Examen matemáticas parcial

Matemáticas. Diplomatura de Óptica y Optometrı́a.
Curso 2005-2006. Primer examen parcial
Elegir y resolver sólo tres de los siguientes ejercicios
1. Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
(
2x + 4ay − 2az
= 2
x − 3az
= 1 .
x + 3ay + (a − 1)z = 2
Discutir razonadamente el sistema anterior según los valores del parámetro a. Resolver el
sistema para el caso particular a = 0.
2. Elegir y resolver sólo uno de los siguientes apartados:
a) Teorı́a: Producto vectorial en R3 .
b) Obtener una base ortonormal
de R3 a partir del vector (1, −2, 3). Calcular las coorde√
nadas del vector (1, 1, 7) respecto de la base obtenida.
3. Consideremos las siguientes rectas R y R0 de R3 :
R≡
y−5
z−7
x+1
=
=
,
2
3
−1
R0 ≡
x+4
y−1
z−3
=
=
.
−1
1
1
Resolver razonadamente las siguientes cuestiones:
a) Demostrar que R y R0 son perpendiculares y se cruzan.
b) Calcular la distancia entre R y R0 .
c) Calcular la ecuación implı́cita del único plano π paralelo a R y R0 que se encuentra a
la misma distancia de R y de R0 .
4. Sea O un punto del espacio R3 (que puede ser distinto del origen). Para cada punto del
espacio P 6= O , se define la simetrı́a central de P con respecto a O como el único punto P 0
distinto de P que cumple las siguientes condiciones:
i) P 0 pertenece a la recta que une O con P .
ii) La distancia entre O y P 0 coincide con la distancia entre O y P .
Calcular razonadamente las coordenadas del punto P 0 en función de las coordenadas de O
y de P . Particularizar lo obtenido cuando O es el origen de coordenadas.
Granada, 3 de Febrero de 2006
Matemáticas. Diplomatura de Óptica y Optometrı́a.
Curso 2005-2006. Segundo examen parcial
1. Se define la siguiente función real de una variable:

1

(cos x) arctg x



1
f (x) =



 1 − ln x
e1/x
si x < 0,
si x = 0,
si x > 0.
Estudiar razonadamente la continuidad de la función f en el punto x0 = 0 indicando, en su
caso, el tipo de discontinuidad que presenta.
2. Calcular y clasificar los puntos crı́ticos de la función de dos variables definida por:
f (x, y) = x2 − xy + y 2 + 3x − 2y + 1.
3. Sea X(x, y) = (f1 (x, y), f2 (x, y)) un campo bidimensional. Diremos que X es holomorfo si
sus componentes f1 y f2 cumplen las siguientes ecuaciones:
∂f2
∂f1
(x, y) =
(x, y) y
∂x
∂y
∂f1
∂f2
(x, y) = −
(x, y),
∂y
∂x
para cada (x, y) ∈ R2 .
(i) Demostrar que si X es holomorfo entonces las funciones f1 y f2 son armónicas.
(ii) Comprobar si es holomorfo o no el campo bidimensional Z = (g1 , g2 ) definido por:
Z(x, y) = (ex cos y, ex sen y).
(iii) Calcular la divergencia de Z en el punto (0, π).
(iv) Calcular el plano tangente a la superficie z = g2 (x, y) en el punto (0, 0, 0).
4. (i) Calcular las siguientes integrales indefinidas:
Z
Z
dx
√
,
(x2 + 1) sen x dx.
x − x2
(ii) Calcular el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene al rotar alrededor del eje x
la gráfica de la función f : [0, e − 1] → R dada por:
√
x
f (x) =
.
x+1
Granada, 19 de Junio de 2006
Matemáticas. Diplomatura de Óptica y Optometrı́a.
Convocatoria de Junio
1. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a:

 ax + y + z = 1
x + ay + z = a

x + y + az = a2
2. Sea π el plano de R3 de ecuación x − 2y − z = 2, y R la recta de ecuaciones implı́citas
x+y = 0, y+2z = 3. Calcular la ecuación implı́cita del plano que pasa por P = (−1, 2, 1), es
perpendicular a π y paralelo a R. Calcular también la proyección de Q = (0, 2, 0) sobre π .
3. Resolver razonadamente las siguientes cuestiones:
a) Estudia si el conjunto B = {(1, 2, −1), (0, 1, 2), (3, 7, −1)} es una base de R3 . En caso
negativo, obtener una base de R3 a partir de B .
b) Obtener una base ortonormal de R3 a partir del vector (1, 2, 1). Calcular las coordenadas del vector (1, −5, −3) en la base obtenida.
4. Escribe todas las ecuaciones que conozcas de la circunferencia C que pasa por los puntos
(−1, 2), (1, 0) y (3, 0). Determinar la recta tangente a C en el punto (−1, 2). Encontrar
los puntos de C para los que la recta tangente es horizontal.
5. Consideremos las funciones de una y dos variables siguientes:
f (x) = x − arctg(x),
g(x, y) = −x3 + 4xy − 2y 2 .
a) Estudiar monotonı́a, curvatura, puntos crı́ticos y puntos de inflexión de f (x) en R.
b) Calcular y clasificar los puntos crı́ticos de g(x, y).
6. Calcular:
µ
lim
x→0
1
1
−
x sen x
¶
Z
,
2x2 − 5x + 27
dx,
x3 − 5x2 + x − 5
Z
e
(2x) ln x dx.
1
Ejercicios del primer parcial: 1, 2, 3
Ejercicios del segundo parcial: 4, 5, 6
Ejercicios de toda la asignatura: 1, 2, 5, 6
Granada, 28 de Junio de 2006
Matemáticas. Diplomatura de Óptica y Optometrı́a.
Curso 2005-2006. Convocatoria de Septiembre
1. Estudiar, según los valores del parámetro a != 1, la posición relativa y la intersección de la
recta en R3 dada por:
!
ax + y + z = 1
R≡
,
x + ay + z = a
y del plano π que pasa por el punto P = (a2 , 0, 0) y cuyo vector normal es n = (1, 1, a).
2. Calcular la distancia existente entre el punto Q = (0, 3, 0) y la recta R de ecuaciones
implı́citas 2x + 3y − z = 0 y x + y = 0. Determinar también la proyección de Q sobre R.
3. Escribir todas las ecuaciones que se conozcan de la circunferencia C que pasa por los puntos
(−1, 2), (1, 0) y (3, 0). Determinar la recta tangente a C en el punto (−1, 2). Encontrar
los puntos de C para los que la recta tangente es horizontal.
4. Consideremos el campo tridimensional X = (f1 , f2 , f3 ) definido por:
X(x, y, z) = (x2 + sen(yz), arctg(y), xy + z 2 + xez )
(i) Calcular la matriz jacobiana y la divergencia de X en el punto (1, 0, 1).
(ii) Calcular y clasificar los puntos crı́ticos de la función f3 (x, y, z).
5. Calcular el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene al rotar alrededor del eje x la
gráfica de la función f : [0, e − 1] → R dada por:
√
x
f (x) =
.
x+1
Granada, 4 de Septiembre de 2006