'ü , O 'ü e 1 . C'R * 2 O I-. Prop
*66113. t- . 2, * 2 a C“ 2
Dem.
I-. *56-l 12-101 . 3 h : ü « 2 r . = . ü e 2 . C R c 2 .
[*37106.*33122]
= .RtÍ.R«C"i.
[*22-33]
= . ü e 2 n C" Í O h . Prop
*66 1 1 4 K 2 r - Ü “ l o a “ l n C " 2
*6612. t - : ü c 2 r . = . ü c 2 . Ü C J
[*56-113-102]
SECCION A. CLASES UNITARIAS Y PARES
Dem.
K *55 3 . *50 11 . D I-:e4 = y . = . * | y C / :
[Fact]
3 l - : l í = a.\l.y .* + y . = . ü = * ,l.y .® ¿ y G < /.
[*13193]
s .R =x \ y . R G J
h . ( l ) . * l l l l '3 4 1 . D
(1)
•■"(a*, y)* ^ = * i y ■ « 4 = y • = : (a a;.y )• B '=* > ^ y •^ c •, :
[*11-45]
[*56T]
I-.(2 ).* 5 6 1 1 .3 K P r o p
= :(g a :,y ).jB = a:]r y : J í e J :
s-.Rei.RGJ
*56121. h .2 r C ¿
[*56113]
*56 122. h : B í 2 r . D . á ! i í
[*56121 103]
*5613. h . 2 —2r = ñ [(g a ). R = a | a]
Dem.
t-. *56’1 1 . *11-52. T ransp. 3
I-: R ~ t i r . = : l ? - ® 4 , y . D , t„ . * = y
I-. (1 ). * 5 6 1 .3
h R e i - 2r . = : (ga, 6). .R = a ^ 5 : .R = <r | y . 3«.y . ¡s = y :
[*11 45]
= : (ga, 6 ) :R = a ,[ 6 : R - a ; , J , y .3 , e, , . * = y :
[*13193]
= : (ga, 6): R = a 4 6 : a 4 6 = * 4 y . 3*,». * = y :
[*55 202]
= : (ga, 6 ) :R = a 4 * > :a - ír .& = y .3 « .„ .« = y :
[*13É21]
= : ( g a , 6 ) . f i = a | 5 . a = 6:
[*13195]
= : ( a a ) . R = a 4 a 3 h . Prop
Í2)
(1)
2 —2r pudo definirse como el ordinal número 1 , puesto que es a los que
llamaremos número de relación (cf. *153). Sin embargo queremos que nuestros
números ordinales sean clases de relaciones seriales, y que talfes relaciones tengan la
propiedad de estar contenidas en la diversidad. Por tanto, si hubiésemos definido
2 - 2 r como el ordinal número 1 , habríamos introducido una excepción importante
que acarrearía no pocas complicaciones en la aritmética ordinal. Por consiguiente,
no hemos adoptado esta vía.
*66-14.
Dem,
h .* 3 3 - 6 .3 ( - :D ‘fí = t‘* . = . R t D V *
h . (1 ). * 5 6 1 .3
(1)
1- R e í n D‘i‘x . = : (g ^ .y ). R = * 4 y : D‘R = í ‘¡e :
[*55-16]
= : (g*. y ) . D ‘R = i ' z . d ‘R = í‘y : D‘R = i ‘x :
[*11-45]
= : (gr, y ) , D‘R = i‘z . Q ‘R = t‘y . D‘R = i‘x :
[*13-193]
= : (g*, y ) . D‘R «■i‘z . (I‘R - i ' y . l ‘z = i‘x :
[*51-23]
= : (g*, y ) . D‘R =* i ' z . CV R = t‘y . z = x :
[*13-195]
= : ( g y ) . D‘R = t‘x . Ü ‘R = i‘y :
[*5516]
439
PARTE II. PROLEGOMENOS AL CARDINAL ARITMETICO
[*55*22]
= : R e D ‘(® 4 ) :• 3 H. Prop
*56141. h . D ‘4 x = 2 r> Q ‘t ‘x
[Prueba com o en la *56-14]
*8615. h . D‘(.r | ) - i ‘(x 4 * ) = 2r
Dem.
y . *55-2216 . D h : . f i í [D‘(* |) | - t‘(x 4 x ) .
: (ay) • T>‘R = I‘x . Q‘R = t‘y :~ (D ‘« « t ‘x .(I‘fl= t‘x ):
[*1035.*4-51.*5-61] = : (ay ) . D‘jR = l ‘x . CI‘fí = i‘y . ~ (CV R - i‘x ):
[*13193]
= : (ay ) • D 'fi = t ‘* • (I‘¿2 = t‘y . ~ (t‘y = i‘x ) :
[*51-23]
= ’• (ay ) • D ' jR = *'* . G ‘ü = t‘y . x =(=y :
[*13195.*51-23]
= : (a*- y) • * + y • D*ü = i 'z . ( l ‘R = t‘y . i‘z = i‘x :
[*13193]
= : (a*, y) • * + y • U‘/t = i‘z . a* /i =■i‘y . d ‘R = i‘x :
[*11-45]
= : (a*, y) • * + y • D*ü - 1‘* . a ‘U = t«y: D*.fi= t*x •.
[*5516.*33 6]
= • (a*. y ).* + y. fl = * 4 y : ^ « D V x :
[*5611.*22 33]
= : i2 e 2, n D V z :. D K Prop
*56151. (-.D‘( 4 * ) - t ‘(x 4 x )= 2 r r>a‘i‘x [Prueba como en la *5615]
*6616.
P. x 4 y e 2
Dem.
f-. *21 -2 . D I-. ¡r 4 y “ x 4 y •
*5617.
[*11-36] 3 ( -.(a * ,te ) .x 4 y = * .],« '.
[*56"1] D y . x 4 y e 2 . D (-. Prop
H : x 4 y e 2 r . = . y 4 x e 2 ,.. = .x + y
Dem.
y. *5611. D
I-:. * j y e 2, . = : (a*,«;). * =f i«. * j y - * w :
[*55*202]
= : (a*, tu) . z ^ t v . x = z . y = v i:
[*13-22]
= :x*y
Símilármente
y i y ^ x e 2 ,. = .x ^ y
*5618.
h . ( l ) . ( 2 ) . 3 h . Prop
I- : i ~ t a . = .x l"a C 2, . = . 4x“ a C 2r
O)
(2)
Dem.
y . *13"196. 3 y :. x ~ t a . = : y « a . D „ . y ^ z :
[*5617]
= : y í a . Dy . x 4 y « 2r :
[*37-61.*38-12 11]
s : x 4 “ a C 2,
Similarmente
l - : x ~ e a . = . 4 x “ aC2,.
(-. (1). (2). 3 h . Prop
*5619.
!-:/{« 2r . x e D 'i í . = . (ay) .x + y . i í —x 4 y . = - ü « « 4 “ —l‘x
Dem.
t- .*56‘11 .*11-45 . 31-:. Re2r.x e D ‘R . = : (ay-*)*y + *• R = y 4 * •«eD'fis
[*55-15]
= :(a y ,* ).y + í . fi = y 4 * « * e t ‘y ¡
[*51-23]
s :(ay,x).y + x. 7í = y 4 * . * - y :
440
(1)
( 2)
SECCION A. CLASES UNITARIAS Y PARES
[*13195]
[*5115]
[*3813]
l . ( l ) . ( 2) . D l . P r o p
= :(a*).*+«-R“ *¿*:
=
= : ü < * 4 " - i r*
( 1)
( 2)
*56191. \r : R t 2 r . x e Q‘R . s . (ay) .« 4 = y .B “ y i * - s . / í í 4 * “ - t ‘x
*56-2.
*66.21.
*56-22.
*56-24
*56-25.
*56-26.
[La prueba como en la *56-19]
I - R t 2 • = : (a®.y): zR w .
. z = x . w =y
[*55'13 .*561]
1 : . / ? * £ . H i a l ü ‘.x R y . zRv>. D*,,,. ,t„ . x = z . y = w [*56-2.*14-124]
l.A ~e2
[*56103. *25-53]
h .al4 -al-¿
[*56-2216. *l¿-24]
h .á + A n K e l . á + VnRel [*56 24 . *2454-17]
1 :. R 1 2 v i‘A . = : xR y . zRw . D*.,,.,.». x =■*. y = w
Esta proposición es la análoga de la *52’4.
Dem.
1.*51-236. D l : : ü c 4 u t * A .
= : . l t í 2 . v . l l = A:.
[*25-51]
=:.Rt2.v ,~ ^ \R i.
[*56-21]
= :. á ! R • xR-y • tRw •
x = * •y■=«':. v :. ~ a ! i í :
[*5 62]
= :. x R y . zR w .
«• x - * • y = w • v • ~ 3 1R
I- .*11*36 . T ransp. 3 1 : . ~ á ! . f t . 3 :~ (x R y ) .~ ( z R w ) :
[*2*21]
D : x /íy . 3 • x = í : z R w . 3 . y “ to :
[*3-47]
D :xjRy .zR w .D . x = x .y = w
h . (2).*11-11-3. D I- : . ~ á I -R• 3 : x R y .z R w . 0 x,y,I%¥l. x = z . y = w
1 .(1 ) .( 3 ).* 4 - 7 2 . D l.P r o p
( 1)
( 2)
(3)
*66261. l : : / i í t . 3 : . S e f í . = :S = A .v .S = R
Dem.
,
_ „
1 . *55-341 . D 1 ::jR = x ,ty D :. S C jB . = : S - A . v . S = ü
1 .(1 ).* 1 1 1 1 -3 5 .* 5 6 1 .D l .P r o p
( 1)
*56262. h : . / i í 2 . D : S C J Í . á ! i S . = . S = JÍ
Dem.
, ,
1 . * 5 6 2 2 . 3 1 s. Ü í 2 . 3 : S - J Í . D . S + A
1 .( 1 ) . *5 7 5 . *56 2 6 1 .3
I-:. K e 2 . D : S C « . «4= A . = .6 '= li
1 .( 2 ) . * 2 5 5 4 .3 l.P r o p
*5627.
( 1)
2
( )
Y:.Re2.-}:ñlR*S. =.R * S e Í
Dem.
1 . *55-34. *23-43 . 3
1 :. R = x l y
R f^ S . = . Ü A S = R
[*5616]
3 . K A Se 2
1 . *56103. 3 ! : £ A S * 4 . 3 . á ! f i A S
( 1)
(2 )
441
PARTE II. PROLEGOMENOS AL CARDINAL ARITMETICO
I-. (1) - (2) . 3 P : . R - a . - , l , y . 3 : g ! f í ñ S . = ..R A S í2
(3 )
P . (3 ).* 1111-35.*561 .D P .P ro p
*6628.
I- i . R t í . O : ñ l R ñ S . = . R<i S. = . R t > S = R
Dem.
P . * 5 5 3 . 3 P : . P = ¡ r J , y . 3 : g ! . R A lSr. = .P G /S .
[*23-621]
= . Rt\S= R
h . (1 ). (2).*11 11-35 .* 5 6 1 .3 1 - . Prop
(1)
(2)
*66281. i-:. R t i r . ' ^ : ^ l R f \ S . = . R<í 8. = . R f \ S = R . = . R f \ S ( 2 ,
Dem.
P. *56121.3 P : . H p .D r P e á :
[*56-28]
3 : g ! P A S . = . P C <S, . = ..R A S = P
P .* 1 3 1 3 . 3 P :.H p .3 :P A S = K .3 .f iA ¿ ? í2 r :
[(1)]
D - . g l P A S . D . P A S í 2r
I-. *56 122 . 3 P : P A . S í 2 r . 3 . g I P A i S
P .( 2 ) .( 3 ) .3 P :.H p .3 :g I f lA S . = . R f s S e t ,
t - . ( l ) . (4 ). D h .P ro p
*6629. P ::P , Q * é . 3 : . P G Q u f l . = : P = < ) . v . P G f l
Dem.
P . *55-51. D
P :.a 4 y G « ¿ to iv .R .3 :« ( * ¿ f 0 ) y .v .ír ¿ y G /í:
[*55-31]
3 : ® | y —s l w .v . x l y G R
P .( l ) .* 1 3 1 2 . 3
h ::. P = x i y . ^ : : Q = e l w . O : . P G Q v R . D : P ~ Q . v . P G R
P . (2 ). *11 11-35. * 5 6 1 .3
P ::.P e ¿ .3 ::Q - r ¿ w .3 :. P G Q o P . 3 : P = Q . v . P G f t
P .( 3 ) . * l M 1-3-35. * 5 6 1 .3
P::.Píá.D::Qeá.3:.PGQvaft.3:P = e.v.P C fí
P. *23-58 6 1 . 3 P : . P = Q . v . P G P : 3 . P G Q u P
P . (4 ). I m p . (6 ). 3 P . Prop
*663.
O)
( 2)
(3)
(4)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
P : . P , Q e á . 3 : P G Q . = . P = Q. = . á ! P A Q
Dem.
P. *55 3 -3 1 .3
P:£¿yG«¿w.;r.¿r¿y = *¿w .s.ál(¿r¿y)A(c|w)
P .(1 ).* 1 3 -1 2 .3
P :. P = * 4 y . Q = í i « t ' . 3 : P G Q . = . P = Q . H . g ! P < ,>Q
P . (2).*11 11-35.*561 .D P .P rop
0)
2
( )
Los pasos que van desde el (2) hasta la conclusión son análogos a los que van
desde el (2) del *52 29 hasta la conclusión del *56 29. Pasos análogos que tengan
lugar en pruebas sucesivas serán necesariamente indicadas como en la anterior.
*86-31. P :.P , Q f ¿ . 3 : P + Q. = . P ñ g = A
442
[*56 3 . Transp]
SECCION A. CLASES UNITARIAS Y PARES
*6632. h : P £ ‘2 . 3 . P A Q e 2 v p A
Dem.
K *56 27.3I-:. H p . 3 : á ! P A Q . 3 . P A Q f 2 :
[*2-54.*25-54]
3 : P A Q = A . v . P A Q e¿:
[*51-236]
3 : P A Q £ 2 u t‘A :. 3 h . Prop
*66 33.
h ::P ,Q £ 2 .3 :.P e P < y Q . = : P = A . v . P » P . v . P - Q . v . P = P c / Q
Dem.
K *55-5. *13'12 . 3 h : : P = * , ] y . Q = ir ,[ u /.3 :.
P G PuQ . = :P = A .v.P = P .v .P = <¿.v.P»PoQ
h . (1 ). *11 11-35. * 5 6 1 .3 1 -. Prop
*6634.
( 1)
\- - .: P ,Q e Í .P ^ Q .0 : .R < lP v Q .'3 '.R .R * P v Q .= : R = P .'* .R = Q
Dem.
I-. *56-33 103 . *5 75 . *25 5 4 . 3
h ::P , Q e í . O : . R C P kjQ . ^ { I R . = : P = P . v . P = Q . v . P = P c»Q
I-.*23-62. D h : P » P » » < 2 . = . Q C P :
[*56-3]
D I-:.P , Q . * á . 3 : P = P o Q . 5 . P = Qs
[Transp]
3 : P ± Q. 3 . P + P o Q
[*13181]
3 I -:.P . Q £ ¿ . P * Q . 3 : P = P . 3 . P + Pc/Q
( 1)
2
( )
! - . ( 2 ) ^ . D h s . P , Q e 2 . P + Q . D : P = Q . 3 . P + ^ ' :'Q
(3)
I-. (2 ). (3 ). 3 h : : P , < , > £ ¿ . P * < 2 . 3 : . P = P . v . P = Q : 3 . P = f P w Q
I- .(1 ) .( 4 ) . *5-75 .3 1 -. Prop
(*)
*5635.
h : C ‘f i e 2 . P A P = A . D . « í 2 r
Dem.
I-. *55-54.3
I- i . x ^ y . C‘R = i‘x i ’y . R A P - A . 3 : P = ¡ r | y . v . P = y ,t¡r :
[*5617]
D: Ke2, .
I-. (1 ). *1111-35 . *5*101 . 3 I-. Prop
*66 36.
( 1)
h : P c 2r . 3 . C‘R £ 2 . P A P = A
Dem.
V . *55-54.3
h :® ^ y .P = ®¿ y . 3 . ®+ y . C‘P = l ' i u l ‘j( .P A P = A
K ( l ) . *1111-34. *5611.3
h :. P c 2r . 3 : (g®, y ) .
( 1)
y . C‘P = t ‘* u i ‘y . P A P = A :
[*54101.*! 1-45] 3 : C‘P £ 2 . P A P = A :. 3 1-. Prop
443
PARTE II. PROLEGOMENOS AL CARDINAL ARITMETICO
La proposición siguiente, además de emplearse en la *56 38, se usa en la teoría
elemental de series (*204 463).
*56-37.
I-: R e 2 ,. = . C‘R « 2 . R A R >• A
*5638.
h. 2r = C“ 2 r , R ( R A R = A)
Dem.
[*56-35-36]
w
y . *37-106.*33-122. D h : C‘R e 2 .
K * 2 0 '3 .
DI-:RAR =
=-. R « (7“ 2
_ . Re R ( R A R = A)
I-. ( 1 ) .( 2 ) . *56*37 . D h : R « 2 r .
= . ReC'“ 2 . R e R ( R A R = A ) .
[*22-33]
= . R e C“2 r\ R (R A R = A ): D I-. Prop
( 1)
( 2)
Esta proposición es importante en cuanto que establece la conexión entre el
cardinal y el ordinal 2. Esto muestra que el ordinal 2 se compone de las relaciones
asimétricas cuyos campos tienen términos 2 (cardinales). Se usa en la teoría de las
series bien ordenadas (*250 44).
La proposición siguiente, además de usarse en la *56'39 se emplea en la
aritmética de relaciones (* 165 38) y en la teoría de series (*205'4).
*56381. (-:C ‘R = t ‘* . = . R ~ x , [ *
Dem.
H. *33-24161. *51 161.D I-: C‘R = i‘x . D . g ! D‘R . D‘R C i‘x .
[*51’4]
D . D‘R « i‘x
Similarmente
h : C«R = i‘x . D. d ‘R = i‘x
1- • (1). (2) .*55-16 .
D I-: Í7‘R = i*x. D . R = ¿r ¿ ¡s
(-.*5515.
D V: R =
* • 3 ■C‘R “
(1)
( )
2
(3)
(4)
I-. (3 ). (4 ). D h . Prop
*6639.
I-. 2 - 2r = 6'“ 1
Dem.
1-. *56-381. D h : C‘R e I . = . ( g a ) . R = x l x .
[*5613]
= . R 1 2 —2r
l - . ( l ) . *37106.Dh. Prop
íl>
Esta proposición establece la conexión entre 2 —2r y 1, enseñando que 2 —7r es
la clase de las relaciones cuyos campos están constituidos por un término único. Se
usa en la discusión del 0r , del 2r y de 2 —2r como números de relación (*153‘301).
*56'4.
Dem.
h
. x ( i liz)y
t-.*411J .DI-:. Hp. D :«(s‘|t)y . s . ( ^ R ) . lie i . R e / j- .x l ty .
[*56'I]
[*55T3]
[*13 22]
s .
w ). z L w e / i .
w)y .
= .(j j í . ui) . z ^ w e / i . z = x . w = y .
=.
y e y, :. D h . Prop
Esta proposición es la análoga de la *53 23. Se usa en el número sobre la
exponenciación en la aritmética de relaciones (*17619).
444
APENDICE A
*8. LA TEORIA DE LA DEDUCCION PARA PROPOSICIONES
QUE CONTIENEN VARIABLES APARENTES (72)
Todas las proposiciones, de cualquier orden, se derivan de una matriz compuesta
de proposiciones elementales combinadas por medio del trazo. Dada una matriz de
este tipo, cualquier constituyente puede permanecer constante o transformarse en
una variable aparente; esto último puede hacerse de dos maneras, o bien consideran­
do “todos los valores” o “algunos valores” . Así, pues, si p y q son proposiciones
elementales que dan lugar a p | q, podemos sustituir p por <f>x o q por \¡/y o ambas
cosas, en donde <px y \py son funciones preposicionales cuyos valores son proposi­
ciones elementales. De este modo, llegamos, para empezar, a cuatro nuevas proposi­
ciones:
(x).(<f>x\q), (3*M <M í ), (yM jpl'h'i' (ay)-(y I
Por medio de definiciones, podemos separar en estas expresiones la parte constante
de la variable; ponemos
*8-01. ¡(®).</)x)|g. = .(air).(<t>¿Í9)
Df
*8011. l(a«). £¡e] |q>. =>. (®). (<l>x\q) Df
*8012. jb| ((y). -fyl • = • (gy) • (pl fy) u f
*8013. p I[(ay). Vry]. = . (y). (p\ ■fy) Df
Estas definiciones determinan el significado del trazo cuando tienen lugar entre dos
proposiciones de las cuales una es elemental mientras que la otra es de primer
orden.
Cuando el trazo aparece entre dos proposiciones que son de primer orden,
adoptaremos la regla de que las definiciones anteriores deben aplicarse primero en la
parte izquierda, considerando la de la derecha como si fuese elemental y, a
continuación, aplicarla a la de la derecha. De este modo
'(*) •<MI[(y) •f yl •= =(a *): «M í(y) •’M =
= :<a*):(ayM £rIVry)La misma regla puede aplicarse a n proposiciones; éstas deben irse eliminando de
izquierda a derecha. Si una proposición aparece más de una vez, pueden irse
eliminando sucesivamente como si fuese proposiciones diferentes. Estas reglas se
necesitan sólo en atención a la definición, puesto que los diferentes órdenes de
eliminación dan resultados equivalentes. Esto sólo es verdad porque estamos tratan­
do de varias funciones cada una de las cuales contiene una variable, y no se
(72) ICste capítulo está para sustituir al *9 del texto.
445
APENDICE A
presentan variables a ambos lados del trazo; no sería verdadero si tratásemos de
funciones de varías variables. Por ejemplo, tenemos:
( a * ) s (y ) • ( 0 * l 0 y )
-=
( a * ) ■( 0 * 10-y).
Pero en general no tenemos
( a *)' (y ) • X (* . y ) : s : ( y ) : (g®) . x (*. y ) !
aquí al lado derecho tiene más probabilidades de ser verdadero que el lado
izquierdo. De momento, sin embargo, no nos ocupamos de funciones variables de
dos variables.
Debe observarse que esta posibilidad de cambiar el orden de las variables es una
virtud del trazo. Tenemos
( a * ) : (y ) • ( M 'í 'y : = : ( y ) : (a*) • « M ’/ 'y : = : ( a * ) . ~ 0* . V. (y). ~ ifry.
Es decir, estas proposiciones equivalentes son verdaderas cuando, y sólo cuando, o 0
es algunas veces falsa, o 0 es siempre falsa. Pero si, por ejemplo, tomamos
0® V0*y . 0® V^ 0ry
no conseguiremos el mismo resultado. Pues
( a « ) : (y). 0®v i/ry. ~ 0® v ~ 0-y : 3 : (y) . 0-y. v . (y). ~ -0-y,
mientras que (>’) : ( 3 x ) . 0x v \py . ~ 0x v ~ ipy no implica esto.
Escrita con notación de trazos, después de alguna reducción, la matriz anterior es
I 0 * l( 0 ,y |0 ,y ) ] lliíry l(0 * l0 » ) lAquí, tanto la x como la y se presentan a ambos lados de la matriz principal. Por
consiguiente, para cambiar el orden de “( 3 *)” y de “(y)” es suficiente (aunque no
siempre necesario) que la matriz deba contener alguna parte de la forma <fac | \¡/y, y
que la x y la y no se presenten en ninguna otra parte de la matriz. (Esta parte puede
ser, desde luego, la matriz total). Suponemos la legitimidad de este intercambio por
una proposición primitiva, y en la práctica colocamos todos los prefijos 3 para
tenerlo tan alejados de la parte derecha como sea posible, porque esto facilita las
pruebas.
Nuestras proposiciones primitivas son las siguientes:
•81. h.(g*,y).0a|(0a:|0y) Pp
Aplicando las definiciones,
V : 0 a . 3 . (g*) • 0®.
•811. I-,(g®). 0®|(0a|06) Pp
Aplicando las definiciones, esto viene a ser
h : («). 0® . 3 . 0a . 06.
Tenemos
0a|(0a|06). v.06¡(0a|06)
y por la * 8‘ 1
H: 0a | ( 0a 10¿|). 3 . (g®). 0®|( 0<t 106):
061(0a 106). 3 . (g®). 0®| (0a 106),
446
APENDICK A
pero no podemos deducir ( 3 x) . <¡>x I (0a I <t>b) sin la *811 o una equivalente.
*8-12. De “( x ) . <px” y de “( x ) . 0x O \¡/x” podemos inferir “(x) . 0 x ” siempre que
<py 0 no sean elementales. Pp.
*8-13. Si todas las veces que se presenta x lo hace de forma separada de todas las
presentaciones de y por medio de un cierto trazo, podemos cambiar el orden de x e
y en el prefijo, es decir, podemos sustituir “OO: ( 3 .x). 0x I \¡iy“ por
“(3 x ) : (.y) . <¡>x I \py" y viceversa. Pp.
A las últimas proposiciones primitivas pueden aplicarse no sólo una o dos
variables sino muchas. Así, por ejemplo, la *8-1 nos permite aseverar
b : 0 («i, “i. ••• o»)• 3 • (3 *1. *»,... *»)- 0 (*i,
... *»)«8*2.
h : (x ). 0 x . 3 . 0a
* 8U ? ]
En lo que sigue, el método de prueba es invariablemente el mismo. Primero
aplicamos las definiciones hasta que la proposición aseverada completa sea puesta
en forma de matriz con un prefijo. Si fuese necesario, aplicamos la *8' 13 para
cambiar el orden de las variables en el prefijo. Cuando la proposición que se quiere
probar ha sido llevada a esta forma, lo deducimos mediante las *8 1 1 1 , usando la
*8'12 en la deducción, si fuese preciso. Se observará que la *8'1 es
|- : 0a . 13 . ( 3 x) . 0x. Por eso, mediante la *8'12, siempre que conozcamos 0a.
podemos aseverar ( 3 x ) . 0x. La *8-1 se emplea frecuentemente en este procedi­
miento.
*8*21. I-:. (* ). 0r 3 0 x . 3 : (g x ). 0 x . 3 . (g x ). 0-x
Dem.
Aplicando las definiciones, y usando la *8'13, la proposición que se quiere
probar viene a ser
(y.y ) • ( 3 * . * . * , «0 • [0 *I( 0 * I0*)i1[I0yI( 0 * I0«»))! (0y' | 1 0 w ' ) ] ] -
Poniendo z = w = z = w x, la anterior se convierte en
(y.y ) '■ <3*) •10*I(0* 10*)l Ií(0yI(0* 10*)l 110y'I(0* 10*)}].
Por medio de la *8*1, la proposición que se ha de probar es verdadera si ésta es
verdadera. Pero ésta es verdadera, por la *811, poniendo .y e y ' en lugar de a y ó, y
0y I (0 x I \px) en lugar de 0a. Por tanto, la proposición es verdadera.
* 8-22. I-: 0a v 06.3 . (g x ). 0x
Dem.
h.»811-Dh . ( g i ) . ( ~ 0* ) K ~ 0« i ~
0í>)
Transp . D h : ( ~ 0i ) | ( ~ 0a | ~ 0í»)- 3 . ( 0« v 0í>)¡(0i 0¿)
I-. ( 1 ). (2). *8-21.31-. (g*) • ( 0« v 06) |( 0* 10x)
1-. ( 3). * 8-1-21.
[(*8012013)]
( 1)
(2)
(3)
3 I-. ( 3*, m) • ( 0« v 06) |( 0* I0i«) .
3 1-: 0a v 06.3 . ( 3x ) . 0x : 3 b . Prop
447
APENDICE A
Estas proposiciones, al igual que las del *8, son aplicables a cualquier número de
variables, ya que también lo son las proposiciones primitivas.
*8'23. h : (3 1 ). <£a: v <£c. D . (g®) . <px
Dem.
Aplicando las definiciones, esta proposición es
es decir
la cual resulta de la * 8*22.
(x ) : (gy, z ) . (<f>xv <f>c) | (<£*/1<f>z),
(®): <¿>®v <j>c. D . (g®). <f>®,
Las siguientes proposiciones tienen relación con las formas del silogismo.
*8'24. l - : : p D g . D : . y . D . (a* ). 4>x: D: p • 3 - (a®) •
Dem.
Aplicando las definiciones obtenemos una matriz
(p 3 y) I[|(? I(♦* 14>y)) | (p I(♦* I<#>*")IP I(</>“ I
I {la misma con letras acentuadas }]
con un prefijo
(®, y, x', y’) : (a*, w,
v. z\
«')•
Por la * 81, esto será verdadero si es verdadero para valores escogidos de z, vv, u. v,
z , w , u , v . Pongamos z = u = x . w = v —y . z —u = x . w = v = y . Enton­
ces, lo que debe probarse se convierte en
jtO g.D
q . D . <f>®.<^y: D : p . 3 . j>x. $ y q . D . <j>x', tj>y' ¡ D :p . D . <^®'. <£y',
lo cual es verdadero por Syll. Por tanto, da como resultado la proposición
«8 241. I-:: (®) . <£®. D . p : 3
p D g . D : (x) . <f>®. D . q
Poniendo
/(y , z) • = • \p I(9 1?)} IV\4>’J I<919>S! 1(919)}].
la matriz de la proposición a probar es
I ^ K p Ip )) I !/(y>*)!/(y,1*')}
y el prefijo es (jc) : ( 3 y, z, y', z'). Haciendo y = z = y = z' = x, la matriz se reduce
a <t>x D p . D : p 3 q . 3 . <¡>x 3 q, que es verdadera por Syll. Por lo tanto, la proposi­
ción es verdadera por la *81
«8'25. 1 : : p . D. (g®). <^r : D :. (g®) . <¿>®. D. (g®). ifrx s D: p . D . (g®). \/r®
Dem.
Pongamos (*, y
,
• |<M(',fry|''fri) l I U p K ' f " I I l/>
Entonces la proposición a probar, al aplicar las definiciones, se basa en tener una
matriz
(p|(<M <#>*)) 11/(* , y, z,«, v»>«,«) !/(*'. y',
»»', »')l
con el prefijo
(o, 6,y, z, y ', z') : (g®, «, v, m,n, x’, u, v, ni, ti).
Pongamos x = a . x' = b .u = v = y . m = n = 2 . u’ —v’ = y .n i = ti = z .
448
APENDICE A
Entonces la matriz se reduce a
p . 3 . 0 a . 0¿>: 3
0 a . D . ifry. yfrz: 3 : p . 3 . 0ry . 0-z
i b . 3 . ifry'.ilrz': 3 : p . 3 . 0 V . 0-x',
que es verdadera por Syll. Por tanto, nuestras proposiciones resultan por aplicacio­
nes repetidas de la *8 1*13.
Pruebas análogas se aplican a otras formas del silogismo
*8'26. I-: 0« v <j>bv 0c . 3 . (3 ®) . 1^x v 0c
Dem.
I-: 0<i v <¡>bv 0 e . 3 . (0a v 0c) v (0¿ v 0c)
h . *8 22 . 3 1 - : ( 0a v 0 c) v (06 v i 0) . 3 . ( g x ) . 0 x v 0 c
I-. ( 1 ) . (2 ). *8‘2 4 . 3 1 - . Prop
*8 261. I- : 0 a v 06 v 0c . 3 . ( g x ) . 0x
[*8-25-26-23]
(1)
(2)
Es obvio que, de la misma manera, podemos probar
í < i v ^ v f ; v f ¿ . 3 . ( g x ) . 0x
y así sucesivamente
*827.
h :: y . 3 . (gx) . 0 x : 3 : . p 3 y . 3 : p . 3 . ( g x ) . 0x
Dem.
pongamos
/(x , y, u, v) . = . \p \ (0x| 0y)} | \p | (0« | <l>v)\.
Entonces la matriz es
y el prefijo es
(9 1( $ « I W )\ I [l(p 3 9) I/ ( « . y ,«.»)) | { (? 3 9) l / ( * '. y
(“. 4) •*(a*, y. «, x, y\ v i, »').
, O I]
Haciendo x = u = * ’ = u = a . y = v = y = v - b, la matriz viene a ser
y . 3 . 0 a . 0 6 : 3 : . p 3 y . 3 : p . 3 . 0 a . 06,
la cual es verdadera. Por tanto, tenemos la proposición
p 3 9 . 3 : p . 3 . (gx, y) . i (x, y )
[La prueba como en la *8*27]
*8-271. I- s: q . 3 . (gx, y ) . 0 (x, y ) : 3
Está claro que podemos probar, de manera semejante, la proposición análoga con
4>(xi,x 2, ... x„) en lugar de 0 (x, y).
*8-272. 1- ::.p . 3 : y . 3 . (gx) . 0 r :. 3 : : r 3 p . 3 : . r . 3 : y . 3 . ( g x ) . 0x
Dem.
q . D (3 x ) . 0x es (3 x, y ) . q |(0x 10y). Por tanto, la proposición resulta de la
♦8*271, por la sustitución de p por q, r por p, y q 1(0* I <¡>y) por 0 (x, y ).
*8 28. h :: p . 3 . ( g x ) . 0 x : 3
Dem.
q . 3 . ( g x ) . 0 x : 3 : p v y . 3 . (gx) . 0 x
Pongamos / ( x , y, *, w) . = . [(p v y ) I(0x 10y)] | {(p Vy) | (0* 10u/)|.
449
APENDICE A
Entonces la matriz es
l#» I<*» I<W) I[((? I(♦» I* * » l/<*. y- *.«')) 11(91(^ ' IK )) |/(*', y'.
«')]]
y el prefijo es
(a, b, c, d, c', d ') : (gx, y , x, u>, x', y', x', w').
La matriz es
p . 3 . £ u . 0 ¿ : 3 : . 9 . 3 . 4 i c . ^ < í : 3 ./(* . y. *. «0 :•
9 . 3 . <£c'.
3 ./(x ', y', x',u/),
mientras
/ ( * . y.*.«")•s ¡P v 9 • 3 • 4>x • ¿y • • «K
Citemos la matriz
^ (*. y. *» *»• *'■y’>2'. «' )•
Entonces,
I-: p . 3 . F (a, b, a, b, a, b, a, b),
1-: ~ p . 3 . F(c, d, c, d, c, d', c', d').
Por tanto,
I-: F(u, b, a. b, a, b, a , b ) . v . F (c, d, c, d, c\ <£, c’, d').
Por tanto, por la extensión de la *8‘261 a ocho variables,
I-. (a®, y, *, 1», x , y \ t \ w' ) . F (x, y, z, w, w\ y , z , w),
que era lo que se quería probar.
*829. I‘ : . ( í ) . f t 3 yjrx. 3 : (x) .
• 3 . (®). y/rx
Dem.
Aplicando las definiciones, se encuentra que nuestra proposición tiene una
matriz
(</>* 3 f x ) |[{02/1(i^ u |■fv)) |[<f>y' |(yjru' |^r»')!]
con un prefijo (después de emplear la *8"13)
(«, v, u \ »'): (gx, y, y').
La matriz es equivalente a
<¡>x3 y/rx . 3 : ^y. 3 . yjru . yjrv : <f>y'. 3 . yjru', y/rv'.
Llamando a ésta M (x, y, y 1), hemos de probar
(a x - y>y' ) . M( x, y, y) .
Si 1p u . \¡/v. \pu . \¡/v, M (x, y, y ) es siempre verdadero
( 1)
Si ~ ¡J/u, introducimos x = y = y = u. Entonces, si <pu es verdadero, <t>uD \¡/u es
falso y M (u, u, u ) es verdadero. Pero si <pu es falso, <pu . D . \pu . \pv y
<pu . D . ipu . pv son verdaderos, de forma que M(u, u, u) es verdadero. Por tanto,
Similarmente, si
~y¡ru.O. 3 /(tí, u, 11) . 3 . (gx, y, y’) . M («, y, y ).
~ yjrv
y j r u' y j r v ' .
(2)
(3)
(1), (2) y (3) agotan los casos posibles. Por tanto, tenemos el resultado por la *8'28.
Ahora estamos en condiciones para probar que todas las proposiciones de *1—*5
permanecen verdaderas cuando una o más de las proposiciones p, q, r ,... son
proposiciones de primer orden en vez de ser proposiciones elementales. A este
450
APENDICE A
propósito, tomamos no la única proposición primitiva que Nicod ha mostrado ser
suficiente, sino las dos que ha mostrado ser equivalentes a ella, a saber:
pDpypDq.D.s\qDp\s
Mostramos que éstas son verdaderas cuando una, o dos, o tres, de las proposiciones
p, q, s, son proposiciones de primer orden. A partir de aquí, se sigue el resto. La
primera de estas proposiciones primitivas, p l q , da origen a dos clases, según que
sustituyamos ( x ) . $x o ( 3 x ) . <¡yx por p; la segunda proposición primitiva origina 26
casos. Estos han de considerarse una a una
*83.
h i(x ). <f¡x. Z3. (x). <¡>x
Aplicando las definiciones, esto es ( 3 * ): (y, z) .<f>x\ (Qy \ <¡>z), que se sigue de la
* 8 '11 mediante la *8'13.
*8 31. h : (a®). <jb®. D . (g®). <f>x
Aplicando las definiciones ( x ) : (3 y, z) .<px\ (<t>y I <¡>z). Esto es la *8’1. Esto com­
pleta la prueba d e p D p .
*8 32.
I - ( ® ) . ^ ®. 3 . q : D : s | q . D . ¡(®). ^®) | s
Poniendo p . = . (x) . 4>x. La proposición a probar es
<p I~ 9 )!~ 1 (4I ? ) M
p
I«))-
Por las definiciones
p l~ 7 - = * (a * )-< M (íl9 ).
~(j» I*). = . (®, y ).
Ia) I(<#>y| a),
(* 19) l ~ ( p 1«) • = • ( a * .y ) ■(* 19)
Ponemos
Entonces
(1 )
I«) | (4>y | *)J.
/(* , y) • = ■(®19) I ((<#>*I«)!
I»)!•
~{(«l 9)l~(p|*)! • = -(®>y.«'.y')-/(»,y)l/(«',y').
(2)
Por (1) y (2), la proposición a probar es
(a): (a®, y,
y') • [<M <919)11!/(*< y ) I/(* ', y')l-
Haciendo x = y = x ’ = y = a, la matriz de esta proposición se reduce a
<f>a D q . 3 . s \ q D <j>a| s,
que es nuestra proposición primitiva con <pa sustituida por p, y es, por lo tanto,
verdadera. Por lo tanto, resulta la proposición en virtud de la *8‘1.
En lo sucesivo, la reducción de la proposición que se quiere probar a una matriz
y prefijo, por medio de las definiciones, la realizaremos siempre por el mismo
método y ordinariamente se omitirán los pasos.
*8'321. I - ( g ®). <f>x .Z) . q :Z) : s \q .Z) . [(a®). <^¡e) | «
Obtenemos la misma matriz como en la *8‘32, pero con el prefijo opuesto; es
decir, el prefijo es
-151
APENDICE A
(*,y,a;',y'):(g o).
La matriz es equivalente a
jia O q . 3 r q 3<'*a. 3 . ^ r D ~ í . ^y 3 ~ * . ^a:' 3 ~ # . ^y' 3<w.
Llamando a esto /a, hemos de probar ( 3 a ) . /a, para cualquier *, y, x , y . Tenemos
También
. q. 3 :./a . =
3 :._/a.
. 3 , /».
. 3 . $x 3 ~ » . ^y 3 ~ * .
Por eso
Por tanto, mediante las *8‘1’24
3 » w . £y' 3 ~ «
<fxi. 3 ./a.
<f>x.O.(g a )./a,
y de manera semejante, para <¡>y, <px', <f>y. Por consiguiente, por la *8 261,
f a v <f>yv <f>x'v tfty' . 3 . (ga) ,/a.
También
~ ^ y , ~ $ x '.~ 4 y '. 3 ./a .
[*81*24]
3 . (ga)./o.
Por tanto, por la *8 28,
<f>xv <f>yv
v tyf v ~ ^ r .~<f>y , ~ 0a '< fr y : 3 . (g a)./«.
Por tanto, por la *812, (3 a ) .Ja, que era lo que había que probar.
*8 322. h t.p . 3 . (* ). yfrx: 3 : s | ((¿r). yfrx]. 3 ./> |«
Dem.
Pongamos
/y • = • (* I*y) I |(p |«) I( p | *))-
Entonces, la proposición que se quiere probar es
(y. y’) =(a&.<0• !p IW IV^)!\(fi/\fy'y
Aquí, la matriz es equivalente a
p . 3 . ifrb. : 3 : s | ifry. 3 . p |* : í | +yf. 3 ,p \s.
Haciendo b = y , c = y , esto se sigue simultáneamente de la proposición primitiva,
que da
p 3 ->lry. 3 : « | ifry. 3 . p \»,
p 3 yfry . 3 : * | yfry' . 3 . p | *.
Por tanto, la proposición.
*8'323. H: . p . 3 . (ga:). ->frx: 3 : «| ((ga:). ^-aj . 3 . p | a
Tenemos la misma matriz que en la *8‘322, pero con el prefijo opuesto, es decir
(í>.c):(gy, y).
Haciendo_v = b . y = c, se satisface la matriz, como en la *8‘322.
*8 324. h :. p 3 q . 3 : {(*). **] | q . 3 . p | «*).
Dem.
Poniendo f ( x , y , z ) . - . (** | q ) \ |(p | *y)|(p| x*)j.
Entonces la matriz es
1p I(91?» 11/"(*.y. *)!/(«'. y'. OI
452
APENDICE A
y el prefijo es (x, V ) : (3 .y, z, y , z'). Poniendo
y s e = a . y ' = s ' =• a',
la matriz es equivalente a
p D q . D : X* 19 • 3 • P IX1 : X*' I? • 3 • PIX*'.
que resulta de nuestra proposición primitiva por Comp.
#« 325. I - p D q . D : |(ga) • Xx\ 19 • 3 •P I i(3*) •
Dem.
La matriz es la misma que en la *8*324, pero el prefijo es el opuesto, esto es
(y.*.y'.*'):(g*-*')•
Llamando a la matriz M (x, x*), tenemos, si Oco. = u . ~ Xcj,
M(x,x') . = z:p D g . D :.q 0 ftr. D s p . D ,0 y . 0* :.y D f t t '. D j p , D . 8y' .Os'.
Por tanto, 0y .Ot .Oy1.0¿ .0 .M (x ,x ').^ ,(^x ,x '). M{x,x')
(1)
Pero
. ~ 0a '. D. M{x,aí). Por tanto,
~ f e . D. Af(®,<c). D. (g®,®'). Jlf(«,*')
(2)
De manera similar, con 6y, Ox, Oy. Por tanto el resultado se sigue como en la
*8*321.
Esto agota los casos en los que sólo uno de p, q, r, en
p Og. D : « | g . D . p |«
es de primer orden en vez de ser elemental. Hemos de tratar ahora de los casos en
que dos, pero no tres, son de primer orden.
*8'33.
I-:. (a ). £ *. D. (®). yjrx O : a |((* ). ^r®j. D . {(a ). 4>®j |s
Poniendo /(a , y, *). = .(«|^-®)| ((<¿y | *>| | «>]. la matriz es
\<fM| (ifrll | ^C)¡ | {/(«, y, s) |/ ( * , ¡f. *))
y el prefijo es (a, x, x ') : (3 b, c, y, z, y , r'). La matriz se satisface por
6 ='®.c=>®'.y«=í = y' = 2' = a,
en cuyo caso es equivalente a
4<* • 3 • i 'x . \fr®': D yfrx^njg.^. jxi D ~ * : ^rx'D
Por lo tanto, Prop.
D
En las tres siguientes proposiciones tenemos la misma matriz, sólo que con
prefijos diferentes.
#8 331. h (a). <#>a. 3 . (ga). ^® : 3 : * | {(g®), ^® |. 3 • ((*). ^®| | «
Aquí el prefijo de la matriz es (a, b c ) : (3 x , y, z, x \ y , z'). La matriz se satisfa­
ce por x = b . x = c . y = z = y = z '= a . Por lo tanto, tenemos
Prop.
*8-332. Y (g a). <f>x. D. (a) . y¡rx: 3 s«| ((®) . ^r®}. D . |(g*). <fuc) | a
453
APENDICE A
El prefijo aquí es (x , y, z, x , y , z ' ) : (3a, b, c). Escribiendo r por ~ s, la matriz
se convierte en
f e .. D . ffrb. f e : D f e D r . D . ^ y v ^ í D r : f e ' D r . D . f e ' v f e ’ D r.
(Aquí sólo a, b, y c pueden elegirse arbitrariamente). Esto es verdadero si fe , <¡>z,
<t>y, fe son falsas todas. Supongamos que f e es verdadera. Supongamos a = y.
Entonces, si
o i//c son falsas, fe . D . tpb . \¡/c es falsa y la matriz es verdadera.
Por lo tanto, si \¡/x es falsa, pongamos b = c = x; si \¡tx y \px' son verdaderas,
poniendo a = y . b = c = x, la matriz viene a ser equivalente a
r . 3 . ^ v ^ 3 r : r . 3 . f e ’ v f e ' D r,
que es verdadera. Por tanto, si <f>y es verdadera, la matriz puede hacerse verdadera.
De manera similar, para z, y , z'. Esto agota los casos posibles. Por lo tanto,
concluimos Prop, por la *8'28.
*8-333. I - ( g x ) . f e . D. (gx). f x : O : s | ((gx). +*) • D • 1(3*) •
I«
Dem.
La matriz es como antes, y el prefijo (después de usar la *8"13) es
(6, c, y, z, y', t ' ) : (ga, x, x').
Llamemos a la matriz M (a, x, x'). Entonces
t- : f e . D • M (a, b, b) . D . (ga, x, x'). M (a, x, x‘)
h ! f e . 3 . M (a, c, c) . D . (ga, x, x'). M (a, x, x')
I-: ~ i/rli. ~ f e . f e . D . M (y, b, c) • 3 . (ga, x, x’) . M (o, x, xf)
(1). (2).(3). D h : f e . D. (ga. x, x ) . M (a, x, x ) [usando la *8 28]
Similarmente para fe', fe, fe'. Por tanto, en virtud de *8'28,
í : f e v fe ' v f e v fe ’. D. (ga, ir, x’) . M (a, x, x )
Pero I - ~ f e . ~ f e '. ~ f e ,~ f e '. D : <f>yv fe D r , fe'v f e O r ;
D : M (a, x, x')
[*81]
D: (ga, x, x’) . M (a, x, x’)
í . (5). (6). *8'28 . D i . (ga, x, x ) . M (a, x,x'). DI-. Prop
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Esto concluye los casos en los que p y q, pero no s, contienen variables
aparentes. Seguidamente consideramos los cuatro casos en los que p y s, pero no q,
contiene variables aparentes.
*8'34. I - ( i r ) . f e . 0 . q
:
((¡r). %x) \ q . D . {(a). ^x] | [(x). jpe]
Poniendo /(x . y, *, u. v) . - . (*x | q) | {(fe | xz) I(fe11x*0). la matriz es
(fe I ~ q) I (/(*. y. *,«,<0 I/(* '. y .
»'))•
(Esta es también la matriz de las proposiciones siguientes).
El prefijo es (a, x, x'): (gy, z, u, v, y ,
»')•
La matriz es equivalente a
f e ^ q . O , f ( x , y, z, u, v) ./( x ', y', / ,
Y
= : 9 D o» jpr. D . ^y D ~
454
«')
/(*,y, z.u, v). = :xx|y. D, f e l x ¿ ‘ f e \ x v:
D ~ j^r.
APENDICE A
Poniendo y = u = y = u = a . z = v = x .z ' = v = x ',se satisface la matriz. Por lo
tanto, Prop.
*8341. h :.(x). 4>x. 3 . 9 : 3 s ((gx)• X®l 19 • 3 • (<*)■$*! I l(g*)- X®)
La matriz es como en la *8'34. El prefijo (a, z, v, z , «') s (gx, y, u, x', y ' , «').
La matriz es equivalente a
</>a 3 9 . 3
9 3 ~ x ® . 3 . ^y 3 ~ x® •
q3 ~
^ ~ X®:
•H ' ^ ~
yx’•3
X s ' • $ u'
^ ~ X®*-
Si <pa es falsa, esto viene a ser verdadero poniendo y = u = y = u = a. Si <pa es
verdadera, la matriz es verdadera si q es falsa. Supongamos q verdadera. Entonces la
matriz es equivalente a
~ X*. 3 . <f>y3 ~ y z. tf>u3 ~ y y : ~ Xx’' ^
^ ~ X^ •
^ ~ x®'Esto es verdadero si xz, X®. xz\ X®' son falsas. Si alguna de ellas, supongamos xz, es
verdadera, hacemos x = x ' = z, y la matriz es verdadera. Esto agota los casos
posibles. Por lo tanto, queda demostrado Prop, mediante la *8 28
*8342. h (a * ). $®. 3 . 9 : 3 : j(x). x®} 19 . 3 . |(gx) • <H | {(x). xx )
La matriz es como antes. El prefijo (después de usar la *8'13) es
(*. y, u, x , y , u ') : (ga, z, ti, *', ti').
Tomemos la matriz M {a, z, v, z \ v'). Entonces,
hs'v.x®*
(-; ~ y x .
3.A/(a.x,*,*,x)
3 . M (a,x'.x’,x',x)
^ : 9 • X* • X®’ • ^
-~ (9
(1)
( 2)
3~x® )*M 93~X ® ’) •
3 . Jí (a, z, »,*',»')
(3)
t:~q-<t>y. 3 — ($y Oq).
3- M (y, z,v,z',v')
(4)
Similarmente, si ~q.<f>u 6 ~ 9 . <¿y' or
. <£u'. Por lo tanto, por las *81 28,
(■: ~ 9 . <f>yv <f>tt v ¿y' v <pu . 3 . (ga, z, o, *',»'), M (a, z, v, z', v)
(5)
h s~$y •~ $ u .~ $ y ' •'^<f>u'. 3 , j>y 3 ~ x * • <jbt¿3~x® • $y* ^~X®/ ■^nl' 3~x®"
3 . í / (a, x, ti, z”,»')
(6)
(5). (6). 3 1- : ~ 9 .
3 . (ga,z, v,z‘, v ) . M(a,z,v,z',ti')
(7)
h, (1). (2). ( 3 ) . (7 ). 3 h . Prop
*8 343. I - ( g x ) . <#>x. 3 . 9 : 3 : ((3®). x®( 17 •3 • ((3®) • <M 11(3®) • X®1
El prefijo para la matriz es (y, *, u, ti, y', u‘, tí): (ga, *, x ).
Llamamos a la matriz
Es verdadera si
También
/(a,x,x').
~ x z .~ y v .~ y z ' •~Xt''
x * - ? - 3 •/(«.*.*)•3 -(3®. ®>*')•/(«> ®,®')
(1)
(2)
Similarmente, si tenemos x® •q o x z . q o x®’ •q
(3)
A partir de las (1) . (2) . (3), mediante la *8 28, 9 • 3 • (g®.®,®')./(<i,x,x')
(4)
455
APENDICE A
Ahora <¡>a.~ q . D. / ( a,x,xf). Por tanto,
4>y .~ q . D . / ( y , * . * ) . D . (g a ,* ,* ')• / ( « . * . * ')
De manera semejante para <f>z.~y, $y' .~q, <f>z .~q. Por tanto,
4>yv tf>zv <py v <f>z' .~ q . D . (ga, x, x ) . / (o, x, x')
Pero
P o r(5 )y (6 )
(5)
(6)
(7)
. D.
D. (ga, x,x'). / ( a , x.x')
K (4 ).(7 ). *828. D K Prop
En las cuatro siguientes proposiciones, q y r se sustituyen por proposiciones que
contienen variables aparentes, mientras que que p permanece elemental.
*8-36.
h : . p . D . (x ). f x : D : {(x). x x \ I í(«) • ^*1 • 3 • V I {(*) • X®¡
Haciendo q . = . (x). -fyx, «. = . (x). ífrx, la proposición es
(p l~?) I~ 1(®19) l~ (P I«)tTenemos por las definiciones
~ 9 - = -(a 6. c)-Vrí'l ,K
P | ~ 9 . = . (6, c) . p | (+b | -ifrc).
s\q. = .Cax,y).x!/\^x,
p| ». = .(g * ).p | * «,
~ ( p |s ) - “ -(*.«'M plx*)l(plx«').
Ponemos
Entonces,
(* I? )I~ (p I*) • ” =(*.y) *( a 2-w) • (xy I+■*)I l(pI x*> I(pI x™);-
f(x , y, a, w). = . (*y | x) | ¡(p | **) | (p | x w)\.
~ {(»| q) | ~ (p | *)]. = : (a*,y,x',y')s (z,w,z',w’).f(x,y,z,w)\f(x ,y>',w'),
(PI ~ 9) I~ l(« 19) l ~ (PI *)l • “ : («. y,
?/'): (3 6- c. *, w,
w).
(p | ( f 61te)) | ¡/(x, y, a, i») 1/ 0 ', y',
io')|.
Escribiendo 6X por ~ x*. la matriz es equivalente a
p . 3 . yjrb. \^c : D
^ x D 0y . D : p . D . f e . 0w
\¿rx' D 0y'. D : p . 3 . 6z'.
0w.
Esto se satisface haciendo b = x . c = x ' . z = w = y . z ' = w '= y '. Por tanto, Prop.
La misma matriz aparece en las tres proposiciones siguientes: sólo cambia el prefijo.
*8351. I- p . D . (x>. ->/rx : D : K a *) ■ X®11 ((*) •
■ 3 •PI K a® ) • X*!
Es la misma matriz que en la *8'35, pero el prefijo es O»z,w,x',z, w ) : (g&,c,y,y').
La matriz es verdadera si
Supongamos ~ 9z, y hagamos
f e . 0w. Qz . (hu‘.
y = y' =• z . b - x . c = a'.
Ahora tenemos \¡/x 3 6y . = . ~ \¡/x y p . D . Oz , 0 w : =
matriz es equivalente a
p. Por lo tanto, la
p . D. ifrx. ijrx' : D :.~ ^ rx . D ,f*<p :.~ ^ px' . D : p . D. f e '. <ho',
lo cual es verdadero. De manera similar si ~ Ow v ~ dz' v ~ Ow'. Por lo tanto, se
sigue Prop, por las * 8 1 ‘28.
*8352 h r . p . D . (g x) . + x : 3 : ((x ). %x \ I «3®) • ’H • 3 • PI í(®) • X®1
456
APENDICE A
La misma matriz, pero el prefijo es
(b, c, y, y ') : (a*, *, u> , «'')•
Satisfecha por x = b . x'= c .z = w —y . z = w = y . Por lo tanto, Prop.
*8353.
D. (gx) . ^ x :
: ((gx). Xx\ | ((3*). f x ¡. D . p | ((a*) • X*)
La misma matriz, con el prefijo (6, c , z , w , w ) s(a*, y , y ) .
Si tyb es verdadera y 6z falsa, la matriz se satisface por x —x ’ — b . y —y —z,
porque estos valores hacen \¡/x D Oy y a 4>x' 3 Oy' falsa. De manera semejante, si 1//6
es verdadera y Ow o Oz' o Ow es falsa, y si *¡>c es verdadera, y Oz, 0w, dz' o Ow es
falsa.
Ello permanece para considerar
c •.'tx8z.0w.6z’. Oví.
La segunda alternativa hace la matriz verdadera, porque da
p . 3 . 0 z . 0 w : p . D . 0z’ . Ow'.
La primera alternativa da
p . D .yfrb.yfrc: D : ~ p :
D : p . D . Oz. Ow: p . D . 6z . Ow',
de modo que, de nuevo, la matriz es verdadera. Por lo tanto, Prop.
Esto agota, de nuevo, los casos en los que uno o dos de los constituyentes de
p D q .D .s \q 3 p\s permanece elemental. Esto se mantiene para considerar los
ocho casos en los que ninguno permanece elemental.
Todas éstas tienen la misma matriz
*836.
H:.(*). ifuz. D. (x) . •yx: 3 : ((x). *x] | ((x). ifx]. D.j(x).^x] | ((x).xx|
Poniendo p . = . (x). ^r, q . « • (x). \¡rx, s . = . (x). Xx, tenemos
~ q . = .(ab, c j.'ffclfc.
p I ~ q . = x (a « ) : (&, c ). 4>a | (ir b | f e ) ,
*!</• = •(a*.y)-xyl,K
Pl«. = .(a*. u>).<pz\xw,
~(pl«) • -•(* . w-
®) ■(<#>*lx“ )K«Hx®).
(»l?)l ~ (p|*> • - *(*■ y ) : (a*- w>«. ®) • (xyl^*)|{(«MxwllWHx»))Haciendo / ( « , y ,z .w .u .v ). = . (xy|'fx)|{(<#>í|xtí')l(<Mx®)]- Entonces
~K*I?)I ~ (p | *)}•-: (3 *. y, y ') : (*. W,«. «, z , w ' , «').
/< * . y. *, w ,«, w ) |/( x \y ', i ' , «'),
( p I ~ « ) I ~ K» 19 ) I ~ ( p l»)! • - * (<*. *. y-
y) ■ (a * , c, *, w. i», v. y . « / , « / ) .
I( f 61*«)) I(/(*. y. *. *®.«. « )|/(* \ y', / , w ' . »'))•
Escribiendo OJt por ~ x£, la matriz es equivalente a
<¡>a. 0 . yjzb .ifrcxDx. -y/rx D Oy . 0 . <frz D Ow. <f>uD Ov:
w’.^ u ’OOv'.
Esto se satisface por 6 = x . c = x '. x « u « *' = u' •» a . w = » = y . t*' = »' = y'
Por lo tanto, Prop.
457
APENDICE A
*8 361. (■:.(*). 4>x. 3 . (*). ifrx: 3 s {(a*).*x) | ((*). 0-x). 3 . {(x). 0x) | [(gx). x*'¡
Es la misma matriz, pero “todos” y “ alguno” se intercambian en argumentos
para x. es decir, en y, w, v, y', w , v . Las variables 3 son, por lo tanto, b, c, y, y , z,
z \ u, u .
Si ~ <t>a, ponemos z = u = z’ = u = a, y la matriz se satisface.
Si 0a es verdadera, la matriz es verdadera si ~ \¡/b v ~ 0c, es decir, si
~ 0* v ~ 4>x', ya que b y c son arbitrarios. Supongamos 0x, 0 * . Entonces la
matriz se reduce a
0 y . 3 . 0z 3 0 w . 0u 3 0 v : 0y . 3 . 0z' 3 0to‘ . tf>u 3 0v.
Si 6w, 6v, Ow', Bv' son todas verdaderas, esto es verdadero.
Si ~ 6w, hacemos jk = y = w, y la matriz se satisface.
Similarmente, si ~ Ov, ~ 6w' o ~ 0 v . Por lo tanto, Prop.
*8362 h :. (* ). 0jt. D. (g s ). -0*: D: ((x).
|[<g * ). -f z ). I). [(¡r). 0x) |¡(x).
La matriz es como en la *8'36. El prefijo resulta de la *8 36 intercambiando
“ todos” y “ algunos” entre los argumentos 0 , esto es b, c, x, x '. Por lo tanto, la
Prop resulta de las mismas sustituciones como en la *8'36.
*8363. h :.(« ). 0 « . 3 . ( g x ) . 0 x : 3 : ((g x ). **) |{(g.r). 0-x|.
3.|(x).0x¡U (gx).x*|
Resulta del intercambio entre “ todos” y “ algunos” , en la *8'361, en los
argumentos 0 , a saber, b, c, x, x'. Las variables 3 son, por tanto,*, x ' , y , y , z, z',
w, w , y la prueba se desarrolla exactamente como en la *8'361, intercambiando x,
x y b, c.
*8 364. h (g x ). 0 x . 3 . (x).-0.x: 3: {(* ).xx] |((x).-fxj. 3. [(gx).0x¡ |{(x).x*|
La proposición es la que resulta de la *8 36 intercambiando “ todos” y “ algunos”
en los argumentos 0, a saber, a. z, u, z', u . Por lo tanto, los argumentos 3 son a, b,
c, w, v, w , v'. Si Qy es verdadero, hacemos w = v = w = v = y, y la matriz se
satisface. Si 0y es verdadera, hacemos tv = v = w = / = y yy la matriz se satisface.
Supongamos ~ 8y . ~ By. La matriz es verdadera si \ pxD6y y 0*' D 6y' son falsas,
esto es, puesto que By, By son falsas, si 0* y 0*' son verdaderas. Si 0* es falsa,
ponemos b = c = x y a - y \ entonces 0a . D . 0 6 . 0c, es falsa, y la matriz es
verdadera. Si 0 * ' es falsa, ocurre de manera similar. Por lo tanto, tenemos Prop.
*8 365. I-:. (g x ). 0 x . 3 . (x ). 0 x : 3 : |(gx). ^x¡ |[(x). 0-x¡.
3.{(gx).'0 xj|l(gx).xx¡
Prop es lo que resulta a partir de la *8 364 intercambiando “ todos” y “algunos”
en los argumentos x, a saber, y, w, v, y , w, v. Por lo tanto, los argumentos 3 son a,
b, c, y, y . La matriz es verdadera si Bw, Bv, B w , Bv'. Supongamos ~ Bw, y hacemos
y - y = w. La matriz es verdadera si 0* D Qy y \¡/x' D By son falsas, es decir, en el
458
APENDICE A
presente caso, si \¡>x y \¡/x' son verdaderos. Supongamos que uno de ellos es falso, y
pongamos b = x . c = x . Entonces ipb . 0 c es falso. Por lo tanto <pa . O . \j/b . 0 c es
falso si 0a es verdadera; por lo tanto, la matriz es verdadera si 0a es verdadera. Por
tanto, si <pz es verdadera, la matriz es verdadera para a = z. Similarmente, si 0u, 0z'
o <pu' es verdadero. Pero si todas son falsas, la matriz es también verdadera. Por
tanto, es verdadero cuando tenemos ~ Ow y ~ 0x v ~ \¡/x'. Similarmente para ~ Ov,
~ 0 w o ~ Qv'' con ~ \j/x v ~ 0 x \ Vemos que la matriz puede satisfacerse por ~ 9w,
~ 6v, ~ 6w o dv con 0x . 0x . Por lo tanto, puede satisfacerse por
~
v ~ 0v v ~ Ow v ~ 0 v .
Y vimos que es verdadero para 8 w . 0 v . Q w . 0 v ' .
Esto completa los casos. Por lo tanto, Prop
*8 366. b ( a * ) . 0® . 3 . (a *) • 0® : 3 : {(®) . * * ] |((a *) • 0®| •
3
. (( 3 * ) • < H 1[(®) • xx\
Prop es lo que resulta de la *8'364 intercambiando “todos” y “algún” entre los
argumentos 0 , a saber, b, c, x, x'. Por lo tanto los argumentos 3 son a, x, x , w, v,
w, v' . La prueba se realiza como en la *8-364, intercambiando b . c y x . x ' .
*8 367.
h ( a * ) • 0® • 3 . ( a ® ) . 0-®: 3 : ((a® ) •X*) If(3® ) • 0-®) ■
3 . ¡(a®>. 0®] | [(a®). xx\
Prop es lo que resulta de la *8'365 intercambiando “ todos” y “algún" entre los
argumentos 0 , a saber, b, c, x, x . Por lo tanto, los argumentos 3 son a, x, x \ y, y .
La prueba se realiza como en la *8’365, intercambiando b . c y x , x'.
Esto completa los 26 casos de p D q .D s\qD p\s. Por lo tanto, en todas las
proposiciones de los * 1—*S podemos sustituir proposiciones que contengan una
variable. Las pruebas de las proposiciones que contienen 2, 3, 4 ,... variables son
paso-a-paso las mismas. Por tanto, las proposiciones de las *1—*5 tienen lugar todas
como proposiciones de primer orden.
La extensión a proposiciones de segundo orden, después a proposiciones de
tercer orden, y así sucesivamente, se efectúa por pasos exactamente análogos.
Luego, todas las funciones-trazo que pueden demostrarse para proposiciones ele­
mentales pueden demostrarse para proposiciones de cualquier orden.
Quedan por probar ~{(x) . 0x} . = . ( 3 x ) . ~ 0jc y proposiciones similares.
*8-4. H: ~ |(® ). 0®}. = . (a®).~0®
Dedi.
h . *81 .
3 h :0 ® |0 ® .3 .(a y ).0 ® |0 y
K ( l ) . * 8 -2 1 . 3 1-: (a®) . 0®|0®. 3 . (a®, y ) • 0® |0y:
[(*801012)]
3 h :(a ® ).~ 0 ® . 3 .~ ((* ).0 ® J
We have
h :i> |y . = . p |p v 9 |</
3 f : 0 ®|0 y . s . 0 ®|0 ®v 0 y | 0 y
M 3 ).
K (4 ). *8-22-24 . 3 h : 0® |0y. 3 . (a®) * 0®|0®
[(*8011)]
b : • (a®, y ) -/(®.y) • 3 . p : s : (®,y). / (®,y) 3 p
b .( 5 ) .( 6 ) .
3 1-: (a®, y ) : 0 ®|0 y • 3 . (a®). 0 ®|0 ®:
[(*801-012)]
3 h : ~ [(« ). 0 ®|. 3 . (a® ).~0®
( 1)
( 2)
(3)
(4)
(5)
(6 >
(7)
459
APENDICE A
K .(2 ).(7 ).
DI-. Prop
(■:
. <^a:) . s . (a:). ~<^r
Prueba similar
•8'42. I" s-p. 3 . (g®) • : = : (3 a:) . p D <f>x
Deni.
h i . p . D .(a« ). <j>xt = :/>|(~(aar). <j>x] :
[*841]
s:/>|j(«) ■<v
:
[(*8*011)3
3 s (a * ).
[*8'21]
= : (g®) , p D ^ : . D h . Prop
*841.
«843. (■i . p . D . (®) . $ x : = : (*) . p 3
[Prueba similar]
Otras proposiciones de este tipo pueden considerarse como probadas.
*844. I - ( ®) . $ x . D : («).
. 3 . (a). ó® .
Dem.
P <f>z. D : i/re. D . $z. yfrt
I*. ( 1) • *8*1 . D P ss. (3 ® ) (ay)
P. (2). *84243 . D P . Prop
. D: ^ry. D. ^ . ifrz
( 1)
72)
*8-5. Si F(p, q, r, ...) en una función-trazo de proposiciones elementales, y p, q, r,
... se sustituyen por proposiciones de primer orden p u q lt r j , t e n d r e m o s
p s p t . q s q , . r = r „ ... D : F(p, q ,r,...) . a . F{p,,qu r,,...).
Esto resulta de
p , < f > x : 3 : p = p , . 3 . p,|q s p\q . 9|p, a q\p,
P>• = • (3*). <#>«: 3 s p s p , . 3 .p ,|g s p |y . g|p, 3 q\p,
las cuales son muy fáciles de probar.
460
APENDICE C
FUNCIONES DE VERDAD Y OTRAS
En la introducción a la presente edición hemos supuesto que una función puede
entrar en una proposición únicamente a través de sus valores. En efecto, hemos
supuesto que una m atriz/! (0 ! ¿) surge siempre por alguna función-trazo
F(p,q,r,...)
sustituyendo 0 I a, 0 ! b, 0 ! c , ... en lugar de alguna o todas las p, q, r, ..., y que
todas las demás funciones de funciones son derivables de tales matrices por
generalización -e sto es, sustituyendo alguna o todas de las a, b, c, ... por las
variables, y tomando “todos los valores” o “ algún valor” .
Los usos que hemos hecho de este supuesto pueden validarse por definición,
aunque el supuesto no sea universalmente verdadero. Es decir, podemos decidir que
la matemática por sí misma se limite a funciones de funciones que obedecen el
supuesto indicado anteriormente. Esto nos lleva a decir que la matemática es
esencialmente extensional, en lugar de intensionai. En este terreno, podríamos
abstenemos de preguntar si nuestro supuesto es universalmente verdadero o no. Sin
embargo, la pregunta es importante en sí misma, y en lo que sigue sugerimos ciertas
consideraciones sin llegar a una conclusión dogmática.
Hay una pregunta previa, que es más sencilla, y es si todas las funciones de las
proposiciones son funciones de verdad. O, más exactamente, ¿pueden todas las
proposiciones que no contienen variables aparentes construirse a partir de las
proposiciones atómicas por medio del trazo? Si fuese éste el caso, y si fp es
cualquier función de las proposiciones, tendríamos
psq.l.fpsfq.
Por consiguiente, de acuerdo con la definición *13 01,
P = q .1 .p = q.
Habrá, por lo tanto, sólo dos proposiciones, una verdadera y una falsa. Este era
el punto de vista de Frege, pero que no puede aceptarse fácilmente. Frege mantenía
que cada proposición es un nombre propio, ya sea para la verdadera o la falsa. En
terrenos no relacionados con la cuestión que nos ocupa, no podemos considerar las
proposiciones como nombres; pero eso no decide la cuestión de si las proposiciones
equivalentes son idénticas. Esta última cuestión es la que nos interesa. Es decir,
tenemos que considerar si, o en qué sentido, hay funciones fp que son verdaderas
para algunos valores verdaderos de p y falsos para otros valores verdaderos de p.
Dos ejemplos primá facie evidentes son “ A cree p ” y “p se refiere a A". Podemos
461
APENDICE C
tomar estos ejemplos como decisivos. Si A cree p y p es verdadero, no se sigue que
A crea en cualquier otra proposición verdadera q; y si A cree p, y p es falsa,
tampoco se desprende que A crea en ninguna otra proposición falsa q. Otra vez, la
proposición “A es mortal” se refiere a A; pero la proposición “B es mortal” , que es
igualmente verdadera, no se refiere a A. Así, la función “p se refiere a A " no es una
función de verdad de p. Este ejemplo es importante, porque la notación “ 0x ” se
emplea para simbolizar a una proposición con respecto a x, y de este modo la
concepción afectada parece presuponerse en el procedimiento total de las funciones
proposicionales.
Para empezar, debemos distinguir entre una proposición como un hecho y una
proposición como un vehículo de verdad o falsedad. La siguiente serie es de
indicaciones defectuosas: “Sócrates es mortal” , es un hecho de geografía. El sonido
que haría si yo tuviese que decir “ Sócrates es mortal” sería un hecho de acústica. El
acontecimiento mental cuando tomo en consideración la creencia “ Sócrates es
mortal” es un hecho de psicología. Ninguna de ellas introduce la noción de verdad o
falsedad, que es, para la lógica, la característica esencial de las proposiciones.
Volvamos por un momento a la consideración de las proposiciones en cuanto
hechos.
Cuando decimos que la verdad o falsedad es, para la lógica, la característica
esencial de las proposiciones, no se nos debe entender mal. No importa, para la
lógica matemática, qué es lo que constituye verdad o falsedad; todo lo que importa
es que dividen las proposiciones en dos clases, de acuerdo con ciertas reglas.
Tomemos un grupo de símbolos:
*i.
•••
pongamos, como aserciones inexplicables,
im­
T 0>Wi) (m < n),
F(xm) (m <n).
Introduzcamos además el símbolo xr\xs, y supongamos
T(xr\x,) si F(xr) o F(x,);
^(*r|*.) si T(xr) y T(x,).
Supongamos además que, si p, q, s son algunas de las x ’s o cualquier combinación
de ellas por medio del trazo, las reglas indicadas más arriba se aplican a p\q, etc., y
además tendremos:
y lí>l(p|/>)).
en donde " p D q " significa “pífala)” . Además: dado r{p|(q|r)} y T( p) , tenemos
que tener T (r).
Tomando las anteriores como simples reglas convencionales, resulta toda la
lógica de las proposiciones moleculares, sustituyendo “ |- . p" por UT ( p)"Así, desde el punto de vista formal, es irrelevante lo que constituya verdad o
462
APENDICE C
falsedad: todo lo que importa es que, de acuerdo con ciertas reglas, las proposicio­
nes se dividen en dos clases. No importa lo que las proposiciones sean, mientras que
nos contentemos con considerar nuestras proposiciones primitivas como hipótesis
de definición y no como verdades. (Desde un punto de vista filosófico, este
procedimiento formal puede mostrarse para presuponer la interpretación no formal
de nuestras proposiciones primitivas; pero eso no importa para nuestro propósito
actual).
Por medio de la lógica de las proposiciones moleculares, no queremos conocer
nada acerca de las proposiciones, excepto si son verdaderas o falsas. Además,
estamos interesados únicamente en las combinaciones de proposiciones que sean
verdaderas en virtud de las reglas, si sus proposiciones componentes son verdaderas
o falsas. Esto es, —por tomar el ejemplo más simple- afirmamos p|( p\p), pero
nunca afirmamos ninguna proposición p que no tenga alguna estructura molecular
adecuada, aunque creemos que la mitad de tales proposiciones son verdaderas.
Nuestras aseveraciones dependen siempre de la estructura y nunca del mero hecho
de que alguna proposición sea verdadera.
No obstante, surge una nueva situación cuando sustituimos p por 0 I x. Por
ejemplo, tenemos
•■•p I(p Ip)
e inferimos
K 0 !:r|(0 !ír|0 !¡F ).
No podemos explicar la notación 0 ! x sin introducir características de las proposi­
ciones que no sean su verdad o falsedad. Tomemos por ejemplo, la proposición
primitiva (* 8‘1 1)
I-. ( y * ) . 0 ! x | (0 ! a 10 ! b).
La verdad de esta proposición depende de la forma de las proposiciones componen­
tes 0 ! x t 0 ! a, 0 ! b, y no simplemente de su verdad o falsedad. No puede
sustituirse por
"MapKpK? I»1)."
que es verdadera, pero no tiene las consecuencias deseadas. Estamos, por consi­
guiente, obligados a considerar lo que se significa al decir que una proposición es de
la forma 0 I a (en donde a es alguna constante). Esto nos vuelve a “A ocurre en p",
que dimos anteriormente como ejemplo de una función que no es función verdade­
ra. Y esto, encontraremos, nos lleva otra vez a la proposición como un hecho, en
oposición a la proposición en cuanto verdadera o falsa.
Volvamos a nuestros dos ejemplos: “A cree p ” y “p se refiere a A". Evitaremos
ciertas dificultades psicológicas si, para empezar, tomamos "A afirma p ” en lugar de
“A cree p” . Supongamos que “p " es “ Sócrates es griego” . Una palabra es una clase
de sonidos similares. Así, la persona que afirma “ Sócrates es griego” produce, en
sucesión rápida, tres sonidos de los que el primero es un miembro de la clase
“Sócrates” , el segundo un miembro de la clase “ es” , y el tercero es un miembro de
la clase “ griego” . Esta serie de acontecimientos es parte de la serie de acontecimien­
463
APKNDICF. C
tos que constituyen a ia persona. Si A es la serie de acontecimientos que constitu­
yen a la persona, a es la clase de sonidos “Sócrates” , 0 es la clase “ es” y y la clase
“griego” ; luego, “A afirma que Sócrates es griego” es (omitiendo la rapidez de la
sucesión)
(a®» y . * ) . ® e a . y e / 9 . i e 7 . * 4 y w j : 4 2 e ; y | í G a .
Es obvio que esto no es una función de p ya que p ocurre en una función-de-ver­
dad.
Si ahora tomamos “A cree p ", encontramos el asunto aún más complicado,
debido a la duda de que constituye creencia. Algunas personas mantienen que una
proposición debe expresarse con palabras antes de que podamos creer en ella; si esto
fuese así, no habría, desde nuestro punto de vista, ninguna diferencia vital entre
creer y afirmar. Pero si adoptamos un punto de vista menos heterodoxo, diremos
que cuando alguien cree que “ Sócrates es griego” tiene simultáneamente dos
pensamientos, uno de ellos “ significa” Sócrates, mientras que el otro “ significa”
griego, y estos dos pensamientos están relacionados en la forma que denominamos
“ predicación” . Para la finalidad que perseguimos no es necesario definir “ significa­
do” , más que observar que dos pensamientos diferentes pueden “tener el mismo
significado” . La relación “ tener el mismo significado” es simétrica y transitiva;
además, si dos pensamientos “ tienen el mismo significado” , cualquiera de ellos
puede sustituir al otro en cualquier creencia sin alterar su valor de verdad. Así
tenemos una clase de pensamientos, denominada “Sócrates” , los cuales “ tienen el
mismo significado” ; llamemos a esta clase a. Tenemos otra clase de pensamientos,
llamado “griego” , que todos “ tienen el mismo significado” ; llamemos 0 a esta clase.
Denominemos P a la relación de predicación entre los dos pensamientos. (Esta es la
relación que se mantiene entre nuestro pensamiento del sujeto y nuestro pensamien­
to del predicado cuando creemos que el sujeto tiene el predicado. Es totalmente
diferente de la relación que se mantiene entre el sujeto y el predicado cuando
nuestra creencia es verdadera). Entonces, “A cree que Sócrates es griego” es
(fjx, y ) . x t a . y t ¡3. x P y . x, y t C‘A .
Aquí, otra vez, la proposición tal y como ocurre en las funciones de verdad ha
desaparecido.
No es necesario poner ningún énfasis sobre el análisis de creencia indicado más
arriba, que puede estar completamente equivocado. Todo lo que se pretende es
mostrar que "A cree en p" puede muy bien no ser una función de p, en el sentido
en que p ocurre en funciones-de-verdad.
Ahora tenemos que considerar “p se refiere a A ”, ejemplo “ ‘Sócrates es griego’
se refiere a Sócrates” . Aquí tenemos que distinguir: 1) el hecho, 2) la creencia,
3) la proposición verbal. El hecho y la creencia, sin embargo, no levantan proble­
mas diferentes, ya que está bastante claro que Sócrates es un elemento del hecho en
el mismo sentido en el que el pensamiento de Sócrates es un elemento de la
creencia. Y la proposición verbal no crea dificultad, ya que cada caso de la
proposición verbal es una serie que contiene una parte que es un caso de “Sócra­
464
APENDICE C
tes” . Es decir, “ Sócrates” (la palabra) es una clase de la serie de sonidos, digamos \ ;
y “ Sócrates es griego” es otra clase de serie, digamos n\ y el hecho de que
“Sócrates” intervenga en “ Sócrates es griego” es
P « n . D . ( g Q ). Q «X . Q G P.
Asi se nos deja con la pregunta: ¿Qué queremos decir al afirmar que Sócrates es un
constituyente del hecho de que Sócrates es griego? Esto ocasiona el problema de
análisis total. Pero no necesitamos una respuesta final; solamente necesitamos una
contestación suficiente para dar luz a la cuestión acerca de si hay funciones de
proposiciones que no son funciones-de-verdad.
Hay quien niega la legitimidad del análisis. Sin admitir que están en lo correcto,
podemos estructurar una teoría que ellos no necesitan rechazar. Supongamos que
los hechos son capaces de diversas clases de semejanzas y diferencias. Dos hechos
pueden tener semejanza particular; entonces diremos que son relativos al mismo
particular. Otra vez, pueden tener semejanza de predicado, o semejanza de relación
diádica, etc. Diremos que un hecho que se refiere solamente a un particular
concreto si cualesquiera dos hechos que tienen semejanza particular con respecto al
hecho dado tienen semejanza particular entre sí. Dado tal hecho, podemos definir
su particular concreto como la clase de todos los hechos que tengan semejanza
particular con el hecho dado. En ese caso, decir que Sócrates es un constituyente
del hecho de que Sócrates es griego (suponiendo convencionalmente que Sócrates es
un particular) es decir que el hecho es un miembro de la clase de hechos en los que
se encuentra Sócrates. En el caso de una creencia acerca de Sócrates, que es por sí
mismo un hecho compuesto de pensamientos, diremos que una creencia es acerca
de Sócrates si es de la clase de hechos que constituyen una cierta idea que
“significa” Sócrates en cualquier sentido que podamos dar a “significado” . Aquí se
toma una “idea” como clase de hechos físicos, digamos todas las creencias que se
“refieren a” Sócrates.
Podemos definir los predicados mediante un procedimiento similar. Tomemos un
hecho que es únicamente capaz de dos clases de semejanza de la que estamos
considerando, a saber, semejanza particular y semejanza de predicado; tal hecho
será un hecho de sujeto-predicado. El predicado implicado en ello es la clase de los
hechos para los cuales tiene semejanza de predicado.
Supondremos también diferencias de diversas clases: diferencia particular, dife­
rencia de predicado, etc. Estas no son necesariamente incompatibles con la clase de
semejanza correspondiente; ejemplo, R ( jc , x) y R ( jc , >>) tienen semejanza particular
respecto x y diferencia particular respecto de y . Esto hace posible que definamos lo
que significa al decir que un particular ocurre dos veces en un hecho, como x se
encuentra dos veces en R (x, jc). Primero: R (x, x ) es un hecho de relación diádica
porque es capaz de semejanza de relación diádica con respecto a los otros hechos;
segundo: cualesquiera dos hechos que tengan semejanza particular con R (x, x)
tienen semejanza particular entre sí. Esto es lo que queremos decir al afirmar que
R (x. x) es un hecho de relación diádica en el que x aparece dos veces, y no un
465
APENDICE C
hecho de sujeto-predicado. Tomemos ahora un hecho de relación triádica
R (x, x, z). Este es, por definición, un hecho de relación triádica porque es capaz de
semejanza de relación triádica. Los hechos que tengan semejanza particular con
R (x, x, z) pueden dividirse en dos grupos (no tres) de forma que dos miembros
cualesquiera de un grupo tienen semejanza particular entre sí. Esto indica que hay
repetición, pero no si es x o z la que se repite. Los hechos del grupo uno son
R (x. x, c) para una c variable; los hechos del otro son R (a, b, z ) para a y b
variables. Cada hecho del grupo R (x, x, c) pertenece solamente a dos grupos
constituidos por semejanza particular, mientras que los hechos del grupo R (a, b z ),
excepto cuando sucede que a = b, pertenecen a tres grupos constituidos por
semejanza particular. Esto define lo que queremos decir al afirmar que x se
encuentra dos veces y z una vez en el hecho R (x, x, z). Es obvio que podamos
tratar con relaciones tetrádicas, etc., del mismo modo.
De acuerdo con lo expuesto anteriormente, cuando decimos que Sócrates es un
elemento del hecho de que Sócrates es griego, queremos decir que este hecho es un
miembro de la clase de los hechos que es Sócrates.
Cuando empleamos la notación “0 ! x ” para indicar una proposición en la que
interviene “x ” , es un hecho que “x” interviene en “ 0 ! x ” , pero no necesitamos
afirmar el hecho; el hecho hace su trabajo sin tenerlo que afirmar. Es también un
hecho que, si “x ” se encuentra en una proposición p, y p afirma un hecho, entonces
x es un constituyente de ese hecho. Esto no es un ley de la lógica, sino una ley del
lenguaje. Podría ser falso en algunas lenguas. Por ejemplo, antiguamente, cuando se
cometía un crimen en la India, el sumario expresaba que se había cometido “en el
feudo de Greenwich Oriental” . Estas palabras no denotaban ningún constituyente
del hecho. Pero un lenguaje lógico evita las ficciones de esta clase.
La notación de las funciones es una ilustración del principio de Wittgenstein, de
que un símbolo lógico, en ciertos aspectos formales, debe asemejarse a lo que
simboliza. Todos los hechos de los que x es un elemento, de acuerdo con lo dicho
anteriormente, constituye una cierta clase definida por la semejanza particular. Los
diversos símbolos 0x, 0x, x* — se asemejan también entre sí en cierto aspecto,
especialmente que sus mitades del lado derecho son muy parecidas (sin ser exacta­
mente parecidas, porque no hay dos x ‘s exactamente iguales). Los símbolos
R (x, x), R (x, x, z), etc. son adecuados a sus significados por razones similares. Los
símbolos se usan antes de que pueda darse razón de su conveniencia. Para explicar
por qué “ 0x ” es un símbolo apropiado para una proposición relativa a x es, como
hemos visto, un asunto complicado. Pero el empleo del símbolo no es un asunto
complicado. Nuestro simbolismo, como un grupo de hechos, se asemeja, en ciertos
aspectos lógicos, a los hechos que simbolizan. Esto hace que sea un buen simbolis­
mo. Pero su empleo no presupone que tengamos que explicar por qué es bueno, ya
que pertenece a una etapa posterior. Y así, la notación “0x” puede emplearse sin
explicar previamente lo que entendemos por “ una proposición acerca de x ” .
Estamos ya en condiciones de tratar la diferencia entre proposiciones considera­
466
APENDICE C
das como hecho y las proposiciones como vehículo de verdad o falsedad. Cuando
decimos “ ‘Sócrates’ se encuentra en la proposición ‘Sócrates es griego’ ” , tomamos
la proposición factualmente. Tomado de este modo, es una clase de serie, y
‘Sócrates’ es otra clase de serie. Nuestra expresión sólo es verdadera cuando
tomamos la proposición y el nombre como clases. El ‘Sócrates’ que aparece al
principio de nuestra frase no es el que figura en la proposición ‘Sócrates es griego’;
lo que es verdad es que en la proposición interviene otro particular que se le asemeja
mucho. Es, por lo tanto, absolutamente imprescindible para todas estas aseveracio­
nes tomar las palabras y proposiciones como clases de sucesos similares, no como
acontecimientos aislados. Pero cuando afirmamos una proposición, el suceso aislado
es todo lo que es importante. Cuando afirmo “Sócrates es griego” , los sucesos
particulares de las palabras tienen significado, y la aseveración se hace por el suceso
particular de esa frase. Y el dicho de esa frase “ ‘Sócrates’ se encuentra en ella” es
simplemente falso, si me refiero al ‘Sócrates’ que acabo de escribir, ya que era un
‘Sócrates’ diferente al que existía en ella. Así pues, concluimos:
Una proposición como vehículo de verdad o falsedad es un acontecimiento
particular, mientras que una proposición considerada factualmente es una clase de
acontecimiento similar. Es la proposición considerada factualmente la que se
encuentra en expresiones como "A cree en p” y “p se refiere a A ”.
Por supuesto, es posible hacer declaraciones acerca del hecho particular “ Sócra­
tes es griego” . Podemos decir los centímetros que tiene de longitud; podemos decir
que es negro; y así sucesivamente. Pero estas no son las declaraciones de las que se
siente tentado a hacer un filósofo o un lógico.
Cuando se presenta una aserción, se hace por medio de un hecho particular, que
es un caso de la proposición aseverada. Pero este hecho particular es, por así decirlo,
“transparente” ; no se dice nada acerca de él, sino que por medio de él se dice algo
acerca de algo más. Es esta cualidad “transparente” la que pertenece a proposicio­
nes como las que intervienen en las funciones-de-verdad. Este pertenece a p cuando
se asevera p, pero no cuando decimos “p es verdadera” . Así, pues, supongamos que
decimos: “ Todo lo que Jenofonte dijo acerca de Sócrates es verdad” . Pongamos
X ( p ) . = . Jenofonte afirmó p,
S (p) . = . p se refiere a Sócrates
Entonces, nuestro enunciado es
X ( p ) . S ( p ) . D . p es verdadera
Aquí la participación de p no es “ transparente” . Pero si decimos
x e a . Dx . 0 ! x
estamos aseverando ! x para una clase total de valores de x, e incluso
! x"
continúa teniendo una intervención “ transparente” . La diferencia esencial es que en
el primer caso hablamos acerca del símbolo o creencia, mientras que en el último lo
utilizamos meramente para hablar acerca de algo más. Este es el punto que distingue
467
APENDICE C
las intervenciones de las proposiciones en la lógica matemática de sus intervenciones
en las funciones que no sean funciones-de-verdad.
Intentemos dar una mayor exactitud a este punto. Tomemos la expresión
“ Sócrates tuvo todos los predicados que Jenofonte dijo que tenía” . Llamemos X a
la serie de acontecimientos que dijo Jenofonte. Entonces, si Jenofonte atribuyó el
predicado a Sócrates, podría parecer que tenemos (escribiendo x 4 y 4 z 4 w para la
serie, x, y, z, w)
Sócrates 4 tenía 4 predicado 4 a G X.
Así, pues, nuestra aserción debe ser
Sócrates 4 tenía 4 predicado 4 a G X . Dq Sócrates tenía el predicado a.
Sin embargo, aquí hay una ambigüedad. A la izquierda, “Sócrates” , “ tenía” ,
“ predicado” , y “a ” ocurren como sonidos; a la derecha se presentan como símbo­
los. Esta ambigüedad llega hasta la falacia. Con todo eso, lo que de hecho escribo en
el papel no es el sonido que produjo Jenofonte, sino el símbolo de ese sonido. Así,
pues, estoy empleando un símbolo “ Sócrates” en dos sentidos: (a) para significar el
sonido que Jenofonte produjo en cierta ocasión, (b) para significar un determinado
hombre. Debemos decir:
Si Jenofonte produjo una serie de sonidos que significan lo que se indi­
ca mediante “ Sócrates tuvo el predicado a ” , entonces, lo que esto significa es
verdadero.
Por ejemplo: Si Jenofonte dijo “Sócrates era sabio” , entonces, lo que significa
“Sócrates era sabio” es verdadero.
Pero esto no afirma que Sócrates fuese sabio. Cuando yo afirmo realmente que
Sócrates era sabio, digo algo que no puede decirse hablando acerca de las palabras
que yo utilizo al decirlo; y cuando yo afirmo que Sócrates era sabio, aunque se
produzca un caso de la proposición, sigo sin decir nada acerca de la proposición -e n
particular yo no digo que sea verdad-. Esto es una inferencia no lógica, sino
lingüística.
En las consideraciones precedentes, en modo alguno aproximadas a la verdad,
vemos que hay un enorme abismo entre la aserción de una proposición y una
aserción acerca de la proposición. La p que tiene lugar cuando aseveramos p y la p
que está presente en “A afirma p" en modo alguno son idénticas. La presencia de
proposiciones tal y como se aseveran es más simple que su presencia como algo
sobre lo que se está hablando. En la aserción de una proposición y en la aserción de
cualquier función molecular de una proposición, la proposición no interviene, si
entendemos por proposición la p que aparece en proposiciones como “A afirma p"
o “p se refiere a A ”. Al analizar estos últimos, se encuentra que no están en
contradicción con el punto de vista de que las proposiciones, (entendidas tal como
se presentan cuando se aseveran), únicamente tienen lugar en las funciones verdade­
ras.
468
APENDICE C
Cuando se asevera p, no se produce p realmente, sino que se producen los
elementos de p o bien un caso de p. Lo mismo pasa cuando se asevera una proposi­
ción molecular que contenga p. Así, pues, no podemos inferir p = q, porque
aquí p y q tienen lugar en un sentido en que no se presentan cuando se aseveran las
proposiciones moleculares que los contienen.
A las funciones preposicionales se aplican consideraciones similares. Supongamos
que hay dos predicados a y 0 que se encuentran siempre juntos; podemos incluso
decir que son dos, debido a que a ( x ) y p (x ) son hechos que no tienen semejanza de
predicado. Pero la función proposicional a ( i ) está solamente para usarse a fin de
construir matrices por medio del trazo. El predicado a es una clase de hechos,
mientras que la función proposicional a (x) es meramente una conveniencia simbóli­
ca al hablar acerca de ciertas proposiciones. De este modo, podemos tener
a(Jt) = 0 (¿) sin tener a = 0. En este sentido escapamos a la paradoja primó facie de
la teoría de que las proposiciones únicamente intervienen en las funciones-de-ver­
dad, y las funciones proposicionales se producen únicamente por medio de sus
valores. Las paradojas residen en la confusión que hay entre las proposiciones
factuales y las asertivas.
469
LISTA DE DEFINICIONES
1 3 0 3 . x =y = z
14 01. [( j « ) (</ke)] . t/r (ix) (<f>x)
1 4 0 2 . El(ix)(<l>x)
1 4 03. [(7®)(<^E),(íiE)(^a:)] ./[(ix)(<f>x),
(ix) (i/ra:)!
1 4 0 4 . [ ( i* X f * ) ] j\O xX<f>x)Á»*) W * )l
101 . p O q
233.
301.
302.
pvqv r
401.
402.
434
901.
9011.
902.
9021.
903.
904.
905.
906.
9 07.
908.
p
p.q
pOqOr
3
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111
-i
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p .q .r
~ [(¡e) . <f>x¡
~ (¿ c ). $x
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( * ) . <f>x . v , p
p . v . ( « ) . <¡>x
( a x).<j>x.w . p
p • v . ( a * ) • 4>x
(z) . <¡>x . V . ( a y ) . yjry
( a y ) . f y - v . ( * ) . <j>x
1001 . ( a * ) •
1002. <ft-c D , ifrz
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1003.
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2004
2 0 0 5.
2006.
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2007.
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20071. (a « )-/«
2 0 0 7 2 . [(7a)(<#*x)]
2008. / ( á ( * a ) l
20081. atarla
2101 . f [ & 9 f ( x , y ) \
2102.
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2103.
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22 02.
1102. (x,y, z).<t>(x,y,z)
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2 2 0 1 . aC/3
1101. (x,y).<f>(x,y)
1103.
1104.
1105.
1106.
1301.
1302.
2001. / [ 2 ( ^ ) 1
2002 . a: «(<#>! 2 )
a n /3
LISTA DE DEFINICIONES
2203.
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3201.
22 04.
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3202.
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