La fisica como ciencia factica - Fisica I

 UT I : LA FÍSICA COMO CIENCIA FÁCTICA http://www.wmproducciones.com.ar Unidad Temá+ca I CONTENIDOS • Método de la Física. Medición. Errores de medición. Propagación de errores. Patrones de medida. Sistemas de Unidades. Dimensiones, unidades y cifras significativas. Escalares y vectores. Suma y resta gráfica y analítica de vectores. Descomposición de vectores. OBJETIVOS DE LA UNIDAD • Que el alumno logre: • Identificar las distintas etapas del método experimental • Diferenciar magnitudes fundamentales y derivadas. • Reconocer e identificar los errores en los procesos de medida. • Expresar correctamente el resultado de una medición. • Definir los limites de validez de una determinación física. • Expresar una medida el diferentes sistemas de unidades. INTRODUCCIÓN • Para la física, en su calidad de ciencia fáctica, y por tanto experimental, la medida constituye una operación fundamental. • Sus descripciones del mundo físico se refieren a magnitudes o propiedades medibles. • Las unidades, como cantidades de referencia a efectos de comparación, forman parte de los resultados de las medidas. • Cada dato experimental se acompaña de su error o, al menos, se escriben sus cifras de tal modo que reflejen la precisión de la correspondiente medida. • La Física esta basada en observaciones experimentales y medidas cuantitativas. • El principal objetivo de la Física es hallar la leyes fundamentales que gobiernan los fenómeno naturales, y a partir de ella desarrollar teorías que permitan predecir nuevos fenómenos y el resultado de experimentos. • Las leyes fundamentales se expresan en el lenguaje de las Matemáticas, que es la herramienta que provee el puente entre la teoría y la experimentación, es decir nos permite pasar de lo cualitativo a lo cuantitativo, de la descripción a la medida. • Cuando se presentan discrepancias entre la teoría y los experimentos, nuevas teoría deben ser formuladas para removerlas. • Algunas veces, una teoría puede ser satisfactoria bajo condiciones limitadas, y una teoría más general que la contiene es satisfactoria sin esas limitaciones. • Ejemplo: las leyes del movimiento de Newton (1642–1727), que describen el movimiento de los cuerpos a velocidades “normales”, y la teoría especial de la relatividad desarrollada por Albert Einstein (1879–1955) que da los mismos resultados que Newton a bajas velocidades, y además describe correctamente los movimientos a velocidades comparables con la de la luz. Por lo tanto la teoría más general del movimiento es la de Einstein. • Física Clásica, engloba toda la física desarrollada antes de 1900, incluye las teorías, conceptos, leyes, y experimentos de Mecánica Clásica, Termodinámica y Electromagnetismo. • Física Moderna, desarrollada a partir de 1900. Las dos teorías más importantes de este periodo son la Relatividad y la Mecánica Cuántica. La teoría de la Relatividad revoluciona los tradicionales conceptos de espacio, tiempo y energía. La Mecánica Cuántica puede ser aplicada a la descripción tanto del mundo macroscópico como microscópico . Describe los fenómenos a nivel atómico. • La Física forma parte de las investigaciones de casi todas las demás ciencias, que necesitan para su investigación un enfoque multidisciplinario. • Áreas como la Química, Geología, Biología y la Ingeniería utilizan la física y la matemática como insumo básico en sus investigaciones. • La posibilidad de los viajes al espacio, los microcircuitos para las PCs, las técnicas de procesamiento de imágenes que se utilizan en medicina e investigación científica son solo una ínfima muestra de ello. Las ciencias y la investigación. Clasificación. • La clasificación se basa en la naturaleza de sus objetos, métodos y criterios de verdad. • Formales: Los objetos de las ciencias formales son ideales, su método es la deducción y su criterio de verdad la consistencia o no contradicción de sus enunciados. Todos sus enunciados son analíticos, es decir que se deducen de postulados o teoremas. • Fácticas: Los objetos de las ciencias fácticas son materiales, su método es la observación y la experimentación y, en segundo término, también la deducción, y su criterio de verdad es la verificación. L o s e n u n c i a d o s d e l a s c i e n c i a s f á c t i c a s s o n predominantemente sintéticos aunque hay también enunciados analíticos. • Ciencias experimentales : son aquellas que pueden someter sus afirmaciones o enunciados al juicio de la experimentación. Experimentar es reproducir en el laboratorio el fenómeno en estudio con la posibilidad de variar a voluntad y de forma precisa las condiciones de observación. • La Física y la Química constituyen ejemplos de ciencias fácticas experimentales. La experimentación ha desempeñado un doble papel en su desarrollo. Con frecuencia, los experimentos científicos se desarrollan en el marco de una teoría que orienta y dirige al investigador. Pero, en ocasiones, los resultados de los experimentos generan información que sirve de base para una elaboración teórica posterior. • Este doble papel de la experimentación como juez y guía del trabajo científico se apoya en la realización de medidas que facilitan una descripción de los fenómenos en términos de cantidad. La medida constituye entonces una operación clave en las ciencias experimentales. EL MÉTODO CIENTÍFICO • El conocimiento científico es producto de un modo de pensar y actuar denominado Método Científico • El conocimiento científico discrepa muchas veces del sentido común o de la explicación simplista de los fenómenos naturales. • Requiere una observación cuidadosa de la realidad y la realización de minuciosas experiencias. • Los resultados científicos están en continua revisión y nunca se consideran definitivos sino los mejores disponibles en cada momento. EL MÉTODO CIENTÍFICO • La creencia de que una correcta metodología asegura el éxito de una investigación no es v e r d a d e r a , s i e s c a s i u n r e q u i s i t o imprescindible para ello. Debemos ser conscientes de la importancia del método en todo trabajo científico. • Desde el punto de vista matemático, podríamos decir que la si bien la metodología no es una condición suficiente, si es una condición necesaria para el éxito de una investigación. EL MÉTODO CIENTÍFICO • No debemos confundir método con técnica. • Método: conjunto de procedimientos que sirve de •
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instrumento para alcanzar los fines de la investigación Técnicas: medios auxiliares que concurren a la misma finalidad. El método es general, las técnicas son particulares. En una investigación, basados en un mismo método, podemos utilizar diferentes técnicas para lograr el objetivo. La observación y la experimentación son métodos; las diferentes formas de observar y experimentar están constituidas por técnicas. Diagrama Conceptual • Modelos: Ejemplos simplificados de la realidad. Construcciones •
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teóricas que muchas veces pueden ser expresadas en lenguaje matemático. Hipótesis: Conjeturas o suposiciones que constituyen una explicación probable del fenómeno bajo estudio. Principios: Afirmaciones muy generales acerca de cómo se comporta la naturaleza. Se aceptan como ciertos sin demostración general. Leyes: Enunciados concisos expresados por relaciones matemáticas que describen fenómenos naturales sin intentar explicarlos. P/ej. la ley de gravitación universal. Teorías: Están formadas por la combinación de modelos, principios y leyes que permiten explicar porque los experimentos producen los resultados observados, y predecir comportamientos ante nuevas situaciones. MAGNITUDES Y MEDIDA • Se denominan magnitudes ciertas propiedades o aspectos observables de un sistema físico que pueden ser expresados en forma numérica. En otros términos, las magnitudes son propiedades o atributos medibles. • Ejemplos: la masa, el volumen, la fuerza, la velocidad, la cantidad de sustancia, el tiempo. • ¿La belleza, la sinceridad, la amabilidad son magnitudes? Si o !!!!NO¡¡¡¡ ¿Por qué?. MAGNITUDES Y MEDIDA • Cantidad se refiere al valor que toma una magnitud dada en un cuerpo o sistema concreto; la altura de un alumno, la superficie de una mesa, la masa de una moneda, el volumen de un libro, son ejemplos de cantidades. • Una cantidad de referencia se denomina unidad y el sistema físico que encarna la cantidad considerada como una unidad se denomina patrón. • La medida de una magnitud física supone la comparación del objeto que encarna dicha propiedad con otro de la misma naturaleza que se toma como referencia y que constituye el patrón. Tipos de medida • Si el patrón de referencia es de la misma naturaleza que el objeto la medida se denomina directa. Ejemplo: medida de longitudes con regla. • Cuando la comparación se efectúa entre atributos que, aun cuando estén relacionados con lo que se desea medir, son de diferente naturaleza, las medidas se denominan indirectas. Ejemplo: medidas térmicas, en las que comparando longitudes sobre la escala graduada de un termómetro se determinan temperaturas. Tipos de magnitudes • Magnitudes escalares: quedan perfectamente determinadas cuando se expresa su cantidad mediante un número seguido de la unidad correspondiente. Ej: la longitud, el volumen, la masa, la temperatura, la energía. • Magnitudes vectoriales: se especifica, además de los elementos anteriores, una dirección o una recta de acción y un sentido. Ej: la fuerza, la velocidad. • Los números reales son utilizados para representar cantidades escalares. Las cantidades vectoriales requieren el empleo de otros elementos matemáticos diferentes de los números, con mayor capacidad de descripción. Estos elementos que pueden representar intensidad, dirección y sentido se denominan vectores SISTEMAS DE UNIDADES • Las leyes y definiciones relacionan matemáticamente entre sí grupos, por lo general amplios, de magnitudes. Por ello es posible seleccionar un conjunto reducido pero completo de modo que cualquier otra magnitud pueda ser expresada en función de dicho conjunto. • Las magnitudes que integran ese conjunto se denominan magnitudes fundamentales, mientras que el resto que pueden expresarse en función de ellas reciben el nombre de magnitudes derivadas. • Cuando se ha elegido ese conjunto reducido y completo de magnitudes fundamentales y se han definido correctamente sus unidades, se dispone entonces de un sistema de unidades. • Las condiciones de definición de un sistema de unidades •
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permite el establecimiento de una considerable variedad de ellos. Es posible elegir conjuntos de magnitudes fundamentales diferentes o incluso, aun aceptando el mismo conjunto, elegir y definir unidades distintas de un sistema a otro. A lo largo de la historia el hombre ha venido empleando diversos tipos de sistemas de unidades El sistema anglosajón de medidas [millas, pies, libras, Grados Fahrenheit]. El sistema cegesimal [centímetro, gramo, segundo]. El sistema técnico [metro, kilogramo fuerza, Segundo]. El sistema MKS [metro, kilogramo (masa), segundo]. El Sistema Internacional de Unidades (SI) • Basándose en el sistema MKS y el sistema métrico decimal la XI Conferencia General de Pesas y Medidas celebrada en París en 1960, tomó la resolución de adoptar el Sistema Internacional . • El Sistema Internacional de Unidades (abreviadamente SI) distingue y establece, además de las magnitudes fundamentales y de las magnitudes derivadas, un tercer tipo formado por aquellas que aún no están incluidas en ninguno de los dos anteriores, denominadas magnitudes suplementarias. • El SI toma como magnitudes fundamentales la longitud, la masa, el tiempo, la intensidad de corriente eléctrica, la temperatura absoluta, la intensidad luminosa y la cantidad de sustancia, y fija las correspondientes unidades para cada una de ellas. — A estas siete magnitudes fundamentales hay que añadir dos suplementarias asociadas a medidas angulares, el ángulo plano y el ángulo sólido. — La definición de las diferentes unidades fundamentales ha evolucionado con el tiempo al mismo ritmo que las propias ciencias físicas. El segundo se definió inicialmente como 1/86400 de la duración del día solar medio, esto es, promediado a lo largo de un año. Pero debido a que el periodo de rotación de la Tierra puede variar, y de hecho varía, se ha acudido al átomo para buscar en él un periodo de tiempo fijo al cual referir la definición de su unidad fundamental. Propiedades deseables para los patrones de las unidades fundamentales • Debe ser inmutable, de forma que las medidas echas hoy puedan ser comparadas con las que se realizarán en el futuro. • Debe ser fácilmente duplicable, de manera que cualquier laboratorio pueda disponer de el. • Debe ser preciso, de forma que el patrón sea disponible cualquiera sea la precisión tecnológicamente alcanzable. • Debe haber sido acordado previamente con carácter universal, de modo que resultados obtenidos en diferentes países puedan ser comparados. Sistema Internacional – Unidades Fundamentales Magnitud Física
Unidad Fundamental
Símbolo
Longitud
Metro
M
Tiempo
Segundo
S
Masa
Kilogramo
Kg
Corriente eléctrica
Amperio
A
Definición
El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299.792.458 de segundo.
El segundo (s) es la duración de 9.192.631.770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.
El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo.
El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a 2.10-­‐7 newton por metro de longitud.
Sistema Internacional – Unidades Fundamentales Unidad Fundamental
Símbolo
Temperatura termodinámica
Kelvin
K
Intensidad luminosa
Candela
Cd
Cantidad de substancia
Mol
Mol
Magnitud Física
Definición
El kelvin (K), unidad de temperatura termodinámica, es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. Observación: Además de la temperatura termodinámica expresada en kelvin (T), se utiliza también la temperatura Celsius (t) definida por la ecuación t = T -­‐ 273,15.
La candela (cd) es la unidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540 1012 hertz y cuya intensidad energética en dicha dirección es 1/683 watt por estereorradián.
El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12. Cuando se emplee el mol, deben especificarse las unidades elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o grupos especificados de tales partículas.
Sistema Internacional – Unidades Suplementarias Magnitud Física
Angulo plano Unidad Fundamental
Radian Angulo sólido Estereorradián Símbolo
Definición
Rad El radián (rad) es el ángulo plano comprendido entre dos radios de un círculo que, sobre la circunferencia de dicho círculo, interceptan un arco de longitud igual a la del radio. El estereorradián (sr) es el ángulo sólido que, teniendo su vértice en el centro de una esfera, intercepta sobre la superficie de dicha esfera un área igual a la de un cuadrado que tenga por lado el radio de la esfera. Sr Sistema Internacional – Unidades Derivadas Magnitud Física
Unidad Fundamental
Símbolo
Definición
Superficie metro cuadrado m2 Un metro cuadrado es la superficie de un cuadrado de un metro de lado. Volumen metro cúbico m3 Un metro cubico es el volumen de un cubo de un metro de lado. Velocidad metro por segundo m/s Aceleración metro por segundo cuadrado m/s2 Un metro por segundo (m/s o m s-­‐1) es la velocidad de un cuerpo que, con movimiento uniforme, recorre, una longitud de un metro en 1 segundo Un metro por segundo cuadrado (m/s2 o m s-­‐2) es la aceleración de un cuerpo, animado de movimiento uniformemente variado, cuya velocidad varía cada segundo, 1 m/s. Sistema Internacional – Unidades Derivadas Magnitud Física Número de ondas Masa en volumen Superficie Velocidad angular Unidad Fundamental metro a la potencia menos uno kilogramo por metro cúbico Metro cuadrado Símbolo Definición m-­‐1 Un metro a la potencia menos uno (m-­‐1) es el número de ondas de una radiación monocromática cuya longitud de onda es igual a 1 metro. kg/m3 m2 radián por segundo rad/s radián por Aceleración segundo angular cuadrado rad/s2 Un metro cuadrado es la superficie de un cuadrado de un metro de lado. Un radian por segundo (rad/s o rad s-­‐1) es la velocidad de un cuerpo que, con una rotación uniforme alrededor de un eje fijo, gira en 1 segundo, 1 radián. Un radian por segundo cuadrado (rad/s2 o rad s-­‐2) es la aceleración angular de un cuerpo animado de una rotación uniformemente variada alrededor de un eje fijo, cuya velocidad angular, varía 1 radián por segundo, en 1 segundo. Sistema Internacional – Unidades Derivadas Magnitud Física
Frecuencia
Nombre hertz
Símbolo
Expresión en Unidades Fundamentales
Expresión en Unidades Derivadas
Hz
1/s
1/s
m.kg/s2
Fuerza, peso
newton
N
m.kg/s2
Trabajo, energía, cantidad de calor
joule J
m2.kg/s2
N.m
N/m2 Presión
Pascal
Pa
Kg/(m.s2)
Potencia
Watt
W
M2.kg/s3
J/s
Carga eléctrica
coulomb
C
s.A
A.s Potencial eléctrico, fuerza electromotriz
volt
V
m2.kg/(s3.A)
W/A
Capacitancia eléctrica
farad
F
S4.A2/(m2.kg)
C/V
Resistencia eléctrica, reactancia
ohm
Ω
m2.kg/(s3.A2)
V/A
S
S3.A2/(m2.kg)
A/V
Wb
m2.kg/(s2.A)
V.s Wb/m2
Conductancia eléctrica
Flujo magnético
siemens
weber
Inducción magnética
tesla
T
Kg/(s2.A)
Inductancia
henry
H
M2.kg/(s2.A2)
Wb/A
Flujo luminoso
lumen
lm
Cd.sr
cd.sr
Iluminancia
lux
lx
Cd.sr/m2
lm/m2 Dosis absorbida gris Gy M2.kg/(s2.kg) J/kg Actividad
becquerel
Bq
1/s
1/s J/kg K
Dosis equivalente sievert Sv m2.kg/(s2.kg) Temperatura en grados Celsius Celsius
°C
K
Definiciones Unidad de frecuencia
Un hertz (Hz) es la frecuencia de un fenómeno periódico cuyo periodo es 1 segundo.
Unidad de fuerza
Un newton (N) es la fuerza que, aplicada a un cuerpo que tiene una masa de 1 kilogramo, le comunica una aceleración de 1 metro por segundo cuadrado.
Unidad de presión
Un pascal (Pa) es la presión uniforme que, actuando sobre una superficie plana de 1 metro cuadrado, ejerce perpendicularmente a esta superficie una fuerza total de 1 newton.
Unidad de energía, trabajo, cantidad de calor
Unidad de potencia, flujo radiante
Unidad de cantidad de electricidad, carga eléctrica
Unidad de potencial eléctrico, fuerza electromotriz
Unidad de resistencia eléctrica
Unidad de capacidad eléctrica
Unidad de flujo magnético
Un joule (J) es el trabajo producido por una fuerza de 1 newton, cuyo punto de aplicación se desplaza 1 metro en la dirección de la fuerza.
Un watt (W) es la potencia que da lugar a una producción de energía igual a 1 joule por segundo.
Un coulomb (C) es la cantidad de electricidad transportada en 1 segundo por una corriente de intensidad 1 ampere.
Un volt (V) es la diferencia de potencial eléctrico que existe entre dos puntos de un hilo conductor que transporta una corriente de intensidad constante de 1 ampere cuando la potencia disipada entre estos puntos es igual a 1 watt. Un ohm (Ω) es la resistencia eléctrica que existe entre dos puntos de un conductor cuando una diferencia de potencial constante de 1 volt aplicada entre estos dos puntos produce, en dicho conductor, una corriente de intensidad 1 ampere, cuando no haya fuerza electromotriz en el conductor.
Un farad (F) es la capacidad de un condensador eléctrico que entre sus armaduras aparece una diferencia de potencial eléctrico de 1 volt, cuando está cargado con una cantidad de electricidad igual a 1 coulomb.
Un weber (Wb) es el flujo magnético que, al atravesar un circuito de una sola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de 1 volt si se anula dicho flujo en un segundo por decaimiento uniforme.
Unidad de inducción magnética
Una tesla (T) es la inducción magnética uniforme que, repartida normalmente sobre una superficie de 1 metro cuadrado, produce a través de esta superficie un flujo magnético total de 1 weber.
Unidad de inductancia
Un henry (H) es la inductancia eléctrica de un circuito cerrado en el que se produce una fuerza electromotriz de 1 volt, cuando la corriente eléctrica que recorre el circuito varía uniformemente a razón de un ampere por segundo.
Exactitud y Precisión de las medidas • La exactitud indica proximidad entre el valor de la magnitud que se mide y el valor real. El sesgo de una medida indica la diferencia entre su valor y el valor real. Una medida exacta carece de sesgo. • La precisión esta relacionada con la reproducibilidad de las medidas. MEDIDAS RESULTADOS Y ERRORES • Los resultados de las medidas nunca se corresponden con los valores reales de las magnitudes a medir, sino que, en mayor o menor extensión, son defectuosos, es decir, están afectados de error. • Las causas que motivan tales desviaciones pueden ser debidas al observador, al aparato o incluso a las propias características del proceso de medida. • Errores experimentales sistemáticos: están relacionados con los instrumentos de medida, el observador o el método. Se deben evitar o corregir. • Errores experimentales aleatorios: el experimentador no puede evitarlos. Se minimizan utilizando tratamiento estadístico. Error absoluto, error relativo y error porcentual — Los errores que se cometen durante un proceso de medida pueden y deben cuantificarse. Para ello se definen los conceptos de error absoluto, relativo y porcentual. — Error absoluto: Se define el error absoluto , como la diferencia entre el resultado x de la medida y el verdadero valor X de la magnitud a medir. Δx = x − X
— Como el valor verdadero no se conoce, se utiliza el máximo error absoluto que se puede cometer. Se utiliza la apreciación del instrumento de medida. En caso de tener una escala, la apreciación es la mínima división de la misma. — El error absoluto no nos dice nada acerca de la calidad de la medida. Tiene dimensiones. Discutir ejemplos. • El error relativo Er es el cociente entre el error absoluto y el valor verdadero . Er =
x − X Δx Δx
=
=
X
X
x
• Da información de la calidad de la medida, y por tanto del método que estamos empleando. Expresa el error que se comete por cada unidad de magnitud medida. Permite determinar la precisión de la medida. No tiene dimensiones. • El error porcentual se define como E% = Er 100 =
Δx
Δx
100 =
100
X
x
• No tiene dimensiones. Nos da el error que cometemos por cada cien unidades de la magnitud que medimos. Permite comparar mediciones realizadas por distintos métodos. • Si efectuamos una única medida el resultado se expresa como: X = x ± Δx
Tratamiento estadístico de los errores aleatorios en una serie de medidas de una magnitud • Si efectuamos una serie de N medidas ( x 1 , x 2 ,...,
x N ) el valor más probable de la medida es la media aritmética de las mismas x + x + ... + xN 1
x= 1 2
=
N
N
N
∑x
i
i =1
• La separación ( x i − x ) de cada medida con la media es el error absoluto de cada medida. Estos valores pueden ser positivos o negativos, por lo que su media aritmética puede ser nula. Para evitar este inconveniente se asigna a la media aritmética una incertidumbre igual a la incertidumbre cuadrática media del conjunto. N
∑ (x − x )
2
i
Δx = σ x =
i =1
N ( N − 1)
y el resultado se expresa x = x ± σ x
Cifras significativas de una medida • Cifras significativas son todos los dígitos que se conocen con seguridad (o de los que existe una cierta certeza). • Ejemplo: Al efectuar una serie de mediciones hemos obtenido para el valor medio de una longitud 4,563 cm y para la incertidumbre cuadrática media 0,02 cm. Como la incertidumbre (0,02 cm) nos indica la certeza de conocimiento de los distintos dígitos tenemos: unidad Décima centésim
a milésima Número 4 5 6 3 Incertidumbre 0 0 2 toda • Por lo tanto sabemos que la medida tiene tres cifras significativas: las dos primeras se conocen con certeza total y en la tercera (el 6) tenemos una cierta incertidumbre, pero también es significativa. Por tanto la expresión correcta es: (4,56 ± 0,02) cm. Reglas para establecer las cifras significativas • La primera cifra de la izquierda distinta de cero, es la cifra más significativa. • Si no hay coma decimal, la última cifra de la derecha distinta de cero es la menos significativa. • Si hay coma decimal, la última cifra de la derecha aunque sea cero es la menos significativa. • Son cifras significativas todas las que se encuentran entre la más y la menos significativa. Reglas para expresar una medida y su error 1. Todo resultado experimental o medida hecha en el laboratorio debe de ir acompañada del valor estimado del error de la medida y a continuación, las unidades empleadas. 2. Los errores se deben dar solamente con una única cifra significativa. Únicamente, en casos excepcionales, se pueden dar una cifra y media (la segunda cifra 5 ó 0). 3. La última cifra significativa en el valor de una magnitud física y en su error, expresados en las mismas unidades, deben de corresponder al mismo orden de magnitud 4. La identificación del error de un valor experimental con el error cuadrático obtenido de n medidas directas consecutivas, solamente es válido en el caso de que el error cuadrático sea mayor que el error instrumental, es decir, que aquél que viene definido por la resolución del aparato de medida. Medidas indirectas • En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene empleando una determinada expresión matemática, a partir de la medida de otras magnitudes de las que depende. Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir de los errores de las magnitudes medidas directamente. Funciones de una sola variable • Supongamos que la magnitud y cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra magnitud x, mediante la relación funcional y = f(x). El error de y cuando se conoce el error de x viene dado por la expresión: Δy =
d
[ f ( x )] Δx donde x es el valor medio
dx
Función de varias variables • Visitar la página web: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/
unidades/medidas/medidas.htm • Si la magnitud y se determina por la medida de varias magnitudes p, q, r, etc., con las que está ligada por la función y = f (p, q, r ...), el error absoluto de la magnitud y viene dado por la siguiente expresión: 2
2
2
⎛ ∂f
⎞ ⎛ ∂f
⎞ ⎛ ∂f
⎞
Δy = ⎜ Δp ⎟ + ⎜ Δq ⎟ + ⎜ Δr ⎟ + . . .
⎝ ∂p ⎠ ⎝ ∂q ⎠ ⎝ ∂r ⎠
Funciones de una sola variable Ejemplos: Δ z 2 Δx Δx
z = 2x
Δ z = 2 Δx
=
=
z
2x
x
Δ z 2 x Δx
Δx
z = x2
Δz = 2 x Δx
=
=
2
z
x2
x
Función de varias variables • Ejemplos: 2
z = x ± y → Δz = Δx 2 + Δy 2 ;
2
z = x⋅ y →
2
Δz
⎛ Δx ⎞ ⎛ Δy ⎞
= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
z
⎝ x ⎠ ⎝ y ⎠
2
⎛ Δy ⎞
x
Δz
x
Δz
⎛ Δx ⎞ ⎛ Δy ⎞
⎛ Δx ⎞
z=
→
= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ; z = 2 →
= ⎜ ⎟ + 4 ⎜ ⎟
y
z
y
z
⎝ x ⎠ ⎝ y ⎠
⎝ x ⎠
⎝ y ⎠
2
2
Ejercicio: La medida de los lados de un rectángulo son
(1,53±0,06) cm, y (10,2±0,1) cm, respectivamente. Hallar el
área del rectángulo y el error de la medida indirecta.
El área es:
2
2
A = 1,53 ⋅10, 2 cm = 15,606 cm
El error relativo del área ΔA/A se obtiene aplicando la
fórmula del producto de dos magnitudes.
2
2
ΔA
⎛ 0, 06 ⎞ ⎛ 0,1 ⎞
= ⎜
+ ⎜
= 0, 0404422504
⎟
⎟
A
⎝ 1,53 ⎠ ⎝ 10, 2 ⎠
ΔA = 1,53 ⋅10, 2 ⋅ 0, 0404422504 cm 2 = 0, 63083 cm 2
El error absoluto con una sola cifra significativa es 0.6 cm2
y el área 15.6 cm2
A = (15,6 ± 0,6) cm2