Exámen Física

INTRODUCCION
Evidentemente, en el presente documento se plantean unos desarrollos razonados para alcanzar las
soluciones a los problemas. Esto no significa que no existan otros caminos alternativos para alcanzar los
mismos resultados.
Por otra parte, se ha sacrificado en cierta medida la extensión en favor de la compresión. Esto
significa que se han incluido un mayor número de comentarios de los que serían estrictamente necesarios
para resolver los problemas, de forma que se puedan seguir perfectamente los desarrollos, aunque la
longitud de los mismos pueda dar sensación de una complejidad mayor que la que existe en realidad.
PROBLEMA 1
ENUNCIADO
3L/4
1.- Tenemos una bobina maciza de densidad homogénea ρ y con las dimensiones
que se muestran en la figura.
R/3
R
a) Calcular su momento de inercia con respecto al eje de simetría.(1 punto)
NOTA: Debe expresarse la solución en función de la MASA TOTAL del
objeto.
Colocamos ahora esta bobina sobre una superficie horizontal con rozamiento L/8
suficiente para que ruede sin deslizar, y aplicamos una fuerza F (menor que el
peso de la bobina) mediante un cable arrollado al cilindro central, tal como se indica en el esquema en
sección. Calcular:
F
b) La aceleración inicial y la fuerza de rozamiento cuando θ = 90°. (1 punto)
θ
c) La aceleración inicial y la fuerza de rozamiento cuando θ = 0°. (1 punto)
d) Razonar la existencia de una situación de equilibrio y calcular el ángulo θ
para el que se produce. (1 punto)
SOLUCION
a) Para calcular el momento de inercia de este cuerpo, podemos suponerlo constituido por dos cilindros
de radio R y longitud L/8 y otro de radio R/3 y longitud 3L/4. Así podremos sumar las contribuciones de
cada uno de estos fragmentos y expresar el resultado en función de la MASA TOTAL (M).
Si llamamos m1 a la masa de los cilindros extremos y m2 a la masa del cilindro central, tendremos que:
M = 2m1 + m2 ; m1 = ρπR2
Y entonces, como la masa total será
L
R 2 3L
L
; m2 = ρπ
= ρπR2
8
9 4
12
1 1 
1
M = ρπR 2 L +  = ρπR 2 L
 4 12 
3
Podremos escribir las masas de cada fragmento en función de la masa total como
m1 =
3
M
8
m2 =
1
M
4
Ahora sumamos la contribución al momento de inercia de cada cilindro (I=1/2 mr2 )
7
1
1
R2 3
MR 2 28
MR2
I = 2 m1 R 2 + m2
= MR2 +
=
MR 2 ⇒ I =
18
2
2
9 8
72
72
y
b) Representamos todas las fuerzas actuando sobre la bobina. ¡Ojo! No están a
escala para poder identificarlas bien en el esquema.
F < Mg
x
Por otra parte, a priori, desconocemos el sentido de la fuerza de rozamiento (fr), z
así que la supondremos positiva y el signo que obtengamos con la solución nos
dará el sentido de esta fuerza.
 Mx˙˙ = F
∑ x


Mg
Utilizamos las ecuaciones del movimiento de un sólido rígido  M˙y˙ = ∑ Fy
Normal
fr

 Iϕ˙˙ = ∑ N
 ˙˙
 Mx = fr

En la situación presente tendremos  My˙˙ = F − Mg + Normal = 0 , de forma que nos quedan solamente

 Iϕ˙˙ = R F + Rfr
3
dos ecuaciones, pero además sabemos que la relación existente entre la aceleración lineal según el eje x y
la aceleración angular es ϕ˙˙ = − x˙˙ R (condición de rodadura). Nótese el signo negativo que proviene del
criterio de ejes escogido en un principio. Para que la aceleración angular sea un vector positivo (giro
antihorario), la aceleración según el eje x debe ser negativa.
 M˙x˙ = fr

De esta forma nos queda  I
, que es un sistema de dos ecuaciones donde las dos
R
− x˙˙ = F + Rfr
 R
3
incógnitas son precisamente los valores que queremos obtener. Por substitución en la segunda ecuación
tenemos
y
I
R
I + MR 2
R
− R 2F
R 2F
− x˙˙ = F + MR x˙˙ ⇒
x˙˙ = − F ⇒ x˙˙ =
=
⇒
R
3
R
3
3( I + MR 2 ) 3 − 25 MR 2 
F < Mg
x
 18

z
6 F
x˙˙ = −
<0
25 M
6
que es un valor NEGATIVO, y entonces f r = − F < 0 también es NEGATIVA
25
Mg
y por lo tanto tiene sentido opuesto al que le habíamos asignado en un primer f
Normal
r
momento; es decir, que el esquema correspondiente a esta situación será este otro:
y
x
z
F
Mg
Normal
fr
c) De nuevo vamos a suponer a priori que la fuerza de rozamiento es positiva y
el signo que obtengamos para ella nos dará su verdadero sentido.
Volvemos a utilizar las ecuaciones del movimiento y la condición de rodadura
 ˙˙
 Mx = F + fr

(ϕ˙˙ = − x˙˙ R ) en esta nueva situación, de forma que  My˙˙ = Normal − Mg = 0

 Iϕ˙˙ = R F + Rfr
3
Así, de la primera ecuación tenemos que f r = Mx˙˙ − F
Y substituyendo en la tercera ecuación, junto con la
condición de rodadura
12 F
I
R
I + MR 2
2
2R 2 F
˙x˙ =
>0
− x˙˙ = F + MR x˙˙ − RF ⇒
x˙˙ = RF ⇒ x˙˙ =
2 ⇒
25 M
R
3
R
3
3( I + MR )
que ahora es un valor POSITIVO. Por otro lado, la fuerza de rozamiento será
13
12
f r = Mx˙˙ − F =
F − F ⇒ f r = − F < 0 que de nuevo es NEGATIVA y por lo
25
25
tanto tiene, también en este caso, sentido opuesto al que le habíamos asignado en
un primer momento; es decir, que el esquema correspondiente a esta situación será
este otro:
y
x
z
F
Mg
fr
Normal
y
d) Esta claro que como en la situación con θ = 90° la aceleración inicial según
el eje x es negativa, y en la situación con θ = 0° su valor es positivo, debe existir
x
alguna situación intermedia en que esta aceleración sea nula y, por lo tanto, la z
F
bobina se encuentre en equilibrio.
Para encontrar el ángulo correspondiente a esta configuración vamos a plantear
θ
las ecuaciones del movimiento de esta situación intermedia.
 ˙˙
Mg
 Mx = F cosθ + fr
Normal
fr

 My˙˙ = F senθ − Mg + Normal = 0

 Iϕ˙˙ = R F + Rfr
3
De nuevo, despejando de la primera ecuación f r = Mx˙˙ − F cosθ y substituyendo en la tercera, junto con
la condición de rodadura (ϕ˙˙ = − ˙x˙ R ), se obtiene
I
R
I + MR 2
R 2 F (cosθ − 1 3)
− x˙˙ = F + MR x˙˙ − RF cosθ ⇒
x˙˙ = RF( cosθ − 1 3) ⇒ x˙˙ =
R
3
R
I + MR2
Y por lo tanto, si queremos que la aceleración según el eje x sea nula, la única posibilidad es que
cosθ = 1 3 ⇒ θ = 70.52°
PROBLEMA 2
ENUNCIADO
2.- Una nave que se dirige a la Luna, pasa por la Tierra con una velocidad relativa de 0.7c.
a) ¿Cuál es la distancia Tierra-Luna (en un instante determinado), según un pasajero de la nave?
(0.5 puntos)
b) ¿Cuánto tiempo dura el viaje, según un observador terrestre? ¿Y según un pasajero de la nave?
(0.5 puntos)
Al mismo tiempo, otra nave se acerca a la Tierra desde la Luna, con una velocidad diferente y emitiendo
una señal luminosa de longitud de onda λ F. Si esa señal luminosa se observa desde la Tierra de color
violeta (λ = 4000Å) y desde la Luna de color rojo (λ = 6000Å), calcular:
c) La longitud de onda del emisor (λ F) . (1 punto)
d) La velocidad de la segunda nave medida desde la primera. (1 punto)
DATOS: Distancia Tierra-Luna (medida por un observador en la Tierra) = 384000 km.
SOLUCION
v=0.7c
T
L
a) En este apartado, lo único que tenemos que hacer es transformar un intervalo espacial medido por un
observador "en reposo" situado en la Tierra al intervalo que mediría un observador "en movimiento"
∆L0
dentro de la nave. Para ello utilizamos la ley de contracción de longitudes, ∆Lap =
, teniendo en
γ
cuenta que conocemos el intervalo de longitud propia ( ∆L0 ), medido desde la Tierra, y queremos calcular
el intervalo de longitud aparente (∆Lap ), medido por un observador en movimiento.
1
1
Por otra parte sabemos que γ =
=
≈ 1.4 , y por lo tanto
2
1− 0.49
v
1− 2
c
∆Lap =
∆L0 384000 km
=
⇒ ∆Lap = 274286 km
γ
1.4
b) Ahora nos piden información sobre la duración del viaje. Entonces, en este caso, el intervalo temporal
medido en la nave será el intervalo de tiempo propio, y el intervalo temporal medido desde la Tierra será
el intervalo de tiempo aparente. Este último es muy sencillo de calcular como el cociente entre distancia y
L
384000 km
velocidad (medidos ambos desde la Tierra). ∆tap = =
⇒ ∆tap = 1.83 s
v 0.7 × 300000 km/s
Y para calcular el intervalo de tiempo medido en la nave sólo hay que aplicar la ley de dilatación
∆t
1.83 s
temporal.
∆t0 = ap =
⇒ ∆t0 = 1.31 s
γ
1.4
c) Ahora tenemos dos naves. Llamemos A a la nave que viaja hacia la Luna, y B a la nave que vuelve
hacia la Tierra. En este apartado únicamente nos hace falta fijarnos en la nave B y tener en cuenta el
efecto Doppler relativista, según el cual, si una fuente que emite con una longitud de onda λ F se mueve
c+v
con velocidad v con respecto a un observador, la longitud de onda que observa éste será λ obs =
λ ,
c−v F
siendo la velocidad v positiva si la fuente se aleja del observador y negativa si se acerca a éste.
A
B
T
λT=4000Å
vA=0.7c
vB
λF
L
λL=6000Å
Así, las longitudes de onda observadas desde la Tierra y la Luna deben ser

λ T = c − v B λ F

c + vB
λ
c − vB
λ − λT
2000 Å

⇒ T =
⇒ vB = L
c=
c ⇒ v B = 0.2c

λ L c + vB
λL + λT
10000 Å
c + vB
λ
λ L =

c − vB F
Y por lo tanto
c + vB
1.2
λF =
λT =
4000 Å ⇒ λ F = 4899 Å
c − vB
0.8
d) Ya hemos calculado en el apartado anterior la velocidad de la nave B con respecto a la Tierra;
entonces, lo único que tendremos que hacer ahora es utilizar la ley de transformación de velocidades para
conocer la velocidad de la nave B con respecto a la nave A. Ojo con los signos, porque lo que obtuvimos
antes del efecto Doppler relativista era el módulo de la velocidad, pero observando su sentido, nos
daremos cuenta de que, a efectos de la transformación de velocidades, su signo es negativo.
vx − u
uv , siendo vx y v'x la velocidad de un determinado
1 − 2x
c
objeto (en este caso la nave B) medida desde dos sistemas inerciales diferentes S y S', respectivamente; y
u será la velocidad del sistema S' con respecto a S.
Esta ley de transformación de velocidades es v ′x =
Así, si identificamos con S al observador terrestre y con S' a un observador en la nave A, obtendremos
directamente el resultado que nos piden, pues ahora v B = −0.2c y u = 0.7c
v ′B =
vB − u
−0.2c − 0.7c
0.9
=
=
−
c ⇒ v ′B = − 0.789c
uv B 1+ 0.2 × 0.7
1.14
1− 2
c
PROBLEMA 3
ENUNCIADO
3.- En una habitación con aire a presión atmosférica y 0°C,
un altavoz emite sonido de frecuencia ν. Este sonido llega a
un receptor situado a una distancia 3D del altavoz por dos
caminos distintos: en línea recta y reflejado perfectamente D
(sin absorción) por una pared situada a una distancia
transversal D (ver figura). En esta situación se produce
3D
interferencia constructiva.
a) Al acercar el receptor a una distancia 2D se produce
la siguiente interferencia constructiva. Calcular la longitud de onda del sonido en función de D.
Para una distancia D = 5 m, calcular la frecuencia correspondiente. (1 punto)
b) En esta nueva situación, ¿cuánto tendríamos que variar la temperatura de la habitación para
recuperar la antigua interferencia constructiva? (1 punto)
c) Si la amplitud del sonido emitido por el altavoz es ξ10 y la pared redujese (absorbiese) el 20% de
esa amplitud en el proceso de reflexión, ¿cuales serían las amplitudes recogidas en el receptor en
las situaciones de interferencia constructiva y destructiva, respectivamente? (1 punto)
DATOS: Velocidad del sonido en el aire en condiciones normales, v0 = 330 m/s.
SOLUCION
Recordemos que a partir de la construcción de Fresnel, la interferencia de dos perturbaciones armónicas
2π
síncronas en un determinado punto tiene un defasaje δ =
(r − r ) , siendo r1 y r2 las distancias
λ 1 2
recorridas por dichas perturbaciones desde la fuente al punto en cuestión.
Asimismo, la amplitud en ese punto será ξ0 = ξ102 + ξ202 + 2ξ10ξ20 cosδ , de forma que se produce
interferencia constructiva cuando el defasaje es un número entero de veces 2π.
Vamos por lo tanto a calcular el defasaje en las dos situaciones que nos plantean. En ambos casos nos dan
como dato la distancia recorrida por una de las ondas, y por consideraciones geométricas es sencillo
obtener la distancia recorrida por la otra.
En la primera situación tendremos
D
r1 = 13D
2π
 ⇒ δ1 =
( 13 − 3) D = n 2π
r2 = 3D 
λ
13
D
2
3D
Y en la segunda situación (se trata de la "siguiente" interferencia constructiva, es decir, la n+1)
r1 = 2 2D
2π
 ⇒ δ2 =
2( 2 − 1)D = (n + 1) 2π
r2 = 2D 
λ
2D
D
2D
Así tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de donde nos interesa despejar λ. Del
primer defasaje podemos despejar el valor de nλ para substituirlo en el segundo. Así
2π
δ1 =
( 13 − 3) D = n 2π ⇒ nλ = ( 13 − 3) D
λ
Y por lo tanto
2π
δ2 =
2( 2 − 1) D = (n + 1)2π ⇒ ( n + 1)λ = nλ + λ = 2( 2 − 1)D ⇒ ( 13 − 3)D + λ = 2( 2 − 1)D ⇒
λ
⇒ λ = (2 2 + 1− 13 ) D = 0.22D
Y la frecuencia correspondiente para una distancia típica de 5 metros será
v
330 m/s
ν= =
= 300 Hz
λ 0.22 × 5 m
b) Estamos a una temperatura fija de 0°C, que vamos a llamar T 0 . Lo que nos piden ahora es que en la
segunda situación, mediante la variación de temperatura, alcancemos el mismo valor de defasaje que
teníamos en la primera situación; es decir, que hagamos δ2 (T ) = δ1 (T0 ).
Veamos ahora de donde puede venir la variación del defasaje con la temperatura.

2π
2πν
2 2 − 1) D =
δ2 (T ) =
(
(2 2 − 1)D
λ(T )
v(T )


2πν
δ (T ) = 2π
13 − 3)D =
(
( 13 − 3) D
 1 0
λ(T0 )
v0
Entonces, si hacemos δ2 (T ) = δ1 (T0 ), tendremos que
γRT
 2( 2 − 1)  2
2
2
−
1
(
)
v(T )
T
M =
 = 511 K ⇒ T = 238°C
=
=
⇒ T = T0 

γRT
v0
T0
13 − 3
0
 13 − 3 
M
c) Si la pared absorbe el 20% de la amplitud de una de las ondas, eso significa que tendremos la
interferencia de dos ondas, una con amplitud ξ10 y la otra con amplitud ξ20 =0.8 ξ10. Como la amplitud total
en el punto de recepción es ξ0 = ξ102 + ξ202 + 2ξ10ξ20 cosδ , el máximo será ξ10 + ξ20 , y el mínimo ξ10 - ξ20 .
Por lo tanto:
ξ0 ( MAX ) = ξ10 + ξ20 = 1.8ξ10
ξ0 ( MIN ) = ξ10 − ξ20 = 0.2ξ10