Práctica-de-Productos-Notables-2-para-Tercero-de-Secundaria (1)

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PRODUCTOS NOTABLES II
Por recordatorio:
En Egipto ya
conocían los
productos
notables, pero no
lo calculaban
algebraicamente.
2
C = ab
2
D = ab
A=a
B=b
2
2
Área Cuadrado = a + b + ab + ab
De 1
2
2
2
 (a + b) = a + b + ab + ab
Lo calculaban usando áreas:
b
b
a
b
D
B
ORDENANDO Y REDUCIENDO
b
a+b
a
a
A
Veamos algunos Productos Notables mas:
a
C
1
a
Identidad que ya
conoces
(a  b)2  a2  2ab  b2
BINOMIO AL CUBO
b
(a  b)3  a3  3a2b  3ab2  b3
Para demostrarlo debemos recordar.
Ejemplo:
2
Área = x
3

3
3
Cuadrado
3
2
3
3
2
2
3
(x - 5) = (x) – 3(x) (5) + 3(x)(5) – (5)
3
2
= x – 15x + 75x - 125
x
Área = x . y
x
y
En el cuadrado: su área será:
2
Área = (a + b) …………. 1
Cuadrado
Pero además:
Área
Cuadrado
2
= x + 6x + 12x + 8
x

Rectángulo
2
(x + 2) = (x) + 3(x) (2) + 3(x)(2) + 2
= A+B+C+D
3
a
B
a
x
Y
x
2m
N
3x
2
Y
2c
D
2
2
2
3a b
3ab
2
b
3
3
3
2
2
3
3
2
2
3
a +3a b+3ab +b
x +3x y+3xy +y
3
n
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2
BINOMIO POR TRINOMIO
Observa esta otra
forma del
Binomio al Cubo
………..
Es de la forma.
(a  b)( a2  ab  b2 )  a3  b3
Ejemplo:
3
3
3
3
2

3
(a + b ) = a + b + 3ab (a + b)
3
(x + 2)(x – 2x + 4) = x + 2
3
3
=x +8
3
(a – b ) = a – b – 3ab (a – b)
2

3
(x + 5)(x – 5x + 25) = x + 5
Se denominan semidesarrolladas.
3
3
= x + 125
Se utiliza generalmente para problemas tipo:
Ejemplo
ab = 5
3
Calcular: a + b

3
3
3
3
3
3
3
3
a + b + 3(5)(4) = 64
=
x – xy + y
3
3
2

3
10 
b

7

3
2
x +y
3

x 2
a
(a + b) = (4) (Se eleva al cubo)
3
2
x+y
3
a + b + 3ab (a + b) = 64
=
(a – ab + b )
3
3
2

1
Si: a + b = 4
2
(a + b)
3
a 
3
3
3
100 
4

ab 
3 2
3
2 3
x –x y +y
3
3
=
b
70 
3
=
3
x2  2 x  4
3 2
3
a +b
=
49
=
6
a + b + 60 = 64
(a  b)( a2  ab  b2 )  a3  b3
a +b =4
Ejemplo:
Ejemplo
2
Calcular: x3 
x3 
x3 
1
x
3
1
3
x
 3(6)  216
 18  216
 234
3
(x - 7)(x + 7x + 49) = x - 7
3
3
x3
= x – 343
3
2
=
2
2
=
y 9
=

(a + ab + b )
x–y

x + xy + y
3
3
2
a – b)
1
1
 1 
x3     3(x)   x    216
x
x
 x 
x3
2

1
3
1
3
3
1 3

3
 x    (6) (Se eleva al cubo)
x

x3 
3
(x - 3)(x + 3x + 9) = x - 3
= x - 27
1
Si: x   6
x

2

y 3
m
9
2
3
3
a -b
n
7
3

3

3

3

y2  3
m2 
81 
4
3
3
3
mn 
63 
2 3
3 2
3
a +a b +b
n
=
49
=
6
=
a -b
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Si:
a+b+c=0
3
3
Reducir: K 
3
=
3 x  3 y  3z  0
=
(a - 1) + b + c = 0
=
(a - b)+(b - c)+(c – a) = 0
=
3
 como a + b + c = 0  a + b + c = 3abc
K
3abc
3
abc
K=3
3
x+y+z=0
a3  b3  c3
, si: a + b + c = 0
abc
3
3
a + b + c = 3abc
Ejemplo:

3
a+b+c=0
3
a + b + c = 3abc
xy 
1 1
 0
x y
=
m n p 0
=
3 a  3b  3c  0
=
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1.
Si: a + b = 4
3
Calcular: a + b
ab = 5
3
b) 2
e) 5
Si: x 
1
3
x
Calcular: x3 
4
e) x
6
c) x
10
Efectuar:
L  (3 10  3 2 ) (3 100  3 20  3 4 )
x
y
7.
a3  b3  2
2
3
Calcular: N = a – b
b) 10
e) 1
3
c) 2
3
Si: ab = 3; a + b = 28
Hallar: a + b
c) 3
(a > b)
a) 1
d) 4
8.
3
b) 12
e) 14
a) 1
d) 8
c) 18
ab = 1
Si: a + b = 6; ab = 1.
a) 7
d) 8
9
3
b) 2
e) 5
2
b) x
1
a) 1
d) 4
4.
3
a) x
d) x
b) 20
e) 11
Si: a – b = 2
Hallar:
c) 3
6.
a) 10
d) 12
3.
Multiplicar:
M  (x  1)(x2  x  1)(x  1)(x2  x  1)  1
a) 1
d) 4
2.
5.
b) 2
e) 5
c) 3
Reducir la expresión K si:
2
2
K = (x + 2)(x – 2x + 4) – (x - 3)(x + 6x + 9)
c) 13
a) 37
d) 35
b) 36
e) 39
c) 38
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9.
Si: a + b + c = 0
TAREA DOMICILIARIA Nº 3
Reducir:
M
a3  b3  c3
( a  b)( a  c)(b  c)
1.
Si: a + b = 3
ab = 3
3
Calcular: a + b
a) 1
b) 3
d) -1
e) 4
10. Si: a + b = 5
3
c) -3
a) 0
d) 3
ab = 6
Hallar: a + b
2.
3
a) 35
b) 30
d) 50
e) 100
(x2  y2 )( x2  xy  y2 )( x2  xy  y2 )
d) -1
e) 3
6
3.
6
c) x – y
12. Si se cumple que:
n
n
Indicar el valor de: n
b) 2
d) 6
e) 1
13. Si:
x
1
x
e) 135
5.
c) 116
6.
14. Hallar el valor numérico de:
2
3
4
2
6
4
2
c) 3
3
3
3
b) x
9
e) x
d) x
c) 3
x3
d) 110
a3  3ab2
6
4
a) x
1
b) 120
c) 52
b) 2
e) 5
Efectuar:
L
a) 100
b) 50
e) N.A.
x3
( a  b)3  ( a  b)3
Multiplicar:
 7
Calcular: M  x3 
c) 2
3
M = (x + 1) (x + x + 1) (x - 1) (x – x + 1) + 1
(3 - 1) (9 + 3 + 1) = 728
a) 5
Reducir:
b) 1
e) N.A.
1
a) 1
d) 4
4.
n
1
4
x
a) 40
d) 49
11. Reducir:
b) x + y
Si: x 
Calcular: x3 
c) 45
a) 1
3
2
E = (x + 3)(x – 3x + 9) – (x + 3x + 9)(x - 3)
7.
Para: x  7  2
3
( 5
3
6
c) x
18
3
7 ) ( 25 
3
35 
3
49 )
6
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
Si: xy = 3
Calcular: “x - y”
;
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
3
3
x – y = 170
c) 3
Reducir:
(3 10  3 4 ) (3 100  3 40  3 16 )
a) 50
b) 51
d) 54
e) 58
(3 5  1)(3 25  3 5  1)
c) 52
a) 1
d) 4
15. Si: a + b + c = 0
Hallar:
a3  b3  c3 a  b b  c a  c
E



abc
c
a
b
a) 3
b) 0
d) 4
e) 1
8.
b) 2
e) N.A.
c) 3
Si: x + y + z = 0
Reducir:
M
c) 2
a) 0
d) 3
x3  y 3  z3
xyz

xy
b) 1
e) N.A.
z

xz zy

y
x
c) 2
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9.
Si: a + b = 6
Reducir:
ab = 3
3
12. Reducir: (a2  b2 )( a2  ab  b2 )( a2  ab  b2 )
3
a  b  12
a2  b2
a) 1
d) 3
b) 5
e) N.A.
a) -1
d) 1
c) 4
n
8
4
4
8
4
E = (x + 5)(x – 5x + 25) – (x + 4)(x -4x +16)
Para: x  7  7  7
a)
b)
7
d) 61
11. Si:
c) 60
e) N.A.
x
1
x
n
a) 1
d) 4
b) 2
e) N.A.
14. Si: a  7  5
b  11  7
Calcular: A 
1
a3  b3  c3
6abc
a) 0,5
d) -2
x3
b) -2
e) N.A.
c) 3
b  5  11
 3
Calcular: x3 
a) -1
d) 1
7
n
c) a – b
13. Si: (2 + 1) (4 – 2 + 1) = 65
Calcular: “n”
10. Hallar el valor numérico de:
4
6
b) a + b
e) N.A.
c) 2
3
b) 1
e) N.A.
c) 3
3
15. Si: a + b = 1
6
6
9
9
Reducir: K = (a + b ) – (a + b )
a) (a + b)
d) –ab
3
3 3
b) ab
e) –(a + b)
c) a b
3
6