1MAT07-Cálculo integral

Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones
que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.
PONTIFICIA
UNIVERSIDAD
CATÓLICA
DEL PERÚ
ESTUDIOS
GENERALES
CIENCIAS
Cálculo Integral
Primera Práctica Calificada
Semestre Académico 2018 -2
Duración: 110 minutos
Elaborado por los profesores del curso.
Advertencias:
• Todo dispositivo electrónico (teléfono, tableta, computadora u otro) deberá permanecer apagado durante la evaluación.
• Coloque todo aquello que no sean útiles de uso autorizado durante la evaluación en la parte delantera del aula, por ejemplo, mochila, maletín, cartera o similar, y procure que contenga todas sus propiedades. La apropiada identificación de las pertenencias es su
responsabilidad.
• Si se detecta omisión a los dos puntos anteriores, la evaluación será considerada nula y podrá conllevar el inicio de un procedimiento
disciplinario en determinados casos.
• Es su responsabilidad tomar las precauciones necesarias para no requerir la utilización de servicios higiénicos: durante la evaluación,
no podrá acceder a ellos, de tener alguna emergencia comunicárselo a su jefe de práctica.
• En caso de que el tipo de evaluación permita el uso de calculadoras, estas no podrán ser programables.
• Quienes deseen retirarse del aula y dar por concluida su evaluación no lo podrán hacer dentro de la primera mitad del tiempo de
duración destinado a ella.
1. Usando sumas de Riemann, calcule el área de la región limitada por la gráfica de la curva y = x3 + 1,
los semiejes coordenados positivos y la recta x=2.
(3 Ptos.)
2. a) Exprese como una integral definida
·
¸
1
π
2π
nπ
lı́m
sen( ) + sen( ) + ... + sen(
) .
n→∞ n
n
n
n
(2 Ptos.)
b) Sobre el intervalo [1, b], b > 1 se define una función continua f (x) con f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ [1, b]. Sea
R una región en el plano acotada por el eje X, la gráfica de f (x) y las rectas x = 1, x = b. Halle
una función f si el área de R es
(2 Ptos.)
p
p
A(R) = b2 + 1 − 2
3. Sabiendo que
Z1
e x dx = e − 1, determine constantes reales a y b tales que
(4 Ptos.)
0
Z1
0<a≤
p
0
ex
x+1
dx ≤ b < 2
Continúa...
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4. Sea la función
¢3/2
4¡ 4
h (x) =
x +1
+
3
a) Demuestre que h es creciente en el intervalo
Zx2p
t4 + 1dt,
x≥
x
£1
1
2
(2 Ptos.)
£
2 , +∞
b) Halle la ecuación de la recta tangente al gráfico de h−1
à p
!
8 2
en el punto
,1 .
3
(2 Ptos.)
5. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta.
a) Si f es una función definida en el intervalo [−1; 3] con regla de correspondencia


−1 ≤ x < 1

 x;
f (x) =


2 + p4x − 3 − x2 ;
(2.5 Ptos.)
1 ≤ x ≤ 3,
entonces existe c ∈ [−1; 3] tal que f (c) es igual al valor promedio de f en el intervalo [−1; 3].
Para el cálculo de las integrales deberá usar su interpretación geométrica.
b) Si f y g son funciones continuas en el intervalo [a, b] tal que
Z
b
a
Z
f (x)dx =
(2.5 Ptos.)
b
g(x)dx,
a
entonces existe c ∈ [a, b] tal que f (c) = g(c).
Roy Sánchez Gutiérrez
Coordinador de Prácticas:
San Miguel, 7 de septiembre de 2018
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CIENCIAS
Cálculo Integral
Segunda Práctica Calificada
Semestre Académico 2018 -2
Duración: 110 minutos
Elaborado por los profesores del curso.
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• Todo dispositivo electrónico (teléfono, tableta, computadora u otro) deberá permanecer apagado durante la evaluación.
• Coloque todo aquello que no sean útiles de uso autorizado durante la evaluación en la parte delantera del aula, por ejemplo, mochila, maletín, cartera o similar, y procure que contenga todas sus propiedades. La apropiada identificación de las pertenencias es su
responsabilidad.
• Si se detecta omisión a los dos puntos anteriores, la evaluación será considerada nula y podrá conllevar el inicio de un procedimiento
disciplinario en determinados casos.
• Es su responsabilidad tomar las precauciones necesarias para no requerir la utilización de servicios higiénicos: durante la evaluación,
no podrá acceder a ellos, de tener alguna emergencia comunicárselo a su jefe de práctica.
• En caso de que el tipo de evaluación permita el uso de calculadoras, estas no podrán ser programables.
• Quienes deseen retirarse del aula y dar por concluida su evaluación no lo podrán hacer dentro de la primera mitad del tiempo de
duración destinado a ella.
1. Calcule
a)
Z
b)
Z
1
0
1
0
e
x−1
dx
2
x + 2x + 2
(2 Ptos.) c)
Z
ex + 1
dx
e x + 2 + e− x
(2 Ptos.)
Z
d)
1
ln(x + 1) − ln(x)
dx
x(x + 1)
4
3
p
(2 Ptos.)
dx
(3 Ptos.)
x x2 − 2x − 1
2. Sea f una función continua en R. Pruebe para números reales a, b, c; a < c < b, c 6= 0,
Z b− c
Z b
f (x + c)dx
f (x)dx =
(2 Ptos.)
3. Demuestre para n ≥ 2, entero, la igualdad
Z
Z
cosn (x)
1
cosn−2 (x)
n−1
dx =
cos
(x) +
dx.
sen(x)
n−1
sen(x)
(3 Ptos.)
4. Calcule
(3 Ptos.)
a− c
a
Z e·
1
¸
ln(x)
x
+
e
sen(2x)
dx
x5
5. Calcule
(3 Ptos.)
π/2
Z
0
Sugerencia: u =
π
2
sen9 (x)
dx
sen9 (x) + cos9 (x)
− x.
Roy Sánchez Gutiérrez
Coordinador de Prácticas:
San Miguel, 24 de septiembre de 2018
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Cálculo Integral
Tercera Práctica Calificada
Semestre Académico 2018 -2
Duración: 110 minutos
Elaborado por los profesores del curso.
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• Si se detecta omisión a los dos puntos anteriores, la evaluación será considerada nula y podrá conllevar el inicio de un procedimiento
disciplinario en determinados casos.
• Es su responsabilidad tomar las precauciones necesarias para no requerir la utilización de servicios higiénicos: durante la evaluación,
no podrá acceder a ellos, de tener alguna emergencia comunicárselo a su jefe de práctica.
• En caso de que el tipo de evaluación permita el uso de calculadoras, estas no podrán ser programables.
• Quienes deseen retirarse del aula y dar por concluida su evaluación no lo podrán hacer dentro de la primera mitad del tiempo de
duración destinado a ella.
1. Sea R una región rectángular de lados 6 y 2 cm coronada por una semielipse de centro el origen de
coordenadas cuyos semiejes miden 3 y 2 cm respectivamente. Halle las coordenadas del centroide
de R.
(4 Ptos.)
2. La región R limitada por la gráfica de las funciones
p
f (x) = − − x2 + 4x − 3, g(x) = 1 − | x − 2|
(4 Ptos.)
gira alrededor de la recta L : 4y = 3x + 1. Calcule el volumen del sólido generado.
3. Dada la curva
C : (x2 + y2 )2 = 64x y
a) Demuestre que la ecuación de C en coordenadas polares es r 2 = 32 sen(2θ ).
(1 Pto.)
b) Grafique la curva C, analizando simetrías, intersecciones con el eje polar, normal y con el
polo.
(3 Ptos.)
c) Halle la ecuación
de la recta tangente a C, en el sistema x y, en el punto de coordenadas
¡ p π¢
polares 4 2, 4 .
(2 Ptos.)
4. Considere las curvas
(6 Ptos.)
C1 : r = 2 − 2 cos(θ ),
C2 : r = 2 cos(θ )
a) Esboce la gráfica de C1 y C2 . Indique las coordenadas de los puntos de intersección. (2 Ptos.)
b) Halle el área de la región R, interior a las curvas C1 y C2 , en el primer cuadrante. (2 Ptos.)
c) Determine el perímetro de la región R.
(2 Ptos.)
Roy Sánchez Gutiérrez
Coordinador de Prácticas:
San Miguel, 5 de noviembre de 2018
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que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.
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ESTUDIOS
GENERALES
CIENCIAS
Cálculo Integral
Cuarta Práctica Calificada
Semestre Académico 2018 -2
Horario: Todos los horarios del curso.
Duración: 110 minutos
Elaborado por los profesores del curso.
Advertencias:
• Todo dispositivo electrónico (teléfono, tableta, computadora o calculadora) deberá permanecer apagado durante la evaluación.
• Coloque todo aquello que no sean útiles de uso autorizado durante la evaluación en la parte delantera del aula, por ejemplo, mochila, maletín, cartera o similar, y procure que contenga todas sus propiedades. La apropiada identificación de las pertenencias es su
responsabilidad.
• Si se detecta omisión a los dos puntos anteriores, la evaluación será considerada nula y podrá conllevar el inicio de un procedimiento
disciplinario en determinados casos.
• Es su responsabilidad tomar las precauciones necesarias para no requerir la utilización de servicios higiénicos: durante la evaluación,
no podrá acceder a ellos, de tener alguna emergencia comunicárselo a su jefe de práctica.
• En caso de que el tipo de evaluación permita el uso de calculadoras, estas no podrán ser programables.
• Quienes deseen retirarse del aula y dar por concluida su evaluación no lo podrán hacer dentro de la primera mitad del tiempo de
duración destinado a ella.
3
1. Sea la función f (x) = e(x−1) .
a) Halle el polinomio de Taylor de orden 3 de f alrededor de a = 1, T3 ( f (x)).
Z 2
b) Usando el polinomio T3 ( f (x)) aproxime el valor
f (x)dx.
0
2. Sea el problema de valores iniciales
(
(2 Ptos.)
(6 Ptos.)
a y00 (x) + b y0 (x) + c y(x) = 0,
y(0) = α,
(2 Ptos.)
x∈R
···
(1)
0
y (0) = β
Resuelva la ecuación (1) en los siguientes casos:
a) a = 1,
b = 2,
c = 2,
α = 2,
β=1
b) a = 9,
b = 6,
c = 1,
α = 1,
β=
2
3
3. Sea la función
f (x) = ln(cos(x))
a) Halle el polinomio de Maclaurin de orden 4 de f , T4 ( f (x)).
(2 Ptos.)
b) Usando T4 ( f (x)) halle una aproximación a f (0,5).
(2 Ptos.)
Continúa...
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4. Sea f (x) =
1
,
1 − x4
x 6= 1.
a) Halle el polinomio de Maclaurin de grado 8, justificando adecuadamente.
(2 Ptos.)
b) Calcule aproximadamente
(2 Ptos.)
1/2
Z
0
1
dx
1 − x4
c) Estime el error al calcular aproximadamente la integral de la parte b).
(2 Ptos.)
Roy Sánchez Gutiérrez
Coordinador de Prácticas:
San Miguel, 19 de noviembre de 2018
Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones
que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.
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ESTUDIOS
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Cálculo Integral
Examen Parcial
Semestre Académico 2018 -2
Horarios: Todos
Duración: 180 minutos
Advertencias:
• Todo dispositivo electrónico (teléfono, tableta, computadora u otro) deberá permanecer apagado durante la evaluación.
• Coloque todo aquello que no sean útiles de uso autorizado durante la evaluación en la parte delantera del aula, por ejemplo, mochila, maletín, cartera o similar, y procure que contenga todas sus propiedades. La apropiada identificación de las pertenencias es su
responsabilidad.
• Si se detecta omisión a los dos puntos anteriores, la evaluación será considerada nula y podrá conllevar el inicio de un procedimiento
disciplinario en determinados casos.
• Es su responsabilidad tomar las precauciones necesarias para no requerir la utilización de servicios higiénicos: durante la evaluación,
no podrá acceder a ellos, de tener alguna emergencia comunicárselo a su jefe de práctica.
• En caso de que el tipo de evaluación permita el uso de calculadoras, estas no podrán ser programables.
• Quienes deseen retirarse del aula y dar por concluida su evaluación no lo podrán hacer dentro de la primera mitad del tiempo de
duración destinado a ella.
1. (4 puntos)
a) (2 puntos) El siguiente límite
n 16
X
lı́m
n→+∞
k=1 n
Se expresa como
R2
−2
s
k k2
−
n n2
f (x) dx. Halle f (x).
b) (2 puntos) Calcule el área de la menor de las regiones, limitada por el eje X , el gráfico de la
función f hallada en a) y la curva y2 = 3x.
2. (3 puntos)
a) (1.5 puntos) Analice si es cierto que si f y g son funciones integrables en el intervalo [a, b] y
Z
b
a
Z
f (x) dx ≥
b
g (x) dx
a
entonces f (x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b].
b) (1.5 puntos) Calcule
R1
0
x2 − x
¡
¢ dx
(x + 1) x2 + 1
3. (3 puntos) Sea f : [a, b] → R una función tal que 0 < a < b, f (a) = b , f (b) = a, f 0 (x) < 0, f
para todo x ∈ [a, b] y
H (t) =
00
(x) < 0,
1
en dónde g es la función inversa de f
f 0 (g (t))
a) Halle el valor promedio de H en el intervalo [a, b]
b) Calcule la cantidad de números en [a, b] donde H alcanza dicho valor promedio.
Continúa...
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que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.
4. (3 puntos)
a) (1.5 puntos) Si
e
Z
In =
x2 (ln (x))n dx,
1
Demuestre que
In =
e3 n
− I n−1 ,
3 3
b) (1.5 puntos) Demuestre que
15
≤
4
2p
Z
1
x6 + 1
n∈N
∀n ≥ 1
p
15 2
dx ≤
4
5. (3 puntos) Sea a < 0 una constante. Considere la región R limitada por las gráficas de y = x2 , el
eje X y las rectas x = 0 y x = 2. Un estudiante hace girar R alrededor de la recta x = a, generando
un sólido de volumen V1 . Otro estudiante gira R alrededor de la recta y = a y obtiene un sólido de
9
volumen V2 . Halle el valor de a de manera que se cumpla V1 = V2 .
8
6. (4 puntos)
a) (2 puntos) Sea
Z
f (x) =
x
−2
p
8 + t dt
para x ≥ −2
Halle la longitud de la curva y = f (x), con x ∈ [0, 7].
b) (2 puntos) Halle el área de la superficie de revolución que se obtiene al girar la curva
x=
1 2 1
y − ln (y) , 1 ≤ y ≤ e
4
2
alrededor del eje X .
San Miguel 17 de octubre de 2018.
Elaborado por los profesores del curso.
Coordinador de teoría: Miguel Gonzaga
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ESTUDIOS
GENERALES
CIENCIAS
Cálculo Integral
Examen Final
Semestre Académico 2018 -2
Horarios: Todos
Duración: 180 minutos
Elaborado por los profesores del curso.
Advertencias:
• Todo dispositivo electrónico (teléfono, tableta, computadora u otro) deberá permanecer apagado durante la evaluación.
• Coloque todo aquello que no sean útiles de uso autorizado durante la evaluación en la parte delantera del aula, por ejemplo, mochila, maletín, cartera o similar, y procure que contenga todas sus propiedades. La apropiada identificación de las pertenencias es su
responsabilidad.
• Si se detecta omisión a los dos puntos anteriores, la evaluación será considerada nula y podrá conllevar el inicio de un procedimiento
disciplinario en determinados casos.
• Es su responsabilidad tomar las precauciones necesarias para no requerir la utilización de servicios higiénicos: durante la evaluación,
no podrá acceder a ellos, de tener alguna emergencia comunicárselo a su jefe de práctica.
• En caso de que el tipo de evaluación permita el uso de calculadoras, estas no podrán ser programables.
• Quienes deseen retirarse del aula y dar por concluida su evaluación no lo podrán hacer dentro de la primera mitad del tiempo de
duración destinado a ella.
a
1. (3 puntos) Sean a una constante real positiva y R la región limitada por la recta y = y la semicir2
p
cunferencia y = a2 − x2 ,
a) (1.5 puntos) Halle las coordenadas del centroide de R.
b) (1.5 puntos) Halle el valor de a para que el volumen del solido de revolución generado por la
p
96π
rotación de la región R alrededor de la recta L: x − 2 3y = 0, sea igual a p u3 .
13
2. (3 puntos) Sean las curvas en coordenadas polares
C1 : r = 2 cos(3θ ),
C2 : r = 1
Halle el área de la región plana que es interior a C1 y exterior a C2 .
3. (3 puntos) Sea la función
x
Z
f (x) =
e−(t
2
+ t)
0
dt con x ∈ [−1, 1]
a) (1 punto) Encuentre el polinomio de Maclaurin de grado 2 de la función f
b) (2 puntos) Use el polinomio encontrado en a) para aproximar el valor de
1/2
Z
e−(x
2
+ x)
dx
0
Estime el error de esta aproximación.
Continúa...
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4. (3 puntos) Halle la solución de la siguiente ecuación diferencial
y00 + 6y0 + 9y =
y (0) = 0,
8e−3x
x2 + 1
y0 (0) = 1
1
kilogramo se ata al extremo inferior de un resorte suspendido
2
49
metros, a partir de su
del techo. La masa alcanza su posición de equilibrio alargando el resorte
60
longitud natural. La masa está en un medio viscoso que ofrece una resistencia en newtons numéricamente igual a cuatro veces la velocidad instantánea medida en metros por segundo. La masa es
desplazada x0 = 1 metro por debajo de su punto de equilibrio y se libera con una velocidad hacia abajo
1
de m/seg; en ese mismo instante se aplica al sistema una fuerza externa dada por f (t) = 4 cos (2t)
8
Newtons. Halle
5. (4 puntos) Un cuerpo de masa
a) (2 puntos) La ecuación diferencial del movimiento del cuerpo.
b) (2 puntos) La posición del cuerpo, al cabo de 4π segundos.
Considere g = 9, 8 m/s2 .
6. (4 puntos)
a) (2 puntos) Dada la función f (x) = p
2x
, x > 2, halle el área de la región plana R comprendida
x2 − 4
entre el gráfico de f y sus asíntotas vertical y horizontal.
b) Analice la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias
R +∞ e−x4
(1) (1 punto) 1
x dx
R1
(2) (1 punto) 0 p 1 3 dx
x(4− x )
San Miguel 05 de diciembre de 2018.
Coordinador de teoría: Miguel Gonzaga
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ESTUDIOS
GENERALES
CIENCIAS
Cálculo Integral
Examen Especial
Semestre Académico 2018 -2
Horarios: Todos
Duración: 180 minutos
Elaborado por los profesores del curso.
Advertencias:
• Todo dispositivo electrónico (teléfono, tableta, computadora u otro) deberá permanecer apagado durante la evaluación.
• Coloque todo aquello que no sean útiles de uso autorizado durante la evaluación en la parte delantera del aula, por ejemplo, mochila, maletín, cartera o similar, y procure que contenga todas sus propiedades. La apropiada identificación de las pertenencias es su
responsabilidad.
• Si se detecta omisión a los dos puntos anteriores, la evaluación será considerada nula y podrá conllevar el inicio de un procedimiento
disciplinario en determinados casos.
• Es su responsabilidad tomar las precauciones necesarias para no requerir la utilización de servicios higiénicos: durante la evaluación,
no podrá acceder a ellos, de tener alguna emergencia comunicárselo a su jefe de práctica.
• En caso de que el tipo de evaluación permita el uso de calculadoras, estas no podrán ser programables.
• Quienes deseen retirarse del aula y dar por concluida su evaluación no lo podrán hacer dentro de la primera mitad del tiempo de
duración destinado a ella.
1. (3 puntos) Halle el valor de f 0 (0) sabiendo que f 0 (π) = 2 y
Z π
Z π
f 00 (x) cos xdx = 6
f (x) cos xdx +
0
0
2. (3 puntos) La base de un sólido es la región acotada por el eje X , las rectas x = 0, x = π y la curva
C : y = cos(x). Cada sección transversal del sólido perpendicular al eje X es un rectángulo, cuya base
tiene extremos en C y en el eje X ; y altura igual a la distancia de la sección transversal al origen de
coordenadas. Calcule el volumen del sólido.
3. (3 puntos) Dadas las curvas en coordenadas polares
C1 : r = 4 sin(2θ ) y C2 : r = 4
a) Plantee las integrales que le permita calcular el perímetro de la región R interior a C2 y exterior
π
3π
a C1 , que se ubica arriba del eje polar entre las rectas θ = y θ =
.
4
4
b) Halle la ecuación cartesiana de la recta tangente a C1 en el punto A (4, π/4)
c) Halle la ecuación cartesiana de la recta tangente a C1 en el punto B (0, π/2).
4. (4 puntos)
¡ ¢
a) Encuentre el polinomio de Maclaurin de grado 8 de la función g (x) = cos x2 , x ∈ R
b) Use el polinomio encontrado en a) para aproximar el valor de la integral definida
¡ ¢
Z 1
1 − cos x2
dx
x2
0
Estime el error de esta aproximación.
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que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.
5. (3 puntos) Dadas las ecuaciones diferenciales
¡
¢
y00 − 4y0 + 4y = e− x 9x2 − 3x − 4
y00 − y = 1,
a) Halle sus soluciones generales y1 (x) y y2 (x), respectivamente
b) Halle un valor para cada constante en y1 (x) y un valor para cada constante en y2 (x), de modo
que se cumpla
lı́m (y1 (x) y2 (x)) = 0
x→+∞
6. (4 puntos)
2
a) (2 puntos) Sea R la región limitada por el gráfico de la función f (x) = e− x , x ≥ 0 y los ejes
coordenados; halle el volumen del sólido no acotado, obtenido al girar R, alrededor del eje Y .
b) (2 puntos) Analice la convergencia o divergencia de
+∞
Z
0
p
x4 + 1
dx
p
x5 + 5 x + sin (x)
San Miguel 10 de diciembre de 2018.
Coordinador de teoría: Miguel Gonzaga
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