Geometría de las cáscaras Geometría de las cáscaras Las curvaturas correspondientes a los arcos diferenciales dSx y dSy : cte x1 x2 y dS t1 P 1+ t2 1 x Q 2+ Este índice , que en general es una función de 1 y 2 , determina las características geométricas de la superficie. d R dS El factor K= K1.K2 es el denominado Indice de curvatura de Gauss. n1 r’y 2 cte S r’x 1 1 K2 r' y 1 K1 r' x 1 2 d 2 Geometría de las cáscaras a) Casos en que K=0 Lamina cilindrica b) Casos en que K es distinto de cero. Esfera Paraboloide hiperbólico Geometría de las cáscaras El indice de Gauss clasifica las superficies de las láminas en tres clases: En 1) se agrupan las láminas esféricas , parabólicas y elípticas. En la 2) el paraboloide hiperbólico y el hiperboloide de revolución. En la 3) las láminas desarrollables , cilíndricas y cónicas. Hiperboloide de revolución Geometría de las cáscaras La geometría de láminas de curvatura negativa hace que éstas estén sujetas a grandes desplazamientos, puesto que pequeñas deformac. en el plano medio puede dar lugar a grandes flechas transversales. K (-) Placa en ménsula (paraboloide hiperbólico) Deformaciones inextensibles K (+) Lámina con curvatura positiva No hay deformaciones inextensibles Geometría de las cáscaras • Consideraciones para el diseño: a) Curvatura b) Condiciones de contorno Lámina en paraboloide hiperbólico con vigas de borde rígidas. Lámina esférica con gran lucernario. Geometría de las cáscaras Superficies de revolución Son engendradas por el giro o rotación de una curva plana alrededor de un eje. esta curva se llama meridiana y el plano que la contiene plano meridiano. r Una superficie de revolución tiene en Coordenadas cilíndricas la ecuación: z = z (r) (depende solamente de r ) r Geometría de las cáscaras Superficies de revolución Si cortamos un elemento de superficie entre dos meridianos adyascentes Y dos planos próximos paralelos, obtendremos el elemento de la figura: z O3 d r P n O1 d Q r2 t1 t2 1 O2 r1 En forma paramétrica: S 2 R x = r cos r=r( x y 1, 2) y = r sen z=z(r) Geometría de las cáscaras Superficies de revolución dS1 A1 d d S 2 A2 d 1 2 Siendo A1 y A2 parámetros. A1 es la long del arco del meridiano para dz = 1 A2 es la long.del arco del paralelo para d = 1 Geometría de las cáscaras Superficies de revolución Si de los extremos del paralelogramo curvilíneo PQRS ,trazamos las direcciones normales desde cada punto de su contorno: Se puede demostrar que la superficie PQP’Q’ es desarrollable (no plana) y a lo largo de un paralelo nos describe un tronco de cono. Geometría de las cáscaras Superficies de traslación La curva C designada directriz se traslada paralelamente a su plano vertical, apoyándose al recorrer su trayectoria sobre la curva C designada generatriz, originando en su movimiento la su – perficie de traslación indicada en la figura. Geometría de las cáscaras Superficies regladas Paraboloide hiperbólico reglado Geometría de las cáscaras Clasificación PROPIAS Hiperbólicas PROPIAS Hiperbólicas Geometría de las cáscaras Superficies de traslación La expresión analítica de las superficies de traslación de planta rectangular , en coordenadas cartesianas ,está dado por: Paraboloide hiperbólico PROPIAS Elípticas PROPIAS Elípticas Geometría de las cáscaras • Superficies de traslación Paraboloide elíptico IMPROPIAS IMPROPIAS Geometría de las cáscaras • Superficies de traslación Cilindro Parabólico ESTRUCTURAS LAMINARES • Estructuras portantes bidimensionales Superficie curva: Cáscara Superficie plana: Placa Teoría de las Cáscaras Delgadas Hipotesis fundamentales: • El material se supone continuo , isótropo y homogéneo. • De comportamiento elástico y lineal. • Las deformaciones elásticas son pequeñas en relación al espesor de la cáscara. • La normal a la superficie media se mantiene tras la deformación. • Se podrán despreciar las tensiones normales perpendiculares a la sup. media. Teoría Membranal de las cáscaras de revolución Las cáscaras de revolución son la clase más importante de cáscaras para la construcción de cúpulas y depósitos. Además de esto, son más fácil de describir matemáticamente, y así, de analizarlas. Teoría Membranal de las cáscaras de revolución La superficie media se genera por la rotación de una curva alrededor de un eje de la cáscara. Eje de la cáscara O1P : Radio de curvatura del meridiano O2P : Long normal de P hasta el eje Meridiano paralelo n a P t1 O2 O1 Características de las cáscaras de revolución • • • Fuerzas normales y fuerzas tangenciales repartidas Fuerzas de corte repartidas Momentos flectores y momentos torsores uniformemente repartidos La teoría membranal solo es aplicable con condiciones de borde convenientes • Dependencia del equilibrio de las fuerzas membranales con las condiciones de apoyo de una cáscara • Equilibrio de las fuerzas membranales con cargas concentradas Esfuerzos Normales N y Tangenciales T M id er T ia no N T N Esfuerzos Corte Q id er M n ia Q o elo l a r Pa Q Esfuerzos Momentos flectores M y torsores Mt an i di er M Mt o M lo e l a Par M Mt Esfuerzos Si cortamos un elemento de la cáscara podremos escribir las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y las de momentos. Total de ecuaciones: 6 Total de incógnitas: 10 Hipótesis del estado de tensiones membranales Hay 10 incognitas (2 Torsores, 2 Flectores , 2 Tensiones Normales, 2 Tensiones Cortantes, 2 Tensiones Tangenciales) y solo 6 ecuaciones (3 sumatorias de fuerzas y 3 de momentos) El problema es indeterminado interiormente , por tanto, es necesario considerar las deformaciones para resolverlo. Es posible evitar el cálculo mediante una teoría aproximada , que en muchos casos, da resultados útiles, esta es la llamada “Teoría Membranal” Teoría Membranal Suponiendo que una cáscara tiene el comportamiento de barras biarticuladas , pero en dos direcciones, podemos suponer: En el elemento solo aparecen fuerzas normales, y no momentos flectores ni fuerzas de corte. Teoría Membranal Si calculamos la cáscara considerando los momentos flectores y fuerzas de corte, las tensiones generadas por éstas son pequeñas respecto a las tensiones generadas por las fuerzas normales Existe limitación de esta suposición, en la medida de que en realidad las membranas no tienen un comportamiento exacto al de las barras en dos direcciones. Limitaciones de la Teoría Membranal: • Es aplicable en condiciones de bordes convenientes. • No es compatible con la teoría membranal las cargas concentradas que actúen perpendicularmente a la superficie media. • El espesor de la membrana es delgado, esto es, no es gruesa y tampoco de espesor despreciable. Teoría Membranal Hipótesis fundamentales: •El material se supone continuo isótropo y homogéneo. •De comportamiento elástico y lineal. •Las deformaciones elásticas son pequeñas en relación al espesor de la cáscara. Teoría Membranal Hipótesis fundamentales: • La normal a la superficie media se mantiene tras la deformación. • Se podrán despreciar las tensiones normales perpendiculares a la sup. media. Teoría Membranal de las cáscaras de revolución Eje de la cáscara Meridiano Paralelo n a P t1 O2 O1 Hipótesis • Actúan solo tensiones normales (Nx , Ny) y tangenciales ( Nxy , Nyx ) alojadas en el plano tangente a la superficie de la membrana. n Plano tangente t2 P t1 Hipótesis Generales • Las tensiones normales y tangenciales son uniformes en el espesor de la membrana. • No existen momentos flectores , ni torsores , ni esfuerzos de corte. • Las deformaciones son muy pequeñas , por lo que se consideran inexistentes. • Las deformaciones no tienen influencia sobre los esfuerzos. • Interesa el cálculo de deformaciones , cuando interesa hallar esfuerzos complementarios de borde. Condiciones necesarias para la existencia del estado membranal 1. Condiciones de deformación. Arco Superficie membranal Eje Eje Acción de frenado de los paralelos La linea de presiones no coincide con el meridiano . La linea de presiones coincide con el meridiano . Hay flexión No hay flexión Condiciones necesarias para la existencia del estado membranal 2. Condiciones de apoyo. N1 Apoyo sin equilibrio N1 Apoyo en equilibrio Condiciones necesarias para la existencia del estado membranal 3- Condiciones de P carga exterior. No son compatibles las cargas concentradas que actúen perpendicularmente a la superficie media N1 N1 Sin equilibrio Membrana de revolución con simetría radial N1 N1 r n n Q N1 = Q 2 r sen Membrana de revolución con simetría radial Membrana de revolución con simetría radial N1 N2 = R2 ( Z - R1 )
