Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Física y Matemáticas (ESFM) Carrera: Ingeniería Matemática (Línea Industrial) ¨Modelo SIR epidemiológico¨ Por. Mendoza Romero Carlos Germain Profesor. Carsteanu Alin Andrei Asignatura. Seminario de Modelación Industrial Grupo: 8MM1 Turno: Matutino Ciclo Escolar: 19/2 1. Contexto Distintos fenómenos tanto físicos, químicos, biológicos e industriales son estudiados mediante modelos matemáticos. Principalmente las ecuaciones diferenciales cumplen un papel muy importante en la modelación matemática puesto que; los modelos basados en ecuaciones diferenciales nos permiten establecer relaciones lógicas entre las variables que forman parte de nuestro fenómeno a modelar. En este caso el fenómeno de estudio es la propagación de enfermedades infecciosas, es decir un modelo epidemiológico. Específicamente se concentrará la atención en el análisis del modelo SIR 1.1. Modelo SIR El modelo SIR es el más básico que explica la evolución de una enfermedad infecciosa creada por un virus o una bacteria. Un ejemplo de este tipo de enfermedades es la gripe A o el ébola. En 1927, W.O. Kermack, A.G. MckKendrick y otros científicos introdujeron el modelo SIR. Este modelo consiste en un sistema de 3 EDO's no lineales que no posee una solución explicita. Sin embargo, usando varias herramientas matemáticas podemos extraer información acerca de las soluciones del sistema (Piñeda, 2014). El modelo SIR se basa en 3 parámetros: S(t): Representa al número de individuos susceptibles, individuos sanos que al entrar en contacto con la enfermedad pueden resultar infectados, en función del tiempo. I(t): Representa al número de individuos infectados, individuos que pueden transmitir la enfermedad al grupo S(t), en función del tiempo. R(t): Representa al número de individuos removidos, individuos que se han recuperado de la enfermedad y se han vuelto inmunes o han muerto, en función del tiempo. El modelo SIR se basa además en los siguientes supuestos: 1) La población se mantiene constante, es decir, no se tienen en cuenta los nacimientos y muertes que se producen a lo largo del desarrollo de la enfermedad. Si denotamos por 𝑁 a la población total de individuos tenemos que la suma del número de individuos de cada uno de los 3 grupos es igual al total de la población: 𝑁 = 𝑆(𝑡) + 𝐼(𝑡) + 𝑅(𝑡) 2) La enfermedad se transmite por contacto directo entre las personas. 3) En cuanto un individuo es infectado pasa a estar en el grupo de los infectados. 4) Los individuos del grupo 𝐼(𝑡) se acaban recuperando de la enfermedad y adquieren la inmunidad o mueren (pasando en ambos casos al grupo R(t)). 5) La tasa de infección, que determina el número de individuos por unidad de tiempo que se transfieren del compartimento de susceptibles al de infectados, es proporcional al producto 𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) (Piñeda, 2014). 2. Formulación del modelo A partir de los supuestos explicadas en el contexto formularemos el modelo. La tasa de infección viene dada por 𝜆𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) donde 𝜆 es la tasa per-cápita de transmisión de la enfermedad. Los individuos infectados padecerán la enfermedad durante un periodo de tiempo determinado hasta recuperarse y adquirir la inmunidad o morir. El flujo de paso del compartimento de infectados al de removidos viene determinado por 𝛾𝐼(𝑡) donde γ > 0 es la tasa de retiro. Podemos representar el sistema de EDO's que describe el modelo SIR mediante los parámetros 𝑆, 𝐼, 𝑅 y los flujos de entrada y salida como se muestra en la siguiente imagen: 𝜆𝑆𝐼 S 𝛾𝐼 I R Así podemos formular el sistema de ecuaciones: 𝑑𝑆(𝑡) 𝐼(𝑡) = −𝜆 𝑑𝑡 𝑁(𝑡) ; 𝑆(0) = 𝑆0 … (𝑎) 𝑑𝐼(𝑡) 𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) =𝜆 − 𝛾𝐼(𝑡) 𝑑𝑡 𝑁(𝑡) ; 𝐼(0) = 𝐼0 … (𝑏) 𝑑𝑅(𝑡) = 𝛾𝐼(𝑡) 𝑑𝑡 ; 𝑅(0) = 0 … (𝑐) Resolviendo el sistema: Haciendo 𝑥 = 𝐼, 𝑁 = 𝑁𝑡𝑜𝑡 , 𝜆 = 𝛼 y 𝛾 = 𝛽, además sabemos que 𝑁 = 𝑆 + 𝐼 + 𝑅 𝑆 Entonces 𝑁𝑡𝑜𝑡 = 𝑆 + 𝑥 + 𝑅 → 𝑆 = 𝑁𝑡𝑜𝑡 − 𝑥 − 𝑅 → 𝑁 𝑡𝑜𝑡 𝑆 Se sigue que 𝑁 𝑡𝑜𝑡 𝑥+𝑅 =1−𝑁 𝑡𝑜𝑡 , sustituyendo en (𝑏) 𝑑𝐼(𝑡) 𝑆(𝑡) 𝑑𝑥 𝑥+𝑅 = 𝜆𝐼(𝑡) − 𝛾𝐼(𝑡) = = 𝛼𝑥 (1 − ) − 𝛽𝑥 𝑑𝑡 𝑁(𝑡) 𝑑𝑡 𝑁𝑡𝑜𝑡 Obtenemos el nuevo sistema 𝑑𝑥 𝑥+𝑅 = 𝛼𝑥 (1 − ) − 𝛽𝑥 ; 𝑥(0) = 𝑥0 … (𝐴) 𝑑𝑡 𝑁𝑡𝑜𝑡 𝑑𝑅 = 𝛽𝑥 𝑑𝑡 𝑥 =1−𝑁 ; 𝑅(0) = 0 … (𝐵) 𝑡𝑜𝑡 𝑅 −𝑁 𝑡𝑜𝑡 𝑑𝑅 𝑥+𝑅 𝑑𝑅 Ahora de (B) 𝑑𝑡 = 𝛽𝑥 sustituyendo en (𝐴) → 𝑑𝑥 = [𝛼𝑥 (1 − 𝑁 ) − 𝛽𝑥] (𝛽𝑥) 𝑡𝑜𝑡 → 𝑑𝑥 𝛼 𝑥+𝑅 = (1 − ) − 1 … (𝐶) 𝑑𝑅 𝛽 𝑁𝑡𝑜𝑡 Reescribiendo (𝐶) 𝑑𝑥 𝛼 𝛼 𝛼 + 𝑥= − 𝑅 − 1 … (𝐷) 𝑑𝑅 𝛽𝑁𝑡𝑜𝑡 𝛽 𝛽𝑁𝑡𝑜𝑡 Resolviendo (𝐷) 𝛼 →𝜇=𝑒 𝛼 → 𝑒 𝛽𝑁𝑡𝑜𝑡 𝑅 ∫𝛽𝑁 𝑡𝑜𝑡 𝑑𝑅 =𝑒 𝛼 𝑅 𝛽𝑁𝑡𝑜𝑡 , multiplicando a (𝐷) por 𝜇 𝛼 𝛼 𝛼 𝑑𝑥 𝛼 𝛼 𝛼 𝑅 𝛼 𝑅 𝑅 𝑅 + 𝑒 𝛽𝑁𝑡𝑜𝑡 𝑥 = 𝑒 𝛽𝑁𝑡𝑜𝑡 − 𝑅𝑒 𝛽𝑁𝑡𝑜𝑡 − 𝑒 𝛽𝑁𝑡𝑜𝑡 𝑑𝑅 𝛽𝑁𝑡𝑜𝑡 𝛽 𝛽𝑁𝑡𝑜𝑡 𝛼 𝑅 𝛼 𝛼 𝑑[𝑒 𝛽𝑁𝑡𝑜𝑡 𝑥] 𝛼 𝛽𝑁𝛼 𝑅 𝛼 𝑅 𝑅 𝛽𝑁 𝛽𝑁 𝑡𝑜𝑡 𝑡𝑜𝑡 →∫ 𝑑𝑅 = ∫ ( 𝑒 − 𝑅𝑒 − 𝑒 𝑡𝑜𝑡 ) 𝑑𝑅 𝑑𝑅 𝛽 𝛽𝑁𝑡𝑜𝑡 𝛼 𝛼 𝑅 𝛼 𝑅 𝑅 → 𝑒 𝛽𝑁𝑡𝑜𝑡 𝑥 = 𝑁𝑡𝑜𝑡 𝑒 𝛽𝑁𝑡𝑜𝑡 − 𝑅𝑒 𝛽𝑁𝑡𝑜𝑡 + 𝑐 Así 𝑥(𝑅) = 𝑁𝑡𝑜𝑡 − 𝑅 + 𝑐𝑒 − 𝛼 𝑅 𝛽𝑁𝑡𝑜𝑡 Aplicando condiciones iniciales 𝑥(0) = 𝑥0 → 𝑥(0) = 𝑁𝑡𝑜𝑡 − 0 + 𝑐𝑒 − 𝛼 (0) 𝛽𝑁𝑡𝑜𝑡 = 𝑁𝑡𝑜𝑡 + 𝑐 = 𝑥0 → 𝑐 = 𝑥0 − 𝑁𝑡𝑜𝑡 Por lo tanto 𝑥(𝑅) = 𝑁𝑡𝑜𝑡 − 𝑅 + (𝑥0 − 𝑁𝑡𝑜𝑡 )𝑒 − 𝛼 𝑅 𝛽𝑁𝑡𝑜𝑡 … (𝐸) 2.1. Extremos de la función 𝑥 (𝑅) La ecuación 𝑥(𝑅) = 𝑁𝑡𝑜𝑡 − 𝑅 + (𝑥0 − 𝑁𝑡𝑜𝑡 )𝑒 − 𝛼 𝑅 𝛽𝑁𝑡𝑜𝑡 nos ofrece una relación del número de infectados en función del número de removidos. Usando Mathematica para obtener los extremos de dicha función, otorgando valores numéricos a nuestras tasas y valores iniciales obtenemos: Ilustración 1 (Se observa que Xmax=60.1677 con R=154.118 y Rinf=361. 959)
