problemas resueltos de fisica 2

Problemas Resueltos de Fı́sica 2
Alumno
Titular: Ing. Daniel Omar Valdivia
Adjunto: Lic. Auliel Marı́a Inés
25 de Abril de 2013
Índice general
1. Movimientos Periódicos
1.1.
2
Superposición de Movimientos Periódicos . . . . . . . . .
2. Vibraciones libres de los sistemas fı́sicos
2.1. Vibraciones forzadas y amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
3
3. Osciladores Acoplados y modos normales
4
4. Ondas longitudinales en una barra
5
5. Ondas de presión o sonoras
6
6. Ondas transversales en una cuerda
7
7. Desarrollo de los problemas
8
8. Conclusiones
18
A. Anexo 1
19
Bibliografı́a
20
i
Resumen
En este trabajo proponemos estudiar y analizar en forma analı́tica los problemas
que se enuncian en la guı́a de trabajos prácticos de Movimiento Ondulatorio de
la cátedra de Fı́sica 2, correspondiente a la carrera de Ingenierı́a de Sonido. El
informe cuenta de un desarrollo teórico correspondiente a los conceptos teóricos
de la materia y análisis de los resultados obtenidos en cada problema. Además
se incluye las conclusiones de cada uno de los temas de la guı́a de trabajos
prácticos.
Capı́tulo 1
Movimientos Periódicos
Insertemos una referencia bibliográfica al libro [1]. Insertemos una referencia bibliográfica al libro [2]. Insertemos una referencia bibliográfica al libro [3].
Insertemos una referencia bibliográfica al libro [4]. Insertemos una referencia
bibliográfica al libro [5]. Insertemos una referencia bibliográfica al libro [6].
Insertemos una referencia bibliográfica al libro [7]. Insertemos una referencia
bibliográfica al libro [8]. Insertemos una referencia bibliográfica al libro [9]. Insertemos una referencia bibliográfica al libro [10].
1.1.
Superposición de Movimientos Periódicos
2
Capı́tulo 2
Vibraciones libres de los
sistemas fı́sicos
2.1.
Vibraciones forzadas y amortiguadas
3
Capı́tulo 3
Osciladores Acoplados y
modos normales
4
Capı́tulo 4
Ondas longitudinales en
una barra
5
Capı́tulo 5
Ondas de presión o sonoras
6
Capı́tulo 6
Ondas transversales en una
cuerda
7
Capı́tulo 7
Desarrollo de los problemas
Enunciado Problema 1
Una masa al extremo de un muelle oscila con una amplitud de 5 cm y una
frecuencia de 1 Hz (ciclos por segundo). Para t = 0, la masa esta en la posición
de equilibrio (x = 0).
1. Hallar las ecuaciones posibles que describen la posición de la masa en función del tiempo, en la forma x = Acos(wt+α), dando lo valores numéricos
de A, w y α.
2. Determinar los valores de x,
dx dx2
y 2 para t= 38 seg.
dt
dt
Resultados obtenidos: 1) A = 5 cm, w = 2π rad
seg , α = ±π/2. 2)x =
2
√
dx
dx
cm
cm
= 5π seg
cm,
y 2 = −10π 2 3 seg
2
dt
dt
5
2
√
3
Enunciado Problema 2
cm
Un punto se mueve en una circunferencia con una celeridad constante de 50 seg
.
El periodo de una vuelta completa es 6 seg. Para t = 0 la recta que va del punto
al centro de la circunferencia forma un Ángulo de 30o con el eje x.
1. Hallar las ecuaciones posibles que describen la posición de la masa en función del tiempo, en la forma x = Acos(wt+α), dando lo valores numéricos
de A, w y α.
2. Determinar los valores de x,
dx dx2
y 2 para t=2 seg.
dt
dt
rad
Resultados obtenidos: 1) A = 150
π cm, w = π/3 seg , α = π/6. 2)x =
√
dx
dx2
cm
√ cm2
− 75π 3 cm,
= −25 seg
y 2 = 25π
3 seg
dt
dt
8
7. Desarrollo de los problemas
9
Enunciado Problema 3
La ecuación de una cierta onda es:
A (x, t) = 10sin (2π (2x − 100t))
donde x se mide en metros y t se mide en seg. Hallar la amplitud, longitud de
onda, frecuencia y velocidad de propagación. Dibujar la onda mostrando estos
parámetros.
m
Resultados obtenidos:10m,0.5m, 100Hz, 50 seg
.
Enunciado Problema 4
Una partı́cula esta sometida simultáneamente a tres movimientos armónicos
simples de la misma frecuencia y en la dirección x. Si las amplitudes son 0,25,
0,20 y 0,15 mm, respectivamente, y la diferencia de fase entre el primero y el
segundo es de 45o , y entre el segundo y tercero es 30o , hallar la amplitud de
desplazamiento resultante y su fase respecto al primer componente (el de amplitud 0,25 mm).
Resultados obtenidos:A = 0, 51mm, f ase = 33, 4o .
Enunciado Problema 5
Dos vibraciones sobre la misma recta vienen descriptas por las ecuaciones:
y1 = A cos (10πt)
y2 = A cos (12πt)
Hallar el periodo de batido y dibujar un esquema cuidadoso de la perturbación resultante durante un periodo de pulsación.
Resultados obtenidos: 2 seg.
Enunciado Problema 6
Hallar la frecuencia del movimiento combinado en cada una de las siguientes
vibraciones:
1
1. sin (2πt − 2 2 ) + cos (2πt)
2. sin (12πt) + cos (13πt − π/4)
3. sin (3t) − cos (πt)
10
Resultados obtenidos: 1)1 Hz. 2)6, 25 Hz. 3)0, 48Hz.
Enunciado Problema 7
Se cuelga de un muelle un objeto de 1 g de masa y se le deja oscilar. Para t = 0,
cm
el desplazamiento era de 43, 785 cm y la aceleración era de −1, 7514 seg
2 . ¿ Cual
es la constante del muelle?
g
Resultados obtenidos: 0, 04 seg
2.
Enunciado Problema 8
Una masa m cuelga de un muelle uniforme de constante k.
1. ¿ Cual es el periodo de las oscilaciones del sistema?
2. ¿ Cual seria el periodo si la masa m se colgase de modo que:
a) Estuviese sujeta a dos muelles idénticos situados uno junto al otro?
b) Estuviese sujeta al extremo inferior de dos muelles idénticos conectados uno a continuación del otro?
Resultados obtenidos: 1) T0 = 2π
pm
k
2) a)
T0
√
2
b)
√
2T0 .
Enunciado Problema 9
Una varilla uniforme de longitud L se sujeta por un clavo a un poste de modo
que dos tercios de su longitud estén por debajo del clavo. ¿ Cual es el periodo
de las oscilaciones pequeñas de la varilla?
Resp: T0 = 2π
q
2L
3g .
Enunciado Problema 10
Un objeto de 0,5 Kg de masa se cuelga del extremo de un alambre de acero de
N
2 m de longitud y 0,5 mm de diámetro (modulo de Young = 2.1011 m
2 ). ¿ Cual
7. Desarrollo de los problemas
11
es el alargamiento del alambre?. Luego se levanta el objeto una distancia h, de
modo que el alambre deja de estar tirante, y después se deja caer de modo que
N
el alambre recibe un tirón súbito. La carga de la rotura es de 1,1.109 m
2 . ¿ Cual
es el valor posible de h que resiste el alambre sin romperse?
Resultados obtenidos: 0, 25mm.
Enunciado Problema 11
Una varilla metálica de 0,5 m de larga tiene una sección recta rectangular de 2
mm2 de área.
1. Puesta vertical la varilla y teniendo colgada una masa de 60 Kg en su
extremo inferior, se produce un alargamiento de 0,25 mm. ¿ Cual es el
N
modulo de Young ( m
2 ) del material de la varilla?
2. Se sujeta firmemente la varilla por su parte inferior, como se muestra en
la figure, y en su parte superior se aplica una fuerza F en la dirección y,
como esta indicado (paralela a la arista de longitud b). El resultado es una
3
F
flexión elástica dado por y = 4L
Y ab3 . Si se suprime la fuerza F y se sujeta
a la parte superior de la varilla una masa m, mucho mayor que la masa
de la varilla, ¿ Cual es el cociente de las frecuencias de vibración en las
direcciones y y x (es decir, paralelas a las aristas de longitud b y a ?
N
Resultados obtenidos: 1) γ = 6 × 1011 m
2 . 2) b/a .
Enunciado Problema 12
Una barra de aluminio de 200 mm de longitud y con una sección cuadrada de
10 mm de lado se somete a una fuerza de tracción de 12300 N y experimenta
un alargamiento de 0,34 mm. Suponiendo que el comportamiento de la barra es
12
totalmente elástico, calcular el modulo de elasticidad del aluminio.
N
Resultados obtenidos: γ = 7, 23 × 1010 m
2.
Enunciado Problema 13
Estimar la velocidad de propagación de las ondas elásticas en una barra de acero.
m
Resultados obtenidos: 5, 06 × 103 seg
.
Enunciado Problema 14
Calcular observando la figura el modulo de Young, siendo 400 mm la longitud
inicial de la barra y su área 25 mm2 . Calcular la longitud de la barra cuando la
fuerza es 115 N y la fuerza para la cual se produce la rotura de la barra.
Punto P
Punto E
Punto R
Estiramiento unitario
4.5.10-4
6.3.10-4
48.9.10-4
Tensión
90.106 pa
130.106 pa
260.106 pa
Resultados obtenidos: γ = 20 × 1010 Pa, l = 400, 0092 mm, F = 6,5kN.
Enunciado Problema 15
Comprobar que x = A exp−αt cos(wt) es una posible solución de la ecuación:
dx2
dx
+γ
+ w02 x = 0
dt2
dt
Hallar α y w en función de γ y w0 .
Resultados obtenidos: γ = 2α, w02 = w2 + α2 .
Enunciado Problema 16
Se cuelga un objeto de masa 0,2 Kg de un muelle cuya constante es de 80
N
m.
Se
7. Desarrollo de los problemas
13
somete el objeto a una fuerza resistente dada por −bv, siendo v su velocidad en
m
seg . Plantear la ecuación diferencial del movimiento en el caso de oscilaciones
√
libres del sistema. Si la frecuencia de amortiguamiento es de
sin amortiguamiento. ¿ Cual es el valor de la constante b?
3
2
de la frecuencia
Kg
Resultados obtenidos: 3,46 seg
.
Enunciado Problema 17
Si en el problema 16, b es igual a 4 N.seg
y se somete a una fuerza impulsora dada
m
1
, en el estado estacionario,
por F (t) = F0 sin(wt), siendo F0 = 2N y w = 30 seg
determinar la amplitud de la oscilación forzada.
Resultados obtenidos: 1, 28 cm.
Enunciado Problema 18
Consideramos un sistema con una fuerza amortiguadora que sufre unas oscilaciones forzadas con frecuencia angular w.
1. Determinar la energı́a cinética instantánea del sistema.
2. Determinar la energı́a potencial instantánea del sistema.
3. Determinar el cociente entre la energı́a cinética media y la energı́a potencial media. ¿ Cual es la energı́a total del sistema en estas condiciones?
4. ¿Para que valores de w son iguales las energı́as media potencial y cinética?
Resultados obtenidos:
1) 0,5mw2 A2 (sen(wt + δ))2 donde A =
2) 0,5kA2 (cos(wt + δ))2 .
2
3) w
.
w02
4) w = w0 .
F02
,
b
m2 ((w02 −w2 )2 +( m
w)2 )
tan δ =
bw
.
m(w02 −w2 )
Enunciado Problema 19
Un oscilador amortiguado forzado de masa m tiene un desplazamiento variable
con tiempo dado por x = Asin(wt). La fuerza resistente es −bv. A partir de
esta información calcular cuanto trabajo se realiza contra la fuerza resistente
durante un ciclo de oscilación.
Resultados obtenidos:
bA2 w2 T
2
.
Enunciado Problema 20
N
Consideramos un oscilador amortiguado de masa 0,2 Kg, b = 4 N.seg
y k = 80 m
.
m
14
1
. DeterSi la fuerza impulsora es F = F0 cos(wt) siendo F0 = 2N y w = 30 seg
minar los valores de A y δ de la respuesta descripta por x = Acos(wt − δ).
Resultados obtenidos: A = 1, 28 cm, δ = 130o .
Enunciado Problema 21
Se acoplan dos osciladores idénticos sin amortiguar A y B, de masa m y constantes kb y ka , respectivamente, se acoplan juntos mediante un muelle de constante
0
00
kc . Hallar las frecuencias normales w y w y describir los modos normales de
2
oscilación si kc = ka .kb .
Resultados obtenidos: w1 =
q
ka +kb +kc
,
m
w2 =
q
kc
m.
Enunciado Problema 22
Se conectan dos objetos A y B, cada uno de ellos a una masa m, mediante
muelles, según se ve en la figura. El muelle de acoplo tiene una constante Kc y
los otros dos una constante igual a K0 . Si se sujeta B, A vibra a una frecuencia
1
1
de 1,81 seg
. La frecuencia ν1 del modo normal inferior es 1,14 seg
. Encontrar las
ecuaciones de movimiento para A y B. Determinar las frecuencias w1 y w2 de
los modos normales. Cuando B esta sujeto, calcular la frecuencia angular de A.
Resultados obtenidos: w1 =
q
2kc
m
+ w02 , w2 = w0 , wa =
q
kc
m
+ w02 .
Enunciado Problema 23
Una cuerda uniforme de 2,5 m de longitud y 0,01 Kg de masa se somete a una
tension de 10 N. ¿ Cual es la frecuencia de su modo fundamental?
Resultados obtenidos: 10 Hz.
Enunciado Problema 24
Una cuerda de longitud L y masa total M se estira mediante una tension T . ¿
Cuales son las frecuencias de los tres modos normales inferiores de oscilación de
la cuerda cuando estas son transversales?
7. Desarrollo de los problemas
15
Resultados obtenidos:wn = nπ
q
T
LM .
Enunciado Problema 25
Una cuerda estirada de masa m, longitud l y tension T se ve impulsada por
dos fuentes una en cada extremo. Ambas fuentes tienen la misma frecuencia ν
y una amplitud A pero están desfasadas 180o entre si. Determinar el valor mas
pequeño posible de w consistente con las vibraciones estacionarias de una cuerda.
Resultados obtenidos: ν = π
q
T
ml .
Enunciado Problema 26
Se sujeta una varilla uniforme en el centro dejando ambos extremos libres. Calcular las frecuencias naturales de la varilla en la vibración longitudinal. Calcular
la longitud de onda y la cantidad de nodos en el modo n.
2L
.
Resultados obtenidos: n−1/2
Enunciado Problema 27
Calcular la energı́a total de vibración de una cuerda de longitud L fija en los
extremos, que oscila en el modo n con una amplitud A. La tensión de la cuerda
es T y la masa es M .
2
Resultados obtenidos: T A
n2 π 2 sen2 (wt)
.
4L
Enunciado Problema 28
Una cuerda de 4 m de longitud se fija por sus extremos y se le hace vibrar.
La rapidez de las ondas sobre la cuerda es de 20 m/s. Hallar la frecuencia del
armónico fundamental.
Resultados obtenidos: 2, 5 Hz.
Enunciado Problema 29
La longitud de la cuerda de una guitarra es 60 cm y vibra a 245 Hz, en su modo
fundamental.
(a) ¿ Cual es la rapidez de las ondas transversales sobre la cuerda?
(b) Si la densidad lineal es de 0.001 kg/m, ¿ Cual es la tensión?
m
, b) 86, 6N.
Resultados obtenidos:a) 294 seg
16
Enunciado Problema 30
Una cuerda con una densidad de masa 0.004 kg/m se encuentra sometida a
una tension de 360 N y esta fija en ambos extremos. Una de sus frecuencias de
resonancia es 375 Hz. La siguiente frecuencia mas alta es 450 Hz. ¿ Cual es la
frecuencia de resonancia fundamental?
Resultados obtenidos:75 Hz.
Enunciado Problema 31
Comprobar que las siguientes expresiones son equivalentes:
)
1. y = A sin( 2π(x−vt)
λ
2. y = A sin(2π(kx − νt))
3. y = A sin(2π(( λx ) − ( Tt )))
4. y = −A (sinw(t − xv ))
5. y = A Im(exp(2πj(kx − νt)))
Enunciado Problema 32
La ecuación de onda transversal que se mueve a los largo de una cuerda viene
dada por:
y = 0,3 sin(π(0,5x − 50t))
en donde y y x están en cm y t en seg. Hallar la amplitud, la longitud de
onda, el numero de onda, la frecuencia, el periodo y la velocidad de la onda.
Hallar la velocidad transversal máxima de cualquier partı́cula en la cuerda.
1
m
Resultados obtenidos: 0, 3m, 4m, π/2 m
, 25 Hz, 0, 04 seg, 100 seg
, vmax =
m
15π seg .
Enunciado Problema 33
1
Una onda de frecuencia 20 seg
tiene una velocidad de 80
m
seg .
1. Determinar la distancia a la que están dos puntos cuyos desplazamientos
están separados 30o en fase.
2. En un punto dado, ¿ cual es la diferencia de fase entre dos desplazamientos
que se producen en tiempos separados 0,01 seg?
Resultados obtenidos: 1) 0, 33m, 2) 72o .
7. Desarrollo de los problemas
17
Enunciado Problema 34
Se observa que un pulso necesita 0,1 seg para recorrer de un extremo a otro
una cuerda larga. La tension de la cuerda se obtiene haciéndola pasar sobre una
polea y colgando un peso que tiene 100 veces la masa de la misma. Determinar
la longitud de la cuerda. Determinar la ecuación del tercer modo normal.
Resultados obtenidos: 10m. y = Asen( 3πx
10 ) cos(30πt).
Enunciado Problema 35
Se superponen en un medio dos ondas de la siguiente forma:
y1 = A sin(5x − 10t)
y2 = A sin(4x − 9t)
Escribir la ecuación para la perturbación combinada.
Resultados obtenidos: 2A cos(π( π2 x − π2 t))sen(π( π2 x − π2 t)).
Capı́tulo 8
Conclusiones
En el presente trabajo hemos analizado mediante los diferentes problemas
resueltos los conceptos de movimiento ondulatorio periódicos, con amortiguamiento y rozamiento. También se estudiaron los sistemas acoplados y modos
normales de varios resortes. También se estudio ondas longitudinales en una
barra y ondas transversales en una cuerda.
18
Apéndice A
Anexo 1
19
20
10
Bibliografı́a
[1] Marcelo Alonso y Edward J. Finn. Campos y Ondas. Fı́sica Vol 2, 1970.
[2] Adkins. C. Termodinámica del equilibrio. Reverté, 1977.
[3] H.C Abbott, M.M y Vanness. Termodinámica. 2a. edición. McGraw-Hill.,
1991.
[4] Callen H.B. Thermodynamics. Wiley y Sons., 1985.
[5] F. Reif. Physics course. Berkeley, 1983.
[6] C. Thellier, M. y Ripoll. Bases Thermodynamiques de la Biologie Cellulaire.
Masson, 1992.
[7] M. Zemansky y R. Dittman. Calor y Termodinamica. McGraw-Hill, 1985.
[8] E. Fermi. Termodinámica. EUDEBA, 1985.
[9] Manuel Recuero Lopez. Ingenierı́a Acústica. Mc Graw Hill, 1995.
[10] A. P. French. Vibraciones y Ondas. Vol 2. MIT, 1974.
21