La teoría de la relatividad especial y un poco más Alberto Bañón mayo 2019 1 Contenido Postulado....................................................................................................................................... 3 Consecuencias del postulado ........................................................................................................ 3 Necesidad de la teoría de la relatividad ........................................................................................ 4 Antecedentes ................................................................................................................................ 6 Abundando en el postulado .......................................................................................................... 8 Simultaneidad ............................................................................................................................... 9 Dilatación del tiempo .................................................................................................................. 10 Contracción de la longitud .......................................................................................................... 11 Viaje a Próxima Centauri ............................................................................................................. 12 La masa........................................................................................................................................ 13 El continuo espacio-tiempo......................................................................................................... 15 Conclusión ................................................................................................................................... 17 Teoría de la relatividad general................................................................................................... 18 Paradojas ..................................................................................................................................... 22 Paradoja del granero ................................................................................................................... 22 Paradoja de los gemelos ............................................................................................................. 23 Dilatación del tiempo para un observador no inercial................................................................ 26 2 Postulado. La teoría de la relatividad especial consiste en un solo postulado, pero antes de mencionarlo vamos a definir que es un postulado y el concepto de observador que aparece en el mismo. Un postulado es algo que se acepta porque si, no se deduce de ningún razonamiento. Pero en ciencia no vale cualquier postulado, es necesario que las conclusiones que se deriven de él se puedan comprobar mediante experimentos. Basta con que un solo experimento produzca valores distintos, a los que el postulado dice que deberían resultar, para que el postulado deje de considerarse válido. Un observador, para la teoría de la relatividad especial, es alguien que está en reposo o moviéndose en línea recta a velocidad constante. Nadie está en reposo o en movimiento de forma absoluta, lo está respecto a un punto de referencia que es preciso establecer de antemano, por eso siempre vamos a decir que un observador está en reposo o moviéndose respecto de otro observador. El postulado de la teoría de la relatividad especial es el siguiente: La velocidad de la luz es la misma para cualquier observador. Esto significa que cuando un observador mide la velocidad a la que se propaga la luz producida por otro observador (que, por ejemplo, enciende una bombilla) obtiene el mismo valor si quien la produce está en reposo, o en movimiento respecto a él. Además, para la luz producida por él mismo también obtiene la misma velocidad de propagación. Esta velocidad es aproximadamente 300.000 Km/s en el vacío y siempre nos referimos a ella mediante la letra c. c = 300.000 km/s Consecuencias del postulado. Las consecuencias del postulado son asombrosas, por contrarias, a lo que estamos acostumbrados a pensar. Supongamos que un observador P se cruza con otro Q que se mueve respecto a él a la velocidad de 100.000 km/s. Justo en el momento de cruzarse, Q enciende una bombilla. Si se cumple el postulado antes enunciado, ambos ven a la luz propagarse a 300.000 km/s. Comparemos lo que ambos dirían cuando ha pasado un segundo. P dice: pasado un segundo la luz se ha alejado de mi 300.000 km, Q dice lo mismo, pero en un segundo Q se ha separado 100.000 km de P. Resultado: Q dice que ve a la luz en un punto que está separado 100.000 Km de donde dice que la ve P. 3 Como los físicos, antes y después de la relatividad, no consideran posible que la luz esté en dos puntos distintos a la vez, interpretan el experimento que acabamos de describir de la siguiente forma: La solución para que, pasado un segundo, P y Q vean la luz en el mismo punto, es que P vea que para Q solo han pasado 2/3 segundo. Así todo encaja. P dice: en un segundo la luz se ha separado de mi 300.000 km, que es la suma de los 200.000 km que se ha separado de Q en 2/3 de segundo más los 100.000 km que se ha separado Q de mí. La explicación no deja de ser sorprendente, P asegura que mientras que para él ha pasado un segundo, para Q sólo han pasado 2/3 de segundo. Pero esto nos parece posible mientras que pensar que la luz está en dos sitios a la vez, nos parece imposible. Pero también hay otra solución, se puede considerar que tanto para P como para Q ha pasado 1 segundo, pero la distancia que P ve alejarse la luz de Q es 2/3 de la que mide Q. Esto es igual de sorprendente, P dice que la luz ha recorrido una distancia respecto de Q que es menor que la distancia que dice Q que ha recorrido respecto a él. Lo que no debería ser sorprendente es que se llegue a estas conclusiones partiendo del postulado de que la velocidad de la luz es la misma para P y Q a pesar de que uno se mueve respecto del otro. No es muy difícil demostrar matemáticamente que la verdadera solución es una combinación de las dos expuestas: para P el tiempo va más despacio y las distancias son más cortas en Q que lo que este último mide. Las fórmulas que relacionan los espacios y tiempos medidos por P, con los que Q mide, son las llamadas transformaciones de Lorentz que habían sido deducidas con anterioridad a la formulación de la teoría de la relatividad, pero interpretadas incorrectamente. En el sencillo ejemplo que acabamos de analizar, las transformaciones de Lorentz dicen que el tiempo medido por P para Q es 0,71 (2/3*1=0,67) y la distancia 212.132 (2/3*300.000=200.000). Vulgarmente diríamos que si dos observadores P y Q tienen que medir la misma velocidad para la luz a pesar de que uno se mueve respecto al otro, cualquiera de los dos verá que el tiempo del otro va más despacio y que las distancias son más cortas, lo necesario para compensar la velocidad entre ambos. Es importante ser conscientes de que no estamos diciendo que el movimiento afecte a la naturaleza de las cosas ni a como estas cosas suceden, tan sólo estamos diciendo que se ve de forma distinta si nos movemos respecto a lo que observamos que si no lo hacemos. Lo que son distintas son dos mediciones hechas por un mismo observador y la diferencia no es culpa del movimiento, este lo único que hace es poner de manifiesto lo que el postulado establece. Necesidad de la teoría de la relatividad. 4 A las velocidades habituales en nuestro entorno, incluso a la fantástica velocidad de 30 Km/s con la que la Tierra circula alrededor del Sol, los cambios en las medidas del tiempo y longitud son prácticamente imperceptibles, pero los equipos de medida son lo suficientemente precisos para observar dos cosas: Cualquier rayo de luz producido en un punto de la Tierra se mueve a la misma velocidad con independía de la dirección que lleve el rayo y sea cual sea el punto que ocupe la Tierra en su órbita alrededor del Sol. La velocidad de la luz que nos llega de las estrellas es la misma con independencia de si proviene de una que se aleja de nosotros, como si es de una que se acerca. La teoría de la relatividad se limita a elevar estos resultados a la categoría de postulado. Así partimos con algo ganado, la teoría nace de acuerdo con los experimentos conocidos. Esto no tendría mucho valor si de la teoría no se dedujera nada más, pero ya hemos visto que de ella se deriva una cosa asombrosa: vemos pasar el tiempo más despacio en los mundos que se mueven respecto a nosotros que en los que no lo hacen. Una forma de contrastar cualquier teoría es hacer experimentos mentales, ver que se deduce de ellos y luego diseñar experimentos reales para ver si se cumple. Por ejemplo, se sabe que unas partículas llamadas muones se desintegran con gran rapidez. En los laboratorios de la Tierra lo hacen aproximadamente en 2 microsegundos. Estás partículas nos llegan del espacio exterior a velocidades cercanas a la de la luz y en el año 1941 se hizo un experimento que permitió deducir el tiempo de desintegración que tenían estos muones, resultó que era apreciablemente mayor que el que mediamos para los muones en nuestros laboratorios. De esta forma se comprobaba lo que se había previsto, vemos que por ellos pasa el tiempo más despacio si se mueven respecto a nosotros. Experimentos posteriores, más precisos, confirmaron que el valor que medimos para el tiempo de desintegración de los muones que llegan del espacio concuerda, con total exactitud, con el valor que predice la teoría de la relatividad para la velocidad con la que llegan. En los apartados siguientes vamos a examinar algunos experimentos mentales que nos llevarán a deducir que un observador, además de observar que el tiempo pasa de forma distinta en los mundos que se mueven respecto a él, que en los mundos que no lo hacen, también mide longitudes distintas, incluso mide masas distintas para los objetos materiales. Se trata de experimentos muy sencillos de carácter geométrico, pero si no estamos atentos, nos acabarán convenciendo de que el tiempo no es el mismo para quien está en movimiento que para quien no lo está, cuando lo que muestran es una cosa distinta: muestran que un observador que mide mediante rayos de luz obtiene tiempos distintos, entre dos acontecimientos, cuando el observador se mueve respecto a ellos que cuando no lo hace. 5 Como parece un contrasentido que se llame de la relatividad a una teoría cuyo único postulado dice que la velocidad de la luz es absoluta. Vamos a recordar los antecedentes que justifican que se llame así. Antecedentes. Aunque inicialmente se percibía una diferencia sustancial entre estar en reposo o en movimiento, la cosa cambia a partir de Galileo. Si a un objeto se le aísla suficientemente de lo que le rodea no hay forma de saber si está quieto o moviéndose, además, si no se hace nada “a propósito”, el objeto permanece indefinidamente en su estado de reposo o movimiento. A esta clase de movimientos se les denomina inerciales. Galileo postuló que cualquier experimento dará el mismo resultado, tanto si estamos en reposo, como si estamos en movimiento inercial. Podemos observar que dos objetos se mueven uno respecto del otro, pero no podemos decir que uno está en reposo y el otro en movimiento, el movimiento es relativo. Es la teoría de la relatividad de Galileo. Galileo llegó a esta conclusión a partir de su propia experiencia navegando en un barco por un lago de aguas tranquilas, “a veces me despierto en mi camarote y no soy capaz de saber si el barco está parado o en marcha, si dejo caer una gota desde cierta altura sobre una botella, de cuello estrecho, siempre cae dentro sin importar si el barco está quieto o moviéndose (la intuición le decía que si el barco se movía en una dirección la gota tendría que caer por detrás de la botella), etc.”. Para no ser cansino, en adelante siempre que se diga “en movimiento” se sobreentiende inercial, es decir, “en movimiento rectilíneo y uniforme”, acercarse o alejarse serán sinónimos de “moviéndose”. En los tiempos de Galileo (1638) en el universo lo único que se movía eran los objetos materiales, pero pronto se reparó en un nuevo tipo de movimiento: el movimiento ondulatorio o propagación de las ondas y ya en 1678 Huygens publicó sus principios sobre este tipo de movimiento. Era fácil apreciar una diferencia entre el movimiento de las partículas y el de las ondas, mostrémoslo mediante el ejemplo del barco. Si cuando vamos navegando tiramos una piedra verticalmente hacia arriba, la vemos subir y bajar hasta caer exactamente sobre nosotros. La piedra, además de hacia arriba y abajo, se ha seguido moviendo con la misma velocidad y dirección que lleva el barco. Como diría Galileo, el experimento de lanzar piedras no permite saber si el barco está en movimiento o parado. Sí, por el contrario, dejamos caer una piedra al agua, se forma una onda en el punto de contacto y la onda se desplaza en círculos concéntricos, desde el punto de contacto, a una velocidad que es totalmente independiente de la velocidad del barco. La onda tiene vida propia y su velocidad depende el material sobre el que se forma, en este caso el agua. 6 Observando cómo se propaga la onda respecto del barco es fácil saber si el barco está quieto o se desplaza, pero esto no va contra el principio de Galileo por que en definitiva sólo nos dice si el barco está en movimiento o en reposo respecto del agua del lago. La cosa parece cambiar cuando en 1864 Maxwell deduce que la luz es un fenómeno de carácter ondulatorio. La diferencia, respecto a las ondas de Huygens, es que se mueve en el vacío. Utilizando las fórmulas con la que Maxwell había unificado todo lo que se sabía sobre campos eléctricos y magnéticos obtuvo que la velocidad de la luz en el vació es: μ0 (permitividad eléctrica) y ε0 (permeabilidad magnética) son dos propiedades del vació que ya se habían medido experimentalmente en tiempo de Maxwell y que al sustituirlas en la fórmula anterior da para v un valor de aproximadamente 300.000 km/s. Fue esta coincidencia con el valor que se conocía para la luz lo que llevo a Maxwell a postular que la luz era una onda electromagnética. Pero lo realmente asombroso era que se trataba de una velocidad que no estaba referida a nada, tiene un valor absoluto sin más. La interpretación de la época fue que el vació debía de estar lleno de una substancia peculiar que se denominó éter (ether) y que esa velocidad era respecto a dicho éter. Además, esta invención del éter venía bien para dar un soporte material a la propagación de las ondas electromagnéticas como lo tenían las ondas de Huygens. De ser esto cierto, el éter podría ser la referencia absoluta que se estaba buscando para discernir si algo está en reposo o en movimiento con carácter absoluto. Michelson y Morley, en 1887, diseñaron un experimento para ver si la Tierra estaba en reposo o en movimiento respecto al vacío, o al éter caso de que este existiera. Ya se sabía que siempre no podía estar en reposo porque su trayectoria no es rectilínea y en su desplazamiento por la órbita alrededor del Sol hay momentos en los que va en dirección contraria a la que lleva en otros momentos. Midiendo la velocidad de la luz en varias direcciones se obtendrían valores diferentes que nos permitirían deducir la velocidad con la que la Tierra se mueve en el vacío, como en el caso del barco respecto del lago. Pero resultó que la luz se comportaba como una piedra, el punto en que se crea el destello se mueve con el barco y al medir la velocidad en cualquier dirección siempre es la misma: 300.000 km/s cuando se propaga en el vacío. FitzGerald (1889) y Lorentz (1892) trataron de explicar los resultados del experimento de Michelson y Morley mediante el llamado “viento del éter”, los cuerpos se contraen en la dirección del movimiento al viajar a gran velocidad por el éter. Es como si se aplastasen al abrirse camino contra el éter. Pero está explicación es lo que se denomina 7 una explicación “ad hoc” sin valor científico, algo así como que las cosas caen porque su naturaleza es caer, que decía Aristóteles. Por otra parte, en 1913 Willem De Sitter dedujo, a partir de las orbitas observadas para las estrellas dobles, que la velocidad de la luz que mediamos en la Tierra proveniente de las estrellas también era c con independencia de que la estrella de la que provenía se estuviese alejando o acercando a nosotros (este hecho es posterior a la publicación de la teoría de la relatividad especial, pero nos viene bien cuando la estudiamos en nuestros días). La teoría de la relatividad especial acepta estos hechos experimentales y postula que la velocidad de la luz siempre es c con independencia de donde se produzca y de quien la observe. La teoría no pretende explicar por qué ocurre esto, sólo afirma que ocurrirá y por eso es un postulado. La teoría de la relatividad de Galileo establecía que el movimiento es relativo, no se puede distinguir entre reposo y movimiento inercial por procedimientos mecánicos, Einstein la extiende y establece que tampoco mediante la luz (o cualquier otra radiación electromagnética). Según el propio Einstein, el experimento de Michelson y Morley no influyo en él de forma importante a los efectos de establecer la teoría de la relatividad, la importancia capital la tuvo la formula de la velocidad de Maxwell como un valor absoluto no referido a ningún sistema de referencia y que por tanto debía ser el mismo para todos. Abundando en el postulado. La velocidad de la luz es la misma para cualquier observador. Aunque siempre mencionamos a la luz, si consideramos que entre causa y efecto ha de mediar una interacción y asumimos que para todos los posibles tipos de interacción se cumple el mismo principio que para la luz, es decir, su velocidad de transmisión es independiente del observador, entonces, cuando un observador ve a otro en movimiento respecto de él, no sólo verá ir más despacio el tiempo, también las reacciones químicas y en definitiva lo verá envejecer más lentamente. Podemos pensar que quizás encontremos una interacción que no se comporte como la luz, pero si existiese tendríamos que renunciar al principio de que las leyes físicas son las mismas en todas las partes del universo, ya que las leyes no serían la misma para un cuerpo en reposo que para uno en movimiento, que en el fondo es lo que establece la teoría de la relatividad. Lo dicho hasta aquí es lo esencial de la teoría de la relatividad y nos muestra como un simple postulado puede cambiar tan radicalmente el concepto del tiempo, que pasa de tener carácter absoluto: el mismo para todos los observadores, a relativo: el tiempo depende del observador que lo mida. Lo mismo para el concepto distancia y con la masa. 8 Lo que viene a continuación es abundar sobre lo dicho con sencillos ejercicios de geometría, excepto el apartado referido a la masa que hace intervenir el principio de la conservación de la cantidad de movimiento y en especial el último apartado sobre el continuo espacio-tiempo que en mi opinión es clave para entender la teoría de la relatividad. Simultaneidad. Antes de ponernos a medir el tiempo veamos una primera consecuencia de los postulados de la relatividad que tiene que ver con el tiempo: la simultaneidad de dos acontecimientos es relativa, es decir, dos acontecimientos que son simultáneos para un observador no lo serán para otro observador. El ejemplo clásico es el del tren. El tren se desplaza por una vía recta a cierta velocidad, tiene un espejo en la parte delantera y otro en la trasera, un pasajero que está situado en el centro del tren enciende una bombilla, un rayo camina hacía la parte delantera y otro hacia la trasera, el pasajero ve desplazarse a los rayos a la misma velocidad: c (el destello de luz se mueve con él), luego ambos llegarán a sus correspondientes espejos al mismo tiempo (recorren la misma distancia), rebotarán y volverán al pasajero en el mismo instante, el pasajero dirá que ha visto simultáneamente los dos reflejos. Ahora vemos la escena desde fuera, en el momento en que el pasajero dentro del tren enciende la bombilla, el tren está pasando por una estación en la que hay un viajero sentado. El viajero verá los dos rayos de luz moverse a la misma velocidad: c (el destello de luz está quieto como él), el rayo que va en la misma dirección que el tren tiene que perseguir el espejo delantero que se mueve con el tren y por tanto se aleja de él, cuando lo alcance habrá recorrido una distancia mayor que la que tiene que recorrer el rayo de luz que va en dirección contraria porque el espejo de la parte trasera va a su encuentro. El viajero en la estación ve moverse a ambos rayos a la misma velocidad por lo que verá reflejarse antes al rayo en dirección contraria al movimiento del tren que, al otro. Para él los reflejos no se han producido en el mismo instante. Luego a la pregunta de si los reflejos se producen simultáneamente, el pasajero del tren dirá que sí y el viajero de la estación que no. La simultaneidad es un concepto relativo. Si la velocidad de la luz fuese infinita, todos los observadores tendrían noticia de los acontecimientos en el mismo instante en que se producen. La simultaneidad sería un concepto absoluto y se considerarían simultáneos los acontecimientos que todos los observadores ven al mismo tiempo. Pero el postulado dice que es finita, de lo que se deriva que el orden de dos acontecimientos puede depender de quien los observe. Todo lo dicho hasta aquí se podría haber razonado exactamente igual desde un punto de vista no relativista, de hecho, si en lugar de la luz hubiésemos hablado del sonido a nadie le habría sorprendido que un observador escuchase dos truenos en orden distinto 9 al que otro los escuchó. Si los observadores están debajo de nubes distintas y se produce un rayo en ambas a la vez, cada uno oye primero el rayo de su nube. Conociendo la velocidad del sonido o de la luz y la distancia entre dos acontecimientos (la distancia entre la nube donde se produce el rayo y la posición del observador) se puede corregir el tiempo en que cada observador registra el suceso y restablecer el concepto de simultaneidad. El elemento diferencial de la teoría de la relatividad respecto a la física clásica es que para la teoría de la relatividad dos sucesos que son simultáneos (aplicada la corrección de la velocidad de la luz) cuando los observadores se mueven a una velocidad relativa determinada, no lo serían si se moviesen a otra velocidad. La culpa es que la velocidad de la luz que ambos miden es la misma, aunque la velocidad relativa de ambos sea distinta. Para la física clásica se puede hablar de una simultaneidad absoluta una vez que se corrigen los tiempos teniendo en cuenta la velocidad del instrumento de medida, para la relativista la simultaneidad absoluta no existe, aunque vamos a ver que dentro de un límite. El límite lo establece el tiempo que tarda la luz en recorrer la distancia que separa los acontecimientos. Sean tres observadores P, Q y R. P está situado en el punto X, Q en el punto Y y R a mitad de camino entre X e Y. En X e Y hay sendos espejos, R enciende una bombilla y ve que la luz se refleja a la vez en los dos espejos y por tanto dirá que se han producido simultáneamente, P dirá que el reflejo en el espejo X (el que tiene al lado) es anterior al reflejo en Y mientras que Q dirá lo contrario. Si la luz tarda 1 segundo en ir de X a Y cualquier cosa que ocurra en X más de un segundo antes que en Y, será percibida por P, Q y R en distintos momentos, pero siempre antes en X que en Y. La existencia de acontecimientos absolutamente antes (o absolutamente después) que otros, es decir, antes que otros para todos los observadores, es coherente con el principio de causalidad, el efecto no puede preceder a la causa. El efecto es un acontecimiento del tipo “absolutamente después” que su causa. Si el orden temporal de dos acontecimientos depende del observador podemos asegurar que no son causa-efecto. Dilatación del tiempo. Lo que ahora vamos a ver es exactamente lo mismo que se muestra en el apartado “Consecuencias del postulado”, pero de una forma más enrevesada. Lo hacemos porque es el “experimento mental” por excelencia. P y Q son dos observadores que se mueven uno hacia al otro y disponen de un reloj basado en la velocidad de la luz. El reloj de P consiste en una bombilla que el transporta y un espejo perpendicular a la dirección en la que P y Q se mueven, situado a D = 150.000 km de P. Q tiene otro reloj idéntico. Figura 1. En el instante en que se cruzan P y Q, ambos encienden la bombilla de su reloj. 10 Figura 1. Esto es lo que P ha visto desde que se encontró con Q, hasta que su reloj marcó 1 segundo. P ve que el rayo de luz de su bombilla se ha movido perpendicularmente desde él hasta su espejo para rebotar y volver de nuevo hasta él (parte inferior de la figura 1), en ese instante P dirá que ha pasado un segundo ya que el rayo de luz se mueve a velocidad c y entre la ida y vuelta al espejo, el rayo habrá recorrido la distancia de 2D=300.000 Km. Si P se fija en el reloj de Q verá que el espejo se está alejando de él y que el rayo de luz que Q emitió, en el momento de cruzarse ambos, describe una trayectoria inclinada para alcanzar su espejo, la trayectoria que percibe P será más inclinada cuanto mayor sea la velocidad con la que P y Q se separan, pero en cualquier caso mayor que la distancia perpendicular al espejo. P ve que el rayo de luz del reloj Q ha recorrido X+Y=300.000 km y aún no ha completado el recorrido de ida y vuelta a Q. P ve que en su reloj ha pasado un segundo, pero en el de Q aún no. Sólo hemos vuelto a constatar, con un poco más de detalle, lo que vimos anteriormente. Ahora vamos a ver qué es lo que ocurre cuando en lugar de tiempos se miden longitudes. Contracción de la longitud. 11 Si los observadores P y Q utilizan sus relojes para medir distancias se van a encontrar con una sorpresa, que no debería ser tanta una vez que saben que cuando miden el tiempo con el reloj del otro obtienen una medida distinta a la que obtienen en su reloj. En el ejemplo anterior, P y Q se proponen saber cuál es la distancia que les separa pasado un segundo desde que se cruzaron y pusieron sus relojes en marcha. Si la velocidad a la que se mueve uno respecto del otro es V, ambos dirán que la distancia que les separa es V metros. Pero si le preguntamos a P nos dirá que, pasado un segundo en su reloj, se han separado V metros, pero ya sabemos que en ese momento aún no ha visto pasar un segundo en el reloj de Q, tiene que esperar un poco a que eso ocurra y Q estará un poco más lejos de él, nos dirá que Q llama V metros a algo que para él es más de V metros, ¿a esto lo llamamos contracción? Procuremos no hacernos un lio con las palabras, P ve lo que Q llama V metros como algo más grande, luego V metros de P los verá en Q más pequeños. Las cosas nos parecen más pequeñas (las vemos contraídas) al verlas moviéndose respecto a nosotros. Viaje a Próxima Centauri. Si prescindimos del Sol, Próxima Centauri es la estrella más cercana a la Tierra y está a una distancia de poco más de 4 años luz. Con esto queremos decir que la luz de Centauri tarda cuatro años en llegar a la Tierra. Si nada puede ir más rápido que la luz, pensaremos que no hay forma de llegar a Centaurí en menos de 4 años, pero esta es una forma de hablar incorrecta, lo correcto es decir que desde la Tierra no veremos llegar a Centauri a nadie antes de que nuestros relojes hayan marcado 4 años. Pero pensemos en alguien que viaje hacia Centauri, a gran velocidad respecto a la Tierra, y que pone su reloj a cero al pasar junto a nosotros, lo veremos llegar a Centauri antes de que su reloj marque 4 años, pero hay que insistir que nuestros relojes marcarán 4. Entonces lo único que en teoría necesitamos es construir un cohete suficientemente potente para adquirir velocidad respecto a la Tierra de forma que, los que allí se quedan, vean correr más despacio nuestro reloj y nos vean llegar a Centauri antes de que marque 4 años. Parece que hemos conseguido viajar más rápido que la luz, pero es un espejismo porque estamos mezclando la distancia a Centauri, medida desde la Tierra, con el tiempo en llegar, medido en el cohete. Si queremos utilizar el tiempo que vemos en el reloj del cohete debemos usar la distancia que medimos en el cohete y que unos párrafos antes dedujimos que veríamos contraída, el tiempo es menor pero la distancia también, haciendo bien las cuentas nunca nos saldrá una velocidad mayor que c. 12 La masa. Hasta ahora nos hemos centrado en observar el movimiento de los rayos de luz, es el momento de analizar el movimiento de los cuerpos materiales, que nosotros definiremos como aquellos que tienen masa. La relatividad por sí sola no nos dirá nada nuevo, pero junto a otro principio de la física, el de la conservación de la cantidad de movimiento (el producto de la masa por la velocidad es constante en ausencia de fuerzas externas), nos permitirá concluir que la masa que medimos para un objeto que se mueve respecto a nosotros es mayor que la que mediríamos si el objeto estuviese en reposo respecto a nosotros. Sean dos observadores P y Q lejos de cualquier otro cuerpo que pudiera tener la más mínima influencia sobre ellos. P y Q se acercan uno a otro siguiendo trayectorias paralelas. Ambos disponen de una bola de un material indeterminado, pero las dos con la misma masa, aunque ellos no lo saben. En un momento dado, los dos lanzan su bola perpendicularmente a su trayectoria, en la dirección del otro, por aplicación de una fuerza instantánea idéntica de forma que las dos bolas adquieren la misma velocidad respecto de sus lanzadores. Un poco después las bolas chocan, porque ambos sabían cuando lanzarlas, sin que ahora importe como sabían esto. Veamos lo que dice P del experimento: Empieza hablando de su bola: Tras lanzar mi bola verticalmente esta inicia un movimiento rectilíneo y uniforme, perpendicular a mí, hasta que en un momento dado choca contra la bola que lanzó Q, tras el choque, mi bola vuelve a mi perpendicularmente y con la misma velocidad que la lancé. Ahora habla de la otra bola: Vi acercase la bola de Q describiendo una trayectoria inclinada hasta chocar con la mía y volver hasta Q, también mediante una trayectoria inclinada. Esta descripción es exactamente la misma que haría un observador anterior a la teoría de la relatividad. Lo que cambia viene ahora: P continua: medí la velocidad de la bola de Q y encontré que era inferior a la de mi bola. (Esto no debe sorprendernos porque sabemos que P ve pasar las cosas más lentamente en Q de lo que pasan para él) Y P haciendo uso del principio de la conservación de la cantidad de movimiento (el producto de la masa por la velocidad es constante en ausencia de fuerzas externas), concluye: puesto que tras el choque mi bola volvió a mí a la misma velocidad con la que la lancé, la bola de Q debe tener mayor masa que la mía, puesto que yendo más despacio mostró tener la misma cantidad de movimiento que la mía. 13 No sólo la simultaneidad, el tiempo o la longitud son relativas, la masa también. P mide (observa) para los objetos en movimiento respecto a él, una masa mayor que la que mide un observador que viaja con el objeto, o lo que es lo mismo si el objeto estuviese en reposo respecto a él. El “incremento” de masa con la velocidad tiene dos consecuencias: 1. Que ningún objeto material pueda alcanzar la velocidad de la luz. 2. Los principios de conservación de la masa y de la energía que eran independientes en la física clásica (se exigía el cumplimiento de ambos por separado) dejan de serlo ya que es posible aumentar la masa a costa de la energía y viceversa, la conservación se refiere al conjunto de ambas. Ahora P se queda sólo con su bola, le aplica una fuerza determinada F, durante un intervalo de tiempo t, lo que es equivalente a transmitirle una energía E = F * t. Olvidemos por un momento el incremento de la masa con la velocidad. Para que se cumpla el principio de conservación de la energía, la bola debe incrementar su velocidad de forma que la energía recibida se transforme en energía cinética E, que es la única que tiene la bola al encontrase aislada en el universo. La fórmula de la energía cinética es: E = ½ m v2 Que la energía cinética se incremente con el cuadrado de la velocidad significa que cuando se incrementa la energía, el incremento de la velocidad es inversamente proporcional a ella misma. Para un incremento dado de energía, E, el incremento de velocidad será menor cuanto mayor sea la velocidad de partida. Pero sabemos que la masa aumenta con la velocidad lo que exige, que para una misma energía cinética la velocidad sea menor. Por tanto, el incremento final de velocidad que conseguiremos al aplicar E será aún menor y sucesivamente menor con las siguientes adiciones de E. La formulación matemática de estas consideraciones muestra que antes de que v alcance la velocidad de la luz, la masa de la bola sería infinita y habríamos consumido infinita energía. La consecuencia de aportar una energía E es que se aumenta la velocidad y con ello la masa, en definitiva, parte de la energía se transforma en masa. Cuando la velocidad está próxima a la de la luz casi toda la energía se convierte en masa y la velocidad aumenta infinitesimalmente. El incremento de la masa con el aumento de la velocidad se ha comprobado experimentalmente en los aceleradores de partículas. Se ha hecho chocar electrones acelerados a velocidades relativamente cercanas a la luz y los efectos del choque han mostrado que la masa exhibida por el electrón en el choque es la que predice la teoría de la relatividad, con total exactitud. 14 Aún se podría continuar con más ejemplos, pero con lo mostrado ya es suficiente para ilustrar las consecuencias que se derivan del postulado de la teoría de la relatividad especial. El continuo espacio-tiempo. Hasta ahora siempre hemos hablado de observadores, pero en realidad estábamos suponiendo implícitamente que había un sistema de coordenadas cartesianas de tres dimensiones (x, y, z) asociado a cada observador y que cada observador tenía su reloj (una línea de tiempo). Cada observador obtenía sus medidas espaciales respecto a su sistema de referencia y el tiempo en su reloj. Antes de la teoría de la relatividad, el espacio y el tiempo eran dos conceptos absolutos (independientes del observador) y distintos. El espacio era un conjunto de infinitos puntos de tres dimensiones y el tiempo infinitos puntos de una sola dimensión. Tanto del espacio, como del tiempo se dice que son un “continuo”, porque entre dos puntos cualesquiera, no importa lo cerca que estén, siempre se puede encontrar un punto intermedio. Es la expresión matemática de lo que vulgarmente diríamos: es continuo porque no hay agujeros. La teoría de la relatividad muestra que el espacio y el tiempo no son dos conceptos absolutos, dependen del observador. Observadores distintos obtienen valores distintos. Además, existen unas fórmulas (transformaciones de Lorentz) que, a partir de los valores (x, y, z, t) obtenidos por un observador, permiten obtener los valores (x’, y’, z’, t’) que obtendrá otro observador que se mueve uniformemente respecto del primero a determinada velocidad. En las ecuaciones de Lorentz las coordenadas espaciales y el tiempo están “mezclados” de forma que las unas y la otra ya no pueden considerarse independientes. Por ejemplo: las transformaciones de Lorentz para dos observadores, en los que sus sistemas de referencia tienen los ejes paralelos, y que se desplazan el uno respecto del otro en la dirección del eje x con velocidad v son: x’ = (x – v * t) / raíz (1 - v2 / c2) t’ = (t – v / c2 * x) / raíz (1 - v2 / c2) Aunque la variable espacial (x) y la temporal (t) juegan papeles distintos, Minkowski puso de manifiesto que basta hacer un cambio de variable, sustituyendo t por raíz (-1) * c * t Para que la nueva variable intervenga en las fórmulas de Lorentz de igual forma que las coordenadas espaciales. 15 En el caso general en que los sistemas de referencia de ambos observadores no son paralelos y se desplazan el uno del otro en una dirección cualquiera, las ecuaciones de Lorentz se traducen en la invarianza de Lorentz: x’2 + y’2 + z’2 – c2 * t’2 = x2 + y2 + z2 – c2 * t2 Con esta formulación el cambio de variable de Minkowski es evidente, si a esa nueva variable la llamamos w la formula queda: x’2 + y’2 + z’2 + w’2 = x2 + y2 + z2 + w2 El Universo no está constituido por un espacio de tres dimensiones y una línea de tiempo, está constituido por puntos de cuatro dimensiones (a los que se denomina eventos). En estos puntos las coordenadas espaciales y la temporal están en pie de igualdad, de forma que lo que un observador mide como una distancia otro lo puede apreciar como una diferencia en el tiempo. Nosotros no somos capaces de imaginar objetos de cuatro dimensiones, pero al igual que somos capaces de obtener la proyección de un objeto de tres dimensiones sobre un plano de dos dimensiones, podemos obtener la proyección de un objeto 4D sobre un espacio 3D. La imagen que obtendremos será distinta según el punto de vista de la proyección, el objeto 4D es el mismo para todos los observadores, pero la proyección 3D distinta según el observador. Un mismo suceso puede estar representado por puntos distintos en el espacio-tiempo de Minkowski según el observador, pero la transformación de Lorentz nos dice que hay una relación entre esos puntos, la formula antes mencionada: x’2 + y’2 + z’2 + w’2 = x2 + y2 + z2 + w2 Esta es la fórmula del teorema de Pitágoras extendida a cuatro dimensiones, o más formalmente la distancia de Euclides. Para cualquier evento, la distancia en el espaciotiempo de Minkowski es la misma para todos los observadores, considerando que este espacio-tiempo es euclidiano, es decir, que la distancia es la de Pitágoras. Dado un evento, observadores distintos le atribuyen puntos, conjuntos de cuatro coordenadas x, y, z, t distintos, pero todos los puntos posibles están en la superficie de una hiperesfera (esfera de cuatro dimensiones), esto significa que se pasa de un punto a otro mediante una rotación, lo que abunda en nuestra imagen intuitiva de que los observadores ven el mismo evento desde diferentes puntos de vista. En lugar del postulado con el que hemos trabajado hasta ahora, podemos decir que la teoría de la relatividad postula que el universo se puede describir mediante el continuo espacio-temporal de Minkowski (cuatro dimensiones y métrica euclidiana – la regla que hay que aplicar para medir la distancia entre dos puntos-). De él se deriva, además de la relatividad del tiempo, espacio y masa, que la velocidad de la luz es la misma para cualquier observador inercial. 16 La luz no es un ente caprichoso que modifica su velocidad a conveniencia para que todos los observadores midan la misma. Nosotros somos entes incapaces de imaginar un espacio de cuatro dimensiones y lo sustituimos por una proyección en un continuo de tres dimensiones (espacio) más otra proyección en otro continuo de una dimensión (tiempo). Aunque estas proyecciones nos parezca que corresponden a conceptos independientes, no lo son y la relación entre ambos acaba apareciendo en forma de igual velocidad de la luz para todos los observadores. Conclusión. A partir de un postulado, absolutamente preciso y que utiliza conceptos que cualquiera puede entender: La velocidad de la luz es la misma para cualquier observador. Hemos llegado a la conclusión de que las distancias, tiempo y masa que dos observadores miden en el sistema de referencia y reloj asociado a cada uno de ellos, son distintas si el mundo que observan está en reposo respecto a uno de ellos y en movimiento respecto al otro. Minkowski se percató de que esto es lo que se deduce si el universo se describe mediante un continuo espacio-temporal de cuatro dimensiones y métrica euclidiana (la métrica es la regla que hay que aplicar para medir la distancia entre dos puntos). Con esta descripción se obtiene que, además de la relatividad del tiempo, espacio y masa, la velocidad de la luz es la misma para cualquier observador inercial. Es perfectamente válido partir del postulado con el que hemos trabajado hasta ahora, pero podemos cambiarlo por: El universo es un continuo espacio-tiempo de cuatro dimensiones y métrica euclidiana. La ventaja es que el primero sugiere a nuestro sentido común que la luz es un ente caprichoso que modifica su velocidad a conveniencia para que todos los observadores midan la misma. Mientras que Minkowski nos dice que nosotros, los observadores, somos entes incapaces de imaginar un espacio de cuatro dimensiones y lo sustituimos por una proyección en un continuo de tres dimensiones (espacio) más otra proyección en otro continuo de una dimensión (tiempo). Aunque estas proyecciones nos parezca que corresponden a conceptos independientes, no lo son y la relación entre ambos acaba apareciendo en forma de igual velocidad de la luz para todos los observadores. Personalmente, mi sentido común, se encuentra más confortable con el postulado según Minkowski. Además, una formulación matemática como esta, permite progresar mucho más fácilmente (hacer deducciones y demostrar teoremas), según palabras del propio Einstein: sin las importantes concepciones de Minkowski la teoría de la relatividad generaliza, quizás, se hubiera quedado en pañales. 17 Se parta de uno u otro postulado se llega a la conclusión de que todos los movimientos en línea recta a velocidad constante, los llamados movimientos inerciales, son equivalentes. Si dado un sistema inercial cualquiera, formulamos cualquier ley física que conozcamos, considerándolo en reposo, esas mismas fórmulas valen para cualquier otro movimiento inercial si consideramos que él está en reposo. No hay un sistema inercial preferible a los demás, los movimientos inerciales son relativos. Nuevamente podemos plantearnos cambiar el postulado de partida y decir que: La formulación de las leyes de la naturaleza es la misma para todos los sistemas inerciales. Que se pueda partir de postulados distintos no significa que la teoría de la relatividad especial tenga varios postulados, solo parte de uno y una vez elegido los otros se deducen de él. Teoría de la relatividad general. Hemos dada por terminada la teoría de la relatividad diciendo: La formulación de las leyes de la naturaleza es la misma para todos los sistemas inerciales. Da igual si lo tomamos como el postulado de esta o como una consecuencia en el caso de que partamos de otro. Einstein se preguntaba por qué un sistema no inercial no podía ser un sistema de referencia valido para formular, respecto a él, las leyes de la naturaleza, ¿cuál era la razón? Si se conociese esa razón podría tenérsela en cuenta de forma adecuada para que el sistema no inercial también fuese un sistema de referencia válido. Las leyes de la naturaleza serían las mismas que para un sistema inercial corregidas de eso que lo hace diferente de uno inercial. Es importante darse cuenta de que estamos hablando de una equivalencia entre un sistema inercial y uno no inercial distinta a la equivalencia entre sistemas inerciales. Los sistemas inerciales son equivalentes sin más, la nueva equivalencia requiere comprender cual es la razón de que un sistema no sea inercial para tenerla en cuenta al formular las leyes de la naturaleza. Esta diferencia puede pasar desapercibida al leer el postulado de la teoría de la relatividad general, “oculta” a propósito para hacer más evidente la generalización que suponía esta teoría general respecto de la especial. La formulación de las leyes de la naturaleza es la misma para todos los sistemas, aunque no sean inerciales. Todos los observadores, sea cual fuere su estado de movimiento, son equivalentes de cara a la formulación de las leyes naturales. Es decir, todo movimiento es relativo. Ahora empieza la búsqueda de la razón de la no inercialidad. 18 Para que un observador aumente o disminuya su velocidad hay que aplicarle una fuerza y la ley del movimiento de Newton dice que la variación de la velocidad con el tiempo, lo que se llama aceleración, es directamente proporcional a la fuerza que se aplica e inversamente proporcional a una característica del cuerpo que se denomina su masa inercial. Si tenemos un observador inercial (P) y otro (Q) cuya velocidad relativa cambia con el tiempo respecto a P, P pensará que sobre Q está actuando una fuerza responsable de la aceleración con la que Q se mueve respecto a él, si esto es así, ¿cómo es posible que Q se pueda considerar como un sistema de referencia en reposo? La solución es considerar que Q está en reposo, pero afectado por un campo que es el responsable de esa fuerza que deduce P. Ese campo debe ser tal que producca, a todos los objetos que se consideren en reposo respecto a Q, la misma aceleración: la aceleración que observa P. La razón por la que Q no es inercial es la existencia de ese campo. Hay un tipo de campo con la propiedad de provocar a todos los objetos, con independencia de su masa, la misma aceleración, es el campo gravitatorio. Esto no ocurre con los campos eléctricos o magnéticos. Según le ley de la gravedad de Newton, el campo gravitatorio genera una fuerza sobre un objeto que es proporcional a una característica del objeto que se denomina masa gravitatoria. Ya dijimos que la aceleración es inversamente proporcional a la masa inerte, por lo tanto, para que la aceleración que provoca el campo gravitatorio coincida con la aceleración de los objetos de Q (que observa P) y sea la misma para todos (que pueden tener masas distintas), debe cumplirse que la masa inercial de los objetos coincida con su masa gravitatoria. Ya desde los tiempos de Newton se sabía que el valor de la masa gravitatoria de cualquier objeto coincidía con el de su masa inercial, pero no se sabía por qué. En resumen, la “razón” que hace que un sistema no sea inercial es que se encuentra en el seno de un campo gravitatorio, de esta forma, masa inerte y masa gravitatoria son la misma cosa, lo que para el observador P es masa inerte, para Q es gravitatoria. La teoría de la relatividad especial había encontrado que cosas que se tenían por independientes como el espacio y el tiempo, o la masa y la energía, realmente no lo son. La teoría general encuentra que masa inerte y gravitatoria tampoco son cosas independientes, en este caso es aún más contundente: son la misma cosa. La importancia de que un sistema no inercial sea equivalente a uno inercial dentro de un campo gravitatorio es indirecta pero extraordinariamente importante para un universo donde la gravitación está por todas partes. Si se conoce la evolución espacio-temporal de un proceso de la naturaleza, que llamaremos T, respecto a un observador inercial P, se puede deducir, sin más que 19 realizar cálculos, cual sería la evolución espacio-temporal de T respecto a un observador no inercial Q (al tomar en consideración la aceleración que P observa en Q). La nueva evolución espacio-temporal sería la que se observaría si consideramos a Q como el sistema de referencia. Por tanto, podemos decir que las diferencias entre la evolución respecto a P y respecto a Q son los efectos sobre T del campo gravitatorio al que está sometido Q. Algunas de estas consecuencias serán triviales y conocidas, como el movimiento de un cuerpo material en un campo gravitatorio, pero nuevas y sorprendentes si lo que se mueve es un rayo de luz. Sabemos que el rayo de luz se mueve en línea recta para un observador inercial, pero un análisis geométrico, parecido a los experimentos mentales que hicimos en su momento, muestra que su movimiento para un observador no inercial (es decir, que se mueve con aceleración respecto al inercial) no es una línea recta. Como un observador no inercial es equivalente a uno qué si lo es sometido a un campo gravitatorio, deducimos que los rayos de luz se mueven en general mediante trayectorias curvas cuando está presente un campo gravitatorio. Se ha comprobado experimentalmente que los rayos de luz se desvían al pasar cerca del Sol. La propia constancia de la velocidad de la luz en el vacío ya no se cumple si hay un campo gravitatorio de por medio. Lo cual no significa que la teoría de la relatividad especial no sea válida, lo es en ausencia de gravedad, es un caso particular dentro de la teoría general. Otra consecuencia que ha sido verificada experimentalmente es que el tiempo se dilata (trascurre más despacio) para un sistema de referencia acelerado, o en presencia de un campo gravitatorio gracias al principio de equivalencia. Los relojes atómicos que viajan en aviones a gran altura (menos gravedad) se adelantan respecto de los de la tierra y la variación es suficientemente grande como para que sea necesario establecer correcciones en los relojes situados en los satélites artificiales que sirven el GPS. El punto de vista de Minkowski de que el universo se puede describir mediante un continuo espacio-tiempo de cuatro dimensiones sigue siendo válido, lo que deja de ser válido, cuando existe un campo gravitatorio, es que la métrica de ese espacio sea la euclidiana, se dice que el campo gravitatorio distorsiona esa métrica. La métrica euclidiana calcula la distancia entre dos puntos del espacio-tiempo como la suma de los cuadrados de las diferencias entre las coordenadas (Pitágoras), la métrica que es aplicable a un universo con campos gravitatorios es la generalización que hizo Riemann de la geometría de Gauss, en la que, para calcular la distancia, además de los cuadrados de las diferencias en cada coordenada, aparece el producto de la diferencia en una coordenada respecto a la diferencia en otra coordenada. Para complicar más la cosa, como la intensidad del campo gravitatorio varia de unos puntos a otros por la distancia y por la distribución de la masa en el universo, la curvatura de la geometría es distinta de unos puntos a otros. 20 La métrica euclidiana da lugar a una geometría “plana”, los campos gravitatorios curvan la métrica en las cercanías de las masas que son las responsables de los campos gravitatorios. Mientras que en un plano la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta, en la superficie de una esfera es una curva: un arco circular, por eso se observa una trayectoria curva para la luz en presencia de un campo gravitatorio. Aunque los principios de la teoría de la relatividad, tanto para la especial como para la general, se puedan intuir sin necesidad de un esfuerzo titánico (otra cosa fue descubrirlos), la aplicación concreta a cada una de las leyes de la naturaleza requiere un aparato matemático y una complejidad de cálculo que sólo está al alcance de los mejores especialistas, veamos una “simple” consideración tomada de un texto académico: El único objeto dinámico (relacionado con la energía) que vimos en la relatividad especial era el cuadrimomento P, creado al combinar la energía E y el momento lineal p: Aquí m es la masa del cuerpo en movimiento, γ el factor de dilatación de Lorentz, v el vector de velocidad, U la cuadrivelocidad, x la cuadriposición, τ el tiempo propio y t el tiempo relativo al observador. Es el momento de dar por terminada aquí esta somerísima introducción a la teoría de la relatividad. 21 Paradojas. La teoría de la relatividad especial nos dice que un observador P ve pasar el tiempo más despacio en un mundo Q que se mueve respecto a él. A la vez, nos dice que Q ve pasar el tiempo de P más despacio. Para nuestro sentido común, que sigue pensando que existe un tiempo absoluto, es difícil asumir que el tiempo no sea el mismo para P que para Q pero que ambos piensen que el tiempo del otro va más despacio es sencillamente inaceptable. Esta es la razón por la que desde la formulación de la teoría de la relatividad hasta nuestros días se sigan buscando situaciones en las que se evidencie este absurdo (en opinión del sentido común). Lo que hemos dicho para el tiempo también ocurre para las distancias por lo que vamos a comentar las que posiblemente sean las dos paradojas más famosas, una relativa a distancias: la paradoja del granero y otra a tiempos: la paradoja de los gemelos. Paradoja del granero. Si P ve que las distancias se contraen en Q y Q que se contraen en P sólo hay que buscar una forma de compararlas y demostrar el absurdo. La paradoja del granero plantea el siguiente escenario: P y Q se mueven el uno respecto al otro a una velocidad 0,866 veces la velocidad de la luz, uno en dirección al otro para que en determinado momento se encuentren. P tiene una vara de 10 metros y Q un granero de 5 metros. Estas son las dimensiones que cada uno de ellos mide para el objeto que está en reposo respecto a él, pero según la teoría de la relatividad no serán las que midan P y Q respecto al objeto en reposo para el otro. Gracias a las transformaciones de Lorentz sabemos que a P le parecerá que el granero mide: Lg = 5 * raíz (1 – (0,866 c / c)2) = 2.5 m Y a Q la vara de P le parecerá que mide: Lv = 10 * raíz (1 – (0,866 c / c)2) = 5 m Lo que se trata de dilucidar es si en el momento del encuentro entre P y Q la vara cabe en el granero. La paradoja demuestra que según Q si cabe, pero según P no, por lo que hay que concluir que la teoría de la relatividad es incorrecta por conducir a una contradicción. En el momento en que P y Q se crucen, Q verá que la vara, que para él mide 5 m, entra exactamente en su granero de 5 m, pero P dirá que su vara de 10 m no cabe en un granero que para el mide 2,5 m. 22 Para hacer evidente la contradicción se adorna el escenario diciendo que el granero tiene una puerta de entrada y otra de salida y que en el momento del encuentro P y su vara tienen que atravesar el granero de Q. Inicialmente, la puerta de entrada al granero está abierta y la de salida cerrada. Pero cuando Q ve que el extremo de atrás de la vara acaba de atravesar la puerta de entrada (la vara ha entrado del todo en el granero) abre la puerta de salida justo a tiempo para que P continúe su viaje sin problemas. Pero para P es muy distinto, si la puerta de salida no se abre hasta que su vara no haya atravesado completamente la puerta de entrada tiene garantizado estrellarse contra la puerta de salida, cosa que ocurrirá cuando en el granero soló hayan entrado 2,5 de los 10 m que mide la vara. La trampa que nos hace nuestro sentido común es dar por simultáneos acontecimientos que aun siéndolos para Q no lo son para P. Q considera que la vara cabe en el granero porque ve que en determinado momento ambos extremos de la vara están dentro del granero simultáneamente, la parte delantera de la vara toca la puerta de salida en el mismo instante en que la parte trasera cruza la de entrada. Pero ese instante, único para Q, son dos instantes distintos para P. Lo que vamos a decir ahora es exactamente lo mismo que dijimos al analizar el experimento del tren de Einstein sobre la simultaneidad. Q ve que la puerta de salida se abre en el mismo instante que se cierra la de entrada (el momento en el que toda la vara está dentro del granero), pero P ve que la puerta de salida se abre antes de que se cierre la puerta de entrada (P va al encuentro de la puerta de salida y se aleja de la de entrada) y este lapso de tiempo es el que permite que la vara, aun siendo mayor que el granero, lo atraviese sin problemas. La paradoja sin adornos no supone ninguna contradicción, distintos observadores miden distancias distintas, no hay problema. El adorno de las puertas abriéndose y cerrándose introduce la falacia de la simultaneidad absoluta y con ello el espejismo de que P se estrella. Las distancias se contraen y los tiempos se dilatan, una forma de crear paradojas es escamotear uno de los dos efectos. La paradoja del granero esconde la dilatación del tiempo haciéndonos creer que lo que es simultáneo para Q también lo es para P. Paradoja de los gemelos. Esta es una paradoja mucho más difícil de desmontar, Einstein necesito la teoría general de la relatividad para hacerlo. El planteamiento es el siguiente: Dos gemelos P y Q están en la Tierra y en determinado momento Q decide emprender un viaje espacial a una estrella que se encuentra a 4 años luz de la Tierra. La nave en la que viaja Q se mueve a 0,8 veces la velocidad de la luz. 23 Cuando Q llega a la estrella se da la vuelta inmediatamente y vuelve a la Tierra para reunirse con su hermano P. Veamos lo que dirían ambos hermanos. Empezamos por P, el que se quedó en la Tierra: Mi hermano Q viaja a 0,8 veces la velocidad de la luz por lo que yo tardaré en verlo llegar a la estrella 4/0,8 = 5 años y otros 5 años en volver, es decir, yo habré envejecido 10 años cuando nos volvamos a ver. Por otra parte, veré que el reloj que viaja con mi hermano va más lento que el mío y al llegar a la estrella marcará (aplicando la fórmula de Lorentz): 3 años, más otros tantos en el camino de vuelta, hacen que mi hermano haya envejecido durante su viaje 6 años. Resultado: mi hermano Q será 4 años más joven que yo en el reencuentro. A nuestro sentido común le parece sorprendente que Q sea más joven que P, pero por el momento no tiene nada de paradójico. La paradoja surge al invertir el punto de vista. Si el movimiento es relativo, podemos considerar a Q en reposo y que la estrella, la Tierra y con ella su hermano P, son los que se mueven y llegaríamos a la conclusión de que en el momento del reencuentro P sería 4 años más joven que Q. Apareció la paradoja: P no puede ser a la vez más joven y viejo que Q. La forma más sencilla y totalmente correcta de refutar la paradoja es la siguiente: En el escenario planteado existen dos observadores P y Q que no son intercambiables, mientras que P se puede considerar un observador inercial, Q no lo es ya que para que inicie su viaje, cambie su dirección para volver y aterrice, hay que aplicarle las correspondientes fuerzas, o lo que es lo mismo, considerarlo en presencia de un campo gravitatorio de acuerdo con el principio de equivalencia de la teoría de la relatividad general. Mientras que a P le podemos aplicar las formulas de la relatividad especial para calcular tiempos y distancias, a Q hay que aplicarle las de la relatividad general, por eso Einstein no resolvió cuantitativamente la paradoja hasta que no tuvo desarrollada la teoría de la relatividad general. Una representación gráfica del escenario de la paradoja sería el de la imagen siguiente: Q es un observador no inercial, que podríamos considerar como el prototipo de observador de la relatividad general. 24 La solución cuantitativa del problema (que sin relatividad general no está a nuestro alcance) muestra que, en el momento del reencuentro, ambos observadores coinciden en el tiempo transcurrido para P y para Q, sin que haya ninguna paradoja y ambos coinciden en que P ha envejecido más. Recordemos que al esbozar el principio de equivalencia de la relatividad general dijimos que considerar a un observador no inercial como uno inercial en presencia de un campo gravitatorio permitía obtener conclusiones sobre los efectos de un campo gravitatorio y dijimos que el tiempo se dilata en presencia de un campo gravitatorio, por tanto, para Q el tiempo pasará más despacio (envejece menos) que si fuese un observador inercial de forma que, en el momento del reencuentro, Q no podrá decir que P es más joven que él, como habría dicho de ser un observador inercial. El campo gravitatorio (o el movimiento acelerado, como se prefiera) ha ralentizado el tiempo de Q en tal medida que P no es más joven, sino que es más viejo. Resumamos con un esquema: • • • • P es un observador inercial que calcula que en el momento del reencuentro él: (P) será 4 años más viejo que Q. Q si fuese un observador inercial diría que, en el momento de reencuentro: P será 4 años más joven que él (Q). ¿Paradoja? No, porque Q no es inercial, y el tiempo corre más despacio en un sistema no inercial. Q envejece más despacio y en el momento del reencuentro es más joven que P tal como el propio P prevé. Hay demostraciones que declaran resolver cuantitativamente la paradoja dentro de la relatividad especial, pero en los momentos donde Q deja de ser un observador inercial cambian la curvatura del espacio-tiempo para que no se produzcan “discontinuidades”, que es equivalente a la curvatura del espacio-tiempo en presencia de una masa, que establece la relatividad general. También hay una demostración dentro de la relatividad especial que apela al efecto Doppler relativista, que en realidad es un juego de palabras. Plantea que P, cada vez que pasa un año para él, emita un rayo de luz hacia Q y que Q mida el tiempo transcurrido para P contando el número de rayos recibidos, que es el mismo que emitidos. Otras explicaciones, de forma más o menos enrevesada, vienen a decir que cuando Q se reúna de nuevo con P y esté en reposo respecto a él, verá lo que realmente marca el reloj de la Tierra (P) por lo que algo debe pasar en los momentos en que Q deja de ser inercial para que los cálculos realizados por Q, considerándose inercial, no coincidan con el tiempo que realmente ha transcurrido en la Tierra. 25 Dilatación del tiempo para un observador no inercial. Vamos a ver si podemos justificar porque el tiempo pasa más despacio para un observador no inercial. La relatividad del tiempo en la teoría especial no surgió de la intuición, más bien todo lo contrario. Al aceptar el postulado de que todos los observadores inerciales miden la misma velocidad para la luz, nos vimos obligados a admitir que el tiempo no es absoluto y depende del observador. Ahora podemos proceder de forma similar y usar como “postulado” la paradoja de los gemelos. Si le damos la vuelta a la paradoja de los gemelos y consideramos que tal paradoja no existe, para sostener que tras el viaje Q es más joven que P, tenemos que admitir que el efecto de no ser un observador inercial es el de envejecer más despacio ya que, si Q fuese observador inercial, en el reencuentro habría sido más viejo que P. Analizando con propiedad, nos estamos refiriendo a dos eventos del espacio-tiempo de Minkowski. Aunque los eventos son puntos únicos en el espacio-tiempo cada observador les asignará unas coordenadas distintas. El primer evento (A) corresponde a un determinado punto de la Tierra en el tiempo cero de nuestro experimento (en el instante inicial P y Q están en reposo uno respecto del otro y le asignan las mismas coordenadas a este evento). El segundo evento (B) es un punto con las mismas coordenadas espaciales que A, pero P y Q le asignaran tiempos distintos, que son los que marcarán sus respectivos relojes al reencontrarse. Los tiempos son distintos porque P y Q recorren trayectorias distintas en el espacio-tiempo, para ir de A a B. El observador P es un observador inercial y estos observadores son los que se mueven siguiendo las trayectorias que minimizan la distancia espacio-tiempo (el equivalente a las líneas rectas de la geometría euclidiana), a estas trayectorias se las denomina “geodésicas” y en este caso “geodésicas temporales” (al considerar al sistema inercial en reposo, en su trayectoria lo único que cambia es el tiempo). En resumen: Los sistemas inerciales se mueven en el espacio-tiempo mediante trayectorias que minimizan la distancia temporal en el espacio-tiempo, pero en la fórmula de la distancia de Minkowsky el tiempo interviene con signo negativo: ds2 = x2 + y2 + z2 – c2 * t2 Por lo tanto, las trayectorias geodésicas en este espacio son las trayectorias que maximizan el tiempo. Cualquier otra trayectoria que no sea la de un movimiento inercial, como es el caso de Q, tendrá una longitud espacio-temporal mayor, es decir, empleará un tiempo menor, Q envejece menos. Bertrand Russell califica a esto como la “ley de la pereza cósmica”. La fórmula que permite calcular el tiempo t’ que P observaría para Q es la siguiente: t’ = t * (1 – gh/c2) 26 Siendo t el tiempo que P mide para si mismo, g la aceleración con la que Q se mueve respecto a P y h la distancia que separa a P y Q. Einstein sugirió el experimento de dejar caer un cuerpo de masa m desde una determinada altura h. La caída transforma la energía potencial (mgh), por estar en el campo gravitatorio de la Tierra, en energía cinética. Si la energía cinética inicial, antes de dejarla caer, es mc2, una vez recorridos los h metros será: mc2 + mgh y la relación entre ambas: E inicial/E final= mc2/ (mc2 + mgh) = (1 – gh/c2) Si el cuerpo es un fotón, su frecuencia es la constante de Planck por su velocidad, luego entre el instante inicial y el final la frecuencia cambiará en la proporción de la formula anterior (un fotón que escapa de un campo gravitatorio se desplaza al rojo). Si suponemos que el cambio de frecuencia es el mismo que sufrirán los tics de un reloj, obtenemos la formula de transformación del tiempo en presencia de un campo gravitatorio o de un movimiento acelerado gracias al principio de equivalencia. Aunque no hemos entrado en cálculos cuantitativos espero que se entienda porque para un movimiento no inercial el tiempo es menor que si fuese inercial, la clave es que el tiempo entra con signo negativo en la definición de distancia en el espacio-tiempo que sirve para describir el universo. Como la trayectoria, entre dos puntos, de los sistemas inerciales son las que minimizan la distancia espacio-tiempo, son las que maximizan el tiempo. En cualquier otra trayectoria, entre los mismos puntos, la distancia espaciotiempo es mayor y el tiempo menor. 27