ML-Circunferencia y Círculo

Índice
1. La circunferencia
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
3
Posiciones relativas a dos circunferencias . . . . . .
Elementos de la circunferencia . . . . . . . . . . . .
Ángulos en la circunferencia . . . . . . . . . . . . .
Teoremas Referentes a Ángulos en la Circunferencia
Teoremas Referentes a una Circunferencia . . . . .
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2. El Círculo
3
5
5
7
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2.1 Elementos del círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Área y perímetro de figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Área y perímetro de la circunferencia y del círculo . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliografía
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2
1. La circunferencia
Dado un punto O y una distancia r, se llama circunferencia de centro O y radio r al conjunto
de todos los puntos del plano que están a la distancia r del punto O.
1.1. Posiciones relativas a dos circunferencias
1. Circunferencias Exteriores: son aquellas circunferencias en las cuales los puntos de
cada circunferencia son exteriores a la otra.
2. Circunferencias Interiores: son aquellas circunferencias en la que todos los puntos
de una de ellas, son interiores a la otra.
3
3. Circunferencias tangentes exteriormente: son aquellas circunferencias que tienen
un punto en común y los demás puntos de cada una son exteriores a la otra.
4. Circunferencias tangentes interiormente: son aquellas circunferencias que tienen
un punto en común y los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra.
5. Circunferencias secantes: son aquellas circunferencias que tienen dos puntos en
común.
6. Circunferencias concéntricas: son aquellas circunferencias que tienen el mismo
centro.
4
1.2. Elementos de la circunferencia
1. Radio: es la traza cuyos extremos son el centro de la circunferencia y un punto de
ésta. OA
2. Cuerda: es la traza cuyos extremos son dos puntos de una circunferencia. DE
3. Diámetro: es la cuerda que contiene al centro de la circunferencia. BC
−→
4. Secante: es la recta que interseca en dos puntos a la circunferencia. QP
5. Tangente: es la recta que interseca a la circunferencia en un sólo punto. T
6. Arco: es la parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos de ella.
d
EP
1.3. Ángulos en la circunferencia
1. Ángulo Interior: Es todo ángulo cuyo vértice es un punto interior a la circunferencia.
∠AP B
5
2. Ángulo central: Es todo ángulo interior cuyo vértice es el centro de la circunferencia.
∠DOE
3. Ángulo inscrito: Es todo ángulo interior cuyo vértice es un punto de la circunferencia
y parte de sus rayos son cuerdas de ésta. ∠GHF
4. Ángulo semi-inscrito: Es todo ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia,
uno de sus rayos es tangente a la circunferencia justo en el vértice y parte del otro en
una cuerda de ella. ∠BT A
5. Ángulo exterior: Es todo ángulo cuyo vértice es un punto exterior a la circunferencia
y sus dos rayos la intersecan. ∠T V S
6. Medida angular de un arco: Es igual a la medida del ángulo del centro que subtiende
dicho arco. arco(AB) = ∠AOB
6
1.4. Teoremas Referentes a Ángulos en la Circunferencia
Teorema: Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene como medida la mitad del ángulo
del centro, que subtiende el mismo arco. β =
1
α
2
Teorema: Todo ángulo semi-inscrito en una circunferencia tiene igual medida que cualquier
ángulo inscrito, que subtiende el mismo arco. α = β
Teorema: Todos los ángulos inscritos en una circunferencia que subtienden un mismo arco
tienen igual medida. α = β
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Teorema: Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
∠ACB = 90
Teorema: En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia los ángulos opuestos son suplementarios. ∠ADC + ∠AEC = 180 y ∠DAE + ∠DCE = 180
Teorema: Todo ángulo interior a una circunferencia tiene por medida la semisuma de los
arcos que comprenden sus lados y sus prolongaciones.
β=
arco(AB) + arco(DC)
2
Teorema: Todo ángulo exterior a una circunferencia tiene por medida a la semidiferencia de
los arcos que comprenden entre sus lados.
β=
8
arco(AD) − arco(BC)
2
1.5. Teoremas Referentes a una Circunferencia
Teorema: Si el radio de una circunferencia es perpendicular a una cuerda, entonces la
dimidia (divide en dos partes iguales) y viceversa.
OD ⊥ AB ⇔ AC ∼
= CB
Teorema: Si un radio de una circunferencia es perpendicular a una cuerda, entonces dimidia
al arco que subtiende la cuerda y viceversa.
OD ⊥ AB ⇔ arco(AD) ∼
= arco(DB)
Teorema: Cuerdas congruentes subtienden arcos congruentes y viceversa.
arco(AB) ∼
= AB
= arco(CD) ⇔ CD ∼
Teorema: Cuerdas congruentes equidistan del centro y viceversa.
OF ∼
= OE ⇔ CD ∼
= AB
Teorema: Cuerdas paralelas determinan entre ellas arcos congruentes.
AB ∥ GH ↔ AG ∼
= BH
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Teorema: La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de
tangencia. QP tangente en P ⇒ QP ⊥ OP .
Teorema: Los segmentos tangentes trazados desde un punto a una circunferencia, son congruentes. P A = P B .
Teorema: En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia la suma de las longitudes
de los lados opuestos es la misma. AB + DC = BC + AD.
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2. El Círculo
Es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y los interiores de la misma.
2.1. Elementos del círculo
1. Segmento circular: es cada una de las partes en que se divide un círculo cuando se
traza una cuerda. Si la cuerda es el diámetro, cada parte será un semicírculo.
2. Sector circular: es la parte del círculo limitada por dos radios y un arco.
3. Corona circular: es la porción del plano comprendida entre dos circunferencias concéntricas.
4. Trapecio circular: es la porción del círculo limitada por dos radios y una corona circular.
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2.2. Área y perímetro de figuras planas
Perímetro: de un polígono, es la suma de las longitudes de todos sus lados, utilizaremos el símbolo P .
Área: de un polígono es la medida de la región o superficie encerrada por un polígono,
utilizaremos el símbolo A.
2.3. Área y perímetro de la circunferencia y del círculo
1. Perímetro: esta dado por la longitud de la circunferencia, la fórmula es
L = 2πr ó L = πd.
donde r es el radio y d es el diámetro.
2. Área del círculo: A = πr 2
3. Área del sector circular: A =
πr2 α
360
4. Área del segmento circular: el área del segmento circular AB = área del sector
circular AOB − área del triángulo AOB .
5. Área de la corona circular: es igual al área del círculo mayor menos el área del
círculo menor, es decir, A = π(R2 − r2 ).
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6. Área del trapecio circular: es igual al área del sector circular mayor menos el área
del sector circular menor, es decir, A =
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π(R2 − r2 )α
.
360
Bibliografía
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