310949833-Curso-propedeutico-de-matematicas

PREFACIO
2
1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
3
1.1 INTRODUCCIÓN.
1.2 GENERALIZACIÓN.
1.3 MÉTODOS DE SOLUCIÓN.
1.4 MÉTODO DE SOLUCIÓN GRÁFICO.
1.5 EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA.
1.6 SISTEMAS EQUIVALENTES.
1.6.1 SISTEMAS INDETERMINADOS Y SOBREDETERMINADOS.
1.7 SISTEMAS HOMOGÉNEOS.
1.8 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON UNA FUNCIÓN OBJETIVO.
1.8.1 LÍNEAS DE INDIFERENCIA.
1.9 EJERCICIOS DE REPASO.
3
7
9
15
19
23
24
30
31
33
38
2 MATRICES.
43
2.1 INTRODUCCIÓN.
2.2 CONCEPTOS BÁSICOS
2.3 OPERACIONES CON MATRICES.
2.3.1 SUMA Y RESTA DE MATRICES.
2.3.2 MULTIPLICACIÓN.
2.4 OTRO TIPO DE MATRICES.
2.4.1 MATRICES CUADRADAS Y RECTANGULARES.
2.4.2 MATRICES TRIANGULARES.
2.4.3 MATRIZ IDENTIDAD, TRANSPUESTA Y SIMÉTRICA.
2.5 DEFINICIÓN DE DETERMINANTE.
2.6 RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR MEDIO DE DETERMINANTES.
2.7 LA INVERSA DE UNA MATRIZ
2.7.1 CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ 2*2.
43
43
45
45
46
49
49
50
50
51
52
55
55
3 INDEPENDENCIA LINEAL.
62
3.1 LA SUMA DE VECTORES.
3.2 DEFINICIÓN DE NORMA DE UN VECTOR.
3.2.1 PRODUCTO POR UN ESCALAR
3.3 COMBINACIONES LINEALES Y DEPENDENCIA LINEAL.
62
64
64
64
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.
68
Matemáticas
Curso Propedéutico
PREFACIO
Una de las “técnicas” más eficaces para aprender y entender métodos, conceptos o ideas
matemáticas es que se presenten en ricos escenarios y/o situaciones problema. Después de
esta experiencia, se requiere que el aprendiz practique o ejercite los conocimientos y
métodos, aprendidos en las situaciones previas, en la resolución de problemas en una
diversidad de situaciones. El presente material de matemáticas fue elaborado bajo este
punto de vista.
Febrero 2012.
2
Matemáticas
Curso Propedéutico
1
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
1.1
Introducción.
Los sistemas de ecuaciones lineales, fueron inicialmente los objetos de estudio del álgebra
lineal. Estos sistemas o modelos se originan en una gran variedad de situaciones reales o de
aplicaciones. A manera de ejemplo, a continuación se presentan los siguientes problemas que
dan lugar a la formulación de sistema de ecuaciones.
Ejemplo 1.
Mezclas.(1)
Un químico debe preparar de una solución ácida diluida compuesta por 2 partes de agua y 3
partes de ácido muriático para obtener una solución de 350 ml. Donde la cantidad de agua
debe exceder en 2 ml a la del ácido. ¿Cuánto debe utilizar de cada una de las sustancias
para la cantidad requerida?.
Para clarificar el problema se presenta la siguiente figura.
x de agua
350 ml
y de acido
Figura 1. Solución
Sean x= la cantidad de ml de agua.
y=la cantidad de ml de ácido.
Con base en la figura se ve que la suma de 2
partes (agua) y 3 partes (ácido) deben dar el total
de 350 ml. Lo
anterior se traduce
simbólicamente mediante la siguiente ecuación.
Tomando en cuenta las condiciones de las 2
partes (agua) y la de las 3 (ácido) se plantea la
ecuación
2𝑥 + 3𝑦 = 350
Con respecto a la segunda condición de que la cantidad de agua excede en 2ml la cantidad
de acido la ecuación es:
𝑥 =2+𝑦
En resumen. El modelo que representa al problema anterior es:
2𝑥 + 3𝑦 = 350
𝑥−𝑦 =2
A este sistema se le llama modelo lineal.. Obsérvese que las variables no aparecen elevadas
a una potencia mayor que 1. Los lados izquierdos de las ecuaciones son combinaciones
lineales de las variables x e y
3
Matemáticas
Curso Propedéutico
Ejemplo 2.
Rocío necesita preparar una ensalada de frutas para una fiesta en su escuela, por ello
requiere comprar peras y manzanas. Sus amigos se cooperaron con $70. En el mercado local
las peras cuestan $12.00/kg mientras que las manzanas cuestan $9.50/kg. Ella debe comprar
exactamente 7 kg de fruta y gastar toda la cantidad de $70.00. ¿Cuánto de cada fruta debe
comprar Rocío para la ensalada? Formular el modelo
Variables
𝑥1 : 𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑎.
𝑥2 : 𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎.
Sistema de ecuaciones:
𝑥1 + 𝑥2 = 7
12𝑥1 + 9.5𝑥2 = 70
Ejemplo 3.
.
Un total de $35000 fueron invertidos a tres tasas de interés: 7%, 8% ,9%. El interés en el
primer año fue de $2830, que no se reinvirtió. El segundo año la cantidad invertida a 9%
devengó un 10% y las otras permanecieron iguales. El interés total en el segundo año fue de
$2960. ¿Cuánto fue la cantidad invertida en cada tasa de interés?
.
$35 000.00
Inversión
al 7%
Inversión
al 8%
Inversión
al 9%
𝑥1 : 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎 𝑎 𝑢𝑛 7%.
𝑥2 : 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎 𝑎 𝑢𝑛 8%.
𝑥3 : 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎 𝑎 𝑢𝑛 9%
Las relaciones entre variables.
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 35000
0.07𝑥1 + 0.08𝑥2 + 0.09𝑥3 = 2830
0.07𝑥1 + 0.08𝑥2 + 0.1𝑥3 = 2960
4
Matemáticas
Curso Propedéutico
Ejemplo 4. (2)
Un taller de costura produce playeras, camisas y chamarras usando 3 tipos diferentes de
máquinas de coser. La producción por semana es como se muestra en la tabla siguiente.
¿Cuántas máquinas deben trabajar para coser 1200 camisas, 1000 playeras y 600 chamarras
por semana?.
Camisas
Playeras
Chamarras
Máquina tipo 1
100
70
50
Máquina tipo 2
150
80
60
Máquina tipo 3
100
70
40
Si x representa el numero de máquinas del tipo 1 que trabajas en una semana, su producción
será 100x camisas, 70x playeras y 50x chamarras. Si y denota el numero de máquinas del
tipo 2 que trabajan por semana su producción será 150y camisas, 80y playeras y 60y
chamarras. Y si z representa el número de máquinas del tipo 3 que trabajan por semana su
producción será de 100z camisas, 70z playeras y 40z chamarras.
Con base a esta información y considerando la demanda el sistema que se obtiene es:
100x+150y+100z=1200
70x+80y+70z=1000
50x+60y+40z=600.
Ejemplo 5. (3)
Supongamos que una empresa administra tres refinerías de petróleo y cada una produce 3
derivados: gasolina, diesel y aceite lubricante. Supongamos también que por cada barril de
petróleo (aproximadamente 159 galones) la producción en galones, es como se indica en la
siguiente tabla.
Gasolina
Diesel
Aceite lubricante
Refinería 1
20
11
9
Refinería 2
21
12
8
Refinería 3
19
13
8
Supongamos que se desea satisfacer una demanda de 1250 galones de gasolina, 750 de
diesel y 520 de aceite lubricante. ¿Cuántos barriles de petróleo debe procesar cada refinería
para satisfacer esta demanda?
Denotemos por 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 las cantidades de barriles que debe procesar las tres refinerías
respectivamente.
Relacionado datos y variables
La producción total de gasolina, diesel y aceite lubricante es la suma de la producción de cada
refinería, así se tiene:
5
Matemáticas
Curso Propedéutico
20𝑥1 + 21𝑥2 + 19𝑥3
11𝑥1 + 12𝑥2 + 13𝑥3
9𝑥1 + 8𝑥2 + 8𝑥3
Total de gasolina.
Total de diesel.
Total de Aceite lubricante.
Las cantidades anteriores deben satisfacer las demandas dadas, esta condición lleva al
siguiente sistema:
20𝑥1 + 21𝑥2 + 19𝑥3 = 1250
11𝑥1 + 12𝑥2 + 13𝑥3 = 750
9𝑥1 + 8𝑥2 + 8𝑥3 = 520
Ejemplo 6.
Considere una comunidad muy sencilla que consiste de un agricultor que sólo produce toda la
comida, un carpintero que construye todas las casas y un sastre que produce toda la ropa.
Por conveniencia, se seleccionara las unidades de manera que cada individuo produzca una
unidad de cada bien durante el año. Suponga que durante el año la parte de cada bien que
es consumida por cada individuo se da en la siguiente tabla:
Bienes producidos por
Bienes consumidos
por
Agricultor
Carpintero
Sastre
La
7
16
5
16
Agricultor
Carpintero
Sastre
7
16
5
16
1
2
1
6
1
3
3
16
5
16
1
2
1
4
información
anterior
se
interpreta
de
su
propia
producción,
mientras
así:
que
de lo que produce el agricultor, el carpintero consume
5
16
el
el
agricultor
carpintero
consume
consume
de la ropa hecha por el sastre y así
sucesivamente.
Se asume en esta situación que cada uno paga el mismo precio por un bien, así el agricultor
paga el mismo precio por su comida como el sastre y el carpintero aunque él la haya
producido.
El problema consiste en determinar los precios 𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3 de manera que el sistema esté en
equilibrio. Ninguno gana y ninguno pierde. 𝑝𝑖 son los precios unitarios respectivos. Los
gastos del agricultor son:
7
1
3
𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3
16
2
16
6
Matemáticas
Curso Propedéutico
Dado que los gastos deben ser igual a los ingresos del agricultor tenemos que
7
1
3
𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 = 𝑝1
16
2
16
De manera análoga para el carpintero y el sastre se tiene.
5
1
5
𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 = 𝑝2
16
6
16
1
1
1
𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 = 𝑝3
4
3
2
Por lo tanto el sistema es
7
1
3
𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 = 𝑝1
16
2
16
5
1
5
𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 = 𝑝2
16
6
16
1
1
1
𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 = 𝑝3
4
3
2
Todos los ejemplos anteriores se pueden escribir en la forma matricial Ax=b , donde A es la
matriz de los coeficientes, x es un vector cuyas componentes son las incógnitas y b es un
vector dado (información). Encontrar la solución de estos sistemas significa encontrar el
vector x que satisface la ecuación matricial, en caso de que exista.
1.2
Generalización.
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de m ecuaciones lineales con n
incógnitas (𝑥1 , 𝑥2 … 𝑥𝑛 ) que deben satisfacer simultáneamente dichas ecuaciones. En forma
general los sistemas de ecuaciones tienen la siguiente estructura:
𝑎11 ∗ 𝑥1 + 𝑎12 ∗ 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 ∗ 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21 ∗ 𝑥1 + 𝑎22 ∗ 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 ∗ 𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮
⋮
⋮
⋮
𝑎𝑚1 ∗ 𝑥1 + 𝑎𝑚2 ∗ 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 ∗ 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
Donde 𝑎𝑖𝑗 , 𝑏𝑖 son números reales y las 𝑥𝑗 representan las incógnitas o variables de decisión.
El objetivo es encontrar una solución (si existe) del sistema anterior, es decir, encontrar un
7
Matemáticas
Curso Propedéutico
conjunto de valores que, sustituidos en las incógnitas, satisfagan el lado derecho del sistema,
(solución del sistema).
El sistema anterior como ya se mencionó se representa mediante la siguiente forma matricial.
donde
Matriz de coeficientes.
Vector de decisión.
Restricciones.
No obstante, que algunos de los ejemplos anteriores son casos particulares , en general el
proceso que lleva a la formulación de un modelo, pasa por las siguientes etapas. Las cuales
se representa en la siguiente figura.
Figura 2. Fases para la construcción de modelos.
Validación
verificación
y
Situación
problema
Abstracción
Formulacuón del
modelo
Conclusión
Interpretación
Utilizar
métodos
Solución
8
teorías
Matemáticas
Curso Propedéutico
En las fases anteriores en general se comienza con el análisis de un problema, en esta
exploración se empiezan a identificar las relaciones que existen entre sus distintos
elementos, esta actividad es un proceso de abstracción.
Posteriormente se formula un modelo matemático del problema, que de acuerdo a los
ejemplos anteriores, lleva a un sistema de ecuaciones.
Una vez establecido el modelo se selecciona un método para resolverlo. La solución
encontrada se analiza para verificar si tiene sentido de acuerdo al problema. Por ejemplo, en
el problema 4 de las camisas, un resultado negativo no tendría sentido.
1.3
Métodos de solución.
Como ya se mencionó, se debe tener un método para encontrar una solución de estos
sistemas. Antes de presentar un método general, a continuación se expone un procedimiento
o estrategia llamado de “prueba y error”
Retomando el ejemplo 3 ( problema de inversión).
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 35000
0.07𝑥1 + 0.08𝑥2 + 0.09𝑥3 = 2830
0.07𝑥1 + 0.08𝑥2 + 0.1𝑥3 = 2960
Solución del modelo por el procedimiento de prueba y error.
Se puede tomar como punto de partida suponiendo que las cantidades invertidas son iguales
para cada inversión.
Prueba 1: Sean 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥3 =
¿Se cumple
con la
relación?
35000
3
Restricción
Diferencia
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 35000
SI
35000 35000 35000
+
+
= 35000
3
3
3
0
35000 = 35000
0.07𝑥1 + 0.08𝑥2 + 0.09𝑥3 = 2830
NO
2450 2800
+
+ 1050 = 2830
3
3
2800≠ 2830
9
-30
Matemáticas
Curso Propedéutico
0.07𝑥1 + 0.08𝑥2 + 0.1𝑥3 = 296
NO
2450 2800 3500
+
+
= 2960
3
3
3
8750
≠ 2960
3
-43.333
Como se puede observar estos puntos no son solución del sistema ya que existe una
diferencia. Como la mayor diferencia se encuentra en la ecuación tres y en esta la variable 0.1
tiene el mayor peso (coeficiente) se procede a incrementar su valor. La cantidad que se
aumente a la variable tres deberá ser disminuida a la variables restantes para mantener la
igualdad de la ecuación 1. Como la variable uno tiene el coeficiente mas pequeño se puede
disminuir su valor.
Como el valor de la diferencia es de 43.333 se decide incrementar el valor de 𝑥3 = 12500 y
reducir el valor de la variable 3 a 𝑥1 = 10834 y se ajusta el valor de 𝑥2 = 11666. Se espera
que el valor de la diferencia de la segunda ecuación sea eliminada con este movimiento.
Prueba 2: Sean 𝑥1 = 10834, 𝑥2 = 11666, 𝑥3 = 12500
¿Se cumple
con la
relación?
SI
NO
NO
Restricción
Diferencia
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 35000
10834 + 11666 + 12500 = 35000
35000 = 35000
0.07𝑥1 + 0.08𝑥2 + 0.09𝑥3 = 2830
758.38 + 933.28 + 1125 = 2830
2816.66≠ 2830
0.07𝑥1 + 0.08𝑥2 + 0.1𝑥3 = 296
758.38 + 933.28 + 1250 = 2960
2941.66 ≠ 2960
0
-13.34
-18.34
Pese a que el valor de las diferencias han disminuido es necesario ajustar los valores con
objeto de acercarse más a la solución del sistema.
Prueba 3: Sean 𝑥1 = 10334, 𝑥2 = 11666, 𝑥3 = 13000
¿Se cumple
con la
relación?
Restricción
Diferencia
SI
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 35000
10334 + 11666 + 1300 = 35000
35000 = 35000
0
10
Matemáticas
Curso Propedéutico
NO
0.07𝑥1 + 0.08𝑥2 + 0.09𝑥3 = 2830
723.38 + 933.28 + 1170 = 2830
2826.66 ≠ 2830
-3.34
NO
0.07𝑥1 + 0.08𝑥2 + 0.1𝑥3 = 296
723.38 + 933.28 + 1300 = 2960
2956.66 ≠ 2960
-3.34
Pese a que el valor de las diferencias han disminuido es necesario ajustar los valores con
objeto de acercarse más a la solución del sistema.
Prueba 4: Sean 𝑥1 = 10000, 𝑥2 = 1200, 𝑥3 = 13000
¿Se cumple
con la
relación?
SI
SI
SI
Restricción
Diferencia
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 35000
10000 + 12000 + 13000 = 35000
35000 = 35000
0.07𝑥1 + 0.08𝑥2 + 0.09𝑥3 = 2830
700 + 960 + 1170 = 2830
2830 = 2830
0.07𝑥1 + 0.08𝑥2 + 0.1𝑥3 = 2960
700 + 960 + 1300 = 2960
2960 = 2960
0
0
0
Con esta última prueba se encuentra el valor de la solución del problema que se alcanza en
los puntos 𝑥1 = 10000, 𝑥2 = 1200, 𝑥3 = 13000. Ninguna otra combinación de valores satisface
al sistema por lo que se dice que esta es una solución única.
Ejemplo 7.
El problema de las refinerías
Una compañía petrolera tiene tres refinerías ubicadas en Campeche, Tabasco y Veracruz.
Cada refinería produce tres derivados de petróleo: Aceite de calefacción, diesel y gasolina. A
partir de un barril de petróleo crudo la primera refinería produce 42 litro de aceite de
calefacción, 21 litros de diesel y 10.5 litros de galones de gasolina. La segunda produce a
partir de un barril de petróleo 21, 28 y 10 litros de aceite de calefacción, diesel y gasolina
respectivamente. Y la tercera produce a partir de un barril de petróleo 10, 10, 24 litros de
aceite de calefacción, diesel y gasolina respectivamente.
La demanda que debe cubrir la compañía petrolera para el próximo mes serán de 1000 litros
de aceite de calefacción, 1785 litros de diesel y 2100 litros de gasolina,
Los datos expresados en el enunciado anterior pueden ser ordenados en la siguiente tabla.
11
Matemáticas
TABLA 1.
Curso Propedéutico
Tabla de datos problema de la refinería.
Producto
Aceite de
calefacción
Diesel
Gasolina
Producción por un barril de petróleo crudo
Refinería de
Refinería de
Refinería de
Campeche
Tabasco
Veracruz
Demanda
mínima
esperada
42
21
10
1000
21
10.5
28
10
10
24
1785
2100
Variables.
𝑥1 : 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑡𝑟ó𝑙𝑒𝑜 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟í𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑚𝑝𝑒𝑐ℎ𝑒.
𝑥2 : 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑡𝑟ó𝑙𝑒𝑜 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟í𝑎 𝑑𝑒 𝑇𝑎𝑏𝑎𝑠𝑐𝑜.
𝑥3 : 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑡𝑟ó𝑙𝑒𝑜 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟í𝑎 𝑑𝑒 𝑉𝑒𝑟𝑎𝑐𝑟𝑢𝑧.
Relaciones entre variables y los datos.
La combinación de producción de cada una de las refinerías debe ser por lo menos igual a la
demanda esperada por la compañía para cada uno de los productos.
42𝑥1 + 21𝑥2 + 10𝑥3 = 1000
21𝑥1 + 28𝑥2 + 10𝑥3 = 1785
10.5𝑥1 + 10𝑥2 + 24𝑥3 = 2100
Prueba 1: Sean 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥3 = 10
¿Se cumple
con la
relación?
NO
NO
NO
Restricción
Diferencia
42𝑥1 + 21𝑥2 + 10𝑥3 = 1000
420 + 210 + 100 ≠ 1000
730 ≠ 1000.
21𝑥1 + 28𝑥2 + 10𝑥3 = 1785
210 + 280 + 100 ≠ 1785
590 ≠ 1785.
10.5𝑥1 + 10𝑥2 + 24𝑥3 = 2100
105 + 100 + 240 ≠ 2100
445 ≠ 2100
-270
-1195
-1655
Con un valor de xi= 10 no se cumple ninguna de las restricciones, así que se prueba un
nuevo valor. Tomando en consideración que la diferencia más grande existe en la restricción 3
se debe asignar un valor mayor a la variable x3 que es la que tiene un peso mayor (parámetro
más grande) en esta restricción. Así como la variable x2 , debe tomar un valor mayor.
12
Matemáticas
Curso Propedéutico
Prueba 2: Sean 𝑥1 = 10, , 𝑥2 = 20, 𝑥3 = 40
¿Se cumple
con la
relación?
NO
NO
NO
Restricción
Diferencia
42𝑥1 + 21𝑥2 + 10𝑥3 = 1000
420 + 420 + 400 ≠ 1000
1240 ≠ 1000.
21𝑥1 + 28𝑥2 + 10𝑥3 = 1785
210 + 560 + 400 ≠ 1785
1170 ≠ 1785.
10.5𝑥1 + 10𝑥2 + 24𝑥3 = 2100
105 + 200 + 960 ≠ 2100
1265 ≠ 2100
240
-650
-835
Se intenta un nuevo valor. Considerando la mayor diferencia, por lo que, se incrementa el
valor de x3.
Prueba 3: Sean 𝑥1 = 3 , 𝑥2 = 30, 𝑥3 = 80
¿Se cumple
con la
relación?
NO
NO
NO
Restricción
Diferencia
42𝑥1 + 21𝑥2 + 10𝑥3 = 1000
126 + 630 + 800 ≠ 1000
1556 ≠ 1000.
21𝑥1 + 28𝑥2 + 10𝑥3 = 1785
63 + 840 + 800 ≠ 1785
1703 ≠ 1785.
10.5𝑥1 + 10𝑥2 + 24𝑥3 = 2100
31.5 + 300 + 1920 ≠ 2100
2251.5 ≠ 2100
556
-82
151.5
Prueba 4: Sean 𝑥1 = 0 , 𝑥2 = 40, 𝑥3 = 70
¿Se cumple
con la
relación?
NO
NO
Restricción
Diferencia
42𝑥1 + 21𝑥2 + 10𝑥3 = 1000
0 + 840 + 700 ≠ 1000
1540 ≠ 1000.
21𝑥1 + 28𝑥2 + 10𝑥3 = 1785
0 + 1120 + 700 ≠ 1785
1820 ≠ 1785.
13
540
35
Matemáticas
NO
Curso Propedéutico
10.5𝑥1 + 10𝑥2 + 24𝑥3 = 2100
0 + 400 + 1680 ≠ 2100
2080 ≠ 2100
-20
Por la naturaleza del problema se infiere que el mínimo valor de barriles de crudo que se
puede asignar a una refinería es de 0 por tanto el valor de 𝑥1 ya no puede ser disminuido
Prueba 5: Sean 𝑥1 = 0 , 𝑥2 = 37.2, 𝑥3 = 72
¿Se cumple
con la
relación?
NO
NO
SI
Prueba 6: Sean
Restricción
42𝑥1 + 21𝑥2 + 10𝑥3 = 1000
0 + 781.2 + 720 ≠ 1000
1525 ≠ 1000.
21𝑥1 + 28𝑥2 + 10𝑥3 = 1785
0 + 1041.6 + 720 ≠ 1785
1761.6 ≠ 1785.
SI
NO
Prueba 6: Sean
525
23.4
10.5𝑥1 + 10𝑥2 + 24𝑥3 = 2100
0 + 372 + 1728 = 2100
2100 = 2100
𝑥1 = 0 , 𝑥2 =
531
14
¿Se cumple
con la
relación?
NO
Diferencia
0
, 𝑥3 = 72
Restricción
Diferencia
42𝑥1 + 21𝑥2 + 10𝑥3 = 1000
0 + 796.5 + 720 ≠ 1000
1516.5 ≠ 1000.
21𝑥1 + 28𝑥2 + 10𝑥3 = 1785
0 + 1062 + 720 = 1785
1785 = 1785.
10.5𝑥1 + 10𝑥2 + 24𝑥3 = 2100
2655
0+
+ 1728 ≠ 2100
7
14751
≠ 2100
7
𝑥1 = 0 , 𝑥2 =
420
11
≈ 38.1818, 𝑥3 =
1575
22
516.5
0
7.2857
≈ 71.5909
¿Se cumple
con la
relación?
Restricción
Diferencia
NO
42𝑥1 + 21𝑥2 + 10𝑥3 = 1000
8820 15750
0+
+
≠ 1000
11
22
517.7268
14
Matemáticas
Curso Propedéutico
1517.7272 ≠ 1000.
SI
SI
21𝑥1 + 28𝑥2 + 10𝑥3 = 1785
11760 15750
0+
+
= 1785
11
22
1785 = 1785.
10.5𝑥1 + 10𝑥2 + 24𝑥3 = 2100
4200 37800
0+
+
= 2100
11
22
2100 = 2100
0
0
Como puede observarse no existe una combinación de barriles de petróleo asignados que
cumplan simultáneamente con el sistema.
1.4
Método de solución gráfico.
La estrategia anterior es un método heurístico para encontrar una solución y permite entender
el comportamiento del sistema. Sin embargo, el método no es muy eficiente. Por ello a
continuación se presenta el método gráfico, comenzaremos con un ejemplo sencillo en dos
variables.
Ejemplo 8.
Claudia y Toño reman en un río. Toño insiste en remar todo el camino, cuando va a favor de
la corriente el rema a una velocidad de 11km/h y cuando va en contra de la corriente, va a
una velocidad de 3km/h. ¿Cuál es la velocidad con que rema Toño?.
.
Si Toño rema a favor de la corriente
su velocidad es de 11km/h
Si Toño rema en contra de la
corriente su velocidad es de 3km/h
Variables
𝑥1 : 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎 𝑙𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑇𝑜ñ𝑜
𝑥2 : 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑖𝑜.
Sistema de ecuaciones.
𝑥1 + 𝑥2 = 11
𝑥1 − 𝑥2 = 3
15
Matemáticas
Curso Propedéutico
Solución gráfica.
Desde el punto de vista gráfico la solución del sistema es el punto de intersección de las dos
rectas. Dicho punto tiene como coordenadas 𝑥1 = 7 𝑦 𝑥2 = 4. Esta solución es única.
Ejemplo 9.
Introduciendo una variante al problema de la refinería ahora se aborda con el método gráfico.
Sistema
A diferencia del ejemplo anterior, este sistema tiene tres variables y tres ecuaciones. Las
ecuaciones del lado izquierdo representan las ecuaciones planos (3). Desde el punto de vista
geométrico para que exista una solución única, los tres planos deben ser concurrentes en un
sólo punto.
16
Matemáticas
Curso Propedéutico
Solución gráfica
Punto
de
concurrencia de
los 3 planos.
Hasta ahora los sistemas anteriores tienen una solución única. ¿Qué pasa desde el punto de
vista geométrico cuando el sistema tiene múltiples soluciones, o no tiene solución?
Las preguntas anteriores se responden geométricamente a partir de los siguientes ejemplos:
17
Matemáticas
Curso Propedéutico
Nótese que en el primer sistema hay tres incógnitas, pero hay dos ecuaciones. Es decir hay
más incógnitas que ecuaciones. ¿Qué significa esto gráficamente?. En cambio en el segundo,
hay tres incógnitas y tres ecuaciones ¿Significa qué hay una solución única?.
Figura 3. Representación gráfica del inciso a)
¿Qué observa?
Figura 4. Representación gráfica del inciso b)
10.5𝑥1 + 10𝑥2 + 24𝑥3 = 2100
42𝑥1 + 21𝑥2 + 10𝑥3 = 1000
21𝑥1 + 28𝑥2 + 10𝑥3 = 1785
¿Qué observa?
18
Matemáticas
Curso Propedéutico
Figura 5. Representación gráfica del c)
¿Qué observa?
El procedimiento de “prueba y error” ayuda a entender como se comporta el sistema, sin
embargo no es eficiente y cuando se abordan sistemas de ecuaciones lineales más
complicados ya no es manejable. También el método grafico tiene sus limitaciones en el
sentido de cuando se tiene un sistema de mas de 3 variables ya no es posible visualizar
gráficamente la solución.
1.5
El método de eliminación Gaussiana.
Un método más poderoso para resolver un sistema de ecuaciones lineales es la denominada
eliminación Gaussiana. Esta se ilustra mediante el siguiente ejemplo.
Ejemplo 10.
Una compañía produce tres tipos de muebles para hogar. Los cuales son sillas sillones y
mecedoras. Cada uno requiere de madera, plástico y aluminio como lo indica la tabla
siguiente.
TABLA 2.
Datos del problema de producción.
Sillas
Sillones
Mecedoras.
Madera (unidades)
1
2
3
Plástico (unidades)
1
2
2
19
Aluminio (unidades)
2
3
5
Matemáticas
Curso Propedéutico
La compañía tiene en existencia 400 unidades de madera, 300 unidades de plástico, y 700
unidades de aluminio. Para la producción de fin de temporada la compañía desea utilizar
todas sus existencias. Para lograr esto ¿ Cuántas sillas, sillones y mecedoras debe fabricar?.
Variables.
𝑥1 : 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠.
𝑥2 : 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠.
𝑥3 : 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑐𝑒𝑑𝑜𝑟𝑎𝑠.
Sistema de ecuaciones.
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 400 ( 𝑚𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎).
𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 300 ( 𝑝𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜).
2𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 = 700
(𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜).
Resolución del sistema.
La eliminación Gaussiana utiliza las operaciones algebraicas elementales con objeto de
transformar el sistema original en un sistema equivalente. Las operaciones elementales son:
1. Multiplicación de las ecuaciones por una constante distinta de cero.
2. Intercambiar las ecuaciones.
3. Sumar o sustraer a una ecuación otra ecuación que resulta de aplicar la operación 1.
La solución por eliminación involucra dos etapas. La primera es transformar el sistema dado
en un sistema triangular superior tal como el siguiente.
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 400.
−𝑥2 − 𝑥3 = −100
−𝑥3 = −100
La segunda etapa es usar la sustitución regresiva para obtener los valores de las incógnitas.
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 400.
𝑥2 + 𝑥3 = 100
𝑥3 = 100
Estas dos etapas se basan en las siguientes dos propiedades:
1. Si multiplicamos ambos lados de una ecuación por una constante esto no afecta la
solución de la ecuación.
20
Matemáticas
Curso Propedéutico
2. Si sumamos dos ecuaciones (sumar los lados izquierdos y sumar los lados derechos),
cualquier solución de ambas ecuaciones es también una solución de la ecuación
combinada
A continuación se resuelve el ejemplo anterior utilizando las propiedades anteriores.
Se suma a la segunda ecuación el resultado de multiplicar la primera ecuación por -1.
Operación
−𝑥1 − 2𝑥2 − 3𝑥3 = −400
𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 300
0𝑥1 + 0𝑥2 − 𝑥3 = −100
Nuevo sistema.
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 400.
−𝑥3 = −100
2𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 = 700
Se intercambia la ecuación 2 por la ecuación 3.
Operación
Nuevo sistema.
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 400.
2𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 = 700
−𝑥3 = −100
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 400.
−𝑥3 = −100
2𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 = 700
Se suma a la segunda ecuación el producto de multiplicar la primera ecuación por -2
Operación
−2𝑥1 − 4𝑥2 − 6𝑥3 = −800.
2𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 = 700
0𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 = −100
Nuevo sistema.
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 400.
−𝑥2 − 𝑥3 = −100
−𝑥3 = −100
Se multiplican las ecuaciones 2 y 3 por -1.
Operación
Nuevo sistema.
(−1) ∗ −𝑥2 − 𝑥3 = −100) → 𝑥2 + 𝑥3 = 100
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 400.
𝑥2 + 𝑥3 = 100
𝑥3 = 100
(−1) ∗ −𝑥3 = −100) → +𝑥3 = 100
De a cuerdo con la ecuación tres del sistema equivalente 𝑥3 = 100 . Ahora se emplea el
método de sustitución regresiva para encontrar los valores de 𝑥1 𝑦 𝑥2 sustituyendo a 𝑥3 en la
segunda ecuación.
𝑥2 + 𝑥3 = 100
𝑥2 + 100 = 100
𝑥2 = 0
Ambos valores son sustituidos en la ecuación uno.
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 400
𝑥1 + 2(0) + 3(100) = 400
𝑥1 + 100 = 400
𝑥1 = 100
21
Matemáticas
Curso Propedéutico
Para comprobar que los valores encontrados satisfacen simultáneamente a todas las
ecuaciones del sistema se sustituyen dichos valores de las incógnitas en el sistema de
ecuaciones.
Sean 𝑥1 = 100, 𝑥2 = 0 y 𝑥3 = 100
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 400 → 100 + 0 + 300 = 400
𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 300 → 100 + 0 + 200 = 300
2𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 = 700 → 200 + 0 + 500 = 700
Por lo tanto la compañía debe fabricar 100 sillas, 0 sillones y 300 mecedoras para ocupar
todos su inventario.
Hay que subrayar el hecho de que la solución a un sistema de ecuaciones lineales depende
de los coeficientes asociados a cada una de las variables. Y que la clave de la eliminación
Gaussiana es que las operaciones empleadas lleven siempre a un sistema de ecuaciones
equivalente al anterior.
En resumen, un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a cualquier sistema
transformado por las operaciones elementales antes señaladas.
Todo el proceso realizado anteriormente, para encontrar la solución del sistema se puede
traducir de forma matricial.
1
(1
2
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 400.
𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 300.
2𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 = 700
2 3 𝑥1
400
2 2) (𝑥2 ) = (300)
3 5 𝑥3
700
Las operaciones elementales realizadas anteriormente sobre el sistema ahora se hacen sobre
los renglones de la matriz y el vector columna de lado derecho.
1
(1
2
2 3 400
1
2 2|300) ~ (0
3 5 700
2
2
0
3
3 400
1
−1|300) ~ (0
5 700
0
2
0
−1
3 400
1
−1|−100) ~ (0
−1 −100
0
2
−1
0
3 400
1
−1|−100) ~ (0
−1 −100
0
2
−1
0
3 400
−1|−100)
1 100
−1
−2
𝐸12
∗ 𝐸13
∗ 𝐸23 ∗ 𝐸2−1
Reescribiendo la última matriz equivalente a términos de un sistema de ecuaciones se obtiene
lo siguiente.
𝑥1
400
1 2
3
𝑥
(0 −1 −1) ( 2 ) = (−100)
𝑥3
100
0 0
1
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 400.
𝑥2 + 𝑥3 = 100
𝑥3 = 100
22
Matemáticas
Curso Propedéutico
Para obtener los restantes valores se emplea una sustitución regresiva en las ecuaciones
anteriores, sustituyendo. Y La solución obtenida es 𝑥1 = 100, 𝑥2 = 0 y 𝑥3 = 100.
1.6
Sistemas equivalentes.
Como ya se observó por medio de las operaciones elementales el sistema fue transformado a
uno de forma escalonada, el cual es equivalente al original. El método anterior de manera
resumida consistió en los pasos siguientes:
a) Seleccionar la primera ecuación, como pivote y usarla para generar
primera columna, es decir, debajo de la entrada 𝑎11 .
ceros en la
b) El paso anterior produce una submatriz, repitiendo el paso anterior es decir,
seleccionar la primera ecuación de la submatriz y utilizarla para generar ceros
debajo de la primera columna de la submatriz, y así sucesivamente hasta obtener una
matriz triangular superior. La cual tiene la siguiente forma.
𝑎11 ∗ 𝑥1 + 𝑎12 ∗ 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 ∗ 𝑥𝑛 = 𝑏′1
0 ∗ 𝑥1 + 𝑎22 ∗ 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 ∗ 𝑥𝑛 = 𝑏′2
0 ∗ 𝑥1 + 0 ∗ 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 ∗ 𝑥𝑛 = 𝑏′3
⋮
⋮
⋮
⋮
0 ∗ 𝑥1 + 0 ∗ 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 ∗ 𝑥𝑛 = 𝑏′𝑚
𝑎11
[ ⋮
0
⋯ 𝑎1𝑛 𝑥1
𝑏′1
⋱
⋮ ]( ⋮ ) = ( ⋮ )
⋯ 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛
𝑏′𝑚
Reescribiendo lo anterior como un sistema de ecuaciones, se escoge la ultima ecuación en la
cual se ve de manera directa la solución de 𝑥𝑛 . Para obtener los valores de las restantes
variables, se usa la sustitución regresiva.(4)
El sistema equivalente escalonado de m ecuaciones lineales con n incógnitas tendrá solución
única si 𝑟 = 𝑛 lo que implica que 𝑚 − 𝑟 = 0. Si es 𝑟 < 𝑛 el sistema tendrá soluciones infinitas
(sistema indeterminado) lo que implica que 𝑚 − 𝑟 ≠ 0 . Se puede asignar cualquier valor a las
variables 𝑥𝑟+1 hasta 𝑥𝑛 , a dicho valor de estas variables corresponderán valores únicos de las
variables 𝑥1 hasta 𝑥𝑟 . Este tipo de sistemas tienen una familia de soluciones con n-r grados
de libertad (número de variables a las que se puede asignar cualquier valor).(5)
Pero si existe el caso donde 𝑥𝑟 = 𝑐 y 𝑥𝑟 = 𝑑 , donde 𝑐 ≠ 𝑑 esta soluciones contradictorias
para una misma incógnita, evidentemente indica que el sistema no tiene solución. A estos
sistemas se les llama sobredeterminados .
23
Matemáticas
Curso Propedéutico
1.6.1 Sistemas indeterminados y sobredeterminados.
A continuación se presentan ejemplos de este tipo de sistemas.
Ejemplo 11. Vitaminas.(1) (Sistema indeterminado).
A una persona se le prescribió tomar 10 unidades de vitamina A, 9 unidades de vitamina D y
25 unidades de vitamina E. Para satisfacer estos requerimientos puede elegir entre 3 marcas
de píldoras vitamínicas. La marca X contiene 2 unidades de vitamina A, 3 unidades de
vitamina D y 5 unidades de vitamina E; la marca Y tiene 1 , 3 y 2.5 unidades
respectivamente, y la marca Z tiene 3 de A, 0 de D y 7.5 de E. ¿Qué combinación de píldoras
debe tomar la persona para satisfacer la prescripción médica?
Datos del problema.
Vitamina
A
D
E
Marca de píldoras
Requerimiento vitamínico.
X
Y
Z
2
1
3
10
3
3
0
9
5
2.5
7.5
25
Variables.
𝑥1 : 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑐𝑎 𝑋
𝑥2 : 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑐𝑎 𝑌
𝑥3 : 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑐𝑎 𝑍
El sistema.
2𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 10
3𝑥1 + 3𝑥2 + 0𝑥3 = 9
5𝑥1 + 2.5𝑥2 + 7. 5𝑥3 = 25
Multiplicar la ecuación 1 por (1/2)
Operación
Nuevo sistema.
1
( ) ∗ (2𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 10)
2
1
3
→ 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 5
2
2
1
3
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 5
2
2
3𝑥1 + 3𝑥2 + 0𝑥3 = 9
5𝑥1 + 2.5𝑥2 + 7.5𝑥3 = 25
Sumar a la ecuación 2 el resultado de multiplicar la primera ecuación por -3
Operación
Nuevo sistema.
3
9
−3𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 = −15
2
2
3𝑥1 + 3𝑥2 + 0𝑥3 = 9
1.5𝑥2 − 4.5𝑥3 = −6
1
3
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 5
2
2
1.5𝑥2 − 4.5𝑥3 = −6
5𝑥1 + 2.5𝑥2 + 7. 5𝑥3 = 25
24
Matemáticas
Curso Propedéutico
Sumar a la ecuación 3 el resultado de multiplicar la primera ecuación por -5.
Operación
Nuevo sistema.
1
3
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 5
2
2
1.5𝑥2 − 4.5𝑥3 = −6
0𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 = 0
5
15
−5𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 = −25
2
2
5𝑥1 + 2.5𝑥2 + 7.5𝑥3 = 25
0𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 = 0
¿Cuál es la explicación de que la última ecuación de la tabla anterior se reduzca a 0=0?
Nótese que en le sistema original, si se examina con mayor detalle, se observa que la tercera
ecuación es un múltiplo de la primera. Es decir, la tercera ecuación se obtiene de la primera
multiplicándola por 2.5 .Dicho de otro modo, el sistema tiene una ecuación redundante. Por
ello, el sistema se reduce a 2 ecuaciones:
1
3
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 5
2
2
1.5𝑥2 − 4.5𝑥3 = −6
2𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 10
3𝑥1 + 3𝑥2 + 0𝑥3 = 9
Este es un sistema indeterminado ya que tiene múltiples soluciones. Estas se obtienen, si
despejamos 𝑥2 de la segunda ecuación y así 𝑥3 queda como una variable independiente a
la cual se le puede asignar cualquier valor. Obteniéndose múltiples soluciones.
Dada la condición del problema los valores que se asignan a dicha variable 𝑥3 no deben
producir valores negativos en las variables.
Asignando el valor 𝑥3 = 𝑟 , utilizando el procedimiento de sustitución regresiva se encuentra la
solución al sistema.
1.5𝑥2 − 4.5𝑥3 = −6
1.5𝑥2 − 4.5𝑟 = −6
1.5𝑥2 = −6 + 4.5𝑟
𝑥2 = −4 + 3𝑟
4
Dado que 𝑥2 ≥ 0 entonces (-4+3r) ≥ 0 lo que implica que r ≥ 3. Tomando en cuenta
valor asignado a 𝑥3 y el de 𝑥2 . Se sustituyen en la ecuación 1
1
3
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 5
2
2
1
3
𝑥1 + (−4 + 3𝑟) + 𝑟 = 5
2
2
3
3
𝑥1 − 2 + 𝑟 + 𝑟 = 5
2
2
𝑥1 + 3𝑟 = 7
𝑥1 = 7 − 3𝑟
25
el
Matemáticas
Curso Propedéutico
Dado que x1<0 entonces (7-3r)>0 lo que implica que r<7/3 Resumiendo, las dos condicione
anteriores de r definen su rango de valores comprendidos en el intervalo (4/3, 7/3)Para
aclarar más este punto, observe lo que pasa cuando el valor de r se encuentra dentro y fuera
de este intervalo.
Sean r=2 que es un valor dentro del intervalo, por tanto, los valores de x1=1, x2=2, x3=4, la
cuál es una solución del sistema. Pero cuando 𝑟 = 1 que es un valor fuera del rango, se
obtienen los siguientes valores de las variables: x1=-1, x2=4, x3=1. No obstante, que esta
solución satisface al sistema formalmente, no es una solución para el problema real. Ya que
no tiene sentido, que la persona consuma -1 pastillas vitamínicas.
Figura 6.
Solución gráfica.
Ejemplo 12. Contratación de trabajadores. (Sistemas sobre-determinados)
Una compañía paga a los trabajadores del departamento de producción $150.00 / día, a los
del área de mantenimiento $175/al día y al personal del departamento de transporte $145/día.
A causa de un incremento en le número de pedidos la compañía se ve obligada a contratar un
total de 70 nuevos empleados para el área de mantenimiento, el departamento de
producción y el de transporte. La empresa debe pagar $11 200 por concepto de salarios por lo
nuevos empleados. Considerando que la compañía tiene un contrato con el sindicato, y
existe una cláusula que establece que
deben emplearse el doble de trabajadores para
producción que para mantenimiento, y un cuarto de los de mantenimiento para transporte.
¿Cuántos trabajadores se deben contratar en cada uno de los departamentos?
Variables.
26
Matemáticas
Curso Propedéutico
𝑥1 : 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛.
𝑥2 : 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜.
𝑥3 : 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒.
El sistema.
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 70
150𝑥1 + 175𝑥2 + 145𝑥3 = 11200
𝑥1 = 2𝑥2
𝑥2 = 4𝑥3
Reescribiendo las dos últimas ecuaciones, el sistema queda:
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3
150𝑥1 + 175𝑥2 + 145𝑥3
𝑥1 − 2𝑥2
𝑥2 − 4𝑥3
= 70
= 11200
=0
=0
Resolución el sistema.
Sumar a la segunda ecuación el resultado de la primera por -150
Operación
Nuevo sistema.
−150𝑥1 − 150𝑥2 − 150𝑥3 = −10500
150𝑥1 + 175𝑥2 + 145𝑥3 = 11200
0𝑥1 + 25𝑥2 − 5𝑥3 = 700
𝑥1
+
𝑥2 + 𝑥3
25𝑥2 − 5𝑥3
𝑥1 − 2𝑥2
𝑥2 − 4𝑥3
= 70
= 700
=0
=0
Sumar a la tercera ecuación el resultado de la primera por -1
Operación
Nuevo sistema.
−𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3
𝑥1 − 2𝑥2
0𝑥1 − 3 𝑥2 − 𝑥3
= −70
=0
= −70
𝑥1
+
𝑥2 + 𝑥3 = 70
25𝑥2 − 5𝑥3 = 700
−3 𝑥2 − 𝑥3 = −70
𝑥2 − 4𝑥3
=0
Sumar a la cuarta ecuación el resultado de la segunda por -1 /25
Operación
Nuevo sistema.
1
−𝑥2 + 𝑥3 = −28
5
𝑥2 − 4𝑥3
=0
19
0 𝑥2 − 𝑥3
= −28
5
𝑥1
Multiplicar la ecuación cuatro por -5/19
27
+
𝑥2 + 𝑥3 = 70
25𝑥2 − 5𝑥3 = 700
−3 𝑥2 − 𝑥3 = −70
19
− 5 𝑥3 = −28
Matemáticas
Curso Propedéutico
Operación
Nuevo sistema.
5
19
− (− 𝑥3
19
5
𝑥3
𝑥1
+
𝑥2 + 𝑥3 = 70
25𝑥2 − 5𝑥3 = 700
−3 𝑥2 − 𝑥3 = −70
140
𝑥3 = 19
= −28) →
140
=
19
Sumar a la tercera ecuación el resultado de la segunda por 3/25
Operación
Nuevo sistema.
3
3𝑥2 + 𝑥3 = 84
5
−3𝑥2 − 𝑥3 = −70
2
0 𝑥2 − 𝑥3
= 14
5
𝑥1
+
𝑥2 + 𝑥3 = 70
25𝑥2 − 5𝑥3 = 700
2
− 5 𝑥3
= 14
𝑥3 =
140
19
Multiplicar la tercera ecuación por -5/2
Operación
5
2
− ∗ (− 𝑥3
= 14)
2
5
𝑥3 = −35
Nuevo sistema.
𝑥1
→
+
𝑥2 + 𝑥3 = 70
25𝑥2 − 5𝑥3 = 700
𝑥3 = −35
𝑥3 =
140
19
Lo que indica una inconsistencia en el
sistema.
Graficamente significa que los cuatro planos no son concurrentes en un punto en el espacio.
Esto se ilustra en la siguiente gráfica.
28
Matemáticas
Curso Propedéutico
Figura 7. Grafica del sistema.
Por otro lado , 𝑥3 = −35 no se puede considerar, debido a que no tiene un sentido en el
problema real, dado que no es posible contratar -35 empleados. Tratando de dar un sentido,
podríamos suponer que 𝑥3 = 0 y con este valor se obtienen los siguientes resultados. 𝑥2 =
28 𝑦 𝑥1 = 42 , la cual tampoco es una solución del sistema. Ya que no satisface la ecuación
cuatro.
Un problema que podría plantearse en esta situación, si es posible encontrar una solución
“aproximada” al sistema. Este problema no se aborda en estas notas.
29
Matemáticas
1.7
Curso Propedéutico
Sistemas Homogéneos.
Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar en homogéneos y heterogéneos,
dependiendo si todos los términos del lado derecho son o no iguales a cero.
𝑎11 ∗ 𝑥1 + 𝑎12 ∗ 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 ∗ 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21 ∗ 𝑥1 + 𝑎22 ∗ 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 ∗ 𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮
⋮
⋮
⋮
𝑎𝑚1 ∗ 𝑥1 + 𝑎𝑚2 ∗ 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 ∗ 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
Es decir, si todos los valores 𝑏𝑖 = 0 , el sistema se llama homogéneo, en caso de que exista
algún valor 𝑏𝑖 ≠ 0, el sistema es heterogéneo. Todo sistema homogéneo tiene solución
cuando 𝑥𝑖 = 0 ya que esta satisface a todas las ecuaciones del sistema. A esta se le
denomina solución trivial. Un problema es determinar si existen soluciones distintas a la
trivial.
La teoría asegura que cuando en un sistema homogéneo se tiene menos ecuaciones que
incógnitas, el sistema tiene un número infinito de soluciones. Sí un sistema tiene el mismo
número de ecuaciones que incógnitas, entonces una solución es la trivial.
Ejemplo 13. Sistema homogéneo.
A continuación se presentan dos ejemplos que ilustran cuando existe solamente la solución
trivial y cuando existe un número infinito.
a) Sea el siguiente sistema de ecuaciones.
𝑥1 + 10𝑥2 − 9𝑥3 = 0
5𝑥1 − 8𝑥2 + 4.5𝑥3 = 0
3𝑥1 + 7𝑥2 − 6.5𝑥3 = 0
Determinar si el sistema tiene solución única o un número infinito de soluciones.
𝑥1 + 10𝑥2 − 9𝑥3 = 0
−58𝑥2 + 49.5𝑥3 = 0
101
𝑥 =0
116 3
Por sustitución regresiva se obtiene que 𝑥3 = 0, 𝑥2 = 0 𝑦 𝑥1 = 0. Lo que corresponde a la
solución trivial.
b) Sea el siguiente sistema de ecuaciones.
𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 0
2𝑥1 − 𝑥2 + 5𝑥3 = 0
2𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 0
30
Matemáticas
Curso Propedéutico
Determine si el sistema tiene solución única o un número infinito de soluciones. Utilizando la
eliminación Gaussiana, se obtienen lo siguiente.
𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 0
−5𝑥2 + 3𝑥3 = 0
0=0
Si 𝑥3 = 𝑟 (donde r es un parámetro) entonces los valores de 𝑥2 =
conjunto de soluciones del sistema para cualquier valor real de r.
1.8
3𝑟
5
𝑦 𝑥1 =
11𝑟
5
representan el
Sistema de ecuaciones lineales con una función objetivo.
En muchas situaciones o problemas, un sistema de ecuaciones suele tener asociado una
función objetivo. Esto lo explicaremos con el siguiente ejemplo.
Ejemplo 14. Cultivos.
Suponga que un agricultor tiene 200 hectáreas de tierra en el cual puede sembrar cualquier
combinación de tres cultivos maíz, frijol y calabaza. El maíz requiere de 4 días de mano de
obra y $ 200 de capital por cada hectárea sembrada. El frijol requiere 5 días de cultivo y $350
de capital. Y la calabaza requiere 2 días de mano de obra y $250 de capital. Suponga también
que el maíz genera una ganancia de $60.00 /ha, mientras que el frijol y la calabaza
proporcionan una ganancia de $ 45 y $78 respectivamente por cada hectárea. Si el agricultor
dispone de $25000 de capital y de 320 días de mano de obra ¿Cuál es la estrategia de
siembra que proporciona la mayor cantidad de ganancia?.
Variables.
𝑥1 : 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑒𝑐𝑡á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑎í𝑧.
𝑥2 : 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑒𝑐𝑡á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑖𝑗𝑜𝑙.
𝑥3 : 𝑁ù𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑒𝑐𝑡á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑎𝑏𝑎𝑧𝑎.
Las restricciones del problema.
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ≤ 200 (𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎)
4𝑥1 + 5𝑥2 + 2𝑥3 ≤ 320 (𝑀𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑟𝑎)
200𝑥1 + 350𝑥2 + 250𝑥3 ≤ 25000 (𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙)
Por supuesto, debido a la naturaleza de problema los valores de las variables de decisión
deben satisfacer lo siguiente 𝑥3 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0 𝑦 𝑥1 ≥ 0
Obtener la máxima ganancia no implica agotar todos los recursos, es decir, se puede
encontrar la máxima ganancia y no emplear por ejemplo, todo el capital o la tierra.
31
Matemáticas
Curso Propedéutico
El objetivo del agricultor es maximizar la siguiente función sujeta a las restricciones anteriores.
𝑀𝑎𝑥 (𝑧): 60𝑥1 + 45𝑥2 + 78𝑥3
Para resolver este tipo de problema se utilizan a las herramientas de la Investigación de
Operaciones, en particular el método simplex. Un paso inicial en este método es transformar
las restricciones de desigualdad que aparecen en el sistema en restricciones de igualdad, y
así poder utilizar la eliminación Gaussiana.
Resolviendo el sistema usando la eliminación Gaussiana se obtiene la siguiente solución n
𝑥3 = 100, 𝑥2 = 0 𝑦 𝑥1 = 0 con una ganancia de $7800. Mediante una representación
geométrica la solución se indica con un circulo, en la siguente gráfica, el cual se interseca la
función objetivo con la región factible, determinada por las restricciones de desigualdad.
Figura 8. Representación grafica de la solución.
.
En la gráfica se puede observar que el conjunto de puntos solución del sistema se encuentran
en la parte positivo y acotada por los planos de restricción.
32
Matemáticas
Curso Propedéutico
Verificando que la solución satisface las restricciones.
Con base en el ejemplo previo se observa que la función objetivo siempre alcanza su valor
máximo o mínimo en la frontera de la región factible. De hecho, el valor óptimo siempre se
alcanza en uno de los puntos vértices que forman la región factible.
El siguiente ejemplo ilustra el concepto de región factible..
Figura 9. Región factible del sistema.
Región
factible
La región sombreada es un conjunto de puntos 𝑥𝑖 que define una región factible, es decir, que
cualquier punto que se tome de esta región satisface simultáneamente las restricciones del
sistema. Este concepto será de utilidad para la resolución de los problemas.
1.8.1 Líneas de indiferencia.
No obstante que existe un número infinito de soluciones en la región factible, el problema de
la búsqueda del óptimo se reduce a la investigación de los puntos frontera de dicha región, es
decir, en los puntos vértices. Esto lo ilustraremos con el siguiente ejemplo.
La función objetivo cambia de valor de acuerdo con el valor que se le asigne a las variables
de decisión 𝑥1 𝑦 𝑥2 , determinan un valor Pi. que se representa a continuación
33
Matemáticas
Curso Propedéutico
𝑃𝑖 = 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑥2
Todos los puntos que satisfacen esta ecuación se le
proporcionan el mismo grado de satisfacción.
llama curva de isoutilidad
Las líneas de isoutilidad se desplazan paralelamente al asignar valores diferentes
función objetivo. Para ilustrar este desplazamiento, observe las siguientes gráficas..
y
a la
Figura 10. Desplazamiento que optimiza.
120
isoutilidad 1
100
80
isoutilidad 2
60
isoutilidad 3
40
20
Cresimiento del
valor de la
función objetivo
0
0
50
100
150
Nótese que el valor de la función objetivo del tipo de maximización se mejora a medida que
las líneas de isoutilidad se mueven hacia arriba y hacia la derecha.
Figura 11. Desplazamiento optimiza .
120
100
isoutilidad 1
80
isoutilidad 2
60
isoutildad 3
40
Mejora del valor de la
funcion objetovo
20
0
0
50
100
150
34
Matemáticas
Curso Propedéutico
En problemas de minimización, el valor de una función objetivo disminuye a medida que se
desplaza hacia la izquierda y hacia abajo.
El movimiento de las líneas de isoutididad está restringido a la región factible.
Como se observa en la siguiente figura.
Figura 12. Punto óptimo.
9
8
7
6
5
región factible
4
isoutilidad 1
3
isoutilidad 2
punto
máximo
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
Optimizar una función objetivo significa buscar un punto que maximice o minimice el valor de
dicha función satisfaciendo las restricciones del modelo. Esquemáticamente el procedimiento
se ilustra en el siguiente diagrama
35
Matemáticas
Curso Propedéutico
Figura 13. Procedimiento de solución de problemas de PL con el método gráfico.
Para aclarar todos los conceptos anteriores considere el siguiente ejemplo.
Ejemplo 15. Producción.
Una compañía produce dos tipos de artículos manuales y eléctricos. Cada uno requiere para
su fabricación tres máquinas A, B, C. Como lo muestra la tabla siguiente.
36
Matemáticas
TABLA 3.
Curso Propedéutico
Tabla de datos del problema de producción.
Manual
Eléctrico
Horas
disponibles por
máquina.
A
2
1
180
B
1
2
160
C
1
1
100
37
Utilidad/Unidad
4
6
Matemáticas
1.9
Curso Propedéutico
Ejercicios de repaso.
Ejemplo 16. Refinerías.
Considere que existe una compañía petrolera que cuenta con 3 refinerías 1,2y3 .Por cada
barril de crudo de petróleo, las diferentes refinerías producen las siguientes cantidades
(medidas en galones) de aceite de calefacción, diesel y gasolina.
Refinería 1
Refinería 2
Refinería 3
6
3
2
4
3
6
2
3
6
Aceite de
calefacción
Diesel
Gasolina
Suponga que se tienen las siguientes demandas 280 galones de aceite de calefacción, 350
diesel y 350 gasolina.
a) Escriba un sistema de ecuaciones cuya solución podría determinar los niveles de
producción que pudieran satisfacer dicho sistema.
Determinación de variables
x1 =
x2 =
x3 =
Cantidad de barriles de petróleo crudo que entran a la
Refinería 1
Cantidad de barriles de petróleo crudo que entran a la
Refinería 2
Cantidad de barriles de petróleo crudo que entran a la
Refinería 3
Sistema de ecuaciones:
6 x1  3x2  2 x3  280
4 x1  6 x2  3x3  350
3x1  2 x2  6 x3  350
b) Encuentre una solución aproximada para este sistema de ecuaciones cuya producción
no sea mayor que 30 galones de su demanda
Nuevo sistema
280  6 x1  3x2  2 x3  310
350  4 x1  6 x2  3 x3  380
350  3x1  2 x2  6 x3  380
38
Matemáticas
Curso Propedéutico
Para solucionar el sistema usamos el método de prueba y error por lo tanto asignamos en un
inicio valores arbitrarios a las “xi” y observamos como se comporta el sistema.
Intento 1
Valores
x1  10
x2  10
x3  10
Sustitución
6(10)  3(10)  2(10)  110  esta fuera del rango factible
4(10)  6(10)  3(10)  130  esta fuera del rango factible
3(10)  2(10)  6(10)  110  esta fuera del rango factible
De lo anterior se ve que se deben incrementar los valores de las “x1”.
Intento 2
Valores
x1  20
x2  20
x3  20
Sustitución
6(20)  3(20)  2(20)  220  esta fuera del rango factible dif  60
4(20)  6(20)  3(20)  260  esta fuera del rango factible dif  90
3(20)  2(20)  6(20)  220  esta fuera del rango factible dif  130
Como podemos observar debemos aumentar xi
Intento 3
Valores
x1  25
x2  25
x3  25
Sustitución
6(25)  3(25)  2(25)  275  esta fuera del rango factible dif  5
4(25)  6(25)  3(25)  325  esta fuera del rango factible dif  25
3(25)  2(25)  6(25)  275  esta fuera del rango factible dif  75
Obsérvese que la diferencia entre la demanda y el resultado de la ecuación 3 es la mas
grande, como x3 es la que tiene mas peso. Por lo tanto la aumentamos y esperamos que con
esta acción queden subsanadas las otras dos ecuaciones.
39
Matemáticas
Curso Propedéutico
Intento 4
Valores
x1  25
x2  25
x3  35
Sustitución
6(25)  3(25)  2(35)  295  esta dentro del rango factible
4(25)  6(25)  3(35)  355  esta dentrodel rango factible
3(25)  2(25)  6(35)  335  esta fuera del rango factible dif  15
Tendremos que aumentar el valor de x3 para lograr que la ecuación tres su resultado este
dentro del rango factible.
Intento 5
Valores
x1  25
x2  25
x3  39
Sustitución
6(25)  3(25)  2(39)  301  esta dentro del rango factible
4(25)  6(25)  3(39)  367  esta dentrodel rango factible
3(25)  2(25)  6(39)  359  esta dentro del rango factible
Una solución del sistema es
Valores
x1  25
x2  25
x3  39
Con una tolerancia de +30 galones en la demanda de los productos.
Sustitución
Ejemplo 17. Producción.
Considere el siguiente sistema de ecuaciones el cual representa ecuaciones de oferta –
demanda para sillas, mesas, y sofás de dos fabricas.
Sillas
Mesas
Fábrica 1
10x1
7x1
Fábrica 2
6x2
7x2
40
Demanda
200
150
Matemáticas
Curso Propedéutico
Sofás
5x1
4x2
100
Encuentre una solución aproximada por el método de prueba y error.
Primero formulamos el sistema de ecuaciones
10x1+ 6x2 =200
7x1+7x2 =150
5x1+4x2=100
Y damos valores arbitrarios a X1 =10 y a x2 =10. Sustituimos los valores en el sistema y vemos
el comportamiento del mismo.
10(10)+ 6(10)=160 <200 Dif: 40
7(10)+7(10) =140 < 150 Dif: 10
5(10)+4(10)=90< 100 Dif:10
Por lo tanto hay que aumentar los valores a X1 =11 y a x2 =11. Sustituimos los valores en el
sistema y vemos el comportamiento del mismo
10(11)+ 6(11)=176 <200 Dif: 24 se redujo
7(11)+7(11) =154>150 Dif: -4 se redujo
5(11)+4(11)=99 < 100 Dif:1 se redujo
Vemos que con estos valores satisfacen adecuadamente las ecuaciones 2 y tres en un
intervalo del 10% de tolerancia del sistema sin embargo la ecuación 1 queda insatisfecha por
arriba de un 10% de variación.
Por lo tanto debemos modificar los valores de X1 =11 y a x2 =12. Sustituimos los valores en
el sistema y vemos el comportamiento del mismo
10(11)+ 6(12)=182 <200 Dif: 18 Esta dentro de un intervalo del 10%
7(11)+7(12) =161>150  Dif: -11 Esta dentro de un intervalo del 10%
5(11)+4(12)=103> 100 Dif:-3 Esta dentro de un intervalo del 10%
Consideraríamos que la solución al sistema sea X1 =11 y a x2 =12. con una precisión del 10%
Ejemplo 18. Programación lineal.
Formule el siguiente problema como un problema de programación lineal pero no lo resuelva.
Hay dos almacenes para camiones y dos lugares para venderlos la siguiente tabla
proporcionan los costos por transportar un camión de los almacenes a cada uno de los
centros de venta.
Almacén 1
Almacén 2
Centro 1
40
60
41
Centro 2
50
40
Matemáticas
Curso Propedéutico
El almacén 1 tiene 100 camiones y el almacén 2 tiene 80. El centro1 necesita al menos 50
camiones y el almacén 2 necesita al menos 100. Encuentre la manera económica de
satisfacer estos requerimientos.
Realizamos un diagrama explicativo
Determinación de variables
x11
x12
x21
x22
Número de camiones que van del almacén 1 al centro 1
Número de camiones que van del almacén 1 al centro 2
Número de camiones que van del almacén 2 al centro 1
Número de camiones que van del almacén 2 al centro 2
Sabemos que el problema se basa en reducir costos y con las variables podemos escribirla en
términos de las variables determinadas.
Min w: 40x11+50x12+40x21+60x22
Sujeta a:
x11+ x12  100
x21+ x22  80
x11+ x21  50
x12+ x22  100
x110
x120
x210
x220
42
Matemáticas
Curso Propedéutico
2
MATRICES.
2.1
Introducción.
El término matriz fue introducido en la literatura matemática por Josseph Sylvester (1950)
para referirse a una entidad u objeto matemático, la cual puede representarse por un arreglo
rectangular de datos o entradas. Por ejemplo.
10
5
(
12
9
16
7
𝑠
(
𝑔
𝑤
𝑑
)
𝑓
)
𝑒
.
2.2
Conceptos básicos
Como ya se mencionó una matriz es un arreglo rectangular de datos en hileras y columnas.
Cuya estructura general es la siguiente.
𝑎11
𝐴=( ⋮
𝑎𝑚1
⋯
⋱
⋯
𝑎1𝑛
⋮ )
𝑎𝑚𝑛
Donde el elemento 𝑎𝑚𝑛 indica que se encuentra en la hilera “m” y en la columna “m”. Se dice
que la matriz es de orden “m*n” es decir el número de hileras por el número de columnas. Si
m=n se dice que la matriz es cuadrada, pero si 𝑚 ≠ 𝑛 se dice que la matriz es rectangular.
Las matrices son de utilidad para la formulación y resolución de problemas. A continuación se
proporcionan los siguientes ejemplos.
Ejemplo 19. Producción.
Un fabricante de los productos A, B y C ocupa unidades de malo de obra y material en su
producción. En una semana de producción se utilizan estos recursos como lo muestra la tabla
siguiente.
TABLA 4.
Datos del problema de producción.
Recursos
Mano de obra
Material
A
10
5
Producto
B
12
9
C
16
7
Disponibilidad
del recurso
250
200
Si el fabricante puede vender todo lo que produce ¿Cuántas unidades de cada producto debe
producir para ocupar la mayor cantidad de los recursos disponibles?.
43
Matemáticas
Curso Propedéutico
Variables.
𝑥1 : 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝐴
𝑥2 : 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝐵
𝑥3 : 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝐶
Restricciones..
10𝑥1 + 12𝑥2 + 16𝑥3 ≤ 250
5𝑥1 + 9𝑥2 + 7𝑥3 ≤ 200
Forma matricial.
El sistema anterior se puede representar en forma matricial ordenando los datos en un arreglo
rectangular. Para la matriz A considere solo los coeficientes asociados a cada una de las
variables.
𝐴=
𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 1
10
(
5
𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 2 𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 3
12
16
𝐻𝑖𝑙𝑒𝑟𝑎 1
)
9
7
𝐻𝑖𝑙𝑒𝑟𝑎 2
A es una matriz de orden 2*3.
Para el vector columna x considere las variables que desea calcular. Y para el vector
columna b, considere solo el valor de los recursos disponibles.
𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 1
𝑥1
𝑥=(
) 𝐻𝑖𝑙𝑒𝑟𝑎 1
𝑥2
𝐻𝑖𝑙𝑒𝑟𝑎 2
𝑥3
𝐻𝑖𝑙𝑒𝑟𝑎 3
𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 1
𝑏=(
) 𝐻𝑖𝑙𝑒𝑟𝑎 1
250
200
𝐻𝑖𝑙𝑒𝑟𝑎 2
Observe que con estos arreglos el sistema puede representarse de la siguiente forma.
10 12
(
5
9
𝑥1
16
250
) ∗ (𝑥2 ) ≤ (
)
7
200
𝑥
3
Como puede notarse la matriz A es una representación que organiza de manera compacta la
información dada del problema. Y como se observo al principio una matriz puede de verse
como una tabla de doble entrada donde las columnas representan una característica del
problema y las hileras otra.
44
Matemáticas
2.3
Curso Propedéutico
Operaciones con matrices.
Las operaciones con las matrices las ilustraremos mediante los siguientes ejemplos.
2.3.1 Suma y resta de matrices.
Ejemplo 20. Venta de vehículos.
Considere que un comerciante de vehículos vende dos modelos. Deluxe y Súper. Cada uno
de ellos se encuentra disponible es dos colores rojo y negro. Los datos de ambos vehículos
de los meses de enero y febrero del presente año se encuentran representados en la tabla
siguiente. El vendedor desea conocer el numero total de unidades vendías en dicho periodo.
TABLA 5.
Modelo
Deluxe
Súper
Tabla de ventas.
Enero
Rojo
1
3
Febrero
Negro
4
2
Rojo
8
0
Negro
9
15
Los renglones de la matriz proporcionan el número de vehículos vendidos de cada uno de los
modelos. Mientras que las columnas proporcionan el número de vehículos vendidos por cada
uno de los colores.
Se generan las matrices A y B que sistematicen los datos del sistema.
1 4
𝐴=[
] →Ventas del mes de enero.
3 2
8 9
𝐵=[
] →Ventas del mes de febrero.
0 15
Las ventas totales son el resultado de sumar las ventas de enero y febrero.
[
1 4
8 9
9 13
]+[
]=[
]=𝐶
3 2
0 15
3 17
9 13
𝐶=[
]
3 17
Observe que los elementos de la matriz C{𝑐𝑖𝑗 } representan la suma de las ventas.
45
Matemáticas
Curso Propedéutico
2.3.2 Multiplicación.
Matriz vector.
Ejemplo 21. Compras en el mercado.
Suponga que alguien desea comprar 5 melones, 4 manzanas, 3 naranjas y 2 piñas.
Comparando precios en dos mercados se encuentra que los precios de esos dos productos
son A=[ 30,10,10 y 75] y en el mercado B =[ 25,15,8 y 80] respectivamente.
a) Exprese el problema de calcular costos de este conjunto de frutas en cada mercado
como un producto de una matriz y un vector
Definición del vector de frutas deseadas.
5
4
v 
3
 
2
La matriz de costos de las fritas en los mercados es:
30 10 10 75  Mercado A
C
   Mercado B 
25
15
8
80

 

El costo de las frutas para cada uno de los mercados queda definida con el siguiente producto
5
 
30 10 10 75  4  370 
Cv  C * v  

*

 25 15 8 80   3  369 
 
2
Por lo anterior sabemos que el costo por comprar las frutas en el mercado A (370 u.m) es 1
u.m más que comprarla en el mercado B (369 u.m).
¿Es posible realizar la multiplicación si se cambia el orden? Supongamos que tratamos de
hacer dicho producto
5
4 30 10 10
𝐶 ∗ 𝑣 = ( )(
3 25 15 8
2
75
)
80
Obsérvese que no es posible, ya que el número de hileras del vector es diferente al número
de columnas de la matriz.
46
Matemáticas
Curso Propedéutico
Ejemplo 22. Fiesta.
Suponga que alguien necesita aprovisionarse para una fiesta y necesita 10 sándwiches, 6
cuartos de fruta, 3 cuartos de ensalada de papa, y 2 platillos de bocadillos. La siguiente tabla
muestra los costos de estas provisiones en tres diferentes abastecimientos.
sándwich
fruta
ensalada de
papa
bocadillos
Abastecimiento
A
5
1
Abastecimiento
B
5
1.5
Abastecimiento
C
4
075
0.7
1
1
8
7
10
a) Exprese el problema para determinar los costos de las provisiones para la reunión por
cada abastecimiento
como una matriz – vector y determine los costos por
establecimiento
10 
6
Vector necesidades  v   
3
 
2
1
0.75 8   Abastecimiento A 
5
 5 1.50
1
7   Abastecimiento B 

Matriz cos tos  C 

 4 0.75
1 10   Abastecimiento C 

 


 

Pr oducto
1
0.75 8  10 
5
74.25
 5 1.50
1
7   6  

Cv 
*
  76 
 4 0.75



1 10
3

    67.5 

 2
El costo por comprar en los centros de abastecimiento A,B y C es 74.25, 76 y 67.5
respectivamente. Siendo el lugar más costoso para comprar en el mercado B y el más
económico para comprar en el centro C.
47
Matemáticas
Curso Propedéutico
Ejemplo 23.
Expresar en notación matricial las siguientes operaciones en estos arreglos de datos: la matriz
A proporciona la cantidad de material requerido para construir productos diferentes, la matriz
B proporciona los costos de estos materiales en diferentes lugares, la matriz C expresa
cuantos de estos productos son necesarios para construir dos diferentes tipos de casas y la
matriz D proporciona la demanda para las casa de dos estados de la República.
Matriz A
Producto
A
B
C
Material
M
MO
A
5
20
10
4
25
8
10
10
5
M=Madera, MO= Mano de obra, A=Acero
Matriz B “Costos por ciudad”
DF Edo. Méx.
Madera
2
3
Mano de Obra 6
6
Acero
3
4
Matriz C “Productos necesarios para hacer las casas”
A B C
Casa I 4 8 3
Casa II 5 5 2
Matriz D ”Demanda para las casas”
Casa I Casa II
D.F.
50,000 200,000
Edo. Méx. 80,000 500,00
A) Calcule el primer renglón del producto AB
A* B
 5 20 10   2 3  160 175
 4 25 8  * 6 6   *
* 

 
 
10 10 5  3 4  *
* 
B) ¿Cuál producto matricial expresa cuánto de los diferentes productos son necesarios
para satisfacer la demanda para los dos tipos de casa en los diferentes Estados?
48
Matemáticas
Curso Propedéutico
D *C
50000 200000  4 8 3  1200000 1400000 550000 
80000 500000  * 5 5 2   2820000 3140000 1240000

 
 

La matriz resultante indica la cantidad de productos a, b, c necesarios para satisfacer las
demandas en el DF y Estado de México.
D.F
Edo. Méx
A
1200000
2820000
B
1400000
3140000
C
550000
1240000
C) ¿Cuál producto matricial expresa el costo por construir cada tipo de casa en cada
Estado?
C *( A * B)
  5 20 10   2 3  
4 8 3   
 

5 5 2  *   4 25 8  * 6 6   

 

 10 10 5  3 4  
175 
160
2582 
4 8 3  
 2381
194   
5 5 2  * 182
2065 

  95
1900

110


Las entradas de la matriz resultante indican el costo por producir cada tipo de casa en cada
Estado.
DF Estado. México
Casa I 2381
2582
Casa II 1900
2065
2.4
Otro tipo de matrices.
Algunas matrices presentan características particulares tanto en la naturaleza de los
elementos que las conformas así como en su disposición. A este tipo de matrices se les llama
matrices especiales.
2.4.1 Matrices cuadradas y rectangulares.
Como se mencionó, una matriz se compone de m filas y de n columnas. En estas
circunstancias se pueden presentar dos casos que m=n o m≠n .En el primer caso se dice
que es una matriz cuadrada, por ejemplo.
49
Matemáticas
Curso Propedéutico
𝐴𝑛∗𝑛
𝑎11
= ([ ⋮
𝑎𝑛1
⋯
⋱
⋯
𝑎1𝑛
⋮ ])
𝑎𝑛𝑛
En el caso de que m≠n se trata de una de una matriz rectangular que tiene la siguiente
estructura particular.
𝐴𝑚∗𝑛
𝑎11
= ([ ⋮
𝑎𝑚1
⋯
⋱
⋯
𝑎1𝑛
⋮ ])
𝑎𝑚𝑛
2.4.2 Matrices triangulares.
Antes de definir a las matrices triangulares introduciremos el concepto de diagonal principal.
Para ello considere una matriz cuadrada A de orden n*n. En dicha matriz A=[𝑎𝑖𝑗 ] se determina
a la diagonal principal como un subconjunto de elementos 𝑎𝑖𝑗 donde i=j.
𝐴𝑚∗𝑛
𝑎11
= ([ ⋮
𝑎𝑚1
⋯
⋱
⋯
𝑎1𝑛
⋮ ])
𝑎𝑚𝑛
Una matriz triangular superior es donde los elementos que aparecen debajo de la diagonal
son todos cero.
𝐴𝑚∗𝑛
𝑎11
= ([ ⋮
0
⋯ 𝑎1𝑛
⋱
⋮ ])
⋯ 𝑎𝑚𝑛
Una matriz triangular inferior es donde los elementos que están arriba de la diagonal superior
son todos cero.
𝐴𝑚∗𝑛
𝑎11
= ([ ⋮
𝑎1𝑚
⋯
0
⋱
⋮ ])
⋯ 𝑎𝑚𝑛
2.4.3 Matriz identidad, transpuesta y simétrica.
La matriz identidad es donde los elementos de la diagonal principal son todos 1’s y los
elementos fuera de la diagonal son cero. La propiedad que tiene es que cuando se multiplica
por cualquiera otra matriz Q, esta no cambia.
50
Matemáticas
Curso Propedéutico
1 0 0
𝐼 = (0 1 0 )
0 0 1
Ejemplo.
1
𝐼𝑄 = (0
0
0 0 𝑑
1 0) (𝑓
0 1 𝑔
𝑔
𝑑
ℎ ) = (𝑓
𝑡
𝑔
𝑔
ℎ)
𝑡
Matriz transpuesta
Sea el siguiente ejemplo.
4 7 8
𝐴 = (4 9 2)
6 5 1
A partir de esta matriz formemos una nueva matriz, intercambiando las hileras por las
columnas.
4 4 6
𝐴′ = (7 9 5)
8 2 1
A esta matriz se le llama la transpuesta de A.
Simétrica.
Una matriz simétrica es una matriz que es igual a su propia transpuesta:
𝐴′ = 𝐴. La matriz es necesariamente cuadrada. Ejemplos.
1 2
𝐴=(
)
2 8
2.5
1 0
𝐵=(
)
0 4
Definición de determinante.
Strang (2007) comenta que los determinantes han dejado de ser el centro del álgebra lineal de
lo que estaban hace 100 años. Sin embargo, aún es un concepto importante que aparece el la
resolución de problemas en el álgebra lineal. Considerando esta importancia, a continuación
se introduce dicho concepto.
El determinante es una función que asigna un número real a una matriz cuadrada. Cuya
notación es la siguiente.
51
Matemáticas
Curso Propedéutico
𝑓(𝐴) → ℛ
Donde A es una matriz. La regla para asociar a la matriz A un número real es la siguiente.
𝑎 𝑏
), el det [𝐴] = 𝑎 ∗ 𝑑 − 𝑏 ∗ 𝑐 , la diferencia de estos productos puede
𝑐 𝑑
𝑎 𝑏
representarse mediante el siguiente arreglo |𝐴| = |
|.
𝑐 𝑑
Sea A=(
2.6
Resolución de un sistema de ecuaciones por medio de determinantes.
Ejemplo 24.
Una compañía tiene dos refinerías. Cada refinería produce dos productos derivados del
petróleo: gasolina y diesel. Suponga que a partir de un barril de petróleo la primera refinería
produce 20 galones de diesel y 15 galones de gasolina. La segunda produce cantidades
diferentes de estos productos como se describen en la siguiente tabla.
Diesel
Gasolina
Refinería I
20
15
Refinería II
16
7
Suponga que la demanda es que la demanda para el diesel es 720 galones, y que la
demanda para la gasolina es 440. ¿Cuáles son los valores 𝑥1 , 𝑥2 necesarias para satisfacer
esta demanda?
Variables.
𝑥1 : 𝐸𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑢𝑠𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟𝑖𝑎 1
𝑥2 : 𝐸𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑢𝑠𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟𝑖𝑎 2
Requerimos que las variables anteriores satisfagan el siguiente
Sistema.
20𝑥1 + 16𝑥2 = 720
15𝑥1 + 7𝑥2 = 440
Para abordar el problema anterior lo plantearemos de manera general, y observaremos que
en la solución esta involucrada la definición de determinante.
Sea el sistema:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓
Solución.
52
Matemáticas
Curso Propedéutico
Multiplicamos la primera ecuación por d y la segunda por b y luego sustraemos.
𝑑𝑎𝑥 + 𝑑𝑏𝑦 = 𝑑𝑒
−(𝑏𝑐𝑥 + 𝑏𝑑𝑦 = 𝑏𝑓)
(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)𝑥 = 𝑑𝑒 − 𝑏𝑓
Resolviendo para x se tiene:
𝑥=
𝑑𝑒 − 𝑏𝑓
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
La cual se sustituye en la primera ecuación y simplificando obtenemos.
𝑎𝑓 − 𝑐𝑒
𝑦=(
)
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
Las fórmulas anteriores proporcionan una solución inmediata al problema de la refinería.
Sustituyendo los valores numéricos del problema ( a=20, b=16, c=16, d=7,e=720 y f=440) en
las fórmulas anteriores :
𝑥=
𝑦=(
𝑑𝑒 − 𝑏𝑓 (7 ∗ 720) − (16 ∗ 440)
=
= 20
(20 ∗ 7) − (15 ∗ 16)
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
(20 ∗ 440) − (16 ∗ 720)
𝑎𝑓 − 𝑐𝑒
)=
= 27.2
(20 ∗ 7) − (15 ∗ 16)
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
Estas fórmulas se pueden extender para solucionar sistemas ecuaciones de 3 incógnitas y
tres ecuaciones, y de manera más general de n ecuaciones con n incógnitas. Sin embargo,
estas expresiones se hacen inmanejables, por ello es más adecuado utilizar la eliminación
Gaussiana que se introdujo en secciones anteriores. No obstante, el concepto de
determinante es importante debido a sus implicaciones teóricas para la resolución de
problemas.
La parte critica para determinar sí un sistema de ecuaciones tiene solución, es fijarse en los
denominadores y los numeradores de las formulas anteriores. Es decir, 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 a este
denominador se le llama el determinante de sistema. Aquí se pueden presentar los siguientes
casos:
1. 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0 y 𝑑𝑒 − 𝑏𝑓 ≠ 0
Implica que el sistema tiene solución única.
53
Matemáticas
Curso Propedéutico
2. 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 0
y 𝑑𝑒 − 𝑏𝑓 = 0 Implica que el sistema tiene un conjunto infinito de
soluciones, es decir, que cualquier pareja de números reales satisface el sistema.
3. 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 0
y 𝑑𝑒 − 𝑏𝑓 ≠ 0
Implica que el sistema no tiene solución.
Rescribiendo el sistema anterior en forma matricial.
𝐴𝑥 = 𝑏
𝑥1
20 16
720
Donde A es la matriz de los coeficientes 𝐴 = (
), 𝑏=(
) y 𝑥 = (𝑥 ) De forma más
15 7
440
2
general el sistema se reescribe usando subíndices.
𝑎11 𝑥1
𝑎21 𝑥1
+ 𝑎12 𝑥2 = 𝑏1
+ 𝑎22 𝑥2 = 𝑏2
Donde
𝑎11
𝐴 = (𝑎
21
𝑎12
𝑎22 )
𝑏
𝑏 = ( 1)
𝑏2
𝑥1
𝑥 = (𝑥 )
2
Con esta nueva notación las fórmulas anteriores quedan expresadas de la siguiente manera:
𝑥1 =
𝑎11 ∗ 𝑏2 − 𝑎21 ∗ 𝑏1
𝑎11 ∗ 𝑎22 − 𝑎21 ∗ 𝑎12
𝑎
𝑏1
| 11
|
𝑎21 𝑏2
= 𝑎
11 𝑎12
|𝑎
|
21 𝑎22
𝑏 𝑎12
| 1
|
𝑎12 ∗ 𝑏2 − 𝑎22 ∗ 𝑏1
𝑏2 𝑎22
𝑥2 =
=
𝑎11 ∗ 𝑎22 − 𝑎21 ∗ 𝑎12 |𝑎11 𝑎12 |
𝑎21 𝑎22
Las fórmulas anteriores se les conoce como las reglas de Cramer.
Ejemplo:
2𝑥1
𝑥1
−
+
3𝑥2 = 4
2𝑥2 = 9
Se obtiene
54
Matemáticas
Curso Propedéutico
4 −3
|
| 2 ∗ 4 − (−3) ∗ 9 35
𝑥1 = 9 2 =
=
=5
2 −3
7
|
| 2 ∗ 2 − (−3) ∗ 1
1 2
1
|
𝑥2 = 2
2
|
1
2.7
4
|
9 = 2 ∗ 4 − 1 ∗ 9 = 14 = 2
−3
7
| 2 ∗ 2 − (−3) ∗ 1
2
La inversa de una matriz
En esta sección se explica un método para resolver sistema de ecuaciones expresadas en la
forma general Ax=b , para cualquier b utilizando el concepto de inversa de una matriz.
Cualquier matriz A tiene una inversa aditiva denotada por –A la cual satisface la siguiente
propiedad.
𝐴 + (−𝐴) = 𝑂
Una matriz A tiene también una inversa multiplicativa, denotada por A-1 que cumple con la
propiedad.
𝐴𝐴−1 = 𝐼
𝐴−1 𝐴 = 𝐼
𝑦
Donde I es la matriz idéntica. Las inversas nos permiten “resolver” un sistema de ecuaciones
de manera análoga a cuando se resuelve una ecuación escalar ax=b se divide ambos lados
por a, y se obtiene x=a-1b, de manera equivalente si la matriz A tiene una inversa, entonces
el sistema de ecuaciones Ax=b tiene como solución x=A-1b.
2.7.1 Cálculo de la inversa de una matriz 2*2.
Considere la matriz A y denotemos su inversa (lo desconocido) por X
3
4
A=(
𝑥11
1
) , 𝑋 = (𝑥
2
21
𝑥12
𝑥22 )
La ecuación matricial a resolver es 𝐀𝐱 = 𝐈 , es decir,
1 𝑥11
)(
2 𝑥21
3
4
𝐴𝑥 = (
𝑥12
1 0
𝑥22 ) = (0 1)
Para determinar x (=A-1) , encontraremos las entradas de una columna cada vez.
3
4
(
1
1 𝑥11
) (𝑥 ) = ( )
0
2
21
55
Matemáticas
Curso Propedéutico
Lo que equivale a resolver el siguiente sistema.
3𝑥11 + 𝑥21 = 1
4𝑥11 + 2𝑥21 = 0
Para la segunda columna se tiene
3
4
(
1 𝑥12
0
) (𝑥 ) = ( )
2
22
1
Lo que equivale a resolver el siguiente sistema.
3𝑥12 + 𝑥22 = 0
4𝑥12 + 2𝑥22 = 1
Lo anterior implica resolver dos sistemas de ecuaciones. Usaremos la regla de Cramer para
resolver dichos sistemas.
𝑥11
1 𝑎12
|
|
𝑎22
0 𝑎22
=
=
det(𝐴)
det(𝐴)
𝑎11 1
|
𝑎21
𝑎21 0
=
=−
det(𝐴)
det(𝐴)
|
, 𝑥21
De la misma manera las soluciones para las otras incógnitas son:
𝑥21 = −
𝑎12
det(𝐴)
,
𝑥22 =
𝑎11
det(𝐴)
Estos resultados nos conducen a establecer la siguiente fórmula general para calcular la
inversa de una matriz 2*2.
𝑎11
𝑆𝑖 𝐴 = (𝑎
21
𝑎12
𝑎22 )
𝑎22
1
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴−1 = det(𝐴) (−𝑎
21
−𝑎12
𝑎11 )
La fórmula anterior podemos expresarla así: dividir todas las entradas de A por el
determinante, luego intercambiar los elementos de la diagonal y cambiar el signo de las dos
entradas que están fuera de esta diagonal.
El procedimiento anterior es útil para cuando se tiene una matriz de 2*2 sin embargo, cuando
se tiene una matriz de orden mayor, el cálculo se vuelve complicado. Por ello es conveniente
desarrollar un método más general y eficiente para calcular la inversa. Este se basa en la
eliminación Gaussiana. Lo ilustraremos con el siguiente ejemplo.
56
Matemáticas
Curso Propedéutico
Ejemplo 25.
1
𝐴 = (2
1
0 2
4 2)
2 6
A esta matriz le agregamos la idéntica.
1 0
(𝐴|𝐼) = (2 4
1 2
1 0
~ 0 1
(0 0
2 1
1 1
−2 −
| 2
5
0
2
1 0 0
1 0 2
0 0
1 0 2 1 0 0
1 1
1
1 0) ~ (0 4 −2|−2 1 0) ~ 0 1 − |− 2 4 0
2 1
1
0 1
0 2 4 −1 0 1
0
1
2
− 2 0 2)
(
1
0
0
1
0
0
0 0
1 0 2
1 0 2 1
1
1
1
1
1
1−
0 ~
−
4
10
4 0 ~ 0 1 − | 2
0 1 0| 2
5
2
1 1
1 1
1
0 0 1 0 − 1
− 4 2) (0 0 1 0 − 10
10 5 )
5) (
21
2|0
60
1
~ 0
0
(
1
5
1
5
1
− 10
1
0 0|
1
1 0−
| 2
0 1
0
1
𝐴−1 =
−
1
2
( 0
2
5
1 = (𝐼|𝐴−1 )
10
1
5 )
−
1
5
1
5
1
−
10
2
5
1
10
1
5 )
−
El proceso anterior se resume de la siguiente manera.
(𝐴|𝐼) → (𝐼|𝐴−1 )
Comprobando la inversa.
𝐀 ∗ 𝐀−𝟏 = 𝐈
𝟏
𝟏
(𝟐
𝟏
𝟎
𝟒
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐) −
𝟐
𝟔
( 𝟎
𝟏
𝟓
𝟏
𝟓
𝟏
−
𝟏𝟎
57
𝟐
𝟓
𝟏
𝟏
= (𝟎
𝟏𝟎
𝟎
𝟏
𝟓 )
−
𝟎
𝟏
𝟎
𝟎
𝟎)
𝟏
Matemáticas
Curso Propedéutico
𝐀−𝟏 ∗ 𝐀 = 𝐈
𝟏
𝟏
−
𝟐
( 𝟎
𝟏
𝟓
𝟏
𝟓
𝟏
−
𝟏𝟎
𝟐
𝟓
𝟏
𝟏
(𝟐
𝟏𝟎
𝟏
𝟏
𝟓 )
−
𝟎 𝟐
𝟏
𝟒 𝟐 ) = (𝟎
𝟐 𝟔
𝟎
𝟎
𝟏
𝟎
𝟎
𝟎)
𝟏
Ejemplo 26.
Un fabricante produce dos productos A y B. Por cada unidad que vende de A la ganancia es
de 8 unidades monetarias, por cada unidad que vende de B la ganancia es de 11 unidades
monetarias. Por experiencia se ha encontrado que puede ser vendido 25% más de A que de
B. Para el año siguiente el fabricante desea una ganancia total de $42 000. ¿Cuántas
unidades de cada producto debe vender?
Sistema
8𝑥1 + 11𝑥2 = 42000
𝑥1 = 1.25𝑥2
Reescribiendo el sistema.
8𝑥1 + 11𝑥2 = 42000
𝑥1 − 1.25𝑥2 = 0
Forma matricial.
𝐴𝑥 = 𝑏
𝑥1
8
11
42000
) (𝑥 ) = (
)
1 −1.25
0
2
(
Calculando la inversa de A.
(𝐴|𝐼) = (8
1
11 1
11 1 0
|
) ~ (1
8 |8
−1.25 0 1
1 −1.25 0
58
1
0) ~ (
1
0
11 1
8 | 8 0)
21 1
− 8 −8 1
Matemáticas
Curso Propedéutico
~ (1
0
1
11
8
8|1
1
21
5
0
1 0 84
)~(
|
8
0 1 1
− 21
21
𝐴−1
5
= (84
1
21
11
21 )
8
− 21
11
21 )
8
−
21
𝑥 = 𝐴−1 𝑏
5
11
42000
2500
𝑥 = 𝐴−1 ∗ 𝑏 = (84 21 ) (
)=(
)
1
8
0
2000
−
21
21
𝑥1
2500
𝑥 = (𝑥 ) = (
)
2
2000
Debe vender 2500 unidades de A y 200 unidades de B.
Ejemplo 27.
Una compañía de muebles produce mesas sillas y sofás en un mes la compañía tiene
disponible 300 unidades de madera, 350 unidades mano de obra 250 unidades de
tapicería. La compañía desea programar la producción para el mes entrante en la cual se
usen todos esto recursos. Los diferentes productos requieren las siguientes cantidades de
materia prima. Dicha información se proporciona en la siguiente tabla.
Madera
Mano de obra
Tapicería
Mesas
4
3
2
Sillas
1
2
0
Sofá
3
5
4
Encuentre la inversa de esta matriz de datos y úsela para determinar cuanto de cada
producto debe ser producido.
Sistema
𝟒 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟑 = 𝟑𝟎𝟎
𝟑𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙𝟑 = 𝟑𝟓𝟎
𝟐𝒙𝟏 + 𝟎𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 = 𝟐𝟓𝟎
Representación matricial.
𝟒
(𝟑
𝟐
𝟏
𝟐
𝟎
𝟑 𝒙𝟏
𝟑𝟎𝟎
𝟓) (𝒙𝟐 ) = (𝟑𝟓𝟎)
𝟒 𝒙𝟑
𝟐𝟓𝟎
59
Matemáticas
Curso Propedéutico
Calculando la inversa de A
𝟒
(𝐀|𝐈)) = (𝟑
𝟐
𝟏
𝟐
𝟎
𝟑𝟏
𝟓|𝟎
𝟒𝟎
𝟎
𝟏
𝟎
𝟏
𝟎
𝟎) ~
𝟏
(
𝟏
~
𝟎
(𝟎
𝟏
𝟒
𝟑 𝟏
𝟒 𝟒
𝟏𝟏| 𝟑
𝟏
𝟓 −𝟓
−𝟏 𝟓 −𝟏
𝟏
𝟏
~
(
𝟏 𝟒
𝟎 𝟏
𝟎 𝟎
𝟑
𝟎
𝟒
𝟒|
𝟏
𝟎| − 𝟗
𝟏 −𝟐
𝟗
𝟓
𝟗
𝟏
𝟗
𝟏
𝟏
𝟎 𝟎
~
𝟒
𝟎
𝟓
𝟎 𝟐)
𝟎
𝟏𝟏
− 𝟏𝟖 ~
𝟓
𝟏𝟖
)
𝟏
𝟎
𝟎
(
𝐴−1
𝟏
𝟏
𝟑
𝟒
𝟐
𝟒
𝟓 |𝟎
𝟑
𝟑
𝟏
𝟎 𝟎
𝟒
𝟏
|
𝟑
𝟎
~
𝟎
𝟏
𝟏
𝟑
𝟒
𝟓
𝟒 𝟒
𝟏𝟏| 𝟏
𝟏𝟐
𝟏
−𝟒
𝟏𝟐|
𝟓
𝟒
𝟗
𝟏
= −
𝟗
𝟐
−
( 𝟗
𝟐
𝟏
−
𝟗
𝟏𝟖
𝟓
𝟏𝟏
−
𝟗
𝟏𝟖
𝟏
𝟓
𝟗
𝟏𝟖 )
−
𝑨𝑨−𝟏 = 𝑰
𝟏
𝟐
𝟎
𝟏
𝟎
𝟏
𝟑
𝟎
𝟎
𝟏
𝟎 −𝟒 𝟒 −𝟒 𝟎 𝟐
𝟎 𝟐𝟎 𝟎 𝟐
) (
)
𝟏
𝟏 𝟑 𝟏
𝟏 𝟑
𝟎
𝟏 𝟒 𝟒 𝟒 𝟎 𝟎
𝟏 𝟒 𝟒 𝟒
| 𝟑 𝟒
𝟏𝟏| 𝟑 𝟒
𝟏𝟏 −
𝟎 𝟏
−
𝟎 ~
𝟓 𝟓
𝟓| 𝟓 𝟓
𝟎 𝟏
𝟓| 𝟐 𝟏
𝟑𝟔 𝟖 𝟒
(𝟎 𝟎 𝟓 − 𝟓 𝟓 𝟐) (𝟎 𝟎 𝟏 − 𝟗 𝟗
𝟒
𝟐
𝟓
𝟏
𝟓
−
−
−
𝟏
𝟗
𝟏𝟐
𝟐𝟒
𝟏 𝟎 𝟎 𝟗
𝟎 𝟏𝟐𝟏
𝟏
𝟓
𝟒
𝟓
𝟏𝟏
|−
|
− 𝟏𝟖 ~ 𝟎 𝟏 𝟎|− 𝟗 𝟗
𝟏 𝟎| 𝟗
𝟗
𝟎 𝟎 𝟏 𝟐 𝟏
𝟏
𝟓
𝟎 𝟏 −𝟐
−𝟗 𝟗
𝟗
𝟗
𝟏𝟖 )
(
Comprobación.
𝟒
(𝟑
𝟐
𝟏
𝟒
𝟗
𝟑
𝟏
𝟓) −
𝟗
𝟒
𝟐
−
( 𝟗
𝟐
𝟗
𝟓
𝟗
𝟏
𝟗
−
𝟏
𝟏𝟖
𝟏
𝟏𝟏
= (𝟎
−
𝟏𝟖
𝟎
𝟓
𝟏𝟖 )
−
𝑥 = 𝐴−1 𝑏
60
𝟎
𝟏
𝟎
𝟎
𝟎)
𝟏
𝟎
𝟎
𝟓
𝟏𝟖)
𝟏
− 𝟏𝟖
𝟏𝟏
− 𝟏𝟖
𝟓
𝟏𝟖
)
Matemáticas
Curso Propedéutico
𝟒
𝟗
𝟏
𝒙 = 𝑨−𝟏 ∗ 𝒃 = −
𝟗
𝟐
(− 𝟗
𝟐
𝟗
𝟓
𝟗
𝟏
𝟗
−
𝟏
𝟏𝟐𝟓
𝟏𝟖
𝟑𝟎𝟎
𝟒𝟏. 𝟔𝟔𝟔𝟕
𝟑
𝟏𝟏
𝟐𝟓/𝟑
(
)
=
≈
(
𝟑𝟓𝟎
𝟖. 𝟑𝟑𝟑𝟑 )
−
𝟏𝟖
𝟏𝟐𝟓
𝟐𝟓𝟎
𝟒𝟏. 𝟔𝟔𝟔
𝟓
( 𝟑 )
𝟏𝟖 )
−
El fabricante debe producir 41.66 unidades mesa, 8.333 sillas y 41.66 sofás.
Comprobación.
125
25
125
4(
) + ( ) + 3(
) = 300
3
3
3
300 = 300
125
25
125
3(
) + 2( ) + 5(
) = 350
3
3
3
350 = 350
125
25
125
2(
) + 0( ) + 4(
) = 250
3
3
3
250 = 250
61
Matemáticas
3
Curso Propedéutico
INDEPENDENCIA LINEAL.
El concepto de vector es una noción que aparece involucrado en problemas de áreas como la
física, ingeniería, economía y por supuesto en las matemáticas. Desde el punto de vista
gráfico un vector puede verse como un segmento dirigido cuyo origen coincide con un
sistema coordenado. La representación algebraica es cuando se asocia a cada punto P del
sistema coordenado el vector que tiene a P como extremo. Por ejemplo
El vector anterior se puede ver en términos de componentes, en las direcciones de los ejes
coordenados, por ejemplo, la componente 1 en la dirección del eje x y la componente 2 en la
dirección del eje y. Bajo este concepto el plano se puede pensar como un conjunto de
vectores que “llenan el plano”. Así, el plano cartesiano se define como el conjunto de vectores
en R2.representados por una flecha o por parejas ordenadas de números reales.
3.1
La suma de vectores.
La representación gráfica de la suma de vectores se obtiene trasladando a uno de ellos al
extremo del otro formando un paralelogramo en donde una de las diagonales representa el
resultado de dicha suma. Ver figura a continuación.
P(3,1), Q(1,3)
62
Matemáticas
Curso Propedéutico
6
𝜆𝑣 = (𝜆𝑎, 𝜆𝑏)
5
4
3
𝑣 = (𝑎, 𝑏)
2
1
0
0
1
2
3
63
4
5
6
Matemáticas
Curso Propedéutico
Los conceptos anteriores pueden extenderse al espacio R3 El espacio R3 es el la triada de
números reales. Más precisamente R3.=(x,y,z: x,y,z Є R3)
Para definir la suma y producto por escalar en ℛ 3 se procede de la misma forma que para ℛ 2
se extiende el concepto de forma natural agregando un tercera coordenada.
3.2
Combinaciones lineales y dependencia lineal.
Lo anterior puede representarse gráficamente
64
Matemáticas
Curso Propedéutico
65
Matemáticas
Curso Propedéutico
Adviértase con base a en la figura anterior, que el vector (2,4) se puede expresar como un
múltiplo del vector (1,2), es decir (2,4)=k(1,2). Donde k=2.
Cuando esto sucede se dice que los vectores son linealmente dependientes. En caso
contrario, se dice que son linealmente independientes, por ejemplo, los vectores (2,1) y (1,2)
no es posible expresar uno en términos del otro.
66
Matemáticas
Curso Propedéutico
sistema siempre tiene solución (solución trivial) y cuando tiene más de una diremos que los
vectores (𝑎1 , 𝑎2 ) y (𝑏1 , 𝑏2 ) son linealmente dependientes. En caso contrario diremos que son
linealmente independientes.
Las ideas anteriores las formulamos en las siguientes dos definiciones.
Definición 1. Los vectores 𝑣1 , 𝑣2 , ⋯ 𝑣𝑘 son linealmente independientes si la única solución de
la ecuación es 𝑐1 𝑣1 + 𝑐2 𝑣2 + ⋯ + 𝑐𝑘 𝑣𝑘 = 𝑂 , implica que todos los escalares 𝑐1 , 𝑐2 , ⋯ 𝑐𝑘 deben
ser igual a cero.
Definición 2. Los vectores 𝑣1 , 𝑣2 , ⋯ 𝑣𝑘 se dice qué son linealmente dependientes si existen
escalares de 𝑐1 , 𝑐2 , ⋯ 𝑐𝑘 no todos cero tal que 𝑐1 𝑣1 + 𝑐2 𝑣2 + ⋯ + 𝑐𝑘 𝑣𝑘 = 𝑂.
67
Matemáticas
Curso Propedéutico
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.
1. Haeussler E. F., Paul S. R. Matemáticas para administración, Economía, Ciencias Sociales
y de la Vida. [ed.] Pérez A. M. [trad.] De la Cera J. & Ibarra M. V. H. s.l. : Prentice Hall & A
Simon & Schuster company, 1997. pág. 941.
2. Barrera Mora, Fernando. Álgebra Lineal. México : Grupo Patria Editorial, 2007.
3. Tucker, A. A Unified Introduction to Liner Algebra: Models, Methods and Theory. s.l. :
Macmillan Publishing, 1988.
4. Kolman, B. Introductory. Linear Algebra with applications. USA : Prentice Hall, 1997.
5. Steven, J. L. Linera Algebra with applications. USA : Prentice-Hall, 1998.
6. Perry, William L. Algebra Lineal con aplicaciones. Mexico : McGraw-Hill, 1990.
68