Paso 4 - Tarea Intermedia 3 Presentado por: Alejandra Calvete Cod. Neiserlen Pertuz Cod.39317955 Cristian Danilo Osorio Cod. 1115.420.538 Jhon Carlos Silva Ruiz Cod. 91456355 Niver Orejuela Cod.. 101009972 Algebra, Trigonometría Y Geometría Analítica 551108a_474 Grupo 551108_15 Presentado a: Pablo Andrés López Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Escuela de Ciencias de la Educación (ECEDU) Licenciatura en Matemáticas 28 de Noviembre de 2018 2 Presentación El presente trabajo busca profundizar en el estudio de la geometria, mediante la solución de ejercicios que desarrollan los siguientes temas: Hipérbola, Elipse, Circunferencia, Parábola, Gráficas de las cónicas, Ecuaciones de las cónicas y Geometría Analítica y finalmente unos problemas que permitían aplicar estos conceptos en la solución de situaciones de la vida real. Para el desarrollo de esta actividad los ejercicios fueron distribuidos en los integrantes del grupo quienes presentaron su solución y la explicación de los pasos desarrollados y su comprobación en el programa de Geogebra, los mismos fueron publicados en el foro diseñado para tal fin, en donde el tutor realizo las explicaciones y correcciones pertinentes. . Objetivos - Emplear diversos sistemas de representación para enriquecer el significado de los objetos matemáticos propios del A-T-G-A, utilizando software de modelación libre y comercial. 4 Desarrollo de los ejercicios Tarea 1. Dadas las siguientes hipérbolas y elipses dar, en cada caso, las coordenadas del centro, de los vértices, los focos, la excentricidad y la gráfica. (Comprobar con Geogebra). a). (𝑥−2)2 16 − (𝑦−3)2 9 =1 (𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2 − =1 𝑎2 𝑏2 Coordenadas del centro −ℎ = −2 → (−1) − ℎ = (−1) − 2 → 𝒉 = 𝟐 −𝑘 = −3 → (−1) − 𝑘 = (−1) − 3 → 𝒌 = 𝟑 𝒉=𝟐 𝒚 𝒌=𝟑 𝐶 = (ℎ, 𝑘) 𝑪 = (𝟐, 𝟑) Distancia focal 𝑎2 = 16 → √𝑎2 = √16 → 𝒂 = 𝟒 𝑏2 = 9 → √𝑏 2 = √9 → 𝒃 = 𝟑 𝒂=𝟒 𝒚 𝒃=𝟑 𝑐 = √𝑎 2 + 𝑏 2 𝑐 = √16 + 9 𝑐 = √25 𝒄 = 𝟓 Distancia focal 5 Coordenadas de los vértices 𝑉1 = (ℎ − 𝑎, 𝑘) → (2 − 4, 3) 𝑉2 = (ℎ + 𝑎, 𝑘) → (−𝟐, 𝟑) → (2 + 4, 3) → (𝟔, 𝟑) 𝐵1 = (ℎ , 𝑘 − 𝑏) → (2 , 3 − 3) → (𝟐 , 𝟎) 𝐵2 = (ℎ, 𝑘 + 𝑏) → (2, 3 + 3) → (𝟐 , 𝟔) Coordenadas de los focos 𝐹1 = (ℎ − 𝑐, 𝑘) → (2 − 5, 3) → (−𝟑, 𝟑) 𝐹2 = (ℎ + 𝑐, 𝑘) → (2 + 5, 3) → (𝟕, 𝟑) Gráfica Respuesta Coordenadas del centro 𝑪 = (𝟐, 𝟑) 6 Coordenadas de los vértices 𝒗𝟏 = (−𝟐, 𝟑) 𝒗𝟐 = (𝟔, 𝟑) 𝑩𝟏 = (𝟐, 𝟎) 𝑩𝟐 = (𝟐, 𝟔) Coordenadas de los focos 𝒇𝟏 = (−𝟑, 𝟑) 𝒇𝟐 = (𝟕, 𝟑) La excentricidad 𝑒= 𝑐 𝑎 → 𝟓 𝟒 𝒆= Comprobación Geogebra b). (𝑦−1)2 4 − (𝑥−2)2 16 =1 (𝑦 − 𝑘)2 (𝑥 − ℎ)2 − 𝑎2 𝑏2 Coordenadas del centro −ℎ = −2 → (−1) − ℎ = (−1) − 2 → 𝒉 = 𝟐 7 −𝑘 = −1 → (−1) − 𝑘 = (−1) − 1 → 𝒌 = 𝟏 𝒉=𝟐 𝒚 𝒌=𝟏 𝐶 = (ℎ, 𝑘) 𝑪 = (𝟐, 𝟏) Distancia focal 𝑎2 = 4 → √𝑎2 = √4 → 𝒂 = 𝟐 𝑏 2 = 16 → √𝑏 2 = √16 → 𝒃 = 𝟒 𝒂=𝟐 𝒚 𝒃=𝟒 𝑐 = √𝑎 2 + 𝑏 2 𝑐 = √4 + 16 𝑐 = √20 𝒄 = √𝟐𝟎 ≈ 𝟒. 𝟒𝟕 Distancia focal Coordenadas de los vértices 𝑉1 = (ℎ, 𝑘 + 𝑎) → (2, 1 + 2 ) → (𝟐, 𝟑) 𝑉2 = (ℎ, 𝑘 − 𝑎) → (2, 1 − 2) → (𝟐, −𝟏) 𝐵1 = (ℎ + 𝑏, 𝑘) → (2 + 4, 1) → (𝟔 , 𝟏) 𝐵2 = (ℎ − 𝑏, 𝑘) → (2 − 4, 1) → (−𝟐 , 𝟏) Coordenadas de los focos 𝐹1 = (ℎ, 𝑘 + 𝑐) → (2, 1 + 4.47) → (𝟐, 𝟓. 𝟒𝟕) 𝐹2 = (ℎ, 𝑘 − 𝑐) → (2, 1 − 4.47) → (𝟐, −𝟑. 𝟒𝟕) 8 Gráfica Respuesta Coordenadas del centro 𝑪 = (𝟐, 𝟏) Coordenadas de los vértices 𝒗𝟏 = (𝟐, 𝟑) 𝒗𝟐 = (𝟐, −𝟏) 𝑩𝟏 = (𝟔, 𝟏) 𝑩𝟐 = (−𝟐, 𝟏) Coordenadas de los focos 𝒇𝟏 = (𝟐, 𝟓. 𝟒𝟕) 𝒇𝟐 = (𝟐, −𝟑. 𝟒𝟕) La excentricidad 𝑒= 𝑐 𝑎 → 𝒆= √𝟐𝟎 𝟐 9 Comprobación Geogebra c).(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 25 (𝑋 − 2)2 + (𝑌 − 3)2 = 25 Circunferencia Respuesta La ecuación anterior no corresponde a una hipérbola, ni a una elipse. Esta ecuación cumple las características de la ecuación canónica de la circunferencia. Razón por la cual se grafica la circunferencia y los elementos que se identifican son el centro y el radio. (𝑋 − 2)2 + (𝑌 − 3)2 = 25 (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2 Coordenadas del centro −ℎ = −2 → (−1) − ℎ = (−1) − 2 → 𝒉 = 𝟐 10 −𝑘 = −3 → (−1) − 𝑘 = (−1) − 1 → 𝒌 = 𝟑 𝒉=𝟐 𝒚 𝒌=𝟑 𝐶 = (ℎ, 𝑘) 𝑪 = (𝟐, 𝟑) Radio 𝑟 2 = 25 → √𝑟 2 = √25 → 𝒓 = 𝟓 Gráfica Coordenadas del centro 𝑪 = (𝟐, 𝟑) Medida radio 𝒓=𝟓 Comprobación Geogebra 11 d). 9𝑥2 + 4(𝑦 − 3)2 = 36 9𝑋 2 4(𝑌 − 3)2 36 + = 36 36 36 𝑥 2 (𝑦 − 3)2 + =1 4 9 (𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2 − 𝑏2 𝑎2 Coordenadas del centro −ℎ = 0 → (−1) − ℎ = (−1)0 → 𝒉 = 𝟎 −𝑘 = −3 → (−1) − 𝑘 = (−3) − 1 → 𝒌 = 𝟑 𝒉=𝟎 𝒚 𝒌=𝟑 𝐶 = (ℎ, 𝑘) 𝑪 = (𝟎, 𝟑) Distancia focal 12 𝑎2 = 9 → √𝑎2 = √9 𝑏2 = 4 → √𝑏 2 = √4 → 𝒃 = 𝟐 → 𝒂=𝟑 𝒂=𝟑 𝒚 𝒃=𝟐 𝑐 = √𝑎 2 − 𝑏 2 𝑐 = √9 − 4 𝑐 = √5 𝒄 = √𝟓 ≈ 𝟐. 𝟐𝟑 Distancia focal Coordenadas de los vértices 𝑣1 = (ℎ, 𝑘 + 𝑎) → (0, 3 + 3 ) → (𝟎, 𝟔) 𝑣2 = (ℎ, 𝑘 − 𝑎) → (0, 3 − 3) → (𝟎, 𝟎) 𝑏1 = (ℎ + 𝑏, 𝑘) → (0 + 2, 3) → (𝟐 , 𝟑) 𝑏2 = (ℎ − 𝑏, 𝑘) → (0 − 2, 3) → (−𝟐 , 𝟑) Coordenadas de los focos 𝐹1 = (ℎ, 𝑘 + 𝑐) → (0, 3 + 2.23) → (𝟎, 𝟓. 𝟐𝟑) 𝐹2 = (ℎ, 𝑘 − 𝑐) → (0, 3 − 2.23) → (𝟎, 𝟎. 𝟕𝟕) Gráfica 13 Respuesta Coordenadas del centro 𝑪 = (𝟎, 𝟑) Coordenadas de los vértices 𝒗𝟏 = (𝟎, 𝟔) 𝒗𝟐 = (𝟎, 𝟎) 𝑩𝟏 = (𝟐, 𝟑) 𝑩𝟐 = (−𝟐, 𝟑) Coordenadas de los focos 𝒇𝟏 = (𝟎, 𝟓. 𝟐𝟑) 𝒇𝟐 = (𝟎, 𝟎. 𝟕𝟕) La excentricidad 𝑒= 𝑐 𝑎 → 𝒆= √𝟓 𝟑 Comprobación Geogebra 14 e). 2(𝑦 − 4)2 − 3(𝑥 − 5)2 = 1 2(𝑌 − 4)2 3(𝑋 − 5)2 − =1 1 1 (𝑌 − 4)2 (𝑋 − 5)2 − =1 1 1 2 3 (𝑦 − 𝑘)2 (𝑥 − ℎ)2 − 𝑎2 𝑏2 Coordenadas del centro −ℎ = −5 → (−1) − ℎ = (−1) − 5 → 𝒉 = 𝟓 −𝑘 = −4 → (−1) − 𝑘 = (−1) − 4 → 𝒌 = 𝟒 𝒉=𝟐 𝒚 𝒌=𝟏 𝐶 = (ℎ, 𝑘) 𝑪 = (𝟓, 𝟒) Distancia focal 15 𝑎2 = 1 1 → √𝑎2 = √ → 𝒂 ≈ 𝟎. 𝟕𝟎 2 2 𝑏2 = 1 3 → √𝑏 2 = √ 1 → 𝒃 ≈ 𝟎. 𝟓𝟖 3 𝒂 ≈ 𝟎. 𝟕𝟎 𝒚 𝒃 ≈ 𝟎. 𝟓𝟖 𝑐 = √𝑎 2 + 𝑏 2 1 1 𝑐= √ + 2 3 𝑐= √ 𝑐=√ 3+2 6 5 6 𝟓 𝒄 = √𝟔 ≈ 𝟎. 𝟗𝟏 Distancia focal Coordenadas de los vértices 𝑣1 = (ℎ, 𝑘 + 𝑎) → (5, 4 + 0.70 ) → (𝟓, 𝟒. 𝟕𝟎) 𝑣2 = (ℎ, 𝑘 − 𝑎) → (5, 4 − 0.70) → (𝟓, 𝟑. 𝟑𝟎) 𝑏1 = (ℎ + 𝑏, 𝑘) → (5 + 0.58, 4) → (𝟓. 𝟓𝟖 , 𝟒) 𝑏2 = (ℎ − 𝑏, 𝑘) → (5 − 0.58, 4) → (𝟒. 𝟒𝟐 , 𝟒) Coordenadas de los focos 16 𝐹1 = (ℎ, 𝑘 + 𝑐) → (5, 4 + 0.91) → (𝟓, 𝟒. 𝟗𝟏) 𝐹2 = (ℎ, 𝑘 − 𝑐) → (5, 4 − 0.91) → (𝟓, 𝟑. 𝟎𝟗) Gráfica Respuesta Coordenadas del centro 𝑪 = (𝟓, 𝟒) Coordenadas de los vértices 𝒗𝟏 = (𝟓, 𝟒. 𝟕𝟎) 𝒗𝟐 = (𝟓, 𝟑. 𝟑𝟎) 𝑩𝟏 = (𝟓. 𝟓𝟖, 𝟒) 𝑩𝟐 = (𝟒. 𝟒𝟐, 𝟒) Coordenadas de los focos 𝒇𝟏 = (𝟓, 𝟒. 𝟗𝟏) La excentricidad 𝒇𝟐 = (𝟓, 𝟑. 𝟎𝟗) 17 𝑐 𝑒= 𝑎 → 𝒆= √𝟓 𝟔 √𝟏 𝟐 Comprobación Geogebra Tarea 2. En el siguiente problema debe completar cuadrados para obtener la cónica en la forma canónica (comprobar con Geogebra): a). 𝑥 2 + 𝑦 2 + 6𝑦 + 2𝑦 − 15 = 0 𝑥 2 + 𝑦 2 + 6𝑦 + 2𝑦 − 15 = 0 𝑥 2 + 8𝑦 + 𝑦 2 − 15 = 0 𝑥 2 + 𝑦 2 + 8𝑦 = 15 Para completar cuadrados con respecto a y agregamos 16 a ambos lados de la igualdad 𝑥 2 + (𝑦 2 + 8𝑦 + 16) = 15 + 16 Resolviendo esto nos queda 𝑥 2 + (𝑦 + 4)2 = 15 + 16 𝑥 2 + (𝑦 + 4)2 = 31 18 Ahora utilizamos la ecuación del círculo con radio r y centro (a, b), (𝑥 + 𝑎)2 + (𝑦 + 𝑏)2 = 𝑟 2 Remplazamos estos valores (𝑥 + 0)2 + (𝑦 + 4)2 = √31 Por lo tanto las propiedades del circulo son (a,b)=(0,4),r=√31 Comprobación Geogebra b). 2𝑦 2 − 2𝑥 + 2𝑦 + 9 = 0 2𝑦 2 − 2𝑥 − 2𝑦 + 9 = 0 Para resolver esta ecuación utilizamos la ecuación de la parábola 4𝑝(𝑥 − ℎ) = (𝑦 − 𝑘)2 2𝑥 = 2𝑦 2 − 2𝑦 + 9 19 Dividimos por 2 toda esta ecuación y nos queda 2𝑥 2𝑦 2 2𝑦 9 = − + 2 2 2 2 Nos queda 𝑥 = 𝑦2 − 𝑦 + 9 2 Utilizamos la siguiente formula que dice 𝑥 2 + 2𝑎 + 𝑎2 𝑦2 − 𝑦 + 9 2 2𝑎 = −1 1 𝑎 = −2 1 1 2 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑎 = − 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 (− ) 𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 2 2 9 1 2 1 2 𝑥 = 𝑦 − 𝑦 + + (− ) + (− ) 2 2 2 2 1 2 1 2 9 𝑥 = 𝑦 − 𝑦 + (− ) − (− ) + 2 2 2 2 1 2 1 9 𝑥 = (𝑦 − ) − + 2 4 2 1 2 17 𝑥 = (𝑦 − ) + 2 4 Despejando esto nos queda 20 17 1 2 𝑥− = (𝑦 − ) 4 2 Rescribiendo en la formula estándar 17 1 2 𝑥− = (𝑦 − ) 4 2 Rescribiendo la formula estándar 1 17 1 2 4 ∗ (𝑥 − ) = (𝑦 − ) 4 4 2 Por lo tanto, las propiedades de la parábola son 17 1 1 (ℎ, 𝑘) = ( , ) , 𝑝 = 4 2 4 Comprobación Geogebra 21 c). 𝑥 2 + 𝑦 2 + 16𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0 𝑥 2 + 𝑦 2 − 16𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0 Para resolver esta ecuación utilizamos la ecuación del círculo con radio r y centro (a, b), (x + a)2 + (y + b)2 = r 2 Primero completamos los cuadrados 𝑥 2 − 16𝑥 + 64 + 𝑦 2 + 2𝑦 + 1 = 64 (𝑥 − 8)2 + (𝑦 + 1)2 = 64 Por lo tanto las propiedades del círculo son (𝑎, 𝑏) = (8, −1), 𝑟 = 8 Comprobación Geogebra 22 d). 5𝑥 2 + 9𝑦 2 + 20𝑥 − 36𝑦 − 369 = 0 5𝑥 2 + 9𝑦 2 + 20𝑥 − 36𝑦 − 369 = 0 Para resolver esta ecuación utilizamos la ecuación de la elipse con centro fuera del origen, centro (h, k) y a, b son los semiejes mayor o menor (𝑥 + ℎ)2 (𝑦 + 𝑘)2 + =1 𝑎2 𝑏2 5𝑥 2 + 9𝑦 2 + 20𝑥 − 36𝑦 − 369 = 0 Primeramente, factorizamos los términos semejantes 5(𝑥 2 + 4𝑥) + 9(𝑦 2 − 4𝑦) = 369 5𝑥 2 + 20𝑥 + 20 − 36𝑦 + 9𝑦 2 + 36 = 369 + 20 + 36 5(𝑥 2 + 4𝑥 + 4) + 9(𝑦 2 − 4𝑦 + 4) = 425 5(𝑥 2 + 4𝑥 + 4) 9(𝑦 2 − 4𝑦 + 4) 425 + = 9∗5 9∗5 9∗5 (𝑥 2 + 4𝑥 + 4) (𝑦 2 − 4𝑦 + 4) 425 + = 9 5 9∗5 (𝑥 + 2)2 (𝑦 − 2)2 425 + = 9 5 9∗5 (𝑥 + 2)2 (𝑦 − 2)2 85 + = 9 5 9 85 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑜 9 1 1 85 (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 2)2 = 9 5 9 1 1 85 (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 2)2 = 9 5 9 23 1 9 (𝑥 + 2)2 + 85 9 1 85 5 (𝑦 − 2)2 = 9 85 85 9 9 1 425 (𝑦 − 2)2 = 1 (𝑥 + 2)2 + 85 9 (𝑥 + 2)2 (𝑦 − 2)2 + =1 425 85 9 (𝑥 + 2)2 √85 (𝑥 + 2)2 √85 + + (𝑦 − 2)2 √425 9 (𝑦 − 2)2 5√17 3 =1 =1 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝑠𝑜𝑛: (ℎ, 𝑘) = (2, −2), 𝑎 = √85, 𝑏 = Comprobación Geogebra 5√17 3 24 e). 25𝑥 2 + 16𝑦 2 + 150𝑥 + 128𝑦 − 1119 = 0 25𝑥 2 + 16𝑦 2 + 150𝑥 + 128𝑦 − 1119 = 0 Para resolver esta ecuación utilizamos la ecuación de la elipse con centro fuera del origen, centro (h, k) y a, b son los semiejes mayor o menor (𝑥 + ℎ)2 (𝑦 + 𝑘)2 + =1 𝑎2 𝑏2 25𝑥 2 + 16𝑦 2 + 150𝑥 + 128𝑦 − 1119 = 0 Primeramente, factorizamos los términos semejantes 25𝑥 2 + 150𝑥 + 16𝑦 2 + 128𝑦 − 1119 = 0 25(𝑥 2 + 6𝑥) + 16(𝑦 2 + 8𝑦) = 1119 25(𝑥 2 + 6𝑥 + 9) + 16(𝑦 2 + 8𝑦 + 16) = 1119 25(𝑥 2 + 6𝑥 + 9) + 16(𝑦 2 + 8𝑦 + 16) = 1119 + 225 + 256 25(𝑥 2 + 6𝑥 + 9) + 16(𝑦 2 + 8𝑦 + 16) = 1600 25(𝑥 + 3)2 + 16( 𝑦 + 4)2 = 1600 Dividimos todo esto entre 400 25(𝑥 + 3)2 16( 𝑦 + 4)2 1600 + = 400 400 400 (𝑥 + 3)2 ( 𝑦 + 4)2 + =4 16 25 1 16 1 16 4 1 (𝑥 + 3)2 + 25 ( 𝑦 + 4)2 = 4 (𝑥 + 3)2 + 1 25 4 4 ( 𝑦 + 4)2 = 4 Dividimos todo esto entre 4 25 1 64 1 (𝑥 + 3)2 + 100 ( 𝑦 + 4)2 = 1 (𝑥 + 3)2 ( 𝑦 + 4)2 + =1 64 100 (𝑥 + 3)2 ( 𝑦 + 4)2 + =1 (8)2 (10)2 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝑠𝑜𝑛: (ℎ, 𝑘) = (−3, −4), 𝑎 = 8, 𝑏 = 10 Comprobación Geogebra Tarea 3. Encontrar la ecuación canónica de una elipse cuyos vértices son respectivamente: a). 𝑣1 = (−3; −2), 𝑣2 = (5; −2), 𝑣3 = (1; −7), 𝑣4 = (1; 3) Primero buscamos sus elementos. 26 (Al analizar los vértices podemos notar que es una elipse vertical) *El centro (C) podemos hallarlo de los puntos comunes de los vértices C = (1,-2) Donde h = 1 y k = -2 Ahora, sabemos que los valores de los puntos (a, b, c) son a = Eje mayor/2 b = Eje menor/2 c2 = a2 – b2 𝑎= 𝑏= 3+7 2 5+3 2 =5 (Aquí ponemos 7 y no -7 pues se suman los valores absolutos de los puntos) = 4 (Aquí ponemos 3 y no -3 pues se suman los valores absolutos de los puntos) c2 = 25 – 16 c2 = 9 c=3 (Para encontrar los puntos del foco solo sumamos o restamos el valor de c al punto C F1= ((1, (-2+3)), F2= ((1,(-2-3); F1= (1, 1), La ecuación canónica para una elipse vertical es (𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2 + =1 𝑏2 𝑎2 Entonces remplazamos y tenemos (𝑥 − 1)2 (𝑦 + 2)2 + =1 (4)2 (5)2 F2= (1,-5) 27 (𝑥 − 1)2 (𝑦 + 2)2 + =1 16 25 Comprobación Geogebra b). 𝑣1 = (4; −1), 𝑣2 = (−2; −1), 𝑣3 = (1; 1), 𝑣4 = (1; 3) Primero buscamos sus elementos. (Al analizar los vértices podemos notar que es una elipse horizontal) *El centro (C) podemos hallarlo de los puntos comunes de los vértices. C = (1,-1) Donde h = 1 y k = -1 Ahora, sabemos que los valores de los puntos (a, b, c) son 28 a = Eje mayor/2 b = Eje menor/2 c2 = a2 – b2 𝑎= 𝑏= 4+2 2 1+3 2 =3 (Aquí ponemos 2 y no -2 pues se suman los valores absolutos de los puntos) = 2 (Aquí ponemos 3 y no -3 pues se suman los valores absolutos de los puntos) c2 = 9 - 4 c2 = 5 c = √5 (Para encontrar los puntos del foco solo sumamos o restamos el valor de c al punto C F1=((1+√5), -1), F2=((1-√5), -1) La ecuación canónica para una elipse horizontal es (𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2 + =1 𝑎2 𝑏2 Entonces remplazamos y tenemos (𝑥 − 1)2 (𝑦 − (−1))2 + =1 (3)2 (2)2 (𝑥 − 1)2 (𝑦 + 1)2 + =1 9 4 Comprobación Geogebra 29 c). 𝑣1 = (0; 6), 𝑣2 = (4; 6), 𝑣3 = (2; 0), 𝑣4 = (2; 12) Primero buscamos sus elementos. (Al analizar los vértices podemos notar que es una elipse vertical) *El centro (C) podemos hallarlo de los puntos comunes de los vértices C = (2,6) Donde h = 2 y k = 6 Ahora, sabemos que los valores de los puntos (a, b, c) son a = Eje mayor/2 b = Eje menor/2 c2 = a2 – b2 𝑎= 𝑏= 12+0 2 4+0 2 =6 =2 c2 = 36 – 4 c2 = 32 30 c = √32 (Para encontrar los puntos del foco solo sumamos o restamos el valor de c al punto C F1= ((2, (6+√32)), F2= ((2,( 6-√32)) La ecuación canónica para una elipse vertical es (𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2 + =1 𝑏2 𝑎2 Entonces remplazamos y tenemos (𝑥 − 2)2 (𝑦 − 6)2 + =1 (2)2 (6)2 (𝑥 − 2)2 (𝑦 − 6)2 + =1 4 36 Comprobación Geogebra 31 d). 𝑣1 = (√6; 0; ), 𝑣2 = (−√6; 0), 𝑣3 = (0; √2), 𝑣4 = (0; −√2) Primero buscamos sus elementos. (Al analizar los vértices podemos notar que es una elipse horizontal) *El centro (C) podemos hallarlo de los puntos comunes de los vértices. C = (0,0) Donde h = 0 y k = 0 Ahora, sabemos que los valores de los puntos (a, b, c) son a = Eje mayor/2 b = Eje menor/2 c2 = a2 – b2 𝑎= √6+√6 2 = √6 (Aquí ponemos √6 y no -√6 pues se suman los valores absolutos de los puntos) 𝑏= √2+√2 2 = √2 (Aquí ponemos √2 y no -√2 pues se suman los valores absolutos de los puntos) c2 = 6 - 2 c2 = 4 c = 2 (Para encontrar los puntos del foco solo sumamos o restamos el valor de c al punto C F1=(0+2), 0), F2=((0-2), 0); F1=(2, 0), F2=(-2, 0); La ecuación canónica para una elipse horizontal es (𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2 + =1 𝑎2 𝑏2 32 Entonces remplazamos y tenemos (𝑥 − 0)2 (√6)2 𝑥2 √6 + 𝑦2 √2 + (𝑦 − 0)2 (√2)2 =1 =1 Comprobación Geogebra e). 𝑣1 = (1; −2), 𝑣2 = (−1; −2), 𝑣3 = (0; −2 + √2), 𝑣4 = (0; −2 − √2) Primero buscamos sus elementos. (Al analizar los vértices podemos notar que es una elipse vertical) *El centro (C) podemos hallarlo de los puntos comunes de los vértices C = (0,-2) 33 Donde h = 0 y k = -2 Ahora, sabemos que los valores de los puntos (a, b, c) son a = Eje mayor/2 b = Eje menor/2 c2 = a2 – b2 𝑎=| −2−√2+2−√2 2 | = √2 (Como ambos valores son negativos, le resto al menor valor el mayor valor y lo tomo como valor absoluto, por eso en vez de −√2 coloco √2 𝑏= 1+1 2 = 1 (Aquí ponemos 1 y no -1 pues se suman los valores absolutos de los puntos) c2 = 2 – 1 c2 = 1 c = 1 (Para encontrar los puntos del foco solo sumamos o restamos el valor de c al punto C F1= ((0, (-2+1)), F2= ((0,( -2-1)); F1= (0, -1), F2= (0,-3) La ecuación canónica para una elipse vertical es (𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2 + =1 𝑏2 𝑎2 Entonces remplazamos y tenemos (𝑥 − 0)2 (𝑦 − (−2))2 + =1 (1)2 (√2)2 𝑥 2 (𝑦 + 2)2 + =1 1 2 Comprobación Geogebra 34 Tarea 4. Halle (si existe) los valores de “K”, que pertenecen a los reales positivos, para que las siguientes ecuaciones corresponda a las ecuaciones de las circunferencias: a). 2𝑘(𝑥−1)2 𝑘+1 5(𝐾−3)𝑦 2 3𝑘−1 + 5(𝑘−3)𝑦 2 =1− 3𝑘−1 =1 2𝑘(𝑥+1)2 𝐾+1 5(𝑘 − 3)𝑦 2 = 3𝑘 − 1 − 2𝑘(𝑥+1)2 (3𝑘−1) 𝑘+1 Esta ecuación no corresponde a una circunferencia b). 𝐾𝑥 2 +𝑦 2 = −2𝐾𝑥 La ecuación no corresponde a una ecuación del círculo Tarea 5. Realice los siguientes ejercicios de Geometría Analítica: 35 a). Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3, –2) y (5,2). (𝑥1, 𝑥2) = (3, −2) (𝑥2, 𝑦2) = (5,2) 𝑚= 𝑦2 − 𝑦1 2 − (−2) = =2 𝑥2 − 𝑥1 5−3 𝑦 − 𝑦2 = 𝑚(𝑥 − 𝑥2) 𝑦 − 2 = 2(𝑥 − 2) 𝑦 = 2𝑥 − 2 b). Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (–2; –4) y es paralela a la ecuación 3𝑥 − 𝑦+9=0 (𝑥1, 𝑦1) = (−2, −4) 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 𝑚= 𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 3𝑥 − 𝑦 + 9 = 0 𝑦 = 3𝑥 + 9 𝑦 = 3(𝑥 + 3) 𝑦 − 0 = 3(𝑥 − (−3)) (𝑥2, 𝑦2) = (−3,0) 𝑦 + 4 = 3(𝑥 + 2) c). Determine la ecuación de la recta perpendicular a 𝑥 − 5𝑦 + 10 = 0 y que pasa por el punto (2, 4). 36 5𝑦 = 𝑥 + 10 𝑦= 1 (𝑥 + 10) 5 1 (𝑦 − 0) = (𝑥 − (−10)) 5 𝑚1 = 1 5 𝑚2 = 1 1 = 𝑚1 1 5 (𝑥2, 𝑦2) = (2,4) 𝑚=5 𝑦 − 𝑦2 = 𝑚2(𝑥 − 𝑥2) 𝑦 − 4 = 5(𝑥 − 2) 𝑦 = 5𝑥 − 6 d). Probar que los puntos A(–13, 6), B(–5, 21), C(2, –2) y D(10, 13) son los vértices de un cuadrado... Dibujar el cuadrado. En el punto 𝐴(−13, 6) 𝑥 = −13 En el punto 𝐵(−5, 21) 𝑦 = 21 En el punto 𝐶(2, −2) 𝑦 = −2 En el punto 𝐷(10, 13) 𝑥 = −13 37 Conclusiones En el área de la geometría plana, es de vital importancia apelar a herramientas visuales que condense la información matemática. Hoy día, gracias al avance de la tecnología y el desarrollo de la computación, tenemos acceso a herramientas digitales que nos facilitan los procesos de convertir información algebraica o numérica, a información gráfica. En esta fase se tuvo por objetivo emplear diversos sistemas de representación para enriquecer el significado de los objetos matemáticos propios del A-T-G-A, utilizando software de modelación libre y comercial. 38 Podemos concluir que se logró el objetivo propuesto. En este caso, este trabajo apeló al uso de herramientas como Geogebra para representar gráficamente el contenido teórico que se desarrolló y construir así un conocimiento significativo y valioso. Bibliografía Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 285 – 347. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/11583 Ortiz, C. F. J. (2014). Matemáticas 3 (2a. ed.). México, D.F., MX: Larousse - Grupo Editorial Patria. Páginas 48 – 140. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=5&docID=11046371&tm =1488213794691 39
