AcciónPSU – Datos y Azar
Pontificia Universidad Católica de Chile
Probabilidades
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1.
Introducción a las Probabilidades
P
Probabilidades
Las probabilidades son una pequeña rama de las matemáticas que se encargan de medir
la posibilidad de que un evento suceda o no. Está basada en la combinatoria y es fundamental para la estadística. La probabilidad de un suceso se representa numéricamente
(entre 0 y 1, generalmente).
La combinatoria, aplicada a la estadística y probabilidades, estudia las ordenaciones o agrupaciones, es decir, las muestras de elementos.
2.
Conceptos básicos:
Como se vio en Estadística, para esta rama de la matemática hay algunos conceptos propios de
ella; entre ellos:
1. Experimento: Existen dos tipos de experimento; el experimento determinístico,
que se refiere a aquellos sucesos que, sin importar cuántas veces los realicemos,
tenemos la certeza de que sucederán (Ej.: si lanzamos un vaso de vidrio al suelo,
este se quebrará), y el experimento aleatorio, referido a sucesos que no tenemos
la certeza de que ocurrirán si los repetimos varias veces (Ej.: lanzar el dado varias
veces no nos asegura que siempre saldrá una misma cara).
2. Espacio muestral: Se llama así al conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se simboliza por (E).
3. Evento o suceso: Se llama así a cualquier subjconjunto del espacio muestral.
Un evento es seguro si coincide con el espacio muestral; es decir siempre ocurre
al realizar el experimento.
Dos eventos pueden ser mutuamente excluyentes; es decir, si sucede uno, no puede
ocurrir el otro.
Finalmente, dos eventos pueden ser complementarios o conjuntos si un evento es
complemento de otro en su ocurrencia.
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Para poder entender mejor estos conceptos, desarrollemos un ejercicio:
Ejemplo 2.1
Sea el experimento aleatorio el lanzar un dado de 8 caras. Defina el espacio muestral del
experimento, y cuáles son los posibles eventos del experimento. Luego, si ocurre que sale
el 2, cuál es la probabilidad de que salga cualquier otro número en el mismo experimento?.
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Solución
1. Como es un dado de 8 caras, el espacio muestra (E) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, pues
cada cara tendrá la posibilidad de salir.
2. Luego, la posibilidad de cada evento ocurra será la misma; la probabilidad de que
salga el 1 es igual a la probabibilidad de que salga el 3 o el 5.
3. Finalmente, si sale el 2 en un experimento, la probabilidad de que salga cualquier
otra cara en ese mismo experimento es nula; no pueden haber dos caras boca arriba.
Por lo tanto, en este caso, se le llama evento excluyente al hecho de que salga el
2, ya que no permite que haya probabilidad de que salga otra cara.
3.
Teoría de la Probabilidad
La probabilidad, con los conceptos que se han estudiado, permite el estudio de fenómenos al
azar.
P
Probabilidad Clásica
En un experimento aleatorio, donde todos los resultados tienen la misma posibilidad de
ocurrencia, la probabilidad de un evento A está dada por:
P (A) =
R
Número de casos favorables para A
Número total de casos
Esta interpretación de las probabilidades es llamada interpretación clásica o de Laplace.
Debes saber que. . .
Para la interpretación clásica se cumple siempre que:
• La probabilidad P (A) de la ocurrencia de un evento está siempre comprendida entre
0 y 1.
• La probabilidad de un evento improbable es 0, y la de un evento seguro es 1
• La probabilidad porccentual de un evento está comprendida entre 0% y 100%.
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Veamos un ejemplo desarrollado: Ejemplos desarrollados:
Ejemplo 3.1
Si se lanzan dos dados de 8 caras, y se suman los valores obtenidos, siempre asumiendo
que los dados no están cargados y existe la misma probabilidad de que salga cada cara,
cuál es la probabilidad de que la suma de las caras superiores sea mayor a 14?
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Solución
1. Como tenemos dos dados de 8 caras, haremos una tabla, donde la primera fila y
columna indica las caras de cada dado, y luego cada dato interno, la suma de esos
dados:
1
2
3
4
5
6
7
8
2
4
6
6
7
8
9
10
3
6
9
7
8
9
10
11
4
6
7
8
9
10
11
12
5
7
8
9
10
11
12
13
6
8
9
10
11
12
13
14
7
9
10
11
12
13
14
15
8
10
11
12
13
14
15
16
2. Luego identificamos en la tabla cuáles son las sumas mayores a 14, y notamos que
hay 15, 15 y 16; es decir 3 posibilidades de que la suma sea mayor a 14.
*Notamos que el 14 no se considera pues se pregunta por la posibilidad de que
la suma sea MAYOR a 14.
3. Identificamos la cantidad de casos posibles. Para hacer esto, notamos que cada
dado puede tener 8 caras que mostrar cada vez que se tiran, por tanto, la cantidad
de casos posibles está dada por 8x8 = 64.
4. Finalmente, la probabilidad de que la suma de las caras superiores sea mayor a 14
3
será 64
.
P
Probabilidad Frecuentista (o Experimental)
La frecuencia relativa de A en un experimento se puede determinar mediante la siguiente
razón:
Fr =
Número de veces que ocurre A
Número de veces que se realiza el experimento
Esta es la denominada interpretación frecuentista y es la razón entre la frecuencia absoluta de
A y la cantidad de veces que se realiza el experimento.
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4.
Probabilidades
Ley de los Grandes Números
P
Ley de los Grandes números
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Esta ley establece que si un experimento aleatorio se repite muchas veces, el valor de la
frecuencia relativa tiende a estabilizarse y se va aproximando a un número, que corresponde a la probabilidad de ocurrencia del evento.
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Ejemplo 4.1
Si tenemos dos conjuntos A = −8, −6, 0, a, 5, b, 55, y B = −13, −8, −2, −1, 0, 1, a, 7, 15,
defina la cardinalidad de ambos, el complemento de B, la unión de ambos y su cardinalidad, la intersección de ambos y la diferencia dada por A − B.
Solución
1. Para determinar la cardinalidad de A basta con contar la cantidad de elementos
que contiene el conjunto. Observamos entonces que #A = 7 y #B = 9.
2. El complemento de un conjunto son los elementos que pertenecen a U pero no a
B. En este caso, B C = R − B = R − −13, −8, −2, −1, 0, 1, a, 7, 15, para cualquier
valor de a.
3. Para determinar la unión de A y B basta con juntar todos los elementos de ambos
conjuntos en uno nuevo: A ∪ B = −13, −8, −6, −2, −1, 0, 1, a, 5, 7, b, 15, 55, para
cualquier valor de a y b. Notamos que no es necesario poner los elementos repetidos.
Además, la cardinalidad de este nuevo conjunto es #A ∪ B = 13.
4. Para determinar la intersección, buscamos los elementos que se repiten en ambos,
y luego tenemos A ∩ B = −8, 0, a.
5. Finalmente para determinar la diferencia A − B, son todos los elementos en A pero
no en B, entonces A − B = −6, 5, b, 55.
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Propiedades de la Probabilidad
Tanto en la interpretación clásica como en la frecuentista, se cumplen las siguientes
propiedades:
1. Si A ⊆ Ω, entonces la probabilidad de A está dada por 0 ≤ P (A) ≤ 1.
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2. P (Ω) = 1 y P ( ) = 0.
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3. Si A y B son tales que A ∩ B =
4. Si A y B son tales que A ∩ B 6=
, entonces P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
, entonces P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
5. Si A es un evento, entonces P (AC ) = 1 − P (A) si y solo si P (A) + P (AC ) = 1 si
y solo si P (A) = 1 − P (AC ). Esto ocurre porque Ω = A ∪ AC y A ∩ AC 6= .
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