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2 Geometría de las cáscaras

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Geometría de las cáscaras
Geometría de las cáscaras
Las curvaturas correspondientes a
los arcos diferenciales dSx y dSy :
cte
x1
x2
y
dS
t1
P
1+
t2
1
x
Q
2+
Este índice , que en general es una función de 1 y 2 , determina las características geométricas de la superficie.
d
R
dS
El factor K= K1.K2 es el denominado
Indice de curvatura de Gauss.
n1
r’y
2
cte
S
r’x
1
1
K2
r' y
1
K1
r' x
1
2
d
2
Geometría de las cáscaras
a) Casos en que K=0
Lamina cilindrica
b) Casos en que K es distinto de cero.
Esfera
Paraboloide hiperbólico
Geometría de las cáscaras
El indice de Gauss clasifica las superficies de las láminas en tres clases:
En 1) se agrupan las láminas esféricas , parabólicas y elípticas.
En la 2) el paraboloide hiperbólico y el hiperboloide de revolución.
En la 3) las láminas desarrollables , cilíndricas y cónicas.
Hiperboloide de revolución
Geometría de las cáscaras
La geometría de láminas de curvatura negativa hace que éstas estén
sujetas a grandes desplazamientos, puesto que pequeñas deformac.
en el plano medio puede dar lugar a grandes flechas transversales.
K (-)
Placa en ménsula
(paraboloide hiperbólico)
Deformaciones inextensibles
K (+)
Lámina con curvatura positiva
No hay deformaciones inextensibles
Geometría de las cáscaras
• Consideraciones para el diseño:
a) Curvatura
b) Condiciones de contorno
Lámina en paraboloide hiperbólico
con vigas de borde rígidas.
Lámina esférica con
gran lucernario.
Geometría de las cáscaras
Superficies de revolución
Son engendradas por el giro o rotación de
una curva plana alrededor de un eje.
esta curva se llama meridiana y el plano
que la contiene plano meridiano.
r
Una superficie de revolución tiene en
Coordenadas cilíndricas la ecuación:
z = z (r)
(depende solamente de r )
r
Geometría de las cáscaras
Superficies de revolución
Si cortamos un elemento de superficie entre dos meridianos adyascentes
Y dos planos próximos paralelos, obtendremos el elemento de la figura:
z
O3
d
r
P
n
O1
d
Q
r2
t1
t2
1
O2
r1
En forma paramétrica:
S
2
R
x = r cos
r=r(
x
y
1,
2)
y = r sen
z=z(r)
Geometría de las cáscaras
Superficies de revolución
dS1 A1 d
d S 2 A2 d
1
2
Siendo A1 y A2 parámetros.
A1 es la long del arco del meridiano para dz = 1
A2 es la long.del arco del paralelo para d = 1
Geometría de las cáscaras
Superficies de revolución
Si de los extremos del paralelogramo curvilíneo PQRS ,trazamos las
direcciones normales desde cada punto de su contorno:
Se puede demostrar que la superficie PQP’Q’ es desarrollable (no plana)
y a lo largo de un paralelo nos describe un tronco de cono.
Geometría de las cáscaras
Superficies de traslación
La curva C designada directriz se traslada paralelamente a su
plano vertical, apoyándose al recorrer su trayectoria sobre la curva C designada generatriz, originando en su movimiento la su –
perficie de traslación indicada en la figura.
Geometría de las cáscaras
Superficies regladas
Paraboloide hiperbólico reglado
Geometría de las cáscaras
Clasificación
PROPIAS
Hiperbólicas
PROPIAS
Hiperbólicas
Geometría de las cáscaras
Superficies de traslación
La expresión analítica de las superficies de traslación de planta
rectangular , en coordenadas cartesianas ,está dado por:
Paraboloide hiperbólico
PROPIAS
Elípticas
PROPIAS
Elípticas
Geometría de las cáscaras
•
Superficies de traslación
Paraboloide elíptico
IMPROPIAS
IMPROPIAS
Geometría de las cáscaras
• Superficies de traslación
Cilindro Parabólico
ESTRUCTURAS LAMINARES
• Estructuras portantes bidimensionales
Superficie curva:
Cáscara
Superficie plana:
Placa
Teoría de las Cáscaras Delgadas
Hipotesis fundamentales:
• El material se supone continuo , isótropo y
homogéneo.
• De comportamiento elástico y lineal.
• Las deformaciones elásticas son pequeñas en
relación al espesor de la cáscara.
• La normal a la superficie media se
mantiene tras la deformación.
• Se podrán despreciar las tensiones
normales perpendiculares a la sup. media.
Teoría Membranal de las
cáscaras de revolución
Las cáscaras de revolución son la
clase más importante de cáscaras
para la construcción de cúpulas y
depósitos.
Además de esto, son más fácil de
describir matemáticamente, y así,
de analizarlas.
Teoría Membranal de las cáscaras
de revolución
La superficie media se genera por la rotación de una curva alrededor
de un eje de la cáscara.
Eje de la cáscara
O1P : Radio de curvatura del meridiano
O2P : Long normal de P hasta el eje
Meridiano
paralelo
n
a
P
t1
O2
O1
Características de las cáscaras
de revolución
•
•
•
Fuerzas normales y fuerzas
tangenciales repartidas
Fuerzas de corte repartidas
Momentos flectores y momentos
torsores uniformemente repartidos
La teoría membranal solo es
aplicable con condiciones de borde
convenientes
• Dependencia del equilibrio de las
fuerzas membranales con las
condiciones de apoyo de una cáscara
• Equilibrio de las fuerzas membranales
con cargas concentradas
Esfuerzos
Normales N y Tangenciales T
M
id
er
T
ia
no
N
T
N
Esfuerzos
Corte Q
id
er
M
n
ia
Q
o
elo
l
a
r
Pa
Q
Esfuerzos
Momentos flectores M y torsores Mt
an
i di
er
M
Mt
o
M
lo
e
l
a
Par
M
Mt
Esfuerzos
Si cortamos un elemento de la cáscara
podremos escribir las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y las de
momentos.
Total de ecuaciones: 6
Total de incógnitas: 10
Hipótesis del estado de
tensiones membranales
Hay 10 incognitas (2 Torsores, 2 Flectores , 2
Tensiones Normales, 2 Tensiones Cortantes, 2
Tensiones Tangenciales)
y solo 6 ecuaciones (3 sumatorias de fuerzas y 3 de
momentos)
El problema es indeterminado interiormente , por
tanto, es necesario considerar las deformaciones para
resolverlo.
Es posible evitar el cálculo mediante una teoría
aproximada , que en muchos casos, da resultados
útiles, esta es la llamada “Teoría Membranal”
Teoría Membranal
Suponiendo que una cáscara tiene el
comportamiento de barras biarticuladas , pero
en dos direcciones, podemos suponer:
En el elemento solo aparecen fuerzas
normales, y no momentos flectores ni
fuerzas de corte.
Teoría Membranal
Si calculamos la cáscara considerando los
momentos flectores y fuerzas de corte, las
tensiones generadas por éstas son pequeñas
respecto a las tensiones generadas por las
fuerzas normales
Existe limitación de esta suposición, en la
medida de que en realidad las membranas no
tienen un comportamiento exacto al de las
barras en dos direcciones.
Limitaciones de la Teoría
Membranal:
• Es aplicable en condiciones de bordes
convenientes.
• No es compatible con la teoría membranal las
cargas concentradas que actúen
perpendicularmente a la superficie media.
• El espesor de la membrana es delgado, esto es,
no es gruesa y tampoco de espesor despreciable.
Teoría Membranal
Hipótesis fundamentales:
•El material se supone
continuo isótropo y
homogéneo.
•De comportamiento
elástico y lineal.
•Las deformaciones
elásticas son pequeñas
en relación al espesor de
la cáscara.
Teoría Membranal
Hipótesis fundamentales:
• La normal a la
superficie media
se mantiene tras
la deformación.
• Se podrán
despreciar las
tensiones
normales
perpendiculares
a la sup. media.
Teoría Membranal de las
cáscaras de revolución
Eje de la cáscara
Meridiano
Paralelo
n
a
P
t1
O2
O1
Hipótesis
• Actúan solo
tensiones
normales (Nx , Ny)
y tangenciales
( Nxy , Nyx )
alojadas en el
plano tangente a
la superficie de la
membrana.
n
Plano tangente
t2
P
t1
Hipótesis Generales
• Las tensiones normales y tangenciales son
uniformes en el espesor de la membrana.
• No existen momentos flectores , ni torsores , ni
esfuerzos de corte.
• Las deformaciones son muy pequeñas , por lo
que se consideran inexistentes.
• Las deformaciones no tienen influencia sobre los
esfuerzos.
• Interesa el cálculo de deformaciones , cuando
interesa hallar esfuerzos complementarios de
borde.
Condiciones necesarias para la
existencia del estado membranal
1. Condiciones de deformación.
Arco
Superficie
membranal
Eje
Eje
Acción de
frenado de
los paralelos
La linea de presiones no coincide
con el meridiano .
La linea de presiones coincide con
el meridiano .
Hay flexión
No hay flexión
Condiciones necesarias para la
existencia del estado membranal
2. Condiciones de apoyo.
N1
Apoyo sin
equilibrio
N1
Apoyo en
equilibrio
Condiciones necesarias para la
existencia del estado membranal
3- Condiciones de
P
carga exterior.
No son compatibles
las cargas
concentradas que
actúen
perpendicularmente
a la superficie
media
N1
N1
Sin equilibrio
Membrana de revolución con
simetría radial
N1
N1
r
n
n
Q
N1 =
Q
2
r sen
Membrana de revolución con
simetría radial
Membrana de revolución con
simetría radial
N1
N2 = R2 ( Z - R1 )
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