ALGebRA SEMANA3

Autor: Yony Santaria Leuyacc
Álgebra y Geometría Analítica
Editor: Yony R. Santaria Leuyacc
Lima - Perú
Álgebra y Geometría Analítica
Lima - Perú
Edición digital, Abril 2019
Editor y Autor:
©Santaria Leuyacc Yony Raúl
Licenciado en Matemática Pura, UNMSM
Maestría en Ciencias, Matemáticas - Universidade de São Paulo
Doctor en Ciencias, Matemáticas - Universidade de São Paulo
Correo electrónico: [email protected]
Publicación electrónica disponible en:
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Calificado como Investigador Concytec Registro: 16672
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el previo y expreso permiso de los titulares de los derechos de autor.
Índice general
1
Nociones de Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1
Proposiciones
7
1.2
Conectivos lógicos
8
1.3
Equivalencias lógicas
11
1.4
Leyes Lógicas
12
1.5
Funciones proposicionales
12
1.6
Cuantificadores
13
2
Inducción Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1
Principio de inducción matemática
17
2.2
Sumatorias
23
2.2.1
Propiedades de las sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3
Propiedad telescópica
26
2.4
Productoria
29
2.5
Binomio de Newton
31
2.5.1
Termino enésimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6
Ejercicios Resueltos
3
Números Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1
Axioma de los números reales
35
41
3.2
Axiomas de orden
47
3.3
Radicación
51
3.4
Ecuaciones
52
3.5
Inecuaciones
55
3.5.1
Método de los puntos críticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.6
Inecuaciones con Valor Absoluto
65
3.7
Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto
66
3.8
Máximo entero
72
3.9
Solución de ecuaciones no factorizadas
75
3.10
Ejercicios Resueltos
78
4
Números Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Bibliografía
81
Proposiciones
Conectivos lógicos
Equivalencias lógicas
Leyes Lógicas
Funciones proposicionales
Cuantificadores
1 — Nociones de Lógica
1.1
Proposiciones
Definición 1.1 Proposición lógica
Un enunciado al que se le puede atribuir un valor de verdadero o falso (no ambos) es llamada
proposición lógica
1.1
Hoy es Lunes
Lima es la capital de Argentina.
Hay vida en Marte.
Soy estudiante de la UNMSM y estudio Ingeniería.
Buenos días.
(Si es proposición lógica)
(Si es proposición lógica)
(Si es proposición lógica)
(Si es proposición lógica)
(No es proposición lógica)
Clases de proposiciones lógicas
(a) Proposición simple o atómica Son aquellos enunciados que no se pueden dividir. Aquellas que
no contienen negaciones (“no”), disyunciones(“o”), conjunciones (“y”),etc.
(b) Proposición compuesta o molecular Son aquellas enunciados que están constituido por proposiciones simples. Aquellas que contienen negaciones (“no”), disyunciones(“o”), conjunciones
(“y”),etc.
1.2
Hoy es Lunes
Lima es la capital de Brasil o Lima es capital de Perú.
(Proposición simple)
(Proposición Compuesta)
Si estudio entonces aprobaré Álgebra y geometría analítica. (Proposición Compuesta)
Soy estudiante de la UNMSM y estudio Ingeniería.
(Proposición Compuesta)
Buenos días y buenas noches.
(No es proposición lógica!)
No hay pan.
(Proposición Compuesta)
1.2
Conectivos lógicos
Definición 1.2
Los conectivos lógicos son aquellos que sirven para formar proposiciones compuestas a partir
de las simples.
Definición 1.3
Una tabla de verdad es una lista de todos los posibles valores de verdad de una proposición
compuesta. En ellas también muestra los valores de verdad de las proposiciones que las
integran.
Negación: (∼). El Símbolo ” ∼ ” se lee como “no”
1.3
∼ p : Hoy no es lunes
p : Hoy es lunes
p
∼p
V
F
F
V
Cuadro 1.1: Negación
Conjunción: (∧). El Símbolo ” ∧ ” se lee como “y”
1.4
p : Tengo dinero
q : Soy felíz
p ∧ q : Tengo dinero y soy felíz
p
q
p∧q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
Cuadro 1.2: Conjunción
Disyunción: (∨). El Símbolo ” ∨ ” se lee como “o”
1.5
p : Esta lloviendo
q : Hace frio
p ∨ q : Esta lloviendo o hace frio
p
q
p∨q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
Cuadro 1.3: Disyunción
Disyunción exclusiva: (4). El Símbolo ”4” se lee como “o bien.... o bien”
1.6
p : El gato esta vivo
q : El gato esta muerto
p4q : O bien el gato esta vivo o bien el gato esta muerto
p
q
p4p
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
Cuadro 1.4: Disyunción exclusiva
Condicional: (⇒). El Símbolo ” ⇒ ” se lee como “S..., entonces”
1.7
p : Yo estudio mucho
q : Tendré éxito.
p ⇒ q : Si yo estudio mucho, entonces tendré éxito.
p
q
p⇒q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
Cuadro 1.5: Condicional
Bicondicional: (⇔). El símbolo ” ⇔ ” se lee como “si y solo si”
1.8
p : Hoy es lunes
q : Ayer fue domingo
p ⇔ q : Hoy es lunes si y solo si ayer fue domingo
p
q
p⇔q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
Cuadro 1.6: Bicondicional
1.9
Hallar la tabla de verdad de (p∧ ∼ q) ⇒ (∼ p)
Solución:
p
q
∼q
p∧ ∼ q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
∼p
F
F
V
V
(p∧ ∼ q) ⇒ (∼ p)
V
F
V
V
Clasificación de las tablas de verdad
Tautología Una tautología es una proposición lógica que es verdadera para todos los posibles
valores de verdad de sus proposiciones simples.
Contradicción Una contradicción es una proposición lógica que es falsa para todos los posibles
valores de verdad de sus proposiciones simples.
Contigencia Una contigencia es una proposición lógica que es falsa y verdadera verdadera
para ciertos posibles valores de verdad de sus proposiciones simples.
1.10
Determinar el tipo de proposiciones
p ∨ ∼ p,
Solución:
(q∧ ∼ q),
(p ∨ ∼ p) ⇒ (p∧ ∼ p)
p
q
∼p
p∨ ∼ p
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
V
V
∼q
F
V
F
V
q∧ ∼ q
F
F
F
F
p ∨ ∼ p) ⇒ (p∧ ∼ p)
F
F
F
F
Por lo tanto, p ∨ ∼ p es una tautología y las proposiciones (q∧ ∼ q), (p ∨ ∼ p) ⇒ (p∧ ∼ p) son
contradicciones.
Observación 1.1 Los conectivos lógicos, tienen el siguiente orden de prioridad: ∼, ∧, ∨, ⇒, ⇔.
1.3
Equivalencias lógicas
Definición 1.4 Equivalencia lógicas
Decimos que dos proposiciones son equivalentes si tienen la misma tabla de verdad.
Definición 1.5 Equivalencias lógicas
Decimos que dos proposiciones P(p, q, . . .) y Q(p, q, . . .) son equivalentes si P ⇔ Q es una
proposición que es una tautología.
Notación: p ≡ q y se lee “p es equivalente a q” o p ⇔ q.
1.11
Las siguientes proposiciones son equivalentes
p ⇒ q ≡∼ p ∨ q
p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
p ⇒ q ≡∼ q ⇒∼ p
p ∨ q ≡∼ p ⇒ q
p ∧ q ≡∼ (p ⇒∼ q)
∼ (p ⇒ q) ≡ p∧ ∼ q
(p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) ≡ p ⇒ (q ∧ r)
(p ⇒ q) ∨ (p ⇒ r) ≡ p ⇒ (q ∨ r)
(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r) ≡ (p ∨ q) ⇒ r
(p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r) ≡ (p ∧ q) ⇒ r
1.4
Leyes Lógicas
Proposición 1.1
p ∧V ≡ p
p∨F ≡ p
p ∨V ≡ V
p∧F ≡ F
p∨ p ≡ p
p∧ p ≡ p
∼ (∼ p) ≡ p
p∨q ≡ q∨ p
p∧q ≡ q∧ p
(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
∼ (p ∧ q) ≡∼ p∨ ∼ q
∼ (p ∨ q) ≡∼ p∧ ∼ q
p ∨ (p ∧ q) ≡ p
p ∧ (p ∨ q) ≡ p
p∨ ∼ p ≡ V
p∧ ∼ p ≡ F
1.5
Ley de identidad
Ley de identidad
Ley de dominación
Ley de dominación
Ley de idempotencia
Ley de idempotencia
Ley de doble negación
Ley de conmutación
Ley de conmutación
Ley de asociación
Ley de asociación
Ley de distribución
Ley de distribución
Ley de De Morgan
Ley de De Morgan
Ley de absorción
Ley de absorción
Ley de negación
Ley de negación
Funciones proposicionales
Considere los siguiente enunciados abiertos:
La raíz cuadrada de y es un número entero.
x estudia ingeniería Química.
Estos enunciados no son proposiciones lógicas, sin embargo, si reemplazamos y = 10, en el primer
enunciado resulta falso y si reemplazamos y = 16, el enunciado resulta verdadero.
Definición 1.6 (Función proposicional)
Una función proposicional es un enunciado abierto de una a más variables, que al ser sustituidas por elementos de un conjunto U se convierte en una proposición lógica.
N
Denotaremos por p(x) una función proposicional de una variable, por p(x, y) una función
proposicional de dos variable, y así sucesivamente.
1.12
Las siguientes son funciones proposicionales:
p(x) : x2 + x > 10, donde U = {1, 2, 3, 4}
q(x, y) : x2 < y2 − 2, donde U = {−1, 1, 2, 3}
r(x, y, z) : x2 = y + 3 ∧ 3z > 5, donde U = {1, 2, 3}
1.6
Cuantificadores
Los cuantificadores permiten establecer “cuantos” elementos del conjunto universal satisfacen una
proposición lógica.
Definición 1.7 (Cuantificador universal)
El cuantificador universal es utilizado para afirmar que todo elemento satisface alguna propiedad. El cuantificador universal es denotado por “∀” y se lee “para todo”.
La expresión
∀x ∈ U : p(x)
Indica que todo elemento x del conjunto U, se verifica la proposición lógica p(x).
1.13
Sea U = {−1, 0, 1} y p(x) : x3 = x, entonces evaluando la función proposicional para cada
elemento del conjunto U obtenemos
x
p(x)
−1 (−1)3 = −1
V
0
03
=0
V
1
13 = 1
V
Dado que la función proposicional se verifica para cada elemento de U, podemos escribirlo
como:
∀x ∈ U : p(x)
∀x ∈ U : x3 = x
∀x ∈ {−1, 0, 1} : x3 = x
Definición 1.8 (Cuantificador existencial)
El cuantificador existencial es utilizado para afirmar que existe algún elemento que satisface
alguna propiedad. El cuantificador existencial es denotado por “∃” y se lee “existe”.
La expresión
∃x ∈ U : p(x)
Indica que existe algún x del conjunto U, que verifica la proposición lógica p(x).
1.14
Sea U = {0, 1, 2} y p(x) : x2 + x = 2, entonces evaluando la función proposicional para cada
elemento del conjunto U obtenemos
x
p(x)
02 + 0
=2
F
1 12 + 1 = 2
V
22 + 2
F
0
2
=2
Dado que la función proposicional se verifica para algún elemento, en este caso para x = 1,
podemos escribirlo como:
∃x ∈ U : p(x)
∃x ∈ U : x + x = 2
∃x ∈ {0, 1, 2} : x + x = 2
Observación 1.2 ∀x ∈ U : p(x) y ∃x ∈ U : p(x) son proposiciones lógicas. Además,
Para que sea verdadero
∀x ∈ U : p(x)
Todos los valores de la tabla de verdad de p(x) deben ser verdaderos.
Para que sea verdadero
∃x ∈ U : p(x)
Debe existir un valor verdadero en la tabla de verdad de p(x).
Negación de una función proposicional
Dada una función proposicional p(x) definida en U, la negación de dicha función proposicional,
denotada por ∼ p(x) es también una función proposicional definida en U, donde ∼ p(x) es la
negación de la proposición lógica p(x), para cada elemento x de U.
1.15
Sea U = N
p(x) : x es un número par
∼ p(x) : x no es número par
1.16
Sea U = R
p(x) : x2 − x + 3 > 0
∼ p(x) : x2 − x + 3 ≤ 0
Negación de una función proposicional con cuantificadores
Dado que ∀x ∈ U : p(x) y ∃x ∈ U : p(x) son proposiciones lógicas, sus negaciones están dadas
por:
∼ ∀x ∈ U : p(x) ≡ ∃x ∈ U :∼ p(x)
∼ ∃x ∈ U : p(x) ≡ ∀x ∈ U :∼ p(x)
1.17
∼ ∀x ∈ R : x2 + 2x ≥ −1 ≡ ∃x ∈ R : x2 + 2x < −1
1.18
Sea P2 (x) = {polinomios de grado dos con coeficientes reales}
∼ ∀p(x) ∈ P2 (x) : p(x) tiene raíces reales ≡ ∃p(x) ∈ P2 (x) : p(x) no tiene raíces reales
Principio de inducción matemática
Sumatorias
Propiedades de las sumatorias
Propiedad telescópica
Productoria
Binomio de Newton
Termino enésimo
Ejercicios Resueltos
2 — Inducción Matemática
Axioma de inducción. Sea S un subconjunto de N que satisface:
1∈S
k ∈ S ⇒ k+1 ∈ S
entonces S = N
2.1
Principio de inducción matemática
Proposición 2.1 (Principio de inducción matemática)
Sea p(n) una función proposicional definida en N. Si se satisface
(i) p(1) es verdadero.
(ii) Para k ∈ N, Si p(k) es verdadero, entonces p(k + 1) es verdadero.
entonces
p(n) es verdadero para todo n ≥ 1
(Base inductiva)
(Paso inductivo)
Demostración. Sea S = {n ∈ N : p(n) es verdadero}. Luego, S es un subconjunto de N.
Por la condición (i), 1 ∈ S.
Si k ∈ S, es decir p(k) es verdadero, por la condición (ii), k + 1 es verdadero, es decir k + 1 ∈ S.
Usando el axioma de inducción S = N. Por lo tanto, p(n) es verdadero para todo n ∈ N.
2.1
Probar que para todo número natural n se satisface:
1+2+3+···+n =
n(n + 1)
2
Solución: Sea
p(n) : 1 + 2 + 3 + · · · + n =
n(n + 1)
2
Probaremos la fórmula usando el principio de inducción matemática
(i) Probaremos que la fórmula es valida para n = 1. Es decir, mostraremos que p(1) es verdadero
p(1) : 1 =
1(1 + 1)
2
Por lo tanto, p(1) es verdadero.
(ii) Probaremos que dado k ∈ N: Si p(k) es verdadero, entonces p(k +1) es verdadero. Suponemos,
que p(k) es verdadero (Hipótesis Inductiva), esto es
1+2+3+···+k =
k(k + 1)
2
De donde,
1 + 2 + 3 + · · · + k + (k + 1) = (1 + 2 + 3 + · · · + k) + (k + 1) =
k
(k + 1)(k + 2)
= (k + 1) + 1 =
2
2
(k + 1)[(k + 1) + 1]
=
2
k(k + 1)
+ (k + 1)
2
Por lo tanto, p(k + 1) es verdadero.
Usando el principio de inducción, para todo n ∈ N, p(n) es verdadero.
2.2
Probar que para todo número natural n se satisface:
1
1
1
n
1
+
+
+···+
=
1·2 2·3 3·4
n(n + 1) n + 1
Solución: Sea
p(n) :
1
1
1
1
n
+
+
+···+
=
1·2 2·3 3·4
n(n + 1) n + 1
Probaremos la fórmula usando el principio de inducción matemática
(i) Probaremos que la fórmula es valida para n = 1. Es decir, mostraremos que p(1) es verdadero
1
1
=
1 · (1 + 1) 1 + 1
Por lo tanto, p(1) es verdadero.
(ii) Probaremos que dado k ∈ N: Si p(k) es verdadero, entonces p(k +1) es verdadero. Suponemos,
que p(k) es verdadero (Hipótesis Inductiva), esto es
1
1
1
1
k
+
+
+···+
=
1·2 2·3 3·4
k(k + 1) k + 1
De donde,
1
1
1
k
1
1
+
+···+
+
=
+
1·2 2·3
k(k + 1) (k + 1)[(k + 1) + 1] k + 1 (k + 1)[(k + 1) + 1]
1
1
=
k+
k+1
k+2
2
1
k + 2k + 1
=
k+1
k+2
1 (k + 1)2
=
k+1 k+2
k+1
=
(k + 1) + 1
Por lo tanto, p(k + 1) es verdadero.
Usando el principio de inducción, para todo n ∈ N, p(n) es verdadero.
2.3
Probar que:
10n+1 + 10n + 1
es divisible por 3,
∀n ≥ 1.
Solución: Sea
p(n) : 10n+1 + 10n + 1
es divisible por 3
Probaremos la fórmula usando el principio de inducción matemática
(i) Probaremos que la fórmula es valida para n = 1. Es decir, mostraremos que p(1) es verdadero
101+1 + 101 + 1 = 111 = 3 · 37
Por lo tanto, p(1) es verdadero.
(ii) Probaremos que dado k ∈ N: Si p(k) es verdadero, entonces p(k +1) es verdadero. Suponemos,
que p(k) es verdadero (Hipótesis Inductiva), esto es
10k+1 + 10k + 1 = 3m
donde m ∈ Z.
De donde,
10(k+1)+1 + 10k+1 + 1 = 10 · 10k+1 + 10 · 10k + 10 − 9
= 10 · 10k+1 + 10k + 1 − 9
= 10(3m) − 9
= 3 · [10m − 3]
Por lo tanto, p(k + 1) es verdadero.
Usando el principio de inducción, para todo n ∈ N, p(n) es verdadero.
2.4
Probar que para todo x ≥ 0:
(1 + x)n ≥ 1 + nx
∀n ∈ N
Solución: Sea
p(n) : (1 + x)n ≥ 1 + nx
Probaremos la fórmula usando el principio de inducción matemática
(i) Probaremos que la fórmula es valida para n = 1. Es decir, mostraremos que p(1) es verdadero
(1 + x)1 ≥ 1 + x
Por lo tanto, p(1) es verdadero.
(ii) Probaremos que dado k ∈ N: Si p(k) es verdadero, entonces p(k +1) es verdadero. Suponemos,
que p(k) es verdadero (Hipótesis Inductiva), esto es
(1 + x)k ≥ 1 + kx
De donde,
(1+x)k+1 = (1+x)k (1+x) ≥ (1+kx)(1+k) = 1+kx+k +k2 x = 1+(k +1)x+k2 x ≥ 1+(k +1)x
Por lo tanto, p(k + 1) es verdadero.
Usando el principio de inducción, para todo n ∈ N, p(n) es verdadero.
2.5
Probar que la suma de los cubos de tres números naturales consecutivos es siempre divisible
por 9.
Solución: Sea
p(n) : n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3
es divisible por
3,
n ∈ N.
Probaremos la fórmula usando el principio de inducción matemática
(i) Probaremos que la fórmula es valida para n = 1. Es decir, mostraremos que p(1) es verdadero
13 + 23 + 33 = 36 = 3 · 12
Por lo tanto, p(1) es verdadero.
(ii) Probaremos que dado k ∈ N: Si p(k) es verdadero, entonces p(k +1) es verdadero. Suponemos,
que p(k) es verdadero (Hipótesis Inductiva), esto es existe m ∈ N tal que
k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 = 3m
De donde,
(k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3 = (k + 1)3 + (k + 2)3 + [k3 + 9k2 + 27k + 27]
= k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 + 3(3k2 + 9k + 9)
= 3m + 3(3k2 + 9k + 9] = 3(m + 3k2 + 9k + 9)
Por lo tanto, p(k + 1) es verdadero.
Usando el principio de inducción, p(n) es verdadero para todo n ∈ N.
2.6
Probar que:
cos x · cos(2x) · cos(4x) · . . . · cos(2n x) =
sen(2n+1 x)
2n+1 sen x
∀n ≥ 1.
Solución: Sea
p(n) : cos x · cos(2x) · cos(4x) · . . . · cos(2n x) =
sen(2n+1 x)
2n+1 sen x
Probaremos la fórmula usando el principio de inducción matemática
(i) Probaremos que la fórmula es valida para n = 1. Es decir, mostraremos que p(1) es verdadero.
Usando
sen(2a) = 2 sen a cos a
Tenemos que
sen(21+1 x) = sen(2 · 2x) = 2 sen(2x) · cos(2x)
= 2 2 sen x · cos x cos(2x)
= 21+1 sen x cos x · cos(2x)
Consecuentemente,
cos x · cos(2x) =
sen(21+1 x)
21+1 sen x
Por lo tanto, p(1) es verdadero.
(ii) Probaremos que dado k ∈ N: Si p(k) es verdadero, entonces p(k +1) es verdadero. Suponemos,
que p(k) es verdadero (Hipótesis Inductiva), esto es
cos x · cos(2x) · cos(4x) · . . . · cos(2k x) =
sen(2k+1 x)
2k+1 sen x
De donde,
cos x · cos(2x) · cos(4x) · . . . · cos(2k x) · cos(2k+1 x) =
sen(2k+1 x)
· cos(2k+1 x)
2k+1 sen x
Para a = 2k+1 x se tiene
sen(2k+1 x) cos(2k+1 x) =
sen(2 · 2k+1 x)
2
Reemplazando, esta la última identidad, se obtiene
cos x · cos(2x) · cos(4x) · . . . · cos(2k x) · cos(2k+1 x) =
1
sen(2 · 2k+1 x)
· k+1
2
2 sen x
es decir
k
cos x · cos(2x) · cos(4x) · . . . · cos(2 x) · cos(2
k+1
sen 2(k+1)+1 x
x) = (k+1)+1
2
sen x
Por lo tanto, p(k + 1) es verdadero.
Usando el principio de inducción, para todo n ∈ N, p(n) es verdadero.
Proposición 2.2 (Principio generalizado de inducción matemática)
Sea p(n) una función proposicional definida en N. Si se satisface:
(i) p(n0 ) es verdadero.
(ii) Para k ∈ N con k ≥ n0 . Si p(k) es verdadero, entonces p(k + 1) es verdadero.
entonces
p(n) es verdadero para todo n ≥ n0
N
Eligiéremos n0 , como el menor número natural que satisface la proposición lógica p(x).
2.7
Probar que:
n! > 2n
∀n ≥ 4
Solución: Sea
p(n) : n! > 2n
Probaremos la fórmula usando el principio generalizado de inducción matemática
(i) Probaremos que la fórmula es valida para n0 = 4. Es decir, mostraremos que p(4) es verdadero
4! = 24 > 14 = 24
Por lo tanto, p(4) es verdadero.
(ii) Probaremos que dado k ∈ N con k ≥ 4: Si p(k) es verdadero, entonces p(k + 1) es verdadero.
Suponemos, que p(k) es verdadero (Hipótesis Inductiva), esto es
(k + 1)! > 2k
De donde,
(k + 1)! = k! · (k + 1) > 2k (k + 1) > 2k · 2 = 2k+1
Por lo tanto, p(k + 1) es verdadero.
Usando el principio generalizado de inducción, para todo n ≥ 4, p(n) es verdadero.
2.8
Hallar el primero número natural n0 satisfaciendo:
n2 + 18 ≤ n3
A continuación, pruebe que el enunciado es verdadero para cada cada n ≥ n0 .
Solución: Sea
p(n) : n2 + 18 ≤ n3
Como
12 + 18 > 13
22 + 18 > 23 ,
32 + 18 ≤ 33
Entonces, el primero número natural verificando la proposición es n0 = 3
Probaremos que la fórmula es validad para todo n ≥ 3, usando el principio generalizado de inducción
matemática
(i) Por la parte anterior p(3) es verdadero.
(ii) Probaremos que dado k ∈ N con k ≥ 3: Si p(k) es verdadero, entonces p(k + 1) es verdadero.
Suponemos, que p(k) es verdadero (Hipótesis Inductiva), esto es
k2 + 18 ≤ k3
De donde,
(k +1)2 +18 = k2 +2k +1+18 = (k2 +18)+2k +1 ≤ k3 +2k +1 ≤ k3 +3k2 +3k +1 = (k +1)3
Por lo tanto, p(k + 1) es verdadero.
Usando el principio generalizado de inducción, p(n) es verdadero, para todo n ≥ 3;
2.2
Sumatorias
Definición 2.1 (Sucesión)
Una sucesión (ak )k∈N es la colección de de la forma
(ak )k∈N = a1 , a2 , a3 , . . . , an , an+1 , . . .
donde ak un número real para cada k ∈ N.
Definición 2.2 (Sumatoria)
Podemos definir la sumatoria, desde k = 1 hasta k = n de los elementos ak , denotada por
n
∑ ak , donde
k=1
1
n+1
n
∑ ak = a1
∑ ak =
∑ ak + an+1
k=1
k=1
k=1
Por lo tanto,
1
∑ ak = a1
k=1
2
∑ ak = a1 + a2
k=1
3
2
∑ ak = ∑ ak + a3 = (a1 + a2 ) + a3
k=1
4
k=1
3
∑ ak = ∑ ak + a4 = (a1 + a2 + a3 ) + a3
k=1
k=1
En general,
n
∑ ak = a1 + a2 + a3 + · · · + an−2 + an−1 + an
k=1
2.2.1
Propiedades de las sumatorias
Usando la definición de sumatorias, se obtiene
n
∑ 1 = 1| + 1 +{z· · · + 1} = n
k=1
n veces
Por el Ejemplo 2.1,
n
∑ k = 1+2+3+···+n =
k=1
n(n + 1)
2
2.9
Sea r 6= 1. Probar que:
n
∑ rk =
k=1
rn+1 − r
r−1
∀n ∈ N.
∀n ∈ N
Solución: Sea
n
p(n) :
∑ rk =
k=1
rn+1 − r
r−1
Probaremos la fórmula usando el principio de inducción matemática
(i) Probaremos que la fórmula es valida para n = 1. Es decir, mostraremos que p(1) es verdadero
1
∑ k2 = r 1 =
k=1
r2 − r
r−1
Por lo tanto, p(1) es verdadero.
(ii) Probaremos que dado m ∈ N: Si p(m) es verdadero, entonces p(m + 1) es verdadero. Suponemos, que p(m) es verdadero (Hipótesis Inductiva), esto es
m
∑ rk =
k=1
rm+1 − r
r−1
De donde,
m+1
∑
m
rk =
k=1
∑ rk + rm+1 =
k=1
rm+1 − r
rm+1 − r + rm+2 − rm+1 r(m+1)+1 − r
+ rm+1 =
=
r−1
r−1
r−1
Por lo tanto, p(m + 1) es verdadero.
Usando el principio de inducción, p(n) es verdadero para todo n ∈ N.
2.10
Probar que:
n
∑ k2 =
k=1
n(n + 1)(2n + 1)
6
Solución: Sea
n
p(n) :
∑ k2 =
k=1
∀n ∈ N.
n(n + 1)(2n + 1)
6
Probaremos la fórmula usando el principio de inducción matemática
(i) Probaremos que la fórmula es valida para n = 1. Es decir, mostraremos que p(1) es verdadero
1
∑ k2 = 12 =
k=1
1(1 + 1)(2 · 1 + 1)
6
Por lo tanto, p(1) es verdadero.
(ii) Probaremos que dado m ∈ N: Si p(m) es verdadero, entonces p(m + 1) es verdadero. Suponemos, que p(m) es verdadero (Hipótesis Inductiva), esto es
m
∑ k2 =
k=1
m(m + 1)(2m + 1)
6
De donde,
m+1
∑
k=1
m
m(m + 1)(2m + 1)
+ (m + 1)2
6
k=1
2
m(2m + 1)
2m + 7m + 6
= (m + 1)
+ (m + 1) = (m + 1)
6
6
(m + 1)(m + 2)(2m + 3) (m + 1)[(m + 1) + 1][2(m + 1) + 1]
=
=
6
6
k2 =
∑ k2 + (m + 1)2 =
Por lo tanto, p(m + 1) es verdadero.
Usando el principio de inducción, p(n) es verdadero para todo n ∈ N.
Proposición 2.3 (Propiedades de las sumatorias)
Sean (ak ) y (ak ) dos sucesiones de números reales y c un número real. Entonces,
n
(i)
n
∑ (cak ) = c ∑ ak
k=1
n
(ii)
k=1
n
n
∑ (ak ± bk ) = ∑ ak ± ∑ bk
k=1
k=1
k=1
2.11
Hallar la sumatoria
n
∑ (2k + 3)
k=1
Solución: Usando las propiedades de la sumatorias, se obtiene
n
n
n
n
n
∑ (2k + 3) = ∑ (2k) + ∑ 3 = 2 ∑ k + 3 ∑ = 2
k=1
k=1
k=1
k=1
k=1
n(n + 1)
+ 3n = n2 + 4n
2
2.3
Propiedad telescópica
Proposición 2.4 (Propiedad telescópica)
Sea (ak ) una sucesión de números reales, entonces
n
∑
ak+1 − ak = an+1 − a1
para todo n ≥ 1
k=1
Demostración. Sea
n
p(n) :
∑
k=1
ak+1 − ak = an+1 − a1
Probaremos la validez de la fórmula usando el principio de inducción matemática
(i) Observe que
1 ∑ ak+1 − ak = a2 − a1
k=1
Por lo tanto, p(1) es verdadero.
(ii) Suponemos, que p(m) es verdadero (Hipótesis Inductiva), esto es
m
∑
ak+1 − ak = am+1 − a1
k=1
Luego, usando la definición de sumatoria y la hipótesis inductiva
m
m+1 ∑
ak+1 − ak =
∑
ak+1 − ak + a(m+1)+1 − am+1
k=1
k=1
= am+1 − a1 + a(m+1)+1 − am+1 = a(m+1)+1 − a1
Por lo tanto, p(m + 1) es verdadero.
Usando el principio de inducción, p(n) es verdadero para todo n ∈ N.
Corolario 2.1 Sea (ak ) una sucesión de números reales, entonces
n
∑
ak+1 − ak = an+1 − am
k=m
Demostración. Usando la proposición telescópica.
n
∑
n
ak+1 − ak =
k=m
∑
m−1 ak+1 − ak − ∑ ak+1 − ak
k=1
k=1
= an+1 − a1 − a(m−1)+1 − a1
= an+1 − am
2.12
Hallar
39
∑
k=5
1
1
√
−√
3k + 4
3k + 1
1
1
1
Solución: Sea ak = √
entonces ak+1 = p
. Usando la propiedad
=√
3k + 1
3k + 4
3(k + 1) + 1
telescópica
39
39 1
1
∑ √3k + 4 − √3k + 1 = ∑ ak+1 − ak = a40 − a5
k=5
k=5
1
7
1
1
1
1
1
− =−
−p
=√
−√
=
=p
11 4
11
16
121
3(40) + 1
3(5) + 1
2.13
Hallar una fórmula para
√
√
k+1− k
∑ √k2 + k
k=1
n
Solución: Observe que
√
√
√
√
k+1− k
k+1
k
1
1
√
= p
−p
= √ −√
k+1
k
k2 + k
k(k + 1)
k(k + 1)
1
Sea ak = √ entonces ak+1 . Usando la propiedad telescópica
k
√
√
n
n
n
n k+1− k
1
1
√
√
√
−
= ∑ (ak − ak+1 ) = − ∑ (ak+1 − ak )
=∑
∑
k+1
k
k2 + k
k=1
k=1
k=1
k=1
√
1
1
n+1−1
= −(an+1 − a1 ) = a1 − an+1 = √ − √
= √
n+1
n+1
1
2.14
Hallar una fórmula para
n
∑ krk
k=1
n
Solución: Sea S =
∑ krk entonces
k=1
n
n
(r − 1)S = r ∑ krk − ∑ krk =
=
k=1
n ∑
k=1
k=1
n
n
n
n
∑ krk+1 − ∑ krk + ∑ rk+1 − ∑ rk+1
k=1
k=1
n
(k + 1)rk+1 − krk − r ∑ rk
k=1
k=1
k=1
Usando la propiedad telescópica con ak = krk y el Ejemplo 2.9, se obtiene
(r − 1)S = (n + 1)rn+1 − 1 · r1 − r
rn+1 − r r−1
=
(r − 1)(n + 1)rn+1 − r(r − 1) − rn+2 + r2
r−1
Simplificando,
n
∑ krk = S =
k=1
nrn+2 − (n + 1)rn+1 + r
(r − 1)2
2.15
Hallar una fórmula para
n
∑ k3
k=1
Solución: Observe que
(k + 1)4 − k4 = 4k3 + 6k2 + 4k + 1
Usando sumatorias se tiene
h
i
4
4
−
k
(k
+
1)
=
∑
n
n
n
n
3
2
3
2
+
6k
+
4k
+
1
=
4
k
+
6
k
+
4
k
+
4k
∑
∑
∑ ∑1
∑
k=1
k=1
n
n
k=1
k=1
k=1
k=1
n
h
i
4
4
(k
+
1)
−
k
= (n + 1)4 − 1. Además,
∑
Usando la propiedad telescópica tenemos que
k=1
n
∑ k2 =
k=1
n
n(n + 1)(2n + 1)
6
De donde,
n(n + 1)
2
∑k=
k=1
n
∑1=n
k=1
n
(n + 1)4 − 1 = 4 ∑ k3 + n(n + 1)(2n + 1) + 2n(n + 1) + n
k=1
Al simplificar, obtenemos
n
n(n + 1)
∑k =
2
k=1
3
2
Observación 2.1 — (Cambio de indice).
n
∑
k=m
2.4
Productoria
n+ j
n−i
ak =
∑
k=m−i
ak+i =
∑
k=m+ j
ak− j
Definición 2.3
Sea (ak ) una sucesión de números reales. La productoria desde i = 1 hasta i = n de los valores
n
ai es llamada productoria, denotada por ∏ ai . De modo que,
i=1
1
∏ ai = a1
i=1
n+1
∏ ai =
i=1
n
a
i
∏ an+1
n∈N
i=1
Definición 2.4 (Factorial de un número)
Dado n ∈ N0 = N ∪ {0}, el factorial de n, denotada por n!, es definida como


n=0
 1,
n
n! =

n∈N
 ∏ i,
i=1
Definición 2.5 (Número combinatorio)
Sean n y p elementos en N0 , tales que 0 ≤ p ≤ n, se define el número combinatorio de n y p
como
n
n!
=
p!(n − p)!
p
2.16
n
n!
=
=1
0
0! · n!
n
n!
=n
=
1! · (n − 1)!
1
n
n!
=
=n
n−1
(n − 1)! · 1!
n
n!
=1
=
n! · 0!
n
Proposición 2.5
Sean n, p ∈ N0 , entonces
n
n
(a)
=
para todo 0 ≤ p ≤ n
p
n− p
n
n
n+1
(b)
+
=
para todo 1 ≤ p ≤ n
p−1
p
p
n+1
n+1 n
(c)
=
para todo 0 ≤ p ≤ n
p+1
p+1 p
Demostración.
(a) Sean 0 ≤ p ≤ n, entonces
n
n
n!
n!
n!
=
=
=
=
p
p!(n − p)! (n − p)!p! (n − p)! · [n − (n − p)]!
n− p
(b) Sean 1 ≤ p ≤ n, entonces
n
n!
n
n
+
+
=
p−1
(p − 1)!(n − p + 1)! p!(n − p)!
p
n!p
n!(n − p + 1)
=
+
(p − 1)!p(n − p + 1)! p!(n − p)!(n − p + 1)
n!p
n!(n − p + 1)
=
+
p!(n − p + 1)! p!(n − p + 1)!
n!(n + 1)
n![p + n − p + 1)]
=
=
p!(n − p + 1)!
p!(n − p + 1)!
(n + 1)!
=
p! · [(n + 1) − p]!
n+1
=
p
2.5
Binomio de Newton
Teorema 2.1 (Binomio de Newton)
Dados a, b ∈ R, entonces para todo n ∈ N
n
n n−k k
a b
(a + b) = ∑
k=0 k
n
Demostración. Sea
n
p(n) : (a + b)n =
n
∑ k an−k bk
k=0
Probaremos la fórmula usando el principio de inducción matemática
(i) Observe que
1
1 1−k k
1 1−0 0
1
∑ k a b = 0 a b + 1 a1−1 b1 = 1 · a · 1 + 1 · 1 · b = a + b
k=0
Por lo tanto, p(1) es verdadero.
(ii) Probaremos que dado m ∈ N: Si p(m) es verdadero, entonces p(m + 1) es verdadero. Suponemos, que p(m) es verdadero (Hipótesis Inductiva), esto es
m m n−k k
m
(a + b) = ∑
a b
k=0 k
De donde,
(a + b)m+1 = (a + b)(a + b)m = a(a + b)m + b(a + b)m
m m m m−k k
m m−k k
=a∑
a b +b ∑
a b
k
k=0
k=0 k
m m m−k+1 k m m m−k k+1
=∑
a
b +∑
a b
k=0 k
k=0 k
Desarrollando el sumando con k = 0 en la primera sumatoria y el sumando para k = m en la
segunda sumatoria.
m m+1 0 m m m−k+1 k m−1 m m−k k+1
m m−m m+1
(a + b)m+1 =
a
b +∑
a
b +∑
a b +
a
b
0
k
k
m
k=1
k=0
m m+1
m m+1 m m m−k+1 k m−1 m m−k k+1
=
a
+
b
+∑
a
b +∑
a b
0
m
k=1 k
k=0 k
Usando el cambio de indice en la segunda sumatoria se tiene
m−1 m m m m−k k+1
m
m
m−(k−1) (k−1)+1
b
=∑
a(m+1)−k bk
∑ k a b = ∑ k−1 a
k
−
1
k=0
k=1
k=1
Reemplazando, esta última identidad, obtenemos
m m+1
m m+1 m m m−k+1 k m
m
m+1
(a + b)
=
a
+
b
+∑
a
b +∑
a(m+1)−k bk
0
m
k
k
−
1
k=1
k=1
m m m+1
m m+1
m
m
=
a
+
b
+∑
+
am+1−k bk
0
m
k
−
1
k
k=1
m m+1
m m+1 m m + 1 m+1−k k
=
a
+
b
+∑
a
b
0
m
k
k=1
Donde hemos usando la identidad (ii) de la Proposición 2.4. Por otro lado,
m
m
m+1
m+1
=
=
=
0
m
0
m+1
de donde,
m m+1
m + 1 (m+1)−0 0
a
=
a
b
0
0
m m+1
m + 1 (m+1)−(m+1) m+1
b
=
a
b
m
m+1
Reemplazando, obtenemos
m + 1 (m+1)−0 0 m m + 1 m+1−k k
m + 1 (m+1)−(m+1) m+1
m+1
(a + b)
=
a
b +∑
a
b +
a
b
0
k
m+1
k=1
Es decir
m+1
(a + b)
m+1 =
∑
k=0
Por lo tanto, p(m + 1) es verdadero.
m + 1 (m+1)−k k
b
a
k
Usando el principio de inducción, p(n) es verdadero para todo n ∈ N.
2.17
Sean a y b números reales, entonces
2
2 2−k k
2 2−0 0
2 2−1 1
2 2−2 2
(a + b) = ∑
a b =
a b +
a b +
a b
0
1
2
k=0 k
2
= a2 + 2ab + b2
4
4 4−k k
4 4 0
4 3 1
4 2 2
4 1 3
4 0 4
(a + b) = ∑
a b =
a b +
a b +
a b +
a b +
a b
0
1
2
3
4
k=0 k
4
= a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4
2.18
√
√
√
n √
∑ k ( 3)7−k ( 2)k = ( 2 + 3)7
k=0
7
2.19
Demuestre que
n
n
n
n
+
+
+···+
= 2n
0
1
2
n
Solución: Usando el binomio de Newton, tenemos
n n n n−k k
n
n
n
n
n
+···+
2n = (1 + 1)n = ∑
1 1 =∑
=
+
+
k
k
0
1
2
n
k=0
k=0
2.20
Demuestre que
n
n
∑ (−1) k = 0
k=0
k
Solución: Usando el binomio de Newton, tenemos
n n
n n−k
n
n
k
k n
0 = 0 = (1 − 1) = ∑
1 (−1) = ∑ (−1)
k
k=0 k
k=0
2.21
Si p + q = 1. Hallar el valor de la siguiente expresión:
n n
∑ k pn−k qk
k=0
Solución: Usando el binomio de Newton, tenemos
n n
∑ k pn−k qk = (p + q)n = 1n = 1
k=0
2.5.1
Termino enésimo
(a + b)n =
n n
n n−1
n n−2 2
n
n n
a +
a b+
a b +
a1 bn−1 +
b
0
1
2
n−1
n
Observamos que el termino k-ésimo esta dado por
n
Tk =
an−(k−1) bk−1
k−1
Ejercicios 2.1
2.1 Demuestre que:
1 + 4 + 7 + · · · + (3n − 2) =
n(3n − 1)
2
para todo n ∈ N
2.2 Demuestre que:
2 + 6 + 10 + · · · + (4n − 2) = 2n2
para todo n ∈ N
2.3 Demuestre que:
1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + n(n + 1) =
n(n + 1)(n + 2)
3
para todo n ∈ N
2.4 Demuestre que:
1 · 2 + 3 · 4 + 5 · 6 + · · · + (2n − 1)(2n) =
n(n + 1)(4n − 1)
3
para todo n ∈ N
2.5 Demuestre que para todo n ∈ N se satisface:
1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + 3 · 4 · 5 + · · · + n(n + 1)(n + 2) =
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
4
2.6 Demuestre que:
12 + 32 + 52 + · · · + (2n − 1)2 =
n(2n − 1)(2n + 1)
3
para todo n ∈ N
2.7 Demuestre que:
20 + 2 + 22 + 23 + · · · 2n = 2n+1 − 1
para todo n ∈ N
2.8 Demuestre que:
1 × 1! + 2 × 2! + · · · + n × n! = (n + 1)! − 1
para todo n ∈ N
2.9 Demuestre que 9 divide
4n + 15n − 1
para todo n ∈ N
2.10 Demuestre que:
12 + 32 + 52 + · · · + (2n − 1)2 =
n(2n − 1)(2n + 1)
3
para todo n ∈ N
2.11 Demuestre que:
14 + 24 + 34 + · · · + n4 =
n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n − 1)
30
para todo n ∈ N
2.12 Demuestre que:
15 + 25 + 35 + · · · + n5 =
n2 (n + 1)2 (2n2 + 2n − 1)
12
para todo n ∈ N
2.13 Demuestre que:
16 + 26 + 36 + · · · + n6 =
6n7 + 21n6 + 21n5 − 7n3 + n
42
para todo n ∈ N
2.14 Demuestre que:
1 × 1! + 2 × 2! + · · · + n × n! = (n + 1)! − 1
para todo n ∈ N
2.15 Demuestre que 9 divide
4n + 15n − 1
para todo n ∈ N
2.16 Demuestre que para todo n ∈ N se satisface:
a.) x2n − y2n es divisible por (x − y)
b.) x2n−1 − y2n−1 es divisible por (x + y)
c.) n3 + 2n es divisible por 3
d.) 2n + (−1)n+1 es divisible por 3
e.) 10n + 3 · 4n+1 + 5 es divisible por 9
f.) 52n + (−1)n+1 es divisible por 13
g.) 72n − 48n − 1 es divisible por 2304
2.17 Exprese las siguientes sumatorias en términos de n:
n
a.)
n
∑ (k2 − 3k + 1)
c.)
k=1
n
k=1
n
b.)
∑ (3k + 2)2
∑ (6k2 − 5k + 2)
d.)
k=1
∑ (k3 − 3k2 + 2k + 1)
k=1
2.18 Sea 0 ≤ k ≤ n − 1. Pruebe
n
n−k n
=
n+1 k
k+1
2.19 Sea 0 ≤ k ≤ n − 2. Pruebe
n+2
n
n
n
=
+2
+
k+2
k+2
k+1
k
2.20 Demuestre
m
n+k
n+m+1
∑ k = n+1
k=0
para todo n ≥ 1
Axioma de los números reales
Axiomas de orden
Radicación
Ecuaciones
Inecuaciones
Método de los puntos críticos
Inecuaciones con Valor Absoluto
Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto
Máximo entero
Solución de ecuaciones no factorizadas
Ejercicios Resueltos
3 — Números Reales
3.1
Axioma de los números reales
En el conjunto de los números reales, asumimos la existencia de dos operaciones, llamadas suma y
multiplicación
+ : R×R →
R
(a, b) 7→ a + b
· : R×R → R
(a, b) 7→ a · b
donde se satisface los siguientes axiomas:
Axiomas de la suma
A1 . (Axioma de la asociatividad)
(x + y) + z = x + (y + z)
para todo x, y, z ∈ R.
A2 . (Axioma de la comutatividad)
x+y = y+x
para todo x, y ∈ R.
A3 . (Axioma del elemento neutro) Existe un elemento en R, denotado por “θ ” tal que
x+θ = x
para todo x ∈ R.
A4 . (Axioma del elemento inverso) Para cada x ∈ R existe un elemento en y ∈ R tal que
x+y = 0
Axiomas del producto
A5 . (Axioma de la asociatividad)
(x · y) · z = x · (y · z)
para todo x, y, z ∈ R.
A6 . (Axioma de la comutatividad)
x·y = y·x
para todo x, y ∈ R.
A7 . (Axioma del elemento neutro) Existe un elemento en e ∈ R, tal que
x·e = x
para todo x ∈ R.
A8 . (Axioma del elemento inverso) Para cada x 6= 0 existe un elemento en y ∈ R tal que
x·y = e
Axiomas del distribución
A9 . (Axioma de distribución)
x · (y + z) = x · y + x · z
para todo x, y, z ∈ R.
A10 . (Axioma de distribución)
(x + y) · z = x · z + y · z
para todo x, y, z ∈ R.
Teorema 3.1
El elemento neutro aditivo es único.
El elemento neutro multiplicativo es único.
Demostración. Sea θ1 un elementos neutro. Luego, por el el axioma A3 , se cumple:
x + θ1 = x
para todo x ∈ R
(Aθ1 )
Sea θ2 otro elemento neutro, no sabemos si este es el mismo anteriormente encontrado. Siendo θ2
elemento neutro se satisface:
x + θ2 = x
para todo x ∈ R
(Aθ2 )
Para probar que el elemento neutro es único, es suficiente probar que θ1 = θ2 . Dado que esto implica
que cada vez que encontremos algún elemento neutro este será siempre el mismo.
Reemplazado θ1 en (Aθ2 ) y θ2 en (Aθ1 ), obtenemos
θ1 + θ2 = θ1
(Ec)1
θ2 + θ1 = θ1
(Ec)2
Luego,
θ1 = θ1 + θ2
Por la ecuación (Ec)1
= θ2 + θ1
Por Axioma A2
= θ2
Por la ecuación (Ec)2
Por lo tanto, θ1 = θ2 , es decir hemos probado que existe un único elemento neutro para la suma.
Usando un razonamiento análogo, se demuestra que el elemento neutro para el producto es único. N
Dado que el neutro aditivo y el neutro multiplicativo son únicos, denotaremos por 0 en neutro
para la suma y por 1 el neutro para el producto.
Teorema 3.2
El elemento inverso aditivo es único.
El elemento inverso multiplicativo es único.
Demostración. Dado x ∈ R consideramos y1 y y2 dos inversos aditivos para x. Luego,
x + y1 = 0
(Inv)1
x + y2 = 0
(Inv)2
y
De donde,
y1 =
=
=
=
=
=
=
y1 + 0
y1 + (x + y2 )
(y1 + x) + y2
(x + y1 ) + y2
0 + y2
y2 + 0
y2
Por el Axioma A3
Por (Inv)2
Por Axioma A1
Por Axioma A2
Por (Inv)1
Por Axioma A2
Por el Axioma A3
Por lo tanto, y1 = y2 , es decir hemos probado que existe un único elemento inverso aditivo.
Usando un razonamiento análogo, se demuestra que el elemento inverso multiplicativo es único.
N
Dado que los neutros son únicos, denotaremos por −x el elemento inverso aditivo de x; y por
x−1 el inverso multiplicativo si x 6= 0. Ademas, usaremos la siguiente notación
x + (−y) = x − y
x · y−1 =
x
y
Proposición 3.1
Para todo a ∈ R se cumple
a·0 = 0
Demostración. Observe que
a+a·0 =
=
=
=
a·1+a·0
a · (1 + 0)
a·1
a
Por Axioma A7
Por Axioma A9
Por Axioma A3
Por Axioma A7
De donde tenemos que
a+a·0 = 0
(Ec)3
Por otro lado, para cada x ∈ R tenemos
x+a·0 =
=
=
=
=
=
=
=
=
(x + 0) + a · 0
x + (0 + a · 0)
x + [(a + (−a)) + a · 0]
x + [((−a) + a) + a · 0]
x + [(−a) + (a + a · 0)]
x + [(−a) + a]
x + [a + (−a)]
x+0
x
Por Axioma A3
Por Axioma A2
Por Axioma A4
Por Axioma A2
Por Axioma A1
Por Axioma (Ec)3
Por Axioma A2
Por Axioma A4
Por Axioma A3
Es decir a · 0 es un inverso aditivo. Por el Teorema 3.2, el inverso aditivo es único, siendo este igual
0. Por lo tanto,
a·0 = 0
Proposición 3.2
Para todo a ∈ R se cumple
(i) −(−a) = a
(ii) (a−1 )−1 = a donde a 6= 0.
Demostración. Recordemos que −x representa el opuesto aditivo de x. Luego, la igualdad −(−a) =
a expresa que el opuesto aditivo de (−a) es a. Por lo tanto, tenemos que probar (−a) + a = 0.
Observe que
(−a) + a = a + (−a)
= 0
Por Axioma A2
Definición de inverso de a
Lo cual demuestra −(−a) = a.
Proposición 3.3
Para todo a, b ∈ R se cumple
(i) a · (−b) = −(a · b) = −ab
(ii) (−a) · (−b) = a · b
Demostración.
(i) La proposición afirma que el opuesto de (a · b) es a · (−b). Para probar esto, observe que
(a · b) + a · (−b) = a(b + (−b))
= a·0
= 0
Por Axioma A9
Definición de inverso de b
Proposición 3.1
Lo cual demuestra, que el opuesto aditivo de (a · b) es a · (−b), es decir −(a · b) = a · (−b).
La última igualdad, es simplemente notación.
(ii) Observe que
(−a) · (−b) =
=
=
=
=
−[(−a) · b]
−[b · (−a)]
−[−(b · a)]
b·a
a·b
Por item (i)
Por Axioma A5
Por item (i)
Por Proposición 3.2 − (i)
Por Axioma A5
Proposición 3.4
Para todo a, b ∈ R se cumple
(i) −(a + b) = (−a) + (−b) = −a − b
(ii) −(a − b) = b − a
(iii) a − (b + c) = a − b − c
(iv) a − (b − c) = a − b + c
Demostración.
(i) La proposición afirma que el opuesto de (a + b) es (−a) + (−b). Para probar esto, observe
que
(a + b) + [(−a) + (−b)] =
=
=
=
=
=
[(a + b) + (−a)] + (−b)
[(b + a) + (−a)] + (−b)
[b + (a + (−a))] + (−b)
(b + 0) + (−b)
b + (−b)
0
Por Axioma A1
Por Axioma A2
Por Axioma A1
Def. de inverso de a
Def. de elemento neutro
Def. de inverso de b
Lo cual demuestra, −(a + b) = (−a) + (−b).
La última igualdad, es simplemente notación.
(ii) Observe que
(a − b) + (b − a) =
=
=
=
=
=
=
=
=
[a + (−b)] + (b − a)
a + [(−b) + (b − a)]
a + [(−b) + (b + (−a))]
a + [((−b) + b) + (−a)]
a + [(b + (−b)) + (−a)]
a + [0 + (−a)]
a + [(−a) + 0]
a + (−a)
0
Notación de “ − ”
Por Axioma A1
Notación de “ − ”
Por Axioma A1
Por Axioma A2
Definición de inverso de b
Por Axioma A2
Definición de elemento neutro
Definición de inverso de a
Lo cual demuestra, que el inverso de aditivo de a − b es b − a, de donde −(a − b) = b − a.
(iii) Observe que
a − (b + c) =
=
=
=
=
a + [−(b + c)]
a + [(−b) + (−c)]
[a + (−b)] + (−c)
(a − b) + (−c)
a−b−c
Notación
Por item (i)
Por Axioma A1
Notación
Notación
(iv) Observe que
a − (b − c) =
=
=
=
=
=
=
a + [−(b − c)]
a + [−(b + (−c))]
a + [(−b) + (−(−c))]
a + [(−b) + c]
[a + (−b)] + c
(a − b) + c
a−b+c
Notación
Notación
Por item (i)
Por Proposición 3.2 − (i)
Por Axioma A1
Notación
Notación
Proposición 3.5 (Ley de Cancelación)
Sean x, y, z números reales
Si x + y = x + z entonces y = z.
Si xy = xz, x 6= 0 entonces y = z
Proposición 3.6
Dados a y números reales. Probar
a · b = 0 ⇔ (a = 0) ∨ (b = 0)
Demostración. Probaremos la proposición, usando la equivalencia p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p),
donde
p : a·b = 0
q : (a = 0) ∨ (b = 0)
[⇐ ] Se asume q como verdadero. Esto es, a = 0 o b = 0
• Caso I: a = 0
Luego,
a·b = 0·b
Reemplazando el valor de a
= b·0
Por Axioma A2
= 0
Proposición 3.1
• Caso II: a 6= 0
Como q es verdadero y a = 0 es falso, entonces b = 0. Luego,
a·b = a·0
= 0
Reemplazando el valor de b
Proposición 3.1
Por lo tanto, hemos probado que
(a = 0) ∨ (b = 0) ⇒ a · b = 0
[⇒ ] Para probar la equivalencia p ⇒ q usaremos la equivalencia p ⇒ q ≡∼ q ⇒∼ p. Es decir,
teniendo
∼ q : (a 6= 0) ∧ (b 6= 0)
∼ p : a · b 6= 0
Probaremos ∼ q ⇒∼ p.
Si p fuese verdadero, entonces se tiene a · b = 0. Por hipótesis, a 6= 0, esto implica que existe
el inverso multiplicativo de a tal que a · a−1 = 1. Luego,
a·b = 0
⇒
a−1 (a · b) = a−1 · 0
⇒
(a−1 · a)b = 0
1·b = 0
⇒
ab = 0
Lo cual contradice la hipótesis de que b 6= 0. Por lo tanto, no se puede tener que a · b = 0 Es
decir, necesariamente tenemos a · b 6= 0. Por lo tanto, hemos probado ∼ q ⇒∼ p. Lo cual es
equivalente a p ⇒ q. Lo que significa:
a · b = 0 ⇒ (a = 0) ∨ (b = 0)
3.2
Axiomas de orden
Definición 3.1
En el conjunto de los números reales existe una relación “<”, dados a, b ∈ R
a<b
se lee
a es menor que b
Definición 3.2
En el conjunto de los números reales, la relación “>”
a>b
se lee
a
es mayor que b
Dados dos números reales x e y
y>x
x<y
es equivalente a
Axiomas de orden
Dados x, y, z números reales.
O1 . (Ley de la tricotomía) Se satisface solamente uno de los siguientes enunciados:
x<y
o
y<x
o
x=y
x<y
y
y<z
entonces
O2 . (Transitividad)
Si
x<z
O3 . (Monotonía de la suma)
x<y
Si
x+z < y+z
entonces
para todo z ∈ R
O4 . (Monotonía del producto)
x<y
Si
xz < yz
entonces
para todo z > 0
Observación 3.1 Los axiomas de orden pueden ser reescritos usando la relación “>”. Por ejemplo,
el axioma O2 es equivalente a
Si
y>x
z>y
y
entonces z > y
Definición 3.3
Sean x e y números reales, entonces
Si x < y
o
x=y
se escribe
x≤y
Si y > x
o
x=y
se escribe
y≥x
Usando la Ley de tricotomía con y = 0. Para cada x ∈ R, se satisface solo una de las siguientes
condiciones
x<0
o
0<x
o
x=0
Definición 3.4
Un número real x es definido positivo si x > 0; es negativo si x < 0.
Proposición 3.7
(i) x < 0 si y solo si −x > 0.
(ii) y − x > 0 si y solo si x < y
Demostración.
x < 0 ⇔ x + (−x) < 0 + (−x)
⇔ 0 < −x
⇔ −x > 0
y−x > 0 ⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
0 < y−x
0 + x < (y − x) + x
0 + x < y + (−x + x)
x + 0 < y + [x + (−x)]
x<y
Por monotonía de la suma
Definición de inverso aditivo y Axioma A3
Definición de “ > ”
Definición de “ > ”
Por monotonía de la suma
Asociatividad de la suma
Comutatividad de la suma
Inverso aditivo y elemento neutro
Proposición 3.8
Si x < y y z < 0 entonces xz > yz
Demostración.
x < y∧z < 0 ⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
y − x > 0 ∧ −z > 0
0 < y − x ∧ 0 < −z
0 · (−z) < (y − x)(−z)
0 < y(−z) + (−x)(−z)
0 < −yz + xz
0 < xz − yz
yz < xz
xz > yz
Proposición 3.2
Definición de “ > ”
Monotonía del producto
Prop distributiva
Proposición 3.3
Prop Comutativa
Proposición 3.2
Definición de “ > ”
Proposición 3.9 (Ley de signos)
Demostrar
1. Si x > 0, y > 0 entonces xy > 0
2. Si x < 0, y < 0 entonces xy > 0
3. Si x < 0, y > 0 entonces xy < 0
Demostración.
x>0 ∧ y>0 ⇒ 0<x ∧ y>0
⇒ 0·y < x·y
⇒ 0 < xy
Definición de “ > ”
Monotonía del producto
Comutatividad y Proposición 3.1
x < 0 ∧ y < 0 ⇒ x·y > 0·y ∧ y > 0
⇒ xy > 0
x < 0 ∧ y > 0 ⇒ 0 > x∧ y > 0
⇒ 0·y > x·y
⇒ 0 > xy
Proposición 3.8
Comutatividad y Proposición 3.1
Definición de “ > ”
Monotonía del producto
Comutatividad y Proposición 3.1
Observación 3.2 La Ley de signos afirma que si dos números tienen mismo signo su producto es
positivo y si tienen signos opuestos su producto es negativo.
Corolario 3.1
Si x 6= 0 entonces x2 > 0
1>0
Demostración.
Si x 6= 0, entonces por la Ley de la tricotomía x > 0 o x < 0. Por lo tanto,
x > 0 ∨ 0 < x ⇒ [x > 0 ∧ x > 0] ∨ [x < 0 ∧ x < 0]
⇒ [x2 > 0] ∨ [x2 > 0]
⇒ x2 > 0
Usando p ∧ p ≡ p
Ley de signos
Usando q ∨ q ≡ q
Usando el item anterior con x = 1, se deduce que 1 > 0.
Proposición 3.10
Sean x un números real
Si x > 0 entonces x−1 > 0
Si x < 0 entonces x−1 < 0
Demostración.
Si x−1 no fuese positivo, entonces por la Ley de Tricotomía x−1 = 0 o x−1 < 0.
• Caso x−1 = 0: Usando definición de inverso multiplicativo y la Proposición 3.1
1 = x · x−1 = x · 0 = 0
Lo cual es una contradicción.
• Caso x−1 < 0: Como x > 0 y x−1 < 0, por la Proposición 3.2
x · x−1 < 0 · x−1
De donde se deduce que 1 < 0, lo cual es una contradicción.
Por lo tanto, x−1 es positivo
De manera análoga, si se asume que x−1 no es negativo se llega a una contradicción. Por lo
tanto, x−1 es negativo.
La proposición anterior nos dice que: x−1 tiene el mismo signo de x.
Proposición 3.11
Sean x y y números reales positivos
Si
x<y
entonces
1 1
<
y x
Demostración. Como x y y son números positivos. Por la Proposición 3.10 sus inversos son números
positivos y por la Ley de signos su producto también es positivo. Usando la monotonía del producto
con x < y, x−1 y−1 > 0, obtenemos
x · (x−1 y−1 ) < y(x−1 y−1 )
Por los axiomas del producto, se obtiene
y−1 = 1 · y−1 = (x · x−1 )y−1 = x · (x−1 y−1 ) < y(x−1 y−1 ) = x−1 (yy−1 ) = x−1 · 1 = x−1
Lo cual significa que
1 1
< .
y x
Proposición 3.12
Sean x y y números reales
Si
xy > 0
∨
entonces x > 0, y > 0
x < 0, y < 0
Usando la Ley de signos y la anterior proposición obtenemos
⇔
xy > 0
3.3
[x > 0 ∧ y > 0] ∨ [x < 0 ∧ y < 0]
Radicación
Definición 3.5 (Raíz cuadrada)
La raíz cuadrada de x, denotada por
√
x=y
√
x es definida como
si y solo si
y2 = x
y
y≥0
Dado que x = y2 ≥ 0, se concluye que la raíz cuadrada esta definida para valores mayores e iguales a
cero.
Definición 3.6 (Raíz n-ésima)
La raíz n-ésima de x, denotada por
√
n
x es definida como
√
n
x=y
si y solo si
yn = x
Si n es par, se requiere que y ≥ 0, x ≥ 0.
Proposición 3.13 (Propiedades de la raíz n-ésima)
√ √
√
n xy = n x n y
√
r
n
x
x
n
=√
n y
y
p
√
√
n m
x = nm x
√
n n
x = x, si n es impar.
√
n n
x = |x|, si n es par.
√
n
n
x =x
donde x e y son valores donde están definidas los enunciados.
Definición 3.7
Un polinomio de grado n en la variable x es una expresión algebraica de la forma
an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0
an 6= 0
donde n ∈ N0 y ai son números reales para todo i : 1, . . . , n.
N
3.4
El termino an es llamado coeficiente principal y a0 se llama coeficiente constante.
Ecuaciones
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones matemáticas. Cuando en una ecuación existe
una variable, esta es denominada ecuación en una variable. Los siguientes expresiones representan
ecuaciones de una variable
2x + 3 = 7
x2 = x + 7
x + 7 = |x − 1|
Además, las anteriores expresiones son ecuaciones en la variable x.
Definición 3.8 (Conjunto de Valores admisibles C.V.A )
El C.V.A es el conjunto de números reales donde esta definido una ecuación o inecuación, un
sistema de ecuaciones o de inecuaciones.
Definición 3.9 (Solución de una ecuación o inecuación)
Una solución es un valor que satisface una ecuación, inecuación, un sistema de ecuaciones o
de inecuaciones.
Una solución de una ecuación es llamada también raíz.
Definición 3.10 (Conjunto solución C.S)
El conjunto solución “C.S” es el conjunto de todas las soluciones de una ecuación, inecuación,
un sistema de ecuaciones o de inecuaciones.
Resolver una ecuación o inecuación, consiste en hallar el conjunto solución correspondiente.
Proposición 3.14
Dados los números reales a, b donde a 6= 0, entonces la solución de la ecuación lineal ax+b = 0
b
a 6= 0 esta dado por x = −
a
Demostración.
ax + b = 0 ⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
(ax + b) + (−b) = 0 + (−b)
ax + (b + (−b)) = (−b) + 0
ax + 0 = (−b) + 0
ax = (−b)
a−1 · (ax) = a−1 · (−b)
(aa−1 )x = (−b)a−1
1 · x = −(ba−1 )
b
⇔ x=−
a
Sumando (−b)
Asociatividad y comutatividad
Def. elemento inverso
Def elemento neutro
Multiplicando a−1
Asociatividad y comutatividad
Def. elemento inverso
Def. elemento neutro
Solución de una ecuación cuadrática
Proposición 3.15
Dado los números reales a, b y c (donde a 6= 0), entonces el conjunto solución de la ecuación
cuadrática
ax2 + bx + c = 0
esta dado por
√
−b ± b2 − 4ac
x=
2a
Corolario 3.2 Dada la ecuación ax2 + bx + c = 0, con a 6= 0 y sea ∆ = b2 − 4ac
Si ∆ > 0. La ecuación cuadrática posee dos soluciones reales distintas, las cuales están
determinadas por
√
√
−b + ∆
−b − ∆
x1 =
x2 =
2a
2a
Si ∆ = 0. La ecuación cuadrática posee una única solución real, las cual está determinada
por
−b
x=
2a
Si ∆ < 0. La ecuación cuadrática no posee soluciones reales.
Método de factorización
Dada una ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0 con discriminante ∆ = b2 − 4ac, entonces
Si ∆ > 0, entonces es posible escribir la ecuación como
(mx + n)(px + q) = ax2 + bx + c = 0
Usando la Proposición 3.6, se deduce que mx + n = 0 o px + q = 0. Por lo tanto, las soluciones
son
n
q
x1 = −
x2 = −
m
p
Si ∆ = 0, es posible escribir la ecuación como
(mx + n)2 = ax2 + bx + c = 0
n
de donde la única solución es dada por x1 = −
m
Si ∆ < 0, no es posible la factorización de ecuación con factores de primer grado.
3.1
Hallar las soluciones de la ecuación 2x2 + 9x − 5 = 0
Solución: Factorizando la ecuación obtenemos
2x2 + 9x − 5 = (2x − 1)(x + 5) = 0
Entonces
2x + 1 = 0
x+5 = 0
1
entonces las soluciones están dadas por x1 = y x2 = −5.
2
Usando la fórmula general se tiene
x=
−9 ±
p
√
(9)2 − 4 · (2) · (−5) −9 ± 121 −9 ± 11
=
=
2·2
4
4
x1 =
−9 + 11 1
=
4
2
de donde
x2 =
−9 − 11
= −5
4
Definición 3.11
Los polinomios (ax + b) y (cx2 + dx + e) con d 2 − 4ce < 0 son llamados irreducibles. Esto
quiere decir que no se pueden descomponer como un producto de polinomios de menor grado.
Proposición 3.16
Dado un polinomio de grado n con n ≥ 1, entonces este puede ser factorizado con términos
irreducibles de la forma (ax + b) y (cx2 + dx + e)
Proposición 3.17
El conjunto solución de un polinomio de grado n es la unión de las raíces de cada factor
irreducible de primer grado.
3.2
Hallar el conjunto solución de (x2 + x + 1)(x − 3)(x + 1)(x2 + 5x + 6) = 0
Solución: El discriminante de (x2 + x + 1) es ∆1 = 12 − 4 · 1 · 1 = −3 entonces (x2 + x + 1) es un
factor irreducible, es decir no se puede factorizar con términos de grado 1.
El discriminante de (x2 + 5x + 6) es ∆2 = 52 − 4 · 1 · 6 = 1 entonces (x2 + 5x + 6) no es irreducible,
en particular, se puede factorizar con términos de grado 1. En efecto, x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).
Por lo tanto, la ecuación original la escribimos como
(x2 + x + 1)(x − 3)(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 0
Encontrando la raíces de cada factor irreducible de primer grado, luego resolvemos
x−3 = 0
x+1 = 0
x+2 = 0
x+3 = 0
De donde obtiene las raíces, x1 = 3, x2 = −1, x3 = −2 y x4 = −3. Por lo tanto, el conjunto solución
resulta
Conjunto Solución: C.S = {−3, −2, −1, 3}
Observación 3.3 En el ejemplo anterior, podríamos haber encontrado las raíces de cada factor
aunque estos no sean términos irreducibles. Esto es, se resuelve
x2 + x + 1 = 0
x−3 = 0
x+1 = 0
x2 + 5x + 6 = 0
De donde, se deduce que x2 + x + 1 = 0 no tiene raíces al tener discriminante negativo, y las raíces
de x2 + 5x + 6 son −2 y −3, las raíces de x − 3 = 0 y x + 1 = 0 son x = 3 y x = −1 respectivamente,
concluyendo de igual manera que el conjunto solución resulta ser C.S = {−3, −2, −1, 3}
3.5
Inecuaciones
Proposición 3.18
Dados los números reales a, b donde a 6= 0, entonces
La inecuación lineal
ax + b > 0
tiene por conjunto solución:
 b

 − , +∞ ,
C.S =
a b

 − ∞, − ,
a
La inecuación lineal
ax + b ≥ 0
si
a>0
si
a<0
tiene por conjunto solución:
 h
b

 − , +∞ ,
C.S =
a
i

 − ∞, − b ,
a
si
a>0
si
a<0
Observación 3.4 Toda inecuación con términos de primer grado puede reducirse a ax + b > 0 o
ax + b ≥ 0.
3.3
Hallar el conjunto solución de la inecuación 2x − 5 ≤ 7x − 15
Solución: Usando propiedades de las números reales podemos reescribir la inecuación de la forma
0 ≤ 5x − 10
de donde
5x − 10 ≥ 0
de donde
C.S = [2, +∞)
Sea ax2 + bx + c > 0 con a > 0 entonces la inecuación puede reescribirse como x2 + px + q > 0
donde p = ab y q = ac
3.4
Halle las soluciones de la inecuación x2 + px + q > 0
Demostración. Sea ∆ = p2 − 4q, entonces
Si ∆ > 0 entonces x2 + px + q = 0 posee dos soluciones reales distintas. Sean a y b con a < b
dichas raíces, esto es x2 + px + q = (x − a)(x − b). De donde, la ecuación se reduce a
(x − a)(x − b) > 0
Usando la Proposición 3.12 se tiene que
[x − a > 0 ∧ x − b > 0] ∨ [x − a < 0 ∧ x − b < 0]
Usando el hecho que a < b, se obtiene
[x > a ∧ x > b] ∨ [x < a ∧ x < b] ⇔ x > b ∨ x < a
Por lo tanto,
C.S = (−∞, a) ∪ (b, +∞)
Si ∆ = 0 entonces x2 + px + q = 0 posee una raíz doble. Sea a dicha raíz. Luego, la inecuación
se reduce a
(x − a)2 > 0
Usando el Corolario 3.1 se tiene que
C.S = (−∞, a) ∪ (a, +∞) = R\{a}
Si ∆ < 0, entonces −∆ = 4q − p2 > 0. Luego,
p 2 4q − p2 4q − p2
x2 + px + q = x +
+
≥
>0
2
4
4
de donde se deduce que
C.S = (−∞, +∞) = R
3.5.1
Método de los puntos críticos
Definición 3.12
Decimos que un polinomio p(x) de grado n es reducible si es posible expresarlo como producto
de dos polinomios con coeficientes reales con grados mayores que 1 y menores que n.
Definición 3.13
Un polinomio es irreducible si no es reducible.
2 + x + 1)
El polinomio x3 − 1 es reducible dado que x3 − 1 = (x − 1)(x
√
√
El polinomio x4 = 1 es reducible dado que x4 + 1 = (x2 + 2x + 1)(x2 − 2x + 1)
El polinomio x2 + 1 es irreducible. Si fuese reducible entonces
x2 + 1 = (ax + b)(cx + d)
a, b, c, d ∈ R
Lo cual no es posible.
El polinomio ax + b es irreducible.
Proposición 3.19
Los únicos polinomios con coeficientes reales irreducibles son de la forma
p(x) = mx + n
y
q(x) = ax2 + bx + c
donde b2 − 4ac < 0
El conjunto solución de las inecuaciones de la forma p(x) > 0, p(x) < 0, p(x) ≥ 0, p(x) ≥ 0 esta
relacionado con la ecuación p(x) = 0
Método A
Los pasos para encontrar el conjunto solución de una inecuación son:
1 Exprese la inecuación con p(x) en factores irreducibles.
Hallar las raíces de p(x) = 0 (puntos críticos)
3 Determine los intervalos abiertos con extremos en los puntos críticos.
4 Determine el signo del factor de cada intervalo abierto encontrado. Además, determine el
signo de p(x) en cada intervalo, el cual esta dado por el producto de signos en cada intervalo.
5 El conjunto solución es la unión de intervalos abiertos si p(x) > 0 o p(x) < 0 donde el signo
de p(x) coincida con el signo de la inecuación. Si la inecuación es de la forma p(x) ≥ 0 o
p(x) ≤ 0, se le adiciona los puntos críticos al conjunto solución.
2
3.5
Hallar el conjunto solución de x2 − 7x + 10 > 0.
Solución: Realizando los pasos del método tenemos
1 p(x) = (x − 2)(x − 5) > 0.
2 Como (x − 2)(x − 5) = 0, entonces los puntos críticos son x1 = 2 y x2 = 5.
3 Los intervalos son I1 = (−∞, 2) , I2 = (2, 5) y I3 = (5, +∞).
4 Los signos en cada intervalo y de p(x) están determinado por la siguiente tabla
Intervalo
Signo de (x − 2)
Signo de (x − 5)
Signo de p(x)
5
(−∞, 2)
−
−
+
(2, 5)
+
−
−
(5, +∞)
+
+
+
Como la ecuación es de la forma p(x) > 0, entonces elegimos los intervalos abiertos con signo
positivo. Por lo tanto,
C.S = (−∞, 2) ∪ (5, +∞)
3.6
Hallar el conjunto solución de (x2 − 3x + 2)(x − 3) < 0.
Solución: Realizando los pasos del método tenemos
1 p(x) = (x2 − 3x + 2)(x − 3) = (x − 1)(x − 2)(x − 3) < 0.
2 Como (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0, entonces los puntos críticos son x1 = 1, x2 = 2 y x3 = 3.
3 Los intervalos son I1 = (−∞, 1) , I2 = (1, 2), I3 = (2, 3) y I4 = (3, +∞).
4 Los signos en cada intervalo y de p(x) están determinado por la siguiente tabla
Intervalo
Signo de (x − 1)
Signo de (x − 2)
Signo de (x − 3)
Signo de p(x)
5
(−∞, 1)
−
−
−
−
(1, 2)
+
−
−
+
(2, 3)
+
+
−
−
(3, +∞)
+
+
+
+
Como la ecuación es de la forma p(x) < 0, entonces elegimos los intervalos abiertos con signo
negativo. Por lo tanto,
C.S = (−∞, 1) ∪ (2, 3)
3.7
Hallar el conjunto solución de (x2 + x + 1)(x2 − 11x + 18) ≤ 0.
Solución: Realizando los pasos del método tenemos
1 x2 + x + 1es irreducible y x2 − 11x + 18 es reducible con x2 − 11x + 18 = (x − 2)(x − 9). Luego
p(x) = (x2 + x + 1)(x − 2)(x − 9) ≤ 0
Como (x2 + x + 1)(x − 2)(x − 9) = 0, entonces los puntos críticos son x1 = 2, x2 = 9.
3 Los intervalos son I1 = (−∞, 2) , I2 = (2, 9) y I3 = (9, +∞).
4 Los signos en cada intervalo y de p(x) están determinado por la siguiente tabla
2
Intervalo
Signo de (x − 2)
Signo de (x − 9)
Signo de (x2 + x + 1)
Signo de p(x)
5
(−∞, 2)
−
−
+
+
(2, 9)
+
−
+
−
(9, +∞)
+
+
+
+
Como la ecuación es de la forma p(x) ≤ 0, entonces elegimos los intervalos abiertos con signo
negativo y le adicionamos las raíces de p(x). Por lo tanto,
C.S = (2, 9) ∪ {2, 9} = [2, 9]
3.8
Hallar el conjunto solución de (x4 − 5x2 + 4) ≥ 0.
Solución: Realizando los pasos del método tenemos
1 x4 − 5x2 + 4 = (x2 − 1)(x2 − 4) = (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2). Luego
p(x) = (x + 2)(x + 1)(x − 1)(x − 2) ≥ 0
2
Como (x + 2)(x + 1)(x − 1)(x − 2) = 0, entonces los puntos críticos son
x1 = −2
3
x3 = 1
x4 = 2
Los intervalos son
I1 = (−∞, −2)
4
x2 = −1
I2 = (−2, −1)
I3 = (−1, 1)
(1, 2)
I5 = (2, +∞)
Los signos en cada intervalo y de p(x) están determinado por la siguiente tabla
Intervalo
Signo de (x + 2)
Signo de (x + 1)
Signo de (x − 1)
Signo de (x − 2)
Signo de p(x)
5
(−∞, −2)
−
−
−
−
+
(−2, −1)
+
−
−
−
−
(−1, 1)
+
+
−
−
+
(1, 2)
+
+
+
−
−
(2, +∞)
+
+
+
+
+
Como la ecuación es de la forma p(x) ≥ 0, entonces elegimos los intervalos abiertos con signo
negativo y le adicionamos las raíces de p(x). Por lo tanto,
C.S = (−∞, −2) ∪ (−1, 1) ∪ (2, +∞) ∪ {−2, −1, 1, 2} = (−∞, −2] ∪ [−1, 1] ∪ [2, +∞)
Método B
Los pasos para encontrar el conjunto solución de una inecuación son:
1 Exprese la inecuación con p(x) en factores irreducibles.
2 Hallar las raíces de p(x) = 0 (puntos críticos)
3 Determine los intervalos abiertos con extremos en los puntos críticos.
4 Seleccione un punto por cada intervalo abierto (punto de paso). Evalúe la validez de la
inecuación en cada punto paso.
5 Si la ecuación es de la forma p(x) > 0 o p(x) < 0, el conjunto solución es la unión de intervalos
abiertos donde se tiene la validez de la inecuación en el punto de paso. Si la inecuación es de
la forma p(x) ≥ 0 o p(x) ≤ 0, se le adicionan a la unión de intervalos abiertos las raíces de
p(x) = 0.
3.9
Hallar el conjunto solución de (x2 + 2x − 8)(x − 11) ≥ 0.
Solución: Realizando los pasos del método tenemos
1 p(x) = (x + 4)(x − 2)(x − 11) ≥ 0.
2 De (x + 4)(x − 2)(x − 11) = 0, entonces los puntos críticos son
x1 = −4
3
x3 = 11
Los intervalos son
I1 = (−∞, −4)
4
x2 = 2
I2 = (−4, 2)
I3 = (2, 11)
I4 = (11, +∞)
Sean los puntos de paso
−10 ∈ I1
Intervalo
Punto paso = y
p(y) ≥ 0
Validez de p(y) ≥ 0
0 ∈ I2
(−∞, −4)
−10
(72)(−21) ≥ 0
×
10 ∈ I3
(−4, 2)
0
(−8)(−1) ≥ 0
X
20 ∈ I4
(2, 11)
10
(112)(−1) ≥ 0
×
(11, +∞)
20
(432)(9) ≥ 0
X
5
Como la ecuación es de la forma p(x) ≥ 0, entonces el C.S es la unión de los intervalos abierto
con el símbolo X con las raíces de p(x) = 0. Por lo tanto,
C.S = (−4, 2) ∪ (11, +∞) ∪ {−4, 2, 11} = [−4, 2] ∪ [11, +∞)
Podemos escribir el cuadro del ejemplo anterior de lo forma
Intervalo
Punto paso = y
Validez de p(y) ≥ 0
(−∞, −4)
−10
×
(−4, 2)
0
X
(2, 11)
10
×
(11, +∞)
20
X
3.10
Hallar el conjunto solución de (x2 + x + 1)2 (x + 2)2 (x − 3)3 (x − 7) > 0.
Solución: Realizando los pasos del método tenemos
1 p(x) = (x2 + x + 1)2 (x + 2)2 (x − 3)3 (x − 7) > 0.
2 De (x2 + x + 1)2 (x + 2)2 (x − 3)3 (x − 7) = 0, entonces los puntos críticos son
x1 = −2
3
x3 = 7
Los intervalos son
I1 = (−∞, −2)
4
x2 = 3
I2 = (−2, 3)
I3 = (3, 7)
I4 = (7, +∞)
Sean los puntos de paso
y1 = −10 ∈ I1
y2 = 0 ∈ I2
y3 = 5 ∈ I3
y4 = 10 ∈ I4
Luego,
p(−10) > 0, se verifica. Dado que p(−10) = (91)2 (−8)2 (−13)3 (−17).
p(0) > 0, se verifica. Dado que p(0) = (1)2 (2)2 (−3)3 (−7).
p(5) > 0, no se verifica. Dado que p(5) = (31)2 (7)2 (2)3 (−2).
p(10) > 0, se verifica. Dado que p(10) = (121)2 (12)2 (7)3 (3).
Intervalo
Punto paso = y
Validez p(y) > 0
5
(−∞, −2)
−10
X
(−2, 3)
0
X
(3, 7)
5
×
(7, +∞)
10
X
Como la ecuación es de la forma p(x) > 0, entonces elegimos los intervalos abiertos con el
símbolo X. Por lo tanto,
C.S = (−∞, −2) ∪ (−2, 3) ∪ (7, +∞)
3.11
√ 4
5
Hallar el conjunto solución de x − 2 − x2 (1 − x) x + 2 (x2 − 49)3 ≤ 0.
Solución: Realizando los pasos del método tenemos
1 −x2 + x − 2 es irreducible y (x2 − 49) = (x + 7)(x − 7), entonces
√ 4
5
p(x) = x − 2 − x2 (1 − x) x + 2 (x + 7)3 (x − 7)3 ≤ 0
2
Los raíces de p(x) son
√
x2 = − 2
x1 = −7
3
x4 = 7
Los intervalos son
I1 = (−∞, −7)
4
x3 = 1
√
I2 = (−7, − 2)
√
I3 = (− 2, 1)
I4 = (1, 7)
I5 = (7, +∞)
y4 = 5 ∈ I4
y5 = 10 ∈ I5
Sean los puntos de paso
y1 = −10 ∈ I1
y2 = −5 ∈ I2
y3 = 0 ∈ I3
Luego,
p(−10) ≤ 0, se verifica.
p(−5) ≤ 0, no se verifica.
p(0) ≤ 0, no se verifica
p(5) > 0, se verifica.
p(10) > 0, no se verifica.
Intervalo
Punto paso = y
Validez p(y) ≤ 0
5
(−∞, −7)
−10
X
√
(−7, − 2)
−5
×
√
(− 2, 1)
0
×
(1, 7)
5
X
(7, +∞)
10
×
Como la ecuación es de la forma p(x) ≤ 0, entonces el C.S es la unión de los intervalos abierto
con el símbolo X con las raíces de p(x) = 0. Por lo tanto,
√
√
C.S = (−∞, −7) ∪ (1, 7) ∪ {−7, − 2, 1, 7} = (−∞, −7] ∪ [1, 7] ∪ {− 2}
Proposición 3.20
Sea p(x) y q(x) dos polinomios sin factores en común, y sean las ecuaciones
p(x)
≥0
q(x)
(I)
p(x) · q(x) ≥ 0
(II)
Sean
C.S I el conjunto solución de la inecuación (I).
C.S II el conjunto solución de la inecuación (II).
C.V.A I = {x ∈ R : q(x) 6= 0} el conjunto de valores admisibles de la inecuación (I).
Entonces
C.S I = C.S II ∩ C.V.A I
Demostración. En el conjunto de valores admisibles de (I), se tiene que q(x) 6= 0, de donde q2 (x) > 0.
Por lo tanto,
p(x)
≥0
q(x)
⇔
p(x) 2
. · q (x) ≥ 0 · q2 (x)
q(x)
⇔
p(x) · q(x) ≥ 0
Observación 3.5 Sobre la Proposición 3.20 se tiene
El resultado es valido si consideramos “<”, “>” o “≤” en lugar de “≥”.
Si la inecuación es estricta (de la forma “>” o “<”) los conjuntos de soluciones coinciden
dado que, las raíces de q(x) no son soluciones de la inecuación p(x)q(x) > 0 o p(x)q(x) < 0.
En conjunto solución puede escribirse de la forma
C.S I = C.S II − {x ∈ R : q(x) = 0}
Es decir, el conjunto solución de la inecuación (I) es el mismo que conjunto solución de (II)
exceptuando las raíces de q(x).
3.12
Hallar el conjunto solución de
(x2 + x + 1)2 (x + 8)
>0
(x − 2)3 (x − 4)
Solución: El conjunto solución es el mismo que el de la inecuación
(x2 + x + 1)2 (x + 8)(x − 2)3 (x − 4) > 0
Realizando los pasos del método B de los puntos críticos se tiene tenemos
1 p(x) = (x2 + x + 1)2 (x + 8)(x − 2)3 (x − 4) > 0.
2 Las raíces de p(x) = 0 son los puntos
x1 = −8
3
x2 = 2
x3 = 4
Los intervalos a considerar son
I1 = (−∞, −8)
I2 = (−8, 2)
I3 = (2, 4)
I4 = (4, +∞)
4
Consideramos los siguientes puntos de paso
y1 = −10 ∈ I1
y2 = 0 ∈ I2
y3 = 3 ∈ I3
y4 = 10 ∈ I4
Luego,
p(−10) > 0, no se verifica.
p(0) > 0, se verifica.
p(3) > 0, no se verifica.
p(10) > 0, se verifica.
Intervalo
Punto paso = y
Validez p(y) > 0
5
(−∞, −8)
−10
×
(−8, 2)
0
X
(2, 4)
3
×
(4, +∞)
10
X
Como la ecuación es de la forma p(x) > 0, entonces elegimos los intervalos donde es positivo.
Por lo tanto,
C.S = (−2, 3) ∪ (7, +∞)
3.13
Hallar el conjunto solución de
(x2 + 3x + 2)(x − 8)3
≥0
(x − 2)2 (x − 6)
Solución: El conjunto de valores admisibles de la inecuación es el conjunto dado por
C.V.A = {x ∈ R : (x − 2)2 (x − 6) 6= 0} = {x ∈ R : x 6= 2, x 6= 6}
Por lo tanto, el conjunto solución pedido es el mismo que el de la inecuación
(x2 + 3x + 2)(x − 8)3 (x − 2)2 (x − 6) ≥ 0
exceptuando los valores x = 2 y x = 6.
Realizando los pasos del método B de los puntos críticos se tiene tenemos
1 p(x) = (x + 2)(x + 1)(x − 8)3 (x − 2)2 (x − 6) ≥ 0.
2 Las raíces de p(x) = 0 son los puntos
x1 = −2
3
x2 = −1
x3 = 2
x4 = 6
x5 = 8
Los intervalos a considerar son
I1 = (−∞, −2),
I2 = (−2, −1),
I3 = (−1, 2),
I4 = (2, 6),
I5 = (6, 8),
I6 = (8, +∞)
4
Consideramos los siguientes puntos de paso con yi ∈ Ii para i = 1, . . . , 6
y1 = −10
y2 = −3/2
y3 = 0
y4 = 5
(−2, −1)
−3/2
×
(−1, 2)
0
X
y5 = 7
y6 = 10
Luego,
Intervalo
Punto paso = y
Validez p(y) ≥ 0
5
(−∞, −2)
−10
X
(2, 6)
5
X
(6, 8)
7
×
(8, +∞)
10
X
Como la ecuación es de la forma p(x) ≥ 0, el conjunto solución esta dado por lo intervalos
cerrados con símbolo (X), entonces
(−∞, −2] ∪ [−1, 6] ∪ [8, +∞)
Por lo tanto, el conjunto solución pedido es
C.S = (−∞, −2] ∪ [−1, 6] ∪ [8, +∞) − {2, 6} = (−∞, −2] ∪ [−1, 2) ∪ (2, 6) ∪ [8, +∞)
3.6
Inecuaciones con Valor Absoluto
Definición 3.14 (Valor absoluto)
Dado un número real, el valor absoluto de x, denotado por |x|, es definido por:
x,
si
x≥0
|x| =
−x,
si
x<0
De la definición de valor absoluto se deduce que |x| ≥ 0 para todo x ∈ R.
Proposición 3.21
Si |x| = |a|, entonces x = a ∨ x = −a
Si |x| = | − x|
Definición 3.15 (Distancia de dos puntos sobre la recta real)
Dados dos números reales a y b, entonces la distancia entre los puntos a y b sobre la recta real
esta dado por
d(a, b) = |a − b|
Usando la Proposición 3.21 se tiene que |a − b| = |b − a|, esto implica que la distancia entre a y b es
la misma entre b y a.
Proposición 3.22
Sea a un número positivo, entonces
|x| = a si y solo si x = a ∨ x = −a
|x| < a si y solo si −a < x < a
|x| > a si y solo si x > a ∨ x < −a
Corolario 3.3 Si a ≥ 0 entonces
|x| ≤ a si y solo si −a ≤ x ≤ a
|x| ≥ a si y solo si x ≥ a ∨ x ≤ −a
Proposición 3.23
Sea a ≤ 0, entonces
|x| < a entonces C.S= 0.
/
|x| ≥ a entonces C.S= R.
Proposición 3.24 (Desigualdad triangular)
Dados dos números reales, entonces
|a + b| ≤ |a| + |b|
Demostración. Usando la definición de valor absoluto se tiene
−|a| ≤ a ≤ |a|
− |b| ≤ b ≤ |b|
Sumando las desigualdades anteriores se obtiene
−(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b|
Usando el Colorario 3.3-(i) se completa la prueba.
Proposición 3.25
Sean x, y dos números reales, entonces
|xy| = |x| · |y|
3.7
x
|x|
=
y
|y|
y 6= 0
Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto
Para resolver usaremos las propiedades del valor absoluto. Adicionalmente, es importante notar que
|x|2 = x2
para todo x ∈ R
Por lo tanto, es posible eliminar los valores absolutos, elevando al cuadrado dichos términos.
3.14
Hallar la solución de |x − 2| = |2x − 10|
Solución: Usando la propiedad |z| = |w| entonces z = w o z = −w. De donde
|x − 2| = |2x − 10|
⇒
x − 2 = 2x − 10
∨
⇒
8=x
∨
3x = 12
⇒
x=8
∨
x=4
x − 2 = −(2x − 10)
Si se eleva al cuadrado se tiene
|x − 2| = |2x − 10|
⇒
|x − 2|2 = |2x − 10|2
⇒
x2 − 4x + 4 = 4x2 − 40x + 100
⇒
3x2 − 36x + 96 = 0
⇒
3(x − 4)(x − 8) = 0
⇒
x=4
∨
x=8
En cualquier método se obtiene C.S = {4, 8}.
3.15
Hallar la solución de |3x − 2| ≤ |2x + 1|
Solución: Elevando al cuadrado se tiene
|3x − 2| ≤ |2x + 1|
⇒
|3x − 2|2 ≤ |2x + 1|2
⇒
9x2 − 12x + 4 ≤ 4x2 + 4x + 1
⇒
5x2 − 16x + 3 ≤ 0
⇒
(5x − 1)(x − 3) ≤ 0
Resolviendo, se obtiene C.S = [1/5, 3].
3.16
Hallar la solución de |x2 − 2| ≥ 7
Solución: Elevando al cuadrado se tiene
|x2 − 2| ≥ 7
⇒
|x2 − 2|2 ≥ 49
⇒
x4 − 4x2 + 4 ≥ 49
⇒
x4 − 4x2 − 45 ≥ 0
⇒
(x2 − 9)(x2 + 5) ≥ 0
⇒
(x − 3)(x + 3)(x2 + 5) ≥ 0
Resolviendo, se obtiene C.S = (−∞, −3] ∪ [3, +∞).
Otro método Usando la propiedades de valor absoluto
|x2 − 2| ≥ 7
⇒
x2 − 2 ≥ 7
∨
⇒
x2 ≥ 9
∨
x2 ≤ −5
⇒
|x| ≥ 3
∨
0/
⇒
x≥3
∨
x2 − 2 ≤ −7
x ≤ −3
De donde obtenemos el mismo conjunto solución.
Para resolver, ecuaciones o inecuaciones con valor absoluto, se puede estudiar la existencia de
soluciones en intervalos cuya reunión sea R.
Método de punto críticos
1 Hallar los números xi que anulan cada valor absoluto (puntos críticos)
2 Determinar los intervalos
(−∞, x1 ),
[x1 , x2 ),
[x2 , x3 ),
[x3 , x4 ),
...
[xn , +∞)
donde xi con i; 1, . . . , n son los puntos críticos ordenados de menor a mayor. Cada intervalo
representará un caso.
3 Determinar el valor de término en valor absoluto en cada intervalo
4 Encontrar el conjunto solución de cada intervalo.
5 El conjunto solución es la unión de todos los conjuntos soluciones de cada intervalo.
3.17
Hallar el conjunto solución de |x + 2| + |x + 3| = |8 − x|
Solución:
1 Los términos con valor absoluto son |x + 2|, |x + 3| y |8 − x|, entonces sus puntos críticos son
x1 = −3, x2 = −2 y x3 = 8
2 Los intervalos a considerar son
I1 = (−∞, −3)
3
I2 = [−3, −2)
I3 = [−2, 8)
I4 = [8, +∞)
Los valores de los términos en valor absoluto, se encuentran en la siguiente tabla
Intervalo
|x + 3|
|x + 2|
|x − 8|
Casos
4
(−∞, −3)
−x − 3
−x − 2
−x + 8
I
[−3, 2)
x+3
−x − 2
−x + 8
II
[−2, 8)
x+3
x+2
−x + 8
III
[8, +∞)
x+3
x+2
x−8
IV
Encontrando las soluciones en cada caso
Caso I: Intervalo I1 = (−∞, −3)
(−x − 2) + (−x − 3) = −x + 8
De donde x = −13, como x = −13 pertenece al intervalo I1 , entonces C.S I = {−13}.
Caso II: Intervalo I2 = [−3, −2)
(−x − 2) + (x + 3) = −x + 8
De donde x = 7, sin embargo este punto no pertenece al intervalo I2 , por lo cual x = 7 es
descartado, entonces C.S II = 0.
/
Caso III: Intervalo I3 = [−2, 8)
(x + 2) + (x + 3) = −x + 8
De donde x = 1, como x = 1 pertenece al intervalo I3 , entonces C.S III = {1}.
Caso IV: Intervalo I4 = [8, +∞)
(x + 2) + (x + 3) = x − 8
De donde x = −13, sin embargo este punto no pertenece al intervalo I4 , por lo cual
x = −13 es descartado, entonces C.S IV = 0.
/
5 El conjunto solución C.S = C.S I ∪ C.S II ∪ C.S III ∪ C.S IV . Por lo tanto,
C.S = {−13, 1}
3.18
Hallar el conjunto solución de |x + 1| + |x − 1| ≥ |x + 3|
Solución:
1 Los términos con valor absoluto son |x + 1|, |x − 1| y |x + 3|, entonces sus puntos críticos son
x1 = −3, x2 = −1 y x3 = 1
2 Los intervalos a considerar son
I1 = (−∞, −3)
3
I2 = [−3, −1)
I3 = [−1, 1)
I4 = [1, +∞)
Los valores de los términos en valor absoluto, se encuentran en la siguiente tabla
Intervalo
|x + 3|
|x + 1|
|x − 1|
Casos
4
(−∞, −3)
−x − 3
−x − 1
−x + 1
I
[−3, −1)
x+3
−x − 1
−x + 1
II
[−1, 1)
x+3
x+1
−x + 1
III
[1, +∞)
x+3
x+1
x−1
IV
⇒
x≤3
Encontrando las soluciones en cada caso
Caso I: Intervalo I1 = (−∞, −3)
(−x − 1) + (−x + 1) ≥ −x − 3
De donde x ∈ (−∞, 3]. Consecuentemente, el conjunto solución I será
C.S I = (−∞, 3] ∩ I1 = (−∞, 3] ∩ (−∞, −3) = (−∞, −3)
.
Caso I: Intervalo I2 = [−3, −1)
(−x − 1) + (−x + 1) ≥ x + 3
⇒
x≤1
De donde x ∈ (−∞, 1]. Consecuentemente, el conjunto solución II será
C.S II = (−∞, 1] ∩ I2 = (−∞, 1] ∩ [−3, −1) = [−3, −1)
.
Caso III: Intervalo I3 = [−1, 1)
(x + 1) + (−x + 1) ≥ x + 3
⇒
x ≤ −1
De donde x ∈ (−∞, −1]. Consecuentemente, el conjunto solución III será
C.S III = (−∞, −1] ∩ I3 = (−∞, −1] ∩ [−1, 1) = {−1}
.
Caso IV: Intervalo I4 = [1, +∞)
(x + 1) + (x − 1) ≥ x + 3
⇒
x≥3
De donde x ∈ [3, +∞). Consecuentemente, el conjunto solución IV será
C.S IV = [3, +∞) ∩ I4 = [3, +∞) ∩ [1, +∞) = [3, +∞)
5
El conjunto solución C.S = C.S I ∪ C.S II ∪ C.S III ∪ C.S IV . Por lo tanto,
C.S = (−∞, −1] ∪ (3, +∞)
3.19
Hallar el conjunto solución de |x2 − 1| + |x − 1| ≤ |x2 + 3x + 2|
Solución: La inecuación puede reescribirse como
|x + 1||x − 1| + |x − 1| ≤ |x + 1||x + 2|
Luego,
1 Los términos con valor absoluto son |x + 2|, |x + 1| y |x − 1|, entonces sus puntos críticos son
x1 = −2, x2 = −1 y x3 = 1
2 Los intervalos a considerar son
I1 = (−∞, −2)
3
I2 = [−2, −1)
I4 = [1, +∞)
Los valores de los términos en valor absoluto, se encuentran en la siguiente tabla
(−∞, −2)
−x − 2
−x − 1
−x + 1
I
Intervalo
|x + 2|
|x + 1|
|x − 1|
Casos
4
I3 = [−1, 1)
[−2, −1)
x+2
−x − 1
−x + 1
II
[−1, 1)
x+2
x+1
−x + 1
III
[1, +∞)
x+2
x+1
x−1
IV
Encontrando las soluciones en cada caso
Caso I: Intervalo I1 = (−∞, −2)
(−x − 1)(−x + 1) + (−x + 1) ≤ (−x − 1)(−x − 2)
⇒
x≥−
1
2
De donde x ∈ [−1/2, −∞). Consecuentemente, el conjunto solución I será
1
1
C.S I = − , +∞ ∩ I1 = − , +∞ ∩ (−∞, −2) = 0/
2
2
Caso II: Intervalo I2 = [−2, −1)
(−x − 1)(−x + 1) + (−x + 1) ≤ (−x − 1)(x + 2)
⇒
⇒
x2 + x + 1 ≤ 0
1 2 3
+ ≤0
x+
2
4
De donde x ∈ 0.
/ Consecuentemente, el conjunto solución II será
C.S II = 0/ ∩ I2 = 0/
.
Caso III: Intervalo I3 = [−1, 1)
(x + 1)(−x + 1) + (−x + 1) ≤ (x + 1)(x + 2)
⇒
x ≤ −2
∨
x≥0
De donde x ∈ (−∞, −2] ∪ [0, +∞). Consecuentemente, el conjunto solución III será
h
i
h
i
C.S III = (−∞, −2] ∪ [0, +∞) ∩ I3 = (−∞, −2] ∪ [0, +∞) ∩ [−1, 1) = [0, 1)
.
Caso IV: Intervalo I4 = [1, +∞)
(x + 1)(x − 1) + (x − 1) ≤ (x + 1)(x + 2)
⇒
x ≥ −2
De donde x ∈ [−2, +∞). Consecuentemente, el conjunto solución IV será
C.S IV = [−2, +∞) ∩ I4 = [−2, +∞) ∩ [1, +∞) = [1, +∞)
5
El conjunto solución C.S = C.S I ∪ C.S II ∪ C.S III ∪ C.S IV . Por lo tanto,
C.S = [0, +∞)
3.8
Máximo entero
Definición 3.16 (Función Máximo entero)
Se define el máximo entero de un número x, denotado por [[x]] como
[[x]] = n
n ≤ x < n+1
donde
n∈Z
Es decir, el máximo entero de un número x es el mayor de los números enteros que son
menores o iguales a x.
La función Máximo entero esta dada por:

..


.





−3




−2





 −1
0
[[x]] =


1



..



.




n




 ...
si
si
si
si
si
si
..
.
−3 ≤ x < −2
−2 ≤ x < −1
−1 ≤ x < 0
0≤x<1
1≤x<2
..
.
n ≤ x < n+1
..
.
Figura 3.1: Función Máximo entero
√
[[ 2]] = 1
[[0,323]] = 0
[[2,4]] = 2
[[−7,1]] = −8
Proposición 3.26 (Propiedades del Máximo entero)
Sea x un número real, entonces
[[x]] = x ⇔ x ∈ Z
[[x]] = n ⇔ x − 1 < n ≤ x
[[x]] ≤ x < [[x]] + 1
x − 1 < [[x]] ≤ x
[[x + n]] = [[x]] + n, para todo n ∈ Z.
[[x]] + [[−x]] =
0,
−1,
si
si
Si x ≤ y entonces [[x]] ≤ [[y]]
x∈Z
x∈
/Z
[[π]] = 3
[[e]] = 2
[[x]] + [[y]] ≤ [[x + y]] ≤ [[x]] + [[y]] + 1
[[
[[x]]
x
]] = [[ ]]
n
n
3.20
Hallar el conjunto solución de [[3x − 1]] = 5
Solución: Usando la definición de máximo entero se tiene
5 ≤ 3x − 1 < 6
⇒
2≤x<
7
3
Entonces, el conjunto solución es [2, 7/3).
3.21
Hallar el conjunto solución de [[
x+1
]] = 3
x−1
Solución: Usando la definición de máximo entero se tiene
[[
x+1
]] = 3
x−1
⇒
3≤
x+1
<4
x−1
de donde
x+1
x−1
∧
x+1
<4
x−1
x−2
≤0
x−1
∧
x − 35
>0
x−1
3≤
1<x≤2
∧
h
5i
x<1 ∨ x>
3
Entonces, el conjunto solución es
5 C.S = (1, 2] ∩ (−∞, 1) ∪ , +∞
=
,2
3
3
5
Proposición 3.27 (Inecuaciones con máximo entero)
Sean m y n dos número enteros, entonces
si
si
si
si
m ≤ [[x]] ≤ n
m ≤ [[x]] < n
m < [[x]] ≤ n
m < [[x]] < n
⇒
⇒
⇒
⇒
m ≤ x < n+1
m≤x<n
m+1 ≤ x < n+1
m+1 ≤ x < n
3.22
Hallar el conjunto solución de 0 < [[x]] < 3
Solución: Por la Proposición 3.27- (iv) se tiene
0 < [[x]] < 3
⇒
1≤x<3
Entonces, el conjunto solución es [1, 3).
3.23
Hallar el conjunto solución de −10 < [[2x − 5]] ≤ 14
Solución: Por la Proposición 3.27- (iii) se tiene
−10 < [[2x − 5]] ≤ 14
⇒
−9 ≤ 2x − 5 < 15
⇒
−2 ≤ x < 10
Entonces, el conjunto solución es [−2, 10).
3.9
Solución de ecuaciones no factorizadas
Proposición 3.28
Sean p(x) un polinomio de grado n con n ≥ 1 y a un número real. Si p(a) = 0, entonces
p(x) = (x − a)q(x) donde q(x) es un polinomio de grado n − 1.
Observe que q(x) =
p(x)
, el cual puede ser calculado usando el método de Ruffini,
x−a
3.24
Hallar el conjunto solución de x6 − 2x5 − 3x4 − x2 + 2x + 3 = 0
Solución: Sea p(x) = x6 − 2x5 − 3x4 − x2 + 2x + 3. Como p(1) = 0 entonces (x − 1) es un factor de
p(x). Dado que
p(x)
x5 − x4 − 4x3 − 4x2 − 5x − 3 =
x−1
Entonces,
p(x) = (x − 1)(x5 − x4 − 4x3 − 4x2 − 5x − 3)
Sea p1 (x) = x5 − x4 − 4x3 − 4x2 − 5x − 3. Como p1 (−1) = 0 entonces (x + 1) es un factor de p1 (x).
Dado que
p1 (x)
x4 − 2x3 − 2x2 − 2x + 3 =
x+1
Entonces,
p(x) = (x + 1)p1 (x) = (x − 1)(x + 1)(x4 − 2x3 − 2x2 − 2x + 3)
Sea p2 (x) = x4 − 2x3 − 2x2 − 2x + 3. Como p2 (−1) = 0 entonces (x + 1) es un factor de p2 (x). Dado
que
p2 (x)
x3 − 3x2 + x − 3 =
x+1
Entonces,
p(x) = (x − 1)(x + 1)p2 (x) = (x − 1)(x + 1)2 (x3 − 3x2 + x − 3)
Sea p3 (x) = x3 − 3x2 + x − 3. Como p3 (3) = 0 entonces (x − 3) es un factor de p3 (x). Dado que
x2 + 1 =
p3 (x)
x−3
Entonces,
p(x) = (x − 1)(x + 1)2 p3 (x) = (x − 1)(x + 1)2 (x − 3)(x2 + 1)
Por lo tanto, el ejercicio se reduce a hallar el conjunto solución de (x − 1)(x + 1)2 (x − 3)(x2 + 1) = 0,
entonces
Conjunto Solución: C.S = {−1, 1, 3}
Teorema 3.3 (Teorema de la raíz racional)
Dado un polinomio de grado n con coeficientes enteros de la forma
an xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 = 0
Entonces sus posibles raíces son de la forma x =
p es un divisor de a0
q es un divisor de an
p y q son coprimos
p
donde
q
an , a0 6= 0
Corolario 3.4 Si el polinomio es de la forma
xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 = 0
a0 6= 0
Entonces sus posibles son de la forma x = p donde p es un divisor de a0
3.25
Hallar las posibles raíces racionales de 6x3 − x2 − 21x + 10 = 0
Solución: Las posibles raíces racionales son de la forma x =
p
donde p es un divisor de 10 y q es
q
divisor de 6. De donde
p ∈ {±1, ±2, ±5, ±10}
q ∈ {±1, ±2, ±3, ±6}
Por lo tanto,
1 5 1 2 5 10 1 5 o
p n
∈ ± 1, ±2, ±5, ±10 ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± , ±
q
2 2 3 3 3
3
6 6
El conjunto solución del ejemplo anterior esta dado por
C.S =
n
1 5o
− 2, ,
2 3
Observación 3.6 Es posible usar la siguiente notación
±
n
1, 2, 5, 10
1 5 1 2 5 10 1 5 o
:= ± 1, ±2, ±5, ±10 ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± , ±
1, 2, 3, 6
2 2 3 3 3
3
6 6
3.10
Ejercicios Resueltos
Ejercicio 3.1 Demostrar
1.
2.
3.
4.
−0 = 0
1−1 = 0
−a = (−1)a
(a−1 )−1 = a cuando a 6= 0
Solución:
Por el Axioma A3 tenemos
para todo x ∈ R
x+0 = x
Evaluando la igualdad anterior para x = 0, obtenemos
0+0 = 0
Usando la unicidad del elemento inverso, deducimos que 0 es el inverso aditivo de 0, esto es
−0 = 0.
Por el Axioma A7 tenemos
x·1 = x
para todo x 6= 0
Evaluando la igualdad anterior para x = 1, obtenemos
1·1 = 1
Usando la unicidad del elemento inverso, deducimos que 1 es el inverso multiplicativo de 1,
esto es 1−1 = 1.
Observe que
a + (−1)a· =
=
=
=
=
=
a · 1 + (−1)a
1 · a + (−1)a
(1 + (−1))a
0·a
a·0
0
Axioma A7
Axioma A6
Axioma A10
Definición de inverso
Axioma A6
Proposición 3.1
Por lo tanto, hemos probado que (−1)a es el inverso aditivo de a, esto es −a = (−1)a.
Observe que
a−1 · a = a · a−1
Por Axioma A6
= 1
Definición de inverso
Por lo tanto, hemos probado que a es el inverso multiplicativo de a−1 , esto es a = (a−1 )−1
Ejercicio 3.2 Demostrar
1. x > 0, y > 0 entonces x + y > 0
2. x > 0, y > 0 entonces xy > 0
3. x < y, w < z entonces x + w+ < y + z
Solución:
x>0 ∧ y>0 ⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
0<x ∧ 0<y
0+y < x+y
y < x+y
0 < y ∧ y < x+y
0 < x+y
x>0 ∧ y>0 ⇒ 0<x ∧ y>0
⇒ 0·y < x·y
⇒ 0 < xy
Definición de “ > ”
Monotonía de la suma
Comutatividad y elemento neutro
Equivalencia V ∧ p ≡ p
Transitividad
Definición de “ > ”
Monotonía del producto
Comutatividad y Proposición 3.1
Observe que
x < y ∧ w < z ⇒ x+w < y+w ∧ w+y < z+y
⇒ x+w < y+w ∧ y+w < y+z
⇒ x+w < y+z
Monotonía de la suma
Comutatividad
Transitividad