ÁLGEBRA PRIMARIA

ALGEBRA
I BIM.
¿Qué conoces acerca del origen de la palabra Álgebra?
El matemático árabe Abuadala Mohamed Ibn Musa, más comunmente llamado
ALJUARIZMI, después de estudiar en la India y asimilar la ciencia hindú, escribe su famoso
libro "AL DJABR W'AL MUKABALA" que quiere decir "Transposición y Reducción de
términos semejantes". Al principio esta nueva disciplina se designó con el nombre
completo de la obra de Aljuarizmi, pero ya en el siglo XVI se suprimía la segunda parte
para llamar simplemente "Al djabr", o sea Álgebra, a la teoría de las ecuaciones.
¿Quién fue el principal forjador del Álgebra moderna?
PACCIOLI (1445 - 1519)
Estuvo muy ligado al arte y a la técnica
renacentista
italiana;
en
1494
publica
su
monumental obra "Summa de Aritmética, Álgebra y
Geometría", en la cual vuelca cuidadosa y
detalladamente todo el conocimiento matemático
hasta entonces
desarrollado, y cuya rápida difusión fue el
inicio de un nuevo florecimiento del
Álgebra.
Paccioli también se adelantó con esta
obra a dar una visión de los progresos que en los siglos posteriores se llegarían a hacer.
SIMBOLOGÍA ALGEBRAICA
SÍMBOLO
×;•;( )
SIGNIFICADO
Operadores de la multiplicación.
Operadores de la división.
Operador radical.
( );[ ];{ }
Signos de agrupación: paréntesis, corchetes y
llaves, respectivamente.
M(x;y) = 2xy2
Monomio de variables "x" e "y".
P(x) = x2 + 2x + 1
Polinomio de variable "x".
x
Variable, es decir letra que puede tomar varios
valores.
Para todo.
Diferente.
EJERCICIOS
Utilizando los operadores de multiplicación y división, efectuar:
*
La multiplicación de 3 por 8
se escribe:
*
3 × 8 = 24
La división de 14 entre 2
se escribe:
3 . 8 = 24
14  2 = 7
14 : 2 = 7
(3 × 8) = 24
Completa según los ejemplos anteriores:
I.
II.
La multiplicación de 5 por 7
A.
La división de 35 entre 5
se escribe: _______ = _______
se escribe: _______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
La multiplicación de 9 por 8
B.
La división de 48 entre 6
se escribe: _______ = _______
se escribe: _______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
III. La multiplicación de 6 por 9
C.
La división de 63 entre 7
se escribe: _______ = _______
se escribe: _______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
Completar según el ejemplo:
•
M(x;y;z) = 3x4y5z4a
•
P(x;y) = -7x6y5
Las variables son: x; y; z
Las variables son: x; y
El coeficiente es: 3a
El coeficiente es : -7
I.
R(a;b;c) = 7a6b9c7
Q(m;n;p) = -4m7n3p2
Las variables son: _______
Las variables son: _______
El coeficiente es : _______
El coeficiente es : _______
III. F(x;y) = 31x4y8a
V.
II.
IV.
S(x;y) = 2abx9y12
Las variables son: _______
Las variables son: _______
El coeficiente es : _______
El coeficiente es : _______
P(y) = 7y7 + ay6
VI.
R(z) = bz9 + 7z5 - 3z
Las variables son: _______
Las variables son: _______
Los coeficientes son: _______
Los coeficientes son: _______
REGLAS DE OPERACIÓN
Caso 1: Sin signos de agrupación
a.
b.
c.
Primero se resuelven las potencias y raíces a la vez.
Segundo se resuelven las multiplicaciones y divisiones a la vez.
Por último se resuelven las adiciones y sustracciones a la vez.
Ejemplo:
3 × 23 +
34 + 2 × 5 -
1.
+
100
+ 9
2
-
+
+
+
2.
=
25  5
=
Caso 2: Con signos de agrupación
a.
Primero se resuelven las operaciones que se encuentran dentro del signo de
agrupación más interno, hasta que desaparezcan todos estos signos.
b.
Luego se procede como en el caso anterior (caso 1)
) ]
[ (
{
3º
}
2º
1º
Ejemplo:
3(5 - 1)2 - [14  2]
3(
2(5 + 3) + 5(9 - 7)
2(
1.
) + 5(
_____ - _____
)
_____ + _____ =
)2 - _____
2.
_____ - _____ =
¡AHORA, HAZLO TÚ!
A. Resolver:
a.
3+2-4-1=
b.
7-3+6-2+8=
c.
11 - 4 + 13 - 2 - 6 + 3 =
d.
19 + 15 - 18 - 10 + 4 - 7 + 9 =
e.
32 - 19 + 43 - 18 + 35 - 53 =
Recuerda resolver de
izquierda a derecha.
B. Resolver:
a.
56  8 + 6 + 3 =
k.
10  5 + 4 - 16  8 - 2 + 4  4 - 1 =
b.
16 - 3 + 5 × 8
l.
6 × 5 × 4  20 + 20  5  4 =
c.
3 + 6 - 18  9 =
m. 6 × 5 + 4 - 8  4 × 2 × 3 - 5 + 16  4 - 3 =
d.
7 × 6  2 + 18 =
ñ.
9 + 5 - 4 + 3 - 8 + 5 × 3 - 20  4 × 3 =
e.
24 - 18  6 × 8 =
o.
40  5 × 5 + 6  2 × 3 + 4 - 5 × 2  10 =
f.
24  6 - 2 + 2 =
g.
2×3+5×8=
h.
16 - 10 + 3 - 81  9 =
i.
50 + 15  5 × 3 - 9  3 × 4 + 6 × 4  6 =
j.
4 × 5 - 3 × 2 + 10  5 - 4 × 2 =
C. Completar en lenguaje matemático según convenga:
1.
Seis veces nueve menos cuatro veces cinco.
__________________________________________________________
2.
Nueve veces ocho más cinco veces siete.
__________________________________________________________
3.
El cuádruplo de seis aumentado en el duplo de once.
__________________________________________________________
4.
El triple de doce disminuido en el duplo de nueve.
__________________________________________________________
5.
El séxtuplo de trece disminuido en el triple de veinte.
__________________________________________________________
JERARQUÍA - SÍMBOLOS DE COLECCIÓN
Observación:
Recuerda resolver primero aquellas operaciones combinadas que se encuentran más al
interior de los signos de colección.
Importante:
{
[
(
3º
2º
1º
}
{[(5 + 6 - 7) + (7 - 2 + 10)] + 10 - 3}
"se suprime paréntesis"
{[
"se suprime corchetes"
4
+
15
] + 10 - 3}
{19 + 10 - 3}
•
]
)
Ejemplo 1:
"se suprime llaves"
26
30  {(15 - 6)  3 + (18 - 3)  5}
30  {
9
30  {
3+
15
 5}
+
3
}
3
"se suprime paréntesis"
"se suprime llaves"
30  6
•
Ejemplo 2:
5
¡AHORA, HAZLO TÚ!
•
Resolver las siguientes operaciones combinadas.
a.
(5 × 6 + 3) + 7 × 8
Rpta. 89
b.
64  8 × 3 - (48  2 + 1 - 1)
Rpta. 0
c.
{5 + (8 × 3  6) - 7}
Rpta. 2
d.
17 - 10 + {14 - 3 + (5 × 8  20)}
Rpta. 20
e.
{55  11 + 66  11 + (77  11 - 11)}
Rpta. 7
f.
[44  11 + 7] + [88  11 × 5]
Rpta. 51
g.
40 + [25 - (3 + 2)]
Rpta. 60
h.
60 + [(4 + 2) - 5]
Rpta. 61
i.
150 - [(5 - 1) - (4 - 3)]
Rpta. 147
j.
250 + [(7 - 2) + (4 - 1) + (3 - 2)]
Rpta. 259
k.
450 - {6 + [4 - (3 - 1)]}
Rpta. 442
l.
520 + {8 - 3 + [9 - (4 + 2 - 1)]}
Rpta. 529
m. (150 - 5) - {14 + (9 - 6 + 3)}
Rpta. 125
n.
500 - {6 + [(14 - 6) - (7 - 2) + (4 - 1)]}
Rpta. 488
ñ.
(30 - 20)  2 + (6 × 5)  3 + (40 - 25)  (9 - 6)
Rpta. 20
o.
[(9 - 4)  5 + (10 - 2)  4] + 9 × 6  18 + 2
Rpta. 8
p.
(9 + 3)5 - 2  (3 - 2) + 8 × 6  4  2 + 5
Rpta. 69
q.
[15 + (8 - 3)5]  [(8 - 2)  2 + 7]
Rpta. 4
r.
9[15  (6 - 1) - (9 - 3)  2]
Rpta. 0
s.
30  {(15 - 6)  3 + (18 - 3)  5}
Rpta. 5
Observación
Para resolver operaciones combinadas en Q se sigue las mismas reglas que para resolver
operaciones combinadas en N, solo que esta vez se usarán números fraccionarios.
•
Ejemplo 1: Resolver
1
3
+
2
2
4
2
- 1
+
- 1
×
•
Ejemplo 2: Resolver
1
2
+
+
1
3
5
- 3
4
4
×
×
1
2
4
3
2
2
+
5
11
+
4
4
6
4
+
16
4
22
4
Ejemplo 3: Resolver
3
4
+
1
2
+
2×3+4×1
+
4×2
6+4
8
1
3
-
+
•
1
4
=
11
1
= 5
2
2
Ejemplo 4: Resolver
1
3
1
×
5
9
4×1-3×1
3×4
3
8
3
4-3
12
+
10
8
+
1
3
+ 1
- 2
4
4
×
×
21
15
4
4
1
2
•
+
1
1
15
1
12
12 × 10 + 8 × 1
8 × 12
4
120 + 8
128
4
1
=
=
=1
96
96
3
3
1
1
15
2
3
1
15
3
2
×
1
A. Resolver:
1 1 1 1
    
2 4 2 4
2.
1 1 1 1
    
3 6 3 6
3
=
¡AHORA, HAZLO TÚ!
1.
2
3
16
×
8
9
5
3
9
16
6.
1 1 1 1 1 1
      
2 5 2 4 2 3
7.
1  1
1 
1
 
 

 5 10   5 10 
=
1
10
3.
1 1 1 1 
    
4 5 5 4
8.
3  1
5 
1
 
 

 2 10   2 10 
4.
1 1 1 1
    
2 3 2 3
9.
1 1 1 1 
    
 4 3 3 4
5.
1 1 1 1
    
5 6 5 6
10.
3 1 2 3
    
5 3 3 5
B. Resolver:
1.
1 1 1
  
7 5 3
2.
2 3 3 3
    
3 9 5 7
3.
3
1
 1
3  2   5
4
4
 4
4.
3  1
2
 1
15  7    23  3 
9  9
9
 9
5.
2  3
4
 1
3  2    4  3 
5  5
5
 5
6.
3
1 1 1
  
7 2 3
7.
3 2 1 2
    
5 3  4 7
8.
1 
5  
 3 5 
   2     2     
7  
 4 7 
2 
R.
R.
R.
R.
R.
R.
1
1
35
1
3
7
5
3
4
27
2
3
1
3
5
2
13
42
R.
307
420
R.
15
4
9.
2 1 1
  
9 7 2
46
R. 63
10.
3 3 1
  
 7 2  35
135
R. 2
11.
1 1 1 1 
    
2 3 3 4
12.
2 1 1 7
   
 5 3 2  30
R.
13.
1 1 1 1
   
 4 2 3  24
R. 1
14.
1 2

2   
2 3

R. 1
15.
7 9

1   
9 2

R. 1
16.
2  18

4   
5 5

R.
1
3
7
2
5
7
R. 1