MATRICES Y ALGEBRA DE MATRICES INTEGRANTES LINA CRUZ cód.: 080303622018 DANIEL YARA cód.: 080303562018 XIMENA OSORIO cód.: 080303462018 TUTOR: GUSTAVO FLOREZ MOLANO UNIVERSIDAD DEL TOLIMA ALGEBRA LINEAL MELGAR 2019 Matrices El siguiente informe tiene como propósito analizar el concepto de matrices, aplicación y solución de las matrices, la utilización de matrices constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de datos se introducen organizadamente en tablas y bases de datos, por tanto se hará la respectiva explicación de los ejercicios; llevando a cabo la explicación a situaciones en el área financiera. Para empezar con la solución de los ejercicios es importante dar a conocer el significado de matriz. La matriz es un arreglo rectangular de números, ordenado por filas y columnas encerrado entre parénesis la matriz se denota con letras mayúsculas negrita así: A,B,C, la expresión mas usada es: A=[aij] donde i es la ubicación de las filas y j es la ubicación de las columnas de los coeficientes, el tamaño de una matriz se especifica usualmente con los subíndices mxn; ahora se conoce la información base de lo que es una matriz, a continuación, se dará a conocer la ilustración de un matriz: 1 A: 2 3 6 5 4 7 8 9 Como se observa en el ejemplo, la matriz tiene 3 m que esto significa el número de filas por 3 n que indica el numero de columnas de la matriz, podemos afirmar que la matriz tiene un tamaño de 3x3. A continuación, se habla del capitulo 8 enciso 1 del libro matemáticas aplicadas a la administración y la economía quinta edición, donde se evalúa el tamaño de diferentes matrices propuestas en el ejercicio del 1 al 6 se determina el tamaño de la matriz tomando en cuenta el concepto de matriz conocido al comienzo del informe. Ahora bien: los ejercicios del 7 al 30 efectúan las operaciones tales como la suma, resta y multiplicación por un escalar de matrices, se dará una explicación del tema mediante la solución a un problema. Ejemplo 1: Supongamos que hay una empresa que tiene dos productos Ay B estos se distribuyen en las mismas regiones, durante el mismo periodo de tiempo y con el mismo precio donde el producto A es el principal en la compañía y el producto B es el segundario, Dada esta información encuentre las cantidades totales de los dos productos vendidos en las regiones. A B La información de la tabla se puede expresar de forma matricial: A B Para lograr el objetivo que es determinar las cantidades totales vendidas de los productos en las regiones se dice que; Dos matrices A y B del mismo tamaño pueden sumarse (o restarse) sumando (o restando) sus elementos correspondientes. En otras palabras, si A = [aij] y B = [bij] son dos matrices del mismo tamaño, entonces A + B = [aij + bij] y A - B =[aij - bij]. En consecuencia, Tenemos entonces las matrices A, con las ventas del primer producto, y B, con las ventas del segundo, para las mismas regiones y los mismos períodos. Suponiendo que estos dos son los únicos productos que la compañía distribuye, las ventas totales pueden calcularse sumando cada elemento de A con el elemento correspondiente (en la misma posición) de B. Esa es la suma de las matrices A y B: A+B Ahora para aplicar el producto de un escalar con base a el mismo problema, se formulará otra pregunta ¿se necesita saber el precio total en dólares vendido en las 3 regiones durante los mismos periodos de tiempo? Como ya tenemos las cantidades totales de los dos productos el cual se obtuvo mediante la adición de matrices se procede a multiplicar la matriz por un escalar, para lograr el objetivo primero se debe conocer el concepto de la multiplicación de matrices por un escalar asi: La multiplicación de una matriz por un escalar se refiere a la operación de multiplicar la matriz por un número real. Si A = [aij] es una matriz m x n y c es cualquier número real, el producto cA es una matriz m x n obtenida multiplicando cada elemento de A por la constante c. En otras palabras, cA = [caij]. Teniendo en cuenta el concepto del producto de una matriz por un escalar, se procede a realizar En el ejercicio hallamos que la tabla de los productos tiene una constante que es $1000s se toma la constante y se multiplica con cada uno de los coeficientes que se encuentran dentro de la matriz asi se obtiene respuesta a la pregunta formulada para la aplicación de esta operación matricial: observamos que las operaciones básicas como lo es la suma, resta y multiplicación se aplican en la matriz, para dar cumplimiento a la solución de problemas en nuestra cotidianidad, se obtuvo la solución del problema mediante el sistema de matrices, lo cual es muy importante para la realización de inventariado de una empresa. En los ejercicios que se realizaron del capitulo 8 enciso 2 donde se aplica la multiplicación de matrices ya vimos que una matriz puede ser multiplicada por un escalar y también vimos todo sobre el producto escalar ahora es momento de ver la diferencia con el método de la multiplicación de matrices. Para ello es recomendable tener en cuenta muchos puntos de gran importancia, sin estos puntos que mencionaremos a continuación, el proceso de realizar cualquier operación será errónea. La regla más importante en el producto de matrices es que solamente se pueden multiplicar si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de renglones de la segunda. En caso que no sea así, el producto de las matrices será incompatibles bajo la multiplicación. Ejemplo: Un agente de bolsa vendió a un cliente 200 acciones tipo A, 300 tipo B, 500 tipo C y 250 tipo D. los precios por acción de A, B, C y D son $100, $150, $200 y $300, respectivamente. Escriba un vector reglón que represente el número de acciones compradas de cada tipo. Escriba un vector columna que represente el precio por acción de cada tipo. Con el uso de la multiplicación de matrices, encuentre el costo total de las acciones. -Sean P el número de acciones (vector fila), Q el precio de cada tipo (vector columna), entonces: P [200 300 500 250] [200(100) +300(150) +500(200) +250(300)] = 20000 + 45000 + 100000 + 75000 = 240000 El costo total de acciones es de 240.000 Q 100 150 200 300 Observamos que en el ejemplo que la empresa vende al cliente diferentes tipos de acciones con diferentes precios, el cual pide determinar el costo total de las acciones, para esto se desarrolla mediante el proceso de multiplicación de matrices. se observa que el uso de las matrices ayuda de manera significativa al momento de determinar y manejar costos de diferentes tipos de bienes, y también al contrastar la información que pueden existir de dos diferentes situaciones En los ejercicios del capitulo 8 enciso 3 se aplica la reducción de renglones este proceso es llamado también como método de gauss donde se toma un sistema de ecuaciones lineales se transforma en una expresión matricial y por medio de este método se halla el valor de las variables se inicia obteniendo la matriz aumentada, donde se llevara acabo las distintas operaciones entre renglones para al finalizar el proceso se obtenga una matriz ideal donde se indicara el valor de las variables respectivas como se vera en el ejercicio a continuación: EJEMPLO Resuelva el siguiente sistema utilizando el método de reducción de renglones. p – q + r = -1 3 p – 2 r = -7 r + 4 p = 10 Resolviendo a partir de la matriz aumentada asociada al sistema: Dado que la matriz aumentada del sistema finalmente queda escalonada, entonces la solución del sistema es: p = -1, q = 2 y r = 2 Nótese que los valores de p = -1, q = 2 y r = 2 son únicos PREGUNTAS GENERADORAS 1) ¿Entre matrices y determinantes hay diferencias? ¿Cuáles son? Las matrices y los determinantes son herramientas del algebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo. Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasificar valores numéricos atendiendo a dos criterios o variables (conjunto ordenado) de m x n elementos y un determinante es asociado a una matriz cuadrada, permitiendo simplificar operaciones matriciales tales como el cálculo del rango o de la matriz inversa es decir es una operación a aplicar a una matriz. 2) ¿Qué operaciones se pueden definir como matrices? ¿Cuál es el proceso para cada caso? Suma de matrices: Es el Proceso de combinar dos o más matrices en una matriz equivalente, representado por el símbolo +. La suma de matrices sólo se puede efectuar entre matrices con la misma dimensión, es decir, las que tienen el mismo número de filas y el mismo número de columnas. Producto de un escalar por una matriz: un número real es llamado un escalar. El producto escalar de un número real, r, y una matriz A es la matriz rA. Cada elemento de la matriz rA es r veces su elemento correspondiente en A. Producto de matrices: Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. Am x n x Bn x p = Cm x p El elemento c i j del matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos. La traza de una matriz: La traza de una matriz cuadrada A de nxn está definida como la suma de los elementos de la diagonal principal de A. 3) ¿Qué transformaciones elementales se pueden hacer sobre una matriz? Se define como transformaciones elementales de matrices a cualquiera de las siguientes operaciones que podemos realizar sobre la matriz: Intercambiar dos filas (o columnas) de la matriz. Multiplicar una fila (o columna) de la matriz por un número real no nulo. Sumar a una fila (o columna) de la matriz el resultado de multiplicar otra fila (o columna) por un número real no nulo. Además, decimos que dos matrices son equivalentes si podemos pasar de una a otra mediante una transformación elemental. Para relacionar ambas matrices usaremos el símbolo ~. . Se intercambian las filas 1 y 2. . se multiplicado por 2 la fila 1. . se suman la fila 2 la fila 1 multiplicada por 2. 4) ¿Qué significado tiene la inversa de una matriz? Llamamos matriz invertible a una matriz, cuando existe otra matriz que puede ser considera su inversa. Es decir, que una matriz es invertible si se puede calcular su inversa, de forma que al multiplicar la matriz original con la inversa da como respuesta la matriz identidad. Esto significa que A x A-1 = I. 5) Dada una matriz ¿existe siempre su matriz inversa? Desde que el determinante de una matriz sea cero entonces se dice que la matriz no tiene inversa. Las matrices cuadradas siempre tienen su matriz inversa, esto siempre que su delta sea diferente de 0 (cero). Osea que no sea una matriz indeterminada. 6) ¿Cuál es la utilidad de la multiplicación de matrices en la solución de los diferentes cálculos financieros? Se pueden tener matrices de activos con rentabilidades para calcular, por ejemplo, las matrices de correlaciones entre las rentabilidades de los diferentes activos que se tengan. se observa que el uso de las matrices ayuda de manera significativa al momento de determinar y manejar costos de diferentes tipos de bienes, y también al contrastar la información que pueden existir de dos diferentes situaciones Bibliografía Matemáticas para la economía y la empresa M. J. Can´os Dar´os, C. Ivorra Castillo, V. Liern Carri´on Departamento de Economía Financiera y Matemática matematicas-aplicadas-a-la-administracion-airya-5edi.pdf http://esfm.egormaximenko.com/linalg/matrix_operations_definition_es.pdf https://www.esumer.edu.co/images/centroeditorial/Libros/feem/libros/ALGEBRALINEA L.pdf
