Ejercicio 1 La ecuación diferencial que describe la absorción de neutrones una vez producidos es la siguiente: dN (t) =−Σ a ̄v N (t) demostrar esto? dt Cuya solución inmediata es: −Σ a ̄ vt N (t)=N 0 e La media temporal de cualquier magnitud, en este caso N(t), vendrá dado por: ∞ ∫ tN (t ) < N (t ) >= 0∞ ∫0 N ( t) Sustituyendo: ∞ ∞ ∫0 t N 0 e−Σ ̄v t ∫0 te−Σ ̄vt < N (t )>= ∞ = ∞ −Σ ̄v t −Σ ̄vt N e ∫0 0 ∫0 e a a a a Resolviendo cada integral tenemos: ∞ 1 ∫0 e−Σ ̄v t = −Σ ∞ a a a ̄v a 1 Σ a ̄v −1 1 [(Σ a v̄ ∞+1) e−Σ ̄v ∞ −( Σa ̄v 0+1)e −Σ ̄v 0 ]= 2 (Σ a ̄v )2 ̄) av ∫0 te−Σ ̄v t= (Σ a (e−Σ ̄v ∞ −e −Σ ̄v 0 )= a −x Nota: lim x → ∞ xe =lim x → ∞ a x dx/ dx 1 1 =lim x →∞ x =lim x → ∞ x = ∞ =0 x e de /dx e e Sustituyendo nos queda: < N (t) >= Σ a ̄v 2 (Σa ̄v ) = 1 =l Σ a v̄ ∞ Para deducir el tiempo necesario para absorber la mitad de los neutrones, partimos de la ecuación resuelta y en función del tiempo de vida promedio deducido, en la cual el número de neutrones es la mitad del inicial: N0 =N0e 2 −t 1/2 l∞ Despejando el tiempo: 1 =e 2 −t1/ 2 l∞ 1 −t 1 → ln( )= 1/ 2 → t 1 /2 =−ln ( ) l ∞=l ∞ ln 2 2 l∞ 2 Si comparamos con la vida meda y semivida de los núcleos radiactivos tenemos: Vida media Neutrones l ∞= Núcleos radiactivos Semivida 1 Σa ̄v t 1/ 2=l ∞ ln 2 1 λ t 1/ 2=τ ln 2 τ= Vemos que las ecuaciones son análogas, lo cual es lógico pues la base estadística de ambos fenómenos es la misma. De esta comparación llegamos a la conclusión de que Σ a ̄ν hace las veces de constante de desintegración para este fenómeno, y tiene sentido pues mientras la constante de desintegración es la cantidad de núcleos desintegrados respecto a la cantidad inicial por unidad de tiempo, el producto Σ a ̄ν representa la cantidad de neutrones absorbidos respecto a los emitidos por fisión por unidad de tiempo. Ejercicio 2 Para estimar el tiempo de vida promedio de los neutrones hacemos uso de la ecuación deducida en el ejercicio 1: l ∞= 1 Σ a ̄v En primer lugar calculamos la velocidad de los neutrones rápidos y térmicos: ̄v r = √ √ 2Ec 2 c= 3 ·10 8=13,84· 106 m/ s m 939,565 vt = ̄ √ 2· 0,025 3· 108 =21,88 ·10 5 m/s 939,565 Ahora calculamos las secciones eficaces macroscópicas para el agua y el dióxido de uranio enriquecido al 3%: Ecuación general: Σ a = ρ NA Ni i σ ∑ mmol i N a Secciones eficaces microscópicas para cada elemento para neutrones rápidos y térmicos: σ H1 at =0,295 b O16 σ at =1,69 ·10−4 b σU235 at =591 b U238 σ at =2,42 b −5 σ H1 ar =3,92 · 10 b −2 σO16 b ar =1,2 ·10 U235 σ ar =1,29 b σU238 ar =0,361b Sustituyendo para cada caso: Σ atH2O= 6,022· 10 23 (2 · 0,295+1 · 1,69 ·10−4)=0,01973 cm−1 18,01528 Σ Σ Σ UO2 at UO2 ar H2O ar 6,022· 10 23 −5 −2 −4 −1 = (2 · 3,92 · 10 +1· 1,2 · 10 )=4,037 · 10 cm 18,01528 11 · 6,022· 10 23 = ( 2 · 1,69· 10−4 +0,03 ·591+0,97 · 2,42)=0,493 cm−1 235∗0,03+238∗0,97+2∗15,999 11 · 6,022· 10 23 −2 −1 = ( 2 · 1,2· 10 +0,03· 1,29+0,97 · 0,361)=0,0101 cm 235∗0,03+238∗0,97+2∗15,999 Resumen: H2O UO2 (ẽ = 3%) Neutrones rápidos l ∞=1,7896 s l ∞=0,0713 s Neutrones térmicos l ∞=0,2317 s l ∞=0,0093 s Vemos que los neutrones rápidos sobreviven mas tiempo que los neutrones térmicos, lo cual es lógico debido a que la sección eficaz de los medios considerados es inferior para neutrones tan energéticos. Por otro lado, respecto al medio los neutrones son absorbidos antes en dióxido de uranio que en agua, también debido a las distintas secciones eficaces. Ejercicio 3 Ejercicio 4 La inserción de reactividad será: −5 10 ln a) kf 1,0001 −5 −9 =10 ln =10 pcm ki 1
