APLICACIONES DE LA INTEGRAL

APLICACIONES DE LA INTEGRAL
GUIA 5
La funcion costo total de producir q unidades es C(q) ,tambien CT (q)
derivando esta funcion se obtiene el costo marginal o costo aproximado por
articulo extra que se produzca es decir
dC
dq
Cuando se conoce la función de costo marginal y se desea hallar el costo total
de producir q unidades se debe integrar la funcion costo marginal es decir :
El costo total es la integral del costo marginal CT (q) = ∫
dC
dq
dq
1-EJEMPLO
La función de costo marginal está dada por
d
(C T ) = 0.003q 2 − 0.4q + 40
dq
donde el número de unidades producidas es q. Si el costo fijo por semana son
de $5000, ¿cuál es el costo total de producir 100 unidades por semana?
Solución: Se conoce el costo marginal o derivada de la funcion costo total y
se debe determinar el costo total, por lo tanto debemos hacer el proceso
inverso a derivar, es decir integrar
d
CT = ∫ (CT )dq = ∫ (0.003q 2 − 0.4q + 40)dq
dq
aplicando las propiedades y reglas de la integral indefinida se obtiene
CT (q) = 0.001q 3 − 0.2q 2 + 40q + c
Podemos calcular el valor de la constante c por medio de la condición inicial.
Suponemos que al inicio no se han producido ninguna unidad (es decir, q=0),
pero los costos fijos son constantes independientes de la producción, esto es
CT = costos fijos = 5000 cuando q = 0
Está es la condición inicial, sustituyendo estos valores en la ecuación (resulta
CT = 5000 = 0.001(0) 3 − 0.2(0) 2 + 40(0) + c
de aquí, C = 5000 , por lo tanto reemplazando se obtiene :
C T (q ) = 0.001q 3 − 0.2q 2 + 40q + 5000
De lo anterior tenemos que si q = 100 , entonces C T = 8000 . Así el costo total
de producir 100 unidades por semana es de $8000.
2-EJEMPLO
El costo marginal en función de las q unidades producidas está dado por
dCT
= 3000 − 0.4q
dq
Si el costo total de fabricar cinco unidades es $ 25000, Hallar:
a)Costo total en función de las q unidades producidas
b) Costo fijo
c) Costo promedio
dCT
= 3000 − 0.4q
Como el costo marginal esta dado por la ecuación
dq
a-el costo total se obtiene al integrar la función anterior, es decir
d
∫ dq ( C T ) dq = ∫ ( 3000 − 0 , 4 q ) dq
CT =
CT =
∫ ( 3000
∫ 3000
− 0 , 4 q ) dq
dq −
∫ 0 , 4 q dq
C T = 3000 q − 0 , 2 q
2
+ C
Como el costo total de producir cinco unidades es $25000, entonces
C T = 3000 q − 0 , 2 q
2
+ C
25000 = 3000 ( 5 ) − 0 , 2 ( 5 ) 2 + C
C = 10005
Por lo tanto la función de costo total en función de q unidades es
C T = 3000 q − 0, 2 q 2 + 10005
a) El costo fijo se obtiene cuando q es igual a 0.es decir C F = 10005
b) el costo promedio se obtiene de la ecuación
C =
CT
q
dividiendo el costo total entre la cantidad q así
3000 q − 0, 2 q 2 + 10005
CT =
q
es decir
C T = 3000 − 0, 2 q + 10005 q −1
3-EJEMPLO
La función utilidad total se obtiene al integrar la utilidad marginal es decir .
U =∫
dU
dq
dq
La utilidad marginal en función de las q unidades producidas y vendidas está
dado por
dU
= −2q + 140
dq
Hallar:
a)La función utilidad
b)Si la utilidad cuando se producen y se venden 80 unidades es $ 4400 ¿Cuál
es la función utilidad en este caso?
a)La función utilidad total se obtiene al integrar
d
∫ dq (U ) dq =
∫ (− 2 q + 140 )dq
U = ∫ − 2 qdq + ∫ 140 dq = − q 2 + 140 q + c
Por lo tanto la utilidad es : U = − q + 140q + c
2
b.) Para hallar la constante en la función anterior reemplazamos en la ecuación
U por $4400 y q por 80.
4400 = −(80) 2 + 140(80) + c
se despeja c
4-EJEMPLO
La funcion ingreso total r(q) es la integral del ingreso marginal ( o ingreso
aproximado por la venta de una unidad adicional de producción es decir
r (q) = ∫
dr
dq
dq
El ingreso también es el producto del precio por la cantidad
r = pq
Si el ingreso marginal está dado por
dr
= −4q + 500
dq
en donde q son las unidades vendidas, hallar:
a-Ingreso en función de las q unidades vendidas
b-Ingreso promedio (Demanda)
c-Ingreso cuando se venden 35 unidades
d-Valores de q para los cuales el ingreso es nulo
La función ingreso total se obtiene al integrar el ingreso marginal
dr
= − 4 q + 500
dq
r =
∫ (−
r = −2q
2
4 q + 500
)dq
+ 500 q + c
Entonces el ingreso es r = −2 q + 500 q + c
2
Cuando se venden cero unidades es decir no hay ventas el ingreso es nulo, por
lo tanto si r=0 y q=0 entonces el valor de la constante es c= 0. luego
reemplazando c se obtiene
a.) La ecuación es
r = - 2q 2 + 500 q .
r
q
b.) La ecuación de la demanda es P =
hallado en el punto anterior.
P = −2q + 500
c.) Se reemplaza q por 35.
r = - 2(35)2 + 500(35) =13050
d.) El ingreso es nulo cuando r es cero.
donde se remplaza r por lo
− 2q 2 + 500q
P=
q
y
se
y simplificando
obtiene
el
ingreso
EJEMPLO
INTEGRAL DEFINIDA
La función de ingreso marginal de un fabricante es
dr
1000
=
dq
100q
Si r está en dólares encuentre el cambio en el ingreso total del fabricante si la
producción aumenta de 400 a 900 unidades.
Solución: La función de ingreso es r(q) y queremos calcular la diferencia
r(900)-r(400). Como r(q) es una Antiderivada de r ' (q) =
dr
, por el teorema
dq
fundamental tenemos que
∫
b
a
r ' (q) dq = r (b) − r (a)
por lo tanto,
dr
dq
400 dq
900 1000
=∫
dq
400
100q
r (900) − r (400) = ∫
=∫
900
100
dq
400
q
900
simplificando
900
q −1 / 2+1
= 100
− 1 / 2 + 1 400
= 200q1 / 2
[
aplicando la regla de la potencia para integrales
900
400
= 200 900 − 400
= 2000
]
teorema fundamental del cálculo
como r está en dólares, entonces el Ingreso total de incrementar la
producción de 400 a 900 unidades es $2000.
EJEMPLO
ÁREAS ENTRE CURVAS
EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR Y EXCENTE DEL FABRICANTE
( EC) Y (EF) Y
Objetivos Específicos
Determinar el área entre dos o más curvas y su aplicación en el cálculo del
excedente del consumidor y del productor.
Sea P=f(q) la funcion de demanda para un producto, la funcion indica el
precio P por unidad al que un fabricante vende o suministra q unidades
Sea P=g,esta (q) la funcion de demanda para un producto esta funcion indica
el precio P por unidad al que los consumidores compran o demandan q
unidades
PUNTO DE EQUILIBRIO
Es el punto ( q o , p o ) en el que las curvas de oferta y demandas se intersecan ,
po es el precio por unidad al que los consumidores compraran la
misma cantidad qo de un producto que los fabricantes desean vender a ese
precio es decir po es el precio en el que se presenta estabilidad en la relación
siendo
productor –consumidor
EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR:
Es la ganancia total de los consumidores que estaban dispuestos a pagar mas
que po punto de equilibrio , el EC es la integral entre o hasta qo cantidad de
equilibrio
es el área comprendida por debajo de la funcion de demanda y por encima del
precio de equilibrio
qo
EC= ∫0 [ f (q) − po ]dq es decir
∫
qo
0
[demanda − preciode equilibrio]dq
EXCENTE DEL FABRICANTE
Es la ganancia total de los fabricantes que estaban dispuestos a vender un
producto a precios menores que el precio po de equilibrio , el EF es la
integral entre o hasta qo cantidad de equilibrio
es el área comprendida por debajo del precio de equilibrio y por encima de la
funcion de oferta
EF=
∫
qo
0
[ po − g (q)]dq es decir
∫
qo
0
[ preciode equilibrio − oferta]dq
EJEMPLO
La funcion de demanda para un producto es : p = f ( q ) = 100 − 0.05q
La funcion de oferta para el producto es : p = g (q ) = 10 + 0.1q
Donde p es el precio por unidad de q unidades ,hallar el excedente del
consumidor y del fabricante , bajo equilibrio en el mercado
SOLUCION
Primero se halla el punto de equilibrio igualando las ecuaciones de oferta y
demanda y resolviendo el sistema
Demanda=oferta
100 − 0.05q = 10 + 0.1q
0.15q=90
q=600
cuando q vale 600 p=10+0.1(600)=70 entonces el punto de equilibrio es
po =70 , qo =600 entonces
qo
EC= ∫0 [ f (q) − p o ]dq = ∫0 100 − 0.05q − 70)dq
600
= (30q − 0.05
EF=
∫
qo
0
q 2 600
)
=9000
2 0
[ po − g (q)]dq = ∫ 70 − (10 + 0.1q)dq
0
600
q 2 600
= (60q − 0.1 ) 0 =18.000
2
EJEMPLO
LA CURVA DE LORENTZ
Se utiliza para estudiar las distribuciones de ingresos
Si x es el porcentaje acumulativo de receptores de ingresos ,ordenados de los
mas pobres a los mas ricos , y el porcentaje acumulativo de ingresos , entonces
la igualdad de la distribución de ingresos esta dada por la recta y=x, donde x y
y se representan como decimales
la recta y=x se deforma en la curva de Lorentz
El grado de desviación de la igualdad de ingresos se mide por el coeficiente de
desigualdad para una curva de Lorentz
Este coeficiente se define : como el área entre la curva y la diagonal .dividida
entre el área bajo la diagonal
El coeficiente de desigualdad =
area entre la curva y la diagonal
área bajo la diagonal
Es decir área roja dividida en área total o amarilla,
Halle el coeficiente de desigualdad de la curva de Lorentz definida por:
y=
20 2 1
x + x
21
21
1
CD=
area entre la curva y la diagonal
=
área bajo la diagonal
∫
0
x−(
20 2 1
x + x)dx
21
21
1
∫ xdx
0
ACTIVIDAD
Resolver los siguientes problemas de aplicación de las integrales indefinidas:
1-El ingreso y costo marginal, en miles de pesos, están dados respectivamente
por dr = -2q+150 y
dC
= 50
dq
Si el costo fijo es de $ 1600 miles de pesos, hallar:
a-Función ingreso en términos de la cantidad vendida
b-Función costo total en términos de la cantidad producida
2-La función de costo marginal de un fabricante es
dC
= 0.2q + 8
dq
Si C está en dólares, determine el costo de incrementar la producción de 65 a
75 unidades. Rta. $220
3-La función de costo marginal de un fabricante es
dC
= 0.003q 2 − 0.6q + 40
dq
4-Si C está en dólares, determine el costo de incrementar la producción desde
100 a 200 unidades. Rta. $2000
5-La función de ingreso marginal de un fabricante es
dI
= 250 + 90q − 3q 2
dq
Si r está en dólares encuentre el cambio en el ingreso total del fabricante si la
producción aumenta de 10 a 20 unidades. Rta. $9000
AREAS ENTRE CURVAS
6-Suponga que la ecuación de demanda para el producto de un fabricante está
− ( 0.1q +1)
dada por p = f ( q ) = 10( q + 10)e
donde p es el precio por unidad
cuando se demandan q unidades. Suponga que el equilibrio de mercado ocurre
cuando q = 20 . Determine el excedente de los consumidores bajo el equilibrio
de mercado.
7-La ecuación de demanda para el producto de un fabricante está dada por
200(q + 3)
p = f (q ) = 2
donde p es el precio por unidad cuando se demandan q
q + 7q + 6
unidades. Suponga que el equilibrio de mercado ocurre cuando q = 20 y
p = 325 . Determine el excedente de los consumidores bajo el equilibrio de
22
mercado.
8-Halle el coeficiente de desigualdad de la curva de Lorentz definida por:
y=
11 2 1
x + x
12
12
9--Halle el coeficiente de desigualdad de la curva de Lorentz definida por:
y=
5 2 1
x + x
6
6
10-Determine el excedente del consumidor y del fabricante, bajo equilibrio en
el mercado si la oferta y la demanda son.
a.
p = 22 − 0.8q
p = 6 + 1.2q
p = 400 − q
p = 20q + 100
2
b.
50
q+5
c.
q
+ 4.5
p=
10
p=