Solucionario mat 3 eso

3º
MATEMÁTICAS
ESO
3º
ESO
MATEMÁTICAS
3º
ESO
MATEMÁTICAS
José Margallo
ISBN 978-84-9771-980-3
9
mates_eso3_NC.indd 1
788497 719803
15/02/11 15:09
Índice
UNIDAD REPASO .............................................................................................................................7
Actividades página 7 .....................................................................................................................7
Actividades página 9 .....................................................................................................................9
UNIDAD 1 – NÚMEROS RACIONALES ...........................................................................................9
Actividades página 12 ...................................................................................................................9
Actividades página 13 ...................................................................................................................9
Actividades página 14 .................................................................................................................10
Actividades página 15 .................................................................................................................10
Actividades página 16 .................................................................................................................11
Actividades página 17 .................................................................................................................12
Actividades página 18 .................................................................................................................13
Actividades página 19 .................................................................................................................14
Actividades página 20 .................................................................................................................15
Actividades página 21 .................................................................................................................16
DESAFÍO MATEMÁTICO............................................................................................................17
ACTIVIDADES FINALES ............................................................................................................20
OLIMPIADA MATEMÁTICA ........................................................................................................37
UNIDAD 2 – NÚMEROS DECIMALES Y POTENCIAS ..................................................................38
Actividades página 32 .................................................................................................................38
Actividades página 33 .................................................................................................................39
Actividades página 34 .................................................................................................................41
Actividades página 35 .................................................................................................................42
Actividades página 36 .................................................................................................................43
Actividades página 37 .................................................................................................................43
Actividades página 38 .................................................................................................................45
Actividades página 39 .................................................................................................................45
Actividades página 40 .................................................................................................................46
Actividades página 41 .................................................................................................................47
DESAFÍO MATEMÁTICO............................................................................................................48
ACTIVIDADES FINALES ............................................................................................................50
OLIMPIADA MATEMÁTICA ........................................................................................................70
UNIDAD 3 – PROPORCIONALIDAD ..............................................................................................72
Actividades página 52 .................................................................................................................72
Actividades página 53 .................................................................................................................72
Actividades página 54 .................................................................................................................73
Actividades página 55 .................................................................................................................74
Actividades página 56 .................................................................................................................75
Actividades página 57 .................................................................................................................77
Actividades página 58 .................................................................................................................78
2
Actividades página 59 .................................................................................................................78
DESAFÍO MATEMÁTICO ...........................................................................................................80
ACTIVIDADES FINALES ............................................................................................................82
OLIMPIADA MATEMÁTICA ......................................................................................................101
UNIDAD 4 – POLINOMIOS ...........................................................................................................102
Actividades página 70 ...............................................................................................................102
Actividades página 71 ...............................................................................................................102
Actividades página 72 ...............................................................................................................103
Actividades página 73 ...............................................................................................................104
Actividades página 74 ...............................................................................................................105
Actividades página 75 ...............................................................................................................105
Actividades página 76 ...............................................................................................................106
Actividades página 77 ...............................................................................................................107
DESAFÍO MATEMÁTICO..........................................................................................................110
ACTIVIDADES FINALES ..........................................................................................................113
OLIMPIADA MATEMÁTICA ......................................................................................................129
UNIDAD 5 – ECUACIONES ..........................................................................................................131
Actividades página 88 ...............................................................................................................131
Actividades página 89 ...............................................................................................................131
Actividades página 90 ...............................................................................................................132
Actividades página 91 ...............................................................................................................133
Actividades página 92 ...............................................................................................................134
Actividades página 93 ...............................................................................................................135
DESAFÍO MATEMÁTICO..........................................................................................................137
ACTIVIDADES FINALES ..........................................................................................................139
OLIMPIADA MATEMÁTICA ......................................................................................................160
UNIDAD 6 – SISTEMAS DE ECUACIONES .................................................................................162
Actividades página 104 .............................................................................................................162
Actividades página 105 .............................................................................................................162
Actividades página 106 .............................................................................................................163
Actividades página 107 .............................................................................................................164
Actividades página 108 .............................................................................................................166
Actividades página 109 .............................................................................................................167
Actividades página 110 .............................................................................................................168
Actividades página 111 .............................................................................................................169
DESAFÍO MATEMÁTICO..........................................................................................................170
ACTIVIDADES FINALES ..........................................................................................................173
OLIMPIADA MATEMÁTICA ......................................................................................................203
UNIDAD 7 – SUCESIONES Y PROGRESIONES .........................................................................204
Actividades página 122 .............................................................................................................204
Actividades página 123 .............................................................................................................204
3
Actividades página 124 .............................................................................................................205
Actividades página 125 .............................................................................................................206
Actividades página 126 .............................................................................................................207
Actividades página 127 .............................................................................................................207
Actividades página 128 .............................................................................................................208
Actividades página 129 .............................................................................................................209
DESAFÍO MATEMÁTICO..........................................................................................................211
ACTIVIDADES FINALES ..........................................................................................................213
OLIMPIADA MATEMÁTICA ......................................................................................................237
UNIDAD 8 – GEOMETRÍA PLANA ...............................................................................................238
Actividades página 140 .............................................................................................................238
Actividades página 141 .............................................................................................................238
Actividades página 142 .............................................................................................................239
Actividades página 143 .............................................................................................................239
Actividades página 145 .............................................................................................................239
Actividades página 146 .............................................................................................................240
Actividades página 147 .............................................................................................................240
Actividades página 148 .............................................................................................................240
Actividades página 149 .............................................................................................................241
Actividades página 150 .............................................................................................................242
Actividades página 151 .............................................................................................................242
Actividades página 152 .............................................................................................................242
DESAFÍO MATEMÁTICO..........................................................................................................244
ACTIVIDADES FINALES ..........................................................................................................247
OLIMPIADA MATEMÁTICA ......................................................................................................263
UNIDAD 9 – POLIEDROS .............................................................................................................264
Actividades página 164 .............................................................................................................264
Actividades página 165 .............................................................................................................264
Actividades página 166 .............................................................................................................264
Actividades página 167 .............................................................................................................265
Actividades página 168 .............................................................................................................265
Actividades página 169 .............................................................................................................266
DESAFÍO MATEMÁTICO..........................................................................................................267
ACTIVIDADES FINALES ..........................................................................................................271
OLIMPIADA MATEMÁTICA ......................................................................................................286
UNIDAD 10 – CUERPOS DE REVOLUCIÓN ...............................................................................288
Actividades página 180 .............................................................................................................288
Actividades página 181 .............................................................................................................288
Actividades página 182 .............................................................................................................288
Actividades página 183 .............................................................................................................289
Actividades página 184 .............................................................................................................290
Actividades página 185 .............................................................................................................290
4
Actividades página 186 .............................................................................................................290
Actividades página 187 .............................................................................................................291
DESAFÍO MATEMÁTICO..........................................................................................................292
ACTIVIDADES FINALES ..........................................................................................................295
OLIMPIADA MATEMÁTICA ......................................................................................................309
UNIDAD 11 – MOVIMIENTOS EN EL PLANO .............................................................................311
Actividades página 198 .............................................................................................................311
Actividades página 199 .............................................................................................................311
Actividades página 200 .............................................................................................................312
Actividades página 201 .............................................................................................................313
Actividades página 202 .............................................................................................................314
Actividades página 203 .............................................................................................................315
DESAFÍO MATEMÁTICO..........................................................................................................316
ACTIVIDADES FINALES .........................................................................................................317
OLIMPIADA MATEMÁTICA ......................................................................................................340
UNIDAD 12 – FUNCIONES ...........................................................................................................341
Actividades página 214 .............................................................................................................341
Actividades página 215 .............................................................................................................341
Actividades página 216 .............................................................................................................342
Actividades página 217 .............................................................................................................343
Actividades página 218 .............................................................................................................343
Actividades página 219 .............................................................................................................343
Actividades página 220 .............................................................................................................344
Actividades página 221 .............................................................................................................345
DESAFÍO MATEMÁTICO..........................................................................................................346
ACTIVIDADES FINALES ..........................................................................................................348
OLIMPIADA MATEMÁTICA ......................................................................................................361
UNIDAD 13 – ESTADÍSTICA ........................................................................................................362
Actividades página 232 .............................................................................................................362
Actividades página 233 .............................................................................................................362
Actividades página 234 .............................................................................................................363
Actividades página 235 .............................................................................................................363
Actividades página 236 .............................................................................................................364
Actividades página 237 .............................................................................................................364
Actividades página 238 .............................................................................................................365
Actividades página 239 .............................................................................................................365
DESAFÍO MATEMÁTICO..........................................................................................................367
ACTIVIDADES FINALES ..........................................................................................................370
OLIMPIADA MATEMÁTICA ......................................................................................................380
UNIDAD 14 – PROBABILIDAD ....................................................................................................382
Actividades página 248 .............................................................................................................382
Actividades página 249 .............................................................................................................382
5
Actividades página 250 .............................................................................................................383
Actividades página 251 .............................................................................................................384
Actividades página 252 .............................................................................................................384
Actividades página 253 .............................................................................................................385
Actividades página 254 .............................................................................................................385
Actividades página 255 .............................................................................................................386
DESAFÍO MATEMÁTICO..........................................................................................................387
ACTIVIDADES FINALES ..........................................................................................................389
OLIMPIADA MATEMÁTICA ......................................................................................................396
6
UNIDAD REPASO
ACTIVIDADES PAG. 7
1.
2
5
2 5
2
12 : 6
6
2
6
13
13
5
5 :5
5
1
3
2
10
2
13
6
2
2 3
2
2
3
3
5
1
3
5
2
ACTIVIDADES PAG. 7
2.
MCD 20,24,32
mcm 20,24,32
2
2
4
5 3
2
5 3
480
7
ACTIVIDADES PAG. 9
3.
3 botellas cuestan 3 45
1 botella cuesta 115
5 botellas cuestan 5 75 €
4.
80 0 5
40 km
Las dos ciudades distan entre sí 40 km:
40
110
0´3636363636364 h
21 81 minutos
8
UNIDAD 1. NÚMEROS RACIONALES
ACTIVIDADES PAG. 12
1.
1
de la tarta .
5
Si nos hubiéramos comido los
5
nos hubiéramos comido la tarta entera.
5
2.
a)
1
3
,b)
2
4
ACTIVIDADES PAG. 13
3.
a ) fracción decimal , b ) número mixto , c ) fracción propia , d ) fracción impropia ,
e ) número entero , f ) fracción impropia , g ) número mixto.
4.
Fracciones impropias expresadas como números mixtos:
65
9
7
3
=1
,
=1
56
56
4
4
Números mixtos expresados como fracciones impropias:
1 10
3 11
3 =
, 2 =
3 3
4 4
9
5.
1
1
El primer pintor 3 . El segundo pintor 4 .
2
4
6.
3
1
toneladas.
2
7.
1 7
1
= toneladas. Como son siete los pescadores le corresponde tonelada de pescado a
2 2
2
cada uno.
3
ACTIVIDADES PAG. 14
8.
-5
-5
-
-4
-3
-2
-1
4
7
5
3
0
1
2
5
2
3
3
4
5
6
7
8
ACTIVIDADES PAG. 15
9.
a)
5 10
≠
porque 5 · 6 ≠ 6 · 10
6 6
10
b)
4 12
=
porque 4 · 21 = 7 · 12
7 21
c)
3 15
≠
porque 3 · 50 ≠ 15 · 25
25 50
d)
2 8
=
porque 2 · 36 = 8 · 9
9 36
10.
a)
60
60 : 60 1
=
= { ya que MCD ( 60 , 120 ) = 60 }
120 120 : 60 2
b)
28 28 : 7 4
=
= { ya que MCD ( 28 , 49 ) = 7 }
49 49 : 7 7
c)
432
432 : 432 1
=
= { ya que MCD ( 432 , 2160 ) = 432 }
2160 2160 : 432 5
d)
84 84 : 12 7
=
= { ya que MCD ( 84 , 96 ) = 12 }
96 96 : 12 8
e)
30 30 : 2 15
=
=
{ ya que MCD ( 30 , 32 ) = 2 }
32 32 : 2 16
ACTIVIDADES PAG. 16
11.
a) −
3
602
1
1
50
, b ) −5 , c )
, d)
,e) − ,f) −
8
53
223
5
5
12.
Son las siguientes: b)
10
16
,c)
25
40
11
ACTIVIDADES PAG. 17
13.
a ) Denominador común 24
2 8 7 21 5 10
=
, =
,
=
6 24 8 24 12 24
b ) Denominador común 140
3 95 2
28
4
40
=
,
=
,
=
4 140 10 140 14 140
c ) Denominador común 24
1 3 3 12 6
=
, =
,
8 24 6 24 24
d ) Denominador común 12
5
6 5 10
,−
, =
12
12 6 12
e ) Denominador común 30
8 24 3 18 7 14
=
, =
,
=
10 30 5 30 15 30
f ) Denominador común 60
2 40
12
48 7 35
=
,−
=−
,
=
3 60
15
60 12 60
14 .
2 8
5 10 7 21
=
<
=
< =
6 24 12 24 8 24
2
28 4
40 3 95
b)
=
< =
< =
10 140 14 140 4 140
1 3
6 3 12
c)
=
<
< =
8 24 24 6 24
6 5 5 10
d) − < < =
12 12 6 12
a)
12
7 14 3 18
8 24
=
< =
<
=
15 30 5 30 10 30
12
48
7 35
2 40
f) −
=−
<
=
< =
15
60 12 60
3 60
e)
15.
a ) Denominador común 12
6 18 12 24
1 13 52
=
<
=
< 4 =
=
4 12
6 12
3 3 12
b ) Denominador común 18
5 23 69
2 17 102
1 64 128
3 =
=
<5 =
=
<7 =
=
6 6 18
3 3
18
9 9
18
ACTIVIDADES PAG. 18
16.
2 4 2 10 + 12 − 2 20 4
=
=
+ − =
3 5 15
15
15 3
3 1 56 + 6 − 4 58 29
b) 7+ − =
=
=
4 2
8
8
4
1 2 70 − 7 + 10 73
c) 2− + =
=
5 7
35
35
1 1
2 +1+ 6 9 3
d ) + +1 =
= =
3 6
6
6 2
a)
17.
1 5
4 5
8 + 5 − 12 1
a) 1 + −2= + −2=
=
3 6
3 6
6
6
4 4
14 4
10
b) 2 − +2=
− +2=
+2=4
5 5
5 5
5
1 5 1 43 5 1 86 − 5 + 3 84
c) 7 − + =
− + =
=
=7
6 12 4 6 12 4
12
12
7 2 1 1 7 + 4 + 3 − 2 12
d) + + − =
=
=2
6 3 2 3
6
6
13
7
3 17 16 15 17 64 − 135 − 17
88
22
e ) 1 −3 −
=−
=−
=
− −
=
9
4 36 9 4 36
36
36
9
7
1 1
7 5 1 14 + 25 + 1 40
f)
+1 +
=
+ +
=
=
=2
4 20 10 4 20
20
20
10
1
1 1 31 13 1 31 − 26 + 3 8 4
g) 5 −4 + =
= =
− + =
6
3 2 6 3 2
6
6 3
1
1
1
3 11 26 61 3 22 + 52 + 61 − 3 132 66
h ) 2 +5 +6 −
=
=
= +
+ −
=
5
5
10 10 5
5 10 10
10
10
5
ACTIVIDADES PAG. 19
18.
2 8 35
2·8· 35
8
· · =
=
7 5 18 (7·5) ·( 2·9) 9
6 14
(2·3) 14
b ) 7· · = 7 ·
· = 2·14 = 28
7 3
7 3
5·(3· 4 )(19·2)
⎛ 12 ⎞ 38
c ) 5·⎜ − ⎟· = −
´= −5·3·2 = −30
19· 4
⎝ 19 ⎠ 4
2 6 2·(2 ·3) 3
3
=
=
d) · =
2· 4·5
2·5 10
85
a)
19.
16 8 16·3 (2·8 )·3 2
: =
=
=
9 3 9·8 (3·3)·8 3
4 3 4·15 4·( 3·5 ) 4
b)
: =
=
=
25 15 3·25 3·(5·5 ) 5
16 −2·17
2·17
17
c ) −2 : =
=−
=−
17
16
2·8
8
7 ⎛ 6⎞
7·7
49
d ) :⎜− ⎟ = −
=−
5 ⎝ 7⎠
6·5
30
a)
14
ACTIVIDADES PAG. 20
20.
a) −
−
3 ⎛ 11 22 ⎞
3 ⎛ 11 + 22 ⎞
3 ⎛ 33 ⎞
3·(11 ·3)
= −1
·⎜ + ⎟ = − ·⎜
⎟ = − ·⎜ ⎟ = −
11 ⎝ 9 9 ⎠
11 ⎝ 9 ⎠
11 ⎝ 9 ⎠
11 ·9
3 ⎛ 11 22 ⎞
3 11
3 2·11
1 2
3
= − − = − = −1
·⎜ + ⎟ = − ·
− ·
11 ⎝ 9 9 ⎠
3 3
3
11 (3·3) 11 3·3
b)
8 ⎛ 36 24 ⎞ 8 ⎛ 216 + 120 ⎞ 8 336 8·(12 ·28) 28 14
·⎜ + ⎟ = ·⎜
=
=
=
⎟= ·
12 ⎝ 40 48 ⎠ 12 ⎝ 240 ⎠ 12 240 12 ·(30·8 ) 30 15
/
8 ⎛ 36 24 ⎞ 8 36 8 24 8·(3·12 )
8.(2·12
)
3 1 9 + 5 14
·⎜ + ⎟ = · + · =
+
= + =
=
/
12 ⎝ 40 48 ⎠ 12 40 12 48 12 ·(5·8 ) 12 ·( 8·2·3)
5 3
15
15
5 ⎛ 6 7⎞
5 ⎛ 42 + 35 ⎞
5 77
5·11
1
/ ·7
c ) − ·⎜ + ⎟ = − ·⎜
=−
⎟=− · =−
11 ⎝ 10 14 ⎠
11 ⎝ 70 ⎠
11 70
11 ·7 ·(2·5)
2
/
−
5 ⎛ 6 7⎞
5 6 5 7
5·( 2·3)
5·7
−3 5 −6 − 5 −11
1
·⎜ + ⎟ = − · − · = −
−
=
−
=
=
=−
11 ⎝ 10 14 ⎠
11 10 11 14
11· 2·5 11·(2·7 ) 11 22
22
22
2
21.
5 6 5 16 5 ⎛ 6 16 ⎞
· + · = ·⎜ + ⎟
7 11 7 22 7 ⎝ 11 22 ⎠
8 72 8 16 8 ⎛ 72 16 ⎞
b ) · + · = ·⎜ + ⎟
13 16 13 32 13 ⎝ 16 32 ⎠
2 18 2 9 2 ⎛ 18 9 ⎞
c ) · + · = ·⎜ + ⎟
9 6 9 6 9 ⎝ 6 6⎠
a)
15
22.
4 2 4 3 4 5 4 ⎛ 2 3 5 ⎞ 4 8 + 9 + 10
4 27 1
=
· + · + · = ·⎜ + + ⎟ = ·
·
=
27 3 27 4 27 6 27 ⎝ 3 4 6 ⎠ 27
12
27 12 3
12 5 12 7 12 9 12 ⎛ 5 7 9 ⎞ 12 20 + 14 + 9 12 43 12 1
=
·
=
=
b ) · + · + · = ·⎜ + + ⎟ = ·
43 6 43 12 43 24 43 ⎝ 6 12 24 ⎠ 43
24
43 24 24 2
5 1 5 1 5 ⎛ 1 1 ⎞ 5 3 −1 5 2 5 1 5
c ) · − · = ·⎜ − ⎟ = ·
= · = · =
6 2 6 3 6 ⎝ 2 3⎠ 6 6
6 6 6 3 18
a)
ACTIVIDADES PAG. 21
23.
⎛ 2 4 ⎞ 5 10 + 12 5 22 5 44 + 25 69 23
+ =
+ =
=
=
⎜ + ⎟+ =
15
6 15 6
30
30 10
⎝3 5⎠ 6
2 ⎛ 4 5 ⎞ 2 24 + 25 2 49 20 + 49 69 23
+⎜ + ⎟ = +
= +
=
=
=
3 ⎝5 6⎠ 3
30
3 30
30
30 10
24.
1 3 5 + 18 23
+ =
=
6 5
30
30
,
3 1 18 + 5 23
+ =
=
5 6
30
30
25.
⎛ 2 6 ⎞ 10 2·6 10 2·(2·3)·( 5·2) 8
· =
=
⎜ · ⎟· =
3·5·3
3
⎝ 3 5 ⎠ 3 3·5 3
2 ⎛ 6 10 ⎞ 2 6·10 2·(2·3)·( 5·2) 8
=
=
⎜ · ⎟= ·
3 ⎝ 5 3 ⎠ 3 5·3
3·5·3
3
16
DESAFÍO MATEMÁTICO PAG. 22
17
La música
1.
Con una cuerda con las mismas propiedades, pero la mitad de longitud, obtenemos una
octava superior. En nuestro caso, obtendremos un mi una octava superior, si la cuerda tiene
una longitud de 0’60 metros.
2.
, siendo L la longitud de la cuerda del do. Se
La cuerda del mi, tiene una longitud de
plantea la siguiente ecuación: 1 20
0 75 metros. Así que la cuerda del do mide
0 75
0’75 metros. La cuerda del sol es
1. Por lo tanto, la cuerda del sol mide 1
metro.
3.
Do = 10 cm, Si =
Fa=
10
10
15 cm , Mi =
10 667 cm, La =
10
16 cm , Re =
10
12 cm , Sol =
10
10
1333 cm ,
17′778 cm.
La octava inferior se puede calcular, multiplicando por 2, las medidas de las cuerdas de la
octava anterior, o bien, volviendo a aplicar las relaciones dadas anteriormente Do = 20 cm,
Si =
20
cm, Mi =
2133 cm, La =
20
20
32 cm, Re =
24 cm, Sol =
20
20
2666 cm, Fa =
20
30
35′55 cm, Do = 40 cm
4.
La cuerda más corta corresponde al Do de la octava superior.
15 = 16 cm, La =
Si =
Fa =
15
225 cm, Mi =
La suma de las cuerdas será: 15
15
15
18 cm, Sol =
24 cm, Re =
16
18
20
15
22 5
15
20 cm,
26′66 cm, Do =30 cm
24
26 6
142 1
5.
•
•
•
Arpa: instrumento musical perteneciente a la familia de cuerda punteada o pulsada.
Su forma se aproxima al triángulo, con cuerdas dispuestas verticalmente. Sus partes
principales son: cabeza, columna, encordadura, codo, base de la columna, caja de
resonancia y pedales.
Se trata de un instrumento muy antiguo, conocido por los sumerios, asirios, egipcios,
griegos, romanos y celtas. Por ello, según la zona geográfica encontramos distintos
tipos de arpas. El arpa actual consta de 47 cuerdas y siete pedales que permiten
modificar la altura de los sonidos.
Cítara: instrumento musical perteneciente a la familia de cuerda punteada o pulsada.
Se trata de un instrumento parecido a la lira, pero con la caja de resonancia de
madera. En la cítara moderna, la caja de resonancia tiene forma trapezoidal y el
número de cuerdas varía entre 20 y 30.
18
•
Lira: instrumento musical perteneciente a la familia de cuerda punteada o pulsada.
El uso de la lira está documentado ya en la Antigua Grecia, así como entre asirios y
hebreos. Contenía entre 4 y 18 cuerdas y era de menor tamaño que la cítara. El
término lira en la actualidad, es conocido para designar también el carrillón de
teclado o glockenspiel portátil.
Semejanzas:
• Arpa, cítara y lira se tocan con las dos manos.
• Los tres instrumentos pertenecen a la familia de cuerda punteada o pulsada.
• Son instrumentos utilizados ya desde la antigüedad.
• Encontramos diferentes variantes según la época y zona geográfica.
Diferencias:
• El número de cuerdas varía. El arpa actual consta de 47 cuerdas, la cítara entre 20 y
30 cuerdas y la lira puede variar entre 4 y 18 cuerdas.
• Son instrumentos diferentes en su forma. El arpa se aproxima a una forma triangular,
la cítara tiene forma trapezoidal y la lira predominantemente con forma de ábaco.
• En la orquesta actual es frecuente la aparición del arpa y no tanto de la cítara y la
lira.
El reparto de la pizza
1. Cada pizza se divide en tres, con lo que tenemos de pizza de esta forma. Al dividir
de
pizza en 5 partes, la operación realizada es
2. Cada uno se llevaba
3. El reparto sí es justo y coincide con la solución
que damos nosotros actualmente.
4. Se trata de expresar la fracción como suma de fracciones cuyo numerador sea la unidad.
En primer lugar divido las pizzas en cinco partes iguales. De esta manera obtengo 15 trozos
repartiendo dos trozos a cada uno ( de pizza a cada uno). Esta fracción era impensable para
los egipcios. Pero repartir 2 entre 5 está resuelto anteriormente. Nos queda por repartir de
pizza entre 7 personas. Simplemente fraccionamos en 7 partes el trozo. Como éste
representa de pizza, cada nuevo trozo es
de pizza.
Así el reparto se hace de la siguiente forma:
3
7
1
3
1
15
1
35
19
ACTIVIDADES FINALES PAG. 24
20
26.
a)
b)
c)
d)
e)
g)
no son equivalentes ya que 5 9
3
9
4
12
15
5
8
18
15
6
y
y
y
y
y
6 15
2
sí son equivalentes ya que 3·6 = 9·2
6
6
sí son equivalentes ya que 4·18 = 6·12
18
9
sí son equivalentes ya que 3·15 = 9·5
3
40
sí son equivalentes ya que 8·90 = 18·40
90
2
no son equivalentes ya que 5·15 ≠ 2·6
5
27.
6
1
=1
5
5
21
7
1
b)
=1 =1
14 14
2
25
4
c)
=1
21
21
16
3
d)
=1
13 13
17
2
e)
=1
15 15
40
4
1
f)
=1 =1
36
36
9
a)
28.
5 44 44 : 4 11 10 15
,
,
=
=
6 48 48 : 4 12 12 18
3 6
9
b) ,
,
5 10 15
3 1 2
c)
, ,
12 4 8
15 30 45
d)
,
,
16 32 48
25 50 75
e)
,
,
21 42 63
12 2 4
f)
, ,
6 1 2
a)
29 .
a ) 5·10 =25·? ⇒ ? = 2
b ) 6·8 = 12·? ⇒ ? = 4
c ) 9·6 =2·? ⇒ ? = 27
21
d) 14·3 = 6·? ⇒ ? = 7
e ) 3·27 = 9·? ⇒ ? = 9
f ) 15·15 =25·? ⇒ ? = 9
g ) 5·12 =4·? ⇒ ? = 15
h ) 11·10 =22·? ⇒ ? = 5
i ) 35·6 = 14·? ⇒ ? = 15
30.
6·5 30
=
7·5 35
31.
16 16 :16 1
=
=
32 32 :16 2
14 14 : 2 7
b)
=
=
32 32 : 2 16
16 16 : 2 8
c)
=
=
38 38 : 2 19
90
90 : 2
45
d)
=
=
242 242 : 2 121
44 44 : 4 11
e)
=
=
48 48 : 4 12
480 480 : 30 16
f)
=
=
210 210 : 30 7
240 240 : 30 8
g)
=
=
210 210 : 30 7
36
36 : 36 1
h)
=
=
180 180 : 36 5
62
62 : 2 31
i)
=
=
108 108 : 2 54
35 35 : 5 7
j)
=
=
75 75 : 5 15
64
64 :16 4
k)
=
=
112 112 :16 7
425 425 : 25 17
l)
=
=
75
75 : 25
3
a)
32.
2 2·5 10
=
=
7 7·5 35
,
2 2·7 14
=
=
7 7·7 49
33.
a)
1 2 1
< =
6 6 3
22
2
4
5 1
=
<
=
15 30 30 6
1
5 16 4
c)
=
<
=
12 60 60 15
25
5 20 45 9 18
d)
=
=
<
= =
100 20 80 80 16 32
b)
34.
1
4
9
3
9 30 5
=
<
=
=
<
=
21 84 84 28 84 84 14
3 1 2 1
5
b)
= < = <1=
12 4 4 2
5
3 28 7 28 50 5
c)
<
= =
<
=
20 20 5 20 20 2
1 21 24 2 24 70 5
d) =
<
= =
<
=
4 84 84 7 84 84 6
1
4 21 3 21 70 5
e)
=
<
= =
<
=
14 56 56 8 56 56 4
3 189
216
3
216
280
5
f )
=
<
= =
<
=
16 1008 1008 14 1008 1008 18
1 8
9 12 3
g) = < < =
2 16 16 16 4
2 40 45 3 45 48 4
h) =
<
= =
<
=
3 60 60 4 60 60 5
a)
35.
2 4 5
< <
3 3 3
2 4 6 2 4
b) < < = =
9 9 9 3 6
3 21 22 30 6
c) =
<
<
=
5 35 35 35 7
6
2
28
29
45
3
d)
=
=
<
<
=
45 15 210 210 210 14
a)
36.
1 1 3+ 2 5
+ =
=
2 3
6
6
2 2 10 − 6 4
b) − =
=
3 5
15
15
11 3 44 − 3 41
1
c)
− =
=
=1
2 8
8
8
8
1 3
d ) 1 + = = 1 12
2 2
a)
23
5 1 10 + 1 11
+
=
=
6 12
12
12
5 1 5−2 3
f) − =
=
4 2
4
4
15 1 15 − 2 13
1
g)
− =
=
=2
6 3
6
6
6
2 68 + 2 70
2
h ) 4+
=
=
=4
17
17
17
17
5
7 10 − 36 + 7
19
1
i ) −6+ =
= − = −3
3
6
6
6
6
7 5 7 28 − 60 + 21
11
j) − +
=
=−
9 4 12
36
36
e )
37.
6 2
2 6 1 2
2 21 − 2 19
+ −
= + −
= 1−
=
=
7 14 21 7 7 21
21
21
21
5 1
15 − 1 + 36 50
14
7
b) − +2=
=
=2 =2
6 18
18
18
18
9
5 18 − 5 13
1
c ) 3− =
=
=2
6
6
6
6
3
1
2
2 + 17 19
2
d)
+1−
=
+1 =
=
=1
17
17 17
17
17
17
2 2 1 6+ 2−5 3 1
e) + − =
=
=
5 15 3
15
15 5
2 2
2 2 1 2 3 2 1 2 9 + 2 11
f) + +
= + +
= +
= +
=
=
9 18 27 9 9 27 9 27 3 27
27
27
a)
24
38.
2 2
a ) 3· =
9 3
5 25
1
b ) 5· =
=4
6 6
6
25
2 14
2
c ) 7· =
=4
3 3
3
4 20
6
d ) 15· =
=2
21 7
7
3
e ) ·16 = 6
8
16
f ) ·14 = 32
7
26
g ) · =1
34
37 7
h) · =
53 5
25 2 10
i)
· =
3 5 3
6 10 5
j) · =
8 12 8
7 30 5
k) · =
16 21 8
16 121 44
l) ·
=
11 12
3
39.
6 10
a ) 2· · = 2
5 12
7 10 5·( 7·2 )·5/ 5
b ) 5· · =
=
14 15 14 ·(3·5)
3
/
12 32 4·12· 2·16 48
=
c ) 4· · =
16 10
5
16 ( 2·5)
5 2 (2·9 )·5·2/
d ) 18· · =
=2
/ /)
9 10
9·(2·5
2
1 2·(2·15 ) 4
=
e ) ·30· =
3 15
3·15
3
f) 4
g) 8
h)7
6
40.
5 12 2
· =
6 15 3
1
b ) 5 : = 15
3
a)
26
21 14 2
=
=
2 21 3
d) 4 :
:
c ) 7:
e)6 :
:
f) 5 :
:
g)
h)
7 2
14
6 12 6·10 (6·2) ·5
: =
=
=1
5 10 12·5
12 ·5
:9
:
41.
4 3 4·28 4·(4·7 ) 16
:
=
=
=
7 28 7·3
3·7
3
101 100
=
b ) 1:
100 101
210 30 210·4 ( 30 · 7 )·4 1
: =
=
=
c)
56 4 30·56 30 ·( 7 ·8) 2
2 2 2·7 7
d) : =
=
5 7 2·5 5
2 4 2·6 2·(2·3)
4
1
e) : =
=
=
=
9 6 4·9 4·(3·3) 4·3 3
45 9 45·8 (5·9 )·8 5
f)
: =
=
=
48 8 48·9 (6·8 )·9 6
7
7
7
=
g ) :3 =
6
3·6 18
2 20 2·25
2·( 5·5 )
1
h)
:
=
=
=
15 25 15·20 (3·5 )·( 2·2·5 ) 6
3 2 3·6 3·( 2·3) 9
i) : =
=
=
11 6 2·11
2·11 11
6 2 6·5 30
: =
j)
=
18 5 18·2 36
95 15 95·14 ( 5·19)·( 2·7) 133
k)
: =
=
=
12 14 12·15 ( 2·6)·( 5·3)
18
4 5 4·38 4·(2·19 ) 8
: =
=
=
l)
19 38 19·5
19 ·5
5
a)
42.
2 12
2
4 7
a ) 1 + · = 1 + ·2 = 1 + =
3 6
3
3 3
17 4 15 1 17· 4 15 1 17 15 1 34 − 15 − 2 17
b) · − − =
− − = − − =
=
4 3 6 3
4·3 6 3 3 6 3
6
6
27
1
6
7 = 7 = 6·14 = 6·(2·7 ) = 12
c)
1
1
7
7
14
14
3 2 5 3 1 1 3
8
d ) + : = + : = +1 =
5 12 10 5 2 2 5
5
7
4 7
7 5 12
e ) +5: = +5:2 = + = = 6
2
2 2
2 2 2
7
4 1 1 7 6 1 1 1 2 +1 3
f ) − 1: + · = − + = + =
=
4
6 24 4 4 8 4 8
8
8
1−
43.
1 1 1 30 + 6 + 3 − 2 37
a ) 1+ + − =
=
5 10 15
30
30
2
1 1
1 + 90 91
:1 + 5 : = + 15 =
b)
=
12
3 6
6
6
1 1
1 ⎞ 1 1 13 6 − 2 + 39 43
⎛
c ) − : 2 + ⎜3+ ⎟ = − + =
=
2 3
4⎠ 2 6 4
12
12
⎝
1 ⎞ 3 ⎛ 1 ⎞ 1 21 3 3 1 21·8
⎛
d ) ⎜ 5 + ⎟ : − ⎜1 + ⎟ + = : − + =
− 1 = 14 − 1 = 12
4 ⎠ 8 ⎝ 2 ⎠ 2 4 8 2 2 4·3
⎝
44.
⎛ 5 1 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞ 5−3 4−3 2 1 3 1
a ) ⎜ − ⎟+⎜ − ⎟ =
+
= + = =
6
6
6 6 6 2
⎝6 2⎠ ⎝3 2⎠
74
37
⎛1 1 ⎞ ⎛ 1
⎞ 2 − 1 1 + 24 1 25 1 − 75
b ) ⎜ − ⎟ − ⎜ + 2⎟ =
−
=
−
=
=−
=−
12
36 12
36
36
18
⎝ 18 36 ⎠ ⎝ 12
⎠ 36
4−3
1 80 + 1 81
⎛2 3 ⎞
c ) 8+⎜ − ⎟ = 8+
= 8+ =
=
10
10
10
10
⎝ 5 10 ⎠
1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 21 5 − 3 21 2 63 − 8 55 11
⎛
d ) ⎜1 + ⎟ − ⎜ − ⎟ =
−
=
− =
=
=
20 15
60
60 12
⎝ 20 ⎠ ⎝ 3 5 ⎠ 20 15
e) 5
4
135 + 120
255
3·5·17
17 20 − 17 3
/
⎛ 45 60 ⎞
f ) 2−⎜ + ⎟ = 2−
= 2−
= 2−
= 2− =
=
2·3·25
2·3·25
2·3·5·5
10
10
10
/
⎝ 50 75 ⎠
45.
⎛ 3 1 ⎞ 5 30 + 8 1 38 1 38·4 19·8 19
a ) ⎜ + ⎟:
: = : =
=
=
=
80 4 80 4 80
20·8 20
⎝ 8 10 ⎠ 20
5 3
1
5 1 1 5 1 7 5·6 + 7·3 − 7·7 30 + 21 − 49 2
1
b) + −
= + − = + − =
=
=
=
1
6
7 6 1−
7 2
7 2 6
7·6
42
42 21
7
7
⎛ 4 1 ⎞ ⎛ 22 ⎞ 12 − 1 22 + 3 11 25 11·3 11
c ) ⎜ − ⎟ : ⎜ + 1⎟ =
:
= :
=
=
9
3
9 3 9·25 75
⎝3 9⎠ ⎝ 3
⎠
28
5⎞ ⎛
2 ⎞ 23 5 18
⎛
d ) ⎜ 3 + ⎟ − ⎜1 − ⎟ =
− =
=3
6 ⎠ ⎝ 12 ⎠ 6 6 6
⎝
46.
1 4
3 = 3 = 4·3 = 2
a)
1 2 2·3
1−
3 3
2
2
2
2
12
·11 = 1 −
·11 = 1 −
·11 = 1 − ·11 = 1 − ·11 = 1 − 12 = −11
b ) 1−
1
1
5
11
11
1+
1+
1+
1
6
6
6
1+
5
5
1+
47.
a)
1
7
8
13
1
3−
4−
8 1−
7 1− 7
2 1−
1−
1
17
17
17
13·6 119 − 78
41
3−
1−
6 =
6 =
6 =
6 = 17·7 = 17·7 = 17·7 = 41·7 = 41
20
20
20
20
20
20
20 17·7 ·20 340
7
7
7
7
7
7
7
3−
1
3−
b)
1 3
1 13
⎛ 1 1 6 ⎞ ⎡1 ⎛ 3
⎞⎤
2·⎜1 − + · ⎟ : ⎢ ·⎜ + 5 ⎟ ⎥ 2·⎛⎜1 − + ⎞⎟ : ⎡ · ⎤ 2·10 − 5 + 3 : 13
⎢
2 10 ⎠ ⎣ 5 2 ⎦⎥
⎝ 2 4 5 ⎠ ⎣5 ⎝ 2
⎠⎦
10
10 =
= ⎝
=
5
10
5
10
⎡
⎡
⎤
⎡
⎤
⎛ 1 ⎞⎤ ⎛ 7 ⎞
⎢1 − 2·⎜ 1 + 4 ⎟ ⎥·⎜ 1 + 3 ⎟
⎢⎣1 − 2· 4 ⎥⎦· 3
⎢⎣1 − 2 ⎥⎦· 3
⎝
⎠⎦ ⎝
⎠
⎣
8 13
8·10
:
5 10 = 13·5 = − 8·(2·5 ) = − 16
3 10
−5
13·5·5
65
− ·
2 3
29
30
48.
1
Chicos: 630· = 210
3
2
Alumnas: 630· = 420
3
49.
Ha estudiado
3 1
3
= del temario. Le quedan por estudiar del temario.
12 4
4
50.
Quedan los
5
5
del depósito, es decir, ·1200 = 1000 litros.
6
6
51.
50 1
= del total.
150 3
52.
1
De los 1800 árboles, hay ·1800 = 600 robles.
3
Luego quedan 1800 – 600 = 1200 árboles.
1
1
De éstos 1200 árboles son encinas, así que hay ·1200 = 200 encinas.
6
6
Como el resto de árboles son alcornoques, quedan 1200 – 200 =1000 alcornoques.
53.
Gasta en el mostrador de carne
1
·60 = 10 €. Así que le quedan 60-10 = 50 €.
6
1
·50 = 25 € en pescado.
2
Por lo tanto le quedan 50 – 25 = 25 € para comprar la fruta.
Gasta
54.
Le entrega a Atanasio :
1
·120 = 60 € , así que quedan 60 € por repartir.
2
1
·60 = 30 € a Rafael , con lo que quedan 30 € por repartir.
2
2
Isabel recibe ·30 =20 € , con lo que a José le quedan 10 €.
3
Entrega
55.
1
1
1
En ropa gasta ·120 = 40 €, en libros ·120 = 20 € y en comida gasta ·120 = 30 €.
3
6
4
En total ha gastado: 40 + 20 + 30 = 90 € , así que le sobra 120 – 90 = 30 €
31
56.
1
15 : = 45 latas
3
57 .
1 2 5
1
+ = de la puntuación. Así que
de la puntuación
6 3 6
6
son 5 puntos, con lo que en total se marcaron 30 puntos. Por lo tanto Carmen marcó
1
2
·30 = 5 puntos y Ángela marcó ·30 = 20 puntos.
6
3
Entre Carmen y Ángela marcan
58.
1
La primera vez extraemos ·300 = 100 litros. Así que quedan 200 litros. En la segunda vez
3
1
extraemos ·200 = 100 litros, quedando otros 100 litros en la barrica. Finalmente sacamos
2
25 litros, con lo que quedan 100 – 25 = 75 litros en la barrica.
59.
Ovejas:
1
1
1
·36 = 18 , vacas : ·36 = 12 , cerdos : ·36 = 6
2
3
6
60.
1
·24 = 4 pasteles
6
1
Chocolate: ·24 = 8 pasteles
3
1
Nata: ·24 = 4 pasteles
6
Crema:
61.
Coches:
1
1
·12 = 6 , muñecos : ·12 = 4 . Prestó 2 juguetes.
2
3
62.
1
1
Jóvenes : ·60 = 20 , mediana edad : ·60 = 15 ,
3
4
Personas mayores: 25
63.
1
1
13
1
· N + · N = 91 ⇒
N = 91 ⇒
N = 7 ⇒ N = 210
10
3
30
30
64.
En total utiliza:
2 2 1 2 2 18 + 2 20
+ · = +
=
=
3 9 3 3 27
27
27
32
Le sobran
14
el saco pesa: 54 kg
65.
2
1
5
de 500 km los realiza en 2 horas, con lo que en horas realiza 200 km.
2
5
2
1
200
En hora realiza
= 40 km. En 1 hora realiza 80 km.
2
5
La velocidad media ha sido 80 km/h
66.
1
23 1
En el accidente pierde de su contenido, con lo que le queda · = de la capacidad de la
34 2
3
cisterna.
2
2 1 9
Recupera del total de la capacidad de la cisterna, con lo que tiene: + =
de la
5
5 2 10
capacidad de la cisterna.
3
5
5 9
Total = Total , con lo que le queda
Vacía los de lo que tiene: ·
4
6
6 10
¼ del Total = 120 litros ⇒ la cisterna tiene una capacidad de 480 litros.
3
Al principio el camión contenía los de su capacidad, esto es
4
3
· 480 = 360 litros
4
67.
Si le rebajan
1
4
, el señor pagará de su precio total.
5
5
33
4
Total =12000 ⇒ El precio inicial del coche era: 15000 €
5
68.
Si T es el total de monedas:
El primero recibe
T
− 2 monedas
5
El segundo recibe
T
−4
3
El tercero recibe
20 monedas
8
7
14·15
T
T
− 2 + − 4 + 20 = T ⇒
T = T − 14 ⇒ T = 14 ⇒ T =
⇒T = 30
5
3
15
15
7
El primero recibe 4 monedas y el segundo 6 monedas.
69.
1
·3200 = 320 cuadros
10
2
2 9
En el museo de la ciudad hay del resto, es decir · ·3200 = 1920 cuadros.
3 10
3
A particulares se ha vendido: 3200 – ( 320 + 1920 ) = 3200 – 2240 = 960 cuadros
Su familia tiene
70.
2
1
del total son 620 km, entonces del total son 310 km que son los km que le faltan
3
3
por recorrer.
Si
34
AUTOEVALUACIÓN PAG. 27
1.
a)
12
15
7
3
120
5
2
1
1
1
=1 , b )
=1 , c ) =1 , d ) =1 , e )
=1
7
9
6
2
100
7
3
6
2
5
2.
1 35
56 2 120 6
=
<
= <
=
4 140 140 5 140 7
2
4 4 2 6 4 9 3
b) − =− < = = = < =
3
6 6 3 9 6 6 2
a)
3.
2 9 2 7 2 ⎛9 7⎞
· − · = ·⎜ − ⎟
3 4 3 2 3 ⎝4 2⎠
4 10 4 15 4 4 4 ⎛ 10 15 4 ⎞
b) · + · + · = ·⎜ + + ⎟
5 9 5 9 5 18 5 ⎝ 9
9 18 ⎠
a)
4.
a) 2
3 11
=
4 4
, b) 7
1 22
=
3 3
, c) 5
4 29
=
5 5
, d ) 12
6 90
=
7 7
35
5.
7 1
=
14 2
212
28
14
=4
=4
b)
46
46
23
48
8
c)
=
210 35
54
9
1
=1 =1
d)
45
54
6
39 3
e)
=
65 5
a)
6. Todas son fracciones impropias.
7.
1
5 6 − 24 + 10
8
2
−2+ =
=− =−
2
6
12
12
3
10
14 30 + 117 − 14 133
b)
=
+3−
=
13
39
39
39
a)
8.
6 12 6·25 5
=
=
:
5 25 5·12 2
2 2 19 1
4 19
⎛ − 15 ⎞
b) 4 + · − · = 4 + −
= 4+⎜
⎟ = 4 −1 = 3
15 15
53 5 3
⎝ 15 ⎠
9.
1
Alevines : ·1200 = 600
2
El resto son 1200 – 600 = 600 truchas.
1
De éstas ·600 = 200 son para la cría.
3
Los alevines no se pueden vender y las que se reservan para la cría tampoco.
Están en venta: 1200 – 600- 200 = 400 truchas
a)
10.
1
Tomates: · 420 = 140 hectáreas
3
1
Lechugas: · 420 = 60 hectáreas
7
Al maíz dedicó 420 – 140 – 60 = 220 hectáreas
36
OLIMPIADA MATEMÁTICA PAG. 29
1. Sea botella A la botella de 9 L y sea B la botella de 5 L.
Paso 1: Llenamos la botella A. Vertemos su contenido en botella B.
Paso 2: Vaciamos la botella B.
Paso 3: Traspasamos los cuatro litros de A a B.
Paso 4: Llenamos la botella A.
Paso 5: Llenamos la botella B con lo que hay en botella A.
Paso 6: Vaciamos B.
Paso 7: Llenamos B con A.
2. Cruzados en una esquina. Ver dibujo.
37
UNIDAD 2. NÚMEROS DECIMALES Y POTENCIAS
ACTIVIDADES PAG. 32
1.
5
= 0'05 decimal exacto
100
14
b)
= 0'58 3 decimal periódico mixto
24
34
c)
= 3'4 decimal exacto
10
3
d) = 0'75 decimal exacto
4
2
e) = 0'2 decimal periódico puro
9
f)
0 18 decimal periódico puro
2
g)
= 0 '13
15
a)
2.
a) 0’12323… decimal periódico mixto
parte entera : 0, parte decimal : 1232323…
b) 2’25 decimal exacto
parte entera : 0 , parte decimal: 25
c) 5’34666… decimal periódico mixto
parte entera: 5 , parte decimal : 34666…
d) 12’1212… decimal periódico puro
parte entera : 12 , parte decimal : 1212…
e) 8’09898… decimal periódico mixto
parte entera : 8 , parte decimal 09898…
38
ACTIVIDADES PAG. 33
3.
18
9
=
100 50
25 1
0 ' 25 =
=
100 4
12
3
0 '12 =
=
100 25
4 2
0'4 =
=
10 5
96 43
9 '6 =
=
100 50
a) 0 '18 =
b)
c)
d)
e)
4.
a)
b)
c)
N = 0'1818...
N = 0’444…
100 N = 18'18...
− N = −0 '18...
99 N = 18
18
2
⇒N=
N=
99
11
10 N = 4 ' 44...
− N = −0 '44...
9N = 4
4
N=
9
N = 0’4545…
100 N = 45' 45...
− N = −0 ' 45...
99 N = 45
45
5
⇒N=
N=
99
11
d)
39
N = 0’888…
e)
5.
a)
b)
c)
d)
10 N = 8'88...
− N = −0 '88...
9N = 8
8
N=
9
N = 0’666…
N = 0’09333…
10 N = 6 '66...
− N = −0 '66...
9N = 6
6
2
N= ⇒N=
9
3
1000 N = 93'33...
−100 N = −9 '33...
900 N = 84
84
7
⇒N=
N=
900
75
N = 0’577272…
N = 2’21818…
10000 N = 5772 '72...
− 100 N = − 57 '72...
9900 N = 5715
5715
127
⇒N=
N=
9900
220
1000 N = 2218'18...
− 10 N = − 22 '18...
990 N = 2196
2196
122
⇒N=
N=
990
55
N = 0’28181…
1000 N = 281'81...
− 10 N = − 2 '81...
990 N = 279
279
31
⇒N=
N=
990
110
40
ACTIVIDADES PAG. 34
6.
a) 3 2 = 9
b) 540 = 1
c) 981 = 98
d) 82 = 64
e) 42 = 16
f) 63 = 216
g) 102 = 100
h) 107 = 10000000
i) 54=625
7.
a ) 23 ·27 = 210
b ) 325 :164 = ( 25 ) : ( 24 ) = 225 : 216 = 29
5
4
c ) 5 7 : 5 2 = 55
d ) ( 9·2 ) = 92 ·22 = ( 32 ) ·( 22 ) = 34 ·24
2
2
2
e ) (16 : 4 ) = 43 = ( 22 ) = 26
3
3
8.
2
2
3
2
a ) ( 93 : 35 ) = ⎡( 32 ) : 35 ⎤ = ( 36 : 35 ) = 32
⎣⎢
⎦⎥
4
4
3
4
4
12
b ) (163 : 43 ) = ⎡( 4 2 ) : 43 ⎤ = ( 46 : 43 ) = ( 43 ) = 412 = ( 2 2 ) = 2 24
⎢⎣
⎥⎦
3
3
2
3
3
3
c ) (812 ·27 3 ) = ⎡( 34 ) ·( 33 ) ⎤ = ( 38 ·39 ) = ( 317 ) = 351
⎣⎢
⎦⎥
d ) ( 20 ·51 ) = (1·52 ) = 52
2
2
e ) (152 ·45 ) = ⎡( 3·5 ) ·32 ·5⎤ = ( 32 ·52 ·32 ·5) = ( 34 ·53 ) = 38 ·56
⎣
⎦
2
2
2
2
41
ACTIVIDADES PAG. 35
9.
a) 4 – 2 =
1
1
=
5
2
32
1
1
c) 5−2 = 2 =
5
25
1
1
−1
d) ( −8 ) =
=−
−8
8
b) 2 −5 =
e) ( 2a 2 ) = 24 ·( a 2 ) = 24 ·a 8
4
4
f) ( −4 ) = 42 = 16
2
g) ( −4 ) =
1
−2
( −4 )
2
=
1
1
=
2
4
16
h) −4 = −16
2
10.
5
23 ·( 22 )
23 ·3−1 ·46
23 ·212
215
25 ⎛ 2 ⎞
=
= 6 4 4 = 10 5 = 5 = ⎜ ⎟
a)
4
3 2
82 ·64
2 ·2 ·3 ·3 2 ·3
3 ⎝3⎠
2
·
2·3
·3
(
)
( )
6
16 −1 ·15·6 2 ( 3·5 )·( 2·3 )
3·5·2 2 · 32
3 3
b)
=
= 4
=
=
5·9
16·5·9
22 4
2 ·5· 32
2
c)
( 2·15 ) = 22 ·152 = 1
30 2 ·15−2
30 2
d)
=
=
23
152 ·23 152 ·23
152 ·23 2
2
11.
⎡ 32 ·( −6 ) ⎤
a) ⎢
⎥
⎣ 9 ⎦
−2
⎡ 32 ·( −6 ) ⎤
=⎢
⎥
⎢⎣ 9
⎥⎦
−2
= ( −6 ) =
−2
1
( −6 )
2
=
1
36
42
b)
⎡ ⎛
⎢ ⎜
⎢ ⎜
1
⎢6 + ⎜
⎢ ⎜
1
⎢ ⎜ 1−
1
⎢ ⎜ 1+
2
⎣⎢ ⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
2
⎤
⎡ ⎛
⎥
⎢ ⎜
⎥
⎢ ⎜
⎥ : 36 = ⎢6 + ⎜ 1
⎥
⎢ ⎜
1
⎥
⎢ ⎜ 1− 3
⎥
⎢ ⎜
2
⎢⎣ ⎝
⎦⎥
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
2
⎤
2
⎥
⎡ ⎛
⎞ ⎤
⎥
⎢
⎥
⎥ : 36 = ⎢6 + ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎥ : 36 =
⎥
⎢ ⎜ 1− 2 ⎟ ⎥
⎥
⎢⎣ ⎝ 3 ⎠ ⎥⎦
⎥
⎦⎥
⎡ ⎛ ⎞2 ⎤
⎢ ⎜1⎟ ⎥
15 3·5 5
2
⎢ 6 + ⎜ ⎟ ⎥ : 36 = ⎡ 6 + ( 3) ⎤ : 36 = ( 6 + 9 ) : 36 = 6 =
=
⎣
⎦
3
3·35 35
⎢ ⎜1⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ 3 ⎠ ⎥⎦
a −2 ·b 5
b5
b3 ⎛ b ⎞
=
=
=⎜ ⎟
a 2 ·b 2 ·a −1 a 2 ·a 2 ·b 2 ·a −1 a 3 ⎝ a ⎠
c)
3
ACTIVIDADES PAG. 36
12.
a ) 10 000 = 104 , b ) 0’000 000 01 = 10
c) 0‘000 01 = 10-5 , d) 1 000 000 000 000 000 = 1015
13.
a ) 23'45·105 + 57'98·105 = ( 23'45 + 57'98)·105 = 81'43·105 = 8'143·106
b ) 1' 6·10 6 ·24 '1·10 2 = 38 '56·108 = 3 '856·10 9
ACTIVIDADES PAG. 37
14.
−1
a) 1 + 0'6 + 0'83 · 1 − 0'16
(
) (
)
43
N = 0’666…
10 N = 6'66...
− N = −0'66...
6
2
⇒N= ⇒N=
9N = 6
9
3
N = 0'8333...
N = 0'1666...
100 N = 83'33...
− 10 N = −8'33...
75
5
⇒N=
⇒N=
90 N = 75
90
6
100 N = 16'66...
− 10 N = −1'66...
15
1
⇒N=
⇒N=
90 N = 15
90
6
−1
⎛ 2 5 ⎞ −1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 6 + 4 + 5 ⎞ −1 5
1 + 0'6 + 0'83 · 1 − 0'16 = ⎜1 + + ⎟ ·⎜1 − ⎟ = ⎜
⎟ · =
6
⎝ 3 6⎠ ⎝ 6⎠ ⎝
⎠ 6
(
) (
)
−1
⎛ 15 ⎞ 5 6 5 1
=⎜ ⎟ · = · =
⎝ 6 ⎠ 6 15 6 3
10
b) 2 + 0'6 · − 3 − 0'3
13
(
)
(
)
N = 0’666…
N = 0’333…
10 N = 6'66...
− N = −0'66...
6
2
⇒N= ⇒N=
9N = 6
9
3
10 N = 3'33...
− N = −0'33...
3
1
⇒N= ⇒N=
9N = 3
9
3
⎛
2 ⎞ 10 ⎛
1 ⎞ 8 10 8 8 ⎛ 10 ⎞ 8 ⎛ − 3 ⎞
8
(2 + 0'6 )·10
− (3 − 0'3) = ⎜ 2 + ⎟· − ⎜ 3 − ⎟ = · − = ·⎜ − 1⎟ = ·⎜
⎟=−
13
3 13
3
3 13 3 3 13
3 13
13
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
15.
a)
1 52 10 1 5·5 10 1 5 10 1 5·3 1 1 2 − 5
3
− : = −
: = − : = −
= − =
=−
5 15 3 5 5·3 3 5 3 3 5 10·3 5 2 10
10
b ) 2 + 22 :
1
1−
= 2 + 22 :
2
22
1
1−
1
2
= 2 + 22 :
1
= 2 + 22 : 2 = 2 + 2 = 4
1
2
( 2·3) : ⎛ 1 ⎞ = 3 + 22 ·32 : 1 = 3 + 2·32 : 1 = 3 + 2·34 = 327
⎛2⎞
c) ⎜ ⎟ +
⎜ ⎟
2
2
2 32 2
32 2
2
⎝3⎠
⎝3⎠
−1
2
2
44
d)
⎛
⎞
⎜
⎟ 1
1
1 ⎞ 1
1⎞ 1
⎛
⎛
+ = 9 : ⎜1 +
+ = 9 : ⎜1 − ⎟ + =
32 : ⎜ 1 +
⎟
⎟
⎝ 1 − 12 ⎠ 11
⎝ 11 ⎠ 11
⎜ 1 − 2 : 1 ⎟ 11
6⎠
⎝
⎛ 10 ⎞ 1 99 1 1099
9:⎜ ⎟+ =
+ =
⎝ 11 ⎠ 11 10 11 110
ACTIVIDADES PAG. 38
16.
a)
0’123123123… número racional.
b ) 2’3303003000… número irracional
c ) 1 + 3 6 número irracional
d) √36 … número racional
17.
a ) 25 = 5
b)
−25 no tiene raíz en
c)
0'16 = 16·10−2 = 16· 10−2 = 4·10−1 = 0'4
d)
5
32 = 5 25 = 2
e)
5
−32 = 5 ( −2 ) = −2
f)
5
0'0025 = 25·10−4 = 25· 10−4 = 5·10−2 = 0'05
ACTIVIDADES PAG. 39
45
18.
3a = ( 3a )
a)
4
1
2
b)
3
b4 = (b )
c)
5
a 2b = ( a 2b )
6
a +1 ⎛ a +1 ⎞
=⎜
⎟
3
⎝ 3 ⎠
d)
e)
3
1
a a = a·a
3
5
1
1
6
= a
3
4
3
( )
= a
4
1
3
2
=a
4
6
=a
2
3
19.
a) 4
1
2
= 4
b ) ( 3a + 5 )
c) 8
−1
d ) −8
1
3
e ) ( −8 )
f ) ( −8 )
8
1
(
3
=
( 3a + 5)
3
4
1
1 1
=3 =
8 2
8
=
3
= − 3 8 = −2
1
= 3 −8 = − 2
3
−1
3
=
20.
a)
4
1
=
3
3
100
)
2
1
1
( −8) 3
(
= 100
( )
b ) 154 = 154
1
2
1
2
) = 100
4
( a + 1)
d)
5
32a10 = ( 25 ·a10 )
6
1
5
= 152 = 225
2
(( a + 1) )
3
=
2
= 15
c)
6
1
1
=
−
3
2
−8
=
1
3
= ( a + 1)
6
3
= ( 25 ) 5 ·( a10 )
1
= ( a + 1)
1
5
2
= 2a 2
ACTIVIDADES PAG. 40
21.
a ) 0’98733, b ) 0’00987 tiene 3.
c ) 7’989223=7’9892, d ) 7’989286=7’9893
46
22.
1
1 33
100 − 99
1
1
− 0 '33 = −
=
=
=
3
3 100
300
300 300
1
1
Ea 300 300
3
1
e=
=
=
=
=
= 0 '01
1
1
300 100
N
3
3
Ea =
23.
√3
1 73205080756887729352744634150 …
1 73
Veamos que con esta aproximación se comete un error menor que una centésima.
173 100 3 − 173 173' 2 − 173 0 ' 2
Ea = 3 − 1'73 = 3 −
=
=
= 0 '002
100
100
100
100
e=
Ea 0 '002
=
= 0.001154700538<0'01
N
3
ACTIVIDADES PAG. 41
24.
213 a 15 b16 = 210 2 3 a 14 ab16 = 2 5 a 7 b 8
a)
b)
3
3
2a
32 = 2 5 = 2
c)
d)
2 4 a 13 = 23 2a 12 a = 2a 4
23 a
4
e)
2 5 a 15 = 4 2 4 2a 12 a 3 = 2a 3
312 36
=
a 15 a 7
4
2a 3
1
a
25.
b
a ) 2a 3 =
a
b ) 4a
2 3
2 2 a 2b
=
a3
4b
a
b
43 a 6b 3 26 a 6b 3 3 3
3
=
=
= 2 a b
8a 3
8a 3
23 a 3
c ) 3a 3 3a 2 = 3 33 a 3 3a 2 = 3 3 4 a 5
d) a
2
=
a5
2a 2
=
a5
2
a3
47
e)
2a 5 81
2 5 a 5 34
2a
5
· 4 4 =5
=
4
5
3 16a
3
3 2 a
DESAFÍO MATEMÁTICO PAG. 44
48
Las matemáticas y las ciencias del mar
1 2 10 toneladas de anchoveta
1. Perú: 12.000.000 12 10
Banco sahariano: 10.000.000 10 toneladas de anchoveta
2. Suponemos que se capturan 1 2 10
10
2 2 10 de toneladas de anchoveta
al año. En estas condiciones, si por cada 10 kg de anchoveta se fabrica 1 kg de
harina de pescado, por 2 2 10 toneladas de anchoveta, se fabrican 2 2 10
2 2 10 kg de harina de pescado.
toneladas de harina de pescado
3. Por cada kg de harina ganamos 0’9 €, si capturamos :
a. 7 millones de toneladas de anchoveta 7 10 kg anchoveta 7
10 kg de harina de pescado
b. Obtenemos:
0 9 7 10
63 10
630.000.000 €
4. Realiza un trabajo sobre la importancia de la pesca en la alimentación humana.
5. Las proteínas del pescado son equivalentes a las de la carne, por lo que el hombre
podría sustituir la carne por el pescado en su alimentación.
Distancia solar
Distancia de la Tierra al Sol =
,
Distancia de la Tierra a Saturno =
,
149.600.000 1 ´496 10 km
1430.000.000 14 3 10 km
1. La Tierra se encuentra más cerca del Sol.
2. 14 3 10
1 496 10
1.2804 10 km
3. Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno (a Plutón en la
actualidad no se le cataloga como planeta).
4. Realiza un dibujo sobre el Sistema Solar.
5. En 1 segundo recorre 300.000 3 10 km
En 1 minuto recorre 3 10 60 18 10 km
En 1 hora recorre 18 10 60 108 10 km
En 1 día recorre 108 10 24 2592 10 km
En 1 mes recorre 2592 10 30 7776 10 km
En 1 año recorre 7776 10 12 93.312 10 km
6. Tardaría en llegar:
498 67 segundos = 831 minutos.
7. Nunca llegaría porque el Sol le quemaría mucho antes de llegar.
49
ACTIVIDADES FINALES PAG. 44
26.
6
= 0'4 decimal exacto
15
1
b ) = 0'1 decimal periódico puro
9
a)
50
1
= 0'0909 ... decimal periódico puro
11
2
d)
= 0'1333 ... decimal periódico mixto
15
3
e)
= 0'272727 ... decimal periódico puro
11
8
f)
= 0'5333 ... decimal periódico mixto
15
23
g)
= 0'92 decimal exacto
25
7
h)
= 0'636363 ... decimal periódico puro
11
7
i ) = 0'777... decimal periódico puro
9
c)
27.
a ) 1’111… decimal periódico puro , número racional.
b ) 1’01212… decimal periódico mixto , número racional
c ) 4’11010… decimal periódico mixto , número racional
d ) 1’1010010001… número irracional
28.
15
3
=
100 20
b ) N = 0’41666…
a ) 0'15 =
1000 N = 416'666...
− 100 N = −41'666...
900 N = 375
N=
6 3
=
10 5
d ) N = 4’999…
375
5
⇒N=
900
12
c ) 0'6 =
10 N = 49'99...
− N = − 4'99...
9 N = 45
N=
e ) N = 2’242424…
45
⇒ N =5
9
100 N = 224'2424...
− N = − 2'2424...
99 N = 222
222
74
N=
⇒N=
99
33
51
f ) N = 1'25 =
125 5
=
100 4
29.
10 N = 6'66...
− N = −0'66...
6
2
⇒N= ⇒N=
9N = 6
9
3
N = 0’666…
N = 0’1666…
100 N = 16 '66...
− 10 N = − 1'66...
15
1
⇒N=
⇒N=
90 N = 15
90
6
5 + 1 + 2 90 + 3 + 12 105
5 + 0 '16 + 0 '6
6·105 6·3 ·7 ·5
6 3=
18
=
= 18 =
=
=5
1
1
7
7
18·7
18
·7
1+
1+
6
6
6
6
30.
56
es un número entero es x = 2.
12 + x
56
56
En este caso tenemos que
=
=4
12 + x 14
El valor para el que la expresión
31.
a ) 0’00004599 = 4’599 · 10 −5
b ) 98 130 000 000 000 = 9’813 · 10 13
c ) 7 896 540 000 000 000 = 7’89654 · 10 15
d ) 0’ 000 000 000 000 001 2 = 1’2 · 10 −15
32.
a ) 345 · 10 3 = 3'45 · 102 · 103 = 3'45 · 105
b ) 98747 · 10 5 = 9'8747 · 10 4 ·105 = 9'8747 · 109
c ) 0’000367 · 10 8 = 3'67 · 10 −4 ·108 = 3'67 · 104
d ) 98484 · 10 −9 = 9’8484 · 10 4 ·10 −9 = 9’8484 · 10 −5
e ) 0'009 · 10 −2 = 0'9 · 10 −2 · 10 −2 = 0'9 · 10−4
f ) 0'027 · 103 = 2'7 · 10−2 · 103 = 2'7 · 101
33.
a ) 73 '85·10 6 + 34 '12·10 5 = 738 '5·10 5 + 34 '12·10 5 = 772 ' 62·10 5
34 ' 4 9 2
b ) ( 34 ' 4·109 ) : (17 ' 2·10−2 ) =
·10 ·10 = 2·1011
17 ' 2
.
10
10
18 5 10
c ) 222 4 10 : 12 10
d ) ( 4 '76·108 ) : ( 32 '5·103 ) =
−2
8
1 85 10
6
476·10 ·10
476·10
476 6 2 476 8
·10 ·10 =
·10 = 1' 46·108
=
=
−1
3
−2
325·10 ·10
325·10
325
325
52
34.
a)
(36 '5·10
4
− 3'5·104 )·2 '89·1012
25'2·103
=
3179 12
·10 = 3'78·1011
84
b)
( 4 '67·107 + 123' 4·107 )·3' 42·1012
2 ' 2·109
4379994·10−4 ·1019 ·10−8
=
22
33·104 ·289·10−2 ·1012 33·289·1014
=
=
=
252·10−1·103
252·102
128'07·107 ·3'42·1012 437 '9994·1019
=
=
22·10−1 ·109
22·108
4379994 7 2189997 7
=
·10 =
·10 = 1'99·1012 ·107 = 1'99·1019
22
11
=
35.
a ) 432 000 000 000 000 : 54 000 000 = 432·1012 : 54·106 = 8·106
10750·106
b ) 10 750 000 000 : 8 600 000 000 000 =
= 1'25·10−3
9
8600·10
36.
a ) 2 3 ·2 2 ·2 7 = 212
b ) 29 : 20 = 29 :1 = 29
c ) (2 3 ) = 2 6
2
d ) 2 2 ·3 4 ·5 2 ·4 3 ·6 2 = 2 2 ·3 4 ·5 2 ·(2 2 ) ·(2·3) = 2 2 ·3 4 ·5 2 ·2 6 ·2 2 ·3 2 = 210 ·3 6 ·5 2
3
37.
a)
{[(− 3) ] }
3 2
1
3
2
= (− 3) = 9
2
2
2
4
⎧⎪⎛ 3 ⎞ 7 ⎛ 3 ⎞ 5 ⎫⎪
⎧⎪⎛ 3 ⎞ 2 ⎫⎪
⎛3⎞
b ) ⎨⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ ⎬ = ⎨⎜ ⎟ ⎬ = ⎜ ⎟
⎪⎩⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎪⎭
⎪⎩⎝ 2 ⎠ ⎪⎭
⎝2⎠
2
2
⎡ ( −1)3 · 33 ·( 2 2 )2 ⎤
4 2
⎡ ( −3)3 ·4 2 ⎤
⎡
⎤
−
2
2
⎥ =⎢
c) ⎢ 3 3 ⎥ =⎢
= ( −2 ) = 4
⎥
3
3
3
⎢
⎥
2 ·3
⎢⎣ 2 ·3 ⎥⎦
⎣ 2 ⎦
⎣
⎦
d)
14 2 ·35 (2·7 ) ·35 2 2 ·7 2 ·35 2 2 ·3 12
=
= 4 3 =
=
2
7
7
9 2 ·7 3
3 ·7
3 2 ·7 3
2
( )
38.
⎛ 1⎞
a ) ⎜1 − ⎟
⎝ 2⎠
2
2
⎛ 1⎞ ⎛1⎞
·⎜1 − ⎟ = ⎜ ⎟
⎝ 3⎠ ⎝ 2⎠
2
2
22
1 1
⎛2⎞
·⎜ ⎟ = 2 2 = 2 =
3
9
⎝3⎠
2 ·3
⎡⎛ 1 ⎞2 23 ·81⎤
23 ·34
23 · 34
1 1
=
=
=
b ) ⎢⎜ ⎟ 2 ⎥ =
2 2
2
2 2
3
22 4
⎢⎣⎝ 6 ⎠ 3 ·8 ⎥⎦ ( 2·3) ·3 ·8 2 · 3 ·3 · 2
53
39.
a ) N = 0‘333 …
0'5 =
10 N = 3'33...
− N = −0'33...
3
1
⇒N= ⇒N=
9N = 3
9
3
25 1
,
0'25 =
=
100 4
5 1
=
10 2
1 1
6+ 2−3
5
1+ −
11 1 + 0 '3 − 0 '5 11
11
11
11 5·28 10
·
= · 3 2= · 6
= ·6 =
·
=
7 0 ' 25 + 1
7 1+1
7 7+4
7 11
7 11 ·6 3
7
4 7
28
28
b ) N = 0’1666…
100 N = 16 '66...
−10 N = − 1'66...
15
1
⇒N=
⇒N=
90 N = 15
90
6
−2
−2
⎛7⎞
−2 ⎛ 1 + 1 ⎞
−2
−2
2
⎜ 6⎟
⎜6⎟
⎛ 1 + 0 '16 ⎞
⎛ 7·3 ⎞
⎛7⎞
⎛ 4 ⎞ 16
⎟ =⎜
⎟ =⎜ 2⎟ =⎜
⎜
⎟ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =
49
⎝ 2·6 ⎠
⎝4⎠
⎝7⎠
⎝ 1 − 0 '3 ⎠
⎜ 1− 1 ⎟
⎜ ⎟
⎝ 3⎠
⎝3⎠
c ) 1+
d)
1
1
1
3 5
= 1+
= 1+ = 1+ =
1
2
2 2
1 − 0 '3
1−
3
3
N = 0'2 =
1
1−
1
1+ 0 '2
2 1
=
10 5
1
=
1−
1
1+
=
1
5
1
1−
1
6
5
=
1
1−
5
6
=
1
=6
1
6
40.
a ) 15 : 3 + 2·(3 + 5) = 5 + 2·8 = 5 + 16 = 21
b)
10 N = 5'55...
− N = − 0 '55...
5
⇒N=
9N = 5
9
54
⎛
⎜
⎛
⎞
⎜
⎟ 13 ⎜
1
1
· 3 =⎜
⎜
⎟
⎜ 1+ 1 ⎟ 3 ⎜ 1+ 1
⎜
5
⎝ 1 − 0 '5 ⎠
⎜ 1−
9
⎝
⎞
⎛
⎟
⎜
⎟ 13 ⎜ 1
⎟· 3 = ⎜
⎟ 3 ⎜ 1+ 1
⎟
⎜
4
⎟
⎜
9
⎠
⎝
⎞
⎟
⎛
⎞
⎟ 13 ⎜ 1 ⎟ 13 1 13 4 13
4
⎟· 3 = ⎜
· 3 = · 3=
· 3 =
⎟
27
13 3
⎟ 3 ⎜ 1 + 9 ⎟ 3 13 3
⎟
4
⎝ 4⎠
⎟
⎠
c ) 1 + 52 : 5 + ( 7 − 2·32 ) = 1 + 5 + ( 7 − 18 ) = 6 − 11 = −5
403 ·20−1
403
40 ·402
42 ·102
24 16
d)
=
=
=
=
=
503
20·503 20·2 ·25·502 52 ·52 ·102 54 625
41.
2
3
2
3
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
⎛1⎞ ⎛3⎞
33
⎜1 − ⎟ ·⎜ 1 + ⎟
⎜ ⎟ ·⎜ ⎟
3 4
2⎠ ⎝ 2⎠
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ = 22 ·23 = 3 ·2 = 3
=
a) ⎝
2
2
32
25 ·32 2
⎛ 1⎞
⎛3⎞
⎜1 − ⎟
⎜ ⎟
24
⎝ 4⎠
⎝4⎠
15a 7b12 5a 5b 2
=
12a 2b10
4
3
2
−10a bc
5a 2 c 2
=
−
c)
2ab 2
b
7
6 6
28a
7a b
=
d)
−6
12ab
3
b)
55
56
42.
2 + 23 10 2
=
=
3 + 3·22 15 3
5 + a2
1
5 + a2
=
=
b)
2
2
2
10 + 2a
2· 5 + a
a)
(
c)
(
)
)
ax ( a 2 − x 2 )
a 3 x − ax 3
a2 − x2
=
=
ab 2 x − a 2bx 2 abx ( b − ax ) b ( b − ax )
3
2
16ab 2 c 4 − 12a 2bc 3 4a bc ( 4bc − 3a ) bc ( 4bc − 3a )
d)
=
=
8a 2 c − 4ab 2 c 2
2a − b 2 c
4a c ( 2a − b 2 c )
43.
3
6
2
⎡⎛ 2 ⎞ 2 ⎤ ⎛ 10 ⎞ 2
⎛2⎞ ⎛5⎞
⎢⎜ ⎟ ⎥ ·⎜ ⎟
·
⎢⎣⎝ 5 ⎠ ⎥⎦ ⎝ 4 ⎠ 125 ⎝⎜ 5 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ 125
=
=
·
·
3
3
9
9
⎛ 20 ⎞
⎛4⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ 15 ⎠
⎝3⎠
a)
26 ·52
3
56 ·2 2 · 5 =
26 32
33
26 ·52 ·33 53 26 ·55 ·33
3
3
= 6 2 6· 2 = 6 8 2 =
=
2
5 ·2 ·2 3
5 ·2 ·3
5·2
20
−1
⎡⎛ 3 ⎞3 ⎤ 9
32
32
⎢⎜ ⎟ ⎥ ·
32 ·2·3·26 ·22 ·32 29 ·35
⎢⎝ 4 ⎠ ⎥⎦ 16
24
24
=
=
=
= 7 3 = 22 ·32
b) ⎣
2
3
2
3 3
4 3 3
3
2
·3
2
·2
·3
2 ·3
8⎛ 2 ⎞
2 ⎛3⎞ ⎛ 1 ⎞
·⎜ ⎟
·⎜ ⎟ ·⎜
6
2
2
⎟
2·3·2 ·2 ·3
6 ⎝ 12 ⎠
2·3 ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2·3 ⎠
−2
−2
⎛
⎞
⎛
⎞
−2
−2
⎜
⎜ 1⎟
1 ⎟
1
⎛ 9⎞
⎛ −1 ⎞
1
1
=
−
=
−
=
=
= 64
c ) ⎜1 −
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
2
1
8
8
8
⎝
⎠
⎝
⎠
1
⎛
⎞
⎜ 1− ⎟
⎜
⎟
⎜ ⎟
9⎠
⎝
⎝ 9⎠
⎝8⎠
⎛
⎞
⎛
⎞
7 ⎞ 2 ⎜
7 ⎟ 2 ⎜ 7 ⎟ 2 ⎛ 47 ⎞ 2
41
41
⎛
·6 = ⎜1 −
·6 = ⎜1 − ⎟·6 = ⎜1 − ⎟·6 = − ·62 = −
d ) ⎜1 −
⎟
−1 ⎟
6 ⎠
6
6
⎝ 1− 7 ⎠
⎝
⎜ 1− 1 ⎟
⎜ 6⎟
7⎠
⎝
⎝ 7⎠
44.
⎡⎛ 2 ⎞0 ⎛ 2 ⎞1 ⎛ 2 ⎞ 2 ⎤
a ) 1 + 2·⎢⎜ ⎟ ·⎜ ⎟ ·⎜ ⎟ ⎥
⎣⎢⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎦⎥
2
−3
−1
⎛ 23 ⎞
= 1 + 2·⎜ 3 ⎟
⎝3 ⎠
−1
33
33
31
= 1 + 2· 3 = 1 + 2 =
2
2
4
−1
⎛2⎞ ⎛2⎞
⎛2⎞
6
⎜ ⎟ ·⎜ ⎟
⎜ ⎟
6· 25 3
5
5
5
b ) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠−1 = ⎝ ⎠ −1 = 25 2 =
=
4· 25 2
4 ⎛ 6 ⎞
2⎛ 6 ⎞
⎛2⎞
·⎜ ⎟
·⎜ ⎟
⎜ ⎟
10 ⎝ 25 ⎠
5 ⎝ 25 ⎠
⎝5⎠
57
45.
a)
⎛ 1 ⎞
1+ ⎜
⎟
⎝ 1 − 0 '25 ⎠
−2
⎛
⎞
⎜ 1 ⎟
= 1+ ⎜
1⎟
⎜ 1− ⎟
⎝ 4⎠
−2
⎛ ⎞
⎜1⎟
= 1+ ⎜ ⎟
3
⎜ ⎟
⎝4⎠
−2
⎛4⎞
= 1+ ⎜ ⎟
⎝3⎠
−2
=
2
16
25 5
⎛3⎞
=
=
1+ ⎜ ⎟ = 1+
9
9 3
⎝4⎠
22 ·93 ·12 9 3 22 ·22 ·3 9·2 3 2·3 3
=
=
=
43 ·81·2 4 34 ·2
4·3 3·2 2
a 7b 2c5
a 7b 2c5 a3b
=
=
c)
2
3
a 4bc 6
c
a2 b c2
b)
3
( ) ( )
(a b) c =
d)
2
3
−1
a 6b3
ab
= 3
5 2 2
abcc c
a 5b 2 c 2
46.
a)
3
8·64·125 = 3 23 ·43 ·53 = 2·4·5 = 40
b ) 4 16·81·625 = 4 24 ·34 ·54 = 2·3·5 = 30
c)
36·25·100 = 6·5·10 = 300
d)
36 : 0'01 = 62 :10−2 = 6 :10−1 = 60
47.
a)
(
b)
4
c)
3
2a 2 · 3 2a3 · 3 2a 4 = 3 2a 2 ·2a3 ·2a 4 = 3 23 a9 = 2a3
d)
3
ab 2 : 3 a 2b =
2ab
)
3
( 2ab )
3
=
( a + 2b )
12
= 2ab 2ab
= ( a + 2b )
3
3
ab 2 3 b
=
a 2b
a
48.
a ) 16a 2b3 = 4ab b
b)
3
a8b2 = a 4b
c)
d)
32a6b5c7 d = 3 25 a6b5c7 d = 2a2bc2 3 22 b2cd
3
−27a3b6c9 = −3ab2c3
49.
2a 2b4 = ab2 2
a)
b)
3
a10 = 3 a9 a = a3 3 a
58
c)
3
81a9b3 = 3 34 a9b3 = 3a3b 3 3
d)
4
256a12b18c20 = 4 28 a12b18c 20 = 22 a3b4c5 4 b2 = 4a3b4c5 b
5
−32a10b11c12 =
50.
a)
5
( −2 )
5
a10b11c12 = −2a 2b2 c 2 5 bc 2
b ) 6 128a7b12c15 = 5 27 a7b12c15 = 2ab2c3 5 22 a 2b2
51.
a)
3
4a 2b · 3 2ab2 = 3 4a 2b2ab2 = 3 8a3b3 = 2ab
7a · 7ab4 = 7a7ab4 = 7ab2
b)
c)
5
2ab2 · 5 4a 2b · 5 4a7b2 = 5 2ab2 4a 2b4a7b2 = 5 25 a10b5 = 2a 2b
d)
5
2a6 · 5 3a7 · 5 ab2 = 5 2a6 3a7 ab2 = 5 6a14b2 = a 2 5 6a 4b2
4
3a 2 bc3 ·4 9ab 2 c ·4 3ab = 4 34 a 4 b 4 c 4 = 3abc
52.
a)
3 5
b)
a 43b 55 c 30 = 30 a 30 a 13b 30 b 25 ac 30 = abc30 a 13b 25
c)
3 4
a 12 b15 c 18 = 12 a 12 b15 c 18 = 12 a 12 b12 b 3 c 12 c 6 = abc12 b 3 c 6 = abc 4 bc 2
d)
3
4
a 90 b 48 = 24 a 72 a18 b 48 = a 3b 2 24 a18 = a 3b 2 4 a 3
53.
a)
5a 2 + 16a 4 = 5a 2 + 4a 2 = 9a 2 = 3a
b)
36 100 169 =
c)
25 81 256 = 25 81 256 = 25 81·16 = 25·9·4 = 5·3·2 = 30
36 2100 169 = 4 6 410 2 ·13 = 64 10 2 ·13 = 6 10 ·4 13
d ) 10 z 4 + 36 z 8 = 10 z 4 + 36 z 4 = 46 z 4 = 46 z 2
54.
a)
22 + 5 + 13 + 9 = 22 + 5 + 13 + 3 = 22 + 5 + 16 =
= 22 + 5 + 4 = 22 + 9 = 22 + 3 = 25 = 5
b)
5 + 12 + 16 = 5 + 12 + 4 = 5 + 16 = 5 + 4 = 9 = 3
c )
22a 4 + 9a 8 = 22a 4 + 3a 4 = 25a 4 = 5a 2
d ) 13 z 2 + 3 27 z 6 = 13 z 2 + 3 z 2 = 16 z 2 = 4 z
59
55.
a 6b 7
a 2b 2
=
c 9 d 10 c 3 d 3
a)
3
b)
5
(a
c)
6
(a − b )3
d)
(
2
b
d
+ b 2 ) = (a 2 + b 2 )
2
10
a −b
3
3
= a −b
) =(
4
a−b
3
)
4
= 3 (a − b ) = (a − b )3 a − b
4
56.
a)
625 = 5 4 = 5 2 = 25
b)
a 2 : 0'01 =
16 = 4 2 4 = 2
c)
d)
57.
3
729 = 6 3 6 = 3
(
a ) 3a 3 2a
b)
c)
a2
a
=
2
10
10
)
4
( 2 ·b )
3
3
(2
8
2
4
= 3 4 a 4 3 (2a ) = 81a 4 ·2a 3 2a = 162a 5 3 2a
4
4
8
⎛ 2⎞
= ⎜⎜ 2·b 3 ⎟⎟ = 2 4 ·b 3 = 16·b 2 ·3 b 2
⎝
⎠
4 2 b 16 c 17
) =2
6
68
( ) (c )
412 b 96 c 102 = 2 6 8 4 8 4 4 b 8
12
8 12
c 6 = 2 6 ·4b12 c 12 8 4 4 c 6 =
= 2 8 b12 c 12 8 4 4 ·8 c 6 = 2 8 b12 c 12 8 4 4 ·8 c 6 = 2 8 b12 c12 4 ·4 c 3 == 2 9 b12 c 12 ·4 c 3
3
(2
a)
3
27 3 33
3
=
=
3
4
64
4
b)
4
16 4 2 4 2
= 4 =
625
5
5
d)
4
a 9 b 8 ) = (2 4 a 9 b 8 )
12
4
58.
c ) 1'21 = 121·10 −2 = 11·10 −1 = 1'1
d)
6
0'000001 = 6 10−6 = 10−1 = 0'1
60
59.
a)
b)
4
256 : 0'04 = 4
12
2
28
2 2 ·5 2
2 4 10
4
2
·
4
=
=
= 44 5 2 = 4 5
2
2
2
−2
2 ·10
2
2
a12 : a 4 = 12 a 8 = 3 a 2
a 2 : 0'01 = a 2 : 10−2 = a : 10−1 = 10a
d ) 2 48 : 12 = 2 48 : 12 = 2 4 = 2·2 = 4
c)
61
60.
a ) 4 12ab5 c 3 : 4 2ab3 c = 4 12ab5 c 3 : 2ab3 c = 4 6b 2 c 2 = 4 6 ·4 b 2 c 2 = 4 6 · bc
b)
2 3 6 = 36 = 6
c)
2 4 ·5 4 ·10−4 ·34 = 2 2 ·5 2 ·10−2 ·32 = 102 ·10−2 ·32 = 32 = 9
d)
6
64a 6 b12 = 6 64a 6 b12 = 6 2 6 a 6 b12 = 2ab 2
61.
a)
b)
(a + 2b )12 = (a + 2b )3
4
( 4a b ) = (4a b) = 4 a b
3
2
9
3
2
3
6
3
(a − 2b )8 = (a − 2b )2
c)
4
d)
5
215 a12b16 = 23 a 2 b 3 5 a 2 b
3
2a 2 3 2a 3 3 2a 4 = 3 23 a9 = 2a 3
62.
a)
b)
2a 3a 3b 6bc 2 = 36a 4 b 2 c 2 = 6a 2 bc
c)
a3 a =
d)
7
3
a 3a = 6 a 4 = 3 a 2
2 21 a14b 28 = 2 3 a 2 b 4
63.
13
13
6
√6
4
3
√25
13
13
√9
6
√13
√4
5
13
6
√9
3 = √16 = 4
64.
a)
36 = 33
b)
a 2 : 0'01 = a 2 : 10−2 = a : 10−1 = 10a
2 32 a16 = 8 2 32 a16 = 2 4 a 2 = 16a 2
c)
d)
5 3
216 a 20 b18 = 15 216 a 20 b18 = 2ab15 2a 5 b 3
65.
a)
b)
c)
4
81a 5 b 6 − 162 a 4 b 5 = 4 81a 4 b 5 (ab − 2 ) = 3ab 4 b( ab − 2) = 3ab 4 ab 2 − 2
16a 2 b 3 − 32a 3 b 2 = 16a 2 b 2 (b − 2a ) = 4ab b − 2a
62
(
)
(
)
64a 8 b 7 c 2 − 128a 9 b10 c = 5 64a 8 b 7 c c − 2ab 3 = 5 2 6 a 8 b 7 c c − 2ab 3 =
5
(
= 2ab5 2a 3 b 2 c c − 2ab 3
)
66.
2
2
4
2
5 3
a ) 3a b 4ab = 3 a b 4ab = 36a b
b ) 2a
35
5a 2 b = 5 2 5 a15 5a 2 b = 5 5·25 a17 b = 5 160a17 b
2ca 2 b 2
=
a 5b 4
2c
=
a 5b 4
c ) ab
2c
a 3b 2
d)
4
4
√10
67 .
a)
b)
c)
d)
4
a 3b 2 c
4
abc 2
n
2 20 a 18 b 3
n
218 a 15 b 5
a 3b 2 c 4 a 2 b
=
c
abc 2
=4
2 20 a 18 b 3 n 2 2 a 3
=
b2
218 a 15 b 5
=n
− 23 − 27 a 9 b 14
3
5
5
= −23
− a 6 b 15
3 24 a 12
4
6 a
=5
17
(− 3) a 3 = −2·( −3)a 3 − 1 = −6a 3 1
− 27 a 9 b 14
3
=
−
2
−b
b
b
− a 6 b 15
3
3 24 a 12
3 20
34
5
=
=
a
2 4 3 4 a 17
24 a5
3
1
24
68.
7a 5 b 2
6
6
=6
14a 2 b 3
7a 5 b 2
a3
6
=
2b
14a 2 b 3
69.
1
2
( )
5a 3 = 5a 3
a)
3
b)
4
a3 = a 4
c)
5
a 2b = a 2b
1
5
( )
1
2a + 3 ⎛ 2a + 3 ⎞ 2
=⎜
⎟
2a − 3 ⎝ 2a − 3 ⎠
d)
e)
f)
6
a
43
a =
3a 3 2b
54 2a
2
=
3
6 3
12
18
a a = a
14
=a
14
18
=a
7
9
312 a 12 2 4 b 4
312 a 9 2b 4 ⎛ 312 a 9 2b 4
= 12 12 3 3 = 12
= ⎜⎜
12
5 2 a
512
5 4 2a
⎝ 5
33 a 3 2b
4
2
1
⎞ 12
⎟⎟
⎠
70.
63
2
−3
5
0
⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ 1 ⎛1⎞
a) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
=⎜ ⎟
⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ 2 ⎝2⎠
b)
(− 3)6 : (− 3)6
2a − 2
⎡⎛ 1 ⎞ 2 ⎤
⎢⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣⎝ 8 ⎠ ⎥⎦
c)
3
=
⎡⎛ 1 ⎞ 2 ⎤
⎢⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
8 −2
5
a2
2
−6
3
⎡⎛ 1 ⎞ 2 ⎤ ⎛ 1 ⎞ −12
1
= ⎢⎜ 3 ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ 8 2 = 18 ·212 ·2 6 = 1
2
⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎝ 2 ⎠
71.
2b 5 37 a 2
2 5 b 5 37 a 2
2 5 b 5 37 a 2 5 b
5
5
=
=
=
3a 12 3 b 4
35 a 5 33 4 3 b 4
38 a 5 2 6 b 4
3a 3 2
72.
a)
b)
c)
d)
9 '2148 ≅ 9 '21
0'0827 ≅ 0'0826
0'9329999 ≅ 0'933
2'39222 ≅ 2'39
73.
1
= 0 '3 = 0 '33333333......
3
Si tomamos como aproximación n = 0 '333 , el error absoluto cometido es
1
1 333
1
Ea = − 0 '333 = −
=
= 0 '003
3
3 1000 3000
Entonces, el error relativo cometido es de una milésima:
1
E
1
3000
e= a =
=
= 0 '001
1
1
1000
3
3
Si consideramos n = 0’3333 el error cometido será de 0’0001, con lo que será
estrictamente menor que una milésima.
74.
π = 3'141592653589...
Consideremos 3’14 como una aproximación de π
Con esta aproximación se comete un error absoluto:
Ea = π − 3'14 = 3'141592653589... − 3'14 = 0'001592653589... 0'001592 = 0'001592
y un error relativo :
e=
Ea 0'001592
=
= 0.0005<0'001
π
N
64
75 .
2
5
a ) a ·a
b) a
c) a
5
−
6
11
3
10
3
·a
=a
17
6
56
15
= a2
3
4
:a = a
⎛
d ) ⎜ 4a 2 b
⎜
⎝
1
3
9
6
35
12
⎞
⎟ = 2
⎟
⎠
9
2 6
9
2 6
( ) (a )
⎛
⎜b
⎜
⎝
1
3
9
6
1
⎞
3 3 2
⎟ =2 a b
⎟
⎠
76.
1
a ) 45 = 5 4
4
b ) (a − 9b ) 5 = 5 (a − 9b )
c) 7
−
3
14
1
=
7
2
4
3
14
=
1
14
73
5
d ) 2a 3 b 2 = 23 a 2 b 5 = 6 2 6 a 4 b15
4
4
4
1
1
⎛ 1 ⎞3
⎛ 1⎞
⎛1⎞
e ) ⎜− ⎟ = 3 ⎜− ⎟ = 3 ⎜ ⎟ = 3 4 =
3
2
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
⎝2⎠
24
1
f)
5 + 22
1
2
5 +2
=
5+ 2
5+2
=
(5 + 2 )(
( 5 + 2)(
)=5
5 − 2)
5−2
5 − 10 + 10 − 2 2
77.
Sea x el número buscado.
1 + x3 = 9 ⇒ x3 = 8 ⇒ x = 3 8 ⇒ x = 2
78.
Sea x el número buscado.
65
6
x − 1 = 1 ⇒ 6 x = 2 ⇒ x = 2 6 ⇒ x = 64
79.
10a 3b 10a
= 2
a 2b 3
b
3
10a b 10a 20
Si a = 2 ⇒ 2 3 = 2 = 2
a b
b
b
20
Si b = 1 ⇒ 2 = 20
b
20 20
Si b = 2 ⇒ 2 =
=5
4
b
20 20
Si b = 3 ⇒ 2 =
= 2'222... = 2'2 decimal periódico puro
9
b
20 20
Si b = 4 ⇒ 2 =
= 1'25 decimal exacto
16
b
20 20
Si b = 5 ⇒ 2 =
= 0'8 decimal exacto
25
b
80. Sea h la altura buscada.
3
h
3
2
4
3 = h + 2 ⇒ h = 5 ⇒ h ≅ 2'23
2
81.
2
2
1'75 · 106 + 6'38 · 106 = (1'75 + 6'38) · 106 = 8'13 · 106 metros
82.
En el caso de la señora tenemos que el error absoluto es: Ea = 57'2 − 58 = 0'8
En el caso de la hija el error absoluto es: Ea = 35'2 − 36 = 0'8 .
En ambos casos el error absoluto es el mismo: 0’8 kg = 800 grs.
Será el error relativo el que nos dé la medida más precisa.
0'8
En el caso de la señora: e =
= 0,01398601
57'2
0'8
En el caso de la hija: e =
= 0,02272727
35'2
0,01398601 < 0,02272727
Se ve claramente que la balanza en la que se pesó la señora era más precisa que la
balanza en la que se pesó la hija.
66
AUTOEVALUACIÓN PAG. 47
1.
a ) N = 0'2727...
414 207
=
100 50
c ) N = 0 '3636...
100 N = 27 '27...
− N = −0 ' 27...
99 N = 27
27
3
⇒N=
N=
99
11
b ) N = 4 '14 =
100 N = 36 '36...
− N = −0 '36...
99 N = 36
36
4
⇒N=
N=
99
11
2.
a ) 8’1203004000500006… irracional
b ) 7’898989… decimal periódico puro
c ) 0’2311311131111… irracional
d ) 4’7654232323… decimal periódico mixto
67
3.
a)
N = 0’666…
10 N = 6 '66...
− N = −0 '66...
9N = 6
6
2
N= ⇒N=
9
3
N = 0’1666…
b)
100 N = 16 '66...
−10 N = − 1'66...
90 N = 15
15
1
⇒N=
N=
90
6
2 1 6 + 4 −1 9 3
1 + 0 '6 − 0 '16 = 1 + − =
= =
3 6
6
6 2
N = 3'111...
10 N = 31'111...
− N = −3'111
28
⇒N=
9 N = 28
9
4 5 3 4 5 3 28 2 4
5 3 + ·3'1 − 0'6· = + ·3'1 − 0'6· = + · − · =
7 14
7 7 14
7 7 14 9 3 7
5 2 8 15 + 14 − 8 21
+ −
=
=
=1
7 3 21
21
21
c)
0'6 −1 +
9
5−
1
1
0'125
=
1
+
0'6
9
5−
1
=
1
1
8
5
9
5 9
5 7 41
= +
= +
= + =
1
3
3 36 3 4 12
5−
(− 7 )
7
1−
1−
1
9
+
=
3
1
5−
5
1− 8
4.
a ) (2a 3 b 2 ) = 2 5 a 15 b10
1
1
b ) − 4 −2 = − 2 = −
16
4
1
1
c ) 4 −2 = 2 =
16
4
5
1
4
13
⎛ 5 ⎞ 2 ⎛ 5 ⎞ 5 ⎛ 5 ⎞ 10
d) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟
⎝6⎠
⎝6⎠ ⎝6⎠
68
2
2
⎛ 4 13 ⎞
2 8 3
e ) ⎜⎜ 4a b ⎟⎟ = 4 a b
⎝
⎠
1
−
1
1
1
=
= =2
f ) (4 −1 ) 2 =
1
(4 −1 )2 1 12
4
5.
3 8
34 8
3
a) 4
b=4 4
b=4 b
2 27
2
2 27
⎛ 1⎞
b ) ⎜− ⎟
⎝ 2⎠
c)
3a 3b 5
7cd 4
d)
3c 2 d
a 2 b7 2
−2
1
a
=
32 ⎛ 1 ⎞ 2
⎜− ⎟
⎝ 2⎠
5
3
5
1
a
=
1
32
22
5
a
a 5 10 a 5 5
= 22 5
= 2 5 = 2 a
32
32
2
7 5 c 6 d 13 3 33 a 9 b15 7 5 c 6 d 13 3 a 5 b 3 7 2 c 3 d
=
=
3
3 4 a 4 b12
7 3 c 3 d 12 3 4 a 4 b12
a 3 b 4 7 2 5 35 c10 d 5 a 3 b 4 7 2 d 5 3c 8 d 6
=
=
3 4 c 2 d −1
a 10 b 5 710 3 4 c 2
78 a 7b
5
6.
a)
25 a 4b 7
=
c9
b)
56 ab 7 = 56 ·ab6 ·b = 53 b 3 ab
2b
c
4 3 (a 5 ) = 4 3 a 15 = 2 6 a 14 a = 2 3 a 7 a
3
c)
d)
2 4 ·2a 4 b 6 ·b 2 2 a 2 b 3
=
c 8 ·c
c4
6
(8a ) b
4
ab 3 c · 4 a 2 b 3 c 3 · 4 a 2 b 2 c 2 = 4 ab 3 ca 2 b 3 c 3 a 2 b 2 c 2 = 4 a 5 b 8 c 6 = ab 2 c 4 a·c 2
5
4 6 a 12
5
23 a 4
4 3
9
= 6 2 9 ·a 12 ·b 9 = 6 2 6 ·2 3 ·a 12 ·b 6 ·b 3 = 2a 2 b 6 2 3 b 3 = 2a 2 b 2b
7.
a)
b)
c)
d)
=5
212 a 12 5 9 8
= 2 a = 2a 5 2 4 a 3
23 a 4
( 6a b ) = (6a b
3
6 13
7
9
)
6 13 3
= 6 3 a 18 b 39
2315 a 16 b15 = 14 2315 a 16 b15 = 23ab14 23a 2 b
8.
a)
5 + 21 − 22 + 9 = 5 + 21 − 22 + 3 = 5 + 21 − 25 =
5 + 21 − 5 = 5 + 16 = 5 + 4 = 9 = 3
69
b)
ab3 a 2 b 3 5 a 6 b 30 =
6 5
3
a 3b 3 a 2 b 3 5 a 6 b 30 = 6 a 5 b 6 5 a 6 b 30 =
a 25 b 30 a 6 b 30 = 30 a 31b 60 = ab 2 30 a
c ) 16 : 0'00000001 = 4 2 : 10−8 = 4 : 10−4 = 40000
d ) 16 : 0'0001 = 4 2 : 10−4 = 4 : 10−2 = 400
9.
−
5
6
a ) a ·a
1
3
12
10
=a
1
4
5 12
− +
6 10
1
2 3
=a
2
3
1
3 4
( ) ·(2 )
(16a ) = (8a )
c)
(8a ) (16a )
b ) 4 ·8 = 2
3
2 −2
−
1
3
17
2
3 3
2
3 3
3
4 2
3
2 2
(2 ) (a )
=
(2 ) (a )
3
2 2
6
=a
11
30
= 2 ·2 4 = 2 12 = 212 2 5 = 212 32
2
3 3
2
3 −3
−25+ 36
30
5
22 a 2
1
1
= 6 3 = 4 =
2 a
2 a 16a
1
⎛ 1 ⎞ 5 ⎛ 1 ⎞5 ⎛ 1 ⎞5 ⎛ 1 ⎞ 1
d ) ⎜ ⎟ ·⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ =
⎝5⎠ 5
⎝5⎠
⎝5⎠ ⎝5⎠
10.
a ) 33 3 = 35937
b ) 3 33 =5559060566555523
3
c ) 33 = 7625597484987
d ) 33 · 3 = 99
e ) 333
Se puede ver que el número más grande es 3 33
OLIMPIADA MATEMÁTICA PAG. 49
70
1.
Desplazar el botón 1 sobre el 3, el 2 sobre el 4, el 8 sobre el 6 y el 7 sobre el 5
2.
1
20
2
21
3
20 + 21
4
22
5
22+20
6
22+21
7
22+21+20
8
23
9
23+20
10
23+21
71
UNIDAD 3. Proporcionalidad
ACTIVIDADES PAG. 52
1.
Leche
Churros
Tostadas
20 litros
M
8 kg
6 kg
Z
Y
200
5
120 k=200 ⇒ k=
⇒k=
120
3
5
Café: 12. = 20 kg.
3
5
Tostadas: 6. = 10 kg
3
5 40
Churros: 8. =
= 13’3 kg.
3 3
5 100
1
Leche: 20. =
= 33 =33 litros y 33 cl
3
3
3
2.
Café
Desayunos
12 kg
x
120
200
5 montañeros — 35 kg
7 montañeros — x kg.
35 5
= ⇒ 49
x 7
Solución: 49 kg de carne
ACTIVIDADES PAG. 53
3.
12 kg ___________8 €
8 2
= €
1 kg ____________ 12 3 = 66 cts de €
14 kg ___________
14
2 28
1
=
= 9,3€ = 9. €
3 3
3 = 9€ 33 cts
72
4.
Resuelve el problema por reducción a la unidad
2 casas ___________ 16 h.
1 casa ___________ 8 h.
5 casas ___________ 40 h
7 casas ___________ 56 h.
ACTIVIDADES PAG. 54
5.
15 días ______I_______40 obreros
20 días _____________ x obreros
40 20
15
=
⇒ x = 40. = 30
x 15
20
Solución : 30 obreros
6.
12 rollos ___I_____1 m.
3
x rollos ________ m.
4
75
3
12
12 3
4
= 4 ⇒ = ⇒ x = 12. ⇒ x = 16 rollos
x
x 4
1
3
7.
20 nudos____I____2 días
30 nudos________ x días
2 30
1
=
⇒ 3 x = 4 ⇒ x = 1 días
x 20
3
Solución: 1 día y 8 horas
73
ACTIVIDADES PAG. 55
8.
albañiles
h/día
días
15___I_____ 7 __I___10
x _________5 _____ 21
15 5 21
= =
⇒ x = 10
x 7 10
Solución :10 albañiles
9.
pintores apartamentos días
3___D_____ 4 ____I____12
x__________6 _________54
x = 1 pintor
10.
euros
obreros
días
2200__D___11__D____20
x________10________15
2200 11 20
= =
⇒ x = 1500
x
10 15
Solución : 1500 €
74
ACTIVIDADES PAG. 56
11.
inversión
beneficio
12.000 €
1º
15.000 €
2º
20.000 €
3º
30.000 €
4º
77.000 €
Total
77.000 k= 385.000
385000
k=
=5
77000
x =12000 · 5= 60.000 €
y=15000 · 5= 75.000 €
z = 20000 · 5= 100.000 €
t = 30000 · 5=150.000 €
12.
x
y
z
t
385.000 €
2
3
5
k + k + k = 5370
3
4
7
2
2
k = .2520 = 1680
3
3
3
3
k = .2520 = 1890
4
4
5
5
k = .2520 = 1800
7
7
5370
5370
k= 5370.
84
179
k=2520
13.
Mayor :
mayor
3€
x
menor
4€
y
total
7 €
21000
4
·21000 = 12000 € ,
7
Menor :
3
·21000 = 9000
7
75
14.
Años trabajados
Total
1
x
2
y
3
z
4
m
6
t
16
4000 €
16 k = 4000
k=
4000
= 250
16
k = 250
x = 250 €
y = 2 · 250 = 500 €
z = 3 · 250 = 750 €
m = 4 · 250 = 1000 €
t = 6 · 250 = 1500 €
15.
Mayor
4x
56 €
mediano
2x
28 €
Menor
x
14 €
Total
7x
98 €
7 x = 98
x=
98
= 14
7
76
ACTIVIDADES PAG. 57
16.
Fátima
Olga
Marta
TOTAL
Caramelos
k
k
3
k
4
38
Faltas
1
3
4
8
Sea k la constante de proporcionalidad
k+
k k
+
= 38 ⇒ 19 k = 38 · 12 ⇒ k = 24
3 4
solución: Fátima : 24 caramelos , Olga 8 caramelos y Marta 6 caramelos .
17.
1er. Hijo
2º
AÑOS
40
Hijo
36
EUROS
k
40
k
36
76000
k
k
+
= 76000 ⇒ k =1440000 ⇒ Primer hijo 36000 € , segundo hijo 40000 €
40 36
18.
k k k
+ + = 220 ⇒ k = 360
3 6 9
k
k
k
= 120,
= 60,
= 40
3
6
9
77
ACTIVIDADES PAG. 58
19.
Me han rebajado 23 € lo que representa un porcentaje:
23
.100 = 25%
92
20.
Tanto por ciento
6%
23%
56%
0,34%
120%
Tanto por uno
0,06
0,23
0,56
0,0034
1,2
Tanto por mil
60
230
560
3,4
1200
Tanto por uno
0,98
7,9
0,04
0,0000036
0,007
Tanto por ciento
98
790
4
0,00036
0,7
Tanto por mil
980
7900
40
0,0036
7
21.
22.
250 . 1,05 = 262,5 €
ACTIVIDADES PAG. 59
23.
a) Si 100 € producen en un año un beneficio de r €, entonces:
-
r
€
100
r
1 € produce en un mes un beneficio de
€
1200
1 € produce en un año un beneficio de
78
b)
-
c.r
€
1200
c.r.t
c € producen en t meses un beneficio de
€
1200
c € producen en un mes un beneficio de
c.r
€
36000
c.r.t
c € producen en t días un beneficio de
€
36000
c € producen en un día un beneficio de
24.
c.r.t 1550.4.3
Al cabo de 3 años : 100 = 100 = 186 €
c.r.t
1550.4.6
Al cabo de 6 meses:
=
= 31 €
1200
1200
c.r.t 1550.4.20
Al cabo de 20 días :
=
= 3 € y 44 céntimos
3600
3600
25.
i=
c·r ·t 9000.8.5
=
= 3600
100
100
€
79
DESAFÍO MATEMÁTICO PAG. 60
1. Carroña: carne putrefacta de animales muertos.
Incineración: quemar un objeto hasta reducirlo a cenizas.
80
2. La temperatura media de la Tierra es de 15ºC. El CO2es un gas que provoca el
efecto invernadero, sin él la temperatura media de la Tierra sería de -18ºC. Sin
embargo, un aumento de CO2 elevaría la temperatura de la superficie terrestre,
trayendo consigo el calentamiento global, que lleva asociado los problemas del
cambio climático.
3.
Nº máximo Equivalente al consumo gasóleo del
Comunidad
de parejas
siguiente número de hogares al año
Castilla y León
6062
2136
Aragón
5174
1823
Andalucía
3037
1070
Navarra
2783
981
Castilla-La Mancha
2501
881
Extremadura
1943
685
Cataluña
1115
393
País Vasco
805
284
La Rioja
707
249
Cantabria
467
165
Madrid
461
162
Comunidad Valenciana
255
90
Asturias
176
62
Murcia
55
19
Total
25541
9000
4. Los buitres de Andalucía representan el
3037
≅ 11´89%
25541
del total de España. Así que
consumirán el 11´89 % de las 380 000 toneladas anuales de carroña, es decir:
3037
⋅ 380000 = 45184´6
25541
Por tanto, en torno a las 45184´6 toneladas de carroña al año.
5. Navarra:
2783
≅ 0´1089 ⇒ 10´89%
25541
6.
1 hogar = 3500 litros/año
El ahorro en gasóleo equivale al consumo de 9000 hogares.
3500 · 9000 = 31 500 000 litros
7.
Comunidad con mayor nº buitres
Castilla y León
Comunidad con menor nº buitres
Murcia
Porcentaje
6060
≅ 23´73%
25541
55
≅ 0´21%
25541
8. 31500000·0’5=15 750 000 €/año
81
ACTIVIDADES FINALES PAG. 62
26.
3 9
3.15
= ⇒x=
=5
x 15
9
4 12
12.7
= 21
b) = ⇒ x =
7 x
4
a)
82
c)
x 14
14.5
=
⇒x=
=2
5 35
35
6
d)
27.
9 x
a) = ⇒ x 2 = 36 ⇒ x = 6
x 4
16 x
b) = ⇒ x 2 = 64 ⇒ x = 8
x 4
27 x
c)
= ⇒ x 2 = 81 ⇒ x = 9
x 3
20 x
= ⇒ x 2 = 100 ⇒ x= 10
d)
x 5
28.
5 7
≠
ya que 8.5 ≠ 7.6
6 8
4 8
b) =
ya que 4.14 = 7.8 = 56
7 14
126 36
c)
=
ya que 126.4 =14.36 = 504
14 4
2
3
d)
≠
ya que 2 .37 ≠ 3 .25
25 37
a)
29.
30.
4
9
x y z x + y + z 48
=
=3
= = =
2 6 8 2 + 6 + 8 16
x
=3 ⇒ x = 6
2
y
=3 ⇒ y=18
6
z
=3 ⇒ z= 24
8
31.
Sea B3 = Beneficio año 2003
B4 = Beneficio año 2004
El 14,2 % del beneficio 2003 = 1.210 1 700.000 €
14,2 % B3 = 1.210 1 700.000
83
0,142 · B3 = 1.210 1 700.000
1.2101700.000
0.142
B3 = 8.526 1 056.338
B4 = B3 + 0,142 B3 ⇒ B4 = 1,142B3
B4 =1,142 · 8.526 1 056.338
B4 =9.736 1 756.338 €
B3 =
32.
Hoy____________820 hl
Ayer____________ x
Si pierde un 60%, le queda un 40% del total.
Sea x es el total que tenía antes de la sequía.
40% x = 820
0,4 x = 820 ⇒ x =
33.
34.
820
= 2050hl
0, 4
1
1 30 1 50 1 1 1
2 1
· +
· = + =
=
30% de + 50% =
5 100 3 100 5 10 10 10 5
3
20% de = 50
30 %
35.
02
50
0´3 250 75
´
250
Ovejas _________días
12___________20
15___________ x
20 15
=
x 12
x = 16
Solución: 16 días
36.
25 1
=
100 4
4
1
=
b) 4 %=
100 25
85 17
=
c) 85%=
100 20
7
d) 7%=
100
a) 25%=
84
37.
9
= 9%
100
87
= 87%
b) 0,87=
100
162
c) 1,62=
= 162%
100
37
d) 0,37=
= 37%
100
38.
0,02 · 0,06. 1200 =14,4
a) 0,09=
39.
0,08 · 12000 = 960
40.
0,12 · 12000 = 1440
41.
0,12
· 12000 = 14,4
100
42.
Porcentaje
23%
15%
2%
0,46%
Tanto por uno
0,23
0,15
0,02
0,0046
Tanto por ciento
230
150
20
4,6
43.
Porcentaje
0,34
5,87
0,009
0,00965
44.
45.
46.
Tanto por uno
34
587
0,9
0,965
Tanto por ciento
340
5870
9
9,65
70 0 06 70 4 2
Rebajan 6%
Importe final = 70 – 4’2 = 65’8 euros
24000 + IVA = 27840
IVA = 3840. Sea el IVA el x % del precio
x . 24000 = 3840
x = 0’16 ⇒ IVA = 16%
La vende al 80% de su valor
0,8 · 60 = 48 €
Después de la rebaja se vende a 48 €
Si a continuación la sube un 20% ⇒ la camisa costará 48 · 1,2= 57,6 €
85
47.
48.
Después de subir un 5% cuesta 1,05 · 590 = 619,5 €
Posteriormente baja un 8 % con lo que cuesta 0,92 · 619,5 = 569,94 €
Si me rebajan el 15%, pago por ello el 85% de su valor.
Sea x el precio real de la lámpara 0,85 · x = 340
x = 400
Solución: precio real de la lámpara: 400 €.
86
49.
60 ·1,07 = 64,2 €
50.
0,6 · 620 = 372 alumnos
51.
Sea x la paga que José recibía hace 2 años
Después de la 1 ª subida cobra 1,04 x
Después de la 2ª subida cobra: 1,04 x + 0,05·1,04 x =1,05 ·1,04 x = 1,092 x
1,092 x =5,46
x =5
Solución: hace 2 años José cobraba 5 €.
52.
D
D
bocadillos
refrescos
alumnos
450________________150_______________60
750________________ x _______________ y
450 150
⇒ x = 250
=
750
x
450 60
⇒ y = 100
=
750
y
Solución: 250 bocadillos y 100 refrescos
53.
Motoristas
4
48
Litros / día
80
x
Sea k la constante de proporcionalidad,
4k= 48 ⇒ k = 12
x = 80 k ⇒ x = 960
Solución : 960 litros diarios
54.
Pesqueros Toneladas / semana
26
52
30
x
26 52
=
⇒ x = 60
30
x
Solución : 60 toneladas / semana
87
55.
8 elefantes ________22 días
11 elefantes________ x días
22 11
22.8
= ⇒x=
⇒ x = 16 días
8
11
x
Solución : 16 días
1
56.
500km____2 hora =2,5 h
2
1
100 km ___0,5 hora = h
2
1
700 km____3,5h =3 h
2
Solución : 3 horas y media
57.
Días_____horas /día _______Km
6________8_____________ 150
x________8______________650
6 150
=
⇒ x = 26
x 650
Solución: 26 días
58.
Horas día________disfraces
6____________24
x____________32
6 24
=
⇒ x=8
x 32
Solución: 8 horas diarias
59.
Horas _________kg
5___________280
6___________ x
5 280
=
⇒ x = 336
x
6
Solución : 336 kilos .
88
60.
61.
62.
Horas _________km/ h
3,5____________90
x ____________100
3,5 100
3'5·90 63
3
=
⇒x=
=
=3
x
90
100
20
20
x = 3,15 h
Solución: 3 horas y 9 minutos
Pintores __________días
6_______________15
10_______________x
15 10
= ⇒ x=9
x
6
Solución: 9 días
Vacas _________días
40___________25
50___________ x
25 50
⇒ x = 20
=
x 40
Solución: 20 días
63.
Castillos
Chic@s
2
5
3
4
8 4 2
= = ⇒ x = 15
x 5 3
Solución: 15 horas
64.
65.
66.
Horas
8
x
En una hora pagan: 60 · 0.05 = 3 €
Como el establecimiento de llamada es de 12 cts., en total pagarán 3,12 €
3 kg_____3,6 €
1 kg_____1,2 €
7 kg_____8,4 €
100 km______6 litros
6
3
= litros
1 km______
100 50
3
415 km______ ·415 = 24,9litros
50
89
67.
25 m
2
________10 kg
10 2
= kg
25 5
2
2
32 m ________32· = 12,8kg
5
1 m
68.
2
________
1
kg = 2,20€
4
1 kg = 8,8 €
13 kg =114,4 €
90
69. 2,5 · 24 =60 €
70.
5litros _____15 €
1 litro _____ 3 €
12 litros_____36€
71.
20 000 kg______1500 €
* Si acepta oferta 30 000Kg por 1800 € ⇒
el kilo le sale a
1800
= 0,06€ ⇒ 6cts / kilo
30000
* Si no acepta la oferta ⇒ el kilo le sale a
72.
1500
= 0,075€ ⇒ 7,5céntimos / kg
20000
12 kg____24 € ⇒ El kg sale a 2€
Si el kilo sube 40 céntimos ⇒ el kg. de naranjas cuesta 2,4
24
= 10kg
Con 24 € podré comprar :
2,4
Solución : 10 kg
73.
Los 12 perros arrastran 240 kg ⇒ 1 perro arrastra
240
= 20kg
12
Cada perro arrastra 20 Kg al comienzo de la carrera
Si se lesionan 3 perros, quedan 9 perros .
Si consumen 30 Kg/ día ⇒ al cabo de 2 días han consumido 60 kg de
comida .
Así que , al cabo de 2 días quedan 110 kg de carga .
Entonces los 9 perros arrastran 110 kg más 70kg del conductor = 180 kg.
180
= 20 kg al cabo de 2 días
Cada perro arrastra
9
74.
3 12
del trabajo,
=
7 28
1 7
El hijo realiza =
4 28
19
Entre los dos realizan
del trabajo,
28
9
Queda por realizar
del trabajo, en lo que el padre emplea 3 horas.
28
El padre realiza
91
1
3 1
del trabajo el padre hubiera empleado = horas ,
28
9 3
Si el padre hubiera hecho todo el trabajo, es decir si hubiera hecho 28/28 del total,
entonces habría tardado :
1 28
1
= 9. hora = 9h y 20 minutos
28. =
3 3
3
En
Solución : Sin ayuda del hijo el padre hubiera tardado en hacer todo el trabajo:
9 horas y 20 minutos .
75.
Trabajadores __casas_____días
6__________3________10
x__________2________ 8
6 3 8
= = ⇒ 8.3.x = 6.2.10
x 2 10
6.2.10
x=
⇒ x = 5 trabajadores
8.3.2
76.
Personas
4
6
Café
6 cucharadas
X
Azúcar
10 cucharadas
y
Agua
½l
z
4 6
= ⇒ x = 9cucharadas
6 x
4 10
60
= ⇒y=
= 15cucharadas
6 y
4
1
4
3
= 2 ⇒ 4 z = 3 ⇒ z = litros
6
z
4
Solución: café 9cucharadas; azúcar 15 cucharadas y agua :¾ litro
77.
Artesanos_______días _________horas/ días
24_____________ 40 _________ 8
12_____________ x _________ 10
40 12 10
⇒ x = 64
=
=
x 24 8
Solución : 64 días
92
78.
Personas
Miga de pan
4
6
150 g
x
Leche
condensada
200 g
y
Sea k la constante de proporcionalidad:
3
= 225
2
3
z = 250 · =375
2
3
n = 100· = 150
2
Huevos
250 cl
z
3
m
4k = 6 ⇒ k=
3
= 300
2
3
1
m = 3· = 4
2
2
x = 150 ·
Solución:
Leche
Fruta
confitada
100 g
n
3
2
y = 200 ·
225 g de miga de pan , 300 g de leche condensada
1
375 cl de leche , 4 huevos
2
150 g de fruta confitada
79.
Días
9
x
Obreros
25
15
Ancho
4m
6m
Largo
300 m
240 m
9 15 4 300
=
= =
⇒ x = 18
x 25 6 240
Solución: 18 días
80.
Trabajadores
12
12
Piezas
240
x
Horas/día
8
6
Tiempo
1 semana
2 semanas
240 8 1
= = ⇒ x = 360
x
6 2
Solución : 360 piezas
93
81.
Personas
4
6
Kw
540
x
Tiempo
1 año
1,5 años
540 4 1
= =
⇒ x = 1215
x
6 1,5
Solución : 1215 kw
82.
4500 = 4k +6k +8k
4500 = 18 k
k = 250
4k =1000
6k =1500
8k =2000
83.
a)
k k k
+ +
2 4 6
6k + 3k + 2k
8602 =
12
11k
8602 =
12
k = 9384
k
= 4692
2
k
= 2346
4
k
= 1564
6
8602 =
6200= 4k + 6k +10 k
k = 310
4 k = 1240
6 k = 1860
b)
10 k = 3100
6200 =
k k k
+ +
4 6 10
k =12000
k
= 3000
4
k
= 2000
6
k
= 1200
10
94
84.
Garrafas
Capacidad
15
5l
x
3/4 l
3
15
15 3
15.20
= 4⇒ =
⇒x=
= 100 botellas
5
3
x
x 20
85.
120 km/h_____4,5 h
90 km/h _____x h
4,5 90
=
⇒x=6
x 120
Solución: 6 horas
86.
14 días _______ 8 h/d
x días________6 h/d
14 6
56
2
= ⇒x=
⇒ x = 18 ⇒
x 8
3
3
2
Solución: 18 días y días =18 días y 16 horas
3
95
87.
31k + 26k + 23k = 24000
80k = 24000
k =300
Mayor: 31 k = 31 · 300 = 9300 €
Mediano : 26 k = 26 · 300 = 7800 €
Menor: 23 k = 23 · 300 = 6900 €
88.
Juan: k/2,
Belén: k/3,
Sonia: k/7
k k k
+ + = 1230 ⇒ 21k + 14k + 6k = 1230.42
2 3 7
1230.42
41k = 1230.42 ⇒ k =
⇒ k = 1260
41
1260
= 630 €
2
1260
= 420 €
Belén:
3
1260
Sonia:
= 180 €
7
Juan:
89.
Primero
Segundo
Tercero
TOTAL
Juegan
12 €
15 €
3€
30€
Perciben
X
Y
Z
15000€
30 k = 15000 ⇒ k = 500
x = 12 k ⇒ x = 6000 €
y = 15 k ⇒ y = 7500 €
z = 3 k ⇒ z = 1500 €
Solución: primero 6000 €, segundo 7500 €, tercero 1500 €
96
90.
x 27000
=
= 13500€
2
2
x 27000
Segundo: =
= 9000€
3
3
x 27000
Tercero: =
= 4500€
6
6
Primero :
91.
12 k + 6 k + 2 k = 14000
20 k = 14000
k = 700
Solución: El más antigüo recibirá: 8400€
El mediano : 4200 €
Y el más joven: 1400 €
92.
93.
94.
150·1’16 = 174 euros
4 personas___240€
1 persona ___ 60€
6 personas___360€
crt 5000.2, 7.3
=
= 405 €
100
100
crt
5000.2, 7.9
b) i =
=
= 101, 25 €
1200
1200
crt
5000.2, 7.20
=
= 7,5 €
c) i =
36000
36000
a) i =
95.
i=
crt
100
20000.r.10
⇒r =5
100
Solución= 5 %
10000 =
Más antiguo
Mediano
Más joven
TOTAL
Años
12
6
2
20
Cantidad
12 k
6 k
2 k
14000
97
96.
C = 9120
r =12%
t = 25 días
crt
i=
3600
9120·12·25
i=
3600
i = 760 €
97.
horas/ día litros
tiempo
4________90.000_____ 7 días
3________ x _____10 días
90000 4 7
= =
x
3 10
7 · 4 · x = 3 · 10 · 90000
x = 96428, 57 l
Solución : 96428, 57 litros
AUTOEVALUACIÓN PAG. 65
98
1.
a 2
= , a = 14
b 3
14 2
= ⇒ 2b = 14.3 ⇒ b = 21
b 3
2.
Operarios
10
15
Piezas
200
X
Horas
21
7
200 10 21
=
=
⇒ x = 100
x
15 7
Solución: 100 piezas
3.
Personas
32
48
Días
66
x
66 48
=
⇒ x = 44
x 32
Solución: 44 días
4.
3 kg cuestan 5,25 €
5, 25
= 1, 75€
1 kg cuesta
3
8 kg cuestan 8. 1,75 = 14 €
Solución: 14 €
5.
40 litro = 36 €
36
€ ⇒ 1 litro = 0,9€
1 litro =
40
La gasolina costaba 0,9 €/ litro
Tras la subida del 15% cuesta :
1 · 0’9 + 0’15 · 0’9 = 1’15 · 0’9 = 1’035 €/ litro
1’035 · 40 = 41’4 euros
Solución: 41’4 €
99
6.
Días
10
6
Obreros
12
x
Horas /día
6
8
12 6 8
=
= ⇒ x = 15
x 10 6
Solución: 15 obreros
7.
0,06 · 0,02 · 12000 = 14,4
8.
1,05 · 1,1 = 1,155 €
9.
Tanto por ciento
2%
25%
40,5%
Tanto por uno
0,02
0,25
0,405
Tanto por mil
20
250
405
10.
Días
€
Juan
2
k
2
Alejandro
4
k
4
Guillermo
5
Total
11
5
760
Sea k la constante de proporcionalidad:
k k k
+ + = 760
2 4 5
10k + 5k +4k = 760 · 20
19 k = 760 · 20
k = 800
Solución: A Juan le corresponde 400 € , Alejandro recibe 200 € y Guillermo 160€.
100
DESAFÍO MATEMÁTICO PAG. 67
1. 219, 438, 657
2. El testamentario añade una vaca lechera más, con lo que son 12. La mitad de las
vacas, esto es, 6 vacas, son para el hermano mayor; para el segundo son 3 y al
menor le corresponden 2 vacas. Sobra una vaca que recupera el testamentario.
101
UNIDAD 4. POLINOMIOS
ACTIVIDADES PAG. 70
1.
a ) 2 x 4 + 3x 4 = 5x 4
b ) 5x 5 − 4 x 4 + 3x 5 − 3x 4 = 8x 5 − 7 x 4
c ) 3 x 7 − 12 x 6 + 14 x 6 + 15 x 7 + 3 x = 18 x 7 + 2 x 6 + 3 x
2.
a)
b)
c)
d)
4 x 2 ·5 x 3 = 20 x 5
2 x 4 ·5 x 3 = 10 x 7
21 x 15 : 3 x 12 = 7 x 3
45 x 6 : 15 x 4 = 3 x 2
ACTIVIDADES PAG. 71
4.
3.
a ) 4 x 4 − 5 x 3 + 7 x 4 + 3 x 2 − 2 x 3 + 12 x − 7 x 2 + 23 = 11 x 4 − 7 x 3 − 4 x 2 + 12 x + 23
b ) 5 x 3 + 6 x 7 + 2 x 3 − 12 x 2 + 4 + 12 x − 4 x 2 = 6 x 7 + 7 x 3 − 16 x 2 + 12 x + 4
c ) 5 x 11 + 7 x 3 − x 11 + 8 x 3 + 9 x 2 − 2 x + 45 x − 24 = 4 x 11 + 15 x 3 + 9 x 2 + 43 x − 24
4.
a ) Grado 7
b ) Grado 2
c ) Grado 8
5.
a ) p(2) = 4·2 2 − 5·2 + 5 = 16 − 10 + 5 = 11
p(1) = 4·12 − 5·1 + 5 = 4 − 5 + 5 = 4
102
b ) q(2) = 5·2 3 − 12·2 + 14 = 40 − 24 + 14 = 30
q(1) = 5·13 − 12·1 + 14 = 5 − 12 + 14 = 7
c ) R(2) = 2·2 4 + 4·2 2 − 5·2 + 6 = 32 + 16 − 10 + 6 = 44
R(1) = 2·14 + 4·12 − 5·1 + 6 = 2 + 4 − 5 + 6 = 7
ACTIVIDADES PAG. 72
6.
a ) 2a + 3b + 4ab − 5ab 2 + 3a − 4b + 2ab + 9ab 2 = 5a − b + 6ab + 4ab 2
b)
1 + xy − y + 2 x − 5 x 2 y + 8 xy 2 + 2 − 3 xy + 4 y − 7 x + 23x 2 y − 6 xy 2 =
(
) (
)
(
) (
)
3 − 2 xy + 3 y − 5 x + 18 x 2 y + 2 xy 2
(
) (
)
c ) 0'2 x + 3 − 2'4 x 2 + 9 x 3 + 1'8x − 2 − 0'6 x 2 − 5 x 3 = 2 x + 1 − 3x 2 + 4 x 3
7.
a)
F ( x) + G ( x) = 2 − x 2 + 6 x 4 + 9 − 3 x + 4 x 2 − 5 x 3 + 12 x 4 =
(
) (
)
= 11 − 3 x + 3 x − 5 x + 18 x
b)
F ( x) − G ( x) = 2 − x 2 + 6 x 4 − 9 − 3 x + 4 x 2 − 5 x 3 + 12 x 4 =
2
3
(
4
) (
)
= −7 + 3 x − 5 x 2 + 5 x 3 − 6 x 4
c)
F ( x) − H ( x) = 2 − x 2 + 6 x 4 − 6 + 5 x − 12 x 4 =
(
= −4 − 5 x − x + 18 x
d)
2
) (
)
) (
)
4
(
F(x) + H (x) = 2 − x2 + 6x4 + 6 + 5x −12x4 =
= 8 + 5x − x2 − 6x4
e)
G ( x) + H ( x) = 9 − 3x + 4 x 2 − 5 x 3 + 12 x 4 + 6 + 5 x − 12 x 4 =
(
= 15 + 2 x + 4 x − 5 x
2
) (
)
3
103
f)
H ( x) − G ( x) = 6 + 5 x − 12 x 4 − 9 − 3 x + 4 x 2 − 5 x 3 + 12 x 4 =
(
) (
)
= −3 + 8 x − 4 x 2 + 5 x 3 − 24 x 4
g)
− H ( x) + G ( x) = − 6 + 5 x − 12 x 4 + 9 − 3 x + 4 x 2 − 5 x 3 + 12 x 4 =
(
) (
)
= 3 − 8 x + 4 x 2 − 5 x 3 + 24 x 4
h)
H ( x) − F ( x) = 6 + 5 x − 12 x 4 − 2 − x 2 + 6 x 4 =
(
) (
= 4 + 5 x + x − 18 x
2
)
4
8.
a ) (2 x + 3 y − 5 z ) + (4 x − 5 y + 4 z ) = 6 x − 2 y − z
b ) (2a − 12b + 14c ) − (3a + 13b − 15c ) = −a − 25b + 29c
ACTIVIDADES PAG. 73
9.
a)
b)
c)
d)
x 2 y·xy 2 = x 3 y 3
3a 2 b·4 ab 3 c = 12 a 3 b 4 c
4 x 3 y 2 ·6 xy 4 = 24 x 4 y 6
4 ax 2 ·5a 4 x 3 = 20 a 5 x 5
10.
a ) 4 x 2 2 x 2 + 3x − 4 = 8 x 4 + 12 x 3 − 16 x 2
(
(
)
)
b ) 3x 9 x − 6 x + 2 = 27 x 4 − 18x 2 + 6 x
3
c ) 5 x 3 (8x − 12 x − 3) = 5x 3 (− 4 x − 3) = −20 x 4 − 15x 3
11.
a)
(
)
F ( x)·G ( x) = (4 x + 5)· 3 x 2 − 2 x + 1 =
12 x 3 − 8 x 2 + 4 x + 15 x 2 − 10 x + 5 = 12 x 3 + 7 x 2 − 6 x + 5
· 3x − 7) = 12x 2 − 28x + 15x − 35 = 12 x 2 − 13x − 35
b ) F ( x)·H ( x) = (4 x + 5)(
c)
G ( x)·H ( x) = 3 x 2 − 2 x + 1 ·(3x − 7 ) =
(
)
9 x 3 − 21x 2 − 6 x 2 + 14 x + 3x − 7 = 9 x 3 − 27 x 2 + 17 x − 7
104
12.
a ) x 6 − x 4 = x 4 ( x 2 − 1)
(
)
b ) 6a 7 − 3a 3 + 9a 2 = 3a 2 2a 5 − a + 3
(
c ) 12 x y z − 6 x y z + 18x y z = 6 x 3 y 4 z 3 2 x 2 y 2 − yz + 3xz 2
5
6
3
3
5
4
4
4
5
)
ACTIVIDADES PAG. 74
13.
a ) (9 x − 4 )2 = 81x 2 − 72 x + 16
b ) (4 x + 5) = 16 x 2 + 40 x + 25
2
c ) (x − 8) = x 2 − 16 x + 64
2
· 4 x + 7) = 16x 2 − 49
d ) (4 x − 7 )(
e ) (x 2 + 6 ) = x 4 + 12 x 2 + 36
2
f ) (x + 1)·( x − 1) = x 2 − 1
14.
a ) ( x + 1) − ( x − 1) 2 = x + 1 − x 2 − 2 x + 1 = x + 1 − x 2 + 2 x − 1 = − x 2 + 3x
b)
(2 x + y )2 − ( y − 2 x )2 = 4 x 2 + 4 xy + y 2 − y 2 − 4 xy + 4 x 2 =
(
)
(
4 x 2 + 4 xy + y 2 − y 2 + 4 xy − 4 x 2 = 8 xy
(
)
)
· x + 1) = x + 2 − x 2 − 1 = x + 2 − x 2 + 1 = − x 2 + x + 3
c ) (x + 2) − (x − 1)(
d ) (x − 2 x )(x + 2 ) + (x − 3 x ) = − x ( x + 2) + (− 2 x ) = − x 2 − 2 x + 4 x 2 = 3 x 2 − 2 x
2
2
ACTIVIDADES PAG. 75
15.
a ) 4 x 2 − 16 x + 16 = (2 x − 4 )2
b ) x2 + x +
1 ⎛
1⎞
= ⎜x + ⎟
4 ⎝
2⎠
2
105
x2
⎞
⎞⎛ x
⎛x
− 9 = ⎜ − 3 ⎟⎜ + 3 ⎟
c)
9
⎠
⎝ 3 ⎠⎝ 3
2
2
d ) x − 4 xy + 4 y = (x − 2 y )2
e ) 25 x 2 + 60 x + 36 = (5 x + 6 )2
f ) 2 x 2 − 16 =
(
2x + 4
)(
2x − 4
)
ACTIVIDADES PAG. 76
16.
12 x 3 y 5
a)
= 3x 3 y 5
4
b)
− 30a 6 b 3
= − 5a 6 b 3
6
c)
75 x 4
= 3x
25 x 3
d)
− 36ab 4
= 9b
− 4ab 3
e)
− 24 x 4 a 3 b 5
= −2 x 4 a 2 b
4
12ab
17.
a)
(
(
)
)
ax + ay 2 a/ x + y 2
x + y2
=
=
ab 2 − a 2 a/ b 2 − a
b2 − a
x + x2
x/ (1 + x)
1+ x
b) 2
=
=
x y − x x/ ( xy − 1) xy − 1
106
c)
14 x 4 y 3 z 2 − 28 x 3 y 4 z 3 14 x 3 y 3 z 2 (x − 2 yz )
2 x(x − 2 yz )
= 2 3 3 2
=
2 3 5
5 4 3
3
7 x y z − 21x y z
7 x y z z − 3x y
z z 2 − 3x 3 y
d)
2a 2 + 6ab 3
2a a + 3b 3
a + 3b 3
=
=
10ab 2 + 8a 4 2a 5b 2 + 4a 3
5b 2 + 4a 3
18.
(
(
(
)
) (
)
)
a)
a 2 + 2ab + b 2 (a + b )
=
= a+b
(a + b )
a+b
b)
(a + b )(a − b ) = a + b
a2 − b2
=
2
2
a−b
a − 2ab + b
(a − b )2
c)
(a − b ) = a − b
6a 2 − 12ab + 6b 2 6 a 2 − 2ab + b 2
=
=
12a − 12b
12(a − b )
2(a − b )
2
d)
ax + x − a − 1 x (a + 1) − (a + 1) (a + 1)(x − 1)
=
=
a −1
a −1
a −1
2
(
)
2
ACTIVIDADES PAG. 77
19.
a)
x 2 + 12 x + 4
-x2 + 2x
x - 2
x + 14
14 x + 4
- 14 x + 28
32
107
b)
x3
3
2
-x + x
1
x - 1
x2 + x + 1
x2
-x2+ x
x - 1
- x + 1
0
c)
4x4
4x2
+
+
2x2+2 x + 1
1
- 4x 4 - 4 x 3 - 2 x 2
2x2–2x + 3
-4x3+2x2
4x 3 + 4 x 2 + 2 x
6x2 + 2x+1
-6x2 - 6x- 3
- 4x - 2
d)
3x4 +2x3 +
5x
- 17
- 3x 4 + 6 x 3 + 3 x 2
x2-2 x - 1
3 x 2 + 8 x + 19
8x3 + 3x2+5x
- 8 x 3 + 16 x 2 + 8 x - 17
19 x 2 + 13 x - 17
- 19 x 2 + 38 x + 19
51 x + 2
e)
9 x 2 - 13 x
+ 12
- 9x 2 + 27 x
x - 3
9 x + 14
14 x + 12
- 14 x + 42
54
108
f)
2x3 +6x2 - 7x+ 2
-2x3
2x2 - 5
+ 5x
x +3
6x2 - 2x+ 2
-6 x2
+ 15
- 2 x + 17
g)
14 x 4 - 15 x 3 -16 x 2 + 17 x + 5
- 14 x 4 + 7 x 3 + 14 x 2
2 x2- x - 2
7x2-4x -3
- 8 x 3 - 2 x 2 + 17 x
8x3 -4x2 - 8x + 5
-6 x 2 + 9 x + 5
6x2 - 3 x - 6
6x - 1
109
DESAFÍO MATEMÁTICO PAG. 78
Aplicaciones de los polinomios
1. 2
2.
110
La casa
1.
2.
3.
5
3
5
El tiro parabólico
1.
2. En posición 0,0 .
3. Sí, porque la trayectoria se encuentra 100 metros más alta que la colina.
4. Llamemos A al punto 5, 5 .
2,6 , porque el punto A no
Los víveres no llegarán si se lanzan desde el punto
4
2.
pertenece a la parábola
En efecto,
5
5
4 5
2
25
20
2
3
5
111
Se ve claramente en la gráfica que el punto 5, 5 no pertenece a la función
4
2
5. Si se lanzan los víveres desde el punto
ambos pertenecen a la misma función
2,4 , llegarán al punto
4
5, 5 pues
112
ACTIVIDADES FINALES PAG. 80
20.
a ) 3x + 2 x − 8 x = −3x
b ) −4 x 2 − 5 x 2 + x 2 = −8 x 2
1
1
c ) 4 x4 + x4 − 5x4 = − x4
2
2
2 3
1
23 3
d ) − x + 5 x3 − x3 =
x
3
2
6
113
21.
a ) 2 x 3 ·5 x = 10 x 4
b ) 3a 4 ·4 a 4 ·2 a 2 = 24 a 10
c ) 5 xy 2 ·4 x 2 y 3 ·2 xy = 40 x 4 y 6
d ) − 3x 2 y·4 xy 4 z = −12 x 3 y 5 z
(
)
e ) − 5a 3 xb · − 7ax 4 b 5 = 35a 4 x 5 b 6
f ) 2 s 4 ·4 xs 2 ·3ax 5 = 24 s 6 ax 6
22.
a ) 30 a 7 : 15 a 4 = 2 a 3
b ) 12 x 3 y 5 : 3x 2 y 3 = 4 xy 2
(
) (
7x3 2x 2 − 1
= x 2x 2 − 1
7x2
d ) 36 ab 5 c 3 : 12 ab 4 c 2 = 3bc
2a 3 1 − 2a + 3a 3
e ) 2a 3 − 4a 4 + 6a 6 : 2a 2 =
= a 1 − 2a + 3a 3
2a 2
3a 5 5a 3 − 1 a 3 5a 3 − 1
f ) 15a 8 − 3a 5 : 6a 2 =
=
2
6a 2
c ) (14 x 5 − 7 x 3 ) : 7 x 2 =
(
(
(
)
(
)
)
(
)
) (
)
)
23.
Si a = 0 ⇒ p(0) = 3·02 − 4 = −4
Si a = 1 ⇒ p(1) = 3·12 − 4 = 3 − 4 = −1
Si a = -1 ⇒ p(−1) = 3·(−1)2 − 4 = 3 − 4 = −1
Si a = 3 ⇒ p(3) = 3·32 − 4 = 27 − 4 = 23
24 .
a ) F ( x ) + G ( x ) = ( 2 x 2 − 3 x + 1) + ( x 2 + 2 x − 1) = 3 x 2 − x
b ) F ( x ) − G ( x ) = ( 2 x 2 − 3 x + 1) − ( x 2 + 2 x − 1) = x 2 − 5 x + 2
c ) − F ( x ) − G ( x ) = − ( 2 x 2 − 3 x + 1) − ( x 2 + 2 x − 1) = −3 x 2 + x
d)
2 F ( x ) + 2G ( x ) − 3H ( x ) = 2 ( 2 x 2 − 3 x + 1) + 2 ( x 2 + 2 x − 1) − 3 ( 5 x 2 − 3 x + 7 ) =
4 x 2 − 6 x + 2 + 2 x 2 + 4 x − 2 − 15 x 2 + 9 x − 21 = −9 x 2 + 7 x − 21
e)
H ( x ) − 5G ( x ) = 5 x 2 − 3 x + 7 − 5 ( x 2 + 2 x − 1) =
5 x 2 − 3 x + 7 − 5 x 2 − 10 x + 5 = −13 x + 12
f)
F ( x) + G ( x) − H ( x) = 2 x 2 − 3x + 1 + x 2 + 2 x − 1 − 5 x 2 − 3x + 7 =
(
) (
) (
)
= −2 x 2 + 2 x − 7
114
25.
a)
(
) (
)
F ( X ) + G ( x) = 3 x 4 − 5 x 2 + 4 x − 3 + 2 x 4 − 4 x 3 + 5 x 2 − 8 x + 7 =
= 5x 4 − 4 x 3 − 4 x + 4
b)
(
) (
)
F ( X ) − G ( x) = 3 x 4 − 5 x 2 + 4 x − 3 − 2 x 4 − 4 x 3 + 5 x 2 − 8 x + 7 =
= x + 4 x − 10 x + 12 x − 10
4
3
2
c)
(
) (
)
− F ( X ) − G ( x) = − 3x 4 − 5 x 2 + 4 x − 3 − 2 x 4 − 4 x 3 + 5 x 2 − 8 x + 7 =
= −5 x 4 + 4 x 3 + 4 x − 4
d)
(
) (
)
G ( x) − F ( x) = 2 x 4 − 4 x 3 + 5 x 2 − 8 x + 7 − 3 x 4 − 5 x 2 + 4 x − 3 =
= − x − 4 x + 10 x − 12 x + 10
4
3
2
26.
a) 2 x + 3x 2 − 7 x 3 + (1 + 4 x − 5x 2 + 9 x 3 − 4 x 4 ) = 1 + 6 x − 2 x 2 + 2 x 3 − 4 x 4
(
)
b) (9 + 5 x − 3x + 9 x ) + (−3 − 4 x − 5 x + 4 x ) = 6 + x − 8x + 13x
c ) (2 + a + 3a ) − (9 − 5a + 23a ) = −7 + 6a − 20a
d ) (8 − 3a + 16a + 6a ) + (−9 − 3a + 5a ) = −1 − 6a + 21a + 6a
2
3
2
2
2
2
27.
a)
b)
3
3
2
3
2
2
2
3
F ( x) + G( x) = (2 x 3 − 4 x 2 + 5 x − 6) + (x 3 + 5 x 2 − 7 x + 9) = 3x 3 + x 2 − 2 x + 3
(
) (
)
− F ( x) + G ( x) = − 2 x 3 − 4 x 2 + 5 x − 6 + x 3 + 5 x 2 − 7 x + 9 =
− 2 x 3 + 4 x 2 − 5x + 6 + 3x 3 + x 2 − 2 x + 3 = x 3 + 5 x 2 − 7 x + 9
c)
(
) (
)
) (
)
F ( x) − G ( x) = 2 x 3 − 4 x 2 + 5 x − 6 − x 3 + 5 x 2 − 7 x + 9 =
x − 9 x + 12 x − 15
3
d)
2
(
G ( x) − F ( x) = x 3 + 5 x 2 − 7 x + 9 − 2 x 3 − 4 x 2 + 5 x − 6 =
− x 3 + 9 x 2 − 12 x + 15
28.
7 ⎞ ⎛5
1 ⎞
8
⎛1
a) ⎜ − 3 x 2 + x 3 ⎟ − ⎜ + 9 x − 6 x 2 − x 3 ⎟ = −2 − 9 x + 3 x 2 + x 3
3 ⎠ ⎝2
3 ⎠
3
⎝2
4
3 ⎞ ⎛
6
13 ⎞
⎛
b ) ⎜ 2 − 4 x + x 2 − x 3 ⎟ + ⎜ 3 + 9 x + x 2 − x 3 ⎟ = 5 + 5x + 2 x 2 − 2 x 3
5
8 ⎠ ⎝
5
8 ⎠
⎝
1
2 ⎞ ⎛ 11
11 ⎞
⎛
c) ⎜ 4 + x − x 2 ⎟ − ⎜ 3 + x − x 2 ⎟ = 1 − 5 x + 3 x 2
2
3 ⎠ ⎝
2
3 ⎠
⎝
115
29.
a) (6a − 4 x ) − (12 x − 7 y ) + (6 z − 3a + 12 y ) = 3a − 16 x + 19 y + 6 z
b) (5 y − 3x ) + (7a − 8x ) − (7 y − 3a) = 10a − 11x − 2 y
1
1
1
⎞
⎛1
⎞ ⎛7
c) ⎜ a 2 − ab 2 ⎟ − ⎜ a 2 − ab 2 ⎟ = −3a 2 + ab 2
3
2
6
⎠
⎝2
⎠ ⎝2
30.
a ) 4 ax 2 − 8a 2 x + 4b + 3ax 2 + 7b − a 2 x = 7 ax 2 − 9 a 2 x + 11b
b ) 3x − 5b + 7 x − 3b + 13b − 22 x = −12 x + 5b
c)
(3a 2b − 5a3 + 4ab2 − 8a 2b ) − ( 4a 2b + 4a3 − 6ab2 + 9a 2b ) =
( −5a b − 5a
2
3
+ 4ab 2 ) − (13a 2b + 4a 3 − 6ab 2 ) =
−5a 2b − 5a 3 + 4ab 2 − 13a 2b − 4a 3 + 6ab 2 = −18a 2b − 9a 3 + 10ab 2
d)
(12 x y
3
2
+ 5 x 2 y 3 − 7 y 3 ) − ( 2 x 2 y 3 + 5 y 3 − 2 x3 y ) =
12 x3 y 2 + 5 x 2 y 3 − 7 y 3 − 2 x 2 y 3 − 5 y 3 + 2 x3 y =
14 x3 y 2 + 3 x 2 y 3 − 12 y 3
31.
a)
(12 xy
4
− 3x 4 y ) − ( 5 x 4 y − 4 xy 4 ) + ( 6 x 4 y − 8 xy 4 ) =
12 xy 4 − 3x 4 y − 5 x 4 y + 4 xy 4 + 6 x 4 y − 8 xy 4 = 8 xy 4 − 2 x 4 y
b)
(12a c − 3ab ) − ( +14ab
2
2
2
− 5a 2b ) − ( 2ab 2 − a 2 c ) =
12a 2 c − 3ab 2 − 14ab 2 + 5a 2b − 2ab 2 + a 2 c =
13a 2 c − 19ab 2 + 5a 2b
c)
(9 y
2
− 5ax ) + ( 4 y 2 − 9ax ) − ( 3ax − 14 y 2 ) =
9 y 2 − 5ax + 4 y 2 − 9ax − 3ax + 14 y 2 = 27 y 2 − 17ax
d ) ( 9ab + 8ac − 5bc ) + ( 4ac − 4bc + 12ab ) = 21ab + 12ac − 9bc
e)
− ( 4bc + 12ab ) − ( 7bc + ac − 3ab ) = −4bc − 12ab − 7bc − ac + 3ab = −11bc − 9ab − ac
32.
a)
(8 x − y − z ) + ( 9 x − 3 y + 6 z ) − ( 4 x + 4 y − 12 z ) =
8 x − y − z + 9 x − 3 y + 6 z − 4 x − 4 y + 12 z = 13 x − 8 y + 17 z
b)
3 ( x 2 − 3 x + 4 ) − 8 ( 2 x 2 + 5 x + 12 ) = 3 x 2 − 9 x + 12 − 16 x 2 − 40 x − 96 =
= −13 x 2 − 49 x − 84
116
c)
x − ⎡⎣( 5 y − z ) − ( − x + 2 z ) ⎤⎦ = x − ( 5 y − z + x − 2 z ) =
= x − ( x + 5 y − 3z ) = x − x − 5 y + 3z = −5 y + 3z
d)
3ab − ⎡⎣ 2 xy − ( 4ab − 5 xy )⎤⎦ − ⎡⎣9ab − 3 ( 2 xy − 7 ab )⎤⎦ =
3ab − ( 2 xy − 4ab + 5 xy ) − ( 9ab − 6 xy + 21ab ) =
3ab − 2 xy + 4ab − 5 xy − 9ab + 6 xy − 21ab = −23ab − xy
117
33.
a)
(− 4a + b − 2c ) − (− 2a − 5b − c ) + (3a + 2b − 5c ) =
− 4a + b − 2c + 2a + 5b + c + 3a + 2b − 5c = a + 8b − 6c
b)
(1 + 2 x − 3 y ) − (8 − 3x + 4 y ) − (5 − 9 x + 8 y ) =
1 + 2 x − 3 y − 8 + 3 x − 4 y − 5 + 9 x − 8 y = −12 + 14 x − 15 y
(5a − 3b) − (8a + 4b) = 5a − 3b − 8a − 4b = −3a − 7b
c)
(x
d)
34.
a) 5
b) 12
c) 25
d) 4
4
) (
)
− 2 x − 3x 4 − 8x − 5 = x 4 − 2 x − 3x 4 + 8 x + 5 = −2 x 4 + 6 x + 5
3
4
4
3
5
6
8
4
9
12
9
7
9
12
11
20
4
3
9
8
7
5
11
37
5
6
5
10
35.
a) 5 − 3 yx + 4 y 2 − 9cx − (8 + 5cx − 3 yx + 4 y 2 ) = −3 − 14cx
(
)
b)
[(3 + x − 5x ) − (6 − 9 x − x )]+ (− 3x + 4 x ) =
= (− 3 + 10 x − 4 x ) + (− 3 x + 4 x ) = −3 + 7 x
2
2
2
2
2
c)
3ax + 7a 2 x − 3a 2 x 2 + 2ax − 5a 2 x + 12a 2 x 2 −
(
(
− 4ax − a 2 x + 5a 2
(
) (
x ) = ax + 3a
2
) (
)
2
x + 4a 2 x 2
) (
)
d ) 9 − 8by + zc 2 − 2by − 9 zc 2 + 3 + 4by − 12 zc 2 = 12 − 6by − 2 zc 2
36.
a)
(2az − 9b
2
z + 12a 4 x 3 ) − (5az − 6b 2 z + a 4 x 3 ) + (12az + 4b 2 z + 2a 4 x 3 ) =
9az + b 2 z + 13a 4 x 3
b)
(7a b − 8a b + 7) + (− 3a b − 6a b + 6) +
+ (− 5a b + 9a b + 1) − (− 9a b − 8a b − 8) = 8a b + 3a b
5
2
5
c
(2 − 3bx
3
5
2
4
3
2
5
3
2
3
5
2
3
+ 22
+ 8b 3 x 3 ) − (12 + 5bx 4 − 2b 3 x 3 ) + (− 1 + 6bx 4 − 12b 3 x 3 ) =
− 11 − 2bx 4 − 2b 3 x 3
d)
(3 + axb − 8bx y ) − (2 + 2axb − 10bx y ) + (4 + 5axb + 3bx y ) =
4
3
4
3
4
3
5 + 4abx + 5bx 4 y 3
118
37.
a)
(6ab − 15b
2
x + 3c 2 z − 2ab ) − (9ab − 9c 2 z + 3b 2 x ) − (ab − 4c 2 z ) =
− 6ab − 18b 2 x + 16c 2 z
9a 4 c − 6a 2 c − 8a 2 c − 9a 4 c = 18a 4 c − 14a 2 c
(
b)
c)
) (
)
(
) (
)
2 x 3 − 3x 2 y + 5 xy 2 − 7 y 3 + 3 2 x 3 − 5 x 2 y − 2 xy 2 + 3 y 3 =
2 x − 6 x y + 10 xy − 14 y + 6 x − 15 x y − 6 xy + 9 y = 8 x 3 − 21x 2 y + 4 xy 2 − 5 y 3
3
d)
2
2
3
(
3
2
2
3
) (
)
4 − az 3 + 3a 2 z 2 − 5a 3 z + 6 z 4 − 2 az 3 − 4a 2 z 2 − a 3 z − 2 z 4 =
− 4az + 12a z − 20a z + 24 z − 2az + 8a z + 2a z + 4 z 4 =
3
2
2
3
4
3
2
2
3
28 z 4 − 6az 3 + 20a 2 z 2 − 18a 3 z
38.
a) (2 x 2 − x + 5)·( x − 3) = 2 x 3 − 6 x 2 − x 2 + 3x + 5x − 15 = 2 x 3 − 7 x 2 + 8 x − 15
(
)
b) x 2 − 5 x + 3 ·(4 x − 5) = 4 x 3 − 5 x 2 − 20 x 2 + 25x + 12 x − 15 = 4 x 3 − 25x 2 + 37 x − 15
c ) ( x − 5)·(2 x 3 − 4) = 2 x 5 − 4 x 2 − 10 x 3 + 20 = 2 x 5 − 10 x 3 − 4 x 2 + 20
2
(
)
d ) 4 x 2 − 9 x + 1 ·(7 x − 2) = 28x 3 − 63x 2 + 7 x − 8 x 2 + 18x − 2 = 28x 3 − 71x 2 + 25x − 2
39.
a)
F ( x)·G ( x) = (3 x 2 + x − 2 )(
· 4 x 3 − 5) = 12 x 5 − 15 x 2 + 4 x 4 − 5 x − 8 x 3 + 10 =
= 12 x 5 + 4 x 4 − 8 x 3 − 15 x 2 − 5 x + 10
b)
2 F ( x ) − 3 G ( x ) = 2 ·(3 x 2 + x − 2 ) − 3 (4 x 3 − 5 ) =
= 6 x 2 + 2 x − 4 − 12 x 3 + 15 = − 12 x 3 + 6 x 2 + 2 x + 11
c)
(
) (
)
3F ( x) − 5G ( x) = 3· 3 x 2 + x − 2 − 5 4 x 3 − 5 =
= 9 x + 3x − 6 − 20 x + 25 = −20 x + 9 x + 3x + 19
2
d)
3
3
2
F ( x) + G ( x) − 2 F ( x)·G ( x) =
3 x 2 + x − 2 + 4 x 3 − 5 − 2·(12 x 5 + 4 x 4 − 8 x 3 − 15 x 2 − 5 x + 10) =
3 x 2 + x − 2 + 4 x 3 − 5 − 24 x 5 − 8 x 4 + 16 x 3 + 30 x 2 + 10 x − 20 =
− 24 x 5 − 8 x 4 + 20 x 3 + 33x 2 + 11x − 27
40.
a)
(3x 2 y + 5 y − 3x )(· xy 2 − 2 y + 4 x ) = 3x 3 y 3 − 6 x 2 y 2 + 12 x 3 y +
+ 5 xy 3 − 10 y 2 + 20 xy − 3 x 2 y 2 + 6 xy − 12 x 2 =
3x 3 y 3 + 12 x 3 y − 9 x 2 y 2 + 5 xy 3 + 26 xy − 10 y 2 − 12 x 2
(
)
b) − 6 x 2 + 5by + 4ac ·(2by + ax) = −12 x 2 by − 6ax 3 + 10b 2 y 2 + 5abxy + 8abcy + 4a 2 cx
119
c)
(9a + 3b + 4c )(· 2ab + 3bc ) = 18a 2 b + 27abc + 6ab 2 + 9b 2 c + 8abc + 12bc 2 =
18a 2 b + 35abc + 6ab 2 + 9b 2 c + 12bc 2
d) − 3x 3 y · 2 x + 4 y − 5 xy 2 = −6 x 4 y − 12 x 3 y 2 + 15x 4 y 3
(
)(
41.
a)
)
F ( x)·G ( x) = (2 x + 3)·(3x 2 − 3x + 1) = 6 x 3 − 6 x 2 + 2 x + 9 x 2 − 9 x + 3 =
= 6 x 3 + 3x 2 − 7 x + 3
b)
F ( x)·H ( x) = (2 x + 3)·(5 x 2 − 8 x − 3) = 10 x 3 − 16 x 2 − 6 x + 15 x 2 − 24 x − 9 =
= 10 x 3 − x 2 − 30 x − 9
c)
(
)
G(x)·H(x) = 3x 2 − 3x + 1 ·(5x 2 − 8x − 3) =
= 15x − 24 x − 9 x − 15x 3 + 24 x 2 + 9 x + 5x 2 − 8x − 3 =
4
3
2
= 15x 4 − 39 x 3 + 20 x 2 + x − 3
d)
(2 x )·F ( x) − 3·G( x)·( x − 2) = (2 x )·(2 x + 3) − 3·(3x
2
2
2
− 3 x + 1)·( x − 2) =
4 x 3 + 6 x 2 − 3·(3 x 3 − 3 x 2 + x − 6 x 2 + 6 x − 2) =
= 4 x 3 + 6 x 2 − 9 x 3 + 9 x 2 − 3 x + 18 x 2 − 18 x + 6 = −5 x 3 + 33 x 2 − 21x + 6
42.
a ) (m 3 − 3m 2 n + 5mn 2 − 6)·8m 2 n = 8m 5 n − 24m 4 n 2 + 40m 3 n 3 − 48m 2 n
b)
9 y 2 z − 8ax 2 + ayx ·( xy − 5a + 8 z ) = 9 xy 3 z − 45ay 2 z + 72 y 2 z 2 − 8ax 3 y +
(
)
+ 40a x − 64ax z + ax 2 y 2 − 5a 2 xy + 8axyz
2
2
2
c ) (12 zb − 6mn)·(3z 3 − 7n 2 ) = 36 z 4 b − 18mnz 3 − 84 zbn 2 + 42mn 3
d) (7 x − 12ay )·(3 y − 4a 2 x) = 21xy − 28a 2 x 2 − 36ay 2 + 48a 3 xy
43.
a)
(2a − 5 x )·(6 x − 5b) + (a − b)·9 x = 12ax − 10ab − 30 x 2 + 25bx + 9ax − 9bx =
= −30 x 2 + 21ax + 16bx − 10ab
b)
(9 x
3
− 5 x + 2 )·ax 2 − ( x 2 + 6a)·x 2 = 9ax 5 − 5ax 3 + 2ax 2 − x 4 − 6ax 2 =
= − x 4 + 9ax 5 − 5ax 3 − 4ax 2
c)
[(a − y )x + (− 2a + 5x )y]+ (3ax
2
2
2
)
+ 9x 2 y =
= ax − yx − 2ay + 5 x y + 3ax + 9 x y = 4ax 2 + 13x 2 y − 2ay
2
2
2
2
2
120
d)
(9 x
)
(
)
⎛1 ⎞
⎛1 ⎞
+ 27 x 2 − 3 x + 18 ·⎜ x ⎟ − 2 x 2 + 6 x − 4 ·⎜ x 4 ⎟ =
⎝3 ⎠
⎝2 ⎠
4
3
2
6
5
4
= 3x + 9 x − x + 6 x − x − 3x + 2 x = − x 6 − 3x 5 + 5 x 4 + 9 x 3 − x 2 + 6 x
3
44.
a) a 2 − 2a = a(a − 2)
b) 5 x 2 − 15xy = 5x( x − 3 y)
c ) 4 x 3 − 2 x 2 = 2 x 2 (2 x − 1)
1
1
1
1⎞
⎛
d ) a 2 x 3 − ax 2 = ax 2 ⎜ ax − ⎟
2
4
2
2⎠
⎝
4
3
e ) 8m − 24m = 8m 1 − 3m
f ) 20 a + 30 b = 10 ( 2 a + 3b )
(
)
121
45.
a) (a − b )m − (a − b)n = (a − b )(m − n)
b ) 8( 2 x + y ) − 5( 2 x + y ) = (8 − 5)( 2 x + y ) = 3( 2 x + y )
c) 2( x 2 + xy) − 4( x 2 + xy) = (2 − 4)( x 2 + xy) = −2( x 2 + xy) = −2 x( x + y)
d) 9(ab 2 − a 2 b) + 8(ab 2 − a 2 b) = 17(ab 2 − a 2 b) = 17ab(b − a )
46.
(
)
(
)
(
)
1 2 2
1
1 ⎛
1 ⎞
x m − n − xy m 2 − n = x⎜ x − y ⎟ m 2 − n
2
4
2 ⎝
2 ⎠
3
3
2 2
2
2
b ) 2ab − 12a b + 6a b = 2ab b − 6a + 3ab
3
3
3
⎛1
⎞
c ) a 6 b 3 x − y 2 − a 3b 4 x − y 2 = a 3b 3 ⎜ a 3 − b ⎟ x − y 2
4
2
2
⎝2
⎠
a)
(
(
)
(
)
)
(
(
)
)
d ) 5 z 6 d 4 − 15z 4 d 6 − 18z 2 d 3 = z 2 d 3 5 z 4 d − 15z 2 d 3 − 18
47.
a) 2 x(a + 9b ) − 5 x(a + 9b) + 7 y(a + 9b) = (2 x − 5 x + 7 y)(a + 9b) = (−3x + 7 y)(a + 9b)
b) 2 x ( m − 3) + 2 x ( m − 2) + 2 x ( m + 5) = 2 x ( m − 3 + m − 2 + m + 5) = 2 x·3m = 6 xm
c) 7 x ( a − 9 m ) + 4 x ( a − 9 m ) − x ( a − 9 m ) = (7 x + 4 x − x )( a − 9 m ) = 10 x ( a − 9 m )
d)
(2 x − 1) a 2 y − axy 3 + (4 x − 5) a 2 y − axy 3 = (2 x − 1 + 4 x − 5) a 2 y − axy 3 =
(
)
(
= (6 x − 6)ay a − xy
2
(
) = 6ay( x − 1)(a − xy
2
)
)
(
)
48.
a) 3a 4 − 9a 2 − 2a 2 a 2 − 3 = 3a 2 (a 2 − 3) − 2a 2 a 2 − 3 = a 2 a 2 − 3
b)
x 2 y (m − 2n ) − 6 x 2 y (m − 2n ) − 5 x 2 ym − 10 x 2 yn =
(
)
(
)
(
)
= x 2 y (m − 2n ) − 6 x 2 y (m − 2n ) − 5 x 2 y (m + 2n) = −5 x 2 y (m − 2n) − 5 x 2 y (m + 2n) =
= −5 x 2 y[(m − 2n ) + (m + 2n )] = −5 x 2 y·2m = −10mx 2 y
c ) 20ac 2 (x − 2 y ) + 15a 2 c(x − 2 y ) = 5ac(x − 2 y )(4c + 3a)
49.
a) (x + 2 y )2 = x 2 + 4 xy + 4 y 2
b ) (2 x − y )2 = 4 x 2 − 4 xy + y 2
c) (a − 5b )(a + 5b ) = a 2 − 25b 2
· 8 + 5m) = 64 − 25m 2
d ) (8 − 5m)(
e ) (1 + m )2 = 1 + 2m + m 2
f ) (2 − c )2 = 4 − 4c + c 2
50.
a ) (a + 4 )2 = a 2 + 8a + 16
b ) ( x + 1)( x − 1) = x 2 − 1
122
c ) (2 − 5m)(2 + 5m) = 4 − 25m 2
d ) (6 − 5b )2 = 36 − 60b + 25b 2
e ) (2a − b )2 = 4a 2 − 4ab + b 2
f ) (3 + z )(3 − z ) = 9 − z 2
51.
a ) (3 x − 2 )2 = 9 x 2 − 12 x + 4
b ) (8 + 4 y )2 = 64 + 64 y + 16 y 2
c ) (5 − 2b )(5 + 2b ) = 25 − 4b 2
2
1 ⎞
1
⎛
d ) ⎜ 9 − b 2 ⎟ = 81 − 2b 2 + b 4
9 ⎠
81
⎝
52.
a ) (2 x + 3 y )2 = 4 x 2 + 12 xy + 9 y 2
2
1
⎛1
⎞
b ) ⎜ x − 4 ⎟ = x 2 − 4 x + 16
4
⎝2
⎠
2
1
1 ⎞
⎛
c) ⎜ 5ax − c ⎟ = 25a 2 x 2 − 2axc + c 2
25
5 ⎠
⎝
2
4
4
2 ⎞
⎛
d ) ⎜ a + b ⎟ = a 2 + ab + b 2
3
9
3 ⎠
⎝
2
1
1
1⎞
⎛
e ) ⎜ a − ⎟ = a2 − a +
3
36
6⎠
⎝
2
1 2
y⎞
⎛
f ) ⎜ 4 x + ⎟ = 16 x 2 + xy +
y
64
8⎠
⎝
53.
2
a ) x 2 + 2 x + 1 = ( x + 1)
b ) x 2 − 10 x + 25 =
( x − 5)
2
c ) x 2 − 81 = ( x + 9)( x − 9)
d ) x 2 − 12 x + 36 = ( x − 6 )
2
e ) a 2 − 25 = (a + 5)(a − 5)
f ) 4 x 2 + 4 x + 1 = (2 x + 1)2
(
)(
g ) x 6 − 16 = x 3 + 4 x 3 − 4
h ) x − 6 x + 9 = ( x − 3)
2
)
2
i ) a 2 − 4 ab + 4b 2 = ( a − 2b )
2
j ) a 2 + 4 ab + 4b 2 = ( a + 2b )
2
k ) b 4 − 4 = ( b 2 − 2 )( b 2 + 2 )
l ) a 2 + 18 a + 81 = ( a + 9 )
2
123
1 ⎛
1⎞
m ) x + x+ = ⎜x+ ⎟
4 ⎝
2⎠
2
2
1
1
1⎞
⎛
n) a − a+
= ⎜a − ⎟
2
16 ⎝
4⎠
2
2
54.
3
12 a
=
2
4a
16 a
2
5ab
b
b)
=
2
10a b 2 a
y
4 xy
c)
=
2
2x
8x
4 6 2
120 x y z
10xy 2
d)
=
z4
12 x 3 y 4 z 6
a)
55.
a)
b)
c)
d)
3m3
− 36m 4 n 3 r 5
=
r
− 12mn 3 r 6
2
6
− 25a cx
5ax
=− 2
3 5
20 ac x
4c
3 7 6 4
4b 2
12a b c d
−
=
3a 2 cd 5
− 9a 5 b 5 c 7 d 9
210 x 7 y 12 z 23 3 x
=
yz
70 x 6 y 13 z 24
56.
3(1 + x) + 2a (1 + x ) (3 + 2a )· (1 + x )
a)
= 3 + 2a
=
1+ x
(1 + x )
124
2
5(1 − 2b) + 4 x 2 (1 − 2b) ( 5 + 4 x )· (1 − 2b) 5 + 4x 2
=
=
b)
x
x − 2bx
x (1 − 2b)
c)
3 xy (2 y − x )
3
6 xy 2 − 3 x 2 y
=
= 2
2 2
3
8 x y − 4 x y 4 x y (2 y − x ) 4x
57.
x (1 + x 2 ) x
x + x3
=
=
a)
a + ax 2 a (1 + x 2 ) a
(a x + by )
1
a 2 x + by
=
=
b) 2
2
2
a xy + by
y· (a x + by ) y
2
2 2
3
25a 3b 2 + 50a 2b3 5a ( 5a b + 10ab )
=
= 5a
c)
2 2
3
5a 2b 2 + 10ab3
(5a b + 10ab )
58.
(a + b) = a + b
a 2 + 2ab + b 2
a)
=
2
2
a −b
( a + b )·(a − b) a − b
2
b)
5(1 − x 2 ) − 3(1 − x ) 5(1 − x )(1 + x ) − 3(1 − x ) (1 − x ) [5(1 + x) − 3] 5 + 5 x − 3 5 x + 2
=
=
=
=
(1 − x) 2
(1 − x)(1 + x)
1+ x
1+ x
(1 − x ) (1 + x)
c)
(1 + 2 x )
(1 + 2 x )
1 + 4 x + 4 x2
=
=
1 − 4x2
(1 − 2 x )(1 + 2 x ) (1 − 2 x )
2
59.
a)
b)
8x3 + 4x2 -5x + 6
-8
-8 x 3 + 16 x 2
_______________________
20 x 2 - 5 x - 2
10 x 4 - 5 x 3 + 12 x 2 - 15 x + 16
- 10 x 4 + 20 x 3 - 20 x 2
_______________________
15 x 3 - 8 x 2 - 15 x
-15 x 3 + 30 x 2 - 30 x + 16
__________________________
22 x 2 - 45 x + 16
- 22 x 2 + 44 x – 44
____________________
- x - 28
x3 - 2x2
8
+ 1
x2 -2x + 2
10 x 2 + 15 x + 22
125
c)
d)
e)
f)
x - 1
x 2 + 7 x - 13
2
x+8
- x + x
_______________________
8 x - 13
-8x + 8
__________________________
-5
9x3 + 7x2 -5x + 2
- 9 x 3 - 27 x 2
______________________
- 20 x 2 - 5 x
20 x 2 + 60 x
__________________________
55 x + 2
- 55 x –165
____________________
- 163
x + 3
9 x 2 - 20 x + 55
- 15
x2 - 2
12 x 4 + 7 x 2
12 x 2 + 31
-12 x 4 + 24 x 2
_________________________
31 x 2 - 15
-31 x 2 + 62
__________________________
47
7 x 3 - 9 x 2 + 16 x - 12
- 7 x 3 - 35 x 2 - 14 x
______________________
- 44 x 2 + 2 x - 12
44 x 2 + 220 x + 88
__________________________
222 x + 76
x2 + 5 x + 2
7 x - 44
126
AUTOEVALUACIÓN PAG. 83
1.
a ) F ( x) + G ( x) = ( x 2 − 3x + 4 ) + ( 2 x 2 − 5 x + 5 ) = 3 x 2 − 8 x + 9
b ) 2 F ( x) − 3G ( x) = 2 ( x 2 − 3 x + 4 ) − 3 ( 2 x 2 − 5 x + 5 ) = 4 x 2 − 6 x + 8 − 6 x 2 + 15 x − 15 = −2 x 2 + 9 x − 7
2.
a ) ( x 3 − 2 x 2 + 5 x − 1) 4 x 3 = 4 x 6 − 8 x 5 + 20 x 4 − 4 x 3
b ) ( x − 2 )·( x2 − 8x + 3) = x3 − 8x 2 + 3x − 2 x2 + 16 x − 6 = x3 − 10 x2 + 19 x − 6
3.
a ) 2 x3 − 4 x 2 = 2 x 2 ( x − 2 )
b ) 2( x − 1) − a( x − 1) = ( 2 − a )( x − 1)
4.
a ) (1 − x)2 = 1 − 2 x + x 2
b ) ( 2 + 3 y ) = 4 + 12 y + 9 y 2
2
127
5.
a)
(5ab3 + 9a 3b + ax 2 ) − 2 ( 2ab3 − 4a 3b − 3ax 2 ) =
= 5ab 3 + 9a 3b + ax 2 − 4 ab3 + 8a 3b + 6ax 2 = ab3 + 17 a 3b + 7 ax 2
b)
( 2mn + mn 2 − 5m 2 n ) + 3 (5mn − 8mn 2 − 4m 2 n ) =
= 2mn + mn 2 − 5m 2 n + 15mn − 24mn 2 − 12m 2 n = 17 mn − 23mn 2 − 17 m 2 n
6.
a)
( − a − 2b − 3c) − (−2a + 3b − 5c) + (8a − 4b + 9c) =
= − a − 2b − 3c + 2a − 3b + 5c + 8a − 4b + 9c = 9a − 9b + 11c
b ) ( 5a − 9 x )·(8b + 3x ) = 40ab + 15ax − 72bx − 27 x 2
7.
a)
12ax 4b5c12
= 2 xb
6ax 3b 4 c12
3ab 2 (1 − 3a 2b3 ) 1 − 3a 2b3
3ab 2 − 9a 3b5
b)
=
=
12a 4b 2 − 15ab 7 3ab 2 ( 4a 3 − 5b5 ) 4a 3 − 5b5
8.
8x3 - 3 x2 + 5x - 6
- 8 x 3 + 24 x 2 - 8 x
___________________
21 x 2 - 3 x - 6
- 21 x 2 + 63 x - 21
__________________________
60 x - 27
9.
2
a ) ( x + 3) = x 2 + 32
Falsa
b ) ( x + 2 )·( x − 2 ) = x2 − 4
Verdadera
c ) ( 3 x + 1) = x 2 + 6 x + 1
Falsa
d) 1
Falsa
2
1
2
x2-3x +1
8 x + 21
10.
a ) ( x + 3)( x − 3) = x 2 − 9
4 ⎞⎛
4 ⎞
16
⎛
b ) ⎜ 5 x − y ⎟·⎜ 5 x + y ⎟ = 25 x 2 − y 2
3 ⎠⎝
3 ⎠
9
⎝
128
DESAFÍO MATEMÁTICO PAG. 85
1.
AE =
diagonal
, AF ⊥ DE, CG ⊥ DE, GH = AF , GK = AF , FL = AF
2
Los demás son segmentos paralelos o perpendiculares a AF.
129
2.
Realizamos, como en la figura anterior, los segmentos AF, CG y el punto L.
GH y GI son paralelas a los lados del cuadrilátero.
HK = GH
3. El mcm(2, 3, 4, 5) = 60
Si los agrupamos de 2 en 2 nos sobra 1 ⇒ N = 59 → (59 = 2 · 29 + 1)
Si los agrupamos de 3 en 3 nos sobran 2 ⇒ N = 59 → (59 = 3 · 19 + 2)
Si los agrupamos de 3 en 3 nos sobran 2 ⇒ N = 59 → (59 = 4 · 14 + 3)
Si los agrupamos de 4 en 4 nos sobran 3 ⇒ N = 59 → (59 = 5 · 11 + 4)
El mínimo número de cromos que tiene el chico son 59.
Si tuviera más cromos sería cualquier número de la serie aritmética cuyo primer miembro es 59
con diferencia es 60:
59, 119, 179, 239, 299, 359, 419, 479...
130
UNIDAD 5. Ecuaciones
ACTIVIDADES PAG. 88
1.
a ) 4 + x = 12 ⇒ x = 12 – 4 ⇒ x = 8
b ) – 9 – x = 3 ⇒ – x = - 9 - 3⇒ x = -12
c ) 14 – x = 15 ⇒ x = 14 – 15 ⇒ x = - 1
d ) 2 + x = 23 ⇒ x = 23 – 2 ⇒ x = 21
2.
x
= 15 ⇒ x = 15·3 ⇒ x = 45
3
x
x
x
b ) 4− = 2⇒ 4−2 = ⇒ 2 = ⇒ x = 4
2
2
2
24 x + x
25
x
x
x
c ) 2 x + 6 x + = 25 ⇒ 8 x + = 25 ⇒
= 25 ⇒
x = 25 ⇒ = 1 ⇒ x = 3
3
3
3
3
3
a)
3.
a ) 3 + 2x = 3x + 1 ⇒ 2x - 3x = 1 – 3 ⇒ - x = - 2 ⇒ x = 2
b ) 5x – 6 = 10x – 1 ⇒ 5x – 10x = 6 – 1 ⇒ - 5x = 5 ⇒ x = - 1
c ) 6x – 7 = 4x + 3 ⇒ 6x – 4x = 3 + 7 ⇒ 2 x = 10 ⇒ x = 5
ACTIVIDADES PAG. 89
4.
a ) x + 2( x − 1) = 7 ⇒ x + 2 x − 2 = 7 ⇒ 3 x = 9 ⇒ x = 3
b)
3( x − 1) − 2( x − 2) = − x − 1 ⇒ 3x − 3 − 2 x + 4 = − x − 1 ⇒
x + 1 = − x − 1 ⇒ 2 x = −2 ⇒ x = −1
131
c)
6( x − 2) + 3( x − 4) = x ⇒ 6 x − 12 + 3x − 12 = x ⇒
d)
⇒ 9 x − 24 = x ⇒ 8x = 24 ⇒ x = 3
9( x + 1) + 10( x + 2) = 9 x − 1 ⇒ 9 x + 9 + 10 x + 20 = 9 x − 1 ⇒
19 x + 29 = 9 x − 1 ⇒ 10 x = −30 ⇒ x = −3
5.
a)
3( x − 4) − 8( x − 6) + 4 x
x−4 x−6 x
−
+ =1⇒
=1
8
3
6
24
3x − 12 − 8 x + 48 + 4 x
⇒
= 1 ⇒ − x + 36 = 24 ⇒ x = 36 − 24 ⇒ x = 12
24
3x + 1
4 x + 3x + 1
b ) x+
= 2x −1 ⇒
= 2x −1 ⇒ 7 x + 1 = 8x − 4 ⇒ x = 5
4
4
c)
2( x + 5) 9(4 x − 7)
6( x + 5) + 63(4 x − 7)
+
= 3x − 1 ⇒
= 3x − 1
7
3
21
⇒ 6 x + 30 + 252 x − 441 = 63x − 21 ⇒ 258 x − 411 = 63x − 21 ⇒
d)
⇒ 258 x − 63x = 411 − 21 ⇒ 195 x = 390 ⇒ x = 2
3(5 + x) 5( x − 3)
6(5 + x) + 5( x − 3)
+
= 3x + 1 ⇒
= 3x + 1 ⇒
2
4
4
30 + 6 x + 5 x − 15
= 3x + 1 ⇒ 11x + 15 = 12 x + 4 ⇒ x = 11
4
ACTIVIDADES PAG. 90
6.
a ) x 2 − 25 = 0 ⇒ x 2 = 25 ⇒ x = ±5
b) x 2 − 24 = 120 ⇒ x 2 = 144 ⇒ x = ± 12
c) 6 x 2 − 5 = 49 ⇒ 6 x 2 = 54 ⇒ x 2 = 9 ⇒ x = ± 3
d) 7 x 2 − 29 = 61 − 3 x 2 ⇒ 10 x 2 = 90 ⇒ x 2 = 9 ⇒ x = ± 3
e) ( 3x + 2 )( 3x − 2) = 221 ⇒ 9 x2 − 4 = 221 ⇒ 9 x2 = 225 ⇒ x2 = 25 ⇒ x = ±5
f) 4 x 2 − 64 = 0 ⇒ x 2 − 16 = 0 ⇒ x = ± 4
7.
⎧x = 0
a) x 2 + 5 x = 0 ⇒ x ( x + 5 ) = 0 ⇒ ⎨
⎩ x + 5 = 0 ⇒ x = −5
132
b)
c)
d)
e)
⎧x = 0
⎪
4 x − 3 x = 0 ⇒ x ( 4 x − 3) = 0 ⇒ ⎨
3
⎪⎩4 x − 3 = 0 ⇒ 4 x = 3 ⇒ x = 4
0
0
1
0
1 0
1
7
0
0
x
x
=
⇒
=
⎧
7 x 2 − 42 x = 0 ⇒ 7 x ( x − 6 ) = 0 ⇒ ⎨
⎩x − 6 = 0 ⇒ x = 6
⎧3x = 0 ⇒ x = 0
3x 2 − 108 x = 0 ⇒ 3 x ( x − 36 ) = 0 ⇒ ⎨
⎩ x − 36 = 0 ⇒ x = 36
2
f)
3x = 4 x 2 − 2 x ⇒ 3x + 2 x = 4 x 2 ⇒
⎧x = 0
⎪
5 x − 4 x = 0 ⇒ x(5 − 4 x) = 0 ⇒ ⎨
5
⎪⎩5 − 4 x = 0 ⇒ 5 = 4 x ⇒ x = 4
2
ACTIVIDADES PAG. 91
8.
3±
a ) x 2 − 3x + 2 = 0 ⇒ x =
5±
b) x 2 − 5 x + 6 = 0 ⇒ x =
c) x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇒ x =
4±
d) x 2 − 6 x + 8 = 0 ⇒ x =
6±
e) x 2 − 5 x + 4 = 0 ⇒ x =
5±
3 +1
⎧
=2
x=
⎪
9 − 8 3 ± 1 3 ±1 ⎪
2
=
=
⇒⎨
2
2
2
⎪x = 3 −1 = 1
⎪⎩
2
5 +1
⎧
=3
x=
⎪
25 − 24 5 ± 1 5 ± 1 ⎪
2
=
=
⇒⎨
2
2
2
⎪x = 5 −1 = 2
⎪⎩
2
4+2
⎧
=3
x=
16 − 12 4 ± 4 4 ± 2 ⎪⎪
2
=
=
⇒⎨
2
2
2
⎪x = 4 − 2 = 1
⎪⎩
2
6+2
⎧
=4
x=
⎪
36 − 32 6 ± 4 6 ± 2 ⎪
2
=
=
⇒⎨
2
2
2
⎪x = 6 − 2 = 2
⎪⎩
2
5+3
⎧
=4
x=
⎪
25 − 16 5 ± 9 5 ± 3 ⎪
2
=
=
⇒⎨
2
2
2
⎪x = 5 − 3 = 1
⎪⎩
2
133
f)
x 2 + 10 = 7 x ⇒ x 2 − 7 x + 10 = 0 ⇒
7+3
⎧
=5
x=
7 ± 49 − 40 7 ± 9 7 ± 3 ⎪⎪
2
=
=
⇒⎨
x=
2
2
2
⎪x = 7 − 3 = 2
⎪⎩
2
9.
2
a ) x 2 − 10 x + 24 = 0 ⇒ Δ = ( −10 ) − 4·1·24 ⇒ Δ = 100 − 96 ⇒ Δ = 4 ⇒
Δ > 0 ⇒ la ecuación posee dos soluciones reales y distintas
2
b ) x 2 − 8 x + 16 = 0 ⇒ Δ = ( −8 ) − 4·1·16 ⇒ Δ = 64 − 64 ⇒ Δ = 0 ⇒
⇒ raíz doble ( Una única solución )
c ) x 2 + 16 = 0 ⇒ Δ = 0 − 4·1·16 ⇒ Δ = − 64 ⇒ Δ < 0 ⇒
No existe solución real
2
d ) 14 x 2 − 9 x + 14 = 0 ⇒ Δ = ( −9 ) − 4·14·14 ⇒ Δ = 81 − 784 = −703 ⇒ Δ < 0 ⇒
No existe solución real
2
e ) 4 x 2 − 12 x + 9 = 0 ⇒ Δ = ( −12 ) − 4·4·9 ⇒ Δ = 144 − 144 ⇒ Δ = 0
⇒ raíz doble ( Una única solución )
2
f ) 3 x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇒ Δ = ( −2 ) − 4·3·1 ⇒ Δ = 4 − 12 ⇒ Δ = −8
Δ < 0 ⇒ no posee solución real.
ACTIVIDADES PAG. 92
10.
Sean x- 2 , x , x + 2 y x + 4 los números buscados.
x − 2 + x + x + 2 + x + 4 = 68
4 x + 4 = 68
x + 1 = 17
x = 16
Los números buscados son: 14, 16, 18 y 20
11.
Sea x la cantidad que da al menor.
Menor
Mediano
mayor
x
2x
x + 2x = 3x
134
x + 2 x + 3 x = 60
6 x = 60
x = 10
El pequeño percibe 10 €, el mediano 20 € y el mayor 30 €
12.
Sea x el tiempo en horas que tarda el AVE en alcanzar al TALGO.
En este tiempo el AVE ha recorrido 300 x km y el TALGO 100 x km.
50 = 300 x − 100 x
50 = 200 x
50
x=
200
1
x=
4
El AVE tardará
1
1
de hora en alcanzar al TALGO a 300· = 75 km de la capital.
4
4
ACTIVIDADES PAG. 93
13.
Sea x el número buscado
(x − 4)(· x + 4) = 128
x 2 − 16 = 128
x 2 = 144
x = ±12
Aparecen dos números que cumplen las condiciones del problema: 12 y – 12
14.
Los números buscados son x, x – 2
135
x·(x − 2) = 195
x 2 − 2 x − 195 = 0
2 ± 4 + 780 2 ± 784 2 ± 28 ⎧15
=
=
=⎨
2
2
2
⎩− 13
Los números buscados son 15 y 13, o bien, -13 y - 15
x=
15.
Sea x la longitud del cateto menor, como indica la figura:
x+4
x
x+2
Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos:
(x + 4)2 = (x + 2)2 + x 2
x 2 + 8 x + 16 = x 2 + 4 x + 4 + x 2
x 2 − 4 x − 12 = 0
x=
4 ± 16 + 48 4 ± 64 4 ± 8 ⎧− 2
=
=
=⎨
2
2
2
⎩6
Las medidas del triángulo son 6 cm, 8 cm los catetos y 10 cm la hipotenusa.
16.
x+3 cm
x cm
Si obtenemos un cuadrado al disminuir en 3 cm un lado del rectángulo, el lado mayor
mide 3 cm más que el lado menor.
x 2 = 144 ⇒ x = 12 , con lo que las medidas del rectángulo son 15 cm de largo y 12 cm
de ancho.
136
DESAFÍO MATEMÁTICO PAG. 94
137
La distancia del origen del viaducto a los pilares de apoyo representa
de la longitud del viaducto. Sea
del viaducto el arco representa un
en metros del viaducto.
27
270
700 m
70
El viaducto mide 700 metros de longitud.
partes
la longitud
1.El pilar de apoyo del arco que se encuentra en la provincia de Cuenca se encuentra a
700
310
del origen del viaducto.
2.Superado el arco quedan
700
120 m por recorrer para llegar al final del
viaducto.
3.El arco tiene por ecuación
0 002
0 54
50
50
0 002 50
0 54 50 22 alcanza 22 m de altura.
Si
Si
100
100
0 002 100
0 54 100 34
alcanza 34 m de altura.
Si
135
135
0 002 135
0 54 135 3645 alcanza 36’45 m de
altura.
Si
170
170
0 002 170
0 54 170 34 alcanza 34 m de altura
Si
200
200
0 002 200
0 54 200 28 alcanza 28 m de altura.
Si
250
250
0 002 250
0 54 250 10 alcanza 10 m de altura.
Si
270
270
0 002 270
0 54 270 0
el arco se encuentra a
0m de altura
4.La velocidad media es de 4073 m/minuto = 4073·60 m/h = 244380 m/h =244’38 km/h
1 6 horas = 1 hora y 36 minutos.
5.
Tiempo de antelación en la compra
Descuento efectuado
15 días
60 %
10 días
40 %
Sea
el precio del billete en clase turista sin descuento alguno.
13 0 6
10 0 4
941 64
11 8
941 64
79 8
El precio del billete sin descuento es de 79 8
Los que compraron el billete con 15 días de antelación pagaron 0 6 79 8 47 88 .Los
que compraron el billete con 10 días de antelación pagaron 0 4 79 8 3192
138
ACTIVIDADES FINALES PAG. 96
17.
a ) 9 + x = 6 ⇒ x = 6 − 9 ⇒ x = −3
b ) −8 + x = 7 ⇒ x = 7 + 8 ⇒ x = 15
c ) 11 − x = 14 ⇒ − x = 14 − 11 ⇒ − x = 3 ⇒ x = −3
d ) 2 − x = 3 ⇒ − x = 3 − 2 ⇒ − x = 1 ⇒ x = −1
e ) 7 + x = −5 ⇒ x = −5 − 7 ⇒ x = −12
139
f ) 14 − x = 8 ⇒ − x = 8 − 14 ⇒ − x = −6 ⇒ x = 6
18.
a ) 15 + x = 23 ⇒ x = 23 − 15 ⇒ x = 8
b ) 2 − x = 45 ⇒ − x = 45 − 2 ⇒ − x = 43 ⇒ x = −43
c ) x + 12 = 98 ⇒ x = 98 − 12 ⇒ x = 86
d ) − x + 23 = 78 ⇒ − x = 78 − 23 ⇒ − x = 55 ⇒ x = −55
19.
a ) 5 x − 3 = 6 x − 9 − 15 ⇒ 5 x − 3 = 6 x − 24 ⇒ 5 x − 6 x = 3 − 24 ⇒ − x = −21 ⇒ x = 21
b)
8x − 3x + 12 = 9 x + 27 − 3x ⇒ 5 x + 12 = 6 x + 27 ⇒ 5 x − 6 x = 27 − 12 ⇒
c)
⇒ − x = 15 ⇒ x = −15
2 x − 5 x − 4 = 7 x − 8 x − 3 ⇒ −3 x − 4 = − x − 3 ⇒
⇒ −3x + x = 4 − 3 ⇒ −2 x = 1 ⇒ x = −
1
2
d)
12 − 13 x + 14 x = 3 x − 7 x + 23 ⇒ 12 + x = −4 x + 23 ⇒
11
⇒ x + 4 x = 23 − 12 ⇒ 5 x = 11 ⇒ x =
5
20.
2x
126
= 42 ⇒ 2 x = 42·3 ⇒ 2 x = 126 ⇒ x =
⇒ x = 63
3
2
x
x
x
b ) 5 + = 21 ⇒ = 21 − 5 ⇒ = 16 ⇒ x = 4·16 ⇒ x = 64
4
4
4
5x
6
x
c ) 2 x + = −3 ⇒
= −3 ⇒ 5 x = −6 ⇒ x = −
2
2
5
d)
3x
3x
9x
= −6 ⇒
13 − = 7 − 3x ⇒ − + 3x = 7 − 13 ⇒
4
4
4
24
8
⇒ 9 x = −24 ⇒ x = − ⇒ x = −
9
3
a)
21.
a ) 5 + 3x = 4 x + 25 ⇒ 3x − 4 x = 25 − 5 ⇒ − x = 20 ⇒ x = −20
3x
3x
13 x
40
b ) 16 +
= 8 − 2x ⇒
+ 2 x = 8 − 16 ⇒
= −8 ⇒ 13 x = −40 ⇒ x = −
5
5
5
13
c)
7
7
⇒ 21x + 7 = x − ⇒
2
2
7
21
21
⇒ 21x − x = − − 7 ⇒ 20 x = − ⇒ x = −
2
2
40
23x + 4 x − 6 x + 7 = x −
140
d ) 4 x + 15 = 75 −
5x
5x
29 x
360
⇒ 4x +
= 75 − 15 ⇒
= 60 ⇒ 29 x = 360 ⇒ x =
6
6
6
29
22.
x
= 14 ⇒ x = 28
2
x
x
b ) − 1 = 15 ⇒ = 16 ⇒ x = 48
3
3
3
3
36
c ) 2 − x = 11 ⇒ − x = 9 ⇒ −3 x = 36 ⇒ x =
⇒ x = −12
−3
4
4
5
5
17
17
d ) + 3 x = 11 ⇒ 3 x = 11 − ⇒ 3 x = ⇒ x =
2
2
2
6
5 1
1
5
1
191
e ) − x = 28 ⇒ − x = 28 − ⇒ − x =
⇒ − x = 382 ⇒ x = −382
7 14
14
7
14
7
2
2
33
f ) 5 + x = 16 ⇒ x = 11 ⇒ 2 x = 33 ⇒ x =
3
3
2
a)
23.
a)
−11x 3
−11x 3
2
5
3
4 x − 15 x 3
x − x = x +1 ⇒
= x +1 ⇒
= x +1 ⇒
− x =1⇒
3
2
4
6
4
6
4
6
4
−22 x − 9 x
31
12
⇒
=1⇒ − x =1⇒ x = −
12
12
31
b)
2( x + 1) − ( x + 3)
x +1 x + 3
2x + 2 − x − 3
−
= 3x − 2 ⇒
= 3x − 2 ⇒
= 3x − 2 ⇒
3
6
6
6
11
x −1
= 3 x − 2 ⇒ x − 1 = 18 x − 12 ⇒ 17 x = 11 ⇒ x =
6
17
c)
x−6
x+2
x+2 x−6
x + 2 − 3 x + 18
= 2−
⇒
−
= 2−4⇒
= −2 ⇒
4−
5
15
15
5
15
−2 x + 20
⇒
= −2 ⇒ −2 x + 20 = −30 ⇒ −2 x = −50 ⇒ x = 25
15
d)
3x − 2 x − 3 5 x − 4
3(3x − 2) − 6( x − 3) 2(5 x − 4)
−
=
⇒
=
⇒
4
2
6
12
12
⇒ 9 x − 6 − 6 x + 18 = 10 x − 8 ⇒ 3 x + 12 = 10 x − 8 ⇒ 3 x − 10 x = −8 − 12 ⇒
20
⇒ −7 x = −20 ⇒ x =
7
24.
7
a ) 5 + 2( x − 3) = 6 ⇒ 5 + 2 x − 6 = 6 ⇒ −1 + 2 x = 6 ⇒ 2 x = 7 ⇒ x =
2
23
b ) 3( x − 7) + 12 = 14 ⇒ 3 x − 21 + 12 = 14 ⇒ 3 x − 9 = 14 ⇒ 3 x = 23 ⇒ x =
3
141
4
1
⇒x=
8
2
35
d ) 7(5 x − 3) = 14 ⇒ 35 x − 21 = 14 ⇒ 35 x = 21 + 14 ⇒ 35 x = 35 ⇒ x =
⇒ x =1
35
c ) 4 − 2(3 − 4 x ) = 2 ⇒ 4 − 6 + 8 x = 2 ⇒ −2 + 8 x = 2 ⇒ 8 x = 4 ⇒ x =
25.
a)
2( x − 3) + 5( x − 2) = 6 x + 15 ⇒ 2 x − 6 + 5x − 10 = 6 x + 15 ⇒
⇒ 7 x − 16 = 6 x + 15 ⇒ 7 x − 6 x = 15 + 16 ⇒ x = 31
b)
2(4 − x) + 3(2 x − 5) = 2 x − 3 ⇒ 8 − 2 x + 6 x − 15 = 2 x − 3 ⇒ 4 x − 7 = 2 x − 3 ⇒
⇒ 4 x − 2 x = −3 + 7 ⇒ 2 x = 4 ⇒ x = 2
c)
100 − 5( x − 15) = 3x + 23 ⇒ 100 − 5 x + 75 = 3x + 23 ⇒ 175 − 5 x = 3x + 23 ⇒
⇒ 175 − 23 = 3 x + 5 x ⇒ 152 = 8 x ⇒ x =
d)
152
⇒ x = 19
8
1
5( x − 4) + 3(3 x − 5) = 2( x + ) ⇒ 5 x − 20 + 9 x − 15 = 2 x + 1 ⇒ 14 x − 35 = 2 x + 1 ⇒
2
⇒ 14 x − 2 x = 35 + 1 ⇒ 12 x = 36 ⇒ x = 3
26.
a)
2( x − 3) 3( x − 4) 5( x − 2) 1
8( x − 3) − 9( x − 4) 10( x − 2) − 1
−
=
− ⇒
=
⇒
3
4
6
12
12
12
8 x − 24 − 9 x + 36 = 10 x − 20 − 1 ⇒ − x + 12 = 10 x − 21 ⇒ − x − 10 x = −12 − 21 ⇒
−11x = −33 ⇒ x = 3
b)
27.
a)
2(3 x − 5) 3(4 x − 3) 4(3 x − 2)
4(3x − 5) − 12(4 x − 3) 4(3 x − 2)
−
=
⇒
=
⇒
4
2
8
8
8
12 x − 20 − 48 x + 36 = 12 x − 8 ⇒ −48 x + 16 = −8 ⇒ −48 x = −8 − 16 ⇒
1
⇒ −48 x = −24 ⇒ x =
2
3(2 x − 1) 5(4 x − 3) 3 x 87
3(2 x − 1) + 10(4 x − 3) 6 x + 87
+
=
+
⇒
=
⇒
4
2
2
4
4
4
⇒ 6 x − 3 + 40 x − 30 = 6 x + 87 ⇒ 40 x − 33 = 87 ⇒ 40 x = 120 ⇒ x = 3
b)
12( x − 1) 5(2 x − 1) 4(3 x − 2) 8 x + 1 48( x − 1) + 25(2 x − 1) 16(3 x − 2) + 8 x + 1
+
=
+
⇒
=
⇒
5
4
5
20
20
20
48 x − 48 + 50 x − 25 = 48 x − 32 + 8 x + 1 ⇒ 98 x − 73 = 56 x − 31 ⇒ 42 x = 42 ⇒ x = 1
142
c)
3( x − 7) 2 x − 8 5
27( x − 7) 4(2 x − 8) − 5
=
− ⇒
=
⇒ 27 x − 189 = 8 x − 32 − 5 ⇒
4
9
36
36
36
152
⇒ x=8
27 x − 8 x = 189 − 37 ⇒ 19 x = 152 ⇒ x =
19
d)
7 x − 5 5(3 x − 2) 7 x 37
7 x − 5 + 15(3 x − 2) 28 x + 37
+
=
+
⇒
=
⇒
12
4
3 12
12
12
7 x − 5 + 45 x − 30 = 28 x + 37 ⇒ 52 x − 35 = 28 x + 37 ⇒ 52 x − 28 x = 35 + 37 ⇒
72
⇒ 24 x = 72 ⇒ x =
⇒ x=3
24
28.
a ) x 2 − 42 = 7 ⇒ x 2 = 42 + 7 ⇒ x 2 = 49 ⇒ x = ± 7
b ) 2 x 2 − 92 = 36 ⇒ x 2 − 46 = 18 ⇒ x 2 = 46 + 18 ⇒ x 2 = 64 ⇒ x = ± 8
c ) x 2 − 25 = 0 ⇒ x 2 = 25 ⇒ x = ±5
d ) 2 x 2 − 15 = 12 − x 2 ⇒ 2 x 2 + x 2 = 15 + 12 ⇒ 3 x 2 = 27 ⇒ x 2 = 9 ⇒ x = ± 3
29.
⎧x = 0
a ) x 2 − 3 x = 0 ⇒ x ( x − 3) = 0 ⇒ ⎨
⎩x − 3 = 0 ⇒ x = 3
⎧x = 0
b ) x2 − 6x = 0 ⇒ x ( x − 6) = 0 ⇒ ⎨
⎩x − 6 = 0 ⇒ x = 6
⎧x = 0
⎪
c ) 2x − 7x = 0 ⇒ x (2x − 7) = 0 ⇒ ⎨
7
⎪⎩2 x − 7 = 0 ⇒ 2 x = 7 ⇒ x = 2
⎧x = 0
⎪
2
d ) 8 x − 5 x = 0 ⇒ x (8 x − 5 ) = 0 ⇒ ⎨
5
⎪⎩8 x − 5 = 0 ⇒ 8 x = 5 ⇒ x = 8
2
143
30.
a) 4
b )
20
35
155
3
16
5
175
25
0
13
5
0
35
25
0
35
0
13
0
0
25
13
52
144
31.
625
⇒ x 2 = 25 ⇒ x = ±5
25
252
b ) 63 x 2 − 252 = 0 ⇒ 63 x 2 = 252 ⇒ x 2 =
⇒ x 2 = 4 ⇒ x = ±2
63
65
c ) 13 x 2 − 65 = 0 ⇒ 13 x 2 = 65 ⇒ x 2 =
⇒ x2 = 5 ⇒ x = ± 5
13
289
d ) 17 x 2 − 289 = 0 ⇒ 17 x 2 = 289 ⇒ x 2 =
⇒ x 2 = 17 ⇒ x = ± 17
17
a ) 25 x 2 − 625 = 0 ⇒ 25 x 2 = 625 ⇒ x 2 =
32.
⎧16 x = 0 ⇒ x = 0
a ) 16 x 2 − 48 x = 0 ⇒ 16 x ( x − 3) = 0 ⇒ ⎨
⎩x − 3 = 0 ⇒ x = 3
⎧2
⎪⎪ 3 x = 0 ⇒ x = 0
2 2 8
2 ⎛
4⎞
b) x −
x = 0 ⇒ x⎜ x − ⎟ = 0 ⇒ ⎨
3
27
3 ⎝
9⎠
⎪x − 4 = 0 ⇒ x = 4
⎪⎩ 9
9
⎧5
⎪⎪ 3 x = 0 ⇒ x = 0
5 2 3125
5 ⎛
625 ⎞
c) x −
x = 0 ⇒ x⎜ x −
⎟ = 0 ⇒ ⎨ 625
625
3
243
3 ⎝
81 ⎠
⎪x −
=0⇒ x=
⎪⎩
81
81
⎧0 '3 x = 0 ⇒ x = 0
d ) 0 '3x 2 − 2 '7 x = 0 ⇒ 0 '3x ( x − 9 ) = 0 ⇒ ⎨
⎩x − 9 = 0 ⇒ x = 9
33.
a ) ( 5x − 8)( 5x + 8) = 36 ⇒ 25x 2 − 64 = 36 ⇒ 25x 2 = 100 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = ±2
b ) ( x − 6 )( x + 6 ) = −9 ⇒ x 2 − 36 = −9 ⇒ x 2 = 27 ⇒ x = ± 27
c)
2
( 2 x + 3) = 36 ⇒ 4 x 2 + 12 x + 9 = 36 ⇒ 4 x 2 + 12 x − 27 = 0 ⇒
⎧ −12 + 24 12 3
=
=
−12 ± 144 + 432 −12 ± 576 −12 ± 24 ⎪⎪
8
8 2
⇒x=
=
=
=⎨
8
8
8
⎪ −12 − 24 = − 36 = − 9
⎪⎩
8
8
2
Otra solución. Tomando raíz cuadrada a ambos lados obtenemos:
2
2
3
3
6
6
2
2
3
9
3
2
9
2
145
d)
4
12
16
6
16
8
0
96
6
144
16
√4
2
6
16
2
2
96
6
6
2
2
2
2
128
8
2
4
2
0
4
2
Otra solución. Tomando raíz cuadrada a ambos lados obtenemos:
4
12 4
4
16
4
4
12
4
4
8
2
34 .
7 +1
⎧
x=
=4
⎪
7 ± 49 − 48 7 ± 1 7 ± 1 ⎪
2
2
a ) x − 7 x + 12 = 0 ⇒ x =
=
=
⇒⎨
2
2
2
⎪x = 7 −1 = 3
⎪⎩
2
b)
x 2 − 6 x + 13 = 2 x − 2 ⇒ x 2 − 8 x + 15 = 0 ⇒
c)
d)
e)
8+ 2
⎧
=5
x=
8 ± 64 − 60 8 ± 4 8 ± 2 ⎪⎪
2
⇒x=
=
=
⇒⎨
2
2
2
⎪x = 8 − 2 = 3
⎪⎩
2
x 2 − 14 x + 45 = 10 x − x 2 − 25 ⇒ 2 x 2 − 24 x + 70 = 0
24 + 4
⎧
=7
x=
⎪
24 ± 576 − 560 24 ± 16 24 ± 4 ⎪
4
⇒x=
=
=
⇒⎨
4
4
4
⎪ x = 24 − 4 = 5
⎪⎩
4
3 x 2 − 48 x = −189 ⇒ 3 x 2 − 48 x + 189 = 0
48 + 6
⎧
x=
=9
⎪
48 ± 2304 − 2268 48 ± 36 48 ± 6 ⎪
6
⇒x=
=
=
⇒⎨
6
6
6
⎪ x = 48 − 6 = 7
⎪⎩
6
6 x 2 − 10 x − 23 = 2 x 2 − 30 x + 33 ⇒ 4 x 2 + 20 x − 56 = 0 ⇒ x 2 + 5 x − 14 = 0
−5 + 9
⎧
x=
=2
⎪
−5 ± 25 + 56 −5 ± 81 −5 ± 9 ⎪
2
⇒x=
=
=
⇒⎨
2
2
2
⎪ x = −5 − 9 = − 7
⎪⎩
2
146
f)
x 2 − 3 x − 40 = 15 x − 72 ⇒ x 2 − 18 x + 32 = 0 ⇒
18 + 14
⎧
= 16
x=
⎪
18 ± 324 − 128 18 ± 196 18 ± 14 ⎪
2
⇒x=
=
=
⇒⎨
2
2
2
⎪ x = 18 − 14 = 2
⎪⎩
2
35.
a ) 4 x2 − 1 = 0 ⇒ 4 x2 = 1 ⇒ x2 =
b)
1
1
1
⇒x=±
⇒x=±
4
4
2
1
1
x − = 0 ⇒ 12 x 2 + x − 1 = 0 ⇒
12
12
⎧ −1 + 7 6 1
=
=
−1 ± 1 + 48 −1 ± 7 ⎪⎪ 24
24 4
⇒x=
=
=⎨
24
24
⎪ −1 − 7 = − 8 = − 1
⎪⎩ 24
24
3
⎧4 + 6
⎪⎪ 10 = 1
4
16
20
4
36
±
+
±
2
c ) 5x − 4x −1 = 0 ⇒ x =
=
=⎨
10
10
⎪4 − 6 = − 1
⎪⎩ 10
5
1
⎧ −4 + 2
=−
⎪
−4 ± 16 − 12 −4 ± 4 ⎪ 6
3
d ) 3x 2 + 4 x + 1 = 0 ⇒ x =
=
=⎨
6
6
⎪ −4 − 2 = − 1
⎪⎩ 6
36.
⎧ −2 + 12
=5
⎪
−2 ± 4 + 140 −2 ± 144 ⎪ 2
a ) x 2 + 2 x − 35 = 0 ⇒ x =
=
=⎨
2
2
⎪ −2 − 12 = −7
⎪⎩ 2
x2 +
⎧5 + 7
⎪⎪ 2 = 6
±
+
±
5
25
24
5
49
2
b ) x − 5x − 6 = 0 ⇒ x =
=
=⎨
2
2
⎪ 5 − 7 = −1
⎪⎩ 2
⎧ 2 + 16
=9
2 ± 4 + 252 2 ± 256 ⎪⎪ 2
2
c ) x − 2 x − 63 = 0 ⇒ x =
=
=⎨
2
2
⎪ 2 − 16 = −7
⎪⎩ 2
⎧ −11 + 31 20 5
=
=
−11 ± 121 + 840 −11 ± 961 ⎪⎪ 12
12
3
2
d ) 6 x + 11x − 35 = 0 ⇒ x =
=
=⎨
12
12
⎪ −11 − 31 = − 42 = − 7
⎪⎩ 12
12
2
147
37.
a)
b)
1
1
x2 − x − = 0 ⇒ 6 x2 − x − 1 = 0 ⇒
6
6
⎧1 + 5 1
=
1 ± 1 + 24 1 ± 5 ⎪⎪ 12
2
⇒x=
=
=⎨
4
1
12
12 ⎪1 − 5
=− =−
⎪⎩ 12
12
3
1
1
6 x 2 − x − = 0 ⇒ 72 x 2 − 6 x − 1 = 0 ⇒
2
12
⎧ 6 + 18 24 1
=
=
6 ± 36 + 288 6 ± 324 ⎪⎪ 144 144 6
⇒x=
=
=⎨
144
144
⎪ 6 − 18 = − 12 = − 1
⎪⎩ 144
144
12
⎧ −35 + 37 2 1
=
=
−35 ± 1225 + 144 −35 ± 1369 ⎪⎪ 12
12
6
2
c ) 6 x + 35 x − 6 = 0 ⇒ x =
=
=⎨
12
12
⎪ −35 − 37 = − 72 = −6
⎪⎩ 12
12
⎧ −8 + 10 2 1
= =
−8 ± 64 + 36 −8 ± 100 ⎪⎪ 6
6 3
2
d ) 3x + 8 x − 3 = 0 ⇒ x =
=
=⎨
6
6
⎪ −8 − 10 = − 18 = −3
⎪⎩ 6
6
38.
⎧ 3 + 7 10 1
=
=
⎪
3
±
9
+
40
3
±
49
⎪ 20
20
2
2
a ) 10 x − 3 x − 1 = 0 ⇒ x =
=
=⎨
20
20
⎪3 − 7 = − 4 = − 1
⎪⎩ 20
20
5
⎧12 + 8
=5
⎪
12 ± 144 − 80 12 ± 64 ⎪ 4
2
b ) 2 x − 12 x + 10 = 0 ⇒ x =
=
=⎨
4
4
⎪12 − 8 = 1
⎪⎩ 4
1
⎧ −5 + 1 −4
=
=−
⎪
−5 ± 25 − 24 −5 ± 1 ⎪ 12
12
3
c ) 6 x2 + 5x + 1 = 0 ⇒ x =
=
=⎨
12
12
⎪ −5 − 1 = − 6 = − 1
⎪⎩ 12
12
2
⎧ 2 + 8 10
⎪⎪ 2 = 2 = 5
2
4
60
2
64
±
+
±
d ) x 2 − 2 x = 15 ⇒ x 2 − 2 x − 15 = 0 ⇒ x =
=
=⎨
2
2
⎪ 2 − 8 = − 6 = −3
⎪⎩ 2
2
39 .
a ) Δ = 36 − 36 = 0 ⇒ Δ = 0 ⇒ Solución única ( Raíz doble)
148
b ) Δ = 36 + 36 = 72 ⇒ Δ > 0 ⇒ La ecuación posee dos raíces reales y distintas
c ) Δ = 36 − 72 = −36 ⇒ Δ < 0 ⇒ La ecuación no posee solución real
d ) Δ = 25 − 24 = 1 ⇒ Δ > 0 ⇒ La ecuación posee dos raíces reales y distintas
40.
a ) Δ = 49 − 400 = −351 ⇒ Δ < 0 ⇒ La ecuación no posee solución real
b ) Δ = 100 − 100 = 0 ⇒ Δ = 0 ⇒ Solución única ( Raíz doble)
c ) Δ = 100 + 100 = 200 ⇒ Δ > 0 ⇒ La ecuación posee dos raíces reales y distintas
d ) Δ = 49 − 40 = 9 ⇒ Δ > 0 ⇒ La ecuación posee dos raíces reales y distintas
41.
a ) Δ = 25 + 24 = 49 ⇒ Δ > 0 ⇒ La ecuación posee dos raíces reales y distintas
b ) Δ = 9 + 16 = 25 ⇒ Δ > 0 ⇒ La ecuación posee dos raíces reales y distintas
c ) Δ = 25 − 24 = 1 ⇒ Δ > 0 ⇒ La ecuación posee dos raíces reales y distintas
d ) Δ = 9 − 16 = −7 ⇒ Δ < 0 ⇒ La ecuación no posee solución real
42.
a ) Δ = 9 − 16 = −7 ⇒ Δ < 0 ⇒ La ecuación no posee solución real
b ) Δ = 0 − 64 = −64 ⇒ Δ < 0 ⇒ La ecuación no posee solución real
c ) Δ = 4 − 4 = 0 ⇒ Δ = 0 ⇒ Solución única ( Raíz doble)
d ) Δ = 1 + 25 = 26 ⇒ Δ > 0 ⇒ La ecuación posee dos raíces reales y distintas
43.
a ) Δ = 81 − 36 = 45 ⇒ Δ > 0 ⇒ La ecuación posee dos raíces reales y distintas
b ) Δ = 0 + 324 = 324 ⇒ Δ > 0 ⇒ La ecuación posee dos raíces reales y distintas
c ) Δ = 100 − 100 = 0 ⇒ Δ = 0 ⇒ Solución única ( Raíz doble)
d ) Δ = 64 − 60 = 4 ⇒ Δ > 0 ⇒ La ecuación posee dos raíces reales y distintas
44.
2
a ) x 2 − 10 x + 25 = 0 ⇒ ( x − 5 ) = 0 ⇒ x = 5
2
b ) x2 − 7 x +
49
7⎞
7
⎛
=0⇒⎜x− ⎟ =0⇒ x =
4
2⎠
2
⎝
c ) 4 x2 − x +
1
1⎞
1
1
1
⎛
= 0 ⇒ ⎜ 2x − ⎟ = 0 ⇒ 2x − = 0 ⇒ 2x = ⇒ x =
16
4⎠
4
4
8
⎝
d ) 9x2 −
2
2
4
4
2⎞
2
2
2
⎛
x + = 0 ⇒ ⎜ 3x − ⎟ = 0 ⇒ 3x − = 0 ⇒ 3x = ⇒ x =
3
81
9⎠
9
9
27
⎝
45.
⎧x − 7 = 0 ⇒ x = 7
a ) 49 x 2 − 2401 = 0 ⇒ x 2 − 49 = 0 ⇒ ( x − 7 )·( x + 7 ) = 0 ⇒ ⎨
⎩ x + 7 = 0 ⇒ x = −7
5
⎧
2x − 5 = 0 ⇒ 2x = 5 ⇒ x =
⎪
⎪
2
b ) 4 x 2 − 25 = 0 ⇒ ( 2 x − 5 )·( 2 x + 5 ) = 0 ⇒ ⎨
⎪ 2 x + 5 = 0 ⇒ 2 x = −5 ⇒ x = − 5
⎪⎩
2
149
2
49
7⎞
7
7
7
⎛
c ) 9 x − 14 x +
= 0 ⇒ ⎜ 3x − ⎟ = 0 ⇒ 3x − = 0 ⇒ 3x = ⇒ x =
9
3⎠
3
3
9
⎝
2
2
16 2
4
4
27
⎛4
⎞
d)
x − 24 x + 81 = 0 ⇒ ⎜ x − 9 ⎟ = 0 ⇒ x − 9 = 0 ⇒ x = 9 ⇒ x =
9
3
3
4
⎝3
⎠
150
46.
Sea x el número buscado ⇒ x + 39 = 87 ⇒ x = 87 − 39 ⇒ x = 48
47.
Sean los números buscados: x – 2, x, x + 2
x − 2 + x + x + 2 = 54 ⇒ 3x = 54 ⇒ x = 18 ⇒ Los números buscados son:
x – 2 = 16, x = 18 y x + 2 = 20
48.
Sean los números buscados: x – 1 , x + 1 , x + 3
x − 1 + x + 1 + x + 3 = 81 ⇒ 3x + 3 = 81 ⇒ 3x = 78 ⇒ x = 26 ⇒ Los números buscados
son: x – 1 = 25 , x + 1 = 27 , x + 3 = 29
49.
Sean x y x + 1 los números buscados.
5x + 3 ( x + 1) = 19 ⇒ 5x + 3x + 3 = 19 ⇒ 8x = 16 ⇒ x = 2
Los números buscados son 2 y 3.
50.
Sean x, x + 2 los números buscados.
−2 ± 4 +10400 −2 ± 10404 −2 ±102 ⎧50
=
=
=⎨
2
2
2
⎩−52
Los números buscados son: 50 y 52 , o bien , - 52 y – 50
x ( x + 2) = 2600 ⇒ x2 + 2x − 2600 = 0 ⇒ x =
51.
Sea x el número buscado.
x 2 + 1 53
1 53
⇒
=
⇒ 14 x 2 − 53 x + 14 = 0 ⇒
x+ =
x 14
x
14
⎧7
53 ± 2809 − 784 53 ± 2025 53 ± 45 ⎪⎪ 2
x=
=
=
=⎨
28
28
28
⎪2
⎪⎩ 7
Aparecen dos números que cumplen las condiciones del problema:
2
7
y
7
2
52.
Los números buscados son x y 82 - x . Como la diferencia de sus cuadrados es 1476
tenemos la siguiente ecuación:
x 2 − ( 82 − x ) = 1476 ⇒ x 2 − ( x 2 − 164 x + 6724 ) = 1476 ⇒ 164 x = 8200 ⇒ x = 50
2
Los números buscados son 50 y 32.
53.
Sean x los años del mayor.
3x + 2 ( x − 1) = 103 ⇒ 3x + 2 x − 2 = 103 ⇒ 5x = 105 ⇒ x = 21
Las edades de los hermanos son 21 y 20 años respectivamente
151
54.
Sea x la edad que tiene Fátima actualmente. Planteamos el problema mediante la
siguiente tabla:
Hoy
Dentro de 2 años
Alberta
x+4
x+6
Fátima
x
x+2
Dentro de dos años la edad de Alberta será el doble que la de Fátima. Esto se traduce al
lenguaje algebraico mediante la siguiente ecuación:
x + 6 = 2 ( x + 2) ⇒ x + 6 = 2 x + 4 ⇒ x = 2
La edad de Fátima es de 2 años y la de Alberta de 6 años.
55.
Sea x la edad del hijo menor.
3 Edad Mayor + 2 Edad Menor = Edad del Padre.
Sea x la edad del menor.
3( x + 3) + 2 x = 34 ⇒ 3 x + 9 + 2 x = 34 ⇒ 5 x = 25 ⇒ x = 5
El menor tiene 5 años y el mayor tiene 8 años.
56.
Vino bueno Vino calidad inferior Mezcla
8
4
5 € / litro
120 - x
120 Litros
x
8x + 4 (120 − x ) = 5·120 ⇒ 8x + 480 − 4 x = 600 ⇒ 4 x = 120 ⇒ x = 30
Así que hemos mezclado 30 litros de vino bueno con 90 litros de vino de calidad
inferior.
57.
Supongamos que el primer obrero tarda x horas en hacer el trabajo sólo. Entonces el
segundo obrero tardará x + 15 horas en realizarlo sólo. Como juntos tardan 10 horas,
planteamos el problema por reducción a la unidad.
La cantidad de trabajo que hace el primer obrero en una hora, mas la cantidad de trabajo
que hace el segundo obrero en una hora, es la cantidad de trabajo que realizan los dos
obreros en una hora. Esto se traduce al lenguaje algebraico con la siguiente ecuación:
x + 15 + x 1
1
1
1
2 x + 15
1
+
= ⇒
= ⇒
= ⇒ 20 x + 150 = x ( x + 15 ) ⇒
x x + 15 10
x ( x + 15 ) 10
x ( x + 15 ) 10
⇒ 20 x + 150 = x 2 + 15 x ⇒ x 2 + 15 x − 20 x − 150 = 0 ⇒
5 ± 25 + 600 5 ± 625 5 ± 25 ⎧15
=
=
=⎨
2
2
2
⎩−10
Desechamos la solución x = -10 porque no tiene sentido.
Así que el primer obrero realiza el trabajo en 15 horas y el segundo en 30 horas.
⇒ x 2 − 5 x − 150 = 0 ⇒ x =
152
58.
Primer pintor
x
Segundo pintor Juntos
x- 6
4
1
x
1
x−6
1
4
Horas que tardan en realizar
el trabajo
Trabajo realizado en 1 hora
La ecuación es la siguiente:
1
1
1
x−6+ x 1
2x − 6
1
+
= ⇒
= ⇒
= ⇒ 8 x − 24 = x 2 − 6 x ⇒
x x−6 4
x ( x − 6) 4
x ( x − 6) 4
14 ± 196 − 96 14 ± 100 14 ± 10 ⎧12
=
=
=⎨
2
2
2
⎩2
La solución x = 2 no tiene sentido en este problema, ya que el segundo pintor no puede
tardar - 4 horas en realizar el trabajo.
Solución: 12 horas el primer pintor y 6 horas el segundo pintor.
⇒ x 2 − 14 x + 24 = 0 ⇒ x =
59.
Natural
x + 0’8
9
9 ( x + 80 )
Torrefacto
€ / kg
x
2
kilos
2x
Gasto Total
9 ( x + 0'8) + 2 x = 31'4 ⇒ 9 x + 7'2 + 2 x = 31'4 ⇒ 11x = 24'2 ⇒ x = 2'2
El café torrefacto cuesta 2’2 €/ kg y el café natural cuesta 3 € / kg
60.
Semidesnatada Entera Mezcla
0’75
0’9
0’85 € / litro
12 – x
12
litros
x
12
0 75
09
9
0 15
12 0 85
10 2
9
0 15
0 75
12
09
10 2
8
La leche entera cuesta 8 € /litro y la leche semidesnatada cuesta 4 € / litro
61.
Sea x la cantidad de horas que tarda el primer grifo en llenar el depósito. El segundo
grifo tardará x + 8 horas.
153
El problema se resuelve planteando la cantidad de depósito que se llena en una hora.
“La cantidad de depósito que llena el primer grifo en una hora, mas la cantidad de
depósito que llena el segundo depósito en una hora es la cantidad de depósito que llenan
los dos grifos en una hora”
Algebraicamente se traduce en:
1
1
1
x +8+ x 1
2x + 8
1
+
= ⇒
= ⇒
= ⇒ 6 x + 24 = x 2 + 8 x ⇒
x x +8 3
x ( x + 8) 3
x ( x + 8) 3
−2 ± 4 + 96 −2 ± 10 ⎧4
=
=⎨
2
2
⎩−6
El primer grifo tarda 4 horas y el segundo grifo tarda 12 horas en llenar el depósito.
⇒ x 2 + 2 x − 24 = 0 ⇒ x =
62.
Sea x el número de naranjas que compró. Ordenamos los datos en la siguiente tabla:
Naranja buena Naranja calidad inferio
7500 + x
x
Kilos
€ / kg
€
7500
7500
€/kg Naranja buena - €/kg Naranja calidad inferior = 0’05
-
= 0’05⇒
=0’05⇒ 0’05
=
.
=
.
.
.
.
+ 375 x -56250000 =0 ⇒
√
37500
30000
No tiene sentido la solución -37500. Por lo tanto compró 30 000 kg de naranjas.
Pagó el kilo a
0 25 €
Si hubiera aceptado la oferta hubiera pagado las naranjas a
= 0´2 €/kg
63.
Sea x cm la longitud del lado del cuadrado inicialmente.
Si aumentamos en 2 cm la longitud del lado, la superficie del cuadrado resultante es
2
( x + 2 ) . Esta superficie es 24 cm2 mayor que la superficie inicial x2 del cuadrado.
Entonces la ecuación resultante es:
2
( x + 2 ) = x 2 + 24 ⇒ x 2 + 4 x + 4 = x 2 + 24 ⇒ 4 x + 4 = 24 ⇒ 4 x = 20 ⇒ x = 5
El cuadrado inicial medía 5 cm y después del aumento mide 7 cm.
154
64.
x cm
4
x + 2 cm
Como el área del triángulo es 4 cm2
( x + 2 ) x = 4 ⇒ x 2 + 2 x − 8 = 0 ⇒ x = −2 ±
4 + 32 −2 ± 6 ⎧ 2
=
=⎨
2
2
2
⎩ −4
El rectángulo mide 4 cm de largo por 2 cm de ancho.
65.
96
x - 10 m
x m
( x − 10 ) x = 96 ⇒ x 2 − 10 x − 96 = 0 ⇒ x =
10 ± 100 + 384 10 ± 484 10 ± 22 ⎧16
=
=
=⎨
2
2
2
⎩ −6
La solución – 6 no tiene sentido.
Las medidas de la parcela son 16 metros de largo y 6 metros de ancho.
66.
25 cm
x - 17 cm
x cm
Aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos:
2
252 = x 2 + ( x − 17 ) ⇒ 625 = x 2 + x 2 − 34 x + 289 ⇒ 2 x 2 − 34 x − 336 = 0
17 ± 289 + 672 17 ± 961 17 ± 31 ⎧ 24
=
=
=⎨
2
2
2
⎩ −7
La solución – 7 no tiene sentido.
Las medidas del rectángulo son 24 m de largo y 7 m de ancho. Su área es de 168 m2.
⇒ x 2 − 17 x − 168 = 0 ⇒ x =
67.
20 x 2 + 15 x = 25025 ⇒ 20 x 2 + 15 x − 25025 = 0 ⇒ 4 x 2 + 3x − 5005 = 0 ⇒
⎧35
−3 ± 9 + 80080 −3 ± 80089 −3 ± 283 ⎪
⇒x=
=
=
= ⎨ 143
8
8
8
⎪⎩− 4
La hora de trabajo cuesta 35 euros.
155
68.
Número de alumnos
Coste/ alumno
x
296
x+3
296
3
coste inicial – 0’6 = Coste final
296
296
296 296
296( x + 3) − 296 x
− 0'6 =
⇒
−
= 0 '6 ⇒
= 0'6 ⇒
x
x+3
x
x+3
x( x + 3)
296 x + 888 − 296 x = 0 '6 x 2 + 1'8 x ⇒ 0 '6 x 2 + 1'8 x − 888 = 0 ⇒
−1'8 ± 3'24 + 2131' 2 −1'8 ± 46.2 ⎧37
=
=⎨
1'2
1' 2
⎩−40
Al principio iban 37 alumnos a la excursión.
x=
69.
360
€a
x
cada uno. Al abandonar 2 comensales el restaurante, le corresponde abonar a cada uno
360
de los restantes comensales
€. Dado que la diferencia entre ambas cantidades es
x−2
2 €, resulta la siguiente ecuación:
Sea x el número de comensales. Como la factura es de 360 €, le corresponde
156
360 x − 360 ( x − 2 )
360 360
−
=2⇒
= 2 ⇒ 2 x 2 − 4 x − 720 = 0
x−2
x
x ( x − 2)
4 ± 16 + 5760 4 ± 5776 4 ± 76 ⎧ 20
=
=
=⎨
4
4
4
⎩ −18
La respuesta – 18 no tiene sentido.
En la mesa se sentaron 20 comensales.
x=
70.
x cm
x + 2 cm
Sea x la longitud del lado del cuadrado. La ecuación resultante es:
2
8
4
Por lo tanto, el cuadrado inicial mide 4 cm de lado.
2
8
71.
Sea x el tiempo en horas que tarda el segundo corredor en alcanzar al primero. En ese
tiempo el primero recorre 40x km y el segundo recorre 45x km . Además el segundo
recorre 3 km más que el primero. Así la ecuación es:
3
3 = 45 x − 40 x ⇒ 5 x = 3 ⇒ x = .
5
3
de hora, es decir 36 minutos, en alcanzar al primer
El segundo corredor tardará
5
corredor. En ese tiempo el primer corredor ha recorrido 40
24 km y el segundo
corredor ha recorrido 45
27 km . La carrera la gana el segundo corredor.
72.
Sea x el número de kg de pescado que lleva el barco en su bodega
1
35000
7
210000
30000
6
Solución: 30000 kg = 30 Tm de pescado lleva en su bodega antes de la parada en el
Índico
157
AUTOEVALUACIÓN PAG. 99
1.
a) 2 x − 5 = 3x − 12 ⇒ x = 7
b)
5 ( x − 1) + 7 ( x − 3) = 8 ( 2 x − 7 ) ⇒ 5 x − 5 + 7 x − 21 = 16 x − 56 ⇒
⇒ 12 x − 26 = 16 x − 56 ⇒ 4 x = 30 ⇒ x =
2.
a) 4 x − 7 + 9( x − 1) = 8 x − 5 −
b)
30
15
⇒x=
4
2
15
11
x
⇒ 13 x − 16 = x − 5 ⇒ x = 11 ⇒ x = 2
2
2
2
3x − 5 8 x − 6 7 x − 6 9 x − 7
+
=
−
2
4
2
2
6 x − 10 + 8 x − 6 = 14 x − 12 − 18 x + 14
14 x − 16 = −4 x + 2
18 x = 18
x =1
3.
a) 5 x 2 − 40 = 4 x 2 + 41 ⇒ x 2 = 81 ⇒ x = ± 9
⎧x = 0
b) 16 x 2 − 32 x = 0 ⇒ 16 x ( x − 2 ) = 0 ⇒ ⎨
⎩x = 2
158
4.
⎧3
−5 ± 25 + 96 −5 ± 11 ⎪
=
= ⎨2
a) 2 x + 5 x − 12 = 0 ⇒ x =
4
4
⎪⎩−4
2
⎧ 16 2
=
11 ± 121 − 96 11 ± 5 ⎪⎪ 24 3
2
b) 12 x − 11x + 2 = 0 ⇒ x =
=
=⎨
24
24
⎪6 =1
⎪⎩ 24 4
5.
1 ± 529 1 ± 23 ⎧12
=
=⎨
( x − 1) x = 132 ⇒ x 2 − x − 132 = 0 ⇒ x =
2
2
⎩ −11
Los números buscados son 11 y 12, o bien, -12 y -11.
6.
a) Δ = 4 − 8 = −4 ⇒ Δ < 0 ⇒ La ecuación no posee raíces reales
b) Δ = 4 + 8 = 12 ⇒ Δ > 0 ⇒ La ecuación posee dos raíces reales y distintas
c) Δ = 16 − 24 = −8 ⇒ Δ < 0 ⇒ La ecuación no posee raíces reales
7.
Sea x el número de chicas que viaja en el transporte escolar. Los chicos son 2x.
x + 2 x = 51 ⇒ 3x = 51 ⇒ x = 17
En el trasporte viajan 17 chicas y 34 chicos.
8.
Sean x- 1 y x los números buscados.
2
x 2 − ( x − 1) = 31 ⇒ x 2 − x 2 + 2 x − 1 = 31 ⇒ 2 x = 32 ⇒ x = 16
Los números buscados son 15 y 16
9.
Sea x el número de kilos de pintura que utiliza para pintar la habitación inicialmente.
Precio inicial Oferta
Kilos
12 + x
x
120
120
€ / kg
12
€
120
120
La diferencia entre la oferta y el precio inicial es de 2’25 €/kg. Se plantea la siguiente
ecuación:
120 120
120( x + 12) − 120 x
−
= 2 '25 ⇒
= 2 '25 ⇒ 1440 = 2 ' 25 x 2 + 27 x ⇒
x
x + 12
x( x + 12)
−27 ± 729 + 12960 −27 ± 13689 −27 ± 117 ⎧20
=
=⎨
4 '5
4 '5
4 '5
⎩−32
Inicialmente se comprarían 20 kilos de pintura.
Aprovechando la oferta, se podría adquirir 32 kilos de pintura.
⇒ 2 '25 x 2 + 27 x − 1440 = 0 ⇒ x =
159
10.
Si el pantalón cuesta x €, la camisa cuesta
4
x €.
9
4
La ecuación resultante es: x x = 3600 ⇒ x 2 = 8100 ⇒ x = 90
9
El pantalón cuesta 90 € y la camisa 40 €.
OLIMPIADA MATEMÁTICA PAG. 101
1. Los dos niños cruzan el río, quedando uno de ellos en la orilla opuesta mientras que
el otro vuelve con la barquita. A continuación, un adulto cruza al otro lado y el niño
que está en la orilla opuesta vuelve con la barquita.
Repetiremos este argumento de doble ida y doble vuelta tantas veces como adultos
hay.
2. Consideremos la distribución:
A B C
D E F
G H
I
Sea S la suma:
S = ABC + DEF + GHI + ADG + BEH + CFI
S =100(A + D + G + A + B + C) + 10(B + E + H + D + E + F) + (C + F + I + G + H
+ I)
S = 200A + 110B + 101C + 110D + 20E + 11F + 101G + 11H + 2I
S = (9 · 22 + 2 )A + (9 · 12 + 2)B + (9 · 11 + 2)C + (9 · 12 + 2)D +
+ (9 · 2 + 2)E + (9 + 2)F + (9 · 11 + 2)G + (9 + 2)H + (9 · 0 + 2)
160
S = 9 + 2(A + B + C + D + E + F + G + H + I )
S = 9 + 2 ⋅ 45 = 9 + 2 ⋅ 5 ⋅ 9
S = 9 + 9
S = 9
Como 2001 no es múltiplo de 9 no existe ninguna distribución para la que la suma
indicada tome el valor dado.
3.
1
1
1
3n 2 + 6n + 2
+
+
=
n n + 1 n + 2 n ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2)
Para que una fracción origine un número decimal periódico mixto, una vez reducida
debe tener en el denominador algún factor primo del conjunto {2, 5} y alguno que no
sea ni el 2 ni el 5.
La fracción anterior tiene en el denominador, al menos, un factor 2 más que el
numerador.
En efecto, si n es par entonces n = 2k, por tanto:
1
1
1
3n 2 + 6 n + 2
12k 2 + 12k + 2
6k 2 + 6k + 1
+
+
=
=
=
n n + 1 n + 2 n ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2) 2k ⋅ (2k + 1) ⋅ (2k + 2) 2k ⋅ (2k + 1) ⋅ (2k + 2)
El numerador es impar y el denominador es par. Si n es impar, n = 2k + 1.
1
1
1
3n 2 + 6n + 2
12k 2 + 24k + 11
+
+
=
=
n n + 1 n + 2 n ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2) (2k + 1) ⋅ (2k + 2) ⋅ (2k + 3)
El numerador es impar y el denominador es par.
En ambos casos el denominador tiene, al menos, un factor 2 que no está en el
numerador.
Además, la expresión
1
1
1
3n 2 + 6n + 2
+
+
=
n n + 1 n + 2 n ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2)
muestra que el numerador no contiene el factor primo 3 (da resto 2 al dividirlo entre
3), mientras el denominador al ser producto de tres números consecutivos es
múltiplo de 3.
4.
Paso 1:
Paso 2:
Paso 3:
161
UNIDAD 6. Sistemas de ecuaciones
ACTIVIDADES PAG. 104
1.
a ) ( x = - 4 , y = - 2 ) , ( x = 1 , y = 0 ) , ( x = 6 , y = 2 ) , ( x = 11 , y = 4 ) , ( x= 16 , y=6)
1
,y=-1),(x=4,y=5), (x=1
b)(x=-5,y=-7),(x=-2,y=-3),(x=2
,y=1)
2.
a ) grado 1
b ) grado 2
ACTIVIDADES PAG. 105
3.
a)
b)
Tienen la misma solución, por lo tanto, son equivalentes
162
ACTIVIDADES PAG. 106
4.
a)
⎧2 x + y = 7 ⇒ y = 7 − 2 x
⎨
⎩ x + 5 y = 17
x + 5 ( 7 − 2 x ) = 17
x + 35 − 10 x = 17
− 9 x = −18
x=2
y = 7 − 2x
y =7−4
y=3
b)
⎧ 2 x + 3 y = −4
⎨
⎩x − 2 y = 5 ⇒ x = 2 y + 5
2 ( 2 y + 5 ) + 3 y = −4
4 y + 10 + 3 y = −4
7 y = −14
y = −2
x = −4 + 5
x =1
c)
⎧ x − 5 y = 12 ⇒ x = 5 y + 12
⎨
⎩4 x + 3 y = 2
4 ( 5 y + 12 ) + 3 y = 2
20 y + 48 + 3 y = 2
23 y = −46
y = −2
x = −10 + 12
x=2
163
d)
⎧5 x − 3 y = 19
⎨
⎩2 x + y = 1 ⇒ y = 1 − 2 x
5 x − 3 (1 − 2 x ) = 19
5 x − 3 + 6 x = 19
11x = 22
x=2
y = 1− 4
y = −3
ACTIVIDADES PAG. 107
5.
a)
6 − 2x
⎧
⎪2 x + 5 y = 6 ⇒ y =
5
⎨
⎪⎩6 x − y = 2 ⇒ y = 6 x − 2
6 − 2x
= 6x − 2
5
6 − 2 x = 30 x − 10
32 x = 16
1
2
y = 6x − 2
y = 3− 2
x=
y =1
164
b)
⎧x + 2 y = 5 ⇒ x = 5 − 2 y
⎪
⎨
4 y + 10
⎪⎩3x − 4 y = 10 ⇒ x = 3
4 y + 10
= 5− 2y
3
4 y + 10 = 15 − 6 y
10 y = 5
5
10
1
y=
2
x = 5− 2y
y=
x = 5 −1
y=4
c)
⎧x + 3y = 2 ⇒ x = 2 − 3y
⎨
⎩x − 6 y = 5 ⇒ x = 5 + 6 y
5 + 6 y = 2 − 3y
9 y = −3
3
y=−
9
1
y=−
3
x = 2 − 3y
x = 2 +1
x=3
d)
7y − 4
⎧
⎪⎪2 x − 7 y = −4 ⇒ x = 2
⎨
⎪3x + 2 y = 19 ⇒ x = 19 − 2 y
⎪⎩
3
7 y − 4 19 − 2 y
=
2
3
21y − 12 = 38 − 4 y
25 y = 50
y=2
7y − 4
2
x=5
x=
165
ACTIVIDADES PAG. 108
6.
a)
⎧ − x + 2 y =−1
⎨
⎩ x + 5 y = 22
⎧x − 2 y = 1
⇒
⎨
⎩ x + 5 y = 22
___________________________
7 y = 21
y=3
x = 1+ 2 y
x=7
b)
⎧x + 2 y = 6
⇒
⎨
⎩2 x − y = 7
⎧ x + 2 y =6
⎨
⎩4 x − 2 y =14
___________________________
5 x = 20
x=4
y = 2x − 7
y =1
c)
⎧x − y = 4
⇒
⎨
⎩2 x − 5 y = 14
⎧ − 2 x + 2 y =−8
⎨
⎩ 2 x − 5 y =14
___________________________
− 3y = 6
y = −2
x = 4+ y
x=2
166
d)
⎧3 x + 5 y = 2
⇒
⎨
⎩4 x − 3 y = 7
⎧ 9 x + 15 y = 6
⎨
⎩ 20 x − 15 y = 35
___________________________
29 x = 41
x=
41
29
⎧ 12 x + 20 y =8
⎨
⎩ −12 x + 9 y =−21
___________________________
29 y = −13
y=−
13
29
ACTIVIDADES PAG. 109
7.
a)
b)
c)
167
ACTIVIDADES PAG. 110
8.
a)
⎧ x + 6y =1
⎧2( x + 3 y ) − x = 1
⎧2 x + 6 y − x = 1
⎪
⇒
⇒
⎨
⎨
⎨ − x − 5 y = −2
⎩ x − (2 x + 5 y ) = −2 ⎩ x − 2 x − 5 y = −2 ⎪ ___________________
⎩
y = −1
x + 6 y = 1 ⇒ x = 1− 6 y ⇒ x = 1+ 6 ⇒ x = 7
b)
⎧ x
⎧x
⎪− + y = 1
−
y
=
−
1
⎪⎪ 3
⎪ 3
⇒
⎨
⎨ x
⎪ x + 2 y = 11 ⎪
+ 2 y = 11
⎪⎩ 3
⎪ 3
⎩ ___________________
3 y = 12 ⇒ y =
12
⇒ y=4
3
⎧2
⎧x
1
−
y
=
−
⎪ 3 x − 2 y = −2
⎪⎪ 3
⎪
⇒⎨ x
⎨
+ 2 y = 11
⎪ x + 2 y = 11 ⎪
3
⎪⎩ 3
⎪⎩ _____________________
3
x =9⇒ x=9
3
c)
y −1
⎧
x
−
=4
⎧2 x − y + 1 = 8
⎪⎪
⎪⎧2 x − ( y − 1) = 8
2
⇒⎨
⇒⎨
⇒
⎨
2
1
x
y
−
+
3
6
2
2
24
x
y
−
+
+
=
3
2
2
1
24
x
y
−
+
+
=
(
)
(
)
⎩
⎪
⎪
+
=4 ⎩
⎪⎩ 2
3
⎧4 x − 2 y = 14
⎧2 x − y = 7
⎪
⇒⎨
⎨
⎩3x + 2 y = 28 ⎪3x + 2 y = 28
⎩ __________________
7 x = 42 ⇒ x = 6
2 x − y = 7 ⇒ 12 − y = 7 ⇒ y = 5
168
ACTIVIDADES PAG. 111
9.
Sean x e y los números buscados.
x + y = 57
⎧ x + y = 57 ⎪⎧
⇒
⎨
⎨ x − y = 15
⎩ x − y = 15
⎪⎩ _______________
2 x = 72 ⇒ x = 36
x − y = 15 ⇒ 36 − y = 15 ⇒ y = 21
10.
Sea x los euros que cuesta la caja de té jazmín e y los euros que cuesta la caja de té rojo:
2 x + 3 y = 14
⎧⎪
⎧2 x + 3 y = 14
⇒ ⎨ −15 x − 3 y = −46 '5
⎨
⎩5 x + y = 15'5 ⎪⎩ _____________________________
− 13 x = −32 '5 ⇒ x = 2 '5
5 x + y = 15'5 ⇒ y = 15'5 − 5 x ⇒ y = 15'5 − 12 '5 ⇒ y = 3
Cada cajita de té jazmín cuesta 2’5 € y de té rojo 3 €
11.
Sea x el número de monedas de 2 € e y el número de monedas de 50 céntimos de euro.
⎧−0 '5 x − 0 '5 y = −6
⎧ x + y = 12
⎪
⇒⎨
⎨
⎩2 x + 0 '5 y = 15 ⎪ 2 x + 0 '5 y = 15
⎩ _____________________________
1'5 x = 9 ⇒ x = 6
x + y = 12 ⇒ y = 12 − x ⇒ y = 12 − 6 ⇒ y = 6
Entrega 6 monedas de cada clase
169
DESAFÍO MATEMÁTICO PAG. 112
1.
Velocidad: 276
: 60
46
170
Distancia Madrid-Cuenca: 4′ 6
45 min
207 km
Distancia Cuenca-Valencia: 4′ 6
44 min
184 km
Distancia Cuenca-Albacete: 4′ 6
26 min
119′ 6 km
120 km
2.
Sea el tiempo en horas que tarda en llegar el AVE,
llegar el mercancías a su destino.
36
60
60
391
240
240
60
1
71
60
11
60
3
5
391
60
300
391
355
300
355
71
60
1h y 11 minutos
107
60
1
el AVE recorre
b)
47
60
1 hora y 47 minutos
240
h
284 km
km 107
h 107 km
h
60
Se cruzan a 107 km de Madrid ó 284 km de Valencia.
í
a)
3
5
240
3
5
el tiempo en horas que tarda en
: 60
3.
Distancia Madrid-Albacete: 207 + 120 = 327 km ;
Tiempo de llegada a Madrid del AVE procedente de Albacete:
1h 27 minutos
1h 37 minutos
Tiempo de llegada a Madrid del AVE procedente de Valencia:
a. El AVE que llega primero a Madrid es el procedente de Albacete.
b. El AVE procedente de Albacete llega a Madrid 5 minutos antes que el procedente
de Valencia.
c. Cuando se produce el encuentro entre el AVE procedente de Valencia y el
mercancías, el AVE lleva 1h y 11 minutos de trayecto. Todavía le queda:
1hora 37 minutos – 1hora 11 minutos = 26 minutos de trayecto.
171
En esos 26 minutos que emplea el Ave procedente de Valencia en llegar a Atocha, el
26 km
mercancías recorre: 60
Cuando el AVE procedente de Albacete llega a Atocha, el mercancías se encuentra a
60
87′ 2km de Madrid.
En el momento que el AVE procedente de Valencia llega a Atocha, el mercancías se
encuentra a 107 26 133 km de Madrid
Haciéndolo directamente, en el momento que el AVE procedente de Valencia llega a
Atocha, el mercancías se encuentra a 60 1
133 km de Madrid.
Como el AVE procedente de Albacete llega 5 minutos antes que el procedente de
Valencia, el mercancías circula 5 minutos menos que el AVE procedente de Valencia,
esto es 26 – 5 = 21 minutos más, desde el m omento que se produce el encuentro en
ese tiempo el mercancías recorre 60
21 km .
En el momento que el AVE procedente de Albacete llega a Atocha, el mercancías se
encuentra a 107 21 128 km de Madrid
Otra forma de verlo: Cuando el AVE de Albacete llega a Atocha, el mercancías lleva 2
horas y 8 minutos circulando =
horas.
En ese tiempo el mercancías ha recorrido 60
128 km.
4.
a. El tiempo de permanencia en la vía de ambos trenes es el mismo.
Sea
el espacio recorrido por el mercancías al salir de Cuenca, hasta que resulta
alcanzado por el AVE.
espacio recorrido por el AVE - espacio recorrido por el mercancías =
Sustituyendo en la ecuación de arriba, recordando que
207
330
60
207
270
207
horas
270
b. Distancia punto alcance a Cuenca: 60
, tenemos:
46 minutos
46 km.
Distancia punto alcance a Madrid: 207 46 253 km
(Directamente: espacio = velocidad · tiempo
330
253 km)
Distancia punto alcance a Valencia: 184 46 138 km
172
ACTIVIDADES FINALES PAG. 114
12.
a)
⎧x − 2 y = 2 ⇒ x = 2 y + 2
⎨
⎩3x − 7 y = 4
3x − 7 y = 4 ⇒ 3 ( 2 y + 2 ) − 7 y = 4 ⇒ 6 y + 6 − 7 y = 4 ⇒ y = 2
x = 2 y + 2 ⇒ x = 2·2 + 2 ⇒ x = 6
173
b)
⎧ x − y = −6 ⇒ x = y − 6
⎨
⎩5 x − y = 6
5 x − y = 6 ⇒ y = 5 x − 6 ⇒ y = 5 ( y − 6 ) − 6 ⇒ y = 5 y − 36 ⇒ 4 y = 36 ⇒ y = 9
x = y−6⇒ x = 9−6⇒ x = 3
c)
⎧5 x − 2 y = 4
⎨
⎩2 x + y = 7 ⇒ y = 7 − 2 x
5 x − 2 y = 4 ⇒ 5 x − 2 ( 7 − 2 x ) = 4 ⇒ 5 x − 14 + 4 x = 4 ⇒ 9 x = 18 ⇒ x = 2
y = 7 − 2 x ⇒ y = 7 − 2·2 ⇒ y = 3
d)
8−7y
⎧
⎪2 x + 7 y = 8 ⇒ x =
2
⎨
⎪⎩6 x − 2 y = 1
8−7y
− 2 y = 1 ⇒ 24 − 21y − 2 y = 1 ⇒ 23 y = 23 ⇒ y = 1
2
8−7y
8−7
1
x=
⇒x=
⇒ x=
2
2
2
6 x − 2 y = 1 ⇒ 6·
13.
a)
⎧2 x − y = 9 ⇒ y = 2 x − 9
⎨
⎩3 x − 2 y = 11
3 x − 2 y = 11 ⇒ 3 x − 2 ( 2 x − 9 ) = 11 ⇒ 3 x − 4 x + 18 = 11 ⇒ x = 7
y = 2 x − 9 ⇒ y = 14 − 9 ⇒ y = 5
b)
17 − 6 y
⎧
⎪5 x + 6 y = 17 ⇒ x =
5
⎨
⎪⎩15 x − 4 y = −4
17 − 6 y
5
15 x − 4 y = −4 ⇒ 15·
− 4 y = −4 ⇒ 51 − 18 y − 4 y = −4 ⇒ 22 y = 55 ⇒ y =
5
2
x=
17 − 6 y
17 − 15
2
⇒x=
⇒ x=
5
5
5
174
c)
⎧10 x + 6 y = 20
⎨
⎩5 x − y = −2 ⇒ y = 5 x + 2
10 x + 6 y = 20 ⇒ 5 x + 3 y = 10 ⇒ 5 x + 3 ( 5 x + 2 ) = 10 ⇒ 5 x + 15 x + 6 = 10 ⇒ 20 x = 4 ⇒ x =
1
5
1
y = 5 x + 2 ⇒ y = 5· + 2 ⇒ y = 3
5
d)
⎧3 x − y = 14 ⇒ y = 3 x − 14
⎨
⎩ x + y = 42
x + y = 42 ⇒ x + ( 3 x − 14 ) = 42 ⇒ 4 x = 56 ⇒ x = 14
y = 3 x − 14 ⇒ y = 3·14 − 14 ⇒ y = 28
14.
a)
⎧4 x − y = 7 ⇒ y = 4 x − 7
⎪
⎨
13 − x
⎪⎩ x + 2 y = 13 ⇒ y = 2
13 − x
= 4 x − 7 ⇒ 13 − x = 8 x − 14 ⇒ 9 x = 27 ⇒ x = 3
2
y = 4 x − 7 ⇒ y = 4·3 − 7 ⇒ y = 5
b)
⎧2 x + y = 33 ⇒ y = 33 − 2 x
⎪
⎨
44 − x
⎪⎩ x + 3 y = 44 ⇒ y = 3
44 − x
⇒ 99 − 6 x = 44 − x ⇒ 5 x = 55 ⇒ x = 11
3
y = 33 − 2 x ⇒ y = 33 − 2·11 ⇒ y = 11
33 − 2 x =
c)
⎧x − 7 y = 4 ⇒ x = 4 + 7 y
⎪
⎨
3 + 19 y
⎪⎩2 x − 19 y = 3 ⇒ x = 2
3 + 19 y
⇒ 8 + 14 y = 3 + 19 y ⇒ 5 = 5 y ⇒ y = 1
2
x = 4 + 7 y ⇒ x = 4 + 7·1 ⇒ x = 11
4+ 7y =
175
d)
⎧14 x + y = 51 ⇒ y = 51 − 14 x
⎨
⎩7 x + y = 50 ⇒ y = 50 − 7 x
50 − 7 x = 51 − 14 x ⇒ 7 x = 1 ⇒ x =
1
7
1
y = 50 − 7 x ⇒ y = 50 − 7· ⇒ y = 49
7
15.
a)
⎧2 x − y = 11 ⇒ y = 2 x − 11
⎪
⎨
3 x − 12
⎪⎩3 x − 2 y = 12 ⇒ y = 2
3 x − 12
= 2 x − 11 ⇒ 3 x − 12 = 4 x − 22 ⇒ − x = −10 ⇒ x = 10
2
y = 2 x − 11 ⇒ y = 2·10 − 11 ⇒ y = 9
b)
⎧2 x + y = 1 ⇒ y = 1 − 2 x
⎪
⎨
−5 x − 2
⎪⎩5 x + 2 y = −2 ⇒ y =
2
−5 x − 2
= 1 − 2 x ⇒ −5 x − 2 = 2 − 4 x ⇒ − x = 4 ⇒ x = −4
2
y = 1 − 2 x ⇒ y = 1 − 2·( −4 ) ⇒ y = 9
c)
⎧ x + 13 y = 14 ⇒ x = 14 − 13 y
⎪
⎨
29 − 39 y
⎪⎩2 x + 39 y = 29 ⇒ x =
2
29 − 39 y
1
= 14 − 13 y ⇒ 29 − 39 y = 28 − 26 y ⇒ −13 y = −1 ⇒ y =
2
13
1
x = 14 − 13 y ⇒ x = 14 − 13· ⇒ x = 13
13
176
d)
⎧x − 2 y = 4 ⇒ x = 4 + 2 y
⎪
⎨
7− y
⎪⎩ −2 x + y = 7 ⇒ x = −2
7− y
= 4 + 2 y ⇒ 7 − y = −8 − 4 y ⇒ 3 y = −15 ⇒ y = −5
−2
x = 4 + 2 y ⇒ x = 4 + 2·( −5 ) ⇒ x = −6
16.
a)
⎧ x − y =−2
⎨
⎩x+ y =4
⎧ x − y = −2
⇒
⎨
⎩x + y = 4
⎧− x + y = 2
⎨
⎩ x + y =4
___________________________
___________________________
2x = 2
2y = 6
x =1
y=3
b)
⎧ x + 2 y =10
⎨
⎩6 x − 2 y = 4
⎧ x + 2 y = 10
⇒
⎨
⎩3x − y = 2
⎧ − 3x − 6 y =−30
⎨
⎩ 3x − y = 2
___________________________
___________________________
7 x = 14
− 7 y = −28
x=2
c)
2
3
3
12
____________
15
y=4
2
2
3
3
2
24
__________________
3
21
7
d)
⎧5 x + 2 y = −5
⇒
⎨
⎩ x + 4 y = 17
⎧ −10 x − 4 y =10
⎨
⎩ x + 4 y =17
___________________________
− 9 x = 27
x = −3
⎧ 5 x + 2 y =− 5
⎨
⎩ − 5x − 20 y =−85
___________________________
− 18 y = −90
y=5
177
17.
a)
⎧3x + 4 y = 3
⇒
⎨
⎩4 x + 3 y = 18
⎧ − 9 x − 12 y =−9
⎨
⎩ 16 x + 12 y = 72
___________________________
7 x = 63
x=9
⎧ 12 x +16 y =12
⎨
⎩ − 12 x − 9 y =−54
___________________________
7 y = −42
y = −6
b)
⎧ 2 x + 6 y =14
⎨
⎩ 3x − 6 y = 6
⎧x + 3y = 7
⇒
⎨
⎩x − 2 y = 2
___________________________
⎧ − x − 3 y =−7
⎨
⎩ x −2 y = 2
___________________________
5 x = 20
− 5 y = −5
x=4
y =1
c)
⎧12 x + y = 13
⇒
⎨
⎩30 x − y = 1
⎧ 12 x + y =13
⎨
⎩ 30 x − y =1
___________________________
42 x = 14
x=
1
3
⎧− 360 x −30 y =−390
⎨
⎩ 360 x −12 y =1 2
___________________________
− 42 y = −378
y=9
d)
⎧x − 5y = 1
⇒
⎨
⎩ x + 4 y = 19
⎧ 4 x − 20 y = 4
⎨
⎩ 5 x + 20 y =95
___________________________
9 x = 99
x = 11
⎧ − x + 5 y =−1
⎨
⎩ x + 4 y =19
___________________________
9 y = 18
y=2
178
18.
a)
⎧−10 x − 2 y = −2
⎧5 x + y = 1
⎪
⇒⎨
⎨
⎩7 x + 2 y = 5 ⎪ 7 x + 2 y = 5
⎩ _____________________
− 3 x = 3 ⇒ x = −1
5 x + y = 1 ⇒ y = 1 − 5 x ⇒ y = 1 − 5·( −1) y = 6
b)
⎧3 x + 5 y = −4
⇒
⎨
⎩5 x + 3 y = 4
⎧
⎨
⎩
− 9 x − 15 y =12
25 x + 15 y = 20
___________________________
16 x = 32
x=2
⎧ − 15 x − 25 y = 20
⎨
⎩ 15 x + 9 y = 12
___________________________
− 16 y = 32
y = −2
c)
⎧3 x − 5 y = 1
⇒
⎨
⎩2 x − 5 y = 4
⎧ 3x − 5 y = 1
⎨
⎩ − 2 x + 5 y =−4
___________________________
x = −3
⎧ − 6 x +10 y =−2
⎨
⎩ 6 x − 15 y = 12
___________________________
− 5 y = 10
y = −2
d)
⎧25 x + y = 51
⇒
⎨
⎩ 5 x + y = 11
⎧
⎨
⎩
25 x + y = 51
− 5x − y =−11
___________________________
20 x = 40
x=2
⎧ 25x + y = 51
⎨
⎩ − 25 x −5 y =−55
___________________________
− 4 y = −4
y =1
179
19.
a)
⎧x + 7 y = 7
⇒
⎨
⎩ 2 x + 5 y = −4
⎧ − 2 x −14 y =−14
⎨
⎩ 2x + 5 y = −4
___________________________
− 9 y = −18
y=2
x + 7 y = 7 ⇒ x = 7 − 7 y ⇒ x = 7 − 7·2 ⇒ x = −7
b)
⎧x − 4 y = 1 ⇒ x = 1+ 4 y
⎨
⎩5 x − 19 y = 3
5 x − 19 y = 3 ⇒ 5 (1 + 4 y ) − 19 y = 3 ⇒ 5 + 20 y − 19 y = 3 ⇒ y = −2
x = 1 + 4 y ⇒ x = 1 + 4·( −2 ) ⇒ x = −7
c)
⎧ 25 x + y = 51
⇒
⎨
⎩50 x + y = 52
⎧ − 25 x − y = − 51
⎨
⎩ 50x + y = 52
___________________________
25 x = 1
x=
1
25
⎧ − 50 x − 2 y = −102
⎨
⎩ − 50 x + y = 52
___________________________
− y = −50
y = 50
d)
⎧3 x + 2 y = 5
⇒
⎨
⎩9 x + 4 y = 12
⎧ − 9 x − 6 y = −15
⎨
⎩ 9 x + 4 y = 12
___________________________
− 2 y = −3
y=
3
2
⎧ −6 x − 4 y = −10
⎨
⎩ 9 x + 4 y = 12
___________________________
3x = 2
x=
2
3
180
20.
a)
⎧ 5x + 2 y =3
⎨
⎩ −4 x − 2 y = 2
⎧5 x + 2 y = 3
⇒
⎨
⎩ 2 x + y = −1
___________________________
x=5
2 x + y = −1 ⇒ y = −1 − 2 x ⇒ y = −1 − 2·5 ⇒ y = −11
b)
⎧3x + 5 y = 8
⇒
⎨
⎩ 2 x + 5 y = −3
⎧ 3x + 5 y =8
⎨
⎩ −2 x − 5 y = 3
___________________________
x = 11
2 x + 5 y = −3 ⇒ 2·11 + 5 y = −3 ⇒ 5 y = −25 ⇒ y = −5
c)
⎧2 x + y = 2
⇒
⎨
⎩5 x + 2 y = 1
⎧ −4 x − 2 y =−4
⎨
⎩ 5 x + 2 y =1
___________________________
x = −3
2 x + y = 2 ⇒ y = 2 − 2 x ⇒ y = 2 − 2·( −3) ⇒ y = 8
d)
⎧ x + 15 y = 19 ⇒ x = 19 − 15 y
⎨
⎩ x + 25 y = −1 ⇒ x = −1 − 25 y
19 − 15 y = −1 − 25 y ⇒ 10 y = −20 ⇒ y = −2
x = −1 − 25 y ⇒ x = −1 + 50 ⇒ x = 49
181
21.
a)
⎧9 x − 2 y = 5
⇒
⎨
⎩ 2 x − 5 y = 33
⎧ 45x − 10 y = 25
⎨
⎩ −4 x + 10 y =− 66
⎧ − 18x + 4 y =− 10
⎨
⎩ 18 x − 45 y = 297
___________________________
___________________________
− 41y = 287
41x = −41
y = −7
x = −1
b)
3
⎧
⎪⎪5 x + 8 y = 4
⎧ 40 x + 3 y = 32
⇒ ⎨
⇒
⎨
1
⎪2 x + y = 3
⎩ 4x + y =6
⎪⎩
2
___________________________
⎧ 40 x + 3 y = 32
⎨
⎩ −12 x − 3 y =−18
___________________________
⎧
⎨
⎩
−40 x − 3 y =−32
40 x +10 y = 60
___________________________
28 x = 14
x=
7 y = 28
1
2
y=4
c)
1
⎧
⎪4 x + y = −1 ⎧ 28 x + y = −7
⇒⎨
⇒
7
⎨
⎩ 6x + y = 4
⎪⎩6 x + y = 4
⎧ 28x + y =−7
⎨
⎩ −6x − y =−4
___________________________
22 x = −11
x=−
1
2
⎧
⎨
⎩
−168 x − 6 y = 42
168 x + 28 y =112
___________________________
22 y = 154
y=7
182
d)
⎧x + 3y = 4
⎧ x + 3y = 4
⎪
⇒⎨
⇒
⎨x
⎪⎩ 9 + 2 y = 1 ⎩ x + 18 y = 9
⎧ −18x − 54 y =−72
⎨
⎩ 3x + 54 y = 27
⎧ − x − 3 y =−4
⎨
⎩ x +18 y = 9
___________________________
___________________________
15 y = 5
y=
− 15 x = −45
1
3
x=3
e)
y
⎧
⎪⎪ x + 5 = −2 ⎧5 x + y = −10
⇒⎨
⇒
⎨
⎪ x + y = 2 ⎩ 3 x + 5 y = 60
⎪⎩10 6
⎧ − 15x − 3 y = 30
⎨
⎩ 15 x + 25 y =300
⎧⎪25 x + 5 y = −50
⎨
⎪⎩−3x − 5 y = −60
___________________________
___________________________
22 y = 330
22 x = −110
y = 15
x = −5
f)
10
2
7
7
10
7
70
10
35
________________
17
105
70
35
70
10
700
70
7
245
_______________________
17
455
183
184
22.
a)
⎧x+ y
⎪⎪ 5 + y = 7 ⎪⎧ x + y + 5 y = 35
⎧ x + 6 y = 35
⇒⎨
⇒⎨
⎨
⎩⎪5 x − ( x + y ) = 15 ⎩ 4 x − y = 15
⎪x − x + y = 3
⎪⎩
5
⎧⎪ x + 6 y = 35
⎨
⎪⎩ 24 x − 6 y = 90
___________________________
25 x = 125
⎧⎪ −4 x − 24 y = −140
⎨
⎪⎩ 4 x − y = 15
________________________________
− 25 y = −125
x=5
y=5
b)
⎧ x + 2y
⎪⎪ 2 − 4 = 1
⎧ x + 2y −8 = 2
⎧ x + 2 y = 10 ⇒ x = 10 − 2 y
⇒⎨
⇒⎨
⎨
⎪ x + 2 y + 3 = 5 ⎩3x + 2(2 y + 3) = 30 ⎩3x + 4 y = 24
⎪⎩ 2
3
3x + 4 y = 24 ⇒ 3 (10 − 2 y ) + 4 y = 24 ⇒ 30 − 6 y + 4 y = 24 ⇒ 30 − 2 y = 24 ⇒ 2 y = 6 ⇒ y = 3
x = 10 − 2 y ⇒ x = 10 − 6 ⇒ x = 4
23.
a)
⎧ y=4
⎧⎪( x + y ) − 4 = x
⎪
⇒⎨
⎨
4 − 3y
⇒ x = −4
⎪⎩2 ( 2 x + 3 y ) + 5 = 13 ⎪4 x + 6 y = 8 ⇒ 2 x + 3 y = 4 ⇒ x =
2
⎩
b)
⎧⎪ x − ( y + 1) = −3 ⎧ x − y = −2 ⇒ x = y − 2
⇒⎨
⎨
⎪⎩ 2 x + 5 y = 31
⎩2 x + 5 y = 31
2 x + 5 y = 31 ⇒ 2·( y − 2 ) + 5 y = 31 ⇒ 7 y = 35 ⇒ y = 5
x = y−2⇒ x =3
185
24.
a)
⎧
1
⎪ 10 y = 1 ⇒ y =
10
⎧5( x + y ) − 5( x − y ) = 1
⎧ 5x + 5 y − 5x + 5 y = 1 ⎪
⇒⎨
⇒⎨
⎨
⎩5( x + y ) + 5( x − y ) = 2 ⎩5 x + 5 y + 5 x − 5 y = 2
⎪10 x = 2 ⇒ x = 1
⎪
5
⎩
b)
⎧x+ y
− ( x − y) = 1
⎪⎪ 3
⎪⎧ x + y − 3 ( x − y ) = 3 ⎧ x + y − 3 x + 3 y = 3 ⎧−2 x + 4 y = 3
⇒⎨
⇒⎨
⇒⎨
⎨
−
3
x
y
−
+
=
6
9
3
2
x
x
y
(
)
1
−
−
=
6
3(3
)
2
x
x
y
⎪
⎩
⎩−3 x + 3 y = 2
⎩
⎪x −
=
⎪⎩
2
3
⎧⎪−6 x + 12 y = 9
⎨
⎪⎩12 x − 12 y = −8
___________________________
6x = 1
x=
1
6
⎧⎪ −6 x + 12 y = 9
⎨
⎪⎩ 6 x − 6 y = −4
________________________________
6y = 5
y=
5
6
c)
⎧ 3x + y 2 x
+
=1
⎧ 9 x + 3 y + 16 x = 24 ⎧ 25 x + 3 y = 24
⎪⎪ 8
3
⇒⎨
⇒⎨
⇒
⎨
−
+
−
−
−
=
−
=
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
1
2
2
2
3
2
⎩
⎩
⎪
−
=
⎪⎩ 3
6
3
⎧⎪25 x + 3 y = 24
⎨
⎪⎩ x − 3 y = 2
___________________________
26 x = 26
x =1
⎧⎪ 25 x + 3 y = 24
⎨
⎪⎩ −25 x + 75 y = −50
________________________________
78 y = −26
y=−
1
3
186
25.
a)
⎧55 x + 22 y = 121
⎧ 5 x + 2 y = 11
⎪
⇒⎨
⇒
⎨x
⎩x + 4 y = 4
⎪⎩ 4 + y = 1
⎧⎪10 x + 4 y = 22
⎨
⎪⎩ − x − 4 y = − 4
___________________________
⎧⎪ 5 x + 2 y = 11
⎨
⎪⎩ −5 x − 20 y = −20
________________________________
9 x = 18
− 18 y = −9
x=2
y=
1
2
b)
⎧x+ y
⎪⎪ 3 + 2 y = 6 ⎧ x + y + 6 y = 18 ⎧ x + 7 y = 18
⇒⎨
⇒⎨
⇒
⎨
⎩2 x − x + y = 3
⎩ x+ y =3
⎪x − x − y = 3
⎪⎩
2
2
⎧⎪ x + 7 y = 18
⎨
⎪⎩ −7 x − 7 y = −21
___________________________
⎧⎪ x + 7 y = 18
⎨
⎪⎩ − x − y = −3
________________________________
− 6 x = −3
6 y = 15
1
2
y=
x=
5
2
c)
⎧x + 7 y = 8
⎧x + 7 y = 8
⎧ − x − 7 y = −8
⎪
⇒⎨
⇒ ⎨
⎨x
⎩ x + 343 y = 56
⎪⎩ 7 + 49 y = 8 ⎩ x + 343 y = 56
___________________________
336 y = 48
y=
1
7
x + 7 y = 8 ⇒ x +1 = 8 ⇒ x = 7
187
d)
1
⎧
1
⎧
⎧⎪−9 x − 16 y = −15
⎪⎪ 3x + 3 y
⎪ 3 x + y + 5 y = 5 ⎧ 9 x + 16 y = 15
y
1
+
=
⇒⎨
⇒⎨
⇒⎨
3
⎨ 5
⎩ 6x + 4 y = 5
⎪⎩ 24 x + 16 y = 20
⎪
⎪⎩6 x + 4 y = 5
6
4
5
x
y
+
=
___________________________
⎩⎪
15 x = 5
x=
6x + 4 y = 5 ⇒ 2 + 4 y = 5 ⇒ 4 y = 3 ⇒ y =
26.
a)
1
3
3
4
⎧⎪10 ( x + y ) − 15 ( x − 2 y ) = −17 ⎧ 10 x + 10 y − 15 x + 30 y = −17 ⎧−5 x + 40 y = −17
⇒⎨
⇒⎨
⎨
⎩6 x + 3 y − 4 x + 2 y = 11
⎩ 2 x + 5 y = 11
⎪⎩3 ( 2 x + y ) − 2 ( 2 x − y ) = 11
⎧− 5 x + 40 y = −17
⎪
⇒⎨
−16 x − 40 y = − 88
⎪ _______________________
⎩
− 21x = −105
x=5
2 x + 5 y = 11 ⇒ 10 + 5 y = 11 ⇒ 5 y = 1 ⇒ y =
1
5
b)
x + y 11
⎧
⎧⎪18 x + 6 y = 11
⎪⎪ x + 2 = 12 ⎧12 x + 6 x + 6 y = 11 ⎧ 18 x + 6 y = 11
⇒⎨
⇒⎨
⇒ ⎨
⎨
⎩12 x − 6 x + 6 y = 5
⎩ 6x + 6 y = 5
⎪⎩ −6 x − 6 y = −5
⎪x − x − y = 5
___________________________
⎪⎩
2
12
12 x = 6
x=
6x + 6 y = 5 ⇒ 3 + 6 y = 5 ⇒ 6 y = 2 ⇒ y =
1
2
1
3
188
c)
161
75
10
2
2
3
2
5
13
1072
77
450
23
8
130
1072
77
8576
1771
23
450
8
1072
10010
130
75
322
2
5
13
13
23
77
3600
23 2 130
8
8
27.
a)
750
10
450
130
130
23
130
8
6805
450
13610
2
22
⎧5 ( x + y ) − 10 ( 2 x − y ) = −3
⎧5 x + 5 y − 20 x + 10 y = −3
⎪
⇒
⎨ 3x − y 3 ( 4 x − 3 y ) 5 ⇒ ⎨
+
=
⎩6 x − 2 y + 12 x − 9 y = 5
⎪
⎩ 2
4
4
5x − 1
1
⎧
⇒ y = x−
⎧−15 x + 15 y = −3 ⎪−5 x + 5 y = −1 ⇒ y =
⇒⎨
⇒⎨
5
5
⎩ 18 x − 11y = 5
⎪⎩ 18 x − 11 y = 5
1⎞
14
2
⎛
18 x − 11 y = 5 ⇒ 18 x − 11⎜ x − ⎟ = 5 ⇒ 7 x = ⇒ x =
5⎠
5
5
⎝
1
1
y = x− ⇒ y =
5
5
b)
⎧8 x + 8 y − 4 x + 4 y = 5
⎪⎧8 ( x + y ) − 4 ( x − y ) = 5
⇒⎨
⇒
⎨
⎪⎩4 ( 2 x + y ) − 5 ( x − 2 y ) = 5 ⎩8 x + 4 y − 5 x + 10 y = 5
⎧4 x + 12 y = 5
⎪
⇒⎨
5 − 14 y
⎪⎩3 x + 14 y = 5 ⇒ 3 x = 5 − 14 y ⇒ x = 3
4 x + 12 y = 5 ⇒ 4
5 − 14 y
+ 12 y = 5 ⇒ 20 − 56 y + 36 y = 15
3
−20 y = −5 ⇒ y =
5 − 14 y
⇒x=
x=
3
1
4
7
2 ⇒ x=1
3
2
5−
189
c)
⎧
1⎞
⎛
⎪ x + 2y x − 2⎜ y + 2 ⎟
⎝
⎠ = 4 ⎧3 x + 6 y + 2 x − 4 y − 2 = 24
⎧5 x + 2 y = 26
⎪
+
⇒⎨
⇒⎨
⎨ 2
3
⎩7 x + 70 y + 60 x − 40 y = 350 ⎩67 x + 30 y = 350
⎪ x + 10 y 6 x − 4 y
⎪
+
=5
7
⎩ 10
⎧ 75 x + 30 y = 390
⎪
⇒⎨
−67 x − 30 y = −350
⎪ ____________________________
⎩
8 x = 40 ⇒ x = 5
5 x + 2 y = 26 ⇒ 25 + 2 y = 26 ⇒ 2 y = 1 ⇒ y =
1
2
28.
a)
⎧x
⎪ 3 + 3 ( x + 2 y ) = 32
⎧ x + 9 x + 18 y = 96
⎧5 x + 9 y = 48
⎪
⎪
⇒⎨
⇒⎨
⎨
2 x + 24 y
⎛x
⎞
= 11 ⎩15 x + 24 y = 143
⎪ 6⎜ 3 + 4y ⎟
⎪⎩ x + 13
⎝
⎠
⎪x +
= 11
13
⎩
⎧ 15 x + 27 y = 144
⎪
⇒⎨
− 15 x − 24 y = −143
⎪⎩ ____________________________
3y = 1 ⇒ y =
1
3
5 x + 9 y = 48 ⇒ 5 x + 3 = 48 ⇒ 5 x = 45 ⇒ x = 9
b)
⎧ x + 5y
⎪ 13 + y = 1
⎧ x + 5 y + 13 y = 13
⎧ x + 18 y = 13
⎧ x + 18 y = 13
⎪
⎪
⇒
⇒⎨
⇒⎨
⎨
⎨ 3x + y y
x+ y
− =1
⎩3 x + y − 5 y = 10 ⎩3 x − 4 y = 10
⎪x+ 2
⎪
y
2
− = 1 ⎩ 10
⎪
5
2
⎩
⎧ 3 x + 54 y = 39
⎪
⇒⎨
− 3 x + 4 y = −10
⎪⎩ ____________________________
58 y = 29 ⇒ y =
1
2
3x − 4 y = 10 ⇒ 3 x − 2 = 10 ⇒ 3 x = 12 ⇒ x = 4
190
c)
⎧
6( x + 2y)
= 3 ⎧93x + 6 x + 12 y = 93 ⎧99 x + 12 y = 93 ⎧33 x + 4 y = 31
⎪3 x +
⇒⎨
⇒⎨
⇒⎨
31
⎨
⎩9 x + y = 8
⎩9 x + y = 8
⎩9 x + y = 8
⎪9 x + y = 8
⎩
⎧ − 33x − 4 y = −31
⎪
⇒⎨
36 x + 4 y = 32
⎪ ____________________________
⎩
3x = 1 ⇒ x =
1
3
9x + y = 8 ⇒ 3 + y = 8 ⇒ y = 5
29.
a)
22 ⎧
22
⎧
⎪5 ( x + y ) − 15 ( x − y ) = 3
⎪5 x + 5 y − 15 x + 15 y = 3
22
⎧
−10 x + 20 y =
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
3
x+ y
3x + y
⇒⎨
⇒⎨
⇒
⎨
x+
15
x
+
5
y
2 = −1
⎪x +
⎪ x + 2 = −1
⎪x +
= −1
3
3
⎪
⎪
6
⎩⎪
⎪⎩
⎪⎩
5
5
⎧
15 x − 30 y = −11
⎧−30 x + 60 y = 22
⎧−15 x + 30 y = 11 ⎪
⇒⎨
⇒⎨
⎨
⎩6 x + 15 x + 5 y = −6 ⎩ 21x + 5 y = −6 ⎪ 126 x + 30 y = −36
⎩ ____________________________
141x = −47 ⇒ x = −
−15 x + 30 y = 11 ⇒ 5 + 30 y = 11 ⇒ 30 y = 6 ⇒ y =
1
3
1
5
b)
⎧ x − 16 y = −8
⎧ x − 16 y = −8
⎧ x − 16 y = −8
⎪
⇒⎨
⇒⎨
⇒
⎨x 8
⎪⎩ 2 + 9 ( 3 x + 12 y ) = −10 ⎩9 x + 48 x + 192 y = −180 ⎩57 x + 192 y = −180
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
12 x − 192 y = −96
57 x + 192 y = −180
____________________________
69 x = −276 ⇒ x = −4
x − 16 y = −8 ⇒ −16 y = −4 ⇒ y =
1
4
191
c)
x + 21 y
⎧
= 9 ⎧4 x + x + 21y = 36 ⎧5 x + 21y = 36
⎪x +
⇒⎨
⇒⎨
⇒
4
⎨
3
42
23
3
42
23
x
y
x
y
+
=
+
=
⎩
⎩
⎪⎩3 x + 42 y = 23
⎧− 15 x − 63 y = −108
⎪
⎨ 15 x + 210 y = 115 ⇒
⎪⎩ _________________________
147 y = 7 ⇒ y =
1
21
5 x + 21 y = 36 ⇒ 5 x + 1 = 36 ⇒ 5 x = 35 ⇒ x = 7
192
30.
a)
⎧ x −1
=1
x
⎧
⎧x
⎪
x
− y =1
x −1 = y +
⎪
+
y
⎪
⎪
⎪⎪ 2
2
2
⇒⎨
⇒⎨
⇒
⎨
x
5
⎪x
⎪
⎪
x
+ 8 y + 2 x = 18
x + 8 y = 18
⎛
⎞
⎪⎩ 2
⎪ + 8 ⎜ y + ⎟ = 18 ⎪⎩ 2
2
4
⎝
⎠
⎩
⎧ 4 x − 8y = 8
⎪⎪
⎨ 5 x + 8 y = 18 ⇒
⎪ 2
⎪⎩ _________________________
13
x = 26 ⇒ x = 4
2
x
− y =1⇒ 2 − y =1 y =1
2
b)
7⎞
⎧
⎛
⎧ x + 18 y + 21 = 21
⎧ x + 18 y = 0
⎪ x + 18 ⎜ y + 6 ⎟ = 21
⎪
⎝
⎠
⎪
⎪
⇒⎨
⇒ ⎨ 26
⇒
8
⎨
⎪6 x + 6 y + 12 ⎛ 2 x + 7 y ⎞ = 11 ⎪⎩6 x + 6 y + 3 x + 84 y = 11 ⎪⎩ 3 x + 90 y = 11
⎜
⎟
⎪⎩
⎝ 9
⎠
⎧ 26
x − 156 y = 0
⎪−
⎧ x + 18 y = 0
⎪ 3
⇒
⇒⎨
⎨
⎩26 x + 270 y = 33 ⎪ 26 x + 90 y = 11
⎪ 3
⎩ _________________________
− 66 y = 11 ⇒ y = −
1
6
x + 18 y = 0 ⇒ x − 3 = 0 ⇒ x = 3
31.
a)
3
⎧ 6x + y 9x + 2 y
=−
⎪⎪ 2 +
⎧18 x + 3 y + 18 x + 4 y = −9
⎧36 x + 7 y = −9
3
2
⇒⎨
⇒⎨
⇒
⎨
⎪12 x + y + 18 x + 5 y = − 11 ⎩36 x + 3 y + 72 x + 20 y = −33 ⎩108 x + 23 y = −33
⎪⎩ 4
3
4
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
− 108 x − 21 y = 27
108 x + 23 y = − 33
⇒
_________________________
2 y = −6 ⇒ y = − 3
36 x + 7 y = −9 ⇒ 36 x − 21 = −9 ⇒ 36 x = 12 ⇒ x =
1
3
193
b)
⎧ x + 14 y 7 ( x − 4 y )
−
= −6
⎪
⎧5 x + 70 y − 21x + 84 y = −90
5
⎧−16 x + 154 y = −90
⎪ 3
⎪
⇒
⇒⎨
⎨
⎨ 3 x + 7 y 6 x + 21y
x + 21y
x + 7y
== −2
x+
⎩45 x + 105 y − 132 x − 462 y = −660
⎪x+
⎪ 22 − 15
⎩
5
2
−
= −2
⎪
11
3
⎩
⎧ −232 x + 2233 y = −1305
⎧−8 x + 77 y = −45
⎧ 8 x − 77 y = 45
⎪
⇒
⇒
⎨ 232 x + 952 y = 1760 ⇒
⎨
⎨
87
357
660
29
119
220
x
y
x
y
−
−
=
−
−
−
=
−
⎩
⎩
⎪⎩ _________________________________
3185 y = 455 ⇒ y =
1
7
8 x − 77 y = 45 ⇒ 8 x − 11 = 45 ⇒ 8 x = 56 ⇒ x = 7
32.
Sean x e y los números buscados. El sistema es el siguiente:
⎧
x + y = 29
⎧ x + y = 29 ⎪
⇒
⎨
⎨ − x + y = −1 ⇒
⎩x − y = 1
⎪⎩ _________________________
2 y = 28 ⇒ y = 14
x − y = 1 ⇒ x − 14 = 1 ⇒ x = 15
Solución: Los números buscado son 14 y 15
33.
Sean x e y los números buscados. El sistema es el siguiente:
⎧x + 4 = y
⎨
⎩ y + 2 = 4x ⇒ y = 4x − 2
x + 4 = y ⇒ x + 4 = 4 x − 2 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2
y = 4x − 2 ⇒ y = 6
Solución: Los números buscado son 2 y 6.
34.
Sean x e y los números buscados. El sistema es el siguiente:
⎧
x y
+ = 40
⎪
⎧ x + y = 160
4
4
⎪
⎪
⇒
⇒
⎨x y
⎨
x y
+
=
45
⎪⎩ 4 3
⎪ − − = −45
4 3
⎪
⎩ _________________________
−1
y = −5 ⇒ y = 60
12
x + y = 160 ⇒ x = 160 − 60 ⇒ x = 100
Solución: Los números buscado son 100 y 60.
194
35.
Sean x e y los números buscados, x < y. El sistema es el siguiente:
⎧⎪ y = x + 1
⎨
⎪⎩ x + 4 y = 39 ⇒ x + 4 ( x + 1) = 39 ⇒ 5 x = 35 ⇒ x = 7
y = x +1 ⇒ y = 8
Solución: Los números buscado son 7 y 8
36.
Sea x el número de monedas de 50 cts e y el número de monedas de 1 €. El sistema es
el siguiente:
⎧
x y
− − = −7
⎪
x
+
y
=
14
⎧
2 2
⎪
⎪
⇒
⎨1
⎨
x
⎪⎩ 2 x + y = 13 ⎪
+ y = 13
2
⎪
⎩ _________________________
1
y = 6 ⇒ y = 12
2
x + y = 14 ⇒ x = 2
Solución: 2 monedas de 50 cts y 12 monedas de 1 €
37.
Sea x el número de coches e y el número de camiones
⎧⎪ x + y = 7 ⇒ ( 2 y + 1) + y = 7 ⇒ 3 y = 6 ⇒ y = 2
⎨
⎪⎩ x = 2 y + 1
x = 2 y +1 ⇒ x = 5
Solución: 5 coches y 2 camiones
38.
Sea x el número de pollos e y el número de gansos:
⎧ x y
− − = −45
⎧ x + y = 135 ⎪ 3 3
⎪
⎪
⇒⎨
⎨x y
x y
⎪⎩ 2 + 3 = 55
⎪
+ = 55
⎪ 2 3
⎩ _________________________
1
x = 10 ⇒ x = 60
6
x + y = 135 ⇒ y = 75
Solución: 60 pollos y 75 gansos
195
39.
Sea E la edad del chico y P la edad del padre.
2
E + P = 55
14 + P = 55
55
1
55
3
1
_______________
4 E = 56
E = 14
P = 41
Solución: La edad del chico es de 14 años y la del padre 41 años
Otra forma de hacerlo:
E = xy ⇒ E = y + 10 x
P = yx ⇒ P = x + 10 y
10
10
10
10
55
11
11
2
20
1
29
7
7
7
35
29
7
1
_________________________
36
36
1
55
1
5
29
7
1
4
Solución: La edad del chico es de 14 años y la del padre 41 años
40.
Sea x el número de cromos que tiene Félix e y el número de cromos que tiene Paco:
⎧⎪ x − 1 = y + 1
⎧x − y = 2 ⇒ x = y + 2
⇒⎨
⎨
⎩⎪ x + 2 = 4 ( y − 2 ) ⎩ x − 4 y = −10
x − 4 y = −10 ⇒ y + 2 − 4 y = −10 ⇒ −3 y = −12 ⇒ y = 4
x = y+2⇒ x =6
Solución: Félix tiene 6 cromos y Paco 4 cromos.
41.
Sea x la edad del padre e y la edad del hijo
Edad del padre Edad del hijo
y
x
x + 10
y + 10
Hoy
Dentro de 10 años
3
10
2
10
10
3
2
10
Solución: El padre tiene 30 años y el hijo 10 años
20
3
10
2
20
30
196
42.
Vino de 1ª clase
Vino de 2ª clase
8 € / litro
x litros
5 € / litro
y litros
Mezcla
6 € / litro
120 litros
Sea x la cantidad de vino de 1ª clase ( 8 €/litro ) e y la cantidad de vino de 2ª clase ( a
5€/ litro ).
⎧−5 x − 5 y = −600
⎧ x + y = 120
⎪
⇒⎨
⎨
⎩8 x + 5 y = 6·120 ⎪ 8 x + 5 y = 720
⎩ ___________________
3 x = 120 ⇒ x = 40
x + y = 120 ⇒ y = 80
Solución: 40 litros de vino de 1ª clase ( 8 €/litro ) y 80 litros de vino de 2ª clase ( a 5 el
litro )
43.
Sea x el número de chicos e y el número de chicas.
⎪⎧ x + y = 31 ⇒ x + ( x + 5 ) = 31 ⇒ 2 x = 26 ⇒ x = 13
⎨
⎪⎩ y = x + 5
y = x + 5 ⇒ y = 18
Solución: 13 chicos y 18 chicas
44.
Sea x el número de coches e y el número de motos.
⎧⎪−2 x − 2 y = −140
⎧ x + y = 70
⇒
⎨
⎨ 4 x + 2 y = 200
⎩ 4 x + 2 y = 200 ⎩⎪ ________________________
2 x = 60 ⇒ x = 30
x + y = 70 ⇒ y = 40
Solución: 30 coches y 40 motos.
197
45.
Sea x el número de fondistas e y el número de velocistas:
⎧⎪ x + y = 60 ⇒ x + 2 x = 60 ⇒ 3x = 60 ⇒ x = 20
⎨
⎪⎩ y = 2 x
y = 2 x ⇒ y = 40
Solución: 20 corredores de fondo y 40 velocistas.
46.
Sea x los kilos de filetes de ternera e y los kilos de chuletillas de cordero:
⎧− 7 x − 7 y = −35
⎧x + y = 5
⎪
⇒
⎨
⎨ 7 x + 12 y = 50
⎩7 x + 12 y = 50 ⎪ ______________________
⎩
5 y = 15 ⇒ y = 3
x+ y =5⇒ x = 2
Solución: 2 kilos de filetes de ternera y 3 kilos de chuletillas de cordero:
47.
Sean x e y los números buscados x < y:
2
5
⎧
⎪⎪ x + y = 20 ⇒ 3 y + y = 20 ⇒ 3 y = 20 ⇒ y = 12
⇒
⎨
⎪x = 2 y
⎪⎩
3
2
x= y⇒ x=8
3
Solución: los números son 12 y 8.
198
48.
Sean x las horas que tarda el jefe en hacer el trabajo e y las horas que tarda su aprendiz.
⎧
3
⎪ x + y = 3 ⇒ x + 3x = 3 ⇒ 4 x = 3 ⇒ x =
4 ⇒
⎨
⎪ y = 3x
⎩
y = 3x ⇒ y =
9
4
Solución: el jefe tarda 45 minutos y el aprendiz dos horas y quince minutos.
49.
Sea N = xy el número buscado
N = y + 10 x
⎧ x + y = 11
⎧ x + y = 11
⎧ x + y = 11
⇒⎨
⇒⎨
⇒
⎨
⎩ yx = xy + 9 ⎩ x + 10 y = y + 10 x + 9 ⎩−9 x + 9 y = 9
⎧ x + y = 11
⎪
⎨ − x + y =1
⎪⎩ ___________________
2 y = 12 ⇒ y = 6
x + y = 11 ⇒ x = 5
Solución: el número buscado es N = 56
50.
Sea x el precio en euros de cada camisa e y el precio en euros de cada pantalón.
⎧14 x + 9 y = 595 ⎧14 x + 9 y = 595
⇒⎨
⇒
⎨
⎩ y = x + 15
⎩− x + y = 15
⎧ 14 x + 9 y = 595
⎪
⇒⎨
− 14 x + 14 y = 210
⎪⎩ ________________________
23 y = 805 ⇒ y = 35
y = x + 15 ⇒ 35 = x + 15 ⇒ x = 20
Solución: 20 € cada camisa y 35 € cada pantalón.
51.
Sean x el número de rosales e y el número de cipreses:
⎧3 x = 2 y + 2 ⎪⎧3 x = 2 y + 2 ⇒ 3 x = 2 ( x + 1) + 2 ⇒ 3 x = 2 x + 4 ⇒ x = 4
⇒⎨
⎨
⎩2 y = 2 x + 2 ⎪⎩ y = x + 1
y = x +1 ⇒ y = 5
Solución: 4 rosales y 5 cipreses
199
52.
Sea x el número de horas que tardan en encontrarse. Durante ese tiempo el coche que
sale de la ciudad A ha recorrido 100x km y el vehículo que sale de la ciudad B ha
recorrido 120x km. De aquí sale la siguiente ecuación:
100x + 120x = 770 ⇒ 220 x = 770 ⇒ x = 3’5 horas
Tendrán que circular 3 horas y 30 minutos para que se produzca el encuentro.
El primer coche habrá recorrido 100 · 3’5 = 350 km y el segundo coche habrá recorrido
120 · 3’5 = 420 km
El encuentro se produce a 350 km de la ciudad A
AUTOEVALUACIÓN PAG. 117
1.
⎧x = 2 − 2 y
⎧2 x + 4 y = 4 ⎧ x + 2 y = 2
⎪
⇒⎨
⇒⎨
2 + 2y ⇒
⎨
⎩3 x − 2 y = 2 ⎩3 x − 2 y = 2 ⎪ x =
3
⎩
2 − 2y =
2 + 2y
1
⇒ 6 − 6y = 2 + 2y ⇒ 4 = 8y ⇒ y =
3
2
x = 2 − 2 y ⇒ x = 2 −1 ⇒ x = 1
200
2.
⎧3x − y = 3
⇒
⎨
⎩ x + 2 y = 15 ⇒ x = 15 − 2 y
3x − y = 3 ⇒ 3·(15 − 2 y ) − y = 3 ⇒ 45 − 6 y − y = 3 ⇒ −7 y = −42 ⇒ y = 6
x = 15 − 2 y ⇒ x = 15 − 2·6 ⇒ x = 3
3.
⎧3x + 5 y = 18
⇒
⎨
⎩ 2 x − y = −1
⎧
⎨
⎩
3 x + 5 y =18
10 x − 5 y =−5
___________________________
13 x = 13
⎧ − 6 x −10 y =−36
⎨
⎩ 6 x −3 y =− 3
___________________________
− 13 y = −39
x =1
y=3
4.
⎧⎪3 ( x − 2 y ) + 6 ( 2 x − y ) = −12 ⎧3 x − 6 y + 12 x − 6 y = −12 ⎧15 x − 12 y = −12
⇒⎨
⇒⎨
⇒
⎨
11
7
2
x
−
y
=
2
5
2
2
x
−
y
+
x
−
y
=
(
)
⎩
⎩⎪
⎩ x − 2 y +10 x −5 y = 2
___________________________
4y − 4
⎧
⎪⎪5 x − 4 y = −4 ⇒ x = 5
⇒⎨
⇒
⎪11x − 7 y = 2 ⇒ x = 2 + 7 y
⎪⎩
11
4y − 4 2 + 7y
=
⇒ 44 y − 44 = 10 + 35 y ⇒ 9 y = 54 ⇒ y = 6
5
11
4y − 4
⇒ x=4
x=
5
5.
⎧ x + 3y 4x + y
−
= −1
⎧4 x + 12 y − 20 x − 5 y = −20 ⎧−16 x + 7 y = −20
⎪⎪ 5
4
⇒⎨
⇒⎨
⎨
+
+
+
+
+
=
x
y
2
x
y
2
x
2
y
14
x
7
y
84
⎩
⎩ 16 x + 9 y = 84
⎪
+
=6
⎪⎩ 7
2
⎧ − 16 x + 7 y = −20
⎪
⎨ 16 x + 9 y = 84
⎪⎩ ____________________
16 y = 64 ⇒ y = 4
16 x + 9 y = 84 ⇒ 16 x + 36 = 84 ⇒ 16 x = 48 ⇒ x = 3
201
6.
Sean x e y los números buscados:
⎧
⎧ x + y = 15
⎧2 x + 2 y = 30 ⎪ 2 x + 2 y = 30
⇒⎨
⇒⎨
⎨
−2 x + y = − 6
⎩2 x − y = 6 ⎩2 x − y = 6
⎪⎩ ____________________
3 y = 24 ⇒ y = 8
2 x − y = 6 ⇒ 2 x − 8 = 6 ⇒ 2 x = 14 ⇒ x = 7
Solución: los números buscados son 7 y 8
7.
Hoy
Dentro de 15 años
Edad del padre Edad del hijo
y
x
x + 15
y + 15
⎧⎪ x = 4 y + 3
⎧x = 4 y + 3
⇒⎨
⎨
⎪⎩ x + 15 = 2 ( y + 15 ) ⎩ x + 15 = 2 y + 30 ⇒
⇒ ( 4 y + 3) + 15 = 2 y + 30 ⇒ 4 y + 18 = 2 y + 30 ⇒ 2 y = 12 ⇒ y = 6
x = 4 y + 3 ⇒ x = 27
Solución: el padre tiene actualmente 27 años y el hijo 6 años.
8.
Sea x el tiempo en minutos que está el primer corredor en carrera.
El primer corredor lleva una velocidad de:
36
36 km/h =
km/minuto = 0’6 km/minuto
60
El segundo corredor lleva una velocidad de:
42
km/minuto = 0‘7 km/minuto
42 km/h =
60
La distancia recorrida por el primer corredor es 0’6 x kilómetros.
La distancia recorrida por el líder es de 0’7·(x-2) kilómetros. (Observar que está en
carrera 2 minutos menos). Como la distancia recorrida por ambos corredores es la
misma, podemos plantear la siguiente ecuación:
0 '6 x = 0 '7 ( x − 2 ) ⇒ 0 '6 x = 0 '7 x − 1'4 ⇒ 0 '1x = 1' 4 ⇒ x = 14
Solución: El líder tarda en dar alcance al primer corredor x - 2 minutos. Con lo que el
líder tarda en alcanza al primer corredor 12 minutos.
Le da alcance en el kilómetro: 12·0’7=8’4 km ,es decir , recorridos 8 km y 400 metros.
202
9.
x cm
x cm
y cm
⎧⎪2 x + y = 16 ⇒ 2 x + ( x + 1) = 16 ⇒ 3 x = 15 ⇒ x = 5
⎨
⎪⎩ y = x + 1
y = x +1 ⇒ y = 6
Solución:
5 cm
5 cm
6 cm
10.
Sea x el precio en euros del kilo de uvas e y el precio en euros del kilo de plátanos.
⎧⎪ x = y + 0 '8
⎨
⎪⎩4 x + 3'5 y = 12 ' 2 ⇒ 4·( y + 0 '8 ) + 3'5 y = 12 '2 ⇒ 7 '5 y = 9 ⇒ y = 1'2
x = y + 0 '8 ⇒ x = 2
Solución: 2 €/kg las uvas y 1’2 €/kg los plátanos.
OLIMPIADA MATEMÁTICA PAG. 119
1. Al suprimir una región, la suma de los días soleados o lluviosos de las restantes
regiones ha de ser múltiplo de 4. Esta suma para las 6 regiones es 1994, que dividido
entre 4 da 2 de resto. El único dato de esta columna que al dividirlo entre 4 nos da 2
de resto es 330, que es justamente el correspondiente a la región F. Suprimiendo esta
región quedan entre las 5 restantes 416 días lluviosos y 3 · 416 = 1248 días soleados.
203
UNIDAD 7. Sucesiones y progresiones
ACTIVIDADES PAG. 122
1.
a)4,5,6,7,8,9
b ) 0 , 3 , 8 , 15 , 24 , 35
c ) 6, 10, 14, 18, 22, 26
d ) 8, 15, 22, 29, 36, 43
2.
a ) 4 , 8 , 12 , 16
b)-5, - 5, –5, -5
3.
a) 3n+1
b) 4n–1
1
c)
n
ACTIVIDADES PAG. 123
4.
a) d = 2 ,
an = −3 + 2 ( n − 1) = 2n − 5 ⇒ an = 2n − 5
a12 = 2·12 − 5 = 24 − 5 ⇒ a12 = 19
a40 = 2·40 − 5 = 80 − 5 ⇒ a40 = 75
5.
n = 50 , an = 188 , d = 4
an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ a1 = an − ( n − 1)·d ⇒ a1 = 188 − 49·4 ⇒ a1 = 188 − 196 ⇒ a1 = −8
204
6.
d = -3 , a1 = 120 , an = −3
−3 = 120 + ( n − 1)·( −3) ⇒ −3 = 120 − 3n + 3 ⇒ 3n = 126 ⇒ n = 42
Solución: el término a42
7.
d = 5, a1 = 7 , an = 6682
6682 = 7 + ( n − 1)·5 ⇒ 6675 = 5·( n − 1) ⇒ 1335 = n − 1 ⇒ n = 1336
Solución: 1336 términos
ACTIVIDADES PAG. 124
8.
Construimos la siguiente progresión: −10 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , 26
n = 7 , a1 = −10 , a7 = 26
26 − ( −10 )
an − a1
36
⇒d =
⇒d =
⇒ d =6
7 −1
6
n −1
Solución: Los números buscados son: - 4 , 2 , 8 , 14 , 20
an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ d =
9.
Construimos la siguiente progresión: −50 , a2 , a3 , a4 , a5 , − 70
n = 6, a1 = −50 , a7 = −70
−70 − ( −50 )
an − a1
−20
⇒d =
⇒d =
⇒ d = −4
6 −1
5
n −1
Solución: Los números buscados son: -54 , -58 , -62 , -66
an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ d =
10.
Construimos la siguiente progresión:
n = 5, a1 =
1
3
, a5 =
2
2
1
3
, a2 , a3 , a4 ,
2
2
3 1
−
a −a
1
1
an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ d = n 1 ⇒ d = 2 2 ⇒ d = ⇒ d =
5 −1
4
4
n −1
3
5
,1,
Solución: Los números buscados son:
4
4
205
11.
Construimos la siguiente progresión:
3 , a2 , a3 , a4 , a5 , 21 3
n = 6 , a1 = 3 , a6 = 21 3
an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ d =
an − a1
21 3 − 3 20 3
⇒d =
=
=4 3⇒ d =4 3
6 −1
5
n −1
Solución: Los números buscados son: 5 3 , 9 3 , 13 3 , 17 3
12.
2
2 , a2 , a3 , a4 , a5 , 4 2
3
Construimos la siguiente progresión:
n = 6 , a1 =
2
2 , a6 = 4 2
3
a −a
an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ d = n 1 ⇒ d =
n −1
Solución: Los números buscados son:
2
10
2
2
2
2
3
3
2⇒ d=
2
=
=
6 −1
5
3
3
4 2−
4
8
10
2 , 2 2 ,
2,
2
3
3
3
ACTIVIDADES PAG. 125
13.
a1 = 4 , a20 = 118 , n = 20
Sn =
( a1 + an )·n ⇒ S
2
n
a20 = a1 + 19·d ⇒ d =
=
( 4 + 118)·20 ⇒
2
S n = 1220
a20 − a1
118 − 4
⇒d =
=6⇒ d =6
19
19
14.
a1 = 3 , a25 = 123 , n = 25 , d = 5
an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ an = 3 + ( n − 1)·5 ⇒ an = 5n − 2
( a1 + an )·n ⇒ S
( 3 + 123)·25 ⇒
S n = 1575
2
2
an = 68 ⇒ 5n − 2 = 68 ⇒ 5n = 70 ⇒ n = 14 .
Sn =
n
=
El término a14 de la progresión es el número 68
206
15.
Como la suma de los seis hermanos es 57 tenemos:
57
57
19
Como la edad del mayor es 8 veces la del menor más uno tenemos:
8
Como
1
5
8
17
2
1
5
19
15
9
5
18
2
17
3
Solución: Las edades de los hermanos son: 2, 5, 8, 11, 14 y 17 años.
ACTIVIDADES PAG. 126
16.
a ) 4·5n−1
b) 9·4 n−1
17.
r=
a6
15552
⇒r=
⇒ r=6
a5
2592
an = a1 ·r n −1 ⇒ a5 = a1 ·64 ⇒ a1 =
a5
2592
⇒ a1 =
⇒ a1 = 2
4
6
1296
18.
a7 = a1 ·r 6 ⇒ 1 = a1 ·r 6
a3 = a1 ·r 2 ⇒ 16 = a1 ·r 2
Dividiendo la primera expresión entre la segunda tenemos:
a1 ·r 2 16
1
1
1
= ⇒ 4 = 16 ⇒
= r4 ⇒ r =
6
a1 ·r
1
r
16
2
ACTIVIDADES PAG. 127
207
19.
8
⇒ r=4
2
a1 ·( r 7 − 1)
2·( 47 − 1)
⇒ S7 =
⇒ S7 = 10922
S7 =
r −1
4 −1
n = 7, r =
20.
r=
1
, a1 = 32
2
⎛ ⎛ 1 ⎞6 ⎞
⎛ 1
⎞
32·⎜ ⎜ ⎟ − 1⎟
32·⎜ − 1⎟
⎜⎝ 2 ⎠
⎟
a1 ·( r 6 − 1)
⎠ ⇒ S = ⎝ 64 ⎠ ⇒ S = −64·⎛ 1 − 1⎞
S6 =
⇒ S6 = ⎝
6
6
⎜
⎟
1
1
r −1
⎝ 64 ⎠
−1
−
2
2
⇒ S6 = −1 + 64 ⇒ S6 = 63
21.
1024
2
1024
2
= 2046
ACTIVIDADES PAG. 128
22.
a) a1 = 4 , r =
1
2
a1
4
⇒ S∞ =
⇒ S∞ = 8
1
1− r
1−
2
1
b ) a1 = 81 , r =
3
a
81
243
⇒ S∞ =
S∞ = 1 ⇒ S∞ =
1
1− r
2
1−
3
S∞ =
208
ACTIVIDADES PAG. 129
23.
a)
2
2
2
+
+
+…
10 100 1000
Se trata de la suma de los miembros de una progresión geométrica de infinitos términos
2
1
con a1 = , r =
10
10
2
2
a1
2
2
N=
= 10 = 10 = ⇒ N =
9 9
1− r 1− 1
9
10 10
N = 0 ' 222… = 0 ' 2 + 0 '02 + 0 '002 + … =
b)
12
12
+
+…
100 10000
Se trata de la suma de los miembros de una progresión geométrica de infinitos términos
12
1
, r=
con a1 =
100
100
12
12
a1
12 4
4
N=
= 100 = 100 =
=
⇒ N=
99 99 33
1− r 1− 1
33
100 100
c)
60
60
N = 3'606060… = 3 + 0 '60 + 0 '0060 + … = 3 +
+
+…
100 10000
Se trata de la suma de 3 y de los miembros de una progresión geométrica de infinitos
60
1
, r=
términos con a1 =
100
100
60
60
a1
60 20
S∞ =
= 100 = 100 =
=
99 99 33
1− r 1− 1
100 100
20 99 + 20
119
N = 3+
=
⇒ N=
33
33
33
N = 0 '1212… = 0 '12 + 0 '0012 + … =
209
24.
a)
12
12
+
+…
1000 100000
Se trata de la suma de 0’5 y de los miembros de una progresión geométrica de infinitos
12
1
, r=
términos con a1 =
1000
100
12
12
a1
12
2
S∞ =
= 1000 = 1000 =
=
99
1− r 1− 1
990 165
100 100
2
1
2
165 + 4
169
N = 0 '5 +
= +
=
⇒ N=
165 2 165
330
330
b)
3
3
N = 4 ' 2333… = 4 '2 + 0 '03 + 0 '003 + … = 4 ' 2 +
+
+…
100 1000
Se trata de la suma de 4’2 y de los miembros de una progresión geométrica de infinitos
3
1
, r=
términos con a1 =
100
10
3
3
a
3
1
S∞ = 1 = 100 = 100 =
=
9
1− r 1− 1
90 30
10 10
1 42 1 126 + 1
127
N = 4'2 +
=
+
=
⇒ N=
30 10 30
30
30
c)
N = 0 '5121212… = 0 '5 + 0 '012 + 0 '00012 + … = 0 '5 +
72 5666 …
72 5
0 06
0 006
72 5
6
100
6
1000
…
Se trata de la suma de 72’5 y de los miembros de una progresión geométrica de
6
1
infinitos términos con a1 =
, r=
100
10
6
6
a1
6
1
S∞ =
= 100 = 100 =
=
9
1− r 1− 1
90 15
10 10
1 725 1 2175 + 2
2177
N = 72 '5 + =
+ =
⇒ N=
15 10 15
30
30
210
DESAFÍO MATEMÁTICO PAG. 130
211
1.
Se trata de aplicar la fórmula
1
En nuestro caso, han trascurrido 4 años, luego
4,
6000 ,
El capital que se encontrará en el depósito el 1 de enero de 2015 será:
6000 1 0 ´0625
7646´57
0 0625
2.
Si realizamos el razonamiento en cuatrimestres, siendo r el tanto por uno anual
y el tanto por uno cuatrimestral, al cabo de una año hemos obtenido :
1
, que tiene que coincidir con la inversión al r anual.
. 1
1
1
1
1
1
1
1
• Si realizamos el razonamiento en trimestres, siendo r el tanto por uno anual y
el tanto por uno trimestral, al cabo de una año hemos obtenido :
, que tiene que coincidir con la inversión al r anual.
1
. 1
1
1
1
1
1
1
1
• Si realizamos el razonamiento mensual, siendo r el tanto por uno anual y
tanto por uno mensual, al cabo de una año hemos obtenido:
el
, que tiene que coincidir con la inversión al r anual.
1
1
1
1
1
. 1
1
1
1
• Si realizamos el razonamiento diario, siendo r el tanto por uno anual y el
tanto por uno diario, al cabo de una año hemos obtenido:
1
, que tiene que coincidir con la inversión al r anual.
1
1
a)
20%
b)
1
c)
1
1
1
1
1
3.
1
0´ 20
1
1
1
0´2
6000
1
1
0 ´2
0´0954
9 54 %
10368
212
ACTIVIDADES FINALES PAG. 132
25.
4 3 8 5
,
, ,
3 2 5 3
4
14 19
b)
,3,
,
,8
3
3
3
c ) 34, 38, 42, 46, 50
1 1 1 1 1
, ,
, ,
d)
2 3 4 5 6
a)1,
213
26.
Se trata de una progresión aritmética donde a1 = 6 , d = 5
an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ a50 = a1 + 49·d ⇒ a50 = 6 + 49·5 ⇒ a50 = 6 + 245 ⇒ a50 = 251
27.
Sólo la a)
28.
a ) d = 2 , an = −5 + 2n
b ) d = 1 , an = 6 + n
c ) d = 4 , an = 1 + 4n
d ) d = 3 , an = −1 + 3n
29.
a ) an = 5 + 3n
b ) an = n 2 − 1
c ) an = −2 + 4n
d ) an = −1 + 6n
30.
a ) Creciente, d = 3
b ) Decreciente, d = - 5
31.
a ) Creciente , d =
1
2
b ) Decreciente , d = −
1
3
32.
a1 = 4 , d = 6
an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ a20 = a1 + 19·d ⇒ a20 = 4 + 19·6 ⇒ a20 = 118
33.
a1 = 8 , n = 11 , a11 = 13
an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ a11 = a1 + 10·d ⇒ 13 = 8 + 10·d ⇒ d =
1
2
1
a9 = a1 + 8d ⇒ a9 = 8 + 8· ⇒ a9 = 12
2
34.
Construimos la siguiente progresión: 8 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 , a9 , a10 , 28
n = 11 , a1 = 8 , a11 = 28
214
an − a1
28 − 8
20
⇒d =
⇒d =
⇒ d =2
n −1
11 − 1
10
Solución: Los números buscados son:
an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ d =
10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22 , 24 , 26
35.
Construimos la siguiente progresión: 1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , 5
n = 7 , a1 = 1 , a7 = 5
an − a1
5 −1
4
2
⇒d=
⇒d= ⇒ d=
7 −1
6
3
n −1
Solución. Los números buscados son:
an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ d =
5 7 9
11 13
,
, =3 ,
,
3 3 3
3
3
36.
Construimos la siguiente progresión: 6 , a2 , a3 , a4 , a5 , 26
n = 6 , a1 = 6 , a6 = 26
an − a1
26 − 6
20
⇒d =
⇒d =
⇒ d =4
n −1
6 −1
5
Solución: Los números buscados son: 10, 14, 18, 22
an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ d =
37.
d = 6 , a1 = 6
Se trata de una progresión aritmética.
(a + a )
( 6 + 60 ) ·10 ⇒ S = 330
S10 = 1 10 ·10 ⇒ S10 =
10
2
2
38.
Construimos la siguiente progresión: 2 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , 11
n = 7 , a1 = 2 , a7 = 11
an − a1
11 − 2
9
3
⇒d =
⇒d = ⇒ d =
7 −1
6
2
n −1
7 10
13 16
19
, =5 ,
,
=8 ,
Solución: Los números buscados son:
2 2
2
2
2
39.
Construimos la siguiente progresión: 3 , a2 , a3 , a4 , 6
an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ d =
n = 5 , a1 = 3 , a5 = 6
an − a1
6−3
3
⇒d =
⇒ d=
5 −1
4
n −1
15 18 21
,
,
Solución: Los números buscados son:
4
4
4
an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ d =
215
40.
a1 =
1
7
, a3 =
2
6
a3 = a1 + 2d ⇒
7 1
1
= + 2d ⇒ d = ,
6 2
3
1
1
7
+ 9· ⇒ a10 =
2
3
2
1 7
+
a1 + a10
2
2 ·10 ⇒ S = 20
S10 =
·10 ⇒ S10 =
10
2
2
a10 = a1 + 9d ⇒ a10 =
41.
Por ser los términos de una progresión aritmética
2n − 1 + d = 3n ⇒ d = n + 1
⎫
2
2
⎬ ⇒ n + 1 = n − 3n + 1 ⇒ n − 3n + 1 − n − 1 = 0 ⇒
3n + d = n + 1 ⇒ d = n − 3n + 1⎭
2
2
⎧⎪ n = 0
⇒ n 2 − 4n = 0 ⇒ ⎨
⎪⎩ n = 4
Solución:
Si n = 0 , la progresión es -1 , 0 , 1
Si n = 4, la progresión es 7, 12, 17
42.
Por ser los términos de una progresión aritmética
2
1
1
2
1
4
1
4
2
4
2
6
Solución:
Si n = 0 , la progresión es -1 , -1 , -1
Si n = 3 , la progresión es 5 , 8 , 11
0
0
3
43.
Para que constituyan una progresión aritmética se ha de verificar que la diferencia d
entre los términos de la progresión sea la misma
n 2 − 4n + 1 + d = n 2 − 2n + 2 ⇒ d = 2n + 1 ⎫⎪
⎬
n 2 − 2n + 2 + d = n 2 + 3 ⇒ d = 2 n + 1
⎪⎭
Por lo tanto, constituyen una progresión aritmética
a8 = a1 + ( n − 1)·d ⇒ a8 = n 2 − 4n + 1 + ( n − 1)·( 2n + 1) ⇒
⇒ a8 = n 2 − 4n + 1 + 2n 2 + n − 2n − 1 ⇒ a8 = 3n 2 − 5n
216
44.
d = a8 − a7 ⇒ d = 52 − 45 ⇒ d = 7
S50 =
( a1 + a50 ) ·50
2
Necesitamos conocer a1 y a50
a7 = 45 ⇒ a1 + 6d = 45 ⇒ a1 = 45 − 6d ⇒ a1 = 45 − 42 ⇒ a1 = 3
a50 = a1 + 49d ⇒ a50 = 3 + 49·7 ⇒ a50 = 3 + 343 ⇒ a50 = 346
S50 =
( a1 + a50 )·50 ⇒ S
2
50
=
( 3 + 346 ) ·50 ⇒
2
S50 = 8725
45.
Se trata de una progresión aritmética en la que:
a1 = 7·15 = 105 ; a14 = 7·28 = 196
S14 =
( a1 + a14 )·14 ⇒ S
14
2
=
(105 + 196 )·14 ⇒
2
S14 = 2107
46.
( a1 + a10 )·10 = 65 ⇒ a
1 + a10 = 13 ⇒ a1 + ( a1 + 9 d ) = 13 ⇒ 2 a1 + 9d = 13
2
(a + a )
S 20 = 230 ⇒ 1 20 ·20 = 230 ⇒ a1 + a20 = 23 ⇒ a1 + ( a1 + 19d ) = 23 ⇒ 2a1 + 19d = 23
2
⎧− 2a1 − 9d = −13
⎪
⎨ 2a + 19d = 23
1
⎪ ______________________
⎩
S10 = 65 ⇒
10d = 10 ⇒ d = 1
2a1 + 9d = 13 ⇒ 2a1 = 13 − 9d ⇒ 2a1 = 13 − 9 ⇒ 2a1 = 4 ⇒ a1 = 2
a5 = a1 + 4d ⇒ a5 = 2 + 4 ⇒ a5 = 6
47.
Se trata de una progresión aritmética en la que d = 1, a1 = 1
El último término es a500 = 500
1
500
2
500
2
500
125250
48.
Se trata de una progresión aritmética en la que d = 2 , a1 = 1
El último término es a200 = a1 + 199·d ⇒ a200 = 1 + 199·2 ⇒ a200 = 399
S 200 =
( a1 + a200 ) ·200 ⇒ S
2
200
=
(1 + 399 )·200 ⇒
2
S500 = 40000
217
49.
73 ⎧
73
73
⎧
⎧
⎪⎪a2 + a7 = 2
⎪⎪a1 + d + a1 + 6d = 2
⎪⎪2a1 + 7d = 2
⇒⎨
⇒⎨
⇒
⎨
⎪a + a = 65
⎪a + 2d + a + 4d = 65 ⎪2a + 6d = 65
3
5
1
1
1
⎩⎪
2
⎩⎪
2
⎩⎪
2
73
⎧
2
a
+
d
=
7
1
⎪
2
⎪
⇒⎨
65
⎪− 2a1 − 6d = −
2
⎪⎩ ________________________
d =4
73
73
17
⇒ 2a1 = − 28 ⇒ a1 =
2
2
4
33
49
65
81
97
113
, a3 =
, a4 =
, a5 =
, a6 =
, a7 =
a2 =
4
4
4
4
4
4
2a1 + 7d =
50.
⎧ a1 + a7 = 9 ⎧ a1 + a1 + 6d = 9 ⎧ 2a1 + 6d = 9
⎪
⎪
⎪
⎨
11 ⇒ ⎨
11 ⇒ ⎨
11 ⇒
⎪⎩ a5 = 2
⎪⎩ a1 + 4d = 2
⎪⎩ a1 + 4d = 2
⎧ 2a1 + 6d = 9
⎪
⇒⎨
− 2a1 − 8d = −11
⎪ ________________________
⎩
− 2 d = −2 ⇒ d = 1
a1 + 4d =
11
11
3
⇒ a1 = − 4 ⇒ a1 =
2
2
2
a6 = a1 + 5d ⇒ a6 =
3
13
+ 5 ⇒ a6 =
2
2
218
219
51.
⎧ −a/ − d = −7
⎧a 2 = 7 ⇒ a1 + d = 7
⎪ 1
⇒ ⎨ a/ + 7d = 47
⎨
1
⎩a8 = 47 ⇒ a1 + 7d = 47 ⎪ ____________________
⎩
6d = 40 ⇒ d =
20
1
⇒ a1 =
3
3
1 400
401
a 21 = a1 + 20d ⇒ a 21 = +
⇒ a 21 =
3
3
3
20
3
a1 = 7 − d ⇒ a1 = 7 −
52.
3
⎛ 3⎞ 3
a1 = −3 , d = 0 − ⎜ − ⎟ = ⇒ d =
2
⎝ 2⎠ 2
3
9 3
an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ an = −3 + ( n − 1) ⇒ an = − + n
2
2 2
9 3
−3 − + n
a1 + an
2 2 ·n ⇒ n 2 − 5n − 84 = 0 ⇒ ⎧n = 12
Sn =
·n ⇒ 63 =
⎨
2
2
⎩n = −7
La respuesta n = - 7 no tiene sentido.
3
a9 = a1 + 8d ⇒ a9 = −3 + 8· ⇒ a9 = 9
2
Solución: estamos hablando de 9 términos, a9 = 9
53.
Sean a1 , a1 + d , a1 + 2d los números buscados.
Como su suma es 48 ⇒ a1 + a1 + d + a1 + 2d = 48 ⇒ 3a1 + 3d = 48 ⇒ a1 + d = 16
El tercero menos el primero es dos veces el segundo
⇒ ( a1 + 2d ) − a1 = 2 ( a1 + d ) ⇒ 2d = 2a1 + 2d ⇒ a1 = 0 , d = 16
Solución : Los números son : 0 , 16 , 32
54.
a1 = 105 , a1 = 7·15 ,
994 = 7 · 142 ⇒ la progresión tiene 142 – 14 = 128 términos ⇒ n = 128
El último término de la sucesión es a128 = 994
2
128
105
994
2
128
70336
55.
a1 = 1 , d = 2
an = a1 + ( n − 1) d ⇒ an = 1 + ( n − 1)·2 ⇒ an = 2n − 1
Sn =
a1 + an
1 + 2n − 1
·n ⇒ S n =
·n ⇒ S n = n 2
2
2
220
56.
a1 + a30
283
283
·30 ⇒ 1415 = (a1 + a30 )·15 ⇒ a1 + a30 =
⇒ a1 + a1 + 29d =
⇒
2
3
3
283
2a1 + 29d =
3
56
56
112
a6 =
⇒ a1 + 5d =
⇒ −2a1 − 10d = −
3
3
3
283
⎧
+
29
d
=
2
a
1
⎪
3
⎪
⎨
112
⎪ − 2a1 − 10d = −
3
⎪⎩ _____________________________
171
19d =
⇒ 19d = 57 ⇒ d = 3
3
S30 =
a1 + 5d =
56
56
11
⇒ a1 =
− 15 ⇒ a1 =
3
3
3
57.
a1 = 3 , d = 4
a50 = a1 + 49d ⇒ a50 = 3 + 49·4 ⇒ a50 = 199
S50 =
a1 + a50
3 + 199
·50 ⇒ S50 =
·50 ⇒ S50 = 5050
2
2
58.
Tenemos que S n =
413 472
+
⇒ S n = 295
3
3
Sea ac el término central ⇒
59
118
= a1 + an ⇒ a1 + an =
3
3
118
a +a
S n = 1 n ·n ⇒ 295 = 3 ·n ⇒ n = 15
2
2
ac + ac = a1 + an ⇒ 2·
Solución: La sucesión tiene 15 términos y el término central es
59.
a1 = 0 '2 , an = 4'4
a +a
S n = 34 '5 ⇒ 1 n ·n = 34 '5 ⇒ ( a1 + an )·n = 69 ⇒ 4 '6·n = 69 ⇒ n = 15
2
4 '2
a15 = 4 ' 4 ⇒ a1 + 14d = 4 '4 ⇒ 14d = 4 '4 − a1 ⇒ d =
⇒ d = 0 '3
14
a7 = a1 + 6d ⇒ a7 = 0 ' 2 + 6·0 '3 ⇒ a7 = 2
221
60.
⎧a3 + a4 = 4 ⇒ a1 + 2d + a1 + 3d = 4 ⇒ 2a1 + 5d = 4
⎪
⎨
2
⎪a11 = a8 + 2 ⇒ a1 + 10d − ( a1 + 7d ) = 2 ⇒ 3d = 2 ⇒ d = 3
⎩
2a1 + 5d = 4 ⇒ 2a1 +
10
2
1
= 4 ⇒ 2a1 = ⇒ a1 =
3
3
3
1 22
23
a12 = a1 + 11d ⇒ a12 = +
⇒ a12 =
3 3
3
1 23
+
a1 + a12
·12 ⇒ S12 = 3 3 ·12 ⇒ S12 = 48
S12 =
2
2
61.
Sean los números buscados: a1 − d , a1 , a1 + d
∑= 2 ⇒ a
1
− d + a1 + a1 + d = 2 ⇒ 3a1 = 2 ⇒ a1 =
2
3
8
8
4
83
16
4
P = − ⇒ ( a1 − d )·a1 ·( a1 + d ) = − ⇒ − d 2 = − · ⇒ d 2 = ⇒ d = ±
9
9
9
92
9
3
2 2
Solución: En cualquiera de los dos casos los números buscados son: − , , 2
3 3
62.
a1 + a8
21
21
⎫
·8 = 21 ⇒ a1 + a1 + 7d = ⇒ 2a1 + 7d = ⇒ 8a1 = 21 − 28d ⎪
2
4
4
⎬⇒
⎪
a7 = 5a4 ⇒ a1 + 6d = 5·( a1 + 3d ) ⇒ 4a1 + 9d = 0 ⇒ 8a1 = −18d
⎭
S8 = 21 ⇒
21 − 28d = −18d ⇒ 21 = 10d ⇒ d =
21
10
9 21
189
a1 = − · ⇒ a1 = −
4 10
40
21
21
63
147
231
63
399
a2 = − , a3 = − , a4 = , a5 =
, a6 =
, a7 = , a8 =
8
40
40
40
40
8
40
63.
∑= 9 ⇒ a
1
− d + a1 + a1 + d = 9 ⇒ 3a1 = 9 ⇒ a1 = 3
P = −48 ⇒ ( a1 − d )·a1 ·( a1 + d ) = −48 ⇒ 9 − d 2 = −16 ⇒ d 2 = 25 ⇒ d = ±5
Solución: En cualquiera de los dos casos los números buscados son : - 2 , 3 , 8
64.
Tenemos que calcular la suma de los 20 primeros números impares S 20 , menos los
múltiplos de 5 comprendidos entre ellos. Si llamamos 5 = {5,15, 25,35} a dichos
222
números y
∑
5 a su suma, tenemos que calcular S 20 -
∑
5
Para calcular S 20 nos damos cuenta que d = 2 , a1 = 1 ,
a20 = a1 + 19d ⇒ a20 = 1 + 19·2 ⇒ a20 = 39
S20 =
∑
a1 + a20
·20 ⇒ S20 = 400
2
5 = 5 + 15 + 25 + 35 ⇒
∑
S 20 -
∑
5 = 80
5 = 400 – 80 ⇒ S20 -∑ 5 = 320
65.
a ) Sí es una progresión geométrica de razón r = 10
b ) Si es una progresión geométrica de razón r = 2a
c ) No es una progresión geométrica
d ) No es una progresión geométrica
66.
a)r=3
3
b)r=
4
c)r= 2 2
2
d)r=
x
67.
a ) a10 = a1 ·r 9 ⇒ a10 = 2·39 ⇒ a10 = 39366
9
2 ⎛3⎞
38
b ) a10 = a1 ·r 9 ⇒ a10 = ·⎜ ⎟ ⇒ a10 = 17
3 ⎝4⎠
2
(
c ) a10 = a1 ·r 9 ⇒ a10 = 2· 2 2
)
9
⇒ a10 = 214
9
⎛ 2⎞
16 2
d ) a10 = a1 ·r ⇒ a10 = x·⎜⎜
⎟⎟ ⇒ a10 = 8
x
⎝ x ⎠
68.
a ) r = 3 , a10 = a1 ·r 9 ⇒ a10 = 4·39
9
b ) r = 5 , a10 = a1 ·r 9 ⇒ a10 = 3·59
c)r=
1
⎛1⎞
, a10 = a1 ·r 9 ⇒ a10 = 7·⎜ ⎟
2
⎝2⎠
9
69.
Creciente: 2, 6, 18, 54,...
1 1
Decreciente : 9, 3, 1, , , . . .
3 9
223
70.
a2 = 3 , a4 =
27
,
4
a4 = a1 ·r 3 = ( a1 ·r )·r 2 ⇒ a4 = a2 ·r 2 ⇒
a1 =
27
9
3
= 3·r 2 ⇒ r 2 = ⇒ r =
4
4
2
a2
3
⇒ a1 =
⇒ a1 = 2
3
r
2
5
35
⎛3⎞
a6 = a1 ·r ⇒ a6 = 2·⎜ ⎟ ⇒ a6 = 4
2
⎝2⎠
5
2,
Si
35
24
6
71.
Se trata de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica, cuyo primer
1
término es el área del triángulo inicial y la razón es r = . Sea x la longitud del lado del
4
triángulo.
3
x·
x
base.altura
x2 3
A1 =
⇒ A1 = 2 ⇒ A1 =
2
2
4
La sucesión de las áreas es la siguiente:
√
√
√
En nuestro caso:
72.
√
x2 3 x2 3 x2 3
,
,
,…
4
16
64
√
9
r = 25 , a5 = 12500
a5 = a1 ·r 4 ⇒ a1 =
a5
12500
4
⇒ a1 =
⇒ a1 =
4
4
r
25
125
73.
a3 = 12 , a7 = 192
⎧⎪a7 = 192 ⇒ a1 ·r 6 = 192 a1 ·r 6 192
⇒
=
⇒ r 4 = 16 ⇒ r = 2
⎨
2
2
a1 ·r
12
⎪⎩a3 = 12 ⇒ a1 ·r = 12
12
12
⇒ a1 = 2 ⇒ a1 = 3
2
r
2
a10 = a1 ·r 9 ⇒ a10 = 3·29 = 1536
a1 ·r 2 = 12 ⇒ a1 =
224
74.
an ·r − a1
243·3 − 3
243·3 − 3
⇒ S5 =
⇒ S5 =
⇒ S5 = 363
r −1
3 −1
3 −1
1
64·4
−
a ·r − a1
a ·r − a1
4 ⇒ S = 341
⇒ S5 = 5
⇒ S5 =
b ) r = 4 , Sn = n
5
4 −1
4
r −1
r −1
a ) r = 3 , Sn =
225
an ·r − a1
a ·r − a1
31' 25·5 − 0 ' 25
⇒ S5 = 5
⇒ S5 =
⇒ S5 = 39
r −1
r −1
5 −1
(16 x − 48 y )·2 − ( x − 3 y ) ⇒ S = 31x − 93 y
a ·r − a1
⇒ S5 =
d ) r = 2 , S5 = 5
5
r −1
2 −1
c ) r = 5 , Sn =
75.
r=2
a9 = 1280 ⇒ a1 ·r 8 = 1280 ⇒ a1 =
1280
1280
⇒ a1 = 8 ⇒ a1 = 5
8
r
2
a5 = a1 ·r 4 ⇒ a5 = 5·24 ⇒ a5 = 80
Sn =
an ·r − a1
a ·r − a1
80·2 − 5
⇒ S5 = 5
⇒ S5 =
⇒ S5 = 155
r −1
r −1
2 −1
76.
Sean
a1
, a1 , a1 ·r los números buscados
r
P = 3375 ⇒ a13 = 3375 ⇒ a1 = 15
a1
+ a1 + a1 ·r = 65 ⇒ a1 + a1 ·r + a1 ·r 2 = 65r ⇒ 15 + 15r + 15r 2 − 65r = 0 ⇒
r
1
⎧
⎪r =
2
2
⇒ 15r − 50r + 15 = 0 ⇒ 3r − 10r + 3 = 0 ⇒ ⎨
3
⎪⎩ r = 3
Solución: Los números buscados son: 5 , 15 , 45
S = 65 ⇒
77.
a3 + a4 = 180 ⇒ a1 ·r 2 + a1 ·r 3 = 180 ⇒ a1r 2 (1 + r ) = 180 ⎫⎪
⎬⇒
a5 + a6 = 45 ⇒ a1 ·r 4 + a1 ·r 5 = 45 ⇒ a1r 4 (1 + r ) = 45 ⎪⎭
a1 r 2 (1 + r )
a1 r (1 + r )
4
=
180
1
1
1
⇒ 2 = 4 ⇒ r2 = ⇒ r =
45
r
4
2
Sustituyendo en cualquiera de las dos ecuaciones obtenemos a1 = 480
480
⇒ a6 = 15
25
1
− 480
15·
a6 ·r − a1
2
S6 =
⇒ S6 =
⇒ S6 = 945
1
r −1
−1
2
78.
r=3
567
567
a5 = 567 ⇒ a1 ·r 4 = 567 ⇒ a1 = 4 ⇒ a1 =
⇒ a1 = 7
r
81
Solución : a2 = a1 ·r ⇒ a2 = 21
a6 = a1 ·r 5 ⇒ a6 =
226
79.
a2 = 2r ⇒ a1 ·r = 2r ⇒ a1 = 2
3
3
3
a6 = a1 ·r 5 ⇒ a6 = 2·35 ⇒ a6 = 486
S6 =
a6 ·r − a1
486·3 − 2
⇒ S6 =
⇒ S6 = 728
r −1
3 −1
80.
a)
2
2
2
+
+
+…
10 100 1000
Se trata de la suma de los miembros de una progresión geométrica de infinitos términos
2
1
con a1 = , r =
10
10
2
2
a
2
2
N = 1 = 10 = 10 = ⇒ N =
1
9
1− r 1−
9
9
10 10
b)
18
18
N = 0 '1818… = 0 '18 + 0 '0018 + … =
+
+…
100 10000
Se trata de la suma de los miembros de una progresión geométrica de infinitos términos
18
1
con a1 =
, r=
100
100
18
18
a1
18
2
N=
= 100 = 100 =
⇒ N=
99 99
1− r 1− 1
11
100 100
c)
N = 0 ' 222… = 0 ' 2 + 0 '02 + 0 '002 + … =
27
27
+
+…
100 10000
Se trata de la suma de los miembros de una progresión geométrica de infinitos términos
27
1
con a1 =
, r=
100
100
27
27
a
27
3
N = 1 = 100 = 100 =
⇒ N=
99 99
1− r 1− 1
11
100 100
N = 0 ' 2727 … = 0 ' 27 + 0 '0027 + … =
227
d)
36
36
+
+…
100 10000
Se trata de la suma de los miembros de una progresión geométrica de infinitos términos
36
1
con a1 =
, r=
100
100
36
36
a1
36
4
N=
= 100 = 100 =
⇒ N=
99 99
1− r 1− 1
11
100 100
N = 0 '3636… = 0 '36 + 0 '0036 + … =
81.
a ) a1 = 27 , r =
1
3
27
81
a1
⇒ S∞ =
⇒ S∞ =
1
1− r
2
1−
3
7
1
, r=
a1 =
100
10
7
a1
7
=
⇒ S∞ = 100 ⇒ S∞ =
1
1− r
99
1−
100
3
2
a1 =
, r=
2
3
3
3
a1
=
⇒ S∞ = 2 ⇒ S∞ = 2 ⇒ S∞ =
2
1− r
3−2
2
1−
3
3
1
a1 = 2'15 , r =
2
2 '15
2 '15
a1
=
⇒ S∞ =
⇒ S∞ =
⇒ S∞ = 4 '3
1
1− r
0
'5
1−
2
S∞ =
b)
S∞
c)
S∞
d)
S∞
82.
r=
(
3
3−2
)
2
125
, a1 =
5
2
125
125
a1
625
S∞ =
⇒ S∞ = 2 ⇒⇒ S∞ = 2 ⇒ S∞ =
2
3
1− r
6
1−
5
5
83.
a ) N = 0 ' 2666… = 0 ' 2 + 0 '06 + 0 '006 + … = 0 ' 2 +
6
6
+
+…
100 1000
228
Se trata de la suma de 0’2 y de los miembros de una progresión geométrica de infinitos
6
1
términos con a1 =
, r=
100
10
6
6
a
1
1
S∞ = 1 = 100 = 100 = ⇒ S∞ =
9
1− r 1− 1
15
15
10 10
1 1 1 3 +1
4
N = 0'2 + = + =
⇒ N=
15 5 15 15
15
6
6
+
+…
100 1000
Se trata de la suma de 1’1 y de los miembros de una progresión geométrica de infinitos
6
1
términos con a1 =
, r=
100
10
6
6
a1
1
1
S∞ =
= 100 = 100 = ⇒ S∞ =
9
1− r 1− 1
15
15
10 10
7
1
11 1
33 2 35 7
11
6
15 10 15
30
30 6
b ) N = 1'1666… = 1'1 + 0 '06 + 0 '006 + … = 1'1 +
6
6
+
+…
1000 10000
Se trata de la suma de 0’41 y de los miembros de una progresión geométrica de infinitos
6
1
términos con a1 =
, r=
1000
10
6
6
a
1
1
S∞ = 1 = 1000 = 1000 =
⇒ S∞ =
9
1− r 1− 1
150
150
10
10
1
41
1
125
5
N = 0 ' 41 +
=
+
=
⇒ N=
150 100 150 300
12
72
72
+
+ … Se
d ) N = 0 ' 227272… = 0 ' 22 + 0 '0072 + 0 '000072 + … = 0 ' 22 +
10000 1000000
trata de la suma de 0’22 y de los miembros de una progresión geométrica de infinitos
72
1
términos con a1 =
, r=
10000
100
72
72
a
2
2
S∞ = 1 = 10000 = 10000 =
⇒ S∞ =
99
1− r 1− 1
275
275
100
100
2
22
2
5
N = 0 '22 +
=
+
⇒ N=
275 100 275
22
c ) N = 0 '41666… = 0 '41 + 0 '006 + 0 '0006 + … = 0 '41 +
229
84.
a)
6 '2 = 6 '222… = 6 + 0 '222…
2
2
2
+
+
+…
10 100 1000
Se trata de la suma de los miembros de una progresión geométrica de infinitos términos
2
1
con a1 = , r =
10
10
2
2
a
2
2
N = 1 = 10 = 10 = ⇒ N =
9 9
1− r 1− 1
9
10 10
2
56
6'2 = 6 + ⇒ 6'2 =
9
9
b)
2 '54 = 2 '5444… = 2 '5 + 0 '0444…
4
4
N = 0 '0444… = 0 '04 + 0 '004 + … =
+
+…
100 1000
Se trata de la suma de los miembros de una progresión geométrica de infinitos términos
4
1
con a1 =
, r=
100
10
4
4
a1
2
2
N=
= 100 = 100 =
⇒ N=
9
1− r 1− 1
45
45
10 10
2 25 2
229
2 '54 = 2 '5 +
=
+
⇒ 2 '54 =
45 10 45
90
N = 0 ' 222… = 0 ' 2 + 0 '02 + 0 '002 + … =
85.
5 212121 … .
5
0 21
0 0021
21
21
+
+…
100 10000
Se trata de la suma de los miembros de una progresión geométrica de infinitos términos
21
1
con a1 =
, r=
100
100
21
21
a
21
7
N = 1 = 100 = 100 =
⇒ N=
99 99
1− r 1− 1
33
100 100
7
172
5 212121 … . 5 0 21 0 0021
5
33
33
N = 0 ' 2121… = 0 ' 21 + 0 '0021 + … =
230
86.
64
r
64
1
a
= 256 (1 − r ) ⇒ 256r 2 − 256r + 64 = 0 ⇒ r =
S∞ = 256 ⇒ 1 = 256 ⇒
1− r
2
r
64
⇒ a1 = 128
a1 =
r
128
a8 = a1 ·r 7 ⇒ a8 = 7 ⇒ a8 = 1
2
a2 = 64 ⇒ a1 ·r = 64 ⇒ a1 =
87.
Construimos la siguiente progresión:
n = 4 , a1 =
2
9
, a4 = x3
3
4
2
9
, a2 , a3 , x 3
3
4
a
an = a1 ·r n −1 ⇒ a4 = a1 ·r 3 ⇒ r = 3 4 ⇒ r =
a1
Solución: los números buscados son: x ,
3 2
x
2
88.
Se trata de una progresión geométrica en la que
3 3
3
9 3
x
3
4 ⇒ r = 3 27 x ⇒ r = 3 x
2
8
2
3
3,
3
243
363
89.
a1
·a1 ·a1r = 13824 ⇒ a13 = 13824 ⇒ a1 = 24
r
⎧r = 2
a1
⎪
2
S = 84 ⇒ + a1 + a1r = 84 ⇒ 2r − 5r + 2 = 0 ⇒ ⎨
1
r
⎪⎩r = 2
Solución: los números buscados son: 12, 24, 48
P = 13824 ⇒
90.
Sean a1 , a2 , a3 los números buscados.
⎧a2 = 14 + a1 ⇒ a2 ·r = 14·r + a1 ·r
⇒ 14r + a1r = 42 + a1r ⇒ 14r = 42 ⇒ r = 3
⎨
⎩a3 = 42 + a2 ⇒ a2 ·r = 42 + a2
a2 = 14 + a1
⎫
⎬ ⇒ 14 + a1 = 3a1 ⇒ a1 = 7
a2 = a1 ·r ⇒ a2 = 3a1 ⎭
Solución: los números buscados son: 7 , 21 , 63
231
91.
Se trata de una progresión geométrica de n términos en la que :
a1 = 1 = 30 , r = 3
La progresión es: 1, 3,32 ,33...
La suma de los términos de la progresión es 1093.
an ·r − a1
a ·3 − 1
= 1093 ⇒ n
= 1093
r −1
3 −1
⇒ an = 729 ⇒ a1 ·r n = 729 ⇒ 3n = 36 ⇒ n = 6
Sn = 1093 ⇒
La progresión consta de los términos: 1,3,32 ,33 ,34 ,35 ,36
Solución: Al cabo de 5 ·6 = 30 minutos saben la historia los 1093 alumnos del instituto.
92.
Se trata de una progresión geométrica en la que a1 = 1 , r = 2,
2048
2048
2
2048
2
2
11
En la duplicación número 11, se obtienen las 2048 células. Como cada duplicación tarda
5 minutos, el tiempo empleado es 5·11= 55 minutos
93.
Se trata de la suma de las áreas de los infinitos cuadrados que se forman de la manera
indicada.
232
Sea el lado del cuadrado inicial y
el área correspondiente;
el área correspondiente, y así sucesivamente.
cuadrado y
La progresión de las áreas es la siguiente:
el lado del segundo
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
4
2
1
1
1
2
2
2
8
2
…………………………………………………….
1
2
,
Las áreas forman una progresión geométrica en la que
2
Su suma es:
( 2)
En nuestro caso, S∞ = 2·
2
⇒ S∞ = 4 cm 2
94.
Sean a − d , a , a + d las longitudes de los lados del triángulo rectángulo
Por el Teorema de Pitágoras sabemos que:
a
2
2
( a + d ) = ( a − d ) + a2 ⇒ d =
4
S = 48 ⇒ 3a = 48 ⇒ a = 16
4
Solución: las medidas de los dos catetos son 12 cm y 16 cm y , la hipotenusa mide 20
cm
95.
Leyendo cuidadosamente el enunciado tenemos:
“En un campamento de verano hay 7 niños. Al año siguiente acuden al mismo
campamento 10 niños más y cada año acuden 10 niños nuevos.
En este caso tenemos una progresión aritmética de 9 términos, en la que a1 = 7 , d = 10,
n=9
Tenemos que calcular el término a9 .
a9 = a1 + 8d ⇒ a9 = 7 + 8·10 ⇒ a9 = 87
La progresión es la siguiente : 7 , 17 , 27 , 37 , ... , 87
En el campamento de al lado sólo hay 2 niños, pero al cabo de un año llegan 4
nuevos niños. Al año siguiente se matriculan en el campamento los mismos niños
que había el año anterior a los que además se incorporan el doble de los que se
incorporaron nuevos el año anterior, y así sucesivamente. Calcula cuántos niños hay
en cada campamento al cabo de 9 años.”
233
En el primer año son a1 = 2 niños
En el segundo año son a2 = a1 + 22 = 2 + 22 niños
En el tercer año son
2
a3 = 2 + 2 2 + 23 niños
.....................................................................
En el noveno año son a9 = 2 + 2 2 + 23 + … + 29 niños
2 + 2 2 + 23 + … + 29 =
29 ·2 − 2
= 1022 ⇒ a9 = 1022
2 −1
Solución: Al cabo de nueve años en el primer campamento hay 87 niños y en el
segundo campamento 1022 niños.
96.
Apuesta
Primera
Segunda
Tercera
Cuarta
Quinta
Gana
100 €
200 €
400 €
800 €
0€
Pierde
0
0
0
0
800 + 400 + 200 + 100 = 1500 €
AUTOEVALUACIÓN PAG. 135
1.
a5 = 2 ⇒ a1 + 4d = 2 ⎫
⎬ ⇒ 3d = 6 ⇒ d = 2 ⇒ a1 = −6
a8 = 8 ⇒ a1 + 7d = 8 ⎭
a51 = a1 + 50d ⇒ a51 = −6 + 50·2 ⇒ a51 = 94
234
2.
Construimos la siguiente progresión: 3 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , 27
n = 7 , a1 = 3 , a7 = 27
27 3
1
7 1
Solución: Los números buscados son: 7 , 11 , 15 , 19 , 23
1
4
3.
Se trata de una progresión aritmética: 360, 390, 420 ..., 930 en la que a1 = 360 , d = 30
.Tenemos que calcular el número n de términos.
an = 930 ⇒ a1 + ( n − 1)·d = 930 ⇒ 360 + ( n − 1)·30 = 930 ⇒ n = 20
Solución: Tardó 20 meses en pagar el coche.
4.
Para llenar de agua las cinco primeras conchas, todos los trayectos que hace son de ida y
vuelta.
Sean a1 el trayecto de ida desde la orilla a la 1ª concha y a5 el trayecto desde la orilla a
la 5ª concha.
a1 = 15 m y
15 2 4 23 m
Como el trayecto es de ida y vuelta:
( a + a )·5
S5 = 2· 1 5 ⇒ S5 = ( a1 + a5 )·5 ⇒ S5 = ⎡⎣15 + (15 + 2·4 )⎤⎦·5 ⇒ S5 = 190
2
Para llenar la sexta concha sólo hace el camino de ida (desde la orilla hasta la 6ª concha)
a6 = 15 + 2·5 = 25 m
Solución: Recorre 190 + 25 =215 m
5.
Se trata de calcular la suma de los n primeros números pares:
Sn = 2 + 4 + 6 + …
Tenemos una progresión aritmética en la que a1 = 2 , d = 2 ,
an = a1 + ( n − 1)·d ⇒ an = 2 + ( n − 1)·2 ⇒ an = 2n
Sn =
2·(1 + n )
a1 + an
2 + 2n
·n ⇒ S n =
·n ⇒ S n =
·n ⇒ S n = n·( n + 1)
2
2
2
6.
a1 ·r = 39
⎫
2
⎬ ⇒ r = 169 ⇒ r = 13
3
a1 ·r = 6591⎭
Si r = 13 ⇒ a1 = 3 ⇒ a3 = a1 ·r 2 ⇒ a3 = 3·132 ⇒ a3 = 507
S4 =
a1 + a4
3 + 6591
·4 ⇒ S4 =
·4 ⇒ S 4 = 13188
2
2
235
7.
Construimos la siguiente progresión:
n = 5 , a1 =
2
, a5 = 10
5
2
, a2 , a3 , a4 , 10
5
√25
Solución: los números buscados son:
√5
2 5
, 2 , 2√5
5
8.
Sean
a
, a, ar las medidas de las aristas del prisma.
r
a
V = 1728 ⇒ ·a·ar = 1728 ⇒ a 3 = 1728 ⇒ a = 12
r
a
S = 63 ⇒ + a + ar = 63 ⇒ a + ar + ar 2 = 63r ⇒ 12r 2 − 51r + 12 = 0 ⇒
r
17 ± 289 − 64
⇒r=4
4r 2 − 17 r + 4 = 0 ⇒ r =
8
Solución: Las medidas son 3 m , 12 m y 48 m
Si consideramos la solución
la solución sería la misma.
9.
46
46
+
+…
100 10000
Se trata de la suma de 3 y de los miembros de una progresión geométrica de infinitos
46
1
términos con a1 =
, r=
100
100
46
46
a1
46
S∞ =
= 100 = 100 ⇒ S∞ =
99
1− r 1− 1
99
100 100
46 343
3
99
99
N = 3' 4646… = 3 + 0 ' 46 + 0 '0046 + … = 3 +
10.
Se trata de la suma de los miembros de la siguiente progresión geométrica:
1,3,32 ,… ,3 9
Los datos son: a1 = 1 , a10 = 3 9 , r = 3
a10 ·r − a1
39 ·3 − 1
⇒ S10 =
⇒ S10 = 29524
S10 =
r −1
3 −1
236
OLIMPIADA MATEMÁTICA PAG. 137
1.Bastará probar que a partir de un cuadrado perfecto podemos construir otro. Sea la
progresión : a2 , a2 + d, a2 + 2d, ..., a2 + kd...
Como (a + d )2 = a2 + 2ad + d 2 = a2 + d ⋅ (2a + d ) , bastará tomar k = 2a + d para obtener
otro cuadrado en la progresión.
237
UNIDAD 8. Geometría plana
ACTIVIDADES PAG. 140
1.
a ) Acutángulo , escaleno
b ) Obtusángulo , escaleno
c ) Rectángulo , isósceles
d ) Acutángulo, equilátero
2.
a ) 40 º
b ) Este triángulo no existe
c ) 65º
d ) 69’6º
ACTIVIDADES PAG. 141
3.
Triángulo isósceles
Triángulo
equilátero
I
C
OI
BC
B
O
Como puedes observar, en el triángulo isósceles todos los puntos notables se encuentran
en la misma altura y la recta de Euler coincide con dicha altura.
En el triángulo equilátero, todos los puntos notables coinciden.
238
ACTIVIDADES PAG. 142
4.
2 12
6 12
4 12
= ⇒ x=3 ,
=
⇒ y =6 , = ⇒ z =9
x 18
z 18
y 18
ACTIVIDADES PAG. 143
5.
No son semejantes porque los lados no son proporcionales.
6.
Los ángulos medirán lo mismo: 45º, 60º y 75 º
ACTIVIDADES PAG. 145
7.
Sea x la longitud de la altura.
2 8
4
8.
Sea x la altura del poste.
8 8
8
239
9.
Aplicación del Teorema de la altura: altura2 = 20 · 50 ⇒ altura = 10 10 ≅ 31.62 m
ACTIVIDADES PAG. 146
10.
Aplicamos el teorema del cateto:
9
10 125
8
ACTIVIDADES PAG. 147
11.
Sea x la medida del cateto en centímetros ⇒ 17 2 = 82 + x 2 ⇒ x = 15
Solución: El otro cateto medirá 15 cm
12.
Sea x la medida de la hipotenusa en centímetros ⇒ x 2 = 6 2 + 82 ⇒ x = 10
Solución: La hipotenusa mide 10 cm
13.
10
24
100
576
26
ACTIVIDADES PAG. 148
14.
a ) Rombo , b ) Trapezoide , c ) Trapecio isósceles , d ) Rectángulo
240
ACTIVIDADES PAG. 149
15.
7
13
x
5
17
132 = x 2 + 52 ⇒ x = 12
A=
( B + b )·altura = (17 + 7 )·12 ⇒
2
2
16.
Aplicando la fórmula : A =
A = 144cm 2
( B + b )·altura = ( 7 + 3)·3 ⇒
2
2
Suma ( área del cuadrado + área triángulo ) = 3 · 3 +
A = 15cm 2
4·3
⇒
2
A = 15 cm2
17.
10
Ap
5
10 2 = 52 + Ap 2 ⇒ Ap = 5 3
Perímetro· Apotema
10·6·5 3
⇒ Área =
⇒ Área = 150 3 cm 2 ⇒
2
2
2
Área= 259’81 cm
Área =
241
ACTIVIDADES PAG. 150
18.
L=
2·π ·r ·n
2·π ·5·30
5
⇒L=
⇒ L = π m ⇒ L ≅ 2 '62 m
360
360
6
19.
A=
π ·r 2 ·n
360
⇒ A=
π ·12 2 ·60
360
⇒ A = 24π m 2 ⇒ A ≅ 75 ' 4 m 2
ACTIVIDADES PAG. 151
20.
A = π (122 − 42 ) ⇒ A ≅ 128π m 2 ⇒ A = 402 '12 m 2
ACTIVIDADES PAG. 152
242
21.
22.
23.
243
DESAFÍO MATEMÁTICO PAG. 154
244
1.
En la figura aparecen los datos en cm. Resolviendo el problema en centímetros, y
aplicando el teorema de Pitágoras tenemos:
√
En el caso que
√
√
√
10
En el caso del D.N.I.,
53 38
10
16 18
√
5338
√
.
8637
2. La figura está realizada con Geogebra, así como el cálculo aproximado de las
longitudes parciales de la espiral.
245
Sea
la longitud del lado menor del rectángulo inicial.
√
Fijándonos en la figura, vemos que
√5 1
2
a
√5 1 √5 1
2
2
3
√5 1 3 √5
2
2
√5 1
√5 2
2
√5 1
2
√5 1
2
La longitud del primer arco es
√5
2
7
3√5
2
º
√
La longitud del segundo arco es
La longitud del tercer arco es
√
La longitud del cuarto arco es
√5
La longitud del quinto arco es
√
2
√
La suma pedida es
En nuestro caso,
√5
2
6
la suma pedida es
6
√
22 45 cm
3.
En cada arco, la superficie a acristalar es, en su parte rectangular de 1 74 m .
En la parte superior, tenemos media circunferencia, cuya superficie viene dada por la
expresión
, en nuestro caso la superficie es
Como son 23 arcos, la superficie a acristalar es de: 23
05
1 74
m .
23
49 m
El precio total del cristal necesario, para acristalar el claustro de Santa María de
Alquézar en las condiciones dadas, es de 18 49=882 €
246
ACTIVIDADES FINALES PAG. 156
24. h 2 = 52 + 12 2 ⇒ h = 13 cm
25.
5
x
3
52 = x 2 + 32 ⇒ x = 4 cm
247
26.
13
a
12
132 = 12 2 + a 2 ⇒ a = 5
27.
L
a
L/2
2
3
3
⎛L⎞
L = a + ⎜ ⎟ ⇒ a 2 = L2 ⇒ a =
L
4
2
⎝2⎠
2
2
28.
a=
3
3
L⇒a=
· 3 3 ⇒ a = 4 '5 m
2
2
( )
29.
D
x cm
D 2 = x 2 + x 2 ⇒ D 2 = 2 x 2 ⇒ D = x 2 cm
30.
Si el lado del cuadrado mide x cm ⇒ x 2 = 12 + 12 ⇒ x = 2 cm
Aplicando el ejercicio anterior:
√2 cm
248
31.
12
5
P1
P2
hipotenusa 2 = 52 + 122 ⇒ h = 13
25
⇒ p1 ≅ 1'92 cm
13
144
Cateto22 = hipotenusa· p 2 ⇒ 122 = 13· p 2 ⇒ p 2 =
⇒ p 2 ≅ 11'08 cm
13
Cateto12 = hipotenusa· p1 ⇒ 52 = 13· p1 ⇒ p1 =
Área = 30 cm 2
cm
4 6 cm
32.
x
a
P1=5
x
p2
Por el teorema de Pitágoras: x 2 + x 2 = ( 5 + P2 ) ⇒ 2 x 2 = 25 + 10 P2 + P2 2
2
Por el teorema del cateto: x 2 = ( P2 + 5 )·5 ⇒ x 2 = 5 P2 + 25
10 P2 + 50 = 25 + 10P2 + P2 2 ⇒ P2 2 = 25 ⇒ P2 = 5
Por el teorema de la altura: a 2 = 5·P2 ⇒ a = 5
Aplicando el teorema de Pitágoras ( en el triángulo amarillo ) :
x 2 = 25 + a 2 ⇒ x = 5 2
Área triángulo = 25 m2
33.
Aplicando el teorema de la altura:
16 81
4 9
36 m
249
34.
El triángulo es rectángulo, aplicando el teorema del cateto:
xm
40 m
90 m
90 40
3600
60 m
35.
21
20
a
m
n
Por el teorema de Pitágoras: h = 202 + 212 ⇒ h = 29
20 2
⇒ m ≅ 13'79
29
212
Por el teorema del cateto: 212 = 29·n ⇒ n =
⇒ n ≅ 15 ' 21
29
Por el teorema de la altura:
Por el teorema del cateto: 20 2 = 29·m ⇒ m =
a 2 = m·n ⇒ a 2 =
20 2 212
20·21
·
⇒a=
⇒ a ≅ 14 ' 48
29 29
29
Solución: altura = 14 ' 48 cm
36.
El ortocentro queda sobre el vértice del ángulo recto.
250
Como se aprecia en la figura, en un triángulo rectángulo su hipotenusa coincide con el
diámetro de la circunferencia circunscrita.
37.
C
En un triángulo rectángulo, las tres mediatrices coinciden en el punto medio de la
hipotenusa.
38.
Ortocentro
A
C
B
Circuncentro
Triángulo
obtusángulo
Observa que en el triángulo acutángulo el ortocentro y el circuncentro quedan dentro del
triángulo , mientras que en el triángulo obtusángulo quedan fuera.
En el triángulo rectángulo el ortocentro queda sobre el vértice del triángulo rectángulo y
el circuncentro queda en el punto medio de la hipotenusa.
251
39.
40.
El ortocentro del triángulo menor coincide con el circuncentro del triángulo mayor.
41.
10 6
= ⇒ x=3
5 x
Solución: el cuarto segmento proporcional mide 3 cm
42.
Sí son semejantes porque tienen los tres ángulos iguales.
43.
No podemos afirmar que sean semejantes porque, si bien tienen dos lados
proporcionales y un ángulo igual, éste no es el ángulo comprendido entre los lados.
252
44.
C'
C
12
A
18
6
B
A'
9
B'
Sí son semejantes. Tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido es igual
.
253
45.
Sí son semejantes por tener los tres ángulos iguales (
iguales,
90º y forzosamente
)
Además tienen los lados paralelos.
opuestos por el vértice son
46.
En ambos casos basta con uno.
En el triángulo rectángulo ya tienen igual el ángulo rectángulo, si tienen uno igual el
tercero forzosamente tiene que coincidir.
En el triángulo isósceles los ángulos en la base son iguales.
47.
Siendo A’ y B’ los puntos medios de los lados AB y BC, al unirlos obtenemos el
segmento A’B’. Consideremos ahora los triángulos ABC (verde) y A’BC’ (azul).
Observamos la semejanza de ambos triángulos (tienen un ángulo en común y sus lados
BA' BB' 1
son proporcionales), siendo la razón de proporcionalidad la siguiente:
=
=
BA BC 2
por ser A’ y B’ los puntos medios de sus respectivos lados.
Al ser los dos triángulos semejantes y tener el ángulo ABC y A’BC’ común se sigue
inmediatamente que los segmentos AC y A’B’ son paralelos y los tres lados son
BA' BB' A' B' 1
AC
=
=
= ⇒ A’B’ =
proporcionales ⇒
, como queríamos demostrar.
BA BC
AC 2
2
48.
Sea L la longitud del lado.
1
2
⇒ L=
2
2
1
Perímetro = 2 2 ≅ 2’83 cm; Área = =0’5 cm2
2
49.
A = L2 ⇒ 25 = L2 ⇒ L = 5
L2 + L2 = 1 ⇒ L =
D = L 2 ⇒ D = 5 2 cm
Solución: Diagonal = 5 2 ≅ 7’07 cm
50.
Área= 30 cm2
Perímetro = 22 cm
Diagonal = 7’81 cm
254
51. Perímetro = 4 · 2’5 ⇒ Perímetro = 10 cm
18
⇒ Lado = 4 '5 cm
4
5·2 5
53. Área =
⇒ Área = 5 m 2
2
54.
52. Lado =
x
4
3
7
5
3
Sea la medida del lado, y sea la medida de la altura del trapecio
5
Perímetro = 30 ⇒ 20 + 2 = 30 ⇒
3
4
Aplicando el teorema de Pitágoras: 5
( B + b )·altura ⇒ A = (13 + 7 )·4 ⇒ A = 40 cm 2
A=
2
2
55. A =
D·d
D·30
⇒ 225 =
⇒ D = 15 m
2
2
56.
D
b
a
P = 30 ⇒ 2 a + 2 b = 30 ⇒ a + b = 15
2
a 2 + b 2 = D 2 ⇒ a 2 + b 2 = 125 ⇒ a 2 + (15 − a ) = 125
Solución: Área = 50 cm 2
57.
D
L
Sea R el radio de la circunferencia y D el diámetro de la circunferencia (que coincide
con la diagonal del cuadrado).
255
Longitud circunferencia = 2πR ⇒ 20 π = 2πR ⇒ 20 = 2 R ⇒ R = 10 ⇒
D = 2R ⇒ D = 20
D
,
Como L =
2
Área cuadrado = L2 ⇒ Área cuadrado =
D2
⇒ Área cuadrado = 200 cm 2
2
58.
Sea L la longitud del lado del cuadrado, D la diagonal del cuadrado, que coincide con
el diámetro de la circunferencia asociada y R el radio de dicha circunferencia.
D
Recordemos que L =
2
D2
Área cuadrado = 100 ⇒ L2 = 100 ⇒
= 100 ⇒ D 2 = 200 ⇒
2
2
D = 10 2 ⇒ R = 5 2 ⇒ R = 50
Área círculo = π R2 ⇒ Área círculo = 50π m 2
59.
20
25
20
x
252 = 20 2 + x 2 ⇒ x = 15
( 35 + 20 )·20 ⇒ Área = 550 dm 2
Área =
2
60.
L
ap
L/2
2
3
⎛L⎞
L = ap + ⎜ ⎟ ⇒ ap =
L
2
⎝2⎠
Perímetro·apotema ( 6 L )·ap
Área hexágono =
=
= 3L·ap ⇒ Área hexágono = 3 3 L2
2
2
2
61.
2
2
256
3 3 2
L
2
2 4
2
3 3 2
L=
· 27 ⇒ L2 =
27 ⇒ Área hexágono =
· 27 = 81
2 3
3
3
Área hexágono =
Área hexágono = 9 m2
62.
R
ap
2
Área círculo = 20 π ⇒ π R2 = 20 π ⇒ R2 = 20
R2 = ap2 + 4 ⇒ ap2 = 20 – 4 ⇒ ap = 4
Perímetro·apotema 32·ap
=
= 16·ap ⇒
Área hexágono =
2
2
63.
Área = 49 π - 16 π ⇒
64. Á
225
65.
A=
66.
A=
67.
A=
π ·r 2 ·n
360
π ·r 2 ·n
360
360
Área = 33 π ≅ 103’67 m2
144
⇒ A=
⇒ A=
π ·25 2 ·90
Área = 64 m2
−
81
π ·6 2 ·10
360
⇒
π ·12 2 ·60
360
π ·20 2 ·90
360
⇒
A = π cm2
⇒ A = 24 π ⇒
A=
A = 75’4 m2
225π
≅ 176’71 cm2
4
257
68.
Área círculo asociado de radio R = 4 · Área círculo radio r.
Longitud circunferencia asociada al círculo de radio r = 24 π ⇒ 2 π r = 24 π ⇒ r = 12
Área círculo asociado de radio R = 4 · Área círculo radio r = 4 π 122
π R2 = 4 π 122 ⇒ R2 = 4·122 ⇒ R = 2 · 12 ⇒ R = 24
Longitud circunferencia de radio R = 2·π· 24
Longitud circunferencia de radio R = 48 π cm ≅ 150’8 cm
258
69.
A=
A=
π ·10 2
4
−
10·10
2
A= 25π -50 cm2 ≅ 28’54 cm2
⇒
70.
-3
Área =
2
⎛3⎞
Área = 9 – 3 · π · ⎜ ⎟ ⇒
⎝4⎠
71.
Área = 9 −
27·π
≅ 3’7 cm2
16
R = 2·r = 2 · 2 = 4 m
=
Área zona verde
-
Área zona verde = π R 2 − π r 2 = 16 π - 4 π = 12 π ≅ 37’7 cm 2
Área = 12π ≅ 37’7 cm 2
72.
Área = área trapecio – área circunferencia (R = 4) – 2 área circunferencia (r = 2)
18 + 8
·8 − 16π − 2·4π ⇒ Área = 104 − 24π ≅ 28'6 m 2
Área =
2
73.
Área =
1
π R 2 ⇒ Área = 32π ≅ 100 '53 m 2
2
74.
12 m
3m
xm
2'4
a
Llamemos a la altura buscada x. Vemos que los triángulos son semejantes.
259
12 9 '6
=
⇒ a = 3'75
a
3
2'4
x
0'75
2 ' 42 = x 2 + 0 '752 ⇒ x ≅ 2 ' 28 m
75.
Nuevamente tenemos dos triángulos semejantes.
1'9
x
2'4
3
76.
1'9
x
=
⇒ x = 1'52 m
3 2 '4
x 3
= ⇒ x = 5' 25 m
14 8
77.
25
260
78.
Aplicación del teorema de Pitágoras: 49 = 9 + a2 ⇒ altura ≅ 6 '32 m
79.
12 x
= ⇒ x=9 m
4 3
80.
1 revolución de la rueda = 2· π · 0’4 = 0’8 π m
1 circuito completo = 200 revoluciones de la rueda = 200 · 0’8π =160 π m
La carrera = 10 circuitos completos = 1600 π ≅ 5026'55 metros
AUTOEVALUACIÓN PAG. 159
1. h 2 = 50 2 + 482 ⇒ h = 4804 ⇒ h = 2 1201 ⇒ h ≅ 69 '31 cm
2.
12 m
9 16
h
a
b
9
25
a 2 = 92 + 122 ⇒ a = 15 m
b 2 = 122 + 16 2 ⇒ b = 20 m
261
3.
x
x
h
x/2
2
x2
3
3
⎛ x⎞
x2 = ⎜ ⎟ + h2 ⇒ h2 = x 2 − ⇒ h2 = x 2 ⇒ h =
x cm
4
4
2
⎝2⎠
4. No son semejantes, ya que si bien dos lados son proporcionales, el tercero no.
5.
6.
x
4
= ⇒ x=8m
2 '5 5
a
12
=
⇒ a = 36 m
117 39
b 117
=
⇒ b = 39 m
13 39
c 117
=
⇒ c = 42 m
14 39
7. Aplicamos el resultado del problema 3 ⇒ h =
3 14
3
·
⇒ h = 7 cm
x⇒ h=
2 3
2
8.
2
9
2
h
Raíz (29)
9m
9.
29 = h 2 + 4 ⇒ h = 5
( B + b )·h ⇒ A = (13 + 9 )·5 ⇒ A = 55 m 2
Área =
2
2
2
2
π ·r ·n
π ·4 ·30
4π 2
Área =
⇒ A=
⇒ A=
m
360
360
3
262
10.
=
-
Área figura dada = 4 - π 12 ⇒ A = 4 − π cm 2 ⇒ A ≅ 0 '86 cm 2
OLIMPIADA MATEMÁTICA PAG. 161
1. El área utilizada por las cuatro es un círculo de 50 m de radio, es decir,
Área = 502 π m2
La que queda sola ha de pastar sobre un cuadrante de círculo cuya superficie sea la misma:
πx 2
= π ⋅ 502 ⇒ x = 100 m
4
Justamente la longitud del campo.
2. Es la cuarta parte del área del cuadrado. El área es de 4 unidades de superficie.
263
UNIDAD 9. Poliedros
ACTIVIDADES PAG. 164
1. 12
2. 6
3. 7
ACTIVIDADES PAG. 165
4. 4 + 4 = 6 + 2, (C = V = 4, A = 2)
5. 8 + 6 = 12 + 2, (C = 8, V = 6, A = 12)
ACTIVIDADES PAG. 166
6.
AT = 2·5·6 + 2·6·7 + 2·5·7 = 214 cm 2
AL = 2·6·7 + 2·5·7 = 154 cm 2
7.
AL = 6·3·5 = 90 cm 2
3 3 2
L , siendo L la longitud de la arista básica. En nuestro caso L = 3 ⇒
2
27 3
AB =
≅ 23'38 cm 2
2
AB =
AT = AL + 2 AB ⇒ AT = 90 + 27 3 ⇒ AT ≅ 136 '77 cm 2
264
ACTIVIDADES PAG. 167
8. AT = 2·4·7 + 2·4·9 + 2·7·9 ⇒ AT = 254 cm 2
9. AT = 6·3·3 ⇒ AT = 54 m 2
10.
AB =
3 3 2
L , siendo L la longitud de la arista básica. En nuestro caso L = 6 ⇒
2
AB = 54 3 ⇒ AB ≅ 93 '53 m 2
V = AB ·h ⇒ V ≅ 93'53·8 ⇒ V ≅ 748 ' 24 m 3
11. V = 103 ⇒ V = 1000 m 3
12. d = 32 + 52 + 12 2 ⇒ d ≅ 13'34 m
ACTIVIDADES PAG. 168
13.
14.
6,00 cm
4,00 cm
265
ACTIVIDADES PAG. 169
15.
AB = 100 cm 2
h
12
5
12
10 cm
10 cm
AL = 4
10·12
⇒ AL = 240 cm 2
2
AT = AL + AB ⇒ AT = 340 m 2
16. AL = 5·
8·11
⇒ AL = 220 cm 2
2
3 3 2 2
13 3 2
L ·h =
⇒ V = 100 cm3
10 ·
17. V = Ab ·h = ·
3 2
3· 2
3
18.
AB = 7 2 = 49 cm 2
7·14
AL = 4·
= 196 cm 2
2
AT = 196 + 49 ⇒ AT = 245 cm 2
V=
1
1
Ab ·h = ·49·12 ⇒ V = 196 cm3
3
3
266
DESAFÍO MATEMÁTICO PAG. 170
267
La tuerca
1.
Pirámide de Keops:
1466
1135
á
2
á
Á
á
185 4 m
á
227 1854
21042 9 m
2
4 21042 9 841716 m
Pirámide de Kefrén:
1435
1075
á
2
á
Á
á
é
179´3 m
á
215 1793
1927475 m
2
4 19274 75 77099 m
268
Pirámide de Micerino:
1
2
73
73
52´3
51´1
á
1
2
89´8 m
89´1 m
á
1
2
á
4588´78
2
2
á
4659´93 m
Á
á
2 4588´78
102´2 898
2
104´6 891
2
2 4659´93
18497´42 m
2. Volumen de las pirámides.
VPirámide de Keops Á
V Pirámide de Kefrén Á
V Pirámide de Micerino =Á
227 1466 75541514 m
215 1435
66332875 m
1046 1022 73
78037876m
1357006 m
3. Área total Pirámide Keops
84171.6 227
Área total Pirámide Micerino
77099 104 ´6 102 ´2
8778912 m
Área total Pirámide Keops
Área total Pirámide Micerino
Volumen Pirámide Keops
Volumen Pirámide Micerino
1357006
8778912
75541514
78037876
15
968
269
La construcción de la piscina cubierta
Observando la figura, el volumen total V es la suma de los volúmenes parciales:
4 4 1 20 192 m
4 5 1 20 24 m
1
1
2
2
1
4 03 1 20
2
19 2
24
72 m
0 72
43´92 m
La tuerca
Á
6
í
2
á
120
2
36
Aplicando el teorema de Pitágoras:
120
2
Á
á
36
Á
4√3
1 385 cm
5
4√3 72√3
36
4′ 988 cm
5
25
72√3 ′
36√3
05
2′ 49 cm
á
25
25
05
1 05
1 57 cm
2
2 49 1 57 92 cm
270
ACTIVIDADES FINALES PAG. 172
19. a) No, b) Sí
20. a) Sí, b) No
21. 6 + 8 = 12 + 2 (C = 6, V = 8 , A = 12 )
22. 12 + 20 = 30 + 2 (C = 12, V = 20, A = 30)
271
23.
5·ap
= 10·ap
2
La apotema del tetraedro coincide con la altura de una cara.
A = 4·
5
ap
2'5
25 = ap 2 + 6 ' 25 ⇒ ap 2 = 18 '75 ⇒ ap = 4 '33 cm
Área = 43'3 cm 2
24.
La altura de un triángulo equilátero de x cm de lado es
3
x
2
3
12· ·12
2
AL = 8·
⇒ AL ≅ 498'83 cm 2
2
25. AT = 2·12·3 + 2·12·7 + 2·3·7 ⇒ AT = 282 cm 2
26. V = 12·3·7 ⇒ V = 252 cm 3
27. V = 2ab + 2 ac + 2 bc cm3
28. V = 6 a2
29. V = abc
30.
√3
√3
9√3
15 588
31. D = 12 2 + 6 2 + 4 2 ⇒ D = 14 m
32. D = a 2 + a 2 + a 2 = 3a 2 ⇒ D = a 3
33.
Cubo y octaedro
Dodecaedro e icosaedro
El tetraedro es conjugado consigo mismo
272
34.
9
x
8
AL = 3·9·8 ⇒ AL = 216 cm 2 . Sea x la altura del triángulo básico.
Por Pitágoras: 64 = 16 + x 2 ⇒ x = 4 3
AB =
8·4 3
= 16 3 ⇒ AL = 27 '71 cm 2
2
AT = AL + 2 AB ⇒ AT ≅ 271' 42 cm 2
35.
V = AB ·h ⇒ V = 16 3·9 ⇒ V ≅ 249 ' 42 cm 3
36.
1'5
10
1
AL = 5·10·1'5 ⇒ AL = 75 cm 2
P·ap
5·1'5 7 '5
AB =
⇒ AB =
=
2
2
2
AT = AL + 2· AB ⇒ AT = 75 + 7 '5 ⇒ AT = 82 '5 cm 2
37.
V = AB ·h ⇒ V = 3'75·10 ⇒ V = 37 '5 cm 3
273
38.
V = 2 ' 2·0 '3·0 '5 ⇒ V = 0 '33 m 3 ⇒ V = 330 dm 3
39.
2
4
42 = 22 + x2 ⇒ x = 12
x
4· 12
⇒ AB = 2 12
2
V = AB ·h ⇒ 17 '3 = 2 12·h ⇒ h ≅ 2 '5 cm
AB =
274
40.
AL = 2·9·4 + 2·4·6 ⇒ AL = 120 m 2
AT = 2·9·4 + 2·4·6 + 2·6·9 ⇒ AT = 228 m 2
V = 4·6·9 ⇒ V = 216 m 3
D = 4 2 + 6 2 + 9 2 ⇒ D ≅ 11'53 m
Sea a la arista del cubo ⇒ a3 = 216 ⇒ a = 6 m
41.
AB = 36 cm2
6·15
AL = 4
⇒ AL = 180 cm3
2
AT = AB + AL ⇒ AT = 36 + 180 ⇒ AT = 216 cm 2
42.
Sea L la longitud de la arista básica.
3 3 2
AB =
L ⇒ AB = 96 3 ⇒ AB ≅ 166 '28 cm2
2
1
1
V = AB ·h ⇒ V = 166 '28·20 ⇒ V ≅ 1108'5 cm3
3
3
43.
5
x
6
5
3
AB = 36 . Sea x el valor en cm de la apotema de la pirámide.
25 = 32 + x2 ⇒ x = 4
6·4
AL = 4· ⇒ AL = 48 cm2
2
AT = 36 + 48 ⇒ AT = 84 cm 2
275
44.
a
x
a/2
a2
3
+ x2 ⇒ x =
a
4
2
3
a· a
AL = 4· 2 ⇒ AL = a 2 3 cm 2
2
2
AB = a
a2 =
AT = a 2 + a 2 3 cm 2
1
1
45. V = · AB ·h = ·162 ·15 ⇒ V = 1280 cm3
3
3
46.
6
x
3
AB =
Perímetro·x 36· x
=
= 18 x
2
2
Por el teorema de Pitágoras: 36 = 9 + x2
5 2 ⇒ AB = 93'6 cm 2
√27
AL = 6·
6·10
⇒ AL = 180 cm 2
2
,
AT = 273'6 cm 2
47.
Sea a la longitud de la arista básica.
1
1
2
V = Ab ·h = a 2 ·2a ⇒ V = a 3
3
3
3
48.
Sea a la longitud de la arista y ap la apotema de la misma.
a 2 = ap 2 +
3
a2
a
⇒ ap =
2
4
276
49.
1
AB ·altura
3
3
a· a
3 2
AB = 2 ⇒ AB =
a
2
4
V=
1 3
3
a3
V = · a2 · a ⇒ V =
3 4
2
8
50.
v = 1 cm3
51.
10
16
a/2
x
a/2
162 = 102 + x2 ⇒ x2 = 156 .
2
2
⎛a⎞ ⎛a⎞
156 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⇒ a 2 = 312
⎝2⎠ ⎝2⎠
1
V = ·a 2 ·10 ⇒ V = 1040 cm3
3
52.
h
L
L
a
x
a
a/2
a
a
a/2
2
3
⎛a⎞
a2 = x2 + ⎜ ⎟ ⇒ x =
a
2
⎝2⎠
3
6a· a
2 ⇒ A = 3 3 a2
AB =
B
2
2
2
5
⎛a⎞
L2 = a 2 + ⎜ ⎟ ⇒ L2 = a 2
4
⎝2⎠
277
L2 = h 2 + a 2 ⇒ h 2 = L2 − a 2 ⇒ h 2 =
V=
53.
a2
a
⇒h= ⇒
4
2
1
1 3 3·a 2 a
3 3
AB ·h ⇒ V = ·
· ⇒ V=
a
3
3 2
2
4
Aplicamos el ejercicio anterior siendo a = 8 ⇒ h = 4 cm
V = 128 V = 128 3 ⇒ V ≅ 221'7 cm 3
54.
Sea h la altura de la pirámide. Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos:
17 2 = 82 + h 2 ⇒ h = 15
1
V = 162 ·15 ⇒ V = 1280 cm3
3
55.
Calculamos primeramente la altura de la base:
8√3
4√3
√
12
2
48√3 cm
48√3 10√3
1440 cm3
56.
h
a
a
x
Sea x la mitad de la longitud del lado ⇒ x =
32
2
a 2 = h2 + x2 ⇒ a 2 = 16 ⇒ a = 4
4
√
8√32
32√2
45 25
57.
5
a
5'83
ap
3
1'5
3
a) a2 = 32 + 52 ⇒ a =
34 cm
b) 34 = 1'52 + ap 2 ⇒ ap= 5’63 cm
278
3·5'63
⇒ AL = 50 '63 cm 2
2
Perímetro · apotemabase
c) Área base =
2
3 3
3 3 2
Apotema base =
·lado 2 =
·3 ≅ 23'38
2
2
6·3·23'38
≅ 210 ' 42 cm 2
Área base =
2
AL = 6·
d) AT = AL + AB ⇒ AT = 50 '63 + 210 ' 42 ⇒ AT = 261'05 m 2
e) V = AB ·h ⇒ AT = 210 ' 42·5 ⇒ V = 1052 '1 m 3
279
58.
a
x
a/2
Sea
la arista del tetraedro y sea x la altura del triángulo de la base:
a2
3
3
a2 =
+ x2 ⇒ x2 = a2 ⇒ x =
a.
4
4
2
6
En nuestro caso, como a = 2 ⇒ x =
2
3
a· a
3·a 2
AB = 2 ⇒ AB =
cm2
2
4
a
h
2/3 a
a
Observamos que el pie de la altura está sobre el baricentro del triángulo básico y,
aplicando el teorema de Pitágoras tenemos:
2
5
⎛2 ⎞
a = h +⎜ a⎟ ⇒ h =
a
3
⎝3 ⎠
1
1 3 a2 5 a
15 a 3
V = AB ·h ⇒ V = ·
·
⇒V =
3
3 4
3
36
30
En nuestro caso, como a = 2 ⇒ V =
⇒ V ≅ 0 '3 cm 3
18
2
2
59.
x
a
x
1/2
1
Sea x la longitud en cm de la apotema de la pirámide. Aplicando el teorema de Pitágoras
tenemos:
280
x2 = a2 +
AL = 4
1
1
⇒x=
4a 2 + 1
4
2
1· x
⇒ AL = 2 x ⇒ AL = 4a 2 + 1 cm 2
2
AB = 1 cm 2
1
4
1
60.
A
I
O
a
3
a
a , OI =
2
2
3
1
1
a
AI 2 = OI 2 + OA2 ⇒ OA2 = AI 2 − OI 2 ⇒ OA2 = a 2 − a 2 ⇒ OA2 = a 2 ⇒ OA =
2
4
4
2
2
Ya vimos en el ejercicio 58 que AI =
1
2
2 a 2
a3
V = 2· AB ·altura = AB ·OA ⇒ V = a 2 ·
⇒V=
2 cm3
3
3
3
2
3
8
Si a = 8 ⇒ V =
3
3
2 ⇒V =
32 3
cm ⇒ V ≅ 10 '6 cm3
3
61.
h
12
5
6
10
10·12
a) ASPiramidal = 4·
⇒ ASPiramidal = 240 m3
2
281
b) AS Pr imática = AB Pr ismática + AL Pr isma = 100 + 4·10·6 ⇒ AS Pr imática = 340 m 3
c ) VPirámide =
1
1
AB ·altura = 100h
3
3
Aplicando el teorema de Pitágoras resulta:
122 = 52 + h 2 ⇒ h = 119 ⇒ h ≅ 10 '9
100 10 9
á
á
363 3
d) VPr isma = 10·10·6 ⇒ VPisma = 600 m 3
e) ATObelisco = 240 + 340 ⇒ ATObelisco = 580 m 3
f)
363 3
600
963 3
62.
3c
3b
3a
Sean a , b y c las medidas en metros de la piscina infantil.
Superficie de la piscina infantil = 2 ab + 2ac + 2 bc
Superficie piscina adultos = 2·3· a·3·b + 2·3a·3·c+ 2 ·3b·3·c
Superficie piscina adultos = 9·(2 ab + 2ac + 2 bc)
Superficie piscina adultos = 9 superficie piscina infantil
1
5
1
Para pintar piscina adultos necesitamos 9·1 = 9· = 11 kilos de pintura
4
4
4
El volumen de la piscina de adultos es V = 3a·3b·3c = 27abc
Volumen piscina adultos = 27 veces el volumen de la piscina infantil
Volumen piscina adultos = 27 ·24 = 648 m3
63.
En total tenemos 2 · 4 · 2’5 + 2 · 6 · 2’5 = 50 m2 que pintar.
Necesitaremos 20 kg de pintura, es decir, 2 botes.
Pintar la sala costará 2 · 28 = 56 €
64.
Son necesarios 10 ·12 ·20 = 2400 cm3
282
65.
1'6
h
0'8
1'6·1'39
⇒ ATriángulo = 1'11 m2
2
La puerta y su opuesta suman una superficie de 1’11 + 1’11 = 2’22 m2
Las dos paredes y el suelo de la tienda ocupan una superficie de 3·4·1’6 = 19’2 m3
En total necesitamos 19’2 + 2’22 = 21’42 m2 de tela.
1'6·1'39
·4 ≅ 4 ' 45 m3 de aire.
En el interior de la tienda queda
2
1'62 = 0'82 + h2 ⇒ h ≅ 1'39 ⇒ ATriángulo =
66.
a
a
a
5a 2 = 80 ⇒ a = 4
V = a 3 ⇒ V = 43 ⇒ V = 64 m 3
283
67. V = 23 · 5 · 7 = 805 m3
68.
Volumen del muro = 24 · 3’25 · 0’5 = 39 m3
Volumen del contenedor = 4 · 1’5 · 1 = 6 m3
39
1
= 6 contenedores
Necesitaremos
6
2
69. Se trata del área total de la nevera = 2 · ( 0’75·2 + 1·0’75 + 2·1 ) = 8’5 m2
70. El volumen de cada cubo es de 216 cm3 ⇒ Si la caja tiene 2376 cm3, tiene
2376
= 11 cubos. Le sobran 5 cubos.
capacidad para
216
71.
El volumen de cada piedra es de 0’5 · 0’4 · 0’3 = 0’06 m3
Si le encargan 20 piedras, en total talla 20 · 0’06 = 1’2 m3
Cobrará 500 · 1’2 = 600 €
72. ( 2·40·12 + 2·15·12 + 2·40·15) =2520 cm2
73.
1’8 m3
15·3·0’04 ⇒
20 10 4
Necesitaremos
800
= 2250 ladrillos
AUTOEVALUACIÓN PAG. 175
1.
C = 20 , V = 12 , A = 30
20 + 12 = 30 + 2 ⇒ C + V = A + 2
284
2.
ap
4
2
16 = 4 + ap 2 ⇒ ap = 2 3 ⇒ ap ≅ 3' 46
AB =
Perímetro·apotema 24·2 3
=
= 24 3 ⇒ AB ≅ 41'57 cm 2
2
2
AL = 6·4·8 ⇒ AL = 192 cm 2
AT = AL + 2 AB ⇒ AL = 192 + 83'14 ⇒ AT ≅ 275 '14 cm 2
V = AB ·h ⇒ V = 24 3·8 ⇒ V = 192 3 ⇒ V ≅ 332 '55 cm 3
3.
a
ap
a/2
2
a
3
⇒ ap =
a
4
2
1
3
3 2
AB = a· a ⇒ AB =
a
AL = 3a 2
2 2
4
,
a 2 = ap 2 +
AT = AL + 2 AB ⇒ AT = 3a 2 + 2·
4. V = AB ·h ⇒ V =
3 2
3 2
a ⇒ AT = 3a 2 +
a
4
2
3 2
3 3
a ·a ⇒ V =
a
4
4
5.
6
ap
3
ap = 3 3 . Área de una cara =
6·3 3
⇒ Área de una cara = 9 3
2
AT = 8·9 3 ⇒ AT = 72 3 ⇒ AT ≅ 124 '7 cm 2
285
6. Aplicando el resultado del ejercicio 60 tenemos V =
a3
3
2 cm 3 , siendo a la arista del
octaedro. En nuestro caso, a = 6
63
V=
2 = 72 2 ⇒ V ≅ 101'82 cm 3
3
7. d = 10 2 + 112 + 12 2 ⇒ d = 365 ⇒ d ≅ 19 '1 cm
8. V = 10·11·12 ⇒ V = 1320 cm 3
9. V =
1
1
AB ·h ⇒ V = 36·10 ⇒ V = 120 cm3
3
3
10.
6
ap
3
ap = 3 3
6·3 3
⇒ Área de una cara = 9 3
2
36√3
62 35
Área de una cara =
4 9√3
36
62 35
98 35
OLIMPIADA MATEMÁTICA PAG. 177
1. Profundidad de la laguna = 360 cm; longitud del junco = 390 cm
2. x 2 +
1
=7
x2
286
2
1⎞
1
1
⎛
2
⎜x + ⎟ = x + 2 + 2 = 7+ 2 = 9⇒ x + = 3
x⎠
x
x
⎝
2
3
1⎞ ⎛
1⎞ ⎛
1⎞
1
1
1
1
1⎞
⎛
⎛
3 ⋅ 9 = ⎜ x + ⎟ ⋅ ⎜ x + ⎟ = ⎜ x + ⎟ = x3 + 3 + 3 ⋅ x2 ⋅ + 3 ⋅ x ⋅ 2 = x3 + 3 + 3 ⎜ x + ⎟
x⎠ ⎝
x⎠ ⎝
x⎠
x
x
x
x
x⎠
⎝
⎝
3 ⋅ 9 = x3 +
1
1
+ 3 ⋅ 3 ⇒ x 3 + 3 = 18
3
x
x
1 ⎞ ⎛
1
⎛
7 ⋅ 18 = ⎜ x 2 + 2 ⎟ ⋅ ⎜ x 3 + 3
x ⎠ ⎝
x
⎝
126 = x 5 +
1
1
1
⎞
5
5
⎟= x + +x+ 5 = x + 5 +3
x
x
x
⎠
1
1
+ 3 ⇒ x 5 + 5 = 123
x5
x
287
UNIDAD 10. Cuerpos de revolución
ACTIVIDADES PAG. 180
1. AL = 2π ·2·4 ⇒ AL = 16π ⇒ AL ≅ 50 ' 26 m 2
2. AL = 2·π ·0 ' 4·1 ⇒ AL = 0 '8π ⇒ AL ≅ 2 '51 m 2
AB = π ·0 ' 42 ⇒ AB = 0 '16π
AT = AL + 2 AB ⇒ AT = 0 '8π + 0 '32π ⇒ AT = 1'12π ⇒ AT ≅ 3'52 cm 2
3. Se trata de calcular el área lateral de un cilindro:
AL = 2π ·0 '5·2000 ⇒ AL = 2000π ⇒ AL ≅ 6283'19 m 2
ACTIVIDADES PAG. 181
4. AL = π ·10·12 ⇒ AL = 120π ⇒ AL ≅ 377 cm 2
AB = π ·102 ⇒ AB = 100π ⇒ AB ≅ 314 '16 cm 2
AT = 120π + 100π ⇒ AT = 220π ⇒ AT ≅ 691'15 cm 2
5. g 2 = 122 + 52 ⇒ g = 13 cm
6. 252 = 152 + h 2 ⇒ h = 20 cm
ACTIVIDADES PAG. 182
288
7. ATronco cono = π ·( 9 + 3)·6 + π ·92 + π ·32 ⇒ ATronco cono = 162π ⇒ ATronco cono ≅ 508'9 m2
8. ALateral Tronco cono = π ·( 4 + 12 )·g = 16π g
g
6
4
8
g 2 = 62 + 82 ⇒ g = 10 ⇒
ALateral Tronco cono = 16π ·10 ⇒ ALateral Tronco cono = 160π ⇒ 502 '66 cm 2
ACTIVIDADES PAG. 183
1
9. V = π ·32 ·6 ⇒ V = 18π ⇒ V ≅ 56 '55 cm3
3
10.
2
x
4
3
6 2
= ⇒ x =1
3 x
VTC = VCono mayor − VCono menor =
VTC =
π
( R ·H − r ·h ) ⇒ V
3
52π
⇒ VTC ≅ 54 '45 m 2
3
2
2
TC
=
π
3
(3 ·6 − 1 ·2 ) ⇒
2
2
289
ACTIVIDADES PAG. 184
11.
a ) Eje de giro , meridianos , ecuador , paralelos.
b ) Polos , círculo máximo , zona esférica.
ACTIVIDADES PAG. 185
12. Madrid : Latitud 40º 25’ N , Longitud 3º 41’ W
La Habana : Latitud 23º 07’ N , Longitud 82º 30’ W
Manila: Latitud 6º 21’ N , Longitud 162º 24’ E
Buenos Aires : Latitud 34º 36’ S , Longitud 58º 29’ W
13. Anochece.
ACTIVIDADES PAG. 186
14.
4
4000π
a ) V = π ·103 ⇒ V =
≅ 4188.79 cm3
3
3
4
500
π
b ) V = π ·53 ⇒ V =
≅ 523.6 mm3
3
3
4 3
c ) V = π ·3 ⇒ V = 36 π ≅ 113.1 km 3
3
4
4000000π
d ) V = π ·1003 ⇒ V =
≅ 418879’02 hm3
3
3
290
15.
4
500π
a ) V = π ·53 ⇒ V =
≅ 523.6 m3
3
3
14
2
b ) V = · π ·93 ⇒ V = π ·93 ⇒ V = 486π ≅ 1526’8 m3
23
3
ACTIVIDADES PAG. 187
16.
a ) A = 4π ·r 2 = 4π ·22 ⇒ A = 16π ⇒ A ≅ 50 '26 cm 2
b ) A = 4π ·r 2 = 4π ·322 ⇒ A = 4096π ⇒ A ≅ 12867 '96 hm 2
c ) A = 4π ·r 2 = 4π ·92 ⇒ A = 324π ⇒ A ≅ 1017.88 dam 2
d ) A = 4π ·r 2 = 4π ·102 ⇒ A = 400π ⇒ A ≅ 1256'64 m 2
17.
a ) A = 4π ·r 2 = 4π ·52 ⇒ A = 100π ⇒ A ≅ 314 '16 m 2
1
b ) A = ·4π ·r 2 + π ·r 2 = 2π ·92 + π ·92 ⇒ A = 162π + 81π = 243π ⇒ A ≅ 763' 4 m 2
2
291
DESAFÍO MATEMÁTICO PAG. 188
292
1.
Para calcular el volumen del silo, tenemos que sumar el volumen del cilindro y el del
cono.
•
Altura del cilindro
•
Longitud circunferencia
•
Volumen cilindro
33
•
Volumen cono
1 64
•
Volumen del silo
2. Capacidad almacenaje
4 94 m
9 36
1 64 m
5 97
1 55
10 91 25
3. Se pueden almacenar 272 75 734
2
3 3m
5 97
9 36 m
1 55 m
10 91 m
272 75 m
200198 5 kg
2001985 toneladas métricas .
4. Se han producido 3540 kg por hectárea dedicando al cultivo de trigo 1200 hectáreas,
con lo que la cooperativa tiene que almacenar .
3540 1200 4248000 kg de trigo.
Restamos la capacidad de almacenaje de la cooperativa del volumen de trigo cosechado,
200198 5 4248000
4047801.5
Observamos que la capacidad de almacenaje es menor que la cosecha, quedándose
4047801’5 kg sin almacenar.
5. Dividiendo la cantidad de kilos que quedan por almacenar, entre los 734 kg que pesa
un metro cúbico, obtenemos los metros cúbicos de silo que hay que adquirir.
5514 72 metros cúbicos hay que adquirir.
Cada silo tiene una capacidad de 10’91 metros cúbicos. Dividiendo los metros cúbicos
que hay que adquirir entre los metros cúbicos que almacena cada silo obtenemos el
número de silos.
50548
necesitan comprar 506 nuevos silos.
6. La inversión necesaria es de 1086 506
549516 €
293
7. Suponiendo que la producción por hectárea en 2011 fuera la misma que en 2010, el
que cultivó 33 hectáreas obtuvo 33 3540 116820 kg 11682 toneladas
métricas.
El campesino que cultivó 33 ha, obtuvo unos ingresos de 243 116 82 28387 26
8. Los hórreos se construyeron para aislar el cereal de la humedad y proteger la cosecha
de los roedores.
El volumen es 4 2 3 1 5 13 8 m
9. 13 8 780 10764 kg 10764 toneladas métricas de maíz se pueden guardar en el
hórreo anterior.
El valor del maíz almacenado en el hórreo es de 235 10 764 2529 54
294
ACTIVIDADES FINALES PAG. 190
18. 2·π ·4 2 + 2·π ·4· g = 376 '99 ⇒ g = 11 cm
19. V = π ·32 ·6 ⇒ V = 54π ⇒ V ≅ 169 '65 m3
20. A = 2π ·52 + 2·π ·5·20 ⇒ A = 250π ⇒ A ≅ 785'4 cm 2
V = π ·52 ·20 ⇒ V = 500π ⇒ V ≅ 1570 '8 cm3
295
21. V = π ·22 ·10 ⇒ V = 40π ⇒ V ≅ 125'67 m3
22.
AT = AL + 2 AB = 2πrg + 2π r 2 = 2π r ( g + r )
Área del rectángulo = 2π r ( g + r )
23.
Observamos que el centro de la circunferencia coincide con el baricentro del triángulo.
2
Radio base = AB
3
2
3
3
x
x 2 = + AB ⇒ AB =
x ⇒ Radio base =
x
4
2
3
x2
A base = π R2 = π
3
π
V prisma = A base · g = x 2 g
3
2
π
⎛a⎞
24. V = π ·⎜ ⎟ ·a ⇒ V = a 3
4
⎝2⎠
25.
AL = 0 '2512 ⇒ 2·3'14·r·1'1 = 0 '2512 ⇒ r = 0 '036
V = π ·0 '0362 ·1'1 ⇒ V ≅ 0 '0044 cm3
26.
Aplicando ejercicio 23: V =
Si repetimos el proceso :
π 2
π
x g = (4 3 )2 5 =80π ≈ 251’3 cm3
3
3
3
3
x = ·4 3 = 4 cm
3
3
V = Abase · 5 =16π · 5 = 80 π cm3 ≅ 251’33 cm3
Radio de la base =
27. La de un cilindro de revolución, siendo el segmento AB su generatriz.
296
28.
2π r = 31'416 ⇒ r = 5
AL = π ·r · g ⇒ AL = π ·5·13 ⇒ AL = 65π ⇒ AL ≅ 204 ' 2 cm 2
29.
13
h
5
132 = h 2 + 52 ⇒ h = 12
1
1
V = π ·r 2 ·h ⇒ V = π ·52 ·12 ⇒ V = 100π ⇒ V = 314 '16 cm 3
3
3
30.
x
h
x/2
x2
3
⇒h=
x
4
2
Como x = 2 3 ⇒ h = 3 cm
x2 = h2 +
r=
x
⇒ r = 3 ⇒ r = 1'7 cm
2
AL = π rg = π · 3·2 3 ⇒ AL = 6π ⇒ AL ≅ 18'85 cm 2
AT = AL + π ·r 2 ⇒ AT = 6π + 3π ⇒ AT = 9π ⇒ AT ≅ 28' 27 cm 2
31.
A cono = A base + πrg = πr2 + πrg = πr ( r + g )
A cilindro= 2 A base + 2πrg = 2πr2 + 2πrg = 2 · πr ( r + g ) = 2 A cono
297
32. A cono = πr ( r + g )
A trapecio =
( B + b )·altura = ( g + r )·2πr = πr· g + r
(
)
2
2
33.
1
1
1
V = π r 2 ·h ⇒ V = π r 2 ·r ⇒ V = π ·r 3
3
3
3
34.
x
raiz(8)
r
r
Sea x el valor de la generatriz.
x2
x = r + r ⇒ x = 2r ⇒ r =
2
2
Como x = 8 ⇒ r = 4 ⇒ r = 2
π ·r 3 8·π
V=
=
⇒ V ≅ 8'37 cm3
3
3
2
2
2
2
2
2
35.
V = 800π ⇒
π r2
·24 = 800π ⇒ r 2 = 100 ⇒ r = 10
3
g = 24 + r ⇒ g 2 = 576 + 100 ⇒ g = 26
2
2
2
AT = π ·10·26 + π ·100 ⇒ AT = 360π ⇒ AT ≅ 1130 '97 cm 2
298
299
36.
AL = π ·r ·g ⇒ 423'9 = 3'14·r·15 ⇒ r = 9
g 2 = h2 + r 2 ⇒ h2 = g 2 − r 2 ⇒ h 2 = 225 − 81 ⇒ h = 12
1
1
V = π r 2 ·h ⇒ V = π ·92 ·12 ⇒ V = 324π ⇒ V ≅ 1017 '87 cm3
3
3
37.
AT =
π ·r 2 ·n
360
+ π ·r 2 =
π ·42 ·72
360
+ π ·42 ≅ 60 '31 cm 2
38.
x
10
h
6
6
12
10 2 = 6 2 + h 2 ⇒ h = 8
8+ x x
= ⇒ x =8
12
6
VTronco de cono = Vcono mayor − Vcono menor =
π
2016π
12 ·16 − 6 ·8 ) =
(
3
3
2
2
VTronco de cono ≅ 2111'15 cm3
39. V =
π ·r 2
3
·h =
π ·52
3
·9 ⇒ V = 75π ⇒ V ≅ 235'62 cm3
40. La de un cono de revolución, siendo el segmento AB su generatriz.
41. La de un tronco de cono de revolución, siendo el segmento AB su generatriz.
42.
A = 4π r 2 = 4π ·102 = 400π ⇒ A ≅ 1256 '63 cm 2
V=
43.
4π·r 3 4π·103 4000π
=
=
≅ 4188'8 cm 3
3
3
3
1 2
1
2
πR ·altura = πR 2 ·( 2 R ) = πR 3
3
3
3
4 3
2 3
Vesfera = πR =2· πR =2·Vcono
3
3
V cono =
300
4
44. V = 288π ⇒ π ·r 3 = 288π ⇒ r = 6
3
4
4
45. V = π ·r 3 = π ·33 = 36π ⇒ V ≅ 113'1 m3
3
3
46. A = 4π ·r 2 = 4π ·32 = 36π ⇒ A ≅ 113'1 m 2
47. 12 del mediodía
48. Las 5:00 de la mañana
49. 9:00 de la mañana
50. 5416’6 km
51. A = 4π ·r 2 = 4π ·64002 = 163840000π ⇒ A ≅ 514.718.540 km 2
52. Se trata de calcular el área total del cilindro.
AB = π ·r 2 = π ·12 ⇒ AB = π m 2
AL = 2π ·r · g = 2π ·1·3 ⇒ AL = 6π m 2
AT = AL + 2 AB = 6π + 2π ⇒ AT = 8π m 2 ⇒ AT ≅ 25'13 m 2
53. V = π ·r 2 ·h = π ·12 ·3 = 3π ⇒ V ≅ 9 ' 42477 m 3 ⇒ V ≅ 9424 '77 litros
54. Se trata de calcular el área lateral de un cilindro de 1’5 cm de radio y 2500 cm de
largo.
AL = 2·π ·r · g = 2·π ·1'5·2500 = 7500π ⇒ AL ≅ 23561'94 cm 2
55. V = π ·r 2 ·h = π ·2 '972 2 ·12 ⇒ V ≅ 332 '9881 cm 3 ⇒ V ≅ 333 cm 3 ⇒ V ≅ 33 cl
56. V = π ·r 2 ·h = π ·22 ·15 = 60π ⇒ V ≅ 188'5 m3
57.
2π r = 10 '99 ⇒ r =
5' 495
π
Si tomamos π = 3'14 ⇒ r = 1'75
V = π ·r 2 ·h = π ·
5' 495
π
2
2
·10 ≅ 96 '11 ⇒ V ≅ 96 '11 m3
301
302
58.
2π r = 9 ' 42 ⇒ r ≅ 1'5 m
g
2
1'5
g 2 = 22 + 1'52 ⇒ g = 2 '5
ATejado = π ·r· g = π ·1'5·2 '5 = 3'75π ⇒ ATejado ≅ 11'78 m 2
59.
2
1'5
3
AL = 2π rg = 2π ·1'5·3 = 9π ⇒ AL ≅ 28' 27 m 2
AT ≅ 11'78 + 28' 27 ⇒ AT ≅ 40 '05 m 2
1
60. V = π ·1'52 ·2 + π ·1'52 ·3 = 8' 25π ⇒ V = 25'91 m 3
3
61.
2π r = 7 '86 ⇒ r ≅ 1'25
g 2 = 32 + 1'252 ⇒ g = 3' 25
AL = π rg = π ·1' 25·3' 25 = 4 '0625π ⇒ AL ≅ 12 '76 m 2
AB = π ·r 2 = π ·1' 252 = 1'5625π ⇒ AB ≅ 4 '9 m 2
AT ≅ 12 '76 + 4 '9 ⇒ AT ≅ 17 '66 m 2
62.
2π r = 27 '02 ⇒ r ≅ 4 '3 cm
A = 4π r 2 ⇒ A = 4π ·4 '32 ⇒ A = 73'96π ⇒ A ≅ 232 '35 cm 2
303
63. El cofre es un paralelepípedo y la tapa es medio cilindro.
Acofre = 2·8·6 + 2·4·6 + 8·4 ⇒ Acofre = 176 cm 2
ATapa = π r 2 + π rg = π ·22 + π ·2·8 = 20π ⇒ ATapa ≅ 62 '83 cm 2
AT = 176 + 62 '83 ⇒ AT = 238'83 cm 2
Vcofre = 8·4·6 ⇒ 192 cm3
1
1
VTapa = π r 2 ·h = π ·22 ·8 = 16π ⇒ VTapa ≅ 50 ' 26 cm3
2
2
VTotal = 192 + 50 ' 26 ⇒ VTotal = 242 ' 26 cm3
64.
π r 2 = 25π ⇒ r = 5
2
2
219 9 m
í
í
5 7
70
Para calcular la generatriz de la superficie cónica aplicamos el teorema de
Pitágoras: g 2 = 52 + 32 ⇒ g = 5'8
5 58
ó
91 1
ó
219 9
29
91 1
311 m
65.
Asup erficie cilíndrica = 2π rg = 2π ·8·12 = 192π ⇒ Asup erficie cilíndrica ≅ 603'18 cm 2
Asup erficie esférica = 2π r 2 = 2π ·82 = 128π ⇒ Asup erficie esférica ≅ 402'12 cm 2
AT = 192π + 128π = 320π ⇒ AT ≅ 1005'3 cm 2
2
2
Vc u erpo esférico = π ·r 3 = π ·83 ⇒ Vcuerpo esférico ≅ 1072 '33 cm3
3
3
2
Vcuerpo cilíndrico = π ·r ·h = π ·82 ·12 = 768π ⇒ Vcuerpo cilíndrico ≅ 2412 '74 cm3
VT ≅ 3485'07 cm3
66.
2π r = 60 ⇒ r ≅ 9'5
A = 2π r 2 = 2π ·9 '52 ⇒ A ≅ 567 cm 2
304
67.
2π r = 40π ⇒ r = 20
30
40
20
x
40 + x x
=
⇒ x = 80
30
20
VTronco de cono = Vcono mayor − Vcono menor =
π
(30 ·120 − 20 ·80 )
3
2
2
VTronco de cono ≅ 79587 cm 3
El cubo tiene aproximadamente una capacidad de 79’6 litros
68.
A = 10·20 + π ·5·20 = 200 + 100π ⇒ A ≅ 514 '16 cm 2
El tejado debe quedar cubierto por la parte cilíndrica de la teja, quedando la parte
plana debajo, por lo que para construir el tejado son necesarias:
7500 tejas
69. Se trata del volumen de un cilindro de r = 25 cm y altura =20 cm
20
r=25
V = π ·r 2 ·h = π ·252 ·20 = 12500π ⇒ V ≅ 39267 cm3
305
70.
El área lateral del cono es π ·r · g = π ·0 '5·2 = π ⇒ AL = π m 2
El área del círculo sobre el cual gira la piedra es π ·R 2 = π ·22 = 4π cm 2
4π
= 4 vueltas
Ha de dar
π
71.
A = Alateral cono + Asemiesfera
2π r = 7 '85 ⇒ r = 1' 25 dm
g
3
1'25
1'25
Sea h la altura del cono: h = 4’25 - 1’25 = 3 dm
g 2 = 32 + 1'252 ⇒ g = 3' 25 dm
A = π rg + 2π r 2 = π ·1' 25·3' 25 + 2π ·1' 252 ⇒ A = 7 '1875π ⇒ A ≅ 22 '58 dm 2
72.
1
14
1
1
1
V = Vesfera + Vcono = · π ·r 3 + π ·r 2 ·h = π r 2 ( 2r + h ) = π ·1'252 ·( 2·1'25 + 3)
2
23
3
3
3
V ≅ 9 dm3
306
AUTOEVALUACIÓN PAG. 193
35
1.
9
110 25
346 36 cm
2. La superficie de cristal necesaria para fabricar el vaso es la de un cilindro al que le
falta la base de arriba.
2
A
35
2
35 9
12 25
63
75 25
cm
236’4 cm
3.
4
2
AT = 2π ·22 + 2π ·2·4 = 8π + 16π = 24π ⇒ AT ≅ 75' 4 cm 2
307
4
2
AT = 2π ·42 + 2π ·4·2 = 32π + 16π = 48π ⇒ AT ≅ 150 '8 cm 2
4.
4
4
Vesfera = π ·r 3 = π ·1'53 = 4 '5π m3
3
3
0 25
2
2
9
8
m
73
8
8
28 667 m
5.
2 4
2
8
15
2
0 25 2
19
59.69 m
6.
10
8
3
1
Vcilindro − Vcono = π ·r 2 ·altura cilindro − π ·r 2 ·altura cono ⇒
3
1
VTotal = π ·32 ·10 − π ·32 ·8 = 90π − 24π = 66π ⇒ V ≅ 207 '34 cm3
3
7.
Sólo nos interesa calcular el área lateral del cono.
g 2 = r 2 + h 2 ⇒ r 2 = g 2 − h2 ⇒ r 2 = 2 '122 − 1'82 ⇒ r = 1'2544
AL = π ·r · g = π ·1' 2544·2 '12 ⇒ AL ≅ 8'35 m 2
Necesitamos 8’35 m2 de tela.
4
2
8. V = Vcilindro − Vesfera = π ·r 2 ·2r − π ·r 3 = π ·r 3 = Vmedia esfera
3
3
308
9.
75 °
8504.17 km
10.
2π ·r = 31'4 ⇒ r = 5
5
104 72
4
de arena
OLIMPIADA MATEMÁTICA PAG. 195
1. Primera solución:
Por el teorema de Tales:
x
x + r x + 2r
x
x + r x + 2r
2 x + 2r
=
=
⇒
=
=
=
CA
r
DB
CA
r
DB
CA + DB
2( x + r )
CA + DB =
⋅ r ⇒ CA + DB = 2r
(x + r )
309
Segunda solución, solución geométrica:
Dibujando los simétricos respecto del origen tenemos:
AC' = DB, AC = BD'
AC + AC' = AC + DB = 2r
2.
A=
1
1
1
r
r
xr + yr + zr = (x + y + z ) = ⋅ P ⇒ 2 A = r ⋅ P
2
2
2
2
2
310
UNIDAD 11. Movimientos en el plano
ACTIVIDADES PAG. 198
JJJG
JJJG
1. AB = ( 7 − 2, 6 − 4 ) = (5, 2) , AB = 52 + 22 = 29
2.
B
A
1
1
G G
3. u + v = ( −2, 0 ) + (1, 4 ) = ( −1, 4 )
⎧x = 8
4. Sea B = ( x, y ) ⇒ ( x − 3, y − 1) = ( 5,8 ) ⇒ ⎨
⇒ B = ( 8,9 )
⎩y = 9
ACTIVIDADES PAG. 199
5.
A ' = ( 0 − 2, 0 + 4 ) = ( −2, 4 )
B ' = ( 4 − 2, −1 + 4 ) = ( 2,3)
C ' = ( 2 − 2, 2 + 4 ) = ( 0, 6 )
311
6.
A ' = ( 0 − 3, 0 + 2 ) = ( −3, 2 )
B ' = (1 − 3, 0 + 2 ) = ( −2, 2 )
C ' = (1 − 3,1 + 2 ) = ( −2,3)
D ' = ( 0 − 3,1 + 2 ) = ( −3,3)
ACTIVIDADES PAG. 200
7. A ' = ( 3,1) , B ' = ( 2, −3) , C ' = ( 6, −4 ) , D ' = ( 4, −5 )
312
ACTIVIDADES PAG. 201
A ' = ( −3, −1) , B ' = ( −2,3) , C ' = ( −6, 4 ) , D ' = ( −4,5)
8.
D(4,5)
D'
C'
C(6,4)
B'
B(2,3)
1
1
A'
A(3,-1)
313
9. A ' = ( 2,1) , B ' = ( −3, −2 ) , C ' = ( −2, −4 ) , D ' = ( −1, −2 )
10. A ' = ( 2, −3) , B ' = ( −1, −4 ) , C ' = ( −3, −1)
ACTIVIDADES PAG. 202
314
11.
12.
13.
ACTIVIDADES PAG. 203
14. Cuadrado. Traslación.
315
DESAFÍO MATEMÁTICO PAG. 204
Basta con seguir los pasos indicados en el enunciado.
316
ACTIVIDADES FINALES PAG. 206
JJJG
15. AB = ( 3 − 6, −2 − 1) = ( −3, −3)
317
7,1 ,
16.
3, 1 ,
4, 2
B
1
AB
A
1
AC
C
BC
1
1
17.
a)
2,2 ,
3,2
JJJG JJJG JJJG
b ) Son equipolentes los vectores AB, EF , CD
18. JJJG
AB = ( 3 − 4,5 − 4 ) = ( −1,1)
JJJG
BA = ( 4 − 3, 4 − 5 ) = (1, −1)
19.
Sean ( x, y ) las coordenadas del punto B
JJJG
AB = ( x − 3, y − 5 ) ⎫⎪ ⎧ x − 3 = −1 ⇒ x = 2
JJJG
⎬⇒ ⎨
AB = ( −1, 7 )
⎪⎭ ⎩ y − 5 = 7 ⇒ y = 12
Así que las coordenadas de B son (2, 12).
20.
Sean ( x, y ) las coordenadas del punto C.
JJJG
CD = ( −2 − x,1 − y ) ⎫⎪ ⎧−2 − x = 3 ⇒ x = −5
JJJG
⎬⇒ ⎨
CD = ( 3, −4 )
⎪⎭ ⎩1 − y = −4 ⇒ y = 5
Así que las coordenadas de B son (-5, 5).
318
21.
A
C
B
A
1
B
C
1
1
1
B
C
1
1
22.
23.
JJJG JJJG
CD y EF son equipolentes.
24. Sean ( x, y ) las coordenadas del punto B
JJJG
AB = ( x + 1, y − 5 ) ⎫⎪ ⎧ x + 1 = 3 ⇒ x = 2
JJJG
⎬⇒ ⎨
AB = ( 3, 7 )
⎪⎭ ⎩ y − 5 = 7 ⇒ y = 12
Las coordenadas de B son (2, 12)
319
25. Sean ( x, y ) las coordenadas del punto B:
JJJG
AB = ( 3 − x,5 − y ) ⎫⎪ ⎧3 − x = −3 ⇒ x = 6
JJJG
⎬⇒ ⎨
AB = ( −3, 6 )
⎪⎭ ⎩5 − y = 6 ⇒ y = −1
Las coordenadas de B son (6, -1).
G G
G G
G G G
26. u + v = ( −2,13) , u + w = (1, 4) , u + v + w = (−4,10)
G G
G G
G G
27. u + v = (1,12) , u + w = (8,8) , v + w = (3, 6)
28. A ' = ( 4 + 3,1 + 2 ) = ( 7,3)
G
G
29. u = ( 2 + x, −2 + y ) = ( 6, 4 ) ⇒ u = ( x, y ) = ( 4, 6 )
G
30. Sea u = ( x, y )
G
( −3 + x, 4 + y ) = ( 4, 2 ) ⇒ u = ( x, y ) = ( 7, −2 )
320
31.
C'
A ' = ( −5 + 5, −3 + 3) = ( 0, 0 )
B ' = ( 0 + 5, −4 + 3) = ( 5, −1)
C ' = ( −1 + 5,1 + 3) = ( 4, 4 )
C
1
1
A'
B'
A
B
32.
33.
34.
321
35.
A ' = ( −2 + 1,3 − 2 ) = ( −1,1)
A '' = ( −1 − 2,1 + 5 ) = ( −3, 6 )
JJJJG
AA '' = (−3 + 2, 6 − 3) = ( −1,3)
322
36.
37.
a) A ' = ( −4,1)
b ) A’’= (4,-1)
c ) A’’’= (- 4,-1)
a ) A’( - 3 , 1 ) , B’( 1, - 3 ), C’( - 2 , - 4 )
b ) A’ ( 3 , - 1 ) , B’( - 1 , 3 ) , C’( 2 ,4 )
c ) A’( 3 , 1 ), B’( - 1 , - 3 ) , C’( 2 , - 4 )
38.
323
39.
40.
41.
324
42.
43.
44.
325
45.
46.
326
47.
48.
327
49.
50.
51.
328
329
52.
53.
54.
330
55.
56.
57.
58.
331
59.
60.
61.
332
62.
C'(2,4)
C(-2,4)
D(-1,3)
D'(1,3)
1
B'(1,0)
1
B(-1,0)
A(-2,-4)
A'(-2,4)
63.
64.
333
65.
66. Hexágono
67.
334
AUTOEVALUACIÓN PAG. 209
1.
JJJG
AB = ( 4 − 3, 2 − 0 ) = (1, 2 )
JJJG
AB = 12 + 22 = 5
2.
G G
u + v = ( −4 + 2,3 − 1) = ( −2, 2 )
u
u+v
1
1
v
335
G G G
3. u + ( v + w ) = ( 0, 2 ) + ( 4 − 1, 2 + 4 ) = ( 0, 2 ) + ( 3, 6 ) = ( 3,8)
u+(v+w)
v+w
w
u
v
1
1
G G
G
( u + v ) + w = ( 0 + 4, 2 + 2 ) + ( −1, 4 ) = ( 4, 4 ) + ( −1, 4 ) = ( 3,8)
u+(v+w)
u+v
w
u
v
1
1
336
4.
D(3,4)
B(-2,3)
1
C(2,1)
D'(8,0)
'
1
A(1,0)
B'(3,-1)
C(2,1)
u
C'(7,-3)
A'(6,-4)
5.
E(0,4)
D(3,4)
F(1,2)
C(2,2)
1
1
A(0,0)
F'(1,-2)
E'(0,-4)
B(3,0)
C'(2,-2)
D'(3,-4)
337
6.
E(0,4)=E'
D'(-3,4)
D(3,4)
C'(-2,2)
F(1,2)
C(2,2)
F'(-1,2)
1
1
A(0,0)=A'
B'(-3,0)
B(3,0)
7.
C(1,5)
B(3,5)
1
A'(-1,0)
B'(-3,-5)
1
A(1,0)
C'(-1,-5)
338
8.
A(0,2)
C(4,2)
1
B'(-2,0)
1
B(2,0)
A'(0,-2)
C'(-4,-2)
9.
C(3,3)
1
O(4,1)
1
C'(2,0)
B'(6,-1)
B(2,-1)
A(-1,-3)
A'(8,-4)
10.
Sea la figura básica:
A continuación construimos el siguiente friso:
339
OLIMPIADA MATEMÁTICA PAG. 211
1. S = −
P=
b
= − b ⇒ D + 1 − D = − p ⇒ p = −1
1
c
= c ⇒ D(1 − D ) = q ⇒ q = D − D 2
a
Ahora bien, D = p2 − 4q = 1 − 4q = 1 − 4(D − D 2 )
1
4
2
D = 1 ⇒ q = 1 – 1 = 0 ⇒ (p, q) = (–1, 0)
4D 2 − 5D + 1 = 0 ⇒ D = 1, D =
2
D= D=
1
1 ⎛ 1⎞
3
3 ⎞
⎛
⇒q = −⎜ ⎟ =
⇒ ( p, q ) = ⎜ −1,
⎟
4
4 ⎝4⎠
16
16 ⎠
⎝
2
1⎞
1
1⎞
⎛
⎛
2. ⎜ x + ⎟ = x 2 + 2 + 2 = 7 + 2 = 9 ⇒ ⎜ x + ⎟ = 3
x⎠
x
x⎠
⎝
⎝
3
1⎞
1
1
1
1
3
⎛
3 ⋅ 9 = 27 = 33 = ⎜ x + ⎟ = x 3 + 3 + 3 x 2 ⋅ + 3 x ⋅ 2 = x 3 + 3 + 3 x + =
x
x
x
x
x
x
⎝
⎠
= x3 +
1
1⎞
1
1
1
⎛
+ 3 ⎜ x + ⎟ = x 3 + 3 + 3 ⋅ 3 ⇒ x 3 + 3 = 27 − 9 ⇒ x 3 + 3 = 18
3
x
x⎠
x
x
x
⎝
1 ⎞⎛
1⎞
1
1
1
1
⎛
7 ⋅ 18 = ⎜ x 2 + 2 ⎟·⎜ x 3 + 3 ⎟ = x 5 + 5 + x + = 3 + x 5 + 5 ⇒ x 5 + 5 = 123
x ⎠⎝
x ⎠
x
x
x
x
⎝
340
UNIDAD 12. Funciones
ACTIVIDADES PAG. 214
1. f(x) = 2x + 5; f(3) = 2·3 + 5 = 11; f(x) = 2x + 5 = 7 ⇒ 2x + 5 = 7 ⇒ x = 1
2. Im(f) =
\ 0
ACTIVIDADES PAG. 215
3.
a) Si
b) No
c) Si
d) No
e) Si
f) Si
g) No
h) No
i) No
j) No
4.
a) Dom(f) = {x ∈ ℜ x ≥ 3}
b) Dom(g) = {x ∈ ℜ 2x − 4 ≠ 0} =
\ 2
c) Dom(h) =
d) Dom(l) =
341
ACTIVIDADES PAG. 216
5.
x
-2
-1
- 1/2
- 1/3
1/3
1/2
1
2
f(x)
1/(-2)2= 0’25
1/(-1)2 = 1
1/(-1/2)2 = 4
1/(-1/3)2 = 9
1/(1/3)2 = 9
1/(1/2)2 = 4
1/12 = 1
1/22 = ¼
6. Gráfica de la función f(x) = 3x + 1
342
7.
0
0
3
2
6
6
2
3
2,0
0, 3
8. La función es discontinua en el punto x = 1
ACTIVIDADES PAG. 217
9.
La función es creciente en: (- ∞ , -5) ∪ (-3 , 1); es decreciente en: (-5 , -3) ∪ (4’5 , ∞ ).
Tiene un máximo relativo en el punto (-5 , 2) y un mínimo relativo en el punto (-3 , -1)
ACTIVIDADES PAG. 218
10.
a) f(-x) = 1/(-x) = - 1/x = - f(x) ⇒ Impar
b) g(-x) = (-x)2 + 1 = x2 + 1 = g(x) ⇒ Par
c) h(-x) = 2 = h(x) ⇒ Par
ACTIVIDADES PAG. 219
11.
a) m = 3
b) m = 2
c) m = 0’1
343
12. Tres kilos cuestan 3 · 1’2 = 3’6 € . La expresión analítica será: f(x) = 1’2x
ACTIVIDADES PAG. 220
13. Las rectas que son paralelas son las del apartado a) y b) ya que su pendiente es la
misma.
14.
a) f(x) = 3x - 1
b) g(x) = 3x - 2
344
c) h(x) = x + 2
ACTIVIDADES PAG. 221
15.
1− 0
= 1; y = 1 + 1·(x – 3) ⇒ y = x – 2 ⇒ Ecuación punto-pendiente
3−2
x - y = 2 ⇒ Ecuación en forma general
a) m =
b)
m=
3
3
0 − 12
− 12
3
=
= − ; y = 0 - (x – 6) ⇒ y = - x + 9 ⇒ Ecuación punto2
2
6 − (− 2 )
8
2
pendiente
3
x + y = 9 ⇒ Ecuación en forma general
2
− 2 − ( −2 )
= 0 ; y = -2 + 0·(x- 59) ⇒ y = -2 ⇒ Ecuación punto-pendiente =
59 − ( −102 )
Ecuación en forma general.
c)
m=
345
DESAFÍO MATEMÁTICO PAG. 222
346
Movimiento rectilíneo
1.
2000
2000 20
2000
Tardará 1 minuto y 40 segundos en recorrer 2 km
2.
25 m⁄s
m
2
s
100 segundos
500 m
3.
500
25
1
2
2
1
2
1
2
25
25
2 13 11
500
0
51 22
13 11 s
m
s
Crecimiento bacteriano
2 ,
1.
5,
20 minutos ,
1 día
24 horas 1440 minutos
1440
72
20
2
5 2
23611832414348226068480 bacterias generadas al cabo de un día
2.
23611832414348226068480
2 ´3611832414348226068480 10
bacterias
347
ACTIVIDADES FINALES PAG. 224
16.
a) No es función ya que no existe la imagen del elemento z.
b) Si es función.
348
17.
a) Función; b) y c) son correspondencia.
18.
a) Función b) No es función
c) Función
d) No es función
e) Función
19. f(x) = 3x – 5; f(1) = 3·1 – 5 = -2; 3x – 5 = - 4 ⇒ x = 1/3
20.
1
1
0
2
3
21.
1
1
2
3
2
3
1
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
0
8 4 2 1 15
27 9 3 1 40
f(x) = x2 - 1;
f(1) = 12 - 1 = 0
f(3) = 32 - 1 = 8
x2 - 1 = 8 ⇒ x2 = 8 + 1 = 9 ⇒ x = ± 9 = ±3
22. Los intervalos a los que pertenece el número 2 son: a), d), f) y g).
23. Los intervalos a los que pertenece el número π son: a), c) y d).
24. Pertenecen los números de los apartados: d) y g).
25. Dom(f) = (- ∞ ,-3] ∪ [3,+∞) , ya que debe verificar: x2 - 9 ≥ 0 ; Im(f) = [- 9 , + ∞)
26.
a) Dom(f) =
b) Dom(g) =
c) Dom(h) =
d) Dom(i) =
27.
a) Dom(f) =
b) Dom(g) =
1 0 = \ 1, 1
1 0 para todo x en
ya que
:
:
0
4
0, ∞
0
\
2,2
28.
a) Dom(f) = \ 1
b) Dom(g) = \ 3,3
29.
a) Dom(f) = , por ser una función polinómica.
b) Dom(g) = [4 , + ∞ ) Im(g) = [0 , + ∞ )
c) Dom(h) =
Im(h) =
d) Dom(i) =
Im(i) = [0 , + ∞ )
Im(f) = [-3 , + ∞ )
30.
a) Dom(f) = [9 , + ∞ )
b) Dom(g) =
349
31. Im(f) = [-2, 2]
32. Dom(f) =
\ {0}
Im(f) = [0 , + ∞ )
350
33. f(x) = 2x - 4
Dom(f) =
Im(f) =
La pendiente es 2
34. Los puntos de discontinuidad son: x = -3; x = 1; x = 3
Dom(f) = ; Im(f) = [-2 , + ∞ )
35.
a) La temperatura máxima se alcanza a las 14 horas y es de 9ºC, la temperatura mínima se
alcanza a las 6 de la madrugada y es de -3ºC.
b) Si, su gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.
c) La función es creciente en el intervalo: (6, 14)
d) La temperatura ha disminuido en los intervalos: (0, 2) ∪ (4, 6) ∪ (14, 24)
36. Es una función periódica, siendo su periodo T = 6
37.
f(3) = 3 + 1 = 4 ⎫
⎬ ⇒ f(3) < f(5) ⇒ la función es creciente.
f(5) = 5 · 1 = 6 ⎭
Es una función continua por ser una función polinómica.
38.
La función es creciente en: (-6,-4) ∪ (2,4)
La función es decreciente en: (-4,2)
La función alcanza su valor máximo en el punto:(-4, 4) y su valor mínimo en el punto: (2,-1)
39.
Máximos: ( - 3 , 2 ) , ( 1 , - 1 ) , ( 4 , 1 )
Mínimos: ( - 1 , - 3 ) , ( 2 , -2 ) , ( 5 , 0 )
40.
) ⇒ f es un función par.
41.
impar
⇒
es una función
351
352
42.
a)
b)
43.
a)
b)
353
44.
a) f (0) = 0
b) f (−5'232) = 25
c) f (9'21) = 81
d) f (π ) = 9
e) f ([ 0,1)) = 0
f) f ([1, 2 )) = 1
g) f ([ 2,3)) = 4
h) f ([3, 4 )) = 9
i) f ([ 4,5)) = 16
j) f (a ' 234) = a 2
La función f ( x ) = ( Ent ( x ) ) es una función par.
2
45. Son funciones los apartados a) y b).
46.
a)
b)
354
c)
47. f(x) = 5x
En un hogar con 5 miembros se deberían consumir f(5) = 5 · 5 = 25 piezas de fruta por día.
48.
a) Función lineal
b) Función afín.
c)
Función afín.
355
49.
a) m = 3
b) m = 1
1
c) m =
7
d) m = 2
e) m = - 1
f) m = 0
50. g(x) y h(x) son paralelas ya que tienen la misma pendiente.
51. f(x) y j(x)
52.
a) y + 7 = 3( x + 1)
b) y + 7 = −0'5( x + 1)
53.
−5 − 5
⇒ m = 5 ⇒ y − 5 = 5 ( x − 1) ⇒ 5 x − y = 0
−1 − 1
10 − 0
b) m =
⇒ m = 5 ⇒ y − 0 = 5 ( x − 0 ) ⇒ 5x − y = 0
2−0
−1 − 1 −2
1
1
c) m =
=
⇒ m = ⇒ y −1 = ( x − 2) ⇒ x − 2 y = 0
−2 − 2 −4
2
2
4−4
d) m =
= 0⇒ m = 0⇒ y −4 = 0
−11 − 3
54.
2x 1
a) y = − −
5 5
b) y = - 2 x - 2
a) m =
55.
Al cabo de un año la vivienda cuesta 1’15 · 90000 = 103500 €
Al término del segundo año su valor es de 1’15 ·103500 = 119025 €
En el año tercero la vivienda tiene un valor de 1’15 · 119025 = 136878’75 €
El año cuarto la vivienda vale 1’15 · 136878’75 = 157410’ 5625 €
El quinto año el valor de la vivienda es 1’15 · 157410’ 5625 =181022’1468 €
euros
181022
157410
136878
119025
103500
1
90000
Años
1
2
3
4
5
356
56. Al cabo de 5 horas hemos recorrido 80 · 5 = 400 km
57.
f ( x) = 30 x
años
1
2
3
4
centímetros
30
60
90
120
No tiene sentido calcular su valor para x = - 1, ya que x mide el tiempo.
357
58.
f ( x) = 7 x
x f(x)
1
7
2 14
3 21
4 28
5 35
59. 30 segundos; 10 segundos
60. Sea x el tiempo medido en meses de permanencia en el gimnasio. La función es:
f ( x) = 20 + 35x
Si Lorena se matricula en marzo, a final de año habrá abonado 10 mensualidades, es decir,
habrá pagado f (10) = 20 + 35·10 = 370 €
euros
375
195
90
55
20
1
1
2
5
10
meses
358
AUTOEVALUACIÓN PAG. 227
1.
a) Función
b) Correspondencia
c) correspondencia
d) Función
2.
f ( x) = 3x − 2
f (2) = 3·2 − 2 ⇒ f (2) = 4
7
3.
a)
b)
c)
d)
:
4
\
:
:
9
0
4
0
7
:3
2
7
3
\4
0
\
:
2,2
9
9, ∞
4. Se trata de una función lineal. Su pendiente es m = 7
359
5.
a) −3 ∉ ( 0, 7]
b) −π ∉ ( 0, 7]
c) 0 ∉ ( 0,7 ]
2 ∈ ( 0, 7 ]
d)
e)
3
8 ∈ ( 0, 7 ]
f) 2π ∈ ( 0, 7 ]
g) 6 ∈ ( 0, 7 ]
h) 7 ∈ ( 0, 7 ]
i) 17 ∉ ( 0, 7 ]
j) 0'001∈ ( 0,7]
6. f ( x) = x 2 , siendo x la longitud de la base
7.
Puntos de discontinuidad: - 4, - 3, 1, 3
Dominio: [ −6, −4] ∪ [ −3,1] ∪ [3, 6]
Recorrido: [ −2,3]
8. Son paralelas entre sí las rectas f ( x) = 3x − 4 , h( x) = 3x + 1
9. Se trata de una función periódica, siendo T = 3
10. f ( − x ) = ( − x ) +
3
2
2
2⎞
⎛
= − x3 − = − ⎜ x 3 + ⎟ = − f ( x )
x
x⎠
(−x)
⎝
Como f ( − x ) = − f ( x ) ⇒ f presenta una simetría impar
f es simétrica respecto del
origen de coordenadas.
360
OLIMPIADA MATEMÁTICA PAG. 229
1.
a2b2
= 1 ⇒ a 4 − b 2a 2 − 2b 4 = 1
4
a − 2b
4
2
b 2 ± b 4 + 8b 4 ⎧⎪a1 = 2b
a =
=⎨
2
⎪⎩a2 = −b 2
2
a 2 = −b 2 ⇒ a = b = 0, ya que el enunciado indica que a y b son no nulos
a 2 = 2b 2 ⇒
a 2 − b 2 2b 2 − b 2 1
=
=
a 2 + b 2 2b 2 + b 2 3
2. Observemos que el numerador es menor o igual que el denominador, por tanto:
a2 − b2 ≤ a2 + b2 ⇔
−1 ≤
a2 − b2
≤1
a2 + b2
a2 − b2
≤1
a2 + b2
Además, la expresión toma los valores 1 (para a = 0) y –1 (para b = 0). Por tanto, dado que, salvo
en el punto (0, 0), la expresión es una función continua, tomará todos los valores del intervalo [–
1, 1].
361
UNIDAD 13. Estadística
ACTIVIDADES PAG. 232
1.
•
•
•
•
Población: todos los alumnos del instituto.
Muestra 1: todos los alumnos de todos los cursos cuyo primer apellido comience por
cualquiera de las 10 primeras letras del abecedario.
Muestra 2: los cinco últimos alumnos de la lista de cada clase.
Muestra 3: elegimos aleatoriamente 3 alumnos de cada clase.
ACTIVIDADES PAG. 233
2.
Número de goles: cuantitativa
Color de ojos: cualitativa
3.
a)
b)
c)
d)
Altura de mis compañeros: cuantitativa.
Última película vista en el cine: cualitativa.
Peso de los chicos de la clase de al lado: cuantitativa.
Color del pelo: cualitativa.
362
ACTIVIDADES PAG. 234
4.
Variable estadística
xi
0
1
2
3
4
5
Suma
Frecuencia absoluta
fi
7
6
5
3
2
1
24
Frecuencia relativa
hi
7/24 = 0‘29
6 / 24 = 0‘25
5 / 24 = 0‘21
3 / 24 = 0‘13
2 / 24 = 0‘08
1 / 24 = 0‘04
1
Porcentajes
%
29 %
25 %
21 %
13 %
8%
4%
100 %
5.
Intervalo de clase
Marca
de clase X i
155
165
175
185
195
[ 150 , 160 )
[ 160 , 170 )
[ 170 , 180 )
[ 180 , 190 )
[ 190 , 200 )
Frecuencia absoluta
fi
3
8
7
5
2
25
Frecuencia relativa
hi
3/25 = 0’12
8/25 = 0’32
7/25 = 0’28
5/25 = 0’2
2/25 = 0’08
1
Porcentajes
%
12 %
32 %
28 %
20 %
8%
100 %
ACTIVIDADES PAG. 235
Número de alumnos
6.
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
363
ACTIVIDADES PAG. 236
7. Tabla de frecuencias:
Intervalo de clase
Marca de clase
Xi
[ 50 , 60 )
[ 60 , 70 )
[ 70 , 80 )
[ 80 , 90 )
55
65
75
85
Histograma y polígono de frecuencias:
Frecuencia
Absoluta
fi
5
5
5
3
18
Frecuencia
relativa
hi
5/18 = 0’28
5/18 = 0’28
5/18 = 0’28
3/18 = 0’16
1
Porcentajes
%
28
28
28
16
100 %
Número de alumnos
Peso en kg
6
5
4
3
2
1
0
[50 , 60)
[ 60 ,70)
[ 70 , 80)
[ 80 , 90)
kg
ACTIVIDADES PAG. 237
8.
0 ⋅1 + 1⋅ 2 + 2 ⋅ 4 + 3 ⋅1 + 4 ⋅ 7 + 5 ⋅1 + 6 ⋅1 + 7 ⋅1 + 8 ⋅1 + 9 ⋅ 3
= 4'27
22
Mo = 4
Me = 4
primer cuartil = 2 , segundo cuartil = 4 , tercer cuartil = 5’75
x=
364
ACTIVIDADES PAG. 238
9.
xi
1
2
3
4
5
6
7
fi
3
5
5
5
5
1
1
1·3 + 2·5 + 3·5 + 4·5 + 5·5 + 6·1 + 7·1
= 3'44 ,
25
1 − 3'44 ·3 + 2 − 3'44 ·5 + 3 − 3'44 ·5 + 4 − 3'44 ·5 + 5 − 3'44 ·5 + 6 − 3'44 ·1 + 7 − 3'44 ·1
DM =
=1’3376 ,
25
2
2
2
2
2
2
2
2 (1 − 3'44) ·3 + (2 − 3'44) ·5 + (3 − 3'44) ·5 + (4 − 3'44) ·5 + (5 − 3'44) ·5 + (6 − 3'44) ·1 + (7 − 3'44) ·1
σ =
= 2’48,
25
σ = 2'48 =1’57
Mo = 2, 3, 4 y 5
x=
ACTIVIDADES PAG. 239
365
10.
0·2 + 1·4 + 2·1 + 3·1 + 4·1 + 5·1
= 1’8
10
Moda = 1
Mediana = 1
El jugador no es muy regular
x=
DM =
0 − 1'8 ·2 + 1 − 1'8 ·4 + 2 − 1'8 ·1 + 3 − 1'8 ·1 + 4 − 1'8 ·1 + 5 − 1'8 ·1
=1’22
10
(0 − 1'8)2 ·2 + (1 − 1'8)2 ·4 + (2 − 1'8)2 ·1 + (3 − 1'8)2 ·1 + (4 − 1'8)2 ·1 + (5 − 1'8)2 ·1 =2’56
σ 2=
10
σ = 2'56 = 1’6
11.
20·1 + 24·1 + 30·2 + 40·1 + 50·2 + 68·1 + 120·1 + 200·1
= 63’2
10
Mo = 30 y 50
Mediana = 45
x=
DM =
20 − 63'2 ·1 + 24 − 63'2 ·1 + 30 − 63'2 ·2 + 40 − 63'2 ·1 + 50 − 63'2 ·2 + 68 − 63'2 ·1 + 120 − 63'2 ·1 + 200 − 63'2 ·1
10
DM = 39’68
σ
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
20 − 63'2) ·1 + (24 − 63'2) ·1 + (30 − 63'2) ·2 + (40 − 63'2) ·1 + (50 − 63'2) ·2 + (68 − 63'2) ·1 + (120 − 63'2) ·1 (200 − 63'2) ·1
=
+
10
= 2845’76
σ =
10
2845'76 = 53’34
12.
Variable aleatoria
xi
0
1
2
3
5
9
Frecuencia absoluta
fi
10
9
5
4
1
1
30
Frecuencia relativa
hi
10/30 = 0’33
9/30 = 0’3
5/30 = 0’17
4/30 = 0’14
1/30 = 0’03
1/30 = 0’03
1
Porcentaje
%
33 %
30 %
17 %
14 %
3%
3%
100 %
0·10 + 1·9 + 2·5 + 3·4 + 5·1 + 9·1
= 1’5
30
Mo = 0
Mediana = 1
0 − 1'5 ·10 + 1 − 1'5 ·9 + 2 − 1'5 ·5 + 3 − 1'5 ·4 + 5 − 1'5 ·1 + 9 − 1'5 ·1
Desviación media =
= 1’3
30
x=
σ=
(0 − 1'5)2 ·10 + (1 − 1'5)2 ·9 + (2 − 1'5)2 ·5 + (3 − 1'5)·4 + (5 − 1'5)2 ·1 + (9 − 1'5)2 ·1 =1’86
30
366
DESAFÍO MATEMÁTICO PAG. 240
367
La bolsa
BANCO A
6´9
7´57
DATOS
8´92
9´05
9´02
9´04
2´220
RANGO
8´612
MEDIA
0´755
DESVIACIÓN
TÍPICA
0´088
COFICIENTE
DE
VARIACIÓN
BANCO B
8´94 DATOS
9´8
8´1
9´12
7
6´56
8´95
6
5´25
5´400
RANGO
6´670
MEDIA
1´525
DESVIACIÓN
TÍPICA
0´229
COFICIENTE
DE
VARIACIÓN
7´25
5´67
4´4
El Banco B presenta mayor dispersión en la cotización de sus acciones en el día (su coeficiente de
variación es mayor).
Servicio de urgencias
Centro de salud
A
B
130
110
98
50
47
31
LUNES
34
MARTES
48
45
28
42
52
46
25
MIÉRCOLES
JUEVES
VIERNES
CENTRO SALUD
MEDIA
DESVIACIÓN
TÍPICA
COEFICIENTE
DE VARIACIÓN
VARIANZA
SÁBADO
DOMINGO
A
B
65´14
47´14
42´13
3´04
0´65
0´06
1774´98
9´27
En el centro de salud B la afluencia de enfermos es más regular (su coeficiente de variación es menor).
368
Las naranjas
MEDIA
DESVIACIÓN
TÍPICA
COEFICIENTE
DE
VARIACIÓN
NAVELINA MANDARINA
8´017
4´992
2´00
0´16
0´250
0´031
Interesa comercializar el nuevo injerto de mandarina, siendo la homogeneidad del tamaño el criterio de
elección, dado que su coeficiente de variación es menor.
369
ACTIVIDADES FINALES PAG. 242
370
13.
a) Peso de los niños que nacen: continua.
b) Número de niños que nacen: discreta.
c) Talla de los niños: continua.
d) Número de madres que dan a luz: discreta.
14.
Población: todos los alumnos del instituto.
Muestra: los cinco primeros alumnos de cada clase.
Tamaño de la muestra: 75 alumnos.
Variable: número de panes que consumen por hogar.
Tipo de variable: discreta.
15.
a) Población: los habitantes del barrio.
Tamaño de la muestra: 500
b)
Variable aleatoria
xi
Infantil
Acción
Románticas
Frecuencia absoluta
fi
120
230
150
500
Frecuencia relativa
hi
120/500 = 0’24
230/500 = 0’46
150/500 = 0’3
1
Porcentaje
%
24 %
46 %
30 %
100 %
250
personas
200
150
100
50
0
Infantil
Acción
Románticas
16.
a) Discreta
b)
Variable aleatoria
xi
Si
No
Indiferentes
Frecuencia absoluta
fi
75
10
15
100
Frecuencia relativa
hi
75/100 = 0’75
10/100 = 0’1
15/100 = 0’15
1
Porcentaje
%
75 %
10 %
15 %
100 %
número de vecinos
80
60
40
20
0
Sí
No
calefacción
Indiferentes
371
17.
0·7 + 1·4 + 2·6 + 3·5 + 4·3 + 5·1 + 6·2
= 2’14
28
Mo = 0
Mediana = 2
2
2
2
2
2
2
2
( 0 − 2 '14 ) ·7 + (1 − 2 '14 ) ·4 + ( 2 − 2 '14 ) ·6 + ( 3 − 2 '14 ) ·5 + ( 4 − 2 '14 ) ·3 + (5 − 2 '14 ) ·1 + ( 6 − 2 '14 ) ·2
2
σ =
= 3’19
28
x=
σ = 3'19 = 1’78
Primer cuartil = 0
18.
Intervalo
[ 0 , 1’5 )
[1’5 , 3 )
[3 , 4’5 )
[4’5 , 6 )
[ 6 , 7’5 )
Marca de clase
xi
0’75
2’25
3’75
5’25
6’75
Frecuencia absoluta
fi
5
7
10
4
4
30
[0,1'5)
[3,4'5)
euros
Frecuencia relativa
hi
5/30 = 0’17
7/30 =0’23
10/30 = 0’34
4/30 = 0’13
4/30 = 0’13
1
19.
12
alumnos
10
8
6
4
2
0
[1'5,3)
[4'5,6)
[6,7'5)
20.
a)
xi
Grados centígrados
25º
26º
27º
28º
29º
30º
31º
32º
33º
34º
35º
fi
Número de días
2
1
5
5
5
2
2
2
3
3
1
31
hi
Frecuencia relativa
Porcentaje
%
2/31=0’06
1/31=0’04
5/31=0’16
5/31=0’16
5/31=0’16
2/31=0’06
2/31=0’06
2/31=0’06
3/31=0’1
3/31=0’1
1/31=0’04
1
6
4
16
16
16
6
6
6
10
10
4
100
372
b)
Temperatura Cádiz mes agosto
6
Número de días
5
4
3
2
1
0
25º 26º 27º 28º 29º 30º 31º 32º 33º 34º 35º
21.
Baloncesto: 30% de 30 = 9; Ciclismo: 20% de 30 = 6; Fútbol: 50% de 30 = 15
Alumnos
Deportes practicados por alumnos de mi clase
20
15
10
5
0
Baloncesto
Ciclismo
Fútbol
22.
a)
Número de personas por
hogar
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Número de hogares con
tantos miembros
fi
4
4
7
4
3
5
1
1
1
1
0
1
32
Frecuencia relativa
hi
Porcentajes
%
4/32=0’125
4/32=0’125
7/32=0’219
4/32=0’125
3/32=0’094
5/32=0’157
1/32=0’031
1/32=0’031
1/32=0’031
1/32=0’031
0
1/32=0’031
1
12’5
12’5
21’9
12’5
9’4
15’7
3’1
3’1
3’1
3’1
0
3’1
100
373
Número de hogares
Densidad de población por hogar
b)
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1·4 + 2·4 + 3·7 + 4·4 + 5·3 + 6·5 + 7·1 + 8·1 + 9·1 + 10·1 + 12·1
= 4'375
32
Mediana= 4
Mo = 3
x=
c)
σ=
(1 − 4'375)2 ·4 + (2 − 4'375)2 ·4 + (3 − 4'375)2 ·7 + (4 − 4'375)·4 + (5 − 4'375)2 ·3 + (6 − 4'375)2 ·5 +
32
(7 − 4'375)2 ·1 + (8 − 4'375)2 ·1 + (9 − 4'375)2 ·1 + (10 − 4'375)2 ·1 + (12 − 4'375)2 ·1 = 2'666341126
32
23.
Bollería industrial: 40% de 30 = 12
Bocadillo: 25% de 30 = 7’5
Chucherías: 15% de 30 = 4’5
Nada: 20% de 30 = 6
Amplitud del sector: 360º · 12/30 = 144º
Amplitud del sector: 360º · 7’5/30 = 90º
Amplitud del sector: 360º · 4’5/30 = 54º
Amplitud del sector: 360º · 6/30 = 72º
nada
20%
Bollería
industrial
40%
chucherías
15%
Bocadillo
25%
24.
x=
σ=
1·1 + 2·2 + 3·3 + 4·4 + 5·5 + 6·4 + 7·3 + 8·2 + 9·1
=5
25
(1 − 5)2 ·1 + (2 − 5)2 ·2 + (3 − 5)2 ·3 + (4 − 5)·4 + (5 − 5)2 ·5 + (6 − 5)2 ·4 + (7 − 5)2 ·3 + (8 − 5)2 ·2 + (9 − 5)2 ·1 = 2
25
374
25.
1·1 + 2·3 + 3·2 + 4·5 + 5·7 + 6·5 + 7·4
= 4'6
27
Mediana = 5
x=
Moda = 5
DM=
1 − 4'63·1 + 2 − 4'63·3 + 3 − 4'63·2 + 4 − 4'63·5 + 5 − 4'63·7 + 6 − 4'63·5 + 7 − 4'63·4
27
=1’36
σ2=
(1 − 4'63)2 ·1 + (2 − 4'63)2 ·3 + (3 − 4'63)2 ·2 + (4 − 4'63)2 ·5 + (5 − 4'63)2 ·7 + (6 − 4'63)2 ·5 + (7 − 4'63)2 ·4 =2’74
σ=
2'74 = 1’65
27
Hogares
Consumo de leche
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1 litro
2 litros
3 litros
4 litros
5 litros
6 litros
7 litros
375
Consumo de leche / hogar
2 litros
7 litros 1 litro
11%
4%
15%
3 litros
6 litros
7%
19%
4 litros
18%
5 litros
26%
26.
Rango = 7
No tiene moda
Mediana = 5’5
2+3+ 4+5+ 6+ 7 +8+9
x=
= 5'5
8
2 − 5'5 ·1 + 3 − 5'5 ·1 + 4 − 5'5 ·1 + 5 − 5'5 ·1 + 6 − 5'5 ·1 + 7 − 5'5 ·1 + 8 − 5'5 ·1 + 9 − 5'5 ·1
DM =
=2
8
σ2 =
(2 − 5'5)2 + (3 − 5'5)2 + (4 − 5'5)2 + (5 − 5'5)2 + (6 − 5'5)2 + (7 − 5'5)2 + (8 − 5'5)2 + (9 − 5'5)2
8
= 5'25
σ = 5'25 = 2’29
27.
2'8 =
1·4 + 2·5 + 3·a + 4·8
17 + a
2’8·(17 + a) = 46 + 3a
47’6 + 2’8a = 46 + 3a
1’6 = 0’2 a
a=8
28.
45
Suma de las notas de los cuatro controles = 18
Sea x la nota del quinto control
18 + x
=5⇒ x =7
5
29.
Sueldo de los mecánicos = 1800 · 15 = 27000
Sea x el sueldo del médico y del director.
27000 + x
= 2000 ⇒ x = 7000
17
Luego el sueldo medio del médico y del director será: 3500 €
Sea y el sueldo del médico. Como el director cobra 600 € más que el médico:
2 y + 600 = 7000
y = 3200
Por tanto el médico cobra 3200 € y el director cobra 3800 €.
376
30.
Datos del jugador A:
0·4 + 1·2 + 2·2 + 4·1 + 5·1
= 1'5
10
Mediana = 1
Moda = 0
Rango = 5
0 − 1'5 ·4 + 1 − 1'5 ·2 + 2 − 1'5 ·2 + 4 − 1'5 ·1 + 5 − 1'5 ·1
= 1'4
DM =
10
2
2
2
2
2
(
0 − 1'5) ·4 + (1 − 1'5) ·2 + (2 − 1'5) ·2 + (4 − 1'5) ·1 + (5 − 1'5) ·1
2
σ =
= 2'85
10
σ = 2'85 = 1’68
x=
Datos del jugador B:
1·6 + 2·3 + 3·1
= 1'5
10
Mediana = 1
Moda = 1
Rango = 2 ,
1 − 1'5 ·6 + 2 − 1'5 ·3 + 3 − 1'5 ·1
DM =
= 0'6
10
2
2
2
(
1 − 1'5) ·6 + (2 − 1'5) ·3 + (3 − 1'5) ·1
2
σ =
= 0'45
10
σ = 0'45 = 0'67
x=
Contratará al jugador B
Jugador A
5
4
Partidos
4
3
2
2
2
1
1
4 goles
5 goles
1
0
0
0 goles
1 gol
2 goles
3 goles
377
Partidos
Jugador B
7
6
5
4
3
2
1
0
6
3
1
0
0 goles
1 gol
2 goles
3 goles
0
0
4 goles
5 goles
AUTOEVALUACIÓN PAG. 243
1. Cuantitativas: a, b, d, e, g, j
Cualitativas: c, f, h, i
2. Discretas: a, d, e, g, j
Continua: b
3.
Variable aleatoria
xi
0
1
2
3
4
Frecuencia absoluta
fi
8
8
8
3
1
28
Frecuencia relativa
hi
8/28=0’29
8/28=0’29
8/28=0’29
3/28=0’1
1/28=0’03
1
Porcentaje
%
29
29
29
10
3
100
378
4.
9
8
7
6
5
nº
4
3
2
1
0
0
5.
1
2
3
4
Moo = { 0, 1, 2 }
Meediana: 1
6.
0 − 1'32 ·8 + 1 − 1'32 ·8 + 2 − 1'322 ·8 + 3 − 1'32
2 ·3 + 4 − 1'32
3 ·1
= 0'94
28
2
2
2
2
(0 − 1'32)2 ·8 + (1 − 1'32
3 ) ·8 + (2 − 1'32) ·8 + (3 − 1'32) ·3 + (4 − 1'32) ·1
σ2 =
= 1'224
28
σ = 1'224 = 1'106
DM
M=
7. El depoorte de modda es el fútbol
Fúútbol
Balooncesto
Juudo
Cicllismo
%
45
30
15
10
hi
0’45
0’30
0’15
0’10
Ampplitud
162º
108º
5
54º
3
36º
Depo
ortes
10%
15%
45%
30%
Fútbol
Baloncesto
Judo
Ciclismo
379
8. Polígono de frecuencias:
Nº de Personas
60
50
40
30
Nº de Personas
20
10
0
[15, 21)
[21, 27)
[27, 33)
[33, 39)
[39, 45)
9. La clase modal es: 18, 24, 30, 36, 42
Mo = 24
10.
Rango: 30
18·15 + 24·56 + 30·46 + 36·25 + 42·22
x=
= 29'38
164
(18 − 29'38)2 ·15 + (24 − 29'38)2 ·56 + (30 − 29'38)2 ·46 + (36 − 29'38)2 ·25 + (42 − 29'38)2 ·22 = 49'88
σ2 =
164
σ = 49'88 = 7'06
OLIMPIADA MATEMÁTICA PAG. 245
380
ˆ =5
ˆ
1. Por ser isósceles 4
ˆ +3
ˆ +4
ˆ = 90 (inscrito en semicircunferencia)
2
ˆ = 180
ˆ +6
⎧2·4
ˆ = 180 ⇒ ⎪⎨
ˆ4 + 5
ˆ +6
ˆ +7
ˆ = 180
⎪⎩6
ˆ =5
ˆ, 4
ˆ =5
ˆ
2
ˆ + (2
ˆ +3
ˆ + 4)
ˆ +5
ˆ +5
ˆ = 180 ⇒ 1
ˆ = 90
1
ˆ =4
ˆ = 140, 7
ˆ = 50, 8
ˆ =9
ˆ = 90
ˆ =2
ˆ = 20, 6
ˆ = 40, 3
5
2
2
2
2
2
2. Área = πR – πr = πR – π(R – 1) = π m
381
UNIDAD 14. Probabilidad
ACTIVIDADES PAG. 248
1.
a)
b)
c)
d)
Determinista
Aleatorio
Aleatorio
Determinista
2. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
a) A = {2, 4, 6, 8}; A = {1, 3, 5, 7, 9}
b) C = {1, 2, 3, 5, 7}; C = {4, 6, 8, 9}
ACTIVIDADES PAG. 249
3. Llamamos: o = oros; c = copas; e = espadas; b = bastos:
A = { 3o, 6o, 12o, 3c, 6c, 12c, 3e, 6e, 12e, 3b, 6b, 12b}
B = {4o, 12o, 4c, 12c, 4e, 12e, 4b, 12b}
C = {5o, 10o, 5c, 10c, 5e, 10e, 5b, 10b}
a) A U B = { 3o, 4o, 6o, 12o, 3c, 4c, 6c, 12c, 3e, 4e, 6e, 12e, 3b, 4b, 6b, 12b }
b) A ∩ B = {12o, 12c, 12e, 12b}
c) A = { 1o, 2o, 4o, 5o, 7o, 10o, 11o, 1c, 2c, 4c, 5c, 7c, 10c, 12c, 1e, 2e, 4e, 5e, 7e, 10e,
12e, 1b, 2b, 4b, 5b, 7b, 10b, 11b}
382
d) B = {1o, 2o, 3o, 5o, 6o, 7o, 10o, 11o, 1c, 2c, 3c, 5c, 6c, 7c, 10c, 11c, 1e, 2e, 3e, 5e, 6e,
7e, 10e, 11e, 1b, 2b, 3b, 5b, 6b, 7b, 10b, 11b}
e) C = { 1o, 2o, 3o, 4o, 6o, 7o, 11o, 12o, 1c, 2c, 3c, 4c, 6c, 7c, 11c, 12c, 1e, 2e, 3e, 4e, 6e,
7e, 11e, 12e, 1b, 2b, 3b, 4b, 6b, 7b, 11b, 12b}
f)
E
g) E \ {12o, 12c, 12e, 12b}
h) A U C = { 3o, 5o, 6o, 10o, 12o, 3c, 5c, 6c, 10c, 12c, 3e, 5e, 6e, 10e, 12e, 3b, 5b, 6b, 10b, 12b }
i)
A ∩ B = {4o, 4c, 4e, 4b}
j) A U C = C
k) A ∩ C = A
l) A ∩ B = B
m) A ∩ B = {3o, 6o, 3c, 6c, 3e, 6e, 3b, 6b}
n) B ∩ C = φ
ñ) B U C = { 4o, 5o, 10o, 12o, 4c, 5c, 10c, 12c, 4e, 5e, 10e, 12e, 4b, 5b, 10b, 12b }
ACTIVIDADES PAG. 250
383
4.
Variable
Cara
Cruz
5. f (A) = 5
Frecuencia absoluta
54
46
100
Frecuencia relativa
54/100 = 0’54
46/100 = 0’46
1
h(A) = 5/12
6. f ( ) = 0
7. Sea A = {sacar la bola roja}
f (A) = 450/1000 = 0’45
ACTIVIDADES PAG. 251
8.
h(1) = 21/134 = 0’16
h(4) = 19/134 = 0’14
h(2) = 23/134 = 0’17
h(5) = 22/134 = 0’16
h(3) = 24/134 = 0’18
h(6) = 25/134 = 0’19
9. Si
10. h(A) = 27/42 = 0’64 ; h(B) = 15/42 . Se ajustan a la ley de los grandes números.
ACTIVIDADES PAG. 252
384
11. Sea A = {sale una espada}
10
P(A) =
= 0'25
40
12.
Sean A = {la bola sale negra}; B ={ la bola sale amarilla}; C = {la bola sale azul}
3
a) P(A) =
= 0'2
15
5
b) P(B) =
= 0'3
15
7
c) P(C) =
= 0'46
15
ACTIVIDADES PAG. 253
13. Sea A = {sale una espada}
30
P( A ) =
= 0'75
40
14. Sea A = {sale 3}
5
P( A ) = = 0'83
6
ACTIVIDADES PAG. 254
15. Sea A = {da en el blanco}, P(A) = 0’9
Si dispara dos veces:
a)
P(dar en el blanco las dos veces) = 0’9·0’9 = 0’81
b)
P(da en el blanco una sola vez) = 0’9·0’1 + 0’1·0’9 = 0’18
c)
P(no dar en el blanco ninguna vez) = 0’1·0’1 = 0’01
d)
P(dar en el blanco al menos una vez) = 0’81 + 0’18 = 0’99
385
16.
a) P(los tres son de fresa) =
1 1 1 1
⋅ ⋅ =
= 0'0156
4 4 4 64
b) P(ninguno es de fresa) =
3 3 3 27
⋅ ⋅ =
= 0'4218
4 4 4 64
ACTIVIDADES PAG. 255
17. Sea A = la bola sale roja y B = la bola sale negra
7 3 21
P(A ∩ B) =
⋅ =
= 0'23
10 9 90
P(A ∩ B) =
7 3
21
⋅ =
= 0'21
10 10 100
386
DESAFÍO MATEMÁTICO PAG. 256
387
1. La probabilidad de que te toque el gordo es
0 ´000011764705882353.
2. La probabilidad de conseguir el segundo premio es la misma que para conseguir el
primero
0 ´000011764705882353.
3. La probabilidad de conseguir el tercer premio es la misma que para conseguir e el
primero o el segundo
0 ´000011764705882353.
4. Cuartos premios hay dos. La probabilidad de que te toque uno de los dos cuartos
premios es de:
0 ´000023529411764706.
5. La probabilidad de que te toque uno de los ocho quintos premios es de
0´000094117647058824.
6. La probabilidad de conseguir la pedrea es
0,0208705882353.
7. En total hay 13334 premios. La probabilidad de recibir alguno es de
0´1568705882353 .
8. 3000000
1000000
500000
200000
8
1774
2
2
1000
20000
12500
85000
85000
85000
85000
495
2547
8499
1000
1000
200
140
85000
85000
85000
50000
9600
2
85000
Por lo tanto, 140 € es la suma de los productos de los premios de la lotería por la
probabilidad de obtenerlos, para un billete.
El precio del billete es 200
La esperanza matemática de ganancia al comprar un billete de lotería de Navidad es:
é
140
200
60
Al comprar un décimo que cuesta 20 (la décima parte) la esperanza matemática de
ganancia será la décima parte, esto es, 6
En definitiva, la lotería de Navidad es favorable para la Hacienda Pública.
388
ACTIVIDADES FINALES PAG. 258
389
18.
a) Determinista
b) Aleatorio
c) Determinista
d) Aleatorio
e) Aleatorio
19. E = {Blanca, Negra, Verde}
20. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
21. A = {2, 4, 6, 8}
B = {3, 6}
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
A U B = {2, 3, 4, 6, 8}
A ∩ B = {6}
A U C = {2, 4, 6, 8}
A ∩ C = {4, 8}
A ∩ B = {3}
A U C = {1, 3, 4, 5, 7, 8}
A ∩C = {φ}
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
ñ)
A ∩ C = {2, 6}
C UB= C
A U B = {1, 3, 5, 6, 7}
A U C= E
C ∩ B = {3, 6}
B ∩ A = {1, 5, 7}
B ∩ C = {1, 2, 5, 7}
B ∩ A = {2, 4, 8}
C = {4, 8}
22.
5
= 0'42
12
7
b) P(la bola no es blanca) =
= 0'58
12
3
c) P(la bola es verde) =
= 0'25
12
8
d) P(la bola no es roja) =
= 0'66
12
a) P(la bola es blanca) =
23.
12
= 0'4
30
11
b) P(desayuna golosinas) =
= 0'36
30
7
c) P(no desayune) =
= 0'23
30
a) P(desayuna bocadillo) =
390
24.
10
= 0'25
40
4
b) P(obtener una sota) =
= 0'1
40
1
c) P(la sota de bastos) =
= 0'025
40
a) P(obtener bastos) =
25.
A U B = {As de espadas, 2 de espadas, 3 de espadas, 4 de espadas, 5 de espadas, 6 de espadas, 7 de
espadas, Sota de espadas, Caballo de espadas, Rey de espadas, Sota de oros, Sota de copas, Sota de
bastos}
13
P(A U B) =
= 0'325
40
26.
N = negra; R = roja; B = blanca
E = {NN, NR, NB, RN, RR, RB, BN, BR, BB};
P(NN) =1/15 ; P(NR) = 1/6 ; P(NB) = 1/15 ; P(RN)= 1/6 ; P(RR) = 2/9 ; P(RB) = 1/9 ; P(BN) = 1/15 ;
P(BR) = 1/9 ; P(BB) = 2/90
Negra
Roja
Negra
Blanca
Negra
Roja
Roja
Blanca
Negra
Blanca
Roja
Blanca
27.
32
= 0'57
56
24
b) P(sale amarilla) =
= 0'43
56
a) P(sale roja) =
28. P(sale un número primo) =
3
= 0'5
6
391
29. P(la lavadora es defectuosa) =
3
= 0'03
100
30.
4 4
⋅
= 0'01
40 40
4 3
b) Extracción sin reemplazamiento; P(obtener dos sotas) =
⋅
= 0'00769
40 39
a) Extracción con reemplazamiento; P(obtener dos sotas) =
31.
Lanzamos una moneda tres veces:
P (obtener al menos una cara) = 1 – P(no obtener cara) = 1 -
1
= 0'875
8
32. P (acertar dos veces en el blanco) = 0’7 · 0’7 = 0’49
26
= 0'72
36
5 4 3 2 1
34. P (preguntan las 5 preguntas que sabe) =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 0'00033
15 14 13 12 11
33. P (la suma de los resultados obtenidos es menor que 9) =
35. P(los amigos se entienden en su idioma materno) =
P(los dos son franceses) + P(los dos son españoles) + P(los dos son rusos) +
+ P(los dos son argentinos) + P (uno es español y el otro es argentino) =
8 7
7 6
5 4
6 5
7 6
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
= 0'29
·
26 25 26 25 26 25 26 25 26 25
392
36. P (el producto de los resultados obtenidos es veinte) =
2
= 0'055
36
37. Sea A = salir múltiplo de tres y B = salir cruz
2 1 1
P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = ⋅ = = 0'125
8 2 8
38. P(el producto de los números obtenidos es menor que 10) =
17
= 0'472
36
39. Sea A = la pintura elegida es verde y B = la pintura elegida es roja
P(A U B) = P(A) + P(B) = 0’5 + 0’2 = 0’7
40. Lanzamos 4 veces un dado.
P (obtener al menos un 6) = 1 – P(no obtener 6) = 1 – (5/6)4 = 0’52
41. Sea E = {MMM, MMH, MHM, MHH, HMM, HMH, HHM, HHH} donde
M = macho y H = hembra
1
a) P(MMM) = = 0'125
8
1
b) P(HHH) = = 0'125
8
3
c) P(MMH) = = 0'375
8
2
d) P(la segunda cría es hembra, si la 1ª es macho) = P(MHM) + P(MHH) = = 0'25
8
393
42. Sea A = El estudiante juega al fútbol
540
a) P(A U B) =
= 0'98
550
150
b) P( A ) =
= 0'27
550
300
c) P( B) =
= 0'54
550
B = El estudiante juega al baloncesto
AUTOEVALUACIÓN PAG. 259
1.
a)
b)
c)
d)
Determinista
Determinista
Aleatorio
Aleatorio
2. E = {C, +, 1, 2, 3, 4, 5, 6} siendo C= cara, + = cruz
3.
A = {+}
B = {2, 3, 4, 5, 6}
C = {1, 5}
394
4.
A = {0, 2, 6, 8}
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
B = {3, 4, 5, 9}
C = {0, 1, 2, 4, 7, 8}
A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = E
A ∩ B = {1, 7}
A U C = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 9}
A ∩ C = {3, 5, 9}
A ∩ B = {0, 2, 6, 8}
A U C = {0, 2, 3, 5, 6, 8, 9}
A ∩ C = {6}
A ∩ C = {1, 4, 7}
C U B = {0, 1, 2, 4, 6, 7, 8}
A U B = {0, 1, 2, 6, 7, 8}
A U C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}
C ∩ B = {0, 1, 2, 7, 8}
B ∩ A = {φ }
n) B ∩ C = {4}
ñ) B ∩ A = {3, 4, 5, 9}= B
o) B ∩ B = { φ }
5. P(obtener al menos una cruz) = 1 – P(no obtener cruz) = 1
6.
a) P(consonante) =
b) P(vocal) =
5
7
c) P(la letra a) =
0 875
2
7
1
7
7.
10 30 30 10 6 3
⋅
+
⋅
=
=
40 40 40 40 16 8
10 30 30 10 60
5
b) P(obtener una espada) =
⋅
+
⋅
=
=
40 39 40 39 156 13
a) P(obtener una espada) =
8.
5
= 0'25
20
15
b) P(no sacar una bola blanca) =
= 0'75
20
a) P(sacar una bola blanca) =
395
9. P(al menos una fotografía es correcta) = 1 – P( todas salen mal) = 1 – 0’13 = 0’999
Correcta
Correcta
Correcta
Fallida
Fallida
Correcta
Fallida
Correcta
Correcta
Fallida
Fallida
Correcta
Fallida
Fallida
10. Sea E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
Recuerda que el 1 no es un número primo.
a) P( número primo) =
04
3
b) P(múltiplo de 6) =
= 0'15
20
c) P(múltiplo de 9) =
d) P(múltiplo de 6 ó de 9) =
e) P(múltiplo de 6 y de 9) =
f) P(cero) = 0
02
1
= 0'05
20
OLIMPIADA MATEMÁTICA PAG. 261
396
1. Supongamos que r − s 2 ,s − u 2 ,u − v 2 ,v − r 2 >
r − s2 + s − u2 + u − v 2 + v − r 2 >
1
. Por tanto:
4
1 1 1 1
+ + +
4 4 4 4
⎛1
⎞ ⎛1
⎞ ⎛1
⎞ ⎛1
⎞
2
2
2
2
⎜ + r − r ⎟ + ⎜ + s − s⎟ + ⎜ +v −v ⎟ + ⎜ + u −u⎟ < 0
⎝4
⎠ ⎝4
⎠ ⎝4
⎠ ⎝4
⎠
2
2
2
2
⎛1
⎞ ⎛1
⎞ ⎛1
⎞ ⎛1
⎞
⎜ − r ⎟ + ⎜ − s ⎟ + ⎜ − v ⎟ + ⎜ − u ⎟ < 0 , lo cual es una contradicción.
⎝2
⎠ ⎝2
⎠ ⎝2
⎠ ⎝2
⎠
2. Sea la progresión a, a + d, a + 2d,... , a + 99d. Entonces tenemos que hallar:
S = a2 + (a + d)2 + (a + 2d)2 +...+ (a + 99d)2 =100a2 + 2ad (1 + 2 +...+ 99) +d2 (12 + 22 +...+ 992)
Suma de los pares = +1 ⇒ (a + d) + (a + 3d) + ... + (a + 99d) = –1 ⇒ 50a + 2500d = +1
Suma de los 100 primeros números = –1 ⇒ a + a + d + a + 2d +...+ a + 99d = –1
100a + 4950d = –1
⎧⎪50a + 2500d = +1
Resolviendo el sistema ⎨
⎩⎪100a + 4950d = −1
obtenemos: a = –2' 98; d = 0' 06.
El resto es fácil de calcular. Los paréntesis son progresiones:
1 + 2 +...+ 99 = 4950; 12 + 22 +...+ 992 = 328350
S = 100 · (–2' 98) 2 + 23 (–2' 98) · 0' 06 · 4950 + 0' 06 2 · 328350
S = 299' 98
397